/
Автор: Николаев А.М. Жуков В.П. Карташев В.Г.
Теги: электротехника электроника радиотехника сборник задач
Год: 1972
Текст
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ .РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
В. П. ЖУКОВ, В. Г. КАРТАШЕВ, А. М. НИКОЛАЕВ
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО КУРСУ
«РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ
И СИГНАЛЫ»
Под редакцией А. М. НИКОЛАЕВА
Попущено Министерством высшего и среднего специального образо-
вания СССР в качестве учебного пособия для студентов радиотехни-
ческих специальностей вузов
МОСКВА — «СОВЕТСКОЕ РАДИО» — 1972
6Ф2
Ж86
УДК 621.391.1(076)
Жуков В. П., Карташев В. Г., Никола-
ев А, М. Сборник задач по курсу «Радиотехнические цепи
и сигналы». Под ред. А. М. Николаева. Учебное посо-
бие для вузов. М. «Сов. радио», 1972, 192.
Задачник является учебным пособием по курсу «Радиотехниче-
ские цепи и сигналы». В нем отражены все разделы, входящие в курс:
характеристики электрических колебании и анализ их воздействия
на линейные и нелинейные электрические цепи. В книгу включены
задачи различной степени трудности. Ко всем числовым задачам при-
ведены ответы. Пособие предназначено для преподавателей и студен-
тов радиотехнических вузов и может быть полезно для лиц, занима-
ющихся самообразованием.
Рис. 114, библ, назв, 7.
Рецензе нты:
кафедры теоретических основ радиотехники
Московского авиационного института и Харьковского
политехнического института
120-72
3-4-1
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник задач обобщает многолетний опыт авторов по
преподаванию курса на кафедре основ радиотехники Мос-
ковского ордена Ленина энергетического института. В за-
дачник включен ряд разделов, относящихся к курсу «Основы
теории цепей» (одиночные и связанные контуры, цепи с рас-
пределенными параметрами, спектральный и операторный
методы анализа переходных процессов). Это объясняется
глубокой убежденностью авторов в том, что теория радио-
технических цепей, анализ сигналов и вопросы прохожде-
ния сигналов через цепи должны составлять единое целое.
В начале каждой главы приводятся основные обозначе-
ния и расчетные формулы. Особо следует оговорить, что в за-
дачнике всюду используются только амплитудное значения
гармонических напряжений и токов. Поэтому в большинстве
глав у обозначений амплитудных значений опущен индекс
«щ».
В книге даны как простые, так и достаточно сложные за-
дачи, решение которых может оказаться затруднительным
и для весьма способных студентов. В этих случаях потре-
буется квалифицированная помощь преподавателя.
К сожалению, ограниченный объем книги не позволил
дать ответы к задачам, требующим построения графиков
или математических доказательств. По этой же причине
отсутствуют подробные методические указания по решению
некоторых задач, а также таблицы и графики, которые мог-
ли бы создать определенные удобства при пользовании за-
дачником.
Работа по составлению задачника была распределена
между авторами следующим образом: Жуков В. П. — гла-
вы 2, 8—11; Карташев В. Г.—главы 4,5 и 7; Николаев А.М.—
главы 1, 3 и 6. Хотя значительное число задач родилось
на кафедре основ радиотехники МЭИ, авторы не имеют
возможности указать первоисточник каждой из 679 задач
из-за трудностей прослеживания их родословных. В разные
годы авторам попадались всевозможные внутривузовские
3
издания, методические разработки и другие источники,
дать ссылки на которые теперь невозможно. Список литера-
туры в этом отношении далек от полноты.
Авторы приносят большую благодарность заведующему
кафедрой теоретической радиотехники Московского авиа-
ционного института проф. Гоноровскому И. С., заведующе-
му кафедрой основ радиотехники Харьковского политехни-
ческого института проф. Кащееву Б. Л. и преподавателям
этих кафедр: доц. Глотову И. А., старшим преподавателям
Воронковой Е. Ф., Ильину В. И., Камскову В. Ф., Хопо-
вой И. П. и ассистенту Серебренникову Г. И. за большую
работу по рецензированию рукописи этой книги. Их цен-
ные замечения помогли существенно улучшить ряд разде-
лов.
Естественно, авторы не надеются на то, что представляе-
мый вниманию читателей труд свободен от ошибок и не
достатков, и поэтому примут с благодарностью любые заме-
чания, если они будут направлены в адрес издательства «Со-
ветское радио»: 101000 Москва, Главпочтамт, п/я 693.
Глава I
Регулярные электрические колебания
Основные обозначения и расчетные формулы
Некоторые элементарные
(«испытательные») колебания.
Дельта-функция (единичный импульс, единичная им-
пульсная функция, функция Дирака):
J 6(0Л = 1;
6(0 =
ь
Я
оо при / = О,
О при других /;
(о = а или О =Ь,
.0, /0< а. 19>Ь.
Здесь Г(0 — ограниченная и непрерывная в точке /0 функ-
ция.
Единичная функция (импульс включения, единичный
скачок, функция Хевисайда):
0(0 =
1,
2 ’
о,
/ = о, СТ(О= f 6(x)dx; 6(0=4ff(0-
—ОС U*
Периодическая функция Ф(0 с периодом Т (разложе-
ние в ряд Фурье):
ОС 00
ф (/) = + 2 (С* cos k QI + Sft sin kQl) = 4 s AAe'*%
2 *=i 2 *—о»
где
о T',2 2 г//
C\ = - | ф(/)С08«ИЛ; Sfc = 4 | Ф(О51пН2М;
T -T/2 T ~r/2
2 T'f 2i
Д.=- f Ф(0е-'*а'Л; Q= — = 2nF.
* T -TH т
5
Спектральная плотность функции F(/) (прямое пре-
образование Ф>рье):
$ (со) = S (со) е'*'“’ = J F (0 е-'®'dt.
Обратное преобразование Фурье:
F (1) = — f S (со) e/m/ dio = — Re j S (со) е/ш/ Ло.
2л —зо л о
Свертка функций Fj(/) и Ft(/):
F(t) = У F1(T)F2((-T)ciT= f F1(/-T)F#(T)dT =
—oo —co
= F1(O*Ft(0.
Если
F! (0 =$, (CO), Fa (/) ==52 (co), F (t)==S (co),
TO
F (0 = Ft (0 *F2 (/) = S (co) = (co) S2 (co),
F (/) = Ft (/) F2 (/) = S (co) = +- St (co)»S2 (co),
zn
Автокорреляционная функция:
К(т)= J F(t)F(t-r)dt= j F(/4-T)F(/)d/ =
—oo — oo
= F(t)*F(—t) =y- f S2 (co) е/шт du>,
где S (co)—модуль спектральной плотности F(().
Энергия импульса F(t) (на единичном сопротивлении):
j P(l)dt = J- J S2(co)dco.
—оо лЛ — оо
Взаимная корреляционная функция:
КИ(Т)= у F1(/)F2(/-T)d/= У ^(/ + т)Е2(/)а/ =
—во —ОО
= F!(t)*F2(—т).
б
Изображение функции (оригинала) F(t)— прямое пре-
образование Лапласа:
Обратное преобразование Лапласа:
е+/оо
F(0-~ $ F(p)^'dp.
С—1<х
Параметры модулированных колебаний: М — коэффи-
циент модуляции; т — индекс модуляции; Д<в — девиация
частоты (частотное отклонение).
Аналитический сигнал:
u(t) = u (() + jv (I) = U (/) е/ф<'> е>“»' = £7(0 е'“<
где u(t) = U (/) cos [й)0( 4- <р(/)| — исходный сигнал;
(/) sin [<1>0t4-ф(()1— сопряженный сигнал;
U(t) = U (/) е/'₽</)—комплексная огибающая аналитичес-
кого сигнала;
U (I) и ф(0—медленные по сравнению с и(1) функции
времени.
1.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В РЯД ФУРЬЕ
1.1. Заданы следующие функции:
1)М)-[0> |/|>т/2,
2) 8x(t) = C2e-‘W
3) 6t(0 = C3-V’
1
4)
Определить нормирующие коэффициенты С1( С2, С3,
С4 таким образом, чтобы lim бт(/) = 6(/).
Г-0
7
1.2. Заданы следующие функции:
1) М0 =
Су 1И<*/2,
Сгт, />т/2,
О, /< — т/2,
2) ax(0 = C,+C3arctgl,
_|С4е"\ КО,
3) а’^)-(св+све-'/\ ОО.
Определить нормирующие коэффициенты С3 4- Сй таким
образом, чтобы limax(0 = cr(/).
1.3 Найти первую производную F' (/) функции
Г(/) = Ве~₽'а(/).
1.4. Найти вторую производную F" (!) функции
F(0 = Be-₽l'l.
1.5. Дать аналитическое выражение функции F(t), изоб-
раженной на рис. 1.1, найти ее вторую производную F"(t).
1.6. Разложить в ряд Фурье периодическую последова-
тельность импульсов, изображенную на рис. 1.2, и построить
спектральную диаграмму для Т = 4Г„.
1.7. Разложить в ряд Фурье периодические последова-
тельности импульсов, изображенные на рис. 1.3, и построить
их спектральные диаграммы.
8
*,/*л
-7/2 0 7/2 t
Рис. 1.3.
Рис. 1.4.
1.8. Сумма периодических последовательностей Ф,(/)
иФ2(/), изображенных на рис. 1.4, образует последователь-
ность Ф(0- Построить временную и спектральную диаграм-
мы последовательности Ф(/).
1.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ И ЕЕ СВОЙСТВА
1.9. Найти спектральную плотность импульса
F(l)= 10е-2>3,|°’ 'о(/)В.
Построить зависимость модуля спектральной плотности от
частоты.
1.10. Определить, на какой частоте значение модуля
спектральной плотности импульса
F(O=lOe-looo'a(OB
уменьшается в 10 раз по сравнению со значением спектраль-
ной плотности при со = 0.
1.11. Найти спектральную плотность напряжения
«(/) = £/(!—е-Р') о(/).
Изобразить характер зависимости модуля спектральной
плотности от частоты.
1.12. Найти и построить зависимость от частоты спект-
ральной плотности импульса
F(0 = e~^’.
9
При построении по оси абсцисс откладывать величину со/0.
Построить также временною диаграмму импульса F(t).
1.13. Спектральная плотность импульса F(t) имеет вид
$ (со) = лВе_р 1 “ I.
Найти импульс F(t) и построить его временную диаграмму.
1.14. Используя известное выражение для спектральной
плотности единичной функции и теорему запаздывания,
найти спектральную плотность прямоугольного импульса
с амплитудой В и длительностью Т„, расположенного сим-
метрично относительно начала координат.
1.15. Построить зависимость от частоты модуля спект-
ральной плотности прямоугольного импульса с длитель-
ностью, равной 1 мкс и амплитудой 10 В. График построить
для диапазона частот от 0 до 4 МГц.
1.16. Используя результаты решения задачи 1.14 и тео-
рему запаздывания, найти спектральную плотность двой-
ного импульса F(t), изображенного на рис. 1.5. Решить эту
же задачу, используя теоремы о спектральной плотности
производной и интеграла и теорему запаздывания
Ш)
1
Рис. 1.6
1.17. Найти спектральную плотность треугольного им-
пульса, изображенного на рис. 1.6. Построить зависимость
от частоты модуля спектральной плотности (в диапазоне
частот 0—4 МГц) для Е = 10 В, Та = 1 мкс.
Примечание. Отыскание спектральной плотности в зада
чах 1.17—1.19 произвести; а) путем непосредственного интегрирова-
ния; б) используя теорему запаздывания и теоремы о спектральной
плотности производной и интеграла
1.18. Найти спектральную плотность пилообразного
импульса (рис. 1.7). Вычислить значение спектральной
плотности на частоте 1,59 МГц, если Е = 10 В, Та = 1 мкс.
10
1.19. Найти спектральную плотность трапециевидного
импульса (рис. 1.8). Вычислить значение спектральной
плотности на частоте 1,5 МГц, если £ = 10 В, 1\ = 1 мкс,
Т2 — 1,4 мкс.
1.20. На рис. 1.9 изображены три импульса, аналити-
ческие выражения которых одни и те же:
/\ (/) = В cos —
Т 2 2
Здесь k = 1, 2,3; Ти1 = Т„; Тх = Ги/10; Та2 = Та-, Т2 = 2Та-
Ти8 = Т„/20; Т9= Тв/\0. Найти спектральные плотности
Si(o>), Sa(w), S3(w) и сравнить их, построив на одном гра-
фике.
11
1.21. Сравнить, построив на одном графике, спектраль-
ные плотности прямоугольного, треугольного и косинусо-
идального импульсов (длительности и площади импульсов
одинаковы).
1.3. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ
И ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИИ.
ЭНЕРГИЯ СИГНАЛА
1.22. Найти свертку двух одинаковых функций F^t) =
= Fa(/), изображенных на рис. 1.10.
Рис. 1.10.
о № *
1.23. Найти свертку F(t) функций Fx(t) и /%(/):
Ft (t) - Bt е-»« «-*> о (t—a), Ft (/) = Ва е~Р=' а (I).
1.24. Найти автокорреляционную функцию прямоуголь-
ного импульса с амплитудой В и длительностью ТИ.
1.25. Найти автокорреляционную функцию пилообраз-
ного импульса, изображенного на рис. 1.7.
1.26. Используя теорему о свертке спектральных плот
ностей и считая известными спектральные плотности гармо-
нического колебания и прямоугольного видеоимпульса,
найти спектральную плотность радиоимпульса с прямо-
угольной огибающей:
F(t) = Bcosa0l, — Та/2<1<ТИ/2.
1.27. Даны две функции;
Fx (0 = е-0« о (/), Ft (/) = е-₽-' а (/).
Найти
J Fi (0 F2'(/—a) dt при а > 0; а = 0; а<0.
12
f.28. Найти взаимную корре-
ляционную функцию импульсов
Fi(t) н F2(t), изображенных на
рис. 1.11.
1.29. Найти и построить на од-
ном графике энергетические
спектры прямоугольного, треу-
гольного и косинусоидального им-
пульсов (см. задачу 1.21). Дли-
тельности и площади импульсов
одинаковы.
1.30. Экспоненциальный им-
пульс тока I = a(t) проте-
кает через сопротивление R. Какая
доля всей энергии импульса вы-
деляется в сопротивлении R за время 1/0? Какая доля всей
энергии импульса сосредоточена в полосе частот 0 4- 0 1/с?
Какова активная длительность импульса ta и активная
ширина спектра ша?
Примечание. Величины t& и ша определяют соответственно
интервалы времени (0-г/а) и частоты (0 4- <оа), в которых сосредо-
точено 90% энергии импульса.
1.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
1.31. Используя свойство линейности преобразования
Лапласа и, зная изображение функции F(f) = е-*', най-
ти изображения функций
sinW, cos bl, shot ch at,
sin(W-|-q>), cos(W4-<p), 1—е_а/, e~w— e-".
1.32. Используя теорему запаздывания, найти изобра-
жение функции cos [<оо(/ — т)].
1.33. Используя теорему смещения, найти изображения
следующих функций:
e~aZsinb/, /е~а', e~b! sha/,
e~al COS(b/-|-ф), Iq-oIq-Ы^
13
1.34. Используя теорему дифференцирования оригина-
ла. найти оригинал, имеющий изображение-——,
(р 4- а) (р -> 6)
если известно соответствие
------!-----4= —— (e~at —
(p + a)(p^b) b — a
1.35. Используя теорему дифференцирования оригина-
ла, получить новые операторные соотношения из следующих
соответствий:
е-07 sin Ы =---------------—.
(р 4» в)г 6s
1.36. Используя теорему интегрирования оригинала,
найти оригинал, соответствующий изображению , если
известно соответствие а (I) == — .
р
1.37. Используя теорему об изображении свертки функ-
ций, доказать теорему интегрирования оригинала.
1.38. Используя теорему об изображении свертки
функций, найти оригинал по изображению------------------,
г (р + о) (р + Ь)
если известно, что -------== е~а‘.
р-^а
1.39. Найти значения функции F(t) при t = 0 и t = оо
по ее изображению:
Р ту- О
1.5. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
1.40. Какое количество а) телевизионных, б) радиове-
щательных, в) телеграфных станций с амплитудной модуля-
цией можно разместить в диапазоне длин волн от 3 до 6 м?
Наибольшие частоты модуляции: для телевизионных
станций 6 МГц, для радиовещательных станций 5 кГц, для
телеграфных станций 400 Гц. Телевизионные станции рабо-
тают с одной боковой полосой частот.
14
1.41. Нарисовать спектральную и векторную диаграммы
колебания
и =10 1 4- 0,3 cos
[1044-=-U
+ 0,5cos f 5-10Ч + — )I cos (104 4—
\ 4 J I \ 3
B.
1.42. Спектральная диаграмма напряжения приведена
на рис. 1.12. На основании спектральной диаграммы опре-
делить парциальные коэф- ,2
фициенты модуляции, пай- .
ти аналитическое выраже-
Hi е данного колебания и
построить его векторную
диаграмму для момента
времени 1 = 0.
1.43. Нарисовать спект-
ральную и векторную диа-
граммы частотно-модули-
рованного колебания, не
сущая частота которого равна 1 МГц, частотное отклоне-
ние 1000 Гц, модулирующая частота 10 кГц.
1.44. Максимальная частота часготно-модулированного
колебания fmex = 2,01 • 10’ Гц, средняя частота /0 = 2х
X 10’ Гц, частота модуляции F = 104 Гц. Определить частот-
ное отклонение (девиацию частоты) и индекс модуляции.
1.45. Написать аналитические выражения частотно-мо-
дулированного колебания и его мгновенной частоты, если
известны следующие величины:
а) средняя частота = 10® Гц;
б) амплитуда колебания U = 100 В;
в) начальная фаза колебания высокой частоты <р0 =
= 60°;
г) частота гармонического сигнала F = 1000 Гц;
д) начальная фаза сигнала Ф = 90°;
е) индекс модуляции т = 0,2.
Произвести разложение колебания на гармонические
составляющие. Построить спектральную и векторную диа-
граммы.
1.46. Частота фазово-модулированного колебания изме-
няется по закону:
ю = 10е (1+0,01 cos 10® 0 1/с.
15
Найти аналитическое выражение этого колебания, если его
амплитуда равна 10 В.
1.47. Дано частотно-модулированное колебание
и = 2cos [2л-4-10®I +0,525sin2л-2-104/) В.
Найти максимальное и минимальное значения частоты коле-
бания и моменты времени, когда они наступают. Построить
векторную диаграмму и указать положения вектора и на-
правления его вращения при f = /0. f = /mln, f = /тах (/0,
/min и /тах—соответственно средняя, минимальная и мак-
симальная мгновенная частота колебания).
1.48. Найти максимальную и минимальную мгновенную
частоту, а также девиацию частоты для следующих частот-
но-модулированных колебаний:
а) и = 50cos(104 +3 sin 5 -104+ 5 sin 7 -105 0 В,
б) и = 20cos(107/ + 4 sin3-104 +2 sin 5-10® t) В,
в) w = 30cos(104 — 4cos 10®/ + 6cos3-10®t) B.
1.49. Определить мгновенное значение частоты частотно-
модулированного колебания
u = (/cos(10®/ + 2sin 10®/ + sin3 • 10®/) В
в момент времени t = 2,09-10_® с, а также девиацию час-
тоты.
1.50. Временная диаграмма модулирующего сигнала
приведена на рис. 1.13. Изобразить временные диаграммы
мгновенной частоты и сдви-
га фаз при частотной и фа-
зовой модуляции.
1.51. Определить прак-
тическую ширину спектра
фазово-модулированного
колебания, индекс модуля-
ции которого равен 5; моду-
лирующая частота 10 кГц.
1.52. Определить, в каких пределах изменяется практи-
ческая ширина спектра и количество составляющих боко-
вых частот частотно-модулированного и фазово-модули-
рованного колебаний, если модулирующая частота изме-
няется в пределах от 50 Гц до 15 кГц. Девиация частоты при
частотной модуляции равна 75 кГц, индекс модуляции при
фазовой модуляции равен 10.
16
1.6 АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ
1.53. Учитывая, что мнимая составляющая v(t) анали-
тического сигнала (сопряженный сигнал) может быть пред-
ставлена как результат прохождения исходного сигнала
u(t) через фильтр с частотной характеристикой
' — j, со > О,
+ j, ®<о,
О, <о = 0,
выразить спектральную плотность S„(o>) сопряженного
сигнала v(t) и спектральную плотность и(<о) аналитического
сигнала u(t) через спектральную плотность Su(<o) исходного
сигнала и(1).
1.54. Найти связь спектральной плотности и (со) анали-
тического сигнала и((} со спектральной плотностью Z7(co)
его комплексной огибающей £/(/).
1.55. Найти связь спектральной плотности Su(<o) ис-
ходного сигнала u(Z) со спектральной плотностью Z7(co)
комплексной огибающей U(t) аналитического сигнала u(t),
1.56. Изобразить спектральные диаграммы аналитичес-
кого сигнала и его комплексной огибающей, если исходный
сигнал
и (Z) = Ucp (1 cos QZ) cos <оо t, Й < ci)0.
1.57. Исходный сигнал является радиоимпульсом с пря-
моугольной огибающей:
u(O = t/sin(<0o/+-=-), —£.</<-£-, .
\ 4/2 2 w0
Найти спектральную плотность комплексной огибающей
аналитического сигнала.
1.58. Записать комплексную огибающую аналитического
сигнала, обладающего средней частотой <вр = <оо—До),
если исходный сигнал равен
U (/) = {/(/) cos К/ + <}>(/)).
1.59. Комплексная о^якидая аналитического сигнала
имеет спектральную плотность
Определить исходный сигнал, имея в виду, что ш0 0.
17
Глава 2
Методы анализа линейных цепей
с постоянными параметрами
Основные обозначения и расчетные формулы
Связь выходного колебания y(t) со входным колеба-
нием х (/):
ап —4— + an_i--------------у-' + ... +а0 y(t) =
df dt"'1
, dm х (t) , , dm~lx(f) . . . ...
= Ьт-------+ Ьт.х---------—4- +... + Ьй к (/),
dtn dt 1
где an, an_v ..., ag; bm, bm_t, ... , 60 —постоянные коэф-
фициенты.
Решение дифференциального уравнения отыскивается
в виде
У (0 УсВ й) 4“ f/вын
где Усв(1) — свободная составляющая колебаний в рассмат-
риваемой цепи, Увын(1) — вынужденная составляющая.
Свободная составляющая t/CB(Z) является общим решением
однородного дифференциального уравнения (без правой
части), ее характер не зависит от входного воздействия
/(/) и определяется порядком дифференциального уравне-
ния. Вынужденная составляющая t/BUH(0 зависит от вход-
ного воздействия x(t).
Импульсная характеристика цепи g(f) — реакциия це-
пи на 6-функцию х(1) = 6(/) при нулевых начальных усло-
виях.
Переходная характеристика цепи Л(/) — реакция цепи
на единичную функцию x(t) — a(Z) при нулевых начальных
условиях.
Интеграл Дюамеля — форма связи выходного колеба-
ния y(t) со входным х(/):
!/(0 = Jx(r)£(Z—т)4т = J x(l—r)g(r)dT,
18
Другие формы записи интеграла Дюамеля можно полу-
чить, учитывая связь импульсной характеристики g(f)
с переходной й(7):
6 dt
Частотный коэффициент передачи цепи К(т) — преобра-
зование Фурье от импульсной характеристики g(t):
00
К(т) = g(i)e-'<al dt,
— оо
g(0
се
= —— i К (о) е'ш1 dm.
2л J
— оо
Операторный коэффициент передачи цепи К(р) — преоб-
разование Лапласа от импульсной характеристики g(t):
оо
K(P) = <\>g(t)e~p' dt,
О
g(0=v7- f K(p)epldp.
2л/ J
г— /оо
Частотный коэффициент передачи К(т)".
0<~‘ -fr -М|> .
+ ...->а#
его можно определить из дифференциального уравнения
цепи, а также путем непосредственного анализа исследуе-
мой схемы (используя понятие комплексного сопротивле-
ния). Очевидно, что
/<(Р) = /С(<0)|/О=р.
Связь спектральной плотности S„ (со) выходного коле-
бания y(t) со спектральной плотностью Sx(co) входного коле-
бания x(t):
Su (m) = Sx(m)f((m).
Связь изображения Y(p) выходного колебания у(()
с изображением Х(р) входного колебания x(t):
Y(p) = X(p)K(p).
19
2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЦЕПЕЙ
2.1. Схема электрической цепи приведена на рис. 2.1.
Составить дифференциальные уравнения: а) для определе-
ния напряжения и, б) для определения тока ц,.
Примечание. Здесь и далее параметры электрической цепи
и э. д. с., указанные на рисунках, считать заданными.
2.2. Схема электрической цепи приведена на рис. 2.2.
Составить дифференциальное уравнение для определения
напряжения и.
2.3. Схема электрической цепи приведена на рис. 2.3.
Составить дифференциальные уравнения: а) для определе-
ния напряжения и, б) для определения тока II.
Рис. 2.3.
i(t)
Рис. 2.4.
2.4. Схема электрической цепи приведена на рис. 2.4.
Составить дифференциальные уравнения для определения
токов ц. и ic и напряжения и.
2.5. Выразить токи «, и 1г в схеме рис. 2.5 через напря
жения их и иг.
2.6. Схема электрической цепи приведена на рис. 2.6
Составить систему двух дифференциальных уравнений, по-
зволяющих определить напряжения и иг.
20
Рис. 2.5.
Рис. 2.6.
2.7. Схема электрической
Составить дифференциальное
тока tt.
цепи приведена на рис. 2.7.
уравнение для определения
Рис. 2.7.
Рис. 2.3.
2.8. Схема электрической цепи приведена на рис. 2.8.
Составить дифференциальное уравнение для определения
тока it. Изменится ли порядок дифференциального уравне-
ния, если учесть, что между катушками индуктивности Lt
и L2 имеется взаимная индуктивность Л1?
2.2. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
2.9. Конденсатор С — 1 мкФ замыкают на сопротивле-
ние R. Начальное напряжение на конденсаторе Uo = 100 В.
Определить напряжение на конденсаторе и ток в цепи через
3 мс после замыкания, если a) R = 10 кОм, б) R =
= 20 кОм.
2.10. Определить сопротивление изоляции конденсатора,
если его емкость равна 2 мкФ и через 2 часа после выключе-
ния конденсатора из схемы напряжение на нем понизилось
на 95%.
2.11. Конденсатор С, заряженный до напряжения Uo,
замыкают на сопротивление R. Определить, через какой
промежуток времени после замыкания напряжение на кон-
денсаторе уменьшится в т раз.
21
2.12. Вывести формулу для расчета мгновенного и сред-
него значения мощности, развиваемой конденсатором С
при разряде на сопротивление R. Начальное напряжение на
конденсаторе равно Uo, конечное — UJm (т > 1).
2.13. Конденсатор емкостью 100 пФ разряжается па
сопротивление 1 МОм. Начальное напряжение на конден-
саторе равно 160 В. Через какой промежуток времени разряд
закончится? Разряд считать оконченным, когда количество
электричества, запасенное в конденсаторе, станет равным
заряду электрона q = 1,6-10"19 Кл.
2.14. Конденсатор С заряжается от источника э. д. с.
Е через сопротивление R. В процессе заряда в конденсаторе
накапливается энергия, а в сопротивлении R выделяется
тепло. Считая значения С и R известными, вывести за-
висимости от времени следующих величин:
а) мгновенного и среднего значения мощности, разви-
ваемой источником э. д. с. Е;
б) мгновенной мощности потерь;
в) энергии, накопленной в конденсаторе;
г) к. п. д. схемы, считая полезной энергию, запасенную
в конденсаторе. Каково предельное значение к. п. д. схемы,
соответствующее полному окончанию процесса заряда?
2.15. На RC-цепъ действует прямоугольный импульс
э. д. с. длительностью 1 мкс. Определить величину постоян-
ной времени цепи, при которой отклонение закона измене-
ния напряжения на конденса-
торе от линейного не превы-
шает 1% в конце импульса.
2.16. На цепь, изображенную
на рис. 2.9, в момент времени
t = 0 включается э. д. с. Г:
(ключ Ki замыкается). Спустя
время tv = 280 мкс замыкается
также и ключ К2. Сопротивле-
ние Rj и емкость С заданы. При каком значении сопротив-
ления R.t переходный процесс прекратится, начиная с
t = А?
2.17. Схема цепи изображена на рис. 2.9. Ключ Кг замк-
нут, конденсатор С не заряжен. В момент времени / =0
включается источник э. д. с. Е (замыкается ключ К,). Тре-
буется:
а) вывести формулы временных зависимостей напряже-
ний на всех элементах схемы и токов во всех ветвях;
22
Рис. 23.
б) найти величину напряжения, до которого зарядится
конденсатор;
в) определить промежуток времени, в течение которого
процесс заряда конденсатора практически закончится;
г) проделать численные расчеты для б) и в), если С =
= 1 мкФ, Rt = 1 МОм, /?2 = 0,5 МОм, Е = 300 В.
2.18. На входе усилителя (рис. 2.10) действует э. д. с.
в виде прямоугольного импульса длительностью 5 мкс и ам-
плитудой 0,2 В. Найти величину емкости С, при которой
спад плоской вершины импульса на выходе (напряжения и)
не превысит 10% (5%, 1 %) от его амплитуды.
Параметры схемы: Ra = 2 кОм, R = 100 кОм; парамет-
ры лампы в рабочей точке: S = 5 мА/B, г, Ra.
Рис. 2.11.
2.19. В момент времени t = 0 к /?С-цепи подключается
напряжение
и = 200 cos(2,64-103/ + 4л/3) В.
Найти напряжение на конденсаторе в момент времени
t = 772, где Т — период подводимых колебаний. Парамет-
ры цепи: R = 100 кОм, С — 6500 пФ.
2.20. По какому закону должно изменяться напряжение,
приложенное к катушке отклоняющей системы электронно-
лучевой трубки, чтобы ток в катушке изменялся по закону
i = 10/ А. Параметры катушки: индуктивность 300 мГ,
активное сопротивление 3 Ом.
2.21. В цепи, изображенной на рис. 2.11, ключ К в мо-
мент времени t = 0 замыкают, а в момент t, размыкают.
Считая все параметры цепи и генератора заданными, выве-
сти формулы для временных зависимостей iL(t) и и(1).
23
2.3. ЧАСТОТНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕДАЧИ.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ
2.22. На вход RL-цепи подано напряжение
и = 10 cos 2000/ В.
Активное сопротивление цепи R = 10 Ом. При какой ве-
личине индуктивности L коэффициент передачи Kl =
= UJU равен 0,5?,
2.23. На вход RC-цепи подано напряжение
и = 100 cos 500/ В.
Изобразить в масштабе временные диаграммы: а) при-
ложенного напряжения и; б) напряжения на сопротивле-
нии; в) напряжения на конденсаторе.
Параметры цепи: R — 2 кОм, С = 1,5 мкФ.
2.24. На вход RL-цепи подано напряжение
и = 100 cos 500/ В.
Изобразить в масштабе временнь/е диаграммы: а) при-
ложенного напряжения и\ б) напряжения на сопротивле-
нии; в) напряжения па индуктивности. Параметры цепи:
R = 20 Ом, L = 20 мГ.
2.25. На вход RC-цепи подано напряжение
и = 50 4- 50 cos 100/ + 50 cos 10*/ В.
Изобразить в масштабе временное диаграммы: а) при-
ложенного напряжения м; б) напряжения на сопротивле-
нии; в) напряжения Ла конденсаторе. Параметры цепи:
1) R = 10 кОм, С = 1 мкФ, 2) R = 1 кОм, С = 1 мкФ,
3) R = 100 Ом, С = 1 мкФ.
2.26. На вход RL-цепи подано напряжение
и = 50 cos 100/ 4- 50 cos 10*/ В.
Изобразить в масштабе временные диаграммы: а) при-
ложенного напряжения и; б) напряжения на сопротивлении;
в) напряжения на индуктивности. Параметры цепи:
1) R = 10 Ом; L = 100 мГ; 2) R = 100 Ом, L = 100 мГ;
3) R = 1 кОм, L = 100 мГ.
2.27. На вход RC-фильтра с параметрами R = 1 кОм,
С = 20 мкФ. подано напряжение
и = 20 4- 0,5 cos 314/ В-
24
Определить, во сколько раз пульсация напряжения на
выходе (на конденсаторе) меньше пульсации на входе.
Здесь и ниже под пульсацией понимать отношение амплиту-
ды переменной составляющей напряжения к постоянной.
2.28. На вход LR-фильтра подано напряжение
и = 100 + 10 cos 2л-800/ В.
Какова должна быть величина сопротивления R, чтобы
при L = 1 Г пульсация напряжения на выходе (на сопро-
тивлении) составляла 0,5%?
2.29. На вход /?С-цепи подано напряжение
нвх = 300 cos 4,1-10^ В.
Рис. 2.12.
Определить амплитуду напряжения на конденсаторе
и сдвиг фазы а вых относительно wBI, если R =
= 100 кОм, С = 420 пФ.
2.30. Определить величину активного сопротивления
/?С-цепи, при котором сдвиг фаз между током, протекаю-
щим в цепи, и приложенным напряжением равен 60°, 90°.
Реактивное сопротивление цепи хс = — 100 Ом.
2.31. Схема входной части уси-
лителя низкой частоты изображена
на рис. 2.12. Сопротивление
R = 0,5 МОм. Определить, какова
должна быть емкость конденса-
тора С, чтобы спад частотной ха-
рактеристики входной цепи на низ-
шей частоте 80 Гц не превышал
10%.
2.32. К /?А-цепи в момент времени t — 0 подключается
напряжение
u = Ue-3(.
Найти законы изменения напряжений на индуктивности
и сопротивлении.
2.33. Схема электрической цепи приведена на рис. 2.1.
Определить ток 4, если
е(/) = 1/е-^о(/).
2.34. Схема электрической цепи приведена на рис. 2.2.
Определить напряжение и, если е(1) — бесконечно корот-
кий импульс с площадью S.
25
2.4. ОПЕРАТОРНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕДАЧИ.
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ
2.35. Схема электрической цепи приведена на рис. 2.1.
Составить операторное уравнение для определения тока ц_.
2.36. Схема электрической цепи приведена на рис. 2.2.
Составить операторное уравнение для определения напря-
жения и.
2.37. Схема электрической цепи приведена на рис. 2.8.
Найти операторный коэффициент передачи (операторную
проводимость)
2.38. Найти операторный коэффициент передачи схемы,
частотный коэффициент передачи которой равен:
а) = , б)Я» =----------.
' ' ’ 4 ' jarC-uPLC
2.39. К RL-цепи в момент времени t = 0 подключается
напряжение и = at. Найти закон изменения напряжения
на индуктивности.
2.40. К цепи, состоящей из последовательно соединен-
ных активного сопротивления 200 Ом и индуктивности
0,1 Г, в момент времени t = 0 подключается постоянная
э. д. с. £=20 В. Определить закон изменения напряжения
на индуктивности.
2.41. Схема электрической цепи приведена на рис. 2.1.
В момент времени t = 0 э. д. с. e(t) подключается к цепи.
Найти закон изменения напряжения и. Параметры цепи:
e(t) = 1С0 В, Rl = 100 Ом, R2 = 200 Ом, L = 10 мГ.
2.42. Решить задачу 2.41 для случая, когда
а) /?(/)= 104 В, б) е(0 = 10е-'°,( В.
2.43. Решить задачу 2.41 для случая, когда индуктив-
ность заменена конденсатором емкостью 1 мкФ.
2.44. В момент времени t — 0 э. д. с. е(/) подключается
к последовательной /?С-цепи. Определить закон изменения
напряжения на конденсаторе. Параметры цепи: е(/) =
= 10 sin 107/ В, R = 10 Ом, С = 1000 пФ.
26
2.45. Схема электри-
ческой цепи приведена
на рис. 2.13. В момент
времени /=0 ключ К за-
мыкается и э. д. с. е(/)
подключается к цепи.
Определить закон изме-
нения тока I. Параметры
цепи: e(t) = 100 В,
R, = R2 = 100 Ом.
С, = Сг = I мкФ.
2.46. Дан последовательный LCr-контур. В момент вре-
мени t = 0 э. д. с. e(t) подключается к цепи. Найти закон
изменения тока, протекающего в контуре. Параметры цепи:
e(t) = 1 В, L = 1 мГ, С = 1000 пФ, г = 10 Ом.
2.47. Найти напряжениена выходе двух каскадного уси-
лителя с резисторно-конденсаторной связью при подаче на
его вход прямоугольного импульса длительностью Т„ =
= 1 мкс с амплитудой 0,1 В. Параметры усилителя: =
= 10, Кг = 5, тВ1 = 0,5 мкс, тв2 = 0,3 мкс , где и К2 —
коэффициенты усиления первого и второго каскадов на
средних частотах, тв1 и тв2 — постоянные времени первого
и второго каскадов на высших частотах. Постоянные вре-
мени на низших частотах настолько велики, что искажения
импульса за их счет можно не учитывать.
Как изменится форма выходного напряжения, если т.,=
= тв2=0,5мкс?
2.5. ИМПУЛЬСНАЯ И ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПЕЙ.
ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ
2.48. Найти импульсную и переходную характери-
стики цепей, частотные коэффициенты передачи которых
равны:
а)
а
а 4* /со
б) К (и) =--------------, —> —
' ' ' 14- iwrC -u2LC LC 4L*
2.49. Найти переходную характеристику цепи, изобра
женной на рис. 2.13 (реакция цепи — напряжение и). Па
раметры: R2 — Rt = 1 кОм, Ct = С2 = 1000 пФ.
27
2.50. Найти переходную проводимость последователь-
ной /?£-цепи. Параметры: R = 10 Ом, L = I мГ.
2.51. Найти переходную проводимость последователь-
ной /?С-цепи. Параметры: R = 1 кОм, С = 1000 пФ.
2.52. Найти переходную проводимость последователь-
ного LCr-контура. Параметры: L — 1 мГ, С = 500 пФ, г =
= 10 Ом.
2.53. В момент времени t = 0 к последовательной
tfL-цепи подключается напряжение
ц=10е~10’’ В.
Найти ток, протекающий в цепи, если L = 1 мГ, R — 10 Ом.
2.54. В момент времени 1 = 0 к последовательной RC-
цепи подключается напряжение
« = 100(1 — в-'*»’*) В.
Найти ток, протекающий в цепи, если R = 1 кОм, С =
= 1000 пФ.
2.6. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ
ПРИ НЕНУЛЕВЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ
2.55. Дано дифференциальное уравнение цепи:
L —
dt
4-й 4—~ f й® = Ее~р/,
с J
Составить операторное уравнение цепи, учитывая, что в мо-
мент времени t = 0 напряжение на конденсаторе равно 4-Uo,
а ток через катушку равен нулю.
2.56. В последовательном LCr-контуре конденсатор С
заряжен до напряжения Uo. Определить закон изменения
1 гг
тока в контуре при разряде конденсатора, если
2.57. Составить операторное уравнение для тока iL
(см. рис. 2.3), учитывая, что при t = 0 ток й = /0, а напря-
жение на конденсаторе равно нулю.
28
Глава 3
Прохождение сигналов через линейные
избирательные цепи
Основные обозначения и расчетные формулы
Проводимость последовательного LCr-контура;
где £ = — = Qv —обобщенная расстройка;
Г
P = arctgE;
х = <oL-----= pv — реактивное сопротивление;
Q = ——добротность;
г 1 1 /~~
p=(i)pL=-----~ |/---------характеристическое сопро-
(Ор С \ С
тивление;
(ор = ----резонансная частота;
(о соп 2 (id—(0п)
v ----------—— относительная расстройка;
(Dp CD (Dp
AL AC
v =------=----------относительная расстройка при
Lp 4м АС
постоянной частоте э. д. с.
Сопротивление параллельных контуров вблизи резо-
нанса:
Z = 2e-/P= _^р_
1 + /V
где Rp = — pi = Qpp2 —Qlrpl= — • р1 — сопротивление
контура на резонансной частоте;
Ixi.apl—коэффициент включения;
Р
|х12р|— модуль сопротивления ветви на резонансной
частоте.
29
Проводимость схемы замещения первого контура сис-
темы двух связанных контуров:
у ___ _____
|Э zt z2 - z<?
Взаимная проводимость:
ZtZ2-Z^ ’
где Zlt Z2 — сопротивление первого (второго) контура, при
разомкнутом втором (первом);
Zi=fj +/*i = G (1 -f- /11); Zt = гг + /хг = rt(l 4-/£2);
2С = /хс — сопротивление связи, равное напряжению
холостого хода на втором контуре, отнесенному к току в пер-
вом контуре.
Сопротивление, вносимое в первый (второй) контур:
Z't = г'\ +/Х|,
Z2 = f2 + /xj,
где
х' — х *’
Х1 — Х2
*С
Хс
2
Г2 = ’ 1 --------- ।
Х-2 = — Xt --—---.
Г? + Х2
Условие первого (второго) частичного резонанса (мак-
симум тока в первом (втором) контуре): xt + х[ = О (х2 4-
+ xj = 0).
Условия полного резонанса: xt = 0; х2 =0.
Условия оптимального резонанса (максимальное зна-
чение взаимной проводимости и1г = и12мм = „• :
2k'Vi )
xx-|-x'=0; fi = r, (одновременно х2-(-х2=0; /-2=г').
Фактор связи:
А =
Коэффициент связи:
k =
где х1(1 и хк2 — составляющие xt и х2, имеющие тот же знак
что и хс.
30
3.1. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОКОНТУРНЫХ
ЦЕПЕЙ
3.1. Колебательный контур состоит из конденсатора ем-
костью 200 пФ и катушки индуктивности 800 мкГ. Тангенс
угла потерь конденсатора 0,005, сопротивление потерь ка-
тушки 30 Ом. Определить добротность контура и полосу
пропускания.
3.2. К последовательному колебательному контуру под-
ключен источник э. д. с. е = 0,2 cos at В с внутренним
сопротивлением 14 Ом. Индуктивность контура 100 мкГ,
сопротивление потерь 6 Ом. Определить добротность конту-
ра, амплитуду напряжения на конденсаторе и индуктивнос-
ти при резонансной частоте шр = 107 рад/с и на частоте
<о> = 1,01 • 10’ рад/с.
3.3. Резонансная частота последовательного колеба-
тельного контура 3 МГц, емкость контура 60 пФ, сопротив*
ление потерь 20 Ом. Амплитуда э. д. с., включенной в кон-
тур, 1 В, частота э. д. с. отличается от резонансной частоты
контура на 6 кГц. Требуется определить: а) амплитуду тока
в контуре; б) амплитуду напряжения на конденсаторе; в)
сдвиг фаз между током и э. д. с.; г) сдвиг фаз между напря-
жением на конденсаторе и э. д. с.
3.4. Резонансная частота контура 200 кГц, емкость кон-
тура 1000 пФ, полоса пропускания 10 кГц. Определить
сопротивление потерь и добротность контура.
3.5. Индуктивность контура 200 мкГ, сопротивление
потерь 15 Ом. Определить полосу пропускания контура.
3.6. К последовательному колебательному контуру под-
ключена э. д. с. е — 2 cOsco/ В. Амплитуда тока в контуре на
резонансной частоте 100 кГц равна 200 мА, а на частоте
99 кГц — 142 мА. Определить индуктивность, емкость, со-
противление потерь и добротность контура, а также по-
строить полные векторные диаграммы для частот 99
и 101 кГц.
3.7. Мощность, отдаваемая источником э. д. с., питаю-
щим настроенный последовательный контур, равна 50 мВт.
Амплитуда напряжения на конденсаторе 60 В. Индуктив-
ность контура 180 мкГ, емкость 500 пФ. Определить сопро-
тивление потерь контура, полосу пропускания и амплитуду
э. д. с.
3.8. Колебательный контур имеет добротность 100, ха-
рактеристическое сопротивление 400 Ом и пропускает поло-
31
су частот 70 кГп с неравномерностью, не превышающей
3 дБ. Определить параметры контура.
3.9. К последовательному контуру подключен источник
э. д. с. с амплитудой 0,2 В. Индуктивность контура 300 мкГ,
емкость 200 пФ. Частота э. д. с. равна резонансной частоте
контура. Определить амплитуду напряжения на конденса-
торе, если известно, что полоса пропускания контура рав-
на 8 кГц.
3.10. Найти соотношения между параметрами парал-
лельной и последовательной схем замещения катушки ин-
L
Рис. 3.1.
дуктивности и конденса-
тора колебательного кон-
тура (рис. 3.1) на резо-
нансной частоте.
3.11. Последовательный
контур с индуктивностью
2 мГ настроен на частоту
160 кГц. Сопротивление
потерь контура 40 О.м.
Каким сопротивлением сле-
дует зашунтировать ка-
тушку индуктивности контура, чтобы полоса пропуска-
ния была равна 10 кГц?
3.12. Контур с емкостью 2000 пФ и сопротивлением
потерь 2 Ом настроен на длину волны 1000 м. Пропустит ли
контур полосу частот 2 кГц с ослаблением на граничных
частотах, не превышающим 20%? Если не пропустит, то
как следует изменить параметры контура, чтобы удовлетво-
рить поставленным условиям?
3.13. Чему равна полоса пропускания контура, опреде-
ленная как разность частот между точками резонансной кри-
вой, в которых ее крутизна максимальна?
3.14. Резонансная частота контура 300 кГц, емкость
контура 2000 пФ. При каком значении сопротивления по-
терь контура полоса пропускания равна 10 кГц? Как сле-
дует изменить параметры контура, если определять полосу
пропускания не по ослаблению в ]/2 раз, а по ослаблению
в 1,25 раза? В 2 раза?
3.15. На последовательный колебательный контур дей-
ствуют одновременно сигнал 1 coslOe( мВ и помеха
10 cos 5 • 105/ мВ. Рассчитать параметры контура, если из-
вестно, что составляющая напряжения на конденсаторе,
созданная сигналом, превышает составляющую, созданную
помехой, в 10 раз, а составляющая тока с частотой сигнала
32
имеет амплитуду 0,1 мА. Определить также амплитуды
обеих составляющих напряжения на конденсаторе.
3.16. Амплитуда напряжения на конденсаторе последо-
вательного колебательного контура при резонансе, измерен-
ная вольтметром, обладающим бесконечно большим вход-
ным сопротивлением, равна 100 В; амплитуда э. д. с., под-
ключенной к контуру, 1 В. Сопротивление потерь конту-
ра 20 Ом. Какое напряжение покажет вольтметр, обладаю-
щий входным сопротивлением, равным 100 кОм?
3.17. Последовательный контур с добротностью 200
используется в качестве волномера. Определить относитель-
ную погрешность, получающуюся при измерении частоты
1 МГц, если индикатор резонанса волномера не реагирует
на изменения тока, меньшие чем 1%.
3.18. Колебательный контур с добротностью 200 исполь-
зуется в качестве волномера. Измерение производится путем
нахождения среднего арифметического от положительной
и отрицательной расстроек, при которых показания инди-
катора одинаковы. Определить относительную расстройку,
обеспечивающую максимальную точность измерения.
3.19. Найти соотношения между токами, протекающими
в последовательном колебательном контуре при воздейст-
вии на контур э. д.с. с резонансной частотой <ор и с часто-
той псор (п = 2, 3, ...). Амплитуду э. д. с. считать во всех
случаях одной и той же.
3.20. Колебательный контур имеет добротность 250,
сопротивление потерь 1 Ом. При изменении емкости на 2 пФ
относительная расстройка равна 0,1%. Определить резо-
нансную частоту контура, емкость конденсатора и индук-
тивность катушки.
3.21. Рассчитать простой параллельный контур так,
чтобы на частоте 107 рад/с его сопротивление было актив-
ным и равным 14 кОм , а на частоте 1,07-10’ рад/с модуль
полного сопротивления контура был равен 1 кОм.
3.22. Простой параллельный контур имеет следующие
параметры: С = 500 пФ; Q = 100; <ор — 10а рад/с. Опреде-
лить полосу пропускания контура, а также активную и ре-
активную составляющие сопротивления на частоте 1,007 •
• 10’ рад/с.
3.23. Простой параллельный контур настроен на длину
волны 400 м. Индуктивность контура 200 мкГ, сопротивле-
ние потерь 10 Ом. На какой частоте реактивная составляю-
щая сопротивления контура имеет максимальное значение
и емкостной характер?
2 Зак. 986 33
3.24. Сопротивление параллельного контура при резо-
нансе равно 100 кОм. Определить активную и реактивную
составляющие сопротивления контура при относительной
расстройке v = +1/Q.
3.25. Найти сопротивление простого параллельного
контура на частотах л®р (л = 2, 3, ...), где <op - резонанс-
ная частота.
3.26. Через неразветвленную цепь простого параллель-
ного контура протекает ток
i = 100 + 2cos wp / + 50 cos 2<op t -f-10 cos 3<op t mA.
Параметры контура: L = 50 мкГ; С = 200 пФ; г = 5 Ом.
Определить напряжение на контуре.
3.27. Простой параллельный контур подключен к источ-
нику э. д. с. с внутренним сопротивлением 50 кОм. Пара-
метры контура: С = 500 пФ; Q — 100; сор = 10* рад/с.
Определить эквивалентную добротность и полосу пропус-
кания.
3.28. Источник э. д. с. с частотой 320 кГц, амплитудой
100 В и внутренним сопротивлением 1 кОм подключен
к простому параллельному контуру, настроенному в ре-
зонанс с частотой э. д. с. Индуктивность контура L =
= 100 мкГ, добротность Q = 100. Определить мощность,
выделяющуюся в контуре.
3.29. Простой параллельный контур подключен к ис-
точнику э. д. с. с внутренним сопротивлением 100 кОм
и настроен на длину волны источника, равную 2000 м. Ко-
лебательная мощность в контуре 50 мВт. Определить ам-
плитуду напряжения на контуре, амплитуду э. д. с. источ-
ника и полосу пропускания схемы. Индуктивность контура
1,5 мГ, сопротивление потерь 20 Ом.
3.30. Простой параллельный контур с индуктивностью
500 мкГ является анодной нагрузкой лампы, внутреннее
сопротивление которой равно 800 кОм, а крутизна —
1,5мА/В. При каких значениях емкости С и сопротивления
потерь г контур окажется настроенным на частоту 300 кГц
и полоса пропускания усилителя будет равна 6 кГц? Вы-
ходная емкость лампы и емкость монтажа в сумме равны
15 пФ.
3.31. Простой параллельный контур является коллек-
торной нагрузкой транзистора с выходным сопротивлением
15 кОм. Схема должна быть настроена на частоту 300 кГц
и иметь полосу пропускания 3 кГц. Кроме того, в контуре
34
должна выделяться максимальная мощность. Найти пара-
метры контура.
3.32. Простой параллельный контур подключен к источ-
нику э. д. с. е = 500 cos ыр/ В (юр — резонансная частота
контура) с внутренним сопротивлением 50 кОм. Параметры
контура: L = 200 мкГ; С — 500 пФ; г = 20 Ом. Найти ам-
плитуды напряжения на контуре, токов в ветвях и тока
в неразветвленной цепи; мощность, выделяющуюся в кон-
туре, а также сдвиг фаз между током в емкостной ветви
и током в неразветвленной цепи.
3.33. Индуктивность катушки параллельного контура
равна 1 мГ, сопротивление потерь контура определяется
потерями в катушке и равно 10 Ом. Рассчитать контур так,
чтобы на частоте 10е рад/с его сопротивление было активным
и равным 25 кОм.
3.34. При каких соотношениях между параметрами кон-
тура, изображенного на рис. 3.2, его сопротивление не за-
висит от частоты?
Рис. 3.2.
Рис. 3.3.
3.35. На рис. 3.3 изображена схема резонансного усили-
теля на транзисторе с выходным сопротивлением 10 кОм
и крутизной 25 мА/B. Параметры контура: L = + L2 =
= 300 мкГ; С = 250 пФ; г = 15 Ом. Найти напряжение
на конденсаторе при амплитуде входного напряжения,
равной 10 мВ. Чему должен быть равен коэффициент вклю-
чения, чтобы при том же входном напряжении напряжение
на конденсаторе было максимально? Чему равно это напря-
жение?
3.36. Сложный параллельный контур с двумя катушками
индуктивности (рис. 3.24) подключен к источнику э. д. с.
с внутренним сопротивлением 100 кОм. Параметры контура:
2* 35
С — 500 пФ; Q = 100; L2 = 500 мкГ; юр=10в рад/с.
Определить эквивалентную добротность и полосу про-
пускания.
3.37. Сложный параллельный контур с двумя конденса-
торами подключен к источнику э. д. с. е — 300cos а>р/ В
с внутренним сопротивлением г, = 5 кОм (рис. 3.4). Часто-
та генератора равна частоте па-
раллельного резонанса контура.
Параметры контура: С1=400пФ;
Сг = 800 пФ; L = 300 мкГ;
г = г, 4- г2 = 15 Ом. Найти ам-
плитуду напряжения UK на кон-
туре, напряжения Uc\ на кон-
денсаторе С] и напряжения
на катушке индуктивности L, а
также построить полную вектор-
ную диаграмму контура.
3.38. Сложный параллель-
ный контур с двумя катушка-
ми индуктивности подключен к источнику э. д. с. с внутрен-
ним сопротивлением 10 кОм. Частота источника равна час-
тоте параллельного резонанса контура. Параметры конту-
ра: С = 550 пФ; г *= г, 4- г2 = 10 Ом; L = Lt 4- L2 =
= 150 мкГ. Определить величины Lx и L2, при которых на-
пряжение на конденсаторе максимально.
3.39. Нагрузка резонансного усилителя на частоте
4,5 МГц должна представлять активное сопротивление,
равное 10 кОм. Как следует включить имеющийся парал-
лельный контур, обладающий требуемой резонансной час-
тотой, емкостью 150 пФ и добротностью 100, чтобы удовлет-
ворить поставленному условию? Изобразить схему усилите-
ля, найти коэффициент усиления на резонансной частоте.
Крутизна лампы в рабочей точке 5 мА/B, внутреннее сопро-
тивление лампы считать бесконечно большим.
3.40. Рассчитать параметры и резонансное сопротивле-
ние параллельного контура, если известно, что частота па-
раллельного резонанса 600 кГц, а частота последователь-
ного резонанса 400 кГц. Добротность контура на частоте
параллельного резонанса равна 100, полное сопротивление
потерь 5 Ом.
3.41. Параллельный контур должен быть настроен на
частоту 600 кГц, иметь резонансное сопротивление 100 кОм
и полосу пропускания 2 кГц. Кроме того, контур должен
обеспечить подавление второй гармоники (1,2 МГц). Изо
Сразить схему контура и определить его параметры.
3.42. Рассчитать параметры сложного параллельного
контура, который на частоте 107 рад/с должен обладать ак-
тивным сопротивлением, равным 10 кОм, а на частоте
2-107 рад/с — активным сопротивлением 10 Ом. Полное
сопротивление потерь контура 20 Ом.
3.43. Рассчитать параметры параллельного контура так,
чтобы на частотах 1,6 и 4 МГц его сопротивление было ак-
тивным и соответственно равным 5 Ом и 10 кОм. Сопротив-
ление потерь контура равно 16 Ом. Найти активную и реак-
тивную составляющие сопротивления контура на частотах
1,59 и 4,04 МГц.
3.44. Рассчитать параметры и резонансное сопротивле-
ние параллельного контура, если известно, что частота па-
раллельного резонанса должна быть равной 700 кГц, час-
тота последовательного резонанса 500 кГц, добротность
150, сопротивление потерь 4 Ом.
3.45. Параллельный контур должен обеспечить подавле-
ние первой гармоники колебания, имеющей частоту 25 МГц,
а на второй гармонике иметь резонансное сопротивление
10 кОм и полосу пропускания 500 кГц. Изобразить схему
контура и определить его параметры.
3.46. Параллельно сложному контуру с двумя конден-
саторами подключается емкость Сп. Найти получающуюся
при этом относительную расстройку частоты параллельного
резонанса.
3.2. ИМПУЛЬСНЫЕ И ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ОДНОКОНТУРНЫХ ЦЕПЕЙ, свободные колебания.
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
3.47. Найти импульсные и переходные характеристики
последовательного колебательного контура (Q 1). Ре-
акцией контура на э. д. с. в виде 6-функции и единичной
функции считать: а) ток; б) напряжение на конденсаторе;
в) напряжение на индуктивности.
3.48. Решить задачу 3.47 для колебательного контура
с малой добротностью.
3.49. Решить задачу 3.47 для апериодического контура
(Q< 1/2).
3.50. Найти импульсные и переходные характеристики
простого параллельного колебательного контура (Q 1).
Реакцией контура на ток в неразветвленной цепи в виде
37
6-функции и единичной функции считать: а) напряжение
на контуре; б) ток в индуктивной ветви; в) ток в емкостной
ветви. Сопротивление потерь сосредоточено в индуктивной
ветви.
3.51. Решить задачу 3.50 для контура с малой доброт-
ностью.
3.52. Решить задачу 3.50 для апериодического контура
(Q < 1/2).
3.53. Найти импульсные и переходные характеристики
цепи, состоящей из параллельно соединенных L, С и R.
Реакцией на ток в виде 6-функции или единичной функ-
ции, протекающий в неразветвленной части цепи, считать:
а) напряжение; б) ток через индуктивность; в) ток через
емкость.
Рассмотреть три случая: 1) добротность цепи велика
(Q 1): 2) добротность мала; 3) цепь апериодическая
(Q < 1/2).
3.54. На последовательный колебательный контур дейст-
вует э. д. с. в виде короткого прямоугольного импульса дли-
тельностью 0,2 мкс и амплитудой 100 В. Параметры конту-
ра: <1>р = 105 рад/с; Q — 100, г = 2 Ом. Найти закон изме-
нения тока в контуре.
3.55. Вблизи провода расположен контур с параметра-
ми: L = 100 мкГ; С — 100 пФ; г = 10 Ом. Взаимная индук-
тивность между катушкой контура и проводом 0,1 мкГ.
Определить, какой ток потечет в контуре, если в проводе
в момент времени t — 0 возникнет ток 10 А. В дальнейшем
этот ток остается неизменным.
3.56. Изобразить временное диаграммы тока в контуре,
напряжения на конденсаторе и напряжения на катушке
индуктивности при свободных колебаниях, если начальные
условия следующие:
а) при t = 0 напряжение на конденсаторе равно £/0;
б) при t = 0 через катушку индуктивности протекает
ток /0;
в) при / = 0 напряжение на конденсаторе равно Uo,
через катушку индуктивности протекает ток /в (рассмотреть
два возможных направления тока в катушке).
3.57. Как изменится характер свободных колебаний,
рассмотренных в задаче 3.56, если:
а) индуктивность контура уменьшить в два раза (сопро-
тивление потерь считать неизменным);
б) емкость контура уменьшить в два раза;
36
в) индуктивность увеличить в два раза (сопротивление
потерь считать неизменным), емкость уменьшить в два ра-
раза;
г) сопротивление потерь контура уменьшить (увеличить);
д) индуктивность и сопротивление потерь уменьшить
в два раза;
е) емкость и сопротивление потерь увеличить в два
раза.
3.58. Конденсатор емкостью 400 пФ, заряженный до
напряжения 1000 В, разряжается на цепь, состоящую из
последовательно включенных индуктивности 16 мкГ и со-
противления 400 Ом. Определить максимальное значение
разрядного тока и время (отсчитываемое от момента начала
разряда), при котором наступает это значение.
3.59. Конденсатор емкостью 0,01 мкФ, заряженный до
напряжения 600 В, разряжается на катушку, индуктивность
которой равна 500 мкГ, а сопротивление потерь — 4 Ом.
Определить амплитуду напряжения на конденсаторе через
250 мкс после начала разряда Потерями в конденсаторе
пренебречь.
3.60. Добротность контура задана. Определить, после
скольких периодов свободных колебаний амплитуда тока
уменьшится в п раз по сравнению с первоначальной.
3.61. Конденсатор, заряженный до напряжения 80 В,
разряжается на катушку индуктивности и активное сопро'
тивление. После 25 периодов
свободных колебаний ампли-
туда напряжения на конден-
саторе равна 3 В. Определить
добротность контура.
3.62. На рис. 3.5 приве-
дена осциллограмма напря-
жения на конденсаторе ем-
костью 0,025 мкФ при раз-
ряде последнего на катушку
индуктивности с потерями.
Определить по осциллограмме
все параметры контура.
3.63. Найти значения сопротивления R, при которых
нестационарные процессы в контуре, изображенном на
рис. 3.6, имеют колебательный характер, а также частоту
свободных колебаний и коэффициент затухания.
3.64. При установившемся режиме ключ К размыкается
(рис. 3.7). Определить ток в контуре, напряжение на кон-
39
Рис. 3.6,
Рис. 3,8.
Рис. 3.7,
денсаторе и напряжение на индуктивности. Параметры кон-
тура: /р = 1,5 МГц; р = 450 Ом; г = 4 Ом; Е = 10 В.
3.65. При установившемся режиме ключ X размыкается
(рис. 3.8). Определить ток в контуре, напряжение на кон-
денсаторе и напряжение на катушке индуктивности после
размыкания ключа. Параметры цепи: /р = 2 МГц; р =
— 200 Ом; Г1 = 2 Ом; гг = 3 Ом; Е = 10 В.
3.66. В анодной цепи пентода включен параллельный
контур с параметрами: L — 1 мГ; С = 1000 пФ; Q = 100.
В момент времени /=0 в анодной цепи появляется постоян-
ный ток 2 мА. Найти закон изменения напряжения на кон-
туре. Внутреннее сопротивление пентода считать бесконечно
большим.
3.67. К последовательному контуру без потерь в момент
времени t = 0 подключается э. д. с. в виде прямоугольного
импульса длительностью Ти и амплитудой Е. Найти ампли-
туду напряжения на катушке индуктивности, если: а) Т„ =
= 2я/юр, б) Та = л/юр, где Юр — резонансная частота
контура.
3.68. Ток, протекающий в неразветвленной цепи идеаль-
ного параллельного контура, представляет собой периоди-
ческую последовательность прямоугольных импульсов дли-
тельностью 3,14 мкс с амплитудой 100 мА. Период последо-
вательности равен 314 мкс. Параметры контура: L =
= 2,5 мГ; С = 100 пФ. Определить амплитуду напряже-
ния на контуре.
3.69. На последовательный колебательный контур воз-
действует прямоугольный одиночный импульс э. д. с. с ам-
плитудой 1 В и длительностью 40 мкс, начинающийся в мо-
мент времени I = 0. Параметры контура: L — 100 мкГ; С =
= 250 пФ; г = 10 Ом. Найти закон изменения тока, про-
текающего в контуре.
40
3.70. К последовательному ко-
лебательному контуру с парамет-
рами L, С, г в момент времени
t = 0 подключается э. д. с. е = at.
Найти закон изменения напряже-
ния на конденсаторе.
3.71. В момент времени t = 0
к последовательному колебатель-
ному контуру подключается э. д. с.
е (рис. 3.9). Определить закон из-
менения напряжения на конденсаторе
31,4 мкс. Параметры цепи: L — 10
г = 20 Ом; £ = 50 В.
Рис. 3.9.
для Тф = 15,7
мГ; С = 2500
мкС;
пФ;
3.3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СВЯЗАННЫХ
КОНТУРОВ
3.72. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.10. Найти сопротивление первого контура Zlt сопро-
тивление второго контура Zs и сопротивление связи Zc на
частоте 10е рад/с, а также параметры схем замещения пер-
вого и второго контуров. Параметры схемы: Ц = 200 мкГ;
Ц = 700 мкГ; £ц = 100 мкГ; £ц = 300 мкГ; Cj =
= 1000 пФ; Си = 2000 пФ; q = 10 Ом; гг — 5 Ом; £с =
= 100 мкГ, М = +50 мкГ; Сс = 0,01 мкФ.
Рис. 3.10.
Рис. 3.11.
3.73. Решить задачу 3.72 для схемы рис. 3.11. Парамет-
ры схемы: = 800 мкГ; L2 = 2 мГ; С' — 900 пФ; С" —
— 400 пФ; Г1 = 10 Ом; rs — 20 Ом; Сс = 100 пФ.
3.74. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.12. Найти амплитуду тока в первом контуре и к. п. д.
41
Параметры схемы: Lx = 1 мГ; L2 = 400 мкГ; С| — 400 пФ;
Сн = 900 пФ; г, = 10 Ом; г2 = 20 Ом; Сс = 2500 пФ;
е2 = 50 cos 10°/ В.
Рис. 3.12.
Рис. 3.13.
3.75. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.13. Частота э. д. с. 2- 10е рад/с, амплитуда э. д. с. —
20 В. При каком значении емкости С2 амплитуда тока во вто-
ром контуре равна 200 мА? Параметры схемы: Ьг = 250 мкГ;
L2 = 300 мкГ; = 1000 пФ; rt = 15 Ом; г2 = 60 Ом;
М = 30 мкГ.
3.76. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.13. Оба контура настроены на частоту э. д. с., вклю-
ченной в первом контуре. Найти мощность, выделяющую-
ся во втором контуре и к. п. д. Параметры схемы: et =
= 10 cos 106/ В; = 20 Ом; г2 = 10 Ом; М = 20 мкГ.
3.77. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.13. Амплитуды токов, протекающих в первом и вто-
ром контурах соответственно равны 100 и 40 мА, частота
э. д. с. — 2,5- 10е рад/с. Определить сопротивление, вноси-
мое из второго контура в первый и коэффициент связи. Па-
раметры схемы: L, = L2 = 300 мкГ; С2 = С2 = 500 пФ;
г2 = 8 Ом; г2 = 10 Ом.
3.78. Схема системы связанных контуров приведена на
протекающий во втором контуре
и к. п. д. Параметры схемы: et =
= 5 cos 10е/ В; L, = Lt = I мГ;
Ct = С2 = 1000 пФ; Г1 = гг =
= 20 Ом; Сс = 10 000 пФ; М =
= +20 мкГ.
3.79. Схема системы связанных
контуров приведена на рис. 3.13.
Амплитуда э. д. с., действующей в
первом контуре, равна 16,5 В, ам-
плитуда тока во втором контуре — 282 мА. Первый контур
настроен в резонанс на частоту э. д. с., коэффициент связи
равен 10%. Определить резонансную частоту второго кон-
42
рис. J.14. наити ток,
Рис. 3.14.
тура. Параметры схемы:
£, = 250мкГ; £2= 300 мкГ;
С, = 1000 пФ; г2 = 12 0м;
= 15 Ом.
3.80. Схема системы
связанных контуров при-
ведена на рис. 3.15. Оба
контура порознь настроены
Рис. 3.15.
в резонанс на частоту
э. д. с. е,. Внутреннее сопротивление источника э. д. с.
г( — 2 Ом, сопротивления потерь контуров = г2 = 2 Ом.
При каком значении сопротивления связи в нагрузке /?н =
= 80 кОм будет выделяться максимальная мощность? Со-
противление конденсатора С2 на частоте э. д. с. равно
400 Ом.
3.81. Сопротивление потерь первого контура системы
связанных контуров 5 Ом, второго контура — 4 Ом, эф-
фективное значение э. д. с., включенной в первом контуре,—
60 В. Подобрать сопротивление связи, обеспечивающее пере-
дачу во второй контур мощности 100 Вт. Каждый контур
в отдельности настроен на частоту э. д. с.
3.82. Два контура с параметрами: £г = £2 = 200 мкГ,
Г1 = 9 Ом, г2 = 16 Ом, связаны индуктивно и должны по
отдельности настраиваться на любую волну в диапазоне
600—1200 м. Рассчитать емкости переменных конденсаторов
и выбрать наименьшую взаимную индуктивность Mmin,
обеспечивающую во всем диапазоне к. п. д. не ниже 90%.
3.83. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.13. Найти величину емкости С2 и к. п. д. при первом
частичном резонансе. Параметры схемы: et — 50 cos 10е/ В;
£j = 400 мкГ; £2 = 200 мкГ; С2 = 4000 пФ; г, = 20 Ом;
г2 = 100 Ом; М — 60 мкГ.
3.84. Сопротивление второго контура системы связан-
ных контуров на частоте питающей э. д. с. равно 4+ / 30 Ом,
сопротивление связи+/ 30 Ом, сопротивление потерь пер-
вого контура 10 Ом. При каком значении реактивного со-
противления первого контура в системе будет первый час-
тичный резонанс?
3.85. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.14. Найти величину емкости С1( при которой в систе-
ме будет первый частичный резонанс, а также значения токов
в первом и втором контурах, получающихся при этом. Па-
раметры схемы: е2 — 5 cos 10е/ В; Lt — L2 — 1 мГ; г, =>
43
= r2 « 20 Ом; Сг = 1000 пФ; Сс = 10 000 пФ; И =
= +20 мкГ.
3.86. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.13. Найти величину емкости С2 и к. п. д. при втором
частичном резонансе. Параметры схемы: et = 50 cos 10е/ В;
= 250 мкГ; L2 = 200 мкГ; С, = 2000 пФ; г, = гг =
= 20 Ом; М = 100 мкГ;
3.87. Резонансный волномер Lt, С2, г2 индуктивно свя-
зан с катушкой индуктивности Lt, rt, по которой от источ-
ника э. д. с. ₽j протекает ток
частоты (рис. 3.16). Опре-
делить , если известно, что
при М = 100 мкГ по волно-
меру был сделан отсчет
106 рад/с. Параметры схемы;
Li = 10 мГ; Ry = 10 Ом;
Q2 = 250; г2 — 2 Ом.
3.88. Схема системы свя-
занных контуров приведена
на рис. 3.13. Оба контура настроены на частоту э. д. с.
При этом Li — 1 мГ; L2 — 250 мкГ; С, == 1000 пФ; С2 =
= 4000 пФ; гх — 10 Ом; г2 = 5 Ом; М = 50 мкГ. Затем
емкость G уменьшили на 50 пФ. Как нужно изменить
емкость С2, чтобы напряжение U2 при данной связи было
максимальным? Определить его величину, если известно
что амплитуда э. д. с. равна 5 В.
3.89. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.13. Резонансная частота первого контура /р1 =
= 100 кГц, второго — /р2 = 1000 кГц. Изобразить харак-
тер зависимости тока в первом контуре и тока во втором
контуре от частоты э. д. с. для нескольких значений факто-
ра связи. Рассмотреть два случая:
а) изменение частоты происходит в области, близкой
к /рь
б) изменение частоты происходит в области, близкой
к f р2.
3.90. Каким образом можно добиться оптимального ре-
зонанса в системе двух индуктивно связанных колебатель-
ных контуров (см. рис. 3.13), если:
а) заданы емкость Cj и частота э. д. с. <о0; можно изме-
нять С2 и Л1;
б) заданы С2 и ы0; можно изменять С,и М;
в) заданы ы0 и М (фактор связи А > 1); можно изме-
нять С2 и С2;
44
г) в системе полный резонанс; можно изменять М.
Необходимо обосновать точную последовательность на-
стройки.
3.91. Оба контура системы двух индуктивно связанных
одинаковых контуров порознь настроены на частоту э. д. с.
Каким образом, имея в своем распоряжении вольтметр,
измеряющий напряжение на конденсаторе второго конту-
ра, установить заданное значение фактора связи Д?
3.92. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.13. Найти значения М и Сг при оптимальном резо-
нансе. Параметры схемы: ех = 5 cos 10е/ В; £, = 180 мкГ;
L2 = 200 мкГ; Cj = 5000 пФ; г, = 20 Ом; г2 = 100 Ом.
3.93. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.17. Найти значения М и Cj при оптимальном резо-
нансе. Параметры схемы: частота э. д. с. 10® рад/с; =
= La = 1 мГ; rx = 10 Ом; R2 = 1 кОм.
Рис. 3.17. Рис. 3.18.
3.94. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.18. Определить, при каком значении индуктивности
L, и частоты э. д. с. а>0 напряжение U2 достигает максималь-
ного значения. Найти это значение. Параметры схемы:
Е, = 1 В, Lj = 1 мГ; Q = 1000 пФ, = 250 Ом, г2 =
= 10 Ом .
3.95. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.13. Частота э. д. с., включенной в первом контуре,
равна 106 рад/с. Определить, возможно ли при заданной
связи получить оптимальный резонанс. Если возможно, то
при каких значениях С2 и Сг он может быть получен? Па-
раметры схемы: Li=l мГ; г2 = 10 Ом; L2 = 250 мкГ;
гг = 5 Ом; М = 50 мкГ.
3.96. Какое максимальное напряжение может показать
вольтметр в схеме рис. 319? При каких значениях Cj и С2
45
оно будет достигнуто? Параметры схемы: Lt = 250 мкГ;
гх = 10 Ом; L2 = 1 мГ; гг = 40 Ом; Л1 = 80 мкГ; =
= 10 cos 10е/ В.
Рис. 3.19.
Рис. 3.20.
<3.97. Какое максимальное напряжение может показать
вольтметр в схеме рис. 3.20? При каких значениях Сс и Си
оно будет достигнуто? Параметры схемы; L, = 1 мГ; С| =
= 1000 пФ; = 1 кОм; £2 = 1 мГ; г2 = 10 Ом; et =
— 10 cos 10е/ В.
3.98. Максимумы взаимной проводимости системы двух
одинаковых колебательных связанных контуров наступают
при факторе связи А > 1 на частотах <ог1 и <i>r2 (<ог1 < <ог2).
Частоты связи при этом соответственно равны <оа и со» (соа <
< <ов). Найти относительную расстройку (<ог1 — <ои)/ша.
При решении учесть, что 1 < А Q.
3.99. Схема усилителя со связанными контурами изоб-
ражена на рис. 3.21. Оба контура имеют одинаковые ре-
зонансные частоты fPi = fp2 = 500 кГц, индуктивности
Рис. 3.21.
= 200 мкГ и сопротивления потерь г, = гг =
= 10 Ом. Определить максимально возможные значения
сопротивлений, которыми следует зашунтировать первый
и второй контуры, чтобы при максимальном усилении обес-
печить полосу пропускания 40 кГц. Выходное сопротивле-
ние транзистора равно 64 кОм.
46
3.100. В системе двух одинаковых индуктивно связан-
ных колебательных контуров требуется получить двугор-
бую симметричную кривую взаимной проводимости, мак-
симумы которой разнесены по частоте на 10 кГц. Оба кон-
тура порознь настроены на частоту 1 МГц. Взаимная про-
водимость на этой частоте должна быть в 2 раз меньше
максимальной взаимной проводимости. Найти значения
добротности контуров и коэффициента связи между ними,
обеспечивающие получение требуемой резонансной кри-
вой.
3.101. Схема системы связанных контуров приведена
на рис. 3.13. Оба контура имеют одинаковые резонансные
частоты, равные 465 кГц и одинаковые емкости 120 пФ.
Полоса пропускания контуров путем изменения связи долж-
на изменяться в пределах от 10 до 22 кГц при неизменном
максимальном значении коэффициента передачи. Найти
добротность контуров и предельные значения взаимной ин-
дуктивности,
3.4. ИМПУЛЬСНЫЕ И ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
3.102. Найти импульсную и переходную характеристи-
ки системы двух одинаковых колебательных связанных кон-
туров. Реакцией системы на э. д. с. в виде 6-функции и еди-
ничной функции считать: а) ток в первом контуре; б) ток
во втором контуре; в) напряжение на конденсаторе второго
контура.
Сопротивление связи считать не зависящим от частоты.
3.103. Найти импульсную и переходную характеристики
системы индуктивно связанных контуров. Реакцией системы
на э. д. с. в виде 6-функции и единичной функции считать
ток во втором контуре. Рассмотреть два случая:
1) первый контур апериодический, второй — колеба-
тельный;
2) первый контур колебательный, второй — апериоди-
ческий.
Дать приближенное решение, считая сопротивление апе-
риодического контура и сопротивление связи не зависящими
от частоты.
3.104. Схема системы связанных контуров без потерь
приведена на рис. 3.22. В момент времени t = 0 ключи Кх
и Кг замыкаются и в системе начинаются свободные колеба-
47
Рис. 3.22.
ния. Параметры контуров:
= £2 = 1 мГ; С^ =
= 1000 пФ; М = 100 мкГ.
Изобразить характер вре-
менных диаграмм напря-
жений и иг при следую-
щих начальных условиях:
а) и1= + 10 В, и2 = 0;
б) ыг = 0, и2 = -ЫО В;
в) U1 = 4-10 В, и, = 4-10 В;
г) и, = 4-10 В, us = —10 В;
Д) ui = +Ю В, ы4 = 4-5 В;
е) «! = 4-10 В, «2 = —5 В.
3.105. Схема системы связанных контуров приведена на
рис. 3.22. В момент времени t — 0 ключи К, и К2 замыкают-
ся и в системе начинаются свободные колебания. Парамет-
ры контуров: = Lt = 1 мГ; = 1000 пФ; С4 = 907 пФ;
М = 200 мкГ. При t = 0 напряжение и2 — 4-10 В. При
каких значениях напряжения и2 на конденсаторе С2 сво-
бодные колебания в системе происходят на одной из частот
связи?
3.106. На вход резонансного усилителя, изображенного
на рис. 3.23, подается периодическая последовательность
прямоугольных импульсов с амплитудой 0,5 В, длитель-
Рис. 3.23.
ностью 2 мс и частотой повторения 250 Гц. Изобразить вре-
менные диаграммы выходного напряжения для трех значе-
ний взаимной индуктивности: М. — 62,5; 125; 250 мкГ. Па-
раметры системы: L, = £г = 1 мГ; /?, = 800 Ом; Сг =
= 405 пФ; г2 = 10 Ом. Параметры лампы в рабочей точке:
= 1 МОм, 5 = 5 мА/В.
48
3.5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ
ЦЕПЕЙ ПРИ ШИРОКОПОЛОСНЫХ И УЗКОПОЛОСНЫХ
СИГНАЛАХ
3.107. К последовательному колебательному контуру
в момент времени t — 0 подключается э. д. с.
е=100е-10*' В.
Параметры контура: сор = 10“ рад/с; Q = 100; г = 10 Ом.
Найти ток, протекающий в контуре, и напряжение на
катушке индуктивности.
3.108. Через неразветвленную цепь простого параллель-
ного контура в момент времени t = 0 начинает протекать
постоянный ток 100 мА. Параметры контура: L = 1 мГ;
Q = 100; г = 10 Ом. Найти напряжение на контуре и ток,
протекающий в емкостной ветви.
3.109. К последовательному колебательному контуру
в момент времени t = 0 подключается э. д. с. в виде прямо-
угольного импульса длительностью 0,5 мкс и амплитудой
200 В. Параметры контура: /р = 3 МГц; Q = 150; р =
= 600 Ом. Найти ток в контуре и напряжение на катуш-
ке индуктивности.
3.110. Высокочастотные импульсы с прямоугольной
огибающей воздействуют на последовательный колебатель-
ный контур с параметрами: L = 0,1 мкГ, г = I Ом. Несу-
щая частота импульсов равна 100 МГц, резонансная часто-
та контура не равна несущей. Определить расстройку
контура Д/, если известно, что при первом совпадении фаз
вынужденных и собственных колебаний амплитуда соб-
ственных колебаний в 10 раз меньше амплитуды вынуж-
денных колебаний.
3.111. К последовательному колебательному контуру
в момент времени t = 0 подключается э. д. с.
е = 5 cos (ci)01 -f- я/4) В.
Параметры контура: <ор = 10’ рад/с; р = 1000 Ом; Q =
= 100. Найти ток в контуре, напряжение на конденсаторе
и напряжение на катушке индуктивности. Рассмотреть три
случая: 1) w0 = 10* рад/с; 2) <о0 — 1,005 • 10* рад/с; 3) ш0 =
= 0,99-10* рад/с.'
3.112. Через неразветвленную цепь простого параллель-
ного контура в момент времени t = 0 начинает протекать
ток
I = 10е~210<'соз(®0/ —л/6) мА.
49
Параметры контура: <ор = 10е рад/с; С = 1000 пФ; г =
= 10 Ом. Найти напряжение на контуре и токи в ветвях.
Рассмотреть три случая: I) (о0 = 10е рад/с; 2) =
= 0,995-106 рад/с; 3) <о0 = 1,01- 10е рад/с.
3.113. Схема системы связанных контуров изображена на
рис. 3.17. В момент времени / = 0 к первому контуру под-
ключается э. д. с.
Ci = 200e-2 10'' В.
Параметры контуров: L, = L2 = 1 мГ; С\ = 1000 пФ; =
= 10 Ом; /?2 = 1000 Ом; М = 200 мкГ. Найти токи, про-
текающие в первом и втором контурах.
3.114. Решить задачу 3.113, если
Ci = 5 cos 10е/ В.
3.115. К первому контуру системы двух одинаковых ко-
лебательных связанных контуров в момент времени t — 0
подключается э. д. с.
et = 5 cos 10е t В.
Параметры системы: = L2 = 1 мГ; = Сг = 1000 пФ;
г, = г2 = 10 Ом; Л = 2. Найти токи, протекающие в пер-
вом и втором контурах, и напряжение на конденсаторе вто-
рого контура.
3.116. Решить задачу 3.115, если
е1 = 5е-2 • l0*'cos 10«/ В.
3,117. К первому контуру системы двух одинаковых ко-
лебательных связанных контуров в момент времени / = 0
подключается э. д. с.
= Ei coscop/.
Параметры контуров: <ор1 = шр2 = ар; <?i = Q2 = Q.
Показать, как зависит относительная величина первого
выброса амплитуды тока во втором контуре от связи между
контурами, т. е. найти зависимость г = f(A), где А —
фактор связи; Д/2 — превышение установившегося значе-
ния амплитуды тока при первом выбросе; /2 — амплитуда
установившегося значения тока во втором контуре.
50
3.6. ПРОХОЖДЕНИЕ МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИИ
ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
3.118. Радиостанция работает на волне 300 м и ее сиг-
нал модулирован по амплитуде колебанием s(t) =
= Д cos 2л-10я/. Какой добротностью должен обладать
контур, настроенный на эту станцию, чтобы боковые часто-
ты ослаблялись им не более чем на 3 дБ?
3.119. На последовательный колебательный контур воз-
действует э. д. с.
е-0,1 р + cos ^2 • 104/4--^-)j cos ^4-10е/В.
Контур настроен на несущую частоту э. д. с., добротность
контура 50, индуктивность 300 мкГ. Определить ток в кон-
туре.
3.120. На последовательный колебательный контур с доб-
ротностью 100 и сопротивлением потерь 10 Ом воздействует
э. д. с.
е— (50 + 5cos 102/Д- 20cos 1031-]-25cos IO4/)cos 10е/ В.
Контур настроен на несущую частоту э. д. с. Определить
ток, протекающий в контуре.
3.121. Коэффициент модуляции э. д. с., подключенной
к контуру, равен 100%, коэффициент модуляции тока
в контуре 71%. Контур настроен в резонанс с несущей
частотой и имеет следующие параметры: L = 2 мГ; С =
= 500 пФ; г = 20 Ом. Определить модулирующую час-
тоту.
3.122. На последовательный контур воздействует э. д. с.
е = (10 + 10 cos 5-108/) cos 10е/ В.
Несущая частота э. д. с. равна резонансной частоте кон-
тура. Найти добротность контура, при которой амплитуды
боковых частот тока составляют 20% амплитуды несущей.
3.123. На последовательный колебательный контур
воздействует э. д. с.
е = 1,5 (1 + 0,8 cos 10‘/)cos 10е/ В.
Резонансная частота контура равна несущей частоте
э. д. с., емкость контура 200 пФ, коэффициент модуляции
тока в контуре 60%. Определить добротность, индуктив-
ность и сопротивление потерь контура.
61
3.124. На последовательный контур, настроенный на
несущую частоту э. д. с., воздействует э. д. с.
е -= (100 + 50 cos 104 I) cos 10е t В.
Чему должна равняться добротность контура, чтобы оги-
бающая тока была сдвинута относительно огибающей э. д.с.
на 60° ? Определить индуктивность и сопротивление потерь
контура, а также коэффициент модуляции тока, если извест-
но, что емкость контура 200 пФ.
3.125. На последовательный колебательный контур воз-
действует амплитудно-модулированная э. д. с. Контур на-
строен в резонанс с несущей частотой 1 МГц, частота моду-
ляции 3750 Гц, коэффициент модуляции э. д. с. 100%, со-
противление потерь контура 15,7 Ом. Определить индук-
тивность и емкость контура, если известно, что мощность,
теряющаяся в контуре, в 1,32 раза превышает мощность
потерь при отсутствии модуляции.
3.126. На последовательный колебательный контур воз-
действует э. д. с.
е = 0,05 (1 + 0,8 cos 5-103/) cos 10е/ В.
Параметры контура: L = 0,5 мГ; ®р ='1,004«10е рад/с;
г = 5 Ом. Найти ток в контуре, а также построить вектор-
ную диаграмму тока. На основании векторной диаграммы
построить временные диаграммы амплитуды тока /(/) и сдви-
га фаз <р(/). Указать на векторной диаграмме, в какие мо-
менты времени частота тока максимальна и в какие — ми-
нимальна.
3.127. Огибающая амплитудно-модулированной э. д. с.,
приложенной к контуру, отстает от огибающей тока, про-
текающего через источник э. д. с. на 45°. Изобразить схему
включения контура, определить его параметры и коэффи-
циент модуляции тока. Контур настроен на несущую час-
тоту э. д. с., равную 500 кГц. Коэффициент модуляции
э. д. с. 60%, частота модуляции 5 кГц. Индуктивность кон-
тура 100 мкГ.
3.128. Простой параллельный контур подключен к ис-
точнику э. д. с. с внутренним сопротивлением 100 кОм.
Э. д. с. равна:
е = 100 (1 + 0,6 cos 104/) cos соо/ В.
Резонансная частота контура равна несущей частоте э. д. с.
Параметры контура: L = 1 мГ; С = 200 пФ, г — 4 Ом.
52
Найти коэффициенты модуляции тока, протекающего в не-
разветвленной цепи, и напряжения на контуре.
3.129. Простой параллельный контур с добротностью
150 и резонансным сопротивлением 5 кОм подключен к ис-
точнику э. д. с. с внутренним сопротивлением 10 кОм. Кон-
тур настроен в резонанс на несущую частоту э. д. с. Напря-
жение на контуре равно
и = 50 [ 1 + 0,6 cos (2,4-10е/ — 5л/18)] cos 4- 10е/ В.
Рис. 3.24
для момента времени
Найти э. д. с. и ток в неразветвленной цепи.
3.130. В неразветвленной цепи параллельного контура,
изображенного на рис. 3.24, течет
ток
1 = (10 + 5 cos 5-10е/)х
X cos 10е/ мА.
Параметры контура: 1^=800 мкГ;
L2 = 200 мкГ; С = 1000 пФ; г, =
= 25 Ом; гг — 15 Ом. Записать
аналитические выражения для на-
пряжения на контуре и и тока в
правой ветви /2. Построить в мас-
штабе временные и векторные диа-
граммы напряжения и и тока i2
(векторные диаграммы построить
t = 772, где Т — период модулирующего колебания), а
также определить мощность, выделяющуюся в контуре.
3.131. В неразветвленной цепи простого параллельного
контура течет ток
I = 10 (I + 0,6 cos 10*/) cos 10е/ мА.
Требуется рассчитать контур так, чтобы коэффициент моду-
ляции напряжения на контуре был на 10% меньше коэффи-
циента модуляции тока в неразветвленной цепи. Контур
настроен на несущую частоту амплитудно-модулированного
колебания. Амплитуда напряжения несущей частоты на
контуре должна быть равной 200 В.
3.132. На вход резонансного усилителя подано напря-
женние
и = 0,1 cos 5- 10е/ + 0,05 cos 5,005- 10е/ В.
Контур в анодной цепи имеет резонансное сопротивление
52,6 кОм и добротность 84. Резонансная частота контура
БЗ
5- 10е рад/с. Параметры лампы в рабочей точке: г, =
= 1 МОм, S = 9 мА/B. Построить в масштабе векторную
диаграмму напряжения на контуре.
3.133. В первом контуре системы связанных контуров
(рис. 3.13) включена э. д. с.
е, = 0,5 (1 + 0,8 cos 104/) cos 10е/ В.
Оба контура настроены на несущую частоту э. д.с. Емкости
контуров С, = С2 — 20С0 пФ. Найти минимальную взаим-
ную индуктивнссть М, значения индуктивностей =
— Lz — L и сопротивлений г, — rt = г, при которых коэф-
фициент модуляции тока во втором контуре равен 100%.
3.134. Схема системы связанных контуров приведена
на рис. 3.13. Э. д. с., действующая в первом контуре, равна
et = Ej 11 -f- М cos (Q/ + Ф)] cos (<o01 + ср).
Характер зависимости взаимной проводимости от часто-
ты для рассматриваемой системы изображен на рис. 3.25.
Изобразить характер векторной и временной диаграмм тока
во втором контуре.
3.135. Через неразветвленную цепь простого параллель-
ного контура протекает ток
i = 2,5 cos (IO8/ + 0,15 sin 6-104/) мА.
Параметры контура: L = 10 мкГ, г = 10 Ом, ®р = 10е рад/с.
Определить напряжение на контуре.
3.136. Рассчитать колебательный контур, ослабляю-
щий крайние практически важные частоты спектра частот-
но-модулированного колебания не более чем на 3 дБ. Пара-
метры ЧМ колебания: средняя частота 16 МГц; индекс мо-
дуляции 20,25; модулирующая частота 8 кГц. Емкость кон-
тура 100 пФ.
54
3.137. Изобразить характер изменения амплитуды тока
в последовательном колебательном контуре, на который
воздействует частотно-модулированная э. д. с. с несущей
частотой, равной резонансной частоте контура.
3.138. К последовательному колебательному контуру
подключена частотно-модулированная э. д. с. (модуляция
происходит по гармоническому закону). Контур настроен на
среднюю частоту колебания. Девиация частоты равна по-
ловине полосы пропускания контура, индекс модуляции
т > 1. Как отличается закон модуляции частоты тока от
закона модуляции частоты э. д. с.?
Глава 4
Цепи с распределенными параметрами
Основные обозначения и расчетные формулы
Погонные параметры двухпроводной линии (рис. 4.1):
= In 2Р.~ _L,
л d м
п н 2D~d
Cj = ле0/1п---—
d
Ом
м
gi = coQtgi
1____
Ом • м
Здесь d — диаметр проводов линии; D — расстояние меж-
ду центрами проводов; ев, ра —
диэлектрическая и магнитная
проницаемости вещества, окру-
жающего линию; а — проводи-
мость материала провода; б—
угол потерь вещества, окружаю-
щего линию.
55
Lj= —In —
2л d
C1 = 2nea/ln-^-
a
Погонные параметры коак-
сиальной линии (рис. 4.2):
Г
I
м
ф
м
I \ Ом
) ) М *
—-—
Ом • м
Рис. 4.2. Здесь D, d — диаметр внешнего
и внутреннего проводников
коаксиальной линии. Остальные обозначения такие же,
как для двухпроводной линии.
Характеристическое сопротивление линии:
где
“ ri + /w^i 1 — gi +
Для линии с малыми потерями
1 4- —r-i--------V
V Cl V 2j(s>Li 2ju>Ci J
Для линии без потерь
где W — волновое сопротивление.
Волновое сопротивление двухпроводной линии:
W= 1201/ -Н- In
I е d
Ом.
Волновое сопротивление коаксиальной линии:
«7 = 60 1/-И-In—Ом.
I 8 d
Здесь р, £ — относительные магнитная и диэлектрическая
проницаемости материала, заполняющего линию.
56
Комплексная постоянная распространения:
Y=/zX=a + /P.
где а — постоянная затухания; 0 — фазовая
Для линии с малыми потерями
_L
2V 7 2 м Н "11
Фазовая скорость волны в линии:
— Ш __ 1 М
Уф-Т- V^t
постоянная.
1
м
Комплексные амплитуды напряжения и тока в произ-
вольном сечении линии,
нагруженной на сопротив-
ление Z„ (рис. 4.3):
U = U„ ch yl -t- /и Zc sh у/,
Рис. 4.3.
/=-у£- shy/Н-/нchyl,
где Uи, I» — амплитуды напряжения и тока в нагрузке
линии; для линии без потерь здесь Zc = W, у = /0.
Коэффициент отражения по напряжению от конца линии
д ZH-Ze
Ри Z„^-Ze’
для линии без потерь
pu=(Zu-W)/(Zu+W).
Комплексные амплитуды напряжения и тока в линии
без потерь, разомкнутой на конце:
67=t7ucos0/; /=/-^-sin0Z.
Входное сопротивление линии, разомкнутой на конце:
Zox = -/Wctg0/.
Комплексные амплитуды напряжения и тока в линии
без потерь, закороченной на конце:
sin 0/; /=/Hcos0/.
Входное сопротивление линии, закороченной на конце:
2ex = /<tg0/.
57
Связь между коэффициентом бегущей волны и коэф-
фициентом отражения:
Входное сопротивление линии, нагруженной на про-
извольное сопротивление нагрузки Z„:
2 — Ц7 ~Ь Ч1 у/
вх 1 + ZH/IF th у/ *
Входное сопротивление четвертьволнового отрезка ли-
нии без потерь:
ZBX = UZ^/Z1I.
Коэффициент бегущей волны в линии, нагруженной на
активное сопротивление R„:
Аов = Яц/^- есл» #h<wz-
*Ов = ВДй. если Rn>W.
Добротность отрезка линии с потерями закороченного,
разомкнутого на конце или нагруженного на реактивное
сопротивление:
Л- .
Л
Входное сопротивление отрезка линии с потерями дли-
ной /0, закороченного на конце при параллельном резонан-
се:
То же при последовательном резонансе:
р ____Г1 [в
п« 2
Изображение по Лапласу напряжения на нагрузке при
воздействии на вход линии напряжения произвольной фор-
мы
U,, (р) = —— 2С/Н 1)ад (р),
га (р) -Ф- if д
58
где U„ пад(р) — изображение по Лапласу напряжения па-
дающей волны в конце линии; UH(p) — изображение напря-
жения на нагрузке; ZtI(p) — сопротивление нагрузки в опе-
раторной форме.
Изображение по Лапласу напряжения отраженной вол-
ны в линии:
^,оТР(Р)=7В^-~-^^Япад(Р).
^11 \Р) ’’Г **
где £/„ отр (р) — изображение отраженной волны в конце
линии.
При отсутствии дополнительных замечаний в условиях
задач данной главы следует считать, что потери в линии
отсутствуют, а диэлектриком является воздух.
Параметры материалов, наиболее часто применяемых
при создании длинных линий: проводимость меди о =
= 5,7 • 107 1/0м-м диэлектрическая проницаемость поли-
этилена е =2,25; тангенс угла потерь полиэтилена tgo —
= 4-104
Круговая диаграмма длинной линии, необходимая для
решения ряда задач, приведена в приложении.
4.1 ПОГОННЫЕ ПАРАМЕТРЫ
4.1. Нагрузочное сопротивление присоединено к гене-
ратору с помощью двух проводов диаметром 2 мм, распо-
ложенных в воздухе на расстоянии 5 см друг от друга. Дли-
на проводов 20 м.
Возможно и целесообразно ли применять теорию длин-
ных линий для расчета электрического режима цепи, если
частота генератора, питающего цепь: а) 1 кГц, б) 10 МГц,
в) 10 000 МГц?
4.2. Определить погонные параметры Llt С,, rlt волно-
вое сопротивление U7 и постоянную затухания а коаксиаль-
ного кабеля РК-1. Величины г, и а рассчитать для частоты
Д = 100 МГц. Параметры кабеля: D = 4,55 мм; d = 0,68 мм;
е = 2,25 (см. рис. 4.1).
4.3. Для изготовления двухпроводной симметричной
линии имеется провод диаметром d = 2 мм. Найти расстоя-
ние между проводами D (см. рис. 4.2), обеспечивающее по-
лучение волнового сопротивления W — 120 Ом.
69
Рис. 4.4.
4.4. Внутренний провод-
ник коаксиальной линии
иногда укрепляется с по-
мощью шайб из диэлектрика
(рис. 4.4). Волновое сопро-
тивление линии при этом
должно быТЬ постоянным на
всех ее участках, несмотря
на наличие шайб.
Рассчитать внутренний диаметр D внешнего проводника
и глубину выточек в нем для крепления шайб, если извест-
но, что волновое сопротивление линии W = 70 Ом, диа-
метр внутреннего проводника линии d = 3,5 мм, диаметр
отверстия в шайбе 2,5 мм, диэлектрическая проницаемость
материала шайбы е = 2,3.
4.5. Определить погонные реактивные параметры коак-
сиального кабеля, если известно, что его волновое сопротив-
ление равно 70 Ом, а скорость распространения электро-
магнитных волн в кабеле — 2 • 108 м/с.
4.6. Диаметр внутреннего провода коаксиального кабе-
ля с полиэтиленовой изоляцией 1 мм, диаметр внешнего
провода 6 мм.
а) Рассчитать погонные параметры кабеля: индуктив-
ность, емкость, сопротивление и проводимость, а также
волновое сопротивление на частоте 100 МГц.
б) Рассчитать волновое сопротивление кабеля с учетом
потерь. Оценить величину погрешности, допускаемой при
расчете модуля волнового сопротивления вследствие пре-
небрежения потерями в проводах и изоляции.
Материал проводников кабеля—медь (о = 5,7 • 107 —!—
\ Ом • м/
параметры полиэтилена: в = 2,25; tg 6 = 4 • 10~4.
Рис. 4.5.
4.7. Определить волновое сопротивление симметричной
полосковой линии (на рис. 4.5 приведен разрез), если извест-
но, что диэлектрическая проницаемость заполняющего ди-
электрика равна 2,5, а погонная емкость линии 100 пФ/м.
60
4.2. ЛИНИИ, ЗАКОРОЧЕННЫЕ
ИЛИ РАЗОМКНУТЫЕ НА КОНЦЕ
4.8. Напряжение на разомкнутом конце длинной линии
изменяется по закону
и = 100 cos <о0/ В.
Построить временные диаграммы напряжения и и тока i в
сечении, находящемся на расстоянии I от конца линии, а
также найти входное сопротивление в этом сечении. Вол-
новое сопротивление линии W = 100 Ом. Рассмотреть сле-
дующие случаи: а) I =•= 1/8; б) / = 1/6; в) / = 1/4; г) / =
= 1/3; д) / = 1/2.
4.9. Короткозамкнутый отрезок линии, имеющей дли-
ну /0 и волновое сопротивление W, питается от генератора
э. д. с. е = Е cos (at с внутренним сопротивлением rt =
= W. Написать выражения для мгновенных значений
напряжений и токов, создаваемых падающей и отраженной
волнами на расстоянии / от конца линии, а также выражения
для мгновенного значения суммарного напряжения и сум-
марного тока в указанном сечении линии.
4.10. Решить задачу 4.9 в предположении, что отрезок
линии разомкнут на конце.
4.11. Источник синусоидальной э. д. с. с частотой
100 МГц подключен к разомкнутой на конце линии дли-
ной 4 м. Волновое сопротивление линии 200 Ом, амплитуда
напряжения на разомкнутом конце 80 В. Найти входное
сопротивление линии, а также напряжение и ток на ее вхо-
де.
4.12. Источник э. д. с. подключен к линии длиной 75 см,
закороченной на конце. Частота э. д. с. 100 МГц, волновое
сопротивление линии 100 Ом. Определить ток, протекающий
в закорачивающей перемычке, если амплитуда э. д. с. рав-
на 100 В.
4.13. Источник синусоидальной э. д. с. с частотой
100 МГц подключен к разомкнутой на конце линии длиной
/0. Волновое сопротивление линии 100 Ом; амплитуда э. д. с.
100 В. Определить амплитуду напряжения в конце линии.
Рассмотреть следующие случаи: а) /0 — 37,5 см; б) /0 =
= 112,5 см; в) /0 = 150 см; г) /0 ' = 225 см.
4.14. Источник синусоидальной э. д. с. подключен
к разомкнутой на конце линии с волновым сопротивлением
600 Ом. Внутреннее сопротивление источника 0,1 Ом, мак-
симальная выходная мощность 80 Вт. Определить, при ка-
61
кой длине линии напряжение на ее конце максимально.
Чему равно это максимальное значение напряжения?
4.15. Найти длину /0 разомкнутого на конце и длину
/п' закороченного на конце отрезка кабеля РК-1, эквива-
лентного на частоте 100 МГц: а) индуктивности 0,1 мкГ;
б) емкости 100 пФ.
Волновое сопротивление кабеля 75 Ом; потери в кабеле
не учитывать.
4.16. Схема цепи изображена на рис. 4.6. Амперметр
А, замыкающий четвертьволновый шлейф, обладает ничтож-
но малым сопротивле-
нием. Линия согласо-
вана, по ней передается
мощность 1 кВт. Опре-
делить показания ампер-
метра, если волновое со-
противление фидера и
шлейфа 500 Ом.
4.17. Генератор пи-
тает разомкнутый отре-
зок коаксиальной ли-
нии, длина которого
равна I. Диаметр внешнего провода линии 24 мм, диаметр
внутреннего провода — 10 мм, диэлектрик — воздух.
Частота генератора 75 МГц, амплитуда напряжения на
его зажимах 100 В. Определить напряжение на разомкну-
том конце отрезка при следующих значениях I: а) 0,5 м;
б) 2,5 м; в) 3 м. Объяснить, вследствие каких приближе-
ний, допущенных в расчете, в третьем случае получается
физически нереальный ответ. Указать, чем фактически
будет определяться значе-
ние напряжения на конце ——__
отрезка в этой случае. __________________________
4.18. Конденсатор ем- ._____'__________~~
костью 250 пФ представ- * fcrav*v/?
ляет собой керамическую .
трубку (в = 80) длиной ис'
2,5 см, внутренняя и внеш-
няя поверхности которой металлизированы (продольный
разрез на рис. 4.7). Определить входное сопротивление
конденсатора на частотах 1 и 500 МГц, если оба вывода
от обкладок конденсатора сделаны с одного конца трубки.
4.19. Определить волновое сопротивление коаксиаль-
ного кабеля, если на частоте 100 МГц его разомкнутый отре-
62
зок длиной I имеет входное сопротивление Z„ = — /24,4 Ом,
а короткозамкнутый отрезок той же длины имеет входное
сопротивление ZH3 = /231 Ом. Какова длина I рассматри-
ваемого отрезка кабеля?
4.20. Длина отрезка линии 1 м. Определить его собствен-
ные частоты и соответствующие им длины волн, если отре-
зок:
а) замкнут накоротко на обоих концах;
б) замкнут накоротко на одном конце, на другом разомк-
нут;
в) разомкнут на обоих концах.
4.3. ЛИНИЯ, НАГРУЖЕННАЯ НА РЕАКТИВНОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ
4.21. Отрезок линии длиной / с волновым сопротивле-
нием W, нагруженный на сопротивление /й7, питается от
генератора э. д. с. е = £ cos wt с внутренним сопротивле-
нием q = F. Записать выражения для мгновенных значе-
ний напряжения и тока в линии в сечении нагрузки и на рас-
стоянии / от нее.
4.22. Как выражаются и в каком соотношении друг
с другом находятся мощности падающей и отраженной
волн в идеальной линии, нагруженной на реактивное сопро-
тивление?
4.23. На конце линии с волновым сопротивлением 600 Ом
включена индуктивность 2 мкГ. Частота источника э. д. с.,
питающего линию, 100 Мгц. Определить, на каком расстоя-
нии от конца линии находится ближайший узел напряже-
ния.
4.24. На конце линии с волновым сопротивлением 80 Ом
включена индуктивность L„. Частота генератора, питающе-
го линию, равна 750 МГц. Ближайший к нагрузке узел
напряжения находится на расстоянии 15 см от нее. Опреде-
лить индуктивность L„.
4.25. На конце линии с волновым сопротивлением
200 Ом включена емкость 100 пФ. Изобразить характер
кривой распределения амплитуды напряжения вдоль ли-
нии при частоте э. д. с. 108 рад/с. Как изменится распреде-
ление амплитуды напряжения, если емкость нагрузки не-
сколько увеличить? Уменьшить?
4.26. На конце линии с волновым сопротивлением 100 Ом
включена индуктивность 2 мкГ. Изобразить характер кри-
63
вой распределения амплитуды напряжения вдоль линии
при частоте э. д. с. 108 рад/с.
Как изменится распределение амплитуды напряжения,
если индуктивность нагрузки несколько увеличить? Умень-
шить?
4.27. На конце линии с волновым сопротивлением 100 Ом
включена индуктивная нагрузка х„ = 50 Ом. Длина ли-
нии 4,8 м, длина волны в линии 3 м. Определить входное
сопротивление линии.
4.28. Конденсатор емкостью 2 пФ подключен к схеме
двумя параллельными проводниками диаметром 1 мм и дли-
ной 2 см, расположенными на расстоянии 10 мм друг от дру-
га. Определить, при какой наименьшей частоте к схеме
окажется подключенным индуктивное сопротивление.
4.29. Источник э. д. с. с частотой 300 МГц и амплиту-
дой 100 В включен на входе линии длиной 1,5 м, закорочен-
ной на конце. Посредине линии между проводами включен
конденсатор емкостью 2 пФ. Волновое сопротивление ли-
нии 200 Ом. Требуется:
а) определить амплитуду тока в начале линии;
б) определить амплитуду напряжения на конденсаторе
и амплитуду тока, текущего через конденсатор;
в) изобразить кривые распределения амплитуд напря-
жения и тока вдоль линии.
4.4. ЛИНИЯ, НАГРУЖЕННАЯ НА АКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
4.30. Линия без потерь, нагруженная на согласованную
нагрузку, питается от источника э. д. с. е = Е cos ю/ с внут-
ренним сопротивлением rt = U7. Записать мгновенные зна-
чения напряжения и тока в нагрузке, если длина линии I
и диэлектрическая проницаемость заполнениия линии е
известны.
4.31. Амплитуда падающей волны напряжения в линии
100 В, коэффициент отражения в конце линии ри = 0,6.
Волновое сопротивление линии 100 Ом. Определить ампли-
туду отраженной волны напряжения, а также максималь-
ные и минимальные значения амплитуды напряжения и тока
в линии.
4.32. Амплитуда падающей волны напряжения 100 В,
волновое сопротивление линии 100 Ом, сопротивление на-
грузки 300 Ом. Определить коэффициент отражения, коэф-
фициент бегущей волны, амплитуду напряжения на на-
грузке и минимальную амплитуду напряжения в линии.
64
Изобразить кривые распределения амплитуд напряжения
и тока вдоль линии.
4.33. Линия с волновым сопротивлением 70 Ом и нагру-
женная на активное сопротивление 100 Ом питается от ис-
точника э. д. с. с амплитудой 100 В; источник согласован
с линией. Определить амплитуды падающей и отраженной
волн напряжения, амплитуду напряжения и амплитуду тока
в нагрузке, а также коэффициенты отражения по напряже-
нию и по току и коэффициент бегущей волны.
4.34. Линия с волновым сопротивлением 100 Ом нагру-
жена на активное сопротивление /?н. Максимальная ампли-
туда напряжения в линии 500 В, минимальная — 300 В.
Определить величину сопротивления нагрузки R„, если ам-
плитуда напряжения в конце линии максимальна.
4.35. Линия длиной 10 м с волновым сопротивлением
160 Ом нагружена на активное сопротивление 40 Ом. Опре-
делить входное сопротивление линии на частотах 7,5 Мгц
и 15 МГц.
4.36. Линия длиной 4,25 м соединяет генератор с на-
грузкой 180 Ом. Волновое сопротивление линии 60 Ом, дли-
на волны в линии 2 м; амплитуда напряжения на нагрузке
360 В. Требуется определить:
а) амплитуду тока на входе линии;
б) максимальные и минимальные значения амплитуды
напряжения и тока в линии;
в) входные сопротивления линии в местах максимумов
и минимумов напряжения.
4.37. Источник э. д. с. с частотой 6,25 МГц и амплитудой
3 кВ включен в начале линии с волновым сопротивлением
130 Ом. Длина линии 60 м, в конце линии включена нагруз-
ка 250 Ом. Найти ток в на-
грузке и мощность, развивае-
мую генератором. Определить
расстояние от нагрузки до
ближайшего к ней максимума
напряжения.
4.38. Схема цепи приведе-
на на рис. 4.8. Частота источ-
ника э. д. с. 75 МГц. Участки
линии ДБ и БВ имеют одина-
ковые волновые сопротивления. В сопротивлениях нагруз-
ки Ri = 800 Ом и /?г = 200 Ом, расположенных друг от дру-
га на расстоянии / = 3 м, поглощается одинаковая мощ-
ность 100 Вт. Определить коэффициенты бегущей волны на
3 Зак. 986 65
Рис. 4.8
обоих участках линии, а также напряжение и ток в начале
линии. По полученным данным построить примерные кривые
Рис. 4.10.
Рис. 4.11.
Рис. 4.12.
распределения амплитуд на-
пряжения и тока вдоль линии.
4.39. Каким следует вы-
брать активное сопротивле-
ние /?а в схеме рис. 4.9,
чтобы в линии 1 установился
режим бегущей волны?
Частота генератора 300 МГц,
волновые сопротивления от-
резков линий: = 50 Ом,
Г2 = 150 Ом, IF3 = 90 Ом,
длины отрезков: /2 = 2 м,
13 = 0,75 м. Коэффициент бе-
гущей волны в линии 2 равен
0,8; R. < №г.
4.40. Найти волновые со-
противления отрезков линий
в системе рис. 4.10, если из-
вестно, что во всех отрезках
линии существует режим бе-
гущей волны, и все три со-
противления R = 200 Ом.
4.41. Найти входное со-
противление цепи, изобра-
женной на рис. 4.11. Изо-
бразить кривые распределе-
ния амплитуд напряжения и
тока. Параметры цепи:
4 = Х/2; 1г = ЗХ/4; Г, =
= 100 Ом; IF» = 200 Ом;
Rt = 200 Ом; Rt = 100 Ом.
4.42. Рассчитать входное
сопротивление цепи, изобра-
женной на рис. 4.12, и по-
строить кривые распределе-
ния амплитуд напряжения и
тока. Рабочая длина волны
40 см. Параметры цепи: /, =
= 20 см; IF, = 70 Ом; /г =
= 55 см; = 100 Ом; 13 =
= 30 см; IF, = 120 Ом;
Z, = 50 Ом; Z2 = 70 Ом.
66
4.5. ЛИНИЯ. НАГРУЖЕННАЯ НА КОМПЛЕКСНОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ
4.43. Линия длиной 120 см с волновым сопротивлением
50 Ом нагружена на комплексное сопротивление ZH = 100+
+ /100 Ом. Определить входное сопротивление и входную
проводимость линии на частоте 125 МГц.
4.44. Линия с волновым сопротивлением 100 Ом нагру-
жена на сопротивление Z„. Определить коэффициент отра-
жения напряжения ри и тока pt в конце линии. Рассмотреть
следующие случаи:
a) ZH = 100 Ом; е) ZH = 300 + /100 Ом;
б) Z„ = 30 Ом; ж) ZB =300 + / 300 Ом;
в) ZH =300 Ом; з) ZB =30 —/ 100 Ом;
г) ZB = 100 +/100 Ом; и) ZB= 100 —/30 Ом;
д) Z„ = 100-/100 Ом; к) Z„ = 100 + / 300 Ом.
4.45. Решить задачу 4.42 для следующих параметров
цепи:
а) /, = 60 см; UZ, = Ю0 Ом; /2 = 10 см; №2 = 50 Ом;
/, = 40 см; UZ8 = 100 Ом; Z, = 100 + /50 Ом; Z2 = 30 -
— /40 Ом;
б) = 10 см; 1Г( = 100 Ом; /2 = 15 см; = 100 Ом;
13 = 3 см; №э = 100 Ом; Z, = —/100 Ом; Z2 = /200 Ом;
в) /j = 40 см; = 75 Ом; /2 = 20 см; «72 = 70 Ом;
13 = 10 см; Г3 = 90 Ом; Z, = 40 — /50 Ом; Z2 = 50 4
+ /40 Ом;
г) /1 = 30 см; U7, = 90 Ом; /2 = 40 см; IV'2 = 100 Ом:
13 = 60 см; rs = 75 Ом; Z, = 45 — /180 Ом; Z2 = 80 -
— /30 Ом.
4.46. Падающая волна создает на сопротивлении на-
I-
грузки Z„ напряжение ЮОе 2 В. Коэффициент отражения
ри = 0,5 + /0,5. Найти сопротивление нагрузки и напря-
жение на нагрузке. Волновое сопротивление линии 200 Ом.
4.47. Длинная линия с волновым сопротивлением 100 Ом
нагружена на комплексную нагрузку, состоящую из после-
довательно соединенных индуктивности 2 мкГ и активного
сопротивления 300 Ом. Изобразить характер кривой рас-
пределения амплитуд напряжения вдоль линии при часто-
те э. д. с. 108 рад/с. Для облегчения расчетов воспользовать-
ся круговой диаграммой длинной линии.
3» 67
4.48. Решить задачу 4.47 в предположении, что индук-
тивность 2 мкГ и активное сопротивление 300 Ом включены
параллельно.
4.49. Длинная линия с волновым сопротивлением 200 Ом
нагружена на комплексную нагрузку, состоящую из после-
довательно соединенных конденсатора 20 пФ и активного
сопротивления 600 Ом. Изобразить характер кривой рас-
пределения амплитуды напряжения вдоль линии при часто-
те э. д. с. 10s рад/с. Для облегчения расчетов воспользо-
ваться круговой диаграммой длинной линии
4.50. Решить задачу 4.49 в предположении, что конден-
сатор 20 пФ и активное сопротивление 600 Ом включены
параллельно.
4.51. Линия длиной 88 см с волновым сопротивлением
100 Ом нагружена на сопротивление Z„. Частота э. д. с.,
питающей линию, 300 МГц. С помощью круговой диаграм-
мы определить входное сопротивление линии и коэффициент
бегущей волны. Рассмотреть следующие случаи:
a) Zn =30 Ом; е) Z„ = 30 —/30 Ом;
б) ZH = 400 Ом; ж) ZH = 400 + /400 Ом;
в) Z„ = 30 +/ 400 Ом; з) ZH = 400 -/ 400 Ом;
г) Z„ = 30—/400 Ом; и) Z„ = 400 + /30 Ом;
д) Z,, = 30 + j 30 Ом; к) Z„ = 400—/30 Ом.
4.52. Линия, нагруженная на сопротивление Z„, имеет
волновое сопротивление 100 Ом. Частота э. д. с., питающей
линию, 300 МГц. С помощью круговой диаграммы опреде-
лить сопротивление нагрузки ZH, если известен коэффи-
циент бегущей волны в линии /?бв и расстояние /т,п от на-
грузки до ближайшего к ней минимума напряжения. Рас-
смотреть следующие случаи:
з) = Anin = 5 см, д) &бв = 0,8, /т|п = 5 см;
б) £б1, = 0,4, /т(п=15 см; е) Абв=0,6, /т1п = 15 см;
в) Лбв=0,6, /1П|П = 30 см; ж) &бв=0,4, /т1п = 30 см;
г) ^бв ~ 0,8, /т;п = 45 см; з) k^B — 0,2, 1т1п = 45 см.
4.6. ЛИНИИ С ПОТЕРЯМИ. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ
КОНТУРЫ ИЗ ОТРЕЗКОВ ЛИНИЙ
4.53. Найти диаметр d проводов двухпроводной симмет-
ричной линии (см. рис. 4.1), обеспечивающий получение
минимальной постоянной затухания а. Расстояние между
проводами D считать заданным.
68
4.54. Найти диаметр d внутреннего проводника коакси-
альной линии (см. рис. 4.2), обеспечивающий получение
минимальной постоянной затухания а. Внутренний диаметр
D наружного проводника считать заданным.
4.55. Генератор отдает в согласованный фидер мощ-
ность 10 кВт. Длина фидера 25 м, волновое сопротивление
450 Ом, постоянная затухания 1 мНп/м. Определить ам-
плитуды напряжения на входе фидера и напряжения на
нагрузке, мощность, выделяющуюся в нагрузке, и к. п. д.
фидера.
4.56. Генератор синусоидальной э. д. с. питает согласо-
ванную воздушную двухпроводную линию длиной 150 м.
Диаметр проводов линии 8 мм; расстояние между центрами
проводов 30 см, материал проводов — медь. Амплитуда
напряжения на клеммах генератора 1 кВ, частота 10 МГц.
Определить к. п. д. линии, амплитуду тока генератора, мощ-
ность потерь в линии, мощность, передаваемую в нагрузку
и амплитуду напряжения на нагрузке.
4.57. Телевизионный сигнал передается на несущей час-
тоте 100 МГц по кабелю РК-1 длиной 100 м. Кабель нагру-
жен на волновое сопротивление 75 Ом. Найти напряжение
ии на нагрузке, если известно, что напряжение в начале
линии 5 В. Для отыскания напряжения U„ воспользоваться
результатами решения задачи 4.2.
4.58. Двухпроводная симметричная линия длиной 100 м
служит для передачи энергии на частоте 30 МГц. Размеры
линии в поперечном сечении следующие (см. рис. 4.1):
D = 20 см, d = 6 мм. Определить к. п. д. линии при сле-
дующих сопротивлениях нагрузки: RH = W; 0.5IF; 0,21Г.
Сравнить полученные результаты.
4.59. Линия длиной 30 м соединяет генератор с нагру-
зочным сопротивлением R„ = 180 Ом. Волновое сопротив-
ление линии 360 Ом, ее постоянная затухания 1 мНп/м;
частота генератора 50 МГц. В сопротивлении нагрузки
выделяется мощность 1 кВт. Определить амплитуду напря-
жения на нагрузке, напряжения на входе линии и напряже-
ния в ближайшем к генератору максимуме напряжения.
Найти мощность генератора, к. п. д. линии и мощность
потерь в линии.
Повторить расчет, пренебрегая потерями в линии и най-
ти погрешности, допускаемые в этом случае. Указать, ка-
кие из найденных величин принципиально нельзя рассчи-
тать без учета потерь.
09
4.60. Найти входное сопротивление на частоте 100 МГц
закороченных и разомкнутых на конце отрезков кабеля
РК-1 длиной 50 и 100 см. Для отыскания входного сопро-
тивления воспользоваться результатами решения задачи 4.2.
4.61. Двухпроводная симметричная линия имеет сле-
дующие размеры в поперечном сечении (см. рис. 4.1): D =
= 8 см, d = 5 мм. Определить входное сопротивление на
частоте 150 МГц закороченных и разомкнутых на конце
отрезков линии длиной 50 и 100 см.
4.62. Четвертьволновый коаксиальный изолятор изго-
товлен из латунных труб с наружными диаметрами £>, =
= 40 мм и D.t = 17 мм. Толщина стенок труб I мм. Изоля-
тор рассчитан на частоту 600 МГц; амплитуда приложен-
ного к нему напряжения равна 1 кВ. Определить мощность
потерь в изоляторе и его входное сопротивление, а также
амплитуду тока на входе изолятора и тока в короткозамы-
кающей перемычке. Повторить требуемые расчеты для изо-
лятора с посеребренными поверхностями.
Удельное сопротивление серебра принять равным 1,61 х
X 1(Нб Ом • см, латуни — 7 • 10-6 Ом • см.
4.63. Четвертьволновый металлический изолятор, на-
строенный на частоту 300 МГц, изготовлен из отрезка воз-
душной коаксиальной линии с размерами в поперечном се-
чении d = 10 мм, D = 23 мм (см. рис. 4.2). Токопроводящие
поверхности линии посеребрены. Определить входное сопро-
тивление изолятора на частотах 299; 300 и 301 МГц.
4.64. Фидер длиной 10 м с волновым сопротивлением
50 Ом питается от согласованного с ним источника э. д. с.,
амплитуда которой равна 150 В. При измерении напряжения
в линии вольтметром Надененко установлено, что на кон-
це линии напряжение имеет наибольшее значение, а коэф-
фициент бегущей волны в линии равен 0,7. Найти вели-
чину сопротивления нагрузки, мощность, поглощаемую
нагрузкой, и к. п. д. фидера, если постоянная затухания
фидера 0,003 Нп/м. Каковы мощность в нагрузке и к. п. д.
фидера, если нагрузка согласована с линией?
4.65. К разомкнутому отрезку воздушной линии с вол-
новым сопротивлением 500 Ом и погонным сопротивлением
1 Ом/м подведено напряжение 1 кВ. Определить амплиту-
ды напряжения и тока в двух максимумах и двух минимумах,
ближайших к концу отрезка, если длина волны в линии рав-
на 4 м.
4.66. К линии, закороченной на конце, подведено напря-
жение с частотой 300 МГц. Волновое сопротивление линии
70
50 Ом, постоянная затухания 0,01 Нп/м. Определить вход-
ное сопротивление линии, если ее длина равна: а) 10 м,
б) 10,25 м. Построить кривую распределения амплитуды
напряжения вдоль линии; влиянием потерь в линии на фазо-
вую скорость волны пренебречь.
4.67. Отрезок линии длиной 15 м с волновым сопротив-
лением 75 Ом нагружен на индуктивность 0,025 мкГ. По-
стоянная затухания линии 0,05 Нп/м. Найти входное сопро-
тивление линии на частоте 500 Мгц. Влиянием потерь в ли-
нии на фазовую скорость волны пренебречь.
4.68. Отрезок медной двухпроводной линии длиной 0,5 м
на обоих концах замкнут накоротко. Диаметр проводов ли-
нии 6 мм, расстояние между их центрами 80 мм. Определить
низшую резонансную частоту отрезка и соответствующую
ей добротность.
4.69. Из длинной линии с малыми потерями изготовлены
два отрезка.Первый отрезок разомкнут на обоих концах, вто-
рой — на одном конце замкнут накоротко, а на другом на-
гружен на емкость без потерь. Показать, что для совпадаю-
щих резонансных частот добротность обоих отрезков оди-
накова.
4.70. Отрезок медной коаксиальной линии длиной 20 см
и поперечными размерами d = 10 мм, D = 40 мм с одного
конца замкнут накоротко, а с другого — нагружен на
емкость С. Низшая резонансная частота отрезка равна
300 МГц. Потери в емкости пренебрежимо малы. Определить
емкость и добротность отрезка.
4.71. Полуволновый отрезок длинной линии с волновым
сопротивлением 300 Ом на одном конце замкнут накоротко,
а на другом нагружен на сопротивление R„ = 0,5 Ом. Доб-
ротность ненагруженного отрезка Qo — 2000. Найти доб-
ротность нагруженного отрезка.
4.72. Показать, что при заданном внутреннем диаметре
внешнего проводника коаксиальной линии существует оп-
тимальное значение диаметра внутреннего проводника, при
котором добротность резонансного отрезка линии имеет
максимальное значение. Вывести расчетную формулу для
максимальной добротности.
4.7. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ
С НАГРУЗКОЙ
4.73. Линия с волновым сопротивлением 70 Ом питает
на волне 80 см активную нагрузку 35 Ом. Определить место
включения, длину и волновое сопротивление четвертьвол-
71
нового трансформатора, согласующего фидер с нагруз-
кой.
4.74. Режим в несогласованном коаксиальном фидере
характеризуется следующими данными: k6u = 1/3; на на-
грузке — минимум напряжения; частота 120 МГц. Разме-
ры фидера в поперечном сечении следующие (см. рис. 4.2):
D = 40 мм, d = 16 мм. Для согласования непосредствен-
но около нагрузки включают четвертьволновый трансфор-
матор, выполненный путем изменения диаметра внутрен-
него проводника фидера (диаметр D трансформатора такой
же, как у фидера). Определить геометрические размеры
трансформатора.
4.75. Двухпроводная симметричная линия имеет сле-
дующие размеры в поперечном сечении (см. рис. 4.1): D —
= 80 мм, d = 5 мм, длина линии 5 м. Частота э. д. с., вклю-
ченной на входе линии, равна 125 МГц, мощность, отдавае-
мая источником э. д. с. в линию, 15 кВт. Линия нагружена
на сопротивление Rn = 180 Ом. Нагрузка согласована при
помощи четвертьволнового трансформатора, выполненного
путем изменения диаметра проводов линии. Определить
геометрические размеры трансформатора и место его вклю-
чения. Построить кривые распределения амплитуд напря-
жения и тока вдоль всей линии.
4.76. Нагрузка Zn = 35 + /105 Ом подключена к ли-
нии с волновым сопротивлением 70 Ом. Длина волны в ли-
нии 60 см. Определить место включения и волновое сопро-
тивление четвертьволнового трансформатора, согласующе-
го линию с нагрузкой.
4.77. Согласованная линия с волновым сопротивлением
500 Ом подключена к источнику синусодиальной э. д. с.
Частота э. д. с. 300 МГц, источник э. д. с. отдает макси-
мальную мощность при нагрузке его на сопротивление
Z = 500 + /350 Ом. Для обеспечения максимальной отдачи
генератора в линию включают четвертьволновый трансфор-
матор. Определить волновое сопротивление и место вклю-
чения трансформатора.
4.78. Генератор, работающий на частоте 40 МГц, отдает
наибольшую мощность при нагрузке на сопротивление 50 Ом.
К генератору при помощи отрезка коаксиального кабеля
подключена комплексная нагрузка ZH = 100 — /50 Ом.
Подбором длины /ои волнового сопротивления W' кабеля
обеспечивается максимальная отдача генератора. Опреде-
лить величины W' и /0. Построить кривые распределения
амплитуд напряжения и тока вдоль кабеля.
72
Примечание. Величину W определять аналитичес-
ки, /0 — по круговой диаграмме.
4.79. Линия с волновым сопротивлением 400 Ом нагру-
жена на сопротивление RH = 250 Ом. Длина волны в линии
5 м. Определить длину /ш и место включения (4) коротко
замкнутого шлейфа, согла-
сующего нагрузку с линией
(рис. 4.13). Изобразить ха-
рактер распределения ампли-
туд напряжения и тока
вдоль линии и вдоль шлейфа.
4.80. Линия с волновым
сопротивлением 500 Ом на-
гружена на сопротивление
ZH = 300 — /150 Ом. Длина
волны в линии 2 м. Опреде-
лить длину /ш и место вклю-
Рис. 4.13.
чения (4) короткозамкнутого
шлейфа, согласующего нагрузку с линией (рис. 4.13).
Изобразить характер распределения амплитуд напряже-
ния и тока вдоль линии и вдоль шлейфа.
4.81. Двухпроводная симметричная линия длиной 6 м
с волновым сопротивлением 400 Ом нагружена на сопротив-
ление Z„. Максимальная амплитуда напряжения в линии
1600 В, минимальная — 800 В, расстояние от нагрузки до
ближайшего к ней минимума напряжения 84 см. Частота
генератора 100 МГц. Определить длину /ш и место включения
(4) короткозамкнутого шлейфа, согласующего нагрузку
с линией. Найти мощность, передаваемую в нагрузку до
и после согласования. Внутреннее сопротивление источни-
ка э. д. с. 400 Ом. Построить кривые распределения напря-
жения и тока вдоль линии и вдоль шлейфа при согласова-
нии.
4.8. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
4.82. Воздушная линия, разомкнутая на конце, в момент
времени I — 0 подключается к источнику постоянной э. д. с.
Е — 100 В. Изобразить на графике изменение во времени
напряжения на конце линии и определить длительность пе-
реходного процесса, если длина линии 300 м, волновое со-
противление 50 Ом, внутреннее сопротивление источника
50 Ом.
73
4.83. Источник постоянной э. д. с. Е = 120 В в момент
времени t = 0 включается в линию с воздушной изоляцией,
нагруженную на активное сопротивление 20 Ом. Внутрен-
нее сопротивление генератора 40 Ом. Волновое сопротивле-
ние линии 60 Ом, длина 15 м. Определить:
1) силу тока, развиваемую генератором непосредственно
после замыкания ключа;
2) момент появления тока в нагрузке;
3) величину первой отраженной волны напряжения
и тока;
4) величину второй падающей волны напряжения и тока;
5) стационарное значение напряжения и тока в нагрузке.
Изобразить на графике изменение во времени напряжения
и тока в нагрузке.
4.84. В момент времени t = 0 к линии с волновым сопро-
тивлением W, нагруженной на сопротивление /?н, подклю-
чается источник постоянной э. д. с. Е с внутренним сопро-
тивлением (рис. 4.14). Изобразить временные диаграммы
напряжения и тока в пяти сечениях линии, отмеченных на
рисунке. Рассмотреть следующие 20 случаев:
а) г, = 0; /?н = 0; W’/3; U7; 31Г; оо;
б) Г| =W73; ₽„ = 0; Г/3; IT; 31Г; оо;
в) /?„ = 0; \Г/3; IT; 3UZ; оо;
г) r( = 3V; /?„ = 0; W/3; UZ; 3V7; оо.
4.85. Коаксиальный кабель, нагруженный на сопротив-
ление R„ = W, подключен к источнику, генерирующему
прямоугольный импульс напряжения длительностью 1 мкс
и амплитудой 150 В. Определить амплитуду импульса на
нагрузке и момент его появления, если волновое сопро-
тивление кабеля 75 Ом, длина кабеля 5 м, внутреннее со-
противление источника 25 0м. Изобразить форму импульса
на нагрузке. Изоляция кабеля —полиэтилен (е = 2,25).
74
Рис. 4.15.
Как изменится форма импульса на нагрузке, если сопро-
тивление нагрузки уменьшить вдвое?
4.86. Для формирования импульсов напряжения пря-
моугольной формы используется устройство, схема которого
представлена на рис. 4.15. При замкнутом ключе и ра-
зомкнутом ключе происходит заряд линии, разомкнутой
на конце, от источника по-
стоянной э. д. с. Е. После
окончания заряда ключ К, НТ
размыкается, а ключ И
замыкается; происходит
разряд линии на сопро-
тивление нагрузки Ra =
= №. Определить:
1) рабочее напряжение, на которое должен быть рас-
считан коаксиальный кабель, если Е = 1000 В, =25 Ом,
№ = 75 Ом;
2) амплитуду импульса напряжения, формирующегося
на сопротивлении нагрузки;
3) длину кабеля, необходимую для получения импульса
длительностью 0,3 мкс, если кабель заполнен полиэтиле-
ном, имеющим диэлектриче-
скую проницаемость ₽ = 2,25.
4.87. К линии с волновым
сопротивлением №, заряжен-
ной до напряжения Е, в мо-
мент времени t — 0 подклю-
чается нагрузка R„ (рис. 4.16).
Изобразить временные диа-
граммы напряжения и тока
в пяти сечениях линии, от-
меченных на рисунке. Рас-
случаи:
а) /?и = 0; б) /?Н = И;
О
подключается постоянная
смотреть следующие
в) RH = №; г) R„ = 3№.
4.88. К линии длиной 30 м с волновым сопротивлением
200 Ом в момент времени t = 0
э. д. с. Е = 100 В. Источник э. д. с. согласован с линией.
Найти закон изменения напряжения и тока в нагрузке
линии, если нагрузка представляет собой:
а) емкость 2000 пФ;
б) индуктивность 100 мкГ;
в) последовательно соединенные емкость 100 пФ и ак-
тивное сопротивление 100 Ом;
/5
г) последовательно соединенные индуктивность 50 мкГ
и активное сопротивление 100 Ом.
4.89. Источник прямоугольных импульсов, обладаю-
щих длительностью 0,5 мкс и амплитудой 50 В, согласован
с линией длиной 60 м, имеющей волновое сопротивление
100 Ом. Найти закон изменения напряжения и тока в на-
грузке линии, если нагрузка представляет собой:
а) последовательно соединенные емкость 5000 пФ и ак-
тивное сопротивление 100 Ом;
б) последовательно соединенные индуктивность 100 мкГ
и активное сопротивление 50 Ом;
в) параллельно соединенные активное сопротивление
100 Ом и емкость 1000 пФ.
4.90. Для передачи прямоугольных импульсов длитель-
ностью 0,2 мкс и амплитудой 20 В от генератора к нагрузке
применяется коаксиальный кабель длиной 30 м с полиэти-
леновой изоляцией. Волновое сопротивление кабеля 75 Ом.
Выходное сопротивление генератора импульсов 60 Ом. На-
грузка представляет собой параллельно соединенные ак-
тивное сопротивление 75 Ом и емкость 200 пФ. Определить
искажения импульса, вызванные несогласованностью линии
со стороны генератора и со стороны нагрузки.
Г л а а а 5
Цепи с переменными параметрами
Основные обозначения и расчетные формулы
Связь выходного сигнала </(/) со входным воздействием
х(/):
y(t)= — т)цу(/, t — т) dx
или
У (0 = -i- (' К(«. /) S, (<о) е'“' J®,
Vrr 1
— ОО
76
где ui(/, ft) = w(t, t — т) — импульсная функция цепи —
реакция цепи на входное воздействие в виде 6-функции, по-
данной в момент времени 0 (рис. 5.1);
ос
/)= ^ да (/,/ — т)е~/МТt/т —частотная функция пере-
о
Импульсная функция последовательной /?С-цепи с пе-
ременными параметрами (реакция — напряжение на кон-
денсаторе):
щ(/,0) =
ехр
14- /г (&>
R (5) с (ь)
dC(£)
1
/г (О)С (0)
Импульсная функция последовательной tfL-цепи с пере
менными параметрами (реакция — ток):
w(t, 0)
1
£(0)
ехр
R(l) +
dl
Ток, протекающий через элемент с периодически изме-
няющейся активной проводимостью под действием гармони-
ческого напряжения и:
ОО
t=-i- 2- Gi *iи cos + w+%+йфь
А= — 09
77
Здесь и = U cos(co0/ + <рв): активная проводимость изме-
няется по закону
G(t) = y Go + 2 G* cos (kiit +*ф)-
»= ।
Закон изменения проводимости нелинейного элемента
с вольтамперной характеристикой I = f(u) при воздействии
на элемент напряжения ur = t/, cos(wP t + фг):
G(0 = -^l|
v du |«=«r
Ток, протекающий через реактивный элемент с периоди-
чески изменяющейся емкостью под действием гармоничес-
кого напряжения и:
i =У (соо + Ш)С„siп|(®04-ЛЙ)/+<р0 + ^Ф(.
fe = — ОО
Здесь и = U cos (<ooZ + q>0); емкость элемента изменяется
по закону
С (0 = у + 2 С* cos + k^-
t= i
Добротность контура, емкость конденсатора которого
изменяется по гармоническому закону с частотой 2wp и коэф-
фициентом модуляции /VI:
Здесь Q — добротность невозбужденного контура, /Мкр =
— 2/Q (при М > /Инр происходит параметрическое воз-
буждение колебаний).
Коэффициент усиления одноконтурного параметрическо-
го усилителя (см. рис. 5.5) при частоте сигнала юс = ? (Q —
частота накачки) и оптимальном соотношении между фазой
сигнала и фазой накачки равен
Мкр
78.
5.1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
5.1. Составить дифференциальное уравнение для напря-
жения на конденсаторе последовательной /?С-цепи, где R и С
изменяются по заданным законам R(t) и C(t). К цепи под-
ключена э. д. с. е(1).
5.2. Составить дифференциальное уравнение для тока
в последовательной /?Ь-цепи, к которой подключена э. д. с.
е(/). Параметры цепи R(t) и Ц1) изменяются во времени по
заданным законам.
5.3. Составить дифференциальное уравнение для напря-
жения на конденсаторе последовательной LCR ixenH, к ко-
торой подключена э. д. с. e(t). Параметры цепи изменяются
во времени по следующим законам:
/?(/) = a/; L(O = Loe"; С(/) = Сое-«'.
5.4. Найти импульсную функцию последовательной
/?С-цепи при условии, что R(t) = \/al\ С = const (реакция
цени — напряжение на конденсаторе).
5.5. Решить задачу 5.4 при /?(/) = Roe~al.
5.6. Найти импульсную функцию последовательной
/?С-цепи при условии, что /?(/) = al; С = const (реакция
цепи — напряжение на конденсаторе). Определить частот-
ную функцию передачи при аС = 1.
5.7. К последовательной /?С-цепи с линейно нарастаю-
щим сопротивлением R(t) = at в момент времени t — t0
подключается постоянная э. д. с. Е. Найти закон изменения
напряжений и« и ис при С = 1 мкФ, а = 10е Ом/с.
5.8. Решить задачу 5.7 при произвольных значениях
а и С.
5.9. К последовательной /?С-цепи с линейно нарастаю-
щим сопротивлением R(t) = at в момент времени 1 = 0 под-
ключается э. д. с. е = Ы. Определить законы изменения
напряжений ur и ис-
5.10. К последовательной 7?С-цепи в момент времени
t = 0 подключается постоянная э. д. с. Е. Определить за-
коны изменения напряжений «я и ис, если сопротивление
цепи изменяется по закону /?(/) = Mat.
5.11. Найти импульсную функцию последовательной
/?С-цепи с линейно нарастающей емкостью С(/) = at (реак-
ция цепи — напряжение на конденсаторе).
5.12. К последовательной /?С-цепи с линейно нарастаю-
щей емкостью С(/) = at в момент времени t = /0 подклю-
79
чается постоянная э. д. с. Е. Найти законы изменения на-
пряжений ин и ис при R — I кОм, а = 10~3 Ф/с.
5.13. Найти импульсную функцию последовательной
RC-цепи, в которой/?(/) =/?оеа', С(0 = Сое~а' (реакция-
напряжение на конденсаторе).
5.14. К псследогательной ЯС-цспи с параметрами
/?(/) = /?ое“', С(/) — Сое~а1 в момент времени I — 0 под-
ключается постоянная э. д. с. Е. Найти законы изменения
напряжений ин и ис- Построить временные диаграммы на-
пряжений ик и ис для трех значений параметра а: а <
<С \IRt)Co', и. — MR0C0', а 1//?пСо.
5.15. К последовательной /?С-цепи с параметрами R(t)=
=/?„е“', С(0 = С(,е-«' подводится прямоугольный им-
пульс э. д. с. с амплитудой Е и длительностью Т. Рассчи-
тать и построить временные диаграммы напряжения на кон-
денсаторе для трех случаев: о < 1//?0С0; а = 1//?0С0; «>
> 1/RA-
5.16. К последовательной /?С-цепи с параметрами
R (t) = /?0 е®', С (0 = Со е- а1 в момент времени I = 0 под-
ключается э. д. с. е = Ее_р'. Найти закон изменения на-
пряжения на конденсаторе.
5.17. К последовательной RC-цепи с параметрами
/?(/) = R^at, С(/) — Сое~а1 подводится э. д. с. e(t) про-
извольной формы. Определить закон изменения напряжения
на конденсаторе, если а = \/R0C0.
5.18. Найти импульсную функцию последовательной
/?£-цепи, если активное сопротивление изменяется по ли-
нейному закону R(t) = at, а индуктивность постоянна
(реакция — ток).
5.19. Найти импульсную функцию последовательной
Я£-цепи, если R(t) = Mat, L = const (реакция — ток).
5.20. К последовательной 7?Е-цепи, у которой R(t) =
= Mat, L = const, в момент времени t = подключается
постоянная э. д. с. Е. Найти законы изменения тока, напря-
жения на активном сопротивлении и напряжения на ин-
дуктивности, если aL = 1.
5.21. Найти импульсную функцию последовательной
7?Е-цепи с линейно нарастающей индуктивностью L(t) = at
(реакция — ток).
5.22. К последовательной /?£,-цепи с линейно нарастаю-
щей индуктивностью £(/) = al в момент времени t = 0 под-
ключается э. д. с. е — Ы. Найти законы изменения тока
и напряжений Ur и Ui_.
80
5.2. ЦЕПИ С ПЕРИОДИЧЕСКИ
ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ
5.23. К активному сопротивлению, изменяющемуся во
времени по закону R(t) = 100 + 10 cos 104/ Ом, приложено
напряжение и= 10 cos 105/ В. Рассчитать и построить
спектральную диаграмму
тока, протекающего через „ »
сопротивление. 'д'
5.24. Сопротивление ре- ‘ Г-
зистора R(t) изменяется во
времени по закону, изо- ю_________________________
браженному на рис. 5.2.
К резистору приложено на-
пряжение и — 10 cos 2л х '------р------„------l»
X 10е/ В. Определить ам- ° 5 Ю 4,мкс
плитуды составляющих то- р
ка с частотами 700, 800, и ' ' '
900 КГц.
5.25. К нелинейному сопротивлению с вольтамперной
характеристикой
I = 20 + 5иг мА (и > 0)
приложено напряжение
и = 3 + 2 coslO5/ + 0, Icos 5-105/ В.
Определить амплитуды гармонических составляющих тока
с частотами со = 5» 105 ± k-105 рад/с (k = 0, 1, 2, 3).
Построить полную спектральную диаграмму тока, проте-
кающего через нелинейное сопротивление.
5.26. На сетку лампы, характеристика которой аппрок-
симирована степенным рядом
са = 10 4- 2«с 4- 0,1 Hq -J- 0,01 и'с мА,
подано напряжение
ис = —3 4-2 cos со, t 4-0,1 cos<о2/4-0,01 coscosZ В.
Найти амплитуды составляющих тока, имеющих частоту
сог, <i)3 и со, 4- со3.
5.27. На базу транзистора подается напряжение
мо = woo + ®-5 cos <оо/ 4-0,01 cosco, Z В.
81
Характеристика транзистора в точке и6 — U6o аппрок-
симирована степенным рядом:
•к — 30 4- 60 (иб — U6o) -J-1 (и6 — Ц;0)г + 0,2 (иб — (/м)3 МА"
Найти амплитуду составляющей коллекторного тока с час-
тотой ш0 — Юр
5.28. Характеристика лампы аппроксимирована лома-
ной прямой: (7С„ = —3 В, 3 = 9 мА/B (см. обозначения
к гл. 6). На сетку лампы подано напряжение
ис = — 5 + 4 cos соо/ 4-0,01 cos о>, t В.
Найти амплитуды составляющих тока с частотами coj
И (Оо — (1>|.
5.29. Характеристика лампы преобразователя частоты
аппроксимируется выражением:
. (0,5(uc 4-5)2 мА при ис> — 5 В,
° I 0 при ис<—5 В.
На сетку лампы подается напряжение
ис = —3 4- 2cos corI+ UCcos <всi В.
В анодной цепи включен колебательный контур, настроен-
ный на промежуточную частоту. Резонансное сопротивле-
ние контура 50 кОм. Определить амплитуду напряжения
сигнала £7С на сетке лампы, если амплитуда напряжения
промежуточной частоты на контуре равна 5 В.
5.30. Характеристика лампы односеточного преобразо-
вателя частоты аппроксимируется выражением
• _ (0.25 (ие 4- 4)г мА при ис>—4 В,
*а ( 0 при мс<—4 В.
Определить напряжение смещения на сетке и амплитуду
напряжения гетеродина, при которых достигается макси-
мальное значение крутизны преобразования. Найти это
значение.
5.31. Характеристика лампы преобразователя частоты
аппроксимирована степенным рядом:
ta = 0,5 + 1,3(«с - Uc0) + 0,15(uc — Uc<f мА.
Амплитуды напряжений, создаваемых на сетке сигналом
и гетеродином, равны 0,1 и 2,5 В соответственно. Частота
сигнала 180 кГц. Контур в анодной цепи настроен на про-
82
межуточную частоту 460 кГц, его добротность с учетом шун-
тирующего действия лампы равна 50,емкость контура 120 пФ.
Определить частоту гетеродина, при которой на контуре
будет выделяться напряжение промежуточной частоты,
а также амплитуду напряжения на контуре.
5.32. На базу транзисторного преобразователя частоты
подается напряжение от гетеродина, работающего на час-
тоте 800 кГц, и входной сигнал, амплитуда которого равна
5 мВ. Характеристика транзистора аппроксимирована
степенным рядом:
i„ = 0,5 4- 7,5(иб — £700) + 1.5(«б _ ^ао)3 мА.
Контур в коллекторной цепи настроен на промежуточную
частоту 465 кГц, его добротность с учетом шунтирующего
действия транзистора равна 50, емкость контура 120 пФ,
коэффициент включения в коллекторную цепь 0,2. Ампли-
туда напряжения на контуре 50 мВ.
Определить возможные частоты сигнала и амплитуду
напряжения, подаваемого на базу транзистора от гетероди-
на.
5.33. В качестве преобразователя частоты используется
многосеточная лампа, на первую сетку которой подается
напряжение гетеродина, а на третью сетку — напряжение
сигнала.Крутизна анодно-сеточной характеристики лампы
по первой сетке равна 2 мА/B, по третьей сетке — 0,5 мА/В.
Анодный ток лампы в рабочей точке равен 5 мА. Определить
крутизну преобразования, если амплитуда напряжения
гетеродина равна 2 В. Изменится ли крутизна преобразова-
ния, если напряжение сигнала подавать на первую сетку,
а напряжение гетеродина — на третью?
5.34. Синхронный детектор собран по схеме рис. 5.3.
Крутизна лампы по первой сетке 2 мА/B, по третьей сетке—
0,5 мА/B, анодный ток в рабо-
чей точке 5 мА. На первую
сетку лампы подается напряже-
ние гетеродина
up = 2cosf 106/ + — ) В,
\ 4 /
на третью сетку — напряжение
сигнала
uQ = 0,1 cos ( 10е/В.
\ 2 ) Рис. 5.3.
83
Определить приращение постоянной составляющей анод-
ного тока, вызванное наличием сигнала.
5.35. Синхронный детектор собран по схеме рис. 5.3.
Крутизна лампы по первой сетке 5 мА/B, по третьей сетке —
0,5 мА/B, анодный ток в рабочей точке 15 мА. Напряжение
гетеродина на первой сетке лампы равно
иг = 3 cos 2л • 10е / В;
на третью сетку подается сигнал
wc = 0,2(l 4-0,6cos2n-104)cos2л- 10е/ В.
Определить переменную составляющую напряжения на
нагрузке детектора, если /?а = 10 кОм, Са = 0,01 мкФ.
5.36. Синхронный детектор собран по схеме рис. 5.3.
Крутизна лампы по первой сетке 4 мА/B, по третьей сетке—
0,5 мА/B, анодный ток в рабочей точке 10 мА. Параметры
анодной нагрузки: Ra = 10 кОм, Са = 0,01 мкФ. На пер-
вую сетку подается напряжение гетеродина
иг = 2со&2л* 10е/ В,
на третью сетку — напряжение сигнала
= 0,1 (1 + 0,5 cos 2л • 1021) cos 2л • 10е/ В
и напряжение помехи
ип = 0,5 cos 2л -9,5- 10е/ В.
Найти переменную составляющую напряжения на на-
грузке детектора.
5.37. На вход резонансного усилителя с полосой про-
пускания 10 кГц и резонансной частотой 1 МГц поступает
немодулированный гармонический сигнал с частотой 1 МГц,
амплитудой 50 мВ и помеха:
ип = 0.5(1 + 0,5cos2л-103/)cos2л-10’/ В.
Анодно-сеточная характеристика первой лампы усилителя
аппроксимируется выражением
/а = 10 + 5 (м0—t/c0) -I-1 (ие — 1/с0)2 + 0,2 (wc — 1/с0)3 мА.
Определить глубину паразитной амплитудной модуля-
ции сигнала на выходе усилителя.
5.38. Емкость конденсатора изменяется по закону С(/)=
= 1000 + 200 cos 104 / + 50 cos 2 • 104/ пФ. К конденса-
тору приложено напряжение и = 10 cos 10е/ В. Определить
ток, протекающий через конденсатор.
5.39. Емкость конденсато-
ра изменяется в соответствии
с рис. 5.4. К конденсатору
приложено гармоническое на-
пряжение с амплитудой 10 В
и частотой 3 мГц. Изобра-
зить спектральную диаграм-
му тока, протекающего через
конденсатор.
5.40. Индуктивность коле-
бательного контура равна
1 мГ, средняя емкость Со = 1000 пФ, сопротивление по-
терь 25 Ом. Определить, с какой частотой и в каких преде-
лах следует изменять емкость конденсатора, чтобы доброт-
ность контура оказалась равной 500.
5.41. Определить добротность последовательного колеба-
тельного контура, образованного индуктивностью 500 мкГ
и емкостью С(/) = 500 + 20 cos 4 • 10®/ пФ. Сопротивление
потерь контура 25 Ом.
5.42. Емкость конденсатора контура изменяется по зако-
ну С(/) = 200+ 10 cos 5-10® / пФ. Определить, при какой ве-
личине индуктивности и при какой добротности контура
произойдет параметрическое возбуждение колебаний.
5.43. Определить, на какую величину и с какой часто-
той следует изменять емкость конденсатора контура, чтобы
произошло параметрическое возбуждение колебаний. Па-
раметры невозбужденного контура: индуктивность 160 мкГ,
емкость Со = 250 пФ, доброт-
ность 85.
5.44. Определить коэффи-
циент усиления одноконтур-
ного параметрического усили-
теля (рис. 5.5), если емкость
контура изменяется по зако-
ну С(/) = 500 + 10 cos Q/ пФ,
собственная добротность контура равна 90, и контур на-
строен на частоту сигнала, равную Q/2.
5.45. Одноконтурный параметрический усилитель
(рис. 5.5) предназначен для усиления сигналов с частотой
1 мГц Индуктивность катушки контура 120 мкГ, собствен-
ная добротность 80. Определить, с какой частотой и в каких
пределах надо менять емкость конденсатора для получения
коэффициента усиления Л = 20.
-с
Рис. 5.5.
о
Глава fi
Нелинейные цепи
Основные обозначения и расчетные формулы
Напряжение, приложенное к нелинейному сопротивле-
нию:
u = L/0 + t/mcos (o)0f + qj).
Ток, протекающий через нелинейное сопротивление
под действием напряжения и:
< = /0-t- A cos(®J+<p)4-/gcos2(<i)0/+(p) +
+... + /А cos k(со01 -|- ф) 4-...
Аппроксимация вольтамперной характеристики нели-
нейного сопротивления ломаной прямой (кусочно-линей-
ная аппроксимация):
(S(u-U„), u>Ua,
0 , u<UB,
где 5 — крутизна;
= SUm yk (ft) = IM ak (ft) = S (Uu - Uo) ₽, (ft),
q Uli — U9
cos 0 — —-----,
U in
0 — угол отсечки тока,
y0(ft) = —(sin ft —ft cos ft),
Л
(^) = -L[sin(fe~00 _ sin(fc-M)» 1
*= ift2. ... ka [ k— I fe-H J’
1м — амплитуда импульса тока («импульс тока»),
а„(в)= VA(0) ; р (d) = Zl<<L.
*' 1-cosO ' cosfl
Ж
Аппроксимация вольтамперной характеристики нелиней-
ного сопротивления степенным рядом (полиномиальная
аппроксимация):
/ = а0-|_ (w—1/0) 4- а2 (и— U о)2 + ... + #* (и — Uq)* + ...»
а - 1 ( ^ \
А Al V duk )u=U9'
~ а2 Um а4 Um + ...г
2 о
fll ^т+~ +— С5£/« + •..,
4 О
l^±a2U2m + ^aiUtm + ^aiU6m+...,
2 2 Сз2
I _ V (2« + fe)l f/2n+*
'Л_ 22', + 4-1 п!(п4**)1 а2',+*С/'п
Аппроксимация вольтамперной характеристики нелиней-
ного сопротивления показательной функцией
Z = /0eau4-/H,
«0, /н, а —постоянные,
/о = «оeaU‘ Io (aUm) + /„, lh = 2/0 еаУ« IA (aUm),
\o(aUm), IA(aUm) — модифицированные функции Бессе-
ля нулевого и fe-ro порядка.
Индексы: «с» — сеточная цепь, «а» — анодная цепь,
«б» — базовая цепь, «к» — коллекторная цепь (например,
/аь U6m).
Угол отсечки при диодном детектировании находится
из соотношения:
— = tgO— &,
RS 6
R — сопротивление нагрузки, S — крутизна характе-
ристики диода.
6.1. АППРОКСИМАЦИЯ
ВОЛЬТАМПЕРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
6.1. К нелинейному сопротивлению, характеристика ко-
торого аппроксимирована ломаной прямой (1/И — —2В,
S = 1 мА/B), приложено напряжение
ы=—10-f- 16cos(i)o/ В.
Найти нулевую составляющую и первую гармонику тока.
87
6.2. К нелинейному сопротивлению, характеристика
которого аппроксимирована ломаной прямой (U„ = —20 В,
S = 4 мА/B), приложено напряжение
M = L/n4-20cos(o0/ В.
Определить, при каком смещении Uo амплитуда второй гар-
моники тока максимальна. Найти ее.
6.3. К нелинейному сопротивлению, характеристика
которого аппроксимирована ломаной прямой ((7К =—20 В,
S = 4 мА/B), приложено напряжение
u = U0 + Umcos,(n0t В.
Амплитуда импульса тока 80 мА. Определить, при каких
значениях U6 и Um амплитуда второй гармоники тока мак-
симальна. Найти ее.
6.4. Характеристика нелинейного сопротивления задана
графически (рис. 6.1). Аппро-
ксимировать характеристику
полиномом четвертой степени на
участке от—10 до +10 В.
6.5. Характеристика нели-
нейного сопротивления аппро-
ксимирована полиномом четвер-
той степени:
1 = 21 -}-2,2ц —0,013мг +
+ 0,0005у4 мА.
Разложить характеристику в ряд
относительно рабочей точки
-5 В.
6.6. К нелинейному сопротивлению, характеристика
которого аппроксимирована степенным рядом
i= 10 + 2(ы—£/о) + О,О5(м—и0)г — 0,01 (u-U0)3 мА,
приложено напряжение
и = Uo + 5 cos 1 В.
Определить амплитуды всех гармонических составляющих
тока.
6.7. На сетку лампы, характеристика которой приведе-
на на рис. 6.2, подано напряжение
uc= — 10 + 5cosco0( В-
88
Графическим методом найти постоянную составляющую, ам-
плитуды первой и второй гармоник анодного тока, а также
определить коэффициент нелинейных искажений.
Рис. 6.2.
6.8. Входная характеристика транзистора (в схеме
с общим эмиттером) приведена на рис. 6.3. Найти нулевую
составляющую и первую гармонику тока базы, если
иэб = 50 + 20 cos <i)01 мВ.
Характеристику аппроксимировать показательной функ-
цией.
6.9. Характеристика нелинейного сопротивления ап-
проксимирована ломаной прямой (U„ = —10 В, S =
= 5 мА/B). К сопротивлению приложено напряжение
и=—4 + 12cos<о0i В.
Графическим методом определить величины /0. />, /4-
Найти относительную погрешность графического расчета.
6.10. Характеристика нелинейного сопротивления ап-
проксимирована степенным рядом
i = Ьо 4- fcj и + Ь3 и3 мА.
Найти частоты всех составляющих тока, если к нелинейно-
му сопротивлению приложено напряжение:
а) ц = cos<о0/ В. 6) u=*U0+ Umcosto0l В.
6.11. Решить задачу 6.10 для случая, когда характе-
ристика аппроксимирована степенным рядом:
i = Ьо ф bt и 4- Ь2 и2 4- Ь2 г? мА.
89
6.2. РЕЗОНАНСНОЕ УСИЛЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ЧАСТОТЫ
6.12. Вольтамперная характеристика лампы аппрокси-
мирована степенным рядом:
(а = 40-}-4ис + 0,02^’—0,0lu£ мА.
Сопротивление анодной нагрузки равно нулю. Рассчитать
и построить колебательную характеристику для смеще-
ния —2 В.
6.13. Как изменится колебательная характеристика за-
дачи 6.12, если в анодную цепь будет включен контур с ре-
зонансным сопротивлением 20 кОм? Коэффициент усиления
лампы равен 50.
6.14. Вольтамперная характеристика нелинейного
противления аппроксимируется степенным рядом:
i = 200 + 20u + 1,5u2 + 0,05п3 мА.
Написать уравнение колебательной характеристики
двух значений смещения: а) (7о = О; б) Uo — — 10 В.
6.15. Схема резонансного усилителя приведена
рис. 6.4, характеристика транзистора, аппроксимированная
ломаной прямой—на рис. 6.5.
На базу транзистора подано
напряжение:
«б = £б 4-0,1 cos2-10°/ В.
со-
для
на
Параметры контура: wp = 2 • 10е рад/с; L = 250 мкГ;
Q = 50; коэффициент включения в коллекторную цепь 0,2.
Определить смещение £6, при котором амплитуда напря-
жения на контуре Um — 50 В.
6.16. Характеристика транзистора резонансного уси-
лителя аппроксимирована ломаной прямой (рис. 6.5). На
базу транзистора подано напряжение
иб=—0,15 4-L/ein cos ioo/ В.
90
Контур в коллекторной цепи настроен в резонанс с час-
тотой подводимых колебаний, сопротивление контура при
резонансе 250 Ом (при коэффициенте включения 0,2). Оп-
ределить амплитуды напряжений на коллекторе, на конту-
ре и на базе, если известно, что постоянная составляющая
коллекторного тока равна 25 мА.
6.17. На базу транзистора резонансного усилителя
(рис. 6.4) подано гармоническое напряжение резонансной
частоты. Параметры контура: L = 100 мкГ; С — 400 пФ;
г = 10 Ом. Характеристика транзистора аппроксимиро-
вана ломаной прямой (рис. 6.5).
Определить величину смещения Еа и амплитуду сигнала
UQm, подведенного к базе, если известны максимальное зна-
чение коллекторного тока /км = 25 мА и амплитуда на-
пряжения на контуре Um = 50 В.
6.18. На сетку лампы резонансного усилителя подано
напряжение:
ис = — 20 -Н 10 (1 + 0,8 cos 5 • 104 () cos 1071 В.
Найти напряжение на аноде лампы, считая, что характе-
ристика аппроксимирована ломаной прямой (t/CH — —20 В,
5 = 2 мА/B). Параметры контура: <ор = 10 ’рад/с; сопро-
тивление при резонансе 12,5 кОм, эквивалентная доброт-
ность равна 50. Проницаемость лампы D — 0,02.
6.19. На сетку лампы резонансного усилителя подано
напряжение:
ис = — 20 -J- 20 cos (оо I В.
Характеристика лампы аппроксимирована ломаной пря-
мой (t/CH = —15 В, 5 = 4 мА/B), коэффициент усиления
лампы 60, напряжение источника анодного питания 900 В.
Определить, при каком значении резонансного сопротивле-
ния контура лампа будет работать на границе недонапря-
женного и перенапряженного режимов. Найти мощность,
отдаваемую контуру, мощность, рассеиваемую на аноде
и к. п. д. схемы в этом режиме.
6.20. В базовой цепи транзистора включен параллель-
ный контур, настроенный на частоту 200 кГц. Параметры
контура: резонансное сопротивление 1 кОм (при коэффи-
циенте включения 0,2), добротность 100. Как изменится
резонансное сопротивление и добротность, если напряжение
на базе будет равно
и0= -0,1 4-0,1 cos2n-2-106/ В?
91
Входная характеристика транзистора аппроксимирована
ломаной прямой (С/б„ = —0,15 В, |5'б| ----- 12,5 мА/В).
6.21. Схема цепи приведена на рис. 6.6. Зависимость тока
в ветви, содержащей нелинейное сопротивление, от напря-
жения на входе (клеммы АВ)
задана уравнением
j = 2-|-3«4-0,2u8 мА.
К зажимам АВ приложено
гармоническое напряжение, ам-
плитуда которого равна 6 В, а
частота 2 МГц. На контуре вы-
деляется напряжение удвоенной
частоты. Параметры схемы:
Л1 = 0,5 мкГ; Lt = 40 мкГ,
Qz = 40.
Определить емкость конденсатора и напряжение на кон-
туре. Сопротивления, вносимые в контур, не учитывать.
6.22. Контур резонансного усилителя настроен на
третью гармонику напряжения, поданного на базу тран-
зистора и равного:
и6 = —0,05 + 0,15 coslO’/ В.
При этом емкость контура 200 пФ, дробротность 100, коэф-
фициент включения в коллекторную цепь 0,2. Характерис-
тика транзистора приведена на рис. 6.5. Найти мощность,
отдаваемую контуру.
6.3. ПОЛУЧЕНИЕ МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИЯ
6.23. Характеристика лампы аппроксимирована сте-
пенным рядом:
«а = 10 + 2,5 (ис — ис0) + 0,5 (wc — ис0)г мА.
В сеточной цепи действует напряжение
чс = —10+ 10cos2n-108/ + 5cos2n-10</ В.
В анодной цепи включен контур, настроенный на частоту
100 кГц и обладающий резонансным сопротивлением
10 кОм и добротностью 50. Внутреннее сопротивление лампы
10 кОм.
Построить в масштабе спектральные диаграммы напря
жения на сетке, анодного тока и напряжения на аноде.
Реакцией анода пренебречь.
92
6.24. Характеристика лампы резонансного усилителя
изображена на рис. 6.7. К сетке лампы приложено напря-
жение
и^= —3 4-2cos 103/4-0,1 cos 10е/ В.
Изобразить характер временной» диаграммы напряжения
на контуре, включенном в анодной цепи и настроенном на
частоту 10е рад/с.
6.25. Характеристика лампы резонансного усилителя
приведена на рис. 6.8. Участки ab и Ьс характеристики яв-
ляются квадратичными параболами. Изобразить характер
временных диаграмм анодного тока и напряжения на аноде,
если на сетку лампы подано напряжение:
а) ыс=—54-2cos/4-3cosQ/ В,
б) ие = — 2,5 4-1 cosw0/4- l,5cosQ В;
в) wc = —7,5 4-1 cos (i>0 /4-1-5 cos Q/ В.
Контур в анодной цепи настроен на частоту ы0 (<о0 >
» Q).
6.26. В схеме амплитудной сеточной модуляции высо-
кочастотное напряжение, подаваемое на сетку, имеет ампли-
туду 20 В. Характеристика лампы аппроксимирована ло-
маной прямой (t/CH = —30 В, S — 2 мА/B). Найти преде-
лы линейного участка модуляционной характеристики.
6.27. На базу транзистора подано напряжение высокой
частоты с амплитудой 0,1 В, напряжение низкой частоты
с амплитудой 0,05 В и смещение —0,15 В. Характеристика
транзистора приведена на рис. 6.5. Найти коэффициент мо-
дуляции первой гармоники коллекторного тока.
6.28. В схеме сеточной модуляции используется лампа,
характеристика которой аппроксимирована ломаной пря-
93
мой (UCK = —30 В, S = 2 мА/B); проницаемость лампы рав-
на нулю. На сетку лампы подано высокочастотное напряже-
ние с частотой 1 МГц, амплитудой 20 В и модулирующее
напряжение с частотой 5 кГц. Контур в анодной цепи на-
строен на несущую частоту н имеет резонансное сопротив-
ление 20 кОм и добротность 40. Амплитуда напряжения
на контуре меняется по гармоническому закону в пределах
от 60 до 340 В. Найти амплитуду модулирующего напряже-
ния и величину постоянного смещения на сегке.
6.29. Вывести уравнение модуляционной характерис-
тики li = если вольтамперная характеристика не-
линейного сопротивления задана степенным рядом:
i = b9-\-biu + b2ul мА,
а напряжение, приложенное к нелинейному сопротивлению,
равно
u = l/mcosa>0/Н-1/qcosQ/ В.
6.30. Какие члены степенного ряда должна содержать
характеристика нелинейного сопротивления, чтобы про-
исходила модуляция с одновременным подавлением несу-
щей частоты?
6.31. Возможна ли амплитудная модуляция в схеме,
содержащей нелинейное сопротивление, характеристика
которого задана уравнением
t = fc>0 + £>! ^ + д3 и3,
причем рабочая точка соответствует и = 0?
6.32. На нелинейное сопротивление подаются напряже-
ния с частотами 1 МГц и 5кГц и амплитудами 5 и 3 В соот-
ветственно. Вольтамперная характеристика задана урав-
нением
1’4-15+ 1,5(м—£/о) + 0,1 (« —[70)г мА,
где Uo — постоянное смещение. Определить коэффициент
модуляции первой гармоники тока и амплитуды составляю-
щих несущей и боковых частот.
6.33. К нелинейному сопротивлению приложено на-
пряжение
и =—3 4-1,5cosQ/+ 0,5cosы0/ В.
Вольтамперная характеристика аппроксимирована следу-
ющим выражением:
Z — 2 (« + 6)2 мА, —6 В.
94
Найти коэффициент модуляции первой гармоники тока
и амплитуды составляющих несущей и боковых частот.
6.34. Схема модулирующего устройства изображена на
рис. 6.9. Зависимость тока в цепи от напряжения на зажи-
мах АВ задана уравнением
Z = би + 0,12и2 мА.
Напряжение на зажимах генератора
rt имеет частоту 4 МГц, напряжение
на зажимах генератора Г, — частоту
300 Гц. Найти амплитуду напряже- и
ния на зажимах генератора Г,, при
которой коэффициент модуляции пер- 1
вой гармоники тока равен 10%.
Какими свойствами должен обладать
фильтрующий элемент Ф, который
производит выделение модулирован-
ных колебаний?
6.35. Схема модулирующего устройства приведена на
рис. 6.6. Зависимость тока в цепи от напряжения задана
уравнением
i = 8u + 0,25u2 мА.
На вход подаются напряжения несущей частоты 1 МГц
и звуковой частоты 2 кГц с амплитудами 10 и 4 В соответст-
венно. Найти коэффициент модуляции первой гармоники
тока в цепи нелинейного сопротивления и коэффициент мо-
дуляции напряжения на контуре, а также емкость конден-
сатора контура. Параметры схемы: L. = 100 мкГ; Q, =
— 200; М. = 5 мкГ. Сопротивления, вносимые в контур,
не учитывать.
6.36. Характеристика лампы при ис —27 В задана
степенным рядом:
/8 = 100+5ис+0,05 мА.
На сетку лампы подано напряжение
u0 = — 10-|-5cos4-10*/ + 5cos 10’Z В.
В анодной цепи включен контур, настроенный на частоту
107 рад/с. Найти коэффициент модуляции первой гармоники
анодного тока. Определить, при какой добротности контура
коэффициент модуляции напряжения на контуре будет от-
личаться от коэффициента модуляции тока не более чем на
10%. Реакцию анода не учитывать.
95
6.37. На сетки ламп ба-
лансного модулятора, изобра-
женного на рис. 6.10, поданы
напряжения
ис i,i = — 5 + 2 cos 1041 ±
± 1 cos 1O’1 B.
Характеристики ламп оди-
наковы и аппроксимируются
следующим выражением:
/а =2(uc + 10)2 мА,
мс> —10 В.
Параметры контура: <i>p = 10’ рад/с; Rp = 10 кОм; Q =
= 100.
Изобразить временные диаграммы анодных токов обеих
ламп и напряжения на контуре. Найти аналитическое вы-
ражение напряжения на контуре. Реакцию анода не учи-
тывать.
6.4. ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
6.38. Характеристика нелинейного сопротивления, ис-
пользуемого в схеме детектирования, аппроксимируется
полиномом:
i = a0 + a,(w —L/0)4-a2(w —//0)2 А.
Найти уравнение характеристики детектирования.
6.39. Объяснить, почему детектирование амплитудно-
модулированного колебания с подавленной боковой час-
тотой
и = U т cos ю01 + cos (<о0—Q) t
приведет к появлению составляющей модулирующей часто-
ты Й.
6.40. Объяснить, почему детектирование амплитудно-
модулированного колебания с подавленной несущей
и = Um cos Q/ cos (oo I
не может привести к появлению модулирующей частоты Q.
6.41. Как изменяется угол отсечки тока диода в схеме
рис. 6.11 с изменением сопротивления R от нуля до беско-
96
вечности? Характеристика диода аппроксимирована лома-
ной прямой (Un = 0).
6.42. До какого напряжения зарядится конденсатор С
в схеме рис. 6.12? Вольтамперная характеристика диода
аппроксимирована ломаной прямой (UB = —1 В, S =
= 1 мА/B), амплитуда гармонической э. д. с. равна 5 В.
Рис. 6.11.
Рис. 6.12.
6.43. На нагрузке детектора (рис. 6.13) необходимо по-
лучить напряжение звуковой частоты с амплитудой 1 В при
коэффициенте модуляции входного напряжения 40%. Оп-
ределить, какова должна быть амплитуда несущей частоты
модулированного напряжения, поданного на входные клем-
мы детектора. Характеристика диода аппроксимирована
ломаной прямой (Uп = 0, S = 2 мА/В).
Рис. 6.13.
Рис. 6.14.
6.44. На рис. 6.14 изображена схема, применяемая для
измерения напряжения сверхвысоких частот. Здесь Д —
кристаллический детектор, А — микроамперметр постоян-
ного тока, по показаниям которого определяют напряжение
на зажимах А©. Характеристика детектора задана уравне-
нием
/ = 0,5 м-}-0,5 и2 мА.
Объяснить назначение всех элементов схемы, изобразить
схему прохождения постоянной и переменной составляю-
щих тока и вывести уравнение градуировочной кривой при-
4 з*# »«« 97
бора для значений амплитуд приложенного напряжения
0,05—0,5 В.
6.45. Определить сопротивление нагрузки диодного
детектора и амплитуду напряжения звуковой частоты на
нагрузке, если известно, что угол отсечки равен 15°. На вход
детектора подано напряжение
и = 18(1 4-0,6cosQ0cosmo^ В.
Характеристика диода аппроксимирована ломаной пря-
мой (t/H = 0, S = 2 мА/В).
6.46. Подобрать величину сопротивления нагрузки диод-
ного детектора так, чтобы амплитуда напряжения звуко-
вой частоты на этой нагрузке была равной 6 В. На вход
детектора подано напряжение
и — 24 (Н- 0,5 cos Й/) cos <o01 В.
Характеристика диода та же, что и в задаче 6.45.
6.47. На вход параллельного диодного детектора
(рис. 6.15) подано модулированное по гармоническому за-
кону напряжение. Нарисовать временные диаграммы на-
пряжений и токов, указанных на рисунке, а также спект-
ральные диаграммы нВх> «с и 'д-
“с
Рис. 6.15.
Рис. 6.16.
6.48. Схема диодного детектора изображена на рис. 6.16.
В катушке L протекает ток, модулированный по амплитуде
двумя частотами: 500 Гц и 2,5 кГц. Коэффициенты модуля-
ции одинаковы и равны 0,5. Амплитуда составляющей тока
несущей частоты равна 0,7 мА. Найти частоты и амплитуды
составляющих напряжения на сопротивлении /?. Характе-
ристика диода аппроксимирована ломаной прямой (U„ =
= 0; S = 2,5 мА/B). Параметры схемы: L = Lr = 1,25 мГ;
М = 25 мкГ; С\ = 400 пФ; rt = 12,5 Ом; С = 200 пФ-
/? = 0,4 МОм.
6.49. Схема диодного детектора изображена на рис. 6.16.
В катушке Ц контура наводится э. д. с. резонансной часто-
98
ты с амплитудой 0,2 В. Определить напряжение на сопро-
тивлении R. Характеристика диода та же, что в задаче 6.48.
Параметры схемы: Lt = 1,25 мГ;^ = 400 пФ; г, = 12,50м;
С = 200 пФ; R = 0,4 МОм.
6.50. Определить входное сопротивление последователь-
ного диодного детектора, если сопротивление нагрузки рав-
но 200 кОм, крутизна характеристики диода 2 мА/В.
6.51. Сравнить полосу пропускания и добротность конту-
ра в схеме рис. 6.16 с этими же параметрами контура, взя-
того вне схемы. Детектирование линейное, угол отсечки
мал. Параметры схемы взять из данных к задаче 6.49.
6.52. Диодный детектор связан с усилительным каска-
дом трансформаторной связью (рис. 6.17). На сетку усили-
тельной лампы подано амплитудно-модулированное коле-
бание:
е — 0,2(1 -f- 0,5 cos 2л • 10’Ocos 2л • 5 • 10е/ В.
Параметры контура усилителя: La = 318 мкГ; Са =318 пФ;
Qa -125. Крутизна усилительной лампы 2 мА/B, крутизна
диода 4 мА/B; М = 100 мкГ; L = 318 мкГ; R = 100 кОм.
Рис. 6.17.
Определить величину емкости С, напряжение в точке
А относительно «земли» и показания магнитоэлектрическо-
го микроамперметра. Сопротивление конденсатора Ср на
звуковой частоте считать бесконечно малым, внутреннее
сопротивление усилительной лампы — бесконечно боль-
шим.
6.53. Схема диодного детектора изображена на рис. 6.18.
К детектору приложено амплитудно-модулированное на-
пряжение
е= 12,5(1 4-0,465со$2л-103l)cos2n-5-Ю51 В.
Определить показания магнитоэлектрического микро-
амперметра при включенной емкости и при С — 0. Как бу-
4* 99
дет изменяться напряжение о
точке А относительно «земли»,
если емкость изменясь от нуля
до бесконечности (дать качест-
венную зависимость)? До какого
напряжения зарядится конден-
сатор С, если сопротивление
нагрузки отключить? Парамет-
ры схемы: Un = 0; 5 = 4 мЛ/В;
/? = 100 кОм.
Рис. 6.18.
6.54. Постоянную составляющую выпрямленного напря-
жения в схеме, рассмотренной в задаче 6.53, измеряют с по-
мощью вольтметра постоянного тока (шкала 25 В при токе
500 мкА на всю шкалу). Что покажет прибор? Какова отно-
сительная погрешность измерения?.
6.55. На сетку лампы подано высокочастотное напряже-
ние с амплитудой 1 В и напряжение смещения £/с0 = —6 В.
Определить изменение постоянной составляющей анодного
тока после включения высокочастотного напряжения. В ра-
бочей точке характеристика лампы аппроксимируется по-
линомом
= 2,2 + 1,55 (uc — t/c0) + 0,35 (ue - t/c0)2 мА.
Реакцию анода не учитывать.
6.56. Характеристика лампы анодного детектора ап-
проксимирована степенным рядом:
«а = 20 + 5 (и6 — Uc0) + 1 (ис — исй)г мА.
На сетку лампы подано напряжение
Мс = ^со + 0->(> + 0,6 cos 103/) cos 10’/ В.
Определить параметры нагрузки, при которых амплитуда
полезного сигнала равна 0,1 В, и коэффициент нелинейных
искажений. Реакцией анода пренебречь.
6.57. На вход сеточного детектора (рис. 6.19) подано
напряжение
е = 0,8(1 +0,8 cos 10* /) cos 10е/ В.
Найти параметры схемы (R, С, Ra, Са), если известно, что
крутизна анодно-сеточной характеристики лампы 8 мА/В,
100
Рис. 6.19.
крутизна характеристики сеточного тока 0,5 мА/B. Вход-
ное сопротивление детектора должно быть равным 100 кОм,
амплитуда напряжения звуковой частоты на выходе 20 В.
Реакцию анода не учитывать.
6.5. ТЕОРИЯ КОМБИНАЦИОННЫХ ЧАСТОТ
6.58. Характеристика нелинейного сопротивления ап-
проксимирована степенным рядом:
i = а0 4- at (и — Uo) + а. (и —1/0)2 -Из (u—U0)3 4-
+ а, (м —1/0)*.
К нелинейному сопротивлению приложено напряжение
u — Uu-i U, cos (со, / + 4Fi) +t/2cos(ti)2Z 4- фг).
Найти амплитуду составляющей тока с частотой •
6.59. Характеристика нелинейного сопротивления ап-
проксимирована степенным рядом:
i = ah+at(u— Uo) 4- аг (u — U0)2 4- at (u—U0)\
К нелинейному сопротивлению приложено напряжение
и = 1/0 4- Щ cos о)| 14- U, cos <о.2t.
Найти частоты всех составляющих тока.
6.60. Характеристика нелинейного сопротивления ап-
проксимирована степенным рядом:
i = b0 + blu + b3u3.
К нелинейному сопротивлению приложено напряжение:
а) и = Ut cos 10е t 4- Uг cos 1051,
б) и = Uо 4- Ui cos 10е 14- U2 cos 10® t.
Определить частоты составляющих тока, протекающего че-
рез нелинейное сопротивление в обоих случаях.
101
6.61. Характеристика нелинейного сопротивления ап-
проксимирована степенным рядом:
/= 10 + 2,5(ы —10) + 0,01(а—10):' мА.
К нелинейному сопротивлению приложено напряжение
и= 10+lOcos 105/ + 5cos 104 В.
Построить спектральную диаграмму тока, протекающего
через нелинейное сопротивление.
6.62. К нелинейному сопротивлению, характеристика
которого аппроксимирована уравнением
1 = 0,6 и+ 0,09+ мА.
подводятся одновременно три гармонических напряжения
с частотами 500,4; 500 и 499,6 кГц с амплитудами 0,1; 0,4
и 0,1 В соответственно. Построить спектральную диаграм-
му тока, протекающего через нелинейное сопротивление.
6.63. Характеристика нелинейного сопротивления ап-
проксимирована степенным рядом:
i= 10+ 2,5 (u —t/o) + 0,5(n — Uo)2 мА.
К нелинейному сопротивлению приложено напряжение
м = (/„ + 10(1 + cos 104/)cos 105/ В.
Построить спектральную диаграмму тока, протекающего
через нелинейное сопротивление.
6.64. Характеристика нелинейного сопротивления ап-
проксимирована степенным рядом:
i = b0 + Ьх и + Ьг и2 + Ьа и3 + и* мА.
К нелинейному сопротивлению приложено напряжение
и = Uo -Г Ut cos coj t + иг cos <o21 B.
Определить, при каком смещении t/0 в токе будут отсутство-
вать комбинационные частоты <ох ± 2w2.
6.65. Характеристика нелинейного сопротивления ап-
проксимирована степенным рядом:
i = 200 + 20н + 1.5 и2 + 0,05 и3 мА.
К нелинейному сопротивлению приложено напряжение:
а) и = 10 cos 10е/ + 5 cos 10s/ В;
б) и = —10 + 10 cos 10е/ + 5 cos 10s/ В.
Построить в масштабе спектральные диаграммы тока, про-
текающего через нелинейное сопротивление в обоих слу-
чаях.
102
Глава 7
Автоколебания в нелинейных цепях
Основные обозначения и расчетные формулы
Условие самовозбуждения LC-автогенератора:
SZK (koa—D)> 1,
где S = Se"’8 — крутизна лампы или транзистора в рабо-
чей точке.
Здесь ZH = ZKe~'S — сопротивление контура; k00 —
коэффициент обратной связи; D — проницаемость лампы
или транзистора; у транзисторов проницаемость D 1
и в большинстве случаев ею можно пренебречь;
*oc-D = |*oc-D|e'V
Условия баланса амплитуд и баланса фаз в автогенераторе:
5Срги|Лое-О|= 1. ф4 + фк—0 = 0,
где Scp — средняя крутизна лампы (транзистора) по пер-
вой гармонике (Scp = /al/Uc для лампы и <Scp = IHl/Uа
для транзистора).
Коэффициент обратной связи для автогенератора с транс-
форматорной связью (рис. 7.1 и 7.10)
А _ jwM ____ М
°с й[ ~ /•+ ~ Т ’
где М — взаимная индуктивность между контурной катуш-
кой и катушкой обратной связи; L — индуктивность кон-
турной катушки; г — активное сопротивление контурной
катушки.
Коэффициент обратной связи трехточечной схемы
(рис. 7.9) равен
ь -2L - _ **
rtoc , •
Х| хг хя
Полоса захватывания при введении внешней э. д. с. Е
в цепь обратной связи:
103
где L/M — амплитуда колебаний генератора в цепи обрат-
ной связи.
Полоса захватывания при введении внешней э. д. с. Е
в колебательный контур:
Дю = а) ,
р
где UK — амплитуда колебаний в контуре.
Частота колебаний в 7?С-автогенераторе с фазосдвигаю-
щими цепочками (рис. 7.15) равна ai0 = ^-, в автогенера-
/\ С.
торе вида рис. 7.18 о>0 = _ (если фазосдвпгающие це-
) 6 RC
почки одинаковы); коэффициент обратной связи koC =
= 1/29.
Частота колебаний /?С-генератора, собранного по
схеме рис. 7.16, а>0 = —= — , коэффициент обратной
) R iR%C
связи
1 + Ri/Rt Ч-бг/Ci
Условие самовозбуждения автогенератора с нелинейным
сопротивлением, имеющим спадающий участок вольтампер-
ной характеристики: | rt | < Rp, где rt — отрицательное
динамическое сопротивление нелинейного элемента в рабо-
чей точке.
7.1. ДС-АВТОГЕНЕРАТОРЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Рис. 7.1.
7.1. Найти минимальную взаимную индуктивность М,
при которой наступит самовозбуждение автогенератора
гармонических колебаний, изображенного на рис. 7.1. Па-
раметры контура: L = 500 мкГ;
С = 2000 пФ; г = 50 Ом; пара-
метры лампы в рабочей точке:
р = 20; S = 1 мЛ/В.
7.2. Схема автогенератора
гармонических колебаний при-
ведена на рис. 7.1. Резонансная
частота контура генератора
800 кГц, добротность Q = 50,
емкость конденсатора контура
С = 500 пФ, взаимная индук-
104
тивность М = 5 мкГ. Определить крутизну характеристики
лампы, при которой будет обеспечено самовозбуждение
автогенератора для случаев:
а) если реакцией анода можно пренебречь;
б) если реакцией анода пренебречь нельзя (р. = 18).
7.3. Схема автогенератора гармонических колебаний
приведена на рис. 7.1. Коэффициент усиления лампы р =
= 100, ее характеристика задана уравнением
ia = 25 4- 6«с + 0,5 и*—0,1 ис мА.
Смещение на сетку Ес = —2 В. Параметры контура: L =
= 100 мкГ; С — 400 пФ; Q = 100. Определить значение
взаимной индуктивности М, при которой произойдет само-
возбуждение.
7.4. Схема автогенератора гармонических колебаний
приведена на рис. 7.1, его колебательная характеристика —
на рис. 7.2 (по оси абсцисс отложены амплитудные значения
управляющего напряжения).
Добротность контура Q = 40,
резонансная частота 800 кГц,
характеристическое сопротив-
ление 250 Ом. Проницаемость
лампы 0 = 1%. Определить
критическое значение взаим-
ной индуктивности, при ко-
тором происходит самовоз-
буждение, и амплитуду ста-
ционарных колебаний на кон-
туре и на сетке при
Л4 = Л1кр4-ДЛ4 (ДЛ4«Л/кр).
Рис. 7.2.
7.5. Схема автогенератора гармонических колебаний
приведена на рис. 7.1. Параметры контура: L = 500 мкГ;
С — 500 пФ; г = 20 Ом. Определить, будет ли отличаться
частота генерируемых колебаний от резонансной частоты
контура. Реакцией анода и фазой крутизны лампы пре-
небречь.
7.6. Схема автогенератора гармонических колебаний
приведена на рис. 7.1, его статическая колебательная ха-
рактеристика — на рис. 7.2. (по оси абсцисс отложены
амплитудные значения напряжения на сетке). Резонансное
сопротивление контура Rp = 5 кОм, проницаемость лампы
D = 0,025. Определить, при каком значении коэффициента
105
обратной связи амплитуда
первой гармоники анодно-
го тока равна 17,5 мА.
7.7. Схема автогенера-
тора гармонических коле-
баний приведена на рис.7.1,
его статическая колебатель-
ная характеристика — на
рис. 7.3 (по оси абсцисс
отложены амплитудные
значения напряжения на
сетке). Параметры схемы:
С = 580 пФ; Л1 = 12мкГ;
частота генерации 500 кГц; добротность контура Q = 40;
проницаемость лампы D = 0,025. Определить среднюю
крутизну Sep и амплитуду напряжения на сетке и на аноде
в установившемся режиме.
7.8. Статическая характеристика лампы автогенератора,
изображенного на рис. 7.1, задана уравнением
i„= 13 + 2(нс—t/c0) 4-O,004(«c—i/cO)3 —
—1,6-10~5(мс—ис0)* мА.
Добротность контура Q = 40, резонансное сопротивление
2 кОм, резонансная частота 400 кГц. Построить графики
зависимости средней крутизны от амплитуды управляющего
напряжения и амплитуды напряжения на контуре от взаим-
ной индуктивности М, а также указать режим автогенера-
тора (мягкий или жесткий). Реакцию анода не учитывать.
7.9. Статическая характеристика лампы автогенерато-
ра, изображенного на рис. 7.1, задана уравнением
i, = 8+1,3(ue-t/co)+0,15 (Ue-1/co)1 -0,004 (ис-Ueoy мА,
коэффициент усиления лампы р. = 100. При установившемся
режиме колебаний амплитуда напряжения на сетке равна
9 В, а па аноде 100 В. Определить при этом режиме ампли-
туду первой гармоники анодного тока и среднюю крутизну,
а также эквивалентное сопротивление контура и коэффи-
циент обратной связи. Построить зависимость средней кру-
тизны от амплитуды управляющего напряжения.
7.10. Схема автогенератора гармонических колебаний
приведена на рис. 7.1. Резонансное сопротивление контура
106
генератора Rp = 12 кОм, коэффициент обратной связи
&ос — 5%. Характеристика лампы задана уравнением
/а = 24-Зис+ 0,15м£ мА.
Проницаемость лампы D = 0,01. Определить величину сеточ-
ного смещения, соответствующего границе самовозбужде-
ния генератора.
7.11. Схема автогенератора приведена на рис. 7.1.
Коэффициент обратной связи kw = 7,5%, крутизна харак-
теристики лампы в рабочей точке 5 = 2 мА/B, коэффициент
усилении р = 20. Переменное нагрузочное сопротивление
г включено в ветвь контура генератора. Индуктивность ка-
тушки контура L = 0,2 мГ, емкость конденсатора С =
= 800 пФ. Найти частоту генерируемых колебаний и ука-
зать предельнее значение г, при котором колебания в гене-
раторе сорвутся. Собственные потери в элементах контура
считать ничтожно малыми.
7.12. Схема автогенератора приведена на рис. 7.1. Ре-
зонансное сопротивление контура генератора 7?р = 8,5 кОм.
Характеристика лампы, аппроксимированная отрезками
прямых, изображена на рис. 7.4 (А — рабочая точка).
Приближенным графическим методом построить колеба-
тельную характеристику и зависимость средней крутизны
от амплитуды управляющего напряжения, а также опреде-
лить амплитуду стационарных колебаний в контуре, если
коэффициент обратной связи kac =0,1, коэффициент уси-
ления лампы р = 20.
7.13. Индуктивная трехточка (рис. 7.5) собрана на трио-
де с крутизной 5 = 1,6 мА/B Коэффициент усиления лампы
р — 50. Самовозбуждение генератора происходит на часто-
те 300 кГц. Емкость конденсатора контура С = 600 пФ,
сопротивление потерь контура г = 39 Ом. Найти величины
индуктивностей Ll и Lt, при которых коэффициент обрат-
107
ной связи на 3,5% больше критического. Взаимной индук-
тивностью между ними пренебречь.
7.14. При каком значении напряжения смещения в схе-
ме, изображенной на рис. 7.5, могут самовозбудиться коле-
бания? Зависимость крутизны лампы от смещения изображе-
на на рис. 7.6. Коэффициент усиления лампы ц = 20. Па-
раметры схемы. Lt = 800 мкГ; = 200 мкГ; С — 1000 пФ;
сопротивление потерь кон-
тура г = 50 Ом.
Рис. 7.7.
7.15. Рассчитать элементы схемы автогенератора, изо-
браженного на рис. 7.7. Частота генерации 600 кГц, индук-
тивность контура L = 140 мкГ, добротность Q = 100. Па-
раметры лампы в рабочей точке: S = 1 мА/B; р. = 20. При
расчете принять, что коэффициент обратной связи должен
быть па 50% больше критического.
7.16. Емкостная трехточка (рис. 7.7) собрана на триоде
с крутизной S = 1,6 мЛ/В. Коэффициент усиления лампы
р = 20. Самовозбуждение генератора происходит на час-
тоте 300 кГц. Емкость С] = 4000 пФ, С2 = 400 пФ. Опреде-
лить индуктивность катушки контура, коэффициент обрат-
ной связи, а также указать, при
каком значении сопротивления по-
терь колебания сорвутся.
7.17. Найти условия самовоз-
буждения автогенератора, изобра-
1 женного на рис. 7.8. При выводе
условий самовозбуждения считать
внутреннее сопротивление лампы
£а равным бесконечности, проницае-
мость D = 0, а также пренебречь
сеточными токами.
108
7.18. Схема автогенератора изображена на рис. 7.9.
Частота генерации 400 кГц, коэффициент обратной связи
koV — 0,1. Найти параметры элементов контура, если из-
вестно, что на частоте генерации сопротивление х3 =
= —2200 Ом.
7.19. Схема автогенератора приведена на рис. 7.10, ста
тическая характеристика зависимости коллекторного тока
транзистора от напряжения на базе — на рис. 7.11. Пара-
метры контура: L=500 мкГ;
С = <500 пФ; Q = 50; коэф-
фициент включения контура
в коллекторную цепь р = 0,1.
Выходное сопротивление
транзистора равно 5 кОм.
Найти минимальную вза-
имную индуктивность М, при
которой произойдет самовоз-
буждение колебаний, если
напряжение смещения на базе
равно —0,4 В. Влиянием
входного сопротивления тран-
зистора пренебречь.
7.20. Схема автогенератора
приведена на рис. 7.10, ста-
тическая характеристика транзистора — на рис. 7.11. Па-
раметры контура: L = 100 мкГ; С = 400 пФ; Q = 80; коэф-
фициент включения контура в коллекторную цепь р = 0,1;
взаимная индуктивность М = 5 мкГ.
Определить, при каком напряжении смещения на базе
произойдет самовозбуждение колебаний в генераторе. Влия-
нием входного и выходного сопротивлений транзистора
пренебречь.
109
7.21. Схема автогенератора приведена на рис. 7.10. Ста-
тическая характеристика коллекторного тока транзистора
аппроксимируется выражением
где /иО = 80 мкА, а=12 В-'. Параметры контура генера-
тора: L — 100 мкГ; С = 100 пФ; сопротивление потерь
г — 10 Ом; коэффициент включения в коллекторную цепь
р =? 0,1.
Построить колебательную характеристику генератора
при напряжении смещения на базе — 0,3 В и указать режим
работы генератора (мягкий или
жесткий).
7.22. На рис. 7.12 приведена
колебательная характеристика
автогенератора, изображенного
на рис. 7.10. При малых U6 ко-
лебательная характеристика ап-
проксимируется выражением
[/к = 411(Ю(/б) В,
0,3 /у
Рис. 7.12.
где Цх) — модифицированная
функция Бесселя.
Определить, при каком значении взаимной индуктив-
ности Л1 в автогенераторе возникнут колебания и какая
при этом будет амплитуда стационарных колебаний в кон-
туре генератора. Параметры контура: L = 500 мкГ; С —
— 500 пФ; Q = 50; коэффициентт включения контура
в коллекторную цепь р — 0,1.
7.23. Определить, насколько частота колебаний тран-
зисторного автогенератора отличается от резонансной час-
тоты контура, если фаза крутизны <р, = 25°. Параметры
контура: L — 80 мкГ; С =
— 320 пФ; Q = 50. Влиянием
входного сопротивления тран-
зистора пренебречь.
7.24. Схема автогенератора
с емкостной связью приведена иг
на рис. 7.13. Параметры колеба-
тельной системы: С] = 50 пФ;
С, = 200 пФ; С3 = 5000 пФ; L
L = 60 мкГ. Определить, при
Рис. 7.13.
НО
какой крутизне характеристики транзистора произойдет
самовозбуждение колебаний. Выходное сопротивление
транзистора 7 кОм. Влиянием входного сопротивления
транзистора пренебречь.
7.25. Схема автогенератора приведена на рис. 7.13.
Определить значения параметров контура генератора С9
и L, обеспечивающие выполнение условия самовозбуждения
с запасом в 2 раза при частоте генерации 1 МГц. Параметры
схемы: С\ = 100 пФ; Сг — 400 пФ; добротность контура
Q — 40; крутизна характеристики транзистора в рабочей
точке S = 50 мА/B. Влиянием входного и выходного сопро-
тивлений транзистора пренебречь.
7.26. Статическая характеристика лампы автогенера-
тора, собранного по схеме рис. 7.1, аппроксимирована вы-
ражением ia = 8 + 1,3(uc — Uc0) + 0,15(uc — Ucoy —
— 0,004(ыс — Uсо)3 мА. Параметры контура: L = 150 мкГ;
С = 1200 пФ; Q — 30. Взаимная индуктивность между ка-
тушками М — 12 мкГ. Определить, за какое время после
включения источника анодного напряжения амплитуда ко-
лебаний в контуре достигнет 0,9 от установившегося зна-
чения, если амплитуда случайных колебаний в контуре в мо-
мент включения 0,01 В. Реакцией анода пренебречь.
7.27. Решить задачу 7.26 при условии, что добротность
контура Q = 80. Определить время затухания колебаний
в контуре при выключении анодного напряжения.
7.28. Найти ширину полосы захватывания при включе-
нии в цепь сетки автогенератора, изображенного на рис. 7.1,
синусоидальной э. д. с. с амплитудой 0,1 В. Амплитуда
напряжения на контуре при отсутствии захватывающей
э. д. с. равна 100 В, резонансная частота контура 5 МГц,
добротность Q = 100, коэффициент обратной связи koC =
= 0,02.
Как изменится ширина полосы захватывания, если эта
же э. д. с. будет включена в контур?
7.29. Амплитуда первой гармоники анодного тока лампы
автогенератора, изображенного на рис. 7.1, /а1 = 1,5 мА.
Параметры контура, включенного в анодной цепи, следую-
щие: L = 1 мГ; С = 1000 пФ; г = 10 Ом. Вычислить ам-
плитуду внешней э. д. с., действующей в контуре, мини-
мально необходимую для захватывания частоты при отно-
сительной расстройке А///о = 0,1%.
7.30. При отсутствии внешней э. д. с. амплитуда напря-
жения на сетке автогенератора (см. рис. 7.1) равна 10 В.
Определить наибольший возможный сдвиг фаз между первой
111
гармоникой анодного тока и напряжением на контуре, если
амплитуда захватывающей э. д. с., включенной в цепь сетки,
равна I В. Может ли произойти захватывание, если при этом
частота внешней э. д. с., отличается от частоты генерации
на 0,1 %? Добротность контура автогенератора Q = 100.
7.2. ЯС-АВТОГЕНЕРАТОРЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.
АВТОГЕНЕРАТОРЫ С НЕЛИНЕЙНЫМ ДВУХПОЛЮСНИКОМ,
ОБЛАДАЮЩИМ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
7.31. Определить частоту колебаний, генерируемых «сим-
метричным» (кольцевым) трехкаскадным /?С-автогенерато-
ром гармонических колебаний (рис. 7.14), если RC = 4 мс,
/?а » /?•
Рис. 7.14.
7.32. Схема RC -автогенератора гармонических колеба-
ний изображена на рис. 7.15, С = 800 пФ. Подобрать вели-
чины Ra и R так, чтобы схема генерировала колебания с ча-
стотой 1950 Гц.
Параметры лампы в рабочей точке: S = 2 мА/B; D =
= 0,01.
7.33. Схема /?С-автогенератора изображена на рис. 7.16.
Найти частоту генерируемых колебаний и сформулировать
Рис. 7.16.
Рис. 7.16.
112
требования, предъявляемые к усилителю. Параметры схемы:
Rt = 0,5 МОм; Rt = 0,1 МОм; = 0,02 мкФ, С2 =>
= 0,04 мкФ.
7.34. Схема RC-автогенератора гармонических колеба-
ний приведена на рис. 7.17; частота генерации f0 =• 5 кГц.
Параметры схемы: Rt = R2 = 200 кОм; Ral = 20 кОм;
RK1 = 250 Ом; Ra2 = 3 кОм; RKi — 200 Ом; RB = 200 кОм;
Сн = 20 мкФ. Параметры ламп Л, и Лг в рабочих точках:
га = 8 кОм; щ = 20; rtt = 3,3 кОм; р2 = 8 (индексы «1»
относятся к лампе Ль индексы «2» — к Л2).
Определить остальные параметры схемы (С1( С2, Сс1,
Сс2). Постоянные времени разделительных RC-цепей долж-
ны быть равны 10 Т (Т = 1//0).
Рис, 7.17.
Рис. 7.18.
7.35. На рис. 7.18 приведена схема транзисторного
RC-генератора. Определить, выполняются ли в схеме усло-
вия самовозбуждения и найти частоту генерируемых коле-
баний. Параметры схемы: Rx = R2 = 25 кОм; R3 = Rt =
— 50 кОм; R6 = R, — 50 кОм; Re = 100 Ом; •= C2 —
= C3 = 1 мкФ; C4 = 100 мкФ. Коэффициент усиления по
току каждого транзистора
0 = 100.
7.36. Схема RC-генера-
тора гармонических коле-
баний приведена на
рис. 7.19. Параметры эле-
ментов схемы: Ri = 5 кОм;
Rt — Кз = Ю кОм; Ct =
= С2 = 0,1 мкФ. Входное
сопротивление транзистора
7\ 2 кОм. Найти частоту
генерируемых колебаний:
Рис. 7.19.
113
а) без учета входного сопротивления транзистора 7\;
б) с учетом входного сопротивления транзистора Г,.
7.37. При каком значении сопротивления потерь г кон-
тура произойдет самовозбуждение динатронного автогене-
ратора синусоидальных колебаний, изображенного на
рис. 7.20? Вольтамперная характеристика лампы приведена
на рис. 7.21. Параметры схемы: L = 10 мкГ; С — 2450 пФ;
£а = 75 В.
Рис. 7.20.
Рис. 7.21.
7.38. Определить амплитуду и частоту колебаний в ди-
натронном генераторе (см. рис. 7.20) при напряжении ис-
точника анодного питания £а = 70 В. Параметры контура:
L = 180 мкГ; С = 1000 пФ; г = 30 Ом. Вольтамперная ха-
рактеристика лампы приведена на рис. 7.21. Амплитуду
определять приближенным графическим методом.
7.39. Схема автогенератора на туннельном диоде при-
ведена на рис. 7.22. Параметры контура: L = 1,1 мкГ; С =
= 650 пФ; £ = 0,3 В. Определить добротность контура,
при которой возникнут колебания. Вольтамперная харак-
теристика туннельного диода
приведена на рис. 7.23.
7.40. Определить, при ка-
ких значениях напряжения
источника £ в схеме рис. 7.22
могут существовать колеба-
Рис. 7.22.
Рис 7.23.
114
ния. Параметры контура: L = 1,3 мкГ; С = 560 пФ; Q —
= 30. Вольтамперная характеристика туннельного диода
приведена на рис. 7.23.
7.41. Определить амплитуду и частоту колебаний, гене-
рируемых в схеме рис. 7.22, если L = 0,25 мкГ, С = 900 пФ,
Q = 22, Е = 0,3 В. Вольтамперная характеристика тун-
нельного диода приведена на рис. 7.23. Амплитуду опреде-
лять приближенным графическим методом.
Глава 8
Характеристика случайных процессов
Основные обозначения и расчетные формулы
Интеграл вероятности:
Ф(х) = —-U- f
К2я -ос
W(x) — плотность вероятности случайной величины х;
\Г(х, у) — совместная плотность вероятности случайных
величин х и у.
Средние значения:
х = \ xW (х) dx,
— оо
оо
ф(х)= J <f(x)W(x)dx.
— оо
оо оо
ху = J j ху W (х, у) dxdy и т. д.
— ОО —со
Для случайного процесса х(/):
х, = х
Корреляционная функция случайного процесса x(t):
115
Коэффициент корреляции
oc
Fx (co) = — \ Кж (т) cos сот dx,
n 0
oo
Kx(t) = j (co) cos cotc/ci),
где сп (0 = хг (/) — [х (/)]2—дисперсия.
Для стационарного случайного процесса x(t):
х = х(1), хт=х((+т),
Кх(т) = ^х-(7)2, Л,(Г) = ^, о2=Кх(0).
Ол
Теорема Винера — Хинчина:
ос*
5я(со) = J Кх(т)е-'®Мт,
— оо
ос
= J ЭДе'“Ш,
—• ОО
Оо оо
о, = — I 5Я (to) с/со = J Fx (co) da>, Sx (co) = nFx (co).
—сю 0
Энергетическая (эффективная) ширина спектра шума —
характеристика реального шума, численно равная основа-
нию прямоугольника, имеющего площадь, равную площади
под кривой Fx((o) (дисперсии aj), и высоту Fn]ai[:
оо
Дсо= —— (со) с/со.
*max о
Здесь Fmax — максимальное значение спектральной
плотности Ёя(<о).
Производная y(f) случайного процесса x(t) и ее характе-
ристики:
с/(О = -£х(/), =
at at
Kyih, tt) = ±±Kx(tv G).
б/l j 012
Если процесс x(t) стационарный, то y = 0,
Ku (T) = ~d^ Kx (T) = — Kx (T)>
o2= -K,(0)= -o2^x(0).
no
8.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
8.1. За отрезок времени dt с катода электронной лампы
вылетает в среднем n^dt электронов, где л, = const и не за-
висит от величины dt. Считая момент вылета каждого элект-
рона не зависящим от момента вылета любого другого элект-
рона, показать, что число вылетевших электронов п за отре-
зок времени Т распределено по закону Пуассона;
р (п)-12^2 ехр ( —п, Т).
Определить среднее число п вылетевших электронов и их
2
дисперсию ол.
8.2. При сохранении условий задачи 8.1 усредненный
за отрезок времени Т катодный ток лампы / = nq!T (q —
заряд электрона) является случайной величиной. Опреде-
лить среднее значение / = /0 и дисперсию о) этой случай-
ной величины.
8.3. Доказать, что некоррелированность нормальных
случайных величин означает их независимость.
п
8.4. Показать, что сумма х — 2 х* любого числа не-
4=1
зависимых нормально распределенных случайных вели-
чин xt, хг, ... всегда распределена нормально со средним
п п
значением х = 2 хк и Дисперсией о*= 2
4=1 4=1 л
8.5. Показать, что любая линейная комбинация неза-
висимых нормальных случайных величин распределена нор-
мально.
8.6. Показать, что сумма х = х, + х2 двух совмест-
но нормальных величин х{ и х2 распределена нормально
со средним значением х = х, + х2 и дисперсией
а’ =о;1+^2 + 2/?СТх1оГ1,
где 7? — коэффициент корреляции случайных величин
Х1 и х2.
8.7. Обобщить решение задачи 8.6 для суммы п совмест-
но нормальных случайных величин.
117
8.8. Случайные величины х и у связаны соотношением
у — ах + Ь. Показать, что
где Wy(y) и 1Гх(х) — плотности вероятности у и х соответст-
венно.
8.9. Пусть у = х2; показать, что
U7„ (у) = -i= [IT, (/У) + (- /у)]. (У > 0).
F У
Вычислить №,(«/), если х — нормальная случайная величи-
на.
8.10. Пусть у = Аа cos (<о01 + <р), где начальная фаза
ср равномерно распределена на интервале от —л до л, а со0/
и Ло — фиксированные величины. Показать, что
^(У) = v (|у|<|Л|).
л V а;-у2
8.11. Пусть у — A cos ((оо/ + ф), где начальная фаза <р
равномерно распределена на интервале от —л до л, А —
не зависящая от <р случайная амплитуда с распределением
Релея
»М> = £ехр(-£,), М>0).
Показать, что у — нормальная случайная величина с нуле-
вым средним значением и дисперсией а2.
8.2. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
8.12. Определить корреляционную функцию Kx(tt,
и дисперсию о2 случайного процесса x(t) = a cos соо/ 4-
+ b sin <в0Л где а и b — взаимно не коррелированные слу-
чайные величины с нулевым средним значением и с одина-
ковыми дисперсиями о2.
8.13. Определить корреляционную функцию Kx(tu Q
и дисперсию о{ случайного процесса
п
x(t)= 2 COS СОj I + bi siП <0 j /),
< = 1
118
где ct>{ — известные величины; а1( аг.ап, blt Л2, ...,bn —
взаимно независимые случайные величины со статистичес-
кими характеристиками:
а, = 6, = 0, а? = Ы = о*.
8.14. Определить корреляционную функцию Kx(f lt t2)
и дисперсию о? случайного процесса x(t) = X0cos(<o0/-b
+ Р), где Ао и <i)0 — известные величины, ар — случайная
начальная фаза, равномерно распределенная на интервале
от —л до л.
8.15. Определить корреляционную функцию Кх(/1(/2)
и дисперсию al случайного процесса x(l) = A cos(<iV + Р),
где <i)0 — известная величина, р — случайная начальная
фаза с равномерным распределением на интервале от —л до
л, А —случайная амплитуда, не зависящая от р, с извест-
ным средним квадратом Аг.
8.16. Определить корреляционную функцию Kx(tlt /2)
и дисперсию о* случайного процесса
*(0 = S cos (<о4 Z + pf),
i = 1
где — известные величины; Alt А2......Ап, рп р2.Рп —
взаимно независимые случайные величины. Начальные фазы
распределены равномерно на интервале от —л до л, сред-
ние квадраты Я? известны.
8.17. Найти корреляционную функцию Кх (/2, /2) и дис-
персию о? случайного телеграфного сигнала, т. е. случай-
ной функции х(/), которая может принимать два значения:
4-а и —а; число перемен знака функции подчинено закону
Пуассона с постоянной временной плотностью к. Рассмот-
реть два случая: а) а — известная величина, б) а — слу-
чайная величина с известным средним квадратом а2.
8.18. Определить среднее значение x(t), корреляционную
функцию Хх(/|, 4) и дисперсию ах пуассоновского потока
импульсов x(t) — /v), где F(t) — известная функция
V
с абсолютно интегрируемым квадратом, a tv — случайные
моменты времени, каждый из которых не зависит от любо-
го другого. Число моментов времени tv за отрезок времени
Т распределено по закону Пуассона с известным средним
значением X в единицу времени.
119
8.19. Нагрузкой лампового диода является параллель-
ная 7?С-цепь. Вычислить среднее значение u(t), корреля-
ционную функцию Кц(0, /2) и дисперсию напряжения на
/?С-цепи
V
Считать, что (/(/) формируется за счет пролета одного
электрона, время пролета каждого электрона считать очень
малым, моменты вылета электронов — независимыми. Пред-
полагается, что число вылетевших за отрезок времени Т
электронов распределено по закону Пуассона. Через диод
протекает ток /0.
8.20. Нагрузкой лампового диода является параллель-
ная RL-цепь. Вычислить среднее значение «(/), корреля-
ционную функцию 0) и дисперсию тока в индук-
тивной ветви
«•(0 = 2
V
Считать, что /(/) формируется за счет пролета одного
электрона, время пролета каждого электрона считать очень
малым, моменты вылета электронов — независимыми. Пред-
полагается, что число вылетевших за отрезок времени Т
электронов распределено по закону Пуассона. Через диод
протекает ток /0.
8.21. Определить корреляционную функцию Kt(tu /2)
и дисперсию о? простейшей модели дробового тока /(/). Ток
i(t) является пуассоновским потоком импульсов /(/) =
= tv), рассмотренным в задаче 8.18. Импульсы
V
F(t) считать очень короткими с площадью q, где q — заряд
электрона. Среднее значение тока <(/) = /0.
8.22. Найти функцию корреляции /2) сигнала
х (0 = Л (0 cos (а>0 / 4-ф),
где A(t) — случайный процесс с нулевым средним значе-
нием и корреляционной функцией KaUi, t2Y, <i)0 — постоян-
ная величина; <р — случайная начальная фаза с равномер-
ным распределением на интервале от —л до л, не зависящая
от А (0.
8.23. Случайные процессы х2(0 и х2(0 независимы,
имеют нулевые средние значения и функции корреляции
/<i(0, t2) и K2(Jlt 4) соответственно. Определить корреля-
.120
нионньте функции Ки, (6, tt) и Ки, (4. 4) для случайных про-
цессов:
У1(0 = oxi +
где а и b — неслучайные величины. Определить также взаим-
ную функцию корреляции Ку,у, (tlt t2).
8.3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
8.24. Пусть х(1) — нормальный случайный процесс с ну-
левым средним значением и корреляционной функцией
Kx(ti> 4),
где
Я (4. 4) = ехр(—а|4—41).
Записать одномерную плотность вероятности WX*i), дву-
мерную плотность вероятности W(xx, х2), а также условную
плотность вероятности W(x2lxi). Построить семейство кри-
вых при различных | 4 — tx |.
8.25. Случайный процесс х(/), рассмотренный в задаче
8.24, в момент времени tx принимает значение хх — ах.
Вычислить вероятность Р того, что в момент времени /2
процесс х(/) превысит величину Ь. Изобразить характер
зависимости Р от (4 — /,).
8.26. Найти одномерную №7хх) и двумерную F(xb х2)
плотности вероятности процесса
х (/) = a cos <оо 14- b sin w0I,
где сов — постоянная угловая частота, а и b — взаимно не-
зависимые нормальные случайные величины с нулевыми
средними значениями и дисперсиями оо2 = о2 = о2.
8.27. Найти одномерную ^(xj и двумерную и/(х1( х2)
плотности вероятности процесса
х (t) = А (0 cos со01 — В (t) sin <i)0 /,
где Д(/) и B(t) — независимые нормальные случайные про-
цессы с нулевыми средними значениями и функциями кор-
реляции
Ха (4.4) = Кв (4- 6) = о2е-«1‘«-'-!,
ь)0 — постоянная частота.
121
8.28. Найти одномерную И7(лг,) и двумерную W(x1,x2)
плотности вероятности процесса
Х(/) = Л0СО8 (ю0/ + Р),
где р — случайная равномерно распределенная начальная
фаза (—л < р < л).
8.29. Показать, что для условий задачи 8.28.
№(*1> .... *») = ---- ' " X
2л /Ло—*1
{п — I
П 4*л+1 — 4C0S (M4+i — /I) + arccos4L>)] +
*=.1 L \ ло /J
Л— 1
+ П 6
h+i — Л cos ( “о (6.+1 —4) — arccos )
\ /
где |хй|<|Л0|.
8.30. Найти одномерную плотность вероятности слу-
чайного процесса
х (/) = А (/) cos[<M4-(p(/)b
если одномерные плотности вероятности случайных функ-
ций Я(/) и ф(/) имеют вид
А>0;
№(<р) = —, —л<ф<л,
(о0 — постоянна; Л(/) и (р(0 — взаимно независимы.
8.4. СТАЦИОНАРНОСТЬ И ЭРГОДИЧНОСТЬ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
8.31. Доказать, что случайный процесс
х (0 = a cos со01 + b sin 1
является стационарным в широком смысле только в том
случае, когда случайные величины а и b взаимно некорре-
лированы, имеют нулевые средние значения и равные дис-
персии.
8.32. Доказать, что случайный процесс
х(/) = Acos(co0/4-(p)t
122
где /40 и ci)0 — неслучайные величины, стационарен в узком
смысле тогда и только тогда, когда случайная начальная
фаза ср распределена равномерно на интервале от —л до л.
8.33. Дан случайный процесс
*(/) = A cos (со014- ф),
где Ло и ю0 — постоянные величины, а <р — случайная ве-
личина, равномерно распределенная на интервале от —л
до л. Найти х(/) и Кх(т), учитывая эргодичность этого про-
цесса.
8.34. Дан случайный процесс
х(О = До sin (g)0 t + <р).
где и (Оо — постоянные величины; ф — нормальная слу-
чайная величина с ф = 0; o£ = 1. Найти х(/). Является
лих(/) стационарным процессом?
8.5. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
8.35. Вычислить энергетический спектр Ах(со) случай-
ного телеграфного сигнала х(0, функция корреляции кото-
рого равна
Кх (т) = оI 2ге“2Х1 Ч
8.36. Вычислить энергетический спектр F (to) пуассо-
новского потока импульсов F(t) со средней скоростью X.
8.37. Определить энергетический спектр АД со) дробового
тока i(t), функция корреляции которого равна
=<?/06(т).
8.38. Определить энергетический спектр, если
К (т) = о2 (1 + а | т |) е_ а । т I.
8.39. Определить энергетический спектр, если
/((т) о2 [ 1 +а|т| + (ат)2/3|е-«1Ч
8.40. Дан энергетический спектр
I 0, со>р.
Определить корреляционную функцию К(т).
123
8.41. Дан энергетический спектр
I о, ©<;©>, ©>©а.
Определить корреляционную функцию К(т).
8.42. Определить энергетический спектр, если
К (г) = о2 е_“ । *1 cos ©0 т.
8.43. Определить энергетический спектр, если
К(т) = о2 e-a|t| (cos©0tH- — sin соо |г |).
8.44. Определить энергетический спектр, если
К (т) = о2е_₽’ т*/2.
8.45. Определить энергетический спектр, если
К (т) — о2 е~ t’/2 cos ф0 Т-
8.46. Вычислить энергетическую ширину спектра, если.*
а) К (т) = о*е~“|т|,
б) К (х)-о2е~“ |rl (1 +<х | т|),
ч г, , v о sin ат
В) К(т) = о2-----,
ат
г) /<(т)= ст2 е~а'т’/2,
Д) К(т) = ог(1-^-). |т|<Т.
8.47. Вычислить энергетическую ширину спектра, если:
а) /((т) = (т2е~°IjIcos©0t,
б) /((т) = о2е_“1т1(1 -f-a|x| )cosw0t.
в) К (х) = о2 — cos ©о т,
ат
а* т*
г) К (т) = а2 е 2 cos ©u х.
8.6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
8.48. Определить корреляционную функцию Ки(х) и
дисперсию о% случайного процесса
y(t) = x(t + ^)~ х(0,
124
где x(t) — стационарный случайный процесс с корреляцион-
ной функцией Кх(т).
8.49. Случайный процесс х(/) непрерывен в среднеквад-
ратичном, если
lim |х(/4-Д) —х (/))’ = 0.
Д-*0
Доказать, что необходимым и достаточным условием непре
рывности в среднеквадратичном стационарного случай-
ного процесса х(/) является непрерывность функции корре-
ляции Кх(т) при т = 0.
Указание. Использовать результат решения задачи
8.48.
8.50. Доказать, что корреляционная функция Кх(т)
непрерывна при любых т, если она непрерывна при т = 0.
8.51. Существует ли стационарный процесс, корреля-
ционная функция которого равна
/<х(т) = {
о2,
о,
1’1 < Т.
|’1>Л
где о2 — положительная постоянная?
8.52. Непрерывен ли в среднеквадратичном случайный
телеграфный сигнал? Непрерывны ли отдельные реализации
этого процесса?
8.53. Будут ли непрерывны и дифференцируемы стацио-
нарные случайные процессы, имеющие корреляционные
функции:
а) К (т) = а2е~“,х|,
6) /((т) = о2е-а|х1со5<о0т,
в) К(т) = а2е-а|х| I cos(i»0t + —sincoo|t|) .
\ /
8.54. Сколько раз дифференцируем стационарный слу-
чайный процесс х(/), имеющий корреляционную функцию:
Кх (т) = о2 е_“ 1’1 (1 + а | т | -ф а2 т’/З).
8.55. По виду энергетического спектра Fx(a>) определить,
сколько раз дифференцируем стационарный случайный
процесс х(0, если
Кх(т) = о2е-«1Ч(1 4-а|т|).
125
8.56. Определить дисперсию oj производной y(t) случай-
ного процесса х(1), если
(ы) =
4g3 О-
8.57. Команда y(t), поступающая на органы управления
автоматически управляемого объекта, определяется по фор-
муле
i/(0 = ax(/)+b^.
at
Найти Fu((£>), если Кж(т) = оге~а1х1(1 4-а|т|).
8.58. Стационарный случайный процесс х(/) имеет кор-
реляционную функцию Кж(т). Найти корреляционную функ-
цию Ки (т) случайного процесса
... ... , , dx (0 . d2 х (О
у (!) = ах (/) + b + с .
8.59. Стационарный нормальный случайный процесс
х(1) имеет корреляционную функцию
Kx(t) = ог е-а 1*1 I cos 0т + — sin 0 |т|
где о = 2 В, а = 103 с-1, 0 = 2 • 103 рад/с. Определить
вероятность Р того, что
ИО’ 4*(0>/5-103 В/с.
at
8.7. ВЫБРОСЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
8.60. Определить среднее число положительных выбро-
сов п+(Н) на уровне Н = За за время Т = 100 мкс нормаль-
ного стационарного случайного процесса х(/), имеющего
нулевое среднее значение и энергетический спектр:
- I/O-° ехР I — (<»—®о)1/201],
У 2л Р
если /0 = <оо/2л = 60 МГц, энергетическая ширина спектра
А/ = Дсо/2л = 2 МГц.
126
8.61. Определить среднюю длительность тср положи
тельного выброса нормальной случайной функции х(1)
за уровень Н = 2В, если х(0 =—8В, Л\. (т) = сг2е-а1т| х
Х(14-а|т|), где о=10 В, а=104с"1.
8.62. Среднее число положительных нулей в единицу
времени нормальной стационарной случайной функции
х(7) равно л+(0) — 10* с-1. Определить дисперсию процесса
y(t) — dxldt, если о, = 8 В.
8.63. Найти среднее число максимумов пгоах стационар-
ного нормального процесса х(7) в единицу времени, если
Кх(т) = оге_“1х1(1 а | т 14- ос2 т*/3).
8.64. Радиолиния управления может обеспечить переда-
чу команды без искажения в том случае, если гауссова по-
меха х(1), поступающая на вход приемника, в течение пере-
дачи ни разу не превзойдет по абсолютной величине неко-
торого уровня Н. Определить вероятность Р передачи ко-
манды без искажения, если
х = 0, Кх(т) = а2е-“1Т1(1 4-а|т|),
а время передачи команды Т.
8.65. Высота h(t) полета самолета, управляемого авто-
пилотом, является нормальной случайной функцией, мате-
матическое ожидание которой h(t) равно заданной высоте
полета, корреляционная функция
^(т) = о2 е-“ |ll fcospT + — sinр |т | V
\ ₽ /
Определить, какую наименьшую высоту полета h(t)
можно установить в системе приборов автопилота, чтобы
вероятность аварии самолета вследствие столкновения с по-
верхностью Земли была меньше 6 — 0,01%, если о = Юм,
а = 0,01 с-1, 0 = 0,1 с-', Т = 5 ч.
127
Глава 9
Прохождение случайных процессов
через линейные цепи
Основные обозначения и расчетные формулы
Характеристики случайного процесса y(t) на выходе
линейной цепи:
t
^0
/1 G
К, (G» G) = $$ <si- s«> S (G — *1) g(G- s») dst.
I. t.
Здесь x(t) — случайный процесс co средним значением x(i),
Kx(tu G) — функция корреляции, g(t) — импульсная ха-
рактеристика цепи.
Если процесс x(f) на входе цепи стационарный, то
00
У = х $ g(t)dt,
О
оо
К»(*) = $ Кх(5)фв(т —s)ds,
—00
гдефДт)= ) g (/) g (I—т) dt— автокорреляционная функ-
ция импульсной характеристики g(t).
Если х(/) — белый шум со спектральной плотностью
So = nF0, то
Ки (т) = So % (т) = nF0 (г),
а взаимная функция корреляции равна
К хи W = sog (т) = nF0 g (т).
Энергетический спектр Ру(<а) случайного процесса y(t)
на выходе линейной цепи:
Fy К1 (а).
128
Здесь Fx(<>>) — энергетический спектр случайного процесса
x(t) на входе цепи, /((ш) — модуль коэффициента передачи
цепи.
Импульсная характеристика фильтра, согласованного
с сигналом $(/):
где К и 4 — постоянные.
Максимально возможное отношение сигнал/шум на вы-
ходе согласованного фильтра при воздействии суммы сигна-
ла $(/) и белого шума, имеющего спектральную плотность
So —nF,q'.
ее
, Э= J 5г(/)Л.
Значение <?мм наступает в момент времени ta.
9.1. НЕСТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ
9.1. Процесс Винера y(f) связан с процессом x(t) соот-
ношением
।
У(0= \x(s)ds,
о
где x(t) — белый шум с функцией корреляции Яя(т) =
= S06(t). Определить функцию корреляции и дисперсию
процесса </(/).
9.2. К конденсатору с емкостью С в момент t — 0 под-
ключается флуктуационный ток x(Z), представляющий собой
белый шум со спектральной плотностью Fo. Найти диспер-
сию о£(/) напряжения t/(/) на конденсаторе.
9.3. Решить задачу 9.2 для случая, когда x(t) имеет
функцию корреляции
Кх (т) = а1е-»^1.
9.4. К последовательной /?С-цепи в момент времени
t = 0 подключается флуктуационное напряжение х(1) со
средним значением x(t) — tn. Определить среднее значение
напряжения y(t) на конденсаторе.
9.5. К последовательной /?С-цепи в момент времени
I = 0 подключается флуктуационное напряжение x(t), пред-
б З«к. Ьвб 129
ставляющее собой белый шум со спектральной плотностью
Fo. Определить дисперсию о£(/) напряжения y(t) на конден-
саторе.
9.6. Определить функцию корреляции /а) напря-
жения z/(/) из задачи 9.5.
9.7. К последовательной /?С-цепи в момент времени
/ = 0 подключается флуктуационное напряжение х(1), пред-
ставляющее собой стационарный случайный процесс с функ-
цией корреляции
Kx(T) = a’e-PHi.
Определить дисперсию о? (О напряжения y(t) на конден-
саторе.
9.8. Определить функцию корреляции 1г) напря-
жения у(/) из задачи 9.7.
1.2. СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ
(МЕТОД ИМПУЛЬСНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК)
9.9. На последовательную flL-цепь подается стационар-
ный шум *(/) со средним значением х(/) = 1 В. Определить
среднее значение y{t) напряжения y(t) на сопротивлении.
9.10. Процесс y(t) на выходе идеального интегратора
равен
т
= “Г S x(t—x)dx,
1 о
где x(t) — стационарный случайный процесс с функцией
корреляции Кх(т). Определить функцию корреляции слу-
чайного процесса у(1).
9.11. Определить дисперсию c2v процесса </(/) из задачи
9.10.
9.12. Дробовой шум x(f) с корреляционной функцией
К(х) = д10Ь(х)
проходит через идеальный интегратор (см. задачу 9.10).
Определить дисперсию колебания y(t) на выходе интегра-
тора. Сравнить полученный результат с результатом реше-
ния задачи 8.2.
9.13. На вход интегрирующей /?С-цепи подается белый
шум со спектральной плотностью Fo. Определить функцию
корреляции Ки(х), энергетический спектр Ри(ш) и диспер-
сию oj шума y(t) на выходе цепи.
130
9.14. На вход интегрирующей /?С-цепи подается шум
х(/) с функцией корреляции
Кх(т) = а’е-»1Ч
Определить функцию корреляции Ку(т), энергетический
спектр и дисперсию а* шума y(t) на выходе цепи.
9.15. Вычислить дисперсию <Тд приращения
Л — + Т)
где y(t) — случайный процесс, заданный уравнением
-^-«/(/)4-са/(0 = ах (0.
al
а х(() — белый шум со спектральной плотностью Fo.
9.16. Определить дисперсию а'гг процесса
т
$ y(l+r)dx,
о
где y(t) — случайный процесс, заданный уравнением
-^-z/(/) + ar/(/) = ax(/),
ai
а х(/) — белый шум со спектральной плотностью Fo.
9.17. Через колебательный контур, образованный парал-
лельно соединенными конденсатором С, сопротивлением
R и индуктивностью L, протекает ток x(t), представляющий
собой белый шум со спектральной плотностью Fo. Опреде-
лить функцию корреляции Ки (т) и дисперсию а#2 тока y(t)
в индуктивной ветви.
9.18. Через колебательный контур, образованный па-
раллельно соединенными конденсатором С, сопротивлением
R и индуктивностью L, протекает ток х(/), представляющий
собой белый шум со спектральной плотностью Fo. Опреде-
лить функцию корреляции Ки(х) и дисперсию напряже-
ния у(1) на контуре.
9.19. Определить взаимную функцию корреляции
/<ху(т) между токами х(/) и y(f) из задачи 9.17.
9.20. Определить взаимную функцию корреляции Кхи(х)
между током x(Z) и напряжением y(t) из задачи 9.18.
5* 131
9.3. СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ
(СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД)
9.21. На цепь, составленную из последовательно соеди-
ненных индуктивности L и сопротивления R, воздействует
напряжение x(t), представляющее собой белый шум со
спектральной плотностью Fo. Найти спектральную плот-
ность Fv((o) напряжения y(t) на сопротивлении R, функцию
корреляции Ки(х) и дисперсию oj.
9.22. Найти спектральную плотность Fu(u>) напряжения
и(1), возникающего на параллельной /?С-цепи от собствен-
ного теплового шума. Изобразить характер зависимости
Fu(w) от <о при различных R. Вычислить дисперсию шумо-
вого напряжения <т£.
9.23. Для уменьшения уровня шума в усилителе ис-
пользуется интегрирующая /?С-цепь. Предполагая, что
входным сигналом является белый шум с энергетическим
спектром Fo = 2л • 10-6 В2с/рад, определить, при каких
параметрах цепи действующее значение шума на выходе не
превысит 50 мВ.
9.24. На вход дифференцирующей /?С-цепи поступает
шум x(f), энергетический спектр которого равен
( Fo, <o<Wj,
Fx(w) = „ _
I 0,
Определить дисперсию oj шума y(f) на выходе цепи.
9.25. На вход пропорционально-интегрирующего фильт-
ра с коэффициентом передачи
Л» = 2* 'т7\
поступает стационарный случайный процесс х(/) с корреля-
ционной функцией
К,(т) = и’е-в1Ч
Определить спектральную плотность Fy(a>) и дисперсию
процесса y(t) на выходе фильтра.
9.26. На вход пропорционально-интегрирующего фильт-
ра (см. задачу 9.25) поступает стационарный случайный
процесс х(1) с корреляционной функцией
Кх (r) = nF06(r).
Определить энергетический спектр Fy(a)) и функцию кор-
реляции Ки(х) процесса y(t) на выходе фильтра.
132
8.27. Напряжение на входе интегрирующей /?С-пепи
представляет собой случайный стационарный процесс x(t)
с функцией корреляции
Кх(т) = о?е-₽’^».
Определить отношение дисперсии oj выходного напряже-
ния у(() к дисперсии а2 входного напряжения.
9.28. Напряжение на входе интегрирующей RC-цепи
представляет собой случайный стационарный процесс x(t)
с функцией корреляции
Кя(т) = 4е-'0,1Ч В2.
Вычислить эффективное значение оу напряжения y(t) на
выходе цепи, если R = 10 кОм, С = 0,01 мкФ.
9.29. Напряжение на входе интегрирующей /?С-цепи
представляет собой стационарный шум х(/) с функцией кор-
реляции
Кл(т)= 10е~|О”т’ В2.
Вычислить эффективное значение оу напряжения y(f) на
выходе цепи, если R = 10 кОм, С — 0,01 мкФ.
9.30. Напряжение на входе интегрирующей /?С-цепи
представляет собой стационарный шум x(t) с эффективным
значением ох = 0,5 В, равномерным энергетическим спект-
ром в диапазоне 0 < и < Д<й. Параметры цепи: R =
= 18 кОм; С = 750 пФ. Вычислить эффективное значение
а напряжения на выходе цепи для случаев: Л/ = Лю/2л =
= 20 кГц; 50 кГц; 300 кГц.
9.31. Определить спектральную плотность Fy(w) и кор-
реляционную функциию Kj,(t) стационарного решения
уравнения
+ 2а + юр у с юр * а>0’ “р>а’>
at
если x(t) — белый шум со спектральной плотностью Fo.
9.32. На последовательный колебательный контур LCr
подается напряжение х(1), представляющее собой белый шум
со спектральной плотностью Fo. Определить энергетический
спектр F/w), функцию корреляции Kv(x) и дисперсию oj
тока у(Г) в контуре.
9.33. На последовательный колебательный контур LCr
подается напряжение х(/), представляющее собой белый шум
со спектральной плотностью Fo. Определить энергетический
133
спектр Fw(co), функцию корреляции К„(т) и дисперсию а’
напряжения у(1) на конденсаторе.
9.34. На колебательный контур, образованный парал-
лельно соединенными конденсатором С, сопротивлением R
и индуктивностью L, действует ток x(t), представляющий
собой белый шум со спектральной плотностью Fo. Опреде-
лить энергетический спектр Fy(a>), функцию корреляции
Ку(г) и дисперсию напряжения y(t) на контуре.
9.35. На колебательный контур, образованный парал-
лёльно соединенными конденсатором С, сопротивлением
К и индуктивностью L, действует ток х(1), представляющий
собой белый шум со спектральной плотностью Fn. Опреде-
лить энергетический спектр Fy(<i>), функцию корреляции
Ry(r) и дисперсию тока y(t) в индуктивной ветви.
9.36. На колебательный контур, составленный из парал-
лельно соединенных конденсатора с емкостью С и катушки
с индуктивностью L и сопротивлением потерь г, действует
ток x(t), представляющий собой белый шум со спектральной
плотностью Fo. Определить энергетический спектр Fy(<i>),
функцию корреляции К„(т) и дисперсию оу тока в катушке.
9.37. На колебательный контур, составленный из па-
раллельно соединенных конденсатора с емкостью С и катуш-
ки с индуктивностью L и сопротивлением потерь
г, действует ток х(/), представляющий собой белый шум
со спектральной плотностью Fa.
Определить энергетический спектр Fy(<a), функцию кор-
реляции Ку(т) и дисперсию огу напряжения y(t) на катушке.
9.38. На высокодобротную одноконтурную избиратель-
нух цепь действует белый шум x(t) со спектральной плот-
ностью Fo. Показать, что энергетический спектр Fy(ti>),
функция корреляции К„(т) и дисперсия oj выходного коле-
бания y(t) приближенно равны:
1
Fy^) = FtK2p
(<1>—Шр)2
I *-------5—4Q’
<1)р
Ку (r) = е~а lTl cos <орг,
= nFoaKp,
где a — cop/2Q; Кр — коэффициент передачи цепи на резо-
нансной частоте сор: Q — добротность контура. Сравнить
полученный результат с ответами к задачам 9.32—9.37.
134
9.39. В анодной цепи лампы с крутизной 1 мА/B и внут-
ренним сопротивлением 100 кОм включен параллельный ко-
лебательный контур с параметрами: wp = 10е рад/с,
Q = 100, /?р — 100 кОм. К сетке лампы подключен источ-
ник белого шума x(t) со спектральной плотностью So =*•
= 10-6 В2/Гц. Определить функцию корреляции Kv(x)
и дисперсию oj напряжения y(t) на контуре.
9.40. Коэффициент усиления резонансного усилителя
равен постоянной величине Кр в диапазоне частот (wj •<
< ® < ю2) и нулю на остальных частотах. На вход уси-
лителя подается белый шум х(/) со спектральной плот-
ностью Fo. Определить функцию корреляции Ку(х) и дис-
персию Ор напряжения у(1) на выходе усилителя.
9.41. Резонансный усилитель представляет собой после-
довательное соединение двух одноконтурных усилителей,
каждый из которых настроен на резонансную частоту wp,
имеет коэффициент усиления Кр и эквивалентную доброт-
ность Qa. На вход усилителя подается белый шум x(Z) со
спектральной плотностью FQ. Определить функцию корре-
ляции К„(т) и дисперсию напряжения y(J) на выходе
усилителя.
9.42. Резонансный усилитель с гауссовой частотной ха-
рактеристикой настроен на резонансную частоту <ор, имеет
коэффициент усиления Кр и шумовую полосу Aw. На вход
усилителя подается белый шум x(t) со спектральной плот-
ностью Fo. Определить функцию корреляции Ку(т) и дис-
персию а'у напряжения y(t) на выходе усилителя.
9.43. Одноконтурный резонансный усилитель настроен
на резонансную частоту ыр, имеет коэффициент усиления
Кр и шумовую полосу Aw. На вход усилителя подается бе-
лый шум x(t) со спектральной плотностью Fu. Определить
функцию корреляции Ки(т) и дисперсию оу напряжения
у(1) на выходе усилителя.
9.4. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛА И ШУМА ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ
ЦЕПИ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ ФИЛЬТРЫ. СОГЛАСОВАННЫЕ
ФИЛЬТРЫ
9.44. На вход интегрирующей /?С цепи подается сумма
гармонического сигнала A cos <о0/ и белого шума x(t) со
спектральной плотностью Fo. Определить отношение q ам-
плитуды сигнала к среднеквадратичному значению шума
на выходе цепи.
133
9.45. Определить параметры /?С-цепи, при которых от-
ношение сигнал/шум q в задаче 9.44 принимает максималь-
ное значение <?м. Найти величину q№.
9.46. На вход интегрирующей /?С-цепи подается сумма
сигнала e(t), представляющего собой прямоугольный им-
пульс с амплитудой Е и длительностью Т и белого шума
x(t) со спектральной плотностью Fo. Определить отношение
q величины сигнала в конце импульса к среднеквадратич-
ному значению шума на выходе цепи.
9.47. Определить параметры /?С-цепи, при которых отно-
шение сигнал/шум q в задаче 9.46 принимает максимальное
значение qM. Найти величину qM.
9.48. Прямоугольный импульс е(/) появляется в момент
времени t = 0, имеет амплитуду Е и длительность Т. Оп-
ределить коэффициент передачи А"(ш) согласованного фильт-
ра, максимальное значение сигнала на выходе которого на-
ступает при /0 = Т.
9.49. Определить импульсную характеристику §(/) со-
гласованного фильтра, рассмотренного в задаче 9.48, а так-
же сигнал и(/) на выходе этого фильтра.
9.50. Определить шумовую полосу Aw согласованного
фильтра, рассмотренного в задаче 9.48, а также максималь-
ную величину умм отношения сигнал/шум на выходе этого
фильтра. Найти рм = ?м/<?мм, где qM — максимальное от-
ношение сигнал/шум, получаемое при замене согласованно-
го фильтра /?С-цепью (задачи 9.46 и 9.47).
9.51. Двухкаскадный /?С-фильтр имеет коэффициент
передачи
/ а у
\ а /ш /
а =
1
RC'
На вход фильтра подается сумма сигнала е((), представ-
ляющего собой прямоугольный импульс с амплитудой Е
и длительностью Т, и белого шума х(/) со спектральной
плотностью Fo. Определить отношение q величины сигнала
в конце импульса к среднеквадратичному значению шума
на выходе цепи.
9.52. Определить параметры фильтра, при которых от-
ношение сигнал/шум q в задаче 9.51 достигает максимально-
го значения qM. Найти величину </м и сравнить ее с <?мм, где
9мм — отношение сигнал/шум на выходе согласованного
фильтра (задачи 9.48 и 9.50).
136
Глава 10
Нелинейные безынерционные преобразования
случайных процессов
Основные обозначения и расчетные формулы
Вид рассматриваемых нелинейных преобразований.
= ( М)1,
где х(/) — входной случайный процесс; y(t) — выходной
случайный процесс; f(x) — известная функция.
Одномерная плотность вероятности W(y) случайного
процесса у(1):
(У)]
(У)
Здесь W(x) = ITjx) — одномерная плотность вероят-
ности случайного процесса x(t), ft(y) — функция, обратная
У = Кх).
Среднее значение и функция корреляции случайного
процесса y(t);
У ~ I (х), ухуг — У}-Уг =
= f(x6f(xt) — /(Xi). f(x2).
Прямой метод вычисления у и t/jt/gi
У = /(*)== $ f(x)W(x)dx,
У1Уг = f (Xt) f (x2) = / (*i) f (xt) W (xp x2) dx, dxt.
— OO —ex’
Здесь ^(х„ x2) — двумерная плотность вероятности слу
чайного процесса х(/).
137
Вычисление у и уА у2 методом характеристических
функций:
ес
у = — G (Й) О, (Q) dQ,
2л -ОС
ОС ос
у^и = А $ S °<Q1)G°*(Q>• dQidQ*-
4л
Здесь б(Й) = f(x)e ,a* dx-, 0r(Q), 0x(Qlt й2)—харак-
теристические функции случайного процесса х(1).
Если x(t) — нормальный случайный процесс с дисперсией
ог и коэффициентом корреляции /?(т), то функция корреля-
ции преобразованного (выходного) случайного процесса
у({) равна:
Ку(х) = с^
I2
dx
(10.1)
п!
где
ф(*) = -7='е
}/2л
х*
2 ; Ф('° (*) =
dn z ч
Интегрируя (10.1) по частям k раз и учитывая что
<р<"> (± оо) = 0, получаем
ос
К,(т) = о2*-2 2
п = )
ее 2
(10.2)
Выражение (10.2) позволяет упростить вычисление Kv(x)
при кусочно-разрывных функциях f(x). Число интегриро-
ваний по частям следует выбирать таким, чтобы после А-го
интегрирования производная /{*>(х) превратилась в 6-функ-
цию или сумму 6-функций (метод 6-функций).
При нормальном случайном процессе х(/) значение
У1 Уг = У СО можно находить с помощью формулы Прайса-
= 02Л
dRk (т)
5 Л*’ (xj/1*1 (хг) W (хр Xjjdx^Xj.
(10.3)
11В
По-прежнему число k выбирается таким, при котором /{*1 (х)
обращается в сумму 6-функций. Тогда выражение (10.3)
легко вычисляется, и после его интегрирования по /?(т)
находится У(т) = у^.
10.1. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
10.1. Найти одномерную плотность вероятности слу-
чайного процесса y(t) — x2(t) при нормальном законе рас-
пределения случайного процесса x(J). Среднее значение про-
цесса х(1) равно нулю.
10.2. Процесс y(t) связан с процессом х(/) соотношением
У (О = + а, х (0 4- аг хг (I).
Пусть х(1) — нормальный случайный процесс с нулевым
средним значением и функцией корреляции Кх (т). Пока-
зать, что функция корреляции Ку(х) процесса y(t) равна
Ку (т) = а? Кх (т) 4- 2aj К\ (г).
10.3. Определить математическое ожидание, корреля-
ционную функцию и энергетический спектр тока, протекаю-
щего через нелинейное сопротивление с характеристикой:
* = 54-2(ы —£/0) 4-0,2(м — Ц,)2 мА.
К нелинейному сопротивлению приложено случайное на
пряжение u(t) с нормальным законом распределения и Л —
= и0-,
Ки(т) = е-10'г’ cos 10’г В2.
10.4. Определить математическое ожидание, корреля-
ционную функцию и энергетический спектр тока, протекаю-
щего через нелинейное сопротивление с характеристикой
j = 7 4-5(u-bro)4-0.25(o —1/0)2 мА.
К нелинейному сопротивлению приложено случайное на-
пряжение u(t) с нормальным законом распределения и и =
= и0-,
/(u(T) = 4e-10‘l4cos10’T В2.
10.5. Определить математическое ожидание, корреля-.
ционную функцию и энергетический спектр тока, протекаю-
щего через нелинейное сопротивление с характеристикой:
i — 3 4- Зы 4* 0,2и2 мА.
К нелинейному сопротивлению приложено шумовое напря-
жение и(1) с нормальным законом распределения и энергети-
ческим спектром
„ . . (10~6 В2 с/рад, 2л-30-108 < со <2л-32- 10е, рад/с,
F“(M)= о
I 0 вне интервала.
10.6. Сумма двух независимых нормальных случайных
процессов u(t) = ис(/) + иш(/) подается на нелинейное со-
противление с характеристикой i — Юн2 мА. Известны
корреляционные функции входных процессов:
Ас(т) = 2e~l0'|T|cosw0T В2,
Кш(Х) = е~,0‘ 1 X|COSO>0T В2.
Определить математическое ожидание, корреляционную
функцию и энергетический спектр тока.
10.7. Характеристика лампы амплитудного анодного
детектора аппроксимирована выражением
/ = a0-f-aj и 4-а2«2.
Определить функцию корреляции Ки (т) и энергетический
спектр Fy((o) напряжения у(1) на нагрузке детектора, если
и(1) — нормальный случайный процесс с нулевым средним
значением н функцией корреляции
/<и (т) = а2 е~“ ।т । cos <о0 т.
Сопротивление нагрузки детектора R. Реакцию анода не
учитывать.
10.8. Решить задачу 10.7 для случая, когда
К и (т) ” °2 е“е’ т’/г cos wo т-
10.9. Решить задачу 10.7 для случая, когда u(t) — нор-
мальный случайный процесс с нулевым средним значением
и равномерным энергетическим спектром Fu(a) = Fo в диа-
пазоне частот со1 < | <о | < со2-
10.10. Характеристика лампы удвоителя частоты ап-
проксимирована выражением
i = а0 + а, и 4- аг и*.
Напряжение
и (t) = Ао cos (ю014- <р) + х (/)
140
представляет собой сумму гармонического сигнала с ампли-
тудой Ао, частотой (о0 и случайной равномерно распределен-
ной фазой <р и нормального шума x(t) с нулевым средним
значением и функцией корреляции
(т) = о2 е_₽' cos ®0 т.
Нагрузкой удвоителя является резонансный контур,
настроенный на частоту 2<о0, резонансное сопротивление
контура Rp. Полоса пропускания контура обеспечивает
практически неискаженное воспроизведение спектра вбли-
зи частоты 2<оо и подавление остальных составляющих
спектра.
Вычислить функцию корреляции К(/ (т) и энергетический
спектр Fv(<o) выходного напряжения y(t).
10.11. В задаче 10.10 вычислить отношение <?вых мощ-
ности сигнала к мощности шума на выходе удвоителя час-
тоты и построить зависимость <7Вых^вх от отношения сит-
нал/шум на входе удвоителя частоты.
10.12. Характеристика лампы амплитудного анодного
детектора аппроксимирована выражением
i = а0 + и д- а2 и2.
Напряжение
и (I) = А (0 cos («)01 + <р) + х (П
представляет собой сумму амплитудно-модулированного
сигнала с постоянной частотой <о0, случайной равномерно
распределенной фазой ф и нормального шума x(t) с нулевым
средним значением и функцией корреляции
Кх (т) = а2 р (т) cos <оо т,
где р(т) — медленная по сравнению с cos иот функция. Ам-
плитуда А(/) — стационарный нормальный процесс, не за-
висящий от <р и х(/), с корреляционной функцией
Кл(т) = ой/?л(т)
Сопротивление нагрузки детектора R. Определить функ-
цию корреляции Kv(r) напряжения y(t) на нагрузке детек-
тора.
10.13. В задаче 10.12 вычислить отношение <?аыч мощно-
сти сигнала к мощности шума на выходе детектора и по-
строить зависимость qBUIlqBl от отношения сигнал/шум
qBi на входе детектора.
141
10.14. На вход квадратичного устройства с характерис-
тикой у — ах2 воздействует стационарный нормальный слу-
чайный процесс х(1) с нулевым средним значением и энерге-
тическим спектром Fx(a>). Вычислить энергетический спектр
Fv(to) выходного процесса.
10.15. Определить спектральную плотность /’„(со) про-
цесса y(t) на выходе квадратичного устройства с характе-
ристикой у = хг при воздействии на его вход нормального
случайного процесса х(/) со средним значением тх и кор-
реляционной функцией
Кх (т) = аге-»'»1.
10.16. На радиотехническое устройство, представляющее
собой последовательное соединение интегрирующей RC-
цепочки, квадратичного устройства с характеристикой
yt = ах2 и фильтра нижних частот с импульсной характе-
ристикой
(ае~л1, />0,
( 0 , 1<0,
воздействует стационарный белый шум со спектральной
плотностью Fa. Определить среднее значение у и дисперсию
aj процесса у(1) на выходе устройства.
10.17. Решить задачу 10.16 для случая, когда
1,
0.
0<КТ,
ко-, 1>Т.
10.2. ОДНОПОЛУПЕРИОДНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ДЕТЕКТОР
10.18. Характеристика нелинейного устройства имеет
вид
ах, х > 0,
. 0, х < 0.
Вычислить плотность вероятности W(y), среднее значение
у и дисперсию oj процесса у(1), если х(1) — нормальный
случайный процесс с нулевым средним значением и диспер-
сией о®.
142
10 19. Характеристика нелинейного устройства имеет
вид
ах,
о,
х>0,
х <0.
Вычислить функцию корреляции Л/г) процесса y{t), если
х(/) —нормальный случайный процесс с нулевым средним
значением и функцией корреляции
Л1(т) = а2Л(т).
Решение получить прямым методом и методом характеристи-
ческих функций.
10.20 Характеристика лампы амплитудного анодного
детектора аппроксимирована выражением
u>0,
"I 0, «<0.
Определить дисперсию и функцию корреляции Л,/т)
напряжения y(t) на нагрузке детектора, если u(f) — нормаль-
ный случайный процесс с нулевым среднием значением
и функцией корреляции
Ли СО = а? Р СО cos т,
где р(т) — медленная по сравнению с cos апт функция.
Сопротивление нагрузки детектора R.
10.21. Характеристика лампы аппроксимирована выра-
жением
_ (Su, и>0,
“(0, u<0.
Определить функции корреляции Л/т) и Л2(т) составляю-
щих тока на основной частоте о)0 и удвоенной частоте 2®0
соответственно, если u(t) — нормальный случайный про-
цесс с нулевым средним значением и функцией корреляции
Ли(т) = агр(т)созс>>0т,
где р(т) —медленная по сравнению с cos О)от функция.
ИЗ
10.3. МЕТОД ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ
10.22. Решить задачу 10.19 методом дельта-функций.
10.23. Характеристика ограничителя у = f(x) аппрокси-
мирована выражением
10, х<0.
Вычислить функцию корреляции Ху(т) процесса y(f), если
x(t) — нормальный случайный процесс с нулевым средним
значением и функцией корреляции Кх(х) — о2/?(т).
10.24. Характеристика лампы аппроксимирована выра-
жением
(аиг, и > 0,
0 , и<0.
Вычислить функцию корреляции ДДг) тока «(/), если и(1) —
нормальный случайный процесс с нулевым средним значе-
нием и функцией корреляции Хи(т) = o2R(t).
10.4. МЕТОД ПРАЙСА
10.25. Характеристика ограничителя у — f(x) аппрок-
симирована выражением
р/о *>0>
(. 0, х < 0.
Вычислить функцию корреляции Ку(т), если х(/) — нор-
мальный случайный процесс с нулевым средним значением
и функцией корреляции КА(т) = a2R(x).
10.26. Характеристика ограничителя у = /(х) аппрок-
симирована выражением
у = —-— f е~“'/2*' du.
/2лу
Вычислить функцию корреляции Х„(т), если х(0 — нор-
мальный случайный процесс с нулевым средним значением
и функцией корреляции Кх(х) — o2R(t).
144
Главе If
Прохождение узкополосных случайных
процессов через нелинейные цепи
Основные обозначения и расчетные формулы
Аналитическое выражение узкополосного (квазигар-
монического) случайного шума х(0 с энергетическим спект-
ром /=,(()):
х (1) = Е (0 cos [м0/ + ф (/)] = А (0 cos <оо I — В (t) sin го01.
Здесь E(t) — огибающая узкополосного шума (может быть
выделена амплитудным детектором), Л(/) и B(t) — ампли-
туды синфазной и квадратурной компонент шума (выде-
ляются синхронным детектором).
Функция корреляции узкополосного случайного шума
х(/):
Кх (х) = а (т) cos о)0 т — b (т) sin ш0 х.
Функции корреляции процессов Я(0 и В(/):
Кд(т) = Кв(х)=а(х)= J G (w) cos orr da>.
Взаимная функция корреляции
00
Кав(^) — Ь(х)= J G(®)sinroTd®.
— СО
Здесь G(<o) = Fx(<i> 4- ю0) — смещенный энергетический
спектр.
Характеристики огибающей Е(/) нормального узкопо-
лосного шума с функцией корреляции Кх(х) = о2р(т) cos®0t:
a2', KE(t) = ChRE(x).
Здесь р(т) — медленная по сравнению с cos мот функция
(нормированная огибающая функции корреляции),
Re(x) = 0,915 р2 (т) Н- 0,057р4 (т) Ф...
Но
Характеристики квадрата огибающей:
^ = 20*; <т/» = 4а\ /<tt (т) = 4ст’р* (т).
Сумма u(t) гармонического колебания Ее cos aot и узко-
полосного шума х(1) также может быть записана в виде
и(0 = £(/)СО5|<|)0/-|-ф(0].
Характеристики огибающей £(/) суммы гармонического
колебания £ccos и узкополосного нормального шума
x(t) с функцией корреляции Kx(i) = о2р(т) cos(o0i:
£ = о 1/ — —V
V 2 [д 2 J °v -1 ) 2 \ 4 J J
л о ( । Q1 \ 75*2
он = 2о’ ( I + — ) — E.
Для квадрата огибающей:
/?= 2<т-’(1 4-y); <j£- = 4o’(1+a2),
Кc> (т) = 4a4 [p* (t)—ap (x)].
Здесь a — Eclc — отношение сигнал/шум.
Если £c > о, tg шибающая £(/) — Eo + выделяет-
ся амплитудным детектором, фаза <р(/) = — фазовым
детектором, производная фазы <p(/) — dq(l)ldl = В(1)/Ес —
частотным детектором.
Энергетический спектр производной фазы при а> 1 равен
(®) ~ 2“* G (“) = 2о)2 «(® + “о)-
При уменьшении а появляются перескоки фазы <р(/) на
±2л, что приводит к появлению импульсов на выходе частот-
ного детектора, свидетельствующих о приближении отно-
шения сигнал/шум к пороговому значению. Вблизи порого-
вого значения энергетический спектр производной фазы
равен
F* (<о) 2®’ 6 (о) + 4 л (Л/+ + Л/_),
где N±—среднее число перескоков фазы ф(/) на ±2.ч;
Л,±=^П-ф(а)1’ 6®=/-р(0).
Нб
11.1. СИНФАЗНАЯ И КВАДРАТУРНАЯ КОМПОНЕНТЫ ШУМА
11.1. Случайный стационарный процесс x(t) с корреля-
ционной функцией
Кх (т) =о2е_®|т Icos<o0t
записан в виде
x(t) =Л (Z)cosroc/ — B(t) sin <о0/.
Определить корреляционные функции Хл(т) и Лв(т), а так-
же взаимную функцию корреляции Кдв(т) для случаев:
а) <1>с; б) <оо = <ос.
11.2. Случайный стационарный процесс x(t) с корреля-
ционной функцией
Кх (т) = о2 е~а 111 (cos а>0 т + — sin <о01 т [)
\ “о / ‘
записан в виде
х (0 = А {/) cos а01 — В (0 sin о)о t.
Определить корреляционные функции Кл(т)и Кя(т), а так-
же взаимную функцию корреляции Кав(х).
11.3. При сохранении условий задачи 11.2 определить
энергетические спектры Гл(ы) и FB(a), а также взаимный
энергетический спектр 5лв(а>).
11.4. Случайный стационарный процесс x(t) с энергети-
ческим спектром
( 0, io < (j)lt ш
записан в виде
x(t) = А f/)cos<i)0/ — B(/)sino)ot
где <o0 = (o)1+<b2)/2.
Определить функции корреляции Кл(т) и Кв(т). а так-
же взаимную функцию корреляции Клв(т).
11.5. Решить задачу 11.4 для случая, когда = со,.
11.6. Синхронный детектор представляет собой последо-
вательное соединение множительного звена и идеального
низкочастотного фильтра, пропускающего низкочастотную
часть спектра практически без искажений и не пропускаю-
щего высокочастотную часть. На входы множительного
147
звена подаются гармоническое колебание £0cos ш0/ и узко-
полосный случайный процесс х(/) с функцией корреляции
К1(т) = о2е-в|х| (cos<o0т+—
sin о)о| т
Определить функцию корреляции Kv(t) колебания y(t)
на выходе фильтра.
11.7. Синхронный детектор представляет собой последо-
вательное соединение множительного звена и низкочастот-
ного /?С-фильтра. На входы множительного звена подаются
гармоническое колебание Ео sin и узкополосный слу-
чайный процесс x(t) с функцией корреляции
Кх (т) = ст2 е_“ । ’ । ( cos иот -J- — sin м01т |).
• \ % /
Определить энергетический спектр Su(<a) колебания y(t)
на выходе /?С-фильтра.
11.8. На один вход синхронного детектора, описанного
в задаче 11.6, подается сумма сигнала £с cos а0! и узко-
полосного шума x(t) с дисперсией о2, на другой — опорное
напряжение Ео cos <л0/. Найти отношение сигнал/шум q
на выходе детектора.
11.9. На один вход синхронного детектора (задача 11.6)
подается сумма AM колебания
£е (1 + М cos Qi) cos to01
и узкополосного шума x(t) с дисперсией а2, а на другой —
опорное напряжение £0cos <i>0/. Определить отношение сиг-
нал/шум q на выходе детектора (полезным сигналом считать
колебание с частотой модуляции Q).
11.10. На один вход синхронного детектора, описанного
в задаче 11.6, подается узкополосный нормальный шум х(1)
с корреляционной функцией
Кх (т) = а2 р (г) cos ш0 т,
а на другой — опорное напряжение £ncoso>o/. Получить
выражения для одномерной W(y) и двумерной 1Г (у, ух)
плотности вероятности колебания y(t) на выходе детектора.
448
il.2. ОГИБАЮЩАЯ УЗКОПОЛОСНОГО НОРМАЛЬНОГО ШУМА
11.11. Узкополосный нормальный случайный процесс
х (/) = Л (/)cos ю01 — B(/)sin<o0/ = Е (/) cos 1<о014- <р (/)]
имеет функцию корреляции
К х (т) = а2 р (т) cos <D0 т.
Доказать, что одномерная W(E) и двумерная W (Е,ЕХ)
плотности вероятности огибающей
Е(/) = /Л2 (/) + В2(0
соответственно равны:
Ц7(Е) = Аехр(-Е4/2о2), £>0;
О2
ЕЕ. рЕЕ_ 1 Г £24-fJ 1
W (Е, El) = 04(|_pt) Io [0»(1_pS) J exP [— 2o2(l—p2) J ’
£>0, £%>0.
11.12. Вычислить среднее значение E и дисперсию oj
огибающей £(/), используя одномерную плотность вероят-
ности W'(f) (задача 11.11).
11.13. Доказать, что плотность вероятности И7(£4) квад
рата огибающей нормального узкополосного шума, имею
щего дисперсию о2, равна
Г(£2) = ^?ехр(-£2/2о2), £4>Д
11.14. Вычислить среднее значение £2 и дисперсию о>.
квадрата огибающей Е?(1) узкополосного нормального шума
х (/) — 4 (t) cos <j>0 t — В (t) sin o)01,
имеющего дисперсию а2, используя:
а) одномерную плотность вероятности W(E*) (задача
(11.13);
б) одномерную плотность вероятности W(E) (задача
11.11):
в) соотношение £2(/) = Л2(Г) + В2(/).
11.15. Узкополосный нормальный случайный процесс
со среднеквадратичным значением о = 1 В подается на
линейный детектор огибающей с коэффициентом передачи
kn = 1. Определить вероятность того, что напряжение
на выходе детектора превысит 2 В.
149
11.16. Вольтамперная характеристика анодного детек-
тора огибающей аппроксимирована выражением i = аи2.
На вход дегектора подается узкополосный нормальный шум
и(1) со среднеквадратичным значением о = 1 В. Сопротивле-
ние нагрузки детектора R = 10 кОм, а = 0,5 мА/B2. Опре-
делить вероятность того, что напряжение на выходе де-
тектора превысит Uwp = 10 В.
11.17. Доказать, что функция корреляции К£(т) оги-
бающей £(/) узкополосного нормального шума x(t) с функ-
цией корреляции
Кх (т) = о2 р (т) cos <о0 т
равна
+вТТГ*р'(') + "]=°**£(п
где
о| = (2 — у) о2. /?£(т) = 0,915рг(т) + 0,057р’(т) + ...
11.18. Корреляционная функция узкополосного нор-
мального случайного процесса х(/) равна
Кх (т) = о2 е_“111 cos <1)от.
Вычислить функцию корреляции и энергетический
спектр огибающей E(t) этого процесса. Построить
график энергетического спектра F£(o>).
11.19. Корреляционная функция узкополосного нор-
мального случайного процесса х(1) равна
Кх(х) =о2е~Р‘ *’/2cos(i)0t.
Вычислить функцию корреляции К£(т) и энергетический
спектр F£(w) огибающей £(/) этого процесса. Построить гра-
фик энергетического спектра.
11.20. Энергетический спектр Fx((a) узкополосного нор-
мального случайного процесса х(/) равен
, о,
Вычислить функцию корреляции К£(т) огибающей Е(1)
этого процесса. Изобразить характер графика энергетиче-
ского спектра Fe((x>).
150
11.21. Узкополосный нормальный случайный процесс
x(t) является результатом прохождения белого шума со
спектральной плотностью Fo через олнокаскадный резонанс-
ный усилитель с резонансной частотой сор, эквивалентной
добротностью контура Qg и коэффициентом усиления на ре-
зонансной частоте Kv. Вычислить дисперсию cl, функцию
корреляции Хн(т) и энергетический спектр FE(<x>) огибаю-
щей этого процесса.
11.22. Узкополосный нормальный шум x(f) имеет функ-
цию корреляции
Лх(Т) = 02р(Т)СО5СОоТ.
Доказать, что функция корреляции Ке«(т) квадрата оги-
бающей шума £2(/) равна
Кл«(т) = 4<т4р2(т).
11.23. Корреляционная функция узкополосного нор-
мального случайного процесса х(/) равна
Кх (т) = е~а 1 т 1 cos соот.
Вычислить функцию корреляции Кг«(т) и энергетический
спектр £е>(ы) квадрата огибающей £2(/) этого процесса,
11.24. Корреляционная функция узкополосного нор-
мального случайного процесса x(t) равна
Кх (т) = о2 e_|J’cos со0 т.
Вычислить функцию корреляции Ке>(т) и энергетический
спектр F& (со) квадрата огибающей Ег (/) этого процесса.
11.25. Энергетический спектр £х (со) узкополосного нор-
мального случайного процесса x(t) равен
Fo, Wj < со < со2;
О, СО < COj, со > со2.
Вычислить функцию корреляции Ке’(т) и энергетический
спектр £е’(со) квадрата огибающей этого процесса. По-
строить график энергетического спектра £е>(со).
11.26. Узкополосный нормальный случайный процесс
х(1) является результатом прохождения белого шума со
спектральной плотностью Fo через однокаскадный резонанс-
ный усилитель с резонансной частотой сор, эквивалентной
добротностью контура Q3 и коэффициентом усиления на
резонансной частоте Ка.
151
Вычислить дисперсию ah, функцию корреляции /<£.(т) и
энергетический спектр F£(<&) квадрата огибающей этого
процесса.
11.27. Найти энергетический спектр напряжения на
выходе линейного диодного детектора (kR = 1), к которому
подведено узкополосное шумовое напряжение «(/) с нормаль-
ным законом распределения и функцией корреляции
Ки(т) = 4е-|0,1т|СО5 108т В2.
11.28. К линейному диодному детектору (£п — 1) при-
ложено узкополосное шумовое напряжение и(/) с нормаль-
ным законом распределения и функцией корреляции
/<и (т)= 10e_|0*lT|cos 10вт В2.
Найти вероятность превышения выходным напряжением
уровня Uo = 6 В.
11.29. Определить математическое ожидание Е и кор-
реляционную функцию Ке (т) огибающей узкополосного
случайного процесса на выходе усилителя с гауссовой час-
тотной характеристикой (максимальный коэффициент уси-
ления 10&, шумовая полоса пропускания 10е Гн). На вход
усилителя поступает белый шум со спектральной плот-
ностью Но) — 10—16 В2с/рад.
11.30. Найти энергетический спектр F£(ra) огибающей
суммы двух независимых нормальных случайных процессов
с корреляционными функциями:
K1(T) = 4e-10,l’lcos®0T В2,
/<г(т) = 2е-10’ 1 ’Icos<o0t В2.
11.31. Определить математическое ожидание Е и кор-
реляционную функцию Кя(т) огибающей узкополосного
нормального процесса «(/) с корреляционной функцией
Ки (т) = 10е-5 10* I ’I cos 10’т В2.
11.32. Найти корреляционную функцию К£«(т) и энер-
гетический спектр /^«(со) квадрата огибающей узкополос-
ного нормального процесса u(f) с корреляционной функцией
/<u(T) = e-5>10’l4cosl010T В2.
152
11.33. К линейному диодному детектору (ka = I) при-
ложено узкополосное шумовое напряжение u(t) с нормаль-
ным законом распределения и функцией корреляции
К,,(т)= 10е~10’T’cos 108т В2.
Определить математическое ожидание и дисперсию выход-
ного напряжения.
11.34. Определить математическое ожидание и диспер-
сию квадрата огибающей узкополосного нормального про-
цесса с прямоугольным энергетическим спектром:
p^flO-6 В2с/рад, 108 рад/с <и < 1,01 • 10® рад/с,
( 0 вне интервала.
11.3. СУММА ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА
И УЗКОПОЛОСНОГО НОРМАЛЬНОГО ШУМА
11.35. Доказать, что плотность вероятности W’(E) оги-
бающей Е(/) суммы гармонического сигнала с амплитудой
Ей и узкополосного нормального шума с дисперсией о2 равна
w х1-1 > — ог 'о I ог I еАР I 2а2 / *
Изобразить характер кривых W(E) при различных значе-
ниях а = Ео/Ь.
11.36. Нарисовать зависимость Е от отношения
сигнал/шум а—Ев/а.
11.37. Нарисовать зависимость ol от отношения
сигнал/шум а = Ев/а.
11.38. Найти математическое ожидание и дисперсию
напряжения на выходе детектора огибающей (ka = I), к ко-
торому подведена сумма гармонического сигнала 2 cosw0/ В
и узкополосного нормального шума с прямоугольным спект-
ром 10-7 В2с/рад в полосе от <оо — а до to0 + а, где
а = 10’ рад/с.
11.39. Вычислить функцию корреляции Ке(у) и энерге-
тический спектр Fe(w) напряжения на выходе детектора
в задаче 11.38.
11.40. Найти среднее значение Ег и энергетический
спектр Fe» (и) квадрата огибающей суммы гармонического
сигнала 10 cos 108/ В и узкополосного нормального шума
х(/), корреляционная функция которого равна
Кх(т)= IOe-2-‘°,vcosl09T В2.
153
II. 4. ПОРОГОВОЕ ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛ/ШУМ
(ПРИЕМ ЧАСТОТНО МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИИ)
11.41. На вход частотного детектора с коэффициентом
передачи ka подается сумма гармонического сигнала
Ес cos wot и узкополосного нормального шума с дисперсией
о2 и равномерной спектральной плотностью в полосе 2а
рад/с. К выходу детектора подключен низкочастотный
фильтр с прямоугольной частотной характеристикой и по-
лосой р рад/с, причем Р < а.
а) Вычислить дисперсию шума о21 на выходе фильтра,
считая Ее > о (без учета перескоков фазы).
б) Вычислить дисперсию шума о22 на выходе фильтра,
учитывая перескоки фазы.
в) Построить зависимость от отношения сиг-
нал/шум а = Ее/о при а/р = 5 и а/р = 50.
г) Вычислить пороговое отношение сигнал/шум апор,
считая, что при а = апор отношение o^/of=2. Рассмотреть
случай: а/р = 5 и а/р = 50.
д) Построить зависимость аиор от а/р.
ОТВЕТЫ
Глава 1
1.1 Cj = *, С^= _ /— ,С3 = }
т ту 2л лт 2т
1.2 Cj —— ; Сг = С4=—; С3 = — ; С3=1; Св = —~ •
1.3 86(0 —0Ве~&/ о (/). 1.4 |Г Ве~& 111 —2}ЗВ6 (0
1.5 F (0 = Н/._/,0)' Z/ (b>o>0); F“ (t) = (b — a)6(t — lt)
IP (« — zo)r < >
. , Та
sin kn —
Т15 Т
1.6 СА=2б~ -----=--.
Т k^
Т
/ . .л \«
SI"*T \
1.7 I) сй = в ---£. : sA=o
\ /
3) Cq = В, С|—С<ц —'. • = 0: SA----.
>о
1.9 . S(o>) =---------- В с/рад.
* } 2,3-10* <H(D
1.10 u) = 9950 рад/с 1.11 S(w)= --------------+ л(/6((о).
/(|>(Р + /(о)
М2. = . М3
р р
sin —
1 .L4. 5«о) = ВТи-^т--.
2
155
sfn-j-
1.16. S(<o) = 2SrB——-------coswT0.
to/ в
~ Г. / s'n “T” \
1.17. $(<£>)- —*_ I ,
2 I I
\ 4 /
S /sin x , /2у A о
1.18. $(&>)== —---------e-7” — e“/2/ I;
JX \ x ) 2
$(107) « 1,07-10^ В-с/рад.
, 1Q с/ 4 CS,n* Sin{/ . <? £<7'» + 7'*> .
1.19. S((o) = 5----- •------; o =------------ ,
x у 2
Х_Ю(Л±11>. у<о(П-Л) ; 5(2п.1,5.|0«) =
4 4
= —0,177-10~e B-c/pa^
(to — (Op) 7 иц,.ч
2
BT./s\nx siny\
1.20. S, (<o) =—- ----* ------ }
2 \ x у J
(to to о) Г и
-----2-----’
in, 9
COS-----
2BTn 2
51,8(ю)« я - 4 (аТ^у
ла \ 2 ]
1.22. F(/)-Ba(TR-|/|), 0<|/|<Ги.
1.23. F(/)= — —о [e~P;(f ~а> — е~р,(/ ~ а)|-о (/—а).
Pi —₽2
1.24. К(т) = Вг(7'и-|т|); 0<|т|<Т„.
1.25.
ГИЕ2
K(n=-V
О
3 I т |
У т„ *
о<|Т| < Т„
1.26. См. 1.20 (S, (ы)). 1.27. т^Ч-егЬ".
Р1 <Р2
UD О [j у л v
«•г». Y(r"^T) > -7’И<Т<°; -у(тй—1»), о < т< тя
1.30. 0,865; 0,5; ; 0,6314₽.
1.31. — 1.39. См таблицы операторных соответствий.
1.40. а) 8; б) 5000; в) 62 500
156
1.42
u = 30
I cos
Ф — cos
«5
2-10V+ 1
X
1.45
1.46
1.47.
Xcos(10’/4y j B. 1.44. 100 кГц; 10.
u= 100 cos |2n-10е /40,2 sin (2л-10’/4у j4
Я
3
t=. 100cos ( 2л-10’/4^-) 4 10cos Ггл (10е4 10s) /4 ~
\ 3 / [ 6
— lOcos [z.-t (108 —10s)/ —yj B.
и = 10 cos (10е Ю sin 10я фо) В.
fmax = (4-l°8^ 1,°5-,0<) рц при /=0, 50, 100,..., мкс,
/т|п = (4-108“ Ь05-104) Гц при / = 25, 75, 125,..., мкс.
1.48 а) 1.5.107 рад/с; 0,5-107 рад/с; 0,5-107 рад/с,
б), в) 1,22-Ю7 рад/с; 0,78-107 рад/с; 0,22-107 рад/с.
1.49. 1,2- 10е рад/с; 5- 10ь рад/с. 15.1 120 кГц.
1.52. ЧМ i 150 -г 180 кГц; 3000 ~ 12; ФМ i 2,2 «Ь 330 кГц; 22
1.53 5о(о>) =
— |SU (со), со >0,
4* jSu (СО), (О < 0, ц((о) =
О, со = 0
25ц (оо), о > О,
О, ю < О,
$и (со), (о = 0.
1.54 и (со) = U (со—(о0).
1 1 *
1.55 Su (со)= у £/(со—0о)4*у £/( — со — со0).
sin -т— _ л
157 6/(со) = Тии------— е 4 .
2
1.58. £/(О=У(/)е'1Дв,'+ф(01.
1.59. и (/) = 100e_p/cos/<о<>*4 у) в
Глава 2
du 1 Ri de
— — и = --------------;
d/ т dt
L
Т=тг«;
d(L 1 _ Rt
dt т Ri^ R г
du I Rs de8 1
dt r Rn-^Rs d(^ т J
R, Rs Rt
R,2 = Ri4R2: ва ' R^Ri
t = (Ri2 4R») C;
157
„ d’u I du 1 I de .
dt2 RC di LC RC di
d2 ii I di. 1 1
____4-________-Л ______ i, = _____ e.
dt2 RC di LC L LCR
d211 fi e f
24. П —-Ц—-
at' L
2 'C
' dr L
q. d‘u □ <t’l' rc du
3) dF4*
diL
rc di 1
. = _± — + — h
L L dt LC
1 d2 i r
___ lr — 4- —
LC c di* L
dt LC
dic
dt
ml .1 d2 II* .
I dT* LC cdT+
di r.
----1. _E
dt LC
L
I.
2.5.
Li t2-M2
L2 I dt — M J di
о 0
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
Li L2 — M2
ur dt — L
1
fd2Ui 1 dut
~dF ‘
dlHi - ,
dr- LtCt(l-k*)Ut+
. d1 i, /r,
. ( rt 1
<1 —^a)
k2
di
dt
1 de
RCt dt b,Cj<l—fe’) "' AfC,(l-*»)“*“ RCt 'dt
1 л t, Мг
AfCt(i-k2) ~ LtL,
3h / I I Г1 r2 \ d21 у
'2 I \ dii
L} ' L} Ci / dt
1 d3 e r2 d2 e
dt* L<L2 dt2
L, dt*
i-i 4* Cc
k2
“ L? ‘ dt
f-c2
Ь2 =
(Li«4-Lc) (L24-Lc)
a) 74 B; 7,4 mA; 6) 86 B;
L j Cj L2 Cj
I de
Lb L2C2 ’ ~dt *
Ф Le
de
Ll
2.П. RC Шш 2.12. PMrfJ =-4 e
A
4,3 mA; 2.10. 1,2 ГОм;
2/
RC. p _
cp R 2m2 ln/n
m*-\
158
pi________L.
2.13. 2,53 MC. 2.14. а) Рмгн = — -e *C|
К
t — R is C|
D _
11 Rt + R2 '
£ - -y E
lc~Kl-e iiR‘~R^Rt
в) E | в) 2.3 т; r) 100 B; 0.77 c.
2.18 465 пФ (955пФ, 4850 пФ). 2.19. 116В. 2.20. 3 О 30/ В.
n I /
2.2l . При 0 < I < It i.=E — •-— I 1 —e ’ I ;
L 'i r^R3\ )'
R 1 ( — — \
“=£T”/’
при t > G
lL = /oe T| j w = — lLR*t
Rrt L L
Ra= R*ri' X~r+R3' X,= r*R 5 '’-Mr-/,.
2.22 ,89 мГ. 2.27 . 6,36 . 2.28. 252 Ом. 2.29. 258 В; 60е
2.30 57,8 0м; 0. 2.31. 8200 пФ.
2.32. и, =——— (ае о/—0е ^)»
*• а—₽
2.34. и»^[в(/)+ ' £1«е-Ч.
Ki L J
_ 1 J_______1_ _ I . J
(Rn^ R^C Rn Ri R2 Я123
Ri Ri
L(Rl+R2)U
Al K3
159
435. 1 (0}=с . а - а_ BjJh Р4~а L (Rt & R J
2.36. U (р)=* Е (р) —1? . —11 (обозначения в ответе 2.34). Rt
2.37 Р а = '1 а _ '_2 0о (р Ф а1/ (р+ о.)““ k^P* Li^L,. Lf&Lo ki= . (Lj 4^ i-c) (2 ^c)
2.38. OL oC a) K(P)=—— 1 6) K(p)= — — CL^p \^pfC$p*LG
2.39. <п у 1 — e~ ~ J 1 X = L/R‘
2.40. 20е~2’,°’‘В. 2.41. 66,7 е-6 «в7, |0’ ‘ В.
2.42. а) (I—е“6‘67,10’9В.
б) 7,tJ4e—б-67'10*1.17е—101' В.
2.43. 66,7(1—е-1*5,10*') В.
2.44. 0,99-е*10®' ^>9,95 sin (10’I— 543') В.
2.45. 0,277е~°'3з,1°‘' 4>0,723е“2*62,10*'А.
2.46. е—0,1 °*'sin 10*/ мА.
2.47. «ВЫ1 = 5^7,Бе °-3-12,5е 05,0<(<Ти;
I I
ивых = 79,9е”°-5-203е °-3,/>Ти
Если тв1«=тВ2 = 0,5 мкс
г I \___________________L_
“вых = 5— 5( 1 ^оТ5 . е °’8. С</<ТИ|
«вых = (63,91—41,9) е °-s, t > Та.
(I в мкс, ивых — в В)
2.48. a) g(/) = ae-“'a(0l Л (/) = (!—e~°9o (/).
1 t / а \
6)g(0—T* ( cos 0>с 7--sinw0/ о(П|
Ь \ ОМ /
h(/) = <o^Ze sin“<»M0l « = «о’-^-вЛ
2.49. 0,446(е-03®-'0‘ /_е-2,62.10« /) в
2.50. 0,1 (Г^ё-10*') А/В. 2.51. 10-»е-10*' А/В.
2.52. 0,707 е-м®'sin 1,41 10е/ А/В. 2.53. 1,11 (е’1»3' — е-10'9А.
160
2.54
2.56.
0,1 (е—,0,/—е-10*') мА. 2.55 pL+ (Р)=~-~
и \ рс г р+р р
—^е-01'sin<oc<; а= —Юс= — —а1.
ш01 с 2L LC
Е (Р) /о
2.57.
PL
D рс
R pL
/о
P
R Р
+
Глава 3
3.1. 50; 5-10* рад/с. 3.2. 167; 10 В; 10 В; 7.07 В; 7.07 В.
3.3. 49,2 мА; 43,5 В; ±10°; -80е (—100°). 3.4. 39,8 Ом; 20.
3.5. 7,5-104 рад/с. 3.6. 0,795 мГ; 3180 пФ; 10 Ом; 50.
3.7 10 Ом; 5,56-104 рад/с; 1 В. 3.8. 91 мкГ; 57 пФ; 4 0м.
3.9. 16,2 В
3.11. 47,2 кОм 3.12. Аг = 0,36 Ом или шунт 198 кОм.
юр
3 13. • 8.14. 8,84 Ом; Q уменьшить на 25%; Q увели-
чить в УЗ раз. 3.15. 1,33 мГ; 750 пФ; ЮОм; 133 мВ; 13,3 мВ.
3.16 33,3 В 3.17. 0,035%. 3.18. ±0,35% (см. задачу 3.13).
3.19. Q (п—3.20. 2-10« рад/с; 2000 пФ; 125 мкГ.
3.21. 14 мкГ; 715 пФ; 1,4 Ом. 3.22. К)4 рад/с; 67,6кОм; —94,6 кОм.
3.23. 754 кГц 3.24. 50 кОм; — 50 кОм. 3.25. —/р —---------------.
п~— 1
(л \ / л \
2шр/——1+1,87 cos 13(Ор/—В.
3.27. 20; 5-104 рад/с. 3.28. 226 мВт 3.29. 100 В; 200 В; 4,25 кГц.
3.30. 548 пФ. 17,7 Ом 3.31. 79,5 мкГ; 3540 пФ; 1,5 Ом
3.32. 143 В; 226 мА; 226 мА; 7,14 мА; 512 мВт; 90°.
3.33. Сложный контур; L = 1 мГ; С = 1000 пФ; г = 10 Ом; р = 0,5,
/L 20р
—. 3.35. —•В; 0,354; 3,54 В.
3.36 88,9; 11 250 рад/с 3.37. 187,5 В; 375 В; 562,5 В
3.38 = 59 мкГ; Lj = 91 мкГ. 3.39. р = 0,652; 50 3.40. Контур
с 2-мя конденсаторами L= 132,5 мкГ; Ci = 1190 пФ; С2 = 954 пФ”
6 Зак 986
161
3.41. Контур с 2-мя инд.: Е^З.ЭЗ мкГ; £t=ll,8 мкГ; С = 4480 пФ;
г — 0,2 Ом. 3.42. Контур с 2-мя инд.: £2 = 44,7 мкГ; 14,9 мкГ;
С = 168 пФ; г1 = г2=Ю Ом; 3.43. Контур с 2-мя конд.1
L = 19 мкГ; Ci = 522 пФ; С2=100 пФ. гг=6 Ом; г2=11 Ом;
5 —/2,38 Ом; 7,38-/4 4 кОм 3.44. Контур с 2-мя конд.:
£=136 мкГ; Ci = 743 пФ; С2 = 774 пФ; 21,6 кОм.
3.45. Контур с 2-мя конд.: £ = 0,567 мкГ; С2=72пФ; Са = 24пФ;
До) Сп
г = 1,8 Ом 3.46. —при СП^С
Wp 2С
3.47.
1
gi U)= "7 е coswpl,
ь
£с(/)=ыре sinwpi,
Ai (0= —Ц-е *' sin шр t,
Wp L
hc (f)=l— e"“a/ cos юр
gL(0=6 (0—Wp e~“' sinШр/,
a/ coswpl.
3.48.
1 ШР
gl e C0S (<0° /+ ф)’
2
(Op
«c<0 = — e"*' s«n wot
gL (t) = b (t) —J <•"«' sin (wc t ^2ф).
Л< (О = —-7 sin wc t,
(Oq £
Wp
hc(0 = l- ^e~^' cos(wc/-q>),
Шр
ftL<0=^e cos (<i)c t *q>),
222
<i>c = wp — a ,
a
tg<p= —.
wc
3.49.
, I 1
8i (4=T-7------*
£ 0 —a
x(be~bl—ae~at),
Sc(^ =7~— (e~e/—
gL (0=6(04*- 7^—x
0—a
X(ate-a‘-b'te-b‘).
a = a(l—Vl —4Q2);
6» (0= -7 7——X
£ b —a
X(e~flZ—e~bt),
X(b e-at^a e-^),
llL Г"—e~bt — ae~ai)(
b — a °
д=а(1 + 1л1 - 4Q1)-
162
3.50.
Ви (0 = ~ e~at cos юр/,
в£0)=<ор e-e'sin<.>p/,
gc (/) = б (0 —юр е~“' sin <ор/.
3.51.
1 ЫР „/
£«(0=7--------- со5(юс/-ф),
G Wc
®р
eL<l)= ^e~al Sinwc/,
§с (0=6(0—^e-ocsin<ocf,
2 2 2
Ос = cop — a ;
3.52.
gu (0=-r • 7~~ (b e~a/—ae-“),
C o—a
h,f(f} = r 4 P e“a/ sin Op t,
hL (0 = 1 — e”a/ cos (i)p G
Ac(0 = e~a< coswp L
(Dp
ha(/)=r4-P~X
X e“a/ sin (a)c /—2q>)»
wp
X e-017 cos (oc /—Ф),
(Dp
cos(wcf-cp)
a
1бф = — .
<oc
gL{t)= ~—(е-а,—е-ь1),
о—a
Sc (0 = 6(0--^- (e-^-e-«).
о —a
4 “7 . —x
С о—a
x(— — е-л/4> — e-*'^
\ a b )
X (b e~at—a
hC (t) = -^—(be-a,-ae-t>l),
o—a
a = a(l— У1— 4Q2); 6 = a (i^-Vl-4Q’).
3.53.
I)
gu (0 = 7- e at cos Юр /,
G
gL (0 = (Dp e-aZ sin (Dp t,
gc (0 = 6(0—(Dpe“a/ sin (DP 0
= arsin(0Pz»
(Dp G
hL (t)= I — e~~a/ cos (Dp 0
Лс(0= e^at cos (Dp
6
163
2)
1 (On
Su -----e~®' cos (wc * 4- Ф).
С co0
(0*
SL sin “c t
(Op
^(0=6(0—x
x e*®' sin ((oc t ^2<p),
*u (0-----T-e“°' slnoef.
(oc G
<op
X e”a/ cos (wc /—ф),
(Op
hc (0 = e*a/ cos (<°c 1 4 Ф)
3) gu (0=77 • 7-— (be-bl—ae~al), G o —a л» (0=77-7^—(e-e,-e-«). C b—a
8l^"~ h (e"e/—e"61), я—a hL (t)= 1— —— x b—a
x (t>e-al—ae-1”).
£С(П = 6(О-Ь^х hC (<) = r^—(be-‘'t-ae-al), d—a
X (a2 e~^ — b2 e~bt).
a = a(l-Vl-4Qi ); 6 = a(H/l-«?s ); a=-^-;Q=-t
zKG p
•» ч о Ct
coc==(Op—a; tg(jp=—.
<Oc
3.54. 10 e-500'cos 10»/ mA. 3.55. 10 e-5’10*' cos 10’t mA.
Q
3.58. 1,84 A 0,08 мкс. 3.59. 221 B. 3.60. —Inn 3.61. 23,9.
л
3.62 . 25,3 мкГ; /- = 2,26 Ом 3.63. rt — 2 < (?„ < rn * 2;
, / . 1 . . . r
<oc = Wpl/ I — j . a = — (r0 4* Go) “pl r0 =>
P y/~^ 1
Go - R P- |/ c ; o>p - y_ .
3.64. t=2,5e“4-l910‘/cos2n.l,5-10e/ A,
ucx —ut = l!25e—4119'*°‘z sin2л• 1.5-Ю»Z B.
3.65. < = 5e—l,67’l0‘' cos 2Л.2-10» / A,
uc ss ~«L= 1000 e"1-57-10*1 sin 2n-2-10» t B.
3.66. 2 e— 5‘ *°’z sin 10е I B. 3.67. После окончания импульса!
a) l/L = 0; б) t/t = 2£. 3.68. U = 0.
164
3.69. 1,58е~5•'°4'sin6,32-10’/ мА, 0</<7’и.
II,Эе-'5’10*'cos(6,32-10“/—10'14’) мА, / > Та.
а а
8.70. a(t — гС) — —е“а‘ sin (со© f — 2cp); tgcp = —.
Шо
3.71. 3,18.10“/ — 15,9sin2-105 / В, 0< t <Г,,.
50-31.8 е-10’' sin 2.10»/В, />7'ф, j ГФ=15-7 мкс.
1,59-10’/ — 7,95sin2.105/ В, 0</<Гф,1
50 В, />ГФТ* = 3,'4МК
3.72 Z, = 10—/100 Ом; Z, = 5— /100 Ом; хо = 50 Ом;
Zj =1,25ф / 25 Ом; Z'=2,5 /25 Ом; ^-O.SEj.
1.73. Zl = l0—/121 Ом; Z, = 20—/41 Ом; хс= — 204 Ом.
Z, =400 ^ /821 Ом; Zj = 28 ф-/ 342 Ом; £; = 1,68Е,.
3.74. 28,5 мА; 20,6%. 3.75. 578 пФ (1490 пФ). 3.76, 558 мВт; 67%.
3.77. ZJ=1,6^/8 0m. 2,72%. 3.78. 78,1 мЛ. 38%.
3.79 2.10’ ± 4,47-10* рад/с. 3.80. 4 Ом. 3.81. ± ЮОм (± 2 Ом).
3.82 . 507 — 2030 пФ; 22,9 мкР. 3.83.2410 пФ; 59%. 3.84. 29,5 0м
3.85 1040 пФ; /j = 155 мА; /» = 121 мА. 3.86. 4170 пФ; 83,5%
3,87 1,00Ь 10’ рад/о. 3.88, Уменьшить на 620 пФ; 101 В.
3.92. 63,3 мкР; 3330 пФ. 3.93. 141 мкГ; 1010 пФ. 3.94. 51 мкГ;
Ю’-ф-1,0240» рад/с; 2,5 В. 3.95. 1075 пФ; 4650 пФ (935 пФ; 3510 пФ).
3.96. 289 В; 3640 пФ; 866 пФ. 3.97.45 В; 9950 пФ 1110 пФ.
А / . Г 1 \
3.98. 1 _ 1/ I—-7-1. 3,99. оо. 64 кОм. 3.100. ПО; 2,2%.
20 \ V Аг /
3.101. 65,8; 14,9-35,9 мкР.
I ЛшР
3.102. a) gt (() = е-*® cos —— / cos о)р /,
L 2
Л1 (0= —Ц-е
о>рЬ
! а/COS —- /sin G)p/J
1 . *wp
6) ga(O = — — e tin —— t sin u)p ft
** £
1 _«/ *WP
(0 = —; e~“ sin —— / cos <i>D ft
o>pL 2 p
fclDp
B) gc(0=-Шрв-®'sin-^-/cos Шр/;
feG,P
^\0=~e sin —~ t sin Шр /.
165
3.103.
.. ^ечсцунмм 1 L-a.f „2 sin <M* '—Pol
"г|"--------ТТйГ >i"b Г
» ((, _ <*x,i'ro" . —Ц|-t— ' +e'“"‘ c°i(“'' fl|i],
topi I'^'elL COS P,
rt Г, , '»*'» i„H_t
«'=Li; “»-2£,; “2= 2L, ’ ё,_ rt • g₽1 &1 *’
“‘-“P’P +2q/ rt J:
2) см. ответ 3.103 (I) с заменой индексов <1> на «2» н «2» на «I».
З.Ю4.
ut = Ui— — «I/,—Ucos ыь t+lUt+Uf) cos wa z], = u, s | z=0,
1 ( k \
u2 = U2+— [(Ui—Ut) coso»/—(Ut+Ut) cos ш0 Z), <oa, б=ыр1 If— I.
3.105. 8,25 В (колебания на нижней частоте связи); —13,4 В (коле-
бания на верхней частоте связи).
3.107 . 70,7 е“ 5-1 °’'cos 10е/мА. 3.108. 100 е-5’,0’1 cos 10’ I В,
100e_s,|O,/sin 10«/ мА. 3.109. —0,667е-6,28'10‘' cos2 л-3-10’ZA,
400е~в,28‘10*' sin 2л-3-10» Z В. 3.110. 1,087 МГц.
3.111. i = 1 cos (to0<—s|:) — I e-®' cos (»p I—4),
uL ~ — uc ss 7p sin (too t — 49 — Ip e—a/ sin (top I—"ф).
1) 7 = 500 мА, 4>=-45°; 2) 7 = 353 мА, ф=0;
3) 7 = 223 мА, t = 18°26'; a = 5-IO3l/c.
3.112. u = U e—al cos (top t — $) —U e“s * * * *' cos (to01 — t),
U U л,
ic^ — lL~— e sin (top t—if)— —e p' sin (w01—4);
1) 77 = 333 В; ф = 30°; 2) 77 = 316 В, \|> = 48°26';
3) 77 = 278 B, if=— 3°41'; a = 5-l03 1/c; ₽ = 2-104 i/c;
p = 100(3 Ом.
3.113. ix= 0,2e—15‘10 * *’ 'cos 1,01-10» t A;
i2 = O,O2[e-10''- 1,41 e-15,10’'sin (1,01-104-45°) A.
3.114. z,= I39cos(104f 33°4I')-I39e-15-10’' cos (1,01-10е Zf
фЗЗ°41') мА,
l2= 19.6sin (10» I-11‘19')- 19,6 e“,5’10’' sin (1,01 -10’t-
—11°19') mA.
3.115.
7i = 0,l (I —2,23e—5‘l0’'cos (104 Z f 63°26')]cos 1.0» 7 A,
/,=0,2 |1 - 1,12e— 5l l0’' sin (10* I ^63°26')] sin 10’t A.
166
3.116.
/1 = 115,5fl.2O2e_8,,o‘' cos(10еI — 33*41' 1 -e“2* l0‘ ']x
Xcos 10е/ мА,
/,-76,9 [l,803e~5*10,/sin (iO4/—33’41'»^e“2,10‘' Jx
xsin 10° t mA.
л
3.117. e 4 . 3.118. <1000.
3.119. 4,l7[1^0.895cos(2.10‘Z— 18’26')]cos ^4-104 4mA.
3.120. 5(1 4*0,1 соз(102/—1’09')ф0,392соз(10^/—11’19')-]»
4*0,224 cos (104/—63’26')] cos 10е / A.
3.121. 5000 рад/с. 3.122 . 229. 3.123. 44,1; 5 мГ; 113,3 Ом-
3.124. 5 мГ; 57,8 Ом; 25%. 3.125. 0,25 мГ; 101,4 пФ
3.126. Несущая частота 7,81 мА; верхняя боковая 3,91 мА;
нижняя боковая 1,94 мА. 3.127. Параллельный контур С = 1014 пФ;
г =6,28 Ом; 84,9%. 3.128. 287%; 56,3%.
3.129. 150 (1 4>0,937cos 2,4-IO41) cos 4-10’ I В;
10[I 1,236 cos (2,4-10‘14s 11’)] cos 4-10е/ мА. •
3.130. 10 [1 4»0,186 cos (5-1041—68’) cos 10е 1 В;
50(1 4>0,186 cos (5* 104/—68’) cos (10’1- у) мА.
3.131. 826 мкГ, 1210 пФ; 34,1 Ом.
3.132. 48,3 cos 5* 10е/^18,1 cos (5,005.10е 1-40°) В.
3.133. 11,6 мкГ; 500 мкГ; 5,8 Ом;
3.135. 250cos [10е/-f-0,15 sin (6* 10е/—6’51')] В.
3.136. 0,99 мкГ; 2,12 Ом.
3.138 wi = (i>e 4^0,828 2 sin Q1—0,142 Q sin 30/;
й —модулирующая частота; сое—частота э. д. с.
Глава 4
4.1. а) Возможно, но нецелесообразно; б) возможно н целесооб-
разно; в) невозможно 4.2. 0,38 мкГ/м; 65,8 пФ/м; 1,42 Ом/м;
76 0м; 9,35 мНп/м 4.3. 3,72 мм. 4.4. 0 = 11,25 мм;
DBbIT= 14,68 мм. 4.5. 0,35 мкГ/м, 67 пФ/м. 4.6. 0,36 мкГ/м;
70 пФ/м; 0,97 Ом/м; 1,17.10“’ 1/Омем; 71,6 Ом; с учетом потерь
Zc = 71,6 —/0,14 Ом; = 1,9-10-4%. 4.7. 52,5О.м.
4.8. а) —/100 Ом, б) —/57,74 Ом; в) 0; г) /57,74 Ом;
д) оо. 4.11. /115,5 0м; 40 В; 0,346 А. 4.12. 1 А.
X
4.13. а) 142 В; б) 142 В; в) 100 В; г) оо 4.14. При / = у; 24 кВ.
4.15 а) /о = 1,О8м; /'=0,33 м; б) /0 = 0,65 м; /J = l,4 м.
167
4.16. 2А. 4.17. a) 141 В; б) 141 В; в) оо 4.18. -/636 0м; +/30м.
4.1». 75 Ом, ^0,2 ♦ -у) К, <л = 0. I. 2. —)•
4.20. а), в) 150п МГц. — м (л = 1, 2, 3...),
п
б) (2п 1) 75 МГц, 4/(2лф1)м (л-0.1,2...).
1 I Е V
4.22. Рпап= Ротр=у(——J IF. 4.23. 0.963 м. 4.2 4. 17 нР.
4.27. /192,6 Ом. 4.28. 727 МГц. 4.29. а) 0,664 А; б) 132,7 В; 0,5 А.
4.31.60 В; 160 В; 40 В; 1,6 А; 0.4 А 4.32.0,5—; 150 В. 50 В
3
4.33. 50 В; 8,8 В; 58,8 В; 0,588 А, 0,176; -0,176; 0,7.
4.34. 166 0м 4.35 . 640 Ом; 40 Ом 4.36. а) 4,47 А; б) 360 В;
120В; 6А; 2А; в) 180 Ом; 20 Ом 4.37. 23.1 А; 66,6 кВт. 24 м.
4.38. fc0B(AS)=l; k(5B (6S) = 0,5; 400В; 1 А. 4.39. 94 Ом.
4.40. 1^ = 66,7 Ом, 11^=100 Ом. 1Гэ = 200 Ом
4.41. 133 Ом. 4.42. (43,5 —/60) Ом 4.43. (1004-/100) Ом;
(0,005-/0,005) Сим. 4.44. а) 0; 0; б) —0,539; 0,539; в) 0,5; —0,5;
г) 0,446е'63-5’; 0,446е“/| |6 5°; д) 0,446е-'63-5’; 0,446е'116-5*;
е) 0,544е/|2-5’; 0,544е-',8’-5°; ж) 0,8е'19-5’; О.ве-'160-5’’,
з) 0,744е-/87-6’; 0,744 е/92-8’; и) 0,207 е-'82-8’; 0,207е'98 8*;
к) 0,бе'34’; 0,6е“>|46°. 4.45. a) (13+/I0) Ом; б) /81 Ом,
а) (28,5 — /31) Ом; г) (86,5 + /73) Ом. 4.46. (200 + / 400) Ом;
158 В. 4.51. а) '52—/81) Ом; 0,33; б) (49 + /92) Ом; 0,25;
в) (2,5-1-/ 65) Ом; 0,02; г) (74-/ 175) Ом; 0,02; д) (33-/ 44) Ом;
0,27; е) (94 — / 135) Ом; 0,27; ж) (21 + / 82) Ом; 0,12;
з) (1334-/34) Ом; 0,12; и) (47-|-/90) Ом; 0,25; к) (504-/95) Ом;
0,25. 4.52. а) (22 —/31) Ом; б) (89— /90) Ом; в) (1424*/52) Ом;
г) (834-/Ю) Ом; д) (83—/ 10) Ом; е) (102—/ 56) Ом;
ж) (160 4-/ 105) Ом; з) (22+ / 32) Ом. 4.53. 0/2,3.
4.54. d = D/3,6. 4.55. 3 кВ; 2,93 кВ; 9,52 кВт; 95%
4.56 - 96,3%; 1,95 А; 18,5 Вт; 952 Вт; 990 В. 4.57. 1,944 В.
4.58. 0,971; 0,965; 0,928 4.59. 600 В; 636 В, 1200 В; 1075 Вт;
93%; 75 Вт 4.60. Закороченный отрезок: 10,59 кОм и 1,065 Ом;
Разомкнутый отрезок: 0,5325 Ом и 5,295 кОм 4.61 Закорочен-
ный отрезок: 260кОм и 0,203 Ом; разомкнутый отрезок: 0,1015 Ом
и 130 кОм. 4.62. Латунные поверхности: 4,7 Вт; 106 кОм; 9,4 мА;
20,8 А. Посеребренные поверхности: 2,26 Вт; 221 кОм, 4,52 мА;
2С.8 А. 4.63. (900 +/9500) Ом; 100 кОм; (900 — /9500) Ом.
4.64. 71 Ом; 54 Вт; 94%; при согласованной нагрузке 56 Вт;
94,4% 4.65 При расстоянии от конца отрезка /=1 м: С/=1 В;
/ = 2А; при 1 = 2 м: £7= 1000 В; 1 = 4 мА; при 1 = 3 м: U = 3 В;
I = 2А, при 1 = 4 м: U = 1000 В; / = 8 мА. 4.66. а) 5 Ом;
б) 500 Ом 4.67- 68 +/33 Ом. 4.68 . 300 МГц; 5100.
4.70. 1,87 пф; 2880. 4.71 640. 4 73. У нагрузки; 20 см; 49,5 Ом;
4.74. с/тр = 23,6 мм, /у р —~ 625 мм. 4.75- с/ур^—1о мм; /ур——600 мм;
у нагрузки 4.76. 5.J см от нагрузки; 183 0м; или 20,3 см от
нагрузки; 26,7 Ом. 4.77. 355 Ом; 15,2 см от нагрузки; или
710 "Ом 40,2 см от нагрузки 4 78 86,6 Ом; 0,87 м;
168
4.79. /о=53,2 см; /ш= 160 см; или /О = 196,5 см; /ш= 89,8 см
4 80. 10 = 33,3 см; /ш=68,4см; или /0= 93,6 см; /ш = 34,4 см.
4.81- /0 = 55 см; /ш = 46 см; или /0 = 113 см; /щ = 104 см;
1600 Вт; 1770 Вт. 4.82. 2 мкс. 4.83. 1) 1,2 А; 2) 0,05 мкс;
3) 36 В; 0,6 А; 4) 7,2 В; 0,12 А; 5) 40 В; 2А. 4.85. 112,5 В;
0,025 мкс 4 86 1) 1500 В; 2) 500 В; 3) 60 м.
4.88, a) и„=«100 (1—ехр[—2,5-10" (/—Го)|| В;
/„-0,5ехр (-2,5-10" (/-/„)( А (/ > /0).
б) ын=100ехр | —2-10" (/ —/0)( В;
/н = 0,5 (l-expl-2-КУ (/-Ml) А (/>/<,)•
( 2 )
в) u„ = 100 1 —— ехр(—3,33- 10" (/-/,)] В;
\ чЭ /
/п = 0,ЗЗехр I— 3,33-10" (/—/„)] A it > tn)
г) uH = 33 (1-(-2ехр 1-6 Ю’(/-/0)1) В;
<н = 0,33 (1 —ехр [—6-10’(/—/0)]} A (t >/„),
где /,,= 10“7 с.
Глава 5
5.1 /?(/)С(П-^ + [1+ R(t) «с = е(П.
al [ (21 J
5.2 L(t) ^-4- [/?(/) + -^р-] ' = «(/)
dt L al |
d"~ (2f t nf »> к dur
5.3 . Lo Co - .a + (atCd e — aL0 Cn) -|-
dr dt
+ (1 — aCG ate~a()uc = e(t).
5.6 —гг- ( v У,Ср K (<Op “FT’
5.7 = uc=£-^y2; (/>/0)
I t \— tl/aC_ti/uC
5Л. uR = E ( --- J «С ; uc — E ^\[aC ’
т bt , Л
£ t2+t2 I
5-*° “«= uc=i'(1—e 1 ]: «>/.)-
169
5.11.
5.12
Е
“С 2 /г •
(t >
5.13.
5.14.
5.16.
1 "ЧТ «о Со
—— е х" , где г» = -—-р-р-
f
“Я= aR0C(>—1 (a/?»C»-e J’
I
Ro C«
e (0 dt.
5.19.
5.20.
£ t f« \2
uL = — ^^ I (/>/«)
5.21.
5.22.
5.24.
ad \ t J
bt Rbt 2abl
i—-------: «4=---------: u, =----------.
R4-2a " R+2a ' R -| 2a
106 mA, 0, 3)8 f. A. 5.25. 1,5 mA (ft = 0), 1 mA (k = 1),
0(1 = 2; 3). 5 26 107 мкА, 10,7 мкА. 5.27 2 мкА
5.28. 30 мкА, 24,8 мкА 5 29. 0,1 В 5 30. —6 В, 6 В, 0.54 мА/В
5.31. 640 кГц, 5,4 В. 5.32. 360 кГц, 1260 кГц, 1,15 В
5.33 0,2 мА/В. 5 34. 14,1 мкА.
5.35. 0,255cos (2лЮ3/—32°)+ 0,24 sin 2л-10"/ В.
5.36. 0,1 cos 2л • 10*/ +0,032 sin 2л-5-10*/ +0,128 sin 2л «10* / В
5.37. 1,5%. 5.38. —5 sin 10*/ —1,01 sin 1,01 • 10"/ —
—0,255sin 1,02-10® /—0,99 sin 0,99-10" t—0,245 sin 0,98-10" / мА.
5.40. 3,18-10» Гц, от 954 до 1046 пф 5.41. 200.
5.42. 800 мкГ, 40. 5.43 на 5.9 пФ. 1,59 мГц 5.44. 10.
5.45. 2 МГц, от 206 до 216 пФ
170
Глава 8
8.1. 1,74 мА; 3,14 мА. 6.2. —20 В; 17 мА 6.3. —40 В; 40 В;
22,1 мА. 6.4.1 = 184-2.Зи+5,8-10-2 иг—8,9-К)-" и3+8,9-10-" и* мА.
6.5. / = 10 + 2,08(u + 5)4-0,062(u+5)3-0,01 (« + 5)3 +
+ 0,0005 (и +5)« мА. 6.6. /„=10,63 мА; Л =9,06 мА; /2= 0,625 мА;
/я = 0,313мА 6.7. 14,8 мА; 9,12мА; 1,06 мА; 11,6%. 6.8. ЮЗмкА;
81 мкА. 6.9. /„ = 37.5 мА (+2,7%); /1=45 мА (—6,7%); /2 =
= 7,5 мА (—9,4%). 6.10. а) 0; о„; 3*,)„; б) 0; <о0; 2<й0; 3<о„.
6.11. а) 0; со„; 2а)0; 4а>„; б) 0; <оо; 2<о„; Зш„; 4w„. 6.12. 3,8//cm->
—0,00756%п мА. 6.13. Сместится вправо на 400/а, В.
6.14. а) 20€/т + 0,0375//^; б) 56%+ 0.0375//Д мА. 8.15. —0,1 В.
6.16. 9,8 В; 49 В; 0,157 В. 6.17. —0,106 В; 0,094 В. 6.18. Еа —
—10011 + 0.686 cos (^WT— 31°)] cos 10’ I В. 6.19. 17 кОм; 2,64 Вт;
0,36 Вт; 87%. 6.20. 290 0м; 29. 6.21.39,5 пФ; 1,8 В. 6.22. 40,5 мВт-
6.26. —46 В 4-—14 В. 6.27. 60%. 6.28. 4,7 В; —34,1 В.
6.29. (bl+2bzUQ)Uт. 6.31. Нет. 6.32. 40%; 7,5 мА; 1.5 мА.
6.33. 50%; 6 мА. 1,5 мА. 6.34. 2,5 В. 6.35. 25%; 19,5%; 253 пФ.
6.36 12,5% Q < 60. 6.37. 157 cos (104 ( —11°) cos 10’/ В.
6.38. а„+-увг(/т. €.42. 6 В. 6.43. 2,55 В. 6.44 . 0,251/т мА.
6.45. 260 кОм; 10,4 В. 6.46. 2,3 кОм. 6.48. 0 Гц—1,52 В;
500 Гц—0,73 В; 2500 Гц—0,44 В. 6.49. 12,3 В. 6.50. 100 кОм.
6.52 71 пФ; 5,8 В; 120 мкА. 6.53. 120 мкА; 40 мкА; 18,3 В.
6.54 11,5 В; —4% 6.55 175 мкА. С.56. 16,'/ кОм; 600 пФ; 15%.
3
6.57. 300 кОм; 33 пФ; 4,25 кОм; 2400 пФ. 6.58. axUx +— a U\ +
О о
+ мА 6.59. 0; ; (*)2;
(,)] 4- 3<i)2; 2<0| 4* 2(02*, 3(1)] 4- (Of.
6.60. а) 0; 10"; 10s; 3-10"; 3 • 10';
б) 0; 10"; 10s; 2 10"; 2 10"; 3 • 10”;
Ьл
2-10" ± 10" рад/с. 6.64. — _±. В.
45,
2й»,; 2(о2; 4(0,; 4ог; о), i <os;
10" ±2-10'; 2 • 10в± 10s рад/с;
3 10s; 10° ± 10s; 10" ± 2-10s;
Глава 7
7.1. 125 мкГ. 7.2. а) 0,795 мА/B; б) 6,52 мА/B. 7.3. 1,71 мкГ.
7.4 2,98 мкГ; 83 В; 4,98 В. 7.5. Не будет. 7.6.0,168 . 7.7. 1,043 мА/В;
29,6 В; 430 В. 7.8. Жесткий. 7.9. 8,86 мА; 1,108 мА/В 11,3 кОм;
0,09. 7.10. — 3,07 В 7.11. 398 кГц; 12,5 Ом. 7.12. 127,5 В.
7.13. £1 = 25,1 мкГ; £, = 444 мкГ. 7.14. —5 В. 7.15. С. =5170 пФ;
5Л1
Са=556 пФ. 7.16. 774 мкГ; 0,1; 141 Ом. 7.17.
7.18. £t=795 мкГ; £г = 79,5 мкГ; С3=181 пФ. 7.19. 11 мкГ.
7.20. —0,34 В. 7.21. (/„ = 5,8 1, (а(/б); жесткий. 7.22. 25 мкГ; 5 В.
х
Воспользоваться соотношением li(x)®“ при *<1. 7.23. Нз
4,6 кГц ниже. 7.24. 12ыА/В. 7.25. 316 мкГ; 32С00пФ. 7.26. 2,57 мс.
171
7.27 434 мкс; 156 мкс 7.28. 2.5 кГц; 5 кГц. 7.29. 0,3 В 7.30.5,7е;
нет. 7.31. 23 Гц. 7.32. /<а > 20,4 кОм; Я =250 кОм. 7.33. 25,2 Гц;
К >8. 7.34. С1=С2= 160 пФ; Сс1 = 0,01 мкФ; Сс2= 2,2 мкФ;
£^ = 660 Ом. 7.35. Выполняется; 26 Гц. 7.36 а) 318 Гц; б)597Гц.
7.37. 1 Ом. 7.38. 375 кГц; 16 В. 7.39. Q > 8,8. 7.40 0,12 В< £<
< 0,41 В. 7.41. 0,2 В; 10,6 МГц
Глава 8
8.1.
8.2.
8.9.
11 „ „ „2 ”1?* 'Л1
‘ — а/ = у у •
I ( У \ ~~
-£Г)’
8.12. Кх (G» G)=o2coso)0(^ — G); а* = о2.
8.13. Kx(h, tt) = £} af cosw,(/t—a?=
i “ I i = I
<46 9 Л6
8.14. /Cx(G* G)= 2 cos (i)0 Ox = 2“ •
8.15. Kx(it, it)= — cos Wo ((,—ti); o}c=-g-.
<, Al t <, Al
8.16. KHGJ»)=2I~COS‘,»‘°* = Z ~
f = I f ж;
8.17. a) Kx(tt, 7t)=a‘exp(—2X|/,—Г,|), oj=o8;
6) KxlG. <.)=T*exp(-2X|z3—/,1). a? =?.
8.18. x(/) = X j F(l)dt-, al=A f F (t) dt;
Kx(h, X J F (t)F(t—x)dt, т = tt—tt (решение см [7], §7).
8.19. uV) = laR; Ou^lBqR2a/2;
Fu(ti, t,)-a«exp(—a|/,—1J); a=-^-(
r\ C
q—заряд электрона (использовать ответ 8.18).
8.20. (</) = /0; o/a=/0i?a/2; Ki (/,, (2)=o? exp( — a | tt |).
a^RlL\ q — заряд электрона (использовать ответ 8 18)
8.21. Kt (G, ^) = qfo^ (G — /1); а? = эс (использовать otbci o.I8).
8.22. ^0i, /j, = ““ Кд (t\, /3) cos Wq (/j—/j)
172
X|
2а»
8.23. KtfUt, tt}~Kvt(iu tt-) = a*Ki (tb G)+**Kt(G. G)5
^1/11/2 Kj (G» G)-
8-24-
I
x? + x2 —2/?Xj x2
2o2(l~/?2) 5
(*2 —flycji)2
If (*.. ХЛ 1
Оусл = a (l—R ) аусл = *i /?=(G * G)*
8.25 P=l — Ф|(Ь— ffa)/ot|,
где a2 = a1/?(G. G). o‘ = o* [1-/?*(G, G)J
8.23. W (*t) = y=~o exp^- ) ;
2°усл
2na*Vl-KeXP
xj «£•Xj—2/?Xj xt
2a1 (1 — /?«)
/? = Я(/1, G) = cosoj0(G—G)«
8-27 и7^“Т^ехр
.2
W'CXb M
xj 4» x|—2/?Xj x2
2na»Vl-/?‘ eXP[ 2a‘ (!-/?») ,
R = R(tlt G) = exp(—a|G—G I) cos a>o (G—G)
8.28. IT (xO =- 1 ,
л P4 Л»— x?
J
1
(X1’ n_ 1/ ' I
2л V
d I x2 — Aq cos । c)q (G — 11) Ц-
4- arccos — H*’ 0 xa —
/ J
где | X! | < 40t | re | < До |.
arccos
• ( x
8.30. IF (x) = — exp — — .
V 2л a \ 2a* /
---- Л
8.34 x(t) =s sin6)0 /; процесс нестационарный.
у e
Ox 4k
8.35 Fx (to) = — 4M .
8.36 . Fx (©) = “* sf (®). Sf (a>) = J F (/) e ~/<B/ dt-,
— » (см. ответ 8.18).
ПЗ
8.37.
8.39.
8.41.
a1 4a1
aa 16a5 n sin Вт
F (<•>) 8.40. К (т) =F0 p -Tf-.
я 3(a2 ф co2)3 рт
(1)2 — (Di
sin------------1
2 (Di + U>2
Л (t) = Fo (M—W1) —----------------------cos
(l)2—(1))
2 T
2
2
8.42.
8.43.
8.44.
8.45.
8.46.
8.47.
8.48.
8.51.
8.53.
8.54.
8.57.
8.58.
8.59
8.62.
o*
F(®)= —
Л
a a
a24-(w—w.)1 a,4-(®4-.®0)*
a1 a
F (g))=-------—-----------—. a « (o0.
л a’4-((D—(i)0)2
a^______________4a (<>» 4й a2)_________
“ ~ л [a2+ w.)*] [а»+((о + шо)г|
2a‘2
exp (—to2/2p2).
2 yw— U»»J _ tw-y WQ|
fw-wr 2₽' +e" 23’
f(ffl)=We 2₽t • ₽<<“”
na z na Д/ 2л a
а) —, б) —, в) а. г) -------, д)
а) ла. б) —,
в) 2a,
г) Д/ 2ла.
Ку (т) = 2КХ (т)(т -Д)-Кх (т + Д),
= 2(^(0)-^ Д)].
Мет. 8.52. Непрерывен, отдельные реализации—нет.
Все процессы непрерывны, дифференцируем лишь процесс в).
Два раза. 8.55. Один раз. 8.56. a2=a’o2.
4о2 а3
- d* d*
Ку (т) = а* Кх (т) + (2ас - *!) — Кх (т) 4-с» — Кх (т).
Р=0,3085. 8.60. п+(Н) = 67. 8.61. ТСр=165мкс.
а^ = 2.56.1О,ол В2с-1. 8.63. nMaJtc=-^-*
8.64. Pssexpf — 21L-й~ичЧо'
К . п
8.65. й (() > 54,5 м.
174
Гл а в я 9
й.1. M'n W-f? Sl
1Ао Ч» 4<*1» а^О^ооГ.
9.2. оЙ0=^-«. 9-3. ~1~р~~]>
9.4. у = т(\— е~а/)> а=1//?С.
9.5. oJ(0--^yL(l —e“2e/). а—1/RC.
9.6. Ку (h, Ц = е"“ (1 - е~2а/’)> lt >
9-7. aJ(O= -^vI(P-a)-(a + P)e-2a'+2ae-,a+3) 'J,
p—a
1
a“ RC ’
9.& Kv (tu tt} = ^7 {p (1 - e-2"-) e-« "•-'•>+
+ afe“<a + ₽) '• —e~a(/,~z,)]—a U-e-’a + f}> 'Че-3
G > t,
г
9.9 y(0 = l B. 9.10. Ky\t)= — |Кх(5-т) h-^ids.
—T
T
9.11. ol= y | (*ф-у ) Л 9.12. al=-^-.
0
, лаГо ft|Tl ., ла Го a2
•9.13. ^(T) = —e-»1^; oy= — Fo; Л(ш) = —,
1
a^~RC~'
9-14. «,W=^(l>e-4|”-«e-’^; °’=a?Tfe;
2pa* ___l_
^(ш>= я (ot + p'Hw’ + a2) 5 a_ RC •
9.15. ai = naF0(l— e~ar).
/ I— e~aT \
9.16. о|=лЯ07'^,~—^t=—j‘
9.17. К„(т) = а»е~“|т|( cos<ocT + -^- sincoc J т | ];
\ G)c /
o^=naF0Q*; а = -2Рс’’ “‘= "7c—“t; Q1==A^'
ZKU LL L
175
[Для решения задач 9.17—9.20 воспользоваться импульсными харак-
теристиками ответов 3.53 (2)]
9.13.
ст—— sin а)с | т | ;
/
2 1
(Dr «»-----
LC
al^naFoR*-, а =
л50аЛ
--------------------е“ ат sin <i)c т, т > 0;
аи.
9.19. Кху(Т)=
2
(Dp
LC
(Dq
0 ,
2 2 2
< = а)р“а.
9.20.
Кху (т) =
а 2RC ’
2nF0a₽ e“atl cos о)с с---— $!*пюст | , т > 0;
\ /
0, т < 0;
1
а =------«
2RC '
Fy(U>) R’ + W ’
р 2kT
Fu(a>)=----
Л
где К —постоянная
вина
9.21.
9.22.
1
LC
^oR’ , "~|т|
--------; К„(т)—o*e ;
R г kT
1+ (wRC)» • C ’
Больцмана; T —температура в
сое =
а’.
2 *FoR
* 2а *
градусах Кель-
9.23.
9.25.
9.26.
RC > 0,4 мс.
v ) 0 14-(<i>T)’ ’
9.24. a* = Fo (<Oi—arctgWjRcV
\ КС J
2P I +>7~!)2 , jT+Tjp
p+(0« • 1+(шГ)« . ’•' = ”' t(l + pr)
Кр(т)=лГ0
Г-т\ --т1
Г1 е
9.27
9.28.
9.30.
9.31.
^(т)
a„=0,2 B. 9.29. О;, = 0,30 В.
ор = 0,39 В; 0,28 В; 0,122 В.
F р(ш)-------------------
Р п[(Ш*_Ш£)2 + 4аг^]
а . \
COS Шст+ Sin (*)с | % I J
2
=? о у е
2 = nFpCOp
“ 4а ’’
2 2 «
(Ос = (Dp — аг»
176
8 t Г
toe = Wp—л2»
9.32 -г , а ,
Г* ((О—О)рГ ф4сгй)2
lp , ч Ля/q 1т|/ ®
=----Г"е COStocT —>--SlD(i)c
r \ ®o
а£=элРоа/А
»-33. Py(^-------- i 4ay\ - -, aJ=naF0Q*;
л «и* — шр)’+4а ш2|
Kv(t) = 0’e-«l’l
i 1 '
“₽ = “ZF’ а=ай?
( а \
cosg)ct+------sin coc l т | |
к <«>o /
л (Op b 2 2 2
Q= > u>c=(Op— а •
4aaco3
9.34 Fу (co) — Fq R" 3 2\ 2 к л з з»
(о —riop) ф 4а co
2
Wp =
1
a =-----
2RC
(T)=aJeeaIx| { coswct----- sin wc|i|Y co?= top —a2;
\ w0 /
aJ = nF0 aR*.
9.35 M*>) = л • ^ = ^oQ’;
Ky (T) = aJ e~a ,T| ( cos<i)c —sin (oc |x| |;
\ wc /
11 1 п Л 1 2
CDP = —a=——, Q=-------------wc«=wP—a
LC RC Mpb
4awpaJ х лп
9.36. Fy (co) =»-—---—----, Of, = лаЛ0 Q8;
л ((ar—(Op)8 + 4ar(D2l
KF(T)=a2 eea,r,^coswcT+ sin wc I * Q ;
2 1 л wp «22
0,p=Ic’- a = ir- Q=—• “«-«₽-«•
Fo 4a’ (r2 w2 L2) , 1 r
».37. f(w>-7cT “--IF'’“a-
(T) = nF0 <*Q2 (p2 + <2) e “*a ।x 1 (cos wc т — ——-—
\ <МРг + ',г)
<3y =naF0 Q4 (p4+ ,«) = naF0 Rp (1 4» ]
^p = Qp. Wc = top—a2.
9.39. Ky(T)=a£e-6-,0>,x‘cosl04 ^«12,5 B2.
........... :i sin рт
sin шс|т|у
P = wpL.
Jill Ul 2 2
9.40. Ky (t) = cos wq tj Oy == Fq /Ср (Wg
P = (w2 — (ot)/2, <i)0= (tot + w2)/2
177
naF
9.41. ---- KJ 1 +я | t|) e~ ° 1 T’ co< aB«
z nFo^Kp wp
2 ’ адГ*
a* v Лео
9.42. Kp(T) = oJe 2 coso)0t, oj = FQ AoKp; a= д/2л” *
9.43 Ku (т) = а£ e“a Iх 1 cosd)pi, a^ = F0A<i)^pi a = -^“.
/2a 1
—c / 2 , Л"» a=“pF’
nr,, (a + wo) RC
9.45. ₽C = — , <?M =Л/‘|/лГ,|ш0.
Wo
. /" Э 1 -e-“7
9 46 ’= V nF, W •
/ Э
9.47. /?С = 0,8Г; ?M = 0,91/ -7—; Э = £2Г.
F 11* 0
кЕ
9.48. X(<o) = -r~ (• — e~'“r), «=const.
iu
9.49.
kE, 0 < / < T;
, 0. t < 0, c
U(O =
0, t < O,
кЕг t, 0 < t < T-,
KE4t-2T), T<t<2T-,
0 , / > 2T.
9.50. A(o— y, <?mm — Д/Э/лАо > Э — ElT', pM=0,90.
2(1—(1 + aT) e —аГ1 /“5“
9.51. Q=~----- ------ I/ —, Э = £’Г;
|/аГ [/ я£0
9.52. aT=3,21; <7м = 0,93 1/ -Д-, Э = £2Г; -^-=о,93.
» Я' о ^?мм
Глава 10
10.1. Г(у)=Т7==—ехр(-Л).
^2луах г\ 2о’/
10.8. 770=5,2 мА; /<( (т) = 0,04 ехр (—2-108 т!)
4»-4 ехр(— 108 т2) cos 10® 1 ^0,04 exp (-2- 10s т2) cos2-108 т мА2.
I7d
10.4. ((0 = 8 мА; Kj (т) = ехр ( — 2-10* ] т |)->
100 exp (—1041 х |) cos 10е т^ехр ( -2- Ю41 г |) cos 2.10е т мА’.
____ (sin 2л-10е х)2
10.5. i (0 = 5 4-0,8л мА; Kt (т) =0,64 л* >
51п2л«10*т (sin 2л- 10е т)2
-ф- 36л---------cos 62л • 10е х 4* 0,64л2 — --—-— х
2л. 10е т (2л-10й т)2
X cos 124л. 10й х мА2.
10.6. НО =30 мА; Kt(T) = 100 (I ^cos 2w0т) X
х(4е-2-10'^1 <Не-(10э+10'ИЧ ^е-2-10‘1Ч) мА2.
10.7. Ку (т) = а2 а4 Я* е“ 2а 11Fv (w) = d q* 4<Х
* и л 4аг4-ы«
10.8. Я„(т) = а?а4Я2е~е'х’; Fy (<o) = d^le-“>,y4₽’.
ИлР
10.9. (т) = а2 Я2 4Р2 • 2р = е,—
(2ЯМ^ (2Р-|и|), |<о|<2р.
= | 0. |Ч>2Р.
Яра?Л^ Р! т-
10.10. Ки(т) =---------cos 2ш0 т Яр а| Д2 о2 е 2 cos 2<о0 т
О
4> Яр Q2 о4 е“0’т*со8 2а)от;
я(/ (а» = ЯрвМо 16 (Ш- 2<о0) + 6 (<о+2шо)J >
О
. /---- Г (й>~2<0о)"
^^1/ — *P^«o2[e 2Э’ 2Р’ +
4* У л
Г (а> —гш»»* (СР 4-2(t)op j
+ -5р71Г^в?041е ** ]•
2 2
10.11. Чвы1 = ^~, <?вх = ^--
10.12. Яр (т) =Y Я2 а| R2A (т) Я2 аг2 а2л RA (т) р (т)
Я2 а2 а4 р2 (т).
10.13. <?Вых = Чм = •
(О
10.14. Яр(ш)-а2 j Fx(P)fx(«P-P)dp.
О
10.15. ^(а))= Аао4 (-°" a ) *
л \(02 4>4а2 й)24*а’/
179
10.16.
10.17.
10.18.
-__лаГ0 n2 _ 2а2 ал2 Л? 1
У RC ’ у RC ’ (24-aRC)’
«МуИувИ'Н
_1___
У 2л аа
0,
2Т
g. + e"^-l
[ЯС
е"*Ц у>0-,
у<0-
у = » о?/ = ~ I — “ аа а2 =0.3408 а2 а2
а2 о2 ..а
10.19. Ки(т) = —— {[1—Я2 (т)11 /я ^Я (т) arccos | —Я (т)]| —
ЮЛ «,<«-“ р‘
/ I \2 / ьз V 1
*UP‘(”+(5T5j₽'
=и£ (0,915р2 (т) 0,057 р4 (т) ф ...J.
10.21.
а2 а2
Ki М « -Г- Р (т) cos <i)0 т,
4
п2
10.23.
Ку (Т) =
10.24.
а2 а2 Г . ।
-ZT Р’(’H-JZP*(’)*
ол. 14
#![Я(,)+5£>.9И<*
2л [
4а2 о4 Г
>от.
31
я (1)ф 7 Я2 (Т)-» " +
4 31
51
R* (П
10.25.
Ку (т) = arcsin Я (т).
а1 , Г Я (т)
10.28. Ку (т) = т- arcsin —
z*T I 1 ulk
Глава 11
11.1. а) Ял (т) = Яв (т) = о2 е a|I|cosAwi, Яля(т) =
=so2e-alTlsin Awr, A(o = we—a>c,
б) Кл(т) = ЗД=0*е-»1Ч Яла(т)=Ю.
18U
П.2.
K4(T) = /<fl(T) = a1e-o’tl ^в(т) =
= — — оа е”а 1 х 1 sgn т,
ю0
11.3.
11.5.
11.6.
11.7.
sgn х =
1.
0,
— 1,
х>0|
х = 0;
_ , . „ . . 2ага _ z ч а1 а 2/©
F4(<o)=Ffl(<o) = — Злв(со) =-------------гНт-
л(а2^(о2) (оо а2 4-(о2
Кл(Г)=Кв(т) = а’^^-, Клв(т) = 0.
(д« — (О.
a’=.F0(wt-©i), fi = —2-
Кл (т) = КВ(т) = а’ , КАВ (т) =-^- [cos (Oj—ш^т—1],
рт т
a« = F0 ((о2—(Oi), р = (о2—(оР
^(о=4"£"ст,е-в|х|’
4
(“) — 2л £°° “ (а14. (о*) (Рг 4-а>»)
₽=RC’’
Р’
11.8
? = £с/б. 11.9.
МЕС
Q =----
о
11.10
'4/
w'^^=^f/r±F‘exp[
o£e
Р=Р(О, =
11.12. E = j/^o, о4£=^2-у)а».
11.14. Ё’ = 2о*, а£, = 4о‘.
11.15. Р=ехр(— 2) = 0,135 11.16. Р = ехр(— 2) = 0,135.
11.18. K^T)=^2-yjo,(0,915e-2a|TI40.057e-,'a|tl4 ..);
FE(a>) = -( 2--£-) a2 ( 0,9l5'-t4-- 40,057 f”
с л\ 2/ \ 4а*4“г 1ба’4ш* '
181
11.19. ^(т)=^2—2^о,(0,915е-₽’т’4'0,057е-г₽’т*ф. .);
F£(o>) = ^- (2-yj о’(о1915у-е-?5Г^0,ОБ7^е_8Г,+ . '
11.20. K£(T) = 2pF0(2~ — ) (о,915-у^—ф0,057 ——4 ... ).
к 2 / к (0т)! (Рт)‘ )
СО2-О>,
2
11.21. o|=(2-",j К*;
к 2 ) 2Qa р
КЕ (т)=о£ (о,915е“ВР 1 х |/<?° 40,057е ~2“р1 *17 °"
Е (W) — °£
,915ф^_ 4 0.057 -1^1
4^ + о>’
<?; <й
11.23. К£.(т)=4о4е-2“1’1; F£>(<o)=—. — 4”—
л 4а2 4-w2
4 д й>’
. — R’V 4СГ ^ТйГ
11.24. ^£,(т)=4o4e ₽ . ^£»(“)=TVze •
р > я
11.25. K£.(T) = 4^(wt-<0i)1-
F (Ш) = ( °’
Е’ l8nF0[(<i>s—©], И <(<!>, -W1).
%1 Ч
11.26. ob=n*fj “73^ ’ К£.(т) = а>.е .
Чэ
„ . . 9 2“p/Q3
F£«(<р) = О£« • 2
q;
Г 4-101 8-101 1
п.я. (8- ,<,,. + „♦ -] в-с,рц
11.28. е_|>8.
11.29. Ё=п В; К£(т)=л(4—л)(0,915е-аЧ’4
40.057е-2а’'1*4 ...) В‘.
а = 2 ^2л • 10* рад/в.
182
11.30. =
c 12л
- 64-10* 16-10»
4-10’4-ci>»^4-10e-£<i>i
32(10»^10*) ]
« • ~ ~~~~— ’ I ’’I*
(IOs^!04)44><o2J
11.31 . Ё=/5я В;
В’с/рад.
К£(т) = (20-5л)(0.915е-|О,И|^0,О57е-2,‘о,|’14> •) В».
11.32 . КЕ,(т)=4е-10,1Ч в4; F (w)=12^L в<с/рад
11.33 /5л В; (20—5я) В2. 11.34. j/i В; ^2-у)' В2
sin 10» т
11.38 .2 В; 0,2 В4. 11.39. Ке(т)=0,2- В4.
гь ((!>)= [°»2,10“6 В2с/рэд» со< 10® рад/с
0, й)> 10® рад/с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Изображения и оригиналы по Лапласу
F (р) НО
1 «(/)
1/р 1
1/р2 t
п!/рл+1 tn
1/(р+а) e-at
Р/(Р +о)
а/lP (р4-а)|
1 1 (.-at
(р4-о) (р -Ь Ь) b~a '
р ^_(_oe-* + fte-l») b—a
(р 4- о) (р 4- Ь)
Р* б (П 4- —— (аг e~ ai — 6a e- bi) b—a
(Р 4- «) (Р 4- Ь)
IKp-l-a)2 (e-ai
Р/(Р 4- а)2 (I—at) e~at
со/(р® 4- и*) sin ш/
р/(рг 4- о?) cos co/
“/|(Р 4- о)1 + <>’) e~a‘ sinwf
Р/[(Р 4- а)г + <•>*) e“a/ [cos co/—(a/<ij) sin <j)/J
(р4-о)/((Р 4- а)г4-а>®1 coso)/
о’/|р*(р + «Я a/_(l_e- o')
аг/[р (Р 4- о)г| l-(l+ «/)«-«'
184
S8I
[дсп uis — qv> 4- j(d) —
(,<O + zD) ° — )ra soo (9 —og) ст] ;п_э —— + + э_ tCT+8O ||;0) + ,(P— <?))<? >4~ j®+ «(»—?) J I [tCT + ;(o 4-</)!(<?+rf)<y I
X '=ZT=’ a 1 ® L '•» + o a - ° 1 7 3 £, <U | ет J « ? 3 3 3 * Д 'i> + 4- о • 3 + •° * .—. e 1 X 3 (-.<>+Jo + d)|(g 4-d)
/ \ 70) LI IS + 7(0 $03 X A ’ <?» — sCT+jP / x Э 4- e-1 X/n_3 f J.. - k01 + J° + d)| (<? +d) d
Г/ <9 \ /Д) 111$ — 7(0 SOO X L\ * 0 — 7 / X з J g(o + -(D ~~ x ,n^ /<7_«j - y l;CT + t(D+</))(<? + d) 1
ZCT + »» (7<D $03 j(0 +/(D UIS COD — jD) (,CT4-!!d)(o4-d) t4
2(0 + -0 (/(0 SOO (0 4 /(П SOO V 4- ,0_9 P-) (»<*> 4- td) (o -f- d) d
/ \zw+a0 /л uis — 4- /co soo — а 11 \ ’ о 1 J \ (tCT 4- td) (0 4- d) I
Г/ w I ;co uis — 4- /co soo 1 x L\ о / 1 j” + io H4-,(o4-tf))d I
o —D ] qn [G«-sc- ( +l] ( (<?4-d) (o4-d)d 1
(П/ (d) J
OHHdWL’orodjj
Корреляционные функции я
Процесс или формирующий фильтр К (П = —— Г S 2л J — оо
Белый шум So 6 (т)
Низкочастотный /?С-фильтр а3 е"“а' * ’
Два низкочастотных /?С-филь- тра о2 е“а 111 (1 + а| т |)
Три низкочастотных ЯС-фильтра / о.2 та \ 02 е—а | т | / । + а । т । — ] \ О /
Гауссов низкочастотный 1 f
фильтр а expI |
Идеальный низкочастотный фильтр , sin ат а2 ат
Синусоида со случайной фазой — cos cd0 т
Колебательный контур а2 е-а 1 tJ cos <оот
Колебательный контур о2 а 1 т | ( cos ы0 т 4- — sin шо [т | ] \ €0о /
Два резонансных усилителя а3 е~а । т । (1 ф а ] т |) cos соо т
Гауссов радиофильтр а* т* а2 е 2 cos ш0 т
Идеальный радиофильтр . sin ат о11 cos <о0 т ат
186
энергетические спектры
ОО S (ш) “ J к (т) dx — ао A co
So Cx?
2ао2 1 а4 + о>4 ’ RC ла
4а8 о2 1 (а4 + to2)4 ’ Л~ RC ла 4
16а5 о4 1 3(а4 + <о4)3 ' ®~ RC Зла Пё-
e 1 Kh
а2 л , | со | < а а 0, | to| > а a
-у- 404 [б(ш —ш0)4- 6 (<О 4- Wn)l 0
Г 1 + 1 1 ла
[ а4 + (to—to0)4 а2 + (w + <i)0)8 J
2 2 4ао Юр 2 2,<» — (On — (оо 4~ а“ (cd2— о)2)2 4- 4а2о2 ла
fl 1 1 ла 2
1 |a« + (w_(oe)*p r |a‘ + (w+«o)8]4 J
, / л o4 [ Г (ы—<oo)4 ] I |/ 2 « H~ 2«- l-H r (to-4toD)2'l L 2a2 J V2n • a
О4 Л 1 , , I -T—. Ilwl-toj < a zct 0 11 (01—tool > a 2a
187
ЛИТЕРАТУРА
1. Бахвалов О. А., Белоусова Н. В. и др., под
ред. Николаева А. М. Сборник задач по курсу теоретических
основ радиотехники. Изд. МЭИ, 1961.
2. Горяйнов В. Т., Журавлев А. Г., Тихонов
В. И. Примеры и задачи по статистической радиотехнике. Изд-во
«Советское радио», 1970.
3. Ж у к о в В. П. Сборник задач по статистической радио-
технике. Изд. МЭИ, 1970.
4. 3 а е 9 д и ы й А. М. Сборник задач и упражнений по курсу
«Теоретическая радиотехника». Связьиздат, 1957.
5. Заездный А. М.» Гуревич И. В. Основы расчетов
радиотехнических цепей (линейные цепи при гармонических воздей-
ствиях). Изд-во «Связь», 1968.
6. 3 а е з д н ы й А. М. Основы расчетов по статистической
радиотехнике. Изд-во «Связь», 1969.
7. Р ы т о в С. М. Введение в статистическую радиофизику.
Изд-во «Наука», 1966.
188
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . ,................................. 3
Глава I.
Регулярные электрические колебания................... 5
Основные обозначения ц расчетные формулы .... 5
1.1. Элементарные колебания. Разложение периоди*
ческих колебаний в ряд Фурье..................... 7
1.2. Спектральная плотность и ее свойства......... 9
1.3. Свертка функций. Автокорреляционная и взаимная
корреляционная функции. Энергия сигнала ... 12
1.4. Преобразование Лапласа.......................13
1.5. Модулированные колебания . , ................14
1.6. Аналитический сигнал . ♦ • л.................17
Глава 2.
Методы анализа линейных цепей с постоянными параметрами 18
Основные обозначения и расчетные формулы . 18
2.1. Дифференциальные уравнения цепей . . . ... 20
2.2. Свободные и вынужденные колебания............21
2.3. Частотный коэффициент передачи. Спектральный
метод анализа цепей..............................24
2.4. Операторный коэффициент передачи. Операторный
метод анализа цепей..............................26
2.5. Импульсная и переходная характеристики цепей
Интеграл Дюамеля.................................27
2.6. Операторный метод анализа цепей при ненулевых
начальных условиях...............................28
Глава 3.
Прохождение сигналов через линейные избирательные цепи 29
Основные обозначения и расчетные формулы 29
3.1. Частотные характеристики одноконтурных цепей 31
3.2. Импульсные и переходные характеристики одно-
контурных цепей. Свободные колебания. Переход-
ные процессы.....................................37
3.3. Частотные характеристики связанных контуров . . 41
3.4. Импульсные и переходные характеристики связан-
ных контуров. Свободнее колебания................47
3.5. Приближенные методы анализа избирательных це-
пей при широкополосных и узкополосных сигналах 49
3.6. Прохождение модулированных колебаний через
избирательные цепи •••••••••. 51
189
Глава 4.
Цепи с распределенными параметрами ......... ... 55
Основные обозначения и расчетные формулы.........55
4.1. Погонные параметры...........................59
4.2. Линии, закороченные или разомкнутые на конце 61
4.3. Линия, нагруженная на реактивное сопротивление 63
4.4. Линия, нагруженная на активное сопротивление 64
4.5. Линия, нагруженная на комплексное сопротивление 67
4.6. Линии с потерями. Колебательные контуры из от-
резков линий......................................68
4.7. Смешанные задачи. Согласование линии с нагрузкой 71
4.8. Переходные процессы в цепях с распределенными
параметрами ................... 73
Глава 5.
Цепи с переменными параметрами ...................... . 76
Основные обозначения и расчетные формулы.........76
5.1. Переходные процессы в цепях с переменными
параметрами..................................79
5.2. Цепи с периодически изменяющимися параметрами 81
Глава 6.
Нелинейные цепи........................................86
Основные обозначения и расчетные формулы.........86
6.1. Аппроксимация вольтамперных характеристик . . 87
6.2. Резонансное усиление и умножение частоты ... 90
6.3. Получение модулированных колебаний . . ... 92
6.4. Детектирование...............................96
6.5. Теория комбинационных частот ...............101
Глава 7.
Автоколебания в нелинейных цепях......................103
Основные обозначения и расчетные формулы.........103
7.1. LC-автогенераторы гармонических колебаний . . .104
7.2. /?С-автогенераторы гармонических колебаний. Авто-
генераторы с нелинейным двухполюсником, обла-
дающим отрицательным сопротивлением.........112
Глава 8.
Характеристики случайных процессов .................115
Основные обозначения и расчетные формулы........115
8.1. Характеристики случайных величин’. . . .... 117
8.2. Корреляционные функции случайных процессов 118
8.3. Законы распределения случайных процессов . . 121
8.4. Стационарность и эргодичность случайных процес-
сов ..........................................122
8.5. Спектральная плотность случайного процесса . . .123
8.6. Непрерывность и дифференцируемость случайных
процессов.........................................124
8.7. Выбросы случайных-процессов..................126
190
Глава 9.
П рохождение случайных процессов через линейные цепи . . 128
Основные обозначения и расчетные формулы..............128
9.1. Нестационарное решение.....................129
9.2. Стационарное решение (метод импульсных харак- •
теристик)..................................... , 130
9.3. Стационарное решение (спектральный метод) . . • 132
9.4. Прохождение сигнала и шума через линейные
цепи. Квазиоптимальные фильтры. Согласованные
фильтры.........................................• 135
Глава Ю
Нелинейные безынерционные преобразования случайных процес-
сов .................................................137
Основные обозначения и расчетные формулы.137
10.1. Полиномиальные преобразования..............139
10.2. Однополупериодный линейный детектор ... . . 142
10.3. Метод дельта-функций.......................144
10.4. Метод Прайса............................. 144
Глава II.
Прохождение узкополосных случайных процессов через нели
нейные цепи......................................... 145
Основные обозначения и расчетные формулы . . 145
11.1. Синфазная и квадратурная компоненты шума . . .147
11.2. Огибающая узкополосного нормального шума . . . 149
11.3. Сумма гармонического сигнала и узкополосного
нормального шума.................................153
11.4. Пороговое отношение сигнал/шум (прием частогно-
модулированных колебаний)......................154
Ответы...............................................155
Приложения.......................................... 184
Литература , . л .................................. 188
6Ф2
Ж86
Жуков В. П., Карташев В. Г., Николаев А. М.
Ж86 Сборник задач по курсу «Радиотехнические цепи и
сигналы». Под ред. А. М. Николаева. Учебное
пособие для вузов. М., «Сов. радио», 1972.
192 с. с ил.
Задачник является учебным пособием по курсу «Радиотехнические
цепи и сигналы». В нем отражены все разделы курса: характеристики
электрических колебаний и анализ их воздействия на линейные и мели*
нейные электрические цепи. В книгу включены задачи различной степе-
ни трудности. К числовым задачам приведены ответы. Пособие предна-
значено для преподавателей и студентов радиотехнических вузов и
может быть полезно для лиц, занимающихся самообразованием.
6Ф2
3-4-1
120—72
ВЛАДИМИР ПЕТРОВИЧ ЖУКОВ
ВЛАДИМИР ГЕРАСИМОВИЧ КАРТАШЕВ
АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ НИКОЛАЕВ
Сборник задач по курсу
«Радиотехнические цепи и сигналы»
Редактор И. К, Ганин
Художественный редактор В. Т, Сидоренко
Технический редактор Г, 3, Кузнецова
Корректоры: Е. П. Озерецкая, И. М. Давыдом
Сдано в набор 7/XII 1971 г Подписано в печать 2G/X 1972 г. Т-16838
Формат бумаги 84x 108/32. Бумага машиномелованная
Объем 10,08 усл. печ. л. +0,27 усл. печ. л. вкладка. Уч.-изд. л 9.581
Тираж 43 000 9кз. Зак. 986 Цена 34 коп.
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, п/я 693
Московская типография № 4 Глааполнграфпрома
Государственного комитета Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии в книжной торговли
Б. Переяславская. 46