Системы
(Т)азовой
^Синхронизации
Системы
Q) АЗОВОЙ
ИНХРОНИЗАЦИИ
Под редакцией В. В. Шахгильдяна
и Л. Н. Белюстиной
МОСКВА
«РАДИО И СВЯЗЬ»
1982
Scanned & DJVUed
ББК 32.848
С40
УДК 621.39(024)
Авторы: Акимов В. Н., Белюстина Л. Н., Белых В. Н., Бурдзей-
ко Б. IL, Журавлев В. И., Жодзишский М. И., Игнатов Ю. Ф.,
Капранов М. В., Кивелева К. Г., Миронов М. А., Пономарен-
ко В. П., Прытков В. И., Тихонов В. И., Тузов Г. И., Фрай-
ман Л. А., Федосеева В. Н., Шахгильдян В. В., Шалфеев В. Д.,
Харисов В. Н.
Системы фазовой синхронизации/Акимов В. Н.,
С40 Белюстина Л. Н., Белых В. Н. и др.; Под ред. В. В.
Шахгильдяна, Л. Н. Белюстиной — М.: Радио и связь,
1982. — 288 с., ил.
В пер.: 3 р.
Исследуются системы фазовой синхронизации (СФС). Кинга напи-
сана ведущими отечественными специалистами в области систем синхро-
низации Излагается теория непрерывных и дискретных СФС. Обсуж-
даются принципы оптимизации этих систем. Приводятся примеры прак-
тического использования некоторых СФС.
Для научных работников, занимающихся созданием систем фазовой
синхронизации.
2402020000—055
С----------------
046(01)—82
ББК 32.848
6Ф2.12
125—82
*Рецензенты: М. С. Ярлыков, П-И. М. Коган
Редакция литературы по вопросам радиосвязи, радиовещания и телевидения
Владимир Николаевич Акимов, Людмила Николаевна Белюстина,
Владимир Николаевич Белых и др.
СИСТЕМЫ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ
Редактор И С. Балашова
Обл. художника Е. П. Аксенова
Худ. редактор Р. А. Клочков
Техн редактор К Г. Игумнова
Корректор Т. Г. Захарова
ИБ № 174
Сдано в набор 2.11.1981 г.	Подписано в печ. 26.01.1982 г.
Т-03849 Формат 60X90/i6 Бумага кн. журн. Гарнитура литературная	Печать высокая
Усл. печ. л. 18,0 Усл. кр.-отт. 18,25 Уч -изд. л. 20,16	Тираж 4000 экз. Изд. № 19134
Зак. № 156	Цена 3 р.
Издательство «Радио и связь». 101000, Москва, Главпочтамт, а/я 693
Типография издательства «Радио и связь» Госкомиздата СССР
101000, Москва, ул. Кирова, д 40
© Издательство «Радио и связь», 1982
Предисловие
Предлагаемая книга, написанная ведущими отечественными спе-
циалистами в области теории и применения систем фазовой син-
хронизации, дает широкому кругу научных работников, инжене-
ров, аспирантов, преподавателей высшей школы представление о
современном 'состоянии актуальных направлений исследования
систем фазовой синхронизации. Эти системы в последнее время
широко применяются в технике связи, радиолокации и радионави-
гации, управлении, измерительных комплексах, механике и меди-
цине. В частности, такие системы используются в современных
синтезаторах частот, демодуляторах сигналов с угловой модуля-
цией, в устройствах тактовой синхронизации, строчной и кадро-
вой 'Синхронизаций и т. д.
Основанная в значительной степени на оригинальном материа-
ле монография охватывает большую часть современной теории и
практики систем синхронизации.
В гл. 1 (авторы В. В. Шахгильдян, Ю. Ф. Игнатов, Б. П. Бур-
дзейко) обсуждаются общие проблемы исследования систем син-
хронизации. Излагаются методы исследования устойчивости де-
терминированных систем фазовой синхронизации (СФС). Рас-
сматриваются задачи и методы анализа стохастических моделей
СФС. Приводится обзор задач синтеза СФС. В последую-
щих главах развивается материал гл. 1. В частности, в гл. 2
(Л. Н. Белюстина, К. Г. Кивелева, Л. А. Фрайман) и 3 (В. Н. Бе-
лых) излагаются качественно-численные методы исследования ус-
тойчивости непрерывных СФС и один из качественно-аналитиче-
ских методов — метод систем сравнения. В гл. 4 (М. В. Капранов)
приводятся результаты исследования взаимодействующих много-
связных СФС. В гл. 5 (М. А. Миронов) и 6 (В. Д. Шалфеев) ис-
следуется статистическая динамика СФС. В гл. 7 (Г. И. Тузов,
В. И. Прытко©) и 8 (В. П. Пономаренко) устанавливаются особен-
ности поведения СФС сложных сигналов. В гл. 9 (В. И. Тихонов и
В. Н. Харисов) решается задача оптимизации приема дискретных
сигналов при синхронизации по информационным символам. В гл.
10 (В. Н. Белых), 11 (В. В. Шахгильдян, Б. П. Бурдзейко) и 12
(М. И. Жодзишский) приводятся результаты исследования дис-
кретных и цифровых систем синхронизации, применение которых
позволяет обеспечить длительное запоминание с высокой точностью
частоты эталонного сигнала и ее когерентное преобразование, по-
высить надежность работы системы, упростить технологию ее изго-
товления, облегчить сопряжение системы с цифровыми ЭВМ. В
3
гл. 13 (Ю. Ф. Игнатов) приводятся результаты синтеза оптималь-
ных по различным критериям систем фазовой синхронизации. Ма-
териал гл. 14 (В. Н. Федосеева), 15 (М. И. Жодзишский) и 16
(В. И. Журавлев) дает наглядную и убедительную иллюстрацию
практического 'использования систем синхронизации в различных
радиотехнических устройствах.
Отбор материалов, систематизация и изложение подчинены ло-
гической структуре, учитывающей важнейшие аспекты теории и
практики систем синхронизации. При этом по возможности исполь-
зовались единые методологические принципы и терминология.
Естественно, что рассмотренные в книге вопросы не исчерпыва-
ют всей теоретической и прикладной значимости СФС. При отборе
материала основное внимание было уделено вопросам, не нашед-
шим еще достаточного освещения в технической литературе. Это в
первую очередь проблемы оптимизации, устойчивости и помехоус-
тойчивости сложных аналоговых и цифровых СФС. Полученные в
этом направлении результаты открывают новые возможности 'в по-
строении высокоэффективных устройств синхронизации радиотехни-
ческих систем. При этом большое значение для практики приобре-
тают изложенные в книге вопросы практической реализации раз-
личных модификаций устройств синхронизации, особенно для ра-
диотехнических систем, работающих со сложными сигналами. Этот
материал окажется особенно полезным при разработке новых пер-
спективных систем связи.
Авторский коллектив выражает глубокую признательность док-
торам техн, наук, проф. И М. Когану и М. С. Ярлыкову, взяв-
шим на себя труд по рецензированию книги и сделавшим ряд по-
лезных замечаний способствовавших улучшению ее содержания.
Отзывы и замечания следует направлять в издательство «Радио
и связь»: 101000, Москва, Главпочтамт, а/я 693.
В. В. Шахгильдян, Л. Н. .Белюстина
Глава 1
Проблемы синхронизации
Общие сведения. Явление синхронизации заключается «в приведе-
нии двух или нескольких процессов к полной параллельности изме-
нений их во времени» [1.1]. Для периодических процессов это в
свою очередь означает кратность (дробно-кратность) или равенст-
во частот и установление постоянного соотношения между их на-
чальными фазами. При возникновении синхронизации взаимосвя-
занные объекты самой различной природы начинают работать в
едином ритме [1.2].
Явление синхронизации, являющееся отражением общей тенден-
ции материальных объектов к самоорганизации1, широко использу-
ется не только в механике, технике связи, радионавигации, радио-
электронике, энергетике, но и в биофизике, физиологии и экономи-
ке [1.2—1.8]. В технике связи и радиоэлектронике системы син-
хронизации используются для демодуляции сигналов с ЧМ и ФМ,
для синтеза частот, в устройствах строчной и кадровой разверток в
телевидении, для измерения параметров орбит искусственных спут-
ников Земли (доплеровские системы), в устройствах стабилизации
СВЧ генераторов, в том числе генераторов оптического диапазона
[1.4]. Укажем также на применение устройств синхронизации в
системах точного времени, для синхронного радиовещания, — в
спутниковых системах и измерительных комплексах.
В энергетике явление синхронизации используется для обеспече-
ния устойчивой параллельной работы нескольких электрических
машин на общую нагрузку [1.2].
Явление синхронизации широко используется в ядерной техни-
ке при создании циклических ускорителей заряженных частиц
(синхротроны, фазотроны, синхрофазотроны). В частности, это яв-
ление позволяет устранить расстройку резонансной частоты систе-
мы (дуантного контура) относительно частоты ускоряющего напря-
жения [1.3]. Эффект синхронизации широко используется при соз-
дании большого класса вибрационных машин и механизмов, для
поддержания вращения неуравновешенных роторов [1.2].
1 Еще древнегреческими философами было подмечено, что цикл размноже-
ния ряда животных находится в синхронизме с фазами освещенности Луны.
5
При проведении различных физических экспериментов и измере-
ний используется явление взаимной синхронизации нескольких ав-
токолебательных систем (измерение скорости вращения планет, ба-
лансировка роторов турбин и т. д.). Явление синхронизации про-
является и в поведении биологических объектов. Наблюдается оно
и в поведении коллективов людей, экономике, музыке, спорте и
т. д. Несмотря на различную природу материальных объектов, ука-
жем некоторые общие закономерности [1.2].
Наиболее распространенной математической моделью динамиче-
ских систем синхронизации являются скалярные или векторные,
обыкновенные или стохастические, дифференциальные или разност-
ные уравнения. При этом характерной особенностью систем синхро-
низации, которая выделяет их среди динамических систем и на-
кладывает отпечаток на задачи и методы исследования, является
цилиндрическое фазовое пространство 'систем.
Введем некоторые определения [1.2]. Пусть имеется N незави-
симых автоколебательных систем, которые могут совершать коле-
бания с частотами со. Задача синхронизации заключается в нахож-
дении условий, при которых после установления связей между сис-
темами колебания будут стремиться совершаться с частотой ш или
пт. При п=\ говорят о простой синхронизации, при п=^1—о
кратной.
В задачах синхронизации можно выделить две большие само-
стоятельные части. Первая — задача анализа — связана с исследо-
ванием поведения совокупности систем при заданных связях меж-
ду ними, вторая — задача синтеза — связана с отысканием структу-
ры связей, при которых системы будут совершать синхронные ко-
лебания заданного вида.
Итак, рассмотрим систему, состоящую из N, связанных между
собой через систему связей, подсистем. Состояние системы связи
описывается вектором v. Тогда движение всей системы в целом
часто можно описать дифференциальными уравнениями:
хм = Хм (хм) + sFM (хр х2,..., xN, v),	(1.1)
v = V(xlf х2,..., xN, v; &), M — l, 2,..., N,
При е=0 имеется N независимых динамических подсистем.
Первое уравнение характеризует движение подсистем под дей-
ствием связей, второе — движение систем связи [1.2].
Задача синхронизации заключается в установлении существо-
вания и устойчивости движений вида
х1м = ам [^/ + ^(0/^)], M =	/=1,2,...,^;
(1-2)
= Тр[fyj<^4-«3(е(5ы01» р= 1,2,..., I,
где а-'м(-) и Нр(-) —периодические функции.
При 1 можно считать, что движение и ряде подсистем не за-
висит от движения остальных (случай так называемой автономной
6
синхронизации). Это дает основание выделять в общей 'системе
синхронизации ряд подсистем с собственными неизменными час-
тотами (о. Примеры таких систем — системы фазовой автоподстрой-
ки частоты (ФАПЧ), слежения за частотой и задержкой, следящие
фазометры и т. д. Эти системы описываются дифференциальными
(или разностными) уравнениями, правые части которых периодич-
ны по некоторым координатам, что приводит к наличию в них бес-
конечных множеств 'состояний равновесия.
Простейшая структурная схема непрерывной системы ФАПЧ
изображена на рис. 1.1. Сигналы частот шЭг и Шпг от эталонного ЭГ
и подстраиваемого ПГ генераторов поступают на фазовый детек-
тор ФД, выходное напряжение которо-
го определяется разностью фаз напря-
жений, действующих на его входах.
Выходное напряжение фазового детек-
тора через фильтр нижних частот
ФНЧ воздействует на управляющий
элемент УЭ (например, варикап), ко-
торый изменяет частоту подстраивае-
мого генератора, приближая ее к ча-
Рис. 1.1
стоте эталонного.
В стационарном режиме, когда частоты шЭг и соПг равны, в сис-
теме устанавливается постоянная разность фаз между сигналами
соответствующих генераторов и постоянное выходное напряжение
фазового детектора. Это напряжение подается на вход управляю-
щего элемента, ибо в противном случае стационарный режим будет
невозможен. Поэтому между фазовым детектором и управляющим
элементом включаются устройства, пропускающие постоянный
ток—фильтры нижних частот. Они устраняют из спектра сигнала
управления нежелательные составляющие побочных частот, при-
сутствующие на выходе фазового детектора, которые, попадая на
вход управляющего элемента, вызывают паразитную частотную
(фазовую) модуляцию эталонного сигнала.
Система ФАПЧ может работать в различных режимах. Напри-
мер, если частоты ЭГ и ПГ равны и эффект медленных изменений
параметров подстраиваемого генератора, определяющих его часто-
ту, полностью компенсируется действием ФАПЧ, последняя рабо-
тает в режиме удержания. С понятием режима удержания нераз-
рывно связано понятие полосы удержания, т. е. область начальных
расстроек генераторов ЭГ и ПГ, в которой возможен этот режим.
Ширина полосы удержания определяется разностью граничных
значений частоты ПГ, соответствующих наибольшему и наимень-
шему напряжениям на выходе фазового детектора.
Возможен и другой режим работы системы, 'при котором в сред-
нем разность частот, вырабатываемых генераторами сигналов,
равна нулю, а разность фаз периодически изменяется. Этот режим,
используемый крайне редко, называется режимом квазисинхрониз-
Ма- Обычно систему проектируют так, чтобы он не возникал.
7
Третий режим работы системы ФАПЧ — режим биений. Его ха-
рактерной особенностью является непрерывное нарастание в сред-
нем разности фаз подстраиваемого и эталонного генераторов. Ре-
жим биений всегда наблюдается в тех случаях, когда начальная
расстройка ПГ относительно ЭГ (т. е. расстройка, соответствую-
щая нулю напряжения на выходе фазового детектора) больше по-
лосы удержания. Иногда он может иметь место и при начальной
расстройке, меньшей полосы удержания. В режиме биений среднее
значение частоты ПГ отличается от частоты эталонного генератора.
Состояние системы, при котором режим биений переходит с те-
чением времени в режим удержания или квазисинхронизма, назы-
вается режимом захвата.
Под полосой захвата понимается область начальных расстроек
генераторов ПГ и ЭГ, в которой при любых начальных условиях
устанавливается режим удержания (или квазисинхронизма). Обыч-
но в момент 'включения системы частоты подстраиваемого и эта-
лонного генераторов не совпадают и наблюдается режим биений.
При этом сигнал подстраиваемого генератора модулируется по час-
тоте напряжением биений.
В зависимости от знака мгновенного напряжения биений раз-
ность частот генераторов ПГ и ЭГ то повышается, то понижается.
В результате длительности положительной и отрицательной полу-
волн напряжения биений этих генераторов становятся различными
и на выходе фазового детектора образуется постоянная составляю-
щая напряжения, наличие которой приводит к изменению частоты
биений относительно начальной расстройки. Если начальная рас-
стройка не выходит за пределы полосы захвата, постоянная со-
ставляющая снижает частоту биений до нуля, возникает режим
удержания. Если же начальная расстройка превышает полосу за-
хвата, постоянная составляющая напряжения недостаточна для ее
:им биений. В общем слу-
чае полосы удержания и
захвата не равны друг
другу (рис. 1.2). На рис.
1.2 сплошной линией по-
казано устойчивое изме-
нение средней разности
частот (частоты биений)
Q ЭГ и ПГ в замкнутой
системе ФАПЧ при изме-
нении начальной рас-
стройки QH от больших
значений к малым. Пунк-
тирной линией показано
неустойчивое изменение
Q при изменении QH от
малых значений к боль-
шим. Прямая линия на
рис. 1.2 отображает зави-
полной компенсации и наблюдается
8
симость Q от Qn в разомкнутой системе ФАПЧ. Поскольку кри-
вые, как правило, получаются симметричными, под полосами удер-
жания и захвата принято понимать половины соответствующих
областей, т. е. Qy и Q3.
В последнее время в связи с развитием цифровой вычислитель-
ной техники и микроэлектроники, созданием надежных и недорогих
стандартных элементов широкое распространение получили цифро-
вые системы ФАПЧ. В частности, они используются для выделения
гармонического сигнала из шума, в демодуляторах ФМ и ЧМ сиг-
налов, в устройствах тактовой синхронизации [1.7; 1.8].
Цифровые системы ФАПЧ имеют хорошие технологические по-
казатели, высокую надежность, возможность сопряжения с циф-
ровыми ЭВМ, позволяют легко реализовать запоминание информа-
ции и т. д.
Под цифровыми системами ФАПЧ будем понимать такие систе-
мы, в которых все координаты дискретизируются по времени и по
уровню, а информация в цепях управления и обратной связи пере-
дается или обрабатывается в цифровой форме. Системы, в которых
дискретизация осуществляется только по времени, называют дис-
кретными.
На рис. 1.3 представлена обобщенная структурная схема цифро-
вой ФАПЧ. В простейшем случае на вход такой системы поступает
периодический сигнал той или иной формы. В фазовом детекторе
сравниваются фазы сигналов с эталонного и цифрового ЦГ гене-
раторов и вырабатывается кодовая комбинация (число), соответст-
вующая разности фаз в момент сравнения. Момент сравнения
(дискретизация по времени) может определяться либо эталонным
сигналом, либо сигналом подстраиваемого ЦГ.
Дискретизация по уровню достигается в ЦФД, поскольку его
выходной сигнал может принимать только дискретные значения,
число которых конечно. Выходной сигнал ЦФД подвергается обра-
ботке по определенному алгоритму (фильтрации) в цифровом
фильтре ЦФ.
Цифровой генератор — это устройство, на выходе которого
мгновенная или средняя частота сигнала принимает одно из воз-
можных дискретных значений, зависящих от кода сигнала, дейст-
вующего на цифровое управляющее устройство ЦУУ. Выходной
сигнал ЦГ это, как правило, последовательность импульсов с по-
стоянной амплитудой.
Цифровые системы ФАПЧ являются разновидностью систем
Рис. 1.3
Рис. 1.4
9
синхронизации, построенных на основе принципа дискретной кор-
рекции фазы (частоты) цифрового генератора.
Существуют различные модификации цифровых систем ФАПЧ,
среди которых выделяются две основные: с управляемым кодом
синтезатором частот и с устройством добавления — вычитания
(УДВ) [1.7]. Первая работает по принципу дискретного регулиро-
вания частоты ЦГ, а вторая — с использованием коррекции фазы
этого генератора.
На рис. 1.4 представлена структурная схема цифровой системы
ФАПЧ с наличием управляемого кодом цифрового синтезатора
частот (ЦСЧ), на рис. 1.5 — цифровая система ФАПЧ с УДВ.
Отличительная особенность второй модификации — наличие уст-
ройства УДВ, которое добавляет (или вычитает) к опорной им-
пульсной последовательности с частотой (оог опорного генератора
(ОГ) то или иное число импульсов за период коррекции. Добавле-
ние одного импульса равносильно увеличению, а вычитание —
уменьшению фазы на 2л. Делитель частоты Д уменьшает скачки
фазы на выходе пропорционально уменьшению частоты. Совокуп-
ность УДВ и делителя частоты можно рассматривать как некото-
рый дискретный фазовращатель.
Рис. 1.5
Рассмотрим непрерывную фазовую систему, описываемую урав-
нениями [1.9]
dx/dt = А% + Bf (о), da/dt = Сх + Rf (о)	(1.3)
или дискретную (цифровую) систему [1.10], описываемую уравне-
ниями
х(п+ 1) — х(п) = Ах (п) + В/(а (п)) |
а(п+ 1) —а(п)-=Сх(п) + 7?/(о(п)), J
здесь А, В, С, R — постоянные матрицы размерности пХп тХп,
пХт, тХт соответственно; f, а — m-мерные векторы с координата-
ми фЬ ф2, • • •, фт, oi, 02, • • •, от-, х(/) — п-мерный вектор; фг(ог) =
— фг (Ог + <2г) .
Динамика и устойчивость СФС. При исследовании динамиче-
ских фазовых систем трудно найти области устойчивой их работы
(полосы захвата). При этом для фазовых систем, обладающих бес-
конечным множеством состояний равновесия, — это поиск глобаль-
ной асимптотической устойчивости.
10
Система считается устойчивой, если любое решение системы при
/->оо стремится к некоторому состоянию равновесия. Все методы
исследования устойчивости фазовых систем можно разделить на
точные и приближенные асймптотические.
Среди точных отметим второй метод Ляпунова [1.1—1.13] и ка-
чественно-численные методы [1.14—1.17]. При качественно-числен-
ных методах (см. гл. 2), основываясь на исследовании структуры
цилиндрического фазового пространства, можно сформулировать
экономные (в плане машинного времени) алгоритмы счета на ЭВМ.
областей устойчивой работы систем синхронизации и в этом их
большая ценность. Однако здесь необходимо отметить значитель-
ные трудности при исследовании систем, порядок которых выше
третьего.
Использование традиционных V-функций Ляпунова (метод Ля-
пунова — квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности)
оказалось мало продуктивным, поскольку такие функции, как под-
мечено в [1.9], успешно «обслуживают» как устойчивые, так и не-
устойчивые фазовые системы. Использование периодических функ-
ций Ляпунова, предложенных в [1.13], позволило в рамках доста-
точных критериев в принципе решить проблему глобальной асимп-
тотической устойчивости фазовых систем. Для их построения ис-
пользовался метод уравнивающих коэффициентов [1.9; 1.13]:
m ° i (О
V(O = W) + 22 J I l+VflTi^Oi,
i=l 0
где W(t) — квадратичная форма
v. =	д _ max
Ai + yi
du
Ti = min
Gi+ai
[ <pt (u) du
Из неравенства dVldt<Z.Q можно получить достаточные условия
глобальной асимптотической устойчивости фазовой системы. Отме-
тим, что результаты, полученные с помощью второго метода Ляпу-
нова, могут оказаться не всегда конструктивными. Более эффектив-
ными для исследования динамики и устойчивости рассматриваемых
систем оказались асимптотические методы теории колебаний, в
частности различные модификации метода усреднения [1.6; 1.7;
1-18—1.23] и метод систем сравнения (см. гл. 3).
Рассмотрим подробнее один из вариантов метода1 усреднения
[1.20—1.21]. Пусть система фазовой синхронизации описывается 1
1 Возможны и другие модификации метода усреднения [1.5; 1.23].
11
дифференциальными уравнениями
da/dx^x, dx/dx = ya—e,x—F (о),	(1.5)
где а, х — координаты системы; ун — относительная начальная рас-
стройка; 8 — параметр системы; F(о) — периодическая характерис-
тика фазового детектора. Уравнения (1.5) описывают систему фа-
зовой синхронизации с интегрирующим 7?С-фильтром в цепи уп-
равления [1.5]. Введем функцию
а
r2 i‘
V = ——[-\F(u)du. Тогда dV/dx = yllx—ex2,	(1.6)
о
Рассмотрим совместно (1.5) и (1.6). При 8<С1 (1-5) описывают
быстрые движения в системе, а (1.6) медленные. Произведя усред-
нение (1.6) вдоль траекторий невозмущенной системы (8=0), по-
лучим dV/dx=&f (V). Исследование полученного уравнения позво-
ляет судить об устойчивости и динамике исходной системы.
Анализ воздействия на СФС детерминированных и случайных
возмущений. Если на фазовую систему действуют детерминирован-
ные возмущения того или иного вида, возникает задача об отыска-
нии условий ограниченности решений уравнений фазовой системы.
Это в свою очередь позволяет сформулировать условия синхрониз-
ма системы в «среднем».
В [1.24, 1.25] были сформулированы частотные критерии огра-
ниченности решений уравнений фазовой системы, на основе кото-
рых можно проанализировать ряд неавтономных фазовых систем.
Исследовались неавтономные системы фазовой синхронизации и с
помощью качественно-численных методов [1.26; 1.27] (см. гл. 2)
и метода систем сравнения (см. гл. 3).
Однако исследование устойчивости нелинейных фазовых систем,
находящихся под действием детерминированных возмущений, ос-
тается актуальной задачей.
На практике СФС зачастую работает в условиях воздействия
случайных возмущений (см. гл. 7, 9). Приходится описывать эти
системы как стохастические с применением различных моделей
случайных процессов. Остановимся на анализе непрерывных и ди-
скретных СФС.
При учете случайных воздействий, обусловленных аддитивным
шумом на входе СФС, собственными флуктуациями фазы управ-
ляемого генератора, непрерывные СФС с фильтром, имеющим
дробнорациональную частотную характеристику, описываются
дифференциальными уравнениями [1.4]
-^-=Cx+Rf(o) + ^(t), J^=Aa: + B/(o) + |x(0,	(1.7)
at	at
где oEzc/?m, x<=Rn, (0—m-мерный, £X(Z)—n-мерный случай-
ные процессы.
Реальные процессы, воздействующие на СФС, могут быть опи-
саны в зависимости от физических условий работы случайными
12
процессами различного типа. При воздействии широкополосных
(относительно эквивалентной полосы системы) непрерывных возму-
щений (1.7) соответствует марковский диффузионный процесс [1.3;
1.6; 128], т. е. (1.7) понимается как стохастическое дифференци-
альное уравнение; Bff(/)> lx(t) —белые шумы с нулевыми средни-
ми значениями, заданными корреляционными матрицами
М (О ($) = Go (х, а) 6 (/—s); М Вх (/) Вх («) = Gx (х, а) 6 (i-s);
Mla(t)lTx(s) = Gax(x,
где 6(Z) —дельта-функция. При ограничениях на случайные воз-
мущения марковская модель используется как средство описания
динамических систем [1.4; 1.5; 1.28; 1.31; 1.32].
Основные результаты исследования систем ФАПЧ первого и
второго порядков получены на основе марковских моделей в [1.3;
1.29; 1.30].
Среди задач анализа непрерывных СФС выделим:
1)	нахождение распределений процесса о, х [1.4—1.6; 1.31;
1.32];
2)	достижение границ траекториями 'процесса (о, х) [1.4; 1.6;
1.33; 1.34];
3)	вопросы качественной теории СФС при случайных возмуще-
ниях. Кратко рассмотрим указанные задачи.
Полное описание марковского процесса (о, х), отвечающего
(1.7), дается его плотностями одномерного распределения х)
и вероятности перехода wts((j, x)|as, xs) [1.28; 1.35]. Большая
часть исследований по анализу СФС посвящена точным или при-
ближенным методам нахождения этих плотностей распределений.
Известно, что нахождение их связано с решением уравнений в
частных производных с граничными и начальными условиями [1.4;
1.36].
Для одномерной плотности распределения:
x) = Lwt(v, х)
(1.8)
с граничными и начальными условиями
X) |i=io = w0 (а, х).
XtWtla, х)->0, dwt (а, х)/дхг~^0, |xf|->0, t=l,n,
^/(а, х) |о.+а. =	(а, х), 1=1, т,	(1.9)
~	(а, X) |о ±а. = Wt (а, х), i = 1~п,
oxi	I 1 dxi
m	п
где Lw = — У]	[(Сх + Rf (а)) w\ — V	[(Ах + Bf (а)) w] +
dOi	Ld	dxj
i—i	j=i
m	n
yj Ga..w + ± V * Gx..w+
2 4J d (Ji d (Jj 13	2 dxi dxj 13
/=1	i, /=1
13
д2
д (Ji dxj

Для плотности вероятности перехода
x|ad, xs) = Lwts(<y, x\as, xs)
с начальным условием
wts(<y, x|as, xs)|f=s = 6(cr—as)6(x—xs)	(1.10)
и граничными условиями (1.9).
Практический интерес'представляет Отыскание стационарного
распределения процесса а, х (когда оно существует), определяемое
уравнением
L w (а, х) = 0	(1.П)
и граничными условиями (1.9). Следует отметить, что условия су-
ществования стационарного распределения (как и периодического)
для СФС не исследовались.
Трудности решения уравнений в частных производных застав-
ляют обращаться к приближенным и асимптотическим методам ис-
следования СФС. Известны общие результаты для систем порядка
не выше третьего, полученные методом усреднения. Точные резуль-
таты получены в частном случае: система с интегрирующим фильт-
ром при нулевой начальной расстройке [1.6, 1.30]. Качественное
исследование стационарной плотности для начальной расстройки
Тн=#0 дает различную картину топологии плотности распределения
в областях энергии консервативной системы V<2 и К>2, связан-
ную с наличием колебательной и вращательной фаз невозмущенно-
го движения [1.37; 1.38]. Так, стационарная плотность процесса в
СФС с интегрирующим /?С-фильтром, описываемой уравнениями
d<5/dt = x, dx/dt = ?.ун—е &х + sin о+ J/e(/),	(1-12)
где 8 — малый параметр, сходится при 8^0 к плотности
С	f	(0’9	$ \ 1 Т 7	0
Сехр ;-----------p2sin2 — ) ’ V С 2,
Ч ё- К 2	2 )\
р (а, х) =
С ехр
-- V + signx
cr2
V
Yh^ С
l/2“g2J
2
du
Д/ и E ~\/%1и
V>2,
где £(•) — полный эллиптический интеграл II рода.
Это отличает СФС от других динамических систем. При воздей-
ствии на СФС малых шумов, когда (1.7) представляется в виде
daldt= Cx-^Rf (о) 4 8^а (/), dx/dt = Дх-фВ/(а)+ е^х (/),	(113)
где 8—малый параметр, может применяться метод линеаризации.
Обозначим решение невозмущенной системы о0, *о и введем нро-
14
цесс Пае), П?): Па)= (<?—По)/е, к](хе)=(х—х0)/е. При е-^0 и известных
ограничениях на f(d) процесс т]^е), т]<8)слабо сходится к решению
уравнений [1.35]:
d x\aldt = Rf (п0) Па + С Пх + (О»
dr\x/dt = Bf' (d0) Па + А Их + 1Х (0>	(1 • 14)
Процесс, отвечающий (1.14), гауссовский [1.35]. Таким образом,
решением (1.13) будет a=ia0+er]6, х=х0+ет)х с распределением
7V{(oo, х0), В(х0, <г0; t, s)l, где В(х, a; t, s) — корреляционная мат-
рица процесса (1.14). При наличии у невозмущенной ’ системы
устойчивого состояния, очевидно, решение (1.13) имеет стационар-
ное распределение. Наличие периодического решения невозму-
щенной системы приводит к периодическому распределению.
Среди других методов приближенного исследования отметим
метод кумулянтов (см. гл. 6) и метод статистической линеаризации
[1.6; 1.39; 1.40]. Первый применяется при численном моделирова-
нии СФС, второй — в качестве первого приближения при анализе
в случае малых флуктуаций с произвольным интервалом корреля-
ции.
Задачи на достижение границ траекториями процесса возни-
кают при изучении захвата и срыва синхронизации в СФС. Оче-
видно, что такие явления, как захват, 'срыв синхронизации в СФС,
подверженной случайным воздействиям, приобретают вероятност-
ную трактовку. При этом необходимо определить понятие синхро-
низма СФС и подчеркнуть связь понятий: синхронизм и устойчи-
вость СФС со случайными воздействиями.
Пусть в (1.7) с постоянно действующими случайными возмуще-
ниями типа «белого шума» укороченная система (невозмущенная)
d o/dt — Сх + Rf (d), dxfdt = Ах + Bf (d)	(1.15)
имеет состояние равновесия do, 0. В фазовой системе в отсутствие
шума наличие точки do, 0 свидетельствует о синхронизме. При слу-
чайных возмущениях синхронизм естественно понимать лишь в том
смысле, что в каждый момент времени фазовая траектория нахо-
дится в окрестности точки do, 0 с достаточно большой вероят-
ностью (как видно, это связано с устойчивостью детерминирован-
ной системы при случайных возмущениях [1.41; 1.42]). Поэтому
можно говорить, что система (1.13) находится в состоянии синхро-
низма при постоянно действующих случайных возмущениях, если
точка а0, 0 системы (1.15) слабо устойчива относительно постоян-
но действующих случайных возмущений типа «белого шума». В оп-
ределение слабой устойчивости при постоянно действующих слу-
чайных возмущениях (слабой A-устойчивости) входит требование
малой вероятности отклонения траектории системы (1.13) от поло-
жения равновесия [1.41].
Точно так же понятие полосы захвата для системы при случай-
ных постоянно действующих возмущениях следует связать со сла-
бой A-устойчивостью в целом решения (1.15) (т. е. независимо от
15
начальных условий). Определим понятие полосы захвата, обоб-
щив известное определение [1 43]
Область пространства параметров, для точек которой во всем
фазовом пространстве системы (независимо от начальных усло-
вий) имеется единственное слабо A-устойчивое положение равно-
весия, соответствующее синхронному режиму, называется полосой
захвата системы при постоянно действующих случайных возму-
щениях.
Из сказанного можно сделать вывод, что исследовать условия
синхронизма и захвата в СФС со случайными постоянно действую-
щими возмущениями следует на основе качественных методов тео-
рии устойчивости стохастических дифференциальных уравнений,
которые, конечно, нужно «приспособить» к фазовым системам.
Вероятностная трактовка синхронизма и захвата при случай-
ных возмущениях обусловливает постановку задач срыва синхро-
низма в СФС.
При срыве синхронизации вероятностная трактовка явления
связана с достижением процессом (1 7) границ <т0±а [1-4; 1.6], ес-
ли он исходит из точки ио (точнее, из некоторой окрестности точки
по, 0).
При нахождении основных характеристик срыва синхронизма —
среднего времени до срыва, вероятности срыва, числа перескоков
фазы — используются метод дифференциальных уравнений и тео-
рия выбросов (см. гл 5).
Рассмотрим вопросы качественной теории СФС при случайных
возмущениях.
До настоящего времени основным направлением в исследова-
нии стохастических СФС было получение точных или приближен-
ных распределений фазовых координат, а также марковских мо-
ментов, связанных с марковским процессом, описывающим эту сис-
тему (решение первых двух задач). Следует еще раз отметить, что
задачи, допускающие законченные решения, ограничены. Вместе с
тем многие технические задачи не требуют точных решений, в них
важны только качественные результаты.
Рассмотрим наименее разработанные части (почти незатрону-
той) теории СФС при случайных возмущениях. Качественные ис-
следования стохастических СФС, как и в случае детерминирован-
ных СФС, не требуют решения уравнений или точных распределе-
ний процессов.
Теория стохастических дифференциальных уравнений (см. на-
пример, [1.29; 1.42]) и марковская модель СФС обусловливает воз-
можность решения следующих вопросов: стохастическая устойчи-
вость СФС, ограниченность по вероятности процесса о, х, условия
существования стационарных (периодических) решений, условия
сходимости решений (1.13) к стационарному (периодическому).
Первые два из перечисленных вопросов являются обобщением
устойчивости и ограниченности решений детерминированных СФС
на случай стохастических воздействий. Практическое значение их
очевидно. Решить эти вопросы для СФС, как и вообще для дина-
16
мических систем, можно методом стохастических функций Ляпу-
нова, которые должны, как и при детерминированном СФС, удов-
летворять условиям периодичности.
Третий вопрос — изучение возможных режимов работы СФС
при случайных возмущениях в качественной теории дифференци-
альных уравнений со случайными возмущениями — решается так-
же методом стохастических функций Ляпунова.
Наконец, решение четвертого вопроса связано с устойчивостью
возможных режимов к начальным условиям (к начальным рас-
пределениям) и для стохастических уравнений дано в [1.42].
Перейдем к дискретным и цифровым СФС При действии
на дискретную (цифровую) СФС случайных возмущений с интер-
валом корреляции, много меньшим интервала дискретизации по
времени, моделью служит марковская последовательность сг(п),
х(«), удовлетворяющая системе разностных уравнений [1.7]:
х(п-}-1) — х (и) = Ах (и.) + Bg (о (п), х(п), |х(п)),
сг(п+ 1) — o(n) = Cx(n)A~<jf х(п), |а(п)),
где g (о, х, £), f (о, х, £) — периодические по о функции с непрерыв-
ным (для импульсных систем) или дискретным (для цифровых)
множеством значений,	(и)—последовательность незави-
симых (возможно взаимосвязанных) случайных величин
Все вопросы, рассмотренные выше, для непрерывных СФС не-
обходимо рассмотреть для дискретных систем (см. гл. 10—12).
Многие вопросы исследований стохастических дискретных СФС не
решены Как показывает исследование даже простейших дискрет-
ных СФС, это сопряжено с определенными техническими трудно-
стями. Поэтому лишь для простейших СФС известны точные ре-
зультаты анализа при случайных возмущениях
Синтез оптимальных СФС. Перейдем теперь к краткому обзору
некоторых задач синтеза систем синхронизации и смежным вопро-
сам, порожденным проблемами синхронизации.
Библиографическое исследование и даже беглое знакомство с
литературными источниками показывает, что синтез систем синхро-
низации гораздо беднее анализа и занимает неоправданно скром-
ное место. Трудно указать на все причины, объясняющие такое по-
ложение дел, но отметим, что среди них не последнее место зани-
мают две: во-первых, очевидная сложность возникающих задач и,
во-вторых, слабость стимула практических применений, которая
притупляет критичность ситуации и порождает удовлетворенность
эмпирическими и эвристическими решениями. Такое положение
Дел является временным, ибо успехи вычислительной математики
позволяют преодолеть сложность задач синтеза оптимальных сис-
тем, а новейшие применения явления синхронизации и рост требо-
ваний к ее эффективности стимулируют поиск оптимальных систем.
Поэтому основная цель обзора заключается не только и, глав-
вое, не столько в том, чтобы показать достигнутые результаты, а в
том, чтобы, систематизируя и классифицируя возникающие задачи,
17
подходы и математические методы их решения, показать нерешен-
ные вопросы и выявить резерв математических методов их реше-
ния.
Если задача анализа систем синхронизации связана с исследо-
ванием поведения совокупности подсистем при заданных связях
между ними, то задача синтеза связана с отысканием структуры
связей, при которых системы будут совершать синхронные колеба-
ния заданного вида [1.2].
Отметим, что задача синтеза значительно сложнее задачи ана-
лиза. Простые примеры убеждают, что решение задачи синтеза от-
нюдь не единственно1. Требование существования синхронных ко-
лебаний однозначно не предопределяет структуру связей. Так воз-
никает задача о синтезе оптимальных систем синхронизации, т. е.
таких, которые помимо синхронизирующих свойств обладают еще и
некоторыми экстремальными свойствами, когда по четко оговорен-
ным условиям и по точно определенным показателям данная сис-
тема синхронизации оказывается предпочтительнее остальных. Ее
поиск и составляет содержание задачи синтеза оптимальных систем
синхронизации.
Какими же методами синтеза пользуются сейчас современные
исследователи?
Методы аналитического синтеза можно классифицировать:
структурный и неструктурный, линейный и нелинейный, парамет-
рический и непараметрический.
В аналитическом синтезе либо отыскивается структурная схема
(неструктурный синтез), либо она назначается (структурный син-
тез), и далее, либо в классе линейных систем (линейный синтез),
либо в классе нелинейных систем (нелинейный синтез) и, наконец,
либо в параметрическом (параметрический синтез), либо в непа-
раметрическом (непараметрический синтез) подклассе. В рамках
заданных или выбранных класса и подкласса структур варьирует-
ся и отыскивается структура, на которой при заданных ограниче-
ниях достигается экстремум назначенного критерия эффективности
систем синхронизации.
Очевидна и привлекательна логическая безупречность аналити-
ческого синтеза, хотя нетрудно убедиться, что она достигается до-
рогой ценой.
Рассмотрим аналитический синтез одного класса систем синхро-
низации— следящих СФС Широкое практическое их применение в
технике связи оправдывает интерес к ним. Однако заметим по-
путно, что принцип построения следящих СФС, вообще говоря, ло-
гически ниоткуда не вытекает.
Следящие СФС содержат следующие устройства: задающее ЗУ
(синхронизирующий генератор), сравнивающее СУ, корректирую-
щее КУ, исполнительное ИУ и, наконец, объект управления (син-
хронизируемый генератор).
1 Например, требование заданной полосы захватывания ФАПЧ еще не оп-
ределяет однозначно структуру и параметры ФНЧ
18
Примерами следящих СФС являются системы АПЧ: частотной,
фазовой и частотно-фазовой; АПФ и их комбинации. Список уст-
ройств синхронизации легко продолжить, особенно примерами из
техники связи. Отметим только, что все они решают одну зада-
чу — задачу синхронизации, используют один принцип — принцип
построения систем автоматического управления и регулирования
(САУ и Р). Это наблюдение, отмеченное [1.4], оправдывает выде-
ление класса следящих систем синхронизации и углубленное его
изучение.
Рассмотрим задачи синтеза следящих СФС. Основные задачи
синтеза порождены естественно возникающими вопросами: какие
СУ, КУ, ПУ оптимальны? Решению этих вопросов посвящено мно-
жество работ (см., например, [1.4]). При этом считается, что часть
СФС задана и ее свойства изменять нельзя — управляемая систе-
ма (УС), незаданной и изменяемой частью служит управляющее
устройство (УУ). Последнее можно выбрать из некоторого класса
допустимых, и задача синтеза будет сводиться к отысканию такого
УУ, которое предпочтительнее остальных.
Широко известны достижения в применении методов синтеза
линейных систем. Составляется линейная модель системы, что до-
стигается той или иной линеаризацией ее движения относительно
состояния равновесия. Затем выделяется линейная УС и назнача-
ется допустимый класс линейных УУ.
В параметрическом синтезе искомыми являются только пара-
метры заданной переходной функции УУ. Назначается и вычисля-
ется критерий эффективности УУ, который является функцией ис-
комых параметров. Далее используются стандартные методы мате-
матического программирования, позволяющие отыскать оптималь-
ные параметры (например, см. [1.4, 1.44—1.46, 1.54—1.57]).
В непараметрическом синтезе искомой является уже переходная
функция УУ. Содержание этой задачи простое: необходимо, чтобы
УУ вносило такую коррекцию в УС, при которой система в целом
обладает желаемыми свойствами. Критерий эффективности УУ в
этом случае — функционал (обычно, квадратичный) от переходной
функции. Оптимальная переходная функция отыскивается метода-
ми вариационного исчисления. Наиболее известны некоторые зада-
чи корреляционной теории статистически оптимальных систем.
Стандартными приемами они сводятся к изученной в статистике
случайных процессов задаче линейной оптимальной фильтрации.
Располагая корреляционными характеристиками сигнальной и по-
меховой компонент, переходной функцией желаемого преобразова-
ния сигнальной компоненты, требуется отыскать такую переходную
функцию линейного фильтра, которая минимизирует среднеквадра-
тическую ошибку системы. Иногда накладываются дополнительные
ограничения (например, время переходного процесса).
Имеется богатый арсенал средств, помогающих отыскать опти-
мальный линейный фильтр [1.58]. Они нашли и находят широкое
применение в синтезе (например, см. [1.47; 1.48; 1.59]) оптималь-
ных линейных следящих систем синхронизации.
19
Но известны осложнения, порожденные априорной неопределен-
ностью: решение задач требует знания корреляционных характе-
ристик, которым зачастую исследователи и не располагают. Отме-
тим, Что идеи минимаксной и адаптивной линейной фильтрации,
известные в статистике случайных процессов, еще ждут примене-
ния в синтезе оптимальных линейных следящих систем синхрониза-
ции.
Требование линейности УУ, которое априорно накладывается
при синтезе линейных систем, является стеснительным. Желатель-
но освободиться от этого условия и попытаться искать оптимальное
УУ в более широком классе допустимых систем— а именно, в клас-
се нелинейных систем. Более того, некоторые примеры эвристиче-
ского синтеза показывают, что оптимум следует искать именно в
классе нелинейных систем, эффект применения которых существен.
Это стимулирует поиск оптимальных нелинейных систем синхрони-
зации.
Ясно, что постановка задач и методология их решения сохра-
няются прежними: можно искать оптимум либо в параметрическом
подклассе систем (некоторые результаты см. [1.49]), либо в непа-
раметрическом, например, путем сведения нелинейного синтеза
стохастических СФС к нелинейной оптимальной фильтрации с огра-
ничениями, роль которых играют заданные и неизменяемые (вооб-
ще говоря, нелинейные) элементы СФС, решения задачи нелиней-
ной оптимальной фильтрации и, наконец, отыскания такого компен-
сатора заданных неизменяемых элементов, при котором замкну-
тая система копирует оптимальный нелинейный фильтр [1.60]. В
такой постановке задача нелинейного синтеза оптимальных стохас-
тических СФС остается нерешенной (впрочем, см. [1.61; 1.62], где
используются идеи статистической линеаризации). Поэтому следу-
ет признать, что успехи статистического синтеза оптимальных не-
линейных СФС скромны. Конечно, можно ослабить или даже пол-
ностью снять ограничения; это облегчит поиск оптимальных систем.
Именно в такой постановке удается показать оптимальный харак-
тер СФС в некоторых задачах статистической теории связи [1.63;
1-64].
Каков резерв математических методов аналитического синтеза
оптимальных систем синхронизации? Думается, новые результаты
сулит применение математической теории оптимальных процессов.
Это «область» исследований оптимальных систем, где имеются
только отдельные «точки»—примеры решения задач оптимального
демпфирования [1.11; 1.53], предельного быстродействия [1.50]
в детерминированных системах и задач стабилизации и коррекции
в стохастических системах [1.51; 1.52]. Некоторые дополнительные
примеры применения математической теории оптимальных процес-
сов приведены в гл. 13.
Заключение. Итак, были рассмотрены задачи анализа и синте-
за СФС. Закономерен вопрос: как можно объяснить появление сис-
тем синхронизации в тех или иных более общих системах (связи,
навигации, управления и т. д.). Объясним ее для систем связи.
20
Применительно к связи синхронизация заключается в совмеще-
нии по времени периодических (квазипериодических) процессов,
описывающих работу передатчика и приемника системы. Времен-
ное соответствие таких процессов особенно необходимо в дискрет-
ных системах связи.
В статистической теории связи синхронизация рассматривается
с позиции теории оптимального приема (см. также гл. 7 и 9). Это
связано с тем, что в системе связи обычно отсутствует специаль-
ный канал синхронизации. Более того, большое распространение
получают системы, в которых синхронизация осуществляется по
информационному сигналу.
В модели принимаемого сигнала выделяются информационные
параметры, служащие для передачи полезной информации, и па-
раметры неинформационные, описывающие временные соотношения
в сигнале (синхропараметры). Решение задач оптимизации приема
связывается с решениями относительно информационных парамет-
ров. Статистический синтез оптимальной процедуры решения вы-
являет, в ряде случаев, и структуру устройства синхронизации
((см. гл. 9).
Предпринятое рассмотрение проблем синхронизации проясняет
современное состояние прикладной теории систем синхронизации,
показывает направление дальнейших исследований. Последующие
главы книги расширяют и дополняют изложенный материал.
Глава 2
Качественно-численный метод
в исследовании трехмерных
нелинейных СФС
2.1.	Основные понятия
К трехмерным динамическим системам относятся: СФС с фильтра-
ми второго порядка [2.1] (однозвенные ^ЛС-фильтры, двузвенные
^С-фильтры и др.), СФС с многоканальной цепью управления
{2.2], а также некоторые комбинированные системы синхронизации
,[2.1; 2.3]. К моделям таких систем приводит задача воздействия на
СФС гармонических помех [2.1, 2.4].
Трехмерные динамические системы представляют большой
практический интерес и остаются малоизученными в настоящее
время.
Определение областей устойчивости «в целом» таких систем
(см. гл. 1) —одна из основных проблем в исследовании. Процес-
сы, происходящие в системах ФАПЧ, нелинейны. Их изучение
требует разработки и применения новых методов качественного и
количественного анализа одновременно фазового пространства и
21
'пространства параметров. Весьма продуктивными оказываются ка-
чественно-численные методы такого одновременного исследования
'нелинейных автономных и неавтономных систем третьего порядка.
Качественными и аналитическими методами, как известно, ис-
следуются особенности фазового пространства, определяющие ди-
намику нелинейных систем [2 5—2 9] особые траектории, инте-
гральные многообразия, гомоклинические структуры Будем их
называть качественными особенностями этих систем Для боль-
шинства конкретных практических задач установление таких осо-
бенностей при произвольных параметрах качественными методами
сложно, а в некоторых случаях невозможно. Использование же
приближенных аналитических методов, в том числе метода усред-
нения, при конечных значениях параметров не дает гарантирован-
ных результатов.
Конкретность численных методов делает исследование качест-
венных особенностей регулярным только для изолированных точек
пространства параметров и требует дискретизации пространства
параметров с заданным шагом.
Численные методы качественного интегрирования позволяют
[2.10] для двумерных систем определять точные грубые качествен-
ные картины на фазовой поверхности и приближаться к границам
разбиения пространства параметров с заданной точностью. В этом
смысле рассматриваемый ниже качественно-численный КЧ метод
исследования СФС достаточно точен. Действительно КЧ метод по-
зволяет установить с указываемой точностью все (порождаемые
данной системой качественные особенности фазового пространства
и пространства параметров, что дает возможность получить на ос-
нове частных численных решений общие качественные выводы.
Суть КЧ метода состоит в следующем. При качественном, ана-
литическом или численном исследованиях конкретной системы в
пространстве параметров выделим те области, для которых можно
определить качественные структуры или основные качественные
особенности. Затем, меняя один из параметров, численными мето-
дами установим наибольший интервал значений этого параметра,
на котором качественная структура остается неизменной (стабиль-
ной). Определим его как максимальный интервал численного про-
должения по параметру рассматриваемой структуры. Конец этого
интервала есть точка бифуркации, которая служит точкой разры-
ва.
Точки разрыва подразделяем на два типа. К первому относим
точки бифуркации без повышения размерности. Такие точки изу-
чаются локальной теорией бифуркаций Пуанкаре — Ляпунова, по-
лучившей дальнейшее развитие в работах академика А. А Андро-
нова и его школы. Точки разрыва, связанные с повышением раз-
мерности, называем точками второго типа. При переходе от двух-
к трехмерному фазовому пространству такие точки исследуем пу-
тем рассмотрения особых или периодических возмущений грубой
двумерной системы. При этом сингулярными возмущениями
структуры на поверхности медленных движений переходим к трех-
22
мерной автономной" системе; малыми периодическими возмущения-
ми автономной двумерной системы на фазовой поверхности — к
трехмерной неавтономной системе. Приемы исследования точек
второго типа рассматриваются в [2.4; 2.11—2.14], исходя из [2.15;
2.16].
Периодические движения трехмерной системы при любых пара-
метрах можно адекватно изучать исследованием точечного ото-
бражения плоскости в плоскость, порождаемого решениями систе-
мы. Качественные особенности трехмерной системы порождают ка-
чественные особенности точечного отображения [2.7]: 'периодиче-
ское решение порождает неподвижную точку НТ, сепаратрисная
интегральная поверхность седлового периодического решения по-
рождает сепаратрисную инвариантную кривую, тороидальная ин-
тегральная поверхность в сечении дает замкнутую инвариантную
кривую. Существующие хорошо развитые методы численного ин-
тегрирования позволяют численное задание точечного отображения
сделать достаточно точным. Для реализации процедуры продолже-
ния по параметру качественных особенностей точечного отображе-
ния в [2.17—2.23] развиваются специальные численные методы ка-
чественного интегрирования (алгоритмы численных построений)
(см. в § 2.2). Эффективность построения седловых многообразий
достигается новым подходом [2.17], отличным от традиционного
метода последовательных итераций и основанным на численном
построении изокривых отображения и нахождении точек их пересе-
чения. На фазовой плоскости некоторым аналогом изокривых слу-
жат изоклины. Численные построения позволяют проводить гло-
бальное исследование НТ отображения. Для уточнения координат
НТ разработаны (см. § 2.2) алгоритмы локального численного по-
строения методом повторного уточнения пересечений изокривых
[2.18] или методом аналога секущих Гаусса [2.19]. Разработаны
алгоритмы численных построений особых инвариантных кривых и
нахождения их бифуркаций.
На основе численных построений грубых НТ построены алго-
ритмы нахождения критических направлений [2 20] и сепаратрис-
ных инвариантных кривых седловых НТС точечного отображения
плоскости в плоскость [2.21] и бифуркационных параметров систе-
мы. Построение сепаратрисных инвариантных кривых проводится
методами по’следовательных итераций начального отрезка сепара-
трисы [2.22] и методом вспомогательных точечных отображений
[2 21]. Разработаны и опробованы алгоритмы численного опреде-
ления бифуркационных параметров сложных НТ [2.23] типов:
седло — узел — смены устойчивости узла с рождением из него
цикла двукратных устойчивых точек — сложный фокус с рождени-
ем из него инвариантной замкнутой кривой. Разработан алгоритм
нахождения бифуркационных параметров, соответствующих появ-
лению гомоклинической структуры отображения через касание се-
паратрисных инвариантных кривых [2.17; 2.22].
Приведем описание разработанных алгоритмов и программ КЧ
метода исследования точечного отображения плоскости в плос-
23
кость и некоторые новые результаты, полученные с их помощью
для автономных и неавтономных СФС с трехмерным фазовым про-
странством.
2.2.	Алгоритмы и программы качественно-численного
построения фазовых картин точечного отображения
плоскости в плоскость и нахождения бифуркационных
параметров
Общие сведения. Излагаемые алгоритмы и программы могут
быть применены для исследования широкого класса автономных и
неавтономных систем, зависящих от параметров, с трехмерным фа-
зовым пространством. Фазовое пространство может 'быть как евк-
лидовым, так и цилиндрическим или тороидальным. Основную
трудность в исследовании систем дифференциальных уравнений
представляет отыскание в фазовом пространстве интегральных
многообразий, в частности периодических решений. В предлагае-
мых ниже алгоритмах и программах исследование периодических
решений проводится на основе теории [2.7] точечных отображений
плоскости в плоскость (цилиндра в себя) и их бифуркаций. Такой
подход позволяет исследовать трехмерные модели без ограничений
на значения параметров.
В трехмерном автономном фазовом пространстве G=(x, у, z)
системы дифференциальных уравнений
dx/dt — X (х, у, z); dy/dt — Y (х, у, z); dz/dt — Z (х, у, z) (2 1)
всегда может быть выбрана пересекающая периодическое решение
секущая плоскость 77: Ax-\-ByA~Cz=D. Решения системы (2.1) при
повторном ее пересечении со временем t=x порождают точечное
отображение Т плоскости 77 в себя. Если время т непостоянно, как
это имеет место для предельных циклов автономной системы, то
оно находится с помощью численного интегрирования по решени-
ям.
В неавтономном фазовом пространстве О=[х, у, /(гпобт)] пе-
риодической системы второго порядка периода т
dx/dt = X (х, у, t); dy/dt— Y (х, у, t); dt/dt=\	(2 2)
плоскость 77 (t=const) всегда является секущей. Решения (2.2)
порождают точечное отображение Тх этой плоскости в себя с од-
ним и тем же периодом t=x.
Для рассматриваемых моделей (2.1) и (2.2) точечное отображе-
ние Т: Т(х, у) = (х, у) ставит в соответствие любой точке М(х, у)
секущей плоскости 77 точку М (х, у) этой плоскости. Оно задается
численным интегрированием системы при	или аналитиче-
скими выражениями для функций преобразования, когда они из-
вестны.
Запишем порождаемое решениями модели отображение Т
x = xA-f(x, у); y = y + g(x, у).	(2.3)
24
Точка М, для которой выполняются условия
Sx = x—x = f(x, у) = 0; ky = y—y = g(x, у) = 0,	(2.4)
— неподвижная точка точечного отображения Т. Кривые f(x, у) =
= 0, g(x, у)=0 на плоскости х, у назовем изокривыми. Периоди-
ческим решениям трехмерных систем соответствуют НТ отображе-
ния (2.3) —точки пересечения изокривых (2.4).
В цилиндрическом фазовом пространстве G=i(x(mod 2л), у,
/(rnodr)) неавтономных систем (2.2) могут существовать периоди-
ческие решения Г^,р, где q — число полных оборотов по фазе x(q<Z
<0 при убывании фазы), р — число периодов по t. Периодическо-
му решению Год соответствует НТ первого рода, также обозначае-
мая	удовлетворяющая условию	—У = 0- Пе-
риодическому решению Гдд, у#=0 соответствует НТ второго рода
Гдд(/7Тп), удовлетворяющая условиям |х—x\=2nq, у—у|=0.
В этом случае одна из изокривых (2.4) изменяется, принимая вид
f(x, у) = \х—х|—2л<7 = 0.
Рассмотрим способы численного построения особых инвариант-
ных кривых [2.11] отображения (2.3) НТ (устойчивых, неустойчи-
вых и седловых) для систем (2.1) и (2.2) и сепаратрисных инва-
риантных кривых седловых НТ для систем (2.2) и определения би-
фуркационных параметров.
Нахождение координат НТ предлагается осуществлять двумя
методами: методом построения изокривых и их пересечений и ме-
тодом аналога секущих (фортран-программы [2.18; 2 19] для
ЭВМ).
1.	Метод построения изокривых позволяет глобально выделить
на плоскости х, у окрестности всех НТ отображения (2.3), нахо-
дящихся друг от друга на расстоянии, большем некоторого значе-
ния. Для этого прямоугольная область плоскости х, у покрывает-
ся сеткой прямоугольников, в каждой вершине которых находится
точечное отображение (2.3) и определяются знаки Дх=х—х и
&у=у—у.
Для реализации этого метода предложим два алгоритма:
алгоритм-программу [2.18], дающую возможность находить НТ
с заданной точностью поиском точек пересечения изокривых (2.4)
без построения последних;
алгоритм приближенного построения изокривых, позволяющий
определять и координаты НТ и характер их глобального взаимо-
расположения, необходимый для исследования с помощью числен-
ного продолжения по параметру [2.11].
Выделяются две цепочки прямоугольников, содержащих соот-
ветственно смену знаков Дх и Ду. Они определяют окрестности изо-
кривых (2.4), а пересечение этих окрестностей — области, в кото-
рых содержатся НТ. В выделенных областях с заданной точностью
определяются координаты точек пересечения изокривых использо-
ванием либо алгоритма [2.18], либо блока уточнения на основе
отслеживания одной изокривой, либо алгоритма [2.19] метода ана-
лога секущих.
25
2.	Метод аналога секущих [2.19] позволяет локально уточнить
координаты НТ при наличии первого приближения. Для этого при-
влечен способ нахождения точек пересечения двух кривых на плос-
кости— способ Гаусса. При этом задача нахождения точек пересе-
чения изокривых (2.4) заменяется более простой задачей поиска
последовательностей точек пересечения некоторых прямых, полу-
чаемых в процессе счета. Определение характера НТ проводится
путем вычисления корней ее характеристического уравнения [2.8]
(фортран-программа [2.20] для ЭВМ).
Численное построение сепаратрисных инвариантных кривых сед-
ловой НТ системы (2.2). Точки на сепаратрисной кривой находятся
применением алгоритмов их численных построений методом вспо-
могательных точечных отображений [2.21] или с помощью разделе-
ния движений [2.22]. Построение начинается с определения ука-
занными методами координат НТС и критических направлений в
ней [2.20]. Численное построение двух приближающихся к каса-
нию сепаратрисных инвариантных кривых дает возможность обна-
ружить появление гомоклинической структуры [2.7; 2.14; 2.22].
Алгоритмы нахождения бифуркационных параметров для би-
фуркаций НТ некоторых типов и бифуркаций появления гомокли-
нической структуры.
Бифуркация НТ типа седло — узел (НТС_У). Для
ее определения разработаны два алгоритма:
1.	По равенству нулю расстояния между седловой и узловой
(НТС и НТУ) (р = 0). Методами аналога секущих или изокривых
находятся координаты двух НТ — устойчивой и седловой — и опре-
деляется расстояние р между ними. При изменении одного из -пара-
метров системы определяется такое его значение, при котором рас-
стояние меньше заданного малого числа е(р<Се).
2.	По равенству единице корня характеристического уравнения
НТ (s=4~l)- Определяются координаты одной НТ либо устойчи-
вой, либо седловой при фиксированных параметрах и вычисляют-
ся корни ее характеристического уравнения. Известно [2.8], что
для НТс-у один из корней характеристического уравнения равен
плюс единице. Меняя один из параметров системы, прослеживает-
ся приближение одного корня s к единице. За бифуркационное
принимается то значение параметра, при котором s=l—е, если
прослеживается узловая НТ, и $= 14-е, если седловая, е>0 — за-
данное малое число.
Бифуркация типа смены устойчивости узла с
появлением из него цикла двукратныхустойчи-
вых НТ. Эта бифуркация устанавливается по равенству минус
единице корня характеристического уравнения НТ (s = — 1). Вы-
числяются координаты и корни характеристического уравнения
НТ. При изменении одного из параметров системы находится то
его значение, при котором s = — 1—е, где е>0 — заданное малое
число.
Появление гомоклинической структуры при
касании сепаратрисных кривых. Численным построе-
26
нием сепарат.рисных кривых устанавливается их взаиморасположе-
ние и находится приближенное значение параметра, при котором
касаются две сепаратрисные инвариантные кривые. Это значение
принимается за бифуркационное.
Разработанные методы, алгоритмы и программы применены для
нахождения полос удержания и захвата трехмерных автономных
и неавтономных моделей ФАПЧ [2.11—2.14, 2 23] Ниже приведе-
ны результаты исследования КЧ методом автономной системы
ФАПЧ с фильтром второго порядка (§ 2.3) и неавтономных сис-
тем ФАПЧ с интегрирующим фильтром (§ 2.4—2.6).
2.3.	Определение полосы захвата автономной системы ФАПЧ
с фильтром второго порядка
Уравнения системы ФАПЧ с фильтром второго порядка, напри-
мер двойной 7?С-фильтр, /?АС-фильтр и т. д. [2.1], с коэффициен-
том передачи К2 (р) —	и нелинейной характеристикой
1+й1 р+^2 Р2
фазового детектора F(<p)=sincp могут быть представлены в виде
автономной системы с трехмерным цилиндрическим фазовым про-
странством <р, у, z:
dy/dt —у, dy/dt = z, nlal = b1, n2a2 = b2;
a2----= yH—sintp — (1 +nx ar cos <p) // +
di
4- n2 a2 y2 sin <p — («! + n2 a2 cos cp) z,
(2.5)
где yH — относительная начальная расстройка.
Изучению таких систем при различных предположениях и раз-
ными методами уделено в литературе большое внимание [2.1; 2,4;
2,12; 2,24; 2,25]. Однако нет полного исследования системы (2.5),
которое аналогично системе ФАПЧ с фильтром первого порядка
дало бы качественное и количественное разбиение всего простран-
ства параметров трехмерной системы на области грубых структур.
Рассмотрим определение полосы захвата этой системы КЧ ме-
тодом. Система (2.5) имеет два состояния равновесия Oi и О2, ко-
ординаты которых определяются аналитически через параметры
системы Состояние равновесия Oi—узел, фокус или седло — фо-
кус и состояние равновесия О2— седло или седло — фокус соответ-
ственно
Oi (фр у±, zj : фх = arcsin уьр ^ = 0, zx = 0;
О2 (ф2, «/2, zj : ф2 = л — arcsin ун, у2 = 0, z2 = 0.
В [2.25] были установлены бифуркации трехмерной системы
(2.5), приводящие к нарушению полосы захвата системы. Такими
бифуркациями являются: рождение предельного цикла первого ро-
да при смене устойчивости состояния равновесия Oi типа сложный
фокус, устойчивого предельного цикла второго рода от петли сепа-
ратрисы седлового состояния равновесия О2 либо от двойного цик-
27
ла. Была обнаружена возможность существования счетного
числа седловых периодических движений в окрестности двояко-
асимптотической траектории — сепаратрисы состояния равновесия
типа седло — фокус.
Доказательства существования бифуркаций и оценки некоторых
грубых областей пространства параметров системы (2.5) проведе-
ны [2 24] качественными методами с использованием систем срав-
нения. Изучим полосу захвата системы (2.5) для ni>0 КЧ мето-
дом Исследование проводим, начиная с определения полосы захва-
та в вырожденных случаях a2=ri2=Q, основываясь на качествен-
ных структурах и бифуркациях, доказанных для двумерной систе-
мы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром.
При а2 = п2 = 0, если учесть замену у= V а\У\, (2.5) вырожда-
ется в двумерную нелинейную систему
dq)dt~y, dy/dt = yn—sin <р — ((1 + а± nY cos <р) у (2.7)
на поверхности медленных движений
2 = 2°(<р, «/) = — (Th—sin ф—(1 cos ф)«/].	(2.8)
al
Уравнения (2.7) системы ФАПЧ с фильтром первого порядка
достаточно изучены качественными методами (см. [2.4]), доказано
существование бифуркаций в этой системе. Построение бифурка-
ционных кривых осуществлено в [2.26]. При fli>0 в плоскостях
«i = const^0 кривые получены с помощью построения особых тра-
екторий близких грубых двумерных систем [2.10]. Алгоритмы чис-
ленного построения описаны в [2.27]. На рис. 2.1а представлены
бифуркационные кривые [2.26] для «1 = 0,2. В силу инвариантно-
сти системы (2.5) относительно замены ун~—ун, —ср, У~—У,
z~—z достаточно рассмотреть значения параметра ун^0. Область
7 при у^О, «1 >0, с границей является полосой захвата, ее
28
точкам соответствует устойчивая «в целом» структура фазового ци-
линдра (рис. 2.16). При переходе с ростом параметра ун через
участок abi (см. рис. 2.1а) прямой ун=1 устойчивое состояние рав-
новесия исчезает (см. рис. 2.16) и в системе ФАПЧ исчезает син-
хронный режим. Полоса захвата на границах &i&2 и &2&3 нарушает-
ся в связи с тем, что появляется возможность асинхронных движе-
ний, соответствующих циклам второго рода (рис. 2.1а, г). С ростом
ун при переходе через дугу &i&2 появляется один устойчивый пре-
дельный цикл второго рода, а через дугу &2^з — Два цикла, устой-
чивый и неустойчивый. Будем теперь рассматривать «2=7^0. При
а2<С 1 одно из уравнений (2.5) имеет малый параметр при произ-
водной. На основании имеющейся теории таких систем и ее прило-
жений [2.16] устанавливаем, что при достаточно малых «2, отлич-
ных от нуля, грубые состояния равновесия и предельные циклы
двумерной системы (2 7) становятся грубыми с сохранением устой-
чивости состояниями равновесия и предельными циклами трехмер-
ной системы (2.5). Блаюдаря этому, применяя численные методы,
можно прослеживать с ростом параметра «2 имеющуюся эволю-
цию НТ, порождаемой циклом двумерной системы (2.7). Такая НТ
существует для параметров вне полосы захвата. Полученные све-
дения о наличии циклов трехмерной системы используются для
•анализа сдвига границы полосы захвата с ростом параметра а2-
Рассмотрим сдвиг кривой abib2b^, представленной на рис. 2 1
для «1 = 0,2 Периодическим движениям в трехмерном пространст-
ве, нарушающим при «2^1 полосу захвата, будут соответствовать
НТ точечного отображения плоскости (р=const (mod 2л) в себя. С
переходом через часть границы, соответствующую bib2, появится
одна устойчивая НТ (один цикл второго рода, представленный на
рис 2.2). С помощью численных методов выяснено, что для (2.5)
характерно резкое разделение движений на быстрые и медленные
не только при малых, но и при конечных значениях параметра а2.
Траектории с быстрым изменением по координате z входят в неко-
торый узкий «слой медленных движений», в котором только и мо-
гут сохраняться предельные циклы трехмерной системы. Для зна-
чений параметров «1 = 300, ун=0,4; 0,7; 0,9 построены НТ отобра-
жения, плоскости (р=(рэ в себя. Число и характер НТ не измени-
лись при увеличении параметра а2 в интервале 0<«2^5. Коорди-
наты рассматриваемых НТ также мало изменяются по сравнению
с двумерной задачей. С помощью построения соответствующих НТ
может быть установлена новая граница полосы захвата (определя-
ется «сдвиг» прежней границы) для ряда значений параметра а2
фильтра второго порядка. Здесь реализуется возможность охарак-
теризовать изменение бифуркационных значений параметров систе-
мы с ростом параметра а2, повышающего размерность. Однако зна-
ния сдвига границы недостаточно для утверждения того, что при
полученном разбиении пространства параметров для внутренних
точек областей качественные структуры не изменялись. Могут воз-
никнуть новые устойчивые движения через бифуркации, которых не
было в системе, близкой к вырожденной, в случае малого парамет-
29
Рис. 2.2
ра. Для того чтобы установить, появляются или нет другие НТ
или притягивающие многообразия, могут быть применены методы
дискретизации фазового пространства [2.7] и построения изокри-
вых [2.17], изложенные в § 2.2.
Приведем результаты [2.23] применения КЧ метода при по-
строении бифуркационных границ полосы захвата системы (2.5).
Для анализа выберем параметры «1 = 0,2, «2 = 0,5. Графики полосы
захвата П3 получены в плоскостях а\, у3 при а2 = 5; 16. Численным
анализом установлено, что при а2 = 5', 10
по сравнению со случаем «2 = 0 на интер-
вале изменения параметра а\". 0<«i^20
имеет место существенный сдвиг грани-
цы полосы захвата с качественным из-
менением характера бифуркаций на этой
границе. Здесь обнаружен для а2 = 5 уча-
сток границы полосы захвата, определяе-
мый наличием притягивающего кольце-
вого множества, содержащего кратные
предельные циклы и сложные движения
второго рода Такой участок 121зЦ пред-
ставлен на рис. 2.3. На участке Z3Z4 появ-
лению притягивающего множества пред-
шествует бифуркация рождения седло-
узлового предельного цикла. При приб-
лижении к участку 121зЦ на рис. 2.3 с
уменьшением параметра ун внутри при-
тягивающего множества второго рода
имеют место бифуркации движений раз-
ного типа. В частности, здесь обнаруже-
устойчивости предельного цикла второго
рода кратных (увеличивающейся кратности) устойчивых и седло-
вых циклов (рис. 2.4а) и возникновение новых седло-узловых
предельных циклов второго рода (рис. 2.46).
но появление при смене
30
На рис. 2.4а представлена картина увеличения кратности типа
2п НТ (предельного цикла второго рода) на участке изменения па-
раметра 0,6<Ун<0,9 при «1 = 2, «2 = 5 «1 = 0,2 и «2=0,5. Сплош-
ными линиями указано наличие устойчивых НТ, пунктирными —
седловых. Сепаратриса седлового состояния равновесия О2 (2.6)
стремится к кольцевому множеству, содержащему такие кратные
предельные циклы, и там остается с ростом времени. Из-за мало-
сти слоя медленных движений задача нахождения НТ сводится к
точечному отображению прямой в прямую. На рис. 2.46 изображе-
ны изокривые точечного отображения плоскости <р=кро в плоскость
t<p=(poH-2n в случае, близком к касанию, при параметрах «1 = 3,
«2=5, «1 = 0,2, «2 = 0,5, ун=0,627. Касание изокривых указывает
на появление при этих параметрах седло-узловой НТ отображе-
ния — полуустойчивого предельного цикла второго рода системы
(2.5), которых не было при «2<С1. Нахождение бифуркационных
параметров седло-узловых НТ отображения плоскости в плоскость
осуществлена на основе построения изокривых (2.4).
В границу полосы захвата при «2 = 5; 10 входит кривая D = Q
смены устойчивости состояния равновесия Oi(<pi, 0, 0) (2.6). Соот-
ношение
D =(ах + «2 «2]К 1 — у2) (1 _|_ «х ау i _у2) —а2у 1 — ?2 = 0	(2.9)
есть условие обращения в нуль действительных частей двух корней
характеристического уравнения состояния равновесия. Вычислени-
ем первой ляпуновекой величины на границе (2.9) установлено, что
граница D = 0 является безопасной. При пересечении этой кривой
с уменьшением параметра «1 (см. рис. 2.3) из состояния равнове-
сия 01 (2.6) системы (2.5) при смене его устойчивости появляется
Устойчивый предельный цикл первого рода (биения первого рода).
Бифуркационная граница lihhhhh полосы захвата при «2=5
состоит из участков, соответствующих следующим бифуркациям:
hh — седло-узловое состояние равновесия 01,2; ЫзЦ — появление
притягивающего кольцевого множества второго рода с одно- и мно-
31
гократными движениями второго рода, а также сложными движе-
ниями второго рода. При значениях параметра ун несколько выше
дуги кривой Z2Z3Z4 имеет место петля сепаратрисы седло — фокуса
О2. Корни X, Ль Аг, (А>0) характеристического уравнения седло —
фокуса О2 удовлетворяют неравенству R=K—ЁеХг>>0. Согласно
теоретическим результатам [2.7] в этом случае в окрестности пет-
ли сепаратрисы седло — фокуса О2 существует счетное множество
седловых периодических движений. Далее, с ростом параметра ai,
на участке границы Z4Z5 (см. рис. 2.3) имеет место устойчивая пет-
ля сепаратрисы седлового состояния состояния равно-
весия О2; на /5/6— двойной цикл второго рода.
Бифуркационная кривая С1С2СзС4С5С6 полосы захвата при а2=
— 10, как показано на рис. 2.3, состоит из аналогичных случаю
а2=5 участков СгСг+\, i= 1,5.
2.4.	Исследование трехмерных неавтономных математических
моделей ФАПЧ с фильтром первого порядка
Исследование фазового пространства. Ранее уже отмечалось,
что при практических использованиях системы ФАПЧ на нее мо-
гут воздействовать детерминированные помехи различного харак-
тера. Проблема изучения систем ФАПЧ при таких воздействиях
приводит к исследованию неавтономных математических моделей.
Неавтономные модели системы ФАПЧ (НФАПЧ) с фильтром пер-
вого порядка имеют трехмерное цилиндрическое фазовое простран-
ство G : x(mod 2л), у, /(то4 2л/со), периодическое по фазе х и вре-
мени t, где y=dxldt.
Выберем для демонстрации метода и разрабатываемых алгорит-
мов и программ неавтономную модель системы ФАПЧ с интегри-
рующим /?С-фильтром. Другие неавтономные модели ФАПЧ с
фильтром первого порядка могут быть рассмотрены аналогично.
При гармонической помехе, аддитивной эталонному сигналу, неав-
тономная модель ФАПЧ описывается [2.1; 2.4; 2.11; 2.28] систе-
мой или эквивалентным уравнением
х = у, у = Ун — Ку—sin x-t Цsin (со/4-х);
х 4- К х 4- sin х = ун 4- ц sin (со 14- х)	(2.10)
и соответственно при внутренних помехах и фазовой модуляции
эталонного сигнала уравнениями
х = у, у = Ун—Ку—sin х 4- ц cos со t;
х 4- К х 4- sin а: = ун 4~ М- cos (at.	(2.11)
Модели имеют трехмерное фазовое пространство G~x(mod2n), у,
/(шоб2л/со), четырехмерное пространство параметров А=ун, Д щ
со. Здесь параметры уп^О — расстройка1; К — затухание; ц>>0 и
1 Для (2.11) в силу ее инвариантности относительно замены ун~—ун,
х---х, у--у, t~t+n достаточно рассмотреть значения параметра ун^0.
32
cog; 0—параметры, пропорциональные амплитуде помехи и разно-
сти частот эталонного сигнала и помехи; переменные: х — разность
фаз ЭГ и ПГ, у = х — разность частот.
В трехмерном цилиндрическом пространстве периодические ре-
шения могут быть разных видов, как с набегом по фазе, так и без
него. Обозначим периодические решения Гд>р, где q — число оборо-
тов по х, р — число периодов внешней силы по времени t. Режи-
мам синхронизации неавтономных ФАПЧ, как показано в [2.28],
соответствуют некоторые определенные периодические решения НТ
Гд,р. Так устойчивая НТ Г0,Р (р:>1) определяет режим под-
стройки «в среднем» под эталонный сигнал, а Г_г,г, при со>»
J>0— режим подстройки под помеху. Рассмотрим в пространстве
параметров области, являющиеся полосой удержания (захвата) в
режимах подстройки при р = г=1. Поиск бифуркационных значе-
ний параметров полосы удержания (захвата) основан на числен-
ном построении качественных элементов точечного отображения и
их продолжении по параметру [2.11] до бифуркационных границ в
пространстве параметров. Выход из полосы удержания определим
бифуркациями НТ отображения (2.3). Для моделей (2.1) и (2.2) —
это исчезновение устойчивой НТ через бифуркацию типа седло —
узел НТс-у или при смене устойчивости НТ с рождением двукрат-
ных устойчивых НТ (НТкр). Границы полосы захвата определяют-
ся либо указанными бифуркациями полосы удержания, либо появ-
лением гомоклинической структуры.
Уравнения (2.10) и (2.11) известны в литературе. Дело в том,
что эти же математические модели маятника с внешней силой опи-
сывают не только режимы неавтономных ФАПЧ, но и ряд других
физических явлений. Они изучаются в связи с процессами в син-
хрофазотроне, джозефсоновским эффектом в сверхпроводниках,
воздействием магнитного поля на плазму, совместной работой не-
скольких электростанций и др. Эти уравнения исследовались и ра-
нее, но в основном для случая, когда один из параметров либо
мал, либо велик. Так, (2.11) в связи с джозефсоновским эффектом
исследовано численно-аналитическим методом при Х^1 в [2.29].
При /,<С1 оно изучается методом усреднения в [2.30]. В [2.4]
уравнение (2.11) исследовано качественными методами при любых
X и ц^0,5. Уравнение (2.10) рассмотрено качественными методами
при любых X и ц^0,5 (см. [2.4]) при со«С1 и произвольных X и ц
в [2.31] и при Л = Л~2<С1 и произвольных ц в [2.32].
Отметим, что для систем (2.10), (2.11) отсутствуют теоретиче-
ские результаты, которые определяли бы структуры разбиения фа-
зового пространства для всего пространства параметров или хотя
бы для областей, необходимых для практики. Применение КЧ ме-
тода для (2.10) и (2.11) возможно при любых конечных значениях
всех параметров.
Исследование (2.10) и (2.11) при ц#=0 начинаем, используя из-
вестные структуры систем при ц = 0. Затем будем продолжать по
параметру ц качественные особенности систем. Значение ц=0 яв-
ляется для систем (2.10) и (2.11) бифуркационным — соответству-
33
ющим изменению размерности системы, оно будет точкой разрыва
продолжения по параметру второго типа (см. § 2.1).
При ц = 0 качественные структуры автономной системы уста-
новлены Ф. Трикоми и А. Гигером [2.5]. Разбиение плоскости па-
раметров ун, Л приведено на рис. 2.5. Области параметров 1+—3+
и соответствующие им структуры d\ i=l,3 на рис. 2.56 отвечают
положительным параметрам уп. Структуры d~\, i~ 1,3, соответству-
ющие симметричным при ун<0 областям 1~, 2~, 3', получаются из
представленных на рис. 2.56 в результате замены —<р, у~—у.
Бифуркационной кривой, разделяющей области 1+ и 2+ (Л и 2~),
соответствует на фазовом цилиндре наличие петли сепаратрисы
седла второго рода при //>>0 (у<Д)). Эту кривую называем кри-
вой Трикоми. Для точек прямой Х = 0 система интегрируется. В
точках прямой %= 1 сливаются седло и узел в седло-узловое со-
Рис. 2.5
34
стояние равновесия; на полупрямой ун=1, Х*^Х<оо, кроме того,
замыкаются сепаратрисы седло — узла, охватывающие цилиндр.
Рассмотрим области /±—3~ вне некоторых малых окрестностей
бифуркационных границ, отмеченных на рис. 2.5 пунктирными ли-
ниями. Для этих областей структуры системы при ц = 0 заведомо
грубые, и при ц<С1 соответствующие качественные структуры
, i —точечного отображения Т»х цилиндра х(mod 2л), у в
себя устанавливаются путем изучения малых периодических возму-
щений грубой двумерной структуры [2.4; 2.15] (см. § 2.1). Точеч-
ное отображение Т^х порождается на секущей плоскости t= const
решениями неавтономной системы (2.10) [соответственно (2.11)] с
периодом т=2л/й).
Особые траектории (ц=0) автономной системы: состояния рав-
новесия, сепаратрисы седел и предельные циклы (рис. 2.56) — по-
рождают на плоскости отображения НТ, сепаратрисные и замкну-
тые инвариантные кривые отображения Т^х. При р,<С1 для облас-
тей 3~, в которых структуры i/S, автономной системы име-
ют предельный цикл, на замкнутой инвариантной кривой могут
возникать пары устойчивых и седловых НТ отображения Т^х или
кратности k. Вне некоторых малых окрестностей предельных
циклов, отмеченных на рис. 2.56 пунктирными линиями, при р, = 0
и р<;1 качественные особенности отображения Т»х &ля (2.10) [со-
ответственно (2.11)] одни и те же и
Отметим, что для (2.10) и (2 11) в
[2.4; 2 12] качественными методами
рассмотрен вопрос о разбиении плос-
кости параметров ун, К для	1/2.
Установлено существование простых
структур d^i, i=l, 3, а также выясне-
ны типы появляющихся грубых гомо-
клинических структур. В [2.22] КЧ
методом исследовалась система (2.11)
и построены гомоклинические струк-
туры (ГС) для некоторых точек плос-
кости параметров ун, X при р, = 0,1. Вы-
бранный интервал I (см рис. 2.5а) из-
менения параметров Л (0,28 =СХгС 0,36),
Тн=0,4 содержит значение Х = 0,32,
принадлежащее кривой Трикоми, со-
ответствующей при ц = 0 петле сепара-
трисы седла второго рода. Неавтоном-
ная система, близкая к автономной,
имеет гомоклиническую структуру для
параметров в окрестности этой кривой.
Установлено, что при л^0,36 сохра-
няется глобально устойчивая структу-
ра точечного отображения (/(-структу-
ра), но сепаратрисные' кривые при
^*=0,36 изгибаются, подготавливаясь
полностью совпадают.
Рис. 2.6
35
к касанию (рис. 2.6а). Значению параметра Х=0,352 соответст-
вует касание сепаратрисных инвариантных кривых, т. е. появле-
ние гомоклинической структуры (ГС). Для Х = 0,34 имеет место
ГС — сепаратрисные кривые пересекаются (рис. 2.66). При Х =
= 0,28 (рис. 2.6в) после исчезновения ГС, охватывающей ци-
линдр, внутри отделившегося от гомоклинического контура при-
тягивающего кольцевого множества исчезает сложность движений
и появляется устойчивая НТ второго рода типа Г+1,1(НТц).
Изложим суть КЧ метода исследования (2.10) и (2.11) в пло-
скости параметров ц, ун при любых параметрах затухания X и ча-
стоты (О.
Положим, например, параметры <о = 1, Х=1. Будем продол-
жать по параметрам ц и ун качественные особенности отображе-
ния установленные при ц<^1. При ц = 0 прямая Х=1 пересе-
кает области /±—3± по отрезкам 1^, 1=1, 3 (см. рис. 2.5а), кото-
рые послужат отправными участками для продолжения по пара-
метру качественных особенностей отображения одновременно для
(2.10) и (2.11).
Результаты КЧ исследования разбиения плоскости параметров
ц, Х=1, <о=1 для этих уравнений приведены соответственно на
рис. 2.7 и 2.8. Эти разбиения уточняют приведенные ранее в [2.14].
36
Результаты КЧ построений структур точечного отображения Т £
при конкретных значениях параметров представлены в § 2.5 и 2.6.
Возьмем участок 1^ пересечения прямой Х=1 и области d\~.
Будем проводить численное продолжение по параметрам ц и ун
соответствующих этому участку качественных особенностей отобра-
жения Т% при р,< 1 (см. рис. 2.56). Направления продолжения по
параметру, например, указаны на рис. 2.7 и 2.8 штрихпунктирными
линиями. Для выбранного конечного числа точек плоскости пара-
метров осуществляются численные построения НТ и сепаратрис-
ных кривых. Находим максимальные интервалы стабильности
структуры по параметрам ц и ун- Концы максимальных интер-
валов соответствуют бифуркационным параметрам. Они опреде-
ляют границы области Гол в плоскости параметров р,, уи(<о=1,
Х=1) со структурами d^ точечного отображения (см. рис. 2.56).
Для точек области Гол сохраняются одна устойчивая и одна сед-
ловая НТ первого рода, и сепаратрисные кривые расположены так,
что образуется глобально-устойчивая структура (/(-структура).
Граница 1 области Гол указана на рис. 2.7 для (2.110) и на
рис. 2.8 для (2.11) пунктирной линией. Она соответствует касанию
сепаратрисных инвариантных кривых. При прохождении парамет-
ров через эту кривую продолжают существовать устойчивая и сед-
ловая НТ первого рода, но изменяют свое взаиморасположение
сепаратрисные кривые. Для точек бифуркационной кривой 1 (см.
37
рис. 2.7) верхние (при г/>0) сепаратрисные инвариантные кривые
седловой НТ касаются, порождая гомоклиническую структуру вто-
рого рода, как на рис. 2.661. Точки на кривой 1 (см. рис. 2.7) по-
лучены в результате численных построений с помощью ЭВМ се-
паратрисных инвариантных кривых и применения алгоритма и
программы поиска параметров их касания. Согласно исследова-
нию системы (2.10) качественными методами [2.4], гомоклиниче-
ская структура второго рода существует по крайней мере для ин-
тервала ОСц^ 1. С ростом параметра |ун| при p, = const<Cl or
гомоклинического контура на плоскости точечного отображения
отделяется притягивающее кольцо сложных движений, охваты-
вающее цилиндр. Это кольцо заполняют сложные движения [2.8]
гомоклинической природы. При исчезновении с изменением пара-
метров сложных движений в кольце, его будут пересекать перио-
дические или квазипериодические движения системы. В (2.10) и
(2.11) выделяются значения параметров, при которых в этой си-
туации появляется пара НТ (устойчивая и седловая) типа Г+щ.
На границе кривой 2 (см. ветвь 2', 2" на рис. 2.7) для системы
(2.10) НТУI меняет устойчивость с последующим возникновением
из нее цикла двукратных HTKp.yi. Для нахождения точек этой
кривой проводился поиск значений параметров, при которых кор-
ни характеристического уравнения НТ удовлетворяют соотноше-
ниям |$i|<;l, s2= — 1. Установлено, что по мере роста параметра
р. после пересечения бифуркационной кривой 2' двукратная НТ
меняет устойчивость с последующим возникновением из нее цик-
ла устойчивых четырехкратных НТ и т. д. Для (2.11) точкам би-
фуркационной кривой 2 (см. ветви 2+ и 2~ на рис. 2.8) соответст-
вуют бифуркации тройной HTy_:c_yi от слияния седловой и двух
устойчивых узловых НТ. При пересечении каждой из этих ветвей
во внутрь овальной области Гол, Гол НТУ_С_У i распадается и по-
является вторая пара: HTyt и НТС i. Это указывает на существо-
вание в плоскости ц, ун, Л=1, 0=1 области параметров, соответ-
ствующих резонансу в системе (2.11). Для области Гол, Гол (см.
рис. 2.8) система (2.11) имеет две устойчивые и две седловые НТ,.
Таким образом, явление резонанса установлено для Х=1 иссле-
дованием точечного отображения цилиндра «в себя» КЧ методом.
Точки бифуркационной кривой 3 [для системы (2.10) (см. вет-
ви 3+, 3~ на рис. 2.7) и (2.11) (см. рис. 2.8)] соответствуют би-
фуркации НТс_у1. При пересечении ветвей этой бифуркационной
кривой с ростом параметра |ун| исчезают НТу1 и НТС! через
слияние в сложную НТС_У11. Бифуркационные кривые 2 и 3 (см.
рис. 2.7 и 2.8) входят в границу полосы удержания Гол системы в
режиме подстройки под эталонный сигнал. Эти кривые получены
с помощью ЭВМ применением алгоритмов и программ, изложен-
1 Значения параметров, соответствующие наличию гомоклинической струк-
туры (ГС) и образующие согласно терминологии в [2.4] область квазизахвата,
из-за случайности времени переходного процесса относим не к полосе захвата’
а к области биений.
38
ных в § 2.2. Примеры построений КЧ методом структур точечного '
отображения и определения бифуркационных параметров пред-
ставлены в § 2.5 и 2.6.
Чтобы узнать, где на прямой ц = 0 плоскости ц, ун (см. рис.
2.7 и 2.8) берет начало область параметров Г-1,1, соответствующих
наличию периодических решений Г-ц при q = — 1 (аналогично
Г+И при #= + 1), разработан и применяется следующий алгоритм
поиска бифуркационных значений. Для области Г-и ищем то зна-
чение ун=уи*, при котором интегральный тор, представляющий в
неавтономном пространстве предельный цикл второго рода авто-
номной ц=0 системы, заполнен периодическими решениями типа
Г-1,1. Область Г-1,1 при подходит к оси ун в точке уи=Ун*
(см. точку А на рис. 2.7). Чтобы выделить область Г-1,1 при ц>>0,
определяем те значения параметра ун: У1<ун<?2, для которых
существует пара НТУ и НТС типа Г-1,1. Рассмотрим при малых ц
НТуп типа Г-1,1 точечного отображения Т% на инвариантной замк-
нутой кривой, порожденной предельным циклом второго рода.
Если с ростом ц и изменением параметра ун^ун* в области, при-
мыкающей к точке А (см. рис. 2.7) в направлении, указанном
стрелками, для НТ сохраняется значение a = q/p =— 1, то имеем
продолжение по параметру этой качественной особенности внут-
ри определяемой области Г-1,1. Для выбранного положительного
значения ю= 1 захват помехой в системе НФАПЧ происходит
[2.28] только при наличии устойчивого периодического решения
типа Г-и. Периодическому движению типа Г+1,1 соответствуют в
этом случае биения второго рода. Границы областей Г-1,1 и Г+1,1
для (2.10) и (2.11) представлены на рис. 2.7 и 2.8. Для уравнения
(2.10) (см. рис. 2.7) на кривых 4, 5 происходит бифуркация
НТс-уц типа Г-1,1, на кривых 6,7 — НТс-уп типа Г+1,1, кривой 8
соответствует появление при смене устойчивости из НТуц типа
Г-и цикла устойчивых двукратных НТКр,ун типа Г-2,2. Для (2.11)
точкам бифуркационных кривых 4+, 5+ (см. рис. 2.8) соответст-
вуют НТс-у„ типа Г+1,1, а 4~, 5~ — типа Г-1,1.
Проведем сравнения результатов исследования (2.10) качест-
венными методами с результатами, полученными КЧ методом. Ка-
чественными методами в [2.32] в случае A=V2<d (малой инер-
ционности в цепи управления) установлено, что величина а (ра-
циональное a=qlp) является при p,=const неубывающей функ-
цией параметра ун. Это утверждение определяет то, что при А-<1
Для каждого фиксированного значения параметра ц = const после-
довательный переход от области Г-1,1 к Гол и Г+1,1 в плоскости
М, у„ (см. рис. 2.7) происходит с ростом ун. Проведенными по-
строениями КЧ методом эта последовательность в основном под-
тверждается и для Х=1, <о=1. Но существуют и отличия. Напри-
мер, при А=1 области Го i и Г_щ/Г+щ/ пересекаются (см. рис.
2.7). При этом качественные структуры (см. рис. 2.6в) содержат
одновременно устойчивые и седловые НТ как первого рода типа
Го,1(а = О), так и второго рода типа Г-щ/Г+щ/(а = —1/4-1/)- В
39
этом случае в зависимости от начальных условий подстройка в
НФАПЧ происходит [2.28] либо под эталон, либо под помеху. При
(Л = У~2-<1), как указано выше, этого не может быть. Со-
гласно [2.32] при Х-Cl все периодические решения близки к рас-
положенным на торе, и для них число вращения а одинаково. Од-
нако для 7=1 остается аналогия в общем взаиморасположении
областей Гол и Г-и, теоретические оценки которых в случае А==
= Л.-2<С1, рЛ.-1 = со, 0<1 представлены на рис. 2.7 пунктирными
линиями в виде углов, примыкающих к прямой ц=1. Новым по
отношению к теоретическому исследованию (2.10), проведенному
для любых конечных значений параметров ун, X, со и ц^0,5 в [2.4],
является обнаруженная КЧ методом возможность существования
кратных периодических решений первого рода Г012, Год, > которая
реализуется для 7=1, со=1 при ц^0,8.
Наличие ГС, доказанное в [2.31] качественными методами в
предположении ®-<1 и любых к, оказывается, согласно построе-
ниям КЧ методом, имеет место и при со=1, 7=1 (см. рис. 2.7).
В [2.31] было показано, что для каждого фиксированного значе-
ния параметра амплитуды ц<4 область параметров системы
(2.10), соответствующая наличию ГС при любых X, примыкает к
области Год при увеличении параметра |ун|. Построениями КЧ
методами установлено, что сечения пространства параметров со =
= 1, 7=1 (см. рис. 2.7) и 0<ц<1, аналогия в расположении об-
ластей параметров, соответствующих наличию ГС, качественно
сохраняется.
Приведем теперь имеющиеся известные результаты исследова-
ния уравнения (2.11) другими методами и дадим их сравнение с
результатами, полученными КЧ методом.
Уравнение (2.11) при Х>>1 изучено [2.29] численно-аналитиче-
ским методом в связи с рассмотрением джозефсоновского эффек-
та в сверхпроводниках. Задача сводилась к изучению решений на
торе. Полученное разбиение плоскости параметров ц, ун для зна-
чений <0=1, Х>>1 представлено пунктирными линиями на рис. 2.8.
В данных обозначениях m = q\ п = р. Сравнение с результатами
разбиения плоскости ц, ун при 7=1, полученными КЧ методом
(см. рис. 2.8), указывает некоторое сходство во взаиморасполо-
жении областей Гол и Г±1,ь но есть и отличия. Отличие в том, что
при 7=1 (см. рис. 2.8) область Г0д(т = 0) не имеет пульсирующе-
го характера и второй овал для у = 0; 2<Сц<;4,5, соответствую-
щий периодическим решениям первого рода, но содержащий по
координате х более чем один раствор цилиндра, отсутствует. Од-
нако при 7=4, (о=1 имеется согласно КЧ методу область сущест-
вования двух устойчивых периодических решений первого рода
Год, Год. Эта область овальная, включающая значения парамет-
ров ун = 0; 2,9-<ц<;4,2 (см. рис. 2.8). Здесь появление резонанса
обнаружено КЧ методом при значении параметра затухания Х=1.
Изучению явления резонанса посвящено большое число работ. В
них, как правило, применяется метод малого параметра. Системы
предполагаются близкими к консервативным. Для системы (2.11)
40
появление второго устойчивого периодического решения было за-
мечено [2.33] при небольших значениях параметров X, ун, ц( -50,1)
с помощью метода гармонического баланса.
Исследование явления резонанса методом точечных отображе-
ний позволило установить его в ранее недоступных для исследова-
ния областях параметров и дать полную качественную трактовку
этого явления в фазовом пространстве системы.
Нахождение бифуркационных параметров сложной неподвижной точки для
определения полосы удержания и захвата. Приведем пример определения КЧ
методом полос — удержания и захвата (2.11) для конкретного сечения p = const
плоскости параметров со = 1, Х=1, рассмотренный в § 2.4 (см. рис. 2.8). Пред-
положим, ц = 2. На прямой ц = 2 выберем отрезок К, имеющий —1,8^ун^1,8.
Покажем, как применяются результаты исследования точечного отображения
плоскости Тх в плоскость КЧ методом для установления полос удержания и
захвата рассматриваемой неавтономной системы ФАПЧ. Подробнее будем рас-
сматривать вопрос о нахождении бифуркационных параметров НТС-У для оп-
ределения полосы удержания системы.
Исследование начинаем с некоторой начальной точки ун = уо с известной,
наиболее простой качественной структурой. С изменением параметра ун^уо
будем прослеживать с помощью численных построений качественные особен-
ности отображения до их бифуркаций. Поскольку для (2.11) в разбиении плос-
кости ц, ун имеет место симметрия относительно оси ун = 0 (см. § 2.4), то до-
статочно рассмотреть значения ун^0.
Проследим сначала за периодическими решениями первого рода Го, ь Бу-
дем увеличивать параметр ун^0, начиная от уо = О. При этом значении ун су-
ществуют два периодических решения первого рода: устойчивое и седловое.
Эта качественная картина соответствует глобальной асимптотической устойчи-
вости НТ (/(-структуре). Такая структура может быть установлена продолже-
нием по параметру ц численными методами качественных особенностей отобра-
жения Г, установленных при ц^1, ун = 0. Существование двух НТ — устойчи-
вой и седловой при ц = 2 установим непосредственным численным построением
изокривых и точек их пересечения (§ 2.2). Построение изокривых дает грубые
приближения для НТ. Координаты НТ уточняются по программам [2,18, 2.19]
с достаточной точностью. С помощью этих построений следим за устойчивой
НТ при параметрах уп = уо+ЛАун, где п=\, 2, ..., Дун — шаг по ун. Осущест-
вляем продолжение по параметру ун качественной особенности — устойчивой
НТ Го, 1. Увеличиваем п и для каждого значения ун определяем координаты
НТ и корни их характеристических уравнений st и s2. Для этого применим
алгоритм и программу [2.20], подключающую уточнение координат НТ раз-
работанными методами [2.18; 2.19].
Бифуркационный параметр ун седло-узловой НТ определим с помощью
алгоритма, основанного на том, что для этой точки один из корней характери-
стического уравнения равен +1. За бифуркационный параметр ун седло-узло-
вой НТ Год принято значение ун = 0,6083 (точка К3+ на рис. 2.8), при котором
устойчивая НТ первого рода имеет корень характеристического уравнения st =
— 0,9859. Тогда полоса удержания в режиме подстройки под эталонный сиг-
нал определяется на прямой ц = 2 интервалом параметра расстройки —0,6083 =
= yi <ун<Уг = 0,6083 (точки А3~ и К3+ на рис. 2.8).
Теперь рассмотрим возможность появления периодических решений НТ
второго рода типа Г+1,1. Наличию таких решений отвечает существование НТ
отображения Т, удовлетворяющих условиям х—х = 2л, у—у = 0. Известно (§2.4),
что появление НТ типа Г+i.i связано с увеличением параметра ун. Осуществим
численное построение изокривых первого и второго рода (2.4) для ун = 0,6. Они
представлены на рис. 2.9. Этими построениями и программой [2.20] установ-
лено существование двух НТ типа Го,1 (устойчивой и седловой) и двух НТ
Г+1,! (устойчивой и седловой). При уменьшении ун устойчивая и седловая НТ
типа Г+1,1 сближаются. Ищем бифуркационный параметр ун*, соответствую-
щий слиянию этих НТ. За бифуркационное принимаем значение ун = 0,5931,
при котором корень характеристического уравнения седловой НТ st= 1,0657
41
(точка Т<2+ на рис. 2.8). В силу симметрии разбиения плоскости р,, ун по ун,
НТс-у типа Г-i.i соответствует значение ун = —0,5931 (точка КзГ на рис. 2.8).
Для значений 0,5931 <ун<0,6083 (точки Кз+ и Кз+ на рис. 2.8), так же
как для ун = 0,6, существуют две НТ первого рода Год и две НТ второго рода
типа Г+1,1. Соответственно для значений —0,6083<ун<—0,5931 (точки К3~,
Кг~ на рис. 2.8) имеет место такой же случай, только НТ второго рода будут
типа Г_1д. Для значений ун >0,6083|ун<—0,6083] существуют только НТ
второго рода типа Г+ 1д | Г_ 1д |. Фазовая картина для значения ун = 0,7 пред-
ставлена на рис. 2.9.
Теперь рассмотрим исчезновение НТ второго рода типа Г+1д с увеличением
параметра ун от значения уо = О,6. Устанавливаем верхнюю бифуркационную гра-
ницу НТс-у. За бифуркационное принято значение ун= 1,5946, при котором ус-
тойчивая НТ типа Г+1д имеет характеристическое число st = 0,9862 (точка
на рис. 2.8). Седло-узловой НТ типа Г-и соответствует значение ун =—1,5946
(точка /(4- на рис. 2.8). Определение бифуркационного параметра седло-узло-
вой НТ проводилось также и по другому, указанному в 2.2 алгоритму, исполь-
зующему равенство нулю расстояния р между НТУ и НТС. Для ускорения
счета по этому алгоритму применяется прием экстраполяции квадратичным
полиномом части кривой р(Тн)=0 в плоскости унр по трем точкам (уц рг),
1=1, 3. Корень полинома принимается за первое приближение для бифурка-
ционного параметра ун.
По этому алгоритму получены, например, следующие результаты: для зна-
чения ун= 1,594 имеем две НТ типа Г+1д (устойчивую и седловую), расстояние
между которыми р = 0,0482. Таким образом, полоса удержания в режиме под-
стройки под помеху (Г_1,1) будет определяться интервалом параметра рас-
стройки —1,5946 = Y5<Yh<Y4 = —0,5931 (точки К4-, К2~ на рис. 2.8).
Определение полосы захвата при выбранном для иллюстрации сечении па-
раметров заключается в нахождении параметра Yh=Yh*> соответствующего ка-
санию охватывающих цилиндр сепаратрисных инвариантных кривых первого
42
рода. На рис. 2.9 представлены фазбвые картины, которые дают возможность
проследить за возникновением гомоклинической структуры. При значении ун =
= 0,40 происходит подготовка инвариантных кривых к пересечению (см. рис. 2.9).
При ун = 0,46 сепаратрисные кривые пересекаются (см. рис. 2.9). За бифурка-
ционное, соответствующее возникновению ГС, принято значение параметра ун =
= 0,41. Счет сепаратрисных кривых проведен по программам, описанным в
§ 2.2 и 2.4. Таким образом, полоса захвата эталонным сигналом на прямой
(1 = 2 определяется интервалом —0,41 =у5<Ун<Уб = 0,41 (точки Кл~, /G+ на
рис. 2.8).
Результаты определения КЧ методом полосы удержания в режиме под-
стройки под эталонный сигнал У1<ун<У2, под помеху уз<Ун<У4 и полосы
захвата эталонным сигналом у5<Ун<уе, помехой Уз = У7<Ун<У8 = У1 для зна-
чений параметров со=1, Х=1, р, = 2 системы (2.11) приведены в нижеприве-
денной таблице.
Таблица
Подстройка	Полоса			
	удержания		захвата	
Под сигнал Год	НТС_У1 yi = —0,6082	НТс—у I у2 =4-0,6082	ГС НТс I у5 = —0,4100	ГС НТс I у6=+0,4100
Под помеху Г_1,1	НТс-у и уз = —1,5946	НТс-у II у4 = —0,5931	НТс—у II У7 = —1,5946	НТс-у I ?8 = —0,6082
Построение гомоклинических структур при нахождении полосы захвата.
Приведем результаты исследования КЧ методом уравнений (2.10) для одного
из сечений пространства параметров Л= (X, ун, ц, (о). Выберем в разбиении
плоскости р,, ун, со=1, Х=1, представленном на рис. 2.7, сечение (i=const= 1,1.
Рассмотрим на нем интервал Л1(—2,5<ун<1,7). Покажем, как применяются
результаты исследования КЧ методом точечного отображения Тх плоскости в
плоскость для установления полосы удержания и захвата неавтономной систе-
мы ФАПЧ. Подробнее остановимся на определении параметров появления го-
моклинических структур, которые играют основную роль при установлении
полосы захвата.
Определение границ полос удержания и захвата проводится по следующей
схеме. В сечении р,= 1,1 выбирается некоторая начальная точка ун = уо, соот-
ветствующая наиболее простой, например глобально устойчивой, структуре ото-
бражения Тх. Изменение качественных особенностей отображения Тх просле-
живается с помощью численных построений при ун^у0. Пусть у0=1. Для
точки (1=1,1, ун = 1 определяются с помощью программ [2.18; 2.19] (см. § 2.2)
число, характер и взаиморасположение НТ и поведение сепаратрисных инва-
риантных кривых седловой НТ. При рассматриваемых параметрах имеются две
НТ первого рода (устойчивая и седловая), их взаиморасположение и поведение
сепаратрисных инвариантных кривых соответствует /(-структуре. Следователь-
но (§ 2.4), точка р,= 1,1, ун = 1 принадлежит полосе захвата эталонным сигна-
лом. Поиск границ полосы захвата на прямой |1= 1,1 осуществляется путем
построения фазовых портретов для значений Ун = Уо+лАун, где п=1, 2, ..., Дун—
дискретный шаг по ун. В результате получаем интервал уо+ (k—1)Дун, уо+&Дун,
Для концов которого фазовые картины точечного отображения качественно раз-
личны. Например, при ун = 1,1 получаем фазовую картину отображения, из
43
рассмотрения которой видно, что при наличии устойчивой НТ первого рода
верхние сепаратрисные инвариантные кривые седловой НТ первого рода пере-
секаются, образуя сложную ГС. Следовательно, граница ун* области захвата
эталонным сигналом находится в интервале 1,0<ун*< 1,1. Уточнение значения
параметра, соответствующего появлению ГС через касание сепаратрисных инва-
риантных кривых (у6=1,05, точка М5 на рис. 2.7), получено построением этих
кривых для ряда внутренних точек интервала. Такое уточнение может быть
также проведено определением взаиморасположения сепаратрисных кривых на
некоторой секущей прямой аналогично [2.22].
Остановимся подробнее на численных построениях сепаратрисных инва-
риантных кривых. В найденной с большой (порядка 10~8) точностью седловой
НТ [2.18, 2.19] определяются [2.20] критические направления. Каждая из вет-
вей сепаратрисной инвариантной кривой строится последовательными итерация-
ми точек некоторого отрезка соответствующего критического направления.
Для упрощения поиска бифуркационных параметров появления ГС может
быть предложен следующий способ определения пересечения сепаратрисных ин-
вариантных кривых. При построении сепаратрисных инвариантных кривых по-
лучается их дискретное покрытие с некоторым шагом. Находить пересечения
таких кривых затруднительно. Предлагается одну из кривых заменять интер-
поляционным полиномом, который она определяет. Тогда вопрос о пересечении
сепаратрисных инвариантных кривых сводится к поиску смены знака интер-
поляционного полинома в точках другой сепаратрисной инвариантной кривой.
Это позволяет провести автоматическое уточнение отрезка по ун, содержащего
параметр появления ГС для (2.10).
При поиске с уменьшением ун от уо нижней границы полосы захвата эта-
лонным сигналом (см. ЛД на рис. 2.7) обнаруживается, что НТУ теряет устой-
чивость и становится НТ типа «обратное седло». При этом из нее родится цикл
устойчивых двукратных HTi. Эта бифуркация устанавливается по прохожде-
нию одного из корней характеристического уравнения устойчивой НТ через
значение —1. За бифуркационное значение (см. Mi на рис. 2.7) принимается
такое, для которого корень характеристического уравнения достаточно близок
к —1 (для точки Мк у5 = —0,185, s = —1,04236). Определение верхней и ниж-
ней границ полосы удержания эталонным сигналом для (2.10) сводится (см.
§ 2.4) к определению бифуркационных параметров ун, соответствующих би-
фуркациям НТ первого рода типа седло — узел (у2= 1,139, см. М& на рис. 2.7),
и рождению кратных НТ (yi = —0,185, см. на рис. 2.7). Поиск бифурка-
ционных значений седло-узловой НТ проводится аналогично тому, как это
описано в § 2.4, результаты счета этих границ приведены ниже.
Для (2.10) самостоятельный интерес представляет определение полос удер-
жания и захвата помехой. Хотя механизм поиска здесь сохраняется, нужно
отметить, что изменяется задание самого точечного отображения, поскольку
эти режимы связаны с устойчивым периодическим решением второго рода.
В этом случае НТ точечного отображения удовлетворяют условиям у—у = 0,
х—х=—2л и для определения их координат программа несколько меняется.
Выбирая точку у0 =—2,0, построением изокривых первого и второго рода уста-
навливаем, что на фазовой плоскости существуют только НТ второго рода:
устойчивая и седловая. Уточняя координаты НТ и проводя построение сепа-
ратрисных инвариантных кривых, получаем фазовый портрет отображения. Из
рассмотрения этого точечного отображения видно, что параметры ц=1,1, ун =
=—2,0 принадлежат области захвата помехой. Двигаясь по параметру ун вниз
(см. рис. 2.7), обнаруживаем бифуркацию типа седло — узел (у7 =—2,25, точ-
ка Mi)—нижнюю границу полосы захвата помехой и полосы удержания по-
мехой (у3=—2,25). Двигаясь от ун = —2,0 вверх, обнаруживаем сначала би-
фуркацию рождения НТ первого рода (у8 =—0,662, точка М2) — верхнюю гра-
ницу полосы захвата помехой, затем бифуркацию рождения двукратных точек
второго рода (у4 = —0,620, точка Л4з) — верхнюю границу полосы удержания
в режиме захвата помехой. Поиск бифуркационных точек для других сечений
р = const проводится аналогично. Приведем численные значения бифуркацион-
ных границ полосы удержания и полосы захвата для системы (2.10) при р =
= 1,1, Л=1, со=1:
44
Подстройка	Полоса			
	удержания		захвата	
Под сигнал Гол	НТкр-у I yi=—0,185	НТс-у I у2 = —1,139	НТкр i У5=—0,185	ГС НТс I у6 = 1,050
Под помеху Г-1,1	НТс-у II уз = —2,250	НТкр II у4 =—0,620	HTc-yi у?=—2,250	НТс-у II У8 = О,662
При качественно-численном исследовании большую ценность
имеет любая предварительная информация об областях парамет-
ров, обладающих известной структурой фазового портрета систе-
мы. Наличие такой информации позволяет существенно экономить
время и труд по сравнению с решением той же задачи в рамках
КЧ метода. В следующей главе описывается один из методов, по-
зволяющий получить оценки границ разбиения пространства па-
раметров многомерных автономных и неавтономных систем ФАПЧ
на области, соответствующие различным фазовым портретам.
Глава 3
Анализ непрерывных СФС методом
двумерных систем сравнения
3.1. Введение
Рассмотрим непрерывные одноконтурные СФС, описываемые опе-
раторным уравнением
ЛФ + /<(Р) [Г(<р, (/))—Ун] = «2(0> p = d/dty	(3.1)
где t — безразмерное время; ун — относительная начальная рас-
стройка (или скорость изменения частоты).
Функции Wi(Z) и н2(0 отражают неавтономные воздействия:
Детерминированные или случайные помехи, ФМ или ЛЧМ сигна-
ла, поиск по частоте, сигналы управления и т. д. Задачи исследо-
вания стационарных режимов СФС и их нелокальной устойчиво-
сти, полос захвата и удержания, критических скоростей изменения
частоты при ЛЧМ сигнала или линейном поиске по частоте, режи-
мов захвата эталонным сигналом или аддитивной гармонической
помехой и т. д. приводят к бифуркационной задаче нелинейной ди-
намики СФС, описываемой (3’1). Эта задача состоит в разбиении
фазового пространства на траектории и пространства параметров
45
бифуркационными поверхностями на области, соответствующие
различным фазовым картинам. Отметим, что задача исследования
динамики автономной СФС с различными ФНЧ [(3.1) при u{(t) =
= ц2(0=0] остается актуальной и в настоящее время, поскольку
результаты исследования могут быть использованы в качестве ап-
риорной информации при анализе статистической динамики СФС
(гл. 5) или при качественно-численном исследовании влияния де-
терминированных воздействий (гл. 2).
Достоинства метода двумерных систем сравнения состоят в
том, что он применим не только к автономным СФС с фильтрами
произвольного порядка, но и к мало изученному случаю воздейст-
вия на СФС любых ограниченных возмущений, детерминирован-
ных или случайных. Этот метод дает приемлемые для инженерной
практики оценки качественных картин и бифуркационных пара-
метров. Результаты, получаемые с помощью систем сравнения, с
одной стороны, могут дополнять достаточные условия глобальной
устойчивости, вытекающие из частотных критериев (см. гл. 1), а
с другой — могут использоваться как априорные данные при ана-
лизе СФС качественно-численными методами (гл. 2). В настоящей
главе излагаются метод двумерных систем сравнения и его при-
ложения к исследованию бифуркационной задачи нелинейной ди-
намики СФС.
3.2. Метод двумерных систем сравнения
Рассмотрим неавтономную систему второго порядка
х = у, y = Q(x’ У> t)	(3.2)
в неавтономном фазовом пространстве Gt=(x, у, /). Две автоном-
ные системы сравнения:
х = у, r/ = supQ(x, у, t)=P+(x, у), (А+)
t
х = у, y = m\Q(x, у, t)=P~(x, у),	(А~)
t
записанные в форме dyjdx = P±(x, у)1у, в каждой из областей
г/>0 и //<0 имеют интегральные кривые у=у+(х) и у=у~(х) со-
ответственно. Пусть Л1=(х0, Vo) — точка пересечения интеграль-
ных кривых у+(х) и у~(х) в области у=£0 и пусть {x — x(t, М, t0),
y=y(t, М, t0)} — решения системы (3.2) при любых t0^Rl с на-
чальным условием в точке М. Тогда в силу неравенства P^Q^
^Р~ аналогично теореме С. А. Чаплыгина [3.1] или свойству по-
ворота поля двумерных систем [3.2] получаем неравенства
у- (х (t, М, t0)) <у (t, М, t0) < у+ (х (/, М, /0)), х0 < х < х»,	(3.3)
где х° либо неограничено, если y(t, М, to)=^=O, либо x-<Zx°<Zx+,
где v±(x±) = 0-
Для оценки отдельных решений (3.2) полезны последователь-
ности систем сравнения А+ и А~, в которых верхняя и нижняя гра-
46
ни функции Q по t определяются не на всей оси t, а на последова-
тельности интервалов Д/{.
При определении глобальных потоков траекторий (3.2) сле-
дует построить куски сепаратрис седел систем А+ и А~ до их пе-
ресечения с осью //==0 или до бесконечности по х [3.3]. При
этом на «седловых» участках, когда функция Q(x, у, V) удовлет-
воряет условиям
Q'x(x, у, t)>0, ах < х < а2, teR1, f у | <Ь,	(3.4)
Q(x, у, 0 = 0 при x = x*(t)<=(a1, а2), t^R1,
(3.2) в области a\<Zx<za2 имеет [3.3] единственную седловую
особую траекторию, сепаратрисные поверхности которой прохо-
дят между соответствующими сепаратрисами систем сравнения
Л+ и А~. Расположение сепаратрис систем сравнения А+ и А~
на этих «седловых» участках иллюстрирует рис. 3.1, где сплош-
ные линии соответствуют сепаратрисам системы А+, пунктирные —
системы Л-, а стрелки указывают ориентацию на них векторного
поля (3.2). На «осцилляторных» участках, когда функция Q(x, у,
/) удовлетворяет условиям
Q(x, 0, /) = 0 при x.= x*(Z); d~ == inf х* (/), d+ = sup x* (/);
t	t
cof<— Qx(x, у, /)<co2, x^[d~, d+], t^R11y\<b;	(3.5)
— Q'x(^> y, f) > 0, x£E[alt tz2], [y[<b, teR1, ax<Zd-~, a2>d+,
области притяжения (отталкивания) строятся с помощью сепарат-
рис систем Л+ и Л~, если такие имеются, аналогично построенным
в [3.4] для уравнений фазовой синхронизации. Картина кривых
систем сравнения для режима захвата в неавтономной системе фа-
зовой синхронизации изображена на рис. 3.2. Область притяжения
заштрихована. В противном случае строится непрерывно склеен-
ная при у=0 система сравнения
У),
У),
У > 0,
//<0,
(3.6)
47
имеющая при условии дР+^/дх-'С®, дР+<~)/ду<С.® единственный
(по mod 2) устойчивый предельный цикл, внутрь которого при
/-->оо входят все траектории системы (3.2), или система сравнения
х = у,
у = 1Р~(х’
(Р+(х, у),
У > О,
г/<0,
(3.7)
имеющая при условии дР+(-)/дх<0,
dP+^/dyCQ неустойчивый предель-
ный цикл, внутрь которого при
—оо входят все траектории си-
стемы (3.2). Рисунок 3.3 иллюстри-
рует устойчивый цикл (3.5), огра-
ничивающий область притяжения
этой системы. Единственность ус-
тойчивой (неустойчивой) особой
Рис. 3.3
траектории [3.3] в области притяжения (соответственно отталки-
вания) гарантируют достаточное условие
— Qy (х, у, 0>Х> О (Q^>X> 0), x^[av а2], z/eP1, ZeP1, (3.8)
где или Х<со2; (O2=Ctt>iexp{A(4(D22—А2)~1/2(л—arctg V1) X
X (4cij92—X2)1/2}.
Если условия (3.5), (3.8) справедливы при любых хе/?1, то
последнее есть условие конвергентности (соответственно дивер-
гентности) (3.2).
Рассмотрим неавтономную систему
x = y—a[F(x, /)—?], у^ —ky — b[F(x, t) — у],	(3.9)
которая в случае периодической по х функции F (х, t) — характе-
ристики фазового детектора при нестационарных возмущениях —
описывает систему фазовой синхронизации с пропорционально-
интегрирующим фильтром (Л>0) или с астатическим фильтром
первого порядка (А = 0). Эта система с помощью замены и —
= у—a[F—у] может быть сведена к (3.2), однако для улучшения
оценок ее удобней рассматривать в виде (3.9). Две автономные
системы
х = у—a[F+ (х) —у], у = — \у~b[F+ (х) — у],	(ЛГ)
где F_(x) =inf F(x, /), F+(x) =sup F (x, t), и F~(x) соответствует
t	t
Д1+, a F+ соответствует Ac есть системы сравнения для траекто-
рий (3.9) такие, что на траекториях системы АС в области
z/>0(z/<;0) и системы Ас в области z/<0(z/>>0) векторное поле
(3.9) повернуто по (против) часовой стрелке. Это означает, что
аналогично (3.2) для траекторий (3.9) имеют место (3.3). В ре-
зультате построение седловых областей вместе с «руслами» (см.
48
рис. 3.1), полной картины (см. рис. 3.2) и областей притяжения
(см. рис. 3.2, 3.3) в случае (3.9) проводится аналогично случаю
(3.2), с помощью интегральных кривых систем А{+ и Лр. При
этом достаточные условия единственности особых ограниченных
траекторий имеют следующий вид.
1. Если функция F(х, t) в системе второго порядка (3.9) удов-
летворяет условиям
©J<F*(X, /) <<1)2(хе[х1, Ха], /е/?1)
F(x*(t), t)— v = 0, x*(0e(xp х2), t^R1
(ЗЛО)
при а >0, b > 0,	или A,<]/F(o2,
f X — а и?
V ь ехр у	—-	-==
(И 4 b Mg — (А. — a (Dg)2
4Ь со, — (А. — а со,
arctg-----------—ь—	2.
X — а со
то (3.9) в полосе х^х^х2 имеет единственную асимптотически
устойчивую особую ограниченную траекторию, расположенную в
полосе inf х* (/) ^x^sup х* (/).
t	t
2. Если функция F(х, /) удовлетворяет условиям
F'x(x,t)<0 (хе[х;, х'2], left1)
F(x* (/),/) — 7 = 0, х* (Z)s(Xp Xg), t^R1,
то (3.9) в полосе x'i^x^xz2 имеет единственную седловую осо-
бую ограниченную траекторию, расположенную в полосе
inf х* (/) =Cx=Csup х* (/), устойчивое и неустойчивое многообразия
t	t
которой расположены между сепаратрисами седел систем сравне-
ния Л1+ и Аг.
Заметим, что если F (х, /) — периодическая по t с периодом т
(квазипериодическая) функция, то эти особые траектории перио-
дичны с тем же периодом т (соответственно квазипериодичны), а
если F(х, /) — реализация случайного процесса по t, то особые
ограниченные траектории тоже есть реализации случайного про-
цесса.
Рассмотрим систему уравнений
х=г/, y = Q(x, у, v, /), v = V(x; у, v, t),	(3.12)
где (х, y)<=R2, v<=Rn, Q и V—Ck — гладкие функции (/?^1) в
области G={x, у, v| (х, y)^R2, veg}; g^Rn — ограниченная об-
ласть.
Введем две двумерные системы сравнения:
х = у, У — inf Q(x, у, v, /)==Р~(х, г/), (ЛГ)
х=у, у= sup Q (х, у, V, t)==P+(x, у).	(л+)
/e/^.vsg
49
Считая непрерывные функции Р~ и Р+ гладкими на конечном чис-
ле кусков, обозначим через l~= {y — ty~(х)} и /+= {//=ф+(х)} ча-
сти интегральных кривых систем Av~ и Av+ в областях их одно-
значности, образующие в области G цилиндрические поверхности
S- и S+ соответственно.
Векторное поле (3.12) на поверхности S+(S_) в каждой из об-
ластей у>0 и //<0 ориентировано в сторону //<ф+(х) (у><р~(х)
соответственно).
Справедливость этого утверждения (см. лемму 2.1 в [3.3])
следует из неравенства
Р+ (х, y)>Q (х, у, v, 0 > Р~ (х, у),	(3.13)
которое приводит к неравенствам относительно решений (3.12) в
области G и систем сравнения Av~ и Av+, совпадающим с (3.3)
для неавтономной системы второго порядка (3.2).
Таким образом, построения седловых областей, «русел», обла-
стей притяжения и отталкивания (см. рис. 3.1—3.3) проводятся
аналогично (3.2). Эти области оценивают расположение траекто-
рий (3.12) до тех пор, пока последние не покидают область G.
Если (3.12) диссипативна, так что все ее траектории попадают
в область ||v|| и из нее не выходят, оценивается расположение
траекторий при t~+oo, если g = ([|vj|<L).
Приведенный принцип сравнения допускает следующие обоб-
щения.
1.	Пусть взамен (3.12) имеется система, в которой выделяют-
ся несколько двумерных подсистем
Xi = yi, yi = Qi^h yt v, tj + r^x, v, 0, v = V(x, у, v, f),	(3.14)
где z=l, 2, ..., k; х, у — 6-векторы; v — zz-вектор; гг- — ограничен-
ные функции, заданные в области Gfe={x, у, v, t \ (х, y)<=R2k, vg
£=g, t^R1}. Тогда траектории (3.14) x=Xi(t, M, /0), у=уг(\1, М,
/о), v=v(Z, М, /0), расположенные в области Gk, v^g, удовлетво-
ряют неравенствам
г/— (хг (/, М, t0))<yi(t, М, f0)<yf(Xi(t, М, /0)), х0<х4<х°,
.	•	(3.15)
аналогичным (3.3), где уг и у^+ — интегральные кривые систем
сравнения A~v. и A+Vl- , аналогичные Av~ и Av+ для каждого i =
= 1, 2, ..., k. Построение различных областей, например, изобра-
женных на рис. 3.1—3.3, здесь проводится на каждой плоскости
Хг, Уг-
Отметим, что системы сравнения для системы уравнений свя-
занных маятников четвертого порядка типа (3.14) использовались
в [3.5] для оценки периодических траекторий вращательного
типа.
2.	Пусть система (3.12) автономна. Обозначим через y=ty(x,
v) уравнение интегральной кривой в одной из областей у>0 или
у<0 системы сравнения х=у, y = Q(x, у, v), v = 0. Если имеет
50
место неравенство grad^if)V | у=ф У=0, то у=^(х, v) в области G-—
поверхность без контакта.
Рассмотрим систему уравнений
х = у—а[Ф(х, 0 + rrv], у=—Ху— Ь[Ф(х, /)-фггу],
v = B v+ р Ф (х, /) Ц-m у,	(3.16)
где v, г, ш, р—(и—1)-векторы; В—(и—1)Х(«—1)-матрица; х,
у, а, b — скаляры; Ф(х, /) — ограниченная функция; Ф(х, /) =
= F(x, t)—y для системы уравнений фазовой синхронизации.
— X
Если матрица А=
— b гт
В
ш
гурвицева (или вырожденная, так что Х = т = 0), то траектории
(3.16) входят при возрастании t в область ||v|l<L и остаются в
ней навсегда. Траектории двух автономных систем сравнения Л1±,
где функции F-(x) =inf F(х, /)—ц и F+(x) =sup F(х, /)+ц (здесь
t	t
p>» | гтv | для ||v||<T) образуют в фазовом пространстве х, у, v
цилиндрические поверхности, поле (3.16) на которых ориентиро-
вано так же, как векторное поле (3.9) на траекториях системы
сравнения Ai±. Тогда сказанное выше относительно различных
областей (см. рис. 3,1—3.3) справедливо и относительно (3.16).
В заключение отметим, что изложенный метод систем сравне-
ния без изменения переносится на случай, когда (3.2), (3.9),
(3.12), (3.14) и (3.16) являются дифференциальными включе-
ниями.
3.3.	Система фазовой синхронизации с фильтром
первого порядка при неавтономных воздействиях
Рассмотрим СФС второго порядка с коэффициентом передачи ФНЧ вида
К(р) = (1+<гр)/(^+р) (пропорционально-интегрирующий при Х>0 и астатиче-
ский при Х=0 фильтр), с синусоидальной характеристикой ФД при действии
внутренней ограниченной помехи |£(/)|<а. Подставляя в (3.1) К(р) и
/Дф, щ (/)) = sin ф—^(t) и вводя обозначение py + a(F—ук)=у> получим систе-
му уравнений вида 1
Ч = У — а[51пф — ун — £(0], У — — Ху— (1 — Xd) (siny-ун — %(t)). (3.17)
При отсутствии неавтономного воздействия £(/)=() бифуркационные кривые
(3.17) хорошо известны (см. [3.6—3.8] и др.): кривая yH = yi(A, ш) бифурка-
ции петли сепаратрисы и примыкающая к ней при А = А*(т) кривая ун = уг(А,
т) бифуркации двойного цикла (здесь А=Х~2, т=Ха). Полоса захвата при
этом определяется неравенством
(у. (А, т) при А^А*,
Ун|<у0(А, т)= М	’
[у2(А, т) при А>А*.
(3.18)
1 Отметим, что (3.17) при а = 0 описывает также динамику сверхпроводя-
щего джозефсоновского соединения [3.6].
51
Кривые Yi и Уг имеют хорошие аппроксимации, получаемые асимптотическими
методами [3.2, 3.8, 3.9]:
4	/ Д т \	_ --------
1.	Использование систем сравнения А^ для (3.17)—частного случая
(3.9) —дает следующий результат для любых воздействий | £•(/))< о.
В области параметров
— Yo (Л, т) 4- а < ун < Yo (А > т) — а	(3.19)
сепаратрисы систем сравнения А^ расположены качественно так, как показано
на рис. 3.2; в седловой клетке существует единственная седловая ограниченная
траектория, устойчивая и неустойчивая, сепаратрисные поверхности которой
проходят в «руслах», образованных сепаратрисами систем А^; все траектории
системы, кроме траекторий устойчивой сепаратрисной поверхности, попадают
в заштрихованную на рис. 3.2 область; условия (3.10), где F=sinx, %*(/) =
= arcsin(yH+£(0), %i = arcsin(YH—а), Х2 = агсзш(ун+а), гарантируют единст-
венность асимптотически устойчивой ограниченной траектории в области при-
тяжения. В результате (3.19) есть оценка полосы захвата системы при произ-
вольном неавтономном воздействии |£(/)|<а. Очевидно, что, сохраняя воздей-
ствие £(/) произвольным, оценку (3.19) улучшить нельзя.
В области параметров
Уо(Д, ^) + «<Yh<1 — а	(3.20)
при Yh>Yi(a, ^)+« имеется две области притяжения: одна охватывает ус-
тойчивые состояния равновесия систем сравнения Л1*, другая образована цик-
лами этих систем, охватывающими цилиндр ср, у, а при y<Yi (А> т)—а — две
такие же области притяжения, но разделенные областью отталкивания, обра-
зованной неустойчивыми циклами систем Таким образом, в (3.20) уста-
новление в системе колебаний, соответствующих синхронизму в среднем, или
вращения, соответствующего биениям, зависит от начальных условий.
В области параметров
Yh>1+«	(3.21)
реализуются вращательные стационарные движения, так что синхронный ре-
жим отсутствует. Бифуркации, происходящие в областях, разделяющих области
(3.19) — (3.21), устанавливаются аналогично [3.3, 3.4, 3.6, 3.9].
2.	Рассмотрим теперь три различных случая неавтономного воздействия £(/).
Пусть £(/) =а sin со/. Тогда ограниченные траектории в седловой области и
в области притяжения есть периодические решения с периодом 2л/ю. С увели-
чением А при малых т, когда достаточные условия (3.10) не выполняются, в
области притяжения (рис. 3.2) рождаются 2лр/ю-периодические траектории, и
синхронный режим становится более сложным: в спектре сигнала заметными
становятся побочные низкочастотные составляющие.
Бифуркации в системе при переходе из области колебаний (3.19) в область
колебаний и вращений (3.20) происходят сложно — через образования гомо-
клинической структуры [3.6, 3.9].
Пусть £(/) есть некоторое управление в виде множества кусочно-непрерыв-
ных ограниченных функций, принимающих при /^0 значения на отрезке —а, а
(система (3.17) при этом становится дифференциальным включением). Тогда
задача о разделении цилиндра ср, у на область управляемости .[3,10] (область,
для каждой точки которой существует такое допустимое управление £(/), при
котором точка 0,0 достижима по траекториям системы за конечное время) и
область неуправляемости приводит к анализу траекторий систем сравнения Л1+
и Ai~. Это следует из того, что пучок траекторий системы (3.17), выходящий
из точки фо, Уо, ограничен траекториями систем и Л1_, выходящими из
этой же точки Ч
Этот подход использовался в [3.11].
52
Из предыдущего следует, что (3.17) в области параметров (3.19) управ-
ляема, (3.21) неуправляема, а в (3.20) имеются область управляемости и об-
ласть неуправляемости, разделенные сепаратрисами систем Ai*.
Пусть	со)—измеримый одномерный случайный процесс [3.12],
t^Q, аей, где Q — вероятностное пространство, ограниченный по вероятности:
Р{|§(/, со) | <а} = 1. Тогда траектории систем мажорируют случайный про-
цесс <p(Z), //(/), порождаемый (3.17). При этом в (3.19) случайный процесс
ф(0, 1/(0 ПРИ с вероятностью 1 будет принадлежать области притяже-
ния (см. рис. 3.2), в (3.21)—области притяжения, образованной циклами си-
стем охватывающими цилиндр, а в (3.27)—с вероятностью Ро будет по-
падать в область колебаний и с вероятностью Рф = 1—Ро в область вращений.
Очевидными здесь выглядят бифуркации инвариантной меры (когда такая су-
ществует) с ростом у: сначала она целиком сосредоточена в области колеба-
ний, затем начинает переходить в область вращений и при достижении (3.21)
переходит в эту область целиком.
В заключение укажем, что все изложенное выше с соответствующими изме-
нениями относится к астатической СФС, когда Х=0.
3.4.	Система фазовой синхронизации
с фильтром второго порядка
Рассмотрим СФС с фильтром второго порядка и коэффициентом передачи
К(р) = (a2P21+tfip+l)/(bp2+p+M- Подставляя К(р) в (3.1), обозначая для про-
а2
стоты характеристику ФД через Г(ф, /) и вводя переменные рц>—~~(Р—ун) =
о
= у и рф+^-1(^1—агЬ-1)(Р—ун)=и, преобразуем (3.1) к системе
ф = У~ a2b~1(F(cp, t)—Ун); y = v — b~1(a1 — a2b~1)(F((p, t) — ун);
(3.22)
bv= —v — к у — (1—'ka2b~1 — Ь~1(а1— а2 b~х)) (F (ср, /) — ун).
Качественное исследование (3.22) в случае автономной системы при X=d2 = 0
проведено в [3.9; 3.13], при Х = 0 а2>0 в [3.14], при а2 = 0 А,=0 в [3.15; 3.16].
Исследование содержит следующие основные этапы.
Локальный анализ состояний равновесия, т. е. разбиение пространства па-
раметров на области, соответствующие различным типам двух состояний равно-
весия (для F=sin(p это cpi = arcsin ун, фг = л—arcsinyn, 1/1,2 = Vi,2 — 0); вычисле-
ние ляпуновских величин [3.17] для определения характера бифуркаций при
смене устойчивости состояния равновесия Oi (qpi, 0,0); вычисление седловых ве-
личин [3.18] для определения характера бифуркаций петель сепаратрис состоя-
ния равновесия О2(ф2, 0,0).
Построение функций Ляпунова для получения достаточных условий гло-
бальной асимптотической устойчивости (ГАУ), существования или отсутствия
колебательных (0 циклов) или вращательных (ср циклов) циклов, а также не-
посредственное использование различных частотных критериев для фазовых си-
стем [3.19].
Использование систем сравнения и поверхностей без контакта как для по-
лучения достаточных условий ГАУ, так и для нахождения взаимного располо-
жения сепаратрисных многообразий седлового состояния равновесия О2 и выде-
ления областей параметров, соответствующих определенному расположению
многообразий.
Построение трансверсальных секущих и установление бифуркаций циклов
и сепаратрисных многообразий с привлечением локального анализа.
Остановимся на задаче построения систем сравнения для неавтономной си-
стемы (3.22) при различных значениях параметров.
1.	При Х=а2=0 (3.22) приобретает вид
<₽ = */, t/ = w — b~1a1(F(cp, t)— уд), bv= — v— (1 — b^aj (F(q>, t) — yH).
(3.23)
53
Эта система — частный случай (3.12), причем из последнего уравнения из-за
ограниченности функции F(ср, i) (выход фазового детектора) следует, что при
b<.ai траектории (3.23)_ попадают в область —(я^-1—1)(Г+ун)<^<
< (aib~l—1) (F—ун), где Г>|Р(ф, /)|, определяющую интервал изменения v
в системах сравнения Av+ и Av~. Системы сравнения Av+ и Av~ записываются
в виде
<Р= У,У = (а1Ь х—1) (F—ун) — 6 1a1(F (ф) — у),	(д+)
<£> = У, У'= — (<Ъ b х— 1)(F+Yh) — b 1a1(F+ (ф) — у),	( Av )
где F±(cp) —те же, что для (3.9), (3.16).
Построение сепаратрис этих консервативных систем не представляет труда.
С помощью систем Av+ и Av~ оценивается область притяжения, содержащая
колебательные движения системы (3.23), а также критическая скорость изме-
нения частоты ун сверху.
2.	При <22 = 0, А>0 (3.22) с помощью замены
t У^аЬ 1 t (а = а^)
при сохранении прежних обозначений преобразуется к виду [15]
*Р = У, У= — [^(ф, /) — Ун] — 6 (ab)~1/2 у + ЬсГ1 v,
v = — (аб)-1/2 (1 — б)а — (б2 — б + ^&)6-2г/ +
+ (а —& —аб)&~1(а&)-1/2(^(ф, Z) — у),	(3.24)
где б при разных параметрах принимает различные значения [3.15].
Здесь приводится лишь случай Ь<.а, А>(46)-1, для которого б==Аа. Си-
стема (3.24)—частный случай (3.12). Необходимая для записи систем срав-
нения Д„+ и Av- диссипативность системы (3.24) по v устанавливается с по-
мощью системы сравнения для двух последних уравнений в (3.24) вида
у = — А Vab~1 у -J- ba~r v -J- Ун + F sgn v,
v = — (аб)-1?/2 (1 — A a) v -f- А (а — b — А а2) Ь~2 у —
— (а — b — А а2) Ь~1 (gb)~^2 (ун + F sgn а),	(3.25)
эквивалентной системе сравнения (3.6) и имеющей, следовательно, склеенный
устойчивый цикл (см. рис. 3.3), ограничивающий область притяжения системы
(3.24) по у и а. Так как (3.25) кусочно-линейна, амплитуда склеенного цикла
находится в явном виде. Обозначая амплитуду через ц, получаем область дис-
сипации (3.24) по v. | v | < ц. В результате системы сравнения Av+ и Av~ для
(3.24) имеют вид
ф = У, У = Ун + ЬсГ1 ц — A a (ab)-1?2 у — F~ (ф),	(д+)
Ф = У, У = Ун — ЬсГ1 ц — A a (ab)~1/2 у — F+ (ф).	(Д“)
С помощью этих систем аналогично [3.15] легко построить области парамет-
ров, соответствующие различному поведению системы. В частности, легко вы-
делить область глобального притяжения неавтономной системы, которой соот-
ветствует картина рис. 3.2. Действительно, если обозначить через у±о(Ао) би-
фуркационные кривые систем у —у, у = \о—Ло</—Р±(ф), то область параметров,
соответствующая такой картине, запишется в виде
ba-1 ц + у+ (А, К ab~] )< ун < уД (а рЛ ab~1 ) — ЬаГ1 р.	(3.26)
В качестве примера на рис. 3.4 представлено разбиение плоскости параметров
А,-2, у системы (3.22) при а2 = 0, <21=1, 6 = 0,8, Р(ф, /)=зшф. Сплошной линией
изображена бифуркационная кривая, соответствующая петле сепаратрисы, чис-
54
ленные значения которой получены на ЭВМ [3,20], а пунктиром — кривая би-
фуркации кратных циклов. Заштрихованные области 1 и 2 получены с помощью
систем сравнения Лг+ и Av~. Область 1 находится в полосе захвата (система
(3,22) глобально устойчива), а область 2 — вне полосы захвата (система (3,22)
имеет циклы вращательного типа).
3.	При «2>0 система (3.22) с помощью замены у-н/+би при сохранении»
прежних обозначений преобразуется:
Ф = у — b 1 а2 [ Е (ср, t) — ун + 6 6 а2 1 и]
У = -Л&-1 б у — b~2 б'1 aa(S;—b— Ад2) [У7 (ф, 0 — Yh + ь & а2 1 и],
и= — Ь~~1 (1 — Л б) v — Л, 6-1 у Ь~х [ Ъ~г (а1 — а2 Ь""1) —
— 1 + А, а2 6-1] (F — ун),
(3.27>
где 6 = &[di&—2а2+6’1/ц21—4а2]/2(at6—(Z2—62). Преобразование (3,22) к (3.27)
рассматривается в области параметров (z21^4o2 и а^Ь—а2—62>0, поскольку в.
противном случае б либо комплексно,
либо отрицательно. Траектории (3.27)
попадают в область, ограниченную цик-
лом системы сравнения для двух пос-
ледних уравнений в (3.27), аналогичной
(3.25), получающейся из (3.27) заменой
Л(ф, i) на F sign v. Амплитуда этого
цикла по v, ц определяет область
| v | с ц, в которой рассматриваются си-
стемы сравнения Ai+, получающиеся из
первых двух уравнений в (3.27) заме-
ной v на —ц и F на F~ для системы
Ai+ и v на р. и F на F+ для системы
At~. Оценка области захвата, соответ-
ствующей картине рис. 3.2, а также и
других областей параметров, проводится рис 3 4
аналогично.
Глава 4
Взаимодействующие многосвязные СФС
4.1.	Введение
Типовая СФС представляет собой обычно одномерную (с одной
входной ис (/) = UC (/)sin<pc (О И одной выходной ur(t) =
— Ur(t)cos фг(0 координатами) систему фазового управления
[4.1—4.3]. Наиболее простая структурная схема одномерной СФС
приведена на рис. 4.1. Здесь текущие фазы срг(О и <рс(0 колеба-
ний подстраиваемого автогенератора ПГ и внешнего сигнала
сравниваются непосредственно в фазовом дискриминаторе ФД, а
для придания системе необходимых динамических свойств введена
цепь управления ЦУ.
Дифференциальное уравнение, описывающее процессы в одно-
мерной СФС (см. рис. 4.1), целесообразно представить двояко.
Вводя текущую разность фаз ср(() =срг(/)—срс(О колебаний ПГ
и внешнего сигнала и обозначая через F (ср) безразмерную харак-
55»
теристику ФД, можем получить из условия баланса частот в высо-
кочастотном тракте СФС [4.4] выражение для текущей частоты
ПГ сог(О =Рфг(0, равной производной текущей фазы ПГ (опера-
тор p = dldt):
РФг = (Осв —6(рЖ^(<Р)«	(4.1)
Здесь сосв — собственная частота свободного ПГ; k(p) — опера-
торный коэффициент передачи цепи управления; Qy=SyE — наи-
большая корректирующая расстройка
Г Д/71 1 . ^г* । п-г- । («полоса удержания»), вырабатываемая
* *1—1 *	I—I—I * гв системе, а величины Sy и Е представ-
е Т I	ляют соответственно крутизну линеаризо-
ванной модуляционной характеристики
Рис. 4.1	ПГ и наибольшее напряжение, выраба-
тываемое в схеме ФД.
Используя определение разностной фазы ф = фг—фс, (4.1) лег-
ко привести к стандартному виду [4.4], связывающему разност-
ную фазу ср(/) с фазой внешнего сигнала фс(0;
Рф + &(р)ПуЕ(ф)=юсв—р<рс.	(4.2)
Запись дифференциального уравнения одномерной СФС в фор-
ме (4.1) или (4.2) весьма общая и позволяет охватить большой
класс задач слежения за частотой и фазой сигнала, стабилизации
частоты автогенераторов, а также описать процессы фазовой син-
хронизации в устройствах генерирования, преобразования и управ-
ления колебаниями и сигналами с угловой модуляцией [4.1—4.3].
Такая универсальность применений СФС обусловлена большими
преимуществами способа фазовой синхронизации с помощью
кольца управления перед способом непосредственного захватыва-
ния автогенератора внешним сигналом. Главное достоинство
СФС состоит в наличии цепи управления (ЦУ), позволяющей лег-
ко преобразовать сигнал ошибки е(1} в любой желаемый сигнал
управления g(Q.
Однако в практических приложениях СФС часто возникают
сложности из-за противоречивых требований, предъявляемых к
различным характеристикам системы — полосе захвата, фильт-
рующим свойствам, быстродействию, вероятности срыва слежения,
смещению средней частоты ПГ относительно частоты сигнала под
действием шума, зависимости фазовой ошибки в синхронном ре-
жиме от дестабилизирующих факторов и др. [4.1—4.4]. Для ослаб-
ления указанных противоречий в литературе выдвигалось много
интересных и разнообразных предложений. К сожалению, их ре-
зультативность часто ограничена в основном из-за недостатков,
присущих вообще системам управления, построенным по одно-
контурной схеме типа схемы рис. 4.1. Поэтому интересно рассмот-
реть многомерные взаимосвязанные СФС и исследовать их воз-
можности.
В [4.1—4.3] описаны некоторые варианты многомерных взаи-
мосвязанных СФС и их свойства. Очевидно, что возможно чрез-
56
вычайно большое разнообразие структурных схем взаимосвязан-
ных СФС. При эвристическом характере новых предложений ряд
интересных структур может оказаться невыявленным, а общая ре-
цептура, на которую следовало бы опираться при поиске всех
возможных структурных схем многосвязных СФС, пока не разра-
ботана.
Изложим систематизированный подход [4.5—4.9; 4.11] к по-
строению структур СФС, основанный на целенаправленном пере-
ходе к коллективному фазовому управлению многими автогенера-
торами с использованием общих для них свойств для устранения
некоторых ограничений и противоречий, присущих одномерным
СФС, а также для реализации специфических режимов, возникаю-
щих во взаимодействующих многосвязных СФС. Предлагаемая
методика построения общих структурных схем СФС и аппарат ис-
следования позволяют охватить все возможные варианты органи-
зации парциальных СФС во взаимодействующие по определенным
правилам коллективы.
Для создания полной нелинейной теории таких систем, в част-
ности для анализа их устойчивости, требуется исследовать много-
мерное фазовое пространство, что весьма трудно в случае многих
периодических нелинейностей, обусловленных видом характери-
стик фазовых дискриминаторов парциальных СФС [4.12—4.17].
Рассмотрим лишь некоторые простейшие свойства коллективных
СФС, которые легко обнаруживаются из анализа стационарного
синхронного режима.
4.2.	Дифференциальные уравнения коллективных СФС
В коллективной СФС на смену единственному подстраиваемо-
му автогенератору ПГ приходит ^V-мерное Множество {ПГь
ПГ2, ..., ПГдг}, а взамен одного входного сигнала с текущей фазой
фс(0 возникает множество входных сигналов, в общем случае той
же размерности. Для создания коллективной СФС требуется спе-
циальная организация такого многомерного комплекса, в котором
для управления частотой и фазой какого-либо индивидуального
ПГ может использоваться информация о фазовом рассогласова-
нии фгу- — фгг—Фе; колебаний Г го ПГ^ и любого j-го входного сиг-
нала иС1 из их множеств. Кроме того, можно дополнительно ис-
пользовать информацию о взаимном фазовом рассогласовании
©дг = фг9—фгг каждого q-ro ПГ9 с каждым r-ым ПГГ.
Введем в рассмотрение N-мерные векторы текущих фаз коле-
баний ПГ фг=[<Гг1, Ф12, • ••, Фгл-]т и сигналов фс=[фсь фс2, ..., фсд-]г
и образуем два множества фазовых дискриминаторов: первое
{ФДЪ} наибольшей размерности N2, предназначенное для сравне-
ния компонент фгг и фсд и второе {ФДВ9Г} наибольшей размерно-
сти (N2—N)/2, которое служит для взаимного сопоставления меж-
ду собой компонент фГ(? и фгг вектора фг. Тогда коллективную СФС
общего вида можно компактно представить с помощью векторно-
матричной структурной схемы, показанной на рис. 4.2.
57
Здесь набор сигналов ошибок с выходов фазовых дискримина-
торов первого множества {ФДг;} представлен вектором е, кото-
рый поступает к многомерной цепи управления ЦУ с N2 входами
и N выходами Набор сигналов взаимных ошибок v с выходов фа-
зовых дискриминаторов взаимных рассогласований {ФДВ9Г} по-
дается к цепи управления канала вза-
имных связей ЦУВ, содержащей
(№—N)/2 входов и N выходов Век-
тор управления g вырабатывает через
управители частоты каждого ПГ кор-
ректирующие расстройки, уменьшая
фазовые расхождения колебаний ПГ
и сигналов.
Введем №-мерный вектор ф фазовых ошибок с компонентами
Фг^ = Фп—фс/, j и вектор 0 взаимных фазовых ошибок размер-
ности (N2—N)/2 с компонентами 09Г=фГ(?—фгг; q<Zr Им соответ-
ствуют компоненты егз и vqr векторов сигналов ошибок е и сигна-
лов взаимных ошибок v, которые, пройдя элементы kltJ(p) и
hmqr(p) цепей управления ЦУ и ЦУВ соответственно, вносят в кон-
туры 1-го и т-го подстраиваемых автогенераторов ПГ/ и ПГт кор-
ректирующие расстройки Qll3 ЛДф^) и ц1П7гЗг9г(©9)) • Здесь и
pmqr — наибольшие значения корректирующих расстроек, а
ЛДфгО и PFq} (0gr) — нормированные к единице безразмерные ха-
рактеристики фазовых дискриминаторов ФД}, и ФДВ9Г соответст-
венно. Введя вектор (осв=[(оСв1, о)СВ2, •••, (оСвкр собственных ча-
стот свободных ПГ и матрицы [к(р)] = {рр (р)} и [h(p)] =
r= {^mqr (р)} коэффициентов передачи цепей управления ЦУ и
ЦУВ, получим из условия баланса частот в высокочастотных
трактах отдельных ПГ векторно-матричную запись дифферен-
циальных уравнений коллективной СФС в операторной форме:
Р Фг + [k (р) Qy] F (ф) + [h (р) р] f (0)«<осв.	(4.3)
Если множество {ФДВ9Г} фазовых дискриминаторов взаимных
рассогласований не используется, то все компоненты вектора
0 взаимных фазовых ошибок равны нулю (или матрица [h(p)] =
= 0). При этом получаем упрощенную структуру коллективной
СФС, для которой
Р^Фг + [к (р) ЙД F (ф) = <осв.	(4.4)
При N=\ вектор 0 = 0ц = О, матрица [к (р) ] =&!ц (р) и обе си-
стемы (4 3) и (4 4) переходят в обычное дифференциальное урав-
нение одномерной СФС (4.1).
В коллективной СФС систему дифференциальных уравнений
(4 3) или (4 4) необходимо дополнить специальным оператором
Л/Фг’ фв->фс,
который указывает закон образования компонент вектора фаз сиг-
налов фс из компонент вектора фг и вектора фв фаз колебаний,
58
внешних для всей системы в целом. В частности, возможен линей-
ный оператор Тс:
<Рс = [В] Фв + [Г] <рг,	(4 5?
где [В] и [Г] — квадратные матрицы размерности N. Вид мат-
риц В и Г, т. е. характер расположения нулевых и ненулевых эле-
ментов и внутри матриц, определяет структуру соединения
множества парциальных СФС в jV-мерный коллектив. Ненулевые
элементы В13 и Гг; при этом могут представлять операции умноже-
ния, деления, преобразования частоты, временного запаздыва-
ния и т. д.
Чтобы получить полное описание многомерной СФС с N входа-
ми и N выходами, требуется, кроме оператора Тс, задать еще опе-
ратор
Т'вььс. фг, фв~>Ф,
указывающий закон формирования компонент вектора ф=[фь
Ф2, • •> Фдт]г фаз выходных колебаний всей системы из компонент
вектора <рг и вектора фв фаз внешних колебаний. В случае линей-
ного оператора Твых имеем
Ф = [V] <рв + [G] <рг,	(4.6)
где [V] И [0] — квадратные матрицы размерности N.
Действие линейных операторов Тс и ТВых в соответствии с вы-
ражениями (4.5) и (4.6) иллюстрируется векторно-матричной схе-
мой рис, 4.3, центральный блок которой представляет структуру
коллективной СФС, изображенную на рис. 4.2.
Рис. 4.3
4.3.	Типовые структуры многомерных СФС
Совокупность уравнений (4.3) или (4 4) в сочетании с линей-
ными операторами (4 5) и (4.6) охватывает большое разнообра-
зие структурных схем и принципов организации парциальных
СФС в многомерные взаимодействующие комплексы. По степени
использования каждым ПГ информации, содержащейся совокупно
в ЛГмерном множестве сигналов {фс}, коллективные СФС можно
разделить на полные и неполные по сигналам в соответствии с
полнотой множества {ФД} (или матрицы [к(р) ] = {&;гДр)}). В
полных по сигналам системах i^.j, т. е. используется информация
о фазовом рассогласовании фг^ любого Гго ПГ с любым /-м сиг-
налом. В неполных по сигналам системах i=j и размерность мно-
59
жества {ФД} не превосходит N, так как в них сравниваются лишь
фазы сргг- и фсг- Матрица ЦУ при этом становится квадратной:
[к(р)] = {Ыр)}.
Аналогично в зависимости от меры использования информации
о взаимном поведении индивидуальных ПГ, т. е. о взаимных фа-
зовых ошибках отдельных элементов множества {ПГ}, получается
различная полнота множества фазовых дискриминаторов {ФДВ}
и можно выделить коллективные СФС с различной степенью пол-
ноты обработки взаимных фазовых ошибок (при нулевой полноте
можно положить в (4.3) матрицу (h(p)]=O).
Если матрица [к(р)] диагональна, то напряжение ошибки ei
с выхода Гго ФД поступает лишь к управителю /-го ПГ, т. е. упра-
витель частоты каждого /-го ПГ не получает информации о рас-
согласованиях фаз <рй=<рГг—фсг (г=1, 2, ..., N; i¥=j) колебании
всех остальных ПГ относительно соответствующих сигналов и кол-
лективная система состоит из внутренне замкнутых парциальных
СФС. В случае недиагональной матрицы [k(p)J между отдель-
ными ПГ имеет место обмен информацией о сигналах ошибок, воз-
никающих внутри парциальных систем. Можно придать этому об-
мену информацией определенное направление, например вперед
или назад по порядку расположения ПГе Для этого элементы
матрицы (к(р)], расположенные соответственно выше или ниже
главной диагонали, должны отсутствовать.
Второе направление классификации обусловлено оператором
7с, ответственным за структурную организацию парциальных
СФС в коллектив. Линейные операторы Тс приводят к многока-
нальной ([В] 7^=0) и многокаскадной ([Г] =т^=0) структурам, коль-
цевым и многопетлевым системам и др. Для иллюстрации рас-
смотрим общие дифференциальные уравнения нескольких про-
стейших структур СФС, относящихся к классу систем, у которых
полнота множеств {ФД} и {ФДВ} не превышает величины N
(т. е. примем матрицы [к(р)] и [h(р)] квадратными). Для про-
стоты первоначально в качестве выходных колебаний многомер-
ной СФС примем колебания множества {ПГ}, т. е. положим Ф =
=фг; для этого необходимо считать в (4.6) формирующие матри-
цы выходных колебаний [V]=0, [G]={I] , где [I] — единичная
матрица.
Для такого класса коллективных СФС можно в исходном диф-
ференциальном уравнении (4.3) объединить и переобозначить ин-
дексы, а именно сделать замены: фй-^фг,	I, i=|l, Ar,
а также	{hmqr}-+{hmn}; m, п^Л, N. При этом размер-
ность вектора разностных фаз понижается до N и справедливо
простое соотношение
<Р = Фг —Фс-	(4-7)
Подставляя сюда выражение <рс из (4.5), получим
Ф=[А]<рг—[В]<рв,	(4.8)
60
где введена квадратная матрица
[А] = [!] —[Г].	(4.9)
Используя (4.8) в (4.3), приходим к дифференциальному урав-
нению рассматриваемого класса коллективных СФС:
Р Ф +1А] [к (р) Й] F (<р) + [A] [h (р) |а] £(0) = [А] шсв—[В] р фв.	(4.10)
Получим отсюда уравнения параллельных, последовательных
и кольцевых структур СФС. Чтобы объединить N парциальных
СФС, выполненных по схеме рис. 4.1, в параллельную (многока-
нальную) взаимосвязанную структуру с N входами {фвь •••, фвл}
и N выходами {срГ1,сргл?} следует принять в (4.5) формирую-
щую матрицу [Г]=0; при этом матрица [А] единичная. В форми-
рующей матрице [В] для параллельной структуры следует счи-
тать ненулевыми лишь элементы, лежащие на главной диагонали
(если какие-либо преобразования фаз внешних сигналов не при-
меняются, то все эти элементы единичные: Вц = В22 = ... =BNN =
= 1). Тогда из (4.10) для параллельной структуры:
р Ф + [k (/>) ft] F (<р) + [h (р) I*] Г(0) = «ов-р фв-	(4.11)
При последовательном (каскадном) включении отдельных
СФС [4.5, 4.9] внешние сигналы {фвь фвя} формируют лишь
входной сигнал первого каскада (с фазой (pci), а роль входного
сигнала для любого последующего каскада играет колебание ПГ
предыдущего каскада. Последовательное соединение парциаль-
ных СФС в N-мерную взаимодействующую структуру получим,
считая в формирующей матрице [В] ненулевыми лишь элементы
первой строки, а матрицу [Г] выбрав кодиагональной:
Г о
1Пкаск —
Г*21
о
О’
о
о
(4.12)
о о .
о о .
Г32 о .
о
о
о
0 0 0 . . . Гдг# ту—1 0
т. е. ненулевыми в матрице [Г] являются лишь элементы, лежа-
щие на диагонали, расположенной под главной. Если преобразова-
ние фаз или частот ПГ между каскадами не применяется, то ко-
диагональные элементы матрицы [Г] равны —1 или +1, в зави-
симости от того, инвертируется или нет фаза колебания ПГ пре-
дыдущего каскада перед подачей этого колебания на следующий
каскад.
Типичным для каскадного соединения парциальных СФС яв-
ляется использование единственного внешнего для системы сигна-
ла [4.5, 4.9], при этом вектор фв=[фвь 0, ..., 0]г и из (4Л0) име-
ем (в отсутствие инвертирования и преобразования частот):
2 Р Ф + [к (р) Йу] F (Ф) + [h (р) р] f (0) = wCB—рфв1,	(4.13)
где I — номер каскада.
61
Простейшей из кольцевых является каскадно-кольцевая струк-
тура, которая получится из каскадной, если в ней в качестве
внешнего для системы сигнала с фазой срв1 использовать колеба-
ния оконечного П1\ с фазой сргдг. При этом матрицу [В] следует
принять равной нулю, матрица [Г]КОльц отличается от [Г]каск до-
бавлением элемента Г^т^О, а формирующая матрица
О .
О .
1^]кольц---
1
^21
о
о
1
Г32
---Г1Д/
О
О
(4.14)
О
О
О
О 0	0. —Гдг, д?_1	1
Характер взаимодействия парциальных систем в
структурах можно выяснить, рассмотрев простейший
содержащий всего две парциальные СФС. В частном случае N—2
для двухканальной взаимосвязанной СФС из (4.11) получаем
полученных
коллектив.
(4.15)
(4.16)
Р Ф1 + £]1 (/>) Х1 + £12 (Р) Х2 +	(р) х12 = (Осв ! — р фвр
Р Ф2 ~Ь £21 (р) Х1 “Ь £22 (р) Х2 “Ь £12 (р) ^12 ®СВ 2 Р Фв2’
а для двухкаскадной из (4.13) имеем
Р Ф1 + £ц (р) Х1 + £12 (р) х2 + £J2 (р) Р12 = ®св 1 — Р Фвр
р ф2 + р Ф1 + £21 (р) Х1 + £22 (р) Х2 + £?2 (Р) У12 = “СВ2 —Р Фвр
где для краткости
Xj = Qyl F1 (tpj; X2 ~ Hy2 Po (Ф2)> -*T2 = H12 У 12 (Ф1 Ф2 (Фв1 Фвг))>
У12 = Рт2 # 12 (	Ф2) ’
а крутизны Syi и Sy2 модуляционных характеристик ПГ! и ПГ2
приняты одинаковыми.
Структурная схема двухканальной взаимосвязанной СФС, со-
ответствующая системе (4.15), приведена на рис. 4.4; парциаль-
ные системы СФС1 и
СФС2 обведены штрихо-
вой линией. Сигналы g{ и
g2 формируются на выхо-
дах сумматоров Si и Х2
из напряжений парциаль-
ных ошибок и е2 как с
помощью собственных
(внутренних) цепей уп-
равления ЦУц и ЦУ22
каждой из систем, так и с
помощью цепей взаимно-
го управления ЦУ12 и
ЦУ21. Кроме того, в фор-
мировании сигналов- уп-
равления gi и g2 участ-
вует (через цепи управ-
62
ления ЦУ1^ и ЦУ212) напряжение взаимной ошибки щ2, являю-
щееся отражением взаимного фазового рассогласования 0i2 =
= фг1—<рг2 колебаний ПГ1 и ПГ2.
На рис. 4.5 представлена построенная по такому же принципу
структурная схема двухкаскаднои взаимосвязанной СФС. Пар-
циальные системы СФС1 и СФС2 могут обмениваться информа-
цией о возникающих в них сигналах ошибок ei и е2 через цепь
Рис. 4.5
взаимного управления ЦУ21 (посылка информации «вперед» по
ходу каскадов) и цепь ЦУ12 (посылка информации «назад»). За-
метим, что при каскадном включении в частном случае N = 2 от-
падает необходимость в отдельном фазовом дискриминаторе
ФДВ12 взаимных фазовых рассогласований 0i2=<pri—срГ2 колеба-
ний ИГЗ и ПГ2, поскольку его роль может выполнить имеющийся
во втором каскаде ФД2, измеряющий 0i2.
Рассмотрим теперь элементарную кольцевую структуру, содер-
жащую всего два звена. Для N = 2 из (4.14) получаем матрицу
[ А]кольц -
1	-Г12
-Г21	1
(4.17)
где сохранены в общей записи формирующие операторы Г12(р) и
Г21(Р).
Чтобы еще более упростить рассмотрение, примем, что фазо-
вый дискриминатор ФДВ12 не используется (или равны нулю эле-
менты матрицы [h(p)] в (4.10)). Вводя матрицу [w(p)] =
-=[А] [к(р)й] с элементами
^11 (Р) ~ ^11 (Р) ^11 Г*12 (Р) ^21 (Р) ^21»
^12 (Р) ~ ^12 (Р) ^12	Г12	(р) ^22 (Р) ^22’	|g)
^21 (Р) = ^21 (Р) ^21	Г*21	(Р) ^11 (Р) ^11’
^22 (Р) = ^22 (Р) ^22	Г21	(р) ^12 (Р) ^12’
получим из (4.10) (при [В]=0) дифференциадьные уравнения
двумерной кольцевой взаимосвязанной СФС:
Р Ф1 +	(P)7i (<Р1) + ^12 (Р) F2 (Фг) = “св 1—Г12 (р) <осв 2, 1	(4 19)
р ф2 + ^21 (р) ^1 (Ф1) + ^22 (Р) F2 (Фз) = — Г21(Р)“св1+“св2- I
Соответствующая структурная схема приведена на рис. 4.6.
Здесь парциальные системы СФС1 и СФС2 объединяются в общее
63
кольцо взаимной фазовой синхронизации через элементы Г1г(р) и
Г21(р), каждый из которых формирует входной сигнал одной СФС
из колебаний ПГ другой. Кроме того, обе парциальные системы
связаны через цепи взаимного управления ЦУ12 и ЦУ21. Типовы-
ми формирующими элементами Г12 и Г21 могут быть, например,
колебательные контуры, звенья с запаздыванием и т. п., поэтому
данная структура охватывает различные варианты взаимной фа-
Рис. 4.6
зовой синхронизации двух автогенераторов — и ПГ2. Так,
приняв в качестве формирующих элементов звенья идеального
запаздывания с операторами Г12(р)=ехр(—Ti2p), Г21 (р) =
= ехр(—Т21Р), получим модель системы взаимной синхронизации
двух пространственно-разнесенных автогенераторов, в которой
синхронизирующие сигналы запаздывают, каждый в своем кана-
ле связи соответственно на время Т12 и Т21. Такая ситуация возни-
кает в цифровых системах связи с ИКМ. (см., например, [4.18;
4.19] и библиографию в них). Поэтому исследование каскадно-
кольцевых структур с запаздывающими операторами Г1г(р) и
Г21 (р) представляет значительный интерес для теории связи. Имея
в виду очевидное соотношение
<Pi= — ф2+[1— r2i (Р)1 ФпН- t1 — ri2 (р)] Фг2>	(4.20)
замечаем, что при безынерционных формирующих элементах с
операторами Г1г(р) = Г21 (р) = 1 получаются симметричные выра-
жения w2i(p)=—Wn(p), Wi2(p)=—^2г(р), а изменения фаз
Ф1(0 и <р2(0 зеркальны: <pi(0=—фг(0- Если характеристики фа-
зовых дискриминаторов Fi (ср) =Г2 (ср) и представляют собой не-
четные периодические функции, т. е. F(—ср) =—Г (ср), то взамен
системы двух уравнений (4.19) получаем одно:
Р Ф1 + [^и (р)—^12 (P)J Fi (Ф1) = °св 1 — (Осв 2,	(4.21)
исследование которого существенно проще, чем исходной системы
(4.19).
В ряде практических задач, например при построении радио-
технических схем квантовых стандартов частоты, подстраиваемый
автогенератор работает на частоте, значительно отличающейся от
частоты колебаний квантового генератора, играющих роль эталон-
ного внешнего сигнала. Для преобразования частоты квантового
генератора в обычной (одномерной) СФС используют смесители,
64
а также умножители и делители частоты. При этом к входам фа-
зового дискриминатора ФД поступают преобразованные по ча-
стоте входной сигнал и колебание ПГ. Типовая структурная схема
одномерной СФС с преобразованием частоты сигнала, применяе-
мая в схемах переноса, изображена на рис. 4.7. Если считать в
этой схеме умножитель (Хп) и делитель (: т) частоты безынер-
ционными звеньями и ввести коэффициент преобразования часто-
ты внешнего сигнала Af = n-|-l/m, то для разности фаз 'O = Afcpr—
—фс преобразованных колебаний можно записать обычным пу-
тем [4.4] дифференциальное уравнение
рй + М/г(р)Йу^(й)=Мо)св—р<рс.	(4.22)
При М= 1 величина Ф=ф и (4.22) переходит в (4.2) одномерной
СФС без преобразования частоты.
Многомерная взаимодействующая СФС с преобразованием ча-
стоты, выполненным подобно тому, как показано на схеме рис. 4.7%
позволяет получить от одного
внешнего источника JV-мерное мно-
жество синхронизированных с ним
выходных колебаний с наперед
заданным набором частот, т. е.
реализовать многомерный синте-
затор частот. Исходя из парциаль-
ной СФС типа рис. 4.7, образуем
многомерную систему с преобра-
Рис. 4.7
зованием частоты, используя взаи-
модействие следующих JV-мерных множеств: подстраиваемых ав-
тогенераторов {ПГ1, ..., ПГд-}, фазовых дискриминаторов {ФД1,....
..., ФДдг), смесителей {Cmi, ..., Смдг}, умножителей {Xzzi, ...
..., Xftzv} и делителей {:mi, ...,
Особенностью многом1ерной СФС с преобразованием частоты
согласно схеме рис. 4.7 (в векторном ее понимании) является воз-
можность использования в каждой парциальной системе колеба-
ний, получаемых в результате умножения и деления частоты не
обязательно лишь колебаний ПГ данной парциальной СФС, а
любых ПГ, находящихся в других парциальных системах. Очевид-
но, здесь возможно большое разнообразие структурных схем, оно
определяется выбором закона распределения между умножителя-
ми и делителями отдельных СФС колебаний ПГ других парциаль-
ных систем, а также способом организации компонент вектора
фс из компонент векторов <рг и <рв, т. е. видом оператора Тс.
Чтобы составить дифференциальное уравнение многомерной
СФС с преобразованием частоты, введем матрицы умножения
[и] = {/гг-.,} и деления [гл] = {тгД размерности JVXJV и образуем
из них матрицу преобразования частоты [М] = [п] + [1/т], а так-
же вектор фаз преобразованных колебаний Ф=[М]срг—<рс. Из ус-
ловия физической реализации схем следует, что для функциониро-
вания смесителей и фазовых дискриминаторов каждый из них
должен получать лишь по одному сигналу с выходов соответст-
3—156
65.
вующего умножителя и делителя многомерной СФС. Это озна-
чает, что допустимы не любые варианты заполнения матриц [п]
и [1/т], а только такие, которые обеспечивают не больше одного
выходного колебания, т. е. каждая из матриц [п] и [1/т] может
иметь лишь один-единственный элемент в каждой строке (отсут-
ствующие элементы равны нулю). С учетом этого получим из ус-
ловия баланса частот в высокочастотных трактах отдельных ПГ
[4.4] векторно-матричную запись дифференциальных уравнений
взаимосвязанной многомерной СФС с преобразованием частоты
[4.8]
р» + [MJ [к (р) Йу]F(») = |М] <»св-р <рс.	(4.23)
Если матрица [М] единичная, то отсюда получаем как частный
случай уравнения коллективной СФС без преобразования частот
множества ПГ. В случае линейного оператора Тс справедлива
связь (4.5) и вектор	[Б]срг—[В]фв, где матрица [Б] =
= [М]-[Г]. В результате (4.23) приобретают следующую за-
пись, в которой вектор фазовых рассогласований Ф множества
{ФД} связан непосредственно с вектором <рв:
Р а- + [Б] [k (р) ау] F (fr) = [Б] 0)св- [В] р <рв.	(4.24)
Пользуясь (4.24), можно исследовать поведение многомерной
СФС произвольной структуры с преобразованием частот в различ-
ных режимах.
Для иллюстрации рассмотрим эти уравнения в простейшем
случае преобразования частоты, оставив из всех возможных струк-
тур организации парциальных СФС в многомерный коллектив
лишь две простейшие — параллельную и последовательную.
Объединение N парциальных СФС в параллельную структуру
с N входами {срвь ..., фвх} и N выходами {cpri, > фгл’} получим,
полагая матрицу [Г]=0 (при этом [Б] = [М]) и приняв [В] =
==[!]•
Последовательное соединение парциальных СФС имеем при
Б’ц = В12= ... =Bi№ 1 (остальные Bij = Q), кодиагональной
матрице [Г] вида (4.12), например с единичными элементами, и
матрице
[Б]Д[М1-[Г] =
Л112
Л121	1	^22
^31	^32	1
Ml, N— 1	M1N
М2, N—1	M2N
М3, д/_1	Мз^
— 1 Mnn_
(4.25)
Наиболее простые уравнения (4.24) в явном виде получаются
для двумерной СФС при ;V=2. Для двухканальной взаимосвязан-
ной СФС с преобразованием частоты из (4.24) получаем систему
двух дифференциальных уравнений
р + [Мп klt (р) + М12 k21 (р)] ЙУ1 Fa (^) +
+ [-Мц k12 (р) М12 k22 (р)] Qy2 F2 ({Ej) = Мп (осв14- M12 <лсв 2 В1г р <рв1;
66
Р + [A42i	(?) + M22k 21 (р)] ЙУ1F, (ftj +
"Ь [-^21 ^12 (Р) + ^22 ^22 (Р)] ^у2 ^2 0^2) = ^21 ®СВ 1 "Ь ^22 ®СВ 2	^22 Р Фв2*
(4.26)
Применяя в двухкаскадной системе единственный внешний
сигнал (с фазой <pBi), можно воспользоваться записью дифферен-
циальных уравнений в форме (4.26), причем первое уравнение со-
храняется в точности, а во втором следует, согласно (4.25), заме-
нить коэффициент преобразования Af2i величиной Af2i—1 и при-
нять В 22 = 0.
4.4.	Режимы взаимосвязанных СФС
Стационарные режимы в коллективных СФС. В коллективных системах
можно получить самые различные стационарные режимы. Их свойства опреде-
ляются характером изменения во времени векторов <рв(0 и <оСв(0> а также
видом матриц цепей управления [к(р)] и [h(p)] и формирования структуры
[В] и [Г]. В задаче коллективной стабилизации частоты (р<рв=ю°в = const,
(йсв= const, Qy=Q°y=const, y, = y,°=const) возможен стационарный син-
хронный режим (ССР), в котором <р(/) =ф° = const, ()(/) =(-)° = const:
[k (0) Oj] F («>") + [h (0) И Г (в») = »>", - P Ф°;	(4.27)
ф2 = [В1Ф°+[Г]Ф?; *’=[V]<p’+[G)<P;.	(4.28)
Взаимодействие одномерных СФС в коллективе позволяет получить новые
полезные свойства характеристик стационарного синхронного режима, отсут-
ствующие у одномерных парциальных систем. Обычно это становится возможным
при наличии у всех ПГ каких-либо однотипных свойств, поскольку в коллектив-
ной системе можно использовать информацию об этих свойствах, полученную в
отдельно взятой СФС для управления всеми остальными ПГ. Например, в на-
боре из N однотипных ПГ изменение их собственных частот {w°Cbi, ..., w°cbn} от
дестабилизирующих факторов сходно, что позволяет, используя обмен сигналами
ошибок {е0} и сигналами взаимных ошибок {у0}, добиться для всего коллектива
ПГ малой чувствительности к указанным факторам, т. е. повысить точность всей
системы.
Рассмотрим для иллюстрации сказанного парную стабилизацию частоты в
двухканальной СФС, описываемой (4.15). Ее структурная схема изображена на
рис. 4.4. При работе по единственному сигналу фВ1 = фВ2 = фв, причем в задаче
стабилизации частоты рфв(/) =<вов=const, ©Св1,2(0 ~©°cBi,2=const. Тогда из
(4.15) получаем систему уравнений ССР
fco vo , .о vo I t.1 vo _ ..о ^ОдЛ..О
1 1Х1 + «12 х2 + "22 Х12 — “св 1 — “в=Д“1,
^21 Х1 ^22 х2 4“ ^12 Х12 = “св 2 “в А Ю2’
где использованы те же обозначения, что и в (4.15), и &о(0) = k°iJ\ Нц((У) =Н°г}.
При отсутствии обмена сигналами взаимных ошибок (/i1i2 = /i2i2 = 0) от-
сюда получим
Х1 = [А “1 ( ^22 — ^12) + ^12]J х2 =	[А“2 ( ^11 ^21)	^21],
(4.30)
где 6°=Ди°1—Ди°2; £>=&°и&022—&°i2&°2i.
В случае идентичных ПГ! и ПГ2 их расстройки Д©°1 и Д©°2 меняются от
дестабилизирующих факторов почти одинаково: Д©°1 »Д©°2, и величины б°/Д©°1
и 6°/Ди°2 мало отличаются от нуля при любых Д©°1 и Д©°2. При этом из (4.30)
следует, что, приравняв соответствующие коэффициенты передачи k°n=k°jx,
можно добиться в одном из каналов почти полной нечувствительности фазо-
67
(4.29)
вой ошибки ПГ к расстройке его собственной частоты относительно частоты
сигнала. Выбрав, скажем, ^°22 = ^°i2 = ^0 и	получим
Л(ф?) =
г2 (<р =
Aw? — Aw?
--------------^0,
^°у1(^-^°1)
Aw° 1 — Д®1 &21 А® 2

(4.31)
Бели же выбрать &°n=&02i=&0, ^°22=/=^°i2, то, наоборот, сигнал ошибки e°i,
измеряемый первым каналом, будет передан во второй, что и приведет к слабой
чувствительности фазовой ошибки ПГ2 по отношению к расстройке Aw02~Aw°i.
Используя обмен сигналами взаимных ошибок и приняв h112 = h212 =—h, а
также выбрав k°22 — k°i2 = k0, k°ii=^=k°2i, получим взамен (4.31):

Fi (ф 1) =
Aw° — Aw°
a°yi(^-4)
о,
АМН
Л |1[2
г0 гл0
« йу2
«^12 ( Фг) ~
Aw°
k° й°у2
(4.32)
дополнительно к нечувствительности ПГ1 полу-
Выбрав hpoi23>&°Q°2, можно
чить также и существенное уменьшение фазовой ошибки во втором канале.
Заметим, что условия вида равенств k°ll = k°ll, приводящие к независимо-
сти стационарных фазовых ошибок идентичных ПГ от расстроек их собствен-
ных частот, можно реализовать также в многокаскадной и других структурах.
Используя разнообразные выражения остальных элементов матриц [к(р)] и
[h (р) ], можно получить в коллективной СФС, кроме того, и особые динами-
ческие свойства.
Рассмотрим систему взаимной синхронизации двуУ автогенераторов (см.
рис. 4.6) в стационарном синхронном режиме, считая их собственные частоты
Wcbi,2(0 ~ w°cBi,2 = eonst. Если запаздывания в каналах связи отсутствуют,
т. е. Г12(р) =Г21 (р) = 1, то из общего для обеих СФС уравнения (4.21) полу-
чим выражение для разностной фазы <p°i =—ф°2 в стационарном режиме
„0	ГЛ0
_ / Юсв 1 Юсв 2
йц й12 &12 -------- ®21 ^21 + ^22 ^22
(4.33)
где &°=&(0)
Поскольку производная рф°1=рф°г1—рф°Г2, то стационарные частоты ПГ1
и ПГ2 соответственно /^0ri = W0r2 = w0r. Воспользовавшись (4.4), найдем
0	( й22 ^22	Й21 &2i) юсв 1 “Ь (фи ^11	®12 ^12) Юсв 2
w = _
Пц ^11---- ^12 ^12	^21 ^21 "Ь ^22 ^22
(4.34)
Пусть для простоты выкладок все корректирующие расстройки выбраны Qu =
= й. Тогда частота взаимной синхронизации w°r (финальная частота системы)
определяется лишь выбором стационарных значений k°l} коэффициентов переда-
чи цепей управления ЦУ^ (i, j=l, 2) каскадно-кольцевой СФС. Если цепи вза-
имного управления ЦУ12 и ЦУ21 разорваны, т. е. &°i2 = &°2i = 0, то финальная
частота w°r равна средневзвешенному значению собственных частот ПГ1 и ПГ2
с весовыми коэффициентами &°22 и k°a:
Г.О	..О f	11
Х0-	------------- G)	1 “4“
Г fcO I .0 св 1 ~ о I щ
«п -Г «22	«п -Г Л22
„о
®св 2
(4.35)
Б8
При k°n=k°22=i взаимная синхронизация происходит на средней частоте под-
страиваемых автогенераторов. Используя цепи взаимного управления для обме-
на информацией о сигналах ошибок в парциальных СФС, можно синхронизиро-
вать оба автогенератора на любой частоте в диапазоне от w°Cbi до й°Св2, сохра-
няя коэффициенты передачи k°u и k°22 равными единице. Выбрав Л°ц=&012 и
Л021=/=^°22) получим взаимную синхронизацию на собственной частоте ПП. Это
возможно потому, что при k°i2=k°u сигнал управления g°i=e°i4-e°2 = 0, посколь-
ку равны по величине и противоположны по знаку сигналы ошибок е0! и е°2 в
парциальных системах. Из (4.33) видно, что разностная фаза ф°1 =—ф°2 станет
минимальной при &°2i =—&°22. Аналогично можно синхронизировать систему на
собственной частоте ПГ2, сделав &°2i = &°22, k°i2=/=k0n.
Наличие запаздываний в каналах связи резко меняет не только динамиче-
ские процессы в системе взаимной синхронизации (она описывается теперь дву-
мя дифференциальными уравнениями (4.19) с запаздывающими аргументами
вместо одного обыкновенного дифференциального уравнения (4.21)), но и приво-
дит к неоднозначности финальной частоты со°г и зависимости ее от времени
суммарного запаздывания t=Xi2+t2i. Действительно, из (4.20) в стационарном
режиме при Г12(р) =ехр(—п2р), ГД (р) =ехр(—T2ip) имеем
<р° = —	+ Ф°—2лп;п=0, 1, 2,...	(4.36)
где Ф° = й°гТ — стационарный набег фазы в каналах связи; в реальных системах
он может достигать больших значений.
Поскольку Г12(0) =Г21(0) = 1, выполняются соотношения w°u = —ay°2i, w°22 =
=—w°i2, где wt} = wl}(0) определяются (4.18). Приняв характеристики Г1(ф) =
=Г2(ф)=Г(ф) и учитывая, что Г(ф°2) =— Г(ф°1—Ф°+2лп), получаем из (4.19)
выражение
ВД1	F (<р!-Ф»+2"п)=<1-т2в2, '	(4.37)
что совместно с (4.36) позволяет найти связь ф°1,2 и Ф° = (ВогТ. Используя (4.4),
приходим к выражению для финальной частоты
о? = j - йи k°n F ( ф°) + й12 k°l2 F ( <р° - Ф°+2л и).	(4.38)
Совместное рассмотрение (4.36) — (4.38) позволяет найти возможные значения
частот взаимной синхронизации («моды» системы) и выяснить зависимость их от
запаздывания (подробнее эта проблема изложена, например в [4.18; 4 1!Т]).
В качестве еще одного примера рассмотрим многомерную СФС с преобразо-
ванием частоты по типу схемы рис. 4.7. Получим выражения для преобразова-
ния частот множества внешних сигналов в стационарном синхронном режиме
многомерной системы, когда вектор О(оо) = О0 = const, т. е. рО0 —0. Из опреде-
ления вектора	[Б]фг—[В]<рв имеем в общем случае связь стационарных
частот б)°г А РФ°г множества коллективно синхронизированных ПГ с частотами
6>°В Д рф°в внешних колебаний: [Б]й)°г= [B]w°B или
»2=IS)<»»,	(4.39)
где использована матрица [S] = [Б]-1[В].
Таким образом, матрица [S] определяет структурную организацию парци-
альных СФС типа рис 4.7 в многомерный коллектив и описывает все возмож-
ные варианты преобразования частот.
Для матрицы [S] преобразования частот внешних колебаний простые вы-
ражения в явном виде получаются только в двумерных СФС, поскольку при
N=2 наглядно записывается и легко вычисляется обратная матрица [Б]-1,
входящая в [S], В случае единственного внешнего сигнала имеем для коэффи-
циента преобразования Sii = (oori/(ooBi и S21 = (o°r2/w0Bi следующие выражения.
Двухкаскадная взаимосвязанная СФС
— Л422/ЛКас> *^21 I 1	^21 |/^кас>
где Акас = Л1П М22 — М12 | 1 — М21 I •
(4.40)
69
Двухканальная взаимосвязанная СФС
$11 — | /И22  Л112 |/Ацан > $21 — I Л1ц ^21 | / Акан ,
где Акан ==	А122 — ^21 ^1 2 •
Поскольку индексы i и / элементов и l/тц, образующих коэффициенты
Мц=Пц-]-1./тц матрицы [М], могут независимо принимать по два значения
(i=l, 2 и /==1, 2), то для каждой из обеих двумерных структур — последова-
тельной и параллельной — можно формально составить по 16 различных пере-
становок, которым будут соответствовать различные структурные схемы дву-
мерных СФС с преобразованием частоты, причем для реализуемых из них схем
коэффициенты $ц и $2i преобразования их частот оказываются весьма разно-
Рис. 4.8
образными при выбранных фиксированных числах nu- и тгз. При этом возни-
кает новая проблема — необходимость выбора из них таких схем, которые яви-
лись бы лучшими в смысле какого-либо критерия.
На рис. 4.8 и 4.9 приведены структурные схемы каскадных СФС с мини-
мально возможными коэффициентами преобразования $ц, т. е. лучшие для
Рис. 4.9
наибольшего понижения частоты w°ri подстраиваемого автогенератора ПГ1 по
сравнению с частотой co°Bi квантового генератора. Коэффициенты преобразова-
ния Sii и S2i для схемы рис. 4.8
$и— 1/1^22^12(^21 — 1)+1/^ц],	(4.42)
$21 = ^22 (^21   1) /[^22 ^12 (^21	О Н- 1 /^111 >	(4.43)
а для схемы рис. 4.9
$и = 1 /т22 (п21 — 1) (п12 + 1 /т12),	(4.44)
$2i = 1 / (n12 + 1 / /п12).	(4.45)
Выражения (4.42) и (4.44), обеспечивающие наименьшие значения $ц из всех
возможных, можно получить непосредственно из анализа (4.40). Аналогично
получены структурные схемы рис. 4.10 и 4.11, обеспечивающие наибольшее
70
понижение частоты м°Г2 автогенератора ПГ2. Коэффициенты преобразования
для схемы рис. 4.10:
= 1 / (Иц 4~ 1 /tn-ii),	(4.46)
S21 = (1 -- 1/^21)/П22 (nii 4* l/mu) •	(4.47)
а для схемы рис. 4.11
5ц = ^22/1^11 П22	(1	1/т21)/т12] ,	(4.48)
S21 = (1 — 1/^21)/[«И «22 + (1 — 1//и21)//и12].	(4.49)
Можно убедиться, что большинство оптимальных структур представляют
собой каскадно-кольцевое включение двух СФС.
Рис. 4.11
Режим коллективной синхронизации в каскадных взаимосвя-
занных СФС. В ряде задач теории оптимальных оценок, многопо-
зиционной фазовой телеграфии, при активном способе возбужде-
ния многоэлементных антенных решеток [4.1] возникает необходи-
мость коллективной фазовой синхронизации многих автогенерато-
ров, причем требуется сохранять неизменными определенные фа-
зовые соотношения между отдельными колебаниями синхронизи-
рованного множества автогенераторов при произвольном законе
изменения во времени фазы внешнего сигнала фв(0- Широкое
применение может найти синхронизация многих колебаний в квад-
ратуре, при которой каждое из колебаний множества сдвинуто на
90° по отношению к двум соседним колебаниям коллектива ПГ.
Покажем, что эту задачу можно решить, применяя в многокаскад-
ной СФС специально подобранную многосвязную цепь управления
Воспользуемся упрощенной коллективной структурой, в кото-
рой отсутствует множество {ФДВ} фазовых дискриминаторов
взаимных рассогласований [4.5]. Примем в формирующей матри-
71
це (4.12) каскадной системы кодиагональные элементы единич-
ными. Тогда формирующая матрица, входящая в (4.10),
А 1	—
J каск —
" 1	0 0...	0 0“
—1	10...	00
0—11...	00
' о ‘ '6 д —1 i
(4.50)
Рассмотрим (4.10) с учетом (4.50) для формирующей матри-
цы [А] подробнее и выясним, какой вид должна иметь матрица
[к (/?) ] многосвязной цепи управления ЦУ, чтобы каскадная СФС
могла быть синхронизирована внешним сигналом фщ Ц) как еди-
ное целое.
При произвольной ЦУ каждое из уравнений (4.10) может со-
держать все компоненты вектора текущих разностей фаз фЦ).
Это вызвано взаимным обменом сигналами ошибок ег-(0 между
всеми каскадами СФС через многосвязную ЦУ, а также запаз-
дыванием отклика (pn-(0 в i-й парциальной системе относительно
воздействия фСг- (0 =фгг-1 (0 со стороны предыдущего каскада.
Следовательно, расхождения фаз фг(0=фгг(0—Фгг-1(0, 1=2,
3, ..., N, колебаний ПГ соседних каскадов непрерывно меняются
при изменении фазового рассогласования ф1(Ц=фг1Ц)—фвЦО
колебаний ПГ! и внешнего сигнала, которое обусловлено измене-
нием во времени текущей фазы фВ1(0 внешнего сигнала.
Очевидно, условию фазового синхронизма множества ПГ в це-
лом соответствует постоянство межкаскадных разностей фаз в
стационарном режиме (/->оо) независимо от закона изменения
фвЦО, т- е- необходимо при любом виде зависимости фвЦ0 в
(4.10) потребовать
1гпф/ (/) = ф° = const, i~2, 3, . . ., АЛ	(4.51)
Это требование выполнится при условии (осв (0 ~(о°св = const и
если все уравнения (4.10), начиная со второго, будут содержать
лишь те компоненты вектора ф, которые соответствуют номеру
уравнения [4.9]. Для этого достаточно сделать диагональной мат-
рицу
[w(p)] = [A][k(p)Q] = diag,	(4.51а)
Тогда (4.10) распадается на совокупность полностью сепаратных
уравнений:
Р Ф1 +	(р) Пуц Л (Ф1) = «св 1—Р Фв V
Р Ф2 ^22 (Р)	22 ^2 (фг) = «СВ 2 «СВ 1’
РФз + ^Зз(Р)ЙуЗЗ/?з(Фз)=«СВЗ — «св 2’	(4‘52)
Р фл/ +	(р) &NN Pn (фХ ) = «св N —«св N— Ь
причем все уравнения, кроме первого, оказываются автономными
и выполняется условие (4.51), если расстройки собственных ча-
72
стот всех ПГ соСвг—сосвг-1 ^'«>освг—со°Свг-1 = const. Межкаскадные
разности фаз ф°г- в стационарном синхронном режиме получим из
(4.52):
р4<Р!) = (“°е»	>' = 2,3,..., N,	(4.53)
где k°ii — коэффициенты передачи цепей внутреннего управления
соответствующих каскадов на постоянном токе.
Если все автогенераторы множества ПГ1, ПГ2, ..., ПГ^ вы-
полнены идентично, то их собственные частоты coCbi, •••, соСвдг ме-
няются от дестабилизирующих факторов одинаково. При этом раз-
ности соевг—(Освг-ь входящие в (4.52) и (4.53), малы, т. е.
<о°свг—со°свг-1 = еНУгг, где е<1 — малая величина, характеризую-
щая степень неидентичности соседних каскадов. Тогда ф°г-, опре-
деляемые из (4.53), оказываются близкими к нулю для любых ха-
рактеристик ФД, проходящих через нуль при ф = 0, например
/Цф) =sin ф. Поскольку в типовых схемах ФД сигнал ошибки на
выходе равен нулю при точной квадратуре входных колебаний, то
отсюда следует, что в стационарном синхронном режиме колеба-
ния ПГ соседних каскадов системы (4.52) находятся практически
в квадратуре, сохраняя ее независимо от закона изменения во вре-
мени фазы внешнего сигнала фВ1(0-
Структуру многосвязной ЦУ, которая обеспечивает фазовую
синхронизацию всего множества ПГ в квадратуре, легко предста-
вить, используя (4.51а). Полагая для простоты все корректирую-
щие расстройки Йг-7 одинаковыми, получаем из (4.51а) треуголь-
ную матрицу (к(р) ] с нулевыми наддиагональными элементами и
одинаковыми элементами в столбцах:
£/-i, j (р) = kj-i-i, j (р) = 0, / = 2, 3.1= 1, 2,..., / — 2;
кц(р) = ki+m, i {р), t=l, 2.. W;	m=l,2,..., N—i.
Синхронизация в квадратуре всего множества ПГ при такой
цепи управления достигается тем, что каждый каскад многомер-
ной СФС «информирует» все следующие за ним каскады о выра-
ботанном в нем сигнале ошибки, посылая этот сигнал через много-
связную ЦУ (4.54) вперед по каскадному тракту. Так, для получе-
ния двух находящихся в квадратуре колебаний, синхронизирован-
ных как единое целое внешним сигналом, необходимо в схеме
рис. 4.5 убрать управление «назад», разомкнув цепь взаимного
управления ЦУ12, а коэффициенты передачи &ц(р) и &2i(p) цепи
внутреннего управления ЦУн и цепи управления «вперед» ЦУ21
выбрать одинаковыми: kn (р) =k2l (р).
(4.54)
73
Глава 5
Статистическая динамика СФС
второго порядка
5.1. Введение
В большинстве практических ситуаций СФС работают в условиях
действия как внешних помех, так и при наличии флуктуаций, ор-
ганически присущих параметрам полезного сигнала и элементам
схемы синхронизации. Известно, что тепловой шум сопротивлений,
флуктуации тока транзисторов, случайные вариации напряжения
источников питания, фазовые флуктуации сигнала, возникающие
при распространении радиоволн, влияние эффекта Доплера и дру-
гие причины обусловливают случайный характер, изменения фазы
и частоты в СФС. Кроме этого, на фазовый детектор вместе с сиг-
налом может воздействовать аддитивный внешний шум, особенно
если генератор сигнала пространственно удален от СФС, что ха-
рактерно для радиосвязи и радионавигации. Наконец, часто СФС
используются для измерения фазы или частоты полезного сигнала,
которые представляют собой случайные процессы с полностью или
частично известными статистическими характеристиками. Все эти
причины приводят к тому, что процесс синхронизации имеет слу-
чайный характер, а работоспособность СФС во многом определя-
ется его статистическими характеристиками. Ранее указывалось-
(см. гл. 1), что исследование статистической динамики СФС при-
надлежит к числу довольно сложных задач вследствие многообра-
зия и тонкости эффектов, наблюдаемых при синхронизации, а так-
же вследствие принципиально нелинейного характера происходя-
щих явлений. Сложность этих задач существенно возрастает с
увеличением порядка системы.
Начиная с работ Л. С. Понтрягина, А. А. Андронова и
А. А. Витта [5.1], Р. Л. Стратоновича [5.2; 5.3] и В. И. Тихоно-
ва [5.4; 5.5], наиболее продуктивные методы анализа статистиче-
ской динамики СФС в настоящее время основываются на теории
марковских процессов. Применению этой теории для анализа ста-
тистических характеристик процессов, происходящих в СФС, по-
священо значительное число работ, которые, в той или иной степе-
ни, нашли отражение в [5.6—5.10].
Однако даже в рамках теории марковских процессов подав-
ляющее большинство работ, связанных с исследованием статисти-
ческой динамики СФС первого и второго порядка, основывается
на приближенных аналитических методах отыскания стационар-
ного решения уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова. При
этом аналитически оценить точность и область применимости тех
или иных приближенных методов не представляется возможным.
Для этого, как правило, используется взаимное сравнение полу-
74
ченных этими методами результатов между собой и с результата-
ми натурного моделирования [5.7; 5.10].
Современное развитие вычислительной техники позволяет, меж-
ду тем, использовать для исследования статистической динамики
СФС первого и второго порядков в нестационарном и стационар-
ном режимах работы численные методы решения краевых задач
для уравнений в частных производных. Применение этих методов,
в частности, дает возможность получить с требуемой точностью
«эталонное» решение и на этой основе провести взаимное сравне-
ние точности и области применимости различных приближенных
методов. Численные методы успешно использовались для анализа
статистической динамики [5.11] и срыва синхронизации [5.12] в
СФС первого порядка, а также для вычисления статистических
характеристик срыва синхронизации в СФС с пропорционально-
интегрирующим фильтром в цепи управления [5.9].
Рассмотрим численные методы анализа статистической динами-
ки СФС второго порядка, основанные на сеточных методах реше-
ния уравнений в частных производных. В отличие от [5.9] более
подробно опишем решение уравнений ультрапараболического ти-
па. Применение численных методов решения проиллюстрируем
на примерах анализа пере- -	&
ходных процессов и срыва
синхронизации в СФС вто-
рого порядка с синусоидаль-
ной характеристикой фазо-
вого детектора и интегриру-
ющим фильтром в цепи уп-
равления. Полученные ре-
зультаты наглядно демонст-
рируют высокую эффектив-
ность численных методов ис-
следования статистической
динамики СФС; это важно
еще и потому, что решение конкретных прикладных задач приб-
лиженными методами обычно также связано с необходимостью
проведения расчетов на ЦВМ.
5.2. Стохастические дифференциальные уравнения,
описывающие статистическую динамику СФС
Пусть на вход СФС второго порядка, структурная схема кото-
рой изображена на рис. 5.1, действует аддитивная смесь полезно-
го сигнала s(t) =Л0со8 Фо(О =40cos [соо^.+ ф (0 ] и белого гауссов-
ского шума n(t) с нулевым математическим ожиданием и функ-
цией корреляции <7гЦ)яЦ+т)/=М)6(т)/2. Предположим, что фа-
за полезного сигнала — случайный процесс, описываемый систе-
мой стохастических дифференциальных уравнений
'^=со + Пф(/),	—асо + пм(/),	(5.1)
«г	at
Рис. 5.1
75
где а — известный постоянный параметр, характеризующий ши-
рину спектра флуктуаций частоты; п (t) и нм(0 — независимые
белые гауссовские шумы с известными статистическими характе-
ристиками:	(Z+t)^./^ д(т)/2,
<."(оГ)«иГ+т)>=Л,й 6(т)/2.
Система (5.1) позволяет учесть флуктуации частоты и фазы по-
лезного сигнала из-за различных нестабильностей задающих гене-
раторов и эффекта Доплера [5.113].
При анализе рассматриваемой системы сделаем обычные допу-
щения: все элементы СФС, кроме фильтра в цепи управления, яв-
ляются безынерционными элементами: фазовый детектор пред-
ставляет собой перемножающее устройство, т. е. имеет синусои-
дальную характеристику; характеристика управляющего элемен-
та УЭ в пределах рабочего участка линейна; амплитудными флук-
туациями полезного сигнала и сигнала подстраиваемого генерато-
ра ПГ можно пренебречь; постоянная времени фильтра в цепи об-
ратной связи согласована с шириной спектра флуктуаций частоты
полезного сигнала, т. е. а=1/72 [5.9].
Сигнал на выходе подстраиваемого генератора
wDr(0 = ^isinOi(0, где с/Ф1.М/ = со1—Sy и (/) + d tyjjdt.
Здесь «I '— средняя частота колебаний подстраиваемого генерато-
ра в отсутствие управляющего напряжения u(t); Sy — крутизна
характеристики управляющего элемента; ф1(0 — случайный про-
цесс, проведение которого описывается стохастическим дифферен-
циальным уравнением
d^/dt^n^tt),	(5.2)
где ПфД) — белый гауссовский шум с нулевым математическим
ожиданием и функцией корреляции <п^Мп t (Z Н-т)>=Лг-ф16 (т)/2.
Уравнение (5.2) описывает естественные нестабильности фазы
подстраиваемого генератора [5.9].
При этом динамика СФС описывается дифференциальным
уравнением
rf(p/d/ = QH—Syu(t) -{-d^/dt — dty/dt,	(5.3)
где ср(/)=ФД/)—Фо(О — разность фаз (ошибка по фазе); QH=
= (01—(оо — средняя расстройка частот полезного сигнала и под-
страиваемого генератора.
Произведение принятого колебания и сигнала на выходе под-
страиваемого генератора можно представить в виде
I (/) А± sin Фх (0 = [Ло cos Фо (0 + п (/)] sin Фх (/) ж
sin ф (/) п (0-
Здесь, как обычно [5.9], отброшены слагаемые суммарной часто-
ты, которые отфильтровываются фильтром нижних частот.
Из (5.3) с учетом последнего соотношения получим
2 Т1Р Г Т/2 I
РФ = ЙН—! +у2р [sin9 +	+ рф,	(5.4)
76
где p = d/dt — символ операции дифференцирования; Qy=
= Д1ДоцЗу/2 — полоса удержания СФС.
Одна из возможных реализаций пропорционально-интегрирую-
щего фильтра показана на рис. 5.1. Отметим, что для этого фильт-
ра оценочное значение мгновенного отклонения частоты полезного
сигнала от известного среднего значения «о пропорционально на-
пряжению «1(0 на конденсаторе [5.14], причем «Д/) =
= —со*(О/5у. Для «ДО, как нетрудно убедиться, справедливо
дифференциальное уравнение
dzzi	йу Г т/^	1
-77- + а«1 = а(1—sin ф + п (0 ,	(5.5)
где т = TJT2.
Обозначим текущую разность частот полезного сигнала и под-
страиваемого генератора
Й (/) = QH + со* (О — о (0 - QH—Sy «j (О — о) (0-	(5.6)
Используя (5.6), из (5.4) с учетом (5.1), (5.2) и (5.5) получим
d ср	Г т/2-	]
— = Q—т Qy pin ф + п (0] + «ф1 (0 — «ф (0,
sin ф +^п(01-na(t).	(5.7)
—гг- = айн—а О—айу (1 —т)
Система стохастических дифференциальных уравнений (5.7)
полностью описывает статистическую динамику СФС второго по-
рядка с учетом нестабильностей генераторов и флуктуаций фазы
полезного сигнала. В безразмерных переменных т=а/, х=ф/л и
r/=Q/Qy (5.7) принимает вид
dx у т Г .	.1	/ .1 . V	ч V	ч
— = ----------т- sin л х + п» (т) Н------п± (т)--------«2 (т),
dx лр яр [	[/р	] л	л
—У— (1— т) [sinnx 4--^п0(т)1 — p]/2DMn3 (т),	(5.8)
d х йу	L	V р	J
где обозначено р = а/йу — отношение ширины спектра флуктуа-
ций частоты полезного сигнала к полосе удержания СФС; р =
=Д2о/(аЛго) — отношение сигнал/шум; Г^—А/ф]/(2a), D ф =
= Nф/(2а), Da=Nм/(4а3) — параметры, характеризующие неста-
бильность фазы подстраиваемого генератора, а также фазы и ча-
стоты полезного сигнала соответственно; «о(т), пДт), «г(т),
«з(т) — взаимонезависимые белые гауссовские шумы с нулевыми
математическими ожиданиями и единичными интенсивностями.
5.3. Анализ статистических характеристик
переходных процессов
Система (5.8) определяет двумерный векторный марковский
процесс [х, у]Т с локальными характеристиками (коэффициента-
ми сноса и диффузии)
77
ttx
x np
w m» .	/1	\ *
--------sinnx, ay =—-—у—(1—tri) sin л x,
л p-----Qy
(5.9)
m2
b - -	+D*1 + D4’ b	b - (1~'n>2 I 2P?C
-----’ °*y~ nPp ’ °yy~ p
Известно [5.3; 5.9; 5.10], что полное описание статистической
динамики двумерного марковского процесса может быть получе-
но на основе плотности вероятности перехода р(х, у, т|%о, Уо, то),
которая является решением уравнения Фоккера—Планка—Колмо-
горова
др 1 д2 ,,	, , д2 ,, х , 1 a2 ,, ч
•т— — — — (Ьхх р) —— (ЬхУ р) + — —- (byу р)
дх 2 дх2	дхду	2	ду“
д , х д , ч
— -т- (ахр) — <ауР)
дх	ду
(5.Ю)
с начальным условием
р(х, у, т0|х0, у0, т0) = 6(х—х0)Ь(у—у0).	(5.11)
Аналогично [5.6] будем интересоваться плотностью вероятно-
сти перехода Р(х, у, т) |х0, уо, т0), приведенной к интервалу —1=С
iC-vsCl. По определению
00
Р(х, у, т| х0, у0, т0)= V р(х + 2п, у, X | х0, у0, т0).
П= — СЮ
Для отыскания Р(х, у, т | х0, у0, то) необходимо решить (5.10) с
начальным условием (5.11) при граничном условии
Р(\, у, т|х0, I/O, Х) = Р(— 1, у, т|х0, у0, т0)	(5.12)
и условии нормировки
1	00
J J?(x, у, т|х0, Уо, x0)dxdy — 1.
1—1	—00
(5.13)
Решение (5.10) с условиями (5.11) — (5.13) и значениями ко-
эффициентов сноса и диффузии (5.9) позволяет исследовать ста-
тистическую динамику СФС второго порядка с разностью фаз,
приведенной к интервалу (—л, л), т. е. без учета явлений срыва
синхронизации. Поскольку получить аналитическое решение ука-
занной краевой задачи затруднительно, будем искать решение
численными методами.
В [5.8; 5.15] рассматриваются численные методы решения
краевых задач, основанные на аналогии между непрерывным
марковским процессом и дискретной цепью Маркова. Однако ус-
ловие сходимости дискретного процесса к непрерывному обуслов-
ливает наличие жестких связей между требуемыми шагами ди-
скретизации по времени и координатам случайного процесса. Это,
в свою очередь, приводит к тому, что в некоторых случаях шаг по
78
одной из координат случайного процесса оказывается настолько
малым, что при реализации алгоритмов на ЦВМ. для размещения
соответствующих массивов требуется очень большой объем опера-
тивной памяти, а для решения задачи — большое время счета.
Использование более крупного шага приводит к необходимости
интерполяции решения в промежуточных точках, что снижает об-
щую точность вычислений, которая и так не поддается априорной
оценке. Для решения краевой задачи (5.40) — (5.13) в этом смыс-
ле более продуктивным является использование сеточных методов
решения дифференциальных уравнений в частных производных
[5.16; 5 17].
Покроем область S : {GX1^x^GX2, GYl^y^zGY2} измене-
ния переменных х и у прямоугольной сеткой с помощью прямых
x^GXl + (I— 1)НХ, I=Y1M, IM = [(GX2—GX1)/HX] + 1,
y~GYl + (J — 1) HY, J = ГЖ JM = [(GY2~GYT)/HY] + 1,
(5.14)
где HX и HY — шаги дискретизации по переменным х и у; GX2 =
= — GX1 = 1 — границы области по х, GY 1\ GY2 — границы обла-
сти по у, которые выбираются достаточно большими (примерно
несколько значений стационарного стандартного отклонения) в
каждом конкретном случае; [•] — обозначает целую часть числа.
В (5.10) заменим производную по времени т разностным отно-
шением вперед, а производные по координатам х, у — централь-
ными разностными отношениями [5.15; 5.16]. В результате полу-
чим явную разностную схему решения краевой задачи (5.10) —
(5.13) вида
Р{1, J, 7<+1) = С1(Д ДР(Д J, K) + C2(I,	1, J, +
+ СЗ(Л J)P(J+1, J, 7<) + С4(Д J)P(I, J+1,	+
+ C5(I, J)P(I, J-l, 7<) + C6{P(Z+l, J+l, К)~
—Р(Ж, J— 1, К)—P(I— 1, J+Y К)+Р{1~1, J—1, К)},
2С/С/М— 1, 2^J^JM~ 1;	(5.15)
P(I, 1, 7<+l) = P(Z, JM, 7<+1) = 0, 1 С/С/М,
P(l, J, K+1) = P(IM, J, #+1), 2 < JM,	(5.16)
P(l, J, К+1) = С1 (1, J)P(1, J, 7<) + С2(1, J)P(IM — 1, J, К) +
+ С3(1, ДР(2, J, /<) + С4(1, J)P(1, J+1, К) +
+ С5(1, ДР (2, J— 1Л) + С6{Р(2, J+1, К) —
—Р(2, J—1, К)—Р(1М— 1, J+1, K) + P(IM — 1, J— 1, К)},
2<JCJM — 1.	(5.17)
Здесь Р(/, J, К) — значение Р(х, у, т|х0, у0, т0) в узле I, J сетки
(5.14) в момент времени т—хн=К.НТ, где НТ — шаг дискретиза-
ции по времени;
79
€! (Л =	^1—ЯГ{ахх(/, +	J)},
axx (x, y) = ~l~ax (x, y), ayy (x,y)=-J- ay (x, y),
ox	dy
C2 (I, J) =	+ — ax (I, J),
2(HX)2	>2#X	’
C3(Z, J)=A*2^------а (Д j)
2(#X)2 2ЯХ
C4(Z, J)=	----— ay(I, J),
2(HY)2 2HY '	'
C5(I, J) = -byy HT --Y JU—ay (I, J),
2 (HY)2 2HY
C6 = bxy HT/^HX HY).	(5.18)
Разностные уравнения (5.15), (5.17) аппроксимируют (5.10) с
точностью О (НТ + /7Х2 + HY2). Полученная явная разностная схе-
ма устойчива при выполнении условия [5.16]:
НТ с [ (яхр + (W + ™ах [ахх	У^+ йуу У^]	'
Разностная схема (5.15) — (5.17) позволяет последовательно
при k = 0, 1, 2, ... вычислять значения Р(х, у, т|х0, у0, То) для всех
(х, у)^Е. Использование численных методов для нахождения
плотности вероятности перехода, т. е. для решения (5.10) с на-
чальным условием (5.11) и соответствующими граничными усло-
виями, имеет специфические особенности, связанные с заданием
решения на начальном слое (при k = 0). В этом случае решение
(5.10) методом сеток следует начинать с некоторого момента вре-
мени тн7>то. На интервале то, тн используется гауссово приближе-
ние [5.9], которое при малых тн—то согласно асимптотическому
представлению дельта-функции выполняется достаточно точно.
Таким образом, вместо (5.11) будем иметь
Р(х, у, тн|х0, у0, т0) =——=2==ехр{ — [V22(x—шх)2—
2л V Vn V22 - V22
— V12(x—mx)(y—myj + V^y—Ю2] [2 (Vu V22 — V2,)]'1 }.	(5.19)
Параметры распределения (5.19) определяются из решения си-
стемы уравнений
= ах (тх, ту), тх (т0) = х0,
а %
= ау (тх, ту), ту (т0) = у0,
а %
^хх Т~ (тх, ту) Vji 4~	(тх, ту) V12,
80
~^ = ЬхУ + аУх(тх, my)Vu + axy(mx, my)V22 +
а т
+ [«xx (mx, my) + ayy (mx, my)] V12,
__2? = byy + 2ayx (mx, my) V12 + 2ayy (mx, my) V22,
а т
axy (x, y)=~l-ax (x, y), ayx (x, y) = -^-ay (x, y),
dy	dx
^(то)=У12(то) = У22(то) = О.	(5.20)
Если решение (5.10) требуется найти при каком-либо другом
начальном условии, отличном от (5.11), необходимость использо-
вания (5.19), (5.20) отпадает.
Пример. Описанные численные методы были применены для анализа ста-
тистической динамики СФС с интегрирующим фильтром в цепи управления при
значениях параметров т=Dгр1 =D^=Ьы =0, характерных для систем связи со
стационарными объектами, при HX=HY=0,Y, //Т = 0,01; GY2 =—6У1=3 и
Р = 0,25. Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 5.2—5.10.
На рис. 5.2—5.5 для р=2 показаны изменения во времени математических
ожиданий тх(т) и ту(х) стандартных отклонений стх(т), оу(т) и коэффициен-
та взаимной корреляции гху(г) при различных относительных средних рас-
стройках Йн/Qy генераторов по частоте и начальных значениях координат, по-
лученные при помощи интегрирования двумерной плотности вероятности
Р(х, у, т|х0, у0, то). Изменения во времени соответствующих одномерных плот-
ностей вероятности при р = 2, х0 = 0, у0 = 0,5 представлены на рис. 5.6, 5.7. Пред-
ставленные зависимости позволяют наглядно оценить длительность и интен-
сивность переходных процессов в СФС второго порядка, что, в свою очередь,
позволяет количественно охарактеризовать качество синхронизации в процессе
ее установления.
По окончании переходных процессов рассмотренные численные методы поз-
воляют получить стационарные законы распределения ошибок по фазе и час-
тоте. На рис. 5.8, 5.9 приведены одномерные стационарные законы распреде-
ления для р=2 при различных средних расстройках по частоте. Зависимость
81
Рис. 5.6
Рис. 5.7
Рис. 5.8
82
стационарного распределения ошибки по фа-
зе от отношения сигнал/шум характеризует-
ся кривыми на рис. 5 10. Проведенные рас-
четы показали, что описанные численные
методы позволяют получить исчерпывающую
информацию о статистической динамике СФС
второго порядка при сравнительно неболь-
ших затратах машинного времени. Напри-
мер, один вариант расчета, использованный
для построения кривой на рис. 5 2—5.10, за-
нимал менее 30 мин машинного времени ЦВМ
ЕС-1022
Рис. 5.10
5.4.	Вероятность срыва синхронизации 1
Для оценки работоспособности радиотехнических систем, в
которых СФС используются для измерения фазы с точностью до
одного периода опорного колебания, необходимо исследовать ха-
рактеристики срыва синхронизации [5.6—5.10; 5.18]. Исчерпыва-
ющей характеристикой качества синхронной работы СФС в усло-
виях действия помех и других дестабилизирующих факторов яв-
ляется вероятность поддержания режима синхронизации в течение
заданного интервала времени, т. е. вероятность того, что в тече-
ние этого времени параметры, характеризующие динамику СФС,
не выходят за некоторые предельно допустимые значения.
Рассматриваемая СФС второго порядка (5.8) имеет счетное
число состояний равновесия [5.6], из которых точки
х'п = (1/л) arcsin (QH/Qy) ± 2 п, п = 0, 1,2, . . . ,# = 0,
соответствуют устойчивым, а точки
х"п =—(1/л) arcsin (QH/£2y) ± (2 н+ 1), п = 0, 1,2, . . .,y=Q
неустойчивым состояниям равновесия.
Определить срыв синхронизации можно по-разному. В данной
работе, например, под срывом синхронизации в СФС второго по-
рядка будем понимать, во-первых, первое достижение координат-
ной х(т) ближайших точек неустойчивого состояния равновесия
системы Xi, х2 [5.10; 5.18] и, во-вторых, выход мгновенной рас-
стройки по частоте за полосу удержания системы, определяющую
максимально возможную расстройку по частоте, которую может
компенсировать цепь управления [5.7].
Вероятность поддержания синхронизации Q(x, у, т) в течение
интервала времени т, т. е. вероятность того, что в течение этого
времени траектория марковского процесса х, у ни разу не поки-
1 Результаты, приведенные в § 5 4—5 5, получены совместно с В. С. Бе-
лоусовой.
83
нет область синхронного режима работы Е: {xi^x^x2, |у\^'1}г
удовлетворяет первому уравнению Понтрягина [5.1]:
дО.(х,У,х} = bxx d2Q(x, у,х) . d2Q (х, у, т) byy d2Q(x, у, х) .
дх	2 дх2	ху дхд у 2 д у*
+ а, (х,у)	+ а (х, у}	,	(5.21)
дх	у	ду
с начальным условием
Q (х. у. 0) = 1, (л:, у) 6 Е4 Г,	(5.22)
и граничным условием
Q (х, у, т) = 0 при (х, у} б Г, 0.	(5.23)
Здесь через Г обозначена регулярная часть границы области Е.
Отметим, что по известной вероятности поддержания синхрони-
зации Q(x, у, т) могут быть найдены любые моменты zn(x, у),
/7 = 1, 2, 3, ... распределения времени до срыва синхронизации по
формуле
zn (х,у) = п J xn~l Q(x, у,т) dx.	(5.24)
о
Соответствующей заменой переменных в (5.21) с учетом (5.9)
можно показать, что Q(x, у, т) не зависит от того, в окрестности
какого устойчивого состояния равновесия рассматривается срыв
синхронизации. Поскольку обычно представляют интерес мини-
мальные ошибки по фазе, будем рассматривать краевую задачу
(5.21) — (5.23) в области
— f	,1	. йи -	_ ,	1	•	i ।	1 I
с. : хт = — 1---arcsin — < х < 1---arcsin — = х2; \ у < 1 .
[ 1	л Йу	л Йу	1 J
Регулярная часть границы Г области Е определяется в соответ-
ствии с известными правилами [5.8, 5.9]. В зависимости от пара-
метров СФС и характеристик нестабильности генераторов воз-
можны два вида краевых задач.
Если параметр m^=Q, то вся граница области Е регулярная:
Г :{х = х1, — 1 < у < 1 ; х - - х2, — 1 < у < 1 ; х± < х < х2, | у\ = 1}.
(5.25)
Аналогичная ситуация имеет место при m = Q, если У=0
или Dy =#0.
Если параметр /п=0, что соответствует наличию в цепи управ-
ления СФС интегрирующего фильтра, и Dyi=Dy =0, то регуляр-
ная часть границы Г представляет собой часть границы области Е
и имеет вид
Г: {х — х±,— 1 С у < 0; х = х2,0<у	1 ; С х2, \у\ = 1}.	(5.26)
84
в этом случае начальные и граничные условия, а следовательно,
и (решение краевой задачи (5.21) — (5.23) имеют разрыв первого
рода по координате у в особых точках Xi, 0 и х2, 0.
Таким образом, определение вероятности срыва синхронизации
в СФС второго порядка сводится к решению двух типов краевых
задач (5.21) — (5.23). Аналитическое решение этих задач в настоя-
щее время затруднительно. Однако оно сравнительно просто мо-
жет быть получено сеточными методами. Согласно этим методам
простейшая разностная схема решения краевой задачи (5.21) —
(5.23), (5.25) получается заменой производных по переменным х и
у в уравнении (5 21) центральными разностными отношениями, а
производной по времени — разностным отношением вперед. По-
лучающаяся явная разностная схема имеет априорную точность
О (НТ + HX2 + HY2), она подробно рассматривалась в предыдущем
параграфе. Отличие заключается только в том, что вместо (5.17)
нужно использовать (5.23), а вместо (5.19), (5.20) — (5.22).
Для решения краевой задачи (5.21) — (5.23), (5.26) производ-
ная по координате х в (5.21) заменяется разностным отношением
назад для точек области S, где */<0, и разностным отношением
вперед для точек области Н, где г/>0, а производные по коорди-
нате у—центральными разностными отношениями. Производная
по времени заменяется разностным отношением вперед. В резуль-
тате получается явная разностная схема
Q (I, J,K + 1) = С 1 (J)Q(I,	C2(J)Q(I— 1, J,/Q + {C3—
— C4ay (I,J)}Q(I,J-l,K) + {C3 + C4ay(I,J)}Q(I,J+lK),
I = 2JM ; J = 2,(J 0—1),/<>0;	(5.27)
Q(I, J,K+1) = C5(J)Q(I, J,K}-YC2(J)Q(I+1, J,7<)-F{C3-F
+ C4ay(I, J)}Q(I, J+l,K) + {C3-C4au(I, J)}Q(I,
1=1,(IM—1), J = JO, (JM-l),K>0;	(5.28)
Q(I, J,0) = l,I = 2JM,J = 2J~O,
O) = 1,I=1,(IM—11,J = JO,(JM—1) ;	(5.29)
Q (1, J, K) = 0, J = 1,(70—1), Q (I M, J, K) = 0, J - (JO+1),JM,
Q(I, 1,7<) = Q(Z, jM,K) = Q, I=y7M,K> 0.	(5.30)
Здесь в отличие от (5.18) приняты следующие обозначения:
с 1 (J) = 1	+ТГх а*{J)'с 2 (J) = нх “х {J)'с 5 |7) = 1 “
(ЯГ)а ИХ ’	2 (ЯГ)2 2HY
JO = [1/HY] + 1.
Решение краевой задачи (5.21) — (5.23), (5.26) в особых точ-
ках %1, О и х2, О не может быть найдено >по (5.27) или (5.28). Под
85
решением в этих точках будем понимать значения
Q (xj, О, т) = lim Q (х, у, т), Q (х3, 0, т) = lim Q (х, у, т).
X-^Xt	х~* х2
г/-о+	z/-0-
Поскольку производная — Q(x, у, т) при н=0 существует,
дх
значения Q(l, JO, К) и Q(IM, JO, К) могут быть определены эк-
страполяцией по найденным решениям в остальных узлах слоя J0
(либо экстраполяцией решения при г/->0±). Начальные условия
в узлах 1, J0 и IM, J0 задаются такими же, как всюду в области
rjql \\ р1
Разностные уравнения (5.27), (5.28) аппроксимируют (5.21)
с точностью О (HX+HT + HY2). Разностная схема (5.27)—5.30)
устойчива при выполнении условия [5.16]:
НТ^ f 4- — max I ах(у)\ 1 '.
((ЯГ)2 НХ в 1 J
Отметим, что объем вычислений при реализации алгоритмов
решения краевой задачи (5.21) — (5.23) определяется не только
значениями шагов дискретизации по переменным х, у, т, но и дли-
тельностью физических процессов в исследуемой системе. Если
вычисления удается провести до вероятности Q(x, у, т), примерно
равной априорной точности разностной схемы, то из (5.24) можно
получить моменты распределения времени первого достижения
границ области S.
Пример. В качестве иллюстрации применения алгоритмов (5.27) — (5.30)
были проведены расчеты вероятности поддержания синхронизации Q(x, у, т) в
СФС второго порядка с интегрирующим фильтром в цепи управления при
m-D^ = 7)^=0. Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 5.11—5.14.
На рис. 5.11 и 5.12, в частности, показана двумерная зависимость вероят-
ности поддержания синхронизации от начальных координат системы х, у при
р=1; р = 0,25; 7)о=1 в момент времени т = 2 в отсутствие средней расстройки
по частоте (QH = 0) и при относительной .средней расстройке QH/Qy = 0,75. Как
следует из рис. 5.11, 5.12, наличие средней расстройки по частоте приводит
как к уменьшению вероятности поддержания синхронизации в течение задан-
ного интервала времени т, так и к деформации двумерной поверхности, что
существенно усложняет аналитическую аппроксимацию решения.
На рис. 5.13 представлена зависимость вероятности поддержания синхро-
низации Q(0, 0, т) от времени при постоянных параметрах р==5; {3 = 0,25;
—0 и различных относительных средних расстройках QH/Qy. Зависимость
вероятности Q(0, 0, т) от времени т при постоянных параметрах р=5; {3 = 0,25;
QH = 0 и различных значениях параметра Dа, характеризующего интенсивность
флуктуаций частоты полезного сигнала, изображена на рис. 5.14. Штрихпунк-
тирными линиями показана зависимость вероятности поддержания синхрони-
зации от времени, полученная приближенным методом [5.18]. Эти зависимости
наглядно демонстрируют влияние параметров сигнала и схемы ФАП на ве-
роятность поддержания синхронизации и точность ее вычисления приближен-
ными методами. Так как время, необходимое для расчетов по (5.27) — (5.30),
зависит от длительности физических процессов в СФС, то исследование ве-
роятности поддержания синхронизации со сравнительно малыми затратами ма-
шинного времени наиболее подробно удается провести в области пороговых
86
значений отношения сигнал/шум (в рассматриваемом примере рс~5). Напри-
мер, расчеты на ЦВМ ЕС-1022, использованные для построения одной кривой
на рис. 5.13, 5.14, заняли менее 15 мин машинного времени и позволили полу-
чить не только вероятность Q(x, у, т), но и вычислить моменты распределения
времени до срыва синхронизации.
Анализ результатов вычислений при различных параметрах системы пока-
зывает, что, начиная с некоторого момента времени ть зависимость вероят-
Рис. 5.11
ности поддержания синхронизации от времени Q(x, у, т) может быть с доста-
точной степенью точности аппроксимирована функцией Q(x, у, т)^а(х, у)Х
Хехр{—Щх, у)т}, T^sTi. Эта аппроксимация показана на рис. 5.13 и 5.14
пунктирными линиями. Видно, что ее использование позволяет значительно со-
кратить объем вычислений и тем самым рассчитывать вероятность поддержа-
ния синхронизации в течение заданного времени для отношений сигнал/шум,
значительно больших порогового. Результаты подобных расчетов могут быть
использованы для количественной оценки работоспособности квазикогерентных
приемников в течение заданного времени.
87
Рис. 5.12
Рис. 5.13
Рис. 5.14
88
5.5. Статистические характеристики срыва синхронизации
Вычисление вероятности поддержания синхронизации даже
для СФС первого порядка осложняется тем, что затраты машин-
ного времени, необходимого для проведения расчетов, зависят от
длительности физических процессов, протекающих в системе
[5.12]. На практике обычно ограничиваются вычислением момен-
тов распределения времени до срыва синхронизации (в частности,
среднего времени до срыва синхронизации), которые в практиче-
ских приложениях достаточно полно характеризуют качество син-
хронной работы СФС.
Моменты zn(x, у), п=1, 2, ... распределения времени первого
достижения границ области синхронизации Е : {Х[’^х^х2, У1^
^#^=#2} из точки (х, j/)eE удовлетворяют второму уравнению
Понтрягина [5.1]:
Ьуу д2гп (х, у) b д2гп (х, у) Ьхл д2 гп (х, у)
2 ду2	ху дхду ^2 дх2
+ ах (х, у) — п + ау (х, у) d—n^x,y} =—nzn-x (х, у},
дх	ду
/2=1,2, . . . , г0 = 1,
(5.31)
с граничным условием
zn (х, </) = 0, (х,//)€ Г,/г =1,2, . . .,	(5.32)
где Г — регулярная часть границы области синхронизации Е
[5.8, 5.9].
Аналогично § 5.4 можно показать, что в зависимости от пара-
метров СФС и характеристик флуктуаций фазы генераторов воз-
можны две 'краевые задачи. Численные методы решения краевой
задачи (5.31), (5.32) в случае, когда условия (5.32) задаются на
всей границе области Е, рассматриваются в [5.9].
Если параметр ш = 0, что соответствует наличию в цепи уп-
равления СФС (5.8) интегрирующего фильтра, и параметры
=0, то Г 'Представляет собой часть границы области Е:
Г : {х = xv 0 > у > — 1 ; х = х2,0 < у 1 ; хг < х < х2,|у| = 1}.	(5.33)
Уравнение (5.31) в этом случае относится к ультрапараболи-
ческому типу в частных производных, а граничные условия
(5.32) и решение (5.31) имеют разрыв первого рода по перемен-
ной у в особых точках Xi, 0 и х2, 0.
Простейшая разностная схема решения (5.31) получается,
если заменить производную по координате х разностным отноше-
нием назад для точек области Е, где //<0, и разностным отноше-
нием вперед для точек области, где у>0, а производные по ко-
ординате у — центральными разностными отношениями. В резуль-
89-
тате в матричных обозначениях разностная схема решения крае-
вой задачи (5.31) — (5.33) будет иметь вид
₽7	-«У и7 + «7 и7-! = s7^ = 2,(70—1);	(5.34)
р7U/-, = S+, J = (Т0+1),(ТМ-1);	(5.35)
Ur=0,U+, = 0.	(5.36)
Здесь U~j=[£7(2, J), ...» U(IM, /)]т — вектор-столбец размером
(IM—1), который представляет собой совокупность решений
zn(I, J) при у<_0 в узлах I, J, сетки (5.14), U+j=[U(l, J), ...,
U (IM—1, /)]т— вектор-столбец размером (IM—1), который
представляет собой совокупность решений zn(I, I) в узлах I, J
при г/>0; т — означает операцию транспонирования; квадратные
матрицы R+j и R~j размером (IM—1) X (IM—1) имеют вид
r-j=C/(J)E + C2(/)E1, R+j=C5(J)E—C2(J)E1\ где Е — единич-
ная матрица, a Ei — матрица, у которой отличны от нуля и равны
единице только элементы, стоящие на первой нижней диагонали.
Элементы квадратных диагональных матриц P~j, Q~j, P+j, Q+j
размером (IM—Y)X(IM—1) и векторов-столбцов S_j, S+j опре-
деляются соотношениями
P~(k,k) = C3(k+l, J),Q~ (k,k) = C4(k+l, J),
P+(k, k) = C3 (k, J), Q+ (k, k) = C4(k, J),
S7(k) = 2(HYynzn_x (k+YJ),
S+ (k) = 2 (HY)2 nzTl^1 (k, J), k = 1,(/M —1),
где в отличие от (5.18) приняты обозначения
с 1 (J) = 2 bm-2 ^ax(J),C2 (J) = 2	ах(У).
С 3 (/, J) - bm + HY a, (/, J),C4 (/, J) = b„-
- HY at(/, J), С 5 (J) = 2	+ 2 ах (J).
Неявная разностная схема (5.34) — (5.36) устойчива при лю-
бых значениях шагов по переменным х и у. Априорная точность
разностной аппроксимации (5.31) имеет порядок О (НХ + HY2).
Под решением краевой задачи (5.31) — (5.33) в особых точках
Xi, 0; х2, 0 можно понимать
С7 (хъ 0) = lim U (х, у), U (х2,0) = lim U (х, у).
X —	X —
г/-0—
Так как производная — U при у=0 существует, то значе-
дх
пня U(%1, 0) и U(х2, 0) могут быть найдены экстраполяцией ре-
шения U(I, JO), 1 = 2, (IM—1). Решение в точках, соответствую-
90
щих узлам (I, JO), 1 = 2, (IM—1), непрерывно и удовлетворяет
матричному уравнению
PjoUjo-[-i—Rjo Цю + Qjo Ц/о-1 =Sjo,	(5.37)
где UJ0+1 — часть вектора U+jo-h = [ £/(1, /0 + 1), UTj-0+i]T, а
Ujo-! — часть вектора Lkjo-i= [UTJ0-i, U(IM, JO—1)]T,	=
= [0(2, JO), ..., U(IM—1, /0)]т, элементы квадратных диагональ-
ных матриц Pjo, Rjo, Qjo размером (IM—2) X (IM—2) и вектора-
столбца Sjo имеют вид
Pjo (k,k) = C 3 (k+ 1, JO), Qj0 (k, k) = C 4 (k+ 1, JO),
Rjo (k, k) = С 1 (JO), Sjo (k) = 2 (HY)2 nzn_x (k + 1, JO),
k=l,(IM — 2).
Для численного решения (5.34) и (5.35) с граничными усло-
виями (5.36), (5.37) можно воспользоваться методом матричной
прогонки [5.17], согласно которому решение ищется в виде
4-1 = 4	+	= 2, (JO— 1),	(5.38)
U+ = Е+_,U+_, +Z+_,, J = (JM-1),(JO+1),	(5.39)
где E-j, E+j Z~j, Z+j — некоторые матрицы и векторы.
Подставив (5.38) ,(5.39) в (5.34), (5.35), для определения ко-
эффициентов прогонки получим рекуррентные формулы
4+> = [4- ОтЕ/]-1 Рр
Z7+1 = 14-4 4414 4~4)- J=2, (J0-1);	(5.40)
4-, = 14-Р/ 4]-*4,	(5.41)
z+_, = 14-р/ 4Г14 4-41-J =
Из (5.36) следуют граничные условия, необходимые для вы-
числения коэффициентов прогонки (5.40), (5.41):
4 = 4 = 4и-1=4и-. = °-	(5-42)
Решение Ujo удовлетворяет
Ujo—1 = EjoLJjo + Zjo, Ujo-i-i =EjoUjo + Zjo,	(5.43)
где Е+/о и E~jo — квадратные матрицы размером (IM—2) X
X (IM—2) с элементами Ejo(1, т) =E~J0(l, т), E+jo(1, т) =
= E+J0(l+Y m+1); I, т=1, (IM—2); вектор-столбец Z~jo пред-
ставляет собой первые (IM—2) элемента Z~jo, а вектор-столбец
Z+jo — последние (IM—2) элемента вектора-столбца Z+jo- Из
(5.37) — (5.43) получим
Ujo= [PjoEjo—/?jo+ QjoEjo]"-1 [Sjo— PjoZjo—Qjo ZjoP	(5.44)
91
Формулы (5.40) — (5.42) позволяют последовательно для
J = 2, (JO—1) и J=(JM—1), (/0+1) вычислить .коэффициенты
прогонки E~j, Z~j и E+j, Z+j. Затем согласно (5.44) можно опре-
делить Ujo и решение в особых точках 1, /О; IM, JO. Далее, на
•основании (5.38), (5.39) можно определить решение для всех
/=2, (/М—1).
В случае (5.9) условие устойчивости решения разностных
уравнений (5.34), (5.35) методом матричной прогонки [5.17] при-
нимает вид HX<YHYmin |ах(х, у) [ =2(//У)2/лф. Отметим, что
время решения краевой задачи по (5.38) — (5.42), (5.44) не зави-
сит от длительности физических процессов в СФС и определяется
только значениями шагов НХ и HY и размером области S, т. е.
размерностями соответствующих матриц и векторов.
Пример. Описанный метод вычисления статистических характеристик срыва
синхронизации был применен для расчетов среднего времени до срыва синхро-
низации zt(x, у) при m=Dtyi =D^p=O.
На рис. 5 15 изображена двумерная зависимость среднего времени до сры-
ва синхронизации от начальных значений координат системы zi(x, у) при р = 5,
Он = 0, 0 = 0,05 и Da =3. На рис. 5.16 показана зависимость zi(0, 0) от отно-
Рис. 5.15
92
Рис. 5.16
шения сигнал/шум р при отсутствии средней расстройки по частоте QH=0 и
флуктуаций частоты полезного сигнала Z)Q=0 для различных отношений пос-
тоянной времени фильтра к полосе удержания системы 0. Пунктирными ли-
ниями представлена зависимость среднего времени до срыва синхронизации,
вычисленная при тех же параметрах по формуле
/2б\/2б\-|/л
zlsf =2лр/01-т— )ехр(у- ) у -г—,	(5.45)
\ °УУ /	\ °УУ / ' °УУ
которая получена методом вычисления среднего числа пересечений ошибкой по
фазе уровней х^ =—1, х2=1 в стационарном состоянии [5 9].
Видно, что зависимость гЦО, 0) от отношения сигнал/шум р носит явно
выраженный пороговый характер (для рассмотренных областей изменения па-
раметров рп~5). Как следует из графиков рис. 5.16, для значений р, больших
порогового, эта зависимость с заданной точностью может быть аппроксимиро-
вана простым выражением
Zi(0, 0) = аехр(6р), D^ = 0.	(5.46)
Изменения коэффициентов аппроксимации а и b в зависимости от пара-
метра р при Lw=QH = 0 показаны на рис. 5 17. Отметим, что аппроксимация
(5.46) для различных значений QH/Qy позволяет табулировать значение гЦО, 0)
в надпороговой области. При этом коэффициенты аппроксимации могут быть
Рис. 5.17	Рис. 5.18
получены (табулированы) при вполне допустимых затратах машинного време-
ни. Например, для получения кривых на рис. 5.17 понадобилось менее часа
машинного времени ЦВМ ЕС-1022
Наличие средней расстройки частот подстраиваемого генератора и полез-
ного сигнала приводит к значительному ухудшению качества синхронизации.
Этот факт наглядно иллюстрируется ходом кривых на рис. 5 18, где приведена
93
зависимость Z\(0, 0) от отношения сигнал/шум р при D =0, 0=0,25 и различ-
ных относительных средних расстройках по частоте QH/Qy.
Изменение среднего времени до срыва синхронизации zi(0, 0) в зависимо-
сти от параметра при QH = 0, 0 = 0,25 показано сплошными линиями на
рис. 5.19. Отметим, что при наличии флуктуаций частоты полезного сигнала
среднее время до срыва синхронизации при р->-оо стремится к некоторому ко-
нечному значению, которое определяется параметрами и 0 (рис 5 20).
Пунктирными линиями на рис. 5 19, 5 20 изображена зависимость среднего вре-
мени до срыва синхронизации для тех же параметров р, Z)o, QH и 0, полу-
ченная по (5 45). Приведенные на рис. 5 16, 5 19 и 5 20 кривые наглядно демон-
стрируют точность вычисления среднего времени до срыва синхронизации приб-
лиженным методом
Результаты вычислений статистических характеристик срыва
синхронизации на основании численного решения (5.31) позво-
ляют, в частности, определить области устойчивой работы СФС
второго порядка, т. е. области начальных значений координат,
при которых среднее время до срыва превышает заданное значе-
ние (например, yHZi (0, 0)). На рис. 5.21 показаны области, полу-
чающиеся сечением поверхности Zi (х, г/), приведенной на рис. 5.15,
при ун=0,2; 0,5 и 0,8. Эти области напоминают сечения функции
Ляпунова, которая широко используется для анализа устойчиво-
сти по начальным данным в качественной теории детерминиро-
ванных динамических систем [5.19].
Можно также определить полосу захвата Q3 СФС, например,
как область начальных расстроек по частоте, при которых сред-
нее время до срыва синхронизации будет не меньше заданной до-
ли от его максимального значения. В частности, на рис. 5.22 изо-
94
бражена зависимость Q3/Qy от |3 при р = 20, QH=0 и Da =0. Пунк-
тирной линией показана зависимость Q3/Qy, вычисленная по фор-
муле [5.20]
£23/Оу = 4 У~р/л при Q3/Qy < 0,8.	(5.47)
При построении кривой на рис. 5.22 значение ун=0,8 выбиралось
так, чтобы отношение Q3/Qy, полученное описанным методом, сов-
ладало с вычисленным по (5.47) при Q3/Qy<CO,8.
Формула (5.47) получена в [5.20] применительно к детерми-
нированным СФС методом усреднения Н. Н. Боголюбова, Н. М.
Крылова и Ю. А. Митропольского. Как следует из графиков,
представленных на рис. 5.22, весьма различные подходы, связан-
ные с анализом статистической и детерминированной динамики
СФС, позволяют получить довольно близкие результаты, что объ-
ясняется общностью физических явлений, лежащих в основе ис-
следуемых процессов.
Глава 6
Использование кумулянтного анализа
для исследования СФС
6.1. Подход к изучению статистической динамики
К числу наиболее интересных и трудных вопросов в теории си-
стем фазовой синхронизации относится исследование статистиче-
ской динамики, т. е. изучение динамики систем фазовой синхро-
низации при действии случайных возмущений. Как ясно из пре-
дыдущих глав, из-за существенной нелинейности систем фазовой
синхронизации изучение динамики таких систем даже без учета
случайных возмущений затруднительно, в особенности это отно-
сится к системам третьего и более высокого порядков. Что касает-
ся статистической динамики систем фазовой синхронизации, то
95
положение сейчас таково, что несмотря на наличие многочислен-
ных исследований, приходится отмечать, что полностью изучить
эти вопросы пока не удалось даже для простейших моделей [6.1—•
6.4].
Классическая постановка задачи о рассмотрении динамичес-
ких систем при наличии случайных возмущений была дана
Л. С. Понтрягиным, А. А. Андроновым и А. А. Виттом в [6.5].
Эта задача сводилась к исследованию зависимости от времени ре-
шений уравнений Фоккера — Планка — Колмогорова (ФПК) для
плотности вероятности переменных, описывающих состояние си-
стемы. Большинство работ по исследованию влияния шумов на
системы фазовой синхронизации решались в этой постановке. Од-
нако отыскание решения уравнения ФПК для систем фазовой син-
хронизации даже с использованием ЭВМ. (см. гл. 5)—задача
сложная [6.4]. Получить стационарные решения нелегко. Най-
ти же нестационарные решения уравнений ФПК, т. е. исследовать
статистическую динамику — задача значительно более трудная.
В этой связи большой интерес вызывают возможные подходы к
исследованию статистической динамики систем фазовой синхро-
низации, не требующие непосредственного отыскания решений
уравнения ФПК-
В [6.6] предложен подход к исследованию статистической ди-
намики систем фазовой синхронизации, основанный на использо-
вании кумулянтного анализа [6.8]. При этом изучается измене-
ние во времени не распределения плотности вероятности фазовых
переменных, а величин, являющихся характеристиками этого рас-
пределения, — кумулянтов1. Кумулянтное описание состояния сто-
хастической системы столь же полное, сколь и непосредственное
описание с помощью вероятностного распределения. Уравнения,
описывающие изменение кумулянтов во времени, получаются из
стохастического уравнения [6 7; 6.8] и являются обыкновенными
дифференциальными уравнениями. Следовательно, если каждое со-
стояние системы в некоторый момент времени характеризовать
определенным набором кумулянтов, то изучение изменения во
времени этой системы, т. е. исследование статистической динами-
ки, сводится к изучению движения изображающей точки в фазо-
вом пространстве кумулянтов.
Переход от стохастического уравнения к системе нелинейных
обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих эво-
люцию кумулянтов, облегчает задачу исследования статистичес-
кой динамики, поскольку для исследования поведения фазовых
траекторий в пространстве кумулянтов могут быть привлечены
хорошо (разработанные методы нелинейной теории колебаний
[6.9]. Однако из стохастического уравнения для случайных пере-
менных получается в общем случае бесконечная система уравне-
ний и точное ее решение получить невозможно. Приходится ис-
1 Заметим, что для анализа статистических свойств системы ФАПЧ ис-
пользование кумулянтов впервые встречается в [10], где найдено частное ре-
шение для кумулянтов в зависимости от времени
96
кать приближенные решения, ограничившись рассмотрением
уравнений для конечного числа кумулянтов.
В качестве простейшего можно рассмотреть гауссово прибли-
жение искомого вероятностного распределения фазовых перемен-
ных. Для него Все кумулянты, начиная с третьего, равны нулю и
статистическую динамику полностью определяет система уравне-
ний для первых двух кумулянтов. В случае простейшего негаус-
сова приближения — эксцессного — отличны от нуля первые четы-
ре кумулянта [6 8]. Таким образом, учитывая достаточное чис-
ло кумулянтов, можно получить сколь угодно точную модель ста-
тистической динамики.
Заметим, что использование кумулянтного анализа для изуче-
ния динамики систем фазовой синхронизации позволяет с единых
позиций и с использованием единого математического аппарата
изучить как системы при действии случайных возмущений, так и
без них. Действительно, уравнения, описывающие статистическую
динамику, переходят при занулении всех кумулянтов, кроме перво-
го, в уравнения, описывающие динамику систем без шума. В этом
случае в качестве приближения распределения берется распреде-
ление детерминированной, а не случайной переменной, что позво-
ляет достаточно просто и естественно проследить переход от ди-
намики системы без шума, т. е. детерминированной системы к ста-
тистической динамике.
6.2. Исследование статистической динамики СФС
Рассмотрим в качестве примера систему фазовой синхрониза-
ции, на которую действует аддитивный шум [6.6]. Фильтр ниж-
них частот в цепи управления считаем идеальным, с операторным
коэффициентом передачи К(р) = \. В этом случае работу рассмат-
риваемой системы описывает стохастическое уравнение [6 1; 6.2;
6 6]:
d <p/dt + Qy sin ф ф- k % (/) = QH>	(6.1>
где ср — текущая разность фаз подстраиваемого и эталонного ге-
нераторов; Qy —полоса удержания; k — коэффициент усиления
петли; QH — начальная расстройка по частоте генератора; c,(t)—-
дельта-коррелированный случайный процесс, среднее значение ко-
торого <g(/)^=0, а функция корреляции (1 (/) • ^ (/ + T))=0,5jVd (Г)„
Учитывая, что <р(7) — марковский процесс, и ограничившись
гауссовым приближением распределения фазовой ошибки, следуя
[6 8], получаем уравнение для первых двух кумулянтов; — сред-
него значения и хг — дисперсии разности фаз — в виде [6 6]
(<₽)> ;	= 2 <ф, К, (ф)> + <К2> .	(6.2)
at	at
Здесь <..., . .> — кумулянтная скобка А. Н. Малахова [6.8], опре-
деляемая через моментные скобки выражением <,<p, Xi (ф)>=
=<<р. К1(ф)>—<ф) </G (<₽));
977
^(ф) = йн—Qysin(p;/C2 = o,5£2w	(6.3)
— .кинетические коэффициенты марковского процесса ф(/).
Учитывая (6.3) и вводя безразмерное время r=/Qy, парамет-
ры ун = Йн/Йу, р = £2Л72Йу и обозначения среднего. m=xi и дис-
персии £)=Х2, получим вместо (6.2) систему
=Тн — <sintp>,^ =р — 2 <<р,sin<p>,	(6.4)
где <sin <р^>= sin т e~D^2 , <$>, sin ц>У=О cos т o.~Di2.
Таким образом, в гауссовом приближении исследование статисти-
ческой динамики системы фазовой синхронизации с идеальным
фильтром сводится к анализу поведения фазовых траекторий не-
линейной динамической системы второго порядка для первых двух
кумулянтов — среднего т и дисперсии D [6.6]:
= ун—sinme“D/2	Р (m,D);	— [3—2 D cosme_£>/2 = Q (т, D).
(6.5)
Проанализируем систему (6.5). За фазовое пространство (6.5) в связи с
периодичностью правых частей по координате т принимается фазовый цилиндр
т, D с образующей, параллельной оси D. Будем рассматривать развертку ци-
линдра на часть плоскости —Хотя физический смысл имеют только
траектории в положительной полуплоскости D^O, исследование, с целью общ-
ности, будем вести на всем цилиндре. В связи с тем что правые части (6 5)
не меняются при замене т на —т. и ун на —ун, достаточно рассмотреть (6 5)
только для ун^0. По физическому смыслу параметр [3^0.
Разбиение фазового цилиндра определяется особыми траекториями: состоя-
ниями равновесия, сепаратрисами седел и предельными циклами [9.9], которые
лля (6.5) имеют ясный физический смысл: устойчивое состояние равновесия
т0, Do соответствует такому режиму в системе синхронизма, при котором уста-
навливается стационарное гауссово распределение разности фаз со средним зна-
чением тй и дисперсией Do', устойчивый предельный цикл, не охватывающий
(фазовый цилиндр (если он существует), соответствует установившемуся режи-
му биений в системе, при котором гауссово распределение разности фаз ме-
няется во времени так, что среднее значение т и дисперсия D меняются пе-
риодически около некоторых постоянных значений; устойчивый предельный
цикл, охватывающий фазовый цилиндр (если он существует), соответствует
установившемуся режиму биений в системе, при котором гауссово распределе-
ние разности фаз меняется во времени так, что среднее значение постоянно
нарастает, а дисперсия периодически меняется около некоторого постоянного
значения; взаимное расположение сепаратрис седла определяет области началь-
ных значений т и D, начиная с которых в системе устанавливается тот или
^рной режим.
Соответствующее (6.5) уравнение интегральных кривых
dD/dm = [р —2D e~D/2 cos/п]/[ун —sin me“D/2].	(6-6)
Из (6.6) определяем уравнения изоклин горизонтальных касательных
<2 (/п, D) р — 2 D e~D/2 cos т = 0	(6.7)
и вертикальных
Р(т, D) =уп — е~DP sin т = 0.	(6.8)
Точки пересечения кривых (6.7) и (6.8) для (6.5) определяют координаты
«состояний равновесия. На рис. 6.1а—в и 6.1г—е представлено для различных
значений параметров ун и Р качественное расположение изоклин вертикальных
и горизонтальных касательных соответственно.
98
Из анализа расположения изоклин (6.7) и (6.8) следует, что в рассмат-
риваемой системе возможно существование в общем случае трех состояний
равновесия, двух в положительной части фазового цилиндра Z)>0 (Л и В на
рис. 6.2) и одного в отрицательной части цилиндра (С на рис. 6.2). Определяя
параметрах ун и
-Л
Рис. 6.2
условия касания кривых (6.7) и (6.8), устанавливаем, что слияние состояний
равновесия А и В может происходить при определенных	~
в точках фазовой поверхности, удовлетворяющих кри-
вой (рис. 6 2), уравнение которой
D = 2cos2/n.	(6.9)
Координаты состояний равновесия определяются
уравнениями
ун — sin tn е~D‘2 = 0; 0— 2D cos т е~Dl2 = 0.	(6.10)
На рис. 6.3 представлена зависимость координат
состояния равновесия А от параметров ун и 0, полу-
ченная численно.
Решая (6.10) при условии (6.9), получаем урав-
нения
ун = sin т е~cos2 т', 0 = 4 cos3 tn e-cos2 т, (6.11)
определяющие на плоскости параметров ун, 0 бифуркационную кривую Tj точ~
'ки которой соответствуют слиянию состояний равновесия А и В. Кривая Г
представлена на рис. 6.4.
Характер любого состояния равновесия m0, DQ определяется по корням
характеристического уравнения [6.9]
з2 + /?з + <7 = 0,	(6.12)
где
Р = ~ [ Рт (то + Q'd (то > Do)] = cos т0 e~D^2 (3 — Do),
9 = Рт (то > Д.) Qd (то > ^о) PD (^о > £о) Qm (то > ^о) =
=	(2 cos2 т0 — Do).
4*
99
Определим характер состояния равновесия В. Если его координата j9b>2
(см. рис. 6.2), то из (6.12) следует, что в этом случае свободный член харак-
теристического уравнения <?<0. Если координата j9b<2, то, сравнивая накло-
ны изоклин горизонтальных и вертикальных касательных в точке В, также при-
ходим к справедливости условия q<Q. Действительно, условие г?<0 есть
Рис. 6.3
P'mQ'o—P'DQ'm<.Q. Отсюда следует необходимость выполнения &верт<&гор,
где kBepT = P'mlPfD — наклон изоклины вертикальных касательных (6.8) в со-
стоянии равновесия В, a &Гор = Q'm/Q'o — наклон изоклины горизонтальных ка-
сательных (6.9). Принимая во внимание, что состояние равновесия В располо-
жено выше кривой Р (6.9), устанавливаем, что при DB<2 в точке В справед-
ливо &верт<&гор (см. рис. 6.2). Таким образом, для состояния равновесия В
свободный член характеристического уравнения 7<0, следовательно, состояние
«равновесия В всегда седло.
Рис. 6.5
"Что касается состояний равновесия А и С, то, учитывая, что 0^1)д<2
и Ос^О, из (6.12) устанавливаем для А выполнение условий <7>0, р>0,
р2/4—7>0, а для состояния равновесия С справедливость условий 7>0, р<0,
р2/4—q>Q. Следовательно, [6.9] состояние равновесия А — устойчивый узел, а
С—неустойчивый узел (кроме случая (3 = 0, когда С — фокус).
Рассмотрим возможное расположение сепаратрис седла В. Аналогично то-
му, как это сделано в [6.11], обратимся вначале к случаю (3 = 0. Учитывая
зеркальную симметрию траекторий системы (6.5) относительно прямой т=тс12,
расположение главных изоклин и наклон интегральных кривых в областях
между изоклинами, однозначно устанавливаем разбиение фазовой поверхности
на траектории (рис. 6.5). Все траектории, расположенные выше сепаратрис М
и Lz седла В, замкнуты и охватывают фазовый цилиндр.
100
Теперь, зная фазовый портрет при р = 0, рассмотрим его изменение при
возрастании параметра £ (для yH = const). Разность векторных полей для
p2>Pi в каждой точке фазовой поверхности определяется выражением
fdD \	/£D\	Ра —Pi
Д4 = (	)	— (	)	—	.	_л/2 •	(6.13)
\ dm /р=₽2	\ dm/$=&,	— sin т е
В области фазовой поверхности ун—sin т е-г,/2>0, т. е. над изоклиной вер-
тикальных касательных (см. рис. 6.5), М > 0, следовательно, векторное поле
поворачивается против часовой стрелки, а в области уп—sin т е-г,/2< 0 — по
часовой. Пользуясь этим свойством, можно сделать заключение о том, что все
траектории, замыкающиеся при р = 0 вокруг цилиндра (на рис. 6.5 траектории,
расположенные выше седла В), с увеличением р становятся незамкнутыми,
поднимающимися вверх по цилиндру. При р = 0 координаты седла В тв = л/2,
£>в = 2 1п(1/ун). С ростом Р седло смещается так, что координата стано-
вится меньше л/2, a Dg<21п(1/ун) уточка В на Рис- 6.5). При этом
сепаратриса £t, выходящая из седла В, пересечет линию т=л/2 выше точки
с координатой 2 1п(1/ун). Учитывая свойство (6.13), заключаем, что сепаратри-
са Li седла В (при Р>0) пройдет выше сепаратрисы Li седла В (при Р = 0).
Аналогично устанавливаем, что сепаратриса L2 седла В при р>0 пройдет ни-
же сепаратрисы £2 при р = 0. Следовательно, для (6.5) при р>0 установлено
отсутствие замкнутых вокруг цилиндра траекторий, т. е. и отсутствие предель-
ных циклов, охватывающих цилиндр.
Исходя из расположения главных изоклин, следует сделать вывод о не-
возможности существования предельных циклов, не охватывающих фазовый
цилиндр.
Таким образом, структуру разбиения фазовой поверхности на
траектории системы (6.5) полностью определяют состояния рав-
новесия А, В, С и сепаратрисы седла В. Предельных циклов нет.
На рис. 6.66 — м представлены фазовые портреты системы (6.5)
для различных областей плоскости параметров ун, р, отмеченных
соответствующими номерами на рис. 6.6а.
Проанализируем полученные фазовые портреты. При отсутст-
вии шума, т. е. при р = 0, на фазовых портретах, построенных для
областей параметров 1—3, следует рассматривать только траекто-
рии на оси т. Очевидно, что движение изображающей точки по
оси т полностью совпадает с известным из анализа детерминиро-
ванной системы фазовой синхронизации первого порядка [6.1]:
при	для любых начальных значений разности фаз в
системе устанавливается синхронный режим (состояние равнове-
сия 4), а при ун> 1 —режим биений.
Для областей параметров 7—11 в системе отсутствует устой-
чивое состояние равновесия, следовательно, при любых начальных
условиях вероятностное распределение разности фаз изменяется с
ростом времени так, что среднее значение и дисперсия, начиная с
некоторого момента времени, постоянно нарастает (кроме пара-
метров, удовлетворяющих области 9 при ун=0, для которых сред-
нее 'значение устанавливается равным нулю, а дисперсия нара-
стает) .
Для областей параметров 4 и 5 в системе устанавливается
стационарное распределение со средним значением тА и диспер-
сий Da. Из фазового портрета следует, что стационарное распре-
деление устанавливается только для начальных значений коорди-
нат т и D, ограниченных сепаратрисами Л2 и £4 седла В. Числен-
- .	101
ное построение на ЭВМ сепаратрис седла при различных парамет-
рах позволяет оценить зависимость от них области «синхрониза-
ции» (области начальных условий, для точек которой имеет место
установление стационарного распределения). На рис. 6.7 приведе-
ны некоторые результаты вычисления сепаратрис седла В [6.12;
Рис. 6.6
102
6.13], из ^которых следует, что увеличение шума ведет к уменьше-
нию области «синхронизации».
Характер переходного процесса при установлении стационар-
ного распределения устанавливается исходя из расположения тра-
екторий. Практически для любых начальных условий переходный
процесс имеет апериодический характер. Вычисляя время движе-
ния изображаемой точки по траектории, можно сделать оценки
длительности переходных процессов.
Рис. 6.7
Таким образом, использование кумулянтного анализа дает
возможность при сделанных предположениях полностью изучить
статистическую динамику стохастической системы фазовой син-
хронизации, сравнить результаты со случаем отсутствия шума,
получить качественные и количественные сведения о возможных
стационарных и переходных режимах при наличии шума.
Уместно отметить, что дальнейшее развитие методики приме-
нения кумулянтного анализа к исследованию статистической ди-
намики безусловно потребует изучения целого ряда существен-
ных вопросов, не обсуждаемых здесь, таких, например, как иссле-
103
дования степени влияния негауссовбсти решения. Однако приве-
денные здесь результаты позволяют судить о перспективности ис-
пользования кумулянтного анализа для излучения статистической
динамики систем фазовой синхронизации.
Глава 7
Системы синхронизации, использующие
сложные фазоманипулированные
сигналы
7.1. Направления развития систем синхронизации
со сложными сигналами
Общие сведения. Для систем передачи информации понятие «син-
хронизация» характеризует соответствие между параметрами
принимаемого сигнала (фазой, частотой, времени прихода или
задержкой) и состоянием демодулятора и декодера приемника.
Когда такое соответствие необходимо обеспечить для ограни-
ченного множества параметров сигнала (например, только для ча-
стоты или частоты и задержки) проблема синхронизации включа-
ет следующие задачи:
обеспечение точности синхронизации;
обеспечение помехоустойчивости СФС, которая определяется
формой выбранного сигнала и оптимальностью приемника;
осуществление поиска или начальной синхронизации прием-
ника.
Рассмотрим первые две задачи.
Точность синхронизации. Точность оценки постоянных пара’
метров сложного сигнала — фазы, частоты и задержки — опреде’
ляется следующими зависимостями [7.1]:
FI = — ; а2, =-----!-----;	=-----!-------
”	,	q Г», (I -р=)	,F23(l-p2)’
где
f P\G(№df;T^, = ^- f P\S(t)\*dt
2 n </	2 n J
— OO	—00
(7.1), (7.2), (7.3)
(7.4)
соответственно эффективная полоса и длительность сигнала;
q-^O.EINQ — отношение сигнал/шум; р = —-—д *	—коэффици-
Т’э тэ dxdf
ент частотно-временной связи; Х(*)— функция неопределенно-
сти.
Из (7.1—7.3) следует, что при фиксированном значении
q^> 1 чем больше эффективные полоса F3 и длительность Тэ сиг-
нала, тем меньше дисперсия оценок по задержке и частоте. Дис-
персия оценок частоты и задержки уменьшается при стремлении
104
р к нулю.. Важнейшие параметры сигнала F3, Тэ, р однозначно оп-
ределяются видом функции неопределенности сигнала Х(т, $), и
между ними имеется связь. Совместная точность оценки частоты и
запаздывания может быть получена при перемножении (7.1) на
(7.2):
<72T29F28(l-p2)2 ’
т. е. зависит от произведения эффективной длительности на эф-
фективную полосу.
Из (7.2) — (7.5) следует, что точность синхронизации по часто-
те и задержке определяется формой сигнала (или его базой
В = 27эхА)), энергетическим параметром q и коэффициентом час-
тотно-временной связи р, причем чем больше ТЭРЭ, тем точнее син-
хронизация по f и т. Только для сложных сигналов обеспечивает-
ся РэТэ^>1, и поэтому они являются наиболее перспективными для
радиолиний синхронизации.
Из сложных дискретных сигналов наибольшее распространение
получили следующие: фазоманипулированные (ФМ) дискретные
частотно-манипулированные (ДЧМ) и манипулированные по двум
параметрам, например частотно-фазоманипулированные (ЧФМ).
К сложным сигналам, построенным на основе дискретных кодов,
проявляется в последнее время повышенный интерес, что объяс-
няется широким внедрением цифровой техники.
Оценка таких сигналов осуществляется, как правило, по следу-
ющим параметрам [7.1]: характеристикой функции неопределен-
ности; базой сигнала В = (2РЭТЭ, «ансамблем» сигналов при задан-
ной базе; взаимно-корреляционными характеристиками «ансамб-
ля» сигналов; правилами формирования «ансамбля» и сложностью
реализации генераторов сигналов.
Отдельные вопросы оптимизации сложных сигналов излагают-
ся в [7.1; 7.8; 7.9]. Если потенциальная точность синхронизации
зависит от формы сигнала, то реальная точность и помехоустой-
чивость приема зависят от степени оптимальности приемника.
Критерии оптимальности, методы синтеза систем синхрониза-
ции. При синтезе систем синхронизации наиболее целесообразным
критерием является вероятностный, обеспечивающий максимум
вероятности невыхода ошибки за заданные пределы, превыше-
ние которых приводит к срыву синхронизации или к появлению
аномальной ошибки. Поскольку вероятностный критерий доста-
точно сложен, то он, как показано в ряде работ [7.1; 7.8; 7.9],
может быть сведен к минимуму среднеквадратической ошибки.
Для этого критерия хорошо развит математический аппарат нели-
нейного и линейного синтеза.
Нелинейный синтез наиболее часто проводится на основе мар-
ковской теории нелинейной фильтрации [9.25] Р. Л. Стратонови-
ча. Эта теория позволяет синтезировать приемники сложных сиг-
налов, в результате чего получают сложные многоконтурные не-
линейные следящие структуры с перекрестными связями между
105
отдельными контурами [7.1; 7.7; 7,8]- Так приемник, обеспечива-
ющий оценку фазы ср* и задержки т* сложного ФМ сигнала, изо-
браженный на рис. 7.1, включает контур фазовой автоподстрой-
ки частоты (ФАПЧ) и устройство слежения за задержкой (ССЗ).
Число следящих контуров в приемнике сложного сигнала опреде-
ляется числом оцениваемых
параметров сигнала. Закон из-
менения параметров сложного
сигнала, который при нелиней-
ном синтезе задается априор-
ным стохастическим уравнени-
ем, определяет форму ФНЧ сле-
дящих контуров. Поэтому мо-
жно полагать, что если уда-
Рис. 7.1	лось получить структуру при-
емника в результате нелиней-
ного синтеза, то при усложнении закона изменения параметров
сигнала оптимизировать ФНЧ можно с использованием более про-
стого математического аппарата Калмана—Бьюси и Колмогоро-
ва—Винера [7.1].
В зависимости от формы сложного сигнала, числа фильтруе-
мых параметров и априорных законов изменения параметров мо-
жет быть получено много разновидностей приемников, которые
будут отличаться числом контуров и перекрестных связей, видом
дискриминаторов и ФНЧ.
Все указанные приемники могут быть синтезированы в непре-
рывном или дискретном времени. Синтез когерентных приемников
сложных сигналов в непрерывном времени представлен широко
[7.1; 7.7 — 7.9, 7.16]. Некогерентные приемники сложных сигна-
лов в настоящее время рассмотрены еще недостаточно, и поэтому
их синтез обсуждается в следующих параграфах. Такие приемни-
ки осуществляют оценку задержки сложного сигнала с использо-
ванием некогерентного дискриминатора, состоящего из двух рас-
строенных колебательных контуров, к выходу которых подключе-
ны амплитудные детекторы. В результате этого расширяется по-
лоса захвата и удержания приемника, чем облегчается режим за-
хвата сигнала по частоте и задержке и обеспечивается устойчивая
работа приемника в условиях больших фазовых искажений. По-
явление быстродействующих цифровых устройств ставит задачу
оптимальной цифровой обработки сложных сигналов. В настоя-
щее время эта задача не решена с необходимой для практики
полнотой.
Другой задачей является синтез приемников сложных сигна-
лов с запаздыванием в цепи обратной связи. Исследованию таких
приемников посвящена работа [7.11].
Анализ помехоустойчивости приемников сложных сигналов.
Использование сложных сигналов позволяет обеспечить повышен-
ную помехоустойчивость приемников по отношению к определен-
ным видам помех. Для некоторых помех удается провести непо-
106
средственный синтез приемников [7.1]. В результате можно соз-
дать приемник, построенный по компенсационному принципу. В
таком приемнике дополнительно оцениваются параметры помехи,
которые компенсируются на входе. Такой приемник оказывается
трудно реализуемым, и поэтому исследуют варианты квазиопти-
мальных приемников.
В частности, для борьбы с узкополосными помехами часто
применяются различные варианты квазиоптимальных выравните-
лей. Такие выравнители позволяют повысить помехоустойчивость
приемников к гармоническим помехам в число раз,, значительно
превышающее базу сигнала. Для сложного сигнала с ФМ квази-
оптимальный выравниватель, включаемый на входе приемника,
реализуется в виде п параллельных каналов с полосами ^ — F/n,
каждый из которых при попадании узкополосной помехи может
бланкироваться.
В приемнике сложного сигнала с выравнивателем оценивают-
ся:
порог и реализация устройства бланкирования каналов, пора-
женных помехами;
степень деформации автокорреляционной функции принимае-
мого сигнала при бланкировании каналов. Деформация автокор-
реляционной функции сигнала приводит к уменьшению notMexo-
устойчивости СФС и к искажению дискриминационной характери-
стики цепи слежения за задержкой.
7.2. Некогерентная корреляционная фильтрация
непрерывных процессов
Как показано в предыдущем параграфе, синхронизация слож-
ных сигналов предполагает установление соответствия между
фазой, частотой и задержкой опорного сигнала и соответствую-
щими параметрами принимаемого сигнала. При связи с объектом,
имеющим нестабильный задающий генератор несущей, при рас-
пространении сигнала через среду, вносящую сильные фазовые
искажения, а также при связи с подвижным объектом, скорость
которого флуктуирует, возникают большие фазовые флуктуации.
В этих случаях в ФАПЧ как составной части СФС сложного сиг-
нала возникают существенно нелинейные эффекты: проскальзыва-
ние фазы опорного генератора относительно эталонного на 2л
влево или направо. Такое проскальзывание фазы существенно ска-
зываются на помехоустойчивости когерентной ССЗ, что приводит
к снижению точности оценки задержки сигнала и увеличению ве-
роятности срыва слежения за задержкой из-за непериодичности
дискриминационной характеристики ССЗ; это говорит о том, что
при больших фазовых флуктуациях когерентная СФС сложных
сигналов малоэффективна.
На практике для повышения устойчивости СФС и расширения
полосы захвата по частоте и задержке часто вместо когерентной
ССЗ применяют систему слежения за задержкой с некогерентным
107
дискриминатором [7.3]. При теоретическом решении задачи син-
теза приемника, фильтрующего сигнал без учета его фазы, не
удается непосредственно воспользоваться уравнениями нелинейной
фильтрации в гауссовом приближении, так как частота и фаза
связаны через производную ф = со, и частота — неявный параметр
сигнала. Поэтому для оптимальной оценки частоты необходимо
анализировать уравнение для апостериорной плотности вероятно-
сти полного вектора параметров сигнала. Задача синтеза оптималь-
ного устройства оценки только частоты узкополосного сигнала ре-
шалась в [7.13; 7.14]. Полученные там структуры—оптимальны
для оценки постоянной частоты узкополосного сигнала.
Рассмотрим синтез приемников сложных сигналов, включаю-
щих некогерентный дискриминатор задержки.
Будем считать, что на вход приемника поступает реализация
вида
g(/) = s(O + n(O;	(76)
n(t)—белый гауссов шум;	М[п (/)] = 0; М[п (ZJ/z (/2)] =
= 1/2Лл06(/'2—Л), где s(t)=Ag(t—т)соз(со/+ф) —полезный сигнал;
А— известная амплитуда сигнала; g(t—т)—модулирующая
функция, принимаюшая значения ±1; ф— случайная начальная
фаза с распределением 0^ф^‘2л.
Уравнение оптимальной нелинейной фильтрации для этого слу-
чая имеет вид [7.15]
WPs (t, со, т, ф) = [F (/, со, т, ф) —	(t, со, т, ф)>] WT s (/, со, т, ф),	(7 7)
где F(t, со, т, ср) = (2А/А0)%(t)g(t—т)соз(со/ + ф) так как со, т, ф —
параметры неэнергетические.
Апостериорная плотность вероятности Wps есть функционал
[7.9]
(А2 р
----( g2 (t—т) cos2 (со t-]- ф) dt-\-
N° о
t
4-^7- С (/—т) £ (/) cos (co/-j-ф) d/ .
J
Введем обозначения:
t
X (/, со, т) = j* | (t) g (t—т) cosco tdt, Y (t, co, t) =
b
t
= J I (0 ё (t—T) sin co t dt,
0
f (t, co, т, ф) — X (Лсо.т) СОЭф—Y (/,®,т)8Шф =
t
= J I (0 ё (t— T) cos (co t + Ф) dt.
0
108
(7.8)
(7.9)
(7.Ю)
Усредним обе части (7.7) по ср. Это усреднение сводится к усред-
нению двух слагаемых
F (/, (о, т, ф) WPs (t, at, х, ф) =<2^ I (/) g (t—т) cos (со t + ф) х
(* g (t—т) cos (со t + ф) | (/) dt I
b	I
Хехр
А2/	2 А
(7.1 Г)
и <F(/,co,t, ф)) Wps (Z,co,t, ф),
которые с учетом (7.9) и (7 10) можно записать
г// , ~ «л w //	\	2 АС д f (t, со, т, ср) Г А2/ .
F (t, G), х, Ф) WPs (t, со, X, Ф) = —-----’ ’ ехр — — 4-
Уо д t	I 2 No
. 2 A f ,, ч )
+ — /(/, СО, Т,ф) ;
No	)
(7.12)
(F х, ф)> WPs (t, со, х, у) > С exp I —со, х, ф)
I 2 No No
Усредняя (7 11) с учетом (7 12), получим
1	2я	г
— С F (t, со, т, Ф) WPh (t, со, X ,ф) с/ф = — ехр [
2	nJ	2 л
о
д 2?	< 2 А	1	(
X — ехр j —- / (t, со, х, ф) \ d ф = С ехр -
д t	)	I
А2/ ]
— -—- X
2^1
/ [2_Л71
2 No \dt \nq J
(7.13)
а поскольку
Wp. (t, co, т) — C exp [ —] Io / — Z ] , а отношение
PbV ’ FI 2 nJ [n0 J
— I/, l — Z]l/jJ~z] =~ ln/0 f — Z] ,
[ Uo Jj/ Uo I dt	°U0 J
to Wps(t,(f),x} = C exp j —j	Io [2-^z] —<F(Z, co, т,ф)> WPs x
(	2N0 I dt (No J
(t, co, T) = f AinIo
X
— z] — (F(t, co, X, ф)>1 WPs (/, co, t) .
Л^о J	J
(7.14)
Применяя для (7 14) гауссово приближение, получим
ю*=°г« / Л!1п[ ¥z “*т*)] I+т- !1пх
д со d t (	[7V0	J) dx d t \
X [— Z(/,CO*,T*)H .
К JI
т*=о2’г-4-1|п/4»-г/^<о*’т’,)11+^ЛЛ1 1п/» x
dx dt (	Jl d cod t (
xV—Zkt^x*} ] 1 ,
L^o v 1J
109
где
K(t) =
A'qtW оМО
ft(/)=/<(0F2 (/<(/),
(7.15)
Заменяя переменные коэффициенты усиления K(t) постоян-
ными применяя метод либо малого параметра, либо временного ус-
реднения и переходя от уравнений в частных производных к
уравнениям в конечных разностях, получим упрощенные урав-
нения фильтрации без перекрестных связей и с постоянными, за-
ранее определяемыми коэффициентами усиления К & и Кх [7.1]
“*=4:!1П11 “*+“т*) 1 -1п ь [ 1 ('• »*-
dt I [Л'о	J |JV0
—а, т*)
I
J
ИЛИ СО* — In If)
— Z (t, co* 4- ат*)1 — In IJ —Z (/, co* —
Ло	J L^o
(7.16)
и t* = fG pn Io Z (/, co*, t*, 4- b)j — In /0 Z (/, co*, t* —
Структура фильтра, реализующего (7.16), приведена на
рис. 7.2, она была впервые предложена в [7.3]. Этот приемник,
как и когерентный [7.2], содержит контур оценки частоты и кон-
тур оценки задержки. К основным его отличиям от когерентного
следует отнести следующее:
частота оценивается с помощью цепи частотной автоподстрой-
ки частоты (ЧАП);
Рис. 7.2
а ю
Рис. 7.3
схемаЧлежения за задержкой содержит некогерентный диск-
риминатор задержки.
Эти отлитая существенно влияют на характер нелинейной ди-
намики приемника, это проявляется в значительном упрощении
условий начального охватывания сигнала по частоте и задержке.
Для облегчения этих условий может быть предложен и легко*
синтезирован аналогично еще один вариант приемника сложного'
сигнала [7.4], занимающий промежуток положение между неко-
герентным и когерентным приемниками. Этот вариант (рис. 7.3}
содержит контур ФАПЧ и некогерентное устройство слежения за
задержкой, что и приводит в .конечном итоге к улучшению усло-
вий начального схватывания.
Достаточно распространен случай, когда частота сигнала и
задержка флуктуируют.
В этих случаях начальные условия для параметров
х = V; v<= — Р (V — Уо) + Р nv (Z); со = — а (со — соо) + а (t).	(7.17>
Считая допустимым тот факт, что структура фильтра и его нелинейная часть —
дискриминатор, не изменяются при изменении уравнения движения параметров,
а изменяется только структура ФНЧ [7.1], можно продолжить синтез прием-
ника для начальных условий (7.17) с использованием методов линейной теории:
фильтрации. Поскольку интересуемся стационарным фильтром, то можно вос-
пользоваться известными уравнениями Винера—Колмогорова.
Рассмотрим для примера синтез фильтра для контура слежения за часто-
той. Из (7 17) следует что процесс co(Z) имеет экспоненциальную корреляцион-
ную функцию
/? (т) = exp [ — а I т |],	(7.18)
а Na
где о^ =—; па (Z) пах	6(т), и энергетический спектр
(7.19)
(со) = б/(а2-ф со2),
где б = 2ао2 ы .
Из [7.1] известно, что оптимальная линеаризованная ЧАП имеет переда-
точную функцию
v г	.	/2 [	।r (?)	I2 1
ОПТ	/	ITi* / \ I /	\ I	’
т (р) L т (— р) J+
где I — множитель Лагранжа.
Символ [ ]+ указывает на то, что оставляем только полюса, лежащие в
левой полуплоскости. Тогда знаменатель (7.20) можно записать
„	(А2 — р2) G
Т (р) Т (- р) = Р | (F (р) |2 + G, | Т (р) |2=	а2_ г
(7.20)
(7.21)
где A2=AZ26, Z2 = (A2—Z2)/б.
Раскладывая |ф(р) |2 на комплексно-сопряженные сомножители, получим
Т (р) Y ( - р) = I/O Уб,	(7.22)
а -ф р а — р
следовательно,
V /2(“ + р)Г °2	1
б(А-фр) (а-фр)(А —р) ]+
(7.23)
Ш
Разложим сомножитель в квадратных скобках на элементарные дроби
1	Ма
~	~	;	4- ~ и, используя метод неопределенных коэффи-
(а-Ьр)(Л — р) а фр А — р
циентов, получим Afi = Af2= 1/(Афа). Вторым слагаемым не интересуемся, так
как оно имеет полюс в правой полуплоскости, поэтому
^опт (д) = (А а) /(А -|- р).	(7.24)'
Найдем передаточную функцию ФНЧ, соответствующую^ найденному выражению
для УОпт(р). Поскольку система ЧАП — система статическая, то
(А - а)/(А + р) = KFa (р)/[1 +	(р)],	(7.25)
откуда
А —а 1 К
1^^=—= (7-26>
Используя ту же методику линейного синтеза для уравнений движения за-
держки (7.17) с учетом того, что ССЗ является в отличие от ЧАП астатической
следящей системой, можно получить линейный фильтр в цепи регулирования
ССЗ. Уравнение этого фильтра
ft(P)=[Kt(l + Р + />)]/(₽ + Р).	(7.27)
С таким же успехом для синтеза ФНЧ можно было бы воспользоваться и урав-
нениями линейной фильтрации Калмана—Бьюси [7.7].
Легко заметить, что структуры этих фильтров совпадают с фильтрами в ко-
герентном приемнике, синтезированном методом оптимальной нелинейной фильт-
рации, при тех же уравнениях движения параметров.
7.3. Некогерентная фильтрация дискретно-непрерывных
процессов
Информация о синхропараметрах может передаваться как по
отдельному каналу синхронизации, так и извлекаться из прини-
маемых колебаний. Построение системы связи по второму вари-
анту обеспечивает некоторое повышение помехоустойчивости, но
и усложняет приемник.
Синтез приемников сложных сигналов с синхронизацией по ин-
формационному сигналу представляет собой задачу фильтрации
дискретно-непрерывных процессов. Результатом синтеза являются
системы, которые включают, кроме СФС, канал выделения ин-
формации, и, главное, перекрестные связи по всем параметрам.
Для расширения полосы захвата и повышения устойчивости при-
емника на практике используют некогерентную ССЗ. Выбор струк-
туры СФС «ФАПЧ — некогерентная ССЗ» объясняется тем, что
при передаче информации с помощью ФТ полностью некогерент-
ная обработка приемника быть не может, поскольку опорное на-
пряжение демодулятора дискретного информационного параметра
должно иметь вполне определенную фазу, например, совпадающую
с фазой принимаемого сигнала, и следить за медленными измене-
ниями фазы в канале, не реагируя на скачки фазы при манипуля-
ции. Задача нелинейного синтеза СФС с некогерентным дискри-
минатором задержки в ССЗ для сложного сигнала, несущего по-
лезную информацию, важна и полезна для практики. Решим ее
методом марковской теории оптимальной нелинейной фильтрации
й L2
с использованием результатов работ по синтезу когерентных
фильтров дискретно-непрерывных процессов при передаче инфор-
мации в вид& ФТ с помощью простых узкополосных сигналов
[7.10]. Пусть йринимается сигнал
Lf/) = s(/,0fA) + n(O,	(7.28)
гдея(7)=0; n(t)nx(4)=Q,5N08(i:);
X — неизвестный, медленно изменяющийся по сравнению с 0г-
вектор непрерывных параметров. Полезный сигнал
s(t) = Ag(t—т) cos (со 14- ср 4- 0 г л),	(7.29)
где А—известная амплитуда; g(t—т) —переменная, принимаю-
щая значения ±1 по закону используемой псевдослучайной после-
довательности (ПСП); ср — случайная начальная фаза с равно-
мерным законом распределения на интервале [0,2л]; 0г—прини-
мает два равновероятных значения 0 или 1 с вероятностью пере-
хода лг7 = 0,5, i, / = 0,1, т. е. вектор Х= [со, т, ср], а
s(O = f t)cos(oH4-<P) при 9о = О,	0)
[ — Ag(t — т) cos (со 14- ф) при 0!=1.
В [7.15] было получено уравнение для апостериорной плотности
вероятности дискретной и непрерывной компонент в виде
р (t, X, 0г) = L {р (г, X, 0J 4- [F (t, X, 0г) - (F (/)>] р (t, К 00,	(7.31)
где
Г(/Д,0г) = -(Шо O)-s(/A, 0г)]2,
<f (о>=2 J	ef) р (t, х, е,.) d х;
1=о X
L — дифференциальный оператор Фоккера — Планка — Колмого-
рова. Будем рассматривать смешанную апостериорную плотность
вероятности
р (/, X, 00 = W (t, X) р (t, 0Д).	(7.32)
Тогда, как показано в [7.10], справедливое для всех t уравнение
для апостериорной плотности вероятности
W (/, X) = L {№(/, X)} 4- W (t, X) [<F (t,	—	(7.33)
где
<F (/,!)> = У F (t, X, 0) p (t, i/X) = — £ (/) g (t—r) cos (co 14-
Йо	N°
 t
-4-T)th. [ ^^(0)g(0—t) cos (co 0 4-ф)
(7.34)
’	(^, 6t+i)-
113
Подставляя (7.32) и (7.33) в (7 31) и учитывая, что к Медленно
изменяется по сравнению с 0г-, получим уравнение [7.10]
р (/, 0гД) = р (t, 0г,Д)[Г (/, I, 0f)-<F (0>],	(7.35)
решение которого
Р (tk + 0, A) exp J F (т)
р(«,0|Д) =-------------------(7.36)
£ р (th + 0, 6г/Х) ехр И F (т) dx 
l’	l*fe
где
р (th + 0, 0£Д) = £	р (tk—0, 0f А).
/=о
В предположении высокой апостериорной точности фильтрации
непрерывного вектора X и монотонности экспоненты при передаче
информации с помощью противоположных сигналов алгоритм
фильтрации дискретного параметра 0г
j	£ (О g (^1—т*) cos (со tx + ф*) dtr > 0.	(7.37)
Поскольку сигнал из одного состояния в другое переходит толь-
ко в точках tk=kT0-\-x(t), где k=0, 1, 2, ... — целое число, То —
фиксированное значение, но точное положение точек перехода не-
известно, так как неизвестна величина x(t). Следовательно, мо-
менты перехода tk — функции от x(t) или Д(т*), где т* — оценка
задержки, при условии высокой апостериорной точности измере-
ния задержки. Для получения структуры СФС, следящей за пере-
менным вектором [со, т, ср], воспользуемся гауссовой аппрок-
симацией уравнения [7.33]. Тогда уравнения для оценки фазы и
задержки
ф — а ф + Лф	q	+ KqX	Q
г* = а* +К' a<f(<-V)>
т ОС ттЛ т	“Г ЛфТ	fl ,у*
(7.38)
где а*ф и а*т —коэффициенты сноса фазы и задержки; , /Ст>
Кфт— центральные моменты апостериорного распределения.
Для получения структуры ССЗ с некогерентным дискриминато-
ром задержки (не использующим информацию об оценке началь-
ной фазы ср*) необходимо усреднить обе части (7.33) по ср. Чтобы
избежать усложнений, связанных с учетом непостоянства К, но
все-таки учесть конечность времени То, в течение которого К ос-
тается приблизительно постоянным, можно ввести обрезающий
множитель [7.13]ехр{—(t—t^/To}, который описывает уменьше-
ние роли прежних отсчетов сигнала в определении параметра.
114
Введем обозначения
t-t
To
Z2 (/, co, t) = j* j e To e 7° g (^—t) g (Л> —t) cosco (^ —/2) В (^) X
b о
X В (tz) df2 = T) + Y2 (t, co, t),	I
где
(7.39)
) e
b
Г° g(ii~т)^(^) cosco (t—tjd^ ;
t -tzk
У= j e T° g(tx~T)B(Zi)sinco(£—t^dt
b
Учитывая, что
W (t, т, <p) = C exp
a W (t, t) = Cexp f
’ XYF + 7Г h	g (zi~T) cos Zi + dti
2w0 J
2W0l [Wo J’
где Jo — функция Бесселя; Z2 = X2 + F2.
Подставляя (7.40) в (7.33), получим
W (/, t) = L{W (Z, т)} + W (Z, т) [« F (/, Х)>- <F (/)>],
где
(7.40)
(7.41)
2 л
«F(f,X)» = J	q>)> d<p,
которое после несложных, но громоздких преобразований может
быть представлено в виде
= in/о Г|г
д / {	I/
----?------ Z' (t, co, r)
To-roe T»
где
Z'2 (/, co, т) = X'2 (/, co, t) Y'2 (t, co, t),
fe T° g' (G—T)I(G) cosco
b
y/ = Je т° g' (tj— т) В (/J sin со (/ —
о
S л
g' (/—т) = £(г—T)th , ( -putjgttj— t)cos((0^ + <P)^i.
у Wo
115
После введения обрезающего множителя в (7.39) нижний предел
может быть взят равным —оо при	что существенно упро-
щает техническую реализацию этих интегралов (колебательный
контур с затуханием).
Используя гауссово приближение для (7.41), получим уравне-
ние фильтрации
* , „ d«F(tb*n
® а СО	^СО*	Q т*
(7.42)
Т* = а*т + /(т
a«F(/,X*)> , „ d«F(/,X*)»
л *	"7”	д *
дх*	осо*
где со* = «о + ф* — оценка частоты сигнала;
« F (Z, 1*)» = £ /in л Г-2Л]2 Z' (/, (О*, т*) 1' ;
д1 I 1л»Ут'о J1
X' (t, со*, т*) = J е т° g' (/х — т*) cos со* (/—,
t--------i-
Y' (t, co*, т*) = J e r° g' (^ — r*)sinco*(Z—/1)^(/1)d/1.
В общем случае центральные моменты апостериорного распределения явля-
ются функциями времени и оценок сигнала. Для дальнейшего упрощения алго-
ритмов оценки центральные моменты апостериорного распределения определя-
ются для стационарного случая из алгебраических уравнений с постоянными
коэффициентами, которые суть средние значения смешанных вторых частных
производных от <ZF(t, V) > или <^F(t, X*) по фильтруемым параметрам.
Используя результаты исследований, проведенных в [7.1], можно заранее ска-
зать, что из-за свойств ЛГ-последовательности средние значения КХ($ ~ /<*^«0,
тогда (7.38) и (7.42) могут быть записаны
,d<F(/,V)>
т* = ат + ^--------
(7.43)
т* = < + к;
d«F(t, й*))>
д х*
Система фазовой синхронизации сложных широкополосных сигналов может
строиться с использованием трех комбинаций (7.43): (1, 2), (3, 4) и (1, 4).
Учитывая, что информация передается в виде ФТ и необходимо повысить устой-
чивости СФС, остановимся на комбинации (1, 4) — частично-некогерентной
СФС. Схема устройства, реализующего алгоритмы (7.37), (741.1) и (743.4), по-
казана на рис. 7.4. Контуры оценки фазы и задержки СФС имеют дополни-
тельные усилители с переменными коэффициентами усиления.
Для того чтобы учесть зависимость Д(т*) необходимо управлять интегра-
тором в демодуляторе 10г-сигналом, пропорциональным т*. На схеме рис. 7.4
это показано в виде связи с выхода фильтра Фт схемы слежения за временем
задержки на управляющий вход интегратора. Необходимо отметить, что прием
при полном отсутствии (или полном отказе) сведений о начальной фазе каж-
дого элемента называется абсолютно некогерентным. Однако в рассмотренном
случае это не совсем так, поскольку с помощью схемы рис. 7.4, реализующей
алгоритмы (7.37), (7.38) и (7.42), осуществляется относительно некогерентный
116
прием, при котором неизвестна на-
чальная фаза каждого принимае-
мого элемента, но фазовые соот-
ношения между соседними элемен-
тами известны. Обратная связь по
решению к ССЗ эквивалентна то-
му, что в ней, а точнее, в ее дис-
криминаторе частично используется
информация о фазовой структуре
сигнала в виде апостериорной плот-
ности вероятности дискретного па-
раметра 0г из-за частичного усред-
нения <ZF(t, т, <р)>. Такие схемы
получили название с обратной свя-
зью по решению. Необходимо так-
же отметить, что сама структура
приемника сложного сигнала ФАПЧ—
некогерентная ССЗ асимптотически
оптимальна, поскольку автономные
системы ФАПЧ и некогерентной
ССЗ получены только для устано-
вившегося режима и при условии
высокой точности фильтрации из
уравнений для апостериорных плот-
ностей вероятности (7.31) и (7.33)
соответственно.
Нелинейность обратной связи по решению th[• ] может быть заменена на*
одну из двух аппроксимирующих ее функций
. , г 1	( S2n х ПРИ I Х 1 > 1 -
th х = 1
( х при | X I 1 .
Рис. 7.4
(7.44)?
При |х| <С 1 обратная связь выполняет те же функции, что и квадратурный
канал в схеме Костаса, при |х|^> 1 в чистом виде по решению, т. е. схема с
«жестким» ограничителем. Использование же нелинейности th[-J делает об-
ратную связь оптимальной как для |х|^>1, так и для |х|	1.
Глава 8
Анализ устойчивости систем
синхронизации сложных сигналов
8.1. Введение
Среди известных устройств следящего приема сложных сигналов.'
важный класс образуют двухконтурные (двухпараметрические)
системы синхронизации (ДСС), построенные, как правило, по-
принципу совместной работы системы фазовой синхронизации,
формирующей опорный сигнал, и системы выделения оценочного'
значения информационного параметра. Такие системы широко ис-
пользуются [8.1; 8.2] для решения задач поиска, захвата и отсле-
живания сложных сигналов в совмещенных устройствах измере-
ния параметров движения и передачи информации. С помощью'
ДСС осуществляются прием и оценка параметров сложных сиг-
1177
налов в асинхронно-адресных системах радиосвязи [8.3], а также
в лазерных и гидроакустических каналах связи и локации [8.1].
Оптимальные структуры ДСС, позволяющие одновременно
оценить параметры широкополосных псевдослучайных сигналов
(ШПС)—фазовый угол 0(0 и временную задержку Т(t), син-
тезированы в [8.1—8.4]. Рассматриваемые ДСС содержат две не-
линейные следящие подсистемы: СФС и систему синхронизации
по задержке (ССЗ), перекрестно связанные между собой. Алго-
ритм работы систем состоит в использовании образующихся в
СФС и ССЗ сигналов ошибки для такого управления фазовым
углом B*(t) и задержкой T*(t) опорного сигнала, при котором
достигается (максимум взаимно-корреляционной функции R(T—Т*)
оцениваемого и опорного сигналов. Структуры цепей управления
СФС и ССЗ определяются характером моделей изменения пара-
метров 0 и Т.
Для эффективного использования ДСС и выяснения их пре-
дельных возможностей принципиальное значение имеет исследо-
вание динамических процессов в этих системах и присущих им
нелинейных эффектов управления, определение устойчивости си-
стем по отношению к начальным рассогласованиям, изменению
параметров и воздействию помех. Процессы синхронизации в рас-
сматриваемых ДСС описываются согласно, например, [8.2] сле-
дующими уравнениями для оценок 0* и Т*\
е* = k. нг (р) [/? (Т-Г) sin (0-0*) +14 (0J; г*-т0=k2H2 (Р) [D (т-
-r=)cos(0-0*) + n2(Ob	(8.1)
Здесь p = dldt\ R(T—Т*)—корреляционная функция сигнала;
D(T—Т*)—дискриминационная характеристика ССЗ; то — из-
вестное постоянное значение задержки; kx и k2—коэффициенты
усиления подсистем; nx(t) и n2(t)—шумовые составляющие сиг-
нала; /Л(р) и Н2(р)‘—дифференциальные операторы, которые
определяются принятыми моделями изменения оцениваемых па-
раметров 0 и Т. Нелинейные характеристики Д(е) и /)(е) на од-
ном периоде изменения ошибки е = Т—Т* определяются [8.2]
следующим образом:
е, — Д < е < Д
/?(е) =
1 -|-е, — А < е < 0
1 —е, 0 < е < Д
ДД ^|е| <(Л4 — 1)Д
2—е, Д < е < 2 Д
— (2 4-е), —2Д<е^—Д
0, 2Д <|е|<(Л4 —2) Д

(8.2)
где М — число элементов в одном периоде кодовой последователь-
ности ШПС; Д — длительность одного элемента последователь-
ности.
Практически наиболее реален случай, когда Л4^>1, тогда
можно считать, что J?(e)=O для |е|^Д, /)(е)=0 для |е|^2Д,
т. е. /?(е) и Z)(e) непериодические по е.
118
Исследование (8.1) затруднено их существенной нелинейно-
стью, наличием шумовых составляющих и высокой размерностью^
порождаемой сложным характером моделей изменения парамет-
ров 0 и Т. Наиболее простыми (8.1) получаются в тех случаях,
когда в качестве моделей изменения 0 и Т принимаются простей-
шие, но широко используемые в теории синтеза [8.2—8.4] моде-
ли в виде винеровского или экспоненциально-коррелированного
случайного процесса. Именно в том случае, если д и Т аппрокси-
мируются винеровскими случайными процессами, в (8.1) согласна
[8.2] имеет место следующая связь между операторами Нх(р)г
Н2(р) и передаточными функциями ФНЧ Fx(p), F2(p)—Нх(р) =
= p-1F1(p), H2(p)=p~lF2(p), при этом Нх (р) =Н2(р) =р~1, что со-
ответствует использованию в ДСС однотипных подсистем СФС и
ССЗ с единичными ФНЧ (/^ (р) =F2 (р) = 1). При использовании
в качестве моделей 0 и Т соответственно винеровского и экспонен-
циально-коррелированного случайных процессов в (8.1) Нх(р) =
= p-1/?i(p), H2(p)=F2(p), при этом //i(p)=p-1, //2(Р) = (1 +
+ Т2р')~х, что соответствует применению в ДСС СФС первого по-
рядка (/?i(p) = l) и статической ССЗ [8.5] первого порядка
(F2(p) = (1 + Т2р)~х, Т2 — постоянная времени).
При дополнительном усложнении моделей 0 и Г (например,
при учете флуктуаций частоты, скорости изменения задержки
и т. д.) усложняются передаточные функции Fx(p) и F2(p) при
сохранении указанного характера их связи с операторами Нх(р)
и Н2(р). В соответствии с этим (8.1) можно переписать:
в случае Нх(р) = p~lFx(p), Н2(р) = p~xF2(p)
р ф = р 0—(р) [/?(%) sin ф + п1 (/)]; рх = рТ—k2 F2 (р) [D (х) созф|-
+М0В	(8 3)
в случае Нх(р) = p~xFx(p), Н2(р) =F2(p)
ptp = pQ—Fy (p) [R(x) зифф^ (/)] ; x = a—aF2(p) [Р(х)со8ф +
+ ft2(0L	(8.4)
Здесь cp = 0—0* и x=(T—Г*)Д“1 — текущие ошибки слежения;
а=(Т—т0)Д-1—начальная расстройка задержек; «=/г2Д“1— мак-
симальное значение задержки, вырабатываемой статической ССЗ;
р0 и рТ — начальные расстройки несущих и тактовых частот при-
нимаемого и опорного сигналов.
Будем далее называть системы синхронизации, описываемые
(8.3) и (8.4), соответственно ДСС-1 и ДСС-2.
В данной главе излагаются результаты исследования синхро-
низирующих свойств и устойчивости ДСС, полученные при сде-
ланных предположениях относительно моделей изменения 0 и Т
в следующих случаях: в отсутствие помех (пх (/) =n2(t} =0) и при
воздействии помехи, структурно подобной сигналу. На основании
изучения режимов синхронизации и процессов захвата при учете
всех нелинейностей систем находятся условия устойчивости и
помехоустойчивости и определяются области устойчивости по па-
раметрам систем и помехи.
119
$.2. Синхронизирующие свойства и устойчивость ДСС
в отсутствие помех
Наиболее важным и сложным этапом (работы ДСС в качестве
•следящего приемника устройств связи является процесс захвата
принимаемого сигнала. Хотя ДСС всегда работают в присутст-
вии помех, интересно рассмотреть нелинейную динамику этих си-
стем в отсутствие помех с той целью, чтобы выяснить основные за-
кономерности движений и характеристики устойчивости систем. В
•случаях, когда в (8.1) Нх (р) =Н2 (р) =р~х и Нх(р) =р~х, Н2(р) =
= (1+ ^2р)_1, удается провести полное исследование динамики
рассматриваемых ДСС. В этих случаях из (8.3) и (8.4) получа-
ются соответственно следующие уравнения динамики ДСС-1 и
ДСС-2:
>dy/dx = y— R(x) sin <p, dx/dx — $— bD (x) cos<p,	(8.5)
^d(p/dx = y—R (x) sincp, dx/dx~\[o—x—aD(x) cos<p],	(8.6)
где t=£i/; y-pBkx~1-, ^=pTkr1\ b = k2kx~x\ ^=(kxT2)~x.
При сделанных предположениях о нелинейностях R(x) и D(x)
системы (8.5) и (8.6) следует рассматривать на цилиндрической
фазовой поверхности (ср, х).
Детальное исследование (8.5) и (8.6) проведено в [8.6—8 10]. Установ-
лено, что стационарный режим синхронизма ДСС с постоянными ошибками
и x=xs определяется устойчивым состоянием равновесия (8.5) и (8.6)
.4i(cps, xs), близким к максимуму корреляционной функции J?(x). Характерные
разовые портреты (8.5) приведены на рис. 8.1а, б. Фазовая поверхность раз-
Рис. 8.1
деляется сепаратрисами седел Аг и А'г на области П(41) притяжения Ai и
По «транзитных» траекторий, не идущих в At. Особенность (8.5) состоит в
том, что область По существует при всех значениях параметров у, |3, Ь. Этот
факт свидетельствует о том, что ДСС-1 не может обеспечить наступление син-
хронного состояния Дц при произвольных начальных условиях. Для захвата
.при положительных значениях начальной расстройки |3 следует создавать та-
кие начальные условия, чтобы начальная ошибка задержки была отрицатель-
но
ной. В соответствии с фазовыми картинами на рис. 8.1а, б в качестве области;
допустимых начальных условий рассматривается окружность Lo: {<р^[—л, л],
х=—2 sign р}. Практически такие начальные условия создаются в результате
предварительной «грубой» синхронизации ДСС [8.2]. В этом случае захват в
режим А1 с вероятностью 1 наступает только для параметров из области Bs:
{|Р|<Р*(у, Ь), |у|<1} (значения Р = Р*(у, Ь) определены в [8.6; 8.9]) с фа-
зовым портретом на рис. 8 1а, для которой	Для параметров вне
области Bs на фазовой поверхности (8.5) существует поток «транзитных»
траекторий, начинающихся на Lo, определяющих движения ДСС-1 с неограни-
ченным нарастанием ошибок ф и х, т. е. захват происходит с вероятностью
р<1. Область захвата Bs является характеристикой устойчивости автономной
ДСС-1.
Фазовые портреты (8.6) приведены на рис. 8.1б, г. Для параметров из об-
ласти Cs: {|ст| <о?(у, %, а), |у| < 1} (значения о = а*(у, X, а) определены в
[8.10]) состояние равновесия Ai является асимптотически устойчивым на всей
фазовой поверхности. Для параметров вне области Cs на фазовой поверхности
(8.6) при наличии Лц имеется устойчивое периодическое движение L, опреде-
ляющее в ДСС-2 режим биений второго рода, в котором фазовая ошибка ф
неограниченно нарастает, а ошибка задержки х периодически изменяется около
некоторого среднего значения. Появление этого периодического режима при-
водит к потере устойчивости ДСС-2, следовательно, характеристикой устойчи-
вости системы служит область захвата Cs с фазовым портретом рис. 8.1 в. За-
висимости о=о* (у, L, а) определяют области допустимых значений начальной
ошибки задержки хн = о, для которых синхронизм в ДСС-2 наступает при лю-
бых начальных разностях фаз ф^[—л, л].
Характерно, что в обоих рассмотренных вариантах ДСС ус-
тойчивость может быть обеспечена лишь при ограниченных зна-
чениях начальной ошибки задержки хн- При этом для начальных,
условий на окружности Lo ДСС-2 со статической ССЗ неустойчи-
ва, режим синхронизма невозможен из-за того, что в системе ус-
танавливается периодический режим, определяемый на фазовом
цилиндре окружностью Lo. Из этого следуют более жесткие огра-
ничения в ДСС-2 на значение хн, задаваемое режимом предвари-
тельной синхронизации, а именно |хн| <о*(у, К, а).
Устойчивость ДСС существенно зависит от вида операторов
Нх (р) и Я2(р), т. е. от принятых схем ФНЧ в подсистемах СФС и
ССЗ. Влияние инерционности СФС на устойчивость ДСС-2 (при
Fx (р) = (1 + Др)-1, Тх — постоянная времени) рассмотрено в
[8.10.]. Приведем некоторые результаты исследования влияния
инерционности подсистем СФС и ССЗ на устойчивость ДСС-1.
Рассмотрим (8.2) при Fx (р) = (1 + пТхр) (1 + Тхр)~х, где 0^п<1,
^'2(р) = 1, что соответствует использованию в цепи управления
СФС пропорционально-интегрирующего ФНЧ, и при Fi(p) = l,
F2(p) = (\ + тТ2р) (1 + F2p)-1, где 0^7п<1, что соответствует вклю-
чению пропорционально-интегрирующего ФНЧ в цепи управле-
ния ССЗ. В этих случаях (8.3) эквивалентны соответственно си-
стемам:
d q/dx = у,
^dy/dx = у—7?(x)sincp—[1 + 7? (х) cos(p]y— б^'^х
X sin <р [(3 — bD (х) cos ср] М (ф, у, х),	'
dx/dx = р — b D (х) cos ф,
12Г>
<’ dcp/dx = y—R (x) sing),
dx/dx = z,
e2dz/dx = ^— bD(x)coscp— [ 1 + b 62 D' (x) cos cp] z +	' ’ '
+ b 62 D (x) sin <p [y—7? (x) sin <p] ==N (cp, x, z),
в которых введены безразмерные постоянные времени ei = Ti&i,
61 =п&1, 82 = T2ki, $2=\ГПЕ2-
Фазовым пространством (8.7) и (8.8) служит область
—трехмерных пространств ф, у, х и ф, х, z соответствен-
но, плоскости ф = —л и ф = л отождествляются. Для параметров
|(3| <6(1—у2/3)3/2, |у| <1 системы (8.7) и (8.8) имеют по четыре
состояния равновесия: Ai— устойчивое; Аг, А'2 — седла. Ха-
рактер движений этих систем изучался с применением численных
методов и ЭВМ. путем исследования области притяжения 77 (Дд
устойчивого состояния равновесия Д1(ф8, xs, 0) и исследования пе-
риодических движений, для нахождения которых проводилось по-
строение точечного отображения [8.11] плоскости ф=—л в пло-
скость ф = Л.
При ei<Cl и Е2<^ 1 (соответственно в случаях малоинерционной
СФС и ССЗ) системы (8.7) и (8.8) имеют малый параметр при
производных dy/dx и dz/dx, в этом случае исследование систем
сводится [8.9] к изучению в фазовом пространстве «быстрых» и
«медленных» движений. В силу того что M'y = N'z=—1<0, поверх-
ности «медленных» движений 7И(ф, у, х)=0 и /V(ф, х, г)=0 ус-
тойчивы по отношению к «быстрым» движениям; фазовые траек-
тории (8.7) и(8.8) на поверхностях 7И(ф, у, х)=0 и N (ср, х, z)=0
определяются двумерной системой (8.5). Установленные структу-
ры фазового портрета (8.5) (см. рис. 8.1а,б) определяют, соглас-
но [8.11], при достаточно малых значениях постоянных времени
bi и 82 фазовую картину движений систем (8.7) и (8.8). Движе-
ниями, нарушающими устойчивость ДСС-1, являются «транзит-
ные» траектории; область устойчивости при малых значениях
«1 и 82 близка к области устойчивости безынерционной ДСС-1.
Численное исследование (8.7) и (8.8) для ряда параметров
у, р, b и постоянных времени 81,	82, 62 позволило установить су-
ществование в фазовом пространстве этих систем областей Gs, Gq,
Gp, траектории в которых при т—>оо соответственно стремятся к
устойчивому состоянию равновесия Дь выходят за пределы обла-
сти |х| <2, идут к устойчивому 2л-периодическому по ф движе-
нию Lp. Как и в безынерционной ДСС-1, здесь захват наступает
при условии, если начальные фазовые координаты расположены
в области притяжения П(А\). Взаимное расположение области
Ко допустимых начальных координат и области 77(Д1) определя-
ется поведением сепаратрисных поверхностей седел A'i, А2 и А'г.
В качестве области Ко рассматриваем отрезок Lo : {—л^ф^л,
х = —2 sign р, г = р} [8.9]. Тогда область устойчивости ДСС-1
определяется такими параметрами, при которых весь отрезок
Lq(=I1 (Д1). Возможность существования при этих параметрах пе-
122
риодического режима Lp или «транзитных» траекторий систем:
(8.7), (8.8) в областях Gp и Go фазового пространства не нарушает
устойчивости системы так как при этом отрезок Lo находится вне
области притяжения П(ЬР) периодического движения Lp, а так-
же вне области Go.
Результаты численного определения области устойчивости Ds инерционной
ДСС-1, описываемой (8.7) и (8.8), приведены соответственно на рис. 8.2 и 8.3»
в виде кривых y=Ys(P) для параметров ei=10; 6i = 0; 1; £2=10; 62=0; 1;
b=ll; область Ds: Y<Ys(P)- Здесь же для сравнения приведены кривые (3 =
= P*(Y, ^) ПРИ Ь=\, определяющие область устойчивости Bs безынерционной
О 0,2 0,0 0,6 '0,8 /
Рис. 8.3
ДСС-1. Для р>ро устойчивость системы при переходе из области Ds через
границу y=Ys(₽) нарушается так же, как и в безынерционной ДСС-1, т. е. при
появлении у (8 7) и (8.8) «транзитных» траекторий, не идущих в При
p<ipo характер потери устойчивости ДСС-1 существенно другой. Здесь при при-
ближении в области Ds к границе Y=Ys(P) переходный процесс сильно услож-
няется из-за появления в нем большого числа осцилляций ошибки х; при пере-
ходе через границу y=Ys(P) на отрезке Lo появляются значения <р, с которых
в системе устанавливается периодический режим Lp.
Таким образом, при учете инерционности в цепях управления
СФС и ССЗ неустойчивость ДСС-1 может быть обусловлена как
появлением «транзитных» движений, так и установлением перио-
дического режима, не возникающего в безынерционной ДСС-1.
Сравнивая кривые y=Ys(P), полученные при различных значени-
ях 81, 61, 82, 62, убеждаемся, что увеличение 'постоянных времени
Bi и 82 приводит к резкому уменьшению области устойчивости
при увеличении 61 и 62 область Ds увеличивается. Сопоставляя
результаты, полученные для области устойчивости инерционной
ДСС-1 при одних и тех же значениях 81 и 82, 6j и 62, устанавлива-
ем, что инерционность ССЗ оказывает более сильное влияние на
область устойчивости системы.
12Д
Результаты исследования нелинейной динамики ДСС-1 и
„ДСС-2 позволяют, в частности, заключить, что устойчивость ДСС
в значительной степени определяется структурой цепи управле-
ния задержкой и инерционностью ССЗ.
8.3. Синхронизирующие свойства и устойчивость ДСС
при воздействии структурной помехи
Неавтономные модели и стационарные синхронные режимы
ДСС. Во многих случаях параметры ШПС оцениваются в услови-
ях воздействия помех, имеющих структуру принимаемого сигна-
ла. Такие помехи возникают в системах с ШПС при многолуче-
вом распространении радиоволн [8.2; 8.12], а также в том слу-
чае, когда воздействуют преднамеренные имитирующие помехи
[8.12—8.16]. Распространенным видом таких помех является
уводящая помеха [8.15—8.17] в виде ШПС однотипного по струк-
туре с полезным ШПС, но отличающегося от него амплитудой,
смещением по несущей частоте и монотонно изменяющейся за-
держкой. Воздействие такой помехи может «привести к нарушению
или к невозможности наступления слежения в ДСС.
Рассмотрим устойчивость ДСС, оптимальных при действии
помех типа белого шума, к влиянию структурной помехи. Под ус-
тойчивостью понимается способность ДСС обеспечивать наступле-
ние и сохранение синхронизации полезного ШПС при изменении
параметров помехи (интенсивности, частотной и временной рас-
строек) .
Для выяснения общих закономерностей влияния уводящей по-
мехи на устойчивость ДСС из-за существенной нелинейности этих
систем ограничимся простым случаем отсутствия шумовых со-
ставляющих (п\ (/) —n2(t) =0). Будем считать, что амплитуды As
сигнала и Ап помехи «постоянны, начальный временной сдвиг 70и
начальная разность фаз ф помехи и сигнала являются [8.13;
8.14] случайными величинами с известными распределениями ве-
роятностей, а в качестве модели изменения задержки Тп уводя-
щей помехи принимаем в соответствии с [8.3; 8.17; 8.18] линей-
ную зависимость
Tn(t)=T0 + T(t) + at,	(8.9)
где а — скорость изменения Тп.
Положим, что несущие частоты помехи и сигнала отличаются
на частоту со, не превышающую полосу пропускания фильтра Юф
на входе подсистемы СФС. При этих предположениях уравнения
для оценок 0* и Т* записываются в виде [8.19—8.21]
8* = ^ Hr (р) [R (Т-7*) sin (0-0*) + н R (Тп-Т*) sin (0Л-0*)],
Hlu	(8.10)
Т*-т0 = k2 Нг (р) [D (Т-Т*) cos (0-0*) + р D (Тп-—Т*) X
X cos(0n —0*)],
124
где ц = ЛпЛ3-1.
Полагая в (8Л0)	(р) = Н2(р) = р~г и Н[(р)=р~1, Н2(р) =
= (1+ Г2р)-1, получаем следующие уравнения ДСС-1 и ДСС-2:
[dq/dx = y — 7? (х) sinф — pR (% +х0 + 6т) sin (ф + ф + т),
<	(о. 11)
\dx]d т = р — b D (х) cos ф — ц b D (х + х0 + 6т) cos (ф + ф + qx),
d q/dx = y — R (x) sin ф — p R (x + x0 + 6r) sin (ф + ф + <? т),
• dx/d т = Л [о — х—a D (х) cos ф — р,а D (х + х0 + 6т) cos (ф +	(8.12)
+ Ф + 7Т)]>
справедливые при со<соф, где 6 = a(&iA)-1, х0 = Г0А_1; q = (nkr1.
При со>соф последние члены в первых уравнениях (8Л1) и
(8.12) будут отсутствовать, так как составляющая сигнала, выз-
ванная помехой, не поступает на вход СФС.
Таким образом, математическими моделями рассматриваемых
ДСС при воздействии подобной помехи с изменяющейся согласно
(8.9) задержкой Тп являются неавтономные нелинейные системы
дифференциальных уравнений (8Л1) и (8.12) с трехмерным ци-
линдрическим фазовым пространством ф, х, т. Особенность этих
моделей, обусловленная апериодической формой нелинейностей
R(z) и D(z), состоит в том, что в областях |z|^2 фазового про-
странства (z=(7’n—Т*)А-1 = х + х0-|-6т— разность задержек по-
мехи и эталонного сигнала) они являются автономными вида
(8.5) и (8.6) соответственно, т. е. такими же, как и при р. = 0. С
наличием апериодических нелинейностей R(z) и D(z) связан и
тот факт, что устойчивость ДСС зависит от того, находится или не
находится система в состоянии синхронизма в момент поступле-
ния помехи. Воздействие помехи на «захваченную» ДСС может
привести к срыву слежения, влекущему за собой потерю устойчи-
вости системы. При одновременном поступлении сигнала и помехи
неустойчивость ДСС может иметь место из-за невозможности ус-
тановления в ней режима слежения за полезным ШПС.
• Стационарные синхронные режимы ДСС определяются [8.20;
8.21] в силу непериодичности правых частей систем (8.11) и
(8.12) по х и х ограниченными установившимися движениями
[8.11] систем (8.11) и (8.12), т. е. движениями, при ко-
торых изображающая точка в фазовом пространстве ф, х,
х не выходит при —оо<т<оо из заданной области V. Режиму
слежения Ps за параметрами полезного ШПС соответст-
вует установившееся движение Ls, расположенное в области
Ух : {| х| <2, —л^ф^л}. Режим слежения Рп за параметрами
помехи определяется установившимся движением Ln, расположен-
ным в области Vz: {|z| <2, —л^Ф^'л}, где Ф=ф + ф + <7т— раз-
ность фаз помехи и опорного сигнала.
Качественный характер движений Ls и Ln устанавливается ис-
ходя из известной картины фазовых траекторий систем (8.11) и
(8.12) в областях |z| >2 и |х| >2 фазового пространства. Устано-
125
вившееся движение Ls может существовать в (8.11) только при
параметрах |р| <&(1—у2/3)3/2, |у|<1, а в (8.12) при |о| <<т0(у, а),
|у | <1, где о=о0(у, «) —граница области существования состоя-
ний равновесия системы (8.6). Возможность существования устано-
вившегося движения Ln исследуется с использованием свойства
(8.11) и (8.12), согласно которому в областях |х| >2 заменой
Ф = ф + 'ф + 7тл 2=х + хо + бт, yi = (у+ <?) ц-1, Pi = (Р + 6) ц-1, Ti =
= цт (8.11) приводится к виду автономной модели (8.5) для пере-
менных Фиге известной картиной движений, а система (8.12),
заменой сц^ст + Хо + б/-1, 6i = 6p-1, Л1 = Хц-1, ai = ap-1, записывает-
ся в виде
б/Ф/d тх = у—7? (г) 81пФ, dz/dx1~L1 [o-j -|- тх— z—ax D (z) созФ].
(8.13>
В (8.11) установившееся движение Ln, а следовательно, и стацио-
нарный режим Рп ДСС-1 могут быть лишь со<<оф и только при
следующих параметрах из области Dn
7 « Ь X Ч { 1(Р+б)2/3&-2/3+(у+#/3]3/2, б>—р,
(у, р, Ь, б, q) = { r	j	г
I [(_p_6)2/3/?-2/3_f_(v + ^2/3]3/2)6<—р.
(8.14)*
Рассмотрим для (8.13) семейство поверхностей F=си + 6iTi—
—2=/г (й = const). Определяя знак производной dF)dx\ в силу
траекторий системы (8.13), устанавливаем, что dFjdxOQ в обла-
сти z^icr+i + 6jTi и dFldx\<S) в области	+ 61Т1 фазового про-
странства (сг+1 = си + си—6А1-1, о--1 = си—си—61Л1-1)-
Это означает, что траектории (8.13) при возрастании времени т>
входят внутрь области фазового пространства Vx : {о-1 + 6ith <
<2<o+1-|-6iTi} и стремятся при oi>0, 6i>0(oi>0, 6i<0) к пря-
мой 2 = 01 + 61X1 в области 2 ^>2 (2^—2). Отсюда ясно, что все
решения (8.13) не ограничены, следовательно, (8.12) не может
иметь установившегося движения типа Ln, а в ДСС-2 со статиче-
ской ССЗ невозможен стационарный режим Рп слежения за по-
мехой.
Исследование устойчивости (8.11) и (8.12) заключается, та-
ким образом, в определении установившихся движений Ls и Ln,
нахождении областей их притяжения, условий существования и
установления этих движений в зависимости от параметров и на-
чальных условий. Приведем результаты [8.20; 8.21] этого иссле-
дования в двух различных ситуациях, когда помеха воздействует
на ДСС, находящуюся в синхронизме с полезным сигналом, и
когда сигнал и помеха поступают на вход ДСС одновременно.
Срыв слежения в неавтономных ДСС. Воздействие помехи на
«захваченную» ДСС имеет место в тех случаях [8.12], когда по-
меха отстает от сигнала настолько, что к моменту ее прихода в
системе может быть закончен поиск и установлен режим Ps сле-
жения за полезным ШПС. В соответствии с этой ситуацией и при-
нятой моделью (8.9) изменения Тп следует принять, что парамет-
ры ДСС принадлежат областям устойчивости Bs и CSf параметры
126
помехи Хо^4, б<0, фе[0, 2л], а начальное состояние ДСС при
т = то= (2—х0—xs)6i-1 определяется в фазовом пространстве си-
стем (8.11) и (8.12) полупрямой R_s: {cp = cps, x = xs, z^2}, т. e со-
стоянием равновесия Ai систем (8.5) и (8.6). При т>то под влия-
нием помехи изображающая точка в фазовом пространстве от-
клоняется от стационарного состояния R~s «захваченной» ДСС.
Режим слежения Ps не нарушается, если у (8.11) и (8.12) сущест-
вует установившееся движение Ls в области Vx фазового прост-
ранства. В этом случае вызванные помехой отклонения ошибок <р
и х от R~s компенсируются системами и изображающая точка, вый-
дя в фазовом пространстве в область z< —2, попадает в область
притяжения n(R+s) полупрямой /?+s: {(p = (ps, x = xs, z^—2}, т. е.
в область притяжения состояния равновесия Ai (см. рис. 8.1а,в}.
При этом разность задержек х удерживается ДСС в пределах
дискриминационной характеристики D(x).
Явление срыва слежения и связанная с ним потеря устойчиво-
сти ДСС наступают при отсутствии у (8.11) и (8.12) траектории
Ls. При этом в ДСС-1 имеет место либо нарастание абсолютных
значений |х| и |z| ошибок задержек и выход х и z за пределы
нелинейностей D(x)ylD(z), обусловленный выходом изображаю-
щей точки в фазовом пространстве системы (8.11) за пределы об-
ласти притяжения n(R+s), либо переход на слежение за помехой
в случае, если со<соф , p>pn(Y, Р, Ь, б, q) и если при этом полу-
прямая R~s в фазовом пространстве (8.11) принадлежит области
притяжения П (R+n) полупрямой R+n ‘ {ф = Ф«—ф—qx, z = zn—xQ—
—бт, х>2}(Фп и zn — координаты состояния равновесия В1(Фп,гп)
системы (8.5) в переменных Ф и z). В ДСС-2 со статической
ССЗ срыву слежения соответствует выход траектории Ls в фазо-
вом пространстве системы (8.12) за пределы области Vx незави-
симо от соотношения между со и со ф.
Устойчивость ДСС в рассматриваемом случае следует оцени-
вать по величине области сохранения слежения Gs, т. е. области
параметров систем и помехи, при которых существует установив-
шееся движение Ls у (8.11) и (8.12) в области Vx фазового про-
странства. Так как начальная разность фаз фе[0, 2л] случайна,
устойчивость систем можно оценить по вероятности сохранения
слежения
ps= J	(8.15)
где F(\b)—функция распределения, удовлетворяющая условию
2л
J Г(ф)фр=1; a Vs — область значений ф из интервала 0,2л, при
о
которых существует траектория Ls систем (8.11) и (8.12) в обла-
сти Vx фазового пространства. В тех случаях [8.13; 8.14], когда
ф равномерно распределена в интервале 0,2л, Ps=Vs|2n- Опре-
деление вероятности ps и области устойчивости Gs выполнено
127
[8.20; 8.21] для конкретных параметров ДСС и помехи с примене-
нием ЭВМ. путем численного построения траектории Ls.
Результаты численного исследования срыва слежения и расчета областей
G3 сохранения слежения с вероятностью р5=1 приведены на рис. 8.4 для
ДСС-1 и на рис. 8.5 для ДСС-2 в виде кривых ц = (б), рассчитанных для па-
раметров у=0,2, |ЗЬ_1 = 0,4; 5 = 0,1, 0,5; а=5,0; а=0,5; 82=7’2^1 = 20, 100; q —
= 0, 0,35 в двух случаях со<(оф и (0>иф. Кривые ц=цДб) определяют
Gs: р,<р,дб)—область устойчивости и Gp : р,>р,Д6)—область подавления по-
мехой. Из полученных результатов следует, что для увеличения области устой-
чивости Gs ДСС надо уменьшать полосу пропускания и ф фильтра на входе
подсистемы СФС, уменьшать параметр b и увеличивать параметр 8г. При этом
параметр b обязательно должен превосходить граничное значение
5* = Р(1—у2/3)3/2, так как при b<_bv режим синхронизма 4] в (8.5) не сущест-
вует, в то время как параметр &2 не влияет на область существования Aj и его
значение может быть выбрано исходя из требуемой области устойчивости G,.
Следовательно, в ДСС-2 со статической ССЗ может быть реализована более
высокая помехоустойчивость к срыву слежения под воздействием подобной
уводящей помехи.
Однако увеличение е2, так же как и уменьшение Ь, ведет к уменьшению об-
ластей устойчивости С3 и В3 ДСС-1 и ДСС-2 без помех. Наличие при некото-
ром значении б = б* пересечения кривых ц = цДб), соответствующих различным
частотным расстройкам q, приводит к тому, что зависимость области G3 от q
имеет различный характер при 6>б* и б<б*. При б>б* наибольшим мешаю-
щим действием помеха обладает при совпадении несущих частот, т. е. при <?=0;
при 6<6*, наоборот, имеет место увеличение области устойчивости Gs при уве-
личении расстройки q.
Устойчивость ДСС при одновременном воздействии сигнала и
помехи. При одновременном воздействии полезного и мешающего
ШПС последний влияет на процесс вхождения в синхронизм. Это
влияние определяется параметрами ДСС и помехи, а также на-
128
чальным временным положением помехи относительно сигнала в
пределах дискриминационной характеристики D(z). Предполага-
ются выполненными условия устойчивости систем (8.5) и (8.6),
т. е. считается, что без помех рассматриваемые ДСС обязательно
входят в синхронизм. В этом случае в соответствии с принятой мо-
делью (8.9) изменения задержки Тп начальное состояние ДСС при
т=0 определяется в фазовом пространстве множеством точек от-
резка L0 : {т=0, х=хн, 0^ф^2л}, параметры помехи фе[0, 2л],
Хое|а1; а2], где ai=O, а2=4 для (8.11) и ai = —2—о, а2=2—а
для (8.12), Хн=—2-sign р для (8.11), хн=о для (8.12).
Возможность установления того или иного режима в ДСС оп-
ределяется в (83 1) взаимным расположением в фазовом простран-
стве отрезка L° и областей притяжения П(Ь8) и П(Ьпу траекторий
Ls и \Ln, а в (8.12) ошибкой х в процессе установления режима Ps.
Режим Ps устанавливается в том случае, если для всех значений па-
раметров Xq и ф из области VP: {ai^x0<a2, 0=Сф=С2л} всетраекто-
рии, начинающиеся на отрезке L0, попадают при возрастании вре-
мени т в область притяжения П (/?+«), не выходя из области Vx. Об-
ласть значений параметров систем и помехи, при которых это усло-
вие выполняется, будем называть областью захвата под полезный
сигнал fis.
Невхождение в режим Ps в ДСС-1 при параметрах вне области
Qs обусловлено либо установлением режима Рп слежения за поме-
хой, либо неограниченным нарастанием ошибок |х[ и |z|. Если
при (й<(1)фи Ц>-Цп(у, Р, 6, q) для всех значений %о и ф из об-
ласти Vp отрезок начальных значений L° целиком принадлежит об-
ласти притяжения П (R+n) полупрямой R+n, то параметры (8.11) и
помехи принадлежат области захвата Qn в режим Рп. При пара-
метрах (8.12) вне области Qs в ДСС-2 ошибка х в процессе вхож-
дения в режим Ps выходит за пределы дискриминационной харак-
теристики D(x). В том случае, когда параметры (8.6) находятся
вне области устойчивости Cs, режим Ps в ДСС-2 может не насту-
пить совсем из-за наступления стационарного режима биений вто-
рого рода (см. рис. 8.1г).
Устойчивость моделей (8.11) и (8.12) в рассматриваемом слу-
чае следует оценивать по области Qs, для которой несмотря на
«уводящее» влияние помехи устанавливается синхронный режим
Ps и в процессе его установления ошибка х удерживается системой
в пределах дискриминационной характеристики ССЗ D(x). По-
скольку начальные значения ф, ф, х0 — случайные величины, устой-
чивость систем можно оценить аналогично [8.22], по вероятности
захвата в режим Ps, определяемой выражением

Я, ==
Г(ф, ф, x0)d(()d^>dx0>
(8.16)
Us
где Г(ф, ф, х0) —функция распределения; удовлетворяющая усло-
вию Е(ф, ф( хо)б/фб/ф£/хо=1; Uq: {ai^x^a2t 0^ф^2л,
и0
5’—156
129
0^ф^2л}; Us — область начальных значений ф, ф, хо, для кото-
рых устанавливается режим Ps с ошибкой |х| <2 в процессе ус-
тановления.
В тех случаях, когда ф, гр, xQ распределены равномерно [8.13;
8.14] в области Uq, qs = Us! 16л2. Определение вероятностей qs и об-
ластей устойчивости Q.? выполнено [8.20; 8.21] для конкретных па-
раметров ДСС и помехи с применением ЭВМ путем численного на-
хождения областей притяжения n(R+s) и соответствующих облас-
тей в пространстве параметров (8.11) и (8.12).
Результаты численного исследования процесса вхождения в синхронизм в
моделях (8 11) и (8 12) неавтономных ДСС для значений £2=20, 50 при преж-
них остальных параметрах приведены в виде кривых ц= ц>:з(6) при 6<0 на
рис 8 6, 8 7 для ДСС-1 (соответственно для 5 = 0,5 и 5=0,1) и на рис. 8.8 для
ДСС-2 Кривые |i=|i*s(6) определяют область захвата Qs: p<|i*s(6) с веро-
ятностью qs~]. и область подавления помехой йр • |i>|i*s(6). Характерным яв-
ляется монотонный характер кривых ц = |1*з(6) при расстройке q = Q и осцилли-
рующий характер, возникающий при увеличении q, который становится особен-
но выраженным в ДСС-1 при возрастании 5, а в ДСС-2 при (0>(0ф Такой
характер кривых p = p*s(6) обусловлен резонансными свойствами ДСС, кото-
рые проявляются в подчеркивании полезного сигнала при одних значениях 6
и помехи при других При уменьшении соф область Qs в ДСС-1 возрастает
(рис 8 6, 8 7). В ДСС-2 наличие глубоких провалов кривых p = p*s(6) в слу-
чае <0>(0ф приводит к существованию при некоторых параметрах областей
значений 6, при которых уменьшение <оф приводит к уменьшению области Qs
(рис 8 8) При увеличении постоянной времени е2 эти области уменьшаются и
исчезают, после чего уменьшение со ф также приводит к увеличению области
устойчивости Qs Уменьшение параметра 5 и увеличение Ег при сохранении
условий устойчивости ДСС без помех ведут к увеличению области Qs При
этом в ДСС-1 влияние параметра 5 на область Qs оказывается более эффек-
136
ТивнЬш, чем йй область Д, что особенно заметно в случае н>>(0ф При умень-
шении Ь, кроме этого, подавляются осцилляции кривых ц = ц %(/?). Однако
уменьшение b и увеличение е2 приводит, с другой стороны, к уменьшению
[8 6 8 10] областей устойчивости Bs и Cs, что ведет, в свою очередь, к ухуд-
шению и может привести к нарушению условий вхождения ДСС в синхронизм
без помех Взаимное расположение кривых |i=|i*s(6) при <л<а>ф для различ-
ных q зависит от степени близости параметров ДСС к границам областей ус-
тойчивости Bs и Cs-
Сопоставляя кривые p=|i*s(6) и p,=ps(6), устанавливаем, что при
(0<(0ф области устойчивости Gs и »QS при небольших абсолютных значениях
|б| являются близкими, а при возрастании |б|, начиная с некоторого значения
б, Qs>Cs При (о>о>ф область Qs, начиная с некоторого значения б, также?
превосходит Gs. Такое отличие условий устойчивости ДСС-1 и ДСС-2 связано
с различными значениями параметра ц, при которых наступает выход за преде-
лы области Vx фазового пространства (8 11) и (8 12) траектории Ls и траек-
тории L, и траекторий, идущих с точек отрезка начальных условий 1° Такими
образом, для оценки областей устой-
чивости ДСС в обеих рассмотренных
ситуациях можно пользоваться кри-
выми |i = ps(6); при этом в случае
одновременного воздействия сигнала
и помехи кривые |i=|is(6) опреде-
ляют область устойчивости Qs, с не-
которым запасом.
Зависимости областей Bs,
Cs, Ds, Gs, от параметров
систем и помехи позволяют ре-
шать вопросы оптимизации па-
раметров ДСС, исходя из тре-
буемой их устойчивости и по-
мехоустойчивости к воздейст-
вию подобной уводящей поме-
хи. Выбирать параметры ДСС
для достижения требуемой по-
мехоустойчивости необходимо
с учетом одновременного вы-
полнения устойчивости систем
в отсутствие помех.
Глава 9
Оптимальный прием дискретных сигналов
с синхронизацией
по информационным символам
9.1.	Синтез устройств приема дискретных сигналов
со случайной задержкой
Введение. Прием дискретных сигналов без использования спе-
циальных синхросигналов рассмотрен в [9.1—9.19], вопросы син-
131
теза оптимальных приемников таких сигналов в [9.3—9,5; 9.7; 9.9—
59.16; 9.18]. В [9.3—9.5; 9.7; 9.11; 9.13—9.16; 9.18] априори принято,
что оптимальным устройством является корреляционный приемник,
использующий оценку временной задержки от автономной системы
тактовой синхронизации. На то обстоятельство, что это не обяза-
тельно, было обращено внимание в [9.10]. В полученной в [9.10]
структуре оптимального приемника оценки информационного пара-
метра сигнала и его случайной задержки неразделимы. Интересен
оптимальный алгоритм обнаружения некоторых сигналов со слу-
чайной задержкой, полученный в [9.20]. Он допускает несложную
техническую реализацию, в которой отсутствует в явном виде сис-
тема оценки непрерывного параметра.
Синтез СТС выполнен в [9.4; 9.7; 9.11; 9 13—9.16; 9.18, 9.32] на
основании критерия максимума правдоподобия. При этом неизвест-
ная задержка считается постоянной случайной величиной, а не
случайным процессом. Обобщение полученных результатов на слу-
чай изменяющейся временной задержки проведено не строго. Тогда
вьрбор структуры СТС в виде следящей системы ФАПЧ оказыва-
ется теоретически не вполне обоснованным. В [9.5] учитывалась
динамика временной задержки. Однако для этого пришлось вво-
дить специальный критерий оптимизации. Кроме того, в [9.14]
приведен квазилинейный алгоритм слежения за случайной задерж-
кой, которая описывается гауссовской последовательностью случай-
ных величин. Весьма общим является подход к задачам синтеза оп-
тимальных алгоритмов приема на основе марковской теории нели-
нейной фильтрации.
Применению аппарата теории нелинейной фильтрации к задаче
синтеза оптимальных приемников дискретных сигналов со случай-
ной задержкой посвящены работы [9.9; 9.10; 9.15]. В [9.10] полу-
чен алгоритм фильтрации дискретных сигналов со случайной за-
держкой и для бинарных равновероятных сигналов рассмотрен ва-
риант его технической реализации, который, к сожалению, оказы-
вается сравнительно сложным. В [9.15] выполнен структурный син-
тез приемника фазоманипулированных сигналов со случайной за-
держкой Однако принятое в [9.15] описание дискретного парамет-
ра не соответствует обычному для практики характеру изменения
информационного параметра. В [9.9] на примере случайной за-
держки разработана методика вывода уравнений фильтрации не-
прерывных параметров дискретных сигналов, которая впоследствии
использовалась в [9.22; 9.23]. Однако в силу ряда приближений
полученные при этом алгоритмы неоптимальны. В [9.24] на основе
аппарата теории условных марковских процессов [9.25] получены
точные уравнения фильтрации дискретно-непрерывных процессов,
описывающих сообщения, характерные для систем передачи циф-
ровой информации. В [9.30; 9.31] эти результаты развиваются для
синтеза оптимальных приемников дискретных сигналов со случай-
ной задержкой. Будем следовать этим работам.
132
Формулировка задачи. Пусть передаваемый сигнал
s(t) = ^ sk(t—kT).
fe=0
Здесь Sk(t) —один из п элементарных сигналов, которые полага-
ются тождественно равными нулю вне интервала [О, Т] и могут
быть довольно сложными (например, широкополосными фазомани-
пулированными сигналами или импульсными сигналами). При на-
личи I случайной задержки принятый полезный сигнал
s(/,T(/)) = s(/-T(0) = £ sk(t—kT—т(0).
k=0
В дальнейшем рассматриваются именно такие полезные сигналы.
Однако, имея в виду применение аппарата теории нелинейной
фильтрации, используем другую их запись.
Представим полезный сигнал в виде известной функции от ин-
формационного дискретного параметра 0(/) и случайной задержки
т(0, т. е.
s (t, 9, т) =s [/ — т (/), 9 (t—т (/))].	(9.1)
Дискретный параметр 0(/) принимает постоянные значения на так-
товых интервалах Q(t)=6k, t^[th, 4+i). Значения информаци-
онного параметра на разных тактовых интервалах образуют прос-
тую однородную цепь Маркова 0fe, k—0, 1,... , с п состояниями и
известной матрицей вероятностей перехода из i-ro состояния в /-е
П—л1Ь i, j—i,n и вектором вероятностей начальных состояний
р = рг, i== 1, п.
Границы тактовых интервалов th, & = 0, 1,..., определяются
случайной задержкой т(0, т. е. Д = ^(т). При заданной реализа-
ции задержки границы тактового интервала можно определить из
уравнения
th = kT + r(tk),k = 0,l, . . .
Рассмотрение непосредственно случайной задержки позволяет ох-
ватить более общий класс задач, включающий, например, задачи
приема сложных сигналов, у которых случайная временная за-
держка проявляется не только в смещении границ тактовых ин-
тервалов, или задачи приема в условиях быстро меняющейся за-
держки.
На тактовом интервале Д, tk+i сигнал s(t, 0, т) равен элемен-
тарному сигналу «г(/—kT—т(0), если 0(/)==0fe = i. Случайная за-
держка т(/) соответствует запаздыванию сигнала, например, из-за
относительного движения приемника и передатчика или нестабиль-
ности тактового генератора и в общем случае является компонен-
той, например первой, диффузионного марковского процесса
!(/), т(0 = М0-
133
Процесс МО удовлетворяет системе стохастических дифферен-
циальных уравнений
=	+ «.(/),/= ГХ	(9.2/
д t
понимаемых в симметризованном смысле [9.21]. Здесь /Д#, 1) —
функции, удовлетворяющие условию Липшица [9.21]; пг(?) — гаус-
совские белые шумы с нулевым математическим ожиданием и ин-
тенсивностью bu(t, 1), i, j—l,1.
Априорные вероятностные характеристики процесса !(/), соот-
ветствующие (9.2), определяются из уравнения Фоккера — План-
ка— Колмогорова [9.21]:
dW_ =	V д
dt ~	L дКп
а=1 а
I I
а=1 y—1
d3 ba v
дК дк
а v
^L{W},
(9.3)
где W—W(t, 1) — априорная плотность вероятности процесса
Х(0» яа(^,	—коэффициенты сноса процесса Х(/).
Например, распространенная модель для задержки т(/) задает-
ся уравнениями [9.34]
т = Й, Й=—ай-|-пй(£),	(9.4)
где nQ (/) — гауссовский белый шум с характеристиками
М{«о(/)}=0, М{«в(Ппв(/+т)} = (^) ««.
Если т(/) —задержка из-за движения цели, то Q(Z) — Vr(t)/c,
где Vr(t) —скорость цели, с — скорость распространения электро-
магнитных волн. Если т(0 обусловлена нестабильностью частоты
генератора тактов, то Q (/)	Т, где 6/т(/)—случайная со-
ставляющая частоты генератора тактов.
Выражения (9.1) — (9.3), дополненные начальными и граничны-
ми условиями для (9.3), дают полное описание полезного сигнала.
Это описание достаточно общее и позволяет охватить большинство
практических ситуаций.
В конкретных случаях (9.2) должны выбираться так, чтобы
обеспечить ограничения, следующие из физического смысла прак-
тической задачи. Например, если т(0 —случайная задержка из-за
распространения, то вид априорных уравнений и начальные усло-
вия для них должны обеспечивать естественное требование поло-
жительности задержки т(/)>0. Некоторые дополнительные огра-
ничения общего характера будут получены ниже.
Наблюдение сигнала s(t, 0, т) осуществляется на фоне шума,
т. е. принятое колебание
=	+	(9.5)
где n(t) —'независимый от 0(/) и x(t) гауссовский белый шум с
характеристиками M{zz(/)} = 0, М{п(/), «(Ж)} = (О)б(т).
134
Марковский характер параметров сигнала. Чтобы воспользо-
ваться развитой теорией оптимальной нелинейной фильтрации мар-
ковских процессов [9.25]„ покажем, что описанная совокупность
параметров — процессов {!(/), 0(/—т(/)} образует многокомпо-
нентный марковский процесс. Этот вопрос совсем не тривиален.
Рассмотрим задачу в более общей постановке. Пусть х(7) —мар-
ковский процесс (возможно, векторный), не зависящий от т(/), и
т(0—компонента векторного марковского процесса Х(/) = {т(/),
где р(0 —вектор, объединяющий компоненты {Хг, Хз, •. •,
.Введем в рассмотрение процесс х(/—т(/)). В общем слу-
чае он не марковский. Однако составной процесс z(/) = {x(Z—
—т(0), МО} ПРИ некоторых ограничительных условиях на Х(/)
марковский. Эти условия сводятся к тому, что для любых Д>0 с
вероятностью единица должно выполняться
—т (/) + т (/+ Д) < А	(9.6а)
или эквивалентное неравенство
т (/) < 1,	(9.66)
Для доказательства рассмотрим три момента времени t—Д<
<7</-|-Ai. Процесс z(Z) = {х(/—т(0), МО} будет марковским,
если
Р (z (2 Ч- Ax)/z (/),z (/—Д)) = Р (z (t Ч- AJ/z (/)).	,	(9.7)
По теореме Байеса можем написать
Р (z (/ + AJ/z (/)), z (/- Д) = Р [х (/ + Дх-т (/ + AJ) А (/ + ДО,
z (Z),z (/—— Д)] Р [1 (/ + ДО/z (/), Z (/-Д)].	(9.8)
Рассмотрим отдельные сомножители этого выражения. По усло-
вию марковости процесса Х(0 и независимости от х(/) имеем
Р[К (/ + Д0А(О, z(Z—Д)] =Р [1 (/ + ДО/z(/)].	(9.9)
Обратимся теперь к первому сомножителю в правой части (9.8),
который можно записать
Р [X (/ + Д, — х (t + ДО)А (/ + ДО, z (0, Z (/—Д)] = Р [X (/ + Дх—т (/ +
+ Д0)/т (/ + ДО, 0 (/ + АО, х (^—т (0),т (0, р (0, х (/—А—т (/—Д)),
x(t—А), 0 (Z—А)] =Р [х(/4-Д1—т(/4-Д0)/х(/—т(/)), х(/—Д—т(/—
—-Д)), т (^ + ДО, т (0, т (t-Д)].	(9.10)
Таким образом, рассмотренный сомножитель представляет со-
бой плотность вероятностей процесса x(fi) в известный момент вре-
мени —	—т(/+Д1) при фиксированных значениях процесса
х(/2), х(/3) в известные моменты времени tz=t—т(0 и /з=
= t—А—т(/—Д) (момецты /2, /з известны, так как т(/+Л1),
т(0, т(/—Д) фиксированы). Несмотря на то, что процесс х(/) мар-
ковский, нельзя утверждать, что справедливо
Р lx (/J/х (/2), х (/3)] = Р [х (ZJ/X (£,)].	(9.11)
135
Дело в том, что моменты времени t\, t?, h, в’ общем случае могут не
находиться в соотношении	Для того, чтобы это была
так, необходимо и достаточно чтобы —т(/+Д1) >0, т. е. должна
выполняться (9.6). Если это условие выполняется, то выполняется
и (9.11). Из (9.10), (9.11) в силу независимости х(/) и Х(/) следу-
ет
Р [х (/ + Дх—т (/ + Дх))/Х (/ + Дх), z (/), z (/—Д)] =Р[х(/4-Д1—т(^-г
+ Д1))Д(/ + Д1),г(0].	(9.12)
Подстановка (9.9), (9.12) в (9.8) дает (9.7),. что доказывает
марковский характер процесса z(/) = {x(Z—т(/)), Х(0} при ограни-
чении (9.6).
Ограничение (9.6) на характер задержки r(f) имеет физиче-
скую интерпретацию в случае, когда x(t) — задержка из-за рас-
пространения сигнала, т. е. т(/) =r(t)/с, где r(t) —расстояние при-
емника от передатчика в момент прихода сигнала, с — скорость
распространения электромагнитных волн. Видно, что (9.6) эквива-
лентно
dr/dt<Zc,	(9.13/
т. >е. скорость удаления приемника от передатчика должна быть
меньше скорости света. Это условие выполняется. В то же время
распространенные модели для задержки т(/), используемые в ряде
работ, не удовлетворяют этому условию. Например, часто в каче-
стве модели для описания берут гауссовский — марковский про-
цесс [9.26; 9.27]
т=—ат-|-п(/)	(9.14)
или винеровский [9.15; 9.28]
т = «(/).	(9.15)
В правую часть (9.14), (9.15) входит белый шум, имеющий беско-
нечную дисперсию. Поэтому производная т(/) может принимать
любые значения, в том числе и больше единицы. Таким образом,.
(9.6) не выполняется и процесс х(/—т(/)) при т(/), удовлетворякк-
щем (9.14), (9.15), нельзя, вообще говоря, описанным выше обра-
зом свести к марковскому 'процессу.
Ограничение (9.6) является достаточным, но не необходимым:
условием марковости процесса {х(/—т(/), т(/)}. Например, если
х(/)—детерминированный процесс, то 'при любом соотношении
между /1, /2, h (9.11) остается справедливым, т. е. {х(/—т(/))т
?(/)}—марковский процесс, причем вырожденный, так как т(/)
полностью определяет х(/—т(/)). Поэтому использование моделей
случайной задержки (9.14), (9.15) в [9.26; 9.27], где, в отличие от
(9.1), сигнал записывается в виде s(t—т(7),	является кор-
ректным, так как случайные параметры сигнала i(Z) не зависят от
т(/), а при заданном векторе Х(/) сигнал s(t) детерминирован.
Отметим, что ограничение (9.6) имеет «математическую» при-
роду и, несмотря на видимую схожесть (9.13) е постулатом Эйн-
136
штейна, который можно рассматривать как «физическое» ограни-
чение, они не эквивалентны. В частности, ограничение (9.6) «до-
пускает» сближение приемника с неподвижным передатчиком или
удаление передатчика от неподвижного 'приемника со скоростями,
большими с.
Возвратимся к процессу	0(/—т(/))}. Отметим, что про-
цесс 0(/—т(/)) сам по себе не марковский при случайном т(/).
В этом случае плотность вероятности перехода Р[0(/-|-Д—т(/+
-}-Д))/0(/—т(0)] зависит от условия — имеется или нет между t
и t-\-A граница тактовых интервалов tk. Однако в соответствии с
только что доказанным результатом процесс {МО, 9(^—т(0)} яв'
ляется марковским, если процесс Х(/), описываемый (9.3) для ап-
риорной плотности W (t, X), удовлетворяет (9.6). Легко показать,
что (9.6) эквивалентно следующим условиям на параметры про-
цесса М0:
£т? = 0 для у = 1,1; ax(t, X) < 1,	(9.16)
где b— коэффициент диффузии компоненты т(0 процесса Х(/);
/гт(/, X)—коэффициент сноса т(0-
Например, процесс вида (9.4) удовлетворяет (9.16), т. е. и (9.6),
если с вероятностью единица П<1. Строго говоря, это не так, т. е.
вероятность события П<1 не равна нулю. Но если дисперсия о2
мала (о2й <С1), то эта вероятность стремится к нулю. Будем пола-
гать это условие выполняющимся.
Оптимальная оценка дискретного параметра. Получим опти-
мальную (по критерию минимума вероятности ошибки) оценку
дискретного параметра 0\ на каждом тактовом интервале. При
этом ограничимся только оценками 0\ без запаздывания, т. е. рас-
смотрим только задачу оптимальной текущей фильтрации.
При известном значении задержки т оптимальная (по критерию
минимума вероятности ошибки) оценка дискретного параметра, по-
стоянного на интервале 4, 4+1, определяется соотношением [9.29]
= max-1 {Р (0ft = 0} = max-1 {Р [(£ + 1) Т + т, i]}.	(9.17)
i	i
Здесь max“1{f(f)} — функция, обратная функции максимума, т. е.
i
равен тому значению i, при котором f(i) максимальна, P(Qk =
= i) — апостериорная вероятность дискретного параметра в конце
>&-го тактового интервала, а не в каждый момент времени (как это
делается при реализуемой фильтрации непрерывных процессов).
При случайном значении границы тактового интервала tk+i мо-
мент времени, когда должны сравниваться апостериорные вероят-
ности, не определен, как в (9.17). Теперь P(Qk=i) следует рас-
сматривать как условную вероятность при фиксированном т, т. е.
-Р(б*=0=.р [6,-и (тМ/-ч.
Обобщая понятие «реализуемой» оценки дискретного параметра,
естественно рассматривать безусловную относительно т апостери-
орную вероятность дискретного параметра в конце интервала на-
137
блюдения. Последняя определяется через P[^+i(t), i/т] = P\i]xt
£(A+iW] усреднением ее с весом, равным апостериорной плотности
вероятности случайной задержки P(t, т). Для задачи текущей
фильтрации естественно брать плотность вероятности в конце так-
тового интервала t=tk+i(x), т. е. рассматривать P(tk+i(x), т).
При этом необходимо учитывать, что Р(4+1(т), т) не обладает
свойством нормировки из-за зависимости th+.i от х:
f P[tk+1(x),x]dx = C=£ 1.
Обеспечивая условие нормировки, запишем апостериорную вероят-
ность того, что дискретный параметр в k-м тактовом интервале
принимает значение i в виде
р (&k = i) = у	р f4+i (Д Т1 r-
При этом на &-м тактовом интервале алгоритм оценки дискретного
параметра
= max-1 {Р (0ft = 0} = max-1 j J P [Zft+1 (r),-i/t] P	(r), r] d r }
(9.18)
Алгоритм (9.18) является обобщением алгоритма реализуемой
оценки параметра, постоянного на некотором интервале, при нали-
чии неопределенности в моменте появления сигнала.
Вероятность P(Qk=i) просто выражается через P[l(t), 0(/—
•—т(/))/^0] •—апостериорную плотность вероятностей процесса
{!(/), 0(/—т(0)} по наблюдению £(/) до момента времени t. Плот-
ность вероятности Р[Х(г), 0(/-—т(/))/£zo] является основной харак-
теристикой процесса {!(/), 0(/—т(/))}. Введем для нее обозначе-
ние P(t, 0, X). При этом, используя формулу умножения вероятно-
стей, имеем
р (0А = 0= fр l^-1-i (т), t/т] Р Rft+1 (т), т] d т = f Р [/й+1 (т), i/1] X
хР[/Н1(т)Д]Д = [Р(ЛТн-т,/Д)Р(А1Т4-тД)^1=(’Р[ЛТ4-
Н-т, 0 = i, X] dK.	(9.19>
Таким образом, (9.17) и (9.18) можно переписать в виде
0*А = max-1 ( f Р [k Т + т, 0 = I Д] d	(9.20>
Такая запись выражает оценку дискретного параметра 0\ через।
апостериорную плотность вероятностей Р(/, 0, X). Отметим, что
P(t, 0, X) — смешанная плотность, т. е. она является плотностью ве-
роятностей по X и вероятностью по 0. Поэтому условие нормиров,-
ки для нее
ГР(/,0Д)б/^ = 1.
е
138
постоянства процесса и (у) и для гра-
ЗГ-Го t-rjT t-r^2T
Рис. 9.1 а, б, в, г
Уравнение для апостериорной плотности вероятности. Уравне-
ние для P(t, 0, X) следуют из результатов [9.24], где получены
уравнения фильтрации дискретно-непрерывных марковских процес-
сов с постоянным на тактовом интервале значением дискретного
параметра.
При подходе, развитом в [9.24], отдельно рассматриваются
соотношения для интервал
ниц тактовых интервалов
tk, k—Q, 1, 2. При неизве-
стной случайной задерж-
ке границы тактовых ин-
тервалов не определены.
Однако для каждого фик-
сированного значения т
они определяются из со-
отношения tk (т) = kT+т,
k — 0, 1, 2. Это позволяет
непосредственно исполь-
зовать доказательство
[9.24]. Удобно предста-
вить вектор X в виде
>.(т, ₽}, выделив т в яв-
ном виде. Для точек плос-
кости {t, т] (рис. 9.1а),
соответствующих внутрен-
ним точкам тактовых ин-
тервалов, т. е. т=/=/—kT, дискретный параметр 0(/—т) сохраняет
постоянство. Известно [9.25], что в таком случае смешанная апо-
стериорная плотность удовлетворяет уравнению
^Р(<-е7‘.'т’Р) = L {Р (t, 9 = i, г, ₽)} +	(t, x)-F(t)]P (/, 9 = 1,T,P)
d t
(9.21)
для т t—kT.
Здесь |L{-}—оператор Фоккера — Планка — Колмогорова (9.3);
k= \tfT} — целая часть t]T\
о	1
Ft (t, T) = ± R (0 Si (t-x-k T) - 4-s\ (t -T-k T)1;
Ao	2
F (t) = £ f f Ft (t, т) P (t, 0 = i, x, 0) dxdfi.	(9.22)
(=i1 1
Введем в рассмотрение моменты времени 6Дт)—E=x-\-kT—е и
^k(x) -\-e=x-\-kT-\-E,, непосредственно близкие к граничным точкам
ik(x). Физически очевидно, что при е->0 наблюдение реализации
? t^e не изменяет апостериорную плотность P(t, 0, х, 0). Матема-
тически это соответствует условию информационной непрерывности
-J9.25], которое выполняется при наблюдении на фоне белого шума.
139
Поэтому можно считать, что изменение смешанной плотности P[t,
0, т, PJ на интервале [Д(т)—е, Д(т)+е] удовлетворяет априорно-
му описанию. Учтем, что точки Д(т)—е и ^(т)+е соответствуют
соседним элементам цепи Маркова, описывающей последователь-
ность 0ft, а непрерывные параметры {т, 0} можно считать неизмен-
ными в интервале [Д(т)—8, ^(т)+б]. При этом получаем соотно-
шение
Р [/+ 0, 0 = i, т, 0] = £ пл Р [/ — 0, 0 = /, т, 0)] при т = t — k Т. (9.23)
/=1
Более формальное доказательство (9.21), (9.23) не отличается от
приведенного в [9.24].
Приведем графическую интерпретацию (9.21), (9.23), ограни-
чившись для простоты частным случаем, когда вектор непрерыв-
ных параметров X представлен только т. Как следует из полученно-
го алгоритма, для большинства точек плоскости {t, т} (см. рис.
9.1а) плотность P(t, 0, т) удовлетворяет (9.21) для каждого 0. В
точках линий t=kT-\-x, k = 0, 1, . . ., соответствующих границам
тактовых интервалов, плотности вероятности претерпевают разрыв,
что описывается (9.23). Рисунок 9.16 иллюстрирует изменение
P(t, 0, т) для 0 = 0, 1, во времени при фиксированном r=TtJ (А
на рис. 9.1а). Характерно наличие скачка смешанной плотности ве-
роятности при t=kT-}-Xo.
Очевидно, что вначале k-ro тактового интервала информация о зна-
чении Qk минимальна и, наоборот, она максимальна в конце. Этим
обусловливается разница в значениях апостериорной вероятности
дискретного параметра и, следовательно, скачок смешанной апос-
териорной плотности вероятностей P(t, 0, т) в точках t = kT-\-x.
Заметим, что при бинарных значениях 0 скачки при разных 0
одинаковы, но противоположны по знаку, что является следствием
условия нормировки.
Таким образом, на границах тактовых интервалов осуществля-
ется перераспределение между P(t, 0 = 0, т) и P(t, 0=1, т), кото-
рое описывается (9.23). На рис. 9.1в изображено сечение поверхно-
сти P(t, 0, т), для 0=0, 1 при фиксированном t = to (В на рис.
9.1а). В точке x=t—kT, т. е. на линии, соответствующей границе
тактовых интервалов, P(t, 0, т) имеет скачок, совпадающий по ве-
личине со скачком, изображенным на рис. 9.16. Это объясняется
тем, что области левее и правее точки x=t—kT соответствуют раз-
ным тактовым интервалам. Для x>t~kT информационный пара-
метр сигнала, принимаемого в момент t, принадлежит (k—1)-му
тактовому интервалу —kT—T)=0fe_i. Если тгСД—kT, то —
—kT—x)=Qk, т. e. это уже k-й тактовый интервал.
Выражения (9.21), (9.23) совместно с (9.20) составляют алго-
ритм точного решения задачи оптимального приема дискретных
сигналов со случайной задержкой. В соответствии с этим алгорит-
мом на первом этапе решения необходимо определить смешанную
апостериорную плотность вероятности P(t, 0, т) для каждого 0 =
140
= 1, zz. Затем согласно (9.19) определяется вероятность P(0ft=i)\
которая используется в решающем правиле (9.20). Интегрирование
по т в (9.20) соответствует интегрированию функции P(t, 0, т) по<
прямым t~kT-\-x на рис. 9.1а, т. е. по границам тактовых интерва-
лов.
Полученный алгоритм оптимального приема дискретных сигналов со случай-
ной задержкой допускает очевидные обобщения. До сих пор считалось, что т —
единственный шепрерывный случайный параметр сигнала. Однако полученные
уравнения справедливы и при наличии в сигнале дополнительно других случай-
ных параметров, таких, как амплитуда, фаза, частота и т. п. Если считать, что-
они включены в вектор 0, то уравнения для апостериорной плотности вероят-
ности останутся прежними, за исключением того, что логарифм функционала»
правдоподобия #"г-(/, т) зависит теперь от 0:
2 Г	1 9	1
•F(/, т, р) = — W)Sl(t-kT-x,®- — s^t-kT-x, ₽) .
Ло L	2	j
Кроме того, (9.21), (9.23) обобщаются на случай наличия в наблюдении, кроме
белого шума, различного рода помех, узкополосных или импульсных. Модифи-
кация (9.21), (9.23) в этом случае не имеет особенностей и вполне аналогична
приведенной в [9.24].
9.2.	Оптимальный прием дискретных сигналов
и тактовая синхронизация
Упрощенный алгоритм оптимального приема. Технически реали-
зовать оптимальный алгоритм приема дискретных сигналов со слу-
чайной задержкой (9.20) — (9.23) трудно даже при помощи 'совре-
менных ЦВМ. Поэтому интересно получить приближенные, но бо-
лее простые в реализации алгоритмы. В [9.24] были рассмотрены
два различных алгоритма: с обратной связью по 0 и с переприсвое-
нием X. В алгоритме с переприсвоением используется гауссовская
аппроксимация условной апостериорной плотности вероятности
P(t, Х|0) непрерывных параметров Х(/) при фиксированном 0. В
данном случае характерный вид этой апостериорной плотности ве-
роятности для т (с точностью до нормировочной постоянной) сов-
падает с приведенным на рис. 9.1в. Эти плотности вероятности су-
щественно отличаются от гауссовской из-за наличия скачка при
x=t—kT. В алгоритме с обратной связью по 0 гауссовская аппрок-
симация применяется для безусловной апостериорной плотности ве-
п
роятности непрерывных параметров P(t, Х)=2РЦ, 0, X). Если
е=1
просуммировать представленные на рис. 9.1в в плотности вероят-
ностей P(t0, 0=0, т) и P(t0, 0=1, т), то получающаяся в резуль-
тате плотность P(t0, т) уже не содержит скачков (см. рис. 9.1г). В
этом случае можно ожидать, что получающиеся с использованием
гауссовской аппроксимации P(t, т) алгоритмы будут работоспособ-
ными.
Для получения алгоритма с обратной связью по 0 для фильтра-
ции дискретных сигналов со случайной задержкой представим сме-
шанную апостериорную плотность вероятностей P(t, 0, т, |3) в виде
Р (/, 0, X) = Р (t, X) Р (t, 0|Х).	(9.24)
141
Здесь P(t, X) —апостериорная плотность вероятностей непрерыв-
ных параметров; P(t, 0|Х) —условная апостериорная вероятность
дискретного параметра при фиксированных непрерывных парамет-
рах X.
Следуя методике вывода алгоритма с обратной связью по 0,
подставим (9.24) в (9.21), (9.23) и просуммируем обе части по
всем значениям 0. В итоге получим уравнение для плотности веро-
ятности непрерывных параметров
= £{Р (/, Х)}+ [f (/,	(/)] Р (/, X),	(9.25)
в котором
f (Л т) =2 f,	= i/K).	(9.26)
1=1
Подставив в (9.26) (9.22), получим
2
О л) = тг [^)* 2 * * s (^ т) - s2 (М/2] 
Это выражение аналогично (9.22), только вместо Si(t, т) фигури-
рует
s (/, т) == 2 s (t,е = I, т) Р (t, 0 = i Д)	(9.27)
i=l
— апостериорное условное математическое ожидание сигнала, яв-
ляющееся оптимальной по критерию минимума среднего квадрата
оценкой 'сигнала s(t, 0, т) при фиксированном т, и s2(t, т) — анало-
гичная оценка s2(t, 0, т). Отметим, что (9.25) справедливо для
всех значений {t, т}, в том числе и для границ тактовых интерва-
лов.
Подставив (9.24) совместно с (9.25) в (9.21) и учитывая ана-
логично [9.24] условие медленного изменения непрерывных пара-
метров относительно Т, получим условную вероятность дискретного
параметра при каждом т:
Р(/, 0 = £/Х) =
ехр
t
fer+т
=	+ x + e = i/x)
Sexp
i=l
(	A
Г	+ e = t/x)
k T+t	f
(9.28)
для точек t, лежащих внутри тактового интервала т-j-kT, т+(^+
,4-1)7. Для границ тактовых интервалов при каждом т из (9.22)
имеем
=	+ 0 = гД) = ^л;гР(/ = ^Т + т — О, 0 = /Д).	(9.29)
/=1
142
Для получения приближенного решения (9.25) воспользуемся
методом гауссовской аппроксимации [9.33]. При этом P(t, X) за-
меним многомерной нормальной плотностью вероятности для X.
Последняя характеризуется вектором математических ожиданий
X* и ковариационной матрицей К, которые приближенно являются
вектором оценок параметров X по критерию минимума среднего
квадрата и ковариационной матрицей ошибок оценок соответст-
венно. Точность приближения улучшается с уменьшением ошибок
фильтрации [9.33]. Применяя известные соотношения стационарно-
го гауссовского приближения [9.34] из (9.25), получим систему
уравнений для оценок непрерывных параметров и для элементов
ковариационной матрицы:
д X*
у
di U
|Л=1
(9.30)
дт
™ d^ ™
+ bav(Z, X*)-f-
(9.31)
I zz zz d2F(t,x*)
“г Л«т Л rv дт2--
где a, y=l,lt х*1=т*; черта сверху над d2Ffdx2 означает усредне-
ние по времени.
Для модели задержки (9.4) конкретизация (9.30) дает
d^=fl* + 7<TT	Д£* = _ aQ* + % _а	.	(9.32)
dt	dx dt	в dx
Здесь КтТ и KQx определяются системой уравнений, получающей-
ся конкретизацией (9.31).
Упрощение решающего правила (9.20) достигается при усло-
вии высокой апостериорной точности оценки задержки. В этом
случае P(t, близка к дельта-функции б(Х—X*), что позволяет
использовать вместо (9.19) приближенное соотношение
Р(0Л = г-)= jP(^T4-T,0 = t|X)P(jfeT4-T,X)rfX«P(^T+T*,0 = i|X*).
(9.33)
Подстановка (9.33) и (9.28) в (9.20) и использование свойства
монотонности экспоненты приводит к решающему правилу
(*+D т+т*
J	Ff(^T*)d/ + lnP(^ = ^T + T*, 0 = t/X*) . (9.34)
kT
Значение P(t=kT-\-x*, 0 = i|Х*) вычисляется по (9.29) только для
моментов времени t=kT-\-x*. В наиболее распространенном в дис-
кретной связи случае, когда значения 0& независимы для разных
k, выполняется равенство P(t=kT-{-x*, 0 = i/V) = Рi [9.24], т. е.
1(9.34) принимает вид
(*+D Т+т*
j* /г(/,т)^+1пРг .
0*ft = max1
6*ft = max-1
(9.35)
143
В итоге получен упрощенный квазиоптимальный алгоритм прие-
ма дискретных сигналов со случайной временной задержкой, пред-
ставленный (9.29), (9.31), (9.34) или в простейшем случае (9.30),
(9.31), (9.35). Наиболее важным приближением, позволившим су-
щественно упростить точный алгоритм (9.20) — (9.22), является га-
уссовская аппроксимация для апостериорной плотности вероятно-
сти непрерывных параметров P(t, X). Область справедливости та-
кого приближения следует определять при решении конкретных
задач.
Схема квазиоптимального приемника бинарных равновероятных
противоположных сигналов типа сигналов фазовой телеграфии,
реализующего полученный упрощенный алгоритм, изображена на
рис. 9.2. Квазиоптимальный — это корреляционный приемник с по-
Рис. 9.2
роговым устройством, дополненный системой тактовой синхрониза-
ции (СТС) с дискриминатором специального вида. Характерно на-
личие обратной связи от корреляционного приемника к дискрими-
натору СТС. Эта обратная связь используется для формирования
оценки сигнала s(t, т), определяемой (9.27). Например, для случая,
когда элементарные сигналы противоположны, т. е. si(t—kT—т) =
— —s2(t—kT—т), из (9.27) имеем оценку
s(/,т) = sx {t—kT—r*)th
2 p
~ f U^sAh-kT-x*)dtx
0 kT+т*
которая формируется умножением элементарного сигнала на не-
линейную функцию th{•} от выходного напряжения интегратора
корреляционного приемника. Если на текущем тактовом интервале
на вход приемника поступает сигнал si(t—kT—т), то выходное на-
пряжение интегратора возрастает. При этом th{•} стремится к еди-
нице и s(t,	—kT—т*). Если, напротив, на входе приемника
присутствует s2(^—kT—т) =—Si(/—kT—т), напряжение на выходе
интегратора отрицательно, th{-}-*—1 и s(t,	—kT—т*).
Таким образом, использование обратной связи с выхода корреля-
144
ционного приемника позволяет получить копию входного сигнала.
! Для формирования производной ds(t, т*)/дт в дискриминаторе
СТС могут использоваться различные схемы решения. Универсаль-
ным методом является приближенная замена дифференциала ко-
нечной разностью [ds(6 т*) ]/дх= [s(t, т*+Л)—s(t, т*—Д)]/2Д,
справедливая при достаточно малых Д. В частных случаях возмож-
ны более простые решения. Рассмотрим, например, производную
т”)/дт (9.26). Непосредственной проверкой можно убедить-
ся, что для бинарных противоположных сигналов ее можно пред-
ставить в виде
{t, т*) _ д
дх дх
д
д т
Г f
J Wi>
-йГ+т*
Fi(^i>t) th
—~ In ch
di
i
kT-j-x*
2.1 f аЛ1^,г»)гг tJ C T*) d
dt J dx	J
VfeT4»T*	LkT+r*
(9.36)
Схема оптимального приемника, реализующего алгоритм (9.32),
(9.35) при представлении дЗГ (t, х*)/дт в виде (9.36) приведена на
рис. 9.3.
Рис. 9.3
Синтез приемника дискретных сигналов со случайной задержкой
позволил получить как оптимальный (9.20) — (9.23), так и квазиоп-
тимальный алгоритмы приема (9.28) — (9.31), (9.34). Оптималь-
ный алгоритм не является простой комбинацией корреляционного
приемника и СТС, как это часто указывается в литературе. Комби-
нация возникает только в квазиоптимальном приемнике в резуль-
тате ряда приближений, которые оговорены выше. Схема получен-
ного при этом квазиоптимального приемника отличается от приве-
денных в [9.4; 9.7; 9.11; 9.13—9.16; 9.18; 9.32] в основном наличи-
ем обратной связи от корреляционного приемника к СТС. При та-
кой схеме работа каждого из элементов (корреляционного прием-
ника и СТС) улучшает характеристики другого.
145
В известных работах СТС синтезируется по критерию миниму-
ма ошибки синхронизации отдельно от корреляционного приемни-
ка. Анализ полученных при этом схем синхронизации показывает,
что возможна косвенная неоптимальная оценка дискретного пара-
метра 0ft. Такое наличие двух параллельных устройств оценки 9^
(корреляционного приемника и устройства оценки Qk в системе так-
товой синхронизации) усложняет приемник в целом. Отметим так-
же, что проведенный на основе методов нелинейной фильтрации
синтез приводит к устройству, в котором полностью определены
вид и оптимальные значения параметров сглаживающего фильтра
в СТС, в отличие от приемников, описанных [9.4, 9.7, 9.11, 9.13—
9.16; 9.18; 9.32]. Эти работы базируются на критерии максимума
правдоподобия и оставляют этот вопрос открытым.
Характеристики приема. Одной из наиболее важных является
дискриминационная характеристика системы тактовой синхрониза-
ции.
Из (9.32) для оценок компонент вектора X следует, что дискри-
минационная характеристика g(e) совпадает со средним по вре-
мени значением от д&~ (t, т*)/дт при фиксированном е = т*—то (то—
истинное значение задержки):
g (е) = g (т*—т0) = д $ (t, т*)/д г.
Для ее определения удобно предварительно рассмотреть среднее
значение т*)/дт на длительности тактового интервала (для
определенности [т\ т*+Л):
(9.37)
Здесь использовано (9.26), (9.28) и для простоты рассматривает-
ся случай, когда дискретный параметр независим при разных k.
Представим это выражение в виде
/ п	гТ*+Г
у7Г1п SAexp J ^dt
I г— 1	Lt*
п
= v	In У] Pi ехр {qt (е, 9) + nJ,
Т де М
i=l
(9.38)
146
Т	т
где ^(е, 0) = -~-[s(/ + e, 0О) Sj (t) dt— s? (t) dt,
”0 <J	Wo J
о	о
T
9 P
Hi = ----\n(t—x*)S;(t)dt.
M J
о
Для получения дискриминационной характеристики g(e) ос-
талось усреднить (9.37) по различным тактовым интервалам,
т. е. в соответствии с (9.38) по значениям дискретного параметра
6о(0 входного сигнала и по функционалу от шума на различ-
ных тактовых интервалах. Для эргодических процессов усреднение
по времени можно заменить статистическим. В случае, когда дис-
кретный параметр на различных тактовых интервалах независим,
условия эргодичности заведомо выполняются. В общем случае
требуется эргодичность цепи Маркова, описывающей последова-
тельность Qk, k=0, 1, ... [9.21].
Получить точные выражения для статистических средних от (9.38) по п<
и 0о (0 не удается. Поэтому, ориентируясь на типичные для практики отноше-
ния сигнал/шум в дискрете q^>l, ограничимся при анализе первым прибли-
жением. Представив (9.38) в виде ряда по пг и оставляя только члены первого
порядка малости, имеем
1 д ,
---------In
Т де
щехр [qt (е, 0О)]
i=i
(9.39)
Здесь Кг — некоторые коэффициенты, не зависящие от пг. Разлагая (9.38) в ряд
с учетом большего числа членов, можно получить более точные приближения.
При усреднении по го второй член (9.39) исчезает. Усредним теперь первый
член (9.39) по 0О. Заметим, что на интервале т*, т* + Т входной сигнал
s(t + e, 0) представлен двумя элементарными сигналами: $т(/4-е') и st(^+e'—Т).
€ учетом того, что ошибка е=т*—т0 может быть больше длительности диск-
реты введено е' — остаток от деления е на Т: е' = е—[е/Т] Т, где [е/Т]—це-
лая часть от е/Т. Поэтому для е>0 можно записать
т	Т-Е'
fs (t 4- е, 0О) sj (t) dt = J sm (t + e') Si (t) dt -f-
b	о
T
4- j si (t 4- e' — T) st (0 dt = Ri m (e') 4- Ru (e' — T).
T-E'
Здесь использовано понятие взаимной корреляционной функции элементарных
сигналов [9.21]
00
Rim (0 = J®/ (0 sm (/ 4“ е) dt.
— оо
В [9.2J] показано, что Rim(e)~Q при |е|>Т и /?гТО(—е) ~Rmt (е). Ус-
реднение (9.39) по 0о сводится, таким образом, к усреднению по случайным
147
т и I. Осуществляя эту операцию, получаем выражение для дискриминацион-
ной характеристики при е>0
п	и
Rim (s') + Rli (Т 8') —
т, 1=1	4=1
1 д
4f(8) = V V 71 Рт Pl In
T de

2 Rii (0) j
(9.40)
Аналогично для отрицательного g можно получить
п	, п
е^==Т~д7 S PmPtln exp J— ^•m(7, + e') + Rh ( — e')—
m, 1=1	t=l
~"2 *“(0)]}	(9’41>
Нетрудно доказать, что дискриминационная характеристика — нечетная функ-
ция е, периодичная с периодом Т, т. е. g(e) — g(—в), g(e) = g(e+T).
Для частного случая бинарных противоположных равновероят-
ных сигналов s0(t) =—si(t) (9.40), (9.41) упрощаются:
g (е) = —-— In [ ch f — [7?u (&') —
2T de I ( Ao
-Ru (T-| e' I)] 1 ch [ 4- [«i, («') + «и (Г-| e' I] 11 =
J I ^0	J J
=th if <r-ie' i»1 j fr [ff1+
+ Sgn (8) ^n(r~|e-|)1 + th f ^_Wii(e-) + Ru(r_|g.|)]l 1 x
de J ( No	J No T
X	_Sgn (e) fMZLzMll].	(9.42)
[de	d e J
Эта формула справедлива при всех значениях е. Крутизна дис-
криминационной характеристики равна при этом
«Ж| = 1 th (а) 2 Уйц(е) I , а= 2'?ц(о> .	' (9.43)
де |е=о Т No де2 1е=о	No
Отметим, что при слежении за задержкой фазоманипулированных
сигналов с известными дискретными параметрами крутизна дис-
криминационной характеристики определяется [9.35]
dg(e) I = 2 d2Ru (е)
де |е=о TN0 де2
е=0
Уже при отношении сигнал/шум q^2 имеем th 7^0,93, т. е. кру-
тизна дискриминационных характеристик при приеме дискретных
сигналов с известными и неизвестными значениями дискретного
параметра практически одинакова.
148
Рассмотрим для примера случай, когда элементарные
идальны:
М//Д,
0</<Д,
«1 (/) = — s2(0 =
А, 0</<Т —Д,
Т — Д</<Т,
сигналы трапеце-
(9.44)
О, t>T.
Для элементарных сигналов корреляционные функции
R11 (6) = В 22 (6) =	#12 (е) =	^21 (е) :=
' Л3 [(Т — 4 Д/3) — еа/Д Н- I е |3/3A2J,	0<|е |<Д,
Ла(Т —Д —|е|),	0^|е|<Т —2ТД,
= . Л2 [Т - Д - | е | 4- (Т - 2Д - | е|)3/6 Д2], Т - 2Д < | е | <Т - Д,	(9.45)
Л2(Т — |е|)3/6Д2,
Т— Д<|е|<7,
О, |е|>Т.
Дискриминационная характеристика g(g) получается подстановкой (9.45)
в (942). На рис. 9.4 изображена дискриминационная характеристика для
А = 7/4 и отношения сигнал/шум q= 10 (кривая /). Для сравнения пунктиром
нанесена предельная дискриминационная характеристика системы при отсут-
ствии шума (q->oo). Проведен также расчет (кривая 2) при <?=1, при этом
(9.42) не точное.
Из рис. 9.4 видно, что дискриминационная характеристика СТС
имеет период Т. Характерно наличие линейного участка, ширина
которого пропорциональна Д. Кроме точки е = 0 дискриминацион-
ная характеристика имеет нуль
при 6=7/2, который соответст-
вует точке неустойчивого рав-
новесия. В целом, дискримина-
ционная характеристика СТС
при сигналах вида (9.44) по-
добна дискриминационной ха-
рактеристике СФС. В частно-
сти, для такой СТС характер-
ны не явления срыва сопро-
вождения, а перескоки на Т.
Из периодичности дискри-
минационной характеристики
следует, что случайная задерж-
ка при синхронизации по ин-
формационному сигналу опре-
деляется с неоднозначностью
до целого числа тактовых ин- Рис. 9.4
тервалов.
Условия справедливости гауссовой аппроксимации, которая ис-
пользовалась при синтезе квазиоптимального приемника, выполня-
ются, если ошибка оценки e(t) лежит в пределах линейного участ-
.ка дискриминационной характеристики. При этом условии диспер-
сию ошибки можно определять решением уравнения Риккати
(9.31). Заметим, что в соответствии с определением дискриминаци-
149»
онной характеристики величина д2&~ (t, х*)/дх2, входящая в (9.31),
в пределах линейного участка совпадает с крутизной дискримина-
ционной характеристики
т*) = д d.F (t, т*) = дё (е) ~ dg (е) I
дт2	дх дх	д е ~ д е [е=о
Из (9.43) и (9.45) получаем при этом
<d2^(t, т*)	4 Л2 ..
----1----------------th q.
дх2	N0T\
Для модели задержки, описываемой (9.4), удается получить
решение уравнения Риккати, из которого следуют выражения для
стационарных значений дисперсий ошибок фильтрации:
(v)’ I1 + VS5 V +’	S-| =-
X	где для сигнала (9.44)
1Д2 Т /,	4 Д \	4 Т th q
£1 — ---/1---------), и —--------------.
#о \	3 т)	Д(1—4Д/ЗТ)
На рис. 9.5 приведена зависимость Кгг от отношения сигнал/
шум. При расчетах принято А = Г/4 и рассмотрено несколько ха-
рактерных значений относительной 'стабильности тактового генера-
тора ой и параметра аТ, характеризующего быстроту флуктуаций
частоты. Пунктиром нанесена граница справедливости гауссовой
аппроксимации, которая определяется из условия, что ошибка не
выходит за границы линейного участка—А, А (по критерию Зо).
‘Специальная проверка доказывает, что в условиях справедливости
гауссовской аппроксимации,
(ниже пунктирной прямой)
кривые дисперсии ошибки в
СТС, работающей по специаль-
ным синхронизирующим сигна-
лам, практически совпадают с
кривыми рис. 9.5.
Вероятность ошибки оценки
информационного параметра
для бинарных противополож-
ных сигналов (9.44) со случай-
ной задержкой рассчитывалась
по формуле из [9.4], которая
в наших обозначениях имеет
вид
Рис. 9.5
р = 1
а ОШ 1
— 1 f |ф { Д/л #п № + #и (т е)
2 J I \	^11(0)
— 00
Я 50
+ Ф(]/д'?'1(8);'?“(Г~?))]Р(е)^-
(9.46)
Здесь Ф(х) — интеграл вероятности; Р(&) — плотность вероятности
ошибок синхронизации, т. е. гауссовская плотность с нулевым ма-
тематическим ожиданием и дисперсией, получающейся решением
(9.31). Формула (9.46) вычислялась на ЦВМ методом Монте-Кар-
ло. Оказалось, что при имеющем место на практике характере
случайной задержки вероятность ошибки практически совпадает с
вероятностью ошибки при полностью известных параметрах сигна-
ла. Действительно, как следует из рис. 9.5, даже при относитель-
ной нестабильности тактового генератора — 10~2 и довольно быст-
рых флуктуаций ссТ=10~2 ошибка не превышает 10% от длитель-
ности тактового интервала. В реальных условиях ой<^10~2 иаТ<
<Ц0~2. При этом ошибка существенно меньше.
9.3. Система синхронизации со случайным
запаздыванием регулирования
Общие сведения. В ряде практических задач сигнал регулиро-
вания в СФС запаздывает на случайную величину т(/) [9.40]. Это
имеет место, например, в СФС для связи через спутники-ретран-
сляторы, в которой желательно, чтобы посылаемые с Земли сигна-
лы приходили на ретранслятор в заданные моменты времени. В
частности, для задачи тактовой синхронизации необходимо, чтобы
границы тактовых интервалов th, k=l, 2, 3, ..., приходящего сиг-
нала совпадали с опорной последовательностью, формируемой так-
товым генератором ретранслятора. Для этого можно регулировать
момент посылки сигналов пе-
редатчиками наземных стан-
ций, используя информацию
об ошибке синхронизации, по-
лучаемую с ретранслятора Та-
ким образом, возникает замк-
/7'гУ
—w рг*- Ж -т®—т- Д Н гт
нутая СФС (рис. 9 6). Особен-
Рис. 9.6
ностью системы является на-
личие случайно изменяющегося запаздывания регулирования. В
схеме (рис. 9.6) суммарная случайная задержка в прямом и обрат-
ном каналах для удобства сосредоточена в одном месте
Имеется ряд работ, посвященных анализу систем с запаздыва-
нием регулирования. Одной из первых отечественных работ по
анализу СФС со случайным запаздыванием была работа [9.36].
Монография [9.37] посвящена системам автоматического регулиро-
вания с известной постоянной запаздывания. Особенности динами-
ки системы автоподстройки с временным запаздыванием псевдослу-
чайных сигналов рассматривались в [9.38]. В [9.39; 9.40] иссле-
дуются системы с переменной задержкой. Многие вопросы анализа
следящих систем со случайной задержкой, в том числе систем син-
хронизации, рассмотрены в [9.41], где приведен также обзор опуб-
151
ликованных работ. Проведенные исследования показывают, что на-
личие задержки в кольце регулирования существенно ухудшает
характеристики рассмотренных систем слежения.
Показано [9.38; 9.40], что СТС с задержкой в кольце регулиро-
вания обладают крайне ограниченными возможностями при отсле-
живании случайного сдвига тактовой частоты. Существенно ухуд-
шаются характеристики устойчивости таких систем.
В данном параграфе на базе теории условных марковских про-
цессов синтезируется система синхронизации при наличии случай-
ного запаздывания регулирования. В результате будет получена
система синхронизации со структурой, несколько отличающейся от
рассмотренных в литературе. Она свободна от недостатков обыч-
ных систем с запаздыванием в кольце регулирования. Постановка
и решение задачи при этом не ограничиваются СТС по информаци-
онным символам, а включают их в качестве частного случая.
Постановка задачи. На приемной стороне желательно, чтобы
приходящий полезный сигнал имел вид s(t), т. е. был синхронным
о сигналом опорного тактового генератора приемника.
Для компенсации задержки т(/) в среде распространения сиг-
нал s(t) излучается с опережением на время u(t), т. е. имеет вид
su(t) — s[t-{-u(t) ]. При наличии запаздывания т(/) полезный сиг-
нал на входе приемника su[Z—t(/)]=s[Z—t(/)4~w[/—т(/)]]. Тре-
буется определить значение «(/), при котором обеспечивается ми-
нимальное'среднеквадратичное смещение е(/)=т(/)—u[t—т(0]
времени прихода сигнала на вход приемника при наличии случай-
ной задержки т(/).
Примем, что для определения u(t) можно использовать всю те-
кущую информацию о случайной задержке, которая содержится в
колебании £(/) на интервале [0, t] на выходе приемника, причем
это колебание представляет сумму полезного сигнала и шума
?(/)=su[/-T(/)] + n(Z).	(9.47)
Здесь n(t) —белый гауссовский шум со спектральной плотностью
JVo/2, не зависящий от т(/).
Сигнал, излученный передатчиком в произвольный момент вре-
мени /0, поступает на вход приемника в канале с задержкой в мо-
мент времени ti, связанный с to очевидным соотношением
=	(9.48)
Задача заключается в том, чтобы на основе наблюдения реализа-
ции £(/) до момента посылки сигнала '{s(Z),	опре-
делить опережение u(tQ), которое обеспечивает минимальное значе-
ние среднего квадрата смещения e(/i) сигнала, принимаемого в мо-
мент t[.
Точный алгоритм. Известно, что оптимальная среднеквадратиче-
ская оценка совпадает с условным математическим ожиданием,
т. е.
00
'll (to) = М {т (^) | £*>} = J т Рг (т I to) dr.	(9.49)
152
Здесь Pi (т| /о)	|ВоЧ— апостериорная (условная при на-
блюдении реализации £о*о) плотность вероятности случайного про-
цесса т(/) в момент t\. Ясно, что при заданном моменте излучения
сигнала /о момент его появления на входе приемника опреде-
ляемый (9.48), является случайным. Чтобы устранить трудности,
связанные с рассмотрением процесса в случайные моменты време-
ни, введем процесс
(9.50>
Из (9.48) следует
(/о) = Т Ио + т (/J] = т Но + Ti Но)].	(9.51)
Теперь плотность вероятности Pi (т|/о) — текущая апостериорная
плотность вероятности процесса (/):
Р, (т | Q=Р И (G) I = Р К (й”}.
По физическому смыслу величина ti(Z) есть задержка, которую
имеет сигнал, излучаемый в момент t. 'Соотношение (9.51) можно
рассматривать как трансцендентное уравнение, позволяющее опре-
делить Ti(Z) при заданном процессе т(/), который описывает за-
держку сигнала, принимаемого в момент времени t. Рисунок 9.7
иллюстрирует соотношение между процессами п (/) и т(/). Здесь
реализация процесса тД/) получается по реализации т(/) графиче-
ским решением (9.51). Действительно, проведем из произвольной
точки /о прямую под углом л/4 к оси t. Точка пересечения этой
прямой т(/) совместно со своей проекцией на ось t и точкой tQ об-
разуют равнобедренный прямоугольный треугольник (рис. 9.7). Ра-
венство катетов обеспечивает выполнение (9.48), т. е. найденная
точка пересечения определяет
случайную задержку т(Л) в мо-
мент ti прихода сигнала, послан-
ного в момент t0, и, следователь-
но, ti (t0) =т(Л). Из такого графи-
ческого построения следует, что
процесс ti (/) определяется одно-
значно при заданном т(/), только
если выполняется (9.6) на ско-
0 t0
Рис. 9.7
рость уменьшения задержки.
Из (9.51) следует соотношение, связывающее Pi (т|/) с Р(х~
v\t) =P{x(t + v) |^о} апостериорной плотностью вероятности слу-
чайной задержки т(/-рц) в заданный момент времени. Если рас-
сматривать и как случайную величину с некоторой плотностью ве-
роятности P(v) и т(/ + у) как функцию этой величины, то согласно
(9.50) можем написать
=	J P{x(t + v) = T\^}P(v)dv.
— 00
(9.52)
153
Однако на основании (9.51) в (9.52) и=п(/), т. е. P(v) =
= Р{т1 (/) =y|£fo} = А{у|/}- Таким образом, получаем соотноше-
ние
^(11/)= | Р(т; v\t) P1(v\t)dv,	(9.53)
— со
которое представляет собой однородное интегральное уравнение
Фредгольма второго рода, позволяющее определить Pi (t| t) при за-
данной плотности вероятности Р(т; и|/). Уравнение (9.53) связы-
вает вероятностные характеристики процесса ti(0 с характеристи-
ками процесса т(/).
Получим выражения, определяющие Р(т; у|/). Случайная за-
держка может принимать неотрицательные значения ti (t) ^0, т. е.
Р\ (т|/) =0 при т<0. Поэтому в (9.53) используется только Р(т;
v/t) при т. е. только экстраполированная апостериорная
плотность вероятности. Алгоритм вычисления экстраполированной
плотности вероятности Р(т; v/t) следует из результатов теории оп-
тимальной нелинейной фильтрации. Практически всегда можно счи-
тать т(/) компонентой некоторого марковского процесса !(/) =
= {т(/), 3(0} [9.25]. Будем считать, что !(/) является /-мерным
диффузионным марковским процессом, удовлетворяющим (9.2),
причем обеспечивается условие положительности задержки т(/)Д>
Д>0. Наблюдение £(/) определяется (9.47).
Если s(t) — специальный синхросигнал (т. е. дискретный ин-
формационный параметр 0 отсутствует) и задержка является един-
ственным случайным параметром сигнала sn(Z), то задание т пол-
ностью определяет сигнал su[/—т(/)] = 4/—т(0+м[/—т(/)]] в
(9.47)., поскольку реализация получается на основе преды-
дущих наблюдений и, следовательно, известна. Таким образом,
определение экстраполированной апостериорной плотности вероят-
ности Р(т; ц|/) по наблюдению является известной задачей
марковской теории оптимальной нелинейной фильтрации [9.25].
Согласно [9.25] плотность вероятности определяется уравне-
нием
^^=L{P(k; и |/)},	(9.54)
dv
где L{-} — априорный оператор Фоккера — Планка — Колмогоро-
ва (9.3) для процесса Х(/).
Начальным условием для этого уравнения является Р(К, v =
= 0|0 =P(t, X), где P(t, X) = P(k(t) |^о}—текущая апостери-
орная плотность вероятности процесса !(/) при наблюдении ^0,
которая определяется из уравнения фильтрации Стратоновича
[9.25]. В нашем случае оно принимает вид
= L{P (/, 1)} + [F„ (t, т) - F„ (01Р (t, X),	(9.55)
dt
154
где Fu (t, т) = {B(Osu (t—t) g s2u(t t)}, Fu (Z) — J Fu(t, т)Р(Г„
X)dZ.
В итоге получен алгоритм точного решения поставленной зада-
чи, определяемый (9.49), (9.53) — (9.55). Согласно этому алгорит-
му принятое колебание используется в (9.55) для получения P(t,
А). Решая (9.54) с P(t, X) в качестве начального условия, получим
Р(Л; у|/). Далее из Р(т; у|/) = j P(k; y|/)dp можно определить,
плотность вероятности Р(т; и|£) и, используя ее в (9.53), найти
Р1(т|/) и, наконец, из (9.49) получить оценку u(t). Аппаратурная
реализация этого алгоритма довольно сложная. Это побуждает ис-
кать на его основе приближенные алгоритмы, которые допускали
бы упрощение технической реализации, но практически мало ухуд-
шали бы эффективность оценки u(t).
Приведем возможные обобщения задачи.
1.	Рассмотренная задача допускает обобщения на случай, когда помима-
задержки, сигнал зависит от ряда других случайных параметров, если послед-
ние описываются диффузионным марковским процессом. Для этого нужно вклю-.
чить совокупность случайных параметров сигнала в вектор К, описываемый рас-
ширенной (из-за включения дополнительных уравнений) системой (9.2). При,
этом в (9.55) следует заменить FK(t, т) на
Fu{t, X) = (2/^o){g(Osu[/-r(O, X]-0,5S2 [/-т(0, М).
Для задачи тактовой синхронизации по информационным символам вместо^
(9.55) следует использовать (9.21), (9.22), которые позволяют определить сме-
шанную апостериорную плотность вероятности Pi(t, 0, X). Суммированием по.
всем значениям 0 из нее можно получить апостериорную плотность вероятноо
ти непрерывных параметров P(t, л)=-Р(^, 0, X), которая используется как на-
чальное условие для (9.54). Отметим, чтб при определении случайной задержи
ки по информационным символам следует учитывать ограничение (9.6) на вид
уравнений для случайной задержки.
2.	В приведенной выше постановке задача охватывала только синхрониза-
цию задержанного сигнала. На практике часто необходимо обеспечить опреде-
ленные значения других параметров сигнала на входе приемника при наличии,
случайной задержки. Например, может возникать задача регулирования по оп-
ределенному закону амплитуды, фазы и частоты задержанного сигнала. Реше-
ние подобной задачи не имеет особенностей. Если p,(f) — требуемые значения
вектора регулируемых параметров сигнала на входе приемника при наличии
случайной задержки, то аналогично (9.49) оценка параметров излучаемого в.
момент времени /0 сигнала по критерию минимума среднеквадратической,
ошибки ц*(/0) = M{g(/i|g0‘°)} = M{g[/0+ti(/о)]£о‘о}. Отсюда следует
Ц*(0 = Jji(^ + r)P1(T|/)dT,	(9.56)-
где Р,(т|/) определяется из (9 53).
Отметим, что проведенное рассмотрение охватывает важную для практики
задачу управления удаленным объектом по каналу со случайной задержкой.
Из решения задачи следует, что если g(/) заданный сигнал управления, то по-
сылаемый сигнал (например, цифровой) следует модулировать процессом
р.*(0, определяемым из (9.56).
Можно распространить полученное решение на случай, когда на регулиру-
емые параметры сигнала в канале связи накладываются случайные возмущения!
(например, появление доплеровского смещения частоты). Представим парамет-
ры сигнала на входе приемника при наличии случайной задержки в виде сум-
мы —T(i)]-rv(i) регулируемых параметров посылаемого сигнала и случай-
ных возмущений v(t). Аналогично (9 56) оптимальное в смысле минимума
155,
среднеквадратического отклонения от g(f) значение вектора параметров посы-
лаемого сипнала М*(0 = | [M^+ij)—v<l(/-|-Ti|/)Pi(Ti|/)]dTi, где v*(/+u|0—
экстраполированная среднеквадратичная оценка случайных возмущений v*(/+
4-и|/) =M{v(/ + v) |£+о}.
Упрощенный алгоритм. Точный алгоритм можно упростить, на-
пример, в случае высокой точности определения случайных задер-
жек т(0 и Ti(0. Считая, что это условие выполняется, рассмотрим
алгоритм (9.49), (9.53) получения «(/) на основе Р(х; ц|0> Под-
ставляя (9.53) в (9.49) и меняя порядок интегрирования, имеем
и (0 = т; (/) = (у 11) Рх (и | /) du,	(9.57)
где экстраполированная апостериорная оценка случайной задерж-
00
ки m(u|£) =M{t(^+v) |^о}~ J т^(т; v\t)dx. Разложим т(ц|£) в
о
степенной ряд в точке txi(Z) и ограничимся членами первого по-
рядка малости. При этом получаем
т;(0 = щ(т;(010-	(9.58а)
Ошибку оценки Ei (О =Т1 (0—тЛ (0 можно характеризовать при
этом апостериорной дисперсией Di(/)= [ [т—т*1 (ОРЛ (т|О^т, ко’
торую с учетом (9.52) можно представить в виде
D, (0 = j[D (v |0 + т* (v |0] Р, (v jt)dv—[т; (/)]2,	(9.59)
где D(»11) = M{[r(f+») —m(v 1i) ]21S'o} = f [т—IО]2Р[т; --'I
Xdx—экстраполированная на момент времени t-}-v апостериорная
дисперсия случайной задержки т(^+у)-
Заметим, что на основании соотношения (9.50) смещение при-
ходящего сигнала е(£)=т(0—u[t—t(/)]=ti[7—т(0]—?*[/—
—r(^)]=ei[7—т(/)], поэтому дисперсия	характеризует одно-
временно и ошибку смещения. Если разложить £>(ц|0 и m(v\t)
(9.59) в степенной ряд в точке u=t*i(Z) и ограничиться только
членами первого порядка малости, получим
D1^ = D[x*(l)\t].	(9.60а)
Таким же путем на основании (9.53) можно получить более точ-
ные выражения для оценки т*1 (/) и дисперсии ошибки оценки
(/). Например, удерживая при разложении в ряд члены второго
порядка малости, получим
т; (/)=т (т; 10+221Е1М) D (/),	(9.586)
1	1	2 д v
где дисперсия ошибки оценки
D ___________________Д(<| /) + [т!(0-пг(т;| /)]2____________
>- ~-----------+ 2[г, (/)-«( г, | /)]	-2
(9.606)
156
С другой стороны, получение т*1(0 можно упростить, расклады-
вая т (г?| t) в степенной ряд не в точке а в точке т*(/). Ог-
раничиваясь, как и прежде, членами первого порядка 'малости, по-
лучаем
т» (/) = т^* \У~дт (х* (0 10/д у т* (0	/9 58в)
1U	1 — dm(T*(t)\t)/dv
Оно заменяет уравнение (9.58а) и может создавать трудности при
реализации в реальном времени. Точность приближения к опти-
мальной оценке, обеспечиваемая (9.58а), хуже, чем в (9.58а). И в
этом случае, удерживая при разложении в ряд в точке т*(/) члены
более высокого порядка малости, аналогично (9.586) можно уточ-
нить оценку т*1 (0.
Для упрощения (9.54), (9.55) и формирования экстраполяци-
онной апостериорной плотности вероятности Р(т; и|£) воспользуем-
ся известным методом гауссовского приближения, асимптотически
оптимальным при малых дисперсиях ошибок фильтрации [9.33,
9.42]. Системы уравнений для текущей оценки 1*(0 и ковариаци-
онной матрицы ошибок фильтрации К, которые определяют апос-
териорную плотность вероятности в гауссовом приближении, по-
лучаются без каких-либо особенностей из (9.55) и имеют вид
-^ = aa(V. t)+KaA’ т*), а = Т77,	(9.61)
dt	Ld т
V=1 L	V	V	J
+ baft (V, /) + Кт т>) а, ₽ = 177.	(9.62)
н	ат2
Здесь FH(t, т*) определяется как в (9.55). В более простом алго-
ритме стационарного гауссовского приближения элементы ковари-
ационной матрицы Кар , а, ф — 1, / вычисляются заранее по мето-
дике, изложенной в [9.34]. При определении задержки по цифро-
вому информационному сигналу уравнения для оценки Х*(£), опи-
сывающие СТС, имеют вид (9.30), где вместо Fu(t, т) следует ис-
пользовать Fn(t, т) = S ЛДО, т, t)P(t, 0|Х). Экстраполированная
на момент t + v оценка вектора параметров Х(о|0 и ковариацион-
ная матрица ошибок экстраполированной оценки K(v 11) в общем
случае определяются из уравнений гауссовской аппроксимации, со-
ответствующих (9.54) [9.21]:
5 Г	__
—— (и Ю = аа [£ + и, V (у |0], а=1, I,	(9.63)
д v
д К г, а (У I t)	ж-ч ( det
—v(t>|oiKv|J(v о+
ди XJ (
157
+-r/-[/+o.	+Wz + “- **(»|0L «. ₽=!• I-
</	J
(9.64)
с начальным условием V(0|0=V(Z), К(Ор) — К(0- При этом для
определения смещения t*i(O согласно (9.58), (9.60) существенны
только т(и|^) =Л*1 (^|0 и £)(у|0 =/Сц (у [0- Совокупность (9.58),
(9.60) — (9.64) представляет упрощенный квазиоптимальный алго-
ритм фильтрации при наличии запаздывания регулирования. Неко-
торый недостаток этого алгоритма — необходимость решать (9.63),
(9.64) в нереальном времени. Этого удается избежать, например,
при одной из наиболее распространенных моделей случайной за-
держки, когда 1(£) — гауссовский процесс. В этом случае коэффи-
t
циент сноса линейно зависит от 1, т. е. (J, 1)=2ЛацХи и
bap = const, где Лар — элементы 1X1 матрицы. Решения (9.63),
(9.64) принимают при этом вид [9.21]
ЗД0= £Фат(о)М0.	(9.65)
7=1
I I
v
0
7=1 ц=1
(9.66)
где Фа?(у) — переходная матрица для (9.63), подучающаяся при-
менением стандартной методики [9.21].
Экстраполированная на момент t-}-v оценка случайной задерж-
ки m(u|0 получается из
т(и|/) = 2Ф«(и)Ч</>-	(967)
7=1
В этом случае используемая в (9.58в) производная
=S (/) = 2 S Л|‘ Ф'1'’<й)	(9'68>
7=1	7=1 (1=1
где использовано известное соотношение для переходной матрицы
[9.21]. Подставив (9.67), (9.68) в (9.58в), получим
i г	1
2 фпй=1*ю2 W1*»’ Ч<'>
и (0 = г] (0==11-, - , "='----------- .	(9.69)
7=1 ji=l
Выражение (9.69) совместно с (9.61), (9.62) образуют квазиопти-
мальный алгоритм фильтрации гауссовского процесса при нали-
чии случайного запаздывания.
158
На рис. 9.8 приведена структурная схема оптимального устрой-
ства синхронизации, реализующего алгоритм (9.61), (9.69). Устрой-
ство включает регулируемый передатчик Пд, систему слежения за
задержкой ССЗ, экстраполятор Э, вычисляющий оценку (/) за-
держки посылаемого сигнала в соответствии с (9.69), и формирова-
Рис. 9.8
тель оценки смещения. В последнем из оценки тх(/) вычитается
запомненное значение опережения и[1—тх(/)] приходящего сигнала
в предполагаемый момент его посылки t—т*(/) и тем самым выра-
батывается оценка смещения приходящего сигнала 8*(/)—т*(/) —
—u[t—т*(Д]. Формирование u\t—т*(/)] легко осуществить, напри-
мер, при помощи линии задержки с отводами, на вход которой по-
дается «(/). Каждому значению т* (г) соответствует определенный
отвод линии задержки, с которого снимается u[t—т*(0].
Система слежения за задержкой соответствует (9.61), которое
описывает замкнутую систему без запаздывания в петле слеже-
ния, осуществляющую слежение за задержкой т(/) сигнала su[Z—
—т(0], где sw(/) =s[/-j-w(/)]. Обычно u(/) — медленно изменяю-
щаяся функция по сравнению с сигналом s(Z), т. е. su(t) отличает-
ся от s(t) только почти постоянным сдвигом. Поэтому характерис-
тики слежения за задержкой сигнала su[^—т(/)] совпадают с со-
ответствующими характеристиками для сигнала s[/—т(/)]. Для
цифрового сигнала ССЗ является СТС, описанной в § 9.2. Диспер-
сия ошибки слежения за задержкой т(/) при описании ее моделью
>(9.4) совпадает в этом случае с представленной графиками на
рис. 9.5. Напомним, что из-за периодичности дискриминационной
характеристики СТС по информационным символам определение
т(/) неоднозначно. Поскольку для работы экстраполятора неодно-
значность оценки т*(/) недопустима, то в системах с задержкой в
кольце регулирования необходимо предусматривать посылку спе-
циальных синхросигналов, обеспечивающих начальную однознач-
ную установку т' (/).
Обратимся к (9.60а) и (9.64), определяющим дисперсию сме-
щения Из (9.60а) следует, что в первом приближении дис-
персия смещения совпадает с дисперсией ошибки экстраполирован-
ной на время т*1(0 оценки случайной задержки; Di(t) возрастает
при увеличении тД/), а при его уменьшении стремится к дисперсии
Dt (/) для оценки, вырабатываемой ССЗ. При увеличении отноше-
159
ния сигнал/шум Dx(t) стремится' к нулю. Дисперсия смещения
£>i(Z) при этом тоже уменьшается, но в общем случае стремится к
ненулевому значению, совпадающему с ошибкой экстраполяции.
Кроме того, такие характеристики как время захвата, полосы за-
хвата и удержания, обычны и соответствуют характеристикам СТС
без задержки в кольце регулирования. При этом не возникает ог-
раничений на эти характеристики в отличие от систем с задержкой
регулирования, описанных в [9.40].
Рассмотрим конкретный пример. Пусть случайная задержка описывается как
в [9.39] суммой т(/) = T'-f-^(/), где Т—известная постоянная составляющая,
t>(t) — случайная составляющая, являющаяся винеровским процессом с нуле-
вым математическим ожиданием и спектральной интенсивностью 3^ . Чтобы
обеспечить условие т(/)>0, будем считать, что мало по сравнению с Т,
т. е. 5g Применим к этому примеру полученные выше результаты. Урав-
нение для ССЗ имеет вид
2
д т* (t)/dt ~ D (/) (д s/д т) [/ - т* (/) + и [/ - т* (/)]],
т No
где Dx вычисляется согласно (9.62). Для винеровского процесса m(v\t)=x'”(t),
D(v\t)=Dx (t) + S^ v. Поэтому из (9.58), (9.60) имеем
< (0 = Т* (/), D, (/) = Dx (t) 4- т* (t).
(9.70)
Отметим, что в рассматриваемом примере, когда т(/) — винеровский про-
цесс (9.70), определяющий оценку т*1(0 и дисперсию D^t), является точным,
справедливым при любых, а не только малых значениях ошибок. Структурная
схема квазиоптимальной системы, соответствующая алгоритму (9.61), (9.69),
приведена на рис. 9.8, где ССЗ — система с астатизмом первого порядка,
а экстраполятор, в силу выполнения равенства т*1=т*, следующего из (9.69),
фактически отсутствует.
Интересно определить выигрыш в дисперсии смещения, обеспечиваемый по-
по сравнению со схемой обычного вида, рассмот-
ренной в [9.39]. Довольно трудоемкое исследова-
ние такой схемы проведено для той Же модели
задержки в [9.39] в предположении, что шумы
наблюдения пренебрежимо малы. При этом ССЗ
определяет т(/) совершенно точно, т. е. т*(/) =
=т(/). Из (9.70) следует, что дисперсия смеще-
ния совпадает с ошибкой экстраполяции:
D1(i) = Szx(t).	(9.71)
На рис. 9.9 приведена зависимость нормиро-
ванной дисперсии смещения от задержки. Кри-
вая 1 заимствована из [9.39], а прямая 2 соот-
ветствует (9.71). При всех т оптимальных систе-
ма обеспечивает меньшее значение дисперсии сме-
щения. Существенно, что она устойчива при всех
задержках, а время входа в синхронизм слага-
ется из времени запаздывания и времени входа в синхронизм ССЗ. Это мень-
ше времени установления в системе слежения обычного вида с запаздыванием
в петле регулирования.
160
Глава 10
Модели дискретных СФС и их исследование
10.1.	Введение
Модели дискретных СФС представляют собой разностные уравне-
ния общего вида
ui+1 = f(ui? It),	(10.1)
связывающие координаты в соседние моменты дискретизации i и
Н-1, ге4(.2, —1, 0, 1, 2,...). В (10.1) иг-= (<Pi, хг-,..., х^),
где фг-— отсчеты разности фаз входного и выходного колебаний или
последовательностей импульсов; хг- — вектор отсчетов других коор-
динат; f—(&+1) —вектор; £г-— внешнее воздействие.
Фазовое пространство (10.1) цилиндрично и в случае цифровых
систем дискретно по целочисленным координатам. Если £=0,
(10.1) можно интерпретировать как точечное отображение [ 10.1]L :
: (иг-, 1)-»(Н{+1, t'+l) фазового пространства на себя.
При отсутствии шума, когда £г-— детерминированная функция,
процессы в дискретных системах определяются дискретными траек-
ториями и0, ui, u2,. .. отображения L. Когда (^Z1), £/2),...,
. . ., £i(ft+1)) — последовательность независимых случайных векторов,
распределенных с одинаковой плотностью №(£)	(10.1), задает
марковский процесс [10.2], удовлетворяющий уравнению относи-
тельно плотности вероятностей
p(uf+1, i+l)^JW(f-4ui+1, uf))p(uf, 0du5;,	(10.2>
Большое разнообразие конкретных типов дискретных СФС
[10.3—10.12] усложняет задачу их анализа, поскольку уравнения
вида (10.1) для каждой такой системы различны и требуют от-
дельного изучения. В настоящей главе методами точечных ото-
бражений и теории дискретных марковских цепей исследуются ти-
повые дискретные СФС первого и второго порядков. Исследуемые
модели в определенном смысле близки к уравнениям типовых
аналоговых СФС и хорошо соотносятся с описанием дискретных
СФС инженерными методами [10.5, 10.6], менее «чувствительны-
ми» к индивидуальным особенностям конкретных типов этих сис-
тем.
10.2.	Разностные уравнения типовой импульсной СФС
Типовая ИФАПЧ с идеальным запоминанием описывается в [10.12, 10.13,
10.5] уравнением
i
ф(» + 1) — Ф(0 4-йуТр 2 w (i — l") (Ф (/)) +Г (/)! = &нТр,	(Ю.ЗЦ
/—о
161
где i= 1, 2, . , соответствует моментам t=lxP', хР — период дискретизации,
w((f—/) — импульсная передаточная функция ФНЧ; F(<p) — характеристика
<ФД; £'(0 = £(йотр)-1, где £ — аддитивное воздействие. Рассмотрим уравнение
ИФАПЧ для типовых фильтров.
1.	В случае бесфильтровой системы (Д(р) = 1) (10.3) переписывается в виде
•<p(t + 1) =ф (0 + д — аГ(ф(0) + £ (0,	(10.4)
где а = йртр; 6 = йнтр—начальная расстройка.
2.	В случае пропорционально-интегрирующего фильтра (ПИФ) [10.14],
К(р) = (1+тТр) / (1 + Тр), (10.3) при введении новой переменной и параметров
по формулам
м(0 = [ф (I 4- 1) — ф (i)]/h — a[yH — F (ф (0) — £ (0],
й = 1/Пут(1 — ехр ( — т/Г)), А.= /i-1(l — ехр ( — т/7’)),	(10.5)
а = А-1 + (m — 1) h, (Т/х) ,ун = Пн/Пу
преобразуется к виду [10.7]
<Р (i + О = ф (0 + h [и (0 + а (ун — F (ф (0) — % (0)],
u(i -I- 1) = и (0 +h [ — "к и (i) + (1 — А а) (ун Е (ф(0) — £ (0)].	(10.6)
3.	В случае астатического фильтра АФ первого порядка К(р)= (1 +
+ тТр)/Тр при наличии ЛЧМ сигнала или линейного поиска частоты (10.3) с
помощью замены, аналогичной (10.5), приводится к виду (10.6) с %=0; ун —
относительная скорость изменения частоты; a=m~[/QyT(1 +x/2mT), h —
Уравнения (10.4), (10.6) в приведенных случаях можно представить в виде
обобщенного отображения:
<р	= ф + i/ — «ф(ф, £). y = qy—РФ(ф, I),	(Ю.7)
где черта сверху, как обычно, соответствует t+1-му, а переменные без черты—
z-му моментам времени.
При этом (10.4) соответствует 0 = 0, <7=1, г/ = 6, Ф = Р(ф)-F^a"1, (10.6) —
координата y=hu, параметры q=l—hk<A, a=ha, Р=й2(1—ла) и функция
фас/Дф)—у—а в случае АФ — координата, и функция те же, но параметры
4=1 и Р=й2(А=0).
10.3.	Математические модели цифровых СФС
Рассмотрим наиболее распространенный тип цифровых СФС (рис. 10.1) с
управлением по фазе со смесителем См (перемножителем) и фильтром Ф в
петле1. Такие системы отличаются одна от другой цифровой частью, которая
включает следующие элементы: аналого-цифровой преобразователь АЦП, дис-
кретизатор Д с частотой /о, усредняющий фильтр УФ1, входящий в пропорцио-
нальную петлю, интегрирующая петля, содержащая усредняющий фильтр УФг,
Рис. .0.1
1 Другие варианты построения цифровых систем ФС вместе с дискретны-
ми математическими моделями некоторых из них см. в [10.5—10.11] и др.
162
сумматор-интегратор 2, преобразователь код — частота ПКЧ с дискретом пре-
образования АД делитель на пд и устройство добавления и исключения им-
пульсов УДИ из последовательности частоты fB в сумме с выходом ПКЧ,
Предполагается, что сигнал на выходе Ф представляется в виде
“ф(') = лг («р) + НО.	(ю.8>
где А—амплитуда; g— форма этого сигнала; £(/)—входной шум, пересчитан-
ный на вход Ф;
ф (0 = фвх (0 Фвых (0,	(10.9)
— разность фаз входного и выходного сигналов:
фвх (0 — фо + 2 л /вх t + v0 /2/2	(10.10)
(voy=O соответствует ЛЧМ сигналу).
Фаза выходного двухуровневого сигнала фвыхбО считается [10.8] кусочно-
линейной функцией, возрастающей на 2л за период следования выходных им-
пульсов, имеющей скачки на величину аг(1> в моменты поступления г(1> импуль-
сов управления с выхода УФ1(а=2л//гё). Будем считать, что квантование &
АЦП осуществляется на К уровней, а УФ[ обрабатывает отсчеты £) = ±^(^=1,
2, ..., К) независимо, так что в каждый момент времени либо на выходе УФ!
ничего нет (z<1) = 0), либо с одного из выходов на УДИ поступают = им-
пульсов, а на УФ2 — один импульс по соответствующему каналу.
Выходной сигнал УФ2 есть число импульсов г^, равное номеру обраба-
тываемого уровня в АЦП, поступающее на сумматор 2 в моменты, определен-
ные алгоритмом работы УФ2
Введем координаты цифровой части системы: Р^ь, M<Pk, Z=l, 2; &=1, 2,
..., К, К — изменение числа импульсов, поступающих по k-му каналу первого
(Z=l) и второго (Z=2) усредняющих устройств со знаком плюс и минус соот-
ветственно:	— функция выхода УФ;, принимающая на каждом такте одно
из значений 0, ±1, ..., ±7<; /=Л—/о — координата интегратора, где Ц—полный
код сумматора 2; /0 — его начальное состояние. Считается, что интегрирующая
цепь УФ2, 2, ПКЧ линейно и аддитивно к fa изменяет частоту на входе УДИ,
Фаза выходного сигнала при этом
Фвых (0 = а /и + аД f lit Н- + фвых (0) 	(10.11)
Будем рассматривать изменение состояния системы в моменты дискретиза-
ции /г+1 = tt+fo~ *, где fo—стабильная частота дискретизации1. Обозначим вве-
денные координаты в моменты, предшествующие времени дискретизации 1г, через;
Фь Ph.(V>(i) и т. д., а последующий момент А-+1 формально разделим на два:
момент г+1—0, соответствующий изменению координат из-за поступления вход-
ных импульсов, и момент г+1 из-за изменения состояния дискретной части.
На выходе Д (см. рис. 10 1)
Di = Z [Ag (<pf) gf],	(10.12)
где Z — ступенчатая функция АЦП, принимающая значения ±1, ±2, ., и
0, если есть зона нечувствительности. При бинарном квантовании £),=5t=-
=sgn[Ag(<pt-)+£<].
В соответствии с описанием системы изменения координат УФ1 и УФ2 за
время от г до г+1—0 определяются уравнениями
Ц + 1 - 0) = Р<!) (0 + 0,5 (1 + zh (г)) I zh (i) [, k= ±l,...±/c, j
4° (г + 1 - 0) = М(!) + 0,5 (1 - zh (г)) | zh (г) |,	I
р(2) (1- + 1 _ о) = р<2) (0 + 0,5 (1 + sgn z(1) (г + 1)) | г(1) (г + 1) |,	(1°13)
М2) (t + 1 - 0) = М™ (г) + 0,5(1- sgn гЧ) (l- + i>) | Z(1) (г- 4-1)1, I
1 Более сложные варианты дискретизации, приводящие к изменению Mav
тематических моделей, см. в [10.11].
163
где зл = ±1, если Di = ±k, и г* = 0, если Di^=k. Преобразование Qk(l) (j+1—0) в
Qfe<Z)(t’+l), где Q=(P, М), в силу внутреннего изменения состояния УФ/ и
конкретный вид функций z(Z)(t'+4) определяются конкретным типом фильтров
110.11]. При Л=1 в случае бинарного квантования и УФ; в виде фильтров
.случайного блуждания (реверсивных счетчиков емкости щ, 1—1, 2, со сбросом
в середину) [10.6] функции (t'+1) = +1 при переполнении счетчиков, т. е.
когда N<Vi+l-Q=	=
Так что г<г)(/+1) выражаются через координаты УФг по формуле
дг?
z(l} (i + 1) = Int—(Intx^sgnx[ х|]).	(10.14)
ni
Преобразование координаты У<0 от i к t'+l—0 взамен (10.13) и от :+1—0
к t'+l в этом случае дается формулами
+ St,	(mod n.j) ,
N. , ft	•	(10.15)
<.=М!| + ю^, < = C,_oWn2>.
Изменение состояния интегратора S и фазовой координаты согласно
(10.10)—(10.11), вычисленным в моменты /г- и /г+1, определяется уравнениями
J =/.+z(2)G+1),
...	(10.16)
.<pi+1 = <Pi + У /о h + у/2 + б — а z(1) (i + 1) — Р Л+1,
где введены следующие параметры:
2 л [„	• /н + A f 4 \	2 л	п	,	,
& = — /вх- - - — ). « =--------------- ,	tWo/оЛ (10.17)
/о \	пд /	пд
При замене координаты интегратора новой уг по формуле
yi^Vfoti + v/2 + б-^Ц	(10.18)
(10.16) преобразуются к виду
Щ+1 = У1 + f — Pz(2( (i + О, ФГьх = <Pi + Уг — а*(1) (i+ 0 — P?(2) (i + 0-
(10.19)
Таким образом, разностные уравнения (10.13), (10.19) вместе с уравнения-
ми преобразования Qa<z)(1+1—0) в Qfe(O(t-j-l) (аналогичными (10.14), (10.15)
для филыра случайного блуждания при банарном квантовании) определяют
математическую модель системы.
Если накопление1 в УФ: отсутствует, то z1i+1 = z^i+1 = Z[A(ф,) + £,] и
(10.19) приводятся к виду
yi+1 = Уг + v — р Z [Ag (фг) 4- £г], ф|+1 = ф/ + pi — aZ [Ag (фг) + £г-],
(10.20)
где а=а+р. Разностные уравнения (10.20) есть частный случай обобщенного
отображения (10.7) при q=l, т. е. цифровая СФС при этом эквивалентна им-
пульсной с квантованным выходом ФД.
Приведем теперь уравнения марковского процесса относительности плот-
ности вероятностей р в случае, когда — последовательность независимых
случайных величин, распределенных по одному и тому же закону с плотностью
1У(£). При упорядочении дискретных состояний цифровой системы полученные
разностные уравнения есть частный случай системы уравнений
rt+1^R(rit Xi, Ь),	r.+1),	(10.21)
1 При наличии накопления в УФг (10.19) приводятся к (10.20) приближен-
но, если считать, что действие УФ: сводится к ослаблению сигналов управления.
При этом пренебрегаем памятью УФ: (их координатами).
164
где х=(%6)) х<&,	л***))—вектор непрерывных координат (в случае (10.19)
х=(<р, г/)); fi — координата (номеров дискретных состояний. При сделанных
предположениях относительно процесс (10.21) марковский и описывается
функционально-разностным уравнением относительно плотности вероятностей
p(Xj, rit i). Получим его. При x, = const первое уравнение в (10.21) задает
дискретную марковскую цепь (ДМЦ). Обозначим через рм элементы стохасти-
ческой матрицы этой ДМЦ (k, 1=1, 2, т, где т — число дискретных состоя-
ний). Матрица плотностей условных вероятностей перехода (xt, гг)->-(Хг+1, G+i)
тогда запишется в виде
W (х.+1, гг+1, i+ 1 |xf, п, i) =
‘	пг
= рг. Г(+1П«(^'i 1 - f'n . ч+1))
/=1
Подставляя W в (10.2) относительно плотности р(хг-, г i, I), получаем функцио-
нально-разностное уравнение
т
р(хг+1, гг+1, Н1)=2р( rl(xi+i. rf+i)’ ri' 0х
ri=1
Vh))-	(10-22)
Отметим, что полученная вероятностная модель цифровой системы ФС анало-
гична статистическому описанию шаговых экстремальных систем [10.15, 10.16].
В последующих параграфах приводятся результаты исследований дискрет-
ных СФС и обсуждаются используемые при этом методы точечных отображений
и дискретных марковских цепей.
т
т
10.4. Динамика дискретных систем первого порядка
1. Рассмотрим импульсную СФС при ^ = 0, когда (10.4) экви-
валентно отображению f-.Sx-+Sx вида
<р = ф + 6—a F (ф) =/(ф, а, 6).	(10.23)
Поскольку cpeS1, т. е. ср и ср можно рассматривать по mod 2л, за-
мена б^-бТ2л/г приводит это отображение к своему же виду. Так
что можно считать —л<б^л, учитывая, что если (10.23) при
6 = б* имеет траекторию с периодом р, вдоль которой фаза ф воз-
растает на 2nq, cp*(i + p) =cp*(i)+2л<? (р=|1, 2, ..., q= ....—1, 0,
1, ...), то при б = б* + 2л& оно имеет периодическую траекторию,
удовлетворяющую условию ср* (f + p) = ф* (г) +2л (q + k). Далее, по-
скольку функция Г(ф) нечетна как характеристика ФД, замена
б->-—б, ф->—ф также приводит (10.23) к своему же виду. В ре-
зультате достаточно считать О^б^л.
Так как ТДф) нормирована: max|F| = l, и имеет два участка
монотонности, отображение (10.23) при у^б/а< 1 имеет две не-
подвижные точки, устойчивую ф8 и неустойчивую фи>ф8, опреде-
ляемые уравнением б—а^(ф)=0 и удовлетворяющие условию
Ts(u)G’+1) =фв(и)(0- При у>1 неподвижных точек нет, и для лю-
бой траектории ф*(/) имеет место неравенство ф*(i-Hl) >Ф*(0>
т. е. фаза ф вдоль траектории при -у>>1 возрастает.
165
Когда отображение f взаимооднозначно (функция f монотон-
на), тип траекторий на окружности определяется инвариантом —
числом вращения Пуанкаре [10.117, 10.18]:
r= lim [ф (i)/2 л г].
1-> со
Число вращения г есть однозначная и непрерывная функция Па-
раметров; если r=qlp — рациональное число, тогда и только тог-
да существует хотя бы одна периодическая траектория
Ф* (I) : ф* (i + p) ==ф* (i) + 2лр; если число г иррационально (эрго-
дический случай), то существует квазипериодическая траектория,
всюду плотно заполняющая окружность, и отображение f эквива-
лентно повороту на угол 2лг; рациональное число г устойчиво
[10.19] (не изменяется при изменении параметров), если функ-
ция ф(г + р)—2лд—ф(0 меняет знак на периоде.
В рассматриваемом случае (10.23) число г есть неубывающая
функция параметра б. При |б|	г = 0 и, следовательно, при
|б—2л£|^а r=k. При б=л равенство ф*(i + 2) =ф*(г) +2л име-
ет место для точек ф*(0)=0, ф*(1)=л, причем этот цикл устой-
чив, пока f взаимооднозначна. Так что при б = л число г== 1/2 и
устойчиво. При а = 0 г = б/2л. Поэтому границы областей на пло-
скости а, б, в которых \г устойчиво, примыкают к оси б в точках
6 = 2лг. Некоторые из этих областей иллюстрирует рис. 10.2 (см.
также рис. 78 в [10.18]).
166
В результате при обратимых f полоса удержания совпадает с
полосой захвата и определяется неравенством у<1. При этом все
точки окружности, кроме неустойчивой ф = фи, притягиваются
устойчивой неподвижной точкой ф = ф5. При |ун—2л£/а|<1, £ =
= ±1, ±2, ... реализуются ложные захваты, а при устойчивых ра-
циональных дробных числах \r=qlp — синхронизация под комби-
национные частоты.
В случае, когда функция f меняет свою монотонность на перио-
де, отображение (10.23) невзаимооднозначно, одновременно могут
существовать циклы разных периодов, и теория числа вращения
не применима. Для СФС основной интерес представляет область
захвата — область параметров, для точек которой отображение
(10.23) не имеет вращательных траекторий.
Эта область выделяется следующим образом. Из условий отно-
сительно характеристики ФД получаем, что функция последова-
ния f при|<р| =фо<л имеет экстремумы: при ф =—фо — макси-
мум, а при ф = фо *— минимум. Если выполнены неравенства
/(—<Ро) <<Р«» /(<Ро)><Р«~2л,	(10.24)
то вращения отсутствуют, и все траектории, кроме неустойчивой
точки ф = фгь попадают на отрезок 0+ : f (ф0) гСф<Д (—ф0) и его не
покидают. Так что для параметров из области захвата (10.24) пре-
дельное множество Q всех траекторий отображения расположено
на отрезке 0+ и может быть неподвижной точкой ф = ф8, одним
или несколькими р-кратными циклами, почти периодической тра-
екторией или странным аттрактором — притягивающим множест-
вом, не имеющим устойчивых траекторий, — в зависимости от
конкретного вида f на О+.
При Е = зшф область захв’ата определяется неравенствами
yz=6/a<l при а<х(а) —л/2,	|	(10 25)
arc sin у + уа < х (а) приа>»х(а)—л/2, J
где х (а) =л +arc cos ст-1—]/а2—1. На рис. 10.2 эта область вы-
делена жирными линиями. Отрезок О+ определяется по значению
Фо=агс cos а-1. При увеличении а внутри области (10.25) сначала
теряет устойчивость точка ф = фи при б = ]/ а2—4(/'(фи)= — 1),
из которой плавно рождается двукратный цикл1. Затем следуют
бифуркации удвоения — бифуркации рождения циклов кратности
22, 23, ..., 271, ... — в строгой последовательности а2<аз<...
При значении а»,, соответствующем пределу п-+оо (на
рис. 10.2 это кривая 2°°), ситуация на О+ аналогична описанной в
[10.22, 10.23] для отображений типа параболы: притягивающим
является канторово множество. При прохождении значения Ооо
появляется счетное число циклов, совершающих бифуркации
своего первого рождения при значениях ...ам^аьг5^... (при
а<ам циклов кратности ki нет, при а>ам существует хотя
тах [102^2^ циклы и некотоРые Другие вопросы рассматривались в рабо-
167
бы один и может совершать бифуркации), где числа k\, k^,... со-
ответствуют кратности цикла и следуют в соответствии с поряд-
ком А. Н. Шарковского [10.23] вплоть до значения аз (см. кривую
3 на рис. 10.2), соответствующего циклу кратности 3. Кривая оо
на рис. 10.2, в частности, соответствует появлению первых циклов
нечетного периода. За кривой аз согласно [10.23] имеются циклы
всех периодов, при этом притягивающее множество сложно, чувст-
вительно к изменению параметров и может восприниматься как
автостохастические колебания.
Вне области захвата при 6>»а и а>1 имеет место перекрытие
резонансов (см. рис. 10.2), а при б<а — сосуществование враща-
тельных и колебательных траекторий. (Общие свойства притяги-
вающих множеств в таких случаях см. в [10.24, 10.25].) Отметим,
что результаты исследования отображения (10.23) могут оказать-
ся полезными для различных физических задач, приводящих к не-
му [10.26]. В случае
F(<p) = |<P/V’ 1<PI<V’	<10.26)
[(л—ф)/(л— v), v<<p<2jt — v
область захвата (10.24) записывается в виде
Т<1 "pnacv,	|	(]027)
*у<(л—а + v) (л + а — v)~x при a>»v. J
При a<2v предельное множество, определяющее синхронный ре-
жим, — устойчивая неподвижная точка (ps=v6a-1. При a>2v на
отрезке О+ : б—(а—v)^cp^6+(a—v), отображение f растягиваю-
щее |Г|>4 и по теореме Косякина—Сандлера [10.27], предель-
ное множество — странный аттрактор.
2. Рассмотрим цифровую СФС первого порядка при отсутствии
шума, £ = 0. В простейшем случае в цифровой системе (см. рис.
10.1) отсутствуют интегрирующая петля (э = 0, ЛЧМ(и = 0), УФ1
(zO^+^Zf.Ag^tp)]) и осуществляется бинарное квантование
(/[•] =sgn[-]). Тогда на УДИ поступают управляющие импуль-
сы 2<1)j+i = sgn sin ерь в силу (10.18) z/i = 6 и (10.19) преобразует-
ся к (10.23) с К (ср) = sgn sin ср, которое переписывается в виде
(<р-(а-6), л><р>0,
|ф4-(а4-б), —л<ф<0.
Это отображение необратимо; траектории не вращаются при
а>б; притягивающее множество расположено на отрезке
О+ :—(а—б)^(р^а + б. Рассмотрим притягивающие траектории
на отрезке О+. Для этого заменой ср = 2ах—(а—б) преобразуем к
виду
х = х + ц (mod 1),	(10.29)
где р= (а + б)/2а<1 при а>б, а роль отрезка О+ играет единич-
ный отрезок.
168
Пусть |i — s/t — рационально, т. е. s и t взаимно простые це-
лые числа. Выбирая начальную точку х0< 1/t, получаем траекто-
рию {х0, Xi = x0 + s/i, Xi = xQ + is/t, Уравнение для периодиче-
ской траектории, записывающееся в виде (x0 + ts/f)modl =х0,
имеет минимальное решение i=t для любого хо^[О, !/£]. Следо-
вательно, отрезок [0, 1] делится на / частей, которые отображе-
нием (10.29) перекладываются один на другой, возвращаясь за
I итераций в первоначальное положение, и образуют континуум
траекторий с периодом t. Так что в случае рациональных ц период
есть знаменатель дроби (а+б)/2а, представленной в несократи-
мом виде.
В случае иррационального значения ц рассмотрим последова-
тельность Si/C, s2/^2, •••, Sk/tk, ..., сходящуюся к ц: \imsk/tk =
&—ОО
— ц, lim 6^ = 00, а вместе с ней последовательность отображений
fe-»oo
(10.29), соответствующих значениям sk/tk- При k^oo длина отрез-
ков 0,1/Zft стремится к нулю, а период континуумов — к бесконеч-
ности, а сам континуум — к квазипериодической траектории, всю-
ду плотно заполняющий отрезок [О, 1]. То же самое имеет, естест-
венно, место и для (10.28) длина перекладываемого отрезка на
0\ для которого в рациональном случае равна 2а/Л Среднее по
времени квазипериодической траектории есть ср = б — середина
отрезка 0+ (эргодичность). В рациональном случае среднее по
времени и начальным условиям (на перекладываемом отрезке)
также равно б. Отображение (10.28) имеет на 0+ инвариантную
меру P = const (если она вероятностная, то Р=(2а)-1)- Так что
стационарный процесс, соответствующий режиму синхронизма «в
среднем», можно считать фазовым шумом со средним <Чр>=б и
дисперсией а2=а2/3.
Рассмотрим теперь цифровую СФС с бинарным квантованием
при наличии УФ1 в виде фильтра случайного блуждания [10.8;
10.9]. При и = р = О, yt=6, Z[-]=sgri[.] (10.14), (10.15) и (10.19)
преобразуются к виду
<рг+1 = <pf + 6—a Int	Уг+1-о =	+ sgn [4g(<pz +&)],
^+1 = Ni+1_0(modn]).	£	(10.30)
В динамическом случае, £i = 0, в этих уравнениях sgn[-] =
= sgnsincpi. Рассмотрим поведение траекторий (10.30) при li = Q.
На рис. 10.3 приведены типичные траектории на дискретном фазо-
вом портрете системы (10.30) Будем считать а<л/2. Условие
169
6<а/П1 обеспечивает движение изображающей точки в области
Ф>0 к отрицательным значениям, и так как в области ф<0 она
движется к положительным значениям всегда, это условие опре-
деляет полосу удержания. Отрезок по ср, на который попадают
траектории и с него не уходят, 0+ определяется неравенствами
— (а—nr 6) < (р«р,п + п± б,
J “	«х^-w	(1031)
'Р™	(int ——zij+lY а < (2n,— 1)6.
Траектории, начинающиеся на отрезке 0+ при Nq=0, возвра-
щаются на него же либо через щ итераций для значений фо вне
отрезка [——1)6, 0)] либо через 2/ итераций для ср0 на отрез-
ках —/6^ф<—(/—1)6, /=1, 2, ..., ti\—1. Следовательно, на
получаем отображение (ф, N = 0)->(ф, Л/’=0), задаваемое форму-
лами
ф — («—th б),
<Р = ' ф + « + «1 б,
ф + 2/6,
Ф > 0,
Ф< — (пх— 1)6,
— / б < ф< — (/— 1) б, /= 1,2,..., пг— 1.
(10.32)
При 6 = 0 это отображение сводится к (10.28) и, очевидно, имеет
континуум циклов с периодом 2. Если отношение б/а рациональ-
но, 6/7 = а/р = т)(р, q — целые); вводя ф =гг| + ф0, где г — целое
и О^фо<т), взамен (10.32) получаем отображение целых чисел в
себя вида
г—(р — qnj, г>0,
г = r + p + ^7, r< —(zii—1)р,
.г+2/— jq<r< — (j — 1)р, /=1,2, ..., пх—1.
(10.33)-
Отображение (10.33) переводит числа в интервал —(р—qnx)
^ir<p + 7, в котором они разделяются: часть из них образует
циклы, а оставшиеся под действием (10.33) достигают эти циклы
за конечное число итераций. Следовательно, притягивающее мно-
жество при рациональных 6/а есть периодические континуумы на
О+. Длина перекладываемых отрезков по ф равна тр Существую-
щая инвариантная мера сосредоточена на этих континуумах. По
ней определяются среднее значение и дисперсия фазового шума.
При иррациональных 6/а аналогично (10.28) установлено, что
предельное множество на О+ составляют квазипериодические
траектории.
10.5. Статистическая динамика дискретных систем
первого порядка
1. При наличии шума статистические процессы в импульсной
системе первого порядка описываются (10.4) и в случае некорре-
лированности выборок £(/) (10.2). Исследовать аналитически эти
170
уравнения трудно. Для обеспечения его применим метод статисти-
ческой линеаризации [10.15]. При треугольной характеристике F
вида (10.26), когда процесс (10.4) допустимо рассматривать на
линейном куске при |ф| <v (пренебрегая, например, при v = n
перескоками фазы), задача имеет аналитическое решение (см.
§ 4.2 в [40.15]). В частности, если значения £(f) некоррелирован-
ны, для процесса (10.4)
<p(f+ 1) = (1-a/v)(p(04-6 + g (0,	(10.34)
математическое ожидание и средний квадрат отклонений в ста-
ционарном режиме выражаются формулами
т __("Ч + 5)у	а2 = __±1_
Ф а ’ ф	а (2 v — а)
(10.35)
* ф
Полезными оказываются также сведения (см. § 4.3 в [10.15])
для статистической линеаризации уравнения простейшей цифро-
вой СФС ((10.19) при и = |3 = 0, Уг = ^, Z[-] =sgn[-]) вида
<р (г + 1) = ср (0 4- 6 —a sgn [Ag (фг) + £г].
(10.36)
При интенсивных нормально распределенных независимых ве-
личинах %г, т% = 0 и §(фг) =sin фг- (10.36) преобразуется к виду
(4.112) из [10.15]:
(10.37)
где Цг — случайная последовательность с тя = 0, <!%— 1. Тогда
подставляя т^ = 0, о2| = а2 и v= Р^л/2о/Д в (10.35), получаем
среднее и средний' квадрат отклонений стационарного режима про-
цесса ф(0- В частности, при |3 = 0 эти формулы: тф=0 и
Оф = л (пд У2/л (Л/о) — 2 (Л/о)2)-1,
(10.38)
при отбрасывании квадрата отношения сигнал—шум приводят к
известным в литературе по ФС [10.6; 10.28].
2. Рассмотрим случайные процессы ф(г) в цифровой СФС пер-
вого порядка, определенные (10.36) и (10.20). Будем считать ве-
личины £г некоррелированными и для простоты распределенными
по нормальному закону. Тогда для (10.36) и (10.20) имеем
sgn Mg (<&)+&,] = I1 с веР0ЯТН0СТЬЮ “'(ч>.)=Ф(^Ы).	(10 39)
[ — 1 с вероятностью и_\ (ф$) = 1—щ,
где s =	— отношение сигнал/шум; Ф — интеграл ошибки.
Метрическое уравнение относительно плотности вероятностей
(10.28) в случае СФС без УФ1, порождаемое (10.36), имеет вид
[10.10]
Р(Ф, i-f- 1) = м1(ф + а)р(ф + а, 0+м-1(ф—6)р(ф—6, 0	(10.40)
171
и при наличии УФ1 в виде фильтра случайного блуждания с ем-
костью п\ = п+\ [см. (10.20)] — вид [10.30]
р(ф, sn, i 4- 1) = us (ф—6) р (ф — 6, s(n— 1), i), s = ±1,
р(ф, I, i 4-1) = иг (ф—6) р (ф—6, Z—1, i) +
+	(ф—6)р(ф—6, Z-4-1, Z),
Z=±l, ±2,..., ±(n— 1),
р(ф, 0, i4- 1) = иг (ф—6) р(ф—6, —1,Z)4-
4-«_1(ф—6)р(ф—6, 1, г)4-«1(Ф—б4-а)р(ф—6 +а,
п, г)4-«-1(Ф—6—а)р(ф~6—а, п, i).
(10.41)
В (10.40), (10.41) индекс /4-1 у ф опущен. Свойства этих уравне-
ний изучены в [10.10; 10.30]. Основные из них состоят в следую-
щем:
а)	если расстройка ун=6/а — рациональное число, то подобно
тому, как (10.32) сводится к отображению целых чисел (10.33),
уравнения (10.40), (10.41) сводятся к ДМЦ с конечным числом
состояний1; если у — иррациональное число, то эти уравнения
связывают плотность р во всех точках окружности и к уравнениям
относительно вероятностей в дискретных состояниях не сводятся;
б)	установление стационарной плотности p(Z4-l)=p(Z) или не-
стационарной периодической p(Z4-a) = p(Z), где а — период зави-
сящий от начальных условий; в частности, при равномерно распре-
деленных начальных условиях для (10.40) реализуется стационар-
ная плотность, а при неравномерно распределенных — периодиче-
ская с периодом а, не превышающим периода континуумов ото-
бражения (10.28).
При нулевой начальной расстройке легко выписываются реше-
ния (10.40), (40.41). В (10.40) это стационарная плотность
k— 1	,	о
p(<p + (fe-l)a) = p(<p)n[—; npfs1'
/=1 /=1
k
р (ф—А <х) = р(ф) П [ “Vjy-Ja! а> ] *=1’2 * *... Т-	<10-42*
7=1 L 1
(формулы (10.42) известны давно для вероятностей дискретных
состояний [10.16 см. (4.157)] и периодическая с периодом 2 плот-
ность (см. (3.10) — (3.12)) в [10.10]). Для фильтра случайного*
блуждания система (10.41) при 6 = 0 приводится [10.30] к виду
(10.40), где р(ф), и\ и щ заменены выражениями и(ф)[Д и U_\
соответственно, задаваемыми формулами: а(ф, Z) =т-1 (ф) со (ф, Z);
т(ф) = (щп'—u-in')Ui = Uin'l(uini 4-;
1 При y—plq и при дискретных начальных условиях, когда в уравнениях
р — вероятности, уравнение (10.40) рассматривалось в многочисленных работах
(см. [10.2; 10.5; 10.6; 10.15; 10.16; 10.28; 10.29] и др.), а (10.41) и им подоб-
ные—в [10.16, 10.29—10.31].
172
п
—	> ®(ф> 0— Spz(q), I, i). Отметим, что в
[10.29] это уравнение получено другим путем. При у>>0 анализ.
(10.41) проводился с помощью ЭВМ. Рисунок 10.4 иллюстрирует
зависимости среднего <ф> и дисперсии оф от отношения сиг-
Рис. 10.4
нал/шум, построенных численно по суммарной плотности со (ср).
Пологие участки на этих графиках соответствуют внутреннему шу-
му системы (§ 10.4), а крутые хорошо аппроксимируются (10.35)
для (10.37), полученными методом статистической линеаризации.
10.6. Динамика дискретных систем второго порядка
1.	При отсутствии воздействий l(i)=0 отображение (10.6)
при малых h близко к дифференциальным уравнениям аналоговой
системы ФАПЧ с ПИФ [10.7]. При этом состояния равновесия^
сепаратрисы седел и предельные циклы дифференциальных урав-
нений (фазовые картины и бифуркационные диаграммы см. в
[10.32]) переходят в неподвижные точки с тем же характером
устойчивости, сепаратрисные инвариантные кривые и замкнутые
инвариантные кривые отображения (10.6) соответственно. Для
значений параметров, отличных от значений из окрестностей би-
фуркационных кривых, взаимное расположение сепаратрисных и
замкнутых инвариантных кривых качественно совпадает с фазо-
выми картинами дифференциальных уравнений. На замкнутых ин-
вариантных кривых действует отображение окружности с числом
вращения Пуанкаре (см. § 10.4). Бифуркационная кривая петли
сепаратрисы переходит в область — полосу, соответствующую пе-
173
ресечению сепаратрисных инвариантных кривых по гомоклиниче-
ским траекториям. К этой полосе примыкает бифуркационная кри-
вая уг, соответствующая рождению циклов с вращением r = qfp,
переходящая при Л->0 в бифуркацию двойного цикла. На рис.
10.5 показано разбиение плоскости X-2, у при Xa = const (Ка = т
при Л->0), где полоса, соответствующая гомоклиническим траек-
ториям (рис. 10.56), заштрихована. Часть нижней границы этой
полосы, ys вместе с кривой уг и частью прямой ун= 1 для больших
2, (ун= 1 соответствует исчезновению устойчивой точки и опреде-
ляет полосу удержания) определяют полосу захвата импульсной
СФС с ПИФ при малых h. В пределах полосы захвата реализует-
ся картина отображения рис. 10.5в, аналогичная непрерывной
СФС.
При увеличении параметра h устойчивая неподвижная точка
теряет устойчивость, и синхронизм уже определяется притягиваю-
щим множеством колебательных траекторий. Когда с ростом h
отображение (10.6) становится невзаимооднозначным, это множе-
ство усложняется. Например, при малых значениях |1—ото-
бражение (10.6) близко к одномерному вида (10.23), имеющему в
необратимом случае сложное притягивающее множество (§ 10.4).
В случае обратной пилообразной характеристики Л(ф), (10.26)
при v->0, отображение (10.6) имеет странный аттрактор, имеющий
сходство с аттрактом отображения секущей по траекториям урав-
нений Лоренца [10.34].
В случае астатической системы отображение (10.7) при q=\,
к которому приводится отображение (10.6) при Х = 0, имеет свой-
ство периодичности качественных картин по координате у. Дейст-
174
вительно, в, силу того что феЗ1 и может рассматриваться по
шоб2л заме^ц y-^y + ^nk, k— ±1, ±2, ..., приводит (10.7) при
7=1 к своему же виду, так что неподвижные точки для Ф =
= 77(ф)—v, существующие при y=Q (такие же, как и для случая
Х=#=0 в (10.6)) повторяются по у через 2л и соответствуют целым1
резонансам1. Кроме этого, просто находится двукратный цикл
(ф = 0, у=л), (ф = л, у=л) и другие соответствующие ему цик-
лы, повторяющиеся по у через 2л. Фазовая картина, соответст-
вующая режиму захвата, приведена на рис. 10.6 с точностью до
поведения траекторий внутри заштрихованных слоев, повторяю-
щихся по у через 2л и разделяющих области притяжения различ-
ных целых резонансов. Такая картина имеет, например, место для
отображения (10.6) при у=Х = 0, Л<1, К = 81пф в области б?а=
— {0<2h<Za при а^2, §<Zh<Za—Vа2 *—4 при а>2}.
С ростом h изменяется качественная картина отображения,
связанная в первую очередь с усложнением притягивающего мно-
жества (аналогично случаю Х=Д0). Увеличение скорости измене-
ния частоты (параметра у в (10.6)) приводит к пересечению се-
паратрисных инвариантных кривых по гомоклиническим кривым1
(см. рис. 10.56), определяющему критическое значение скорости у.
2.	В случае цифровой СФС второго порядка без усредняющих
фильтров УФ/ (см. рис. 10.1) или при их учете как безынерцион-
ных элементов, ослабляющих сигналы управления фазой в «/ раз
[10.11], отображение (10.19) записывается в виде (10.20), анало-
гичном отображению (10.7) при 7=1, а следовательно, и отобра-
жению (10.6) при Х = 0. Сразу же отметим, что именно вид
позволяет указать непрерывный аналог цифровой системы,
чающийся из (10.20) при h = Vр->0.
В случае бинарного квантования при отсутствии шума,
в (10.20) Z[ • ] =sgn sin фг, отображение не может иметь
(10.6)
полу-
когда
непо-
движные точки. Периодические циклы, как и в случае ЦСФС пер-
вого порядка, образуют континуумы [10.9].
На каждом из семейств у = уо + /Р, / = 0,
±1, ±2, ..., уое [0, р] отображение дейст-
вует независимо и в зависимости от соизме-
римости (у0, Р, а) имеет либо континуум
периодических траекторий, либо квазипе-
риодические траектории. Так что притяги-
вающее множество, определяющее синхрон-
ный режим, имеет положительную меру в
фазовом пространстве. Фазовый портрет
отображения имеет сходство с портретом
импульсной системы (рис. 10.6): устойчи-
вая точка заменяется притягивающим кон-
тинуальным множеством, седла и сепара-
Рис. 10.6
играет важную роль в раз-
i=P в связи с проблемой
1 Необходимо отметить, что отображение (10.7) i
личных физических задачах, и рассматривалось при а ,
взаимодействия резонансов и возникновения стохастичности в [10.33].
175
трис нет (последних заменяют полосы), периодичность картины
по у сохраняется. Размеры притягивающего множества опреде-
ляются оценкой [10.9, 10.6] |<р| <<р*, |у\<у*, где
г/* = 4л^(2 —^), 0<g<2,
U (4 + g^Hng g(2-g)\ 2 (У2 -1) < g < 2;
(10.43)
параметр а представлен в виде a = (1 + g~{) p, g = ^ff0-1 — усиле-
ние интегрирующей петли.
Отметим, что для счетного множества значений g оценка
(10.43) точная. Оценка области притяжения предельного множест-
ва (области между слоями, разделяющими периодически повто-
ряющиеся структуры) дается неравенством |z/| <Zym, где
Ут j/4ffT+fe+2)2-8g-2“«)-
Исследовать уравнения статистической динамики ЦСФС второ-
го порядка (10.22) аналитически трудно. Однако возможность све-
дения (10.22) к дискретной марковской цепи с конечным числом
состояний при некоторых параметрах позволяет использовать чис-
ленные методы для нахождения статистических характеристик
£10.11].
Глава 11
Исследование марковских моделей
цифровых систем
фазовой синхронизации (ЦСФС)
11.1. Основное уравнение ЦСФС
Широкое применение цифровых методов в системах синхрониза-
ции привело к необходимости детального анализа цифровых (ди-
скретных) систем синхронизации. В анализе таких систем наряду
с приближенными методами, использующими непрерывные или
квазинепрерывные аналоги систем, находят применение методы
анализа дискретных моделей (см. гл. 10). Использование именно
этих моделей позволяет установить принципиальные качественные
отличия дискретных систем синхронизации от непрерывных. От-
метим здесь практическую важность исследования дискретных
стохастических моделей систем синхронизации, учитывающих ре-
альные условия их функционирования.
Несмотря на то что одни из первых работ по анализу дискрет-
ных стохастических моделей на основе точных методов [11.1 —
176
11.3] выполнены давно и с той поры интерес к исследованию этих
моделей не ослабевал, к настоящему времени нельзя считать это
исследование законченным.
В настоящей главе даются результаты анализа стохастических
моделей цифровых систем синхронизации первого порядка, кон-
кретнее цифровых систем фазовой автоподстройки частоты.
Как уже указывалось (см. гл. ’1), возможны две модификации
ЦСФС с управлением по частоте или по фазе [11.4]. Описание
работы этих систем возможно с помощью разностных уравнений.
Далее основное внимание будет уделено системам с управлением
по фазе, нашедшим широкое практическое применение. Отметим,
что многие результаты, полученные для этих систем, могут быть
перенесены и на системы с управляемым кодом синтезатором ча-
стот (с управлением по частоте). Перейдем к выводу основного
уравнения, описывающего работу системы фазовой синхронизации
с управлением по фазе.
На практике часто эталонный сигнал подвержен воздействию
случайных возмущений того или иного вида. Типичным примером
является использование цифровых систем в радиоприемных уст-
ройствах.
Итак, пусть сигнал на входе ЦСФС (эталонный сигнал) пред-
ставляет собой аддитивную смесь полезного сигнала 5Ц) =
=Л sin(соо^ + 0(0) и флуктуационного шума n(t), где соо — цент-
ральная частота сигнала; 0Ц) — фаза. Ранее было указано
(см. гл. 1), что дискретизация по времени в ЦФД может быть
от сигнала либо эталонного, либо эквивалентного подстраиваемого
генератора (ПГ) (сигнал с выхода делителя Д [см. (рис. 1.5)]). В
этом случае, когда эталонный сигнал содержит шумовую компо-
ненту, квантование по времени от него малоэффективно, особенно
при малых отношениях сигнал/шум на входе системы, т. е. в наи-
более интересных практических случаях. Это объясняется тем, что
при малых отношениях сигнал/шум случайные изменения периода
результирующей смеси велики [11.5]. При квантовании от ПГ эти
изменения значительно уменьшены вследствие фильтрующего дей-
ствия петли автоподстройки. Итак, в дальнейшем будем полагать,
что дискретизация по времени осуществляется от ПГ.
Дискретные моменты времени th задаются так, что фаза ПГ
<рПг в каждый момент отсчета увеличивается на 2л, т. е.
<рпг(^)=2л^, k = Q, 1, 2, ... В ЦФД сравниваются фазы на входе
ЦСФС в тактовые моменты времени (эталонного сигнала) <ps(&) =
~сооД + 0(Д) с фазой фпг(^) сигнала ПГ. Поскольку рассматри-
вается разность фаз по mod 2л, то фазовая ошибка
ф (k) Д (coofft + 0 (Zft)) (mod 2л).	(11.1)
Приращение разности фаз в соседние моменты времени, опреде-
ляемое на основании (11.1), описывает поведение фазовой ошибки
и имеет вид
Ф (А+ 1)—Ф (А) ==<о0 (th+1-th) + е (ih+1) -9 (У.	(11.2)
177
По определению интервал регулирования T-p(k)&tk+i—'th- Как
известно, система работает следующим образом. По фазовой
ошибке Ф(&) формируется величина Tp(k) в зависимости от кода
на выходе ЦФД. В дальнейшем будем считать, что цифровой
фильтр ЦФ (см. рис. 1.5) в цепи управления системы отсутствует.
В системах ЦСФС применяются различные модификации циф-
ровых фазовых детекторов. В зависимости от их конкретного воп-
лощения выходной сигнал ЦФД является соответствующим функ-
ционалом от входного (эталонного). Функционал принимает зна-
чения, зависящие от Ф(&), из конечного множества в силу сущест-
вующих ограничений на управление (фазой, частотой) и конечного
дискрета управления. Функционал в отсутствие шума на входе
системы позволяет определить характеристику ЦФД /?(Ф(&)).
В этом случае
TAk) = T0^D-Fmk))],	(11.3)
где Тог — период опорного генератора; D — коэффициент деления
делителя Д (см. рис. 1.5). Тогда на основании (11.2) и (11.3) по-
лучаем рекуррентное уравнение для фазовой ошибки в системе
в отсутствие шума
Ф (k + 1) - Ф (*) = Т0.г [D - F (Ф (*))] + е (/Л+1)- е (<„).	(11.4)
При наличии шума в эталонном сигнале на выходе ЦФД име-
ем случайную величину ц(Ф(&)), заданную на том же конечном
множестве значений. Распределение ее определяется (для каждо-
го конкретного ЦФД) статистическими характеристиками входно-
го (эталонного) сигнала, преобразованиями над входным сигна-
лом (функционалом) и значением Ф(&).
В этом случае
тР(б) = т0.Л£>-л(Ф(Ш	(Н.5)
ф (k+1) - ф (*)=т0.г [D - л (Ф (*))]+е	- е (у.	(Ц.6)
Представляет практический интерес анализ частного случая урав-
нения (11.6), имеющего место, когда на вход ЦФД подается пря-
моугольный сигнал в смеси с шумом
S (/) = Ао sign {sin (соо t + 0 (/))} + п (/),	(11.7)
где 40 — амплитуда прямоугольного сигнала, а ЦФД имеет ре-
лейную характеристику г/ц ф.д = sign {S (Д)}.
В зависимости от знака на выходе ЦФД, определяемого выра-
жением ц (Ф(&)) =sign{sign 5П1Ф(6) +n(k)}, на УДВ подается
команда на исключение или добавление импульса в последова-
тельность импульсов от опорного генератора, тогда (11.5) запи-
шется в виде
7р (k) = Tor(D — sign {sign sin Ф (k) + n (k)}),	(11.8)
,,ч П (0
где n(k) = ——— случайные величины с заданным законом рас-
178
пределения. Разностное уравнение (11.6) с учетом (11.8) примет
вид
Ф (k +1)—Ф (k) = соо То, (D — sign {sign sin Ф (k) + п (£)}) +
+ 6(/ft+1)-0 (/ft).	(П.9)
При отсутствии начальной расстройки по частоте 0(Д+1) =
=0(Д) (11.9) принимает вид
V (k + 1) = ¥ (k) — sign {sign sin 2л Y (k) + n (k)},	(11.10)
где T (•) =Ф (• )/2л. Уравнение (11.10) совпадает с исследуемым
в [11.6]. Для частотной расстройки имеем
0(Zft+1) + O(/ft) = (co-coo)71p(^) и
4е (k 4-1)—¥ (k) = Y —sign {s ign sin 2 л ¥ (k) + n (k)},	(11 • 11)
где y= (co—coo)/coo=const — обобщенная расстройка по частоте.
Из условия ограниченности решения (11.11) в отсутствие шу-
мов следует'—1/(Z)+ 1) <у< 1/(Ц—1), т. е. диапазон начальных
расстроек несимметричен. При больших D^>\ можно приближен-
но считать Тр (&)= const и тогда непосредственно из (11.11) при-
ходим к системе с постоянным интервалом регулирования, кото-
рое, как известно, описывается уравнением [11.4; 11.6]
Y (£ + 1) — W) = Y —sign {sign sin 2 л ¥ (k) + п (£)}.	(11.12)
11.2. Исследование модели ЦСФС первого порядка
с постоянным интервалом регулирования
при нулевой начальной расстройке
Рассмотрим систему ЦСФС с релейной характеристикой ди-
скриминатора (фазового детектора). Причина важности этого рас-
смотрения, с одной стороны, — в практическом интересе к такому
варианту системы, с другой — в возможности выявить специфику
работы ЦСФС.
Система ЦСФС первого порядка с релейной характеристикой
дискриминатора при действии на входе аддитивной смеси прямо-
угольного сигнала и широкополосного шума при нулевой началь-
ной расстройке (co=fco0) описывается, как уже отмечалось, раз-
ностным уравнением для фазовой ошибки
¥(&-(-1)— Т (&)—A sign [sign sin 2л Y (k) -\-n (6)] (mod 1), k — Q, 1, 2,..
(11.13)
где A — параметр системы (эквивалентный шаг коррекции);
n(k) — последовательность независимых (и не зависящих от Чг(/);
j^k) случайных величин с заданным распределением F(x);
W)ge(—0,5, 05).
179
Поскольку обычно A=l/Z), где D — целое, то последователь-
ность Ч7 (k) образует марковскую цепь на конечном множестве со-
стояний С={Фь Ф2, Фгту}, —0,5<Ф!<Ф2<...<Ф2я<0,5, где
Ф, — дискретные значения фазовой ошибки.
Введем случайные величины
z (k) = sign [sign sin 2л Y (k) + n (k)]
с распределением

|—1, g1=P{n(6)<—1} при Y (6) > 0;
г(А)=1 I, pt = P{n(k)<0},
I — 1, q^ = P{n(k)> 1} при T(t)<0.
При естественном предположении симметричности относи-
тельно нуля имеют место равенства pi = p2=p, qi = q2=q. После-
довательность Ч7 (k) (11.13) описывает случайное блуждание на
точках окружности Фь Ф2, ..., Ф2д’, которые для краткости обозна-
чим 1, 2, ..., 2N. Переходы за один шаг последовательности (11.13)
иллюстрируются рис. 11.1.
Тогда (11.13) эквивалентно заданию марковской цепи с пере-
ходной матрицей Р={Р(г, /), i, / = 1, 2, ..., 2N} (Т — знак транс-
понирования)
/Р+7
Рис. 11.1
Приведенная матрица — частный случай матрицы перехода,
рассмотренной в [11.2]. Для приложения представляет интерес
распределение цепи, отвечающей (11.14) при большом числе ша-
гов.
Разбив состояния цепи на два подкласса — С{= {1, 3, 5, ...,
..., 2N—1}, С2={2, 4, 6, ..., 2N}, запишем Р (11.14) в виде блочной
матрицы для С= (СД С2):
(11.15)
180
Iд р о. . i. ..&\ z
О у р 0.......\	4
Запись матрицы Р в виде (11.15) позволяет отнести ее к периоди-
ческим матрицам [11.7]. Очевидно, что
Р2=/Р2Р1|	0	\
v о" । р;р2 )
и период матрицы (и марковской цепи) t = 2. Тогда все собствен-
ные числа матрицы (11.14) по модулю, равные 1, исчерпываются
корнями степени 2 из 1 [11.8], т. е. Xi,2=± 1. Тогда из общего
представления асимптотического распределения марковской цепи
[11.8] следует, что асимптотическое по k распределение марков-
ской цепи, соответствующее матрице перехода Р вида (11.14) с
произвольным начальным состоянием ^(0)^0, описывается
столбцами матрицы
Р* ~ С1XW YWT + (— 1)* с2 Х<2> Y<2)7,	(11.17>
где XW, Y<1> — собственные векторы матриц Р, Рт (индекс Т —
транспонирование), отвечающие собственным числам %i2=± 1;
С|-1=(Х(Ч W>) — скалярное произведение собственных векторов.
Решая стандартную задачу нахождения собственных векторов
матрицы Р (11.14), приходим к следующему результату: распре-
деление состояний цепи с матрицей перехода (11.14) при произ-
вольном начальном состоянии 4^(0)^С является асимптотически
периодическим (при &->оо) с периодом t = 2 и имеет вид:
при k четном, где a = pfq,
рт(£) -	°> а2> °’ - ’	1)N-1L
-|-a7V~,[l+(—l)N ],..., а, 0^;	(11.18a)'
при k нечетном
а. 0, аз,...*(хЛ'-1[1_(_1)Л'-1],
1	— а \	2
1Н> •••> а2> °, 1V	(11.186)
2	j
Действительно, нетрудно проверить, что отвечающие Xi2=±l собственные
векторы матрицы Р,
Х(1)Г = (1, 1, 1,..., 1), х(2)Г = (—1, 1, —1,..., —1, 1).
18Ь
Собственные векторы Y(’)r= (t//’), /=1, 2,	2jV),	t = l, 2 служат решением
уравнений
Y^TP = ^Y(t’)T.	(11.19)
Первую систему из (11.19) можно записать в виде двух систем рекуррент-
ных линейных уравнений второго порядка с граничными условиями (индекс
1=1 опускаем):	,
= <7Уг + <7У2дь Ук=РУк-1 + ЯУк+1, k = 2,3,..,, N — 1,
Vn = PVn—X + РУм-!^, У = РУм + РУы±2 , y2N-k~ WzN —(fe-f-l) +
+ PVzn—(fe—1), 6=1» 2,..., N— 2,
y2N — УУ1 + yy2N-l-
(11.20)
Решение (11.20) имеет вид
Y<l)7'=(l, plq, (plq)*. (plq)N-'.	(plq)"-'.. (plq)*,	plq. I).
Аналогично определяется решение второй системы (11.19):
Y(2,T = ( - 1, Plq, — (p/q)*,—p/q)N~l . (-plq)N~'........ -plq.	1)’
Нормировочные множители определяются выражениями
¥<>)= 2	, с2-1 = (Х'2>. ¥<2>)=сГ1.
Пользуясь (11.17) получаем (11.18а), (11.186).
В частном случае при p = q = G,5 (малое отношение сиг-
нал/шум) цепь с матрицей перехода (11.14) и произвольным на-
чальным состоянием ЧЦ0)еС является моделью циклического
блуждания по 2N точкам окружности с асимптотически периоди-
ческим распределением (период /=2):
(k}T	0’	— четное,
Р ((l/A/-, 0, 1/2V, 0,..., 1/N, 0), k — нечетное.
В другом частном случае при р=1 (большое
нал/шум) цепь с матрицей (11.14) при любом
один класс рекуррентных состояний {N, N+1} с
периодическим распределением на этом классе:
отношение сиг-
^(OJeC имеет
асимптотически
₽^~(о)
при k четном,
да ~ (?)
при k нечетном.
Отметим, что принятая здесь модель близка к общему случаю,
рассмотренному в [11.2]. Марковские цепи в моделях ЦСФС с
нулевой начальной расстройкой относятся к классу периодиче-
ских, и для нахождения асимптотического распределения модели
ЦСФС первого порядка необходимо вычислять собственные век-
торы, отвечающие всем собственным числам по модулю, рав-
ным 1. Учет лишь одного собственного числа 1 и соответствующе-
го ему собственного вектора дает усредненное распределение. Рас-
смотрим примеры распределения фазовой ошибки.
182
Пример 1. Пусть Д=1/4, СФС с нулевой начальной расстройкой, тогда;
А = 2 (рис. 11.2). Для матрицы
находим собственные числа по модулю, равные 1, Xi,2= ±1.
Асимптотическое распределение цепи с произвольным Чг(0)еС имеет вид
k — четное, k — нечетное,
т. е. окончательно можно записать
т ,, ч ( (а, 0, р, 0), k — четное;
Р (£)
((0, р, 0, q), k — нечетное.
Таким образом, распределение циклически «переходит» с подкласса {1, 3}
на подкласс {2, 4} и обратно. При р=1 (отсутствие шума на входе) класс ре-
куррентных положительных состояний: {2, 3}, распределение сосредоточено на
этом классе, асимптотически периодическое
Р ~ (1) ’
k — четное,
k — нечетное.
Результат совпадает с известным для детермини-
рованных систем [11.9].
При р=7=1/2 (большой уровень шума) рас-
пределение [1121] совпадает с результатом ана-
лиза циклического блуждания [11.10].
Пример 2. Пусть А = 1/4, СФС с нулевой на-
чальной расстройкой, модель с «экранами» [11.3J
(рис. 11 3) В этом случае матрица перехода
Рис. 11.2
183
Если р=/=1, то Р имеет единственное собственное число 1 = 1 по модулю,
равное 1 (непериодическая матрица). Стационарное распределение (существует
при р=/=1) определяется вектором р(+~(0,5<?; 0,5р; 0,5р; 0,5<у). Но при р=1
появляется пара собственных чисел матрицы Р по модулю, равных 1 : 1112 = ±1,
чему соответствует периодический характер вырожденного распределения для
произвольного Т(0)еС	_ __
,,,т	((0, 1, 0, 0), k—нечетное,
р (ky ~
t(0, 0, 1, 0), k—четное.
Здесь можно отметить качественное отличие случаев р=1 и р=^=1 для этой мо-
дели.
Полезными для практики являются выражения для моментов
распределения в зависимости от отношения сигнал/шум на входе
системы синхронизации. Они могут быть получены на основании
(11.18а, б)
2У	2N
Mv = &£iPt,
i=\	i=l
Приведем окончательное выражение для моментов распределе-
ния (11.18а, б) для N четных (нечетных)
А- = —!-----[сгЛу+_!!МШ.)_2ЛГ-?-----
& aN L \	(«+ О2 / а-р 1
__1 1 '
(«+1)2 .
k — четные (нечетные),
1
а"-1
—-----\ — 2N^-----
(а -J- I)2 / а + 1
ф
А
2а И ,	,	.
------- , k — нечетные (четные).
(а+1)2]’
(11.22)
Эти выражения при достаточно больших коэффициентах деления
(;V>5) и а^Ю упрощаются
ЛТф/Л ~ N + (1 + 2/а)~1 для N, k — нечетных (N, k — четных),
7Иф/Д ~N + 2/а (в остальных случаях).	(11.23)
Точные выражения для дисперсии громоздки, поэтому приве-
дем приближенные (точность не менее 1%) при выше указанных
условиях:
Dm	1 Г 8а
_JL — 1 д_______________
А2 — 1	(а+1)2 [ (а — I)2
а2 + 1 '
(«+1)2 .
(для N, k четных,
N, k нечетных),
D 4а Г а2 + 1	а 1
+ = W 11J+T7	(в остальных случаях).
(11.24)
Часто оказывается, что распределение шума на входе — нор-
мальное. Вводя для этого случая отношения сигнал/шум р =
~A2/N0AF, где AF — полоса фильтра на входе системы; No —
184
спектральная плотность шума; А — амплитуда сигнала, и учиты-
вая, что р = Ф(]/гр), где Ф(-) — интеграл вероятности, ид
(11.22—11.24) можно получить графические зависимости (рис.
11.4). На рис. 11.4а приведена зависимость первого момента
Л4Ф/Л—N от отношения сигнал/шум. На рис. 11.46 приведена за-
висимость среднеквадратического значения фазовой ошибки от
отношения сигнал/шум для различных М Пунктиром показаны
результаты, полученные в [11.3]. Можно сделать следующие
выводы:
Рис. 11.4
(/ — для .V, k четных и нечетных одновременно, 2— в остальных случаях)
Среднее значение фазовой ошибки при исчезающе малых шумах:
в каждый тактовый момент времени будет равно ±Д (дискрет
управления).
Дисперсию фазовой ошибки на каждом циклическом подклассе
можно сделать сколь угодно малой, уменьшая дискрет управле-
ния, однако при усреднении за период она также определяется
дискретом управления, что является спецификой цифровых систем.
11.3. Качественное исследование модели ЦСФС
с постоянным интервалом регулирования
при ненулевой начальной расстройке
Продолжим изучение ЦСФС для расстроек, отвечающих ра-
циональным значениям набега разности фаз за период регулирова-
ния, когда простейшая система при воздействии шума на входе*
описывается цепью Маркова. Предварительно приведем ее мате-
матическую модель.
Система ЦСФС первого порядка с релейной характеристикой
фазового дискриминатора при действии на входе аддитивной сме-
си прямоугольного сигнала и широкополосного шума описывается
разностным уравнением (§11.1) для фазовой ошибки
Т (6+ 1) = Т (k)—z (k) + 7 (mod 1)	(11.25)
185-
«с произвольным начальным условием Чг(0), где z(k) =
=Д sign (sign sin 2лЧг (k) + n(k)); Д — параметр системы; n(k)—
последовательность независимых случайных значений с заданным
.распределением F(x); у — набег разности фаз, вызванный на-
чальной расстройкой, за период регулирования.
Предполагая симметричность распределения F(х) относитель-
но нуля, обозначим P{z(n) (п) >>0} = P{z(n) (/г) <
<0}А р, P{z(n)<0/W(n)>0}=P{2(n)>0/W(fi)<0}^ q=\—p.
Введем случайную величину т](/г)=у—z(n) со значениями в
точках у+Д, у—А, имеющую распределение
<Р^(п) = у-Л} = р, .	0	(Р{т)(л) = ?-Д} = р,	„
| Р (Г| (Л) = V + А) = <7,	’	(Р (л (л) = V + А} = р.
Без ограничения общности рассмотрим случай у>0.
Пусть Д, у таковы, что (А—у)/(Д+у) = т!п — простая несо-
кратимая дробь. Обозначим h= (А—у)/т= (Д+у)/п и рассмот-
рим множество дискретных точек на (—0,5; 0,5) вида Сф =
= {Ф^ : Ф&= (Ч1,(0) +khn—rhtn) (modi); г, k = 0, 1, 2, ...}. Пусть
также h таково, что Сф содержит 2N точек. Тогда ЧД/г) при ука-
занных А, у образует на Сф конечную цепь Маркова. Если ввести
нумерацию точек в Сф начиная от —0,5, и обозначить множество
значений Чг(и) с учетом этой нумерации С= {1, 2, 3, ..., 2N}, то
состояния Чг(и) отображаются точками произвольной окружности
с диаграммой переходов, представленной на рис. 11.5. Марковская
цепь (11.25) описывается матрицей вероятностей перехода Р =
= {P(i, j), i, /=1, 2, ..., 27V}, имеющей вид
. . О р о . . .
/ . О рО.
О	0 р
у.
.о д о
• о р о
о 'о р о
до	о р о
и-.
\о •GgUfttt
2N-m IN
О р 0 • • D *N
О д О N+1
(11.26)
Для такой матрицы, как выясняется ниже, не всегда существу-
ет финальное распределение марковской цепи с произвольным
Чг(0)еС, и не всегда асимптотическое распределение совпадает
со стационарным. Поэтому прежде выясним, при каких условиях
множество С образует рекуррентный положительный класс, на
186
котором существует стационарное распределение; при каких усло-
виях существуют циклические подклассы, на которых имеется
асимптотически периодическое распределение, и сколько таких
подклассов; как находить асимптотические распределения во
всех указанных случаях.
В дальнейшем понадобятся некоторые определения [11.8].
Определение 1. Состояние
j^C называется рекуррентным, ес-
ли с вероятностью 1 цепь, исходя
из / через некоторые k шагов, ока-
жется в /.
Определение 2. Состояние
j(=C называется рекуррентным по-
ложительным, если оно рекуррент-
ное и среднее время возвращения в
это состояние конечно.
Определение 3. Состояние ,
!<=С — периодическое с периодом N
t, если Z = HOA{£:Pfe(/, /) >0} >€
>1(НОД{&} — наибольший общий
делитель чисел {k}).
Рассмотрим марковскую цепь с
заданными параметрами т, п, N та-
кими, что НОД{2Л\ n} = dn,
НОД{2ЛГ, m}=dm, и обозначим 1 = п
с матрицей перехода (11.26), отвечающей произвольной рацио-
нальной расстройке и р, q>Q, имеет:
один рекуррентный положительный класс состояний С, если
выполнено условие
t s НОД {2N/dm, 2N/dn, 1} = 1,	(11.27>
Рис. 11.5
+ т. Тогда марковская цепь
/-циклических подклассов состояний, если />'1.
Рассмотрим доказательство указанного свойства марковской цепи.
Для произвольного /еС через k шагов состояние системы с положитель-
ной вероятностью переходит в состояние i (это соотношение будем обозначать
j~i), которое в соответствии с матрицей перехода Р (11.26) представимо в виде
i =
/ + kn,
/ + (k — v) п — v пг,
j—ktn.
v= 1, 2,..., k — 1,
Введем множества целых чисел, удовлетворяющих условиям:
Ку = {k : kn = 0 (mod 2N)}, К2 = {k : km = 0 (mod 2 N)},	1	(1128¥
# = {k : (k— v) n— v m = 0 (mod 2N), v=l, 2,..., k—1}./
Рассмотрим циклические группы целых чисел по сложению по mod2M: {п},
{пг} порядка 2Nfdn и 2NJdm соответственно. Элементы каждой группы обра-
зуют конечные множества, причем 2Nn/dm=0(mod 2N), 2Nm/dn = 0 (mod 2N).
Отсюда следует, что множества Кг, 1—1, 2 определяются кратными числами со-
ответственно 2Nldn, 2Nldm.
Множество чисел К определяется, очевидно, условием kn—vZsO(mod2M)r
v=l, 2, k—1. Учитывая, что п, I — взаимно простые числа, нетрудно полу-
чить, что последние условия удовлетворяются в случаях k=sl или k = su2N при
v=—sv2N, s=il, 2, ..., где и, v— целые числа такие, что vn+ul=l..
187
Поскольку для k из множеств (11.28) Ph(j, /)>0, то в соответствии с
определением периода состояния j получаем, что t=HC)R{2N/dm, 2N/dn,l} яв-
ляется периодом состояния j. Любое состояние /еС является возвратным, при-
чем можно убедиться, что С образует класс существенных состояний, так как
из i~j следует j~i. Так как С—конечное множество, то, как известно, един-
ственными существенными состояниями являются рекуррентные положительные
состояния [11.8].
Класс существенных состояний с периодом t=l является единственным
классом рекуррентных положительных состояний. При f>l класс может быть
разложен на t циклических подклассов [11.8]. На этом доказательство отме-
ченного свойства марковской цепи заканчивается.
Рассмотрим разбиение множества С на подклассы по призна-
ку: любое /еС объявляется принадлежащим подклассу Сг, если
из Pk(j, /)>0 следует, что k==r(modt), где r=0,1, 2,..., t—1. Мно-
жества состояний Cj каждого подкласса определяются Cj = j+{t},
/=0, 1, 2, ..., t—1, где {Z} — циклическая группа чисел по сложе-
нию по mod 2N порядка 2N]t. Теперь, опуская несложное доказа-
тельство, можем описать поведение марковской цепи (11.26) при
/>1. •
При />»1 циклические подклассы состояний марковской цепи
с матрицей (11.26) задаются непересекающимися подмножества-
ми Cj, / = 0, 1, 2, ..., t—1 чисел из С вида Cj = j+{t}. Естественное
упорядочение подклассов в порядке перехода из подкласса в под-
класс за один шаг цепи задается цепочкой для произволь-
ного Сг(= {б?о, Ci, ..., Ct—1} ,	Cr C(r+l)(modt) 6^(r+2)(modt) ~ •••
~ С t r+(t-i)] (modt)~ Сг, при этом период класса С равен t.
Рассмотрим примеры нахождения подклассов и периодов рас-
пределения для СФС с нулевой и ненулевой начальными расстрой-
ками и параметром системы A=l/D, D — произвольное целое
число.
Пример 3. Пусть у = 0 (нулевая расстройка), что соответствует т=п=1.
Имеем, что t—2, С распадается на два смежных подкласса четных Со и нечет-
ных Cj состояний. При этом распределение, определенное на подклассах Со, Ci,
периодическое в соответствии с цепочкой C0~Ci~C0~ ....
Пример 4. Пусть у=/=0 (ненулевая начальная расстройка). Пусть /и=1,
п=2 и N кратное 3, тогда t=3. Цепь имеет три циклических подкласса состоя-
ний: С0={3, 6, 9, .... 3 (2W/3—1)}, Ci = {l, 4, 7, ..., 1+3(2А7/3—1)}, С2={2, 5,
8, ..., 2+3 (2УУ/3—1)}, причем Co~Ci~C2~Co~.... Если N не кратно 3, то
/=1, и цепь имеет один рекуррентный класс состояний С={1, 2. 2N}.
Пример 5. Пусть т=\, п=3, тогда при di=2, и N, .нечетном t=2, цепь
имеет два подкласса четных и нечетных состояний. При di=2 и N, четном £=4,
цепь имеет четыре подкласса: С3- = {/+4, /+8, ..., j+4(N/2—1)}, / = 0, 1, 2, 3.
Перейдем к рассмотрению вырожденной марковской цепи (р =
= 1). Как и в случае р#=1; 0, можно описать предельное множе-
ство состояний цепи при k—^oo и охарактеризовать все возможные
асимптотические движения.
Очевидно, матрице (11.26) при р=1 отвечает множество су-
щественных состояний E={N—m+1, N—т + 2, ..., N, Af+l, ...,
N+ri}, которые для удобства перенумеруем и будем в дальней-
шем считать £={1, 2, ..., т, т+1, ..., т+п}. Для описания асимп-
тотического поведения системы достаточно рассмотреть марков-
188
скую цепь на множестве Е. На этом множестве матрица вероятно-
стей перехода имеет вид
/° • • • • о 1 о . 0\ г
•	• г
•	. о .
*1 п	0 1т
10	о
0 10
\о • • • 0 1 о • • о /1+0?
(11.29)
Введем разбиение Е на классы Е^\ i=G, 1, 2, £(1)={1, 2,	т},
Е^={п—т+1, п—т+2, п}, Е^= {т+1, т+2, ..., п—т}.
Классы Е+, £(2> включают состояния, упорядоченные для любого
/е£<6, /~ie£(2). Кроме того, Е разбивается на подклассы Ег, оп-
ределяемые следующим образом: состояние / принадлежит Ег,
если найдутся целые положительные числа k, г такие, что / =
= т& + г, где r=0, 1, 2, ..., т—1. Тогда имеют место разбиения
E+={Ei, Е2, ..., Ет_j, £0}, £(2)={£(B+l)(modm),	£(R+2)(modm), •••, £й} >
где R определяется условием n = mk + R\ k — целое положитель-
ное, 0<.R^m—1.
Такое разбиение на £(1), i=0, 1, 2 и Er, ir=0, 1, г, ..., т—1 свя-
зано, с одной стороны, с объединением состояний, отвечающих
переходу за один шаг:	При этом £<°) объединяет состоя-
ния, которые система «проскакивает», исходя из £(Д С другой сто-
роны, введение подклассов Ег связано с перемещением j~j—т.
Используя разбиение £ на £(г), Ег, можно показать периодич-
ность марковской цепи с матрицей Р вида (11.29). А именно мар-
ковская цепь с переходной матрицей (11.26) при р=1 и т, п
взаимно простыми числами является асимптотически периодиче-
ской с периодом t = m + n. При доказательстве этого утверждения
(полностью его не приводим) отдельно изучаются два случая:
п—т<.т и п—т>т. В первом случае проверяется, что для лю-
бого начального состояния / из подкласса £г цепь через конечное
число шагов (в силу конечности множества £) попадает в состоя-
ние j^ErtzEW), т. е. имеет место циклическое возвращение состоя-
ния цепи в исходный класс £<^э/.
Покажем периодичность цепи и определим период. Для этого
достаточно рассмотреть /=1е£1 и последовательность упорядо-
ченных состояний: 1~1 + /г~1-|-|£~1-|-7?-|-/г~1-|-2£~1-|-2£-|-
+	... ~ 11 ~ 1. Эту естественно упорядочен-
ную последовательность используем для перенумерации множест-
ва состояний £={1, 2, ..., т, /п+1, ..., т + п.}. Тогда на перенуме-
рованном множестве матрица
189
о 7 О . . . о\ 1
•	•	• \ 7+/?
.	•	• 7+/?
. /7
Q 0 1 /
7 0 • . . . О Г+т
(11.30>
Матрица (11.30) относится к классу периодических матриц
[11.7] и, очевидно, имеет период i = n + m. Во втором случае (ц—
—т>т) класс Е(0) содержит т подклассов Er, r = 0, 1, ..., т—1.
Укрупняя матрицу Р по подклассам класса Е<°\ нетрудно пока-
зать, что она относится к классу периодических матриц [11.7].
Движение в цепи, описываемой такой матрицей, происходит так,
что из любого /е£гс1Е(Д z = 0, 1, 2 цепь последовательно прохо-
дит по классам £(г+1)(тоаз), £(г+2)(тоаз), причем, как и в предыду-
щем случае, можно показать, что последовательные состояния в
классе Е^ опять образуют последовательность /~...~(/ +
+7?) (modm) ~	~ (/ + 27?) (modm) ~ ... ~ (/ + v7?) (modm) ~ ..
Период цепи, отвечающей (11.32), определяется выражением
Z = 2m+(&—+ где 2т — время пребывания в классах Е^\
Е<2) за цикл (возвращение в исходное состояние); (k——
время пребывания в классе Е<°) за цикл. Поскольку n=km-rR, то-
получаем t= (k+\)m+R=n+m.
Пример 6. Пусть /71=1, п=2. Класс существенных состояний"
E={N, Y+1, УУ+2}, остальные состояния несущественные. Период цепи/=3.
Последовательные состояния образуют цепочку JV~./V-|-2~N-|-1	...
(сравнить с примером 4).
Пример 7. Пусть т = 2, п~3. Классы E={N—1, N, N+l, N+2, УУ+З},
£(1) = {JV—1, TV}, Е&= {N+2, N+3}, £(0)={Л^+1}, период цепи t=5. Цепочка
последовательных состояний N~N+3~N+\ ~N—1 ~УУ+2~Д7~...
11.4. Асимптотическое распределение марковской цепи
Распределение при 7=1.
При t= 1 (один рекуррентный положительный класс состоя-
ний) значение 7=1 является единственным собственным числом
матрицы Р (11.26) по модулю, равным 1 [11.8]. Пользуясь изве-
стным представлением асимптотического распределения конечной
марковской цепи [11.10], приходим к следующему результату:
асимптотическое по k распределение марковской цепи (11.26) при
произвольном Чг(0)еС и т, п, N, удовлетворяющих условиям,
при которых 7=1, определяется столбцами матрицы
P*~cXYT,	(11.31)
где X, Y — собственные векторы матрицы Р, Рг (индекс Т —
транспонирование), отвечающие собственному числу 7=1; с-1 =
= (X, Y) — нормирующий множитель, определяемый скалярным
произведением собственных векторов.
190
Непосредственной проверкой можно убедиться, что для матри-
цы (11.26) Хг={1, 1,	1} и поэтому Pn~c{Y, Y, Y}, т. е.
асимптотическое распределение марковской цепи может быть за-
писано в виде
p(k)=c\,	(11.32)
2W
где сг1 = 2 уi, yi — элементы вектора Y.
i=l
Таким образом, практическое нахождение распределения сво-
дится к алгебраической задаче нахождения собственного вектора
матрицы для Х=1. Это использовалось при исследовании ЦСФС
на ЭЦВМ [11.2]. Однако учитывая некоторую регулярность струк-
туры матрицы Р, можно найти общее аналитическое решение дан-
ной задачи, так как нахождение Y сводится к решению рекуррент-
ных алгебраических уравнений с определенными граничными ус-
ловиями.
Пример 8. Пусть mln=(N—\)/N, что соответствует большой начальной
расстройке (у— 1), N — произвольное целое положительное число. Матрица
О • • О р I/O , • О\
• О р q 0	. \
. О
О	0 р q
р О	О q
q р О	О
О .
\О • О q р О • • • О[
(11.33)
Имеем /=1. Собственный вектор Y матрицы Р (опуская подробности вы-
числений) имеет компоненты
У1 — Я2 Ci (1 + аР^ 2) 4~ б2 q (1 + р) + 72>
У2= — Cl аР + ^2 >
Уз = — Cl аР2 + ,
Vn—1 = —Cl аР^ 2
Уы ~ Я Н- Р Cl Р^ 2 -1_Х'2 >
yk = C1ak + С2, k = N + 1..........2	М,
где а = р/7, 0 = pq/(pq~ 1) ; Ct = Р (а — 1)/[1 + (<?/p)PV ] '>
С2 = (1+ Р^)/(1 + (я/p)
Стационарное распределение определяется нормированным вектором Y.
P = cY, где с-1 = 1 4-Са (2 Y — 2)-j-Cj (1 — Р^—1) (1 — аР)/(1 — Р)-р
4-9СЦ1- p7V-2a)4-2L/C2.
191
Частные случаи
а)<7« 1 ; ₽= -q + 0(q),a-i =q + O(q),C1 = q + O(q), Са = 1 + 0 (?) с-1 =
= 2N — р+ 3q.
Стационарное распределение:
Р1 = 2с?, р2 = с(1 +<?). Рз = с(1 — ?2)..
?N—1 = с (1 ~ ~ l)7^-2 qN~2),Pu = с (1— ( — l)7^-2 qN~~X),
+ q),PN+2 = c(l — q2),PN+3 = c(l-j-?3), . . . ,
PiN—i = c (i + (— 0^ 2 qN 1) > p%n = c-
6) p = q = 1/2, ^ = 0, C2= 1, c-1 = 2N, 0= — 1/3.
Стационарное распределение: pk = 0,5N, k = 1,2, . . . , 2N.
Распределение при />1. Пусть в задании матрицы Р общего
вида (11.26) числа т, п, N удовлетворяют условиям, при которых
/>1. Обозначим <0г‘, t=l, 2, ..., /—1 — корни степени t из 1. Так
как при />»1 Р является циклической матрицей (см. § 11.3), для
которой значения 1, 0, 02, .... О^1 являются единственными, равны-
ми по модулю 1, собственными числами, то с учетом общего пред-
ставления асимптотических распределений конечных марковских
цепей [11.8] приходим к результату: асимптотическое распределе-
ние марковской цепи, отвечающей матрице перехода (11.26), при
/>>1 и произвольном Чг(0)еС определяется столбцами матрицы
t—i
рп~п + £ cfx(/>Y6)7’en\	(и.34)
i=i
где П = сХУг, X, — собственные векторы матрицы Р, соответ-
ствующие собственным числам 1, 0г; Y, Y^ — собственные векто-
ры матрицы Рг, 1=1, 2, ..., t—1; с-1=(Х, Y); а~{= (Х6), Y<0). От-
сюда следует, что при />» 1 существует среднее предельное рас-
пределение марковской цепи, определяемое столбцами матрицы
— 1 « ~
P = lim—2 Рп. Очевидно, Р = П, т. е. среднее предельное распре-
n—oo п k—1
деление определяется собственным вектором Y, соответствующим
Z= 1 матрицы Рг.
Заметим, что нахождение асимптотического распределения для
марковской цепи (11.26) в случае Z>»1 сводится к решению задач
отыскания собственных векторов матрицы Р для собственных чи-
сел 0i (для Х=1 решение таких задач иллюстрировалось выше).
Здесь ограничимся простейшим примером.
Пример 9. Пусть m/n=l/2, t=3 (здесь может быть только два случая:
/=1; 3), р=?=1/2. Имеем М,2,зд1, 0, О2, 0 = /12л/3. Собственные векторы пере-
ходной матрицы:
Хг = (1,1, . . . ,1),
ХЙ)Т = (0, 1,02, 0, 1 , . . . , 02),
Х(2)? = (02, 1,0, 02, 1, . • .,0),
192
У7 = (1,1, . • .,1),
у!’)7" = (0, 02> 1 ( 0; 02.!),
у(2)г = (02) 0( 1( 02( 0( . . ,(1).
Асимптотическое распределение определяется столбцами матрицы с элемент
тами
pfe. 1
(l,l>	2N
Hl/A)cos (Л+ / — О (2 л/3), i = 1,4,7..2 А —2,
'(»,/) = Л + (HAOeos^-H + i) (2n/3),i = 2,5,8, . . . ,2А-1,
2 N
(1/А) cos (£-{-/) (2л/3), i = 3,6, .
(11.35)
. , 2А.
Очевидно, распределение (11.35) периодическое, сосредоточено на каждом
из трсх подклассов состояний: С0={3), Ci=l+{3}, С2 = 2+{3}, где {3} — цик-
лическая группа по сложению порядка 2Nf3.
Анализ простейшей ЦСФС с учетом действующих на ее входе
шумов показывает, что условия существования финального рас-
пределения выполняются не всегда. При нулевой начальной рас-
стройке имеет место асимптотически периодическое распределение
с периодом £=2. При расстройке, соответствующей рационально-
му значению фазового набега за период регулирования, также
имеет место периодичность.
11.5.	Асимптотические распределения фазовой ошибки
для моделей ЦСФС с постоянным и переменным
интервалами регулирования
Приведенные в § 11.1 рекуррентные уравнения (11.11), (11.12),
описывающие поведение фазовой ошибки, позволяют подойти к ис-
следованию ЦСФС с постоянными и переменными интервалами
регулирования в рамках одной стохастической модели. Для си-
стем с постоянным и переменным интервалами регулирования
уравнения соответственно имеют вид
V (Л + 1) = Т(Л) + у— (1/D) (mod 1),	(И,36а)
V (Л + 1) = Т (k) + у— [(1 + y)/D] (mod 1),	(11,36б>
где у= (ю—ю>о)/о>, (—l/D^y^l/D) — для (11.36а); (—1/В-+-
+ Ц^У^1/(Ц—1) для (11.366); D — целое число; тн (&К
пк) — последовательность независимых случайных величин, рас-
пределение которых зависит от (k);
(1,р при ¥ (Л) > 0 (q = 1—р при Т(Л)<0),
I—1, q при	при ЧЦЛ)<;0),
для у рациональных чисел объединяются в одной модели
Ч'(й+1) = ’Г(А) + Д(Тн+чй)(то<11),	(11.37)
где А, ун — рациональные числа (определяются параметрами у»
D исходных уравнений). Очевидно, для у рациональных парамет-
ры А, ун есть рациональные числа вида /\=r/s, yn=t/r.
7—1156	' 193
Состояния модели (11.37) отображаются точками окружности
единичной длины. Уравнение (11.37) задает случайное блуждание
.на точках этой окружности. Нетрудно показать, что при Л, ун
рациональных числах множество состояний модели — конечное,
содержит N э элементов. Для у = а/|3 (а, |3 — целые числа) N
определяется выражением
M3 = ₽D/(0D, Л),	(11.38)
где (н, у) — НОД чисел и, v,
[(fr-haD, p — aD) для (11.36a),
l(p4-aD4-a, p—aD + a) для (11.366).
-Если ввести обозначения
n = (p + aD)//i, m~(aD — $)/h для (11.36а),
n = (P + aD4-a)//i, m = (P — aD + a)//i для (11.366),
тогда любая из рассматриваемых моделей есть случайное блужда-
ние на элементах множества Су={1, 2, ..., 2V3} точек, расположен-
ных равномерно на окружности, с шагами п, т (см. рис. 11.5).
Указанное соответствие позволяет применить общие результа-
ты качественного анализа модели случайного блуждания § 11.3 и
метод вычисления асимптотического распределения фазовой ошиб-
ки § 11.4 к обеим рассматриваемым моделям.
Рассмотрим основные результаты качественного анализа моде-
лей. Применяя изложенное в § 11.3 к моделям (11.36), нетрудно
доказать следующие утверждения.
1.	Марковская цепь, отвечающая модели (11.36а) при р, qZ>Q
si произвольной рациональной начальной расстройке у, имеет t =
= т + п циклических подклассов состояний.
2.	Модели (11.36а) при отсутствии шума на входе отвечает вы-
рожденная марковская цепь (р=1), которая при у рациональных
является асимптотически периодической с периодом t=m + n.
3.	Марковская цепь, отвечающая модели (11.366) при р, д>-0
и произвольной рациональной начальной расстройке у, имеет либо
один рекуррентный положительный класс состояний CN (при / =
= 1), либо два циклических подкласса (при t=2).
4.	Марковская цепь, отвечающая модели (11.366) при р=1
(детерминированная модель) и произвольной рациональной на-
чальной расстройке у, является асимптотически периодической с
периодом t=m + n, либо 2(m + n)modAf (в зависимости от то-
го, какое неравенство выполняется: n^N 3/2).
Утверждения 1; 3 непосредственно вытекают из данного в
§11.3 определения периода марковской цепи. Для этого в (11.27;
необходимо N3, N3/dn, N3fdm выразить через т, п, определен-
ные в (11.41), и использовать тот факт, что числа т, п взаимно
простые. Доказательство последнего утверждения для детермини-
рованной модели сводится к случаю, рассмотренному в § 14.3. По-
лезно отметить, что в модели (11.366) период марковских цепей
194
(стохастическая модель) может не совпадать с периодом детер-
минированной модели (вырожденная марковская цепь).
Пример 10. Пусть а=1, [3 = 4, D = 4 Имеем Ng = 16, т=1, л=9. Класс
существенных состояний вырожденной марковской цепи £={1, 8, 9, 10} с мат-
рицей вероятностей перехода на этом классе
(0 0 0 1\
1 0 0 0 ]
0 10 0 1
0 0 10/
Очевидно, период детерминированной модели /det = 4. Для найденных т, п зна-
чение /det определяется также выражением /det = 2(m+п) (mod 16). Диаграмма
переходов в этой цепи в асимптотическом режиме приведена на рис. 11.6. В т®
же время стохастическая модель, как можно показать, образует марковску»
цепь с периодом /=1
1 2 Ъ Ц 5 6 7 ЯП™ 7516 7
Рис. 11.6
Рис. 11.7
Пример 11. Пусть а=— 1, [3 = 4, £>=2 Имеем N э=8, т = 5, п—1. Детерми-
нированная модель имеет класс существенных состояний Е= {3, 4, 5, 8} с диаг-
раммой переходов, изображенной на рис. 11.7, отвечающей матрице вероятнос-
тей переходов на Е
/ 0	1	0	0\
рТ	/ 0	0	10]
Б	I 0	0	0	1 I
\1	0	0	0/
Очевидно, /det = 4 (здесь /det =5^т+п). Стохастическая модель имеет матрицу
вероятностей переходов
10 р 0 q О . . О\
р Оq О • •
• О р О q 0 •
• 0 р О q О
О 0 q 0 р
р о о д о
О р О Од
\д О р О • • • 0[
Пользуясь определением периода стохастической матрицы [11.8], нетрудно ус-
тановить, что /=НОД{&: Ph(i, i)>0}=2 (т. е. /=/=/det).
Пример 12. Пусть а= I, 0=5, D—4. Имеем Л/=10, т=1, п=5. Класс су-
щественных состояний £'={5, 6, 7, 8, 9, 10} с матрицей вероятностей переходов»
на нем
10 . .
7 /7,
0'1 О
0 1
О
=#=
И
1.95
По виду матрицы, очевидно, /det=6. (Здесь имеет место равенство /det = m+«.)
Нетрудно проверить, что стохастическая модель отвечает марковской цепи с пе-
риодом t = 2.
Перейдем к распределению вероятностей в рассматриваемых
моделях. Асимптотические распределения для моделей (11.36) мо-
гут быть получены из общих результатов § 11.4. Как следствие
этих результатов, формулируются следующие утверждения.
Асимптотическое распределение марковской цепи модели
(11.36а) с переходной матрицей Р и произвольным начальным со-
стоянием 4^(0)является периодическим, определенным векто-
рами
сХ +	v = 0,	(11.40)
i=l
тде7 = т + и (здесь всегда Z>1). Среднее предельное распределе-
ние марковской цепи определяется выражением
Р = сХ.	(11.41)
Асимптотическое распределение марковской цепи модели
(11.366) с переходной матрицей Р и произвольным начальным со-
стоянием Т(0)^См совпадает со стационарным вектором сХ, если
/=1, и является периодическим, задаваемым векторами
cX + d ^X(i> , v = 0,l, если / = 2.
Рассмотренные выше результаты качественного анализа и свойст-
ва асимптотических распределений обеих моделей проиллюстри-
руем конкретным примером.
Пример 13. Пусть mln=\[2. Тогда, учитывая определение t, здесь воз-
можны два случая: t= 1 — соответствует модели (11.366), /=3 — модели
(11.36а).
Случай /=1. Собственный вектор X матрицы Р для Х=1 определяется
решением рекуррентных уравнений
/>хй-хь+1 + ,хй+3 = 0,	|	()142)
4xN-t-li ~xN+k+2 + PxN+k+$ = 0.^=1.2.......N 3,N3=2N, I
с граничными условиями
QX1 — X2N	2 = 0 >
qx2~ xt + qx2N_\ =°>
9xs-x2+,x =0. _	(H43)
PXN—2 ~ XN + PxN+\ — ° ’
PxN—\ ~ XN+\ + PxN+2 = 0 ’
PXN ~~ XN+2 + PXN-\-'i : ° •	i
Общее решение (11.43) имеет вид
з	з
xk =	,xN+k	>k = 1’2’ • • -.A. гдеа1 = р1=1,а2 3 =
i=l	i=l
= (p/2 g) (1 ± 1/1 + 4</7p),
196
₽2,з=(?/2р)(1	\+4p/q)—корни характеристических уравнений системы
(1’1.42); Аг, Вг, i=l, 2, 3 — постоянные, определяемые из граничных условий
(11.43). Асимптотическое распределение марковской цепи задается вектором
рТ = с [Лх + А2 а2 + А3 а|], k = О ; с + В2 &N~k -f- B&3N~k ],
k = N+ 1,2N,
(11.44)
где с — постоянная, определяемая из условий нормировки.
Случай t=3. Определяя, как и для случая 7=1, собственные векторы Х(1)
для Х1,2,з=1, 0, 02, 0 = г12л/3, получаем периодическое распределение
2 л ________-
= (рЖ с [4х + А2 а‘ + 43а‘] cos (/ + v) — , j = 1 ,N,
О
2 jc	__
+	+В8р8^ Jcos(/ +v)— ,/=A+l,2A,v = 0,l,2).
О
(11.45)
Моменты распределений находятся на основании распределения (11.44) для
модели (11.366), и для модели (11.36а) его можно рассматривать как усреднен-
ное за период t распределение (11.41).
В предположении большого отношения сигнал/шум (случай малого отноше-
ния сигнал/шум рассмотрен в § 11.4), решая (11.43), получаем следующие выра-
жения для распределения (11.44):
/ ) *
Pi = с (q/p -j- q (1 -f- qp) + р 2 (p/q)	2 (p/q)' J , i=2,4....N—\,
r	_^±L J
Pi = c [q/p+(Д + qp)p2 (p/q)	2 (p/q)' / , i = 1 ,3.N,
f 7V+1	_ 2fe+1
Pf = c I <7 (p/?) 2 (p/q)	2 )	, i = A +
±2k — 1,
I	и
Pi = c 1(1 + q/р) (p/q)	(P/q) J ,
N 4- 1
k= 1,2..... —, i = NA-2k.
2	T
(11.46)
Используя (11.46), получаем приближенное выражение для моментов
г _ п д_	2 я Л । ? С1 + Ч)2 +	\	п	- — /3<1	+ УР)-Р2	\
Ф +	+(Р-?) (2р+1)?	’ ф №Э\	2р+1	j’
(1.47)
где N3 определяется (11.38). Для модели (11.366) имеем N3 =3D— 1 или
(3£>—1)/2, для модели (11.36а) имеем N Э=ЗИ либо 3D/2 в зависимости от D.
Из (11.47) видно, что при фиксированном N$ (фиксированном коэффициенте
деления D) математическое ожидание Л4ф ->л+2л/Аэ , a D /(2л/ЛА)2
* р—00	d	Ф	d Р—00
“*2/3. Для модели (11.366) это означает следующее: при увеличении отноше-
ния сигнал/шум состояния системы независимо от точки выхода Чт(0)еСх
197
стягиваются к классу существенных состояний E={N, 7V+1, W+2} вырожден-
ной марковской цепи с матрицей вероятностей переходов на этом классе
/О 1 0\
РI = ( 0 0 1 .
\1 О О/
Для модели (11.36а) на каждом подклассе состояний дисперсия стремится к
нулю, а поскольку рассматривается распределение, усредненное за период t=3,
также Дф /(гл/Л^)8^ ->2/3.
11.6. Стационарные и периодические режимы
в моделях ЦСФС
Рассмотрим некоторые качественные отличия дискретных си-
стем синхронизации от непрерывных на примере системы первого
порядка.
Цифровая СФС первого порядка без фильтра описывается
(см. § 11.5) рекуррентным уравнением для координаты системы
¥(&) = ¥(&— l)4-? + /(V(^— 1), n(#)(modl), k=\, 2, . . . (11.48)
iде n(k) — последовательность независимых случайных величин
с распределением iF(x); у — обобщенная начальная расстройка
Чг(0)=х — произвольное начальное условие; ЦТ, п) — периоди-
ческая по Т функция.
В фазовых системах Т(k) отображается точками окружности
единичной длины. В известной модели ЦСФС первого порядка
уравнению (11.48) отвечает цепь Маркова на конечном множестве
С точек окружности (при нулевой и рациональных расстройках).
Расположение С на окружности в общем случае зависит от х, но
число элементов в С определяется только параметрами системы.
Матрица вероятностей переходов может быть как регулярной, так
и нерегулярной.
Задачи анализа модели связаны с изучением свойств W(k, х)
решения (11.48) при больших k или свойств распределений соот-
ветствующей марковской цепи (или семейства марковских цепей
[11.12]). В известных работах, относящихся к анализу ЦСФС,
обычно ограничиваются отысканием стационарных распределений
в системе [11.12, 11.13]. Однако часто бывает необходимо выяс-
нить условия существования стационарного режима, исследова-
ние возможных режимов в случаях, когда стационарный — невоз-
можен. Эти вопросы могут быть разрешены в рамках отыскания
асимптотических распределений марковских цепей (семейств).
Следует заметить, что практические задачи обычно связаны с тре-
бованием независимости асимптотических распределений от на-
чального распределения р(0), взятого из некоторого класса рас-
пределений [11.13, 11.15] или от х — точки «выхода» [11.13].
Действительно, установление факта существования стационарно-
го распределения в системе еще не гарантирует сходимости ре-
шения соответствующего уравнения по распределению к стацио-
нарному при произвольном р(0) или х. Поскольку р(0) их не
198
бывают точно известны при исследовании динамических систем,
проблема нахождения условий существования устойчивых к на-
чальным условиям стационарных (или периодических) режимов
приобретает практическое значение.
Приведем результаты изучения асимптотических свойств рас-
пределений марковских моделей ЦСФС [11.19]. Последующее из-
ложено для общей модели случайного блуждания на конечном
множестве С, которое для удобства использования результатов
представим в виде С={1, 2, ..., 2N}. Отвечающая модели марков-
ская цепь имеет однородную матрицу вероятности перехода Р,
произвольную начальную точку хеС или начальное распределе-
ние р(0) из некоторого класса распределений на С.
Если интересоваться устойчивыми стационарными распреде-
лениями в модели (в смысле равномерной сходимости p(k, х)
или $(k) к стационарному вектору р, [11.19]), то критерий суще-
ствования этих распределений известен [11.16]. При этом суще-
ственна регулярность матрицы Р. Поскольку в рассматриваемых
моделях ЦСФС встречаются нерегулярные матрицы Р, то можно
описать устойчивые распределения в этом случае. Здесь прихо-
дится вводить периодические (с периодом /) распределения
p(r), r = 0, 1, ..., t—1 для класса С и устойчивые периодические
распределения [11.19]. Устойчивость понимается в смысле равно-
мерной сходимости p(k, х) или p(k) по k при произвольном
х^С или р(0) из некоторого класса распределений.
t—1
Пусть С= U Сг, Ci — непересекающиеся подклассы, и на-
t=0
чальное распределение р = 0 порождает меру л=(лг-, t = 0, 1, ...,
t—1) на множестве подклассов. Будем относить р(0) к классам
распределений: а) К\, если Лг=п? для всех i, j = 0, 1, ..., t—1;
б) Kt, если найдется такое г,	—1, что	для всех
j=/=r; в) если для всех i, j таких, что i=j(mod d), но
для j (mod. d), причехм d—делитель t(d>\).
Для Р нерегулярных, т. е. принадлежащих классу периодичес-
ких матриц, дадим описание всех устойчивых распределений мар-
ковской цепи. Устойчивые (стационарные, периодические) распре-
деления марковской цепи определяются векторами:
р = сХ, если Р — регулярна, а также если Р — периодическая
и при этом p(0)e/G;
^>=сХ+2 с,[£
1/=1
Х(0,
если Р — периодическая с периодом t и p(0)e/Q, г—0, 1, ...,
/—1;
Kt—1	d— 1
м<'> = сХ+ 2	«с(Х«>£л,М+/+г. Г = О,1... /-1,
HW=0(modd)	/=0
если Р — периодическая с периодом t и p(0)e/Cd.
199
Для семейства марковских цепей устойчивые распределения
определяются векторами: сХ, если Р — регулярна;	сХ +
t—i
+ 2 сг№гХ<.г\ где v = 0, 1,	t—1, если Р — периодическая с
i=i
периодом t.
Приведенные выше распределения следуют из асимптотических
выражений для Pfe и рассмотрения ^предельных точек последова-
тельности p(£) = Pftp(0) для р(0) e/Ci, Kt, Kd (или последователь-
ности p(k, х) в случае семейства). Заметим, что устойчивое ста-
ционарное распределение при t> 1 и р(0) е/ц совпадает со сред-
ним предельным распределением [11.16] цепи. Учитывая сказан-
ное, найдем асимптотическое распределение фазовой ошибки в
модели (11.25) ЦСФС первого порядка с релейной характеристи-
кой фазового дискриминатора.
В случае у=0 (11.25) описывает циклическое случайное блуж-
дание по точкам окружности (см. § 11.2) с однородной матрицей
перехода (11.14). Как отмечалось выше, Р — периодическая
/=2, С0={2, 4, ..., 2N}, Ci = {l, 3, ..., 2N—1} — циклические .под-
классы. Все собственные числа матрицы Р по модулю, равные 1,
i,-—
есть значения у 1, т. е. Х1>2=±1. Рассмотрим асимптотические
распределения для семейства, отвечающего (11.25), и для марков-
ской цепи, отвечающей (11.25) и произвольному начальному рас-
пределению р(0) на С из некоторого класса распределений
К=Кх, Kt.
Теперь легко установить, что семейство марковских цепей с
матрицей Р вида (11.26) и произвольной точкой «выхода» х имеет
устойчивое периодическое распределение с периодом t = 2. Решая
задачу нахождения собственных векторов матрицы для М,2=±1,
приходим окончательно к явному выражению для векторов пери-
одического распределения |и(0), ц(1) соответственно определяе-
мых выражениями (11.18). Указанные распределения циклически
переходят с подкласса Со на подкласс Ci и обратно.
Марковская цепь с матрицей Р вида (11.26) при произвольном
начальном распределении р(0) из класса Ki (напомним, что этот
класс распределений порождает вероятностную меру на
Со, С1:л(1/2, 1/2)) имеет устойчивое стационарное .распределе-
ние
Мг=4~	(£/#’•••’(рА7)а'-1’	Plq> 1),
2 1 — (p/q)
(11.49)
причем |и, как нетрудно проверить, совпадает со средним предель-
ным распределением (см. определение в [11.16]) р = 0,5 (|и(1) + |и(0)).
Заметим, что (11.49) совпадает со стационарным распределением,
найденным в [11.3] при анализе ЦСФС с нулевой начальной рас-
стройкой. Условия, сформулированные выше, определяют ограни-
чения на использование модели, принятой в [11.3]. К этому же
следует добавить ограничение, связанное с возможностью анализа
в такой модели только при у = 0.
200
Пусть теперь p(O)GE/Q, л== Тогда марковская цепь имеет
\ло/
устойчивое периодическое распределение с / = 2
М,о,= -‘- I-Tm)" (Х + (я1-я»)Х(1>)'	(11.50)
где
Хг = (1, p/q, (plq)2,..., (plq)N~\ (plq)*~\ Plq, 1),
х(1)Г = (—i, Plq, —(p/q)2,..., — (—p/q~)N~x, (—p/q)N~x,..., —p/qA)-
Рассмотрим некоторые частные случаи.
При вырожденной марковской цепи (р=1) семейство имеет
устойчивое периодическое распределение (вырожденное),
^0,= (бг;2У, 1=ГЖ, р(1)=(бг^+1, t=TT2jV), где
6 . = I !’ *=/’
11	10, i^j.
При р(О)е7(о вырожденная марковская цепь имеет на С ус-
тойчивое стационарное распределение рт= (0,	0, 1/2, 1/2, 0,
..., 0) и при р(0) e/G, л = (Л11 имеет на С устойчивое периодичес-
\^о/	_____ ______________________
кое распределение р(1) = Л1 (6г,к+1, 1=1, 2N), p(0)=n0(6i^, i=l, 2N).
В другом частном случае p = q=\!2 (исчезающе малое отноше-
ние сигнал/шум на входе системы) для семейства имеем устойчи-
вое периодическое распределение, равномерное на подклассах
и(1)т= (1/jV) (1, 0, 1, ..., 0),	p(°)T=(l/jV)(0, 1, 0,	1). Если
р(О)е/Со, для марковской цепи имеем устойчивое стационарное
распределение рт= (1/27V) (1, 1, ..., 1), и если p(O)<=/Q — устой-
чивое периодическое распределение (t = 2)
м’1’ = -И- [X+ (Яо - Я1) х W], |Л<»> = -±- [X + (Я1-Я„) Х<»],
где Хт = (1, 1,..., 1), XWT ^(—1, 1, —1, ..., 1).
Перейдем к рассмотрению распределений фазовой ошибки
ЦСФС при рациональных значениях у. Пусть А, у таковы, что
(А—у)/(А+у) = mfn— простая несократимая дробь. Тогда (k)
(11.25) принадлежат конечному множеству С точек окружности
и образуют конечную цепь Маркова с матрицей перехода (11.26).
При этом состояния множества С образуют либо один рекуррент-
ный положительный класс состояний, либо t циклических подклас-
сов, если /> 1, и тогда для семейства марковских цепей распреде-
ление последовательно сосредоточено на подклассах Ct = i+ {t},
{0 — циклическая группа целых чисел по сложению по mod 2N
порядка 2N/t с периодом t: Cr~ C(r+i)(mOd о ~ C(r+2)(mod ~
~ C(r+(t—l))(mod t) ~ Сг (СМ. § 11.3, 11.4).
201
Асимптотические распределения марковской цепи (семейства)
определены выше. Заметим, что семейство марковских цепей при
/>1 всегда имеет устойчивое периодическое распределение с пе-
риодом t. В то же время марковская цепь в зависимости от клас-
са начальных распределений может иметь устойчивое стационар-
ное, устойчивое периодическое распределения (с периодом t или
d, если t — не простое число).
Процедура нахождения асимптотических распределений (см.
§ 11.4) поясняется следующим примером.
Пример 14. mln=\l2, N— произвольное целое положительное число.
Здесь возможны два случая: /=1; 3.
Случай ^=1. Собственный вектор X матрицы Р для Х=1 определяется ре-
шением рекуррентных уравнений
- xfe+2 + 9xft+3 = 0, qxN+k - xN+k_2 + pxN+k+3. k~\,2,...,N - 3
(11.51)
с граничными условиями
qXi — %2Л/ + ^2Л'-2 = 0 -	~ XK + Г*Л'+ 1 = 0 >
qx2' Xj-f-<7x2jv—i —OiPXjv—i хлч1 4~ Т^Л'4-2 ==^>	(11.52)
. qx3  x2 + <7Х2Лг = 0, рхл,	xA4-2 4" PxN-{-3 = •
Общее решение (11.51)
з	з
xk =	Bf fjk , k — 1, 2, . . . , N,	(11.53)
i=l	i=l
где ai = pi = l, а2,з=(р/2<7)(1± Vl+4<7/p), р2,з= (ql%p) (1 ± V 1 +4 plq) — корни
характеристических уравнений системы (11.51); At, Вг, 1=1, 2, 3 — постоянные,
определяемые из граничных условий (11.52).
Устойчивое стационарное распределение марковской цепи (при p(O)eKi)
или семейства задается вектором
РТ = (с Mi + Л a2 + Аз аз], k = 1 ,N ; с [Bi+Baf^ k + ВдРз^ k ],
k = N-\-l,2N,	(11.54)
где С — постоянная, определяемая условием нормировки распределения.
Случай t=3. Определяя, как и выше для 7=1, собственные векторы
Х<’>, i=l, 2, матрицы Р, приходим к следующему.
1)	семейство марковских цепей имеет устойчивое периодическое (период
2л ---------------------------------------------------------------
7=3) распределение ц'т)= (ра; + 2с[Д1+Д2а-;2+^з«-;з] cos(t'+v) у , /=1, У; р,=
2 л -------------------------------------------------
= 2c[Bi + B2a2JV_j + B3a3JV-J] cos (j + v) — ,j = 7V+l, 27V), v = О, 1, 2;
2)	марковская цепь имеет устойчивое стационарное распределение (11.54),
если р(0)еК1, и устойчивое периодическое распределение цЛ’’ = (pj + 2c[4i +
2	2л	------
+Л2(Р2 + Л3(Р3] 2 n(fe + v )(mod3)COs (/+#) ~~~ , J=l, TV; pj+2с[В1 + В2р2^—+
k=o	3
2	2л	------
+ B3PJV—J] S Л(й+у )(mod3) cos(/+£) ду, J = 7V +1, 27V), если p(0)eKt,
k=o	3
(JTj \
л2 j , где pj — координаты вектора ц (11.54), v = 0, 1, 2.
л3 /
202
11.7. Срыв синхронизации в системе ЦСФС первого порядка
Как указывалось (см. гл. 1), наряду с рассмотренными выше
вопросами качественного анализа цифровых систем фазовой син-
хронизации и нахождения распределений фазовых координат воз-
никает, как и в непрерывных СФС (см. гл. 5), необходимость
изучения вероятностных задач срыва синхронизации. С техничес-
кой точки зрения к срыву синхронизации относят явления, свя-
занные с «заметными» нарушениями синхронного (точнее следует
сказать квазисинхронного) режима работы системы. Вероятност-
ный анализ таких явлений, учитывающий различные критерии
срыва синхронизации, определяет содержание задач срыва син-
хронизации.
В дискретных (цифровых) системах ЦСФС срыв синхрониза-
ции обычно связывают с достижением марковской последова-
тельности, описывающей фазовую ошибку в системе, границ, ко-
торые условно определяют область нарушения синхронного режи-
ма [11.3, 11.17]. Известно небольшое число работ, посвященных
анализу срыва синхронизации в моделях ЦСФС первого поряд-
ка [11.3, 11.11]. Полученные результаты ограничены условиями:
1) рассматривается нулевая начальная расстройка), 2) срыв син-
хронизации трактуется как событие, связанное с достижением
фиксированных границ ±л независимо от точки «выхода» (на-
чального состояния) системы.
Рассмотрим задачу срыва для модели (11.25). Законченные
результаты приведем для частного случая — нулевой начальной
расстройки. Однако используемый метод решения применим и в
более общем случае произвольной рациональной расстройки, хотя
получение аналитических результатов при этом усложняется. В
отличие от указанных выше работ срыв синхронизации здесь свя-
зывается так же, как и для непрерывных систем ФАПЧ (см. гл.
5), с совершением «цикла» в случайном блуждании на окружно-
сти, т. е. с первым моментом достижения фазовой траекторией
значений x±iN3 для произвольной точки «выхода» х последова-
тельности ЧЦя) из множества существенных состояний детерми-
нированной модели (модели, описывающей ЦСФС в отсутствие
случайных входных воздействий). Заметим, что в рассматривае-
мых системах в отсутствие шума фазовая траектория периодиче-
ски (для рациональных или нулевых начальных расстройках) про-
ходит все существенные состояния, т. е. система не имеет един-
ственного состояния равновесия.
Изложим метод решения задачи срыва [11.18]. Рассмотрим
модель цифровой (дискретной) СФС (11.13) с начальным усло-
вием хо = у. При рациональных начальных расстройках состояния
'F (я) =Чг(/2, у} принадлежат конечному множеству Су, которому
ставится в соответствие множество С={1, 2, ..., Мэ}- С любым
фиксированным состоянием хеС свяжем «расширенное» множе-
ство С(х) А {х—i/V9, х—А/э + 1, ..., х, х+1, ..., x + N3 }. Модели
(11.13) соответствует случайное блуждание W(n) на С(х) с мат-
203
рицей Р(х) вероятностей переходов (матрица приводится для
у = 0, x=\N, где iN — состояние из множества {N, N+1} — сущест-
венных состояний при нулевой начальной расстройке).
Введем случайный момент первого достижения границ x±Nd по-
следовательности гР (п)у) Ty(x)=min {п :	у) =x±;Nэ).
Вектор, составленный из характеристических функций и(Л) =
= {иу(Х) =МУХ Хту , у = х—х, x + N9} здесь и далее ху^
—Ху(х)), удовлетворяет уравнению [11.12]
(1 \
О i
. .		(1155)
О /
Как известно, функции иу(к) позволяют определить распреде-
ление случайных величин ху. Решим важную для практики зада-
чу нахождения первого момента распределения указанной слу-
чайной величины
7,= ^/Р(г„=17Ч'(0) = г/).
i=0
Вектор ТТ=(ТУ, у=х—N3 , ..., х, ..., x+N3) удовлетворяет крае-
вой задаче [следует из (11.55)]
(рт(х)~ Е)Т+1=0
^-«э = ^+Лэ = °-	(И.56)
Решение (11.56) отыскивается методом «прогонки». Результат
решения для у = 0, х=у, N3=2N приводится для координаты
Т’ =	Г	, 1]_2Л^	(11 57)
1 — q/p [	\ р / J
204
вектора Т, где T_N(plq, N) =
_3 _£Ц( 1 _ _3_
q / \ р /\ i V р \ q J
. р \ q / \ q /
; р=р(р), <7=1— р-
— 1—/V ^2—
TN = TN(p).
На рис. 11.8 приводятся результаты вычисления
Пунктирными линиями показаны результаты, полученные в зада-
че с фиксированными границами ±л [11.3]. Отметим возмож-
ность решения тем же методом задачи определения среднего вре-
мени до первого выхода на границу {li + N3> 1т—}, где Zi, 1т—
граничные элементы множества существенных состояний детер-
минированной системы.
Глава 12
Квазинепрерывный метод анализа ЦСФС
12.1.	Предварительные замечания
Было показано (гл. 10 и 11), что для статистического исследова-
ния ЦСФС может быть использован аппарат марковских цепей-
Однако во многих практических случаях (коррелированные от-
счеты входной омеси сигнала и шума, многомерные системы, ир-
рациональное значение относительной начальной расстройки),
когда применение его затруднительно, эффективен приближенный
метод, основанный на использовании квазинепрерывных моделей
ЦСФС — квазинепрерывный (КН) метод.
Квазинепрерывный метод предназначен для исследования
ЦСФС, обрабатывающих сигналы на фбне шума. Эти системы по-
лучили широкое распространение для выделения несущей часто-
ты принимаемого сигнала, для синхронизации и демодуляции
двоичных символов информации, в качестве следящих демодулято-
ров фазомодулированных колебаний, схем слежения за задерж-
кой псевдошумового сигнала и для других задач.
Работа таких систем основана на слежении за полной фазой
ФС(Х) входного сигнала uc(t), представляющего собой квазигар-
моническое (радиосигнал) или импульсное колебание.
Радиосигнал uc(t) = Uccos<I)c(t), где Uc — амплитуда.
Импульсное колебание в виде меандра uc(t) = Uc sign cos Фс(7).
При передаче двоичной информации Лг = ±1(г=1, 2, 3, ...) с помо-
щью прямоугольных импульсов uc(t) = Uc S /iirecti [Фс(0],
I
где rectj [z] — ' ]. Аля	’ 2я1]»
(0 для остальных z.
Выражение для псевдошумового импульсного колебания ана-
логично, только Аг определяется кодом ^-последовательности
[12.1].
205
t
Полная фаза сигнала ФС(Ц=ФО4- \a)C(t)dt,
где ф0=const —
начальная фаза, а <йс(7) = dtbc(t)ldt— частота сигнала.
Несмотря на большое разнообразие, все ЦСФС могут быть
представлены с помощью функциональной схемы, изображенной
на рис. 12.1. Цифровой детектор ЦД предназначен для выработ-
ки сигнала ошибки 2д[г], зависящего от фазовой ошибки слеже-
ния <р(А)=Фс(7г)—ФвыхЦД. Здесь г — порядковый номер сигна-
ла ошибки (r=0, 1, 2, ...); ФС(7Г) и ФВыхЦД — полные фазы вход-
ного и выходного сигналов в момент дискретизации t — tr.
Аналого-цифровое преобразование может происходить до, од-
новременно или после выработки сигнала ошибки. На рис. 12.1
аналого-цифровой преобразователь (АЦП) включен в блок «циф-
ровой детектор».
Цифровой фильтр ЦФ преобразует цифровой сигнал ошибки
ад[г] в некоторый цифровой управляющей сигнал zy(r); который
далее преобразуется в аналоговый или цифровой выходной сиг-
нал ЦСФС с помощью цифрового синтезатора ЦС.
Как следует из вышеизложенного, при описании работы ЦСФС
используются некоторые функции непрерывного времени, которые
будем называть аналоговыми. По уровню одни из них непрерывны
(например, Фс(0), другие — дискретны (например, двухуровне-
вые сигналы на выходе цифрового синтезатора частоты).
Особенностью ЦСФС является обработка сигналов, дискрет-
ных как по времени, так и по уровню. Такие сигналы будем на-
зывать цифровыми или дискретными. Эти сигналы являются функ-
циями целочисленного аргумента — порядкового номера сигнала.
Цифровые СФС представляют собой сложные нелинейные ди-
скретные системы автоматического регулирования, в которых вы-
полняются как арифметические, так и логические операции. Они
могут быть описаны с помощью рекуррентных соотношений, пред-
ставленных в виде структурных схем (цифровых моделей) [12.2]
или разностных уравнений (см. гл. 10 и 11) и выражающих пе-
ременные на последующем шаге через переменные на предыду-
щем шаге и внешние воздействия. Если все арифметические и ло-
гические операции (дискретизация, сложение и умножение, про-
верка выполнения некоторых условий и принятие соответствую-
щих решений и т. и.) выполняются одним тактом, то интервал
времени, соответствующий одному шагу в рекуррентных соотно-
шениях, определяется периодом тактовой частоты. Исследование
ЦСФС с помощью этих соотношений — сложная, трудоемкая за-
дача. Если же различные блоки ЦСФС работают с различными
Рис. 12.2
Рис. 12.1
206
частотами, то строгое математическое описание ее еще более ус-
ложняется.
В связи с этим представляет интерес квазинепрерывный (КН)
метод исследования ЦСФС, в котором ценой отказа от описания
«мелких» деталей поведения удается относительно просто опи-
сать и исследовать основные, «.крупные» особенности и характе-
ристики системы [12.3, 12.4].
12.2.	Условия применимости и сущность
квазинепрерывного метода
Квазинепрерывный метод применим к дискретным СФС, кото-
рые (могут быть приближенно представлены в виде последователь-
ного соединения нелинейной малоинерционной части (включаю-
щей АЦП) НМ.Ч и линейной инерционной части ЛИЧ (рис. 12.2).
На выходе линейной части — фаза ФвыхЦЦ или q>(tr), на выходе
нелинейной — сигнал ошибки гд[г].
Фаза ФвыхСМ может изменяться быстро, однако благодаря
инерционности линейной части она определяется в основном пре-
дысторией процесса на достаточно длительном интервале време-
ни— порядка тэ, где тэ — некоторая эквивалентная постоянная
времени системы. Напротив, сигнал ошибки гд[г] практически
полностью определяется входным сигналом нелинейной малоинер-
ционной части в данный момент времени tr (иногда на малом ин-
тервале (tr—kt, tr), где А^Тэ) и не зависит от него на интервале
(—оо, tr—тэ).
Эквивалентная постоянная времени системы тэ и соответству-
ющая ей эквивалентная полоса пропускания А/э, которая одного
порядка с 1/2лтэ, определяют помехоустойчивость системы. Для
значительного улучшения отношения сигнал/шум на выходе
ЦСФС по сравнению с отношением на входе необходимо А/э<^А/ф,
где А/ф — эквивалентная полоса входного процесса (предшествую-
щего ЦСФС аналогового фильтра). Хотя понятия эквивалентной
полосы пропускания А/э и постоянной времени нелинейной систе-
мы давно используются при обосновании некоторых методов ста-
тистического исследования замкнутых систем (см., например,
[12.7], с. 11), дать строгое определение этим понятиям трудно.
Если можно экспериментально измерить или вычислить (напри-
мер, с помощью ЦВМ) спектральную плотность выходных флукту-
аций системы при наличии на входе системы широкополосного шу-
ма, то в качестве А/э можно принять эквивалентную ширину спек-
тра выходных флуктуаций. Из-за нелинейности А/э может зави-
сеть не только от параметров системы, но и от отношения сиг-
нал/шум на ее входе.
В режиме синхронизации фаза Фвых(А) должна (в среднем)
отслеживать фазу ФС(Х). При этом благодаря инерционности ли-
нейной части фазовая ошибка слежения меняется медленно:
Ф(/г+1)-<р(У«2лД/фф+1-/г).	(12.1)
207
что является одним из основных условий применимости рассмат-
риваемого метода. Условие (12.1) не накладывает ограничений
на малость величины q(tr), поэтому КН метод применим для ана-
лиза как квазилинейных, так и существенно нелинейных режимов
работы ЦСФС.
Рассмотрим соображения по выбору частоты дискретизации F
аналогового процесса в АЦП. Чем выше F по сравнению с А/ф,
тем меньше потери (искажения спектра сигнала) при дискретиза-
ции1. Однако ряд причин заставляет увеличивать А/ф и
уменьшать F. С увеличением А/ф уменьшаются искажения
спектра модулированного сигнала в предшествующем ЦСФС
аналоговом фильтре. Частоту же дискретизации F же-
лательно уменьшать для снижения требуемого быстродействия
цифровых устройств. Отношение частот &f$/F выбирают исходя из
компромисса между этими противоречивыми требованиями. В со-
ответствии с КН методом расчет и проектирование ЦСФС, в част-
ности определение необходимого отношения частот &f$/F, произ-
водятся путем учета дискретного характера преобразований про-
цесса в нелинейной малоинерционной части и отказа от учета ди-
скретного характера преобразований в линейной инерционной ча-
сти. При этом последнюю необходимо заменить такой эквивалент-
ной непрерывной частью, которая эффективно подавляла бы со-
ставляющие спектра вне полосы прозрачности ЦСФС. Это не при-
водит к существенным ошибкам, если А[э <^F, что обычно имеет
место в рассматриваемых системах, так как F одного порядка или
больше А/ф, а А/ф>А/:).
Итак, КН метод эффективен в случае Afa<CA^^F и основан
на учете дискретного характера преобразований лишь в нелиней-
ной части. «Строгие» методы анализа учитывают дискретный ха-
рактер преобразований в обеих частях, что становится необходи-
мым при А/э~Д/ф ~F. Классический метод сведения дискретной
системы к непрерывной применим при Af3<^F; А/ф’С/7 и основан
на пренебрежении дискретным характером преобразований как в
нелинейной, так и в линейной частях. В этом методе импульсный
элемент (формирующий импульсы с длительностью ти, периодом
повторения Тис амплитудой, определяемой значением входного
процесса в момент дискретизации) заменяется безынерционным
звеном с коэффициентом передачи ти/Т. При этом искажения спек-
тра при дискретизации не учитываются [12.8, 12.9].
Метод КН основан на приближенном описании дискретных
сигналов и систем с помощью их аналоговых эквивалентов. Кон-
кретизируем понятие эквивалентности дискретных и аналоговых
сигналов и систем.
Для удобства будем считать, что сопоставляемые аналоговые
и цифровые сигналы не отличаются один от другого по уровню,
т. е. либо будем пренебрегать ошибкой квантования, либо рас-
1 Искажения из-за неограниченности спектра реального входного процесса.
208
сматривать аналоговые сигналы, принимающие те же дискретные
по уровню значения, что и цифровые.
Очередной r-й цифровой сигнал всегда можно отнести к неко-
торому моменту времени 6. Если цифровой сигнал получается из
аналогового с помощью АЦП, то tr — момент дискретизации. Ес-
ли цифровой сигнал преобразуется в аналоговый, то tr — момент
преобразования. Если в ЦСФС период дискретизации Тг=/г+1—tr
непостоянен, статистические характеристики сигналов в КН мето-
де вычисляются при Т? =	1/Е = const.
Эквивалентными периодическими (аналоговыми x(t) и ди-
скретными х[г]) будем называть сигналы с совпадающими в не-
которой полосе частот спектрами:
сн(л(01) ^^(ncoj,	(12.2)
где со1 = 2л/Т0; То — период сигналов; n = Q, 1, 2, ...;
т,
гн (п <о1) = — ( х (t) ехр (— i п сох t) dt',
То J
о
N-l
сД(пв)1) = ~ exp ( —inco171,);
r=0
N=T0/T — число отсчетов на периоде дискретного сигнала.
Аналогично определяются эквивалентные непериодические
сигналы, только вместо равенства имеет место пропорциональ-
ность (с коэффициентом пропорциональности 1/Г) спектральных
плотностей. В частности, условием эквивалентности регулярных
непериодических сигналов будет
5н(<о) = Г5д(со),	(12.3)
где
5н(со) = Jx(/)exp(— i(i)f)dt; 5д(со) = х[г]ехр(— icoTr).
— 00	Г = — 00
Случайные сигналы эквивалентны при
<?н(со) = Г6д(со),	(12.4)
где
GH (со) = 4jBx (т) cosco xd т; 6Д (со) = 2ВХ [0] +4^ Вх [пг] cos (со Т trip,
О	т=\
(12.5)
Вх(х) и Вх[т] —корреляционные функции сигналов x(t) и х[г].
Если условия (12.2)— (12.4) соблюдаются на частотах со^л/Г,
сигналы будем называть полностью эквивалентными. Если же эти
условия соблюдаются лишь на частотах со<Сл/Т, будем говорить о
частично эквивалентных сигналах. Дисперсии полностью эквива-
лентных сигналов одинаковы, а для частично эквивалентных мо-
209
гут сильно отличаться один от другого. Математические ожида-
ния полностью или частично эквивалентных сигналов одинаковы.
Условия полной и частичной эквивалентности обычно выполняют-
ся приближенно.
Линейные дискретные и непрерывные системы, комплексные
частотные характеристики которых мало отличаются на частотах
(п<Сл/Г, будем называть частично эквивалентными системами.
Важным примером частично эквивалентных систем служат
сумматор и интегратор
Г
У И = £/ [0] 4- £ х[г'];
г' = 1
t
y(t)=y{O)+F^x(t')dtf,
6
где F—XIT — частота суммирования.
Действительно, их комплексные частотные характеристики со-
ответственно
^(i®) = -------=
1 — ехр ( — 1 со Г)	1 со Г
На частотах со Гимеем Kc(ico) » 1/icoT = KH(ico).
В соответствии с КН методом дискретную линейную инерцион-
ную часть ЦСФС заменим частично эквивалентной непрерывной
частью с передаточной
функцией Кл(р), подав-
ляющей спектральные со-
ставляющие на частотах
со^>Дсоэ, а дискретный
- сигнал ошибки гд[г] —
частично эквивалентным
Рис. 12.3
ему аналоговым сигналом
z3(t). При такой замене исходный и полученный сигналы на вы-
ходе линейной части полностью эквивалентны. Далее частично эк-
вивалентный сигнал ошибки представим в виде трех (в общем
случае) компонент (рис. 12.3):
2'э(/) = £г(ф) + иРК) + «1(/).	(12.6)
Первые две получаются усреднением (по множеству), сигнала
2д[г] при (p = const. Проведя затем усреднение по времени и вы-
делив тем самым компоненту, зависящую только от ф (но не от
времени), найдем полезную составляющую сигнала ошибки1
(дискриминационную характеристику нелинейной части) а (ф) =
____
Разность гд[г]—а(ф) дает составляющую, которую можно
трактовать как регулярную помеху, так как она приводит к уве-
1 Прямая черта сверху — усреднение по множеству, волнистая — по вре-
мени.
210
личению ошибки слежения. Низкочастотную часть этой помехи ап-
проксимируем аналоговым частично эквивалентным помеховым
сигналом up(t).
Благодаря условию A^^Afa спектр шумовой составляющей
сигнала гд[г] намного шире Af3. В пределах полосы прозрачности
системы Д/э изменением спектральной плотности этой составляю-
щей можно пренебречь и аппроксимировать ее белым шумом
n{(t) со спектральной плотностью, равной, в соответствии с (12.4),
Л^д=Сн(0) = ТСд(О), где 6д(0)—спектральная плотность шумо-
вой составляющей гд[г] на нулевой частоте (при ф = const);
Мд(ф) называется флуктуационной характеристикой нелинейной
части. Часто Ад не зависит от ф.
В соответствии с (12.5) имеем
Ад = 2То41+2	(12.7)
\ m=l	J
a2t=Bz[0]—дисперсия сигнала ошибки 2д[г], a /?z[m] =
= B2[m]/a22— коэффициент корреляции этого сигнала.
Таким образом, составили КН модель ЦСФС, которую можно
исследовать методами теории непрерывных систем. Эта модель
правильно отражает многие дискретные свойства исходной систе-
мы, так как дискретный характер преобразований сигнала учиты-
вается при нахождении параметров модели п(ф), «1(0 и up(t).
12.3.	Аналитическое описание основных частей ЦСФС
Для исследования ЦСФС (см. рис. 12.2) с помощью КН метода
найдем предварительно аналитические зависимости: гд[г] от
ф(0) =Фс(М—Фвых(О), определяемую нелинейной малоинерци-
онной частью, и ф(0) от гд[г], определяемую линейной инерцион-
ной частью. Методику аналитического описания основных частей
ЦСФС поясним на типичных примерах.
Пример. ЦСФС с АЦП, расположенным до петли системы [12.10].
На вход системы (рис. 12.4) поступает смесь радиосигнала и шума
«вх (0 = “с (0 + «ш (*) = ^вх U) cos [соф t — фвх (/)] = C(t) cos соф Z-]-S (t) sin соф t.
(12.8)
Рис. 12.4
211
Здесь соф — некоторая опорная частота (например, равная центральной частоте
предшествующего фильтра). Квадратурный преобразователь КП выделяет квад-
ратурные составляющие входной смеси C(t) = U^(t) cos cpBx(Z) и S(t) =
= Ubx(Osin<pBx(O- С помощью двух АЦП они подвергаются дискретизации в
фиксированные равноотстоящие моменты времени tr = rT и квантованию. Таким
образом получается совокупность двух чисел1
z1[r] = F{C(/r)};z2[r] = F{S(/r)},
которые удобно рассматривать как действительную и мнимую часть комплекс-
ного входного сигнала zBX[r] =гЦг] 4-iza[ir],
Цифровой детектор комплексный входной сигнал перемножает с комплекс-
ным выходным сигналом
гвых[г] = 2выхе”’фвых(/г) .	(12.9)
Здесь фВых(7г)е[0, 2л]—циклическая выходная фаза, равная полной выход-
ной фазе ФВыхЦг) по модулю 2л: фВых = ФВых(шоб 2л). Код циклической фазы
гф [г] образуется в сумматоре S с емкостью N(p> который накапливает код
zy[r] по модулю N ф :
z,p [d = (гф [0] + £	[г']) (mod Аф).
г'=1
При этом
фвых = 2 л 2ф /Аф ;
Фвых = 2 л (гф [0] + 2 гУ 1Н)/^ф.
г'=1
(12 10)
(12 11)
(12.12)
Отметим, что хотя в реальной системе имеется лишь циклическая выход-
ная фаза фВых (точнее, код этой фазы гф ), при математическом описании для
простоты будем пользоваться полной выходной фазой ФВых, что дает возмож-
ность не учитывать нелинейную операцию (12 10). Это не приводит к ошибкам,
так как дальше — в функциональном преобразователе ФП, работающем в соот-
ветствии с (12 9)—образуется периодическая функция фазы (замена фВЫх на
Фвых в (12 9) пс изменяет гВЫх)
В цифровом детекторе в качестве сигнала ошибки берется действительная
или мнимая часть произведения гвхгВых, которая квантуется на некоторое чис-
ло уровней. Обычно здесь допустимо малоуровневое квантование, в частности
бинарное, при котором
2Д [г] = гд sign {Im (zBX [r]zBbIX [г])}.	(12.13)
Здесь и далее для конкретности считаем, что в качестве сигнала ошибки ис-
пользуется мнимая часть комплексного произведения.
Алгоритм работы цифрового фильтра ЦФ может быть задан с помощью
явной функциональной зависимости zy [г] от гд[г], разностного уравнения или
дискретной передаточной функции Лцф^г) [12.6]. Например, для ЦСФС с
астатизмом второго порядка,
у [г] — ^1 2Д [Г] + ^2 (2И [0] "Ь у1 2Д [z ]) >
г'=1
Zy [d — Zy [г — 1] = (^ + k2) гд [г] — гд [г — 1],
Кцф (г) = ^1 + ^_z/(z— 1),
(12.14)
1 F{«}—оператор квантования.
212
Фильтр, описываемый (12.14), эквивалентен параллельному соединению про-
порционального и дискретного интегрирующего (суммирующего) звеньев е
коэффициентами передачи k\ и £2, причем ги[0]—начальный код на выходе
суммирующего звена.
Коэффициенты удобно выбирать fei = 2~ni; kz = 2-n\ так как при этом ум-
ножение на них заменяется операцией сдвига двоичного кода на tii и «2 разря-
дов («1 и «2 — целые положительные числа).
С помощью найденных зависимостей нетрудно записать окончательные вы-
ражения для нелинейной малоинерционной £д = /н(ф) и линейной инерционной
частей ф=/л(2д), где /н(-) и /л(-)—соответственно нелинейный и линейный
операторы. Для этого перепишем (12 8):
«вх (0 = t/c созФс (0 + Сш (0 созсоф / -ф Зш (0 sin о)ф I.	(12 15)
Здесь Сш(0 и 5ш(0 — квадратурные составляющие входного шума.
Для простоты будем считать ошибку квантования входной смеси сигнала и
шума в АЦП пренебрежимо малой. Тогда
гвх lr] — ц п [£7С е с г 4" Сш (tr) -|~ i 8Ш (Ф)],	(12.16)»
где А?ацп=1/Дп — масштаб преобразования в АЦП (Aw — шаг квантования)_
С помощью (129), (12 13) и (12 16) получим
*д И = /я (ф) = Zflsign [Uc sin ф (ф) + пш д (ф)],	(12.17>
Где йш	—-Sih COS Фвыхб^г)—Сш sin ФвыхЦг)•
С помощью (12 12) и (12 14) найдем
2 n /	|
ф (М = /л (2д) = Фс (М — — б 2(р [°1 + 2 2д ] +
Ф '	г'=1 I
+ ^2 (2И 10] +
(12.18>
Пример. ЦСФС с замыканием петли через АЦП [12 11]. В ЦСФС (рис.
12 5) входная смесь дискретизируется и квантуется в моменты tr появления.
импульсов на выходе делителя с переменным ко-
эффициентом деления (ДПКД). Его коэффициент
деления равен ид—[г] Сравнение схем, изобра-
женных на рис. 12.1 и 12 5, показывает, что роль
цифровых детектора и синтезатора в схеме рис.
12 5 выполняют соответственно АЦП и ДПКД.
Управляющий код zy на входе ДПКД линейно
связан с периодом (а по с частотой1) выходного
колебания:
Т [г] — tr tr—i — (лд 2у [г — 1 ])//эт,
откуда
с=4)+ 2 ?[г'ь
г'=1
Рис. 12.5
(12 19»
(12 20»
где /эт — частота эталонных импульсов на входе ДПКД; to — нулевой момент
дискретизации.
Цифровой фильтр ЦФ, определяющий связь 2У и зд, в данной ЦСФС может
быть таким же, как в системе рассмотренной в предыдущем примере, поэтому
останавливаться на нем не будем.
Для описания рассматриваемой системы с помощью КН метода требуется
ввести понятие фазы ФвыхЦг) сигнала на выходе ДПКД. Естественно считать,
что в моменты появления выходных импульсов эта фаза кратна 2л, причем за
213.
\время между соседними импульсами она увеличивается на 2л Совместив
начало отсчета времени с нулевым моментом дискретизации (/о=О) и приняв
ФВых(0)=0, получим
Фвых (М = 2 л г.	(12.21)
Входную смесь сигнала и шума запишем в виде
^вх (0 — Ucg [Фс (0] “Ь иш (0 >	(12.22)
где (/с и g(-) — амплитуда и форма сигнала. В рассматриваемой системе сиг-
нал ошибки
[Г] = F g [Фс (М] + «ш «г)} •	(12.23)
Благодаря периодичности сигнала £(Фс)=£(Фс—2лг), вместо (12.23) с
учетом (12 21) можно записать
И = F {Ucg [<Р (Ml + «ш (М>-	(12.24)
Выражение (12.24) дает связь гд от ф, определяемую нелинейной мало-
инерционной частью.
Для нахождения явной зависимости ф от zy, определяемой линейной инер-
ционной частью, следует конкретизировать Фс(/). Ограничимся для простоты
случаем постоянной частоты входного сигнала сос = 2л/с = const, тогда
фе(/) = фв4-(овг.	(12.25)
В стационарном режиме средние периоды входного и выходного сигналов
равны один другому и управляющий код zy, соответствующий среднему перио-
ду, может быть определен из равенства (пд—гу)//Эт:=2л/сос.
При отклонении от стационарного режима zy=zy+Azy С помощью приве-
денных выше выражений получим
Ф(М=Ф#-2я^ \ ДгДг'-l].	(12.26)
'8Т г'=1
12.4.	Квазинепрерывная модель линейной инерционной
части ЦСФС
От описания линейной инерционной части ЦСФС как дискрет-
ной системы к ее непрерывному аналогу можно переходить по-
разному, в зависимости от способа представления дискретной си-
стемы. В частности, если q>(tr) выражается через гд[г] с помощью
суммирования, как, например, в (12.18), для получения КН мо-
дели достаточно заменить /г-кратную сумму /г-кратным интегра-
лом:
22д И F\zn (0 dt’
[r]->F2 ^zn(t)dtdt.
Здесь F — частота, с которой происходит суммирование; гд(Т) —
какой-либо аналоговый сигнал, частично эквивалентный дискрет-
ному сигналу гд[г], например zn(t) =зд[г] при (г—\}T^t<rT или
za(t) = Tza[r]6 (t—гТ), где6(«) — дельта-функция Дирака.
Если дискретная линейная система описана с помощью пере-
даточной функции K(z), то передаточная функция К(р) частично
эквивалентной непрерывной системы может быть получена путем
замены =	—q, где q = pT.
.214
Наконец, для перехода от разностного уравнения к дифферен-
циальному достаточно заменить конечные разности производными^,
умноженными на период дискретизации, например г/[г]—г/[г—1] =
= Тdy (t) Idt.
Если линейная инерционная часть системы, помимо дискрет-
ных элементов, содержит и непрерывные (например, аналоговый
смеситель), получение точного выражения q(tr) = /л(гд[г]) за-
труднительно. В этом случае иногда проще непосредственно най-
ти приближенную зависимость <р(7) от zn(t), где q>(t) — аналого-
вый сигнал, полностью эквивалентный сигналу q(tr), a zn(t) —
частично эквивалентный дискретному сигналу гд[г].
Пример. ЦСФС с аналоговым смесителем (рис. 12.6). Эта си-
стема является некоторой модификацией ЦСФС с дискретным уп-
равлением фазой, рассмотренной в [12.2].
Рис. 12.6
Фаза выходного колебания корректируется импульсами, пода-
ваемыми на дискретный фазовращатель, состоящий из устройст-
ва добавления и исключения УДИ и счетчика—делителя С—Д.
Корректирующие импульсы добавляют или исключают импульсы
в последовательности на выходе преобразователя Пр код — час-
тота. Частота следования импульсов на выходе преобразователя
определяется двоичным параллельным кодом Ду в реверсивном
счетчике PC: Ц = КУАЕП, где АЕП— дискрет перестройки частоты.
Для увеличения выходной частоты системы меандр с выхода
счетчика — делителя подается на аналоговый смеситель. Частота
на его выходе /вых = /о + /д, где f0 и Ц — частоты колебаний на вхо-
дах смесителя.
В цифровом фазовом детекторе (ЦФД) вырабатывается сиг-
нал ошибки za[r] в виде счетно-импульсного кода, т. е. в виде
двух последовательностей корректирующих импульсов, поступа-
ющих по выходам «добавление» и «исключение». Сигнал ошибки
za[r], равный разности числа импульсов на выходах «добавление»-
и «исключение» за один период выходного колебания, определяет-
ся сдвигом фаз между входной смесью сигнала и шума и выход-
ным колебанием: гд=Чг(0); 0 = ФВХ—Фвых, гдеЧЦ-) —характери-
стика ЦФД. В свою очередь, сдвиг фаз зависит от фазовой
ошибки слежения ф=Фс—Фвых и от шумовой составляющей на
входе системы в рассматриваемый момент времени.
215*
Импульсы на добавление и на исключение с выхода ЦФД пос-
тупают на два последовательно включенных дискретных усредня-
ющих устройства (ДУУ), причем после ДУУ1 импульсы поступа-
ют на дискретный фазовращатель (тем самым замыкается про-
порциональная петля регулирования), а после ДУУ2— на ревер-
сивный счетчик (интегрирующая петля).
Простейшим ДУУ является совокупность двух счетчиков — де-
лителей (с коэффициентом счета <%), один из которых подсчиты-
вает импульсы на добавление, а другой — на исключение. Если
на вход такого ДУУ поступает сигнал ошибки1 гд[г] = const, то
средняя эквивалентная частота на выходе ДУУ, равная разности
частот импульсов на добавление и на исключение, будет равна
2Д/выхМу-
В качестве ДУУ часто используют реверсивный счетчик, име-
ющий 2пс—1 устойчивых состояний: — (пс—1); —(пс—2); ...; —1;
0; +1; (пс—2); (пс—0 и два неустойчивых; пс и —пс. При до-
стижении неустойчивого состояния счетчик сбрасывается либо в
противоположное крайнее состояние (из пс в —(пс—1) или из
—пс в (ис—1)), либо в 0. Если на вход подобного ДУУ поступа-
ет сигнал ошибки гд[г] = const, то средняя эквивалентная частота
на его выходе будет по-прежнему равна гДвых/%, где пу = 2пс—1
при сбросе в противоположное крайнее положение и пу=пс при
сбросе в нуль. Коэффициенты усреднения ДУУ1 и ДУУг обозначим
соответственно nyi, пУ2.
Фазу выходного колебания ФВых(0 в рассматриваемой ЦСФС
получим как интеграл от выходной частоты, равной, в свою оче-
редь, сумме частот на входах аналогового смесителя:
®Вых = 2л(/:0 + /?д).	(12.27)
Средняя частота на выходе дискретного фазовращателя в пя
раз меньше суммы средних частот на его входах (пя — коэффи-
циент счета счетчика — делителя):
— ^вых 2д । А Кп Ку	/с гд	। & Fn Ку	ц 2 28)
Пд Пуу	Пд	Пд Пу1	Пд
Здесь положено /вых=/с, тем самым допускается ошибка при
вычислении /д второго порядка малости. С точностью до единицы
код
« ^(2д[г]/ну1пу2).	(12.29)
Переходя от суммы к интегралу, получим
Ку	ny2) j 2Д (0 dt,	(12.30)
где гд(7)—аналоговый сигнал, частично эквивалентный дискрет-
ному гд[г]. Переходя от частоты к фазе, с помощью (12.27)—•
(12.30) получим
1 В единицу времени сигнал ошибки образуется /вых раз.
216
Фвых (/) = 2 л [[/„ + -А-К.(К + JcAf„ Г д (/) Л1 dt
J L ПД ПУ1 ПД nyl пу2 J
*д№
* т
См
Если в схеме рис. 12.6 исключить смеситель (при этом /вых=
=/д), то полученное выражение останется в силе, если положить-
в нем /о = О. Наконец, если в схеме рис.
12.6 входной сигнал подать не на ЦФД,иЪха)
а на смеситель См (вместо колебания с
частотой /0), а на ЦФД подать опорное
колебание с частотой F (рис. 12.7), то
аналогично можно получить	Рис 12.7
Фвых (0 = 2л7? f [2д (0 + (Ч (0 dt] dt.
пд nyi J L	пуг J J
12.5. Квазинепрерывная модель нелинейной
малоинерционной части ЦСФС
Построение КН модели нелинейной малоинерционной части-
ЦСФС сводится к нахождению дискриминационной а(ф) и флук-
туационной Мд характеристик этой части и (иногда) эквивалент-
ного помехового сигнала Up(t).
Обычно наиболее трудоемко найти флуктуационную характери-
стику Ад. При этом иногда удобно представить дискретный сиг-
нал ошибки £д[г] в виде выборки отсчетов некоторого порождаю-
щего сигнала Zn(t) в моменты дискретизации tr=rT, найти кор-
реляционную функцию порождающего сигнала и использовать
(12.7) (корреляционные функции дискретного и порождающего
сигналов совпадают при т = тТ). Поясним методику нахождения
о(ф), Мд н up(t) на типичных примерах.
Пример. ЦСФС с АЦП, расположенным после аналогового де-
тектора. Цифровой детектор в виде последовательного соединения
аналогового детектора (дискриминатора) и АЦП довольно часто
используется на практике, особенно в схемах слежения за за-
держкой псевдошумового сигнала [12.12; 12.13].
Ограничимся для простоты анализа рассмотрением двух
крайних случаев: многоуровневого квантования, когда ошибкой
квантования можно пренебречь и записать гд[г] =&а.ц.п^д(М), и
бинарного квантования, при котором za[r] =signun(tr). Здесь
пд(7) — сигнал на выходе аналогового детектора.
В случае многоуровневого квантования нетруд-
но получить
(ф) ^а.ц.п (ф)>	= ^2а.ц.п 6 (^)>
х-2Л/фТ
1+2 у R„(mT)
т=1
(12.31)
где ан(ф)=«д(ср) —дискриминационная характеристика аналого-
вого детектора; 6(0) —спектральная плотность шумовой компо-
ненты сигнала u^(t) на нулевой частоте; Ми(т)—коэффициент
217'
1
корреляции этой компоненты; A^=	Gu((o)d(o— эквива-
лентная ширина спектра шумовой компоненты сигнала ид(1).
Форма и ширина спектра этой компоненты обычно определя-
ются ФНЧ на выходе аналогового детектора (соответственно его
частотной характеристикой и эквивалентной полосой прозрачнос-
ти). Рассмотрим два крайних случая: предельно крутого и поло-
го спадов частотной характеристики ФНЧ. В первом случае (при
идеально прямоугольной характеристике ФНЧ от 0 до Д/ф) име-
ем [12.14]
(т) = (sin 2лД/ф т)/2лД/ф т,	(12.32)
во втором (при использовании 7?С-фильтра с полосой по уровню
0,7, равной Д[0,7 = 2Д[ф/я)
Ru (т) = ехр (—2лД/о,7 |т |).	(12.33)
Подставив эти выражения в (12.31), получим х=1 для иде-
ального прямоугольного фильтра (при Д/ф7’<1) и
я = лД/о,7 Т (1 + Z?)/(l — b); b = ехр ( —2лД/о>7 71)	(12.34)
для 7?С-фильтра.
В ряде важных практических случаев дискриминационная ха-
рактеристика содержит линейный участок, причем фазовая ошиб-
ка ф(/) не выходит за пределы этого участка (квазилинейный ре-
жим работы). В этом режиме
ян(ф)=£д.н(р; а(ф) = £д(р,	(12.35)
где /гд.н и /гд = /га.ц.п&д.н — наклоны дискриминационных характери-
стик соответственно аналогового и цифрового детекторов.
Основной характеристикой, определяющей помехоустойчивость
ЦСФС в квазилинейном режиме, является эквивалентная флукту-
ационная характеристика цифрового детектора = -Мд/&2Д. Рас-
смотрение квазилинейной модели ЦСФС показывает, что N3 пред-
ставляет собой спектральную плотность флуктуаций на нулевой
частоте выходной фазы ФВЫх(0 и фазовой ошибки слежения <р(7).
С помощью приведенных выше выражений нетрудно получить
N, = KN3.„,	(12.36)
где А0.н— эквивалентная флуктуационная характеристика анало-
гового детектора. Следовательно, эквивалентная флуктуационная
характеристика при использовании аналого-цифрового преобразо-
вания увеличивается в х раз.
В случае бинарного квантования на выходе АЦП
будут сигналы гд=4-1 и £д = — 1 с вероятностями /7(4-1) =
= Ф7йд/о) и р(—1) = 1—Ф(цд/о), гДе в — среднеквадратическое
значение шума на входе АЦП; Ф(х) = —— Г ехр(—0,5x2)dx —
218
интеграл вероятностей. В соответствии с этим дискриминационная1:
характеристика
а(<Р) = гдИ = р(+1)-р(-1) = 2Ф[ан(<р)/а]-1.	(12.37)'
В интересном для практики случае ан(<р)/сг<^1 (12.37) можно
упростить, разложив интеграл вероятностей в степенной ряд, и
и получить а(ф) 2/л ай(ф)/а, а при вычислении флуктуаци-
онной характеристики пренебречь наличием сигнала. Используя в
качестве порождающего сигнала Un(t) = signил(Г) с коэффициен-
том корреляции [12.15] Rorp (т) = (2/л) arcsin Ru (т), получим,
что в этом случае остается в силе (12.36), причем
х = лД/ф Т
1 + (4/л) у arc sin Ru (tn Г)
m=l
(12.38)
Ряд в (12.38) не удается свернуть, поэтому для типовых 7?и(т)к
определяемых (12.32) и (12.33), он был подсчитан на ЦВМ. Ре-
зультаты вместе с графиком функции nt&fojT), задаваемым
(12.34), приведены в [12.4]. При бинарном квантовании также
часто используется квазилинейный режим работы, при котором
справедливы (12.35), причем &д= ]/2/л&д.н/сг.
Пример. ЦСФС с АЦП, расположенным до петли системы
(рис. 12.4). При расчете эквивалентных характеристик нелиней-
ной малоинерционной части учтем влияние линейных фильтрую-
щих цепей, предшествующих АЦП (по высокой частоте — до квад-
ратурного преобразователя, и по низкой частоте — на его выходе).
Обозначим общую частотную характеристику этих цепей Лф(Асо),
где Д(о = (о—(Оф. Положим, на вход квадратурного преобразовате-
ля (до фильтрующих цепей) поступает смесь гармонического сиг-
нала, гармонической помехи и белого шума со спектральной плот-
ностью По. Проведя вычисления, аналогичные приведенным в
§ 12.3, вместо (12.17) получим
гд [г] = 2д sign {Uc sin <р (tr) + Un sin <рп (tr) + цш.д (Q),
где
фп (0 = Д Фо> Д^п =	®С’ ^ш.д (О
— шум на входе АЦП с дисперсией о2 и коэффициентом корреля-
ции Ru(t), определяемым видом частотной характеристики
Лф(Д<о); Uc и ил — амплитуды сигнальной и помеховой состав-
ляющих на входе АЦП.
Ограничимся для простоты важным для практики случаем ма-
лого отношения сигнал/шум на входе системы: Пс/о<^1;
f/n/o<<l. При ЭТОМ 2д[г] ~/д[Пс 8ШфЦг)+ [/п8тфп(^)]/о]/< 0,5л,
откуда а(ф)~7д(£/с зшф)/о]/ 0,5л.
Для нахождения эквивалентной регулярной помехи uv(t) сле-
дует найти спектр дискретной гармонической функции
иП [г] = Zn sin (Д(оп г Т + <р0); Zn = Zfl [/п/о]/0,5 л	(12.39)
219
и учесть гармонику спектра в низкочастотной области 0^<о<л/7
Расчеты показывают, что эта гармоника
=Znsin[Q3rT + <Po]>	(12.40
где
йэ = й'э—-Rentier [й'э 77л]; Q'3 = A(on(mod	(12 41)
Здесь entier [•]— операция взятия целой части аргумента;
^(modz/)—х—по модулю у.
Если частота Пэ в (12.41) оказывается отрицательной, то ар-
гумент синуса в (12.40) и сам синус следует умножить на —1.
В качестве эквивалентной регулярной помехи возьмем
wP(0=ZnSin(£V + (po).	(12 42)
Дискретный (12.40) и аналоговый (12.42) сигналы являются час-
тично эквивалентными, так как их спектры в низкочастотной об-
ласти совпадают.
При расчете эквивалентной флуктуационной характеристики в
рассматриваемом случае, пренебрегая наличием сигнала, можно
получить
= х N0/Pc,
где х = -Л А ?Ф ТКф (0) / 1 + — V <агс sin (т Л > cos 0,5 g Д соф m Т ,
7d(g)	л Zj
ЧФI	m=l
аа
Здесь £ = 2&с/Д<оф; Qc = wc—(Оф; Д<Оф = 7<“2ф(0)у K2(|)(f)<7f — экви-
о
валентная полоса предшествующих фильтрующих цепей; Рс —
мощность сигнала на их входе. Коэффициент энергетических по-
терь х теперь зависит как от относительной частоты дискретиза-
ции Д(0фГ, так и от относительной расстройки частоты сигнала g.
Графики для расчета х в рассматриваемом случае, а также для
других встречающихся на практике случаев приведены в [12.16,
12.4].
Отметим, что в некоторых ЦСФС эквивалентная регулярная
помеха up(t) возникает и при отсутствии регулярного помехового
воздействия на входе [12.10, 12.4].
12.6. Анализ ЦСФС квазинепрерывным методом
Анализ ЦСФС с помощью полученной выше КН модели (см.
рис. 12.3) начнем с квазилинейного режима, при котором дискри-
минационная характеристика может быть аппроксимирована пря-
мой линией а(ф)=&дф. При этом КН модель становится линейной
и описывается передаточной функцией
К(р) = Фвых(р)_ = ..?дКл(р)_	(12.43)
3 7 Фс(р) 1+*дКл(р)
220
Здесь Фвых(р) и Фс(р)—изображения по Лапласу выходной и
входной фаз при нулевых начальных условиях. С помощью Къ(р)
нетрудно получить амплитудно-частотную характеристику, экви-
валентную полосу пропускания и дисперсию флуктуационной
ошибки слежения
=	=	(1244)
Af3 = (l/2«)C/<B(<o)d<o,	(1245)
О
^ = ^Д/Э.	(12.45а)
По известной методике с помощью коэффициентов ошибок
(см., например, [12.9], § 3.2) нетрудно также определить устано-
вившиеся динамические ошибки.
Эти результаты относятся к ЦСФС любого порядка. Конкрети-
зируем их для ЦСФС с астатизмом второго порядка. Передаточ-
ная функция линейной части может быть приведена к виду
+	(12 46)
В частности, для схемы рис. 12.4 kn=2nFkxINф; T^kxlk^F", для
схемы рис. 12.5 &п = 2л/2(А/А)т, T’H = ^i/^2fc; для схемы рис. 12.6
(при исключении смесителя, т. е. fo=O) &п = 2л/сМдЯу1; Tu=nyzl^Fn.
Цри модернизации схемы рис. 12.6 в соответствии с рис. 12.7 най-
дем ^п = 2л^/пдИу1; Ти=«у2/АКд С помощью (12.43) — (12.46) по-
лучим А/э= (&/4) (1 + 1//е7и), где k = knkTl. При этом установившаяся
динамическая ошибка р^[(1+&Ти)2Ф"с (/)]/16А/2э&Ги.
Для встречающихся на практике значений 0,5<^Ги< оо [12.4]
длительность переходных процессов (2, 5 ... 4)/А/э. Существен-
но, что наклон дискриминационной характеристики &д, а следова-
тельно, эквивалентная полоса пропускания Д/э, установившаяся
динамическая ошибка и длительность переходных процессов в
системе в общем случае (например, при бинарном квантовании)
зависят от отношения сигнал/шум на ее входе. Следовательно, да-
же в квазилинейном режиме с помощью КН метода удается от-
разить существенно нелинейные свойства исследуемой системы.
Отметим, что коэффициент ku, а следовательно, и все осталь-
ные характеристики систем, изображенных на рис. 12.4 и 12.7, не
зависят от частоты входного сигнала fc В то же время в схеме
рис. 12.6 при /о = О коэффициент kn пропорционален частоте /с, а
в схеме рис. 12.5 — квадрату этой частоты. Обычно зависимость
характеристик ЦСФС от частоты входного сигнала fc является
нежелательной. Можно считать, что сильная зависимость основ-
ных характеристик ЦСФС по схеме рис. 12.5 от fc является пла-
той за использование в ней простейшего синтезатора частоты — в
виде ДПКД.
В случае, когда фазовая ошибка слежения <р выходит за пре-
делы линейного участка дискриминационной характеристики, ана-
221
лиз ЦСФС усложняется. Приведем для этого случая некоторые
результаты анализа ЦСФС с астатизмом первого порядка [12.4].
При синусоидальной дискриминационной характеристике
(входном радиосигнале)
Ф = arcsin (Йц Ik),	(12 47)
(12 48)
где а=Рс/хА0Д/э Здесь йн—начальная расстройка частоты;
Рс и No — мощность сигнала и спектральная плотность белого шу-
ма на входе фильтрующих цепей, предшествующих АЦП; /п(а) —
модифицированная функция Бесселя п-го порядка. Относительная
частота переходов (частота переходов через уровень ±2л, отне-
сенная к полосе Д/э)
Л4П = k/2n2 а /2(а).	(12.49)
Формулы (12.47) — (12.49) совпадают с известными формула-
ми для непрерывных систем [12 17; 12 18], специфическим явля-
ется лишь выражение для а.
При синхронизации импульсных сигналов дискриминационная
характеристика обычно хорошо аппроксимируется линейно-лома-
ной линией. Предельным случаем такой характеристики является
релейная
а(ф) = Р° для 2л/<Ф<2л (/+0,5);
I—а0 для 2л(/— 0,5)<ф<2л/,
где /=0; ±1; ±2; ... Если фазовая ошибка слежения ф не выхо-
дит за пределы участка (—л, +л), то ф = 2yH^2i/(1—?2н); о2 ф =
= 2r4i (1+у2н)/(1—у2н)2, где г21 = Ад/гп/4а0; ун=Йн/Мо.
Оценить точность КН метода можно путем сравнения резуль-
татов расчета характеристик ЦСФС по приведенным выше форму-
лам с результатами расчета этих характеристик методами дискрет-
ных марковских цепей (см. гл. 10 и 11) и статистического моде-
лирования. В качестве примера на рис. 12.8 приведены результа-
ты расчета среднеквадратической ошибки слежения оф в ЦСФС
импульсного сигнала при нулевой начальной расстройке (QH=0)
222
и релейной дискриминационной характеристике. Рассматривалась
ЦСФС с замыканием петли через АЦП, подобная изображенной
на рис. 12.5, в которой, однако, производится вторичное бинарное
квантование суммы Мо отсчетов на выходе АЦП [12.19]. По оси
абсцисс на рис. 12.8 отложена величина w = M0U2c/(j2, где £72с и
о2— мощность прямолинейного сигнала и дисперсия шума
на входе АЦП. Результаты расчета методом дискретных марков-
ских цепей отмечены крестиками, КН методом — сплошной кри-
вой. Внутренний фазовый шум показан штрихпунктирной горизон-
тальной прямой. Аналогичное сравнение было приведено и для
синусоидальной формы дискриминационной характеристики [12 4],
соответствующей радиосигналу. В результате было показано, что
ошибка расчета флуктуационной ошибки КН методом не превы-
шает значений внутренних фазовых флуктуаций ЦСФС, которые
в практических схемах делают заведомо малыми (ибо они суще-
ствуют и при отсутствии входного шума).
На рис. 12.9 приведено сравнение результатов расчета отно-
сительной частоты переходов в ЦСФС гармонического сигнала
КН методом (сплошная кривая) с результатами статистического
моделирования точной цифровой модели (кружочки) [12.20]. Как
видно из рисунка, и здесь совпадение следует признать хорошим.
Глава 13
Оптимальные системы фазовой
синхронизации
13.1. Введение
Настоящая глава посвящена некоторым применениям математи-
ческой теории оптимальных процессов к статистическому синте-
зу оптимальных систем фазовой синхронизации СФС.
Понятие синтеза оптимальных СФС нечеткое, хотя ясно, что
речь идет о решении экстремальных задач, возникающих в приме-
нениях систем фазовой синхронизации. Не будем подробно оста-
навливаться на прикладном значении оптимальных СФС, заметим
лишь, что поиск именно оптимальных систем открывает пути до-
стижения «потолка эффективности» фазовой синхронизации. Ис-
тория синтеза оптимальных систем фазовой синхронизации это
открытие, освоение и применение математических методов техни-
ческой кибернетики. В терминах технической кибернетики СФС
содержит [13.1] устройства: задающее (ЗУ) —эталонный синхро-
низирующий генератор, сравнивающее (СУ) — фазовый и/или
частотный дискриминатор, корректирующее (КУ)—линейный ли-
бо нелинейный фильтр-корректор, исполнительное (ПУ) — фазо-
вый и/или частотный регулятор и, наконец, объект управления —
синхронизируемый подстраиваемый генератор.
223
Основные задачи синтеза оптимальных СФС порождены вопро-
сами: какие СУ, КУ, ИУ являются оптимальными? Когда СФС
является оптимальным синхронизатором? Не рассматривая под-
ходы, принципы, методы, привлекаемые к решению этих задач,
приведем лишь логическую структуру задач синтеза оптимальных
СФС.
Некоторая часть синхронизатора (управляемая система (УС))
считается заданной и ее свойства по техническим причинам изме-
нять нельзя; незаданная и изменяемая часть синхронизатора —
управляющее устройство (УУ). Задаются набор требований, отра-
жающий желаемое поведение УС, набор ограничений, определя-
ющий допустимое множество УУ, показатель эффективности УУ —
критерий его оптимальности, который индуцирует отношение
предпочтения на допустимом множестве УУ. Необходимо найти
такое УУ, которое удовлетворяет предъявленным требованиям и
предписанным ограничениям и, кроме того, оказывается предпоч-
тительнее остальных допустимых УУ.
Современные требования к точности фазовой синхронизации
стимулируют поиск таких статистически оптимальных. СФС, в ко-
торых игнорировать случайные воздействия и возмущения нельзя.
Краткий обзор синтеза (гл. 1) показывает, что отыскать статис-
тически оптимальные СФС можно, применяя методы линейной или
нелинейной фильтрации случайных процессов. Получить некото-
рые новые результаты помогает математическая теория оптималь-
ных процессов, которая применялась (см. гл. 1) к синтезу детер-
министических оптимальных СФС. Рассмотрим ее применение к
синтезу статистически оптимальных СФС.
13.2. Диффузионные процессы и оптимальное управление
Конкретные примеры синтеза оптимальных стохастических СФС опираются
на некоторые результаты математической теории оптимальною управления мар-
ковскими диффузионными процессами. Кратко поясним эти результаты.
Допустим, что математической моделью движения СФС можно считать
марковский диффузионный процесс, заданный стохастическим дифференциаль-
ным уравнением в форме Ито.
dx(t)=b(t, х( t) dt 4- о (С х (0 , и (/)) dw (/), То < t < Т1.	(13.1)
Здесь вектор x(/) = (xj(/), .., хп(/))^/?" отображает состояние системы; век-
торная функция b(t, x(t), u(t)) = bi(t, x(f), «(/)), ..., bn(J, x(t), u(t)) и (nX
Xm) — матричная функция o(t, x(/), и (/)) = (<ъДЛ x(t), u(t))), i=l, n, j —
= 1, tn определяют локальные характеристики движения системы; стандартный
винеровский процесс w (/) = (оч (/), ..., wm(t)) отображает случайные возмуще-
ния системы; =	..., Uk(t))^Rk — управляющее воздействие (управ-
ление) .
Применение теории марковских процессов к анализу стохастических СФС
широко известно; в модели (13.1) новым является зависимость локальных ха-
рактеристик процесса от управляющего воздействия. Выбором управления мож-
но изменять локальные характеристики марковского процесса и таким образом
целенаправленно изменять траекторию движения системы. Здесь важна доступ-
ная информация о состояниях системы.
Пусть управляющее воздействие u(Z) является марковским и=
х(/)): оно выбирается на основании только текущего состояния системы. Зна-
224
чения управления пусть стеснены ограничением	х(/)) марковского ха-
рактера, где U(t, x)^Rk — допустимое множество значений. Набор и —
— {«(/)]«(/) = u(t, x(t)) <=U(t, х(/))} называется стратегией-, она является эле-
ментом множества	допустимых стратегий,	j. Каждая до-
пустимая стратегия пусть определяет марковский диффузионный процесс, под-
чиненный (13.1); считается, что выполнены условия существования и единст-
венности решения (13.1) и гарантированы его марковские свойства диффузион-
ного типа.
С каждой допустимой стратегией свяжем случайную величину с(и) =
т
=j Ci(s, x(s), u(s) )ds + c2(T, х(Г)), T^[T0, TJ — функционал стоимости стра-
t
тсгии, где Ci(-), с2() •— заданные функции стоимости, Т — фиксировано. К
изучению такого функционала стоимости (точнее, его статистических характери-
стик) приводят различные практические задачи исследования СФС. В частности,
терминальная задача, когда С](-)=0, а с2{-) оценивает стоимость конечного
состояния (например, точность), или задача о длительности нахождения траек-
тории за время Т в заданной области XczT?’1, когда с2(•) = 0, a Ci(-) = l(x; X) —
индикатор области X.
Качество стратегии управления пусть оценивает риск
ти (t,x) = M“x
 т
j* сг (s, х (s), и (s)) ds 4- с2 (Т, х (Г))
Л
где Л4и/,ж{-} = XI{• |х(/) =х, u^U[t,T]} — математическое ожидание. Оптималь-
ный риск г(/, x)=minr“(/, х). Стратегия uoeU[t,T] называется оптимальной,
uqU
если г“о(/, x)=r(t, х).
Основные задачи теории оптимального управления состоят в том, чтобы
определить оптимальный риск, выяснить, когда существует оптимальная страте-
гия, описать необходимые и достаточные признаки оптимальности стратегии,
отыскать способы и методы построения оптимальной стратегии. Решение этих
задач требует привлечения тонких математических методов в [13.2—13.7], хотя
основные результаты можно пояснить, прибегая к уже знакомому в прикладной
теории фазовой синхронизации аналитическому аппарату.
Пусть стратегия допустима, u^U. Тогда
ru (t, х) = 2И“ х
Т
(s, х (s), и (s)) ds 4- c2 (T, x (T))
t
T
= j [q(s, x(s),«(s))]X
t
т
X & + Af“x[ca(r,x(7’))] = J
t
q (s, y,u(s, y))pu (t,x;s, y)dy I ds+
+ f y)pU (t,x',s,y)dy.	(13.2)
Rn
Здесь pu (t, x; s, y) — переходная плотность распределения марковского про-
цесса, заданного (13.1) с u(t)=u(t, х(/)). Она удовлетворяет уравнениям Кол-
могорова
-^ = Л“(Ьх;5,»)].^ = 4 у а(ЛЛх>и)-4- +
ot	2	дх; dxj
П	д
+ У bi (t,x, и) — ,
ы	дх‘
8-156	225
дР-=Ли [р“ (/,x;s,t/)],
os
Uu 1 V 52	Д д
я =т(1	“w(s- »' u}-2^b‘ {s’y’u)
(13.3)
с начальным условием pu(t, х; t, у)=8(х—у), где б(-) — вектор сноса; а =
₽(аи(')), h / = 1, п — матрица ковариаций (а = о-о*, о* — транспонированная
матрица о).
Применяя (13 3) к (13 2) находим
сх (/, х, и (t, х)),
Г /	\
/k“(/,x)]=| j Ci (•) XU [pU (•)] dy j ds 4- ( c2 (•) XU [p“ (-)]dy.
t \Rn	/	Rn
Отсюда риск ru — ru(t, x) является решением линейного уравнения
дги 1 Л	х 52 ги "	дги
~Т = Т^ й°('’х’и>^ + 2	+
(13.4)
с концевым условием ги(Т, х)=с2(Г, х).
Ясно, что, если оптимальная стратегия существует, то оптимальный риск
служит решением задачи (13.4). Возникает вопрос, как описать признаки опти-
мальности стратегии и как определить оптимальный риск. К решению этого
вопроса применим принцип оптимальности Веллмана [13 8], по которому опти-
мальная стратегия обладает тем свойством, что каковы бы ни были начальные
состояние и решение, последующие решения должны составлять оптимальную
стратегию относительно состояния, являющегося результатом применения на-
чального решения; это доказывается от противного.
Применяя принцип оптимальности, находим
f (t, х) = ш1пЛ4“ х X
ueU[t,s]
S
J С1 (т , х (т) , и (т)) dr г (s, х (s))
где U[t,s] — допустимое множество стратегий на интервале [/, s], Отсюда
—-— [г (t, х) — г (s, х)] = min М“ х
S—t	ueU[£,s]
------- (г (s, х (s)) —г (s, х)) = min
S — t	ueu [i(S]
Ci (т, x (т), и (т)) d г 4-
226
X pu(t, x ;s,y)dy) dx
+ 7ZT7J к (s,y) — r(sx))pu (/, x;s, y) dy
Rn
Считая оптимальный риск r(t, x) гладкой функцией и замечая здесь й
далее, что процесс x(s), t^s^T, x(t)=x диффузионный, находим
—Ц [г (I, х) — г (s, х)] = min —“'Ilf ci (т’ У’ и (т’	р“(*’ х ;
S *	ueU[i,s] s * Jr
Д 1 /р	и	\ dr
s,	y)dy d т+ >| ----7 (y-t —Xi) p (t,x-,s, y) dy -— (t, x) -ф-
/	S — t I J „	I OX;
J 1=1	\Rn	)	1
1	"	1	( p	и	\ d2r
+ — >. -----7 (yi—Xi)(yj — Xj)p (t,x-,s,y)dy (t,x)+o(s—t) .
2ij=is-/Urt	IdXidxj
Теперь, полагая s|/, меняя порядок следования операции предельного перехода
и отыскания минимума, получаем нелинейное (сравните с (13.4)) уравнение
для оптимального риска r = r(t, х):
д г
— — — min
д t ueU(t,x)
у £ ац (/, х, и)
i,j=l
д2 г
dxf Xj
+ c1(/,x,u) ,0</<Т	(13.5)
с концевым условием г(Т, х)=с2(Г, х), которое называют уравнением Веллмана.
Таким образом, если оптимальная стратегия существует, то оптимальный
риск в условиях регулярности является решением уравнения Веллмана; это не-
обходимое условие оптимальности. Покажем, что справедливо и обратное: если
уравнение Веллмана имеет единственное гладкое решение г0(/, х), то оно сов-
падает с оптимальным риском г(/, х) и функция «о = «о(С х) такая, что
#“в ко к» х)] + С1 к» х, и0) = min {Xй ко (*» X)I + ci х, и)}
ueU(t,x)
является оптимальным управлением, а стратегия u0={u0(t, х(/))} оптимальной,
г“0 = г(/, х); это достаточное условие оптимальности.
Заметим, что какова бы ни была допустимая стратегия,
д-^~ k, X) + Xй ко к, *)1 + к, X, и) > 0.
О I
Полагая r(t, x)=ru(t, x)—r0(t, х), находим (t, х)	х)]<0, t(Tl,
dt
х)=0. Поэтому
Т
Р . f и	(dr	и •	]
ds р (t,x\s,y) — (s,y) + Z [г (s, I/)] dy^Q.
j JRn	J
Отсюда, замечая, что
d р и	«	р и	dr
“ Р (t,x;s, y)r(s, y)dy = р (t,x ; s,y) — (s, у) dy +
“ R"	R-	*
f * dpu	Си	dr
+ r(s, y)~ (t, x ;s, y)dy=\ p (t,x-,s,y) — (s, y)dy-±
as	JRn	ds
8*
2-27
-I- ( [pU {t, кs, y\\ r(s,y) dy = f pU (t, x ;s, y)~~ (s, y) dy +
»	♦'	ns
Rn	Rn
4-f pU(t,x ; s,y)SSu [r (s, y)]dy = f pU(t ,X\s, y)\d-f-(s, y)[r x
in	I ds
x (s, «/)] j dy
и r(T, x)=0, p(t, x\ t, y)=ft(x—у), получаем требуемый результат r(t, x) =
=r“(/> x)—r0(t, x)>0( V u^U). Равенство имеет место, когда u = Uq, и тогда
,ruo(t, x)=r0(t, x)=r(t, x).
Аналогично можно показать, что и задача оптимального управления
“(t,x)=Mlx
сг (s, х (s), и (s)) ds 4- с2 (т, х (т)) >-* max,
ueU
где т •— случайный момент достижения траекторией границы dG области
С<=\Тй, Ti\XRn (сюда относится, например, задача о максимизации среднего
времени нахождения процесса в заданной области G), оказывается эквивалент-
ной задаче отыскания решения уравнения Веллмана
дг
-— = max
д t ueU(t,x)
1 V	д2г
п
Sd г
bi (t,x, и)~— +
<_1 дх‘
4-Сл(/,л,//)j , (/, x)£G,	(13.6)
<с граничным условием r(t, x)=c2(t, х), (t, x)&)G, где г = г(/, x)=maxr“(G
иеи
х) — оптимальный риск
К описанным критериям оптимальности приводят различные задачи опти-
мального управления СФС. Понятно, что сделанные при этом пояснения неко-
торых результатов теории оптимального управления диффузионными процессами
еще нс заменяют их доказательств. Точные формулировки необходимых и до-
статочных .условий для оптимальных управлений и доказательства справедли-
вости уравнений Веллмана для оптимального риска с привлечением сугубо ве-
роятностного подхода (формулы Ито и ее обобщения, т. е. не аналитического
подхода, как здесь) приведены, например, в [13.4—13.7].
13.3. Примеры оптимального управления стохастическими СФС
Приведем несколько примеров применения теории оптимально-
го управления диффузионными процессами к оптимальному син-
тезу стохастических СФС. По-видимому, первые применения изло-
жены в [13.9]. Избранные здесь примеры носят не только иллюст-
ративный характер, но представляют и самостоятельный практи-
ческий интерес.
Пример 1. Многие результаты синтеза оптимальных СФС
получены на основе априорного требования линейности оптималь-
ной системы. Естественно возникает желание избавиться от этого
стеснительного требования и попытаться искать оптимальное ре-
шение в классе нелинейных систем; к этому побуждают и некото-
рые результаты эвристического синтеза нелинейных СФС (напри-
228
мер, см. [13.10]). Возникает вопрос: когда оптимальная СФС яв-
ляется линейной? Практическое значение вопроса можно оценить,
если заметить, что положительный ответ, показывающий условия,
в которых это имеет место, делает бесплодными любые попытки
поиска лучших систем. Приведем здесь простой пример, допуска-
ющий далеко идущие обобщения.
Борьба за эффективность стабилизации автоколебаний явля-
ется традиционным направлением конструирования оптимальных
СФС. Естественные флуктуации в элементах СФС ограничивают
потенциальную эффективность синхронизации; ее поиск представ-
ляет поэтому принципиальный интерес.
Допустим, что математической моделью СФС является стохас-
тическое дифференциальное уравнение первого порядка [13.1]
dx (/) -±-b (и (Z)) dt = axd wx (/) 4-^2 w‘i (0» 0 <(13.7)
Здесь х(1)— фазовая ошибка системы; b(u(t))— характеристика
исполнительного устройства; u(t) = u(t, x(t))—искомое управле-
ние; oi, о2 — известные параметры; а = о2\ + о22>0; винеровские
процессы ьУ1(/)> отображают естественные фазовые флуктуа-
ции автоколебательных систем синхронизатора.
Пусть задачей оптимального управления является минимиза-
ция критерия качества синхронизации
ги (/, х) == Му х О (q (х (s)—х0)2 + с2 Ь2 (и (s))) ds + с3 (х (Т) — х0)2 ,
Ч
где х°, CiZ>0, с2>0, с3^0 — постоянные (c2i + c23>0), Т<оо —
фиксировано.
Поясним практическое содержание задачи.
Желаемым состоянием системы является состояние х^х0 (на-
пример, режим фазовой манипуляции или режим фазовой стаби-
лизации, когда х° = 0). Естественно требование: парировать слу-
чайные отклонения (x(t)—х°) фазовой ошибки. Величина u(t) яв-
ляется свободной, u(t)<=R\ следовательно, возможен слу-
чай. когда u(t) чрезмерно велико и тогда частотная ошиб-
ка b{u(t)) (точнее, локальная скорость фазовой ошиб-
ки) неприемлема. Отсюда возникает дополнительное требование
о нежелательности чрезмерно больших значений b(u(t)). Один из
возможных переводов этих требований на математический язык
и записан в критерии качества: задается х°, фиксируется Т, на-
значается а) квадратичная стоимость нежелательных отклонений
к б) терминальная и интегральная компоненты критерия; мно-
жители С\, С2, сз отражают ценность слагаемых критерия.
Конкретизируя (13.5), получаем, что оптимальный риск
r(t, xj=minru(t, х) является решением уравнения Веллмана
и
—= min (— dLl---------b (и) -^- + сх (х—х0)2 ж с9 Ь2 (и)), t < Т,
dt и \ 2 дх2 v ’ дх м ’	2
г(Т, х) = с3(х—х0)2.
229
Допустим, что характеристика Ь(и) является гладкой монотон-
ной функцией ((u)>Q, b(0)=0); это естественнее допуще-
du
ния. Функция
и -> (-^	— ь (w)	(х—X0)2 + с2 Ь2 (и)) :R->R
2 дх2	дх
достигает экстремума, когда и = uQ : b (и0) = — — z(t, х);про-
2с2 дх
верка показывает, что и0 — точка минимума. Отсюда, опти-
мальное управление u0(t, x)=b*	(——• — (/, х)), где функция
2с2 дх
Ь*(») обратная /?(•) (b*(b(u)) =и)\ она существует в силу при-
нятых допущений. Следовательно, оптимальный риск является ре-
шением уравнения
-----------------+ £ (х—х°)2 = 0, КТ	(13.8)
dt 2 дх2 4 с2 \ дх I 1
с концевым условием г (Г, х)=Сз(х—х0)2. Подставляя
Г (/, X) = Г о (0 + t\ (/) (х —Х°) + г2 (/) (Х —X0)2
и сравнивая коэффициенты постоянных, линейных и квадратичных
относительно (х—х°) членов, получаем систему
^ + аг2--^-г|=0, г„(Т) = 0;	г о, г1(Т) = 0.
dt	4с2	dt с2
— i + <\ = 0, г2(Т) = Сз,
dt с2
удовлетворяя (13.8). Замечая, что ri(/)=0 и последнее уравне-
ние системы есть частный случай специального уравнения Рикка-
ти [13.11], находим искомый результат
т
г0 (t) = а Гr2 (s) ds, r2 (/) =------- при сх = О,
t	1-—(/-Т)
с2
1/сх/с2 — — th 'Vc1/c2 (t — T)
Г2 (0 = C3 ----------------------- ПРИ C1 > °-
T/q/^2 — th l/ci/c2 (t — T)
C2
Таким образом, оптимальное управление u0(t, х) является, во-
обще говоря, нелинейным, u0(t, x)=b* ((х—х°) ). Однако
оптимальная СФС оказывается тем не менее линейной системой:
dx(t)+ Г2 (x(t) — x°)dt^Gidw1(t) +a2dw2(t).
с2
Заметим, что оптимальное управление нечувствительно к па-
раметрам Oi, 02 случайного воздействия; это важное свойство оп-
тимальной системы, так как истинные значения oi, 02. часто неиз-
вестны точно.
230
Пример 2. Как возникает нелинейная оптимальная СФС?
Случай 1. В модели (13.7) примем, что характеристика Ь(»)
линейна, b(u(t)) =bxu(t), Ь\>0, и стратегия и допустима, u^U,
если u(t)=u(t, х) — ограниченная измеримая функция (/, х),
\u(t, х) | <&2>0.
Состояние х=0 является желательным состоянием СФС. На-
значены границы нежелательного состояния СФС, х=±х\. Пусть
T=inf {t^s ; x(s)<= (0, Xi)} — момент достижения границ интерва-
ла (0, Xi), если начальное состояние x(t) =х^ (0, Xi); аналогич-
но T = inf{/sO : x(s)^ (—хь 0)}, если начальное состояние x(t) =
= хе (—XiO).
Задача: ru(t) =Mut<xc(r, х(т))-> max , где функция c(t, 0) = 1,
и е и
c(t, ±xi) =0.
Поясним содержание задачи. Случайный момент т встречи
траекторий фаз колебаний, когда фазовая ошибка СФС х(т) =0,
можно назвать захватыванием; это желательное событие. Задачей
оптимального управления является максимизация вероятности со-
бытия, что захватывание осуществится прежде, чем фазовое рас-
согласование достигнет нежелательного состояния х=±хх.
Конкретизируя (13 6), получаем, что оптимальный риск
r(t, x)=maxrw(7, х)=г(х)* является решением нелинейной кра-
и<е и
евой задачи
max f—	—bv -^-\ = 0, 0<х<х1, г(0) = 1, г(хх)=0.
(o| sg 1 \ 2 dx2	dx /
Здесь v = u/b2, |у|	1 — нормированное управление, b = bxb2'>0.
Очевидно, что оптимальное управление
, . _(—1, когда dr/dx>0,
0О ("v — {
( + 1, когда dr/dx<0.
Короче, а0(х) =—sgn (dr/dx). Следовательно, 0,5 ad2r/dx2 +
-гb | dr/dx| =0, 0<x<xlt r(0) = 1, r(xx) =0. Аналогично 0,5ad2r/dx2 +
+ b\dr/dx\=0, —Xi<x<0, r(0) = l, r(—Xi) =0. Замечая, что
<d2r/dx2^.O, 0< |x| <xlt заключаем, что функция r(x), 0< |x| <Xi—
вогнутая. Отсюда оптимальный риск служит решением линейной
краевой задачи
Q,5ad2 r/dx2-{-bdr/dx = 0, OClxlCXj, г (0) = 1, r(±x1) = 0.
(13.9)
Решая (13.9), находим оптимальный риск:
(х) = ехрВ^-х)-! , о<|х|<х1,Г> = 2Ж	(13.10)
ехр (Dxj) — 1
Таким образом, оптимальное управление является релейным,
V0(t, v)=sgnx, |х|^Х1.
Следствие однородности коэффициентов и граничных условий уравнения
Веллмана
231
Случай 2. Примем, что характеристика b(-) =bxu(t), b\>Q ли-
нейна и стратегия допустима, u^U, если u = u(t, х) —ограничен-
ная измеримая функция (/, х), \u(t, х)|^/?2>0.
т
Задача ru(t, х) = М“ х С 1 (x(s); x2)ds->max, где т— inf{/<s:xx
J	UQU
X (s) GE ( xv x2)}, 1	x2)
— индикатор события |x(s) | ^x2^Xi.
Это означает, что задача оптимального управления теперь за-
ключается в том, чтобы максимизировать среднее время удержа-
ния фазовой ошибки в «рабочем» интервале [—х2, х2]. В частно-
сти, когда x2 = Xi, необходимо максимизировать среднее время до-
стижения «опасных» границ х = ±Х].
v	/<? = {(/, x):fe(0, оо), |х|<х1), \
Конкретизируя (13.6), | u	,
\М’) = 1(Х> *2)> М-) = о /
получаем, что оптимальный риск r(t, х) = max rv(t, x)=r(x)
иеи
является решением краевой задачи
max (— ——bv~ + 1 (х; х2)1 = 0, —х, СхСх,, r(± х,) = 0,
2 dx2 dx 1 v	1	1 v 17
где b = bib2, v = u/b2.
Понятно, что оптимальное управление носит релейный харак-
тер, и0(х) =—sgn(drfdx). Поэтому оптимальный риск является
решением краевой задачи
4- :г,+ь\%- l + l(*: *s)=o. -xl<x<x2, г(±х1) = о. (1з.п>
2 dx2 1 dx I
Заметим, что r(x)=r(—х)—следствие симметрии задачи (13.11')
dr
и, следовательно, -	(0) =0, иначе г(х)=^г(—х). Полагая
S (х) = —-г— (х), получаем
dx
— — (x) + MS(x)|+l(x; х2) = 0, — х1<х<х1, S(0) = 0.	(13.12)
2 dx
Заметим, что S(x)^Q, когда х^О; отсюда |S(xJ | =—S(x), и
решая (13.12), находим
dr __ П —ехР 0 < х с х2, D = 2Ь/а,
dx |(1—expZ)x2) expZ) (х—х2), х > х2
и далее оптимальный риск
Ьг (х) =
1 — е DXi / DXt DXi \ 1 / v QD1Ci — qDx n
-------(e *—e *) + (x—x2)H-------o^xcx^
1 — e Dx2 / Dx, Dx\
---ъ— (e *—e ), x2 < x < x1(
232
Оптимальное управление является релейным, o0(x)=sgnx,
|х| гСХь
Случай 3. В модели (13.7) примем, что характеристика
b(-)=biu(t), bi>0, линейна и стратегия и допустима, если
u = u(t, х) ограниченная измеримая функция (t, х), \u(t, xj|^
^b<2'j>0.
Задачей оптимального управления является предельное быст-
родействие: минимизация среднего времени достижения фазовой
ошибкой либо состояния х = 0 либо состояния х = 2л; начальное
состояние x(/J=xe[0, 2л].
‘ Оптимальный риск является решением краевой задачи
min dlL^bv — + l )=0, хе(0,2л),г(0) = 0 = г(2л),
I v \ 2 dx2 dx /
где v = ufb, Ь = Ь\Ь2>0. Заменой х = ф + л получаем
min ( — —-----bv d— 4-1) = 0, —л<ф<л, гх(±л) = 0,
|о|<1 \ 2 d ф2 dtp )
где Г1(ф) = г(ф + л).
Понятно, что оптимальное управление o0^)=sgn_____L_ (ф) и,
С?ф
следовательно,
—б|^|+1 = 0, —л<<р<л, гх(±л) = 0.
2 d ф2 I d ф I
Замечая, что /'1(ф)=/'1(—ф) и, следовательно,_(0) =0 (см.
t/ф
случай 2), полагая 3(ф) = b dr2... (ф), получаем
dtp
—	__| s । + 1 = о, — л<ф<л, S(0) = 0,	(13.13)
D d ф
где D = 2bfa.
Решая (13.13), находим
- (exp—Рф—1, ф > о,
d ф	—ехр/Эф,	ф < 0
и далее оптимальный риск	г(ф + л) =Г\ (ф), Ьг1(ф)=л—ф +
+ (ехр—Dn—exp—Dq) ID = br\ (—ф), (О^ф^л).
Таким образом, оптимальное управление и здесь релейно,
ц0(/, х) =—sgn(x—л), 0^х^2л.
Пример 3. Релейный характер управления является опти-
мальным и в некоторых других задачах синтеза СФС [13.9]. Од-
нако его применение вызывает скачкообразные колебания локаль-
ной скорости фазовой ошибки. Когда такое явление оказывается
нежелательным, очевидно, что необходимо так изменить критерий
оптимальности, чтобы сделать невыгодным использование пре-
дельных значений управления. Например, пусть в модели (13.7)
233
значения управления свободны u(t)<=R и пусть задача оптимиза-
ции
ги (х) = Мих( с1х~с2 f b2 (и (s))ds j ds
\	6	/
-> max
и
есть задача стабилизации СФС (сравните случай 2, примера 2),
где за использование локального сноса	с целью в сред-
нем возможно дольше удержать фазовую ошибку х(1) в рабочем
интервале — xb Xi (первое слагаемое критерия) взимается допол-
нительная стоимость (второе слагаемое критерия).
Запишем уравнение Веллмана
max —b	+ci — с262 (w)^ = 0, —хх <х< xv г (± хх) =0,
(13.14)
где г(х) =тахги(х) —оптимальный риск.
Допустим, что Ь(и) гладкая монотонная функция ( —(«)>
du
>0, 6(0) =0); это естественные допущения. Левая часть (13.14) до-
стигает максимума, когда и = uQ: b (и0) =----— — (х). Отсюда
2с2 dx
f 1 dr	\
оптимальное управление uQ(x) — b*l-------— (х) ) , где 6*(«) —
\	2с2 dx	/
функция, обратная б(-); она существует в силу принятых допуще-
ний. Следовательно, оптимальный риск является решением краевой
задачи
a d2r .	1 / dr \2 . п
----------1---( — 4-р = 0
2 dx2 4с2 \ dx J
г(±Хх)=зО.
(13.15)
Замечая, что г(х)=г(—х) из-за симметрии задачи (13.15), заклю-
чаем, что г(0)=0, иначе г(х)=#/'(—х). Полагая S(x) =drldx„
получаем
— dJLj^—Ls2 + c	о, — х1<х<х1, S(0) = 0.
2 dx 4с2	1 1	’	1	iv/
Это частный случай специального уравнения Риккати [13.11J.
Учитывая начальные условия, находим
dr	г--	, AV- %
-^=—2yc1c2tgJ/	, — х1<х<х1, г(±Х1) = о.
Отсюда получаем
cos
г (х) = 2ас2 In-------
cos

234
Таким образом, оптимальное управление
щ w=ь* (у tg у ) ,
оптимальная СФС
dx(t) + Уtg УX-^-dt = a1dw1(t) + a2dw2(i)
является нерелейной.
Пример 4. Процесс синхронизации нередко сопровождается
флуктуационными помехами, которые приводят к нарушению
строго синхронного режима. Именно помимо малых случайных
отклонений фазы автоколебаний изредка возникают большие от-
ююнения, сравнимые с периодом, и перескоки фазы на целое чис-
ло периодов; перескоки фазы вызывают срыв синхронизации.
Тогда актуальна задача надежно обнаружить и эффективно устра-
нить «опасное» отклонение фазы—«разладку» синхронизации.
Конечно, требование хорошего качества синхронизации сохраня-
ется. В примере иллюстрируется постановка и решение задачи о
разладке синхронизации.
В диффузионном приближении СФС можно описать уравнени-
ями [13.1]
dx (/) + и (/) dt = ou	(/)—ст12 cfay12 (/), 0 < t,
dy (/) — sin x (/) dt = or21 cos x (/) tfoy21 (/) — or22 sin x (/) dw22 (/).
Здесь x(t) — фазовая ошибка; u.(t)=u(t, x(t))—искомое уп-
равление; y(t)—наблюдаемый процесс; orn, i, / = 1, 2 — известные
параметры («i = <t2h+ <r2i2, «2 —o22i+o222>0) ; независимые вине-
ровские процессы wl3(t), i, /=1, 2, отображают собственные флук-
туации автоколебательных систем и случайные помехи канала
связи (t=btf— нормированное время, b—полоса синхронизма).
Пусть решающий блок наблюдает состояние системы синхро-
низации; наблюдение специальных затрат не требует и не штра-
фуется. Интервал — Xj<x<Xi назовем рабочим интервалом, ре-
жим x(t)^(—xh х^—рабочим режимом. Решающий блок обя-
зан оценивать фазовую ошибку и управлять рабочим режимом.
Пусть качество оценки — среднеквадратичная ошибка; тогда апо-
стериорное среднее x°(t) =M(x(t) [у0*, ido)— оптимальная оцен-
ка. Качество управления рабочим режимом оценивается риском
(т
J (х2 (s) + и2 (s)) ds j, Т < оо.
о	/
Допустимое управление здесь и далее стеснено требованием
I u(t) |^1.
Выход фазовой ошибки за границы рабочего интервала озна-
чает разладку. Решающий блок должен о ней сигнализировать.
За пропуск разладки и за ложную сигнализацию взимаются
235
штрафы: C(xt, 6'Z)=A', когда	|6'/|<хь н C(xt, b't)=B',
когда |xz| <xb 16'z | ^хь где &'t— принимаемое решение.
Задача 1: определить рабочее управление, доставляющее ми-
нимум г, и найти правило сигнализации разладки.
В опасной ситуации (вероятная разладка) требуется «форси-
ровать» режим синхронизации (иначе, устранить разладку} и ос-
танавливать форсированный режим. Назначен интервал остановки
—х2<х<х2, х2<хь За пропуск остановки и за ложную остановку
взимаются штрафы: C(xt, 6"t) =А", когда |xj^x2, |6"/|>х2, и
C(xt, b"t) =В", когда |х/|>х2, 1| =^х2, где 6"/ — принимаемое
решение. Форсированный режим пусть характеризуется апостери-
орной вероятностью Pz = P{|xt| <х2| z/of, zzoz}. Качество управле-
ния форсированным режимом пусть оценивается средним време-
нем достижения Т апостериорной вероятностью P°=max P{|xJ <
<*2 |	-
Задача 2: определить форсированное управление, доставляю-
щее минимум Т, и найти правило остановки форсированного ре-
жима. При остановке форсированного режима включается рабо-
чий режим. Иными словами, форсированное управление заменяет-
ся рабочим.
Поясним техническую сторону задач. Решающий блок содер-
жит: блок оценок фазовой ошибки по наблюдаемому с фазового
детектора процессу, пороговое устройство, фиксирующее рабочий
либо форсированный режим, блоки рабочего и форсированного
управлений, осуществляющие рабочее либо форсированное регу-
лирование частоты автоколебаний синхронизируемого генератора..
Апостериорная плотность распределения фазовой ошибки
p = p(t, х) или заменяющие переменные образуют достаточные ко-
ординаты задачи управления рабочим (форсированным) режимом.
Применение теории условных марковских процессов позволяет
плотность p=p(t, х) описать стохастическим уравнением [13.2]’
\ 2 дх2 дх /
dF (/)=—/ sin xdy (/)---- sin2 xdt \ .
«2 \	2	/
Точное решение уравнения — сложная задача. В линейном при-
ближении
dP=	+“^'}dt + — (х—MPsx) pdy (t)—^~ (х*—МР8х*) pdt„
\ 2 дх2 дх J а2	2а2
порожденном заменой sinx на х и оправданном прикладными за-
дачами, где требуется надежная синхронизация, получаем
,,	.	1	(	(% — х°(0)21
р (Л х) =----====- exp 1 — -----1 ,
1/2ло2 (Z)	I 2о2(/) I
*	1	(13.16)
dx° (t)= — а (/) dt + —— (dy (Z) — x° (Z) dt), x° (0) = x°,
a2
236
-	4- —2-^- = а1, a2(0) = a2	(13.17)
dt a2
Здесь xQ(t) — апостериорное среднее (оценочное значение);
о2(/) — апостериорная дисперсия (точность оценки); х°, а20 —ап-
риорные значения. Решающий блок моделирует (13.16) и (13.17).
Упрощая моделирование, заменим <т2(£) здесь и далее стационар-
ным значением (у2=]Аaia2. Связанная с заменой погрешность оку-
пается конструктивным упрощением решающего блока.
Введем теперь риск
( т
г (t, х) = min Ми I — f (х2 (s) -|- и2 (s)) ds I х° (/) = х
|u^l|	\ 2 J
X t
и запишем уравнение Веллмана для рабочего режима [13.2]
дг .	/ а-, д2г dr , 1 z 9 , 9 , 9Ч X
-----= min ( —-----------и----1---(х2 4- о2 + и2) ).
dt | и |<1 \ 2 дх2 дх 2	/
Следовательно, оптимальное рабочее управление
, dr ,, v \дг/дх, |dr/dx| < 1,
и° (t, х) = sat — (t, x) = i 1	1
дх	[sgn (дг/дх), | дг/дх | > 1.
В стационарном режиме получаем уравнения [13.2, 13.12]
d^dL____L \2 , _[_и2 । a2)==v 1^0
2 dx2 2 \ dx /	2 V ' Г’ I dx
< 1,
flj d2r0
~2 ~d&~
(13.18)
(13.19)
где r§(x)= lim [r(/, x)—y(T—/)], y= lim (7—/)-1г(/, x).
(T-f)-oo	(?-/)->»
Решая (13.18) и (13.19), находим оптимальное рабочее управ-
ление и°р и среднюю скорость потерь у; результаты численного
решения приведены в [13.12]. В частности, когда ах < 1, оптималь-
ное рабочее управление и°р(х) =sat х; когда ai 10, и°р(х) =sgn х.
Зная апостериорную плотность распределения p(t, х), можно
найти правило сигнализации разладки. Записывая апостериорные
риски принятия ошибочных решений [13.2, Дополнение]
dW и‘о)=в' j
хе (—xlt
Г ( М t/o’ ио) =
р (t, х) dx = B'
хд
р (t, х) dx = А'
(13.20)
/ r° v V
f л-4 ' Л-f \
4-Ф —--------Ч
\ а /
и сравнивая (13.20)
разладки: решающий блок сигнализирует о разладке с первым
(13.21)
и (13.21), получаем правило сигнализации
237
достижением оценкой xQ(t) порогового значения х', определяемого
уравнением
(13.22)
X
где Ф(х)= —[e~yi/2dy.
1/2л J
v о
Пусть принято решение о разладке. Тогда требуется оптималь-
ное форсированное управление, доставляющее минимум Т. Апо-
стериорная вероятность
/	Г	Г0	\	/	V I г°
Г*	I	Ло -- Л ±	\	/	Лп “т- Лл
Pt =	р(/, x)dx = ® —-------L +ф _221_L
J	\ о	/	\	о
-Х2
(функция достаточных координат) принимает максимальное зна-
чение Р° = 2Ф(х2/<т) с первым достижением оценкой x°t гранично-
го значения х=0. Следовательно, исходная задача эквивалентна
задаче максимального быстродействия по полным данным [13.2,
13.3]. Вводя Т(х) = min М (То | x°t = х), где То — момент дости-
I и|<1
жения, запишем уравнение Веллмана для форсированного режима
./ 01 d*T dT , Д n ai d2T
min I------------и------1-1 1 = 0 или — —
I и |<11 2 dx2 dx I	2 dx2
dT
dx
+ 1=0
(13.23)
с граничным условием Г(0)=0. Оптимальное форсированное уп-
равление w%(X)=sgn —(х) принимает значения ±1. Решение
dx
(13.23) очевидно: Т(х) = |х|. Следовательно, оптимальное форси-
рованное управление и°ф(х) =sgnх является релейным.
Задача остановки форсированного режима родственна задаче
сигнализации разладки. Решающий блО|К останавливает форсиро-
ванный режим с первым достижением оценки x°t порогового зна-
чения х", определяемого уравнением
+	х”~х2	+	+ 1 =0.	(13.24)
В заключение отметим, что иллюстрация применения матема-
тической теории оптимальных процессов к статистическому синте-
зу СФС показывает, как возникает линейная или нелинейная оп-
тимальная СФС и переменная структура оптимальной СФС.
Глава 14
Системы фазовой синхронизации
в устройствах синтеза частот
Системы ФАПЧ, являющиеся разновидностью СФС, широко ис-
пользуются для создания дискретного множества частот. Устрой-
ства, с помощью которых обеспечивается это множество в задан-
ном диапазоне частот, называются синтезаторами частот (СЧ)
[14.1—14.3]. Все многообразие структур синтезаторов условно
принято делить на два класса: синтезаторы, построенные по ме-
тоду прямого синтеза (или просто синтеза) и по методу косвен-
ного синтеза (или анализа). В первых из них выходное колебание
получается с помощью операций сложения, умножения, вычита-
ния и деления одной или нескольких опорных частот. В таких
устройствах системы ФАПЧ, как правило, применяются в каче-
стве узкополосных перестраиваемых активных фильтров. На
рис. 14.1 приведена одна из возможных структур синтезатора, в
котором система ФАПЧ играет роль перестраиваемого полосово-
го фильтра ППФ. Здесь в зависимости от заданной частоты вы-
ходного сигнала синтезатора (требуемого номера гармоники)
устройством управления УУ в систему ФАПЧ вводится начальная
частотная расстройка. Особенно целесообразно такое применение
систем ФАПЧ при малом значении частоты /о.г.
Рис. 14.1
В зависимости от конкретной реализации при исследовании
систем ФАПЧ используется непрерывная, дискретная или непре-
рывно-дискретная модель, описываемая дифференциальными, раз-
ностными или дифференциально-разностными уравнениями соот-
ветственно. Из требования, предъявляемого к синтезаторам час-
тот— высокой монохроматичности выходного сигнала, от систем
ФАПЧ требуется высокое подавление дискретных побочных ком-
понент в спектре выходного сигнала и фильтрация собственных
шумов подстраиваемого генератора, что приводит к необходимо-
239
сти использования в цепях управления системы сложных фильт-
ров. При этом возникает проблема обеспечения устойчивости си-
стем ФАПЧ, определения ее динамических характеристик, влияю-
щих на быстродействие как собственно системы ФАПЧ, так и
всего СЧ в целом. Эти вопросы подробно рассмотрены в гл. 2, 3.
В отличие от метода прямого синтеза при построении СЧ
по методу косвенного синтеза дискретное множество частот обеспе-
чивается не прямым многократным преобразованием опорной ча-
стоты, а путем изменения параметров сигнала обратной связи в
системе ФАПЧ. Таким образом, СФС является основой построе-
ния синтезаторов. Структурные схемы СЧ разнообразны, что свя-
зано с различными способами построения цепей обратной связи,
управления и опорных частот систем ФАПЧ. На рис. 14.2 приве-
дена структура СЧ, в котором система ФАПЧ выполняет роль
не только эквивалентного фильтра, но и сумматора частот fi,f2,/з-
В кольце ФАПЧ выходные частоты изменяются благодаря изме-
нению опорных частот Д, f2, f3. Частота выходного сигнала fSblx =
—f i Ч-Д+Д-
На рис. 14.3 приведена схема, в которой используется другой
принцип формирования выходных частот — с помощью делителя
с переменным коэффициентом деления (ДПКД) в цепи обратной
связи. Эта схема позволяет при высоких качественных показате-
лях СЧ использовать достижения микроэлектроники, а кроме то-
го в нем просто и надежно можно менять выходные частоты син-
тезатора с помощью фиксированной смены начальной расстройки
в системе ФАПЧ при изменении коэффициента деления ДПКД N.
Благодаря синхронизму
/ор = Л>ыХЖ	(14.1)
При смене коэффициента деления ДПКД на единицу }ъых меняет-
ся на значение Др, а Двых=ДР(Л^Ч-1) = ДрЛг + Др- Из этих простых
соотношений видно, что шаг сетки частот Af на выходе СЧ опре-
деляется частотой сравнения Др- Часто, из-за ограниченного час-
тотного диапазона микросхем, применяемых в ДПКД, между ПГ
и ДПКД ставится делитель ДЧ (см. рис. 14.3) с фиксированным
коэффициентом деления М. В этом случае шаг сетки частот А/
увеличивается в М раз при той же частоте сравнения на ИФД.
Работа таких синтезаторов подробно рассмотрена в [14.1, 14.3].
240	, >
Отметим лишь, что описываются такие системы нелинейными раз-
ностными уравнениями л-го порядка вида [14.6]:
Дф [п] =ОаТ,-йХ S к(n-j) F (Ф [/]),	(14.2)
/=0
где QH = QOr/£—Qnr/AW; Гр— период регулирования; /([п]— пе-
редаточная функция ФНЧ; <р[л]—разность фаз опорного и под-
страиваемого генераторов с учетом коэффициентов деления ДЧЬ
ДЧ2 и ДПКД; Qy — полоса удержания системы ФАПЧ; F(tp) —
нормированная характеристика ИФД; L, М, N — коэффициенты
деления делителей ДЧь ДЧ2 и ДПКД соответственно. Уменьше-
ние шага требует снижения частоты сравнения и повышения ко-
эффициентов деления А и L, что приводит к необходимости уве-
личения инерционности всей системы в целом для обеспечения
заданного подавления дискретных компонент в спектре выход-
ного сигнала, обусловленных частотой сравнения. Это, в свою
очередь, вызывает ухудшение фильтрации собственных шумов пе-
рестраиваемого генератора и быстродействия СЧ. Уменьшение
частоты сравнения ведет к уменьшению полосы захвата, что су-
щественно влияет на диапазон частот синтезатора. Преодолеть
противоречие между динамическими и фильтрующими свойства-
ми можно построением СЧ на основе системы ИФАПЧ с цифро-
вым интегратором в цепи управления (рис. 14.4). В таком СЧ
требуемые диапазон перестройки и динамические характеристи-
ки обеспечиваются цифровым интегратором ЦП, а уровень фильт-
рации внешних и внутренних помех — выбором параметров про-
порционального кольца регулирования I.
Работа системы ФАПЧ с ЦП может быть описана системой
разностных уравнений [14.4—14.6]:
Д<р [и] = [nJ ТР—I Qy TPF (<р [n]), AQX [л] = — QybF{ф [л]},
(14.3), (14.4)
где b определяется из постоянной времени интегратора TK = Tvlb.
При реализации ЦП в виде последовательного соединения
устройства управления УУ, реверсивного счетчика PC и преобра-
241
зователя цифра—аналог ПЦА, а также при 1=1 (14.3), (14.4}
принимают вид
=	— Г(<р[п]), Ах[п] = — 8 sign {Г (ф [и])},	(14.5), (14.$)
Му 1 р
где -г[п] = ун—8 sign {F (ф [/])}; А х [и] = х (nJ- 1)—х[п];	ун =
i=0
= QH/Qy — относительная начальная частотная расстройка; е =
= SyUn и макс/&у.Мс — параметр, определяющий скорость изменения
координаты х; Sy— крутизна характеристики управляющего эле-
мента; 17ц и макс — максимальное напряжение на выходе ЦИ; Д4С—
емкость реверсивного счетчика; sign{F(<p[z])}—характеристика
устройства управления ЦИ.
Для анализа (14.5), (14.6) применяются приближенные мето-
ды. Если параметр е<С1, то координату х можно считать медленно
меняющейся по сравнению с координатой ср. При этом (14.5) опи-
сывает быстрые движения в системе, а (14.6) — медленные. Если
е = 0, то (14.5) описывает обычную систему ИФАПЧ первого по-
рядка, в которой роль начальной расстройки играет координата х
[14.7]. Для определенности будем считать, что характеристика
ИФД пилообразная, т. е. F(ср) = <р/л. При использовании системы
ИФАПЧ с ЦИ наиболее характерно х>1. Анализ (14.5) методом
фазовой плоскости для этого случая показал [14.8], что возмож-
ны различные движения координаты ср. Простейшим из них яв-
ляется такое, при котором рср = const в любой момент времени, а
разность фаз за Гр получает приращение, кратное 2л — режим
кратных или ложных захватов. Этот режим для системы явно не-
желателен, так как и при подключении ЦИ он сохраняется (из-за
периодичности характеристики F(tp)). В [14.8] показано, что до-
статочное условие отсутствия ложных захватов
х<2л/йуТр—1.	(14.7)
При изменении параметров системы режимы меняются. С тече-
нием времени координата ср неограниченно возрастает (рср^О),
а характер изменения F (ср) и рср независимо от сложности дви-
жения остается периодическим или квазипериодическим. Анализ
асинхронного режима показал [14.8], что при дальнейшем умень-
шении х сложные периодические и квазипериодические движения
сменяются простыми периодическими с периодом T = kTv (где k
равно 1, 2, ...). Координаты рср и Е(ср) за период Т принимают k
различных значений, а координата tp за время Т получает прира-
щение 2л. В области параметров системы ИФАПЧ условие су-
ществования k кратного периодического движения;
(1+?)/(1~/)<*< l+2?“‘/(l-g‘),	(14.8)
где g = 1—QyTp/л.
242
В областях, лежащих между зонами k и >6 + 1, имеет место
бесконечное множество движений с набором периодов от Т=kTp
до 7 = оо, причем каждый сложный период Т состоит из набора
только двух простых квазипериодов: T{ = kT^ и Г2 = (6+1)Гр, т. е.
Т = акТ^ + Ь (k+ 1) Гр, где а, b — целые числа, принимающие зна-
чения от 0 до сю. На границах областей с номерами k и (6+1)
периоды Т становятся точно равными 6ГР или (6+1)Гр. На рис.
14.5 области существования 6-кратных периодических движений
отмечены штриховкой. Проведенный в [14.8] анализ позволил по-
лучить усредненное уравнение для медленной координаты х:
Д х = —e sign F (ф).
Здесь ~ означает усреднение по времени.
Рис. 14.6
Для периодических движений sign F (ср) = 1—26i/6 = S(x), где
ki— число периодов регулирования, в течение которых Г((р)<0,
6 = Г/Гр. Анализ поведения S(x) показывает, что существуют та-
кие значения х, при которых 3(%)=0, т. е. захват в системе
ИФАПЧ с ЦП невозможен. Полоса захвата в такой системе оп-
ределяется выражением
1П (1- V1—g2)
igg
—i
ln(l-ri-g2)
In 2
(14.10)
Из этого выражения видно, что при изменении g от 0 до 1, х3
меняется от 1 до сю (при g->l £2уГр->0, т. е. система ИФАПЧ с
ЦИ приближается к непрерывной системе ФАПЧ с идеальным
интегратором). Следовательно, в реальной ИФАПЧ с ЦИ незави-
243
симо от емкости ЦИ полоса захвата конечна и зависит от пара-
метра g (g->0, Хз-И).
Будем считать, что время переходных процессов Гп по анало-
гии с методикой, принятой в [14.6], складывается из времен ус-
тановления частоты TF (время движения х от х(0) до х=1) и
фазы Гф (при изменении х от 1 до 0), т. е. Тп^Тр + Т^. Тогда
TF = mTp, где m — число периодов регулирования, необходимое
для изменения х от х(0) до 1:
2= (0) —1,	=	(xf), xf = xi_1 + eS(xi—1),	(14.11)
i=i
а Гф =Гр/е, так как при 0<х<1 S(x) = l.
На рис. 14.6 приведены зависимости хп = гТп/Тр от х(0) при
различных значениях параметра g, из которых видно, что тп за-
висит не только от х(0), но и от g.
На практике дискретизацию по времени можно осуществлять сигналом
как эталонного, так и подстраиваемого генераторов. В первом случае Т9 будет
постоянным и не зависимым от подстраивающего действия СФС. Именно о та-
кой ситуации шла речь выше. При коммутации ИФД сигналом от ПГ (с уче-
том, конечно, ДПКД) Тр=/= const и зависит от эффекта подстройки. Действи-
тельно, полагая, что ИФК содержит идеальное запоминающее устройство за
один период регулирования, приращение разности фаз эталонного и подстраи-
ваемого сигналов
Дф [п] = рф[п] Тр [п] = 2 л р ф [п]/(соэг — рф [и]),
(14.12)
тде рф — разность частот эталонного и подстраиваемого генераторов с учетом
ДПКД, ДЧ, ДЧг; Гр{п] = 2лМЧ/й)п гй — период дискретизации в системе.
Учитывая (14.12), (14.5), (14.6) принимают вид
. г	х[п] — F (ф (и]}
Дф[п] = 2л------—; А х [п] = — е sign {F (ф [п])},	(14.13), (14.14)
d—x [п] Г(ф [п])
где d = «>9.r/Qy — параметр системы.
Анализ быстрых движений при 8<^1 позволяет выявить некоторые отличия
от движений в системе с 7’p==const. Во-первых, зависимость Дф от рф носит
нелинейный характер, усиливающийся с уменьшением d и увеличением рф Во-
вторых, условие отсутствия кратных захватов зависит от d:
x<rf/2=l.	(14.15)
На рис. 14.7 видны область парамет-
ров, определяемая неравенством (14.15),
/ и область // для Гг#: const. При Гр=#
=/=const кратный захват происходит при
меиьших начальных расстройках.
В-третьих, при отрицательных расст-
ройках простые захваты отсутствуют. В
случае Л-кратных захватов период дви-
жения координаты рф зависит от х:
Рис. 14.7
f 2 d (d — x + 1) I
Ip ' 1 , I__.	V
[ [(rf — x)g — l](x±l ) J
(14.16)
244
Здесь и далее верхний знак соответствует х>0, а нижний — х<0. Усредненное
значение sign[F(<p)]=S(x) имеет вид
S(x)= 1 — 2[b1]/k,	(14.17}
где ki — число периодов, в течение которых /7(<р)<0; [•] —- целая часть числа:
_________________dSd~x + 0________1
Л	Г	2d ]
In I 1 — -----------I
L (d — x)2 — 1J
На рис. 14.8a приведены фазовые портреты при 7’p = const и T’p^const. Во
втором случае он несимметричен, что говорит о зависимости динамических
свойств системы от начальной расстройки. А именно, при х<0 и Тр^const
динамика системы лучше, чем при х>0. На рис. 14.86 приведены результаты
расчета полосы захвата в системе ИФАПЧ с ЦИ при Tp = var, получен-
ные в [14.8] (сплошная линия).
Как было отмечено выше, описанная структура синтезатора на основе
ИФАПЧ с ЦИ позволяет уменьшить противоречие между динамикой системы л
ее фильтрующей способностью. Отметим, что для устранения побочных частот
24'5
выходного спектра в синхронном режиме ЦИ следует отключать. Системе фа-
зовой синхронизации свойственно противоречие, имеющее существенное значе-
ние для качественного синтеза частот. Оно заключается в необходимости удов-
.летворения одновременно двум требованиям: уменьшению уровней флуктуа-
ционных составляющих ПГ (внутренние шумы) и дискретных спектральных со-
ставляющих в выходном сигнале СЧ, обусловленных частотой сравнения на ФД
(внешние помехи). При малом шаге эта частота, как отмечалось, оказывается
низкой.
Для выполнения первого требования необходимо уменьшать инерционность
синтезатора, чтобы система ФАПЧ успевала отслеживать (фильтровать) флук-
туации ПГ. Для выполнения же второго необходимо сужать полосу системы, а
следовательно, увеличивать ее инерционность. Для сглаживания этого противо-
речия применяются различные модификации систем ФАПЧ, позволяющие при
том же шаге выходных частот А[ косвенно повысить fcp. Естественно, это при-
водит к усложнению структур синтезаторов [14.9—14.13]. Достигается это вве-
дением промежуточных генераторов ПГ и преобразователей [14.9] (рис. 14.9),
Рис. 14.9
делителей с дробным коэффициентом деления (ДДПКД) [14.10] (рис. 14.10),
кольца частотной автоподстройки [14.12] (рис. 14.11, 14.12), использованием
схем с предварительной грубой установкой частоты, применением нескольких
ПГ с малым диапазоном перестройки (а следовательно, малой крутизной ПГ)
(рис. 14.42), использованием многопетлевых систем ФАПЧ [14.9, 14.13] (рис.
14.9, рис. 14.13).
При разработке наряду со спектральными характеристиками большое вни-
мание уделяется быстродействию СЧ, т. е. динамике. Повышение быстродейст-
вия в СЧ достигается: применением предварительной грубой установки часто-
ты, расширением полосы пропускания системы и применением многопетлевых
систем ФАПЧ. Следовательно, для решения комплекса поставленных задач це-
лесообразно использовать структуры, основанные на нескольких петлях систем
ФАПЧ и использующие предварительную грубую установку частоты ПГУЧ.
Вопрос о повышении быстродействия с помощью ПГУЧ просто решается в рас-
смотренной выше структуре ИФАПЧ с ЦИ. Для примера многокольцевого СЧ
на рис. 14.14 приведена структура, двухкольцевого СЧ [14.14], в которой
решение указанного выше противоречия достигается разделением функ-
ций каждого из колец. Имеется достаточно инерционное кольцо (ПГ2, УЭ2,
ФНЧ2, ИФД2, ДПКДз), обеспечивающее хорошую фильтрацию внешних помех,
и малоинерционное кольцо (П1\, УЭх, ФНЧ\, ИФД\, ДПДДС), фильтрующее
флуктуации ПГР Выбором коэффициентов деления делителей ДПДД1г ДПКД2
и ДПКДз можно при заданном диапазоне перестройки синтезатора (частоты
перестройки ПГ{) обеспечить малую перестройку ПГ2, что позволяет в качест-
ве ПГ2 использовать кварцевый генератор. Действительно, в установившемся
режиме сигналы ошибки на выходах ИФД1 и ИФДг обеспечивают выполнение
равенств
= Wj со2/А3 ; Wj = А2 юог •	(14.19), (14.20)
В установившемся режиме частота ПГ2
<02 = Ад о)ог/^1 	(14.21)
Выбрав N\<^N2Nz, можно повысить частоту сравнения на ИФД\ по сравнению
•с частотой опорного генератора, выбираемой исходя из заданного шага выход-
ных частот синтезатора. Это, в свою очередь, уменьшает инерционность перво-
го кольца ФАПЧ, а следовательно, улучшает фильтрацию собственных шумов
246
247
Рис. 14.10
Рис. 14.11
Рис. 14.13
Рис. 14.14
Рис. 14.15
Рис. 14.12
ЛГь При этом ПГ2 должен иметь значительно лучшие флуктуационные харак-
теристики, чем ПГь Подбором коэффициентов А1( Лг2, Пз обеспечивается ма-
лый диапазон перестройки частоты ПГ2, что позволяет реализовывать его с
кварцевой стабилизацией частоты. А уровень же собственных шумов кварцевого
ПГ, как известно, может быть получен на 2;—3 порядка меньше, чем у обычно-
го ПГ с LC-контуром и варикапом.
Действительно, изменение коэффициентов AN1 и \N2 при A3=const приве-
дет к изменению частот:
AcOi = A N2 сосГ ,
(14.22)
(14.23)
Как видно из (14.23), при \N2/N2 = /\NJNl частота ПГ2 вообще не меняется.
Если же меняется только один коэффициент деления N2, то ANi = A1AN2/A2, и,
следовательно, при целочисленных N2 коэффициент деления Ni должен прини-
мать дробные значения. В противном случае частота со2 будет меняться. Если
ДДПКД в первом кольце ФАПЧ нежелателен, то с изменением N2 необходимо
изменять и Ai, но не при каждой смене N2, а через определенное число шагов
ДПКДг- Таким образом, весь диапазон изменения N2 разбивается на несколько
поддиапазонов, число которых соответствует диапазону изменения Ni.
Можно показать [14.15], что максимальная относительная перестройка КПГ
(т. е. при АА2 = А/Угмаьс/АЛДмаьс —1 и AAi = 0)
Тг =	макс/®2 = А А2 макс/А Nj макс ^'2 — 1	(14.24)
Если АЛ^2макс > AVimjkc, то вторым членом можно пренебречь и
Тг — До)2 макс/ю2	N2 макс М ^шакс^г*	(14.25)
При этом относительная перестройка ПГi
71 = АЮ1 макс/(Oj = А А2 макс/N2,	(14.26)
т. е. у2 в АЛГцлакс раз уже, чем уь На практике относительная перестройка квар-
цевого ПГ составляет 0,1-—0,3% от номинальной частоты. Из приведенного вы-
ше ясно, что улучшение флуктуационных характеристик достигается благодаря
малой крутизне перестройки КПГ (у2 мало) и высокой добротности кварце-
вых резонаторов. Следовательно, шумовые характеристики собственно ПГ2
(КПГ) не оказывают существенного влияния на качество выходного сигнала
•синтезатора (см. рис. 14 14).
По существу, рассмотренная структура синтезатора представляет собой две
взаимосвязанные ИСФС, описываемые системой разностных уравнений
Т г, Qy -j «гч
А6 [и] = Гр Пн2j	(14.27)
2	т=0
Дф [л] = 2М + V Кг (л - /] f2 {6 (/]} - у к, (л -
/V о	/V1
3 1=0	1 т=0
. -/n]Fx{q)[/n]},	(14.28)
тдс ф[п], 0[п] — разности фаз сигналов, сравниваемых на ИФД\ и ИФД2 соот-
ветственно; ДДп], К2[п] — коэффициенты передачи 'ФНЧ. и ФНЧ2, Е1{ф[и]},
Е2{9[п]} — нормированные характеристики ИФДХ и \ИФД2\ Qyi, ЙУ2 — полосы
^01
удержания инерционного и малоинерционного колец ФАПЧ; Йн1=^- —	,
(О01
'Пн2 = (Оог'—— — начальные расстройки генераторов этих колец.
А2
Исследование (14.27), (14.28) сложно. Поэтому, если периоды регулирова-
ния малы по сравнению с постоянными времени колец, можно с достаточной
•степенью точности описать рассмотренную структуру системой
248
о
p 0 = ЙН2 - kr (p) Ft (ф),	(14.29>
p ф = Qhi + k2 (p) F2 (6) — kj_ (p) F-L (ф).	(14.30>
.	JV}
Анализ данной системы уравнений весьма эффективно производить с помощью
метода усреднения, так как инерционности колец различны и можно выделить
быстрые и медленные движения. Этот метод позволяет оценить характер и дли-
тельность переходных процессов, определить области устойчивой работы систе-
мы. Отметим, что (14.29), (14.30) — частный случай уравнений, описывающих
взаимосвязанные системы ФАПЧ, рассмотренные в гл. 4. Зная математическую
модель системы, можно определить и спектральные характеристики выходного*
сигнала [14.16].
Широкое развитие цифровых методов обработки информации^
а также те преимущества, которые дает цифровая микроэлектро-
ника (малые габариты, надежность, технологичность), привели к
созданию цифровых синтезаторов частот.
На рис. 14.15 приведена простейшая структура такого СЧ. Все*
его элементы за исключением делителей N и Д содержатся в
простейшей системе ЦФАПЧ (см. гл. 10, 11) [14.20—14.23]. Ко-
эффициенты деления К, Д и N связаны между собой соотноше-
нием
f.ux/ = WWW	(14.31)
где fBbixj — одна из выходных частот синтезатора в диапазоне
f вых. мин f вых.макс-
Изменяя коэффициент деления k, можно получить в заданном'
диапазоне сетку частот с шагом
Д/ = /з.г/Ж	(14.32)
В общем случае могут меняться все три коэффициента, что будет
эквивалентно введению дробно-кратного делителя вместо цело-
численного К. В зависимости от начальной расстройки сравнивае-
мых на цифровом фазовом детекторе ЦФД частот, в высокочас-
тотную последовательность импульсов ЗГ добавляется (вычитает-
ся) соответствующее число корректирующих импульсов с выхода
ЦФД. Можно рассматривать УДВ как дискретный фазовраща-
тель, скачки фазы на выходе которого равны 2л. Следующие за
УДВ делители уменьшают скачки до 2л/К на выходе системы
ЦФАПЧ и до 2л/А на выходе СЧ. Таким образом, совокупность
ЗГ, УДВ и делителя К (А) можно представить как эквивалентный
цифровой подстраиваемый генератор ЦПГ. В результате работы
системы ЦФАПЧ сигнал на выходе делителя К имеет частоту, в
среднем равную частоте опорного сигнала /о.г=/з.г/Д, а на выходе
синтезатора (делителя N) частота сигнала равна в среднем /Вых.
Характеристики синтезатора частот (рис. 14.15), специфика
которого заключается в дискретном характере управления часто-
той ЦПГ и наличии скачков фазы в установившемся режиме
[14.21, 14.22], определяются в основном свойствами используемой
системы ЦФАПЧ. При равенстве коэффициентов деления N и К
249!
процессы, происходящие на выходах делителей, идентичны. Из-
менение же коэффициента деления К можно трактовать как из-
менение начальной частотной расстройки сигналов, поступающих
на входы ЦФД.
Рис. 14.16
Работа простейшей системы ЦФАПЧ (а следовательно, и ЦСЧ)
описывается нелинейным разностным уравнением [14 23]
<Р [п + 1 ] ~ Ф [м] = Цн ТР - Йу TPF {ф [м]}.	(14.33)
Для получения максимального быстродействия СЧ в качестве ха-
рактеристики ЦФД целесообразно применять релейную (число
уровней характеристики ЦФД п=1):
Л<р[л)}=!	*’	(14.34)
Необходимо оценить динамические и спектральные характеристи-
ки СЧ. В [14.23] показано, что в системе ЦФАПЧ, описываемой
(14.33), Qy = Q3, т. е. при ун = Пн/ПугС1 наблюдается режим синхро-
низма. Особенностью систем ЦФАПЧ является наличие в уста-
новившемся режиме периодических и квазипериодических движе-
ний координаты Ф[/г], т. е. установление режима синхронизма в
среднем (см. гл. 10) [14.6]. При этом в режиме квазисинхрониз-
ма разность фаз при изменении ун и начальных условий по фазе
Ф[0] ограничена и лежит в интервале
— Аф(1— ун) с ф[ft] <Дф(1 +тн),	(14.35)
причем если отношение (ун+1)/(1—Ун)=Р/я представить в виде
простой несократимой дроби (ун — рациональное число), то при
р и q рациональных в системе устанавливаются периодические
движения с периодом
Т = ТР(р + <7).	(14.36)
Если же отношение plq, а следовательно, и ун — иррациональные
числа, то в системе наблюдаются квазипериодические движения
координаты ср. Заметим, что, когда частоты ОГ и ЗГ формируются
от одного источника, значение ун рационально. Именно этот слу-
чай имеет место при использовании системы ЦФАПЧ в синтеза-
250
торах частот, где, как правило, все вспомогательные частоты фор-
мируются от одного высокостабильного генератора. На рис. 14.16
приведен пример установившегося движения координаты cp[ftl
при ун<1. Время переходных процессов определяется максималь-
ным числом периодов регулирования, необходимым для измене-
ния разности фаз ср от начального значения <р[0] до некоторого-
конечного, наперед заданного срк:
^макс
<Р [Q] —
Дср(1 — |ун |).
k — 2
. 2(1- |?н|) ]’
(14.37)
где Д<р = <рк = 2л/К; [•] — целая часть числа.
На рис. 14.17 приведены зависимости АмаКс = f(vn), соответст-
вующие (14.37) при К=30, 15. Для наглядности на рис. 14.17
приведены зависимости АМакс = /(ун) при числе уровней характе-
ристики ИФД а = 2. Из рис. 14.17 видно, что время переходных
процессов увеличивается с ростом коэффициента К (что связано с-
уменьшением шага в коррекции Дер) и числа уровней а.
Как отмечалось выше, наряду с динамическими характеристи-
ками большое внимание при разработке СЧ уделяется спектраль-
ным, которые неразрывно связаны с динамикой системы. При ра-
циональной ун устанавливаются периодические движения коорди-
наты ср [ft], и сигнал на выходе системы ЦФАПЧ (ЦСЧ) также-
периодичен. Временная диаграмма сигнала на выходе системы
ЦФАПЧ представляет собой периодическую последовательность
прямоугольных импульсов различной длительности (рис. 14.18ft)
закон чередования которых зависит от характера установивших-
2511
ся движений координаты ср [ft]. Этот сигнал может быть представ-
лен в виде набора простых периодических четных функций /\Ц)
(рис. 14.186, в, г), коэффициенты Фурье для каждой из которых
определяются по формуле [14.21]:
Г/2
2 С £ /2\	ЛЛ j j 1	44 » /I ОТ,	/ 1 л пл \
4п = v fi (/) cos ft Й/с//= sin(14.38)
Т J	п Q Т 2
—Г/2
где ft — номер гармоники разложения; Т — период функции Д(/);
Й = 2л/Г; А — амплитуда импульсов; тг — длительность импульсов
i-й последовательности
С учетом (14.38) и фазовых сдвигов и благодаря времени за-
паздывания Тз г формула для определения ft-й компоненты сум-
мы m функций
2
X->sinftQr3^	(14.39)
является исходной при определении спектральных характеристик
ЦСЧ.
На практике часто приходится сталкиваться с ситуацией, ког-
да характеристика ЦФД имеет зону нечувствительности 6 в окре-
стности значения q?[ft] =0. Иногда это определяется конечной чув-
ствительностью ЦФД, а иногда зону 6 вводят для изменения
свойств системы ИФАПЧ. В этом случае характеристика ИФД
может быть записана как
-Г{ф [ft]} =
1, при 6 < Ф [ft] <. л,
0, при —6 < Ф [ft] < 6,
— 1, при — JT < ф [ft] < — 6.
(14.40)
Очевидно, что при 6->0 (14.40) преобразуется в (14.34). Подстав-
ляя (14.40) в (14.33), получим систему уравнений
Ф [ft + 1 ] = Ф [ft] + (2л//С) (ун—1), 6 < ф [ft] <л,
Ф [ft Н-1 ] = Ф [ft] 4-(2тс//С), — 6<ф[п]<6,
ф[п+1] = ф[п] + (2л//С)(ун+1), — л < ф[«] < —6.
(14.41)
В такой системе длительность импульсов выходного сигнала мо-
жет принимать только три значения: т — в случае отсутствия кор-
рекции, х'— при добавлении импульса в последовательность им-
пульсов ЗГ, х"— при вычитании импульса из последовательности
импульсов ЗГ. Длительность пауз между импульсами в общем
случае также может быть переменной. Однако в реальных систе-
мах ЦФАПЧ первого порядка длительность пауз в установившем-
ся режиме можно считать постоянной, что обусловлено использо-
252
ванием в УДВ схем привязки импульсов коррекции [14.24]. Из-за
этого моменты появления их в последовательности импульсов,
поступающих на вход делителя, жестко связаны с началом каж-
дого цикла счета делителя (что соответствует фронту каждого
выходного импульса системы ЦФАПЧ). Таким образом, эффект
коррекции сказывается только на изменении длительности им-
пульсов при постоянстве пауз.
Закон чередования этих импульсов зависит от начальных ус-
ловий по ср, а также от параметров системы. Пусть в пределах
одного периода Т на выходе системы появилось а импульсов дли-
тельностью т, b — длительностью т' и с — длительностью х". Тог-
да период колебаний
Т = а т + Ьх' + сх" + (а + Ь-\-с) т,	(14.42)
где (а + 6 + с)т— суммарная длительность пауз.
Учитывая, что
т=0,5Т3Л, т^О^/С—Тзт = т—2т//С, т" = 0,5Т3Л + Тэт =
= х-~2х/К,	(14.43)
перепишем (14.42) в виде
T = 2x[a + b(\~ 1 АГ) 4-с (1 + 1/ЛГ)],
(14.44)
где х — длительность импульсов на выходе разомкнутой системы.
Таким образом, для вычисления периода выходного колебания
необходимо знать не только параметры системы К, х, но и коэф-
фициенты а, Ь, с, которые определяются видом установившихся
движений координаты ф[«].
Так как yH = p*/q* рационально, то р* и q* — взаимно-прос-
тые целые числа. Величины р* и q* оказывают разное влияние на
характер движений координаты ср[/г] и на спектр. Изменение д*
влияет на период движений координаты ф[ц]. Например, для си-
стемы, описываемой (14.33) с	вида (14.40), где 6 = л//С,
период
T = q*TP.	(14.45)
Величина р* влияет на сложность траектории координаты ф[«]:
для системы с д = л/К и р* = 1 траектория ф[ц] сравнительно
простая и может быть аппроксимирована пилообразной функцией
с периодом повторения, равным Т (рис. 14.19а). При р':>1 (рис.
14 196, в) траектории становятся сложнее. Кроме основного пе-
риода появляется ряд квазипериодов, число которых в пределах
Ряс. 14.19
253
основного периода Т равно р*. Так, на рис. 14.196 в пределах
одного периода Т имеется три квазипериода, а на рис. 14.19в пять.
На рис. 14.20а приведены результаты вычисления спектров,
соответствующих движениям координаты ср[а] (см. рис. 14.19), где
реальные линейчатые спектры заменены их огибающими (см.
рис. 14.21а). На рис. 14.206 приведены результаты расчета выход-
ного спектра при Х=8, p* = var и р* —23. Анализ полученных ре-
зультатов позволяет сделать следующие выводы.
Изменение р* влияет на амплитуду спектральных побочных
составляющих. Например, при р* = 1 побочные компоненты спек-
тра монотонно убывают при удалении от центральной частоты (в
режиме синхронизма f0 равна f0.r). При р*>1 закон, по которому
меняется уровень побочных компонент, более сложный. Однако ।
и в этом случае наблюдаются определенные закономерности. Су-
254
ществусг некоторая симметрия спектров относительно f0. Для
каждого конкретного значения р* положение наибольшей побоч-
ной компоненты по оси частот может быть точно определено (на
рис. 14.20а, б они отмечены стрелками). Если р*^*/?., то макси-
мальная побочная компонента располагается на частоте, отстоя-
щей от /0 на значение р*1Т. Здесь 1/Г — расстояние между ком-
понентами спектра. При p^^q*^ максимальная побочная компо-
нента отстоит от /о на (<у*—р*)1Т.
Простейшему виду движений координаты <р [и] (р* = 1) соот-
ветствует простейший монотонно-убывающий относительно цент-
ральной частоты спектр. При р*>1 в траектории движения коор-
динаты ф[/г] появляются квазипериоды. Спектры сигнала в этом
случае существенно усложняются. Положение максимальных по-
бочных компонент определяется числом квазипериодов внутри ос-
новного Т, который, в свою очередь, зависит от р*.
Изменение q* влияет на частотный интервал Д/ск между по-
бочными компонентами, так как Д/Ск = 1/Д а Е = р*Гр. Увеличе-
ние q*, и соответственно Т, приводит к увеличению числа спек-
тральных компонент в фиксированной полосе частот (рис. 14.21).
U0/Un,dB
Рис. 14.21
Из рис. 14.216, отражающего изменение спектра при A = var и
ун=const, видно, что увеличение коэффициента Д приводит к
уменьшению уровня побочных спектральных компонент, причем
увеличение К в 2 раза уменьшает этот уровень примерно на 6 дБ.
Число различных вариантов как импульсных, так и цифровых
систем ФАПЧ, используемых в СЧ, очень велико. Нерешенных
задач в этой области также очень много. Однако жизненность СЧ,
построенных по методу анализа, неоспорима, причем особенно
большие возможности их проектирования открываются при соче-
тании методов анализа и синтеза.
255
Глава 15
Применение ЦСФС для обработки
сигналов на фоне шума
15.1. Измерение частоты сигнала на фоне шума [15.1]
Традиционный метод измерения частоты замаскированного шумом
сигнала (например, для измерения радиальной скорости по до-
плеровскому сдвигу) — предварительная фильтрация сигнала от
шума следящим фильтром, преобразование его на выходе в пос-
ледовательность импульсов и подача их на вход цифрового час-
тотомера или периодомера [15.2]. Основной недостаток этого ме-
тода при использовании цифрового частотомера, обеспечивающе-
го независимость цены отсчетной единицы и длительности мерно-
го интервала Тм от измеряемой частоты, — большая ошибка дис-
кретности измерения частоты, достигающая ±д/?=1/7’м (и соответ-
ственно радиальной скорости). Для уменьшения в k раз ошибки
дискретности можно перед подачей сигнала на частотомер умно-
жить частоту в k раз, что, однако, при k^>\ связано с определен-
ными техническими трудностями. Применение периодомера вмес-
то частотомера позволяет значительно снизить ошибку дискрет-
ности, однако при этом появляется зависимость цены отсчетной
единицы и длительности мерного интервала от измеряемой час-
тоты. Использование указанных измерителей при	где
Д/э — эквивалентная полоса следящего фильтра, дает в лфэТм/6 раз
большую дисперсию шумовой ошибки, чем использование опти-
мального измерителя
Покажем, каким образом можно избавиться от указанных не-
достатков. Для этого вместо аналогового следящего фильтра при-
меним ЦСФС, а вместо последующей обработки выходного сиг-
нала частотомером или периодомером будем обрабатывать набег
полной фазы с помощью рассмотренных ниже алгоритмов.
Цифровые СФС позволяют относительно просто и с высокой
точностью измерять набег фазы радиосигнала на выходе за вре-
мя t (рис. 15.1): ЛФвых(0 =ФвыхЦ)—Фвых(О). Простейшую оцен-
ку частоты можно получить с помощью алгоритма
® = [ДФ.Ых(Т„)]/Г„.	(15.1)
Статистические характеристики этой оценки нетрудно подсчи-
тать, если учесть, что при высоком отношении сигнал/шум в по-
лосе ЦСФС случайный процесс <р(/)=Фс(/)—ФвыхЦ) можно счи-
тать гауссовым со спектральной плотностью =x/V’o/^'c и с дис-
персией сг2ф=МэЛ/э (см. гл. 12). Флуктуации фазы на концах мер-
1 Шумовая ошибка при использовании частотомера проявляется лишь при
использовании умножителя частоты в k>\ раз; при k=\ она маскируется
ошибкой дискретности.
256
наименьших квадратов при дис-
при использовании периодомера
2 с полосой Д/э [15.2], однако
ного интервала при	1 независимы, поэтому дисперсия ве-
личины ДФвых(Тм) равна 2о2ф, откуда
а2=-^Д)э.	(15.2)
“ Р<Л
Формула (15.2) дает лишь в х раз большую флуктуационную
ошибку измерения частоты, чем
после идеальной аналоговой СФ<
длительность мерного интервала
и цена отсчетной единицы не за-
висят от измеряемой частоты, а
х обычно незначительно отлича-
ется от единицы.
Для снижения ошибок можно
решить задачу оптимального оп-
ределения наклона линейной
функции Фс(/) (линейность бу-
дет при постоянной частоте сигна-
ла) по результатам наблюдения
ЛФвых(0 =Фс('О-Ф (0 •
Решение этой задачи методом
кретном наблюдении ЛФВых(0 приводит к алгоритму, предпола-
гающему суммирование наблюдаемых отсчетов с различными ве-
сами, а это существенно усложняет измеритель частоты. Упрос-
тить измеритель можно, последовательно используя на равных
частях мерного интервала лишь два (—1, 4 1) или три (—1,0, 4-1)
весовых коэффициента [15.3]. При этом оценка частоты получает-
ся делением на 7м/2 разности средних значений функции ЛФВых(0
на последней и первой половинах мерного интервала или с по-
мощью деления на 2ТМ/3 разности средних значений ДФвыхСО на
последней и первой трети интервала. Нетрудно получить формулу
для дисперсии оценки частоты с помощью этих квазиоптимальных
алгоритмов:
a^lxN^Tt,	(15.3)
где / = 8 или 6,75 соответственно при использовании двух и трех
весовых коэффициентов.
Минимально возможная ошибка измерения частоты [15.2] оп-
ределяется также (15.3) при 1 = 6 и х=1. Следовательно, эти ква-
зиоптимальные алгоритмы обеспечивают очень близкую к потен-
циальной точность измерения частоты.
Расчет показывает, что оценка частоты со с помощью (15.1) и
квазиоптимальных алгоритмов, отнесенная к середине мерного ин-
тервала, является несмещенной при постоянной и линейно-меняю-
щейся частотах входного сигнала.
Покажем теперь, как можно измерить набег полной выходной
фазы ДФвыхЮ в ЦСФС, рассмотренных в гл. 12. Начнем с ЦСФС,
описанной в примере § 12.4 (см. рис. 12.6). Фаза импульсного сиг-
257
нала на выходе счетчика—делителя в моменты появления этих им-
пульсов кратна 2л, причем за время между соседними импульса-
ми она, а следовательно, и фаза на выходе ЦСФС ФВых(0 увели-
чиваются на 2л. Для изменения фазы Фвых (0 на 2л необходимо,
чтобы на счетчик—делитель поступило ng импульсов. Поэтому
можно считать, что каждый поступающий на счетчик—делитель
импульс сдвигает фазу ФВых(0 на ‘Fn/rig. Следовательно, для из-
мерения ДФвых(0 достаточно подсчитать число импульсов, посту-
пивших на счетчик—делитель за время (0.../), и умножить это чис-
ло на 2nlng. Таким же образом определяется ЛФвых (О ПРИ модер-
низации системы (см. рис. 12.7). Однако этот простой способ опре-
деления ДФ вых(0 не применим к ЦСФС с ДПКД (см. рис. 12.5),
что является еще одним ее недостатком.
В ЦСФС с АЦП, расположенным до петли (см. рис. 12.4), для
измерения ЛФВых необходимо суммировать управляющий код
2У [г] с той же тактовой частотой F, с которой работают все блоки
системы и производится дискретизация. Такое суммирование про-
водится отдельным накопительным сумматором, который, в отли-
чие от накопительного сумматора, расположенного в петле ЦСФС,
за время Тм не должен переполняться, в связи с чем его емкость
должна быть значительно больше. В начале мерного интервала
(при / = 0) следует «обнулить» накопительный сумматор в измери-
теле частоты.
В квазиоптимальных алгоритмах при суммировании отсчетов
фазы ЛФвых их можно брать не с частотой Г^ЛЦ (которая согла-
сована с шириной спектра ДЦ процесса на входе системы), а с
гораздо более низкой частотой, согласованной с полосой ЦСФС
ДД<Л
Рассмотрим ошибки дискретности измерения частоты в описан-
ных алгоритмах. В ЦСФС, рассмотренной в примере § 12.4 (см.
рис. 12.6), дискретность измерения ЛФвых равна 2nlng. При исполь-
зовании простейшего алгоритма (15.1) это приводит к ошибке
дискретности измерения частоты bF = (2nlTMng. Так как ng^>\, то
она намного меньше, чем при применении частотомера после сле-
дящего фильтра. В ЦСФС с АЦП, расположенным до петли си-
стемы (см. рис. 12.4), ошибка дискретности измерения ЛФвых
определяется дискретом изменения фазы 2л/Л/'<₽, где Аф—емкость
накопительного сумматора в петле ЦСФС. Следовательно, при
1 ошибка дискретности измерения частоты с помощью про-
стейшего алгоритма (15.1) также существенно снижена. Рассмот-
ренные квазиоптимальные алгоритмы приводят к дальнейшему
существенному уменьшению ошибки дискретности измерения час-
тоты вследствие суммирования многих отсчетов ЛФвых с незави-
симыми ошибками дискретности фазы.
В заключение отметим, что практическое использование рас-
смотренного выше квазиоптимального алгоритма измерения часто-
ты позволило во много раз увеличить точность измерения ради-
альной скорости и провести уникальные высокоточные измерения
скорости ветра в атмосфере Венеры [15.4].
258
15.2. Демодуляция фазомодулированного сигнала
При относительно небольшом индексе фазовой модуляции
ЦСФС может линейно демодулировать фазомодулированный ра-
диосигнал. Выходом следящего демодулятора при этом служит
выход цифрового фазового детектора (ЦФД).
Аналогично можно демодулировать двухуровневый модулиру-
ющий сигнал (например, в виде меандра), если угол модуляции
меньше 180°, и поэтому в спектре модулированного сигнала име-
ется остаток несущего колебания. Это встречается, например, в
фазовых дальномерах [15.6]. Опишем способ демодуляции такого
сигнала. Этот способ не является оптимальным, однако благода-
ря своей простоте получил практическое распространение.
Выходной сигнал следящего демодулятора (т. е. сигнал ошиб-
ки ЦСФС) наряду с полезной (сигнальной) компонентой содер-
жит шумовую компоненту и поэтому нуждается в дальнейшей
фильтрации.
На рис. 15.2 изображена функциональная схема демодуляции
и дальнейшей фильтрации поднесущей Модулированный подне-
сущим, колебанием сигнал после преобразования на более низкую
частоту поступает на вход ЦФД1 цифровой СФСЬ производящей
демодуляцию этого сигнала. Сигнал ошибки 2Д1 этой системы по-
ступает на вход ЦФД2 цифровой СФСп, предназначенной для
фильтрации поднесущей.
Рис. 15.2
В обеих ЦСФС использованы цифроаналоговые фазовращате-
ли ЦАФ [15.5].. Опорные частоты, подаваемые на ЦАФ, равны
номинальным (средним) значениям частот на входах соответст-
вующих ЦСФС.
В обеих ЦСФС используются также дискретные усредняющие
устройства ДУУ, построение и назначение которых описано в
§ 12.4.
Для обеспечения малых динамических ошибок ЦСФС1 обыч-
но имеет астатизм второго или третьего порядка (на рис. 15.2 —
1 Схема разработана В. П. Орешкиным.
259
второго). При этом желательно использовать априорные сведения
об изменении частоты входного сигнала, что можно сделать, на-
пример, вводя программные поправки в регистр кода частоты,
роль которого на схеме рис. 15.2 выполняет реверсивный счетчик
PC. При этом удается ограничиться астатизмом второго порядка
(астатизм первого порядка обычно недостаточен из-за неточности
априорных сведений об изменении частоты входного сигнала).
Цифровую СФС для фильтрации поднесущего колебания мож-
но строить с астатизмом второго порядка без использования ап-
риорных сведений об изменении частоты входного сигнала либо
с астатизмом первого порядка с использованием их, например, пу-
тем программной коррекции кода частоты.
Так как ЦФД1 цифровой СФС1 работает на довольно высокой
частоте, то его стремятся сделать возможно более простым — с
релейной характеристикой. Импульсы с выхода ЦАФ! произво-
дят бинарное квантование входное смеси сигнала и шума. Для
исключения смещения нуля дискриминационной характеристики
такое квантование должно быть дважды за период входного сиг-
нала, т. е. применяется модифицированный ЦФД-Р [15.5].
Особенности построения ЦФД2 цифровой СФСп определяются
импульсным характером входного сигнала. В этой системе ЦАФ2
вырабатывает стробирующие импульсы в моменты времени, в ко-
торые фаза сигнала на его выходе равна 0 или л. Временное по-
ложение этих импульсов регулируется с помощью корректирую-
щих импульсов, поступающих на ЦАФг. Длительность стробирую-
щих импульсов равна периоду дискретизации сигнала в ЦФД1,
т. е. половине периода колебания мвх(/).
Импульсы на выходе ЦФД1 соответствуют сигналу ошибки
ЦСФС1 2Д1=±1. В каждый строб, формируемый ЦАФг, попадает
один из этих импульсов. Сигнал ошибки ЦСФСп 2Д2 = 2д1, если
данный строб сформирован при фазе выходного сигнала ЦСФС]
фвых2 : О- ЕСЛИ Же фвых2=Л, ТО 2д2 : —£д1.
При релейной характеристике ЦФД хорошо работают при гар-
монических модулирующих колебаниях. Однако при двухуровне-
вом модулирующем сигнале, например при модуляции несущей
поднесущим колебанием в виде меандра, в дискриминационной
характеристике такого ЦФД при отсутствии шума появляется
нулевая (мертвая) зона, равная углу фазовой манипуляции Афм,
что приводит к недопустимо большой ошибке слежения. Для
борьбы с этой ошибкой можно либо сузить полосу аналогового
фильтра перед ЦФД1 (тем самым завалить фронт и срез модули-
рующей функции), либо добавить шум на вход системы. Первый
способ приводит к увеличению аппаратурных ошибок из-за пара-
зитных фазовых сдвигов в узкополосном аналоговом фильтре, а
второй — к увеличению флуктуационной ошибки.
Для борьбы с мертвой зоной можно применить ЦФД со сту-
пенчато-треугольной характеристикой (так называемый ЦФД-Т
[15.5]), однако получение такой характеристики связано с необ-
ходимостью повышения быстродействия ЦСФС в 360°/Аф° раз, где
260
Дф° — допустимая ошибка синхронизации фазы в градусах. При
известном угле фазовой манипуляции Д<рм можно ликвидировать
мертвую зону при значительно меньшем увеличении быстродейст-
вия элементной базы с помощью создания специальной формы
опорного колебания ЦФД.
В некоторых случаях (см., например, [15.6]) поднесущая в
виде меандра в свою очередь модулирована двухуровневым сиг-
налом более низкой частоты. Цифровая СФСп (рис. 15.2) будет
демодулировать этот сигнал (на выходе следящего демодулятора
при этом — сигнал гд2). Для борьбы с мертвой зоной ЦФД2 при-
годны описанные выше способы, кроме добавления шума на вход
системы, так как внешний шум ликвидирует мертвую зону при
гармоническом, а не при прямоугольном модулируемом сигнале.
В заключение отметим, что рассмотренное каскадное включе-
ние ЦСФС (см. рис. 15.2) успешно использовалось для обработки
дальномерного сигнала при очень слабых отношениях сигнал/шум
(Рс/Рш = Ю-4 и ниже) на входе устройства [15.6].
Глава 16
Дискриминаторы в СФС при обработке
сложных сигналов
16.1.	Постановка задачи
В последние годы широкое распространение получили системы связи, исполь-
зующие широкополосные сложные сигналы с псевдослучайной модуляцией (см.
гл. 7). Одним из широко применяемых разновидностей корреляционной обработ-
ки таких сигналов является метод активной согласованной фильтрации. Одна-
ко этот метод эффективен лишь в том случае, когда в приемнике точно извест-
ны не только формы сигналов, но и моменты их прихода. Иначе говоря, в при-
емнике должна тем или иным способом обеспечиваться точная временная син-
хронизация. Для синхронизации в системе связи (см. гл. 1) может быть выде-
лен отдельный канал, по которому передаются сигналы, моменты передачи ко-
торых «привязаны» к моментам передачи широкополосных сигналов — перенос-
чиков информации. Но в ряде случаев такой способ нежелателен, так как тре-
бует дополнительных затрат мощности. Более выгодным с энергетической точ-
ки зрения является вариант, в котором для синхронизации используются сигна-
лы — переносчики информации, т. е. рабочие сигналы. Поэтому целесообразно,
во-первых, рассмотреть возможности использования самих рабочих сигналов и,
во-вторых, выяснить структуру оптимальной схемы выделения синхронизирующей
информации из рабочих сигналов. Приведем решение задачи применительно к
широкополосной системе связи, где в качестве модулирующих сигналов ис-
пользуются двоичные псевдослучайные последовательности, а для передачи ди-
скретной информации — метод инверсной манипуляции.
Отметим, что, используя результаты, полученные в гл. 9, можно получить
алгоритмы работы следящих корреляционных приемников, позволяющие с наи-
меньшими ошибками выделять как дискретные, так и непрерывные параметры
псевдослучайных сигналов. В основе этих алгоритмов лежит теория нелинейной
фильтрации, учитывающая характер полезной информации, заключенной в при-
нимаемой смеси псевдослучайных сигналов и помех. Имеются несколько методов
синтеза при непрерывном и дискретном времени наблюдения входной смеси сиг-
нала с шумом (16.2—16.4].
261
При предположении относительно медленного изменения отслеживаемых не-
прерывных параметров по сравнению с дискретными и изменением шума, а
также малости ошибки слежения может быть использован приближенный метод
построения следящих корреляционных приемников [16.5], согласно которому оп-
тимальный корреляционный приемник состоит из двух частей: оптимального
приемника, синтезированного в предложении точной синхронизации по сущест-
венным параметрам (например, по частоте и задержке), и оптимального уст-
ройства синхронизации. Последнее содержит оптимальный дискриминатор и ли-
нейные сглаживающие цепи.
На выходе дискриминатора формируется сигнал ошибки синхронизации.
Дискриминатор соответствует нелинейной части устройства синхронизации. Так
как вопрос о выборе параметров сглаживающих цепей общий для всех уст-
ройств синхронизации, и он достаточно подробно рассмотрен в работах по тео-
рии автоматического регулирования, уделим основное внимание вопросам по-
строения оптимальных временных дискриминаторов и возможностям их практи-
ческой реализации.
16.2.	Оптимальный дискриминатор
Для аддитивной помехи в виде белого гауссовского шума по-
лученная методом максимального правдоподобия структура опти-
мального временного дискриминатора [16.6]:
д/д т In Р [х (0/т] | ZX(A)
д2/дх2 In Р [х (0/т] к=т0 Z2 (А)
(16.1)
где А = т—то — рассогласование между оценочным т и то и неко-
торым фиксированным значением задержки, обычно называемым
опорным; x(t)— обрабатываемая смесь полезного сигнала и шу-
Рис. 16.1
ма, а производные функционала правдоподо-
бия Р[х(0/т] берутся при опорном значении
задержки то, поступающем из цепей сглажи-
вания. При этом предполагается, что истин-
ное значение задержки т близко к то. Обычно
то определяется путем предварительного поис-
ка сигналов по задержке в пределах априорно
заданного интервала спецальным устройством
поиска.
Выражению (16.1) соответствует структурная схема рис. 16.1.
Блоки 1 и 2 этой схемы осуществляют вычисление первой и вто-
рой производных, а блок 3 — их деление.
Функция правдоподобия для регулярного сигнала $(/), имею-
щего с вероятностью pi форму Si (0 и принимаемого на фоне
гауссовского белого шума n(t) со спектральной плотностью No,
имеет вид
2
Р [X (0/т] = С Pi exp
J [%(/) — Si (t, T)]2dM ,
т	'
(16.2)
где x(f)=s(t, x)+n(t) — принимаемая реализация; Si(t, т) —
ожидаемый сигнал; Т — длительность реализации; С — постоян-
ная, не зависящая от х(1) и т.
Конкретизируя производные P[x(t)/x] в соответствии с (16.1),
для псевдослучайного сигнала с инверсной манипуляцией можно
записать
262
s,(0 =(-l)'s(O = (-1)'VP £ ahu(t-kTa\	(16.3)
fe=O
где u(t)— форма элемента, a TQ — период следования элементов
псевдослучайного сигнала; — текущий символ двоичной псевдо-
случайной последовательности.
В этом случае (16.2) принимает следующий вид:
Р [х (/)/?] = Cl ch / —- (x(f)s(t, x)dt] .	(16.4)
J	)
т
Вычисляя производные P[x(Z)/t] в соответствии с (16.1), на-
ходим
Zx (A) = д/дх InP [х(/)/т] = th ~ J х (/) s0 (t, x)dt
x(t) X
т
о -
т
X д/д x s0 (t, т) dt j ,
Z2 (A) = d2/d t2 In P [л: (/)/?] = sch2 (/) Г— C x (/) д/д x s0 (t, t) X
L^o J
т
(16.5)
X dt
(16.6)
где корреляционный интеграл
(16.7)
алгоритм
'*0 J
Т
Используя известные тригонометрические тождества,
работы оптимального дискриминатора можно представить в сле-
дующем виде:
2(А) =
7~ \ х (t) д/дх s0(t, х) dt
о J
т
\2Р (•	р
2 — \ х (t) д/д х s0(t, т) dt\ 4-sh(2/) х
17* о J	J
т
(16.8)
t2s0 (t, т) dt
Lyvo ,)	J
Т
Структурная схема, соответствующая (16.8), представлена на
рис. 16.Дискриминатор содержит три канала корреляционной
обработки, в которых в качестве опорных сигналов используются
ожидаемый псевдослучайный сигнал и его первая и вторая произ-
водные по задержке. В предполагаемые моменты времени окон-
чания сигналов отсчеты выходных напряжений интеграторов по-
ступают в динамические запоминающие устройства (ДЗУ), в ко-
торых хранятся в течение одного цикла корреляционной обработ-
ки. С выхода после нелинейной обработки и комбинирования в
263
соответствии с (16.8) напряжения поступают на усилитель с пе-
ременным коэффициентом усиления.
Функция Zi(A) нечетная и убывает по мере приближения То к
истинному значению задержки т, закодированному в принимае-
Рис. 16.2
мом сигнале s(t, т). Функ-
ция Z2(A) определяет кру-
тизну дискриминатора и
управляет усилением та-
ким образом, чтобы ском-
пенсировать изменения
крутизны,	вызванные
флуктуациями обрабаты-
ваемой смеси полезного
сигнала и шума.
Техническая реализа-
ция (16.8) довольно сло-
жна, поэтому рассмотрим
его упрощения.
16.3.	Квазиоптимальный дискриминатор
Предположим, что u(t) на интервале времени То можно ап-
проксимировать функцией sin(jr//T0). Опорный сигнал и соответ-
ствующие ему производные по параметру т имеет следующий вид:
N—1
«01 (Л ^) = VPS01(t, х) = /Р V	(/—kT0—х),
k=0	°
N—l
soa (*, **) = д/д x s0 (t, x) =	~ W? V cih cos	(t —kT0—x) =
0 k=o °
aVPS^(t, x),
.	N—\
S03 (*> T) = t2 So T) = — (~-\2 VP fl flfe sin (t~kT0~x) =
= —X),	(16.9)
гдея=+л/Т0; b= 4- (л/То)2-
Здесь предполагается, что на интервале времени Г, равном
длительности рабочего сигнала, укладывается N символов псев-
дослучайной последовательности. Диаграммы опорных сигналов,
используемых в устройстве временной синхронизации, изображены
на рис. 16.3, а структурная схема генератора — на рис. 16.4.
Как следует из (16.9), опорные сигналы sOi (/, х) и sQ3(t, т)
совпадают по форме с точностью до постоянного множителя.
Следовательно, с точностью до постоянного множителя совпадают
и корреляционные интегралы, вычисляемые в первом и третьем
каналах дискриминатора.
264
Поэтому в структурной схеме рис. 16.2 третий канал можно
исключить. При этом дополнительно необходимо ввести масштаб-
ный усилитель с коэфифициентом передачи C^b/а, а сумматор за-
Рис. 16.3
менить на устройства вычитания. В этом случае для оптимально-
го временного дискриминатора алгоритм
2(Д) =
Г2Р Г
ash (2/) — |х(О$о2(^ т) dt
IAo ’
т
Г2Р Г	1	Г2Р Г
— х(О$о1(^ т)Л -2а2 — х(/)5оа(/,т)Л
LA'o •'	J	LA'o J	J
(16.10)
Алгоритму (16.10) соответствует структурная схема временного
дискриминатора, изображенная на рис. 16.5. Следует отметить,
что выходное напряжение первого канала дискриминатора совпа-
дает с выходным напряжением
^лока корреляционной обработки
оптимального приемника дис-
кретных сигналов с инверсной ма-
нипуляцией, поэтому первый ка- •*“
нал — общий для приемника и
устройства синхронизации.
При малых отношениях сиг-
нал/шум sh(x) можно приближен-
но заменить линейной функцией
f(x)=x. В этом случае (16.10)
принимает вид
Рис. 16.4
—а[р(/)Зи(/, т)<й]2}.
т
Z(A) = [f x(t)Sn(t, г)
S^(t, T)dta j-.|—T)d/j
т
(16.11)
Алгоритму (16.11) соответствует структурная схема дискримина-
тора, изображенная на рис. 16.6. При больших отношениях сиг-
265
нал/шум, которые имеют место при приеме информации с высо-
кой достоверностью, можно пренебречь вторым слагаемым в зна-
менателе (16 10) Тогда алгоритм работы квазиоптимального дис-
криминатора
(16.12)
Z (Д) = f х (0 S02 (/, т) dt / — f х (0 S01 (t, т) dt.
J	' J
T	T
Рис. 16.5
Алгоритму (16.12) соответствует структурная схема дискри-
минатора, изображенная на рис. 16 7. Следует отметить, что ин-
теграторы, используемые в сочетании с динамическими запоми-
нающими устройствами, в структурных схемах оптимальных и
Рис. 16.6
квазиоптимальных временных дискриминаторов можно заменить
ФНЧ, полоса пропускания которых согласована со скоростью пе-
редачи информации.
Временные дискриминаторы (рис. 16.5—16.7) можно исполь-
зовать и в том случае, когда форма элементов псевдослучайного
сигнала близка к прямоугольной. В этом случае в качестве опор-
ного сигнала sOi (t, т) целесообразно использовать псевдослучай-
ную последовательность, непосредственно снимаемую с соответ-
ствующего разряда регистра сдвига, а в качестве опорного сиг-
нала s02(/, т)—псевдослучайную последовательность, получен-
ную путем сложения по модулю 2 последовательности so\(t, т) с
266
меандром тактовой частоты. Временные диаграммы этих сигна-
лов показаны на рис. 16.8, а структурная схема генератора опор-
ных сигналов — на рис 16 9. Нетрудно заметить, что в этой схе-
ме формируются двухуровневые аналоги опорных сигналов:
50i(f, т) и $02^, т).
Найдем характеристики дискриминаторов, когда в качестве
опорных используются двухуровневые сигналы, формируемые схе-
мой рис. 16.9. Поскольку в этом случае опорные сигналы не опти-
мальны, то удачным выбором
коэффициентов а и Ь, по-види-
мому, можно частично компен-
сировать отклонения характе-
ристик дискриминатора от оп-
тимальных. В данном случае
от коэффициентов а и Ъ зави-
сит не только крутизна дис-
криминационной характеристи-
ки, но и ее форма.
Важная особенность (16.11)
Рис. 16.7
и (16 12) в том, что влияние энер-
гетического параметра и связанных с ним модулирующих помех
существенно ослаблено (при идеальной нормировке полностью).
Рис. 16.8
Рис. 16.9
Очень часто на практике в дискриминаторах характеристики
Zi (А) и Z2(A) реализуются путем вычисления корреляционного
интеграла в двух близких по измеренному параметру точках:
Т1==то + То/2 и т2=т0—70/2. При этом исходят из предположения,
что опорный параметр близок к истинному, т. е. А=т—то~0, а
функции 2\(т) и Z2(t) зависят только от рассогласования А, а не
от абсолютного значения параметров т и т0. Поэтому имеется еще
одна возможность упрощения технической реализации оптималь-
ных алгоритмов работы временных дискриминаторов, которая вы-
текает из приближенного представления функции
In ch (х) = х2/2 при х<£ 1, lnch(x)~ |х|/2 при х>> 1.	(16.13)
С учетом (16.13) имеем
=	G(0So(/, т,-T„/2)dt]*~?<,+
л о t LA'o ,i	J [Л'о
т	т
12
+Tol2)dt ,
267
2’(А)=^.{
т0-Т„/2)Л12+[^-	т.+
Ло J	Л| J
т	т
+ 7V2)d/r,	(16.14)
А(А) = ^7 (1^- [х(/)50(/, т0—Т0'2) <й|-1^- fx(r)S„(/, Т„ +
2-'ol|A'o J	I I No J
т	т
+ Г0/2) dt
22(Д) = -^ fx(l)S0(l, т0-Т./2)Л1+ [x(0So(A т0 +
2Т0 |Д2У0 J	I М) J
т	т
+ Т0/2) dt
Алгоритмы работы, квазиоптимальных дискриминаторов
[р(О$о(С
Z(A) =
To-To/2)d/]2-[Jx(OSo(C т0 + Т/2)^ ]2
т
[Jx(OSo(C T0-T0/2)d/]2+[j‘x(/)S0(/, т0 + Т0/2) dt^
| J х (t)S0 (t, т0-Т/2) dt | -1 J x (t) So (/, t0 + To/2) dt |
Z (A) =---T---------------------T--------------------
|Jx(/)S0(/, t0-T0/2)^|+| p(/)S0(/, To + To/2)d/|
т	T
(16.15)
(16.16)
(16.17)
Рис. 16.10
Алгоритму (16.16) соответствуют структурные схемы, приве-
денные на рис. 16.10 и 16.11. Достоинством дискриминатора, по-
строенного по схеме (рис.
16.11), является то, что
его характеристики менее
чувствительны к разба-
лансу каналов корреля-
ционной обработки. Од-
нако в ней используются
трехуровневые опорные
сигналы, представляющие
собой алгебраическую
сумму и разность псевдо-
случайных сигналов, сни-
маемых с /г-го и (п—1)-го
збования к характеристи-
кам перемножителя предъявляются более жесткие.
В заключение отметим, что в широко распространенных схе-
мах временных дискриминаторов операции оптимального дискри-
минирования, связанные с вычислением Z2(A) и соответствующей
268
разрядов регистра сдвига. Поэтому
нормировкой усиления, не выполняются даже приближенно. Это
можно объяснить тем, что устройство временной синхронизации
проектируется в расчете на некоторое заданное «критическое» от-
ношение сигнал/шум, а при изменении отношения сигнал/шум на
независимое использование цепей регулировки усиления или ог-
раничителей [16.7].
Рис. 16.11
Рассмотрим временной дискриминатор, реализующий (16.17),
с использованием ограничителя в качестве устройства нормировки
уровня (рис. 16.12).
В приведенном дискриминаторе смесь принимаемых псевдо-
случайного сигнала и шума (предварительно переведенная в об-
ласть видеочастот с помощью фазового детектора) поступает на
фильтр, согласованный с элементом псевдослучайного сигнала,
имеющего длительность Го. На выходе согласованного фильтра
формируется последовательность выборок напряжения с перио-
дом следования Го, которая подается затем на ограничитель.
С выхода ограничителя она поступает на два устройства сравне-
ния (сумматоры по модулю 2), на которые одновременно пода-
ются две смещенные во времени относительно друг друга на пе-
риод Го псевдослучайные последовательности, формируемые ре-
гистром сдвига с обратной связью. С выходов устройств сравне-
ния импульсные последовательности поступают в накопители,
269
представляющие собой реверсивный счетчик, работающий в ре-
жиме вычисления модуля, в которых накапливаются импульсы, в
течение фиксированного интервала времени NT0, и вычисляется
модуль накопленного числа, причем разность модулей чисел хра-
нится в сумматоре в течение того же времени.
Применение реверсивного счетчика в режиме вычисления мо-
дуля исключает зависимость дискриминационной характеристики
от манипуляции входного сигнала дискретным сообщением. Дос-
тигается это тем, что в первоначальный момент времени в ревер-
сивный счетчик записывается число, равное половине максималь-
ного числа совпадающих символов псевдослучайных последова-
тельностей. Реверсивный счетчик работает в режиме вычитания
до тех пор, пока не достигнет «нулевого» состояния, после чего
переключается в режим сложения.
В результате число, записанное в счетчике к моменту оконча-
ния рабочего сигнала, оказывается одинаковым как для положи-
тельных, так и для отрицательных импульсов псевдослучайного
сигнала. Число, накопленное в реверсивном счетчике, достигает
максимума в двух случаях: при совпадении и несовпадении всех
символов входного и опорного сигналов. Модуль разности чисел
характеризует величину, а ее знак — знак расстройки принимае-
мого и опорного сигналов. В зависимости от конкретного выпол-
нения сглаживающих .цепей и цепей управления генератором
опорных сигналов может фиксироваться только знак расстройки.
В этом варианте рассмотренное устройство по существу пред-
ставляет собой цифровой временной дискриминатор с релейной
характеристикой.
16.4.	Некогерентный дискриминатор
В некогерентном дискриминаторе используется информация о
расстройке генератора опорных сигналов, которая заключена в
структуре сигнала на выходе перемножителя корреляционного
приемника сигналов с псевдослучайной модуляцией.
Действительно, если рассмотреть структуру сигнала на выхо-
де перемножителя при отсутствии точной синхронизации, то мож-
но убедиться, что реализация сигнала в интервале времени Т со-
держит компоненту, амплитуда и фаза которой определяются рас-
стройкой генератора опорной псевдослучайной последовательно-
сти. В интервале времени Т сигнала на выходе перемножителя
w(Z) = У 2PS (f, t)SOi (t, to)cos(coo^ + 0) = V2Pr(t, A)cos (io0/ +0 ).
Рассмотрим спектральную плотность функции r(t, Д), полагая,
что 5(0 и Soi(O реализации псевдослучайной последовательно-
сти достаточно большой длины. Это позволяет приближенно рас-
сматривать ее как спектральную плотность произведения двух
смещенных случайных импульсных последовательностей, в кото-
рых вероятности появления импульсов с амплитудами +1 и —1
одинаковы и равны 0,5. Спектральную плотность можно легко
определить с помощью преобразования Фурье корреляционной
270
функции r(t, А), причем для упрощения вычислений воспользо-
ваться свойством разложения из [16.8], позволяющим предста-
вить г(/, А) в виде суммы последовательностей п (t, А) иг2(/, А)
с простыми корреляционными функциями. Такое представление
иллюстрируется рис. 16.13, а корреляционные функции последо-
вательностей — рис. 16.14. Для |А|^Т0 корреляционная функция
Rr{x, ^ = R^x, А) + Д2(х, А) + Д12(х, А) + Я21( — х, А), (16.18)
где Rx2 — взаимокорреляционные функции последовательностей
Ц (/, А) и r2(t, А).
$(Т,т2
K(t,A)
п п п п ппп п пп п гтп □
. П , , П.............ППП	ПП_____L
t
заключить, что
с амплитудами
+ 1 и —1 в последовательности гД/, А) также равны. Тогда взаи-
Ri (os,A)
Рис. 16.13
Учитывая сделанное выше допущение, можно
вероятности появления импульсов А (/) и SOi (/)
А То 2Т0 ЗТ0 ЬТ0 5Г0 ет0 7Т0 8Т0 9Т0 7ОТо 11Т0 72.ТО73ТП74ТО75ТО X
R2(x,A)
а
Рис. 16.14
мокорреляционные функции R{2 равны нулю и (16.18) сводится к
ЯДх, А)=/?Дх, \}+R2(x, А). При этом спектральная плотность
Gr(f, A) = Gi(f, A) + G2(f, А). Можно показать [16.8], что спек-
тральная плотность
00
Gr(f, A) = tri2(^ W) + f~ Y V (sinc2n +	+
\ *0 /	Vo / ЛшЛ \	J tt /	\	1 0 /
n——<x>
n^O
Д2
+ — sincM A,	(16.19)
To
271
....	(1 — I X I, I xl < 1,
где tn (x) = < i’ll
10,	|x|>l,
sine2 (x) = sin2 x/x2.
Из (16.19) видно, что постоянная составляющая r0(A) на
интервале времени, равном длительности рабочих сигналов, свя-
зана с расстройкой генератора псевдослучайной последователь-
ности:
г0 (Д) = tri (| Д |/Т0), IАI С То,	(16.20)
а амплитуда первой гармоники тактовой частоты
г,т (Д)=-LisinaAI, |Д|<Га.	(16.21)
ГС I	1 о I
Заметим, что г0(А) соответствует компонента выходного на-
пряжения перемножителя на частоте too
м0(/, Д) = }/ 2Р а0 (Д) cos (<о01 + 0),	(16.22)
а г/г(Д) соответствуют компоненты выходного напряжения пе-
ремножителя на частотах ((о0 + а>т) и (®0—сот), причем эти ком-
поненты
u+(t, A) = /2P^LCos[(coo + cor)/ + 0(A) + 0o],	(16.23)
А) = У2Р	cos [ (со0—сот) t — 0 (А) + 0О],
где п0(Д) = tri ( — Y П1(Д) =— |sinn/rA|.
Компоненты выходного напряжения перемножителя, которые
соответствуют остальным членам (16.19), можно трактовать как
дополнительный шум, обусловленный псевдослучайной структу-
рой обрабатываемых сигналов.
Из (16.21) видно, что минимум расстройки (ошибки синхрони-
зации) при прочих равных условиях соответствует минимуму ам-
плитуды компоненты тактовой частоты. Другими словами, устр и-
ство синхронизации должно изменять задержку и непрер вно
поддерживать минимум напряжения на частотах (о0 + сот и <о0—сот-
Поэтому одним из основных элементов дискриминатора должен
быть измеритель амплитуды. В качестве простейшего измерителя
можно использовать узкополосный фильтр с амплитудным детек-
тором. Однако в дискриминаторе необходимо также выделять ин-
формацию о знаке расстройки опорной псевдослучайной последо-
вательности, которую можно получить с помощью фазочувстви-
тельного детектирования компоненты тактовой частоты.
На рис. 16.15 представлена структурная схема некогерентного
дискриминатора, реализующая изложенный принцип. Входной
сигнал подается на перемножитель, на выходе которого включены
три узкополосных полосовых фильтра, настроенные на частоты too,
272
<оо + (От и too—сот. Выходные сигналы фильтров объединяются в
сумматоре, образуя на его выходе сигнал
u(t, А) = ]/2Р [до (Д) + 01 (A) cos (<ог t 4- 0 (A))] cos (<о0 /4-0).	(16.24)
На выходе детектора из амплитудно-модулированного сигнала
(16.24) выделяется модулирующая функция
ufT(t, А) = /2Р(A)cos [<от/4-0(A)].	(16.25)
С выхода детектора колебание тактовой частоты поступает на
фазовый детектор, где формируется сигнал ошибки 1
D (А) = V2P ах (A) sin 0 (А).	(16.26)
Возможен и другой вариант построения дискриминатора, в ко-
тором в сумматоре объединяются выходные сигналы фильтров,
настроенных на частоты (Оо + <от и (о0—(«г, а выходной сигнал
фильтра, настроенного на частоту (о0, используется в качестве
опорного при выделении колебания тактовой частоты с помощью
фазового детектора. В этом случае дискриминационная характе-
ристика
D (А) = /2Р а0 (A) at (A) sin 0 (А).
(16.27)
Структурная схема варианта некогерентного дискриминатора с
фазовым детектированием приведена на рис. 16.16.
1 Коэффициенты передачи фильтров и последующих за ними каскадов ус-
ловно принимаются равными единице.
273
Список литературы
1.1.	Энциклопедический словарь, т. III, с. 219
1.2.	Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.
894 с.
1.3.	Тихонов В. И. Влияние флуктуаций на точность работы устройств син-
хронизации. — Успехи физических наук, 1964, вып. 4, т. 33, с. 665—694.
1.4.	Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ./
Под ред. Ю. Н. Бакаева, М. В. Капранова. М.: Сов. радио, 1978. 598 с.
1.5.	Витерби Э. Д. Принципы когерентной связи. М.: Сов. радио, 1970. 392 с.
1.6.	Шахгильдян В. В., Ляховкин А. А. Системы фазовой автоподстройки ча-
стоты. М.: Связь, 1972. 447 с.
1.7.	Системы фазовой автоподстройки с элементами дискретизации/Шахгильдяп
В. В., Ляховкин А. А., Петров В. А. и др. М.: Связь, 1979. 224 с.
1.8.	Цифровые системы фазовой синхронизации/Жодзишский М. И., Сила-Но-
вицкий С. Ю., Прасопов В. А. и др. М.: Сов. радио, 1980. 208 с.
1.9.	Гелиг А. X., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных си-
стем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.
1.10.	Корякин Ю. А. Некоторые вопросы динамики дискретных фазовых сис-
тем. — Автореф. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. Л., 1977: В над-
заг. М-во высш, и сред, специального образования СССР.
1.11.	Бакаев Ю. Н. Прикладная теория фазовой синхронизации: Дис. на соиск.
учен, степени доктора техн, наук, 1962, ВВИА им. Н. Е. Жуковского.
1.12.	Барбашин Е. А., Табуева В. А. Динамические системы с цилиндрическим
фазовым пространством. М.: Наука, 1969. 300 с.
1.13.	Бакаев Ю. Н., Гуж А. А. Оптимальный прием сигналов с частотной моду-
ляцией в условиях эффекта Доплера. — Радиотехника и электроника, 1965,
т. 10, № 1, с. 175—196.
1.14.	Белюстина Л. Н. Исследование фазового пространства некоторых систем
синхронизации. — В кн.: Фазовая синхронизация/Под ред. В. В. Шахгиль-
дяна, Л. Н. Белюстиной. М.: Связь, 1975. 289 с.
1.15.	Белюстина Л. Н. О качественных структурах в трехмерном пространстве
особо возмущенной грубой системы второго порядка. — Динамика систем.
ГГУ: 1974, № 4, с. 103—121.
1.16.	Капранов М. В. Полоса захвата при фазовой автоподстройке частоты. —
Радиотехника, 1956, т. 11, № 12, с. 37—52.
1.17.	Сафонов В. М. Фазовая автоподстройка частоты с фильтрами второго по-
рядка — НДВШ. Радиотехника и электроника, 1958, № 4.
1.18.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. М.: ГИФМЛ, 1963. 503 с.
1.19.	Митропольский Ю. А. Методы усреднения в нелинейной механике. Киев:
Наукова думка, 1971. 440 с.
1.20.	Бакаев Ю. Н. Приближенное интегрирование уравнения маятника. — ПММ,
1952, т. 16, вып. 6, с. 723—728.
1.21.	Евтянов С. И. Об исследовании фазовой автоподстройки частоты асимпто-
тическим методом. — Радиотехника, 1968, т. 23, № 4, с. 22—28.
1.22.	Сафонов В. М., Тюбалин В. В. Анализ нелинейных систем, близких к кон-
сервативным. — В кн.: Фазовая синхронизация/Под ред. В. В. Шахгиль-
дяна, Л. Н. Белюстиной, гл. 8. М.: Связь, 1975, с. 289.
1.23.	Rihcman D. Color-carrier reference phase synchronization accuracy in NTSC
color television. — P1RE, 1954, v. 42, N 1, p. 106—133.
1.24.	Леонов Г. А. Об ограниченности решений фазовых систем. — Вестник Ле-
нинградского университета, 1976, № 1, с. 23—27.
1.25.	Леонов Г. А. Теорема сведения для нестационарных нелинейностей. —
Вестник Ленинградского университета, 1978, № 7, с. 38—42.
1.26.	Белюстина Л. Н., Белых В. Н. Гомоклинические структуры, порождаемые
простейшей моделью фазовой автоподстройки. —В кн.: Фазовая синхро-
низация/Под ред. В. В. Шахгильдяна и Л. Н. Белюстиной, гл. 6. М.:
Связь, 1975, 289 с.
274
1.27.	Белюстина Л. Н., Белых В. Н. О глобальной структуре разбиения цилинд-
рического фазового пространства одной неавтономной системы. — Диффе-
ренциальные уравнения, 1973, т. 9, № 4, с. 595—608.
1.28.	Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехни-
ке. М.: Сов. радио, 1961. 559 с.
1.29.	Тихонов В. И. Влияние шумов на работу схемы фазовой автоподстройки
частоты. — Автоматика и телемеханика, 1959, т. 20, № 9, с. 1188—1196.
1.30.	Тихонов В. И. Работа фазовой автоподстройки частоты при наличии шу-
ма. — Автоматика и телемеханика, 1960, XXI, № 3, с. 301—309.
1.31.	Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Сов. радио, 1966. 678 с.
1.32.	Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.
488 с.
1.33.	Обрезков Г. В., Разевиг В. Д. Методы анализа срыва слежения. М.: Сов.
радио, 1972. 239 с.
1.34.	Никитин Н. П. Срыв слежения в схеме фазовой автоподстройки часто-
ты. — Автоматика и телемеханика, 1965, т. 26, № 4, с. 669—675.
1.35.	Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравне-
ния. Киев: Наукова думка, 1968. 354 с.
1.36.	Viterbi A. J. Physe-locked loop dynamics in the presence of noise by Fokker-
Plank technique. — Proc. IRE, Dec., 1963, v. 51. N 12, p. 1737—1753.
1.37.	Шахгильдян В. В., Игнатов Ю. Ф. Исследование влияния шума на работу
фазовой автоподстройкп частоты. — Труды МЭИС, вып. 1, 1970. М.: Связь,
с. 104—108.
1.38.	Статистический анализ одной модели системы фазовой синхронизации/
Бурдзейко Б. П., Игнатов Ю. Ф., Хасьминский Р. 3., Шахгильдян В. В.
Пятый международный симпозиум по теории информациии. — Тезисы док-
ладов. Москва—Тбилиси: Наука, 1979, с. 64—67.
1.39.	Петрищев В. И., Савватеев Ю. И. Исследование точности системы фазо-
вой автоподстройкп частоты в нестационарном режиме. — В кн.: Методы
помехоустойчивости приема ЧМ—ФМ сигналов. М.: Сов. радио, 1972,
с. 170—174.
1.40.	Волостнов В. Н., Шалфеев В. Д. Исследование численными методами ста-
тистической динамики систем ФАПЧ. — Тезисы докладов и сообщений.
Всесоюзная НТК «Проблемы повышения эффективности и качества систем
синхронизации». Москва—Горький: НТО радиотехники, электроники и связи
им. А. С. Попова, 1979, с. 27.
1.41.	Хасьминский Р. 3. Об устойчивости систем при постоянно действующих
случайных возмущениях. — В кн.: Опознание образов. Проблемы передачи
информации. М.: Наука, 1965, с. 72—85.
1.42.	Хасьминский Р. 3. Устойчивость стохастических дифференциальных урав-
нений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969. 367 с.
1.43.	Белюстина Л. Н. О полосе захвата и численном исследовании точечных
отображений в некоторых задачах синхронизации. — В кн.: Динамика
систем, вып. 11/Фазовая синхронизация. Горький: ГГУ, 1976, с. 9—23.
1.44.	Blanchard A. Phase-Locked Loops. Application to coherent receiver design,
N.-Y.: J. Willey, 1976.
1.45.	Бакаев Ю. H. Исследование инерционной системы телевизионной синхрони-
зации. — Радиотехника и электроника, 1958, т. III, № 2, с. 227—236.
1.46.	Семенко А. И. Оптимизация параметров системы ФАП с пропорционально-
интегрирующим фильтром. — Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника, 1975,
т. 18, № 5, с. 68—72.
1.47.	Кулешов В. Н. Синтез следящих систем АПЧ: Дис. на соискание ученой
степени канд. техн. наук. М.: 1966. В надзаг.: М-во высш, и ср. спец,
образования. МЭИ.
1.48.	Сизов В. П. Синтез оптимальных линейных моделей цифровых систем фа-
зовой автоподстройки. — Радиотехника и электроника, 1974, т. XIX, № 9,
с. 1886, 1893.
1.49.	Бакаев Ю. Н. Исследование динамических и статистических свойств фа-
зовой системы автоматической подстройки частоты при квадратичном и
комбинаторном затухании. — Автоматика и телемеханика, 1962, т. XXIII,
№ 9, с. 1179—1185.
275
1.50.	Петрищев В. И. Вопросы повышения эффективности работы системы фа-
зовой автоподстройки частоты: Дис. на соискание ученой степени канд.
техн. наук. М.: 1969. В надзаг.: М-во связи СССР. МЭИС.
1.51.	Игнатов Ю. Ф. Применение теории оптимального управления к синтезу
фазовой системы автоподстройки частоты. — Труды МЭИС. М.: Связь,
1969, с. 145—149.
1.52.	Игнатов Ю. Ф. .0 разладке синхронизации. — Радиотехника и электрони-
ка, 1969, т. XIV, № 7, с. 1332—1334.
1.53.	Бакаев Ю. Н. Об одном возможном способе улучшения динамических
свойств систем автоматического регулирования. — Изв. АН СССР. ОТН/
Энергетика и автоматика, 1962, № 5, с. 144, 145.
1.54.	Ляховкин А. А. Некоторые вопросы теории фазовой автоподстройки час-
тоты: Дис. на соискание ученой степени канд. техн. наук. М.: 1966. В над-
заг.: М-во связи СССР. МЭИС.
1.55.	Гайгеров Б. А. Выбор параметров пропорционально-интегрирующего фильт-
ра фазовой автоподстройки частоты. — Радиотехника и электроника, 1965,
т. X, № 12, с. 2234—2236.
1.56.	Тузов Г. И. К выбору критерия оптимальности следящего фильтра. — Ра-
диотехника и электроника, 1972, т. XXII, № 4, с. 902.
1.57.	Фомин А. Ф. Помехоустойчивость следящих систем синхронизации. — Ра-
диотехника, 1975, т. 30, № 5, с. 36—41.
1	58. Kailath Т. A view of Three Decades of Linear Fillering Theory. — IEEE
Trans, on Inform. Th. 1974, v. 1Г-20, N 2, p. 146—181.
1.59.	Меер. Об одном классе винеровских фильтров для систем ФАПЧ — ТИИЭР,
1965, т. 53, № 12, с. 2344.
1.60.	Ван Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем управления: Пер. с
англ, под ред. А. Ю. Ишлинского. М.: Мир, 1964. 167 с.
1.61.	Девеле Д. Э. Пороговый критерий для синхронной демодуляции. — ТИИЭР,
1963, т. 51, № 2, с. 380—387.
1.62.	Шахгильдян В. В. Воздействие фазомодулированного эталонного сигнала
и шума на систему фазовой автоподстройки частоты. — Электросвязь,
1965, № 6, с. 19—30.
1.63.	Тихонов В. И. Нелинейная фильтрация и квазиоптимальный характер фа-
зовой автоподстройки частоты. — Изв. АН СССР/Техническая кибернети-
ка, 1965, № 2, с. 88—101.
1.64.	Тихонов В. И. Нелинейная оптимальная фильтрация и квазикогерентный
прием сигналов. — Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника, 1970, т. 13, № 2,
с. 152—170.
2.1.	См. [1.6].
2.2.	Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный
прием сигналов. М.: Сов. радио, 1975. 704 с.
2.3.	Тузов Г. И. Выделение и обработка информации в доплеровских систе-
мах. М.: Сов. радио, 1967. 255 с.
2.4.	Фазовая синхронизация/Под ред. Шахгильдяна В. В., Белюстиной Л. Н.
М.: Связь, 1975. 289 с.
2.5.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. 2-е изд. М.:
Физматгиз, 1959. 915 с.
2.6.	Теория бифуркаций динамических систем второго порядка/Андронов А. А.,
Леонтович Е. А., Майер А. Г., Гордон И. И. М.: Наука, 1967. 487 с.
2.7.	Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных коле-
баний. М.: Наука, 1972. 471 с.
2.8.	Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы М.: Нау-
ка, 1978. 335 с.
2.9.	Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нели-
нейной механике. М.: Наука, 1973. 502 с.
2.10.	Белюстина Л. Н. Определение качественной структуры грубой динамиче-
ской системы путем приближенного построения особых траекторий. — Изв.
вузов. Сер. Радиофизика, 1959, т. 2, № 4, с. 638—653.
2.11.	Белюстина Л. Н. Исследование динамики систем фазовой синхронизации
качественно-численными методами. — В кн.: Динамика систем, ГГУ, 1974,
вып. 3, с. 30—49.
276
2.12.	Белюстина Л. Н. Динамика систем фазовой синхронизации. — В кн.: Тру-
ды УП. Intern. Konf. fiber nichlineare Schwing, В. II. 1, Abhandl. der Akad.
Wissensch. der DDR. Abt. Math., Natur, Techmk, 1977, Nr. 5N, p. 47—71.
2.13.	Белюстина Л. H. О полосе захвата и численном исследовании точечных
отображений в некоторых задачах синхронизации. — В кн.: Динамика
систем. ГГУ, 1976, вып. 3, с. 9—23.
2.14.	Белюстина Л. Н. Исследование некоторых нелинейных неавтономных си-
стем второго порядка качественно-численными методами. — В кн.: Теория
устойчивости и ее приложения. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение,.
1979, с. 339—347.
2.15.	Белюстина Л. Н. Малые периодические возмущения грубой автономной
системы. — ДАН СССР, 1963, 148, № 2, с. 251—255.
2.16.	Белюстина Л. Н. О качественных структурах в трехмерном пространстве
особо возмущенной грубой системы второго порядка и некоторых оцен-
ках. — В кн.: Динамика систем. ГГУ, 1974, вып. 4, с. 103—121.
2.17.	Белюстина Л. Н., Кивелева К. Г., Фрайман Л. А. Методы и алгоритмы
качественно-численного исследования неавтономных моделей систем син-
хронизации. В кн.: Стабилизация частоты/Под ред. Г. М. Уткина. ВИМИ.
М.: 1980, с. 117—121.
2.18.	Кивелева К. Г., Фрайман Л. А. Нахождение неподвижных точек точечного
отображения плоскости в плоскость. — В кн.: Алгоритмы и программы.
М.: ВНТИЦ, 1979, анн. 78, № 3 (29), с. 39.
2.19.	Белюстина Л. Н., Ижевская Н. А. Программа вычисления координат непо-
движных точек точечного отображения плоскости в плоскость на основе
аналога метода секущих. — В кн.: Алгоритмы и программы. Инф. бюл-
летень. М.: ВНТИЦ, 1979, анн. 71, № 3 (29), с. 37.
2.20.	Кивелева К. Г., Фрайман Л. А. Нахождение характеристических чисел не-
подвижных точек и критических направлений сепаратрисных инвариантных
кривых точечного отображения плоскости в плоскость, порождаемого ре-
шениями неавтономной периодической системы второго порядка. — В кн.:
Алгоритмы и программы. М.: ВНТИЦ, 1979, анн. 79, № 3(29), с. 40.
2.21.	Белюстина Л. Н., Гершанов А. М., Гершанова М. Б. Программа для оп-
ределения точек сепаратрисных инвариантных кривых и уточнения седло-
вых неподвижных точек точечного отображения плоскости в плоскость для
неавтономных динамических систем второго порядка. — В кн.: Алгоритмы
и программы. Инф. бюллетень. М.: ВНТИЦ, 1979, анн. 79, № 3 (29), с. 37.
2.22.	Белюстина Л. Н., Отрокова И. Н. Исследование возникновения гомокли-
нической структуры качественно-численным методом. — В кн.: Математи-
ческие методы в теории колебаний. Динамика систем. ГГУ, 1979, с. 82—94.
2.23.	Белюстина Л. Н., Боев Ю. И., Кивелева К. Г. Численное построение би-
фуркационных кривых для трехмерной автономной системы ФАПЧ. — В кн.г
Тез. докл. на 3-м научн.-техн. семинаре по системам фазовой синхрониза-
ции. ГГУ, 1977, с. 11, 12.
2.24.	Белых В. Н., Некоркин В. И. Качественные структуры и бифуркации, по-
рождаемые нелинейным уравнением фазовой синхронизации третьего по-
рядка. — ПММ, 1978, т. 42, № 5, с. 808—819.
2.25.	Белюстина Л. Н., Быков В. В. О бифуркациях и некоторых качественных
характеристиках системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром
второго порядка. — В кн.: III симпоз. по прикладной матем. и киберн. М.:
Наука, 1973, с. 28—32.
2.26.	О величине полосы захвата системы ФАП с пропорционально-интегрирую-
щим фильтром/Белюстина Л. Н., Быков В. В., Кивелева К. Г., Шалфеев.
В. Д. — Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1970, т. 1, 12, № 4, с. 561—567.
2.27.	Белюстина Л. Н., Кивелева К. Г., Шалфеев В. Д. Применение ЭВМ к рас-
чету полосы захвата нелинейных систем фазовой автоподстройки часто-
ты. — Радиотехника, 1972, т. 27, № 7, с. 36—39.
2.28.	Белюстина Л. Н., Белых В. Н., Шалфеев В. Д. О захвате в системе ФАП
при действии аддитивной гармонической помехи. — В кн.: Теория колеба-
ний, прикладная математика и кибернетика. ГГУ, 1973, вып. 1, с. 94—101.
277
"2.29. Лихарев К- К-, Ульрих Б. Г. Системы с джозефсоновскими контактами.
МГУ, 1978. 446 с.
2.30.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963. 410 с.
2.31.	Белюстина Л. Н., Белых В. Н. О неавтономной фазовой системе уравне-
ний с малым параметром, содержащей инвариантные торы и грубые гомо-
клинические кривые. — Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1972, т. 15, № 7,
с. 1039—1048.
2.32.	Белюстина Л. Н., Белых В. Н. О режимах работы системы ФАП с малой
инерционностью в цепи управления при действии аддитивной гармоничес-
кой помехи. — Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1972, т. 15, № И,
с. 1637—1643.
2.33.	Несвижский О. В. Вынужденные колебания в системе ФАПЧ. — Радио-
техника, 1965, т. 20, № 7, с.
3.1.	Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифферен-
циальных уравнений, М.—Л.: 1950.
3.2.	Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследо-
вания динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496 с.
3.3.	Белых В. Н. О качественном исследовании неавтономного нелинейного
уравнения второго порядка. — Дифференциальные уравнения, 1975, т. 11,
№ 10, с. 1738’—1753.
3.4.	Белюстина Л. Н., Белых В. Н. О глобальной структуре разбиения цилинд-
рического фазового пространства одной неавтономной системы. — Дифф,
уравнения. 1973, т. 9, № 4, с. 595—608.
3.5.	См. [1.12].
3.6.	Belykh V. N., Pedersen N. F., Soerensen О. H. Shunted—Josephson—junction
model, I, II. — Physical Review B., 1977, v. 16, N 11, p. 4853—4871.
3.7.	Белюстина Л. H., Белых В. H. Качественное исследование динамической
системы на цилиндре. — Дифференциальные уравнения. 1973, т. 9, № 3,
с. 403—415.
3.8,	3.9. См. [1.6], [2.4].
3.10.	Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.:
Наука, 1969. 408 с.
3.11.	Савельев В. П. Классификация связных компонент множества неуправ-
ляемости одномерного движения. I, II. Динамика систем. — В кн.: Меж-
вуз. сб. ГГУ, 1975, вып. 5, с. 118—144.
3.12.	Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975. 319 с.
3.13.	Белых В. Н., Некоркин В. И. Качественное исследование системы трех диф-
ференциальных уравнений из теории фазовой синхронизации. — ПММ,
1975, т. 39, № 4, с. 642—649.
3.14.	Белых В. Н., Некоркин В. И. Динамика системы ФАП третьего порядка.
Динамика систем. — В кн.: Межвуз. сб. ГГУ, 1978, вып. 15, с. 143—151.
3.15.	Белых В. Н., Некоркин В. И. О качественном исследовании многомерной
фазовой системы. — СМЖ, 1977, 18, № 4, с. 723—735.
3.16.	См. [2.24].
3.17.	Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границы области
устойчивости. М.: Гостехиздат, 1949.
3.18.	Шильников Л. П. Теория бифуркаций динамических систем с гомоклини-
ческими кривыми Пуанкаре, VII Internat. Konf. fiir Nichtlineare Schwin-
gungen, Bd. 1—2, Akad—Verlag Berlin, 1977.
3.19.	Cm. [1.9].
3.20.	Некоркин В. И. О динамике системы фазовой синхронзации со сложными
фильтрами в цепи управления. — В кн.: Стабилизация частоты/Под ред.
Г. М. Уткина. М.: ВИМИ. 1978.
4 1—4.3. См. [1.4], [1.6], [2.4] соответственно.
4.4.	Капранов М. В. Методы расчета систем фазовой автоподстройки часто-
ты. — В кн.: [4.3], с. 38—64.
4	5. Капранов М. В. Каскадные системы фазовой автоподстройки частоты. —
Динамика систем, 1976, вып. 11, с. 76—85.
278
4.6.	Капранов М. В. Многомерные взаимосвязанные системы фазовой синхро-
низации и фазированные тракты. — III научно-технический семинар по-
системам фазовой синхронизации (тезисы докладов). Горький: ГГУ, 1977,
с. 24.
4.7.	Капранов М. В. Взаимодействующие многосвязные системы с фазовым и
частотным управлением. Всесоюзная научно-техническая конференция. —
Современные проблемы радиотехники в народном хозяйстве (тезисы док-
ладов). М.: 1977, с. 15.
4.8.	Капралов М. В. Системы коллективной фазовой автоподстройки частоты. —
Труды МЭИ, 1978, вып. 355, с. 3—9.
4.9.	Капранов М. В. Коллективная синхронизация в каскадных взаимосвязан-
ных системах ФАП. — Труды МЭИ, 1979, вып. 418, с. 3—8.
4.10.	Капранов М. В., Сизов В. П. Синтез оптимальной двухсвязной системы
фазовой автоподстройки для сдвоенного приема сигналов с угловой мо-
дуляцией. — Труды МЭИ, 1978, вып. 355, с. 10—14.
4.11.	Капранов М. В. Свойства систем коллективной фазовой автоподстройки
частоты. Всесоюзная научно-техническая конференция. — Проблемы повы-
шения эффективности и качества систем синхронизации (тезисы докла-
дов и сообщений). Москва—Горький: 1979, с. 7, 8.
4.12.	Самойло К. А., Самойло А. К-, Федосова Т. С. Метод определения доста-
точных условий глобальной устойчивости систем ФАПЧ с делителем час-
тоты и интегрирующим фильтром. Там же, с. 15.
4.13.	Горшенков Ю. Н., Григорьев М. И., Федосова Т. С. Определение глобаль-
ной устойчивости систем ФАПЧ с гармоническим делителем частоты. Там
же, с. 15.
4.14.	Леонов Г. А. Частотные методы нелинейного анализа систем фазовой син-
хронизации. Там же, с. 9.
4.15.	Павлюк Э. И. Ограниченность и глобальная устойчивость систем фазовой
синхронизации. Там же, с. 9.
4.16.	Сафонов В. М. Об исследовании устойчивости систем ФАП с двумя пе-
риодическими нелинейностями. — Радиотехника, т. 34, № 9, 1979, с. 47—50.
4.17.	Сафонов В. М. О числе вращения в динамической системе на торе. —
Динамика систем, 1976, вып. 11, с. 42—54.
4.18.	Miller М. R. Feasibility studies of synchronized-oscillator systems for p. c. m.
telephone networks. — Proc. IEE, v. 116, N 7, 1969, p. 1135—1142.
4.19.	Lindsey W. C., Kantak A. V., Debrogowski A. Network synchronization by
means of a returnable timing system. — IEEE Transactions on Communi-
cations, 1978, v. COM-26, N 6, p. 892—896.
5.1.	Понтрягин Л. С., Андронов А. А., Витт А. А. О статистическом рассмот-
рении динамических систем. — ЖЭТФ, 1933, т. 3, № 3, с. 165—183.
5.2.	Стратонович Р. Л. Синхронизация автогенератора при наличии помех. —
Радиотехника и электроника, 1958, т. 3, № 4, с. 497—506.
5.3—	5.10. См. [1.28], [1.29], [1.30], [1.5], [1.6], [1.33], [1.32], [1.4] соответ-
ственно.
5.11.	Акопян И. Г. Об установлении синхронного режима в ламповом генерато-
ре при наличии помех. — Радиотехника и электроника, 1966, т. 11, № 1,
с. 32—41.
5Л2. Миронов М. А., Яковлев А. И. Анализ срыва слежения в системах ФАПЧ
первого порядка. — Изв. вузов СССР. Сер. Радиоэлектроника, 1974, т. 17,
№ 4, с. 103—112.
5.13.	Ярлыков М. С. Оптимальный прием радиосигналов, искаженных фазовы-
ми помехами. — Изв. вузов СССР. Серия Радиоэлектроника, 1971, т. 14,
№ 10, с. 1172—1182.
5.14.	Кульман Н. К., Стратонович Р. Л. Фазовая автоподстройка частоты и оп-
тимальное измерение параметров узкополосного сигнала с непостоянной
частотой в шуме. — Радиотехника и электроника, 1964, т. 9, № 1, с. 67—76.
5.15.	Разевиг В. Д. Определение среднего времени достижения границ двумер-
ным марковским процессом. — Изв. вузов СССР. Сер. Радиофизика, 1973,
т. 16, № 4, с. 563—572.
27»
5.16.	Вазов В., Форсайт Д. Разностные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных: Пер. с англ. Б. М. Будака и Н. П.
Житкова. — М.: Иностр, литература, 1963. 487 с.
5.17.	Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
552 с
5.18,	5.19. См. [1.34], [1.12].
5.20. Бакаев Ю. Н. Приближенное интегрирование уравнения маятника. — ПММ,
1952, т. 16, № 6, с. 723—788.
5.1—6.5. См. [1.6], [1.31], [1.32], [1.4], [5.1] соответственно.
6.6.	Бочков Г. Н., Цветов М. А., Шалфеев В. Д. Исследование статистических
свойств системы ФАПЧ методом кумулянтов. — В кн.: Динамика систем.
ГГУ, 1976, вып. 11, с. 68.
6.7.	Дашевский М. Л. Приближенный анализ точности нестационарных нели-
нейных систем методом семиинвариантов. — Автоматика и телемеханика,
1967, № 11, с. 62.
6.8.	Малахов А. Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и
их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. 376 с.
6.9.	См. [2.5].
6.10.	Петрищев В. И., Савватеев Ю. И. Исследование точности систем фазовой
автоподстройки частоты в нестационарном режиме. — В кн.: Методы по-
мехоустойчивого приема ЧМ и ФМ сигналов. М.: Сов. радио, 1972, с. 170.
6.11.	Пономаренко В. П. Динамика совместной системы фазовой автоподстрой-
ки частоты и слежения за задержкой. — Изв. вудов. Сер. Радиофизика,
1971, т. 14, № 7, с. 1043—1065.
6.12.	Об анализе статистической динамики систем автоподстройки частоты/
Бочков Г. Н., Волостнов В. Н., Переведенцева Г. В., Шалфеев В. Д. —
В кн.: Материалы межотраслевых научно-технич. конференций, совещ., се-
минаров и выставок/Стабилизация частоты. М.: ВИМИ, 1978, с. 185.
6.13.	Волостнов В. Н., Шалфеев В. Д. Исследование численными методами ста-
тистической динамики систем ФАПЧ/Всес. научно-технич. конфер. — В кн.:
Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации.
Горький: 1979, с. 27.
7.1.	Тузов Г. И. Статистическая теория приема сложных сигналов. — М.: Сов.
радио, 1977. 400 с.
7.2.	А. с. 259972 (СССР. Следящий фильтр с перекрестной модуляцией и про-
граммным управлением/Тузов Г. И.
7.3.	А. с. 596114 (СССР). Некогерентный следящий фильтр для обработки
псевдослучайного сигнала/Тузов Г. И., Жерносек Р. Д., Глазов Б. И.
7.4.	А.с. 710008 (СССР). Следящий фильтр для обработки сигнала с подав-
ленной несущей/Тузов Г. И., Жерносек Р. Д., Егоров М. В.
7.5.	Исследование динамики двухконтурной системы синхронизации псевдослу-
чайного фазоманипулированного сигнала/Белюстина Л. Н., Пономаренко
В. П. и др. — Горький: 1975, с.
7.6.	Тузов Г. И., Спирин В. В. Нелинейная динамика системы фильтрации псев-
дослучайного сигнала. — Радиотехника, 1971, № 7, т. 26.
7.7.	Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управ-
лении: Пер. с англ./Под ред. Б. Р. Левина. М.: Связь, 1976. 494 с.
7.8,	7.9. См. [1.4], [1.31].
7.10.	Тихонов В. И., Харисов В. Н., Смирнов В. А. Оптимальная фильтрация
дискретно-непрерывных процессов. — Радиотехника и электроника, 1978,
№ 7, т. 23, с. 1441 — 1452.
7.11.	Солодова Е. А., Спирин В. В. Особенности динамики системы синхрониза-
ции псевдослучайного сигнала с учетом запаздывания в цепи обратной
связи. — Радиотехника и электроника, 1977, № 8, с. 1612—1618.
7.12.	Финк Л. Е. Теория передачи дискретных сообщений. М.: Сов. радио, 1970.
728 с.
7.13.	Стратонович Р. Л. Оптимальный прием узкополосного сигнала с неизвест-
ной частотой на фоне шумов. — Радиотехника и электроника, 1961, № 7,
с. 1063—1075.
280
7.14.	Харисов В. Н., Ходаковский В. А. Оптимальность системы ЧАП при оцен-
ке частоты радиосигнала на фоне шумов. — Изв. вузов. Сер. Радиоэлек-
троника, 1979, т. 22, № 4, с. 104—107.
7.15.	Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы и их применение в тео-
рии оптимального управления. МГУ, 1966. 319 с.
7.16.	Ярлыков М. С., Черняков М. В. Оптимизация асинхронных адресных си-
стем радиосвязи. М.: Связь, 1979. 216 с.
8.1.	Теория и применение псевдослучайных сигналов/А. И. Алексеев, А. Г. Ше-
реметьев, Г. И. Тузов и др. М.: Наука, 1969.
8.2.	Тузов Г. И. Статистическая теория приема сложных сигналов. М.: Сов.
радио, 1977. 400 с.
8.3.	Ярлыков М. С., Черняков М. В. Оптимизация асинхронно-адресных сис-
тем радиосвязи. М.: Связь, 1979. 216 с.
8.4.	Детинов А. Н. Оптимальный прием фазоманипулированных сигналов. —
Радиотехника и электроника, 1968, т. XIII, № 3, с. 455—465.
8.5.	Пономаренко В. П. Исследование модели корреляционно-экстремальной
системы слежения за задержкой шумового сигнала. — Изв. АН СССР/
Техническая кибернетика, 1980, № 5, с. 177—184.
8.6.	Пономаренко В. П. Динамика совместной системы фазовой автоподстрой-
ки частоты и слежения за задержкой. I, II. — Изв. вузов. Сер. Радиофи-
зика, 1971, т. XIV, № 7, с. 1043—1065.
8.7.	Пономаренко В. П. К теории систем синхронизации с перекрестными свя-
зями. — Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1971, т. XIV, № 11, с. 1728—1740.
8.8.	Пономаренко В. П. Область захвата в нелинейной системе фильтрации
псевдослучайного сигнала с произвольным углом манипуляции. — Радио-
техника и электроника, 1975, т. 20, № И, с. 2297—2302.
8.9.	Пономаренко В. П. Динамические свойства и область захвата нелинейной
системы синхронизации псевдослучайного сигнала. — Фазовая синхрониза-
ция/Под ред. В. В. Шахгильдяна и Л. Н. Белюстиной. М.: Связь, 1975г
с. 144—159.
8.10.	Белюстина Л. Н., Пономаренко В. П. Исследование инерционной системы
синхронизации псевдослучайного сигнала. — Фазовая синхронизация/Под
ред. В. В. Шахгильдяна и Л. Н. Белюстиной. М.: Связь, 1975, с. 159—181.
8.11.	Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных ко-
лебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.
8.12.	Шумоподобные сигналы в системах передачи информации/Под ред. В. Б.
Пестрякова. М.: Сов. радио, 1973. 424 с.
8.13.	Стариковский А. И., Незлин Д. В. Цифровая обработка фазоманипулиро-
ванного сигнала на фоне подобной помехи. — Радиотехника, 1977, т. 32,
№ 2, с. 17—20.
8.14.	Блэркэм, Сэре, Фримен. Анализ и моделирование приемника псевдошумо-
вых сигналов с дискретным согласованным фильтром. — Зарубежная ра-
диоэлектроника, 1968, № 1, с. 57—68.
8.15.	Защита от радиопомех/Под ред. М. В. Максимова. М.: Сов. радио, 1976.
223 с.
8.16.	Свистов В. М. Радиолокационные сигналы и их обработка. М.: Сов. ра-
дио, 1977. 446 с.
8.17.	Вакин С. А., Шустов Л. Н. Основы радиопротиводействия и радиотехниче-
ской разведки. М.: Сов. радио, 1969. 444 с.
8.18.	Ярлыков М. С. Оптимальная нелинейная фильтрация одного класса неста-
ционарных негауссовых сигналов. — Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника,.
1974, т. XVII, № 4, с. 17—28.
8.19.	Пономаренко В. П. Исследование динамики систем синхронизации слож-
ных сигналов при действии уводящих помех. — В кн.: Материалы меж-
отраслевых научно-технических конференций, совещаний, семинаров, выс-
тавок/Стабилизация частоты. М.: ВИМИ, 1978, с. 157—163.
8.20.	Пономаренко В. П. Исследование модели корреляционной системы фильт-
рации псевдослучайного радиосигнала при воздействии помехи, подобной
сигналу. — Радиотехника и электроника. 1979, т. XXIV, № 9, с. 1765—1773.
28Ь
8.21.	Пономаренко В. П. Исследование устойчивости одного алгоритма фильт-
рации псевдослучайного сигнала при воздействии подобной уводящей по-
мехи. — Радиотехника и электроника, 1980, т. XXV, № 8, с. 1629—1638.
8.22.	Белых В. Н. Динамика автономных и неавтономных систем фазовой авто-
подстройки частоты. — Фазовая синхронизация/Под ред. В. В. Шахгиль-
дяна и Л. Н. Белюстиной. М.: Связь, 1975, с. 83—97.
9.1.	Gill W. J. A compareson of Binary delay-lock tracking loop implementa-
tions. — IEEE Trans., 1966, v. AES-2, N 2, p. 415—424.
9.2.	Ward R. B. Digital communications on a Pseudonoise tracking link using
sequence inversion modulation. — IEEE Trans., 1967, v. COM-15, N 1,
p. 69—78.
9.3.	Pither T. S., Rumsey H. A bayes estimate for synchronization. — Proc.
IEEE, 1968, v. 56, N 6, p. 1094—1104.
9.4.	Wintz P. A., Luecke E. I. Performance of optimum and suboptimum syn-
chronizers. — IEEE Trans., 1969, v. COM-17, N 3, p. 380—390.
9.5.	Mcbride A. L., Sage A. P. On diskrete sequential estimation of bit synchro-
nization. — IEEE Trans., 1970, v. COM-18, N 1, p. 48—58.
9.6.	Hurd W. J., Anderson T. O. Digital transition tracking symbol synchronizer
for Low SNR coded systems. — IEEE Trans., 1970, v. COM-18, N 2,
p. 141 — 146.
9.7.	Symon M. K. Nonlinear	analysis	of an	Absolute	value type	of early—late
gate Bit synchronizers.	— IEEE,	Trans.	1970, v.	COM-18, N	5, p. 589—596.
9.8.	Symon T. K. Nonlinear	Analysis	of on	absolute	value type of early—late
gate Bit synchronizers.	— IEEE	Trans.,	1970, v.	COM-18, N	5, p. 686—688.
9.9.	Бакаев Ю. H. Оптимальная нелинейная фильтрация случайного телеграф-
ного сигнала. — Известия АН СССР/Техническая кибернетика, 1968, т. 23,
№ 4, с. 38—46.
9.10.	Lee G., Кото I. Synchronization and detection by nonlinear Filter theory. —
IEEE Trans., 1970, v. COM-18, N 6, p. 757—762.
9.11.	Marchetti G., Mengali U. Optimum and suboptimum synchronizers for binary
FSK communication systems. — IEEE Trans., 1972, v. AES-8, N 5, p. 641 —
647.
9.12.	Корбут А. А., Чердынцев В. А. О сравнении помехоустойчивости устройств
временной синхронизации псевдослучайных сигналов с информационными
параметрами. — Радиотехника и электроника, 1973, т. 18, № 12, с. 2631—
2633.
9.13.	Стиффлер Дж. Дж. Теория синхронной связи; Пер. с англ./Под ред. Э. М.
Габидулина. М.; Связь, 1975. 487 с.
9.14.	Гинзбург В. В., Каяцкас А. А. Теория синхронизации демодуляторов. М.:
Связь, 1974. 215 с.
9.15.	Чердынцев В. А. Синтез и анализ одного класса систем синхронизации
псевдослучайных сигналов. — Динамика систем/Межвузовский сборник.
ГГУ, 1976, вып. И, с. 182—189.
9.16.	Falconer D. D., Saiz I. Optimal Reception of digital data over the gaussian
channel with unknown delay and Phase Jitter—IEEE Trans., 1977, v. IT-23,
N 1, p. 117—126.
9.17.	Gangopadhyay R., Chakrabarti N. B. Analysis of the degital data transition
tracking loop in correlated gaussian Noise. — Inter. J. Electron, 1977,
v. 42, N 3, p. 261—272.
9.18.	Symon M., Lindsey W. Tracking Performanse of symbol synchronizers for
manchester coded data. — IEEE Trans., 1977, v. COM-25, N 4, p. 393—408.
9.19.	Зелигер A. H. Системы тактовой синхронизации (обзор). — Электросвязь,
1975, № 3, с. 56—60.
9.20.	Сосулин Ю. Г., Фишман М. М. Оптимальное обнаружение сигналов со
случайным моментом появления. — Изв. АН СССР/Техническая киберне-
тика, 1977, т. 32, № 3, с. 149—155.
9.21.	См. [1.32].
9.22.	Смирнов В. А. Оптимальная фильтрация двоичных радиосигналов. — Изв.
вузов СССР. Сер. Радиоэлектроника, 1974, т. 17, № 4, с. 5—16.
282
9.23.	Ярлыков М. С., Смирнов В. А. Нелинейная фильтрация дискретно-непре-
рывных марковских сигналов. — Радиотехника и электроника 1975 т 20,
№ 2, с. 280—287.
9.24—	9.26. См. [7.10], [7.15], [8.4] соответственно.
9.27.	Ярлыков М. С., Данилин В. С. Оптимальная дискретная обработка интер-
ферирующих непрерывных радиосигналов. — Радиотехника 1978 т 33
№ 8, с. 41—48.	’	’
9.28.	Корбут А. А. Об учете влияния несущей частоты на ошибки фильтрации
отдельных параметров псевдослучайного фазоманипулированного сигна-
ла. — Радиотехника и электроника, 1972, т. 17, № 12, с 2612___________2614
9.29.	См. [1.31].
9.30.	Тихонов В. И., Харисов В. Н. Оптимальный прием дискретных сигналов
со случайной задержкой. — Радиотехника и электроника, 1980 т 25 К0 3
с. 529—539.
9.31.	Тихонов В. И., Харисов В. Н. Оптимальный прием дискретных сигналов
и тактовая синхронизация. — Радиотехника и электроника 1980 т 25
№ 3, с. 540, 541.
9.32.	Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь: Пер. с англ./Под ред. В. В.
Маркова. М.: Связь, 1979. 592 с.
9.33.	Стратонович Р. Л. Применение теории процессов Маркова для оптималь-
ной фильтрации сигналов. — Радиотехника и электроника, 1960 т 5
№ 11, с. 1751.
9.34.	Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерент-
ный прием сигналов. М.: Сов. радио, 1975. 704 с.
9.35.	См. [7.1].
9.36.	Бакаев Ю. Н. Исследование устойчивости системы синхронизации с за-
паздыванием. — Изв. АН СССР. Отделение технических наук/Энергетика.
и автоматика, 1961, № 6, с. 129—133.
9.37.	Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием: Пер.
с польск. А. И. Дмитриева. М.: Машиностроение, 1974. 327 с.
9.38.	См. [7.11].
9.39.	Солодова Е. А. Исследование точности системы слежения за задержкой
при наличии флуктуаций времени запаздывания в цепи обратной связи. —
Радиотехника и электроника, 1979, т. 24, № 3, с. 557—561.
9.40.	Немировский М. С. Цифровая передача информации в радиосвязи. М.:
Связь, 1980. 256 с.
9.41.	Солодов А. В., Солодова Е. А. Системы с переменным запаздыванием. М.:
Наука, 1980. 384 с.
9.42.	Ярлыков М. С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в.
радиотехнике. М.: Сов. радио, 1980. 360 с.
10.1.	См. [2.7].
10.2.	Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения; Пер. с
англ./Под ред. Е. Д. Демкина. М.: Мир, 1964, т. 1, 2. 498 с.
10.3.	Гупта С. Фазовая автоподстройка частоты. — ТИИЭГ, 1975, т. 63, с. 50—66.
10.4.	Цифровые системы фазовой автоподстройки частоты/Горшков В. В., Спи-
рин В. В., Тузов Г. И. и др. — Зарубежная радиоэлектроника, 1978, № 5,
с. 66—68.
10.5,	10.6. См. [1.7], [1.8].
10.7.	Белых В. Н. О моделях систем фазовой синхронизации и их исследова-
нии. — В кн.: Динамика систем. ГГУ, 1976, вып. 11, с. 23—32^
10.8.	Белых В. Н., Максаков В. П. Динамика простейшей дискретной СФС.—
Радиотехника и электроника, 1976, т. 21, № 10, с. 2155.
10.9.	Белых В. Н., Максаков В. П. Динамика цифровых систем фазовой син-
хронизации первого и второго порядка. — В кн.; Динамика систем. ГГУ,
1976, вып. 11, с. 130—143.
10.10.	Белых В. Н., Максаков В. П. Статистическая динамика ЦСФС первого
порядка. — Радиотехника и электроника, 1979, т. 24, № 5, с. 958 ^74
10.11.	Белых В. Н. О моделях ЦСФС. — Радиотехника и электроника, 1979,
т. 24, № 11, с. 2244.
10.12.	Кулешов В. Н., Морозов Л. А. Исследование импульсной системы ФАПЧ.
— Радиотехника и электроника, 1963, т. 8, № 8, с. 1334—1344.
283-
10.13.	См. [1.6].
10.14.	Гаврилюк М. С. Определение портрета состояний импульсной системы
ФАПЧ. — Труды ОЭИС им. А. С. Попова. Одесса: 1969, № 18, с. 34—39.
10.15.	Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных автоматических
системах. М.: ГИФМЛ, 1962. 352 с.
10.16.	Медведев Г. А., Тарасенко В. П. Вероятностные методы исследования
экстремальных систем. М.: Наука, 1967. 456 с.
10.17.	Майер А. Г. Грубое преобразование окружности в окружность. — Ученые
записки. ГГУ, 1939, вып. 12, с. 215.
10.18.	Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.
10.19.	Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.—Л.: Наука,
1966. 368 с.
10.20.	Шахтарин Б. И. Об устойчивости движений нелинейной дискретной си-
стемы. — Радиотехника и электроника, 1977, т. 22, № 11, с. 2418.
10.21.	Шахтарин Б. И., Архангельский В. А. Динамические характеристики дис-
кретных систем автоматического фазирования. — Радиотехника и элек-
троника, 1977, т. 22, № 5, с. 978.
10.22.	Барковский Ю. С., Левин Г. С. О предельном канторовом множестве.—
УМН, 1980, т. 35, вып. 2 (212), с. 201.
10.23.	Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения
прямой в себя. — УМЖ, 1964, т. 16, № 1, с. 61.
10.24.	Шарковский А. Н. О притягивающих и притягивающихся множествах. —
ДАН СССР, 1965, т. 160, № 5, с. 1036.
10.25.	Якобсон М. В. О гладких отображениях окружности в себя. — Матема-
тический сборник, 1971, т. 85 (127), с. 163—185.
10.26.	Заславский Г. М., Рачко Х.-Р. Я- Особенности перехода к турбулентно-
му движению. — ЖЭТФ, 1979, т. 76, вып. 6, с. 2052—2064.
10.27.	Косякин А. А., Сандлер Е. А. Эргодические свойства одного класса ку-
сочно-гладких преобразований отрезка. — Изв. вузов. Сер. Математика,
1972, № 3, с. 32.
10.28.	Holmes I. К. Performance of a first-order transition sampling digital PLL
using random-walk models. — IEEE Trans. Commun. Technol,	1972,
Com-20, N 2, p. 119—131.
10.29.	Cessna I. R., Levy D. M. Phase noise and transient times for a binary
quantized DPLL in white Gaussian noise. — IEEE Trans. Commun. Technol,
v. Com-20, N 22, p. 94—104.
10.30.	Белых В. H., Максаков В. П. Статистическая динамика цифровой систе-
мы фазовой синхронизации с фильтром случайного блуждания. — Радио-
техника и электроника, 1980, т. 25, № 1, с. 100—107.
10.31.	Yamamoto Н. and Mori S. Performance of a Binary Quantized all digital
PLL with a new class of sequential filter, — IEEE Trans. Commun. 1978,
v. COM-26, N 1.
10.32.	Белюстина Л. H., Белых В. H. Качественное исследование динамической
системы на цилиндре. — Дифференциальные уравнения, 1973, т. 9, № 3,
с. 403.
10.33.	Чириков Б. В. Взаимодействие нелинейных резонансов. — Уч. пособие.
Новосибирск: НГУ, 1978. 305 с. 28—35.
10.34.	Афраймович В. С., Быков В. В. Шильников Л. П. О возникновении и
структуре аттрактора Лоренца. — ДАН СССР, 1977, т. 234, № 2,
с. 336—339.
11.1.	Романовский М. И. Анализ дискретных систем синхронизации. — Элек-
тросвязь, 1966, № 6, с.
11.2.	Л учанская X. И. Методы расчета на ЭЦВМ класса дискретных замкну-
тых систем тактовой синхронизации. — Вопросы радиоэлектроники. Сер.
Техника радиосвязи, 1968, вып. 6, с. 3—17.
11.3,	11.4. См. [10.28], [1.7].
11.5.	Левин Б. Р. Статистическая радиотехника. М.: Сов. радио, 1968, т. 1.
751 с.
284
11.6.	Шахгильдян В. В., Бурдзейко Б. П. Статистический анализ цифровой си-
стемы ФАПЧ первого порядка. — Радиотехника, 1979, т. XXXIV, № 3,
с. 8—15.
11.7.	Pearl М. Matrik Theory and finite mathematics. New-York: Me. Graw-Hill,
1973.
11.8.	Хеннекен П. M., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее прило-
жения. М.: Наука, 1974. 472 с.
11.9.	См. [10.8].
11.10.	См. [10.2].
11.11.	Миронов М. А.' Случайные блуждания между отражающими и погло-
щающими экранами.(— Изв. вузов СССР. Сер. Радиоэлектроника, 1974,
т. XVIII, № 4, с. 12.
11.12.	См. [3.9].
11.13.	Хасьминский Р. 3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений
при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969. 367 с.
11.14.	Кушнер Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969.
200 с.
11.15.	Красовский А. А. Фазовое пространство и статистическая теория дина-
мических систем. М.: Наука, 1974. 232 с.
11.16.	Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.
11.17.	См. [1.32].
11.18.	Акимов В. Н., Бурдзейко Б. П. Анализ цифровых (дискретных) устройств
тактовой синхронизации. — Тезисы докладов на Всесоюзной научно-тех-
нической конференции «Проблемы космической радиосвязи». М: 1979,
с. 114.
11.19.	Бурдзейко Б. П., Шахгильдян В. В. Стационарные и периодические ре-
жимы в моделях циклического случайного блуждания для простейшей
ЦФАПЧ. — Радиотехника и электроника, АН СССР, 1979, т. XXIV, № 9,
с. 1796—1805.
12.1.	См. [7.1].
12.2.	Жодзишский М. И., Прасолов В. А., Сила-Новицкий С. Ю. Расчетные
модели цифровых систем ФАП. — Изв. вузов СССР. Сер. Радиоэлектро-
ника, 1976, т. 19, № 3, с. 43.
12.3.	Жодзишский М. И. Анализ цифровых систем ФАП для фильтрации гар-
монического сигнала. — Радиотехника и электроника, 1973, т. 18, № 5,
с. 979.
12.4.	См. [1.8].
12.5.	Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. 3-е изд. М.: Сов.
радио, 1977. 607 с.
12.6.	Рабинер Л., Гоулд Л. Теория и применение цифровой обработки сигна-
лов. М.: Мир, 1978. 848 с.
12.7.	Вопросы статистической теории радиолокации/П. А. Бакут, И. А. Боль-
шаков, Б М. Герасимов и др./Под ред. Г. П. Тартаковского. М.: Сов.
радио, 1964, т. 2. 1080 с.
12	8. Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных цепей. М.: Физматгиз, 1963.
968 с.
12.9.	Первачев С. В., Валуев А. А., Чиликин В. М. Статистическая динамика
радиотехнических следящих систем. М.: Сов. радио, 1973. 487 с.
12	10. Жодзишский М. И. Цифровые системы фазовой синхронизации для обра-
ботки радиосигналов. — Радиотехника и электроника, 1979, т. 24, № 9,
с. 1788.
12.11.	Gill G. S., Gupta S. С. On Higher Order Discrete Phase—Loked Loops.—
IEEE, 1972, v. AES 8, № 5, p. 615.
12.12.	Software Implementation of a PN Spread Spectrum Reiver to Accomodate
Dynamics/Cahn. C. R. an other. — IEEE Trans, on Comm., 1977,
v. COM-25, N 8, p. 832.
12.13.	Жодзишский М.И., Коваленко В. Ф. Цифро-аналоговые схемы слежения
за задержкой и псевдошумового сигнала. М.: ЦНТИ «Поиск», 1980/Рефе-
рат опубликован в ПТО, 1980, № 12.
12.14.	См. [1.31].
285
12.15.	Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов.
радио, 1966, кн. 1. 728 с.
12.16.	Александров М. А., Жодзишский М. И. Анализ цифровых схем обработ-
ки квазигармонического сигнала в диапазоне частот. — Радиотехника и
электроника, 1976, т. 21, № 7, с. 1472.
12.17—	12.19. См. [1.6], [1.5], [10.28] соответственно.
12.20. Жодзишский М. И., Прасолов В. А., Сила-Новицкий С. Ю. К исследова-
нию цифровых систем ФАП с помощью ЦВМ. — Радиотехника и элек-
троника, 1979, т. 24, № 2, с. 316.
13.1,	13.2. См. [1.4], [7.13].
13.3.	Ширяев А. Н. Некоторые новые результаты в теории управляемых слу-
чайных процессов.
Trans. IV Prague Confer Inform. Theory, Stat. Decission Func., Random
Processes. — Prague Academia, 1967, p. 131—203.
13.4.	Fleming W. H. Optimal continues paramelr stochastic control. — SIAM
Review, 1969, v. 11, N 4, p. 470—509.
13.5.	Kushner H. J. Introduction to stochastic control theory. N. Y., Holt. Rinehar
and Winston, 1971.
13.6.	Вонэм В. M. Стохастические дифференциальные уравнения в теории уп-
равления.— Математика, 1973, т. 17, № 4, с. 129—167; 1973, т. 17, № 5,
с. 82—114.
13.7.	Крылов Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука,
1977. 400 с.
13.8.	Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией: Пер. с англ, под
ред. А. М. Летова. М.: Наука, 1964. 360 с.
13.9.	Игнатов Ю. Ф. Применение теории оптимального управления к синтезу
фазовой системы автоподстройки частоты. — Труды МЭНС, 1969, вып. 1,
с. 145—149.
13.10.	Williamson D. Improuved Phase-Locked Loop Performance via Nonlinear
Loop Filters. — IEEE Trans, on Commun., 1979, v. COM-27, N 3, p. 542—
556.
13.11.	Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям:
Пер. с немец. С. В. Фомина. М.: Наука, 1965. 704 с.
13.12.	Wonham W. М. Stochastic Problems in Optimal Control. — IEEE Internal.
Convent. Rec., 1963, N 2, p. 114—124.
14.1.	Губернаторов О. H., Соколов Ю. Н. Цифровые синтезаторы частот ра-
диотехнических систем. М.: Энергия, 1973. 176 с.
14.2.	Левин В. А. Стабилизация дискретного множества частот. М.: Энергия,
1970. 328 с.
14.3.	Манассевич В. Синтезаторы частот. Теория и проектирование: Пер. с ’
англ./Под ред. В. А. Певзнера. М.: Связь, 1979. 384 с.
14.4.	Шахгильдян В. В., Федосеева В. Н. Динамика цифровых систем ФАПЧ.—
В кн.: Труды учебных институтов связи. Л.: 1976, вып. 79, с. 156—164.
14.5.	Шахгильдян В. В., Федосеева В. Н. Об исследовании динамических и ста-
тистических свойств нелинейной цифровой системы фазовой синхрониза-
ции. — Тезисы докладов V Всесоюзной межвузовской конференции по
теории п методам расчета нелинейных электрических цепей и систем.
Ташкент: 1975, с. 106.
14.6.	См. [1.7].
14.7.	Макаров А. К., Павлов Б. А. Полоса захвата цифровых синтезаторов
частот. — Труды МЭИ. М.: 1975, с. 81—84.
14.8.	Шахгильдян В. В., Пестряков А. В. Исследование динамики систем
ИФАПЧ с цифровым интегратором. — В кн.: Труды учебных институтов
связи. Системы и средства передачи информации по каналам связи. Л.:
1980, с. 122—128.
14.9.	А.с. 470901 (СССР). Цифровой синтезатор/Жук О. Я., Козлов В. И.
14.10.	А. с. 471648 (СССР). Цифровой СЧ/Калаянов И. Н.
14.11.	А.с. 466604 (СССР). Цифровой СЧ/А. И. Зеленин, О. И. Губернаторов.
14.12.	А. с. 470923 (СССР). Цифровой синтезатор/Ю. И. Алехин.
14.13.	А.с. 389608 (СССР). Синтезатор частоты /В. И. Козлов, Г. Ф. Варфоло-
меев, О. Я. Жук.
286
14.14.	Stokes V. О. Techniques of frequency synthesis. — Proc. IEE, 1973, v. 120,
N 10R, p. 1052—1077.
14.15.	Соловьев M. Ю. Аналого-цифровые системы фазовой синхронизации в
синтезаторах частот. — В кн.: Стабилизация частоты/Под ред. Г. М. Ут-
кина. М.: ВНИИМИ, 1978, с. 32—37.
14.16.	Шахгильдян В. В., Соловьев М. Ю. Фазовые флуктуации выходного сиг-
нала двухпетлевого синтезатора частот. Л.: ТУИС, 1980, с. 13—14.
14.17.	Лисон Д. Простая модель шума генератора с обратной связью. —
ТИИЭР, 1966, т. 54, № 2, с. 251—253.
14.18.	Кулешов В. Н., Лешуков Б. Е. Флуктуации в транзисторных усилителях
большого гармонического сигнала и автогенератора. — Изв. вузов. Сер.
Радиофизика, 1974, № 6, с. 840—850.
14.19.	Якимов А. В. Технические флуктуации в генераторе на полупроводнико-
вом триоде. —Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1965, т. 2, № 4, с. 727—731.
14.20.	Федосеева В. Н., Шахгильдян В. В. Современное состояние проблемы
синтеза частот. — В кн.: Стабилизация частоты/Под ред. Г. М. Уткина.
М.: ВНИИМИ, 1979, с. 5—11.
14.21.	Федосеева В. Н., Пестряков А. В. К анализу спектральных характери-
стик цифровой системы ЦФАПЧ. — ТУИС, Системы и средства передачи
информации по каналам связи. Л.: 1979, с. 3—8.
14.22.	Федосеева В. Н., Пестряков А. В. Результаты исследования спектральных
характеристик цифровых систем ФАПЧ. — ТУИС. Системы и средства
передачи информации по каналам связи. Л.: 1979, с. 9—14.
14.23.	Федосеева В. Н. Математическая модель цифровой фазовой автопод-
стройки частоты. — ТУИС. Л.: 1976, вып. 74, с. 60—65.
14.24.	Шляпоберский В. И. Основы техники передачи дискретных сообщений.
М.: Связь, 1973. 480 с.
15.1.	Анцибор Н. М., Жодзишский М. И. Измерение частоты сигнала на фоне
шума с помощью цифровых систем ФАП. — Радиотехника, 1979, т. 34,
№ 5, с. 78.
15.2.	Тузов Г. И. Выделение и обработка информации в доплеровских систе-
мах. М.: Сов. радио, 1967. 256 с.
15.3.	Точность измерения параметров движения космических аппаратов радио-
техническими методами/Сильвестров С. Д., Лазарев В. М., Корниенко
А. И. и др. М.: Сов. радио, 1970.
15.4.	Оценка скорости ветра и турбулентности в атмосфере Венеры на основе
взаимных доплеровских измерений на АМС «Венера-11» и «Венера-12»/
Кержанович В. В., Макаров Ю. Ф., Маров М. Я- и др. — Космические
исследования, 1979, т. 17, вып. 5, с. 690.
15.5.	См. [1.8].
15.6.	Выбор параметров при реализации фазового метода измерения дальности
с одношкальным отсчетом/Анцибор Н. М., Жодзишский М. И., Круглов
Ю. М. п др. — Радиотехника, 1975, т. 30, № 8, с. 7.
15.7.	См. [12.12].
16.1 —16.3. См. [7.1], [9.34], [12] соответственно.
16.4. Математические основы современной радиоэлектроники/Большаков И. А.,
Гуткин Л. С., Левин Б. Р., Стратонович Р. Л./Под ред. Л. С. Гуткина.
М.: Сов. радио, 1968. 191 с.
16 5. Левин Б. Р., Шинаков Ю. С. Совместно оптимальные алгоритмы обнару-
жения сигналов и оценивания их параметров. — Радиотехника и элек-
троника, 1977, № 11, с. 2249—2256.
16.6. Куликов Е. И. Вопросы оценок параметров сигналов при наличии помех.
М.: Сов. радио, 1969. 244 с.
16.7. Диксон Р. К- Широкополосные системы: Пер. с англ./Под ред. В. И. Жу-
равлева. М.: Связь, 1979. 302 с.
16 8. Gill W., Spilker J. An Interesting Decomposition Properties forthe self-pro-
duchs of Random or Preudo-Random Binary Sequences. — IEEE Trans-
actions on Communication Systems, 1963, v. CS-11, June.
16.9. Журавлев В. И., Бонч-Бруевич А. М. Об одной схеме синхронизации кор-
реляционного приемника псевдослучайных сигналов. — Труды ’
1968, № 1, с. 35—41.
287
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие................................................................ 3
Глава 1. Проблемы синхронизации............................................ 5
Глава 2. Качественно-численный метод в исследовании трехмерных
нелинейных СФС.............................................................21
2.1.	Основные понятия......................................................21
2.2.	Алгоритмы и программы качественно-численного построения фазовых
картин точечного отображения плоскости в плоскость и нахождения би-
фуркационных параметров ...................................................24
2.3.	Определение полосы захвата автономной системы ФАПЧ с фильт-
ром второго порядка ...................................................... 27
2.4.	Исследование трехмерных неавтономных математических моделей
ФАПЧ с фильтром первого порядка............................................32
Глава 3. Анализ непрерывных СФС методом двумерных систем срав-
нения .....................................................................45
3.1.	Введение..............................................................45
3.2.	Метод двумерных систем сравнения......................................46
3.3.	Система фазовой синхронизации с фильтром первого порядка при не-
автономных воздействиях .................................................. 51
3.4.	Система фазовой синхронизации с фильтром	второго порядка ...	53
Глава 4. Взаимодействующие многосвязные СФС................................55
4.1.	Введение..............................................................55
4.2.	Дифференциальные	уравнения коллективных СФС..........................57
4.3.	Типовые структуры	многомерных	СФС...................................59
4.4.	Режимы взаимосвязанных СФС............................................67
Глава 5. Статистическая динамика СФС второго порядка ....	74
5.1.	Введение..............................................................74
5.2.	Стохастические дифференциальные уравнения, описывающие стати-
стическую динамику СФС.....................................................75
5.3.	Анализ статистических характеристик	переходных	процессов ...	77
5.4.	Вероятность срыва синхронизации.......................................83
5.5.	Статистические характеристики срыва	синхронизации.............89
Глава 6. Использование кумулянтного анализа для исследования СФС 95
6.1. Подход к изучению статистической динамики.............................95
6.2. Исследование статистической динамики СФС..............................97
Глава 7. Системы синхронизации, использующие сложные фазоманипу-
лированные сигналы........................................................104
7.1.	Направления развития систем синхронизации со сложными сигналами 104
7.2.	Некогерентная корреляционная фильтрация непрерывных процессов 107
7.3.	Некогерентная фильтрация дискретно-непрерывных процессов . . . 112
Глава 8. Анализ устойчивости систем синхронизации сложных сигналов	117
8.1. Введение.............................................................117
8.2. Синхронизирующие свойства и устойчивость ДСС в отсутствие помех 120
8.3. Синхронизирующие свойства и устойчивость ДСС при воздействии
структурной помехи ...................................................... 124
Глава 9. Оптимальный прием дискретных сигналов с синхронизацией по
информационным символам...................................................131
9.1.	Синтез устройств приема дискретных сигналов со случайной за-
держкой ..................................................................131
9.2.	Оптимальный прием дискретных сигналов и тактовая синхронизация 141
9.3.	Система синхронизации со случайным запаздыванием регулирования 151
288
Глава 10. Модели дискретных СФС и их исследование....................161
10.1.	Введение.......................................................161
10.2.	Разностные уравнения типовой импульсной	СФС...................161
10.3.	Математические модели цифровых СФС.............................162
10.4.	Динамика дискретных систем первого порядка.....................165
10.5.	Статистическая динамика дискретных систем первого порядка .	.	170
10.6.	Динамика дискретных систем второго порядка.....................173
Глава 11. Исследование марковских моделей цифровых систем фазовой
синхронизации (ЦСФС).................................................176
11.1.	Основное уравнение ЦСФС........................................176
11.2.	Исследование модели ЦСФС первого порядка с постоянным интер-
валом регулирования при нулевой	начальной расстройке ............. 179
11.3.	Качественное исследование модели ЦСФС с постоянным интервалом
регулирования при ненулевой начальной расстройке ................... 185
11.4.	Асимптотическое распределение марковской цепи..................190
11.5.	Асимптотические распределения фазовой ошибки для моделей ЦСФС
с постоянным и переменным интервалами регулирования..................193
11.6.	Стационарные и периодические режимы в моделях ЦСФС .	.	.	198
11.7.	Срыв синхронизации в системе ЦСФС первого порядка ....	203
Глава 12. Квазинепрерывный метод анализа ЦСФС........................205
12.1.	Предварительные замечания......................................205
12.2.	Условия применимости и сущность квазинепрерывного метода .	.	207
12.3.	Аналитическое описание основных частей	ЦСФС...................211
12.4.	Квазинепрерывная модель линейной инерционной части ЦСФС .	.	214
12.5.	Квазинепрерывная модель нелинейной малоинерционной части ЦСФС	217
12.6.	Анализ ЦСФС квазинепрерывным методом...........................220
Глава 13. Оптимальные системы фазовой синхронизации..................223
13.1.	Введение.......................................................223
13.2.	Диффузионные процессы п оптимальное управление ....	224
13.3.	Примеры оптимального управления стохастическими СФС .	.	.	228
Глава 14. Системы фазовой синхронизации в устройствах синтеза частот 239
Глава 15. Применение ЦСФС для обработки сигналов на фоне шума 256
15.1. Измерение частоты сигнала на фоне шума.........................256
15.2. Демодуляция фазомодулированного сигнала........................259
Глава 16. Дискриминаторы в СФС при обработке сложных сигналов 261
16.1.	Постановка задачи..............................................261
16.2.	Оптимальный дискриминатор......................................262
16.3.	Квазиоптимальный дискриминатор.................................264
16.4.	Некогерентный дискриминатор....................................270
Список литературы .................................................. 274