УДК 519.6@83)
ББК 22.194
Б87
Брычков Ю. А., Маричев О. И., Прудников А. П. Таблицы
неопределенных интегралов. — 2-е изд., исправ. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2003. - 200 с. - ISBN 5-9221-0331-8.
Книга содержит таблицы неопределенных интегралов от элементарных
функций.
Для студентов высших учебных заведений, инженеров, научных работ-
работников.
Первое издание — 1986 г.
Учебное издание
БРЫЧКОВ Юрий Александрович
МАРИЧЕВ Олег Игоревич
ПРУДНИКОВ Анатолий Платонович
ТАБЛИЦЫ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Редактор Е.Ю. Ходан
Корректор Л. Т. Варьяш
Оригинал-макет: В.В. Худяков
Оформление переплета А.Ю. Алехиной
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 05.11.02.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 12,5. Уч.-изд. л. 18,54. Тираж: 5000 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0331-8	© ФИЗМАТЛИТ, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ......................................... 12
1.	Введение ......................................... 13
1.1.	Основные интегралы ................................. 13
1.2.	Общие формулы .................................... 13
2.	Алгебраические функции ............................. 14
2.1.	Интегралы вида J жр(ажг + b)q dx ........................ 14
f xm dx
2.2.	Интегралы вида 	 ............................. 15
J xn + ап
Г хт dx
2.3.	Интегралы вида 	 ............................. 16
J xn - ап
Г xp dx
2.4.	Интегралы вида	— ............................. 16
J (ж -f- а)Ц
Г dx
2.5.	Интегралы вида —	— ........................... 18
Г ( х + a\q
2.6.	Интегралы вида хр I 	 J dx ......................... 19
J \x + bj
2.7.	Интегралы вида	—	— ........................ 20
J (ж + а)ч(х + by
2.8.	Интегралы вида J х±т(ах2 + Ьх + с)п dx ................... 22
2.9.	Интегралы вида	— ........................ 22
2.10.	Интегралы вида	— ....................... 23
J (ах1 + Ьх + с)п
2.11.	Интегралы вида	 ..................... 24
J xm(axI + bx -f c)n
2.12.	Интегралы вида J(jc + й)±т(аж2 + 6ж + с)п dx ............... 25
Г (ж + d)m <^ж
2.13.	Интегралы вида	— ....................... 26
J i - -- ¦ ¦ '- -- ¦ - «
(аж2 + Ьх + с)п
(ж + d)m(ax2 + 6ж + с)п
2.14. Интегралы вида j	, I4w>/ ^ , ,	г^7 ................. 27
Г жтос1ж
2.15.	Интегралы вида —	— ........................... 27
2.16.	Интегралы вида	—	—— ........................ 29
J «X< lib Т^ U> I

4	Оглавление
Г хт dx
2.17.	Интегралы вида -—	—— ........................... 30
J ^ж о, j
Г	dx
2.18.	Интегралы вида	— ........................ 32
2.19. Интегралы вида -—	—— ........................... 33
1 dx
(х^
хт dx
(ж4 + а4)п
2.20. Интегралы вида —™—^— ........................... 34
Г	с!ж
2.21. Интегралы вида	— ........................ 35
хт dx
(ж4 - а4O1
2.22. Интегралы вида —г	—— ........................... 35
Г	dx
2.23.	Интегралы вида	— ........................	36
2.24.	Интегралы вида	— .......................	37
2.25.	Интегралы вида / ж±т(аж2^ + bxk + c)±n dx ................	38
2.26.	Интегралы вида j xm+1/2(ax ± b)±n dx ....................	39
Г (ах±Ь)±п
2.27.	Интегралы вида 	—-г;;— dx ........................	39
I	/у. 771+ I / 2
2.28.	Интегралы вида -—	—-- da; .........................	40
2.29.	Интегралы вида -—	—— da; .........................	41
J (ж2 - а2O1
2.30.	Интегралы вида J жт(аж + 6)п+1/2 йж .....................	41
2.31.	Интегралы вида 	dx ......................	42
J	хт
2.32.	Интегралы вида	 +i/2 ••••••••••••••••••••••••	43
2.33.	Интегралы вида	 . ......................	43
2.34.	Интегралы вида /(аж + Ь)±т+1/2(еж + d)±n+1/2 dx ............	44
2.35.	Интегралы вида J хр(ах + 6) 'п dx ......................	46
2.36.	Интегралы вида /(ж - а)±т(ах + Ъ)р/п dx ..................	46
2.37.	Интегралы вида (ж - а)±т ( —	 J dx ................	47
J	\cx + dj
Jndx
(ж2
2.39.	Интегралы вида -—	^^г ..........................	49
2.40.	Интегралы вида /жт(ж2 + а2)п+1/2 dx ....................	49
2.38. Интегралы вида -—^—-—^^Г •••••••••••••••••••••••••• 48
ЖР/те ^ж
(ж2 ^а2)

Оглавление	5
2.41.	Интегралы вида 	dx ...................... 50
J	хт
2.42.	Интегралы вида -—	2\п+1/2 •••••••••••••••••••••••• 52
2.43.	Интегралы вида	—	o.\r,4-i /9 •••••••••••••••••••••• 53
J	X I Ж "т
2.44.	Интегралы вида	—-—	 . .................... 54
Г	da;
2.45.	Интегралы вида —	— . ................ 54
2.46.	Интегралы вида |жт(ж2 - a2)n+1/2 da: .................... 55
Г (ж2 - а2)п+1/2
2.47.	Интегралы вида 	da; ...................... 56
J	хт
2.48.	Интегралы вида -—	 4-1/2 ........................ 57
2.49.	Интегралы вида	—		, ...................... 59
Г	dx
2.50.	Интегралы вида		.................... 60
Г	dx
2.51.	Интегралы вида -—	——	 , .................... 60
2.52.	Интегралы вида j хш(а2 - ж2)те+1/2 da: .................... 60
2.53.	Интегралы вида 	da; ...................... 61
Г	хт dx
2.54.	Интегралы вида —	—
J (а2 ~х2)п'
....................... 62
Г	dx
2.55. Интегралы вида 	—		, ...................... 64
J хт(аА — хл ""
Г	dx
2.56.	Интегралы вида	———	 , .................... 65
2.57.	Интегралы вида ——¦————		, ................. 65
J (b2 ±х2)т(а2 - х2)п+1'2
2.58.	Интегралы вида |жт(аж2+ 6ж + с)п+1/2с1ж ................. 66
Г (аж2 _|_ Ьх _|_ с\п+1/2
2.59.	Интегралы вида 	da; .................. 67
J	хт
Г	dx
2.60.	Интегралы вида	ТТТг .................... 68
2.61.	Интегралы вида	;—\пл-1 /9 .................... 68
2.62.	Интегралы вида	 /2 .................. 69
Г (аж2 + Ьх + с)±п+1/2
2.63.	Интегралы вида	da; .................. 70

6	Оглавление
dx
(ж2 + рх + q)m(ax2 + bx + с)х/2
2.64. Интегралы вида J ^ 9 _____ Aw, __9 § t _ _ч1/9 ............ 72
3. Показательная функция .............................. 73
3.1.	Интегралы вида J f(eax) dx ............................ 73
3.2.	Интегралы вида J xpeax dx ............................ 73
Г еах
3.3.	Интегралы вида 	dx .............................. 74
J жР
J2
жре^аж da: ........................... 74
J xP
Г е
3.5. Интегралы вида 	dx ............................ 75
J хР
4. Гиперболические функции ............................ 76
4.1.	Интегралы вида J shp x dx ............................. 76
Г da;
4.2.	Интегралы вида 	 ............................... 76
J shp x
4.3.	Интегралы вида J chp x dx ............................. 77
Г dx
4.4.	Интегралы вида 	 ............................... 77
J chp ж
4.5.	Интегралы вида J shp ж chg аз da: .......................... 78
Г shp ж
4.6.	Интегралы вида 	dx ............................. 79
J chg ж
Г сЬдж
4.7.	Интегралы вида 	dx ............................. 81
J shp ж
Г dx
4.8.	Интегралы вида 	 ........................... 83
J shp xchg x
4.9.	Интегралы вида I thp ж с!ж ............................. 84
4.10.	Интегралы вида J cthp x dx ............................ 85
4.11.	Интегралы вида	—	'——"" ~ ¦ ~ "" ~> """	— .....	85
J (a + о ch ж + csh x)n\a\ + b\ ch ж + c\ sh ж)р
4.12.	Интегралы вида j sh (аж + b) sh (еж + d) а*ж, J ch (аж -+- b) ch (еж + d) dx,
J sh (аж + b) ch (еж + d) dx ................................	90
4.13.	Интегралы вида shp ж sh аж da: .........................	90
4.14.	Интегралы вида j shp ж ch ax dx .........................	91
4.15.	Интегралы вида J chp x sh ax dx .........................	92
4.16.	Интегралы вида] chp xchaxdx .........................	92
4.17.	Интегралы вида J Vth ж da:, J л/cth ж cte ...................	93
4.18.	Интегралы вида жр shg a: da: ...........................	93
4.19.	Интегралы вида —^— dx ............................	95
ж

Оглавление	7
Г dx
4.20. Интегралы вида 	 ............................ 95
J xPshg ж
4.21. Интегралы вида хр chg ж dx
Г жр
вида ——
J chg ж
4.22. Интегралы вида 	dx ............................ 97
Г da;
4.23.	Интегралы вида 	 ............................	98
J жР chg ж
4.24.	Интегралы вида J xr shp ж chg ж dx .......................	98
4.25.	Интегралы вида хр thn a; da; ...........................	99
4.26.	Интегралы вида хр cthn x dx ..........................	99
4.27.	Интегралы вида	—,	— ................	99
4.28.	Интегралы вида J (bx + с) sh ax dx .....................	100
4.29.	Интегралы вида j(bx + c)±nchaxdx .....................	100
4.30.	Интегралы вида J xpe x shax dx ........................	100
4.31.	Интегралы вида J xpebx chax dx ........................	101
5. Тригонометрические функции .........................	102
5.1.	Введение ........................................	102
5.2.	Интегралы вида j sinp a; da; .............................	102
5.3.	Интегралы вида 	 ..............................	103
J sinp x
5.4.	Интегралы вида J cosp a; da; .............................	104
5.5.	Интегралы вида 	 ..............................	105
J COS?3 X
5.6.	Интегралы вида j sinp x cos9 x dx .........................	105
Г si
вида
J co
sin nr
sin nr
5.7. Интегралы вида 	dx ............................ 108
J cos*? ж
ж
Г cosg ж
5.8.	Интегралы вида —	dx ............................ 109
J slnp x
Г	dx
5.9.	Интегралы вида 	 .......................... Ill
J sinp ж cos*? ж
5.10.	Интегралы вида J tgp a; da; ............................. 112
5.11.	Интегралы вида J ctgp x dx ............................ 113
A + В cos x + С sin x
(a + b cos ж + с sin x)n{a\ + b\ cos ж + ci sin oj)p
dx
i + 6 sin2 ж)п
dx
(a + 6 cos2 ж)п
5.12.	Интегралы вида j t	 §" _'; _ 4^_ ' _^ "*_"__ | _ . _^ dx . 113
5.13.	Интегралы вида -——-—^—^—— ........................ 117
J \Q>
5.14.	Интегралы вида	—-— ........................ 117
J (a -' L ~- -

Оглавление
Г Л cos2 ж + В sin ж cos ж + С sin2 ж
5.15. Интегралы вида	——:	;	—	аж .......... 118
a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin ж
Г Л tg ж + В
5.16.	Интегралы вида	dx .................... 119
J atg2 х + btgx + с
5.17.	Интегралы вида J sin(ax + b) sin(cx + d) dxA cos (ax + 6) cos (еж +
+ d) da;, sin (аж + 6) cos (еж + d) da; .......................... 119
5.18.	Интегралы вида I sinp ж sin ax dx	........................	120
5.19.	Интегралы вида J sinp ж cos ax dx	........................	121
5.20.	Интегралы вида J cosp ж sin ax dx	........................	122
5.21.	Интегралы вида] cosp ж cos ax dx	........................	122
f slnm ж f cosm ж
5.22.	Интегралы вида —	dxA 	dx ................... 123
J SinnX	J СОБПЖ
I sin ж
5.23.	Интегралы вида 	dx ........................... 124
J cosnx
f cosm ж
5.24.	Интегралы вида 	dx ........................... 124
J sin пж
5.25.	Интегралы вида J sin1 ж cosm ж sinn+1/2 2ж о*ж ................ 125
f sin±z ж cos±m ж ,
5.26.	Интегралы вида 	;— 	аж ...................... 125
5.27.	Интегралы вида J sin1 ж cosm ж cos±n+1/2 2ж с!ж ............... 126
5.28.	Интегралы вида J(a + 6 cos ж + csinx)±n+1^2 dx .............. 127
5.29.	Интегралы вида Jsin±T7^(l - к2 sin2 ж)те/2 а*ж ................ 127
Г sin ж с?ж
5.30.	Интегралы вида	9—-—т^г ...................... 128
J A — к2 sin^ ж)п/2
5.31.	Интегралы вида |соз±тжA - к2 sin2 x)n/2 dx ............... 129
1 ж dx
5.33.	Интегралы вида I sin ж cosn жA — к sin x)p dx .............. 130
5.34.	Интегралы вида ——-A - к2 sin2 жI/2 dx ................. 131
J cosn ж
5.35.	Интегралы вида 	A - fc2 sin2 жI/2 dx ................ 132
J sinn ж
f sinp ж cos9 x
5.36.	Интегралы вида	=—— аж ...................... 132
J A - fc2 sin2 ж)г
Г sinp ж	йж
5.37.	Интегралы вида 		9—— ................... 134
J cos1? ж A — к2 sin ж)г
Г cosp ж	йж
5.38.	Интегралы вида —		——^—— ................... 135
Г A — к2 sin2 жI/2
5.39.	Интегралы вида 	dx ..................... 136
J sinm ж cosn ж
Г cos ж с?ж
5.32. Интегралы вида	ц—-—j- ...................... 129
J (I к2 sin^ x)n'1

Оглавление	9
5.40.	Интегралы вида -—	—	 .	..............	136
J smm ж cosn жA — к2 sirr жI/2
Г	sin1 ж cosn ж dx
5.41.	Интегралы вида	~——	=—ттттг ..............	137
J A + a sin2 ж)A - A:2 sin2 жI/2
5.42.	Интегралы вида —	da? .....................	138
J V 1 + a2 sin2 ж
5.43.	Интегралы вида —	б?ж .....................	138
J л/a2 sin2 ж — 1
5.44.	Интегралы вида Jtgm ж(а2 tg2 ж ±Ь2)±п+1/2 dx ..............	138
5.45.	Интегралы вида j ctgm x(a2 ctg2 ж ± 62)±n+1/2 da: .............	139
5.46.	Интегралы вида Jtgm ж (а2 - b2 tg2 ж)±п+1/2 dx ..............	140
5.47.	Интегралы вида Jctgm ж (а2 - b2 ctg2 ж)±те+1/2 dx .............	140
5.48.	Интегралы вида J xp sing x dx ..........................	141
5.49.	Интегралы вида 	dx ............................	142
Г хр
5.50.	Интегралы вида —	dx ............................ 144
J sing ж
5.51.	Интегралы вида J xp cosg ж с?ж .......................... 145
5.52.	Интегралы вида 	dx (см. замечание в начале 5.49) ........ 146
J ж
5.53.	Интегралы вида 	dx ............................ 147
J cos1? ж
5.54.	Интегралы вида J xp tg9 ж йж ........................... 148
5.55.	Интегралы вида J xp ctgg ж о*ж .......................... 149
5.56.	Интегралы вида J xr sinp ж cosg ж dx ...................... 149
хр sinw ж cosn ж
5.57.	Интегралы вида 	:	da? ..................	150
J (а + 6 cos ж + с sin ж)*?
Г ж sinm ж cosn ж
5.58.	Интегралы вида	—т™2—Г™ "ж ......................	151
5.59.	Интегралы вида J (а? + 6) sin aa? da? ......................	151
5.60.	Интегралы вида J (ж + 6) cos аж da? ......................	151
5.61.	Интегралы вида J eax sinp bx dx .........................	152
5.62.	Интегралы вида I eax cosp bx dx .........................	153
5.63.	Интегралы вида J eax sinp bx cosg ex dx ....................	153
5.64.	Интегралы вида J eax tgp x dx ..........................	154
5.65.	Интегралы вида J eax ctgp x dx .........................	155
5.66.	Интегралы вида J жреаж sin Fa? + с) сз^ж ....................	155
5.67.	Интегралы вида J xpeax cos (bx-+-с) dx ....................	155
5.68.	Интегралы вида Jshm(c^ + b) sinn (еж + d) cto ................	156
5.69.	Интегралы вида Jshm(c^ + 6) cosn (еж + d) dx ................	157

10	Оглавление
5.70.	Интегралы вида Jchm(ax + b) sinn (еж + d) da; ................	158
5.71.	Интегралы вида j chm (ax + b) cosn (еж -j- d) dx ...............	159
5.72.	Интегралы вида J xp sin x2 dx ..........................	160
5.73.	Интегралы вида J xp cos x2 dx ..........................	161
6.	Логарифмическая функция ........................... 162
6.1.	Интегралы вида j xp lng ж da; ........................... 162
6.2.	Интегралы вида 	 .............................. 163
J lng х
6.3.	Интегралы вида J (ж + а)р In ж da; ......................... 163
6.4.	Интегралы вида J xp In (аж + Ь) dx ........................ 164
6.5.	Интегралы вида хр In	da; ......................... 165
J	x — а
6.6.	Интегралы вида J x±m In (ж2 + a2) da; ......................	166
6.7.	Интегралы вида J x±m ln\x2 - a2\dx ......................	167
6.8.	Интегралы вида J xp In (ж + у ж2 + а2 ) da; ...................	167
6.9.	Интегралы вида j жр In (ж + ух2 — а2 ) dx ...................	168
6.10.	Интегралы вида	— In (ж + уж2 db a2 ) dx ............. 169
6.11.	Интегралы вида J 1пр(ж + у ж2 ± а2 ) dx .................... 170
7.	Обратные тригонометрические функции.................. 171
Г	ж
7.1.	Интегралы вида arcsinp — da; ........................... 171
J	a
7.2.	Интегралы вида хр arcsin —¦ dx ......................... 171
J	a
Г 1	.ж
7.3.	Интегралы вида — arcsin —¦ dx ......................... 172
J xP	a
7.4.	Интегралы вида (о dz ж) n+ ' arcsin — da; .................. 172
J	a
7.5.	Интегралы вида хр(а2 — a;2)9 arcsinr — da; .................. 173
J	a
7.6.	Интегралы вида arccosp — da; .......................... 175
J	a
7.7.	Интегралы вида хр arccos —¦ dx ......................... 175
J	a
Г 1	х
7.8.	Интегралы вида — arccos — da; ......................... 176
J xP	a
7.9.	Интегралы вида (a ± ж)±п+1/2 arccos — da; .................. 176
J	a
7.10.	Интегралы вида жр(а2 — ж2)<гагссозг — dx ................. 177
J	a
7.11.	Интегралы вида жр arctg —¦ dx ......................... 178
J	a

Оглавление	11
PI	х
7.12.	Интегралы вида — arctg — da; ......................... 179
J xP	a
7.13.	Интегралы вида хр(х2 + a2)9 arctg — da; ................... 180
J	a
Г	ж
7.14.	Интегралы вида жр arcctg — da; ......................... 181
J	a
Г 1	ж
7.15.	Интегралы вида — arcctg — dx ........................ 181
J xP	a
7.16.	Интегралы вида хр(х2 + a2L arcctg™ dx .................. 182
J	a
8. Обратные гиперболические функции .................... 184
Приложение I. Некоторые элементарные функции и их свойства	185
1.1.	Степенная, показательная и логарифмическая функции .....	185
1.2.	Гиперболические функции ...........................	186
1.3.	Тригонометрические функции ........................	188
1.4.	Обратные тригонометрические функции ................	196
Приложение II. Специальные функции и символы ..........	200

ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот справочник предназначен для студентов высших учебных заведе-
заведений, инженеров и научных работников. Он содержит таблицы неопределен-
неопределенных интегралов от элементарных функций. В книге помещены в основном
интегралы, выражаемые через элементарные функции; для простейших ин-
интегралов, не обладающих этим свойством, но часто встречающихся в прило-
приложениях, даны представления через специальные функции. Определения этих
специальных функций, а также основные свойства элементарных функций,
которые могут быть использованы при вычислении интегралов, приведены в
приложениях. Другие неопределенные интегралы от элементарных функций
можно найти в более полном справочном руководстве ).
Постоянная интегрирования в правых частях формул для краткости
опущена; например, вместо
sin х dx = — cos x + С
sin x dx = — cos ж.
Переменные интегрирования ж, t и параметры а, 6, с, d считаются
действительными, а, р, q, r — комплексными, к, I, in, п = 0, 1, 2, . . .;
остальные ограничения указываются в квадратных скобках после соответ-
соответствующих формул. Некоторые формулы при определенных значениях пара-
параметров теряют смысл. Если эти значения следуют из структуры формулы,
то соответствующие разъяснения опускаются. Выражения для интеграла при
этих значениях параметров, как правило, даются в последующих формулах.
) Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О.И, Интегралы и ряды.
Элементарные функции. — М.: Наука, 1981; в этой книге помещены так-
также и определенные интегралы. Неопределенные и определенные интегралы
от специальных функций можно найти в книгах: Прудников А.П., Брыч-
Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. —
М.: Наука, 1983; Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы
и ряды. Дополнительные главы. — М.: Наука, 1985.

1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Основные интегралы.
xp+1
1. I xp dx = 		[рф -1].
р + 1
2.
3-7: [а ф 0]
dx
Р	ж
9. аж dx = 		[а > 0, а ф 11.
J	In а
ч-
10
11.
12.
= сЬж.
dx
sh ж
dx
= ln
th-
sh2 ж
13. I спж dx =
= — ethic.
14. I 4^~ =2 arctge".
1 сЬж
15.
dx
= thx.
16.	th ж ^ж = In ch ж.
17.	cth ж с!ж = In | sh ж
18.	sin ж с!ж = — cos ж.
19.
20.
21.
22.
28.
24.
25.
26.
27.
ах
sin ж
dx
в1п2ж
cos ж dx
dx
cos ж
dx
cos2 ж
sin ж ^
COS2 Ж
COS Ж
о ^*
sin ж
tgXdX:
ctg ж с/ж
In
ж
tg 2
= sin ж.
In
-I:
т ж\
i ' 2J
1
COS Ж
1
sin ж
= — In | cos ж .
—
In sin ж .
1.2. Общие формулы.
g())
а /(ж) dsc + 6 g(x) dx.
2. |^М^ = /(Ж).
dx
df(x)
dx
(x)dx =
dx
dx
[интегрирование по частям].
8.
4.
Дифференцирование неопреде-
неопределенного интеграла:
5. ?
[интегрирование подстановкой;

2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.1. Интегралы вида жр(ажг + b)q dx.
. хр(ах + 6)д с/ж =	—	 хр(ах + 6Р
J x	;	gr + p + 1	gr + p + lj v	;
+
(q + l)rb
p + 1 P + 1J l ;
(g + l)m	(g + l)mj	l
p + l)aj
)a Г v+r{
{p )	{p )	J	l
7. \xp{axr	Y
5.	= 	-,	r^	7^	^ ar аж + оL аж.
(gr + p + l)a	( + + l)j	v	y
{ + l)b
fetn-fe p+fer+l
Г xp dx	x^	 (g-l)f-p-lf xp dx
J {r + by ~ ( l)b(r + ЪУг	J
(q - l)rb(axr + ЪУ~г	(q - l)rb J (axr
10.
(g - l)ra(axr + б)'?^1 (g - l)ra
1
(ажг + by	(q - l)ra(axr
11. 	г = — In a/ + 6 .
1 ажг + o m
12.	I 	— =: — — —
axr + o a a J ажг +
-j « I ^ж = 	x	 (g	-	1) r	-	1
(g - 1)г6(ажг + by-1 (g - I)r6
P + (^ — l)r — 1
(cjf- l)rb

2.2]
2. Алгебраические функции
15
15»
16.
dx
I
dx
xP(axr + b)	(p — 1)ЬхР~г b J xP~r(axr + b)'
xr
1 i
= — In
b
=
x(axr + о) rb
1.
2.2. Интегралы вида
dx
/ 2
7Г In I ж — 2аж cos
¦ тг + a 1 +
2^ + 1
1 ^ . 2A + 1
H	о—7 / sm	Trarctff
2n
. +
asm	7Г
2n
•
dx
Bra + l)a2n
П
/ 2 2fe + l	2
7Г In I ж — 2аж cos	ж + а
\	2 + 1
a sm	тг
fl2
22n
n-1
x 2^,cos ¦
k=0
+
2n
1 f 2 o
In ж — 2ax cos
2n
/ sm
i\_	x — a cos
— arcter	—.
&	2fc
. +
asm	7Г
2n
[1 ^ m ^ 2(n- 1)].
|
, / 2
In I ж — 2аж cos
2\
тг + a I +
Ж — a COS
[1 ^C m ^ 2n- 1].

16
2. Алгебраические
[2.3
1.
2.3. Интегралы вида
dx	1
Н
In
xmdx
хп — ап '
х — а
х + а
ктт ( 2 о	/стг 2 \
cos — In ж — 2ах cos	\- а ) —
п V	п
ж — a cos ¦
2.
dx
¦In
1	x-^ 2k + 1 i / 2 . о	z/e -h i	2 i
cos	тг In ж + 2аж cos	ж + а ) —
Bп + 1)а2те
ж + a cos
. 2fe + l
asm	7Г
3.
ж2п —
n^m^i [ln 1Ж "" а1 "" (^l)m In
7 >
-m-1 ~
/ 2 о	^тг 2\
In ж — 2аж cos	ha I —
\	n	J
(тп + 1)А;тг
ж — a cos -
кж
k = l
arctg -
ктт
[1 ^ m ^ 2(n- 1)].
4.
ж2п+1 _c
,m + l
¦1п
(-i)r
1 / 2
In ж | 2аж cos
V
2\
тг + а +
/
ж + a cos -
arctg -
[1 ^ m ^ 2п- 1].
1.
2.4. Интегралы вида
xp dx	xp
а*ж
+ ¦
(ж + а)*?	(q - 1)(ж + а)*? q-1 } (х- а
1 а'ж

2.4]
2. Алгебраические функции
17
2.
жто dx
(-а)т к
если к = q —- 1, то вместо соответствующего члена в сумме следует взять
dx	1
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
ж + а
¦а)п	(п-1)(ж-
= In ж + а .
¦а)п	(п-2)(ж-
+
ж2 а*ж
ж + а)п
(п - 1)(ж
2а
(п^3)(ж + а)те~3 (п^2)(х + а)п~2 (гс-1)(ж-
х3 dx	1
(ж + а)п	(п - 4)(ж + а)п^4
За
+
За2
ж а*ж
ж + а
ж2 dx ж2
	 =	аж -
ж + а 2
(?1^3)(ж + а)п^3 (гс-2)(ж-
р i	J	1_ (~а)т In |ж
\п^1 •
1
1п
ж3
ж3 аж2 . 2
2	3 1
а ж — а In
т — к
ж + а 3	2
ж dx	а
(ж + аJ ж + а
2 I	2
х dx	a
= ж	2а In ж + а
х + а
/ -1 \ ТО —I	ТО —I 1
¦ (—1) та In
-In
(ж + аJ
ж3 dx ж2 Л	а3
7	^7 =	2аж Н
(ж + аI 2	ж + а
ж с!ж	1	а
3а21п
(ж + аK	ж + а 2(ж + аJ *
ж аж	Аа	а
(ж + аK ж + а 2(ж + аJ
+ In ж + а
xs dx
(х + оK
2 А.Ю. Брычков и др.
<за	а	„I,	.
—i	•" ^7—i—\2 ~ За1п ж + а .
ж + а 2(ж + аJ

18
2. Алгебраические
[2.5
19.
20.
21.
1.
2.
х dx
(ж + аL	2(ж + аJ 3(ж + аK'
х2 dx	1	а
(ж + аL	ж + а (ж + аJ 3(ж + аK *
ж3 dx
За
За2
(ж + аL
2.5. Интегралы вида
dx
¦ + ¦
а 2(ж + аJ 3(ж + аK
dx
+ In ж +
(Р-
1
1	p + g-2 f	dx
~1(xJra)ci~1 (p-l)a J жР-1(ж + а)«'
(g -
(g - 1)а
dx
/г = m — 1, то вместо соответствующего члена в сумме следует взять
т^т^1 , Ж + а
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
dx
х
n — l
ж(ж + a)n ^ kan~k(x + a)k an
In
]
а
х +
ж
L In
а
ж
+ а
ж
dx
ж2(ж + а)п
dx
х \^х ~т~ aj
,	m-l	, 4J
аж	^г^	\Ч
жт(ж + а) ^ (т — к)ак
-14 V
ж + а
ж
(n + 1)ж — a f n(n + 1)
2а2
ж + а
ж
ж(ж + а) а '
dx
ж + а
ж + а
х
х2(х + а)	аж а2
dx _ _L	1	1_
ж3(ж + а) а2ж 2аж2 а3
ж + а
ж
dx
1/1
ж(ж + аJ а\ж + а а
dx
1/1 , 1 2
Н	In
х + а ж а
ж + а
ж2(ж + аJ
dx _ '.
ж3(ж + аJ а3 V ж + а ' ж 2ж2 а
ж
- -In
ж + а
ж

2.6]
2. Алгебраические функции
19
15.
16.
1 7
1
2.
3.
4.
к
6.
7
8.
9.
Г dx
J x(x + aK a
J ж2(ж + аK
f dx
J ж3(ж + aK <
1
2(жН
1
ha) '
1
2а2(ж + а
ч
%4 [a
3
2.6. Интегралы вида
Г р/ж + aV
\X \x+b) X
q(b — a) + pF -+
p + 1
\x(x + aYdx-
ж I j аж -
J \x + bj
{x + a)q
2{x + b)q^2 (q -
(x + a)
2{x + b)
[x + a)
J (ж+ 6)^
Г (s + a)p
J (ж + 6)p+2 dX
Г (ж + а)р _
J (ж + 6)р+3 Ж
f 1 ^ж + а
(x + c)p l ж + b
(ж
J
6(ж
" !)(
9+1
9-1
(9-
(p н
(ж -
(p
1 J'
(p-l)(o
+ [(p^2)(a + 6^
Г 1 /a; + a\n
J ж + с^ж + 6^
f (x + a\n j
l{x + b) dX
n —
"I
+ O)(i
P
¦^-(
+ a)g
ж + &)*?
(ж + а
-1)(жН
1
Ы)F-
f a)p+1
+ 1)(P
i
-c)(b
2c)-
n-1
-[(
2
2а(ж
2(ж
'-(
c + 6
+ 1
чж +
I
^a)~
2
1-6)9"
/
[ж +
-с)
1
- к
a —
b-t
n
k){n
1
+ aJ
2
а3(ж4
a
+ aJ
ж + b /
q[(q-
f a + 6
i
x 4™ ft
(p + i
b-a)
i
{(x +
a)]\i
+ (l
Г/а-
[U-
J
-k-
1
a3
-a)
1 3
X
J с!ж
f 1
, (г
l)(a
2(9-
К:
P
^ 1 t
\P+1
/
)F —
2(ж +
1
1
ж + <
(
1) (я
In
]
ж
L
{ж
a
2ж2
b)
pH
- 1
-1)
с +
r +
Г (r
a) -
-ьу
J<
1
ж Н
Ж +
+
+ гг(ж
9
1)
-1
>)
+
+
>+^
(Ж
-1
Ж
](
~b
a
ьу
+
+
ж
+
ab
- \
a
К
+
]
+
"ж
ч Ж
и
а)
а
3
а
6
0
I
da
)Р-
а)
М
^ н
C)J
+
+
¦(
-к
—
In
ее
л
9+1
9 — 1
^ b j
а ~~
,ь-
т +
пF
ж +
ж
Ж + (
ж
\
'ж +
ж +
_|_
9
б?Ж
^ж +
ж +
г-fe
-с\»
-а)
а
ъ
+
+
/
+
а
b
In
In
1
Г
b j
9
da;.
o-l
1
)'
ж
ж
с!ж >.
+ с .
+ 61.

20
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
1.
2. Алгебраические
[2.7

ж + о
dx = ж + (a — 6) In \x + 6|.
-j^- + ж + n(a — 6) In |ж + 6|.
ж
ж •
2x + a
= — + (a-b)(x-b\n\x + b\).
A
ж3 (x2
x™——г dx =	h (a - 6) I	6ж + 6 In \x + b\ ).
ж + 6 ^ 3 ' v^ V 2
ж + а . a . , a — 6 .
—7	-г- аж = — In ж	— .
ж(ж + 6)	6 ' 6
ж + a\ , _	(a —
ж + 6
ж + a
Ж + 6
-2(а-6Iп|ж
—
2
= ^	_ 2 Ь(а - 6J
3 v ;	х + Ь
(а - Щ In |ж
+ (а - 6)[(а - 36)(ж + 6) - 2Ь(а - 26) In |ж + 6|].
б2) а\	(а2
ж \ ж + 6
ж + 6
(ж + аJ
ж + 6
Ж + а/ da; = 4-
ж + о	4
Bа -
(а - feJ ln 1Ж + Я
; 2
т3
х(х + 6)
ж + а
(* + ъу'
ж + а
Х (ж + 6J
ж + а
= ж + \ [a2 In |ж - (а - бJ In \х + 61].
6
dx = х +
а — Ъ
ж + 6
Ь(а — Ь)
In ж + 6 .
(а - 26) In ж + Ь\.
= — + (а - 26)ж - &(а6
2	ж + 6
- 6Bа - 36) In
а — 6	а .
/Ут* = 	 	 	 П
ж(ж + 6J	6(ж + 6) б2
ж + 6
2.7. Интегралы вида
жрс!ж	1
ж
хр dx
(ж + a)<i(x + 6)г ~~ р - q - г + 1 \ (ж + а
ьу
жр dx X
-а)^(ж + 6)г J "

2Г|
2. Алгебраические функции
21
2.
хр dx
(_1)fc
p m+n
1=0
m — 1
fe=0
_ a)
m+n-fc-l-l
^P-k
¦ In I ж + a I
3.
4.
5.
dx
(r - l)(a - 6)(ж + а)^-1(ж
g + г - 2
с!ж
(r - l)(a - 6) J (ж + аУ(х + i
(q - 1)(а - Ь)(х + а)
- 1)(а - 6) J (ж + а
6.
7.
8.
9.
10.
11.
x + a
тп — l	( i \m-{-k f-yn — 1
n —fc —1
Ж + 6
(-1
/ i
ж + a
rC^rw,4- «. — 1 1П
ж + 6
1
(ж + a)(x + 6)	a — 6
ж с!ж	1
(ж + а)(ж + 6) а — b
In
(aln |ж + a| — Ып
X dx	1	/, 9 ,	, I	9 ,
т	гт	7v = ж Н	7 (b In ж + b\- a In
(ж + а)(ж + 6)	а - 6 v	'
dx	I . .	1
= —- In ж Н	т	гт In ж + а
x(x + а)(ж + b) ab
dx
x2(x + a)(x + 6)
1 a + 6
abx a2b2
a(a — b)
1
b(a - b)
\n
In ж -
¦In ж + а

22
2. Алгебраические
[2.8
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
dx
1
1
(а-Ь)(х + Ь) (а ~ ЪJ
In
х dx
(а -
¦In
ж + 6
(а-6)
-In
б2 - 2аЪ
1п|ж
dx
ж(ж + а)(ж + bJ
1	1
b(a — b)(x + b) ab2
dx
а(а - Ъ)
1 . ,	, 2b-a . . ,,
In \x + a\ + —f	77 In \x + 6|.
1	1 \	2
— + 	T^ + 7	7T77 In
(a - bK
ж + а
ж
х2 dx
а
a x + b J (a — Ь)л
2	b2 \	2ab
In
x + а
+
ж
+
(а - Ь)
1
т In
ж + Ь
х + а
ж
2.8. Интегралы вида ж то(аж2 + Ьх + с)п dx.
с 1	Г
1. (аж + ох + с) ах = —-	-г— Bаж + о)(аж + ож + с) —
— п(Ь — Аас) (ах + Ьх +
/ ^п (^02 2аж + 6
Bn
О.
2а
fc=O
^2
а J
(аж2 + Ьх + c)n+1
Ь(п - m + 2) С (аж2 + 6ж + c)n f аBп - m + 3) f (аж2 + Ьх + с)те
1.
с(?п — 1)
2.9. Интегралы вида
dx
с(т — 1)
dx
{ах2
c)n '
(ах2 + Ьх + с)п (п - 1)(Ь2 - 4ас)(аж2 + Ьх + сO1^1
2Bп - 3)а Г
(п - 1)(&2 - 4ас) J (аж2 + Ьх +

2.10]
2. Алгебраические функции
23
2.
2ах + b
2п - 1
- 1)Bп - 3) . . . Bп - 2А; - 1)ак
^ (га - 1)(га - 2) . . . (га - к - 1)Dас - Ь2)к+1(ах2 + Ьх
3.
4.
5.
6.
ах2 + Ьх + с л/62 - 4ас
га — 1)!Dас — Ь2)п 1 J аж2 + Ьх + с
[б2 - 4ас > 0].
2	2аж + 6
=• arctg ¦
2аж + 6
[б2 - 4ас < 0].
[б2 = 4ас].
1
а(р - q)
In
ж — q
где р, q — действительные корни многочлена ах + Ьх + с.
,	с?ж	2аж + &	2а
8.
da?
(аж2 + Ьх + сJ Dас — 62)(аж2 + 6ж + с) 4ас — b2 J аж2 + 6ж + с*
2аж + 6
сK
ЗаBаж + Ь)
6а2
Dас~62J(аж2-
2.10. Интегралы вида
Dас - б2J J аж2 + Ьх + с*
1.
2.
3.
4.
5.
(аж^ -+
с)п '
(аж2 + Ьх + с)те Bга — га — 1)а(аж2 + 6ж + с)п~
Bга — т — 1)а J (аж2
2n-l im
(ах2 + Ьх + с)п
1
а J (аж2 + 6ж ¦
ж dж
(аж2 + Ьх + с)п
с)те Bп - т - 1)а j (аж2 + Ьх + с)п '
ж2те^2dж
а J (аж2 + Ьх + с)те а J (аж2 + 6ж + с)п *
1	6 Г	а*ж
(аж2 + Ьх + с)п "
2(п — 1)а(аж2 + Ьж + с
	А Г
\п^г 2а J
(п - l)(b2 - 4ас)(ах2 + bx +
Bn-3)ft
а*ж
(n - 1)F2 - 4ас) J (аж2 + 6ж + с)"-1"
ж da?
(Ь2 - 2ас)Bах + 6) - 6F2 - 4ас)
(аж2 + Ьх + с)те	2(га - 1)а2F2 - 4ас)(аж2 + Ьх
2 - 2ас) - 2(га - 1)(Ъ2 - 4ас)
(п — 1)а(Ъ2 — 4ас)
а'ж
(аж2

2. Алгебраические
[2.11
ж dx
ах2 + bx + с 2а
= — In lax2 + 6ж + с
-In
2аж + b ~~ \fb2 ~~ Aac
a^/\b2 ^4ac\
arctg -
2аж + b + \/b2 — 4ac
2ax + b
/4ac - b2
[b2 >4ac],
[b2 < 4oc].
7.
8.
9.
10.
11.
ах2 + 6ж + с а 2а2
ж3 dx	ах2 — 2Ьх
ж 6 . . 2	Ьл ^ 2ac
In аж + ox + с
2a2
Г	dж
J аж2 + bi
ах2 + Ьх + с
2а2
2а3
¦ In lax + 6ж + с
- Зас)
2а3
b
Ьх + с
с/ж
аж2 + 5ж + с
rp /TOP	tbrP 	I	 x/1*
(аж2 + 6ж + сJ (&2 — 4ас)(аж2 + bx + с) б2 — 4ас J аж2 + Ьх + с
2 j
(аж2 + Ьх + сJ
Bас- 62)ж -
2с
аF2 — 4ас)(аж2 + Ьх + с) б2 — 4ас J аж2 + Ьх + с
сBас - б2)
- Ь2)х
(ах2 + 6ж + сJ а2Dас — Ь2)(ах2 + 6ж + с)
2а2
1 I 2 I 6Fас — b
In а ж + их + с '
2а2 (б2 -4ас)
dx
1.
2.11. Интегралы вида
dx
dx
хт(ах2 + Ьх + с)та *
1
жт(аж2
Ь с)п	(ш —
(m + w^2)b
(m — 1)с
Ьх
da;
+ 6ж +
-3)а
2.
3.
ж(аж2 + Ьх + с)п 2(п - 1)с(аж2 + 6ж + сO1™1
Ъ Г	dж	1 Г
J (аж2 + Ьх + с)п с]
dx
dж
2с J (аж2 + Ьх + с)те с J ж(аж2 + 6ж + сO1™1 *
«.2
ж(аж2 + Ьж + с) 2с |аж2 + 6ж + с|
1щ
2аж + Ъ — \/Ъ2 — 4ас
2аж + Ъ + V&2 — 4ас
[б2 > 4ос],
[б2 < 4ас].

2.12]
2. Алгебраические функции
25
4.
5.
6.
7.
8.
dx
х2(ах2 + bx + с)
¦In
b2 - 2ас
dx
ex 2c2 ax2 + bx + с	2c2 J аж2
dж
ж3(аж2 + bx + с) 2с2ж2 ' 2c3	|аж2 + bx + c|
26ж — с Ь — ас л	х
¦ In ¦
2с3
¦f —
J аж2
dx
+ bx + с
ж(аж2 + Ьж + сJ 2с(аж2 + &ж + с) [	б2 — 4ас J
¦In-
2с2 |аж2 + &ж + с| 2с2
F2^
2ас
— 4ас / J аж2 + bx + с *
с --г ох
ж2(аж2 + bx + сJ с2Dас — 62)(аж2 + 6ж + с) с2ж(аж2 + bx + с)
1 /б4 662а 6а2
dx
Ь2 — 4ас
ЗЬж — с
"^	^ +
dx
2 с у J аж2 + ож + с
х'л(ах2 + bx + сJ 2с2ж2(аж2 + 6ж + с)
2 2ас Г	dx
\
ж(аж2 + bx + сJ 2с2 J (аж2 + 6ж + сJ
2.12. Интегралы вида (ж + d)±m(ax2 + 6ж + с)п dx.
Г	m	2
1. (ж + d) (аж + bx + с) dж =
чп+1
+ (га + n)Bad - b) \(x + d)m ^аж2 + bx + c)n dж -
Г	1
С/О/ |^ 1> J II <du j^ IX I	1 СХ «X/ ^^ U Jb |^ 1> J CXeiL/ I *
J
, (аж2 + bx + c)n .	(аж2 + bx + c)n
2.		;	;	 ЙЖ = —
(ж
(m - 2n - 1)(ж + d)™^1
2n(ad2 - bd + c) f (аж2 + 6ж + c)^1
га — 2n — 1
dж —
nF-2ad) f (ax2 + bx + c)n~1
m — 2n — 1
dx.
3.
(аж2
(ra - l)(ad2 - bd + c) [ (ж + d)"^1
1 (аж2 + bx4
(m-n- 2)(ft- 2ad)
¦ dж ¦
(га- 2n^ 3)
«J
¦dx\.

26
4.
5.
2. Алгебраические
[2.13
_ (аж2 + bx + c)n
n(b - 2ad) Г (аж2 + 6ж + с)*
га — 1
(аж2 + bx + c)n
- rfa; +
m — 1
(аж2 + bx + c)n
¦ dx.
dx = (ad2 - bd + с)те In |ж + d\ •
+ I (аж + 6 - ad) | 2Jad2 - &d + c)n^fc"
¦ fc=o
6ж + c)k I dx.
1.
2.13. Интегралы вида
(x + d)mdx _
(ax2 + bx + с)те
_ Baci - Ь)Bаж + b) + 4ac -
(ж + d)m dx
(ax2 + bx + c)n '
(ж
2(n - l)Dac -
с) (аж2
(n — l)(n — 2)Dac — b2)(ad2 — bd + с) (аж2 + 6ж + c)n^2
4Bгг^3)а	2(ra - rc + 2) 1 Г (ж + d)m dx
(аж2
2(m-2n + 4)(m-2n
(ж
(n — l)(n — 2)Dac — b2)(ad2 — bd + c) J (аж2 + 6ж +
—j- + (га — n)Bad — b) x
(ra — 2n + l)a [(«ж2 + bx + с
x I /Ж^{	^- - (ra - l)(ad2 - bd
(аж2 + 6ж + c)nJ*
(п - 1)Dас - б2) [ (аж2 + &ж
— 2(ra — 2n + 3)a
(ж + d)m dx
1
	=- — m(b — 2ad)
(ж + d) dж	I,, 2
1	;	= — In аж +6ж + с +
[62 <4ac],
[62 > 4ac].
ж dж
аж2 + 6ж + с a a J аж2 + bx + с a J аж2 + bx + с *
(ж + d) dж _ F - 2ad^ + 2с - 6d b - 2ad f dж
(x + d) dx x ad — с
(ax2 + bx + cJ ~ (b2 -
b2 - Aac
Г	с!
J аж2 +
bx + с

2.15]
2. Алгебраические функции
27
1.
Г	dж
2.14. Интегралы вида т	^—;	^	:	:—.
F	J (ж + d)"г(aж2 + 6ж + c)те
dж	_	1
(ж + d)m(ax2 + bx + с)п	(га — t)(ad2 — bd + с)
^3Y + (га + n - 2)F - 2ad) x
(ж
6ж
с!ж
(ж
¦cy
- 3)а
(ж + с!)т^2(аж2 + bx + c)n J'
2.
2(ad2 ^
bx
3.
4.
5.
(x + d)m^1(ax2 + bx + c)n	n-1 J (ж + с!)т(аж2 + 6ж + c)n"
l	Г	l
п- l)Bad - b) [(x + о?)т(аж2 + 6ж + сO1
¦c)n
(ж
c)n ad2 - bd + с [2(п - 1)(аж2
ad^2
dx
1
¦In-
(ж + d)(aж2 + Ьж + с) 2{ad2 — bd + с) |аж2 + &ж + с
2аж + 6
- bd
2 arctg
In
4ас — б2
2аж + Ъ — \/Ь2 — Аас
2аж + b + V&2 — 4ас
[Ь2 <4ас],
[б2 >4ас].
6.
1.
2.
(ж + dJ(аж2 + bx + с)
_	1 Г 1
ad2 — &d +
2.15. Интегралы вида
2ad- b
(ж + аJ
2(ad2 - bd + с)
с) - 2ad + b2
жmdж
а
2)п'
(ж2 + а2)п 2(п - 1)а2(ж2 + а2)^1 2(п - 1)а2 J (ж2 + а2)"'
аж2 + bx + с
с!ж
(т - 2п + 1)(ж2 + а2)^™1 т - 2п + 1 J (ж2 + а2)*1'

28	2. Алгебраические функции	[2.15

(п- 1)(х2 + а2)п~г + 2(п - 1) J (ж2 + а2)п~г'
4.	_ i	~2
x2mdx _ x2m+1
" •	I / О .	О \ —	ex /	- \ О ^
Bn - 2m - 3)Bn - 2m - 5) . . . Bn - 2m - 2fc - 1)
,
^2n+i Bn -2m- 3)Bn - 2m -5) . . . C - 2m)(l - 2m)
2«i(l)!
, ж2т+1с1ж	1
6.
- m + k - l)(x2 + a2)n
1	"-—2 (-1)*
«2 _i_ Л2
ж^ + az^
[n > m + 2].
2 + a2 ^i	2m — 2k — 1	a
ж2та^ = x2m+1 _ 2m -1 2m^3
* ' B + 2J 22B + 2)	2
t dx	x	2n — 3
12.
2(n- 1)а2(ж2 + а2)те 2(n - l)a2 J (ж2 + a2
x ^	Bn-l)Bn-3)...Bn-2A; + l)
2n - 1 ^^ 2k(n - l)(n - 2) . . . (n - ife)a2
fc=i
Bn-3)!!	ж
arctg
, dx	1	ж
13. 1 -г-—- = -arctg-.
2 + а^ а	а
, с!ж	ж	1	ж
I (ж2 + а2J = 2а2(а2 + ж2) + 2^ g а"

2.16]	2. Алгебраические функции	29
f с(ж	ж	Зж	3	ж
* J (ж2 + «2K = 4а2(ж2 + а2J + 8а4(ж2 + а2) + 8^ arctg а *
а
X
X2
X
X2
ж2
\Х
(ж
(ж
z d:
2 1
+
3 1
+
Ж 1
ж2
т3
ж4
'ж
а2
• Ж
'ж
а2 ~
dx
dx
dl2
х2J
^^	I	ед^ г^с/ еду	tAJ
17' \ „ъ , ^^ = ж ~ аarctS ~-
ж2 а2 . 2 , 2
— — in ж + а
. Ж^Ж	Ж3 2,3 , X
19. —	 = —	а х + а arctg —.
1 ж2 + а1 3	а
20.
Г ж с!ж	ж	1	ж
J B + 2J	2B + 2) + 2^ tg о
J
ж
(ж2 + а2J	2(ж2 + а2) 2	а
Г с!ж
2.16. Интегралы вида	2	^-^.
ж2те(ж2 + а2)п	Bт - 1)а2х2т^г{х2 + а2)^1
2т + 2п - 3 Г	с!ж
ул (^l)fcBm + In - l)Bm + 2n - 3) . . . Bm + 2n - 2k + 1)	1
X ^	Bm - l)Bm - 3) ... Bm - 2k + l)a2fc	ж2"
з. ¦	dx
dx
2та2ж2т(ж2 + а2)п	та2
1
' о
I ^л	1	I
*J •	j?	/	•» Ч ГЦ f / ГЦ	л \	|	I	_-. п
1	2
I	X
а2)те^Л; 2а2" ж2 + а2 '

30
2. Алгебраические функции
[2.17
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
dx
ж2-(ж2 + a2) ^ BA; + l)^
dx	гУ
(l)	ж
a2"^1 g a "
x2m+1{x2 + a2) 2 ^ (m - k)a2tk
Ж2"*(ж2 + a2J	f^Q Bk + 1)^
(x2 + a2)
(-1ГBт
In
a2 *
) x
rfa;
ж2
dx
2а2 ж2 + a2 *
1 1	x
t-.
a
0ГЖ t
1
~2а2ж2 2а4111ж2 + а2"
1	1	1	ж
1	x2
1
2а2(а2
1
1 . ж2
¦ in ¦
2а4 ж2 + а2
^х 2а4(ж2 + а2
ж
а
х2
2а4ж2 2а4(ж2 + а2) а6 ж2 + а2"
с1ж
ж
g а'
2.17. Интегралы вида
1.
2.
3.
4.
5.
xmdx
m+1
2(п-1)а2 J (ж2 -
(т-2в + 1)(ж2 -а2)^1 т - 2п + 1 J (ж2 - а2)п '
xm~2dx
2(га - 1)(ж2 - а2)^1 2(га - 1) J (ж2 - а2)^1'
xm^2dx
(ж2-а2O1
х т dx
2т+1
(ж2-а2)**'
1
(ж2 - а2)п	2{п - 1)а2 [{х2 - а2)п~г
^ к Bп -2т- 3)Bга - 2т - 5) ... Bга - 2т - 2А; - 1)
~^'~	2fe(n-2)(n-3)...(n-fe- 1)

2.17]
2. Алгебраические функции
31
1
-2п+1 Bп -2т- 3)Bп - 2т - 5) . . . C - 2m)(l - 2m)
2* 1
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
k=i
Chma2
- 1)(ж2 - а2
/ 2\
2\m-n+l
j
m
[n > те+ 2].
x2m dx
k=0
2m-2k-l
-In
m-k	2
c2m+1	2m —
ж а	2 t
x2mdx _
(ж2-a2J ^^2а2(ж2-а2) + 2
x
dx	x
2
dx
(ж2 - a2)n	2(n - 1)а2(ж2 - a2)^1 2{n - l)a2 J (ж2 - a2)^1'
x ^1/ „4fc	Bn-l)Bn-3)...Bn-2A; + l)
(-1)
(n - l)(n - 2) . . . (n - ^)а2^(ж2 - a2
Bn-3)!!
r In
x + a
x ~~ a
dx
dx
x — a
x
_	1
(ж2-а2J ^^2а2(ж2-а2) + 4^
ln
x + a
x ~~ a
Зж
(ж2-a2K
16a5
x — a
x + a
x2dx at
—z	о = x	ln
dx x2 a2
ж2 - a2 2 2
ж
2 _ 2
3
2 a i
¦a x	— ln

32
2. Алгебраические
[2.18
20.
21.
22.
23.
1.
2.
х dx
1
(ж2-а2J	2(ж2-а2)
х dx	х
(Ж2 __ а2\2	~~ 2(ж2 — а2)
ж3 dx	a2
4а
In
(9	9 \ 9
ж2 — az)z
х dx
(х2	а.2J
-In
ж - а .
За .
	in
2(ж2™а2) 4
х + а
ж — а
2.18. Интегралы вида
dx
— а2)п *
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ж2 - а2)п Bт - 1)а2х2
2т + 2п - 3
(Опт J Ом	1 W™2	2W- 1
\аттъ ~т~ ^га — ill ж — я j
ул Bт + 2п - 1)Bт + 2га - 3) . . . Bт + In - 2k + 1)
^ Bт - 1)Bт - 3) ... Bт - 2к + l)a2fex2"
Bга - 1)Bга + 1) . . . Bга + 2гга - 3) Г с!ж
Bm™ l)!!a2
[см. 2.17.11].
1
- а2)п 2та2ж2т(ж2 - а2)"
+
m + га — 1
2	2\к^%
с/ж
dx
2(га - 1)а2(ж2 - а2)"-1 а2 J ж(ж2 - а2)^1'
( -\\к	( 1 \п	„2
«Ж	\---\	I
fe=O
2а2т+1
In
б?Ж
^ (т^к)а2
-л	(т — к)
¦In
BA;
2т + 1
In
ж + а
ж — а

2.19]
2. Алгебраические функции
33
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
1 Ч
1
*>
Q
о.
4
fi
7.
8.
9.
3 А
Г dx
J ж(ж2 - а2)
Г с?ж
J ж2(ж2-а2)
Г dx
J ж3(ж2 -а2)
Г dx
J ж4(ж2~а2)
Г dx
J ж(ж2~а2J
Г dx
Г а*ж
J ж3(ж2^а2J
Г dx
а2
- * Ь Ж а
" 2а2 1П ж2
1 + г In
а2ж 2а3
ж —
ж +
1 , 1 , \х
— In
2а2ж2 2а4
1 1
За2ж3 ' а4ж
1
2а2(а2 -ж2
у +
1 ж
а4ж 2а4(ж2 -
1
2а4ж2 2а4(ж
1 2
За4ж3 а6х
In ж | 61 I
Г
2.19. Интегралы вида
Г ж^ж
J (ж3 + а3)п
(га —
1 Ч 1 Ч
J ж5 + а га
Г йж
J (ж3 + а3)те
Г х dx
J (ж3 + а3)п
Г dx 1
[ ж dx 1
J ж3 + а3 6а
Г x2dx 1
J ж3 + а3 ~ 3
Г x3dx
— т» -1
Ж±
'ж3 -
хт+1
3(п- 1)а3(ж3 + а3)
Зп + 1)(ж3 + а3)те^1
rl" Г rv*m^3 ft™
-2 Л J Жз + а» ¦
Ж
За3(п-1)(ж3 + а3)
ж2
За3(тг^1)(ж3 + а3)
In (ж +а^ «
2 2 j_ i
ж — я.ж + a
In
1 '
+ -
п|х3 + а3|.
а . ж2 — ах + а2
I п
J ж6 + fl 6 (ж + а)А
.Ю. Брычков и др
а
а
2^а2
ж2
1
а5
1
2а
In
4
ж — а
ж + а
ж2
ж2 — а2
3
- а2) 4а5
1 1
2^а2) ' а
In
6 lr
ж
2а6(ж2 -а2)
1
а + b
г- In ж — а
т dx
f- а3)п *
г?г — Зп
х — а
х + а
ж2
1 |ж2^а2
5
4а7
ь
1
1 2а(а
+ 4Г
п-г 3(п-1)а3 J (ж3
т — Зп + 1
Зп-4
гг^1 За3(п -
Зп-5
п За3(п^
1 2ж
1
VI
- arctg —
х —
i.V.
а
Уз
2х
а^
Г
ж + а
ж — а
In
V
ж + а .
xmdx
lxa3)n'
J (ж3 + а3)^'
1 f
11 1 «V3
[
1) I (Тз
— а
а
— а
а*ж
+ а3)"-1'
жс!ж
+ а3)п-1Ш

34
2. Алгебраические
[2.20
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
dx
In
ж(ж3 + а3) За3
dx	I
¦in-
ж2(ж3 + а3)	а3ж 6а4 ж2 — аж + а2 а'
dx	1	1
1п
dx
а3J
2а3ж2 6а5
ж	1 . (ж + аJ
1 2ж - а
—— arctg	¦=-.
1 2ж - а
П* arctS	ТтГ-
За3(ж3 + а3) 9а5 ж2 - аж + а2 За5Уз
2 2ж - а
arctg	—.
ж а*ж
1 . ж2 — аж + а2
In
За3(ж3 + а3) + 18а4 ° (ж + а
2ж - а
ж2 dx
da;
1
1
ж(ж3 + а3J ~ За3(ж3 + а3) + За^ П
dx	1	4
dx
1.
2.
3.
4.
За3ж2(ж3 + а3) 6а2ж2
2.20. Интегралы вида
xmdx	xm+1
За3ж(ж3 + а3) За6ж
9а7 П ж2 - с
5	5	(ж + аJ
ж2 - аж + а2
4	2х - а
	— arete	¦=-.
ь7лД	ал/3
5	2ж - а
arctg ¦
алД
+
An — т — 5
(ж4 + а4)п 4(п - 1)а4(ж4 + а4)^1 Цп - 1)а4 J (ж4 + а4)^^1'
_	хт^(т - 3)а4	4
(т -
ж4 + а4 га - 3
dx	1
4 ГЖ^71^4^
п ] ж4 + а4 *
In-
ж^ - -
2
т - An + 1 J (ж4 + а4)те
arctg -
, ж dx	1	ж
5- l^r^ = ^arctg^-
6.
х2 dx	I . ж2 —
In
¦а" . 1

2.22]	2. Алгебраические функции	35
J ж4 + а4 4 v	;
xmdx _ xm+1	S-m f xmdx
#	I / Л ,	/I \ О	л	A / A ,	A \	I
а4J 4а4(ж4 + а4) 4а4 J ж4 + а4 '
. dx	ж	3	x2 + аж^2 + а2
D + 4J ~ 4а4(а4 + ж4) + Ша7л/2 ° ж2 ~ аж^2 + а2
3	ажл/2
arctS 7^	Z2
,	Ж dx	X	1	;
"• TZ2 i Uv2 ~ TTiTTi i ™4\ "г" /i « arctg ¦
«Jy tt«X/	f//	X	_	e//	(Jj tX/ "\/ <U ~j°~ (Jj
. ж <^ж	ж	1
D + 4J ~ 44D + 4) + 5/ °
(ж4 + а4J ~ 4а4(ж4 + а4) + 16a5i/2 ° ж2 +
H	:=¦ arctg —^
8а5л/2	а2
а4J
2.21. Интегралы вида
1.
жт(ж4 + а4)п'
1
rpiri (rp4 i Л4\п	(тп 	 1 >\/14/v.m —1 ^/«4 _i_ Л4\те™1
m + 4n — 5 Г	dx
1 f	dx	1
j2.
a4 J жт(ж4 + a4O1 a4 J жт~4(ж4 + a4)n '
, dx	1 , ж
3. ——	7T = т-г In
4.
5.
ж(ж4 + а4) 4а4 ж4 + a4
с!ж	1	1
ж2(ж4 + a4)	а4ж a4 J ж4 + a4 "
dx	11"
"" I / Л . Л \ <Л л Л / Л	Л \ "Т" j О
7.
1 , ж4
ж(ж4 + а4J 4а4(ж4 + а4) 4а8 ж4 + а4'
dx 1 ж3 5 Г ж2 dx
ж2(ж4 + а4J	а8ж 4а8(ж4 + а4) 4^8 I ^4 -u ^'
2.22. Интегралы вида -—	тт—.
J (ж4 - а4)-
. xm dx _	xm+1	m - An + 5 f xm dx
I /	A	A X „„ ~°~~	a /	-* X	A /	A	A \ 		"I	'
4(га - 1)а4 J (ж4 - а4)^^1 -
_ 	ж	 (шЗ)а
~ (т - An + 1)(ж4 - а4)^™1 m - An + 1 J (ж4 - а4)п '
з*

36^
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
2. Алгебраические
[2.23
xmdx
х4 — а4 т — 3
4
dx
х dx
4а3
In
In
X
ж -
x -
2 _
- a
2
- тгч arctg-.
2а3	а
x4 - a4 4a2 x2 + a2 '
x dx
= — In
x4 - a4 4a
x — a
x + а
1	ж
— arctg-.
za	a
ar dx
= -In
m — 3 Г хт dx
Xй1 dx	xm
(ж4-a4J ~ ^4а4(ж4 -a4) ' 4a4 J ж4 - а'
dx
(x4^a4J	4a4(x4^a4) 16a7
In
x dx
ж
(ж4 — a4J
ж2 с!ж _
(ж4 - a4J ~ ~4а4(ж4-а4) ~ 16а5
4а4(ж4-а4) 8а6 |ж2 - а2
ж3
In
ж — а
ж + а
-—^r arctg -.
Sa5	a
1
(ж4-а4J	4(ж4-а4)°
2.23. Интегралы вида
dx
dx
xm(x4 - a4)n'
1
xm(x4 - a4)n (m - 1)а4
dx
¦ +
m + 4n — 5
dx
dx
3.
4.
5.
6.
7.
dx
ж(ж4 - a4)	4a4
In
+ ^
1 Г х dx
: — а4"
dx
2а4ж2 4а6 ж2 + а2
1	1
1 - а4) + 4а^ "
dx
х4 - а4\
5 Г ж2 dx
4а« ж4 -а4

2.24]
2. Алгебраические функции
37
1.
2.
3.
2.24. Интегралы вида
xmdx
x±mdx
(аж4 + bx2 + c)n"
жт~3
4.
5.
6.
7.
8.
(аж4 + 6ж2 + с)п (т - An + 1)а(аж4 + 6ж2
(га — 3)с [* хт~4 dx	(га — 2п — 1N
(га — 4п
а J (аж4 + 6ж2 + с)п (т - 4п + 1)а J (аж4 + 5ж2 + с)п '
dx
Xй1 dx
xm dx
+ bx2 + c)" a J (аж4 + bx2 + c)n
b f xm^2dx
a J (аж4
abx3
62 - 2ас)ж
(аж4 + bx2 + c)n 2(n - l)cF2 - 4ас)(аж4
(An-l)ab	Г	ж2
2(п — 1)сF2 — 4ас) J (аж4 + 6ж2 + с)
2(п - 1)F2 - 4ас) + 2ас - б2
2(п — 1)сF2 — 4ас)	J (аж^
а'ж
жто(аж4 + Ьх2 + с)п	(т -
(т + 2п- 3N Г
(т - 1)с J
т^2(аж4 + Ьх2 + с)п
(т + 4п — 5)а
dx
ах4 + 6ж2 + с Jb2 - 4ас
- Aac J 2аж2 + Ъ + %/Ь2 - 4ас
[б2 > 4ас].
а . ж2 + 2ж \/с/а cos (а/2) + \lcla
sin — In ¦
4 v'асъ sin а \_ 2 ж2 ^ 2ж у/с/a cos (а/2) + у/с/а
а	ж ус7«
¦ 2 cos — arctg
2	2ж ^/а sin (а/2)
1.2 ,
о < 4ас: cos а =
4у/сBу/ас - Ь) у/а ж2 -
у/а х2 + \/2у/ас — b ж + ^/с
in ——		=	— +
- 6 ж
arctg -
/ах— ус
-Ь)	" ху/2у/ас +6
абж3 + (б2 - 2ас)ж
(аж4 + 6ж2 + еJ ~ 2сF2 - 4ас)(аж4 + Ьх2 + с)
[а, с > 0; б2 < 4ас].
с!ж
dx
ab
ж а*ж
6^ - бас
2аF2 - 4ас) J аж4 + 6ж2 + с ' 2с(Ь2 - 4ас) J аж4 + 6ж2 + с'
[б2 > 4ас].

38
2. Алгебраические
[2.25
10.
11.
12.
2ах2 + 6
b + \/b2 — Aac
ах4 + 6ж2 + с	Jb2 - Aac J 2аж2 + b + x/b2 - Aac
b2 - Aac J 2аж2 + 6 - x/b2 - Aac
[b2 < Aac].
[b2 > Aac].
Аа) - bf(Aa)]1/2
x dx
x2 - 2[л/с/Dа)
x dx
4acl.
2.25. Интегралы вида ж т(ах + 6ж + с) п dx.
1. I ж (аж + ox + с) ах = —
(m + nA; + Aj + 1N
(m + l)c
2.
3.
(m
ж
(m + l)c
fc)n nA;6
w + 1 _
2nka Г m+2fc/ 2fc , i k , \n—l *
	 ж	(аж + ох + с) аж.
c)n+1 (m -
(m •
x \xm 2k(ax2k+bxk+c)n dx-
4.
5.
(m + nk — k + 1N
2пкс
ж аж
m + 2nk + 1
nkb
k+c)n dx.
' dx.
(ax2k + бж18 + c)n (m — 2nk + l)a(
(m — 2fe + l)c Г ж"'
(m — 2nk
(m — nAj — k + 1N
(?7l — 2flfe + l)tt
xm~kdx
bxk + с)те *

2.27]
2. Алгебраические функции
39
6.
dx
1
xm(ax2k + bxk + c)n	(m - 1)схт~г(ах2к + bxk + c)^1
(m + nk — k — 1N Г	dx
J
(m - l)c	J xm~k(ax2k + bxk + c)n
m + 2nk — 2^ —
(m -
xm~2k(ax2k
2.26. Интегралы вида \хт ' (ах ± Ъ) п dx.
1. ж
2.
„™+1/2
(ar ± b)n dx -
[ax±b) dx^
dx
n dx - 2xm+3/2
dxlx
-fe k
X
k=0
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
(ах±Ь)п	(п-1)а
2 f t2m+2dt
2т + 1 Г ж
\п	1 ' г) /	-1 \	I /
J	z^tt, — ija J ya
da?
an J (t
аж ± б)"™1 *
= \/ж; см. 2.15.11-12, 2.17.11-12].
dx
ax + b	a
^,3/2 ^
Bm - 2ife
-2 4
a) J ж1/2(аж±&)-
За2
+ 2ГТ
аж
T
3\l/2
а"
(аж + feJ	а(аж + 6)
a;3/2rfx 2аш3/2 + Збж1/2
1	/аж
arctgyT.
1/2
ж с/ж 2ж	I b \
-3 Кг
ах — b	а	\ал
х3/2 dx 2аж3/2 + ббж1/2
In
— ^аж
ах — b
За2
ж1/2
&3\1/2
1
j ах
+ ^аж
(аж-6J	а(ах-Ь) 2(а3ЬI/2
с!ж 2аж3/2 -
In
л/b — у^а
л/Ъ — а/ох
(аж-6J	а2(аж-6)	2 \а3
(аж ± 6)
1/2
2.27. Интегралы вида
л f (аж ± b)n f
1. 	— аж :=::
In
¦ йж.
аж
+ \/ах
— х/ах
ж
т-1/2
- 2т

40
2. Алгебраические
[2.28
2.
Т
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
dx
жт+1/2(аж ± 5)п Т ^2т _ l)bxm-l/2(ax ± ^п~1
Bт + 2п - 3)а f	б?ж	_ 2 Г	d?
с ± 6)те ~~ ате J t2m
Bт-:
dx
(t2 ± Ъ/а)п
2	/ах
j arctg,
dx
1	/аж
arctg 4 /--.
dx
с+ 6) (а63)!/2
Заж + 26	_/а\!/2
In
а \1/2,
— д/аж
+ Jax
In
л/Ь +
— i/аж
26 - Заж
2.28. Интегралы вида
^2 1б^) 1П
¦ dx.
— -^аж
+ \/ах
1.
2.
3.
4.
5.
6.
¦ dx =
„"г + З/2
¦ dx =
2m -I
An — 2т — 7
4(п- 1)а2
¦ а*ж.
ж^ + а^
ж2т + 3/2
ж2 + а2
^3/2 Л^»
¦ dx = 2
In
4гя — 4к + 3
(-«2);г д5
4т ^4^ + 1
ж + а — \/2ах
х
х* + а*
^3/2 лГ^
х + а + у 2аж
arctg
In
ж + а — у 2аж
ж + а + у 2аж
ж — а
а	у 2аж
- arctg
2	ж — а

2.80]
2. Алгебраические функции
41
2.29. Интегралы вида
х
т + 1/2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
¦ dx = —
ж2 -
т+З/2
(г**2 	 •-*2 in	^}I ryi, 	 1 \ л2 / na2 	 *~§2 \ т& — I
An — 2m -7 f x
ж2т'
Ж2 -ft2
ж2т + 3/2
Ж2^
ж2-
^а2
-а2
dx =
2те- 1
4(п^1)а2
„т-З/2
а
2m Г ж
a
то —1
4т - 4Л + 3
а2"
4т - 4fc + 1
в1/2 dsr
In
V
V
2
^ —
1 In
yfo>
л/а
\/х
1 ,—
х/х + ^а
, 2
\ CL
arctg W - .
V a
dx
г.2 _ „2*
tt arctg \ — .
V а
2.30. Интегралы вида жт(аж + b)n+1/2 dx.
\п + 3/2
ат^
2. (аж + Ъ)п+1/2 dx =
3.
4.
dx =
2
2mb
2(ax + 6)
3/2
7ra+l
5. | (ах + &I/2 dx = — (аж + 6K/2.
oft
6.
7.
8.
15a2
¦ dx.
61	3/2
3 (а ]

42	2. Алгебраические функции	[2.31
9. l(ax + bf/2dx = — (аж + 6M/2.
J	5»а
10.	[ х(ах + 6K/2 da = 2EаЖ 2Ь) (ах + 6M/2.
11 Г 2/ ,мз/2,	2 [(аж + 6J 26(аж + 6) б2]	5/2
11.	х (ах + 6) 7 с!ж = —	—	^—	 + — (ах + 6) ' .
J	а [ "	•	5 J
12.
2
а4| и	9 +^f^-"T\{ax + b)'»
2.31. Интегралы вида	^	с?ж.
2(т-1N
Ъ)
п + 1/2
+ 1)Ь Г
2т + 3 J
Bп - 2ш + 3)жт
х	2п + 1
Ь
¦ (аж + feI/2	(ах + 6K/2 E - 2ш)а Г (ах + 6I/2
'	~	(l)te-1 + 2(l)b J	-1
¦ (аж + 6)
о.	аж —
If:
(ах + бI/2	аж + 26 .	l\1/2 fl2
ж3	46ж2	86
Г (псг, + hK/2	9,
8.
9.	^	^	dx = -±	—^	+ — ^	'-	da.
J ж2	6ж	26 J ж
1П Г (ах + &K/2 л	^ ! ^ а V , ^5/2 , За2 f (ах + бK/2 л
10.	^	^	da = - ( т—Т + тт^ (аж + 6) 7 + -—¦ ^	'-	dx.
J ж3	\26ж2 462ж/	262 J ж

2.83]
2. Алгебраические функции
43
11. l^±^dx=
In
,11/2,
\l/2
(ас
2 arctg
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
2.32. Интегралы вида
xmdx	2
ах + b
xmdx
(ax
!(аж
2т - 2п -
2п - 1)а(аж
2mb
Bm+ 1
¦ r\m — k
m+i
x dx	2(ax — 26)
3a2
Ьб)!/2
ldx
(ах + bI/2 ~~ а1 [ 7
с!ж	2
а62ж
(аж + 6K/2
2(аж + 26)
(аж + 6K/2 а2
2 Г(аж + 6J
(ax + 6K/2 a3
ж3 dx
(ax + 6K/2 =
+ &) ~
1.
2.33. Интегралы вида
dx
dx
жт(аж
(т - 1)жт^1(
+ Ь)п+1/2
Bп
ff:
[ас+ 6 > 0],
[ас+ 6 < 0].
xm~1dx
dx

44
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
1.
2.
2. Алгебраические
[2.34
2т
Bn — t)axm(ax -
= 2am~1
dx
dx
\t = л/ax + b ; cm.2.16, 2.18J.
1
dx
6I/2 Bm-3)a
- 1N j ж^^
dx
In
2	(аж
arctg ——
(аж + 6I/2 а
dx
Заж - 26
462ж2
2
26 J
»\i/2
|!|.
+ l
dx
dx
™3аж — 6
За
dx
х2{ах + бK/2 62ж(аж + ЬI/2 262 J ж(аж + ЬI/2 '
dx	A	5а 15а2 \	1
ж3(аж +бK/2	+	+
15a2
^б3™
с/ж
(аж + 6)
1/2.
(а,
2.34. Интегралы вида [(аж + 6)±т+1/2(сж + d)±rH
+ 6)то+1/2(сж + с1)п+3/2
¦» + 1/2 J^» _
- 6с)
= (сж + d)
n + 3/2
1)Bт -l)...
2)с
3)(ad -
(т + n + 2)(m + п -
х(аж + 6)^й+1/2
п - А; + 2)сЛ+1
/аж + 6 х
у^ Bп + 1)Bп - 1) . . . Bп - 2А; + 3)(ad - 6c)TO+fc+1
^ 2к(т + п + 2)(т -\- п -\-1) . . . (п — к -\- l)afc+1
x (ex
dx
¦6)(cai + d)

2.84]
2. Алгебраические функции
45
3.
4.
1	(ax +
l)(ad-bc) Г (аж + fe)m~1/2
J
(m-n
(еж + d)n+V
da;.
(ax + b)w
Bn-l)(ad-6c)
2(n-m-2)a f (аж
Bп - l)(ad - be)
5.	= (ax + b)m+3/2 x
n-—m-—2 у	ч /	ч	,	j
(п — т — 2) (га ~ т — 3) . . . (га — т ~ к ~
х
Е
fc=O
Bn - l)Bn - 3) . . . Bn - 2k - l)(ad -
[n ^ m + 2].
6.
dx
(ax
Bm - l)(ad -
2(m + n^ 1)
Bm- l)(ad- 6c) J (аж
7.
(rra + га - l)(rra + ra - 2) . . . (rra + ra - ^)(-2)fe+1cfc
Bm - l)Bm - 3) ... Bm -2k- l)(ad - Ьс)к+г
iy-л (m + ra — l)(m + ra — 2) . . . (ra —
8.
9.
10.
11.
Bra - l)Bra - 3) . . . Bra - 2A; - l)(ad - Ьс)п+к+г (сх + d)n^k^
dx	2
In f л/с(ах + b) + \/a(cx + d)
[oc > 0; ж > max(—6/a, —d/c)].
In K/-
1	. с(аж + b) + а(сж + d)
arcsin ™v
/-ас
da?
\ad-bc\
ac > 0; ж < max(—6/a, —d/c)].
[ас < О].
(a? — а)^/(аж + b)(cx + d)
¦In
г 	 	-i:
\y(ca + d)(a» + 6) - у (а« + 6)(сж + d) I
[(aa + 6)(ca + d) > 0; (ca + с?)(аж + 6) > 0; (act + b)(cx + d) > 0].

46
12.
2. Алгебраические функции
[2.35
1
- у/-(аа + b)(cx + d)
13.
|ж — a\
[{act + 6)(ca + d) > 0, (m + d)(ox + 6) < 0, (aa + b)(cx + rf) < 0].
1
6)(ca + d) < 0 .
X arcsin	tfp[{
|(aa — bc)(x — ol)\
2.35. Интегралы вида жр(аж + 6) 1'n dx.
. \f(x, ^fax + b)dx = -\f(—^,t)tn~1dt
J	a J V a /
. [Жр(аж + 6I/тес1ж =
= 7	~/ аж + 6) ' — 7	г— яг аж + о) 7 dx.
{пр + п + 1)а	(пр + п + 1)а }
3.
4.
6.
6I/п	(аж + 6I+1/те (тп - 2п - 1)а Г {ах + 6I/п
т	{ ^Ь™1	{ l)b
(га — 1Nжт^1	(га — l)nb J хт^г
6)
1/п
¦ = п(ах + ЬI/п + п61/п [ ^^
=
« (тп + п-1)а
8.
9.
t =
mnb
/п; см. 2.з].
+ п - 1)а J (ах + 6)х/п
т- k
dx
(ax
2.36. Интегралы вида (ж - а)±т(ах + b)p/n dx.
	^
+ п + р)а
т^
(тп +
+ n + pja J

2.87]
2. Алгебраические функции
47
2.
3.
\l+p/n
га (га — 1) . . . (га — А; + 1)
Ъп
^ (ran + p + п)(тп + р) . . . (ran + п + р — fen) \ a
т	Пк ( глк
У т	г^—7	(аж + 6)
^^ (га - fe + 1)п + р
ат+1
4. I {ах + Ь)р/п dx = . " . (ax + bI+p/n.
(п + р)а
5.
6.
^2)п^р]а Г (аж
(т - 1)(аа + 6) (ж - а)™1 (т - 1)п(аа + 6) J (ж - а
= (ах + 6)
1+р/п
. (т — р — 2п)(тп — р — Зп) . . . (run — р — пк)ак 1
(т - 1)(ш - 2) . . . (т - к)пк~г(аа + 6)fc
1	р(р + 1) . . . (р + т - 1)ат^г Г (аж + 6)р/п
7.
8.
(т — 1)га — р
с!ж.
(аж +
\ 1 — то+р/п
[аа + 6 = 0].
уп - 1
Г	/	4-
2.37. Интегралы вида (ж — а) т (
J	\сж +
rfj, |у= ?/^±^; см. 2.3|.
с?ж.
еж + d
ac(in - 1) ' V с J (in - I)
c(ax + 6)
а(сж + d)
2.
р/п
с/ж =
/
cж + a/	а \сж
p(ad^bc) [а\р/п
р/п
+
еж + (
i
dx = ¦
fS<" [
„ с(ах + Ь)
t= ?/-)	f^; см. 2.3
а(сж + а)
/
(гм + 1)ас	\сж + d
(ad — bc)p + mniad + 6c) f т^1
	7	\	 x
(гтг + ljnac	J
l)ac

48	2. Алгебраические функции	[2.38
Л Г fax + b\ , (аж + &)(сж + с!) f ах + Ъ\р/п
4. ж [ 	:	dx =
J	+
+ &)(сж + с!) f ах + Ъ
[	:	dx	—
\сх + а у	2ас	\сж + ау
p(ad - 6с) + n(ad + 6с) Г /аж + 6х р/п
2nac	J \еж + i
+
с!ж.
(х — a)m+1 у еж + d у	(ж — a)m уеж + о1,
о?ж + D
(ж — а)т \сх + d/	J (ж — а)т 1\сж + а1у
1	~п(т — l)(ad + be + 2аса) + p(ad — 6с)
?7l (ft О! + 6)(СО + d)	ТППуСКХ + 6)(ctt + d)
— {m — 2)ас
p/n
6. 1^— i^^-Л dx =
-b\p^n( t13™1 /a\p^n Г spml
— I	—	 dt — n I — J	—	 rfs
(aa + 6)(сж + d)	у о(сж + <
жр/п а'ж
2.38. Интегралы вида
, «, ^^	жр/п+1	( Bт - 3)п - р f жр/п dx
Г жр/пс
' J (ж2 + а
(m-l)a2(x2 + a2)m^1 + 2(m - 1)ш2 J (ж2 + a2
= жр/п+1
Bmn — 3n — p)Bmn — bn — p) . . . Bmn — 2kn + n — p)
2.	= жр/п+1 x
fe=i
(m - l)(m - 2) . . . (m - ^п^-^га2)*	Х
1	(n - p)Cn - p) . . . Bmn - 3n - p) Г жр/те rfa;
r2 i n2\m~k	(тп — -[\}О.п2>п\гп-1	«.2 i Л2 -
. ж аж ___ n p/n—i 2
2 + 2
ж2 + а2 р — п	' ^2 -•- л2
4. '	dx
г(,Р I П А гг,	1
5. —z	г- = -г:	7~ X
ж2 + а2 а1^Р'п
n —1
sin	ртг In 4/ ж2/п — 2а1/пж1/п cos	тг + а2/та
1/п _ 1/п
4^ + 1 ж1/п - а1/п cos DA; + 1)ж/2п
+ cos	ртг arctg	1/п — —-—т^—
[р = 1, 2, ... , п- 1; а > 0].

2.40]	2. Алгебраические функции	49
Г жр/п dx
2.39. Интегралы вида -г—т	гт—.
J (р2 _ п2\т
Г <r>.P/n dr.	гг_Р/п+
1.
(ж2 - а2)т	2(т - 1)а2(х2 - а2)^1
Bт -3)п-р Г хр/п dx
2(т-1)па2
2	— жр/п+1 х
иу—ч , ,к Bтп — Зп — р)Bтп — Ъп — р) . . . Bтп — 2пк + п — р)
, (п — р)Cп — р) . . . Bтп — Зп — р) Г жр/п <
-(-1У
з.
'
ж - г р — n
	 _ пхг~р/п 1 Г	с!ж
J tn -I
5. —^	r- dx =	 —	— at —
2
k = (ж/аI/", а > 0; см. 2.з].
2.40. Интегралы вида Iхт(х2 + а2)те+1/2 dx.
2.
Bm - l)Bm - 3) . . . Bm - 2fe + 1)	2k 2m-2k-i
а X
Bm-1)!! a2	^^ + аг)п+1Г1 dx.
.9-1-19	9 -1 '	— - *" ^ТП-*:'''-2
3.	ж^+^ж' + а2)"
4.	| Ж(ж2 + a2)n+1/2 dx = —^— {x2 + o2)n+8/2.
4 А.Ю. Брычков и др.

50	2. Алгебраические функции	[2.41
2(га +
п
2 . 2\п , \~^
fe = l
т i 1\11 2те+2
--j-^—- In [Ж + (Ж2 + а2I/2]
2 ¦ 2\3/2
,2т(^2 JL ^2^/2 Л^ _ 1Ж +а J	х
р
rf	2m/ 2 , 2\1
7. ж (ж + а )
2(га-
х ¦ aro-i , g( 1)fcBm-l)Bm-3)...Bm-2fe + l)^w
8. [(Ж2 + а2I/2 da; = | (х2 + а2I/2 + у In [ж + (ж2 + а2I/2].
9.
10. I Ж2(ж2 + а2I/2с1ж =
= 1 (ж2 + а2K/2 _ Л (ж2 + fl2I/2 _ а^ ь [ж ^
4	о	о
J1	2
3/ 2 . 2\1/2 j J- / 2 , 2\5/2 а / 2 , 2\3/2
ж (ж +аO йж = - (ж +а);	— (ж +аO.
5 о
1П	/ 2 . 2\3/2 i
12.	(ж + а ) ; аж =
- ^ fT2 _i_ о2K/2 + За Ж (г2 + о2I/2 4- — In Гт 4
4	о	о
13.	f х(х2 + a2f'2 dx = - (x2 + а2M/2.
J	^
Ml 2/ 2 , 2\3/2 j ж / 2 , 2\5/2 а х / 2 , 2\3/2
15. [ х3 (х2 + a2f/2 dx = - (x2 + а2O'2 ^-{х2 + a2f'2.
J	7	5
Г (ж2 + а)
2.41. Интегралы вида	^	dx.
(ж2 + а2)те+1/2
-т + 4 Г (ж2 + а2)"+1/2 ,
ах.
( 772 -Lift Ж
2?г — in + 4 Г (ж2 + а2O1
(m~l)a2 J	xm~2
2.	= -7 ' V	 4 ^^ f (g2 + a2)W 2 da..
(m- 1)хт^г т-*	~* °

2.41]
2. Алгебраические функции
51
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
а
2)п+1/2
¦ dx = —-
+
(-2)fc(m - n - 2)(га - n - 3) . . . (га - гс - А: - 1)
Bт - 3)Bга - 5) ... Bт - 2fc - lja2*^2™*-1
(m - п - 2)(т - п - 3) . . . (-п)(-п -
dx.
[т ^ п + 2].
ж2т + 1	2 n, — 2m + 1
ул Bп -2то + l)Bn - 2т + 3) . . . Bп - 2т + 2к - 1)
Х ^	2fem(m - 1) . . . (га - к + l)a2fex2TO~2fe+2
Bп - 2т + 3)Bп - 2га + 5) . . . Bп + 1) Г (ж2 + а2)те+1/2
I
т!Bа2;
- d X =
к=0
2п-2к
a2n+1
2 "
(х2 + а2I*2 - а
а2I/2-о1
1п [х
х-3
2ж2	2а
ж	3
—г-^	 С1Ж =
Ж^
(Ж2 + а2K/2	3,2| 2x1/2 , За2	г . / 2 . 2x1/21
	h - х(х + а ) 7 + ^^ In [ж + (ж + а ) ' \
XL	A
¦ с!ж =
+
3 2 2 1/2 _ За а + (ж2 + а2I/2
2^ +tt J	2 1п	\х

52	2. Алгебраические функции	[2.42
15.
1.
*>
Q
/|
6.
7
J
J
2.42.
f
[
J \^
_i_ *
l
Г т
Г 9
f
fc=O
2 _|_ a2\n + l/2
Интегралы вин
жто+1
Bп-1)а2(ж2 +
ж2-1|Т2П)(ж2^
р 2к(п-т-1)(п
^ Bп^3)Bтг^
2n(n-m-
2m-2n \^ ('
2-йЖ (x2=la2
+ О2I/2 2т
Г ж2п-2^ж
J (ж2
f X
J («2
r
:2m+1 da; _ у.
_j_ а2\п + 1/2 <2п -—
/2 _|_ 2\1/2 Г
1 /ж2 + a2\n^fc+1^2
(ж2 _|_ а2)п+3/2
Г xmdx
П «1 I
Щ J (ж2 + а2)-+!/2'
1
1 2п ~ т ~ 2 1
¦а2)-^1/2 Bn^l)a2 J
(m- l)a2 Г
г2^п^1/2 т ^ 2n J (ж
L/ 2 ¦ 2\1/2 Г -I
^ж +а j 1
!п-1)а2 [(ж2 + а2)те
— т — 2) . . . (п — т — к)
2 1/2
-1Г х—&
-1 J (ж2 + а2)та^1/2
xmdx
{X -\- а )
а"» 1 ,
-Ъ)...Bп-2к-1) (ж2 + а2)те^] '
l)(n-m-2)...(-m + l)(-m) f x2m dx
X
- l)Bm-3)...Bm-2k-
- l)(m- 2) ... (m- A;)
ж2"™1
iW/r.2 _i_ fl2\n — l/2 '
( ¦% \тп~~\~к-{-1 ^~чк ^2771 — 2fc
п- 2к - 1)(ж2 + a2)n^fc™1
ж
1
1
/ 2 _1 2\п '
ffe + 1/2
f 1) 2fc 2m^2fc^l]
|U2 /«.2 4_ n2\n — l/2 '
LJU, J \d, T U )
1 1
Bn - 3)Bn - 5) . . . Bra - 2ife -

2.43]
2. Алгебраические функции
53
11.
12.
17.
18.
19.
2
Ч
о
Q
Ч
ч
г
|(ж2
(ж2
|(ж2
г
[•'
J (ж2
г
.43.
Ж2т(
ж(ж
!
а2"
ж с/ж
+dx)n+
ЦТ'2
х+31I/2
+dx2I/2
ж с/ж
_|_ а2K/2
_|_ а2K/2
Е
fe=O
1/2
(
- -
¦ — -
(-1)
2Jb +
п[жН
а2(ж2
(х2
х2-
_|_ а2K/2 (ж2 +
Интегралы вi
^ж
с2 + а2)"
Bга - 1]
Bга
(га
dx
х2 + а2)
п-1
¦+1/S
1/2
г
1
1Я.т-]
^2
Bг
¦2А;-
IV ж2
ж
1
+ a2)V2 +
Ь2а2
а2I/2'
я Д я т /
1
1
1
у
а2т+2п ^
т-\-п-—1
S ^
1
1
-1)а^{х-
х2 у^а
i + «2J
Л
а2(х2 + а2I/2.
1п[ж + (ж2 + а2I/:
с!ж
т + 2п^ 2
V2 ' Bга ^ 1)а2 j
гга + 1 Г
2га-1 Г
I 1 |
2 + а2)те"|е^1/2
Г dx
rp тп ( rp 2 i |Г|2|71* —1/2!
б!ж
^2(ж2 + а2)те+3/2
[ ж ]
dx

54
2. Алгебраические
[2.44
7.
8.
9.
10.
11.
12.
dx
g2I/2
dx
а	\х
(J^
-a2I/2
dx
2а2х2	2а3
1	1
In-
ж(ж2 + а2K/2 а2(ж
dx	_
ж2(ж2 + а2K/2 ~ ^а4
2x2 + a2
ж3(ж2 + а2K/2
3	+ 3
2.44. Интегралы вида
2а4(ж2 + а2)!/2 2а5
dx
1.
2.
(Ж + Ъ)П(Х2 + a2)V2	(п _ l)(a2
¦In
1.
2.45. Интегралы вида , _
I I HP** ¦
dx
f/j»2 _i_ K1\tt% (rni _i_ л2
2(Ш - 1)(а2 - 62N2(Ж2
Bт - 3)а2 - Dт + 2п - 6N2
2(т - 1)(а2 - 62)&2	J (Ж2
т + п — 2
(т- 1)(а2 -
2.
еду	| L/ I 1 еду	j l*v I	1 *"' • ^	-*- I I ^-*'	t-' I I-*'
Dn - 3)a2 - Bn - 2)&2
Bп - 1)(а2 -
- 2N2 Г
)а2 J (ж2
Bn-l)(a2-62)a2 J (ж2
dx

2.46]
2. Алгебраические функции
55
3.
4.
5.
dx
(х2 + Ь2)(х2 + a2I/2 b(b2 - a2I/2
arctg
In
[62>a2].
¦In
2.46. Интегралы вида хт(х — а )п+ ' dx.
1. Lm(x2~a2)n+1/2dx =
2.
т + 2п + 2
2 _ Л2чп+3/2
v	'	2т + 2п + 2
у^ Bm^l)Bm^3)...Bm^2fc + l) ^^m-^-i
^ 2к(т + n)(m + п — 1) . . . (m + n — А; + 1)
Bш^1)!!а2то
3.
2т(т + n + l)(m + п) . . . (п + 2)
J!L , o2(m~fc)/ 2 _ 24n+fc + 3/2
fe=O
л Г / 2	2\n+l/2 i	1/2	2\n + 3/2
4. ж(ж - a ) ^ ; dx = -——(ж - a ) ^ 7 .
J	2 + 6
2n + 6
5. J(x-a)
а2)п+1/2
+ 1)а2 f
__ j (
6.
ф^-а2I/2
2(п + 1)
7.
(Ж2 - а2K/2
2(т + 1)
X Ж
- 1) . . . (m -
Bт- 1)!!а2

56
2. Алгебраические
[2.47
2 ~~ a2I72 dx = - (ж2 ~~ а2I/2 - ^-
2 - а2I/2
8.	(ж2 ~~ a2I72 dx = - (ж2 ~~ а2I/2 - ^- In |* + (х2 - а2I
J	2	2
1
л	/ 2	2\1/2 j	-1 / 2	2\3/2
9.	ж(ж — а ) ; ах = - (ж — а ) 7 .
J	*>
10.
= | (х2 - а2
(ж2 ^ а2I/2 - ? 1„ |ж + (ж2 -
11. [ж3(ж2 - a2I/2 d* = i (x2 - а2M/2 + ^ (х2 - а2
J	5	3
12. [(ж2 - а2)
2 - а2K/2 da; =
13.
2
-г л 12/2 2\3/2 j ж / 2 2\5/2 , а х / 2 2\3/2
14. I ж (ж — а ) ' ах = —¦ (ж — а ) 7 + ^— (ж — а ) ' —
2 2
1х а
ш Iх
2	2x1/2,
tt ) I
15.
- a2K/2 dx = \ (х2 - а2O/2 + -к
(х2-а2)"
а2M/2
2.47. Интегралы вида
(ж2 ^а2)п
¦ dx.
ш-2п-4 f (ж2 - а2)п
I
(т-1)а2 J	xm^2
J
их.
2.
(ж2 ^а2)та+1/2 2n- I f (ж2 ^а2)п
(ш-1)жт т-1
(^ _ Л2чп+3/2
2к(т -п- 2){т - п - 8) . . . (т - п - к - 1)
^ Bш - 3)Bш - 5) ... Bт - 2к - 1)а2к	х^^к-
2т(т -п- 2){т - п - 3) . . . (^n)(^n^ 1) Г 2 2ш
Bт- 1)!!а2
dx.
4.
5.
(ж2 - а2Г
[m ^ n + 2].
2 - а2)п+1/2
F2n
dx =
' l^o ^2n ~

2.48]
2. Алгебраические функции
57
6.
¦ dx = —-
2п - 2т + 1
^ fc Bra -2m + l)Bra - 2m + 3) . . . Bra - 2m + 2k - 1)
—'	2km{m — 1) . . . (m — к + l)a2kx2m^2k+2
t , чт Bга - 2m + 3)Bra - 2m + 5) . . . Bra + 1) f (ж2 - e2)n+1/2 ,
(—1) 	. ^ »ч„,	 I 	ax.
т\ Bа2
r. [i^^r
¦ dx =
/ 2	2\l/2
. Ж -a '	2	2x1/2
8. I 	аж = (ж — a ) ' —aarccos
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Ж
- о2I/2
dx = — -
ln
(я2-а2I'*	(ж2-а2I/2 1
сеж =h
2ж2
2а
(x2 - a2K/2
-1
= — (ж ^аO ^а(ж ^аO +а arccos
о
ЗЖ . 2	2x1/2 За
— (ж -аO ~—
1п
, / 2
ж + (ж -а
x1/2
O
(ж2 - а2K/2
с!ж = — -
2ж2
3 / 2 2x1/2 За
¦ ~~ (х — а ) '	arccos
¦ dx =
= - V-
1п
ж + (ж2^а2I/2
15.
2.48. Интегралы вида
1.
2.
3.
(Ж2 - a2)-
Bга — 1)(ж2 — а2)п"
I	f*?T} 	 1 ^л2 I ('rni 	 />2\п —
I/Jifc JL IU J Iti/	U, I
/	1 \ 2 r>	m —2 i
(rra — 1)а	ж аж
О I  9	9 \ tj
тга — In J (ж —- а j

2. Алгебраические
[2.48
4.
x2mdx
(Ж2 _ a2)n+i/2
(n - m - l)(n - ra - 2) . . . (n - ra - ife)a"
2 - a2)»-*
^ Bга - 3)Bга - 5) . . . Bга - 2А; - 1)(ж2 - а
(-2)п(п - га - 1)(га - га - 2) . . . (-га + 1)(-га)
+	Bп-1)\!а2п
5.
6.
k=0
2 -
771 + 1].
x2mdx
2т
Bra-l)Bra-3)...Bra-2fc-l) 2fe 2
¦ ci ж
- l)(m - 2) ... (m - A;)
2mml
•In
7.
8.
9.
10.
_ a2)n-l/2 •
(ж2 - а2
2n^2k^ l)(x2 - a2)»
(ж2 - a2
™ 2
dx
Р2 _ л2ч1/2
Bn- l)a2
- l)(n - 2) . . . (n - k)
11.
12.
13.
14.
15.
16.
(ж2
(ж2
(ж2
(ж2
а2п
х dx
dx
х dx
х2 dx
^ Bra - 3)Bra - 5) . . . Bra - 2A; - 1) a2k(x2 - a2)n^k\
^r^ ( —lj ^k I x
01, ¦ 1 Cn^l\
1
Bп - 1)(ж2 - а2)
ж + (ж2 — а2I
ж(ж2-а2I/2 «!
2	+ 2
^ a
2f/2
a2I/2

2.49]
2. Алгебраические функции
59
17.
18.
19.
20.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
dx
(ж2-а2K/2
х dx
(ж2 - а2K/2
х2 dx
(ж2 - а2K/2
-In
(ж2^а2K/2 (ж2^а2)!/2-
2.49. Интегралы вида
dx
da;
Bга - 1)а2ж^^1(ж2 - а2)та
Bга -
(т — '.
т + 2п - 2
{2п^1)а2
гга + 1
~ 2га-1
2п^1
dx
dx
- a2)n+1/2 rra -
2 - a2)n-V2 '
dx
12т+2п
E
k=0
7 С*
- a2)n+3/2 '
2 \к-т+1/2
1
Ж (Ж (I j
= Е
Bfl - 1)а2(ж2 - a2)»-1/2 a2 J ж(ж2 - а
(-1)*
(_1)ПН
Bга - 2k - 1)а2Л;+2(ж2 - a2)"-fe-V2 a2^
с!ж
(ж2 - а2
dx
ж3(ж2 — а2
dx
dx
2{х2 — п
dx
а2х
(х2 - а2I'2
2а2х2
1
2х2-
х
1 2а3
а2
2а2ж2(ж2-а2I/2 2а4(ж2 - а2I/2 2а5

60
2. Алгебраические
[2.50
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2.50. Интегралы вида
dx
dx
(х + b)n{x2 - а2I/2	(п - l)(b2 - а2) [ (х + Ь)п~
с/ж
(б2 - a2
¦In
\1/2
ж + а
(а2 -
arctg -
а2 + Ьх
1	а + bx
^t^ztt^ arccos
(а2 -
с/ж
a(x + b)
1 (x-a\1/2
а \ж + a)
1 /ж + ^1/2
[Ь2>а2]
[а2>62]
[а2>621
(x ^ a)(x2 ^ a2I/2	a\x^aj '
1.
2.
3.
4.
2.51. Интегралы вида -—
J v^
dx	1
dx
с/ж
¦In
(x2 - Ь2){х2 - a2I/2 b(b2 - a2I/2
In
(Ж2 ^
b(a2 -
а(ж2 _ 62I/2
1	b{x" ~~ a
¦ arctg
2x1/2
a2 _ 52I/2
2.52. Интегралы вида жт(а — ж )п ' dx.
i Г т/ 2	2\n+l/2 i
1. ж (а — x ) ' dx =
(т-1)а2
[б2 >а2]
[а2>62]
Га2>621
2.
+ 2п + 2

2.53]
2. Алгебраические функции
61
3.
4.
v^1 Bm - l)Bm - 3) . . . Bm - 2k + 1)
^ 2k(m + ra)(ra + ra - 1) . . . (ra + ra - /г + 1)
2m(m + n + l)(ra + n) . . . (n + 2)
2	2\n + l/2 j _______ \™^ (~1)	C*mfl	/ 2	2\П'
5.	\x{a2 - x2)n+1/2 dx =	X— (a2 - Ж2)п+3/2.
J	2n + 3
л Г/ 2 2\n + l/2 i	x / 2 2\n+l/2 , B71 + l)fl f / 2 2\n —1/2 i
6.	(а -ж ) + 7 dx =	(a ~x ) + ; +v	' (а -ж ) 7 dx.
J 2n + 2 in + I J
7.
\(a2 - ,2)" + ± Bn + l)Bn-l)...Bn-2
- а (о, — x )
H
г;
1)!
8. [(а2 - Ж2I/2 dx = - (a2 - х2I/2 + - arcsin
J	2	2
9.
10.	f Ж2(а2 - Ж2I/2 dx = - Bх2 - а2)(а2 - х2I/2 + — arcsln —.
J	8	8	а
11.	f x3(a2 - х2I12 dx = \ (а2 - Ж2)Б/2 - ^ (а2 - х2K/2.
J	5	о
12. [(а2 -
J
13.
= ^ (а2 -
4
(а2 - Ж2
14. [Ж2(а2-Ж2K/2 da; =--(8ж4-14а2Ж2+За4)(а2-Ж2I/2 + —
15.
2.53. Интегралы вида
- (а2 - Ж2M/2
5
(а2 - ж2)те+1/2
(а2 - Ж2K/2 dx = \ (а2 - Ж2O/2 - - (а2 - Ж2M/2.
7	5
1
(a2 - ж2)п+3/2
¦ <ia? = —7	77—	7 +
m^2n^4 f (a2 - Ж2)п+1/2 J
(m — l)a2

2. Алгебраические
[2.54
2.
3.
(т — 1)хт~г га — 1
¦ dx.
(а2 -
^p 2fc(m — п — 2)(га — п — 3) . . . (га — п — к — 1) а
^	Bт - 3)Bш - 5) ... Bт - 2А; - 1)
2m(m - га - 2)(m - п - 3) . . . (-га)(-га - 1)
[(а2^
4.
5.
6.
(а2 - X2I
k=o '
2п - 2к
(а2 - х2)п-к+1/2
¦In
2 _ „2л1/2
а — (а — х )
(а2-ж2)'
/1 \ «"Г!
El	 /
+ (-1) arcsin
(а2 - ж2)п'
¦ dx = — -
ж2п+4	(^п + 3]а^ж^п
. (а2 ^ Ж2I/2	. 2	2x1/2	,
7. I	dx = (а — х ) ' —am
х
8.
9.
(а2-
(а2 -х2I'2
dx = ^
(а2-
х
а2 -х2I'2
(а2 -х2I'2 1
+
р2^/2
1 (а2 - х2K/2
~а31п
11.
12.
(а2 - Ж2K/2
х2
(а2 - х2)^2
^ = -- (а2 - x2f/2 - — (а2 - ж2I/2 - — arcsln
х
а
¦ dx =
(а2 - ж2K/2 3
2ж2	2
За
Т
1.
2.
2.54. Интегралы вида
xmdx
Г хт dx
J (а2 - х2)п
.+1/2 '
m-1 f жт^2с1ж
(а2 - ж2)п+1/2 Bп - 1)(а2 - ж2)"^ 2п - 1 J (а2 - х2)"-1/2 '
W-l/2	f2« — Iln2 f«2 _ T2\n-l/2 '
j /	{лп i)a j {a x ) i

2.54]
2. Алгебраические функции
63
3.
4.
5.
т - 2п
ft I	X	Cl'a
n J (a2 - ж2)п
+г/2'
dx
(a2 - ж2)п+1/2 Z^ 2n - 2k - 1 m (a2 - ж2)п-л-1/2 •
ж2т dx	x2m+1(a2 - x2)ir
tA/	La/ еду	tAy	1 LA/	еду #
(9	9 \ „ I
и л, j
Y^ 2fc(n - m - l)(n - m - 2) . . . (n - m - ife)	a2k
"^ Bn - 3)Bn - 5) . . . Bra - 2A: - 1)	(a2 - ж2;
2n(fi — тп — 1)(^ — vti — 2) ... (—тп -\- 1)(—in
6.
7.
8.
ж
2 \TO+fc + l/2
(а2 ^
[n > m + 1].
(a2 - х2)п+г/2 ~ Bn - 1)а2(а2 - ж2)^
2m
Bm - l)Bm - 3) . . . Bm - 2k + 1) 2fc
Bm-l)H 2m
—	;— a arcsin ¦
9.
dx
2п-1
fe(n - l)(n - 2) ... (n - A;)
^ Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2A; - 1) (a2 - ж2)та^
11.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
a2n ^ 2k + 1 V a2 - ж2
fc=0
ж dx
1
(a2 - х2)п+!/2 Bn - l)(a2 -
с!ж	. ж
(a2 — ж2I/2	a\
2x1/2
dx	Ж / 2	2x1/2 , «2
=-(а -Ж) +T
dx

64
2. Алгебраические
[2.55
17.
18.
19.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
ж dx
1
(а2-ж2K/2 (а2-
ж2 dx
(а2 - ж2K/2 = (а2-
2а2 - х2
(а2-ж2K/2 (а2-ж2I/2"
Г	dx
2.55. Интегралы вида 	^—?	т^-~
J хт(а2 - х2)п
+ 1/2 '
dx
хт(а2 -х2)п
х)
+ 2п-2 Г
п - 1)а2 \ хт(а2
dx
Bп -
(га — l)a2
+ ¦
dx
dx
га +1 f	dx
2n-l
^--/m + n-—1
2m - 2fc - 1 V ж
1
ж(а2 -
[т + п > 1].
dx
2n - I)a2(a2 - ж2)^/2 ^ a2 J ж(а2 - ж2)"^ '
1
In
\l/2
ж(а2 -
а + (а2-я;2I/2
ж3(а2 ^ж2
dx
2а2ж2
2a3
2 _ ^2ч1/2
а + (а - ж )
dx
а2(а2^ж2)!/
2ж2 - а2
- 4-in
х2(а2 ^ж
dx
2а4(а2 - ж2)
¦In
а + {а2 - ж2)
2x1/2

2.57]
2. Алгебраические функции
65
1.
2.56. Интегралы вида
dx
dx
(X + Ъ)п{п2 - X2I/2	(п _
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
п^1(а2 - х2I/2
(а2 - ж2I/2
[Ъф±а].
Bп-1)а[ (х-а)п
dx
[6 = а].
1
(а2 -
In
ж + b
а2 + Ьх
1	. az
—_.., ,_ arcsin —г
аж
а)(а2 ^
1 /	\1/2
1 / а — х\
а \а + ж/
1 /а + ж
(ж — а)(а2 — ж2I/2	а \а — ж
2.57. Интегралы вида
1/2
[6 =-а].
[а2 >62].
[а2 <62].
[а > 0].
[а > 0].
dx
(Ь2±Х2)т(п2 ^
2(т — 1)(а2 — Ь2)Ь2(Ь2 -
Bт - 3)а2 ~~ 2Bт + п - 3N2
2(т - 1)(а2 - 62)&2	J (б2 - ж
т + п — 2	Г
2.
с/ж
(ш-1)(а2-62N2 J F2-,
ж
(Ь2 - х2)(а2 - ж2)-+!/2	Bп - 1)(а2 - Ь2)а2(а2 - ж2)"
Dп - 3)а2 - 2(п - 1J
+
2(п-1)
Bп - 1)(а2 - 62)а2 J (б2 - ж2)(а2 -
dx
5 А.Ю. Брычков и др.

66
2. Алгебраические
[2.58
3.
dx
(б2 ~~ ж2)(а2 -
(а2 _ 52I/2
In
(Ж2 ^
4.
5.
6.
аГС g
b(b2 - а2I/2 аГС g b(a2 -
1	. х^-а2I'2
arcsin ¦
b(b* - а2I/2 — а(Ь2 _
dx	1
Га2<621.
(I?2 + Ж2)(а2 - X2I/2 - Ь(п2 + 62)!/2 "^U& &(а2 _ ж2I/2 '
2.58. Интегралы вида жт(аж + 6ж + с)п ' dx.
Обозначение: X = ах + Ьх + с.
„m-l i^n+3/2
2)а
2(т-
Г
)a J
d
2.
1 хп+1/2 dx =
4(п + 1)а
4.
5.
6.
7.
8.
4(п + 1)а
а 2а
j^n + l/2
Bт
лп-1/2
(п - 1) ... (п - А;)
Bn + l)!! (Aac-b^Y^" f с!ж
V ^ / J
XV2'
)а 2(т + 2)а
(т —
(m + 2)а
4а
2аж + 6
4а
Х ~ За
4ас — b
8а3/2
¦In
2аж + 6
Х1/2
[а > 0].
X ' Л
2а
n f 2vi/2 , баж - 56 з/2
/Ь2 - Аас
dx-
\а < 0; 6 > 4ас1.
10.
dx =
763 - 12a6c
32а5

2.59]	2. Алгебраические функции	67
Г (ат2 + Ьт + с)п+1/2
2.59. Интегралы вида	dx.
Обозначение: X = ах2 + Ьх + с.
¦ vn+l/2
1. 	аж = —
(га —
2(га — 1)с J хт~г	(т - 1)с J xm~
, Brc - га + 4)a f Xn+ ,
ax -\	;	tt	 —... n ax.
Ж	АП + 1
3. I (аЖ +to)	dx =
Л
4.
2(ra — 2n — 3)а Г (аж + bx.
1	dx.
6. ^	—^	dx =	^	h a
7.
Ж*5
8. I l^2 l rJ dx = ~-
9. | 	dx =
х
Х3/2 2а6ж + 62+8ас vl/2 A2ас -
-А +
3	8a	16a
f Y3/:
10.
4
3Dac + 62) Г dx 36c Г а*ж
,(аж + 6ж) , (аж + 6ж)	36 , 2
11. ^	г-^	dx = ±	}-	+ — (ах2
1	ж2	2ж	4
12.
X1/2 2
362 f	dx
х5/2 + ^» + 2ас
ж3	\2сж2 4с2ж/	4с2
3(а6ж + 2ac + 62) vi/2 Заб Г йж 3Dас + 62) Г с?ж
4с
6жK/2 л / 26\ 2 , L а/2 , Заб f	dx

68
2. Алгебраические
[2.60
2.60. Интегралы вида
dx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Обозначение: X = ах + Ьх + с.
dx	2Bax + 6)
8(п-1)а
Bra-l)Dac-f
2Bаж + Ь)
- 1)Dас - б2)
Г dx
Bп - 1)Dас - 62)Хте^1/2
х |l +
^ж	1
Х1/2
¦In
аХ
^ Bп - 3)Bп - 5) . . . Bп - 2А; - 1) \4ае ~ б
tax +
2^ +Х
2ах + 6
— Arsh ¦
/а	у 4ас — Ь2
1	. 2аж + b
, arcsin •
=¦ In Bаж +
а
2Bаж + 6)
[а > 0].
[а > 0; б2 < 4ас].
[а < 0; б2 > 4ас].
[а > 0; Ь2 = 4ас].
с!ж
X3/2
2.61. Интегралы вида
жтс!ж
(аж2 + Ьх -
Обозначение: X = аж2 + 6ж + с.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
/2	2(т - Ъ
2Bп -т-1)
(т - 2гс)
^1 с!ж 2с
US
a J Xn
Bп^
Bп-1N
^ж _ с Гжт^2с1ж b Г ж
L/2	а J Хте + 1/2
ж2"	6
-V2 2а
6
ГТ/2 ~ 2а
1. f ж"
а
da;
с!ж
жс!ж Х1/2 6
XV2
da;
2a J XV2-
2аж - 36
4а^
1/2
— 4ас Г dx
ж3 da; 8а2ж2 - lOabx + 1562 - 16ac
1/2
563 - 12а6с Г da;

2.62]
2. Алгебраические функции
69
10.
11.
1 f dx
tJL/ Uj 9JU	1 TCU/L^	Ad U I el/	Zd I/
X3/2 = aF2 - 4ac)XV2 ' a J Ji/2 '
dx
- b2)x2 + 6A0ac ~
c(8ac ~ 362) 36
X3/2
2a2 XV2-
2.62. Интегралы вида
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Обозначение: X = ax + bx + с.
dx	1
Bт + 2тг -3N
2(m-l)c
(m + 2n- 2)a
(m — l)c
dx	I ( dx
dx
xm(ax2
dx
xX1/2
2n — l)bxm(ax2
Bm + 2n - 1N
da
•In
1 A . 2с + 6ж
— Arsh—	-
е	жу4ас — b2
¦In
f — c
1
- arctg -
2c
2\fbx
bx
Xх'2 b
[c > 0].
[c > 0].
[c > 0; b2 < 4ac].
[c > 0; b2 = Aac].
[c < 0].
[c < 0; b2 > Aac].
[c = 0; 6 # 0].
dx
ж2(аж2 ¦
da;
2сх2
da;	2
2c J ajXV2'
_ 2/	1_ _2o_u a	,
do a
8c2 ~ 2c
2
1/2
da;
4a	8a \ 2
(аж
xl/2
dx	2{abx — 2ас + Ъ ) 1
=	+
ж!3/2 = сF2 - 4ас)Хг/2 + с J ж!1/2'

70	2. Алгебраические функции	[2.63
dx	2( 1 4а 8а2ж\	1
Ьх Ъ2 б3
dx	Г 1 6A0ас-362) а(8ас-362)ж] 1 36 Г dx
36 Г
~2с2 J
17.
сх
dx	_2/ 1 2а 8а2 16а3ж\	1
-*¦*-*• I	о/	о , i \ о /о	v I	i о ~Т~
19.
62ж б3	б4
56 1564 -62ае62+24а2е
ж3Х3/2 [ еж2 2с2ж	2с3F2-4ас)
а6A562 - 52ас)ж] 1	1562 - 12ас
а6A56 52ас)ж1 1
'	r^.O/fO	j	\	I г4*, "Ж .г  / О	'
2с3F2 -4ас) J 2XV2	8с3
20. [ —	^	зТг =
8а 16а2 64а3 , 128а4ж
6ж3 562ж2 563ж 564	565
Г (аж2 + 6ж + с)±п+1/2
2.63. Интегралы вида 	-;	г^	dx.
J	(ж + р)т
Обозначение: X = аж2 + 6ж + с.
Хта+3/2
(т - 1)(ар2 - Ьр + с)(ж + р)тт1 2(ш - 1)(ар2 - 6р + с)
X 1 т	¦—^—г аж +	гтт—^	;	:—г 1	:—rz^^ dx.
(х + р)™1	(т — 1)(ар2 — i
р + с) J (ж + ^
2.
Bп - 2т + 3)F - 2ар)(ж + р)т Bп - 2т + 3)F -
3. | 	dx =
+
4 I — — _	—	,	- iv r 2ax) dx
»-l)J
5.
6.
(ж
(Ж + р)^Х« + !/2	(ш _ 1)(ар2 _ &р + с)(ж +
Bт + 2п - 3)F - 2ар) Г	dx
2(m — 1)(ар2 — 6р + с) j (ж + р)
)?_[
Р + с) J
^ 1)(ар2 ^ 6р + С) J (Ж + р)т^2Хп+1/2 '

2.63]
2. Алгебраические функции
71
7.
Bm + 2п - l)(ft - 2ар)(х
dx
Bт + 2п - 1)(Ь - 2ар) J (ж + p)™-i
[ар2 - 6р + с = 0; 6 - 2ар ^ 0].
8.
9.
10.
dx
1
(ж
1
ар2 - Ьр + с J (ж
1	b—2ар Г dx
с)
Г dx
с = ОI.
dx
(га — 1)(ар2 — Ьр + с) (ж + р)т^г 2 (га — 1)(ар2 — Ьр + с)
(га — 2) а	Г	^ж
J (ж + pj
(х
с)
11.
+
12.
13.
х In
14.
х In
15.
16.
Bm - 1)Bар - b)(x + p)r>
dx
с = 0; 2ap ^6 ^ 0].
[а + (b - 2ap)t + (ар2 - bp -
dx	1
t =
(ap2 -
(ар2 -
b^2ap
x + p
2(ap2 -
2(ap2 -
ж +p
2(ар2 — bp + сI/
[ар2 - ¦
[ар2 - 6p + с > О]
[ар2 - 6р + с > 0]
с < 0; б2 > 4ас]
[ар2 - Ьр + с = О]

72
2. Алгебраические
[2.64
2.64. Интегралы вида
а*ж
(ж2 + рж + д)т(аж2 + 6ж + сI/2 "
1.
Обозначение: X = ах + Ьх + с.
dx	1
(Ж2
da;
[р2 > 4д; см. 2.63].
2.
3.
[(а2 + p2)t2 + (/З2 + p2)][(aa2 + 6a + c)t2 + a/32 + 6/3 + c]V2
ж - /3
t = 	; а и р определяются из системы
уравнений 6(a + /3) + 2с - 2ар2 =0, af3 + p2 = 0 .
(аж + /3) с!ж _ а Г dw	2ра - аЬ [ A - 21
а Г du
a J (p + и2)
2а
р + с
4а

3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
3.1. Интегралы вида \f(eax)dx.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10,
f(bx)dx= I f(exlnb)dx
_ 1
а
bxdx=f-
In b
dx _ 1 ,
еаж + 6 аб
da	1
beax
arctg I e
1 . c + eQ
, In
zay-oc с — e1
еаж - 1 , 2, , аж
	с!ж = — In en —.
eax + 1	a	2
da;
/6 + ceax ал/b \fb + ceax + ^6
3.2. Интегралы вида \xpeaxdx.
2.
[6>0,
[Ь>0,
[6с >	0].
[6с <	0].
[6 >	0].
[6 <	0].
(n^p)(n^p^ 1) ... A -p)
жп p ^L^ ^n _ p)(n _ p — i) , m m (i _ p _ (
3.
л I аж j	асе / л'	1 \
4. же dx = е	 1.

74
3. Показательная функция
[3.3
5. | x2eaxdx = eaxi — ^ — + — I.
6 I x
о. 1 х
7.
ж^ _ 2ж	_2
a a/	a1*
ж3 Зж2 6ж 6
rs	л2	лгЗ л4 /
1 ;	a ^ afe dxk v
где Р(ж) — многочлен степени т.
Г еаж
3.3. Интегралы вида 	dx.
J %р
ах	ах
ill
1.		 С?Ж = ^т
2.
3. 	^ж = EI (аж)
1 ж
¦ а*ж.
.- 1М
Е1(аж).
[а^О].
4.
5.
6.
7.
ж
-аж
ж3/2
¦ dx = — EI ( —аж)
= 4 / — erf (
3.4. Интегралы вида хре ах dx.
= ^J^ er
2. \x
I. \x2ne~ax
2a
2а
--"*' " Р^Х ' Жр-2е-а^ dx.
.2 ,	(гп-!)!!»2"-^85
da? = -^	'-	 х
2а
[а > 0].
[а > 0].
[а > 0].
2™+1oBn+1)/2
erf (VS ж).
4.
2а t, (
V	^!
14 (п-А;)!а*ж2Л'
1
а 6

3.5]
3. Показательная функция
75
6. \х2е
2а
4аз/2
7. ж е аш
ах + 1 ^аж2
3.5. Интегралы вида
_ 2	_ 2
е ах	е ах
1. 	с!ж = —
2а Г е
(р- I)»?-1 p — 1
¦ dx.
2. | ^е^аж2с!ж =
Х2п
¦ erf(\/а ж)
3.
ге"аж с!ж =
п!2а
4.
5.
6.
¦ dx =	е ах
х
— л/жа erf (у/а ж)
. f /(х)е
J
J
2о
	), a > 0 .
2a у

4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
4.1. Интегралы вида \shpxdx.
1. shp ж dx = —
J	P
2. Jsh2- x dx = (-
3.
4.
5. sh ж dx = ch ж.
ж ch x

P J
shp~2 ж dx.
+
fc=O
- ch ж.
ch Bm -
6.
7.
8.
1.
*т>
3.
sh2
[sh3
[sh4
4.2.
Г d-.
I d
f
J sh2
xix--
x dx =
x dx =
= - вЬ2ж
4
= — ch ж
4
3 1
= 8*
Интегралы
с
ж
тж
dx
т+1х
fe=l
(Р-
ch ж
2т ^1
т-1
chx Г
2т [
4fc-iB
1
X
Н	ch Зж = — ch ж Н—
яЬ2ж +
вида
сЬж
l)shp
1
fc-i 2
Bт
1
8Ь2тж
т-1)B
1 и, 3
^зЬ4ж = ^ж~
OZ О
Г с!ж
Ж // J- J SO
1 ж
b(m^l)(m^2)
-3)Bm-5)...
+
m - 3) . . . Bm -
l)(m-2)...(m
ch33x
"8Sha:
с
2 ж
Bm-
- 2k + ]
-fc)
+ (-1
ch ж
-Л)
2fe™
чт B
/
sh2A:-
-l)"h
2fc~2m 1
1
m — 1)!!
Bm)!!
ж сЬж.
-2m+l 1
J
+
In
"I
4.
dx
sh ж
= ln
= iln
— 1
2 ch ж + 1"

4.4]
{.. Гиперболические функции
77
dx
sh2 x
dx
= — ctha;.
da?	1 з
—-r— = —-cth ж + сШж.
sh ж	3
5.
6.
7.
1.
2.
3. I ch2m+1 x dx =
сЬж 1 .
	In
с 2
. ж
th2
4.3. Интегралы вида сЬржс1ж.
if
rn 	 _	 I q\\
P	J
chp x dx = — sh ж chp"
P
fe=O
¦ 2Jfc + l
m — l
fc=O
Ж.
2m-2k
chBm - 2k)x.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
1 m
= — V
92m / ^
2m -
1	Ж
ch2 ж dx = — sh 2ж -\	.
¦shBm - :
2
L
4"""" ' 12
3 1
8iC"h4L"""' ' 32'
з	3	1	1 з
ch ж с!ж = — sh ж + т^г sh Зж = sh ж + — sh ж.
4 1 1	Ч	Ч	1
ch4 x dx = - ж + — sh 2ж -\	sh 4ж = — х -\— sh ж ch ж + — sh ж ch3 ж.
4.4. Интегралы вида
dx = —
dx
dx	вЬж
сЬ2тж 2m-I [ch2»
m-l
E
^2)...(m^ k)
=i Bm - 3)Bm - 5) . . . Bm - 2k - 1)
2
4.
5.
dx
¦ ж 2m
= arctg sh ж = 2 arctg ex.
Bm - l)Bm - 3) ... Bm - :
x ch2fc™2m x I H	——г-гт-11 arctg sh ж.
(zmjl!
dx
ch2 ж
= thsc.

78	4- Гиперболические функции	[4.5
dx	вЬж
2сЬ2ж ' 2'
dx	1
1 LfcUy	Oil «iy	JL
6. —q— = 	о	1— arete sh x.
I _iu3 „, o i 2	л» ь
7.
ch x	3
4.5. Интегралы вида \ shp x ch4 x dx.
-i f up u<7 j shp+1a;ch9~1aj g - 1 P p g^2 ,
1. sir dr ж dx =	h	 sir ж ch4 ж dx.
J	F + g	p + g J
2.	=	I sir ж ch4 ж dx.
P + q
3.	= —
4.
p+1	p+
5.	sh
P+1	P+1
в.	=Bh
7. 1 shp ж ch2n ж da; = . Ich2"^
n-l
- l)Bn - 3) . . . Bn - 2fe + 1)	h2n^2fe^i 1
^ Bn + p - 2) Bn + p - 4) . . . Bn + p - 2fe) °
Bn — 1)!!	Г
	—s	7	г shp x dx	\рф -2, -4. ... , -2n].
w + p2)(p + 2) J	W^	J
8. | shp ж ch2n+1 xdx=
^ Bn + p - l)Bn + p - 3) . . . Bn + p - 2fe + 1)	J
[p Ф -1, -3, . . . , -2n - 1].
л f u2n i p ,	chP+1 Ж Г ,2n^l ,
9. sh x chK ж аж = —	 sh ж +
J	In + p [
Y^ (-l)fcBn - l)Bn- 3) . . . Bn - 2k + 1) 2n^2k^i 1
+ ^ Bn + p - 2)Bn + p - 4) . . . Bn + p - 2Jfe) S	Ж] +
10. I sh2n+1 ж chp ж с!ж = ^^	— 8Ь2пж +
+
^ Bn + p - l)Bn + p - 3) . . . Bn + p - 2

4.6]	4- Гиперболические функции	79
11.
г	1
12. shx сЬж dx = — сЬ2ж.
Г 1
13. sh ж chp х dx = 	chp+1 ж.
4
р + 1
8~4 32'
sh3 ж ch' ^ ,
5	15
16. I sh ж ch ж dx =	-j1
14. I sh x ch ж с!ж = ™~~ + — sh4sc.
'¦!-
-Hi* I l 2 I 3 i	1 l 3 i2	2 з
15. sh ж ch x dx = — sh ж ch жН	sh ж.
16 64	64	192
¦n i-r I i 3 i 2 i	1 l 2 i 3	2 з
17.	I sh ж ch ж аж = - sh ж ch ж	ch ж.
5	15
18.	I sh ж ch ж dx = — sh ж + — sh ж = — ch ж—- ch ж.
1	9
19.	| sh3 ж ch4 x dx = — sh2 ж	sh2 ж ch5 ж.
20.	I sh4 ж ch2 x dx =	sh 2ж	sh 4ж -\	sh 6ж.
16 64	64	192
1	2
21.	| sh ж ch ж dx = — ch ж + — sh ж ch ж.
e%e%	I l 4t	n <4t	i	*^^	1
4
4
23. sh ax sh bx sh ex dx =
24. sh ax sh ож ch ex dx =
J
128 128	1024
ch (a + b + с)ж ch (—a + 6 + с)ж
4(a + b + c)	4(-a + b + c)
ch (a — b + с)ж ch (a + b — c)x
f
J
sh (a — b + с)ж sh (a + b — c)x
4(a^ 6 + c) + 4(a + 6^c)
ok Г u ul u j ch(a + b + c)x ch(-a + b + c)x
25. sh аж ch bx ch еж аж = —)	~	h
J	4( + 6 + ) 4( + 6 + )
Г
J
ch (a — b + с)ж ch (a + 6 — c)x
л /	1	\	л /	~s	\ m
26. ch ax ch bx ch еж dx = ""^ | у l ~^ _j_
4(a
sh (a — b + c)x sh (a + 6 — c)x
+
Г shp ж
4.6. Интегралы вида -—:—dx.
J ch9 ж
II oil «1/ , JL oil Л U i I oil Л ,
I 	 ft T — 	 	 	 	 I 	 fl T
err x	p — a chg x p — a I ch4 ж

80	4- Гиперболические функции	[4.6
_ 1 shp+1 х р-д + 2 Г shpx
" ^Т А^ " q-1 J A^
1 sh* ж р - 1 Г shp™2 ж .
¦ dx.
т.
3	=	1 sh" x p - 1 Г
<? - 1 ch9 ж g - 1J
. - 1J ch9:
Ж
T [ch2"»
y^1 Bn - p - 2)Bn - p - 4) . . . Bn - p - 2fc) 2
^ Bn-3)Bn-5)...Bn-2A;-l) C
I Bn-p-2)Bn-p-4)...(-p
+
1	Oil еду	,	hJA.1.	«ДУ I	J-
5. I —2^+1— dx = 	 —о	1~
ch "•" x	2n [ch ж
Y^1 (^l)fcBn - p - l)Bn - p - 3) . . . Bn - p - 2fc + 1) 2k^2n
k=l
Bn-p- l)Bn - p - 3) ... C - p)(l - p) f shp x ,
аж.
6.
сЬж
8. 	ту	dx =	> ^^	— ch
CIl Ж		 ^Л Zi/I> т^
' sh2m+1 ж
9.	I »„ ¦ i— ^ж =
_
fe=i
2fc~2n+l
11.
12.
ж	p + 1
Г sh ж .
13.	—— dx = 1пспж.
J СПЖ
Г sh2 x
14. 	dx = sh ж — arctg sh ж.
J сЬж

4.7]	4- Гиперболические функции	81
15.	—	dx = — ch ж — In ch ж.
J chx	2
16.	—	dx = — sh ж — sh x + arctg sh ж.
J chx	3
1* f shx
17.
ida;	.
ch x	ch ж
(sh2x ,
18. —s— аж = ж — th ж.
J А2
1Q fsh^	1
19.	I —о— «ж = ch ж Н—-—.
ch ж	ch ж
20.	| ?-=-^ da; = -- ж + 7
d	2 4
21.
х	2 ' 4
shx
сЬ3ж 2
Г sh2 x .	sh ж 1
22. —s— аж =	s	1— arctg sh ж.
J ch3 ж	2 ch2 ж 2 S
23.
ch3 ж """	2
,' sh4a;	зЬж З
1
26.
сЬ4ж
^JLd
^dx
ch ж	3
^ . sh ж	1 . 1
27. —^ da; = --
ch4 ж	ch ж 3 ch
28. —T— da? = — th x ¦
J ch ж	3
Г ch x
4.7. Интегралы вида —™—с!ж.
shp ж
chg
1 ch^™1 ж q-1 f chg™2 ж
	+^	 ——
— p shp ж g — p J sh^ ж
_ 1 chg+1 ж д-р + 2[ ch^ ж
" ~^I S^^ +	1 J S^^
1 ch9^1 ж q - 1 Г ch9^2 ж ,
3.	=	— _! # H	г I ^^^^ ^ж.
^ , сЬрж ,	сЬр+1ж
4.	I —2^— б?ж = — —	—
sh ж	In — 1
^{ )кBп^р^ 2)Bп - р - 4) . . . Bп - р - 2fc) 2fe-2n+i I ,
'^ }	Bn-3)Bn-5)...Bn-2A;-l) S	Ж]
, ,	Bn-p-2)Bn-p-4)...(-p + 2)(-p) f ,Рл>
' v ;	Bn-l)!!
6 А.Ю. Брычков и др.

82_
5.
4- Гиперболические функции
[4-7
6.
7.
8.
9.
chp+1ж Г 1
sh2"+1x	2п [Bh2nx
Y^. .*. Bn - р - 1)Bп - р - 3) . . . Bп - р - 2к
{^}~ '	2*(п-1)(п-2)...(п-Л)
2
( 1)П Bп - р - 1)Bп - р - 3) ... C - р)A - р) I" сЬ^ж da_^
^ ch2" х
ch2m+1 х
+ln
¦ln|shx| = 2^-^:
ch2m+1 ж
ch m+ ж
sh2n+1ж
fe=0
2k ^2n
i 2
sh ж
In | sh ж |.
[n ^ га].
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
- 2п
! 2fc^2n
sh	ж
[n > ra].
dx = — -
(p-
¦ dx = — -
p + 1
—— dx = In shж|.
¦cthp+1a.
= ch ж + In
th-
—	с!ж = — ch ж + In | sh ж |.
8ПЖ	2
сЬ4ж
ch ж
sh2 ж
ch2 ж
sh2 ж
= - ch ж + ch ж + In
о
_ 1
эЬж
с!ж = ж — cth x.
сЬж .	.	1
—ту— dx = sh ж	—.
sh ж	sh ж
chS, 3 1 , o
—-— dx = — x -\— sh 2ж — cth x.
sh ж	2 4
1	2
ж =	cth ж.
2

4.8]
{.. Гиперболические функции
83
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
1.
2.
3.
4.
sh3 ж
сп3ж
sh3a?
J ж .	ch
- dx = —
2йЬ2ж
-ln
«¦f
cf ж = — <
shaj|.
ch4 ж . . ch ж
—з— аж = ch ж	5~
sh ж	2 sh a
ch ж
dsc = —
8Ь4ж
сп2ж
sh4 x
eh3 ж
sh4 x
ch4 ж ,	1
—— da; = ---
sh ж	3
dx = —
daj = —
3 sh3 ж'
1	1
sh ж 3 sh3 x '
x — cth x + ж.
4.8. Интегралы вида
sh
p+q-2
x	(p - 1)
1
dx
ж ch9 ж P - 1
p + g - 2 f	dx
(q - 1)
ж ch9 ж
с?ж
sh2m ж ch2n ж
с!ж
sh2m"
= V
9-1
shp
2m -2k -
ггг+n
5.
6.
7.
8.
9.
10,
	™7Gm+nth
m
,2m _ = Z^
2h-2m
{-l)mC™+n In [ th x\
с!ж
sh ж ch2m ж
sh ж ch2m+1 ж
с!ж _
sh2m ж ch ж
dx
sh2m+1 ж ch ж
б?Ж
1
2w -
ch2*-2rn-l ^ ln
«.f
thx
V 1/	l 2fc —2тп —1 . / i\m	, i
——^	г sh	ж + (—1) arctgsi^.
—		gh2fc^2m^2 ж + (_!)"» jn | th ж|_
= In | thaj|.
sh ж ch ж
с!ж _ 1
sh ж ch2 ж ch ж
ln
"t

84
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
1.
2.
3.
4- Гиперболические функции
[4.9
dx	1,2 , i , i
	тт— = -- th x + ln tha; .
sh x ch ж	2
dx	1	1
sh x ch4 ж ch ж 3 ch3 x
dx	1
ln
*!
— arctg shx.
sh2 ж ch ж
dж
sh2 ж ch2 ж
dж _
sh2 ж ch3 ж	sh ж 2 ch2 ж
sha?
= -2cth2a;.
1	sh ж
shx-
=	сШ2
sh2 ж ch4 x 3 sh ж ch3 ж 3
—о	 = —— cth a; + In | ctha;|.
sh ж ch ж	2
dж
sh3 ж ch2 x
1
sh3 ж ch3 ж 2
da? _ 2
sh3 ж ch4 ж
dж
ch ж 2 sh2 ж 2
ж - -с
In
1
спж
ЗсЬ3ж
«¦I
= -;	7^	\~ arctg sh ж.
sh ж 3 sh ж
sh4 ж ch ж sh ж 3 sh3 ж
da?
sh4 ж ch2 ж
dж	2
1	К
	^	h -cth2a;.
3 sh3 ж ch ж 3
• - arctg эпж.
4 4 = 8 cth 2ж - - cth3 2x.
sh ж ch ж	3
4.9. Интегралы вида thp ж dx
, v ,	1 i o-i Г i p-2
tir x dx =	 thF ж + tir
P — -*-	J
th2n"
fe=i
th2n-
- Inch ж.
4.
5.
6.
fe=i
tha; da? = Inch ж.
th2 ж dx = ж — tha;.

4.11]
4- Гиперболические функции
85
4.10. Интегралы вида \cthpxdx.
1. cthp ж dx =
J
P- 1
x +
x dx.
2. [ cth2" x dx = -
3.
. cth
2n^2fc+2,
5. ctha: dx = In | sh x\.
6. cth ж dx = ж — cth ж.
4.11. Интегралы вида
(a + 6ch x + csha?)n(ai +
A + B chx + Cshx .
	 AT =
(a + бсЬж + cshx)n
Be- Cb+ (Ac - С a) ch ж + (Ab - Ba) sh ж	1
(n- l)(a2 -б^с^^а + бсЬж + сзЬж)"^1 + (n - l)(a2 - 62 + c2)
{
(п-1)(Ла-БЬ+Сс) - (гг-
- {n - 2)(Ac - С a) sh x
(a + bchx + csh ж)п
dx
2.
Be — C6 — С a ch ж — Ba sh ж
(n — l)a(a + bchx +
n(Bb- Сс)
+
(n- 1)!
3.
4.
a + b ch ж + с sh ж
— A; — l)\ak (a +
аж =
bchx + cshx)n^k	L
¦ In | a + b ch ж + с sh ж | +
7^ В _х \А (С-В)Ь]
	е + - + l	; ж
2а	[а	2а2 J
г
[6 = с].

86
5.
6.
7.
4- Гиперболические функции
[4.11
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
2а
\А
С)Ь]
dx
2а2
С - В _ А _
26	а
2
2а2
In а + бе
F - a)th— + с
¦In
(а - 6) th	с + л/а2 - Ь2 + с2
(а — b) th	с — Va2 — б2 + с2
z!
[б2 < а'
8.
9.
1
с
—
In
а
+ cth
2
X
2
[Ь=-с].
; а ф Щ.
2 + с2;а^Ь].
[о = 6; с^ 0].
(a-b)th- + c
(ach ж +
n	{a2 _ b2)n/2 J
dx
chn ( ж + Arth -
a
dx
a ch x + 6 sh x
1
/a2 - h2
sh ( ж + Arth —
а
(Ca - Б6) In ch a + Arth - + (Ba -
\	a
A
/б2 - а2
(СЪ-
¦In
x + Arth —
th-
{ sh ( ж + Arth T
¦ е^АХ — Ае
а 2
[a = 6].
[a = -6].
da
¦In
ath- - 6 + Va2 + b2
ath" - b - Va2 + 62
Arth
ath
2

4.11]
4- Гиперболические функции
87
18.
19.
20.
21.
dx
1
a + b ch ж y^b2 - a2
1
. b + a ch ж
arcsin	:—-—
a + о ch ж
/b2 -a
1
. b + a ch ж
arcsin	—-—
a + о ch ж
\b2 > а2; х < 0].
Ъ2 > а2; ж > 01.
In
a + b + Va2 - b2 th -
a + b - л/а2 - b2 th -
А + В ch ж + G sh ж
22.
23.
24.
25.
где
dx = —
Bshx
(п -
x)n (n —
,-2fc-3)!!
, _ k — 1V
ВсЬж
1 +
+ С In A + ch x) + (A- В)
- сЬж)п
¦ dx = ^
сЬж — 1
sh ж
Kn - 1
¦ В ch ж ¦
п-1)A-спж)п (n-
fc=O
1 — сЬж
= -Вж - Cln|l -chx\ + (Л + B)
da; =
ch ж + 1
. ch ж + ci sh x)(a,2 + 62 ch ж + C2 sh ж)
a>i + Ь\ ch ж + ci sh ж
= Дл In
«2 + &2 ch ж + C2 sh ж
- 61 ch ж + ci sh ж
0-1 &i Ci
ЛВС
fl2 ^2 C2
dx
62 ch ж + C2 sh ж '
1
«2
В
ax
«2
61
&2
2
-1-
6l
b2
ai
Cl
G
с
«2
6l
&2
2
bi
b2
Cl
c2
bi
A
b2
Cl
c2
2
2
Cl
c2
Cl
A
c2
Cl
c2
ai
a2
61
В
ai
a2
2
2

4- Гиперболические функции
[4.11
А, =
С
с2
а2
В
ъ2
с
с2
bi
ъ2
А
а2
В
ь2
Cl
с2
А
а2
а\ Ь\
а2 Ъ2
bi ci
b2 c2
Cl CL\
c2 a2
bi
«2
Ф
C2 «2
26.
A eh2
¦ С sh2 ж
a ch2
с sh2 ж
dx =
b2 - (a + cJ
где
+ i Я&(а - с) + (Ca - Ac)(a + с)] /(ж) J,
1
/b2 - Aac
¦In
2dhx + b- л/Ь2 - 4ac
/Aac - b2
2
2cthx-
arctg ¦
/Aac - b2
27.
28.
с
29.
30.
31.
B chx
sh ж (а + bshx)
(a + 6ch ж)
'Aa + Bb)\n
Д + ch ж)
В ch x + С sh x
A ^сЬж)
. ж
th-
dx =
dx =
-6 In
sh x
a + bshx
• (Ca - Ab)
\Ъ2 > 4ac],
[б2 < 4ac],
[62=4ac].
с?ж 1
a + b ch ж
sh ж
¦С
1
In
a + 6 ch ж
^ ch ж — 1
4	2
¦In
. ж
cth —
ch ж (а + 6sh ж)
^TV^Aa
+ СЬ) arctg sh ж + (Ab - С a) In
а + 6 sh ж
ch ж
2 Ж	сЬж + 1
с!ж
f- 6 sh ж *

4.11]
4- Гиперболические функции
89
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
В chx
ch ж (а + 6ch ж)
dx
= — \A arctg sh x — С In
а + 6 ch ж
спж
-1.
a + 6sh x y/a{b - a)
^=^=- arctg ( 4/	1 th ж J
а + 6 ch ж J
[6/а > 1].
,	Arth ( 4/1	th ж
/a(a - 6)	\V a
[0 < 6/a < 1] или [6/a < 0; sh2 ж < -a/6].
,	Arcth (Jl	th ж j	[6/a < 0; sh2 x > -a/6].
/a(a - 6)	VV a /	L /	.	/ J
= -thx
a
= -^ Arth (^2 thx)
= ——
ал/2
Arcth (V2 th ж)
[a = ft].
[a = —6; sh2 x < l].
[a = —6; sh2 ж > l].
1 Г bshx спж ., Л ч
-^г 	-—о	h F - 2a)
a + b sh ж
¦arctg ( J-(l + - J cth ж )	[6/a < -1].
a,,
Arth
- cth ж
[-1 < 6/а < 0; ch2 ж > -а/б].
Arcth ( Wl + - cth ж
V
/а(аТб)
[6/а > 0] или [-1 < b/a < 0; ch2 ж < -а/б].
алД
Arcth (V2 cth ж)
= — cth ж
а
dx
6 sh ж ch ж /n _ ч
a + 6ch
9 — —г \x + \- arctg [ 4/- tha; ]	[аб > 0; а + 6 ^ 0].
а + 6 th2 х а
ж Н
а + 6
1	1
2а Ж+ 4а
In
/^аб — 6 th ж
/^аб +6thж
[аб < 0; а + 6 ^ 0].

90	4- Гиперболические функции	[4.12
4.12. Интегралы вида sh (аж + b) sh (еж + d) dx,
ch (ах + b) ch (еж + d) dx, sh (ax + b) ch (еж + d) dx.
1. sh (ax + 6) sh (еж + d) dx =
	 sh [(a + c)x + b + d]	г sh [(a - c)x + Ъ - d].
i ~i c)	Ala c)
2. ch (аж + b) ch (еж + d) dx =
—-^ sh [(a + с)ж + 6 + d] + —;	г sh [(a - c)x + Ь - d].
3. f sh (аж + 6) ch (еж + d) d.
,ж =
= —;	г ch [(a + c)x + 6 + d] + —;	г ch [(a - с)ж + 6 - d].
.z(a "T" c)	^iI a c)
Г	ж	1
4.	sh (аж + b) sh (аж + d) с!ж =	ch F — d) -\	sh Bаж + b + d).
Г	ж	1
5.	ch (аж + 6) ch (аж + d) с!ж = — ch (b — d) -\	sh Bаж + b + d).
J	2	4a
Г	ж	1
6.	sh (аж + b) ch (аж + d) а*ж = — sh F — d) + — ch Bаж + b + d).
J	2	4a
4.13. Интегралы вида shp ж shaa; da;.
Г	1 Г	f -i	1
1.	shp ж sh аж а|ж = 	 shp ж ch аж — р shp ж ch (a — 1)ж dx .
J	P+a[	J	J
2.	I shp ж sh 2пж dx = 2га	 +
те"- ^2fc/ 2 ц2\/ 2 O2\	/ 2 i 2\	1
. y^ 2 (n - 1 )(n - 2 ) . . . (n - A; ) sh2fc+p+2 ж
[p^-2, -4, ... , -2n].
3.	I shp ж sh Bn + l)x dx = Bn + 1) [ [ shp+1;
^ [Bп + IJ - 12][Bп + IJ - З2] . . . [Bп + IJ - Bfe - IJ]
^	BЛ + 1)!
4. [8Ьрж8Ь(р + 2)жа1ж = ^^ shp+1 ж sh (p-
J	F + 1
sh 2пж _ у^ sh Bra - 2A; - 1)ж
fc=o n

4.14]
4- Гиперболические функции
91
6.
8.
9.
10.
11.
shBn
Bn — 2k) x
sh2 x
sh ж
sh ж
2 - n
dx = 2 In | sh ж |.
ax = sh 2x + ж.
= 4 ch ж + 3 In
[n ф 2].
dx = 4x — 3cth ж.
4.14. Интегралы вида \shpxchaxdx.
1.	shp ж ch аж о?ж = 	 shp x sh ax — p sh15 ж sh (a — l)x dx .
J	P+a[	J	J
2.	\shpxch2nxdx =
= shp x dx +
22kn2(n2 - I2) ... [n2 - (fc - IJ]
Bfe)!
3.	I shpa;chBn + l)a;rfa; = —^— shp+1 ж+
+ J2 [{2n + 1J ~ 1][Bn + 1J ~ 3'] ¦ • ¦ [Bn + 1J ~ Bfc ~ 1J] sh2/fe+p+1 x
fc = l
[p ^ -3, -5, . . . , -2n- 1].
Г	1
4.	shp ж ch (p + 2)ж б?ж = 	shp+1 x ch (p + 1)ж.
J	P+ 1
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
sh ж
dx = 2
sh ж
fc=0
\x = 2
2n-2k-l
ln
th-
In
sh x
dx = 2 ch ж + In
sh2 ж
2ж.
dx = —
ch ж
•-In
th-
с!ж =	sh те ж +	sh n x
3- n
1-n
1, 3].
sha?
dx = 2 sh2 ж + In | sh x \.

92	4- Гиперболические функции	[4.15
Г ch Зж	1
12. —=—dx = --cth x + 41n shjcl.
J sh3x	2	'
4.15. Интегралы вида chp xshax dx.
Г	iff	1
1.	chp x sh ax dx = 	 chp x ch аж + p chp^ ж sh (a — l)x dx .
J	p + a L	J	J
2.	chp x sh 2nx dx =
±Р+2Ж ^,
1)\Bк + р + 2)
л
[р ф -2, -4, . . . , -2п].
(^1)П
3. chp x sh Bn + l)x dx = i	^- chp+1 ж + V(-1)""* x
J	P + 1	ti
[B« + IJ - I2][Bn + IJ - 32] . . . [Bn + IJ - Bfc - IJ] 2fc+p+
Bfc)!Bfc + + l)
[p ^ -3, -5, . . . , -In - 1].
4. f chp ж sh (p + 2)ж da; = ^— chp+1 ж ch (p + 1)ж.
5. rshgnx
^ 2п - 2А; - ¦
k=0
6. f 8ЬB^ + 1)Ж da = 2V (^1)f ch Bn - 2^)ж + (^l)n
ch ж
8.
9.	i 4^ dx = —^ ch3"n ж	^—ch1-71^	[n ^ 1,3].
1 ch x	3 — n	1 — n
10.	| —	с1ж = 2зЬ ж — Inch ж.
ch ж
11. 1 """^ dx = —th ж + 41псЬж.
ch x	2
4.16. Интегралы вида с
Г	iff	1
1.	chp x ch ax dx = 	 chp xshax + p с\\р^г x ch (a — 1)ж dx .
J	P + « L	J	J
2.	chp жсЬ2пж dx =

4.18]
4- Гиперболические функции
93
Г
3. chpxchBn
Г Г
пBп + 1) I
= (-1)пBп + 1)\\ chp+1 ж dж + ^(-1)* x
fe=i
[Bп + IJ - I2][Bn + IJ - 32] . . . [Bn + IJ ~~ BA; ~~ IJ]
X	BAj 4-1)!
Г 1
4. chp ж ch (p + 2)ж da = 	chp+1 ж sh (p + l)x.
J	P + 1
Г rh 2«т
5. —¦	dx = 2
J Ь
Bn - 2fe -
(^l)n arcsln th x.
^
Г ch 2ж
7. —¦	dx = 2 sh ж — arcsln th ж.
J СПЖ
sha; 3
«ж =	^	1— arcsin th ж.
2 h2	2
о ГсЬ2ж ,
8. —ту— dx = — th x + 2ж.
J ch ж
Г сЬ2ж
9.
ж
^1
2 ch2 ж 2
ГсЬЗж ,
10. —	dx = sh 2ж - x.
J h
11.
12.
ch ж
ch Зж
—ту—
ch ж
dx = 4 sh ж — 3 arcsln th ж.
4.17.	Интегралы вида vthx dx, vcthx dx.
1.	vthx dx = Arth vthx — arctg vthx .
2.	vcthx dx = Arcth vcthx — arctg vcthx .
г
4.18.	Интегралы вида ^psh^dx.
J
xp pxp'~1
p sh*1 x dx = — б\\ч~ x ch x	— sh^ x +
1.
2.
Г	1
3. I xm sh2n+1 x dx = —^
sh Bn -
', dx.

94	4- Гиперболические функции	[4.18
л
, — 1) ... (п — /г)
5.
2n - 2k + 1
¦ ж sh	ж ch x j.
Г	Г
6.	\xv sh ж dx = жр ch ж — p \ хр^г ch ж dx.
7 r2n sh т Hr — BnV \^ —	rh?-V —-	sh r
7.	j ж sn ж ax - (zn). I ^ Bjfe)! en ж ^ BA + i)! sil ж
Bjfe)! en ж ^ BA. + i)!
8.
9. ж sh ж йж = ж ch x — sh ж.
10. ж яЬжс1ж = (ж + 2) chx — 2ж sh x.
11.
2(п + 1)
n/2]	^n^2fc	t(r
ЭЬ2Ж^ \^ 7Г77777Т7	^	7Т7 Л 2ж .
4 [^ 22fe(n-2^)!
2
Ж	1	Ж
12. I ж sh ж с!ж = — sh 2ж	ch 2ж —
13. lx2sh2xdx = -fx2 + \sh2x
x + \sh2x
хП~2к
4 ^^
fe=O
, [С^^1)/2] ^n-2fc™
n-2k-l	/ L9	\
п^21Ь^1)!^3^^^3	Ь
15. L^xdx = lSbx^sb3x^xCbx~^
J	4	Jo	4	12
p
16.
4 2)	\12 54#
3	x
+ 2X	18

4.20]	4- Гиперболические функции	95
жрспж
Г х
4.19. Интегралы вида ———dx.
J shg ж
(g - l)(q - 2) sh^2 ж (g - 1) sh^1 ж
п(г\—Л\	Г пе*Р~~2	п — 9 Г тр
3. ' Ж
sh2*	~ —- ¦ ^^(a^j^ + p.!)-
: тг; р > 1].
x
Г x	1 ^
Jsh2"»	2n^k ;
1 ^ fc 2nBn-2)...Bn-2fe
sh2"»	2n^k ; Bn-l)Bn-3)...Bn-2A
I <*, ъи ч^	1	, ч п B?7- — 2)!! Г ж
[п > 1].
2^2	_ 2fe+i	п	i
Ж < 7Г .
7. I —2— ^ж = ^ж c^h ж + In | sh ж|.
8. ' Ж
1	1Гж
	— -j—
h ж 2 J sh ж
sh3 ж	2 sh2 ж 2 sh ж
_ I х	ж ch ж	1	2х .	2	.
9. —7— «ж =	о	о	1—^Г с^" ж ~ тг ш sh ж .
- "	°" х 6sh х о	о
с!ж
4.20. Интегралы вида
I	\л/ <$лу	JL/	V/J.A еХ/
Ж/ /7 	 1 1 | /1 	 / 1 А^ 10 "у" I сЬ^	ОТ*	| /1 	 1 I ОТ* Р «2П^	ОТ*
1С|	-Lily	ZiiX-^	oil	«Ь	li|	±IJy^ oil	X
g-2
1 (9-1;
+ zL^ 7
fe=0 V
(g -
2
2A;)!
2) J жр-
Bk - n)
2fc-i
2ЛЖ
| < тг; те ^ 1].

96	4- Гиперболические функции	[4.21
dx	cth х г , ЧП1 2пп _ .
ж жте
оо
4.21. Интегралы вида \xpchqxdx.
I'
I	жр	рж13"
1. жр chg х dx = — sh ж ch9^ ж	— chg x +
q	q2
f
1
Я2 J	Я
2. I xm ch2" xdx = —?k—xm^ + -?- > ' CL I xm ch Bn - 2k
3. | xm ch2n+1 xdx = —^2 CL+i | ж*" ch Bn - 2fc + l)x dx.
4 I t ch t* rf T" :=:::: 	 У 	^"^	^^	:^ x
¦ — 1) . . . (n — k)
, Bn-l)!! ж2
ж + l	;
n)!! 2
5. | ж ch2-+1 xdx=^ g B„ + 1к^)\\(Vn-+2* + 1) X
ch2n^2fc+l^
9 «о 	9i. i i
6. I жр ch ж с!ж = жр sh ж — p I хр^г sh ж с!ж.
7.
I	' I
¦fc=o v *"/"	fc=o
p	л г 2fc+l	*K	.
8.	ж2п+1 ch x dx = Bn + 1)! V y4	77 sh ж - /— ch ж .
J	^LBAs + l)!	BЛ)!
9.	I x ch ж dx = ж sh ж — ch ж.
p
10. ж ch ж dx = (ж + 2)
11. \xnch2xdx =
2(n
! [п/2]
12. | ж ch2 x dx = — sh 2ж	ch 2ж Н	.
4	8	4

4.22]
4- Гиперболические функции
97
13. lx2ch2xdx = i
ж
~6~
а"-"-1 /спЗж
(n-2A:-l)! V32fe+2
15. I x ch3 x dx =	ch ж	спЗж Н—ж япж Н	sh3a?.
4	ou	4	Izj
16. | ж2 ch3
о 2 о
+
2 -1
+
4 ' 2 8hX+U+M|sh3^
18
4.22. Интегралы вида
chg x
1-
«ж =
(^-1)^-2)
3
4.
*-*"
2a*Ba*
2a*Ba*-l)B2
ж япж
_^L y^ 2nBn^2)...Bn^2fc + 2)
Ъг ^ Bп - 1)Bп - 3) . . . Bга - 2к + 1)
Bга-2)!! Г ж
ж Bтг^2^)сЬ2те-2Л;ж] Bга - 1)!! J ch2 ж
[|cc| < тг/2; р>1].
dx	ln > 4-
i + l ^ 2гаBга - 2) . . . Bга-
ch2n+1 х Х 2п + 1 ^ 2п{2п - 2) . . . Bга - 2к + 2)
Bn-l)!! f x
¦ с/ж.
2/c I 2
7.
9.
ж
—ту—
ch ж
ж
dx = ж th ж — In ch ж.
жяпж	1	1 Г ж
аж =
1
2ж
—-:— аж = 	о	1	о	1
сп4ж	Зеп3ж 6сЬ2ж 3
7 А.Ю. Брычков и др.
2 .
	In ch ж.
3

98
4- Гиперболические функции
[4.23
4.23. Интегралы вида
dx
хрchg х'
dx
-Р
shic
хр ch9 ж (q- l)(q - 2)х^+г ch9™2 ж (q - 1)xp ch9 ж
^ж	, pip + 1)
q-l
- 2)
жп сЬж
= E
dx	thx
(п + 1)!
n+i In
n	^-v
г.П + 1	/ -^
^ Bfc)!Bfc-ri-l)
тг/2].
тг/2].
4.24. Интегралы вида жг shp ж chg ж с!ж.
[ xr shp ж ch9 ж dx = т—^г Up + д)жг shp+1 ж ch9 ж -
J	(p + gJLV
shp
r(r + 1) f
shp ж ch9 ж с!ж
жг~ shp^ жсЬ9^ ж с!ж + (q — 1)(р + q) \
shp ж chg
ж + r r — 1) ж
— rxr г shp;
Г r —1 i p —1	i of —1 j	/	-t \ / . \ Г г i p — 2 i q
¦ rq ж sh^ ж ch4 ж аж — (p — l)(p + g) ж shK ж ch4 ;
- с/ж.
chn ж
„2rn+l
xm + fc^»
chn ж
¦ с!ж.
5.
6.
. - 1 J ch71 a
¦ dx.
sh ж	ж
^-о—«ж =
sh-ж
сЬж
fe=O
dx
vch2m+1x , ^^fc f жрсЬж ,
Ж^ _____________________________________ /*f O^ 	 Ik	f '	I __________________________________„ /"# A1
sh ж	fe=Q J shn ж

4.27]
4- Гиперболические функции
99
"• \ % % п. d% — / _\ , «_i i
р	х
sh^1 ж
¦ с/ж.
•"I
10. |ж^с!ж = ~^+1п
sh ж	sh ж
4.25. Интегралы вида
тг/2; р > -1].
2.
p-j-1
3. I жр th2n+1 xdx= \xpthxdx-
n-l ,
p i 2fe-2n
ch
p i
—ж ch
4.26. Интегралы вида жрс1Ьтежс!ж.
Г ю-1 I 2fc-2n i 1
р ж ch	x ax J.
%k+P
2.
3.
fc=0
xF cth жож = -
< тг; p > 1].
+ 1 fc=0
' cth2n+1 ж Aж = 1 жр cth ж с
С*
2n ~ 2k
2n x + p I x*-1 sh2fc^2n
1.
2.
3.
4.
5.
6.
4.27. Интегралы вида
жр ch ж dx
(a + bshx)®	(q —
dx
xpchmxdx
(« +
xdx x	x
	— = ж th	2 In ch —.
1 + ch ж	2	2
xdx	x
= ж cth	2 In
(a + bshx)^^1'
P	%	^^
1 — 1N J (а + бсЬж)*?^1
1 — ch ж
x sh ж dx
A + сЬжJ
x sh ж dx
x
. x
	 pf hi
2"

100	4- Гиперболические функции	[4.28
4.28. Интегралы вида \(Ьх + с) п shax dx.
1.	(bx + c)n sh аж dx = —— ch ^ I tn sh t dt - sh ^ I tn ch t dt
J	«n+1 L 6 J	b J
[t = аж + ас/6].
2.	Fж + с) sh аж dx = — Fж + с) ch аж	 sh аж.
J	a	a2
Г	1	1Ь(Ьт 4- гЛ
4. (&ж + e)
= ^^ [а2Fж + сJ + 6b2] ch аж - —А [а2(Ьх + сJ + 262] sh аж.
ал	а4
^ ( shax j ап^х /. ас Г sht . . ас Г cht . \
5. т^	г" ^ж — ~~;	 ch "i~ 	dt — sh -— 	dt
J Fж + с)те	6n V b J tn	H in /
[t = ax + ac/b].
4.29. Интегралы вида Fж + с) nchaжdж.
Г	1
- sh ^ tn sh t dt
b J	J
[t = аж + ac/b].
Г	1	h
2. Fж + с) ch ax dx = — (bx + c) sh аж	 ch аж.
J	a	a2
f
3.
г
4. (&ж + с) ch аж dx =
[а2Fж + сJ + 6b2] sh аж - Щ [a2(bx + cJ + 262] ch аж.
^ [(	)	]	Щ
Г ch аж . ап^х /. ас fcht , . ас f sht .
5. —	г— dx = —	 ch —- 	dt — sh — 	dt
J (bx + c)n	bn \ b J tn	b } tn
[t = ax + ac/b].
4.30. Интегралы вида \ xpebx shax dx.
1.	[ жре6ж sh аж dж = - I xpe{a+b)x dx - - I xpe{b^a)x dx.
J	2 J	2 J
2.	ebxshaa;rfa: = ~r	-(ach bx — bshax).
J	a2 - bA
3.	[ xebx sh аж dж = —	— ( аж -\—	— 1 ch аж — I bx -\—	— J sh аж .
a2 - b2 \\	a2 — b2 J	V	a2 — b2 J

4.31]	4- Гиперболические функции	101
4.
\bx2 + %
а2 - b2 I ' а2 - b2 ' (а2 - б2J
• ¦ ~ ~"	4а ~	2
е2ах ( 1
6.	же sh аж dx = 	 ж	.
4а \ 2а/ 4
Р2аж /	т-	1 \ т-3
I z аж 1	i	е#2Ж	J-iX
7.	| ж е so ах их = — I ж И + — — 1 —-.
4а \	а 2а1/ 6
1	т
ж — ^^е	2 .
л I -аш 1 j же	/1
9. же sh аж аж = ——|	 ж -\
4	4а V 2а
10.
4.31. Интегралы вида жреЬжсЬажо1ж.
п Ьх 1	1	J-	о (а+Ь)ж i
ЖР рп Л Т* ЛТ 	 	 I Т Р	П1* —I—
2 J	2,
1	a^ — b2
3. 1 жеЬж ch аж dx = —	r^r ( аж H—	— ) sh аж — ( bx + " "^ *fo ) ch аж I.
a2 — ft2 V	a2 — b2 I	V	a2 — 62
.2
2 , 4a6 _ 2a(a2+3b2)
4. ж е ж ch аж а*ж = ^	— аж -\	— ж -\	j\		sh аж —
2 ^ [	(	) J
^аж \ж \j\
a2 — o^ [	a "	(a ~ о )
6ж + -Ч	т-^ ж + —Л;	—т^ ch аж.
а2 - б2 L	а2 - б2	(а2 - Ъ2J
- I аж ,	, _ 1 2аж , X
э» I e со а ж ax — e ~т~
4a	2
е2аж / 1 \ ж2
6. 1 жеаж ch аж dx = 	 ж	) -\	.
4a \ 2a/ 4
-2 aX	, _ е2аж ( 2 x , 1
4a
. ^ax	_ X	1 „2аЖ
8. (e cha.^-~-^e
ж	ж +
4	4а V 2а
3	-2аж /
10. | ж2е"ажсЬажа|ж = — + -	 ж2 + - + А, ,.
6	4а \	а 2а2 /

5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
5.1. Введение.
Если R — рациональная функция своих аргументов, то интегралы вида
Л (sin ж, cos ж, tg ж, ctgx)dx приводятся к интегралам от рациональных
функций.
1. I R(slnx1 cosx, tgx, dgx) dx =
_ Г / It 1-t2 It l-*2\
2dt
¦t2
Если
R(sinx, cos ж) = — R(—smx, cos ж),
dt
2. f/фшж, cosx)dx = - I R(Vl-t2 , i)—^
J	J	v 1
Если
TO
3
J
Q^
Если
TO
4
f
f
(sin ж, cos ж) б!ж = \R
J
i2(sina;, cos ж) = —R(
Г /	/	ч
dx = ,R(t, v 1 — t2 )-
J	1
""' , cos ж) = #(—
t	1
1 + t2
5.2. Интегралы вида sir
dt
1. sinp x dx =	sinpml ж cos ж H	si
J	P	p J
2. I sin2n x dx =	sin2n 1;
Bn^l)Bn^3)...Bfi^2Jfe-
(-1)"
. 2n-2*-i
2n-2Jb
[t = cos ж].
[t = sin ж].
= tgx].
+
Bn-l)!!

5.8]
5. Тригонометрические функции
103
4.
^ Bп - 1)Bга - 3) . . . Bп - 2А; - 1)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
2*"
\fe+i
s2fc+1
fc=0
sin ж dx = — cos ж.
sin x dx = — — sin 2ж + 7- ж = ™ 7- sin ж cos ж + — ж.
г	1	я»	1
sin ж dx = — cos Зж — — cos ж = — cos ж — cos x.
Г • 4 ,	ЗЖ	1 .	1 .
sm x dx = —	 sm 2ж + — sm 4ж =
32
3 .	1.з
= — sm ж cos ж	sm ж cos ж 4
8	4
Г	^л	^л	1
sin x dx = — cos x + — cos Зж	cos 5ж =
I	8	48	80
1.4	, 4 з 4
=	sm ж cos ж Н	cos ж
5	15	5
sm x dx = — ж	sm 2ж -\	sm 4ж	sm ож =
I	16 64	64	192
1.6	5.3	5 .
=	sm ж cos ж	sm ж cos ж	sm ж cos ж +
6	24	16
3
— ж.
8
16
1.
2.
3.
4.
5.
5.3. Интегралы вида
dx	cos ж
dx
sinp ж	(p — 1) sin
1 ж	p~2 f dx
in15 ж p-l] 81пр-2ж"
dx
COS Ж	2n-l
	cosec ж ¦
2n- 1 [
n —1	~ ju /
^ Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2A; - 1)
dx
In
2n
cosec ж ¦
Bn-l)Bn-3)...Bn-2fc
2*(n-l)(n-2).\.(n-Jfc)
^ln
с!ж
= ln
= ln
1 — cos ж
sin ж
= ln
sm ж
1 + cos ж
2nnl
1 — cos ж
1 + COS Ж
dx
~7"^ = ^CtgЖ.

104	5. Тригонометрические функции	[5.4
dx	cos ж '.
6.
tg2
sin3 ж	2 sin2 ж
dx	cos ж 2	1
sin ж	3sin x о	о
X
~2
_	UjJU	ШО «?/	Zj	J.	3
7- 1 _.. 4 _ = ~o--.-3 - ~ о ctgg = " ctS ж-ctga;.
I с!ж	cos ж 3 cos ж 3
sin5 ж	4 sin4 ж 8 sin2 ж 8
, dx	cos ж434	1523
"n ж	5 sin ж 15	5	5	3
5.4. Интегралы вида созржс1ж.
Г Р J	^ •	Р-1 . Р — 1 Г р-2 ,
. cos ж аж = — sin ж cos ж -\	cos ж аж.
J	V	Р J
f 2n
. cos
J
of 2n ,	Sin Ж
2. cos x dx =
J	i
^4 Bn - l)Bn - 3) . . . Bn - 2fe ¦
Y^ ^k sin Bn — 2k)x
л f 2n+l ,	Sin Ж Г
. cos x dx =
J	2п + 1[
fe=0
cos n x -
^ Bra - l)Bn - 3) . . . Bn - 2k - 1)
6.	= > ^	^
fc=0
cos ж rfaj = sin ж.
8. cos2 x dx = - sin 2ж H	= — sin ж cos ж -\— ж.
3 .	.	1.3
10. cos x dx = — ж + ™ s'm%x + 7^ з!п4ж = тт ж + тт sin ж СО8Ж + - sin х cos ж.
8 8	4
,4in гг 4- — sin Я.7! -J	sin
8
Г
11. cos5 х dx = - sin ж + — sin Зж + 7^ sin 5ж =
J	8
4 .	4 . з 1 4 .
= — sin ж — ™^ sin ж + — cos ж sin ж.
о	15	5
12. I cosD х dx = — ж Н	sin 2ж -\	sin 4ж -\	sin 6ж =
16 64	64	192
55.	5 .	з,1.	5
= ~т; ж + -г- sin ж cos ж + — sin ж cos ж + — sin x cos ж.
16	16	24	6

5.6]
5. Тригонометрические функции
105
1.
2.
3.
5.5. Интегралы вида
dx	sin x
dx
COSP X
dx
cos2n x 2n —
» — 1) cos?3™1 x p ~~ 1 J cosp~2 ж
Sin Ж I 2n-l
sec ж ¦
2n-2fc-l
^ Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2A; - 1)
2n
sec ж +
cos2n+1 ж 2n
, yJ Bn ^ l)Bn - 3) . . . Bn - 2*
^2)...(n^ k)
^ln
4.
5.
6.
7.
8.
9.
da?
cos ж
dx
	5
cos2 ж
= ln
7Г Ж
tgl4 + 2
= ln
1 + sin ж
1 — sin ж
= tgж.
sin ж 1 .
¦ - In
cos3 ж 2 cos2 ж ' 2
dx	sin ж 2	1 з
	— = q	з	Ь "Г tg Ж = - tg Ж + tg Ж.
cos4 ж 3 cos*5 ж 3	3
sin ж 3 sin ж
cos5 ж 4 cos4 ж 8 cos2 ж 8
dx	sin ж	4 о
7Г Ж
4 + 2
| tga, = | tg5 Ж + | tg3 Ж + tga:.
5.6. Интегралы вида \ тпр х cosq x dx.
sinp x cosg x dx =	1	 si
J	q+1	p+1J
q + 1
sin13™1 x cosg+1 ж p — 1 f . p_
. p_2	g+2 ,
sin^ x cos ж аж.
P + g
j-
p1 f . „^2	о
1	I smp ж cos ж dx.
P + q .
slnp+i ж cosg+i ж
p+1
np+1
p+1
1 ж о - 1 г .
h	s
slnp ж cosg ж с?ж.
p + 1 J
	 sinp ж cos9^2 ж dx.
+ g + 2 г
sinp+1 ж cosq+1 жр + д + 2Г.р	g+2
1	smF x cos ж dx.

106	5. Тригонометрические функции	[5.6
1 ж ее
(т 	 Л\( п 	 Л\	Г
smp™ ж cos9™ xdx.
_	sln1^1 ж cos9^1 ж ( . 2
7.	= 	 sin x -
Г
о	• р	2n ,	Sir Ж	2п^1
8. snr ж cos х ах = 	 cos ж
п — 1
Bn - l)Bn - 3) . . . Bn - 2fc + 1) cos2
Bп-1)!!	Г . р ,	г
4	Ц	т	г smp xdx	\рф -2, -4, ... , -2п .
+ р - 2) . . . (р + 2) J	L	J
2п + р + 1 L	^ Bп + р - 1)Bп + р - 3) . . . Bп + р - 2А; + 1) J
\рф-1, -3, ... , -Bп + 1)]
10. [ cosp ж sm2n х dx = - CmP+ X [sin2"™1 x +
J	2 + [
ч
E1 Bn - l)Bn - 3) ... Brc - 2A; + 1) sin2"^218^1 ж
Bn + p - 2)Bn + p - 4) . . . Bn + p - 2ife)
cosp x dx	[p ф —2, —4, . . . , —2n].
11.
A	2fcn(n - 1) . . . (n - fc + 1) sin2n^2fc x
^ Bn + p - l)Bn + p - 3) . . . Bra + p - 2fe 4
[p ^ -1, -3, . . . , -Bn-
12.	sin ж cosp ж dx =	cosp+ ж.
J	p + 1
1Q I •	2	,	1/1	о ,	A	COS3^
13.	I sin ж cos x dx = — — I — cos Зж + cos ж I =	—.
4 \3	J	6
....	з	cos4 ж
14.	sin ж cos x dx =	.
i к I •	4 ,	COS5 Ж
15. sin ж cos x dx =	.
1 « I • 2	»	1 / 1 . Q	. \	Sin3 X
16. I sin x cos жаж = -- I — sin Зж — sin ж | =
Г. sin2 ж cos2 x dx = — | -
17. | sln^ x cos2 x dx = — I — sin 4ж — ж

5.6]	5. Тригонометрические функции	107
Г 2 з	1/1	1	\
18. sin ж cos x dx =	I - sin Ъх -\— sin Зж — 2 sin x J =
sin3 ж ( 2 2\ sin3 ж /5 .2
cos ж + - I = —-— I - - sin ж
о у	О J	о у о
19. sin2 ж cos4 х dx =	1—- sin 2ж	 sin 4ж	sin 6ж.
Ji /1 \ * ^
sin ж cos x dx = — [ — cos 4ж — cos 2ж I = —	\- const.
8 \4 /4
Г • 3	2	1 /1	1	\
21.	sin ж cos ж dx = — I — cos 5ж — — cos Зж — 2 cos ж =
J	lo \5	3	J
1 5 1 з
= — cos ж — — cos ж + const.
о	о
22.	sin ж cos' x dx = —[ — cos 6ж — 3 cos 2ж I.
J	04 \3	/
f	1 < / 2 4	\
23.	sin ж cos x dx = — cos' x I	sin ж + sin ж J.
, . 4	Sin5 Ж
24. sin ж cos ж аж = 	.
25.	sin4 ж cos2 x dx = — ж	sin 2ж	sin 4ж -\	sin 6ж.
f	1	B Ч	\
26.	sin4 ж cos3 ж dx = — sin3 ж f —I— cos2 ж — cos4 ж J.
p	4	11
27.	sin4 ж cos4 x dx = 	ж	sin 4ж -\	sin 8x.
J	128 128	1024
oo Г .	- и - j	1 [cos(a - 6 +с)ж cos F + c-.
28.	sin ax sin ож sin еж аж = — — —	'
J	4[
a+6+c
cos (a + b — c)x cos (a + b + с)ж]
• Isir
лл i .	,	,	1 [cos (a + b + c)x
29. sin ax cos ож cos еж dx = — —
4[ a + 6 + c	6 + с — a
cos (a + 6 — с)ж	cos (a + с — b)x~\
a + b — с	а + с — b J
30. cos ax sin 6ж sin еж dx =
.
1 [sin (a + b — c)x sin (a + с ^ b)x sin (a + b + с)ж sin F + с — а)ж!
4[ a + 6 — с
31. cos ax cos &ж cos еж dx =
1.
1 [sin (a + 6 + с)ж sin F + с — a)x sin (a + с — 6)ж sin (a + b ~~ с)ж!
4 a+fe+e

108
5. Тригонометрические
1.
2.
3.
5.7. Интегралы вида
sir ж
¦ dx.
COS*? Ж
¦ da; = — -
COS*? X
л Р . n — 2
p — 1 sirr ж
" ж
"x ж р — q J cosg x
p — q + 2 Г slnp ж
dx.
(g — 1) cos9 x
In13^1 ж	p-1 f
1)со8'?ж q-l]
—1 J cos1?^2 ж
in"	ПР
dx.
(q-
— 1 J cos*1 2 ж
. slnp ж da; slnp+1 ж
4. | 		= —	 x
:os2n + I ж	2n
x |gec2n ж + g B"-P-l)Bn -p-3) .Bn-p-2* + l) gec2n_2fc x
k = l
Bn - p - l)Bn - p - 3) ... C - p)(l - p) Г slnp ж
2nnl
5.
x sec
6.
sir ж	sin^ ж
cos2n ж	2n — 1
n —1
2n-l ,
Bn - P ~~ 2)Bn - p - 4) . . . Bn - p - 2A;)
^ Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2A; - 1)
¦ dx.
x\ +
Bn_1)n
n — к
7.
8.
9.
10.
k=0
n-k
n2m+l ,
da; =
1
sin ж
cos9 ж	(д^1)соз9™1ж
'Aj	,	J-	71-1-1
Ж.
sin*' ж .	1
¦ ax =
cosp+2 ж
p + 1
. sm2n+1 ж , ^ sin2fc ж , .
11. 	ax = — >	In cos ж
12.
13.
= E
(-1)
fe=i
fe+i
2k
n
-E
- С„ cos ж — In I cos x
2k-
-In
7Г Ж
4 + 2
[n ^- m].
[n > m].

5.8]
5. Тригонометрические функции
109
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
1.
2.
3.
¦ dx = — In
¦ dx = — sin ж + In
cos ж
sin3 ж 1.2 i
	аж =	sin x — In
cos ж	2
sin4 ж	1.з
	ax =	sin ж — sin ж -
3
Ж X
tgl4 + 2
= — cos2 ж — In
-In
cos ж
slnp x .
	— (|
cosJ ж
sin ж dx
7Г Ж
tS I 4 + 2
sin
13™1
	(p — 1) sinp 2 ж da;.
1
cosz ж cos ж
sin2 ж dx
	 = tgx - ж.
cos^ ж
cosz ж
sin4 ж dx
= tg ж Н— sin ж cos ж	ж.
cos2 x	2	2
sin ж dж	1
	i— =	о
cos4 ж	2
sin2 ж б?ж
sin ж 1
2 cos2 ж 2
ln
7Г Ж
I + ?
sin ж dx
cos3 ж
sin ж da; _
cos4 ж 3 cos3 ж *
2 cos2 ж
sin ж
2 cos2 ж
1
+ sin ж	In
л
sin ж da;
sin" ж dx
sin4 ж с!ж
= о*6 Ж"
1
1
COS Ж 3 COS3 Ж
; tg ж — tga; + ж.
5.8. Интегралы вида
cos4 ж
sinp ж
¦ dx =
(д - р) sinp
(p — 1) sin
p-i
p-i
¦ с!ж.
(p — 1) sin
г x	q — 1 Г cos
in1'^1 ж p — 1 J sir
¦ da;.

110
5. Тригонометрические
[5.8
4.
5.
6.
cosp ж dx	cosp+1 x
cosec n x -
n — 1
E
-A;)
+
Bra - p - l)Bra - p - 3) . . . C - p)(l - p) f cosp ж
2nnl
¦ dx.
cosp x dx
ж
ATI J.
cosec x +
Bn-p- 2)Bn - p - 4) . . . Bn - p - 2A;)	2n^2k^
Bn-3)Bn-5)...Bn-2ife-l)
, Bn^p^2)Bn^p^4)...B^p)(^p)
= ^ E (-1)*С"
m — к
+
р
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
2fe~2m+l ,
: -2ТО +
COS4 Ж
sing+2 ж
cos2n+1 ж dsc
sin ж
9 + 1
ctg x.
-In
ln
cos
2n
sin ж
cos x dx
sin ж
cos2 ж с!ж
= V:
ln
fe=l
sinxl.
= cos ж + In
sin ж
cos3 ж dsc cos2 ж
ln
sin ж
s4
cos" ж йж 1 я
	 = — cos ж + cos ж + In
sin ж	3
[771 ^ n].

5.9]
5. Тригонометрические функции
111
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
1.
2.
3.
4.
sin2
Ж
COS Ж
sin2
2
COS
sin2
cos3
. 2
sin
4
COS
sin2
X
X
X
X
X
X
X
COS Ж
sin3
2
COS
sin3
cos3
sin3
4
COS
sin3
X
X
X
X
X
X
X
COS Ж
• 4
sin
2
COS
• 4
sin
cos3
• 4
sin
cos4
X
X
X
X
X
X
dx = — -
dx = — ¦
sin ж
1
— (p — 1) cosp x dx.
dx = — cter x — x.
dx = — sin x
dx = — ctg ж — — sin ж cos ж — — ж.
dx = —
2 sin2 ж
cos ж 1
2 sin2 x ~~ 2 П
i
-In
2 sin ж
cos ж	3 .
2 sin2 ж	2
с?ж =	з—.
3sind ж
с!ж = — ctg3 ж.
о
1	1
sin ж
с!ж = — ctg3 ж + ctg х + ж.
5.9. Интегралы вида
sinp ж cos9 ж
1
slnp ж cos9 ж	(р — 1) sinp *
(q — 1) slnp г х cos*?
p-i
dx
1	О Г
Р I Я — ^
-1 ж	9 — 1 J si
dx
sinp ж cos9™2 ж
[см. также 5.6].
dx
l2k~:
5.
dx
¦ \".
In | tg x .

112
5. Тригонометрические
[5.10
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
dx
nim
= -?•
1
sin""" ж cos ж	^ Bm - 2A; + 1) sln2m~
ax	i^~^	1
sin ж cos2m+1 x ^ Bm — 2^ + 2) cos2
fe=i v	;
ln
- In | tg ж |.
dx
	= у
fe l
Bm - 2k + 1)
ln
dx
sin ж cos ж
о?ж
= In I tgsc|.
1
ln
sin ж cos^ x cos ж
ж
tg2
sin ж cos3 x 2 cos2 ж
с!ж	1	1
In I tgx|.
sin ж cos4 ж cos ж 3 cos3 ж
-In
tg2
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
f
J sin2
f
J sin-1
r
J sin2
f
J sin2
f
Jsina
r
Jsina
r
Jsin3
г
Jsin3
[
Jsin4
1
J sin4
г
J sin4
1
sin4
dx
X COS Ж
dx
X COS2 Ж
dx
xcos3 ж
dx
xcos4 ж
б?Ж
ж cos ж
dx
xcos2 ж
dx
xcos3 ж
с!ж
ж cos4 ж
о?ж
ж cos ж
dx
X COS2 Ж
с!ж
ж cos3 ж
ж cos4 ж
-In
/тг ж\
2с182Ж.
/ 1 Зл
\2сов2ж 2У
);
1 ?
3 sin ж cos3 ж с
— 1 In
2 sin ж
tg
1/1
cos ж ^2 sin2 ж
2соз2ж ( о1
sin 2ж
n
2 , 1
COS Ж 3 COS3 Ж
1 1
sin ж Ззт3ж
1
3 cos ж sin3 ж
2 1
sin ж 3sin3a
1
sin
ж
1
in ж
3
f-ln
tj
»^2ж.
ж .
2/
tga;|.
cos»
1
2 sin x
+ ln
8ct
3
tgE^
?2ж.
sin x
1
2 cos2 ж
О 3
3*\ цГ*Т" ОТ ,' •Op иГ*Т О* Р *TT*
3
¦(
tg
7Г
4
ж
2
^П
2
5
2
t
J
In
+ 2J
Ж
g 2
-a
i ж1
' 2J
5.10. Интегралы вида tgpжrfж.
1. tgp x dx =
p-i
' ж с!ж.

5.12]
5. Тригонометрические функции
113
g2"+1
5.
6.
7.
8.
fe=i
tg ж dx = — In | cos ж
tg2 ж с?ж = tgж — ж.
tg ж dx = — tg ж + In | cos ж
2t
i
dx = —7=- [In (sin ж + cos ж — Vsln 2x ) + arcsln (sin ж — cos ж)].
v 2
5.11. Интегралы вида \ctgpxdx.
If
ctgp x dx =	ctgp~ x — ctgp~ x dx.
p-1	J
ctg
2"+1
ct
2"-2fe+2
+2 x + (-1)" In | sin x
sin* ж + (-1)» In
5.
6.
7.
ctgж dx = In
ctg2
= — ctg ж — ж.
3	1	2
ctg x dx =	ctg ж —In | sin ж|.
5.12. Интегралы вида
A + В cos ж + С sin ж
(a + b cos ж + с sin x)n(ai + 6i cos ж + a sin ж)р
A + B cos ж + С sin ж
т::г dx =
(a + осоэж + csina;)"
(Be - Cb) + (Ac - С a) cos ж - (ЛЬ - В a) sin ж
+
1
(га- l)(a2 -62 -c2)(a + 6cos ж + cslnjr)^1 (га- l)(a2 - b2 - c2)
(га- 1)(Ла- B6 - Cc) - (n - 2)[(Ab - Ba) cos ж - (Лс - С a) sin x]
(a + 6 cos ж + с sin жO1^1
[n > 2; a2
8 А.Ю. Брычков и др.

114
5. Тригонометрические
[5.12
2.
- Be + С a cos x - Basin x \A n(Bb + Cc)
(n — l)a(a + 6 cos ж + €з1пж)п [a (n — l)a2
х (—с cos ж + b sin ж) -
1
3.
5.
In- 1)!! ?-jj (n- к - l)lak (a + bcosx*
[n^2; a2 = b2 + c2]*
A + В cos ж + С sin ж . fic-
a + b cos ж + с sin x
¦ In | a + b cos ж + с sin ж
Bb + Cc
dx
(a + b cos x-\-с sin x)n J [a + r cos (ж — a)]n
b2 + c2 / J a + 6 cos ж + с sin ж *
d(x — a)
[r cos a = 6, r sin a = c].
dx
2	^a-ojtg^+c
—	 = ~^^^=^^^^ arctg —
Я1П .7!	4/n2 	 A2 	 ^2	л/л2 	 U2 	 ^2
a + 6 cos ж + с sin ж i/л2 — b2 — <
6.
b2 + c2 - a2
¦In
(a - 6) tg - + с - V^2 + c2 - a2
(a^6)tg^+c + -
7.
8.
с
[a = 6].
9.
10.
11.
12.
13.
dx
(a cos ж + b sin x)n -\/(a2 + Ъ2)п
A + В cos ж + С sin ж
a cos x + b sin ж
	о	7ТГ- In
Ba
dx
sin I x + arctg -™
+ ¦
/a2 +
¦In
sin ж	1
	dx = ^r	— (bx — a In I a cos ж + b sin ж I).
a cos ж + b sin ж	cr + oJ
¦ dx =
1
6 In | a cos ж + b sin ж |).
a cos ж + 6 sin ж	a2 + b2
dx	la sin ж — b cos ж
(a cos ж + 6 sin жJ	a2 + b2
[cm. 5.5].

5.12]
5. Тригонометрические функции
115
14.
15.
16.
17.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
dx
х
2	«tg - + 6
arctg ¦
а + 6з1пж Va2 — b2	л/а1 — b2
„ x
1
/b2 - a2
¦In
^ + b-Vb2 -
ж
dx
a + b cos ж
atg-+ 6-
- arctg -
W>b*].
[a2 <b2}.
X
'2
¦In
/b2 - a2 tg - + a + b
/b2 - a2 tg - - a - 6
. A + В cos x + С sin ж .	1
18. 	у—,—:	rz	dx = --—
±
tg
.2fe + l
(n-
= ±Cx + (A T C) tg ( | =F - ) ± В In A ± sin x)
A + В cos ж + С sin ж
СО8ж)те
fe=0
2n^l
)
2
±
\n>2].
= ±Вж ± (A =F Б) tg±x - =F С In A ± cos ж)
+ В cos ж + С sin ж
;	———;	г—
sin ж (a + osm ж)
dx =
A
a
In
ж
& 2
a
In
a + 6 sin ж
С а - Ab
A + В cos ж + С sin ж
sin ж (а + b cos ж)
dx =
(Ла-БЬIп tg- +(Ab-Ba) In
a + 6 cos ж
b sin ж
dx
Л + В cos x + С sin ж
sin ж A ± cos ж)
dx =
¦In
a + 6 cos ж
±i

116
5. Тригонометрические
[5.12
,' Л + В cos ж + С sin х
25. 	;———	г— ах =
cos ж (а + Ъ sin ж)
-±-[(Да-СЬIп
. 7Г	Ж
tgl4 + 2
-(АЬ-Са)\п
а + 6 sin ж
¦В
dx
а + 6 sin ж
,' Л + В cos ж + С sin ж .
26. 	——	г	dx =
cos ж A ± sin ж)
А±С
In
2A ± sin ж)
27.
28.
где
А + В cos ж + С sin ж
cos ж (а + b cos ж)
'тг ж
а + 6 cos ж
а / J а + b cos ж
+ В cos ж + С sin ж
cos ж + ci sin ж) («2 + 62 cos ж + C2 sin ж
+ bi cos ж + ci sin ж
¦ dx =
" J ai + fci
= Aoln
dx
cos ж + ci sin ж
«2 + &2 COS Ж + C2 Sin Ж
dx
+ 62 COS Ж + С2 Sin Ж '
Ao =
At =
В С
bi ei
>1 Ci
h c2
Л G
Cl
Cl
c2
в
6i
ai
a2
Л
ai
111	61
«2	&2
«2
Л2 =
С В
C2 &2
«2
С Л
c2 a2
Л В
0-2 &2
C2
fel
&2
Cl
c2
2
Cl 0-1
c2 a2
Cl
ci ai
d2 i>2
2
ci ai
c2 a2
2
61 ci
62 C2
2"
«2

5.14]
5. Тригонометрические функции
117
5.13. Интегралы вида
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
dx
(а+ 6 sin2 x)n'
dx
а + b sin2 ж у/а(а + 6)
sign а	/ a + b
arctg \ 	 tg ж
sign а *,//«
&	Arth [ a/
^—a (a + 6)
sign а
= ,	— Arcth
/^( )
tga;
[b/a > -1].
[6/a < -1; sin2 ж < -a/6].
[6/a < -1; sin2 ж > -a/6].
с/ж
1 — sin ж
с!ж	]
(а+ 6 sin2 жJ 2а(а
Bа + b)
dx
b sin ж cosa?!
^^ arctg (\/2 tg x) +
sin ж cos x
1 + sin2 x
dx
1
А 1
(а + 6sin2 жK ~ 8ра3 [\ р2 р4
2 3\ ptgx
p2 p4 / 1 + p2 tg2 ж
о9
p2 p2
[р2 = 1 + Ь/о > 01.
s 2 _
q* q
gtgж
1 -
[о2 = -1 - 6/а > 0; sin2 ж < -а/6;
при sin2 ж > —a/b следует Arth(аtgж) заменить на Arcth (q tg ж)].
5.14. Интегралы вида
dx
(a + b cos2 ж)п
1.
2.
3.
dx
a + b cos2 x	^Ja(a + 6)
sign a
sign a	/ /a+ 6
arctg I i /	 ctg ж
[6/a > -1].
A xi I / « + 6
Arth I y	ctg ж
у^а{а + о)
sign a	f Г a + b
=		— Arcth
[6/a < -1; cos2 ж < -a/6].
)
[6/a < —1; cos2 ж > —a/6].

118
5. Тригонометрические
[5.15
4.
5.
6.
7.
8.
= -ctga:.
1 + COS2 Ж
dx
1 — cos2 ж
dx
(a + 6 cos2 жJ ~ 2a{
ctga).
-i—rT [Ba + 6) [ -
dx
A + cos2 жJ 4
dx
(a + 6 cos2 жK
з+Л-Л
arctg (v2 ctga;) —
6 sin x cos ж 1
+ b cos2 ж a + b cos2 ж J '
sin ж cos ж
1 + cos2 ж
arctg (p ctg ж
JЭCtgЖ
2 1 2
2p ctg ж
9.
9 9
getgж
-92 ctg
2 1 9
+ 1 + ^7 + ^7 Ctg2 Ж
= l + 6/a
2gctgж
= -1 - b/a > 0; cos2 ж < -a/6;
1.
2.
3.
при cos2 ж > —a/6 следует Arth(gctga?) заменить на
5.15. Интегралы вида
dx
a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж
A cos2 x + В sin ж cos ж + С sin2 ж
a cos2 x + 6 sin ж cos ж + с sin2 ж
dx.
¦In
4ac].
¦ arctg
2c tgz + 6
2c tga; + 6
[b2 < Aac].
[b2 = 4ac].
,' Л cos2 x + В sin ж cos ж + С sin2 ж ,
4- I 	2	ПГ>	1	^2	 dx =
a cos^ ж + о sin ж cos ж + с sin ж
1
б2 + (a - сJ
— [(Л — C)b — В (а — с)] In |acos ж + 6 sin ж cos x + с sin ж| +
- С)Г - - В6(а + с) + (Са - Лс)(а - с) | /(ж) [>,
где
¦In
2с tga^ + 6-
¦ arctg -
2ctsx-b
4ac],
4ac],

5.17]
5. Тригонометрические функции
119
2с tgж
\b2 = 4acl
dx
(a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin ж
2 жJ
(c — a) я!п2ж
Aac — b2 a cos2 x + 6 sin ж cos ж + с sin2 ж
2(a + c) Г	dx
4ac — b2 J a cos2 ж + b sin ж cos x + с sin2 ж
= 16а"
Ba cos ж + b sin жL
5.16. Интегралы вида
Atgx + В
atg2 ж + 6tgж + с
dx.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
tgsc dж
tg ж + а 1 + а2
tg ж — а
tga; + а
[ж — a In |a cos ж + sinsc|].
1 — a	2a
-—;	 Ж —
dx
1 + а2
1
1
a2 2A+ a2)a
In | sin (ж + arctg а) |.
arctg ¦
In
а
tg-ж — а
tga; + а
а*ж
ж 1 .
¦75— =	1— sin 2ж.
1 + tg2 ж 2 4
tgжdж In (a2 cos2 ж + sin2 ж)
tg2 ж + а2 ~	2A-а2)	'
5.17. Интегралы вида \ sin(ax-\-b) sin(cx-\-d) dx,
cos (аж + 6) cos (еж + d) dx, sin (аж + b) cos (еж + d) dx.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
sin (аж + b) dx =	cos (аж + 6).
cos (аж + b) dx = — sin (аж + 6).
[b2 ф 4ac]
[b2 = Aac]
sin (аж + 6) sin (сж + d) dx =
sin [(a — c)x + b — d] sin [(a + с)ж + b + d]
2(а - с)
2(a + c)
, , , Л , , ,ч , sin [(a - с)ж + 6 - rf] , sin [(a + c)x + о + d]
cos (аж+6) cos (сж+d) dж =	-^	-H	^	-.
2(a — c)	2(a + c)
sin (аж + 6) cos (еж + d) dж
cos [(a — c)x + 6 — d] cos [(a + с)ж + 6 + d]
2(a-c)
2(a + c)
sin (аж + b) sin (аж + d) аж = — cos {b — d)
л
cos (аж + о) cos (аж + d) аж = — cos (о — a) -\
sinBaж
4a
sin Bаж + 6 + d)
	-.

120	5. Тригонометрические функции	[5.18
ОГ./ , ,ч / . ,ч , ж • /l 1\ cos Bаж + 6 + d)
8. sin (аж + о) cos (аж + а) ах = — sin (о — а)	-.
2	4а
2.
5.18. Интегралы вида slnp ж s'max dx.
p Г . „_
	sir
P + a J
1 ж sin (a — l)x
1 Г • Р •	j	8ШРЖСО8аЖ	р Г . р_!	,	.
1. smF ж sin аж аж =	1	sir ж cos (а — 1)ж dx.
J	р+а	P+aJ
р + а	(р + а) (р + а - 2)
-j \	г
—	г sinp~2 х sin (а — 2)ж dx.
- о. - 2) J
Г	Г slnp+2 x
3. slnp ж sin 2nx dx = 2<
J
р + 2
¦ Dп2 - 22)Dтг2 - 42) . . . [4тг2 - ^z/c; j 2fc+P+2 ,
/	\ « /	\	Oil!	в
[p ф -2, -4, ... , -2n].
4. [ sinp ж sin Bn + 1)ж dx = Bn + 1) I [ sinp+1 idi +
^ h [Bn + IJ - I2][Bn + IJ - 32] . . . [Bn + IJ - Bk - If]
x sin
5. I sinp ж sin (p + 1)ж с!ж = — slnp
p
	ж J dx = — slnp ж cos p I	ж
2 / J	P	V 2 .
Г -1 Г
6. sinp ж sin (p -f
J	L
Г sin аж _	Гсоз(а^1)ж . fsin(a —2)ж
J slnp x	J sin1^1 ж	J sinp x
sin BA; — 1)ж
fsin2fi^
8. —;	dx = 1
^ 2k-1
fe=i
9.	v Г ; d^= > ;—— +ж.
sinn ж	(n — 1) sinn^2 ж
,' sin2x	oi i •
11. I —r~n— dx = 2 In I sin ж
12.
J sin x
13.	—«— с?ж = 3 In tg — +4 cos ж.
J smz x	2
14.	I 	5— dж = ^3cter ж — 4ж.

5.19]
5. Тригонометрические функции
121
5.19. Интегралы вида slnp ж cosax dx.
1. sirr х cos аж аж =
J
sinp<csinaa:
р
p+a	P+a
slnp x sin аж psln13™1 ж cos (a — 1)х
. р-1 . , -ч ,
sir ж sin (а — 1)ж ах.
р + а
3. slnp ж cos 2nx dx = slnp
I у, fc4
(р + а) (р + а — 2)
— т	гт	г slnp^2 ж cos (a — 2)ж а*ж.
(p + a)(p + o-2)J	v ;
. sl
jsin
ж dx.
Г sinp+1
4. sinp ж cos Bn + 1)ж dx =
J	P + 1
sir'А ж
р-
2 12][Bп + IJ З2] [Bп + IJ Bfc IJ]
( l)fc [Bn + IJ - I2][Bn + IJ - 32] . . . [Bn + IJ - Bk - IJ] x
X sln
2fe+p+1 ж	[p ^ -1, ~3, -5, . . . , -Bn + 1)].
5. sinp ж cos (p + 1)ж с?ж = — sinp x cospx.
J	P
6. sin15 ж cos (p + 1) I	ж I dx =	slnp ж sin p [
J	L V2 /J	p	V2
slnp ж sin p [
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
лГз1п(а^
?ж = ^2 —,v
J smp x
с!ж = 2 >
sinp x	J smp x ж
cos BA; —
dx
sin ж
k=i
ж ,
dx =
2k -1
cos 2 Is ж
+ In
tg -
A;
h In
sin ж
	7y—
sin ж
cos 2ж
dx = 2 cos ж + In
о*ж = — ctgx — 2ж.
3 .
-In
2
cos ж
2 sin2 ж 2
4
tg2
slnnx	(n - 3) sinn^3 ж (n- l)sinn^1?c"
sin ж
совЗж
dx =
2 sin2 ж
4 In sin x

122
5. Тригонометрические функции
[5.20
5.20. Интегралы вида cosp ж sin ах dx.
1 Г р •	j	cospxcosaa?	р Г р_х . ,	,
1. cos ж sin ax ах =	1	cos x sin (а — 1)ж аж.
J	+	+ J
1
р + a	р + a
Г
2. | cosp ж sin 2пх dx = (-1)п
sp+2
Ь
- 22)Dп2 - 42) . . . [4п2 - BfcJ
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
x cos2fc+p+1 ж
1
ж sin (p + 1)ж dx =
P
-1, -3, -5,
COSp Ж
«in Bn
аж = 2
ах —
аж.
COSp X
= ^	+fc+1 cos2fcx
^v ;	к у '
2k-
cosn ж
sin2a;
(n — 2) cosn™2 x '
dx = ^2 In cos ж
ж
dx =
cosn ж	(n — 3) cosn~3 ж (га — 1) cos71™1 ж'
cos ж
sin3a;
. 2 i
ax = 2 sin ж + In
dx =
4 In cos ж
2 cos^ x
5.21. Интегралы вида cosp ж сояаж а*ж.
i I	p	j	СОБиХБ\ПаХ	p	p-1	/	i\ j
1.	I cosF ж cos ax dx =	1	cos ж cos (a — l)x dx.
p + a	p + a J
2.	cosp ж cos 2nx dx = (—t)n < cosp ж a*ж +
[р ф -2, -4, ... , -2п].
^Bп + 1)].
Г

5.22]
5. Тригонометрические функции
123
. f
k=l
:-i)*
Г Г
^I)nBn + 1K cosp+1 xdx +
U
2n + IJ - 32] . . . [Bn + IJ - Bk -
Г	1
4. cos7* ж cos (p + l)x dx = — cosp x sin рж.
J	V
, cos аж .
5. 	dx
cosp x
V
_fcos(a —1)ж
= 2	—^—
J cosp-1 x
dx —
cos (а — 2)ж
cosp ж
dx.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
cos ж
cos Bn ¦
= у{_1)
2Jc^l
П^/;,81П2^Ж
dx = 2 sin ж — In
с?ж = 2ж — tgic.
sin ж
cos ж
созЗж
аж = 8ш
dx = 4 sin ж — 31п
,' совЗж .
13. I 	r^ dx = 4ж - 3 tg ж.
sin ж
5.22. Интегралы вида | —	dx
fcosmx ,
, 	dx.
J совпж
1.
sinm ж dx
sinBn + l)
X In
, sin2m ж ,
2. 	da; =
In
2Bn-
k — n
¦ 7Г X
Ж
A; + n + 1
ж
(-1)"
3.
2n
2n
7Г	Ж
~ 2
n + А;
2	• 2
cos ж — sin ¦
n — k
[m ^ 2n].
[m ^ n].
[m < n].

124
5. Тригонометрические
[5.23
m	i n"~1
, COS Ж .	1 ir™^ / ., ч h	n
4. 	dx = -\ (-1) cos"
тг1п
ж
7Г + -
2
fc + l	ж
	7Г
4n	2
5.23. Интегралы вида
1.
2.
созBп + 1)ж	2п +
2n + 2k + l
x In
ABn-
4Bn
cos Bra + 1)ж	2n -
In
2n
ж
cos2 ж — sin2
[771 ^ n].
. ^тт x ,	1 '
3.	с!ж = —
2n
(-ir-cos- ^^^ x
fc=O
An
x In
5.24. Интегралы вида
fcosm^ f
—:	dx.
J sinnx
1.
¦ dx =
In
¦In
sin x — sin
2n
[m < 2n].
[те ^ n].
2.
¦ с!ж =
sin Bn + 1)ж	2n
In
2nTl
In
ж кж
g' 2" ~ An + 2
[m ^ n].
3.
= — I In
2
2n
x кж\ fx кж
^+4n/tg\2"^4fi
[ra < n].
4.
In I sm ж
sin2 ж — sin2 ¦
[те ^С n].

5.26]
5. Тригонометрические функции
125
5.25. Интегралы вида sin1 ж cosw ж slnn+1^2 2ж dx.
^2Bm+n+2)
2m+l
dx = 2п
_
(?4
dt
2.
3.
4.
= ^2n4
(t4 +
— _2те+3/2 I t m n
[t = >/tg^].
[t = Vctg ж ].
[t = i/ctg ж ] •
_ 2^+3/2 f _
(t4 + 1)TO+
к I •	2ттг • n + 1/2 r» i	m«
5. sin ж cos ж sin 7 2ж ax = 2
dt
+2
6. cos ж sin2m ж slnn+1/2 2ж dx = -T'
1
7. I sin x v sin 2x dx = — cos x v sin 2ж +
l)m+n
t2(n+2)
dt
(t4
¦dt
[t = Vctg x ]
8. I cos ж v sin 2ж dx =	sin ж v sin 2ж
H— [In (sin ж + cos x + Vsin 2ж ) + arcsln (sin ж — cos ж)
1 .
H— [In (sin ж + cos x — Vsin2a?) + arcsln (sin ж — cos ж)
5.26. Интегралы вида
sln±l i
2ж
dx.
[n ^ m + 1].
3.
4.
k
dx = — [In (sin ж + cos ж —
2
ctg2
^	dx = — [In (sin ж + cos x
/sin 2ж	2
		[n^m + 1].
^sin 2ж ) + arcsln (sin ж — cos ж)],
/sin 2ж ) + arcsln (sin ж — cos ж)].

126
5. Тригонометрические
[5.27
5.
6.
dx
S\n2m+1xsmn+1/22x
dx
k=0
fn4m + 2n^4Jb + 1"
singcos±2TOa; J _ tg3/2 ж
\_/ U ^i
fe=O
>3/2 ™ "S,
— 4ife
cos ж sin 2m x
2ж
[n ^ m + 1].
[n ^ m + 1].
9.
10.
ctg'
,2m+n=pl-2fc ,
dx.
5.27. Интегралы вида sin ж cosm ж cos ' 2ж
p
1. sin ж cosn+ ' 2x dx =	p	rvcos2a? x
J	2(n + 1)
[ n	v^/ 4feBn + l)Bra-l)...Bn-2Jfe + l) п^к^г
x cos 2ж + > ( — 1)	-тгп—~f	^\— /	т\	 cos	2ж
Bn + l)!!
2.
+ (—
1
n+1/2 2ж dx = sm ж ^CQS 2X x
In cos ж •
2(n-
2ж
3. I sin жд
4.
5.
dx =
1 . /	/соз2ж
	 In I COS Ж + 4 /
аж =
1
sin ж о?ж
2 * ~~~-~ " 2V2
cos ж
arcsin I у Л sm ж).
cosn+i/2 2х ~ Bп -
X
6.
/cos 2 ж
Bn-3)Bn-5)...Bn-2fe-3)
2ж"
Л+1 1
C°S H'
E^-±2____z_ fe cos
2^ + 1	"^cos^
fc0

5.29]	5. Тригонометрические функции	127
_ , cos ж
7. 	.. ¦ , /о „ «ж =
cosn+i/2 2Ж	Bп — 1) cosn™1/2 2ж
^ Bга - 3)Bга - 5) . . . Bга - 2к - 3)	J '
п — 1	ь	. 2k
_ 81ПЖ ул 2	fc Sin Ж
~ y^2x~ ^Q2k + 1 п^1со8^2ж"
_ Г sin ж	1 /	/соз2ж
9.	аж = —=¦ In cos x — \
J Vcos 2ж	л/2 \	V 2
Г COS X .	1	. , гт . v
10.	- аж = —=г arcsin (v 2 sin ж).
J V cos 2 ж	у 2
5.28. Интегралы вида (а + бсояж + csin ж)
. [A ± sin axT^ dX = ^T sin Ж)^2 ^(-
те+1/2
fc=0
2 f	dx
J A±81паж)те+1/^
n-2
A
2n
X
L ± sii
raa(l
суП — к
соваж
dz 8таж)п+1/2
™2fl zh * )k
dx
" n_i y^ Bra - l)Bra - 3) . . . Bra - 2A; - 1)
+ ^ Bra - 2)Bra - 4) . . . Bra - 2fe - 2) X
_ Bra - 1)!!	1	л/2 + A
_	in	_
sin аж
A ± cos аж)те+1/2	2тепаA + cos аж)те+1/2
n-2
f/ri. —- i \c/.n. — :ч» fv-n. —- vfc — i i , n
соэаж)	±
О»
Bra-l)!!	1	л/2 + A =p соважI/2
^9*1^11 * 9п+1/2л П ЛТ 7	' - '- "
^Zfijii a ^ i a yi — ^
^c cos ж oslnжJaж	i , ,	, ч __р_|_]_
4.	7	:	— = 	(a + осовж + с sin ж)
J (a + ocosa; + csmx)p 1 — p
Г (с cos ж — b sin ж) dx
5.	 = In a + b cos ж + с sin ж .
J a + b cos ж + с sin ж
5.29. Интегралы вида sin т жA — к sin x)n' dx.
Обозначение: А = у 1 — к2 sin2 ж , 0 < А; < 1.
ГА. ,	A cos ж 1 — к2
1. A sir
Д sm ж аж =
Ак
2. 1 A sin х dx =
2Jfe2 sin2 ж + 3Jb2	1	3Jfe4	2Jfe2	1
	^j~2	^cos x ^	oT^	^n (^cos ж + Д) •

128
5. Тригонометрические функции
[5.30
о Газ. , 2Jb2 sin2 ж + 31Ь2 -5 л 3A ^ jfe2J , ,_	лх
3. A sin ж ах = 	Д cos ж	—— In (к cos ж + А).
J	8	k
ok
4.
sin ж dx =
Ш2
I Ada;	I
5. —	 = —In
1	2
6.
sin x
Adx
+
x A cos ж —
" + к In I
¦In-
(# cos ж + А).
In
2 A — cos x
A cos ж 1 — к2 . А + cos ж
+ A).
*
sin" ж	2 sin2 ж	4 "* A — cos ж *
5.30. Интегралы вида	-
J (I "^
Обозначение: A = у 1 — к2 sin2 ж , 0 < A; < 1.
sin ж ,	cos ж	.	р — 3
SHI2 ж)п/2 '
Х = ^
(р -
Ж'
— 	 СОЧ Т
Bп - 1)Bп - 3) . . . Bп - 21 -
n^	2I + 1
, smp ж .
4. ———- аж = ™-
Др+3	(
1)А;2A-А;2)Др+1
+
^ . sin'" ж .	sin'" ж .
5. —-— dx =	ttttAcos x +
Г sin ж 1 А — к cos ж	1, /f	ЛЧ 11/л	ч
6. —-— ах = —- In —	 = —— In (/с cos ж + А) = — In (А — к cos ж).
J А	2к A + k	к v	; к l	;
А
7.
8.
9.
10.
A3
sin3
In
2к A + kcosx	к
A cos ж 1 + fc2
__	__
cos ж
A slnn ж
A cos ж
A^Р)Д"
cos ж	1
~ k2{l^k2)A P
(ra — 1) slnn г x
2)(l + fe2) f
га - 1	J
(n-3)^2
A sinn^2 ж га - 1

5.32]	5. Тригонометрические функции	129
Г dx	1 . А + cos ж _ А + cos ж
11.	I —	 =	In —	 = In	.
A sin x	2 А — cos ж	sin ж
, dx	A cos ж 1 + k2 A + cos ж
12.	-——5— = — _ . о	:— In
A sin3 ж	2 sin2 ж	4	A — cos ж *
5.31. Интегралы вида cos m жA — A; sin ж)п' с!ж.
Обозначение: А = у 1 — k2 sin2 x , 0 < k < 1.
Г A	. A sin ж 1	. /, . ч
1.	A cos x ax =	1	 arcsin (k sin ж).
J	z	2k
Г	з , 2fe2 cos2 ж + 2fe2 + 1 Л . , 4fc2^l
2.	A cos x ax = 	—^	A sin ж Н	—-—arcsin («sin ж).
J	ok	ok
« Г лз	i -2^2з1п2ж + 5 л .	3	. /, . ч
3.	А со8жаж = 	A sin ж Н	 arcsin (k sin ж).
J	8	ок
4.	I A cos x dx =
8k4sin4x-2k2(uk2+ 7) sin2 х + mk2+ 3 л .	6A:2 - 1 . ,. . ч
	A sin ж Н—	arcsin (A; sin ж)
16A;3
ГАс1ж у/1 — k2 . A + \/l — k2 sin ж . . /f . x
5. 	 = 	In	.	h k arcsin (A; sin ж).
J cos ж	2	A _ y/i- k2 sin ж
, A dx A sin x	1 . A + \/l — k2 sin x
6. 	=— =	=	1	y	In ¦
cos3 ж 2 cos2 ж 4Vl - ^2 A - \/l - k2 sin x '
cos m x dx
5.32. Интегралы вида
A-P sin2
Обозначение: А = у 1 — к2 sin2 ж , 0 < к < 1.
cos ж .	sin х	р — 3 Г cos ж .

(p - 2)Ap~2
p-3 f

P^ 2 J .
Д2п + 1 ЙЖ - Sm X Z^ Bn - l)Bn - 3) . . . BП - 21 -
n-1
о	_ \^ ^
,"cosna; , со8теж A	(n - 2)Bk2 -
4.	о?ж =	А81пж + ^A
7^А81пж +
(n - l)k2	(n — l)k2
(n
7
(n —
.' cos ж , 1 . /, . ч 1	к sin ж
5.	I ——— dx = — arcsin (A; sm ж) = — arctg ———.
i ^os3 ж	A sin ж 2к2 — 1 .
6.	I ——— ax = ——^	1	——j— arcsin (A; sin ж).
, cos ж
A3	A •
9 А.Ю. Брычков и др.

130
5. Тригонометрические функции
[5.33
8.
9.
10.
11.
A3
dx
A — к ) sin ж 1	. /i . \
-	—rjr	h 7^ arcsin (ksmx).
к2А	к3
A sin ж
(n -
(n-2)Bk2 -
da?
In -
— ^2 sin ж
A cos ж	2л/1 — к2 А + Vl — к2 sin ж
б!ж	A sin ж
~T~
— 1	A — л/l — «fc2 sin ж
2.
A cos3 ж 2A - ife2) cos2 ж ^ 4A - h2fl2 A + л/Г^Р sin x
5.33. Интегралы вида sinm ж cosn жA — к sin x)p dx.
Обозначение: А = у 1 — к2 sin2 ж , 0 < к < 1.
с1ж =	—¦ ( Ap+2 slnm^3 ж cosn+1 ж +
(m + n + p)k2 I
г
+ n-2 + (w + p- l)Jb2] Ap sinm^2 ж cosn ж dx -
- (m - 3) Ap slnm ж cosn
	^	— { Ap+2 sinw+1 ж cosn~3 ж +
+ n + p)k2 I
- l)k2 - (m + n - 2)A - ife2)] f Ap slnm ж cosn ж dx +
+ (n - 3)A - ife2) f Ap slnm ж cosn ж dxj.
f
3. I Ap sin x cosn x dx =
4. | Ap slnm ж cos x dx =
Д Sin Ж COS	Ж С1ж.
5. I A sin ж cos ж dx = —
%к2'
6. A sin ж cos x dx =
-A cos ж +
In (« cos ж + A).
. f. , з ,
7. A sin ж cos жс!ж =
A.
f A .	4 ,
8. A sin ж cos x dx =
Sk4 sin4 ж + 2ife2 Gk2 + 1) sin2 ж - ЗА;4 - 8k2 + 3
	-™
Ш4
х A cos ж —
In (& cos ж + A).

5.34]	5. Тригонометрические функции	131
л Г л • 2 i 2fc2 sin2 ж — 1 А . 1	. /, . \
9. Asm ж cos ж ах = 	—	A sin ж Н	— arcsin (k sin ж).
10. I A sin2 ж cos3 x dx =
х
48k4
2k2 — 1
х A sin x -\		arcsin (A; sin ж).
. A . з . 3k4 sin4 x — k2 sin2 ж — 2
11. Asm ж cos ж а ж = 	^ „, л	A.
^ л	Ia*3	2	I	OfbOlil eX/	iUft I A/	j JL I 0111 еду	*_# Fb	j iUft	О
12. Asm ж cos x dx =	—
13. I A Sin
x A cos ж + ~	^y^	}- In (A; cos ж + A).
о i 4 • 4	r» i 2 • 2	о
8k sin x — 2k sin ж — 3
=
A5
14.	| A3 sin ж cos x dx =	—.
5k2
Лг i лз .	2 , -8fe4sIn^ + 2fc2(Jc2 + 7)sIn2x + 3^4 -Sk2 -3
15.	A sin ж cos x dx =	——	 x
48k2
16. I A sin жсозжс1ж =
A - k2K
x A cos ж +	-t^- In (A; cos ж + A).
lore
—8k4 sin4 ж + 14A;2 sin2 ж — 3 A .	,. ,,...3^ . .. . ,
	Аэшж + A/A6A; )) arcsin (A; sin ж).
5.34. Интегралы вида I———A — kz sln^ x)l/I dx.
Обозначение: А = у 1 — k2 sin2 ж , 0 < Is2 < 1.
A
1. 	A dx = A tg x dx = -A -\	In
1 cos ж	J	2
1 sin ж л .	A , ! /»	a \
2.	—A dx =	A; In (A; cos ж + A).
1 cosJ x	cos x
3 . Sin^ л i	Д	,	^2	1 A + a/
2 cos2 ж 4Vl - ife2 A - Vl-ife2 "
* ' «4ж Ж=	3A-^2)со83ж	"
,' sin2 ж А . A sin ж 2k2 — 1 . /, . \
5. 	A dx =	1	arcsin (к sin ж) +
1 cos ж	2	2fe
Vl ™ k2 . A + Vl - k2 sin ж
H	In	^=^=	.
2	2	A — Vl — k2 sin ж
, sin x
6.
COS X
sin ж A 2fc2 — 1 . A + Vl — k2 sin ж
2 cos2 x 4Vl ^ A;2 A - Vl - ^2 sin ж
. A + Vl A; sin ж . . /, . \
In	^=^=—:	A; arcsin (A; sin ж).

132	5. Тригонометрические функции	[5.35
w Г sin3 ж л ,
7. 	Adx =
9.
COS Ж
sin3
COS2
• 4
sin
X
X
X
, sin х А .
8. 	— А с!ж =
J	2 cos х
2k2 sin2 ж + 4k2 - 1
cos ж """	8k2
H	—	arcsin (A; sin ж) +
5.35. Интегралы вида 	A — к2 sin2 жI'2 dx.
J sinn ж
Обозначение: А = у 1 — A;2 sin2 ж , 0 < А;2 < 1.
Г cos жЛ1 Г.	. . 1 _ 1 — А
1. —	A dx = A ctg ж dx - А + - In -
sin ж	j—G~~~	' 2 1 + А'
. cos2 ж А . A cos ж к2 + 1ч f1	АЧ 1 , А + cos ж
2. 	Аб?ж =	1	— In (A; cos ж + А) + - In	.
1 sin ж	2	2k x	; 2 A-cosa;
rt , cos3 ж А ,	ifc2 sin2 ж - З^2 - 1 А 1, 1 - А
3. 	Ас1ж =	-^	А + - In	-.
1 sin ж	ЗА;2	2 1 + А
, cos4 ж А . ^2А^2 sin2 ж + Бк2 + 1 А
4.	I 	А ах = 	—	A cos x +
sin ж	окл
1	A + cosa; ЗАг1 + 6А;2 - 1 л ,,
+ - In	+	—	In (A; cos ж + А).
2	A™ cos ж	8^3
cos ж	А	• /, • ч
А ах =	к arcsin (A; sin ж).
sin ж
л,	8т2ж + 2л 2^2 + 1 .
А ах =	А	arcsm
2 sin ж	2к
A fc2 . 1 + А
1	In
4
5.
6.
7.
8.
9.
J sin2 ж
J sin x
Г cos ж
J sin ж
Г cos ж
J sin4 ж
p 2
COS Ж
• 4
sin x
^1In.
2 sin2 ж 4 1 - А
3sin3 ж'
COS Ж	A^2 + 1 A + COS Ж	,1/,	лч
	~— Z\ — 	In	 — jfc In (к cos ж + ZX J.
2 sin x	4	A — cos ж
s^
¦ k2 sin2 ж)г
к «•» тж	f Sm Ж COS Х i
5.36. Интегралы вида	ц—— dx.
J A - к2 sin1 x)r
Обозначение: А = у 1 — к2 sin2 ж , 0 < к	< 1.
Г Ч1тпр т гп,чд <r ~~h2 4inp+1 т rnc^1 т	т> —- a — (9 —- Je2)(n — т 4- Ч\
I bill Jy LUO Ju _ Л bill J/ IU& Jy	jp t| 1 ZJ rb I 1 Jl/ # n^ Ol
J.» Г"""™ ЯЖ — 
smp x cosg ж	p + g™r + 4 I sin*' ж cos4 ж
_ 1 Г sir
_ж.	I иш	SJL/ -%^ч^О еХ-	_	X	I iblli	Jb С-Оо е?/	_
2.	= "ттг 	1	dx — tit 	:	о	dx.
к2 ]	Аг	к2 J	Ar2

5.36]	5. Тригонометрические функции	133
,' sin ж cos ж .	1
4.	dx = т	—
,' sin ж cos ж ,	А
5.
, sin ж cos x . A cos ж 1 —A;2
6. |	dx =	^^ + ^^
Sin Ж COS3 Ж	1/i2	2	о . oi2\
dx =	(A; cos ж 2 + 2A; )
I Sin Ж COS3 Ж	1/i2	2	о . oi2\a
7. I	dx = --гт^ (A; cos ж - 2 + 2A; )A.
, sin x cos4 ж .
8.	dx =
3A;4-6A;2+31 n	лх
1п(^со8ж + A).
sin2 ж cos ж	A sin ж arcsin (A; sin ж)
A	2Jb2	2A^
2k2 cos2 ж + 2^2 - 3 л .	4fe2-3 . ,. . ,
	-—j	A sin ж Н	— arcsin (A; sin ж)
8к4	8k5
. Sin Ж COS Ж	1 ,	2 . 2 ч д
11. I	dx = ^—B + k sin ж)А.
,' sin3 x cos2 ж .
12. |	dx =
= 	—g	A cos x	-—;	In (A; cos x + A).
'sin3 ж cos3 ж _ ЗА;4 sin4 x - Efc4 - 4k2) sin2 ж - IQfc2 + 8
sin3 x cos4 x , 8ife4 sin4 ж - 2jfe2 Gk2 - 5) sin2 x + 3Jfe4 - 22Jfe2 + 15
	;	 dx =	т~—	 X
fc6 + 3Jc4 ^ 9Jb2 + 5 . /f	лч
x A cos ж	—	In (A; cos x + A).
16«r
sin4 ж cos ж ,	21г2 sin2 ж ¦
Sk4 -— ¦ 8k5
15. I	dx =	—	A sin ж Н	— arcsin (A; sin ж).
i\	OK	OK
лп ' sin4 ж cos3 ж j 8^48ш4ж-2^2FА;2 - 5) sin2 ж - 18fe2 + 15 . .
16. | 	:	 dx= 	 48fc6 	А8ШЖ +
¦ arcsin (A; sin x).
Wk7
m-lf sinw^2 x cosn ж . n-lf sinm ж cosn^2 ж ,
dx H	-r—	dx.
k2 j	A	A;2
sin x cos ж ,	1

134	5. Тригонометрические функции	[5.37
19.
sin ж cos2 x . cos ж 1
d
л_ Г sin ж cos3 х	к2 sin2 ж + к2 — 2
20. 	—	ах = 	—-т	•
J А3	к4 А
f sin ж cos4 ж . к2 sin2 ж + 2к2 - 3	3A - А;2
21.	J 	—	dx = 	^^	со8ж + 2fe6
Г sin2 ж cos ж . sin ж 1	. /» . ч
22. 	т^	ах = — — arcsin (к sin ж).
^л f sin2 ж cos3 ж . ^2бш2ж + 2^2 - 3 .	2к2 - 3
23. 	—	dx = 	^д	sin ж
Г sin3 ж cos ж	2 — fe2 sin2 ж
24- J	d
sin3 ж cos2 ж . 3 — к2 sin2 ж
d
Г sin ж cos ж .
25.	J 	—	 dx=
Г sin4 ж cos ж . 3 — к2 sin2 ж .	3	. ,. . ч
26.	J 	^	dx = 	^д	sin ж - — arcsin (к sin ж).
2 sin2
5.37. Интегралы вида .
J cos^ ж A — к2 sin'
Обозначение: А = \/l — к2 sin2 ж , 0 < к2 < 1.
Г sinp ж
J cosg ж
,' sinp ж
ж Ar ~ (q - 1)A - к2)Аг^2 cos'?^1 ж
Г sinp ж
- к2)
2 sinp ж dx
2.
(g - 1)A - к2) J cos*?™4 ж Ar "
sin ж dx
cos2m ж A2n+1
,'sinsc dx ( dx	1	A + \/l — k2
3.	— = tg x—r- = —.	In
I „	 л	I ° л	n Pt Го
cos ж A J A 2^1 - k2 A-Vl-k2
sin ж dx	A
cos2 ж А
sin ж dж
к2
2A ^Р) cos2 ж 4A ~РK/2 А _ ^1 -
. sin ж dx	2к2 cos2 ж — 1 + к2
' ' cos4 ж X = 3A-^2J cos3 ж '
_ .'sin2 ж с!ж 1 . А + у/1 — к2 sin ж 1 . .. . ч
7.	— = —.	In	.	— arcsin (к sin ж).
1 cos ж А 2Л/Т^Ъ2 А- л/1-к2 sin ж А;

5.38]	5. Тригонометрические функции	135
sin2 x dx	A sin ж	1
8.
cos3 ж А 2A -к2) cos2 ж 4A-.
sin3 ж dx _ A	1 , А + л/1 - к2
cos ж А к2
arcsin (fcsin ж).
12.
cos ж
5.38. Интегралы вида I	—	~—:—.
1 sin9 ж A - A;2 sin2 x)r
Обозначение: А = у 1 — к2 sin2 ж , 0 < к < 1.
.........	. . .«<?+1 <г	п — л — 9 -I- f-n
1.
(р ~~ 1) sin" жАг +	р-1	Х
dx (р — q + г — 4)к2 Г cosg ж с!ж
Г cos9 ж
J sinp ж
5 ж Аг	р - 1	J slnp~4 ж Дг
COS Ж	dX	^ _,	fc2(m+n-i-l)
Sin2m Ж Д2"+!	f^
fe2(m+n-I-l) 1пж .2w-2<_i
i 2n - 2/ - 1 V Д J
' cos ж с!ж Г	dx 1 . 1 — А
3. —	— = ctfiix-r- = - In-
sin ж A J ь А 2 1 +A'
,' cos2 x dx 1 . A + cos ж 1 . ..	. ч
4.	— = - In-	h - In (A; cos ж + А).
1 sin ж A 2 A - cos ж ife
„ , cos3 ж rfaj A 1 . 1 + Д
5. —:	7- = tt7 - x In ¦
sin ж A fe2 2 1-Д'
, cos ж б?ж A cos ж 1 . A + cos ж 3^2 — 1 . ..	A ч
6. —	— = ——-r	h -In-	1	-71^1п(^со8Ж +A).
1 sin ж А	2к2 2 A ^ cos ж	2fc3 v	;
, cos x dx	Л
sin ж
,' cos3 ж б?ж	А 1 . /, . ч
8. 	~	— =	— arcsin (A; sin ж).
1 sin ж A	sin ж к
_ , cos х dx	А	к2 1 + А
9.	—q	=	о	In	.
1 sin3 ж А	2 sin2 ж 4 1 - А
,' cos2 ж с!ж	A cos ж 1 — 1с2 , А +
10.	^^	— = ^:—^	1	:— In ¦
sin ж А	2 sin ж	4	А — cos ж
. cos ж dx	2k2 sin2 ж + 1
-*¦-*¦• I I "л	I —	Z I о	¦"¦•

136
5. Тригонометрические
[5.39
12.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
2.
3.
" Ж
n — 1 cos2 ж
X
n- 1
Г с^Р"
CtgnCE
A - fc2 sin2 жI/2
sinm ж cosn ж
Обозначение: А = yl — k2 sin2 ж , 0 < к < 1.
5.39. Интегралы вида
Дс!ж
sin ж cos ж
Ada;
sin ж cos2 ж
Ada?
sin ж cos3 ж
Ас1ж
sin ж cos4 ж
sin2 ж cos ж
	1ь1 + А
2 cos2 ж 2 1 - А
Bk2 - 3) sin2 ж -
2-fc
- 4 А 1 . А + cos ж
- А + - In —	.
2 А — cos ж
sin ж
sin2 ж cos3 ж
sin ж cos ж
sin3 ж cos2 ж 2 sin2 ж cos ж
sin ж cos ж	3 sin ж
5.40. Интегралы вида
2 sin2 ж '	2
3sin2 ж — 1
l-A'
ж cosn жA — k2 sin2 жI/2 *
Обозначение: А = \/\ - к2 sin2 ж , 0 < к2 < 1.
с!ж
ч d ж 1 . 1 - А
)Х = 21пТТд
A sin ж cos ж
da;	_	А	1 А — cos ж
A sin ж cos2 ж A^1г2)со8ж 2 А + cos ж*

5.41]
5. Тригонометрические функции
137
dx
In
А - л/1 - -fe2 sir
A sin2 ж cos ж	sin ж 2л/1 ~~ к2 А + л/1 — к2 si
с/ж
C - 2fe2) sin2 ж - 2A - к2)
A sin2 ж cos3 ж	2A — к2) sin ж cos2 x
Д-
4к2 - 3 . А -
In ¦
4A ^
1
In-
/l^k2 к2 + 2, 1 + А
A sin3 ж cos ж	2 sin2 ж 2л/1 - Jfe2 А - л/1 - к2
A sin3 ж cos2 ж 2A — fe2) sin2 ж cos ж
In-
А — cos ж
А + cos ж
™ А*
A sin4 ж cos ж	Звт3ж
5.41. Интегралы вида
»Д^-
¦In-
— ^2 sin ж
2л/1 - fe2 A + Vl ^ ^2 sin ж
slnm ж cosn ж с!ж
A + a sin2 ж)A - к2 sin2
Обозначение: А = л/1 — к2 sin2 ж , 0 < А;2 < 1.
sin ж ^ж	1
A +a sin2 ж) А ~ J(l + a)(k2 + а)
х In
1
/1 + а А — \/^2 + сь cos ж
(л/1 + а — \/^2 + fl ) л/1 + a sin2 ж
. A + а) А2 + (к2 + а) cos2 ж
^^^^ arcsin -—:—
[-1 < а < -1
х In ¦
[а < -1; 0 ^ sin2 ж < -1/а]
4.
5.
6.
7.
sin ж с!ж	А
A - sin2 ж) А A - к2) cos ж *
sin ж dsc	cos ж
cos x dx
A +а sin2 ж) А л/WTa
arctg -
/к2 + а sin ж
¦In
А + уЧ^ + а) sin ж
-(Р +а) А - л/Ч
[а < -ife2; 0 ^ sin2 ж < -1/а]
cos ж с?ж

138
5. Тригонометрические
[5.42
5.42. Интегралы вида
1.
3.
4.
5.
6.
1.
3.
4.
5.
6.
Г sln±m ж cos±n х 1
—	dx.
J у 1 + a2 sin2 ж
\/l + а2 sin2 ж
=	arcsin
a
. cos ж с!ж	1 , .	/	2 ,
2. I —^^^=^^^=- = — In (а sin ж + у 1 + ® sin ж ).
VI + а2 sin2 х а
dx
V 1 + a2 sin2 ж — cos ж
sin ж у 1 + а2 sin2 ж
dx
. + a2 sin2 ж + cos ж
In
у 1 + а2 sin2 ж + у/1 + а2 sin ж
'. л/l + a2 sin2 ж 2Vl + a2 дД + fl2 sin2 ж - Vl + «2
tg ж с!ж
1 + az sin ж
ctg ж о*ж
In
\/l + а2 sin2 ж + VI + а2
л/l + а2 sin2 ж - Vl + а2
1 — у 1 + a2 sin2 ж
л/l + a2 sin2 x 2 1 + \/l + a2 sin2 ж
г ^ тл	Г sln±m ж cos±n ж ,
5.43. Интегралы вида —	dx.
J V a2 sin2 x — 1
Обозначение: a > 1.
sin ж с!ж	1 .a cos ж
—^^^^^^^^ =	arcsin	r.
Va2 sin2 ж - 1	a	V a2 - 1
_ , cos x dx	1 i / • , / 9 • 2	7 \
2. I	¦ =	In (asm ж + V^r sin ж — 1).
у a2 sin2 ж — 1	a
sin жуа2 sin2 ж — 1
dx
= - arctg
у a2 sin2 ж — 1
'а2 — 1 sin ж + у а2 sin2 ж — 1
'а2 — 1 sin ж — у а2 sin2 ж — 1
tg ж dx
у a2 sin2 ж — 1
ctg ж dж
= — arcsin
V а2 sin2 х — 1
5.44. Интегралы вида f tgm ж(а2 tg2 ж ± 62)±п
+1/2
= %/а
2+a-2 .
[a2<62].

5.45]
5. Тригонометрические функции
139
2.
tg ж dx
2 J\fe-n
(б2 - а2)
(а2 tg2 ж
3.
a2 tg2 ж + ft2 frj Bfc + l)(a2 tg2 ж +
(a2 - fc2)n+i/2
1
2F2 - a2)n
1
(-1)те	+ /аПё2ж + 62
arctg ' '
In
[e2 > b%
\a <b\.
1/a2 tg2 ж + 62
¦In-
a2 - 62 tg ж - 1/a2 tg2 x + 62
4.
5.
6.
V62 - a2
tg ж с!ж
/a2 tg2 ж + б2
1	V&2 — a2 tgsc
arctg ¦
/a2 tg2 x + 62
1	a2tg2x + b2
¦ arctg * '
1	, Vb2 - a2 - x/a2 tg2 x + b2
¦ In ¦
dx
-a2
1
[a2>62],
[a2 <62].
[a2 >62],
[a2<62l.
л/a2 tg2 ж - 62 2^«2 + -
tff Ж С^Ж	1
¦In-
/a2 + 62 tg ж + y'a2 tg2 ж - b2
«2 + 62 tg ж - V«2
+
¦ arctg
a2 tg2 ж — 62
^/a2 tg2 ж - b2
5.45. Интегралы вида ctgm ж(а2 ctg2 ж ± b2)
1. ctgж(a ctg ж + 6 )n ' dx =
+1/2
b2
/ nxn/ 2 ,2^+1/2	,
(-1) (a -6 ) ^ 7 arcctg
/2,2 , i2\n-Jfe
(a ctg ж + 6 )
62 - a2 - \/a2 tg2 ж
/b2 - a2 + V«2 ctg2 ж + b2
[a2 > 62],
[a2<62l.
2.
ctg ж da;
(a2 ctg2 x + b2)
n+1/2
V ctg2 ж + б2 ^ BА; + l)(a2 ctg2 ж + b2
[a2>62],
1
2F2 - a2)"'
In-
/62 - a2 + Va2 ctg2 ж + b2

140
5. Тригонометрические
[5.46
3.
dx
/a2 — b2 ctg x — \fa2 ctg2 x + b2
л/a2 ctg2 x + b2 2x/a2 - b2 '" V«2 - 62 ctg x + ^/a2 ctg2 ж + b2
fb2 — a2 ctg ж
"а2>621,
4.
л/b2 - а2
ctg ж dx
л/a2 ctg2 ж + i
1
arcctg -
V ctg2 ж +
- arcctg
a2 ctg2 ж + &2
-In
/b2 - а2 + V a2 ctg2 ж + б2
a2 <b2 .
[a2>62l,
Га2<621.
5.
6.
- a2 -
1
/a2 ctg2 ж -
ctg ж dx
In-
/а2 + б2 ctg ж — \/'a2 ctg2 ж — Ь2
/а2 + б2 ctg ж + у/а2 ctg2 ж — Ь2
arcctg
a2 ctg2 x — b2
i/а2 ctg2 ж - &2
5.46. Интегралы вида f tgm ж(а2 - b
2 tg2 ж)±п+1/2
I (a2
2
ln ,
/а2 + &2 - Va2 ^ Ь2 tg2 ж
tg2 ж
2.
tgЖclж
¦l)(a2-b2tg2a0fe
¦In-
/a? + 62 - 1/a2 - 62 tg2 ж
3.
4.
1/a2 - b2 tg2 ж
tga; с!ж
)n+1/2 "* Va2 + &2 + л/a2 ~~ b2 tg2 :
V«2 + 62 tga;
a2 - b2 tg2 ж
¦In-
«2 + &2 - \/a2 - b2 tg2 ж
/a2 — 62 tg2 ж 2y a2 + &2 Уа2 + b2 + у a2 — b2 tg2 ж
5.47. Интегралы вида ctg77^^ —b ctg ж) n ' dx.
г
L» I *^1>{з «i-l С*	1/ ^"З «^ I	Ujtb —
J
	 n / 2 ¦ 1 2 '"
/ 2 12 4- 2 \™^ (ft + 0
fe=o n ~~
/2 ,2 , 2 \n—k
¦ (a — 0 ctg ж)
_ I (a* + 6^+^ bVa2 + &2-Va2-b2ctg2a:
2	Va2 + b2 + ^a2 — 62 ctg2 ж

5.48]
5. Тригонометрические функции
141
2.
x dx
1
(а2 - б2 ctg2 ж)п+1/2
^ Bife + l)(a2
In-
2 _ 62 ctg2
3.
4.
da;
1/a2 - 62 ctg2 ж
ctg ж dx
- arcctg
Ctg Ж
у'а? ~~ b2 ctg2 ж
1	л/а2 + б2 + V а2 ~~ Ъ2 ctg2 ж
/а2 — о2 ctg2 ж 1у аА + oz уа2 + о2 — л/а2 — о2 ctg2 ж
5.48. Интегралы вида жр81пджс!ж.
1.	хр sing х dx = —— sin9™ ж х
х (р sin ж — qx cos ж) Н	жр sing^2 ж с!ж	—-—- | жр^2 sin*1 ж dx.
2.	жр sin х dx = ^жр cos ж + р жр cos ж da;.
J	J
( т 2п	п	-m+1
3.	ж sin х dx = C2n~e
ж"
^ —1) С72п ж cos Bn — 2k
4.
5.
6.
7.
1 Ч1П ~"~ <"F /V'T 	 	 \ f	1 \n + fc/^fe	«,rn oi'-n f^-ri 	 01?
oill	tl/ iaX — _	7 1 JL J	^-у2тг + 1 I "-1 bill I Zi#l< Zj/ъ
fc=O	^
+ T
Bm-2ife)!
в. | ж sin
Bn-l)!! ж2
	I-
2 -t-
Bn)M
n —1 y
l)Bn - 1) . . . Bn -
n™ l)...(n-A;)
/sin П Ж	. 2n^2fe^l
X ( —	—	Ж Sin	X COS Ж J .

142	5. Тригонометрические функции	[5.49
9* ]Sm Х Х ~ п + 1 ^ Bга + 1)Bп - 1) . . . Bга - 2А; + 1) Х
х I	 	ж sin2n™"" ж cos ж I.
Г
10.	ж sin х dx = sin ж — ж cos ж.
г
11.	ж sin ж dx = 2ж sin ж — (ж — 2) cos ж.
г
12.	ж з!пжс1ж = Cж — 6) sin ж — (ж ™6ж)совж.
13.
Ulii «Ж/ Чл/ еДу 		/
Гто /91	. . _
fc=0
т2 т	1
14.	| ж sin2 х dx =	sin 2ж	cos 2ж.
4 4	8
15.	| ж sin х dx = -~	I —	—1 sin 2ж —- cos 2ж.
о \ 4 8 /	4
4 /
16.	I x sin x dx =	I —A	^^ 1 sin 2ж — ( ^^	— 1 cos 2x.
4 8/	V 8 16
17. I xm sin3 x dx = —- y^ —.—	tt^ ( o, ,., cos Зж — 3 cos ж I —
'¦ fc=o
_.	m	I ___________________ O1T1 Я! ЛР — Як С1Т1 ЛР
7	7	.	I	.	bill OJb	О Ы11 el/
18. ж sin3 x dx = — sin ж	sin Зж — — ж cos ж H	cos Зж.
5.49. Интегралы вида 	dx.
J ^
Неопределенные интегралы, приведенные в этом разделе, при р > 0 не
выражаются через элементарные функции, но могут быть при р = 1, 2, 3, ...
выражены через специальные функции — интегральный синус si (ж) и инте-
интегральный косинус ci (ж), которые определяются формулами
si (ж) = — 	rft,
ci (ж) = — 	dt, ж > О,

5.49]	5. Тригонометрические функции	143
13 5	_
и при р = —,—,—,... — через синус-интеграл Ф
А Л Л
интеграл Френеля С (ж), определяемые формулами
13 5	_	_, ч
и при р = —,—,—,... — через синус-интеграл Френеля о(х) и косинус-
А Л Л
Six) = —==¦ —=- dt, С(ж) = —==¦ —^~ rft.
о	о
xP	(р-^хР-1 (р-1)(р-2)жР-2
_i_
Г sin х	sin ж	If cos x
2. 	dx = —тН
J р	(
4.
(p-l)(p_2)
sin ж	cos x	If sin ж .
О	 	 	 	 	 J rp
(l)P1 (l)B)P2 (l)B) J Р2 '
x*r
га —1
6. I —-— dx = —=^ In ж + 2n_1 2^(-l)n+ C2ncl(Bn - 2&)ж).
fe=O
'+i	i n
	dx = —-— / (—1) С о n-\-i si (Bn — 21г + 1)ж).
г,	22n ' ^	n+ vv	7 7
I от Ж	(^2n
8.	— dx =
с2	22пж
— 2n_1 ^J(—1) ^2n	Ь Bn — 2A;) si (Bn — !
fc=o	L
2n+l	1 П
"• I	о	"ж = lyin / ^(~-*-)	^2n + l X
fc=O
rsinBn - 2Jfe + 1)ж ,	, ч //
x 	^	L	Bn — 2As + 1) ci (Bn - 2k 4
L ж
,' sin ж .
10. I 	ax = si x.
x
,' sin ж ,	sin ж

144
5. Тригонометрические функции
[5.50
sin ж cos x 1 .
• • 2	-1-1
I Sin Ж .	1 .	1 . , ч
13. I 	rfx = - In x	ci Bx).
X	JL	A
14.
= — si (ж)	si (Зж).
4	4
5.50. Интегралы вида
2.
3.
4.
X^
J smq ж
- (q — 2)ж cos ж]
(q-l)(q-2)sinq-1x
q — 2 f xp dx
i
sin ж
v
= g- - 2
p
Bk)lBk
p-\
p(p - 1)
da;
n9
x dx
sin9 ж ""* ~ (9-1) sin9 ж (g - l)(g - 2) sln9^2 ж ' g-lj sln9^2 ж
xdx
2nBra - 2) . . . Bra - 2A: + 2)
^ Bn - l)Bn - 3) . . . Bn - 2Jb + 3)Bn
Bn - 2^)жсозж 2n~1(n - 1)!
¦ (In
sin ж I — ж с
7.
8.
Bn + 1) . . . Bn - 2A; + 1)
г - 2) . . . Bra - 2k + 2)Bn - 2fc)
sin ж + Bn — 2fe — 1)ж cos ж Bn — 1)!! Г ж <
1)!! Г ж б?ж
! J sin ж
P
xp sin9 ж (g - l)(g - 2)хР+г sin9 ж (g - 1)ж^ sin9 ж
dx	,
q - 1 J жр sin9 ж
- 2) J жр+2 sin9 ж "

5.51]	5. Тригонометрические функции	145
dx	ctga?	п	г / \m 2nn ._ ..
10. |?^ = !B + 2?2^i „+1_
1 -пж	^^ B к + 1)!
12. —к— = ^ж ctg ж + In I sin ж
J sin ж
Г ж ^ж	sin ж + ж cos ж 1 Г ж dx
J sin3 ж	2 sin2 ж	2 J sin ж
Г ж dx	x cos ж	1	2	2 . . .
14. I -^i— = — „	;—^	ж ctg ж H— In I sin ж
ж 6 sin ж 3	3
5.51. Интегралы вида жрсо8джс1ж.
1.	жр cosg х dx = —— cosg~ ж х
J	q
x (p cos ж + дж sin ж) -\	жр cos9™2 ж dx	—^—- жр™2 cos*1 ж dx.
q J	? J
2.	жр cos x dx = xp sin ж — p жр^ sin ж с/ж.
3.	жт cos2n x dx = C^n о /	г Н—о—т У^ ^2n ^m cos Bn — 2А;)ж с?ж.
J	2n22^(m + l) 22» ^ 2nJ	l	;
г	1 n	г
4 tto cos2n+1 rdr — — Vrf , i t"
fc=Q
6. \ x m cos ж е/ж =
= Bm)!
^x } Bm - 2k - IV
Lfe=O
8. ж cos те ж с/ж = —
^!n)!! 2 2n-
n —1
it—\ Bti + l)Bn — 1) ... \2п — 2k + 1)
.„..„ — 1) . . . (n —
fe=O	v	;	V
10 А.Ю. Брычков и др.

146
5. Тригонометрические функции
[5.52
о Г 2n+i ,
9. ж cos ж dx =
J
n + 1 ^ Bп + 1)Bп - 1) . . . Bга - 2А: + 1)
.	2
х sin ж cos
10. s I ж cos x dx = cos ж + ж sin ж.
11.	ж cos ж dx = 2ж cos ж + (ж —2) sin ж.
12.	ж созжс1ж = Cж — 6) cos ж + (ж ™6
13. ж cos х ах =
2(ш
m! rIW4 {_1Г+гх«
( —1)
V
ж ж	1
14.	| ж cos2 x dx =	1	sin 2ж -\— cos 2x.
ж3 /ж2 l\	ж
15.	I ж cos x dx =	hi	I sin 2ж -\	cos 2x.
V 4 8 У	4
-i •» I 3	2j	XX	OX \ .	/ ОЖ	О |
16. ж cos x dx =	h I —	— I sin 2ж + { —^	^^ ) cos 2x.
8 16
17.
(m-2fc)!
- 3sin x J
fc=O	v	;
18. ж cos x dx = - cos ж + — cos Зж + — ж sin ж + т^~ sin Зж.
J	4	«3d	4	12
Г cosg x
5.52. Интегралы вида 	dx (см. замечание в начале 5.49).
J •?
(P-1)(P-2)
_
Г cos ж .	cos ж	If sin ж
2. 	dx = ^т
3.
4.
(р -
(р -
(P-1)(P-2)
(р - 1)(р - 2)
'
Ж'

5.53]	5. Тригонометрические функции	147
П^\ ,,fc Bfe + 1)!
( 1)
cos ж —
6.
7.
, cos2n ж ,
8. 	— dx = -
22nx
n-l
cosBn - 2k)x
, COS Ж
10.	I 	ax = ci x.
X
, COS Ж .	COS Ж	. , ч
11.	—— о =	si (ж).
1 ж2	ж
cos ж .	cos ж sin ж 1
Г cos2 х	1	1 . . ,
13. 	ах = — In ж Н— ci Bж).
J ж	2	2
Г cos3 ж	3 •/ ч , ! •/о \
14. 	ах = — ci (ж) Н— ci (Зж).
J ж	4	4
Г хр
5.53. Интегралы вида 	dx.
cos*? ж
, ^р dx	хр [рсоБХ — (q — 2)ж sin ж]
1. I 	 =	7	7V7	^л	i	1~
cos*? ж	(q — l)(q — 2) cosg хж
q - 2 f xp dx t p(p - 1) f xp^2 dx
q - 1 J cos^2 ж (g - l)(g - 2)
10*

148
5. Тригонометрические
[5.54
4.
5.
6.
7.
ж аж
2n{2n - 2) . . . Bn - 2ife + 2)
cos2n ж 2w ^ Bn - l)Bn - 3) . . . Bn - 2fc + 3)Brc - 2A;
Bra -
Bn - 2k)
-cos ж 2п^1(п-1)\
+ Bn-l)!!
(x tga; + In | cos ж |
жс!ж
Bn + l)Bn - 1) . . . Bn - 2k + 1)
cos2n+i ж - 2n
2n - 2) . . . Bn - 2A; + 2)Bn - 2k)
Bn — 2k + 1)ж sin ж — cos ж Bn — 1)!! ^ x dx
Bn — 2Aj — 1) cos2n^2fc ж	2nn J cos ж
P
жр cos'? ж
dx
- 2)жр+1 cos'?™2 ж (q - 1)xp cos^™1 ж
с?ж	pip + 1)
9-
- 2) J xtp+2 cos^^2 ж "
= -[l-C-irJ^! 1п|ж| +
жпсозж 2L v ; J(n- 1)!
oo
+ E
j Bfe)!BA-n
8.
= tg? + N _ (-1)"]
s2 ж жп L v ; J
(n + 1)!
Bife)!BA;-n-l)
7Г/2].
9.
10.
J-J-•
= E-
cos ж ^ BА;)!BАгЧ-2)"
ж с?ж
—-— = ж tg ж + in
ж sin ж — cos ж 1 f ж dж
2 cos2 ж
2 cos ж
12.
ж ^ж
COS3 Ж
ж с!ж
cos4 ж 3 cos3 ж 6 cos2 ж ' 3
+ - ж tg ж - - In
5.54. Интегралы вида
2.
p ~~r
Coszn-ZK ж
[cm. 5.53].

5.56]
5. Тригонометрические функции
149
3.
L)n xp tg x dx —
-5-53]-
4. xtg x dx = x te; ж + In
5.55. Интегралы вида жр ctg
qxdx.
2.
k=0
g
. 5.50].
dx ¦
Г
1. жг sinp ж cosg x dx =
J
r^ slnp ж cosg ж — r(r —
4. ж ctg ж dx = ^ж ctg ж + In
J	*
5.56. Интегралы вида жг slnp ж cosg ж cfc
(p + g)^rsmp+1
(г — 1) xr^ slnp ж cosg х dx ^
— гр хг^г sln13^1 ж cos9^1 ж е/ж + (д — 1)(р + д) жг si
2.	=_J_|^_(p + g)^sinP-1a;cos9+1:r +
i	г —1 • р	а	(	1 \ I г —2 ¦ р	Я 1
+ гж sm х cos ж — г (г — 1) ж sm ж cos x dx -
Г r-i	-1	-1	Г г . -2
+ ПГ^ /У I ОТ*	С1 n	Ot^ f~* f~\G	'TT3 /i "^T* _L_ I 1П _____ I If I""! __4_, /*? I I Hf9 С11П1
# %J I еАУ	Dill	el/ "Uvll3	ely Lt» еАУ ^^ I i/	J_ I I JL/ j^ IJ I I tX/	Dill
f	l Г +i _i
3.	ж slnp ж cosg x dx = 	 ж sinp ж cosg ж —
Г
np+ ж cosg^
4.
™ х cosg+ ж
Г	1
+ (д — 1) ж slnp ж cos9^ x dx .
Г
slnp™ ж cos<l+ х dx +
J
+ (р — 1) ж sinp^ х cosg ж dx .
J	J

150
5. Тригонометрические
[5.57
5. ж
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
cosn ж
,8in2m+1:
хр dx
dx.
p-i
n Sin X	XP	p I XP
xp	dx = t	г	^—
cosnx	(n - l)cosn™1 x n-ljcoEn^1
dx
sin ж
cog2m + l ,
sinn ж
„ cos ж
¦ dx
= y(.1)^\^s^dx.
slnn x
X COS Ж
dx = — -
[cm. 5.53].
[cm. 5.53].
[cm. 5.50].
[cm. 5.50].
dx = — -
sin ж	sm ж
x sin ж , ж .
	— dx =	In
cos^ ж	cos ж
5.57. Интегралы вида
xp cos ж о?ж	ж
In
tl
ж
tff —
5 2
/ж
у —
42
, Л
л—
[^
sm ж cos ж
- b cos ж + csinx)q
P
dx.
(q — l)b(a
гdx
xp sin ж с!ж
x dx
 (q — l)b ] (а + Ьтж)9
p f хр~г dx
(q- 1N(а + fecos ж)^™1 (g — 1N J (а
1 + sin ж
x dx
1 — sin ж
ж dx
1 + cos ж
1 — cos ж
ж cos ж dsc
7Г
7Г
^2ж
4
-2ж
= ж ctg
= ж tg - + 2 In
= —ж ctg —¦ + 2 In
-2 In
+ 2 In
тг - 2ж
. тг - 2ж
2ж -тг
A + sin жJ	1 + sin ж
ж cos ж с!ж	ж
-ctg:
2ж - ж
A — sin жJ 1 — sin ж
ж sin ж dx	х	х
A + созжJ ~ 1 + совж S 2'
ж sin ж <^ж

A — cos жJ
ж
1 — cos ж
1
ж
	 _
2
(cos ж + a sin жJ а2 + 1
In cos ж + a sin ж +
— а)

5.60]	5. Тригонометрические функции	151
Г	х dx	х sin x + cos ж
J [(аж — b) sin ж + (a + 6ж) cos ж]2 6[(аж — b) sin ж + (а + bx) cos ж]
Г	cos2 x dx	tg ж
J [a cos ж + (аж + b) sin ж]2 а[а + (аж + b) tg ж]
5.58. Интегралы вида
Обозначение: А = у 1 — k2 sin2 ж , 0 < Is2 < 1.
ж sin ж Aж	ж cos ж	1	.
+
2. f!BC^<ia!?^? l
5.59. Интегралы вида (ж + b) n sinax dx.
п! Г[(п^/21 (-^(х + ЬГ-
-E
fc=0
Ж + Ь
az	a
(-l)fc(a; + b)n-2fc	]
, ' , x. ' ,— cos аж .
2. (ж + b) sin аж а*ж = — sin аж	cos аж.
3. (ж + о) sin аж аж = ——-—- sin аж —
4. Ux + bf sinax dx = "L" ^ ^J>	^ sinax- ^ [a\x + bf -(
Г sinaa; .	n-i ( » fsint _ . . Г cost , \
J (ж + o)n	\	J tn	J tn J
Г sin аж .	» . /	, \	» . /	, \
6.	 аж = cos ab si (аж + ab) — sm ab ci (аж + ab).
I т —I— h
_ Г sin аж .	sin аж	Гсоваж .
7.	7	г-Го "Ж =	Г + а 	Г "ж-
J (ж + by	ж + о J ж + 6
Г sinax .	sin аж	асоваж а2 Г sin аж .
8.	™т^ dx =	—т^	-г	г "ж-
5.60. Интегралы вида (ж + 6) ncosaxdx.
те/2] / ,4fc/_ , .чп-2Л
i /	» \	,	Ж + 6 .	1
2. (ж + о) cos аж аж = 	 sin аж -\	 cos аж.
1	а	а2

152	5. Тригонометрические функции	[5.61
+ 6J^2 .	2(ж + 6)
^sinasc +	—-™
3. (ж + о) cos аж ах =
2
«эГ„2/
. ™,«,«,	n-i / • , I'sinf ,, ,	Г cost
5. 7	-г— dx = a sin ao 	at + cos ao 	at
4. (ж + 6K cos аж dx = —— [а2 (ж + bJ — 6] sin аж +
J	&
Г sin
(ж + 6)те	V	J tn
_ cos аж	• i . /	i \	i • /	i \
6. 	— ax = sin ao si (аж + ab) + cosaoci (аж + ab).
_ Г cos ax .	cos аж	Г sin аж .
7.	т	™^7 ax =	a 	— dx.
J (ж + bJ	x + b J ж + b
[t = а(
соваж	cosaa;	аз!паж а2 Гсояаж
^	+	J
а2 Гсо
(x + 6K ^ = 2(Ж + 6J + 2(ж + 6) T J ^
5.61. Интегралы вида \eaxsmpbxdx.
	IO o sin13™1 6ж cos 6ж
2 + 22
a2 + 62p2
1Ж sinp bxdx.
a2 + b2p2
Г аж 2n	Bтг)!62п-аж
2. еаж sin n bx dx = -^—^	т—.2 2ir 2 —r^—
, ^	Bn)!62fce^
^ Bn - 2fe)![a2 + BnJ62][a2 + Bn - 2J62]... [a2 + Bn - 2feJ62]
г • 2n^2fc i	/г»	о # \i • 2n^2fc^l
x [asm	ож — Bn — 2«)osin
(
4.
г . 2n —2fc + l i	/n	г» # , i\i • 2n —2fe
-[asm	^ ож — Bn — 2fe + l)osin
Bn-2ife
x [asinBfe + l)bx - Bk ¦
6. I eax sin bx dx = -^——(a sin bx — 6cos bx).
7. еаж sin bx dx =	—; ( — cos 26ж + b sin 26ж J.
2a a2 + 462 \ 2

5.63]	5. Тригонометрические функции	153
5.62. Интегралы вида \еах cosp bx dx.
1. еах cosp bx dx = —	^^г cosp bx -\	^^r sin bx cos13™1 bx +
J	a2 + 62p2	a2 + 62p2
*>
Bn)!62fce°
Bn - 2Jfe)![a2 + BnJ62][a2 + Bn - 2J62] . . . [a2 + Bra -
3.
4. | eax cos2n+1
fc=
^ [a2 + Bn + lJ62][o2 + Bn - 1J62] . . . [a2 + Bn - 2/fe + 1J62]
[a cos	ox + Bn — 2k + ljosin bx cos	ож_|.
к
x [acosBife + 1Nж + Bk + 1Nsin BA; + 1Nж]
6. еаж cos bx dx = ^r	-rfacos 6ж + &sln 6ж).
J	a^ + СИ
7. еаж cos bx dx =	1	7777 I — cos 26ж + b sin 26ж 1.
J	2a a2 + 462 \2	/
5.63. Интегралы вида еаж slnp bx cosg еж da;.
1. eax sinp ж cos*1 x dx =
1	r
e sin ж cos ж [a cos ж + [p + q) sin ж] —
a2 + (p + gJ
Г	Г	1
— pa eax sln13^1 ж cos9^1 ж dx + (</ — l)(p + q) eax slnp ж cosg^2 ж а'ж >.
—т	т	— < eax sin13™1
a2 + (p + gJ 1
2.	= —т	т	— < eax sin13™1 ж cosg ж[а sin ж — (p + a) cos ж] +
a2 + (p + gJ 1
1
+ да еаш slnpml ж cos9™1 ж da; + (p — l)(p + q) ea
x slnp™2 ж cos*7

154	5. Тригонометрические функции	[5.64
3.	= —	т	-r<eaasslnp^ a?cosg^ x(asinx cos ж + gsln ж^
а2 + (р + дJ [
pcos x)-\-q(q — l) еаж slnp ж cosg™ жб?ж+р(р —1) еаж sinp™ жсо8джс1ж>.
4.
х < еаж sin13™1 х cos*1 ж(а sin ж cos ж + д sin2 ж — р cos2 ж) + q(q — 1) х
f еах sinp~2 ж cosg~2 xdx-(q- р)(р + q - 1) f eax slnp ж cos17 ж dx\.
х < eax slnp 1 х cosg г х(а sin ж cos ж + q sin2 х ^ р cos2 ж) + р(р — 1) х
х еаж sinp^2 ж cosg^2 ж dx + (g — р)(р -\- q — 1) еах sinp ж cosg^2 ж с!ж >.
Г аж • ,	, е°ж Га sin F + с)х — F + с) cos F + с)х
6. е sin ож cos еж ах = 		—	7-	^г	h
J	2 [	а2+ F +сJ
asm F — с)х — F ~~ с) cos F ~~ с)ж]
а2+ F™ сJ
зах sin2 6ж cos еж dx =
еаж Г « cos еж + с sin еж a cos B6 + с)х + B6 + с) sin B6 + с)х
4 [	а2 + с2	а2 + B6 + сJ
a cos B6™ с)ж + B6™ с) sin B6 - с)х]
а2 + B6 - с)
зах sin 6ж cos еж dx =
еах Г a sin 6ж — 6 cos 6ж a sin F + 2е)ж — F + 2с) cos F + 2с)ж
= ~4~{	а2 + 62	+	а2+ F +2сJ	+
a sin F — 2е)ж — F — 2с) cos F — 2с)ж1
+	а2+ F-2сJ	J'
5.64. Интегралы вида e^tg^cte.
1.	[ еах tgp xdx = --— tg15 ж	— [ еах tg15^1 xdx-\ eax tgp ж da;.
J	P-1	P-1J	J
Г	раж	1 Г еах dr
2.	e tgж<iж = 	tga;
a	a cos^1 ж
as	p
3. I ea*tg2 жс!ж =	h eax tgx - a\ eax tgxdx.
a

5.67]
5. Тригонометрические функции
155
5.65. Интегралы вида \eaxctgpxdx.
. leaxctgpxdx =
ах	г	г
=	ctgp~ х -\	еах ctgp~ х dx ~ \ еах
р - 1	Р — 1 j	J
x dx.
2.
eaxdx
a	a j sin x
f ax 2	eax ax	f
3. eax ctg x dx =	eax ctg ж + a eax ctg ж da;.
J	a	J
5.66. Интегралы вида жреаж sin (bx + с) da;.
Обозначение: sin tp =
1. I жреаш sin bx dx =
a2 + b2
cos (p =
(а sin bx — b cos bx) —
P
2.
жреаж	о
sin (bx + (p)
a2 + 62
жр 1eaa;(asln bx — 6cos 6a;) da;.
хр~геах sin Fa; + y?) dx.
- \ * ax . r .	- i2 2(а2^62) , 2а(а2^362)" . ,
5. же sin ож йж = ^	— аж	4^	v^ x -\	j\	tO4O sin bx —
HJbUX.
(a2 + 62
26Cq2 - b2)
a2 + b2 ["" a2 + 62 " + (a2 + 62J
6. | xneax sin (Ьж + с) da; =
епХ V	(
7. 1 xeax sin Fж + с) dx =
sin Fж + с + ер) —
sin (bx + с +
5.67. Интегралы вида жреаж cos Fa; + с) da;.
Обозначение: sin (p =
» cos (р =
1. жреаш cos bx dx = —	— (a cos bx + b sin 6a;) —
a2 + 62
¦ L^'e^
(a cos bx + 6 sin 6ж) da;.

156
5. Тригонометрические функции
[5.68
2.
хреах	р Г -1
— cos (bx + (р)	,	хр еах cos (bx + ш) dx.
« + b2	у а2 + б2 J
3.	xneax cos bx dx = n\ eax
J
f	еах
4.	I xeax cos bx dx = —	77
1 2	^>аж
5.	x e cos 6ж о?ж =
cos bx+ ( bx
( bx
\ a2jrb2
2
аж
е
ж
аж
а2 + Ь1 I	а2 +	(	)
аж r 2 АаЪ	26Cа2 -
Ж +
sin bx
\
cos Ож
а2 + б2
9 ¦
а +
/ 9 i L9\9
л I тг ах	/г , \ *
6. | ж е cos (ож + с) аж =
? (
7. I жеаж cos Fж + с) dx =
xeax	eax
cos Fж + с + ip)	— cos (bx + с + 2<p).
/a2 + б2 ~~~У~~ " ~ ' ^ a2 + 62
5.68. Интегралы вида shm(aa? + b) smn(cx + d) dx.
1. sh (аж + 6) sin (еж + d) dx = ^r	 ch (аж + b) sin (еж + d) —
az + e^
a1 + bA
sh (ax + b) cos (еж + d).
f	1.1
2. sh ж sin ж йж = — ch ж sin ж — — sh ж cos ж.
J	2	2
3.
6) sm2n(cx + d)dx=
1	m — 1
Ti^T^ E (
-i \m-\-n	n — 1
(-i)"
fe=O v
m — 1 n — 1
^sh [Bm -2i
2fcn «n [Bn -
(-i)j+kcLcL
d)]
2n~2 L^ L^ Bm - 2jJa2 + Bn - 2kJc2
j=0 fc=O l	J)	l	7
+ Bn -:
л I i 2m/	. i\ • 2n + l /	1 |\ 1
4. sh (аж + b) sin (еж + d) аж :
(_1Г+„+1	п	(_1)fc
b)\ cos [Bn ~~ 2k)(cx + d)] +
; + 6)]sin [Bn - 2Аг)(сж + d)]}.
2L+2n

5.69]	5. Тригонометрические функции	157
A)" ^1 "
22m+2n^i A,^Bw- 2jJa2 + Bn -2k + lJc2
x {Bm - 2j)ash[Bm- 2j)(ax + b)} sin [Bn - 2k + 1)(еж + d)] -
- Brc - 2Jb + l)ech [Bm - 2j)(a» + 6)] cos [Bra - 2k + 1)(сж + d)]}.
p
J
= t^—^^ / 77Г	 . m ч ch [Bm — 2j + 1)(аж + 6)] +
+
2n^i Z-j Z_^ Bm _ 2j + lJa2 + Bn - 2ifeJc2
x {Bm - 2j + l)ach[Bm^ 2j + 1)(аж + b)] cos [Bra - 2k)(cx + d)] +
+ Bn - 2^)csh[Bm™ 2j + l)(ax + 6)"j sin [Bn - 2k)(cx + d)]}.
. f
^ {2m- 2j + lJa2 + Bn - 2Jfe + lJc2
j —0 к—0
x {Bm - 2j + l)a ch [Bm - 2j + l)(ax + 6)] sin [Bn - 2k + 1)(сж + d)] -
- Bn - 2k + l)csh [Bm - 2j + 1)(аж + 6)] cos [Bra - 2fe + 1)(сж + d)]}.
5.69. Интегралы вида зЬто(аж + b) cosn(cx + d) dx.
1. sh (аж + b) cos (еж + d) dx = —	 ch (ax + 6) cos (еж + d) +
J	ft "T" С
H	 sh (аж + b) sin (еж + d).
f	1	1
2. sh ж cos x dx = — ch ж cos ж + — sh x sin ж.
J	1	A
3. [(
_ (-1Г

x sh [Bm - 2j)(ax + b)] + ^J+2^ ^
i ^ Bm-2j)a
sin K2n
^ 22^+2^2 ^ ^ Bm - 2jJa2 + Bn - 2JbJc2
x {Bm™ 2j)ash[Bm - 2j)(ax + b)] cos [Bn - 2k)(cx + d)] +
+ Bn - 2^)ech[Bm - 2j)(ax + &)] sin [Bn - 2^)(сж + d)]}.
4. sh т(аж + b) cos та (еж + d) о?ж =
g

158	5. Тригонометрические функции	[5.70
22m+2n-i Z^ Z^ Bm - 2jJa2 + Bn - 2k + lJc2
x {Bm — 2j)ash [Bm — 2^*)(аж + b)] cos [Bn — 2k + 1)(сж + d)] +
+ Bn -2k + l)cch[Bm- 2^*)(аж + 6)] sin [Bra - 2k + 1)(сж + d)]}.
p
J
/-tn	m / л\3 Г<3
~~ ch [Bm - 2j + 1)(аж + 6)] +
i
( 1 \3 f^ f~ik
2n Z^ Bm - 2j -
^	?n n —1
Bm - 2j + lJa2 + Bn -
x {Bm™ 2j + l)ach[Bm- 2j + 1)(аж + b)] cos [Bn - :
+ Bn - 2Jfe)esh[Bm™ 2j + l)(aa + 6)]sin [Bn - 2^)(еж + d)]}.
6. [8п2т+1(аж + 6)ш82те+1(сж + ?|)Л1
dx =
j ^ Bm - 2j + lJa2 + Bra - 2^ + lJc2
x {Bm™ 2j + l)ach[Bm- 2j + l)(ax + 6)] cos [Bn - 2fe + l)(ca; + d)] +
+ Bn - 2ife + l)csh [Bm - 2j + l)(ax + 6)] sin [Bn - 2k + 1)(сж + d)]}.
5.70. Интегралы вида chm(ax + b) slnn (еж + d) с!ж.
1. ch (аж + 6) sin (еж + d) da; = —	 sh (аж + 6) sin (еж + d) —
J	a + с
¦ ch (аж + 6) cos (еж + d).
2. | ch ж sin ж с!ж = - sh ж sin ж	ch ж cos ж.
3.
3=0
22w+2^^2 ^ ^ Bm - 2jJa2 + Bn -
j—0 k—0
x {Bm™ 2j)ash[Bm - 2j)(ax + b)] cos [Bn - 2
+ Bn- 2fe)cch[Bm^ 2j)(ax + 6)] sin [Bn - 2А;)(сж + d)]}.
. [сЬ2т+1(аж + 6)8т2п(сж + A)с1ж =
= 2^ E Bm-2T+l)a Sh ^2m - ^ + l^X + b» +
Bm - 2j + lJa2 + Bra -

5.71]	5. Тригонометрические функции	159
х {Bто- 2j + l)ash[Bm - 2j + 1)(ах + 6)] cos [Bга -
+ Bn - 2^)ech[Bm - 2j + 1)(аж + &)] sin [Bn - 2^)(сж + d)]}.
5. [(	)
fc=O v
m — 1 n
^ 22m+2n^i ^ ^ Bm - 2jJa2 + Bn - 2k + lJc2
x {Bm - 2j)ash[Bm- 2j)(ax + b)] sin [Bn - 2ife + l)(cx + d)] -
- Bra - 2ife + l)cch [Bm - 2j)(a» + b)] cos [Bra - 2ife + l)(cx + d)]}.
6. f ch2m+1 (ax + 6)sln2n+1 (еж + d)dx =
i LJ	°2m+l°2n + l
2	^ Bm - 2j + lJa2 + Bn - 2k + lJc2
x {Bm- 2j + l)ash[Bm - 2j + 1)(аж + 6)]sin [Bn - 2k + l)(cx + d)] -
- Bn - 2ife + l)cch [Bm - 2j + 1)(аж + b)] cos [Bra - 2k + 1)(сж + d)]}.
5.71. Интегралы вида chm (ax + b) cosn (еж + d) daj.
1. ch (аж + 6) cos (еж + d) с!ж = —	 sh (ax + 6) cos (еж + d) +
J	12 "T" С
H	 ch (аж + b) sin (еж + d).
Г	l	l
2.	eh ж cos x dx = - sh ж cos ж Н— ch ж sin ж.
3.	2т( + 6) 2n( + d) d %^ + Л" У	2
fc=O
3=0
m — 1 n — 1
'¦J<
22m+2n-2 ^ ^ Bm _ 2iJa2 + Bn _ 2A;JC2
x {Bm - 2j)ash [Bm - 2j)(ax + 6)] cos [Bra - 2&)(сж + d)] +
2m - 2j)(aa + 6)] sin [Bra - 2А;)(сж + d)]}.
k g BтаЛТ+1)«sh [{2m -2j+1)(ax
^ j 2m _ 2j + lJa2 + Bn -
x {Bm- 2j + l)ash[Bm- 2j + 1)(аж + 6)] cos [Bn -
+ Bn - 2fc)cch[Bm - 2j + 1)(аж + 6)]sin [Bn - 2^)(сж + d)]}.

160	5. Тригонометрические функции	[5.72
J
~ 22m+2n Z^ Bn - 2k + l)c Sm П
Br
fe=O V
Z-/ Z-/ Bw - 2jJa2 + Bn -2k + lJc2
x {Bm- 2j)ash[Bm- 2j)(ax + 6)] cos [Bn - 2fe + l)(cx + d)] +
+ Bn - 2A; + l)cch[Bm- 2j)(ax + b)} sin [Bn - 2k + 1)(сж + rf)]}.
6.
ci
Bm - 2j + lJa2 + Bn - 2fc + lJc2
x {Bm - 2j + l)ash[Bm - 2j + 1)(аж + 6)] cos [Brc - 2fe + 1)(сж + d)] +
+ Bra - 2A; + l)cch [Bm - 2j + 1)(аж + b)] sin [Bn - 2k + 1)(сж + a1)]}.
5.72. Интегралы вида \хр sin ж а*ж.
Интегралы ж п sin ж а*ж выраж:аются через элементарные функции,
интегралы ж n sin ж dx — через синус-интеграл 8(ж) и косинус-интеграл
С(ж) Френеля, а интегралы ж п sin ж dx — через интегральный синус
si (ж) и интегральный косинус cl (ж).
1.	хр sin ж2 dx =	cos ж2 -\	жр™2 cos ж2 dx.
J	2	р
г	/
2.	sin ж с?ж = * — Б(х ).
3 1 /j» ciTi <тг> /Уо" —	Р<ПЧ Т*
# I ежу ulii *AJ XJu *JU 		V/wU *AJ в
A
12.2,	x	2 1 Г*',-+( 2\
4.	I ж sin ж аж = —— cos ж + — д / — С(ж ).
Zl	А у А
5.	| ж' sin ж а1ж =	cos ж Н— sin ж .
Zi	Zj
, Sin Ж2	1 . / 2ч
6.	I 	аж = — si (ж ).
Ж	А
. Sin Ж2	Sin Ж2	/7^^/ 2ч
7. 	— dx =	Ъ У2тг С(ж ).
8. I sin (аж + Ьх + с) dx = а I ¦?- I cos
2а	4а	V 4а
. 4ас5
+ sin	С
4а	V 4а

5.73]
5. Тригонометрические функции
161
5.73. Интегралы вида \xpcosx2dx.
Интегралы х п cos x dx выражаются через элементарные функции,
интегралы х п cos x dx — через синус-интеграл S(x) и косинус-интеграл
С(ж) Френеля, а интегралы х п cos ж dx — через интегральный синус
si (ж) и интегральный косинус с! (ж).
1 Г Р	2 i	ХР	. 2
1. х cos х ах = 	sin ж
J	2
2.
р-1 Г

р J
р_2 . 2 i
ж sin ж ах.
. f 2	2»	Ж . 2 1 /^о/ 2ч
4. ж cos ж dx = — sin ж - -w- Ь(ж ).
J	^	2 у ^
5. ж cos ж dx = — sin ж + — cos ж .
J	2	1
1 . / 2ч
= - ci (ж ).
А
6.
7.
Г / 2 ,	4 1
8. cos (аж + ож + с) аж =
J
4а
Bаж
4а
4а
4а
111/2 А.Ю. Брычков и др.

6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
6.1. Интегралы вида \xplnqxdx.
1.	[ /(ж) lng(x) dx = F(x) In g(x) - f Ffo)g/(g) dx	\F(x)=\f(x)dx].
J J g{x)	I	J	J
2.	f Ing(x) dx = xlng(x) - I xg№ dx.
J	J g(x)
3.	f /(ж) lnn x dx = F(x) lnn ж - n I ^^ ln71^1 x dx	\f(x) = f /(ж) dJ .
J J x	L	J	J
л [ РЛ Я J	XP+1 lng+1 X Р+Ч PM+1 j
4.	ar lng ж dx =	?	 xp \nq^ x dx.
J	q+1	q+1J
tp+1 Ing
5_	=
p + l p + l
6. xp In" Ж dx = ^— ?(-l)*(n + l)n(n - 1) . . . (n - к + 1)	Д,.
n fc=o	^ '
r.	=^ "	[p—и.
8. [ ^- dx = In I In x\	{ t!)k
J In ж	' '
„ In я -"*'"*-' ' Z^ klk
f lng ж , lng ж g f ln^1 ж ,
9. 	dx = ^т	 H	I 	dx.
J xp	(p — l)xp~l p —
«
10.
п.
7^^E
xm	(n + l)xm^1 ^
12.	lng x dx = x lng ж — g ln^1 ж с!ж.
г	n
13.	1ппжс1ж = ж^(-1)^!С^1пте^/гж.
J	fe=o
14.	In ж dx = ж In ж — x.
15.	In x dx = ж In ж^2ж1пж + 2ж.
16.	In3 ж dx = ж In3 ж — Зж In2 ж + 6ж In ж — 6ж.

6.8]
6. Логарифмическая функция
163
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
1.
2.
3.
4.
к
жр In ж dx
жр In ж dx
jx^n^dx
Г In ж
J ж
РПХ dr
ах —
J ж2
Г In ж
J ж3
Г In2 ж ^
J ж
j л
ДЖ
j «^
X
- xp-
жр"
In2 ж
2
ln ж
ж
ln ж
~2^
In3 ж
3
In2
ж
In2
2ж
6.2. Интегралы
Г xpdx
J 1пдж
Г dx
J жр lng ж
f ^Ж lr
г» 1
J жр In ж
Г da; ln
J ж In ж
Г dx
X1
q — l"t
(a ~
,ln*|
ln ж .
i Г 1пж
Lp + i
нГь2ж
Lp + i
H [In3ж
[р+1
1
ж *
1
~ 4х^'
х 2 In ж
ж
ж In ж
2 2ж2
вида
In9ж '
1
1)ж^Чпд
fe=i
1
1
(р+1J
2 In ж
(Р + 1)
31п2ж
(Р+1)
2
ж
1
4ж2'
жр^ж
1пдж '
^iJ
г
-гх q
fc (Р - 1)
fc!fe
]¦
1 2 1
2 (P+1KJ
61пж
2 ' (р+1K
xpdx
In5»'
» - 1 Г rfa;
6 1
(р + 1LГ
ж 1пд ж
6.3. Интегралы вида (ж + а)р In ж б!ж.
1.
2.
In ж ^ж =
" In ж —
\т+1
X
Г	1	ж2
3.	(ж + a) In ж dx = — (ж + 2аж) In ж — ах	—.
4.	(ж + аJ In ж dx = — (ж3 + Заж2 + За2ж) In ж	а2ж.
J	о	У Л
т/г*

164	6. Логарифмическая функция	[6.4
. (ж + а) In х dx = — [(ж + а) — а ] In
Т*4 /71*3 Чл2Т»2
. | (ж + а) тжаж = - |(ж + а) —a | In ж	а ж.
16 3	4
. lnn ж а*ж	ж1ппж	n Г In71^1 x dx
6. 7	;	г— = -z	гт—7	;	г	:	7	rr^ 7	;	ч	т +
- ft)m (га ~~ 1)а(ж + а) (га — l)a J (ж + а)™1
ra - 2 f lnn ж da
7.
га- 1)а J (ж + а)™'
In ж а*ж	In ж
(ж + a)m	(ra - 1)(ж + a)mml
1	Г
In-
^?7i — ija
Г In v. ti.T.
8.
9.
2f
ж + а	а	\ а
In ж с!ж	In ж 1 . ж
+ 1
(ж + aJ	x + а а ж + а
In ж а1ж	In ж	1
(ж + аK	2(ж + аJ 2а(ж + а) 2а2 х + а"
(ж + aI/2
[a > 0].
12.	= 2 Aпж^2)(ж + аI/2 + 2(^аI/2агс1§ | ж + а )	[a < 0].
6.4. Интегралы вида \ хр In (ож + b) dx.
. I f (хIпп( ах+ b)dx = - \f( ^^ 1 \nntdt
J	a J \ a /
. (*ж"Мп(аж + 6)^ж= ^^—\хт+1 + {-1)т^Л 1п(аж
m+l
v-1
Г	1
3.	In (аж + b) dx = — (аж + b) In (аж + b) — ж.
J	a
г	1 / ft2 \	1
4.	ж In (аж + b) dx = — I ж	 In (аж + b) — —
J	2 \	a J	1
5.	ж2 In (аж + b) dx = - ( ж3 + — J In (аж + 6) - -
J	о \	а у	о
6.	ж3 In (аж + b) dx = - ( ж4	 J In (аж + 6) -
bx_
a"
2a a2 /"
|1п(аж + 6)
4 V 4 3a 2a2 a3
In (аж + 6)	ft
(р - IJxp-1 р - 1 J жР^!(аж + Ь)

6.5]
6. Логарифмическая функция
165
' In (аж + 6)	In (аж + b)
(га — '.
)m —1 г	i i, m —2
L аж + о ^—v
_6_
аж
" 1п(аж + 6)	iiiii	f ax
9. I —	 аж = In \b\ • In ж — L12 I ——
x	\ b
10.
= In ж -In (аж + b) — a
\n\x\dx
ax + b
[ab^O].
11.
k2
12.
In2
00 / i
k2
,' In (аж + 6)	а
13.	аж = — In
1 a\ . ,	.,
ж| - | — + - 1п(аж + 6).
ж b '
x ~-\~ a
6.5. Интегралы вида I xp In	dx.
. p ж + а	жр
J.. I X 1П	?ХЖ =:::
In
ж — а
ж + а 2а
+ 11 ж2 - а2
¦ с!ж.
2. 1 ж In	аж =	 [ж — ( — а) \ In (ж + а) —
1	гп + 1 m"i" -1 	 /
[\ax\
\т-{-к-{-1
3. | In	dx = (ж + а) In (ж + а) — (ж — а) In (х — а) =
. л -Г и-	1/2	2\
= ж In	(-а In (ж — а ).
ж — а
4. ж In ¦
а, ж2^а2, ж
dx = 	In
(- аж.
5. ж21п-
= у1п^ + 11п(ж2^а2) + Т-
6. I ж3 In	dx =
ж4 — а4 . ж + а аж3 а3ж
• In ¦
¦ +
7.
1 . ж + а .
	In	dx =
хт х — а
4	ж — а 6
1
(га — 1)аг'
(га —
Гт|(-1Г1п
In
ж + а
In
га—2	/ чг
ж^а ^^ 1-(-1)
ж
Е
fe=l
. 1 ж + а	/ж\	( х
8. | — In	б?ж = Li2 — — L12
жж^а	V a /	\ а
[афО].
9.
2k+1

166
6. Логарифмическая функция
[6.6
1 . ж + а
dx = — In
1 . ж — а 1 . ж ^ а
- -In-
ж ж + а а
6.6. Интегралы вида ж т In (ж +а ) с!ж.
1. [ ж2п In (ж2 + а2) dx = —Ц \x2n+1 In (ж2 + а2) -
2п — 2к 2fe+l
- а	ж
fe=O
¦ (—1) 2a arctg — .
а
2.
Г	2	2	2	2	X
3.	In (ж + а ) <^ж = ж In (ж + а ) — 2ж + 2а arctg —.
J	а
4.	Г ж In (ж2 + а2) dx = - [(ж2 + а2) In (ж2 + а2) - ж2].
г	3
f	2 1 / 2 . 2\i	Ж1/2. 2\
5.	ж In (ж + а ) ах = —- In (ж + а ) -
6.	f ж3 In (ж2 + а2) dx = i Г(ж4 - а4) In (ж2 + а2) + а
2) ,	1п(ж2 + а2)
/ rim 		v	7
3,^2	^3 , X
+«аж^-а arctg -.
3	3	а
7.
1п(ж2
Bm — 1)а2тт1
1п(ж2 + а2
In (ж2 + а2
2тх2т
"Г
9.
1п(ж2
2та2т
¦ dx = In2 x\-\— Li2 I	о
2 V ж2
Е
fe=i
10.	=\па -
¦\п(х2 + а
11.
12.
1	/ Т
- - Li2(	«
2	V а2
1п(ж2 + а2) , 2
	 + -
1п(ж2
ill 5 еДУ	|	Щ^Л/	|	?т&	QAJ
dx =	1— arctg —.
ж	а	а
2,2	i
Ж ' а 1 / 2 . 2\ . 1 i
2а2ж2	а2

6.8]
6. Логарифмическая функция
167
6.7. Интегралы вида ж т In
Г 2п	2	2
2n + 1
In
dx.
х - а -
a2n+1 In
ч=
о I 2n+li	2	21 i
2. ж In ж — a lax =
(x2n+2 - a2n+2) In |*2 - a2[ -
3. In ж — a I dx = ж In
4'
л Г i I 2	21 i	i r/ 2	2\ i
4. ж in \x — a I аж = — [(ж — а ) In
x2-
(x2
a2
— az
I
2ж
n ж
+
2
a In
2
- a
X
X
—
+
-
ж
а
а
%
5.
6. ж h
o= -— In ж — a — — ж — — а ж
dx = ^
x2^a2
3	3
4
•In
7.
1п|ж2 -а"
dx = — -
In
8.
9.
10.
11.
12.
Bm — l)a2m^1
In
Bm- 1)а2т^
¦In
ж + а
б?ж = — -
1п|ж2 -
2тж2т	2ma2m
= ln'x\ + iuJ^
In
2	21 m —1 ., /
ж — a | , v^ 1 / a
, - -)
ж — a
2fcT
2 \ж^
2'
=lna2 -1п|ж - ^ LI
ж" < oi.
1п|ж2 -а"
1п|ж2 ^а2
dx = —
dx = -
In
	In
ж — a , , 2 2 1
2а2ж2
In \x - a |	-In
а2
6.8. Интегралы вида xp In (x + V«2 + a2 ) dx.
1.	жр In (ж + "уж2 + а2 ) йж =	 In (ж + v?T?)	г
J	p + 1	p + 1
2.	Г In (ж + ^ж2 + a2 ) dx = x In (x + vV + a2 ) - vV + a2 .
3.	ж In (ж + ужЧ^) о?ж =
In (ж + V»2 + а2 ) - | V*2 + а2 .

168
6. Логарифмическая функция
[6.9
I. ("ж2 In (a
5. [ж3 In (a
/ж2 + a2 ) dx =
= — In (ж
о
У
а2
—
«5
/ж2 + а2 ) dx = j ^- - ^- ) In (ж + л/х2 + a2 ) +
, In (ж + л/ж2 + a2 )	In (ж + л/х2 + a2 )
6. 	—	dx = —
Bп - 1)ж2те^1	Bп - 1)Bга - 2)
J_ ^f vfc Bn - 3)Bn - 5) . . . Bn - 2k - 1) /a\2w]
a2" ^l j 2fc(n2)(n3) (nJbl) \
¦In
a + уж2 + a2
_ ' In (ж + л/ж2 + a2 ) t
7. —^	r—^	'- dx =
X2n + 1
In (ж •
а2 )
+ a2
Bn- lJn [а
^ ^
Bn - 3)Bn - 5) . . . Bra - 2A: -
' In (ж + л/ж2 + a2 )	,	1 2 2ж
8. I —	 dx = In a • In ж + - In —
ж	2 a
BA; — 1)!! (a\2k
BJfe -- 2)!!BJfeK \x
[x/a > 1].
9.
10.
= In \a\ • In |ж| — — In
2ж
a
= In |a| • In
fe=O
IK \a
[ж/а < -1].
:a].
' In (ж + л/ж2 + а2) .	In (ж + л/ж2 + а2 ) 1, a + л/ж2 + а2
11.	I	аж =	In	:
xA	x	a	\x
, In (ж + л/ж2 + а2 )	In (ж + л/ж2 + а2 ) л/ж2 + а2
12.	dx =
2ж2	2а2ж
6.9. Интегралы вида жр In (ж + ^ж2 — а2 ) с!ж.
г	/		жр+!	^		X Г xp+1 dx
1.	жр In (ж + 1/ж2 — a2 ) dx = 	In (ж + л/х2 — а2 )
J	P+1	P+1J
2.	In (ж + л/ж2 — а2 ) dx = ж In (ж + л/ж2 — а2 ) — л/ж2 — а2 .

6.10]
6. Логарифмическая функция
169
3.	Г ж In (ж + л/х2 - а2 ) dx = (— - ^-\ In (ж + -
4.	ж2 In (ж + \/х2 — а2 ) dx =
1 xA — a2 ) — -yr — a2 .
- а2K/2 а2
= — In (ж + уж2 - a2) - -	'-	Vxz - ал .
о	У	о
ж4 За4
5. ж In (ж + \/ х2 — а2 ) dx = ( —	^— ) In (ж + л/х2 — а2 ) —
' In (ж + л/х2 — a2)	In (ж + л/х2 — а2
6. 	тг:	dx = - -
^	_О_ 2
16 32
¦2 _ Л2
/ж^ - а*-
Bп-1)Bп-2)
- 2А; - 1) /а'
Bn- l)a2n^1 Bn-2)!!
arctg ¦
7. 11п(ж + /ж2Га2)^ж =
г2п + 1
In (ж + V^2 — а2 ) у7^2 — а2 Г 1
I /_	_, \ _	rj о„ 1 "Т"
Bп- 1Jп \_а2х2п-1
~ 2k ~
' In (ж + л/х2 - а2 )	1,2
8. I —	 ^ж = In а • In ж + - In
ж	2
Bfe-l)!! /a
л . In (ж + у^ж2 — а2 )	In (ж + у^ж2 — а2 ) 1	у^2 — а2
9. I —	 dx =	 Л— arctg
х2	х	а	а
' In (ж + л/х2 — а2 )	In (ж + у^2 — а2 ) ( ^ж2 — а2
А О # I	о	И JL — -———
2ж2
2а2ж
1.
2.
3.
6.10. Интегралы вида I ^ =¦ In (ж + у ж2 ± а2 ) б?ж.
/ж2 ± а2
г- In (ж + уж2 ± а2 ) dx = 	уж2 ± а2 1п (ж -
/ж2 ± а2 1	Р
_ ^ т vP	^_ .
Р2	Р J
г.Р-2
¦ In (ж + у/ж2~~±~~а2") с?ж.
/ж2 ± а?
ж
¦	In (ж ¦
¦	In (ж ¦
/ж2 ± а2
12 А.Ю. Брычков и др.
i х2 ± а5
: а2 ) с!ж = - In2 (ж + у^2 ± а2 ^
а2 ) с!ж = ^ж2 ± a2 In (ж + ^ж2 ± а2 ) — ж.

170
6. Логарифмическая функция
[6.11
6.11. Интегралы вида 1пр(ж + л/х2 ± а2 ) dx.
1.	Unp(x + Vx2±a2)dx = x 1пр(ж + л/х2 ± а2 ) -
- рл/х2 ± а2 Ы^^х + л/х2 ± а2 ) + р(р - 1) Ппр^
2.	flnn(^
/х2 ± а2
[п/2]
(п + 1)п . . . (п - 2k + 1) \пп^2к{х + i/ж2 ± а2 ) -
[п/2]
	 -А / ПГЪ Л -А— /"Я Л	1к	/|О / /|О 	 1 I	/ rtO 	 О ^t I 1 "Г1	/ /Trt 	1	 A / ПГ> Л _J_ /-J Z
V w —L- ^ / IL\IL	JL I , . . I #I Ziib I III	IX "г" у *&; _L LL
. П
± а2 1п (ж + ^ж2 ± а2 ) + 2х.

7. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
7.1. Интегралы вида arcslnp — dx.
J	a
ж	х
. | arcslnp — dx = x arcsinp	\-
a	a
- pv a1 — xl arcsin^	pip — 1) arcsirr — dx.
a	I	a
[n/2]
2. I arcsln" ^ dx = x
Kn+i)/2]
- 1)! Cf-1 arCsIn^2fc+1 J.
3.	I arcsln — dx = ж arcsln	\- \/a? — x2 .
a	a
4.	| arcsln2 — dx = ж arcsln2	\- 2л/a2 — x2 arcsln	2x.
a	a	a
5. | arcsin — dx = ж arcsin — •
a	a
sln
3v/a2 — ж2 arcsln	6ж arcsln
a
a
6.
dx
= ln
arcsin x.
7.2. Интегралы вида жр arcsln — dx.
J	a
. x
1 f xp+1dx
f T TP+1 T 1 Г TP
ж^ arcsin -аж= 	arcsin	^^=
J	a	p + 1	ap+lj Va:
о I 2n	.Ж	Ж
2. ж arcsin — аж =
. ж
arcsin —
2n + 1	а
2fc+1n(n-l)...(n-fe)
Bn- l)Bn-3)...Bn-2ife- :
о	2n+l	^ i	л	.л
3. ж arcsin — dx =	г arcsin —
. 2n+i, 2n+i y^ Bn + l)Bn - 1) . . . Bn - 2k + 3) f g
X lX +a	>' "- ' -1)...(п-Л + 1) U
. ж
arcsin —.
a
12*

172
7. Обратные тригонометрические функции
5. I ж arcsin — dx = — arcsin —
a	3	a
9
/4 «r» 4
6. | ж3 arcsin — dx = (	j arcsin — +
a	V 4 32 /	a
ж 2ж3+3а2ж
32
1.
2.
Г 1	ж
7.3. Интегралы вида — arcsin — dx.
F	} хр	а
х
— arcsin — dx = ^7
c^	a	(p —
1	. x
-r— arcsin — dx = —
Bra-
^ Bra - 3)Bra - 5) . . . Bra - 2k - 1) /a\2n
п - 2)(п -3)...(п-к-
2nx2n	a 2nBn - 1)
i2n+1 ^ Bra - 3)Bra - 5) . . . Bra - 2A; - 1) \x
4.
1 . ж
arcsin
2пх2п
a 2na2n ^ 2n - 2k -
fc=O
2	2 \ п — к — 1/2
1	ж
5. | — arcsin — d x =
ж	а
1	ж	1	ж 1
6. I — arcsin — dx =	arcsin	In
2	а	ж	а а
2a2x
7.4. Интегралы вида | (a ± ж) n+ ' arcsin — dx.
a
1	/ 1 \n + l/2	^ j	1	*
1. \{a± x) ' arcsin — dx = ±-	r
1	a	In + 3
	 n+l
n + 3/2
• ^ |
arcsin — ±
а
±
(«T^)fc.
2.
1	. ж f
7—¦— , arcsin — dx =
2	.ж
^	7Т7—i—\ ^i /о arcsin
2п - 1)(а± ж)п+1/2	а
пBп
Bгг - 1)Bп - 3) . . . Bп - 2А; + 1) /а ± ж
^ Bга - 2)Bга - 4) ... Bга - 2А;)
/а ± ж у
V 2а J

7. Обратные тригонометрические функции
173
Bуг^1)?!23/2~те
/а ± ж
7.5. Интегралы вида | хр(а ~х )ч arcsinr — dx.
t I p/ 2	2\n + l/2	.Ж	Ж
1. | ж (а — ж ) ' arcsm — ах =
1	n+1 / i\knk
¦ arcsin	h
a
f*	/-уа	jfy ^^	/-уэ	/-уэ	/-уз	jfTf Jl&rf ___ /уэ
Va2 — ж2 arcsin — dx = — arcsin	h — Va2 — ж2 arcsin —
a	4	a 2
3. | ж(а2 — ж2)п+1/2 arcsin — с/ж =
2чп+3/2
ly J	.el/
—	arcsm	h
+ 3	а
p —2/ 2	2\n + l/2	• ^ i
ж (а — ж ) 7 arcsin — аж.
2 _ «2
а	4~
n+1 r i\fc^fe
V^ У; ^n+l 2n-2fc + 2 2fc + l
л 1/2	2\p	• •? i
4. (a — ж ) arcsm — аж =
2а"
5.
6.
7.
2p+l
1
а	Bр+1J	2p
Р Г/ 2	2чр-1	• Ж i
— (а — х ) arcsm — ах.
-1 J	а
- arcsinp — dx =
1
a	p + 1
ж
а
dx
= ln
/r - sz arcsm —
a
. ж
/cr -sz . ж
ж
I2 — ^2	a,
- arcsin — dx = Va2 — ж2 arcsin — — ж +
x	a	a
(а2 _ 2ЧП + 1/2	/2 _
8. I 	arcsm ~аж = ^^
жр	а	(р -
жуа — ж
^n + 3/2	^	x
1	Ж
	 arcsin — dx.
2 _ ^2	а
- arcsin —
а р — 1
fe=O
9.
. х
arcsin — ¦
а
Если А; = р/2 — 1, то соответствующий член в первой сумме следует заменить
на(-1)р/2-1о2п-^2С^2Г11п|а;|)авовторойсумме-на(-1)|'/:1-1а2п-1>+2х
х С^2-1 \п\х .

174
7. Обратные тригонометрические функции
[7*
10.
(а* _ ж2)"+!/2 . х	(а2 - х2)п+1/2 . х
1	arcsin — dx =	arcsin
ж	а	2п +1	а
— У 	а
¦ 1 ^ 2к + 1
- arcsin — i
а
11.
(а2 -
. ж	ж
in dx :=: — —, w „
а	2а2(р - 1)(а2 -
. ж
arcsin
а
Bр - 2)а2 J (а2 - ж2)^™1	а
12.
13.
1	ж
^	r^ry^ arcsin - с?ж =
(а2 — ж2K/2	а
ж1^ . ж . ж
	¦ arcsin — dx =
i2 — ^2	а
arcsin	1	-In vr — xl .
ж ж
— ж2 arcsin	1	 +
а рл
(Р - 1)о2 Г х
о — 2
	- arcsin — dx.
i2 _ ^2	а
14.
15.
16.
arcsin — с!ж = —л/а2 — ж2 arcsin	Ь ж.
а	а
л/а
2 _
х2
X
ж2
1?
• x j
arcsin — dx =
(a2 - x2)^	a
2{q - l)(a2 -
x	1
- arcsin
a 2(q - 1) J (a2 -
dx
17.
xp	. x .
	r^ arcsin — dx =
-ж2)^	а
. x
arcsin
а
* da
(а2 -
¦ - р - 1 J (а2 -
ж ,
^V~ arcsin — dx.
x2Y	a
18.
2(q-l)(a2-a;2)?-i
1	Г	О—1 J
1 I xp dx
ж
arCSln
a
p-1
2(g _ 1) J (a2 _ ж2)д^1/2 2(q - 1) J (a2 -
¦ — аж.
а
19.
x .
arcsin — dx = —
a	(p -
dx	p +
+
. х
- arcsin — ¦
а
Ш a
20.
ж
arcsin — dx =
а
arcsin
а
1	Г	dx	If	I	. ж ,
	iTT "ГТ	2\д^1 /2 ^	2 П^	2\g^l arCSin "" "Ж-

Г7]
7. Обратные тригонометрические функции
175
7.6. Интегралы вида arccosp — dx.
J	a
. I arccos — dx = ж arccos
a	a
2. arccosn - d^ =
/9	9	V— 1 ^	/	i \ I	P — 2^
— pv a — x2 arccos	p(p — 1) arccos —
3. arccos — dx = x arccos	у a2 — x2 .
a	a
5. arccos — ax = ж arccos
.		<j X	X	i
— 3v «2 — ж2 arccos	%x arccos	\- 6v a2 — x2 .
a	a
6.
dx
ST.
М)л
arccos ж ^ Bk + 1)! BА; + 1)
2fc + l
arccos ж.
7.7. Интегралы вида | xp arccos — dx.
v	х	х^'
ж arccos — dx =
а	р+ 1
2?И
arccos —
a p+1
xp+1 dx
о	2п	^и	л,	л
2. ж arccos — ах =	 arccos
г(га — 1) ... (п — А;)
^ Bra - l)Bn - 3) . . . Bn - 2A; -
2n + l	«^	^
3. ж arccos — ож =
2n+1
Bп + 1) Bп - 1) . . . Bп - 2k + 3) ( х
2kn(n - 1) . . . (n- Aj + 1)
I n -L9/	i\
n\2n+2(n + I)
.,	ж	/жа\	жж7
4. ж arccos — dx =	arccos	Va — ж2 .
4	4
ж ж2 + 2a2
ж	ж	«,
5. I ж arccos — <ix = — arccos — —
з	ж	/ж За \	ж
6. ж arccos — ах = I —	—— arccos
ж

176
7. Обратные тригонометрические функции
1	Ж
7.8. Интегралы вида I — arccos — dx.
F	" ' хр	а
1	Т
1. I — arccos — ах = ^-
хр	а	(р -
ж	1
¦ arccos
а р — 1
dx
2.
1	ж
—— arccos — dx = —
2п
Bга-
х
arccos	Ь
а
^5)...Bn^2fc^ 1)
Bга - 1)Bга - 2) [а2х2п^2 а2п ^ 2fc(n - 2)(га - 3) ... (га - А; - 1)
а
х 1 -
, ж
Bга-3)!!
(п-
•1п
X	Ж	1	Ж	\/CL 	 Ж	1
3- I 9 ¦ 1 arccos — dx = -	— arccos - + -—т-	— ~^—г—-
ж2те+1	а	2?гж2п	а 2пBп — 1) [«ж
i п^1 пк/	i\/	о\	/	?\	/
4.
+
а2п+г ^ Bra - 3)Bra - 5) . . . Bra - 2ife - 1) V^y
1	ж	1 '^-C CK_i /л2	-2\n"fe™1/2
	arccos	1	r^ 7 	^—
а 2па^те ^^ 2гг — 2A; — 1
5. I — arccos — dx = —
ж	а
B,-1)!! ^V+1 + Jln|x
„id
6.
ж 1 ж 1
arccos — dx =	arccos	1— In
7.9. Интегралы вида | (а ± ж) n+1/2 arccos — dx.
1. (а±ж)
п+1/2
arccos - dx =
¦ (a ± x) ' arccos
а
2пЛ
2.
х
arCCOS — dx =
а
arccos	h
/а =р ж
г + 1)а(а ± ж)п
Bга - 3)Bга - 5) . . . Bга - 2А; - 1) (а±х\к
/ J ~

7.10]	7. Обратные тригонометрические функции	177
7.10. Интегралы вида | хр(а2 — х2L arccosr — dx.
1 \ V f 2	2\п + 1/2	л i
1. \ х (а — х ) ' arccos — dx = —
arccos
а
p + 2n + 2
гг+1/2	«^
; arccos — i
2. I vfl2 — ж2 arccos — ^ж =
а
2	2 2
а	2 ж х r^z	т-	ж а — ж
=		arccos	1	vfl — ж2 arccos	.
4	а 2	а	4
3. ж(а^жТ /2 arccos ^ с1ж =
1	а
arccos ? -
а
г-2А; + 2,.
22 - ~2^
2
.	/2	2\р	л i
4. I (а — ж ) arccos — dx =
/2	2\ю	/2	2
х(а — х у	х (а — х
ar€COS
2а2р
а	Bр+1J
'а2^ж2)р х arccos — da;.
а
5.
6.
р х	1	р+1 ж
- arccos — аж =	arccos —.
dx
/ал — хл arccos —
а
x
arccos —
a
/ о	9
7. 1 	arccos — dx = V«2 — ж2 arccos	h ж ¦
x	а	п
+ | 	,	arccos — da;.
" — ж2	а
8.
(а2 - ж2)
x , (а2 - ж2)п+^/2 ж 1
arccos — аж = — ^	т^	r arccos	х
ур 1. J LI dj^ tl JJ JL
arccos ? &.
a
9.
(а2 - ж2)п+1/2	ж
- ^т	г^	;— arccos
(р — tjxP^1	a
2п + 1Г(а2
P-1 J
¦ arccos — da;.
а
Если k = p/2 — 1, то соответствующий член в первой сумме следует заменить
р/2^
1 + 1
на (-1)р/2+1а2"-р+2С^2Г1 In И, а во второй сумме - на (_i)*>/2+V"-p+2 x

178	7. Обратные тригонометрические функции	[7.11
10. I	arccos — ax =	arccos	\-
x	a	2n + 1	a
1	П f I \fc/-tfc	p /2	2\n-l/2
1	V"^ I 1i ^n 2те — 2k 2fc + l ,2 1"	л J	Ж
Ж	~	- I" i ~ I v	. arccos — dx.
V	ai + а I	arccos
п + 1^о 2k + l	J	x	a
1 ж х	х
' ТЪ,	2\^ arccos -dx = —^	-^-^	^ГТ arccos ~ +
J (а2 ~~ х2)р	а	2а2(р ~~ 1)(« — ж2)?	а
2р — 3 Г	1	х .
J
1 Bр^2)Bр^3)а2(а2^ж2)^3/2 ' Bp - 2)a2 J (a2 - ж2)р^ — a
12.
^P	Ж _	XP 1 r-s	о	Ж Ж?
13. I	=¦ arccos ~б(ж =	va — ж2 arccos	o
2 _ «.2	л	fi	л Пг
a	p	a pz
х ,
arccos — ах.
arccos
J Vа2 - х2	а
14.	| , " =¦ arccos — <^ж = ^V«2 — ж2 arccos	ж.
а	а
2	2
|чду	Ж.	ft	% X X / «	^т	X X
15.	I	=г arccos — аж =	arccos	уо — ж2 arccos	.
а	4	а 2	а 4
x2
X
Ж2
"ж2
16. | . о ^—r^ arccos — dx =
(а2 — ж2)р	а
1	ж
¦ arccos —
1 Г	dx
- 1) J (а2 -ж2)?3"
2(р - 1)(а2 - ж2)^1	aT2(p-
Mr	/у»	fwb Mr	fwb
(a2 — ж2)*?	a	Bq — p — l)(a2 — ж2)9^1	а
xp~1dx	(p- l)a2 f xp^2	x J
1	- arccos — dx.
_ f x
1 J (а2 - ж2
2g - p - 1 J (a2 - ж2)^!/2 2g - p - 1 J (a2 - ж2)^	а
ж13"	ж
18.	= —;	TVT^	9\n i arccos - +
2(g — 1)(а2 — ж2)*?™1	а
1 Г жР dx	р - 1 Г жр^2	ж
J	J	"^^
(fl2 _ X*)q-V* 2(q - 1) J (a2 - ж2)^! ^ а
x
-os — dx = - 7	—^
a	(p — l)a2
1	Г	dx	p + 2q —
,1	ж	1	ж
19. —-rrt	r^ arccos — ах = ^т	г^	т^^	^—т arccos
Р{а2^х2У	а	(р- 1)а2жР™1(а2 - ж2)*?	а
op	-i
a2 I rnp — 2//j2 	 rp
^г arccos — dx.
Г	1	ж	1	ж
20. ——г	—- arccos — rfaj = —;			гт—- arccos -
]ж(а2-ж2)('	а	2(д - 1)а2(а2 - ж2)'?^1	а
1 Г	1	ж
J	arCCOS
+ 2(д^1)а2 J (а2 - ж2)^1^ + ^ J х(а* - х2)*-* arCCOS а
7.11. Интегралы вида жрагс1§^^ж.
J	«
жр+1с1ж
Г	ж	хр+	х а Г
1. жр arctg — б!ж = 	arctg
J	а	р+1	а р+1J
ж2 + а
2 '

7.12]
7. Обратные тригонометрические функции
179
ж	ж2п+1
2. I х arctg — dx =
1	а	2п
а
- arctg
1	а
2\fc/ 2 1 2\n —fe
3. | ж n+ arctg — а*ж =
^arCtga +
л2п+2
2к-1 \а
2к-1
(^l)n arctg j]
Ж	Ж tt / 2	2\
4. arctg — аж = ж arctg	In (ж + а ).
I	а	я zi
- Г	ж .
5. ж arctg — ах =
J	а
ж2 + а2
жаж
arctg	.
2	а 2
ж аж2 а3
h
Г2 ,ж	ж	ж
6. ж arctg — ах = -— arctg
J	а	3	а о
2 , 2ч
т- In (ж + а ).
о
7. I ж3 arctg — а"ж =
ж аж
-arCtge-T2-
1	Ж
7.12. Интегралы вида | — arctg — о*ж.
1	ж
— arete — dx = —
ж^	ft
-^^ arctg — а*ж = — -
ж2те	а	I
1.
2.
3.
4. |-
5.
6.
7.	I —^ arctg — а"ж :
1 ж2	а
1	ж
8.	— arctg — аж :
ж3	а
1	ж
7	:	г arete —
(р — 1)ж?)	а
- 1
с!ж
Р-Чя^ + а2)"
ж
о—г arctg
	I
2Bп - 1)«2"
arctg ^ж = _
2fe + 2
arctg ^
_1_
^ [g 2n-2i + l U
(-1)"
(^1)Л
1	Ж	1	Ж"
-- arctg - + — In -j——j•
ж	а 2а ar + а^
1 1 \	х 1
о , —г + ^ arctg	—.
2	V х2 а? I	а 2ах
[x/a > 1].
[ж/а < -1].

180	7. Обратные тригонометрические функции	[7.13
г	-1	Г	I i	2 i
I	I	Т	П	\	Т -+- П	П — ПТ
9#	/ ,М2 aFCtg ~ °^ = 2 ,/,2 1П /2.2	/ ,1Л
J (ж + o)z	a	az + oz [ ух2 + а2 а(ж + о)
7.13. Интегралы вида жр(ж + a )q arctg — dx.
J	&
1. жр(ж2 + a2)n arctg - dx =
= arctg ^ ]Р С*-	Ц-	^ С-^^	1 ^2	^2 dx°
р + 1
Если А; =	(Аг = 0, 1, . . . , п), то соответствующие члены сумм
А
заменяются на Cna	In — arctg — и Спа	—^	 In — dx.
a	a	J х2 + а2 а
о Г	ЖР	*. Ж J	^^	г. Х ,
2- ^^	^^ arctg — аж =	7	г^^г	——- arctg	h
р-1 Г жр^2	ж
J	arCtg
а
2д - 2)а2 J (ж2 + а2)^1 aFCtg а
I	-1	х Ж I	х Ж
^ ^^	^"^ arctg — аж = arctg — х
J (ж2 + а2)те	а	а
Рл1 Bп-2А;-2)!!Bп-3)!!	ж	1 Bп-3)!!1
^ Bn-2)!!Bn-2ife-l)!! * а2к{х2 + а2)п^к + 2а2та^! Bn - 2)!lJ
а у^1 Bп - 3)??Bп - 2fc - 2)!!	1
+ ~2 ^ Bп - 2)!!Bп - 2А; - 1)!!(п - А;) а2|г(ж2 + а2)те
Ж	Ж	р_2	j Ж 1	2	ж	j Ж i
». —г	 arete — аж = ж arctg — аж — а —	 arctg — dx.
J ж2 + а2	а	J	а	J ж2 + а2	а
— arctg — dx = —-— а2^1 arctg2	h
az	а	2	a
^ fe=i	fc=i
2ггг+1	-I	rn ( -1 \m —fc
_ 1 Ж	Ж .	I	Ж \—^ I —1)	9-m— 9t 9k
7. o , o arete - dx = - arctg - V ^	a2m 2кх2к -
+l	i	/ i\
X .	I	Ж \—^ I —1)
	 arctg - dx = - arctg - > ^	J-
а2 &а	2	a ^ к
^rг + A) 2 ^arctg
ж2 + a2	J ж2 + а2	а
+ (-!)m2m о ¦ о arctS " ^ж-
9.
—9—¦—- arctg - с!ж = —- arctg2 -.
ж2 + а2	а	2а	а
2	ж а	а	ж
—	 arctg — dx = ж arctg	In (ж2 + а2)	arctg2 —.
ж^ + а2	а	а 2	2	а

7.15]
7. Обратные тригонометрические функции
181
10.
11.
12.
13.
1	ж
-—^-r arctg - dx =
+ a1I	a
2а2(ж2 + a2)
а + 4а(ж2 + а2)'
1	г ж
—г——- arctg — dx =
xl + or	а
1
	7f dx = — In
(ж2 + a2) arctg-	a
= -Vr^? arctg	а arcsln	\- v2 а arctg
b\/ax2 + b 2b\/b — а у'ax1 + 6 + V^ — a
7.14. Интегралы вида жр arcctg — dx.
1	a
Г р	ж	жр+1	ж	a
1. ж arcctg — аж = 	arcctg	1
J	a	p+1	ap+1
жр+1 dx
p + 1 J ж2 + a2
о	2n	x x j	x
2. ж arcctg -аж=	-
a	In + 1
arcctg —
а
2Bп + 1)Г
\^fl j (Ж + a J
fc=O
,2n+2
3. \ x arcctg — dx =	 arcctg	h
1	а	2п + 2	а
4. arcctg — а*ж = ж arcctg	h — In (ж + а ).
1	а	а 2
ж2 + а2
ж аж
5.	ж arcctg — dx =
J	а	2	ex z,
2	-Ж»	Ж	хЖ, "Ж	tt 1 / 2 , 2ч
6.	ж arcctg — аж = — arcctg	1	In (ж + а ).
J	а	3	а о	о
,_Гз	ж,
7. ж arccte — ах =
J	а
х ах а х
arccte —|	.
а 12	4
Г 1	ж
7.15. Интегралы вида — arcctg — dx.
J ж?9	а
f 1	ж,
1. — arcctg — ах = ^
J хр	а
1
ж
т arcctg
а р-1
[6 > а].
(^l)n arcctg - .
а

182
7. Обратные тригонометрические функции
[7.16
Г 1	ж	1
2. —т- arcctg — dx = -
J ж2п	а
1	ж
-г-	—^—7" arcctg —
2Bn - I)a2«-i [f^o
,n
4. J - arcctg ?
= | in |x| -
ж	1	ж 1
— dx =	arcctg	— In -
П	Т»	П	/П
x	° a 2a x2 + a2'
of1	X I	1/1	1
8. — arcctg — dx = — -I — H	-
J ж3	а	2 \ж2 л2
1
arcctg- + -—.
a 2ax
7—Лл? arcctS -dx =
(ж + &J	а
а2 — Ьх
7.16. Интегралы вида жр(ж +a )g arcctg — dx.
aj 2(ж
хр(х2 + а2)п arcctg — dx =
= arcctg — У Сп
af^ n p
h > Cn
J
dx.
V H~ 1
Если k =	(k = 0, 1, . . . , n), то соответствующие члены сумм
заменяются на
In — arcctg — и Спа
a	a
-ln-
a
2.
ж ж^ ж
¦т-т—¦—77- arcctg - йж = - —		—	arcctg
(ж2 + а2I?	а	2(д — 1)(ж2 + а2)^1	а
2(9-1)J (ж2 + а2
1	 . ж
-—;тг- arcctg - da: =
~г dx	р - 1
+
	1
^4(д^1Jа(ж2 + а2)^1
ж
^!	g о
j—^	2 1 arcctg
2g-3 f	1	ж
'г2 + а2)<?™1	а

7.16]	7. Обратные тригонометрические функции	183
Г жр	ж	Г Р-2 , х	2 Г жр^2	ж
4- —^	о arcctg — «ж = ж arcctg — ах — а —	 arcctg — ах.
J х2 + a2	a	J	a	J ж2 + а2	а
Г ^2m т* (— Л\ш+1	op
5. \-?	 arcctg - dx = ^	a2™ arcctg2 -
J x2 + a2	a	2	a
2
+ arCCtg - У tli	 a2m-2* 2*-l у (^	 2m-2k+l X
6 a ^ 2fc - 1	^ 2k - 1	J ж2 + a
^^ arcctg -dx = \ arcctg - V izll!l! ^«-2*^2*
^ + (-l)m2m f ^^ arcctg * dx.
2 + a2	J ж2 + a2	a
2 ^ k
7.	—	 arcctg — dx =	arcctg2 —.
J xl + a1	a	2a	a
Гж2	ж,	жа1/22ча	2 х
8.	—	 arcctg — dx = ж arcctg	1— In (ж + a ) -\— arcctg —.
J r + a2	a	a 2	2	a
l г	x и -
J (ж2 + а2J	а
= о 9/ 9 ¦—^\ arcctS	т^г arcctg2		—^-•
2а2(ж2 + а2)	а 4а3	а 4а(ж2 + а2)
10. —г——- arcctgr — dx = -7—-—- arcctgr+1 —.
J ж2 + а2	а	(г + 1)а	а
11	— 1
'ж2 + а2) arcctg (ж/а)	а
1О I	Х	± Х J
12. /	arcctg - rfx =
/а2 — ж2	а
arcctg —
/—т.	7Z	х	ж г-	у 2 ж
= — VаА ~ хА arcctg	\- a arcsin	h V2 а arcctg	—.
а	а	Vа2 - ж2

8. ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Неопределенные интегралы от обратных гиперболических функций вы-
вычисляются по формулам раздела 7 «Логарифмические функции» после за-
замены
Arsh ж = In (ж + л/х2 + 1),
Arch ж = ± In (ж + л/х2 ~~ 1)
Arth х = -
А
Arcth ж =
Arsech ж =
Arcosech ж
¦In1
±\п
= 1п
+ ж
1 х2
+ 1
[х;
[\х\<
[\х\:
[0 < х z
[х:
Я].
= 1],
>Ц,
?Ч.
>0].

Приложение I. Некоторые элементарные функции
и их свойства
1.1. Степенная, показательная и логарифмическая функции
1. Формулы дифференцирования.
^ р	р — 1	^ ах	ах	ii
—- хр = рж^ , -—е = ае , —In ж
ах	ах	ах
— In (ж + л/х2 + а2 ) =	=¦, — In х + -^ж2 — а2
б^ж	^2 + 2 dx
—,
х
ж2 + а2 dx
dx
¦In
2а
2. Степенные ряды.
fe=O
(l-x)n = Y,(-l)hCb
fe=O
оо к
\n(l-x) = -<??-
[n = 0, 1,2, ...],
[n = 0, 1,2, ...],
< 1 при p < 0, \x\ ^. 1 при р > 0].
[-1 ^ ж < 1],
In
iT*	it—л Ж
1 rp	/ j 9JU _i_ 1
1 ~ x fe=o lk + X
2.4.,.Bfc)
j^Ti 2 • 4... Bife)	2fe
п'2ж' + ^^~^ 2-4...BА;)	2^
.	 _^ i . ^	(oh -
: + ^ж2 - 1) = 1п2ж -
^ 2 • 4 . . . BA) 2fc
-x) = -ln(x + Vx2 + 1), 1п(х-л/ж2
[ж > 1],
[ж > 1],
13 А.Ю. Брычков и др.

186	1.2. Гиперболические функции	[1.2.1
1.2. Гиперболические функции
1. Некоторые соотношения,
sh ж = — sh (—ж) =
Шж = — th (—ж) =
cth ж = — cth (—ж) =
sech ж = —— , cosech ж = —— ,
ch ж	sh ж
о	о	о	о	о	о
ch ж — sh ж = 1, th ж + sech ж = 1, cth ж — cosech ж = 1,
1 / 1 2
sh2 ж +
sh-ж
спж
спж
впж
/ 1
8п2ж
ch 2ж + 1
сЬ2ж -
1
У2(сЬ2ж
сп2ж
А2ж
1 сп2ж
1)
2d
!
еж е ж
2
ь2Ж i_e" + e"e
h 2 1 2
еж — е^х
ех +е-х'
еж - е^ж'
(эпж + ch х)п = зЬпж + chnx	[п = 0, ±1, ±2, .. . ].
2. Формулы дифференцирования.
d sh ж . d cosech ж ch ж d ch ж
—	 =сЬж,	 =-—^— —
аж	аж	sh ж	ах
^rf 4" rl OP	/I СОЛИ ОТ*	СП OP	/"# Г*4" rl OP
IX Lil Jb	2	^ htJLIl eb	Oil at/	C6 L/Lll db	-2
—	 = sech ж,	 =	s— ,	 = — cosech ж.
«ж	аж	ch ж	аж
3.	Связь с тригонометрическими функциями.
sh (гж) = г sin ж, сп(гж)=со8ж, th(гж) = гtgж, cth (гж) = —г ctgж.
4.	Гиперболические функции суммы и разности углов.
sh (ж zb у) = sh ж ch у zb sh у ch ж, ch (ж zb у) = ch ж ch |/ zb sh ж sh г/,
sh (ж ± %) = sh ж cos у zb г sin у ch ж, ch (ж zb iy) = ch ж cos у zb i sh ж sin |/,
4- [К o^ -4— 4" rl 1 #	€3fl ^/OP -4— Oil 7 Q §
- у . ч	Lll X _L_ Lll м	Oil ZsX _I_ oil Za U
th г OP -4~ '11 1 ZZZ 	 ZZZ
1 yj 1±1Ьж1Ь2/ сЬ2ж + сЬ2|/'
. ( . . N thж±гtg2/ sh 2ж zb г sin Чу
th (ж zb ггл = ——r-,	^^ = —:	 ,
lzcгthжtg2/ сЬ2ж + соз2|/
sh 2ж =р i sin Чу
cth (ж ± гу) = ——-	— .
ch 2ж — cos Чу
5.	Суммы и разности гиперболических функций.
sh ж zb sh у = 2 sh	 ch	, ch ж + ch у = 2 ch	ch	,
A	A	A	A
ch ж — ch у = 2 sh	sh	,
. ,	sh (ж zb w)	. . .	. sh (ж zb y)
th ж zb th у = —±—-^ , cth ж zb cth у = zb—^—-^ ,
ch ж ch |/	sh ж sh у
sh2 ж — sh2 у = ch2 ж — ch2 у = sh (ж + у) sh (ж — у),
sh2 ж + ch2 |/ = ch (ж + у) ch (ж — у).

1.2.8]	1.2. Гиперболические функции	187
6.	Произведения гиперболических функций.
sh ж sh у = — [ch (ж + 2/) — ch (ж — у)], ch ж ch у = — [ch (ж + у) + ch (ж — у)],
sh ж ch у = - [sh (ж + у) + sh (ж — $/)] •
7.	Степени гиперболических функций.
1	П — 1	/ -I \П
fc=O
11	13
sh ж = — ch 2ж — —, sh x = — sh Зж — — sh x,
sh4 ж = - ch 4ж	ch 2ж -\—,
8	2	8
sh5 ж = — sh 5ж	sh Зж Н— sh ж,
16	16	8
sh6 х = — ch их	ch 4ж -\	ch 2ж	,
32	16	32	16
?
2*n ch 2(n - Л)Ж + -^C?n,
ch2n+1 ж = -^ ^ C2fen+1 ch Bn - 2fc
1
11	14
ch2 ж = — ch 2ж H—, ch3 ж = - ch Зж Н— ch ж,
113
ch4 x = — ch 4ж Н— ch 2ж -\—,
8	2	8
ch5 x = — ch 5ж Н	ch Зж Н— ch ж,
16	16	8
Ch6 X = 32 €h 6Ж + 16 €h 4Ж + 32 Ch 2X + 16 '
8. Гиперболические функции кратных аргументов.
[(n-l)/2]
^2 n sn жсЬте^ ~ ж,
(	п	\
sh Bп + 1)ж = sh ж | 1 + 2 ^J ch 2kx 1
k=i
h ж
sh 4ж = ch xD sh x + 8 sh3 ж), sh 5ж = 16 sh5 x + 20 sh3 ж + 5 sh ж,
13*

188	1.2. Гиперболические функции	[1.2.9
[n/2]
chnx = ^ Сте sh жспп~ ж,
fc=O
^ i x; ^fc 9n-
ch Bn + 1)ж = ch x + 2 sh x J^
fe=i
= (-l)n ch ж f 1 + 2
,	= 4сЬ3ж -,
сЬ4ж = 8А4ж ^8ch2x + 1, сЬ5ж = 16сЬ5ж -
9. Степенные ряды.
th X = E
1.3. Тригонометрические функции
1. Некоторые соотношения.
sin ж = — sin (—ж) = ±vl — cos2 ж = ±y — A — cos 2ж) =
A
(ж/2)	eia; - e
гж ^-*ж
l + tg2^/2)	2г
= cos (—ж) = =Ьу 1 — sin2 ж = ±4 / — A + cos 2ж) =
V 2
tg ж = — tg (—ж) = 	 = ±v sec2 ж — 1 =
cos x	1 + cos 2x
2tg(a;/2)

1.3.6]	1.3. Тригонометрические функции	189
( х cos ж	I	3	 1 + cos 2ж
ctg ж = — ctg l — x) = 	 = ±\ cosec2 х — 1 = 	 =
—- ~	8ш2ж
/1 + сов2ж _ 1 - tg2 (ж/2) _ . eix + e^ix
. — cos 2ж	V
i	.
sec ж = sec (—ж) =
1~соз2ж	2tg(x/2)
l + tg2(ж/2)
COS Ж
cosec ж = — cosec (—ж) =
sin* --v- . -6 ~ - 2tg(a./2) '
• 2,2-,	2,2-,	2	х 2	i
sin ж + cos ж = 1,	sec ж — tg ж = 1,	cosec ж — ctg ж = 1.
2. Формулы дифференцирования.
d sin ж	d tg ж	2	^ sec ж sin ж
= совж, —	 = sec ж,
ax	ax	ax	cos^ ж
d cos ж	.	rf ctg ж	2	d cosec ж	cos ж
	 = ^81ПЖ,	 = — COSeC Ж,	 =	7j	.
ax	ax	ax	sin ж
3.	Формулы Эйлера и Муавра.
ez+tx = ez (cos ж + i sin ж),
(cos ж + i sin ж)п = cos пж + i sin пж	[n = 0, ±1, ±2, .. . ].
4.	Связь с гиперболическими функциями,
sin (гж) = ishx, соз(гж)=сЬж,
tg(^) = itl^, ctg (гж) = ^icth ж,
sec (гж) = sech ж, cosec (гж) = —г cosech ж.
5.	Тригонометрические функции суммы и разности,
sin (ж zb у) = sin ж cos у zb sin у cos ж,
cos (ж ± у) = cos ж cos у =р sin ж sin у,
sin (ж zb iy) = sin x ch у zLi shy cos ж,
cos (x db г*2/) = cos x ch |/ =p г sin ж sh |/,
x / . \ tg ж dz tg 2/	x/,4 1 T tg ж tg 2/
±~ '— -L -•» — "	"^	c-^g (^Ж zt I/) =
, . . ч tgxzLithy sin 2ж zb г sh 2w
tg(aj±z3/)= &	^ -	y
1 =p гtgжthy
. . . ч 1 zb i ctg ж cth |/ sin 2ж =F i sh 2y
ctg (ж zb г2/) = 	;	:— = —:	•
— ctg x ± г cth у ch 2y — cos 2ж
6. Формулы приведения.
sin (ж zb пж) = (^l)n sin ж, cos (ж zb пж) = (^l)n cos ж,
tg (ж zb rm) = tg ж, ctg (ж zb пж) = ctg ж,
Sin I X ±	 7Г I = ±( —1) COS Ж, COS I X ±	 7Г 1 = =p( —1) Sin Ж,
\	^ /	\	^ /
, / , 2n + l \	,	. / , 2n + l \
tg I ж=Ь —-—тг 1 = -ctgж, ctg I ж=Ь —-—тг! = -tga,
sin ( x zb — 1 = 	(sin x zb cos ж), cos ( x ± — 1 = 	(cos ж =p sin ж),
/ . тг \ sin ж zb cos ж tg ж zb 1
tg ж zb — ) = 	 = —	,
V 4 / cos ж =p sin ж 1 =p tg ж

190	1.3. Тригонометрические функции	[1.3.7
/ . ж \ cos х чР sin x ctg ж :
ctg (x±-\-	^	- 5
\	4/
sin ж ± cos ж 1 ± ctg ж
7. Суммы и разности тригонометрических функций.
sin ж ± sin у = 2 sin	cos
cos ж + cos у = 2 cos
cos ж — cos у = ^2 sin
cos,
ж + |/ ж - 2/
—-— cos —-—,
А	А
+	- У
А
sin (ж ± г/) . sin (ж ± у)
	^	^, ctg ж ± ctg г/=	. 1 . У\
cos ж cos у	sin ж sin г/
cos (ж + |/)
tg ж - ctg 2/ =	:	,
cos ж sin у
a cos ж + & sin ж = г sin (ж + (р) = г cos (x — ф),
где
г = Va2 + b2 , sin ^? = а /г, cos ^> = 6/r, sin -^ = b/r, cos ^ = а/г,
sin ж — sin |/ = cos у — cos ж = sin (ж + у) sin (ж — 2/),
sin ж — cos у = — cos (ж + |/) cos (ж — 2/), sec ж + cosec ж = sec ж cosec ж.
8.	Произведения тригонометрических функций,
sin ж sin у = - [cos (ж — 2/) — cos (ж + 2/)],
cos х cos 2/ — 9 [cos (ж ~~ I/) + cos (ж + 2/)] 5
sin ж cos |/ = — [sin (ж — 2/) + sin (ж + у)].
А
9.	Степени тригонометрических функций.
sin Bn -
11	14
sin2 x = — cos 2ж H—, sin3 ж = — sin Зж -\— sin ж,
• 4	1 , 1 о 3
sin ж = — cos 4ж	cos 2ж -\—,
8	2	8
sin5 ж = — sin 5ж	sin Зж Н— sin ж,
16	16	8
sin x =	cos 6ж Н	cos 4ж	cos 2ж -\	,
32	16	32	16
-. n —1	-i
cos x = ^2^1 Z^ C2nco®2{n - k)x + —G2ni
fc=0
cos2n+1 ж = -L ? C2*n+1 sin Bn - 2fc + 1)ж,
2 fc=o
2 1	1 з 1	3
COS X = — COS 2Ж + — , COS Ж = — COS Зж + — COS Ж ,

1.3.10]	1.3. Тригонометрические функции	191
cos4 x = ~~ cos 4ж Н— cos 2х -\—,
8	2	8
5 1 г 5 о 5
cos ж = — cos 5ж Н	cos Зж Н— cos ж,
16 16 8
cos6 х = — cos 6ж Н	cos 4ж Н	cos 2ж -\	.
32 16 32 16
10. Тригонометрические функции кратных аргументов.
Е/ -,\fe/-t2fe + l • 2fc + l	n —2fe —1
(—1) Cn sin ж cos	ж,
fe=0
(-l)kC%-k-i2n~2k~1 cos"*5 ж,
sin 2пж = 2n cos x | sin ж +
= (-1)" cos ж 22"-1 sin2"-1 ж +
14* Bn - fc - l)Bn - fc - 2) . . . Bn - 2fc) 2п_2>_! ¦ 2n-2fe-i 1
sin Bn + 1)ж = Bn + 1) sin x +
"	[Bn + lJ-l2][Bn + lJ-32]...[Bn + lJ-Bfc-lJ]
' / j V /	/O 7,. i 1 \l
= (^l)n 22n sln2n+1 ж - 22те~2Bп + 1) sin2" ж +
2
fc Bn - A;)Bn - A; - 1) . . . Bn - 2A; + 2) 2n^2fc
fc = 2
/та	\
= sin ж ( 1 + 2 2_J cos 21гж J,
sins + 2coss^(-l) sin
fe=i
sin 2ж = 2 sin ж cos ж, з!пЗж = Зэшж — 4 sin ж,
sin 4ж = cos x D sin ж — 8 sin3 ж), sin 5ж = 5 sin ж — 20 sin3 x + 16 sin5 ж,
sin 6ж = cos жF sin ж — 32 sin3 x + 32 sin5 ж),

192	1.3. Тригонометрические функции	[1.3.11
[п/2]
(—1) Cn sin ж cos ж,
k=0
cos Bn + 1)ж = cos x
[Bn + IJ - I2][Bn + IJ - 32] . . . [Bn + IJ - Bk - IJ] 2k
X	Bfc)!	Sm '
— 1) cos x 2 sm ж +
+ 2_Д- )	—	sm	ж|,
n
= cos ж — 2 sin x \^ sin 2ifex,
Г	™	k	1
= (—1) cos ж 1 + 2 ^(—1) cos2b ,
cos 2x = 2 cos2 ж — 1, cos Зж = 4 cos3 ж — 3 cos ж,
cos 4ж = 8 cos4 ж — 8 cos2 ж + 1, cos 5ж = 16 cos5 ж — 20 cos3 ж + 5 cos ж,
= 32 cos ж — 48 cos ж+ 18 cos ж — 1,
Зtgж^tg3ж	.	4tgж^4tg3ж
-, tgЗж =	+«/¦«.—
1е2ж	^1 tgЗж	f, ЫАх	^:.
6	1 — tg2 ж' &	l-3tg2x	&	l-6tg2ж + tg4ж
11. Тригонометрические функции некоторых углов.
1) sinriTr = 0, cosriTT = (^1)те, tgn?r = 0.
2) sm(n
B 2
\n четное.
3) sin ™ = (_i)t«/3] vl fi _ (_i)[(n+D/s] 1
О	4 L	J
[n нечетное],
nn	3 + (-lf
cos	 = ( —1)	^j		[n четное],
In нечетное]

1.3.11]	1.3. Тригонометрические функции	193
+ ПЖ ( 1\[(« + 2)/3] V^ l"i / 1\[О+!)/3Л	Г	1
tg —^- = ( —1)	—^— 11 — ( —1)	[ю- четное],
[п нечетное].
„ч . П7Г	, ,чГп/411-(-1I 7 J
4) sin	 = ( —1) 		[тг четное],
=¦	[тг нечетное],
V2
П7Г	/ i\[n/4]l + (-1)[п/2]
cos—- = ( —1J		[п четное],
— у -v	¦^т11"	t71 нечетное],
V2
W7T , л,[п/4\ 1 - (-1)[п/2]	г
' ~Т~ = v / I	1—1 Мп/21	[тг четное],
[тг нечетное].
5)	sm — = i(^l)[n/5]^/lO - (-1)[Bп-ю[п/б]-1)/з]2л/5]	[тг # 0, 5, 10, ... ],
= 0	[тг = 0, 5, 10, ... ],
тг%с 	 ( 1\[(П + 2)/^] I */к \ ( -1\[Bгг —10[тг/5] —1)/3] \	г__ _/ ^ г 1Г| п
сиь —-— — — i — ±i vo т I — J-J I	719^и.о, 1U, ....
5	4	V	/
= (^1)[(те+2)/5]	[те = о, 5, 10, ... ],
6)	sin —— = ( —l)Ln/ —— 1 — (—-l)L^n	[n четное],
о	4 L	J
= ( — \уп' J		[тг нечетное],
ПТТ / ч \(п-\-2)/6] ^ ~^ { 1)	г 1
cos	 = (—1)LV 		тг четное ,
6	4
/ 1\[(»г+1)/б1 V3 Г-, . / i\[(n + l)/3ll	r 1
= (—-1J J—— 1 + ( —1JLV	[тг нечетное],
4- ПЖ ( 1\\пГА^^ \л ( 1\Кп + 1)/Щ]	Г 1
tg -™™г™ = l"-) -^~ 1 - I)	[тг четное],
О 2 L J
, ._,	9
[тг нечетное].
7) sin	 = (-l)Kn+1J/8J-A/2- (_l)[n/4] _ (_i)[Cn+i)/4]	[тг четное],
8	2 »
v_v^./	?_	[тг нечетное],
zl
cos!^ = (.^kn^/ej^ /2 + (_1)[n/4] + (_!)[(Зп+1)/4]	[тг четное],
[п нечетное],

194
1.3. Тригонометрические функции
[1.3.11
пж
tgir
s)sinYo
ж
= 0
_ /_ 1ч[Bп+1)/8
= ^(V5-1),
= WlO + 2^
>/8H)/21
;][V5-(-i)
sin в = I(
5, cos^ =
'!(ПН
4^
hl)/4]l
+ 1),
/10-
[n
[n =
7^0, 4, 8, ...],
= 0, 8, 16, ... ],
[n нечетное].
To
ctg ^ = V5 + 2^5 , ctg ^ = 05 - 2^5 .
. 5тг
Sml2 =
7Г
57Г
tg12=^
. 1ж
sin — =
12
. 117Г _
7тг
tg12=^2^
11тг
tg-
12
5тг л/3 -1
cos- =
12
ctg
= -2 -VS.
10)8т^ = 1[-л/3(л/5-1) +
7Г	I
COS15 = 8
tg^ = ^C-^5)
CtgW = 4
. 2?r
2тг 1
COS15=8
л/5 )
^ л/3 (л/5 + l) - V 10 - 2л/5 ,
i + 1 + V3 yiO-2v? j,
ctg
2тг
15
= \{Vb~i)[2Vi +

1.3.11]
1.3. Тригонометрические функции
195
tg ^- = л/2 V 2 + v^ - (л/2 + 1), ctg ^ = лД л/2 + V2 + (л/2 + 1),
»s=i«»
16
= л/2у2-л/2 - (л/2 - 1),
7Г	у/г ( r-	I
— = -^— I л/5 Ч- 1 — VlO-
9П	ft\	V
7Г	у A
COS20 = T"
+1 +
2-1).
tg ^ = л/5 + 1 - V 5 + 2л/5 , ctg ^ = л/5 + 1 + V 5 + 2л/5 ,
sin |L = ^ (/^ + i _ V5 ),
10 + 2л/5 - 14-л/бУ
tg—= V5 -1-V5-2V5, ctg— = V5 -1 + V5-2V5 .
in^r = i\/2- \/2 + v^ , cos^- = i\/2+ v/2 + v^ ,
^ = (v^-l)(\^-v^), ctg? =
sins=H-(^-1)+v^
7тг 1
COS30=8
;^ = 1(у^+1)Bл/3-^10-2у^ Y

196
1.3. Тригонометрические функции
[1.3.12
Ctg 30 ~ 4 ^
15) sin ^ = i Г1/2 + V2" /ш^
- 2л/5 ).
16) sin ^ = ^
cos J =
tg J = ^ B -
12. Степенные ряды.
= V
28*-1
sin ж ж
Т^щг^^-
^1к
2A;
X
~ 22fcB2fc -
[\X\ < 7Г],
<тг/2],
1.4. Обратные тригонометрические функции
1. Некоторые соотношения.
Главные значения обратных тригонометрических функций определяются
неравенствами
—ж/2 ^ arcsln ж ^ тг/2; 0 ^ arccos ж ^ тг	[—1 ^ ж ^ 1];
^тг/2 < arctg ж < тг/2; 0 < arcctg ж < тг	[^оо < х < ос].
arcsln (—ж) = — arcsln ж, arccos (—ж) = тт — arccos ж,
arctg (—ж) = — arctg ж, arcctg (—ж) = тг — arcctg ж,
sin (arcsln ж) = ж, cos (arccos ж) = ж,
tg (arctg ж) = ж, ctg (arcctg ж) = ж.

1.4.4]
1.4- Обратные тригонометрические функции
197
arcsln (sin ж) = ж — 2пж
= ^ж + Bп + 1)тг
arccos (cos ж) = ж — 2пж
= -ж + 2(п + 1)тг
arctg (tg x) = х ~~ пж
arcctg (ctg ж) = ж — пж
[2пж — тг/2 ^ ж ^ 2тгтг + тг/2],
[Bп + 1)тг - тг/2 <С ж ^ 2(п + 1)тг + тг/2].
[2пж ^ ж $С Bп + 1)тг],
[Bп + 1)тг ^ ж ^ 2(п + 1)тг].
[пж ~~ ж/2 < х < пж + ж/2],
[пж < х < (п + 1)тг].
lim arctg ж = ±тг/2, lim arcctg ж = тг/2 =р тг/2.
ж^гЬоо	аз—>-±оо
2. Связь с логарифмической и обратными гиперболиче-
гиперболическими функциями.
arcsln z = —г In f iz + vl — z* ) = —г Arsh (iz),
arccos z = —г In f z + Vz2 — 1 1 = —i Archz,
1
^z
— = —i Arth (iz),
iz
%
arctg z = — In
2 1 — iz
2 4 z 	 X
arcctg z = — — In	 = i Arcth (iz).
А Ъ Z H™ JL
3. Формулы дифференцирования.
d .	1	d	1
.
4. Связь между обратными тригонометрическими
функциями.
ж
arcsin ж = — — arccos ж,
[0 ^ ж ^С 1],
[—1 ^ ж ^ 0],
[ж2 < 1],
[О < ж ^ 1],
[-1 < х < 0],
[ж2 ^С 1/2],
[1/V2 < ж ^ 1],
[—1 < ж <
= - arcsln Bж\/1 - ж2
= ^ - - arcsln Bжл/1 - ж2
= -—	arcsln
arccos ж =	arcsin ж,
[0 ^ ж ^ 1],
[-1 ^ ж ^ 0],

198	1.4- Обратные тригонометрические функции	[1.4.4
[О < ж ^ 1],
[-1 ^ ж < О],
[-1 ^ х ^ 1],
1	9
= - arccos Bж - 1)	[0 < ж ^ 1],
= тг	arccos Bж2 - 1)	[-1 ^ ж < 0].
ТГ
arctg ж = — — arcctg ж,
А
[ж	> 0],
[х	<: о],
[ж	> 0],
[ж	< 0],
[ж	> 0],
[ж	< 0],
/г
л/Т
тг
= -
arccos -
\
- arctg
тг
= arcctg —
ж
= arctg
ж
тг
4
1
to
1
2
1
2
1
2
тг
2
1
to
— arctg
Зтт
ж
1
1
1
ж
1-Ж
1 + Ж
1-
4 а1Хю& 1 +
arctg
arctg
arctg
тг 1
2ж
— ж2
2ж
- x2
2ж
- ж2
2 2 aibD111 i
arcsln —
1
2ж
+ ж2
ж
ж
тг
2
тг
2
2ж
+ ж2
2х
A JL ~т~
1
arccos -
1
— arccos
-х2
+ ж2
1^ж2
1 + ж2
ж2
[х<
[\х
[х
[х <
[хЦ
1^х
[X
[х
[ж ;
-1].
-1].
-1].
^1],
SO].

1.4.5]
1.4- Обратные тригонометрические функции
199
arcctgж = — — arctg ж,
= тг — arcsin
[ж < 0],
уТ+ж2
= arctg —
ж
= тг + arctg —
х
5. Степенные ряды.
[ж > 0],
[ж < 0].
fc=o
/ 1 \fe

Приложение П. Специальные функции и символы
о/ ч	1 f slnt .	_
S(x) = 	 —— at — синус-интеграл Френеля.
о
х
гл / \	If COS t i»	Л
С (ж) = ^^ —-=- at — косинус-интеграл Френеля.
л/2тг J л/с
о
оо
si (ж) = 	dt — интегральный синус.
х
оо
• / \ Г cos* j,
ci ух) = — 	at — интегральный косинус.
х
LJ2 (ж) = — —	 dx = 22/ Т2" — дилогарифм Эйлера.
J ж	к
k1
J ж
о	k=1
— биномиальные коэффициенты.
т\(п — ту.
с°п = ь
п\ = 1.2-3...(п-1)п, 0! = 1! = 1.
Bп)!! = 2-4.6...Bп) = 2пп\,
Bп + 1)!! = 1-3-5... Bп + 1),
\Bfc + l)!!, п = 2* + 1,
О!! = (-1)!! = 1.
Вп — числа Бернулли.
_	_ г	^1	_ г	_ г
°~ ' 1 ~ 2' 2 ~ 6' 4 ~ 30' 6 ~ 42'
_ 1	_ 5	_ 691
8^~30' 1О^66' 12 ~ ^2730'
п
B2n+i = 0 при п = 1, 2, 3, . . ., Вп = ^ СпВк.
Еп — числа Эйлера.
Е® = 1, ?i2 :=:: —15 Е4 = 5, Ее :=:: —61, ?^8 =::: 1385,
Е10 = -50 521, Е12 = 2 702 765, E2n+i = 0.
ж, ж > О,	I +1, ж > О,
'	' sgn ж = <
- ж, ж < 0.	[ - 1, ж < 0.
[ж] = га (п ^ ж < п + 1, п = О, =Ы, ±2, . . .) — целая часть числа ж.