6М.&-
0^9
для высших
УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
О.А. Стеиенко
Радиотехнические
иепи и сигналы
РАДИОТЕХНИКА
И СВЯЗЬ
О.А. Стеиенко
Радиотехнические
цепи и сигналы
Допущено
Министерством образования и науки
Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки
«Радиотехника»

ли
рс> Ценный
тга и к и,
московский госу
институт ради
электроники и автоматики
(технический университет)
Научно-техническая библиотек^Щ
Q
Москва «Высшая школа» 2007
УДК 621.37
ББК 32.841
С 79
Рецензенты:
д-р техн, наук, проф. В.Г. Карташев (МЭИ);
канд. техн, наук, доц. М.Т. Иванов (СПбГЭТУ «Л ЭТИ»)
Стеценко О.А.
С 79 Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник/О.А. Стецен-
ко. — М.: Высш, шк., 2007. — 432 с.: ил.
ISBN 978-5-06-005742-3
Учебник содержит изложение разделов теоретической радиотехники, вхо-
дящих в типовую программу курса «Радиотехнические цепи и сигналы».
Рассмотрены вопросы передачи информации при помощи радиосигна-
лов, принципы анализа и реализации основных радиотехнических процессов.
Изложены способы математического описания сигналов и помех, методы
формирования и преобразования сигналов. Анализируются различные классы
радиотехнических цепей. Приводятся методы анализа преобразования сигна-
лов в радиотехнических цепях.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению под-
готовки «Радиотехника», специалистов, желающих расширить свое образование.
УДК 621.37
ББК 32.841
Учебное издание
Стеценко Ольга Алексеевна
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
Редакторы А.£. Володина, Л. И. Захватова
Технический редактор ЮЛ. Хорева. Компьютерная верстка И.В. Мортякова
Корректоры 7L4. Вавилова, Т.В. Малышева
Изд. № РЕНТ-462. Подп. в печать 03.07.07. Формат 60х88!/1Р Бум. офсетная.
Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная. Объем уел. 26,46 печ. л., 27,07 усл. кр.-отг.
Тираж 3000 экз. Зак. № 3659.
ОАО «Издательство «Высшая школа», 127994, Москва, ул. Нсглинная, д. 29/14, стр. 1.
Тел.: (495) 694-04-56. http//www. vshkola.ru. E-mail: infov_vshkola@mail.ru
Отдел реализации: (495) 694-07-69, 694-30-34 факс: (495) 694-34-86.
E-mail: sales_vshkola@mail.ru
Отпечатано в ОАО «Ивановская областная типография»,
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
E-mail: 091-018@rambler.ru
ISBN 978-5-06-005742-3	© ОАО «Издательство «Высшая школа», 2007
Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Выс-
шая школа», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согла-
сия издательства запрещается.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Радиотехнические цепи и сигналы — раздел теоретической радио-
техники, посвященный изучению идей, методов анализа и принци-
пов реализации основных радиотехнических процессов.
Дисциплина «Радиотехнические цепи и сигналы» входит в об-
разовательные программы подготовки бакалавров и специалистов
по направлению «Радиотехника», в рамках которого реализуются
следующие специальности:
•	радиотехника;
•	аудиовизуальная техника;
•	бытовая радиоэлектронная аппаратура;
•	радиоэлектронные системы;
•	средства радиоэлектронной борьбы;
•	радиофизика и электроника.
Данная дисциплина является базовой для перечисленных спе-
циальностей, так как объединяет и систематизирует основные по-
нятия и принципы в области современной радиотехники и служит
теоретической базой для освоения цикла специальных дисциплин
соответствующих образовательных программ. Для успешного ее ос-
воения требуется знание таких дисциплин, как математика, физи-
ка, основы теории цепей и электроника.
Содержание учебника соответствует требованиям государствен-
ного образовательного стандарта высшего профессионального об-
разования к дисциплине «Радиотехнические цепи и сигналы».
В учебнике рассмотрены следующие вопросы:
•	передача сообщений (информации) по радиоканалу с помощью
сигналов, понятие сигнала, аналоговые и цифровые сигналы;
•	математические модели радиотехнических сигналов, способы
математического представления детерминированных и слу-
чайных сигналов, их спектральные и корреляционные харак-
теристики;
•	модулированные радиосигналы при аналоговой, цифровой и
импульсной модуляции, их временное и спектральное пред-
ставление;
•	линейные цепи и их характеристики, методы анализа прохож-
дения детерминированных и случайных сигналов через ли-
нейные цепи;
•	применение линейных цепей в радиотехнике (фильтры, ин-
тегрирующие и дифференцирующие цепи, линии задержки),
цепи с обратной связью;
•	искажения радиосигналов при линейной полосовой фильтра-
ции;
•	оптимальная линейная фильтрация сигналов;
•	нелинейные цепи и их свойства, методы анализа преобразо-
вания детерминированных и случайных сигналов в нелиней-
ной безынерционной цепи;
•	нелинейные частотно-избирательные цепи и их применение
(резонансное усиление, умножение и преобразование часто-
ты, модуляция и детектирование);
•	автоколебательные цепи, генерирование гармонических коле-
баний;
•	параметрические цепи и их свойства, преобразования сигна-
лов в параметрических цепях (преобразование частоты, син-
хронное детектирование, угловая модуляция);
•	параметрическое возбуждение и усиление колебаний;
•	аналого-цифровое преобразование сигналов;
•	основы теории дискретных сигналов;
•	цифровые фильтры, их характеристики, методы анализа и
синтеза, формы реализации.
Использованный практический опыт, накопленный автором за
годы преподавания в вузе, в том числе многолетний опыт чтения
лекций по дисциплине «Радиотехнические цепи и сигналы», опре-
делили принцип отбора материала и стиль изложения. Изложен-
ный материал не перегружен математическими выкладками и дока-
зательствами, основные теоретические положения проиллюстриро-
ваны примерами, в конце каждой главы приведены контрольные
вопросы и задания для закрепления изученного материала.
Автор выражает признательность рецензентам профессору ка-
федры основ радиотехники МЭИ В.Г. Карташеву и доценту кафед-
ры теоретических основ радиотехники СПбГЭТУ М.Т.Иванову за
полезные замечания по написанию данного учебника.
ВВЕДЕНИЕ
Радио — общий термин, применяемый к любым практическим
применениям радиоволн. К радиоволнам относят электромагнит-
ные волны с частотами до ЗЮ12 Гц, распространяющиеся в откры-
том пространстве без искусственных направляющих средств (на-
пример, провода). Частоты радиоволн (радиочастоты) составляют
радиочастотный диапазон (радиодиапазон).
Радиотехника — область науки и техники, решающая множест-
во задач, главная из которых — передача информации на расстоя-
ние с помощью радиоволн. В более широком смысле современная
радиотехника:
•	наука, изучающая методы генерации, усиления, преобразова-
ния, излучения и приема электромагнитных колебаний и
волн радиодиапазона;
•	отрасль техники, реализующая практическое применение
этих колебаний и волн для передачи, хранения и преобразо-
вания информации.
Принято считать, что радиотехника ведет свое начало от изо-
бретения первого аппарата для регистрации электромагнитных ко-
лебаний, использованного для осуществления беспроводной теле-
графной связи. Такой аппарат был изобретен в 1895 г. независимо
друг от друга А. С. Поповым в России и Г. Маркони в Италии, по-
этому этот год отмечают как год рождения Радио.
Первоначальный этап развития радиотехники связан с осущест-
влением радиосвязи. В 1896 г. А.С. Попов передал первую радио-
грамму «Генрих Герц» на расстояние 250 м. В 1899 г. им же была
установлена радиосвязь уже на расстояние 50 км. А в 1901 г.
Г. Маркони осуществил радиосвязь через Атлантический океан.
Радиосвязь — передача на расстояние любой информации с по-
мощью радиоволн. Радиосвязь может быть односторонней и дву-
сторонней, между неподвижными и подвижными объектами. Ра-
диотелеграфия, радиотелефония, радиовещание, телевидение — все
это различные виды радиосвязи. Радиосвязь дает людям уникаль-
ную возможность круглосуточного общения между собой независи-
5
мо от их местонахождения на земном шаре. Применяют различные
способы осуществления радиосвязи:
•	наземная радиосвязь, в которой используют радиостанции,
находящиеся на поверхности Земли и в основной части зем-
ной атмосферы;
•	спутниковая радиосвязь между земными радиостанциями,
осуществляемая посредством ретрансляции радиоволн через
один или несколько спутников;
•	космическая радиосвязь, в которой используют космические
радиостанции, расположенные на спутниках или других кос-
мических объектах, и земные радиостанции.
Радиосвязь является наиболее обширной областью радиотехники.
По мере развития радиотехники круг ее применений все более
расширялся. Современная радиотехника обеспечивает не только
передачу информации, но и получение информации об окружаю-
щей среде, природных и технических объектах, а также воздействие
на природные и технические объекты с целью управления их пове-
дением или изменения их свойств. В настоящее время области
применения радиотехники весьма обширны.
Радиолокация — область радиотехники, решающая задачи обна-
ружения различных объектов, определения их местоположения и
параметров движения путем использования радиоволн, отраженных
или излученных этими объектами. Объекты радиолокации — раз-
личные летательные аппараты и космические тела, грозовые облака
и т.д. — являются источниками радиолокационной информации.
Радионавигация — область радиотехники, предметом которой
является определение мгновенного местоположения подвижного
объекта и выведение его в заданную точку7 пространства в указан-
ное время по наиболее выгодному маршруту. Объекты радионави-
гации — самолеты, корабли и т.п.
Радиотелеметрия — измерение физических величин на расстоя-
нии с передачей результатов по каналам радиосвязи. Автоматиче-
ские метеостанции без обслуживающего персонала, атмосферные
радиозонды, искусственные спутники Земли, межпланетные авто-
матические станции для исследования космического пространст-
ва — примеры технических устройств, в которых необходимы изме-
рения на расстоянии. Радиометрические средства широко приме-
няют и в медицине для передачи данных о состоянии людей, что
особенно важно в космической медицине.
Радиоуправление — управление на расстоянии различными объ-
ектами с помощью радиотехнических средств — обеспечивает дви-
6
жение летательных аппаратов по заданной траектории в автомати-
ческом режиме.
Известны и другие области применения радиотехники. Радио-
технические методы и средства применяют для исследования не-
бесных объектов в радиоастрономии, метеорологических исследо-
ваний в радиометеорологии, разведки ресурсов Земли в радиогео-
физике. Кроме того, появились новые, чисто радиотехнические
системы в медицине, дающие значительный эффект в исследова-
нии пациентов, повышения точности диагностики и в терапии раз-
личных заболеваний.
Характерной особенностью современного этапа развития ра-
диотехники является широкое применение цифровых технологий,
что привело к созданию цифрового радиовещания, которое может
обеспечить практически не искаженное воспроизведение звука, и
цифрового телевидения, обеспечивающего высокую четкость изо-
бражения.
Одна из наиболее быстро развивающихся отраслей радиосвязи
в настоящее время — подвижная (мобильная) радиосвязь. Естест-
венно стремление обеспечить связь с любым абонентом, где бы он
ни находился. Это стало возможным благодаря внедрению мобиль-
ных сетей, использующих наземные и спутниковые системы радио-
связи. К системам подвижной радиосвязи относят:
•	системы радиосвязи профессиональные (ведомственные) и
общественного пользования;
•	персонального радиовызова (пейджинговая система);
•	сотовой подвижной радиосвязи;
•	беспроводные телефоны (радиотелефоны) для обеспечения
радиосвязью абонентов, не объединенных в систему.
С радиотехникой тесно связаны радиофизика и радиоэлектрони-
ка. Радиофизика — область физики, изучающая физические процес-
сы, связанные с электромагнитными колебаниями и волнами радио-
диапазона. Радиоэлектроника образовалась в результате синтеза ра-
диотехники и электроники. Современная радиоэлектроника — это
собирательное название ряда областей науки и техники, связанных с
передачей и преобразованием информации на основе использования
электромагнитных колебаний и волн радиодиапазона.
Таким образом, в настоящее время трудно указать область науки
и техники, в которой не использовались бы радиотехнические мето-
ды и средства. Это означает, что квалифицированный в области ра-
диотехники специалист всегда найдет применение своим знаниям.
7
ГЛАВА 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
1.1.	Информация, сообщения и сигналы
Все применения радиотехники связаны с передачей информа-
ции от источника информации к ее получателю (потребителю).
Информация от лат. information — сведения, разъяснения — это
сведения о людях, предметах, фактах, событиях и процессах, неза-
висимо от формы их представления. Свойства информации — дос-
товерность, полезность, полнота, оперативность. Информа-
ция — достоверна, если отражает истинное положение вещей, по-
лезна, если помогает решать поставленные задачи.
В дальнейшем под информацией будем понимать совокупность
сведений, представляющих интерес для потребителя информации и
являющихся объектом хранения, передачи и преобразования. Это
могут быть сведения, передаваемые электронными средствами мас-
совой информации (радио и телевидение); сведения о координатах
или скорости движения удаленного объекта (радиолокация); пере-
даваемые на расстояние результаты измерения физических величин
(радиотелеметрия) или команды управления (радиоуправление) и т. д.
Информацию передают в виде сообщений. Сообщение — это ин-
формация, выраженная в определенной форме и предназначенная
для передачи от источника информации к ее потребителю. Напри-
мер, в радиовещании передаются звуковые сообщения (речь, музы-
ка), радиотелеграфии — текстовые сообщения (буквы, цифры), в
телевидении сообщением является оптическое изображение.
Множество возможных сообщений подразделяют на две катего-
рии: непрерывные и дискретные. Непрерывное сообщение, как пра-
вило, является отображением какого-либо физического процесса.
Например, звуковое сообщение — это непрерывно изменяющееся во
времени звуковое давление. При передаче движущихся изображений
в телевидении сообщение представляет изменение во времени ярко-
8
сти элементов изображения. Дискретное сообщение — последова-
тельность дискретных символов (например, текстовое сообщение).
Наряду с сообщением часто употребляется термин «данные». К
данным относится информация, представленная в виде символов,
пригодных для машинной (компьютерной) обработки. Объем дан-
ных измеряется количеством символов. Количество символов, пе-
реданных за секунду, определяет скорость передачи данных. В со-
временных компьютерах данные представляются в двоичной форме,
т. е. для их представления используются только два символа — дво-
ичные символы 1 и 0. Единицей измерения двоичных данных служит
бит (двоичное число). В компьютерах наряду с битом используют
укрупненную единицу байт, равную 8 битам. Скорость передачи
двоичных символов выражается числом битов, переданных в се-
кунду (бит/с или Бод). Двоичные данные чаше называют цифровы-
ми данными.
Информация не материальна, но она не может существовать
без своего материального носителя — средства переноса информа-
ции в пространстве и во времени. В качестве средства передачи ин-
формации на расстояние от источника информации к ее потреби-
телю можно использовать физические процессы, способные рас-
пространяться в передающей среде. Физический процесс, исполь-
зуемый в качестве носителя информации, называют сигналом.
Сигналы различают по физической природе: электрические,
электромагнитные, акустические, оптические и т.п. В радиотехни-
ке используют электрические и электромагнитные сигналы. Элек-
трические сигналы — это изменяющиеся во времени электриче-
ские токи и напряжения. Электромагнитные сигналы — распро-
страняющиеся в пространстве электромагнитные волны.
Далее под сигналом будем понимать электрический сигнал. Пре-
образование сообщения в электрический сигнал осуществляется с
помощью специальных устройств (электрических, электромеханиче-
ских, фотоэлектрических). Полученные в результате этих преобразо-
ваний сигналы называют первичными. Выделяют два основных вида
первичных сигналов: аналоговые и цифровые сигналы.
Аналоговый сигнал — это электрическое представление непре-
рывных сообщений. Иными словами, аналоговый сигнал повторяет
закон изменения непрерывного сообщения — является его аналогом.
Например, звуковое сообщение (речь, музыка) преобразуется в ана-
логовый электрический сигнал с помощью микрофона. Это означа-
ет, что электрическое напряжение на выходе микрофона изменяется
во времени аналогично изменению породившего его звукового дав-
ления перед микрофоном. На рис. 1.1 показаны электрические сиг-
9
Рис. 1.1. Аналоговые сигналы на выходе микрофона:
а — сигнал гласной) звука; б — сигнал согласного звука
налы, отображающие звуки человеческой речи: а — сигнал гласного
или звонкого согласного звука; б — сигнал глухого согласного звука.
Термин «аналоговый» приблизительно соответствует термину
«непрерывный». Как правило, аналоговый сигнал представляет со-
бой непрерывно изменяющийся электрический ток (электрическое
напряжение).
Цифровой сигнал — это электрическое представление цифровых
(двоичных) данных, для представления которых используют два
различных сигнала: один сигнал — для представления двоичной
единицы 1, другой — для представления двоичного нуля 0. Напри-
мер, один уровень электрического напряжения (обычно высокий)
соответствует символу 1, другой — символу 0.
Для электрического представления текстовых сообщений вначале
выполняют злаковое кодирование — замена по определенному правилу
знаков сообщения двоичными символами. Совокупность знаков,
символов и правил, при помощи которых сообщение может быть
представлено (закодировано) в виде набора из символов, называют
кодом, а при использовании двоичных символов — двоичным кодом.
В радиотелеграфии при передаче текстовых сообщений исполь-
зуют телеграфные коды. Например, с помощью международного
телеграфного кода №2 (МТК-2) текстовое сообщение «МИР» пред-
ставляется так:
М -> 00111; И -> 01100; Р -» 01010.
Вид цифрового сигнала, отображающего это сообщение, пока-
зан на рис. 1.2.
ю
м
Рис. 1.2. Преобразование текстового сообщения в цифровой сигнал
Устройство, осуществляющее операцию кодирования автомати-
чески, называют кодером. Обратную операцию — восстановление
знаков сообщения из кодовых комбинаций, называют декодировани-
ем. а устройство, выполняющее эту операцию — декодером. Обычно
кодер и декодер выполняют также операции преобразования симво-
лов в первичный сигнал и первичного сигнала в символы. Часто ко-
дер и декодер объединяют в единое устройство — кодек.
При работе на компьютере текстовое сообщение, передаваемое
механическим нажатием клавиш пульта управления (устройства вво-
да), автоматически преобразуется в электрический цифровой сиг-
нал. который обрабатывается в центральном процессоре, а далее с
помощью устройства вывода преобразуется в текстовое сообщение.
С помощью специального устройства, называемого анало-
го-цифровым преобразователем (АЦП), аналоговый сигнал преобра-
зуется в цифровой сигнал (см. гл. 14). Необходимость в таком пре-
образовании возникает, например, в цифровом радиовещании, при
котором звуковые программы передаются цифровыми сигналами.
1.2.	Передача сообщения по радиоканалу
Радиоканал обеспечивает перенос сообщения (информации) из
одной точки пространства в другую — от источника сообщения к
его получателю. Составными частями радиоканала являются:
•	радиопередающее устройство (радиопередатчик);
•	радиоприемное устройство (радиоприемник);
•	физическая среда, в которой распространяются радиоволны.
Рассмотрим в общих чертах процессы, обеспечивающие функ-
ционирование радиоканала, на примере канала радиосвязи, обоб-
щенная структурная схема которого представлена на рис. 1.3.
Источником сообщения может быть человек или какое-либо
устройство (автомат, вычислительная машина и т.д.)
Передаваемые сообщения с помощью различных преобразова-
телей (микрофона, телевизионной камеры, магнитофона и т.д.)
и
Радиоволны
Радиопередатчик
Радиоприемник
Преобразователь
сообщения
в сигнал
Преобразователь
сигнала в
сообщение
Источник
сообщения
Получатель
сообщения
Рис. 1.3. Передача сообщения по радиоканалу
преобразуются в первичные электрические сигналы, как правило,
низкочастотные. Например, звуковые колебания, воспринимаемые
человеческим ухом, лежат в полосе частот от 20 Гц до 20 кГц. Эти
же частоты имеют электрические сигналы, отображающие речь и
музыку.
Низкочастотные электрические колебания не могут быть непо-
средственно использованы для возбуждения электромагнитных
волн. Так, частоте 20 кГц соответствует длина волны 15 км. А для
эффективного излучения электромагнитных волн размеры антенны
должны быть соизмеримы с длиной волны, что в данном случае
практически неосуществимо. Поэтому практическое применение
радиоволн оказалось возможным благодаря использованию моду-
ляции. Модуляция — это процесс изменения какого-либо параметра
высокочастотного (несущего) колебания в соответствии с переда-
ваемым сообщением. В результате модуляции формируется высо-
кочастотный модулированный сигнал, называемый радиосигналом.
Формирование модулированного сигнала осуществляется в радио-
передатчике.
Модулированный сигнал излучается передающей антен-
ной — создаются радиоволны. Радиоволна становится физическим
носителем передаваемого сообщения. Пространство между пере-
дающей и приемной антеннами, в котором сообщения передаются
посредством радиоволн, называют радиолинией.
Часть энергии распространяющихся радиоволн улавливается при-
емной антенной — в приемной антенне возбуждается радиосигнал,
12
уровень которого очень мал. Кроме того, в приемной антенне возбу-
ждаются электрические колебания от различных источников помех.
Радиоприемник служит для приема радиосигналов и преобразо-
вания их к виду, позволяющему использовать содержащуюся в них
информацию. Отметим основные функции радиоприемника:
•	избирательность {фильтрация) — выделение нужного радио-
сигнала на фоне поступающих на приемную антенну нежела-
тельных радиосигналов, которые могут быть очень близки по
частоте, и помех;
•	усиление принятого радиосигнала, поскольку его мощность
очень мала;
•	демодуляция — операция, обратная по отношению к модуля-
ции; ее цель — извлечение сообщения из модулированного
сигнала.
Кроме того, после демодуляции производится обработка сигна-
ла с целью дальнейшего ослабления помех и усиления сигнала до
уровня, необходимого для качественной работы оконечного уст-
ройства.
Оконечным устройством является преобразователь электриче-
ского сигнала в сообщение. Тип преобразователя зависит от вида
сообщения, которое он должен воспроизвести. Например, для вос-
произведения звуковых сообщений используют громкоговоритель.
Получатель сообщения — человек или устройство, для которого
предназначено сообщение.
Краткое описание процессов, обеспечивающих функциониро-
вание канала радиосвязи, показывает, что в основном эти процес-
сы связаны с разнообразными преобразованиями сигналов. Фильтра-
ция, усиление, модуляция, демодуляция — все эти преобразования
сигналов осуществляются посредством радиотехнических цепей.
1.3. Согласование сигнала с радиоканалом
Для обеспечения удовлетворительного качества при передаче
сигналов (сообщений) требуется согласование сигнала с радиока-
налом по основным параметрам.
Основные параметры сигнала — длительность, ширина спектра,
динамический диапазон.
Длительность сигнала —интервал времени его существования,
вычисляется как разность между временем окончания сигнала 6 и
временем его начала /р
tc=/2-'i-	(1.1)
13
1
о
1
1
1
О Т IT	NT
Рис. 1.4. Определение длительности цифрового сигнала
Например, для цифрового сигнала (рис. 1.4) значение Г| = 0;
6 = NT, где N — число двоичных символов; Т — длительность од-
ного двоичного символа. Следовательно, длительность цифрового
сигнала равна
тс = NT.
ж/
(1.2)
Очевидно, что радиоканал будет занят меньшее время при пе-
редаче сигналов малой длительности.
Ширина спектра — интервал частот, занимаемый спектром сиг-
нала (см. гл. 3), вычисляется как разность между максимальной
частотой спектра сигнала/пах и минимальной частотой/йп-
(1-3)
Например, диапазон частот речевого сигнала составляет
30—15000 Гц. Однако основная часть энергии Е речевого сигнала
сосредоточена в диапазоне 300—3400 Гц (рис. 1.5), поэтому для
обеспечения разборчивого восприятия речи при радиотелефонной
связи можно положить Ут|П = 300 Гц,/пах = 3400 Гц; при этом ши-
рина спектра Д/ = 3100 Гц. Однако в радиовещании необходимо
обеспечить более качественное звучание, поэтому для передачи
сигнала необходимо выделить более широкую полосу частот.
Далее будет показано, что ширина спектра цифрового сигнала
равна (см. подразд. 5.2)
Д/с=1/Г
(1.4)
При этом величину \/Т называют тактовой частотой. С ней
Рис. 1.5. Частотное распределе-
ние энергии речевого сигнала
связано такое понятие, как скорость
передачи двоичных символов. Напри-
мер, тактовая частота 1 кГц означает,
что скорость передачи двоичных сим-
волов равна 1000 бит/с, т.е. за одну
секунду передается 1000 двоичных
символов. Таким образом, ширину
спектра цифрового сигнала определя-
ют скоростью его передачи.
14
Величину, равную произведению длительности сигнала на ши-
рину его спектра, называют базой сигнала.
B = TcAfc.
(1.5)
Из формулы (1.5) следует, что длительность сигнала и ширина
его спектра находятся в обратной зависимости: чем меньше дли-
тельность сигнала, тем больше его частотный диапазон.
В зависимости от значения базы различают простые сигналы с
базой, соизмеримой с единицей (В ~ 1), и сложные сигналы с базой
В » 1.
Например, база цифрового сигнала равна В = N. Следователь-
но, если число двоичных символов N>> 1. то цифровой сигнал от-
носится к сложным сигналам.
Динамический диапазон сигнала характеризует пределы измене-
ния его мгновенной мощности, дБ:
Z), =101g^SL,
^И1Ш
(1.6)
где Ртзх — максимальное, Pmin — минимальное значение мгновен-
ной мощности (см. подразд. 2.3). Величина должна превышать
мощность помехи. Например, динамический диапазон спокойной
человеческой речи составляет 25—30 дБ, а симфонического оркест-
ра 70—95 дБ.
Произведение трех параметров:
Гс =тсД/с£>с
называют объемом сигнала. Эта величина пропорциональна инфор-
мативности сигнала. Например, объем цифрового сигнала, равный
Ис = Л7)с, пропорционален числу двоичных символов.
Пример. Определим, во сколько раз объем телевизионного сиг-
нала превосходит объем радиовещательного сигнала (при одинако-
вой их длительности), если занимаемые ими полосы частот равны
6,5 МГц и 12 кГц соответственно. Динамические диапазоны сигна-
лов следует считать одинаковыми.
Очевидно, что при одинаковых длительностях и динамических
диапазонах двух сигналов отношение их объемов будет равно отно-
шению их частотных полос:
Итв/Грв = (6,5  1012)/(1,2 • 104) = 54 2.
15
Основные параметры радиоканала:
— длительность работы тк;
— интервал частот от /пт к до /пах к, используемый радиоканалом
для передачи сигналов:
max к
min к ’
(1.8)
— динамический диапазон допустимых мощностей сигналов, дБ:
D, =101g
* min к
(1.9)
где Ртах к “ максимальная мощность сигнала, который может быть
передан без искажений; Ртах к — минимальная мощность сигнала,
который может быть принят в присутствии помех.
Произведение трех параметров
И =ткА/кРк
(1.10)
определяет емкость канала радиосвязи.
Передача сообщений по радиоканалу происходит без потерь и
искажений, если соблюдаются следующие условия:
•	< тк, т.е. радиоканал работает все время, пока передается
сигнал;
•	А/с < А/к, /min > /minк» /max < Ашк, т.е. сигнал занимает полосу
частот, выделенную для данного радиоканала;
•	Р -> Р Р < Р и К < И
1 min 1 min к ’ л max * max к 11 ' с к •
Если же какое-либо из этих условий не выполняется, то необ-
ходимо произвести согласование сигнала с радиоканалом без изме-
нения объема сигнала путем преобразования его характеристик.
1.4.	Помехи в радиоканале
При оценке работы радиоканала необходимо учесть, какую точ-
ность передачи сообщений он обеспечивает, поскольку от этого за-
висит качество передачи.
Качество передачи непрерывного сообщения (например, раз-
борчивость речи, четкость изображения) оценивается эксперимен-
тально, на основании чего определяют соответствующие нормы и
стандарты.
Качество передачи цифрового сообщения оценивают коэффици-
ентом ошибок, под которым понимается отношение:
= n/N,
16
где п — число неверно принятых символов, /V — общее число передан-
ных символов. Например, на рис. 1.6 имеем N= 7, п- 1 и = 1/7.
Степень соответствия принятого сообщения переданному сооб-
щению определяют как достоверность сообщения. Достоверному
приему сообщений по радиоканалу препятствуют техническое несо-
вершенство аппаратуры и неизбежное наличие разнообразных помех.
Техническое несовершенство аппаратуры, в частности, отличие
характеристик радиотехнических устройств (цепей) от идеальных,
является причиной различных искажений сигналов (см. гл. 7 и 8).
Так, на рис. 7.8 показано, как искажается прямоугольная форма
элемента цифрового сигнала при прохождении через простейшую
электрическую цепь. В принципе эти искажения могут быть устра-
нены путем улучшения аппаратуры.
Помехи обусловлены причинами, неподвластными человеку.
Помехой называют посторонние электромагнитные колебания раз-
личного происхождения, мешающие приему полезного сигнала и
точному воспроизведению сообщений. Источники помех много-
численны и разнообразны. По месту расположения источника все
помехи делятся на помехи внешние и внутренние.
Внешние помехи подразделяют на помехи естественные и ис-
кусственные. Естественные помехи создаются в основном электро-
магнитными процессами в земной атмосфере — их называют атмо-
сферными помехами. Основной источник атмосферных по-
мех — грозовые разряды. К естественным помехам также относят
излучения поверхности Земли, Солнца и Звезд. Искусственные по-
мехи могут создаваться промышленными установками (индустри-
альные помехи), излучениями посторонних радиостанций (непред-
намеренные или специально организованные помехи) и т. д.
Внутренние помехи обусловлены в основном внутренними шу-
мами аппаратуры. Внутренние шумы — это прежде всего тепловые
шумы, создаваемые хаотичным тепловым движением электронов.
Тепловые шумы присутствуют в любой среде, проводящей элек-
трический ток.
Ошибка
а	б
Рис. 1.6.	1И^^’^^1МйН},ТЬ1Й
институт радиотехники.	17
электроники и автоматики
(технический университет)
Научно-техническая библиотека
Таким образом, в реальных условиях прием полезного сигнала
происходит в присутствии разнообразных помех, каждая из кото-
рых имеет специфические особенности. Учет всех свойств по-
мех — задача неразрешимая, поэтому при исследовании реально
действующие помехи заменяют моделями. Модели идеализируют
большую часть наблюдаемых помех, но позволяют математически
оценить влияние помех на прием сигналов.
Самый простой способ борьбы с помехами в радиосвязи состо-
ит в обеспечении в месте приема такой мощности сигнала от ра-
диопередатчика, которая будет значительно превышать мощность
помех. Этот способ применяют в радиовещании, так как в этом
случае один радиопередатчик одновременно обслуживает множест-
во радиоприемников. Поэтому целесообразным является удорожа-
ние радиопередатчика, чтобы можно было пользоваться сравни-
тельно дешевыми радиоприемниками.
В системах радиосвязи передающая радиостанция обычно свя-
зана лишь с одним или несколькими радиоприемными устройства-
ми. В этих условиях выгоднее усложнять формы сигналов и спосо-
бы их обработки при радиоприеме, а также применять специаль-
ные методы оптимальной обработки сигналов на фоне помех (см.
гл. 9). Такие меры обеспечивают помехоустойчивость системы ра-
диосвязи. Помехоустойчивость — способность радиосистемы со-
хранять работоспособность с заданными техническими характери-
стиками при воздействии помех определенного типа.
Сравним с точки зрения помехоустойчивости аналоговый и
цифровой способы передачи сообщений.
Аналоговая передача — это средство передачи аналоговых сигна-
лов. Аналоговые сигналы принимают множество различных значе-
ний в любой момент времени, поэтому аналоговая передача ведет-
ся непрерывно во времени. При аналоговой передаче даже неболь-
шое возмущение может неузнаваемо исказить сигнал. В процессе
передачи происходит накопление искажений, поэтому аналоговые
сигналы не могут воспроизводиться идеально.
Цифровая передача — это средство передачи цифровых сигна-
лов. Отличительной особенностью ее является то, что за конечный
промежуток времени передается сигнал, состоящий из конечного
набора элементарных (двоичных) сигналов. При этом задачей ра-
диоприемника является не точное воспроизведение переданного
сигнала, а определение на основе искаженного шумами сигнала,
какой именно двоичный сигнал (1 или 0) из конечного набора был
передан радиопередатчиком. Основным преимуществом такого
18
подхода является легкость восстановления цифровых сигналов по
сравнению с аналоговыми сигналами.
Таким образом, одним из способов достижения высокой поме-
хоустойчивости является применение цифровых сигналов и цифро-
вых технологий.
1.5.	Радиочастотный диапазон и его распределение
Электромагнитные волны имеют протяженный диапазон воз-
можных длин волн, образуя электромагнитный спектр, включаю-
щий помимо радиоволн, инфракрасное излучение, видимый свет,
ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи и гамма-лучи. К
диапазону радиоволн (радиодиапазону) относят электромагнитные
волны с любыми частотами ниже условной границы инфракрасно-
го диапазона, за которую принимается частота 3 • Ю 2 Гц (3 ТГц).
В конкретных радиоканалах в зависимости от их назначения
применяются лишь ограниченные участки диапазона радиоволн
(радиочастот). Это необходимо по следующим причинам.
Распространение радиоволн от многих радиостанций в откры-
том пространстве приводит к их наложению друг на друга. Для вы-
деления радиоволны нужной радиостанции необходимо, чтобы она
отличалась от радиоволн других радиостанций. Основным парамет-
ром, позволяющим выделить нужную радиоволну, является частота
и соответствующая длина волны, следовательно, необходимо, что-
бы радиоканалы работали в различных частотных диапазонах.
Условия прохождения радиоволн в широком диапазоне радио-
частот очень разнятся, поэтому для конкретных радиолиний раз-
личного назначения и разной дальности выбирают такие участки
радиодиапазона, в которых эти условия наиболее благоприятны.
Необходимо также учитывать, что радиоканалы разного назна-
чения требуют для передачи сообщений выделения им участков ра-
диодиапазона различной ширины. Это объясняется неодинаковой
шириной спектров сигналов, переносящих сообщения. Например,
в радиотелеграфии спектры передаваемых сигналов имеют ширину
порядка сотни герц, в радиовещании — порядка нескольких кило-
герц, а в телевизионном вещании — порядка нескольких мегагерц.
С учетом вышесказанного произведена классификация радио-
волн (радиочастот), служащая основой для их распределения между
различными службами и потребителями. Данная классификация,
применяемая на международной основе, предусматривает разделе-
ние полного диапазона радиоволн и радиочастот на девять частич-
19
ных диапазонов с номерами от 4 до 12, которым присвоены услов-
ные наименования.
В соответствии с Регламентом радиосвязи диапазон частот от
3 кГц до 3000 ГГц (3 ТГц) разделен на девять частичных диапазо-
нов, каждый из которых занимает полосу от 0,3 • 10" до 3 • 10" Гц,
где 4 < п < 12. В табл. 1.1 приведены диапазоны радиочастот и при-
меры их использования.
Таблица 1.1. Диапазоны радиочастот и примеры их использования
Номер диапа- зона	Диапазон частот	Наименование частот	Диапазон волн	Наименование волн	Примеры исполь- зования
4	3—30 кГц	Очень низкие частоты — ОНЧ	100-10 км	Мириаметро- вые (сверх- длинные)	Дальняя радио- навигация. Подводная связь
	30-300 кГц	Низкие частоты — НЧ	10—1 км	Километро- вые (длин- н ые)	Радиовещание. Радиосвязь
6	0,3-3 МГц	Средние частоты — СЧ	1000-100 м	Гектометро- вые (средние)	Радиовещание. Радиосвязь
7	3-30 МГц	Высокие частоты — ВЧ	100—Юм	Декамегровые (короткие)	Радиовещание. Радиосвязь
8	30-300 МГц	Очень высокие частоты — ОВЧ	10-1 м	Метровые	Радиовещание. Телевизионное вешание. Радиосвязь
9	0,3-3 ГГц	Ультравысокие частоты — УВЧ	100-10 см	Дециметровые	Телевизионное вешание. Радиосвязь
10	3-30 ГГц	Сверхвысокие частоты — СВЧ	10—1 см	Сантиметровые	Спутниковая ра- диосвязь. Радиолокация. Радиоастрономия
11	30-300 ГГц	Крайне высокие частоты — КВЧ	10—1 мм	Миллиметро- вые	Космическая ра- диосвязь. Радиолокация. Радиоастрономия
12	0,3-3 ТГц	Гипервысокие частоты — ГВЧ	1—0,1 мм	Дснимилли- метровые	Космическая ра- диосвязь
Распределение частот, согласно Регламенту радиосвязи, позво-
ляет осуществить частотное разделение радиоканалов. Это означа-
ет, что каждый радиоканал обслуживают радиоволны лишь с опре-
деленными частотами. При этом устраняются взаимные помехи
между радиоканалами.
20
Частотное разделение радиоканалов является основным спосо-
бом решения задачи электромагнитной совместимости, под кото-
рой понимается возможность работы радиотехнических устройств
без создания взаимных помех.
Контрольные вопросы и задания
I.	Какие основные задачи решает радиотехника?
2.	Укажите области применения радиотехники.
3.	Что определяют понятия информация, сообщение, данные?
4.	Что такое сигнал?
5.	Какие сигналы называют аналоговыми? Приведите примеры.
6.	Что такое цифровые данные и цифровой сигнал?
7.	В чем состоит назначение радиоканала?
8.	Какие основные радиотехнические процессы обеспечивают пере-
дачу сообщений по радиоканалу?
9.	Каковы основные параметры сигнала?
10.	В чем состоит согласование сигнала с радиоканалом?
И. Каковы источники помех в радиоканале?
12.	Что понимают под помехоустойчивостью системы радиосвязи?
13.	Что такое аналоговая передача сообщений?
14.	Что такое цифровая передача сообщений?
15.	В чем состоит преимущество цифровой передачи по сравнению с
аналоговой?
16.	Какие частоты относят к радиодиапазону?
17.	Что понимается под частотным разделением радиоканалов?
18.	Текст из 100 букв передается по телеграфному радиоканалу в тече-
ние 10 с пятизначным двоичным кодом. Определите скорость пе-
редачи двоичных символов.
19.	Сравните объемы трех сигналов, параметры которых заданы:
а)	Т| = 4	с,	A/i	= 8 кГц,	D\ =	70	дБ;
б)	т2 = 3	с,	А/2	= 4 кГц,	D2 =	50	дБ;
в)	Тз = 6	с,	Л/з	= 3 кГц,	£>з =	30	дБ.
20.	Вычислите коэффициент ошибок для случая передачи буквенного
сообщения пятизначным двоичным кодом со скоростью 50 Бод,
если за 2 ч непрерывной передачи было зафиксировано 10 ошибоч-
но принятых букв.
ГЛАВА 2
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
2.1.	Математические модели сигналов
Радиотехнические сигналы — общий термин, объединяющий все
сигналы, используемые в различных областях радиотехники. По
своему назначению радиотехнические сигналы делят на сигналы
звукового вещания, телевизионные, телеграфные, радиолокацион-
ные, телеметрические и др.
При изучении общих свойств сигналов, как правило, отвлека-
ются от их физической природы и назначения, заменяя математи-
ческой моделью. Математическая модель — это приближенное
описание сигнала в форме, наиболее пригодной для проводимого
исследования. Математическое описание сигнала всегда является
его некоторой идеализацией, поскольку7 оно отражает лишь отдель-
ные свойства сигнала, наиболее существенные для данного иссле-
дования.
Математический аппарат, используемый при анализе сигналов,
позволяет проводить исследования без учета физической природы
сигналов. Однако следует иметь в виду, что в радиотехнических це-
пях действуют электрические сигналы — изменяющиеся во времени
электрические токи и напряжения.
Зная математические модели сигналов, можно проводить срав-
нение сигналов друг с другом для выявления их сходства и различия.
Выделим модели сигналов, которые обычно используют при
анализе основных радиотехнических процессов. Принято деление
сигналов на детерминированные и случайные.
Детерминированные сигналы описываются заданной функцией
времени, значение которой в любой момент времени известно;
обозначим ее s(Z), u(f). Для описания случайных сигналов использу-
ют вероятностный подход, при котором сигналы рассматриваются
как случайные процессы. Как правило, случайные сигналы пред-
ставляют собой хаотические функции времени. Выбор математиче-
ской модели конкретного сигнала можно осуществить на основе
22
анализа его временной диаграммы — осциллограммы, полученной
из эксперимента. Например, из двух сигналов, изображенных на
рис. 1.1, сигнал (а) можно условно отнести к детерминированным
сигналам, а сигнал (б) — к случайным.
Реальные сигналы всегда являются в какой-то мере случайны-
ми. Во-первых, сигнал искажается в цепях радиопередатчика и ра-
диоприемника. Эти искажения обусловлены несовершенством це-
пей, отличием их характеристик от идеальных. Однако если харак-
теристики цепей известны, то обусловленные ими искажения в
принципе могут быть устранены. Случайным характером таких ис-
кажений обычно пренебрегают. Во-вторых, сигнал подвергается
воздействию различного рода посторонних помех, мешающих
приему полезного сигнала. Поэтому в приемнике обычно учитыва-
ют случайный характер принятого сигнала и производят его обра-
ботку с целью подавления помехи и выделения полезного сигнала.
Рассмотрение реальных сигналов как детерминированных во
многих случаях является оправданным. Оно позволяет получить
более ясное представление о свойствах и характеристиках реальных
сигналов. Кроме того, проведенные на основе такого рассмотрения
расчеты дают количественные результаты, которые могут быть ис-
пользованы для оценки характеристик реальных сигналов. Методы
анализа детерминированных сигналов пригодны для решения мно-
гих практических задач.
Детерминированные сигналы делят на периодические и непе-
риодические.
Периодические сигналы характеризуются следующим свойством:
s(t) - s(t+пТ), п = ±1, ±2,...
(2.1)
Здесь Т— период сигнала; величина / = \/Т — частота повторения
сигнала; со = 2п/ — круговая частота.
Например, сигнал, изображенный на рис. 1.1, а. можно отнести
к периодическим. Периодический характер имеют также сигналы,
отображающие звуковые колебания различных музыкальных инст-
рументов (рис. 2.1). Данный сигнал отображает звук ноты «ля», из-
даваемый пианино; его математической моделью может быть выра-
жение:
5(/)=- У (-1)" — Sm^TM/,/),
л п
(2.2)
где /| = 1/Т= 440 Гц — частота повторения.
23
Рис. 2.1. Сигнал, отображающий звуковые колебания
При описании периодических сигналов функция s(t) должна
быть задана для всех значений переменной /. Однако фактически
вид функции s(t) должен быть известен только в пределах проме-
жутка времени, равного периоду Т.
При анализе сигналов в качестве моделей часто используют пе-
риодические сигналы, изображенные на рис. 2.2: периодическая
последовательность прямоугольных импульсов (а), пилообразный
сигнал (d), периодическая последовательность треугольных им-
пульсов (в).
К непериодическим сигналам относят все сигналы, неудовлетво-
ряющие условию (2.1). На рис. 2.3 приведены некоторые виды не-
периодических сигналов — это одиночный импульс (с), затухаю-
щий сигнал (6) и пачка (группа) импульсов (в).
Рис. 2.2. Виды периодических сигналов:
последовательность прямоугольных импульсов (а); пилообразный сигнал (6);
последовательность треугольных импульсов (в)
24
Рис. 2.3. Виды непериодических сигналов:
прямоугольный импульс (о), затухающий сигнал (б), пачка прямоугольных импульсов (в)
Цифровой сигнал (см. рис. 1.2), имеющий вид нерегулярной
последовательности прямоугольных импульсов, также относят к
непериодическим сигналам.
Как отмечалось ранее (см. подразд. 1.3), одним из основных па-
раметров сигнала является его длительность (1.1). Однако при опи-
сании сигналов иногда используют функции, заданные на полубес-
конечном 0 < t < °° или бесконечном —< t < «> интервале време-
ни. В этих случаях вводится понятие эффективной (практической)
длительности сигнала. Применяют различные способы ее опреде-
ления.
Например, затухающий сигнал (см. рис. 2.3, б) описан экспо-
ненциальной функцией
s(/) = Ue~at, t > 0.
(2.2)
Определим его эффективную длительность из условия десяти-
кратного уменьшения уровня сигнала:
е с =0,1, откуда тс = 2,303/л.
2.2.	Энергия и мощность сигналов
Электрический сигнал можно представить как напряжение u(f)
или ток /’(/) с мгновенной мощностью р(/), выделяемой на резисто-
ре с сопротивлением R:
p{t) = u2(t)/R, p(t) = i2(f)R.
(2.3)
В теории сигналов мощность, как правило, нормируется (пред-
полагается, что сопротивление равно 1 Ом). В нормированном
25
случае уравнения (2.3) имеют одинаковый вид. Следовательно, вне
зависимости от того, представлен сигнал через напряжение или
ток, нормированная форма позволяет выразить мгновенную мощ-
ность как
ХО = 52 (Г),
(2.4)
где s(t) — это напряжение, или ток.
Энергию, выделяемую за интервал времени [0, 7] сигналом с
мгновенной мощностью (2.4), вычисляют по формуле
Е = | p(f)dt - s2 (f)dt.
о о
(2.5)
Средняя мощность, выделяемая сигналом в течение этого ин-
тервала, равна
(2.6)
Периодические сигналы характеризуются мощностью, а непе-
риодические — энергией. В качестве моделей реальных сигналов
применяют периодические сигналы с ненулевой конечной мощно-
стью (0 < Р < сю) и непериодические сигналы с ненулевой конечной
энергией (0 < £ < сю).
Пример 1. Определим энергию затухающего сигнала, изобра-
женного на рис. 2.3, б.
Подставляя (2.2) в выражение (2.5), находим
оо
£ = {/2р’2"'Л =
О
иг
2а
Можно определить эффективную длительность затухающего
сигнала как интервал времени [0, тс], внутри которого сосредоточе-
но 90 % его энергии. Это условие выглядит так:
Вычислив интеграл, после преобразований, полудим
е 2оТс =0,1, откуда тс =1,5/а.
26
Пример 2. Определим энергию цифрового сигнала, изображен-
ного на рис. 1.4.
На интервале времени [О, Г] цифровой сигнал представлен
прямоугольным импульсом, энергия которого определяется как
где U — амплитуда импульса.
Допустим, что на интервале [О, NT] имеется п прямоугольных
импульсов (двоичных единиц). Тогда энергия цифрового сигнала
будет равна
Е~пЕ, =пигТ,
средняя мощность
Энергия и мощность суммы сигналов
Рассмотрим два сигнала Sj(r) и S2(f), заданные на интервале вре-
мени [О, Т]. Энергия и мощность суммы сигналов составит:
т
Е =	+ dt = Ех + Е2+2Еп;

о
(2.7)
+ s1(l)fdt = Pl+P1+2Pl2.
(2.8)
Здесь Ei, Р\ и £2, Pi — энергия и мощность соответственно пер-
вого и второго сигналов;
(2.9)
о
— взаимная энергия двух сигналов;
Р\1 =^р|(Ф2(0Л
т о
(2.10)
— взаимная средняя мощность.
27
При взаимной энергии £!2 = 0 или взаимной мощности Pi2 = О
сигналы 5i(/) и 52(/) на интервале времени [О, Г] называют ортого-
нальными. Учитывая формулы (2.9) и (2.10), запишем условие орто-
гональности:
(t)s2(t}dt =0.
о
(2.Н)
Для ортогональных сигналов выражения (2.7) и (2.8) принима-
ют вид
£=£1+£2, Р=/]+£2.
Понятие ортогональности сигналов обязательно связано с ин-
тервалом их определения. Например, сигналы s\(t) — sin со/ и s2(/) =
= sin 2со/ ортогональны на любом интервале времени, где уклады-
вается целое число полупериодов лл/со, п — 1,2, .... На другом ин-
тервале эти же сигналы не ортогональны.
Пример 7. Сигналы $i(r) и $2(/) представляют собой импульсы
одинаковой длительности Т (рис. 2.4).
Определим взаимную энергию этих сигналов
Т/2	Т
Е12 =и- \dt-U1 [Л=0.
0	Г/2
Следовательно, данные сигналы ортогональны.
Пример 2. Пусть сигнал s\(t) представляет собой отрезок сину-
соиды длительности Т:
(/) = U sin(2n//£) при 0< /< Г,
а в качестве сигнала л2(/) вновь возьмем импульс, изображенный на
рис. 2.4.
0
Рис. 2.4. Ортогональные сигналы
28
Взаимная энергия этих сигналов равна
Г/2	Т
Еп=Уг jsin(2nr/rn-(/2 fsin(2w/7'X/=2(/27’/n.
О
Г/2
Следовательно, данные сигналы не ортогональны.
2.3.	Представление сигналов в виде разложения
на составляющие
Реальные сигналы имеют сложную структуру, что затрудняет их
описание и анализ, поэтому полезным является представление сиг-
нала в виде совокупности базисных составляющих, описываемых
простыми функциями, например, как (2.2). Такое представление
позволяет свести анализ сложного сигнала к анализу его более про-
стых составляющих. Кроме того, на основе такого представления
может быть решена задача синтеза сложного сигнала из совокупно-
сти простых сигналов.
Представим сигнал s(r), определенный на интервале времени
[гь б| в следующем виде:
л=0
(2.12)
где сп — постоянные коэффициенты; срл(/) — заданные функции,
называемые базисными. Подразумевается, что s(t) — сигнал с конеч-
ной энергией.
Выбор системы базисных функций зависит от вида сигнала и
цели исследования. Однако в любом случае функции <ря(/) должны
быть сравнительно простыми, обеспечивать простое вычисление
коэффициентов сп и хорошую сходимость ряда (2.12) к функции
s(f). Этим требованиям удовлетворяют базисные функции, которые
образуют полную ортогональную систему. Напомним основные оп-
ределения, известные из курса математики.
Бесконечную систему функций <ря(0, л = 0, 1,2, ..., заданных на
интервале [fh /2!, называют ортогональной на этом интервале, если:
z2	Гн 1|2
г / ч / ч , Ф„ . т~п
F (0ф„ (t)dt =
;	0, mtn.
(2.13)
Здесь постоянная ||<рл|| — норма базисной функции (р„(/). При ||ф„|| = 1
систему базисных функций называют ортонормированной систе-
мой, или ортпонормированным базисом.
29
При использовании ортогональной системы базисных функций
коэффициенты ряда (2.12) вычисляют по формуле:
5(Г)<рЛп =0,1,2,...
(2.14)
Представление (2.12) с коэффициентами (2.14) называют разло-
жением сигнала s(t) в обобщенный ряд Фурье.
На практике при разложении сигналов верхний предел ряда
(2.12) берется конечным. При этом имеет место аппроксимация сиг-
нала конечным рядом
Л'
л=0
(2.15)
Погрешность аппроксимации, как правило, оценивается сред-
неквадратической ошибкой е, под которой понимают величину:
£= [s(r)-s(Z)]2Jr.
(2.16)
Обобщенный ряд Фурье обладает важным свойством: при за-
данном числе N он обеспечивает минимальную среднеквадратиче-
скую ошибку.
Ортогональную систему базисных функций называют полной,
если увеличением N можно сделать е сколь угодно малой. В этом
случае ряд (2.12) сходится к s(t) в среднеквадратическом смысле
(т.е. е —> 0 при N -» оо).
Формулу (2.5) с учетом представления сигнала в виде выраже-
ния (2.12) можно записать следующим образом:
•2	оо
£’ = j52(/)A = ^<?„2||q>„||2.
(2.17)
При использовании ортонормированной системы базисных
функций из формулы (2.17) имеем:
со
м=0
(2-18)
Выражение (2.17) или (2.18), известное в математике как равен-
ство Парсеваля, позволяет определять энергию сигнала, имея его
представление в виде обобщенного ряда Фурье.
зо
Таким образом, представление сигналов посредством обобщен-
ного ряда Фурье дает возможность характеризовать эти сигналы со-
вокупностью коэффициентов ряда ся, п = 0, 1, 2, ... .
Выбор конкретной ортогональной системы базисных функций
обусловлен спецификой решаемой задачи.
В радиотехнике широко применяют полную ортогональную
систему тригонометрических функций — тригонометрический ряд
Фурье, что объясняется рядом причин. Тригонометрические функ-
ции описывают гармонические колебания, техника генерирования
которых относительно проста. Гармонические колебания в отличие
от других сохраняют свою форму при прохождении через линейные
цепи с постоянными параметрами, поэтому при построении мето-
дов анализа линейных цепей в основном используют разложение
сигналов на гармонические составляющие. Представление сигна-
лов с использованием тригонометрического ряда Фурье рассмотре-
но в гл. 3.
Множество других ортогональных систем базисных функций
находит применение чаще всего при аппроксимации сложных сиг-
налов, когда при заданной допустимой точности требуется свести к
минимуму число членов ряда. С этой целью применяют многочле-
ны Чебышева, Лежандра, Лагерра, Эрмита, функции Уолша и др.
Представление сигналов в базисе Уолша
Рассмотрим в качестве примера разложение сигнала в обобщен-
ный ряд Фурье по ортонормированной системе функций Уолша,
которые являются кусочно-постоянными знакопеременными
функциями с интервалами определения [—0,5; 0,5] или [0; 1]. Ин-
тервал определения функций Уолша можно представить совокуп-
ностью М = 2'”, т = 1, 2, ... равных подынтервалов, на каждом из
которых функции Уолша принимают значения 1 или —1.
Записанные совместно и пронумерованные функции Уолша об-
разуют полную ортонормированную систему. Поскольку нумера-
цию (упорядочение) функций Уолша можно выполнить различны-
ми способами, то возможны различные системы функций Уолша.
Один из способов нумерации (упорядочение по Уолшу) харак-
терен тем, что номер п функции Уолша wal(«, х) равен числу пере-
мен знака на интервале ее определения (рис. 2.5).
Для разложения сигнала s(t), заданного на интервале [0, 7], по-
ложили аргумент функций Уолша х = t/T. Тогда обобщенный ряд
Фурье имеет вид
31
где
ое>
5(0=XC„Wal
/1=0
(2.19)
(2.20)
При вычислении коэффициентов сп целесообразно формулу
(2.20) представить в иной форме. Так как функции Уолша имеют
Л/ участков постоянства, то имеем:
1 М-\ Ся+1	(	t \	1	(	tn
сп=тХ J 5Wwal Л=~1>а1 Й’Т7	(2.21)
1 /л=0 ,	\	1 )	1	т=0 К	М	) !
где tm определяет w-й подынтервал интервала определения {т —
номер подынтервала).
Рис. 2.5. Графики нескольких первых функций Уолша
32
Рис. 2.6. Кусочно-постоянный сигнал
Отметим, что для любого кусочно-постоя иного сигнала, содер-
жащего М = 2'", т = 1, 2, ... равных участков постоянства, ряд
(2.19) не содержит более Л/ членов. Это объясняется тем, что все
функции Уолта с номерами п > М— 1 будут на каждом участке
постоянства сигнала иметь равное число значений ±1. Поэтому все
коэффициенты с„ с такими номерами будут равны нулю.
Пример. На- рис. 2.6 изображен кусочно-постоянный сигнал,
имеющий четыре равных участка постоянства.
Применяя к данному сигналу формулу (2.21), находим коэффи-
циенты <?о = 3; ci = 0,5; сз = 1,5; все остальные коэффициенты рав-
ны нулю. Подставляя значения коэффициентов в формулу (2.19),
получим выражение
5 (г) = 3wal 0,
+0,5wal 1
+l,5wal
которое дает описание заданного сигнала.
Таким образом, использование функций Уолша упрощает опи-
сание сложных кусочно-постоянных сигналов.
2.4.	Представление сигналов с использованием
обобщенных функций
При построении математических моделей сигналов находят
применение символические функции, которые не являются функ-
циями в обычном смысле, их называют обобщенными функциями.
Использование обобщенных функций расширяет круг рассматри-
ваемых задач. В частности, их применяют при описании некоторых
идеализированных сигналов, так называемых тестовых сигналов, к
которым относят единичный импульс и единичный ступенчатый
сигнал (единичный скачок).
3-3659
33
Единичный импульс — это идеализированный импульс с беско-
нечно большой амплитудой, нулевой длительностью и единичной
площадью.
Математической моделью единичного импульса является дель-
та-функция (6-функция) или функция Дирака 6(г) — это обобщен-
ная функция, удовлетворяющая следующим условиям:
j 5(/)<* = 1.
(2.22)
Функция 5(/) существует лишь в момент времени t = 0, для нее
принято символическое изображение в виде стрелки (рис. 2.7, а).
Очевидно, что
{со
СО t —f. г
’ /5('-<оИ=1.	(2.23)
т.е. функция 6(/ — ?о) существует в момент времени t = fa.
Важной особенностью дельта-функции является фильтрующее
(выборочное) действие, которое описывается соотношением
со
Js(r)5(z-z0)d/ = s(z0).
(2.24)
Из выражения (2.24) следует, что дельта-функция выделяет значе-
ние (выборку) сигнала s(f) в фиксированный момент времени / = fa.
Единичный ступенчатый сигнал (единичный скачок) изображен
на рис. 2.7, б. Его математической моделью является функция Хе-
висайда (функция включения) о(/) — обобщенная функция, удов-
летворяющая условию:
о(0 = 1(0 =
(2.25)
При смещении единичного скачка относительно начала отсчета
времени на величину fa имеем
C(z-/O)
(2.26)
Рис. 2.7. Тестовые сигналы:
единичный импульс (а) и еди-
ничный ступенчатый сигнал (б)
Умножение сигнала s(z) на функцию
о (г) равносильно включению этого сиг-
нала в момент времени t = 0:
34
s(/)<j(Z) =
О,
s(t),
/<О,
r>0.
Этим приемом пользуются при опи-
сании односторонних и ограниченных
во времени сигналов.
Пример 1. Прямоугольный импульс
s(t) с амплитудой U и длительностью т,
возникающий в момент времени t = /0,
может быть представлен в виде (рис. 2.8):
s(t) = t/[o(z -z0)-a(z -z0 -г)],
т.е. импульс формируется как разность
двух скачков уровня, сдвинутых во вре-
мени на величину т.
Рис. 2.8. Формирование прямо-
угольного импульса
Пример 2. Кусочно-постоянный сиг-
нал (см. рис. 2.6) можно описать сле-
дующим выражением:
5(Г) = 5о(/)-3<т(/ -0,25Т)+2о(г -0,5Г)-Зо(/ -0,757)-о(/ -Г). (2-27)
Функции 6(/) и о(0 связаны между собой соотношением
6(0 =
dcr(O
dt
(2.28)
т.е. дельта-функнию можно определить как производную единич-
ного скачка.
Например, дифференцируя кусочно-постоянный сигнал (2.27),
полупим
— =55(Z)-38(Z-0,25Г)+28(/-0,5T)-3&(t-0,75T)-6(t-Т).
dt
Динамическое представление сигналов. Соотношение (2.24) спра-
ведливо для любого текущего момента времени t. Заменим в нем /о
на значение t и примем в качестве переменной интегрирования х.
В результате получим
s(r) = J s(x)d(x-t)dx = J s(x)8(/ -x)dx.
(2.29)
35
Выражение (2.29) представляет сигнал s(t) в виде совокупности
примыкающих друг к другу единичных импульсов (S-им пульсов).
Здесь единичные импульсы можно рассматривать как базисные со-
ставляющие сигнала.
Особенность представления (2.29) состоит в том, что базисные
единичные импульсы возникают в последовательные моменты вре-
мени. Такой способ описания сигналов называют динамическим
представлением, что должно подчеркнуть развивающийся во вре-
мени характер процесса.
2.5.	Представление сигналов в комплексной форме
При описании сигналов в ряде случаев удобно использовать по-
нятие комплексного сигнала, который соответствует действительно-
му сигналу s(/) и определяется выражением
z(Z) = 5(/)+/sc(/).
(2.30)
Здесь sc(r) — сигнал, связанный с исходным сигналом s(t) с по-
мощью преобразования Гильберта:
М0=-
Л J t-x
—оо
(2.31)
При этом sc(t) называют сигналом, сопряженным по Гильберту с
сигналом s(t).
Вводят обратное преобразование Гильберта:
z .	1 7 5 г (х) ,
s(t) =— l-^—-dx.
к J t-x
—оо
(2.32)
Согласно выражению (2.32) преобразование Гильберта сопря-
женного сигнала даст исходный сигнал со знаком минус.
Комплексный сигнал, определяемый выражениями (2.30) и (2.31),
называют аналитическим сигналом. Иными словами, аналитический
сигнал — это соответствующий данному физическому сигналу Х0
комплексный сигнал z(t), действительная часть которого равна само-
му физическому сигналу, а мнимая — сопряжена с ним по Гильберту.
Пример. Математическая модель сигнала имеет вид (рис. 2.9)
,. sm соог . .	.
s(f) =-------— = sinc(co0/),
где sin с(0) = 1; sinc(mc) = 0; п = ±1, ±2, ....
36
Представим этот сигнал в комплексной форме.
В соответствии с формулой (2.31)
. .	1 г sin сОлХ ,	1
sc(0 = - -------— dx =-------
лю0
7 sin (Дох
По таблице интегралов
COS(D0/-1
оо .
е Sin О)0Х
Следовательно, сопряженный сигнал
5	- sin2 (<оо/ / 2)
соог	о)0/ / 2
Получаем комплексную форму представления заданного сигнала:
... sinew .sin2(cw/2)
z(0 =-----— -i-------.
COoZ СО0Г/2
Графики s(f) и 5C(/) приведены на рис. 2.9. Отметим, что сигна-
лы s(f) и sc(t) ортогональны.
Приведем некоторые полезные для практического использова-
ния соотношения.
Рис. 2.9. Исходный и сопряженный сигналы
37
Непосредственное вычисление по формуле (2.31) показывает, что
•	если 5(r)= cos сог, то 5c(r) = sincor;
(2 33)
•	если 5(r) = sin сог, то 5c(r) = -coscor.	v ‘ 7
Следовательно, чтобы получить преобразование Гильберта гар-
монического колебания, необходимо сместить это колебание на
четверть периода в сторону запаздывания.
Если исходный сигнал состоит из суммы гармонических коле-
баний:
5(Г) =	cos(!^! +bn sin со„г),
сопряженный сигнал имеет вид
scW = Z(°" sin COSCO,,/).
п
Если исходный сигнал представлен интегралом вида
5(/) = — [tz(co)coscor+Z>(co)sincor]Jco
сопряженный сигнал определяется как
са
5c(r) = —Г [я(со) sin cor -d(co)coscor]Jco.
71 о
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
Отметим, что аналитический сигнал является обобщением ком-
плексного представления гармонического колебания
z(r) = cos cor 4-Z sin cor
на случай любого сигнала. Такое представление позволяет исполь-
зовать преимущества методов теории функций комплексной пере-
менной.
Комплексный сигнал (2.30) может быть представлен и в другой
форме: показательной
г(/) = С/(/)е'ф|'’
(2.38)
или тригонометрической
z(r) = £/(r)cos Ф(г) 4-zCZ(r) sin Ф(г),
где
т=|г(/)| = УЛ(/)+лс2(/),
(2.39)
(2.40)
38
Ф(/)=arctg
МО
s(/)
(2.41)
Функцию U(t) называют огибающей, а функцию Ф(Г) — полной
фазой сигнала s(t). Сопоставляя выражения (2.30) и (2.39), получим
следующие представления:
5(/) = £/(/) cos Ф(/);
(2.42)
sc (/) = £/(/) sin Ф(/).	(2.43)
Представление сигнала в форме (2.42) используют при описа-
нии радиосигналов (см. гл. 4).
Пример. Сигнал л(/) является суммой двух гармонических коле-
баний с различными амплитудами и частотами:
5(/) = Z7, cos со,t + U2 cos со2Л
(2.44)
Представим этот сигнал в форме (2.42). Поскольку сопряжен-
ный сигнал
5С (Г) = С/, sin со, t + U2 sin со2/,
то по формуле (2.40) находим амплитуду:
U(t) =	~+и\ +2{/,£/2 cos(co2 -со,)/,
а по формуле (2.41) — полную фазу:
Л/. х U, sinco./+t/9 sinco,/
Ф(/) = arctg —----!----------
Ui cos со, t +	cos co, t
(2.45)
(2.46)
(2-47)
2.6. Векторное представление сигналов
В теории сигналов находят применение геометрические мето-
ды. Они базируются на функциональном анализе — разделе мате-
матики, который изучает свойства функциональных пространств.
Функциональное пространство — это пространство, элементы ко-
торого можно интерпретировать как функции. Теоретически сиг-
налы и описывающие их функции являются эквивалентами. По-
этому по аналогии с функциональным пространством можно вве-
сти в рассмотрение пространство сигналов — пространство, элемен-
тами которого являются сигналы.
Понятие пространства целесообразно использовать, чтобы при-
дать множеству сигналов наглядную геометрическую интерпрета-
39
цию. Наиболее простой и в то же время физически достаточно со-
держательной является трактовка сигналов как элементов норми-
рованного линейного метрического пространства. Введем основ-
ные понятия, относящиеся к пространств}7 сигналов.
Все действительные сигналы
5j(/), S3 (/),.. ,,Sk (t),...,
удовлетворяющие условию:

(2.48)
(2.49)
образуют действительное векторное пространство, если рассматри-
вать сигналы (2.48) как векторы и определять
•	вектор-сумму сигналов sk(t) и sn(f) как sk(f) + $„(/);
•	произведение вектора sk(t) на скаляр а как a sk(t);
•	скалярное произведение векторов sk(t) и sn(f) как
(**. ?„)= \sk(t)sn(t)dt = El.„.
(2.50)
Условие (2.49) означает, что геометрическую интерпретацию
допускают только сигналы с конечной энергией — им соответству-
ют векторы конечной длины. Из выражения (2.50) следует, что ска-
лярное произведение равно взаимной энергии сигналов.
Длину вектора в математике называют его нормой, которую оп-
ределяют как
s2k(t)dt
(2.51)
т.е. квадрат нормы определяет энергию сигнала. Если введено поня-
тие нормы, то векторное пространство называют нормированным.
Каждое нормированное векторное пространство называют мет-
рическим пространством с метрикой
d(skisn)=\\sk:-5„|| =
s к (О-МО] 2dt.
(2.52)
Метрика — это расстояние между векторами sk и sn, равное нор-
ме вектора:
40
Понятие расстояние в теории сигналов используют для оценки
отличия одного сигнала от другого или для трактовки погрешности
представления одного сигнала другим.
Таким образом, величина сигнала выражается нормой вектора,
а отличие двух сигналов — расстоянием между векторами.
Расстояние — один из параметров, характеризующий связь ме-
жду векторами. Однако одним лишь расстоянием выражать связь
между векторами недостаточно. Необходимо также учитывать угол
между ними, определяемый выражением
cos0 =
к »$п )
(2.53)
Величина г = cos 0 выражает степень связи между векторами Sk
и sn через угол между ними. Если направление векторов и sn сов-
падают (т.е. 0 = 0), то г принимает максимальное значение: г — 1.
С увеличением угла значение г уменьшается и г = 0, т.е. (s*, sn) = 0,
если векторы s* и sn взаимно перпендикулярны (ортогональны).
Сигналы Sk и sn называют ортогональными, если их скалярное про-
изведение равно нулю.
Пример 1. Сигналы 5i(/) и s2(/)— соответственно прямоугольный
и треугольный импульсы (рис. 2.10). Параметры импульсов одина-
ковы: U — амплитуда, т — длительность.
На интервале 0 < t < т сигналы описаны выражениями
sdt) = U, s2(t) = Ut/z.
Согласно формуле (2.51) нормы этих сигналов равны:
||s2|| = £А/т/3,
т.е. вектор Si в л/3=1,73 раз длиннее вектора л.
По формуле (2.50) находим скалярное произведение
По формуле (2.53) вычисляем
cose=T3/2 и е=зо".
В векторном пространстве сигна-
лов орто нормированная система ба-
зисных функций <pZI(r), п = 0, 1, ... мо-
Рис. 2.10. Импульсные сигналы
*
жет рассматриваться как система базисных векторов. Согласно
свойствам ортонормированного базиса
(фга.Ф») = 0, ||ф„Н = 1-
(2.54)
Ортонормированный базис — это бесконечное множество взаим-
но перпендикулярных единичных векторов, образующих коорди-
натную систему в бесконечномерном пространстве.
Сигнал $(/), описываемый выражением (2.12), можно рассмат-
ривать как бесконечномерный вектор. Коэффициенты сп, /7 = 0, 1, ...
представляют собой проекции вектора s(f) на координатные оси <рЛ,
/7 = 0, 1, ... и называют их координатами вектора л(/). Координаты
вектора определяют скалярным произведением s(t) и срл(/):
=(*>Фл>-
(2.55)
В векторном пространстве вектор s(f) полностью определяется
совокупностью его координат:
s=(c0,q,...,c„,...)	(2.56)
Длина (норма) вектора может быть выражена через его коорди-
наты :
п41=Лх.
I /1=0
(2.57)
Согласно (2.18) конечную длину имеют векторы, соответствую-
щие сигналам с конечной энергией.
Пример 2. Кусочно-постоянный сигнал s(f) (см. рис. 2.6) можно
рассматривать как вектор в пространстве, координатная система
которого задана ортонормированным базисом Уолша.
Используя результаты, полученные в примере (см. подразд.
2.3), представим вектор s(f) совокупностью его координат:
s = (3; 0,5; 0; 1,5).
Применим формулу (2.57) и вычислим длину (норму) вектора:
115| | = 7ПЗ = 3,39.
Число базисных векторов определяет размерность векторного
пространства сигналов. Ортонормированный базис неограниченно
велик. Такое векторное пространство называют бесконечномерным.
42
Если число базисных векторов конечно и равно /V, то векторное
пространство называют N-мерным. При этом сигнал можно рас-
сматривать как TV-мерный вектор.
Контрольные вопросы и задания
1.	Что такое математическая модель сигнала?
2.	Какие сигналы относят к детерминированным и случайным?
3.	Как определяют энергию и среднюю мощность сигнала s(t) на ин-
тервале времени [й, Г2]?
4.	Какие сигналы называют ортогональными?
5.	Почему удобно разлагать сигналы по ортогональной системе функций?
6.	Что понимают под среднеквадратической ошибкой аппроксимации
сигнала? При каких условиях эта ошибка минимальна?
7.	Что такое единичный импульс и единичный ступенчатый сигнал
(единичный скачок)?
8.	В чем состоит динамическое представление сигнала?
9.	Что понимают под комплексным сигналом?
10.	Что такое аналитический сигнал?
11.	Как определяют векторное пространство сигналов?
12.	Каков геометрический смысл разложения сигнала по ортонормиро-
ванной системе функций?
13.	Запишите математические модели сигналов, изображенных на рис. 2.2.
14.	Изобразите графически периодические сигналы, заданные выраже-
ниями:
у(/) = U cos (тиг/7), -Г/2 < z < Т/2;
*М = и <Г“1'1
< Г/2,
причем параметр а настолько велик, что аТ/2 » 1.
15.	Изобразите график сигнала
•'(О = Ц1 - е-“) |с(0 - а(/- у] + V о(/- /„).
16.	Определите эффективные длительности сигналов:
5,(0 = Ve-1"1'1;
s2(0 = Ute"", t > 0.
(2.58)
(2-59)
(2.60)
(2.61)
17.	Определите средние мощности периодических сигналов, заданных
выражениями (2.58) и (2.59).
18.	Найдите энергию сигналов (2.60) и (2.61). Определите их взаимную
энергию.
19.	Изобразите графически результат дифференцирования сигналов,
изображенных на рис. 2.10.
20.	Изобразите графически несколько ортогональных сигналов.
43
ГЛАВА 3
СПЕКТРАЛЬНЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
СИГНАЛОВ
3.1.	Понятие спектра сигнала
Возможны два подхода к описанию сигналов: временной и час-
тотный.
При временном описании применяют известные математиче-
ские функции, наиболее точно описывающие форму сигнала. Вре-
меннбе описание сигнала позволяет определить такие важные ха-
рактеристики, как энергия, мощность и длительность сигнала.
Наряду с временным описанием сигналов широко используют
частотный подход, при котором сигнал представляется в виде сово-
купности гармонических колебаний, имеющих различные частоты.
Например, изображенный на рис. 3.1 сигнал можно рассматривать
как сумму синусоидальных колебаний с кратными частотами (2.2).
Эти синусоидальные колебания, называемые гармониками, имеют
частоты nf\, п ~ 1, ..., 5.
1-я гармоника
2-я
3-я
4-я
5-я
Рис. 3.1. Представление сигнала в виде совокупности гармоник
44
Такой эквивалент сигнала — совокупность воссоздающих его
гармонических составляющих называют спектром сигнала. Спектр
позволяет оценить частотный диапазон сигнала, называемый шири-
ной спектра. Как отмечалось выше (см. подразд. 1.3), ширина спек-
тра является одной из основных характеристик сигнала. Зная ши-
рину спектра сигнала, можно определить полосу пропускания ра-
диотехнических устройств, которая необходима для передачи сиг-
нала с требуемой точностью.
Существуют математические методы, позволяющие, зная сиг-
нал, вычислить его спектр, и приборы (спектроанализаторы), по-
зволяющие реально разделить сигнал на эквивалентный ему набор
гармонических составляющих. Таким образом, путем вычисления и
измерения можно найти спектр любого сигнала.
Определение спектра сигнала составляет задачу спектрального
анализа. Методы спектрального анализа периодических и неперио-
дических сигналов имеют свои особенности и поэтому рассматри-
ваются раздельно.
3.2.	Спектральный анализ периодических сигналов
Спектральный анализ периодического сигнала s(f) основан на
разложении сигнала в ряд Фурье:
s(t) = —+^(а„ cosrtCDjl +bn sin/zcOj/)
где coi = 2n/T — частота сигнала; T — его период.
Коэффициенты Фурье определяют следующим образом:
2 772
ап \s(t}CQSn(axtdt при п =0,1,2,...,
Т
1	-Т/2
2	Т/2
Ь„= — Г s(0 sin ЛСО, tdt
т -тц
(3.1)
(3-2)
при п =1,2,....
Отметим, что в виде ряда Фурье можно представить любой пе-
риодический сигнал с конечной мощностью. При этом ряд Фурье
сходится к s(/) в средне квадратическом смысле (см. подразд. 2.3).
Более удобна для анализа другая форма записи ряда Фурье:
45
s(/)=^0+£4cos(W+<pn)>	(3.3)
Л = 1
где Ло = tf0/2 — постоянная составляющая; Ап=у[а^+Ь^ и
фл =-arctg (/>„/#„) —соответственно амплитуда и фаза гармониче-
ской составляющей.
Из выражения (3.3) видно, что периодический сигнал состоит
из гармонических составляющих — гармоник, частоты которых об-
разуют дискретный спектр частот: яссь, п = 1, 2, ... . При этом час-
тота первой (л = 1) гармоники, называемая основной частотой,
равна частоте сигнала, а частоты остальных гармоник ей кратны.
Графически амплитуды и фазы гармоник изображают в виде
линий, называемых спектральными линиями (рис. 3.2). Распреде-
ление амплитуд гармоник по частоте называют спектром амплитуд
или амплитудным спектром (см. рис. 3.2, я), а распределение фаз
фя — спектром фаз или фазовым спектром (см. рис. 3.2, б). Графи-
ческое изображение спектра называют спектральной диаграммой.
Основной интерес представляет амплитудный спектр: он позво-
ляет оценить количественное содержание различных гармоник в
спектре исследуемого сигнала.
Ряд Фурье может быть записан в комплексной форме, для чего
в выражении (3.3) заменим косинус его представлением по форму-
ле Эйлера:
cos(zzcOj / + <рл) = у [е ;('^«Г+Фй
-Цпа11+<р„)
и введем обозначения:

С0 ~Л)>
(3.5)
Рис. 3.2. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры периодического сигнала
46
В результате получим
со
s(0= £е„е^-.
л=—
(3.6)
Коэффициенты с„ — это комплексные амплитуды гармоник:
при п — ± 1, ± 2... .
4 =141е
«РЯ
Очевидно, что
<Р» =-<?-„ =-arctg(i„/a„).
Коэффициенты сп можно вычислить непосредственно, минуя
нахождение ап и Ьп. Поскольку
то, подставляя сюда значения ап и Ьп из (3.2), после несложных
преобразований получим:
т/2
4=| p(0e"inffl,'A.
* -Т/2
(3.7)
Комплексная форма ряда Фурье часто оказывается предпочти-
тельней для вычисления спектров, поскольку нужно вычислить
только один интеграл (3.7) в отличие от двух интефалов (3.2).
Для удобства построения спектральных диафамм введем функ-
цию
Г/2
С«о) = 1 j5(/Kto'A.
* -Т/2
(3.8)
Ее модуль |С(со)| является огибающей амплитудного спектра, а
аргумент ср(со) =argC(co) — огибающей фазового спектра. Для по-
строения спектральных диаграмм нужно в первую очередь по фор-
муле (3.8) найти функцию С(со), затем построить фафики |С(со)|,
<р(со) и изобразить спектральные линии на расстоянии coi = 2п/Т
друг от друга.
Процесс определения коэффициентов ряда Фурье называют
спектральным анализом периодического сигнала.
47
Таким образом, периодический сигнал может быть представлен
функцией s(t) во временной области или совокупностью коэффи-
циентов Фурье, т.е. спектром сигнала в частотной области.
Спектр мощности периодического сигнала. Средняя мощность
периодического сигнала определяется формулой (2.6). Подставим в
эту формулу представление s(f) в виде ряда Фурье (3.3)
Раскрывая в этой формуле квадрат суммы и выполняя почлен-
ное интегрирование (учитывая при этом условие ортогональности
тригонометрических функций), получим следующее выражение:
(3.9)
где =Aq и Рп = А„ /2 — средняя мощность постоянной и гармо-
нической составляющих соответственно.
Следовательно, средняя мощность периодического сигнала рав-
на сумме средних мощностей постоянной и гармонической состав-
ляющих. Спектр мощности периодического сигнала — это распре-
деление мощностей гармоник по частоте, его форма повторяет
форму амплитудного спектра.
Ширина спектра. Ряд Фурье содержит бесконечное множество
гармоник, т.е. теоретически спектр периодического сигнала неог-
раничен. Однако он имеет общую тенденцию к уменьшению ам-
плитуды с ростом частоты. Поэтому при анализе спектра достаточ-
но учесть лишь конечное число гармоник, а остальными можно
пренебречь. Число учтенных гармоник определяет так называемую
эффективную (практическую) ширину спектра.
Допустим, что в формуле (3.9) нужно учесть все гармоники,
суммарная мощность которых составляет заданную часть (напри-
мер, 90 %) средней мощности сигнала:
р0+£р„=о,9Л	(310)
П=1
где N— номер высшей учтенной гармоники. Тогда эффективная
ширина спектра равна Лшс =
Однако следует учитывать, что принудительное ограничение
ширины спектра оказывает влияние на форму сигнала.
48
3.3.	Примеры расчета спектров периодических сигналов
При расчете спектра конкретного сигнала следует обратить
внимание на его форму: является ли функция s(f) четной или не-
четной.
Если функция s(r) четная, то в выражении (3.2) коэффициенты
Ьп = 0, а коэффициенты
4 7
ап =— s (/) cos na^tdt
' о
При 77=0,1,2,...
(3.11)
При этом из уравнения (3.4) получаем следующие формулы для
вычисления амплитуд и фаз гармоник:
0, если ап > 0,
я, если ап < 0.
(3.12)
Если функция s(f) нечетная, то в выражении (3.2) коэффициен-
ты ап = 0, а коэффициенты
4 Т/с2
Ьп =— s(/)sin/7C0jfc// при /7=1,2,...	(3.13)
‘ о
В этом случае из уравнения (3.4) для определения амплитуд и
фаз гармоник имеем
, ,	-л/2, если Ь„ >0,
А =1М; ч>» =] ,,	. „
I л/ 2, если Ьп < 0.
(3.14)
Рассмотрим несколько примеров.
Последовательность прямоугольных импульсов
Периодический сигнал состоит из прямоугольных импульсов с
амплитудой С/, длительностью ти и периодом повторения Т (рис.
3.3, а). Как видно, данный сигнал является четной функцией.
Подставляя значение s{t) = U в формулу (3.11), находим коэф-
фициенты
49
1Фл
в
4---►
СО
—।------(
Рис. 3,3. Последовательность прямоугольных импульсов (а) и ее амплитудный (б)
и фазовый (в) спектры
4U
и ~
”f	,	2(/
J cos wtOi tdt =
о
sin
п^Т
— sin
ПК
ПК
где q — Т/х» — скважность последовательности импульсов.
Ряд Фурье (3.1) запишем в виде
5(Г) =
sin (л Kt а)
-------— COS П COj t
nKtq
В выражении (3.15) постоянная составляющая Ло = U/q,
зуды гармоник
амил И'
2t/|sin(n
q и к/q
Амплитудный спектр для q = 3 изображен на рис. 3.3, б. Ампли-
туды гармоник с номерами п = kq, к = 1, 2, .
стояние между спектральными линиями обратно пропорционально
периоду Т. Отметим, что при увеличении периода спектральные
линии располагаются ближе друг к другу.
.. равны нулю. Рас-
и
50
На графике (см. рис. 3.3, б) штриховая линия обозначает оги-
бающую дискретного амплитудного спектра, которая описывается
функцией вида
| sinc(x)| -
sin х
(3.17)
СОТ
где х = —-. Значение sinc(O) = 1 и sinc(/m) = 0, п = 1, 2, ....
2
Фазовый спектр (см. рис. 3.3, в) построен в соответствии с фор-
мулой (3.12) для (рл.
Практический интерес представляет амплитудный спектр, он
сосредоточен в области нулевой и низких частот — низкочастотный
спектр.
По формуле (2.6) вычислим среднюю мощность последователь-
ности прямоугольных импульсов:
откуда Р — 0,33 U2 при q = 3.
Определим суммарную мощность первых /V гармоник. Подстав-
ляя значения коэффициентов Ао и Ап в уравнение (3.9), запишем
Вычисления показывают, что при значении q = 3 суммарная
мощность первых восьми гармоник Р% = 0,3 U2, т.е. Р$ — 0,94Р. Это
означает, что в частотном интервале [0, 8о)|| сосредоточено 94 %
средней мощности сигнала. Поэтому можно принять, что эффек-
тивная ширина спектра Дсос = 8о>1.
Меандровый сигнал
Меандровый сигнал (меандр), изображенный на рис. 3.4, явля-
ется нечетной функцией.
Подставляя в формулу (3.13) значение $(/) = Ц находим коэф-
фициенты
Т/2
| sin /ДО) tdt
о
—(1-cos ял).
mt
51
Рис. 3.4. Меандр
Отсюда следует, что коэффициенты имеют следующие значения:
bn=4U/nit при /1=1,3,...;
Ьп =0 при /7=2,4,....
Ряд Фурье (3.1) принимает вид
4Z7
sin со,t+- sin Зсс»!/ +-sin5(o1/+...
(3.18)
Таким образом, в спектре меандра присутствуют только нечетные
гармоники, амплитуды которых уменьшаются по закону 1//7. В соответ-
ствии с формулой (3.14) для <ря фазы всех гармоник равны: <рл = —л/2.
Средняя мощность меандра согласно формуле (2.6) есть
Используя формулу (3.9), вычислим ту часть мощности, кото-
рая приходится на первые пять гармоник:
= 0,93(72,
что составляет 93 % от средней мощности меандра. Следовательно,
частотный интервал [(oh 5cdJ определяет эффективную ширину
спектра: Дсос = 4соь
Пилообразный сигнал
Пилообразный сигнал, изображенный на рис. 3.5, описан не-
четной функцией:
при
52
Рис. 3.5. Пилообразный сигнал
По формуле (3.13) находим коэффициенты:
п
8U г .	2U
—	t sm исо, tdt =--cos ил.
Г {
Ряд Фурье (3.1) запишем в виде
/.ч 24/
5(Г) = —
sin со,/ — sin 2со,/
(3.19)
Амплитуды гармоник в формуле (3.19) убывают по закону 1/и.
Их фазы определяются в соответствии с выражением (3.14).
Средняя мощность пилообразного сигнала согласно формуле
(2.6):
По формуле (3.9) вычислим часть мощности, приходящуюся на
первые шесть гармоник:
что составляет 90 % от средней мощности сигнала. Следовательно,
эффективная ширина спектра пилообразного сигнала равна частот-
ному интервалу [соь бои], т.е. Ааэс = 5с0|.
3.4.	Спектральный анализ непериодических сигналов
Спектральный анализ непериодического сигнала s(t) основан на
представлении сигнала интегралом Фурье\
53
DO
'S(fiS)e“'da,
J(/) =
(3.20)
где функция 5(co) определяется путем применения к s(t) преобразо-
вания Фурье’.
со
5(со) =
—оо
(3.21)
Интеграл Фурье (3.20) можно получить из ряда Фурье (3.6) по-
средством предельного перехода при значении Т —» <*>, а формула
(3.21) формально является предельным случаем (3.7) при значении
Т —> оо.
Интеграл Фурье (3.20) так же, как и ряд Фурье (3.6) даст разло-
жение сигнала на гармонические составляющие, представленные в
комплексной форме. Принципиальное различие между рядом (3.6)
и интегралом (3.20) состоит в том, что ряд дает разложение сигнала
на гармонические составляющие е!Л^! с дискретными частотами
moi (дискретный спектр), а интеграл дает разложение на гармони-
ческие составляющие е'0)Т с частотой со, принимающей непрерыв-
ные значения (непрерывный спектр).
Таким образом, спектр периодического сигнала — дискретный,
а спектр непериодического сигнала — непрерывный.
Функцию 5 (со) называют спектральной функцией, спектральной
плотностью или просто спектром сигнала s(f). Спектральная функ-
ция описывает свойства непериодического сигнала в частотной об-
ласти.
Комплексную спектральную функцию 5 (со) можно представить
в форме:
(3.22)
Частотную зависимость модуля |5(со)| называют амплитудным
спектром непериодического сигнала, а функцию <р(со) = arg5(cD) оп-
ределяют как его фазовый спектр.
Поскольку s(t) — действительная функция, то имеем
5(-со) = 5* (со)
и, следовательно, справедливы равенства
54
15(- co)I=| S(co)|, <p (- co) = -9 (co).
(3.23)
Амплитудный спектр 15(co)| — четная функция со, а фазовый
спектр ф(со) — нечетная функция со. Вследствие симметрии можно
ограничиться изображением спектров в области положительных час-
тот, которые являются физическими частотами. Отметим, что отри-
цательная частота — лишь математическое понятие, используемое
для представления действительной функции в комплексной форме.
Интеграл (3.20) можно представить в действительной форме.
Подставляя выражение (3.22) в (3.20) и принимая во внимание
(3.23), получим соотношение
^(0 = —
2л J
15 (со) | еl<f{ w)edm = [ -1 S(co) | cos|cor + 9 (со)] dm,
'Л
(3.24)
которое иллюстрирует смысл спектральной функции. Здесь сигнал
5(0 представлен в виде суммы бесконечно большого числа гармо-
нических составляющих с бесконечно малыми амплитудами:
Л(со) = -| 5(со)| dm,
Л
начальные фазы этих составляющих заданы функцией 9(со). Функция
5(со)| = л
Жсо)
описывает плотность распределения амплитуд гармонических со-
ставляющих по частоте.
Таким образом, амплитудный спектр описывает плотность рас-
пределения амплитуд гармонических составляющих по частоте, а
фазовый спектр — распределение их фаз. Заметим, что размерность
S(co)| — это размерность сигнала а(/), деленная на размерность час-
тоты (например, вольт/герц).
Задача спектрального анализа непериодического сигнала $(/)
состоит в нахождении спектральной функции 5(со). Преобразование
Фурье (3.21) применимо к любому непериодическому сигналу с ко-
нечной энергией', математически это означает, что функция s(t) явля-
ется абсолютно интегрируемой:
J | 5(/)| dt< сю.
55
Соответствие между представлениями сигнала во временной и
частотной областях будем указывать с использованием знака <->:
з(/)	5(g)).
Данная запись означает, что 5(со) получается в результате при-
менения преобразования Фурье (3.21) к сигналу s(i), а л(Г) — в
результате применения обратного преобразования Фурье (3.20) к
спектральной функции 5(со).
Энергетический спектр сигнала. Энергия сигнала может быть
вычислена как по временному, так и по спектральному его пред-
ставлению.
При временном представлении сигнала его энергия вычисляет-
ся по формуле (2.5).
Подставляя интеграл Фурье (3.20) в формулу (2.5), получим вы-
ражение энергии сигнала через его спектральную функцию S(co):

df.
Изменим порядок интегрирования:
о*3	©о
— J 5(со) 5(/)е,и'Л
2л Д	J
day.
(3.25)
Интеграл в квадратных скобках
Js(/)eto'<7r = 5(-<o) = 5‘(co)
(3.26)
— функция, комплексно-сопряженная спектральной функции 5(со).
Поскольку
5(со) 5* (со)=15(со)|2,	(3.27)
то формула (3.25) будет иметь вид
со	со
£ = —- 1S(w)l2 Ао = - Г15(со)|2 Ао.
2лД
(3.28)
Соотношение (3.28) устанавливает связь между энергией сигна-
ла и его амплитудным спектром. От фазового спектра энергия сиг-
нала не зависит. Величину
56
W/(w)=|S(co)|2
(3.29)
называют энергетическим спектром — это спектральная плотность
энергии сигнала. Энергетический спектр позволяет оценивать долю
энергии, приходящуюся на тот или иной частотный интервал.
Ширина спектра. В спектральном представлении непериодиче-
ского сигнала (3.20) частоты гармонических составляющих образу-
ют бесконечно широкий спектр, поэтому для непериодических
сигналов (так же, как и для периодических сигналов) введено по-
нятие эффективной (практической) ширины спектра. Критерии
для ее определения могут быть различными.
Чаше всего эффективную ширину спектра непериодического
сигнала определяют как полосу физических (положительных) час-
тот, в которой сосредоточена заданная часть (например, 90 %) пол-
ной энергии сигнала.
Для низкочастотного спектра, расположенного в интервале [0, С0в],
эффективная ширина спектра равна высшей частоте: Дсо = сов. На
основании (3.28) получим уравнение:
- Г| 5(со)|2 rfco=0,9£,	(3.30)
71 о
которое используют для определения частоты сов.
3.5. Примеры расчета спектров непериодических
сигналов
Запишем формулу (3.21) в виде
5 (со) = [s(/)cosco/J/-i f s(f)sin со/J/.
Если функция s(/) четная, то 5(co) — действительная:
5(со) = s(/)cosco/J/=2 s(t)cos(dtdt.
w	«
-ОО	0
Если функция s(t) нечетная, то />(со) — мнимая величина:
оа	оо
S(co) = -i I s(f) sin со/ dt = -i2 s(t) sin co/ dt.
-OO	0
(3.31)
(3.32)
(3.33)
57
Формулы (3.32) и (3.33) удобно использовать при расчете спек-
тров четных и нечетных сигналов.
Прямоугольный импульс
Прямоугольный импульс с амплитудой U и длительностью ти
расположен симметрично относительно начала отсчета времени
(рис. 3.6).
Поскольку $(/) четная функция, то на основании формулы (3.32)
sin(cox и / 2)
они/2
Запишем это выражение в форме
5(co) = (7cHsinc
(3.34)
В данной формуле использована функция вида sinc(x) = (sin х)/х.
Отметим, что значение спектральной функции при со = 0 равно
площади импульса: 5(0) = (Ли.
Амплитудный спектр определяется как
1ЭД| = (АИ
sine
(3.35)
Его вид изображен на рис. 3.7, а. Как видно, амплитудный
спектр имеет лепестковый характер. Ширина лепестков равна
2л/ти, т.е. обратно пропорциональна длительности импульса.
На рис. 3.7, б изображен фазовый спектр:
<р(со) =
0 при 5(со)>0,
±л при 5(со)<0.
Рис. 3.6.
им-
Прямоугольный
пульс
Значения фазы л и —л не различа-
ются. Разные знаки функции ср(со) при
со > 0 и со < 0 выбраны лишь для того,
чтобы представить ср(со) в виде нечет-
ной функции.
Амплитудный спектр сосредоточен
в области нулевой и низких час-
тот — низкочастотный спектр. Заме-
тим, что импульсы с низкочастотным
58
Рис. 3.7. Амплитудный (о) и фазовый (б) спектры прямоугольного импульса
спектром иногда называют видеоимпульсами. Происхождение тер-
мина «видеоимпульс» связано с тем, что впервые такие импульсы
начали применять для описания сигналов в телевидении.
Эффективную ширину спектра прямоугольного импульса обыч-
но определяют как ширину первого (главного) лепестка в области
физических частот (со > 0):
Дох = 2 л/ т., или ДЛ = 1 / т...
С	11	с z и
Расчеты показывают, что в частотном интервале 0 < со < 2л/ти
сосредоточено 90 % энергии импульса.
Отметим, что база (1.5) прямоугольного импульса равна В = 1.
Следовательно, прямоугольный импульс относится к простым сиг-
налам.
Меандровый импульс
Меандровый импульс изображен на рис. 3.8, а. Поскольку s(f)
нечетная функция, то на основании формулы (3.33) имеем
•	г	2U ( сот
5(со) = -/2С/ |sincorJr=7— cos^--l
о	св 2
Это выражение преобразуем к виду:
59
1ЗД1
2
Рис. 3.8. Меандровый импульс (а) и его спектры:
амплитудный (б) и фазовый (в)
с/х -4£/ . 2| соти 1
5(со) = -/— sm —- .
со 4
Амплитудный спектр есть
I с/ XI • г(соти 1
| 5(<0)| = — 81П ' —-К- ,
|со| 4
(3.36)
(3.37)
его вид показан на рис. 3.9, а.
Учитывая, что мнимая единица / = е‘п/2, фазовый спектр опре-
деляем следующим образом:
,	тс/2, со< О,
ф(со) = <
-л/2, со>0.
График фазового спектра показан на рис. 3.8, б. Эффективную
ширину спектра меандра можно определить как ширину первого
лепестка при значении со > 0:
60
Д(вс=4л/ти или Д/с =2/ти.
База меандрового импульса равна В — 2, т.е. меандровый им-
пульс относится к простым сигналам.
Экспоненциальный импульс
Экспоненциальным импульсом называют затухающий сигнал
(см. рис. 2.3, б), который описывается экспоненциальной функци-
ей (2.2).
По формуле (3.21) находим спектральную функцию
со
5(со)=tzf е_<в**0)'Л =	.
*	c+zcd
(3.38)
Модуль и аргумент комплексной функции (3.38) определяются как
15(о>)|=
ср (со) = - arctg
Графики спектров ^(со)! и <р(со) приведены на рис. 3.9.
Амплитудный спектр сосредоточен в области низких частот.
Для оценки эффективной ширины спектра воспользуемся форму-
лой (3.30). Определим часть энергии импульса, сосредоточенную в
частотном интервале [0, сов]:
Полная энергия затухающего сигнала (см. подразд. 1.2) равна
Е = U1/2а. Из равенства Д£ = 0.9Е получаем уравнение
откуда сов = 6,16с.
Рис. 3.9. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры экспоненциального импульса
61
Эффективная ширина спектра равна
Дсос = сор =6,16а или Д/с =6,16а/2л = 0,98а.
Параметр а характеризует эффективную длительность затухаю-
щего сигнала (см. подразд. 1.2 и 1.3).
Рассмотренные примеры показывают, что эффективная шири-
на спектра обратно пропорциональна длительности сигнала.
Соотношение между спектрами одиночного импульса
и периодической последовательности импульсов
Пусть имеется одиночный импульс s(/), действующий на интер-
вале |г । < ти/2. Его спектральная функция
т и /2
5(со) =
(3.39)
Путем повторения данного импульса через интервал Т > ти образу-
ем периодическую последовательность импульсов s(r± к Г), к = 1, 2,... .
Ее спектр может быть вычислен по формуле (3.7):
s(t)e~in(Oi,dt,
-Т И / 2
(3.40)
где пределы интегрирования определяются интервалом существо-
вания импульса.
*
Сравнение формул (3.39) и (3.40) показывает, что
с„ = -=	),
(3.41)
где 5(пш1) — значение спектральной функции импульса на частоте
со= moi. Запишем выражение (3.41) в виде
к„|е'Ф” =-|5(ию,)|е'ф(“1).
(3.42)
Равенство (3.42) для комплексных величин распадается на два
равенства:
К1 = - 1‘5’(«Ц)1,	= ф(^).
(3.43)
62
Соотношения (3.43) устанавливают связь между спектрами оди-
ночного импульса и периодической последовательности импуль-
сов. Они показывают, что непрерывные амплитудный и фазовый
спектры одиночного импульса являются огибающими дискретных
амплитудного и фазового спектров периодической последователь-
ности импульсов. Их полезно использовать для определения спек-
тра периодического сигнала: сначала находят спектральную функ-
цию одиночного импульса, затем с помощью формул (3.43) —
спектр периодической последовательности импульсов.
Сравнивая амплитудные спектры одиночного прямоутольного
импульса (см. рис. 3.8, а) и периодической последовательности пря-
моугольных импульсов (см. рис. 3.3, б), видим, что непрерывный
амплитудный спектр одиночного импульса при со > 0 имеет такую
же форму, как и огибающая дискретного амплитудного спектра пе-
риодической последовательности прямоугольных импульсов.
3.6.	Теоремы спектрального анализа
Из курса высшей математики известны теоремы, отражающие
свойства преобразования Фурье. Они позволяют установить соот-
ветствие между эквивалентными математическими операциями во
временной и частотной областях, т.е. над сигналами и их спектра-
ми. Эти теоремы важны для практических приложений.
Соответствие между представлениями сигнала во временной и час-
тотной областях будем обозначать следующим образом: s(/) <-> 5(со).
Теорема (свойство) линейности'.
(3.44)
к	к
т.е. умножению на постоянную я* и суммированию во временнбй
области соответствуют аналогичные операции в частотной области.
Теорема запаздывания:

(3-45)
т.е. сдвигу сигнала во времени на интервал ± /0 соответствует умно-
жение его спектра на . Это означает, что амплитудный спектр
не изменяется, а к фазовому спектру прибавляется линейный член
± co/о- Множитель е±;ы/° называют оператором задержки сигнала.
63
Теорема масштабов:
(3.46)
где постоянная а 0. Запись (3.46) означает, что сжатию сигнала
во времени соответствует расширение его спектра и уменьшение
модуля |S|, а растяжению сигнала — сужение его спектра и увели-
чение модуля |5|. В частности, если а = —1, то имеет место соот-
ветствие
s(-/) «-> 5(- со) =	(со).
Теорема о дифференцировании сигнала:
/со 5 (со),
dt
(3.47)
(3.48)
т.е. дифференцированию сигнала соответствует умножение его
спектра на /со. Множитель /со называют оператором дифференциро-
вания в частотной области. При «-кратном дифференцировании
сигнала его спектр умножается на множитель (/со)”.
Теорема об интегрировании сигнала:
s(f)dt
— 5(со), если 5(0) = 0,
/со
(3.49)
т.е. интегрированию сигнала соответствует деление его спектра на
/со. Множитель 1//со называют оператором интегрирования в час-
тотной области.
Теорема о спектре произведения сигналов:
если (/)	5] (со) и s2(/) <-> 52(со), то
5/05/0
2л
(3.50)
где знак ® используется для символической записи операции
свертки, определяемой интегралом:
ОС	CXJ
Sj (со) ® 52 (со) = j Sj (,v) S2 (со- x)dx = 5) (co- x) S' 2 (x)dx.
(3.51)
64
Запись (3.50) означает, что произведению двух сигналов соот-
ветствует свертка их спектров с коэффициентом 1/2л.
Теорема о спектре свертки сигналов:
Si (/) ® s2 (t)	(to)52 (со)
(3.52)
т.е. свертке двух сигналов соответствует произведение их спектров.
Здесь
[si(x)s2(t-x)dx- [5j(Z-x)52(x)Jx.
Теорема о смещении спектра:
$(Г)е±/й3°' <-> 5 (сот соо),
(3.53)
(3.54)
т.е. умножению сигнала на функцию е±1Щ1 соответствует смещение
его спектра на частоту ± (Оо по оси частот.
Используя выражение (3.54), можно получить следующее соот-
ношение:
s(/)cosco0/ <->^5(со-соо)4-у 5(со+со0).	55)
Согласно формуле (3.55) умножению сигнала на функцию cos GW
соответствует смещение его спектра по оси частот на соо (первое сла-
гаемое) и —О)о (второе слагаемое). Спектр как бы «раздваивается»,
при этом уровень спектра уменьшается в два раза (множитель 1/2).
3.7.	Применение теорем спектрального анализа
Вычисление спектров упрощается при использовании теорем
спектрального анализа.
Спектр пачки импульсов
Пачка импульсов — это сигнал в виде конечной последователь-
ности одинаковых и равноотстоящих импульсов. На рис. 3.10 изо-
бражена пачка прямоугольных импульсов.
Для определения спектральной функции пачки импульсов вос-
пользуемся теми свойствами преобразования Фурье, которые опи-
сываются соотношениями (3.44) и (3.45).
5-3659
65
О ти Т	{N-\)T t
Рис. 3.10. Пачка прямоугольных
импульсов
Сначала находим спектральную
функцию (со) первого импульса в
пачке. Этот импульс отличается от
симметричного прямоугольного им-
пульса (рис. 3.6) лишь смещением во
времени на интервал ти/2, поэтому в
соответствии с выражением (3.45)
имеем
51(w) = 50(ro)e-'“I“/2,
(3.56)
где 5Ь(со) определяем выражением (3.34).
Второй импульс в пачке смещен во времени относительно пер-
вого на интервал Т. Его спектральная функция имеет вид
52(со) = 51(со)е“'“т.	(3.57)
Далее находим спектральную функцию третьего импульса, сме-
щенного во времени относительно первого на интервал 27:
53(со) = 51(со)е“,2£йГ.	(3.58)
Аналогично находим спектральные функции всех последующих
импульсов в пачке.
Спектральную функцию пачки из N импульсов определяем в
соответствии с выражением (3.44) следующим образом:
5(<в) = 5,(со)[1+е’'°7' +е-'2“г+...+ е-'|Л,_||“г].	(3.59)
На частотах со,, = ~L~n/T при п = 1, 2, ... каждое слагаемое в
квадратных скобках равно единице. Следовательно, значение спек-
тральной функции (3.59) на этих частотах равно
S(2nn /Т) = NS{ (2лл / Г).
Это означает, что на указанных частотах модуль спектральной
функции пачки импульсов в N раз больше модуля спектральной
функции одного импульса.
Используя формулу суммы геометрической прогрессии, пред-
ставим спектральную функцию (3.59) в виде
5(со) = 5j (cd) . r .
После несложных преобразований получим
66
co
Рис. 3.11. Спектр пачки прямоугольных импульсов
/(Л'-1)о>Т
5(со) = 5i (w)
sin(/VcoT/2)
sin (со 71/2)
Амплитудный спектр (модуль) определяем следующим образом:
15(св)Н (со)|
sin(Mo772)
sin(co7' /2)
где модуль |Л’1(сп)| описывается функцией (3.35). На рис. 3.11 пред-
ставлен график амплитудного спектра пачки из четырех импульсов
при значении Т = 4ти, на котором штриховой линией показан
спектр одиночного импульса.
Анализ графика спектра, изображенного на рис. 3.11, позволяет
сделать следующий вывод: с увеличением числа импульсов в пачке
лепестки спектра становятся все более узкими и в пределе, когда
А—» получаем линейчатую структуру спектра периодической по-
следовательности импульсов.
Спектр радиоимпульса
Радиоимпульс — это высокочастотное колебание, огибающая ко-
торого имеет форму импульса (видеоимпульса). Если s(t) — задан-
ный импульс, то ему соответствует радиоимпульс
4/(r) = 5(/)COSCD0f.	(3.60)
При этом функцию s(f) называют огибающей радиоимпульса, а
функцию cos(D0/ — его заполнением; соо — частота заполнения.
67
Рис. 3.12. Прямоугольный радиоимпульс (а) и его спектр (б)
Используя соотношение (3.55) для спектральной функции ра-
диоимпульса получим следующее выражение:
5р (со) = - 5(со-со0)+- 5(со+со0).
(3.61)
Слагаемые в (3.61) описывают спектральную функцию огибаю-
щей радиоимпульса, смещенную из области частоты со = 0 в облас-
ти со = соо (первое слагаемое) и со = — coq (второе слагаемое).
Подставив в формулу (3.61) функцию (3.34), получим спек-
тральную функцию прямоугольного радиоимпульса в виде
(3.62)
Если частота соо » 2я/ти, то взаимным влиянием слагаемых в
выражении (3.62) можно пренебречь. Тогда спектр радиоимпульса
находим простым переносом спектра прямоугольного импульса в
область около ± соо, (рис. 3.12, б).
Эффективную ширину спектра прямоугольного радиоимпульса
можно определить как полосу частот, занимаемую центральным
лепестком спектра в области физических частот (со > 0):
или
(3.63)
68
Таким образом, ширина спектра прямоугольного радиоимпуль-
са равна удвоенному значению ширины спектра его огибаю-
щей — прямоугольного импульса (видеоимпульса).
Спектр аналитического сигнала
Аналитический сигнал (см. подразд. 2.5), соответствующий сиг-
налу $(/), имеет вид
z(t) = s(t)+isc(t).
Пусть s(t) <-> 5(со), sc (/)<-> Sc (со). На основании линейности пре-
образования Фурье спектральная функция аналитического сигнала
Sz (со) = 5(со)+ISC (со).
(3.64)
Можно установить связь между спектральными функциями 5(со)
и 5с(со). На основании выражения (3.21)
оо
—О©
или с учетом формулы (2.31)
TlJ J t-x
(3-65)
Введем вместо переменной t новую переменную у = / — хи
представим е~кау через тригонометрические функции. В результате
выражение (3.65) преобразуется к виду
(3.66)
В выражении (3.66) интегралы
(3.67)
С учетом значения интегралов (3.67) из (3.66) следует, что
69
-/5(co), со>0,
(co) = -/5(a)) sgn(co) = <! 0,
/5 (co),
co=0,
oxO.
(3.68)
Здесь sgn(co) означает знак переменной co.
Подставляя выражение (3.68) в формулу (3.64), получим
5, (со)
[25(со), о)>0,
[О, со< 0.
(3.69)
Таким образом, спектральная функция аналитического сигнала
существует только в области положительных частот, где она равна
удвоенному значению спектральной функции сигнала s(f).
3.8.	Использование обобщенных функций
в спектральном анализе сигналов
Формула (3.21) применима только к сигналам с конечной энер-
гией, т.е. функция 5(0 должна быть абсолютно интегрируемой. Од-
нако понятие «спектральная функция» целесообразно распростра-
нять и на некоторые модели сигналов, не удовлетворяющие этому
условию. Определение спектральной функции таких сигналов ос-
новано на использовании формального приема, связанного с опре-
делением спектральной функции единичного импульса 5(/).
Согласно выражению (2.24) дельта-функция обладает фильт-
рующим (выборочным) действием. Поэтому вычисление интегра-
лов. содержащих дельта-функцию в качестве подынтегрального со-
множителя, фактически не требует интегрирования. Например,
можно сразу записать значения интегралов:
ею	ОО
Je“'“'8(Z) А = 1, Je”'“'8(z-t0) dt .
—ОС	”ОО
(3.70)
Сопоставление этих интегралов с интегралом (3.21) позволяет
формально ввести в рассмотрение спектральную функцию единич-
ного импульса:
8(Z)	5(<о) = 1, 8(Z	5(w) = е-'0'0.
(3.71)
Согласно соотношению (3.71) единичный импульс 8(z) имеет
постоянную спектральную функцию, равную единице во всем диа-
пазоне частот от значения —«> до °°. При смещении единичного
70
*6(0
s(0
2яб(<о)
Рис. 3.13. Идеальный широко-
полосный сигнал
Рис. 3.14. Идеальный узкопо-
лосный сигнал

О ш
О <»
импульса во времени на интервал /о его спектральная функция по-
лучает приращение фазы <р(со) = — со/0-
Таким образом, единичный импульс является идеальным широ-
кополосным сигналом: его спектр имеет постоянное значение в бес-
конечной полосе частот. На рис. 3.13 изображен единичный им-
пульс и его спектральная функция.
В теории сигналов используют также дельта-функцию 5(со), на-
зовем ее обобщенной спектральноей функцией. Все описанные выше
соотношения для 8(/) можно отнести и к 5(со), если заменить в них
t на со. Например,
[8(<о)е'“'Жо=1.
(3.72)
Сопоставление этого интеграла с интегралом Фурье (3.20) пока-
зывает, что имеет место соответствие
s(/) = 1 с-» 5 (со)=2 лб(со),
(3.73)
т.е. функции s(/), принимающей постоянное значение в интервале
-сю / ’С ОО, соответствует в частотной области дельта-функция 6(со).
Таким образом, в обобщенном смысле постоянная величина
(ток, напряжение) является примером идеального узкополосного сиг-
нала'. его спектр сосредоточен в точке со = 0 (рис. 3.14).
Поскольку
6(co-co0)e'wJco=e/oV
5(со+со0)el^!d^~е ,ta°'
(3.74)
то имеет место соответствие
е1^ е» 5(со) = 2лб(со-со0); е~^	5(со) = 2тгё(со+со0). (3.75)
С помощью функций 5 (со ± соо) можно выразить спектральную
функцию периодического сигнала. Например, для гармонического
колебания
5(0 = cos QV = (е'	) / 2
71
спектральная функция с учетом (3.75) примет вид
5 (со) = л 5 (со— со0)+л5(СО+СОо ).
(3.76)
Таким образом, дельта-функция 6(со) дает возможность выра-
зить в математической форме спектральные функции некоторых
моделей сигналов. Однако здесь имеется в виду обобщенная спек-
тральная функция.
Вычисление спектра сигнала
методом дифференцирования
Данный метод эффективен для сигналов, первая, вторая или
и-я производная которых состоит лишь из дельта-функций. Рас-
смотрим суть метода на конкретных примерах.
Пример 1. Прямоугольный импульс (см. рис. 3.6) можно пред-
ставить в виде разности двух скачков:
s(t) = U о
Дифференцируя s(c) и учитывая выражение (2.28), имеем
Спектральная функция первой производной:
/ЮЯа>) = 1/(е‘“г"/2-е’,и1“/2).
Отсюда находим спектральную функцию прямоугольного им-
пульса:
5(о} =—(е'ш1"/:г-е-'йт“/2
и, изображенного на рис. 3.15, а.
Пример 2. Определим спектральную функцию треугольного им-
(	2
пульса s(f)= U 1-
т
\ и
Дифференцируя s(/), получаем два разнополярных прямоуголь-
ных импульса (рис. 3.15, бу, вторая производная имеет вид трех
72
♦ -5(0
Рис. 3.15. К определению спек-
тральной функции:
треугольный импульс (а), его первая (б)
и вторая (в) производные
дельта-функций (см. рис. 3.15,
рой производной таково:
в). Математическое описание вто-
(3.77)
Преобразование Фурье левой и правой частей выражения (3.77)
имеют вид
(1Ш)25(со)=^(е'шт“/2 +е-'“’"/2)-^.
И	и
(3.78)
Из выражения (3.78) после преобразования находим
(3.79)
Отметим, что с ростом частоты значение 5(0)) уменьшается по
закону 1/со2, т.е. гораздо быстрее, чем в случае прямоугольного им-
пульса, для которого |5| уменьшается как 1/со.
Предложенный метод не требует непосредственного вычисле-
ния интеграла в выражении (3.21) — в этом его очевидное преиму-
щество.
3.9.	Преобразование Лапласа и его использование
при спектральном анализе сигналов
Преобразование Лапласа — одно из интегральных преобразова-
ний — находит применение при спектральном анализе сигналов
благодаря его связи с преобразованием Фурье.
73
Пусть имеется сигнал $(/), определенный при значении t > 0 и
равный нулю при значении t < 0. Преобразование Лапласа этого
сигнала определяется как
ею
£(/>) =
о
(3.80)
где р = о + /со — комплексная переменная, получившая название
комплексной частоты. Сигнал s(t) называют оригиналом, а функ-
цию S(p) его изображением.
Функция S(p) существует, если сходится интеграл (3.80), по-
этому на функцию s(t) накладывается условие:
|5(0|<
(3.81)
где Л/, Со — положительные числа. При выполнении этого условия
интеграл (3.80) абсолютно сходится для всех р, у которых Re р > Оо-
Минимальное значение о0, при котором условие (3.81) выполняет-
ся, называют абсциссой абсолютной сходимости интеграла (3.80).
Если в (3.80) положить р = /со, то получим формулу (3.21) для
сигнала $(/), равного нулю при значении / < 0. Поэтому преобразо-
вание Лапласа можно рассматривать как обобщение преобразова-
ния Фурье на случай комплексных частот.
Основные свойства преобразования Лапласа совпадают с ана-
логичными свойствами преобразования Фурье, рассмотренными в
подразд. 3.6.
Обратное преобразование Лапласа. Для перехода от изображения
5(р) к функции времени s(/) может быть использовано обратное
преобразование Лапласа:
(3.82)
Здесь интегрирование ведется вдоль прямой Re р = о в правой
полуплоскости комплексной переменной р, так чтобы все особые
точки рк функции S(p) лежали слева от этой прямой. По определе-
нию особой точки S(pK) —> ©о.
В большинстве случаев 5(р) представляет собой дробно-рацио-
нальную функцию, т.е. является отношением двух многочленов по
степеням р:
S(p) =
Л(р)
В(р)
(3.83)
74
причем степень числителя А(р) не больше степени знаменателя
В(р). При этом в качестве особых точек функции (3.83) рассматри-
вают полюсы, т.е. корни уравнения В(р) = 0. Допустим, что все
корни pki к = 1, 2, ..., п различны. Тогда переход от изображения
$(р) к оригиналу s(t) производят с помощью формулы:
(3.84)
где В'(р) = dB/dp.
Пример. Изображение сигнала s(t) задано в виде
S(p) =
1
(р+д)(р+6)
(3.85)
Определим з(г), используя формулу (3.84).
Функция (3.85) является дробно-рациональной вида (3.83), где
Л(р) = 1. В(р) = (р+а)(р+Ь),
ее полюсы равны: р} - —а, р2 = -Ь. Применим формулу (3.84). Здесь
В'{р) = 2р+а+Ь\ В'(р1) = Ь-а;
В'(р2) = а-Ь.
По формуле (3.84) находим
(3.86)
На практике для перехода от s(t) к S(p) или от S(p) к s(f) чаше
всего пользуются готовыми таблицами преобразования Лапласа,
которые составлены для обширных классов функций и приведены
во многих математических и технических справочниках. Наличие
таблиц делает способ анализа с помощью преобразования Лапласа
достаточно универсальным.
Если сигнал s(t) — 0 при t < 0 и преобразование Фурье (3.21) для
него существует, то оно может быть получено из таблиц преобразо-
вания Лапласа путем замены р на /со.
Таким образом, используя связь между преобразованиями Фу-
рье и Лапласа, можно с помощью таблиц находить 5(со), если из-
вестна $(/), или находить $(/), если известна 5(со).
75
3.10.	Корреляционный анализ детерминированных
сигналов
Корреляционный анализ — это анализ сигналов во временнбй об-
ласти с целью выявления и оценки их подобия (сходства), осно-
ванный на изучении корреляционной функции (КФ). Для детерми-
нированных сигналов корреляция — понятие, которым отмечают
связь между сигналами. Корреляционная функция дает количествен-
ную оценку степени этой связи; ее используют при решении задач
обнаружения и выделения сигналов, когда возникает необходи-
мость сравнения формы двух сигналов или сравнения принятого
сигнала с некоторым эталонным сигналом. Она играет важную
роль в радиолокации, где информация об обнаруженном объекте
может быть получена путем сравнения параметров излучаемого и
отраженного сигналов.
Корреляционная функция непериодического сигнала
Корреляционную (автокорреляционную) функцию действи-
тельного сигнала s(t) с конечной энергией определяют по формуле:
СО	90
В(х) = f s(t)s(t+x)dt = । s(t)s(t -x)dt.
-сю	-со
(3.87)
При этом В(х) выражается в единицах энергии. Корреляцион-
ная функция Дт) характеризует меру сходства сигнала $(/) с его ко-
пией s(/± т), смешенной на интервал ± т. Переменная т играет роль
параметра; Дт) — это функция сдвига т между сигналом и его сме-
шенной копией.
Корреляционная функция обладает следующими свойствами:
1.	Значение КФ при т = 0 равно энергии сигнала:
60
В(0) = f S2 (Г)Л = Е.
- ©о
(3.88)
2.	КФ является четной функцией:
В(-х) = Дт).
3.	КФ имеет максимум при значении т = 0:
ДО) > Дт).
76
Коэффициент корреляции сигнала — нормированная КФ, отне-
сенная к энергии сигнала:
г(т) = В(т) / В(0) < 1.
При т = 0 значение коэффициента корреляции максимально и
равно r(0) = 1.
Найдем преобразование Фурье корреляционной функции:
0Q	ОС ФО
j В(х)е~,ах dx = | 5(/)s(/-т)е~/С1}Т dtdx.
<х>—оо
Введем новую переменную х = t — т:
©о о©	ео	сю
s(t)s(x)e~l<i>,el“iXdtdx = s(t)e~l(atdt s(x)elwxdx =
»oo ~oc	——OO	—03
= .S'(co)5’' (co) = 15(co)|2 = PK(co).
Таким образом, получим
)Г(со)=
и соответственно
оо

2лJ
W(&eiViXdto.
(3.89)
(3.90)
Прямое (3.89) и обратное (3.90) преобразования Фурье одно-
значно связывают корреляционную функцию В{т) и энергетиче-
ский спектр РК(со) детерминированного сигнала:
В(т) И-Чсо).
Таким образом, корреляционная функция отображается в час-
тотную область как энергетический спектр.
Примеры расчета корреляционной функции
КФ прямоугольного импульса. На рис. 3.16 изображен прямо-
угольный импульс s(/) и его сдвинутая копия s(t — т) при положи-
тельных значениях т. Очевидно, что произведение s(f)s(J— т) отлич-
но от нуля только на интервале времени т < i < ти. По формуле
(3.87) находим
77
И
Рис. 3.16. Нахождение корреляционной функции прямоугольного импульса
вм=и2

Полученное выражение определяет КФ при значении t > 0.
Учитывая четность КФ, можно записать ее в виде
(3.91)
График Дт) приведен на рис. 3.16: КФ имеет вид треугольника,
основание которого равно удвоенной длительности импульса, а вы-
сота — энергии импульса: ДО) = ^2ти = Е. Величину тк = 2ти назы-
вают интервалом корреляции.
КФ пачки прямоугольных импульсов» На рис. 3.17, а изображена
пачка из двух прямоугольных импульсов.
Применим формулу (3.87) при значении т > 0:
Дт) =	5(/)л(/
г
Данный интеграл вычисляют следующим образом:
•	при сдвиге 0 < т < ти (рис. 3.17, б)
т >(	Г+т и
B(t) = U2 jdt+U2 |л=2{/2(т„-т);
т	7‘-гТ
•	при сдвиге ти < т < Т (см. рис. 3.17, в)
ггги
5(т) = С/2 [Л = (/2(т„-Т+т);
•	при сдвиге Т < т < Т + ти (см. рис. 3.17, г)
7 +т и
Дт) = £/2	= (72(ти+Т-т).
78
в
0	т	1
Рис. 3.17. Пачка из двух прямоугольных импульсов (а) и ее сдвинутые копии (б, в, г)
Рис. 3.18. Корреляционная функция пачки из двух прямоугольных импульсов
На основании полученных результатов построен график 5(т),
приведенный на рис. 3.18, где Е — энергия одного импульса. При
построении графика учитывалась симметрия КФ относительно т — 0.
КФ меандрового импульса. На рис. 3.19 изображен меандровый
импульс и его сдвинутые копии.
Корреляционную функцию при т
ти
В(т) = [	- T)dt.
О вычисляют по формуле
При вычислении этого интеграла учитывается, что т принимает
различные значения:
•	при 0 < т < ти/2 (см. рис. 3.19, б)
Т и
v и
В(х) = U2
dt-U
и
79
Рис. 3.19. Мсандровый импульс (а) и его
сдвинутые копии (б, в)
s(f)
U
Рис. 3.20. Корреляционная
функция меандрового импульса
S(t^)  >
e 0
•	при ти/2 < т < ти (см. рис. 3.19, в)
т и
в(т)=ч/2 р/=г/2(т-т„).
т
График В(т) приведен на рис. 3.20. Здесь использовано свойст-
во четности КФ. Значение В(0) = Е = U2xK.
Сигналы Баркера. Сигналы (коды) Баркера примечательны тем,
что их корреляционные функции имеют высокий главный макси-
мум при т = 0 и низкий уровень при т Ф 0.
Таблица 3.1. Коды Баркера
N	Код Баркера												
3	1												
4	1	1	1	— I									
4	1	1	-1	1									
5	1	1	1	-1	1								
7	1	1	1	-1	-1	1	-1						
11	1	1	1	- - J	-1	-1	1	-1		 J	1	-1		
13	1	1	1	1	1	-1	-1	1	1	-1	1	-1	1
Для иллюстрации на рис. 3.21 изображены сигналы Баркера
при N = 5 и N = 11.
80
Рис. 3.21. Сигналы Баркера при двух значениях N
При вычислении корреляционной функции сигнала Баркера по
формуле (3.87) следует учесть, что подынтегральная функция на ка-
ждом интервале — константа и, следовательно, КФ линейно зависит
от т. Поэтому достаточно найти значения КФ в узловых точках:
т) =
N, т =0;
±1 или О,
т
где т = т/Т. При этом m — 0, 1, 2, N.
Ддя построения графика КФ достаточно узловые точки соединить
прямыми линиями. На рис. 3.22 изображены КФ двух сигналов Баркера.
Рис. 3.22. Корреляционные функции сигналов Баркера при двух значениях N
81
Корреляционная функция периодического сигнала
Корреляционную (автокорреляционную) функцию периодиче-
ского сигнала s(t) с периодом Т определяют следующим образом:
(3.92)
При этом В(т) выражается в единицах мощности.
Корреляционная функция периодического сигнала является пе-
риодической и четной функцией т; имеет максимумы при т — О,
±Г. ±2Т, ..., равные средней мощности сигнала:
B(G) = В(пТ) = Р, /7=1,2,....
(3.93)
Рассмотрим примеры КФ периодических сигналов.
КФ гармонического колебания. Для гармонического колебания
5(г) = U cos(cor + 9)
корреляционная функция
7/2	и2
cos (со/ + ср) cos [со (/ - т) + <р] dt = -— cos сот.
-772	2
(3.94)
КФ гармонического колебания не зависит от его начальной
фазы.
КФ периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Для периодической последователь-
Рис. 3.23. Периодическая последо-
вательность прямоугольных им-
пульсов (а) и ее корреляционная
функция (б)
ности прямоугольных импульсов с
периодом Т (рис. 3.23, а) корреля-
ционная функция также является
периодической с тем же периодом
(см. рис. 3.23, б). Значение
т. е. равно средней мощности пе-
риодической последовательности пря-
моугольных импульсов.
82
Взаимно корреляционная функция двух сигналов
Для оценки степени связи между двумя различными сигналами
используют взаимно корреляционную функцию (ВКФ). ВКФ дей-
ствительных сигналов 5|(/) и s2(Z) с конечной энергией определяют
выражением
сю
^12(т) = pl ('М' ~У1'-
—оэ
(3.95)
Значение 7?]2(т) не меняется, если вместо задержки сигнала л2(/)
рассматривать опережение сигнала 5|(/). Поэтому выражение (3.95)
можно обобщить следующим образом:
^12(т) =
—сю
(3.96)
Имеет место также соотношение
^12(^) — ^21 ( *0-
(3.97)
В отличие от КФ функция Z?i2(t) в общем случае не является
четной и может достигать максимума при любом т.
Значение ВКФ при т = 0 равно взаимной энергии двух сигналов:
сю
Д12(0)= pt(/)52(0A = £l2.
Пусть 5] (Г)	(со), s2(t) <-> S2(co). Произведение
И/12(со) = 51(со)5,;(со)
(3.98)
называют взаимным энергетическим спектром.
Для установления связи между функциями 512(т) и И^со) под-
вергнем ВКФ преобразованию Фурье:
сю	©ф ею
Г 1?12 (т)е"ш,г dx = f Sj (/) s 2 (l - т) e~l<i)X dt dt.
—©Ф	—W PO
Проводя здесь преобразования, аналогичные выполненным для
КФ, получим
оо
Ж12(со)= [512(т)е"/с)Т^т.
«
—оо
(3.99)
83
Соответственно имеем
ое
Вр(г) = — (и/„((о)ели</со.
2лД
(3.100)
Таким образом, прямое (3.99) и обратное (3.100) преобразова-
ния Фурье устанавливают взаимно однозначное соответствие:
£12(t)^JF12(w).
Взаимно корреляционная функция отображается в частотную
область как взаимный энергетический спектр.
Если спектры сигналов не перекрываются, то их взаимный
энергетический спектр равен нулю на всех частотах, что свидетель-
ствует о нулевом значении ВКФ. Это означает, что сигналы с непе-
рекрывающим ися спектрами являются некоррелированными.
Рассмотрим пример вычисления ВКФ.
Пример. Пусть 5](/) — треугольный импульс (см. рис. 3.24, а),
$2(1) — прямоугольный импульс (б). На интервале 0 < t < ти они
описываются функциями:
52(0 = £/.
По формуле (3.95) находим ВКФ этих импульсов:
•	при сдвиге прямоугольного импульса вправо по оси времени
(т > 0, см. рис. 3.24, в) получим
Рис. 3.24. Прямоугольный (а) и треугольный (б) импульсы,
их наложение при сдвиге прямоугольного импульса (в, г)
Я,2(т) =
•	при сдвиге прямоугольного импуль-
са влево (т < 0, см. рис. 3.24, г)
имеем
гт2 ти т
«12(т) = — Г/Л=^-(т„-т)2.
т - 2т
v и о	и
Значение 5J2(0) равно взаимной
энергии прямоугольного и треугольно-
го импульсов:
й|2(0) = —^ = £12.
А»
Рис. 3.25. Взаимно корреляци-
онные функции треугольного и
прямоугольного импульсов
Изменяя порядок следования функций S|(/) и s2(t), можно убе-
диться, что 2?i2(t) = 521(-т). Графики /?12(т) и Я21(т) приведены на
рис. 3.25.
Таким образом, взаимно корреляционная функция — это не-
симметричная функция; ее поведение при значениях т > 0 и т < 0
различно.
Контрольные вопросы и задания
1.	Что такое спектр сигнала?
2.	В чем состоит задача спектрального анализа периодического сигнала?
3.	Что называют амплитудным спектром, фазовым спектром периоди-
ческого сигнала?
4.	Почему спектр периодического сигнапа называют дискретным?
5.	В чем состоит задача спектратьного анализа непериодического сиг-
нала?
6.	Что понимают под амплитудным спектром, фазовым спектром не-
периодического сигнала?
7.	Почему спектр непериодического сигнала называют непрерывным?
8.	Как изменяется спектр сигнала в случае запаздывания сигнала?
9.	Что такое эффективная ширина спектра?
10.	Как связаны между собой длительность импульса и эффективная
ширина его спектра?
11.	Какая связь существует между спектрами одиночного импульса и
периодической последовательности таких же импульсов?
12.	Как в частотной области отображаются операции дифференцирова-
ния и интегрирования сигнала?
85
13.	Как связаны между собой спектральные функции видеоимпульса и
радиоимпульса?
14.	Что такое энергетический спектр сигнала?
15.	Как определяется корреляционная функция детерминированного
сигнала?
16.	В чем состоит особенность корреляционной функции периодиче-
ского сигнала?
17.	Как связаны между собой спектральная и корреляционная функ-
ции детерминированного сигнала?
18.	Что характеризует взаимно корреляционная функция двух детер-
минированных сигналов?
19.	Получите формулы (3.89) и (3.99), используя теоремы спектрально-
го анализа.
20.	Постройте спектральные диаграммы сигналов:
si(t) = U + U sin(coo/ + фо),
5>(/) =	+ {7| cos coof + Uz sin 2oW,
Sy(t) = UQ + U cos соо/ cos 2toor.
21.	Изобразите спектральные диаграммы периодической последова-
тельности прямоугольных импульсов при значениях скважности
q = 3,5 и q = 4.
22.	Найдите выражения для коэффициентов ряда Фурье периодиче-
ских сигналов (2.58) и (2.59).
23.	Определите спектральные функции сигналов (2.60) и (2.61).
24.	Дчя сигналов (2.60) и (2.61) выведите формулы, позволяющие рас-
считать граничную частоту спектра, на которой модуль спектраль-
ной функции уменьшается в 10 раз по сравнению с его значением
на нулевой частоте.
25.	Изобразите спектральные диаграммы прямоугольного импульса,
изображенного на рис. 2.10.
26.	Используя метод дифференцирования, найдите спектральную
функцию сигнала, изображенного на рис. 2.6.
27.	Определите корреляционную функцию экспоненциального им-
пульса.
28.	Определите взаимно корреляционную функцию прямоугольного и
экспоненциального импульсов.
ГЛАВА 4
РАДИОСИГНАЛЫ ПРИ АНАЛОГОВОЙ МОДУЛЯЦИИ
4.1.	Понятие и виды модуляции
Радиосигналом называют сигнал, модель которого можно пред-
ставить в следующей форме:
и (t) = U(t) cos [соо/+ф (/)+<p0 ] = U (r) cos Ф (/),	(4.1)
где U(t) — огибающая; <р(/) — фазовая функция; Ф(г) — полная фаза
радиосигнала. Частоту соо = 2nfa называют несущей частотой. За пе-
риод несущей частоты 7о — 2я/о>о функции U{t) и cp(Z) изменяются
незначительно.
Радиосигнал занимает определенный участок спектра Асос около
несущей частоты соо- При этом выполняется уеловие узкополосностт
ДгОс/СОо < < 1.
Таким образом, радиосигнал — это высокочастотный и узкопо-
лосный сигнал, параметры которого изменяются по некоторому за-
кону, определяемому функциями U(t) и ф(г).
Процесс модуляции состоит в том, что изменение параметров
радиосигнала происходит по закону, определяемому заданным низ-
кочастотным сигналом s(t}. При этом s(r) называют модулирующим
сигналом, а полученный в результате модуляции радиосигнал —
модулированным.
На практике для осуществления модуляции используют высо-
кочастотное гармоническое колебание:
U „ (0 = ^0 СО5(Ю(/+ <р„ ),
которое называют несущим колебанием. При этом модуляцию опре-
деляют как процесс изменения во времени параметров несущего
колебания по закону, определяемому модулирующим сигналом.
При передаче информации модулирующим служит информаци-
онный сигнал — первичный сигнал, отображающий передаваемое
сообщение (см. подразд. 1.1). Основной целью модуляции является
87
перенос спектра информационного сигнала из области низких в
область более высоких частот, поскольку для эффективного возбу-
ждения радиоволн используются высокочастотные колебания (см.
подразд. 1.2). Кроме того, посредством модуляции осуществляется
многоканальная радиосвязь путем частотного разделения радиокана-
лов — каждому радиоканалу выделяется своя несущая частота.
В радиотехнике применяют разнообразные виды модуляции. Их
можно классифицировать по двум основным признакам: в зависи-
мости от модулируемого параметра несущего колебания и вида мо-
дулирующего сигнала.
Несущее гармоническое колебание характеризуется тремя пара-
метрами: амплитудой, частотой и начальной фазой. Каждый из
этих параметров можно модулировать (изменять) в соответствии с
модулирующим сигналом, поэтому различают три вида модуляции:
амплитудную (AM), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ). ЧМ и ФМ
объединяют общим термином — угловая модуляция.
В зависимости от вида модулирующего сигнала (аналогового,
цифрового или импульсного) получают модуляцию аналоговую,
цифровую и импульсную.
4.2.	Радиосигналы с амплитудной модуляцией
Амплитудная модуляция (AM) — наиболее простой и распро-
страненный вид модуляции. Например, AM применяют в радиове-
щании. При AM амплитуда несущего колебания изменяется в соот-
ветствии с изменением модулирующего сигнала s(/). В результате
получаем амплитудно-модулированный радиосигнал (рис. 4.1):
1/(г) = (/(Осо5(со0/+(р0),
(4.2)
где

(4.3)
Здесь к — постоянный коэффициент, выбираемый так, чтобы
выполнялось условие: (/(/) > 0 (амплитуда U(t) не должна прини-
мать отрицательные значения).
Кривую (/(/), изображенную пунктиром на рис. 4.1, в, называют
огибающей АМ-ралиосигнала. Из рис. 4.1 видно, что огибающая
повторяет форму модулирующего сигнала s(t). Чтобы огибающая
AM-радиосигнала достаточно точно повторяла форму модулирую-
щего сигнала, функция U(t) должна изменяться медленно по срав-
нению с cos сооА Это означает, что несущая частота (Оо должна зна-
88
*0) A
«0).
Рис. 4.1. Сигналы при амплитудной модуляции:
модулирующий (о) и модулированный (6)
чителъно превышать верхнюю частоту спектра модулирующего сиг-
нала. Согласно формуле (4.3) огибающая Г/(/) изменяется во време-
ни относительно Uq. Размах колебаний U(t) относительно Uo харак-
теризует глубину амплитудной модуляции.
Тональная амплитудная модуляция
Свойства AM-радиосигналов удобно рассматривать, полагая
модулирующий сигнал гармоническим (рис. 4.2, а):
s(t) = cosQr,
(4.4)
где Q — частота модуляции, причем Q << соо. Модуляцию гармони-
ческим сигналом звуковой частоты называют тональной.
Подставляя функцию (4.4) в выражение (4.3), запишем
U(t) = UQ +At/cosf2/ = (/0(l + A/cosQ/),
где М = ^U/Uq —коэффициент амплитудной модуляции. С учетом
зависимости (4.5) выражение (4.2) принимает вид
и(/) = (/0(1 + М cosQr)cos(w0/ + <р0).
(4.6)
Радиосигнал при тональной AM изображен на рис. 4.2, б. Для
передачи информации без искажений форма огибающей должна
89
повторять форму модулирующего сигнала, поэтому необходимо,
чтобы коэффициент модуляции принимал значение М < 1.
При М > 1 наблюдается так называемая перемодуляция (см. рис.
4.2, в). Здесь форма огибающей перестает повторять форму моду-
лирующего сигнала, что приводит к искажению передаваемой ин-
формации.
Спектр радиосигнала с тональной AM. Для определения спектра
AM-радиосигнала необходимо представить его в виде суммы гар-
монических колебаний с различными частотами. Используя триго-
нометрическую формулу
COS X cos у = [cos(x + у)+cos(x - >0] / 2,
преобразуем выражение (4.6) при <р0 = 0 к виду
ч г /	6/ о А/	.	.	С л А/	_.
= £/0 cosco0r +—-—cos(co0 +Q)r +—-—cos(co0 -Q)Z.
(4.7)
(4.8)
Выражение (4.8) дает спектральное представление радиосигнала
с тональной AM. Здесь каждому слагаемому соответствует одна со-
ставляющая спектра, график которого изображен на рис. 4.3.
Ф) А
Рис. 4.2. Сигналы при тональной модуляции: модулирующий (а),
модулированный (б), искажение радиосигнала при перемодуляции (в)
90
На графике видно, что спектр ра-
диосигнала с тональной AM содержит
колебание на несущей частоте соо и
две составляющие на частотах coo + £2
и соо — £2 с равными амплитудами.
Частоты (Оо + £2 и (do — Q расположе-
но
2
П0Л/
Рис. 4.3. Спектр радиосигнала с
тональной AM
ны по обе стороны от cdq, поэтому их
называют боковыми (соответственно
верхней боковой и нижней боковой),
а составляющие спектра на этих частотах — боковыми составляю-
щими.
Ширина полосы частот, занимаемая радиосигналом с тональной
AM — это диапазон частот от нижней боковой до верхней боковой
(см. рис. 4.3). Разность этих частот определяет ширину спектра:
Дсос =(со0 +£2)-(too -£2) = 2£2.
Таким образом, ширина спектра радиосигнала с тональной AM
равна удвоенной частоте модуляции.
Мощность радиосигнала с тональной AM. Определим мощность,
которую выделяет AM-радиосигнал на резисторе с сопротивлением
1 Ом.
Выражение (4.8) запишем в виде
и = и{ +и2 +w3,
где «] = UQ cos соо/,
и 2 =——cos(co0 +£2)/,
cos(co0 -£2)r.
Согласно выражению (2.4) мгновенная мощность будет равна
p(t) = (ил +и2 +и3)2 =и2 +и% +uj +2и}и2 +2zvtw3 +2и2и3.
Для определения средней мощности радиосигнала величину р(/)
необходимо усреднить по достаточно большому интервалу времени Т.
Однако при усреднении все взаимные мощности дадут нулевой
результат. Например, полагая Т = 2л/£2, вычислим взаимную мощ-
ность:
91
о
о
j cos соо/ cos(co0 +Q)/ dt =
о
| cos Q/ dt + j cos(2w0 +Q)r dt = 0.
о	0
Здесь оба интеграла равны нулю, при этом второй интеграл ра-
вен нулю как интеграл от быстроосциллирующей функции, по-
скольку соо » Q.
В результате получим среднюю мощность АМ-радиосигнала,
равную сумме средних мощностей несущей Pq и боковых Рб состав-
ляющих:
Здесь />0 = £/02 / 2; Р6=^М2/ 4.
Дтя оценки КПД амплитудной модуляции используют отношение
Рб_ м2
Р 2 + М2'
Даже при М — 1 это отношение составляет 33 %.
Таким образом, при передаче AM-радиосигналов мощность
передатчика расходуется неэффективно: лишь небольшая часть
мощности приходится на передачу боковых (информационных)
составляющих, а основная часть — на передачу несущего колеба-
ния. Это свойство амплитудной модуляции является ее основным
недостатком.
Пример 1. Мощность AM-радиосигнала равна 10 кВт. Опреде-
лим мощность боковых и несущей составляющих, если коэффици-
ент модуляции М = 0,4.
Мощность боковых составляющих (кВт) равна:
РМ2
~2 + М2
= 0,74.
Мощность несущей составляющей — Ро — Р— Р& = 9,26 кВт.
Пример 2. AM-радиосигнал (4.6) необходимо передать по радио-
каналу с объемом Ик = 105. Определим допустимый коэффициент
модуляции Л/, если ширина спектра радиосигнала А£ - 100 Гц, а
его длительность тс = 10 с.
92
Предполагая, что заданный сигнал и радиоканал согласованы
по полосе частот, длительности использования (см. подразд. 1.3),
найдем допустимый динамический диапазон АМ-радиосинала, ко-
торый можно передать без существенных искажений по радиокана-
лу с заданным объемом:
Dz = VjT.ckfc =10.
Выразим теперь максимальную и минимальную мощности
AM-радиосигнала (за период модуляции) через коэффициент моду-
ляции:
= Г2(1 + Л/)2,
=Uq(1-M)2.
Подставив эти значения РП1ах и Р1П1П в выражение для Dc, полу-
чим
А = ю ig [(1+ л/)7(1 - м)2]
или
(1 + А/)2 /(1-Л/)2 =10°-,z)',
Поскольку Dc = 10, то имеем (1 + М) / (1 - М) = ТГо.
Отсюда находим М = 0,52.
Многотональная амплитудная модуляция
Реальный модулирующий сигнал имеет сложный спектральный
состав (рис. 4.4, а) и может быть представлен в виде
N
cos(<M+e,,)-
Л=1
(4.9)
Здесь sn и 0Л — соответственно амплитуды и начальные фазы
гармонических составляющих модулирующего сигнала; — час-
тоты модуляции, причем Qj < О2 < ... < &н« coq.
По аналогии с выражением (4.6) запишем:
w(/) = C/0 1 + £л/лсо5(Ол/+0л) cos(co0r+<p0)
л=1
(4.10)
где коэффициенты Мп = ksn/ их называют парциальными (частич-
ными) коэффициентами модуляции.
93
Рис. 4.4. Спектры сигналов при многотональной AM: модулирующего (а)
и модулированного (б)
Спектр радиосигнала с многотональной AM. Спектральное разло-
жение AM-радиосигнала (4.10) проводится так же, как и при то-
нальной AM. В результате несложных преобразований выражение
(4.10) при фо = 0 представляется так:
* п л/
«(/) = Uo COSOV 4-У " cos[(co0 +П„)/ +е„ ] +
„=1 2
(4.11)
Ц, М„
cos|(t£>0 — Г2„)Г — е„).
Выражение (4.11) отличается от (4.8) лишь тем, что вместо двух
боковых составляющих имеем боковые полосы, расположенные по
обе стороны от несущей (рис. 4.4, б). Верхняя боковая полоса име-
ет спектр, точно повторяющий спектр модулирующего сигнала, а
нижняя боковая полоса является зеркальной копией верхней. Каж-
дая из боковых полос содержит одну и ту же информацию, что сви-
детельствует об избыточности передачи информации двумя боко-
выми полосами. Ширина спектра определяется наибольшей из час-
тот модуляции и равна:
д<йс = 2£2Л.
(4.12)
94
Мощность радиосигнала с многотональной AM. Средняя мощ-
ность, которую выделяет AM-радиосигнал на резисторе с сопро-
тивлением 1 Ом, может быть определена как сумма средних мощ-
ностей несущей и боковых Рб составляющих:
Например, пусть М\ — 0,5; М2 = 0,4; Л/3 = 0,3. Вычислим отно-
шение:
Р6_
Р 2 + М{ + М$+М}
т.е. на долю боковых составляющих приходится 20 % от полной
мощности АМ-радиосигнала.
Балансная амплитудная модуляция
Существенным недостатком амплитудной модуляции является
неэффективное использование мощности передатчика при переда-
че АМ-радиосигнала, поскольку большая доля передаваемой мощ-
ности приходится на несущее колебание, т.е. расходуется зря, так
как несущее колебание само по себе не несет полезной информа-
ции. Вследствие этого были разработаны другие виды модуляции.
Балансная амплитудная модуляция (БАМ) характеризуется пол-
ным подавлением несущей и наличием в спектре только боковых
частот. При гармоническом модулирующем сигнале из формулы
(4.6) получим описание радиосигнала с БАМ:
u(t) -UqM cos Q/ cos(co0/ + <p0),
его спектральное представление имеет вид
/ \ О	г /	\	\Г)	г /	\
—cos[(co0 +Q)r+<p0]+—-—cos[(cd0 -Q)/ + (p0].
(4.13)
(4.14)
Соответствующие временная и спектральная диаграммы пред-
ставлены на рис. 4.5. Видно, что огибающая радиосигнала не повто-
ряет форму гармонического модулирующего сигнала, поэтому ус-
ложняется процесс демодуляции такого радиосигнала в приемнике.
В выражении (4.13) имеет место перемножение двух сигна-
лов — модулирующего и несущего. Колебания вида (4.14) представ-
ляют собой биения двух гармонических колебаний с одинаковыми
95
Рис. 4.5. Радиосигнал с БАМ (а) и его спектр (6)
амплитудами U0M/2 и близкими частотами = Wq + Q и сон =
= (йо — Q. При переходе огибающей биений через нуль фаза высоко-
частотного заполнения скачком изменяется на л, так как cos(coq/ + сро)
имеет разные знаки справа и слева от нуля (см. рис. 4.5, а).
Преимуществом БАМ по сравнению с обычной AM является
лучшее использование мощности передатчика, недостатком — срав-
нительная сложность демодуляции радиосигнала в приемнике.
Однополосная амплитудная модуляция
Верхняя и нижняя боковые полосы в спектре AM-радиосигнала
являются зеркальной копией друг друга, что свидетельствует об из-
быточности передачи сообщения двумя боковыми полосами. По-
этому для передачи сообщения можно использовать только одну из
боковых полос — верхнюю или нижнюю. Такой вид амплитудной
модуляции называют однополосной.
При гармоническом модулирующем сигнале из выражения (4.8)
получим описание радиосигнала с одной боковой полосой (ОБП):
/ X ГТ	.	/	Z\\
u(t) = UG cos(o0r+——cos(co0 +О)Л
(4.15)
Здесь оставлена верхняя боковая частота. Ширина спектра радио-
сигнала (4.15) равна Д<йс = £1.
Дня определения огибающей U(t) радиосигнала (4.15) положим
в формулу (2.46) U\ = £70, U2 = UqM/2, сй| = (Oq, «2 = (Oq + О. В
результате получим
V(t) = Uo 71 +M2/ 4 + Л/cos <7 r.
Форма этой огибающей при М = 1 показана на рис. 4.6 (для
сравнения штриховой линией изображена огибающая (4.5)). Оги-
бающая радиосигнала с однополосной AM не повторяет форму гар-
96
монического модулирующего сигнала,
что необходимо учитывать при демоду-
ляции такого радиосигнала.
Преимуществом однополосной AM
по сравнению с обычной AM является
вдвое меньшая ширина спектра. При-
менение однополосной AM дает воз-
можность удвоить число каналов ра-
диосвязи, сосредоточенных в задан-
ном диапазоне частот. Модуляцию с
Рис. 4.6. Огибающие радиосиг-
налов с тональной (штриховая
линия) и однополосной AM
(сплошная линия)
ОБП используют, например, в телеви-
дении, где ширина спектра радиосигнала составляет около 6 МГц.
Пример. Определим число радиовещательных, радиотелефон-
ных, телевизионных, телеграфных каналов, которые могут работать
без взаимных помех в диапазоне частот 60—150 МГц. Максималь-
ные частоты модуляции Fm в спектрах передаваемых сообщений
для телеграфных каналов составляет 300 Гц, радиотелефонных
3 кГц, радиовещательных 5 кГц, телевизионных 6 МГц. Передача
телевизионного сигнала ведется на ОБП. Для устранения перекре-
стных помех между каналами связи необходимо предусмотреть за-
щитные интервалы шириной 10 % от максимальной частоты спек-
тра сообщения.
Ширина спектра AM-радиосигнала:	= 2Fm. Следовательно,
ширина спектра радиосигнала с учетом защитного интервала для
радиовещательного канала составляет 11 кГц, радиотелефонного
6,6 кГц; телевизионного при передаче на ОБП 6,6 МГц; телеграф-
ного 0,66 кГц.
Частотный диапазон, предназначенный для работы перечислен-
ных каналов, составляет 90 МГц, поэтому число телевизионных ка-
налов 13, радиовещательных 8182, радиотелефонных 13636, теле-
графных 136363.
Спектральная функция АМ-радиосигнала
Рассмотрим случай, когда модулирующий сигнал s(t) имеет не-
прерывный спектр 5(со).
Для огибающей АМ-радиосигнала
U(t) = U0+ks(t)
спектральную функцию можно представить в виде
U((f)) = 2nU^)+kS(d)).
(4.16)
7-3659
97
Первое слагаемое в выражении (4.16) — обобщенная спектраль-
ная функция постоянной составляющей £/0; она выражается с по-
мощью дельта-функции 6(со). Согласно выражению (4.16) спектр
{/(со), в который входит как дискретная 5-составляющая, так и не-
прерывная часть 5(со) является смешанным.
Для АМ-радиосигнала
w(Z) = C/(Z)cosco0Z
спектральная функция может быть получена на основе соотноше-
ния (3.55):
^лм (со) = - {/(со- со0)+- {/(со+ соо).
(4.17)
Слагаемые в выражении (4.17) описывают спектральную функцию
огибающей {/(со), смешенную из области частоты со = 0 в область
со = соо (первое слагаемое) и со = —соц (второе слагаемое) (рис. 4.7).
Используя соотношение (4.16) и учитывая выражение (4.17),
получим представление спектра АМ-радиосигнала в следующем
виде:
5ам (со) = л {/05 (со- соо)+- 5(со-со0) +
£ .
+7С {/05 (со+СО0 ) + — S(tO+COo ).
(4.18)
Таким образом, в результате амплитудной модуляции спектр
огибающей (4.16), сосредоточенный в области низких частот, «раз-
Рис. 4.7. Спектры сигналов при амплитудной модуляции: модулирующего (а)
и модулированного (б)
98
дваивается» и переносится в область высоких частот ± coq. Спектр
АМ-радиосигнала является смешанным: в него входят две дискрет-
ные 5-составляюшие на частотах ± соо и непрерывные части, скон-
центрированные вблизи частот ± соо-
При соо >> где £1т — максимальная частота модуляции, вза-
имным влиянием слагаемых в выражении (4.18) можно пренебречь
(рис. 4.7). В этом случае имеем
5лм(со) = —5(CO-CO0) + 7lt/05(CO-CDo) при (О>0,
к •
5лм(св) = —5’((о+со0) + лС/05(со+сй0) при со<0.
Эффективная ширина спектра АМ-радиосигнала равна Дозе = 2Ц„.
Учитываются только физические частоты (со > 0).
Из рассмотрения различных видов AM следует, что ширина
спектра АМ-радиосигнала равна удвоенному значению максималь-
ной частоты в спектре модулирующего сигнала.
4.3.	Радиосигналы с угловой модуляцией
Угловая модуляция (УМ) — достаточно распространенный вид
модуляции. Благодаря высокой помехоустойчивости УМ применя-
ют в звуковом сопровождении телевизионного вещания, в системах
радиосвязи, радиотелеметрии, радиоуправления, некоторых систе-
мах радионавигации и радиолокации.
При угловой модуляции модулирующий сигнал определяет из-
менение во времени фазового угла несущего колебания. Амплитуда
колебаний остается постоянной.
Радиосигнал с угловой модуляцией описывают выражением
u(t) = Uq cos[cb0/ + ф (/) + <р0 ] - UQ cos Ф (/).
(4.19)
Здесь Ф(г) — полная фаза; <р(/) — ее приращение за счет угловой
модуляции. Поскольку Ф(/) определяет мгновенное значение фазо-
вого угла, го модулирующий сигнал через ф(0 вызывает изменение
фазового угла, откуда и название модуляции — угловая.
На рис. 4.8 показан примерный вид радиосигнала с угловой мо-
дуляцией.
Радиосигнал с угловой модуляцией характеризуется также мгно-
венной частотой со(г), которая определяется как производная (ско-
рость изменения) полной фазы:
99
14(0
Здесь
Рис. 4.8. Радиосигнал с угловой
модуляцией
co(t) =coo +— =co0 +Aco(r).
dt
A ^Ф
Дщ(Г) = —
dt
(4.20)
(4.21)
— приращение мгновенной часто-
ты за счет угловой модуляции. Из вы-
ражения (4.20) следует, что
Ф(/)= со(/)Л, (p(Z) = j A(o(r)J/.
(4.22)
Таким образом, при угловой модуляции под действием модули-
рующего сигнала происходит взаимосвязанное изменение фазы ф(0
и частоты Дсо(0 модулированного радиосигнала, что является отли-
чительной особенностью этих радиосигналов.
Различают два вида угловой модуляции: фазовую и частотную.
Фазовая модуляция (ФМ). При ФМ пропорционально модули-
рующему сигналу 5(0 изменяется фаза:
ф(/) = Ь(/),
(4.23)
где & —размерный коэффициент.
Подставим функцию (4.23) в формулу (4.19) и получим описа-
ние радиосигнала с ФМ:
"фм (0 = cosfov +Ь(Г) + ф0 ],
(4.24)
называемого фазомодударованным радиосигналом.
Согласно выражению (4.20) мгновенная частота ФМ-радиосиг-
нала также изменяется:
со(г) = со0 у к
ds(t)
(4.25)
В качестве иллюстрации на рис. 4.9 приведены временные диа-
граммы модулирующего сигнала 5(0, фазы ф(0 и мгновенной час-
тоты со(/) для ФМ-радиосигнала #фм(0-
Частотная модуляция (ЧМ). При ЧМ пропорционально модули-
рующему сигналу изменяется частота:
Дсо(/) = ks(t),
(4.26)
где к — размерный коэффициент. При этом фаза согласно выраже-
нию (4.22) изменяется как
юо

Рис. 4.9. Временные диаграммы для
ФМ-радиосигнала
co(0 5(/)
Рис. 4.10. Временные диаграммы для
ЧМ-радиосигнала
ф (/) = &[ s(t)dt.
(4.27)
Подставляя полученное значение <р(г) в формулу (4.19), получим
выражение, описывающее радиосигнал с ЧМ:
«нм (0 = ио cos[co0/ +к s(f)dt+<р0 ]
(4-28)
назы ваемы й частотно-модулированным.
На рис. 4.10 приведены временные диаграммы модулирующего
сигнала s(f), мгновенной частоты со(/) и фазы ф(г) для ЧМ-радио-
сигнала ичм(0-
Сравнивая рис. 4.9 и 4.10, можно видеть, чем различаются при
ФМ и ЧМ радиосигналы и их характеристики.
Тональная угловая модуляция
Радиосигналы с угловой модуляцией достаточно сложны с мате-
матической точки зрения. Поэтому для изучения их основных
свойств выбирают простейшую модель — тональную угловую модуля-
цию, задав модулирующий сигнал в виде функции (4.4).
Тогда, положив в выражении (4.24) ф0 = 0, для ФМ-радиосиг-
нала получим
«фм (О = cos(co0z + ДфеозШ),
(4.29)
где Дф — девиация фазы.
101
В случае ЧМ частоту и фазу определяют следующим образом:
Дсй(0 = AcocosQr;
ср (Z) = Дсо| cos Qz dt =	sin Qz,
где Дсо — девиация частоты. При этом ЧМ-рад и оси гнал запишем в
виде
W4M
(Z) = //Ocos cooz +
Дсо . „,
— smQZ
(430)
Вводят индекс угловой модуляции т, под которым при ФМ пони-
мают девиацию фазы Дер, а при ЧМ — отношение Дсо/Q. Тогда вы-
ражения (4.29) и (4.30) можно заменить следующим:
u(t) = UQ cos(co0Z 4- т sin QZ),
(4.31)
которое используют для описания радиосигнала с тональной угло-
вой модуляцией.
Пример.
Определим индекс модуляции и девиацию частоты при ФМ и
ЧМ, если модулирующий сигнал s(z)=cos 102 Z.
При ФМ имеем
cp(Z) = £cosl02Z.
Пусть k = 1, тогда индекс модуляции т = 1. Используя выраже-
ние (4.25), находим девиацию частоты Дсо = тО. = 100.
При ЧМ
Дсо(/) = кcoslO21.
При к — 1 девиация частоты Дсо = 1. Индекс модуляции т =
= Дсо/Q = 0,01.
Спектр радиосигнала с тональной угловой модуляцией. Для опре-
деления спектра радиосигнала с тональной угловой модуляцией
выражение (4.31) надо разложить в ряд по гармоническим состав-
ляющим. Заменив косинус суммы двух углов по известной триго-
нометрической формуле, запишем:
u(t) = UQ cos(w sinQ z)cosco0z -Uo sin(m sinQ Z)sincooz.
(4.32)
Воспользуемся следующими соотношениями:
102
cos(m sin £2 Z) = J0(m)+2J2 cos 2Q Z +...;
sin(?H sinQ z) = 2J| (m)sinQ t +2J3 sin 3Q t +....
Здесь Л(/и) — функция Бесселя первого рода я-го порядка от аргу-
мента т. Подставив эти соотношения в формулу (4.32) и выполнив
необходимые преобразования, получим
«(Z) = (/0J0(/w)cOSCL>0Z+^t/0J/!(/?7)cOS(C00 + rtQ)Z +
Л=1
оо
+£(“1)" (w)cos(w0 - п Q) t.
м=1
(4-33)
Выражение (4.33) дает спектральное представление радиосигнала
с тональной угловой модуляцией. Согласно (4.33), модулированный
радиосигнал содержит бесконечное число гармонических составляю-
щих с частотами (Do + п£1 и coo — zzQ, п = 1, 2, которые образуют
две боковые полосы, расположенные по обе стороны от несущей too.
Амплитуды составляющих спектра равны Ап = £7о|Л(#О|- Для вы-
числения значений Ап необходимо знать функции Бесселя
при заданных значениях т и п, которые можно найти в математи-
ческих справочниках. На рис. 4.11 приведены графики функций
Л(ля) при п = 0, 1, ..., 9 и 0 < т < 12.
Рис. 4.11. Графики функций Бесселя
103
При построении по формуле (4.33) графика амплитудного спек-
тра радиосигнала с тональной угловой модуляцией следует обра-
тить внимание на равенство амплитуд верхних и соответствующих
им нижних боковых составляющих, а также на симметрию распо-
ложения этих составляющих относительно несущей.
В качестве иллюстрации на рис. 4.12 изображены амплитудные
спектры радиосигнала с угловой скоростью. Видно, что структура
спектра является весьма сложной, а его форма зависит от значения
индекса модуляции.
При построении по формуле (4.33) графика фазового спектра,
следует учитывать наличие множителя (—1)л и тот факт, что функции
могут принимать отрицательные значения. На рис. 4.13 приве-
ден фазовый спектр радиосигнала с индексом угловой модуляции т = 4.
Число составляющих в формуле (4.33) бесконечно велико, од-
нако их амплитуды с ростом номера п уменьшаются, как это видно
из графиков функций Обычно считают, что можно пренеб-
речь всеми составляющими, номера которых п > т + 1.
Эффективная (практическая) ширина спектра определяется как
Дсос =2(т +1)0.
(4.34)
Рассмотрим два крайних случая, когда т « 1 и т » 1. В пер-
вом случае ширина спектра равна Дсос = 20, во втором Дсос = 2/иО,
т. е. в т раз больше, потому угловую модуляцию при т « 1 назы-
вают узкополосной, а при т » 1 — широкополосной.
со
Рис. 4.12. Амплитудные спектры радиосигнала с тональной угловой модуляцией
при двух значениях индекса т
104
I <Рл
(£>о—5 Cl
©o+5Q
Рис. 4.13. Фазовый спектр радиосигнала с тональной угловой модуляцией
при индексе т = 4
При значениях т «
можно принять, что
J0(/fl)==l; J|(w)«m/2; /,,(7я)~0 при и > 2.
Тогда выражение (4.33) сводится к следующему:
w(/) = t/0 coscOq/+—£—cos(co0 +Q)/ —-
cos((B0 Q)/.
Это выражение отличается от формулы (4.8) лишь противопо-
ложной фазой составляющей на частоте соо — £2. При этом ампли-
тудный спектр имеет такой же вид, как на рис. 4.3, но амплитуды
боковых составляющих при m « 1 малы по сравнению с амплиту-
дой несущей.
Приведенный анализ показывает, что даже в простейшем слу-
чае тональной угловой модуляции спектр оказывается сложным и
протяженным по частоте. Кроме того, при угловой модуляции не
происходит простого переноса спектра модулирующего сигнала в
область несущей соо, как это было при амплитудной модуляции.
Пример. Для канала радиосвязи при ФМ выделена полоса час-
тот Д£ = 100 кГц при несущей частоте = 10 МГц. Определим час-
тоту модуляции F при условии, что индекс модуляции w = 5.
Из выражения для ширины спектра
Д/с = 2(/и+1)77
находим
г ДЛ 100 п о г
F =———=--------кГц =8,33 кГц.
2(772+1) 2(5 + 1)
Мощность радиосигнала с тональной угловой модуляцией. Сред-
няя мощность, которую выделяет модулированный радиосигнал на
резисторе с сопротивлением 1 Ом, равна сумме средних мощностей
его спектральных составляющих. Она может быть определена из
выражения (4.33) как
105
[J02 (m)+2 J2 (m)+2 JI (m) +... ].
(4.35)
Воспользовавшись формулой для функций Бесселя, согласно
которой сумма в квадратных скобках равна единице, из выражения
(4.35) имеем
/> = (/02/2 = Ро.
Таким образом, средняя мощность радиосигнала с угловой мо-
дуляцией равна мощности несущего колебания,
t
Сравнение характеристик радиосигналов при амплитудной
и угловой модуляции
При сравнении видов модуляции в первую очередь принимают
во внимание ширину спектра и помехоустойчивость.
Радиосигналы с тональной угловой модуляцией занимают по-
лосу частот в (m + 1) раз большую, чем радиосигналы с тональной
AM. В случае широкополосной ЧМ, при которой параметр т » 1,
разница в занимаемых полосах частот весьма значительна.
Однако угловая модуляция имеет преимущество перед ампли-
тудной модуляцией в отношении помехоустойчивости. Покажем
это на простом примере.
Пусть на вход приемника подаются одновременно сигнал wc(r) и
помеха un(f):
ис(г) = £/0 cos(co0/ + <р0); ип(/) = Un cosfav + фп),
причем Uo » Un. На рис. 4.14 приведена векторная диаграмма этих
колебаний. Принято, что ось проекций вращается по часовой
стрелке с угловой скоростью соо, поэтому вектор сигнала Uq непод-
вижен, а вектор помехи £/п вращается с угловой скорость соп — соо-
Результирующий вектор соответствует суммарному колебанию.
Из рис. 4.14 следует, что при вращении вектора помехи изменя-
ется длина суммарного вектора в пределах от Umax до i/nyn:
^max =	+ U„ J t/min = Uo - Ua .
Это свидетельствует о возникновении паразитной амплитудной мо-
дуляции с коэффициентом модуляции:
106
из рис. ч. 14 также следует, что при
вращении вектора помехи изменяется
фаза ср, т.е. угол суммарного вектора
по отношению к оси отсчета в преде-
лах ОТ фпгах ДО фпвп-
Фтах Фо^^п» Фт1П Фо ^п*
В результате возникает паразитная уг-
ловая модуляция с индексом модуля-
ции wn, значение которого можно най-
ти из соотношения
Рис. 4.14. К оценке влияния по-
мехи
Sin/wn = tfn/f/0.
Так как t/n << Uo, то sin тп = wn и ?ип ~ Uu/Uo-
При использовании амплитудной модуляции с коэффициентом
Л/ отношение сигпал/помеха на выходе приемника равно Л//Л/п, а
при использовании угловой модуляции с индексом т это отноше-
ние равно т/тп. Коэффициент модуляции М < 1. Индекс модуля-
ции т может принимать любые значения. Отсюда следует, что при
т » 1 угловая модуляция обеспечивает более высокую помехо-
устойчивость, чем AM.
Радиосигналы с угловой модуляцией обеспечивают также более
эффективное использование мощности передатчика, чем радиосиг-
налы с амплитудной модуляцией.
4.4.	Радиосигналы с внутриимпульсной модуляцией
Радиосигналы с внутриимпульсной модуляцией — это особый
класс модулированных радиосигналов, широко применяющихся в
радиолокации. Они представляют собой радиоимпульсы, частота (а
следовательно, и фаза) заполнения которых изменяется по некото-
рому закону.
ЛЧМ-сигнал
Одним из основных радиолокационных сигналов является пря-
моугольный радиоимпульс с линейной частотной модуляцией
(ЛЧМ), известный как ЛЧМ-сигнал. Подобный сигнал изображен
на рис. 4.15, а.
Частота заполнения радиоимпульса изменяется по линейному
закону (см. рис. 4.15, б):
107
Здесь параметр
я = 2Дсо/ти,
a
«(Of
Рис. 4.15. ЛЧМ-сигнал (а), законы изменения его частоты
заполнения (б) и фазы (в)
СО(Г) = СОо +at,
(4.36)
(4.37)
где Дсо — девиация частоты; ти — длительность радиоимпульса. За
время, равное длительности импульса, частота изменяется от
соо — Д(о до coq + Дсо. В соответствии с выражением (4.22) фаза
<p(t) = a( t d t = at2/2,
(4.38)
изменяется по квадратичному закону (см. рис. 4.15, в).
Подставив значение фазы (4.38) в выражение (4.19), получим
описание ЛЧМ-сигнала в виде (при фо — 0):
«(/) = {/0cos(co0r+ar2/2), |/|<ти/2.
(4.39)
Рассмотрим спектральные и корреляционные свойства ЛЧМ-сиг-
нала.
108
Спектр ЛЧМ-сигнала. Пользуясь формулой (3.21), определим
спектральную функцию ЛЧМ-сигнала:
ТН/2
5(со) = £/0 cos(co0r +at 2/2)e~‘wldt =
-Ти/2	(4.40)
г г тм/2	-»тн/2
_ и0 Г	/2}^ U0 f е-1(он-Ч)/+а/‘/21^
2 -^и/2	2 -ти/2
Анализ выражения (4.40) показывает, что спектр исследуемого
сигнала состоит из двух составляющих. Первая составляющая соот-
ветствует спектру, сосредоточенному вблизи частоты соо, вто-
рая — вблизи частоты со = — соо. Если положить соо >> Дсо, то вза-
имным влиянием двух составляющих спектра можно пренебречь.
Поэтому в формуле (4.40) достаточно вычислить только первый
интеграл, дающий спектральную функцию в области положитель-
ных частот. Аргумент экспоненциальной функции в первом слагае-
мом формулы (4.40) дополним до квадрата разности. После не-
сложных преобразований получим
.(о-^)2 ти/2
S(co) = -^ 2а j е а > dt.
(4.41)
Для удобства перейдем от переменной t к переменной х, выполнив
замену:
I /ZL
- VAX.
(4.42)
в результате которой выражение (4.41) преобразуется к виду
(4.43)
где пределы интегрирования определяются следующим образом:
И
-у] ла
+(со-соо)
(4.44)
Интеграл в формуле (4.43) можно выразить через известные в
математике интегралы Френеля:
109
dy.
, . г яу ,	. , г • пУ
с(х) = cos——dy, s(x)~ sin —
0	0	“
С учетом формул (4.45) выражение (4.43) приведем к виду
(4.45)
(4.46)
Спектральная функция ЛЧМ-сигнала, описываемая выражени-
ем (4.46), является комплексной. Ее модуль определяет амплитуд-
ный спектр:
1 ^(Ю)1 = ^2 Ъ } +С(Х2)]2 +['?(Х' } + S(A'2>,2 ’
(4.47)
а ее аргумент — фазовый спектр:
. . (со-соо)-
Ф (со) = —--—+arctg
2а
в
С(Х|) + с(х2)
(4.48)
Численный анализ полученных выражений показывает, что
форма амплитудного и фазового спектров ЛЧМ-сигнала зависит от
значения параметра
2? = 2А/ти,
(4.49)
равного произведению полной девиации частоты 2А/ на длитель-
ность импульса ти.
При больших значениях В (порядка 100) форма амплитудного
спектра приближается к прямоугольной и ширина спектра близка к
величине (рис. 4.16, а)
Асос =2Асо или А/с =2А/.	(4.50)
При этом фазовый спектр имеет вид квадратичной параболы (см.
рис. 4.16, б). Второе слагаемое в выражении (4.48) может быть опу-
щено, поскольку оно стремится к постоянной величине л/4.
Формула (4.49) с учетом выражения (4.50) определяет базу (1.5)
ЛЧМ-сигнала. Практический интерес представляют ЛЧМ-сигналы
с базой В >> 1, относящиеся к сложным сигналам.
Учитывая, что при В » 1 и со = too значения
c(xj)« с(х2) « 0,5;
5(x1) = s(x2) = 0,5,
из формулы (4.47) получим
но
1ЭД1 f
ф(«).
Рис. 4.16. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры
ЛЧМ-сигнала с базой В > 100
1Ж)1 = ^0
(4.51)
Выражение (4.51), определяющее значение амплитудного спек-
тра на центральной частоте, можно использовать для описания
прямоугольной формы спектра. Таким образом, амплитудный
спектр ЛЧМ-сигнала с большой базой:
|5(co)| = t70 J—; соо - Дсо < со < со0 + Асо.
V 2а
(4.52)
При этом ширину спектра Дсос определяют формулой (4.50).
Корреляционная функция ЛЧМ-сигнала. Наиболее значимой ха-
рактеристикой ЛЧМ-сигнала является его корреляционная функ-
ция. Для определения КФ воспользуемся ее связью с энергетиче-
ским спектром. Ограничимся рассмотрением ЛЧМ-сигнала с боль-
шой базой (В > 100). С учетом формулы (4.52) энергетический
спектр такого сигнала составит:
U2Tt
И/(со) =| 5(со)|2 = —, со0 - Дсо< со< со0 + Дсо.
2а
(4.53)
Используя формулу (3.90), находим корреляционную функцию:
Дт) =
2 лJ
—«
гт1
_ t-'o
ИДсо)е'^со=
M/(co)coscotJco=
о
f cos сот Jco=—— sin(Acox) COS COoT.
2ат
cty-aco
111
ад*
Е
Рис. 4.17. Корреляционная функция ЛЧМ-сигнала
Подставив в полученное выражение значение параметра а из выра-
жения (4.37), запишем его в виде
В(Т)=
2
Sin(ACDT)
Асот
cosco0t = Е sinc( Асот) cos соот
или с учетом формулы (4.49):
В(т) = Е sine
пВт
COSCOqT.
(4.54)
(4.55)
Значение Дт) при т = 0 есть энергия сигнала:
ад = {/02т„/2 = £.
График функции Дт) изображен на рис. 4.17.
Корреляционная функция ЛЧМ-сигнала имеет лепестковую
структуру. Характерным параметром КФ является ширина главного
лепестка, равная 2х„/В. Очевидно, что чем больше база сигнала В, тем
уже главный лепесток КФ по сравнению с длительностью сигнала.
Это свойство ЛЧМ-сигнала используется при корреляционной
обработке радиолокационных сигналов. В результате корреляцион-
ной обработки длительность сигнала уменьшается в В раз, что по-
зволяет повысить точность измерений и разрешать близко располо-
женные объекты.
4.5.	Радиосигналы общего вида
Кроме уже рассмотренных видов модулированных радиосигна-
лов, на практике встречаются радиосигналы, которые образуются в
результате одновременной модуляции амплитуды и фазы (или час-
тоты) несущего колебания по сложному закону.
112
Радиосигналы общего вида описываются выражением (4.1). Для
сокращения записи положим начальную фазу <р0 = 0. В результате
имеем
w(r) = 6r(/)cos[co0/ + <p(r)],	(4.55)
где амплитуда £/(/) и фаза <р(/) изменяются по заданному закону.
Функции {/(/) и <р(/) изменяются медленно по сравнению с функ-
цией cos соо/, что является признаком узкополосноспги сигнала.
Анализ узкополосных сигналов значительно упрощается, если
ввести понятие комплексной огибающей.
Комплексная огибающая радиосигнала. Выражение (4.55) можно
представить в комплексной форме:
u(/) = Re[t/(Z)e'0'1'],	(4.56)
где
t/(Z) = t/(Z)e"₽,').	(4.57)
Функция U(f), называемая комплексной огибающей радиосигнала
(4.55), содержит полную информацию о радиосигнале u(t) (за ис-
ключением несущей частоты соо, которая известна). Это свойство
комплексной огибающей позволяет при анализе радиосигналов ис-
ключить из рассмотрения частоту соо, что упрощает расчет.
Соотношение между спектрами радиосигнала
и его комплексной огибающей
Введем в рассмотрение спектральную функцию комплексной
огибающей:
5t,(co)= f й(Г)е-,ш1Л.
«
—оо
(4.58)
Пусть 5(со) — спектральная функция радиосигнала (4.55). Уста-
новим связь между 5(со) и (со).
Применяя к формуле (4.56) преобразование Фурье, получим
со
S(co)= [Re[t/(/)e'4'']e''“'A.
—<хэ
(4.59)
из
Для комплексной величины z = U(t)e,by справедливо следующее
равенство:
Re г = (z+z* )/2.	(4.60)
С учетом формулы (4.60) выражение (4.59) может быть пред-
ставлено в виде
ОФ	ОФ
5(со) = - J W)e“',o"“0,'A+-
—оо	—о©
(4.61)
Таким образом, первое слагаемое в выражении (4.61) — это
- Su (со-со0), второе — это	Поэтому из выражения
2	2
(4.61) следует:
5(со) = - 5t; (со- соо)+- S*L! (- со-со0).
(4.62)
Соотношение (4.62) устанавливает связь между спектральными
функциями радиосигнала и его комплексной огибающей. Из выра-
жения (4.62) следует: чтобы определить спектральную функцию ра-
диосигнала, достаточно найти спектральную функцию его ком-
плексной огибающей и осуществить перенос ее из области частоты
со = 0 в область со — соо (первое слагаемое) и со = —соо (второе сла-
гаемое), причем при со < 0 выполняется также операция комплекс-
ного сопряжения.
Допустим, что спектр 57, (со) ограничен максимальной частотой
cow. При условии узкополосности (со,„«соо) взаимным влиянием
слагаемых в формуле (4.62) можно пренебречь и считать, что
5(со) = 1 Su (со- соо) при со> 0;
1  *
5(co) = -5’ty (-co-co0) при со<0.
(4.63)
В этом случае ширина спектра радиосигнала равна
Дсос =2со,„.	(4.64)
На рис. 4.18 показан возможный вид модулей |5t/(co)|, |5(со)| и
фаз (со) = arg5t/ (со), ср (со) = arg5(co), описывающих соответственно
амплитудные и фазовые спектры комплексной огибающей и ра-
114
|St/M
Рис. 4.18. Амплитудные и фазовые спектры комплексной огибающей (а. 6)
и радиосигнала (в. г)
диосигнала. Амплитудный спектр радиосигнала является четной
функцией частоты, а фазовый спектр — нечетной. В то же время
спектры комплексной огибающей не обладают такими свойствами.
Например, модуль St(co) необязательно симметричен относительно
оси со = О (см. рис. 4.18, а).
Пример. Рассмотрим в качестве примера радиосигнал, представ-
ляющий собой отрезок колебания (4.31):
w(r) = (/cos(co0r + wsinQr); -т/2</<т/2.	(4.65)
Такой радиосигнал можно рассматривать как прямоугольный
радиоимпульс длительностью т с внутри им пульс ной угловой моду-
ляцией.
Комплексная огибающая данного сигнала имеет вид
£(г) = Ue
im sin Q/
-т/2</<т/2.
(4.66)
Найдем спектральную функцию комплексной огибающей. Под-
ставляя выражение (4.66) в формулу (4.58), запишем:
SL,(ti>) = U
-т/2
(4.67)
Воспользуемся разложением по функциям Бесселя:
115
co
im sin Qf
Л=-с*
(4.68)
С учетом представления (4.68) формула (4.67) принимает вид
«	т/2
Sv(со) = и X /„ (т) Гем1'е-'ш,а.
п=~о°	-т/2
(4.69)
В выражение (4.69) входят интегралы:
~ . (С1)-/А2)т
т/2	2 SIR------—	г.
'<?”'( А =------------2-----_ 2т Sinc (ь) "П>т
_,j	“~"n	L 2
(4.70)
В результате вычисление Sy((6) по формуле (4.69) приводит к
следующему выражению:
оо
5^(0) = 2Ux ^Jn(w)sinc|(co-z?Q)t12].
л ——
(4.71)
Выражение (4.71) представляет собой спектр комплексной оги-
бающей в виде последовательностей спектров вида (3.34), имею-
щих весовые коэффициенты Jn(rri) и сдвинутых друг относительно
друга на частоту Q.
Значения функций Jn(m) с номерами п > т + I пренебрежимо
малы, поэтому выражение (4.71) можно заменить приближенным:
5^(со)~2^/т ^Jn(/n)sinc|(co-«Q)T/2].
л=-( т+1)
(4-72)
По формуле (4.62) находим спектральную функцию радиосиг-
нала. Если выполняется условие
со0 +(/л +1) £1» 0,
то взаимным влиянием слагаемых в формуле (4.62) можно пренеб-
речь. Тогда в области положительных частот имеем
/л+1
5(G)) =/7 т ^J„(m)sinc[(co-co0 -/iQ)t/2] , со>0.
л=-(/п+1)
(4.73)
Спектр (4.73) имеет сложную структуру. Таким образом, огра-
ничение радиосигнала (4.31) во времени приводит к существенно-
му усложнению его спектра.
116
4.6. Корреляционная функция радиосигнала
При описании свойств некоторых радиосигналов (например,
радиолокационных) важно знать не только их спектральные, но
корреляционные свойства.
В соответствии с выражением (3.87) корреляционная функция
сигнала u(t) есть
СО
Дт) - j+т)<7/.
—ос
(4.74)
Подставим в выражение (4.74) значение u(f) из формулы (4.56):
оо
В(т)= Re[t/(/k,<4,']Re|l/(/+Tk'w<'+T>l^-
«
—©о
(4.75)
Для произвольных комплексных величин zi и zi имеет место сле-
дующее равенство:
ReUl]Re[z2] = -Re|^^2]+-Re[z1 г2|.
(4.76)
С учетом формулы (4.76) выражение (4.75) преобразуется к виду
^(T) = -Ree'^)T
ft/’(/)[/(/+т)Л .
(4-77)
Функция £/(/) является низкочастотной, т.е. меняется медленно.
С учетом этого первый интеграл в выражении (4.77) равен нулю
как интеграл от быстроосциллирующей функции. Поэтому выра-
жение (4.77) запишем в следующем виде
£(T) = -Re ё^х
’г‘(/)б7(г + тХ/ .
(4.78)
Интеграл в выражении (4.78) есть корреляционная функция
комплексной огибающей:
117
сю
£/*(/)[/(/+t)J/.

(4.79)
Здесь Вь,(т)— комплексная функция.
Следовательно, выражение (4.78) можно записать в форме
Дт)=-Ке[^(т)е/й*т]
(4.80)
Соотношение (4.80) устанавливает связь между корреляцион-
ными функциями радиосигнала и его комплексной огибающей.
Корреляционная функция АМ-радиосигнала. В соответствии с
выражением (4.80) корреляционная функция АМ-радиосигнала оп-
ределяется как
В(т) = - BL. (t)cos соот,
(4.81)
где Вц(т) — корреляционная функция огибающей £/(/); множитель
1
—coscOqT — это корреляционная функция гармонического колеба-
ния (3.94).
Следовательно, корреляционная функция АМ-радиосигнала
есть произведение КФ огибающей и КФ гармонического несущего
колебания.
Корреляционная
ЗЕ
ункция
прямо-
5(т)
Рис. 4.19. Корреляционная функ-
ция прямоугольного радиоимпульса
угольного радиоимпульса. Прямоуголь-
ный радиоимпульс (см. рис. 3.12, а)
имеет огибающую в виде прямоуголь-
ного импульса. В данном случае BL; (т) —
корреляционная функция прямоуголь-
ного видеоимпульса, определяемая
формулой (3.91), подставляя которую
в выражение (4.81), получим
В(т)=—(ти -|т|)cosco0T,
(4.82)
График Дт) приведен на рис. 4.19.
Контрольные вопросы и задания
1.	Для каких целей применяют модуляцию в радиосвязи?
2.	В чем заключается процесс модуляции?
3.	При каком условии модулированные радиосигналы являются узко-
полосными?
118
4.	Как формируется спектр АМ-радиосигнала при различных видах
модулирующего сигнала? Чему равна ширина спектра?
5.	Для каких целей применяют балансную и однополосную AM?
6.	Что такое угловая модуляция?
7.	Как определяется мгновенная частота радиосигнала с угловой мо-
дуляцией?
8.	Что понимают под девиацией частоты?
9.	Чем отличаются радиосигналы при фазовой и частотной модуляции?
10.	Что понимают под индексом угловой модуляции? Как он определя-
ется при тональной фазовой и частотной модуляции?
11.	Чему равна практическая ширина спектра радиосигнала с тональ-
ной угловой модуляцией?
12.	Что такое внутри импульсная модуляция?
13.	Каковы особенности спектральной и корреляционной характери-
стик ЛЧМ-сигнала с большой базой?
14.	Что такое комплексная огибающая узкополосного сигнала?
15.	Как связаны между собой спектры узкополосного сигнала и его
комплексной огибающей?
16.	Как связаны между собой корреляционные функции узкополосно-
го сигнала и его комплексной огибающей?
17.	Амплитуда радиосигнала с тональной AM изменяется в пределах от
Миш = 30 В до t/max = 130 В. Найдите коэффициент модуляции Л/и
амплитуду несущего колебания Uq.
18.	Постройте спектральную диаграмму радиосигнала
м(Г) = 12(1 + 0,6 cos О/ + 0,2 cos 2Qr)cos ov В.
19.	Найдите максимальное и минимальное значения мгновенной час-
тоты радиосигнала
= U cos(3 • 109/ + 2 sin 107Г).
20.	Для радиосигнала
u(t) = 5 cos(2rc • 105z + 6 sin 2л • 10?f)
определите девиацию частоты, практическую ширину спектра и
число гармонических составляющих в пределах этой ширины.
21.	Определите, в каких пределах изменяется практическая ширина
спектра и количество составляющих боковых частот радиосигналов
с тональной ФМ и ЧМ, если частота модуляции изменяется в пре-
делах от 50 Гц до 15 кГц. Индекс модуляции при ФМ равен 10, а
девиация частоты при ЧМ равна 75 Гц.
22.	Определите девиацию частоты ЛЧМ-сигнала длительностью 40 мкс.
Значение базы В = 500.
23.	Определите базу ЛЧМ-сигнала длительностью 15 мкс, если девиа-
ция частоты Д/* = 12 МГц.
24.	Запишите выражение для комплексной огибающей ЛЧМ-сигнала.
25.	Определите корреляционную функцию радиоимпульса, огибающей
которого является экспоненциальный импульс.
ГЛАВА 5
РАДИОСИГНАЛЫ ПРИ ЦИФРОВОЙ
И ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИИ
5.1.	Цифровая модуляция
Цифровая модуляция — это процесс преобразования цифровых
(двоичных) символов в радиосигналы, спектр которых расположен
в области несущей частоты. При цифровой модуляции в качестве
модулирующего сигнала используют первичный цифровой сигнал,
возможный вид которого показан на рис. 1.2, а в качестве несуще-
го — гармоническое колебание.
Цифровую модуляцию часто называют манипуляцией. Манипу-
ляция— вид модуляции, при котором модулируемый параметр из-
меняется не плавно, а скачкообразно соответственно скачкообраз-
ному изменению модулирующего сигнала.
Радиосигналы при цифровой модуляции имеют вид последова-
тельности прямоугольных радиоимпульсов одинаковой длительно-
сти Г, отличающихся друг от друга значениями амплитуд, началь-
ных фаз и частот гармонического несущего колебания.
Одиночный радиоимпульс последовательности можно описать
выражением
w„(r) = c„r„(/)cos[(co0+co„)? + q>„|, (и - \)Т <t < п Т,	(5.1)
где ап, соо + со«, фл — соответственно амплитуда, частота и началь-
ная фаза гармонического колебания длительности Т на интервале
(п — \)Т< f < пТ; сво -- несущая частота последовательности радио-
импульсов; rn(t) — функция, описывающая прямоугольную форму
радиоимпульса:

U, (п-\)Т <t<nT,
О при других значениях /.
(5.2)
Радиосигнал при цифровой модуляции представляет собой по-
следовательность прямоугольных радиоимпульсов вида (5.1):
120
«(') = X а» r« W cosl (“о +w„ У+<p„ 1,
Л-1
0<t<NT,
(5.3)
где {an}, {<рл} и {(оя} — кодовые последовательности, соответствую-
щие заданному двоичному коду; N — число символов (длина) кодо-
вой последовательности.
Кодовые последовательности {дл}, {фл} и {сол} определяют закон
скачкообразного изменения амплитуды, фазы и частоты гармони-
ческого несущего колебания. При этом различают следующие виды
цифровой модуляции:
•	амплитудная — изменяется ап, <рл = 0, сол - 0;
•	фазовая — изменяется фл, ап = 1, сол = 0;
•	частотная — изменяется сол, ап = 1, <рл = 0.
Рассмотрим эти виды цифровой модуляции.
5.2.	Радиосигналы при цифровой
амплитудной модуляции
Цифровая амплитудная модуляция (ЦАМ) или амплитудная ма-
нипуляция — частный случай AM, при которой амплитуда гармо-
нического несущего колебания изменяется скачком соответственно
заданному двоичному коду.
Из (5.3) при сол = 0, <рл = 0 получим описание радиосигнала при
ЦАМ в виде
“(') = SVn(Z)cOS(00/,
Л=1
0</< NT.
(5.4)
Кодовая последовательность {ап} определяет закон скачкообраз-
ного изменения амплитуды колебания. При двоичном коде ап при-
нимает два значения: 0 и 1.
Выражение (5.4) представляет результат перемножения цифро-
вого модулирующего сигнала
=	0<t<NT
Л=1
(5.5)
и гармонического несущего колебания cos сооА Следовательно,
w(r) = s(r)cos(o0/.	(5.6)
Вид сигнала при ЦАМ, соответствующий двоичному коду
ап — {1 0 0 1 1}, показан на рис. 5.1.
121
Рис. 5.1. Сигналы при ЦАМ: модулирующий (а) и модулированный (б)
Спектр радиосигнала при ЦАМ. Согласно теореме о смещении
спектра (3.55) спектральная функция 5цдМ (со) радиосигнала (5.6)
выражается через спектральную функцию 5(со) модулирующего сиг-
нала (5.5).
Сначала находим спектральную функцию цифрового модули-
рующего сигнала. Преобразование Фурье функции (5.5) с учетом
линейности преобразования дает
Л ЯТ	.V	г г
5(ш) = Jr„ (Z)e-^dl =	У [e-M-or
"=1 (л-1)Т	n=1	/С°
После несложных преобразований получим
5(<в) = 5,(со)Ха„е-,и("-')7'
л=1
(5.7)
где ^(^—спектральная функция прямоугольного импульса п(/),
расположенного в интервале 0 < / < Т (см. рис. 5.1, а)'.
5, (со) =
/СО
-(l-e''“r) = Z7Tsinc
(5-8)
Здесь использована функция sinc(x) = (sin х)/х.
Выражение (5.7) представим в следующем виде:
5(со) = 5, (со)5ак (со).
(5.9)
122
Функцию
•УлкН = 1«„е-'“,л-,)Г
И = 1
(5.10)
можно трактовать как спектральную функцию амплитудного кода
{ап}. Как следует из (5.10), спектр амплитудного кода — периодиче-
ский, с периодом на оси частот, равным 2л/ Т.
Таким образом, спектр цифрового модулирующего сигнала, оп-
ределяемый выражением (5.9), является результатом наложения на
спектр одиночного прямоугольного импульса 5, (со) спектра кодо-
вой последовательности 5АК(со).
Значение спектральной функции (5.9) при со = 0 равно
5(0) = 51(0)f а„ =М5,(0),
л=1
(5.11)
где 51(0) = U7} М— число двоичных единиц 1 в двоичном коде
{#„}. Согласно (5.11) при со = 0 значение спектральной функции
цифрового сигнала в М раз больше значения спектральной функ-
ции одиночного прямоугольного импульса.
Модуль 15(со)| определяет амплитудный спектр цифрового моду-
лирующего сигнала (рис. 5.2, а). Штриховой линией изображен
график |5|(со)|, определяющий амплитудный спектр одиночного
прямоугольного импульса. Спектр 15(со)| построен для со > 0, так
как он симметричен относительно со = 0.
Как видно на рис. 5.2, а, спектр 5(со)| сосредоточен в диапазоне
частот 0 < со < 2л/7, поэтому эффективную ширину спектра цифро-
вого сигнала определяют как
Дсос = 2 л/7,
(5.12)
что совпадает с эффективной шириной спектра одиночного прямо-
угольного импульса.
Применяя формулу (3.55), определим спектральную функцию
радиосигнала при ЦАМ:
^цдм И = т- ^1 (со-coo)5ак (со-со0) + -	(со+соо)5ак (со+со0).
(5.13)
Если несущая частота соо » 2п/Т, то взаимным влиянием сла-
гаемых в (5.13) можно пренебречь. В этом случае имеем
^ЦАМ
со>0;
123
a
1^ЦАМ(Ю) I
Рис. 5.2. Спектры сигналов при ЦАМ: модулирующего (а) и модулированного (6)
^ЦАМ (^) ~ ~ *5*1 (^+СОо)*5'аК
охО.
(5.14)
Амплитудный спектр 15тм (со)| в области со > 0 имеет вид, пока-
занный на рис. 5.2, б.
Эффективную ширину спектра радиосигнала при ЦАМ опреде-
ляют как полосу частот от сон до сов, занимаемую центральным ле-
пестком 15цдМ (со)|, где
сон = со0 -2л/ Т, сов = соо +2л/ Т.
При этом ширина спектра равна
124
Дсоцдм = 4л/Т = 4п/т, Vuam = 2/т,	(5.15)
где/т =1/7’	(5.16)
есть тактовая частота, которая характеризует скорость передачи
цифровой информации.
При передаче цифрового сигнала Т — это длительность посыл-
ки одного символа двоичного кода: чем меньше 7, тем выше ско-
рость передачи цифровой информации. Однако увеличение скоро-
сти передачи цифровой информации приводит к расширению
спектра сигнала — переносчика этой информации.
Пример. Текстовое сообщение из 100 букв передается по теле-
графному радиоканалу пятизначным двоичным кодом в течение 30 с.
Найдем ширину спектра телеграфного радиосигнала. Эта вели-
чина зависит от длительности посылки одного символа двоичного
кода Т. Определим Т. За 30 с передается 100 букв, каждой из кото-
рых соответствует кодовая комбинация, содержащая 5 символов.
Следовательно, за 30 с будет передано 500 символов, и длитель-
ность посылки каждого символа Т = 30/500 = 6 - 10-2 с.
В соответствии с формулой (5.15) ширина спектра
Д/цам = 2/7 = 33,33 Гц.
5.3.	Радиосигналы при цифровой
фазовой модуляции
Цифровая фазовая модуляция (ЦФМ) или фазовая манипуля-
ция — частный случай ФМ, при которой начальная фаза гармони-
ческого несущего колебания изменяется скачком соответственно
заданному двоичному коду.
Из (5.3) при значении ап = 1, сол = 0 получим описание радио-
сигнала при ЦФМ в виде
N
(r)cos(co0r + ф„ ),
Л=|
0<t<NT.
(5.17)
Кодовая последовательность {фя} определяет закон скачкооб-
разного изменения фазы. Широкое распространение получили сиг-
налы, у которых <рл принимает только два значения: Ойл. Напри-
мер, двоичной 1 соответствует фаза фя = 0, а двоичному нулю
0 — фаза фл = л (рис. 5.3).
125
Рис. 5.3. Сигналы при ЦФМ: модулирующий (а) и модулированный (б)
Спектр радиосигнала при ЦФМ. Для определения спектральной
функции радиосигнала при ЦФМ воспользуемся методом ком-
плексной огибающей (см. подразд. 4.5).
Радиосигнал (5.17) полностью характеризуется комплексной
огибающей:
*7(0 = Ёгл ((>'*	0<t<NT,
Л=1	Л=1
где
(5.18)
(5.19)
Найдем спектральную функцию С7(со) комплексной огибающей.
Преобразование Фурье применительно к (5.18) дает
=	[г„(0е’,и'Л.
«=•	(п-1)Т
Проводя преобразования, аналогичные выполненным при вы-
воде формулы (5.9), получаем
Щсо) = S, (со)5фк (со).
где
П-1
(5.20)
(5.21)
126
Функцию 5фК(со) можно трактовать как спектральную функцию
фазового кода {/>„}.
Значение спектральной функции (5.20) при со = 0 равно
1/(0) = (0)£/>„ =(^-^15,(0),
Л=1
(5.22)
где Ni — число двоичных единиц 1 (b„ = 1), N2 — число двоичных 0
(Ь„ = — 1) в двоичном коде цифрового модулирующего сигнала.
При этом N = М + М.
График 5(со) = | (7(со)| приведен на рис 5.4, а. Штриховая линия
соответствует Si (со). Спектр S(co) изображен только для частот со > О,
так как он симметричен относительно со = 0.
Применяя формулу (4.62), получим выражение для спектраль-
ной функции радиосигнала при ЦФМ:
^цфм(0)) ” 2	®о)‘5фк(ю ®о)+“‘S'i (~б>~с°о)‘^фк(—Ц))- (5.23)
Первое слагаемое в (5.23) описывает спектр около частоты соо,
второе — около частоты со = -соо. При частоте соо >> 2л/Т взаим-
ным влиянием слагаемых в (5.23) можно пренебречь. Тогда имеем
Рцфм(®) I
Рис. 5.4. Спектры сигналов при ЦФМ: модулирующего (д) и модулированного (б)
127
^цфм ~	(со ш0), ш> О,
5цфм И = I <-®-®о)^фк(~ю-“о)> ®< °-
(5.24)

График амплитудного спектра | 5ЦФМ (со) в области со > 0 приве-
ден на рис. 5.4, б.
Отметим, что при ЦАМ и ЦФМ спектры радиосигналов иден-
тичны, и в обоих случаях эффективная ширина спектра определя-
ется выражением (5.15).
Основное преимущество ЦФМ по сравнению с ЦАМ состоит в
том, что радиосигналы с ЦФМ более устойчивы к воздействию
помех.
5.4.	Радиосигналы при цифровой частотной модуляции
Цифровая частотная модуляция (ЦЧМ) или частотная манипу-
ляция — частный случай ЧМ, при которой частота гармонического
несущего колебания изменяется скачком соответственно заданному
двоичному коду.
При ЦЧМ передача несущего колебания с частотой coi соответ-
ствует двоичному нулю 0, а с частотой он—двоичной 1. Разность
частот
Aco=co2-cOi	(5.25)
представляет девиацию частоты. При выборе частот следует обес-
печить плавный (без скачка фазы) переход от колебания с частотой
cot к колебанию с частотой со2, как показано на рис. 5.5. Для обес-
печения такого плавного перехода частоты f\ — й)1/2тг и /2 — со2/2л
должны удовлетворять следующему условию:
/1 — к ft* fi — mfi*	(5.26)
где f — тактовая частота (5.16); к и т — целые числа (они опреде-
ляют число периодов несущего колебания внутри интервала 7).
Для девиации частоты имеем
V = /2-/i =(/и-£)/т.	<5-27)
При этом минимальный частотный сдвиг равен Д/ = 1/Г.
При ЦЧМ с непрерывной фазой радиосигнал можно описать
выражением
128
a
Рис. 5.5. Сигналы при ЦЧМ: модулирующий (а) и модулированный (б)
N
«(') = Xr"WC0S(“l +
Л = 1
0</ < NT.
(5.28)
Кодовая последовательность {с„} определяет закон скачкообразного
изменения частоты колебания. При двоичном коде сп принимает
два значения: 0 и 1.
Из выражения (5.28) следует, что передача несущего колебания
с частотой coj соответствует значению сп = 0, а передача колебания
с частотой о>2 — <х>] + Дсо — значению сп = 1.
Спектр радиосигнала при ЦЧМ. Спектральный анализ радиосиг-
налов при ЦЧМ с математической точки зрения гораздо сложнее,
чем при ЦАМ и ЦФМ.
Запишем выражение (5.28) в следующем виде:
(5.29)
где обозначено
со„ =(Dj +cwAco.	(5.30)
Применяя формулу (3.21) и учитывая свойство (3.44), находим
спектральную функцию
с
° ЦЧМ
(5.31)
Подставляя в выражение (5.31) значение r„(r) = U и вычисляя
интегралы, после несложных преобразований получим
9-3659	1 29
цчм
Здесь использованы функции
С /„4.™ \-irr
Выражение (5.32) представляет спектральную функцию £цчм(со)
как результат суммирования спектральных функций прямоугольных
радиоимпульсов, смещенных относительно друг друга по времени и
частоте. При этом первое слагаемое в выражении (5.32) описывает
спектральную функцию в области со > 0, а второе слагаемое — в об-
ласти со < 0. Если частоты со,, >> 0, то взаимным влиянием слагае-
мых в уравнении (5.32) можно пренебречь и считать, что
Л = 1
со<0.
(5.34)
Согласно формуле (5.30) частота со„ — соь если сп = 0, и со„ = оь,
если сп = 1.
Численный анализ выражения (5.34) показывает, что модуль
1*5’цчм(с°)1 имеет два максимума на частотах СО] и со2. В качестве при-
мера на рис. 5.6 изображен график |5цчм(со)| в области со > 0, по-
строенный для кодовой последовательности {с„} = (1010).
Рис. 5.6. Спектр радиосигнала при ЦЧМ
во
На рис. 5.6 частоты wH = о1 -2nlT, сов =со2 +2 я/Г.
При этом эффективная ширина спектра определяется как раз-
ность частот:
Дсоцчм = шв-сон =оз2-со1+4п/Г = Лсо+4л/Г
или
А/цчм = Л/+2/т.
Таким образом, эффективная ширина спектра радиосигнала
при ЦЧМ равна сумме девиации частоты А/и удвоенного значения
тактовой частоты/.
5.5.	Радиосигналы при импульсной модуляции
В радиотехнике используют разнообразные виды импульсной мо-
дуляции (ИМ). Импульсная модуляция осуществляется в два этапа.
На первом этапе в качестве несущего колебания используют пе-
риодическую последовательность импульсов, как правило, прямо-
угольных. При этом информационный (первичный) сигнал s(t) яв-
ляется модулирующим. В результате получаем сигналы с импульс-
ной модуляцией (рис. 5.7).
Периодическая последовательность импульсов (см. рис. 5.7, а)
ФО
«„(')= зу(г-кт),
к—~^
(5.35)
где г(/) — форма одиночного импульса, характеризуется следующи-
ми параметрами: амплитудой Ц длительностью тн; частотой следо-
вания / = 1/Г, Г—периодом следования; положением импульсов
во времени относительно тактовых точек. Изменяя один из этих
параметров в соответствии с изменением модулирующего сигнала
s(/), можно получить четыре основных вида импульсной модуляции:
•	амплитудно-импульсную (АИМ) — изменяется амплитуда им-
пульсов (см. рис. 5.7, в\,
•	широтно-импульсную (ШИМ) — изменяется длительность
(ширина) импульсов (см. рис. 5.7, г);
•	частотно-импульсную (ЧИМ) — изменяется частота (период)
следования импульсов (см. рис. 5.7, д);
•	фазоимпульсную (ФИМ), или время импульсную (ВИМ), —
изменяется фаза импульсов, т.е. их положение внутри периода от-
носительно тактовых точек (см. рис. 5.7, е).
131
“н(0
дим
в
ШИМ
чим
д
фим L
Г"
е
Рис. 5.7. Сигналы при импульсной модуляции: модулируемый (а),
модулирующий (б), АИМ (в), ШИМ (г), ЧИМ (5), ФИМ (е)
Сигналы с импульсной модуляцией не пригодны для передачи
по радиоканалу, так как они являются низкочастотными — их
спектр сосредоточен в области нулевой и низких частот.
На втором этапе низкочастотный сигнал с импульсной модуля-
цией является модулирующим, а в качестве несущего колебания
используется гармоническое колебание с частотой соо- В результате
получаются радиосигналы с импульсной модуляцией (рис. 5.8). На-
значение второго этапа — перенос спектра сигнала с импульсной
модуляцией из области низких частот в область высоких частот
(несущей частоты соо).
Импульсная модуляция позволяет осуществить временное разде-
ление радиоканалов. Дело в том, что при импульсной передаче пери-
од следования импульсов обычно намного больше их длительно-
сти, т.е. импульсная последовательность имеет большую скваж-
ность. При большой скважности между импульсами одного сигна-
ла остается промежуток, на котором можно разместить импульсы
от других сигналов — это и есть временное разделение.
Например, периодическая последовательность прямоугольных
импульсов длительностью 10 мкс и с периодом следования 125 мкс
132
чим
д
Рис. 5.8. Радиосигналы при импульсной модуляции: АИМ (я), ШИМ (б),
ЧИМ (в), ФИМ (г)
ФИМ
е
модулируется по амплитуде речевым сигналом. Определим, сколь-
ко речевых сигналов можно передать путем временного разделе-
ния радиоканалов. На интервале между импульсами, равном 115
мкс, можно разместить 9 импульсов длительностью 10 мкс с та-
ким сдвигом во времени, чтобы они не перекрывались.
Спектры радиосигналов при импульсной модуляции
Рассмотрим особенности спектрального анализа радиосигналов
с импульсной модуляцией на примере АИМ и ШИМ.
Спектр радиосигнала при АИМ. Запишем выражение для
АИМ-сигнала:
«(/) = t7(/)wH(Z),	(5.36)
где u(t) — функция, описывающая закон изменения амплитуды
импульсов; wH(r) — несущее колебание (5.35).
В случае тональной АИМ (см. рис. 5.7, в)\
w(/) = (l + McosQr)zzH(/),	(5.37)
Здесь М — коэффициент модуляции, равный отношению амплиту-
ды модулирующего сигнала к амплитуде импульса до модуляции.
Представим импульсную последовательность (5.35) рядом
Фурье:
ин(/) = Л0+Х4СО5«“1л	(5.38)
133
Учитывая формулу (5.38), выражение (5.37) запишем в следую-
щем виде
u(t) = (i + Л/cosQr)
(5.39)
Отсюда после несложных преобразований получим
оо
м(/) = Л0 +АуМ cosQt + ^Ап cos лев, Г +
л-1
^АпМ {	t
+^ —  COSTCO! +Q)/+^ — --------COS(«0)| -O)L
/1=1	2	л=1	2
(5.40)
Выражение (5.40) определяет спектральный состав сигнала с то-
нальной АИМ. Соответствующий график спектра приведен на
рис. 5.9. По сравнению со спектром немодулированной последова-
тельности прямоугольных импульсов (см. рис. 3.3, б) в данном слу-
чае около каждой гармоники с частотой wcdi, л = 1, 2,... появляются
две боковые составляющие на частотах wcoi - Q и лещ + Q. Кроме
того, имеется составляющая с частотой модуляции £2.
Спектр АИМ-сигнала сосредоточен в области нулевой и низких
частот. На практике этот спектр, как правило, ограничивается
верхней частотой сов = 2тс/ти. При этом эффективная ширина спек-
тра составит
Дот = со = 2я/ т, Дсос » Q,
(5.41)
т.е. АИМ-сигнал занимает значительно более широкую полосу час-
тот, чем модулирующий сигнал.
(0]-П со]+П	ти
Рис. 5.9. Спектр сигнала с тональной АИМ
134
Рис. 5.10. Спектр радиосигнала с тональной АИМ
Пример. Периодическая последовательность прямоугольных
импульсов длительностью 10 мкс и с периодом следования 125 мкс
модулируется по амплитуде речевым сигналом с максимальной
частотой спектра = 3400 Гц. Определим ширину спектра
АИМ-сигнала.
В соответствии с формулой (5.41) ширина спектра будет равна:
Д/с = 1 / т „ = 100 кГц, Д/с = 29,4/'||1ах.
т.е. ширина спектра в 29 раз превышает частоту модуляции.
При вторичной модуляции получаем АИМ-радиосигнал (см.
рис. 5.8, а):
wahm(0 = w(Ocosco0/,
(5.42)
где u(J) — модулированная импульсная последовательность.
Подставляя в выражение (5.42) представление u(t) в виде фор-
мулы (5.40), после несложных преобразований получим
А М
wahm (0 = 4) coscooz +~-—[cos((00 +О)Г +cos((Of) -О)/] +
“ A
+2j— [COS(C00 +/7C0, )/ +cos((00 -/7(0! )/] +
л=1 2
(5.43)
[cos((00 +/7C0! +Г2)/+cos(co0 +/Z(0| -Q)/] +
----[cos((00 -/7(0! +П)/ +cos((o0 -лц -Q)/].

Выражение (5.43) определяет спектральный состав радиосигнала с
тональной АИМ. Спектр АИМ-радиосигнала приведен на рис. 5.10.
Этот спектр сосредоточен в окрестности несущей частоты (Oq.
Обычно эффективную ширину спектра определяют как полосу
частот от нижней частоты (он до верхней (ов, где
135
co,, =со0 — 2л/ти, сов = соо+2л/ти.
Следовательно, имеем
Д^АИМ ^в 4^*и> А/дИМ 2/^и*
(5.44)
Таким образом, при АИМ эффективная ширина спектра опре-
деляется только длительностью импульса и согласно выражению
(5.44) обратно пропорциональна длительности.
Спектр радиосигнала при ШИМ. В случае тональной ШИМ (см.
рис. 5.7, г) длительность импульсов изменяется по закону:
т = ти +Ат sinQ/,
(5.45)
где ти — значение длительности до модуляции; Ат — девиация дли-
тельности; Q — частота модуляции.
Периодическую последовательность прямоугольных импульсов
с амплитудой U, длительностью т и периодом Т можно представить
рядом Фурье (3.15):
.. 6/т 2U 1 . мят
у(/) =----4-----у —sm---------COS/76)
Т п Й=1 п Т
(5.46)
Подставив в формулу (5.46) значение т из выражения (5.45), по-
лучим описание сигнала при тональной ШИМ:
u(t) = 0 и +—д sin +
Т Т
(5-47)
(ти+AxsinQ/) cosmo)!/.
Используя соотношение
схэ
sin(fl+Z>sinx)= ^J^(/?)sin(fl+Ax),
(5.48)
где Jk(b) — функция Бесселя, выражение (5.47) запишем в виде
ое> - оо
п=1	к=-°°
cos «со, t
(5.49)

где обозначено
136
pn	(5.50)
Как следует из выражения (5.49),
спектр сигнала при тональной ШИМ
имеет сложную структуру. Он содержит
постоянную составляющую, составляю-
щую на частоте модуляции Q и состав-
ляющие на частотах wcoi, п = 1, 2, ...,
Рис. 5.11. Спектр сигнала с то-
нальной ШИМ
около которых расположено множест-
во боковых составляющих на частотах /2со( ± к£1, к = 1, 2.... Вид ам-
плитудного спектра показан на рис. 5.11.
При вторичной модуляции получаем ШИМ-радиосигнал (см.
рис. 5.8, б):
"ujhm(0 = ^)cos(d0/,
(5.51)
где u(t) описан выражением (5.49).
Подставив (5.49) в (5.51) и выполнив необходимые преобразо-
вания, в результате имеем спектральное представление ШИ М-ра-
диоси гнал а:
U 1	U Дт
пШим (0= " Hcosco0r+——[sin(coo +Q)/-sin(coo -Q)/J +
(5.52)
л=1 к.-—<*>	у *
x[cos(0)0 +ЛС0!)/ +cos(co0 -«cot)/].
Анализ выражения (5.52) показывает, что амплитудный спектр
ШИМ-радиосигнала симметричен относительно несущей частоты
ОХ), около которой расположены две боковые полосы. Верхняя бо-
ковая полоса имеет спектр, который повторяет спектр ШИМ-сиг-
нала (см. рис. 5.11), а нижняя боковая полоса является зеркальной
копией верхней. Вид спек'гра радиосигнала с тональной ШИМ по-
казан на рис. 5.12.
Рис. 5.12. Спектр радиосигнала с тональной ШИМ
137
Таким образом, при импульсной модуляции спектр радиосиг-
нала имеет довольно сложную структуру.
Контрольные вопросы и задания
1.	Что такое цифровая модуляция?
2.	Изобразите временную диаграмму радиосигнала при цифровой AM.
3.	Как определяется спектр радиосигнала при цифровой AM?
4.	Изобразите временную диаграмму радиосигнала при цифровой ФМ.
5.	Запишите выражение для комплексной огибающей радиосигнала
при цифровой ФМ.
6.	Как определяется спектр радиосигнала при цифровой ФМ?
7.	Чем определяется эффективная ширина спектра радиосигнала при
цифровой AM и ФМ?
8.	Изобразите временную диаграмму радиосигнала при цифровой ЧМ.
9.	Какова структура спектра радиосигнала при цифровой ЧМ? От
чего зависит эффективная ширина спектра?
10.	Что такое импульсная модуляция?
11.	Перечислите основные виды импульсной модуляции.
12.	Изобразите временные диаграммы АИМ-сигнала и АИМ-радиосиг-
нала.
13.	Как изменяется спектр периодической последовательности прямо-
угольных импульсов в результате АИМ?
14.	Какая связь существует между спектрами АИМ-сигнала и АИМ-ра-
диосигнала?
15.	Как определяется эффективная ширина спектра АИМ-сигнала и
АИМ -рад иоси гнал а?
16.	Изобразите временные диаграммы ШИМ-сигнала и ШИМ-радио-
сигнала.
17.	Каковы особенности спектра ШИМ-сигнала?
18.	В чем состоит временное разделение радиоканалов?
19.	Сравните объемы телеграфного и телефонного радиосигналов, по-
средством которых в течение 30 с передается один и тот же текст
из 100 букв. Причем по телеграфному радиоканалу текст передает-
ся пятизначным двоичным кодом. Динамические диапазоны ра-
диосигналов можно считать равными.
20.	Изобразите спектральную диаграмму АИМ-сигнала
н(Г) = (1 + cos Q/ + Л/2 cos 2 Q/) нн(7),
где wH(r) задается выражением (5.38).
ГЛАВА 6
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
6.1.	Случайные сигналы
Случайным называют сигнал, мгновенные значения которого яв-
ляются случайными величинами, т.е. могут быть описаны (предска-
заны) лишь вероятностными методами. Примером может служить
речевой сигнал — электрический сигнал, полученный путем преоб-
разования устной речи (см. рис. 1.1, б). Кроме того, случайный ха-
рактер сигналов обусловлен действием помех (см. подразд. 1.4).
Для описания случайных сигналов используют две основные
математические модели: в виде случайного и квазидетерминиро-
ванного процессов.
Случайный процесс — случайная функция времени, значения ко-
торой в любой момент времени являются случайными величинами.
Случайный процесс X(t) представляет собой совокупность (ан-
самбль) функций времени {%(/)}, подчиняющихся некоторой общей
для них статистической закономерности (рис. 6.1, а). Принято обо-
значение: Х(1) = {х(0}- Любая составляющая ансамбля х(/) есть вы-
борочная функция случайного процесса (см. рис. 6.1, б).
Как правило, наблюдается только одна выборочная функция;
остальные представляют собой другие возможные реализации, кото-
рые в принципе могут существовать, но отсутствуют в данной си-
туации. Теоретически случайный процесс характеризуется беско-
нечным множеством своих реализаций, образующих ансамбль реа-
лизаций. Понятием ансамбля удобно пользоваться при определении
вероятностных характеристик случайных процессов. Математиче-
ским аппаратом для описания случайных процессов (случайных
функций) служит теория случайных процессов, которая представ-
ляет собой обобщение теории вероятностей. В радиотехнике тер-
мины «случайный сигнал» и «случайный процесс» часто употребля-
ются как синонимы.
139
Рис. 6.1. Ансамбль функций (а) и выборочная функция (б)
Квазидетерминированный процесс — это вид случайного процес-
са, реализации которого описываются функциями времени задан-
ного вида 5(Z; ah а2, ол), содержащими один или несколько слу-
чайных параметров а = (сц, a2i ..., ап). При этом случайные пара-
метры не зависят от времени.
Рассмотрим примеры квазидетерминированных процессов.
1.	Гармонические колебания со случайной начальной фазой:
X(t) = s(r,<p) = U cos(cor + ср),
где амплитуда U и частота со — известные величины, а начальная
фаза (р — случайная величина. Несколько реализаций приведено на
рис. 6.2.
2.	Гармонические колебания со случайной амплитудой
X (/) = 5(r; U) = U cos(co/ + ср),
ДО,
Рис. 6.2. Совокупность гармо-
нических колебаний со случай-
ной начальной фазой
где амплитуда U — случайная величи-
на, а со и ср — заданы.
3.	Случайный процесс импульс-
ный — последовательность импульсов,
один или несколько параметров кото-
рой являются случайными величина-
ми. Если форма импульсов известна,
то случайными могут быть отдельные
140
параметры импульсов: амплитуда U, длительность т, время появле-
ния интервал повторения Т. Например,
Х(/) = 5(/;/л) = ^5(Г-гл).
п
Здесь tn — случайный момент появления и-го импульса.
4.	Периодический случайный сигнал:
X(г) = s(t; ап, Ьп) = У (ап cos /7<jooГ + bn sin жо0/),
п
где ап и Ьп — независимые случайные величины, которые являются
постоянными для какой-то одной реализации, но отличаются друг
от друга от реализации к реализации.
5.	Случайный сигнал вида
X(t) = s(t;U,a) = Ue~al, Г>0,
где Uи а — случайные величины, фиксированные для какой-то од-
ной реализации, но изменяющиеся от реализации к реализации.
Понятие квазидетерминированного сигнала является несколько
искусственным. Однако иногда полезно получить вероятностную
модель для сигналов, которые известны, за исключением одного
или двух параметров.
6.2.	Вероятностное описание случайных сигналов
При описании случайных сигналов используют вероятностные
характеристики'.
•	функция распределения вероятности (функция распределения);
•	плотность распределения вероятности (плотность вероятности).
Вероятностные характеристики могут быть одномерными, дву-
мерными, ..., многомерными.
Одномерные вероятностные характеристики
Случайный сигнал X(t) состоит из множества реализаций x(Z),
т.е. X{t) = {*(/)}. В любые возможные моменты времени й, й, 4
значения Xt = Л(й) = {х(й)}, Х2 = X(t2) = {Xh)}, ...» Х„ = Х(г„) = {*(/„)}
есть случайные величины, каждая из которых образует сечение слу-
чайного процесса (рис. 6.3).
Описание случайного сигнала X(f) в момент времени й прово-
дится с помощью одномерной функции распределения вероятно-
сти Fi(x, й)- Эта функция определяет вероятность того, что при
141
X(t)
Рис. 6.3. К определению функции распределения случайного сигнала
значении / = случайная функция X(t) находится ниже уровня xi
(см. рис. 6.3):
Fl(xl,tl) = P[X(tl)<
(6.1)
где Р( ) — символ вероятности. Время t здесь играет роль парамет-
ра. В общем случае аргумент jq может находиться в пределах от
значения —до
Функция распределения (6.1) обладает следующими свойствами:
]. /^j(-cej/1)=0 как вероятность невозможного события.
2.	^(«>,/^ = 1 как вероятность достоверного события.
3.	Fi(xi, Л) — неубывающая функция, т.е. F1(b,tl)> Fi(aji) при
значении b > а.
4.	Р{а< X(ix)<b\ = Fl(bji)-F}(о,/,),
т.е. вероятность попадания значения ДЛ) в интервал (a, Z>| равна раз-
ности значений функции распределения на концах этого интервала.
Одномерная плотность вероятности определяется как произ-
водная функции распределения:
А(Ч>'1) =
(6.2)
Отметим, что произведение
p^x^t^dXi =Р[х1<Х(/|)<Х| +dxj
— это вероятность попадания значения Д/|) в интервал между зна-
чениями Xi и Xi + dxi, т.е. в бесконечно малый интервал шириной
dx\ (рис. 6.4).
Плотность вероятности p\(xi, 6) обладает следующими основ-
ными свойствами:
1.	Плотность вероятности неотрицательна, т.е. pi(xb Л) > 0.
142
2.	Вероятность попадания значения Х(1\) в интервад [a, Z>] равна
интегралу от плотности вероятности в этих пределах:
ь
P[a<X(t})<b] = ^p^ /1 )dxx.
а
(6.3)
3.	Интеграл в бесконечных пределах от функции 6) равен
единице:
(6.4)
как вероятность достоверного события, поскольку случайная вели-
чина обязательно принимает какое-либо значение. Равенство (6.4) —
это условие нормировки. Оно означает, что площадь под кривой
Pi(xi, Л) всегда равна единице.
Зная плотность вероятности, можно рассчитать и функцию рас-
пределения:
*1
(6.5)
Функция распределения, как всякая вероятность, есть величина
безразмерная. Размерность плотности вероятности обратно про-
порциональна размерности случайного сигнала.
Двумерные вероятностные характеристики
Одномерная функция распределения является неполной харак-
теристикой случайного сигнала. Возможны функции Д/), обладаю-
щие одинаковыми распределениями F-(x'i, й), но различающиеся
статистическим соотношением между значениями X(t}) и Дг2),
143
принимаемыми в два разных момента времени /1 и ?2- Иными сло-
вами, при одинаковых одномерных распределениях у этих функ-
ций могут быть различны двумерные распределения.
Двумерная функция распределения
F2(-Х|	’^2) — ^[^(Z 1 )< *1»	*2]	(6-6)
определяет вероятность того, что при значении / = Л случайная
функция X(t) находится ниже уровня хь а при значении t = t2 —
ниже уровня %2 (см. Рис- 6.3). Здесь хь х2 — переменные; /ь t2 — па-
раметры.
Функция распределения (6.6) является неубывающей функцией
переменных Х\ и х2, удовлетворяющей условиям:
1. JF(—°°,^2>^1	— 0» ^(х^	0»
2. F(ooi0o;/J}/2) = 1.
Дифференцирование (6.6) по переменным Х] и х2 дает двумер-
ную плотность вероятности:
Pit*! ’^2
(6.7)
Произведение
Р2(*1 ,*2^1 >Г2)^1^Х2 =	< ^(Zl ) - Х1 +^х1;х2 <	- Х2 +^1
— это совместная вероятность попадания значений AVi) и X(t2) со-
ответственно в интервалы (xh Х| + rZx'il и (х?, х2 + t/хг] (см. рис. 6.4).
Если выделить некоторую область (а\ < х\ < Ь\, а2< х2 < Ь2), то
вероятность попадания значений X(t) в эту область определяется так:
A, i>2
< X(t') < ;а2 < X(t2) < b2 ] = j j p2(Xi ,x2;/! ,r2)^i^2-	(6.8)
«1^2
Очевидно, что
P[—oo< %(/j ) < <X>;—oo< X(t2)< сю] =
p2(x},x2-,t}it2)dxidx2
— это условие нормировки. Геометрически двумерная плотность
вероятности может быть представлена в виде некоторой поверхно-
сти. Условие нормировки означает, что полный объем под этой по-
верхностью равен единице.
144
Связь между двумерными функцией распределения и плотно-
стью вероятности следующая:
Х| х2
F2(xl,x2-,tl,t2)= j jр2(у\,у2-,1х,12)аухау2.
—ел —оо
(6.9)
Из двумерной функции распределения можно получить одно-
мерную, если положить х? = «>:
(6.10)
Следовательно, от двумерной плотности вероятности можно
перейти к одномерной, проинтегрировав по лишней переменной:
оо
(6.11)
Это означает, что одномерная и двумерная плотности вероятно-
сти согласованы между собой в смысле соподчинения.
Многомерные вероятностные характеристики
Двумерная функция распределения дает более полную характе-
ристику случайного сигнала %(/), но тоже не является исчерпываю-
щей. Она не позволяет судить о статистических соотношениях ме-
жду значениями X(t), принимаемыми в три момента времени 6 и
/3. Эти соотношения могут быть различны при одинаковом двумер-
ном (а значит, и одномерном) распределении.
Более полной характеристикой случайного сигнала X(t) являет-
ся «-мерная функция распределения вероятности:

(6.12)
Она определяет вероятность того, что значения случайной
функции X(t) в моменты времени ..., находятся ниже соответ-
ствующих уровней Xi, ..., хп (см. рис. 6.3).
Функция (6.12) является неубывающей функцией переменных
Л|, ..., хп. Ее значения лежат в диапазоне от нуля (когда хотя бы
одна из переменных стремится к пределу —оо) до единицы (когда
все переменные стремятся к пределу +«>).
Отметим, что из w-мерной функции распределения всегда мож-
но получить функцию распределения низшего порядка, например
как в выражении (6.10).
145
Дифференцирование функции (6.12) по переменным %1...хл дает
w-мерную плотность вероятности:
А; Vе 1 , • •  > ХП > G ’ • • • ’
(6.13)
Произведение
/Ч*! < %(/!)<*! +Jx, < X(tn)<x„ +dx„] =
Рп	»• • •»»G ’ • • • ’ n )dx^... dxn
— это совместная вероятность попадания значений случайной функ-
ции X(f) в моменты rh .... tn соответственно в интервалы (хь *i + d^i]>
..., (хл, хп + dxn], Иными словами, //-мерная плотность вероятно-
сти — это вероятность прохождения случайного процесса Х(1) через
/7 щелей, размеры которых dxi, ..., dxn (см. рис. 6.4).
Плотность вероятности должна удовлетворять следующим усло-
виям:
— положительности:
— нормировки:
п 5 1»•••dxn 1,
— симметрии:
Рп 1 ’ • • • '	5 G ’ • • • * п ' Рп • 5	5	> *’*’ 1
т.е. плотность вероятности не изменяется при любой перестановке
моментов наблюдения й, ...»
— согласованности:
Pdx\
т.е. при любом к < п из плотности распределения вероятности выс-
шего порядка можно получить плотность распределения вероятно-
сти низшего порядка, например как в выражении (6.11).
Связь между //-мерными функцией распределения и плотно-
стью вероятности имеет следующий вид
*1
Fn (х ।,..., хп , t j, ...,/„) —	... pn (у ।...., yn , , ...,tn)dy \ ...dy п. (6.14)
J *
—<XJ	—03
Таким образом, статистические свойства случайного сигнала
можно охарактеризовать с помощью «-мерных вероятностных ха-
рактеристик и тем точнее, чем больше число н.
Однако следует отметить, что, ограничиваясь //-мерными харак-
теристиками, мы по существу отождествляем случайную функцию
X(f) с совокупностью и случайных величин AVi), ^(6), ...» X(tn), т.е.
дело сводится к «-мерной случайной величине.
Нахождение многомерных функций (6.12) и (6.13) представляет
сложную, а часто неразрешимую задачу. Однако для решения мно-
гих практических задач не требуется знание многомерных функций
распределения. Часто используются модели случайных сигналов,
задаваемых одномерной и двумерной функциями распределения
или плотностями вероятности.
Условия стационарности случайного процесса
Исследование случайных процессов (сигналов) значительно уп-
рощается при стационарности процесса.
Случайный процесс X(j) называют строго стационарным, или ста-
ционарным в узком смысле, если все конечномерные функции распре-
деления вероятности любого порядка инвариантны относительно
сдвига во времени, т.е. при любых п и /0 справедливо равенство
п 5 1 1 ’   ’ э п
(6.15)
Очевидно, что аналогичное равенство должно выполняться и
для плотностей вероятности:
Рп ОЙ ’ •••’ %п	Рп (^j > Хп ’ G + /0 ' "‘dn + /оЛ	(6.16)
Это означает, что два случайных процесса X(t) и X(t + г0) имеют
одинаковые вероятностные характеристики, т.е. вероятностные ха-
рактеристики стационарного случайного процесса не изменяются
во времени.
Полагая, что в выражениях (6.15) и (6.16) п = 1, получаем одно
из необходимых условий стационарности:
F} (х, t) = Fj (х, / + !) = £( (х);
р1(х,/) = р1(х,/ + т) = р1(х),
(6.17)
т.е. одномерные функция распределения и плотность вероятности
стационарного процесса не зависят от времени.
147
Полагая, что в выражениях (6.15) и (6.16) п — 2, получим еще
одно необходимое условие стационарности:
/’’обХ] >-^2’^1 ’G) — 2 C*j э *2’^2 — 6 ) ” ^2'^1 ’^2’
Р1 (*1, Л2 » 1 ’ 2 ) “ Р1 (Лj »Х2 > ^2 — Л ) = Р1 (*1 »Х2»’
(6.18)
т.е. двумерные функция распределения и плотность вероятности зави-
сят не от двух моментов времени, а только от их разности т = ^ — А-
Случайные процессы, не удовлетворяющие указанным услови-
ям, называют нестационарными (в узком смысле). Стационарный в
узкохМ смысле случайный процесс в отличие от нестационарного
ведет себя однообразно во времени: является аналогом установив-
шегося процесса.
Случайные процессы, удовлетворяющие условию стационарно-
сти только для одномерных (6.17) и двумерных (6.18) функций рас-
пределения и плотностей вероятностей, получили название слабо
стационарных, или стационарных в широком смысле.
Строгая стационарность подразумевает и слабую стационар-
ность, но не наоборот. Большинство полезных для практики ре-
зультатов получено в предположении, что случайные сигналы яв-
ляются слабо стационарными.
6.3. Определение параметров случайного сигнала
на основе статистического усреднения
Под статистическим усреднением понимается усреднение по ан-
самблю реализаций в фиксированный момент времени.
Если известна одномерная плотность вероятности р\(х, ц), т.е.
р} (х, )dx = Р[х< X(t|) < x'+r/x],
то можно произвести статистическое усреднение случайной вели-
чины А(Г1) или функций от случайной величины.
Статистическое усреднение позволяет определить так называе-
мые моментные функции случайного процесса. Представляющими
интерес для практики моментными функциями являются матема-
тическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание
Математическое ожидание случайного процесса — это функция
времени, для каждого значения аргумента равная математическому
ожиданию случайной величины:
148
m(t) = x(t) = Л/[ %(/)] = xpi (x, t)dx,
(6.19)
где горизонтальной чертой здесь и далее обозначена операция ста-
тистического усреднения по ансамблю реализаций; ) — символ
математического ожидания.
Математическое ожидание — есть статистическое среднее зна-
чение случайного сигнала X(f) в момент времени t. Функция m(t)
представляет собой некоторую кривую, около которой располага-
ются реализации случайного сигнала (рис. 6.5).
Дня слабо стационарного случайного процесса математическое
ожидание не зависит от времени, т.е.
Смэ
в
т = хрх (x)dx.
в
--ОД
(6.20)
Большинство стационарных случайных процессов обладает
свойством эргодичности, при котором усреднение по ансамблю реа-
лизаций можно заменить усреднением по времени одной теорети-
чески бесконечно протяженной реализации. Отметим, что эргоди-
ческий случайный процесс обязательно является стационарным, но
не наоборот.
Для эргодического случайного процесса математическое ожидание
Т/2
т = (х(г)} = lim — J x(t)dt
(6.21)
где угловыми скобками обозначена операция усреднения по време-
ни. Математическое ожидание (6.21) имеет физический смысл по-
стоянной составляющей.
о
Рис. 6.5. К определению математического ожидания
149
Таким образом, нахождение математического ожидания изме-
няющихся случайным образом электрического напряжения или
тока эквивалентно определению их постоянных составляющих.
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение
Случайный процесс АЬ(Г), представляющий собой разность меж-
ду случайным процессом X(f) и его математическим ожиданием
(статистическим средним) /л(/), называют центрированным случай-
ным процессом:
X^t}-=X{t)-m(lY	(6.22)
Иными словами, У0(г) — это переменная составляющая (флуктуа-
ции) случайного процесса.
Дисперсия случайного процесса X(t) определяется следующим
образом:
оо
ДО = о2 (/) = Л/[ X2 (01 = J|x - m(z)]2 pt (х, t)dx =
—ОО
(6.23)
oo
= J X2 p{ (x, t)dx - m.2 (Г).
Дисперсия характеризует среднюю мощность переменной со-
ставляющей (флуктуаций) случайного процесса.
Величину о(/) = д/7)(/) называют среднеквадратическим отклоне-
нием случайного процесса. Средне квадратическое отклонение оп-
ределяет разброс возможных значений реализаций случайного про-
цесса около математического ожидания (см. рис. 6.5).
Дисперсия стационарного случайного процесса не зависит от
времени, т.с.

*2	о
х Pi(x)dx-m .
(6.24)
Для эргодического случайного процесса дисперсия определяет-
ся как
D - \[х(/) - /л ]2 = (х2 (г)^ - т2
J х2 (t) dt - т
(6.25)
имеет физический смысл средней мощности флуктуаций напряже-
ния или тока, выделяемой на единичном сопротивлении.
150
\Pi(*)
b—a
0 a b x
a
Рис. 6.6. Плотность вероятности (а) и функция распределения (б)
случайного процесса
Пример. Рассмотрим случайный процесс, плотность вероятно-
сти которого в интервале [я, Ь] есть постоянная величина:
р} (х) = С, а < х < Ь.
Согласно условию нормировки (6.4):
b 1
С I dx = C(b - а) = 1, отсюда С--.
J	b-a
Таким образом, плотность вероятности:
а,х>Ь.
Применяя формулу (6.5), находим
Функция распределения описывается выражением:
О, х<а,
1, х>Ь.
L.
Графики р\(х} и Fi(x) приведены на рис. 6.6.
Математическое ожидание равно середине отрезка [я, £>]:
Дисперсию вычисляем по формуле (6.24):
151
Примером случайного процесса с равномерной плотностью ве-
роятности является гармоническое колебание со случайной началь-
ной фазой, плотность вероятности которого есть
Р\ (ф) =
0< ф<2тг.
Отметим, что математическое ожидание и дисперсия стацио-
нарных случайных процессов есть постоянные величины (числа),
поэтому их называют числовыми характеристиками.
6.4. Корреляционные функции случайных сигналов
Корреляционная функция устанавливает степень статистиче-
ской связи мгновенных значений случайного процесса (сигнала),
взятых в различные моменты времени. Так, значения случайного
процесса X(f) в произвольные моменты времени /( и /2 есть случай-
ные величины Х(ц) и X(t2). Если увеличение одной величины ведет
за собой увеличение другой величины, то эти величины коррелиро-
ваны. Корреляционная функция представляет собой функцию двух
переменных ц и 6, равную математическому ожиданию произведе-
ния значений центрированного случайного процесса в моменты
времени Л и t2:
R(hJ2) = М{Х^)Х^2)} = M{[X(t})-m(tx)]lX(t2)-m(t2)]} (6.26)
или после преобразований
где
R(t\, t2) =	, t2) “	X
(6.27)
(6.28)
Функцию K(t], t2) называют ковариационной функцией. Определяют
ее с помощью двумерной плотности вероятности.
В иностранной литературе используют обратную терминоло-
гию: /?(/], t2) именуется ковариационной функцией, а /2) —
корреляционной.
Из формул (6.22) и (6.27) следует, что при значении Л = t2 — t
корреляционная функция численно равна дисперсии:
152
R(tt,t2) = K(t, t)-m2(f) = W)=<52 (z).	(6.29)
Таким образом, корреляционная функция является более пол-
ной характеристикой случайного процесса, чем дисперсия.
Сопоставим два случайных процесса X(f) = {x(f)} и Y(t) =
их реализации изображены на рис. 6.7. Эти процессы имеют при-
близительно одинаковые средние значения m(t) и дисперсии /)(/).
Однако внутренние структуры этих процессов различны. Первый
процесс изменяется во времени медленно, а второй — быстро. Бы-
строта изменения случайного процесса во времени характеризуется
степенью статистической связи мгновенных значений, взятых в
различные моменты времени. Количественно эта связь определяет-
ся корреляционной функцией.
Таким образом, скорость протекания случайного процесса мо-
жет быть охарактеризована его корреляционной функцией.
При анализе случайных процессов часто пользуются нормиро-
ванной корреляционной функцией, называемой коэффициентом
корреляции'.
r(t t )-
(6-30)
Его значение при ц = t2 максимально и равно единице.
Если случайные величины Х(ц) и X(t2) статистически независи-
мы, т.е. двумерная плотность вероятности распадается на произведе-
ние двух одномерных:
p2(x1,z,;x2,z2) = p1(xl,z1)pl(x2,z2), то K(ti,t2) = m(ll)m(t2) ,
в силу чего функции /?(Z|, Z2) и r(Z|, 12) обращаются в нуль. Стати-
стическая независимость влечет за собой отсутствие корреляции,
но обратное утверждение в общем случае неверно.
С помощью функции r(/i, t2) можно определить интервал кор-
реляции. Под интервалом корреляции понимают такое значение
Рис. 6.7. Реализации двух случайных процессов, различающихся корреляционными
функциями
153
тк = 6 — fi, при котором г(/ь /2) = гк, где rk < 1 — некоторая задан-
ная величина. Величина гк может зависеть от требований решаемой
задачи. Принято считать, что при t\~ h> тк случайные величины
X(t\) и X(t2) являются некоррелированными.
Для слабо стационарного случайного процесса корреляционная
функция зависит не от самих моментов времени /1 и /2, а только от
интервала между ними т = /2 — Следовательно, выражение (6.26)
можно записать в виде
Л(т) = М{ [ X(t) - т) [ X (I + т) - т |} = К(х) - т 2,
где
К(т) = М[Х(()Х(1+т)].
(6.31)
(6.32)
Отметим, что при нулевом математическом ожидании (т = 0)
корреляционная и ковариационная функции совпадают.
Корреляционная функция стационарного случайного процесса
имеет следующие свойства:
•	функция Дт) является четной, т.е. Д-т) = Дт);
•	абсолютные значения |Дт)| при любом т не могут быть боль-
ше, чем ее значения при т = 0, т.е.
|Дт)| < ДО) = D-
(6.33)
•	при неограниченном возрастании т функция Дт) стремится к
нулю.
При этом нормированная корреляционная функция (6.30) при-
нимает вид
г(т) =
(6.34)
Дт)
причем r(0) = 1 и |г (т)| < 1. Возможный вид функции г(т) показан
на рис. 6.8.
Чем медленнее убывает функция г(т) с ростом т, тем медленнее
Рис. 6.8. Нормированная кор-
реляционная функция стацио-
нарного случайного процесса
изменяются во времени реализации слу-
чайного сигнала. Обычно под интерва-
лом корреляции понимают величину
оо
=JkW|A.
О
(6.35)
Геометрически т* равно основанию
прямоугольника с высотой r(0) = 1,
имеющего ту же площадь, что и пло-
154
щадь, заключенная между кривой |г(т)| при значении г > 0 и осью
абсцисс (см. рис. 6.8).
В инженерной практике вместо точного аналитического описа-
ния функции г(т) часто ограничиваются указанием лишь интервала
корреляции, который дает ориентировочное представление о том,
на каком интервале времени имеет место заметная коррелирован-
ность между значениями случайного процесса (сигнала).
Для эргодического случайного процесса корреляционная функ-
ция определяется на основе усреднения по времени:
Дт) = ([х(0 - w ])([%(/ + т) - т]) = {x(t)x(t + т)} - w2 =
J x(t)x(t + i)dt -т1.
(6.36)
Заметим, что при экспериментальных исследованиях случай-
ный процесс обычно рассматривается как эргодический, поскольку
наблюдается лишь одна реализация процесса, а не ансамбль реали-
заций.
Пример. Реализации случайного процесса представляют собой
гармонические колебания со случайной начальной фазой, имеющей
плотность вероятности /Х<р) = 1 /2л, 0 < ср < л. Этот случайный про-
цесс является стационарным с нулевым математическим ожиданием.
Находим корреляционную функцию:
2я
Дт) = М[Х (t)X (/ + т)| = f x(t)x(t + т)р (ф)б/<р =
о
zy 2	у 2
— f cos (со/ + ср) cos|co (t + т)+<р] dtp =—cos сот.
2л “	2
Это выражение совпадает с выражением (3.94), полученным по
одной реализации гармонического колебания. Следовательно, дан-
ный случайный процесс является эргодическим.
6.5.	Спектральные характеристики случайных сигналов
В качестве спектральной характеристики случайного процесса
(сигнала) используют спектральную плотность мощности.
Рассмотрим одну из реализаций х(/) случайного процесса. На
отрезке (О, Т) можно вычислить спектральную функцию этой реа-
лизации (3.21):
155
5r(w) = [х(/)е“й!'Л,
о
затем вычислить энергию (3.28):
(6.37)
—ОС
и среднюю мощность
(6.38)
(6.39)
выделяемую отрезком реализации на единичном сопротивлении.
Подынтегральное выражение в (6.39):
I $т И12
Т
(6.40)
имеет смысл спектральной плотности мощности отрезка реализа-
ции х(/) длительностью Т. Очевидно, что для разных реализаций
одного и того же случайного процесса функция (6.40) будет прини-
мать различные значения, т.е. изменяться случайным образом.
Следовательно, функцию (6.40) можно рассматривать как одну из
реализаций случайной функции частоты со.
Спектральной плотностью мощности случайного процесса на-
зывают функцию
И^(<о) = lim Ц|5г(ю)р1= lim J — Л/[[ Л>7(оз)|211,
т	Г
(6.41)
горизонтальная 4ct я означает статистическое усреднение по ан-
самблю реализаций. Функцию И^со) называют также энергетиче-
ским спектром или спектром случайного процесса.
Для вычислений по формуле (6.41) применяется реализованная
на ЭВМ процедура быстрого преобразования Фурье. На практике
длина реализации всегда конечна, так как предельный переход Т -» <~
осуществим только теоретически. Математическое ожидание Л/( )
также всегда берется по конечному ансамблю, поскольку невоз-
можно получить бесконечный набор реализаций.
156
Спектральный анализ стационарных случайных процессов
Рассмотрим стационарный случайный процесс X(f) с нулевым
математическим ожиданием (т = 0). Преобразуем выражение (6.41),
учитывая, что
|5г(ш)|2 = ^(со)5;.(ш),
и используя формулу (6.37):
|5г(<0)|2	f x(f2)e~iah-d2 = j j х(/1)х(/2)е~‘“,('!~,‘>Л1Л2.
0	О	0 0
Выражение х(/‘1)х(/2) под интегралом представляет собой корре-
ляционную функцию, поэтому можем записать:
57(со)|2 = [\R(t\,t2)e
Поскольку случайный процесс стационарный, то R(t\, /2) =
= Я(/2 - Л)- Обозначая 6 — 6 = т, перейдем от переменной /2 к пе-
ременной т:
___________ Т T-t.
| ST (w)|2 = J
(6.42)
t,=0 r=-t
В результате выполненной замены переменной область интегриро-
вания, изображенная на рис. 6.9, а, перейдет в область интегриро-
вания, изображенную на рис. 6.9, б.
Далее необходимо в выражении (6.42) избавиться от перемен-
ной й. С этой целью поменяем последовательность интегрирова-
ния: сначала проинтегрируем по 6, а затем по т.
Интеграл по т разобьем на два:
Рис. 6.9. Области интегрирования до (а) и после (б) преобразования переменной
_________ О	Г	Т	Т-т
|5r(co)|2 = j Я(т)е'/1"' [^Лч-J Л(т)<,ит р/,А.
т=-Т	t{=-z т=О	Z|=O
Выполняя здесь интегрирование по й, получим
____________ о
| S, (со)|2 = J Я(т)
т
e-im (Т + т) А+J Л(т)е',от (Т -т) А.
О
Объединим оба интеграла в один:
т
|5г(ю)|2 = |/?(т)(Г-|т|)е“'<“гА.
(6.43)
Подставляя формулу (6.43) в выражение (6.41), получим
^((0)= lim
‘ ад
dr.
(6.44)
При вычислении предела в (6.44) нужно учесть, что Я(т) -> О
при т —> со. в результате получаем
И/(со)= A(T)e-,WTt7T.
(6.45)
Таким образом, спектральная плотность мощности 1И(со) ста-
ционарного случайного процесса представляет собой функцию час-
тоты, равную преобразованию Фурье корреляционной функции
А(т) этого процесса.
Обратное преобразование Фурье
DO
Я(т)=—
2п J
—оа
(6.46)
выражает корреляционную функцию А(т) через спектральную
плотность мощности Щсо).
Формулы (6.45) и (6.46) являются аналитическим представлени-
ем теоремы Винера-Хинчинсг. корреляционная функция и спек-
тральная плотность мощности стационарного случайного процесса
являются парой преобразований Фурье.
158
Основные свойства спектра стационарного
случайного процесса
Спектральная плотность мощности И^со) и корреляционная
функция R(t) как пара преобразований Фурье обладают всеми при-
сущими этим преобразованиям свойствами. В частности, чем шире
спектр И^со), тем уже корреляционная функция R(t) и наоборот.
Поскольку' /?(т) — четная функция аргумента т, то и соответст-
вующий спектр ГЦ со) — четная функция частоты со. Поэтому фор-
мулы (6.45), (6.46) можно записать так:
оо
И/(со) = 2 А(т) cos сотс/т;
о
оз
/?(т) = — [ ИДсо)со5Свтс/со.
(6.47)
(6.48)
Средняя мощность стационарного случайного процесса равна
площади под кривой спектральной плотности мощности:
оо	оа
й(0) = £) = — (H'(<o)<to=l[Wz(co)rf<o.
2я Д,	л*
(6.49)
Дисперсия D характеризует среднюю мощность флуктуаций ста-
ционарного случайного процесса.
Формула (6.49) поясняет физический смысл РЦсо) — он заклю-
чается в том, что спектр ГЦсо) описывает распределение мощности
случайного сигнала по частотному диапазону.
Мощность постоянной составляющей равна площади под кривой
корреляционной функции. Это следует из формулы (6.45) при значе-
нии со = 0:
оо	оо
ИЦ0) = f А(т) с/г = 2 [ А(т) с/т.
о
(6.50)
На основании формулы (6.35) интервал корреляции случайного
процесса определяется как
7?(т) с/т =
ИДО)
2А(0)
(6.51)
В инженерной практике протяженность спектра ГЦ со) по часто-
те характеризуют эффективной шириной спектра, которую опреде-
ляют соотношением:
159
Рис. 6.10. К определению эффективной ширины спектра
1J И^ссИо
Дсо,. = —--------
№(())
ад
Ж(0)’
(6.52)
Геометрически Дсос равно основанию прямоугольника с высо-
той ИИ'О), имеющей ту же площадь, что и площадь, заключенная
между кривой 1У(со) при значении со > 0 и осью абсцисс (рис. 6.10).
Из формул (6.51) и (6.52) следует, что интервал корреляции и
эффективная ширина спектра являются обратно пропорциональ-
ными величинами.
Пример 1. Случайный процесс имеет корреляционную функцию
вида (рис. 6.11, а)
7?(т) = Ое-а1т1,
По формуле (6.47) находим спектральную плотность мощности
И/(со) = 2о[
о
, 2aD
cos сот ах = —
Соответствующий график приведен на рис. 6.11, б.
Рис. 6.11. Корреляционная функция (а) и спектральная плотность мощности (б)
160
Рис. 6.12. Спектральная плотность мощности (а) и корреляционная функция (6)
Пример 2. Спектральная плотность мощности стационарного
случайного процесса задана графически (рис. 6.12, а).
По формуле (6.48) находим корреляционную функцию
R(t) = —- cos сот Jco=—- sm C0j т = —— sincCcOj t).
7Г *	7ГТ	71
График /?(т) приведен на рис. 6.12, б.
Дисперсия процесса равна D = А(0) = IToCOj/ti.
6.6.	Некоторые модели случайных сигналов и шумов
Рассмотрим некоторые виды случайных процессов, которые
часто используются в качестве моделей сигналов шумов в радио-
технических цепях.
Гауссовский процесс
Гауссовским называют такой случайный процесс, мгновенные
значения которого имеют плотности распределения вероятности вида
(х-т)2
Pi (х) = -== е 21)
yl2nD
где т — математическое ожидание, D =
= о2 — дисперсия. Вид функции (6.53)
показан на рис. 6.13.
Плотность вероятности (6.53) при-
нято называть нормальной и определя-
ют ее двумя параметрами: математиче-
ским ожиданием т и дисперсией D.
При этом математическое ожидание
(6.53)
Рис. 6.13. Одномерная плот-
ность вероятности гауссовского
процесса
11-3659
161
представляется как центр группирования значений случайной ве-
личины, а дисперсия служит мерой рассеяния их вокруг математи-
ческого ожидания.
Реальные случайные процессы чаще всего описываются нор-
мальной (гауссовской) плотностью вероятности. Обусловлено это
тем, что случайные процессы часто являются результатом сумми-
рования большого числа независимых или слабо зависимых равно-
мерно малых слагаемых. В этом случае можно использовать цен-
тральную предельную теорему теории вероятностей: плотность рас-
пределения вероятности суммы независимых или слабо зависимых
равномерно малых слагаемых при неограниченном увеличении их
числа как угодно близко приближается к гауссовской независимо
от того, какие плотности вероятности имеют эти слагаемые.
К гауссовскому процессу относится большой класс процессов,
встречающихся в радиотехнике. Это дробовые и тепловые шумы,
возникающие в радиотехнических цепях; атмосферные, космиче-
ские и другие шумы, являющиеся результатом воздействия множе-
ства элементарных случайных возмущений одновременно.
Дчя гауссовского процесса условия стационарности в узком и
широком смыслах совпадают. Это означает, что двумерная плот-
ность вероятности полностью описывает такой процесс.
Двумерная плотность вероятности стационарного гауссовского
процесса имеет вид
Р1 (*!, *2; т) =
_______£______e~f< X, ,х2 )
2л£)д/1-г2(т)
(6.54)
где г(т) — коэффициент корреляции и для удобства записи обозна-
чено
/(х|,х2;т) =--------;---[(ж, -т)2 -2г(т)(х, -т)х
2Z) [1 —г2 (т) 1
(6.55)
х(.х2
Из выражений (6.54), (6.55) следует, что стационарный гауссов-
ский процесс полностью определяется заданием математического
ожидания, дисперсии и корреляционной функции.
Общий вид двумерной плотности вероятности гауссовского
процесса показан на рис. 6.14.
Важное свойство гауссовского процесса — при линейных пре-
образованиях изменяются только его параметры (математическое
ожидание, дисперсия).
162

/Ъ(*1. л2>
Рис. 6.14. Двумерная плотность вероятности гауссовского процесса
Белый шум
Стационарный случайный процесс, обладающий равномерным
спектром в очень широком диапазоне частот, принято называть бе-
лым шумом по аналогии с белым светом, имеющим в видимой час-
ти равномерный сплошной спектр.
Спектральная плотность мощности белого шума имеет вид:

(6.56)
т.е. она постоянна на всех частотах (см. рис. 6.15, а).
По формуле (6.46) находим корреляционную функцию белого
шума (рис. 6.15, б):
Дт) = —°- fe/WT6/co=H/05(T).
2л Д
(6.57)
Она представляет собой дельта-функцию, всюду равную нулю,
за исключением точки т = О, где 8(0) = «>. Это означает, что значе-
ния белого шума, разделенные сколь угодно малыми
ми времени, некоррелированы. Такой
промежутка-
процесс называют дельта-коррелиро-
ванным.
Белый шум является идеализиро-
ванной (математической) моделью, ко-
торая не реализуется в действительно-
1И05(г)
ИДо)
сти, так как спектр реального сигнала
не может простираться до бесконечно
больших частот. Кроме того, посколь-
Рис. 6.15. Белый шум: спектраль-
ная плотность мощности (а) и
коррелят тонная функция (б)
163
ку дисперсия белого шума бесконечна, он имеет бесконечную мощ-
ность. Однако во многих случаях реальный случайный процесс мож-
но считать белым шумом, если ширина его спектра значительно
больше полосы пропускания устройства, на которое он воздействует.
Часто используют понятие белого шума с ограниченным по полосе
спектром. При этом имеется в виду случайный процесс, спектраль-
ная плотность мощности которого постоянна в пределах ограни-
ченной полосы частот и равна нулю вне ее. Подобная модель слу-
чайного процесса оказывается удобной для анализа ряда устройств.
Пример. Канал радиосвязи с полосой пропускания Д/к = Ю4 Гц
предполагают использовать в течение тк = 10 с. В канале действу-
ет шум с равномерной спектральной плотностью мощности Ио —
— 10~4 мВт/Гц. Какова предельная мощность сигнала, который мо-
жет быть передан по данному каналу, если объем канала Кк - 106?
По формуле (1.6) динамический диапазон сигнала;
где
Рш = И4ДЛ =10“4 104 =1мВт
— мощность шума.
Предполагая, что заданный сигнал и канал согласованы (см.
подразд. 1.3), найдем
Рс =Гк/ткДЛ =Ю.
С учетом этого результата получаем Ртах = 10 Рш = 10 мВт.
6.7.	Узкополосные случайные сигналы
Случайный сигнал с непрерывным спектром всегда занимает
некоторую полосу частот. Он называется узкополосным, если его
спектральная плотность мощности И^со) сосредоточена в окрестно-
сти некоторой частоты соо в относительно узкой полосе Дсос << <0о
iFK(co)
Рис. 6.16. Спектральная плотность мощности узкополосного
случайного сигнала
(рис. 6.16). Величину Лсос можно вычислить по формуле (6.52), за-
менив значение И^О) на значение РЦсоо).
Рассмотрим статистические свойства узкополосного случайного
процесса. Будем считать, что случайный процесс является стацио-
нарным с нулевым математическим ожиданием.
Ограничимся рассмотрением гауссовских процессов, которые
наиболее часто используются при решении практических задач.
Корреляционная функция узкополосного случайного сигнала
Корреляционная функция стационарного случайного процесса
(сигнала) определена формулой (6.48). Для того чтобы исследовать
характерные особенности корреляционной функции узкополосного
случайного процесса, выполним в выражении (6.48) замену пере-
менной интегрирования со = coy + Q;
/?(т) = — J ИДсоо +Q)cos[(co0 +£>)?] JQ.
(6.58)
Вследствие узкополосности процесса его спектр И^со) пренеб-
режимо мал на частотах, близких к нулю, поэтому нижний предел
интегрирования в формуле (6.58) без больших погрешностей мож-
но заменить на —«> и записать
/?(т)= - [ ИДсОу +Q)cosQt di, Losco0t-
I
?	<x>	i
- 1 j^Wo+Q)sin Qt eft sincooT.
03
Полученное выражение представим в виде
Я(т) = q(t) cos соо т -Ь(т) sin соо т,
где
ег(т) = — J ИДсОу +Q)cosQtJQ,
1У (со0 +Q) sin ПтеЮ.
(6.59)
(6.60)
(6.61)
165
Поскольку спектральная плотность И^соо + £2) расположена в
низкочастотной области, то функции а(т) и Ь(т) — медленно ме-
няющиеся функции по сравнению с функцией cos сооТ.
Выражение (6.59) удобно представить в форме
A(t) = /?0(t)cos[cd0t+v(t)] >
где
(6.62)
(6.63)
(т) = ^а2(т)+Ь2(т), у(т) = arctg|Z>(T)/я(т)].
Медленно меняющиеся функции Л)(т) и у(т) играют роль соот-
ветственно огибающей и фазы корреляционной функции узкополос-
ного случайного сигнала. Иногда удобно использовать нормирован-
ную огибающую, определив ее с помощью равенства /^(т) = Dp(r).
Тогда выражение (6.62) принимает вид
/?(т) = D p(t)cos[cd0t +у(т)].
(6.64)
В случае, когда спектр ИИ-т) симметричен относительно частоты
(йо, из выражения (6.61) следует, что Ь(т) = 0. Тогда имеем
/?(т) = л(т)со5со0т = £>p(t)cosco0t,
(6-65)
где Рр(т) = я(т). Вид функции (6.65) показан на рис. 6.17.
Таким образом, нахождение корреляционной функции А(т) уз-
кополосного случайного сигнала сводится к вычислению интегра-
лов (6.60) и (6.61). При этом входящую в подынтегральное выраже-
ние функцию И^соо + О) находим путем смещения спектра И^со)
влево по оси частот на величину соо.
Рис. 6.17. Корреляционная функция узкополосного случайного сигнала
166
Если спектр WXco) симметричен относительно частоты соо, то
корреляционная функция А(т) полностью определяется своей оги-
бающей я(т), нахождение которой сводится к вычислению интегра-
ла (6.60).
Пример. Случайный процесс представляет собой шум с равно-
мерным спектром в полосе частот (рис. 6.18, а):
И/(со) = И'о, со0-Q < со< со0+Q.
Путем смещения этого спектра в область низких частот на ве-
личину Q находим (см. рис. 6.18, б):
^((00+^) = ^, -Q<co<Q.
По формуле (6.60) определяем огибающую корреляционной
функции:
я(т) = —- cos сот Jco = —- sin Qt = —-— sinc(Qx).
В соответствии с выражением (6.65) корреляционная функция
примет вид
Я(т) = —— smc(£lx)cos со0т.
п
Дисперсия:
2 и/
D = X(0) = —Q-
Таким образом, имеем
А(т) = D sinc(Qx)cos соот.
Вид корреляционной функции показан на рис. 6.19.
И'Дсо)
W
Wo
0	coq—Q °0 coo+Q °
а
-П 0 Q
б
Рис. 6.18. Спектры узкополосного случайного процесса (а) и его огибающей (б)
167

Рис. 6.19. Корреляционная функция узкополосного случайного процесса с равно-
мерным спектром в полосе частот
Огибающая и фаза узкополосного случайного сигнала
Реализации узкополосных случайных процессов (сигналов) на-
поминают модулированные колебания (рис. 6.20), поэтому их часто
называют модулированными.
Квазигармонический случайный процесс X(t) можно предста-
вить в виде сигнала, модулированного по амплитуде и фазе:
%(0 = (/(Ocos[co0/+<p(0], U(t)>0, |<р|<л,
(6.66)
где U(t) и <р(/) — случайные функции, изменение которых за период
Т = 2л/соо достаточно мало. Случайную функцию U(f) называют
огибающей узкополосного процесса X(j), а функцию (р(Г) — случайной
фазой. Предполагается, что частота соо известна.
Представление квазигармонического процесса Х(1) в форме
(6.66) неоднозначно: при заданных вероятностных характеристиках
для X(t) имеется произвол в определе-
но
Рис. 6.20. Реализация узкопо-
лосного случайного сигнала
нии вероятностных характеристик для
U(J) и <р(г). Например, если при задан-
ной частоте соо за некоторое время
произойдет изменение X(fy то невоз-
можно различить, произошло это из-
менение за счет (/(/) или <р(/).
Для того чтобы исключить эту не-
однозначность, функции (/(/) и <р(/)
связывают дополнительными уравне-
168
ниями, полученными на основе преобразования Гильберта (см.
подразд. 2.5).
Напомним, что две функции (детерминированные или случай-
ные) связаны преобразованиями Гильберта, если
Г(/) = -
71 J t-L
—ОО	*
где интегралы берутся в смысле главного значения. Случайная
функция Y(f) является сопряженной по отношению к случайной
функции X(t).
Сопряженный сигнал У(/) отличается от исходного узкополос-
ного сигнала поворотом фазы всех составляющих на л/2. При
этом косинус в выражении (6.66) заменяем на синус, в результате
чего имеем
Y(t) = £/(/)sin[co0/ +<р(/)].	(6.67)
Используя известные тригонометрические формулы, предста-
вим выражения (6.66) и (6.67) в виде
X(t) = U(t) cos <р(/) cos - U\t) sin (p(/)sino)0/;
Y (/) = [/(/) cos <p (/) sin cd0/ + U(t) sin (p (/) cos co0r.
Введем обозначения:
/1(/) = U(t)cosср (r), B(t) = (/(Osin (p(0-
Тогда выражения (6.68) принимают вид
X (/) = Л(/) cos соо/ - B(t) sin cooZ;
Y(t) - A(t) sin со0/ + 5(/)cosw0/.
(6.68)
(6.69)
(6.70)
(6.71)
Согласно формуле (6.70) узкополосный сигнал X(t) записан в
виде суммы двух составляющих, каждая из которых представляет
собой произведение огибающей A(t) или B(t) на высокочастотное
заполнение. В первой составляющей высокочастотное заполнение
изменяется в фазе с опорным сигналом cosov и поэтому ее называ-
ют синфазной составляющей, а функцию — огибающей синфаз-
ной составляющей. Во второй составляющей высокочастотное за-
полнение сдвинуто по фазе по отношению к опорному сигналу на
л/2 и поэтому ее называют квадратурной составляющей, а функ-
цию B(t) — огибающей квадратурной составляющей.
169
Если известны функции A(t) и B(f), то можно найти огибающую
(/(/) и фазу <р(0:
U(!) = A\t) + В-(t), <p(/) = arctg[5(/)//l(Z)].	(6.72)
Таким образом, огибающая и фаза узкополосного сигнала оп-
ределяются случайными функциями A(f) и B(t), медленно меняю-
щимися во времени.
Из выражений (6.70) и (6.71) нетрудно получить формулы для
определения функций A(t) и B(t):
А(!) = X (/)cos соо/ + Y (г) sin (Во/;	(6.73)
B(t) = Y (/) cos со0 / - X (/) sin со0/.
В результате определение огибающей U(t) и фазы <р(Г) сводится
к последовательному выполнению следующих операций:
1)	определяется сопряженный сигнал Y(f) посредством сдвига по
фазе на л/2 всех составляющих исходного узкополосного сигнала;
2)	с помощью формул (6.73) определяют функции A(t) и B(fyt
3)	с помощью формул (6.72) определяют функции U(t) и <р(/).
Для нахождения статистических характеристик огибающей £/(/)
и фазы ср(О сначала определяют статистические характеристики со-
пряженного сигнала Y(t), затем — функций A(t) и B(t) и только по-
сле этого — функций U(t) и <р(/).
Статистические свойства сопряженного сигнала
Определим статистические характеристики сопряженного сиг-
нала У(/). Поскольку сигнал Y(t) получается из X(i) сдвигом фаз со-
ставляющих, а спектр мощности от фазы не зависит, то спектры
мощности сигналов X(j) и У(г) одинаковы: И^(со) = И^,(со) = 1Е(й)).
Соответственно одинаковы и их корреляционные функции:
Rx (т) = Ry (т) = А(т) = 6?(t)cos соот -Ь(т) sin соот.
(6.74)
Следовательно, равны и их дисперсии: Dx = Dy =D.
Операция сдвига фаз составляющих — линейная, поэтому если
X(t) — гауссовский случайный процесс, то процесс Y{t) — тоже га-
уссовский. Поскольку у них равны дисперсии, а математические
ожидания равны нулю, то плотности вероятности процессов X(t) и
Y(t) одинаковы.
Статистическая связь между процессами X(i) и У(/) характеризу-
ется взаимно корреляционной функцией:
170
Rv(t) =	+ {)} = - j
К r+T-t
—oo	•*
=1
Я J T-TI
—0x3	।
Таким образом, взаимно корреляционная функция равна пре-
образованию Гильберта от корреляционной функции процесса X(t).
При этом взаимная спектральная плотность равна
(со) = -/ Wx (co)sgn (со).	(6.75)
При получении выражения (6.75) были проведены те же преобра-
зования, что и при выводе формулы (3.68).
Обратное преобразование Фурье (6.46) применительно к выра-
жению (6.75) дает
ле
1
Rxv (т) = — Wx (со) sin сотс/со.
(6.76)
Выполнив замену переменной интегрирования со = соо + О, пре-
образуем выражение (6.76):
оа
R (т) = — f Wx (соо +Q)sin[(coo +Q)tJ dQ. =
? я
= c?(t) sin co0 т + b(r) cos co0 т,
(6.77)
где функции я(т) и Ь(т) определяются соответственно формулами
(6.60) и (6.61).
Функция Rxy(x) нечетная, ее значение 7?Д1(0) = 0, поэтому про-
цессы X(f) и Y(i) в совпадающие моменты времени статистически
независимы.
Статистические характеристики синфазной
и квадратурной составляющих
Определим статистические характеристики функций A(t) и В(1).
Сначала найдем их корреляционные функции. Из формул (6.70) и
(6.71) следует, что математическое ожидание функций A(f) и B(t)
равно нулю, поэтому корреляционные функции определяются как
Ял(т) = Л/М(Г)Л(г+т)],
(6.78)
RB(x) = MlB(t)B(t+x)].
171
Подставляя в первую формулу (6.78) выражение A(t) из (6.73),
получим
Ra (т) = М {[ X(t) cos ov+(0 sin cvlx
x[Jf(f+т)со$со0(г+т) + К(г+т) sincD0(r+x)]}.
Преобразуем это выражение:
Ra (t) - M[X(t)X (t+t)]cos co0/ cos q>0 (/ + t)+
+M [ X (t)Y (t + t)]cos co0r sin co0 (z+t) +
+M [ Y(t) Y (t + t)] sin co0r sin co0 (Г + т)+
+M [У(г) X(t+т) ] sin co0/cos co0 (/ + x).
Учитывая, что
M [X{t)X{t +т)| = M [Y(t)Y(t +т)] = Rx (т);
М [X(t)Y(t + т) I = -М [Y(t )X(t +т)] = R^ (т),
и выполняя тригонометрические преобразования, получим
Ra (т) = Rx (t)cos со0т+Rxy (т) sin со0т
или с учетом формул (6.59) и (6.77):
Ra (т) =[<7(t)cosco0t -Ь(т) sin cd0t]cosco0t +
+[tz('t) sin соо т + />(т) cos cd0 т] sin соо т = а(т).
(6.79)
(6.80)
Аналогично можно показать, что корреляционная функция
процесса B{t) равна
^(т) = №).	(6.81)
Вычисление взаимно корреляционной функции процессов A(f)
и B(t) приводит к следующему результату:
rab (т) = M[A(t) B(t + т) | = R^ (t)cos coot - Rx (t) sin coot.	(6.82)
Отсюда с учетом формул (6.59) и (6.77) получим
Ra в (^) = ь^)-
(6.83)
Для того чтобы найти дисперсии процессов A(t) и B{t), положим
в формулах (6.79) — (6.81) т = 0. В результате имеем
172
DA=Db=Dx=D,	(6.84)
т.е. дисперсии процессов A(i) и B(t) равны дисперсии исходного уз-
кополосного процесса.
Таким образом, дисперсии синфазной и квадратурной амплитуд
равны дисперсии узкополосного процесса.
Из выражения (6.83) при т — 0 имеем /?АВ(0) = Ь(0) = 0. Это оз-
начает, что процессы A(f) и Я(/) в совпадающие моменты времени
независимы.
Поскольку преобразования формулы (6.73) линейные, а случай-
ные процессы X(f) и У(0 гауссовские, то случайные процессы A(f) и
B(t) также гауссовские, поэтому их плотности вероятности имеют вид
р(Л) = -т=е 2О; p(B) = -f=e w.	(6.85)
Вследствие того что процессы Л(/) и B(t) в совпадающие момен-
ты времени не коррелированы и гауссовские, то они являются не-
зависимыми, и их совместную двумерную плотность вероятности
можно представить как произведение одномерных плотностей ве-
роятности:
р(А,В) = р(А)р(В) = ———е ™ .
2tiD
(6.86)
Плотность вероятности огибающей
и фазы узкополосного случайного сигнала
Для определения плотности вероятности огибающей и фазы
нужно в выражении (6.86) перейти по формулам (6.69) от A(t), B{t)
к Ц/), <р(/). Для этого вычисляем якобиан данного преобразования:
дА
ди
дВ
ди
дА
coscp -f/sintp
sin ф U cos ф
(6.87)
В результате совместная плотность вероятности огибающей и
фазы определяется как
/> (f7, <р) = |/| р(А,В).
(6.88)
173
Подставив в формулу (6.88) выражения (6.86) и (6.87), получим
Р (U, <р)
U
2nD
2nD
(6.89)
где учтено, что А2 + В2 = U2.
Чтобы найти плотность вероятности огибающей p(U), надо про-
интегрировать выражение (6.89) по переменной (р:
2я
p(t/) = j р (£/, <р) J<p=
о
(6.90)
Выражение (6.90) называют законом распределения Рэлея. На
рис. 6.21 приведен график, на котором видно, что наиболее вероят-
ны средние значения огибающей — порядка 4d=<5.
Проводя статистическое усреднение с помощью плотности ве-
роятности p(U)t находим статистическое среднее значение оги-
бающей:
С<?
mv = f UptU)dU = yjnD/2 = 1,253^0 = 1,253a
0
и ее дисперсию:
Dt, = Л/1U2 ] - М2 [63 = (2 - п! 2)0 = 0,430.
(6.91)
(6.92)
Чтобы найти плотность вероятности фазы />(ф)> надо проинтег-
рировать выражение (6.89) по переменной U:
р(ф) = p{U^)dU =
о
(6.93)
Р(Ц)
Рис. 6.21. Плотность вероятности
огибающей узкополосного слу-
чайного сигнала (закон Рэлея)
Как следует из формулы (6.93),
фаза <р(/) узкополосного случайного
сигнала распределена равномерно в
интервале |0, 2л], т.е. любые ее значе-
ния равновероятны.
Огибающая и фаза узкополосно-
го гауссовского процесса в каждый
момент времени являются независи-
мыми.
174
Сумма гармонического колебания и узкополосного
гауссовского шума
Рассмотренная методика может быть обобщена на случай, когда
на гармонический сигнал накладывается узкополосный гауссов-
ский процесс (шум).
Зададим узкополосный шум в виде
n(f) = /4(f)cosco0f - B(t) sinco0f.
В результате наложения этого шума на гармонический сигнал
s(f) = UQ cos (Oof получим суммарный процесс:
X(t) = s(f)+z?(f) =[(/0 +/4(f)] cos co0f - ДО sin
Случайный процесс X(t) является узкополосным, поэтому мо-
жет быть представлен следующим образом:
X (t) - (/(f)cos[co0f+<p(f)].
Здесь между функциями /4(f), 5(f) и (7(f), <р(/) имеется связь:
/4 (f) = (/(f) cos <р (f) - (/0, 5(f) = (/(/) sin (р (/).
(6.94)
Якобиан этого преобразования равен U. Двумерную плотность
вероятности р(А, В) определяют выражением (6.86). Тогда, учиты-
вая, что >42 + 52 -U1 +Uq -2UU$ coscp, в соответствии с формулой
(6.88) имеем
U"+Щ - 2UU0 cos <p
2tcZ)
(6.95)
Плотность вероятности огибающей (/(f) определяется как
2к
/>((/)= Jp((7,(p)tftp =
о
2tiD
2л UUq cos ф
• 
е D	5<р.
е
о
При вычислении используем табличный интеграл:
ф<Ар=/0(х),
где /о(л') — модифицированная функция Бесселя нулевого индекса.
В результате получим
175
_U	Z у \
p(U) = J 2D V}	(6*96)
Это выражение носит название закона Райса. На рис. 6.22
приведены графики p(U) при различных значениях отношения
a = U0/4d = U0 /о.
Исследуем выражение (6.96) при разных значениях а. Величину
а можно трактовать как отношение сигнал/шум (С/Ш). При сла-
бом гармоническом сигнале, когда отношение С/Ш << 1, т.е.
Uq«<3, функция Бесселя близка к единице, так как Zo(O) = 1. За-
кон распределения Райса переходит в закон Рэлея (6.90).
При сильном гармоническом сигнале, когда отношение
С/Ш >> 1, т.е. Uq» о, применяем асимптотическое разложение
функции Бесселя
и ограничиваемся первым членом разложения. Тогда при U ~ Uo
имеем
1
__________ £> LS ~
^2nUUB/D y/iiu
Подставив это выражение в формулу (6.96), получим
(Г/-Го)2
p(U)~—===e 2D ,	(6.97)
V2n:Z)
т.е. закон распределения огибающей становится гауссовским (6.53)
с математическим ожиданием С/о.
Рис. 6.22. Плотность вероятности огибающей суммы гармонического сигнала
и узкополосного гауссовского шума (закон Райса)
176
Таким образом, огибающая суммы гармонического сигнала и
узкополосного гауссовского шума, центральная частота спектра ко-
торого равна частоте сигнала, распределена по закону Райса. При
больших отношениях сигнал/шум плотность вероятности огибаю-
щей близка к гауссовской (нормальной).
Контрольные вопросы и задания
1.	Какие сигналы называют случайными?
2.	Что такое случайный процесс, квазидетерминированный процесс?
3.	Что понимают под вероятностным описанием случайного сигнала?
4.	Каковы условия стационарности случайного процесса в узком и
широком смысле?
5.	Что такое статистическое усреднение?
6.	Как определяют статистическое среднее значение случайного сиг-
нала?
7.	В чем состоит свойство эргодичности случайного сигнала?
8.	Что такое корреляционная и ковариационная функции случайного
сигнала? Как они связаны между собой?
9.	Что понимают под спектральной характеристикой случайного сиг-
нала?
10.	Как связаны между собой корреляционная и спектральная характе-
ристики стационарного случайного сигнала?
11.	Что такое интервал корреляции и эффективная ширина спектра
случайного сигнала? Как они связаны между собой?
12.	Что понимают под узкополосным случайным сигналом?
13.	Изобразите примерный вид корреляционной функции узкополос-
ного случайного сигнала.
14.	Как определяют огибающую и фазу узкополосного случайного сиг-
нала?
15.	Изобразите возможный вид реализации узкополосного случайного
сигнала.
16.	Задан случайный процесс в виде постоянного напряжения случайно-
го уровня X(t) = U, изменяющегося от одной реализации к другой.
Можно ли процесс X(t) назвать стационарным и эргодическим?
17.	Дано колебание
z(t) = X(t)s(t)<
где X(t) — случайный стационарный процесс; — детерминиро-
ванная функция. Определите, является ли колебание <(0 стацио-
нарным процессом.
18.	Найдите математическое ожидание и корреляционную функцию
процесса
177
X(t) = a cos co/ + b sin co/,	(6.98)
где co — постоянная частота, а и b — взаимно независимые гауссов-
кие случайные величины с нулевыми математическими ожидания-
ми та = ть — 0 и дисперсиями Da = Db= D.
19.	Найдите одномерную плотность вероятности процесса (6.98).
20.	Ковариационная функция случайного процесса описывается выра-
жением
Az(T)=0,8^-I°2lt!+0,9.
Определите математическое ожидание и дисперсию этого процесса.
21. Стационарный случайный процесс имеет корреляционную функ-
цию вида
А(т) = 16с“2!т|-8е^И.
Определите дисперсию и спектральную плотность мощности этого
процесса.
22. Стационарный случайный процесс имеет корреляционную функ-
цию вида
Я(т) = 8е-4,т|.
Вычислите интервал корреляции и эффективную ширину спектра
этого процесса.
ГЛАВА 7
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ.
ОПИСАНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
7.1. Радиотехнические цепи и их классификация
Радиотехнические цепи — это электрические цепи, применяе-
мые в радиотехнике. Основное их назначение — передача и преоб-
разование электрических сигналов.
Радиотехническую цепь можно рассматривать как совокупность
отдельных элементов, связанных между собой таким образом, что-
бы обеспечить передачу сигналов в определенном направлении.
Физическими элементами радиотехнических цепей являются рези-
сторы, катушки индуктивности, конденсаторы, различные элек-
тронные приборы: электронные лампы, транзисторы, полупровод-
никовые диоды и т. д. При этом радиотехническая цепь может
быть конструктивно выполнена из отдельных элементов или в виде
интегральной схемы.
Методы анализа радиотехнических пеней основаны на замене
физических элементов идеализированными моделями — это рези-
стивные, индуктивные, емкостные элементы, параметрами кото-
рых соответственно являются сопротивление R, индуктивность L,
емкость С.
Анализ радиотехнической цепи сводится к установлению и ис-
следованию зависимости между сигналом нвх(/), поданным на вход
цепи, и сигналом z/BHX(/), полученным на ее выходе. В общем виде
такую зависимость можно описать с помощью оператора Z:
=	С7-1)
Запись (7.1) означает, что выходной сигнал есть результат воз-
действия оператора L на входной сигнал (рис. 7.1). Конкретный
вид оператора L определяется характеристиками цепи.
Входной сигнал, как правило, называют входным воздействием,
а выходной — реакцией, или откликом, цепи на заданное входное
воздействие.
179
^bx(O
мвых(О
Рис. 7.1. Описание цепи с помощью оператора L
При прохождении через радиотехнические цепи сигналы пре-
терпевают различные изменения — желательные и нежелательные.
Желательные изменения называют преобразованиями сигналов, а не-
желательные — искажениями сигналов. Одна из основных целей
анализа радиотехнических цепей — выявление и оценка искажений
сигналов, установление причин этих искажений и выработка реко-
мендаций по их уменьшению.
При анализе радиотехнические цепи делят на два класса: ли-
нейные и нелинейные.
Линейные цепи — это цепи, к которым применим принцип су-
перпозиции'. реакция цепи на сумму входных воздействий равна
сумме реакций цепи на каждое отдельное входное воздействие.
Для линейной цепи преобразование (7.1) обладает следующими
свойствами:
^вых
^1^вх1 ^^вхз] ^'[^вх! 1* ^1^вх2 Ь
вых
L| ku вх ] kl[u вх ],
(7.2)
где к — любое действительное число.
К нелинейным цепям относят все цепи, к которым принцип су-
перпозиции неприменим.
В соответствии с разными свойствами линейных цепей их раз-
деляют на два подкласса: стационарные и нестационарные.
Линейные стационарные цепи удовлетворяют принципу инвари-
антности во времени:
^вых^+^о) ^4^вх(^
(7.3)
при любом /о, т. е. в стационарной цепи сдвиг входного сигнала во
времени приводит к такому же сдвигу выходного сигнала.
Линейные нестационарные цепи не удовлетворяют условию (7.3),
их выделяют в отдельный класс так называемых параметрических
цепей. Это объясняется тем, что параметрические цепи обладают
некоторыми специфическими свойствами, вследствие чего их при-
менение ограничено специальными областями.
Далее линейные стационарные цепи будем называть линейны-
ми, а линейные нестационарные цепи — параметрическими.
180
7.2. Описание линейных цепей
Линейные радиотехнические цепи состоят только из линейных
элементов с постоянными параметрами. По существу — это линей-
ные электрические цепи, характеристики и методы анализа кото-
рых известны из курса «Основы теории цепей». Описание линей-
ных цепей возможно с помощью:
•	дифференциального уравнения;
•	временных и частотных характеристик.
Дифференциальное уравнение линейной цепи
В линейной цепи связь между входным и выходным сигналами
устанавливают с помощью следующего дифференциального урав-
нения:
(7-4)
где а„„ Ьт — постоянные коэффициенты, которые выражаются че-
рез параметры элементов цепи. Порядок дифференциального урав-
нения М\ характеризует порядок цепи.
Поскольку входной сигнал wBX(/) задан, то правая часть уравне-
ния (7.4) является известной функцией: fit). При этом анализ про-
цессов в линейной цепи сводится к решению линейного диффе-
ренциального уравнения с постоянными коэффициентами:
В математике известны методы решения подобных уравнений.
Для получения единственного решения необходимо задать началь-
ные условия, определяющие значение функции i/DUX(0 и всех ее
производных при t = 0.
Каков бы ни был конкретный вид входного сигнала, в физически
реализуемой цепи должен выполняться важнейший принцип: выходной
сигнал не может возникнуть до момента появления входного сигнала.
Кроме того, физически реализуемая цепь должна быть устойчи-
вой. Цепь называют устойчивой, если при любом ограниченном
входном сигнале выходной сигнал также ограничен. В устойчивой
цепи при любых начальных условиях
lim
ПЫА
(0=0.
(7.5)
181
Соотношение (7.5) выполняется в том случае, когда все корни ха-
рактеристического уравнения
лл
т=0
(7.6)
имеют отрицательную действительную часть. Физически это озна-
чает, что в устойчивой цепи собственные колебания представляют
затухающий процесс.
Рассмотрим примеры линейных цепей и соответствующих им
дифференциальных уравнений.
Линейная цепь первого порядка. Составим дифференциальное
уравнение АС-цепи (рис. 7.2).
Согласно закону Кирхгофа
ur ~
U к • WBHX.
Подставляя значение
. ~	вых
dt ’
получаем дифференциальное уравнение:
ви,,
т------LL— J- п = и
u	’ “вых “вх>
at
где т = RC — постоянная времени цепи.
Характеристическое уравнение тр + 1=0 имеет корень р — —1/т.
При входном воздействии
ию(0 = Л ^0
(7.8)
выходной сигнал определяется как
^.n(t) = E+Ae~l/\
Рис. 7.2. Цепь первого по-
рядка
Постоянную А находим из начального
условия: t/Dblx(0) - 0. В результате имеем:
“ вих(') = £ - Ее
(7.9)
Выражение (7.9) описывает процесс
заряда конденсатора. Постоянная времени
т данной цепи есть интервал времени, в
течение которого напряжение «ВЫх дости-
гает уровня Ивых(т) = 0,63 £.
182
Линейная цепь второго порядка.
Линейную цепь, содержащую элемен-
ты L и С, называют колебательным
контуром. На рис. 7.3 изображена
схема последовательного колебатель-
ного контура.
Согласно закону Кирхгофа
Рис. 7.3. Цепь второго порядка
Uвх U R I. U вых'
Подставляя значения
и = RCd^-, ul=L — = LCd'U™\
dt	dt dt1
получаем дифференциальное уравнение:
£±^“+2а^^+<о^/вш=ю^ох,	(7.10)
dt	at
где а = A/2Z — коэффициент затухания, сор - \/>!LC — резонанс-
ная частота контура.
Характеристическое уравнение контура р1 +2ар+со2 =0 имеет
комплексно-сопряженные корни:
р{ 2 = - а ±/JcoJ-а2 = - а ±/сос,	(7-11)
где сос — частота собственных колебаний контура. При малых поте-
рях в контуре сос » а, поэтому сос - ®р.
При входном воздействии (7.8) выходной сигнал представим в
следующем виде
шг
ивМх<0 = £'+^1<?'’1' +А2еР1'.
Используя начальные условия:
и вых (0) = 0,	= 0,
dt ,=о
(7.12)
получаем систему алгебраических уравнений:
Е+Af +/I2 = 0;
PlA + М1 =0’
183
откуда находим коэффициенты
4 - ft-g .
/1| - ,
A -Pi
Pi~Pi
Подставляя значения коэффициентов в уравнение (7.12) и ис-
пользуя формулу (7.11), в результате преобразований получим
wH1IV(r)= Е-Ее а/ cosco.r-
ВЫЛ ' '	v
С0с
sin ах/
V*
Для контура с малыми потерями (сос » а) это выражение упрощаем:
w „.„(/) = Е — Ее a'cosconZ.
ВЫХ V '	JJ
(7.13)
Таким образом, в колебательном контуре процесс заряда кон-
денсатора имеет колебательный характер.
Временные характеристики линейной цепи
К временным характеристикам линейной цепи относят им-
пульсную и переходную характеристики.
Импульсная характеристика h(f) представляет собой отклик
цепи на входное воздействие, имеющее вид единичного импульса
(дельта-функции) 6(г):
h(t) = Дб(Г)].
(7.14)
Импульсная характеристика должна удовлетворять условиям:
• физической реализуемости цепи — реакция цепи на единичный
импульс не может возникнуть до появления импульса на входе, по-
этому
Л(/)=0 при /<0;	(7.15)
• устойчивости цепи — реакция цепи на единичный импульс
есть затухающий процесс, следовательно:
со
—<ж>
(7.16)
Переходная характеристика g(t) — это отклик цепи на входное
воздействие, имеющее вид единичного скачка о(г):
g(t) = Цо(/)].
184
(7.17)
Рис. 7.4. Переходная (а) и
импульсная (о) характери-
стики /?С-испи
Импульсная и переходная характеристики связаны между собой
соотношениями:
*(/)=
dt
t
g(0 = j h(x)dx.
о
(7.18)
Рассмотрим примеры нахождения временных характеристик
линейных цепей.
Временные характеристики 7?С-цепи. Дня /?С-цепи (см. рис. 7.2) пе-
реходную характеристику можно найти из уравнения (7.9), при Е= 1:
g(f) = \-e
(7.19)
Используя первое соотношение (7.18), вычисляем импульсную
характеристику (рис. 7.4):
h(f) = -е .
т
(7.20)
Временные характеристики последовательного колебательного кон-
тура. Для колебательного контура (см. рис. 7.3) с малыми потерями его
переходную характеристику можно найти из (7.13), положив Е = 1:
g(t) = l-e a'coscopL
(7.21)
Импульсную характеристику находим как производную:
Л(Г) = ~^-=е а‘ (a cos con t + con sin соп /).
\	К	р	у	р
Учитывая, что в контуре с малыми потерями (Dp » а можно ис-
пользовать приближенное выражение:
А(/)~юре ш sincopr.
Графики временных характеристик приведены на рис. 7.5.
185
£(/)*	А(/)д
Рис. 7.5. Переходная (а) и импульсная (б) характеристики
последовательного колебательного контура
Частотные характеристики линейной цепи
Комплексная частотная характеристика линейной цепи
представляет собой преобразование Фурье ее импульсной характе-
ристики:
©е
О
(7.23)
Характерный вид аргумента функции связан с тем, что в
данную функцию входят различные степени выражения /со.
Зная можно найти импульсную характеристику /?(/) как
обратное преобразование Фурье:
оо
/?(/) = — [ Н (/со)е'/Ло.
2л J
—СО
(7.24)
Функции h(t) и H{i(d) взаимно связаны — любая из этих функ-
ций может быть вычислена, если известна другая.
Представим комплексную величину в форме
Я(«о) = Я(<о)е',|’н<“).
(7.25)
Частотную зависимость модуля |Я(/со)| = Я(со) называют амплитуд-
но-частотной характеристикой (АЧХ) цепи, аргумент arg//(/co) =
— ср/Дсо) представляет ее фазочастотную характеристику (ФЧХ).
На практике комплексную частотную характеристику определя-
ют как отношение комплексных амплитуд:
Я(/СО)=йзък / б;к,
(7.26)
 •
где (A,v, IL.„ — комплексные амплитуды входного и выходного сиг-
DX ' ПМА	*
налов.
Согласно выражению (7.26) функция является комплекс-
ным коэффициентом передачи.
Таким образом, если входной сигнал гармонический:
wBX(/) = cos(co0r +<pj) = Ие[(7вхс'(й(,/ ],
где U3X =(/1е/ф‘, то выходной сигнал в установившемся режиме
тоже гармонический:
^вых(О = Ке[бгВЬ1Хе/^г]
гае	= U2e^.
При этом амплитуду th и фазу срэ выходного сигнала определя-
ют с помощью АЧХ и ФЧХ цепи:
U2 = //(соо)Ц, (р2 =(ря(со0)+Ф1.
(7.27)
В результате выходной сигнал
«BUx(0 = t/2COS(®0/+4>2)-
Отсюда следует, что при прохождении через линейные цепи
гармонические колебания сохраняют свою форму и частоту, а из-
меняются лишь их амплитуда и начальная фаза в соответствии с
выражениями (7.27).
Как правило, линейные цепи являются частотно-избирательны-
ми. Такие цепи пропускают на выход лишь те составляющие спек-
тра входного сигнала, частоты которых лежат в пределах полосы
пропускания цепи. Обычно полоса пропускания определяется как
область частот, в пределах которой значение АЧХ //(со) составляет
не менее 1/V2 от своего максимального значения.
Определить частотные характеристики линейной цепи можно
тремя способами:
•	с помощью импульсной характеристики h(t) по формуле (7.23);
•	применяя метод комплексных амплитуд к дифференциально-
му уравнению линейной цепи;
•	методом комплексных амплитуд на основании схемы цепи.
Так, если в дифференциальном уравнении (7.4) положить
WBX =^Bxe/tDZ И ивых “^вых6’^» ТО, учитывая, ЧТО ------------= (/СО)т €‘,
ПЛ	ИЛ	ПЫЛ	оЫЛ	J	*	•*	'	_	х	'
получим следующее выражение:
187
Я(<о)
Фя(“)
Рис. 7.6. Частотные характеристики А С-цепи
л/2	/ Л/,
H(im) = X W / X am0to)m.
/и=0	/ /п=0
(7.28)
Рассмотрим примеры нахождения частотных характеристик на
основании схемы цепи.
Частотные характеристики АС-цепи. Для схемы АС-цепи (см.
рис 7.2) имеем
//(/со) = 1/№)С = ——.
А+1/zcoC 1 + /СОТ
Отсюда находим АЧХ и ФЧХ (рис. 7.6):
Н(со) = .	; <ри (со) = - arctg(cox).
VkZa7
(7.29)
(7.30)
На рис. 7.6 видно, что АС-цепь мало ослабляет низкочастотные
колебания и сильно подавляет колебания с высокими частотами.
Следовательно, АС-цепь является фильтром нижних частот
(ФНЧ). Вводят частоту среза фильтра сос. На этой частоте АЧХ
уменьшается до уровня 1/72 = 0,707 от максимального значения.
Из первой формулы (7.30) следует, что сост = 1, откуда
сос =1/т.
(7.31)
Полоса пропускания ФНЧ определяется как диапазон частот от со = 0
до С0с, т.е. Дсо — cot. Отметим, что на частоте cot усиление равно —3 дБ.
Частотные характеристики последовательного колебательного
контура. Для схемы контура (см. рис. 7.3) получим
. 1//соС
//(zco) ---------------.
A+/co£+l/ZcoC
Преобразуем данное выражение к виду
188
соп
Н (/со) = -/ —
(7.32)
5
если учесть, что
<о
VZc
(7-33)
Здесь
Q — добротность контура.
На частотах, близких к резонансной частоте (со ~ сор), имеем:
0) СОр _С0 -СОР СО+СОр со—соЛ СО-СО
СОр со СОСОр со сор
СОр
(7.34)
С учетом соотношения (7.34) выражение (7.32) может быть за-
менено приближенным:
Н (/со)»-------------
1+/(со-сор)т
(7.35)
где т = 2(7/(Ор — постоянная времени контура. Коэффициент зату-
хания равен а = 1/т.
Из выражения (7.35) находим АЧХ и ФЧХ (рис. 7.7):
Я(со) =
Фя (со) = - - -arctg(co-co„ )т.
*
(7.36)
Отметим, что выражения (7.35), (7.36) справедливы только при
большом значении добротности (Q » 1) на частотах, близких к ре-
зонансной частоте.
Рис. 7.7. Частотные характеристики последовательного колебательного контура
р
189
На резонансной частоте значения АЧХ и ФЧХ равны:
Я(сор) = С; ф7/((ор) = -7г/2.
Полоса пропускания контура определяется по уровню
Я (to,) = Я (0)2) = Q / л/2 = 0,707(2,
что соответствует спаду усиления на 3 дБ. Из формулы (7.36) для
АЧХ находим
Дсо=св2 =сор / Q.
(7.37)
Отсюда следует, что полоса пропускания контура обратно про-
порциональна его добротности.
Относительная полоса пропускания контура
Дю/сор = 1/(2 « 1, если Q» 1.
Линейные цепи, относительная полоса пропускания которых
значительно меньше единицы, называют узкополосными. Их ис-
пользуют в качестве полосовых фильтров. Колебательный контур с
добротностью Q >> 1 может служить полосовым фильтром.
Передаточная функция линейной цепи
Передаточная функция Я(р) линейной цепи представляет собой
преобразование Лапласа ее импульсной характеристики:
оо
Н(р) =	р'dt.
О
(7.38)
Переходя в выражении (7.28) от вещественной частоты со к
комплексной частоте р путем формальной замены /со на р, получим
передаточную функцию:
лл
Я(р)= £б„,р"‘
т-0
(7.39)
Выражение (7.39) представляет собой дробно-рациональную
функцию. Полюсы Н(р) являются корнями характеристического
уравнения (7.6). Если корни характеристического уравнения имеют
отрицательную действительную часть, то полюсы передаточной
функции расположены в левой полуплоскости комплексной пере-
190
мен ной р. Поэтому возможна следующая формулировка критерия
устойчивости линейной цепи: цепь устойчива, если полюсы пере-
даточной функции расположены в левой полуплоскости комплекс-
ной переменной р.
7.3.	Прохождение детерминированных сигналов
через линейные цепи
Анализ прохождения сигналов через линейные цепи сводится к
определению выходного сигнала ыВЫЛ(/) — реакции цепи на задан-
ное входное воздействие wBX(f). Поскольку существуют различные
способы описания линейных цепей, то возможно применение раз-
личных методов анализа:
•	составление и решение дифференциального уравнения цепи —
это так называемый классический метод;
•	временной метод с использованием временных характеристик
цепи;
•	частотный (спектральный) метод с использованием частотных
характеристик цепи.
Классический метод применен при нахождении временных ха-
рактеристик цепей.
Временной метод анализа процессов в линейных цепях
Рассмотрим метод анализа прохождения сигналов через линей-
ные цепи, в основе которого лежит использование импульсной ха-
рактеристики цепи h(t).
Представим входной сигнал в виде выражения (2.29):
wbx(z)= wBX(x)5(/-x)Jx,
что соответствует его представлению с помощью последовательно-
сти единичных импульсов (6-импульсов).
В соответствии с выражением (7.1) выходной сигнал определя-
ется как
ее
U вых (0 = J w вх (О
—оа
(7.40)
На основании принципа суперпозиции (7.2) линейный опера-
тор L может быть внесен под знак интеграла, поскольку интеграл
191
есть предельное значение суммы. Кроме того, следует учесть, что
оператор L действует лишь на величины, зависящие от текущего
времени /, а не от переменной интегрирования х, поэтому выраже-
ние (7.40) сводится к следующему:
»«(')= uBX(/)Z.[8(/-x)k&.
По определению импульсной характеристики (7.14)
Л(г-х) = Д6(/-х)],
Поэтому из выражения (7.41) получим
оо
« ил (О = J11 вх WW - x)dx.
(7-41)
(7.42)
Эта формула называется интегралом Дюамеля, она представляет
собой свертку входного сигнала с импульсной характеристикой
цепи:
и вых (О = м вх (0 ® )•	(7-43)
Для физически реализуемой цепи, т.е. с учетом выражения
(7.15), нижний предел в интеграле (7.42) может быть заменен нуле-
вым значением, а верхний предел — на текущее значение времени:
(
UB..r<(O = fM„xU)A('-A-)rfx.
«
о
(7.44)
Рассмотрим пример применения формулы (7.44).
Прохождение прямоугольного импульса через RС-цепь. Входной
сигнал — прямоугольный импульс (рис. 7.8, а). Импульсная харак-
теристика ЯС-цепи определена выражением (7.20).
Рис. 7.8. Сигналы на входе (а) и выходе (б) ЯС-цспи
192
Применяя интеграл (7.44), следует иметь в виду, что wBX(x) = U
при значении 0 < t < ти и = 0 при значении / > ти. Поэтому
интервал интегрирования необходимо разбить на два промежутка:
—	при 0 < t < ти
1-Х
~ dx = U(l-e~‘/x);
(7-45)
—	при t > ти
т и
ивыЛб=[и~е х dx = U(ex-/x
{ т
(7.46)
Выражение (7.45) описывает процесс заряда конденсатора, а
выражение (7.46) — процесс разряда. Длительность каждого из этих
процессов приближенно равна Зт. Из рис. 7.8, б, на котором изо-
бражен выходной сигнал, видно, что ЯС-цепь осуществляет сгла-
живание прямоугольной формы входного импульса, которое тем
заметнее, чем больше значение постоянной времени цепи т по
сравнению с длительностью импульса ти. При значении ти » т ис-
кажения прямоугольной формы импульса менее заметны.
Частотный (спектральный) метод анализа процессов
в линейных цепях
Частотный метод основан на использовании комплексной час-
тотной характеристики Н(кй). Частотный метод обычно называют
спектральным методом.
Пусть SBX (со) — спектральная функция входного сигнала
Тогда, применяя к выражению (7.43) преобразование Фурье и ис-
пользуя теорему о спектре свертки (3.52), находим спектральную
функцию выходного сигнала:
У ы< (®) = S'bx («)# ('«)
(7.47)
Формула (7.47) выражает содержание спектрального метода’.
спектральная функция выходного сигнала находится как произве-
дение спектральной функции входного сигнала на комплексную
частотную характеристику7 цепи.
Обратное преобразование Фурье определяет выходной сигнал:
оо
«ЕЬ,Л/)=
2л J
—оо
(7.48)
13-3659
193
Однако использование формулы (7.48) часто требует громозд-
ких вычислений. Вычисления упрощаются, если, заменив в (7.47)
/со на р, перейти к выражению
sbux(p)=sb^p)H(p\
(7.49)
где использована передаточная функция Н(р). Формула (7.49) вы-
ражает содержание операторного метода. Теперь для перехода от
(7.49) к функции wBbIX(r) можно использовать таблицы преобразова-
ния Лапласа или формулу (3.84).
Прохождение экспоненциального импульса через АС-цепь. Вход-
ной сигнал — экспоненциальный импульс (рис. 7.9, а):
u^t) = Ue~af, />0.
В соответствии с выражением (3.38) спектральная функция входно-
го сигнала

/7
а+/со
Комплексная частотная характеристика АС-цепи определена
формулой (7.29). По формуле (7.47) находим спектральную функ-
цию выходного сигнала
5ВЫХ (со) = —------------
О + /С0 1 + /СОТ
Заменив здесь /со на р, получим изображение по Лапласу
^вых Ср)
(я + р)(1+рт)
На основании выражения (3.86) выходной сигнал
(0=-е-'/т )
1- ах
Из рис. 7.9, б, на котором изображен график мвых(г) при значе-
нии ах = 0,5, видно, что АС-цепь осуществляет сглаживание вход-
ного сигнала, поскольку напряжение на конденсаторе всегда не-
прерывно во времени.
194
Рис. 7.9. Сигналы на входе
(а) и выходе (5) АС-цепи
Условия неискаженной передачи сигналов линейной цепью
Частотный метод является весьма эффективным и наглядным
при анализе передачи сигналов по радиоканалу, так как позволяет
оценить частотные искажения сигналов и определить требования к
АЧХ и ФЧХ радиотехнической цепи с точки зрения искажения
формы сигнала.
Определим условия неискаженной передачи сигналов линейной
цепью. В идеальном случае выходной сигнал является копией вход-
ного сигнала:
вых	Н qll вх (t	),
(7.50)
где Но — некоторая постоянная; /0 — время задержки (запаздыва-
ния) выходного сигнала относительно входного.
Применив к выражению (7.50) преобразование Фурье и учтя
свойство линейности и теорему запаздывания (3.45), запишем ус-
ловие (7.50) в частотной области:
^ькИ = Яо5ю,(сок-““.
(7.51)
Сравнение выражений (7.47) и (7.51) дает следующее равенство
Я(;а>) =	,
(7.52)
которое представляет комплексную частотную характеристику не-
искажающей цепи. При этом для АЧХ и ФЧХ получим:
//(со) = Я0, <p/f(w) = -coro.	(7.53)
Таким образом, неискажающая цепь должна иметь равномер-
ную АЧХ и линейную ФЧХ (рис. 7.10).
Я(ю)
<Ря(“) *
Рис. 7.10. Частотные характеристики неискажаюшей цепи
195
Частотные характеристики реальных цепей отличаются от иде-
альных характеристик, изображенных на рис. 7.10. Вследствие это-
го возникают искажения сигналов, которые называют линейными
искажениями. Последние могут быть амплитудными и фазовыми.
Амплитудные искажения возникают из-за неравномерности
АЧХ; они проявляются в изменении соотношения амплитуд спек-
тральных составляющих выходного сигнала по сравнению с вход-
ным сигналом.
Фазовые искажения возникают из-за нелинейности ФЧХ, в
результате чего нарушаются фазовые соотношения между отдель-
ными спектральными составляющими сигнала, т.е. различные
спектральные составляющие при прохождении через цепь задержи-
ваются не на один и тот же интервал времени Zo. Для оценки фазо-
вых искажений иногда используют характеристику
10(со) = dtpн (to) / dm.
При этом фазовые искажения оцениваются неравномерностью
характеристики /б(со)- Если /Ь(со)— постоянная величина, то фазо-
вые искажения отсутствуют.
7.4.	Прохождение случайных сигналов через
линейные цепи
При анализе прохождения случайных сигналов через линейные
цепи необходимо определить или вероятностные характеристики
случайного сигнала на выходе цепи, или спектрально-корреляци-
онные характеристики выходного сигнала.
Вероятностные характеристики выходного сигнала находят
приближенными методами, которые основаны на специальных
предположениях о свойствах входного случайного сигнала и ли-
нейной цепи.
Так, если случайный процесс на входе цепи является гауссов-
ским, то и на выходе цепи он будет гауссовским.
Отметим также свойство нормализации случайных сигналов ли-
нейными узкополосными цепями: плотность вероятности выходно-
го процесса (независимо от плотности вероятности входного про-
цесса) тем ближе к гауссовской, чем более узкополосной является
цепь, т.е. чем сильнее неравенство
(7.54)
196
где Дсос и тк — эффективная ширина спектра и интервал корреля-
ции входного сигнала; Дсо и т — полоса пропускания и постоянная
времени узкополосной цепи соответственно. Значение а зависит от
вида плотности вероятности входного сигнала.
Спектрально-корреляционные характеристики выходного сигнала.
Так как спектральная плотность мощности И^Ь1Х(со) и корреляцион-
ная функция Авых(т) выходного случайного сигнала однозначно
связаны преобразованиями Фурье, то задачу их нахождения можно
считать решенной, если найдена одна из них. В связи с этим раз-
личают спектральный и временной методы анализа прохождения
случайных сигналов через линейные цепи.
Спектральный метод. Заданы спектральная плотность мощно-
сти И4х(со) входного случайного сигнала и комплексная частотная
характеристика	линейной цепи. Требуется определить
^вых(СО).
При решении этой задачи можно воспользоваться рассуждения-
ми, аналогичными уже использованным в подразд. 6.5. Пусть
5ВХТ (Ф>— спектральная функция отрезка реализации входного сиг-
нала. В соответствии с выражением (7.47) спектральная функция
отрезка реализации выходного сигнала будет иметь вид:
^ВЫХ.Т (Ф) — ^ВХ.Т (Ф)7/(/СО).
По аналогии с выражением (6.41) спектральная плотность мощ-
ности выходного сигнала определяется как
1У (Ф) = Нт —
Вл>1Л ' у»______v
Л/{| ,т (со)
} = lim А М{\ 5
(со)//(/со)|2 } =
= lim 1 Л/{|(со)|2 }Я(/<о)|2 =	«о)| Я(/со)|2.
Таким образом,
«о) =	«0)1 Н (/<0)12 =	«•» Я2 (со).
(7.55)
Формула (7.55) выражает содержание спектрального метода для
случайных сигналов: спектр мощности выходного сигнала находит-
ся как произведение спектра мощности входного сигнала на квад-
рат АЧХ линейной цепи. При этом мощность сигнала на выходе
пропорциональна квадрату модуля коэффициента передачи цепи.
Временной метод. Пусть заданы корреляционная функция
входного случайного сигнала и импульсная характеристика h(f) ли-
197
нейной цепи. Требуется найти корреляционную функцию выход-
ного сигнала /?BbIxCO-
Запишем формулу (7.55) в виде
^вых И = ^вх И Я (/со) Н (-/со).
Временным эквивалентом этого выражения согласно уравне-
нию (3.52) является свертка функций:
АВЬ1Х (т) =	СО ® Мл) ® й(-т) =	(О ® В„ (т).	(7.56)
Здесь
сю	00
В,,(т)=Л(т)®й(-т) = р(/)й|-(т-01Л = j/i(z)7i(z--t)t/z
——ею
(7.57)
— корреляционная функция импульсной характеристики цепи
(корреляционная функция цепи).
Таким образом, корреляционная функция выходного случайно-
го сигнала определяется как
/u(o= Km(t-z)jz.

(7.58)
Корреляционную функцию выходного сигнала можно также
найти как обратное преобразование Фурье, примененное к выра-
жению (7.55):
оо
Лвых (О = < [ ^вх (“) Н 1	‘
2л J
—оо
Дисперсия выходного случайного сигнала равна:
DBtK = Лвых (О = т- J	2	•
2 ТС Д*
(7.59)
(7.60)
Воздействие белого шума на линейные цепи. Эту задачу решают
достаточно просто. Белый шум имеет следующие характеристики
(см. рис. 6.15):
Ж(со) = ЙК0, А(т) = Ж05(т).
Спектр мощности выходного шума в соответствии с выражени-
ем (7.55) определяем как
^вь1ХИ = ^0Я2(со).
График И4ых(со) повторяет форму АЧХ цепи.
198
Корреляционную функцию выходного шума находим с помо-
щью формул (7.56) и (7.57). Учитывая фильтрующее свойство дель-
та-функции, представляющей корреляционную функцию белого
шума, в результате получим
Лвш (т) = Bh (т).
Используя формулу (7.60), находим дисперсию выходного шума
ВЫХ
оо
j н1 2 («Ио.
о
Введем понятие эквивалентной шумовой полосы (шумовой поло-
сы) цепи ДсОщ, которую определяем так:
ОС
Дсош =—Г“ [Я2(со)</со,
я2 J
11 так О
где Нтах — максимальное значение АЧХ цепи. Шумовая полоса
равна ширине основания прямоугольника высотой Я21ах, площадь
которого равна интегралу от квадрата АЧХ цепи.
Тогда дисперсия выходного шума может быть представлена в виде
Ввых ~ ^0 max Д(йш •
Воздействие белого шума на АС-цепь. Частотные характеристики
цепи определены выражением (7.30). Используя значение Я(со), на-
ходим спектр мощности шума на выходе АС-цепи:
^вых (®)
1	2 2’
1+0) т
График РГвых(со) повторяет форму АЧХ АС-цепи.
Подставляя выражение (7.20) в формулу (7.57), находим
оо
где т0 = RC. Тогда для корреляционной функции выходного шума
получим
2т0
График корреляционной функции Авых(т) при т > 0 повторяет
форму импульсной характеристики АС-цепи.
199
Дисперсия выходного шума:
Рвьи=Явых(О) = ^о/2ЛС.
Шумовую полосу АС-цепи определяем следующим образом:
Дмш
------= 0,5 Дсо
2RC
где Дсо = 1/АС — полоса пропускания АС-цепи.
Таким образом, шумовая полоса АС-цепи в два раза меньше ее
полосы пропускания.
Отметим, что при воздействии белого шума на линейную цепь
на выходе цепи получаем случайный сигнал, спектральная плот-
ность мощности и корреляционная функция которого определяют-
ся лишь характеристиками цепи.
7.5.	Применение линейных цепей в радиотехнике
В радиотехнике линейные цепи находят применение в качестве
фильтров, дифференцирующих и интегрирующих цепей, линий за-
держки.
Фильтром называют цепь, предназначенную для выделения од-
них и подавления других составляющих спектра входного сигнала.
Диапазон частот, пропускаемых фильтром, называют полосой про-
пускания (прозрачности), остальную область частот, подавляемых
фильтром, — полосой задерживания (непрозрачности).
В соответствии с диапазоном частот, пропускаемых фильтром,
различают фильтры нижних и верхних частот, полосовой и режек-
торный (заграждающий). Идеальные амплитудно-частотные харак-
теристики перечисленных фильтров приведены на рис. 7.11, где
Дсоп — полоса пропускания, Дсо3 — полоса задерживания.
Реальные фильтры имеют характеристики, отличные от идеаль-
ных характеристик.
Простейшим фильтром нижних частот (ФНЧ) является
АС-цепь (см. рис. 7.2), ее АЧХ изображена на рис. 7.6. Полоса про-
пускания такого ФНЧ равна
Дсоп = 1 / АС.
В качестве полосового фильтра (ПФ) можно использовать коле-
бательный контур (см. рис. 7.3). Полоса пропускания фильтра равна
200
Рис. 7.11. Идеальные амплитудно-частотные характеристики фильтров:
нижних (а) и верхних (б) частот, полосового (в) и рсжекторного (г)
где С0р
Полоса пропускания тем меньше, чем выше добротность контура.
Простейшим фильтром верхних частот (ФВЧ) служит СА-цепь
(рис. 7.12, а). Ее комплексная частотная характеристика определя-
ется как
тт z. ч	7?	/сот	гу
Я (/со) =-------------=---------, т = RC.
R+\/ /со С 1+/сот
Из выражения (7.61) получим для АЧХ и ФЧХ цепи:
<p,,(w) = --arctg(art).
(7.61)
(7.62)
График Мео) приведен на рис. 7.12, б.
Частоту среза сос находим по уровню Я(сос) = 1/V2; она опреде-
ляет полосу задерживания:
а
Рис. 7.12. Схема (а) и амплитудно-частотная характеристика (б) С/?-цепи
201
Дсо3 = сос -l/RC.
Вид АЧХ свидетельствует о том, что С/?-цепь может служить ФВЧ.
Дифференцирующая цепь реализует операцию дифференцирова-
ния сигнала, т.е. преобразование входного сигнала wBX(0 в выход-
ной сигнал вида

(7.63)
где к — постоянный коэффициент.
Преобразование Фурье применительно к выражению (7.63) даст
И = к	И-
(7.64)
Из сравнения формул (7.64) и (7.47) следует, что комплексная
частотная характеристика дифференцирующей цепи должна иметь
следующий вид:
H(j($ = к fa)=к\ со| е,К/2.
(7.65)
Идеальная дифференцирующая цепь физически нереализуема.
Приближенное дифференцирование сигнала можно осуществить с
помощью С7?-цепи (см. рис. 7.12, а). Анализ выражения (7.61) по-
казывает, что
HCR(ко) ~ /сот, если сот« 1.
(7.66)
При этом условие сот << 1 должно выполняться на верхней час-
тоте сов спектра ^(со). Например, для прямоугольного импульса
можно принять сов = 2л/ти, следовательно, имеем условие т « ти.
На рис. 7.13 показан результат дифференцирования прямоугольно-
го импульса.
вых
Рис. 7.13. Сигналы на входе (а) и выходе (б) дифференцирующей цепи
202
Интегрирующая цепь реализует операцию интегрирования сигна-
ла: преобразование входного сигнала um(t) в выходной сигнал вида
“вых
(Z) = А | и ю (/)Л.
(7.67)
Преобразования Фурье левой и правой частей выражения (7.67)
имеют следующий вид
W
^вых И = -	(to),
/со
Сравнивая формулы (7.68) и (7.47), получаем
-к //со.
(7.68)
(7.69)
Идеальная интегрирующая цепь с частотной характеристикой
(7.69) физически нереализуема. Приближенное интегрирование
сигнала можно осуществить с помощью ЛС-цепи (см. рис. 7.2).
Анализ выражения (7.28) показывает, что
Н RC (id) ~ 1/ (/сот), если сот »1.
(7.70)
Условие сот >> 1 должно выполняться на самой низкой частоте
спектра 5вх(со). Например, для прямоугольного импульса это усло-
вие означает, что т » ти. На рис. 7.14 показан результат интегри-
рования прямоугольного импульса.
Линия задержки (ЛЗ) — это устройство, используемое для за-
держки сигналов на заданный интервал времени без существенного
изменения их формы.
Частотные характеристики линейной цепи, пропускающей сиг-
нал без искажения, но с задержкой /ь = С во времени, определяют-
ся выражениями (7.53) (см. рис. 7.10). Идеальная линия задержки с
такими характеристиками физически нереализуема.
На практике решающее значение имеет обеспечение линейно-
сти ср//(со) в полосе частот сигнала. При этом все спектральные со-
ставляющие сигнала задерживаются на одинаковое время, равное
Рис. 7.14. Сигналы на входе (а) и выходе (б) интегрирующей цепи
203
dm ’
(7.71)
и сигнал проходит через цепь без искажения своей формы.
Анализ показывает, что ФЧХ фильтра нижних частот (см. рис. 7.6)
приблизительно линейна в области частот 0—0,5 сос, поэтому ли-
нию задержки можно реализовать на основе многозвенного фильт-
ра нижних частот. Время задержки в таком многозвенном ФНЧ оп-
ределяется количеством звеньев и их параметрами.
7.6.	Линейные цепи с обратной связью
Отличительная особенность цепей с обратной связью состоит в
том, что в них выходной сигнал или его часть снова поступает на
вход цепи. Обратная связь необходима в системах телеуправления
и автоматического регулирования. Действие многих устройств (на-
пример, автогенераторов) основано на использовании обратной
связи. Кроме того, в ряде случаев введение обратной связи позво-
ляет улучшить рабочие характеристики устройств.
Частотные характеристики линейной цепи с обратной связью
Рассмотрим цепь с обратной связью, структурная схема кото-
рой изображена на рис. 7.15. Здесь стрелками указаны два пути
прохождения сигнала: прямой (от входа к выходу) и обратный (с
выхода на вход). Обратный путь прохождения сигнала реализуется
с помощью специальной цепи обратной связи.
Структурная схема состоит из двух звеньев с передаточными
функциями Н(р) и Р(р). Кроме того, на входе имеется устройство,
суммирующее входной сигнал и часть выходного сигнала, посту-
пающую с выхода на вход через цепь обратной связи.
Определим передаточную функцию Н^с(р) цепи с обратной свя-
зью, выразив ее через функции Н(р) и Р(р).
Если t/BX(p) wBx(0 и иьык(р) <-> иВЫх(0, то в соответствии со
структурной схемой имеем:
Рис. 7.15. Структурная схема линейной цепи с обратной связью
204
= H(p)\UBX(p)^(p)UBbSX(p)]
или
^ых(р)п-Р(р)#о>)|= h(p)ubx(p).
Из выражения (7.73) следует формула
Я (р) = 1WZ2=——
иех(р) 1-₽(р)Я(р)
(7.72)
(7.73)
(7.74)
определяющая передаточную функцию цепи с обратной связью.
Заменяя в выражении (7.74) переменную р на /со, получим
(;СО) = ^°ы* = //('<||)
ос t/BX(/w) 1-Р(/со)Я(/со)
(7.75)
Выражение (7.75) определяет частотный коэффициент передачи
цепи с обратной связью. Оно показывает, что, изменяя параметры
звена обратной связи, можно изменять частотные свойства всей
цепи.
Обратная связь может быть отрицательной и положительной.
Если обратная связь отрицательная, то
|1~Р(/со)Я(/со)|>1.
Выполнение неравенства (7.76) означает, что
|Яос(/<о)|<|Я(/ш)|,
(7.76)
(7.77)
т.е. введение отрицательной обратной связи уменьшает амплитуду
выходного сигнала.
Если обратная связь положительная, то
|1-р(/со)Я(/со)|< I.
В этом случае имеем
(7-78)
|Яос(/со)|>|Я(/со)|,	(7.79)
т.е. введение положительной обратной связи увеличивает амплиту-
ду выходного сигнала. Следует отметить, что положительная обрат-
ная связь может стать причиной неустойчивости цепи. Рассмотрим
пример использования обратной связи.
Гребенчатый фильтр — так называют фильтр, АЧХ которого име-
ет несколько чередующихся полос пропускания и задерживания.
Допустим, что цепь с обратной связью (см. рис. 7.15) образова-
на двумя звеньями с коэффициентами передачи вида
205
Яос(со)
О n/t0 2n/t0
Рис. 7.16. АЧХ гребенчатого фильтра при значении Р0//р = 0,8
Я(7со) = Яо, Р(/со) = Рое
(7.80)
где Яо, Ро — постоянные коэффициенты; г0 — время задержки сиг-
налов. Подставив выражение (7.80) в формулу (7.75), получим
Отсюда находим АЧХ данной цепи:
7’+Рояо -2₽0Я0 cos“'
Из рис. 7.16 видно, что АЧХ представляет собой периодическую
кривую с чередующимися максимумами и минимумами, т.е. с че-
редующимися полосами пропускания и задерживания.
Таким образом, на основе структурной схемы рис. 7.15 можно
реализовать гребенчатый фильтр.
Устойчивость цепей с обратной связью
При исследовании цепей с обратной связью одной из важней-
ших задач является определение условий, при которых цепь устой-
чива.
Ранее отмечалось, что линейная цепь является устойчивой,
если действительные части всех корней характеристического урав-
нения (7.6) отрицательны. По своему виду левая часть уравнения
(7.6) совпадает со знаменателем выражения (7.39), которое описы-
вает передаточную функцию линейной цепи.
206
Из выражения (7.74) следует, что характеристическое уравнение
линейной цепи с обратной связью имеет вид
1-р(р)//(р) = 0.
(7.83)
Если все корни этого уравнения имеют отрицательные действи-
тельные части, т.е. расположены в левой полуплоскости комплекс-
ной переменной р, то цепь с обратной связью будет устойчива.
Однако вычисление корней является простой операцией лишь
для характеристического уравнения первой и второй степеней, по-
этому важное значение имеют правила, позволяющие определять
устойчивость цепи без вычисления корней. Эти правила называют
критериями устойчивости. Различают алгебраические и частотные
критерии устойчивости. С математической точки зрения все крите-
рии эквивалентны.
Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об ус-
тойчивости цепи по коэффициентам характеристического уравне-
ния (7.6).
Критерий Рауса-Гурвица определяет условия, при котором все
корни алгебраического уравнения
атрт +ат-1р",~'+---+а1р+а(1 =°
(7.84)
имеют отрицательные действительные части. Для этого необходимо
и достаточно, чтобы были положительными коэффициенты а,п и ао
и все определители к = 1,2, ..., т — 1, составленные из коэффи-
циентов характеристического уравнения:
ат-\ >
& т-3
т-2
т
^т-3
& т-2
&т-\
О
@т-3 ^т-5 @т-7
&т-2	т-4	&т-6
^т-1 &т-3 @т-5
®т &т-2 ^т—4
(7.85)
Раскрывая определители, можно получить условия устойчиво-
сти для линейных цепей различных порядков.
Линейные цепи первого (т = 1) и второго (т = 2) порядков ус-
тойчивы всегда, так как для них условия устойчивости: а0 > 0, а^ > О,
«2 > 0. Для линейной цепи третьего (т = 3) порядка, кроме поло-
207
жительности коэффициентов oq, сц, #2, #з, необходимо соблюдение
дополнительного условия:
ai°2 ~аоаз >®-	(7.86)
Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устой-
чивости цепей с обратной связью по виду их частотных характери-
стик. Требование, чтобы все корни уравнения (7.83) были располо-
жены в левой полуплоскости комплексной переменной р, равно-
сильно условию: функция
ад = Р(/>)/7(р)	(7-87)
не должна превращаться в единицу ни в одной из точек правой по-
луплоскости р. Функция К(р) представляет собой передаточную
функцию разомкнутой цепи обратной связи. Поэтому об устойчи-
вости цепи с обратной связью можно судить по характеристикам
разомкнутой цепи.
Из выражения (7.87) путем замены р на /со получим частотный
коэффициент передачи по разомкнутому кольцу обратной связи,
называемый алимитудно-фазовой характеристикой (АФХ):
Д/со) = Р(/со)//(/со).	(7-88)
Используя представления
р(/со) = Р(со)е‘9р(а), Н(к$ = Н(со)е'ф//(ы),
представим выражение (7.88) в виде
A(;w) = /f(co)e(7-89)
где
/Г(со) = р(со)Н(со), фх(со) = фр(со) + фя(со).
Комплексную величину Д/со) можно представить и в другой
форме:
АГ(/со) = Re /f(/co)+lm
При этом
д/Ие2 tf + lm2 ~К = ЛХсо), arctg[Im К/Re К] = фк(со).
На комплексной плоскости в координатах (ImX, ReX ) ком-
плексная величина Д/со) представляется вектором: Дсо) — длина
вектора, фА(со) — угол вектора с действительной осью (рис. 7.17).
208
ImAT.
J 1
Рис. 7.17. Годографы устойчивой (а) и неустойчивой (б) цепей с ОС
При изменении частоты в пределах от —оо до оо изменяются длина
вектора К(со) и угол (рл<со); при этом конец вектора Д/со) описывает
некоторую кривую, называемую годографом.
Устойчивость цепи с обратной связью определяют по положе-
нию точки с координатами (1, /0) относительно годографа (см.
рис. 7.17). Цепь с обратной связью будет устойчивой, если годо-
граф разомкнутой цепи не охватывает точку с координатами (1, /0).
Это условие называют критерием устойчивости Найквиста. Его ос-
новное преимущество состоит в том, что он может быть применен
в случаях, когда неизвестно аналитическое выражение АФХ, но за-
висимость АФХ может быть получена экспериментально.
Контрольные вопросы и задания
1.	Какие радиотехнические цепи называют линейными?
2.	Каким свойством обладают стационарные линейные цепи?
3.	Каковы способы описания линейных цепей?
4.	Что понимают под устойчивостью линейной цепи?
5.	Как связаны между собой импульсная и частотная характеристики
линейной цепи?
6.	Как определяют полосу пропускания цепи?
7.	В чем сущность временного и частотного методов анализа прохож-
дения сигналов через линейные цепи?
8.	Каковы условия неискаженной передачи сигналов линейной цепью?
9.	Что понимают под линейным искажением сигналов?
10.	Как преобразуется спектральная плотность мощности случайного
сигнала в линейной цепи?
11.	Как преобразуется корреляционная функция случайного сигнала в
линейной цепи?
12.	Какими свойствами обладают фильтры?
13.	Приведите примеры дифференцирующей и интегрирующей цепей.
14.	В чем состоит принцип обратной связи?
15.	Что такое положительная и отрицательная обратная связь?
209
16.	Определите комплексный коэффициент передачи цепи, для кото-
рой при подаче на вход сигнала:
«вых(0 SBX(co) = и / (a+iti)
на выходе получим сигнал:
«вых(0 ^ьых(со) =	/ 1(а+/со)(Л+/со)].
17.	Запишите дифференциальное уравнение цепи, имеющей переда-
точную функцию
Н(р) = рН{} / {р1 +2ар+Ь2).
18.	Определите комплексный коэффициент передачи цепи, которая
описывается дифференциальным уравнением
^вых
dt
+аимп
Dot А
-Ьи
ВХ-
19.	Найдите комплексный коэффициент передачи цепи, которая сигнал

/>0
преобразует в сигнал:
а) «вых(0 = ^‘о/; б) uBUK(t} = t2e~al.
20.	Определите вид свободных колебаний в цепи, характеристическое
уравнение которой имеет вид
р2 + 4р + 4 = 0.
21.	Найдите импульсную характеристику СА-цспи. Выходное напряже-
ние снимается с резистора.
ГЛАВА 8
ВОЗДЕЙСТВИЕ РАДИОСИГНАЛОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ
УЗКОПОЛОСНЫЕ ЦЕПИ
8.1.	Полосовая фильтрация радиосигналов
Радиосигналы относят к узкополосным сигналам, для передачи
которых используются узкополосные цепи. Линейные узкополос-
ные цепи — это линейные полосовые фильтры, пропускающие на
выход лишь те колебания, частоты которых лежат в пределах поло-
сы пропускания фильтра.
Пусть на входе полосового фильтра действует радиосигнал вида
wbx (0 = Ц (,)cos[co0f + 9,(0].	(8.1)
Его спектр 5вх(со) сосредоточен около несущей частоты соо и суще-
ственно отличен от нуля лишь в определенной полосе частот от
нижней частоты сон до верхней частоты о)в (рис. 8.1, а). При этом
ширина спектра равна
Дсо(. =ш —со,. «(о0.	(8.2)
Для неискаженной передачи радиосигнала требуется, чтобы в
указанной полосе частот фильтр имел равномерную АЧХ и линей-
ную ФЧХ (см. рис. 8.1). Вне этой полосы желательно, чтобы
фильтр не пропускал ненужных сигналов и помех, т.е. его АЧХ
должна быть равна нулю. Это характеристики идеального полосо-
вого фильтра, который физически нереализусм. Реальные полосо-
вые фильтры представляют собой достаточно сложные резонанс-
ные цепи, частотные характеристики которых лишь в большей или
меньшей степени приближаются к характеристикам идеального по-
лосового фильтра.
В реальных полосовых фильтрах радиосигналы искажаются.
Чтобы оценить характер этих искажений, рассмотрим передачу ра-
диосигналов через резонансную цепь с комплексной частотной ха-
рактеристикой вида
211
|‘5'вх(<0)1'1
а
б
со
Фя(®)а
в
Рис. 8.1. Положение спектра радиосигнала (а) относительно АЧХ (б)
и ФЧХ (в) неискажаюшсй цепи
Я (/со) =
(8.3)
1+/(со-сор)т’
где сор — резонансная частота; т — постоянная времени цепи.
Из формулы (8.3) получим выражения для АЧХ и ФЧХ цепи:

Я(со) =
(8.4)
<ря (со) = -arctg(co-cop )т.	(8.5)
Из графиков АЧХ и ФЧХ, приведенных на рис. 8.2, следует, что
данная цепь является полосовым фильтром. Частоты среза coci и
соС2, определяемые из условия
Я(сос|) = Я(<ос2)=Я0/72,
(8.6)
равны
1 1
С0С] СОр , С0С2 СОр +
(8.7)
При этом полоса пропускания фильтра
Асо=сос2 -сос1
(8-8)
При Дсо « сор полосовой фильтр считается узкополосным. При
значении Яо = Q, * = 2^/сор выражения (8.4) и (7.35) для Я(со) сов-
падают.
212
Прохождение радиосигнала (8.1) через линейную цепь с частот-
ными характеристиками (8.3)—(8.5) сопровождается линейными
искажениями, обусловленными неравномерностью АЧХ и нели-
нейностью ФЧХ. Чтобы искажения минимизировать, необходимо
соблюдать ряд условий. На рис. 8.2 показано положение спектра
входного радиосигнала относительно частотных характеристик по-
лосового фильтра.
Очевидно, что спектр входного радиосигнала (8.1) должен быть
расположен в пределах полосы пропускания цепи:
<0р =®0, <ос, <<он, <0с2>ю„.	(8.9)
Спектр радиосигнала (8.1) симметричен относительно несущей
частоты. Для сохранения симметрии спектра на выходе цепи ее АЧХ
должна быть симметрична относительно несущей частоты, поэтому
для АЧХ и ФЧХ фильтра должны выполняться следующие условия:
Я(со0 -сп) = Я(со0 +со);
(8.10)
ф// (СОо -со) = -фя (соо +со).
Частотные характеристики (8.4) и (8.5) удовлетворяют условиям
(8.10),	если несущая частота радиосигнала равна резонансной час-
тоте цепи: соо = сор.
|Лвх(о>) |
к
Рис. 8.2. Положение спектра радиосигнала (а) относительно
АЧХ (б) и ФЧХ (в) полосового фильтра
При прохождении модулированных радиосигналов через поло-
совой фильтр существенным является сохранение неизменным за-
кона модуляции, поэтому при анализе искажений радиосигнала
(8.1) полосовым фильтром наибольший интерес представляют ис-
кажения его огибающей t/|(r) и фазы ф1(/), отражающих закон мо-
дуляции.
8.2.	Метод комплексной огибающей
Метод комплексной огибающей (КО) — приближенный метод
анализа передачи радиосигналов через узкополосные линейные цепи.
Представим узкополосный сигнал (8.1) в комплексной форме:
Wcx(/) = Re[^(/)e'°^],
где

— его комплексная огибающая.
Метод КО состоит в нахождении
ходи ого рад и ос и гн ал а
£/2(/) = (72(Г)е/ч>2(/)
(8.11)
(8.12)
комплексной огибающей вы-
(8.13)
по известной функции и приближенным функциям цепи. По-
сле чего находим выходной радиосигнал:
WBb!X(/)=Re|t/2(/)e^4
(8.14)
Определив огибающую и фазу выходного радиосигнала как модуль
и аргумент комплексной огибающей:
С/2 (/)=| У2 (г)|, <р2 (/)=arg U2 (/),
можно представить выходной радиосигнал в виде
И|>ых(О = t',(/)cos[ro0r +<p2(Z)J.
(8.15)
В данном методе используют некоторые приближенные харак-
теристики цепи. Рассмотрим способ их определения.
Узкополосная линейная цепь имеет комплексную частотную
характеристику При этом значение АЧХ Н(сп) существенно
отлично от нуля лишь в узкой полосе частот около частоты сор = (Oq.
214
На основании формулы (4.62) представим спектральную функ-
цию входного радиосигнала в виде
(“) = | <$| (<О-йо) + | 5|”(- <0-(0„),	(8-16)
где 5, (со) — спектральная функция комплексной огибающей U^t).
Для определения спектральной функции выходного радиосиг-
нала воспользуемся спектральным методом. Подставляя выражение
(8.16) в формулу (7.47) и применяя формулу (7.48), для выходного
радиосигнала получим
^вых (О
1
4л
J 5, (со-со0)Я (/со)е/0)' с/со+
—оо
(8.17)
оо
+— f 5* (- со- со0) Н (Zco)e'°7/со.
4л J
Преобразуем эти интегралы, сделав замену переменной интегриро-
вания со: в первом интеграле со = со0 + Q, а во втором интеграле со =
= —соо — Q. В результате выражение (8.17) запишем в виде
^вых
(0 =
со
[ 5, (П)/ф(й0 +й)]
4л J
со
p,’(Q)//H(w0+Q)|
—СО
е ,L1‘dQ
(8.18)
Слагаемые в (8.18) являются комплексно-сопряженными величи-
нами, поэтому можно воспользоваться равенством (4.60) и записать
^(^//[/(сОо+ПДе
Сравнивая выражения (8.19) и (8.14), получим:
(8.19)
СО	СО
и ,(/) = — f 5,(Q)//[z(<0„ +Q)| e‘a'd£l = —
2л J	2л
—oo	—co
Из выражения (8.20) следует, что спектральная функция ком-
плексной огибающей выходного радиосигнала определяется как
52(П) = 51(П)Я[/(©0 +Q)].	(8.21)
52(Q)e,Qzc/Q.	(820)

2л J

215
Формула (8.21) выражает содержание спектрального метода для
комплексных огибающих'. находится как произведение 51(£1) на
комплексную частотную характеристику вида
+Q)]= Н НЧ(/П).
(8.22)
Вспомогательную линейную цепь, задаваемую частотной характе-
ристикой (8.22), называют низкочастотным эквивалентом (НЧ-эк-
вивалентом) исходной узкополосной цепи.
Зная ЯнчОО), можно найти импульсную характеристику
НЧ-эквнвалента как обратное преобразование Фурье:
сю
йнч(/) = — [ Н	е,а> d£l.
2л J
Тогда в соответствии с (7.44) имеем
/
<72(/)=р,(х)Лнч(/-х)</х.
о
(8.23)
(8.24)
Формула (8.24) выражает содержание временного метода для ком-
плексных огибающих.
Таким образом, анализ передачи радиосигнала (8.1) через узко-
полосную линейную цепь сводится к анализу передачи комплекс-
ного низкочастотного сигнала Ц(/) через линейную цепь с частот-
ной характеристикой (8.22).
Низкочастотный эквивалент одноконтурного полосового фильтра.
Комплексная частотная характеристика полосового фильтра задана
выражением (8.3). В соответствии с формулой (8.22) в выражении
(8.3) осуществим замену переменной со на значение соо + О, пола-
гая при этом, что (Op = (Dq. В результате получим
77 (/О) —
ffp
1+/QT
(8.25)
Это комплексная частотная характеристика НЧ-эквивалента. От-
метим, что выражение (8.25) идентично выражению (7.29), пред-
ставляющему частотную характеристику АС-цепи, которая являет-
ся фильтром нижних частот.
Используя формулу (7.20), запишем выражение для импульсной
характеристики НЧ-эквивалента
h (fl —
ЛнчУ)- е .	(8.26)
216
Таким образом, НЧ-эквивалентом полосового фильтра является
фильтр нижних частот.
Следовательно, результат прохождения радиосигнала (8.1) через
полосовой фильтр легко вывести на основе результата прохожде-
ния низкочастотного сигнала (8.12) через фильтр нижних частот.
8.3.	Воздействие радиоимпульса на полосовой фильтр
На полосовой фильтр с комплексной частотной характеристи-
кой (8.3) воздействует прямоугольный радиоимпульс. Из рис. 8.3,
на котором изображены радиоимпульс uBX(f) и его огибающая £/>(/),
видно, что Ui(t) — это прямоугольный импульс с амплитудой U и
длительностью ти.
Если радиоимпульс имеет частоту заполнения (По = сор, то задача
сводится к анализу прохождения прямоугольного импульса
через цепь с импульсной характеристикой (8.26). Такая задача была
рассмотрена в подразд. 7.3. На основании выражений (7.45) и
(7.46) получим описание огибающей U2(t) радиосигнала на выходе
полосового фильтра:
— при 0 < t < ти

— при t > ти
U7(l) = HaU(eXu/' -1)е”'/т.
(8-27)
(8.28)
При этом выходной радиосигнал, показанный на рис. 8.4, опре-
деляем так:
"ВыхЮ = ^2(0сО5(О0?, />0.
(8.29)
Наименьшее искажение прямоугольной формы радиоимпульса
наблюдается при значении т « ти.
Рис. 8.3. Радиоимпульс и его огибающая
217
^вых(О	^вых(О
А
Рис. 8.4. Эффект полосовой фильтрации прямоугольного радиоимпульса во времен-
ной области при двух значениях т: т « ти (а)\ ти/3 (б)
Таким образом, при передаче прямоугольного радиоимпульса
через резонансный фильтр, настроенный на несущую частоту соп = (Ор,
возникают линейные частотные искажения, обусловленные отно-
сительным ослаблением верхних частот спектра огибающей. Во
временной области эти искажения проявляются в затягивании
фронта (среза) радиоимпульса. При этом сглаживание резких скач-
ков амплитуды радиоимпульса тем больше, чем более узкополосен
резонансный фильтр.
Влияние расстройки. Рассмотрим случай, когда частота колеба-
ний на входе <0о отличается от резонансной частоты сор на величину
8со: (Оу = сор + бсо, т.е. имеет место расстройка частот.
Представим входной радиоимпульс в виде
/у вх (Z) = Ц (/) cos(cop +8co)Z = Re[(71(/)e/U)p/],	(8.30)
где
Ц(/) = Ц (/>'*“',
0</<ти
(8.31)
— комплексная огибающая.
Для определения комплексной огибающей U2(t) выходного ра-
диосигнала подставим выражения (8.26) и (8.31) в формулу (8.24):
L о
(8.32)
Вычисляя интеграл в выражении (8.32), получим
t/2(0 = -^(ert“'-e-'A), 0</<ти.
1 + /ОСОТ
(8.33)
218
^(0|
Рис. 8.5. Форма огибающей ра-
диоимпульса на выходе цепи
при расстройке
Модуль комплексной величины
(8.33) определяет огибающую выходно-
го радиосигнала на интервале 0 < t < ти:
V2(f)= H°U.=x
71+(W	(8-34)
хЛ/1-2е~'/т cos(8c£tf)+e-2'/T.
Выражение (8.34) показывает, что
процесс установления амплитуды ко-
лебаний на выходе цепи имеет колеба-
тельный характер (рис. 8.5). Это объясняется биением двух колеба-
ний: вынужденного колебания с частотой и свободного колеба-
ния с частотой, близкой к сор. Свободное колебание с течением
времени затухает по экспоненциальному закону е //Т, поэтому бие-
ния ослабевают.
При расстройке установившаяся амплитуда, равная
t/2ycT =Z/0{//V1+(8cot)2,
меньше, чем в случае, когда соо = С0р.
Аргумент комплексной величины (8.33) определяет фазу выход-
ного радиосигнала на интервале 0 < t < тн:
<р2 (О = arctg
sin(8co/)
cos(8co/)-e’
-arctg (Scot).
(8.35)
Из выражения (8.35) следует, что процесс установления фазы
выходного сигнала на интервале [0, ти] также имеет колебательный
характер.
Таким образом, при расстройке частот к вышеуказанным иска-
жениям радиоимпульса добавляются осцилляции его огибающей
(8.34) и фазы (8.35) с частотой 8со (см. рис. 8.5, 0 < t < ти).
По окончании действия радиоимпульса на входе при значении
t > ти на выходе цепи будут собственные колебания с частотой сор,
амплитуда которых уменьшается по экспоненциальному закону
(см. рис. 8.5, / > ти).
219
8.4.	Воздействие радиосигналов с амплитудной
модуляцией на полосовой фильтр
Оценим возможные искажения АМ-радиосигнала при прохож-
дении через полосовой фильтр с комплексной частотной характе-
ристикой (8.3). При этом основной интерес представляет искаже-
ние формы его огибающей, описывающей закон амплитудной мо-
дуляции.
Воздействие радиосигнала с тональной AM
Входной радиосигнал имеет вид
^вх(0 = Ц (1 + Л/, cosQ/)cosco0/.
Пусть резонансный фильтр настроен на несущую частоту соо = С0р.
В этом случае задача сводится к анализу прохождения огибаю-
щей — низкочастотного сигнала:
U} (/) = (1 +	cosQ/) = Z7| +Ui	cosQf
через линейную цепь с комплексной частотной характеристикой
(8.25).
Используя соотношения (7.27) и выражение (8.25), находим
огибающую выходного радиосигнала
^2(0= ^нчЖ +ЯНЧ(^)ЦМ1 cos[Q/ + (pH4(Q)],
где
Н Нц (0) — Hq > Н нч Ф)= /	° —> Фнч Ф) ~ ~arctg(QT).
V1+^2t2
В окончательном виде имеем
и2 (Г) = Я0Ц [1 + М2 cos(Qr -Р)1,
где
., М\ а <	\	(8.37)
Л/, = .	1 —; Р = arctg(Qx).
 71+йЧ2
При этом выходной AM-радиосигнал имеет вид
иВЬЕХ(Г) = HQU} [1 + М2 cos(Qr -P)]cosсо0/.	(8.38)
220
лвх
tOQ-П
(Oq-D COq (Oq+D
Рис. 8.6. Спектры входного (а) и выходного (б) радиосигналов с тональной AM
Таким образом, при передаче радиосигнала с тональной AM че-
рез резонансный фильтр, настроенный на несущую частоту соо = С0р,
возникающие линейные искажения проявляются лишь в уменьше-
нии глубины тональной AM (Л/2 < Л/|) и изменении начальной
фазы огибающей. Закон амплитудной модуляции остался преж-
ним — тональная AM.
На рис. 8.6, иллюстрирующем АЧХ фильтра и спектры входно-
го и выходного радиосигналов, использованы обозначения: Aq = С/ь
At = С/М/2.
При входном радиосигнале
wBX (0 = Ц cos	cos(co0 +Q)/ + cos(co0 -Q)r
выходной радиосигнал определяется как
«вых(О = иои1 cosw0/ + Н6 —^-cos[(<o0 +Я); -0]+
Хм*
+^6^-cos[((o0-Q)f+₽],
где Но = Я(соо); = //(со ± Q).
Запишем выходной радиосигнал в виде
“ыЛО = и2 cosco0r	cos [(со0 +Q)f -р] +
cos[(co0 -Q)r +₽],
где (A = НМ,	=—-М{. Поскольку //б < //0, то Л/2 < Л/ь
221
Рис. 8.7. Нарушение симметрии спектра АМ-радиосигнала при расстройке:
спектры входного (а) и выходного (б) радиосигналов
Таким образом, уменьшение коэффициента AM обусловлено
неравномерностью АЧХ фильтра.
Влияние расстройки. При соо * сор колебания верхней и нижней
боковых частот изменяются по-разному. На рис. 8.7 изображены
АЧХ фильтра и спектры входного и выходного радиосигналов.
Здесь
= Я(со0 -Q); Н2 = Я(соо); Н3 = Н(соо +Q).
Выходной радиосигнал:
= ^2^1 cosco0/ + Н3 1 cos[(co0 +Q)z~P'J+
+Я1^!-со.4(со0-П)/+р"].
«Mt
Поскольку Н\ > Н3, то в спектре выходного радиосигнала коле-
бания с боковыми частотами имеют разные амплитуды. Это озна-
чает, что нарушается симметрия спектра, свойственная АМ-радио-
сигналу. Следовательно, в выходном радиосигнале искажается за-
кон амплитудной модуляции.
Пример 1. На вход последовательного колебательного контура
(см. рис. 7.3) воздействует AM-радиосигнал с коэффициентом моду-
ляции М\ = 1. Параметры контура: резонансная частота fp — 1 МГц,
добротность Q = 100. Контур настроен на несущую частоту. Коэф-
фициент модуляции выходного радиосигнала — 0,8. Определим
частоту модуляции.
Из первого соотношения (8.37) получаем
П=-д/(Л/1/ЛГ,)2-1.
т
222
Подставляя сюда значение т = 2Q/(Op и полагая Q = 2л F, ц, = 2л/р, на-
ходим
Проведя необходимые вычисления, получим F = 3,8 кГц.
Пример 2. На вход колебательного контура (см. рис. 7.3) воздей-
ствует АМ-радиЪсигнал, В:
wBX(0 = 10(1+cos2e-10j/)cos2ti-10'/.
Несущая частота равна резонансной частоте контура. Определим
добротность контура, при которой амплитуды боковых составляю-
щих спектра выходного радиосигнала равны 40 % амплитуды со-
ставляющей на несущей частоте.
Из условия UMJ2 = 0,4U следует, что ЛА = 0,8.
Используем формулу
Q =
Подставляя сюда значения F = 103,/> = 10\
ходим Q = 37,5.
Л/| = 1 и М2 = 0,8, на-
Воздействие радиосигнала с многотональной AM
Рассмотрим воздействие на полосовой фильтр радиосигнала с
многотональной AM:

l+£w, cosKV+e»>
cosco0/.
n-1
При частоте ojg = cop задача сводится к анализу прохождения
огибающей:
и^)=и+и^м„соз(€1„1+е„)
П = 1
через линейную цепь с комплексной частотной характеристикой (8.25).
Используя соотношения (7.27) и выражение (8.25), находим
огибающую выходного радиосигнала:
223
U2 (/) = Нт (0)<7 + t/f Н нч (Г2„ )М„ cos[£U +6„ + Фнч (П„ )]•
Л = 1
где
Янч (Оя) = -	<р„ч (Я„) - -arctg(Q„t).
7,+п»'с
В окончательном виде огибающая:
где
U2(t) = HQU
i+УК cos(Q„r+e„-p„)
М = 1
М'„= . М\ Р„ =arctg(Q„i).
71+П„2т2
Для выходного радиосигнала получаем:
”вых
(8.39)
В выражении (8.39) форма огибающей определена видом суммы
Е, поэтому искажение формы огибающей будет тем меньше, чем
точнее выполнены условия отсутствия искажений:
Я(<о0±£1„)=Я(со0);
Фя(®0 ^л)“ Ф/Л^О
где Го — время запаздывания огибающей.
8.5.	Воздействие радиосигнала с цифровой фазовой
модуляцией на полосовой фильтр
Цифровая фазовая модуляция (ЦФМ) характеризуется скачко-
образным изменением фазы гармонического несущего колебания
(см. подразд. 5.3). Оценим эффект полосовой фильтрации радио-
сигнала при ЦФМ. При анализе искажений ЦФМ-радиосигнала в
полосовом фильтре интерес представляет искажение скачкообраз-
ного закона фазовой модуляции.
Пусть на полосовой фильтр с комплексной частотной характе-
ристикой (8.3) воздействует радиосигнал (рис. 8.8, а):
224
WBX
J (/cos(€00/ + (p0),
[-Z7cos(co0/ + <p0),
(8.40)
Здесь фаза гармонического колебания изменяется скачком на тс в
момент времени t = ти. Предполагается, что тн = 2лл/соо, где п —
целое число.
Резонансный фильтр настроен на несущую частоту соо = С0р.
Представим радиосигнал (8.40) в виде
ивх(0 = Ц(Осо5(со0/ + <р0),
где огибающая
(8.41)
(8.42)
показана на рис. 8.8, 5.
Выходной сигнал будем искать в виде
uBbixW = t/2(Ocos(co0/ + <p0), t>0.	(8.43)
При этом огибающая f/2(/) определяется как отклик НЧ-эквива-
лента с импульсной характеристикой (8.26) на сигнал вида (8.42).
I W
и--------------------
и
Рис. 8.8. Входной радиосигнал (а) и его огибающая (ф
I5-3659
225
Сигнал (8.42) можно представить как результат сложения двух
разнополярных прямоугольных импульсов:
UW = -и-
(8.44)
(8.45)
На интервале (0, ти) на вход НЧ-эквивалента воздействует пря-
моугольный импульс (8.44), а отклик определяется как (8.27):
Г2(0 = ЯпС/(1-е-'/т),
(8.46)
На интервале (тн, 2ти) происходит наложение двух откликов:
— на входное воздействие (8.44) отклик вида (8.28);
— на входное воздействие (8.45).
Таким образом, на интервале (ти, 2ти) имеем
(/2(/) = Я06^(ет"/т
-1) Г,/т
(8.47)
Начиная с момента времени /= 2ти, входное воздействие U\(f) — 0.
Поэтому при t > 2тн определяем 65(0 по формуле (8.24) с использо-
ванием импульсной характеристики НЧ-эквивалента (8.26):
J72(/) = _^o£ fe-(/"x)/Tf7x=-/fot/(e2T”ZT-ех”/т)е 1/\	(8.48)
т ?
График функции 65(г), построенный в соответствии с выраже-
ниями (8.46) — (8.48), приведен на рис. 8.9, а. Здесь момент време-
ни t — h определяется из условия 65(A)) ~ 0- Положив в выражении
(8.47) / = Го, после преобразований получим
е'о/т =2ег,,/т -1, откуда Zo =т1п(2еТи/Ч -1).
Значение fa гем больше, чем больше постоянная времени цепи т.
Вид выходного радиосигнала (8.43) показан на рис. 8.9, б.
Таким образом, при прохождении ЦФМ-радиосигнала через
резонансный фильтр, настроенный на несущую частоту, возника-
ют линейные искажения, которые проявляются в изменении ам-
плитуды выходного радиосигнала. Кроме того, скачок фазы про-
исходит в момент времени /о > ^и- Искажения ЦФМ-радиосигнала
тем больше, чем более узкополосен резонансный фильтр (чем
больше т).
Рис. 8.9. Огибающая (а) и радиосигнал (б) на выходе полосового фильтра
8.6.	Воздействие радиосигнала с цифровой
частотной модуляцией на полосовой фильтр
Цифровая частотная модуляция (ЦЧМ) характеризуется скач-
кообразным изменением частоты гармонического несущего коле-
бания (см. подразд. 5.4). При анализе искажений ЦФМ-радиосиг-
нала в полосовом фильтре основной интерес представляет искаже-
ние скачкообразного закона частотной модуляции.
Пусть на полосовой фильтр с комплексной частотной характе-
ристикой (8.3) воздействует радиосигнал (рис. 8.10):
Jt/COS(Oor,
[i/cos(co0 +5сф/,

(8.49)
Рис. 8.10. Входной
радиосигнал
ЧхО)
227
Здесь частота гармонического колебания изменяется скачком на
величину 8со в момент времени t = ти. При этом предполагается не-
прерывное изменение фазы (см. подразд. 5.4).
Резонансный фильтр настроен на частоту (Оо = сор.
Представим радиосигнал (8.49) в комплексной форме (8.11), где
комплексная огибающая:
(8.50)
Выходной сигнал будем искать в виде (8.14). При этом ком-
плексная огибающая U2(t) определяется как отклик НЧ-эквивален-
та с импульсной характеристикой (8.26) на сигнал вида (8.50).
Сигнал (8.50) можно рассматривать как результат сложения
прямоугольного импульса
0</<т„
Ц(/) = ^>
(8.51)
и сдвинутого на интервал ти комплексного сигнала
tZ1(r) = t/e,?w/,
(8.52)
т и < / < 2 т и.
На интервале (0, ти) на вход НЧ-эквивалента воздействует пря-
моугольный импульс (8.51), а отклик определяется как (8.27):
U2{t) = И0U(i-е~‘/х0<Г<т„.	<8-53)
На интервале (ти, 2ти) происходит наложение двух откликов:
— на входное воздействие (8.51) отклик U2(t) вида (8.28);
— на входное воздействие (8.52) отклик 02(t\ для определения
которого используем формулу (8.24).
Подставив выражения (8.26) и (8.52) в формулу (8.24), находим
=	fe<S<»xe-</-x)Ad:(.=fV.e/So>r_e/SmMe<T„-/)/T| (8.54)
2 t J	1 + /8®т
ти
Суммируя формулы (8.28) и (8.54), получим выражение для
комплексной огибающей на интервале (ти, 2ти):
U (t) = ИQU(exил -1)<?"'/т +	-е/5оХив(Ти"0Л ].
2	0	1+/8сот
(8.55)
228
Начиная с момента времени t = 2ти, входное воздействие равно
нулю. Поэтому при t > 2ти комплексная огибающая определяется
как
и
Вычисление этого интеграла дает
t/(,)= JL^L
1+15WT
(8.56)
2t„(1/t+/Sw)
5и(1/т+/5<1>) ] -//т
Выражения (8.53), (8.55) и (8.56) описывают комплексную оги-
бающую в (8.14). На основании этих выражений получим описание
выходного радиосигнала (8.15).
На интервале (0, ти) с учетом (8.53) имеем
ивых(0 = H0U(\-e '/T)cosco0r.
(8.57)
Согласно (8.57) амплитуда колебания частоты со0 плавно возрастает
от нуля до HyU.
На интервале (т„. 2ти) при описании радиосигнала в виде (8.15)
огибающая €4(0 определяется как модуль комплексной огибающей
(8.55), а фаза <р2(0 — как ее аргумент. Запишем (8.55) в виде
/т
1 -ь/бсот
।	j Sol
1+/5сот	(8.58)

В выражении (8.58) первое слагаемое описывает затухающий про-
цесс ё~'!\ Поскольку е-4 = 0,018, то после момента времени /0 =
= ти + 4т первым слагаемым можно пренебречь. Поэтому при
/р < / < 2ти комплексную огибающую (8.58) можно описать прибли-
женным выражением:
1 + /Scot
(8.59)
Модуль и аргумент функции (8.59) соответственно определяют ам-
плитуду и фазу выходного радиосигнала:
Ф2 (О =	- arctg (8сот).
(8.60)
229
Подставляя эти значения £/2(/) и <р2(0 в выражение (8.15), полу-
чим описание выходного радиосигнала при < t < 2т„:
н.и
ВЫХ (О
cos|(co0 +8со)г +<р0]
у/1 + (8сот) ‘
(8.61)
где <ро = —arctg(8coT). Выражение (8.61) описывает гармоническое
колебание с постоянной амплитудой и частотой, равной (Оо + 5со.
Таким образом, скачок частоты входного радиосигнала в мо-
мент времени t = ти приводит к постепенному уменьшению ампли-
туды выходного радиосигнала от значения HqU но НQU/ д/1+(8сот)2.
В это же время происходит процесс постепенного возрастания час-
тоты от значения соо до С0о + бсо (рис. 8.11). Примерно к моменту
k = хи + 4т на выходе фильтра получим колебание вида (8.61).
Начиная с момента времени z = 2ти, на выходе резонансного
фильтра имеем затухающие колебания с частотой, близкой к резо-
нансной частоте соо = сор:
I/_.(/) = Ле"f/T cos(cv+a),	(8.62)
где постоянные Лиа могут быть определены из (8.56).
Таким образом, при прохождении ЦЧМ-радиосигнала через ре-
зонансный фильтр возникающие линейные искажения проявляют-
ся в изменении амплитуды выходного радиосигнала. Кроме того, в
выходном радиосигнале переход от частоты соо к частоте соо + Sco
происходит не скачкообразно, а плавно, т.е. нарушается закон
ЦЧМ.
wBX(Z)
2ти
^вых(0
*и Zo
б
2ти
Рис. 8.11. Изменение частоты радиосигнала на входе (а)
и выходе (б) полосового фильтра
8.7.	Воздействие радиосигнала с угловой модуляцией
на полосовой фильтр
На полосовой фильтр с комплексной частотной характеристикой
(8.3) воздействует радиосигнал с тональной угловой модуляцией
ичх (О = Uc°s(co(JZ + т sin Qz).
(8.63)
Резонансный фильтр настроен на несущую частоту соо = сор.
Для опенки характера линейных искажений радиосигнала (8.63)
при полосовой фильтрации применим метод мгновенной частоты.
Метод мгновенной частоты — приближенный метод анализа
прохождения радиосигналов с угловой модуляцией через избира-
тельные цепи, основанный на предположении о достаточно мед-
ленном изменении частоты входного сигнала
со(/) = со0 + wQcosQz,	(8.64)
что позволяет пренебречь переходными процессами в цепи.
Предположим, что функция (8.64) практически не меняется на
протяжении отрезка Го = 2л/соО- Такое допущение справедливо при
значении Q << соо. При этом условии амплитуду и фазу колебания
на выходе цепи можно приближенно определить по АЧХ и ФЧХ
цепи так же, как в стационарном режиме, т.е. предполагается, что
стационарные колебания на выходе цепи устанавливаются мгновен-
но — почти одновременно с изменением частоты входного сигнала.
Такое предположение тем ближе к истине, чем больше период
модуляции 2лД2 и чем меньше постоянная времени цепи т. Так
как величина т обратно пропорциональна полосе пропускания
цепи Дсо, то неравенство
П« Дсо=2/т
(8.65)
является одним из условий применимости метода мгновенной час-
тоты .
При одной и той же частоте Q скорость изменения мгновенной
частоты (8.64) зависит от величины т£1, поэтому должно быть на-
ложено ограничение и на отношение Ml/Дсо. В результате с учетом
выражения (8.65) получим следующее условие применимости мето-
да мгновенной частоты:
wQt« 1.	(8.66)
231
При выполнении данного условия выходной сигнал можно оп-
ределить с помощью выражения
«вых (О =	(Z)cos[co0z + т sin S2Z + <pBUX(z)J,
где
^вых(') = Я[со(/)К7; <рвьп(z) = <P/,[tt>(Z)].
(8.67)
(8.68)
Формулы (8.67), (8.68) выражают содержание метода мгновен-
ной частоты: амплитуду выходного сигнала £/ВЬ1Х(0 находим с помо-
щью АЧХ Я(со) путем замены частоты со на мгновенную частоту
входного сигнала со(/), а фазу <pBbR(0 — путем замены в ФЧХ ср/Хсо)
частоты со на мгновенную частоту со(/).
Таким образом, подставив в выражения (8.4) и (8.5) вместо час-
тоты со функцию (8.64), находим
*/вых (0 =
-J1+(?kQt)2 cos2 £2/
(8.69)
<рвьк(0 = -arctg(wQxcosQ/).	(8.70)
Из выражения (8.69) следует, что амплитуда выходного сигнала
изменяется во времени. Форма t7BbK(r), полученная путем графиче-
ских построений, показана на рис. 8.12, а, из которого видно, что
t/Cblx(Z) — периодическая функция с частотой повторения, равной
2£2. Причиной появления переменной амплитуды выходного сиг-
нала является неравномерность АЧХ цепи.
Нежелательное изменение амплитуды выходного сигнала мож-
но рассматривать как паразитную амплитудную модуляцию. Ампли-
туда С4ых(0 изменяется в пределах от максимального значения
= HJJ до минимального
ГП«л	V
6'лш, = W(J(//71 + (m£-2T)2.
Глубину паразитной AM определяем коэффициентом:
^АМ
^max	^1 + (/w£1t)2 +1
(8.71)
Закон угловой модуляции выходного радиосигнала, определяе-
мый функцией
V(/) = wsinQr + <pBbtx(r),
232
(8.72)
Рис. 8.12. Графическое определение амплитуды (а)
и фазы (б) выходного сигнала
отличается от тональной угловой модуляции наличием слагаемого
Фвых(/)- Форма фвых(/), полученная путем графических построений, по-
казана на рис. 8.12, б, из которого видно, что <рвых(0 ~ cosQr.
Для более точной оценки характера зависимости qwCO преоб-
разуем выражение (8.70). Используя формулу разложения
arctg(x) = x-x3/3+... при |х|<1,
запишем приближенное выражение:
Фвых(О ~ -тЯяcos£lt+-3 cos3	+ ....
Далее, учитывая, что cos3 х = (3cos х +cos 3x)/ 4, получим
Фвых(0 = -wQt+-(/??Qt)3 .COSQ/+—(mQt)3 cos3Q/+....
4	12
(8.73)
233
Из выражения (8.73) следует, что искажение закона тональной
угловой модуляции вызвано появлением гармоники на частоте 3Q.
Однако при выполнении условия (8.66) амплитуда этой гармоники
пренебрежимо мала.
Таким образом, чем сильнее неравенство (8.66), тем слабее эф-
фект полосовой фильтрации входного радиосигнала.
Пример. На последовательный колебательный контур (см. рис.
7.3) воздействует ЧМ-рад и ос и гнал с параметрами: несущая частота
16 МГц, частота модуляции 8 кГц, индекс модуляции 20. Доброт-
ность контура, настроенного на несущую частоту, равна 50. Опре-
делим коэффициент паразитной амплитудной модуляции выходно-
го радиосигнала.
С учетом постоянной времени контура т = 2(2/«р из выражения
(8.71) получим следующую формулу:
_^l + 4(Q»)Q/co[,)2 I
*АМ /	г
^1+4(ОШсор)- +1
Подставляя сюда заданные значения параметров, находим КАМ ~
= 0,17.
Контрольные вопросы и задания
1.	Каковы условия неискаженной передачи радиосигналов узкопо-
лосной линейной цепью?
2.	В чем состоит метод комплексной огибающей?
3.	Что понимают под низкочастотным эквивалентом полосового
фильтра?
4.	В чем проявляется эффект полосовой фильтрации прямоугольного
радиоим п ул ьса?
5.	Каковы линейные искажения радиосигнала с тональной AM поло-
совым фильтром?
6.	В чем проявляется эффект полосовой фильтрации радиосигнала
при цифровой фазовой модуляции, при цифровой частотной моду-
ляции?
7.	Когда применяют метод мгновенной частоты и в чем он состоит?
8.	Каковы искажения радиосигнала с тональной угловой модуляцией
полосовым фильтром?
9.	На колебательный контур (рис. 7.3) воздействует AM-радиосигнал
zzBX(/) = 10(1 +0,8 cos2 л • 104 /) cos2 л • 106/ В.
Контур настроен на несущую частоту2, полоса пропускания 20 кГц.
Вычислите коэффициент модуляции выходного радиосигнала.
234
10.	ДМ-радиосигнал с частотой модуляции 10 кГц и несущей 1 МГц
воздействует на контур, настроенный на несущую частоту. Чему
должна быть равна добротность контура, чтобы огибающая выход-
ного радиосигнала была сдвинута относительно огибающей вход-
ного на 60°?
11.	На колебательный контур (см. рис. 7.3) воздействует ЧМ-радиосиг-
нал
wDX(/) = 2 cos(107/+10sinl040 В.
Параметры контура L — 100 мкГн, С = 100 пФ, добротность Q= 50.
Найдите закон изменения мгновенной частоты выходного радио-
сигнала.
12.	На колебательный контур (см. рис. 7.3) воздействует прямоуголь-
ный радиоимпульс длительностью 2 мс. Частота заполнения радио-
импульса равна резонансной частоте контура 100 кГц. Определите
максимально допустимую добротность контура, при которой за
время 2 мс огибающая выходного радиоимпульса увеличивается до
0,9 от максимального значения.
13.	На колебательный контур (см. рис. 7.3) воздействует ЦФМ-радио-
сигнал, несущая частота которого равна резонансной частоте кон-
тура 3 МГц. Длительность элементарной посылки радиосигнала
Т= 10 мкс. При какой добротности контура моменты скачкообраз-
ного изменения фазы выходного радиосигнала запаздывают по от-
ношению к входному радиосигналу на величину Т/4?
ГЛАВА 9
ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ
9.1.	Задача оптимальной линейной фильтрации
и выбор критерия оптимальности
На входе радиоприемника, кроме полезного сигнала, всегда
присутствуют помехи, поэтому требуется обработка принятого сиг-
нала с целью выделения сигнала из его смеси с помехами. Основой
большинства практических методов выделения сигналов из помех
является линейная фильтрация, использующая частотную избира-
тельность линейных цепей (линейных фильтров).
Оптимальным называют такой фильтр, который решает задачу
выделения сигналов на фоне заданных помех наилучшим образом.
При построении оптимального фильтра необходимо указать крите-
рий оптимальности, т.е. выбрать количественную меру качествен-
ного понятия «наилучшим образом».
Выбор критерия оптимальности связан с характером задач, ре-
шаемых приемным устройством:
•	обнаружение сигналов;
•	восстановление сигналов.
Задача обнаружения сигнала состоит в установлении факта его
наличия или отсутствия. Иными словами, требуется получить ответ
на вопрос: имеется на входе приемника сигнал или только помеха.
Вероятность обнаружения сигнала на фоне помех максимальна при
максимальном отношении сигнал/шум. Поэтому для задачи обна-
ружения сигнала наиболее подходит критерий максимизации (мак-
симума) отношения сигнал/шум на выходе фильтра.
Задача обнаружения сигнала известной формы характерна для
радиолокации. Здесь принимаемый сигнал представляет собой не-
которую копию зондирующего сигнала, которая формируется за
счет отражения зондирующего сигнала облучаемым объектом. Тре-
буется установить лишь факт наличия отраженного сигнала.
236
Аналогичная задача решается в цифровых системах радиосвязи,
в которых передаваемое сообщение преобразуется в последователь-
ность двоичных символов. Затем каждый из двоичных символов
представляется сигналом. Например, наличие импульса означает 1,
отсутствие — 0. При этом важно, чтобы в приемном устройстве
принимались правильные решения относительно присутствия или
отсутствия принимаемых импульсов. Однако принять правильное
решение при наличии интенсивных помех довольно сложно, по-
этому вероятность принятия правильного решения максимальна
при максимальном отношении сигнал/шум. Пример воздействия
шума на цифровой сигнал показан на рис. 9.1, из которого видно,
что случайного шума достаточно для изменения 1 на 0 или 0 на 1.
При данном уровне шума следует ожидать, что сигнал большей ин-
тенсивности может оказаться неповрежденным.
Задача восстановления сигнала состоит в том, чтобы получить
принятый сигнал, наименее отличающийся от переданного сигна-
ла, т.е. восстановить форму переданного сигнала. При этом пере-
данный сигнал заранее неизвестен. Для задачи восстановления сиг-
нала наиболее подходит критерий минимизации (минимума) средне-
квадратической ошибки между принятым и переданным сигналами
на выходе фильтра.
Переданные
данные
0	1 0
0	0
0	0
0	1	0
Сигнал
Шум
Сигнал и шум
Моменты
сравнения
Полученные
данные
010110111001000
Ошибочные
символы
Рис. 9.1. Воздействие шума на цифровой сигнал
237
Задача восстановления сигнала возникает в аналоговых систе-
мах радиосвязи, в которых сообщения (речь, музыка) передаются в
виде аналоговых сигналов; она является более трудной, чем задача
обнаружения, так как от приемника требуется высокая точность
восстановления.
9.2.	Оптимальная линейная фильтрация
детерминированных сигналов
Определим частотные характеристики оптимального линейного
фильтра, способного обеспечить на выходе максимально возмож-
ное для данного сигнала отношение сигнал/шум (С/Ш).
Пусть на вход линейного фильтра поступает аддитивная смесь
сигнала и шума:
wbxW = wi(/)+«i(0,	(9-0
где Mi(Z) — известный сигнал; n\(f) — стационарный гауссовский
шум. Сигнал задан спектральной функцией ^(со), а шум — спек-
тральной плотностью мощности
К линейному фильтру применим принцип суперпозиции, по-
этому на выходе фильтра также будет присутствовать аддитивная
смесь сигнала и шума:
«Bb.x(',)="2W+« >(/),
(9.2)
где м2(0 — выходной сигнал; n2(t) — выходной шум.
Определим отношение сигнал/шум на выходе фильтра как от-
ношение мгновенной мощности выходного сигнала к средней
мощности выходного шума. Мгновенная мощность выходного сиг-
нала согласно выражению (2.4) есть
р2 (/)=£/£(/),
(9.3)
а средняя мощность выходного шума — это дисперсия шума D2 =о2,
следовательно, отношение сигнал/шум определяется как
C_ = w|(0
Ш о* •
(9.4)
Нужно найти такой линейный фильтр, который обеспечит в не-
который момент времени г0 максимальное отношение:
—»max.
(9.5)
Сигнал и2(/) можно выразить через комплексную частотную ха-
рактеристику фильтра Н(ка) с помощью формул (7.47) и (7.48):
со
«2(/) = -!-	(9.6)
2л J
 <ю
Мощность шума на выходе фильтра определяяют формулой (7.60):
со
а 2 = — Г И2 (а>)(Г, (а>)Ло.
2л J
(9.7)
Подставляя формулы (9.6) и (9.7) в выражение (9.5), получим:
оо
f //(/со)^(со)е'“'"</со
2л 7 ,
Н2 (coJJK, (со)<Ло
(9.8)
Найдем теперь значение //(/со) = /7опт(/со), при котором отноше-
ние (С/Ш)о достигает максимума. Для этого воспользуемся извест-
ным в математике неравенством Коши-Буняковского:
ОЭ	сю
JI f (х)|2 dx JI g(x)|2 dx.
—DO	—CO
(9.9)
Равенство в выражении (9.9) достигается при выполнении условия
f(x) = kg'(x),
(9.Ю)
где к — произвольная постоянная, а знак * обозначает комплексное
сопряжение. Запишем выражение, стоящее в числителе правой
части формулы (9.8), в виде
сю
J (и)
лМ (со)
Ш
Если отождествить
239
с /(x);	<ю)с g(x),
(«)
то на основании выражения (9.9) можно записать следующее нера-
венство:

< [[//(KolV^coMco
(9.11)
'|J>|to)16'co.
„ (®)
Подстановка неравенства (9.11) в выражение (9.8) дает:
(9.12)
При этом максимальное отношение сигнал/шум равно
max
Ш
2л 1 И'Дсо)
(9.13)
Равенство в (9.11) и, следовательно, в (9.12) получается только
при использовании в (9.11) оптимальной частотной характеристики
фильтра Яопт(/со). Применив условие (9.10), получим равенство
Нопт (КО)^ (СО) = к
• ф
(Ф) - i(9/()
хИ и
откуда находим
опт ('«) = к
-'“'о
(9.14)
Формула (9.14) определяет требования к частотной характери-
стике оптимального фильтра, обеспечивающего максимально воз-
можное отношение сигнала к шуму на выходе.
Учитывая, что
51(со) = |5|(со)|е'<Р|<ш|;
51*(со) = |5,1(<й)|е"'ф|(“>,
запишем выражение (9.14) в виде
240
MeЛ
IS, (<о)1
Ж, (со)

Отсюда получим следующие выражения АЧХ и ФЧХ оптималь-
ного фильтра'.
Нот (со) = к 1^1
^1 (СО)
ФО1„ (©) = -<?! (со)-ю/0.
(9.15)
(9.16)
Из выражения (9.15) следует, что АЧХ (коэффициент передачи)
оптимального фильтра зависит от отношения модуля спектральной
функции (амплитудного спектра) входного сигнала u\(t) к спек-
тральной плотности мощности входного шума Л|(/): чем больше это
отношение, тем больше коэффициент передачи. Таким образом,
чем существеннее различие в спектрах сигнала и шума на входе, тем
больше отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра.
Используя выражение (9.16), можно определить фазовый
спектр выходного сигнала w2(0 как
Ч>2 И = Ф| И + <ро,„ (со) = - <О/о.
(9.17)
Это означает, что в момент времени to все спектральные составляю-
щие сигнала складываются синфазно, т.е. имеет место компенсация
их начальных фаз. Поэтому в момент /0 выходной сигнал м2(0 имеет
максимальное значение, что обеспечивает максимизацию отноше-
ния сигнал/шум на выходе оптимального фильтра.
9.3.	Согласованная фильтрация детерминированных
сигналов
Рассмотрим случай, когда на вход оптимального фильтра посту-
пает аддитивная смесь сигнала u\(t) известной формы и белого шума
n\(t). Учитывая, что спектральная плотность мощности белого
шума ЖКсо) = %, из формулы (9.13) получим
max

или
241
( С
max —
1Ш
(9.18)
и/ '
о
где £i — энергия сигнала Wi(/), определяемая выражением (3.28).
Следовательно, максимальное значение (С/Ш)о зависит от энергии
входного сигнала и спектральной плотности мощности белого
шума, но не зависит от конкретной формы сигнала.
Частотную характеристику согласованного фильтра Нот(к$) нахо-
дим следующим образом. В выражении, стоящем в числителе пра-
вой части (9.8), отождествим с Дх) и 5j(co)e'wz" с g(x) и вос-
пользуемся условием (9.10). В результате получим
(/(0) = Л51*(й)Г'в'».
(9.19)
Формула (9.19) определяет требования к частотной характери-
стике оптимального фильтра, обеспечивающего максимально воз-
можное отношение сигнала к белому шуму на выходе. Из этой же
формулы следует, что АЧХ фильтра имеет вид
Яопт (со) = Л| 3, (со)|.	(9.20)
ФЧХ определяют из выражения (9.16). АЧХ (9.20) повторяет
модуль спектра (амплитудный спектр) сигнала щ(/). Иными слова-
ми, АЧХ фильтра согласована с амплитудным спектром входного
сигнала. Такой фильтр называют согласованным фильтром.
Поясним работу согласованного фильтра на основе анализа вы-
ражения (9.20). На тех частотах, где уровень сигнала выше уровня
шума, коэффициент передачи фильтра велик. Там же, где уровень
шума выше уровня сигнала, коэффициент передачи фильтра мал.
На тех частотах, где спектр сигнала равен нулю, коэффициент пе-
редачи фильтра должен быть равен нулю, чтобы полностью пода-
вить шум.
При этом ФЧХ фильтра (9.16), как уже отмечалось, обеспечива-
ет синфазное сложение всех спектральных составляющих выходно-
го сигнала в момент /0- Это означает, что в момент /о все состав-
ляющие сигнала участвуют в формировании его максимума.
Импульсную характеристику согласованного фильтра Лопт(/) опре-
делим соотношением (7.24):
со	оо
V (/) =	'^о„т ('И)Ао= fЛ’(со)<?-"“'“е'“'<Ло.
2лД	2л Д
(9.21)
242
a
Рис. 9.2. Сигнал (а), его зеркальное отображение (б) и импульсная характеристика
согласованного фильтра (в)
Учитывая, что (со) = 5, (-со), и переходя к новой переменной х = —со,
перепишем выражение (9.21):
сю	оо
й„„ (') = ~ f S| (X) е~“* '-'"'dx = A f 5, (х) e/v( '°~"dx = ки, (/„ -/).
2лД	2лД
Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильт-
ра равна:
л„„т (0=ь, (/„ - f>.
(9.22)
Поскольку для физически реализуемого фильтра honi(t) = 0 при
значении t< 0, то интервал |0, /0] должен быть не меньше длитель-
ности входного сигнала.
В формуле (9.22) и на рис. 9.2 отражено основное свойство со-
гласованного фильтра: импульсная характеристика такого фильт-
ра — это зеркальное отображение сигнала с некоторой задержкой
(относительно оси / = 0). Следовательно, для сигнала Wi(/) его зер-
кальное отображение равно /), а зеркальное отображение, за-
паздывающее на /0, — это «1(/о — г).
Сигнал с/2(0 на выходе согласованного фильтра определяют спек-
тральным методом, согласно которому
« 2 (О
со
опт
(/со) 5, (co)e/0>z //СО =
ею
А: г
2л •
/t0(/	(9.23)

Учитывая, что ^(со)5|(со) =|перепишем выражение (9.23):
ею
U2(t) = —  IS,(со)|2 e'^'^'deo.
2л J
-оо
(9.24)
Сравнив выражение (9.24) с (3.90) видим, что выходной сигнал
можно представить в виде
243
a
Рис. 9.3. Сигналы на входе (с) и выходе (б) согласованного фильтра
w2(r) = A^(r-r0).	(9.25)
Согласно выражению (9.25) выходной сигнал с точностью до по-
стоянного множителя к воспроизводит во времени корреляцион-
ную функцию входного сигнала /?,(т) при замене т = t—to (рис.
9.3). Выходной сигнал достигает максимума в момент /0 = когда
все спектральные составляющие складываются синфазно.
Отметим, что согласованный фильтр существенно изменяет
форму входного сигнала. Однако при решении задачи обнаружения
сигнала в шумах условие сохранения его формы не ставится.
9.4.	Реализация согласованных фильтров
Синтез согласованного фильтра для заданного сигнала заклю-
чается в подборе такой линейной системы, импульсная характери-
стика которой удовлетворяла бы уравнению (9.22), а частотная ха-
рактеристика — уравнению (9.19). При этом достаточно выполнить
синтез только временном (по импульсной характеристике) или
только спектральным методом (по частотной характеристике).
Согласованный фильтр для прямоугольного импульса построим,
используя спектральный метод синтеза. Импульс имеет амплитуду
U и длительность т„ (рис. 9.3, а). Определим спектральную функ-
цию импульса:
5, (со) = U [ e~i(,)ldt = —(1-е~'“т
i ™
Подставив в выражение (9.19) комплексно сопряженную функцию
(9.26)
5, (со) = —(1-е
—/СО
IWT „
и положив to = тн, находим комплексную частотную характеристи-
ку согласованного фильтра:
244
Рис. 9.4. Структурная схема согласованного фильтра
для прямоугольного импульса
Нопт(/со) =—(l-e"/m”).
/(D
(9.27)
Полученную частотную характеристику можно реализовать с
помощью фильтра, структурная схема которого изображена на
рис. 9.4. Согласно выражению (9.27) в состав схемы входят:
•	идеальный усилитель с коэффициентом усиления к\
•	идеальный интегратор (интегрирующая цепь) с коэффициен-
том передачи l/(Zco);
•	линейная цепь с коэффициентом передачи е~'ШТи, осуществ-
ляющая задержку сигнала на время ти;
•	вычитающее устройство.
Согласованный фильтр для прямоугольного радиоимпульса постро-
им, используя взаимное соответствие согласованных фильтров для
видеоимпульсов и радиоимпульсов. Такое соответствие следует из
взаимосвязи между частотными характеристиками этих фильтров.
Согласно выражению (3.61) спектральная функция радиоим-
пульса в области положительных частот будет:
5п(со)=-5(со-со0), а» О,
2
где 5(со) — спектральная функция его огибающей (видеоимпульса);
(Do — несущая частота.
На основании выражения (9.19) фильтр, согласованный с ра-
диоимпульсом, имеет частотную характеристику:
где к\ и /] — постоянные. Поскольку частотная характеристика
фильтра, согласованного с огибающей радиоимпульса, есть
Яопт(«о)=АГ(ш)е-'“'«.
то, положив к --кхе
2
и = 6, получаем соотношение
245
Рис. 9.5. Структурная схема согласованного фильтра
для прямоугольного радиоимпульса
tfp.onr ('“) = ^опт ['(W-СОо )1
(9.28)
устанавливающее связь между частотными характеристиками со-
гласованных фильтров для радиоимпульса и его огибающей.
Таким образом, для получения частотной характеристики
фильтра, согласованного с прямоугольным радиоимпульсом, доста-
точно в выражении (9.27) заменить со на со — cDq:
Н Oto) = ki' 11	1 = —к-^—	). <9-29)
/(СО-СО0)	/((0-(00)
Будем считать, что длительность импульса ти кратна периоду
То = 2л/сОо, при этом фаза соо? кратна 2л. Тогда выражение (9.29)
упрощается:
кН
Нp om (to) - (I -е'"*1'").
/(со—со^)
(9.30)
Частотную характеристику (9.30) можно приближенно реализо-
вать с помощью фильтра, структурная схема которого показана на
рис. 9.5. Этот фильтр имеет много общего с согласованным фильт-
ром для прямоугольного импульса (см. рис. 9.4). Отличие сводится
к замене идеального интегратора на идеальный колебательный
контур (КК) без потерь с частотной характеристикой
//(/со) =
который можно рассматривать как интегратор для огибающей ра-
диоимпульса на несущей частоте соо-
Преобразование прямоугольного радиоимпульса согласованным
фильтром иллюстрирует рис. 9.6.
Согласованный фильтр для радиоимпульса с линейной частотной
модуляцией. Если на вход согласованного фильтра поступает
ЛЧМ-импульс
246
Рис. 9.6. Сигналы на входе (л) и выходе (б) согласованного фильтра для
прямоугольного радиоимпульса
W|(/) = t/COS С00/+—
с большой базой, то его спектральная функция 5, (оз) в пределах по-
лосы частот шириной Дсос (см. рис. 4.16, а) имеет практически по-
стоянный модуль
|5,«о)| = пГД
V 2а
(9.31)
и аргумент, который квадратично зависит от частоты:
(<о-со0)2
Ч>| (ю) = —	•
2а
(9.32)
Подставив выражение (9.31) в формулу (9.20) и (9.32) в (9.16).
получим выражения для АЧХ и ФЧХ согласованного фильтра:
ОПТ 6'Л kU
со0 - Дсо< со< со0 + Дсо;
, . (СО-СОл)’
Фонт М = —-----------сог 0, соо - Дсо< со< со0 + Дсо.
2а
(9.33)
(9.34)
Здесь Дсо — девиация частоты.
Таким образом, согласованный фильтр должен иметь прямо-
угольную АЧХ. Строго прямоугольная АЧХ практически неосуще-
ствима, поэтому при реализации согласованного фильтра исполь-
зуют полосовой фильтр с АЧХ, близкой к прямоугольной.
247
Из выражения (9.34) следует, что согласованный фильтр осуще-
ствляет задержку спектральных составляющих сигнала на время
_ Фонт (®) _ , (О-Wo _ ,	“"“О _
— —---------[-----------[	L
Ло	а	2 Дсо
(9.35)
Здесь использовано значение параметра а из выражения (4.37).
Согласно формуле (9.35) задержка /3 = /3(со) является линей-
но-убываюшсй функцией частоты. Это явление зависимости вре-
мени задержки от частоты называют дисперсией, характеристику
(9.35) — дисперсионной характеристикой, а устройство с такой ха-
рактеристикой — дисперсионным фильтром, или дисперсионной
линией задержки.
Таким образом, согласованный фильтр для ЛЧМ-импульса мо-
жет быть выполнен в виде сочетания двух четырехполюсников
(рис. 9.7): полосового фильтра (ПФ) с АЧХ, близкой к прямоуголь-
ной, и дисперсионной линии задержки (ДЛЗ).
Определим полезный сигнал на выходе согласованного фильт-
ра. Основываясь на соотношении (9.25) и используя выражение
для корреляционной функции (4.54) ЛЧМ-импульса, запишем:
и2 (/) = - кU2т „ sincf Дсо(/ -ти )|cos соо (г-ти)
или
и 2 (/) = U2 (t) cos С00 (/ - Т и ),
где огибающая
{/2(0 = -^С72ти sincf Дсо(/ - ти)1
(9.36)
(9.37)
Отметим, что ФЧХ согласованного фильтра (9.34) компенсиру-
ет фазовый спектр сигнала (9.32). В результате на выходе согласо-
ванного фильтра частотная модуляция сигнала снимается. Выход-
ной сигнал (9.36) имеет высокочастотное гармоническое заполнение
с частотой соо- Амплитуда выходного сигнала изменяется по закону
Вход
ПФ
*- ДЛЗ
Выход
sinc(x) = (sin х)/х, где х = Дсо(/— ти). В
момент времени /=ти амплитуда имеет
максимальное значение.
Рис. 9.7. Структурная схема со-
гласованного фильтра для
ЛЧМ-импульса
Преобразование ЛЧМ-сигнала со-
гласованным фильтром иллюстрирует
рис. 9.8.
248
б
Рис. 9.8. Сигналы на входе (а) и выходе (б) согласованного фильтра
Определим длительность выходного сигнала как ширину глав-
ного лепестка, отсчитываемую по нулевым точкам й = ти(1 — \/В) и
/2 = ти(1 + 1//?), гДе В ~ база ЛЧМ-импульса (см. рис. 4.17). Тогда
Гвых — h — А = 2/Я При этом отношение
/тиьи=Д/ т„=Б/2.
(9.38)
Поскольку В » 1, то ти >> твых, т.е. происходит укорочение, или
сжатие импульса. Отношение тиЛвых = &сж называют коэффициен-
том сжатия.
Метод сжатия импульса широко применяют в радиолокации,
так как он позволяет удовлетворять противоречивые требования
повышения дальности обнаружения и разрешающей способности.
Дальность обнаружения повышается при использовании зонди-
рующих сигналов с большой энергией. Увеличение энергии воз-
можно за счет увеличения мощности или длительности сигнала.
249
Мощность ограничена сверху возможностями генератора, поэтому
проше повышать энергию путем увеличения длительности сигнала.
Однако сигналы большой длительности обладают плохим разреше-
нием по дальности. При сжатии импульса разрешающая способ-
ность определяется величиной твых, существенно (в 2/А раз) отли-
чающейся от длительности входного сигнала.
9.5.	Квазиоптимальные фильтры
Точная реализация согласованного фильтра является сложной
задачей. Это обусловило применение квазиоптимальных фильтров.
Квазиоптимальный фильтр — это линейный фильтр, форма частот-
ной характеристики которого сравнительно легко реализуется и за-
дана заранее, а максимальное отношение сигнал/шум обеспечива-
ется лишь соответствующим подбором полосы пропускания.
Отношение сигнал/шум на выходе квазиоптимального фильтра
меньше, чем на выходе оптимального. Потери оценивают так:
(С/Ш)огп
(С/Ш)копт
(9.39)
где (С/Ш)копт и (С/Ш)опт — отношение сигнал/шум на выходе ква-
зиоптимального и оптимального фильтров. Как правило, значение
полосы пропускания квазиоптимального фильтра малокритично:
при отклонении полосы пропускания от ее оптимального значения
нс более чем в 1,5 раза проигрыш в энергии сигнала не превышает
1 дБ.
Квазиоптимальным фильтром для прямоугольного импульса может
служить АС-цепь (рис. 7.2). Параметром, для которого должно
быть выбрано оптимальное значение, является постоянная време-
ни АС-цепи т = АС или обратная ей величина 1/т = 1/АС, опреде-
ляющая полосу пропускания.
Прохождение прямоугольного импульса через АС-цепь рассмат-
ривалось ранее в подразд. 7.3. Из рис. 7.8, б видно, что максималь-
ное значение выходного сигнала достигается в момент t = ти. На
основании формулы (7.45) находим
Определим дисперсию выходного шума. Подставляя в формулу
(9.7) значение АЧХ АС-цепи из формулы (7.30) и И^со) = за-
пишем
250
о2 = ^0 7 da
2л 2.1+со2т2
(9.40)
Выполним замену переменной х = сот и учтем, что (14-х2) dx-
= arctgx. В результате из выражения (9.40) получим формулу
(9.41)
Следовательно, максимальное отношение сигнал/шум на выхо-
де АС-не пи равно
g22	^0/(2t)
или
'£1	- £i (1-е~т"Л)2
^IuJkoht ^0 т„/(2т)
(9.42)
где £, = и\, — энергия прямоугольного импульса. Согласно фор-
муле (9.18) величина Д/И-о = (С/Ш)„пт. поэтому выражение (9.42)
примет вид
(9.43)
где обозначено
2(1-ГТн
(9.44)
Выражение (9.44) оценивает проигрыш данного квазиоптималь-
ного фильтра (АС-цепи) по сравнению с согласованным фильтром.
Видно, что этот проигрыш зависит от величины отношения ти/т.
Введем безразмерный параметр х = ти/т и рассмотрим функцию
(9.45)
На графике функции Г|(х), изображенной на рис. 9.9, видно, что
при х = 1,25 функция т|(х) достигает максимума, равного 0,81.
251
nW
0,8-
0,6 •
0,4-
0,2 b
При этом отношение сигнал/шум
на выходе АС-цепи имеет максималь-
ное значение:
1	2	3	4	5 х
max
= 0,81
Рис. 9.9. Зависимость отношения
сигнал/шум на выходе /?С-цепи
от параметра х - т/т
Рассмотрение зависимости отноше-
ния сигнал/шум на выходе АС-цепи от
параметра ти/т (см. рис. 9.9) показыва-
ет слабую критичность оптимального
значения т = АС. Как видно, отношение сигнал/шум изменяется не-
значительно при изменении т в окрестности точки ти/т = 1,25.
9.6.	Оптимальная линейная фильтрация
случайных сигналов
В общем случае во время приема форма полезного сигнала за-
ранее неизвестна и его следует рассматривать как случайный сиг-
нал. Кроме того, на полезный случайный сигнал накладывается
помеха. Задача оптимальной фильтрации состоит в выделении по-
лезного сигнала с минимальной среднеквадратической ошибкой.
Пусть на вход линейного фильтра с комплексной частотной ха-
рактеристикой //(/со) одновременно воздействуют полезный сигнал
и(1) и помеха (шум) и(г), которые являются реализациями стацио-
нарных гауссовских случайных процессов. Предполагается, что эти
случайные процессы статистически независимы друг от друга.
Реализация y(f) выходного сигнала фильтра не является копией
полезного сигнала u(t), а отличается от него на величину
e(/) = zz(r)-y(/),
(9.46)
которую называют сигнальной ошибкой.
Задача оптимальной линейной фильтрации сводится к выбору
такой частотной характеристики фильтра //(/со), которая миними-
зирует средний квадрат (дисперсию) сигнальной ошибки.
Зададим полезный сигнал и шум, действующие на входе фильт-
ра, спектральной плотностью мощности И^(со) и И^Хсо). Если бы
шум отсутствовал, то дня неискаженной передачи полезного сигна-
ла необходимо выполнение условия = 1 для всех значений со,
252
для которых И^(со) ф 0. Искажения сигнала на выходе фильтра при
наличии шума состоят из двух составляющих.
Первая — составляющая от шума, прошедшего через фильтр. В
соответствии с выражением (7.60) дисперсия этой составляющей
равна:
оо
2(w)H,„I(ro)Jro.
(9.47)
Вторая — составляющая, вызванная искажением полезного сиг-
нала фильтром вследствие отличия H(id) от I:
оо
ст2 = _!_ f| /7((Ю)-1|2 Ц/с(со)rf(0.
2п J
(9.48)
Поскольку эти искажения независимы, то суммарная дисперсия
сигнальной ошибки равна:
оо
= — f Н2 (а)Жш (го) 4/ГО+— 11 H(ia) -112 1Д (го) 6'0).
2лJ	2nJ
(9.49)
Представим комплексную частотную характеристику фильтра в
виде
Я(1ы) = /7(го)е'ф',<ш)
и рассмотрим выражение
|Я(/со)-1|2 = Я2(со)-2/7(со)cos <p/z(co)+l.
(9.50)
Величина (9.50) минимальна при значении ср/Дсо) = 0. Этот случай
соответствует действительной частотной характеристике фильтра,
обеспечивающей передачу спектральных составляющих входного
сигнала без фазового сдвига. С учетом этого перепишем выражение
(9.49):
1
2л
cjO
J {Н2 (со)!Гш(го)+| Я (го) - 1J2 ИД (го)} Ао.
(9.51)
Выполнив преобразования подынтегрального выражения, пред-
ставим формулу (9.51) в следующем виде:
253
— f Я (<9)7^ (Сй) + И/ш (CO) -
2л
(<о)
М (со)+(Ти «о) _
| Жс (со)1Гш (со) ]
Wc (со) + (со) j
(9.52)
е
Поскольку оба слагаемых подынтегрального выражения в урав-
нении (9.52) нс отрицательны, а второе слагаемое от величины
//(со) не зависит, то оптимальное значение Я(со) должно обращать в
нуль выражение в квадратных скобках в выражении (9.52). Поэто-
му минимум дисперсии сигнальной ошибки будет в том случае, если
Я(со)71ГДсо) + 1^„(со) -
If., (и)
7и/с(со) + ^ш(со)
Отсюда находим частотную
фильтра:
Н ОПТ
(со)
И/с(со) + ^ш(со)’
характеристику
оптимального
(9.53)
Подставив выражение (9.53) вместо Н((£>) в формулу (9.52), по-
лучим минимальное значение дисперсии сигнальной ошибки:
.	, 1 7 И/С(со)^„(со)
cmin 27г1иис(со) + ^ш(со)
(9.54)
Заметим, что ojmin = 0 только в том случае, когда (со)ИЛ (со) = О,
J	С- 111111	w
т.е. когда спектры сигнала и шума не перекрываются. Во всех ос-
тальных случаях оптимальный фильтр пропускает спектральные
составляющие различных частот с тем меньшим весом, чем больше
отношение И7,,,(со)/И7,(со) на этих частотах.
Контрольные вопросы и задания
1.	В чем состоит задача оптимальной линейной фильтрации?
2.	Что понимают под критерием оптимальности?
3.	Каков критерий оптимальности при оптимальной линейной
фильтрации детерминированных сигналов?
4.	Какой линейный фильтр является оптимальным для обработки де-
терминированных сигналов?
5.	Что такое согласованный фильтр?
254
6.	Как связана АЧХ согласованного филыра со спектром входного
сигнала?
7.	Как определяют импульсную характеристику согласованного
фильтра?
8.	Что называют квазиоптимальным фильтром?
9.	Каков критерий оптимальности при оптимальной линейной
фильтрации случайных сигналов?
10.	От чего зависит частотная характеристика оптимального фильтра,
осуществляющего оптимальную фильтрацию случайного сигнала?
11.	Определите импульсную и частотную характеристики фильтра, со-
гласованного с сигналом
u{(t) = Ue~at, />0.
12.	Найдите частотную характеристику согласованного фильтра, если
полезный сигнал представляет собой пачку из N прямоугольных
импульсов (см. рис. 3.10).
13.	Определите частотную характеристику оптимального фильтра, если
на вход фильтра поступает сигнал
u^(t)-L'e~at. t>Q
и шум со спектральной плотностью мощности
(со) = IVfj е~ь 63 , причем b « а.
14.	Найдите частотную характеристику оптимального фильтра при по-
ступлении на его вход аддитивной смеси взаимно некоррелирован-
ных сигнала и шума, являющихся реализациями гауссовских слу-
чайных процессов. Спектральные плотности мощности сигнала и
шума соответственно равны
И/с(со) = 4/(ш2+4). И/ш(со)=со2/(со2+4).
15.	Сигнал представляет собой пачку прямоугольных импульсов, каж-
дый из которых имеет амплитуду 1 В и длительность 1 мс. Частота
следования импульсов в пачке составляет 100 Гц. Такой сигнал на-
блюдается на фоне белого шума, спектральная плотность мощно-
сти которого равна 0,001 В2/Гц. Из скольких импульсов должна со-
стоять пачка, чтобы фильтр, согласованный с таким сигналом, по-
зволил получить отношение сигнал/шум на выходе 100?
ГЛАВА 10
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ
БЕЗЫНЕРЦИОННОЙ ЦЕПИ
10.1.	Нелинейные элементы
Радиотехнические цепи, к которым неприменим принцип су-
перпозиции, относят к нелинейным цепям (см. подразд. 7.1). Боль-
шинство радиотехнических цепей — это нелинейные цепи, по-
этому изучение свойств и методов анализа нелинейных цепей
представляет особый практический интерес.
Отличительные свойства нелинейной цепи обусловлены на-
личием в ее составе нелинейного элемента. Нелинейным элемен-
том (НЭ) называют элемент цепи, параметры которого зависят
от значений тока или напряжения. Нелинейные элементы (так
же, как и линейные элементы) могут быть резистивными и реак-
тивными.
В радиотехнических цепях нелинейными элементами обычно
являются электронные приборы — полупроводниковые и электро-
вакуумные. Чаще всего используют полупроводниковые диоды и
транзисторы, которые при теоретическом анализе рассматриваются
как резистивные нелинейные элементы. При этом предполагается
безынерционность резистивного нелинейного элемента — это озна-
чает мгновенное изменение тока в элементе вслед за изменением
приложенного к нему напряжения.
Основное свойство НЭ — способность осуществлять преобразо-
вание спектра сигнала, создавая гармонические составляющие с но-
выми частотами. Для радиотехники именно это свойство НЭ явля-
ется одним из важнейших, поскольку используется для реализации
многих радиотехнических процессов.
Преобразования сигналов, обусловленные появлением в их
спектре гармонических составляющих с новыми частотами, назы-
вают нелинейными преобразованиями.
256
Нелинейные характеристики
и параметры
Основной характеристикой НЭ явля-
ется вольтам перная характеристика
(ВАХ) — это зависимость тока Z в эле-
менте от приложенного к нему напряже-
ния и : /(«). Вид ВАХ нелинейного эле-
мента определяется физическими про-
цессами, происходящими в элементе под
действием приложенного напряжения, и
Рис. 10.1. ВАХ нелинейного
элемента
оказывается различным у разных элемен-
тов. На рис. 10.1 показан возможный вид нелинейной ВАХ.
Параметром нелинейного резистивного элемента является со-
противление R(u), величина которого зависит от значений прило-
женного напряжения. Такое сопротивление называют нелинейным.
На практике нелинейный резистивный элемент называют нелиней-
ным сопротивлением.
Сопротивление НЭ зависит от того, в какой точке ВАХ его оп-
ределяют. При этом различают два вида сопротивлений — статиче-
ское и динамическое (дифференциальное).
Выделим на графике ВАХ точку с координатами (f0, w0) (см. рис.
10.1). Статическое сопротивление в этой точке определяется как
7?ст — w0 //о.	(10.1)
Это сопротивление постоянному току. Значение /Ст характери-
зуется наклоном прямой, проведенной из начала координат в точку
(/о, w0) — прямая 1 на рис. 10.1.
Дифференциальное сопротивление RA определяется как отноше-
ние малого приращения напряжения Aw к малому приращению
тока А/ в выбранной точке (/0, w0):
/?д = Aw / А/.
Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют /?д
как производную напряжения по току:
(Ю.2)
Значение Ra характеризуется наклоном касательной к ВАХ в
точке (/о, wo) — прямая 2 на рис. 10.1.
При анализе НЭ удобно пользоваться понятием дифференциаль-
ной крутизны ВАХ, определяемой как
17-3659
257
di
du'
(Ю.З)
имееющей смысл проводимости НЭ.
Значения параметров НЭ зависят от положения точки (z0, ио) на
ВАХ, т.е. при перемещении этой точки по ВАХ значения парамет-
ров изменяются.
Аппроксимация нелинейных характеристик
Обычно ВАХ получают экспериментально. Экспериментальные
данные представляются в виде графиков или таблиц. Однако для
анализа процессов в нелинейных цепях необходимо иметь анали-
тическое представление ВАХ. Замена графически или таблично за-
данной ВАХ некоторой функцией, приближенно описывающей ре-
альную ВАХ, называют аппроксимацией. Полученная в результате
аппроксимации ВАХ функция является математической моделью НЭ.
Известны различные способы аппроксимации нелинейных ха-
рактеристик.
Степенную аппроксимацию применяют при малых амплитудах
колебаний, когда ВАХ можно представить степенным многочле-
ном:
i{u) = a^ +al(u-UQ)+a2(u-U0)2+...+ak(u-U0)k.
(Ю.4)
Здесь Uq — приложенное к НЭ постоянное напряжение, называе-
мое напряжением смещения. Оно задает положение рабочей точки
на ВАХ.
Коэффициенты	определяют следующим образом.
Напряжению Uo дают приращения Д и определяют по ВАХ (рис.
10.2, а) токи /1, 4, •••> in- Подставляя значения этих токов в (10.4),
получаем систему алгебраических уравнений:
/2 =д0	+а2А2+...+апЛк,
/3 — aQ	(—Д)+я2(—Д) +-«-+4j(—Д) »
i4 =aG +^2Д +й2(2Д)2+...+<7и(2Д)*,
(Ю.5)
Решив систему уравнений (10.5), находим коэффициенты а0,
..., Ок. Число уравнений в системе (10.5) определяется числом чле-
нов ряда (10.4).
258
Рис. 10.2. Аппроксимация ВАХ: степенная (а) и кусочно-линейная (б)
Например, для аппроксимации ВАХ степенным многочленом
второй степени даем два приращения ±Д и составляем систему:
откуда находим
Эти формулы позволяют найти степенной многочлен, аппрок-
симирующий ВАХ в окрестности заданной рабочей точки.
Для ВАХ вида (10.4) дифференциальная крутизна (10.3) опреде-
ляется выражением
-a, +2a2(u-U0)+...+kak(,u-UQ}k
т.е. является нелинейной функцией. Параметр
-о —	(^о)
(10.6)
(Ю.7)
называют крутизной ВАХ в рабочей точке.
Кусочно-линейную аппроксимацию применяют при больших ам-
плитудах колебаний, когда ВАХ можно представить двумя отрезка-
ми прямых с разным наклоном (см. рис. 10.2, б):
i(u) =
S(u-t/H),
0,
и < UH.
(Ю.8)
Здесь 5— крутизна ВАХ на участке и > определяется по графи-
ку ВАХ как тангенс угла а.
259
10.2.	Преобразование гармонического сигнала
в нелинейной безынерционной цепи
Нелинейную цепь, которая не содержит реактивных элементов,
называют резистивной. Нелинейные резистивные цепи допустимо
считать нелинейными безынерционными цепями, в которых значение
выходного сигнала в любой момент времени зависит только от зна-
чения входного сигнала в
Рис. I0.3. Нелинейная безы-
нерционная цепь
этот же момент времени.
Рассмотрим процессы в простейшей
нелинейной цепи, образованной после-
довательным соединением источника
сигнала i/c(r), источника постоянного
напряжения (7о и резистивного нели-
нейного элемента — нелинейного со-
противления R(u) (рис. 10.3).
При гармоническом сигнале к НЭ
приложено напряжение
u(t) = UQ + и c(t) = UQ +Ucos^t.	(10.9)
Для определения тока в цепи /(/) необходимо задать функцию
/(«), описывающую ВАХ НЭ.
Определение тока в цепи при степенной
аппроксимации ВАХ НЭ
Ток в цепи находят простой подстановкой выражения (10.9) в
(10.4), что дает
i(0 = o0 + ^amC/"'cos'"col/.
/н=1
(10.10)
Вид функции /(/) можно получить графическим методом, как
показано на рис. 10.4, из которого видно, что гармоническое на-
пряжение приводит к появлению негармонического тока и что
/(/) — периодическая функция с периодом Т = 27i/cob где coi — час-
тота сигнала. Поэтому i(f) можно представить в виде суммы посто-
янной и гармонических составляющих:
к
i(t) = h + X Л cos ЛШ1 '•
Л=1
(10.11)
При воздействии вида (10.9) в цепи возникает ток, содержащий
только косинусоидальные составляющие.
260
Рис. 10.4. Определение формы тока в нелинейной безынерционной цепи
Для определения постоянной составляющей /0 и амплитуд гар-
моник 1п, п — 1,2, к используют тригонометрические формулы
вида
cos2 х = — (l+cos2x);
(10.12)
cos4 х = -(3+4cos2x+cos4x);
о
cos" x = —(10cosx+5cos3x+cos5x).
Подставив формулы (10.12) при x = oV в выражение (10.10), по-
сле несложных преобразований находим
/2Л#Др«+...;	<10.13>
2	2
J 4 J 16
Из выражений (10.13) следует, что постоянная составляющая и
амплитуды четных гармоник зависят только от коэффициентов с
261
четными индексами (aQ, 02, а4, ...), амплитуды нечетных гармо-
ник — от коэффициентов с нечетными индексами (яь <73,	...).
Амплитуда л-й гармоники 1п зависит от коэффициентов с индекса-
ми п и выше и нс зависит от коэффициентов с индексами, мень-
шими п.
Порядок высшей гармоники в спектре тока определяется степе-
нью аппроксимирующего многочлена (10.4).
Определение тока в цепи при кусочно-линейной
аппроксимации ВАХ НЭ
Форму тока можно определить графическим методом (рис.
10.5). Ток представляет собой периодическую последовательность
импульсов, образованную гармоническим напряжением (10.9), от-
сеченным на уровне Un — напряжение отсечки.
Описание центрального импульса этой последовательности
имеет вид
/(/) = S(U0 + Ucoscojt -Un), -0 < coj/ <0.
где 0 — фазовый угол, называемый углом отсечки. Из графиков
рис. 10.5 следует, что ток i — 0 при oV = 0. Следовательно,
(/0 +t/cos0 - Un,
откуда
cosO = (t/H-t/0)/t/.
(10.14)
С учетом формулы (10.14):
Рис. 10.5. Формирование импульсов тока при гармоническом напряжении
262
i(t) = SL^coscOj?-cos6), -0 < co,/ < 6.
(10.15)
Определим спектр тока.
Периодическую и четную функцию /(/) представим рядом Фурье:
сю
/(/) =/о + /л cos «со, Г.
Л = 1
(10.16)
Используя первую формулу (3.2), находим /0, In, п = 1, 2, ... .
Постоянная составляющая тока:
su
о — ~
(sin 0-0 cos 0).
е
J (cos СО| / -cos 0) <7(0] / ) =
(10.17)
Амплитуда первой гармоники тока:
?	SU
(cos CD, / -COS 0)COS COj/^CD /) =-
-е	71
Аналогично вычисляют амплитуды 1п гармоник тока при п = 2
SU
2 л J
(0-sin 6 cos 6).	(10.18)
5
_ 2 577 (sin я0 cos 0 - и cos/20 sin 0)
п ~	~ э 7
(10.19)
Формулы (10.17), (10.18) и (10.19) записывают в следующем
виде:
/й=5Т/у„(0), 77=0,1,2,...,
где
у о (0) = - (sin 0 -0cos 0),
л
у j (0) = — (0 - sin 0 cos 0),
л
(10.20)
(10.21)
уп(0) =----------[sin(/?0)cos0-п cos(/z0)sin 0], п > 2.
лл(/?2-1)
Иногда удобно выражать амплитуды гармоник 1п через макси-
мальное значение тока Из выражения (10.15) при значении / = 0
находим
263
lm = 5t/(l-cos0).	(10.22)
Подставив в формулу (10.20) значение SU, найденное из (10.22),
определяем амплитуды 1п через значение 1т:
л =0,1,2,...,
(10.23)
где
п rm- Y"(e)
"е "i^cos?	<10-24)
Функции ул(0) и ал(0) зависят только от утла отсечки. Соответ-
ствующие графики приведены на рис. 10.6.
y„(0)
А »л(0)
0,6
-0,1 L
б
Рис. 10.6. Графики функций угла отсечки: а — у„(6); б— а„(9)
264
Зависимость у„(0) показывает, как изменяется амплитуда гармо-
ники 1Г1, если амплитуда сигнала U постоянная, а угол отсечки в изме-
няется за счет изменения напряжения смещения Uq. Дня получения
максимального значения /„, следует выбирать 6 = 180°/п, так как при
таком угле отсечки функция у,;(9) имеет максима.!ьное значение.
Зависимость а„(0) показывает, как изменяется амплитуда гар-
моники /„, если амплитуда импульса тока 1,„ постоянная, а угол от-
сечки 6 изменяется за счет изменения величин U и Uq. При этом
максимальное значение 1п достигается при максимальном значении
а„(6), т.е. при значении 9 = 120%?.
Функции ап(0) и ул(9) называют функциями (коэффициентами)
Берга.
Пример. НЭ имеет кусочно-линейную ВАХ с параметрами:
= 0,5 В, 5 = 20 мА/B. К НЭ приложено напряжение, В:
u(t) = UQ +0,6coscor.
Определим напряжение (/о, при котором амплитуда второй гар-
моники тока h максимальна.
Согласно выражению (10.21) амплитуда /2 = SUy2(.^)- Коэффи-
циент уг(6) имеет максимальное значение при 9 = 90 °. Для данного
значения 9 из (10.14) следует, что Uq = U„ = 0,6 В.
Нелинейное преобразование гармонического сигнала
В нелинейной резистивной цепи (см. рис. 10.3) в качестве воздей-
ствия рассматривают напряжение u(j), а отклика — ток /(/), связь меж-
ду которыми определяется нелинейной функциональной зависимостью
/(«). Как показал анализ, независимо от вида функции 1(и) при гармо-
ническом воздействии w(/) в спектре отклика /(/) имеются гармоники с
частотами исО|, п — 1, 2,..., кратными частоте воздействия (рис. 10.7).
Появление в спектре тока гармоник с новыми частотами свиде-
тельствует о нелинейном преобразовании гармонического сигнала.
0 И] со 0 coi2wj3a>i	со
Рис. 10.7. Преобразование спектра гармонического сигнала в нелинейной безынер-
ционной цепи: спектры напряжения (а) и тока (5)
265
10.3.	Преобразование бигармонического сигнала
в нелинейной безынерционной цепи
Рассмотрим процессы в нелинейной безынерционной цепи (см.
рис. 10.3) при задании сигнала uc(t) в виде суммы двух гармониче-
ских колебаний с различными частотами:
мс(/) = Ц coscOjZ + ^A cosco2r.	(10.25)
Такой сигнал обычно называют бигармоническим воздействием.
Подставляя в формулу (10.4) значение
u(t) = UG + Ux cos coj t + U2 cos co,/,
находим ток в цепи
к
i(t) = a0 + ^am (Uy cos cOj / + U2 cos co2/)"'.
w=l
(10.26)
(10.27)
Форма тока при соотношении частот со? = 4 соь полученная гра-
фическим методом, показана на рис. 10.8.
Для определения спектра тока нужно в выражении (10.27) дву-
член в скобках возвести в степень, равную т, и воспользоваться
формулами тригонометрии (10.12), а также формулами вида
cos хcos у = —|cos(x+y)+cos(x-y)];
cos2 х cos у -—cos у+—[cos(2x+y)+cos(2x-y)|;
2	4
Рис. 10.8. Определение тока графическим методом
266
cos3 xcosy =-[cos(x+y)+cos(x->’)]+
8
+-[cos(3x +y)+cos(3x-y)|.
8
В результате получим спектральное представление тока вида
к	к
КО = /0 + £ / „, cos wco, t + У In cos лсо2/ +
ffl=1	"=1	(10.28)
+ У/W/Jcos(w<°l +/7C02V+COS(WC01 - wco2)/].
т.п
Согласно выражению (10.28) в спектре тока имеются гармони-
ки с частотами zwcoj и я(02, м, п ~ 1, 2, к. Амплитуды гармоник
определяем формулами (10.13) при замене U на значение U\ или 10-
В спектре (10.28) принципиально новым является появление гар-
монических составляющих с частотами
cow, =|mco! ±«со2|,
которые называют комбинационными частотами. Эти составляю-
щие являются результатом взаимодействия двух гармонических со-
ставляющих бигармонического сигнала (10.25). Порядок комбина-
ционной частоты со/пЛ равен т + п. В спектре тока (10.28) имеются
составляющие с комбинационными частотами порядков: (т + п) —
= 2, 3, ..., к.
Допустим, что ВАХ НЭ описывается степенным многочленом
второй степени. Тогда, положив в выражении (10.27) к = 2 и вы-
полнив элементарные преобразования, приходим к следующему
выражению:
i(t) = /0 +/| coscOj/+ 7*coscd2/ + /2 cos2cO|Z +
+1"cos2ct)2r + /12 COS(CO] +CO2)r + z|2 COS(COj —co2)/,
(10.29)
(10.30)
где
/0 = ^0	+ ^)>	Л~^1^2’
На рис. 10.9 изображены спектры напряжения (10.26) и тока
(10.29). В спектре тока имеются гармонические составляющие с
комбинационными частотами второго порядка |coi — CO2I и coi + СО2-
267
U>2
a
a»l 2coi 602-g>i w2 a>2+tol
6
2co2 “
Рис. 10.9. Преобразование спектра бигармонического сигнала в нелинейной безы-
нерционной цепи: спектры напряжения (а) и тока (б)
В случае, когда ВАХ описывается степенным многочленом треть-
ей степени, в спектре тока дополнительно появляются гармоники и
комбинационные составляющие с частотами третьего порядка:
Зц, Зсо2, |а>1 ±2w2|, |2со( ±со2|.
Можно установить следующие закономерности образования
спектра частот при аппроксимации ВАХ степенным многочленом:
—	член вида ак(и — Uo)k обусловливает появление составляю-
щих тока со всеми возможными комбинационными частотами и
гармоник порядков к, к — 2, к — 4,	1 (или 0);
—	члены четных степеней обусловливают появление комбина-
ционных частот и гармоник четных порядков;
—	члены нечетных степеней обусловливают появление комби-
национных частот и гармоник нечетных порядков.
Наличие в спектре тока комбинационных частот позволяет осу-
ществить преобразование частоты сигнала (см. подразд. 11.4), а
также реализовать амплитудную модуляцию (см. подразд. 11.5).
10.4.	Преобразование радиосигнала с амплитудной
модуляцией в нелинейной безынерционной цепи
Радиосигналы с AM относят к одним из наиболее известных в
радиотехнике, поэтому практический интерес представляет выяс-
нение особенностей преобразования в нелинейной цепи (см. рис.
10.3) АМ-радиосигнала:
268
wc(z) = (/(r)cosco0r.
(10.31)
Определим ток в цепи при двух способах описания ВАХ НЭ.
Степенная аппроксимация ВАХ
Пусть ВАХ НЭ описывается степенным многочленом:
i(u) = а0 + {и - Uo)+а2 (и - (/0)2.
Подставляя в выражение (10.32) значение
u(t) = UQ + £/(/) cos (Oor,
находим ток в цепи:
i(t) = aG +cos (£>ot+a2U\f)cos2 co0z.
(10.32)
(10.33)
(10.34)
На рис. 10.10 показана форма тока, полученная графическим мето-
дом для случая, когда wc(z) — радиосигнал с тональной AM.
Для определения спектра тока нужно в выражении (10.34) квад-
рат косинуса преобразовать с помощью первой формулы из (10.12).
В результате получим
/(Z) = /0(Z) + /, (Z)cos cooZ +12 (Z)cos 2соо/,
(10.35)
где
Рис. 10.10. Определение формы тока в нелинейной безынерционной цепи
при воздействии АМ-радиосигнала
269

(10.36)
Выражение (10.35) показывает, что ток содержит гармоники,
каждая из которых — модулированная по амплитуде. Первая гар-
моника тока имеет несущую частоту coq, ее амплитуда Л(/) изменя-
ется аналогично амплитуде АМ-радиосигнала U(t). Вторая гармо-
ника имеет несущую частоту 2сОо, ее амплитуда /2(0 находится в
квадратичной зависимости от амплитуды АМ-радиосигнала. Кроме
того, в спектре тока имеются низкочастотные составляющие, опи-
сываемые /о(/).
Рассмотрим случай тональной AM, когда огибающая
U(t) - (/(1 + A/cosQ/).
(10.37)
Подставляя выражение (10.37) в формулы (10.36) и выполняя эле-
ментарные преобразования, получим:
/0 (О — Лю + I01 cos £2/ +1Q2 cos 2£2/,
71(r) = /10+/nCosQ/;
/2(Z) = /20 +/21 COSQ/ + 122 cos2Q/,
(10.38)
где
/00=йо+1а,(/2Г1+|л/2>|;
Im=a2MU\ 1В2Ла2Мгиг-
(10.39)
Iio — Л1 ~
Л1 “ Л)1 ’ '22 ” ^02-
На основании полученных выражений на рис. 10.11 изображены
спектры AM-напряжения и вызванного им тока. Видно, что по срав-
нению со спектром AM-напряжения в спектре тока дополнительно
появляются низкочастотные составляющие с частотой модуляции Q и
удвоенной частотой 2Q, а также высокочастотные составляющие око-
ло удвоенной несущей частоты 2соо. При этом гармоники тока с час-
тотами соо, 2соо имеют спектр боковых частот. С увеличением номера
гармоники ширина спектра боковых частот возрастает.
°	11__________________~
0	°o Wq+Q	to
Zn 11
6
°O2Q	«о	2o)0
Рис. 10.11. Преобразование спектра АМ-радиосигнала в нелинейной
безынерционной цепи: спектры напряжения (о) и тока (0
Наличие в составе тока низкочастотной составляющей с часто-
той модуляции Q позволяет на основе нелинейного преобразования
АМ-радиосигнала реализовать его демодуляцию (см. подразд. 11.7).
Однако присутствие составляющей с частотой 2Q является нежела-
тельным, так как приводит к появлению нелинейных искажений.
Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ
В режиме с отсечкой тока имеем импульсный ток, модулиро-
ванный по амплитуде (рис. 10.12). Последовательность импульсов
тока, модулированных по амплитуде, может быть представлена в
виде
i(t) = !$(!) +(t)cosCDof + /2(r)cos2co0z+....	(10.40)
Для определения амплитуд In(t) можно воспользоваться формулой
(10.20), что дает
1п (/) = SU(t)yn (0), п = 0,1,2,....	(10.41)
Из формулы (10.41) следует, что при постоянном угле отсечки 0
амплитуды гармоник In(t) изменяются пропорционально амплитуде
напряжения U(t).
Рассмотрим случай при Uq = (7Н (см. рис. 10.12), при этом угол
отсечки является постоянным 6 = л/2. Подставляя выражение
(10.37) в формулу (10.41), запишем:
1п (/) = SU(\ + A/cosQ/)yn (я/ 2).	(10.42)
На основании выражений (10.40) и (10.42) на рис. 10.13 изобра-
жен спектр тока. Видно, что каждая гармоника имеет спектр боко-
вых частот такой же, как и у AM-напряжения (см. рис. 10.11, а).
271
Рис. 10.12. Формирование импульсов тока, модулированных по амплитуде
Рис. 10.13. Спектр тока в режиме с отсечкой
В спектре тока имеется также низкочастотная составляющая с
частотой модуляции Q. Выделив эту составляющую, можно реали-
зовать демодуляцию АМ-радиосигнала без нелинейных искажений
(см. подразд. 11.7).
В формуле (10.42) значения коэффициентов уп(л/2) = 0 при ин-
дексах /7 = 3,5, ..., поэтому при угле отсечки 0 = л/2 в спектре тока
отсутствуют все нечетные гармоники, кроме первой.
10.5.	Преобразование радиосигнала с угловой
модуляцией в нелинейной безынерционной цепи
Рассмотрим особенности преобразования в нелинейной безы-
нерционной цепи (см. рис. 10.3) радиосигнала с угловой модуля-
цией:
ис (Г) = £/cos[ov +ф(01
272
(10.43)
Пусть ВАХ НЭ описана выражением (10.32). Подставляя в фор-
мулу (10.32) значение
u(t) = U0 +C/cos[co0/+<p(r)],
находим ток в цепи:
z(/) = a0 +o1£/cos|co0r+ (р(/)|+й2^2 cos2[co0r+<р(0] •
(10.44)
(10.45)
Форма тока, полученная графическим методом, показана на рис.
10.14.
Для определения спектра тока нужно в выражении (10.45) пре-
образовать квадрат косинуса с использованием первой формулы из
выражения (10.12). В результате получим
/(/)- /0 +Ц cos|co0/ +(р(/)| + /2 cos[2co0r+2cp(/)j,	(10.46)
где
(10.47)
Анализ выражения (10.46) показывает, что ток содержит гармо-
ники с угловой модуляцией. Первая гармоника имеет несущую
частоту соо, вторая — 2соо- При этом каждая гармоника имеет спектр
боковых частот, характерный для колебания с угловой модуляцией.
Рассмотрим случай тональной угловой модуляции. При этом в
выражении (10.43) значение фазы равно
<р(/) = т sin Пг,
(10.48)
Рис. 10.14. Определение формы тока в нелинейной безынерционной
цепи при воздействии радиосигнала с угловой модуляцией
273
ип.
а
oL
б
 
о-
2 соо

Рис. 10.15. Преобразование спектра радиосигнала с угловой модуляцией
в нелинейной безынерционной цепи: спектры напряжения (а) и тока (б)
и выражение (10.46) принимает вид
/(/) = /0 + /, cos(co0r +т sinQ/) + /2 cos(2co0r +2т sin Qr).	(10.49)
Из формулы (10.49) следует, что закон угловой модуляции
(10.48) сохраняется для каждой гармоники тока. Гармоники разли-
чаются между собой только значениями несущей частоты и индек-
са модуляции. Первая гармоника имеет несущую частоту и индекс
модуляции такие же, как и у входного радиосигнала. Для второй
гармоники несущая частота и индекс модуляции удваиваются.
На рис. 10.15, иллюстрирующем спектры напряжения с тональ-
ной угловой модуляцией при индексе модуляции т = 1 и тока
(10.49). видно, что в спектре тока с увеличением номера гармоники
ширина спектра боковых частот увеличивается. В спектре тока от-
сутствуют низкочастотные составляющие.
Таким образом, на основе нелинейного преобразования радио-
сигнала с угловой модуляцией нельзя реализовать его демодуля-
цию. Причина — отсутствие в спектре тока составляющей с часто-
той модуляции Q.
10.6.	Преобразование случайного сигнала
в нелинейной безынерционой цепи
Предположим, что в нелинейной безынерционной цепи вход-
ное воздействие представляет собой случайный сигнал %(/), кото-
рый является одной из реализаций стационарного случайного про-
цесса Возникающий в цепи ток можно рассматривать как слу-
чайное колебание y(t). Ансамбль реализаций y(i) задает случайный
процесс Y(t).
274
Рис. 10.16. Кусочно-линейное преобразование случайного сигнала
Функциональную связь между случайными процессами X(f) и Y(t)
определяет ВАХ НЭ. Зададим ВАХ нелинейной зависимостью вида
у=/(х).	(Ю.50)
При этом любая реализация а(г) функционально преобразуется
в реализацию y(f) как
ЯО = /[*(/)].
(10.51)
В качестве примера на рис. 10.16 показано кусочно-линейное пре-
образование случайного сигнала.
Таким образом, анализ преобразования случайного сигнала в
нелинейной безынерционной цепи сводится к анализу функцио-
нального преобразования случайного сигнала. При этом вид функ-
ционального преобразования задается ВАХ НЭ. При анализе нели-
нейного функционального преобразования случайного сигнала
возможны два типа задач:
—	определение плотности распределения вероятности случай-
ного сигнала после нелинейного преобразования;
—	определение спектрально-корреляционных характеристик
случайного сигнала после нелинейного преобразования.
Преобразование плотности вероятности случайного сигнала
в нелинейной безынерционной цепи
По известной плотности вероятности рд.(х) входного процесса
X(t) необходимо определить плотность вероятности pv(y) выходного
процесса У(/).
275
Рассмотрим НЭ, ВАХ которых однозначны. В этом случае про-
цессы X(f) и Y(t) связаны между собой однозначным соответствием,
т.е. каждому значению X(t) соответствует вполне определенное зна-
чение Y(f) и наоборот. Так, если случайная величина Х(Ц) находит-
ся в пределах
%!< JfOi) < х, +dx,
то из этого достоверно следует, что случайная величина У(/[) нахо-
дится в пределах
у1<Г(/,)<>1 +dy.
Следовательно, вероятности нахождения случайных величин в ука-
занных пределах должны быть равны
| рх (x)Jx| = | pY (у) dy\.
9
Отсюда имеем:
Ру (У) = Рх (х)
dy
(10.52)
В формуле (10.52) производная dx/dy берется по модулю, так
как плотность вероятности — величина всегда положительная.
Введем функцию х = g(y), обратную по отношению к выраже-
нию (10.50), причем обратная функция является однозначной. То-
гда соотношение (10.52) можно записать в виде
Pv(y) = Px\g(y)\
о
(10.53)
Таким образом, по формуле (10.53) можно определить одномер-
ную плотность вероятности случайного колебания, представляю-
щего ток в цепи, если заданы ВАХ НЭ и одномерная плотность ве-
роятности случайного сигнала на входе цепи.
Теперь обобщим формулу (10.53) на многомерный случай.
Пусть Х|, *2, хп — случайные величины, соответствующие значе-
ниям случайного процесса X(t) в моменты времени Л, •••» 4- С
помощью функционального преобразования (10.50) находим слу-
чайные величины:
У\ =/Ui); У2=/(х2),-\ Уп=/(хп),	(10.54)
соответствующие значениям случайного процесса Y(f) в те же мо-
менты времени. Применив обратную функцию, запишем:
276
*, = sixi)=я,;	=«О'2)=«г>•••; x„=g(y„)=g„.
Далее следует найти якобиан преобразования:
(10.55)
(10.56)
Плотность вероятности случайного процесса X(t) задана: рх{х\, х2,
..., хя). Тогда плотность вероятности случайного процесса Y(t) нахо-
дится по формуле:
У1,-;У, ,) = Pxlg0'l),gO2),-,«0'„)ll^|-	(10.57)
Пример. Нелинейный элемент имеет кусочно-линейную харак-
теристику (см. рис. 10.16):
Го, х<0,
У = 5
ах, х > 0.
(10.58)
К НЭ приложено напряжение, которое можно рассматривать
как одну из реализаций гауссовского случайного процесса X(i) с
нулевым математическим ожиданием и плотностью вероятности:
р->-2/2ДА
(10.59)
где Dx — дисперсия.
По формуле (10.52) найдем плотность вероятности ру(у) случай-
ного колебания, представляющего ток. По отношению к выраже-
нию (10.58) обратная функция и ее производная при х > 0 опреде-
ляются как
х=у/д;
|Jx/Jy| = l/|4
В соответствии с формулой (10.52) имеем
Ру (У) =
1
при значении у > 0. При х < 0 значение у = 0. Для обеспечения
нормировки плотности вероятности Pyky) следует считать, что ру(у)
т
Рис. 10.17. Одномерные плотности вероятности воздействия (а)
и отклика в нелинейной безынерционной цепи (б)
при значении у — 0 определяется дельта-функцией 6(у) с коэффи-
циентом 1/2:
0, у<0,
1D
5

Графики функций рх(х) и ру(у) приведены на рис. 10.17.
Таким образом, при кусочно-линейной ВАХ НЭ и гауссовским
входным процессом (напряжением) закон распределения отклика
(тока) уже не будет гауссовским. Мгновенные значения тока неот-
рицательны, т.е. имеет место отсечка тока (см. рис. 10.16).
Преобразование спектрально-корреляционных характеристик
случайного сигнала в нелинейной безынерционной цепи
Пусть входной сигнал — стационарный случайный процесс X(t)
со спектром мощности И4(со) и корреляционной функцией Ях(т).
Выходной случайный процесс У(г), представляющий ток в цепи,
имеет спектр мощности И^.(со) и корреляционную функцию /?Л(т).
В отличие от линейной цепи прямое определение спектра
И/(со) по известному спектру И4(со) невозможно, что объясняется
неприменимостью к нелинейной цепи принципа суперпозиции.
Поэтому единственный способ — нахождение корреляционной
функции Иу(т) с дальнейшим переходом к И/, (о) по формуле (6.45).
Обратимся к нахождению корреляционной функции А;(т). В
соответствии с формулой (6.31) имеем
Ry (т) = Ку(т)-ту.
(10.60)
Ковариационная функция А}(т) и математическое ожидание ту мо-
гут быть определены двумя эквивалентными способами:
278
оо ОС
^(т) = Л/[Г(/)Г(Г + т)]= j рйЪЛ  (yl>y2^)dyldy2‘t
—оо~оо
т = М | Y (Г) ] = уру (y)dy
или с учетом соотношений (10.54) как
Ку = J J ^Х| ^Х2	<Х| ’Х2 ’т)г/х’dx~ ’
(10.61)
(10.62)
(10.63)
= J f(*)px Wx.
Шу
(10.64)
Определение корреляционной функции /?/т) по приведенным
формулам является довольно сложной задачей ввиду трудности вы-
числения двойных интегралов, содержащих двумерные плотности
вероятности. Предпочтительней использовать формулы (10.63) и
(10.64), так как в этом случае не требуется знать одномерную и дву-
мерную плотности вероятности входного сигнала.
Таким образом, задача нахождения корреляционной функции
выходного сигнала сводится к вычислению интегралов.
Пример 1. Нелинейный элемент имеет квадратичную характери-
стику:
у -ах1.
(10.65)
К НЭ приложено напряжение, которое можно рассматривать как
одну из реализаций гауссовского случайного процесса X(f) с нуле-
вым математическим ожиданием и двумерной плотностью вероят-
ности:

(10.66)
где £>Л — дисперсия; г = гх(г}— коэффициент корреляции.
Найдем корреляционную функцию случайного колебания,
представляющего ток в цепи.
Подставив в формулу (10.63) выражение (10.66) и,Дх) = ах1, по-
лучим
279
2л7;, 71-
(10.67)
Интеграл в квадратных скобках можно вычислить, дополнив выра-
жение х2 -2/XiX2 до квадрата разности х2 -2гх(х2 = (х2 -гх,)2 -r2Xj2
и заменив переменную интегрирования х2-rxj =z-
При этом внутренний интеграл в формуле (10.67) принимает
следующий вид:
со
(г2 +2/Х|?
z2
Подставим это представление внутреннего интеграла в формулу
(10.67) и после преобразований получим
(10.68)
Используя в формуле (10.68) табличные значения интегралов
=2(х|2Гл'/м'Л1
0
"jx^e'^'^dx, =2jxJe^'/2£>’(/x1 = 32);д/2л£>х ,
—со	О
приходим к следующему результату:
К (X) = а 2 D2 [ (1 - г2)+Зг2 ] = а2 D2 [1+2г; (т) 1
•»
или
Х),(х) = а2£»2+2а2Л2(т),
(10.69)
280
где Rx(t) = Dxrx(t)— корреляционная функция входного процесса.
Далее найдем математическое ожидание ту. Подставив в фор-
мулу (10.64) значение рЛ(х) из формулы (10.59) и fix) = ах, полу-
чим
(10.70)
т.е. первое слагаемое в формуле (10.69) есть т?.
В соответствии с выражением (10.60) имеем
A>h (т) = 2о2Ад2(т).
(10.71)
Таким образом, корреляционная функция выходного процесса
(тока) пропорциональна квадрату корреляционной функции вход-
ного процесса (напряжения).
Пример 2. На нелинейный элемент с квадратичной характери-
стикой (10.65) воздействует узкополосный гауссовский случайный
процесс. Пусть корреляционная функция узкополосного процесса
описана выражением
Ях(т) = £>хе
COSCOqT.
(10.72)
Соответственно спектр мощности входного процесса имеет вид
(рис. 10.18, а)\
И', (со) =
&DX
(10.73)
^х(<о)
0L
И$(со)
ос2 +(СО-(Оо)2
Рис. 10.18. Изменение спектра мощности при квадратичном преобразовании
случайного сигнала
281
Найдем корреляционную функцию выходного процесса. Под-
ставляя выражение (10.72) в формулу (10.71), получим
Ry(т) = 2б72Д2е’2а^ cos2 со0 т = я2 Z)2е 2а^ +a2D2e 2а^ cos2co0x.
(10.74)
Соответствующее выражение для спектра мощности выходного
процесса имеет вид
(со) =
(10.75)
Из выражения (10.75) следует, что спектр мощности выходного
процесса содержит низкочастотную составляющую (первое слагае-
мое) и высокочастотную составляющую, сосредоточенную вблизи
частоты 2 соо (второе слагаемое). Вид спектра И^.(со) показан на рис.
10.18, б.
Контрольные вопросы и задания
1.	Какие радиотехнические цепи относят к нелинейным цепям?
2.	Что понимают под нелинейным элементом? Что означает безынер-
ционность НЭ?
3.	Для чего используют аппроксимацию характеристик НЭ?
4.	В каких случаях удобнее применять степенную или кусочно-ли-
нейную аппроксимацию ВАХ НЭ?
5.	Какие нелинейные цепи называют резистивными?
6.	Как определяют форму тока в нелинейной резистивной (безынер-
ционной) цепи при заданном входном сигнале?
7.	Как определяют спектр тока в нелинейной безынерционной цепи
при гармоническом входном сигнале? От чего зависят амплитуды
гармоник?
8.	Что понимают под нелинейным преобразованием сигнала?
9.	Что такое комбинационные частоты и когда они возникают?
10.	Каков спектр тока в нелинейной безынерционной цепи при вход-
ном радиосигнале с тональной AM?
11.	Каков спектр тока в нелинейной резистивной цепи при входном
радиосигнале с тональной угловой модуляцией?
12.	В чем состоит функциональное преобразование случайного сигна-
ла?
13.	Как определяют плотность вероятности тока в нелинейной безы-
нерционной цепи при случайном входном сигнале?
14.	Как преобразуются корреляционные функции случайного сигнала в
нелинейной безынерционной цепи?
282
15.	Как изменяется спектр мощности узкополосного случайного сигна-
ла при квадратичном преобразовании?
16.	Найдите постоянную составляющую тока /0 и амплитуду первой
гармоники /] тока в нелинейной цепи (см. рис. 10.3), если к НЭ
приложено напряжение, В:
и = 0,5 + 0,5 cos сог.
Использовать кусочно-линейную аппроксимацию ВАХ:
5= 15 мА/B, = 0,8 В.
17.	К НЭ с кусочно-линейной ВАХ (5= 4 мА/B, = -20 В) приложе-
но напряжение
и = ио + U cos сог.
Амплитуда импульса тока 80 мА. Определите, при каких значениях
6/0 и U амплитуда второй гармоники тока максимальна.
18.	ВАХ НЭ аппроксимирована степенным рядом
/ = Ьц + Ь}и 4- Ьуи.
Найдите частоты всех составляющих тока, если к НЭ приложено
напряжение:
а) и = U cos covZ, б) и =	+ U cos со,/.
19.	Решите задачу 18 для случая, когда ВАХ аппроксимирована степен-
ным рядом:
/ = Ьп + Ь}и + Ь^и .
20.	Решите задачу 18 для случая, когда к НЭ приложено напряжение:
и = Ц cos со0/ + U2 cos 2со0г.
ГЛ AB A 11
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
11.1 Понятие нелинейной частотно-избирательной цепи
Из всего многообразия нелинейных цепей наибольшее примене-
ние в радиотехнике находят нелинейные частотно-избирательные
цепи. Структурная схема нелинейной частотно-избирательной цепи
изображена на рис. 11.1. Она представляет собой соединение нели-
нейной безынерционной цепи и линейного фильтра (рис. 11.1).
Суммарный полезный эффект, производимый нелинейной час-
тотно-избирательной цепью, достигается в результате двух преоб-
разований, из которых одно является нелинейным и безынерцион-
ным, а другое — линейным, инерционным. Поэтому процессы в
такой цепи можно приближенно охарактеризовать двумя операция-
ми, выполняемыми независимо друг от друга.
Первую операцию осуществляет нелинейная безынерционная
цепь. Входной сигнал wBX(0 воздействует на нелинейный элемент,
имеющий ВАХ i = НЭ является безынерционным, поэтому
возникающий в цепи ток находится как
=	(И О
В спектре тока (11.1) появляются новые гармонические состав-
ляющие, которых не было в спектре входного сигнала (см. гл. 10).
Таким образом, целью первой операции, выполняемой НЭ, являет-
ся преобразование спектра входного сигнала, в результате которого
в спектре тока появляются нужные спектральные составляющие.
Вторую операцию осуществляет линейный фильтр, который из
спектра тока выделяет эти нужные спектральные составляю-
щие — они и формируют выходной сигнал мвых(/). Следует отме-

Нелинейная
безынерционная —*
цепь
Линейный
фильтр
^вых
Рис. 11.1. Структурная схема нелинейной частотно-избирательной цепи
284
тить, что в спектре выходного сигнала присутствуют частоты, кото-
рых не было в спектре входного сигнала.
Меняя определенным образом значения параметров входного
сигнала и используя различные НЭ и фильтры, можно на основе
структурной схемы рис. 11.1 реализовать наиболее важные для ра-
диотехники преобразования сигналов.
Нелинейные узкополосные цепи, в которых используют полосо-
вой (узкополосный) фильтр выделяют в особый класс нелинейных
частотно-избирательных цепей.
Широко применяют нелинейную узкополосную цепь, схема ко-
торой изображена на рис. 11.2, где НЭ — транзистор. Во входную
цепь транзистора включен источник входного сигнала uRX(t) и ис-
точник постоянного напряжения Uq, а в выходную цепь — парал-
лельный колебательный контур, который служит полосовым
фильтром, и источник постоянного напряжения питания £.
В радиотехнических цепях свойства транзистора обычно описы-
вают проходной ВАХ — это зависимость тока в выходной цепи от
напряжения на входе транзистора. В дальнейшем будем использо-
вать проходную ВАХ, обозначая ее /(//), где / — ток коллектора,
// — напряжение между базой и эмиттером (см. рис. 11.2).
Колебательный контур характеризуется комплексным сопро-
тивлением Z(zco), образованным параллельным соединением сопро-
тивлений Zj = R + zcoZ и Zc = 1/коС. Здесь R — сопротивление по-
терь в индуктивном элементе. Сопротивление потерь в емкостном
элементе практически можно не учитывать. Таким образом, имеем
A+ZcoT + 1/zcoC
В случае, когда R « со£, это выражение упрощается:
х	L/c
Z (/со) =----------------
7?+/(соЛ-1/ (00
и затем после несложных преобразований принимает вид
Z(zco) =-----,
со top
(П-2)
top
где 7?р — L/CR — сопротивление контура на резонансной частоте
top, Q — добротность.
285
Рис. 11.2. Нелинейная узко-
полосная пень
И(о)
Рис. 11.3. АЧХ параллельного
колебательного контура
Если добротность велика (Q » 1), то на частотах, близких к ре-
зонансной частоте можно воспользоваться соотношением (7.34) и
заменить выражение (11.2) приближенным:
Z (йх>) ~,
1+/(со-сор)т
(11.3)
где т = 2Q/cOp —постоянная времени контура.
АЧХ параллельного колебательного контура имеет вид резо-
нансной кривой (рис. 11.3):
Z(co) =	— р --
Jl + l(<O-COp)2T2
(11-4)
Полоса пропускания, определяемая аналогично (7.37), равна До — Q.
11.2. Резонансное усиление сигналов
Усиление — линейное преобразование сигнала, при котором
происходит увеличение мощности сигнала без изменения его фор-
мы. Радиотехническую цепь, предназначенную для увеличения
мощности входного сигнала за счет использования энергии вспо-
могательного источника, называют усилителем.
Резонансный усилитель — это усилитель сигналов с узким спек-
тром частот, лежащих в полосе пропускания резонансной цепи, яв-
ляющейся его нагрузкой. Упрощенная схема резонансного усили-
теля изображена на рис. 11.2. Здесь источником энергии является
286
источник постоянного напряжения Е. В усилителе происходит пре-
образование энергии источника постоянного напряжения в энер-
гию колебаний. Этот процесс преобразования одного вида энергии
в другой осуществляется с помощью электронного прибо-
ра — транзистора.
Усилитель может работать как в линейном, так и нелинейном
режиме.
Линейное резонансное усиление
При усилении слабых (малой амплитуды) сигналов амплитуда
колебаний занимает малый участок ВАХ нелинейного элемента
(рис. 11.4), в пределах которого нелинейностью ВАХ можно пре-
небречь. Такой режим работы усилителя называют линейным.
Входной сигнал иах(1) — гармонический, его частота соо равна
резонансной частоте контура сор. При этом на входе НЭ (транзи-
стора) действует напряжение
। u(t) = UQ +Z7bxcoscd0/,	(И.5)
I
которое вызовет в выходной цепи усилителя ток (см. рис. 11.4):
/(/) = 5 u(t) = SUQ + SUBX cos co0z
или
(11.6)
l
i
z(/) = /0+/cosco0z, /0=SV0, I = SUBX,
где 5 = Ai/Au — крутизна линейного участка BAX.
Анализ усилителя в линейном режиме сводится к рассмотрению
схемы замещения его выходной цепи, приведенной на рис. 11.5.
Рис. 11.4. Линейный режим ра-
боты усилителя
Рис. 11.5. Схема замещения вы-
ходной цепи усилителя в линей-
ном режиме
287
На схеме транзистор замещается управляемым источником тока
с амплитудой I — SUBX и параллельно с ним включенным выходным
(внутренним) сопротивлением R,. Здесь R, представляет собой диф-
ференциальное сопротивление транзистора, определяемое по вы-
ходной ВАХ (зависимость тока в выходной цепи от напряжения на
выходе транзистора). Нагрузка (ZC-контур) представлена ком-
плексным сопротивлением Z, определяемым выражением (11.3).
При постоянной амплитуде (/вх данная схема замещения явля-
ется линейной, поэтому гармонический ток с амплитудой 1 = SUtiX
создает на выходе гармоническое напряжение с комплексной ам-
плитудой:
^вых “	~ ^вх^э»
(П-7)
где
(11.8)
— эквивалентное сопротивление Z.C-контур а усилителя с учетом
выходного сопротивления транзистора. Знак минус в формуле
(11.7) связан с тем, что положительные направления тока / и вели-
чины {7ВЫХ считаются противоположными (см. рис. 11.5).
На резонансной частоте сопротивление Z3 будет чисто актив-
ным, равным
(Н.9)
т.е. R3<Rp. Если 7?р / Л,-« 1, то R3 ~Rp.
Учитывая, что Rp = L /CR = pQ> где	можем предста-
вить R3 в форме
р Qy 1
(11.10)
где
(Н.П)
— эквивалентная добротность контура, Q3 < Q.
Комплексный коэффициент передачи усилителя, определяемый
как отношение комплексных амплитуд UBtAX/UBX, называют коэф-
фициентом усиления по напряжению. Из выражения (11.7) находим
288

♦ *(со)
Рис. 11.6. АЧХ (а) и ФЧХ (б") резонансного усилителя
ад = #внх / Um = 87,.	(11.12)
Подставляя в выражение (11.12) значение Z3 из (11.8) и используя
выражения (11.3), (11.9) и (11.10), получим
X(zco) =
-SIL
'J
1+/(со-<вр)тэ
(11.13)
где тэ=22э/сор. Коэффициент усиления (11.13) является ком-
плексной величиной. Его модуль А(со) = 1 А"(/со)| и аргумент
9x(co)=argA(zco) определяют соответственно АЧХ и ФЧХ усилителя:

А(со) =
(11.14)
<pA-(co) = 7i-arctg[(co-cop)T3].	(11.15)
АЧХ и ФЧХ усилителя описывают его свойства в частотной об-
ласти (рис. 11.6). АЧХ резонансного усилителя имеет вид резонанс-
ной кривой. Ее значение на резонансной частоте определяет резо-
нансный коэффициент усиления:
К(сор) = Ар = SR..
(11.16)
Полоса пропускания усилителя равна Дсо=сор /Q3.
Из формулы (11.16) следует, что эффект усиления определяется
усилительными свойствами НЭ (величиной 5) и резонансными
свойствами нагрузки (резонансным сопротивлением 7?э).
Нелинейное резонансное усиление
Используем кусочно-линейную аппроксимацию проходной
ВАХ транзистора. На входе транзистора действует напряжение
(11.5). При этом ток в выходной цепи усилителя имеет форму по-
следовательности импульсов (см. рис. 10.5).
19-3659
289
На рис. 11.7 изображен спектр выходного тока, штриховой ли-
нией показана зависимость Z(co) параллельного колебательного
контура.
Как видно, сопротивление контура Z(co) на частоте первой гар-
моники соо = (Ор велико, а на частотах высших гармоник мало. По-
этому напряжение на выходе будет в основном определяться током
первой гармоники:
Z1(/) = /] cosco0r,	(11.17)
где /, =5'(7вху1(0).
Анализ усилителя сводится к рассмотрению схемы замещения
его выходной цепи для первых гармоник тока и напряжения, при-
веденной на рис. 11.8.
Транзистор замещается управляемым источником тока первой
гармоники с амплитудой Ц и параллельно с ним включенным со-
противлением Яц. Здесь Ял — выходное дифференциальное сопро-
тивление транзистора, приведенное к току первой гармоники: Яц —
= Rj/yi(Q). Колебательный контур заменен резонансным сопротив-
лением Яр. Данная схема замещения (см. рис. 11.8) пригодна лишь
для резонансной частоты и отличается она от схемы замещения на
рис. 11.5 тем, что ее параметры (величины Ц и Яц) зависят от утла
отсечки 0 и, следовательно, от амплитуды UBX входного сигнала.
Поэтому схема замещения (см. рис. 11.8) является нелинейной.
Однако если угол отсечки поддерживать постоянным (обычно вы-
бирают 0 = л/2), то ее можно рассматривать как линейную. Тогда
амплитуда выходного сигнала будет
дик = /Л=51/ю1у1(е)Л„
(11.18)
Рис. 11.8. Схема замещения вы-
ходной испи усилителя для пер-
вой гармоники выходного тока
Рис. 11.7. Спектр тока в выходной цепи усили-
теля
290
где
л —
J~/?/1+Ap 1+Ар/Д/
(11.19)
При R / Rn « 1 значение R3 ~Rp.
Из выражения (11.18) находим резонансный коэффициент усиле-
ния по напряжению:

(11.20)
где 5, =5*7^6). Величину 5) можно трактовать как среднюю кру-
тизну характеристики для первой гармоники, ее называют крутиз-
ной по первой гармонике.
Формула (11.20), внешне схожая с формулой (11.16), отличается
от нее тем, что в (11.20) величины 5] и R3 зависят от значения 0 и,
следовательно, от амплитуды £вх. В этом проявляется нелиней-
ность усилителя.
Сравнение двух режимов работы усилителя
Рассмотрим энергетические соотношения в резонансном уси-
лителе. Мощность колебаний на выходе усилителя равна
ВЫХ ’
к
а мощность, потребляемая от источника питания, есть
— ^0 £,
где /0 — постоянная составляющая выходного тока.
Коэффициент полезного действия выходной цепи усилителя
определяется как
Л _ 1 Л^вых _ 1 Yi№w
2 /0£	2 уо(0)£ ’
Напряжение источника питания Е > £вых, в крайнем случае Г4ых = £
Тогда /2у0. В линейном режиме значение 0 = л, у, /у2 =1 и
й< 50%. В нелинейном режиме при угле отсечки 0 = л/2 отношение
Yj /у2 =л/2 и Т| = л/4 = 78,5 %. Следовательно, нелинейный режим
291
работы усилителя обеспечивает более высокий КПД, чем линей-
ный режим работы, в чем и заключается его преимущество.
Однако в нелинейном режиме вследствие неполной фильтра-
ции контуром высших гармоник тока возможно искажение усили-
ваемого сигнала. Искажения сигнала, вызванные появлением в его
спектре посторонних (нежелательных) гармонических составляю-
щих, называют нелинейными искажениями. Количественно они оце-
ниваются коэффициентом нелинейных искажении.
где U\ — амплитуда напряжения первой гармоники; U2,	..., Un —
амплитуды второй и последующих гармоник, присутствующих в
выходном сигнале, при гармоническом сигнале на входе.
При угле отсечки 0 = л/2 все нечетные гармоники, кроме пер-
вой, обращаются в нуль, поэтому при данном значении угла отсеч-
ки коэффициент нелинейных искажений сравнительно мал.
В линейном режиме нелинейные искажения отсутствуют. О на-
личии или отсутствии нелинейных искажений можно судить по
виду колебательной характеристики. Колебательной характеристи-
кой называют зависимость t/BbIX = /(£/вх) (рис. 11.9).
Очевидное требование к колебательной характеристике — ее
линейность. В обще»м случае колебательная характеристика нели-
нейна. Это следует, например, из выражения (11.18), поскольку
угол отсечки 0, а следовательно, и коэффициент У1(0)зависят от UBX.
Однако если 0 = л/2, то
t/BbIX=(5^/2)£/BX,
т.е. колебательная характеристика линейна.
Важным параметром колебательной
Рис. 11.9. Колебательная ха-
рактеристика
характеристики является ширина ее ли-
нейного участка. Этот параметр опреде-
ляет динамический диапазон усиливае-
мых колебаний. Как видно на рис. 11.9,
рост колебательной характеристики ог-
раничивается, когда Цьгх становится
близким по значению к напряжению
источника питания Е.
292
11.3.	Умножение частоты сигнала
Умножение частоты — нелинейное преобразование сигнала,
при котором происходит л-кратное увеличение частоты сигнала без
изменения его формы. Целое число п называют коэффициентом ум-
ножения.
Радиотехническую цепь, реализующую процесс умножения час-
тоты, называют умножителем частоты. На рис. И.2. изображена
упрощенная схема резонансного умножителя частоты. Здесь при
входном сигнале
ивх(') = Vт C°W
(11.22)
колебательный контур настроен на частоту о)р = лсоо.
Принцип работы резонансного умножителя частоты поясняет
рис. 11.10. При гармоническом входном сигнале с частотой (Оо вы-
ходной (коллекторный) ток содержит гармоники с частотами «соо,
п — 1, 2, .... Колебательный контур, АЧХ Z(co) которого показана
штриховой линией, выделяет ту гармонику тока, частота которой
близка к резонансной частоте <йр. Эта гармоника тока создает на
колебательном контуре напряжение
uK(t) = If COS«(D0/.
(11.23)
В схеме на рис. 11.2 выходное напряжение находим по формуле
WBbix(0 = E-uK(t).
Анализ умножителя частоты в принципе не отличается от ана-
лиза резонансного усилителя в нелинейном режиме.
Выходную цепь умножителя частоты можно представить в виде
схемы замещения, приведенной на рис. 11.11. Здесь НЭ (транзи-
стор) замещается управляемым источником тока л-й гармоники с
амплитудой
Рис. 11.11. Схема замещения вы-
ходной цепи умножителя частоты
Рис. 11.10. Спектр тока в выходной испи умно-
жителя частоты
293
Л=^вхУй(0)	<И.24)
и параллельно с ним включенным сопротивлением
(11.25)
представляющим выходное (внутреннее) сопротивление НЭ, при-
веденное к току и-й гармоники. Колебательный контур заменен ре-
зонансным сопротивлением Ар. Данная схема справедлива лишь
для резонансной частоты.
Используя схему замещения, находим амплитуду выходного
сигнала:
(11.26)
где
„ _ Rin
Я„,+Ар 1 + Ap/V
(11.27)
При Ар / Rin «1 значение R^R?.
Угол отсечки 0 выбирается таким, чтобы обеспечить наиболь-
шее значение амплитуды UbWi. Из формулы (11.26) следует, что при
постоянной амплитуде UBK максимум амплитуды t/вых достигается
при максимальном значении коэффициента ул(0), т.е. при опти-
мальном значении угла отсечки: 0ОПГ = 18О°//7.
Формулу (11.26) можно записать в другом виде:

(11.28)
где 1т — амплитуда импульса выходного тока. Согласно выраже-
нию (11.28) при постоянном значении 1т максимум амплитуды (/вых
может быть достигнут при максимальном значении коэффициента
аЛ(0), т.е. при угле отсечки 0ОПТ = 120°/я.
Однако даже при выборе этих оптимальных углов отсечки по
мере увеличения коэффициента умножения п амплитуда л-й гар-
моники тока /„, а значит, и t/Bblx уменьшается. Кроме того, ухудша-
ются условия подавления ближайших гармоник Zn_i и /л+1, кото-
рые приводят к появлению паразитной амплитудной модуляции
выходного сигнала. Поэтому на практике коэффициент умножения
выбирают не более трех.
Пример. В схеме умножителя частоты транзистор имеет кусоч-
но-линейную проходную ВАХ с параметрами 5 = 50 мА/B, t/H ~ 0,5 В.
Приняв импульс тока 1т =12,5 мА, определим положение рабочей
294
точки Uo и амплитуду входного сигнала (/вх, которые обеспечивают
наилучшие условия для удвоения частоты.
Как отмечалось выше, при заданном значении 1т наилучшие
условия для удвоения частоты будут при оптимальном угле отсеч-
ки, равном 60°. Из формулы (10.12) находим:
ВХ
---------= 0,5 В
5(1-cos 6)
а из формулы (10.14) определяем t/0 = (/n -UBK cosO =0,25 В.
11.4.	Преобразование частоты сигнала
Преобразование частоты — нелинейное преобразование сигна-
ла, целью которого является смещение спектра сигнала по шкале
частот в область более высоких или более низких частот без изме-
нения формы сигнала. Например, в радиоприемнике осуществля-
ется преобразование частоты принимаемых модулированных ра-
диосигналов с целью смешения их спектра в область более низких
частот, где обеспечиваются наилучшие условия для их обработки.
В случае преобразования частоты модулированного радиосигна-
ла происходит изменение несущей частоты с сохранением видов и
законов модуляции. Например, AM-радиосигнал и его спектр, изо-
браженные на рис. 11.12, а. после операции преобразования часто-
ты выглядят так, как показано на рис. 11.12, б, из которого видно,
что спектр АМ-радиосигнала смещен из окрестности несущей час-
тоты соо в окрестность более низкой несущей частоты сопр, называе-
мой промежуточной частотой.
Преобразование частоты достигается перемножением входного
сигнала:
и вх (/) = £/(/) cos соог
и вспомогательного
ul{t) = Ul cos(Dr/,
(11.29)
(11.30)
который вырабатывается (генерируется) специальным генерато-
ром — гетеродином.
В результате перемножения получим:
wBX(/)wr(0 = U(t)UT cos (О0/cos со/ =
= — U(f)Ux cos(co0 +cor)r +-U(t)UT cos(co0 -cor)r.
(11.31)
295
©о
Рис. 11.12. ДМ-радиосигналы и их спектры до (а) и после (б) преобразования
частоты
со
В выражении (11.31) имеются две составляющие, модулирован-
ные по амплитуде в соответствии с U(f), но имеющие разные несу-
щие частоты: (соо + сог) и («о — сог). Полосовой фильтр выделяет
одну из этих составляющих, в результате чего получаем АМ-радио-
сигнал с новой несущей частотой.
Радиотехническую цепь, реализующую процесс преобразования
частоты, называют преобразователем частоты. Последний может
быть построен на основе структурной схемы, приведенной на рис.
11.13, где пере множителем (смесителем) сигналов (11.29) и (11.30)
служит нелинейный элемент.
В качестве НЭ можно использовать транзистор, а в качестве по-
лосового фильтра — параллельный колебательный контур. В
Рис. 11.13. Структурная схема преобразователя частоты
296
результате приходим к упрошенной
схеме преобразователя частоты, изобра-
женной на рис. 11.14.
На входе транзистора действует на-
пряжение
w(r) = t/0+wr(r)+wBX(/) =
= UQ+UT cos cor t + U(t) cos to0/.
Допустим, что проходная BAX тран-
зистора в окрестности рабочей точки
аппроксимирована степенным много-
членом (/? = 2). Для получения спек-
трального представления тока в выход-
ной цепи, необходимо в формулах
(10.29), (10.30) заменить U\, (A, cot, со?
соответственно на значения (/(/), (/г, соо,
Рис. 11.14. Преобразователь
частоты
В спектре тока присутствует составляющая промежуточной час-
тоты:
'np(0='’24/(/){/rcoscolip/, (О„р =|coo+ffir|.	(11.32)
Колебательный контур настроен на промежуточную частоту
(сор = сопр) и выделяет из спектрального состава тока колебание
(11.32). Полоса пропускания контура должна быть рассчитана на
ширину спектра модулированного колебания. В результате на вы-
ходе получим сигнал, спектр которого сохраняет структуру спектра
входного сигнала. Отличие состоит в том, что несущая частота вы-
ходного сигнала равна (соо + <ог) или |соо — сог|, в зависимости от
того, какая из этих частот (обычно более низкая) совпадает с резо-
нансной частотой контура.
Применение преобразователей частоты во входных цепях ра-
диоприемников позволяет перенести спектр сигнала с любой час-
тоты в полосу постоянной промежуточной частоты, что позволяет
осуществлять фильтрацию и усиление сигнала с использованием
неперестроиваемых полосовых усилителей.
11.5.	Реализация амплитудной модуляции
Радиотехническую цепь, реализующую процесс амплитудной
модуляции, называют амплитудным модулятором. Амплитудный
модулятор может быть построен на основе структурной схемы (рис.
11.15). На вход нелинейного элемента подаются два колебания: мо-
297
Нелинейный
элемент
Полосовой
фильтр
ивых
Рис. 11.15. Структурная схема амплитудного модулятора
Аудирующее им(Г) и несущее wH(/) = t/cosco0r. В результате нелиней-
ного преобразования суммы этих колебаний и последующей час-
тотной фильтрации на выходе получают AM-радиосигнал.
Упрощенная схема амплитудного модулятора приведена на
рис. 11.16. На входе транзистора действует напряжение:
u(t) = U0 +им (0 + t/cosco0/.	(11.33)
Колебательный контур настроен на несущую частоту: С0р = соу.
Принцип работы амплитудного модулятора поясняют спек-
тральные диаграммы, приведенные на рис. 11.17. Предполагается,
что модулирующий сигнал — гармонический с частотой Q.
Входное напряжение (11.33) вызывает в выходной цепи модуля-
тора ток (см. рис. 11.17, б):
= IQ(t) +I^tycostoQt + /2(Ocos2co0r+....	(11.34)
Здесь полезными являются спектральные составляющие, располо-
женные около частоты сиу, которые в (11.34) описываются как
^ (/) = /, (/)cosco0/.	(11.35)
Полосовым фильтром служит параллельный колебательный кон-
тур с резонансной частотой (Dp = coq. На рис. 11.17, б частотная харак-
Рис. 11.17. Спектры входного напряжения (я),
выходного тока (б) и выходного напряжения (в)
Рис. 11.16. Амплитудный мо-
дулятор
терн стика контура Z(co) изображена штриховой линией. Колебатель-
ный контур фильтрует выходной ток, выделяя составляющие (11.35),
которые создают выходное напряжение с AM (см. рис. 11.17, в):
«obl,(/) = (/(Ocosco0/,
(11.36)
где функция U(i) определяется величиной /t(/).
Дальнейший анализ модулятора состоит в определении ампли-
туды тока Л(/), так как приближенно U(t)~ I^R?.
Для определения 7) (/) рассмотрим два режима работы амплитуд-
ного модулятора.
Режим работы амплитудного модулятора
при степенной аппроксимации ВАХ НЭ
Процессы в амплитудном модуляторе при степенной аппрокси-
мации ВАХ НЭ поясняет рис. 11.18.
Подставляя выражение (11.33) в формулу (10.32), для выходного
тока получим
/(/) = я0 +<7, [wM (/) + (7cosco0r]+t72[wM (t) + U cos coo/|".
(11.38)
Для определения спектра тока разложим выражение (11.38) на гар-
монические составляющие. Воспользовавшись известными форму-
лами, преобразуем выражение (11.38) к следующему виду:
Рис. 11.18. Процессы в амплитудном модуляторе

299
i(t) = a0+^a2U2 +aluu(t)+a2u-(t)+a,UcosoyQt +
1	2
+2a2wM(/)(/cosco0r +-a2U cos2co0/.
(11.39)
Выражение (11.39) определяет спектральный состав выходного
тока модулятора и показывает, что в спектре тока имеются низко-
частотные составляющие, соответствующие спектру модулирующе-
го сигнала, и высокочастотные составляющие около частот (Оо и
2соо. Полезными являются спектральные составляющие, располо-
женные в окрестности несущей частоты coq:
i,(/) = a,Ucos+2а 2и M(f)Ucosсо0/ =axU Х+2—uJf) cosco0/
at
или
Z1(/) = /i(Ocosw0r,
где
(11.40)
В случае гармонического модулирующего сигнала
«н(0 = ^ПСО8Й/
(11.41)
имеем
(/) = / j (1 + Л/ cosQ/)cosco0/,
(П.42)
где
Ц =OiU, М = 2(а2 /a^Uп.
(11.43)
Из (11.43) следует, что коэффициент амплитудной модуляции
Л/ тем больше, чем больше отношение коэффициентов ^2/^1 и ам-
плитуда модулирующего сигнала Uq.
Амплитудный модулятор в режиме с отсечкой тока
При работе амплитудного модулятора в режиме с отсечкой вы-
ходной ток имеет форму импульсов, модулированных по амплитуде
(рис. 11.19). Изменение высоты импульсов происходит за счет того,
зоо
(Ot
Рис. 11.19. Процессы в амплитудном модуляторе в режиме с отсечкой тока
что низкочастотное напряжение им(1) изменяет положение рабочей
точки на ВАХ и угол отсечки изменяется:
cos 9 = — -у-
U
(11.44)
При этом, как следствие, изменяется высота импульсов.
Известно, что амплитуда первой гармоники импульсного тока
связана с углом отсечки:
/1 (/) = 5t/Yl (9),
(11.44)
где угол отсечки изменяется как
9 = arccos
U
(11.45)
При гармоническом модулирующем сигнале (11.41) угол отсеч-
ки изменяется в пределах между значениями 9min и 9тах, где
301
При этом в соответствии с формулой (11.44) амплитуда первой гармо-
ники тока изменяется в пределах между значениями /lmin и /1тах, где
1 min
= 5£/y1(6min),
I max
(11.46)
= SUy,(fi тах).
При этом се коэффициент модуляции равен
Л/,
1 max
1 min
I max
1 min
(11.47)
При напряжении смещения Uq = UH значения 9min =arccos(t/Q / U),
0max - - arccos(t/n / 77), т.е. коэффициент модуляции Mi зависит от
величины отношения U^JU.
Пример. В схеме амплитудного модулятора транзистор имеет
кусочно-линейную проходную ВАХ с параметрами 5 = 50 мА/В,
UH = 0,5 В. Напряжение Uq - 0,5 В. Определим коэффициент моду-
ляции первой гармоники выходного тока при значении амплитуд:
U = 0,5 В, Ua = 0,2 В.
Напряжение смещения, определяющее положение рабочей точ-
ки на ВАХ, в процессе модуляции изменяется от минимального
значения 77min = UQ -Un =0,3 В до максимального (/max = Uo +UQ =0,7 В.
При этом изменяется угол отсечки:
6,™ =arccos(£7H/£0 = 60°, 0max =arccos(£/H -U^/U) = \20°.
По формулам (11.46) вычисляем /|min = 3,9 мА, /imax =16,1 мА.
По формуле (11.47) определяем коэффициент модуляции М\ = 0,61.
Модуляционная характеристика
О качестве работы модулятора судят по виду его модуляцион-
ной характеристики. Модуляционной характеристикой называют
зависимость амплитуды U(t) выходного АМ-радиосигнала от мгно-
венного значения модулирующего сигнала wM(Z) (рис. 11.20, а).
Если U{t) изменяется пропорционально wM(/), т.е. модуляционная
характеристика линейна, то амплитудная модуляция осуществлена
без искажений (см. рис. 11.20, в; кривая 7). В противном случае
возникают нелинейные искажения (см. рис. 11.20, в; кривые 2, 5).
Очевидно, что для обеспечения линейности модуляционной ха-
рактеристики должна быть линейной зависимость Л(г) от величины
«м(0-	*
302
*Цг)
Рис. 11.20. Модуляционная характеристика (а) и ее использование
для оценки нелинейных искажений (б, в)
Если рабочий участок ВАХ нелинейного элемента достаточно
точно описывается многочленом второй степени, то, как следует из
формулы (11.40), /](/) изменяется пропорционально wM(Z).
При кусочно-линейной аппроксимации связь между величинами
I\(f) и wM(/) определяется через функцию у((0). Зависимость Yi(0) имеет
линейный участок: 60° < 0 < 120° (см. график у на рис. 10.6, а). Если
обеспечить режим работы модулятора в пределах этого линейного
участка зависимости yi(0), то I[(t) будет меняться пропорционально wM(r).
При практических исследованиях используют так называемую
статическую модуляционную характеристику, определяющую изме-
нение амплитуды первой гармоники выходного тока Ц за счет из-
менения постоянного напряжения (/0 на входе нелинейного эле-
мента. Эту характеристику находят опытным путем. Для исключе-
ния нелинейных искажений необходимо использовать только ли-
нейный участок статической модуляционной характеристики.
11.6.	Реализация фазовой и частотной модуляции
Методы реализации ФМ и ЧМ можно разделить на две группы:
прямые и косвенные.
Прямой метод при ФМ означает воздействие модулирующего
сигнала им(/) на радиотехническую цепь, определяющую фазу вы-
сокочастотных колебаний. На выходе такой цепи, называемой фа-
зовым модулятором, получают ФМ-радиосигнал:
303
«БЫХ<0 = ^COS[(D0r +^м(/)] .
В качестве фазового модулятора можно использовать умножи-
тель частоты.
Прямой метод при ЧМ означает воздействие модулирующего
сигнала на радиотехническую цепь, определяющую частоту высо-
кочастотных колебаний. На выходе такой цепи, называемой час-
тотным модулятором, получают ФМ-радиосигнал:
"вых =COS|l00/+ArJ«M (/)£//].
Косвенные методы основаны на возможности преобразования
одного вида угловой модуляции в другой, поскольку фаза и частота
взаимно связаны. Так, если модулирующий сигнал подается на фа-
зовый модулятор через интегрирующую цепь, то на выходе получа-
ем ЧМ-радиосигнал. Аналогично ФМ-радиосигнал можно полу-
чить с помощью частотного модулятора и дифференцирующей
цепи на его входе.
Рассмотрим способ осуществления фазовой модуляции, реализо-
ванный на основе структурной схемы (рис 11.21), в состав которой
входят перемножитель напряжений, сумматор и фазовращатель.
Несущее колебание wH(z) подводится к одному из входов сумма-
тора и через фазовращатель, который изменяет фазу wH(Z) на л/2, к
одному из входов перемножителя. На второй вход перемножителя
подается модулирующий сигнал «м(0- В сумматоре складываются
два колебания:
ин (г) = Ucos соо/, и(О = ким (t)Usin сооГ.
Сумма этих колебаний образует выходной сигнал:
мВых (О = t7(z) cos co0r +ким (t}U sin соо/
или
И»ЫХ W = 1/(0 cos[w0/ + ф (0L
где
Рис. 11.21. Структурная схема фазового модулятора
304
U(t) = U^l+k2u2(t),
(11.48)
Ср (0 = - arctg[AwM (/)].	(11.49)
Таким образом, на выходе данного модулятора получаем сиг-
нал, фаза которого зависит от модулирующего сигнала.
Зависимость <р(/) от величины w4(r) представляет собой фазо-
вую модуляционную характеристику. Характеристика, описывае-
мая выражением (11.49), имеет линейный участок в пределах
-л/4< <р(/)< л/4. Поэтому минимальные нелинейные искажения
достигаются только при малых значениях индекса модуляции:
т < л/ 4 ~ 0,8. Однако этот недостаток можно преодолеть, осущест-
вив после модулятора умножение частоты. При этом индекс моду-
ляции будет увеличен в п раз, где п — коэффициент умножения.
Согласно формуле (11.48) в выходном сигнале имеет место нежела-
тельная амплитудная модуляция. Однако ее можно устранить с помо-
щью амплитудного ограничителя, включенного на выходе модулятора.
Способы построения фазового и часто тн о го модулятора рас-
смотрены также в подразд. 13.4.
11.7.	Амплитудное детектирование
Демодуляция — процесс, обратный модуляции, предназначен-
ный для восстановления модулирующего сигнала (сообщения) по
модулированному радиосигналу. Демодуляция является составной
частью процесса приема радиосигналов. Радиотехническую цепь,
реализующую процесс демодуляции, называют демодулятором.
В инженерной практике процесс демодуляции принято назы-
вать детектированием, а демодулятор — детектором.
Амплитудное детектирование — процесс, обратный амплитуд-
ной модуляции, осуществляется амплитудным детектором, кото-
рый может быть реализован на основе структурной схемы, приве-
денной на рис. 11.22.
Амплитудный детектор преобразует входной AM-радиосигнал
(рис. 11.23, о):
uRX (/) = (7(r)cosco0r, U(t) = UQ +kuM (/)
в выходной модулирующий сигнал (см. рис. 11.23, б):
^вх
Нелинейный
элемент
Фильтр НИЖНИХ U
частот
вых
Рис. 11.22. Структурная схема амплитудного детектора
305
Рис. 11.23. Сигналы в амплитудном детекторе: входной (а) и выходной (б)
ВЫХ (О	Д М (О*
Постоянный коэффициент кй называют коэффициентом детек-
тирования.
Принцип работы амплитудного детектора поясняют спектраль-
ные диаграммы на рис. 11.24.
Нелинейный элемент преобразует спектр входного АМ-радио-
сигнала (см. подразд. 10.4), в результате чего ток в цепи будет со-
держать составляющие:
(11.50)
/(О =	+Л (Ocosсоо/ + /2 (/)cos 2соо/ +....
Здесь полезными являются низкочастотные составляющие с часто-
той модуляции Q, описываемые /о(0-
Un
пвх
CdQ-fi с}0 COq+D
^ВЫХ А
Рис. 11.24. Спектры
процессов в амплитудном детекторе: входного сигнала (а),
тока (и) и выходного сигнала (в)
306
Фильтром нижних частот, как правило, служит параллельная
/?С-цепь, комплексное сопротивление которой равно
Я+1/коС 1+/соЯС
Полосу пропускания ФНЧ определяют частотой среза сос, на
которой модуль
Z(co) =
R
ф+(тНС)’
(11.51)
достигает значения A/V2, а сос =1/ RC. Зависимость Z(cd) показана
на рис. 11.24,5 штриховой линией.
Очевидно, что должно быть выполнено следующее условие:
О« сос«соо или Q« —«со0.
(11.52)
В этом случае ФНЧ будет выделять только полезные спектральные
составляющие с частотой модуляции Q и отфильтровывать все вы-
сокочастотные составляющие.
Из формулы (11.51) следует, что Z(0) = А. При выполнении ус-
ловия (11.52) можно принять, что на частоте Q значение Z(Q) « R.
Тогда выходной сигнал будет равен:
",и«) = Л(()Л
(11.53)
Таким образом, задача сводится к
определению низкочастотной состав-
ляющей тока /0(г).
Режимы работы амплитудного
детектора
Рассмотрим схему коллекторного де-
тектора, изображенного на рис. 11.25.
В этой схеме выражение (11.50) пред-
ставляет выходной ток. Для определения
/о(/) рассмотрим различные способы ап-
проксимации проходной ВАХ транзи-
стора.
Рис. 11.25. Коллекторный де-
тектор
307
Квадратичное детектирование. Процессы в амплитудном детек-
торе при степенной аппроксимации ВАХ НЭ поясняют рис. 10.10 и
10.11.
Из формулы (10.35) выделяем низкочастотную составляющую
тока (10.36):
Подставляя это значение /о(0 в формулу (11.53), для выходного
сигнала получим
uMK(t)=af)R^a1RU2(t\
(11.54)
Из выражения (11.54) следует, что выходной сигнал определяется
квадратичной зависимостью:

Поэтому данный режим детектирования называют квадратичным",
при нем имеет место нелинейное искажение выходного сигнала.
Оценим нелинейные искажения при квадратичном детектировании
радиосигнала с тональной AM. Подставляя значение
£/(/) =/7(1 +Л/cos Q/),
в выражение для составляющей выходного тока 4>(/), получим
/0(/) = /«о + /Ol cosQr + /02 cos2Qr,
где /оо, Ли, /02 определены формулами (10.39).
Нелинейные искажения обусловлены присутствием в спектре
тока составляющей с частотой 2Q (см. рис. 10.11, б). Коэффициент
нелинейных искажений определяется как
^нл “ ^01 / ^02 ~	/ 4-
(11.55)
Так, при М = 1 имеем = 25 %.
Линейное детектирование. Процессы в амплитудном детекторе
при кусочно-линейной аппроксимации ВАХ НЭ поясняет рис.
10.12 и 10.13.
На основании формулы (10.41) низкочастотная составляющая
тока равна:
/0(/) = (/(г)5у0(е).
Подставляя это значение /0(0 в выражение (11.53), получим
308
U =Sy0(e)RU(t).
Если угол отсечки 6 = л/2, то
«„^(0=—W).
л
(11.56)
(И.57)
В этом случае выходной сигнал определяется линейной зависимо-
стью:
ивых(/)-£/(/).
Поэтому данный режим детектирования называют линейным.
Детекторная характеристика. Зависимость мгновенного значе-
ния выходного сигнала иъьМ детектора от амплитуды входного
АМ-радиосигнала U(t) называют детекторной характеристикой. Ее
вид показан на рис. 11.26, а. Если детекторная характеристика ли-
нейна, то процесс детектирования происходит без нелинейных ис-
кажений (см. рис. 11.26, в; кривая 7).
Рис. 11.26. Детекторная характеристика (а) и ее использование для оценки
нелинейных искажений (б, в)
309
При квадратичном детектировании детекторная характеристика
описывается выражением (11.54), т.е. имеет вид квадратичной за-
висимости. В этом случае процесс детектирования сопровождается
нелинейными искажениями (см. рис. 11.26, в; кривая 2).
При линейном детектировании детекторная характеристика
описывается выражением (11.57). В этом случае процесс детектиро-
вания происходит без нелинейных искажений.
Диодный детектор
На рис. 11.27 изображена схема диодного детектора, в котором
в качестве НЭ использован полупроводниковый диод.
Для нормальной работы диодного детектора необходимо, чтобы
сопротивление нагрузки R значительно превышало сопротивление
диода в прямом направлении /?д, т.е. R » /?д. Кроме того, из фор-
мулы (11.52) следует:
Вольтам верная характеристика полупроводникового диода при-
ведена на рис. 11.28, а. Выполним кусочно-линейную аппроксима-
цию ВАХ, положив для простоты рассмотрения обратный ток диода
нулевым (см. рис. 11.28, б). Здесь напряжение отсечки Un = 0,6 В.
По закону Кирхгофа напряжение, прикладываемое к диоду (см.
рис. 11.27),
И ^вх вых *	(11.59)
Выражение (11.59) справедливо для любого момента времени. Если
Um - Um COSCO/, то
DA	DA	z
W = UM cos со/ - w R.....
DA	DWA
Угол отсечки 0 определяется из условия и — Un. Отсюда следует:
и
Рис. 11.27. Диодный детектор
310
cos9-.	(11.60)
Таким образом, при гармоническом
входном сигнале с амплитудой UBX про-
детектированное напряжение есть по-
стоянная величина, определяемая t/BX.
Допустим, что в схеме детектора
включен источник начального смеще-
ния бнач» причем £41ач =— UH. Тогда из
формулы (11.60) имеем
Рис. 11.28. ВАХ полупроводникового диода (а) и ее аппроксимация (о)
UK.,y =UKy COS0.
ПЫЛ	ПЛ
(11.61)
С другой стороны, в соответствии с формулой (11.53):
«ВЫх=^ = ^ьхУо(0)Л	(11-62)
Приравняв правые части формул (11.61) и (11.62), получаем сле-
дующее равенство:
Yo(e)_ 1
cos 0 SR
Подставив значение уо(0) из выражения (10.21) и выполнив эле-
ментарные преобразования, получим трансцендентное уравнение:
(11.63)
Из (11.63) следует, что угол отсечки не зависит от амплитуды
входного сигнала и определяется только величиной SR, где
5— крутизна ВАХ диода на участке и > U„ (см. рис. 11.27, 6), при-
чем 5 = 1/Яд, где Ял — сопротивление диода в прямом направле-
нии. По условию Яд « Я и, значит, SR » 1. Поэтому, как следует
из формулы (11.63), угол отсечки 0 мал. При малых значениях 0
положив tg 0 ~ 0 + 03/3, из формулы (11.63) находим
е=(Зл/5Я),/3.
(11.64)
Поскольку угол отсечки не зависит от амплитуды входного сигна-
ла, то, если
wBX(/) = t/(Ocosco0/,
на выходе детектора в соответствии с выражением (11.61) имеем:
311
Ивых(0 = 6/(0 COS 0
или
ивх(/) = /сдЖ
(11.65)
где
ка =cos6	(11.66)
— коэффициент передачи диодного детектора, называемый коэф-
фициентом детектирования.
Рассмотрим процессы в диодном детекторе, поясняющие прин-
цип его работы. Пусть на вход детектора поступает гармоническое
напряжение с медленно меняющейся амплитудой (рис. 11.29). Когда
диод открыт, протекающий ток заряжает конденсатор С. Постоян-
ная времени заряда т3 конденсатора определяется емкостью С и ма-
лым сопротивлением открытого диода: т3 = /?ЦС. Когда диод закрыт,
конденсатор разряжается через резистор R. Постоянная времени
разряда т = ЯС»т3. Поэтому разряд конденсатора происходит
значительно медленнее, чем его заряд. В результате серии зарядов и
разрядов на выходе детектора создается продетекгированное напря-
жение мВых, имеющее пульсирующую составляющую с частотой соо-
Но поскольку тр » Го =2л/соо, уровень пульсации ивых мал.
Величину постоянной времени нагрузки т = RC выбирают так,
чтобы за период высокой частоты соо конденсатор успевал разря-
жаться лишь на небольшую величину. Поэтому
т = ЛѻÄ =—.
«о
(11.67)
С другой стороны, при изменении амплитуды колебаний высо-
кой частоты в процессе модуляции необходимо, чтобы напряжение
на конденсаторе успевало достаточно быстро меняться. Для этого
Рис. 11.29. Диаграммы напряжений в диодном детекторе
312
постоянная времени т = RC должна быть значительно меньше пе-
риода частоты модуляции:
т = RC«
(11.68)
Совместно неравенства (11.67) и (11.68) аналогичны условию
(11.58).
11.8.	Фазовое детектирование
Фазовое детектирование (демодуляция) — процесс, обратный фа-
зовой модуляции. Радиотехническую цепь, осуществляющую фазовое
детектирование, называют фазовым детектором (демодулятором).
Подавая на вход фазового детектора ФМ-радиосигнал
wBJ/) = ^cosl(o0/ + (p(/)],
где <р(/) = Ь/м(/), на выходе получаем колебание, повторяющее за-
кон изменения фазы:
"вых(0~<Р(0-
Однако фазовое детектирование нельзя осуществить на основе
преобразования ФМ-ради оси гнала нелинейным элементом. Дело в
том, что воздействие ФМ-радиосигнала на НЭ нс приводит к появ-
лению в спектре тока низкочастотных составляющих с частотами
модуляции (см. рис. 10.15).
Методы фазового детектирования основаны на использовании
эффекта взаимодействия двух колебаний в нелинейной цепи (см.
подразд. 10.3). Структурная схема фазового детектора показана на
рис. 11.30, а ее возможная реализация на рис. 11.31.
На нелинейный элемент воздействует ФМ-радиосигнал и опор-
ное напряжение won =Uon cosco0/, создаваемое вспомогательным ге-
нератором. В результате напряжение на входе детектора будет сле-
дующим:
w(r) = t/cos[co0r + cp(r)]+Z7on cosw0r.
(11.69)
«фм
Нелинейный
элемент
Фильтр нижних
частот
^вых
Рис. 11.30. Структурная схема фазового детектора
313
о
^вых
-О
Рис. 11.31. Фазовый детектор
Допустим, что рабочий участок
ВАХ нелинейного элемента аппрокси-
мирован степенным многочленом вида
/(«) = 47О
Подставив сюда значение и из фор-
мулы (11.69) и выполнив преобразова-
ния, описанные в подразд. 10.3, полу-
чим спектральное представление тока:
/(О =
a0+^a2(U2+U2„)
+ал U cos[co0/ + ср (/)]+
+а, Uou cos сооГ + - а2 U2 cos 2|со01 + ф (/) 1+
(11.70)
1 1
+-а2и^ cos2co0r+a2CCon cos[2co0Z +ф(Г)|+
+Л2£Я/0П СО5ф(Г).
Выражение (11.70) показывает, что в спектре тока присутствует
низкочастотная составляющая:
im(t) = a2UUon со5ф(Г).
(11.71)
Фильтр нижних частот (ЯС-цепь), удовлетворяющий условию
(11.52). служит нагрузкой. Поэтому напряжение на выходе будет
определяться током (11.71):
"вых (') = ^ cos <₽ (')>
(11.72)
где
Схема фазового детектора на рис. 11.31 отличается от схемы ам-
плитудного диодного детектора на рис. 11.27 лишь тем, что в ней
на входе действуют два сигнала.
Зависимость wBblx(/) от величины ф(0 называют детекторной ха-
рактеристикой фазового детектора. Согласно (11.72) она имеет ко-
синусоидальную форму. Однако на характеристике имеется малый
линейный участок, в пределах которого сигнал мвых(0 меняется
пропорционально ф(/). Это означает, что минимальные искажения
будут только при детектировании ФМ-радиосигналов с малым ин-
дексом модуляции.
314
11.9.	Частотное детектирование
Частот ное детектирование (демодуляция) — процесс, обрат-
ный частотной модуляции. Радиотехническую цепь, осуществляю-
щую частотное детектирование, называют частотным детектором
(демодулятором).
На вход частотного детектора подают ЧМ-радиосигнал:
wBX(r) = ^cos[co0r+9(r)J.
Его мгновенная частота определяется как
со (О = со0 =соо + Дсо(/),	... 7Ч.
Aco(r) = £wM(/).
На выходе детектора необходимо получить колебание, повто-
ряющее закон изменения мгновенной частоты:
ивых(/)~ Дсо(Г).
Возможны различные способы реализации частотного детекти-
рования.
В состав структурной схемы простейшего частотного детектора,
приведенной на рис. 11.32, входят резонансный усилитель и ам-
плитудный диодный детектор. При этом частотное детектирование
осуществляется в два этапа: сначала ЧМ-радиосигнал преобразует-
ся в колебание с АМ-ЧМ, а затем это колебание детектируется ам-
плитудн ы м детектором.
ЧМ-радиосигнал подают на вход резонансного усилителя. Как
было показано ранее (см. подразд. 8.7), при воздействии на резо-
нансную цепь ЧМ-рад иосигнала в выходном сигнале появляется
амплитудная модуляция в соответствии с выражением (8.67). Та-
ким образом, на выходе резонансного усилителя имеем колебание
с АМ-ЧМ.
Преобразование ЧМ-радиосигнала в колебание с АМ-ЧМ ил-
люстрирует рис. 11.33. Отметим, что резонансная частота контура
усилителя сор отлична от несущей частоты (Оо входного ЧМ-радио-
W4M
Резонансный
усилитель
Амплитудный
детектор
Рис. 11.32. Структурная схема частотного детектора
315
ад*
Рис. 11.33. К объяснению работы частотного детектора
U(t) 4
сигнала. Если частота соо соответствует середине линейного участка
резонансной кривой Дсо), то изменение частоты со(г) входного
ЧМ-радиосигнала приводит к почти пропорциональному измене-
нию амплитуды U(t) сигнала на выходе усилителя.
Амплитуда U(f) в соответствии с выражением (8.68) определяет-
ся как
U(t) = (/Дсо (/)],
(11.74)
где (7— амплитуда входного ЧМ-радиосигнала; /f[co(/)] — значение
АЧХ Дсо) при частоте со - cd(/). Подставляя со(Г) из формулы (11.73)
в формулу (11.14), для огибающей (11.74) получим следующее вы-
ражение:
1/(1) =
д/1+[СОо -сор +ДО)(/)]2Тэ
(11.75)
Далее напряжение с контура усилителя поступает на вход ам-
плитудного диодного детектора. На выходе диодного детектора в
соответствии с (11.65) имеем
^1+[CDO — С0р + А(0(/)]2 Т з
М „.,.(/) =
£ЗЫЛ х '
(11.76)
Зависимость ивых(г) от величины Дсо(/) называют детекторной
характеристикой частотного детектора. Согласно выражению
316
(11.76)	она по форме совпадает с АЧХ резонансного усилителя (по-
вторяет форму ската кривой). Как видно из рис. 11.33, на скатах
резонансной кривой имеются малые линейные участки. Поэтому
линейную зависимость цвых(/) от До)(/) можно получить только в
случае, когда значение девиации частоты ЧМ-радиосигнала мало.
Контрольные вопросы и задания
1.	Какие нелинейные цепи называют частотно-избирательными, уз-
кополосными?
2.	Как проводится анализ нелинейных частотно-избирательных це-
пей?
3.	Что понимают под резонансным усилением?
4.	Поясните принцип работы резонансного усилителя в нелинейном
режиме.
5.	Почему умножение частоты является нелинейным преобразовани-
ем сигнала?
6.	Что понимают под преобразованием частоты?
7.	Поясните принцип работы амплитудного модулятора.
8.	Что такое модуляционная характеристика?
9.	В чем состоят прямой и косвенный способы осуществления фазо-
вой модуляции?
10.	В чем состоят прямой и косвенный способы осуществления частот-
ной модуляции?
11.	Как преобразовать фазовую модуляцию в частотную и обратно?
12.	Приведите возможный способ осуществления фазовой модуляции.
13.	Что такое детектирование?
14.	Поясните принцип работы амплитудного детектора.
15.	Сравните квадратичный и линейный режимы детектирования.
16.	Что называют детекторной характеристикой?
17.	Для каких целей в фазовом детекторе используют источник опор-
ного напряжения?
18.	Поясните возможный способ реализации частотного детектора.
19.	В схеме резонансного усилителя использован транзистор, проход-
ная ВАХ которого аппроксимирована кусочно-линейной функцией
с параметрами: 5 = 400 мА/B, Un = 0,5 В. Выведите уравнение ко-
лебательной характеристики 6((/вх). Постройте графики Л(0вХ) в
диапазоне амплитуд 0 < t/BX < 0,4 В для двух положений рабочей
точки: а) £/0 = 0,4 В; б) Uq = 0,6 В.
20.	В схеме амплитудного модулятора использован транзистор, проход-
ная ВАХ которого аппроксимирована кусочно-линейной функцией
с параметрами: 5= 50 мА/B. t/H = 0,5 В. На базу транзистора пода-
ется высокочастотное напряжение с постоянной амплитудой U и
регулируемое напряжение смещения Найдите зависимость ам-
плитуды первой гармоники коллекторного тока Ц от UQ (статиче-
317
скую модуляционную характеристику). Постройте графики
для U = 0,4 В и U = 0,2 В.
21.	Параметры НЭ, используемого в схеме амплитудного модулятора,
приведены в задаче 20. Напряжение смещения £/0 = 0,5 В. Опреде-
лите коэффициент модуляции первой гармоники тока Ц при ам-
плитуде высокочастотного напряжения U= 0,4 В и амплитуде мо-
дулирующего напряжения U& = 0,2.
22.	В схеме коллекторного детектора использован транзистор, проход-
ная ВАХ которого аппроксимирована степенным многочленом
(10.32). На вход детектора подан сигнал
иьх = Uq+U(\ + cosQ|/+ М2 cosQ20coswqT.
Найдите переменную составляющую выходного сигнала.
23.	В схеме диодного детектора использован полупроводниковый
диод, ВАХ которого имеет крутизну 5= 10 мА/B. Сопротивление
R = 20 кОм. На вход детектора подается АМ-радиосигнал:
wBX = 5(1-t-0,6 cosQ/) cosco 0/ В.
Найдите амплитуду выходного сигнала.
ГЛ AB A 12
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
12.1.	Понятие автоколебательной цепи
Рассмотренные ранее радиотехнические цепи предназначались
для различных преобразований входных сигналов, поэтому колеба-
ния, имевшие место па выходе цепи, являлись следствием входных
периодических воздействий. Такие колебания называют вынужден-
ными. Форма вынужденных колебаний и их основные параметры
зависят от вида и параметров входных сигналов.
Существует также целый класс радиотехнических цепей, в ко-
торых самостоятельно, без внешних периодических воздействий,
возникают незатухающие периодические колебания, так называе-
мые автоколебания. Цепи, в которых возникают автоколебания, на-
зывают автоколебательными цепями. Автоколебательная цепь сама
является источником колебаний.
Автоколебания могут быть различной формы: гармонические и
негармонические (релаксационные).
Гармонические колебания имеют одну спектральную состав-
ляющую. Получить идеальное гармоническое колебание практиче-
ски невозможно. Реальное автоколебание является близким к гар-
моническому: оно содержит основную гармоник}7 с большой ам-
плитудой и ряд гармоник с малыми амплитудами. Чем меньше ам-
плитуды гармоник по сравнению с амплитудой основной гармони-
ки, тем ближе автоколебание к идеальному гармоническому.
Релаксационное колебание содержит ряд гармоник с соизмери-
мыми амплитудами. Форма релаксационных колебаний значитель-
но отличается от формы гармонических колебаний. Их временные
диаграммы состоят из медленных и быстрых участков. Примерами
релаксационных колебаний служат последовательности импульсов,
пилообразное колебание и т.д.
Форма и параметры автоколебаний определяются характери-
стиками и параметрами элементов цепи. Изменяя параметры авто-
319
Рис. 12.1. Структурная схема автоколебательной цепи
колебательной цепи, можно осуществить плавный переход от гар-
монических автоколебаний к релаксационным.
Рассмотрим автоколебательную цепь, структурная схема кото-
рой изображена на рис. 12.1. Ее функционирование основано на
принципе автоматического поддержания в колебательной цепи не-
затухающих колебаний. Как известно, в колебательной цепи без
потерь (например, в идеальном колебательном контуре) могут су-
ществовать незатухающие колебания. Наличие потерь приводит к
затуханию колебаний. Для поддержания незатухающих колебаний
энергия от внешнего источника питания через управляемый актив-
ный элемент (АЭ) периодически добавляется в колебательную
цепь, компенсируя потери в ней. Управление активным элементом
необходимо для того, чтобы поступление энергии в колебательную
цепь происходило синхронно с уже существующими колебаниями.
Поэтому между колебательной цепью и активным элементом долж-
на быть обратная связь.
По принципу функционирования различают автоколебательные
цепи с внешней и внутренней обратной связью (ОС). В первом слу-
чае ОС является внешней по отношению к АЭ и колебательной
цепи, а во втором — управление активным элементом осуществля-
ется по той же цепи, по которой энергия через АЭ поступает в ко-
лебательную цепь (см. штриховую линию на рис. 12.1).
В качестве активных элементов применяют электронные лам-
пы, биполярные и полевые транзисторы, туннельные диоды и др.
В радиотехнике автоколебательную цепь называют автогенера-
тором. Автогенератор определяют как устройство, преобразующее
энергию источш1ка питания в энергию колебаний без внешнего
возбуждения.
12.2.	Самовозбуждение автогенератора
гармонических колебаний
Автогенератор гармонических колебаний может быть выполнен
на основе резонансного усилителя, охваченного положительной
обратной связью (рис. 12.2, а).
320
Рис. 12.2. Структурная (д) и принципиальная (б) схемы автогенератора
-L + о E
б
Механизм возникновения и нарастания гармонического коле-
бания рассмотрим на примере схемы автогенератора, приведенной
на рис. 12.2, 6, где обратная связь осуществляется через катушку
£св, связанную магнитным потоком с катушкой L колебательного
контура; М— взаимная индуктивность. Подобную обратную связь
называют трансформаторной связью.
Процесс возникновения и нарастания колебаний в данном ав-
тогенераторе состоит в следующем. Запуск автогенератора осуще-
ствляется включением источника питания Е. Начальный скачок
тока в выходной цепи усилителя возбуждает в колебательном кон-
туре свободное колебание с частотой, близкой к резонансной час-
тоте контура Шр. Это колебание через цепь обратной связи (ОС) пе-
редается на вход усилителя, создавая переменное напряжение, ко-
торое вызывает увеличение тока в выходной цепи усилителя, что, в
свою очередь, приводит к увеличению амплитуды колебаний на
выходе, которое вновь через цепь ОС поступает на вход усилителя
и т.д. Таким образом, в замкнутой цепи автогенератора происходит
самовозбуждение колебаний частоты, близкой к резонансной час-
тоте контура.
Качественное рассмотрение процесса самовозбуждения колеба-
ний позволяет сделать вывод о необходимости выполнения двух
условий самовозбуждения.
Первое условие состоит в том, что в режиме самовозбуждения
коэффициент усиления при обходе замкнутой цепи автогенератора
должен быть больше единицы. Только в этом случае амплитуда ко-
лебаний будет возрастать.
Поскольку в момент возникновения колебаний их амплитуда
мала, то резонансный усилитель работает в линейном режиме. Со-
гласно выражению (11.16) коэффициент усиления на резонансной
частоте равен
Кр =SR^.
21 3659
321
Тогда получаем первое условие самовозбуждения автогенератора
в виде
/Грр>1 или 57?эр>1,
(12.1)
где р — коэффициент передачи цепи обратной связи.
Второе условие самовозбуждения заключается в том, что допол-
нительные колебания, вводимые в контур, должны совпадать по
фазе с уже существующими колебаниями. Это условие соблюдается
при использовании положительной обратной связи (см. подразд. 7.5).
Таким образом, самовозбуждение автогенератора возможно
только при наличии положительной обратной связи с коэффици-
ентом
Р>Ркр
(12.2)
Процесс самовозбуждения колебаний с энергетической точки
зрения объясняется тем, что энергия, вносимая в колебательный
контур за один период колебаний от источника питания, превыша-
ет потери энергии за период.
12.3.	Автогенератор гармонических колебаний
в стационарном режиме
В стационарном режиме в автогенераторе (рис. 12.2) устанавли-
ваются гармонические колебания с постоянными параметрами (ав-
токолебания). Параметры (амплитуда и частота) автоколебаний оп-
ределяются на основе анализа уравнений стационарного режима.
Рассмотрим способ получения этих уравнений.
Будем характеризовать резонансный усилитель комплексным
коэффициентом усиления Д/со), а цепь обратной связи — ком-
плексным коэффициентом передачи Р(/со). При этом
=	Р(/со) = РС<о)е“м“).	(12.3)
Пусть на входе усилителя существует гармоническое колебание
с частотой соо и комплексной амплитудой (7ВХ. Чтобы поддержать
это гармоническое колебание, необходимо после обхода замкнутой
цепи (рис. 12.2) подать на вход усилителя колебание с такой же
частотой, фазой и амплитудой
A'(ic)0)P((a>0)f7M =t/Bx.
(12.4)
322
Из (12.4) следует равенство
Ш)0)Р(/ш0) = 1
(12-5)
— это так называемое комплексное уравнение автогенератора.
Из (12.5), используя представление (12.3), получим два уравнения:
A'(to0)P(to0) = l,
<рА (со0) + ф()(со0) = 2тгл, л =0,1,....
(12.6)
(12.7)
Эти уравнения известны как уравнения баланса амплитуд (12.6)
и баланса фаз (12.7).
Баланс амплитуд означает, что в стационарном режиме коэф-
фициент усиления при обходе замкнутой цепи автогенератора ра-
вен единице. При этом происходит компенсация потерь в колеба-
гельном контуре — вносимая от источника питания энергия равна
энергии потерь.
Баланс фаз указывает, что полный фазовый сдвиг при обходе
замкнутой цепи автогенератора равен 0 или кратен 2л.
Определение частоты автоколебаний. Уравнение баланса фаз по-
зволяет определить частоту автоколебаний соо- Подставив в выраже-
ние (12.7) значение (рА из формулы (11.15), получим уравнение
rc-arctg(o)0-озр)тэ+9p(w0) = 2jw, п =0,1............. (12.8)
Из (12.8) следует, что частота колебаний too = top, если фр(соо) = ± л.
Таким образом, частота гармонических автоколебаний будет
равна резонансной частоте колебательного контура top, если фазо-
вый сдвиг фр, вносимый цепью обратной связи, равен к. Это соот-
ветствует положительной обратной связи.
Определение амплитуды автоколебаний. Амплитуду автоколеба-
ний определяют из уравнения баланса амплитуд (12.6) при частоте
too = top. По мере роста амплитуды колебаний резонансный усили-
тель переходит в нелинейный режим работы, при этом его коэффи-
циент усиления определяют формулой (11.20). Подставив ее в
уравнение (12.6), получим
51/?э₽(сор) = 1.
(12.9)
Учитывая, что величина З) зависит от амплитуды колебаний, запи-
шем уравнение (12.9) в виде
323
^(tfc)=
1
^₽(сор)'
(12.10)
Таким образом, задача определения амплитуды стационарных ко-
лебаний Uc сводится к решению уравнения (12.10).
Рассмотрим примеры решения уравнения (12.10). Функция
5i(U) может быть задана аналитически и графически. Соответст-
венно возможны аналитическое и графическое решения уравнения
(12.10).
Пример 1. Пусть в схеме резонансного усилителя (см. рис. 11.2)
проходная ВАХ транзистора описывается степенным многочленом
третьей степени. Из формулы (10.13) имеем
Л
При этом крутизна по первой гармонике равна
5’1W =
(12.11)
Подстановка выражения (12.11) в уравнение (12.10) дает
*,₽(%)
(12.12)
Условие (12.1) означает, что коэффициент
я. = 5>——
(12.13)
поэтому для выполнения равенства (12.12) коэффициент ат, должен
быть отрицательным. Решение уравнения (12.12) определяет ста-
- ционарную амплитуду:
(12.14)
Рассмотрим графическое решение уравнения (12.12). На рис.
12.3 изображен график функции (12.11) при значении <з3 < 0. Для
определения амплитуды С/с необходимо на этом же графике изо-
бразить горизонтальную прямую, проведенную на уровне 1/ЛД
324
Рис. 12.3. Графическое опреде-
ление амплитуды ав токолебаний
Рис. 12.4. Графическое опреде-
ление амплитуды автоколебаний
Точка пересечения кривой S](U) и прямой 1//?эр определяет ампли-
туду стационарных колебаний Uc.
Пример 2. Рассмотрим случай, когда в схеме резонансного уси-
лителя (см. рис. 11.2) проходная ВАХ транзистора описывается сте-
пенным многочленом пятой степени. Из формулы (10.13) имеем
и, значит, крутизна по первой гармонике равна
(12.15)
Вид функции (12.15) при значениях at > 0,	> 0,	< 0 показан
на рис. 12.4. Здесь же изображаем правую часть уравнения (12.10) в
виде горизонтальной прямой, проведенной на уровне (1/7?зР) <
Точка пересечения кривой (12.15) и прямой 1/Аф определяет ам-
плитуду стационарных колебаний Uc.
Устойчивость стационарного режима
В автогенераторе может существовать только устойчивый ре-
жим. Стационарный режим называют устойчивым, если любое от-
клонение от стационарного значения Uc с течением времени будет
уменьшаться.
Рассмотрим стационарный режим, соответствующий точке А на
рис. 12.5. При случайном уменьшении значения Uc на величину
AUувеличится значение крутизны: S}(UC -А1Г)> S{(UC). Как следст-
вие, увеличится амплитуда первой гармоники тока /]. В результате
амплитуда колебаний U будет увеличиваться, приближаясь к ста-
ционарному значению Uc. При случайном увеличении амплитуды
325
s,(U)
•$1 (Гс—A Г)----A
51 (Uc)-------PV
Si(Uc+MJ)	.“Г? TJ
nl-------i---1—i---x
о uc-^u.. uc+&u
C/c c
Рис. 12.5. К определению устой-
чивости стационарного режима
Uc на величину АС/ крутизна
(Uc +Абг)< (Uc), т.е. уменьшится
амплитуда первой гармоники тока /ь В
результате амплитуда колебаний U бу-
дет уменьшаться, стремясь к стацио-
нарному значению Uc. Таким образом,
точка А соответствует устойчивому ста-
ционарному режиму.
Анализ показывает, что если в точ-
ке пересечения кривой S\(U) и прямой
1//ЦЗ кривая S\(U) имеет отрицательный наклон, т.е.
dS.jU)
(12.16)
то стационарный режим является устойчивым.
12.4.	Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения
автогенератора
Графики функций 5i(t/), приведенные на рис. 12.3 и 12.4, показы-
вают, что возможны два варианта поведения этой функции. При этом
наблюдаются два режима самовозбуждения автогенератора, назван-
ные мягким и жестким и отличающиеся друг от друга различным ха-
рактером установления амплитуды стационарных колебаний.
Мягкий режим самовозбуждения наблюдается в случае, когда
рабочая точка находится на участке ВАХ усилительного НЭ (тран-
зистора), имеющего наибольшую крутизну. Тогда с ростом ампли-
туды колебаний величина Ai(L') уменьшается (см. рис. 12.3).
Рассмотрим, как изменяется в мягком режиме амплитуда ста-
ционарных колебаний Uc при изменении коэффициента передачи
цепи обратной связи Р(сор). Анализ уравнения (12.12) проведем гра-
фически (рис. 12.6, а).
Рис. 12.6. Вид функций (а) и С/ф) (б) в мягком режиме
самовозбуждения
326
На рис. 12.6, а изображены зависимости 1//?3р для различных
значений коэффициента р — это прямые линии (так называемые
прямые обратной связи). Из условия (12.13) определяем критиче-
ское значение:
Ркр SR. axR3	(12.17)
Формула (12.17) совпадает с формулой (12.2).
При Р > рКр в автогенераторе устанавливаются колебания с ам-
плитудой Uc. По мере увеличения р значение 1/(/?эР) уменьшается
(на графике прямая обратной связи опускается) и значение Uc
плавно увеличивается. При уменьшении р значение 1/(Аэр) увели-
чивается (на графике прямая обратной связи поднимается) и зна-
чение Uc плавно уменьшается. Зависимость £/е(Р) изображена на
рис. 12.6, б.
Основные особенности мягкого режима самовозбуждения авто-
генератора:
•	зависимость С7с(р) является однозначной;
•	с увеличением или уменьшением коэффициента передачи р
колебания возникают и прекращаются (срываются) при од-
ном и том же критическом значении ркр;
•	плавное возникновение колебаний сколь угодно малой ам-
плитуды при увеличении Р и плавный срыв колебаний при
уменьшении р.
Жесткий режим самовозбуждения возникает, когда рабочая точ-
ка находится на нижнем изгибе ВАХ усилительного НЭ. где кру-
тизна мала. С ростом амплитуды колебаний величина Si(U) вначале
увеличивается, затем уменьшается (см. рис. 12.4).
Рассмотрим, как в жестком режиме изменяется амплитуда ста-
ционарных колебаний Uc при изменении коэффициента передачи
Р(сор) (рис. 12.7, а). Значение Р'кр задается условием (12.17). При
значении Р'кр в автогенераторе возникнут стационарные колебания
с амплитудой U'c. При дальнейшем увеличении Р>Р'кр амплитуда
стационарных колебаний будет возрастать (см. рис. 12.7, б). При
уменьшении Р амплитуда стационарных колебаний тоже будет
уменьшаться, но при значении р'кр колебания не срываются. Срыв
колебаний в автогенераторе произойдет лишь при значении р*р.
327
|5, <U)
О U"c U' U
Рис. 12.7. Вид функций St(U) (а) и £/(₽) (б) в жестком
режи ме самовозбужден и я
б
Характерные особенности жесткого режима самовозбуждения
автогенератора:
•	зависимость С4(Р) является неоднозначной;
•	существуют два критических значения коэффициента передачи
Р, соответствующие возникновению (Р'кр) и срыву (Р"р) колебаний;
•	скачкообразное возникновение колебаний с большой ампли-
тудой (£/') при плавном увеличении коэффициента передачи р и
скачкообразный срыв колебаний при плавном уменьшении коэф-
фициента передачи р.
12.5.	Дифференциальное уравнение автогенератора
гармонических колебаний
Рассмотрим автогенератор гармонических автоколебаний, вы-
полненный на основе резонансного усилителя с положительной
обратной связью. На рис. 12.8 приведена обобщенная схема автоге-
нератора, активным элементом (АЭ) которого могут быть элек-
тронная лампа или транзистор. В автогенераторах применяются ко-
лебательные контуры с высокой добротностью (Q » 1), т.е. с ма-
лыми потерями. На схеме параллельный колебательный контур
I
Рис. 12.8. Обобщенная схема автогенератора с трансформаторной связью
328
представлен эквивалентной схемой в виде параллельного соедине-
ния £С-контура без потерь и сопротивления Аэ, учитывающего по-
тери в контуре. Используется трансформаторная обратная связь.
При составлении дифференциального уравнения автогенератора
учитываем только переменные составляющие токов и напряжений.
Напряжение на контуре ик и токи iLi fc, i#, i (см. рис. 12.8) свя-
заны между собой соотношениями:
ic+iK+iL =i;	(12.18)
„du,.	1 г j
I г —	----’ L — I к^'	(И 1 Q\
с dt Я, £J	(12.19)
Подставляя выражения (12.19) в равенство (12.18), получаем уравне-
ние
Jwv 1
—-+—и
dt R.3
uvdt = i.
1ч
Продифференцируем это уравнение по времени и разделим его обе
части на величину С:
d2uK 1 duK 1	_ 1 di
dt2 ~R£~dT ~LCUK~C~dt'
(12.20)
Считаем, что выходной ток АЭ зависит только от напряжения
на входе АЭ: /(//). Производную тока представим в виде
di di du	.du
— ---------- S(u) —,
dt du dt dt
(12.21)
где S(u) = di/du — дифференциальная крутизна BAX АЭ (проход-
ной BAX транзистора).
В схеме автогенератора (см. рис. 12.8) управляющее напряжение
м — woc +^о»
(12.22)
где woe — напряжение обратной связи, снимаемое с катушки связи
£св. Напряжение ОС вычисляется через коэффициент взаимной
индуктивности М и ток в катушке L:
иос -±М —
ос dt
(12.23)
329
Здесь знак зависит от того, каким образом включены катушки L и
LCB. Подставляя в выражение (12.23) значение тока iL из формулы
(12.19), получим
z/oc

(12.24)
Используя соотношения (12.21) — (12.24), приведем уравнение
(12.20) к виду
(12.25)
Дифференциальное уравнение (12.25) является нелинейным, так
как коэффициент при первой производной зависит от переменной,
а крутизна S(w) нелинейно зависит от напряжения и (или, учитывая
(12.22) и (12.24), от искомой переменной — напряжения wK).
Общие методы решения нелинейных дифференциальных урав-
нений неизвестны. Анализ уравнения (12.25) проводится прибли-
женными методами, позволяющими исследовать различные режи-
мы работы автогенератора.
Метод линеаризации применяют при исследовании режима са-
мовозбуждения автогенератора.
В пределах малого участка ВАХ АЭ крутизна S(u) является по-
стоянной, т.е. S(u) = 5. В этом случае уравнение (12.25) преобразу-
ется в линейное уравнение:
d2uK _ du„	2
—-£• +2а, -—- +о/ и
dt2 dt	₽
= 0,
(12.26)
где постоянный коэффициент
(12.27)
Решение уравнения (12.26) можно представить в виде
и к (Г) = UK е u ? sin со_ Г,
(12.28)
где (/к — некоторая постоянная; схэ — эквивалентный коэффициент
затухания колебательного контура, включенного в цепь автогенера-
тора.
330
Амплитуда колебания (12.28) будет возрастать, если коэффици-
ент аэ < 0. При этом из формулы (12.27) получаем неравенство:
(12.29)
Неравенство (12.29) выполнимо лишь при отрицательном знаке
перед коэффициентом взаимной индуктивности Л/, что соответст-
вует встречному включению катушек L и £св. Кроме того, величина
Л/ > Мкр, где критическое значение
(12.30)
Если считать R, = -L/CR, где R — сопротивление потерь в вет-
вях контура, то из выражения (12.30) имеем
(12.31)
Таким образом, меняя величину Л/, можно добиться самовозбу-
ждения генератора.
Из выражения (12.24) следует, что коэффициент передачи цепи
обратной связи
А о /фа Л/ Q Л/
Р =	|> =	;	(рр=л.
(12.32)
С учетом этого значения р из неравенства (12.27) получаем условие
самовозбуждения автогенератора:
W>1,
что совпадает с формулой (12.1). За счеч значения ерр = л выполня-
ется условие баланса фаз (12.7).
Запишем неравенство (12.29) в виде
(12.33)
(12.34)
331
Рис. 12.9. Эквивалентная схема
автогенератора для режима са-
мовозбужде н ия
Величину /?вн, имеющую размер-
ность сопротивления, называют вноси-
мым отрицательным сопротивлением.
Оно характеризует компенсацию по-
терь энергии в колебательном контуре
за счет положительной обратной связи.
Понятие вносимого отрицательного
сопротивления удобно тем, что дает
возможность представить автогенера-
тор (см. рис. 12.8) эквивалентной схемой в виде колебательного
контура с дополнительно включенным в него сопротивлением
(рис. 12.9).
Теперь условия самовозбуждения автогенератора можно запи-
сать как
—J вн < О ИЛИ
+ ЛВН
Явн<0, |ЛН|<Л,.
(12.35)
Из анализа эквивалентной схемы следует, что для самовозбуж-
дения колебаний достаточно включить в контур такое отрицатель-
ное сопротивление, при котором общее активное сопротивление
контура окажется отрицательным.
Квазилинейный метод применяют при исследовании стационар-
ного режима автогенератора. В автогенераторе устанавливаются
гармонические колебания с постоянной амплитудой и частотой,
близкой к резонансной частоте контура. Это имеет место, когда в
уравнении (12.25) коэффициент при производной dujdt равен
нулю.
Сущностяметода анализа состоит в поиске такого усредненно-
го значения S крутизны ВАХ АЭ, которое обеспечивало бы равен-
ство
(12.36)
Данное равенство выполняется только при определенной ам-
плитуде колебаний UCi так как усредненная крутизна 5 является
функцией амплитуды колебаний.
Согласно квазилинейному методу, усредненная крутизна 5 опре-
деляется как крутизна по первой гармонике S\(U). Это вытекает из
общих соображений. Высокодобротный колебательный контур ав-
тогенератора обладает большой избирательностью, поэтому, не-
смотря на то, что выходной ток усилителя отличается от гармони-
332
ческого из-за нелинейности АЭ, напряжения мк, «ос, « оказывают-
ся почти гармоническими. Квазилинейный метод состоит в том,
что соотношения между токами и напряжениями в схеме заменя-
ются соотношениями между их первыми гармониками. В этом слу-
чае условие (12.36) принимает вид
5, (Цс) =
что совпадает с условием баланса амплитуд (12.10).
12.6.	Метод медленно меняющихся амплитуд
и его применение к анализу процессов в автогенераторе
После включения автогенератора (см. рис. 12.8) в нем начина-
ется переходной процесс, в течение которого амплитуда колебаний
возрастает до некоторого стационарного значения. Исследование
переходного процесса основано на приближенном решении нели-
нейного дифференциального уравнения автогенератора методом
медленно меняющихся амплитуд (ММА).
В схеме автогенератора (см. рис. 12.8) переменные напряжения
и = «ос — ₽Wk. Запишем уравнение (12.25), перейдя от переменной
«к к переменной и:
(12.37)
Представим уравнение (12.37) в форме, позволяющей приме-
нить для его решения метод медленно меняющихся амплитуд, для
чего осуществим замену переменной 1 на безразмерную перемен-
ную т = о)р/. Подставляя выражения
du du dr du	d2u	2 d2u
—=-------=%—; ——г
dt dz dt	₽ dr	dt2	P dv
в (12.37) и обозначая й-du/dr и u = d2u/dr2, получим уравнение
автогенератора в виде
М
£Ссор
S(u) й.
(12.38)
Учитывая, что р = 1/Ссор, R3 = р£?э, ₽ = Л//£, перепишем уравне-
ние (12.38):
333
и+и
[l-p^5(«)]w.
(12.39)
Эквивалентная добротность колебательного контура автогене-
ратора (?э >> 1 и, значит, \/Qj « 1. В уравнении (12.39) выраже-
ние в квадратных скобках является малой величиной на основании
условия (12.36). Таким образом, значения функции в правой части
уравнения (12.39) малы по сравнению со значениями членов, стоя-
щих в левой части уравнения, поэтому последнее уравнение целе-
сообразно записать в виде
ii+и
(12.40)
где ц = 1/Q3 — малый параметр (р « 1),
/(м,м) = -|15(ы)| и.
(12.41)
Для приближенного решения уравнения (12.40) применим ме-
тод ММА, согласно которому искомое решение может быть запи-
сано в виде
w(t) = 1/(t)cos[t+<p(t)],
(12.42)
где С/(т) и <р(т) — медленно меняющиеся функции, удовлетворяю-
щие условиям U« U и ф« <р.
Перейдем от переменных и и й к переменным U и <р посредст-
вом соотношений
и = £/cos(t + (р), й =-(/sin(T + <p).
(12.43)
Отметим, что последнее выражение (12.43) для й — это не результат
дифференцирования и по переменной т. Производная и по т опре-
деляется как
й = И cos(t + <р) - U sin (т + ср) - U sin(x + ср) • <р.
(12.44)
Совместно соотношения для й из формулы (12.43) и (12.44) воз-
можны при выполнении условия:
(7cos(T + (p)-{/ <psin(x + <р) = 0.
(12.45)
Если переменную й продифференцировать по т и
подставить
функции и, w, и, выраженные в новых переменных U и <р, в диф-
ференциальное уравнение (12.40), то с учетом условия (12.45) полу-
чим систему двух уравнений
334
U sin(x+ср)+U <pcos(T+ф) = - ц/(£/, ф, т);
£/cos(t + ф) - U <pcos(x + ф) - 0.
(12.46)
Отсюда находим
U = -ц/(С/,Ф,т)5ш(т+ф);
£/ф = - ц /((/, ф, т) cos(t + ф)
(12.47)
— это система дифференциальных уравнений относительно иско-
мых переменных U и ф.
Поскольку £/(т) и ф(т) являются медленными функциями т, то
правые части уравнений (12.47) можно усреднить за период (счи-
тая, что за это время U и ф не меняются), в результате получим
систему так называемых укороченных уравнений'.
£/ = --- [р/^флЬтт^,;
2iti
2к
£/ф=---Гр/(С/,ф,т)С05 Т(47т
2я о
(12.48)
где Tj =т + ф.
Из системы укороченных уравнений (12.48) можно определить
стационарные значения амплитуды и фазы колебаний в автогене-
раторе, исследовать процессы установления (переходные процес-
сы) этих величин.
Установление колебаний в автогенераторе при
мягком режиме самовозбуждения
В качестве примера определим законы установления амплитуды
U(t) и фазы ф(/) колебаний в автогенераторе с мягким режимом са-
мовозбужден ия.
Подставляя крутизну
S(u) = S-3a3u2
(12.49)
в выражение (12.41), запишем

₽ЯЭ 2.
— и и.
(12.50)
Введем обозначения для коэффициентов в выражении (12.50);
335
(1-ряЛ)

(12.51)
здесь осэ определяется формулой (12.27).
Учитывая обозначения (12.51), перепишем выражение (12.50):
p/(iz,w) = -2
(12.52)
Подставляя в выражение (12.52) значения и и й из (12.43), получим
Ц/W, ф, т) = 2
U sin(x + ф)+— U3 cos2 (т + ф) sin(x + (р).
%
Это выражение подставляем в уравнения (12.48) и производим ин-
тегрирование. 13 результате для амплитуды U и фазы ф получаем
укороченные уравнения:
(р = 0
или, возвращаясь к переменной / = т/свр:
(12.53)
Из второго уравнения (12.53) следует, что фаза ф постоянна,
амплитуда Uпостоянна только в стационарном режиме. Положив в
уравнение (12.53) dU/dt = 0, получим уравнение:
из которого находим значение стационарной амплитуды:
(12.54)
Подставив в формулу (12.54) значения коэффициентов аэ и у,
выраженные из формул (12.51), получаем
(12.55)
Отметим, что выражения (12.55) и (12.14) совпадают при S=
336
Исследование переходного процесса сводится
уравнения (12.53). Умножим все его слагаемые на U:
к решению
(12.56)
Делим обе части этого уравнения на С72,
значим
используем (12.54) и обо-
A=(U/UC)\
В результате уравнение (12.56) принимает вид:
НА
— = -2а,(1-Л)/1.
dt
Разделяем переменные:
dA
(1-4)Л
После интегрирования имеем:
-2а dt.
(12.57)
(12.58)
где — постоянная интегрирования. Находим из формулы (12.58)
переменную А, подставляем ее в уравнение (12.57) и учитываем,
что в автогенераторе аэ < 0. В результате получаем
t/(/) =
(12.59)
Здесь Л) = VAt — постоянная, определяемая из начальных условий.
Введем обозначение t/(0) = UtnG. Тогда из выражения (12.59) находим
Подставив это значение Aq в выражение
окончательно
(12.60)
(12.59), получим
(12.61)
337
Рис. 12.10. Установление автоколебаний в автогенераторе при мягком режиме
самовозбуждения
Согласно выражению (12.61) амплитуда колебаний монотонно воз-
растает от начального значения ло стационарного Uc (рис. 12.10).
Как следует из проведенного рассмотрения, величиной, опре-
деляющей процесс установления колебаний в автогенераторе, яв-
ляется амплитуда колебания, а фаза колебания не играет никакой
роли.
12.7.	Основные схемы автогенераторов
с внешней обратной связью
Автогенераторы с трансформаторной обратной связью, в которых
колебательная цепь выполнена в виде высокодобротного £С-кон-
тура, называют ZC-автогенераторами. Схемы £С-автогенераторов
различаются но способу реализации положительной обратной свя-
зи или подключения £С-контура к активному элементу.
На рис. 12.11 приведены упрошенные схемы автогенераторов на
полевом транзисторе с трансформаторной обратной связью, разли-
чающиеся способом подключения колебательного контура: на схе-
ме (а) контур включен в выходную цепь транзистора, на схеме
(6) — во входную цепь транзистора.
Колебания в автогенераторах (см. рис. 12.11) могут возникнуть
только при положительной обратной связи с коэффициентом вза-
имной индуктивности Л/ >ЛГкр, где критическое значение Л/кр оп-
ределяется выражением (12.30) или (12.31).
Недостатком схем ZC-автогенераторов с трансформаторной об-
ратной связью является наличие двух индуктивно связанных кадушек.
a
б
Рис. 12.11. Автогенераторы с трансформаторной обратной связью при
подключении колебательного контура в выходную (а) и во входную (о) цепи
Трехточечная схема автогенераторов приведена на рис. 12.12, где
в качестве элементов колебательного контура Z,, Z2 и Z3 исполь-
зованы емкостные и индуктивные элементы с малыми потерями,
поэтому при анализе схемы можно считать Z{ -iX{, Z2 = iX->,
z3=//v
В автогенераторе должны выполняться условия баланса ампли-
туд (12.6) и баланса фаз (12.7). Выполнение условия баланса ам-
плитуд обеспечивается надлежащим выбором значений коэффици-
ентов К и р. Здесь

где /| — первая гармоника выходного тока АЭ, U — амплитуда гар-
монического напряжения на входе АЭ (ранее было принято, что
колебательный контур фильтрует все гармоники, кроме первой);
R3 — эквивалентное сопротивление контура на частоте первой гар-
моники, равной резонансной частоте (др. Частоту' сор определяем из
условия:
%, (соР)+Л2(со )+Т3(а> )=0.
(12.62)
Поскольку напряжение £/й1 на вы-
ходе АЭ сдвинуто по фазе на л относи-
тельно напряжения U на его входе, то
для выполнения условия баланса фаз
требуется в делителе напряжения, со-
стоящем из Xi и АЗ, также осуществить
сдвиг фазы на л (ерр = л). Для этого не-
обходимо, чтобы
Х2/(Х, +Z,)<0.
(12.63)
Рис. 12.12. Обобщенная трехто-
чечная схема автогенератора
339
Для выполнения условия (12.63) реактивные элементы 26 и 26
должны быть разного характера и притом [Xi| > |26|. Кроме того,
должно выполняться равенство (12.62), что возможно только в
том случае, если реактивный элемент 26 того же характера, что
и 26.
В связи с этим существует два типа трехточечных схем автоге-
нераторов:
•	индуктивная трехточка, в которой 26 и 26 — индуктивные
элементы, Х\ — емкостной элемент (рис. 12.13, а);
•	емкостная трехточка, в которой 26 и 26 — емкостные элемен-
ты, 26 — индуктивный элемент (см. рис. 12.13, о).
Используя формулу (12.62), определим резонансную частоту ко-
лебательного контура:
—	для индуктивной трехточки:
С0р — 1 /	+ £2 j
для емкостной трехточки
<0р — 1 / д/аС1С2 /(Q +С2).
(12.64)
(12.65)
Коэффициент передачи цепи обратной связи в трехточечной
схеме автогенератора (см. рис. 12.12) определяем как
Р(СО) = X з (со) / X 2 (со).
Отсюда получаем:
—	для индуктивной трехточки р = L-J L\\
—	для емкостной трехточки р = Ci/C2.
Следовательно, условие самовозбуждения (12.1) запишем в сле-
дующем виде:
б
а
Рис. 12.13. Обобщенные трехточечные схемы автогенераторов: индуктивная (а)
и емкостная (б)
340
— для индуктивном трехточки:
(12.66)
— для емкостной трехточки:
SR3>C2/Cl.	(12.67)
Частота генерируемых колебаний близка к резонансной частоте
колебательного контура.
ЯС-автогенераторы. На низких частотах реализация АС-конту-
ров становится затруднительной, поскольку увеличение параметров
L и С влечет за собой увеличение геометрических размеров индук-
тивных и емкостных элементов. Колебательный АС-контур получа-
ется фомоздким и трудно перестраиваемым, поэтому АС-автогене-
раторы на низких частотах (до сотни килогерц) не используют.
Для генерирования гармонических колебаний низких частот
обычно применяют ЛС-автогенераторы, представляющие собой
комбинацию резистивных усилителей и /?С-непей для создания об-
ратной связи.
Различают /?С-автогснераторы с инвертирующими и неинвер-
тируюшими усилителями. Инвертирующий усилитель вносит фазо-
вый сдвиг (рк = л, поэтому цепь обратной связи на частоте генери-
руемых колебаний также должна вносить фазовый сдвиг ерр = ±л.
При использовании неинвертируюшего усилителя фазовые сдвиги
(рк = 0 и фр(сог) = 0, причем ерр = 0 только на одной частоте сог (ина-
че генерируемые колебания не будут’ гармоническими).
В /?С-автогенераторах с не инвертирующим усилителем для соз-
дания обратной связи широко используют цепь, изображенную на
рис. 12.14. Она выполнена в виде комбинации двух /?С-цепей: по-
следовательной (С|7?|) и параллельной (С?/??)- Коэффициент пере-
дачи данной цепи определяется как
(12.68)
где
7 -Р4.	1	7	Ъ
'	‘ '®ci’	2 А +—1	1+'шА2С/
2 /соС2
(12.69)
Подставив значения (12.69) в выражение (12.68) и выполнив эле-
ментарные преобразования, получим
341
P(ZCD) =
Приравняв к нулю мнимую часть знаменателя, находим частоту
(12.71)
на которой фазовый сдвиг <рр(сог) = 0.
Данную цепь обратной связи используют в ЛС-автогенераторе,
схема которого приведена на рис. 12.15. Здесь цепь обратной связи
включена между входом и выходом усилителя с коэффициентом
передачи (усиления) К. Усилитель с заданным коэффициентом пе-
редачи можно реализовать па операционном усилителе (ОУ) по
схеме неинвертирующего масштабного усилителя.
На основании выражения (12.6) запишем уравнения баланса
амплитуд:
= 1 или
(12.72)
Отсюда следует, что самовозбуждение автогенератора наступает
при коэффициенте передачи усилителя:
(12.73)
При R\ = A?, Ci = С2 получаем условие: К > 3.
Уравнение баланса фаз (12.7) удовлетворяется на частоте
(12.71), которая является частотой генерируемых колебаний.
Рассмотренный /?С-автогенератор называют RС-генератором с
мостом Вина. Мостом Вина называют цепь, изображенную на
рис. 12.14).
Рис. 12.14. Цепь обратной связи
Рис. 12.15. ЯС-автогенсратор
—о
мвых
342
12.8. Автогенераторы с внутренней обратной связью
Основой автогенераторов с внутренней обратной связью явля-
ются электронные приборы, имеющие ВАХ i(u) с падающим участ-
ком, на котором
(12.74)
— дифференциальная проводимость (крутизна) и дифференциаль-
ное сопротивление электронного прибора на падающем участке
отрицательны. Электронные приборы, являющиеся резистивными
нелинейными элементами с падающими участками ВАХ, называют
приборами с отрицательными сопротивлениями (или просто отри-
цательными сопротивлениями). В частности, таким прибором яв-
ляется туннельный диод; его ВАХ приведена на рис. 12.16. Подоб-
ного вида ВАХ называют характеристиками Л-типа. Здесь на участ-
ке аб имеют место соотношения (12.74).
Электронный прибор с отрицательным сопротивлением при
подключении к колебательной цепи компенсирует в ней потери
энергии, благодаря чему поддерживается режим автоколебаний.
Автогенераторы, использующие такие электронные приборы, не
содержат внешней цепи ОС и поэтому носят название автогенера-
торов с внутренней ОС.
Схема автогенератора с внутренней ОС, выполненного на тун-
нельном диоде и изображенная на рис. 12.17 отличается от схемы
рис. 12.8 отсутствием цепи внешней ОС. Блокировочная емкость
Сб образует путь дчя переменного тока. С помощью напряжения
смещения Uo рабочая точка устанавливается примерно в середине
падающего участка ВАХ диода.
В характеристиках A-типа имеется многозначность по напряже-
нию, т.е. на некоторых участках ВАХ одному и тому же значению
тока соответствуют три значения напряжения. Следовательно, при
i *
Рис. 12.16. ВАХ туннельного
диода
Рис.
12.17. Автогенератор на
туннельном диоде
343
определенных условиях возможен скачок напряжения при неиз-
менном токе. Очевидно, что при скачке напряжения необходимо
учитывать влияние емкостей, шунтирующих нелинейное сопротив-
ление, даже если они очень малы. Поэтому в схеме замещения тун-
нельного диода всегда учитывается емкость Сд, шунтирующая ак-
тивную составляющую нелинейного сопротивления.
Заменив туннельный диод параллельным соединением отрица-
тельного сопротивления 7?л(и) < 0 и емкости Сд, перейдем к эквива-
лентной схеме автогенератора по переменному току (рис. 12.18).
Емкость эквивалентной схемы: Q = С + Сд.
Общим для всех элементов эквивалентной схемы является на-
пряжение и. Уравнение Кирхгофа для этой схемы имеет вид
(12.75)
Дифференцируя уравнение (12.75) по времени и учитывая вы-
ражение (12.21), получим
(12.76)
где со0 = 1 / у]LC{}.
Нелинейное дифференциальное уравнение (12.76) характеризу-
ет поведение автогенератора с внутренней ОС при любых режимах.
По существу оно не отличается от дифференциального уравнения
автогенератора с внешней ОС (12.25), поэтому анализ работы авто-
генератора с внутренней ОС можно провести аналогично анализу
работы автогенератора с внешней ОС.
Условие самовозбуждения автогенератора с внутренней ОС
можно получить, если потребовать
+ 5(w)<0.
(12.77)
Для этого необходимо, чтобы
Рис. 12.18. Эквивалентная схема
автогенератора на туннельном
диоде
<о
(12.78)
и 15(t/0)|> 1/А,.
Иными словами, на нелинейный
элемент (туннельный диод) нужно по-
344
дать такое постоянное напряжение (/о, чтобы попасть на падающий
участок ВАХ и, кроме того, обеспечить, чтобы отрицательная диф-
ференциальная крутизна S(u) в рабочей точке была по модулю
больше активной проводимости в цепи автогенератора. Следова-
тельно, эквивалентное сопротивление /?, должно быть выбрано в
соответствии с неравенством
или

(12.79)

где RjtUo) — значение дифференциального сопротивления НЭ в ра-
бочей точке.
Для колебательного контура в схеме рис. 12.18 эквивалентное
сопротивление /?э = L/CqR, где R — сопротивление потерь в ветвях
параллельного контура. Характеристическое сопротивление конту-
ра: р = /Со. Тогда условие самовозбуждения (12.71) можно запи-
сать в виде
р>Ркр=7жж)|.
(12.80)
В схеме автогенератора (см. рис. 12.17) при изменении характе-
ристического сопротивления р от значения ркр до бесконечности
происходит плавный переход от генерирования гармонических ко-
лебаний к генерированию релаксационных колебаний.
Это означает, что по одной и той же схеме (см. рис 12.17) могут
быть выполнены автогенераторы как гармонических, так и релак-
сационных колебаний.
Контрольные вопросы и задания
1.	Что такое автоколебания?
2.	Какую радиотехническую цепь называют автоколебательной?
3.	Изобразите структурную схему автоколебательной цепи и поясните
назначение ее составных частей.
4.	Что такое внешняя и внутренняя обратная связь?
5.	Поясните физику процесса самовозбуждения автогенератора гар-
монических колебаний с внешней обратной связью. Каковы усло-
вия самовозбуждения?
6.	Запишите и поясните уравнение баланса амплитуд. Как с его по-
мощью определяют амплитуду автоколебаний?
7.	Зашипите и поясните уравнение баланса фаз. Как на его основе
определяют частоту автоколебаний?
8.	Что называют мягким режимом самовозбуждения? Как он обеспе-
чивается?
345
9.	Что называют жестким режимом самовозбуждения? Как он обеспе-
чивается?
10.	Нарисуйте и объясните зависимости Si(U) и Z7c(p), соответствую-
щие мягкому и жесткому режимам самовозбуждения.
И. Изобразите схемы LС-автогенераторов с трансформаторной связью.
12.	Изобразите емкостную трехточечную схему' автогенератора. Каково
для нее условие самовозбуждения?
13.	Изобразите индуктивную трехточечную схему автогенератора. Ка-
ково для нее условие самовозбуждения?
14.	Изобразите принципиальную схему АС-генератора с мостом Вина.
Каковы условия самовозбуждения этого автогенератора?
15.	Изобразите и поясните схему автогенератора на туннельном диоде.
16.	Каковы условия самовозбуждения автогенератора на туннельном
диоде?
17.	Каким образом в схеме автогенератора на туннельном диоде можно
осуществить плавный переход от генерирования гармонических
колебаний к генерированию релаксационных колебаний?
18.	Необходимо проверить, произойдет ли самовозбуждение автогене-
ратора (рис. 12.2), если L = 200 мкГн, М = 50 мкГн, Ар = 10 кОм,
5= 1 мЛ/В. (Реакцией коллекторного напряжения пренебречь.)
19.	Рассчитайте частоту генерируемых колебаний в АС-автогенераторе
(рис. 12.15), если С| = С2 = 7 нФ, Ai = А2 = 10 кОм.
ГЛАВА 13
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
13.1.	Параметрические элементы
Особый класс составляют радиотехнические цепи, параметры
которых изменяются во времени по определенному закону. Такие
цепи и происходящие в них явления называют параметрическими.
Параметрические цепи — это линейные нестационарные цепи.
Поэтому они обладают свойствами линейных цепей. Для парамет-
рических цепей справедлив принцип суперпозиции. В то же время
параметрические цепи обладают свойствами и нелинейных цепей.
Подобно нелинейным цепям они преобразуют спектры воздейст-
вующих на них сигналов, создавая на выходе спектральные состав-
ляющие с новыми частотами.
Отличительные особенности параметрических цепей обусловле-
ны наличием в их составе параметрических элементов. Параметри-
ческим элементом называют элемент цепи, основные параметры
которого изменяются во времени по определенному закону. Разли-
чают резистивные и реактивные параметрические элементы.
Примером резистивного параметрического элемента является
угольный микрофон: его сопротивление зависит от звукового дав-
ления, оказываемого мембраной на порошок графита. Индуктив-
ная катушка с ферромагнитным сердечником, который выдвигает-
ся из катушки и вдвигается в нее, — пример индуктивного пара-
метрического элемента. Конденсатор, пластины которого раздвига-
ются и сдвигаются, не соприкасаясь, — пример емкостного пара-
метрического элемента.
Параметрические элементы относятся к классу линейных эле-
ментов, в которых связь между током / и напряжением и выражает-
ся линейными зависимостями. Так, дня параметрического рези-
стивного элемента R{t) имеем
uR(t) = /?(/)/(/); /(/) = G(t)uR(t),	(13.1)
где G(t) = 1 / R(t) — проводимость.
347
Параметрический индуктивный элемент L(t) характеризуется
следующими соотношениями, связывающими потокосцепление
ток и напряжение:
Т(/) = £(Г)/(Г);
«£(0=
г /44 di । -/4\ dL
= L(t)— + i(t) — ;
dt dt

(13.2)
(13.3)
(13.4)
Для параметрического емкостного элемента C(t) имеют место
следующие соотношения между зарядом q(t), током и напряжением:
9(/) = C(/)ur(Z);
к с (') = 9(0 / С(0 =
V /
(13.5)
(13.6)
(13.7)
Изменение параметров во времени может осуществляться элек-
трическим путем, что предполагает наличие в параметрической
цепи вспомогательного источника колебаний, управляющего пара-
метрами элементов. Процесс управления параметром с помощью
внешнего напряжения называют модуляцией параметра.
Допустим, что проводимость резистора изменяется по закону:
G(r) = G0(l+/hcosQZ),	(13.8)
где Go — среднее значение; т — коэффициент модуляции парамет-
ра. К резистору приложено гармоническое напряжение
w(/) = Gcosco/.
Подставив эти значения G{f) и u(t) в (13.1), найдем ток
i(t) = G0U(\ + т cosQ/)cosfo/.
(13.9)
Как следует из (13.9), ток является модулированным по амплитуде.
Это означает, что с помощью параметрических элементов можно
получать модулированные сигналы.
Возьмем теперь параметрический конденсатор, емкость которо-
го изменяется по закону:
348
C(t) = Соп + m cos(Qf + <p)],	(13.10)
где Co — среднее значение; m — коэффициент модуляции емкости.
К конденсатору приложено гармоническое напряжение u(t). Под-
ставив значения С(/) и u(t) в (13.6), находим ток
/(/) = - Со[1 + т cos(Qr + ф)] о U sincoz -
- Cow Q sin(£»r + ср)1/cosco/.	(13.11)
Используя формулу:
cos х sin у =—[sin(x + у) - sin(x -у)],
преобразуем выражение (13.11) к следующему виду:
i(t) = -d)C0U sine)/-—(co-Q)wCot/ sinf(co-Q)/ -ф}-
i	(13.12)
— (С1)+£2)?иС0С sin[(co+ £>)/ + ф].
Приведенные примеры показывают, что если к параметриче-
скому элементу приложено гармоническое напряжение, то возни-
кающий ток не является гармоническим. Параметрические элемен-
ты подобно нелинейным элементам преобразуют спектры воздей-
ствующих на них сигналов, следствием чего является возникнове-
ние в спектре тока новых гармонических составляющих на часто-
тах (со — Q) и (со + Q).
Таким образом, несмотря на то, что параметрические элементы
являются линейными элементами, они обладают свойствами, сбли-
жающими их с нелинейными элементами.
В параметрических цепях сигнал претерпевает нелинейные изме-
нения. Поэтому параметрические цепи могут быть использованы
для осуществления нелинейных преобразований сигналов; на их
основе создаются преобразователи частоты, умножители частоты,
модуляторы и детекторы.
Однако параметрические цепи обладают некоторыми специфи-
ческими свойствами, отличающими их как от линейных цепей с
постоянными параметрами, так и от нелинейных цепей. Дело в
том, что за счет периодического изменения реактивного параметра
колебательной цепи при определенных условиях происходит внесе-
ние (накачка) энергии в колебательную цепь, что позволяет исполь-
зовать ее в качестве параметрического генератора или параметриче-
ского усилителя.
349
13.2.	Использование нелинейных элементов
в качестве параметрических
Для радиотехники основной интерес представляют элементы,
изменение параметров которых осуществляется с помощью элек-
трических управляющих сигналов. На практике в большинстве слу-
чаев в качестве параметрических используются нелинейные эле-
менты (транзисторы, полупроводниковые диоды), работающие в
определенных условиях.
Реализация параметрических резистивных элементов. Параметри-
ческий управляемый резистор можно создать на основе нелиней-
ного резистивного элемента.
Пусть на НЭ с ВАХ /(w) одновременно воздействуют постоян-
ное напряжение смещения Uq, большое управляющее колебание
цу{1) и малый сигнал wc(r):
u(t) = UG+uy(t) + uc(t).
Запишем (13.13) в виде
w(/) = t/0(r) + Aw,
(13.13)
(13.14)
где UG(t) = UG +uy(i); &u=uc(t).
Подставим (13.14) в z(w) и разложим полученное выражение в
ряд Тейлора относительно малого напряжения Аг/ в точке, опреде-
ляемой напряжением Uo(t). Поскольку Aw мало, то можно пренеб-
речь членами разложения, содержащими Aw в степени выше пер-
вой. Тогда получим
z=z[£/0(/)]+——	Aw.
u=U0(t)
(13.15)
Выражение (13.15) показывает, что ток через НЭ состоит из двух
составляющих. Первая составляющая
zo(r) = z[t/o(/)]-z[t/o+^.(OI
является результатом действия управляющего колебания и не зави-
сит от сигнала. Вторая составляющая определяет приращение тока,
вызванное воздействием малого сигнала:
. Jz(w)
А/ =——
du
Aw = (7(f) Aw.
«=W0(/)
(13.16)
350
Величина
С(Г) =
J/(w)
U=UQ(l)
(13.17)
имеет размерность проводимости и изменяется в соответствии с
управляющим колебанием.
Как следует из выражения (13.16), зависимость тока Д/ от на-
пряжения Ди является линейной. Таким образом, по отношению к
малому напряжению нелинейный резистивный элемент ведет себя
как линейный элемент с параметрически управляемой проводимо-
стью (13.17).
Реализация параметрических емкостных элементов. Элементы с
параметрически управляемой емкостью создают на основе пара-
метрических полупроводниковых диодов, называемых варикапами.
Свойства варикапа определяют характеристики: вольт-кулонная
q(u) и вольт-фарадная С(п). Обе характеристики являются нели-
нейными.
Подав на варикап напряжение (13.13), можно разложить функ-
цию q(u), где и определяется выражением (13.14), в ряд, аналогич-
ный формуле (13.15):
^rr^.dq(u)
w=C?o(/)
(13.18)
Здесь основной интерес представляет слагаемое, определяющее
приращение заряда Д#, вызванное наличием сигнала:
Дг/ =	Ац = C(f)Au.
du
(13.19)
Величину
С(/) =
dq(u)
du
(13.20)
u=t'0(/)
имеющую размерность емкости, называют дифференциальной емко-
стью. Таким образом, по отношению к малому сигналу параметри-
ческий диод можно рассматривать как параметрический конденса-
тор, емкость которого изменяется в соответствии с управляющим
колебанием (рис. 13.1).
351
Рис. 13.1.Модуляция емкости
Пример. Вольт-кулонная характеристика нелинейной емкости
(варикапа) аппроксимирована степенным многочленом;
q(u) = 5(0)+3010"9» + 1010"9и2, К.
Управляющее напряжение, приложенное к варикапу, wy = t7ycoscoyr.
Определим амплитуду Ц, обеспечивающую модуляцию емкости с
коэффициентом модуляции т — 0,5.
Дифференциальная емкость определяется выражением
С(?) = —= 3O-1O'9+2OIO’9U.
du
При заданном управляющем напряжении иу дифференциальная
емкость изменяется по закону
С(/) = 3010’9 +20Ю’9 Ц coscoyZ =
= 3010“’ 1
2010’9
ЗОЮ’9
U., cos со., t
У У
= 30-10 9(1 + т coscovZ),
где т = — U.. =0,5, откуда IL = 0,75 В.
30 у
13.3.	Преобразования сигналов в параметрических цепях
Параметрическую цепь называют резистивной, если она содер-
жит резистивный параметрический элемент. Резистивные парамет-
рические цепи могут быть использованы, например, для осуществ-
ления преобразования частоты и синхронного детектирования.
352
Преобразование частоты как параметрический процесс
В подразд. 11.4 преобразователь частоты рассматривался как
нелинейная частотно-избирательная цепь, поэтому для анализа его
работы были использованы методы теории нелинейных цепей, ко-
торые достаточно сложны.
Однако анализ работы преобразователя частоты значительно
упрощается, если учесть, что амплитуды напряжения сигнала
(11.29) и гетеродина (11.30) резко отличаются по величине. Ампли-
туда сигнала принимает малые значения по сравнению с амплиту-
дой напряжения гетеродина: U(t) « Ur. Поэтому сигнал воздейст-
вует только на малый участок ВАХ НЭ, который для него можно
считать линейным и имеющим некоторую крутизну 5. Нелиней-
ность ВАХ учитывается с помощью напряжения гетеродина лг(/),
которое в преобразователе частоты играет роль напряжения смеше-
ния. Под воздействием wr(/) рабочая точка перемещается по ВАХ, в
результате чего изменяется крутизна S. При таком подходе НЭ в
преобразователе частоты можно рассматривать по отношению к
малому напряжению сигнала как линейный элемент, крутизна S
которого меняется с частотой гетеродина. Иными словами, НЭ
можно заменить линейным элементом с параметрически управляе-
мой крутизной (проводимостью) S(t).
В этом случае преобразователь частоты можно рассматривать
как линейный усилитель, ток в выходной цепи которого определя-
ется в соответствии с формулой (11.6):
‘(f) = S(f)u
(13.21)
где входной сигнал задается выражением (11.29).
Определим функцию S(f). Пусть проходная ВАХ транзистора в
окрестности рабочей точки аппроксимирована многочленом второй
степени (л = 2). Тогда в соответствии с формулой (13.17) имеем
di
du
= G1 +2б72^г (/) = «! +2^2^0050)!/.
U=Uq + Ut(J)
(13.22)
Выражение (13.22) определяет зависимость крутизны ВАХ от
управляющего напряжения wr(Z), оно имеет вид
5(/) = 50 + SjCoscOj./,
(13.23)
где 50 = «1 — значение крутизны в рабочей точке; 5*1 = 2a2Ur.
Подставив выражения (13.23) и (11.29) в формулу (13.21), полу-
чим
23-3659
353
i(t) = (50 + 51coscorr)(/(/)cosco0z = SGU(t)cosa)Qf +
+—5, £/(r)cos(cL)0 -cor)/ + — 5*1 CA(/)cos(co0 +cor)/.
В качестве промежуточной частоты выбираем conp = |cor — <Do|;
составляющая тока на промежуточной частоте
/nP(0 = -^iW)costonp/>
(13.24)
является модулированной по амплитуде с таким же законом моду-
ляции, как и у входного сигнала. Эта составляющая тока определя-
ет выходной сигнал.
Если учесть, что значение 5*1 = то выражение (13.24) сов-
падает с (11.32).
Синхронное детектирование. Рассмотрим принцип работы син-
хронного детектора на основе структурной схемы, приведенной на
рис. 13.2.
На вход перемножителя подаются два колебания: АМ-радио-
сигнал
wbx(0 = W)cos(co0r + <р0)
и опорное колебание (напряжение гетеродина):
и г (/) = Uv cos(co0Z+фг).
На выходе перемножителя получаем колебание вида
“(О = «вх (0«г (О = U(t)u, cos(ov + <РО )cos(co0z + <pr ) =
= | U(t)Ut cos(<pr - <p0) +1 U(t)Vv cos(2co0Z + <pr + <p0).
Это колебание состоит из низкочастотной составляющей, которая
по форме совпадает с огибающей АМ-радиосигнала U(t), и высоко-
частотной составляющей, спектр которой сосредоточен около час-
тоты 2 соо- Фильтр нижних частот подавляет высокочастотную со-
ставляющую, поэтому на выходе детектора получаем
Црх.». Псремножитель
Фильтр нижних
частот
ивых
Рис. 13.2. Структурная схема синхронного детектора
354
ивыхО) = -^гС05(<рг -<PoW),
(13.25)
где А — постоянная. Согласно выражению (13.25) амплитуда сигна-
ла на выходе синхронного детектора зависит от разности фаз
фг — ф0. Амплитуда максимальна при значении ф0 = фг и равна
нулю при значении ф0 = фг ± л/2.
Таким образом, синхронный детектор обладает фазовой избира-
тельностью. Такой детектор ослабляет сигналы и помехи, фазы ко-
торых не совпадают с фазой опорного колебания, и полностью по-
давляет составляющие сигнала и помехи, сдвинутые относительно
опорного колебания на л/2. Кроме того, синхронный детектор по-
зволяет разделить два сигнала, которые имеют одинаковые несу-
щие частоты, а их фазы различаются на тс/2.
Синхронный детектор ввиду его фазовой избирательности мо-
жет быть использован и как фазовый детектор для детектирования
ФМ-радиосигналов. В качестве упрощенной модели синхронного
детектора рассмотрим схему, изображенную на рис. 13.3.
По отношению к входному сигналу при значении U(t) « Ur
данную схему можно рассматривать как линейную параметриче-
скую цепь. Здесь, как и в схеме преобразователя частоты, НЭ пред-
ставляется линейным элементом с параметрически управляемой
крутизной:
S(t) = So + SjCos^f + фг).
(13.26)
На основании выражения (13.22) положим So —	-5j = 2^2 С-•
В соответствии с формулой (13.21) выходной ток детектора бу-
дет равен:
/(/) = [So + S, cos(co0/ +
+<PrW)cos(w0/ + <Pn).
Нетрудно проверить, что низкочас-
тотная составляющая тока равна
^oO) = T‘S’it/(')cos((pr -ф0) =
= a2t'r(/(r)cos(q>r -<р„).
Согласно выражению (11.53) выход-
ное напряжение
Рис. 13.3. Синхронный детек-
тор
“™v(0-a2^,/?cos(<p, -<РоЖ) (13.27)
355
или
«ии(0=*«^(0.
где
(13.28)
кл =a2^rAcos(<pr -<р0)
— коэффициент передачи синхронного детектора.
Таким образом, синхронный детектор обеспечивает линейное
детектирование слабых сигналов в отличие от коллекторного де-
тектора (см. подразд. 11.7).
При синхронном детектировании ФМ-радиосигнала
ubK(t) = C/cos[co0r + <p(r)]
выходной сигнал имеет вид
«Bbo<(') = a2t/rW?cos[<pr — <р(/)].
Если фаза фг = л/2, то выходной сигнал будет следующим:
и вых (0 = а2	si п Ф (О-	(13.29)
При условии, что ср(О изменяется в небольших пределах (sin х = х
при малых значениях переменной х) выходной сигнал
W вых (0 ~ *2	^Ф (0 = *ф Ф (О,
где -a^U^UR — коэффициент фазового детектирования.
Однако обеспечение синхронизма частоты опорного колебания
с частотой сигнала является сложной задачей, поэтому реализация
принципа синхронного детектирования связана со значительными
трудностями.
13.4.	Реализация фазовой и частотной модуляции
Рассмотрим применение параметрических реактивных элемен-
тов для осуществления фазовой и частотной модуляции. Фазовый
модулятор может быть создан на основе резонансного усилителя,
на вход которого подается гармоническое несущее колебание «„(/)
частоты о>о, а реактивный параметр колебательного контура (С или
L) изменяется под управлением модулирующего сигнала wM(r).
На рис. 13.4 изображена упрощенная схема фазового модулято-
ра для случая, когда модулируемым параметром является емкость
С(г) контура. На практике в качестве параметрического конденса-
тора используют полупроводниковый диод (варикап), дифферен-
356
циальная емкость которого изменяется
в соответствии с модулирующим сигна-
лом (см. рис. 13.1).
Модулирующий сигнал управляет
изменением емкости:
С(/) = С0 + ДС(Г),
что приводит к изменению резонанс-
ной частоты контура.
При отсутствии модулирующего
сигнала резонансная частота контура
равна со0 = 1 / JlCq . При действии мо-
дулирующего сигнала резонансная час-
тота определяется так:
1
V Д0> + ДО
Рис. 13.4. Фазовый .модулятор
сор
= СОо
+Дсо=
Ц)
V1 + AC/CO'
(13.30)
Изменение резонансной частоты контура вызывает изменение
фазы сигнала на выходе усилителя. Это изменение можно опреде-
лить по ФЧХ усилителя (11.15). Подставляем в выражение (11.15)
значение тэ =2(2Э /сор. Далее осуществляем замену со на соо, учиты-
вая, что сор = соо+Дсо. В результате получим для переменной фазы
выходного сигнала следующее выражение:
2£эДсо . 2(23Aco/coo
Фвых =arcts----“= arctg , , , 
соо + Дсо	1 + Дсо/ со0
(13.31)
Если относительное изменение частоты Дсо/соо мало, то можно вос-
пользоваться формулой разложения
(1+х) 1 = 1-х+х2-..,
х = Дсо/соо,
с учетом которой выражение (13.31) может быть заменено прибли-
женным:
Фвых = arctg(2£,Aco/co0).
Из формулы (13.30) находим
Дсо_ 1
“о 71 + ДС7С0
(13.32)
(13.33)
357
Используя формулу разложения
запишем выражение (13.33) в виде
Дсо/со0
» -1(ДС / С0)+|(ДС / Со)2.
2	о
(13.34)
Выражения (13.32) и (13.34) определяют зависимость измене-
ния фазы выходного сигнала <рвых от относительного изменения ем-
кости ДС/С0. Эта зависимость нелинейная. Если ДС варикапа из-
меняется пропорционально модулирующему сигналу wM(/), то имеет
место фазовая модуляция без искажений. Это выполнимо только
при малом диапазоне изменения ДС/G, когда изменение фазы фвых
пропорционально изменению емкости ДС, что справедливо лишь
для малых индексов модуляции.
Рассмотренный способ управления резонансной частотой кон-
тура применим также для осуществления частотной модуляции в
генераторах гармонических колебаний. В генераторах гармониче-
ских колебаний, построенных на основе резонансных усилителей с
обратной связью, частота генерируемых колебаний определяется
резонансной частотой колебательного контура: cor =сор =1/VLC.
Включение в контур варикапа, емкость которого зависит от управ-
ляющего напряжения, позволяет управлять изменением резонанс-
ной частоты контура и, следовательно, частотой колебаний генера-
тора. На выходе генератора образуется колебание постоянной ам-
плитуды с изменяющейся частотой, т.е. ЧМ-колебание.
13.5.	Параметрическое возбуждение колебаний
Рассмотрим особенности колебаний, которые могут возникнуть
в колебательном контуре, если какой-либо его параметр (индук-
тивность L или емкость С) периодически изменяется во времени.
Необходимо отметить, что это колебания особого рода. Обычно
колебания в контуре возникают и поддерживаются за счет внешне-
го источника напряжения. В данном случае единственная причина
возникновения колебаний в контуре — периодическое изменение его
параметра. Колебания, вызываемые и поддерживаемые путем пе-
риодического изменения параметра контура, называют параметри-
ческими.
358
Рис. 13.5. Колебательный
контур с параметрической
емкостью
Возникает вопрос: откуда берется
энергия, необходимая для возбуждения и
поддержания колебаний. В данном случае
происходит внесение (накачка) энергии в
контур от внешнего источника, управляю-
щего изменением параметра. Этот внеш-
ний источник обычно называют генерато-
ром накачки.
На рис. 13.5 изображена схема колеба-
тельного контура для случая, когда переменным параметром явля-
ется емкость C(t).
Рассмотрим упрощенно физические процессы, поясняющие
механизм накачки энергии в контур при периодическом измене-
нии емкости. Пусть емкость изменяется по прямоугольному зако-
ну, изображенному на рис. 13.6, а. Предположим, что в контугре
уже существовали собственные колебания частоты соо =1 /^/£C0, в
результате которых электрический заряд q(t) (рис. 13.6, б) и напря-
жение на конденсаторе u(f) (рис. 13.6,в; сплошная линия) изменя-
лись по закону, близкому к гармоническому.
Заряд при скачкообразном изменении емкости не меняется, так
как является инерционной величиной. Пусть частотные и фазовые
соотношения между q(f) и C(t) такие, как показано на рис 13.6.
Рис. 13.6. Временные диаграммы, поясняющие параметрическое
возбуждение колебаний в контуре
Частоту изменения параметра (емкости) называют частотой накач-
ки (DH- На рисунке видно, что частота накачки сон — 2с)о-
Энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора емко-
стью Со с зарядом на пластинах, равна
£0 (7о / (2С0).
Если при постоянном заряде qQ емкость изменить на величину АС,
причем АС << Со, то энергия станет равной
----q----=	(1 - —) = Ео + Д£,
2(С0 + Л О 2С0 Со
т. е. имеется приращение энергии
Д£ = -£0(ДС/С0).	(13.35)
Из выражения (13.35) следует, что при уменьшении емкости (АС< 0)
энергия возрастает (Д£ > 0), а при увеличении емкости (ДОО)
энергия уменьшается (Д£ < 0).
Как видно на рис. 13.6, в моменты скачкообразного уменьше-
ния емкости заряд q — q0, а в моменты скачкообразного увеличения
емкости заряд q = 0. Поэтому при выбранном фазовом соотноше-
нии между зависимостями С(/) и q(f) имеет место только увеличе-
ние энергии.
Таким образом, каждый раз при уменьшении емкости на вели-
чину 2ДС (см. рис. 13.6, а) в контур поступает энергия, равная 2ДЕ.
При этом энергия, внесенная в контур за один период собственных
колебаний, будет равна
Е
^ВН
= 4Д£ = 4£0(ДС/С0) = 4
w,
(13.36)
где т = ДС/Со — коэффициент модуляции емкости. Важно отметить,
что энергия накачки пропорциональна самой энергии Eq, запасен-
ной в контуре.
Для возбуждения колебаний необходимо, чтобы внесенная
энергия Евн превышала энергию потерь в контуре за период.
Средняя мощность потерь равна £Пот ~ (1/2)/2£ Тогда энергия,
расходуемая в активном сопротивлении R за период Т составит:
E„m=PnmT = (l/2)I2RT.
(13.37)
Если q(t) = #0sinco0r, то ток i -dq/dt = co0<70cosco0/ = I coscd0/.
360
Подставив в выражение (13.37) значения I = сэдо и Т = 2тг/соо,
получаем
Е,т =	(13.38)
С учетом выражений (13.36) и (13.38) условие £вн > £пот сводится к
требованию:
Отсюда получаем следующее условие:
т > wкр = (л/ 2) со0С0R.	(13.39)
При выполнении условия (13.39) амплитуда напряжения на
конденсаторе возрастает (см. рис. 13.6, в штриховая линия). Проис-
ходит возбуждение колебаний в контуре. Процесс возбуждения ко-
лебаний за счет периодического изменения реактивного (энергоем-
кого) параметра колебательного контура называют параметриче-
ским возбуждением или параметрическим резонансом. При этом ус-
ловие (13.39) можно трактовать как условие параметрического воз-
буждения.
Таким образом, используя колебательный контур с периодиче-
ски изменяющейся емкостью, можно построить параметрический
генератор.
13.6.	Параметрическое усиление колебаний
Из предыдущего рассмотрения следует, что путем периодиче-
ского изменения реактивного (энергоемкого) параметра колеба-
тельного контура при определенных условиях можно осуществить
усиление подведенного извне сигнала. Эффект усиления достигает-
ся за счет работы, совершаемой внешним источником энергии при
периодическом изменении во времени реактивного параметра. Та-
кой способ усиления сигналов называют параметрическим, а пара-
метрическую цепь, реализующую процесс параметрического усиле-
ния, — параметрическим усилителем.
Простейший параметрический усилитель можно представить в
виде колебательного контура с периодически изменяющейся емко-
стью. В контур включен источник сигнала.
На практике для осуществления параметрического изменения
емкости в контур вводят полупроводниковый диод (варикап) и
управляют значением его емкости с помощью переменного напря-
жения, называемого напряжением накачки. Усиление осуществляет-
361
ся за счет преобразования энергии источника напряжения накачки
(генератора накачки) в энергию сигнала.
Допустим, что под воздействием гармонического напряжения на-
качки с частотой С0н происходит изменение емкости диода по закону:
С(/) = С0[1 + wcos(coH / + <р)|,	(13.40)
где т — АС/G, причем т « 1. Если вместе с напряжением накач-
ки к диоду приложено гармоническое напряжение сигнала
u(t) = Ceos со/ с малой амплитудой U, то по отношению к этому сиг-
налу диод ведет себя как параметрический емкостной элемент.
Предположим, что частота накачки в два раза выше частоты
сигнала: соп = 2со. Тогда, подставив в выражение (13.12) значение
2со вместо значения Q, для тока через параметрический конденса-
тор получаем выражение:
/(/) = - соС0 U since/ — т(лС^и sin(co/ +<р)~
з
-- тыС^и sin(3cer + <р).
(13.41)
Найдем среднюю мощность, потребляемую параметрическим
конденсатором на частоте сигнала. Мощность, усредненная за пе-
риод сигнала:
Р = у J	i /T?coC06r2sin(p.
(13.42)
Из выражения (13.42) следует, что в зависимости от соотноше-
ния между начальными фазами величин С(/) и w(Z) значение сред-
ней мощности может быть положительным или отрицательным.
Если sincp > 0, то Р < 0. Это означает, что параметрический конден-
сатор не потребляет, а, наоборот, вносит в цепь мощность на час-
тоте сигнала. При ср = л/2 внесенная мощность принимает макси-
мальное значение, равное
Рвн	.
4
(13.43)
В данном оптимальном режиме фазовые и частотные соотно-
шения между функциями w(r) и С(г) таковы, как показано на
рис. 13.7. Как видно, С(/) убывает при значении и = U и возрастает
при значении и = 0. Такой результат согласуется с результатом ка-
362
чественного рассмотрения механизма накачки энергии в контур
при скачкообразном изменении емкости (см. рис. 13.6).
Внесение мощности в параметрическую цепь от генератора на-
качки можно представить себе как процесс частичной или полной
компенсации потерь в цепи. В случае гармонических колебаний
мощность потерь для линейной цепи: Рпог = RI2/2, где R > 0. Так
же можно обозначить вводимую в цепь мощность, компенсирую-
щую потери, только тогда необходимо считать, что сопротивление
R < 0. Понятие отрицательного сопротивления (/? < 0) широко ис-
пользуют для физического и математического описания активных
цепей.
В формуле (13.43) величину 1 = coCoi/ = U/Xc можно рассматри-
вать как амплитуду тока через емкостное сопротивление Хс — 1/соСо,
вызванного гармоническим напряжением u(t). Запишем формулу
(13.43) в виде
(13.44)
d	т
где Rb.. =------
вн	2соС0
Таким образом, в колебательном контуре с периодически изме-
няющейся емкостью при указанных частотных и фазовых соотно-
шениях (см. рис. 13.7) происходит компенсация потерь, формально
описываемая введением отрицательного сопротивления.
Рис. 13.7. К пояснению фазовых и
частотных соотношений при пара-
метрическом усилении
Рис. 13.8. Эквивалентная схема
колебательного контура с пара-
метрической емкостью
“^вых
Рис. 13.9. Эквивалентная схема
параметрического усилителя
363
Колебательный контур, изображенный на рис. 13.5, можно
представить эквивалентной схемой, показанной на рис. 13.8.
Общее активное сопротивление эквивалентного колебательного
контура равно:
(13-45)
В зависимости от соотношения между сопротивлениями R и Лвн
данный колебательный контур можно реализовать в качестве пара-
метрического генератора или параметрического усилителя. Если
эквивалентное сопротивление контура становится отрицательным
(R < |/Ц), т. е- вносимая энергия превышает энергию потерь, то
происходит параметрическое возбуждение (генерация колебаний).
При параметрическом усилении колебаний вносимая энергия лишь
уменьшает энергию потерь, в результате чего R3 < R, но R > |7?вн |.
Следовательно, критическое значение вносимого отрицательно-
го сопротивления равно
БН I Кр
Учитывая выражение (13.44), запишем это равенство в виде
2соСо
откуда имеем
/л..п = 2соСп7? = —
(13.46)
Как видно, значения wKP, определяемые формулами (13.39) и
(13.46), совпадают с точностью до постоянного коэффициента.
Представим параметрический усилитель эквивалентной схемой,
приведенной на рис. 13.9. Эквивалентный контур должен быть на-
строен на частоту входного сигнала: со=соо =1/^АС0.
Если снимать выходное напряжение с одного из реактивных
элементов, то коэффициент усиления по напряжению
* = ^вых / вх
будет определяться добротностью эквивалентного контура:
K-Q^p/R,
где р = ^L/Cq.
364
С учетом формул (13.45) и (13.46) коэффициент усиления будет равен:
р/R
1-ml ткп
9 лр
(13.47)
Таким образом, вследствие внесения в контур отрицательного
сопротивления происходит увеличение его добротности и контур
может работать как усилитель. Выражение (13.47) показывает, что
эффект усиления получается за счет модуляции параметра.
Обеспечение указанных частотных и фазовых соотношений (см.
рис. 13.7) между изменением параметра и напряжением сигнала яв-
ляется сложной задачей, поэтому реализация принципа параметри-
ческого усиления связана со значительными трудностями.
Пример. В колебательном контуре параметрического генератора
емкость C(t) изменяется по гармоническому закону с частотой =
= 2 • 107 Гц при среднем значении СЬ = 100 пФ. Сопротивление по-
терь контура R = 2 Ом. Определим необходимое для генерации
значение т при правильной настройке контура.
Определяем добротность контура по формуле Q = 1/(2я/рС0Я).
Подставляя сюда значения параметров и учитывая, что /р =
вычисляем Q » 80.
Согласно формуле (13.46) wKp = 2/Q = 0,025.
Контрольные вопросы и задания
1.	Каковы основные свойства параметрических цепей?
2.	Что такое параметрические элементы и каковы способы их реали-
зации?
3.	В чем особенности синхронного детектирования?
4.	Каким образом с помощью параметрических элементов можно
реализовать процессы фазовой и частотной модуляции?
5.	Поясните механизм параметрического возбуждения колебательно-
го контура. Что является источником энергии?
6.	Каковы условия возбуждения параметрических колебании в контуре?
7.	Поясните принцип параметрического усиления колебаний.
8.	Каковы условия параметрического усиления колебаний?
9.	Вычислите эквивалентную добротность колебательного контура
(см. рис. 13.5). Параметры контура: L = 1 мГн,
C(/) = 103 + 70cos2tt106T пФ,
сопротивление потерь R = 40 Ом.
10.	Используя данные предыдущей задачи, вычислите коэффициент
усиления параметрического усилителя (см. рис. 13.9).
365
ГЛ AB A 14
АНАЛОГО-ЦИФРОВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ.
ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ
14.1.	Понятие цифровой обработки сигналов
Процесс преобразования сигналов в соответствии с заданным алго-
ритмом называют обработкой сигналов. Различают аналоговые и циф-
ровые методы обработки сигналов, для реализации которых использу-
ют соответственно — аналоговые и цифровые устройства. Рассмотрен-
ные выше радиотехнические цепи являются моделями аналоговых уст-
ройств. В течение длительного времени в радиотехнике использовали
преимущественно аналоговые методы обработки сигналов.
В современной радиотехнике широко распространена цифровая
обработка сигналов (ЦОС), реализуемая с помощью средств вы-
числительной техники. Первоначальным стимулом дтя развития и
использования ЦОС явились электронно-вычислительные машины
(ЭВМ). Позднее элементы вычислительной техники начали ис-
пользовать для построения специализированных устройств ЦОС,
имеющих ряд преимуществ перед аналоговььми устройствами:
•	многофункциональность — на одной аппаратуре можно осу-
ществлять разные виды обработки;
•	отсутствие принципиальных ограничений на сложность алго-
ритма обработки;
•	абсолютная повторяемость при многократной реализации ал-
горитма обработки;
•	точность, быстродействие, большой объем обрабатываемых
данных.
Существуют разные способы практического исполнения алго-
ритмов ЦОС. Они могут быть реализованы с помощью специали-
зированных вычислителей. Наибольшее развитие получили про-
граммируемые вычислительные устройства — универсальные или
микропроцессоры, в сочетании с управляющими компьютерами.
Имеются различные устройства, основанные на использовании
цифровых процессоров обработки сигналов (ЦПОС).
366
Кроме того, можно эффективно решать различные задачи
ЦОС, опираясь на возможности современных персональных ЭВМ
(ПЭВМ). Современные ПЭВМ имеют развитые аппаратные и про-
граммные средства взаимодействия с оператором и различными
техническими устройствами. Они обладают высокой скоростью
вычислений, позволяют хранить большой объем данных и пред-
ставлять их в требуемом пользователю виде.
Прежде чем ввести аналоговые сигналы в устройства ЦОС, не-
обходимо преобразовать их в цифровую форму с помощью анало-
го-цифрового преобразователя (АЦП). После соответствующей об-
работки цифровой сигнал снова преобразуется в аналоговую форму
с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП).
Само устройство ЦОС может оперировать только цифровыми
сигналами. Обработка цифровых сигналов в цифровом устройстве
осуществляется путем выполнения определенной последовательно-
сти арифметических операций. При этом двоичная система счисле-
ния играет роль языка, удобного для описания процессов, проис-
ходящих в цифровом устройстве.
При анализе методов ЦОС в ряде случаев можно отвлечься от
физических принципов работы цифрового устройства и использо-
вать в качестве его математической модели алгоритм, в соответст-
вии с которым проводится обработка сигналов. Поэтому вопросы
ЦОС тесно связаны с вопросами теории дискретных сигналов. Дис-
кретная теория строится с учетом возможности реализации ЦОС
» методами вычислительной техники.
14.2.	Аналого-цифровое преобразование сигналов
Преобразование аналогового сигнала в цифровой сигнал, назы-
ваемое аналого-цифровым преобразованием, является базовой про-
цедурой при практической реализации разнообразных методов
ЦОС. Как правило, аналого-цифровое преобразование осуществля-
ют путем выполнения трех операций: дискретизации, квантования
и кодирования.
Дискретизация аналогового сигнала. Дискретизацией называют
процесс преобразования аналогового сигнала s(t) в последователь-
ность отсчетов (выборок)'.
s(t) ~^s(nT), п =0,±1,±2,...,	(14.1)
где Т— интервал дискретизации (рис. 14.1, а, б). Результатом дис-
кретизации является дискретный сигнал.
367

Рис. 14.1. Сигналы при аналого-цифровом преобразовании:
аналоговый (а), дискретный (б), квантованный (в), цифровой (г)
Теоретической базой для выбора интервала дискретизации слу-
жит теорема отсчетов (см. подразд. 14.3), на основании которой
Т< — ^—	(14.2)
Ч 2//
где сов = 2л/в — высшая частота в спектре аналогового сигнала.
Квантование дискретного сигнала состоит в том, что истинное
значение отсчета s(nT) заменяется приближенным, разрешенным
значением sK(nT). При этом разрешенные значения называют уров-
нями квантования, а интервал между ними — шагом квантования. В
результате сигнал принимает вид последовательности квантован-
ных отсчетов (см. рис. 14.1, в).
Если шаг квантования постоянный, то квантование называют
равномерным. Возможно неравномерное квантование, при кото-
ром используется переменный шаг квантования. Процесс кванто-
вания сопровождается появлением неустранимой ошибки, назы-
ваемой ошибкой квантования. При постоянном шаге квантования Д
ошибка квантования е принимает любое значение в пределах
368
0
cmax
Можно считать, что случайная величина е равномерно распре-
делена в пределах интервала Д и, следовательно, плотность вероят-
ности возникновения ошибки квантования будет:
Тогда дисперсия ошибок квантования равна
Д/2
е 2 р(е) de -
-Д/2
Если s(t) — звуковой сигнал, то ошибка квантования при про-
слушивании напоминает шум, поэтому ее называют шумом кванто-
вания. Дисперсия а2 соответствует средней мощности шума кванто-
вания.
Обычно качество квантования оценивают отношением средней
мощности сигнала к средней мощности шума квантования (отно-
шение сигнал/шум).
Кодирование квантованных отсчетов. Каждому уровню квантова-
ния присваивают определенный номер, который кодируют двоич-
ным кодом. Обшее число уровней квантования составит М = 2т,
где т — число разрядов, или бит, в одном кодируемом номере.
Если сигнал однополярный (см. рис. 14.1), то все 2"' уровней
будут выражать положительные значения сигнала. При использова-
нии натурального двоичного кода каждому положительному числу
к ставится в соответствие код {я,} = а\ а2...ат, где значения а, равны
О или 1. Конкретное значение я, определяют формулой
т
На рис. 14.1 при квантовании сигнала использовано 2=8
уровней, что соответствует трехразрядному коду:
з
«=1
Например, если к = 4, то = 1; а2 = 0; а3 = 0. В результате для
восьми уровней получаем следующие кодовые комбинации:
369
0	1	2	з	4	5	6	7
ООО	001	010	он	100	101	ПО	111
При формировании цифрового сигнала двоичная единица 1 пред-
ставлена импульсом, а двоичный нуль 0 — паузой (см. рис. 14.1, г).
Описанный выше способ аналого-цифрового преобразования
называют импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ).
14.3.	Теорема о дискретном представлении сигналов
При дискретизации аналогового сигнала s(f) отсчеты х(пТ),
л = 0, ±1, ±2, ... следует брать с таким интервалом Г, чтобы по ним
можно было восстановить исходный сигнал s(t) с требуемой точно-
стью. Проблема выбора интервала дискретизации — одна из основ-
ных проблем, с которой сталкиваются при цифровой обработке
сигналов.
Теорема о дискретном представлении (теорема отсчетов) уста-
навливает принципиальную возможность полного восстановления
аналогового сигнала с ограниченным спектром по его отсчетам. Тео-
рема формулируется следующим образом: сигнал $(/), спектр кото-
рого ограничен высшей частотой сов = 2л/в, полностью определяет-
ся последовательностью своих дискретных отсчетов s(nT), п — 0, ±1,
±2, ..., следующих с интервалом:

(14.3)
Для доказательства этой теоремы рассмотрим сигнал s(t),
спектр 5(со) которого удовлетворяет условию:
5(G)) = О при |со|>сов.	(14.4)
Представим этот сигнал интегралом Фурье (3.20)
s(0=— f5(cok'“'Ao.	(14.5)
2тс \
(1^
Для моментов времени tn -пТ =пп/о\ функция s(f) принимает зна-
чения:
.	/—О)
5(g)) <? °в Jg).
(14.6)
370
Спектральную функцию 5 (со), определенную на интервале от
—соБ до сов, можно разложить в комплексный ряд Фурье. Для этого в
формулах (3.6) и (3.7) нужно осуществить замену переменной t на
переменную со, а период Т — на величину 2сов. В результате полу-
чим комплексный ряд Фурье:
.ZI71
оо	/---О)
5(<о)= ^с„е ““
л=-оо
(14.7)
Его коэффициенты определяются так:
р(со)<? da.
(14.8)
Из сравнения выражений (14.6) и (14.8) следует, что коэффициен-
ты ряда Фурье равны:
(14.9)
Подставив выражение (14.9) в формулу (14.7), получим
(14.10)
Поскольку суммирование производится по положительным и отри-
цательным числам л, то в выражении (14.10) знак перед значением
п можно изменить на обратный:
5(со) =
(14.11)
где Т = 7i/coB.
Далее подставим выражение (14.11) в формулу (14.5):
J Y^T)e-‘&nTei(a,d^.
-(ОВ «=-“
(14.12)
Изменим в выражении (14.12) порядок действия интегрирования и
суммирования:
371
।	e>o
=	Ге
2сов
В выражении (14.13) вычислим интеграл:
г /со(/-л7’)»	2 sin со. (t —и Т) _ г /
еши }do=---------------------- = 2coBsinc[coB(r-wr)]
do.
(14.13)
(14.14)

где использована функция sinc(x) = (sin x*)/x*.
Подставив интеграл (14.14) в формулу (14.13), окончательно по-
лучим
оо
s(r)= ^5(лГ)$тс[сов(/-?7Г)|.
Я=—
(14.15)
Выражение (14.15) показывает, что рассматриваемый сигнал
полностью определяется последовательностью своих дискретных
отсчетов а(иГ), п = 0, ±1, ..., следующих с интервалом (14.3).
Ряд (14.15) известен как ряд Котельникова. Он представляет раз-
ложение сигнала s(/), спектр которого не содержит частот выше С0д,
в обобщенный ряд Фурье (см. подразд. 2.3) по ортогональной сис-
теме функций вида
<	рл (/) = sine [сов (/— и Т’) ], п = 0,±1,....	(14.16)
Эти функции, называемые функциями отсчетов, обладают следую-
щими свойствами:
—	в точке t = пТфункция <рл(л7) = 1;
—	в точках t = kT, где к — любое целое положительное или от-
рицательное число, отличное от п, функция qn(kT) = 0.
Иллюстрацией представления сигнала рядом (14.15) служит
рис. 14.2.
С одной стороны, согласно теореме отсчетов сигнал с ограничен-
ным спектром может быть полностью задан множеством его мгновен-
ных значений, взятых через равные интервалы времени (14.3). С дру-
гой — если имеются числовые значения сигнала во всех точках отсче-
та, то он может быть полностью восстановлен по формуле (14.15).
Вопросы применения теоремы отсчетов
При практическом применении теоремы отсчетов следует учи-
тывать, что спектры реальных сигналов обычно не обращаются в
нуль за пределами частоты сов, т.е. не удовлетворяют условию
(14.4). Однако в этом случае в качестве сов можно взять частоту, оп-
372
s(2T)
5(0)
в
Рис. 14.2. Представление сигнала рядом Котельникова: исходный сигнал (а),
функции отсчетов (б), члены ряда (в)
ределяющую эффективную ширину спектра. Спектр ограничивает-
ся областью частот от 0 до сов, в которой сосредоточена основная
часть (например, 95 %) энергии сигнала. Такое ограничение спек-
тра приводит к искажению сигнала, вследствие чего восстановлен-
ный сигнал будет отличаться по форме от исходного аналогового.
Относительная погрешность восстановления сигнала может быть
определена из соотношения:
52 (со) Jco
&Е	СОв
Y = — =—-----------------
Е	“
j 52 (со)г7со
где Е— полная энергия сигнала; Д/Г—часть энергии, которая не
учитывается при восстановлении сигнала, т.е. энергия отброшен-
ных высокочастотных составляющих сигнала.
373
Согласно формуле (14.15) бесконечно протяженную во времени
функцию s(f) представляем суммой бесконечного числа бесконечно
протяженных во времени функций отсчетов. Рассмотрим особен-
ности применения этой формулы по отношению к реальным сиг-
налам. Реальный сигнал имеет конечную дительность. Так, если
сигнал задан на интервале [0, тс], то точное представление (14.15)
заменяется приближенным:
У-1
sN(t) = ^s(nT)	-пТ)].
л=0
Конечное число отсчетов N, определяющее 5л (/), равно
Л = тс/7' + 1 = 2Дтс+1 = 25+1,
V *	* n V	*
где В = /ьтс — база сигнала.
Можно оценить качественно погрешность приближения
|e(/)|=|s(0-5a,(/)|.
Очевидно, что при t = пТ значения s/Дг) совпадают с s(r), т.е.
погрешность равна нулю. Погрешность отлична от нуля внутри ин-
тервала между отсчетами, но наибольшего значения она достигает
к краям интервала f0, тс].
Таким образом, восстановление ограниченного во времени сиг-
нала по отсчетам, полученным по теореме отсчетов при условии
принудительного ограничения спектра сигнала, возможно только
приближенно.
14.4. Дискретные сигналы
Дискретный сигнал, как правило, образуется путем дискретиза-
ции аналогового сигнала и по существу является последовательно-
стью чисел. При аналитическом описании необходимо сопоставить
этой последовательности некоторую функцию.
Рассмотрим операцию дискретизации аналогового сигнала s(f)
как выполнение преобразования вида
^д(0 = 5(/)/(/),
где функция
/(/)= £б(/-лГ)
(14.17)
(14.18)
374
Рис. 14.3. Получение дискретного сигнала с ис-
пользованием дискретизирующей последова-
тельности единичных импульсов
— дискретизирующая последователь-
ность единичных импульсов (см. под-
разд. 2.4).
Используя выборочное свойство
дельта-функции можно записать:
s(r) 6(/ -пТ)- s(n Т) 6(/ - п Г). (14.19)
Подставляя формулу (14.18) в вы-
ражение (14.17) и учитывая выражение
(14.19), получим
оо
5д(0 = Xs(«r)5(/-«T).
(14.20)
Функцию 5Д(Г), представленную в виде выражения (14.20), мож-
но рассматривать как математическую модель дискретного (дис-
кретизированного) сигнала. Термин дискретизированный подчерки-
вает, что последовательность отсчетов получена в результате дис-
кретизации аналогового сигнала.
Описанный способ получения дискретного сигнала, представ-
ленный на рис. 14.3, можно интерпретировать как амплитудно-им-
пульсную модуляцию (АИМ). Здесь несущее колебание — перио-
дическая последовательность единичных импульсов (14.18). Моду-
лирующим сигналом является s(t). Функция (14.20) дает описание
идеализированного АИМ-сигнала.
На практике для фиксации отсчетных значений сигнала s(f)
вместо идеализированной последовательности единичных импуль-
сов используют периодическую последовательность коротких пря-
моугольных импульсов. При этом амплитуда импульсов пропор-
циональна значениям s(nT), п = 0, ±1, ...,
а период следования импульсов равен	*д(0.
интервалу дискретизации Т. Реальный П
дискретный сигнал по существу явля- П п п П п
ется АИМ-сигналом (рис. 14.4).	|| || || || || || || || II || II.
Таким образом, дискретизация сиг- ° т	t
налов во времени позволяет перехо- Рис 144 представление дис-
ДИТЬ ОТ непрерывных сигналов К ИМ- креТного сигнала в виде АИМ-
пульсным.	сигнала
375
14.5. Соотношение между спектрами аналогового
и дискретного сигналов
Аналоговый сигнал s(t) имеет спектр 5(со), удовлетворяющий ус-
ловию (14.4). Очевидно, что в результате дискретизации сигнала
его спектр некоторым образом изменяется. Установим характер
этих изменений.
Аналитически операция дискретизации описывается выражени-
ем (14.17). Представим в этом выражении периодическую функцию
Д/) с периодом Т рядом Фурье (3.6):
оо
/(/)=
Л — “00
(14.21)
где сод = 'I'k/T — частота дискретизации. Коэффициенты ряда
/(О

(14.22)
Подставив формулу (14.21) в выражение (14.17), получим
се
5а(/) = 5(/) ^с„е,МУй‘.
(14.23)
Преобразование Фурье (3.21) применительно к выражению (14.23)
дает:
сю
5д(со)= f.s, Л
*

Отсюда, учитывая значение интеграла
(/)е	}dt = 5(С0-/7С0л ),
—оо
получим следующее выражение для спектра дискретного сигнала:
сю
•M<4 = ^c„S(to-n<an).
(14.24)
Вычислим теперь коэффициенты сп. Для дискретизирующей по-
следовательности (14.18) по формуле (14.22) находим
376
1 7/2	I
•	-I	Q z.K //1G) •» Г J.
c„ = — 5(0 e	л at = —.
fl qp	x z	~rr
1 -Til	1
В данном выражении использовано выборочное свойство дель-
та-функции. Полученное значение сп подставим в формулу (14.24).
В результате получим
5„(<о) = — £5(со-л(Оя).
(14.25)
Из выражения (14.25) следует, что спектр дискретного сигнала
представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра ис-
ходного аналогового сигнала. Интервал по частоте между соседни-
ми копиями спектра равен частоте дискретизации свд. Таким обра-
зом, дискретизация сигнала во времени приводит к периодизации
его спектра. Из рис. 14.5, на котором представлены спектры сигна-
ла до и после дискретизации, можно видеть, что при частоте дис-
кретизации сод > 2сов центральная часть спектра |5д(со)| повторяет по
форме спектр |S(co)|. На основании выражения (14.25) имеем:
= |со|<<ов <<од/2.
В этом случае исходный аналоговый сигнал s(/) можно восста-
новить по его отсчетам без искажений, применяя, например, иде-
альный фильтр нижних частот с АЧХ, показанной на рис. 14.5, б
штриховой линией.
При сод < 2сов отдельные участки спектра |5д((й)| перекрываются.
Это явление называют наложением спектров (см. рис. 14.5, в). В
результате происходит искажение исходного спектра 15(со)|, препят-
ствующее точному восстановлению исходного аналогового сигнала
s(f). Минимальная частота дискретизации, при которой не возни-
кает наложения спектров, равна соя = 2сов; эту частоту называют
частотой Найквиста. Частоте Найквиста соответствует интервал
дискретизации, определяемый формулой (14.3).
Если исходный аналоговый сигнал имеет спектр, который с
ростом частоты не становится равным нулю, то неизбежно наложе-
ние спектров и, следовательно, неизбежно искажение сигнала по-
сле восстановления. Для уменьшения эффекта наложения спектров
необходимо использовать высокие частоты дискретизации.
Кроме того, используют фильтры зашиты от наложения спек-
тров. Аналоговый сигнал перед дискретизацией фильтруется, чтобы
377
Рис. 14.5. Спектры сигналов при дискретизации: аналогового (с)
и дискретного (6) при сод > 2соп и (в) при о)д < 2сов
ограничить его спектр частотой сов = 2сОд/2. В этом случае на спектр
сигнала в области частот (—сов, сов) не накладываются хвосты от со-
седних сдвинутых копий спектра |5(со)|. В результате искажение
сигнала после восстановления уменьшается.
Влияние формы дискретизирующих импульсов
Допустим, что в выражении (14.17) функция flj) представляет
периодическую последовательность коротких импульсов произ-
вольной формы. В этом случае коэффициенты сп определяются
формулой (3.41):
гр *$0 (^^Од )’
(14.26)
где S(co) — спектральная функция одиночного импульса последова-
тельности. Подставив выражение (14.26) в формулу (14.24), получим
(со) =
^50(лсод)5(со-исол).
(14.27)
В отличие от выражения (14.25) здесь смещенные копии спек-
тра 5(со), сохраняя форму, изменяются по модулю с возрастанием
номера |и| пропорционально |5о(исол)|.
378
Рис. 14.6. Спектр дискретизированного сигнала при использовании
дискретизирующей последовательности прямоугольных импульсов
W») I
При использовании прямоугольных импульсов длительностью
ти имеем
(ясол) = т иsine («сод ти / 2).
В этом случае выражение (14.27) принимает вид
5Д (СО) = У sine (псод т и / 2) 5(со-псод).
Т п=-~
(14.28)
Соответствующий график спектра приведен на рис. 14.6. Здесь
огибающей спектра является спектральная функция прямоугольно-
го импульса 5Ь(со).
Если длительность импульса ти мала по сравнению с интерва-
лом дискретизации Т, то можно положить
50(со) = 1, |<о|<®д /2.
В этом случае центральная часть спектра ^(со) повторяет по
форме спектр исходного аналогового сигнала. Следовательно, ана-
логовый сигнал может быть восстановлен по его отсчетам с помо-
щью идеального фильтра нижних частот с полосой пропускания
со| < о)д/2.
14.6. Спектральная функция дискретного сигнала.
Дискретизация спектра
Воспользуемся моделью дискретного сигнала в виде выражения
(14.20). Преобразование Фурье (3.21) применительно к формуле
(14.20) дает:
S„(w) = J £s(nr)8(/-«De“/“'^=	/5(/-ЛТ)е-‘“'Л.
379
Отсюда, учитывая значение интеграла
оо
—оо
получим
5д(ш)=
Л=—оо
(14.29)
Выражение (14.29) можно интерпретировать как дискретное во
времени преобразование Фурье. Оно играет такую же роль по отно-
шению к дискретным сигналам, как преобразование Фурье (3.21)
по отношению к аналоговым сигналам. Его отличительная особен-
ность — периодичность по частоте.
Кроме того, спектральная функция дискретного сигнала 5л(со)
имеет размерность, совпадающую с размерностью сигнала.
Пример. Дискретный сигнал (рис. 14.7) задан последовательно-
стью отсчетов:
s{nT) -s(n)л =0, ±1,...,±7V.
Подставляя эти значения в формулу (14.29), получим
5„(со)= f
n=-N
Полученное выражение представим в виде
5,(w) = l+e'“7
, „ -Т □_	1 Z,	„ - '«АТ
тс т.. .~гв -г в
= 1 +2 cos со 74.. .+2 cos (i>NT.
Амплитудный спектр определяется как модуль:
15Д (со)|=|1+2 cos со 74. .+2 cos со А7|.
Хл)
1 •
-N -10 1 N '
Рис. 14.7. Дискретный сигнал
Графики |5д(со)| при значениях: a) N = 1; б) N = 2 приведены на
рис. 14.8.
Заданный дискретный сигнал можно
рассматривать как результат дискретиза-
ции прямоугольного импульса. При N = 1
импульс представлен тремя отсчетами,
при N = 2 — пятью отсчетами. На рис.
14.8 видно, что спектр дискретизирован-
380
IS» |
a
IS» I
Рис. 14.8. Амплитудный спектр дискретного сигнала, заданного
тремя (а) и пятью (б) отсчетами
ного прямоугольного импупьса представляет собой периодическое
повторение отрезка спектра аналогового прямоугольного импульса.
Дискретное преобразование Лапласа. Рассмотрим дискретный
сигнал, определенный при значении /> 0 и равный нулю при t < 0.
Преобразование Фурье (14.29) этого сигнала определяется как
5л(со) = £5(пТ)е’'“"Г.
п=0
(14.30)
Если в формуле (14.30) положить р = /со, то получим выражение
5д(р) = £5(П7>-'",7')
л=0
(14.31)
известное как дискретное преобразование Лапласа.
Дискретизация спектра. При цифровой обработке сигналов ис-
пользуют не только дискретизацию во времени, но и дискретиза-
цию в частотной области. Для сигналов с конечной длительностью
можно сформулировать теорему отсчетов в частотной области. В
формуле (14.15) осуществим замену переменной t на переменную
оз, вместо ширины спектра 2сов подставим длительность сигнала тс,
а вместо периода Т — л/сов подставим Q = л/тс. В результате полу-
чим следующую формулу:
СК?
5(<о) =	S(/?Q) sine
П=~оо
— (co-«Q)
2
(14.32)
381
Из (14.32) следует, что спектр сигнала полностью определяется
последовательностью своих дискретных отсчетов S(nQ), п =0,±1,...,
следующих с интервалом
О =2л/тс,
(14.33)
где тс — длительность сигнала.
В общем случае отсчеты 5(лО) являются комплексными вели-
чинами. При этом следует учесть, что S(n£l) и S(-n£l) — величины
комплексно-сопряженные, поэтому задание одной из них одно-
значно определяет другую. Следовательно, спектр сигнала полно-
стью характеризуется последовательностью комплексных отсчетов,
взятых только в области положительных частот.
14.7. Дискретное преобразование Фурье
Получим формулу, связывающую дискретные значения сигнала
с дискретными значениями его спектра.
Пусть сигнал s(f) определен на временном интервале 0 < / < тс
своими N отсчетами, т.е. тс = 7VT. Для такого сигнала выражение
(14.30) принимает вид
5я(со)=ХХлПе-'шлГ.
л=0
Выполним в этом выражении дискретизацию по частоте, положив
со = к£1:
N-1
3Л(Ш)= ^^Т)е~,ка"т.
п-0
(14.34)
Учитывая формулу (14.33), в выражении (14.34) сделаем замену
Q.T =2пТ/тс = 2л7 У,
что дает
Л'-1
5Я(Ш)=
л=0
(14.35)
Выражение (14.35) представляет дискретное преобразование Фурье
(ДПФ). Обычно ДПФ записывают в виде
S{k)=Y^)
п—0
-i(lx!N')kn
(14.36)
382
Существует и обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ):
.	(14.37)
Это выражение отличается от формулы (14.36) лишь наличием ко-
эффициента 1/7V и знаком в показателе комплексной экспоненты.
Формулы (14.36) и (14.37) устанавливают взаимно однозначное
соответствие между отсчетами сигнала s(n) и отсчетами его спектра
$(/?) <-> S(k), п, к = 0,1,..., 7V-1.
Отличительная особенность этих формул — периодичность с пе-
риодом повторения, равным N как по переменной п, так и по пере-
менной к.
Пример 1. Рассчитаем ДПФ дискретного периодического сигна-
ла, заданного тремя отсчетами s(ri) = {0; 1; 2}.
Для расчета воспользуемся формулой ДПФ (14.36):
5(0) = s(0)+s(l)+5(2) = 0+1 + 2 = 3;
5(1) = 5(0)+5(1)е’,г''3 + s(2)e"w 2/3)2 =6+е''120' +2e’*'24tr;
5(2) = О+<?"'240' +2с"'480'.
Поскольку е“'120' = е-/4ЯГ	=	то
2	2	2	2
S(l) = l(-3 + iV3) = l,74c,I50‘:
2
5(2) = -(-3-/л/3) = 1,74?210'.
<2
Графики заданного дискретного периодического сигнала s{n) и
рассчитанного периодического спектра амплитуд S(k) приведены
на рис. 14.9.
Пример 2. Периодический дискретный сигнал (см. рис. 14.10)
описывается выражением:
1 при 2 < п < 6,
0 при п = 0,1,7,8,9,
его период равен N = 10.
5(«) =
383
Рис. 14.9. Дискретный периодический сигнал и его спектр
s(n)
Подставим значения s(n) в формулу (14.36):
п-2
Воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии:
5(fc) = (e-'2fe'5
Выполнив элементарные преобразования, приходим к выражению:
__ sin(Z^7i:/2) _
sin(£ л:/10)
к =0,1,2,..., 9.
Модуль этого выражения определяет амплитудный спектр:

sin(&rc/2)
sin(ZcK/10)
а его аргумент — фазовый спектр:
а\ ^кп
<р(£) =——
0, если
л, если
. кп
sin —
10
Графики амплитудного и фазового спектра приведены на рис.
14.11, из которого видно, что спектры являются периодическими с
периодом N = 10.
ДПФ является удобным алгоритмом для численного определе-
ния спектра сигнала по его временной функции, его можно ис-
пользовать и в случаях, когда сигнал задан таблицей или графи-
ком.
384

I ♦ I 1 ♦
10
П
20
Рис. 14.10, Периодический дис-
кретный сигнал
Рис. 14.11. Амплитудный и фазовый спек-
тры периодического дискретного сигнала
150
Свойства дискретного преобразования Фурье
Рассмотрим основные свойства ДПФ, которые в целом сходны
со свойствами непрерывного преобразования Фурье (подразд. 3.6).
1.	Линейность. Поскольку ДПФ линейно, то сумме (разности)
двух последовательностей S\(n) и $2(я) соответствует сумма (раз-
ность) их ДПФ S{(k) и S2(k)\
as(п)+bs2(п)	aS{ (к)+bS2(к),
(14.38)
где а, b — постоянные.
2.	Сдвиг последовательности. Пусть s(ri) — периодическая по-
следовательность с периодом N имеет ДПФ S(k) и х(п) = s(n — т),
т < N — целое, есть сдвинутая последовательность. Тогда ДПФ
сдвинутой последовательности:
Л" (А) = £х(«)	= У s(n-т) е’'42,1
п~0	/1=0
Если в последней сумме произвести замен}' переменной п — т =
X(k) = S(k)e~‘C!*lf,'>km.
Таким образом, при сдвиге последовательности s{n) на т отсче-
тов ее ДПФ S(k) изменяется как
s(n-т)w S(k).	(14.39)
3.	Симметрия ДПФ. Если все значения s(w) действительны, то
ДПФ удовлетворяет условию симметрии:
25-3659
385
S(N - к) = S(-k) = S'- (к).
(14.40)
При этом
S(0)=x‘s(«) = S(7V).
л=0
(14.41)
4. Круговая свертка. Пусть S\(ri) и $2(я) — две периодические по-
следовательности с периодом N каждая. Крутовой (периодической)
сверткой этих последовательностей называют последовательность
вида
Л-1
5(w)= У .$] (m)s2(n - w), п =0,1,..., /V-1.
m=Q
(14.42)
При этом последовательность s(ri) также является периодической с
периодом N.
Найдем ДПФ S(k) круговой свертки, если последовательности
Si(ri) и 5з(л) имеют ДПФ S^k) и S2(k) соответственно. Для этого
подставим выражение (14.42) в формулу (14.36):
N-1
S(k) = X
л=0
JV-1
^5t(w)s2(W-/w)
т=0
N)kn
С-
= S2(k) Хл (m) е-,(2“'Л )Ы = S, (k)S2(k).
т-0
V	__________'
S1(*)
Таким образом, круговая свертка периодических последова-
тельностей соответствует перемножению их ДПФ:
S(k) = Si(k)S2(k), £=0,1,...,У-1.
(14.43)
5. Перемножение последовательностей. Если последовательность
s(ri) равна произведению:
s(n) = sl(n)s2(n), п =0,1,..., 7V-1,
то ее ДПФ определяется как
386
(14.44)
5(Л) = 4; Z <т>Ъ (к - т), к = 0,1,..., N -1.
/V
(14.45)
7П = 0
Выражение (14.45) представляет собой (с точностью до постоянно-
го множителя) круговую свертку спектров Sx(k) и 52(Л).
Положив в (14.45) к = 0 и учитывая выражения (14.40) и (14.41),
получим
.V-1	| Л'-1
S(0)= ^si(«)52(w) = —	(14.46)
л=0	™ т=0
Если sl(ri) = s2(n) = s(n), п =0,1,..., 7V-1, то из формулы (14.46)
следует:
ХЛ«) = -^£|5(™)|2.	(14.47)
я=0	/и=0
Равенство (14.47) является дискретным аналогом равенства
Парсеваля (см. подразд. 2.3).
Аналогом энергии и мощности непрерывных сигналов для дис-
кретных сигналов являются величины:
£= l/(n);	=	(14.48)
л=0	/1=0
Алгоритм быстрого преобразования Фурье
Вычисление ДПФ непосредственно по формуле (14.36) требует
выполнения большого числа операций. Так, для вычисления одно-
го коэффициента ДПФ последовательности длиной N необходимо
выполнить N операций умножения на комплексное число и столь-
ко же сложений. Таким образом, вычисление всех N коэффициен-
тов ДПФ потребует выполнения N2 пар операций «умноже-
ние — сложение». Число операций возрастает пропорционально
квадрату размерности ДПФ.
Быстрым преобразованием Фуръе (БПФ) называют набор алго-
ритмов, позволяющих значительно уменьшить число операций, не-
обходимое для вычисления ДПФ.
Поясним суть одного из алгоритмов БПФ для случая, когда
N— 2V, г — целое число. В основу этого алгоритма положен прин-
цип разбиения (прореживания во времени) заданной последова-
тельности отсчетов сигнала на части (подпоследовательности). За-
387
тем вычисляют ДПФ этих подпоследовательностей и через них на-
ходятся ДПФ заданного сигнала.
Итак, сначала последовательность s(ri) длиной N разделяют на
две части с четными и нечетными номерами:
x(«) = s(2«) и у(п) = s(2n +1), /?=0,1,..., N/2-L
При этом формулу (14.36) можно представить в виде
Л72-1
S(k) = X 5(2и)
л-О
$(2я +1)е
или в другой форме
Л/2-1
S(k) = £ х(п)е Л"/2
я=0
л=0
72-1	-/—
X Я«) г л/2.
я=0
(14.49)
В этом выражении первая сумма представляет собой ДПФ Х(к)
последовательности х(п), а вторая — ДПФ К(А) последовательности
у(п). Каждая из этих ДПФ имеет размерность N/2.
Таким образом, первая половина коэффициентов ДПФ исход-
ного сигнала с номерами от 0 до значения N/2 — 1 выражается че-
рез коэффициенты ДПФ двух подпоследовательностей:
S(k) = Х(к)+е~‘NkY(k\ к =0,1,..., N/2-1.	(14.50)
Далее учтем, что ДПФ Х(к) и Y(k) являются периодическими с
периодом N/2:
.( N
Y(k) = Y А+—
Входящий в формулу (14.49) экспоненциальный множитель при
к > N/2 можно записать в виде
С учетом двух последних выражений находим вторую половину
коэффициентов ДПФ исходного сигнала с номерами от N/2 до
N- 1:
-Х(к)-е * Y(k), k=0,i,...,N/2-1.
(14.51)
388
Формулы (14.50) и (14.51) лежат в основе алгоритма БПФ.
Можно продолжить описанную процедуру, выразив результат
через четыре ДПФ размерности А/4, затем — через восемь ДПФ
размерности А/8 и т.д. до тех пор, пока не останутся только 2-то-
чечные ДПФ.
Число операций, необходимых для вычисления БПФ, определя-
ют величиной AIog2 N. Алгоритмы БПФ сокращают число опера-
ций по сравнению с алгоритмами ДПФ в N2 / A log2 А = A /log2 А
раз. Например, при значении А = 210 величина log2 А = 10 и сокра-
щение числа операций составляет A /log2 А = 100,4, т.е. достигает-
ся более чем 100-кратное ускорение.
14	.8. Z-преобразование дискретных сигналов
При анализе дискретных сигналов удобно использовать z-npe-
образование, которое определяют выражением:

(14.52)
где z — комплексная переменная. Функция S(z) определена только
для тех значений z, при которых ряд (14.52) сходится. Выражение
(14.52) определяет одностороннее z-преобразование. Если в выра-
жении (14.52) нижний предел суммы заменить на п = — то полу-
чим выражение, определяющее двустороннее z-преобразование.
Из формулы (14.52) путем замены
z = e/tor или z = epT
(14.53)
получаем соответственно формулу (14.30) или (14.31), т.е. сущест-
вует связь между z-преобразованием и дискретными преобразова-
ниями Фурье и Лапласа. Потому, зная одну из трех формул:
(14.30), (14.31) или (14.52), можно легко получить две другие. При
практическом вычислении удобнее использовать формулу (14.52).
Примеры вычисления функции S(z).
1.	Дискретная модель единичного импульса

1, п =0;
0, п ^0.
(14.54)
По формуле (14.52) находим
389
S(z) = '^sa(n)z-’’ =1
n=0
(14.55)
2.	Дискретная модель единичного скачка имеет вид:
(14.56)
Подставив выражение (14.56) в формулу (14.52), получим
оо
л^О
Этот ряд сходится, если |г ’| < 1 или |z| > 1. В области сходимо-
сти ряд является суммой геометрической прогрессии:
ЭД=
1-Г1
(14.57)
3.	Дискретная степенная функция имеет вид
s(n) = a\
(14.58)
Ее ^-преобразование вычисляют по формуле
$(<)=£*" Г"
?г=0
= Ж)”-
п=0
Данный ряд сходится, если |<зг *| < 1 или [z| > | <з|. В области сходи-
мости ряд является суммой геометрической прогрессии:
1	7
S(z)=—Ц-=—.
z-a
(14.59)
Функция (14.59) имеет нуль при значении z = 0 и полюс при
значении z — а.
Обратное ^-преобразование определяют выражением:
s(n) = —— i S(z)zn ]dz,
2 л/ J
(14.60)
где С— замкнутый контур, расположенный в области сходимости
S(z) и охватывающий начало координат г-плоскости.
390
Пример. Дано z-преобразование вида S(z) = г-2. Требуется опре-
делить дискретный сигнал.
В данном случае формула (14.60) принимает вид
2ти
Используя теорему Коши о вычетах
J zn dz =
2л/, л=-1,
0,	л*-1,
находим дискретные значения:
S(0) = —<fz 3//z = 0,
2 л/J
s(2)=-^-fz’1i/z = l>
2 л/J
*(0=™
2л/J
s(3) = ~
2л/
В результате дискретный сигнал s(ri) = (0; 0; 1; 0).
Однако на практике вычисление обратного z-преобразования
чаше производят путем разложения функции S(z) на простые со-
ставляющие. Рассмотрим случай, когда 5(z) является дробно-ра-
циональной функцией:
SM = P(t> = tXo+KiZ+„-+cWM
G(z) p0+p,z+...+pA,zv
и соблюдаются условия: P(z), Q(z) не имеют общих корней; среди
всех N корней Q(z) нет кратных и нулевых; TV > М.
В этом случае, зная корни Zk уравнения Q(z) — 0, можно ис-
пользовать разложение
где коэффициенты определяются как
Ло = lim 5(z),
Ак - lim - — S(z).
Z
(14.61)
Затем переход от S(z) к s(n) производят с помощью формулы:
s(n) = A0 + ^Ak4.
£=|
(14.62)
391
Пример. По z-преобразованию вида
7^
S(z) =  --—-
(14.63)
(z-a)(z-b)
определим дискретный сигнал.
Дробно-рациональная функция (14.63) имеет два полюса: z\ = а,
Z2 = Ь.
По формуле (14.61) находим коэффициенты:
Ло =0; Ax-a/(a-b), A2=b/(b-a).
Используя формулу (14.62), определяем дискретный сигнал:
s(w) = (^+I -bn+i)/(a-b).	(14.64)
Свойства z-преобразования сходны со свойствами преобразова-
ний Фурье и Лапласа.
1.	Линейность. Поскольку г-преобразование линейно, то сумме
(разности) двух последовательностей $1(л) и st(ri) соответствует сум-
ма (разность) их ^-преобразований Si(z) и ^U):
asi (л)+bs2 (п)aS{ (z)+bS2 (г),	(14.65)
где а, b — постоянные.
2.	Сдвиг последовательности. Если 5(<)<н>5(л), то г-преобразова-
ние сдвинутой последовательности x(ri) = s(n — т) находят как
X(z) = ^x(n)z П =^s(n-m)z п.
Если в последней сумме произвести замену переменой п — т — п, то
X(z) = S(z)z'n.
Таким образом, при сдвиге последовательности s(n) на т отсчетов
ее г-преобразование S(z) необходимо умножить на z~m'.
s(n-m)<r> S(z)z т-
(14.66)
3.	Масштабирование. При умножении последовательности s(n)
на степенную функцию сГ ее ^-преобразование 5(z) изменяется как
ans{ri]<^S
(14.67)
392
4. Линейная свертка. Пусть имеются две конечные последова-
тельности 51(л) и у2(л) длиной N\ и М соответственно. Линейной
сверткой этих последовательностей называют последовательность
вида
п
s(n) = У 51(w)52(w-w), и =0,1,..., 7V-1,
лп=0
(14.68)
где N = Ni + N2.
Найдем ^-преобразование S(z) линейной свертки, если последо-
вательности 5!(л) и 52(л) имеют ^-преобразования 5i(^) и S,(z) соот-
ветственно. Для этого подставим выражение (14.68) в формулу
(14.52):
•S(z) = Z
п=0
п
У 5i(w)52(/7-W)
/м=0
оо Л
=	s2(n -m)z~{n~m
п=6т=0
При т > п значения $2(л - т) = 0, поэтому во второй сумме
верхний предел можно заменить на бесконечный Тогда, обозна-
чив п — т = к, получим
£(?) = X	к •
к--т т-0
Нижний предел к = -т можно заменить на к = 0, так как при к < 0
значения s^k) = 0. В результате получим
5(z)= £Sl(<" ^г(к)г~к = SyizyS^z).
m=0	к-О
Таким образом, линейная свертка (14.68) имеет г-преобразование:
5(г) = 51а)52(г),
(14.69)
где (л) <н> 5j (г), 52(л)	52(z).
Пример. Определим дискретную свертку двух сигналов:
(«) ~ {S, (0) = 5! (1) = 1}, 52(Л) = {Л’2(О) = 5,(1) = 52(2) = 2}.
Расчет по формуле (14.68) дает:
393
s(0) = 5l(0)s2(0) = 2;
s(1) = 5,(1)s2(0) + si(0)52(1) = 4;
5(2) = 5,(1)52(1)+5i(0)s2(2) = 4;
s(3) = 5,(1)s2(2) = 2;
j(4) = 0.
Найдем z-преобразование сигналов s2(n) и s(n);
51(z)=l+z'1;
52(z) = 2(l+z-'+z-2);
5(z) = 2(l+2z"' +2z’2+z’3)-
Нетрудно убедиться в справедливости формулы (14.69).
Отметим, что при исследовании ^-преобразований дискретных
сигналов применяют обычные методы математического анализа. В
этом заключается преимущество z-преобразования по сравнению с
двумя видами преобразований дискретных сигналов.
14.9. Случайные дискретные сигналы
Дискретный сигнал называют случайным, если каждый отсчет
х(п) представляет собой случайную величину.
При вероятностном описании случайного дискретного сигнала
моменты дискретизации t\- пТ рассматриваются как одномерные
сечения случайного процесса (см. подразд. 6.2). Поэтому при опре-
делении одномерной плотности вероятности вместо момента време-
ни fi указывают номер отсчета: pi(x, п). С одномерной плотностью
вероятности связаны такие характеристики, как математическое
ожидание
m х (п) = xpi (х, п )dx
и дисперсия
D(n) = о2 (л) = [х - m (л)]2 pi (x,n)dx.
(14.70)
(14.71)
Двумерные сечения берутся в моменты дискретизации: t\ — пТ,
ti = кТ. Поэтому двумерная плотность вероятности зависит от двух
394
номеров отсчетов п и к\ рг(х\, хэ; л, к). С двумерной плотностью ве-
роятности связана корреляционная функция:
R(n,k) = К(п ,к) - т х (п)т х(к),
(14.72)
где
К(п,к) = x[x2p2(xlix2;n,k)dxldx2
(14.73)
— ковариационная функция.
Для стационарного, в широком смысле, случайного дискретного
сигнала одномерные характеристики не зависят от номера отсчета:
Р|(х,и) = />1 (х);
тх(п) = тх\
D(n) = D=cs\
(14.74)
а двумерные характеристики зависят от разности номеров:
р2(хл,х2',п,к) = р2(х1,х2;п-к);
R(n,k) = R(n —к).
(14.75)
Из соотношения (14.75) следует, что корреляционная функция ста-
ционарного случайного дискретного сигнала представляет собой
последовательность чисел, т.е. является дискретной функцией.
Для эргодических процессов усреднение по ансамблю числовых
последовательностей можно заменить усреднением по одной теоре-
тически бесконечно протяженной последовательности.
Характеристики эргодического случайного дискретного сигнала
определяют выражениями:
• математическое ожидание
= (х(«Л = lim 4; £•*(«);
(14.76)
• дисперсия
D = ([х(л)
~/ПХ
(14.77)
т
• корреляционная функция
7?(Л) = ([х(и) - т х | [х(и + к) - т х
(14.78)
395
В случае нулевого математического ожидания (тх = 0) диспер-
сию определяют средним квадратом:
л=0
(14.79)
а корреляционную функцию — средним значением произведения
случайных величин х(п) и х(п + к):
R(k) = (х(п)х(п +Л)} = Нт — ^х(п)х(п +к).
(14.80)
Корреляционная функция является двусторонней последователь-
ностью, определенной как для положительных, так и для отрицатель-
ных значений и, кроме того, обладающей четностью: R(—k) = R(k).
Рассмотрим стационарный случайный дискретный сигнал с ну-
левым математическим ожиданием. Определим двустороннее
^-преобразование его корреляционной функции:
DO
^fc) = ^R(k)z-k.
к——оо
(14.81)
Из формулы (14.81) путем замены z = e™T получим
Bz(e/0>7’) = ^R(k)e
-кякТ
(14.82)
Выражение (14.82) определяет спектральную плотность случай-
ного дискретного сигнала 1У(е‘ыТ). Отметим периодический харак-
тер спектральной плотности.
Дискретный белый
ум. Стационарный случайный дискретный
процесс, отсчеты которого не коррелированы друг с другом:
(14.83)
называют дискретным белым шумом. В отличие от аналогового бело-
го шума дисперсия дискретного белого шума не является бесконеч-
ной, поэтому такой процесс физически реализуем.
Контрольные вопросы и задания
1.	Как осуществляют дискретизацию сигнала во времени?
2.	В чем состоит квантование сигнала по уровню?
3.	Что называют шумом квантования?
396
4.	В чем состоит кодирование уровней квантования?
5.	Как формулируется теорема отсчетов?
6.	В чем состоит сходство и отличие спектров дискретного и аналого-
вого сигналов?
7.	Как можно восстановить аналоговый сигнал из дискретного сигнала?
8.	Запишите выражения для прямого и обратного дискретных преоб-
разований Фурье. Каковы основные свойства ДПФ?
9.	При каком условии возможно использование алгоритма БПФ?
10.	Как осуществляется ^-преобразование дискретных сигналов?
11.	Каковы основные свойства г-преобразования?
12.	Как определяют дискретную свертку? Что понимают под линейной
и круговой сверткой?
13.	Что такое случайный дискретный сигнал?
14.	Каковы особенности вероятностного описания случайного дис-
кретного сигнала?
15.	Выполните дискретизацию экспоненциального импульса (2.2). Ин-
тервал дискретизации выбрать таким образом, чтобы на частоте
сов= тс/Т модуль спектральной функции уменьшился до уровня
s(cOb) = 0,1 5(0).
16.	Вычислите спектр дискретизированного треугольного импульса, за-
данного пятью отсчетами:
5(0) = 1; 5(± Т) = 0,5; у(± 27) = 0.
17.	Вычислите коэффициенты ДПФ дискретного периодического сиг-
нала, заданного отсчетами:
5(н) = {1; 0; -1; 0}.
18.	Найдите дискретную свертку сигналов si(ri) = {1: 1} и si(ri) = {0,5;
0,5; 0,5}.
19.	Найдите ^-преобразование дискретных сигналов
а)5(и) = {3; 2; I}, б) s(n) = {0; 1; 1; 1}.
20.	Найдите ^-преобразование дискретного сигнала 53(л), равного сум-
ме сигналов si(n) — {1; 0; 1; -1} и 5г(л) = {2; 1; 0; 1}.
21.	Найдите дискретные сигналы л(л), имеющие z-преобразования
a)	5(г) = 1 + 2Г‘ + 4Г3,
б)	5(г) = 1/(1 -0,5г-1).
ГЛ AB A 15
ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ
15.1. Цифровые фильтры
Одним из основных видов цифровой обработки сигналов явля-
ется их фильтрация, при которой осуществляется выделение одних
и подавление других составляющих спектра сигнала. Цифровую
фильтрацию осуществляют цифровые фильтры (ЦФ).
Обычно ЦФ называют вычислительное устройство, которое в
соответствии с заданным алгоритмом преобразует входную число-
вую последовательность sBX(z?) в выходную числовую последователь-
ность 5ВЫХ(//) (рис. 15.1).
В общем виде алгоритм преобразования в sBK[X(n) можно
описать с помощью оператора L:
*ВЫх(л)=М*вх(я))-	(15.1)
Цифровой фильтр осуществляет линейное преобразование, кото-
рое удовлетворяет условию:
•^выхОО =	(«) + С252(п)] =C{L [5, (л)] + С2Д52(л)1
(15.2)
где С], С2 — постоянные.
Кроме того, на преобразование (15.1) накладывается еще одно
ограничение — инвариантность к сдвигу:

(15.3)
где т — целое число, задающее сдвиг (задержку) последовательно-
сти. Согласно выражению (15.3) задержка входной последователь-
ности вызывает аналогичный сдвиг выходной последовательности.
Соотношения (15.2) и (15.3) означают, что цифровой фильтр
можно рассматривать как линейное
стационарное устройство. Как правило,
в качестве математической модели ЦФ
используется дискретный аналог ли-
нейной стационарной цепи (дискрет-
•^вых(л)
*увх(л)
ЦФ
Рис. 15.1. Цифровой фильтр
398
ный фильтр). Поэтому термины «цифровой фильтр» и «дискрет-
ный фильтр» часто употребляются как синонимы.
В гл. 14 было показано, что методы математического описания
дискретных сигналов сходны с методами математического описания
аналоговых сигналов. Так, обычному преобразованию Фурье соот-
ветствует дискретное преобразование Фурье, преобразованию Лап-
ласа соответствует дискретное преобразование Лапласа и z-преобра-
зование, свертке двух аналоговых сигналов — дискретная свертка.
Подобное сходство существует и между методами математиче- .
ского описания аналоговых и дискретных цепей. Этим, в частно-
сти, объясняется использование дискретной модели ЦФ. Вместо
дифференциальных уравнений для описания ЦФ используют раз-
ностные уравнения. Так же как и для линейных аналоговых цепей
основными характеристиками ЦФ являются передаточная функ-
ция, импульсная и частотная характеристики. Методы анализа
прохождения сигналов через ЦФ аналогичны методам анализа про-
хождения сигналов через линейные цепи (см. подразд. 7.3).
При анализе прохождения сигналов через ЦФ по существу рас-
сматривают прохождение дискретных сигналов через дискретный
фильтр. При этом пренебрегают квантованием сигналов по уров-
ню. Квантование сигналов учитывается дополнительно, посредст-
вом анализа прохождения шумов квантования через ЦФ.
15.2. Описание цифровых фильтров
с помощью разностных уравнений
В ЦФ связь между входной и выходной числовыми последова-
тельностями устанавливается с помощью следующего разностного
уравнения’.
м ।	л/т
X 5 ВЬС («-'”)=	М1
> М2,
(15.4)
т=0
где ат, Ьт — постоянные коэффициенты. Число М\, определяющее
порядок разностного уравнения, определяет также порядок ЦФ.
Поскольку входная последовательность задана, то правая часть
уравнения (15.4) известна, что соответствует неоднородному разно-
стному уравнению.
В общем случае анализ ЦФ сводится к решению линейного раз-
ностного уравнения (15.4). Для получения единственного решения
задаются начальные условия, определяющие значения звых(л) при
п = -1, -2, ..., -М].
399
Заметим, что формально разностное уравнение (15.4) есть дис-
кретный эквивалент дифференциального уравнения (7.4). Напри-
мер, если осуществить временную дискретизацию дифференциаль-
ного уравнения (7.7), описывающего процессы в ЯС-цепи, то полу-
чим разностное уравнение, описывающее процессы в ЦФ первого
порядка (см. подразд. 15.7).
Теория линейных разностных уравнений имеет много общего с
теорией линейных дифференциальных уравнений. Однако сущест-
вует более простой способ решения разностных уравнений. Пере-
пишем уравнение (15.4) в виде:
л/2
^.ых(«)=	^amsmK(n-rn).
т=0	zn=I
(15.5)
Без потери общности можно считать aQ = 1. Уравнение (15.5) есть
рекуррентная формула, по которой, зная входную последователь-
ность $вх(я) при п = —1, —2, ..., — М\, можно найти 5вых(0). Затем лю-
бое значение 5вых(л) вычисляется через ранее вычисленные значе-
ния $вых(£), к <п.
Рекурсивные и нерекурсивные цифровые фильтры
Цифровые фильтры принято делить на два класса: рекурсивные
и нерекурсивные ЦФ.
Алгоритм работы рекурсивного ЦФ описывается рекуррентной
формулой (15.5), откуда и его название — рекурсивный. В рекурсив-
ном ЦФ для вычисления значений выходной числовой последова-
тельности используются предыдущие ее значения, а также текущее и
предыдущее значения входной числовой последовательности.
Алгоритм работы нерекурсивного ЦФ описывается формулой:
м
$ вых (^ ) —	$ вх (^ —
т-0
(15.6)
Число М называют порядком нерекурсивного ЦФ. Формула (15.6)
является частным случаем уравнения (15.5) при ат = 0, Mi = М. В
нерекурсивном ЦФ для вычисления значений выходной числовой
последовательности используются только значения входной число-
вой последовательности.
Структурные схемы цифровых фильтров можно построить на ос-
нове разностных уравнений.
В состав структурной схемы входят:
400
s(n
s(n-l)
Sl(n)+S2(n>
a
Рис. 15.2. Элементы цифрового фильтра:
элемент задержки (с), умножитель (6), сумматор (в)
•	элемент единичной задержки (рис. 15.2, а), осуществляющий
задержку дискретного сигнала s(nT) — s(ri) на один такт Т.
s(nT — Т) — = s(n — 1);
•	умножитель (см. рис. 15.2, б), реализующий операцию умно-
жения s(n) на число а;
•	сумматор (см. рис. 15.2, в), реализующий операцию сложения
чисел.
Структурные схемы ЦФ представляются в виде множества эле-
ментов единичной задержки, умножителей и сумматоров, соеди-
ненных между собой.
На рис. 15.3 изображена структурная схема рекурсивного ЦФ,
реализующая алгоритм (15.5). Иными словами, структурная схема
представляет последовательность вычислений, выполняемых ре-
курсивным ЦФ. Из рис. 15.3 видно, что рекурсивный ЦФ является
устройством с обратной связью.
На рис. 15.4 изображена структурная схема нерекурсивного
ЦФ, реализующая алгоритм (15.6). Единственное отличие этой схе-
мы от схемы рекурсивного ЦФ — отсутствие обратной связи.
Анализ структурных схем ЦФ, как правило, несложен и может быть
осуществлен на основе описания элементов, приведенных на рис. 15.2.
Рис. 15.3. Структурная схема рекурсивного циф-
рового фильтра
Рис. 15.4. Структурная схема не-
рекурсивного цифрового фильтра
26-3659
401
15.3.	Описание цифровых фильтров
с использованием z-преобразования
Удобным способом описания цифровых фильтров является
^-преобразование. Одной из причин применения ^-преобразования
является то, что операции, громоздкие во временной области, мо-
гут легче выполняться в ^-области.
Применим к уравнению (15.4) г-преобразование. Используя
свойства ^-преобразования (14.65) и (14.66), получим
т=0	m-Q
(15.7)
Здесь 5вх(г) и 5вых(г) есть z-преобразования сигналов $вх(л) и sBblx(w)
соответственно.
Отметим, что выражение (15.7) — это алгебраическое уравне-
ние. Таким образом, применение ^-преобразования позволяет пе-
рейти от разностного уравнения к алгебраическому, что упрощает
анализ.
Передаточные функции цифровых фильтров
Передаточная (системная) функция ЦФ определяется как отно-
шение г-преобразований выходного и входного сигналов:
Я(г) =
(15.8)
Конкретное выражение для H(z) можно получить из разностного
уравнения, характеризующего ЦФ, или из структурной схемы ЦФ.
Из уравнения (15.7) после преобразования получаем выражение
для передаточной функции рекурсивного ЦФ:

W = 0
(15.9)
Передаточная функция нерекурсивного ЦФ:
м
/и=0
402
Передаточную функцию (15.9), являющуюся аналогом переда-
точной функции линейной цепи (7.39), можно характеризовать по-
ложением ее нулей и полюсов в плоскости комплексной перемен-
ной Z- Для устойчивой аналоговой цепи полюсы ее передаточной
функции расположены в левой полуплоскости комплексной пере-
менной р = о + /со, т.е. при Re р < 0. По аналогии можно опреде-
лить расположение полюсов передаточной функции ЦФ в плоско-
сти комплексной переменной Z- Поскольку z = ерТ = е°те“*\ то по-
люсы Zt должны быть расположены внутри окружности единичного
радиуса. Таким образом, условием устойчивости ЦФ является нера-
венство |z/| < 1.
Рассмотрим примеры нахождения передаточных функций ЦФ.
Пример 1. На рис. 15.5, а изображена структурная схема рекурсив-
ного ЦФ первого порядка. Определим его передаточную функцию.
Для данной схемы, учитывая, что ^-преобразование элемента
единичной задержки есть г-1, получим соотношение
Отсюда в соответствии с выражением (15.8) имеем:
Я(г) =
(15.11)
Рис. 15.5. Структурные схемы
рекурсивного ЦФ первого (о)
и второго (б) порядков
403
Коэффициент aj может быть как положительным, так и отрица-
тельным. Учтем это при определении полюса zi функции tf(z), по-
ложив zi = Значения zi — лежат на окружности радиуса г
= |<7i| в z-плоскости, что соответствует границе устойчивости ЦФ.
Для устойчивости ЦФ необходимо, чтобы |<j| < 1, т.е. коэффициент
ai должен быть выбран таким, чтобы < 1.
Отметим, что данный ЦФ при значении а\ > 0 функционирует
как фильтр верхних частот, а при значении < 0 — как фильтр
нижних частот (см. рис. 15.8).
Пример 2. На рис. 15.5, б изображена структурная схема рекур-
сивного ЦФ второго порядка. Определим его передаточную функ-
цию.
В соответствии со схемой имеем:
*о5вХ(г)-С|5ЕЬК(г)г’‘ -a25Bblx(z)z-2 =5вых(г).
Из этого соотношения находим передаточную функцию:
Я(г) =
______^0______
1+0] z~l +a2Z~2
(15.12)
Ее полюсы определяются из уравнения z2 +а^+а2 =0, откуда находим
41 =-(«i /2)±7(gi2/4)-я2.
Наиболее интересен случай при а2>а2 /4 и полюсы становятся
комплексно-сопряженными числами:
^1,2 =~(Я1 /2)±/д/а2 -а2 /4 =ге±,е.	(15.-13)
Здесь г =	< 1, 0 = arctg^/(4a2 / a2 )-L
Отметим, что данный ЦФ является полосовым фильтром (см.
рис. 15.9).
Определение сигнала на выходе ЦФ
с помощью передаточной функции
Из выражения (15.8) следует, что
^вых (*) =	(z)H(z).	(15.14)
На основании этой формулы ^-преобразование выходного сиг-
нала находится как произведение ^-преобразования входного сиг-
404
нала на передаточную функцию ЦФ. Отметим, что формулу (15.14)
можно рассматривать как дискретный аналог формулы (7.49) для
линейных цепей.
Результатом применения к (15.14) обратного ^-преобразования
(14.60) является выходной сигнал:
dz.
(15.15)
Для определения выходного сигнала можно также использовать
формулу (14.62).
Пример. Найдем реакцию рекурсивного ЦФ первого порядка на
единичный скачок (14.56).
Подставляя выражения (14.57) и (15.11) в формулу (15.14), на-
ходим (при значении а\ < 0):
(15.16)
Функция (15.16) имеет два полюса: zi = 1, Zi — в\- Для вычисле-
ния обратного ^-преобразования воспользуемся формулами (14.61),
(14.62). Здесь Ао = 0,
При этом в соответствии с выражением (14.62) выходной сиг-
нал имеет вид
а„л+1\
)»
п > 0.
При вычислении лвых(л) следует иметь в виду, что в устойчивом
ЦФ коэффициент щ < 1. С помощью простого вычисления нетруд-
но убедиться, что sBha(n) есть результат дискретизации переходной
характеристики АС-цепи, изображенной на рис. 7.4, а. Следова-
тельно, данный ЦФ можно рассматривать как дискретный аналог
АС-цепи.
405
15.4.	Импульсные характеристики цифровых фильтров
Под импульсной характеристикой h{n) понимается реакция ЦФ
на единичный импульс 50(л) при нулевых начальных условиях. При
этом единичный импульс определяется выражением (14.54).
ЦФ называют физически реализуемым, если величина отклика
при п = к зависит только от отсчетов входной последовательности
с номерами п < к. Это означает, что импульсная характеристика
h(ri) = 0 при п < 0.
ЦФ называют устойчивым, если при любой ограниченной вход-
ной последовательности выходная последовательность также огра-
ничена. Условием устойчивости ЦФ является следующее требова-
ние к импульсной характеристике:
Vi,,	(15.17)
2^р(и)<оо.
п-о
Импульсную характеристику можно найти непосредственными
вычислениями по рекуррентной формуле (15.5):
Л/ 2	Л/1
Л(«)= ^Ь^а(п-т}-	(15.18)
/и-0	m=l
Проведение расчетов по формуле (15.18) показывает, что рекур-
сивные ЦФ имеют теоретически бесконечную импульсную харак-
теристику (БИХ), поэтому их называют БИХ-фильтрами.
Положив в (15.18) ат = 0, М2 = М, получим импульсную харак-
теристику нерекурсивного ЦФ:
м
h(n)=^bms0(n-m).
т-0
Отсюда следует, что
h{m) = btn, т = 0, 1, ..., М,	(15.19)
т.е. коэффициенты нерекурсивного ЦФ равны отсчетам его им-
пульсной характеристики.
Отметим, что импульсная характеристика (15.19) содержит ко-
нечное число отсчетов, поэтому нерекурсивные ЦФ называют
фильтрами с конечной импульсной характеристикой, или КИХ-
филътрами.
406
Пример. Рекурсивный ЦФ первого порядка описывается урав-
нением:
*вых(«) = Мвх(',)+а1-5»ых<и "О-
(15.20)
Его структурная схема изображена на рис. 15.5, а.
Положив в выражении (15.20) sBX0O = so(n), sBbLX(/7) =Л(я), получим
рекуррентную формулу7 для вычисления импульсной характеристики:
А(и) = />050(/2) + й1/?(«-1)-
Отсюда находим значения:
М0) = />050(0) = />0;
А(1) = /2050(1)+^Л(0) = ^^;
й(2) = />050(2)+й1/1(1) = О,2Л0
и т.д. В результате получаем импульсную характеристику:

(15.21)
При |t/i| < 1 импульсная характеристика удовлетворяет условию
(15.17), что соответствует устойчивому ЦФ. На рис. 15.6 изображе-
на импульсная характеристика при значении |ai| < 1.
Данную импульсную характеристику можно рассматривать как
результат дискретизации импульсной характеристики /?С-цепи (см.
рис. 7.4, а). Таким образом, рекурсивный ЦФ первого порядка яв-
ляется дискретным аналогом ЛС-цепи.
Связь импульсной характеристики
Применение z- преобразования к
формуле (15.18) дает следующий резуль-
тат:
Л=0
т.е. передаточная функция ЦФ пред-
ставляет собой ^-преобразование его
импульсной характеристики.
Рис. 15.6. Импульсная характе-
ристика рекурсивного ЦФ пер-
вого порядка — дискретного
аналога ЯС-цепи
Следовательно, импульсная харак-
теристика может быть найдена с помо-
щью обратного ^-преобразования:
407
h(n) = — <f H (z)z""’ dz.
2niJ
c
(15.23)
Рассмотрим пример определения h(n) с помощью формулы
(15.23).
Пример. Рекурсивный ЦФ второго порядка имеет передаточную
функцию (15.12). Эта передаточная функция имеет два полюса: Zi, Zi,
определяемые выражением (15.13).
Представим формулу (15.12) в виде
H(z) =
(15.24)
По формулам (14.61) находим Ло = О,
А
Используя формулу (14.62), определяем
h(n) =
(15.25)
Подставим в формулу (15.25) значения z\ = re‘Q, zi = re ,в из вы-
ражения (15.13). В результате после преобразования получим
h(n) = (b0 / sin 0) rn sin(« +1) 0.
(15.26)
Для выполнения условия (15.17) в выражении (15.26) параметр
r< 1. В этом случае дискретная функция (15.26) имеет характер за-
тухающего колебательного процесса. Следовательно, ЦФ является
аналогом колебательной цепи.
Определение сигнала на выходе ЦФ
с помощью импульсной характеристики
Применение обратного z-преобразования к формуле (15.14)
дает следующий результат:
п
(") = X JBX ("')/'(« - т}.
т=0
(15.27)
Здесь учтено свойство z-преобразования, описываемое форму-
лами (14.68), (14.69).
408
Выражение (15.27) определяет выходной сигнал как дискретную
свертку входного сигнала с импульсной характеристикой ЦФ. Это
выражение является дискретным аналогом интеграла свертки (7.44)
для линейных аналоговых цепей.
Пример. Рассмотрим воздействие дискретного сигнала
^вх(л) = 1, W = 1,2, ..., У
на ЦФ с импульсной характеристикой
А(«) = е’а\ п = 1, 2, ... .
В соответствии с формулой (15.27)
выходной сигнал
sBbK(")=
m-Q
П= 1, 2, ... .
Рис. 15.7. Дискретный сигнал на
выходе ЦФ
Подставляя сюда значения входного сигнала, вычисляем соот-
ветствующие значения выходного сигнала (рис. 15.7).
В данном примере сигналы sbX(n) и лВЬ1Х(/0 можно рассматривать
как результат дискретизации сигналов, изображенных на рис. 7.8.
15.5.	Частотные характеристики цифровых фильтров
Комплексную частотную характеристику ЦФ можно определить
из выражения для передаточной функции H(z) путем замены z = е,<дТ.
В результате имеем:
Ще™г) = Н(ыТ)е
кр( соТ)
(15.28)
где

ф (со Т) = arg// (еlwT).
(15.29)
(15.30)
Частотную зависимость модуля Н(($Т) называют амплитуд-
но-частотной характеристикой (АЧХ) ЦФ. Функцию ф(со7) опре-
деляют как фазочастотную характеристику (ФЧФ) ЦФ. Непосред-
ственно из выражения (15.28) следует, что обе характеристики яв-
409
ляются периодическими функциями с периодом со Г = 2л. Причем
функция Я(со7) — четная, а <р(со7) — нечетная.
Периодичность частотных характеристик является отличитель-
ной особенностью ЦФ. Достаточно исследовать поведение частот-
ных характеристик на интервале 0 < соТ< л, который называют ос-
новным частотным диапазоном.
Частотные характеристики рекурсивных цифровых фильтров
Положив в выражение (15.9) z = е‘шТ, получим комплексную
частотную характеристику рекурсивного ЦФ:
ЛА
А»
- i со/л Т
Л/.
(15.31)
/л~0
Рассмотрим особенности расчета частотных характеристик ре-
курсивных ЦФ на примере ЦФ первого и второго порядков.
Пример 1. Рекурсивный ЦФ первого порядка (см. рис. 15.5, а).
Положим в выражении (15.31) М\ = 1, а0 = 1, М2 = 0. Тогда
имеем:
Н(емГ) =-----
1+О,е-'
(15.32)
Отсюда находим АЧХ и ФЧХ:
Я(соТ) =
_____________________
д/1+Gj2 +2aj cos cd Г
(15.33)
ср (со Т) = arctg
sin со Т
1+flj cos со Т
В качестве иллюстрации на рис. 15.8 показан вид АЧХ при раз-
личных значениях коэффициентов: bo = 1, а\ = — 0,7 (см. рис. 15.8,
а) и b0 = 1, ai = 0,7 (см. рис. 15.8, б). Исследуя поведение АЧХ на
интервале 0 < соТ < л, отмечаем изменение типа фильтра в зависи-
мости от знака одного коэффициента. При at < 0 имеем ЦФ ниж-
них частот, а при ai > 0 — ЦФ верхних частот.
410
Пример 2, Рекурсивный ЦФ второго порядка (см. рис. 15.5, б).
Положим в выражении (15.31) ЛА = 2, #о= 1, М2 = 0. Тогда
//(е'шГ) =
(15.34)
Модуль выражения (15.34) определяет АЧХ фильтра:
//(со Г) = 	- -	“
J(l+at cos со Г+2я2 cos co Г)"	sin со Т +2а2 sin со Т)"
Отсюда после преобразования получим
H((£)T) = bQ[\+ai +а2 +2c71(1+c?2)coscoT + 2а 2 cos2соТ] 1/2
В качестве примера на рис. 15.9 приведен график АЧХ при зна-
чениях коэффициентов: bG — 1; а\— —0,8; а2 = 0,8. Вид АЧХ на ин-
тервале 0 < соТ < л показывает, что данный ЦФ является полосо-
вым фильтром с центральной частотой полосы пропускания соо,
определяемой фазовым углом сооТ= 0, где 6 — фазовый угол полю-
сов (15.13). На рис. 15.9 значение сооГ = arctg 2 = 0,35л.
Рис. 15.8. Амплитудно-частот-
ные характеристики рекурсив-
ных цифровых фильтров перво-
го порядка при двух значениях
коэффициента:
а — и\ — —0,7; б — й| = 0,7
//(со Т)
coq I я	2.п
Рис. 15.9. Амплитудно-частот-
ная характеристика цифрового
полосового фильтра
411
Частотные характеристики нерекурсивных
цифровых фильтров
Из выражения (15.10) путем заме-
ны z = е/0)Г находим комплексную час-
тотную характеристику нерекурсивно-
го ЦФ:
Я(е/“г)=£б„е-'ютг.
м=0
(15.35)
Рис. 15.10. Структурные схемы
нерекурсивных ЦФ первого (а)
и второго (б) порядков
Можно реализовать разнообразные
формы АЧХ и ФЧХ, подбирая опреде-
ленным образом коэффициенты Ьт.
Особый интерес представляют ЦФ с
линейными ФЧХ. В качестве примеров
определим частотные характеристики
ЦФ, структурные схемы которых изо-
бражены на рис. 15.10.
Пример 1. Нерекурсивный ЦФ перво-
го порядка (см. рис. 15.10, а).
Положим в выражении (15.35)
М= 1, />о = 1, b\= ± 1. В результате
имеем
//(efe7') = l+e-'“r.
Представим выражение (15.36) в следующем виде:
Я(е'шГ)
е1шП2е-ИлТ/2
+ е-1(аТ/2е~1(лт/2
(15.36)
(15.37)
1. Если коэффициент b\ — 1, то из выражения (15.37) получим
tf(ei“J) = 2cos(co7'/2)e’'“r/2.
(15.38)
Отсюда находим АЧХ и ФЧХ:
Z/(co7’) = 2|cos(cor/2)|;
ф(шТ) = -^ +
0, если cos(co7/2)>0,
л, если cos(o)7/2)< 0.
412

цН(аТ)
Рис. 15.11. Частотные характеристики нерекурсивного ЦФ нижних (с)
и верхних (б) частот
Соответствующие графики приведены на рис. 15.11, а. Вид АЧХ
на интервале 0 < со Г < п показывает, что данный ЦФ является
фильтром нижних частот.
2. Если коэффициент = — 1, то из выражения (15.37) получим
Н(е,ыТ)=i 2 sin(co7’/2)e“'“r/2.
(15.39)
Отсюда находим АЧХ и ФЧХ:
Я(соГ) = 2| sin(co^/2)|,
, К (j)T
<р(<оГ) = -——
А—•	Ллл
JO, если sin(co7~/2)>0,
[я, если sin(coT/2)< 0.
Соответствующие графики приведены на рис. 15.11, о. Вид АЧХ
на интервале 0 < соТ < 2л показывает, что данный ЦФ является
фильтром верхних частот.
Пример 2. Нерекурсивный ЦФ второго порядка (см. рис. 15.10, 6).
Положим в выражении (15.35) М = 2, bQ = 1, b\ = 0, Ь2 = ±1. В
результате имеем:
Я(е/шГ) = 1±е-
Представим выражение (15.40) в виде
//(е'шГ)
(15.40)
(15.41)
413
1.	Если коэффициент b2 = 1, то из выражения (15.41) получим
//(e'w) = 2cos(co7)e”'wr.
(15.42)
Отсюда находим АЧХ и ФЧХ:
Н (со Г) = 2| cos со7|;
<р(<оТ) = -гоТ+Г’
[л,
если cos со Т > О,
если cos со Г < 0.
Соответствующие графики приведены на рис. 15.12, а. Вид АЧХ
на интервале 0 < со 7 < тс показывает, что данный ЦФ — режектор-
ный.
2.	Если коэффициент b2 — — 1, то из выражения (15.40) получим
tf(e'wr) = /2sin(co7>-'“r.
(15.43)
Отсюда находим АЧХ и ФЧХ:
Z/(co7) = 2| sinco7|;
ср(со7) =—со 7 +
0, если sin 0)7 > 0,
тс, если sin со7<0.
Соответствующие графики приведены на рис. 15.12, б. Вид АЧХ
на интервале 0 < со7 < п показывает, что данный ЦФ — полосовой
с центральной частотой соо, определяемой равенством соо7 = тс/2.
Рис. 15.12. Частотные характеристики нерекурсивного ЦФ: режекторного (о)
и полосового (б)
414
Отметим, что все рассмотренные в примерах нерекурсивные
ЦФ имеют линейные ФЧХ. Возможность получения линейных
ФЧХ — одно из основных достоинств нерекурсивных ЦФ.
Связь между частотной и импульсной характеристиками. Из вы-
ражения (15.22) путем замены z = е™г получим
оо
Я(е'“7') = ХЛ(«)«''и"Г-
л=0
(15.44)
Это соотношение устанавливает связь между частотной и им-
пульсной характеристиками ЦФ.
Таким образом, зная одну из характеристик ЦФ, на основе со-
отношений (15.22), (15.23), (15.44) можно определить остальные
характеристики.
15	.6. Формы реализации цифровых фильтров
Форма реализации ЦФ — структурная схема, соответствующая
определенному виду разностного уравнения или передаточной
функции.
Структурную схему, соответствующую разностному уравнению (15.5)
и приведенную на рис. 15.3, называют прямой формой реализации ЦФ.
Каноническая форма. Введем промежуточный сигнал х(п) и раз-
делим уравнение (15.5) на два уравнения (предполагается, что Л/j =
= М2 = М):
м
х(п) = s3X(n)~ ^атх(п-т);
/и=1
Л/
*вых(«) =
Алгоритм вычислений, описанный этими уравнениями, можно
представить в виде структурной схемы (рис. 15.13). Данная структурная
схема соответствует канонической форме реализации ЦФ. Здесь число
используемых элементов единичной задержки равно порядку ЦФ.
В канонической форме реализации используется минимальное
число элементов задержки.
Последовательная форма. Передаточная функция (15.9) соответ-
ствует ЦФ порядка Л/р Ее можно представить в виде произведения
передаточных функций ЦФ первого и второго порядков:
H(z) = Hl(z)H2(z)...Hk(z\
(15.45)
415
Рис. 15.13. Каноническая форма реализации ЦФ
Рис. 15.14. Последовательная форма реализации ЦФ
Для этого нужно представить многочлены числителя и знаменателя
функции H(z) в виде произведения линейных множителей (z — Zk),
где Zk — корень многочлена.
Структурная схема ЦФ в последовательной форме реализации
приведена на рис. 15.14.
Параллельная форма. Для построения ЦФ в параллельной фор-
ме реализации передаточную функцию Я(г) записывают в виде
суммы передаточных функций ЦФ пер-
вого и второго порядков:
H{z) = Н! (г)+Н2 (z)+.. лН к (г).	(15.46)
Для этого нужно дробно-рацио-
нальную функцию H(z) разложить на
простые составляющие:
Рис. 15.15. Параллельная фор-
ма реализации ЦФ
где Zk — корни знаменателя в выраже-
нии (15.9),
416
Структурная схема ЦФ в параллельной форме реализации при-
ведена на рис. 15.15.
15	.7. Синтез цифровых фильтров
Для получения того или иного типа ЦФ необходимо соответст-
вующим образом выбрать значения его коэффициентов. Под син-
тезом понимают определение коэффициентов ЦФ, при которых он
удовлетворяет заданным условиям. Часто для этой цели использу-
ют характеристики аналоговых фильтров, называя их при этом ана-
логовыми прототипами. Заметим, что построение ЦФ во многих
отношениях стало возможным благодаря существованию аналого-
вых фильтров.
Синтез ЦФ на основе дифференциального уравнения аналогового
прототипа. Формально разностное уравнение (15.5) есть дискрет-
ный эквивалент дифференциального уравнения, описывающего
процессы в линейной стационарной цепи.
Покажем это на примере дифференциального уравнения (7.7)
АС-цепи (см. рис. 7.2):
duM.At)	,лХ
т---+ „ (,) = и (t\
dt
где т = RC. Выполним в этом уравнении временную дискретизацию,
положив t = пТ\ заменив wDX(z) на $вх(я7), wBb]X(/) на и заменив
первую производную по времени разностным отношением:
, s^„{nT)-s^{nT-T)
dt	Т
После дискретизации дифференциальное уравнение АС-цепи при-
нимает вид
5	вых (« Т) - Л вых (« - 0 = b0 S ВХ (« )>
коэффициенты определяют так:
(15.47)
(15.48)
Выражение (15.47) есть разностное уравнение первого порядка.
417
Структурная схема ЦФ, соответствующая данному разностному
уравнению, изображена на рис. 15.5, а.
Таким образом, дискретизация дифференциального уравнения
аналогового фильтра дает возможность получить разностное урав-
нение, характеризующее ЦФ.
Синтез ЦФ на основе импульсной характеристики аналогового
прототипа. При таком способе использования аналогового прототи-
па осуществляется дискретизация по времени его импульсной ха-
рактеристики Л(г). В результате получаем дискретную функцию
h(nT), которую рассматривают как импульсную характеристику
ЦФ. Данный способ называют методом инвариантности импульс-
ных характеристик.
Например, используя импульсную характеристику АС-цепи

получим импульсную характеристику ЦФ в виде
h{nT}-e пТ'\ п>0
или
h(n) = e-°\ л>0,
(15.49)
где параметр а = Т/т. Присутствующий в /?(/) множитель 1/т опус-
каем, поскольку импульсная характеристика ЦФ должна быть без-
размерной.
Рис. 15.16. Определение коэф-
фициентов КИХ-фильтра
Импульсная характеристика (15.49)
соответствует БИХ-фильтру. Для реа-
лизации КИХ-фильтра следует отбро-
сить отсчеты импульсной характери-
стики с номерами п > М. По формуле
(15.19) находим коэффициенты
КИХ-фильтра:
bm=e~a,\ w=0,l,...,M.	(15.50)
Таким образом, коэффициенты
КИХ-фильтра вычисляются как отсче-
ты импульсной характеристики АС-це-
пи (рис. 15.16).
Синтез ЦФ на основе передаточной
ункции аналогового прото-
типа. Передаточная функция аналоговой цепи Н(р) представляет
собой дробно-рациональную функцию переменной р, а передаточ-
418
ная функция ЦФ H(z) является дробно-рациональной функцией
переменной z- Для преобразования Н(р) в H(z) необходимо перейти
из p-области в г-область. Поскольку при таком переходе должен
сохраняться дробно-рациональный характер функции, то замена
для переменной р должна представлять собой дробно-рациональ-
ную функцию переменной Z- Кроме того, замена переменной
должна отображать мнимую ось в р-плоскости на единичную ок-
ружность в ^-плоскости. В этом случае частотные характеристики
аналогового и цифрового фильтров будут связаны деформацией
только частотной (горизонтальной) оси, а по вертикальной оси ис-
кажений не будет.
Указанным требованиям удовлетворяет билинейное z-преобразо-
вание, согласно которому
(15.51)
Замена вида (15.51) может быть обоснована следующим обра-
зом. Поскольку z = е , то рТ = In z. Разложив функцию In z в ряд
и учитывая только первый член ряда, получим
Заменив левую часть в данном выражении произведением рТ,
получим для переменной р формулу (15.51).
Найдем передаточную функцию ЦФ применением билинейного
z-преобразования (15.51) к передаточной функции аналогового
фильтра Нк(р), т.е
H(z)~ нА(Р)|р=(2/7')(г-1)/(г+1)‘	(15.52)
Связь между частотными характеристиками полученного циф-
рового и исходного аналогового фильтров можно установить при
рассмотрении отображающих свойств билинейного z-преобразова-
ния. Преобразование (15.51) отображает:
•	открытую правую полуплоскость р в область, расположенную
вне единичного круга |z| = 1 на г-плоскости;
•	мнимую ось p-плоскости в единичную окружность |z| = 1 на
г-плоскости;
•	открытую левую р-пол у плоскость в единичный круг |z| = 1.
Из приведенных свойств отображения следует:
•	максимумы и минимумы АЧХ аналогового фильтра сохраня-
ются и в АЧХ ЦФ;
419
•	полосы пропускания или задерживания аналогового фильтра
преобразуются в одноименные полосы ЦФ;
•	устойчивый аналоговый фильтр преобразуется в устойчивый ЦФ.
Однако билинейное ^-преобразование сопровождается деформа-
цией шкалы частот. Пусть соА и со — переменные частоты аналого-
вого и синтезируемого цифрового фильтров соответственно. Тогда,
подставив в выражение (15.51) р - и z = с'“7, получим
zwA=|(etor-l)/(t>'“r+l).
В этом выражении
е™Т-I = е™т/1 -е~™т/2 = . sm(coT/2)
e^+l е^/2+е-^т/2 _/CoS(coT/2)
(15.53)
(15.44)
С учетом выражения (15.54) формула (15.53) принимает вид:
(15.55)
При соТ< 0,5 зависимость (15.55) близка к линейной: соА ~ со,
т.е. приблизительно для одних и тех же частот цифровой и анало-
говый фильтры имеют одинаковые частотные характеристики. Од-
нако для более высоких частот соотношение между частотами соА и
со становится нелинейным. При этом имеет место деформация
шкалы частот.
Компенсация эффекта деформации шкалы частот может осуще-
ствляться путем предварительного искажения частотной характери-
стики аналогового фильтра-прототипа. Иными словами, надо по-
добрать такой аналоговый фильтр, чтобы его частотная характери-
стика не совпадала точно с характеристикой проектируемого ЦФ, а
была бы деформирована по оси частот в соответствии с условием
(15.55). Зная частотную характеристику или передаточную функ-
цию такого фильтра-прототипа, с помощью преобразования (15.51)
находят передаточную функцию ЦФ.
Пример. В качестве примера использования билинейного z-npe-
образования с компенсацией деформации частотной шкалы синте-
зируем дискретный аналог АС-цепи.
Передаточная функция АС-цепи:
420
Н(р) = ---,
1+рт
(15.56)
где т = 1 /сос, и>с — частота среза АЧХ. Дискретизация заключается
в замене сос ее предварительно деформированным значением, оп-
ределяемым из (15.55) следующим образом:
Отсюда следует, что при синтезе необходимо использовать посто-
янную времени:
(15.57)
Подставляя в выражение (15.56) значение р из формулы (15.51)
и осуществляя замену т на тс, находим передаточную функцию ЦФ:
H(z) = V 1+*
где к = 2тсГ. Преобразуем это выражение к виду
1 + z
H(z) = ——
(15.58)
где я0 = \+к,	= 1-к.
Функция Н(р) имеет один полюс р\ = — 1/т. Функция H(z) также
имеет один полюс:
Условие zi < 1 свидетельствует об устойчивости ЦФ.
Таким образом, устойчивый ЛС-фильтр преобразуется в устой-
чивый рекурсивный ЦФ первого порядка.
15.8. Влияние квантования входного дискретного сигнала
на реакцию цифрового фильтра
При реализации операций цифровой фильтрации возможно по-
явление ошибок. Одна из таких ошибок связана с квантованием
сигнала, подаваемого на вход ЦФ.
421
Квантование дискретного сигнала приводит к появлению так
называемого шума квантования (см. подразд. 14.2), поэтому вход-
ной сигнал может быть представлен в виде
^вх(/0 = 51(л)+е1(л),	(15.59)
где 5i(az) — входной дискретный сигнал; ej (az) — входной шум (шум
квантования).
На выходе линейного ЦФ также будет присутствовать смесь сиг-
нала и шума:
^BbLx(«) = 52(AZ) + e2(AZ),
(15.60)
где si(n) — выходной дискретный сигнал, е2(п) — выходной шум.
Влияние входного шума квантования на реакцию ЦФ легко оп-
ределить путем вычисления выходного шума. Если h(ni) — им-
пульсная характеристика ЦФ, то выходной шум задается выраже-
нием:
п
е2 ('О = (л - w).
л?-0
(15.61)
Дисперсию величины е2(л)
можно представить в виде
Л
D2 (п ) = М У h(m)el (п - т
т-0
п
)У/z(^)e1 (а/ -к)
А=0
п п
= У У h(m)h(k)M[e[ (п - т)е1 (п - А)].
/п=0 к=1)
(15.62)
Предположим, что ej(/7) — дискретный белый шум с дисперсией
£>|. Тогда из выражения (15.62) имеем:
Л л
Д (л) = У У h(m)h(k) 50 (к - m)Dl
ш=0 к=0
или
п
D2(n) = Dt ^(т).
w=0
(15.63)
Здесь учтено, что
50 (к - 777) =
1, к = А77,
0, к т.
422
В случае БИХ-фильтра, согласно условию устойчивости, h(m) О
при значении т —> <*>, поэтому в установившемся режиме диспер-
сию можно представить в виде
Di =А	(15.64)
В случае КИХ-фильтра в выражении (15.64) следует суммиро-
вать лишь конечное число значений импульсной характеристики.
Таким образом, по допустимой величине £>? и известной им-
пульсной характеристике данного ЦФ можно определить допусти-
мую величину дисперсии ошибки квантования (округления) вход-
ного сигнала.
Пример 1. Импульсная характеристика рекурсивного ЦФ перво-
го порядка задана выражением (15.21), подставив которое в (15.64),
найдем
л=0
Положим bo = 1, ал = 0,5, что соответствует фильтру нижних
частот. Тогда D2 = 4 т.е. входной шум усиливается цифровым
фильтром.
Пример 2. Импульсная характеристика рекурсивного ЦФ второ-
го порядка, являющегося аналогом колебательной цени, задана вы-
ражением (15.26), подставив которое в (15.64), получим
ZX = _Р1^°. У г2" sin2 («4-1)0
2sin6nto
или после преобразования:
А =
У г [1 - cos 2(« +1) 0] =
2sin0,S
Q—- —!—- - Уг 2'! COS 2(п 4-1) 0
2sin0[l-r2
Из этого выражения следует, что интенсивность выходного шума
зависит от величин г и 0, которые характеризуют координаты по-
люсов (15.13) передаточной функции ЦФ.
423
Контрольные вопросы и задания
1.	Представьте алгоритм работы цифрового фильтра с помощью раз-
ностного уравнения.
2.	Какие элементы необходимы для реализации алгоритма работы ЦФ?
3.	Изобразите структурные схемы рекурсивного и нерекурсивного
ЦФ. В чем их отличие?
4.	Как определяется передаточная функция ЦФ?
5.	Каковы условия устойчивости ЦФ?
6.	В чем состоит отличие передаточных функций рекурсивного и не-
рекурсивного ЦФ?
7.	Что такое импульсная характеристика ЦФ?
8.	Каким условиям должна удовлетворять импульсная характеристика
ЦФ?
9.	Какие ЦФ называют КИХ- и БИХ-фильтрами?
10.	Как определяют частотные характеристики ЦФ?
11.	Как связаны передаточная функция, импульсная и частотная ха-
рактеристики ЦФ?
12.	Как определяют реакцию ЦФ на произвольное входное воздействие?
13.	Назовите основные формы реализации ЦФ. В чем состоит досто-
инство канонической формы реализации?
14.	В чем состоит синтез ЦФ по методу инвариантности импульсных
характеристик?
15.	В чем состоит метод синтеза ЦФ, использующий билинейное
Z- преобразо ва н ие ?
16.	Как влияет вид импульсной характеристики ЦФ на дисперсию вы-
ходного шума квантования?
17.	Запишите разностные уравнения для ЦФ, структурные схемы кото-
рых приведены на рис. 15.5 и 15.10.
18.	Найдите передаточные функции, импульсные и частотные характе-
ристики цифровых фильтров, алгоритмы работы которых описыва-
ются формулами:
4)	2,5sux(/i 1)+0,85уХ(л 2),
^вьгх(^) ^вх(^)45ВЬГХ(Л 1)—0,5.Увых(/7 2).
19.	Найдите передаточную функцию ЦФ, входная и выходная последо-
вательности которого имеют вид:
5вх(л) = {1;0;1;2}, sBWX(/?) = {0; 1;2; 1}.
20.	Вычислите отсчеты выходного сигнала ЦФ, передаточная функция
которого
Я(г)=-1+г''+2г~2,
а выходной сигнал 5вх(л) = {-2; 1; 2;-1}.
21.	Вычислите отсчеты выходного сигнала нерекурсивного ЦФ, имею-
щего импульсную характеристику А(л) = {1; -0,6; -1,5; 1}, при воз-
действии на него дискретного сигнала stlx(n) = {1; 0; 1; 0}.
424
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Высш, шк.,
2005.
2.	Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Дрофа.
2006.
3.	Радиотехнические цепи и сигналы / Под рсд. К.А. Самойло. — М.:
Радио и связь, 1982.
4.	Иванов М.Т., Сергиенко А. Б., Ушаков В.И. Теоретические основы ра-
диотехники — М.: Высш, шк., 2002.
5.	Денисенко А.И., Стеценко О.А. Теоретическая радиотехника. 4.1. Де-
терминированные сигналы. — М.: Изд-во стандартов, 1993.
6.	Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехни-
ки. — М.: Радио и связь, 1989.
7.	Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. — М.: Радио и связь,
1982.
8.	Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сиг-
налов. — М.: МИР, 1978.
9.	Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка
сигналов. — М.: Радио и связь, 1985.
10.	Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых
фильтров — М.: Высш, шк., 1982.
11.	Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. — СПб.: Питер, 2006.
12.	Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к
решению задач. — М.: Высш, шк., 2002.
13.	Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи / Пол рсд.
И.С. Гоноровского. — М.: Радио и связь, 1989.
14.	Жуков В.П., Карташев В.Г., Николаев А.М. Задачник по курсу «Ра-
диотехнические цепи и сигналы». — М.: Высш, шк., 1986.
15.	Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания / Под ред.
А.Н. Яковлева. — М. : ИНФРА-М; Новосибирск.: Изд-во НГТУ, 2003.
предметный указатель
Автогенератор, определение 320
— с внутренней связью 320, 343
—	с трансформаторной связью 321,
338
—	типа КС 341
—	трехточечный 3 39
Автоколебан ия 319
Алгоритм БПФ 387
Ann рокеимация
—	сигнала 30
— характеристик 258
----кусочно-линейная 259
----степенная 258
База сигнала 15
Базис ортонормированный 29, 42
Базисные функции 29
—	отсчетов 372
Баланс
—	амплитуд 323
—	фаз 323
Баркера сигналы 80
Безынерционность элемента 256
Белый шум 163
—	дискретный 396
—	с ограниченным спектром 164
Билинейное преобразование 419
Быстрое преобразование Фурье 387
Данные 9
Девиация
—	фазы 101
—	частоты 102
Демодуляция 13
Детектирование, определение 305
— амплитудное 305
---квадратичное 308
---линейное 308
—	синхронное 354
—	фазовое 313
—	частотное 315
Детектор амплитудный 305
—	диодный 310
—	коллекторный 307
—	синхронный 354
Диапазон динамический сигнала 15
Дискретизация
—	сигнала 367
—	спектра 381
Дискретное преобразование Фурье 382
Дисперсия случайного сигнала 150
Длительность сигнала 13
—	эффективная 25
Дюамеля интеграл 192
Вероятностные характеристики случай-
ного сигнала
—	одномерные 141
—	двумерные 143
— многомерные 145
Видеоимпульс 59
Винера-Хинчина теорема 158
Временное разделение радиоканалов 132
Выборка 367
Гармоники 44, 46
Генератор
— накачки 359
— параметрический 349, 361
Гильберта преобразование 36
Единичный импульс 34, 389
Емкость дифференциальная 351
Задача
— синтеза цифрового фильтра 417
— спектрального анализа сигната 45
Избирательность 13
Индекс угловой модуляции 102
Интернат
— дискретизации 367
— корреляции 78, 153
Искажения сигнала
— линейные (частотные) 195
— нелинейные 271, 292
426
Квантования
— уровень 368
—	шаг 368
—	шум 369
Кодирование 10. 369
Колебание
—	нссушее 87
—	параметрическое 358
Корреляционная функция сигнала
—	детерминированного 76, 82
—	случайного 152
Котельникова ряд 372
Коэффициент
— амплитудной модуляции 89
----парциальный 93
— детектирования 306
— корреляции 77, 153
— модуляция емкости 349, 360
—	нелинейных искажений 292
—	ошибок 16
— умножения 293
— усиления 288, 365
Критерий устойчивости
— линейной цепи 181, 184, 191
----с обратной связью 207
— стационарного режима автогене-
ратора 326
— цифрового фильтра 403, 406
Крутизна характеристики
—	дифференциальная 257
—	средняя (по первой гармонике) 291
Лапласа преобразование 73
— дискретное 381
Линия задержки 203
Манипуляция 120
Математическое ожидание случайного
сигнала 148
Метод
—	графический 260
—	комплексной огибаюшей 214
—	мгновенной частоты 231
—	медленно меняющихся амплитуд 333
—	операторный 194
—	спектральный 181
Модель математическая
—	нелинейного элемента 258
—	сигнала 22
—	цифрового фильтра 398
Модуляция, определение 12, 87
—	амплитудная 88
		балансная 95
		однополосная 96
—	амплитудно-импульсная 131
—	аналоговая 88
—	внутриимпульсная 107
—	импульсная 88. 131
—	импульсно-кодовая 370
—	параметра 348
—	тональная 89
—	угловая 88, 99
----фазовая 88, 100
---- частотная 88, 100
— фазоимпульсная 131
— цифровая 88, 120
----амплитудная 121
---- фазовая 125
---- частотная 128
—	частотно-импульсная 131
—	широтно-импульсная 131
Мощность сигнала
—	взаимная 27
—	мгновенная 25
—	средняя 26
Напряжение
—	накачки 361
—	отсечки 262
—	смешения 258
Неискаженной передачи сигналов ус-
ловия 195
Объем сигнала 15
Обратная связь
—	внешняя 320
—	внутренняя 320
— отрицательная 205
— положительная 205, 322
Огибающая
— сигнала 39, 88
----комплексная 113
— спектра
----амплитудного 47
----фазового 47
Ортогональные сигналы 28, 41
Отрицательное сопротивление 332, 343.
363
Параметрического возбуждения усло-
вие 361
Пере модуляция 90
Полоса цепи
427
— пропускания 187, 200
— задерживания 200
— шумовая 199
Помеха 17
Преобразование сигнала нелинейное 256
Преобразование частоты 295, 353
Принцип суперпозиции 180
Пространство сигналов 39
Радиоимпульс 67
Радиоканал 11
Радиосигнал 12, 87
Самовозбуждения автогенератора
— режим
----жесткий 327
----мягкий 326
— условия 321, 322
Свертка сигналов
— аналоговых 65
— дискретных
----круговая 386
----линейная 393
Сигнал, определение 9
—	аналитический 36
—	аналоговый 9
—	детерминированный 22
—	дискретный 367
—	квантованный 368
—	комплексный 36
—	модулированный 12, 87
—	модулирующий 87
—	непериодический 24
—	первичный 9
—	периодический 23
—	простой 15
—	сложный 15
—	случайный 22, 139
—	сопряженный 36
—	тестовый 33
—	узкополосный 87
—	цифровой 10
Случайный процесс (сигнал), определе-
ние 139
—	гауссовский 161
—	дискретный 394
—	квазидетерминированный 140
—	нестационарный 148
—	стационарный 147
—	узкополосный 164
—	центрированный 150
—	эргодический 149
Спектр, определение 45
—	амплитудный 46, 54
—	дискретный 46
—	мощности 48
—	непрерывный 54
—	фазовый 46, 54
—	энергетический 56, 156
—	взаимный энергетический 83
Спектральная плотность мощности слу-
чайного сигнала 155
Спектроанализатор 45
Статистическое усреднение 148
Теорема отсчетов 370
Угол отсечки 262
Узкополосности условие
—	сигнала 87
—	цепи 190
Умножение частоты 293
Уравнение
— автогенератора
----дифференциальное 328
----комплексное 323
---- укороченное 335
— дифференциальное линейной цепи
181
—	разностное цифрового фильтра 399
Усиление
—	параметрическое 361
—	резонансное 286
Фаза полная 39
Физической реализуемости условия 181,
184
Фильтр, определение 200
—	верхних частот 201
—	гребенчатый 205
—	квазиоптимальный 250
—	нижних частот 188, 200
—	оптимальный 236
—	полосовой 190, 200
—	режскторный 200
—	согласованный 242
—	цифровой 398
----нерекурсивный 400
----рекурсивный 400
Функция
—	взаимно корреляционная 83
428
—	ковариационная 152
—	корреляционная 76, 152
—	передаточная цепи 190
----цифрового фильтра 402
—	случайная 139
—	спектральная 54
Фурье
—	интеграл 53
— преобразование 54
----быстрост 387
----дискретное 382
— ряд
----комплексный 47
----обобщенный 30
----тригонометрический 31, 45
Характеристика
— амплитудно-фазовая 208
— амплитудно-частотная 186, 409
— детекторная 309, 314, 315
— импульсная 184, 406
— колебательная 292
— комплексная частотная 186, 409
— модуляционная 302, 305
— переходная 184
— фазочастотная 186, 409
Цепь
-- автоколебательная 319
— дифференцирующая 202
— интегрирующая 203
— линейная 180
— нелинейная 180, 256
— обратной связи 204
— параметрическая 180, 347
— узкополосная 190
— частотно-избирательная 187
Частота
—	боковая 91
—	дискретизации 376
—	комбинационная 267
—	мгновенная 99
—	модуляции 89
—	накачки 360
—	иссушая 87
—	промежуточная 295
—	среза фильтра 188
Частотное разделение радиоканалов 20,
88
Ширина спектра 14. 45
— эффективная 48, 57, 159
Электромагнитная совместимость 21
Энергия сигнала 26, 30
— взаимная 27
Z-преобразованис 389
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................. 3
Введение................................................................ 5
Глава 1. Общие сведения о радиотехнических процессах.................... 8
1.1.	Информация, сообщения и сигналы............................... 8
1.2.	Передача сообщения по радиоканалу............................ 11
1.3.	Согласование сигнала с радиоканалом.......................... 13
1.4.	Помехи в радиоканале......................................... 16
1.5.	Радиочастотный диапазон и его распределение.................. 19
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 2. Элементы обшей теории сигналов................................ 22
2.1.	Математические модели сигналов............................... 22
2.2.	Энергия и мощность сигналов.................................. 25
2.3.	Представление сигналов в виде разложения на составляющие..... 29
2.4.	Представление сигналов с использованием обобщенных функций .... 33
2.5.	Представление сигнатов в комплексной форме................... 36
2.6.	Векторное представление сигналов............................. 39
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 3. Снектратьный и корреляционный анализ сигналов................. 44
3.1.	Понятие спектра сигнала...................................... 44
3.2.	Спектратьпый анапиз периодических сигналов................... 45
3.3.	Примеры расчета спектров периодических сигналов.............. 49
3.4.	Спектральный анатиз непериодических сигнатов................. 53
3.5.	Примеры расчета спектров непериодических сигналов............ 57
3.6.	Теоремы спектратьного анализа ............................... 63
3.7.	Применение теорем спектрального анализа...................... 65
3.8.	Использование обобщенных функций в спектральном анапизс
сигналов........................................................... 70
3.9.	Преобразование Лапласа и его использование при спсктратьном
анатизе сигнатов................................................... 73
3.10.	Корреляционный анализ детерминированных сигнатов............. 76
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 4. Радиосигналы при аналоговой модуляции......................... 87
4.1.	Понятие и виды модуляции..................................... 87
4.2.	Радиосигналы с амплитудной модуляцией........................ 88
4.3.	Радиосигналы с угловой модуляцией............................ 99
4.4.	Ратиосигначы с внутриимпульсной модуляцией.................. 107
4.5.	Радиосигналы общего вида.................................... 112
4.6.	Корреляционная функция радиосигната........................... 117
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 5. Радиосигналы при цифровой и импульсной модуляции............. 120
5.1.	Цифровая модуляция.......................................... 120
5.2.	Радиосигналы при цифровой амплитудной модуляции............. 121
5.3.	Радиосигналы при цифровой фазовой модуляции................. 125
5.4.	Радиосигналы при цифровой частотной модуляции............... 128
5.5.	Ратиосигначы при импульсной модуляции....................... 131
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 6. Основы теории случайных сигнатов............................. 139
6.1.	Случайные сигналы........................................... 139
6.2.	Вероятностное описание случайных сигнатов................... 141
430
6.3.	Определение параметров случайного сигнала на основе статистического
усреднения........................................................ 148
6.4.	Корреляционные функции случайных сигналов................... 152
6.5.	Спектральные характеристики случайных	сигнатов............. 155
6.6.	Некоторые .модели случайных сигналов и	шумов................ 161
6.7.	Узкополосные случайные сигналы.............................. 164
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 7. Радиотехнические цепи. Описание и применение линейных цепей .... 179
7.1.	Радиотехнические цепи и их классификация.................... 179
7.2.	Описание линейных цепей..................................... 181
7.3.	Прохождение детерминированных сигналов через линейные цепи .... 191
7.4.	Прохождение случайных сигналов через линейные цепи.......... 196
7.5.	Применение линейных цепей в радиотехнике.................... 200
7.6.	Линейные цепи с обратной связыо............................. 204
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 8. Воздействие радиосигналов на линейные	узкополосные цепи...... 211
8.1.	Полосовая фильтрация радиосигналов.......................... 211
8.2.	Метод комплексной огибаюшей................................. 214
8.3.	Воздействие радиоимпульса на полосовой	фильтр............ 217
8.4.	Воздействие радиосигнала с амплитудной модуляцией на
полосовой фильтр.................................................. 220
8.5.	Воздействие радиосигнала с цифровой фазовой модуляцией
на полосовой фильтр............................................... 224
8.6.	Воздействие радиосигнала с цифровой частотной .модуляцией
на полосовой фильтр............................................... 227
8.7.	Воздействие радиосигналов с угловой модуляцией на полосовой
фильтр............................................................ 231
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 9. Оптимальная лилейная фильтрация сигналов...................   236
9.1.	Задача оптимальной линейной фильтрации и выбор критерия
оптимальности..................................................... 236
9.2.	Оптимальная линейная фильтрация детерминированных	сигналов.... 238
9.3.	Согласованная фильтрация детерминированных сигнатов......... 241
9.4.	Реализация согласованных фильтров........................... 244
9.5.	Квазиоптимальные фильтры.................................... 250
9.6.	Оптимальная линейная фильтрация случайных сигналов.......... 252
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 10. Преобразования сигналов в нелинейной безынерционной цепи..... 256
10.1.	Нелинейные элементы........................................ 256
10.2.	Преобразование гармонического сигнала в нелинейной
безынерционной цепи............................................... 260
10.3.	Преобразование бигармоничсского сигнала в нелинейной
безынерционной цепи............................................... 266
10.4.	Преобразование радиосигнала с амплитудной модуляцией
в нелинейной безынерционной цепи.................................. 268
10.5.	Преобразование радиосигнала с угловой модуляцией в нелинейной бе-
зынерционной цепи................................................. 272
10.6.	Преобразование случайного сигнала в нелинейной безынерционной
цепи.............................................................. 274
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава И. Нелинейные частотно-избирательные цепи .....................  284
11.1	Понятие нелинейной частотно-избирательной цепи . .......... 284
431
11.2.	Резонансное усиление сигналов................................... 286
11.3.	Умножение частоты сигнала....................................... 293
11.4.	Преобразование частоты сигнала................................   295
11.5.	Реализация амплитудной модуляции................................ 29?
11.6.	Реализация фазовой и частотной модуляции........................ 303
11.7.	Амплитудное детектирование...................................... 305
11.8.	Фазовое детектирование.......................................... 313
11.9.	Частотное детектирование........................................ 315
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 12. Автоколебательные цепи........................................... 319
12.1.	Понятие автоколебательной цепи.................................. 319
12.2.	Самовозбуждение автогенератора гармонических колебаний...... 320
12.3.	Автогенератор гармонических колебаний в стационарном режиме . . . 322
12.4.	Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения автогенератора.......... 326
12.5.	Дифференциальное уравнение автогенератора гармонических колебаний. 328
12.6.	Метод медленно меняющихся амплитуд и его применение к анализу
процессов в автогенераторе........................................ 333
12.7.	Основные схемы автогенераторов с внешней обратной связью.... 338
12.8.	Автогенераторы с внутренней обратной связью..................... 343
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 13. Параметрические цепи...........................................   347
13.1.	Параметрические элементы........................................ 347
13.2.	Использование нелинейных элементов в качестве параметрических . . 350
13.3.	Преобразования сигналов в параметрических цепях................. 352
13.4.	Реализация фазовой и частотной модуляции........................ 356
13.5.	Параметрическое возбуждение колебаний........................... 358
13.6.	Параметрическое усиление колебаний.............................. 361
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 14. Аналого-цифровое преобразование сигналов. Дискретные сигналы . . . 366
14.1.	Понятие цифровой обработки сигналов............................. 366
14.2.	Аналого-цифровое преобразование сигналов........................ 367
14.3.	Теорема о дискретном представлении сигналов..................... 370
14.4.	Дискретные сигналы ............................................. 374
14.5.	Соотношение между спектром аналогового и дискретного сигналов . . 376
14.6.	Спектральная функция дискретного сигнала. Дискретизация спектра . 379
14.7.	Дискретное преобразование Фурье................................. 382
14.8.	Z-преобразованис дискретных сигналов............................ 389
14.9.	Случайные дискретные сигналы.................................... 394
Контрольные вопросы и задания......................................
Глава 15. Цифровая фильтрация сигналов..................................... 398
15.1.	Цифровые фильтры........................................... 398
15.2.	Описание цифровых фильтров с помощью разностных	уравнений	.	.	.	399
15.3.	Описание цифровых фильтров с использованием z-преобразования	.	.	402
15.4.	Импульсные характеристики цифровых фильтров................ 406
15.5.	Частотные характеристики цифровых фильтров................. 409
15.6.	Формы реализации цифровых фильтров......................... 415
15.7.	Синтез цифровых фильтров................................... 417
15.8.	Влияние квантования входного дискретного сигнала на реакцию
цифрового фильтра................................................. 421
Контрольные вопросы и задания......................................
Список литературы...........................................................425
Предметный указатель........................................................426



£-2VrS00-90'S-8£6 N9SI
1 t
' ' v • V IJ ’
м । > и • \ | II
(ДИ»

i
MW I'V1
I I 4 in\OM
• tl*It'••I1
T Г ll i dO U|l HI
nulls I < v । 1111 и
,v,v
.»• ' ' I' I
ЭИХЭЭНИ
VT It
’lit f»11 *
1,1	’ 1	'	-  Л-Ч VI
t Л i Л ч И HI 1V. 111
[) ’ • L’l I H I U IVI>’
1111It 11IIIII II и