/
Автор: Аньшин В.М.
Теги: динамика народного хозяйства экономическое развитие экономика экономические науки финансы лингвистика инвестиции
ISBN: 5-7749-0200-5
Год: 2004
Текст
БИБЛИОТЕКА ДОВРЕМЕННОГО
|ЕРЖ>№т<0^|
В.М. АНЬШИН
Инвестиционный
анализ
Рекомендуется Академией народного хозяйства
при Правительстве Российской Федерации
в качестве учебного пособия для программ
подготовки управленческого персонала
АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ДЕЛО»
МОСКВА 2004
УДК 330.322.01(076.8)
ББК 65.26я73
А64
ОБ АВТОРЕ:
В.М. Аньшин — доктор экономических наук,
профессор кафедры менеджмента инвестиций и инноваций
Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова,
президент Института технологий управления и инвестирования
Аньшин В.М.
А64 Инвестиционный анализ: Учеб.-практ. пособие.— 3-е изд., испр. —
М.: Дело, 2004. — 280 с. — (Сер. “Библиотека современного
менеджера”).
ISBN 5-7749-0200-5
В книге рассматриваются вопросы комплексного анализа финансовых и реаль-
ных инвестиций. Работа построена в соответствии с учебными планами экономиче-
ских вузов и факультетов. Особое внимание уделено возможностям самостоятель-
ной работы над книгой. С этой целью приведены многочисленные примеры реше-
ния задач, имеется раздел практических заданий для самостоятельного решения с
ответами.
Рекомендуется в качестве учебного пособия для студентов и слушателей дневно-
го, вечернего и заочного отделений, центров повышения квалификации и перепод-
готовки финансовых кадров и специалистов рынка ценных бумаг. Может быть ис-
пользована при обосновании инвестиционных проектов и подготовке бизнес-
планов.
УДК 330.322.01(076.8)
ББК 65.26я73
ISBN 5-7749-0200-5 © Аньшин В.М., 2000
© Аньшин В.М., 2004. с изменениями
© Оформление. Издательство “Дело”, 2004
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ................................................................ 6
РАЗДЕЛ 1. КОНЦЕПЦИЯ ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ -
МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ИНВЕСТИЦИОННОГО АНАЛИЗА . . 9
Глава 1. Базовые понятия количественного финансового анализа ...... 9
1.1. Процент и процентная ставка ............................... 9
1.2. Виды процентных ставок.................................... 10
1.3. Дисконтирование .......................................... 14
1.4. Учет инфляции при определении реального процента ......... 15
1.5. Временная база начисления процентов....................... 16
1.6. Процентное число и процентный ключ........................ 18
1.7. Задачи и решения ......................................... 18
Глава 2. Конверсионные операции .................................. 21
2.1. Методы расчета параметров конверсии....................... 21
2.2. Консолидация платежей..................................... 26
2.3. Эквивалентность процентных ставок ........................ 28
2.4. Задачи и решения ......................................... 32
Глав а 3. Финансовые потоки .................................... 34
3.1. Обшие сведения ........................................... 34
3.2. Виды финансовых рент...................................... 34
3.3. Наращенная сумма ренты ................................... 35
3.4. Современная стоимость ренты............................... 37
3.5. Расчет показателей ренты при осуществлении платежей и начислении
процентов несколько раз в году................................. 39
3.5.1. Наращенная сумма .................................... 39
3.5.2. Современная стоимость................................ 41
3.6. Определение характеристик финансовых рент................. 43
3.7. Задачи и решения ......................................... 48
Глава 4. Переменные потоки платежей............................... 50
4.1. Обшие сведения ........................................... 50
4.2. Ренты с постоянным абсолютным изменением элементов ....... 50
4.3. Ренты с постоянным темпом изменения элементов............. 51
РАЗДЕЛ 2. ИНВЕСТИЦИИ: ДОХОДНОСТЬ И РИСК................................ 53
Глава 5. Содержание и структура инвестиций ....................... 53
5.1. Типология инвестиций ..................................... 53
5.2. Сбережения, накопления и инвестиции в системе национальных счетов . . 57
3
Глава 6. Доходность и риск финансовых инвестиций................... 60
6.1. Общая методология измерения доходности финансовых инвестиций ... 60
6.2. Измерение доходности краткосрочных финансовых инструментов . 62
6.3. Доходность и риск инвестиций на рынке акций................. 65
Глава 7. Портфельный анализ........................................ 70
Глава 8. Модель оценки капитальных активов......................... 80
Глава 9. Анализ облигаций ......................................... 86
9.1. Типология облигаций ........................................ 86
9.2. Основные характеристики облигаций .......................... 87
9.3. Анализ доходности облигаций ................................ 88
9.4. Дюрация (средняя продолжительность платежей) ............... 90
9.5. Дюрация и изменение курса облигаций ........................ 92
9.6. Выпуклость.................................................. 92
9.7. Временная структура процентных ставок ...................... 95
9.8. Иммунизация ................................................ 97
9.9. Оценка стоимости облигаций.................................. 99
9.10. Цена облигации и накопленные проценты .....................100
РАЗДЕЛ 3. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОЦЕНКИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
СТОИМОСТИ АКТИВОВ......................................................103
Глава 10. Фундаментальный анализ: макроэкономический и отраслевой
аспекты ...........................................................103
10.1. Содержание анализа.........................................103
10.2. Макроэкономический анализ..................................104
10.3. Отраслевой анализ..........................................118
Глава 11. Микроэкономический фундаментальный анализ:
анализ финансовой отчетности.......................................123
11.1. Методы финансово-экономического анализа....................123
11.2. Анализ финансовых показателей деятельности предприятия.....127
Глава 12. Микроэкономический фундаментальный анализ:
определение цены акции .............................................134
Глава 13. Методы технического анализа в инвестиционном
прогнозировании ....................................................137
13.1. Общие сведения о техническом анализе ......................137
13.2. Графические методы ........................................139
13.3. Количественные методы......................................147
РАЗДЕЛ 4. РЕАЛЬНЫЕ ИНВЕСТИЦИИ ..........................................153
Глава 14. Содержание и оценка эффективности реальных
инвестиций .........................................................153
14.1. Виды реальных инвестиций ..................................153
14.2. Показатели экономической оценки реальных инвестиций .......154
14.3. Экономическое содержание чистой современной стоимости......162
14.4. Пример расчета параметров инвестиционного проекта..........165
14.5. Внутренняя норма доходности проектов с неординарными денежными
потоками........................................................166
14.6. Определение дополнительного денежного потока...............169
14.7. Определение инвестиционных и производственных издержек.....170
4
14.8. Планирование денежных потоков в процессе оценки инвестиционных
проектов......................................................173
14.9. Определение ставки дисконтирования..........................174
Глава 15. Оценка риска и учет неопределенности инвестиционного
проекта .........................................................181
15.1. Неопределенность инвестиционного проекта и методы ее учета .181
15.2. Определение уровня риска инвестиционного проекта............182
Глава 16. Стратегии инноваций и инвестиций..........................185
16.1. Инвестиционный и инновационный анализ ......................185
16.2. Инновационные стратегии как основа формирования инвестиционных
стратегий.....................................................190
16.3. Инвестиционная и финансовая стратегии ......................201
РАЗДЕЛ 5. ОПЦИОНЫ И СВОПЫ ...............................................204
Глава 17. Рынок опционов ...........................................204
17.1. Содержание опционных контрактов ............................204
17.2. Инвестиционные стратегии на рынке опционов..................207
Глава 18. Определение стоимости и цены опционов.....................215
18.1. Стоимость опционов .........................................215
18.2. Модели определения цены опционов ...........................219
Глава 19. Свопы ....................................................233
РАЗДЕЛ 6. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ...........................................237
Глава 20. Задачи для самостоятельного решения.......................237
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................................260
ЛИТЕРАТУРА...............................................................261
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Множители наращения (сложные проценты) (1 + /)".................262
2. Коэффициенты дисконтирования (1 + /)“" .........................265
(1 + /)" — 1
3. Коэффициенты наращения годовой ренты........................... 268
1 — (1 + /)“"
4. Коэффициенты приведения годовой ренты------—-—..................271
5. Значения функции AW)............................................274
6. Значения интеграла вероятностей закона нормального распределения .... 276
ВВЕДЕНИЕ
Экономический рост в любой хозяйственной системе связан с накоп-
лением определенной части богатства, которая высвобождается из теку-
щего оборота средств и текущего потребления и вкладывается в разви-
тие. Эти средства, называемые инвестициями, ограниченны, и поэтому
большое значение приобретает определение направлений их эффектив-
ного использования.
Данное пособие посвящено методам анализа как реальных, так и фи-
нансовых инвестиций. По мнению автора, было бы неправильным раз-
рывать процессы реального и финансового инвестирования, поскольку в
современных условиях вряд ли можно обеспечить масштабные вложения
средств в реальные активы без эффективного функционирования финан-
совых рынков. Такая постановка в целом согласуется с определением ин-
вестиционного анализа, данным в словаре по инвестированию Джерри
Розенберга: инвестиционный анализ — это “изучение и оценка всей воз-
можной информации, касающейся различных альтернативных инвести-
ций, с целью определения степени риска, возможного движения цен и
т.д. и выработка рекомендаций”1.
В настоящем пособии сделана попытка обобщить имеющиеся отечест-
венные и зарубежные материалы по проблемам инвестирования. Эти мате-
риалы адаптированы к программам обучения и учебным планам российских
экономических вузов и факультетов.
В настоящее время существует значительное количество книг по про-
блемам инвестирования. Но в большинстве случаев издания посвящены
определенным частным вопросам: реальным инвестициям2 *, финансовым
инвестициям', производным финансовым инструментам4, техническому
анализу5 и др. Между тем имеется необходимость комплексного рассмо-
трения различных аспектов инвестирования в одном учебном пособии,
1 Розенберг Д.М. Инвестиции: Терминологический словарь. М., 1997. С. 174.
: Беренс В.. Хавранек П.М. Руководство по подготовке технико-экономических исследо-
ваний. М., 1995; Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов.
М.. 1997.
' Гетман Л.Дж., Джонк М.Д. Основы инвестирования. М., 1997; О'Брайен Дж., Шри-
вастава С. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами. М., 1995.
j Буренин А.Н. Рынки производных финансовых инструментов. М, 1996.
5 Эрлих А. Технический анализ финансовых и товарных рынков. М., 1996; Elder А.
Trading for a Living: Psychology, Trading Tactics, Money Management. Wiley, 1992.
6
так как в процессе изучения данного курса студенты имеют дело со всей
совокупностью инвестиционных проблем.
Учебное пособие состоит из пяти разделов.
В разд. 1 рассматриваются вопросы использования в инвестиционном
анализе методов учета временной стоимости денег. При этом ставится
цель развития у студентов навыков проведения расчетов, которые лежат
в основе долгосрочных финансовых и инвестиционных решений. Гра-
мотное осуществление названных операций невозможно без знания ос-
нов количественного финансового анализа, методологической базой ко-
торого является финансовая математика. Данный раздел анализа сравни-
тельно недавно изучается в российских вузах. Его преподавание сопря-
жено с рядом трудностей, прежде всего с отсутствием методических раз-
работок и учебных пособий, сборников задач и т.д. В то же время необ-
ходимо отметить ряд изданий, способствующих внедрению указанной
методологии. Это прежде всего книги Е.М. Четыркина1, который прак-
тически первый в современной России систематизированно и комплекс-
но изложил основные положения теории и практики количественного
финансового анализа, причем сделал это доступным широкому кругу чи-
тателей языком и одновременно на строгом научном уровне. Его работы
предназначены для специалистов, они легли в основу ряда последующих
публикаций других авторов и используются в данном учебном пособии.
За рубежом проблематика количественного финансового анализа разра-
ботана достаточно глубоко и традиционно изучается студентами—эконо-
мистами и финансистами2.
Необходимость включения данного раздела в настоящее учебное по-
собие обусловлена двумя моментами. Во-первых, далеко не во всех ву-
зах студенты изучают самостоятельный курс количественного финансо-
вого анализа (там, где данный курс изучается, он имеет различные на-
звания: “Финансовые (или “деловые”) вычисления”, “Финансовая ма-
тематика” и др.). Во-вторых, даже если этот курс и читается, то к мо-
менту изучения инвестиций студенты, как показывает опыт, порядком
его забывают, а между тем его положения являются базовыми в инве-
стиционном анализе.
В разд. 2 рассматриваются основные понятия инвестирования, дается
типология инвестиций. Здесь показана взаимосвязь доходности и риска
финансовых инвестиций различных видов, рассмотрены основы порт-
фельной теории и методы оптимизации портфеля.
Многие вопросы этого раздела являются в значительной степени фун-
даментальными и для анализа реальных инвестиций. Например, бета-ко-
эффициент, характеризующий среди прочего уровень систематического
риска ценной бумаги, может быть использован для определения ставки
1 См., напр.: Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М., 1995.
2 Simpson Т.М.. Pirenian Z.M.. Crenshaw B.N. Mathematics of Finance. New York: Prentice-
Hall. 1936; Pollard A.H. An Introduction to the Mathematics of Finance. Sydney: Pergamon Press,
1977: Cissel R.. Cisse! H., Flaspohler D.C. Mathematics of Finance. Dallas, 1978.
7
дисконтирования в расчетах эффективности реальных инвестиций. В
этом разделе исследуются понятия и методы анализа облигаций с учетом
необходимости совершенствования механизмов рынка государственных
облигаций, а также развития рынка корпоративных облигаций.
В разд. 3 излагаются вопросы фундаментального и технического ана-
лиза. Методы этих видов анализа используются в оперативном и кратко-
срочном инвестиционном прогнозировании. В курсе инвестиционного
анализа целесообразно рассматривать основы технического анализа в
привязке к исследованию краткосрочных тенденций цен на финансовые
активы.
Раздел 4 посвящен исследованию процессов реального инвестирова-
ния. В нем рассмотрены наиболее распространенные показатели оценки
эффективности инвестиций, приведены примеры расчетов, показаны
взаимосвязь и взаимообусловленность инвестиционных и инновацион-
ных решений, проблемы формирования соответствующих стратегий.
В разд. 5 рассмотрены методы оценки опционов и организации сво-
пов. Производные финансовые инструменты получают широкое распро-
странение в практике инвестирования, что и определило необходимость
их включения в эту работу.
В основу данного учебного пособия был положен одноименный курс
лекций, читаемых автором на факультете академических программ обу-
чения и программе MBA Академии народного хозяйства при Правитель-
стве РФ, в Институте менеджмента Российской экономической акаде-
мии им. Г.В. Плеханова, а также на факультете экономики и бизнеса
Университета Российской академии образования. Оно используется при
проведении Институтом технологий управления и инвестирования
(ИТУИ) открытых семинаров, программ повышения квалификации и
профессиональной переподготовки, таких как “Инвестиционный анализ
и бизнес-планирование”, “Финансовый и инвестиционный анализ”,
"Экономика и финансы компании”.
Пособие состоит из теоретической части, включающей основополага-
ющие вопросы инвестиционного анализа, определяемые программами
курса в названных выше вузах; примеров задач с решениями по некото-
рым темам и сборника задач для самостоятельного решения.
Ряд дополнительных материалов по вопросам инвестиционного ана-
лиза (тесты, текущие аналитические и прогнозные расчеты и другие), не
вошедших в предлагаемое учебное пособие, могут быть получены на сай-
те ИТУИ (www. itui.ru).
РАЗДЕЛ 1
КОНЦЕПЦИЯ ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ
ДЕНЕГ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА
ИНВЕСТИЦИОННОГО АНАЛИЗА
Глава 1
БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ КОЛИЧЕСТВЕННОГО
ФИНАНСОВОГО АНАЛИЗА
1.1. Процент и процентная ставка
Одним из важнейших базовых понятий теории количественного фи-
нансового и инвестиционного анализа является понятие процента.
Процент — это доход. Англоязычным аналогом является термин inte-
rest. Следует подчеркнуть, что в данном случае процент является абсо-
лютной величиной, выраженной в денежных единицах, а не сотой ча-
стью числа. Обозначим величину процента через /. Тогда если в финан-
совую операцию в начале периода была вложена сумма Р, а по заверше-
нии этой операции получена сумма ТУ, то величина процента определит-
ся следующим образом:
1=ТУ~Р, (1.1)
где ТУ — полученная новая сумма (конечная стоимость) по истечении
периода осуществления финансовой операции (периода нахождения пер-
воначальной суммы на депозите, срока ссуды, владения ценными бума-
гами и др.); Р — первоначальная сумма, положенная, например, в банк
на депозит (или выданная в кредит, или вложенная в какую-то иную фи-
нансовую операцию).
Процент является одной из форм более общего понятия — экономи-
ческого эффекта. Экономический эффект — это разность между резуль-
татом и затратами.
Процедура увеличения первоначальной суммы денежных средств на-
зывается наращением, а ТУ — конечной или наращенной суммой.
Процентная ставка / — это относительная величина процента:
/ = 4- (1-2)
9
Величина процентной ставки определяется в расчете на заданный ба-
зовый период, как правило, на год.
В реальной жизни величина процентной ставки в большинстве случа-
ев является первичной и используется для нахождения размера процента.
Если продолжать сравнение с более общими экономическими поня-
тиями, то следует отметить, что процентная ставка соответствует поня-
тию экономической эффективности как отношению эффекта к произве-
денным затратам.
1.2. Виды процентных ставок
Можно выделить следующие виды процентных ставок.
Простые и сложные ставки( проценты)'. Простая процентная ставка —
это такая ставка, при которой величина процента начисляется на перво-
начально вложенную сумму средств; это означает, что сумма процента,
начисленного в предыдущие периоды, не принимается в расчет в процес-
се последующего наращения.
Обозначим через / величину процентной ставки в десятичном измере-
нии1 2.
Можем записать следующие выражения:
TV\ = Р + Pi = Р(\ + /) — сумма на конец первого года;
TV2 = Р + Pi + Pi = Р(\ + 2/) — сумма на конец второго года;
7V = Р (I + ni) — сумма на конец л-го года; (1.3)
Величина процента с учетом формулы (1.3) определится следующим
образом:
/ = TV„ - Р = Р(1 + ni) - Р = Pni.
Сложная процентная ставка — это такая ставка, при которой процент
начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начис-
ленных в предыдущие периоды (“проценты на проценты”). Имеем:
ГИ( = Р + Pi = Р(1 + /) — сумма на конец первого года;
TV2 = Р(1 + /) + Р(1 + i)i = Р(\ + /)2 — сумма на конец второго года;
= Р(1 + /)" — сумма на конец л-го года; (1.4)
1 Правильнее говорить не о простых и сложных ставках, а о простых и сложных про-
центах, так как величина последних зависит не от ставки (при заданной ее величине), а от
базовой величины, на которую эта ставка умножается, т. е. от схемы начисления процен-
тов. Но словосочетания “простая ставка” и “сложная ставка” фактически используются в
российском финансовом лексиконе.
2 Как правило, в практической деятельности ставка задается в процентном выражении.
10
Величины (1 + ni) и (1 + i)" называются коэффициентами (множите-
лями) наращения простых и сложных процентов соответственно.
В ряде случаев проценты представляют скидку с некоторой конечной
суммы, принимаемой за 100%. Например, в банковской практике учета
векселей стоимость векселя является конечной суммой, с которой про-
изводится скидка по определенной ставке, называемой учетной.
Разница между стоимостью векселя и суммой, которую банк выдаст
по этому векселю, называется дисконтом. Обозначим учетную ставку че-
рез d. Если вексель учитывается за один год до погашения, то величина
дисконта может быть определена по формуле D = TV • d, а сумма, кото-
рую получит векселедержатель (она является в данном случае первона-
чальной), определится так:
Р = TV- TV-d = TV-(1 - d). (1.5)
В ситуации, когда учет происходит за несколько лет до погашения,
формула (1.5) при использовании простой учетной ставки принимает вид
для двух лет: Р = TV- (1 - d) - TV- d = TV- (1 - 2d);
для трех лет: Р = TV • (1 — 2d) — TV • d = TV • (1 — 3d);
для n лет: P = TV • (1 — nd).
Так же как ставка наращения, учетная ставка может быть простой и
сложной. Случай простой учетной ставки рассмотрен выше. Если ис-
пользуется сложная ставка, то формула расчета первоначальной суммы
будет иметь вид
Р= TV- (1 - d)n. (1.5а)
Номинальная, периодическая и эффективная ставки. Номинальная про-
центная ставка — это исходная годовая ставка, которую назначает банк
для начисления процентов. В своей исходной (номинальной) величине
данная ставка может быть использована при начислении процентов один
раз в году. Если проценты начисляются более одного раза в году, то ус-
тановленная величина корректируется в зависимости от количества та-
ких начислений.
Термин “номинальная ставка” иногда используется также для обозначе-
ния процентной ставки, “не очищенной” от инфляции, в отличие от реаль-
ной — “очищенной” ставки (см. п. 1.4). В этом случае номинальная ставка
описывает совершенно другие процессы, нежели начисление процентов.
Равноправное хождение имеют обе трактовки номинальной ставки.
Поскольку во многих случаях проценты начисляются несколько раз в
году, годовая ставка должна быть соответствующим образом преобразо-
вана. Если проценты начисляются т раз в году, то для разового начис-
ления процентов используется так называемая периодическая ставка.
Иногда ее называют релятивной1. Период, за который начисляются про-
центы, называется конверсионным.
1 Кочович Е. Финансовая математика. М.: Финансы и статистика, 1994. С. TL
Периодическая процентная ставка (обозначим ее через ур) может быть
определена двумя способами.
1. Если известно количество начислений процентов в течение года, то
Ур = У/т, (1.6)
где у — номинальная процентная ставка; т — количество начислений
процентов в течение года.
2. Если известно количество дней, за которые начисляется процент, то
ур = у • г/К,
где z — количество дней, по истечении которых осуществляется разовое
начисление процента; К — принимаемое в расчет количество дней в го-
ду (К = 360 или 365 дней).
Предположим, что начисляются сложные проценты т раз в году. По
истечении первого периода, в течение которого начисляется процент,
наращенная сумма средств составит
TVml = Р 4- Р • у/т = Р(1 + у/т).
По окончании второго периода
ТУ„,2 = ^(1 + У/™) + /*(>+ У/т)у/т = Р(1+ у/да)2.
В целом за год
ТУ = Р(\ + у/т)т, (1.7)
где т — количество начислений процентов в течение года.
Если финансовая операция продолжается п лет, то формула (1.7) бу-
дет иметь вид
7Г= Р(1 + у/т)т".
Теперь необходимо определить, во сколько раз и на сколько процен-
тов увеличивается первоначальная сумма за год. Вычтя Р из обеих час-
тей выражения (1.7) и разделив остаток на Р, находим
TV-Р Р(1 + у/т)т - Р ,, L . ,
---р = —' р>--------------= (1 + У/т)т - 1.
Отсюда видно, на сколько увеличилась первоначальная сумма. Пере-
ведя этот результат в процентное исчисление, имеем
/э = 1(1 + у/т)т - 1] • 100, (1.8)
где величина /э — эффективная ставка.
12
Формула (1.8) показывает, на сколько процентов увеличилась перво-
начальная сумма.
Дискретная и непрерывная ставки. Дискретная процентная ставка —
это ставка, при которой процент начисляется за заранее установленные,
или определенные, периоды.
Если уменьшить период начисления процентов до бесконечно малой
величины (период, за который будут произведены начисления, стремит-
ся к нулю, а количество начислений процентов — к бесконечности), то
проценты будут начисляться непрерывно. В этом случае процентная
ставка называется непрерывной или силой роста.
Из курса математического анализа известно выражение:
lim (1 + \/п)п = е,
/7-*х
где е — число Эйлера, которое используется как основание натурально-
го логарифма (2,71828...), или lim (1 + a/ri)n = еа.
Обозначим годовую непрерывную ставку через q.
Применительно к случаю непрерывной ставки имеем
lim (1 + q/m)'n = eq.
Hi—*'*
Таким образом, для случая непрерывного начисления процентов на-
ращенная сумма за п лет определится формулой
7V= Реч". (1.9)
Эффективная ставка при непрерывном наращении рассчитывается
так:
/э = (еч - 1) • 100. (1.10)
На рис. 1.1 показан график начисления процента при дискретном и
непрерывном наращениях.
Сама непрерывная ставка может быть постоянной либо изменяющей-
ся. Причем ставка может также изменяться дискретно или непрерывно.
Например, установлено, что за первый год непрерывная ставка составля-
Рис. 1.1. Начисление процента: дискретное (а); непрерывное (б)
13
ет 2%, с начала второго года увеличивается на 1%, а с начала третьего
года еще на 1%. В этом случае коэффициент наращения за три года бу-
дет равен ео.О2ео.озео,О4 =i;02 • 1,03 • 1,041 = 1,093.
Но возможна ситуация, когда сама ставка изменяется непрерывно в
течение определенного периода на заданную величину. В этом случае для
расчета наращенной суммы используется формула
TV - Ре" ,
где qt — заданная функция изменения непрерывной ставки во времени.
Предположим, что ставка изменяется линейно и функция имеет вид qt =
= q^bt, где qQ — величина процентной ставки на начало периода, b —
изменение ставки за год, t — время. Для данного вида зависимости мо-
жем записать
" ... Ьп2
f(q0 + bt)dt - qon + —.
о 2
Предположим, что ставка на начало периода равна 6%, изменяется
линейно и непрерывно на 1% за год. Период наращения — 4 года. Най-
ти коэффициент наращения:
1.3. Дисконтирование
Дисконтирование — это процесс нахождения первоначальной суммы,
исходя из известной величины наращенной суммы. В более общем виде
математическое дисконтирование можно считать определением совре-
менной стоимости по известной величине будущей стоимости.
Формула дисконтирования по сложным процентным ставкам нараще-
ния имеет вид
ТУ
W +/)-". (1.11)
Формула дисконтирования по простым процентным ставкам следую-
щая:
Р = 7V(I +/«)->. (1.12)
Величина 7, которую мы ранее называли процентной ставкой, в про-
цедуре дисконтирования может быть названа ставкой дисконтирования
(нормой дисконта).
14
Множитель (1 + /)•" — это коэффициент (фактор) дисконтирования
по сложной ставке (дисконтный множитель); (1 + /и)-1 — это коэффи-
циент (фактор) дисконтирования по простой ставке.
Величина каждого из коэффициентов дисконтирования меньше еди-
ницы:
(1 + /)-" < 1 и (1 + in)-1 < 1.
ПРИМЕР. Дано: / = 20% (0,2). Найти дисконтный множитель (1 + i)~' при
t = 1, 2, 3, 4, 5.
Решение. Коэффициент дисконтирования: 1-й год: (1 + 0,2)*’ = 0,833; 2-й
год: (1 + 0.2)*2 = 0,694; 3-й год: (1 + 0,2)*3 = 0,578; 4-й год: (1 + О^)"4 = 0,448;
5-й год: (1 + 0,2)'5 = 0,402.
Можно выделить также банковское дисконтирование (банковский
учет или дисконтирование векселей). Этот вид дисконтирования рассмо-
трен выше при исследовании особенностей применения учетных ставок.
Данный вид дисконтирования иллюстрируется формулами (1.5 и 1.5а).
1.4. Учет инфляции при определении
реального процента
Инфляция — это обесценивание денег, проявляющееся в росте цен
(открытая инфляция). Темп инфляции — это темп прироста цен за дан-
ный период (будем далее обозначать его а).
Чтобы определить темп инфляции за период времени по данным о
значении этого показателя за более короткие промежутки рассматривае-
мого периода, необходимо:
I) перейти от приростного показателя за короткие промежутки к по-
казателю темпа роста цен (например, темп инфляции по кварталам:
а, = 40%, а2 = 30%, а3 = 20%, а4 = 50%; определим темп роста цен:
а, + 100% = 140%, а2 + 100% = 130%, а3 + 100% = 120%, а4 + 100% =
= 150%);
2) перейти от темпа роста в процентах к коэффициенту роста (К):
Ка = 140/100 = 1,4; Ка = 130/100 = 1,3; Ка = 120/100 = 1,2; Ка =
= 15О'/ЮО = 1,5; 2 3 4
3) перемножить коэффициенты за исследуемые периоды и тем самым
определить годовой темп роста цен: К„ = К, • К • К • К = 1,4 • 1,3 х
X 1.2 • 1,5 = 3,276;
4) для нахождения темпа инфляции в целом за год необходимо годо-
вой индекс цен умножить на 100 и из полученного произведения вычесть
100, т. е. 3,276 • 100 - 100 = 227,6% — годовой темп инфляции.
Сумма, получаемая вкладчиком (или кредитором) в условиях инфля-
ции, не позволяет увеличить количество приобретаемых на эту сумму
благ пропорционально номинальному росту первоначальной величины
15
средств. Для определения реальной покупательной способности нара-
щенной суммы необходимо привести ее к ценам базового периода. С
этой целью величина наращенной суммы делится на индекс цен. Полу-
ченную величину обозначим через 7ТЯ:
TVR = 71----wfi1 V' Л------; • (1 • 13)
Л (1 + а()(1 +а2)...(1 +ак)
Сумма реального дохода определится по формуле
Ir=TVr~P- (1-14)
ПРИМЕР. Р = 400 тыс. руб., TV = 600 тыс. руб., I = 200 тыс. руб. (Р —
первичная сумма, / — номинальный доход). Найти реальный доход при
темпе инфляции 227,6%.
Peiuenue.TVR = 600/3,276 = 183,3; IR = 183,3 - 400 = -216,6. С учетом ин-
фляции вкладчик не получил доход, а понес убыток.
Формула Фишера связывает три показателя: номинальную (“не очи-
щенную” от инфляции) процентную ставку, уровень инфляции и реаль-
ную процентную ставку:
(1 + Я) = (1 + r)( 1 + а), (1.15)
Я = г + а 4- га (116)
или
где а — темп (уровень) инфляции; г — реальная процентная ставка (до-
ходность финансовой операции); Я — номинальная процентная ставка.
В данном случае номинальная ставка — это процентная ставка, учи-
тывающая наличие инфляции.
ПРИМЕР. Годовой темп инфляции —20%. Банк рассчитывает получить
10% реального дохода в результате предоставления кредитных ресурсов.
Какова номинальная ставка, по которой банк предоставит кредит?
Решение. (1 4- Я) = (1 + 0,1)(1 + 0,2), откуда Я = 0,32.
Таким образом, номинальная ставка по кредиту составит 32%.
1.5. Временная база начисления процентов
Применение той или иной формулы начисления процентов предпола-
гает учет в ней длительности временного периода, характеризующего
продолжительность финансовой операции. Поскольку процентная став-
16
ка устанавливается для годового начисления процентов, временной пе-
риод необходимо привести к годовому измерению. В этом случае форму-
ла (1.3) трансформируется следующим образом:
ТИ„ = Р(1+4 • 0, (1.17)
где t — длительность финансовой операции; К — временная база (при-
нимаемая в расчет продолжительность года).
Величина процента в рассматриваемом варианте может быть рассчи-
тана по формуле
, Р • t • i
(1|8)
Существуют различные методы измерения временной базы1. В общем
можно сказать, что могут начисляться точные и простые проценты, а
также учитываться точное и приблизительное время продолжительности
финансовой операции. Более конкретно это приводит к появлению сле-
дующих вариантов.
1. Продолжительность года условно принимается равной 360 дням
(обыкновенные проценты), длительность месяца — 30 дням ( приблизи-
тельная длительность финансовой операции).
2. Продолжительность года принимается равной, как и в предыдущем
случае, 360 дням, но учитывается точное число дней операции, например
ссуды.
3. Продолжительность года равна 365 или 366 дням (точные процен-
ты), учитывается точное количество дней ссуды. До недавнего времени в
российской практике использовался учет приблизительного числа дней
ссуды (продолжительность месяца принимается равной 30 дням и дли-
тельность года — 360 дням). Первый и последний дни выдачи ссуды при-
нимаются за один день (они сначала учитываются в расчетах как полные
дни. а затем из общего количества дней, включая названные, вычитает-
ся единица). Например, ссуда в сумме 100 млн руб. выдана на период с
25.02 по 10.05 по простой ставке 40% годовых. Продолжительность этой
финансовой операции будет: февраль — 6 дней (учитывая день выдачи
ссуды); март — 30 дней; апрель — 30 дней; май — 10 дней (учитывая день
возврата ссуды). Итого: 76 — 1 = 75 дней. Это же количество дней мож-
но получить, применяя и другой метод расчета2.
Сначала рассчитаем количество дней с 25.02 по 25.05., предполагая по
30 дней в каждом месяце. Получаем 90 дней. Затем вычитаем лишние 15
дней (с 11.05 по 25.05). Имеем тот же результат: 90 — 15 = 75 дней,
TV= 100(1 + 0,4 • 75/360) = 108,3 млн руб.
1 Cissel R., Cissel Н., Flaspohler D.C. Mathematics of Finance. Dallas, 1978. P. 22—23; Че-
тыркин E.M. Методы финансовых и коммерческих расчетов. С. 16—17.
2 Cissel R...Cissel Н., Flaspohler D.C. Mathematics of Finance. P. 23.
17
1.6. Процентное число и процентный ключ
На практике для вычисления процентов часто определяют процентное
число и процентный ключ (дивизор).
Если в формуле (1.18) ставку / измерять в процентах, то
Pti
юо • к’
Процентным числом назовем величину
Р - t / 100, (1.19)
а процентным ключом —
K/i. (1.20)
С учетом формул (1.19) и (1.20) процент может быть рассчитан так:
_ Процентное число
Процентный ключ ’ (1-21)
ПРИМЕР. Сумма 200 млн руб. положена в банк на сберегательный счет
по простой ставке 15% годовых. Через 40 дней на этот счет добавлено 100
млн руб. Через 90 дней со счета снято 160 млн руб. Еще через 90 дней
вклад был закрыт. Определить сумму процента, полученную вкладчиком.
Решение. Сумма процентных чисел равна (200 • 40 + 300 • 90 + 140 х
х 90)/100 = = 476. Процентный ключ равен 360/15 = 24. Величина про-
цента / = 476/24 = 19,8 млн руб.
Правило 72. Для того чтобы узнать, за какой период имеющаяся на депо-
зите сумма возрастет в 2 раза, используется так называемое правило-72.
Смысл его заключается в том, что приблизительное время удвоения перво-
начальной суммы определяется делением числа 72 на величину сложной про-
центной ставки. Например, если сложная ставка равна 24%, то период, за
который удвоится начальное вложение, будет 72/24 = 3 года.
1.7. Задачи и решения
1. В банк на депозит на 3 года по простой ставке 20% годовых поло-
жены 10 000 руб. Найти величину процента, полученного вкладчиком за
этот период.
Решение. TV = Р(\ + ni) = 10 000(1 + 3 • 0,2) = 16 000; /= TV- Р =
= 16 000 - 10 000 = 6000 руб.
2. Найти период времени л, за который сумма, положенная на депозит
по простой ставке 40% годовых, возрастет в 6 раз; i = 40%, TV / Р = 6.
18
Решение. TV= Р(\ + ni); TV/P= (1 + ni); ТУ/Р- 1 = ni; n = (TV/P-
~ DA
По условию задачи наращенная сумма превышает первоначальную в
6 раз, т.е. TV/Р — 6. Следовательно, п = (6 — 1 )/0,4 = 12,5 года.
3. Условия данной задачи аналогичны условиям задачи 2, но расчеты
производятся по сложной ставке.
Решение. TV/Р = (1 + /)". Чтобы определить п, необходимо пролога-
рифмировать обе части уравнения: \п(ТУ/Р) = 1п(1 + /)", откуда п =
= \n(TV/P) / ln(l + /). Таким образом, п = = *’/Л =
=5,3 года. lnd + °’4) °’336
Сравнивая с предыдущей задачей, видим, что срок, необходимый для
возрастания вклада в 6 раз в случае сложных процентов, уменьшился бо-
лее чем в 2 раза.
4. В банк положены на срочный сберегательный счет 1000 руб. на 2
года по простой ставке 10% годовых с дальнейшей пролонгацией на по-
следующие 3 года по простой ставке 5% годовых. Найти наращенную
сумму по истечении 5 лет.
Решение. В данном случае мы имеем дело по сути с плавающей про-
центной ставкой. Для расчетов может быть использована формула: TV =
= Р(\ + п^+п^) = 1000(1 + 2 • 0,1 + 3 • 0,05) = 1350 руб.
5. Условия те же, что и в задаче 4, но вклад изымается через 2 года и
кладется на новый счет.
Решение. В такой ситуации имеет место повторное вложение средств,
или реинвестирование. Пусть ТУХ — сумма, наращенная после первого
вложения, ТУ2 — наращенная в результате второго вложения; ТУ2 —
= TV\(\ + л2/2) = 1200(1 + 3 • 0,05) = 1380 руб.
Как видно из сравнения результатов задач 4 и 5, для случая простой
процентной ставки, вариант реинвестирования является более предпоч-
тительным.
6. Условия те же. что в задаче 5, но применяется сложная процентная
ставка.
Решение. Плавающая ставка: TV = Р(1 + Z|)"i(l + /2)"2 = Ю00(1 +
+ 0,1 )2(1 + 0,05)3 = 1401 руб. Реинвестирование: ТУ2 = 7У| (1 + <2)”2 =
= 1210(1 + 0.05)3 = 1401 руб.
При использовании сложной ставки процента наращенная сумма для
варианта плавающей ставки равна аналогичной величине для варианта
реинвестирования.
7. В банк положена сумма 50 млн руб. сроком на 1 год по годовой
ставке 60% годовых. Найти наращенную сумму, величину полученного
процента и эффективную ставку для следующих вариантов начисления
процентов: а) ежемесячного; б) ежеквартального; в) полугодового.
19
Решение. При многоразовом начислении процентов в течение года на-
ращенная сумма определяется по формуле (1.7), величина процента — по
формуле (1.1), эффективная ставка — по формуле (1.8). Имеем:
a) ТУ = 50(1 + 0,6/12)12 = 50 • 1,79 = 89,5 млн руб.; 1 = 89,5 - 50 =
= 39,5 млн руб.;
/э = [(1+ 0,6/12)12 - 1] • 100 = 79%;
по величине эффективной ставки можем сделать вывод о том, что
фактически первоначальная сумма возросла на 79%;
б) ТУ = 50(1 + 0,6/4)4 = 50 • 1,749 = 87,45 млн руб.; / = 87,45 - 50 =
= 37,45 млн руб.; /э = [(1 + 0,6/4)4 - 1] • 100 = 74,9%;
в) ТУ = 50(1 + 0,6/2)2 = 50 • 1,69 = 84,5 млн руб.; 1 = 34,5 млн руб.;
/э = |(1 + 0,6/2)2 - 1] • 100 = 69%.
Можно сделать вывод, что с уменьшением длительности периода на-
числения процентов внутри года (с увеличением числа раз начисления
процентов) годовая наращенная сумма, величина процента и эффектив-
ная ставка возрастают.
8. В случае непрерывного наращения процентов показатели, опреде-
ленные в задаче 7, будут рассчитаны по формулам (1.9), (1.1), (1.10).
Решение. ТУ = 50 • е0-6 = 50 • 1,82 = 91,1 млн руб.; I = 91,1 — 50 =
= 41,1 млн руб.; /э = (е0-6 - 1) • 100 = 82%.
Сравнение результатов задач 7 и 8 показывает, что наибольшая вели-
чина наращенной суммы, процента и эффективной ставки соответствует
непрерывному наращению.
9. Эффективная ставка при полугодовом начислении процентов со-
ставила 44%. Найти годовую номинальную процентную ставку (у).
Решение. Из формулы эффективной ставки (1.8) следует, что у =
= ("V1 + z3 -1) /и Ю0, т.е. у -(д/1 +0,44-1J-2100- 40%.
10. На депозит положены 100 млн руб. по простой ставке 30% годо-
вых на 4 месяца. Найти сумму, которую получит вкладчик по истечении
указанного периода.
Решение. ТУ= Р(1 + in) = 100(1 + 0,3 • 4/12) = НО млн руб.
11. Вклад 10 млн руб. сделан 1 марта, 5 июля вклад изъят. Проценты
начисляются по простой ставке 20% годовых. Найти сумму, полученную
вкладчиком, исходя из практики: а) английской; б) французской; в) гер-
манской.
Решение. Общая формула расчета наращенной суммы ТУ= Р(1 + — х
х /). Таким образом, имеем:
а) / = 31 + 30 + 31 + 30 + 5 — 1 = 126 дней; ТУ= 10(1 + ' 0,2) =
Зоэ
= 10,69 млн руб.;
б) ТУ= 10(1 + • 0,2) = 10,7 млн руб.;
360
20
в) t = 30 + 30 + 30 + 30 + 5 - 1 = 124 дня; TV= 10(1 + 0,2) =
= 10,688 млн руб.
12. Вексель стоимостью 100 млн руб. учтен банком за 2 года до пога-
шения по сложной ставке 30% годовых. Какую сумму получит векселе-
держатель при использовании в расчетах сложной учетной ставки?
Решение. Р = TV(\ — d)n — сложная учетная ставка; Р = 100(1 — О,3)2 =
= 49 млн руб.
13. В банк положено 100 000 руб. по номинальной ставке 12% годо-
вых с ежемесячным начислением процентов. Сумма положена на 3 ме-
сяца. Найти сумму, уплаченную вкладчику по истечении срока договора.
Решение. TV = Р(1 + у/т)т’,
где т' — длительность периода, за который происходит начисление про-
центов; TV= 100 000(1 + 0,12/12)3 = 103 000 руб.
Глава 2
КОНВЕРСИОННЫЕ ОПЕРАЦИИ
2.1. Методы расчета параметров конверсии
Конверсионные операции (конверсия платежей) — это замена одних
финансовых обязательств другими. Основным принципом конверсии
платежей является принцип финансовой эквивалентности*. Он заключа-
ется в неизменности финансовых взаимоотношений сторон в случае за-
мены финансовых обязательств. Иными словами, при замене обяза-
тельств и соблюдении при этом принципа финансовой эквивалентности
ни один из участников сделки не должен получить дополнительной вы-
годы (или потерпеть ущерб).
Конверсия платежей производится в случаях изменения сроков плате-
жей, объединения платежей, замены первоначальной серии платежей на
другую серию по суммам и срокам и т.д. При проведении расчетов кон-
версии возможны различные варианты, например, определение:
суммы заменяющего платежа при известном сроке замены;
срока заменяющего платежа при известной его сумме;
того, являются ли платежи эквивалентными при известных суммах и
сроках;
критического уровня процентной ставки. 1
1 См.: Четыркин Е.М. Указ. соч. С. 67.
21
Определение суммы заменяющего платежа. Предположим, что в буду-
щем необходимо осуществить ряд платежей. Размеры этих платежей бу-
дем обозначать через FV {future value - будущая стоимость).
Определение суммы заменяющего платежа (FV2) осуществляется при
известных сумме первоначального (заменямого) платежа (/•’И1), сроках
заменяемого и заменяющего платежей (л, и п2 ) и заданной (используе-
мой в расчетах) величине процентной ставки (/).
Расчет величины FV2 возможен при соблюдении равенства современ-
ных стоимостей заменяемой и заменяющей сумм, что необходимо для
соблюдения принципа финансовой эквивалентности.
Современная стоимость (обозначим ее через PV — present value) буду-
щего платежа (будущей стоимости) соответствует денежной сумме, кото-
рую в настоящее время следует вложить в сферу финансовых операций,
с тем чтобы через период времени п получить при средней доходности
вложения в размере 1 величину будущего платежа FV.
Современная стоимость платежа FVX (обозначим ее через PV{):
PV, = FF,(l + /«!>-'. (2.1)
Аналогичный показатель для платежа FV2.
PV2 = 7%(1 + /л2)-'.
Приравняв величины PV\ и РИ2, получим уравнение эквивалентности
(уравнение стоимости для простой процентной ставки):
ГИ,(1 + //jj)-1 = FK2(1 + in2)-', (2.2)
откуда
£И2 = FKjd + + in2). (2.3)
Предположим, что платеж 200 млн руб. со сроком уплаты через два
месяца заменяется платежом со сроком уплаты через четыре месяца. Оп-
ределим сумму второго платежа при использовании простой ставки 40%
годовых:
£Г2 = 200(1 + 0,4 • 2/12)-!( 1 + 0,4 • 4/12) = 215,6 млн руб.
Если использовать метод сложных процентов, то формула для нахож-
дения размера заменяющего платежа (условие эквивалентности) будет
иметь вид:
£И,(1 + /)-'Ч = FK2(1 + z)“"2, (2.4)
откуда
= FV{d + + /)"2. (2.5)
22
Можно отметить, что для построения уравнения эквивалентности в
общем виде необходимо все элементы заменяемого и заменяющего де-
нежных потоков привести к единой временной точке проведения (focal
date'). Причем платежи, находящиеся на временной оси раньше точки
приведения, необходимо наращивать, а те из них, которые должны осу-
ществляться позже даты приведения, - дисконтировать за соответствую-
щий период.
Определение срока заменяющего платежа. Если необходимо определить
срок заменяющего платежа, когда известна его величина, то берем в ка-
честве исходных рассмотренные выше условия эквивалентности (2.2),
(2.4). Следовательно, имеем:
FVf\ + / • и,) - FK,
"2 " FV} • z
для простой процентной ставки;
«2
"1(1 +
FVX и
1п(1 + I)
(2.6)
(2.7)
для сложной процентной ставки.
Например, платеж 40 млн руб. с уплатой через три месяца заменяет-
ся на платеж 50 млн руб. Определим срок второго платежа, если в рас-
четах используется простая ставка 40% годовых:
50| 1 +0,4 •—1 -40
l2J
л, = ------——— -------- - 0,94 года, или 11,25 месяца.
40-0,4
Определение эквивалентности платежей. В ряде случаев необходимо
понять, является ли правомерной с точки зрения сохранения финансо-
вых взаимоотношений сторон та или иная замена обязательств. Напри-
мер, обязательство уплатить 100 млн руб. через месяц предполагается за-
менить платежом в сумме 110 млн руб. через два месяца. Являются ли
два указанных платежа эквивалентными? Не получится ли так, что в вы-
игрыше окажется получатель платежа или, напротив, плательщик? Для
ответа на эти вопросы необходимо рассчитать современные стоимости
сравниваемых платежей.
Если они окажутся равными, то платежи эквивалентны; если большей
будет современная стоимость первого платежа, то в выигрыше от такой
замены окажется сторона, осуществляющая выплату денежной суммы, и
наоборот, если большим будет заменяющий платеж. 1
1 Cissel R., Cissel Н., Flaspohler D.C. Mathematics of Finance. P. 32.
23
Предположим, что в приведенном примере используется простая
ставка 20% годовых. Тогда РИ, = —--------— — 99,67 млн руб., PV2 =
,4 млн руб.
Сопоставляя современные стоимости, видим, что рассматриваемая
конверсия выгодна получателю платежа.
Критический уровень процентной ставки. Предположим, что имеется
финансовое обязательство выплатить 200 тыс. руб. (FVX) через 3 месяца
(я,), которое впоследствии заменяется на другое обязательство — выпла-
ту 250 тыс. руб. (ГИ2) через 6 месяцев (л2). Как видно из условия, фик-
сированными величинами являются размеры и сроки платежей.
Возникает вопрос: могут ли два указанных платежа быть эквивалент-
ными? Если могут, то при каких условиях? Условием эквивалентности в
данном случае является определенный уровень процентной ставки, учи-
тываемой в расчетах. Уровень процентной ставки, при котором платежи
являются эквивалентными, называется критическим или барьерным1.
Нахождение критической ставки основывается на приведенных выше
уравнениях эквивалентности, в которых неизвестной величиной являет-
ся процентная ставка. Рассмотрим это уравнение для случаев простой и
сложной ставок.
Простая процентная ставка. Исходное уравнение эквивалентности
может быть записано на основе равенства современных стоимостей двух
платежей:
/Т((1 + />!>-' = ГИ2(1 + /дл2)-';
FKjU + ibn2) = ГИ2(1 + ibnx);
FV{- FV2= ib{FV2nx- FVxn2Y,
ib = (FK, - FV2)/(FV2 • л, - • n2). (2.8)
Разделив числитель и знаменатель правой части равенства (2.8) на
(-ГИ2), получим:
b FVx/FV2 -п2-П{ (2У)
Для рассматриваемого примера имеем:
1 - 200/250
‘ь = 200/250 • 6/12 - 3/12 = 1’333’ или 133,3%-
При такой ставке данные обязательства будут эквивалентными.
1 См.: Четыркин Е.М. Указ. соч. С. 68.
24
Сложная процентная ставка. Для сложных процентов уравнение экви-
валентности запишется в виде:
/V, FVy
(1 + /Л)«1 (1 + /й)«2 •
Проведем несложные алгебраические преобразования:
FVX (1 + ibyi = ГИ2(1 + ibyv,
(1 + ibyi/(\ + /6)"i = FV2/FVl = (1 +
(2.10)
ПРИМЕР. Сравниваются два платежа: 1) 4 тыс. руб. с выплатой через
3 года; 2) 6 тыс. руб. с выплатой через 4 года.
Если в расчетах учитывается ставка 50% годовых, то рассматриваемая за-
мена платежей не нарушает принципа их эквивалентности.
Каким образом отклонение фактически действующей ставки от кри-
тической влияет на предпочтительность конверсии платежей для получа-
теля или плательщика?
Если
(2.11)
то осуществляется неэквививалентная замена, которая ставит в выгод-
ное положение плательщика денежной суммы. Это вытекает из того, что
в данном случае PV\ > PV2.
В случае, когда
(2.12)
ситуация иная: преимущества имеет получатель. Такое положение яв-
ляется следствием того, что РИ, < PV2.
Приведенные соотношения можно изобразить графически1 (см.
рис. 2.1).
1 См.: Четыркин Е.М. Указ. соч. С. 68.
25
Рис. 2.1
Обратимся к данным приведенного выше примера. Если уровень про-
центной ставки ниже критического уровня, то современная стоимость
первого платежа будет меньше второго. Например, в расчетах использу-
ется ставка в размере 20% годовых. Современные стоимости платежей
будут:
PVt = 4 • (1 + 0,2)’3 = 2,3 тыс. руб.;
РУ2 = 6 • (1 + 0,2)-4 = 2,89 тыс. руб.
Таким образом. PV\ < PV2.
Если использовать в расчетах ставку 60%, то, напротив, современная
стоимость второго платежа окажется меньшей:
РУХ — 4 • (1 + 0,6)~3 = 0,98 тыс. руб.;
РУ2 = 6 • (1 + 0,6)-4 = 0,91 тыс. руб.
2.2. Консолидация платежей
Консолидация платежей — это объединение нескольких платежей в
один. Консолидацию можно считать частным случаем конверсии. Сумма
заменяемых платежей должна быть эквивалентна одному заменяющему
платежу.
Пусть мы имеем серию платежей в размерах FV\, FV2, FV3, ..., FVm с
соответствующими сроками л,, л,, л3, ..., лт. Заменяем эту серию плате-
жей на один платеж в размере FV0 со сроком уплаты л0. Величина FV0
неизвестна, но мы знаем срок консолидированного платежа — л0. Для
определения размера консолидированного платежа рассмотрим два вари-
анта.
1. Срок л0 находится внутри ряда л,, л2, л3, ..., лт, т.е. л,< л0< пт. Про-
нумеруем платежи в интервале л, + л0 по j (FVj, л), а в интервале л0 + пт
по к (FVk, пк). Тогда разница в сроках определится так1: = л0 — лу.; tk =
= пк - л0.
1 См.: Четыркин Е.М. Указ. соч. С. 70.
26
Далее необходимо привести все платежи к единой временной точке.
Возьмем в качестве такой точки время уплаты консолидированного пла-
тежа. В этом случае сумму FV^ можем определить по формуле
^о = + о + + г,-(2.13)
Первое слагаемое правой части характеризует процессы наращения
размеров платежей первоначальной серии, сроки уплаты которых долж-
ны были наступить раньше срока консолидированного платежа. Второе
слагаемое, напротив, выражает процессы дисконтирования размеров
платежей, сроки которых наступают позже срока консолидированного
платежа.
2. Для срока л0 верно: л0 > пт.
В этом случае консолидированный платеж производится позже пос-
леднего платежа первоначальной серии, поэтому в расчете присутствует
лишь одна операция наращения:
FV^^FVjiX + tj-i). (2.14)
ПРИМЕР. Два платежа со сроками уплаты через 100 и 150 дней и сумма-
ми 3 и 5 млн руб. соответственно заменяются одним со сроком 130 дней.
Процентная ставка (простая) равна 30%. Найти FVQ.
Решение. FVQ = 3[ 1 + (30/360) • 0,3] + 5[1 + (20/360) • ОД]-1 = 7,8 млн руб.
Это меньше, чем их суммарная величина, так как консолидированный
платеж осуществляется раньше окончательного срока первоначальной се-
рии платежей.
ПРИМЕР. Платежи 2 млн и 5 млн руб. со сроками уплаты через 120 и 130
дней соответственно объединяются в один — через 150 дней. Процентная
ставка — 30%. Найти консолидированную сумму.
Решение. FV^ = 2[ 1 + (150 - 120) : 360 • 0,3] + 5[1 + (150 - 130) : 360 • 0,3] =
= 7,13 млн руб.
Сложные процентные ставки. При сохранении обозначений, введен-
ных для простой ставки, имеем следующее уравнение эквивалентности:
FV{} = ^FV.(\ + i)'j' + ^FVk{\ + /)"'*. (2.15)
ПРИМЕР, Платежи 1 млн и 2 млн руб. со сроками уплаты через 1 и 2 го-
да соответственно заменяются одним платежом со сроком уплаты через 1,5
года. Сложная ставка процента — 20%. Найти FK0.
Решение. FV{} = 1(1 + О,2)0 5 + 2(1 + 0,2)~°’5 = 2,92 млн руб.
Определение срока консолидированного платежа. Если сумма консоли-
дированного платежа FV{) задана, возникает задача определения его сро-
ка. Уравнение эквивалентности записывается в виде равенства современ-
ных стоимостей, участвующих в расчетах платежей:
27
/%(1 = +л/'0_|- (2.16)
Проведя алгебраические преобразования, получим:
1( ?
W°'7^^.(l + Wy•/)-*' J’
(2.17)
ПРИМЕР. Суммы в размерах 5, 10, 15 млн руб. должны быть выплачены
соответственно через 40, 90 и 100 дней. Принято решение заменить их од-
ним платежом 50 млн руб. Найти срок консолидированного платежа, если
используемая в расчетах процентная ставка 20%.
40 90
Решение. YfV, (1 + п, • Z)-1 = 5(1 + • 0,2)“' + 10 (1 + • 0,2)"* +
7 J 365 365
+ 15(1 + 4^- • 0,2 )-' = 28,21 млн руб.;
Зоэ
1 ( 50 .1 ,0,
"i,= Т3'86года-
Сложная процентная ставка. Если в расчетах используется сложная
процентная ставка, то уравнение эквивалентности имеет вид:
/%( I + /)-«о = £ FVj{ 1 + /•)“'!/. (2.18)
Проведя алгебраические преобразования, получим:
”«=----------йт^о------------ <2J9)
ПРИМЕР. Платежи 2 млн и 3 млн руб. со сроками уплаты через 2 и 3 го-
да соответственно объединяются в один — 4 млн руб. Найти срок консо-
лидированного платежа (л0), если / = 30%.
Решение. + iY"j =2(1 + 0,3 )-2 + 3 (1 + 0,3)"3 = 2,25;
1п(4/2.25) _ 0,4498
1п1,3 0,2623
1,714 года.
2.3. Эквивалентность процентных ставок
В условиях, когда имеются различные варианты размещения финан-
совых ресурсов, важно соблюсти описанный выше принцип эквивалент-
ности. Например, вкладчик рассматривает возможности размещения од-
ной и той же суммы на депозите в одном случае по простой ставке, в
другом — по сложной. Предположим, перед ним стоит задача получить
одинаковые финансовые результаты от упомянутых альтернатив. Какие
процентные ставки при этом следует использовать? Или допустим, что
банк хочет определить эффективность учетной операции, для чего ему
необходимо перейти от учетной ставки к ставке наращения. Могут быть
28
поставлены и другие задачи, требующие перехода от одного вида про-
центных ставок к другому при соблюдении равенства финансовых ре-
зультатов.
Различные процентные ставки, обеспечивающие равные финансовые
результаты, называются эквивалентными.
Эквивалентность простых ставки наращения^) и учетной ставки (ds).
Исходное уравнение эквивалентности в данном случае имеет вид:
Л1 + . 1 ~ ds • п Осуществив простые преобразования, получаем: (2.20)
ds ‘5 1 — ds • п’ (2.21)
ds = '* . 1 + 4' п (2.22)
Если период осуществления финансовой операции меньше года, то
п = //К (J — продолжительность финансовой операции, К — временная
база, или расчетная продолжительность года). Формулы (2.21) и (2.22)
соответствующим образом модифицируются (для случая равенства вре-
менных баз):
К- <1
's ~ K-t-ds ’
5 * + ' • 4
(2.23)
(2.24)
ПРИМЕР. Банк осуществляет учет векселей по простой учетной ставке
20% годовых. Вексель учитывается за 30 дней до погашения. Какой вели-
чине простой ставки наращения эквивалентна данная учетная ставка?
Решение. is = 360 • 0,2/(360 - 30 • 0,2) = 0,203. Учетная ставка 20% эквива-
лентна при данных условиях ставке наращения 20,3%.
Эквивалентность простых и сложных ставок наращения при начислении
процентов один раз в году. Уравнение эквивалентности запишется так:
Р(\ + isri) = Р(1 + ic)\ (2.25)
где is — простая ставка наращения; ic — сложная ставка наращения, т. е.
4 = (1 + У' ~ 1 , (2.26)
'^(Г7/$-я)-!. (2.27)
29
ПРИМЕР. Простая ставка — 50%. Найти эквивалентную сложную ставку
для двухлетнего периода.
Решение. + 2 • 0,5 - 1 =0,414.
ПРИМЕР. Сложная ставка — 60%. Период времени — 3 года. Найти эк-
вивалентную простую процентную ставку.
Решение. is = [(1 + 0,6)3 - 1 ]/3 = 1,032, или 103,2%.
Эквивалентность сложной номинальной ставки при начислении процен-
тов т раз в году и простой ставки:
1+ isn = (1 + у/т)тп,
. _ (1 + у/т}т" - 1
's п
y=('^\+is-n-iym. (2.29)
Эквивалентность сложной номинальной ставки при начислении процен-
тов т раз в году и годовой сложной ставки:
(1 + 4)" = (1 + у/т)тп, (2.30)
ic = (1 + у/т)т ~ 1. (2.31)
Как видно, формула (2.31) совпадает с формулой (1.8) расчета эффек-
тивной ставки.
Эквивалентность сложных учетной ставки и ставки наращения:
(1 + icY = 1/(1 - dc)",
ie = dc/(\ - dc\ (2.32)
dc = ic/(\+icY (2.33)
где dc — сложная учетная ставка.
Эквивалентность дискретных и непрерывных ставок. С учетом форму-
лы (1.10) определения наращенной суммы при непрерывном начислении
процентов уравнение эквивалентности запишется в виде: Р(1 + /с)л =
= Ре"«' отсюда ic = е^ — 1; q = 1п(1 4- /Д
Средние процентные ставки. Разновидностью эквивалентных ставок
являются средние ставки. Средняя ставка является эквивалентной се-
рии ставок, для которых определяется эта средняя, т.е. замена несколь-
ких ставок их средней не меняет результата финансовой операции.
Среди множества различных вариантов возможны следующие сравни-
тельно простые случаи постановки проблемы определения средних
ставок.
30
1. Нахождение средней процентной ставки за период, состоящий из
подпериодов с известными размерами ставок за каждый подпериод.
1.1. Для простой ставки уравнение эквивалентности запишется: Р(1 +
+ W • 7) = Р(1 + Ъпк ik),
где N = 2tik, пк — длительность к-го периода времени, в течение которо-
го действует процентная ставка ik, 1 — средняя процентная ставка:
^пк '*
7 =--—(2.34)
N
ПРИМЕР. Договор предусматривает использование в течение первых
3 месяцев простой ставки на уровне 15%, следующих четырех месяцев —
на уровне 20% и последующих пяти месяцев — на уровне 25%. Найти
среднюю ставку в целом за рассматриваемый период.
Решение, Используем формулу (2.34):
3 • 0,15 + 4 • 0,2 + 0,25 • 5
Г2
= 0,208, или 20,8%.
1.2. Для сложной ставки уравнение эквивалентности имеет вид:
Р{\ + /)Л'= Р(\ + /^(l + i2)n2...,
i = ^'(Г7/|)"|(1 + /2)"* 2...-1. (2.35)
ПРИМЕР. Используются сложные ставки процента: в первые два года —
20%, в следующие три года — 25, в последующие четыре года — 30%. Най-
ти среднюю ставку в целом за рассматриваемый период.
Решение, i = ^/(1 +0,2)2 •(! +0,25)3 •(! + 0,З)4 -1 = 0,26, или 26%.
2. Определение средней ставки для нескольких операций, периоды
проведения которых одинаковы. Рассмотрим уравнения эквивалентно-
сти:
а) для простых процентных
(2Р*)(1 + п
ставок
_ ‘ ‘к
ърк ;
п '*)],
(2.36)
б) для сложных процентов
(2Р*)(1 + 7)" = 2Р*(1 + /•*)",
31
2.4. Задачи и решения
1. Платеж 5000 руб. с выплатой через 4 года заменяется на платеж
6000 руб. с выплатой через 5 лет.
1.1. Найти критические уровни простой и сложной процентных ста-
вок.
1 - 5000/6000
Решение. ih=------------------— 1, или 100% — простая ставка;
* 5000/6000 -5 -4
. 1б000 , п
ih = 3 а----- — 1 = 0,2, или 20% — сложная ставка.
b N 5000
Чтобы убедиться в правильности расчетов, можно сделать проверку:
5000(1 + 0,2)-4 = 6000(1 + 0,2)"5 = 2411 руб. — для сложной ставки;
5000(1 + 4 • 1)_| = 6000(1 + 5 • I)"1 - 1000 руб. — для простой ставки.
1.2. Как изменятся финансовые отношения сторон, если в расчетах
используется ставка 30% годовых?
Решение. Простая ставка:
PVi = №\/<Л + "9 = 5000/(1 + 0,3 • 4) = 2273 руб.;
PV2 = ГК2/(1 + in2) = 6000/(1 + 0,3 • 5) = 2400 руб.
Для получателя второй платеж предпочтительнее.
Сложная ставка:
РИ] = ГГ((1 + /)-"i; PV, = /%(1 + i)“"2; .
PV}= 1750,6 руб.; PV2 = 1650,0 руб.
В этом случае имеет место обратная ситуация — получателю более вы-
годен первый платеж.
2. По начальному соглашению было сформировано обязательство уп-
латить 100 млн руб. через 5 лет. Затем стороны решили изменить усло-
вия: через 2 года должна быть выплачена сумма 30 млн руб., а следую-
щий платеж должен быть сделан через 4 года после первой выплаты. Оп-
ределить сумму окончательного платежа в случае использования слож-
ной ставки 10% годовых.
Решение. Для составления уравнения эквивалентности приведем все
платежи к одному сроку — сроку уплаты начального платежа, т. е. к кон-
цу пятого года. Обозначим неизвестную сумму последнего платежа через
ГК Тогда:
100 = 30(1 + 0,1 )3 + ГИ(1 + 0,1)-';
FV(\ + 0,1)-' = 100 - 39,93;
FV = 60,07(1 + 0,1) = 66,077 млн руб.
3. Имеется обязательство выплатить 10 млн руб. через 4 месяца и
7 млн руб. через 8 месяцев. По новому обязательству принято решение
32
произвести выплату равными суммами через 3 и 9 месяцев при простой
ставке 10% годовых. Найти величину выплат по новому обязательству.
Решение. PV{
р^
+ PV2 = FV 1 + 0,1 ~
+ PV2 = FV • 0,975 + FK • 0,930;
( 4 '
= 10 1+0.1--
П-' Цн,. А'
= 9,68;
РГ2
= 7 1+0,1-
PV'+ PV2 = 16,24;
FK(0,975 + 0,93) = 16,24;
'7г=4ж=8’52'
4. Соглашение уплатить 20 млн руб. через 3 года было конверсирова-
но в новое соглашение: уплатить 10 млн руб. через 2 года, а оставшуюся
сумму — через последующие после первого платежа 3 года. Каков пос-
ледний платеж, если в расчетах использовалась сложная ставка 10%?
Решение. Если в расчетах используется сложная процентная ставка, то
можно приводить стоимости к любой временной точке и получить при
этом один и тот же результат. Приведем все платежи к третьему году:
20 = 10(1 + 0,1) + FV(i + 0,1)"2 = 10 • 1,1 + FK(1/1,21) = 10,98; FY= (20 -
- 11 )/0,826 = 10,9 млн руб.
Если осуществить приведение к так называемой нулевой точке (на на-
чало первого года), то уравнение эквивалентности будет иметь вид:
20(1+0,1)-3= 10(1 + 0,1)-2 + FV(i + 0,1)"5.
Приведем все платежи к последней точке (к пятому году): 20 (1 + 0,1)2 =
= 10(1 + 0,1 )3 + ЛТ], откуда FV= 10,9 млн руб.
Вывод: к какой бы точке мы ни приводили данные платежи, резуль-
тат не меняется.
5. Суммы 5 млн и 10 млн руб. положены на 2 года на депозит, при-
чем первая — по ставке 10% годовых, а вторая — 20% годовых. По ка-
кой ставке можно было бы положить эту сумму на указанный срок, что-
бы получить тот же финансовый результат?
Решение. Используем в расчетах формулу (2.37):
т /5(1 +0,1)2 +10(1+0,2)2 , „,,о .,от
I = А -1 =0,168, или 16,8%.
V 10 + 5
33
Глава 3
ФИНАНСОВЫЕ ПОТОКИ
3. 1. Общие сведения
Финансовый поток (поток платежей, денежный поток) — это распре-
деленная во времени последовательность оттоков и притоков денежных
средств. Отдельный платеж (приток или отток) является членом, или
элементом, потока платежей.
Элемент денежного потока, характеризующий отток средств, в ряде
случаев показывается с отрицательным знаком, а элемент, отражающий
приток средств, — с положительным.
Поток платежей, в котором выплаты осуществляются через установ-
ленные равные интервалы времени, все элементы которого равны, назы-
вается аннуитетом или постоянной финансовой рентой. Величина отдель-
ного платежа называется элементом ренты или периодической рентой
(periodic rent)'.
3. 2. Виды финансовых рент
Ренты можно классифицировать по следующим признакам1 2:
I) по количеству выплат в течение года:
годовые — ренты, в которых платежи осуществляются один раз в
году;
Zc-срочные — ренты, в которых платежи осуществляются к раз в го-
ду;
непрерывные — ренты, в которых платежи осуществляются непре-
рывно, т.е. количество платежей в течение года стремится к беско-
нечности, а интервал между платежами — к нулю;
2) по количеству начислений процентов:
с ежегодным начислением процентов;
с w-разовым начислением процентов в течение года;
с непрерывным начислением процентов;
3) по величине элементов ренты:
постоянные;
переменные;
4) по вероятности выплат:
верные — с заранее определенными элементами;
условные — значения элементов которых заранее не определены;
1 Pollard А.Н. An Introduction to the Mathematics of Finance. Sydney: Pergamon Press, 1977.
P. 197.
2 См.: Четыркин Е.М. Указ. соч. С. 84—86.
34
5) по количеству элементов ренты:
с заданным числом элементов;
с бесконечным числом элементов;
6) по соотношению начала срока ренты и начала действия контракта:
немедленные — действие которых начинается сразу с момента за-
ключения контракта;
отсроченные — действие которых начинается по истечении опреде-
ленного времени после заключения контракта;
7) по моменту выплат:
постнумерандо — платежи в этих рентах осуществляются в конце
установленного периода;
пренумерандо — платежи осуществляются в начале установленного
периода.
3.3. Наращенная сумма ренты
Наращенная сумма ренты — это сумма всех ее элементов с начислен-
ными на них процентами.
Рассмотрим процесс формирования наращенной суммы ренты пост-
нумерандо.
Допустим, имеется поток платежей, приведенный на рисунке.
Платежи: R^ R2 R3 ... Rn
Годы. О 1 2 3 ... п --► Rn
I------------► Р3(1+/)л'3
------------------► Я2(1 + i)n~2
------------------► РД1 + /)л'1
Рис. 3.1
Как видно из рис. 3.1, платеж, совершенный в конце первого года, к
концу периода ренты возрастет в (1 + /У1 раз и превратится в сумму
/?j(l + платеж второго года возрастет в (1 + 1)п~2 раз и станет рав-
ным Я2(1 + /У2 и т.д. Общая формула величины элемента ренты года t
к концу срока ренты выразится как Я,(1 + Сумма ренты может быть
определена прямым счетом по формуле
s =2;/?,(1 +/у-', (3.1)
z=l
где п — количество членов ренты; R, — величина элемента ренты в год Г,
i — используемая в расчетах ставка сложного процента.
35
Поскольку по определению финансовой ренты Rt = R2 — R3 = ... =
= Rn, то, обозначив величину отдельного элемента через R, получим:
5=/?£(1 + О""'. (3.2)
»=i
Предположим, что мы создаем фонд, для чего ежегодно осуществля-
ем взносы в размере R. На эти взносы начисляется процент по сложной
ставке годовых в размере /. Через п лет сумма средств в фонде составит
5. Использование формулы (3.2) в практических расчетах при значитель-
ном периоде ренты весьма трудоемко. С целью упрощения расчетов ис-
пользуем другой подход.
Как уже отмечалось, к концу срока ренты первый платеж превра-
тится в А](1 + /)"~', второй — в Т?2(1 + /)”-2 и т.д. Если расположить
эти величины в обратной хронологии, получаем такую последователь-
ность:
R, Я(1 + О, R(\ + О2, ..., Я(1 + /)"-'.
Видно, что эта последовательность является геометрической прогрес-
сией с первым членом R и знаменателем (1 + /).
В общем виде сумма членов геометрической прогрессии с числом эле-
ментов п определяется по формуле
\ <3-3>
Ч 1
где — значение первого элемента; q — знаменатель геометрической
прогрессии.
В нашем случае bx = R, q = 1 + /, таким образом:
Эта формула значительно упрощает расчеты наращенной суммы
ренты.
ПРИМЕР. Формируется фонд на основе ежегодных отчислений в сумме
5 млн руб. с начислением на них процентов по сложной ставке 20%. Оп-
ределить фонд через 8 лет.
D с . (1 + 0,2)8 - 1 . 4,298 - 1 л.
Решение. S = 5 •------------= 5 •----—-----= 82,45 млн руб.
36
3.4. Современная стоимость ренты
Современная стоимость ренты — это сумма современных стоимостей
элементов ренты. Современная стоимость элемента ренты определяется
дисконтированием его величины на начало периода ренты.
Допустим, что нам даны платежи Т?2, R3, ..., Rn. Определим, сколь-
ко стоит сумма всех элементов (платежей) ренты в нулевой точке. Для
определения современной стоимости ренты, как уже отмечалось, нужно
произвести дисконтирование величин ее элементов или, иными словами,
найти их современные стоимости.
Приведем суммы рентных платежей к единой временной точке нача-
ла периода (см. рис. 3.2).
Pi r2 Rn
I------1--1----1-----------1
0 12 3 n
ЯИ1+/)-1 «-1 I
4--------1
R3( 1 + /j“3 ◄---------
fl„<1 + i)'n *----------------------
Рис. 3.2
Если на основе современных стоимостей элементов ренты составить
последовательность в прямой хронологии, то получим
Л(1 + о-1, Л(1 + /)-2, Я(1 + /)“3, Л(1 + i)~n. (*)
Как уже отмечалось, современная стоимость ренты — это сумма при-
веденных (дисконтированных) величин элементов ренты на начало пери-
ода, т. е.
Л = +'Г'. (3.5)
»=|
Это прямой метод определения современной стоимости ренты.
Так как ряд (*) — это геометрическая прогрессия с первым элементом
/?(1 + О"1 и знаменателем (1 + i)~l, то имеем:
А = Ж 1 + /Г1 • ((] * Z ] = R 1 ~ (1.+ , (3.6)
где п — количество лет ренты.
Для случая вечной ренты (л-*оо) рассмотрим формулу современной
ы ж г О + 0"" 1
стоимости. Из того, что в формуле lim --—•:г— = — выражение
(1 + i)~n -* 0 при п оо, следует, что современная стоимость вечной рен-
ты определится так:
37
R
i
(3.7)
ПРИМЕР. В соответствии с кредитным соглашением общая сумма долга
(с процентами) погашается равными частями в течение 5 лет равными вы-
платами в размере 1 млн руб. В расчетах используется сложная ставка 20%
годовых. Найти основную сумму долга.
Решение, п = 5, R = 1 млн руб., / = 0,2. Платежи по погашению долга пред-
ставляют собой ренту, срок действия которой 5 лет. Искомая величина на-
чальной (без процентов) ссуды может быть рассмотрена в качестве совре-
менной стоимости потока платежей по погашению кредита: А - 1 • [1 -
- (1 + 0,2)“5]/0,2 = 2,991.
ПРИМЕР. Имеется бессрочная облигация стоимостью 10 тыс. руб. с по-
стоянной купонной ставкой, равной 20%. Средняя норма доходности на
рынке ценных бумаг равна 25%. Найти текущую стоимость облигации. Те-
кущая стоимость облигации может быть рассмотрена как современная сто-
имость бесконечной ренты, представленной последовательностью купон-
ных выплат.
Решение. R = 10 000 • 0,2 = 2000 — ежегодно получаемый купонный доход,
, R 2000
А = — = “q”25" = SOM тыс. РУ6-
ПРИМЕР. Предположим, что на основе ежегодных отчислений в сумме
100 000 долл, в течение 10 лет формируется фонд для выплаты премий в
области финансовой математики. Ставка процента 10%. Найти величину
фонда через 10 лет.
Решение. Используем формулу наращенной суммы ренты: S = 100 000 •[(! +
+ 0,1)10 - 1 ]/0,1 = 1 590 000 долл.
Соотношение между наращенной суммой и современной стоимостью рен-
ты. Разделим выражение (3.4) на (3.6):
5=(1+0"-1---------------i_____= (1+ /)''—1
A i 1 - (1 + ip" i _ 1 v 7
(1 + 0"
Таким образом,
5 = А(\ + /)", (3.8)
А = S(1 + i)~". (3.9)
ПРИМЕР. Современная стоимость ренты постнумерандо со сроком 5 лет —
500 млн руб. Процентная ставка принята на уровне 15% годовых. Определить
наращенную сумму данной ренты.
Решение. S = 500(1 + 0,15)5 = 1005,7 млн руб.
38
3.5. Расчет показателей ренты
при осуществлении платежей и начислении
процентов несколько раз в году
Рассмотренные выше методы определения основных характеристик
финансовых рент относились к рентам, в которых платежи осуществля-
лись один раз в году с начислением на них процентов также один раз в
год. На практике существуют более сложные варианты рент, которые ха-
рактеризуются более частыми платежами (в общем случае к раз в год) и
начислением процентов несколько раз (в общем случае т раз) в год.
3.5.1. Наращенная сумма
Годовая рента (к = 1) с т-разовым начислением процентов. В этом слу-
чае рентные платежи производятся один раз в год в течение п лет, но
проценты начисляются т раз в год по годовой номинальной ставке у (см.
п. 1.2). Если рассматривать ренту постнумерандо, то первый член ренты
к концу периода ренты с начисленными процентами станет равным /?(1
+ у/т)"1{"~[\ второй член достигнет величины /?(1 4- у/т)т(п~2} и т.д. Ве-
личина последнего члена ренты составит /?, так как на него не будут на-
числяться проценты по причине того, что этот платеж производится в
конце последнего года срока существования ренты.
Имеем последовательность, состоящую из п членов, составленную в
обратной хронологии:
Я, /?(1 4- y/rn)m, R(\ + y/rn)2m, R(l + у/т)3т. .... Я(1 4- у/т)т(п~х).
Используя формулу суммы конечной геометрической прогрессии
(первый элемент этой прогрессии Я, знаменатель (1 4- у/т). количество
членов п). получим:
(14 у/т)™ ~ 1
(1 4- у/т)т - 1
(3.10)
ПРИМЕР. Создается фонд, в который в течение 5 лет производятся еже-
годные взносы в размере 100 млн руб. с ежеквартальным начислением на
них сложных процентов по ставке 20% годовых. Найти величину фонда по
истечении пятилетнего периода.
(14-0 2/4)4 •5 - 1
Решение. Используя формулу (3.10), получим: 5= 100 ' =
= 765,66 млн руб.
Рента к-срочная с начислением процентов один раз в год (т = 7). В этом
случае платежи производятся несколько раз в течение года (по полугоди-
ям, ежеквартально, ежемесячно и т.д.), но проценты на эти платежи осу-
39
шествляются один раз в год. Разовый платеж в данном варианте ренты
будет R/k. Платежи осуществляются п лет к раз в году. Всего за период
ренты производятся пк платежей. Если рассмотреть платежи в обратном
порядке, то к концу срока ренты последний платеж составит R/k, пред-
последний — (R/k)(l + затем (R/k)(l + i)2/k, (R/k)(l + i)3/k и т.д.
Имеем последовательность, которая представляет собой геометрическую
прогрессию, состоящую из пк членов, с первым членом R/k и знамена-
телем (1 + i)l/k. Отсюда наращенная сумма будет:
R (\ + i)k -1
к ' 1
(З.П)
ПРИМЕР. Изменим условия предыдущего примера, предположив, что
рентные платежи осуществляются по полугодиям и проценты начисляют-
ся один раз в году.
(1+0,2)5-1
Решение. Применяя формулу (3.11), получим: 5 = 100 • —--------;---- =
2 (1+0,2)!-1
= 779,8 млн руб.
Рента к-срочная при т = к. Поскольку в данном случае т = к, можем
вместо обозначения величины рентного платежа R/k записать R/m. Име-
ем такую последовательность:
R/m. R/m(l+y/m), R/m(\+y/m)2, R/m(\+y/m)\ .... R/m(\+y/m){m
(1 4- у/тГ" - 1 _ (1 4- y/m)mn - 1 n
/л (14- y/m) - 1 у ’ 1
ПРИМЕР. Предположим, что в предыдущем примере проценты начисля-
ются каждое полугодие.
Рента к-срочная при к * т. Отдельный член ренты равен R/k. На сум-
му последнего члена ренты проценты начислены не будут. Предпоследний
член ренты будет находиться в фонде (если предположить, что такой соз-
дается) \/к часть года; платеж, предшествующий предпоследнему, — 2/к
части года и т.д. На платеж, находящийся в фонде один год, проценты бу-
дут начислены в полном размере, и коэффициент его наращения составит
(1 4- у/т)т. Соответственно коэффициент наращения для последнего чле-
на ренты будет (1 4- у/т),п/к. для предшествующего -(14 у/пг)2т/к. затем
(1 4- у/т)3п1/к и т.д. Можно записать геометрическую прогрессию (в обрат-
40
ной хронологии) с пк членами, первым элементом R/k, знаменателем (1 +
+ у/т)т/к. Сумма этой геометрической прогресии:
„ = _Я (1 + у/т)^/к)пк- | = (1 + |
к (1 + у/т)'п/к - 1 Аг[(1 + у/т)т/к - 1] ’ 1 ’
ПРИМЕР. Для условий предыдущего примера предположим, что платежи
осуществляются ежеквартально, а проценты начисляются по полугодиям.
Решение. Используя формулу (3.13), получим:
(1 + 0 2/2)2 5 - 1
5 = 100 • 4К1+0,2/2)^-Ч = 816’4 МЛН РУб-
Годовая рента с непрерывным начислением процентов. Обозначим не-
прерывную ставку процентов через q. Получим геометрическую прогрес-
сию с первым членом R, знаменателем е4. Сумма годовой ренты с непре-
рывным начислением процентов определится по формуле:
еяп — 1
(3-14)
Рента к-срочная с непрерывным начислением процентов. Формула (3.14)
трансформируется следующим образом:
ПРИМЕР. Имеется рента с годовым платежом 100 млн руб. Проценты на-
числяются непрерывно по ставке 20% годовых. Срок ренты — 5 лет. Найти
наращенную сумму для случаев: а) годовой ренты; б) квартальной ренты.
Решение. Получаем:
£>0.2 5 _ 1
a) S = 100 •—-7Г5----;—= 777,4 млн руб.;
е17- — 1
£>0,2 5 _ ]
б) 5= 100 *-^-0574-------ГГ= 837’8 млн РУ6-
4(еи-/ч — 1)
3.5.2. Современная стоимость
Годовая рента с начиИением процентов т раз в году. Если проценты
начисляются т раз в году, то современная стоимость первого члена рен-
ты составит /?(1 + у/т)~'п, второго — /?(! + у/т)~2т, третьего — /?(! +
+ у/т)~3,п и т.д. Имеем геометрическую прогрессию:
R(\ + у/тГ"’, RU + у/т)~2т, Я(1 + у/т)~3т, ..., Я(1 + у/т)~пт.
41
Нетрудно видеть, что первый элемент данной геометрической про-
грессии равен Л(1 + у/т)~т, знаменатель (1 + у/т)~т, количество членов
прогрессии п. Обозначив через А сумму современных стоимостей членов
ренты, получим:
Л = 1 + у,тГ. . О ~ . R . <3.,6)
(1 + у/т) т~ 1 (1 4- у/т)"1 - 1 7
ПРИМЕР. Создается фонд, в который в течение 5 лет производятся еже-
годные взносы 100 млн руб. с ежеквартальным начислением на них слож-
ных процентов по ставке 20% годовых. Найти современную стоимость
данного денежного потока.
1 - (1 + о 2/4Г4 ‘5
Решение. А = 100 • J (Г+0 W ~ Т'~' = 577’5 МЛН РУб‘
Рента к-срочная с начислением процентов один раз в год (т = 1). При-
веденный к началу периода первый член ренты будет равен (/?/&)( 1 +
+ второй — (ЛД)(1 + i)~2/k, третий — (R/k)(\ 4- /)~3А и т.д. Таким
образом, можно составить геометрическую прогрессию с первым элемен-
том (R/k) (1 4- i)~Vk и знаменателем (1 4- /)_,/< Число членов данной гео-
метрической прогрессии пк. Следовательно, сумма современных стоимо-
стей элементов рассматриваемой ренты составит:
п
R , „ (1 + /)(-!/*)«* - 1 1 . , , ,,
+ (3.17)
ПРИМЕР. Для условий предыдущего примера предположим, что рентные
платежи осуществляются по полугодиям и проценты начисляются один
раз в году.
n л inn 1 - (1 4- О,2)-5 _ .
Решение. А = 100 • 2[( f'+ о 2)^ ff = 3 3,4 МЛН руб’
Рента к-срочная при т = к. Как и в предыдущих вариантах ренты, не-
обходимо привести (продисконтировать) все элементы к началу периода
ренты. Современная стоимость первого элемента ренты в результате та-
кого приведения будет (Я//и)(14- у/т)~\ знаменатель геометрической
прогрессии (1 4- у/т)~\ количество элементов геометрической прогрес-
сии пк. Сумма геометрической прогрессии:
т (14- у/т) 1 - 1 . у
(3.18)
ПРИМЕР. В предыдущем примере предположим, что рентные платежи
осуществляются по полугодиям и по полугодиям начисляются проценты.
1 - ( 1 4- 0 2/2 )-2 ‘5
Решение. А = 100 • ---> ----= 307,2 млн руб.
42
3.6. Определение характеристик финансовых рент
Как показано выше, наращенная сумма ренты может быть представ-
лена формулой
/
а современная стоимость ренты
I
Из этих формул можно получить:
коэффициент наращения ренты
и коэффициент приведения ренты
А 1 - (1 + /)~"
а = — = -----------— .
R i
Эти коэффициенты табулированы при известных параметрах / и п (см.
приложение).
Можем найти величину R. Из формулы (3.19):
Из формулы (3.20): 5- / R = . (3.21) (1 + /)" - 1 R = — . (3.22) 1 - (1 + /)-«
Предположим, что известен кредит, но неизвестны размеры погаси-
тельных выплат. Эти выплаты могут быть представлены как члены де-
нежного потока, т.е. ренты, а размер начального кредита — как совре-
менная стоимость этой ренты. Для нахождения сумм погасительных пла-
тежей целесообразно использовать формулу (3.22).
ПРИМЕР. Кредит в сумме 200 млн руб. выдан на 4 года по ставке слож-
ных процентов 20% годовых. Возврат кредита предполагается осуществ-
лять равными годовыми выплатами, включающими сумму основного дол-
га и проценты. Найти величину погасительного платежа.
Решение. R = 200 • 0,2/[ 1 — (I + 0,2)“4] = 77,26 млн руб.
ПРИМЕР. Какие ежегодные отчисления необходимо осуществить, чтобы за
5 лет сформировать денежный фонд в размере 1 000 000 долл, при ставке 5%.
Решение. R = S7/[(l + /)"-!] = ! 00 0000 • 0,05/[(1 - 0,05)5 - 1] = 181 000 долл.
43
Определение периода ренты (п). Из формулы (3.19) получаем:
4 • > +1 = (1 + о",
А
1П(4 • / + 1) = л1п(1 + /),
к
(S \
'"Г*1
п =—
111(1 + /)
Из формулы (3.20) находим:
1 - 4 • z = (1 + /)-«,
А
1п(1 - 4'0 = -Я1п(1 + о,
А
if, А •'I
1П1-Д-/
" 111(1 + /•)
или
. f, A .'I
|П 1 ' -R • '
Л = ---3--------Z—
111(1 + /)_|
(3.23)
(3.24)
(3.24а)
ПРИМЕР. За какой период будет возвращен кредит 500 млн руб., выдан-
ный по сложной ставке 20% годовых, если предполагается его выплачивать
равными годовыми платежами (долг плюс проценты) по 120 млн руб.
. ( 500 )
‘У ’ 120 • °'2J
Решение, п ----------------=9,8 года.
ln( 1 + 0,2)
Определение ставки процента в финансовых рентах. Из приведенных
выше формул алгебраически нельзя выразить значение ставки процента.
Поэтому для ее нахождения необходимо использовать специальные спо-
собы, позволяющие получить приближенное решение. Для этой цели мо-
гут быть применены различные методы, из которых наиболее употреби-
мыми являются методы линейной интерполяции и Ньютона—Рафсона.
Метод линейной интерполяции. Введем следующие обозначения:
1 - (1 + Р)~п ,
а = ---------------коэффициент приведения ренты;
(1+/У-1
5 =--------------коэффициент наращения ренты.
44
Рис. 3.3. Взаимосвязь коэффициента наращения ренты и процентной ставки
Рассмотрим графически взаимосвязь между коэффициентом нараще-
ния ренты и величиной процентной ставки. Как видно из рис. 3.3, эта
взаимосвязь является нелинейной. Если нам не требуется очень точно
определить величину процентной ставки, предположим, что на некото-
ром небольшом отрезке зависимость является линейной. На этом отрез-
ке находится точка с ординатой, равной s, т. е. фактическому значению
коэффициента наращения ренты. Заметим, что действительную величи-
ну процентной ставки /' мы не знаем. Предположив линейность зависи-
мости, ставим своей задачей найти величину I, которая является прибли-
зительной оценкой Значение этой приблизительной оценки можно
найти графическим способом.
Рассмотрим треугольник АВС на рис. 3.3. Он подобен треугольнику
AFG. Из подобия треугольников можно составить пропорцию:
АС _ AG
ВС FG'
Из рис. 3.3 видно, что АС — iB — iH', ВС = sB~ sH; AG = i — iH; FG =
— s — sH, где /н — нижняя граница ставки процента; i — искомая ставка
процента; sH и sB - коэффициенты наращения ренты, рассчитанные ис-
ходя из нижней и верхней границ ставки процента.
Подставляя в приведенную выше пропорцию соответствующие харак-
теристики ренты, получаем: (/в— /н) / (sB— sH) = (i — iH) / (s — sH).
Откуда имеем
' = 'н + • ('в - U- (3.25)
дв Зн
Аналогичным образом можно получить формулу для нахождения про-
центной ставки через коэффициент приведения ренты, но здесь следу-
ет иметь в виду, что зависимость между величиной этого коэффициента
и процентной ставкой обратная:
45
' = <,-('.-и. <зад
WB wh
где ян и яв — коэффициенты приведения ренты, рассчитанные исходя из
нижней и верхней границ ставки процента. Величины /н и /в определя-
ются методом проб и ошибок. Величины а или s задаются условиями за-
дачи.
ПРИМЕР. На основе ежегодных взносов 10 тыс. руб. предполагается соз-
дать фонд 120 тыс. руб. в течение 5 лет. Какова должна быть учитываемая
в расчетах ставка процента?
Решение. Расчеты проведем по формуле (3.25), 5 = 120/10 = 12. Предполо-
жим, что /н = 35%, /в = 50%. Найдем значения коэффициентов наращения
ренты для ставок /н и /в: коэффициент наращения при ставке процента, на-
ходящейся на нижней границе: $н = [(1 + О,35)5 - 1 ]/О,35 = 9,95; коэффи-
циент наращения при ставке процента, находящейся на верхней границе:
5В = [(1 + О,5)5 - 1 ]/0,5 = 13,19.
12 - 9 95
Искомая ставка процента: / = 0,35 + _ х Q4- * (0,5 - 0,35) = 0,448,
или 44,8%. 13’19 9’95
п (1 + 0,448)5 - 1 11О0
Проверка: 5 =-*----------= 11,98.
Значение 5 = 11,98 близко к фактическому значению $ =12, значит, най-
денная ставка процента рассчитана достаточно точно.
Метод Ньютона— Рафсона1. Если есть уравнение /(х) = 0, где х — ко-
рень уравнения, то решить его можно итеративным путем (последова-
тельным приближением), т.е. выполнением ряда последовательных эта-
пов (итераций) расчета. Количество итераций зависит от требуемой точ-
ности расчета величины х.
Искомая величина х определяется на основе рекуррентного соотно-
шения, выраженного формулой:
ла+| = хк ~ f<xk)/f\xk), (3.27)
где ДхА) — значение функции Дх) при х = хк; f'(xk) — значение первой
производной функции Дх) при х = хк; к — индекс (номер) итерации.
Последовательность расчетов может быть следующей. Сначала задает-
ся значение х на нулевой итерации х0. Находятся значения Дх0) и Д(х0).
Эти величины подставляются в формулу (3.27) и на этой основе опреде-
ляется X]. Если Xj дает хорошее приближение решения уравнения Дх) =
= 0, то расчеты прекращаются и величина х = х, принимается за корень
данного уравнения. В противном случае расчеты продолжаются, и далее
аналогичным образом рассчитываются х2, х3 и т.д. в зависимости от схо-
димости и требуемой точности расчетов.
1 См.: Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М.: ЮНИТИ,
1999. С. 381—384; Четыркин Е.М. Указ. соч. С. 104—105.
46
Для использования метода Ньютона—Рафсона необходимо построить
функцию fix). Для этой цели можно использовать коэффициент как на-
ращения, так и приведения. Рассмотрим применение коэффициента на-
ращения S/R = [(1 + /)" — 1]//.
Обозначим через q величину (1 + 0, тогда S/R = (qn — !)/(<? — 1),
(S/R)(q - 1) = q" - 1, iq" - 1) - (S/R)(q - 1) = 0.
Отсюда искомая функция будет иметь вид
/(<?) = (/'- 1)-4^“ ’ )• (3.28)
лх
Найдем
f(q) = п • q"~' - 4- (3.29)
К
Теперь все величины известны и можно записать
= (3.30)
1 + i = q — это аргумент функции fiq), которая формируется при задан-
ных 5 и R.
Значение q находится итеративным путем по описанной выше проце-
дуре метода Ньютона—Рафсона.
Чтобы осуществить расчет на первой итерации, надо знать показатель
<7о-
Задаем ql} так, чтобы расчетное значение 5 было близко к величине
S/R. Например, берем <?0, исходя из /0 = 44% (для рассмотренного опре-
деления процентной ставки методом линейной интерполяции), откуда
следует q{}= 1 + 0,44 = 1,44. С каждой итерацией значение qk уточняется
и приближается к более точному.
Найдем значение функции и ее производной:/(1,44) = (6,1917 — 1) —
- 12(1,44 - 1) = -0,0883;/'(1,44) = 5 • 1,444 - 12 = 9,499.
Теперь можно произвести расчеты: qx = q0 — fq)/fiq) = 1,44 —
-0,0883 , . .Q_ . ..
----9Л99~= ,4492’ 'i =44’9Ж
Проверка: 5 = [(1 + i)n - 1]// = (1,44925 - l)/0,4492 = 12,004.
Фактически величина 5 равна 12, а мы получили 12,004. Предполо-
жим, что такая точность нас устраивает, и поэтому прекратим дальней-
шие расчеты.
Выше для расчетов процентной ставки мы использовали коэффици-
ент наращения ренты. Рассмотрим применение для этой цели коэффи-
циента приведения. Искомая функция fiq), а также fiq) будут иметь вид:
/(<?) = (<Г" - 1) + 4(^ - О,
К
(3.31)
47
f\q) = 4-"- <7“(я+1)- (3-32)
к
Для случая ^-срочной ренты
Л?) = (<Г" - 1) + 4 • Л • (9* " D, (3.33)
К
f\q) = A /R- ') - п ?-<n+1). (3.34)
ПРИМЕР. Определить доходность инвестиций, выраженную в виде годо-
вой ставки процента, если вложения составили 100 млн руб.; ожидается
отдача в виде квартальной ренты постнумерандо при годовой сумме дохо-
да 20 млн руб. Срок ренты 10 лет.
Решение. Начальная стоимость инвестиций 100 млн руб. — это современ-
ная стоимость ренты; R = 20 млн руб. У нас ^-срочная рента, значит, пла-
тежи начисляются ежеквартально по 5 млн руб. Известно, что A/R =
= 100/20 = 5. Значит, можно приблизительно определить ставку процента
на уровне /0 = 20% (см. приложение), qQ в этом случае равно 1,2.
Теперь можно найти fiq) и /
Д1,2) = (1,2_,° - 1) + 5 • 4(1,2,/4 - 1) = 0,005;
f'( 1,2) = 5 • 1,21/4-1 - 10 • 1,2“(10 + *) = 2,423.
Следовательно, q{ = 1,2 - 0,005/2,423 = 1,178, a /j = 17,8%.
Подставив найденное значение процентной ставки в формулу исчисления
коэффициента приведения для 10 лет, ^-срочной ренты и т = 1, получим
расчетное значение данного коэффициента (ярасч ) и сравним его с факти-
ческим значением (афакт): арасч = 4,82; афакт = A/R = 5. Значения йрасч и афает
близки, но не равны друг другу. Поэтому если такая точность устраивает ис-
следователя, то можно ограничиться одной итерацией. В противном случае
следует перейти к следующей итерации.
3.7. Задачи и решения
1. Создается фонд, в который делаются взносы в течение 10 лет один
раз в конце года по 40 тыс. руб. На собранные средства начисляются
проценты по сложной ставке 10%. Каков размер фонда к концу срока?
Решение. 5= Я[(1 + if - 1 ]// = 40 • [(1 + 0,1)10 - 1]/0,1 = 636,5 тыс. руб.
2. Найти наращенную сумму ренты при условии, что процент начис-
ляется ежеквартально. Условия те же, что в задаче 1. Сложная ставка рав-
на 12%.
Решение. S= Я[(1 + у/т)’пп - 1]/1(1 + у/т\” - 1] = 40[(1 + 0,12/4)40 -
- !]/[(! + 0,12/4)4 - 1] = 723,2 тыс. руб.
3. Для создания премиального фонда один раз в год производятся
взносы 4 тыс. руб. На вносимые средства начисляются проценты по
48
сложной ставке 6% годовых. Определить размер фонда через 5 лет. Рас-
смотрим следующие ситуации:
а) поступление средств в конце года, начисление процентов 2 раза в
году.
Решение. S = А[(1 + у/т)"т - 1]/[(1 + у/т)т - 1] = 4000[(1 + 0,06/2)2’5 -
- 1 J/|(l + 0,06/2)2 - 1] = 22,6 тыс. руб.;
б) поступление средств в конце квартала, начисление процентов 2
раза в году.
Решение. S = Л[(1 + у/т)тп — 1]/{£[(1 + y/tn)m/k — 1]} = 4000[(1 +
+ 0,06/2)2 ’5 - 1]/{4[(1 + 0,06/2)2/4 - 1]} = 23,08 тыс. руб.;
в) квартальное поступление средств и квартальное начисление про-
центов.
Решение. S = 4000[(1 + 0,06/4)4 ’5 - 1 ]/{4 • [(1 + 0,06/4)' - 1]} =
= 23,1 тыс. руб.
4. Фирма в качестве компенсации работникам за причиненный им
ущерб выплачивает 100 млн руб. в течение 25 лет1. Платежи должны про-
изводиться равномерно в течение этого периода — в конце каждого квар-
тала. Найти реальную стоимость данной компенсации для фирмы, если
принять годовую ставку сложных процентов на уровне 10%.
Решение. Найдем годовой платеж: R = 100/25 = 4 млн руб.;
А = Я|1 - (1 + /)-"]/{& • [(1 + /)'/*- 1]} = 4[1 - (1 + 0,1)-25]/{4[(1 +
+ 0,1)'/4 - 1]} = 37,5 млн руб.
5. Найти доходность инвестиций, если первоначальное вложение—
1 млн руб., а ежегодные доходы, поступавшие в конце каждого года, —
100 тыс. руб. Период вложения — 15 лет.
Решение. Используем метод Ньютона—Рафсона. Коэффициент приве-
дения а = A/R = 1 000 000/100 000 = 10;
/0 = 6%;
?0 = 1 + 0,06 = 1,06;
Ля) = (<г"- 1) + 4(?- о;
А К
f\q) = -r - п • q (/,+|);
/(1,06) = (1,06“15 - 1) + 10(1,06 - 1) = -0,58 + 0,6 = 0,02;/'(1,06) =
= 10 - 15 • 1,06“16 = 10 - 5,9 = 4,1; = 1,06 - 0,02/4,1 = 1,06 - 0,005 =
= 1,055; /, = (1,055 - 1) • 100 = 0,055, или 5,5%.
Вторая итерация: /, = 0,055; q{= 1,055; /(1,055) = (1,055“15 — 1) +
+ 10(1,055 - 1) = -0,02;/' = (1,055) = 10 - 15 • 1,055“16 = 10 - 6,4 = 3,6;
q2 = 1,055 + 0,02/3,6 = 1,055 + 0,0006 = 1,0556; /2 = 1,0556 - 1= 0,0556,
или 5,56%.
°р11Сч = [1 “ (1 + 0,0556)“15]/0,0556 - 10.
1 См.: Четыркин Е.М. Указ. соч.
49
6. Создается фонд на основе ежегодных отчислений в начале года
10 тыс. руб. в течение 5 лет по сложной процентной ставке 20%. Найти
сумму фонда к концу периода.
Решение. Так как платежи осуществляются в начале года, имеем рен-
ту пренумерандо. Корректируя формулу (3.4) определяем наращенную
сумму ренты: S = 101(1 + 0,2)6— (1 4- 0,2)]/0,2 = 89,3 тыс. руб.
Глава 4
ПЕРЕМЕННЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ
4.1. Общие сведения
В ряде финансово-экономических процессов потоки платежей состо-
ят из элементов, изменяющихся в течение рассматриваемого временного
периода, т.е. в данном случае эти элементы являются переменными ве-
личинами, а не постоянными, как в случае, рассмотренном в гл. 3.
Рассмотрим регулярные переменные потоки платежей. Это такие по-
токи, в которых величины элементов потока изменяются во времени по
определенному закону.
4.2. Ренты с постоянным абсолютным
изменением элементов
В данной разновидности ренты каждый ее элемент отличается от
предшествующего на постоянную величину с. Предположим, что имеет
место возрастание платежей, осуществляемых в конце года. Имеем пос-
ледовательность R, R 4- с, R + 2с, R + Зс, ..., R + (п — 1)с. На элементы
ренты начисляются проценты по сложной ставке z. Величину (1 + z) обо-
значим через g и определим наращенную сумму ренты:
5 = Rg"~' + (R + c)g"~2 + (R+ 2c)g"~3 + ... + [R+ (п- 2)c]g +
+ [/? + («- 1)с].
После преобразования получим:
S = R(g"~^ + g1'-2 + gn~2 4- ... 4- g 4-1) 4- cfg”-3 + 2g”-3 4- ...
... + (n — 2)g + (n- 1)]. (4.1)
Выражение R(g"~l 4- g"~2 4- g"~3 4- ... 4- g 4-1) есть наращенная сумма
постоянной ренты постнумерандо. Эту величину можно записать так:
5, = Rsn i, где sni — коэффициент наращения постоянной ренты прену-
мерандо с п членами и начислением сложных процентов по ставке z. Вы-
ражение в квадратных скобках формулы (4.1) обозначим через W, умно-
50
жим (И на g и найдем разность Wg — W = g"-1 + g"-2 + g"~3 + ... + g +
+ I — n.
Сделав преобразования, получаем: И7 — siri — п, отсюда следует:
5 = Rsn:l + (с//)(^ - «)• (4.2)
Выражение (4.2) после соответствующих преобразований может быть
представлено в виде
S = (R + c/i)sn.- nc/i.
(4.3)
С учетом формулы (3.9) и соответствующего преобразования форму-
лы (4.3) получаем выражение для расчета современной стоимости пере-
менной ренты рассматриваемого вида:
• (1 + /)"" =
с\ п • с • (1 + /) "
Л + 7Г”'------------/-------- ’4'4)
где atri — коэффициент приведения ренты.
ПРИМЕР. Денежный поток постнумерандо с первым членом 50 млн руб.
характеризуется последующим ежегодным увеличением платежей на 5 млн
руб. Срок существования данного денежного потока — 5 лет, проценты на-
числяются по сложной ставке 12% годовых. Найти современную стоимость
и наращенную сумму.
( 5 \ 5 • 5 • 0,567
Решение. А = 50 + —— • 3,604 --------------= 212,2 млн руб.;
0,12; 0,12
( 5 ) 5-5
5 = 50 + -4- • 6,352 -------= 373,9 млн руб.
t 0,12) о,12
Можем также определить 5 через коэффициент наращения: S = 212,2(1 +
+ 0,12)5 = 373,9 млн руб.
4.3. Ренты с постоянным темпом изменения
элементов
Если платежи изменяются с постоянным темпом прироста (сниже-
ния), то можно составить геометрическую прогрессию: Я, Rh, Rh2, Rh3, ...
..., ЯЛ'7”1, где R — величина первого платежа; h — темп роста (снижения)
размера платежа по сравнению с размером предыдущего платежа; п —
срок ренты.
Можем записать современные стоимости рассматриваемых платежей:
Я(1 + /Г1, ЯЛ(1 + /)~2, ЯЛ2(1 + /)“3, Яй3(1 + /)-4, Rhn~\\ + /)"", (4.5)
где / — учитываемая в расчетах ставка сложных процентов.
51
В геометрической прогрессии (4.5) первый член равен /?(1 + У)-1, зна-
менатель — Л(1 + У)-1. С учетом формулы (3.3) современная стоимость
ренты (постнумерандо) выразится так:
А = У?(1 + У)"1
1 - р + М"
(1 + i)~n hn - 1 _ 1 + У j
(1 + У)_|Л—1 У —X
(4.6)
где к — темп прироста платежей (й = 1+ к).
Наращенная сумма ренты с учетом (3.8) может быть выражена фор-
мулой:
s = A(l+,r=R.>4-<\ + ‘r = R. <'+*>;-<’+Г (4.7)
Л - (1 + /) к — 7
ПРИМЕР. Денежный поток сроком 5 лет имеет первый элемент 35 млн
руб. Следующие платежи увеличиваются ежегодно на 20%. Процентная
ставка — 10% годовых. Найти современную стоимость и наращенную сум-
му потока.
Решение. А = 35 • [1 - (1,2/1,1 )5]/(0,1 - 0,2) = 190,77 млн руб.; S =
= 190,77(1 + 0,1)5 = 307,2 млн руб. или 5= 35 • (1,25 - 1,15)/(0,2 - 0,1) =
= 307,1 млн руб.
Погрешность 0,1 млн руб. возникла в результате округлений.
Если имеет место бесконечный денежный поток, т. е. п -> <», то при
77 < / формула (4.6) примет вид
Эта формула широко применяется при оценке акций, где называ-
ется формулой Гордона (см. гл. 12).
РАЗДЕЛ 2
ИНВЕСТИЦИИ: ДОХОДНОСТЬ И РИСК
Глава 5
СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА ИНВЕСТИЦИЙ
5.1. Типология инвестиций
Термин “инвестиция” происходит от латинского invest, переводимого
как “вкладывать”, т. е. означает вложение.
В соответствии с законом Российской Федерации инвестиции опреде-
ляются как денежные средства, целевые банковские вклады, паи, акции
и другие ценные бумаги, технологии, машины, оборудование, лицензии,
в том числе и на товарные знаки, кредиты, любое другое имущество или
имущественные права, интеллектуальные ценности, вкладываемые в
объекты предпринимательской и других видов деятельности в целях по-
лучения прибыли (дохода) и достижения положительного социального
эффекта. Инвестиции могут быть рассмотрены как материальные блага,
от которых нужно отказаться сейчас, чтобы получить дополнительную
стоимость в будущем. Прирост стоимости, или прибыль (наряду с соци-
альными результатами), — основная цель инвестирования. Поэтому ин-
вестиция — это не просто приобретение материальных благ, пусть даже
долгосрочного характера (автомобиль, недвижимость, мебель и др.). Как
справедливо отмечается некоторыми авторами, в последнем случае речь
идет о долгосрочном потреблении материальных благ, но не об инвести-
ровании*.
Инвестиционный процесс — это процесс осуществления инвестиций.
Рассмотрим существующие типы инвестиций (см. рис. 5.1).
Типология инвестиций может быть осуществлена по различным клас-
сификационным признакам. Таковыми могут быть : характер активов, в
приобретение которых вкладываются средства; характер участия в упра-
влении инвестиционным портфелем; форма собственности; место при-
ложения; степень риска и др.
1 Бланк И.А. Инвестиционный менеджмент. Киев: МП “ИТЕМ”, 1995. С. 12.
53
Рис. 5.1
По характеру активов можно выделить инвестиции в нефинансовые и
финансовые активы. Инвестиции в нефинансовые активы часто называ-
ют реальными инвестициями.
Реальные инвестиции — это вложения в материальные и нематериаль-
ные активы, формирующие основной и оборотный капиталы предпри-
ятия. Материальные активы представляют собой средства, воплощенные
в зданиях, станках, материалах, комплектующих изделиях, готовой про-
дукции. Нематериальные активы — это стоимость лицензий, патентов,
товарных знаков, затрат на рекламу, на подготовку кадров.
Инвестиции в финансовые активы называются финансовыми. Финан-
совые инвестиции — это вложения в активы денежного рынка и рынка
капиталов. Среди названных активов можно выделить следующие: крат-
косрочные финансовые инструменты, облигации, акции, финансовые
фьючерсы, опционы и др.
Краткосрочные финансовые инструменты (они также могут быть на-
званы краткосрочными инвестиционными инструментами) — это сбере-
гательные счета и депозиты, депозитные и сберегательные сертификаты,
краткосрочные векселя, краткосрочные ценные бумаги правительства,
объединяемые понятием активов денежного рынка. Инвестирование в
краткосрочные финансовые инструменты (в общем случае на срок менее
одного года), как правило, имеет целью использование временно свобод-
ных средств для сравнительно быстрого извлечения дохода.
Среди активов рынка капиталов можно выделить облигации, акции,
производные финансовые инструменты.
Облигации — долговые (в классическом варианте долгосрочные) обя-
зательства корпораций, федерального правительства, местных органов
власти. Достаточно близкими к облигациям являются привилегирован-
ные акции.
Обыкновенные акции — инвестиции, обеспечивающие право собствен-
ности в акционерном капитале.
К производным финансовым инструментам относятся финансовые
фьючерсы, опционы, варранты.
Финансовый фьючерс — это контракт на поставку в будущем финан-
совых инструментов.
Опцион представляет собой контракт, дающий право купить или про-
дать финансовый актив в будущем.
Варрант — это право купить определенное количество акций компа-
нии по оговоренной цене.
К финансовым инвестициям можно отнести также вложения в реаль-
ные (непроизводительные) активы, такие, как драгоценные металлы,
предметы искусства, антиквариат и др., в расчете на повышение цен.
Достаточно перспективным видом инвестирования является покупка
паев взаимных (паевых) фондов. Взаимный (паевой) фонд является фи-
нансовым институтом, который использует деньги вкладчиков для по-
купки акций компаний, посредством чего извлекается доход, который в
дальнейшем распределяется среди пайщиков фонда. Пай взаимного фон-
55
да может быть рассмотрен как право на долю портфеля ценных бумаг,
которым располагает фонд.
Важной формой инвестирования являются вложения в недвижимость.
Данные инвестиции могут осуществляться в спекулятивных целях либо в
целях извлечения дохода от управления собственностью.
Реальные инвестиции тесно связаны с финансовыми инвестициями.
Например, инвестор, приобретая акции предприятия, осуществляет фи-
нансовую инвестицию. Предприятие, направляя средства, вырученные
от продажи акций, на покупку нового оборудования, производит реаль-
ную инвестицию.
Инвестирование и инвестиции могут быть прямыми и косвенными.
Прямое инвестирование предполагает непосредственное участие инве-
стора в процессе вложения средств. Приобретая акции компании с це-
лью их дальнейшей перепродажи на бирже, гражданин А осуществляет
прямую инвестицию. Если этот гражданин приобретает пай паевого ин-
вестиционного фонда, он осуществляет косвенное инвестирование, кон-
кретные направления вложения средств в этом случае определят специ-
алисты фонда.
Рассматривая иностранные инвестиции, можно выделить прямые,
портфельные и прочие.
Прямые иностранные инвестиции — это инвестиции, сделанные ли-
цами, полностью владеющими предприятием или контролирующими не
менее 10% акционерного капитала. В числе прямых инвестиций можно
выделить взносы в уставный капитал (материальные, нематериальные
активы, денежные средства), финансовый лизинг, кредиты, полученные
от зарубежных совладельцев предприятия1.
Портфельные иностранные инвестиции связаны с вложениями в по-
купку акций, не дающих права влиять на процессы управления предпри-
ятием и составляющих менее 10% в общем акционерном капитале, а так-
же облигаций, векселей и других долговых ценных бумаг.
Прочие иностранные инвестиции представляют собой торговые кре-
диты, кредиты, полученные от международных финансовых организа-
ций, кредиты правительств иностранных государств под гарантии Пра-
вительства РФ, банковские вклады (собственные счета нерезидентов в
российских банках) и др.
Источником инвестиций являются сбережения. Процесс перемеще-
ния средств от субъектов, осуществляющих сбережения, непосредствен-
но к заемщикам может быть назван финансированием.
Аналогично инвестициям финансирование бывает двух видов — пря-
мое и косвенное2 (см. рис. 5.2).
1 Методологические положения по статистике. Вып. 2. М.: Госкомстат России, 1998.
С. 156.
2 Долан Э.Дж., Кэмпбелл К.Д., Кэмпбелл Р.Д. Деньги, банковское дело и денежно-кре-
дитная политика. М.: Профико, 1991. С. 16—17.
56
Прямое финансирование
ИНВЕСТОР «----------- СУБЪЕКТЫ СБЕРЕЖЕНИЙ
Косвенное финансирование
«---- ФИНАНСОВЫЙ ПОСРЕДНИК <-
Рис. 5.2
Прямое финансирование — это совокупность каналов перемещения
денежных средств непосредственно от их собственника к заемщику (ин-
вестору).
Виды прямого финансирования — капитальное и заемное.
Капитальное финансирование — это получение средств в обмен на пра-
во долевого участия в собственности. Основная форма этого финансиро-
вания — выпуск акций.
Заемное финансирование — это привлечение средств в обмен на обя-
зательство их возврата с процентами (выпуск облигаций, привлечение
кредитов и т.д.).
Косвенное финансирование — это финансирование инвестиционного
процесса через финансовых посредников. В данном случае деньги при-
влекаются через посредников (банки, страховые компании, пенсионные
фонды, взаимные фонды, инвестиционные компании), которые привле-
кают средства и вкладывают их в конкретные объекты.
Так же как реальные инвестиции в значительных масштабах не могут
быть получены без финансовых инвестиций, прямые инвестиции в свою
очередь требуют косвенных инвестиций.
5.2. Сбережения, накопления и инвестиции
в системе национальных счетов
В основе инвестиций, как уже отмечалось, лежат сбережения. Сам
процесс инвестирования в конечном счете приводит к накоплениям.
Сбережение, как оно трактуется в системе национальных счетов, — это
часть располагаемого дохода, которая не израсходована на конечное по-
требление. Различаются понятия валового национального и чистого на-
ционального сбережения.
Валовое национальное сбережение — это сумма валовых националь-
ных сбережений отдельных секторов национального хозяйства. В свою
очередь валовое сбережение в конкретном секторе есть разность между
суммой текущих доходов и суммой текущих расходов. Валовое сбереже-
ние включает потребление основного капитала. Если из валового сбере-
жения вычесть потребление основного капитала, получим чистое нацио-
нальное сбережение. Сбережения — это источник финансирования ин-
вестиций.
57
В результате инвестирования происходит увеличение национального
богатства, которое может быть рассмотрено как накопление. По анало-
гии со сбережением различают валовое и чистое накопления. Чистое на-
копление равно валовому, уменьшенному на величину потребления ос-
новного капитала.
Валовое накопление включает:
валовое накопление основных фондов;
прирост материальных оборотных средств;
чистое приобретение ценностей.
Валовое накопление основного капитала может быть представлено
как прирост произведенного основного капитала; улучшение состояния
существующего основного капитала; улучшение состояния непроизве-
денных материальных активов, включая землю; расходы, связанные с пе-
редачей прав собственности на непроизведенные активы.
Произведенные активы являются результатом процесса производст-
ва. Непроизведенные активы — это активы, которые необходимы для
осуществления процесса производства, но не являющиеся его резуль-
татом. Непроизведенные активы делятся на материальные и нематери-
альные. Непроизведенные материальные активы включают землю, не-
дра, некультивируемые биологические ресурсы (леса, дикие животные
и др.), водные ресурсы под землей (на которые распространяются пра-
ва собственности). Непроизведенные нематериальные активы предста-
вляют собой юридические формы, составляемые в связи с процессом
производства и периодически переходящие от одних институциональ-
ных единиц к другим (авторские права, патенты, лицензии, торговые
знаки и др.)1.
Изменение запасов материальных оборотных средств определяется по
следующим элементам: производственным запасам, незавершенному
производству, готовой продукции, прочим аналогичным составляющим.
Чистое приобретение ценностей, земли и других непроизведенных
материальных активов определяется как разность между стоимостью их
покупок и продаж.
Сбережение является общим финансовым ресурсом накопления. Кро-
ме того, таковым источником являются капитальные трансферты, полу-
ченные от “остального мира”. Капитальный трансферт — это безвоз-
мездная передача активов, имеющих капитальный характер, т. е. эти ак-
тивы, как правило, являются крупными и нерегулярными. Выделяются
три типа капитальных трансфертов: налоги на капитал, инвестиционные
субсидии и прочие капитальные трансферты. Налоги на капитал уплачи-
ваются нерегулярно в связи с повышением ценности активов. Налоги на
капитал не включают: налоги на продажу активов; регулярно уплачивае-
мые налоги на активы, используемые в качестве основного капитала, а
также налоги на землю, на имущество домашних хозяйств.
1 Методологические положения по статистике. Вып. 1. С. 258—276.
58
Рис. 5.3
Инвестиционные субсидии — это материальные или денежные сред-
ства, предоставляемые органами государственного управления другим
секторам или нерезидентам для финансирования затрат на приобретение
основного капитала.
Рассмотрим процессы сбережения и накопления в движении стоимо-
сти, распределения и перераспределения доходов. Ниже рассмотрена
схема такого движения, включающая статистические данные за 1995 г.
(млрд руб.)1.
Как видно из рис. 5.3, в основе накопления лежат внутренние процес-
сы производства продукции и ее конечного потребления, а также про-
цессы движения стоимости за пределы экономической системы и из-за
границы.
Совокупным ресурсом накопления является располагаемый валовой
доход, уменьшенный на величину конечного потребления и скорректи-
рованный на сальдо текущих и капитальных трансфертов с внешним ми-
ром. Он является финансовым источником накопления основного и обо-
ротного капиталов, а также прироста величины приобретенных ценно-
стей и непроизведенных активов. Следует заметить, что в этот источник
входит износ основного капитала, или амортизация.
Если из величин валовых сбережений и накоплений вычесть потреб-
ление основного капитала, получим соответственно чистое сбережение и
чистое накопление. Как видно из рис. 5.3, чистое накопление явилось в
рассматриваемом году отрицательной величиной. Это значит, что при-
рост основного капитала по своей стоимости меньше потребления этого
капитала. Вряд ли такую ситуацию можно признать положительной. К
сожалению, в последние годы Госкомстат России перестал публиковать
данные о потреблении основного капитала, что не позволяет определить
чистые сбережения и чистое накопление2.
Глава 6
ДОХОДНОСТЬ И РИСК
ФИНАНСОВЫХ ИНВЕСТИЦИЙ
6.1. Общая методология измерения доходности
финансовых инвестиций
В основе методологии анализа финансовых инвестиций лежит по-
строение уравнения эквивалентности, или так называемого баланса фи-
нансовой операции, который рассмотрен Е.М. Четыркиным. Понятие
1 Национальные счета России в 1989—1995 годах: Стат. сб. М.: Госкомстат России, 1997.
2 Национальные счета России в 1991 — 1998 годах: Стат. сб. М.: Госкомстат России, 1999.
60
финансовой эквивалентности является фундаментальным в количествен-
ном финансовом анализе. Его содержание заключается в приведении де-
нежных потоков, связанных с инвестицией, к единому моменту времени,
как правило, моменту инвестирования (или приведении инвестиций и
всех элементов потока к точке завершения процесса получения доходов
по инвестиции) и приравнивании суммы отрицательных (взятых по аб-
солютной величине) элементов денежного потока к сумме положитель-
ных элементов.
Рассмотрим графическую иллюстрацию баланса финансовой опера-
ции применительно к процессам инвестирования (рис. 6.1).
Пусть /0 — первоначальные инвестиции, Ev Е2, Е3 — доходы, получа-
емые в результате реализации инвестиционного проекта по окончании
периодов /р /2 и /3 соответственно (условно предположим, что длитель-
ность инвестиционного периода равна Т = ft + t2 + /3). Эти доходы на-
правляются на погашение долга, имеющегося на момент получения до-
ходов.
Обозначим процентную ставку через i и введем величину <7=1 + /.
Если финансовые ресурсы на инвестиции получены взаймы, то / —
процентная ставка по кредиту; если инвестирование осуществляется за
счет собственных средств, то / — средняя доходность альтернативного
вложения средств, которая может быть рассмотрена как упущенная вы-
года. При этом:
/, = /0<7zi — — долг (упущенная выгода) по истечении периода
/2 = ltqf2 — Е2 = (Ioqh - Е^г — Е2 — долг (упущенная выгода) по ис-
течении периода /2;
/2qr3 — Е3 = 0 — полное возмещение долга (упущенной выгоды) полу-
ченными доходами за период Т.
Преобразуя полученные формулы, можно записать:
/0<7г = £,^2 + f3 + E2q{3 + Е3. (6.1)
Получаем два противоположных денежных потока: наращение перво-
начальных инвестиций за весь период и наращение доходов за срок от
момента получения дохода и до конца срока финансовой операции. Раз-
делив на qT обе части последней формулы, получим:
61
Io= (Eiq~ti + E2.q-^+'2) + E3q~T). (6.2)
Выражение (6.2) показывает, что сумма современных величин дохо-
дов, приведенных к моменту инвестирования, должна быть равна (при
сбалансированности платежей) сумме первоначальных инвестиций.
Величина q (а точнее, /) в балансовом уравнении может быть исполь-
зована для измерения доходности финансовой операции. В этом случае
размер процентной ставки неизвестен и является искомой величиной.
Известными являются величины инвестиций и будущих доходов.
6.2. Измерение доходности
краткосрочных финансовых инструментов
Доходность операций с векселями (учет векселей банком). В первом раз-
деле данной работы была рассмотрена методология расчетов эквивалент-
ных ставок, в том числе ставок наращения и учетных ставок. Учетные
ставки, применяемые в операциях с векселями, сами по себе не измеря-
ют доходности этих операций для банка. Это связано с тем, что доход-
ность определяется отношением абсолютной величины дохода к инве-
стициям, которые привели к его получению. Такая доходность определя-
ется ставкой наращения. Обозначим доходность через гэ. Исходная фор-
мула эквивалентности (без учета комиссионных), позволяющая рассчи-
тать доходность, запишется следующим образом.
Для сложных процентов:
7У(1 - </я)(1 + гэс)" = ТУ, (6.3)
гзс = (1 - dnyV" - 1. (6.4)
Для простых процентов:
7V(1 - dn){\ + nrj = ТУ,
r3=d/(\-dri). (6.5)
Здесь d — учетная ставка, ТУ — стоимость векселя при его погашении.
Для обоих случаев (сложной и простой ставок доходности) величина
ТУ(\ — dn) представляет собой инвестиции банка для покупки векселя, а
величина ТУ — это брутто-доход, который получит банк в момент пога-
шения векселя.
Доходность купли-продажи векселей. Вексель может быть продан через
какое-то время после покупки до наступления срока погашения. Эффе-
ктивность данной операции может быть также измерена процентной
ставкой наращения. Цена покупки векселя Рх = ТУ(1 — txdx/K), где tx —
количество дней до погашения в момент покупки векселя; dx — банков-
62
ская ставка дисконтирования в момент покупки; К — временная база
(принятая в расчет продолжительность года — как правило, 360 дней).
Вексель продается за 12 дней до погашения с дисконтной ставкой d2.
Цена продажи векселя Р2 = 7V(1 — t2d2/K). Тогда Р\ — средства, вложен-
ные в операцию (инвестиции); Р2 — брутто-отдача инвестиций; (г, — г2) —
продолжительность операции.
Приведем балансовые уравнения.
Для простой ставки:
Л П + ('| - t2)r3S/K'] = Р2,
Ъ = 1(^2 - Л)/Л] • *?(' - (6-6)
где К' — временная база, принятая для расчета эффективности (как пра-
вило, 365 дней),
или
гЭ5 = 1(1 - t2d2/K)/(\ - t^/K) - 1] • K7(t{ - t2). (6.7)
Для сложной ставки:
Р,(1 + гэс)('| ’ '2>/365 = Р2,
'-эс = (Л/Л)365/(Г| _'2)“ Ь (6.8)
гэс = [(К- t2d2)/(K- - 1. (6.9)
Формулы (6.6) и (6.8) определения доходности универсальны и при-
менимы практически для любого краткосрочного финансового инстру-
мента.
ПРИМЕР. Вексель куплен за 120 дней до погашения с учетной ставкой 8%
и затем продан по ставке 7% за 50 дней до погашения. Временная база уче-
та — 360 дней. Временная база наращения процентов — 365 дней. Найти
эффективность данной операции.
Решение. Простая ставка:
/ 1 - 50 • 0,07/360 365
r« = [ 1 - 120 • 0,08/360-' ] ' "ТО” = °’09*’ ИЛИ 9,1%’
Сложная ставка:
гЭ(. = [(360 - 50 • 0,07)/(360 - 120 • О.О8)]365/70 - 1 = 0,0941, или 9,41%.
Покупка и продажа краткосрочных инвестиционных инструментов.
Краткосрочные инвестиционные инструменты
а) покупаются по номиналу и продаются за t2 дней до погашения;
б) покупаются после выпуска и продаются в конце срока;
в) покупаются через некоторое время после выпуска и продаются до
объявленного срока погашения.
Рассмотрим перечисленные выше варианты.
63
а) РД1 + (z( — /2) • r3)/K'] = P2, где P, — номинал; P2 — цена прода-
жи; /, и t2 — сроки до погашения от моментов покупки и продажи соот-
ветственно;
" Л)/Л1 • ~ *2>-
В данном случае определяется доходность, полученная за период t} — t2
и приводимая к годовому периоду.
ПРИМЕР. Депозитный сертификат куплен за 5000 руб. за 180 дней до вы-
купа, затем продан за 5200 руб. за 100 дней до выкупа. Определить доход-
ность операции.
Решение. Простая ставка:
rJ5 = [(5,2 - 5)/5] • 365/80 = 0,1825, или 18,25%.
Сложная ставка:
гзс = (5,2/5)365/8° - 1 = 0,196, или 19,6%.
б) Р2(1 + /2 r3S/К') = Р|(1 + tti/К), где Pi — номинал; Р2 — цена при-
обретения; / — объявленная процентная ставка (в процентах к номиналу
финансового инструмента).
Простая ставка:
r3S = [Р,(1 + t'i/Ю/Р, - 1] K'/t2. (6.10)
Сложная ставка:
Гзс= [Р,(1 + tii/VPjWi- 1. (6.11)
ПРИМЕР. Депозитный сертификат номиналом 1 тыс. руб. с объявленной
доходностью 15% годовых сроком 500 дней куплен за 1,2 тыс. руб. за
300 дней до погашения. Определить доходность инвестиций.
Решение.
[ 1000 (1 + 500 • 0,15/365) Л А АА<С А
г = --------------—-—-—--------— - 1 365/300 = 0,0055, или 0,55%;
I 1200 J
( 1000(1 + 500 • 0,15/365) V65/300 , п п
rJC = ------1------------------“I ” 1 = 0,0056, или 0,56%.
в) простая ставка: гЭ5 = [(Р2 - P[)/P[]K,/(ti — t2);
сложная ставка: гэс = (/y^i)365/('1 ~ '2) - 1, где Р{ — цена приобре-
тения.
ПРИМЕР. Сертификат со сроком обращения 200 дней приобретен инвесто-
ром через 80 дней после выпуска за 10,5 млн руб. и продан за 70 дней до
погашения за 10,7 млн руб. Определить доходность операции.
Решение.
= [(Ю,7 - 10,5)/10,5] • 365/(120 - 70) = 0,139;
гк. = (10,7/10,5)365/(12° “ 70) - 1 = 0,148.
64
В каких случаях случаях целесообразно применять простую или слож-
ную ставку при определении доходности? На наш взгляд, если инвестор
предполагает сразу реинвестировать средства, полученные от продажи
финансовых инструментов, и делать так регулярно в течение года, то це-
лесообразно использовать сложную ставку. Если финансовая операция с
краткосрочными инструментами носит разовый характер, то правильнее
применять простую ставку. В последнем случае целесообразность приме-
нения простой ставки вытекает из того, что в случае длительности хол-
дингового периода, равного году, инвестор продал бы данный финансо-
вый инструмент с доходом, в 365/Д/ раз большим, чем тот, который он
получил бы при владении финансовым инструментом только в течение
холдингового периода.
6.3. Доходность и риск инвестиций
на рынке акций
Каждая отдельная ценная бумага обладает собственной характеристи-
кой взаимосвязи риска и доходности. В основном действует прямая за-
висимость — чем выше доходность, тем выше риск. Наименее рисковы-
ми считаются государственные ценные бумаги. Они же обладают низкой
доходностью.
Для случая отсутствия дивидендных выплат коэффициент доходности
можно определить по формуле
г = (Р, - Ро)/Ро, (6.12)
где Ро — стоимость ценной бумаги в начальный период; Р( — стоимость
ценной бумаги в конце периода.
Если учесть возможные дивиденды, то формула преобразуется следу-
ющим образом:
г = ](/>, + £>,) - Ро]/Ро = Р,/Ро + (Р) - Ро)/Ро, (6.13)
где г = [дивидентная доходность] + [курсовая доходность].
Мерой риска является среднеквадратичное (стандартное) отклонение
доходности (о).
Инвестор должен выбрать актив с приемлемым для него соотношени-
ем доходности и риска. Множество таких соотношений (рис. 6.2) опре-
деляет кривую безразличия инвестора.
Все инвестиционные портфели, находящиеся на одной кривой безраз-
личия, равноценны для инвестора. Любой портфель, находящийся на кри-
вой безразличия, расположенной выше и левее, является более предпоч-
тительным, чем портфель, находящийся на кривой, находящейся ниже и
правее (сравним портфели Е, F и С, D на рис. 6.2). Необходимо иметь в
65
Рис. 6.2
виду, что кривые безразличия не пересекаются. Крутизна кривой характе-
ризует склонность инвестора к риску (см. рис. 6.3). Для любого инвесто-
ра можно построить бесконечное множество кривых безразличия.
Рис. 6.3. Низкая склонность к риску (высокая степень избежания риска) (а);
высокая склонность к риску (низкая степень избежания риска) (б)
Рассмотрим динамику доходности г по акциям компаний Л и В за ре-
троспективный период (см. табл. 6.1).
Отрицательное значение может иметь место при снижении рыночной
цены акции. Акция с большим разбросом доходности является более ри-
сковой. Таковыми являются акции компании В.
Составим ряд распределения доходностей (см. табл. 6.2) и на его ос-
нове построим гистограммы доходностей по каждой акции (рис. 6.4, 6.5).
Таблица 6.1
Период Коэффициент доходности г, %
А в
1 5 -10
2 6 10
3 10 4
4 12 20
5 25 25
6 18 10
7 10 50
8 8 12
9 18 -10
10 14 18
66
Таблица 6.2
Интервал г А в
Частота Частость (вероятность) Частота Частость (вероятность)
Меньше 0 — — 2 0,2
0-5 1 0,1 1 0,1
5,1-10 4 0,4 2 0,2
10,1-15 2 0,2 1 0,1
25,1-20 2 0,2 2 0,2
Свыше 20 1 0,1 2 0,2
Сумма 10 1 10 1
Как видно из графиков, значения доходностей по бумаге А (рис. 6.4)
в большей степени концентрируются вокруг среднего значения, а по бу-
маге В (рис. 6.5), напротив, рассредоточены по горизонтали.
Частость
Акция А
0,6-
0,5-
0,4- -------
0,3-
0,2- ---------------
01 tq_____________________ —г _______________________________________
0 5 10 15 20 25 30 Доходность
Рис. 6.4
Показатели оценки доходности и риска активов
1. Среднее (ожидаемое) значение уровня дохода по ценной бумаге
Среднее значение доходности может быть определено по фактиче-
ским данным прошлого (ретроспективного) периода (они называются
историческими (ex post))'.
r=Y.rl/n, (6.14)
67
где г, — доходность в период / (/ = 1, п), п — количество временных
периодов.
По данным табл. 6.1, получаем: гА = 126/10 = 12,6%, гв = 129/10 =
= 12,9%.
Историческое среднее значение часто используется для оценки буду-
щих значений доходности. Если известно прогнозное распределение ве-
роятностей доходности, то будущее ожидаемое (ex ante) значение доход-
ности может быть определено так:
Е(г) = 2гт • рт, (6.15)
где гт — доходность /и-го уровня; рт — вероятность появления в буду-
щем дохода с m-м уровнем (т — порядковый номер элемента ряда,
ранжированного по возрастанию доходностей).
Если оценки вероятности определять по историческим данным, то ве-
роятность получения дохода т-го уровня определится по формуле:
Рт =пт/"’ (6.16)
где пт — количество наблюдений дохода на уровне т.
Если будущее распределение вероятностей соответствует историческо-
му, результаты расчетов по формулам (6.14), (6.15) будут одинаковыми.
' По бумаге А: Е(г)А = 5 • 0,1 + 6 • 0,1 + 8 • 0,1+ 10 • 0,2 + 12 • 0,1 +
+ 14 • 0,1 + 18 • 0,2 + 25 • 0,1 = 12,6%.
По бумаге В: Е(г)в = -10 • 0,2 + 4 • 0,1 + 10 • 0,2 + 12 • 0,1 + 18 • 0,1 +
+ 20 • 0,1 + 25 • 0,1 + 50 • 0,1 = 12,9%.
2. Дисперсия
Дисперсия характеризует разброс (рассеяние) доходностей вокруг сред-
него (ожидаемого) значения. По историческим данным:
о2 = S(r,„ - г)2/(и - 1), (6.17)
о2 = [(5 - 12,6)2 + (6 - 12,6)2 + (8 - 12,6)2 + (10 - 12,6)2 • 2 + (12 -
- 12,6)2 + (14 - 12,6)2 + (18 - 12,6)2 • 2 + (25 - 12,6)2]/(10 - 1) = 38,9;
о2в = [(-10 - 12,9)2 • 2 + (4 - 12,9)2 • 2 + (10 - 12,9)2 + (12 - 12,9)2 +
+ (18 - 12,9)2 + (20 - 12,9)2 + (25 - 12,9)2 + (50 - 12,9)2]/(10 - 1) = 305.
По прогнозному распределению вероятностей:
°2 = ^Гт ~ Е^2Рт- (6.18)
Показатель дисперсии трудно интерпретировать, так как размерность
дисперсии дохода, измеряемого в процентах, — процент в квадрате. По-
этому рассчитывается показатель, который легко интерпретировать. Он
называется среднеквадратичным отклонением.
3. Среднеквадратичное (стандартное) отклонение
Запишем:
68
О = (6.19)
пА = 6,2%, ав = 17,5%.
Значения среднеквадратичного отклонения свидетельствуют о том,
что доходность бумаги А отклоняется от ожидаемого значения в среднем
на 6,2 процентных пункта, по бумаге В это соотношение составляет 17,5
процентных пункта.
4. Коэффициент вариации
Расчет проводится по формуле
И=о/г. (6.20)
Этот коэффициент показывает, на сколько процентов отдельные зна-
чения доходности в среднем отклоняются от ожидаемой величины:
VA = 6,2/12,6 = 0,492 (49,2%); VB = 17,5/12,9 = 1,357 (135,7%).
Если мы возьмем большое количество наблюдений, то приведенная вы-
ше ступенчатая гистограмма трансформируется в кривую распределения.
На графике удобно по оси абсцисс отложить величину Z = (гт — г)/о.
Настоящая характеристика показывает, на сколько среднеквадрати-
чных отклонений данное наблюдение отличается от средней величины.
Из курса статистики известно, что для большой совокупности, подчи-
няющейся закону нормального распределения, в пределах ±о будет на-
ходиться 68,2% всех наблюдений, в пределах ±2о — 95,46% и в пределах
±3а — 99,7% (рис. 6.6).
Для нашего примера с вероятностью 68,2% можно сказать, что уро-
вень дохода по ценной бумаге А будет находиться в пределах гл = 12,6 ±
± 6,2, т.е. 6,4% & rA s 18,8%; по бумаге В'. гв = 12,9 ± 17,5.
Можно заметить, что среднее отклонение по бумаге В выше, чем сам
доход: —4,6% s rB s 30,4%.
69
Глава 7
ПОРТФЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Вкладывая средства в различные ценные бумаги, инвестор формирует
портфель инвестиций. Он стремится сформировать этот портфель так,
чтобы при требуемой им доходности снизить риск либо при данном
приемлемом уровне риска повысить доходность.
Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля определяется как
средневзвешенная величина ожидаемых доходностей активов, включен-
ных в портфель:
E(r/,) = ZE(r/)x/, (7.1)
где £(/-,.) — ожидаемая доходность /-го актива, включенного в портфель;
х, — доля стоимости /-го актива в обшей стоимости портфеля (по рыноч-
ной стоимости на момент составления портфеля).
Риск портфеля в целом измеряется при помощи дисперсии и стан-
дартного (среднеквадратичного) отклонения портфеля.
Стандартное отклонение портфеля определяется по формуле
°р = <?^Х/ХУ°?,/2’ <7-2)
где о/у — ковариация доходности ценных бумаг / и j; xz, ху. — доли /-й и
У-й акций в портфеле соответственно.
Ковариация характеризует взаимосвязь двух случайных величин. В
данном случае речь идет о ковариации отдельных пар ценных бумаг,
включенных в портфель. Будем обозначать этот показатель через Су или
cov(/, j).
Ковариация может быть определена по формуле
°ij = ~ " ’)• (7-3)
Справедлива также формула
° у = Ру °, °j > (7-4)
где — среднеквадратичное отклонение акции /; оу — среднеквадратич-
ное отклонение акции У; Ру — коэффициент корреляции между доходно-
стями акций i и у.
На основе показателя ковариации может быть определена направлен-
ность взаимосвязи доходности двух ценных бумаг. Но так как размер-
ность ковариации в данном случае — процент в квадрате, то непосред-
ственно тесноту взаимосвязи данный показатель не характеризует.
70
Коэффициент корреляции — относительная мера взаимосвязи двух слу-
чайных величин. Применительно к доходностям активов его значение
может быть рассчитано следующим образом:
ру [2 ^Г»у " У >]/ -F;)2- (7‘5)
Из (7.4) также следует, что
Ру = °/)- (7-6)
Величина коэффициента корреляции может находиться в пределах от
-1 до 1. Если коэффициент корреляции по абсолютной величине близок
к единице, то связь между доходностью рассматриваемых ценных бумаг
тесная. При его величине, близкой к нулю, — связь слабая. Если коэф-
фициент отрицательный, то связь обратная, если положительный — пря-
мая.
Рассмотрим методику расчета дисперсии и среднеквадратичного от-
клонения портфеля для случая трех бумаг, т.е. i = j = 1, 2, 3. Имеем:
( з з з
°Р = +^X2XJ°2J +2X3xj°3; =
U-l J-i J-l /
= (Х|Х|Оц + XiX2Ol2 + X|X30|3 + x2*i°2I + x2x2o22 +
1/
+ *2*3°23 + *3*1°31 + *3*2°32 + хЗхЗ°ЗзУ2 •
Необходимо учесть, чтоа/7 = р,рр, (см. (7.6)), а так как р/7 = 1, то
Р' = а2г Поэтому можем записать: ир = (х2а2 + х22о22 + х2а2 + 2х1х2о12 +
+ 2х,х3а|3 + Ix-fto^)'/2.
Допустим, х, = 0,2325, х2 = 0,4070, х3 = 0,3605. Найти среднеквадратичное
отклонение портфеля.
Решение. о/( = (0,2325 • 0,2325 • 146 + 0,2325 • 0,4070 • 187 + 0,2325 • 0,3605 х
х 145 + 0,4070 • 0,2325 • 187 + 0,4070 • 0,4070 • 854 + 0,4070 • 0,3605 х
х 104 + 0,3605 • 0,2325 • 145 + 0,3605 • 0,4070 • 104 + 0,3605 • 0,3605 • 289)’/2 =
= 16,65.
71
Дисперсия
портфеля
Несистематический риск
Системати- Уровень систематического риска
ческий риск
Количество ценных бумаг в портфеле
Рис. 7.1
Процесс рассредоточения средств инвестора между различными вида-
ми ценных бумаг называется диверсификацией портфеля. Соответственно
портфель, содержащий различные виды ценных бумаг, называется ди-
версифицированным.
Существует следующая зависимость: чем больше ценных бумаг нахо-
дится в портфеле, тем ниже значение среднеквадратичного отклонения
портфеля в целом.
Общий риск портфеля ценных бумаг может быть разделен на две ча-
сти — несистематическую и систематическую.
Несистематический риск — это часть общего риска, которая может
быть снижена через диверсификацию.
Систематический риск не может быть устранен посредством диверси-
фикации портфеля и связан с колебаниями обшерыночной конъюнкту-
ры. Графически названные риски могут быть изображены следующим
образом (рис. 7.1).
Портфель, состоящий из двух ценных бумаг. На примере портфеля, со-
стоящего из двух ценных бумаг, рассмотрим основные свойства инвести-
ционного портфеля.
Доходность и среднеквадратичное отклонение такого портфеля опре-
делятся по формулам:
Гр = Г1Х1 + Г2Х2’ (7-7)
ор = (x\d\ + х2о2 + (7.8)
Каким образом можно сформировать портфель, обеспечивающий
наименьший риск? Задача создания такого портфеля сводится к опреде-
лению долей ценных бумаг, из которых состоит портфель, обеспечиваю-
щих минимальную дисперсию портфеля, т.е. дисперсия портфеля может
быть рассмотрена как функция от упомянутых долей.
Пусть х( — доля ценной бумаги А, а (1 — х() — доля ценной бумаги
Б. Среднеквадратичное отклонение портфеля может быть рассчитано по
формуле:
72
°Р = Vl°l + <'1 ~xl)2°2 + 2х'^ " Х1)а1°2Р12 •
(7.9)
При заданных значениях ар о2, р12 величина ар является функцией от
лг Необходимым условием экстремума функции является равенство ну-
лю ее первой производной. Продифференцируем данную функцию и
приравняем первую производную к нулю:
- 2(1 - X, )а2 + 2(1 - 2Х| )О|О2Р|2 _ 0 (7 ю
2^0^ +(1 -х,)2о2 + 2Х|(1 -xJoio^Pu
откуда:
х, = (о2 - о1о2р|2)/(о2 + о2 - 2о,02р12). (7.11)
На основе формулы (7.11) определяются доли ценных бумаг в порт-
феле, обеспечивающие минимальный риск.
В зависимости от величины коэффициента корреляции получаем:
1) Р12 = -1,
*1 = (°2 + а1а2)/(°* + О2 + 20^) = а2/(о, + а2); (7.12)
1 - X! = о,/(о, + а2).
Если подставить данные значения в формулу для вычисления ор, то
получим:
Таким образом, при абсолютной отрицательной корреляции между
доходностями ценных бумаг можно подобрать доли этих бумаг так, что
риск портфеля будет равен нулю;
2) Р|2 — 0.
В этом случае связь между доходностями ценных бумаг полностью от-
сутствует:
х, = о2/(о2 + ар; (7.13)
(1 - х() = о2/(о2 + о2);
I—Z----Г~
~ °1°2 +а2)-
3) Р|2= 1-
В данном случае имеет место абсолютная положительная взаимосвязь:
х( = о2/(о2 - О]); (7.14)
(1 - х,) = - о,/(о2 - о,);
ор = 0.
73
Таблица 7. 7
Периоды Доходность ценных бумаг, %
А Б
1 5,5 10
2 8,1 30
3 6,2 20
4 3,4 40
5 8,5 25
6 6,0 10
7 7,0 5
8 5,0 30
9 8,0 10
10 9,0 15
11 9,5 50
12 7,5 20
Как видно из приведенных формул, одна из долей является отрица-
тельной, а другая — больше единицы (сумма долей равна единице). Риск
данного портфеля также нулевой, как и в случае абсолютной отрицатель-
ной взаимосвязи. Рассматриваемый портфель формируется на основе ко-
роткой продажи одной из ценных бумаг (той, доля которой отрицатель-
на): продажи взятой в долг бумаги с последующим ее возвратом посред-
ством покупки в будущем.
Расчет риска и доходности различных вариантов построения портфеля из
двух активов. Предположим, что мы имеем две ценные бумаги (А и Б),
доходности которых в ретроспективном периоде характеризовались сле-
дующими данными (см. табл. 7.1).
Данные ценные бумаги характеризуются следующими показателями
средней доходности и риска: гА = 7,0; оА = 1,8; гъ = 22,1; оБ = 13,6;
Раб = °’026-
Рассмотрим риск и доходность портфеля в целом при различных ва-
риантах его формирования.
Таблица 7.2
Доли ценных бумаг в портфеле
Параметры Варианты формирования портфелей
1 2 3 4 5 6 7 8 9
А 0 10 30 50 70 90 100 130 -50
Б 100 90 70 50 30 10 0 -30 150
>'Р 22,1 20,6 17,6 14,6 11,5 8,5 7,0 2,5 29,6
°р 13,6 12,2 9,5 6,9 4,3 2,1 1,8 4,6 20,4
Из формул (7.7) и (7.8) видно, что при одной и той же доходности
портфеля в целом его среднеквадратичное отклонение зависит при фик-
сированных дисперсиях отдельных бумаг от коэффициента корреляции
их доходностей. При коэффициенте корреляции, равном (— 1), риск
74
портфеля наименьший, причем при определенной его структуре он мо-
жет быть равен нулю.
Возможны следующие ситуации.
1. р12 = 1. При данном значении коэффициента корреляции имеем мак-
симальные величины риска (выше было показано, что риск при р12 =
= 1 может быть сведен к нулю в случае короткой продажи одного из акти-
вов, но в данном изложении он не рассматривается):
°р = lA'l°l + Х2°1\- <7-15)
При изменении параметров х( и х2 между ор и гр существует линейная
зависимость. Все возможные значения точек будут находиться на прямой
MN (см. рис. 7.2).
2. Р|2 = -1. При этом возможные точки на графике будут соответст-
вовать лучам МО и NO. Это значит, что при приближении х( к опти-
мальному значению (от меньшего значения) снижение доходности порт-
феля (при г, < г2) сопровождается снижением риска, а при движении X!
от оптимального значения в сторону увеличения при снижении доходно-
сти портфеля риск увеличивается.
3. р12 = 0. При этом имеем:
+ *2°2 • (716)
В этом случае зависимость между ор и гр описывается кривой, прохо-
дящей через точки М и N.
При других значениях коэффициента корреляции данная кривая тем
больше будет вытянута в сторону точки О, чем ближе к (-1) будет значе-
ние коэффициента корреляции.
ПРИМЕР. Предположим, что мы формируем портфель из акций двух ком-
паний: А и Б. Эти акции характеризуются следующими показателями до-
ходности и риска:
оЛ = 5%, оБ = 10%, гА = 15%, гБ= 18%. Видно, что по условиям примера ак-
ция с большей доходностью обладает и большим риском. Необходимо оп-
ределить границы доходности и риска портфеля, составленного из данных
акций, при значениях коэффициентов корреляции: а) рАБ = -1, б) рАБ =
= 1, в) рАБ = 0. При этом зададимся структурой портфеля (см. табл. 7.3).
75
Таблица 7.3
Доля акций в портфеле, % (ХА и хБ)
Наименование акции Номер варианта структуры портфеля
1 2 3 4 5 6 7 8 9
А 0 10 20 33 50 67 80 90 100
Б 100 90 80 67 50 33 20 10 0
При хА = 67% и хъ = 33% для случая рАБ = -1 портфель имеет нулевой
риск (ор = 0) (см. формулу (7.12)).
Используя формулы (7.7) и (7.8), определим значения доходности и риска
портфеля при разных вариантах его формирования (табл. 7.4).
Таблица 7.4
Номер портфеля Доходность портфеля, гр Риск портфеля, ор
Раб * Раб ~ 0 Раб “ 1
1 18 10 10 10
2 17,7 8,5 9 9,5
3 17,4 7 8,1 9
4 17,01 5,05 6,9 8,35
5 16,5 2,5 5,6 7,5
6 16 0 4,7 6,65
7 15,6 2 4,5 6
8 15,3 3,5 4,6 5,5
9 15 5 5 5
Ниже приведено графическое изображение границ расположения портфе-
лей (рис. 7.3).
76
Рис. 7.4
Допустимое и эффективное множество портфелей. Выше было показа-
но, что если портфели формируются из двух активов, то все возможные
их комбинации (при данном коэффициенте корреляции) располагаются
на некоторой кривой или прямой. В том случае, когда в состав портфе-
лей включается несколько активов, их совокупность образует некоторую
область. Эта область называется допустимым (достижимым) множеством.
Данная область (рис. 7.4) заштрихована.
Отдельные точки внутри этой области характеризуют возможные
портфели, состоящие из какого-то количества активов. Видно, что порт-
фели допустимого множества неодинаковы по степени их привлекатель-
ности для инвестора. Наиболее привлекательными портфелями являют-
ся те, которые расположены на левой верхней границе допустимого мно-
жества и находящиеся на кривой, проходящей через точки D, С, В,
Множество портфелей, находящихся на данной кривой, называется
эффективным множеством. Эти портфели обеспечивают максимальную
доходность при данном уровне риска и минимальный риск при данном
уровне доходности.
Оптимальный портфель выбирается из эффективного множества в со-
ответствии с отношением инвестора к риску, которое в свою очередь ха-
рактеризуется кривыми безразличия данного инвестора. Точка касания
кривой безразличия эффективного множества и определяет оптимальный
портфель. Поскольку у разных инвесторов наклон кривых безразличия
неодинаков, то на одном эффективном множестве каждый из них выбе-
рет свой оптимальный портфель. Кривая безразличия I (рис. 7.5) харак-
теризует более осторожного инвестора, кривая II — менее осторожного.
Оптимизация инвестиционного портфеля. Задача оптимизации портфе-
ля может быть сформулирована следующим образом: необходимо опре-
делить доли ценных бумаг различных типов, включаемых в портфель,
обеспечивающих минимизацию риска при заданном (желаемом инвесто-
ром) уровне доходности.
Одним из методов оптимизации портфеля является диверсификация
Марковица.
Диверсификация Марковица основана на использовании методов оп-
тимального программирования. При этом формируются целевая функ-
ция и ограничения, а на их основе — функция Лагранжа.
77
Целевая функция данной задачи. Обозначим дисперсию портфеля ст.
Тогда
где х. — доля /-й ценной бумаги в портфеле; Xj — доляу-й бумаги в порт-
феле; Gy ~ ковариация данных бумаг.
Ограничения:
1) средняя доходность портфеля
Ё = 2х,.£(/-,.), (7.18)
где Xj — доля /-й ценной бумаги в портфеле; £(г,) — ожидаемая доход-
ность /-й ценной бумаги;
2) Sx, = 1. (7.19)
Для решения этой задачи необходимо сформировать функцию Ла-
гранжа:
L = + М^хДг,) - Ё) + k2(Sx,. - 1), (7.20)
где k,, к2 — множители Лагранжа.
Портфель, минимизирующий риск, определяется решением системы
уравнений:
э£ / Эх,- = 0,
' dL / dkz = 0,
где / = 1,2.
Перепишем нашу задачу для случая, если i, j — 1, 2, 3:
£ = х,О],+х2о22+х3а33 + 2Х|Х20|2 + 2х ,х30,3 + 2х 2х 30 23 +
+ kl(xl£(r|) + x2£(r2) + x3£(r3)-£) + x2(xl +х2+х3-1);
(7.21)
<)LlйХ| = 2х,о, । + 2х2о)2 + 2х3о,3 + k,£(r, ) + к2 *>0,
ЬL/дх2 — 2х|О12 + 2х2о 2, + 2х3023 + к।£(/*2) + к 2 в
&L/ дх 3 = 2х,о,3 + 2х2о23 + 2х3о33 + к,£(г3) + к2 =0,
а£/йк, -х,£(г,) + х2£(г2) + х3£(г3)-£ =0,
dL / д\ 2 =Х| ч КХ2+Х3- 1-0.
Представим систему в матричном виде:
2ои 2о(2 2а, 3 Е(г}) 1 *1 О'
2о21 2о22 2о23 Е(г2) 1 Х2 0
2о31 2о32 2о33 Е(г3) 1 • х3 = 0
Дг() Е(г2) Е(г3) 0 0 Е
1 1 1 0 0, W
78
Если обозначить матрицу через //, вектор — через А и вектор в пра-
вой части — через G, то получим матричное уравнение:
Н • А = G,
А = Н~1 • G.
(7.22)
(7.23)
ПРИМЕР. Имеются три акции. Запишем их характеристики в виде следу-
ющей таблицы (табл. 7.5).
Таблица 7.5
Номер акции (0 £(/,) ° а
1 0,06 0,35 012 = “0,1
2 0,09 0,42 °23 =
3 0,18 0,75 о13 = 0,30
0,70 -0,20 0,60 0,06 1'
-0,20 0,84 1,0 0,09 1
0,60 1,0 1,5 0,18 1
0,06 0,09 0,18 0 0
. 1 1 1 0 0,
'О'
О
о
Г
’ 0,416 -0,55 -0,555 0,74 0,138 -0,185 -3,481 -6,47 0,723' 1,035
я-* = 0,139 -0,185 0,046 9,951 -0,759
-3,481 -6,4695 9,951 -12,836 -4,057
0,724 1,035 -0,759 -4,057 -0,399.
—3,481 • Е + 0,723 '
Х2 = -6,47 • Ё + 1,035
.*3. 9,951 • Е - 0,759
Если мы представим, что инвестор хочет получить доходность Е = 12%, то
получим: X, = 0,305; х2 = 0,259; х3 = 0,435; « 1.
79
Глава 8
МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ КАПИТАЛЬНЫХ АКТИВОВ
Модель оценки капитальных активо в (Capital Asset Pricing Model —
САРМ) впервые рассмотрена Уильямом Шарпом.
Можно отметить ряд предпосылок модели1:
1) оценка портфелей осуществляется инвесторами на основе ожидае-
мой доходности портфеля и его риска, измеряемого среднеквадратичным
отклонением;
2) активы бесконечно делимы и абсолютно ликвидны;
3) все инвесторы могут получать взаймы и давать в долг по безриско-
вой ставке;
4) не существует трансакционных затрат и налогов;
5) все инвесторы одинаково информированы и одинаково оценивают
риск и доходность активов.
Выше было показано, как формируется портфель, состоящий из рис-
ковых активов. Но инвестор может создать портфель, включающий наря-
ду с рисковыми безрисковый актив. Этот актив имеет нулевой риск и не-
которую безрисковую доходность, которую обозначим через лу(рис. 8.1).
В этом случае инвестор выбирает из портфелей, характеристики которых
находятся на графике на прямой линии, соединяющей точку безрисковой
доходности и точку М касания этой линией эффективного множества ри-
сковых портфелей.
Рис. 8.1
Кривая безразличия касается прямой rfM на более высоком уровне и
обеспечивает формирование предпочтительного портфеля по сравнению
с любым рисковым портфелем, лежащим на границе эффективного мно-
жества. По сути происходит изменение положения эффективного мно-
жества, которое перемещается на прямую г^М.
1 Шарп У.Ф., Александер Г.Д., Бэйли Д. В. Инвестиции. М.: Инфра-М, 1997. С. 259.
80
В условиях равновесия рынка капитала портфель М состоит из риско-
вых активов, включаемых в данный портфель пропорционально их доле
в рыночной стоимости всей совокупности активов. Поэтому он называ-
ется рыночным портфелем.
Линия rfM называется линией рынка капитала (Capital Market Line —
CML).
Уравнение линии рынка капитала записывается следующим образом:
ГР = rf + [(''л/ - <8-!)
где гр — ожидаемая доходность портфеля, состоящего из рисковых и без-
рисковых активов с учетом отношения к риску данного инвестора, а ве-
личина (гм — г^/ам характеризует тангенс угла наклона линии рынка ка-
питала1.
Выше рассмотрены соотношения риска и доходности инвестицион-
ных портфелей. Исследуем зависимость доходности отдельной ценной
бумаги и рыночного портфеля.
Рассмотрим некоторую ценную бумагу у, входящую в допустимое мно-
жество. Сформируем портфель, состоящий из рыночного портфеля М и
бумаги у. Пусть Xj — доля у-й бумаги, (1 — ху.) — доля портфеля М. Ожи-
даемая доходность портфеля в этом случае определится так2:
rp = xjrJ + ^ (8-2)
Стандартное отклонение данного портфеля:
-^xfoj +(1 -ху)2о^ + 2ху(1 -Xj)0JM. (8.3)
Все возможные комбинации портфелей будут лежать на кривой Mj
(см. рис. 8.2).
1 Уравнение линии рынка капитала можно получить, если из точки rf провести линию,
параллельную оси абсцисс, и рассмотреть подобные треугольники, получаемые при пере-
сечении этой линии с прямыми Lap и Мам.
- Шарп У.Ф., Александер Г.Д., Бэйли Д.В. Указ. соч. С. 283—284.
81
Для нахождения угла наклона касательной к кривой Mj в точке j оп-
ределим производные (с учетом формул 8.2 и 8.3):
= гу - гм\
, , XJ°2J ~ + + ' 2xJ°jM
dap / dXj = , -----------------------------.
V + (1 - Xj)2<J2M + 2xy(l - Xj)ojm
Коэффициент наклона кривой Mj может быть определен как
<7 + 0 -ху)2<>м + 2ху(1 -ху)а^~
XyOj - O2W + XjG2, + оул/ - 2хуоуд/
В точке М доля бумаги j равна нулю. Поэтому коэффициент угла на-
клона будет равен
drP/daM = (rj ~ гмУ°м/ (°jM ~ °а/)- <8-4)
В точке М наклон CML (равный (гм — rfi/cs^ совпадает с наклоном
Mj. Следовательно, можем записать: (7 — — о2м) = (гм —
- откуда
7 = 7 + 1(гА/ “ 7)/а2л/1 а;м <8-5)
Если обозначить <xjM/o2M через ру (p-коэффициент), то можем записать:
rj= rf+ (Sm~ г№- (8-6)
Графическое изображение уравнения (8.6) называется рыночной ли-
нией ценных бумаг (Security Market Line — SML)
С помощью p-коэффициента измеряется риск ценной бумаги, связан-
ный со среднерыночным риском; p-коэффициент характеризует измен-
чивость доходности отдельной ценной бумаги в зависимости от колеба-
ний общерыночной доходности (связывает колебания индивидуальной
зависимости с колебаниями рыночной доходности).
Величина р определяется как параметр уравнения парной линейной
регрессии, связывающего доходностьу-й ценной бумаги (7) и среднеры-
ночную доходность (гму.
rj = а; + $jrM + ир (8-7>
где а, р — параметры регрессионной модели, определяемые статистиче-
скими методами; иу — возмущение (отклонение) от линии регрессии.
82
Для нахождения аир могут быть использованы следующие формулы:
р 1(ГУ -Q)(rA7 ~ГЛ/) ajM
ЦГМ-ГМ? °М
(8.8)
а = fj -^ГМ,
(8.9)
где п — количество наблюдений в отчетном периоде.
Может быть использована и другая формула, применение которой в
ряде случаев упрощает расчеты:
« =
(8.10)
ПРИМЕР. Динамика значений доходности акций С и Д, а также средне-
рыночной доходности представлена в табл. 8.1, в которой проведены не-
обходимые расчеты для определения р-коэффицентов этих бумаг.
Таблица 8.1
Номер периода гс гд гм гс 'я гм гм гс ГМ ГЛ
1 5 10 10 25 100 100 50 100
2 8 24 12 64 576 144 96 288
3 10 50 12 100 2500 144 120 600
4 12 30 14 144 900 196 168 420
5 9 5 14 81 25 196 126 70
6 8 2 8 64 4 64 64 16
7 14 20 10 196 400 100 140 200
8 6 -5 8 36 36 64 48 -40
S 72 136 88 710 4541 1008 812 1654
Далее используем формулу (8.10):
рс = (8 • 812 - 72 • 88)/(8 • 1008 - 882) = (6496 - 6336)/(8064 - 7744) =
= 160/320 = 0,5;
рд = (8 • 1654 - 88 • 136)/(8 • 1008 - 882) = (13232 - 11968)/320 = 3,95.
Графическое изображение теоретической линии регрессии (рис. 8.3)
называется характеристической линией.
Величина Ру показывает изменение доходности конкретной ценной
бумаги на единицу изменения среднерыночной доходности, р( иногда на-
зывается индексом рыночной чувствительности данной ценной бумаги.
83
Характеристическая линия
(тангенс угла наклона
характеристической
7 линии)
Рис. 8.3
Варианты уровней ^-коэффициента:
если р(. = 1, значит, динамика доходности z-й ценной бумаги совпада-
ет с динамикой среднерыночной доходности;
если р, > 1, то колебание доходности данной ценной бумаги выше,
чем колебание среднерыночной доходности;
если р, < 1, то изменение индивидуальной доходности меньше, чем
изменение средней доходности.
Ценные бумаги с р( > 1 считаются высокорискованными (если падает
средняя доходность, то доходность z-й бумаги падает еше быстрее).
Чем больше p-коэффициент, тем выше системный риск данной цен-
ной бумаги.
Ценные бумаги с р(. > 1 называются агрессивным инвестиционным ин-
струментом, с р; < 1 — защитным инвестиционным инструментом.
В приведенном выше примере с акциями компаний С и Д видно, что
акции компании Д являются более рискованными.
Измерение риска ценных бумаг с помощью p-коэффициента. Как отме-
чалось, величина риска акций количественно измеряется дисперсией,
или стандартным отклонением. Этот общий риск может быть разделен
на две составляющие: систематическую и несистематическую.
Если взять общую дисперсию данной ценной бумаги, то она может
быть определена следующим образом:
<4ц = + °2,’
(8.Н)
где пл/ — стандартное отклонение рыночной нормы доходности; о2и —
дисперсия возмущения (несистематический риск); (р/т^)2 — величина
систематического риска:
®сист (Р/®Лр ’ *^сист
(8.12)
ПРИМЕР. Для рассмотренных выше акций компаний С и Д
рс= 0.5; оЛ/= 2,91;
рд= 3,95; ос= 2,97; од=17,8.
Это значит, что оСсист = 0,5 • 2,91 = 1,455%;
ол<;11СТ = 3.95 • 2,91 = 11,5%.
84
p-коэффициент портфеля определяется следующим образом:
= (8-13)
где л;. — доля портфеля, приходящаяся на z-ю ценную бумагу.
Допустим, есть два портфеля — I и II, которые состоят из трех видов
ценных бумаг (А, В, С), имеющих доли:
I II
хА 0,2 0,5
хв 0,3 0,3
хс 0,5 0,2
Коэффициенты имеют следующие значения:
₽л = 0,1; рй = 1,0; рс = 2,0.
На этой основе рассчитываем p-коэффициенты портфелей: pj, = 1,32;
pj,1 = 0,75, т.е. несмотря на то что бумаги, содержащиеся в обоих портфе-
лях, одинаковые, портфель I более рискованный, чем II, так как в нем
выше доля ценной бумаги С, характеризующейся более высоким риском.
Формирование необходимой или требуемой нормы прибыли. Ценные бу-
маги различаются по уровню доходности и по рисковости. Инвестор рас-
считывает получить премию за риск, которая является добавкой к дохо-
ду, получаемому по безрисковым ценным бумагам.
Следовательно, желаемая доходность инвестиций формируется из
двух частей:
I) минимальной доходности по безрисковым ценным бумагам;
2) премии за риск.
Таким образом:
rs = безрисковая доходность + премия за риск,
r5 = rf + p(rm - rf), (8.14)
где rs — требуемая доходность инвестиции; р — коэффициент, характе-
ризующий рисковость ценной бумаги; гт — средняя доходность на рын-
ке ценных бумаг (доходность рыночного портфеля); rf— безрисковая
норма доходности; p(rOT — rfi — премия за риск.
Рис. 8.4
85
ПРИМЕР. Существуют три типа акций:
р, = 1.0; р2 = 2,0, р3 = 0,5;
iy = 8%, гт = 12%. Соответственно получаем;
г5= 8 + 1,0 (12 - 8) = 12%;
г = 8 + 2,0 (12 - 8) = 16%;
rs = 8 + 0,5 (12 - 8) = 10%.
Глава 9
АНАЛИЗ ОБЛИГАЦИЙ
9.1. Типология облигаций
Облигация — приносящее процент долговое обязательство, ценная бу-
мага, свидетельствующая о предоставлении займа ее держателем*. Суще-
ствует весьма детальная типология облигаций, учитывающая большое
количество признаков. На рис. 9.1 приведена классификация по наибо-
лее существенным из них2.
По характеру имитента
-> Г осударст- венные
-► Муници- пальные
-> Корпора- тивные
ОБЛИГАЦИИ
По способу пога- шения По сроку обращения По характеру обеспечения По характеру размещения
С публичным
размещением
Кратко-
срочные
(1—5 лет)
-► Срочные (с един- ственным сроком погашения)
С правом имитента
на досрочный отзыв
(callable)
Средне-
срочные
(5—12 лет)
Обеспечен-
ные
Необеспе-
ченные
С частным
размещением
С правом долгосроч-
ного погашения ин-
вестором (puttable)
С обязательством
-► формирования пога-
сительного фонда
Долго-
срочные
(свыше
12 лет)
Серийные
Рис. 9.1
1 Розенберг Д.М. Инвестиции: Терминологический словарь. М.: Инфра-М, 1997. С. 41.
- The Handbook of Fixed Income Securities/F.J. Fabozzi, ed. N.Y.: McGraw-Hill, 1997.
P. 3-13.
86
9.2. Основные характеристики облигаций
Курс облигации — отношение рыночной цены к номиналу, выражен-
ное в процентах:
К = Р- 100/Л/,
где Р — рыночная цена; М — номинал.
Рейтинг облигаций характеризует их надежность. Он учитывает вероят-
ность неплатежа, обеспечение облигаций, возможность исполнения обя-
зательств в случае банкротства должника и другие обстоятельства.
В США рейтинг корпоративных облигаций определяют четыре основ-
ных рейтинговых агентства: корпорация кредитных рейтингов “Даф и
Фелпс” (Duff & Phelps Credit Rating Co — D&.P), “Фитч инвестор сервис”
(Fitch Investor Service, Inc. — Fitch), “Мудиз инвестор сервис” (Moody's
Investor Service — Moody's), “Стандарт энд Пурс корпорейшн” (Standard
and Poor's Corporation — S&P) (см. табл. 9.1).
Таблица 9.1
Рейтинг корпоративных облигаций1
Moody's S&P Fitch D&P Характеристика облигаций
Инвестиционный уровень — наивысшая кредитная ценность
Aaa AAA ААА ААА Лучшее качество, максимальная надеж- ность
Aal AA+ АА+ АА+
Aa2 AA АА АА Очень высокий уровень, высокое ка- чество
Aa3 AA- АА- АА-
Al A+ А+ А+
A2 А А Уровень выше среднего
A3 A- А- А-
Baal BBB+ ВВВ+ ВВВ+
Baa2 BBB ВВВ ВВВ Уровень ниже среднего
Baa3 BBB- ввв- ввв-
Заметно спекулятивный уровень, низкая кредитная ценность
Bal ВВ+ ВВ+ ВВ+
Ba2 ВВ ВВ ВВ Низкий уровень спекулятивности
Ba3 вв- вв- вв-
Bl В+ В+ В+ Высокоспекулятивные
B2 В В В
B3 в- в- в-
1 The Handbook of Fixed Income Securities. P. 225—226.
87
Продолжение табл. 9.1
Moody's S&P | Fitch D&P Характеристика облигаций
Преимущественно спекулятивный уровень, существенный риск
или отказ от платежа
Саа ССС+ ССС ссс- ССС ССС Существенный риск, слабое состояние
Са С сс с СС С Возможен отказ от платежа, очень спекулятивные
CI Доходные облигации, процент не выплачивается
D DDD DD D DD Дефолт (отказ от платежа)
9.3. Анализ доходности облигаций
Купонная доходность (ставка) устанавливается в процентах к номи-
нальной стоимости облигации.
Текущая доходность — отношение купонного дохода к цене приобре-
тения.
Полная доходность (yield to maturity) учитывает купонный доход и до-
ход от погашения (иногда называется ставкой помещения).
Доходность по видам облигаций. 7. Облигации без обязательного погаше-
ния с периодической выплатой процентов. Если с — купонная ставка, г, —
текущая доходность, то
г, = Мс/Р = с • 100//С (9.1)
2. Облигации без выплаты процентов. Доходность образуется как раз-
ность между номиналом и ценой приобретения. Курс данной облигации
меньше 100.
Баланс операции запишется следующим образом: Р = М(\ + г)-", где
п — срок до погашения облигации, г — полная доходность облигации,
(1 + г)“" = Л/100;
г - 1 / /100 - 1. (9 2)
ПРИМЕР. Выпущена облигация с нулевым купоном со сроком погашения
10 лет. Курс облигации — 60. Найти полную доходность на дату погашения.
Решение, г = 1 /(^60/100)-1 = 0,052, или 5,2%.
88
3. Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока (реинве-
стирование купонного дохода). Баланс операции: М (1 + с)п
или [(1 + с)/(1 + г)]п = ЛГ/ЮО;
(1 + /•)-"= р
r-(l+c)/^/100-l.
(9.3)
курсом 80,
номинал и
ПРИМЕР. Облигации с доходом 15% годовых от номинала,
сроком до погашения 5 лет. Найти полную доходность, если
проценты выплачиваются в конце срока.
Решение, г = (1 + 0,15) / ^/80/100 -1 =0,202, или 20,2%.
4. Облигации с периодической выплатой процентов и погашением номи-
нала в конце срока. Баланс операции:
сМ сМ сМ М
Р ~ 1 + г + (1 + г)2 + + (1 + г)" + (1 + г)п
(9.4)
ИЛИ
Р = М(\ + г)~« + сМ ]?(1 + г)-',
где / — период от покупки облигаций до выплаты купонного дохода.
Определение неизвестной величины полной доходности может быть
произведено тремя методами: так называемым приблизительным мето-
дом, методом линейной экстраполяции и методом проб и ошибок.
Для приблизительного метода используется формула
_ сМ + (М — Р)/п
Г~ (М+ Р)/2
(9.5)
или
(9.6)
с+ (1 -К)/п
(1 - Х)/2
Для использования метода линейной интерполяции (описание метода
приведено в п. 3.6) разделим обе части формулы (9.4) на М:
X/100 = (1 + /•)-« + сап;г, (9.7)
где апг — коэффициент приведения ренты по ставке г за период п.
Полная доходность г может быть найдена методом линейной интер-
поляции:
г = rH + [(Кн - K)/(Ktt - /Q] • (гв - гн), (9.8)
где гн и гв — нижняя и верхняя границы полной доходности; Кн и Кв —
нижняя и верхняя границы курса, рассчитанного для гн и гв по формуле
(9.7); Кв < К < Кн.
Необходимо отметить, что с ростом доходности курс облигации сни-
жается.
89
ПРИМЕР. Облигация сроком до погашения 6 лет с процентной ставкой 10%
куплена по курсу 95. Найти полную доходность.
Решение. Для определения коэффициентов приведения ренты апг восполь-
зуемся уже известной формулой (3.20).
Положим гн = 10%, гв = 15%. Тогда:
Лн/100 = 1,10“6 + 0,1 • О6;|0 = 0,564 + 0,1 • 4,355 = 0, 99;
V100 = 1.15“6 + 0,1 • а6;|5 = 0,432 + 0,1 • 3,784 = 0,81;
г = 0,10 + [(0,99 - 0,95)/(0,99 - 0,81)] (0,15 - 0,10) = 0,11.
Проверка: 1.11*6 + 0.1 • а6;1| = 0,535 + 0,1 • 4,23 = 0,958.
Метод проб и ошибок заключается в подборе величины г таким обра-
зом, чтобы равенство (9.4) (или (9.7)) оказалось верным.
9.4. Дюрация
(средняя продолжительность платежей)
Одним из показателей изменчивости облигации является дюрация.
Данный термин является калькой с английского duration, что переводит-
ся “продолжительность”. Впервые данный показатель исследован Фреде-
риком Макалеем в 1938 г. Он определил этот показатель как средневзве-
шенный срок к погашению денежного потока ценной бумаги*. Дюрация
Макалея рассчитывается по формуле:
= +^г,
£СГ,(1 + г)-'
(9.9)
где t — срок платежа или элемента денежного потока по облигации; CFt —
величина элемента денежного потока по облигации в году t; г — доход-
ность к погашению (полная доходность).
Показатель дюрации Макалея, рассчитанный по формуле (9.9), изме-
ряется в годах.
Следует обратить особое внимание на то, что дисконтирование про-
изводится по ставке доходности к погашению, которую первоначально
необходимо определить, для чего могут быть использованы рассмотрен-
ные выше методы. Кроме того, отметим, что в знаменателе формулы рас-
чета дюрации находится цена облигации, так как
P=^CF,(\ + гУ'. (9.10)
Для облигаций, по которым купонный доход выплачивается т раз в
году, формула расчета принимает вид:
п CF, (1 + г/тУ
D~ и- / ч-r • <911>
m2^CFt(\ + r/m) '
The Handbook of Fixed Income Securities. P. 85.
90
ПРИМЕР. Облигация сроком до погашения 6 лет, купонная ставка —
10%, номинал — 100 долл. Доходность к погашению — 11%.
Таблица 9.2
1 (1 + г)-< CFt CFt(\ + г)-’ tCF,(\ + г)"'
I 0,9009 10 9,009 9,009
2 0,8116 10 8,116 16,232
3 0,7312 10 7,312 21,936
4 0,6587 10 6,587 26,348
5 0,5935 10 5,935 29,675
6 0,5346 110 58,806 352,836
Итого 95,765 451,4272
Получаем:
D = 451,4272/95,765 = 4,7 года.
Дюрация может быть рассмотрена также как эластичность цены обли-
гации по изменению процентной ставки (а точнее, величины 1 + г). В
общем рассмотрении коэффициент эластичности — это отношение от-
носительного прироста одного показателя к относительному приросту
другого показателя. В данном случае этими показателями являются цена
облигации и процентная ставка.
Как отмечалось, цена облигации может быть рассчитана по формуле:
Р = ISF, (1 + г)~>.
Определим первую производную цены по изменению процентной
ставки:
dP/dr = СТ/1 + гГ'(9.12)
Относительное изменение цены определится как dP/P, а относитель-
ное изменение процентной ставки — Jr/(l+r). Коэффициент эластично-
сти определится выражением
(dP/P)/\dr/(\ + г)] = (dP/dr)/\(P/(\ + г)] = -^tCF, (1 + г)-'/Р =
= -^tCF,( 1 + г)*'/ 2 CF,( 1 + г)-' =—D. (9.13)
В результате получили формулу эластичности изменения цены обли-
гации в зависимости от изменения величины (1 + г). Как видно из (9.13),
этот показатель эластичности есть дюрация со знаком минус (см. (9.9)).
Если обе части в формуле (9.10) разделим на Р, то получим 1 =
= |SCF,(1 + гГ'\/Р.
Обозначим [CFt (1 + г) '/Р\ через где Vt — доля цены, которую
“обеспечивает” платеж года t.
Теперь можем записать:
(dP/P)/{dr/(\ + г)] = -£/ • V„ (9.14)
где S И, = 1.
91
Дюрация бескупонной облигации равна времени до погашения. Дю-
рация используется для управления риском, связанным с изменениями
процентных ставок.
9.5. Дюрация и изменение курса облигаций
Учитывая, что дюрация может быть рассмотрена как эластичность
изменения цены облигации от изменения величины (1 + процентная
ставка), можно увязать через дюрацию динамику курса и процентной
ставки.
В общем виде можно записать:
LP/P = -D [Дг/( 1 + г)], (9.15)
где ДР — изменение цены облигации; Р — начальная цена; Дг — измене-
ние процентной ставки; D — дюрация.
ПРИМЕР. Начальная цена облигации — 100 млн руб., доходность — 12%.
Дюрация составляет 5 лет. Доходность увеличится до 13%. Как изменится
цена?
Решение'.
Дг/(1 + /•) = 0,01/1,12 = 0,0089286;
ЬР/Р = -5 • 0,0089286 = -0,0446, или -4,46%.
Цена облигации снизится до 95 535 700 руб.
Для расчетов может быть использован показатель модифицированной
дюрации:
Dm = D/(\ + г) или Dm = D/(i + r/m). (9.16)
Модифицированная дюрация — эластичность изменения цены в ре-
зультате изменения процентной ставки (а не величины 1 + г). С исполь-
зованием данного показателя темп изменения цены определится как
ДР/Р--ПтДг. (9.17)
9.6. Выпуклость
Выпуклость облигации характеризует разность между фактической це-
ной облигации и ценой, прогнозируемой на основе модифицированной
дюрации (рис. 9.2). Среди прочего этот показатель свидетельствует о том,
что прирост курса облигации, связанный со снижением процентной
ставки, больше, чем падение курса при аналогичном росте ставки.
Степень выпуклости кривой зависит от ряда факторов: величины ку-
понного дохода, срока облигации, текущего рыночного курса.
92
ПРИМЕР. Номинальная цена облигации равна 1000 долл. Доходность —
30%. Срок — 1 год.
Начальная цена Р = 1000/1,3 = 769,2 долл. Как изменится цена?
Решение. Рассмотрим два варианта: а) ставки возросли до 35%; б) ставки
снизились до 25%.
Следовательно (см. рис. 9.2):
Р - ДР' = 1000/1,35 = 740,74 долл.;
Р + ДР = 1000/1,25 = 800 долл.;
-ДР' = 740,74 - 769,2 = -28,46 долл.;
ДР = 800 — 769,2 = 30,8 долл.
Выпуклость и дюрация. При использовании модифицированной дюра-
ции для определения изменения курса облигации предполагается, что
между этим изменением и изменением доходности существует линейная
зависимость. Но в действительности зависимость нелинейная.
Рассмотрим график (рис. 9.3).
Доходность
к погашению
Величина погрешности тем меньше, чем меньше изменение доходно-
сти. На графике ДР — прирост фактический; ДР — расчетный прирост,
определяемый через дюрацию; ДР' — фактическое снижение; ДР" —
снижение, определяемое через дюрацию.
Для уточнения расчетов и снижения ошибки, связанной с предполо-
жением линейности рассматриваемой взаимосвязи, можно произвести
следующие расчеты.
Предположим, что цена облигации есть функция от величины процент-
ной ставки: Р = /(г). Известно значение функции в точке г, нужно найти
значение в точке (г + Дг). Используем разложение функции в ряд Тейлора:
flr + Дг) = /(r) + [f '(г)/1!]-(Дг) + [/'"(г)/2!]-(Дг)2 + ... . (9.18)
Обозначим: f(r + Дг) — f(r) = ДР.
Введя величину ДР, разделив обе части (9.18) на Р и ограничившись
третьим членом ряда, можем записать:
ДР/Р= [/”(/•)/Р](Дг) + [/•"(г)/2Р].(Дг)2.
Величина f'(r)/P есть модифицированная дюрация
93
Следующий элемент ряда Тейлора [/""(г)], деленный на Р, называется
выпуклостью. Обозначим этот показатель через W:
W = f'\r)/P = + 1)CF, (1 + =
= ^t(t + 1)CF,(1 + rY<
(1 + r)2P
Если купонный доход выплачивается т раз в году, то для расчета вы-
пуклости используется формула:
VCF,(l + r/mY<
(1 + г/т)гРтг
Относительное изменение цены, определенное с учетом выпуклости,
может быть рассчитано так:
&Р/ Р = -Dmbr +0,5JFAr2.
(9.19)
(9.20)
(9.21)
ПРИМЕР. Облигация номиналом 1200 руб. куплена по цене 1000 руб. за
4 года до погашения. Купонная ставка — 15%, купонный доход выплачи-
вается один раз в год, доходность к погашению данной облигации —
21,64%. Прогнозируется рост доходности до 25%. Найти цену облигации
при указанном росте доходности.
Решение. Сначала найдем дюрацию, модифицированную дюрацию и выпу-
клость. Для этого используем табл. 9.3.
Таблица 9.3
1 (1+0,2164)"' С£, СГ/1+0,216)"' t CF,( 1+0,216)-' (r+1) t
1 0,8221 180 147,98 147,98 297,96
2 0,6758 180 121,64 243,28 729,84
3 0.5556 180 100,008 300,024 1201,096
4 0,4568 1380 630,384 2521,536 12 607,68
Итого 1000 3213,82 14 836,576
По данным таблицы:
D = 3213,82/1000 = 3,2;
Dm = 3,2/1,2164 = 2,63;
И/= 14836,576/1,21642 • 1000 = 10,03.
Прирост процентной ставки по условиям задачи составляет 25 - 21,64 =
= 3,36.
Для сравнения рассчитаем первоначальное изменение цены и ее новое аб-
солютное значение на основе показателя модифицированной дюрации:
ЬР/Р = -2,63 • 0,0336 = -0,088368;
Р' = 1000(1 - 0,0883680) = 911,63 руб.
Теперь уточним полученное значение, используя показатель выпуклости:
ЬР/Р = -2,63 • 0,0336 + 0,5 • 10,03 • 0,03362 = -0,0827232;
Р' = 1000(1 - 0,0827232) = 917,283 руб.
94
9.7. Временная структура процентных ставок
Кривая доходности. Одновременно на рынке находятся облигации с
различными периодами обращения и соответственно с различными сро-
ками до погашения от настоящего момента времени. Эти облигации
имеют различные доходности к погашению. Можно построить графиче-
скую зависимость доходности от срока, остающегося до погашения. Эта
зависимость называется кривой доходности (рис. 9.4).
Доходность
к погашению
Рис. 9.4
Могут быть другие зависимости (рис. 9.5).
а
Спотовая и форвардная процентные ставки. Спотовая процентная став-
ка — это доходность к погашению бескупонной облигации в конкретный
момент времени.
Например, бескупонная (дисконтная) облигация выпускается на один
год с доходностью 15%. Ставка-спот на один год в этом случае равна
15%. Если выпускается облигация на 2 года с доходностью 17%, то став-
ка-спот на два года равна 17%.
Ставка-спот за п лет определяется на основе решения уравнения
Ро = М„/(\ +
где Ро — текущая рыночная цена бескупонной облигации, которая пога-
шается через п лет по цене Л/,(; in — спотовая ставка за п лет.
ПРИМЕР, п = 2; Мп = 1000; Ро = 800;
/„ = д/1000 / 800 - 1 =0.118.
95
Форвардная процентная ставка — это ставка для периода времени в
будущем, которая определяется спотовыми ставками.
В общем виде формула для определения форвардной ставки имеет
вид:
Г„-1;л = 1(1 + + V|)"-1 ] - 1. (9-22)
где — форвардная ставка для периода и — (п — 1); sn — ставка-спот
для периода п; sn_ , — ставка-спот для периода п — 1.
ПРИМЕР. Ставка-спот на один год составляет 12%, на два года — 15%.
Определить форвардную ставку для второго года.
Решение. На рынке через один год для облигации с нулевым купоном, вы-
пущенной на один год, эта ставка будет:
(1,15)2/1,12 - 1 = 1,18 - 1 = 0,18, или 18%.
Непрерывное начисление процентов. Для вышеприведенного примера
можем получить значение непрерывной ставки, используя соотношение:
ln( 1 + 7) = q, где z — дискретная годовая ставка (начисление в конце го-
да); q — непрерывная ставка; 1п(1 + 0,12) = 0,113; 1п(1 + 0,15) = 0,14.
Можем записать:
Л//е°-14’2 = Л/Де0-113^-2);
е/|,2 = ^0.14-2/^0.113 = 1,32/1,12 = 1,179; 1п(е/' -2) = 1п(1,179);
/ , = 0,165, или 16,5%.
Проверка', е0165 — 1 = 0,179 - 0,18, или 18%.
В общем виде:
1. п = g$n ' НI 1 ' ( I ) *
= 1п(е’л' "/е5"-'' <"-”) = зп • п - $и_( • (п - 1).
Вышеприведенная формула используется для случая целого числа лет.
Возьмем произвольные периоды t2 и t{, причем t2 > s2 — спот-став-
ка для периода r2; — спот-ставка для периода tv Получим:
fh. h = = 5г2/2/365 - ^/,/365.
Данная формула предназначена для исчисления ставки для периода
/-> — /г Для приведения ставки к годовому измерению необходимо вне-
сти корректировку:
.//; h = ~ ^1^1)/365] * 365/(/2 — ^1) “ (*$2^2 — — ^1)’
ПРИМЕР. Непрерывно начисляемая ставка-спот на 300 дней составляет
12%, для 240 дней — 10%. Определим форвардную ставку для двух меся-
цев (60 дней) по истечении 240 дней.
Л40.300 = (0,12 • 300 - 0,1 • 240)/60 = 0,2, или 20%.
96
9.8. Иммунизация
Иммунизация — это техника управления портфелем облигаций, осно-
ванная на приравнивании дюрации портфеля к дюрации долга.
Другими словами, иммунизацию можно определить как способ обес-
печения фиксированной ставки дохода на заранее установленный пери-
од или обеспечение минимальной будущей стоимости к концу опреде-
ленного временного горизонта*. Одним из первых понятие иммунизации
определил в 1952 г. Ф. Реддингтон как инвестирование в активы таким
способом, при котором бизнес оказывается невосприимчивым к измене-
нию процентных ставок. Он же определил и условия иммунизации: сред-
няя дюрация активов должна быть равна средней дюрации обязательств.
Позднее, в 1971 г., Л. Фишер и Р. Вейл отметили, что портфель инвести-
ций иммунизирован в течение холдингового периода (периода владения),
если его стоимость на конец этого периода независима от изменения ста-
вок на всем его протяжении.
Дюрация портфеля равна сумме средневзвешенной дюрации отдель-
ных ценных бумаг, входящих в портфель.
Предположим, что нужно выплатить через три года 200 000 долл, за
счет портфеля облигаций. Дюрация этой выплаты составляет 3 года. До-
пустим, можно инвестировать средства в облигации двух видов:
1) бескупонные облигации со сроком погашения 2 года (текущий курс
— 857,3 долл., номинал — 1000 долл., дюрация — 2 года, ставка помеще-
ния — 8%);
2) облигации со сроком погашения 4 года (купонная ставка — 10%,
номинал — 1000 долл., ставка помещения — 8%) (табл. 9.4).
Расчет дюрации для второй облигации
Таблица 9.4
Год Доход, долл. Коэффициент дисконтирования Приведенная стоимость платежа Приведенная стоимость платежа, умноженная на время
1-Й 100 0,926 97,6 92,6
2-й 100 0,857 85,7 171,4
3-й 100 0,794 79,4 238,2
4-й 1100 0,735 808,6 3234,4
1066,3 3736,6
Дюрация = 3736,6/1066,2 = 3,5.
Возможные варианты организации портфеля
1. Вложить все средства в облигации первого типа. Через два года
средства реинвестируются в одногодичные облигации. Возможный риск
связан со снижением процентных ставок. В результате такого снижения
рыночные цены на облигации возрастут. Но, приобретая облигации в на-
1 The Handbook of Fixed Income Securities. P. 926—925.
97
чале периода (в нулевом году), инвестор предполагал осуществить реин-
вестирование по определенным доходности и цене, чтобы получить к
концу срока требуемую сумму. Инвестор с целью погашения долга
200 тыс. долл, через 3 года должен приобрести в начале периода пример-
но 186 облигаций первого вида, чтобы через два года реинвестировать
186 тыс. долл., купив облигации (годичные) с доходностью 8%, т. е. по
текущей цене 1000 долл, и номиналу 1080 долл. Но если доходность упа-
дет до 5%, то упомянутые годичные облигации будут стоить 1028,6 долл.
(1080/1,05). Это значит, что инвестор должен вложить дополнительные
средства в приобретение того же количества облигаций.
2. Вложить все средства в четырехгодичные облигации. В этом случае
облигации должны быть проданы через 3 года по текущей рыночной це-
не. Риск заключается в возможном повышении ставок и, следовательно,
снижении цен. Инвестор выручит от продажи меньшую сумму.
3. Инвестировать средства в определенных пропорциях в двухгодич-
ные и четырехгодичные облигации. Для определения этих пропорций ис-
пользуется иммунизация, которая заключается в формировании портфеля
с дюрацией, равной дюрации долга.
С целью определения долей облигаций, приводящих к такому поло-
жению, решается система уравнений:
d{ + d2 -1,
' d{-2 + d2-3,5-3,
где dx и d2 — доли облигаций первого и второго вида соответственно.
dx = 1 - d2, (1 - d2) • 2 + d2 • 3,5 = 3; d2 = 0,6667; dx = 0,3333. Следо-
вательно, доля облигаций первого типа — 33,33%, второго типа —
66,67%.
Для формирования иммунизированного портфеля необходимо инве-
стировать в начале периода 158 800 долл. (200 000/1,083). В облигации
первого вида должно быть вложено 52 928 долл. (158 800 • 0,3333), в об-
лигации второго вида — 105 872 долл.
В рыночных ценах, которые сложились на начало периода, нужно бу-
дет приобрести 62 облигации первого вида (52 928/857,3) и 99 облигаций
второго вида (105 872/1066,2).
Что же произойдет с доходами инвестора от такой комбинации обли-
гаций при различных вариантах изменения процентных ставок?
Если через 3 года от начала инвестирования произойдет рост процент-
ных ставок, то потери от реализации четырехгодичных облигаций ком-
пенсируются доходами от реинвестирования средств от двухгодичных об-
лигаций.
При уменьшении доходности в рассматриваемом периоде потери, свя-
занные с двухгодичными облигациями, возместятся прибылью от четы-
рехгодичных.
98
Следовательно, портфель будет иммунизирован от изменений про-
центных ставок в будущих периодах (см. табл. 9.5).
Таблица 9.5
Пример иммунизации портфеля
Показатели дохода от облигаций Доходность к погашению, г
7% 8% 9%
Сумма на момент времени t = 3, полученная в результате реинвестирования дохода от двухгодичных облигаций SB2 = 62 -1000(1 + г) 66 340 66 960 67 580
Денежный поток четырехгодичных облигаций в момент времени t = 3: сумма, полученная от реинвестирования купонов (57): Sd = 99 * 100(1 + г)2 в момент времени t = 1 11 334 11547,4 11762,2
St2 = 99 • 100(1 + г) в момент времени t = 2 10 593 10692 10 791
Sc3 = 99 • 100 в момент времени t = 3 9900 9900 9900
цена продажи SB4 четырехгодичной облигации = (1000 + 100) (1 + г)"1 при t = 3 101 776 100 833 99 908
Стоимость портфеля $Р = $В2 + + $с2 + $сЗ + $В4 в момент времени t = 3 199943,5 199932,4 199 941
9.9. Оценка стоимости облигаций
При инвестировании средств в ценные бумаги полученный доход
включает:
дивиденд по акциям или купонный доход по облигациям;
доход, получаемый по курсовым разницам;
доход от реинвестирования дивидендов и купонных доходов.
Текущая теоретическая стоимость (цена, инвестиционная стоимость)
ценной бумаги определяется размерами и возможностью получения в буду-
щем доходов по данной бумаге. Поэтому современная стоимость будущего
потока платежей и есть текущая теоретическая стоимость ценной бумаги.
Для определения текущей стоимости необходимо спрогнозировать бу-
дущий поток доходов и найти современные стоимости будущих доходов
на текущий момент.
Текущая теоретическая стоимость — один из основных показателей,
характеризующих финансовые инвестиции. На основе теоретической це-
ны определяется инвестиционная привлекательность ценной бумаги. Ес-
ли теоретическая цена ниже фактической, то бумага переоценена, в про-
тивном случае она является недооцененной.
99
Рассмотрим методы определения текущих теоретических стоимостей
различных видов ценных бумаг.
Текущая стоимость бессрочной облигации:
РИ= С/г, (9.23)
где С — текущий купонный доход, г — норма доходности.
Облигации с постоянным доходом — это облигации, для которых опре-
делен период погашения и купонный доход которых постоянен по от-
дельным годам периода обращения. В этом случае
PV = с£1/(1 + r)'+ Л//(1 + г)п, (9.24)
Г=1
где С — купонный доход (С = сМ)\ г — средняя норма доходности на
рынке; М — цена, по которой гасится облигация; п — число лет обраще-
ния облигации.
ПРИМЕР. Оценить текущую стоимость облигации номиналом 100 000 руб.
с купонной ставкой 15% годовых, сроком погашения через 4 года при ры-
ночной норме дохода 10% и выплате процентов дважды в год.
Решение. Найдем сначала С= 100 000 • 0,15/2 = 7500 руб. (так как выплаты
полугодовые).
У нас п = 8 (п — количество периодов начисления процентов). Следова-
тельно,
PV = 7500 ^1/(1 + 0,05)' + 100 000/(1 + 0,05)8 = 116 200 руб.
/=1
9.10. Цена облигации и накопленные проценты
В ряде случаев инвестор покупает облигацию между датами выплаты
купонного дохода. Например, предположим, что длительность купонно-
го периода составляет 6 месяцев, а облигация куплена через 2 месяца по-
сле выплаты последнего купонного дохода. Понятно, что до выплаты
следующего купона от момента покупки остается время, меньшее, чем
указанный период между купонными выплатами, а именно 4 месяца. Для
расчета цены облигации в рассматриваемых условиях необходимо:
определить количество дней до ближайшей купонной выплаты от мо-
мента покупки облигации;
определить современные стоимости будущих платежей по облигации;
рассчитать величину накопленных процентов, т. е. ту часть купонно-
го дохода, которая будет получена покупателем облигации, но фактиче-
ски заработана ее продавцом за время от выплаты последнего купона до
продажи.
Количество дней до выплаты очередного купона рассчитывается дву-
мя способами (см. п. 1.5):
100
на основе учета фактической длительности месяцев, входящих в ку-
понный период;
на основе принятия продолжительности месяцев в рассматриваемом
периоде на уровне 30 дней.
В мировой практике для различных видов облигаций применяются
различные схемы.
Рассмотрим расчет по второй схеме. Допустим, купонный доход вы-
плачивается 1 марта и 1 сентября. Облигация куплена 15 мая. Число дней
между датой покупки и датой очередного купонного платежа определит-
ся следующим образом.
Оставшееся количество дней в мае — 15
Июнь, июль, август — 3 • 30 = 90
1 сентября — 1
Итого 106 дней
Далее рассчитывается отношение определенного выше количества
дней до выплаты очередного купона к длительности купонного перио-
да1:
» = W = 0,589.
С учетом найденной величины модифицируется формула расчета це-
ны облигации:
ССС
Р =--------+---------+-----------+ +
(1 + r)w (1 + r)[+w (1 + г)2*1'’ "
+______с_____+____£______
(1 + r)"~l+w (1 + r)«-l+w ’
Для некоторого периода / показатель степени в знаменателях соответ-
ствующей составляющей правой части приведенной выше формулы мо-
жет быть определен как (/ — 1+ w).
Предположим, что рассматриваемая облигация куплена 15 мая 1998 г.
п должна быть погашена 1 марта 2001 г. Номинал данной облигации —
100 тыс. руб. За срок до погашения должно быть произведено 6 купон-
ных выплат, осуществляемых по полугодиям. Требуемая годовая доход-
ность равна 20%, годовая купонная ставка — 12%. Расчет цены облига-
ции представлен в табл. 9.6.
Итог последней графы табл. 9.6 характеризует цену данной облига-
ции, равную 85,8752 тыс. руб. Определенная таким образом цена назы-
вается полной, или грязной, ценой.
1 The Handbook of Fixed Income Securities. P. 54—56.
101
Таблица 9.6
Период (r—l+w) Величина элемента денежного потока (тыс. руб.) Коэффициент дисконтирования (1+0,2/2)-<^,+*> Современная стоимость элемента денежного потока (тыс. руб.)
0,589 6 0,9454 5, 6724
1,589 6 0,8595 5,1570
2,589 6 0,7813 4,6878
3,589 6 0,7103 4,2618
4,589 6 0,6457 3,8742
5,589 106 0,5870 62,2220
Итого 85,8752
Накопленные проценты. Если облигация покупается в период между
купонными выплатами, то возникает ситуация, когда прежний владелец
облигации как бы заработал часть очередного купонного дохода (за пе-
риод между выплатой последнего купона и продажей облигации), но этот
доход будет получен субъектом, купившим облигацию, который являет-
ся ее владельцем к моменту очередной выплаты дохода. Поэтому поку-
патель облигации должен компенсировать продавцу часть следующего
после покупки купонного платежа.
Данная величина называется накопленным процентом и рассчитыва-
ется по формуле:
AI = Cl—I,
Vc/
где AJ — величина дохода, выплачиваемая за данный купонный период;
t — число дней от последнего купонного платежа до даты покупки об-
лигации; tc — число дней в купонном периоде.
В рассматриваемом примере период от даты последнего купонного
платежа до момента покупки облигации равен 74 дням (180 — 106). Сум-
ма накопленных процентов будет равна:
А! = 6(74/180) = 2466,7 руб.
Полная цена за минусом накопленных процентов называется чистой
ценой.
РАЗДЕЛ 3
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОЦЕНКИ
И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СТОИМОСТИ АКТИВОВ
Глава 10
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ:
МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИЙ И ОТРАСЛЕВОЙ АСПЕКТЫ
10.1. Содержание анализа
Для осуществления инвестиционной деятельности необходима инфор-
мация об изменении факторов окружающей экономической среды, кото-
рые во многом определяют состояние объекта инвестирования. Инвестор
должен иметь представление об уровне и динамике макроэкономических
показателей, таких, как валовой внутренний продукт, инфляция, процент-
ные ставки, валютный курс. На них оказывает влияние состояние феде-
рального бюджета, денежной сферы, торгового и платежного баланса. Все
эти показатели в свою очередь зависят от проводимой макроэкономиче-
ской политики, и прежде всего финансовой и кредитно-денежной.
Поскольку инвестиции привязаны к конкретным регионам, отраслям,
предприятиям, то важна также информация об их инвестиционной при-
влекательности. Здесь можно отметить темпы роста отрасли, рентабель-
ность активов, уровни производственных и финансовых рычагов и дру-
гие показатели.
Необходимо также исследовать уровень и динамику показателей дея-
тельности самого объекта инвестирования.
Все перечисленные выше показатели являются фундаментальными
факторами экономики, поскольку они определяют условия протекания
экономических и в том числе инвестиционных процессов. Анализ этих
факторов называется фундаментальным анализом. Структурно фундамен-
тальный анализ можно представить следующей схемой (рис. 10.1):
Рис. 10.1
103
10.2. Макроэкономический анализ
Макроэкономический фундаментальный* анализ имеет целью выявить
общие тенденции, характеризующие экономику страны в целом и круп-
ные ее секторы, такие, как промышленность, сельское хозяйство, строи-
тельство и т.д. Можно выделить следующие блоки данного анализа:
валовой внутренний продукт (ВВП), производство и услуги;
рынок труда, доходы и занятость;
платежный баланс;
денежная сфера и кредитно-денежная политика, валютный курс;
финансовая политика, федеральный бюджет и налоги;
инфляция;
фондовый рынок.
ВВП — производство и услуги. Сводным показателем состояния про-
изводства и услуг является валовой внутренний продукт (ВВП). Его ди-
намика указывает на общие экономические тенденции, стадию бизнес-
цикла, переживаемую экономикой. Рост ВВП в целом характеризует
улучшение инвестиционного климата в стране, способствует привлече-
нию зарубежных инвестиций.
В российской экономике наметилась тенденция сокращения спада и
начала экономического роста. Эта тенденция тормозилась (1998 г.) сни-
жением мировых цен на основные товары российского экспорта — нефть
и металлы. Финансовый кризис также внес свой вклад в этот процесс
продолжения спада, но его влияние не следует переоценивать. Более то-
го, эффект девальвации способствовал тому, что уже в IV квартале 1998 г.
в ряде отраслей промышленности производство начало расти, что про-
должалось и в 1999 г. Хотя в ряде отраслей, закупающих материалы по
импорту, его удорожание привело к росту издержек и углублению спада.
Для инвестора экономический рост является сигналом вложения
средств в акции отраслей, где этот рост наиболее значим. В России на
середину 1999 г. ситуация характеризуется еще и тем, что резко снизи-
лась доходность вложений на финансовых рынках и нет достаточно эф-
фективных направлений вложения свободных денежных средств. Поэто-
му в определенной степени возрастает значимость вложений стратегиче-
ского характера на длительный срок.
Таким образом, в целом можно отметить, что для современных россий-
ских условий, во-первых, появляется смысл для вложения средств в реаль-
ный сектор экономики. Снижение импорта, рост ценовой конкурентоспо-
собности отечественных товаров при отсутствии других сфер вложения де-
лают инвестиции в данную сферу привлекательными. Во-вторых, возни-
кает возможность инвестирования средств в активы фондового рынка,
имея в виду, что в ближайшем будущем эти активы будут расти в цене.
1 Часто фундаментальный анализ рассматривается в узком смысле — как анализ и про-
гнозирование показателей только лишь объекта инвестирования. Представляется обосно-
ванным более широкий подход, учитывающий всю совокупность факторов инвестицион-
ной привлекательности.
104
Таким образом, рост ВВП приводит к тенденции оживления инвести-
ционных процессов.
Необходимо отметить, что для инвестора важны не просто констата-
ция факта роста или снижения ВВП, а выявление тренда в его динами-
ке и разработка на этой основе прогноза на будущее. В этом смысле важ-
но учитывать циклический характер экономики. По некоторым оценкам,
длительность цикла в российской экономике составляет 2 года1. Кон-
кретную фазу цикла определяют многие факторы и в том числе динами-
ка внешних и внутренних цен. В части внешних цен первостепенное зна-
чение имеет изменение цен на энергоносители и металлы. Для внутрен-
ней ценовой ситуации важно предвидеть изменение тарифов на грузовые
перевозки, электроэнергию, энергоносители.
Рынок труда, доходы и занятость. Анализ рынка труда имеет особую
важность для инвестора, функционирующего в реальном секторе или
предполагающего осуществлять в нем вложения. Наиболее актуальным в
этой области является анализ следующих показателей:
уровень заработной платы в отраслевом разрезе;
распределение численности населения по размерам душевого дохода;
структура использования денежных доходов населения;
уровень и динамика безработицы.
Затраты на заработную плату — элемент себестоимости продукции.
Производя расчеты параметров инвестиционных проектов, инвестор вы-
бирает место приложения своего капитала исходя из величины совокуп-
ных затрат на производство продукции. Но в ряде отраслей затраты на
Уровни средней заработной платы по отраслям
Таблица 10.1
Наименование отрасли Начисленная средняя заработная плата за март 2002 г. (без выплат социального характера), руб. Отношение к общероссийскому уровню, %
Всего 4031 100
Эл е ктроэнергети ка 7049 175
Топливная 11 642 289
Лесная, деревообрабатывающая
и целлюлозно-бумажная 3548 88
Легкая 2227 55
Пищевая 4149 103
Строительство 4617 115
Сельское хозяйство 1459 36
Транспорт 5440 135
Связь 5157 128
Здравоохранение, физкультура
и социальное обеспечение 3092 77
Образование 2871 71
Наука и научное обслуживание 4726 117
1 Аукционек С. От оживления к росту // Эксперт. 1999. № 41. С. 8.
105
заработную плату составляют более половины всех затрат. Поэтому учет
уровня заработной платы по отраслям (табл. 10.1) и регионам, в том чис-
ле в межстрановом сравнении, имеет большое значение для инвестици-
онного анализа.
Для инвестора, вкладывающего средства в производство сложных и
дорогостоящих товаров, важно оценить покупательную способность на-
селения. С этой целью целесообразно проанализировать распределение
населения по размеру среднедушевых месячных доходов. Используя дан-
ную информацию, можно определить емкость рынка в производстве та-
ких товаров.
Таблица 10.2
Распределение населения РФ по размеру среднедушевых месячных доходов
в 2001 г.
Размер среднемесячного дохода, руб Численность населения, %
До 500 1,4
500-750 4,1
750-1000 6,4
1000-1500 15,7
1500-2000 15,3
2000-3000 22,9
3000-4000 13,7
Свыше 4000 20,5
Данные табл. 10.2 должны быть дополнены информацией о доле насе-
ления, имеющего доходы ниже прожиточного минимума. По состоянию
на 1999 г. примерно треть населения располагала такими доходами.
Кроме доходов инвестор должен интересоваться и расходами населе-
ния. Их структура дает важную информацию о направлениях использо-
вания средств населения. Особенностью России является низкая доля
накоплений и высокая доля расходов на покупку товаров и услуг.
Платежный баланс. Платежный баланс — это статистический отчет,
который характеризует движение денежных средств между данной стра-
ной и остальным миром. Он показывает, сколько средств получено из-за
границы и сколько выплачено другим странам. Основными элементами
платежного баланса являются счет текущих операций (текущий счет),
счет операций с капиталом и финансовый счет (см. табл. 10.3).
Текущий счет отражает движение экспортно-импортных потоков, а
также доходов услуг капитала и труда, получаемых из-за рубежа и выпла-
чиваемых за рубеж. Доходы от услуг капитала выступают в виде дивиден-
дов от участия в капитале и процентов, представляющих доход по ссудам
и долговым обязательствам1.
1 Методологические положения по статистике. Вып. 1. С. 410.
106
Таблица 10.3
Платежный баланс Российской Федерации, млрд долл.
Компоненты платежного баланса 1995 г. 1996 г. 1997 г. I кв. 1998 г. 11 кв. 1998 г. III кв. 1998 г. IV кв. 1998 г. 1998 г. 2001 г.
1. Счет текущих операций 7,8 12,0 4,0 -1,5 “3,6 0,9 6,4 2,4 35,1
Торговый баланс 20,5 22,9 17,4 0,9 1,6 4,8 10,0 17,3 49,4
Экспорт 82,7 90,6 89,0 18,6 18,8 18,1 19,2 74,6 103,1
Импорт -62,2 -67,6 -71,6 -17,7 -17,3 -13,3 -9,2 -57,4 -53,8
Баланс услуг -9,4 -5,7 -4,7 -1,0 -1,3 -0,65 -0,16 -3,2 -10,2
Экспорт 10,6 12,9 14,2 2,9 3,3 3,7 3,0 12,9 10,9
Импорт -20,0 -18,7 -18,8 -3,9 -4,6 -4,3 -3,2 -16,1 -21,1
Чистый доход - всего -3,4 -5,3 -8,4 -1,2 -3,7 -3,2 -3,2 -11,4 -3,9
Чистый доход от услуг труда -о,з -0,4 -о,з -о,з -0,09 -0,07 -0,03 -0,16 0,13
Чистый инвес- тиционный доход -3,1 -4,9 -8,1 -1,1 -3,7 -3,2 -3,2 -11,2 -4,0
Доходы полу- ченные 4,1 4,2 4,1 2,4 0,76 0,50, 1 0,31 4,0 6,2
Доходы выпла- ченные -7,2 -9,2 -12,2 "3,6 -4,4 -3,7 -3,5 -15,2 -10,2
Чистые текущие трансферты 0 0,1 -0,1 -0,1 -0,1 0 0 -0,4 -0,27
2. Счет операций с капиталом и финансовыми инструментами 0 -3,4 3,8 4,2 5,3 2,8 -6,8 5,5 -26,0
А. Счет операций с капиталом -о,з -0,5 -0,8 -0,1 -0,2 0 -0,1 -0,4 -9,4
Капитальные трансферты полу- ченные 3,1 3,1 2,1 0,3 0,5 0,5 0,4 1,7 2,1
Капитальные трансферты упла- ченные -3,5 -3,5 -2,9 -0,4 -0,7 -0,5 -0,5 -2,1 -11,5
Б. Финансовый счет 0,3 -2,9 4,6 4,3 5,5 2,7 -6,7 5,9 -16,7
Прямые инвести- ции за рубеж -0,4 -0,8 -2,6 -0,3 -о,з -0,1 -0,3 -1,0 -2,6
Прямые инвести- ции в Россию 2,0 2,5 6,2 0,6 0,5 0,4 0,7 2,2 2,5
Портфельные ин- вестиции (активы) -1,7 -0,2 0.2 -0,1 -0,5 0,4 0 -0,3 0,162
Портфельные ин- вестиции (обяза- тельства) -0,7 8,9 45,6 3,7 4,2 -0,2 0,4 8,0 -1,1
107
Продолжение табл. 10.3
Компоненты платежного баланса 1995 г. 1996 г. 1997 г. 1998 г. I кв. 1998 г. II кв. 1998 г. III кв. 1998 г. IV кв. 1998 г. 2001 г.
Прочие инвестиции (активы) 5 -29,1 -26,6 -з,з -2,4 -3,9 “6,4 -16,1 -0,8
Прочие инвестиции (обязательства) 5,4 14,3 -15,9 2,8 3,3 3,6 -2 7,8 -6,5
Резервные активы -10,4 2,8 -1,9 0,9 0,8 2,6 1,1 5,3 -8,2
Поправка к резерв- ным активам 1,1 -1,5 0 0 0 0 0 0 -0,2
Чистые ошибки и пропуски -7,8 -8,6 -7,8 -2,7 -1,8 -3,7 0,2 -7,9 -9,1
Счет операций с капиталом описывает операции с капитальными
трансфертами (передача прав собственности на основной капитал, про-
шение долгов и операции с непроизведенными нефинансовыми актива-
ми (патенты, лицензии)).
Финансовый счет представляет собой операции с финансовыми тре-
бованиями (активами) резидентов к нерезидентам и обязательствами
(пассивами) резидентов перед нерезидентами. Активы и обязательства
классифицируются по четырем группам: прямые инвестиции, портфель-
ные инвестиции, прочие инвестиции и резервные активы.
Для целей инвестиционного анализа первоочередной интерес пред-
ставляют следующие позиции платежного баланса: сальдо текущих опе-
раций, чистый инвестиционный доход (сальдо доходов, полученных из-
за границы и уплаченных за границу), прямые и портфельные инвести-
ции в Россию и за границу, а также структура и динамика прочих инве-
стиций.
Рассмотрим некоторые общие подходы к проведению инвестицион-
ного анализа на основе платежного баланса.
Прежде всего необходимо проанализировать состояние показателей
счета текущих операций. Отрицательная величина этого счета свиде-
тельствует о негативных тенденциях в движении межстрановых денеж-
ных потоков. Основные причины такой ситуации — дефицит торгово-
го баланса и баланса нефакторных услуг, а также превышения платежей
по доходам нерезидентам по сравнению с доходами, получаемыми ре-
зидентами из-за границы. Последнее часто происходит вследствие чрез-
мерного роста в предыдущие годы иностранных инвестиций — как пря-
мых, так и портфельных. Как видно из баланса, портфельные инвести-
ции в Россию в 1997 г. выросли по сравнению с 1996 г. с 9,9 до
46,4 млрд долл., или в 4,7 раза. Уже в следующем году это привело к
вывозу за пределы России доходов в виде полученных процентов. Так,
во втором квартале 1998 г. чистый инвестиционный доход был отрица-
тельной величиной и наряду со снижением положительного сальдо тор-
гового баланса определил отрицательное значение счета текущих опе-
108
раций. Последнее оказало негативное сигнальное (и не только) воздей-
ствие на валютный рынок.
Необходимо отметить, что иностранные инвестиции положительно
воздействуют на платежный баланс только при их производительном ис-
пользовании, когда они обеспечивают увеличение экспорта или сниже-
ние импорта товаров и услуг. Поскольку значительная часть портфель-
ных инвестиций использовалась для рефинансирования старых долгов,
то их наращивание в конечном счете рано или поздно должно было при-
вести к финансовому краху. Кроме того, в кризисные периоды, как пра-
вило, наблюдается репатриация ранее сделанных портфельных инвести-
ций. При этом значительные средства в национальной валюте попадают
на валютный рынок и способствуют ее падению.
Для анализа состояния платежного баланса автор рекомендует следу-
ющие показатели:
отношение суммы портфельных инвестиций данного года к величине
ВВП этого же года (ЛД);
отношение суммы портфельных инвестиций данного года к величине
доходной части федерального бюджета этого же года (А2);
отношение абсолютной суммы выплачиваемых за рубеж доходов по
инвестициям к величине сальдо торгового баланса (профицит со знаком
“плюс”, дефицит со знаком “минус”) (АЗ).
Расчеты автора показывают, что значения названных коэффициентов
равны следующим величинам.
Год А1, % А2, % АЗ, %
1997 10,3 85 70
2001 -0,35 -2,0 20,6
По нашему мнению, критические значения рассмотренных коэффи-
циентов могут быть следующими: Afl « 2—3%, К2 « 20—30%, КЗ « 30—
40%.
Денежная сфера и кредитно-денежная политика. Состояние денежной
сферы оказывает непосредственное воздействие на инвестиционный
климат. Это связано в первую очередь с тем, что оно влияет на номи-
нальные ставки процента. Высокие процентные ставки делают невыгод-
ными долгосрочные инвестиционные проекты. Дисконтированные буду-
щие денежные потоки принимают при высоких ставках практически ну-
левые значения современных стоимостей.
Среди показателей денежной сферы в процессе макроэкономическо-
го анализа необходимо рассмотреть:
баланс денежной сферы и показатели количества денег в обращении;
насыщенность экономики деньгами;
состояние золотовалютных резервов и их соотношение с денежной базой;
валютный курс.
109
Баланс денежной сферы — статистическая форма, позволяющая по-
нять структуру спроса на деньги и денежного предложения. Этот баланс
имеет актив, характеризующий спрос, и пассив, отражающий предложе-
ние. Для целей инвестиционного анализа важен как горизонтальный, так
и вертикальный анализы этого баланса.
Горизонтальный анализ позволяет исследовать динамику статей ба-
ланса, понять складывающиеся тенденции. Рассмотрим наиболее важные
позиции баланса с точки зрения отражения ими возможных изменений
инвестиционного климата (табл. 10.4).
Таблица 10.4
Баланс денежной сферы
01.01.98 (млн руб.) 01.04.98 01.07.98 01.08.98 01.12. 2001 г. (млрд руб.)
АКТИВ (ФАКТОРЫ СПРОСА НА ДЕНЬГИ) 785 506,2 785 203,2 788 877,5 775 809,2 3471,2
Международные активы 116 065,5 107 185,9 104 997,6 91 313,8 1486,9
Чистые международ- ные активы орга- нов денежно-кре- дитного регулиро- вания 47 908,0 39 985,8 32 530,5 17 141,3 906,3
Иностранные активы кредитных органи- заций 68 157,5 67 200,1 72 467,1 74 172,5 580,6
Внутренний кредит 669 440,7 678 017,3 683 879,9 684 495,4 1984,3
Чистые кредиты органам государст- венного управления 378 907,2 402 173,5 398 490,3 402 726,6 569,2
Требования к нефи- нансовым государ- ственным предпри- ятиям 64 366,2 29 568,1 30 266,4 30 335,1 74,1
Требования к пред- приятиям частного сектора 226 158,2 240 002,8 250 127,7 245 975,8 1319,6
Требования к прочим финансовым инсти- тутам 9,1 6272,9 4995,5 5457,9 21,4
ПАССИВ (ФАКТО- РЫ ДЕНЕЖНОГО ПРЕДЛОЖЕНИЯ) 785 506,2 785 203,2 788 877,5 775 809,2 3471,2
110
Продолжение табл. 10.4
01.01.98 (млн руб.) 01.04.98 01.07.98 01.08.98 01.12.2001 г. (млрд руб.)
Широкие деньги 462 848,6 448 487,2 465 502,0 454 616,0 2026,7
В том числе деньги (Ml) 270 602,1 266 021,3 269 801,6 261 859,1 1058,1
Из них Наличные деньги вне банков (МО) 130 473,2 119 146,4 129 806,8 129 310,7 527,3
Депозиты до востре- бования 134 911,9 142 683,4 136 256,4 129 440,8 439,1
Квазиденьги 192 246,5 170 149,9 177 453,5 176 716,9 926,7
Из них Срочные и сберега- тельные депозиты в национальной валюте 107 224,2 94 261,6 99 917,2 96 932,6
Срочные и сберега- тельные депозиты в иностранной валюте 85 022,3 75 888,3 77 536,3 79 784,3
Депозиты, доступ к которым временно ограничен — 12 316,0 18 246,9 16 040,0 41,8
Прочие 322 657,6 336 716,0 323 375,5 321 193,2 1444,5
Инструменты денеж- ного рынка 27 857,8 38 765,0 38 929,2 39 116,6 244,4
Счета капитала 220 222,0 217 440,2 222 271,9 225 846,1 766,8
Органов денежно- кредитного регули- рования 69 552,2 64 239,8 65 727,4 65 903,4 165,8
Кредитных организа- ций 150 669,8 153 200,4 156 544,5 159 942,7 601,0
Иностранные пас- сивы кредитных организаций 109 562,6 102 803,5 105 210,5 100 422,4 302,0
Прочие (сальдо) -34 984,8 -22 292,7 -43 036,1 -44 191,9 131,3
Справочно Денежная масса М2 без учета организа- ций с отозванной лицензией (широ- кие деньги без уче- та депозитов в ино- странной валюте) 374,1 360,4 368,6 359,4 1439,1
111
Продолжение табл. 10.4
01.01.98 (млн руб.) 01.04.98 01.07.98 01.08.98 01.12.2001 г. (млрд руб.)
Чистые иностранные активы органов де- нежного кредитного регулирования и кредитных органи- заций 6502,9 4382,4 -212,9 -9108,6 1184,9
Чистые международные активы органов денежно-кредитного регулиро-
вания. Данная позиция представляет собой разницу иностранных акти-
вов и пассивов. Если мы рассмотрим чистые международные активы в
динамике за период, предшествующий августовскому кризису 1998 г., то
увидим устойчивое снижение данного показателя. Оно началось уже с
IV квартала 1997 г. и продолжалось до августа 1998 г.
Чистые иностранные активы кредитных организаций. Этот показатель
получается расчетным путем и формируется аналогично предыдущему
как разница иностранных активов и пассивов, но применительно к кре-
дитным организациям. Рассматриваемые чистые активы за период с
01.10.97 г. по 01.08.98 г. были отрицательной величиной.
Чистые иностранные активы органов денежно-кредитного регулирова-
ния и кредитных организаций. Данный показатель характеризует чистые
иностранные активы банковской системы в целом. Его величина приво-
дится в балансе справочно. В предкризисный период она неуклонно сни-
жалась и стала отрицательной к концу II квартала 1998 г. Ухудшение дан-
ного показателя имело фундаментальное значение для разбалансирова-
ния денежной сферы, так как эмиссия денег в предшествующий период
основывалась на притоке валюты от нерезидентов и росте по этой при-
чине чистых иностранных активов. Обвальный вывод средств нерезиден-
тами в конце 1997 — начале 1998 г. привел к уменьшению чистых ино-
странных активов и усилению давления на валютный рынок. Последст-
вия такого давления известны. Они оказались катастрофическими для
банковской сферы, фондового рынка и импортеров.
В балансе содержится информация о структуре денежной массы. Ана-
лиз ее динамики в предкризисный период свидетельствует о ярко выра-
женной тенденции ее стагнации.
Агрегат МО — наличные деньги вне банков. Данный показатель сокра-
тился на 0,9% на 01.08.98 г. по сравнению с 01.01.98 г.
Агрегат Ml — наличные деньги вне банков плюс депозиты до востре-
бования. За аналогичный период сокращение на 3,2%.
Агрегат М2 — агрегат Ml плюс срочные и сберегательные депозиты в
национальной валюте. Также произошло снижение на 3,9%.
Наряду со снижением указанных агрегатов денежной массы за рас-
сматриваемый период произошло существенное увеличение стоимостной
112
массы инструментов денежного рынка. Эта величина возросла на 40,4%.
Такая ситуация вполне объяснима, так как инструменты денежного рын-
ка в ряде случаев выступают заменителями денег.
В качестве показателя насыщенности экономики деньгами может
быть использован коэффициент монетизации валового внутреннего про-
дукта. Данный показатель определяется по формуле:
К - М2
ВВП
Коэффициенты монетизации, рассчитанные без учета валютной со-
ставляющей, имеют тенденцию к снижению. В 1994 г. величина данно-
го коэффициента составила 0,16; в 1995 г. — 0,139; в 1996 г. — 0,131; в
2001 г. — 0,142 ( в расчет принималась денежная масса с учетом усред-
нения). В послекризисный период величина коэффициента была равна
0,08—0,1. В большинстве стран величина данного коэффициента в не-
сколько раз выше российского показателя. Необходимо отметить, что
низкая величина коэффициента монетизации по-разному влияет на ин-
вестиционный климат в части финансовых и реальных инвестиций.
Главными условиями благоприятного климата для финансовых инвести-
ций являются следующие два: высокая доходность и высокая ликвид-
ность. В принципе низкая величина коэффициента монетизации способ-
ствует обеспечению высоких процентных ставок и соответственно высо-
кой доходности финансовых инвестиций. Что касается реальных инве-
стиций, то здесь имеет место обратная картина: высокие процентные
ставки — низкая доходность.
В последнее время усиливается аналитическое значение такого пока-
зателя состояния денежной сферы, как денежная база. Различают денеж-
ную базу в узком и широком определениях. Денежная база в узком оп-
ределении включает наличные деньги и обязательные резервы банков в
Центральном банке (ЦБ). Денежная база в широком определении вклю-
чает помимо перечисленных элементов остатки на корреспондентских
счетах банков в ЦБ. На основе показателя денежной базы в широком оп-
ределении находятся расчетный (монетарный) валютный курс посредст-
вом деления денежной базы на величину золотовалютных резервов ЦБ.
Данный расчетный курс (Кр) сравнивается с фактическим валютным
курсом (К.ф), и на этой основе определяется степень переоцененное™
или недооцененности рубля:
КР 1
-тг~ а 1 — рубль переоценен, возможно его падение;
К-ф
Кр 1
-гг- s 1— рубль недооценен, возможно его усиление.
*\|>
Финансовая политика, федеральный бюджет и налоги. В процессе ана-
лиза инвестиционный аналитик должен исследовать влияние бюджетных
113
показателей на показатели инвестиционной среды. Могут быть рассмот-
рены следующие показатели:
бюджетный дефицит в процентах к ВВП;
отношение расходов по обслуживанию государственного долга к до-
ходам бюджета;
темпы роста налоговых платежей по сравнению с аналогичным пери-
одом прошлого года;
соотношение налогов, уплачиваемых производителем, и налогов, уп-
лачиваемых населением.
Инфляция. Существуют различные типы инфляции. Для инвестици-
онного анализа наиболее важными являются инфляция спроса и инфля-
ция издержек.
Инфляция спроса возникает в случае, когда спрос на товары превы-
шает возможности производства. Это происходит в различных ситуаци-
ях, в том числе в ситуации шокового роста спроса. Пример подобного
роста спроса имел место в бывшем СССР в конце 80-х годов в результа-
те перехода безналичных денег государственных предприятий в налич-
ные деньги кооперативов и совместных предприятий. Тогда инфляция
была во многом скрытой, но это не меняет ее существа.
Далее, по мере либерализации экономики, произошла переориента-
ция спроса на импортные товары. Инфляция того периода была связа-
на среди прочего с резким падением курса рубля. Во многом это был
шок предложения, но импортных товаров. В последующие годы финан-
совые заимствования на внешних рынках и иностранные кредиты поз-
волили временно стабилизировать положение на валютном рынке и
снизить рост цен. Рублевая денежная масса была отвлечена с валютно-
го рынка также ее изъятиями посредством выпуска в обращение в ог-
ромном количестве краткосрочных государственных облигаций. Кризис
августа 1998 г. снова вызвал шоковую ситуацию. Она инициировала раз-
ные изменения в различных секторах российской экономики. Во-пер-
вых, вследствие значительного количества импортных товаров в рознич-
ном обороте произошел общий рост потребительских цен. Во-вторых,
возросли затраты и цены в секторе российской промышленности, по-
требляющей большой объем импортных материалов и комплектующих.
В-третьих, в силу вышеперечисленного произошла переориентация
спроса с импортных товаров на отечественные. На этом сегменте про-
изошел шоковый рост спроса на продукцию ряда отраслей отечествен-
ной промышленности, который вызвал соответствующий рост объемов
производства в этих отраслях.
Фондовый рынок. Поскольку финансовые инвестиции тесно связаны с
фондовым рынком, более того, в большинстве случаев именно на этом
рынке они реализуются, его состояние оказывает непосредственное воз-
действие на динамику цен этих активов.
Для анализа состояния рынка в целом целесообразно использовать
данные о динамике фондовых индексов.
114
В разных странах используются различные методы исчисления фон-
довых индексов. Рассмотрим некоторые из них.
Индекс “РТС—Интерфакс” (Россия). Рассчитывается по формуле:
где 1п — значение индекса в текущий момент л; /0 — начальное значение
индекса; К — сглаживающий коэффициент, учитывающий изменения в
списке акций, включаемых в расчет индекса; МСп — сумма рыночных
капитализаций компаний, акции которых включены в расчет индекса, в
момент времени п; МС0 — сумма рыночных капитализаций компаний,
акции которых включены в расчет индекса, в начальный момент.
Запишем:
т
мс„ - ^P.t
J-i
где Pnj — рыночная цена акции у-й компании на момент времени л;
Qni — общее количество акции у-й компании, выпущенных на текущий
момент.
Корректирующий коэффициент К пересчитывается при изменении
списка акций. Для этого используется формула:
К= К" (МС'^/МС'^),
где МСп_} — капитализация, рассчитанная на момент времени (л-1) по
старому списку ценных бумаг; Л/С — капитализация, рассчитанная на
момент времени (л-1) по новому списку ценных бумаг;
Индекс Доу-Джонса (США) для акций промышленных компаний
(DJIA). Составляется по акциям 30 промышленных компаний. Для рас-
чета индекса используется следующая формула:
DJIA =
где А,. — рыночная цена акции /-й компании; К — корректирующий ко-
эффициент, учитывающий дробление акций и изменение списка компа-
ний при расчете индекса.
Анализ индексов целесообразно производить в двух аспектах:
анализ стадии цикла, в которой находится в настоящее время рынок
исследуемой страны;
межстрановый анализ взаимосвязи индексов.
115
2,5
2
1,5
1
0,5
0
♦ Россия
В Мексика
Бразилия
X США
США (NASDAQ 10)
-411— Россия
Рис. 10.1. Динамика фондовых индексов
На рис. 10.1 представлена динамика фондовых индексов ряда стран за
период с апреля 1997 по март 1999 г. (относительные величины индексов
по сравнению с их значениями на 02.04.97 г.)1 и за январь—апрель 2002 г.
Как видно из графика, российский фондовый рынок прошел за рас-
сматриваемый период три стадии: роста (с апреля по октябрь 1997 г.),
стагнации (с октября 1997 г. по апрель 1998 г.), падения или кризиса (с
мая 1998 г.). Инвестиции в активы фондового рынка в последней стадии
чрезвычайно опасны и могут иметь смысл, если инвестор не ставит це-
ли извлечения прибыли в краткосрочном периоде.
При международном инвестировании очень важным является измерение
взаимосвязи различных рынков. Проведенные расчеты коэффициентов кор-
реляции позволяют сделать по крайней мере два существенных вывода:
финансовые рынки различных стран связаны очень тесно;
теснота взаимосвязи ощутимо меняется в периоды различной рыноч-
ной конъюнктуры.
Ниже приведены коэффициенты корреляции между индексом РТС и
фондовыми индексами различных стран2 (табл. 10.5).
Вышеприведенные результаты статистического анализа могут быть
использованы для предсказания динамики фондовых индексов в одних
странах по данным о динамике в других, а также при принятии решений
о межстрановой диверсификации инвестиционного портфеля.
Таблица 10.5
Страна Предкризисный период 1997 г. Кризисная фаза 1997 г. 1998 г. (до августа)
США (DJIA) 0,89 -0,19 -0,26
Япония 0,05 0,47 -0,81
Корея 0,08 0,67 -0,8
Индонезия -0,52 0,65 0,58
Мексика 0,97 0,13 0,81
Бразилия 0,78 0,48 -0,34
Коэффициенты корреляции доходностей (январь—апрель 2002 г.)
по различным индексам приведены в табл. 10.5а3
Таблица 10.5а
NASDAQ 100 XETRA DAX FTSE 100 Madrid SE Bovespa Hang Seng Nikkei 225
NASDAQ 100 1
XETRA DAX 0,64413613 1
FTSE 100 0,21336622 0,0123803 1
Madrid SE 0,15369913 0,0732768 0,753986 1
Bovespa 0.36608588 0,4327042 0,158009 0,150907 1
Hang Seng 0,56847473 0,4330163 0,085049 0,117939 0,232062 1
Nikkei 225 0,18815616 0,2390571 0,355632 0,364736 0,256653 0,1886822 1
PTC 0,10464991 0,1007891 0,362614 0,2859 0,206795 0,212856^5 0,174934
1 Сбор информации и расчеты проведены А. Третьяковым.
2 Расчеты проведены А. Родиным.
3 Расчеты проведены С. Садий.
117
10.3. Отраслевой анализ
Цель отраслевого фундаментального анализа — оценить инвестицион-
ную привлекательность отрасли, в которую предполагается осуществлять
инвестиции. Инвестиционная привлекательность может быть охаракте-
ризована рядом параметров, наиболее существенными из которых явля-
ются:
темпы роста объемов производства;
темпы роста цен на факторы производства, используемые в отрасли
(затраты на приобретение сырья, материалов, комплектующих, оплату
труда);
рентабельность производства и активов;
скорость оборота капитала;
наличие изобретений и законченных научно-исследовательских и
опытно-конструкторских работ (НИОКР), потенциально могущих стать
эффективными нововведениями;
уровни производственного и финансового рычагов.
Анализ темпов роста объемов производства необходим для понима-
ния перспектив сбыта продукции и расширения рынка. Как видно из
табл. Ю.6, изменение объемов производства крайне неравномерно в раз-
личных отраслях экономики.
Таблица 10.6
Темпы роста объемов производства в январе—апреле 2002 г.
Отрасли промышленности Январь-апрель 2002 г. в % к январю—апрелю 2001 г.
Электроэнергетика 96,7
Топливная 105,7
Черная металлургия 100,6
Цветная металлургия 108,7
Химическая и нефтехимическая 100,6
Машиностроение и металлообработка 101,0
Лесная, деревообрабатывающая
и целлюлозно-бумажная 101,2
Стройматериалов 106,5
К отраслевым особенностям могут быть отнесены особенности струк-
туры затрат на производство и некоторых вытекающих отсюда показате-
лей. Речь может идти прежде всего об отраслевой специфике соотноше-
ния условно-постоянных и переменных звтрат.
Условно-постоянные затраты — затраты, совокупная величина (F) ко-
торых не изменяется при изменении объема производства. Напротив, в
расчете на единицу продукции постоянные затраты уменьшаются с рос-
том объема производства (Q), а переменные затраты остаются постоянны-
ми (рис. 10.2, <7, б).
118
Рис. 10.2. Условно-постоянные затраты: на единицу продукции (а);
на совокупный объем продукции (б)
Объем производства, при котором выручка от реализации продукции
равна затратам на производство, называется критическим объемом или
точкой безубыточности (Qc). Если объем производства ниже критическо-
го, то предприятие находится в зоне убытков (см. рис. 10.3), в против-
ном случае — в зоне прибыльности.
Предприятие должно знать свою точку безубыточности, чтобы плани-
ровать объем производства и прибыль.
Введем следующие обозначения:
р — цена единицы продукции;
v — переменные затраты на единицу продукции;
Q — объем производства в натуральном измерении;
F — условно-постоянные затраты на производство, т. е. совокупная
величина расходов;
Е — брутто-прибыль (прибыль до уплаты процентов и налогов);
Q ' р — объем реализованной продукции;
Q • v — совокупные переменные затраты.
Можем записать следующие равенства:
Q р — Q V = F + Е,
119
где (F + £) — маржинальный доход, он включает постоянные затраты и
прибыль и определяется вычитанием из выручки от реализации перемен-
ных затрат;
Q(p ~ v) = F + Е.
В точке безубыточности прибыль равна нулю (Е = 0):
QC(P ~ v) = F,
где Qc — критический объем производства:
где (р - v) = с — удельный маржинальный доход, т.е. маржинальный до-
ход на единицу продукции.
Если необходимо найти объем производства, обеспечивающий плано-
вую брутто-прибыль в размере Еплан, формула преобразуется следующим
образом:
F+ Е
0 = план
*^план n _ v
ПРИМЕР. Пусть
р = 60 тыс. руб. на единицу продукции;
v = 45 тыс. руб. на единицу продукции;
F = 30 млн руб.;
Е = 15 млн руб.
Определить критический объем производства (точку безубыточности) и
объем производства, который позволит достигнуть желаемой (плановой)
прибыли.
Решение. Qc = 30 000 000/(60 000 - 45 000) = 2000 штук. Столько единиц
продукции должно выпустить предприятие, чтобы окупить затраты;
Сплан = <30 000 000 +15 000 000)/(60 000 - 45 000) = 3000 штук. Это объ-
ем производства, необходимый для получения брутто-прибыли в размере
15 млн руб.
Рычаг — это механизм, позволяющий осуществить большую работу с
меньшим усилием. Производственный рычаг означает возможность дос-
тижения большего результата (темпа прироста) в увеличении прибыли
при меньшем усилии по увеличению объема производства, и, соответст-
венно, при снижении объемов производства снижение прибыли будет
происходить быстрее за счет наличия в структуре затрат условно-посто-
янной части.
Рассмотрим, как соотносятся темпы прироста брутто-прибыли и объ-
ема выпускаемой продукции. Запишем уравнение:
Q(P- v) - F= Е.
120
Так как величины р, v и F фиксированные, прирост прибыли полно-
стью определяется приростом объема продукции:
t±Q(p ~ v) ~ &Е.
Темп прироста брутто-прибыли определится следующим образом:
ДЕ _ ^Q(p — v)
Е Q(p-v)-F;
д£> «
—— темп прироста объема продукции.
Тогда соотношение темпов прироста брутто-прибыли и объема про-
дукции выразится так:
V = — • ~ v) Q = Q(P ~ у) =
пр Е Q Q(p-v)-F kQ Q(p-v)-F
Qc
---------уровень производственного рычага;
Е
Уровень (степень) производственного рычага (операционного леве-
риджа) показывает, на сколько процентов изменяется величина брутто-
прибыли при изменении объема производства на один процент.
Объем выпускаемой продукции, как правило, растет меньшими тем-
пами, чем брутто-прибыль, в результате существования постоянных рас-
ходов, которые не возрастают пропорционально объему производства.
Часть цены, сформированная для покрытия постоянных расходов, по-
сле преодоления критической точки способствует увеличению прибыли
предприятия. В этом проявляется эффект производственного рычага.
При снижении объема производства уровень прибыли снижается бо-
лее быстрыми темпами. Предприятие с высоким удельным весом посто-
янных затрат является более рискованным.
Производственный рычаг является рычагом первой ступени. Рычагом
следующей — второй — ступени может быть назван финансовый рычаг.
Финансовый рычаг влияет на прибыль после уплаты процентов и на-
логов.
Дополнительно введем обозначения:
/ — сумма процентов за кредит;
t — ставка налога на прибыль;
NE — прибыль после уплаты процентов и налогов:
NE= (Е- f) (1 - г).
Поскольку величины / и t являются фиксированными, изменение чи-
стой прибыли определится изменением брутто-прибыли:
ДУУЕ = ДЕ(1 - Г).
121
Темп прироста чистой прибыли может быть рассчитан следующим об-
разом:
&NE _ ДЕ(1 — t) _ &Е
~NE (Е - /)(1 - О Е- 1 ’
Соотношение темпов прироста (изменения) чистой прибыли и брут-
то-прибыли называется уровнем финансового рычага.
Уровень финансового рычага
У _ ДЕ . ДЕ _ Е
Фр ~ Е- Г' Е Е - Г
Уровень финансового рычага показывает изменение чистой прибыли
на один процент изменения брутто-прибыли.
Эффект заимствования (в общей постановке эффект финансового ры-
чага) показывает вклад заемных средств в изменение рентабельности
собственных активов.
Рассмотрим показатель рентабельности всех активов, исчисленный по
брутто-прибыли:
R =
СС + ЗС ’
Е = R(CC + ЗС),
где СС — собственные средства; ЗС — заемные средства; R — экономи-
ческая рентабельность.
Теперь выразим величину чистой прибыли:
NE = [7?(СС + ЗС) - z • ЗС]( 1 - Г) = R • СС( 1 - /) + (R - /)ЗС(1 - t),
где СС — собственные средства; ЗС — заемные средства; R — рентабель-
ность по брутто-прибыли;
NF ЗС
= R(\ - 0 + (R - /)(1 -
ЗС
(R — 0(1 _ ~ эффект заимствования.
Отсюда видно, что, чем больше коэффициент финансового рычага,
тем больше эффект заимствования, а чтобы эффект заимствования был
положительной величиной, необходимо выполнение неравенства R > L
Комбинированный рычаг. Он показывает воздействие изменения объе-
ма продукции на изменение величины чистой прибыли:
Укр = У • Уфр — уровень комбинированного рычага;
V = 0_Е.. Е = Q' с
КР Е Е-1 Е-Г
122
Г лава 11
МИКРОЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ: АНАЛИЗ ФИНАНСОВОЙ ОТЧЕТНОСТИ
Микроэкономический фундаментальный анализ может быть рассмо-
трен в двух вариантах: анализ финансовой отчетности предприятия и
анализ факторов, определяющих цену акции на основе исследования
действия факторов. В данном пункте исследуется первый аспект проб-
лемы.
11.1. Методы финансово-экономического анализа
Можно выделить следующие методы финансово-экономического ана-
лиза:
горизонтальный анализ, или метод динамических коэффициентов;
вертикальный анализ, или метод структурных коэффициентов;
метод мультипликативных факторных моделей;
метод расширения факторной системы;
метод сравнительного анализа;
методы индексного анализа.
Горизонтальный анализ. На основе этой группы методов определяют-
ся тенденции изменения экономических и финансовых показателей дея-
тельности предприятия.
Рассчитываются темпы роста и прироста анализируемых показателей.
Темп роста:
т’=/г'00-
Темп прироста:
ДТр = Тр - 100,
где t — номер временного периода, за который мы анализируем показатель;
к — количество точек, которые разделяют два сравниваемых периода;
Qt — величина показателя в период времени t.
Пример. В данном квартале прибыль предприятия составила 150 млн руб.,
а в предыдущем — (к = 1) 120 млн руб. Темп роста рассматриваемого по-
казателя составил:
100 = 125%.
Темп прироста равен 125 - 100 = 25%.
123
Вертикальный анализ. В процессе вертикального анализа рассчитыва-
ются удельные веса частных показателей, которые образуют некоторый
агрегатный показатель. Тем самым определяется структура этого агрегат-
ного показателя.
Структура — это строение системы, выраженное через удельные ве-
са составляющих ее элементов;
d- = • 100 — структурный коэффициент, характеризующий долю
^Q, /-го показателя в сумме других показателей;
£//,.= 100.
Например, себестоимость продукции (агрегатный показатель) состав-
ляет 100 руб. и состоит из ряда элементов (частных показателей):
материальные затраты — 50 руб.;
заработная плата — 30 руб.;
амортизация — 15 руб.;
прочие затраты — 5 руб.
Доля материальных затрат составила 50%, заработной платы — 30,
амортизации — 15, прочих затрат — 5%.
Мультипликативные факторные модели. Это аналитическая форма, при
помощи которой некоторый показатель представляется как произведение
других частных показателей. Мультипликативная факторная модель
строится посредством умножения и деления рассматриваемого показате-
ля на другой показатель с последующим выделением в полученном вы-
ражении новых показателей.
Рассмотрим показатель рентабельности собственных активов пред-
приятия, т.е. отношение чистой прибыли (ЧП) к стоимости собственных
активов (СА). Умножим и разделим данный показатель на выручку от ре-
ализации продукции (ВР) и на совокупную величину активов (А):
Чистая прибыль _ ЧП ВР А _ ЧП ВР А
Собственные активы СА ВР А ВР А СА ’
Проделав данную операцию, мы получили мультипликативное разло-
жение показателя рентабельности собственных активов на отдельные фа-
кторы, имеющие самостоятельное значение,
где —-------коэффициент оборачиваемости активов;
——----мультипликатор капитала;
ЧП
ВР
— коэффициент чистой прибыли.
124
Приведенная выше формула получила название формулы Дюпона
(схема фирмы Du Pont).
Отметим следующую особенность мультипликативных моделей: если
показатель может быть представлен как произведение других показателей
по абсолютным величинам, то этот показатель может быть представлен
аналогичным произведением и в коэффициентах роста.
Например, рассмотрим взаимосвязь выручки от реализации продукции
(ВР), производительности труда (ПТ) и численности работающих (Ч):
ВР = ПТ • ч.
Если перейти к взаимосвязи коэффициентов роста этих показателей,
то она будет иметь вид:
Квр = Кпт • Кч = 1,1 • 1,2 = 1,32 (прирост на 32%);
Кпт =1,1 (прирост на 10%); Кч = 1,2 (прирост на 20%).
Метод расширения факторной системы, или построение аддитивных
факторных моделей. Данный метод основан на представлении показа-
теля в виде суммы других показателей. Исходный показатель сначала
исчисляется отношением двух показателей, затем проводится разложе-
ние числителя полученного отношения в виде суммы нескольких сла-
гаемых с последующим делением каждого слагаемого на знаменатель.
Например, рассмотрим показатель затратоемкости продукции. Этот
показатель можно представить как отношение совокупных затрат на
производство к выручке от реализации продукции. В свою очередь со-
вокупные затраты — это сумма затрат на материалы, заработную пла-
ту, амортизации и прочих затрат (числитель). Разделив каждый из этих
элементов на выручку от реализации, получим новые показатели: ма-
териалоемкость, зарплатоемкость, амортизациеемкость, затратоемкость
по прочим статьям. В сумме перечисленные показатели формируют за-
тратоемкость продукции:
3 _ Зм + Зз/пл + За + Зп _ Зм Зз/пл За Зп
Q Q Q Q Q Q"
3 — затраты;
Q — объем выпускаемой продукции;
Зм
-----материалоемкость;
3
—------зарплатоемкость;
3,
— амортизациеемкость;
Зп — прочие затраты.
125
Метод сравнительного анализа. Для того чтобы узнать, какое положе-
ние занимает предприятие в отрасли, как соотносятся эффективности
использования ресурсов на данном предприятии и в среднем по группе
предприятий, необходимо сравнить показатели рассматриваемого пред-
приятия с:
а) средним показателем по отрасли (подотрасли, группе предприятий);
б) лучшими показателями;
в) нормативными показателями.
Сопоставление необходимо проводить по относительным показате-
лям, таким, как производительность труда, средняя заработная плата,
рентабельность.
Индексный анализ. Индекс — это относительный показатель, характе-
ризующий соотношение значений рассматриваемых показателей во вре-
мени и в пространстве. Простейшими индексами являются рассмотрен-
ные выше темпы роста, соотношения показателей на данном предпри-
ятии и в среднем по группе и др. Это индивидуальные индексы. Более
сложными являются агрегатные индексы, которые и рассматриваются в
данном пункте.
Агрегатный индекс характеризует динамику сложных явлений, при-
чем позволяет выделить влияние отдельных факторов на динамику агре-
гатного показателя.
ПРИМЕР. Необходимо определить среднее изменение цен (агрегатный
индекс цен) на продукцию, выпускаемую предприятием.
Известны объемы производства отдельных видов продукции в натураль-
ном выражении и цены единицы каждого вида продукции в отчетном и
базовом периодах. Последняя колонка табл. 11.1 — индивидуальные инде-
ксы цен по отдельным видам продукции.
С целью определения изменения цен в целом по предприятию может быть
рассчитан агрегатный индекс цен:
Zq[ • р[ 300 • 200 + 300 • 150 + 20 • 500
,р = 2^' • р' = зоо • 100 + 300 • 300 + 20 • 500 = °’885’
где 1р — агрегатный индекс цен.
Таблица 11.1
Продукция Объем (q) Цена (р) 4»,
базовый период отчетный период базовый период отчетный период
А 200 300 100 200 2,0
В 400 300 300 150 0,5
С 100 20 500 500 1,0
126
Числитель формулы характеризует стоимостный объем продукции от-
четного года в ценах отчетного года, а знаменатель — объем продукции
отчетного года в ценах базисного года. Отношение этих величин показы-
вает изменение стоимостного объема продукции за счет совокупного из-
менения цен по всей номенклатуре выпускаемой продукции.
При помоши данного подхода можно определить вклад каждого част-
ного фактора в изменение общего показателя:
Щ • р\ ~ • Pv
ь<2(1 = • я{ ~ 1pj0 4jr
&QP + AQ. = • p\ ~ ' p{) + (2р‘о ’ я\ ~ 2p‘o ’ я‘о) =
= • P\ - 1p‘ • <
11.2. Анализ финансовых показателей
деятельности предприятия
Этот анализ проводится на основе финансовой отчетности, среди ко-
торой можно выделить:
форму № I — баланс предприятия;
форму № 2 - отчет о прибылях и убытках.
Рассмотрим укрупненную структуру баланса предприятия — форму
№ I (табл. II.2).
Таблица 11.2
Актив Пассив
1. Внеоборотные активы (ВА) 2. Оборотные активы (ОА) Баланс 3. Капитал и резервы (собственный капитал — СК) 4. Долгосрочные обязательства (ДО) 5. Краткосрочные обязательства (КО) Баланс
На основе баланса может быть определен ряд абсолютных показате-
лей деятельности предприятия, имеющих важное аналитическое значе-
ние:
величина средств, которыми располагает предприятие (BA + ОА);
стоимость основных средств (в составе ВА);
стоимость оборотных средств (ОА);
величина чистых активов;
величина собственных оборотных средств (ОА — КО).
Рассмотрим отчет о прибылях и убытках — форму № 2:
1) выручка от реализации (ВР);
2) себестоимость реализации (СР);
127
3) коммерческие расходы (КР);
4) управленческие расходы (УР);
5) прибыль от реализации ( ПР = BP — СР — КР — УР);
6) проценты к получению (ПП);
7) проценты к уплате (ПУ);
8) доходы от участия в других организациях (ДУ);
9) прочие операционные доходы (ПОД);
10) прочие операционные расходы (ПОР);
II) прибыль от финансово-хозяйственной деятельности (ПФХД =
= ПР + ПП - ПУ + ДУ + ПОД - ПОР);
12) прочие внереализационные доходы (ПВД);
13) прочие внереализационные расходы (ПВР);
14) прибыль (убыток) до налогообложения (ПДН = ПФХД + ПВД —
- ПВР);
15) налог на прибыль и иные аналогичные обязательные платежи
(НП);
16) чистая прибыль (нераспределенная прибыль (убыток) отчетного
периода) ЧПр = ПДН - НП + Чрезвычайные доходы — Чрезвычайные
расходы.
В международной и российской практике существует показатель
валовой прибыли. Приближенно ее величина определяется вычитанием из
выручки от реализации себестоимости реализованной продукции.
Анализ финансового состояния при помощи системы финансовых ко-
эффициентов может быть представлен следующей схемой (рис. 11.1).
1. Оценка имущественного положения характеризует структуру активов
предприятия и их состояние. Можно выделить следующие показатели
имущественного положения.
Рис. 11.1
128
1.1. Доля оборотных средств (мобильных активов) в совокупном имуще-
стве предприятия:
</ОА = ОАДВА+ОА).
1.2. Доля запасов в оборотных активах:
d3 = 3/ОА.
1.3. Доля основных средств во внеоборотных активах:
^ОС = Cqc/BA.
Можно определять удельный вес каждого элемента имущества в об-
щей его величине в зависимости от целей анализа.
1.4. Доля активной части в основных фондах:
_ Стоимость активной части основных средств (СА)
ач Совокупная стоимость основных средств (Сос)
Показатель СА включает стоимость машин, оборудования, транспорт-
ных средств. Данный показатель характеризует долю непосредственно
“работающих” активов.
1.5. Коэффициент износа основных средств:
К ______________Износ_________
"зн Балансовая стоимость ОС ’
Он характеризует “потерю” основными средствами своей стоимости.
1.6. Коэффициент обновления:
К _ Балансовая стоимость поступивших ОС за период
обн Балансовая стоимость ОС на конец периода
Этот коэффициент характеризует долю новых фондов в общей их со-
вокупности на конец периода.
1.7. Коэффициент выбытия:
_ Балансовая стоимость выбывших основных фондов
вь|6 Балансовая стоимость основных фондов на начало периода
2. Оценка ликвидности. Рассматривают различные понятия ликвидно-
сти.
Ликвидность активов — это способность активов превратиться в день-
ги без потери своей номинальной стоимости.
Ликвидность активов характеризуется двумя свойствами:
I) скоростью превращения в деньги;
2) способностью сохранять номинальную стоимость в процессе пре-
вращения в деньги.
129
Ликвидность баланса — это способность предприятия расплатиться по
краткосрочным обязательствам за счет использования на эти цели обо-
ротных активов. В данном разделе рассматриваются показатели ликвид-
ности баланса. Для характеристики ликвидности в рассматриваемом
смысле используется также термин “платежеспособность”.
2.1. Коэффициент маневренности:
р, _ _______Денежные средства_______
м Собственные оборотные средства '
2.2. Коэффициент текущей ликвидности (общий коэффициент покры-
тия):
_________Оборотные активы______
гл Краткосрочные обязательства ‘
2.3. Коэффициент быстрой ликвидности:
_________Быстроликвидная часть
бл Краткосрочные обязательства
2.4. Коэффициент абсолютной ликвидности:
____________Денежные средства____
абсл Краткосрочные обязательства ‘
2.5. Коэффициент покрытия запасов:
„ _ Собственные оборотные средства
пз Запасы
Данный коэффициент показывает обеспеченность запасов собствен-
ными финансовыми ресурсами.
3. Оценка. финансовой устойчивости. Под финансовой устойчивостью
понимаются возможности предприятия функционировать за счет собст-
венных средств, степень его независимости от внешних факторов.
3.1. Коэффициент автономии:
К _ Собственные средства (СС)
авт Совокупные активы (А)
3.2. Коэффициент финансовой зависимости (мультипликатор капитала):
К __________Активы_______
Собственные средства' ,
Видно, что коэффициенты автономии и финансовой зависимости яв-
ляются взаимно обратными величинами.
130
3.3. Коэффициент маневренности собственного капитала:
К _ Собственные оборотные средства
мск Собственный капитал
3.4. Коэффициент финансового рычага (коэффициент финансового леве-
риджа):
К _ Заемные средства
фр Собственный капитал ‘
Очевидно, что выполняется соотношение:
Кф3 = 1 + кфр.
3.5. Коэффициент долгосрочного привлечения заемных средств:
р, _ _____________Долгосрочные обязательства___________
дпз Собственные средства + Долгосрочные обязательства ’
4. Оценка деловой активности
4.1. Показатели результативности
Производительность труда (ПТ) — выработка продукции на одного ра-
ботающего:
_ Объем продукции
Численность работающих '
Трудоемкость (Тр) — затраты труда на единицу продукции. Это пока-
затель, обратный производительности труда:
_ _ Численность работающих
Объем продукции
Фондоотдача — отношение объема продукции к стоимости основных
фондов.
Фондоемкость — отношение стоимости основных фондов к объему
продукции:
Фондоемкость — —-------------.
Фондоотдача
Затратоемкость (3/е) — отношение затрат на производство к объему
продукции:
_. _ Затраты на производство
Объем продукции
Затратоотдача (З/о) — отношение объема продукции к затратам на
производство:
131
_ . _ Объем продукции
Затраты на производство’
Фондовооруженность труда (Ф/в):
ф _ Стоимость основных фондов
Численность работающих
Можно заметить:
Производительность труда = Фондоотдача • Фондовооруженность.
4.2. Показатели оборачиваемости активов
4.2.1. Коэффициенты оборачиваемости характеризуют способность ак-
тивов предприятия возмещать свою стоимость через выручку от реализа-
ции продукции определенное число раз в течение рассматриваемого пе-
риода.
Коэффициент оборачиваемости текущих (оборотных) активов:
К ____Выручка от реализации
ота Средняя величина текущих активов ’
Коэффициент оборачиваемости запасов:
К _ Затраты на производство
03 Средние запасы
Коэффициент оборачиваемости дебиторской задолженности:
К _ _______________Выручка______________
одз Средняя дебиторская задолженность’
4.2.2. Длительность (период) оборота — период, необходимый для со-
вершения одного оборота:
360
или
.р _ Средняя величина текущих активов • 360
ота Выручка от реализации
Предприятие должно стремиться увеличить коэффициент оборачива-
емости и снизить длительность оборота текущих активов.
5. Оценка рентабельности. Рентабельность — отношение прибыли к за-
тратам, либо к объему производства, либо к активам.
Рассмотрим некоторые наиболее употребляемые показатели рента-
бельности: рентабельность продаж, рентабельность производства, рента-
бельность активов.
132
5.1. Доля прибыли в выручке от реализации (рентабельность продаж)
Коэффициент валовой прибыли:
р, _ Валовая прибыль
вп Выручка от реализации ’
Коэффициент чистой прибыли:
„ _ Чистая прибыль
|П Выручка от реализации ’
5.2. Рентабельность производства
Рассчитываются следующие показатели:
Рентабельность Прибыль от реализации единицы продукции
единицы продукции Себестоимость единицы продукции
определенного вида
Рентабельность = Операционная прибыль
объема производства Затраты
5.3. Рентабельность активов
5.3.1. Рентабельность совокупных активов:
ц _ ЧиСТаЯ ПрИбЫЛЬ (Ц£)д)
а Средние активы
5.3.2. Рентабельность собственных активов (собственного капитала):
Чистая прибыль „ „
/?ск---тз----з—Z—Е—з---------------- ROE).
ск Средний собственный капитал
5.3.3. Рентабельность производственных фондов:
„ _________________Прибыль______________
пф Основные фонды + Оборотные фонды
6. Оценка положения на рынке ценных бумаг
6.1. Доход на акцию характеризует потенциальный доход, которым
располагают акционеры (предельная величина дивиденда в расчете на
акцию):
EPS _ Чистая прибыль — Дивиденды по привилег. акциям
Общее количество обыкновенных акций
6.2. Ценность акции (Р/Е):
р ,р _ Рыночная цена акции
' Доход на акцию
133
Чем выше данный показатель, тем выше доверие фондового рынка к
данному предприятию.
6.3. Рентабельность акции:
_ Дивиденд на 1 акцию
а Рыночная цена акции
6.4. Дивидендный выход характеризует долю дохода, выплачиваемого в
виде дивиденда:
др _ Дивиденд на 1 акцию
Доход на акцию
6.5. Коэффициент котировки акций:
К _ Рыночная цена акции
кот Учетная цена акции
Учетная цена акции = Балансовая стоимость акционерного капита-
ла/Количество обыкновенных акций в обращении.
Балансовая стоимость акционерного капитала = Рыночная стоимость
обыкновенных акций + Эмиссионный доход + Реинвестированная прибыль.
Может быть также использован показатель (В/М) соотношения балан-
совой стоимости (BV) и рыночной капитализации (МС). Рыночная капи-
тализация — это произведение рыночной стоимости акций на их коли-
чество в обращении:
В/М = В V/MC.
Статистически прослеживается прямая зависимость между величиной
В/М и доходностью акций компании.
Кроме того, значительный аналитический потенциал имеют следую-
щие показатели:
Рыночная капитализация компании/Выручка от реализации;
Рыночная цена акции/Чистый денежный поток в расчете на одну ак-
цию;
Чистый денежный поток = Прибыль после уплаты налогов + Амор-
тизация.
Глава 12
МИКРОЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНЫ АКЦИИ
Важным аспектом микроэкономического фундаментального анализа
является исследование факторов, определяющих теоретическую (спра-
ведливую) стоимость акций. Эта стоимость находится на основе исполь-
зования нижеприведенных подходов.
134
1. Модель единичного периода — ситуация, в которой предполагается,
что инвестор покупает акцию, держит ее у себя один год, а затем прода-
ет. Если Ро — текущая теоретическая цена акции, rs — требуемая доход-
ность, которую предполагает получить инвестор от вложения средств в
данную ценную бумагу, Рх — цена акции через год, q — темп прироста
цен и дивидендов в будущем годовом периоде, то
Ро = Dx/(\ + rs) + Рх/{\ + г,) = (Z)] + РХ)/(Д + г,), (12.1)
где Dx — дивиденд, выплаченный в конце периода.
Поскольку нам известен темп роста цены, то можем записать:
Ро = [Р, + Ро(1 + <?)]/(! + rs) = Р,/(г5 - q). (12.2)
Данная формула существует для варианта, когда rs > q.
ПРИМЕР. Дивиденд, полученный в нулевом году, DQ = 4 долл. Предполо-
жим, что дивиденды и цены растут одним и тем же темпом q = 6%, требу-
емая доходность инвестора rs = 12%. Найти теоретическую текущую стои-
мость акции.
Решение. = 4 (1 + 0,06) = 4,24; PQ = 4,24/(0,12 - 0,06) = 70,7.
Определение нормы прибыли. Если известны значения Z)o, Dx и q, то мо-
жет быть определена доходность (норма прибыли):
Ро = [Р, + Ро(1 + <?)]/(1 + rs).
Выразим норму прибыли из Ро(1 + rs) = Dx + Ро(1 + q)\
rs = Di/po + Я-
1. Мультипериодная модель. В этом варианте исчезает один исходный
элемент определения цены акции, а именно ее будущая цена (Рх). Тео-
ретическая цена акции PQ определяется как сумма будущего потока дис-
контированных дивидендов:
Ро = D,/(l + rs) +J)2/(1 + rs)2 + ... + Dx /(1 + rsy =
= S ^/(1 + rsY. (12.3)
i =i
Модель с нулевым приростом — частный случай мультипериодного под-
хода. Дивиденд по годам периода постоянен (темп его прироста равен ну-
лю). Происходит трансформация в бессрочную облигацию: Ро = Dt/rs.
Модель постоянного прироста — также частный случай мультипериод-
ного подхода. Предполагается, что темп прироста дивиденда является
постоянной величиной (см. разд. 4.3):
Dx = D0(l + q),
D2 = D0(l + q)2,
/’о = S 4)0 + ЯУ/<А + rsy.
t =i
135
Осуществив преобразование в соответствии с формулой суммы геоме-
трической прогрессии, получим: Ро = DJ(rs — q) — формула Гордона (см.
форм. 4.8).
Третий частный случай — модель супернормального (переменного) рос-
та (рис. 12.1), или прироста дивиденда, превышающего среднеотраслевой
прирост.
Предположим, что некоторое время величина дивиденда компании
растет темпами, превышающими среднеотраслевые. Через это время су-
пернормальный прирост переходит в среднеотраслевой.
Общий подход к определению текущей стоимости ценной бумаги для
случая супернормального (переменного) прироста:
nSN
Л. = Z *>о(1 + ^)7d + У + lDsN+ - ^)1 • U/(l + (12.4)
I =1
где qSN — супернормальный прирост; qN — нормальный прирост.
ПРИМЕР. Норма доходности rs = 10%, период супернормального роста
nSN = 3 года, qSN = 25%, qN = 5%, DQ = 2 долл. Определить текущую стои-
мость.
Этапы решения.
1. Исчисление дисконтированной суммы дивидендов: D{ = 2 • 1,25 = 2,5;
D2 = 2 • 1,252 = 3,125; D3 = 2 • 1,253 = 3,91.
Дисконтируем Z>r Р2, D3:
для первого года £>,/(1 + 0,1) = 2,5/1,1 = 2,27;
для второго года D2 /(1 + 0,1)2 = 3,125/1,12 = 2,58;
для третьего года £>3/( 1 + 0,1 )3 = 3,91/1,13 = 2,94.
2. Определим цену акции на конец периода супернормального роста (на
конец 3-го периода), для чего используем формулу единичного периода, в
соответствии с которой
Р3 = D4/(rs — qN), rs = 0,1; qN = 0,05; P3 = 3,91 • (1 + 0,05)/(0,1 - 0,05) =
= 82,11.
3. Определим современную стоимость акции 3-го периода:
РУ = 1/1,I3 = 0,751; PV • Р3 = 0,751 • 82,11 = 61,7.
136
4. Суммируем дисконтированные величины дивидендов за первые три го-
да и современную стоимость акции 3-го периода:
Ро = (2.27 +2,58 + 2,94) + 61,7 = 69,49 долл.
Глава 13
МЕТОДЫ ТЕХНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В ИНВЕСТИЦИОННОМ ПРОГНОЗИРОВАНИИ
13.1. Общие сведения о техническом анализе
Технический анализ1 — это метод прогнозирования, основанный на
обработке графической информации и проведении статистических рас-
четов. Он возник в конце XIX в. на основе практики биржевых трейде-
ров и используется для прогнозирования цен на финансовых и товарных
рынках.
В основе технического анализа лежит ряд базовых принципов.
1. В графиках прошлой информации учтены все факторы, влияющие
на динамику цен (“курс учитывает все”), иными словами, тенденции из-
менения цен закрытия учитывают действие существенных факторов, оп-
ределяющих их движение.
2. Движение цен на финансовые активы носит характер тренда, т.е.
имеет конкретную направленность, которая сохраняется в течение опре-
деленного периода времени.
В техническом анализе различают три вида трендов:
а) "бычий” (рис. 13.1) — повышательная тенденция в изменении цен
(бык как бы поднимает цену на своих рогах);
б) ".медвежий ” (рис. 13.2) — понижательная тенденция (медведь под-
жимает лапами и телом цену вниз);
1 В данном разделе ихюжены основополагающие понятия технического анализа. Для
детального рассмотрения его методов целесообразно ввести в учебный план специализации
“Инвестиции” самостоятельный курс “Основы технического анализа”.
137
Рис. 13.3
в) боковой — нет ярко выраженной тенденции. Такое движение час-
то называют термином “флэт”. Длительный флэт является предвестни-
ком резких изменений цен.
Помимо того что тренды различаются по направленности, они могут
быть классифицированы и по длительности существования. В этом слу-
чае могут быть отмечены первичный, вторичный и краткосрочный (ма-
лые колебания) тренды. Первичный тренд — это тренд, определяющий
основную направленность движения в течение длительного времени (не-
скольких лет). Он может быть “медвежьим”, “бычьим” или боковым.
Вторичный тренд существует в рамках первичного и отражает времен-
ное отклонение от основной тенденции. Например, в рамках “медвежь-
его” тренда могут возникать временные повышения цен (рис. 13.3, а) и,
наоборот, понижения при “бычьем” тренде (рис. 13.3, б).
Краткосрочный тренд (малые колебания) — это изменения показате-
ля в промежутке от нескольких часов до нескольких недель. Краткосроч-
ный тренд воздействует на вторичный, а вторичный оказывает влияние
на конфигурацию первичного тренда (см. рис. 13.4).
3. Понимание будущего лежит в изучении прошлого. Этот принцип
возникает от того, что те тенденции, которые складываются на рынке,
зависят от конкретных людей. Если раньше за определенными конфигу-
рациями следовали подъемы или спады, то появление подобных конфи-
гураций в настоящем свидетельствует о возможном аналогичном измене-
нии цен в будущем. Данный метод известен в прогнозировании как ме-
тод аналогий.
Цена
акции
Время
Рис. 13.4
138
4. Необходимо учитывать соотношения цен и объемов продаж. Как
правило, объемы продаж растут в периоды роста цен и уменьшаются в
периоды их падения. В этих случаях динамика объемов продаж как бы
поддерживает сложившийся тренд. Если падение объемов имеет место в
сочетании с “бычьей” динамикой цен, то это может свидетельствовать о
развороте тренда.
Основными методами технического анализа являются графические и
статистические (количественные).
13.2. Графические методы
Элементарные графические фигуры. В русскоязычном техническом
анализе графики называют чартами (chart — схема, чертеж). Различают:
чарты линейные (line charts)', диаграммы или бары (bar charts)', точечно-
цифровые диаграммы (“крестики-нолики”); “японские свечи”.
Линейные чарты (см. рис. 13.5) — обычный график, в котором две
смежные точки соединяются отрезками.
При построении линейных чарт по оси абсцисс откладываются вели-
чины времени (минуты, часы, дни, недели, месяцы и годы), а по оси ор-
динат — цены в арифметическом или логарифмическом выражении.
Диаграммы (иногда они носят такие названия, как “бары”, “блок-диа-
граммы”, “отрезки”) приведены на рис. 13.6 и 13.7.
Высшая цена----
— Цена закрытия
Цена открытия —
Низшая цена ——
Рис. 13.6
139
Цена
х — рост цены;
о — снижение.
о х
о х
ох х
о х о х
о о
Рис. 13.8
Каждая диаграмма содержит информацию о цене открытия, закрытия,
максимальной и минимальной. Считается, что цена открытия отражает
мнение любителей о ценах на рынке, цена закрытия — мнение профес-
сионалов. Расстояние между верхним и нижним уровнями диаграммы
характеризует борьбу между “быками” и “медведями”1.
Точечно-цифровые диаграммы (“крестики-нолики”). Их особенностью
(рис. 13.8) является то, что отсутствует ось временного измерения и ис-
пользуется только одна ось. График строится слева направо, если проис-
ходит изменение направленности цен. Крестиком отмечается повышение
цен, ноликом — их снижение.
Для построения графика следует выбрать базовый интервал, соответ-
ствующий одной клетке, в которой проставляется крестик или нолик.
Этот интервал зависит от исходной цены акции и временного интерва-
ла, применительно к которому выполняется анализ. Например, если ба-
за составляет 1 долл., то при изменении цены с 30 до 32 долл, на графи-
ке будут отложены два крестика. Если в дальнейшем цена снизится до 29
долл., то на графике появятся три нолика.
Простейшим правилом интерпретации рассматриваемого графика яв-
ляется следующее: покупать (открывать длинную позицию), если поя-
вился крестик, находящийся выше верхнего крестика предыдущей ко-
лонки крестиков, и продавать (открывать короткую позицию), если поя-
вился нолик, находящийся ниже нижнего нолика предыдущей колонки
ноликов. Рассмотрим пример (см. табл. 13.1).
Таблица 13.1
Динамика цен акций за ретроспективный период
Дата Цена
05.06 40
06.05 41
07.06 42
08.06 43
09.06 41
12.06 39
13.06 38
14.06 37
Дата Цена
15.06 45
16.06 46
19.06 48
20.06 36
21.06 35
22.06 34
23.06 38
26.06 40
Дата Цена
27.06 41
28.06 42
29.06 44
30.06 40
01.07 39
04.07 38
05.07 41
06.07 42
1 Меладзе В.Э. Курс технического анализа. М., 1997. С. 68—69.
140
График “крестики-нолики” будет выглядеть так (рис. 13.9):
Рис. 13.9
“Японские свечи”. Данный вид графического изображения (см.
рис. 13.10) в чем-то напоминает диаграммы.
Если цена закрытия выше цены открытия, то “свеча” пустая (не за-
крашена и имеет белый цвет); если цена закрытия ниже цены открытия,
то “свеча” имеет черный цвет.
Тени — у Цена закрытия
1/
Тело "свечи"
I \
Тени — j Цена открытия
Цена закрытия
Цена открытия
Рис. 13.10
Остов “свечи” характеризует разрыв между ценами открытия и закры-
тия, конец верхней тени показывает максимальную цену, нижней — ми-
нимальную.
По размеру различают (рис. 13.11) нормальные “свечи” и так называ-
емые доджи (кресты). Доджи характеризуются тем, что цена закрытия
близка к цене открытия или они равны между собой.
Классические фигуры технического анализа. Задача аналитика состоит
в том, чтобы выявить тренд, определить его долговременность и спрог-
нозировать вероятность разворота.
Наиболее простым способом определения долговременности тренда
является выявление уровней (линий) сопротивления (resistance) и под-
держки (support).
141
или
Зонтик: I । I Молот: . I
Рис. 13.11
Если при повышательной тенденции возникло падение, если цены
начинают “упираться” в некоторый предел, то появляется линия сопроти-
вления. Линия сопротивления (рис. 13.12) соединяет вершины и пики на
графике движения цен.
Уровень сопротивления возникает, когда при “бычьем” тренде усили-
вается влияние “медведей”.
Уровень поддержки (рис. 13.13) появляется при усилении “быков” на
“медвежьем” рынке.
Уровень сопротиления
“Бычий”
тренд/
Рис. 13.12
“Медвежий”
тренд
Уровень поддержки
Рис. 13.13
Если тот или другой тренд преодолевает уровни сопротивления или
поддержки (рис. 13.14), он называется сильным, в противном случае —
слабым.
Обшим подходом к действиям трейдеров на рынке является покупка
при “бычьем” тренде, продажа при “медвежьем” тренде и воздержание
от каких-либо действий при боковом тренде.
Примеры слабого тренда приведены на рис. 13.15.
Сила поддержки и сопротивления зависит от трех основных факторов:
продолжительности поддержки или сопротивления, их высоты, объема
торгов. Чем продолжительнее эти линии, тем поддержка и сопротивле-
142
Линия сопротивления
ние сильнее. Чем больше высота (область) поддержки или сопротивле-
ния, тем они также сильнее. Большие объемы торгов усиливают рассма-
триваемые линии.
В зависимости от того, как формируются соотношения между “быка-
ми” и “медведями”, тенденции могут меняться (см. рис. 13.16).
На графиках, как правило, присутствуют характеристики объемов тор-
говли. Для того чтобы выявить динамику цен, необходимо подтвердить
ее динамикой объемов торговли. Если при достижении уровня поддерж-
ки понижательный тренд изменил свое направление и объем торгов уве-
личился, можно предположить, что “медвежий” тренд меняется на “бы-
чий”. Если при этих же условиях произошло уменьшение объема торгов-
ли, то движение вверх будет временным.
Общее правило: формирование и усиление любого тренда должны хара-
ктеризоваться увеличением объема торгов.
На графике (рис. 13.17) представлена ситуация, при которой возмож-
но начало “бычьего” тренда.
Если в аналогичной ситуации объем торгов падает, то рост (рис. 13.18)
имеет временный характер.
Линия тренда — это линия, проведенная через две соседние вершины
или точки впадин (рис. 13.19).
Для “бычьего” тренда линия лежит ниже графика цен и одновремен-
но является линией поддержки, для “медвежьего” — линия рисуется вы-
Уровень сопротивления. Уровень поддержки ...**'** Уровень поддержки Уровень сопротивления Рис. 13.16
143
Цена
Рис. 13.17
Столбиковая диаграмма
объема торгов
Цена
ше графика цен (рис. 13.20). Продолжение линий поддержки и сопроти-
вления дает возможность прогнозировать цены.
Важной характеристикой линии тренда является ее наклон. Он пока-
зывает, насколько радикальны преобладающие настроения на рынке.
Рис. 13.19
Линии поддержки и сопротивления могут переходить друг в друга
(рис. 13.21).
Если линия поддержки “бычьего” тренда перешла в линию сопроти-
вления, то возникает сигнал к продаже (переход “бычьего” тренда в
“медвежий”).
Если в “медвежьем” тренде линия сопротивления переходит в линию
поддержки, то возникает вероятность изменения направленности и сиг-
нал к покупке (рис. 13.22).
Линия канала (рис. 13.23) возникает, когда подъемы и спады тренда
примерно одинаковы.
Сигнал к продаже
Рис. 13.21
144
Опорная точка
Опорные точки
линии тренда
Рис. 13.23
Разворотные фигуры и фигуры продолжения. Фигуры, которые предше-
ствуют глобальному изменению тренда, называются разворотными. Фи-
гура продолжения — это фигура временного изменения тренда.
Наиболее типичная фигура разворота — фигура “Голова и плечи” (см. рис.
13.24). Эта фигура является предвестником смены “бычьего” тренда “мед-
вежьим”. На рис. 13.24 точка А — левое “плечо”, Е — правое, С — “голова”.
Точки А и Е должны быть расположены примерно на одном уровне,
точка С должна быть расположена выше точек А и Е. Линия шеи выпол-
няет функцию линии поддержки и линии сопротивления.
с
Д Д Е
/\/ у У \ ? Линия "шеи"
7 ’ ° V\
F
Рис. 13.24
Для подтверждения наличия этой фигуры необходимо проанализиро-
вать динамику объемов торговли. Начиная с левого “плеча” при движении
цен вниз объем торгов должен расти; при движении цен вверх — падать.
“Прорыв” линии “шеи” является началом “медвежьего” тренда. Напро-
тив. при завершении “медвежьего” тренда и переходе его в “бычье” состо-
яние возникает фигура “Перевернутые голова и плечи” (рис. 13.25).
"Голова"
Рис. 13.25
145
Линия сопротивления
/ Сигнал к \ Линия поддержки
/ продаже Т
Сигнал к покупке.
. /Линия
\ / сопротивления
У V. Y. Линия поддержки
Рис. 13.26
Рис. 13.27
Разворотными фигурами являются также фигуры “Тройная вершина”
(рис. 13.26), “Тройное дно” (рис. 13.27).
К фигурам продолжения в значительной степени можно отнести сле-
дующие: “Сужающийся треугольник” (рис. 13.28), “Восходящий тре-
угольник” (рис. 13.29), “Нисходящий треугольник” (рис. 13.30), “Флаг”
(рис. 13.31), “Вымпел” (рис. 13.32), “Клин” (рис. 13.33).
Общее правило: появление фигур продолжения сопровождается обычно
падением объема торгов.
Фигуры продолжения говорят о сохранении действующего тренда и
иллюстрируют ситуацию его коррекции. Наиболее типичной фигурой яв-
ляется треугольник.
Рис. 13.28
146
"Бычий" тренд . . "Медвежий" тренд
М W
Рис. 13.31
"Бычий" тренд "Медвежий" тренд
Рис. 13.32
"Бычий" тренд "Медвежий" тре^
/и..........ш
Рис. 13.33
13.3. Количественные методы
1. Простая скользящая средняя рассчитывается как средняя арифмети-
ческая величина за некоторый предшествующий период:
5,+1 = (. izj/л = 5, + , (13.1)
где п — порядок скользящей средней; t — номер временной точки (год,
день и т.д.); Xt — значение цены в точке t.
Как видно из формулы (13.1), для расчета скользящей средней доста-
точно скорректировать ее значение в предыдущей временной точке по-
средством исключения фактической величины цены в точке /-ли при-
бавления такого же значения в точке /.
Рассчитанное значение присваивается точке, следующей за точкой /,
т. е. делается прогноз на один временной период. Дальнейший анализ
строится на сравнении двух кривых: графика исходных фактических дан-
147
ных и графика скользящих средних. Скользящая средняя при “бычьем”
тренде находится ниже графика исходных данных, при “медвежьем”
тренде — выше. Изменение направленности тренда происходит при пе-
ресечении графиков скользящей средней и исходных данных.
Рассмотрим пример расчета и графической интерпретации простой
скользящей средней (табл. 13.2).
Таблица 13.2
Рис. 13.34. График фактических данных и простой скользящей средней
2. Взвешенная скользящая средняя:
i=t—n+1
(13.2)
l(k = 1, 2, 3... л),
где ык — вес Хг Чем ближе точка / к текущему моменту, тем вы-
ше ее вес. Для расчета веса может быть использован номер данной
точки. Тем самым большее значение будет придаваться последним
точкам. Если сглаживание проводится по 5 точкам, т.е. п = 5,
148
то имеем следующие веса для каждой точки (номер точки делим на сум-
му лет):
ш, = 1/1+2+3+4+5 = 0,067
ш2 = 2/1+2+3+4+5 = 0,133
w3 = 3/1+2+3+4+5 = 0,2
о>4 = 4/1+2+3+4+5 = 0,267
о)5 = 5/1+2+3+4+5 = 0,333
3. Экспоненциальная средняя:
(соответствует точке / = t-n + 1);
соответсвует точкам в промежутке
между i = t - п + 1 и i = t;
(соответствует точке / = t).
ESl+l = X, а + (1 - а) • ESt, (13.3)
£5,+ 1 = ES, + аЦ - ESt), (13.4)
где ESt — скользящая средняя в точке /; а — коэффициент сглаживания,
который характеризует вес, присваиваемый данной точке 1; 0 < a s 1;
Xt — фактическое значение цены в точке I.
Экспоненциальная средняя также представляется как прогноз, сде-
ланный в данной временной точке на один период вперед. Из формулы
(13.4) видно, что этот прогноз (для точки / + 1) есть уточнение прогноза
для предыдущего периода t, определенное умножением ошибки прогно-
за для этого периода (Л, — £5,) на коэффициент а.
Если в формулу (13.3) подставить значение £5, = Xt_xa + (1 — а) х
х £5,_р а дальше аналогичным образом представить и ESl_l, то полу-
чим
£5,+1 = X' а +(1 - а) • aXt_x + (1 - а)2 А^2 + (1 - а)3£5,_2. (13.5)
Из формулы (13.5) видно, что веса значений цены в периоды, пред-
шествующие периоду г, экспоненциально убывают.
Коэффицент а подбирается опытным путем с учетом того, что в слу-
чае наличия бокового тренда, т. е. при случайной вариации динамиче-
ского ряда, его значение должно быть близким к нулю и в случае напра-
вленного тренда или тогда, когда проявляется зависимость последующих
значений ряда от предыдущих, величина рассматриваемого коэффициен-
та принимается близкой единице.
Рассмотрим пример расчета экспоненциальной средней для данных
табл. 13.2.
Для того чтобы определить £52, нужно знать ESX или начальное зна-
чение экспоненциальной средней. Определим это значение как среднюю
арифметическую величину за первые пять дней:
40 + 41 + 45 + 43 + 46 .,
----------------------= 43 долл.
Далее рассчитаем £52 и ES3 при а — 0,6:
149
ES2 = aXt + (1 - a) £5] = 0,6 • 40 + 0,4 • 43 = 41,2;
ES3 = aX2 + (1 - a) ES2 = 0,6 • 41 + 0,4 • 41,2 = 41,1.
Результаты расчета экспоненциальной средней за другие периоды
представлены в табл. 13.3.
Расчет экспоненциальной средней
Таблица 13.3
Номер дня Экспонен- циальная средняя, долл. Номер дня Экспонен- циальная средняя, долл. Номер дня Экспонен- циальная средняя, долл. Номер дня Экспонен- циальная средняя, долл.
1 43,0 6 44,9 11 47,9 16 42,6
2 41,2 7 45,5 12 49,2 17 38,0
3 41,1 8 45,2 13 49,7 18 35,0
4 43,4 9 45,1 14 48,7 19 31,4
5 43,2 10 46,2 15 46,5
-ф- Цена акции
Скользящая средняя
Экспоненциальная средняя
Общие выводы
1. Чем выше порядок скользящей средней, тем в большей степени ее
график отличается от графика фактических значений (см. рис. 13.35).
2. Скользящая средняя малого порядка дает много ложных сигналов.
Скользящая средняя большого порядка имеет слишком малую чувстви-
тельность. Порядок скользящей средней должен соответствовать цели
исследования и длительности периода упреждения.
3. Если график скользящей средней находится ниже графика цен, то
данный тренд является “бычьим”. Если же он находится выше фактиче-
ского графика, то тренд “медвежий”.
4. При пересечении графиков цен и скользящей средней тренд в боль-
шинстве случаев меняет свое направление.
Следующая группа количественных методов — осцилляторы (осцилля-
тор — вибратор). Рассмотрим следующие осцилляторы: момент, скорость
изменения, индекс относительной силы, стохастические линии.
Момент'.
150
(13.6)
где Pr — фактическое значение цены в точке I; Pt_n — цена закрытия в
точке t — п.
Следующим этапом анализа является нормализация момента, т.е. де-
ление момента Л/, на какую-либо величину, позволяющую перейти к от-
носительному значению момента. Момент делится на цену Р,_й, а ино-
гда на наибольшее или наименьшее значения цен в данный период, на
среднюю цену за период. График моментов приведен на рис. 13.36.
Скорость изменения (Rate of Change — ROC):
ROC = (P,/P^n) • 100. (13.7)
График относительных изменений строится вокруг точки ROC = 50
(рис. 13.37).
Расчет моментов и скоростей изменения для п = 3 по данным табл. 13.2
приведен в табл. 13.4.
Индекс относительной силы:
RSI = 100 - [100/(1 + Л5)], (13.8)
RS = Ux/Dx, (13.9)
где (/' — среднее (сумма) значение цен в дни, закрывшиеся с ценами вы-
ше предыдущих за х дней; £Н— среднее (сумма) значение цен в дни, за-
крывшиеся с ценами ниже предыдущего дня за х дней.
Осуществив алгебраические преобразования и подставив (13.9) в
(13.8), можно получить:
RSI = 100 • (1 - 1/(1+/?5)) = 100 • (RS/O+RS)) = 100 • (Ux/(Ux +DX)).
Таким образом, индекс относительной силы равен доле повышений
цен в сумме общих изменений за период. Если цены за период только
увеличивались, то RSI = 100, если только снижались, то RSI = 0. Поро-
говые значения показателя RSI берутся равными 30 и 70%. Значения,
равные или близкие к 70%, относятся к зоне “перекупленного рынка”;
соответственно значения ниже 30% — к зоне “перепроданного рынка”.
м,
ROCk
Рис. 13.36
Рис. 13.37
151
Таблица 13.4
Расчет моментов и скоростей изменения
Номер дня Момент, долл. Относительный момент, % Скорость изменения, % Номер дня Момент, долл. Относительный момент, % Скорость изменения, %
1 — — — 10 4 8,9 108,9
2 — — — И 5 11,1 И,1
3 — — — 12 3 6,4 106,4
4 3 7,5 107,5 13 -1 -2 98,0
5 5 12,2 112,2 14 -5 -10 90,0
6 1 2,2 102,2 15 -10 -20 80,0
7 2 4,7 104,7 16 -13 -27,6 72,4
8 -1 -2,2 97,8 17 -12 -26,7 73,3
9 1 2,2 102,2 18 -11 -27,5 72,5
19 -10 -28,6 71,4
Перекупленный — рынок, в котором цена находится у своей верхней
точки, т.е. дальнейшее ее повышение невозможно.
Перепроданный — рынок с такими ценами, когда дальнейший их спад
невозможен.
4. Стохастик-индикаторы — это линии, которые рассматриваются во
взаимном положении. Используются следующие показатели:
а) %К = 100 • (С, - £„)/(Я„ - £„), (13.10)
где С, — текущая цена закрытия; Ln — самый низкий уровень за послед-
ние п дней; Нп — самый высокий уровень за последние п дней. Величи-
на п, как правило, равна 5 дням;
б) %D = 100 • CL^/HLy, (13.11)
где CL3 — трехдневная сумма величины (С, — £z(); HL3 — трехдневная
сумма величины (Я„ — £„).
Контрольными значениями являются уровни 80 и 20%. Величины
стохастик-индикаторов выше 80% свидетельствуют о попадании в зону
перекупленности, ниже 20% — в зону перепроданности.
РАЗДЕЛ 4
РЕАЛЬНЫЕ ИНВЕСТИЦИИ
Глава 14
СОДЕРЖАНИЕ И ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ
РЕАЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ
14.1. Виды реальных инвестиций
Реальные инвестиции (производственно-технические) предполагают
вложение средств в физические и нематериальные активы. Существуют
следующие виды реальных инвестиций.
I. Вынужденные (обязательные) — это инвестиции, связанные с удо-
влетворением различных стандартов и нормативов (экологические стан-
дарты, стандарты безопасности продукта и т.д.).
2. Инвестиции, связанные со снижением текущих затрат, — инвести-
ции для текущего совершенствования технологического процесса и про-
дукции.
3. Инвестиции в обновление основного капитала (инвестиции на за-
мену выбытия).
4. Инвестиции в расширение производства — инвестиции в увеличе-
ние единиц и стоимости производственного аппарата в рамках действу-
ющих производственных площадей.
5. Инвестиции в новое строительство.
6. Инвестиции в новые товары, технологии и рынки.
7. Инвестиции в рисковые научно-исследовательские и опытно-кон-
структорские работы (НИОКР).
Таблица 14.1
Разделение инвестиций по уровню риска
Низкий уровень риска
Высокий уровень риска
Обязатель-
ные инве-
стиции
Инвести-
ции в сни-
жение теку-
щих издер-
жек
Инвести-
ции в обно-
вление ос-
новного ка-
питала
Инвести-
ции в рас-
ширение
Инвести-
ции в новое
строитель-
ство
Инвести-
ции в рис-
ковые
НИОКР
153
Зависимая и независимая инвестиции. Два инвестиционных проекта яв-
ляются независимыми, если денежные потоки одного проекта не изме-
няются при осуществлении или неосуществлении другого проекта. В
противном случае проекты являются зависимыми (например, мост и па-
ром).
Если решение осуществить данный проект увеличит доходы, получа-
емые по другому проекту, то первый проект называется дополняющим по
отношению ко второму. Если один проект невозможно осуществить при
принятии другого, то такие проекты являются взаимоисключающими.
Если принятие одного проекта уменьшает доходы другого, то первый
проект называется заменяющим (субститутом) второй.
Статистическая зависимость. Инвестиции (даже экономически незави-
симые) зависимы статистически, если их денежные потоки связаны с не-
которым внешним событием. Например, инвестиции в строительство до-
рогих домов и в изготовление дорогих ювелирных украшений взаимоза-
висимы, так как определяются доходами богатых слоев общества. Риск
выше по сравнению с осуществлением статистически независимых инве-
стиций.
14.2. Показатели экономической оценки
реальных инвестиций
Экономическая оценка инвестиций предполагает сопоставление за-
трат, связанных с процессом инвестирования, и доходов, получаемых в
результате его реализации.
Достаточно широкое распространение и признание получили следую-
щие показатели оценки эффективности реальных инвестиций.
I. Чистая современная стоимость.
2. Срок окупаемости.
3. Рентабельность.
4. Внутренняя норма доходности.
1. Чистая современная стоимость. Рассмотрим инвестиционный про-
ект, имеющий следующий денежный поток (тыс. руб.):
0-й год 1-й год 2-й год
-100 130 150
В конце базового (нулевого) года осуществляются инвестиции, денеж-
ные средства для которых получены в кредит под 40% годовых. Кредит с
процентами должен быть возвращен за счет доходов проекта по мере их
поступления. Предположим, что доходы от инвестиций образуются в
суммах 130 и 150 тыс. руб. в конце соответственно первого и второго го-
дов. В этом случае на конец первого года долг (с процентами) перед кре-
154
дитором составит 100 • 1,4 = 140 тыс. руб. На его погашение направля-
ется доход первого года, и на начало второго года будем иметь остаток
задолженности в размере 10 тыс. руб. (140 — 130 = 10). На этот остаток
также начисляются проценты, и на конец второго года величина долга
составит 10 • 1,4 = 14 тыс. руб. Чистый доход инвестора в результате ре-
ализации данного проекта составит 150 — 14 = 136 тыс. руб. Приведен-
ные выше вычисления в обобщенном виде можно представить следую-
щим образом:
150 - (100 • 1,4 - 130) • 1,4 = -100 • 1,42 + 30 1,4 + 150 = 136 тыс. руб.
Полученная сумма представляет номинальный прирост капитала ком-
пании в результате реализации данного инвестиционного проекта. Эта
величина называется конечной (терминальной) стоимостью. Предполо-
жим, что данная компания обладает ноу-хау по данному проекту и мо-
жет его продать до начала осуществления. По какой цене? По-видимо-
му, с позиций финансовой эквивалентности вполне обоснованным было
бы определить стоимость проекта на начало периода как современную
стоимость будущего конечного дохода, т. е. мы должны дисконтировать
(привести к нулевому году) 136 тыс. руб. исходя из ставки, по которой
компания могла бы инвестировать полученные в начале периода средст-
ва от продажи проекта. Предположим, что эта ставка также равна 40%.
Данное предположение вполне реально, так как полученные средства
могли бы быть предоставлены кому-то в долг. Получим:
136/1,42 = [-100 • 1,42 + 130 • 1,4 + 150]/1,42 =
= -100 + 130 • 1,4"' + 150 • 1,4-2 = 69,4 тыс. руб.
Это цена, по которой можно продать идею проекта в начале периода.
Данная величина называется чистой современной стоимостью проекта
(NPV)1.
Как видно из последнего расчета, NPVесть алгебраическая сумма дис-
контированных на начало периода элементов денежного потока инвести-
ционного проекта.
Предположим, что инвестиционный проект можно разделить на две
части (рис. 14.1).
Период инвестирования Период отдачи инвестиций
0 12 3 t ... m 1 2 3 j ... п2
Н--1--1-1--1-------1---1-1----1-1------Н
h I2 I3 It Е) Е2 Ез ... Ej
Рис. 14.1
1 В литературе данный показатель имеет различные названия — “чистая текущая стои-
мость”, “чистая приведенная стоимость”, “чистый дисконтированный доход” и др. Мы бу-
дем использовать название “чистая современная стоимость” и аббревиатуру NPV от англ.
net present value.
155
На рис. 14.1 — капиталовложения в период г; Ej — доходность в пери-
од /, t — номер года в период инвестирования (t = 1, ..., nx),j — номер
года в период отдачи инвестиций (/ = 1, ..., п2).
Как и в рассмотренном примере, имеем дело с денежным потоком,
состоящим из отрицательных и положительных элементов. Отрицатель-
ные элементы представляют собой инвестиционные затраты, определяю-
щие отток денежных средств, положительные элементы — это доходы,
формирующие приток денежных средств.
Суммарные величины инвестиций и доходов (а также их непосредст-
венное сопоставление — в данном случае алгебраическое сложение) не
могут быть определены простым суммированием годовых инвестиций,
так как ценность их неодинакова. Учитывая фактор временной стоимо-
сти денег, необходимо привести значение элементов денежного потока к
единой временной дате. Чтобы решить эту задачу, как мы знаем, нужно
осуществить операцию дисконтирования.
Еще раз напомним, что в основе процесса дисконтирования лежит рас-
чет коэффициентов дисконтирования, который производится по формуле
DFt = 1/(1 + г)' = (1 + г)-’, (14.1)
где DFt — коэффициент дисконтирования для года t; г — ставка дискон-
тирования.
Чтобы провести дисконтирование элемента денежного потока года /,
необходимо умножить его численное значение на коэффициент дискон-
тирования.
Дисконтированная сумма инвестиций определится так:
/ = ЕЛО+>•)', (14.2)
Z»1
где t = 1, л,; г — норма дисконта.
Сумма доходов
Е - ^Еу.(1+г)'("|+У). (14.3)
У-1
Показатель чистой современной стоимости рассчитывается алгебраи-
ческим сложением суммы дисконтированных инвестиций и дисконтиро-
ванных доходов. Поскольку инвестиции берутся со знаком “минус”, то
по сути инвестиции вычитаются из доходов:
NPV =У/,(1 + г)-' + VEy(l+r)’("1+y). (14.4)
/-I f-\
Инвестиции являются оправданными в том случае, когда суммарная
величина дисконтированных доходов оказывается больше суммы (взятой
156
по абсолютной величине) дисконтированных размеров инвестиций. Ве-
личина NPV в такой ситуации имеет положительное значение.
Если сравниваются несколько проектов, то выбирается тот, NPV ко-
торого больше.
Необходимо отметить, что разделение жизненного цикла инвестици-
онного проекта на две части во многом является условным. В действи-
тельности часто случаются ситуации, когда необходимость инвестирова-
ния возникает и в отдельные годы периода, который мы назвали перио-
дом отдачи инвестиций, например при обновлении производственного
аппарата, при устаревании оборудования и в других случаях. Суммарный
денежный поток в такие периоды может быть отрицательным (отток де-
нежных средств превышает их приток). Поэтому для общего случая мо-
жем рассчитать NPV по следующей формуле:
NPV= ДсГ,(1 + г)"',
где CFt — суммарная величина денежного потока в году t.
Показатель NPV обладает очевидными достоинствами и недостатка-
ми. Достоинство проявляется в том, что данный показатель является
абсолютным и учитывает масштабы инвестирования. Это позволяет
рассчитать прирост стоимости компании или величину капитала инве-
стора (в последнем случае при инвестировании с “нуля”). Но из этих
достоинств вытекают и недостатки. Первый заключается в том, что ве-
личину NPИ трудно, а в ряде случаев невозможно нормировать. Напри-
мер, NPV некоторого проекта равна 200 млн руб. Много это или мало?
Ответить на этот вопрос трудно, тем более если рассматривается без-
альтернативный проект. Можно, конечно, установить нижнюю планку
размера NPV\ при недостижении которой проект отвергается. Но это
во многом волюнтаристская мера, не отражающая существа процесса
инвестирования.
Второй недостаток связан с тем, что NPV в явном виде не показыва-
ет, какими инвестиционными усилиями достигнут результат. Хотя в рас-
чете NPV размер инвестиций и учитывается, относительное сопоставле-
ние не проводится.
Третий недостаток связан с тем, что для инвестора, использующего
кредитные ресурсы ( и, естественно, не только для него), важно знать пе-
риод возврата вложенных средств. С учетом отмеченных недостатков не-
обходимо дополнить NPV расчетом других показателей.
2. Срок окупаемости. Это период, в течение которого сумма полу-
ченных доходов окажется равной величине произведенных инвести-
ций.
Понятие срока окупаемости можно проиллюстрировать графически.
На рис. 14.2 показан кумулятивный (определенный нарастающим итогом
по годам проекта) денежный поток, который по мере инвестирования
нарастает по абсолютной величине как отток денежных средств, затем с
157
момента получения доходов кумулятивный отток снижается, и в опреде-
ленной временной точке величина нарастающего потока становится рав-
ной нулю. Это значит, что суммарные оттоки денежных средств за пери-
од инвестирования оказались равными суммарным доходам, полученным
от начала периода отдачи инвестиций (точка К на графике) до времен-
ной точки Л на графике, т. е. произошло возмещение суммарных инве-
стиций суммарными доходами, полученными за некоторый период. Этот
период и называется сроком окупаемости. Как видно на графике, мож-
но выделить два таких срока — от начала инвестирования и от начала пе-
риода отдачи инвестиций. Первый условно назовем сроком окупаемости
в широком смысле, второй — в узком.
Существуют различные методы определения сроков окупаемости.
1. Рассмотрим первый метод. В этом случае срок окупаемости
<к = (14-5)
где Е — среднегодовой уровень дохода.
Данный показатель можно использовать для краткосрочных проектов,
когда влияние фактора времени незначительно и когда уровень дохода
примерно стабилен по годам. Используется такой прием расчета для при-
близительной оценки длительности периода окупаемости в узком смысле.
Если период отдачи инвестиций характеризуется большой неравно-
мерностью доходов по годам, то возможно получение смещенного (иска-
женного) значения срока окупаемости. Например, в первый год доход
должен составить 10 тыс. руб., во второй — 100 тыс. руб., в третий —
500 тыс. руб. В среднем получаем 203,3 тыс. руб. Ясно, что использова-
ние формулы (14.5) для такого проекта приведет к существенному зани-
жению срока окупаемости.
2. Второй метод основан на сопоставлении суммарных инвестиций с
суммарными за определенный период доходами. При этом не предпола-
гается исчисления среднего по годам дохода. Производится прямое срав-
нение общей суммарной величины инвестиций (за весь период инвести-
рования) с суммой доходов, определенных нарастающим итогом. Пери-
од, за который эта величина доходов окажется равной инвестициям, при-
нимается за срок окупаемости данных инвестиций.
В большинстве случаев срок окупаемости, определенный таким обра-
зом, не является целочисленным (не равен целому числу лет). Поэтому
возникает задача определения точной величины срока окупаемости,
158
включающей целое число лет и некоторую дробную часть года. С этой
целью необходимо рассчитать суммарную величину инвестиций и две
суммарные величины дохода:
за целое количество лет полной окупаемости;
за период, меньший периода полной окупаемости на один год.
За первый из рассматриваемых периодов инвестиции более чем оку-
пятся (обозначим его длительность через т и назовем периодом (годом)
полной окупаемости). Мы говорим “более чем окупятся”, так как в
редких случаях суммарные инвестиции окажутся в точности равными
суммарным доходам. Если такое равенство все-таки будет достигнуто,
то соответствующее количество лет и будет представлять срок окупае-
мости, выраженный в целых годах (или месяцах, или в других времен-
ных единицах, принятых за единичный период). В этом случае прове-
дение расчетов заканчивается. Если же целочисленность не может быть
достигнута, то определяем суммарный доход за период, меньший пери-
ода полной окупаемости на один год (длительность этого периода будет
равна (т - 1) лет). Таким образом, инвестиции окупятся за этот мень-
ший период плюс некоторую часть последнего года периода полной
окупаемости. Далее следует определить эту дробную часть последнего
года полного срока окупаемости.
Для этого предварительно определим часть инвестиций, которая не
окупилась за период (т - 1) и должна окупиться за последний год сро-
ка окупаемости, т. е. за год т, по формуле
/7, /П-|
M=2J'+lEj[ (14.6)
Отметим еще раз, что инвестиции учитываются со знаком “минус”,
поэтому в вышеприведенной формуле по существу производится вычи-
тание.
Величина дисконтированных инвестиций, равная А/, окупится, как
уже отмечалось, за некоторую часть года т (обозначим ее через А/?;), чис-
ленное значение которой определится по формуле
Aw = |Д/|/£„, (14.7)
где Ет — величина дохода, полученного в году т.
Таким образом, длительность периода окупаемости инвестиций
лок = ~ + Д/и- (14.8)
Данная величина может представлять срок окупаемости в широком
смысле, если отсчет лет ведется от начала периода инвестирования, и в
159
узком, если номер года определяется от начала периода получения дохо-
дов.
Из приведенных рассуждений видно, что в расчет принимаются не-
дисконтированные значения показателей, поэтому фактор временной
стоимости денег не учитывается, что нельзя признать корректным.
3. Метод дисконтированного срока окупаемости. Используется тот же
подход, что и в п. 2, но в расчет принимаются предварительно дискон-
тированные элементы денежного потока.
Данный метод обеспечивает наиболее достоверный результат расче-
тов.
4. Применяется тот же подход, что и в п. 1, но для расчета среднего-
дового дохода учитываются дисконтированные величины годовых дохо-
дов и суммарная величина дисконтированных инвестиций. Дисконтиро-
вание позволяет во многом сгладить отмеченные выше недостатки мето-
де! п. I.
3. Показатель рентабельности. Запишем:
Р1=^Е'/^Г, (14.9)
где ^Е' и — суммарные за период существования проекта доходы и
суммарные инвестиции, дисконтированные на единый момент времени.
Для того чтобы проект инвестирования был эффективным, величина
Р1 должна быть больше единицы. Тогда NPV > 0. Величина PI может
быть нормирована. Например, проект имеет значение PI = 1,5, а в сре-
днем по отрасли, к которой он относится, рентабельность равна 1,8. Яс-
но, что в данном случае проект при прочих равных условиях имеет эф-
фективность ниже среднеотраслевой.
4. Показатель внутренней нормы доходности. Рассмотрим пример инве-
стиционного проекта, в котором в конце базового года инвестировано
100 тыс. руб., а через год получен доход 130 тыс. руб. Если не учитывать
стоимости денежных ресурсов, лежащих в основе инвестиций, то ясно,
что инвестор имеет относительный доход 30%. Расчет этой величины вы-
текает из следующего уравнения:
100(1 + х) = 130,
х = 0,3.
Разделим обе части данного уравнения на (1+х). Проведя соответст-
вующие преобразования, получим:
-100 + 130(1 + х)"1 = 0.
Видно, что последнее уравнение представляет выражение для опреде-
ления NPV, Таким образом, х является объективным показателем, кото-
рый характеризует ставку дисконтирования, при которой чистая совре-
менная стоимость оказывается равной нулю. Такая ставка дисконтирова-
160
NPV*
ния называется внутренней нормой доходности, величину которой будем
обозначать IRR[.
Если инвестиционный процесс осуществляется последовательно (сна-
чала период инвестирования, затем период получения доходов), то в
приведенных выше обозначениях можно составить уравнение £j(l +
+л'Г(,71+1)+£2(1+х)-('Ь + 2> + ... + /,(1 + х)"1 + /2(1 + х)"2 + ... = 0, где
х — неизвестная величина ставки дисконтирования, являющаяся, как
уже отмечалось, внутренней нормой доходности.
Понятно, что, чем выше IRR (рис. 14.3), тем более эффективным яв-
ляется инвестиционный проект. Внутренняя норма доходности должна
быть выше ставки дисконтирования, используемой в расчете NPV. В про-
тивном случае NPV будет иметь отрицательное значение.
Величина IRR несет важную информацию об экономической “проч-
ности'’ проекта. Эта прочность тем выше, чем больше разрыв между IRR
и ставкой дисконтирования. Отмеченная разность представляет предель-
ную возможность увеличения стоимости капитала, привлекаемого для
реализации проекта.
Для определения внутренней нормы доходности используются мето-
ды приближенных расчетов, одним из которых является метод линей-
ной интерполяции, который в общей постановке рассмотрен в пунк-
те 3.6.
Для того чтобы применить данный метод, необходимо задать вели-
чины нижней и верхней границ внутренней нормы доходности. При
этом при значении ставки дисконтирования, равной нижней границе,
чистая современная стоимость (NPVJ должна быть положительной, а
при значении, соответствующем верхней границе (NPV^, — отрица-
тельной.
Приблизительная величина IRR может быть получена по следующей
формуле:
IRR ' G. + 2 ^РУи- (14.10)
1 Как и в случае показателя чистой современной стоимости, этот показатель также име-
ет различные названия: ‘"внутренняя норма доходности”, “внутренняя норма прибыльно-
сти”. “полная доходность”. В данной работе будем применять термин “внутренняя норма
доходности” и аббревиатуру IRR — internal rate of return.
161
14.3. Экономическое содержание чистой
современной стоимости
Возникает вопрос об интерпретации показателей NPV и IRR. Рассмо-
трим некоторые варианты трактовки их экономического содержания1 .
1. Предположим, что инвестиции равны в базовом (нулевом) году
100 тыс. долл. Ожидается доход в конце первого года 130 тыс. долл. Став-
ка дисконтирования — 20%. Современная стоимость 130 тыс. долл, со-
ставляет 108,3 тыс. долл.; NPV = 108,3 — 100 = 8,3 тыс. долл. — это ма-
ксимальная величина, на которую фирма могла бы увеличить свои инвести-
ции, чтобы не потерпеть убытков при данных доходе и ставке дисконти-
рования.
2. Предположим, что мы заняли 100 тыс. долл, под 20% годовых. Че-
рез год мы должны вернуть 120 тыс. долл. Чистый доход равен [130 —
— 120] = 10 тыс. долл, (в конце первого года). Современная стоимость
10 тыс. долл, равна (10/1,2) = 8,3 тыс. долл.
Таким образом, NPV может быть рассмотрена как современная стои-
мость чистого дохода (превышения совокупного долга).
3. Фирма могла бы занять 108,3 тыс. долл, и 8,3 тыс. долл, распреде-
лить сразу в виде дивиденда. Долг с процентами 108,3 • 1,2 = 130 тыс.
долл., проценты — 21,7 тыс. долл.
Сумма выплаченных в начале периода дивидендов равна NPV. Диви-
денд распределяется сразу за счет заемных средств; NPV в данном случае
представляет собой экономический ресурс, лежащий в основе выплаченных в
начале периода дивидендов.
4. Инвестиции осуществляются за счет собственных средств. Предпо-
ложим, что альтернативные вложения средств за пределами фирмы обес-
печивают 20% дохода. Чтобы получить 130 тыс. долл, дохода за предела-
ми фирмы, нужно вложить 108,3 тыс. долл., т. е. нужно дополнительно
изыскать 8,3 тыс. долл. Эта дополнительная сумма равна величине NPV.
Таким образом, NPV — экономия инвестиций от вложения средств внут-
ри фирмы.
5. NPV — нереализованный сейчас прирост капитала. Инвестируя
100 тыс. долл., рассчитываем получить в будущем 130 тыс. долл. Текущая
стоимость этого дохода — 108,3 тыс. долл. Если бы мы получили сейчас
доход в сумме 108,3 тыс. долл., то могли бы увеличить свой капитал на
8.3 тыс. долл.
NPVи возврат долга. Предположим, что инвестиции равны 100 тыс.
долл, (в нулевом году), доход в первый год — 30 тыс. долл., во вто-
рой — 130 тыс. долл. Возврат долга начинается со второго года: А) рав-
ными долями; Б) в первый год — 20 тыс. долл., во второй — 80 тыс.
долл. (NPV = —100 + 30 • 0,833 + 130 • 0,694 = 15,3).
Как видно из табл. 14.2, NPV — это алгебраическая сумма дисконти-
рованных элементов чистого денежного потока.
1 См.: Бирман Г, Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов. М., 1997.
162
Таблица 14.2
Показатели А Б
Год Год
1-й 2-й 1-й 2-й'
Доход Возврат долга Проценты за кредит Чистым денежный поток +30 -50 -20 -40 NPV = -40 • 0,1 = 15,3 + 130 -50 -10 +70 «3 + 70 • 0,694 = +30 -20 -20 -10 NPV = -10 -0,* = 15,3 + 130 -80 -16 +34 ВЗ + 34 • 0,694 =
Метод обратного движения. Рассмотрим следующий денежный поток
(ставка дисконтирования г = 0,2):
Период Денежный поток
0 1 2 3 -10 +6 +5 +4
Величину NPV можно определить методом обратного счета: приводим
(дисконтируем) показатель последнего года к предыдущему и складыва-
ем с показателем этого предыдущего года. Далее полученную сумму при-
водим к следующему (предыдущему) году и складываем с показателем
этого года и т.д.
Сначала 3-й год приведем ко 2-му году и складываем: (4/1,2 + 5) = 8,3.
Эту сумму вначале приводим к 1-му году: 8,3/1,2 = 6,9, а затем к нулево-
му году: (6,9 + 6)/1,2 = 10,75. Складываем: —10 + 10,75 = 0,75; NPV =
= 0,75.
Внутренняя норма доходности. Рассмотрим 3 интерпретации данного
показателя.
I. Внутренняя норма доходности, как уже отмечалось, может быть ин-
терпретирована как наивысшая ставка процента, под которую возможно
привлечение инвестиций без потери для инвестора, если долг и процен-
ты будут выплачены из доходов от проекта после того, как они будут по-
лучены. Рассмотрим поток, в котором IRR = 20%:
Период Денежный поток
0 -200
1 50
2 100
3 154
163
С учетом формулы (6.1) можно записать: 200 • 1,23 = 50 • 1,22 + 100 х
х 1,2 + 154 = 345,6 - 346.
Заметим, что если возвращать долг постепенно из доходов, получае-
мых по годам, то:
долг на первый год с процентами составит 240; возврат — 50; остаток
- [240 - 50] = 190;
долг на второй год с процентами составит [190 • 1,2] = 228; возврат —
100; остаток - [228 - 100] = 128;
долг на третий год с процентами составит [128 • 1,2] = 153,6.
2. Внутреннюю норму доходности можно представить как среднегодо-
вой темп увеличения капитала (Д&) (начальный капитал — 200, капитал
на конец периода при реинвестировании доходов — 346):
Д& =^346/200-1=0,2.
3. По аналогии с методом приближенного определения полной доход-
ности купонной облигации (формула (9.5)) можно использовать форму-
лу приближенного расчетного определения внутренней нормы доходно-
сти инвестиционного проекта:
т. е. внутреннюю норму доходности можно очень приблизительно опреде-
лить как отношение среднегодового чистого дохода к среднегодовой вели-
чине инвестиций. Разрыв между фактической и расчетной нормами в ря-
де случаев может быть весьма ощутимым, но расчетную величину целесо-
образно использовать для ускорения процесса определения нижней и
верхней границ при использовании численных методов, например метода
линейной интерполяции. Рассмотрим отдельные примеры соотношения
фактических и расчетных значений внутренней нормы доходности.
Очень большой разрыв в значениях фактической и расчетной доход-
ностей для проектов 4 и 5 (табл. 14.3) связан с более высокой длитель-
Таблица 14.3
Варианты денежных потоков
Номер инвестиционного проекта Год Фактическая IRR Расчетная
1-й 2-й 3-й 4-й 5-й 6-й
1 -100 120 120 0 0 0 84,9 70
2 -100 120 120 120 0 0 106,3 86,6
3 -100 -100 300 0 0 0 100,4 100
4 -100 -100 -100 800 0 0 57,8 500
5 -100 -100 -100 800 800' 800 100 700
164
ностыо инвестиционного периода у этих проектов (по сравнению с про-
ектами 1, 2, 3). В этом случае сложные проценты, которые начисляются
на инвестиции начальных периодов, не учитываются формулой прибли-
женного расчета IRR. Вывод: эту формулу целесообразно применять для
проектов с непродолжительными периодами инвестирования.
14.4. Пример расчета параметров
инвестиционного проекта
Рассмотрим инвестиционный проект, который характеризуется следу-
ющим денежным потоком (млн руб.):
-1000 -500 200 2000 3000
I-----1-----1-----1-----1-----1
0 1 2 3 4 5
Найти: NVP, nQK, PI и IRR. Ставка дисконтирования равна 20%.
1. Расчет NPV. Прежде всего необходимо рассчитать коэффициенты
дисконтирования для каждого года; далее следует привести величины
элементов денежного потока к базовому году посредством умножения на
соответствующие коэффициенты дисконтирования (см. табл. 14.4).
Таблица 14.4
Показатели Год NPV
1-й 2-й 3-й 4-й 5-й
Коэффициен- ты дискон- тирования (1 + 0,2)*' = = 0.833 (1 + О.2Г2 = = 0.694 (1 + О,2)~3 = = 0.579 (1 + 0.2)~4 = = 0.482 (1 + О,2)~5 = = 0,402 —
Дисконтиро- ванный де- нежный ноток -1000 • 0.833 = = -833 -500 • 0.694 = = -347 200 • 0,579 = = 115,8 2000 • 0,482 = = 964 3000 • 0,402 = = 1206 1105,8
2. Расчет срока окупаемости. Определим дисконтированный срок оку-
паемости. Сумма дисконтированных инвестиций за два года (1-й и 2-й)
составляет 1180. Сумма дохода за два года (3-й и 4-й) — 1079,8. Следо-
вательно, инвестиции не окупятся за первые два года получения доходов.
За три года сумма дисконтированных доходов составит 2285,8. Следова-
тельно, на третий год получения доходов (пятый год от начала инвести-
рования) инвестиции более чем окупятся.
Неокупившаяся часть инвестиций за первые два года составит [1180 —
— 1079,8] = 100,2. Определим, за какую часть 3-го года (от начала полу-
чения доходов) окупится оставшаяся величина инвестиций:
100,2/1206 = 0,083 года, или примерно за один месяц.
Таким образом, срок окупаемости инвестиционного проекта составит
2 года и 1 месяц. Если отсчет времени вести от начала периода инвести-
рования, то срок окупаемости составит 4 года и 1 месяц.
165
3. Рентабельность проекта:
Р/ = (115,8 + 964 + 1206)/(833 + 347) = 2285,8/1180 = 1,94.
4. Внутренняя норма доходности (IRR). Необходимо составить уравне-
ние, в котором неизвестной величиной будет норма доходности (ставка
дисконтирования):
-1000 • (1 + х)-> - 500 • (1 + х)“2 + 200 • (1 + х)“3 + 2000 х
х (1 + х)"4 + 3000 • (1 + х)"5 = 0.
Решим это уравнение методом линейной интерполяции. Для этого за-
дадим верхнюю и нижнюю границы нормы доходности. Возьмем в каче-
стве нижней границы 40%, верхней — 50%. Рассчитываем NPVn и NPVB
(чистую текущую стоимость для нижнего и верхнего уровней доходности):
NPVH =181,8; NPVB = -37,8;
IRR = 40 + {(50 - 40)/[ 181,8 - (-37,8)]} • 181,8 = 48,3% (см. формулу
(14.10)).
При значении ставки дисконтирования, равном 48,3%, чистая современ-
ная стоимость составляет -12,77 млн руб. Отсюда видно, что IRR определе-
на неточно. Неточность возникла вследствие наличия большого разрыва ме-
жду верхней и нижней границами ставки дисконтирования. Поэтому про-
ведем вторую итерацию расчетов. Примем полученную на первой итерации
величину IRR за верхнюю границу ставки дисконтирования на втором эта-
пе расчетов. Нижнюю границу возьмем на уровне 45%. Получим:
IRR = 45 +{(48,3 - 45)/[84,99 - (-12,77)]}84,99 = 47,87%.
При таком значении ставки дисконтирования NPV = —0,61 млн руб.
Будем считать, что такая степень приближения является удовлетвори-
тельной. В противном случае расчеты могли бы быть продолжены.
14.5. Внутренняя норма доходности проектов
с неординарными денежными потоками
Ряд инвестиционных проектов имеет денежные потоки, в которых ин-
вестиционные затраты возникают на заключительных стадиях существо-
вания этих проектов. Этим отрицательным элементам денежного потока
предшествуют положительные величины денежных поступлений.
ПРИМЕР. Рассмотрим следующий денежный поток некоторого инвести-
ционного проекта А:
-15 105 -95
I-------1--------1
0-й год 1-й год 2-й год
Рис. 14.4
166
Подобный денежный поток может характеризовать проекты, предполага-
ющие осуществление крупных затрат на их заключительных стадиях, на-
пример связанных с очисткой территории.
Указанный денежный поток имеет две нормы доходности: 6,75 и 493,2%.
В случае принятия ставки дисконтирования в данном промежутке значе-
ний чистая современная стоимость проекта положительна. Если г < 6,75%
и г > 493,2%, то чистая современная стоимость отрицательна. Зависимость
величины чистой современной стоимости от уровня ставки дисконтирова-
ния показана в табл. 14.5 и на рис. 14.5.
Таблица 14.5
NPV г, %
5
0 6,75
6,5 20
9,6 30
12,8 50
13,9 70
13,80 100
9,4 200
0 493,2
-1,1 550
Существуют проекты, денежные потоки которых вообще не имеют
внутренней нормы доходности. Например, к такому типу относится сле-
дующий денежный проект:
1-й год 2-й год 3-й год
1000 -3000 2500
График NPV этого денежного потока не пересекает ось ставки дис-
контирования.
Существуют различные приемы решения проблемы определения став-
ки внутренней доходности в рассматриваемых ситуациях.
Г. Бирман и С. Шмидт1 предлагают модифицировать нетрадиционные
денежные потоки с целью превращения их в традиционные двумя спо-
собами. Первый способ — это дисконтирование отрицательного послед-
ам.: Бирман Г., Шмидт С. Указ. соч.
167
него элемента, прибавление дисконтированной величины к предыдуще-
му положительному элементу; и повторение этой процедуры до тех пор,
пока не будут устранены отрицательные элементы (кроме первого).
Например, возьмем денежный поток со следующими элементами:
— 15; 105; —95 (см. рис. 14.4). Дисконтируем по ставке 20% последний
элемент, равный -95, и получаем —79,2. Складываем со вторым элемен-
том денежного потока. Таким образом, имеем следующий денежный по-
ток: — 15; 25,8. Внутренняя норма доходности этого проекта равна 72%.
Делаем вывод о целесообразности инвестирования, так как требуемая до-
ходность составляет 20%.
Второй способ предполагает движение в обратном направлении: ре-
инвестируем доход первого года по ставке 20% и прибавляем эту величи-
ну к затратам последнего года. В результате получаем денежный поток:
-15 31
I 1
0-й год 2-й год
Внутренняя норма доходности данного денежного потока равна
43,8%. Заметим, что разрыв в значениях внутренней нормы доходности,
определенных разными способами, оказался весьма существенным, но и
во втором случае проект оказывается приемлемым.
Ряд авторов, в частности Ю. Бригхэм и Л. Гапенски1, рекомендуют
с целью измерения доходности проектов с нетрадиционными денеж-
ными потоками рассчитывать модифицированную норму доходности
(M1RR).
Один из способов ее расчета заключается в использовании подхода,
в соответствии с которым MIRR является ставкой, уравновешивающей
современную стоимость инвестиций данного проекта и конечную (тер-
минальную) стоимость поступлений. При этом искомый показатель
ставки доходности является неизвестной величиной в следующем урав-
нении:
'/ t /=0___________=
(1 + г)' (X+MIRR)"
Введем обозначения:
" I
V —---------РИ(7),
г.о(1 + г )'
2 £,(1 +>-)"' - TV (Е).
1-0
1 См.: Бригхэм Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент. Полный курс: В 2 т. СПб., 1997.
168
Тогда можем записать:
-РИ(/) =
ТУ(Е)
(1 + MIRR)" ’
где /, — инвестиции в году /; Ег - доходы, получение которых предпола-
гается в году /; г — ставка дисконтирования; РУ(1) — суммарная совре-
менная стоимость инвестиций; ТУ(Е) — суммарная конечная (терми-
нальная) стоимость инвестиций.
В данном подходе предполагается, что будущие доходы реинвестиру-
ются по ставке доходности, равной принятой ставке дисконтирования.
Из приведенных выше формул получим:
Л//ЯЯ-J -1-
ПРИМЕР. Рассмотрим денежный поток следующего инвестиционного
проекта :
-200 -50 100 300 400 500
I----1----1---1----1---1
Годы 0 1 2 3 4 5
Предположим, что ставка дисконтирования принята на уровне 20%. Со-
временная стоимость инвестиций РУ(Т) определится следующим образом:
-200 — 50 • 1,2_| = -241,7. Конечная стоимость доходов будет равна:
100 • 1,23 + 300 • 1,22 + 400 • 1,2 + 500 = 1454.2;
/Т454 2
MIRR^\\E^±- -1=0,432.
241,7
Таким образом, модифицированная внутренняя доходность равна 43,2%.
Для сравнения заметим, что обычная внутренняя норма доходности дан-
ного проекта равна 57,9%.
Модифицированная внутренняя норма доходности рассмотренного в
самом начале данного пункта проекта А будет равна:
I 1051 2
M/RR = I-----------------1 = о,556.
у _(_15 _ 95.1,2-2)
14.6. Определение дополнительного денежного
потока
В ряде случаев сравнение альтернативных разномасштабных проектов
по показателям NPV и 1RR дает противоречивые результаты. Например,
рассмотрим следующие два проекта (цена капитала — 10%) (табл. 14.6).
169
Таблица 14.6
0-й год 1-й год NPV IRR
Проект А -100 150 36,4 0,5
Проект Б -200 280 54,5 0,4
Дополнительный денежный поток -100 130 18,2 0,3
Как видно из табл. 14.6, проект Б обеспечивает больший размер NPV,
но меньший уровень 1RR. Какой проект выбрать? Для решения этой за-
дачи может быть сформирован третий условный проект на основе вычи-
тания из показателей проекта Б показателей проекта А. Далее рассчиты-
ваются ТУРИи IRR этого нового проекта. Если NPVданного проекта име-
ет положительное значение и, следовательно, IRR выше цены капитала,
то можно считать, что дополнительные затраты по проекту Б являются
обоснованными1.
14.7. Определение инвестиционных
и производственных издержек
Связанные с проектом издержки можно разделить на две части: инве-
стиционные и производственные.
Инвестиционные издержки отражают формирование основного и обо-
ротного капиталов предприятия, в том числе приобретение земли, капи-
тальное строительство, приобретение и монтаж оборудования и т.д. Ин-
вестиционные издержки формируются, как правило, на пред производст-
венной стадии процесса инвестирования (см. рис. 14.6).
При расчете инвестиционных издержек может быть использована сле-
дующая формула:
А = (14.11)
к
где Ifk — величина &-го элемента инвестиционных издержек в году /;
Ki - величина кредиторской задолженности.
В состав инвестиционных издержек включаются инвестиции в основ-
ной капитал (основные средства), оборотный капитал (оборотные сред-
ства) и предпроизводственные расходы. При определении величины этих
издержек необходимо учитывать следующие моменты.
1. Размер оборотного капитала, необходимого для реализации проек-
та, должен быть уменьшен на величину кредиторской задолженности
(спонтанное кредитование).
1 Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов. М., 1997.
170
Рис. 14.6
2. Невозвратные расходы не должны включаться в состав инвестици-
онных затрат. Невозвратные расходы — это расходы, которые осуществ-
ляются независимо от принятия или непринятия инвестиционного про-
екта. Например, расходы, связанные с изучением целесообразности осу-
ществления инвестиций, будут проведены через бухгалтерию и включе-
ны в затраты как при дальнейшей разработке проекта, так и в случае от-
каза от таковой.
3. В состав инвестиционных затрат должна включаться величина упу-
щенного дохода, который мог бы быть получен вследствие продажи ак-
тивов. которыми располагала фирма, до принятия решения о разработке
проекта. Например, участок земли, имеющийся в распоряжении компа-
нии, мог бы быть продан, вместо использования его в проекте.
Текущие производственные и маркетинговые издержки — это текущие
затраты на производство и маркетинг в период реализации проекта (см.
рис. 14.7). Эти издержки формируются на производственной стадии и в
процессе реализации проекта.
171
Рис. 14.7
При расчете текущих издержек необходимо иметь в виду, что эти из-
держки могут быть разделены на ряд групп по различным признакам.
Рассмотрим две такие группы.
Прямые и косвенные (накладные) затраты. Прямые затраты могут быть
отнесены непосредственно на производимую продукцию. Косвенные за-
траты относятся ко всей продукции предприятия.
Переменные и условно-постоянные затраты. Переменные затраты —
это затраты, совокупная величина которых изменяется пропорционально
объему производства (рис. 14.8 и 14.9). Условно-постоянные расходы не-
изменны в определенных границах изменения объема производства.
Величина >
переменных
затрат на
единицу
продукции
Объем продукции
Рис. 14.8
Совокупная
величина
переменных
затрат
Рис. 14.9
I72
Расчет величины дохода целесообразно осуществлять следующим об-
разом:
= [5ад, -ф - 7) + А,.-Н,., (14.12)
/
где Цу — цена единицы /-го вида продукции в году у; Qtj — объем произ-
водства /-го вида продукции в году J; Sj — совокупные затраты на произ-
водство продукции в году J (включая амортизацию); Т — ставка налога на
прибыль; А; — сумма амортизационных отчислений в году у; Ну — сумма
прочих налогов (кроме налога на прибыль), уплачиваемых в году у;
(14.13)
/ к /
где 5 к.. — величина Л-го элемента прямых затрат в расчете на единицу
/-й продукции в году у; UfJ — совокупная величина накладных расходов
по /-му элементу в году J.
Как видно из формулы (14.12), в состав доходов включаются аморти-
зационные отчисления. Это связано с тем, что, несмотря на то что по
бухгалтерским правилам для расчета прибыли амортизация учитывается
как затраты, с экономической точки зрения и с позиций реального дви-
жения денежных средств амортизация не представляет собой оттока де-
нежных средств. Более того, можно считать ее притоком денежных
средств на предприятие через выручку от реализации.
14.8. Планирование денежных потоков в процессе
оценки инвестиционных проектов
Затраты и доходы, связанные с инвестиционным проектом, принима-
ют форму оттока и притока денежных средств (см. табл. 14.7).
Будем использовать две группы понятий.
I. Поступление (приток) и отток денежных средств — термины, свя-
занные с движением наличности. Например, возврат кредита (в части ос-
новного долга) — это отток денежных средств, но не затраты. Получение
кредита — приток денежных средств, не являющийся доходом.
2. Доход и издержки — показатели фактические или планируемые, но
необязательно связанные с движением денежных средств. Например,
предприятие затрачивает материалы, купленные и оплаченные в про-
шлом году.
Можно рассчитать цистый денежный поток как разность между при-
током и оттоком средств предприятия. Остаток денежных средств на ко-
нец периода может быть определен по формуле:
оск = осн + п - от,
173
где ОСК — остаток денежных средств на конец периода; ОСН — остаток
денежных средств на начало периода; П — приток, ОТ — отток.
Таблица 14. 7
Пример расчета денежного потока проекта
Показатель Год
1-й | 1 2-й 1 3-й
ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
1. Выручка от реализации — +500 + 1000
2. Прямые затраты (планируемые выплаты) 3. Административные и торгово-сбытовые — -100 -200
расходы (планируемые выплаты) -50 -100 -200
4. Проценты за кредит1 — -50 -50
5. Налог на прибыль Чистый денежный поток от производственной — -80 -250
деятельности -50 + 170 +300
ИНВЕСТИЦИОННАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
6. Инвестиционные затраты -1000 -200 —
7. Продажа основных средств на сторону Чистый денежный поток от инвестиционной — — +200
деятельности -1000 -200 +200
ФИНАНСОВАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
8. Собственный капитал + 1000 — +500
9. Заемный капитал +500 +200 —
10. Возврат кредитов и займов — -100 -100
11. Выплата дивидендов Чистый денежный поток от финансовой — — -100
деятельности + 1500 + 100 +300
Денежные средства на начало периода — +450 +520
Денежные средства на конец периода +450 +520 + 1320
1 Проценты за кредит не учитываются в затратах при определении доходов, которые в дальнейшем
будут подвергаться дисконтированию, например в расчетах NPV.
14.9. Определение ставки дисконтирования
В самом простом понимании ставка дисконтирования определяет ми-
нимальную пороговую величину относительного дохода от инвестиций в
годовом измерении, т. е. ставка дисконтирования есть некоторая мини-
мальная процентная ставка, ниже которой величина относительного до-
хода не является приемлемой для данного предприятия. Например, пред-
положим, что предприятие финансирует инвестиции в размере 100 млн
руб. за счет кредита, полученного под 40% годовых. Через один год пред-
полагается получить доход в сумме 130 млн руб. Проценты вместе с сум-
мой основного долга должны быть возвращены в конце года получения
доходов и за счет этих доходов. Очевидно, что предприятие не сможет
174
полностью выплатить проценты на данных условиях: 130 — 100 • 1,4 =
= —10 млн руб.
Если разделить обе части приведенного выше выражения на 1,4, то по-
лучим величину чистой современной стоимости: 130/1,4 — 100 = —7,1 млн
руб. Величину 130/1,4 = 92,9 млн руб. можно трактовать как сумму
средств, которые следовало бы инвестировать в первом году, чтобы при
ставке доходности 40% получить через год доход 130 млн руб. Таким об-
разом, отрицательная величина чистой современной стоимости в данном
случае характеризует величину избыточных инвестиций, осуществленных
в первом году, — избыточных по сравнению с теми, которые должны
быть сделаны, чтобы при доходе 130 млн руб. и доходности 40% иметь
возможность для возврата долга с процентами.
Если бы данные средства были получены под 10% годовых, то чистый
доход предприятия составил 20 млн руб. Чистая современная стоимость:
130/1,1 — 100 = 18,1 млн руб. Рассматриваемое предприятие могло бы
получить кредит 130/1,1 = 118,1 млн руб. и 18,1 млн руб. уже в начале
периода использовать на неинвестиционные цели.
Таким образом, ясно, что ставка приведения элементов денежного по-
тока к единой временной точке должна представлять относительную сто-
имость ресурсов, при помощи которой впоследствии определяется их аб-
солютная стоимость, отвлекаемая из проекта и передаваемая субъектам,
предоставившим ресурсы, и представляющая их доход.
Существуют различные источники, за счет которых может быть сфор-
мирован капитал, направляемый на финансирование инвестиций
(рис. 14.10). Каждый из этих источников предполагает плату за предос-
тавление средств. Краткосрочный и долгосрочный банковские кредиты
имеют цену, выражаемую процентной ставкой; облигационный заем —
процентной ставкой, равной доходности к погашению. Цена капитала
"привилегированные акции” есть относительная величина дивиденда.
По перечисленным источникам определение цены капитала не предста-
вляет особых трудностей. Что касается собственного капитала, то здесь
Рис. 14.10
175
имеются некоторые методологические, но прежде всего практические
трудности, особенно с учетом российской специфики.
Методологические неясности в этом вопросе связаны с тем, что не
выработан единый метод определения цены собственного капитала (за
исключением привилегированных акций). Рекомендуется применение
различных подходов, которые обеспечивают близкие, но не одинаковые
результаты1. Ситуация усугубляется тем, что в российской экономике не-
достаточно развиты многие рыночные институты и прежде всего фондо-
вый рынок. Это делает в ряде случаев невозможным использование на
практике многих рекомендуемых для рыночной экономики методов.
Ниже рассмотрены основные приемы определения цены капитала по
отдельным его элементам.
Долгосрочный заемный капитал. Стоимость данного элемента капита-
ла рассчитывается в зависимости от способа заимствования. Если это
долгосрочный кредит, то стоимость капитала может быть представлена
ставкой процента по кредиту с учетом схемы его возврата.
В том случае, когда заемный капитал привлекается посредством вы-
пуска облигаций, стоимость займа зависит от типа облигаций. Рассмот-
рим вариант выпуска купонных облигаций с полугодовой выплатой до-
хода. В данном случае выручка от продажи облигаций (приток средств с
учетом эмиссионных расходов) может быть рассмотрена как современная
стоимость будущих расходов по обслуживанию этих облигаций (будущий
отток средств):
П
М
+ (1 + г / 2)2" ’
где С — величина полугодовой купонной выплаты; г — неизвестная урав-
нивающая ставка дисконтирования; М — номинал облигации; п — коли-
чество лет до погашения.
Величина г является искомой величиной, являющейся относительной
стоимостью рассматриваемого долга. Ее размер может быть определен
различными методами, например методом линейной интерполяции или,
более точно, при помощи финансового калькулятора.
Например, выпущены облигации номиналом 500 руб., на срок 20 лет,
годовой купонной доходностью 10% с полугодовой выплатой купонного
дохода. Цена реализации облигации за минусом затрат по эмиссии дан-
ного выпуска — 600 руб. Можем записать следующее уравнение:
600 =
500
+ (1 + г / 2)40 ’
г/2 = 3,99%; г = 7,98%.
См.: Бригхэм Ю., Гапенски Л. Указ. соч. Т. 1. С. 168—188.
176
Поскольку платежи по купонам, как правило, уменьшают налогооб-
лагаемую прибыль, то действительная стоимость обслуживания долга бу-
дет меньше в результате экономии на налогах:
г, = г(1 - 7),
где Т — ставка налога на прибыль.
Если t равно 30%, то г, = 7,98 (1 — 0,3) = 5,59%.
Привилегированные акции. В случаях, когда доходность привилегиро-
ванных акций фиксированна, стоимость данного элемента капитала оп-
ределится следующим образом:
где Dp — величина дивиденда, выплачиваемого по привилегированным
акциям; Рр — цена привилегированной акции.
Например, цена привилегированной акции 300 руб., дивиденд в рас-
чете на акцию 45 руб., таким образом:
гр = 45/300 = 0,15.
Реинвестированная прибыль. В условиях рынка предприятие находит-
ся в значительной степени на самофинансировании. Имеется в виду то,
что существенный вклад в формирование средств финансирования инве-
стиционных процессов вносит прибыль предприятия, остающаяся в его
распоряжении. Как образуется цена данного источника капитала?
Общий подход основывается на учете того факта, что средства, вло-
женные внутри предприятия в данный проект, уже не могут быть ис-
пользованы по другим направлениям (как на самом предприятии, так и
за его пределами), т. е. возникает упущенная выгода, или альтернативная
стоимость. Она и есть цена рассматриваемого источника капитала. Во-
прос заключается в ее расчете.
Как уже отмечалось, единого подхода по данной проблеме нет. Рас-
смотрим некоторые из применяемых методов.
Ю. Бригхэм и Л. Гапенски1 рассматривают три основных метода оп-
ределения стоимости элемента капитала “реинвестированная прибыль”:
основанный на модели оценки капитальных активов, метод дисконтиро-
ванного денежного потока и метод “доходность облигаций плюс премия
за риск”.
Модель оценки капитальных активов (см. гл. 8) используется для оп-
ределения требуемой акционерами прибыли от инвестирования средств
в акции компании. Реинвестированная прибыль могла бы быть выплаче-
на в виде дивидендов акционерам компании. Эти дивиденды могли бы,
в свою очередь, быть вложены в акции данного либо другого предпри-
1 См.: Бригхэм Ю., Гапенски Л. Указ. соч.
177
ятия с соответствующей доходностью. Неполученный, таким образом,
доход есть цена, которую акционеры заплатили за инвестиции в размере
нераспределенной прибыли на данном предприятии. Модель оценки ка-
питальных активов позволяет определить рассматриваемую доходность,
на которую рассчитывают акционеры, с учетом рисковости данных ак-
ций. Эта модель, как уже отмечалось в гл. 8, имеет следующий вид:
rs=rf+ (ГМ~Г№-
Как видно, для расчета требуемой доходности следует знать безриско-
вую доходность — /у, среднерыночную доходность — гм и р-коэффици-
ент акций компании. Определение каждого из этих показателей для рос-
сийской практики представляет существенные трудности.
Во-первых, практически нет актива, который мог бы быть назван без-
рисковым. Во-вторых, имеются трудности определения среднерыночной
доходности. Эти трудности существуют в любой экономике, но в России
они усиливаются отсутствием развитого фондового рынка. В-третьих, по
этой же причине, а также в силу кризисного состояния экономики не яв-
ляются надежными оценки р-коэффициентов.
Метод дисконтированного денежного потока трудно применить по
причине того, что российские компании в большинстве случаев не вы-
плачивают дивидендов и акции многих из них не имеют рыночной це-
ны, так как не котируются на бирже. Но по отдельным компаниям его
применение возможно. Рассмотрим основные черты данного метода.
В гл. 12 данной работы рассмотрены методы определения теоретиче-
ской стоимости акции, или “справедливой” цены. Среди прочих была
рассмотрена многопериодная модель с постоянным темпом прироста ди-
видендов. Как было отмечено, эта модель может быть представлена в
весьма компактном виде:
При определении цены мы предполагали, что нам известна требуемая
доходность rs. Можно поставить обратную задачу: при известной цене
(Ро) на начало периода, известном дивиденде (D{) и известном постоян-
ном темпе прироста дивиденда (q) найти доходность (г5).
Из приведенной формулы можно выразить искомую доходность:
Точно известной величиной является рыночная цена на начало пери-
ода. С некоторой степенью достоверности можно определить величину
будущего дивиденда на основе прогноза чистой прибыли и дивидендно-
го выхода. Гораздо труднее рассчитать будущий постоянный темп приро-
ста дивиденда, который должен сохраняться таковым в течение неопре-
деленного времени. Вполне понятно, что сама гипотеза постоянства тем-
178
Таблица 14.8
Среднегодовые темпы прироста за период В среднем по двум методам
Годы
1-3-й 4-6-й 7-10-й за 10 лет
Статистические методы 4 6 3 3,9 4,8
Экспертные методы 5 7 5 5,6
па прироста дивиденда является достаточно искусственной. Но она об-
ладает, если так можно сказать, расчетной привлекательностью. Для
оценки значений постоянного темпа прироста дивиденда, по нашему
мнению, правильным было бы провести расчеты различными методами
(в том числе статистическими и экспертными) и использовать в расчетах
среднюю величину полученных результатов.
Например, предположим, что рассматривается десятилетний прогноз-
ный период (табл. 14.8). Допустим, что используются две группы мето-
дов: статистические и экспертные. Ниже приведены результаты расчетов
по каждому методу.
Для усреднения данных сначала рассчитываем среднегодовой прирост
в целом за десятилетний период каждым из методов, а затем находим
средний темп прироста.
Повторяем, что такой метод можно применить только для узкого кру-
га стабильно работающих и выплачивающих дивиденды российских
предприятий.
Для остальных предприятий можно использовать упрощенную проце-
дуру, согласно которой альтернативной стоимостью вложений за счет при-
были будет средняя доходность инвестиций в сферах, доступных для дан-
ного предприятия. Данная средняя величина может быть скорректирова-
на с учетом степени риска проекта. С этой целью могут быть разработаны
нормативы корректировки и использована следующая шкала корректи-
ровки ставки дисконтирования на величину премии за риск1 (табл. 14.9).
Например, требуемая норма доходности по инвестициям в предпри-
ятие — 30%. Инвестиции относятся к третьей группе. Учитываемая в рас-
четах ставка дисконтирования будет равна 30% + 10% = 40%.
Предприятия, выпустившие корпоративные облигации, могут приме-
нить метод “доходность облигаций плюс премия за риск”. Выше был
рассмотрен метод определения доходности облигаций, практическое
применение которого не вызывает затруднений. Поскольку акции явля-
ются более рисковыми бумагами, чем облигации, они имеют и более вы-
сокую требуемую доходность. Разница между средней доходностью обли-
гаций и акций может рассматриваться как премия за риск инвестирова-
1 Приведены группы инвестиций, рассмотренные в работе “Как рассчитать эффектив-
ность инвестиционного проекта: Расчет с комментариями”. М.: Институт промышленного
развития (Информэлектро), 1996. С. 31. Нормативы премии за риск - оценка автора для
российских условий.
179
Таблица 14.9
Группа инвестиций Премия за риск
1. Замешаюшие инвестиции 1 (новые основные средства выполня- ют те же функции, что и старые, без изменения требований к квалификации рабочей силы, используемым материалам и т.д.) 0
2. Замещающие инвестиции 2 (новые основные средства являются более совершенными, чем замещаемые, и требуют использования более квалифицированной рабочей силы и совершенствования других факторов производства) 0,05
3. Замещающие инвестиции 3 (комплексная замена действующих производственных мощностей, строительство новых цехов, заводов) 0,10
4. Новые инвестиции 1 (новые дополнительные мощности по изготовлению производимых продуктов) 0,10
5. Новые инвестиции 2 (новые мощности по производству новых продуктов, связанных с существующими продуктами) 0,15
6. Новые инвестиции 3 (новые мощности по производству продуктов, не связанных с традиционной деятельностью компании) 0,15
7. Инвестиции в прикладные НИР 0,20
8. Инвестиции в перспективные НИР, цели и будущие результаты которых не определены 0,30
ния в акции, а не в облигации. Упомянутая разница может быть опреде-
лена статистическим путем.
Дополнительная эмиссия акций. Затраты предприятия по обслужива-
нию акционерного капитала не являются расходом в бухгалтерском их
понимании. Акционеры ожидают в будущем получения дивидендов и ро-
ста стоимости капитала в виде роста рыночной цены акции. В конечном
счете все это, как и в случае нераспределенной прибыли, предполагает
расчет требуемой нормы доходности. Можно использовать те же методы,
имея в виду те же трудности, но необходима корректировка на затраты,
связанные с размещением акций. Если обозначить эти затраты по отно-
шению к суммарному номиналу выпушенных акций через е, а требуемую
доходность по нераспределенной прибыли через rs, то получим требуе-
мую доходность по дополнительному акционерному капиталу r's, т. е.
г; = rs /(1 - е).
Средневзвешенная стоимость капитала. Стоимость капитала инвести-
ционного проекта в целом определяется как средневзвешенная величина
из стоимостей отдельных его элементов. При этом может быть исполь-
зована следующая формула:
WACC = г = ^r. di,
где г(. — цена /-го источника капитала; dt — доля /-го источника капита-
ла в общей его величине.
180
Глава 15
ОЦЕНКА РИСКА И УЧЕТ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
15.1. Неопределенность инвестиционного проекта
и методы ее учета
Большинство показателей инвестиционного проекта имеют вероят-
ностный прогнозируемый характер. Причем достижение некоторыми по-
казателями тех или иных уровней связано с наступлением определенных
событий, выражающихся в достижении другими показателями соответст-
вующих величин. Например, объем производства продукции при реали-
зации проекта является вероятностной величиной. В зависимости от ры-
ночной конъюнктуры предприятие может реализовать, а соответственно
и произвести то или иное количество продукции. При различных объе-
мах производства различными, по-видимому, будут издержки производ-
ства и отпускные цены. Поэтому обоснованное определение эффектив-
ности инвестиционного проекта предполагает рассмотрение различных
значений (уровней) отдельных показателей с учетом вероятности этих
значений.
Рассмотрим один из вероятностных подходов к определению ожидае-
мого значения дохода от инвестиций в рассматриваемые перспективные
периоды.
Этот подход основан на задании возможных уровней будущих объе-
мов производства в натуральном выражении по годам периода отдачи
инвестиций и оценке распределения вероятностей этих уровней. По-
скольку многие показатели, как уже отмечалось, связаны с объемом про-
изводства и продаж продукции, следует спрогнозировать также распреде-
ление условных вероятностей этих показателей.
Например, предположим, что в некотором инвестиционном проекте
объем производства характеризуется приведенными ниже возможными
уровнями, а цена продукции зависит от объема производства с указан-
ными условными вероятностями (табл. 15.1).
Условная вероятность — вероятность некоторого события при усло-
вии совершения другого события с заданной вероятностью. Примени-
тельно к данному случаю рассматривается условная вероятность цены
при условии достижения определенного значения объемом производ-
ства.
Ожидаемый объем производства может быть определен по формуле:
£(£) = • М,
где т — номер варианта объема производства.
181
Таблица 15.1
Уровни объема производства Чт< шт. Вероятность достижения объема производства Уровни объема производства, взвешенные по вероятности Цена единицы продукции Цг руб. Условная вероятность цены Расчетная вероятность цены Цена, взвешенная по расчетной вероятности <Ц, •/(«„) X хр(Ц(/«„))
2000 0,2 400 1900 0,1 0,02 38
1700 0,8 0,16 272
1500 0,1 0,02 30
3000 0,6 1800 1700 0,1 0,06 102
1500 0,8 0,48 720
1400 0,1 0,06 84
4000 0,2 800 1600 0,1 0,02 32
1550 0,8 0,16 248
1500 0,1 0,02 30
Итого
3000
1
1556
Для определения ожидаемой цены следует первоначально определить
расчетную вероятность появления каждого из рассматриваемых уровней
цены:
р; = р(Ц//<?т) •
Тогда ожидаемая цена единицы продукции составит:
Е(Ц)=
Зная ожидаемый объем продукции и ожидаемую цену, можем рассчи-
тать ожидаемый стоимостный объем продукции:
Е(И = £(0’£(Ц).
Используя аналогичный подход, определим ожидаемые затраты и
ожидаемую прибыль.
15.2. Определение уровня риска
инвестиционного проекта
Риск — это возможность потери предприятием части активов либо
всех активов; возможность недополучения прибыли, несения убытков.
Как уже отмечалось в разделе, посвященном анализу финансовых ин-
вестиций, в качестве показателей риска используются показатели дис-
персии (о2), среднеквадратичного отклонения (о) — абсолютные показа-
тели, а также показатель коэффициента вариации (V) — относительный
показатель риска.
182
Таблица 15.2
Номер варианта (т) Доход (Rm) Вероятность (рт) Инвестиции (I)
1 10 000 о,1 12 000
2 12 000 0,2 12 000
3 14 000 0,4 12 000
4 16 000 0,2 12 000
5 18 000 0,1 12 000
Ът= 1
Предположим, что имеется проект двухлетней продолжительности*.
Причем в первый год производятся инвестиции, величина которых точ-
но определена, а во второй год происходит получение дохода, размеры
которого носят вероятностный характер. Имеются пять вариантов полу-
чения дохода, каждый из которых характеризуется определенной вероят-
ностью (см. табл. 15.2).
Оценим среднюю ожидаемую величину дохода в будущем E(R), исхо-
дя из заданных вероятностей:
(15.1)
E(R) = 10 000 • 0,1 + 12 000 • 0,2 + 14 000 • 0,4 + 16 000 • 0,2 +
+ 18 000 • 0,1 = 14 000.
Возможны два подхода к определению риска.
1. Определим риск как меру отклонения заданных вариантов дохода
от ожидаемой величины дохода E(R):
o2R = ^[Rm-E(R)]2 рт; (15.2)
о2„ =4800 000; аR= = 2191.
Капитальные вложения в базовом году составят 12 000 (/ = 12 000),
тогда
E(NPV) = Е[(Я)/(1 + г) - /] = 140 000 • 0,909 - 12 000 - 726, (15.3)
где норма дисконта г = 10%, 1/(1 + г) = 0,909.
Окончательно имеем:
°/v/>r = °я/(* + = 2191/1,1 - 1992 - (15.4)
величина абсолютного риска для чистой приведенной стоимости.
2. Другой метод основан на расчете ожидаемой величины NPV.
Запишем:
E(NPV) = ^NPVm- рт. (15.5)
1 Финансовый анализ деятельности фирмы. М., 1995.
183
Сначала дисконтируем доходы по каждому исходу:
NPVm = Rm/(\ + г) - I. (15.6)
Далее взвешиваем по значениям вероятностей каждого исхода и сум-
мируем.
Таблица 15.3
м Rm 1,1“' ЛЛ’-' / NPVm Рт X Рт NPVm~ -RNPV) [л?1я - - E(NPV)]! [ЛГРИ - -£1Ж)Гл,
1 10 000 0,909 9090 12 000 -2910 0,1 -291 -3636 13 220 496 1 322 049,6
2 12 000 11 10 908 12 000 -1092 0,2 -218,4 -1818 3 305 124 661 024,8
3 14 000 11 12 726 12 000 726 0,4 290,4 0 0 0
4 16 000 и 14 544 12 000 2544 0,2 508,8 1818 3 305 124 661 024,8
5 18 000 U 16 362 12 000 4362 0,1 436,2 3636 13 220 496 1 322 049,6
Итого 1 726 3 966 148,8
Таким образом:
a2NPV = lANPVm - E(NPV)}2pm = 3 966 148 - абсолютная величина
риска;
°npv“ 1992.
Расчет ожидаемой величины E(NPV) и абсолютной величины риска
для случая ряда лет будет следующим:
Г/ А/D1A — Plm । Pirn । । Pnm _ j /к
RNPV>-------Г+Л + (Т+’7)Г- + + (i + r)- '• (15-7>
где pmn — вероятность исхода m получения доходов в году п.
В этом случае
°2npv (15.8)
1
где t — номер года.
Предполагается независимость величины NPV смежных лет, т.е.
cov(NPVK; NPVK+l) = 0.
Относительный риск:
°NPV
E(NPV) ' В
(15.9)
В нашем примере V= = 2,74.
I 726 I
Если необходимо определить интервалы возможного изменения (VPK в
будущем, мы должны ожидаемую величину скорректировать на • к,
т. е. E(NPV) ± oNPy • к (к характеризует количество среднеквадратичных
184
Плотность
вероятности
Плотность
вероятности
E(NPV) NPV
E(NPV) NPV
Рис. 15.1. Кривая нормального
распределения (низкий риск)
Рис. 15.2. Кривая нормального
распределения (высокий риск)
отклонений, зависящих от вероятности, с которой мы определяем дан-
ный интервал).
Если мы определяем интервал с вероятностью 99,7%, то к = 3; если
вероятность равна 95,45%, то к = 2; если — 90%, то к = 1,65; если —
68,27%, то к = 1 (см. таблицу нормального распределения в приложе-
нии 6).
В нашем примере E(NPV) = 726 ± 1,65 • 1992; NPV^in = -2560,8;
= +4012,8.
Величина NPV проходит точку “0” и доходит до отрицательных зна-
чений. Следовательно, данный инвестиционный проект является высо-
корисковым.
Графическое изображение рисковости проектов приведено на рис. 15.1
и 15.2.
Глава 16
СТРАТЕГИИ ИННОВАЦИЙ И ИНВЕСТИЦИЙ
16.1. Инвестиционный и инновационный анализ
Производственно-технические инвестиции на предприятии в качест-
ве направлений осуществления и воплощения в большинстве случаев
имеют инновации. Инновационный и инвестиционный процессы тесно
связаны. Серьезные инновации немыслимы без крупных инвестиций, а
эффективные инвестиции — без инноваций. В ряде случаев на предпри-
ятиях имеются денежные средства, но нет инвестиций, потому что нет
инновационных объектов их приложения. Сами же эффективность и
риск производственно-технических инвестиций тесно связаны со струк-
турой инноваций.
Как правило, масштабные инновационные процессы являются высо-
кокапиталоемкими. Это связано с тем, что практически любое более или
менее серьезное новшество не может быть внедрено в одной изолирован-
ной подсистеме и для успешной его реализации требуется взаимодейст-
185
вие большинства других подсистем организационно-экономического
процесса. Например, внедрение нового продукта, как правило, требует
изменения технологии и организации производства, применения новых
систем стимулирования труда и других кардинальных нововведений. Все
это требует инвестиций по всей цепочке нововведений. Незначительные
изменения, осуществляемые в социально-экономических и других систе-
мах, в силу вышеприведенных доводов не являются в полном смысле ин-
новациями.
В укрупненном виде инновационный анализ может быть представлен
следующими этапами.
1. Анализ и прогноз направлений научно-технического прогресса
(НТП) в данной и смежной отраслях. Этот этап необходим для понима-
ния будущих технологических и функциональных угроз.
Технологические угрозы — возможности производства продукта дан-
ной фирмы при помощи других, более прогрессивных технологических
процессов. В этом случае вследствие применения устаревшей технологии
предприятие может оказаться неконкурентоспособным по издержкам, а
в ряде случаев и по качеству продукции, например при производстве ме-
талла различными способами.
Функциональная угроза связана с возможностью появления у конку-
рентов нового, более прогрессивного продукта, который будет выполнять
функции старого на более высоком уровне, например при замене меха-
нических весов электронными.
2. Анализ фонда имеющихся изобретений и результатов научно-ис-
следовательских и опытно-конструкторских работ (НИОКР) предполага-
ет исследование уже сделанных изобретений. В данном случае следует
исходить из принципа: “Будущие инновации — это существующие изо-
бретения”.
3. Отбор наиболее эффективных изобретений. На этом этапе следует
понять, какие изобретения являются наиболее прогрессивными и эффе-
ктивными и какова вероятность их превращения в инновации в будущем.
4. Анализ рынка нововведений. Рынок нововведений может быть
представлен двумя крупными блоками: рынком так называемых конт-
рактных НИОКР и рынком технологических лицензий.
5. Разработка инновационных стратегий.
6. Анализ капиталоемкости инноваций, необходимых для реализации
стратегий. На данном этапе инновационный анализ переходит в инве-
стиционный.
Анализ сущности инноваций и различных подходов к их классифика-
ции позволил выделить следующие основные группы инноваций, разли-
чающиеся по признакам1:
1 Более подробно проблемы классификации инноваций рассматриваются в работах:
Аныиин В.М. Инновации и рынок: стратегия, управление, эффективность. М., 1992; Он же.
Инновационная стратегия фирмы. М., 1995.
186
сфере приложения (научно-технические, организационно-экономиче-
ские и социально-культурные инновации);
характеру удовлетворяемых потребностей (инновации, создающие но-
вые потребности и развивающие существующие);
предмету приложения (инновации-продукты, инновации-процессы,
инновации-сервис, инновации-рынки);
степени радикальности (базисные, системные, прирастающие);
глубине изменений (инновации, ориентированные на: регенерирова-
ние первоначальных свойств, количественные изменения, адаптивные
изменения, новый вариант, новое поколение, новый вид, новый род тех-
ники);
причинам возникновения (стратегические и реактивные (адаптив-
ные));
характеру воздействия на рыночно-технологические возможности
фирмы (архитектурные, революционные, нишесоздающие, регулярные);
масштабам распространения (применяемые в одной отрасли и во всех
или многих отраслях);
роли в процессе производства (основные и дополняющие).
Первые две группы инноваций не нуждаются в дополнительном объ-
яснении. Что касается некоторых других групп, то содержание входящих
в них инноваций требует комментариев.
Инновация-продукт — это новшество, имеющее физическую форму
готового принципиально нового или усовершенствованного изделия, ко-
торое выходит в этой форме (прежде всего в форме товара) за пределы
предприятия. Этот тип инноваций требует значительных инвестиций, так
как разработка новых продуктов предполагает проведение НИОКР, раз-
работку инноваций-процессов.
Инновация-процесс — это техническое, производственное и управ-
ленческое усовершенствование, уменьшающее стоимость производства
существующего продукта. Данные инновации менее рисковые, чем про-
дуктовые, и в ряде случаев являются менее капиталоемкими.
Инновация-сервис — инновация, связанная с обслуживанием процес-
сов эксплуатации продукта за пределами предприятия, например про-
граммное обеспечение компьютеров.
Инновации-продукты и инновации-процессы тесно связаны и могут
переходить друг в друга. Например, разработанные предприятием обору-
дование и инструмент, применяющиеся при производстве товарной про-
дукции внутри предприятия и не выходящие за его пределы, являются
инновациями-процессами. Если эти оборудование и инструмент прода-
ются на сторону, то они становятся инновациями-продуктами. Если
предприятие разрабатывает для внутреннего пользования усовершенст-
вованное программное обеспечение, — это инновация-процесс. Если это
делает специализированная фирма с целью продажи программного обес-
печения стороннему потребителю, то имеем дело с инновацией-продук-
том. Когда предприятие, выпускающее компьютеры, разрабатывает для
187
них улучшенное программное обеспечение и снабжает им потребителей
этих компьютеров, то предприятие осуществляет сервисные инновации.
Другой срез классификации инноваций предполагает их деление на
базовые (радикальные), системные и прирастающие.
Базовые инновации — это инновации, возникшие на базе крупных
изобретений, дающие начало новым, ранее неизвестным продуктам или
процессам, основанным на новых научных принципах. В качестве при-
мера можно привести паровую машину, электричество, атомную энерге-
тику, ксерографию, вакуумную трубку, транзисторы и т.д. Базисные ин-
новации требуют наибольших инвестиций, процесс их разработки явля-
ется длительным, их коммерциализация приводит к появлению новых
технологических укладов.
Системные инновации — это те, которые представляют новые функ-
ции посредством объединения составных частей радикальных инноваций
новыми способами. К системным инновациям можно отнести использо-
вание вакуумной трубки в радио- и телекоммуникационных системах,
транзисторов в цифровых электронных технологиях. Первоначально они
были предусмотрены для других целей: вакуумная трубка — для телефон-
ных систем; транзистор — для замены вакуумной трубки.
Прирастающие инновации — это малые, но важные улучшения про-
дуктов, процессов, сервиса. Прирастающие инновации продолжают тех-
ническое улучшение и распространяются на приложения радикальных и
системных инноваций. Например, изобретение вакуумной трубки потре-
бовало улучшений по созданию вакуума, прежде чем она стала компо-
нентом телефона. По улучшению транзистора были произведены тысячи
инноваций, на основе которых были созданы интегральные схемы, боль-
шие и сверхбольшие интегральные схемы.
Классификация инноваций по глубине вносимых изменений во мно-
гом дополняет рассмотренную выше и позволяет более детально про-
следить переходы от инноваций низкого уровня к более высокому. Дан-
ная классификация предложена чехословацким экономистом Ф. Вален-
той1.
Инновации нулевого порядка — регенерирование первоначальных
свойств системы, сохранение и обновление ее существующих функций.
Инновации первого порядка — изменение количественных свойств
системы.
Инновации второго порядка — перегруппировка составных частей си-
стемы с целью улучшения ее функционирования.
Инновации третьего порядка — адаптивные изменения элементов
производственной системы с целью приспособления их друг к другу.
Инновации четвертого порядка — новый вариант, простейшее качест-
венное изменение, выходящее за рамки простых адаптивных изменений;
первоначальные признаки системы не меняются — происходит некото-
1 Водачек Л.. Водачкова О. Стратегия управления инновациями на предприятии. М.:
Экономика. 1989. С. 32—34.
188
рое улучшение их полезных свойств (например, оснащение существую-
щего электровоза более мощным двигателем).
Инновации пятого порядка — новое поколение; меняются все или
большинство свойств системы, но базовая структурная концепция сохра-
няется (например, переход от электродвигателей серии А к серии АИ).
Инновации шестого порядка — новый вид, качественное изменение
первоначальных свойств системы, первоначальной концепции без изме-
нения функционального принципа (например, возникновение бесчел-
ночного ткацкого станка).
Инновации седьмого порядка — новый род, высшее изменение в
функциональных свойствах системы или ее части, которое меняет ее
функциональный принцип (например, переход к полупроводникам и
транзисторам, замена классического железнодорожного транспорта
транспортом на “воздушной подушке”).
Внедрение инноваций оказывает влияние на продуктово-технологиче-
ские и рыночные возможности фирмы. Инновации могут сохранять или
разрушать эти возможности. В этой связи можно выделить четыре типа
инноваций: архитектурные, революционные, нишесоздающие и регуляр-
ные*.
Архитектурные инновации — это инновации, приводящие к устарева-
нию существующих технологий и продуктов, а также рыночно-потреби-
тельских связей.
Революционные инновации приводят к устареванию продуктово-тех-
нологических возможностей, но не разрушают рыночно-продуктовых свя-
зей. Данный тип инноваций революционизирует традиционные рынки.
Нишесоздающие инновации сохраняют продуктово-технологические
возможности, но разрушают существующие рыночно-потребительские
связи. Они создают новые рыночные ниши для существующих техноло-
гий и продуктов. Регулярные инновации консервируют как продуктово-
технологические возможности, так и рыночные связи. Данный тип ин-
новаций имеет место тогда, когда происходит совершенствование проду-
ктов и технологий, например, с помощью прирастающих инноваций, ко-
торые приводят к закреплению предприятий на старых рынках. Описан-
ные выше четыре типа инноваций схематично представлены в матрич-
ном виде на рис. 16.1.
Рыночные связи Продуктово-технологические возможности
Сохранение Разрушение
Сохранение Регулярные Революционные
Разрушение Нишеобразующие Архитектурные
Рис. 16.1. Рыночная продуктово-технологическая классификация инноваций
1 Betz F. Managing Technology. Englewood Cliffs (N.Y.): Prentice Hall, 1987. P. 135—141.
189
Выделенные по причинам возникновения реактивные инновации
(РИ) — это инновации, обеспечивающие выживание фирмы, как реак-
ция на нововведения, предпринятые конкурентом, т.е. РИ фирма выну-
ждена осуществить вслед за конкурентом, чтобы быть в состоянии вести
борьбу на рынке. Стратегические инновации (СИ) — это инновации,
внедрение которых носит упреждающий характер с целью получения
конкурентных преимуществ в перспективе.
По характеру удовлетворяемых потребностей инновации могут быть
ориентированы на существующие потребности или могут создавать но-
вые. По роли в процессе производства можно выделить основные и до-
полняющие нововведения. Основные продуктовые нововведения созда-
ют новые рынки и лежат в основе новых отраслей; дополняющие проду-
ктовые инновации расширяют рынок в соответствующих областях; ос-
новные технологические инновации составляют базис крупных техноло-
гических систем; дополнительные технологические нововведения разви-
вают имеющиеся базисные технологии.
По масштабам распространения могут быть выделены инновации,
ставшие основой для новой отрасли, производящей однородный про-
дукт, и инновации, которые находят применение во всех отраслях народ-
ного хозяйства. Часто эти два типа инноваций во времени следуют друг
за другом, например, электротехническая промышленность и электрифи-
кация народного хозяйства; автомобилестроение и автомобилизация;
производство ЭВМ и компьютеризация.
Типизация инноваций по рассмотренным выше признакам позволит:
осуществлять “привязку” к типу инноваций того или иного типа стра-
тегии, иными словами, тип инновационной стратегии любого уровня за-
висит от преобладающего типа инноваций;
конструировать экономические механизмы и организационные фор-
мы управления в зависимости от типа инноваций, к которым эти меха-
низмы и формы прилагаются (организационно экономический механизм
является подсистемой инновационной стратегии);
определять положение, формы реализации и продвижение на рынке,
которые также будут неодинаковы для различных типов инноваций.
Разрабатывая свою инвестиционную политику предприятие должно
определить пропорции распределения инвестиций между инновацион-
ными и неинновационными направлениями.
16.2. Инновационные стратегии как основа
формирования инвестиционных стратегий
Выбор той или иной стратегии зависит от цели развития предприятия
и состояния показателей инновационного потенциала. Рассмотрим мето-
дологию выбора инновационных стратегий на примере некоторых из
них.
190
Начальным этапом выбора инновационной стратегии является анализ
целей развития объекта. Цели могут быть краткосрочными, среднесроч-
ными и долгосрочными. Долгосрочные цели, как правило, ставятся тог-
да, когда значительная часть собственности принадлежит финансовым
институтам (в частности страховым компаниям и пенсионным фондам),
а также компаниям — поставщикам и потребителям продукции, по-
скольку получение ими краткосрочной прибыли от владения собствен-
ностью данного предприятия не является главной целью сотрудничества
с ним.
Цели системы и цели участников системы могут противоречить друг
другу. В частности, цель поддержания занятости противоречит цели ро-
ста прибыли (в части снижения себестоимости за счет снижения затрат
на оплату труда). Цели участников являются, кроме того, противоречи-
выми сами по себе, например, рост занятости и рост дивидендов. Сте-
пень и направленность противоречий зависят от структуры участников
системы. Если работники предприятия являются его владельцами, то они
в большей степени заинтересованы в поддержании занятости, чем в ро-
сте прибыли и дивидендов (в определенных границах). Увеличение доли
частных инвесторов, не работающих на предприятии, напротив, способ-
ствует росту краткосрочного интереса к возрастанию прибыли и сниже-
нию занятости.
Как видно из табл. 16.1, для достижения поставленных целей пред-
приятие использует комбинации следующих общеэкономических страте-
гий и средств:
выбор соотношения собственных и заемных финансовых средств;
распределение прибыли на реинвестирование в производство, выпла-
ту дивидендов и другие направления использования;
выбор соотношения уровней активности в производственной и сбы-
товой деятельности;
выбор сфер вложения средств в зависимости от скорости оборота ка-
питала;
формирование номенклатуры.
Рассмотрим связь НИОКР, включаемых в портфель проектов, с целью
и общеэкономической стратегией предприятия (табл. 16.1).
Если предприятие ставит целью рост масштабов производства, то оно
направляет средства в расширение, новое строительство, увеличение
производственных мощностей. При этом возможны два основных вари-
анта деятельности: развивать традиционно производимые продукты
или/и осуществлять диверсификацию производственной программы, со-
здавать новые рынки, что позволит нарастить объемы выпускаемой про-
дукции. В любом случае предприятие должно сравнить последствия реа-
лизации проекта НИОКР с поставленной целью.
Для цели “рост масштабов” важны прежде всего новизна продукта
(для данной страны или региона) и возможность занятия высокой доли
рынка. Достаточно сильно с целью “рост масштабов” связана цель “рост
191
Таблица 16.1
Цели и экономические стратегии фирмы
Цели фирмы Экономические стратегии и средства достижения целей
Краткосрочный период Долгосрочный период
Рост масштабов производства Концентрация финансовых, прежде всего заемных, ре- сурсов для организации производства простых, не- наукоемких изделий. Аренда производственных площадей и мощностей Концентрация средств на развитии собственной про- изводственной базы, одно- временное производство из- делий с различными стадия- ми жизненного цикла. Про- ведение НИОКР, ориенти- рованных на создание но- вых рынков. Диверсифика- ция
Рост сбыта Агрессивная реклама, сти- мулирование сбыта, созда- ние каналов сбыта, фран- чайзинг Развитие сбытовой и дилер- ской сетей, проведение НИОКР по повышению ка- чества продукции
Увеличение доли Выпуск продукции с повы- шенными конкурентными характеристиками, сниже- ние цен, реклама Вложение средств в перспе- ктивные НИОКР, обеспечи- вающие снижение затрат, обновление выпускаемой продукции
Рост прибыли Концентрация собственных и заемных средств в произ- водстве и сбыте высокорен- табельных изделий с высо- кими скоростью оборота и темпами роста Проведение НИОКР по соз- данию и развитию продук- тов в отраслях с высокими темпами роста
Повышение рента- бельности Размещение средств в обла- стях с быстрым оборотом капитала, не кап италоемкое производство с высокой до- лей на рынке Вложение средств в разви- тие ресурсосберегающих технологий, повышение ка- чества и обновление про- дукции, ориентация на зре- лую продукцию с высокой долей на рынке
прибыли”. Как правило, рост масштабов является одним из факторов ро-
ста прибыли (экономия на условно постоянных расходах). Но сам по се-
бе рост масштабов необязательно обеспечивает в конечном счете рост
прибыли, так как может сопровождаться увеличением затрат, например,
капитального характера.
Если предприятие ставит своей целью рост рентабельности производ-
ства, то проект должен реализовываться в сфере с быстрым оборотом ка-
питала и высокой долей рынка.
Оценка уровня показателей, определяющих характер инновационного
развития фирмы. Оценка уровня может осуществляться: сравнением фа-
ктического значения данного показателя с нормативным, а также со
192
средними и лучшими показателями по совокупности родственных пред-
приятий; определением динамики показателей; сравнением значений от-
дельных (связанных между собой) показателей.
Следующий этап анализа — выявление инновационных возможностей
фирмы на основе оценки уровней показателей и их сравнения1.
Нормативные значения показателей рекомендуется определять экс-
пертным путем и аналитическим — на основе информации о состоянии
показателей родственных предприятий. В качестве экспертов для оценки
показателей целесообразно привлекать специалистов, владеющих инфор-
мацией по совокупности аналогичных предприятий, а также работников
данного предприятия.
Кадровый научный и инженерный потенциал. Доля занятых НИОКР в
обшей численности работников сопоставляется с нормативным значени-
ем этого показателя. Если данное соотношение выше единицы, то мож-
но сделать вывод о высоком уровне кадрового потенциала НИОКР.
Если на предприятии полностью отсутствует кадровый потенциал
НИОКР, то возможности инновационного развития полностью связаны
с привнесением нововведений извне.
В том случае, когда сфера научно-исследовательских работ (НИР)
развита слабо, возможности инновационного развития за счет собствен-
ных разработок и нововведений ограниченны.
Если уровень развития сферы НИР приближается к среднему, но не
достигает его, то имеются возможности проведения пионерных, но недо-
статочно масштабных разработок.
При превышении средних показателей сфера научных исследований
имеет достаточно высокое развитие для осуществления крупных пионер-
ных разработок.
При существенном превышении средних значений предприятие име-
ет возможность занятия лидирующих позиций в области осуществления
разработок и нововведений на основе открытий и принципиально новых
изобретений.
Следующей характеристикой является инженерный потенциал пред-
приятия.
На предприятии может отсутствовать инженерный потенциал и соот-
ветственно возможность освоения им же выполненных научных разрабо-
ток.
Возможны следующие варианты выхода из создавшегося положения:
продажа лицензий на сторону, организация совместного производства с
фирмами, имеющими сильный сектор опытно-конструкторских работ
(ОКР); развитие собственного сектора ОКР.
При слабом инженерно-техническом потенциале имеются возможно-
сти освоения результатов НИР собственными силами, но период освое-
ния может оказаться более длительным, чем требуемый для своевремен-
1 См.: Аньшин В.М. Инновационная стратегия в условиях рыночной экономики. М.:
ВНТИцентр, 1993.
193
ного выхода на рынок. Выход из данного положения — за счет реализа-
ции тех же вариантов, что и в предыдущем случае, с большим акцентом
на расширение собственного сектора ОКР.
Высокий инженерный потенциал дает возможности проведения ОКР
ускоренными темпами и с высоким качеством. В ряде случаев предпри-
ятие может стать лидером в области быстрого освоения в производстве
(в части конструкторско-технологического обеспечения) новых откры-
тий и изобретений.
Рабочий кадровый потенциал инновационной деятельности характе-
ризуется соотношением рабочих, занятых в опытно-экспериментальном
производстве на данном предприятии и в среднем в отрасли. Низкое зна-
чение данного показателя снижает возможности проведения крупных на-
учно-исследовательских работ. Конструкторско-технологические разра-
ботки не подкреплены соответствующими возможностями опытного
производства (воплощения в “железо”).
При приближении к средним значениям возможности опытного про-
изводства достаточны для реализации собственных нововведений быст-
рыми темпами. При превышении среднего уровня предприятие может
стать лидером в области исследований, конструкторско-технологических
разработок и опытного освоения нововведения.
Структура НИОКР. Доля НИР в общем объеме НИОКР. Если названная
доля равна нулю, то предприятие не проводит научных исследований ни
собственными, ни внешними силами.
При незначительной величине данной доли в общем объеме НИОКР
упор делается на конструкторско-технологическое совершенствование
продукции, опытное освоение. При высокой доле затраты на НИР осу-
ществляются в достаточных размерах (относительных), что дает воз-
можность проведения НИР с целью получения результатов ощутимой
степени новизны при наличии достаточного конструкторско-техноло-
гического обеспечения. Если предприятие вкладывает более 50%
средств, используемых на НИОКР, в научные исследования, то это оп-
ределяет его как разработчика пионерных нововведений или свидетель-
ствует о недостаточной сопряженности затрат и низких возможностях
конструкторско-технологического освоения результатов НИР. Когда
основная часть или вся величина средств на НИОКР затрачивается на
научные исследования, требуется или кооперация с конструкторско-
технологическими организациями, или продажа на сторону научно-тех-
нической продукции.
Для анализа направленности работ может быть использован показа-
тель. несущий нормативную нагрузку, т.е. характеризующий величину
затрат на НИР, необходимую для полной реализации потенциала ОКР
или размер средств, которые нужно вложить в ОКР для инженерной ре-
ализации единицы затрат на НИР. Нормативное значение для данного
предприятия может быть задано экспертным путем с учетом данных по
лучшим и средним родственным предприятиям.
194
Соотношение фундаментальных и прикладных НИР (по показателю от-
ношения объема фундаментальных НИР к объему прикладных НИР). Это от-
ношение может быть фактическим и нормативным. Величина отноше-
ния должна иметь нормативную нагрузку, так как для производства раз-
личных конкретных видов продукции эффективное соотношение фунда-
ментальных и прикладных работ различно. Для уровня предприятия речь
идет о так называемых направленных фундаментальных работах, т. е. о
таких, результаты которых необходимы для проведения прикладных ра-
бот.
Если предприятие не проводит фундаментальных исследований, то
оно не разрабатывает принципиально новых видов техники, не имеет
возможности выхода на рынок в качестве лидера с нововведениями, ос-
нованными на реализации открытий и пионерных изобретений. Если
предприятие имеет соотношение фундаментальных и прикладных работ
гораздо выше нормативного, то оно является одним из лидеров в облас-
ти генерации открытий и пионерных изобретений, но возможности их
практической реализации собственными силами ниже среднего уровня,
что требует кооперации с другими предприятиями.
Соотношение продуктовых и технологических НИОКР. По соотноше-
нию продуктовых и технологических НИОКР могут быть определены
структура затрат на НИОКР и ее направленность с учетом специфика-
ции предприятия.
Если рассмотреть показатели долей продуктовых и технологических
НИОКР в общем объеме НИОКР, можно сделать следующие выводы.
При равных долях предприятие уделяет равное внимание совершенство-
ванию продуктов и технологий. Такое положение оправданно при оди-
наковой значимости для фирмы того, что выпускается, и того, как выпу-
скается (например, в том случае, когда часть прибыли, которую предпо-
лагается достигнуть за счет выпуска новой продукции, равна ее части,
полученной в перспективном плане за счет применения более прогрес-
сивных технологических процессов). При изменении рассмотренной
приоритетности в ту или иную сторону рассматриваемое соотношение
должно соответственно меняться.
Соотношение объемов НИОКР по степени их ориентации на получение
кратко-, средне- и долгосрочных результатов. Перекосы в структуре вре-
менной ориентации НИОКР приводят к нестабильности результатов
производства. Оценить прогрессивность структуры затрат на НИОКР
можно посредством ее сравнения с возрастной структурой выпускаемой
продукции, ее структурой по жизненному циклу, а также со структурой
жизненных циклов технологических процессов.
Возможны различные варианты значений показателей перспективно-
сти разработок. Предприятие может распределять свои усилия равными
долями между разработками, ориентированными на текущий, средне-
срочный и перспективный периоды. Такая структура НИОКР говорит о
стремлении предприятия сохранить существующие уровни технологии и
195
продукции (относительно среднеотраслевых показателей) в средне- и
долгосрочном периодах.
При преобладании краткосрочных НИОКР в большей степени уделя-
ется внимание обновлению производства в ближайшей перспективе, т. е.
готовится база для возмещения выбывших технологий и продуктов, ко-
торые являются устаревшими в текущем периоде. При этом основной
упор сделан на текущий период, а небольшая часть разработок подлежит
внедрению в средне- и долгосрочном периодах. В этом случае основное
внимание уделяется обновлению производства в среднесрочном периоде
без создания задела для долгосрочного периода.
Структура выпускаемой продукции по стадиям жизненного цикла. Здесь
можно рассмотреть следующие стадии: вывод на рынок, рост, зрелость и
упадок.
При отсутствии выводимой на рынок продукции предприятие работа-
ет с ассортиментом продукции, который уже в значительной степени ос-
воен. В этом случае возникает риск потери конкурентоспособности, ес-
ли конкуренты выйдут на рынок с новыми изделиями. В противном ва-
рианте, т. е. когда доля продукции на стадии вывода на рынок значитель-
на (например, больше половины всей продукции), возникают иные рис-
ки, и прежде всего финансовые, так как такая продукция требует значи-
тельных вложений для перехода в стадию роста.
Стадия роста в жизненном цикле продукции очень важна для пред-
приятия, так как здесь речь идет об уже принятой рынком продукции.
При отсутствии такой продукции перспективы предприятия не могут
быть определены как благоприятные. Напротив, если доля продукции в
данной стадии высока, предприятие имеет хорошие возможности разви-
тия в среднесрочном периоде, но для этого требуется большой объем тех-
нологических инноваций, направленных на снижение себестоимости.
Как правило, доля технологических НИОКР должна быть выше продук-
товых. Если преобладают продуктовые инновации, в большинстве случа-
ев необходимо существенно повысить долю технологических нововведе-
ний с целью повышения ценовой конкурентоспособности.
Следующая стадия — стадия зрелости. Особенностью продукции, на-
ходящейся в данной стадии, является то, что она полностью освоена и
дает стабильный, гарантированный доход. Если доля такой продукции
незначительна, то предприятие могут ожидать финансовые трудности
уже в краткосрочной перспективе. Напротив, при значительном удель-
ном весе ‘‘зрелой” продукции такие трудности могут появиться в сред-
несрочной и долгосрочной перспективах. Последнее связано с тем, что
из стадии зрелости продукция рано или поздно переходит в стадию
упадка.
В этом случае необходимо проведение значительного количества про-
дуктовых инноваций и НИОКР, направленных на модернизацию про-
дукции, разработку и внедрение новых изделий.
Когда доля продукции в стадии упадка значительна, то положение
предприятия неизбежно станет критическим. Необходимо начинать фор-
196
сированное проведение работ по внедрению продукции, находящейся на
стадии вывода на рынок.
Рассмотрим использование показателей инновационного потенциала
для выбора типа инновационной стратегии, соответствующей возможно-
стям фирмы.
Остронаступательная стратегия. Такую стратегию следует использовать
при наличии многих условий.
Во-первых, доля исследователей в численности персонала должна
превышать средний уровень. Удельная численность персонала НИР (от-
ношение численности этого персонала к объему выпускаемой продук-
ции) фирмы должна быть выше средней удельной численности по груп-
пе предприятий или равна ей.
Во-вторых, соотношение численности работников, занятых НИР, и
конструкторов и технологов должно находиться в 10%-м интервале от сред-
него значения, а соотношение объема задельных и текущих НИОКР —
значительно опережать среднее соотношение. Соотношение затрат на НИР
и ОКР выше среднего.
В-третьих, в структуре продукции та ее часть, которая находится в
стадиях вывода на рынок и роста, должна превышать ту часть, которая
находится в стадии упадка.
Доля на рынке продукции, по которой проводится остронаступатель-
ная стратегия, должна быть значительной, так как в этом случае будет
иметь место эффект объема производства, экономия на условно-посто-
янных издержках, что позволит сравнительно быстро окупить первона-
чальные затраты.
Выпускаемый продукт по совокупности качественных параметров
должен опережать продукт конкурента. Относительные показатели каче-
ства должны быть выше относительных показателей затрат. Наступатель-
ная стратегия хорошо реализуется при наличии заимствования одними
продуктами технологических преимуществ других продуктов, выпускае-
мых фирмой.
Наукоемкость продукции фирмы должна быть выше средней для дан-
ной группы предприятий.
Рассматриваемая стратегия подразумевает стремление быть первым
при внедрении нововведения на определенном сегменте рынка. Данная
стратегия реализуется в условиях жесткой конкуренции на рынке. Как
правило, новшество разрабатывается параллельно несколькими предпри-
ятиями. Предприятие, стремящееся применить данный вид стратегии,
ставит перед собой следующие цели: выход первым на рынок; обеспече-
ние наибольшей технико-экономической эффективности новшества; по-
лучение возможности реализации продукции по относительно низким
ценам вследствие низких издержек производства; занятие значительной
доли рынка по данному нововведению (и продукту).
Реализация остронаступательной стратегии проявляется в концентра-
ции значительных средств на разработке данного продукта с целью бо-
лее раннего вывода его на рынок, достижения высоких технико-эконо-
197
мических параметров, захвата значительно большей доли рынка по срав-
нению с конкурентом. Что касается пониженных издержек и низких цен,
то на этапе вывода на рынок значения данных факторов не являются оп-
ределяющими. Гораздо большее значение имеют проектная конкуренто-
способность продукта и сравнительная эффективность разработки. Пос-
ледний показатель дает возможность определить конкурентоспособность
разработки посредством сравнения уровня комплексного параметра но-
вовведения и затрат на разработку.
Если у фирмы соотношение потребительских свойств и затрат ниже,
чем у конкурента, то в этом случае применение остронаступательной
стратегии может оказаться неправильным.
Умеренно наступательная стратегия. Умеренно наступательная страте-
гия направлена на занятие второго места в группе лидеров. Данная стра-
тегия отличается от остронаступательной тем, что предприятие, во-пер-
вых, направляет на НИОКР по данному продукту меньшие (по сравне-
нию с остронаступательной стратегией) средства; во-вторых, выводит
продукт на рынок только после того, как он прошел успешную апроба-
цию у конкурентов. Возможности применения такой стратегии имеются
прежде всего у крупных предприятий, являющихся монополистами на
рынке данной продукции, они могут позволить малому предприятию
осуществить принципиально новую разработку, выйти с ней на рынок и
временно занять там место лидера. После того как новый продукт будет
принят рынком, крупная фирма осуществляет действия по поглощению
малого предприятия-лидера, по покупке патента, лицензии и т.д. Второй
вариант применения умеренно наступательной стратегии связан с дея-
тельностью фирмы, которая уступает по масштабам нескольким наибо-
лее крупным конкурентам и не имеет достаточных финансовых и науч-
но-технических ресурсов, позволяющих осуществлять опережающие раз-
работки. В этом случае фирма пытается поддержать свою долю на рын-
ке, не стремясь к выходу на первые роли. Как правило, инновации дан-
ной фирмы являются реактивными. Фирма одновременно оперирует с
незначительным количеством поколений техники (одним, двумя), как
правило, на стабильном рынке. Ограничения на значения показателей в
данной стратегии в основном те же, что и для остронаступательной, но
с учетом отмеченных выше особенностей.
Имитационная стратегия. Данная стратегия не требует наличия в зна-
чительных количествах персонала, занятого НИР. Его удельный вес в об-
шей численности работающих приближается к среднему значению, но,
как правило, не достигает его.
Удельная численность занятых НИОКР в расчете на единицу продук-
ции приближается к средней. Имитационная стратегия не требует значи-
тельных объемов НИР.
Эта стратегия может быть реализована в следующих основных фор-
мах.
1. Использование лицензионной технологии без проведения работ по
ее усовершенствованию.
198
В этом случае предприятию не требуется значительной численности
исследователей, но необходимо иметь достаточное количество работни-
ков для проведения ОКР. Преобладают текущие НИОКР, доля НИР не-
значительна.
2. Использование наиболее эффективных элементов заимствованной
технологии в совокупности с собственными усовершенствованиями.
Данный вариант стратегии предполагает проведение НИР в достаточ-
ном объеме, для этого нужна соответствующая численность исследова-
телей. Объемы среднесрочных и долгосрочных работ должны быть зна-
чительны.
3. Использование основных принципов заимствованной технологии
для проведения собственных исследований и разработок с целью созда-
ния собственной новой технологии. Значительны объемы НИР, средне-
срочных и долгосрочных работ. Доля НИР в объеме НИОКР достаточно
высока. Доля фундаментальных работ не дотягивает до норматива, что и
определяет необходимость заимствования технологии. В то же время
имеется достаточная численность исследователей, Конструкторов, техно-
логов, рабочих, занятых в сфере НИОКР.
Оборонительная стратегия. Доля НИР — ниже среднего уровня, доля
НИОКР — выше среднего уровня, удельная численность занятых НИР —
ниже среднего уровня, удельная численность занятых НИОКР — выше
среднего уровня. Количество конструкторов и технологов в расчете на од-
ного занятого НИР — выше среднего уровня, обеспеченность опытным
производством — выше средней. Коэффициент интенсивной наукоемко-
сти приближается к среднему значению. Предприятие характеризуется
низкой долей продукции, находящейся в стадии упадка.
Традиционная стратегия. Поскольку традиционная инновационная
стратегия заключается в реализации инноваций по повышению качества
традиционных (существующих) товаров, то в общем объеме НИОКР
должны преобладать те работы, которые ориентированы на совершенст-
вование производства в текущем периоде. Рассматриваемый вид страте-
гии в большей степени применим к устоявшимся продуктам. Поэтому в
объеме выпускаемой продукции должна преобладать продукция, находя-
щаяся в стадии зрелости. Технология ее производства должна быть так-
же хорошо отработана. Большая часть продукции должна реализовывать-
ся на стабильном рынке. Фирма не должна иметь серьезных конкурен-
тов на рынке. Если вести речь о традиционной стратегии в целом, а не
по отдельным продуктам, то должен иметь место выпуск технологически
связанной продукции. Доля продукции на рынке должна быть достаточ-
но высокой. Традиционная стратегия предъявляет высокие требования к
уровню используемого оборудования и применяемых материалов. Про-
водится больше ОКР, чем НИР. Должна быть достаточно высока доля
отличительных технологий.
Оппортунистская стратегия. Предполагает обновление ассортимента за
счет выпуска продукции, не требующей значительных затрат на НИР с
последующим значительным присутствием на рынке. Рассматриваемая
199
стратегия может быть реализована за счет обновления ассортимента по-
средством выпуска сравнительно простых новых изделий, модификаций
существующих изделий, совершенствования производства на основе об-
новления парка оборудования, применения новых материалов, модерни-
зации используемых технологических процессов.
Предприятие производит основной объем продукции данного вида,
значительно опережая конкурентов. Поскольку быть монополистом по
производству конкретного вида продукции длительное время затрудни-
тельно, предприятие выпускает в основном новую продукцию. Этот же
фактор определяет наличие главным образом продукции, находящейся
на стадии вывода на рынок и на стадии роста. В общих затратах на
НИОКР преобладают затраты на ОКР.
Остаточная стратегия. Предполагает стремление остаться на рынке со
старым продуктом. Продукция реализуется на стабильном рынке. Пред-
приятие имеет значительную долю рынка, находится впереди основного
конкурента. Основная часть продукции находится в стадии зрелости, ос-
новная масса продукции производится более пяти лет.
Зависимая стратегия. Ориентация на разработки и технологии круп-
ных фирм, имеющих связь с деятельностью данной фирмы.
Данная стратегия не требует значительного потенциала исследовате-
лей, но предполагает наличие достаточно мощной конструкторско-тех-
нологической службы, службы подготовки производства. Практически
не осуществляются фундаментальные разработки, высока доля текущих
НИОКР. Фирма находится в высокой зависимости от основного конку-
рента.
Промежуточная стратегия. Выражается в поиске незанятой ниши, из-
бежании прямой конфронтации с конкурентами. Речь идет о модифика-
циях уже известных продуктов, которые могут быть осуществлены в сле-
дующих различных формах:
изменение класса выпускаемых продуктов без изменения существен-
ных свойств (например, выпуск двухкамерных холодильников вместо од-
нокамерных);
изменение класса выпускаемых продуктов при изменении существен-
ных свойств (например, переход от больших ЭВМ к ПЭВМ);
незначительное изменение отдельных свойств продуктов, вызываю-
щее соответственное незначительное изменение спроса.
Каждая из перечисленных форм предполагает наличие определенного
инновационного потенциала. В целом требуются значительный потенци-
ал исследователей, конструкторов, технологов, рабочих, занятых в сфере
НИОКР, высокий уровень технологии, существенный задел НИОКР.
Необходимость применения промежуточной стратегии вызывается заня-
тостью традиционных рынков, что вызывает потребность поиска незаня-
той ниши.
Стратегия создания нового рынка. Выход на рынок с продуктом, кото-
рый никто не производит. Такая стратегия может быть реализована пред-
приятием с достаточно сильной службой НИОКР, занимающейся разно-
200
плановыми исследованиями, в том числе междисциплинарными. Данная
стратегия имеет некоторую общность с остронаступательной стратегией,
но отличается от нее тем, что у фирмы, создавшей новые продукт и ры-
нок, отсутствуют конкуренты.
16.3. Инвестиционная и финансовая стратегии
В предыдущем пункте показана связь инвестиционных и инновацион-
ных стратегий. Не менее тесно инвестиционная стратегия взаимодейст-
вует с финансовой. Без соответствующего финансирования реализация
инвестиционных стратегий невозможна.
Финансовая стратегия — это стратегия формирования и использова-
ния денежных фондов (см. рис. 16.2). Денежные фонды на предприятии
создаются за счет внутренних и внешних источников. Внутренние источ-
ники — прибыль и амортизация. Внешние — эмиссия акций, облигаций,
использование инструментов денежного рынка.
В части формирования финансовых ресурсов стратегия определяет об-
щие правила, концепцию, на основе которых складываются пропорции
участия разных источников в создании денежных фондов. В аспекте ис-
пользования ресурсов речь должна идти о выборе соотношений источни-
ков финансирования и частей актива, на создание которых те или иные
источники будут ориентированы. Кроме того, финансовая стратегия есть
стратегия формирования официально показываемой прибыли и ее ис-
пользования. Речь идет о сокрытии части прибыли и уводе ее от нало-
гов. “Сэкономленная” прибыль в некоторой части используется на зара-
ботную плату (которая, в свою очередь, также не подпадает под обложе-
ние социальными и подоходными налогами), на финансирование опре-
деленной доли оборотного капитала. А кроме того, важно сформировать
доли распределения чистой прибыли на дивиденды и реинвестирован-
ную ее часть.
Исходя из этих замечаний можно сформулировать основные виды
стратегий.
Стратегии формирования денежных фондов:
краткосрочная заемно-ориентированная (преимущественно кратко-
срочного заимствования);
долгосрочная заемно-ориентированная (преимущественно долгосроч-
ного заимствования);
реинвестиционная (ориентация на собственные внутренние источни-
ки);
эмиссионо-ориентированная (ориентация на собственные внешние
источники);
минимизации цены капитала.
Стратегии использования денежных фондов:
стабильного дивидендного выхода;
201
Рис. 16.2
стабильного размера дивиденда;
скрытого дивиденда;
сравнительной эффективности.
Инвестиционные стратегии — это стратегии вложения средств, опре-
деляющие пропорции, в соответствии с которыми они будут распреде-
ляться по отдельным направлениям (после выплаты дивидендов).
Это могут быть следующие направления: вложение средств в развитие
основного и оборотного капиталов, в формирование финансовых и не-
финансовых активов; вложение в активы одной или различных отраслей;
вложение в инновации-продукты или инновации-процессы; вложение в
собственные НИОКР или в покупку лицензий и т.д.
Соответственно отмеченным направлениям могут быть сформирова-
ны инвестиционные стратегии:
капитального развития;
поддержания ликвидности (ориентация на текущую ликвидность ак-
тивов);
202
моноинвестирования;
инвестиционной диверсификации;
продуктовых инвестиций;
процессных инвестиций;
научно-исследовательского инвестирования;
лицензионного инвестирования.
Для того чтобы реализовать стратегию, провести ее в жизнь, исполь-
зуется та или иная политика, которая представляет собой комплекс вза-
имосвязанных инструментов, механизмов и организационных форм.
Конкретные механизмы, которыми оперирует политика, зависят от
ряда факторов, среди которых в качестве основных выделяются следую-
щие: уровень конкуренции в отрасли, сила конкурентной позиции пред-
приятий производственного комплекса, долгосрочные цели развития от-
дельных производственных единиц и комплекса в целом. Под воздейст-
вием данных факторов происходит формирование инвестиционной и
финансовой политики.
РАЗДЕЛ 5
ОПЦИОНЫ и свопы
Глава 17
РЫНОК опционов
17.1. Содержание опционных контрактов
Опцион — один из инструментов снижения риска инвестиционного
портфеля.
Опцион — это контракт, который предоставляет право выбора его ис-
полнения либо отказа от исполнения. В опционном контракте одно ли-
цо покупает опцион, а другое его продает. Покупатель опциона получа-
ет право выбора исполнения опциона и уплачивает за это вознагражде-
ние продавцу опциона (опционную премию). Лицо, продающее опцион,
обязано купить или продать актив по цене, зафиксированной в контра-
кте.
Различают американский и европейский опционы. Американский оп-
цион может быть исполнен в любой день до истечения контракта; евро-
пейский — только в день истечения контракта.
По характеру сделки различаются опцион на продажу (пут), который
дает право покупателю опциона продать или не продать актив, и опци-
он на покупку (колл), дающий право его покупателю купить или не ку-
пить актив по оговоренной цене (цене исполнения, или страйк-цене).
Приобретая опцион колл, инвестор ожидает повышения курса актива,
и наоборот — с приобретением опциона пут.
Опцион колл
Начнем рассмотрение данного опциона с примера покупки европей-
ского опциона колл. Предположим, что цена исполнения — 140 долл, за
акцию. Опционная премия составляет 6 долл, за одну акцию. Срок оп-
циона — 3 месяца.
Допустим, что курс акции вырос и составляет 150 долл. В этом случае
покупатель опциона исполняет опцион. Прибыль от данной операции
составила 10 долл. (150 — 140). Чистая прибыль —4 долл. (10 — 6).
Другой вариант. Рыночный курс — 146 долл. Прибыль от данной опе-
рации — 6 долл. (146 — 140). Чистая прибыль — 0 (6 — 6).
204
Таким образом, 146 долл. — пороговая цена, при которой инвестор не
получает ни прибыли, ни убытка.
Цена, при которой инвестор не покупает данную акцию, — 140 долл,
и ниже. В этом случае инвестор имеет чистый убыток 6 долл, (уплачен-
ная премия).
Если инвестор покупает акцию за 141 долл., он снижает свой убыток
на 1 долл.: 141 - 146 = -5 долл.; если покупка осуществляется по цене
142 долл., то убыток сокращается еще на 1 долл, и т.д.
Схема формирования прибыли покупателя опциона колл показана на
рис. 17.1.
Предположим, X — цена исполнения опциона (страйк-цена), ST — те-
кущая цена финансового актива на рынке, С — премия.
Для покупателя опциона прибыль:
при ST >Х равна ST — X — С;
при ST s X равна - С.
Позиция продавца опциона колл показана на рис. 17.2. Результаты
сделки для продавца опциона будут противоположными по сравнению с
теми, которые имеет покупатель.
Максимальный выигрыш продавца опциона в нашем примере 6 долл. —
это премия.
При S7 £ 140 продавец имеет максимальную прибыль (в этом случае
опцион не исполняется).
Если 140 < ST < 146, то прибыль продавца будет менее 6 долл, (инве-
стор делит свой убыток с продавцом).
Если ST- 146, прибыль будет равна нулю.
Если ST > 146, продавец будет нести потери.
Для продавца опциона прибыль:
при ST X равна С;
при ST > X равна - (ST - X) + С.
Опцион пут
Схема получения дохода покупателем опциона пут. В данном случае по-
купатель опциона имеет право продать оговоренный в контракте актив
продавцу опциона в установленные сроки по цене, зафиксированной в
контракте, либо отказаться от такой продажи. Инвестор рассчитывает,
что рыночная цена актива будет ниже цены исполнения.
205
ПРИМЕР. Предположим, что инвестор приобретает европейский опцион
пут с ценой исполнения 60 долл, за акцию, премия — 4 долл., срок конт-
ракта — 4 мес.
Инвестор предполагает, что к моменту исполнения опциона цена будет
ниже 60 долл. Предположим, что цена исполнения составляет 56 долл. В
этом случае инвестор покупает на спот-рынке акцию за 56 долл, и прода-
ет ее продавцу опциона за 60 долл. Чистая прибыль: 60 — 56 — 4 = 0.
Если рыночная цена акции составила 50 долл., то инвестор продает ее по
цене исполнения за 60 долл, и получает прибыль в размере 6 долл.: 60 —
— 50 — 4 = 6 долл.
Если цена акции 60 долл, и выше, то данный опцион не исполняется и по-
стоянный убыток инвестора составит 4 долл.
Позиция покупателя опциона пут показана на рис. 17.3.
Прибыль:
при ST < X равна X - ST -С;
при ST * X равна —С.
Позиция продавца опциона пут показана на рис. 17.4. Максимальный вы-
игрыш продавца — это премия при неисполнении опциона (в нашем при-
мере, когда ST 60). При цене ниже 60 долл, продавец опциона терпит
убытки. Предел потерь — потери при курсе акции, близком к нулю.
Результат
Цена акции,
долл.
Рис. 17.4
Категории опционов по характеру выигрыша. Можно выделить три ка-
тегории опционов: с выигрышем; без выигрыша; с проигрышем.
Опционы с выигрышем (в деньгах) при немедленном исполнении обес-
печивают прибыль инвестору. Для опциона колл это ситуация, когда
ST >Х\ для опциона пут — когда ST < X.
Опционы без выигрыша при немедленном исполнении приводят к ну-
левому потоку денежных средств. Для обоих вариантов это ситуация, ко-
гда ST = X.
Опционы с проигрышем (без денег) в случае немедленного исполнения
приводят инвестора к потерям. Для опциона колл это ситуация, когда
ST < X; для опциона пут — когда ST > X.
Опцион исполняется, если на момент исполнения он является опци-
оном с выигрышем.
Выписывая опцион, его продавец открывает по данной сделке корот-
кую позицию, покупатель — длинную. Появляются термины “короткий
колл”, “короткий пут”.
Незастрахованный опцион называется непокрытым; застрахованный
опцион — покрытым.
206
17.2. Инвестиционные стратегии
на рынке опционов
Различные варианты денежных потоков могут быть получены за счет
комбинации опционов пут и колл с различными вариациями их цен, а
также включением в эти комбинации самих активов.
Сочетание акций и опционов. 1. Продажа опциона колл и покупка ак-
ции (покрытый опцион колл). Данная стратегия используется в том слу-
чае, когда предполагается продать определенное количество акций при
достижении ценами на них некоторого уровня. Этот уровень учитыва-
ется при определении страйк-цены. Выписывая опцион, владелец ак-
ций как бы придает своему желанию более обязательный характер.
Кроме того, на момент заключения контракта владелец акций получа-
ет прибыль в виде опционной премии. В случае если рыночная цена на
момент исполнения окажется выше страйк-цены (а только в этом слу-
чае исполняется опцион колл), он терпит убыток за счет такой разни-
цы цен.
Теоретически в аналитических целях можем рассмотреть две схемы
расчетов. Первая — это когда продавец опциона возмещает покупателю
разницу в ценах. Первый может продать акцию на рынке по цене ST.
При этом он получит прибыль ST — $0, где 50 — цена покупки акции.
Покупателю опциона должна быть выплачена разница между рыночной
ценой и ценой исполнения, т.е. ST — X. С учетом полученной премии
окончательный результат для продавца опциона составит:
(ST - 50 ) - (ST - X) + С = X - 50 + С.
Если рассмотреть схему, при которой действительно происходит по-
ставка актива, то результат аналогичен рассмотренному выше:
X - So + С.
Поскольку все величины, необходимые для расчета дохода продавца
опциона, являются постоянными, константой является также и величи-
на получаемой им прибыли.
Если ST < X, то опцион колл не исполняется. В этом случае стоимость
инвестиционного портфеля равна Sr Конечный стоимостный результат
инвестора будет равен ST — 50 + С.
Рассмотренная стратегия по своему стоимостному итогу равнознач-
на продаже опциона пут или короткому путу, что можно понять из
приведенных выше формул и из рассмотренного ниже примера. Ко-
роткий пут — в данном случае синтетический, или искусственный, оп-
цион.
График результатов при покупке акции показан на рис. 17.5.
207
ПРИМЕР. Рыночная цена акции в момент покупки — 96 долл. Цена ис-
полнения опциона (страйк-цена) — 100 долл, за опцион. Премия по опци-
ону колл — 16 долл., по опциону пут — 14 долл.
Допустим, к моменту исполнения опциона фактическая цена составила
100 долл, и совпала со страйк-ценой. Опцион не будет исполняться, сле-
довательно, продавец опциона будет иметь прибыль 16 долл, (премия). До-
ход на курсовой разнице составит 4 долл. (100 - 96). Итоговый результат:
16 + 4 = 20 долл.
Предположим, цена акции — 116 долл. В этом случае опцион исполняет-
ся и продавец имеет убыток за счет реализации опциона в размере 16 долл.
(100 — 116). В то же время на курсовой разнице он получит прибыль 20
долл, и, кроме того, премию 16 долл. Итого: —16 + 20 + 16 = 20 долл.
Если цена акции 126 долл., убыток за счет исполнения опциона составит
100 - 126 = -26 долл. На курсовой разнице получается 126 - 96 = 30 долл.
Премия: 16 долл. Итого: -26 + 30 + 16 = 20 долл.
Вывод. При цене акции 100 долл, и выше доход продавца опциона будет
всегда составлять 20 долл.
Рассмотрим вариант, когда цена акции 90 долл. Поскольку эта цена ниже
цены исполнения, покупатель опциона исполнять данный опцион не бу-
дет. За счет снижения курса убыток покупателя акции составит 90 - 96 =
= -6 долл. Премия — 16 долл. Итого: 16 — 6 = 10 долл.
При цене акции 80 долл, потеря на курсовой разнице: 80 - 96 = -16 долл.
Премия: — 16 долл. Итого: 16 - 16 = 0.
При цене ниже 80 долл, будет иметь место убыток, возрастающий на
1 долл, при снижении цены акции на 1 долл. Рассмотрим это на графике
(рис. 17.6).
2. Короткая продажа акции и покупка опциона колл (защитный опцион
на покупку). Проиллюстрируем указанный процесс на рис. 17.7, 17.8. Ко-
роткая продажа акции — это продажа акции, взятой в долг с намерени-
208
Результат
-16
-20
Линия продажи .
Длинный колл Синтетический
опцион
Рис. 17.8
ем ее купить в будущем. Идея данной стратегии состоит в том, чтобы за-
страховаться на случай непредвиденного роста цен. Она приводит к тем
же результатам, что и покупка опциона пут.
3, Покупка акции и покупка опциона пут (защитный опцион на прода-
жу). Зашита от непредвиденного снижения цен. По результатам данная
стратегия идентична покупке опциона колл. Применяя ее, инвестор
стремится обезопасить себя при падении курса ниже некоторого значе-
ния. В случае такого падения инвестор исполняет опцион пут.
ПРИМЕР. Цена исполнения — 100 долл., цена покупки акции — 96 долл.,
премия — 14 долл.
Возможны следующие ситуации (рис. 17.9).
Цена акции — 100 долл, и выше. В этом случае опцион не исполняется.
Инвестор платит премию в размере 14 долл, и получает прибыль от роста
цены акции.
Если цена акции — 110 долл., то результат составит ПО - 96 - 14 = 0.
При цене акции 96 долл, инвестор исполняет опцион и получает 100 - 96 =
= 4 долл., но в результате он имеет убыток: 4 — 14 = —10 долл.
При цене акции 90 долл, прибыль от исполнения опциона составит 100 -
- 90 = 10 долл. Убыток от падения курса акции: 90 - 96 = -6 долл. Ито-
го с учетом выплаты премии он имеет: 10 — 6— 14 = —10 долл.
Вывод. Для всех значений цены акции ниже 100 долл, убыток инвестора
составит 10 долл.
Комбинации. Рассмотрим следующие комбинации: стеллаж (стрэддл),
стрэнгл, стрэп, стрип.
Стратегия стеллаж — двойственная политика (рис. 17.10). Ее суть со-
стоит в комбинации опционов колл и пут с одинаковыми ценами испол-
нения на одни и те же акции с равными сроками исполнения. Исполь-
209
зуется данная стратегия, когда рынок активен, но непредсказуем. Инве-
стор выбирает данную стратегию, когда ожидает значительного измене-
ния курса, но не знает направлений изменения. Если происходят значи-
тельные изменения курса, то инвестор получает значительную прибыль.
Продавец стеллажа, напротив, рассчитывает на незначительные колеба-
ния курса.
Инвестор при использовании данной стратегии платит две премии.
Самая неприятная ситуация возникает, когда ST = X. В этом случае
имеет место максимальный убыток. Например, если цена акции составит
100 долл., то опционы не исполняются, следовательно, инвестор терпит
убыток 22 долл. (10 + 12).
Допустим, цена акции 122 долл. Инвестор исполняет опцион колл.
Прибыль от реализации составит 122 — 100 = 22 долл, при убытке
22 долл.
При цене 78 долл, исполняется опцион пут. Инвестор получает доход
100 — 78 = 22 долл, и имеет убыток 22 долл, (уплаченная премия).
Таким образом, при цене акции от 78 до 100 долл, происходит сниже-
ние убытка, а при цене ниже 78 долл. — рост дохода.
При цене 95 долл, исполняется опцион пут. Прибыль от этой опера-
ции составит 100 - 95 = 5 долл., убыток — 22 долл. Итого доход: 5 —
- 22 = —17 долл.
Вывод:
если ST < X, инвестор получает прибыль X— ST —С (или имеет место
снижение убытка);
если ST = X, то результат для инвестора составит —С;
при ST> X прибыль инвестора составит ST — X — С (или имеет место
снижение убытка),
где С — сумма уплаченных премий по обоим опционам.
При 78 < ST < 122 наступает предел напряжения стеллажа. Если ры-
ночная цена находится в этом пределе, то прибыль получает продавец
стеллажа.
Результат доходности для продавца стеллажа показан на рис. 17.11.
Стрэнгл (связка) во многом напоминает стрэддл. Отличие связано с
тем, что цены исполнения опционов разные, т. е. стрэнгл — это сочета-
ние опционов колл и пут на одни и те же бумаги с одинаковым сроком
истечения контрактов, но с разными ценами исполнения. Причем цена
исполнения опциона пут ниже цены исполнения опциона колл.
210
ПРИМЕР. Цена исполнения опциона колл — 58 долл., опциона пут —
53 долл., премия — 3 долл, по каждому опциону.
Покупатель получит прибыль, если цена будет больше 64 или меньше
47 долл. Он получит потери, если цена будет больше 47, но меньше
64 долл. Максимальные потери 6 долл, при цене 53 <; Р <> 58 долл,
(рис. 17.12, 17.13).
Результат
Результат
Покупатель
О
-6
Рис. 17.12
Продавец
Рис. 17.13
Пусть X] — цена исполнения опциона пут, а Х2 — цена исполнения
опциона колл. По определению стрэнгла Xt < Х2.
При цене ST < Х} прибыль покупателя стрэнгла будет Xt — ST—C; при
Xt s STz X2 доход составит —С; при ST 2 Х2 получится прибыль ST — Х2 —
- С, где С — сумма премий, уплаченных (полученных) покупателем (про-
давцом) стрэнгла.
Стрэп — это комбинация одного опциона пут и двух опционов колл.
Даты одинаковы, цены исполнения могут быть одинаковыми или раз-
ными.
Инвестор занимает либо длинную, либо короткую позицию. Покупа-
тель прибегает к такой позиции, если предполагает повышение курса.
ПРИМЕР. Инвестор покупает два опциона колл и один пут с ценой ис-
полнения 60 долл, каждый. Премия по любому из этих опционов 2 долл.
Покупатель получит прибыль, если Sr меньше 54 долл, или ST больше
63 долл., несет потери при 54 < ST < 63 долл. (рис. 17.14, 17.15).
При цене ST < Xприбыль покупателя стрэпа составит X— ST~C; при
Sr = X прибыль будет —С; при ST г X получим прибыль 2(5Г — X) —С.
Точка безубыточности при ST а X может быть определена из следую-
щего уравнения:
211
2(ST - X) - С = О,
откуда ST = (2Х + Q/2.
Стрип состоит из одного опциона колл и двух опционов пут. Даты ис-
течения одинаковы, цены исполнения могут быть одинаковыми или раз-
ными.
Стрип приобретается, когда наиболее вероятно понижение курса ак-
ций.
ПРИМЕР. Инвестор приобретает два опциона пут с ценой исполнения по
50 долл, и опцион колл с ценой исполнения 60 долл. Премия по каждому
опциону — 2 долл.
Пусть Х1 — цена исполнения опциона пут, Х2 — цена исполнения опцио-
на колл.
При цене ST< Х{ покупатель получает прибыль 2(Л1 - ST) - С; при Х^ ST
<; Х2 прибыль составит —С; при ST Х2 — доход ST — Х2—С.
При ST < 47 долл, и при ST > 66 долл, покупатель получает прибыль
(рис. 17.16), при 47 < ST < 66 долл, несет потери. Максимальные потери
6 долл., когда 50 60.
Продавец получит прибыль при цене 47 < ST < 66 долл. (рис. 17.17), при
цене 47 и 66 долл. — нулевой результат для обеих сторон.
Точка безубыточности ST = (2Xt - С)/2.
Результат
-6
Рис. 17.16
Спрэд. Спрэд представляет собой сочетание аналогичных опционов
(двух и более) с разными ценами и датами исполнения. Происходит по-
купка или продажа опционов одного и того же вида. Различают верти-
кальные, горизонтальные и диагональные спрэды.
Вертикальный, или денежный, спрэд — это сочетание опционов с оди-
наковыми датами исполнения, но различными страйк-ценами.
Горизонтальный спрэд характеризуется одинаковыми страйк-ценами,
но разными датами исполнения.
Диагональный спрэд состоит из опционов с разными ценами и датами
исполнения.
Рассмотрим некоторые виды спрэдов.
“Бычий” спрэд. Это приобретение опциона колл с более низкой ценой
исполнения и продажа опциона колл с более высокой ценой исполнения
при одинаковом сроке действия контракта.
212
В данном случае инвестор рассчитывает на повышение курса акций.
Общие затраты инвестора складываются как разность величины премии,
уплаченной за покупку, и суммы премии, полученной за продажу.
Предположим, инвестор покупает опцион колл за 5 долл, с ценой ис-
полнения 45 долл. Одновременно продает опцион колл с ценой испол-
нения 50 долл, и премией 3 долл. Его первоначальные инвестиции соста-
вят 5-3 = 2 долл. Рассмотрим варианты.
Допустим, курс акции составил 50 долл. В этом случае исполняется
купленный опцион. Прибыль составит 50 — 45 = 5 долл. Совокупный до-
ход с учетом первоначальных инвестиций 5 — 2 = 3 долл.
При курсе 53 долл, исполняется первый опцион: 53 — 45 — 2 = 6 долл.
Одновременно контрагент исполняет проданный опцион, и за счет это-
го затраты первого инвестора составят 53 — 50 = 3 долл.
Общее правило:
при фактической цене на рынке ST > 50 чистая прибыль инвестора
всегда будет равна 3 долл. (рис. 17.18);
Рис. 17.18. График прибыли инвестора: х1 — цена исполнения первого опциона;
х2 — цена исполнения второго опциона
при ST <. 45 инвестор несет потери в размере первоначальных инве-
стиций, так как ни один опцион не будет исполняться;
если цена составит 47 долл., то получаем нулевой результат.
При цене ST Х{ доход С; при Х{ < ST< Х2 доход ST~ Х{ — С; при ST
* Х2 доход Х2 — Xl — С.
Медвежий ” спрэд — это сочетание длинного опциона колл с более
высокой ценой и короткого опциона колл с более низкой ценой испол-
нения.
Инвестор прибегает к данной стратегии, когда надеется на снижение
курса акций, но одновременно стремится ограничить свои потери в слу-
чае его повышения.
ПРИМЕР. Инвестор приобретает опцион колл (рис. 17.19) за 3 долл, с це-
ной исполнения 42 долл, и продает опцион колл с ценой исполнения
37 долл, за 5 долл. В результате получает премию 5-3 = 2 долл.
Если цена больше или равна 42 долл., то инвестор имеет потери: -(42 -
- 37) + 2 = -3 долл.
При ST<> 37 прибыль инвестора равна 2 долл.
213
Результат
Рис. 17.19
В общем виде можно сформулировать условия определения дохода инве-
стора следующим образом:
при Xt ST доход + С;
при Х{ < ST< Х2 доход ~(ST - Х{) + С;
при ST Х2 доход ~(Х2 - У]) +С,
где С — разность полученной и уплаченной премий.
Обратный спрэд “быка” — это короткий опцион пут с более низкой
ценой исполнения и длинный опцион колл с более высокой ценой ис-
полнения. Премия опциона пут больше премии опциона колл. Инвестор
предполагает определенное повышение цен, но рассчитывает в виде
главной цели получить прибыль на отрезке Х}Х2 (рис. 17.20).
При ST < Х{ доход --(%! - 5Г) + С; при Хх ST Х2 доход +С; при
ST * Х2 доход ST - Х2 + С, где Хх — цена исполнения короткого опцио-
на пут, Х2 — цена исполнения длинного опциона колл.
Рис. 17.20
Рис. 17.21
Обратный спрэд “медведя ” — это сочетание длинного опциона пут с
более низкой ценой исполнения и короткого опциона колл с более вы-
сокой ценой исполнения. Инвестор рассчитывает на понижение, но
главная цель — получить прибыль на отрезке Х{Х2 (рис. 17.21).
214
Глава 18
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ И ЦЕНЫ ОПЦИОНОВ
18.1. Стоимость опционов
Различают два понятия стоимости опциона: внутреннюю и временную
стоимость.
Внутренняя стоимость опциона колл. Внутренняя стоимость опциона
колл — это разность между рыночной ценой актива и ценой исполнения.
Внутренняя стоимость определяется в предположении немедленного ис-
полнения опциона. Кроме того, она может быть определена по истече-
нии срока опциона.
Общее правило определения внутренней стоимости данного опциона
можно записать следующим образом:
max {О, S -А}. (18.1)
Если рыночная цена актива равна или меньше цены исполнения, то
опцион не исполняется и его внутренняя стоимость равна нулю. Если
рыночная цена выше цены исполнения (S > X), то опцион исполняется
и его внутренняя стоимость равна S — X. График зависимости внутрен-
ней стоимости опциона колл от цены акции представлен на рис. 18.1.
Внутренняя стоимость опциона пут определяется так:
max {О, X- 5}. (18.2)
Она равна нулю при S>X. При ST<X стоимость опциона равна
X — ST. На рис. 18.2 приведен график рассматриваемой зависимости.
В момент истечения срока контракта цена опциона равна внутренней
стоимости.
Временная стоимость. Временная стоимость — это разность между фа-
ктической ценой опциона и его внутренней стоимостью (см. рис. 18.3).
Внутренняя стоимость опциона колл в ситуации “без денег” равна 0.
Но поскольку есть вероятность роста рыночной цены, фактически опци-
он продается дороже. Наибольшая величина временной стоимости — в
окрестности цены исполнения. При удалении спот-цены от цены испол-
нения в случае опциона без выигрыша временная стоимость уменьшает-
Стоимость
опциона
колл
Рис. 18.1
Цена
акции
Стоимость
опциона
пут
Цена
акции
Рис. 18.2
215
Стоимость опциона
Рис. 18.3. Внутренняя и временная стоимости опциона колл
ся, так как вероятность обратного движения к “выигрышу” также стано-
вится все меньше. Временная стоимость для опциона с выигрышем при
удалении от цены исполнения также уменьшается. Причина в том, что
покупатель опциона в данном случае оплачивает высокую внутреннюю
стоимость, но на момент исполнения спот-цена может упасть, что при-
ведет к значительным убыткам. Получается, что низкая временная стои-
мость как бы компенсирует высокую внутреннюю стоимость.
Временная стоимость опциона пут определяется аналогичным обра-
зом (рисунок строится с учетом понятных особенностей данного опцио-
на).
Верхняя граница премии опциона колл. Если представить такую нере-
альную ситуацию, когда стоимость исполнения равна нулю, то инвестор
в этом случае не несет каких-либо затрат по получению акции. Стои-
мость такого опциона может быть равна цене самой акции, но быть вы-
ше этой цены она не может. Премия опциона колл в любой момент пе-
риода действия контракта не должна быть больше цены акции, т.е.
Cs50, (18.3)
где С — цена опциона колл; 50— спот-цена акции.
В противном случае возможен арбитраж (под арбитражем понимается
возможность получения дохода без риска на разнице цен). В данном слу-
чае можно выписать опцион колл на акцию и купить на часть выручен-
ных денег акцию на рынке. Оставшаяся часть составит чистый доход ар-
битражера.
Верхняя граница премии опциона пут. Для данного вида опционов мо-
жет быть использована следующая формула:
р^Хе'11, (18.4)
где р — цена европейского опциона пут в момент приобретения; t — вре-
мя до истечения контракта; г — непрерывная безрисковая ставка. В про-
тивном случае можно получить доход, выписав опцион и разместив пре-
мию под процент без риска. Поскольку полученная от такого размеще-
ния стоимость на момент исполнения опциона будет больше страйк-це-
ны, то разница между ними составит чистый доход арбитражера.
216
Нижняя граница премии опциона колл. Нижняя граница премии евро-
пейского опциона по акциям, по которым не выплачивают дивиденды:
С >50- Хе-", (18.5)
где 50 — цена акции в момент заключения контракта.
Преобразуем формулу (18.5):
50 - С < Хе’".
Предположим, что берется в долг акция и продается по рыночной це-
не 50. Покупается также опцион колл по цене С. В распоряжении инве-
стора остается сумма 50 — С, которая инвестируется по безрисковой не-
прерывной ставке г. Если цена опциона оказывается меньше величины
50 — Хе~", то имеем
(SQ - С) е" > X.
Если в дальнейшем исполняется опцион, то чистый доход арбитраже-
ра составит
<50 - С) е" - X.
ПРИМЕР. Цена акции — 60 долл., цена исполнения — 50 долл., непре-
рывная ставка — 12%, срок контракта — 1 год. Необходимо определить
нижнюю границу премии опциона колл. Имеем:
50 - Хе'" = 60 - 50 • 0,887 = 15,65 долл.
Допустим, что премия равна 15 долл. В этом случае арбитражер занимает ак-
цию у брокера, продает ее за 60 долл, и покупает опцион. Доход: 60 — 15 =
= 45 долл.
Эти средства инвестируются под 12%, в результате чего получится сумма
45е° 12 = 50,74 долл.
Если по истечении срока контракта цена превысит 50 долл., то арбит-
ражер исполнит контракт. Прибыль в этом случае составит 50,74 - 50 =
= 0,74 долл.
Если цена меньше 50 долл., то опцион не исполняется. Арбитражер поку-
пает акции по цене ниже 50 долл, (например, по 47 долл.) и возвращает
ее. Прибыль в этом случае 50,74 - 47 = 3,74 долл.
Нижняя граница премии европейского опциона пут (по акциям не вы-
плачивается дивиденд). Нижняя граница премии опциона пут определя-
ется по формуле
р > Хе~" — 50 (18.6)
или
50 + р > Хе~".
217
Предположим, что занимается сумма (50 + р) по ставке г. Эти средст-
ва инвестируются в покупку акции и опциона пут. К концу периода t не-
обходимо вернуть (50 + р) е". Если не будет выполняться неравенство
(18.6), то получим:
(50 + р) < X.
Если опцион пут исполняется, то чистый доход арбитражера составит
X - (50 + р) е".
ПРИМЕР. Цена исполнения — 40 долл., спот-цена — 35 долл., г = 12, Т =
= 9 мес. Определим нижнюю границу цены опциона пут:
4Oe-o i2 ’ 0.75 - 35 = 36,56 - 35 = 1,56 долл.
Предположим, премия равна 1 долл. В этом случае совершается арбитраж-
ная операция: занимаются 36 долл. (35 + 1) на 9 мес. и покупаются опци-
он и акция.
Долг через 9 мес. составит 36е012 * 075 = 39,39 долл. Если к моменту ис-
полнения цена будет ниже 40 долл. (ST < Л), то опцион исполняется арби-
тражером. Прибыль составит 40 - 39,39 = 0,61 долл. Если ST Х^ то оп-
цион не исполняется, но акция продается дороже, допустим, за 41 долл.
Доход: 41 - 39,39 =1,61 долл.
Соотношение премий опционов. Опционы могут различаться по отдель-
ным характеристикам: ценам исполнения, дисперсиям цен активов, сро-
кам контрактов.
Опционы, различающиеся только ценами исполнения
Опцион колл. Если Хх > Х2, то С\ <; С2 (Хх — цена исполнения оп-
циона 1, Cj — цена опциона 1; Х2 — цена исполнения опциона 2, С2 —
цена опциона 2); так как опцион 1 в случае его исполнения заставляет
приобрести акцию, заплатив за нее дороже, то инвестор получает мень-
ший доход.
Опцион пут. Для данного опциона имеют место обратные соотно-
шения. Если Хх > Х2, то рх р2. Опцион дает возможность продать акцию
дороже.
Опционы, различающиеся только сроком исполнения
Опцион колл. Так как нижняя граница равна S — Хе~г!, то, чем
больше срок, тем выше цена опциона.
Опцион пут. Нижняя граница: Xe~rt — 50. Чем больше срок, тем
меньше нижняя граница.
Опционы, различающиеся стандартными отклонениями'. Oj < а2, < С2,
Р\ < р2. Чем ниже риск, тем ниже доход.
Паритет и взаимосвязь премий опционов. Предположим, что инвестор
реализует две стратегии — А и Б. Стратегия А предполагает покупку од-
ного опциона колл и облигации с нулевым купоном, стоимость которой
Хе~” (в начале периода). Стратегия Б заключается в покупке одного оп-
циона пут и одной акции (см. рассмотренную выше стратегию защитно-
218
го опциона пут). К моменту исполнения контракта можем иметь три ва-
рианта: ST > X; ST = Х\ ST < X.
Если ST > X, то исполняется опцион колл. Мы платим за акцию X, по-
лучаем ST. Стоимостный результат стратегии А есть ST (стоимость
акции), стратегии Б — также ST (стоимость акции). Если ST < X, то ис-
полняется опцион пут. Стоимость портфеля, соответствующего страте-
гии А, равна X портфеля стратегии Б — тоже X. Таким образом, в лю-
бом случае в конце периода стоимости обоих портфелей равны между со-
бой. Значит, они должны быть равны между собой и в начале периода.
Стоимость портфеля стратегии А в начале периода: С + Хе~*\ портфеля
стратегии Б : р + 50. Следовательно, можем записать:
С+ Хе~* = р + 50. (18.7)
Формула (18.7) называется теоремой о паритете опционов пут и колл.
ПРИМЕР. 50 = 30 долл., Х= 28 долл., г = 12%, срок контрактов — 4 мес.,
С = 4 долл. Найти р.
Решение, р = С + Xe~rt - 50 = 4 + 28е-012 ‘ 0 333 - 30 = 0,903 долл.
Предположим, что цена опциона пут составляет 1,2 долл. Появляется воз-
можность для арбитража. Покупается опцион колл и продается опцион
пут. Так же занимается и продается акция.
Полученный доход будет равен -4 + 1,2 + 30 = 27,2 долл.
Эта сумма инвестируется по ставке 12% на 4 мес.: 27,2е°12 ‘ 0333 =
= 28,31 долл.
Если к моменту исполнения опциона ST > 28, то арбитражер исполнит оп-
цион, т.е. купит акцию за 28 долл, и получит прибыль 28,31 — 28 =
= 0,31 долл.
Если ST < 28, то будет исполнен опцион пут. Арбитражер купит акцию за
28 долл. Прибыль будет равна 28,31 - 28 = 0,31 долл.
Если цена опциона занижена и, допустим, равна 0,5 долл., то инвестор
продает опцион колл и покупает опцион пут и акцию. Занимается под
ставку без риска сумма 0,5 + 30 - 4 = 26,5 долл.
Через 4 мес. нужно вернуть кредитору сумму 26,5е°12 ’ 0 333 = 27,58 долл.
Если ST < 28, то арбитражер исполняет опцион и получает 28 - 27,58 =
= 0,42 долл., если ST > 28, то исполняет опцион колл, т.е. арбитражер про-
дает акцию за 28 долл. Доход арбитражера 28 - 27,58 = 0,42 долл.
18.2. Модели определения цены опционов
Постановка вопроса. Предположим, что приобретается 3-месячный оп-
цион колл с ценой исполнения 90 долл. Прогнозируется следующее рас-
пределение вероятностей цены актива к моменту исполнения опциона:
Цена к моменту
исполнения, долл. И0 105 100 95 90 85 80
Вероятность, % 15 20 25 20 10 5 5
219
Премия опциона должна соответствовать ожидаемому доходу, дискон-
тированному на начало периода. Ожидаемый доход будет равен 20 • 0,15 +
+ 15 • 0,2 + 10 • 0,25 + 5 • 0,2 + 0 • 0,1 + 0 • 0,05 + 0 • 0,05 = 9,5 долл.
Если безрисковая непрерывная ставка 12%, то премия опциона соста-
вит 9,5с-012 ’ 0 25 = 9,22 долл.
Биномиальная модель премии опционов
Однопериодная модель. Рассмотрим акцию с текущей рыночной ценой
90 долл. Прогнозируется, что через один год цена может составить либо
110, либо 70 долл. Предположим, что на данную акцию заключен опци-
онный контракт (опцион колл) с ценой исполнения 100 долл, и сроком
истечения через один год.
В случае повышения цены до ПО долл, стоимость опциона составит
10 долл., а при снижении цены она будет равна нулю. Графически дан-
ную ситуацию можно изобразить так, как показано на рис. 18.4.
Рис. 18.4
Необходимо найти стоимость опциона в начальный момент (в момент
заключения контракта). С этой целью могут быть использованы три под-
хода1 определения стоимости:
при помощи безрискового портфеля;
с помощью синтетического опциона;
на основе нейтральной к риску оценки.
Формирование безрискового портфеля. Смысл данного подхо-
да состоит в формировании портфеля, состоящего из акций и опционов
таким образом, чтобы денежные потоки за счет портфеля были одинако-
выми в случае различных (заранее определенных) вариантов динамики
цены акции. В данном подходе опцион является инструментом сниже-
ния риска, или хеджирования.
Пусть 5 — цена акции в начальный период. Через некоторое время
она может подняться или опуститься. Коэффициент (темп) роста цены в
определенный момент в будущем обозначим через и, коэффициент
(темп) снижения — через d. Будущую цену в случае роста — через $и; со-
1 Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг. М., 1998.
220
ответственно Sd — это цена при ее снижении в тот же момент времени.
При этом и > 1, d < 1.
Можем записать: Su = Su, Sd = Sd.
Стоимости опциона при повышении цены (Си) и при ее снижении
(Cd) будут равны: Си = max{0, Su~ A}; Cd = max{0, Sd — X}.
Наша задача — сформировать портфель, платежи по которому будут
одинаковыми как при повышении, так и при снижении цены акции, т.е.
мы строим безрисковый портфель, или осуществляем хеджирование. Это
может быть достигнуто посредством включения в портфель акции и оп-
ределенного количества коротких опционов колл. Обозначим это коли-
чество через к. С целью определения величины к составим уравнение:
\ = \ - 08-8>
Стоимость опциона вычитается из цены, так как держатель портфеля
выписал опционы и должен в случае их исполнения возместить разницу
текущей цены и цены исполнения (купить акцию дороже, а продать де-
шевле). Величина к выразится следующим образом:
Л = (5„ - Sd)/{CU - Cd). (18.9)
Данный коэффициент называется коэффициентом хеджирования в
биномиальной модели. Затраты на формирование портфеля в начале пе-
риода составят 5 — кС. Через С в данном случае обозначена премия оп-
циона (или его стоимость в начале периода), которую получает лицо, вы-
писавшее опцион. На величину полученных премий сокращаются затра-
ты по формированию портфеля. Предполагается, что эти инвестиции
должны принести безрисковый доход. Если срок исполнения равен году,
то имеем:
(5- кС)(\ + г) = Su- кСи, (18.10)
откуда
С = S/k — (Su — кСи)/[к(1 +г)], (18.11)
где г — процентная ставка.
В случае использования непрерывной ставки получим соответственно:
(5 - кС)? = Su - кСи; (18.12)
С = S/k - 1(5„ - кСи)/к\ е~\ (18.13)
ПРИМЕР. Текущая иена акции в начале периода составила 90 долл. Цена
исполнения — 100 долл.
Через год — к моменту истечения контракта — прогнозируется рост ие-
ны до 110 долл, или снижение до 70 долл. Безрисковая ставка — 12%. Оп-
ределить коэффициент хеджирования и премию опциона на начало пе-
риода.
221
Решение, к = (110 — 70)/( 10 — 0) = 4.
Полученный коэффициент говорит о том, что для того, чтобы сформиро-
вать безрисковый портфель при данных вариантах динамики цен, необхо-
димо включить в него одну акцию и четыре коротких опциона колл.
В начале периода премия опциона:
С = 90/4 - (ПО — 4 • 10)/[4(1 + 0,12)] = 6,875 долл.
При использовании непрерывной ставки получим:
С = 90/4 -[(110-4- 10)/4] е-°12 = 6,979 долл.
Синтетический опцион. Денежный поток, связанный с опцио-
ном, может быть воспроизведен при помощи портфеля акций и облига-
ций:
Си = Д • Su + Вег, (18.14)
Cd = Д • Sd + Вег, (18.15)
где Д — количество акций в портфеле, Вег — номинал облигации (для
случая годового периода), В — стоимость облигации в начале периода.
Имеем систему уравнений, из которой можем определить Д и В:
Д = <с,, - С</Ж “ = <си ~ Cd)/W“ ~ Ы (18-16)
В = l(ucd - dCu)/(u -d)]- С-. (18.17)
Данный портфель должен воспроизводить цену опциона в начале пе-
риода:
С=Д-5+В. (18.18)
Величина Д (дельта опциона) является разновидностью коэффициен-
та хеджирования (Д = \/к) и используется в так называемом дельта-хед-
жировании.
ПРИМЕР. Условия те же, что и в предыдущем примере:
Д = 1/4 = 0.25; и = 110/90 = 1,222; d = 70/90 = 0,778; В = [(1,222 • 0 -
- 0,778 • 10)/( 1,222 - 0,778)] е-°12 = -15,54; С = 0,25 • 90 - 15,54 =
= 6,96 долл.
Отрицательная величина В указывает на то, что осуществляется короткая
продажа облигации. Сумма 6,96 долл. — это средства инвестора, которые
необходимо затратить для формирования портфеля в начале периода; они
и будут составлять стоимость опциона.
Можно использовать еще один способ оценки премии опционов. В
некоторых источниках он называется оценкой, нейтральной к риску.
Нейтральная к риску оценка. Полученные выше значения Д и
В подставим в формулу (18.18) определения премии опциона:
222
C=(CU~ Cd}S/{S(u -</)] + (uCd - dCu)/[(l + r)(w - </)]• (18.19)
Для условий непрерывного начисления процентов и периода t данная
формула преобразуется следующим образом:
С = (Си - Cd)S/[S(u ~d)] + (uCd - dCu)/[e"(u - </)]. (18.20)
Произведя алгебраические преобразования, получим (для непрерыв-
ного начисления процентов за период /):
С = (^ - d) Сие~"/(и - d) + (и - е») С^Ди - d). (18.21)
Пусть
(е» - d)/(u - d) = n. (18.22)
Тогда
1 - л = (w - е")/(м - d). (18.23)
Получаем
С = л Сие~п + (1 - л)С^-«. (18.24)
Примем и > er > d, тогда л < 1. Величину л можно рассматривать как
вероятность или как веса, по которым взвешиваются дисконтированные
стоимости опциона для случаев повышения и снижения цены акции, в
результате чего определяется премия опциона, выплачиваемая в начале
периода.
Коэффициенты роста или падения курсовой стоимости зависят от вре-
мени изменения курса акции и ее стандартного отклонения, которое в дан-
ном случае измеряется в относительных величинах. В этом случае имеем:
и - е°^,
d-e'^'. (18.25)
ПРИМЕР. Курс в начале периода — 50 долл., среднеквадратичное (стан-
дартное) отклонение — 20%, непрерывная ставка — 12%. Определить ве-
роятности повышения и понижения курса через 2 мес.
Решение. t= 0,167, т. е. (2/12); и-Л2-1,085; d-е-°-2^0Л67 =о,9215;
е" = е0-2' °-167 = 1,0202;
л = (1,0202 - 0,9215)/( 1,085 - 0,9215) = 0,0987/0,1635 = 0,6036; 1 - л =
= 0,3963.
Вероятность (весовой коэффициент) повышения курса через 2 мес. равна
0,6036.
Двухпериодная модель. Рассмотрим график двухпериодной модели
(рис. 18.5).
223
Рис. 18.5
В биномиальной модели по истечении единичного отрезка времени
цена может возрасти или упасть. Как и в случае однопериодной модели,
темп роста цены и = \/d, где d — темп снижения цены за период. Назо-
вем успехом повышение цены по истечении принятого единичного от-
резка времени, а неудачей — ее снижение. Обозначим количество успе-
хов через J. Как видно из рис. 18.5, в самой верхней точке биномиальной
решетки количество успехов равно 2, т. е. мы имеем два повышения це-
ны подряд. В средней точке — один успех. В эту точку на графике два
пути: либо сначала рост цены в первом периоде, а затем снижение во
втором, либо наоборот — сначала происходит снижение, затем рост. В
нижней точке количество успехов равно нулю, а количество неудач —
двум.
Допустим, что вероятность одного успеха равна 0,6. Это значит, что
вероятность достижения ценой уровня S* составит 0,6 • 0,6 = 0,36. В дан-
ном случае используется правило нахождения вероятности свершения
двух совместных событий.
Вероятность прохождения каждого из двух путей, ведущих к уровню
Sud, равна 0,6 • 0,4 = 0,24. Но так как таких путей два, то вероятность по-
падания в точку Sud удваивается, т. е. она равна 2 • 0,24 = 0,48.
Две неудачи ведут к уровню 5J, вероятность его достижения
0,4 • 0,4 = 0,16. Полная вероятность равна 0,36 + 0,48 + 0,16 = 1.
Ожидаемый уровень цены актива на конец второго периода может
быть определен сумой произведений отдельных значений цен на вероят-
ности этих значений:
E{S) = ^S.,-Prt, (18.26)
где 5, — величина цены актива /-го уровня на конец периода; Рг(. — ве-
роятность достижения ценой уровня /.
Рассмотрим расчеты цен акций и опциона на основе приведенного
выше примера.
Можем определить цены акций для каждого из рассматриваемых пе-
риодов: Sd = Sd= 50- 0,9215 = 46,075; S2d =S • d2- = 50 • 0,92152 = 42,46;
Su = Sw = 50 • 1,085 = 54,25; 5; = Su2 = 50 • l,0852 = 58,86; Sud =
= 50 • 1,085 • 0,9215 = 50.
Зная вероятности и цены акций, можно определить цены опционов.
224
ПРИМЕР. Приобретается опцион пут на 4 мес., курс акции в момент заклю-
чения контракта — 50 долл., цена исполнения — 52 долл., г = 0,12, о = 20%.
Разобьем данный период на два двухмесячных подпериода. На конец вто-
рого подпериода цена акции может иметь три значения: 52, sud, S2
(рис. 18.5). При цене акции S2U или 58,86 цена опциона на момент испол-
нения будет равняться нулю, так как опцион исполняться не будет. В Sud
цена опциона опять же на момент исполнения составит 52 - 50 = 2 долл.,
в S2 аналогичная цена опциона будет равна 52 - 42,46 = 9,54 долл.
Теперь осуществим движение в обратном направлении — к моменту за-
ключения опционного контракта. В конечном счете нам нужно найти це-
ну опциона именно на этот момент. В указанном движении мы должны
предварительно пройти через точки Su и Sd. Для этих промежуточных то-
чек расчетная цена опциона будет равняться средневзвешенной величине
из цен на момент исполнения при соответствующих ценах на основной ак-
тив, дисконтированной за один единичный отрезок.
В точке Slt цена опциона составит (0,6036 • 0 + 0,3963 • 2) • е-0’12 ’ °’167 =
= 0,78 долл.
Для точки Sd цена опциона определится следующим образом: (2 • 0,6036 +
+ 0,3963 • 9,54) е-0*12 ’0167 = 5,87 долл.
Теперь, осуществляя дальнейшее движение в рассматриваемом направле-
нии, можем аналогичным образом определить цену опциона в начале пе-
риода:
р = (0,6036 • 0,78 + 0,3963 • 5,87) е~0’12 ' 0 167 = 2,76 долл.
Рассмотрим общий случай определения премии опционов для двухпе-
риодной биномиальной модели. Предположим, что имеется опцион колл
и для всех прогнозируемых уровней цены на конец второго периода дан-
ный опцион исполняется. Его цена на начало периода:
С = {[(Su2 - X) л + (Sud - X) (1 - л)](1 + г)"'л + [(Sud - Х)л +
+ (Sd2 - X) (1 - л)](1 + гГ(1 " л)}(1 + г)"'.
Выполнив алгебраические преобразования, имеем:
С = [(Su2 - Х)л2 + 2(Sud -X) л (1 - л) +
+ (Sd2 - Л) (1 - л)2](1 + (18.27)
Многопериодная биномиальная модель. Увеличим количество временных
периодов в биномиальной модели до п. Получаем графическую фигуру,
называемую биномиальной решеткой или биномиальным деревом. Чем
меньше длительность отдельного временного периода, тем больше ячеек
содержит рассматриваемая графическая фигура (см. рис. 18.6).
Мы видим, что в полученной биномиальной решетке к каждому уров-
ню цены (за исключением находящихся в самом верхнем и нижнем по-
ложениях) ведут несколько путей. Каждый из этих путей имеет различ-
ную последовательность повышений и спадов цены, но количество таких
повышений и спадов в каждом из них одинаково, что приводит в конеч-
ном счете к одной и той же цене к концу последнего периода, т. е. по-
лучаем комбинации, называемые сочетаниями, в которых не имеет зна-
225
Sund°
Sun~W
Sun~2d2
SiP-idi
Su°dn
to 6 t2 h
Рис. 18.6
чения порядок элементов, в данном случае последовательность подъемов
и спадов цены акции в разрезе отдельных единичных периодов. Для оп-
ределения количества таких сочетаний можем использовать известную
формулу биномиального распределения:
где п — общее количество попыток; С" - количество способов достиже-
ния j успехов в п попытках; j — количество успехов.
Например, нужно найти количество вариантов получения 15 повыше-
ний цены в 20-шаговой биномиальной модели. Используем приведенную
выше формулу:
т. е. имеем 15 504 комбинаций повышения цены в 15 временных отрез-
ках при общем их количестве, равном 20; 10 повышений характеризуют-
ся 165 308 комбинациями, 5 повышений — 15 504.
При рассмотрении двухпериодной модели вероятность получения од-
ного успеха (уровень цены Sltd на рис. 18.5) мы умножали на 2, что соот-
ветствует количеству комбинаций получения одного успеха в этой моде-
ли. Если перейти к общему случаю j успехов в и-периодной модели, то
количество комбинаций такого результата равно приведенному выше би-
номиальному коэффициенту. Вероятность отдельного пути достижения j
успехов в п испытаниях равна л^! - л)"Ч где л — вероятность подъема
цены в единичном периоде, (1 — л) — вероятность спада (величина л оп-
ределяется по формуле (18.22)). Таким образом, совокупная вероятность
j увеличений цены в л-периодной биномиальной модели, т. е. вероят-
ность достижения уровня SuJdn~i, будет равна:
с; • л> • а - ny~J.
Как уже было рассмотрено для случая двухпериодной модели, цена
опциона на начало периода есть дисконтированная величина прогнозно-
226
го дохода от исполнения опциона. Там в качестве примера рассматривал-
ся опцион пут. Если перейти к опциону колл, то этот доход определит-
ся из выражения max{0; Sujdn~j — X}. Поскольку мы имеем распределе-
ние вероятностей достижения того или иного уровня цены, то ожидае-
мая величина дохода может быть найдена как средневзвешенная величи-
на. С учетом дисконтирования по ставке г стоимость опциона колл на
начало периода составит:
1 п I
1 V? я! .
с = 7ГПг Д тах|0; “Х}- (|8'29)
Данное выражение можно упростить, если принимать в расчет только
те значения цены акции, при которых опцион колл будет исполнен.
Пусть т — такое количество подъемов, при котором Sif dn~m > X. В этом
случае получим
1 п 1
1 м! ...
Раскрыв скобки, будем иметь
-TTtMI <1830>
ПРИМЕР. Определить цену опциона колл на акцию, рыночная цена кото-
рой на начало периода 60 долл., цена исполнения — 55 долл. Длительность
опционного контракта — 4 мес., шаг модели — 1 мес., г = 10%, о = 0,3.
Рассчитаем темпы роста и снижения цены и соответствующие вероятности:
и =ea'jl =1,09;
d - е~ау" - е-0'3^083 =0,92;
л = (е" - d)/(u - d)= (e0J ' 0083 - 0,92)/( 1,09 - 0,92) = 0,52;
1 - л = 1 - 0,52 = 0,48.
Как видно из рис. 18.7, на конец четвертого периода биномиальная сетка
имеет пять вершин. Значения цены акции в каждой вершине следующие:
Sidd0 = 60 • 1,094 • 0,92° = 84,7;
Sw’J1 = 60 • 1,093 • 0,92* = 71,5;
Su2d2 = 60 • 1,092 • 0,922 = 60,3;
Su'd2 = 60 • 1,09' • 0,923 = 50,9;
Sifld4 = 60 • 1,09° • 0,924 = 43.
Из приведенных данных следует, что только в верхних трех вершинах це-
на акции превышает цену исполнения. Это значит, что при уровнях цен
50,9 и 43,0 опцион не будет исполнен. Последние величины мы не будем
учитывать в дальнейших расчетах.
227
Найдем значения составляющих биномиальной модели для верхних трех
точек:
41/4’0! = 1;
4!/3!1! = 4;
4!/2!2! = 6;
л4(1 — л)° = 0,524 = 0,073;
л3( 1 - л)1 = 0,523 • 0,48 = 0,067;
л2( 1 - л)2 = 0,522 • 0,482 = 0,062;
M4d°= 1.094 = 1,41;
w3t/> = 1,093 • 0,92 =1,19;
w2</2 = 1,092 • 0,922 = 1,01.
Таким образом, цена опциона колл будет равна:
С = 60(1 + 0,1)-°-333 • (6 • 0,062 • 1,01 + 4 • 0,067 • 1,19+1 • 0,073 • 1,41) -
- 55(1 + 0.1 Г0-333 • (6 • 0,062 + 4 • 0,067 + 1 • 0,073) = 60 • 0,969 • 0,798 -
- 55 • 0,969 • 0,713 = 6,4 долл.
Формула Блэка—Шоулза. При рассмотрении предельного варианта
биномиальной модели, т. е. при стремлении количества шагов к беско-
нечности, а длительности одного единичного интервала соответственно
к нулю, формула (18.30) сводится к модели ценообразования опционов
Блэка—Шоулза. Данная модель разработана Фишером Блэком и Майро-
ном Шоулзом и была опубликована в 1973 г.1
Для понимания данной модели на интуитивном уровне рассмотрим
величину 50 - Хе~г>. Она может быть названа скорректированной внут-
ренней стоимостью опциона колл. Смысл данного показателя может
быть объяснен при предположении, что вероятность исполнения опцио-
на высока. Покупатель опциона как бы уже владеет акцией на момент
заключения контракта, но не имеет к ней доступа. Условно можно счи-
тать, что 50 — это современная стоимость цены акции на момент испол-
нения опциона. Тогда Хе~п есть современная стоимость будущих затрат
по покупке акции. Поэтому величина So — Хе~г' может быть рассмотрена
как некоторый аналог современной стоимости будущих платежей по ис-
полнению опциона. А это и есть его цена на начало периода. Но по-
скольку полной уверенности в исполнении опциона на самом деле нет,
1 Black F.. Scholes М. The Pricing of Options Corporate Liabilities// Journal of Political
Economy 81 (May—June 1973). P. 637—59.
228
d
Рис. 18.8. Кривая нормального распределения
то необходимо ввести некоторые уточняющие весовые коэффициенты
(i^ и т]2 ) для каждого элемента выражения скорректированной внутрен-
ней стоимости: 50 ц, — Хе~п т)2. Эти весовые коэффициенты должны быть
связаны с вероятностью исполнения опциона и прогнозируемым темпом
роста цены. На этом основан подход Блэка—Шоулза. Формула Блэка—
Шоулза для опциона колл имеет следующий вид:
С = 50 М</,) - Xe~rtJV(d2).
(18.31)
Указанные весовые коэффициенты здесь обозначены N(d{) и N(d2).
В формуле (18.31) N(dt) и N(d2) — вероятности того, что случайная ве-
личина примет значения меньше d} и d2 соответственно. На рис. 18.8 эта
вероятность соответствует значению площади заштрихованной части под
кривой нормального распределения. Величины N(d}) и N(d2) находятся
по таблице нормального распределения. Чем выше вероятность исполне-
ния опциона, тем больше значения dt и d2. Для их определения исполь-
зуются формулы:
dt = [HV*) + (г + о2/2)Н/ oVF, (18.32)
d2 = [InfSo/A) + (г - o2/2)t]/ ojt , (18.33)
d2 = d{ — . (18.34)
Для опциона пут:
p = Xe-"N(-d2) - So M-</,),
где 50 — текущая рыночная цена акции на начало периода; X — цена ис-
полнения; г — непрерывная безрисковая ставка. Для определения цены
опциона пут при рассчитанной по формуле (18.31) цене опциона колл
можно применить формулу паритета опционов.
Для рассмотренного выше примера по биномиальной модели рассчита-
ем цену опциона колл с помощью формулы Блэка—Шоулза. Определим:
In—^- + (г +0,5о2)Г In —+ (0,1 +0,5-0,09)0,33
d,-------------------------------------г— ------------0,78;
0^Т О,3д/о,33
229
d2 = 0,78-0,3-д/ОДЗ =0,612.
В таблице приложения 5 находим:
М</,) = 0,7823;
N(d2) = 0,7291;
С = 60 • 0,7823 - 55 • с-0,1 ’ °-33 • 0,7219 = 8,16.
Размер премии опциона пут определим двумя способами: по формуле
(18.35) и на основе формулы паритета опционов (18.7):
М“^|) = 0,2177;
N(—d2) = 0,2709;
р = 55 • е~0-‘'0 33 • 0,2709 - 60 • 0,2177 = 1,35;
р = С + Хе~гТ - 50 = 1,35.
ПРИМЕР. So = 40 долл., X = 35 долл., г = 12%, t = 4 мес., о = 0,45. Най-
ти премию опциона колл. Определим наобходимые величины:
J, = [In 1,143 + (0,12 + '/2 • 0,2025) • 0,333]/(0,45 • <333) = (0,1337 +
+ 0.0737)/0,26 = 0,798; d2 = 0,798 - 0,26 = 0,538; М^,) - 0,788; N(d2) =
- 0,7047; с = 40 • 0,788 - 33,6 • 0,7047 = 7,84.
Формула Блэка—Шоулза для активов, приносящих доход:
С = So e~4'N(d\) — Xe~nN(d2) — для опциона колл,
р = Xe~r,N(—d2) — So e~4'N(—dt) — для опциона пут,
где q — годовая ставка дохода (дивиденда).
Опционы на индекс. Опционы на индекс исполь5уются с целью стра-
хования сильно дифференцированного портфеля от риска снижения сто-
имости портфеля.
ПРИМЕР. Цена исполнения опциона колл — 3500. К моменту исполне-
ния индекс составил 3550.
Доход покупателя в результате исполнения опциона (3550 — 3500)100 =
5000 долл.
ПРИМЕР. Цена исполнения опциона пут — 3600. К моменту исполнения
индекс равен 3550.
Доход (3600 - 3550)100 = 5000 долл.
230
Определение премии опциона на индекс. Используется формула Блэка-Шо-
улза для акций, по которым выплачивается дивиденд.
ПРИМЕР. Покупается опцион колл на индекс на три месяца ценой ис-
полнения 340 и величиной индекса на момент заключения контракта 350.
Стандартное отклонение — 25%. Дивиденды будут выплачиваться по не-
которым акциям в первом месяце, по другим — во втором, по части акций
— в третьем. Ставка дивиденда для первого месяца — 2%, для второго —
2,5, для третьего — 2,2%. Безрисковая ставка — 12%. Определить стои-
мость опциона.
Решение. Сначала находим среднюю ставку дивидендов и приводим ее к
годовому измерению:
Рассчитаем d{ и d2\
!п^(0,12-0.268.0.25г-0.5)-0.25 ои,.оои
а. = —--------------г----------------------, - 0;
I 0,25-7о^5
0,25 -л/0.25
М</,) = 0,5;
d2 -О-О.25Т6Г25 =-0,125;
N(d2) = 0,1057;
С = 350 • е~п ™ 0 25 • 0,5 - 340 е"0-12 ’ °-25 • 0,1057 = 327,3 • 0,5 -
- 330 • 0,1057 = 163,65 - 34,88 = 128,8.
Стоимость опционного контракта:
128,8 • 100 = 12 880 долл.
Дельта, гамма, тета, ро и вега опционов. С целью принятия решений
по хеджированию риска рассчитываются аналитические показатели, от-
ражающие связь цены опциона и ряда влияющих на нее факторов. Сре-
ди таких факторов можно выделить цену основного актива, время до ис-
полнения, процентную ставку и стандартное отклонение. Перечислен-
ные показатели (дельта, тета, ро и вега) есть частные производные цены
опциона по соответствующим факторам.
Дельта. Дельта опциона показывает скорость изменения цены опци-
она в зависимости от изменения цены акции. Для расчета используется
следующая формула:
Дс = dC/dS = N(dJ для опциона колл;
Др = dC/dS = N(—для опциона пут.
Величина Д используется в процессе хеджирования. Например, Д =
= 0,6. Имеется три коротких опциона колл на 100 акций каждый. Для хед-
жирования данной позиции следует купить 0,6 • 300 = 180 акций. Если це-
231
на акции снизится на 1 долл., то потери от владения акциями составят
180 долл. Но цена опциона также снизится на 180 долл. На последнюю ве-
личину снизятся убытки продавца опциона на момент исполнения.
Если цена акции возрастет на 1 долл., то доход от увеличения стои-
мости акций составит 180 долл., возрастут и убытки от роста цены опци-
она на эту же величину.
Гамма характеризует скорость изменения дельты при изменении цены
основного актива ( вторая производная цены опциона по изменению це-
ны актива):
г = эд/35 = ф(J)/5O ОЛ/т ;
Л/2л
Необходимость использования гаммы связана с тем, что дельта отра-
жает изменение цены опциона при малых изменениях цены акции1. Гам-
ма позволяет более обоснованно определить цену опциона при измене-
нии цены акции:
q = С + А • (S! - 50) + 0,5Г • - 50)2,
где Cj — цена опциона при цене акции
Тета показывает скорость падения цены опциона на каждый день
приближения срока истечения контракта:
0 = (дС/дТ)/253 = (-50Ф(б/) cf/2/Т- гЛе-^У(^2))/253.
Ро характеризует изменение цены опциона при изменении процент-
ной ставки:
р =100 • dC/dr.
Вега. Вега характеризует изменение цены опциона при изменении
стандартного отклонения на один процентный пункт:
Л = dC/d<j,
Л = Ф(б/)5о.
Расчет стандартного отклонения. Пусть S, — цена актива во времен-
ной точке г, — во временной точке 1.
Темп роста цены актива подчиняется логнормальному распре-
делению. Соответственно нормально распределены величины ln(Sz/Sf_ j).
1 Дельта и гамма опциона напоминают модифицированную дюрацию и выпуклость об-
лигации в смысле использования для смягчения искажающего влияния предпосылки о ли-
нейной зависимости в первом случае цены опциона и акции, во втором — цены облигации
и процентной ставки.
232
Обозначим эту величину через у. Если данные по ценам представлены за
периоды меньше года, количество которых в году равно г) (52 недели, 253
дня), то формула для расчета стандартного отклонения имеет вид:
|У(Л - у)2 г
V п
Расчет стандартного отклонения приведен в табл. 18.1.
Таблица 18.1
Неделя S, У, У Г у (У. - У)2
0 I 100 110 и 0.09531 0,089812963 0,007109
2 105 0,954545 -0,04652 -0,052017233 0,003308
3 102 0,971429 -0,02899 -0,034484754 0,001599
4 106 1,039216 0,038466 0,032969064 0,000755
5 108 1,018868 0,018692 0,013194916 5,93Е-05
6 ПО 1,018519 0,018349 0,012851921 5,41Е-05
7 112 1,018182 0,018019 0,012521288 4,93Е-05
8 110 0,982143 -0,01802 -0,023515723 0,000842
9 108 0,981818 -0,01835 -0,018349139 0,000569
10 НО 1,018519 0,018349 0,012851921 5,41Е-05
11 108 0,981818 -0,01835 -0,023846356 0,000861
12 106 0,981481 -0,01869 -0,02418935 0,000881
13 105 0,990566 -0,00948 -0,014975961 0,000419
14 108 1,028571 0,028171 0,02267366 0,000295
Сумма Среднее и 0,076961 0,005497 0,005497217 0,016854 0,001296 0,259646
Глава 19
СВОПЫ
Своп — соглашение об обмене денежными потоками в будущем. Су-
ществуют различные виды свопов. В курсе инвестиционного анализа
рассматриваются процентные свопы и свопы на акции.
Процентные свопы. Предположим, что компания АБС владеет облига-
циями с фиксированным доходом, а компания ДЕФ — облигациями с
плавающим доходом. Компания АБС прогнозирует в будущем рост про-
центных ставок, компания ДЕФ, напротив, — их снижение. Это значит,
что первая компания (в своем прогнозе) будет получать доход ниже, чем
могла бы получить при плавающих ставках. Вторая компания также про-
гнозирует снижение доходов. Таким образом, каждая из них хотела бы
233
продать свои облигации и купить другие. Как правило, купля-продажа
активов сопровождается высокими трансакционными издержками. Ока-
зывается, гораздо дешевле совершить обмен будущими процентными
платежами. Такой обмен проводится через банк, организующий соответ-
ствующий контракт.
Рассмотрим один из вариантов процентного свопа. Предположим, что
фиксированная ставка равна 6,4%. Допустим, что проценты выплачива-
ются по полугодиям и договор свопа заключен на два года. Номинал об-
лигации — 200 тыс. руб. В качестве плавающей ставки рассмотрим став-
ку ЛИБОР.
Ставка ЛИБОР фактически равна:
1-е полугодие — 6,3%;
2-е полугодие — 6,1%;
3-е полугодие — 6,6%;
4-е полугодие — 6,7%.
Имеем следующие потоки денежных средств (см. табл. 19.1).
Таблица 19.1
Номер полугодия АБС ДЕФ
Платежи в пользу ДЕФ Платежи от ДЕФ Разность Платежи в пользу АБС Платежи от АБС Разность
1-е 12,8 12,6 -0,2 12,6 12,8 0,2
2-е 12,8 12,2 -0,6 12,2 12,8 0,6
3-е 12,8 13,2 0.4 13,2 12,8 -0,4
4-е 12,8 13,4 0,6 13,4 12,8 -0,6
Рассмотрим другой вариант процентного свопа, когда компании,
имеющие различный кредитный рейтинг, выпускают облигации. Допус-
тим, Стекольно-гвоздильная корпорация (СГК) имеет высокий рейтинг
и может выпустить облигации с фиксированной доходностью 15%, а Це-
ментно-котлетная корпорация (ЦКК) имеет низкий рейтинг, и ее обли-
гации характеризуются постоянной ставкой 18%. Разница составляет 3%,
или 300 базисных пунктов (б.п.)1.
Обе корпорации могут выпустить также облигации с плавающей став-
кой на следующих условиях:
СГК - по ставке ЛИБОР + 0,35%;
ЦКК - по ставке ЛИБОР +0,55%.
Разность 0,2%, или 20 б.п.
Видно, что разрыв в случае фиксированных ставок больше, что озна-
чает сравнительно лучшие условия у СГК на рынке облигаций с фикси-
рованным доходом, чем у ЦКК. Кроме того, СГК считает, что процент-
ные ставки будут снижаться, а у ЦКК противоположный прогноз. Сле-
1 Базисный пункт — сотая часть процента. Сто базисных пунктов соответствуют одно-
му проценту.
234
довательно, может быть организован своп. Заметим, что расхождение ме-
жду разрывами процентных ставок по фиксированным и плавающим об-
лигациям составляет 300 - 20 = 280 б.п. Данная величина может служить
источником снижения расходов по обслуживанию долга каждой компа-
нией. Разделим этот источник пополам, т. е. по 140 б.п. каждой компа-
нии. Своп может быть сформирован следующим образом.
СГК выпускает облигации с фиксированной ставкой, а ЦКК — с пла-
вающей. Далее происходит обмен процентными расходами. В результате
организации свопа происходит формирование двух синтетических обли-
гаций: у СГК — облигации с плавающим доходом, у ЦКК — облигации
с фиксированной ставкой.
При этом обе компании должны иметь возможности рассчитаться по
текущим обязательствам с держателями облигаций, т. е. каждая из ком-
паний прежде всего должна возместить другой ее расходы. Эти расходы
следующие: СГК должна по условию выплачивать ежегодно 15%, а ЦКК
— по ставке ЛИБОР + 0,55%. Но смысл свопа в данном случае — сде-
лать фактические расходы компаний меньшими, чем те, которые бы
имели место, если бы каждая компания в действительности выпустила
такие облигации, т. е. если бы ЦКК действительно разместила облига-
ции с фиксированной ставкой, то ее расходы были бы выше по сравне-
нию с затратами по такой же синтетической облигации. Аналогично для
СГК — по облигации с плавающей ставкой. За счет чего это может про-
изойти? В общем случае за счет указанной выше “экономии” в 280 б.п.,
поделенной пополам (по 140 б.п. каждой компании).
Более конкретно механизм снижения процентных затрат выглядит
следующим образом.
СГК. Данная компания хочет делать выплаты по плавающей ставке.
Эти выплаты она будет производить в пользу ЦКК. Плавающей ставкой
является ЛИБОР, т. е. СГК платит ЦКК эту ставку. Но СГК должна пла-
тить и по своим облигациям твердую ставку. Последние выплаты по ус-
ловиям свопа берет на себя ЦКК. Но совокупные выплаты СГК должны
быть на 140 б.п. меньше, чем если бы эта компания сама выпустила об-
лигации по плавающей ставке ЛИБОР + 35 б.п. Иными словами, компа-
ния заплатит ЛИБОР + 35 б.п. — 140 б.п. = ЛИБОР — 105 б.п. Кто воз-
местит разницу в 105 б.п.? Это сделает ЦКК, передав в пользу СГК
16,05% номинала облигаций, из которых СГК сделает выплаты по обслу-
живанию своих облигаций в размере 15%. Разница составит 1,05%, или
105 б.п. Таким образом, конечные расходы данной компании составят
15% + ЛИБОР - 16,05% = ЛИБОР - 1,05%.
ЦКК. Данная компания, как уже отмечалось, также должна заплатить
по твердой ставке синтетической облигации меньше на 140 б.п., чем ес-
ли бы она самостоятельно выпустила такие облигации. В итоге ЦКК за-
платит 16,05% в пользу СГК, а также держателям своих облигаций в раз-
мере ЛИБОР+0,55%. От СГК она получит ставку ЛИБОР. Итог плате-
жей будет следующим: 16,05% + (ЛИБОР+0,55%) - ЛИБОР = 16,6%.
Итак, затраты на 1,4% (140 б.п.) меньше.
235
ЛИБОР
Эмитирует облигации
с фиксированной
ставкой 15%
Эмитирует облигации
с плавающей ставкой
ЛИБОР + 0,55%
Рис. 19.1
Схематично рассматриваемый своп представлен на рис. 19.1.
Своп на акции. В свопе участвуют субъекты, один из которых готов уп-
латить другому некоторую сумму, которая связана с изменением фондо-
вого индекса, а другой — фиксированную сумму по твердой ставке. Пер-
вая сторона по сути владеет акциями, желала бы их продать и предпола-
гает снижение будущих процентных ставок. Вторая сторона владеет об-
лигациями, также хочет их продать и, напротив, ожидает роста доходно-
сти.
ПРИМЕР. Компания А владеет акциями и рассматривает вариант их про-
дажи. Компания Б имеет облигации с фиксированным доходом и также
хочет их продать. Но продажа ценных бумаг, как уже отмечалось, приве-
дет к значительным трансакционным издержкам. Поэтому заключают че-
рез своп-банк договор свопа.
Своповый контракт предусматривает следующие моменты.
Компания А по истечении каждого месяца в течение очередного квартала
выплачивает компании Б сумму по плавающей ставке в зависимости от до-
ходности, рассчитанной по индексу РТС-Интерфакс. Допустим, что до-
ходность, рассчитанная по этому индексу, составила:
1-й мес. — 4%;
2-й мес. — (-3%);
3-й мес. — 6%.
Компания Б в аналогичные периоды обязуется выплатить компании А
суммы по твердой ставке 3%.
Итоговый денежный поток представлен в табл. 19.2.
Таблица 19.2
Месяц Финансовые потоки фирмы А Финансовые потоки фирмы Б
В пользу Б От фирмы Б Разность В пользу А От фирмы А Разность
1 4 3 -1 3 4 -1
2 -3 3 6 3 -3 6
3 6 3 -з 3 6 -з
РАЗДЕЛ 6
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Глава 20
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ
1.1. Найти величину процентов и наращенную сумму, если на депо-
зит положены 500 млн руб. на 3 года по простой ставке 10% го-
довых. (/= 150 млн руб., ТУ = 650 млн руб.)
1.2. Ссуда получена 15 марта и должна быть возвращена 5 июля. Раз-
мер ссуды — 20 млн руб. Простая ставка — 15% годовых. Найти
совокупный долг (первоначальная ссуда с процентами) исходя из:
а) английской; б) французской; в) германской практик определе-
ния процентов. ( а) ГИ= 20,921 млн руб.; б) ТУ = 20,933 млн руб.;
в) ТУ = 20,917 млн руб.)
1.3. Через пять лет величина денежного вклада возросла до 500 долл.
За данный период начислены простые проценты в сумме
150 долл. Найти величину процентной ставки. (8,57.)
1.4. С целью возврата долга (с процентами) необходимо уплатить
5 тыс. долл. Деньги в долг получены под 12% (простая ставка)
годовых на 60 дней. Найти начальную сумму долга (временная
база — 360 дней. (4,902 тыс. долл.)
1.5. Вексель выдан на сумму 10 тыс. долл, и учтен в банке за 20 дней
до погашения по простой учетной ставке 20% годовых. Найти
сумму, полученную векселедержателем (временная база —
360 дней). (9,89 тыс. долл.)
1.6. Вексель на сумму 500 тыс. руб. учтен 1 марта. Срок погашения
векселя — 15 августа. Векселедержатель получил за него 480 тыс.
руб. Чему равна учетная ставка банка (простая)? (8,78%.)
1.7. На какой период должна быть выдана ссуда, чтобы долг возрос в
1,5 раза при начислении простых процентов по ставке 15% годо-
вых? (3,33 года.)
1.8. Начальная сумма долга — 200 млн руб. В погашение долга
должно быть выплачено 250 млн руб. через 80 дней. Определить
доходность данной операции для кредитора (временная база —
360 дней). (112,5%.)
237
1.9. Вклад размешен в банке на период с 20 июня по 15 сентября.
Определить количество дней для начисления процентов при:
а) германской; б) французской; в) английской практиках.
(а) 85 дней; б) 87 дней; в) 87 дней.)
1.10. На депозите размещены денежные средства в сумме 10 тыс. руб.
Первые три месяца начисляются простые проценты по ставке
24% годовых, далее наращенная сумма реинвестируется на сле-
дующие три месяца с начислением простых процентов по ставке
36%. Определить величину вклада на конец шестого месяца.
(11,554 тыс. руб.)
2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
2.1. В долг на 3 года получены 100 млн руб. по ставке сложных про-
центов 15% годовых. Определить сумму, подлежащую выплате
через 3 года. (152,09 млн руб.)
2.2. На сберегательном счете в банке лежат 200 руб. Какая сумма бу-
дет находиться на данном счете через три года, если в расчетах
используется сложная ставка 12% годовых? (281 руб.)
2.3. Для условий задачи 2.2 предположим, что в первом году дейст-
вовала ставка 12%, во втором — 14, в третьем — 15%. Какая сум-
ма будет находиться на счете через три года? (293,7 руб.)
2.4. Используя “правило-72”, определить, за какой период удвоится
первоначальная сумма при значениях процентной ставки:
а) 10%; б) 20%; в) 35%? ( а) 7,2 года; б) 3,6 года; в) 2,1 года.)
2.5. Сколько лет необходимо для увеличения начальной суммы в
3 раза, если применяется сложная ставка 10% годовых? (11,56 го-
да.)
2.6. За сколько лет первоначальная сумма увеличится в 4 раза, если
в расчетах используется сложная ставка 20% годовых? (7,6 года.)
2.7. По какой ставке сложных процентов следует разместить денеж-
ные средства на депозите, чтобы через 3 года начальная сумма
возросла в 6 раз? (81,7%.)
2.8. Через пять лет величина денежного вклада возросла до 800 долл.
За данный период начислены сложные проценты в сумме
250 долл. Найти величину процентной ставки. (7,78%.)
2.9. Какой величины достигнет сумма 400 млн руб. на депозите че-
рез 2 года, если эта сумма размешена по ставке сложных процен-
тов 15% при поквартальном начислении процентов? (537 млн
РУб.)
2.10. На первые 2 года кредитного периода установлена ставка сложных
процентов 10%, на последующие 3 года — на уровне 12%. Найти
коэффициент (множитель) наращения за весь период. (1,7.)
2.11. Чему равна эффективная ставка, если номинальная ставка соста-
вляет 20% годовых при поквартальном начислении процентов?
(21,6%.)
238
2.12. Сложная процентная ставка равна 20%. Рассчитать коэффициент
дисконтирования для пятого года. (0,402.)
2.13. Рассчитать коэффициенты дисконтирования для каждого года
пятилетнего периода при ставках дисконтирования: а) 6%;
б) 10%; в) 20%. (а) 0,943; 0,89; 0,84; 0,792; 0,747; б) 0,909; 0,826;
0,751; 0,683; 0,621; в) 0,833; 0,694; 0,579; 0,482; 0,402.)
2.14. Коэффициент дисконтирования для третьего года равен 0,658.
Найти процентную ставку. (15%.)
2.15. 20 млн руб. должны быть выплачены через 4 года. Найти совре-
менную стоимость, учитывая сложную ставку 10% годовых.
(13,66 млн руб.)
2.16. Вексель 300 тыс. долл, учитывается за 2 года до погашения по
сложной учетной ставке 10% годовых. Найти сумму, полученную
векселедержателем, и величину дисконта. (Р = 243 тыс. долл.;
D = 57 тыс. долл.)
2.17. Непрерывная процентная ставка (сила роста) 20%. Найти коэф-
фициент наращения за 3 года. (1,82.)
2.18. Непрерывная ставка дисконтирования — 20%. Определить коэф-
фициенты дисконтирования для каждого года пятилетнего пери-
ода. (0,818; 0,67; 0,549; 0,449; 0,368.)
2.19. При непрерывном начислении процентов 100 руб. за два года
возросли до 150 руб. Чему равна непрерывная ставка процентов?
(20,27%.)
2.20. Годовая дискретная ставка равна 15%. Чему равна эквивалентная
непрерывная ставка? (14%.)
2.21. Проценты начисляются на 400 млн руб. в течение 1 года по
сложной ставке 15% годовых. Найти наращенную сумму для слу-
чаев начисления процентов: а) годового; б) квартального; в) не-
прерывного. ( а) 460 млн руб.; б) 463,46 млн руб.; в) 464,73 млн
руб)
2.22. Сила роста 12%. Найти годовую эффективную ставку. (12,75%.)
2.23. Сила роста на начало периода — 10%. Ежегодно сила роста воз-
растает на три процентных пункта (дискретно). Период нараще-
ния — 3 года. Найти множитель наращения. (1,616.)
2.24. Прогнозируется среднемесячный темп инфляции 10%. Найти го-
довой темп инфляции. (213,8%.)
2.25. Годовой темп инфляции прогнозируется в размере 120%. Найти
среднеквартальный темп инфляции. (21,8%.)
2.26. Найти реальный доход вкладчика, если на депозит положено
250 млн руб. на 3 года по сложной ставке 20% годовых с ежеме-
сячным начислением процентов при квартальной инфляции, в
среднем за данный период равной 3%. (67,92 млн.руб.)
2.27. Кредитор предполагает получить от предоставления ссуды реаль-
ную доходность 8% годовых. Годовая инфляция — 10%. Найти
процентную ставку по кредиту. (18,8%.)
239
2.28. Прогнозируемый среднемесячный темп инфляции — 4%. Годо-
вая номинальная ставка — 60%, сложные проценты начисляют-
ся ежеквартально. Найти эффективную реальную ставку. (9,2%.)
2.29. Клиент банка имеет возможность разместить на депозите средст-
ва по годовой номинальной ставке 30% с начислением ежеме-
сячно сложных процентов. Он рассматривает предложение дру-
гого банка начислять проценты непрерывно. Какая непрерывная
ставка должна быть установлена, чтобы финансовые условия
для данного клиента не изменились? (29,6%.)
2.30. Чему должна быть равна годовая номинальная ставка при еже-
квартальном начислении процентов, если эффективная ставка
равна 30%? (27,1%.)
2.31. Проценты начисляются непрерывно при помощи непрерывно
изменяющейся процентной ставки. Процентная ставка на нача-
ло периода 10%, за год возрастает на 2 процентных пункта. Оп-
ределить коэффициент дисконтирования за два года. (0,787.)
2.32. Прогнозируемый среднемесячный темп инфляции — 3%. Годовая
номинальная ставка — 48%, сложные проценты начисляются по
полугодиям. Найти эффективную реальную ставку. (7,85%.)
3. КОНВЕРСИОННЫЕ ОПЕРАЦИИ
3.1. Можно ли считать равноценным два обязательства: первое — упла-
тить 200 млн руб. через 2 месяца; второе — уплатить 400 млн руб.
через 5 месяцев. Использовать в расчетах простую ставку 15% годо-
вых. (Нельзя, так как PV} = 195,12 млн. руб., PV2 = 376,5 млн руб.)
3.2. Обосновать ответ задачи 3.1 приведением суммы первого плате-
жа к моменту уплаты второго.
3.3. Какой из вариантов платежа более предпочтителен для получателя:
получение через год 5 тыс. руб. или через два года 6 тыс. руб.? Из-
держки упущенных возможностей — 15% годовых. (Второй платеж.)
3.4. Найти критический размер простой процентной ставки для ус-
ловий задачи 3.1. (1200%.)
3.5. Осуществляется объединение двух платежей — 3 и 5 млн руб. со
сроками уплаты соответственно через 100 и 130 дней — в один
со сроком уплаты через 160 дней. Найти размер консолидиро-
ванного платежа при использовании в расчетах простой ставки
12% годовых (временная база — 360 дней). (8,11 млн руб.)
3.6. Платежи 10 и 15 млн руб. со сроком уплаты соответственно че-
рез 2 и 5 лет объединяются в один со сроком уплаты через 4 го-
да. В расчетах используется сложная ставка 15%. Найти размер
консолидированного платежа. (26,27 млн руб.)
3.7. Платежи 100, 150 и 180 млн руб. с выплатами через 30, 50 и 70
дней соответственно заменяются одним платежом 450 млн руб.
Найти срок консолидированного платежа, если в расчетах ис-
пользуется простая ставка 20% (временная база — 365 дней). (144
дня.)
240
3.8. Объединяются три платежа — 3, 5 и 10 млн руб. — со сроками
уплаты через 1, 2 и 3 года — в один платеж — 16 млн руб. В рас-
четах используется сложная ставка 10% годовых. Найти срок
консолидированного платежа. (1,13 года.)
3.9. Долг разделен на две суммы — 20 и 10 млн руб., которые по на-
чальному соглашению должны быть выплачены соответственно
1 апреля и 1 сентября. Впоследствии порядок выплат был изме-
нен: 1 июня должны быть выплачены 15 млн руб., а оставшую-
ся сумму предполагалось погасить 1 декабря. Найти оставшуюся
часть долга при использовании в расчетах простой ставки 15%
годовых (временная база — 365 дней, точное число дней ссуды).
Принять за базовую дату приведения момент выплаты 10 млн
руб. (16,5 млн. руб.)
3.10. По начальному договору должна быть произведена выплата
500 млн руб. через 4 года. Эти условия изменены следующим
образом: через первые 2 года выплатить 300 млн руб., а остав-
шуюся сумму — через следующие 3 года. В расчетах использу-
ется сложная ставка 10% годовых. Найти оставшуюся сумму.
(150,7 млн руб.)
3.11. По первоначальному обязательству необходимо заплатить 20 мар-
та сумму 500 тыс. руб., а 25 августа — 300 тыс. руб. После пере-
смотра данного обязательства было решено заплатить 400 тыс.
руб. 5 мая, а остальную сумму 25 сентября. Определить величину
оставшейся выплаты, если в расчетах использовалась простая
ставка 40% годовых. Все выплаты привести к дате последнего
платежа. (450,4 тыс. руб.)
3.12. По условиям договора г-н Смоленский должен выплатить г-ну
Гусинскому 5 тыс. руб. сегодня и 3 тыс. руб. через 2 года. Г-н
Смоленский предлагает изменить условия платежа следующим
образом: вернуть 30% совокупной выплаты через один год, а ос-
тавшуюся сумму — через следующие два года. Какими должны
быть новые платежи, чтобы финансовые взаимоотношения сто-
рон не изменились при использовании в расчетах сложной став-
ки 30% годовых? (3,7 и 8,6 тыс. руб.)
3.13. Предприниматель должен выплатить своему смежнику за по-
ставку продукции 100 тыс. руб. через 3 мес., еще 200 тыс. руб.
через 5 месяцев и 150 тыс. руб. через последующие 2 мес.
Предприниматель предлагает сделать выплату одним платежом
в сумме 470 тыс. руб. К какому сроку он должен сделать эту вы-
плату, если в расчетах учитывается сложная ставка 45% годо-
вых? (6,4 мес.)
3.14. Предприятие обязалось уплатить своему поставщику за поставлен-
ные материалы 3 млн руб. через 3 мес. после поставки, 2 млн —
через 4 мес. и 3 млн — через 6 мес. Далее стороны решили объе-
динить платежи и выплатить единую сумму через 5 мес. после по-
241
ставки. Чему равна величина этого платежа при начислении про-
стых процентов по ставке 30%? (8,13 млн руб.)
3.15. В банк положены 300 тыс. руб., на которые ежемесячно начис-
ляются сложные проценты по ставке 24% годовых. Через 4 мес.
сняты 50 тыс. руб., а через 8 мес. вклад был закрыт. Какая сум-
ма была на счете в момент закрытия вклада (решить задачу при
помощи дисконтирования)? (297,4 тыс. руб.)
4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК И СРЕДНИЕ СТАВКИ
4.1. Учетная ставка — 20% годовых. Найти эффективность учетной
операции в виде простой процентной ставки наращения, если ве-
ксель учтен за год до погашения. (25%.)
4.2. Определить простую учетную ставку, эквивалентную годовой про-
стой процентной ставке 25% при сроке учета 150 дней (временная
база — 360 дней). (22,6%.)
4.3. Ссуда выдана на 2 года под простые проценты по ставке 12% го-
довых. Найти эквивалентную ставку сложных процентов. (11,4%.)
4.4. Вексель учитывается по простой учетной ставке 12% за 90 дней до
погашения. Предполагается перейти к сложной учетной ставке.
Какую сложную ставку нужно установить, чтобы финансовое по-
ложение банка не изменилось? (11,47%.)
4.5. Найти годовую ставку простых процентов, на которую можно за-
менить номинальную годовую ставку 10%, если начисление по
ней производится по полугодиям в течение 3 лет. (11,3%.)
4.6. Производится непрерывное начисление процентов в течение 3 лет
с силой роста 15%. Чему равна эквивалентная ставка сложных
процентов? (16,18%.)
4.7. Денежные средства положены на депозиты в три банка в равных
размерах по ставкам простых процентов 10, 15 и 18% соответст-
венно на 3, 6 и 9 мес. Какой размер ставки приведет к аналогич-
ному наращению исходной суммы, если ее полностью разместить
в один из банков на 18 мес.? (5,23%.)
4.8. Для первых 3 лет ссуды применяется сложная ставка 10%, для
следующих двух лет — 16%. Найти среднюю ставку за весь пери-
од ссуды. (12,4%.)
4.9. Первые два года начисляются сложные проценты по ставке 20%,
вторые три года — 30%, следующий год — 40%. Найти среднего-
довую процентную ставку.( 28,15%.)
5. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ И ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ
5.1. С целью финансирования некоторых предприятий в будущем со-
здается фонд. Средства в фонд поступают в течение 6 лет в кон-
це каждого года в размере 15 млн руб. На указанные платежи на-
числяются проценты по сложной ставке 12% годовых. Определить
величину фонда по истечении указанного периода. (121,7 млн
руб.)
242
5.2. Предположим, что условия задачи 5.1 изменены следующим об-
разом: проценты начисляются ежемесячно. Каков будет размер
фонда? (123,8 млн руб.)
5.3. По условиям задачи 5.1 взносы в фонд производятся по полуго-
диям. Каков будет размер фонда? (125,3 млн руб.)
5.4. Предприниматель образовал фонд с целью покупки через пять лет
участка земли стоимостью 1 млн руб. Формирование фонда осу-
ществляется посредством полугодовых отчислений по 100 тыс.
руб. на банковский счет с ежемесячным начислением сложных
процентов по ставке 40% годовых. Сможет ли при таких услови-
ях предприниматель осуществить намеченную покупку? (Сможет,
так как расчетная величина фонда составит 2,83 млн руб.)
5.5. Затраты на строительство магазина составили 600 тыс. руб. Пред-
полагается, что в течение пяти лет будет иметь место квартальная
прибыль в сумме 50 тыс. руб. Найти доходность инвестиций.
(Примерно 24%.)
5.6. Предполагается, что доход от эксплуатации птицефабрики соста-
вит в первый год 2 млн руб. и будет впоследствии увеличиваться
на 10% ежегодно в течение 10 лет. Если предположить, что годо-
вые доходы будут полностью реинвестироваться под 20%, какими
должны быть первоначальные инвестиции при условии, что они
должны окупиться к концу десятого года за счет полученных до-
ходов и их реинвестирования? (11,62 млн руб.)
5.7. Какую денежную сумму нужно положить в банк, чтобы в течение
последующих 5 лет снимать со счета 600 руб. ежегодно и полно-
стью исчерпать сумму к концу этого срока? Сложные проценты
начисляются по непрерывной ставке 30%. (1332,3 руб.)
5.8. Предприятие формирует погасительный фонд на основе ежеквар-
тального отчисления денежных сумм в размере 100 тыс. руб. на
счет в банке, на которые ежемесячно начисляются сложные про-
центы по ставке 36%. Чему будет равна величина фонда через три
года? (2047,1 тыс. руб.)
5.9. Инвестиции составили 5 млн руб. и предполагают получение еже-
месячного дохода в сумме 200 тыс. руб. в течение 4 лет. Найти
годовую доходность инвестиций. (Примерно 44,2%.)
6. ДОХОДНОСТЬ КРАТКОСРОЧНЫХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ИНСТРУМЕНТОВ
6.1. Депозитный сертификат сроком обращения 120 дней куплен че-
рез 30 дней после выпуска за 500 тыс. руб., затем продан за
50 дней до погашения за 550 тыс. руб. Определить годовую доход-
ность данной операции. (91,3%, простая ставка.)
6.2. Сберегательный сертификат куплен по цене 125 тыс. руб. за
50 дней до погашения. Номинал сертификата равен 110 тыс. руб.,
объявленная процентная ставка — 60%, срок обращения —
120 дней. Определить годовую доходность. (39,1%, простая ставка.)
243
6.3. Депозитный сертификат номиналом 200 тыс. руб. выкупается вы-
пустившим его банком через 100 дней после эмиссии с годовой
процентной ставкой 40%. Инвестор приобрел данный сертификат
через 60 дней после выпуска по цене 210 тыс. руб. Какова доход-
ность для инвестора продажи сертификата банку на таких услови-
ях? (51,8%.)
6.4. Краткосрочный финансовый инструмент куплен на срок 120 дней
по цене 800 тыс. руб. и продан по истечении данного периода за
950 тыс. руб. Определить доходность за период владения (холдин-
говый период) и годовую доходность в предположении, что инве-
стор реинвестирует полученные средства. (18,8%; 68,6%.)
6.5. За какую цену должен быть продан депозитный сертификат, что-
бы при цене покупки 200 руб. и периоде владения 180 дней была
обеспечена годовая доходность 40% годовых? (239,45 руб.)
6.6. Краткосрочный финансовый инструмент куплен за 1000 руб. Че-
рез сколько дней он должен быть продан по цене 1100 руб., что-
бы годовая доходность составила 30%? (121,7 дня.)
6.7. Чему должна быть равна доходность за период владения, чтобы
при 160 днях владения краткосрочным финансовым инструмен-
том годовая доходность была бы равна 40%? (17,53%.)
7. АНАЛИЗ ОБЛИГАЦИЙ
7.1. Номинал облигации — 400 тыс. руб., купонная ставка — 12%, ку-
понный доход выплачивается по полугодиям. Найти абсолютную
величину этого дохода. (24 тыс. руб.)
7.2. Для условий задачи 7.1 предположим, что облигация продается по
курсу 90. Чему равна текущая доходность? (13,3%.)
7.3. Облигация куплена за 1000 руб., ее номинал — 1200 руб., срок до
погашения — 4 года, купонная ставка — 15%, купонный доход
выплачивается один раз в год. Найти доходность к погашению
методом линейной интерполяции. (21,7%.)
7.4. Облигация номиналом 300 тыс. руб. куплена за 250 тыс. руб. Ку-
понная ставка данной облигации — 20% годовых, купонный до-
ход выплачивается по полугодиям. Предполагается, что данная
облигация будет отозвана через три года по цене 320 тыс. руб.
Найти реализованную доходность (доходность к отзыву). (30,4%.)
7.5. Облигация куплена по рыночной цене 80 руб. за 4 года до пога-
шения. Номинал облигации — 100 руб., ставка купонного дохо-
да — 12%, купонный доход выплачивается по полугодиям. Най-
ти полную доходность, дюрацию, модифицированную дюрацию,
выпуклость. ( 19,4%, 3,1 года; 2,9 года; 11.)
7.6. Облигация куплена по рыночной цене 600 руб. за 4 года до по-
гашения. Номинал облигации — 700 руб., ставка купонного до-
хода — 20%, купонный доход выплачивается по полугодиям.
Прогнозируется рост процентной ставки на 2 процентных пунк-
та. Найти прогнозный уровень цены. (570,9 руб.)
244
8. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ОБЛИГАЦИЙ И АКЦИЙ
8.1. Определить инвестиционную стоимость облигаций номиналом
1000 руб. и требуемой доходностью 12%:
Облигации Годовой купонный доход (в % к номиналу) Срок до погашения (годы)
А 8 1
Б 8 2
В 8 3
Г 12 1
Д 12 2
Е 12 3
Ж 14 1
3 14 2
И 14 3
(А: 964,286 руб.; Б: 932,398 руб.; В: 903,927 руб.; Г: 1000 руб.;
Д: 1000 руб.; Е: 1000 руб.; Ж: 1017,857 руб.; 3: 1033,801 руб.;
И: 1048,036 руб.)
8.2. Найти полную и чистую цены и накопленные проценты облига-
ции, номинал которой 500 тыс. руб., годовая купонная ставка —
14%, купонный доход выплачивается по полугодиям. Облигация
куплена 20 июня 1997 г. и должна быть погашена 1 сентября
2003 г. Требуемая доходность — 30% годовых, временная база —
30/360. (294,96 тыс. руб.; 281,15 тыс. руб.; 13,81 тыс. руб.)
8.3. Компания предполагает выплатить по итогам года дивиденды
50 руб. на акцию. Цена акции на конец года прогнозируется в раз-
мере 500 руб. Требуемая доходность — 15%. Найти инвестиционную
(теоретическую) стоимость акции на начало периода. (478,26 руб.)
9. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕАЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ
9.1. Денежный поток инвестиционного проекта имеет вид:
1-й год 2-й год
-200 220
Инвестиционные затраты взяты с минусом, доход — с плюсом.
Если предположить, что инвестиции осуществляются за счет кре-
дитных ресурсов, по какой максимальной ставке процентов мож-
но привлечь эти ресурсы? (10%.)
9.2. Компании необходимо вложить средства в покупку одного из двух
станков. Более дорогой станок требует инвестиций на 5 тыс. руб.
больше, но обеспечивает ежегодную экономию в 2 тыс. руб. в те-
чение 5 лет. Стоимость капитала — 15%. Приобретение какого
станка является более эффективным? (Приобретение более доро-
гого станка более эффективно, так как NPV дополнительного де-
нежного потока — 1,704 тыс. руб.)
245
9.3. В результате приобретения нового оборудования компания будет
иметь следующие денежные поступления (на конец года, тыс.
руб.):
1-й год 2-й год 3-й год
1000 2000 5000
Какую максимальную цену компания может заплатить за обору-
дование, покупаемое в начале первого года при стоимости капи-
тала 30%? (4228,6 тыс. руб.)
9.4. Прогнозируется, что действующий завод будет обеспечивать сле-
дующие денежные потоки (млн руб.):
1-й год 2-й год З-й год 4-й год
100 80 50 0
Модернизация завода с его остановкой потребует инвестиций в
первый год в сумме 200 млн руб., которые обеспечат ежегодный
доход в последующие три года в сумме 300 млн руб. Построить
абсолютный и относительный денежные потоки варианта модер-
низации. (-200; 300; 300; 300 и -300; 220; 250; 300.)
9.5. Имеются два альтернативных проекта, А и Б, со следующими де-
нежными потоками (млн руб.):
1-й год 2-й год З-й год
А -200 500 800
Б -400 600 1000
Ставка дисконтирования — 20%.
Показать, что чистая современная стоимость относительного де-
нежного потока равна разности чистых современных стоимостей
указанных проектов. (Чистая современная стоимость: 18,6 млн руб.)
9.6. Доход от инвестиций 100 тыс. руб., получаемый через год, равен
120 тыс. руб. Альтернативные издержки равны 30%. Не рассчиты-
вая непосредственно величину чистой современной стоимости,
определить, отрицательной или положительной будет ее величи-
на. Ответ обоснуйте. (Отрицательной.)
9.7. Инвестиции в строительство здания в размере 200 тыс. руб. долж-
ны обеспечить через один год доход в 300 тыс. руб. Вложение
средств в этот объект заставляет отказаться от приобретения ак-
ций, позволяющих получить доход 15% годовых. Чему равна чис-
тая современная стоимость инвестиций в строительство здания?
(60,9 тыс. руб.)
9.8. Осуществление проекта требует в первый год инвестиций в раз-
мере 300 тыс. руб., во второй год — 100 тыс. руб. В третьем году
246
доходы составят 100 тыс. руб., в четвертом — 200 тыс. руб., в пя-
том — 300 тыс. руб., в шестом году — 800 тыс. руб. Ставка дис-
контирования — 10%. Найти дисконтированный срок окупаемо-
сти с начала периода инвестирования. (4,8 года.)
9.9. Предприятие планирует инвестировать 5 млн руб. в модерниза-
цию участка с целью организации производства нового продукта,
который будет изготавливаться в течение 5 лет. Для осуществле-
ния инвестиций привлекается кредит по ставке 25% годовых.
Объем производства будет зависеть от спроса и конкурентных по-
зиций предприятия. Маркетинговые службы считают, что с веро-
ятностью 50% можно предположить, что объем производства но-
вого продукта составит 15 тыс. шт.
Таблица 20.1
Объем производства Цена единицы продукции Прямые матери- альные затраты Прямые затраты на заработную плату Прочие прямые затраты
Количество единиц продукта Вероят- ность Руб. Условная вероят- ность Руб. Условная вероят- ность Руб. Условная вероят- ность Руб. Условная вероят- ность
10 000 0,3 1200 0,3 200 0,2 300 0,2 100 0,2
220 0,7 340 0,7 120 0,7
240 0,1 380 0,1 140 0,1
1000 0,5 180 0,2 280 0,2 80 0,2
200 0,7 300 0,7 100 0,7
220 0,1 320 0,1 120 0,1
800 0,2 160 0,2 260 0,2 70 0,2
180 0,7 280 0,7 80 0,7
200 0,1 300 0,1 90 0,1
15 000 0,5 1000 0,4 150 0,2 240 0,2 65 0,2
155 0,7 260 0,7 70 0,7
160 0,1 280 0,1 75 0,1
800 0,4 130 0,2 250 0,2 60 0,2
140 0,7 260 0,7 55 0,7
150 0,1 270 0,1 50 0,1
600 0,2 120 0,2 240 0,2 55 0,2
110 0,7 250 0,7 57 0,7
100 0,1 260 0,1 59 0,1
20 000 0,2 800 0,5 НО 0,2 235 0,2 53 0,2
100 0,7 240 0,7 55 0,7
90 0,1 245 0,1 57 0,1
700 0,3 100 0,2 230 0,2 51 0,2
90 0,7 235 0,7 53 0,7
80 0,1 240 0,1 55 0,1
600 0,2 90 0,2 225 0,2 50 0,2
80 0,7 230 0,7 51 0,7
70 0,1 235 0,1 52 0,1
247
Таблица 20.2
Объем производства Общепроизводственные расходы Административно-коммерческие расходы
Количество единиц продукта Вероят- ность Руб. Условная вероятность Руб. Условная вероятность
10 000 0,3 1 000 000 0,2 800 000 о,1
1 200 000 0,6 900 000 0,8
1 400 000 0,2 1 000 000 0,1
15 000 0,5 1 100 000 0,2 900 000 0,1
1 300 000 0,6 1 000 000 0,8
1 500 000 0,2 1 100 000 0,1
20 000 0,2 1 300 000 0,2 1 000 000 0,1
1 400 000 0,6 1 100 000 0,8
1 600 000 0,2 1 200 000 0,1
При неблагоприятных условиях этот объем может оказаться
равным 10 тыс. шт., вероятность достижения такого объема вы-
пуска равна 30%. Напротив, при очень благоприятной конъюн-
ктуре объем производства с вероятностью 20% может составить
20 тыс. шт.
Объем производства продукции среди прочих факторов ока-
жет влияние на цену продукции, а также на величину прямых
материальных затрат и прямых затрат на заработную плату. Эти
величины также носят вероятностный характер. Возможные зна-
чения данных показателей, а также их условные вероятности
приведены в табл. 20.1.
Условно-постоянные расходы фирма рассчитывает в трех раз-
резах: общепроизводственные накладные расходы; администра-
тивно-коммерческие и амортизация. Эти расходы (кроме амор-
тизации) также носят вероятностный характер (см. табл. 20.2).
Условная вероятность определенного размера этих затрат связа-
на с вероятностью того или иного уровня объема производства.
Годовой размер амортизации определяется исходя из срока жиз-
ни проекта и размера инвестиций.
Предположим, что другие затраты и налоги (кроме налога на
прибыль) на предприятии отсутствуют. Ставка налога на при-
быль — 24%. В следующие четыре года предполагается, что объ-
емы производства будут расти на 20% ежегодно, цена продукта
будет снижаться на 3% в год, прямые затраты на единицу про-
дукции будут снижаться на 5% в год. Найти ожидаемые доходы,
величину чистой современной стоимости и внутреннюю норму
доходности. (NPV = 7,006 млн. руб.; IRR = 69%.)
9.10. Для осуществления инвестиционного проекта компания форми-
рует дополнительный капитал из следующих источников: а) об-
лигационный заем (5-летние облигации, номинал — 10 млн руб.,
купонная ставка — 10%, цена размещения — 9 млн руб.); б) при-
248
вилегированные акции (номинал — 1000 руб., фиксированный
дивиденд — 50 руб., 5000 акций); в) нераспределенная прибыль
(15 млн руб.).
Предприятие предполагает выплатить дивиденд по обыкновен-
ным акциям (которые уже находятся в обращении) 200 руб. в
расчете на одну акцию и в дальнейшем увеличивать его на 5% в
год. Ставка налога на прибыль — 30%. Рыночная цена одной
обыкновенной акции — 2000 руб. Найти ставку дисконтирова-
ния. (11,05%.)
9.11. Показать, что данный денежный поток не имеет внутренней
нормы доходности.
0-й год 1-й год 2-й год
250 -750 625
Найти внутреннюю норму доходности скорректированного де-
нежного потока (0-й год привести к первому, ставка дисконти-
рования — 15%). (35,1%.)
9.12. Найти внутреннюю норму доходности и модифицированную
внутреннюю норму доходности, если денежный поток инвести-
ционного проекта имеет следующий вид (ставка дисконтирова-
ния —10%):
0-й год 1-й год 2-й год З-й год 4-й год
-1000 -500 400 3000 1000
(JRR = 47,1%; M1RR = 34,7%.)
9.13. Показать, что приведенный ниже денежный поток имеет две вну-
тренние нормы доходности. Найти внутренние нормы доходности
и модифицированную внутреннюю норму доходности при ставке
дисконтирования 20%. (lRRi = 25%, IRR2 = 400%, MIRR = 18,5%)
0-й год 1-й год 2-й год
-432 2700 -2700
9.14. Для реализации инвестиционного проекта необходимы покупка
земельного участка, постройка здания, приобретение и монтаж
оборудования, денежные потоки по которым представлены сле-
дующим образом (тыс. руб.):
0-й год 1-й год 2-й год
Стоимость земли -2000 0 0
Здание 0 -2000 -1000
Оборудование 0 0 -5000
249
Оборотный капитал формируется в размере 15% прироста вы-
ручки от реализации следующего года. Срок эксплуатации зда-
ния — 20 лет, оборудования — 10 лет. Амортизация начисляется
равномерно.
С третьего года начинается производство продукции, которое
продолжается — 10 лет. Предполагается производить продукцию
в следующих объемах (тыс. ед.):
Годы
3-й 4-й 5-й 6-й 7-й 8-й 9-й 10-й 11-й 12-й
Объем производства 100 120 150 200 200 300 250 200 150 100
Цена единицы продукции в третьем году — 2 тыс. руб. Пере-
менные затраты составляют 50% выручки от реализации. Услов-
но-постоянные затраты в третьем году равны 50 млн руб. Сред-
негодовой темп инфляции — 15%. Цена единицы продукции и
условно-постоянные расходы будут изменяться в будущем в со-
ответствии с темпом инфляции. Ставка налога на прибыль —
30%, цена капитала — 20%.
В конце срока действия проекта (в конце 12-го года) землю,
здания и оборудование предполагается продать по рыночным це-
нам. Полученный доход включается в денежный поток как чис-
тая ликвидационная стоимость. Чистая ликвидационная стои-
мость образуется как разница между ценой продажи и налогом
на прибыль (убыток) от реализации. Налогом облагается при-
быль от реализации как разница между рыночной ценой и оста-
точной стоимостью (первоначальная стоимость минус износ).
Земля — неамортизируемое имущество.
Найти чистую современную стоимость и внутреннюю норму
доходности. (NPV= 361,63 млн руб., IRR = 104%.)
9.15. Компания имеет следующую целевую структуру капитала: 25% —
заемные средства, 15% — привилегированные акции, 60% — соб-
ственные средства. Цена заемного капитала — 25%, привилеги-
рованных акций — 12%, собственного капитала — 20%. Ставка
налога на прибыль — 40%. Затраты на размещение новых акций
составляют 10% стоимости выпуска. Дополнительно нужно при-
влечь 1 млн руб. Нераспределенная прибыль составляет 300 тыс.
руб. Амортизация — 200 тыс. руб. Только 125 тыс. руб. можно
получить по ставке 25%, свыше этой суммы цена заемного ка-
питала составит 30%. Сколько будет стоить каждый рубль сверх
700 тыс. руб.? (19,6.)*
1 Учесть, что проценты за кредит и купонные платежи уменьшают налогооблагаемую
прибыль; цена источника финансирования “амортизация” равна средневзвешенной стои-
мости капитала до привлечения внешних источников финансирования (эмиссии акций).
250
10. опционы
10.1. Цена исполнения европейского опциона колл — 100 тыс. руб.,
опционная премия — 3 тыс. руб. Построить графики зависимо-
сти результата данной финансовой операции от рыночной це-
ны акции для покупателя и продавца опциона.
10.2. Цена исполнения европейского опциона пут — 129 тыс. руб.
Опционная премия — 4 тыс. руб. Построить графики зависи-
мости результата данной финансовой операции от цены акции
для покупателя и продавца опциона.
10.3. Страйк-цена европейского опциона колл —20 тыс. руб., премия
по опциону — 3 тыс. руб. Рыночная цена акции на момент ис-
полнения опциона — 18 тыс. руб. Найти доход покупателя оп-
циона. (—3 тыс. руб.)
10.4. Страйк-цена опциона колл — 25 тыс. руб., премия по опцио
ну — 5 тыс. руб. Найти цену акции, соответствующую точке
безубыточности данного опциона. (30 тыс. руб.)
10.5. Страйк-цена опциона пут — 16 тыс. руб., премия по опциону
— 2 тыс. руб. Найти цену, соответствующую точке безубыточ-
ности данного опциона. (14 тыс. руб.)
10.6. Инвестор использует стратегию покрытого опциона колл. Акция
куплена за 60 долл., страйк-цена — 65 долл. Премия по опцио-
ну — 5 долл. Определить рыночную цену (точку безубыточно-
сти), при которой инвестор получит нулевую прибыль. Чему бу-
дет равна прибыль инвестора при рыночной цене 70 долл.? Изо-
бразить графически синтетический опцион. (55 долл.; 10 долл.)
10.7. Инвестор осуществляет короткую продажу акции по цене 40
долл. Чтобы застраховаться от будущего роста цен, он покупает
опцион колл с ценой исполнения 45 долл, и уплачивает премию
2 долл. Каковыми могут быть его максимальные потери в случае
роста цен на данные акции? (7 долл.)
10.8. С целью защиты от снижения цен на купленную акцию инве-
стор покупает опцион пут. Цена покупки акции — 50 долл., це-
на исполнения — 52 долл., премия — 3 долл. Какой величине
будут равны его максимальные потери при снижении цен на
данные акции? (1 долл.)
10.9. В длинном стрэддле цена исполнения — 60 долл. Премия по
опциону пут — 4 долл., по опциону колл — 6 долл. Найти точ-
ки безубыточности данного стрэддла. (50 долл.; 70 долл.)
10.10. Инвестор использует стратегию длинного стрэнгла. Цена ис-
полнения опциона пут — 30 долл., опциона колл — 35 дол.,
премии соответственно 2 и 3 долл. Определить финансовый ре-
зультат при рыночной цене от 30 до 35 долл, и величины точек
безубыточности. (5 долл.; 25 долл.; 40 долл.)
10.11. Сформирован длинный стрэп. Цена исполнения опционов пут
и колл по 30 долл, каждый, опционные премии также одинако-
вы и равны 3 долл. Найти точки безубыточности. (21 долл.;
34 долл.; 5 долл.)
10.12. Цена исполнения опциона колл — 40 долл., опциона пут —
36 долл., опционные премии — 2 и 3 долл, соответственно. На
251
основе этих опционов сформирован короткий стрип. Опреде-
лить финансовый результат на отрезке от 36 до 40 долл, и точ-
ки безубыточности. (8 долл.; 32 долл.; 48 долл.)
10.13. Имеются опционы на один и тот же актив со следующими це-
нами исполнения: длинный колл с ценами 30 и 37 долл., корот-
кий колл с ценой 35 долл. Сформировать из данных опционов
“бычий” и “медвежий” спрэды и построить графики платежей
(без учета премии).
10.14. Имеются опционы пут и колл на акцию с ценами исполнения
соответственно 30 и 40 долл. Сформировать обратные “бычий”
и “медвежий” спрэды и построить графики платежей (без уче-
та премии).
10.15. Спот-цена акции — 60 долл., цена исполнения опциона колл —
61 долл., срок действия контракта — 3 мес., непрерывная без-
рисковая ставка: а) 8%; б) 14%. Найти границы премии опцио-
на колл. ( а) 0,21 долл, и 60 долл.; б) 1,1 долл, и 60 долл.)
10.16. Спот-цена акции — 50 долл., цена исполнения опциона пут —
55 долл., срок контракта — 6 мес., безрисковая непрерывная
ставка — 8%. Найти границы премии опциона пут. (2,84 долл,
и 52,84 долл.)
10.17. Спот-цена акции — 43 долл., цена исполнения опционов пут и
колл — 45 долл., непрерывная безрисковая процентная ставка —
6%, срок действия контракта — 6 мес., премия опциона колл —
3 долл. Найти премию опциона пут. (3,67 долл.)
10.18. Текущая стоимость акции — 50 долл., цена исполнения опцио-
на колл — 55 долл., срок контракта — 1 год. Через год цена мо-
жет возрасти на 20% или уменьшиться на 20%. На основе по-
строения безрискового портфеля определить коэффициент хед-
жирования. (4 долл.)
10.19. На основе нейтральной к риску оценки определить вероятности
повышения и понижения цены акции через: а) один месяц;
б) 3 месяца, если безрисковая доходность равна 8%, стандарт-
ное отклонение 25%. (а) 0,53; б) 0,47.)
10.20. Для двухпериодной биномиальной модели определить варианты
цены акции на конец периода опционного контракта, если це-
на акции на момент заключения контракта равна 30 долл., без-
рисковая ставка — 12%, стандартное отклонение — 20%.
(31,02 долл.; 30 долл.; 29,02 долл.)
10.21. Цена акции на момент заключения контракта равна 50 долл.,
безрисковая ставка — 10%, стандартное отклонение — 30%. Срок
действия опциона колл — 4 мес., цена исполнения — 48 долл.
Найти цену опциона колл на начало периода на основе четырех-
периодной биномиальной модели. (5,45 долл.)
10.22. Для условий предыдущей задачи найти цену опциона пут на на-
чало периода. (8,802 долл.)
252
10.23. Цена акции на начало периода — 40 долл., цена исполнения —
35 долл., безрисковая ставка — 12%, срок опционного контрак-
та — 4 мес., стандартное отклонение — 0,45. Найти премию оп-
циона колл, используя модель Блэка—Шоулза. (7,84 долл.)
11. ТЕХНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
11.1. По данным следующей таблицы построить линейный график и
определить характер первичного тренда и место возникновения
вторичного тренда.
Период Цена закрытия, руб. Период Цена закрытия, руб. Период Цена закрытия, руб.
1 20 6 28 11 35
2 24 7 27 12 34
3 25 8 26 13 32
4 23 9 30 14 36
5 26 10 32 15 38
11.2. Построить график отрезков (бар) по данным о динамике цен на
акции компании “КВАЗАР”.
Период Наивысшая цена Низшая цена Цена открытия Цена закрытия
1 40 35 36 38
2 41 37 38 40
3 41 36 40 39
4 39 35 36 38
5 40 36 38 37
11.3. Построить график “крестиков-ноликов” по данным о динамике
цен закрытия.
Период Цена закрытия Период Цена закрытия
1 20 6 19
2 21 7 18
3 22 8 20
4 23 9 23
5 20 10 25
11.4. Определить тип тренда: с 1-го по 5-й день; с 6-го по 10-й день;
с 11-го по 15-й день.
День Цена закрытия День Цена закрытия День Цена закрытия
1 20 6 24 11 24
2 22 7 25 12 22
3 23 8 24 13 20
4 24 9 23 14 18
5 25 10 25 15 16
253
11.5. Построить график “японских свечей” по следующим данным:
День Наивысшая цена Наименьшая цена Цена открытия Цена закрытия
1 23 19 20 22
2 24 20 23 21
3 25 18 21 23
4 23 15 22 20
5 22 15 18 19
11.6. Построить линии поддержки и сопротивления, используя следу-
ющие данные о ценах закрытия акций компании “Шульц и сы-
новья”.
Период Цена Период Цена Период Цена
1 20 9 26 17 24
2 22 10 24 18 20
3 25 11 22 19 23
4 21 12 23 20 22
5 23 13 20 21 21
6 24 14 24 22 24
7 25 15 23 23 20
8 20 16 22
11.7. Построить графическую фигуру, определить ее название и сде-
лать предположение о дальнейшей динамике цен.
День Цена закрытия День Цена закрытия
1 20 6 25
2 25 7 18
3 22 8 22
4 27 9 18
5 22
11.8. Рассчитать простую скользящую среднюю по 8 точкам, постро-
ить график, найти точки разворота тренда.
День Цена закрытия День Цена закрытия День Цена закрытия
1 50 9 53 17 46
2 52 10 52 18 46
3 51 И 50 19 45
4 54 12 51 20 44
5 55 13 48 21 40
6 55 14 48 22 42
7 53 15 47 23 43
8 54 16 49 24 45
254
11.9. По данным задания 11.8 построить взвешенную скользящую
среднюю. Для расчета весов использовать номер временной
точки в интервале сглаживания. Построить график, найти точ-
ки разворота тренда.
11.10. По данным задания 11.8 построить экспоненциальную среднюю
и ее график. Весовой коэффициент взять равным 0,7.
11.11. По данным задания 11.8 построить графики моментов, относи-
тельных моментов, скорости изменения.
11.12. По данным задания 11.8 определить значение и построить гра-
фики индекса относительной силы и интерпретировать его.
12. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
12.1. В чем различие и взаимосвязь финансовой и кредитно-денежной
политик?
12.2. Инструменты финансовой политики (выбрать правильный от-
вет):
а) таргетирование и нормы обязательных резервов;
б) операции центрального банка на открытом рынке;
в) налоги, займы, государственные расходы, трансферты;
г) а+б.
12.3. Центральный банк осуществляет продажу ценных бумаг на от-
крытом рынке. Как это повлияет на предложение денег и номи-
нальную ставку процента? Изобразите графически точки равно-
весия на денежном рынке до и после продажи ценных бумаг (для
политики постоянства предложения денежной массы).
12.4. Предположим, что структура денежной массы в экономической
системе в базовом периоде имеет вид (без учета агрегата более
низкого уровня): МО — 25%, Ml — 64%, М2 — 5%. Агрегат М3
(с учетом всех предыдущих агрегатов) — 200 млрд руб. В плано-
вом периоде средства на счетах предприятий должны возрасти на
10 млрд руб., объем депозитных сертификатов в обращении — на
3 млрд руб. Найти размеры полных агрегатов денежной массы в
плановом периоде.
12.5. Каких изменений в валютном курсе, уровнях инфляции и про-
центных ставок следует ожидать инвестору, если в данном пери-
оде текущий счет платежного баланса является отрицательной
величиной при существенном снижении золотовалютных ре-
зервов?
12.6. Как влияет снижение курса национальной валюты на эффектив-
ность импорта, экспорта и конкурентоспособность националь-
ных товаров?
12.7. Какое влияние и почему оказывает рост дефицита федерального
бюджета на изменение процентной ставки?
255
12.8. Почему чрезмерные заимствования федерального правительст-
ва на внутреннем рынке делают непривлекательными инвести-
ции в реальный сектор экономики?
12.9. Какое влияние окажет денежная эмиссия на изменение ВВП в
случае недогрузки производственных мощностей в обрабатыва-
ющей промышленности?
12.10. К каким изменениям в величине текущего счета платежного ба-
ланса в следующем периоде может привести резкий рост (в не-
сколько раз) портфельных иностранных инвестиций в данном
периоде?
13. ПОРТФЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
13.1. Какие инвестиционные портфели являются наиболее предпоч-
тительными:
а) А: Б: г = 20%, г = 30%, о = 10%; о = 10%;
б) В: г = 10%, о = 5%;
Г: г= 10%, о = 8%;
в) Д: г= 15%, о = 6%;
Е: г = 20%, о = 8%.
13.2. Инвестор составил перечень портфелей ценных бумаг, которые
характеризуются определенными уровнями доходности, риска
(среднеквадратичного отклонения) и полезности (измеряемой
по 100-балльной шкале):
Портфели Доходность Риск Полезность
А 8 0 20
В 10 5 20
С 12 10 20
D 16 15 20
Е 18 20 20
F 12 0 40
G 14 5 40
Н 16 10 40
I 20 15 40
К 22 20 40
L 16 0 60
М 18 5 60
20 10 60
О 24 15 60
Р 26 20 60
Построить кривые безразличия.
256
13.3. Инвестор обладает портфелем акций, который характеризуется
следующими показателями:
Акции Доля в портфеле, % Ожидаемая доходность, %
1 20 10
2 50 20
3 30 40
Найти ожидаемую доходность портфеля. (24%.)
13.4. Имеется следующий состав портфеля акций:
Акции Количество Рыночная цена одной акции на момент формирования портфеля, руб. Ожидаемая рыночная цена одной акции на конец периода, руб.
1 10 500 480
2 30 200 250
3 80 100 90
Найти ожидаемую доходность портфеля. (2,63%.)
13.5. Инвестиционный аналитик оценил распределение вероятностей
доходности акций компании “КОРН” следующим образом:
Доходность Вероятность
-5 0,1
0 0,2
5 0,3
10 0,3
15 0,1
Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение доход-
ности. (5,5%; 5,68%.)
14. АНАЛИЗ ФИНАНСОВОЙ ОТЧЕТНОСТИ
14.1. Совокупные активы предприятия — 180 млн руб., внеоборотные
активы — 100 млн руб., убытки — 0, запасы — 20 млн руб., те-
кущие обязательства — 55 млн руб. Определить коэффициенты
текущей и быстрой ликвидности. (1,45 и 1,09.)
14.2. Определить уровни производственного, финансового и комби-
нированного рычагов, если цена единицы продукции — 60 руб.,
переменные расходы на единицу продукции — 25 руб., базовый
объем продукции — 140 тыс. шт., сумма выплачиваемых процен-
тов — 400 тыс. руб., условно-постоянные расходы — 200 тыс.
руб. (1,04; 1,09; 1,14.)
14.3. Условно-постоянные расходы — 80 млн руб., переменные расхо-
ды на единицу продукции — 70 тыс. руб., цена единицы продук-
ции — 150 тыс. руб. Определить объем продукции, обеспечива-
ющий брутто-прибыль в размере 45 млн руб. (1563 ед.)
257
14.4. Рентабельность собственных активов по чистой прибыли со-
ставила 10%. Рентабельность продаж по чистой прибыли — 5%.
Сколько оборотов совершают собственные средства данного
предприятия? (2.)
14.5. Активы предприятия составили 500 млн руб. Коэффициент
оборачиваемости активов — 1,8. Рентабельность продаж по ва-
ловой (маржинальной) прибыли — 25%. Найти затратоемкость
продукции (по переменным затратам). (75%.)
14.6. Коэффициент финансового рычага равен 1,7. Собственные
средства — 700 млн руб. Внеоборотные активы — 800 млн руб.,
убытки — 0. Годовой объем реализации продукции — 3400 млн
руб. Найти длительность оборота текущих (оборотных) активов.
(115,4 дня.) (Длительность года 360 дней.)
14.7. Коэффициент текущей ликвидности равен 1,5. Величина обо-
ротных активов — 300 млн руб. Собственный капитал —
500 млн руб. Найти коэффициент маневренности собственно-
го капитала. (0,2.)
14.8. Рассчитать цену капитала предприятия, если доля обыкновен-
ных акций составила 30%, привилегированных — 20, долго-
срочных заемных средств — 15, краткосрочных заемных
средств — 25, нераспределенной прибыли — 10, дивиденд по
обыкновенным акциям — 16, по привилегированным — 12%;
проценты по долговым обязательствам: долгосрочным — 10%,
краткосрочным — 20%. (13,7%.)
14.9. Собственный капитал предприятия — 200 млн руб., заемный
капитал — 400 млн руб. Ставка по кредиту — 10%, брутто-при-
быль (до уплаты процентов и налогов) — 150 млн руб., ставка
налога на прибыль — 30%. Чему равен эффект финансового
рычага? (0,21.)
14.10. Рентабельность производства (по операционной прибыли) рав-
на 30%. Затраты на производство составили 800 млн руб. Коэф-
фициент оборачиваемости текущих активов равен 2. Кратко-
срочные обязательства равны 150 млн руб. Найти величину соб-
ственных оборотных средств. (370 млн руб.)
14.11. Активы предприятия составили 1 млн руб. Коэффициент обо-
рачиваемости активов равен 3, затратоемкость продукции —
0,7, коэффициент оборачиваемости запасов — 7, доля запасов
в оборотных активах — 60%. Коэффициент текущей ликвидно-
сти — 2. Найти величины собственных оборотных средств и
краткосрочных пассивов. ( 250 и 250 тыс. руб.) •
14.12. Производительность труда на одного работающего (по выручке
от реализации) равна 200 тыс. руб., численность работающих
100 человек. Рентабельность производства — 20%, рентабель-
ность активов — 40%. Найти коэффициент оборачиваемости
активов. (2,42.)
258
14.13. Коэффициент финансового рычага равен 2, заемные средства
200 тыс. руб., коэффициент оборачиваемости активов — 3, ко-
эффициент оборачиваемости оборотных активов — 9, коэффи-
циент текущей ликвидности — 2, убытки — 0. Найти величины
долгосрочных пассивов и оборотных активов. (150 и 100 тыс.
руб.)
14.14. Коэффициент оборачиваемости оборотных активов равен 3, ко-
эффициент финансового рычага — 2, выручка от реализации
продукции — 3 млн руб., внеоборотные активы — 2 млн руб.,
убытки — 0, доля краткосрочных пассивов в заемных средствах
— 40%. Найти размеры собственных оборотных средств и дол-
госрочных пассивов. (0,2 и 1,2 млн руб.)
14.15. Рентабельность продаж по чистой прибыли — 0,2, коэффици-
ент финансовой зависимости — 4, коэффициент оборачивае-
мости активов — 2. Найти рентабельность собственного капи-
тала. (1,6.)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как видно из предыдущего изложения, инвестиции являются много-
плановой категорией. Они составляют основу большинства экономиче-
ских решений, поскольку, как правило, реализация этих решений требу-
ет вложения средств.
Методологический и методический аппараты инвестирования приме-
нительно к развитой рыночной экономике разработаны достаточно ос-
новательно. Но экономика России все еще находится в стадии перехода
к рынку, и, вероятно, преодоление этой стадии займет немалый проме-
жуток времени. Только одно введение института частной собственности
и некоторых других рыночных атрибутов не позволяет говорить даже о
каком-то среднем или близком к нему уровне развития рынка в том
смысле, в котором он понимается за рубежом.
Одним из существенных факторов, тормозящих развитие рассматри-
ваемых процессов, является неразвитость механизмов финансового рын-
ка и главных его секторов: денежного рынка и рынка капиталов. Несо-
вершенство финансовых и кредитно-денежных механизмов приводит к
тому, что предприятия не имеют возможности привлекать финансовые
ресурсы для реального инвестирования. В большинстве случаев россий-
ские компании не могут воспользоваться финансово-инвестиционными
инструментами, доступными зарубежным хозяйственным субъектам.
Неразвитость финансового рынка не позволяет обоснованно опреде-
лить многие показатели, необходимые для принятия инвестиционных
решений. Это касается, например, p-коэффициентов, ставок дисконти-
рования и др.
На наш взгляд основными направлениями развития методологии ин-
вестиционного анализа в России должны быть адаптация известных за-
падных подходов к российским реалиям, создание соответствующей нор-
мативной базы, исследование инвестиционной практики. В части норма-
тивной базы это касается разработки справочников 0-коэффициентов по
компаниям, акции которых имеют рыночные котировки, нормативов
финансовых коэффициентов в отраслевом разрезе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аныиин В.М. Основы инвестиционного анализа. М., 1998.
2. Аныиин В.М. Инновационная стратегия фирмы. М., 1995.
3. Аныиин В.М. Маркетинг нововведений. М., 1994.
4. Беренс В., Хавранек П.М. Руководство по подготовке технико-экономических иссле-
дований. М., 1995.
5. Бланк И.А. Инвестиционный менеджмент. Киев, 1995.
6. Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов. М., 1997.
7. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. М., 1997.
8. Бригхэм Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент. Полный курс: В 2 т. СПб., 1997.
9. Бромвич М. Анализ экономической эффективности капиталовложений. М., 1996.
К). Буренин А.Н. Рынки производных финансовых инструментов. М., 1996.
11. Валдайцев С.В. Оценка бизнеса и инновации. М., 1997.
12. Ван Хорн Дж. К. Основы управления финансами. М., 1996.
13. Гитман Л.Дж., Джонк М.Д. Основы инвестирования. М., 1997.
14. Как рассчитать эффективность инвестиционного проекта: Расчет с комментариями.
М.. 1996.
15. Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. М., 1998.
16. Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг. М., 1998.
17. Мертенс А. Инвестиции: курс лекций по современной финансовой теории. Киев,
1997.
18. Найман Э.Л. Малая энциклопедия трейдера. М., 1997.
19. Норкот Д. Принятие инвестиционных решений. М., 1997.
20. ОБрайен Дж.. Шривастава С. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами.
М.. 1995.
21. Розенберг Д.М. Инвестиции: Терминологический словарь. М., 1997.
22. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М., 1999.
23. Финансовый анализ деятельности фирмы. М., 1995.
24. Хеннигер Э.. Крюгер Т.М. Руководство по изучению учебника “Основы инвестирова-
ния" Л.Дж. Гитмана, М.Д. Джонка. М.. 1997.
25. Чесноков А.С. Инвестиционная стратегия и финансовые игры. М., 1994.
26. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М., 1995.
27. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бэйли Д.В. Инвестиции. М., 1997.
28. Эрлих А. Технический анализ финансовых и товарных рынков. М., 1996.
29. The Handbook of Fixed Income Securities/F.J Fabozzi., ed. N.Y.: McGraw-Hill, 1997.
30. Trading for a Living: Psychology, Trading Tactics, Money Management. Wiley, 1992.
31. Simpson T.M., Pirenian Z.M., Crenshaw B.N. Mathematics of Finance. N.Y.: Prentice-Hall,
1936.
32. Pollard A.H. An Introduction to the Mathematics of Finance. Sydney: Pergamon Press,
1997.
33. Cissel R., Cissel H., Flaspohler D.C. Mathematics of Finance. Dallas, 1978.
34. Bodie Z.. Kane A., Marcus A.J. Essentials of Investments. Boston: Inwin, 1992.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Множители наращения (сложные проценты) (1 + Г)”
Периоды Ставки процентов
> 1 2 1 3 1 4
1 1,01 1,02 1,03 1,04
2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864
4 1,04060401 1,08243216 1,12550881 1,16985856
5 1,051010050 1,104080803 1,159274074 1,216652902
6 1,061520151 1,126162419 1,194052297 1,265319018
7 1,072135352 1,143685668 1,229873865 1,315931779
8 1,082856706 1,171659381 1,266770081 1,368569050
9 1,093685273 1,195092569 1,304773184 1,423311812
10 1,104622125 1.218994420 1,343916379 1,480244285
11 1,115668347 1,243374308 1,384233871 1,539454056
12 1,126825030 1,268241795 1,425760887 1,601032219
13 1,138093280 1,293606630 1,468533713 1,665073507
14 1,149474213 1,319478763 1,512589725 1,731676448
15 1,160968955 1,345868338 1,557967417 1,800943506
16 1,172578645 1,372785705 1,604706439 1,872981246
17 1,184304431 1,400241419 1,652847632 1,947900496
18 1,196147476 1,428246248 1,702433061 2,025816515
19 1,208108950 1,456811173 1,753506053 2,106849176
20 1,220190040 1,485947396 1,806111235 2,191123143
21 1,232391940 1,515666344 1,860294572 2,278768069
22 1,244715860 1,545979671 1,916103409 2,369918792
23 1,257163018 1,576899264 1,973586511 2,464715543
24 1,269734649 1,608437249 2,032794106 2,563304165
25 1,282431995 1,640605994 2,093777930 2,665836331
26 1,295256315 1,673418114 2,156591268 2,772469785
27 1,308208878 1,706886477 2,221289006 2,883368576
28 1,321290967 1,741024206 2,287927676 2,998703319
29 1,334503877 1,775844690 2,356565506 3,118651452
30 1,347848915 1,811361584 2,427262471 3,243397510
31 1,361327404 1,847588816 2,500080345 3,373133410
32 1,374940679 1,884540592 2,575082756 3,508058747
33 1,388690085 1,922231404 2,652335238 3,648381097
34 1,402576986 1,960676032 2,731905296 3,794316341
35 1,416602756 1,999889553 2,813862454 3,946088994
36 1,430768784 2,039887344 2,898278328 4,103932554
37 1,445076471 2,080685091 2,985226678 4,268089856
38 1,459527236 2,122298792 3,074783478 4,438813450
39 1,474122509 2,164744768 3,167026983 4,616365988
40 1,488863734 2,208039664 3,262037792 4,801020628
41 1,503752371 2,252200457 3,359898926 4,993061453
42 1,518789895 2,297244466 3,460695894 5,192783911
43 1,533977794 2,343189355 3,564516770 5,400495268
44 1,549317572 2,390053142 3,671452273 5,616515078
45 1,564810747 2,437854205 3,781595842 5,841175681
46 1,580458855 2,486611289 3,895043717 6,074822709
47 1,596263443 2,536343515 4,011895028 6,317815617
48 1,612226078 2,587070385 4,132251879 6,570528242
49 1,628348338 2,638811793 4,256219436 6,833349371
50 1,644631822 2,691588029 4,383906019 7,106683346
60 1,816696699 3,281030788 5,891603104 10,51962741
70 2,006763368 3,999558223 7,917821912 15,57161835
80 . 2,216715217 4,875439156 10,64089056 23,04979907
90 2,448632675 5,943133126 14,30046711 34,11933334
100 2,704813829 7,244646118 19,21863198 50,50494818
262
Продолжение приложения 1
Периоды Ставки процентов
5 6 . 1 1 1 8
1 1,05 1,06 1,07 1,08
2 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664
3 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712
4 1,21550625 1,26247696 1,31079601 1,36048896
5 1,276281563 1,338225578 1,402551731 1,469328077
6 1,340095641 1,418519112 1,500730352 1,586874323
7 1,407100423 1,503630259 1,605781476 1,713824269
8 1,477455444 1,593848075 1,718186180 1,850930210
9 1,551328216 1,689478959 1,838459212 1,999004627
10 1,628894627 1,790847697 1,967151357 2,158924997
11 1,710339358 1,898298558 2,104851952 2,331638997
12 1,795856326 2,012196472 2,252191589 2,518170117
13 1.885649142 2,132928260 2,409845000 2,719623726
14 1,979931599 2,260903956 2,578534150 2,937193624
15 2,078928179 2,396558193 2,759031541 3,172169114
16 2,182874588 2,540351685 2,952163749 3,425942643
17 2,292018318 2,692772786 3,158815211 3,700018055
18 2,406619234 2,854339153 3,379932276 3,996019499
19 2,526950195 3,025599502 3,616527535 4,315701059
20 2,653297705 3,207135472 3,869684462 4,660957144
21 2,785962590 3,399563601 4,140562375 5,033833715
22 2,925260720 3,603537417 4,430401741 5,436540413
23 3,071523756 3,819749662 4,740529863 5,871463646
24 3,225099944 4,048934641 5,072366953 6,341180737
25 3,386354941 4,291870720 5,427432640 6,848475196
26 3,555672688 4,549382963 5,807352925 7,396353212
27 3,733456322 4,822345941 6,213867630 7,988061469
28 3,920129138 5,111686697 6,648838364 8,627106386
29 4,116135595 5,418387899 7,114257049 9,317274897
30 4,321942375 5,743491173 7,612255043 10,06265689
31 4,538039494 6,088100643 8,145112896 10,86766944
32 4,764941469 6,453386682 8,715270798 11,73708300
33 5,003188542 6,840589883 9,325339754 12,67604964
34 5,253347969 7,251025276 9,978113537 13,69013361
35 5,516015368 7,686086792 10,67658148 14,78534429
36 5,791816136 8,147252000 11,42394219 15,96817184
37 6,081406943 8,636087120 12,22361814 17,24562558
38 6,385477290 9,154252347 13,07927141 18,62527563
39 6,704751154 9,703507488 13,99482041 20,11529768
40 7,039988712 10,28571794 14,97445784 21,72452150
41 7,391988148 10,90286101 16,02266989 23,46248322
42 7,761587555 11,55703267 17,14425678 25,33948187
43 8,149666933 12,25045463 18,34435475 27,36664042
44 8,557150280 12,98548191 19,62845959 29,55597166
45 8,985007793 13,76461083 21,00245176 31,92044939
46 9,434258183 14,59048748 22,47262338 34,47408534
47 9,905971092 15,46591673 24,04570702 37,23201217
48 10,40126965 16,39387173 25,72890651 40,21057314
49 10,92133313 17,37750403 27,52992997 43,42741899
50 11,46739979 18,42015427 29,45702506 46,90161251
60 18,67918589 32,98769085 57,94642683 101,2570637
70 30,42642554 59,07593018 113,9893922 218,6064059
80 49,56144107 105,7959935 224,2343876 471,9548343
90 80,73036505 189,4645112 441,1029799 1018,915089
100 131,5012578 339,3020835 867,7163256 2199,761256
263
Окончание приложения 1
Периоды Ставки процентов
10 1 •2 1 •5 1 20
1 1,1 М2 1.15 1,2
2 1,21 1,2544 1,3225 1,44
3 1.331 1,404928 1,520875 1,728
4 1,4641 1,57351936 1,74900625 2,0736
5 1,61051 1,762341683 2,011357188 2,48832
6 1,771561 1,973822685 2,313060766 2,985984
7 1,9487171 2,210681407 2,660019880 3,5831808
8 2,14358881 2,475963176 3,059022863 4,29981696
9 2,357947691 2,773078757 3,517876292 5,159780352
10 2.593742460 3,105848208 4,045557736 6,191736422
11 2,853116706 3,478549993 4,652391396 7,430083707
12 3,138428377 3,895975993 5,350250105 8,916100448
13 3,452271214 4,363493112 6,152787621 10,69932054
14 3,797498336 4,887112285 7,075705764 12,83918465
15 4.177248169 5,473565759 8,137061629 15,40702157
16 4,594972986 6,130393650 9,357620874 18,48842589
17 5,054470285 6,866040888 10,76126400 22,18611107
18 5,559917313 7,689965795 12,37545361 26,62333328
19 6.115909045 8.612761690 14,23177165 31,94799994
20 6.727499949 9,646293093 16,36653739 38,33759992
21 7.400249944 10,80384826 18.82151800 46,00511991
22 8.140274939 12,10031006 21,64474570 55,20614389
23 8.954302433 13,55234726 24,89145756 66,24737267
24 9,849732676 15,17862893 28,62517619 79,49684720
25 10,83470594 17,00006441 32,91895262 95,39621664
26 11,91817654 19.04007214 37,85679551 114,4754600
27 13.10999419 21,32488079 43,53531484 137,3705520
28 14.42099361 23.88386649 50,06561207 164,8446624
29 15.86309297 26,74993047 57,57545388 197,8135948
30 17.44940227 29,95992212 66,21177196 237,3763138
31 19,19434250 33,55511278 76,14353775 284,8515766
32 21.11377675 37,58172631 87.56506841 341,8218919
33 23,22515442 42,09153347 100.6998287 410,1862702
34 25,54766986 47,14251748 115,8048030 492,2235243
35 28.10243685 52,79961958 133,1755234 590,6682292
36 30.91268053 59,13557393 153,1518519 708,8018750
37 34.00394859 66,23184280 176,1246297 850,5622500
38 37,40434344 74.17966394 202,5433242 1020,674700
39 41,14477779 83.08122361 232,9248228 1224,809640
40 45,25925557 93,05097044 267,8635462 1469,771568
41 49.78518112 104,2170869 308,0430782 1763,725882
42 54,76369924 116,7231373 354,2495399 2116,471058
43 60.24006916 130,7299138 407,3869709 2539,765269
44 66,26407608 146,4175035 468,4950165 3047,718323
45 72.89048369 163.9876039 538,7692690 3657,261988
46 80.17953205 183,6661163 619,5846593 4388,714386
47 88.19748526 205,7060503 712.5223582 5266,457263
48 97.01723378 230,3907763 819,4007120 6319,748715
49 106.7189572 258.0376695 942,3108188 7583,698458
50 117,3908529 289,0021898 1083.657442 9100,438150
60 304.4816395 897.5969335 4383,998746 56347,51435
70 789.7469568 2787.799828 17735,72004 348888,9569
80 2048.400215 8658,483100 71750,87940 2160228,462
90 5313,022612 26891,93422 290272,3252 13375565,25
100 13780.61234 83522,26573 1174313,451 82817974,52
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Коэффициенты дисконтирования (1 + i)~n
Периоды Ставки процентов
1 2 1 3 1 4
1 0,99009901 0,980392157 0,970873786 0,961538462
2 0,980296049 0,961168781 0,942595909 0,924556213
3 0,970590148 0,942322335 0,915141659 0,888996359
4 0,960980345 0,923845426 0,888487048 0,854804191
5 0,951465688 0,905730810 0,862608784 0,821927107
6 0,942045235 0,887971382 0,837484257 0,790314526
7 0,932718055 0,870560179 0,813091511 0,759917813
8 0,923483223 0,853490371 0,789409234 0,730690205
9 0,914339824 0,836755266 0,766416732 0,702586736
10 0,905286955 0,820348300 0,744093915 0,675564169
11 0,896323718 0,804263039 0,722421277 0,649580932
12 0,887449225 0,788493176 0,701379880 0,624597050
13 0,878662599 0,773032525 0,680951340 0,600574086
14 0,869962970 0,757875025 0,661117806 0,577475083
15 0,861349475 0,743014730 0,641861947 0,555264503
16 0,852821262 0,728445814 0,623166939 0,533908176
17 0,844377487 0,714162563 0,605016446 0,513373246
18 0,836017314 0,700159375 0,587394608 0,493628121
19 0,827739915 0,686430760 0,570286027 0,474642424
20 0,819544470 0,672971333 0,553675754 0,456386946
21 0,811430169 0,659775817 0,537549276 0,438833602
22 0,803396207 0,646839036 0,521892501 0,421955387
23 0,795441789 0,634155918 0,506691748 0,405726333
24 0,787566127 0.621721488 0,491933736 0,390121474
25 0,779768443 0,609530871 0,477605569 0,375116802
26 0,772047963 0,597579285 0,463694727 0,360689233
27 0,764403924 0,585862044 0,450189056 0,346816570
28 0,756835568 0,574374553 0,437076753 0,333477471
29 0,749342147 0,563112307 0,424346362 0,320651415
30 0,741922918 0,552070889 0,411986760 0,308318668
31 0,734577146 0,541245970 0,399987145 0,296460258
32 0,727304105 0,530633304 0,388337034 0,285057940
33 0,720103075 0,520228729 0,377026247 0,274094173
34 0,712973341 0,510028166 0,366044900 0,263552090
35 0,705914199 0,500027613 0,355383398 0,253415471
36 0,698924950 0,490223150 0,345032425 0,243668722
37 0,692004901 0,480610932 0,334982937 0,234296848
38 0.685153367 0,471187188 0,325226152 0,225285431
39 0.678369670 0,461948224 0,315753546 0,216620606
40 0,671653139 0,452890415 0,306556841 0,208289045
41 0.665003108 0,444010211 0,297628001 0,200277928
42 0,658418919 0,435304128 0,288959224 0,192574930
43 0,651899919 0,426768753 0.280542936 0,185168202
44 0,645445465 0,418400739 0,272371783 0,178046348
45 0,639054916 0,410196803 0,264438624 0,171198412
46 0,632727639 0,402153728 0,256736528 0,164613858
47 0,626463009 0,394268361 0,249258765 0,158282555
48 0,620260405 0,386537609 0,241998801 0,152194765
49 0,614119213 0,378958440 0,234950292 0,146341120
50 0.608038825 0,371527882 0,228107080 0,140712615
60 0.550449616 0,304782267 0,169733090 0,095060401
70 0,498314857 0,250027614 0,126297359 0,064219401
80 0.451117939 0,205109728 0.093977097 0,043384326
90 0,408391185 0,168261417 0,069927786 0,029308896
100 0.369711212 0,138032967 0,052032840 0,019800040
265
Продолжение приложения 2
Периоды Ставки процентов
5 6 1 7 1 8
1 0,952380952 0,943396226 0,934579439 0,925925926
2 0,907029479 0,889996440 0,873438728 0,857338820
3 0,863837599 0,839619283 0,816297877 0,793832241
4 0,822702475 0,792093663 0,762895212 0,735029853
5 0,783526167 0,747258173 0,712986180 0,680583197
6 0,746215397 0,704960540 0,666342224 0,630169627
7 0,710681330 0,665057114 0,622749742 0,583490395
8 0,676839362 0,627412371 0,582009105 0,540268885
9 0,644608916 0,591898464 0,543933743 0,500248967
10 0,613913254 0,558394777 0,508349292 0,463193488
11 0,584679289 0,526787525 0,475092796 0,428882859
12 0,556837418 0,496969364 0,444011959 0,397113759
13 0,530321351 0,468839022 0,414964448 0,367697925
14 0,505067953 0,442300964 0,387817241 0,340461041
15 0,481017098 0,417265061 0,362446020 0,315241705
16 0,458111522 0,393646284 0,338734598 0,291890468
17 0,436296688 0,371364419 0,316574391 0,270268951
18 0,415520655 0,350343791 0,295863916 0,250249029
19 0,395733957 0,330513011 0,276508333 0,231712064
20 0,376889483 0,311804727 0,258419003 0,214548207
21 0,358942365 0,294155403 0,241513087 0,198655748
22 0,341849871 0,277505097 0,225713165 0,183940507
23 0,325571306 0,261797261 0,210946883 0,170315284
24 0,310067910 0,246978548 0,197146620 0,157699337
25 0,295302772 0,232998631 0,184249178 0,146017905
26 0,281240735 0,219810029 0,172195493 0,135201764
27 0,267848319 0,207367952 0,160930367 0,125186818
28 0.255093637 0,195630143 0,150402212 0,115913721
29 0,242946321 0,184556739 0,140562815 0,107327519
30 0,231377449 0,174110131 0,131367117 0,099377333
31 0,220359475 0,164254841 0,122773007 0,092016049
32 0,209866167 0,154957397 0,114741128 0,085200045
33 0,199872540 0,146186223 0,107234699 0,078888931
34 0,190354800 0,137911531 0,100219345 0,073045306
35 0,181290285 0,130105218 0,093662939 0,067634543
36 0,172657415 0,122740772 0,087535457 0,062624577
37 0,164435633 0.115793181 0,081808838 0,057985719
38 0,156605365 0,109238850 0,076456858 0,053690481
39 0,149147966 0,103055519 0,071455008 0,049713408
40 0,142045682 0.097222188 0,066780381 0,046030933
41 0,135281602 0,091719045 0,062411571 0,042621235
42 0,128839621 0,086527401 0,058328571 0,039464106
43 0,122704401 0,081629624 0,054512683 0,036540839
44 0,116861334 0,077009079 0,050946433 0,033834110
45 0,111296509 0,072650074 0,047613489 0,031327880
46 0,105996675 0,068537806 0,044498588 0,029007296
47 0,100949214 0,064658308 0,041587465 0,026858608
48 0,096142109 0,060998403 0,038866790 0,024869081
49 0,091563913 0,057545664 0,036324103 0,023026927
50 0,087203727 0,054288362 0,033947759 0,021321229
60 0,053535524 0,030314338 0,017257320 0,009875854
70 0,032866168 0,016927368 0,008772746 0,004574431
80 0,020176976 0,009452154 0,004459619 0,002118847
90 0,012386913 0,005278033 0,002267044 0,000981436
100 0,007604490 0,002947226 0,001152450 0,000454595
266
Окончание приложения 2
Периоды Ставки процентов
10 •2 | 15 1 20
1 0,909090909 0,892857143 0,869565217 0,833333333
2 0,826446281 0,797193878 0,756143667 0,694444444
3 0,751314801 0,711780248 0,657516232 0,578703704
4 0,683013455 0,635518078 0,571753246 0,482253086
5 0,620921323 0,567426856 0,497176735 0,401877572
6 0,564473930 0,506631121 0,432327596 0,334897977
7 0,513158118 0,452349215 0,375937040 0,279081647
8 0,466507380 0,403883228 0,326901774 0,232568039
9 0,424097618 0,360610025 0,284262412 0,193806700
10 0,385543289 0,321973237 0,247184706 0,161505583
11 0,350493900 0,287476104 0,214943223 0,134587986
12 0,318630818 0,256675093 0,186907150 0,112156655
13 0,289664380 0,229174190 0,162527957 0,093463879
14 0,263331254 0,204619813 0,141328658 0,077886566
15 0,239392049 0,182696261 0,122894485 0,064905472
16 0,217629136 0,163121662 0,106864770 0,054087893
17 0,197844669 0,145644341 0,092925887 0,045073244
18 0.179858790 0,130039590 0,080805119 0,037561037
19 0,163507991 0,116106777 0,070265321 0,031300864
20 0,148643628 0,103666765 0,061100279 0,026084053
21 0,135130571 0,092559612 0,053130677 0,021736711
22 0,122845974 0,082642510 0,046200589 0,018113926
23 0,111678158 0,073787956 0,040174425 0,015094938
24 0,101525598 0,065882103 0,034934283 0,012579115
25 0,092295998 0,058823307 0,030377637 0,010482596
26 0,083905453 0,052520809 0,026415337 0,008735497
27 0,076277684 0,046893580 0,022969858 0,007279581
28 0.069343350 0,041869268 0,019973790 0,006066317
29 0,063039409 0,037383275 0,017368513 0,005055264
30 0,057308553 0,033377924 0,015103055 0,004212720
31 0,052098685 0,029801718 0,013133091 0,003510600
32 0,047362441 0,026608677 0,011420079 0,002925500
33 0,043056764 0,023757747 0,009930504 0,002437917
34 0,039142513 0,021212274 0,008635220 0,002031597
35 0.035584103 0,018939530 0,007508887 0,001692998
36 0,032349184 0,016910295 0,006529467 0,001410832
37 0,029408349 0,015098478 0,005677798 0,001175693
38 0,026734863 0,013480784 0,004937215 0,000979744
39 0,024304421 0,012036414 0,004293231 0,000816453
40 0,022094928 0,010746798 0,003733244 0,000680378
41 0,020086298 0,009595356 0,003246299 0,000566982
42 0,018260271 0,008567282 0,002822869 0,000472485
43 0,016600247 0,007649359 0,002454669 0,000393737
44 0,015091133 0,006829785 0,002134494 0,000328114
45 0.013719212 0,006098022 0,001856082 0,000273429
46 0,012472011 0,005444662 0,001613984 0,000227857
47 0,011338192 0,004861306 0,001403465 0,000189881
48 0,010307447 0,004340452 0,001220404 0,000158234
49 0,009370406 0,003875403 0,001061221 0,000131862
50 0,008518551 0,003460181 0,000922801 0,000109885
60 0,003284270 0,001114086 0,000228102 1J7470E-05
70 0,001266228 0,000358706 5,63834Е-05 2,86624Е-06
80 0,000488186 0,000115494 1,39371Е-05 4,62914Е-07
90 0,000188217 3,71859Е-05 3,44504Е-06 7,47632Е-08
100 7,25657Е-05 U9729E-05 8,51561Е-07 1,20747Е-08
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Коэффициенты наращения годовой ренты
Периоды Ставки процентов
1 1 2 1 3 1 4
1 1 1 1 1
2 2,01 2,02 2,03 2,04
3 3,0301 3,0604 3,0909 3,1216
4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464
5 5,10100501 5,20404016 5,30913581 5,41632256
6 6,15201506 6,308120963 6,468409884 6,632975462
7 7,213535211 7,434283383 7,662462181 7,898294481
8 8,285670563 8,582969050 8,892336046 9,214226260
9 9.368527268 9.754628431 10,15910613 10,58279531
10 10,46221254 10,94972100 11,46387931 12,00610712
11 11,56683467 12,16871542 12,80779569 13,48635141
12 12,68250301 13,41208973 14,19202956 15,02580546
13 13,80932804 14,68033152 15,61779045 16,62683768
14 14,94742132 15,97393815 17,08632416 18,29191119
15 16,09689554 17,29341692 18,59891389 20,02358764
16 17,25786449 18,63928526 20,15688130 21,82453114
17 18,43044314 20,01207096 21,76158774 23,69751239
18 19,61474757 21,41231238 23,41443538 25,64541289
19 20,81089504 22,84055863 25,11686844 27,67122940
20 22,01900400 24,29736980 26,87037449 29,77807858
21 23,23919404 25,78331720 28,67648572 31,96920172
22 24,47158598 27,29898354 30,53678030 34,24796979
23 25,71630184 28,84496321 32,45288370 36,61788858
24 26,97346485 30,42186247 34,42647022 39,08260412
25 28,24319950 32,03029972 36,45926432 41,64590829
26 29,52563150 33,67090572 38,55304225 44,31174462
27 30.82088781 35,34432383 40,70963352 47,08421440
28 32.12909669 37,05121031 42,93092253 49,96758298
29 33,45038766 38,79223452 45,21885020 52,96628630
30 34.78489153 40,56807921 47,57541571 56,08493775
31 36,13274045 42,37944079 50,00267818 59,32833526
32 37.49406785 44,22702961 52,50275852 62,70146867
33 38,86900853 46,11157020 55,07784128 66,20952742
34 40.25769862 48,03380160 57,73017652 69,85790852
35 41,66027560 49.99447763 60,46208181 73,65222486
36 43,07687836 51,99436719 63,27594427 77,59831385
37 44,50764714 54.03425453 66,17422260 81,70224640
38 45,95272361 56,11493962 69,15944927 85,97033626
39 47,41225085 58,23723841 72,23423275 90,40914971
40 48,88637336 60,40198318 75,40125973 95,02551570
41 50.37523709 62,61002284 78,66329753 99,82653633
42 51,87898946 64,86222330 82,02319645 104,8195978
43 53,39777936 67,15946777 85,48389235 110,0123817
44 54,93175715 69,50265712 89,04840912 115,4128770
45 56,48107472 71,89271027 92,71986139 121,0293920
46 58.04588547 74,33056447 96,50145723 126,8705677
47 59,62634433 76,81717576 100,3965009 132,9453904
48 61.22260777 79,35351928 104,4083960 139,2632060
49 62,83483385 81,94058966 108,5406479 145,8337343
50 64,46318218 84,57940145 112,7968673 152,6670837
60 81.66966986 114,0515394 163,0534368 237,9906852
70 100,6763368 149,9779111 230,5940637 364,2904588
80 121.6715217 193,7719578 321,3630185 551,2449767
90 144,8632675 247,1566563 443,3489037 827,9833335
100 170,4813829 312,2323059 607,2877327 1237,623705
268
Продолжение приложения 3
Периоды Ставки процентов
5 1 6 1 1 1 8
1 1 1 1 1
2 2,05 2,06 2,07 2,08
3 3,1525 3,1836 3,2149 3,2464
4 4.310125 4,374616 4,439943 4,506112
5 5,52563125 5,63709296 5,75073901 5,86660096
6 6,801912813 6,975318538 7,153290741 7,335929037
7 8,142008453 8,393837650 8,654021093 8,922803360
8 9,549108876 9.897467909 10,25980257 10,63662763
9 11,02656432 11,49131598 11,97798875 12,48755784
10 12,57789254 13,18079494 13,81644796 14,48656247
И 14,20678716 14,97164264 15,78359932 16,64548746
12 15,91712652 16,86994120 17,88845127 18,97712646
13 17,71298285 18,88213767 20,14064286 21,49529658
14 19.59863199 21,01506593 22,55048786 24,21492030
15 21,57856359 23,27596989 25,12902201 27,15211393
16 23,65749177 25,67252808 27,88805355 30,32428304
17 25,84036636 28,21287976 30,84021730 33,75022569
18 28.13238467 30,90565255 33,99903251 37,45024374
19 30,53900391 33,75999170 37,37896479 41,44626324
20 33,06595410 36,78559120 40,99549232 45,76196430
21 35,71925181 39,99272668 44,86517678 50,42292144
22 38,50521440 43,39229028 49,00573916 55,45675516
23 41,43047512 46,99582769 53,43614090 60,89329557
24 44,50199887 50,81557736 58,17667076 66,76475922
25 47,72709882 54,86451200 63,24903772 73,10593995
26 51,11345376 59,15638272 68,67647036 79,95441515
27 54,66912645 63,70576568 74,48382328 87,35076836
28 58,40258277 68,52811162 80,69769091 95,33882983
29 62,32271191 73,63979832 87,34652928 103,9659362
30 66,43884750 79,05818622 94,46078632 113,2832111
31 70,76078988 84,80167739 102,0730414 123,3458680
32 75.29882937 90,88977803 110,2181543 134,2135374
33 80,06377084 97,34316471 118,9334251 145,9506204
34 85.06695938 104,1837546 128,2587648 158,6266701
35 90,32030735 111,4347799 138,2368784 172,3168037
36 95,83632272 119,1208667 148,9134598 187,1021480
37 101,6281389 127,2681187 160,3374020 203,0703198
38 107,7095458 135.9042058 172,5610202 220,3159454
39 114,0950231 145,0584581 185,6402916 238,9412210
40 120,7997742 154,7619656 199,6351120 259,0565187
41 127.8397630 165,0476836 214,6095698 280,7810402
42 135,2317511 175,9505446 230,6322397 304,2435234
43 142,9933387 187,5075772 247,7764965 329,5830053
44 151,1430056 199,7580319 266,1208513 356,9496457
45 159,7001559 212,7435138 285,7493108 386,5056174
46 168,6851637 226,5081246 306,7517626 418,4260668
47 178,1194218 241,0986121 329,2243860 452,9001521
48 188,0253929 256,5645288 353,2700930 490,1321643
49 198,4266626 272,9584006 378,9989995 530,3427374
50 209,3479957 290,3359046 406,5289295 573,7701564
60 353,5837179 533,1281809 813,5203834 1253,213296
70 588,5285107 967,9321696 1614,134174 2720,080074
80 971,2288213 1746,599891 3189,062680 5886,935428
90 1594,607301 3141,075187 6287,185427 12723,93862
100 2610,025157 5638,368059 12381,66179 27484,51570
269
Окончание приложения 3
Периоды Ставки процентов
10 1 П | 15 | 20
1 2 1 2,1 1 2,12 1 2,15 1 2,2
3 3,31 3,3744 3,4725 3,64
4 4,641 4,779328 4,993375 5,368
5 6,1051 6,35284736 6,74238125 7,4416
6 7,71561 8,115189043 8,753738438 9,92992
7 9,487171 10,08901173 11,06679920 12,915904
8 11,4358881 12,29969314 13,72681908 16,4990848
9 13,57947691 14,77565631 16,78584195 20,79890176
10 15,93742460 17,54873507 20,30371824 25,95868211
11 18,53116706 20,65458328 24,34927597 32,15041853
12 21,38428377 24,13313327 29,00166737 39,58050224
13 24,52271214 28,02910926 34,35191748 48,49660269
14 27,97498336 32,39260238 40,50470510 59,19592323
15 31,77248169 37,27971466 47,58041086 72,03510787
16 35,94972986 42,75328042 55,71747249 87,44212945
17 40,54470285 48,88367407 65,07509336 105,9305553
18 45,59917314 55,74971496 75,83635737 128,1166664
19 51,15909045 63,43968075 88,21181097 154,7399997
20 57,27499949 72,05244244 102,4435826 186,6879996
21 64,00249944 81,69873554 118,8101200 225,0255995
22 71,40274939 92,50258380 137,6316380 271,0307195
23 79,54302433 104,6028939 159,2763837 326,2368633
24 88,49732676 118,1552411 184,1678413 392,4842360
25 98.34705943 133,3338701 212,7930175 471,9810832
26 109,1817654 150.3339345 245,7119701 567,3772999
27 121,0999419 169,3740066 283,5687656 681,8527598
28 134,2099361 190,6988874 327,1040804 819,2233118
29 148,6309297 214,5827539 377,1696925 984,0679742
30 164,4940227 241,3326843 434,7451464 1181,881569
31 181,9434250 271,2926065 500,9569183 1419,257883
32 201,1377675 304,8477192 577,1004561 1704,109459
33 222,2515442 342,4294455 664,6655245 2045,931351
34 245,4766986 384,5209790 765,3653532 2456,117621
35 271,0243685 431,6634965 881,1701561 2948,341146
36 299,1268053 484,4631161 1014,345680 3539,009375
37 330,0394859 543,5986900 1167,497532 4247,811250
38 364,0434344 609.8305328 1343,622161 5098,373500
39 401,4477779 684,0101967 1546,165485 6119,048200
40 442,5925557 767,0914203 1779,090308 7343,857840
41 487,8518113 860,1423908 2046,953854 8813,629408
42 537,6369924 964,3594777 2354,996933 10577,35529
43 592,4006916 1081,082615 2709,246473 12693,82635
44 652,6407608 1211,812529 3116,633443 15233,59162
45 718,9048369 1358,230032 3585,128460 18281,30994
46 791,7953205 1522,217636 4123,897729 21938,57193
47 871,9748526 1705,883752 4743,482388 26327,28631
48 960,1723378 1911,589803 5456,004746 31593,74358
49 1057,189572 2141,980579 6275,405458 37913,49229
50 1163,908529 2400,018249 7217,716277 45497,19075
60 3034,816395 7471,641112 29219,99164 281732,5718
70 7887,469568 23223,33190 118231,4669 1744439,785
80 20474,00215 72145,69250 478332,5293 10801137,31
90 53120,22612 224091,1185 1935142,168 66877821,24
100 137796,1234 696010,5477 7828749,671 414089867,6
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Коэффициенты приведения годовой ренты
Периоды Ставки процентов
1 1 2 1 3 1 4
1 0.99009901 0,980392157 0,970873786 0,961538462
2 1.970395059 1,941560938 1,913469696 1,886094675
3 2,940985207 2,883883273 2,828611355 2,775091033
4 3,901965552 3,807728699 3,717098403 3,629895224
5 4,853431239 4,713459509 4,579707187 4,451822331
6 5,795476475 5,601430891 5,417191444 5,242136857
7 6,728194529 6,471991069 6,230282955 6,002054670
8 7,651677752 7,325481441 7,019692190 6,732744875
9 8,566017576 8,162236706 7,786108922 7,435331611
10 9,471304531 8,982585006 8,530202837 8,110895779
11 10,36762825 9,786848045 9,252624113 8,760476711
12 11.25507747 10,57534122 9,954003994 9,385073761
13 12,13374007 11,34837375 10,63495533 9,985647847
14 13,00370304 12,10624877 11,29607314 10,56312293
15 13,86505252 12,84926350 11,93793509 11,11838743
16 14,71787378 13,57770931 12,56110203 11,65229561
17 15,56225127 14,29187188 13,16611847 12,16566885
18 16,39826858 14,99203125 13,75351308 12,65929698
19 17,22600850 15,67846201 14,32379911 13,13393940
20 18,04555297 16.35143335 14,87747486 13,59032635
21 18,85698314 17,01120916 15,41502414 14,02915995
22 19,66037934 17,65804820 15,93691664 14,45111533
23 20.45582113 18,29220412 16,44360839 14,85684167
24 21.24338726 18,91392560 16,93554212 15,24696314
25 22,02315570 19,52345647 17,41314769 15,62207994
26 22.79520366 20,12103576 17,87684242 15,98276918
27 23,55960759 20,70689780 18,32703148 16,32958575
28 24,31644316 21,28127236 18,76410823 16,66306322
29 25,06578530 21.84438466 19,18845459 16,98371463
30 25,80770822 22,39645555 19,60044135 17,29203330
31 26,54228537 22,93770152 20,00042850 17,58849356
32 27.26958947 23.46833482 20,38876553 17,87355150
33 27,98969255 23,98856355 20,76579178 18,14764567
34 28.70266589 24,49859172 21,13183668 18,41119776
35 29,40858009 24,99861933 21,48722007 18,66461323
36 30.10750504 25,48884248 21,83225250 18,90828195
37 30,79950994 25,96945341 22,16723544 19,14257880
38 31.48466331 26,44064060 22,49246159 19,36786423
39 32,16303298 26.90258883 22,80821513 19,58448484
40 32.83468611 27,35547924 23,11477197 19,79277388
41 33,49968922 27,79948945 23,41239998 19,99305181
42 34,15810814 28,23479358 23,70135920 20,18562674
43 34,81000806 28,66156233 23,98190214 20,37079494
44 35.45545353 29,07996307 24,25427392 20,54884129
45 36,09450844 29,49015988 24,51871254 20,72003970
46 36,72723608 29,89231360 24,77544907 20,88465356
47 37,35369909 30,28658196 25,02470783 21,04293612
48 37,97395949 30,67311957 25,26670664 21,19513088
49 38,58807871 31,05207801 25,50165693 21,34147200
50 39,19611753 31,42360589 25,72976401 21,48218462
60 44,95503841 34,76088668 27,67556367 22,62348998
70 50,16851435 37,49861929 29,12342135 23,39451498
80 54,88820611 39,74451359 30,20076345 23,91539185
90 59.16088149 41,58692916 31,00240714 24,26727760
100 63.02887877 43,09835164 31,59890534 24,50499900
271
Продолжение приложения 4
Периоды Ставки процентов
5 6 1 7 1 8
1 0,952380952 0,943396226 0,934579439 0,925925926
2 1,859410431 1,833392666 1,808018168 1,783264746
3 2,723248029 2,673011950 2,624316044 2,577096987
4 3,545950504 3,465105613 3,387211257 3,312126840
5 4,329476671 4,212363786 4,100197436 3,992710037
6 5,075692067 4,917324326 4,766539660 4,622879664
7 5,786373397 5,582381440 5,389289402 5,206370059
8 6,463212759 6,209793811 5,971298506 5,746638944
9 7,107821676 6,801692275 6,515232249 6,246887911
10 7,721734929 7,360087051 7,023581541 6,710081399
11 8,306414218 7,886874577 7,498674337 7,138964258
12 8,863251636 8,383843940 7,942686297 7,536078017
13 9,393572987 8,852682963 8,357650744 7,903775942
14 9,898640940 9,294983927 8,745467986 8,244236983
15 10,37965804 9,712248988 9,107914005 8,559478688
16 10,83776956 10,10589527 9,446648603 8,851369156
17 11,27406625 10,47725969 9,763222993 9,121638107
18 11,68958690 10,82760348 10,05908691 9,371887136
19 12,08532086 11,15811649 10,33559524 9,603599200
20 12,46221034 11,46992122 10,59401425 9,818147407
21 12,82115271 11,76407662 10,83552733 10,01680316
22 13,16300258 12,04158172 11,06124050 10,20074366
23 13,48857388 12,30337898 11,27218738 10,37105895
24 13,79864179 12,55035753 11,46933400 10,52875828
25 14,09394457 12,78335616 11,65358318 10,67477619
26 14,37518530 13,00316619 11,82577867 10,80997795
27 14,64303362 13,21053414 11,98670904 10,93516477
28 14,89812726 13,40616428 12,13711125 11,05107849
29 15,14107358 13,59072102 12,27767407 11,15840601
30 15,37245103 13,76483115 12,40904118 11,25778334
31 15,59281050 13,92908599 12,53181419 11,34979939
32 15,80267667 14,08404339 12,64655532 11,43499944
33 16,00254921 14,23022961 12,75379002 11,51388837
34 16,19290401 14,36814114 12,85400936 11,58693367
35 16,37419429 14,49824636 12,94767230 11,65456822
36 16,54685171 14,62098713 13,03520776 11,71719279
37 16,71128734 14,73678032 13,11701660 11,77517851
38 16,86789271 14,84601917 13,19347345 11,82886899
39 17,01704067 14,94907468 13,26492846 11,87858240
40 17,15908635 15.04629687 13,33170884 11,92461333
41 17,29436796 15,13801592 13,39412041 11,96723457
42 17,42320758 15,22454332 13,45244899 12,00669867
43 17,54591198 15,30617294 13,50696167 12,04323951
44 17,66277331 15,38318202 13,55790810 12,07707362
45 17,77406982 15,45583209 13,60552159 12,10840150
46 17,88006650 15,52436990 13,65002018 12,13740880
47 17,98101571 15,58902821 13,69160764 12,16426741
48 18,07715782 15,65002661 13,73047443 12,18913649
49 18,16872173 15,70757228 13,76679854 12,21216342
50 18,25592546 15,76186064 13,80074629 12,23348464
60 18,92928953 16,16142771 14,03918115 12,37655182
70 19,34267665 16,38454387 14,16038934 12,44281961
80 19,59646048 16,50913077 14,22200544 12,47351442
90 19,75226174 16,57869945 14,25332794 12,48773205
100 19,84791020 16,61754623 14,26925071 12,49431757
272
Окончание приложения 4
Периоды Ставки процентов
10 1 •2 1 15 I 20
1 0,909090909 0,892857143 0,869565217 0,833333333
2 1,735537190 1,690051020 1,625708885 1,527777778
3 2,486851991 2,401831268 2,283225117 2,106481482
4 3,169865446 3,037349347 2,854978363 2,588734568
5 3,790786769 3,604776202 3,352155098 2,990612140
6 4,355260700 4,111407324 3,784482694 3,325510117
7 4,868418818 4,563756539 4,160419734 3,604591764
8 5,334926198 4,967639767 4,487321508 3,837159803
9 5,759023816 5,328249792 4,771583920 4,030966503
10 6,144567106 5,650223028 5,018768626 4,192472086
11 6,495061005 5,937699133 5,233711849 4,327060071
12 6,813691823 6,194374226 5,420618999 4,439216726
13 7,103356203 6,423548416 5,583146955 4,532680605
14 7,366687457 6,628168228 5,724475613 4,610567171
15 7,606079506 6,810864490 5,847370099 4,675472642
16 7,823708642 6,973986151 5,954234868 4,729560535
17 8,021553311 7,119630492 6,047160755 4,774633779
18 8,201412101 7,249670082 6,127965874 4,812194816
19 8,364920092 7,365776859 6,198231195 4,843495680
20 8,513563720 7,469443624 6,259331474 4,869579734
21 8.648694291 7,562003236 6,312462151 4,891316445
22 8,771540264 7,644645746 6,358662740 4,909430371
23 8,883218422 7,718433702 6,398837165 4,924525309
24 8,984744020 7,784315806 6,433771448 4,937104424
25 9,077040018 7,843139112 6,464149085 4,947587020
26 9,160945471 7,895659922 6,490564422 4,956322517
27 9,237223156 7,942553501 6,513534280 4,963602097
28 9,306566505 7,984422769 6,533508070 4,969668414
29 9,369605914 8,021806044 6,550876582 4,974723679
30 9,426914467 8,055183968 6,565979637 4,978936399
31 9,479013152 8,084985685 6,579112728 4,982446999
32 9,526375593 8,111594362 6,590532807 4,985372499
33 9,569432357 8,135352109 6,600463310 4,987810416
34 9,608574870 8,156564383 6,609098531 4,989842013
35 9,644158973 8,175503913 6,616607418 4,991535011
36 9,676508157 8,192414208 6,623136885 4,992945843
37 9,705916506 8,207512686 6,628814683 4,994121536
38 ' 9,732651369 8,220993470 6,633751898 4,995101280
39 9,756955790 8,233029884 6,638045129 4,995917733
40 9,779050719 8,243776682 6,641778373 4,996598111
41 9,799137017 8,253372037 6,645024672 4,997165092
42 9,817397288 8,261939319 6,647847541 4,997637577
43 9,833997535 8,269588678 6,650302209 4,998031314
44 9,849088668 8,276418462 6,652436704 4,998359428
45 9,862807880 8,282516484 6,654292786 4,998632857
46 9,875279891 8,287961147 6,655906770 4,998860714
47 9,886618083 8,292822452 6,657310235 4,999050595
48 9,896925530 8,297162904 6,658530639 4,999208829
49 9,906295936 8,301038307 6,659591860 4,999340691
50 9,914814487 8,304498488 6,660514661 4,999450576
60 9.967157297 8,324049285 6,665145985 4,999911265
70 9,987337716 8,330344118 6,666290777 4,999985669
80 9,995118142 8,332370886 6,666573753 4,999997685
90 9,998117832 8,333023451 6,666643700 4,999999626
100 9,999274343 8,333233560 6,666660990 4,99999994
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Значения функции N(d)
(1 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0.0 0,5000 0.5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0.1 0.5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0.2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0.3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,0700 0,6736 0,8772 0,6808 0,6844 0,6879
0.5 0,0915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0.6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0.7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0.8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0.9 0,8159 0,8186 0.8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1.0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1.1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1.2 0,849 0.8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1.3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1.4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1.5 0.9332 0.9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1.6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9474 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1.7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0.9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1.8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1.9 0,9713 0,9719 0,9720 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2.0 0.8772 0,8778 0,8783 0,8788 0,8793 0,8798 0,8803 0,8808 0,8812 0,8817
2.1 0,8821 0,8820 0,8830 0,8834 0,8838 0,8842 0,8846 0,8850 0,8854 0,88S7
2,2 0,8861 0,8864 0.8868 0,8871 0,8875 0,8878 0,8881 0,8884 0,8887 0,8890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9908 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2.4 0,9918 0,9920 0.9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2.5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9950 0,9952
2.6 0,4953 0.9955 0.9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2.7 0,9965 0.9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2.8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2.9 0,9981 0.9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3.0 0,9986 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3.1 0,9990 0,9991 0.9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3.2 0,9993 0.9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3.3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0.9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
3.5 0,9978 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
3.6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999
3.7 0,9999 0.9999 0,9999 0.9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3.8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,9 1,000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
4,0 1,000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
274
Окончание приложения 5
(I 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
-0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
-0.1 0.4602 0.4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
-0.2 0.4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 04013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-о.з 0.3821 0.3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3330 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,5 0,3085 0.3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
“1,0 0.1587 0.1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
-1.1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
-1.2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
-1.3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
“1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,7021 0,0708 0,0694 0,0681
-1,5 0.0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
-1.6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
-1,8 0.0359 0.0351 0,0344 0.0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
-1,9 0,0287 0.0281 0.0274 0,0268 0,0262 0.02S6 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
-2.0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
-2.1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0172 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
-2.3 0,0107 0,0104 0.0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0.0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
-2.6 0.0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0039 0,0037 0,0036
-2,7 0.0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
-2.8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
-2,9 0.0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
-з.о 0,0014 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
-3.1 0,0010 0.0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0.0004 0,0004 00004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002
-3,5 0,0002 0,0002 0.0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
-3.6 0,0002 0,0002 0,0001 0.0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3.7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3.8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3.9 0,0000 0.0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-4.0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
Значения интеграла вероятностей закона нормального распределения
—z~ 1 z ~2~ г— fe cfz; Ф(г). V 2л -z~ 1 z ~т *
Z Hz) Ф(г) Z | Hz) Ф(2)
0,00 0,0000 0,0000 0,40 0,3108 0,1554
0,01 0,0080 0,0040 0,41 0,3182 0,1591
0,02 0,0160 0,0080 0,42 0,3255 0,1628
0,03 0,0239 0,0120 0,43 0,3328 0,1664
0,04 0,0319 0,0160 0,44 0,3401 0,1701
0,05 0,0399 0,0200 0,45 0,3473 0,1737
0,06 0,0478 0,0239 0,46 0,3545 0,1773
0,07 0,0558 0,0279 0,47 0,3616 0,1808
0,08 0,0638 0,0319 0,48 0,3688 0,1844
0,09 0,0717 0,0359 0,49 0,3759 0,1880
0,10 0,0797 0,0399 0,50 0,3829 0,1915
0,11 0,0876 0,0438 0,51 0,3899 0,1950
0.12 0,0955 0,0478 0,52 0,3969 0,1985
0.13 0,1034 0,0517 0,53 0,4039 0,2020
0,14 0,1113 0,0557 0,54 0,4108 0,2054
0.15 0,1192 0.0S96 0,55 0,4177 0,2089
0,16 0,1271 0.0636 0,56 0,4245 0,2123
0.17 0.1350 0,0675 0,57 0,4313 0,2157
0.18 0,1428 0.0714 0,58 0,4381 0,2191
0.19 0.1507 0,0754 0,59 0,4448 0,2224
0,20 0,1585 0,0793 0,60 0,4515 0,2257
0,21 0,1663 0,0832 0,61 0,4581 0,2291
0,22 0,1741 0,0871 0,62 0,4647 0,2324
0,23 0.1819 0,0910 0,63 0,4713 0,2357
0,24 0,1897 0,0949 0,64 0,4778 0,2389
0,25 0,1974 0,0987 0,65 0,4843 0,2422
0,26 0,2051 0,1026 0,66 0,4907 0,2454
0,27 0,2128 0,1064 0,67 0,4971 0,2486
0,28 0,2205 0,1103 0,68 0,5035 0,2518
0,29 0,2282 0,1141 0,69 0,5098 0,2549
0,30 0,2358 0,1179 0,70 0,5161 0,2581
0,31 0,2434 0,1217 0,71 0,5223 0,2612
0,32 0,2510 0.1255 0,72 0,5285 0,2643
0.33 0,2586 0,1293 0,73 0,5346 0,2673
0.34 0,2661 0,1331 0,74 0,5407 0,2704
0.35 0,2737 0.1369 0,75 0,5467 0,2734
0,36 0,2812 0,1406 0,76 0,5527 0,2764
0.37 0,2886 0,1443 0,77 0,5587 0,2794
0,38 0,2961 0,1481 0,78 0,5646 0,2823
0,39 0,3035 0,1518 0,79 0,5705 0,2853
276
Продолжение приложения 6
z 1 F(z> Ф(г) Z | Дг) Ф(?)
0,80 0,5763 0,2882 1,25 0,7887 0,3944
0.81 0,5821 0,2911 1,26 0,7923 0,3962
0.82 0,5878 0,2939 1,27 0,7959 0,3980
0,83 0,5935 0,2968 1,28 0,7995 0,3998
0,84 0.5991 0,2996 1,29 0,8030 0,4015
0,85 0,6047 0,3023 1,30 0,8064 0,4032
0,86 0,6102 0,3051 1,31 0,8098 0,4049
0.87 0,6157 0,3078 1,32 0,8132 0,4066
0,88 0,6211 0,3106 1,33 0,8165 0,4083
0,89 0,6265 0,3133 1,34 0,8198 0,4099
0,90 0.6319 0,3160 1,35 0,8230 0,4115
0.91 0.6372 0,3186 1,36 0,8262 0 4131
0,92 0,6424 0.3212 1,37 0,8293 0 4147
0,93 0,6476 0,3238 1,38 0,8324 0,4162
0,94 0,6528 0,3264 1,39 0,8355 0,4178
0.95 0,6579 0,3290 1,40 0,8385 0,4193
0.96 0,6629 0,3315 1,41 0,8415 0,4208
0.97 0,6680 0,3340 1,42 0,8444 0,4222
0,98 0,6729 0,3365 1,43 0,8473 0,4237
0,99 0,6778 0,3389 1,44 0,8501 0,4251
1,00 0,6827 0,3414 1,45 0,8529 0,4265
1.01 0.6875 0,3438 1,46 0,8557 0,4279
1,02 0.6923 * 0,3462 1,47 0,8584 0,4292
1,03 0.6970 0.348S 1,48 0,8611 0,4306
1,04 0,7017 0,5089 1,49 0,8638 0,4319
1,05 0,7063 0,3532 1,50 0,8664 0,4332
1.06 0.7109 0,3555 1,51 0,8690 0,4345
1,07 0.7154 0,3577 1,52 0,8715 0,4358
1.08 0.7199 0,3600 1,53 0,8740 0,4370
1,09 0.7243 0,3622 1,54 0,8764 0,4382
1.10 0,7287 0.3644 1,55 0,8789 0,4395
1,11 0,7330 0,3665 1,56 0,8812 0,4406
1.12 0,7373 0,3687 1,57 0,8836 0,4418
1.13 0,7415 0,3708 1,58 0,8859 0,4430
1,14 0,7457 0,3729 1,59 0,8882 0,4441
1,15 0,7499 0,3750 1,60 0.8904 0,4452
1.16 0,7540 0,3770 1,61 0,8926 0,4463
1.17 0.7580 0,3790 1,62 0,8948 0,4474
1,18 0,7620 0,3810 1,63 0,8969 0,4485
1,19 0,7660 0,3830 1,64 0,8990 0,4495
1,20 0,7699 0.3850 1,65 0,9011 0,4506
1,21 0,7737 0,3869 1,66 0,9031 0,4516
1.22 0.7775 0,3888 1,67 0,9051 0,4526
1.23 0.7813 0,3907 1,68 0,9070 0,4535
1.24 0,7850 0.3925 1,69 0,9090 0,4545
277
Продолжение приложения 6
z f(z) Ф(з) Z | ад
1,70 0,9109 0,4555 2,15 0,9684 0,4842
1,71 0,9127 0,4564 2,16 0,9692 0,4846
1,72 0;9146 0.4573 2,17 0,9700 0,4850
1,73 0,9164 0,4582 2,18 0,9707 0,4853
1,74 0,9181 0,4591 2,19 0,9715 0,4858
1,75 0,9199 0,4600 2,20 0,9722 0,4861
1,76 0.9216 0,4608 2,21 0,9729 0,4865
1,77 0,9233 0,4617 2,22 0,9736 0,4868
1,78 0.9249 0,4625 2,23 0,9742 0,4871
1,79 0.9265 0,4633 2,24 0,9749 0,4875
1,80 0,9281 0,4641 2,25 0,9756 0,4878
1.81 0,9298 0.4649 2,26 0,9762 0,4881
1,82 0,9312 0,4656 2,27 0,9768 0,4884
1.83 0,9328 0,4664 2,28 0,9774 0,4887
1,84 0,9342 0,4671 2,29 0,9780 0,4890
1,85 0,9357 0.4679 2,30 0,9786 0,4893
1.86 0,9371 0,4686 2,31 0,9791 0,4896
1,87 0.9385 0,4693 2,32 0,9797 0,4899
1,88 0,9399 0,4700 2,33 0,9802 0,4901
1,89 0,9412 0,4706 2,34 0,9807 0,4904
1,90 0,9426 0.4713 2,35 0,9812 0,4906
1,91 0,9439 0,4720 2,36 0,9817 0,4909
1,92 0,9451 0,4726 2,37 0,9822 0,4911
1,93 0.9464 0,4732 2,38 0,9827 0,4914
1,94 0.9476 0,4738 2,39 0,9832 0,4916
1.95 0,9488 0,4744 2,40 0,9836 0,4918
1.96 0,9500 0,4750 2,41 0,9840 0,4920
1.97 0,9512 0,4756 2,42 0,9845 0,4923
1.98 0,9523 0,4762 2,43 0,9849 0,4925
1,99 0.9534 0,4767 2,44 0,9853 0,4927
2.00 0,9545 0,4773 2,45 0,9858 0,4929
2,01 0,9556 0,4778 2,46 0,9861 0,4931
2,02 0,9566 0,4783 2,47 0,9865 0,4933
2,03 0,9576 0.4788 2,48 0,9869 0,4934
2,04 0.9586 0.4793 2,49 0,9872 0,4936
2,05 0.9596 0,4798 2,50 0,9876 0,4938
2.06 0,9606 0,4803 2,51 0,9879 0,4939
2.07 0,9616 0,4808 2,52 0,9883 0,4941
2.08 0,9625 0,4813 2,53 0,9886 0,4943
2,09 0,9634 0,4817 2,54 0,9889 0,4945
2,10 0,9643 0,4822 2,55 0,9892 0,4946
2,11 0,9651 0,4826 2,56 0,9895 0,4948
2.12 0,9660 0,4830 2,57 0,9898 0,4949
2,13 0,9668 0,4834 2,58 0,9901 0,4951
2,14 0,9676 0,4838 2,59 0,9904 0,4952
278
Окончание приложения 6
z 1 Hz) z | Hz) Ф(г)
2,60 0,9907 0,4953 2,95 0,9968 0,4984
2,61 0,9910 0,4955 2,96 0,9969 0,4985
2,62 0,9912 0,4956 2,97 0,9970 0,4985
2,63 0,9915 0,4957 2,98 0,9971 0,4986
2,64 0,9917 0,4959 2,99 0,9972 0,4986
2,65 0,9920 0.4960 3,00 0,9973 0,4986
2,66 0.9922 0,4961 3,01 0,9974 0,4487
2.67 0,9924 0,4962 3,02 0,9975 0,4987
2,68 0,9926 0,4963 3,03 0,9976 0,4988
2,69 0,9928 0,4964 3,04 0,9976 0,4988
2,70 0,9931 0,4965 3,05 0,9977 0,4989
2,71 0,9933 0,4966 3,06 0,9978 0,4989
2,72 0,9935 0,4967 3,07 0,9979 0,4989
2,73 0,9937 0,4968 3,08 0 9979 0,4990
2,74 0.9939 0,4969 3,09 0 9980 0,4990
2,75 0,9940 0,4970 3,10 0,9980 0,4990
2,76 0,9942 0,4971 3,11 0,9981 0,4991
2,77 0,9944 0,4972 3,12 0,9982 0,4991
2,78 0,9946 0,4973 3,13 0,9982 0,4991
2,79 0,9947 0,4974 3,14 0,9983 0,4992
2,80 0,9949 0,4974 3,15 0,9984 0,4992
2,81 0,9950 0,4975 3,17 0,9985 0,4992
2,82 0,9952 0,4976 3,19 0,9986 0,4993
2.83 0,9954 0,4977 3,21 0,9987 0,4993
2,84 0,9955 ‘ 0,4977 3,23 0,9988 0,4994
2,85 0.9956 0,4978 3,26 0,9989 0,4994
2,86 0,9958 0,4979 3,28 0,9990 0,4995
2,87 0,9959 0,4979 3,31 0,9991 0,4995
2,88 0,9960 0,4980 3,34 0,9992 0,4996
2,89 0,9962 0.4981 3,38 0,9993 0,4996
2,90 0,9963 0,4981 3,42 0,9994 0,4997
2,91 0,9964 0,4982 3,46 0,9995 0,4997
2,92 0,9965 0,4982 3,51 0,9996 0,4998
2,93 0.9966 0,4983 3,58 0,9997 0,4998
2,94 0,9967 0,4984 3,67 0,9998 0,4999
3,80 0,9999 0,4999
Учебно-практическое пособие
Валерий Михайлович АНЬШИН
ИНВЕСТИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
Гл. редактор Ю.В. Луизо
Зав. редакцией Г.Г. Кобякова
Редактор М.Н. Глухова
Художник Н.Н. Сенько
Компьютерная подготовка оригинал-макета
И.А. Кожевникова, Н.И. Усанова
. Технический редактор Л.А. Зотова
Корректоры Ф.Н. Морозова, М.А. Миловидова
Подписано в печать 21.10.2004. Формат 70 х lOO1/^. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 22.75. Тираж 2000 экз. Заказ № 419. Изд. № 505/3.
Издательство “Дело"
119571. Москва, пр-т Вернадского, 82
Коммерческий отдел — тел.: 433-2510, 433-2502
E-mail: com@delokniga.ru
Интернет-магазин: www.delokniga.ru
ОАО «Московская типография № 6*
115088. Москва. Южнопортовая ул., 24