/
Автор: Гоноровский И.С.
Теги: электротехника электроника радиотехника сигналы электрические цепи издательство советское радио
Год: 1963
Текст
РАДИО¬
ТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
И. С. Гоноровскийрлдио-
технические
цепи и сигналы
„Советское радио"
И. С. ГОНОРОВСКИЙ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебника
для радиотехнических
вузов и факультетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО „СОВЕТСКОЕ РАДИО"
МОСКВА —1963
УДК 621.371.39(07)
Книга 'содержит изложение теории .радиотехни¬
ческих цепей и сигналов.
Рассматриваются радиосигналы и основные ра¬
диотехнические системы — линейные, нелинейные
и па|рамет,рическ'ие, а также происходящие в них
преобразования и процессы. Приводятся основные
сведения о статистических явлениях в 'радиоэлект¬
ронных устройствах — линейных (усилителях и ав¬
тогенераторах. Вкратце 'раюсмоттрена задача син¬
теза цепи, оптимальной для выделения заданного
сигнала на фойе белого шума.
Книга предназначена для студентов (радиотех¬
нических факультетов и вузов. Она может быть
полезна также <и для широкого круга специали¬
стов, работающих © области .радиотехники и (смеж¬
ных областях науки и техника
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу настоящего учебника положены лекции, читаемые ав¬
тором в Московском авиационном институте имени Серго Орджо¬
никидзе.
В книге принята следующая последовательность изложения:
сначала изучаются сообщения и сигналы, подлежащие передаче
по радиоканалу, а затем радиотехнические цепи и .происходящие
в них процессы и преобразования. Основное внимание уделено
спектральному анализу радиосигналов, теории колебательных си¬
стем, теории прохождения сигналов через радиоцепи, теории ли¬
нейного и нелинейного усиления, теории основных радиотехниче¬
ских процессов — генерации, модуляции, детектирования и т. д.,
теории систем с обратной связью, а также статистическим явле¬
ниям в радиоэлектронных устройствах — усилителях и автогене¬
раторах. Введен раздел по теории цепей с переменными парамет¬
рами применительно к проблемам параметрического возбуждения
и усиления колебаний. Вкратце рассмотрена задача синтеза цепи
по заданному сигналу (оптимальный фильтр).
Таким образом, содержание данного учебника охватывает во¬
просы теории сигналов и их преобразования в линейных, нелиней¬
ных и параметрических системах. Однако деление курса на линей¬
ную, нелинейную и параметрическую части автор считает нецеле¬
сообразным ввиду чрезмерной условности такого деления я тесной
взаимосвязи между указанными элементами в любом реальном
радиотехническом устройстве.
Данный курс базируется на серьезной .подготовке студентов по
теории линейных электрических цепей, включающей в себя теорию
переменных токов, анализ электрических цепей с постоянными па¬
раметрами, теорию переходных явлений при коммутационных про¬
цессах, рассмотрение свойств .передаточных и иных функций цепи
на плоскости комплексного переменного. Эти сведения должны
изучаться в курсе «Теория линейных электрических цепей», куда
необходимо было бы по нашему .мнению также включить раздел,
посвященный .синтезу цепей по заданным частотным характери¬
стикам.
Все изложение в настоящей книге ведется, по возможности,
с позиций теории информации. Некоторые основные положения
этой теории, необходимые для уяснения требований к радиосигна¬
лам и радиоцепям, приводятся без доказательств во вводной главе.
Такой подход обусловлен тем, что в связи с требованиями к мате¬
матической, а также к общей радиотехнической подготовке, «Тео¬
3
рию передачи информации» целесообразно читать после курса
«Радиотехнические цепи и сигналы».
Из вышеизложенного видно, что данный курс, совместно с кур¬
сами «Теория линейных электрических цепей» и «Теория передачи
информации», образует единый комплекс -из трех дисциплин, ле¬
жащих -в основе такого важного раздела радиотехнического обра¬
зования, как теория цепей и сигналов.
При написании данноло учебника были частично использованы
материалы из ранее вышедшей книги автора «Основы радиотех¬
ники». Однако новые задачи курса потребовали включения боль¬
шого числа новых разделов и изъятия некоторых материалов, по¬
терявших былую актуальность или перешедших в курсы матема¬
тики и теории электрических цепей. Опущены также подробности
расчетного характера, вместо чего углублено рассмотрение прин¬
ципиальной стороны радиотехнических процессов и явлений.
Общепризнано, что первостепенное значение, наряду с усвое¬
нием необходимых знаний, имеет развитие у студентов навыков
к самостоятельной и творческой работе. Это особенно важно для
подготовки специалистов в такой быстро прогрессирующей обла¬
сти, как радиотехника и электроника. Поэтому автор стремился
сочетать сжатое и доходчивое изложение основных понятий, рас¬
считанных на первоначальное изучение, с изложением более слож¬
ных вопросов, существенных для овладения методами анализа,
используемыми в современной радиоэлектронике.
Некоторое расширение круга рассматриваемых вопросов по
сравнению с обязательным «минимумом» необходимо и для инди¬
видуализации обучения и для продления «срока жизни» книги.
Незначительные сокращения, которые могут потребоваться приме¬
нительно к различным программам данного курса, легко могут быть
сделаны без нарушения целостности изложения. Сведения, имею¬
щие характер научного углубления, выделены петитом или выне¬
сены в приложения, помещенные в конце книги.
В работе над созданием этого учебника большую помощь кри¬
тикой, советами и участием в подготовке рукописи к печати ока¬
зали автору сотрудники кафедры теоретических основ радиотех¬
ники МАИ.
Важное для улучшения рукописи значение имели многочислен¬
ные и ценньне замечания, которые сделали при рецензировании
доктор технических наук, профессор Я. С. Ицхоки, кандидат тех¬
нических наук, доцент В. Ф. Власов и кандидат технических наук,
доцент А. А. Лапис.
Автор выражает своим товарищам по работе и рецензентам
искреннюю благодарность.
Автор
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. ЗАДАЧИ РАДИОТЕХНИКИ
Современная радиотехника является мощным средством техни¬
ческого прогресса. Радиотехника проникла во все области народ¬
ного хозяйства, в науку, технику, культуру и быт.
Одной из важнейших задач радиотехники является осуществле¬
ние связи на большие расстояния с помощью излучения электро¬
магнитных волн.
Повсеместное распространение получило радиовещание и слу¬
жебная радиосвязь, все большие районы обслуживает телевидение,
осуществляется устойчивая связь с судами, самолетами и косми¬
ческими кораблями. Средства радиотехники позволяют осуществить
межпланетную связь, а предстоящие в недалеком будущем полеты
человека на другие планеты уже в настоящее время имеют «ра¬
диотехническое обеспечение». Вошли в жизнь радиолокация, ра¬
дионавигация, радиотелеметрия, радиоуправление и т. д.
Однако упомянутыми применениями далеко не исчерпываются
задачи современной радиотехники.
С проникновением радиометодов в давно существующие науки
качественно изменился их характер. Возникли такие новые науки,
как «радиофизика», «радиоастрономия» и др.
Неоценимую .помощь оказывает применение радиотехнических
приборов и методов в экспериментальной физике, в том числе ядер-
ной физике, в технике измерения любых быстропротекающих про¬
цессов и различных неэлектрических величин (давления, вибраций,
небольших смещений и т. д.), при изучении физики ионосферы,
в службе времени.
Широкое использование радиотехнических методов для реше¬
ния задач, не связанных с излучением, привело к появлению нового
термина радиоэлектроника, включающего в себя радио¬
технику и электронику.
Быстро расширяется применение радиоэлектронной аппаратуры
для медицинских исследований (диагностики), а также для воз(ме-
щени*г частично или даже полностью утраченных функций челове¬
ческого организма.
5
Крупным достижением радиоэлектроники является все расши¬
ряющееся применение быстродействующих электронных счетных
машин — вычислительных, управляющих, информационных. Ре¬
шающую роль в автоматизации и комплексной механизации про¬
изводственных .процессов призваны сыграть кибернетические ма¬
шины, создание которых немыслимо без радиоэлектроники.
Из всего сказанного выше можно сделать вывод, что радиотех¬
ника будет приобретать все возрастающее значение в человеческом
•прогрессе.
Невозможно перечислить сколько-нибудь подробно уже суще¬
ствующие области применения радиотехники или предсказать от¬
крывающиеся перед ней новые возможности. Любые обобщения и
классификации этих возможностей неизбежно в короткое время
устаревают.
Можно, однако, подметить, что одна чрезвычайно существен¬
ная особенность объединяет все перечисленные выше области при¬
менения радиотехники.
Эта особенность заключается в том, что имеет место передача
информации с помощью электрических сигналов 1.
Со дня изобретения А. С. Поповым радио (1895 г.) и до настоя¬
щего времени передача информации на расстояние посредством
электрических сигналов является основной задачей радиотехники.
Иногда высокочастотное электромагнитное поле используется
для целей, не связанных о передачей информации. Таковы, напри¬
мер, применения высокочастотных полей в медицине (рентгеноте¬
рапия, физиотерапия и др.), а также ряд технологических приме¬
нений: поверхностная закалка, сушка древесины, консервирование
пищевых .продуктов и т. д.
Мы, однако, не будем относить эти применения к радиотехнике.
1.2. СООБЩЕНИЕ И СИГНАЛ. КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ
Итак, радиотехника занимается передачей информации. Ком¬
плекс устройств, используемых для передачи информации от ее
источника к получателю, образует канал связи. От канала
связи требуется по возможности .полная передача информации.
Потери информации могут вызываться искажениями сигналов
из-аа несовершенства отдельных элементов канала, а также из-з#
накладки помех, возникающих как в самом канале связи, так и
вне него. Радиотехнический канал представляет собой, как пра¬
вило, сложное и дорогостоящее сооружение. Важное значение при¬
обретает поэтому вопрос об эффективности и надежности подоб¬
ного канала связи.
1 Это обстоятельство указывает на принципиальное отличие радиотехники
от электротехники. Последняя также использует передачу на расстояние (на¬
пример, по высоковольтным линиям), однако, в отличие от радиотехники,
объектом транспортировки является не информация, а энергия.
6
Для выяснения смысла этих /понятий требуется прежде всего
количественное определение информации. Такое определение и
вытекающие из него важные заключения об условиях передачи ин¬
формации по каналу связи составляют содержание новой науки —
теории информации. Эта теория, возникшая сначала как теория
электросвязи, быстро перешагнула границы этой относительно
узкой области и все в большей степени .проникает в самые раз¬
личные науки, в технику, экономику и культуру.
Систематическое изложение теории информации не входит в за¬
дачу курса теории радиоцепей и сигналов. В данной главе
излагаются без доказательств лишь некоторые основные лоложе-
ния этой теории, необходимые для уяснения требований к пара¬
метрам канала связи, а также для анализа и синтеза радиотехни¬
ческих цепей и устройств, используемых для передачи информации,
Рассмотрим ситуацию, возникающую при передаче информации,
отвлекаясь пока от того, как производится эта передача.
Информация содержится в сообщении, которое надлежит
передать от отправителя к получателю1. Сообщение
неразрывно связано с некоторым событием и является его описа¬
нием. Любое событие состоит в изменении (во времени или про¬
странстве) состояния некоторого объекта или- процесса. Сообще¬
ние является ничем иным как указанием на то, в каком из возмож¬
ных состояний находится объект или процесс. Таким образом,
событие порождает сообщение, которое необходимо передать. Эта
необходимость возникает только тогда, когда данное событие яв¬
ляется для получателя новым, неожиданным. В противном случае,
т. е. если бы получатель знал содержание сообщения (состояние
объекта или процесса) заранее, передавать его- было бы излишне.
Ясно, что че*м более неожиданно это сообщение, тем больший ин¬
терес оно представляет для получателя, тем большим количеством
информации будет располагать получатель после приема сообще¬
ния. Из этого следует, что для придания понятию «количество ин¬
формации» четкого математического смысла, требуется дать чис¬
ленное выражение «степени неожиданности» сообщения.
Эта задача решается методами теории вероятностей.
Пусть по каналу связи -передается сообщение о событии, ве¬
роятность которого (априорная) равна Р\. После приема сообщения
вероятность (апостериорная) этого события для получателя ста¬
новится равной Р2. Прирост количества информации, связанный
с приемом сообщения, определяется с помощью следующего вы¬
ражения:
/=Iog^=IogP2 — log/V (1.1)
Это соотношение лежит в основе всей теории информации.
1 Эти слова можно применять вместо слов «источник и потребитель ин¬
формации».
7
Выбор логарифмической функции для количественной оценки
прироста информации дает ряд преимуществ, главное из которых
заключается в свойстве аддитивности: при передаче сообщений
о независимых событиях полная информация оказывается равной
сумме информаций, содержащихся в отдельных сообщениях.
Допустим, что канал связи является идеальным: в нем полно¬
стью отсутствуют ломехи, а также искажения сигналов. При этих
условиях событие .после приема сообщения о нем становится до¬
стоверным. Это означает, что вероятность Р2 обращается в еди¬
ницу, а выражение, (1.1) переходит в следующее:
/=-\ogP1. (1.2)
Итак, количество информации, содержащееся в передаваемом
сообщении, зависит от вероятности Р\ события до приема сооб¬
щения. Чем меньше эта вероятность, т. е. чем больше неопреде¬
ленность исхода, тем большая информация о нем получается в ре¬
зультате приема сообщения. Так как Pi<^ 1, то log Р\ 0 и опре¬
деляемая формулой (1.2) информация всегда положительна.
Если передается сообщение о событии, имеющем два равно¬
вероятных исхода, то, очевидно, Рх = у . Содержащееся в таком
сообщении количество информации в соответствии с формулой (1.2)
равно
/= — log Y=log2. (1.3)
Численная величина / зависит от выбора основания логарифмов.
Если в качестве основания выбрать 2, то последнее выражение
принимает вид
/ = log2 2 = 1. (1.4)
Определенная таким образом единица количества информации,
соответствующая сообщению о том, что произошло одно из двух
равновероятных событий, называется двоичной единицей
информации.
Двоичная единица получила наиболее широкое распростране¬
ние в теории информации и, особенно, в технических ее (приложе¬
ниях ввиду того, что большинство схем и устройств вычислительной
техники работает на принципе использования элементов с двумя
возможными положениями («да»—«нет», «включено»—«выклю¬
чено» и т. д.).
В данном .параграфе рассматриваются дискретные сообщения,
т. е. сообщения, передаваемые при помощи отдельных символов,
образующих так называемый алфавит канала связи. В письмен*
ной речи подобными символами являются буквы алфавита дан¬
ного языка. В более общем случае алфавит может состоять из
любых различных символов. Сообщение составляется из отдель¬
ных символов. Полное число символов в достаточно длинном со-
8
общении может быть очень большим. Так как число различных,
символов алфавита обычно невелико (например, 26 букв в латин¬
ском алфавите, 33 буквы в русском алфавите, 10 символов-цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в арабской системе счисления и т. д.),.
то в длинном сообщении каждый из символов алфавита может
встречаться много раз. Для оценки информационного содержания
сообщения, насчитывающего, допустим, всего п символов, очень
важное значение имеет выяснение следующего вопроса: сколько'
различных -последовательностей, содержащих по п символов, мо¬
жно составить при заданном алфавите, насчитывающем L различ¬
ных символов Su S2y ..., Sj, ..., Si?
При этом имеется в виду, что каждая из последовательностей
может различаться либо выбором символов из алфавита, либо раз¬
мещением этих символов.
Ответ на этот вопрос можно получить с помощью следующих
простых рассуждений.
При п— 1, т. е. когда каждое сообщение передается с помощью
одного символа, число возможных сообщений, очевидно, равно L.
Каждый из символов SJf в свою очередь, при добавлении его
поочередно ко всем символам алфавита дает L сообщений, состоя¬
щих из двух символов. Возможные сообщения, образуют при. эхом
следующую совокупность:
Всего различных сообщений, состоящих из двух символов, по¬
лучается ZA Продолжая это рассуждение далее, приходим к сле¬
дующему выражению для числа сообщений, состоящих из п сим¬
волов:
Следует особо отметить, что, называя каждую из последова¬
тельностей, содержащих п символов, сообщением, мы совершенно)
не интересуемся ценностью подобных сообщений. Вполне оче¬
видно, что очень большая часть из подобных «сообщений» может
быть, лишена какого-либо смысла. Пока речь идет только о числе*
возможных комбинаций «из L по п» лри условии, что допуска--
ются любые последовательности из символов Sj, образующих 1-ал ¬
фавит.
Если, однако, каждую из возможных последовательностей рас¬
сматривать как равновероятное сообщение, то нетрудно подсчи¬
тать количество содержащейся в нем информации. Для этого в со¬
ответствии с формулой (1.2) необходимо найти априорную вероят¬
ность того, что из Ln возможных последовательностей выбор падет
(1.5)
9
на одну вполне определенную последовательность. Эта вероят¬
ность, очевидно, равна
Pl=JK, (1-6)
и, следовательно, количество информации в одном сообщении
равно
In = — log2 -J7i = n log2 L дв. ед. (1.7)
Разделив 1п на число символов в сообщении /г, получим среднюю
информацию, приходящуюся на один символ:
I1=k = log,L двед- (1.8)
1 п ьг символ v 7
Из выражений (1.7) и (1.8) вытекают следующие важные свой¬
ства дискретных сообщений, составленных из равновероятных и
независимых символов: а) количество информации в сообщении
пропорционально полному числу символов п и логарифму числа
L и б) средняя информация на один символ зависит только от
числа L, т. е. от числа различных символов в алфавите.
Как уже отмечалось ранее, случай, когда вероятности отдель¬
ных символов алфавита одинаковы, является весьма абстракт¬
ным. В практике, как правило, приходится иметь дело с передачей
символов, имеющих различные априорные вероятности. Так, на¬
пример, при передаче результатов измерения длины у большого
числа экземпляров какого-либо изделия сообщения могут пред¬
ставлять собой длинную последовательность символов, каждый из
которых .представляет собой одну из 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 и 9). Так как предполагается, что отклонения размеров отдель¬
ных образцов изделия от номинала (между собой не связаны, то
отдельные символы можно считать независимыми. Наряду с этим
вероятности появления в сообщении различных символов неоди¬
наковы. Так, например, при номинальной длине 5 единиц наибо¬
лее вероятным символом будет 5, гораздо менее вероятным —
символы 4 и 6, а символы 3 и 7, 2 и 8 практически не будут встре¬
чаться в сообщении.
Итак, пусть в сообщении, состоящем всего из п символов, встре¬
чается пА символов SA, соответствующих событию Л, пв симво¬
лов SBi соответствующих событию Л, и так далее, причем сумма
всех символов равна п:
ПА + пв + • • • = п-
Прием одного символа SA дает информацию, равную [см. фор¬
мулу (1.2)] —log2 РА, где РА — вероятность события А. Полная
информация в пА взаимно независимых символах SA, очевидно,
равна пА(—log2PA). Аналогично, в пв символах о событии В со¬
держится информация пв(—log2 Рв), и т. д.
10
Отсюда следует, что полная информация в сообщении из п
символов равна
1п — — (пА log2 Ра + ^log2 Рв + • • •) дв. ед.
Разделив это выражение на п, найдем среднюю информацию, при¬
ходящуюся на один символ:
^ щ дв. ед
Л=-1> (1-9)
J
где суммирование производится по всем событиям А, В, ..., ко¬
торые могут встретиться.
ПА
Ясно, однако, что отношение есть не что иное, как априор-
о пв
ная , вероятность появления символа SA, отношение —— сим¬
вола SB и т. д.
Таким образом (это справедливо при достаточно большом
ч^исле я),
причем РА+РВ + ...=1? так как предполагается, что передавае¬
мое событие обязательно входит в совокупность событий А, В, ...
Подставляя Pj в выражение (1.9Х, получаем полную информа¬
цию в сообщении
/я = — я 2 Яу log2 Я, дв- е^' (1-10)
j
и информацию (среднюю) на один символ
Л = -2Р,1о&Ру-555-Г. О-1»
Определенная таким образом величина Г\ получила в теории
информации название энтропии.
В дальнейшем энтропия будет обозначаться буквой Я. Таким
образом,
Н= - У P. log2 Pj дв' ед - ■ (1.12)
dmi 1 Ь- J символ '
Суммирование производится по всем значениям (или состоя¬
ниям), которые с вероятностями Pi, Р% •••» Рт может принимать
случайная величина (или событие), причем считается, что
т
2a = i. <1-13)
J J
Как и в формуле (1.2), определяемый формулами (1.11) и (Ы2)
величины /| и Я не могут принимать отрицательных значений.
11
В теории вероятностей доказывается, что при заданном числе
возможных состояний энтропия максимальна при равномерном
распределении вероятностей, т. е. при
Р1 = Р2= ...=Рт = ±. (1.14)
Это свойство особенно наглядно проявляется при т = 2, т. е.
когда рассматриваемая случайная величина может принимать
лишь одно из двух возможных значений или, применительно к пе¬
редаче информации, когда воз¬
можно одно из двух событий-
В этом случае, очевидно,
Р1 + Р2 = \, Р2 = 1-Рг
и выражение (1.12) может быть
записано следующим образом:
Я=-Л log2 л — Ро log2 Р2 =
=-Pi\og2Pi—(l-Pi)\og2(l—P1).
График этой функции изображен
на рис. 1.1.
При Pi = 0 и Pi = 1 (,и соот¬
ветственно Рч = 1, Pi = 0) энтро¬
пия обращается в нуль, при Р\ =
= Р2 == ]/з энтропия достигает
максимального значения, равного
единице.
Этот результат имеет глубокий смысл. Обращение вероятно¬
стей одного из двух возможных состояний в нуль или единицу вно¬
сит полную определенность, и сообщение о подобном событии не
содержит в себе никакой информации. При Pi = Ps?=72 исход испы¬
тания (или выбор одного из двух событий) является наиболее не¬
определенным и, следовательно, информация, которая может быть
извлечена из сообщения о событии, является максимальной.
В данном примере (при двух возможных исходах) максимальное
значение энтропии равно одной двоичной единице.
Из приведенного частного случая (т = 2) видно значение эн¬
тропии как меры неопределенности случайной величины (или со¬
бытия).
Из общего выражения (1.12) видно, что энтропия Н может
равняться нулю только в том единственном случае, когда одна из
вероятностей Рь Р2, ..., Рт равна единице (а следовательно,
остальные вероятности равны нулю). Но это как раз тот случай,,
когда отсутствует какая-либо неопределенность, так как достоверно-
известно, какое событие должно осуществиться. Ясно, что в сооб¬
щении о подобном событии информация равна нулю.
Другим фактором, снижающим энтропию, помимо неравных:
вероятностей, является наличие связей (корреляции) между от-
12
Рис. 1.1
дельными -символами в сложном сообщении. Если, например, при
передаче письменного сообщения имеется большая вероятность,
что вслед за какой-либо буквой следует вполне определенная дру¬
гая буква алфавита, то прирост информаций при передаче этой
буквы весьма мал или равен нулю (при 100% вероятности).
Таким образом, формула (1.8), полученная при допущении о
полной независимости (и равной вероятности) отдельных элемен¬
тов сообщения, определяет максимально возможное количество,
информации в сообщении заданной длины (состоящем из задан¬
ного числа символов).
КЗ. КАНАЛ СВЯЗИ. КОДИРОВАНИЕ
В предыдущем параграфе мы часто применяли термин канал
связи. С точки зрения общей теории информации под каналом
связи подразумевается система* в которой должным образом зако¬
дированная последовательность символов (сигналов) передается
с определенной скоростью от источника информации к ее потре¬
бителю.
За редкими исключениями (как, например, пересылка письмен¬
ного сообщения по почте) сообщение не может передаваться само
по себе. Для передачи сообщения используется сигнал —неко¬
торый физический процесс, несущий в себе информацию и пригод¬
ный для передачи на расстояние. В радиотехнике используются
электрические сигналы — ток, напряжение, электромагнитные ко¬
лебания (радиоволны).
Основное требование к сигналу — возможность принимать со¬
стояния , соответствующие совокупности сообщений, точнее, тем
состояниям объекта или процесса, информация о котором пере¬
дается. Это соответствие должно быть однозначным (изоморф¬
ным), так как только в этом случае после 'приема сигнала можно
восстановить первоначальное сообщение без потери информации.
Преобразование сообщения в сигнал называется кодирова¬
нием.
Способов кодирования может быть бесконечно много, важно
лишь, чтобы любой способ обеспечивал однозначное соответствие.
Но отсюда следует, что сигнал, каков бы он ни был, всегда связан,
во-первых, с состоянием объекта или .процесса, информация о ко¬
тором «запечатлена» в сигнале, а во-вторых, со способом кодиро¬
вания, принятым в данной системе связи.
Второе условие и дает возможность извлечь на приемном конце
линии связи информацию, произведя обратное преобразование —
декодирование.
В предыдущем параграфе был выяснен вопрос о тому как оце¬
нивать количество информации, содержащееся в сообщении опре¬
деленной «длины». Теперь возникает вопрос о томг как передавать
информацию «наилучшим образом. Очень важно, чтобы канал экс¬
плуатировался возможно более эффективно, т. е. чтобы в единицу
13
времени по нему передавалось возможно большее количество ин¬
формации. Ясно, однако, что скорость передачи информации по
данному каналу не может быть взята произвольной.
Одно из фундаментальных положений теории информации за¬
ключается в том, что для каждого канала существует определен-
^ дв. ед
ная величина С—^7—, носящая название пропускной спо¬
собности канала, которая не может быть превзойдена. Для
"определения С можно воспользоваться найденным в предыдущем
параграфе максимальным количеством информации, содержа¬
щимся в сообщении заданной длины, если включить в рассмотрение
длительность передачи этого сообщения.
В общем виде (при использовании символов неодинаковой дли¬
тельности эта задача требует специального рассмотрения, которое
проводится в курсе «Теория передачи информации». Для выявле¬
ния принципиальной стороны .вопроса задачу можно сильно упро¬
стить, положив, что все символы имеют одинаковую длительность,
которую обозначим через to.
Тогда в соответствии с формулой (1.8) предельная скорость
передачи информации равна просто
c=W=LogZ^ (1 15)
t0 t0 ь“ сек v 7
Естественно, что пропускная способность канала тем больше,
чем короче символы (сигналы) и чем больше их число в алфа¬
вите. Но чем меньше длительность сигнала, тем шире его частот¬
ный спектр. Как будет видно из дальнейшего (гл. 2), «техниче¬
скую» ширину спектра сигнала в радиотехнике принято считать
равной величине, обратной длительности сигнала. Отсюда следует,
что пропускная способность С возрастает пропорционально полосе
частот, пропускаемых каналом связи.
Если фактическая скорость .передачи информации по каналу
равна его пропускной способности, “то источник сообщений полно¬
стью согласован с каналом.
В § 1.2 было указано, что количество информации в сообще¬
нии заданной длины тем меньше, чем сильнее корреляция между
отдельными элементами и чем больше их распределение отли¬
чается от равновероятного. Из этого следует, что для (полного со¬
гласования источника сообщений с каналом требуется выполнен
ние двух условий: 1) сообщения должны быть независимы; 2) со¬
общения должны быть равновероятными.
Если имеется неравная вероятность и зависимость между со¬
общениями, то появляется принципиальная возможность сократить
время передачи. Анализ существующих систем связи с точки зре¬
ния теории информации показывает, что в большинстве случаев
они используются недостаточно экономично. Источники сообще¬
ний, как правило, обладают избыточностью (т. е. имеется корре¬
ляция между последовательными символами). Имеются суще-
14
ственные резервы повышения эффективности систем связи, т. е.
сообщения можно передавать за меньшее время, чем они переда¬
ются, или за время, отведенное для передачи, 'можно передать
большее количество информации при существующих устройствах
или заданных технических параметрах канала. Это достигается
тем, что при сохранении информации, содержащейся в исходном
сообщении, последнее подвергается кодированию в направлении:
1) устранения избыточности (декорреляция);
2) перераспределения (в сторону выравнивания) вероятностей
символов путем надлежащего кодирования с целью максималь¬
ного увеличения энтропии (оптимальное кодирование).
Следует отметить, что тео¬
рия информации указывает в
данном случае лишь н*а то, что
нужно сделать, не указывая,
как это сделать. Поэтому
отыскание оптимального кода
превращается зачастую в
сложную самостоятельную за¬
дачу.
Следует также отметить,
что для реализации заданной
скорости (передачи информации требуется определенное превыше¬
ние уровня сигнала над уровнем помех. Поэтому второй важней¬
шей характеристикой канала связи помимо полосы частот яв¬
ляется присущий данному каналу уровень помех.
К этому вопросу мы вернемся несколько далее (§ 1.5).
До сих пор мы рассматривали только дискретные сооб¬
щения.
Возникает вопрос о том, как определить количество информа¬
ции и полосу пропускания канала для случая, когда объект или
процесс, информация о котором передается, может принимать не¬
прерывное множество состояний, т. е. когда сообщение и соответ¬
ствующий ему сигнал являются непрерывными функциями вре¬
мени.
Непосредственное приложение к такому сигналу рассуждений,
использованных выше для дискретных сообщений, явно не годится,
так как приводит к противоречащему здравому смыслу выводу,
что количество информации в непрерывном сигнале бесконечно ве¬
лико, даже если длительность сигнала конечна. Действительно,
пусть задан сигнал в виде функции s(t), действующей в интервале
времени длительностью Т. Разбив эту функцию на сколь угодно
короткие импульсы (рис. 1.2), можно попытаться трактовать со¬
общение длительности Т как совокупность сколь угодно большого
числа дискретных сигналов (импульсов), обладающих различными
уровнями. Приписывая уровню определенный смысл (в соответ¬
ствии с некоторым «алфавитом», в котором вместо букв использу¬
ются градации уровней) и устремляя длительность импульсов
15
Рис. 1.2.
к нулю, получим бесконечно большое число «символов» в сооб¬
щении конечной длительности.
Нетрудно выявить ошибочность подобного рассуждения.
Рассмотрим сначала простейший сигнал в виде гармонического
колебания с частотой F. Оказывается, что для воспроизведения та¬
кого сигнала достаточно передавать дискретную последователь¬
ность мгновенных значений в моменты времени, отделенные интер¬
валом, равным половине периода, т. е. ^р • Дальнейшее сокраще¬
ние интервалов не дает дополнительной информации о сигнале.
Из этого следует, что для воспроизведения непрерывного сигнала
s(t), обладающего спектро1м с наивысшей частотой Fm, достаточно
передавать дискретную последовательность мгновенных значений
s(t) в моменты времени, отделенные интервалом .
т
Бол^е подробное изложение этой важной для теории информа¬
ции «теоремы отсчетов» (теорема Котельникова) будет дано
в § 2.13.
Из этрй теоремы следует, что для передачи сообщения с дли¬
тельностью Т и со спектром Fm достаточно передать равноотстоя¬
щие «выборки» сигнала (отсчеты) общим числам, не превышаю¬
щим
л = -^- + 1 = 2/?т7’+1. (1.16)
2^Г
Далее, в реальных системах всегда присутствуют помехи
(шумы), накладывающиеся на передаваемые сигналы. Для разли¬
чения импульсов по их величине требуется тем большее изменение,
чем выше уровень шумов. Ясно, что бесполезно иметь шкалу уров¬
ней с градациями, меньшими, чем эффективное (среднеквадратич¬
ное) напряжение помехи. Отсюда следует, что при средней мощно¬
сти помехи Рп и мощности сигнала Р,с число различимых града-
Р I р
ций может быть принято близким к отношению L—-—п .
\ Рц
Итак, по своему информационному содержанию непрерывный
сигнал с длительностью Т и спектром Fm может быть приравнен
к дискретной последовательности п импульсов, каждый из кото¬
рых может принимать одно из L значений. По аналогии с рассмо¬
тренным в .предыдущем параграфе случаем дискретного сообщения
L можно рассматривать как число различных символов алфавита,
а п — как общее число символов в сообщении.
Следовательно, в соответствии с формулой (1.7) полная инфор¬
мация в непрерывном сообщении с длительностью Т равна
IT = ti\og2L = (2FmT + 1)log2 ]/РсpRPn , (1.17)
а предельная скорость передачи информации, т. е. пропускная спо¬
собность канала связи с заданным отношением мощности сигнала
16
Рс
к мощности помехи -р— и с заданной полосой пропускаемых ча-
стот Fm равна
При составлении этой формулы использовано то обстоятель¬
ство, что в реальных системах связи 2FmT^>\. Необходимо также
особо оговорить, что вое приведенные рассуждения справедливы
только при условии взаимной независимости (некоррелированно¬
сти) выборок сигнала, а также при некоторых ограничениях, на¬
ложенных н,а свойства шума.
Формула (1.18), устанавливающая .предельную скорость пере¬
дачи информации, является фундаментальным соотношением тео¬
рии информации и применима к любому виду связи — радио, про¬
водной связи, системе управления и т. д.
Из этого соотношения следует, что важнейшими характеристи¬
ками канала связи являются: а) ширина спектра сигнала, исполь¬
зуемого в данном канале и б) превышение мощности сигнала над
мощностью помех. В реальных условиях помехи могут отличаться
от чисто шумовых. Кроме того, не всегда помеха и сигнал адди¬
тивны (например, при использовании нелинейных устройств). По¬
этому выражение (1.18) чаще всего следует рассматривать лишь
как качественное соотношение. Это, однако, не умаляет его важ¬
ности.
1.4. ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ НА РАССТОЯНИЕ. ОСОБЕННОСТИ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН И ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАДИОТЕХНИКЕ
ЧАСТОТЫ
Назначение канала связи, как указывалось выше, состоит в пе¬
редаче сообщения о каком-либо событии на расстояние. Это рас¬
стояние определяется отдаленностью источника от потребителя ин¬
формации. Расстояние разделяет двух абонентов — корреспондента
и адресата, датчик команд и исполнительное устройство, исследуе¬
мый .процесс и измерительный механизм, источник космического
радиоизлучения и регистрирующий прибор радиотелескопа, раз¬
личные блоки электронной вычислительной машины, словом, источ¬
ник и потребителя информации.
Расстояние, на которое передается сигнал, может быть очень
незначительным, как в случае передачи команд в счетной машине
от одного блока к другому, или огромным, как при межконтинен¬
тальной или космической связи. Передача сообщений производится
посредством проводных, кабельных, волноводных линий или сво¬
бодного -пространства (воздушной среды, космического простран¬
ства). Естественно, что для передачи сигналов целесообразно ис¬
пользовать те физические процессы, которые имеют свойств®
2 Зак. 3/235 1 7
перемещаться, распространяться в пространстве. К числу таких про¬
цессов относятся применяемые в радиотехнике электромагнитные
колебания — радиоволны. При этом непременным требованием,
предъявляемым к любому физическому процессу, используемому
в качестве агента (посредника, переносчика) для передачи инфор¬
мации, является требование, чтобы этот процесс обладал свой¬
ством принимать всю совокупность значений или состояний, по
которым можно было бы однозначно установить соответствующее
значение или состояние объекта или процесса, являющегося источ¬
ником информации.
С этой целью радиоволны подвергаются так называемому про¬
цессу модуляции. Он заключается в том, что высокочастотное
колебание, способное распространяться на большие расстояния,
наделяется признаками, характеризующими полезное сообщение.
Таким образом, это колебание используется \ак переносчик сооб¬
щения, подлежащего передаче. Для этого один (или несколько)
параметров высокочастотного колебания изменяют по закону, сов¬
падающему с законом изменения передаваемого сообщения. В за¬
висимости от изменяемого параметра (амплитуды, частоты или
фазы колебания) различают три основных вида модуляции — ам¬
плитудную, частотную и фазовую К
Обратное преобразование электромагнитных колебаний в пер¬
воначальный сигнал, осуществляемое на приемной стороне, назы¬
вается демодуляцией или детектированием (соответ¬
ственно амплитудным, частотным или фазовым).
Модуляция, как правило, не оказывает влияния на способность
высокочастотных колебаний к распространению в пространстве.
Однако выбор длины волны высокочастотного колебания (или, как
говорят, несущей частоты'или рабочего диапазона) является весьма
существенным для обеспечения устойчивой и надежной связи.
На выбор того или иного диапазона волн, используемого в каж¬
дой конкретной системе связи, оказывают влияние следующие фак¬
торы:
1. Особенности распространения электромагнитных волн дан¬
ного диапазона и влияние времени года, суток, состояния атмо¬
сферы, солнечной радиации и ряда других обстоятельств.
2. Технические возможности — направленность излучения и
размеры антенной системы, возможность генерирования мощных
колебаний и управления ими (модуляции), построение схемы при¬
емного устройства и т. д.
3. Характер шумов и помех в данном диапазоне.
4. Характер сообщения или, как говорят, «ширина спектра»
модулирующих частот и желательный способ модуляции (ампли¬
тудной, частотной и т. д.).
1 Существуют также разнообразные методы импульсной модуляции, осно¬
ванные на изменении параметров импульсной последовательности. На них мы
остановимся в дальнейшем (гл. 3).
18
Практически для использования оказываются пригодными те
участки диапазона, в которых обеспечиваются благоприятные усло¬
вия распространения радиоволн и в приемлемой степени удовле¬
творяются остальные из перечисленных требований.
Характерной тенденцией современной радиотехники является
интенсивное изучение малоисследованных диапазонов волн и стрем¬
лений к расширению диапазона используемых частот как в сторону
освоения весьма низких, так и сверхвысоких частот, вплоть до ис¬
пользования световых волн. Последнее не должно казаться стран¬
ным, так как радиоволны и световые волны совпадают по природе
(электромагнитные волны); различие имеется лишь в длине волны.
Различным частотам оказываются присущи те или иные пре¬
имущества.
При распространении радиоволн в земной атмосфере имеют
место явления поглощения, преломления и отражения, дифракции
и интерференции волн. Все эти явления, присущие распростране¬
нию света, обладают в данном случае рядом особенностей, обус¬
ловленных длиной электромагнитных волн и структурой земной
атмосферы.
По современным воззрениям земная атмосфера 'представляет
собой хороший диэлектрик лишь в нижних слоях, непосредственно
прилегающих к поверхности земли. Под влиянием лучей солнца
и других излучений, приходящих из космического пространства,
воздух ионизируется и начинает приобретать свойства полупровод¬
ников. Наибольшая интенсивность ионизации имеет место в верх¬
них слоях атмосферы, образующих так называемую ионосферу.
Хотя распределение степени ионизации по высоте весьма нерав¬
номерно и имеет расплывчатый характер, изменяющийся в зави¬
симости от времени года, времени суток, географического положе¬
ния и так далее, можно все же выделить несколько слоев,
окружающих землю. В результате многочисленных исследований,
основанных на изучении условий радиосвязи на различных волнах
и применении специальных «ионосферных» радиостанций, удалось
выявить главные особенности распространения радиоволн различ¬
ной длины.
Длинные волны (X = 3000 м и более) обладают способностью
огибать земную поверхность и распространяются в виде «поверх¬
ностной волны».
Так как эта волна почти не подвержена влиянию верхних иони¬
зированных слоев атмосферы, то связь на длинных волнах харак¬
теризуется слабой зависимостью условий распространения от
суточных изменений солнечной деятельнности. Все же наблю¬
дается несколько большая дальность действия длинноволновых
станций зимой, нежели летом. На длинных волнах излучение ан¬
тенн является ненаправленным ввиду малости геометрических
размеров антенны по сравнению с длиной волны.
При укорочении волн картина распространения их в простран¬
стве, ограниченном земной поверхностью и ионизированными
2* 19
слоями, усложняется. Во-первых, с укорочением электромагнит¬
ные волны все более принимают форму направленных лучей, на¬
клоненных под некоторым углом к горизонту. Во-вторых, умень¬
шается их способность к дифракции. Поэтому наряду с поверхно¬
стной волной все большую роль начинает играть пространствен¬
ная волна, условия распространения которой в отличие от по¬
верхностной волны определяются, в основном, структурой ионо¬
сферы.
Встречаясь с ионизированными слоями, лучи преломляются* и
при некоторых условиях, зависящих от угла падения, плотности
ионизации и частоты, отражаются и опять попадают на землю на
волн. П|ри сложении волн в фазе получается усиление приема, при
сложении -в иротивофазе — осла)бление.
Так как условия преломления и отражения радиоволн в иони¬
зированных слоях испытывают, как уже отмечалось, непрерывные
изменения, то и расположение зон усиления и ослабления приема
не является постоянным. В приемнике, находящемся на достаточно
большом расстоянии от передатчика, получается нерегулярное из¬
менение силы' «приема вплоть до полного его прекращения (аами-
рание).
Так как плотность ионизации плавно изменяется по высоте, то
условия 'преломления также изменяются и луч, попадая в верхние
слои атмосферы, искривляется. Если луч принимает горизонталь¬
ное налравление на высоте, меньшей, чем высота слоя максималь¬
ной ионизации, то -происходит отражение и луч возвращается на
землю. В противном случае лучи уходят за ионосферу. Ясно, что
чем меньше угол, под которым излучается волна, тем благоприят¬
нее условия для отражения луча от ионосферы. С другой стороны,
при одной и той же степени ионизации условия для отражения
луча тем хуже, чем выше частота (т. е. чем короче волна).
Наконец, необходимо учитывать, что с повышением частоты
поглощение энергии волны в ионосфере падает. На коротких и
ультракоротких волнах (^<^50 м) поглощение почти незаметно.
В результате при достаточно коротких волнах основное значение
приобретает пространственная волна. Наконец, при волнах, на¬
столько коротких (Я = 8-*-9 м), что отражение от ионосферы не¬
Рис. 1.3
значительном расстоянии
от антенны передатчика,
где снова отражаются, и
так далее (рис. 1.3).
За счет взаимодействия
волн, пришедших в точку
лриема различными путя¬
ми (наложение простран¬
ственных, а также про¬
странственных и поверх¬
ностной волн) возникает
явление интерференции
20
возможно, радиосвязь осуществляется только в пределах прямой
видимости.
Особенности распространения световых волн определяются тем
обстоятельством, что длина их составляет доли микрона. Поэтому
препятствия, соизмеримые с длиной волны (пылинки, гидроме¬
теоры— туман, облака, капли дождя), вызывают интенсивное рас¬
сеяние световых лучей, а также их поглощение и отражение.
Учитывая эти особенности распространения, можно перечне*
лить области применения радиоволн различных диапазонов. Под¬
разделение радиоволн на диапазоны, вошедшее в практику, дано
в следующей таблице.
Диапазон волн
Волна
Частота
Сверхдлинные
10 000 м и более
Ниже 30 кгц
Длинные волны
10 000—3000 м
30—100 кгц
Средние волны
3 000—200 м
100—1 500 кгц
Промежуточные волны
200—50 м
1 500—6 000 кгц
Короткие волны
50—10 м
6—30 Мгц
Метровые \ Ультра-
10-1 м
30—300 Мгц
Дециметровые > короткие
1—0,1 м
300—3 000 Мгц
Сантиметровые J волны
10 см—1 см
3000—30 000 Мгц
Миллиметровые
1 см—1 мм
30 000—300 000 Мгц
Субмиллиметровые
1 мм—ОД мм
300 000—3 000 000 Мгц
Инфракрасные и световые . . .
Менее ОД мм
Выше 3 000000 Мгц
Сверхдлинные и длинные волны, применявшиеся на первом
этапе развития радиотехники для радиотелеграфной связи, имеют
два крупных недостатка:
— необходимость больших мощностей ввиду сильного погло¬
щения -поверхностной волны;
— непригодность для передачи сложных (широкополосных)
сигналов.
Средние волны получили широкое применение для радиове¬
щания. Основным преимуществом волн длиннее 1000 м является
устойчивость силы приема, недостатком — трудность обеспечения
дальности действия ввиду значительного поглощения поверхност¬
ной волны. Поэтому на средних волнах осуществляется преимуще¬
ственно местное радиовещание, рассчитанное на зонь][ с радиусом
в несколько сотен километров. Лишь небольшое число сверхмощ¬
ных радиостанций обслуживает большие районы. В СССР, обла¬
дающем огромной территорией, существует наибольшее число
мощных и сверхмощных радиовещательных станций средневолно¬
вого диапазона.
Накопление большого экспериментального материала по усло¬
виям распространения коротких волн позволило установить опти¬
мальные длины волн для различных часов суток и времен года,
обеспечивающие благоприятные условия распространения. Глав¬
21
ные достоинства вещания на коротких волнах — возможность по¬
лучения очень большой дальности действия при относительно
малой мрщности передатчика и возможность осуществления на¬
правленного излучения. Основным недостатком коротковолно¬
вого вещания являются колебания силы приема (замирания),
часто сопровождающиеся сильными искажениями передачи, при
сложной структуре сигнала, состоящего из большого числа состав¬
ляющих с различными частотами. Условия интерференции, зави¬
сящие от частоты, могут оказаться неодинаковыми для различных
составляющих спектра сигнала. Это явление, называемое избира¬
тельным (или селективным) замиранием, приводит к временным
выпадениям из спектра сигнала отдельных составляющих или,
наоборот, к усилению амплитуд этих составляющих. Таким обра¬
зом, в точке приема нарушается правильное соотношение между
отдельными компонентами сигнала, в результате чего искажается
тембр и чистота передачи. Так как явление избирательного за¬
мирания проявляется тем сильнее, чем шире спектр сигнала, то
осуществлять на коротких - волнах передачи таких сложных
сигналов, как,ч нап(ример, телевизионных, ‘практически невоз¬
можно.
Наряду с радиовещанием короткие волны, исключительно ши¬
роко применяются в настоящее время для радиотелеграфии на
магистральных линиях связи. Телеграфный обмен на линиях
Москва—Хабаровск, Москва—Ташкент и других внутренних и
международных линиях большой протяженности осуществляется
исключительно в коротковолновом диапазоне. Короткие волны
применяются также для морской и авиационной радионавигации.
Появление таких отраслей радиотехники, как телевидение и
радиолокация, оказалось возможным благодаря освоению ультра¬
коротковолновых диапазонов. Здесь имеет место удачное сочета¬
ние двух факторов. Применение очень высокой частоты излучения
позволяет соответственно расширить и полосу частот передавае¬
мого сообщения, так как условия передачи и усиления сигналов
в радиоаппаратуре определяются, в основном, относительной ши¬
риной спектра сигнала. Особенности же распространения УКВ
(в пределах прямой видимости) .почти полностью исключают
искажения сигнала из-за интерференции волн, распространяю¬
щихся по разным путям.
То обстоятельство, что на УКВ регулярный прием возможен
только в пределах прямой видимости, является, конечно, суще¬
ственным ограничением. Для увеличения дальности связи на УКВ
обычно применяют высоко поднятые антенны. Последние десяти¬
летия характеризуются развитием так называемых радиорелей¬
ных линий, представляющих собой цепочку, приемо-передающих
УКВ радиостанций, расположенных вдоль линии связи через не¬
сколько десятков километров. Подобные линии позволяют осуще¬
ствлять многоканальную связь, а также обмен телевизионньими
программами между пунктами, удаленными на весьма значитель-
22
ное расстояние. Миллиметровые и более короткие волны в настоя¬
щее время находятся еще в стадии освоения.
Из приведенного выше краткого обзора видно, что развитие
радиотехники характеризуется непрерывным расширением исполь¬
зуемых волновых диапазонов.
Из курса физики известно, что эффективное излучение электро¬
магнитной энергии может быть осуществлено лишь при условии,
что геометрические размеры излучающей системы соизмеримы
с длиной волны. В связи с этим излучение сверхдлинных волн за¬
труднено из-за отсутствия пригодных для практического .приме¬
нения антенных систем^ которые должны иметь в этом случае
громадные размеры. Напротив, использование световых волн по¬
зволяет получить малогабаритные излучатели с чрезвычайно
высокой направленностью и с огромной концентрацией энергии
в луче, так что, налример, луч, посланный с Земли, образует на
поверхности Луны пятно диаметром всего лишь в несколько со¬
тен метров. Однако применение световых волн для передачи сооб¬
щений связано с трудностями модуляции, приема и т. д. Таким
образом, при выборе рабочего диапазона следует учитывать мно¬
гие факторы и зачастую принимать комлромиссные решения.
Вместе с тем намечается ряд перспективных направлений, ко¬
торые во <мнЪгих случаях, по видимому, позволят избежать недо¬
статков, связанных с особенностями распространения волн на
уже освоенных диапазонах. К числу этих направлений следует
отнести попытки использования метеорных следов (отражение от
участков с повышенной ионизацией, образующихся при вхождении
метеоров в верхние слои атмосферы), использование поверхности
Луны в качестве лассивного отражателя радиоволн, ретрансляция
сигналов с помощью искусственных спутников Земли, создание
специальных ионизированных облаков и т. д. Можно предпола¬
гать, что подобные методы приведут к возможности осуществле¬
ния связи, сочетающей в себе достоинства, присущие различным
диапазонам.
1.5. КАНАЛ С ШУМАМИ. ПРОБЛЕМА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ
Помехи возникают во всех элементах ка(нала связи: как в среде,
используемой для передачи сигнала от передатчика к приемнику,
так и в технических устройствах, выполняющих необходимые пре¬
образования сигнала. В первом случае помехи называются внеш¬
ними, во втором — внутренними.
Внешние помехи образуются за счет различного рода атмо¬
сферных явлений (молниевые разряды, электризация частиц
за счет трения их друг о друга .и об антенну и т. j^.) и шумов
космического происхождения (радиоизлучение солнца и звезд)
или являются индустриальными — искрение в токосъемных меха¬
низмах, при электросварке, при включении и выключении агрега¬
тов и сетей, при работе систем зажигания в двигателях внутрен¬
23
него сгбрания и т. д. Помехи радиоприему создает работа меди¬
цинского оборудования — рентгеновских установок, физиотерапев¬
тических устройств. Помехи образуются .сигналами от радио-
устройств, работающих на близких частотах. Помехи могут быть
также умышленными, создаваемыми средствами радиопротиво¬
действия противника.
Внутренние (или собственные) шумы, обязанные
своим возникновением дискретной природе заряженных частиц,
образуются из-за теплового движения этих частиц в элементах
электрических цепей, из-за дробового эффекта в электронных при¬
борах и ряда других явлений, имеющих место «при работе радио¬
технических устройств. Особенно сильно действие внутренних шу¬
мов проявляется при большом усилении сигнала, как это имеет
место при приеме слабых сигналов. Одновременно с .полезным
сигналом усиливаются и шумы, которые могут по интенсивности
оказаться соизмеримыми с сигналом, в результате чего последний
окажется частично или полностью замаскированным.
Для ослабления мешающего действия помех целесообразно
в тех случаях, когда это возможно, воздействовать на источники
помех с целью устранения причин возникновения помех или ос¬
лабления их интенсивности.
Для этого (применительно к источникам индустриальных по¬
мех) следует улучшать состояние контактов, использовать экра¬
нирование, включение искрогасящих устройств, специальных
фильтров и т. д. Устранение помех от радиоустройств достигается
рациональным размещениехм (распределением) частот, регламен¬
тируемым специальными международными соглашениями, улуч¬
шением качества передачи путем уменьшения нежелательного
(паразитного) излучения, увеличением стабильности несущей ча¬
стоты, применениам направленных антенн и т. д. Все это позво¬
ляет в какой-то мере разрешить проблему «тесноты в эфире».
Следует также по возможности выбирать диапазон, в котором
шумы минимальны.
Принципиально наиболее сложной является задача ослабления
собственных шумов, но и здесь можно достичь существенного
уменьшения их интенсивности путем .применения усилительных
устройств, работающих в режиме глубокого (например, до тем¬
пературы жидкого гелия) охлаждения, в результате чего сни¬
жается интенсивность теплового движения частиц.
Тем не менее, несмотря на все эти меры, полностью избавиться
от помех невозможно. Всегда остаются собственные шумы той или
иной интенсивности, шумы Галактики и других источников косми¬
ческого радиоизлучения, атмосферные помехи и т. п. Поэтому
центральной,, проблемой радиотехники была и остается проблема
' помехоустойчивой связи.
Опасность искажений сигнала за счет помех обусловлена тем,
что в силу случайного характера помех однозначное соответствие
принятого сигнала и посланного сообщения нарушается и стано-
24
вится лишь более или менее вероятным. Возникают ошибки нрw
приеме — возможность -замены одного сообщения (того, которое^
в действительности передано) другим возможным, которое в этом'
случае будет доставлять ложную информацию.
Таким образом, у получателя сообщений теперь уже отсут¬
ствует полная уверенность в достоверности принятого сообщения,,
прием становится ненадежным. Предпринимать какие-либо дей¬
ствия на основе такого сообщения становится рискованным.
Возникает проблема надежности (проблема помехоустойчиво¬
сти): система связи должна быть спроектирована так, чтобы она*
обладала способностью наилучшим образом противостоять ме¬
шающему действию помех.
Как было показано в § 1.3, предельная скорость передачи ин¬
формации ,по каналу с шумами тем выше, чем больше уровень
сигнала относительно помех.
При выводе формулы (1.18) было указано, что скорость пере¬
дачи максимальна в случае, когда сигнал обладает максимальной
энтропией, т. е. приближается по своим свойствам к шуму. С дру¬
гой стороны, наиболее опасными являются помехи, обладающие*
максимальной энтропией. Если зафиксировать среднюю мощность
помехи, то максимальной энтропией обладает помеха с равномер¬
ным частотным спектром ,и гауссовым распределением мгновен¬
ных значений («белый гауссов шум»). Именно такого рода по¬
меха образуется за счет электронных флюктуаций в аппаратуре,,
и этот тип помех будет преимущественно рассматриваться в даль¬
нейшем.
В теории информации доказывается, что при фиксированной
Г Рс
полосе частот гт и заданном отношении-5- по каналу связи,
* п
можно передавать информацию со сколь угодно малой (ненадеж¬
ностью и при этом скоррсть передачи будет близка к пропускной
способности канала (если, разумеется, прйменять надлежащий
код). Этот вывод очень важен, так как он опровергает казавшееся
ранее естественным представление о том, что уменьшение нена¬
дежности может быть достигнуто (при тех же условиях) только^
за счет уменьшения скорости передачи.
Из формулы (1.18) также видно, что можно производить «об¬
мен» величины мощности сигнала на ширину полосы частот,„
оставляя при этом скорость передачи неизменной. Можно также*
сказать, что канал связи характеризуется тремя показателями —
г Рс
ширинои полосы частот гт, отношением -р- и временем пере-
* п
дачи Т.
Соответственно этому и сигнал можно характеризовать
«объемом», который равен произведению
(1.19)
25
Любые преобразования сигнала не приводят к потере инфор¬
мации, если объем сигнала сохраняется неизменным. Этим свой¬
ством широко пользуются в радиотехнике и радиоэлектронике,
а также в технике проводной связи. Так, например, в импульсной
радиолокации сигналы, отраженные от цели, «накапливаются»
в течение определенного промежутка времени (ограниченного
временем пребывания цели в луче антенны и скоростью движения
цели), что позволяет снизить мощность сигнала, необходимую для
получения заданной дальности действия радиолокатора. Особенно
эффективен подобный способ в радиоастрономии, где увеличение
длительности наблюдения Т позволяет в очень сильной степени
скомпенсировать, недостаточно большую величину отношения
Проблема помехоустойчивости радиосвязи включает в себя
большое число других проблем, охватывающих все разделы радио¬
техники: генерирование мощных колебаний, освоение и выбор
роли, обеспечивающих благоприятные условия распространения,
использование антенн направленного действия, поиски новых ви¬
дов радиосигналов и новых способов их обработки на фоне помех
м др.
1.6. ОСНОВНЫЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Из предыдущего видно, сколь разнообразным преобразованиям
подвергается сигнал в процессе передачи по каналу связи. Неко¬
торые из этих процессов являются обязательными для большин¬
ства радиотехнических систем связи независимо от их назначения,
Рис. 1.4
а также от характера передаваемых сообщений. Перечислим эти
фундаментальные процессы и попутно отметим их основные черты,
придерживаясь обобщенной схемы радиотехнического канала,
представленной на рис. 1.4.
Преобразование исходного сообщения в электрический сигнал
и кодирование. При передаче речи и музыки такое преобразова¬
ние осуществляется с помощью микрофона, при передаче изобра¬
жений (телевидение) — с помощью передающих трубок (иконо¬
26
скопа, суперортикона). В случае передачи письменного сообщения
(радиотелеграфия) сначала производится кодирование, заключаю¬
щееся в том, что каждая буква текста заменяется комбинацией
стандартных символов (например, точек, тире и пауз в коде
Морзе), которые затем преобразуются в стандартные электриче¬
ские сигналы (например импульсы разной длительности или раз¬
ной полярности).
Следует отметить, что схема рис. 1.4 соответствует случаю,
когда информация вводится «в начало» канала связи, т. е. не¬
посредственно в передатчике. Несколько иначе обстоит дело,
например, в радиолокационном канале, где информация о цели
(дальность, высота, скорость и т. д.) вводится при отражении из¬
лученного антенной передатчика сигнала от цели в свободном
пространстве.
Генерация высокочастотных колебаний. Высокочастотный ге¬
нератор является источником колебаний несущей частоты. В за¬
висимости от назначения радиоканала связи (мощность колебаний
изменяется в пределах от милливатт до миллионов ватт. Есте¬
ственно, что конструктивные формы и размеры генераторов
весьма различны — от простейшего малогабаритного элемента до
грандиозного технического сооружения.
Основными характеристиками высокочастотного генератора яв¬
ляются частота и диапазонность (т. е. возможность быстрой пере¬
стройки с одной рабочей частоты на другую), мощность и от¬
дача (коэффициент полезного действия). Особенно важное значе¬
ние имеет стабильность частоты колебаний.
В этом отношении радиотехника находится в исключительном
положении. Условия распространения радиоволн и широкий
спектр частот сигналов диктуют применение очень высоких несу¬
щих частот. Условия же обработки сигналов на фоне помех и
необходимость ослабления взаимных помех между различными
радиоканалами заставляют добиваться максимально возможного
снижения абсолютных изменений частоты. Это приводит к требо¬
ванию, чтобы относительные изменения частоты не, превышали
10“4—10“®.
Управление колебаниями (модуляция). Продесс модуляции
заключается в изменении одного или нескольких параметров вы¬
сокочастотного колебания по закону передаваемого сообщения.
Частоты модулирующего сигнала, как правило, малы по сравне¬
нию с несущей частотой генератора. Для осуществления модуля¬
ции используются различные приемы, Обычно основанные на из¬
менении потенциалов электродов электронных приборов, входящих
в схему радиопередающего устройства.
Основная характеристика процесса модуляции — степень соот¬
ветствия между изменением параметра высокочастотного колеба¬
ния и модулирующим сигналом.
Усиление слабых сигналов в приемнике. Антенна приемника
улавливает ничтожную долю энергии, излучаемой антенной пере¬
27
датчика. В зависимости от расстояния между передающей »
приемной станциями, от степени направленности излучения антен»
и условий распространения радиоволн мощность на входе прием¬
ника измеряется величинами порядка 10"10—10-14 вт. На выходе
приемника для надежной регистрации сигнала требуется мощ¬
ность «порядка единиц ватт и более. Отсюда видно, что усиление
в приемнике должно достигать 10ю—1014 по мощности или 103—
107 по напряжению.
В современных приемниках уверенная регистрация сигнала
обеспечивается при напряжениях на входе .порядка микровольта.
Осуществление столь сложной задачи оказывается возможным
благодаря достижениям современной электроники. Большую роль
•играют также специальные -методы построения схем приемников,
обеспечивающие большое усиление при сохранении устойчиво¬
сти работы приемника. К таким методам относится преобразо¬
вание (понижение) * частоты колебания в тракте приемника*
осуществляемое так, что сохраняется структура передаваемого*
сигнала.
Процесс преобразования частоты помимо приемной техники
широко применяется в различных радиотехнических и радиоизме-
рительных устройствах.
Проблема усиления в приемнике не отделима от проблемы вы¬
деления сигнала на фоне помех.
Одним из основных показателей приемника является поэтому
избирательность, под которой подразумевается способность при-
емника выделять полезные сигналы из совокупности посторонних
воздействий (помех), отличающихся по частоте от сигнала.
Частотная избирательность осуществляется с помощью резо¬
нансных колебательных систем.
Выделение сигнала из высокочастотного колебания (детекти¬
рование), Детектирование является процессом, обратным по от¬
ношению к модуляции. В результате детектирования должно быть
восстановлено электрическое напряжение (ток)у изменяющееся во
времени по закону передаваемого сигнала, т. е. по закону, по
которому изменяется один из параметров (амплитуда, частота
или фаза) модулированного колебания, действующего на входе
детектора. Как и при модуляции, различают три вида детектиро¬
вания: амплитудное, частотное и фазовое. Детектор, как правило,
включается на выходе приемника и, следовательно, к нему под¬
водится модулированное колебание, уже усиленное предыдущими
ступенями приемника. Поэтому перед детектором не ставится за¬
дача усиления сигналов. Основное требование к детектору — это
по возможности точное воспроизведение формы сигнала.
Помимо перечисленных процессов, так или иначе связанных
с преобразованием частотных спектров, в радиотехнических
устройствах широчайшее применение находит процесс усиления
колебаний без трансформации частоты, осуществляемый в раз¬
личных усилителях.
28
К таким усилителям относятся:
— «.низкочастотные» усилители управляющих сигналов, ис¬
пользуемые для усиления сигналов перед подачей их на модулятор
передатчика, а также на выходе приемника (после детектирова¬
ния) перед подачей на регистрирующее устройство;
— усилители коротких импульсов, применяемые в телевизион¬
ной и радиолокационной технике, а также <в импульсных системах
радиосвязи;
— высокочастотные усилители больших амплитуд, применяе¬
мые в радиопередающих устройствах;
— высокочастотные усилители малых амплитуд, применяемые
в радиоприемных устройствах и измерительных схемах.
Помимо перечисленных процессов, присущих, как уже отмеча¬
лось, любой радиотехнической линии, в ряде специальных случаев
широко применяются многие другие процессы: умножение и деле¬
ние частоты, генерация коротких импульсов, различные вилы
импульсной модуляции и др.
Некоторые, наиболее существенные, из перечисленных про¬
цессов рассматриваются в соответствующих главах данной книги.
О назначении оптимального фильтра (рис. 1.4) будет сказано
в следующем параграфе.
1.7. ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА РАДИОТЕХНИЧЕСКОГО КАНАЛА
Развитие радиотехники характеризуется непрерывными по¬
исками новых сигналов и новых методов обработки их в .прием¬
нике с целью повышения помехоустойчивости радиосвязи. Упомя¬
нутая в предыдущем параграфе частотная избирательность, яв¬
ляющаяся основным способом выделения сигналов на фоне помех,
дополняется некоторыми другими способами, основанными на ис¬
пользовании иных (кроме несущей частоты) признаков сигнала
(например, формы сигнала).
Усложнение структуры радиосигнала применением частотной
или фазовой модуляции или совместной амплитудно-частотной
модуляцией и так далее, при соответствующем построении прием¬
ника, в некоторых случаях позволяет получить существенный
вьшпрыш в помехоустойчивости радиосвязи.
Особенно большой толчок в развитии помехоустойчивых систем
связан с созданием и развитием теории информации, открывшей
путь к синтезу радиоканала, обеспечивающего максимально воз¬
можную (при заданных основных характеристиках, т. е.-полосе
частот и скорость передачи информации.
Общие рекомендации по этой проблеме были изложены
в § 1.5. Однако во многих практически важных задачах осуще¬
ствление этих рекомендаций оказывается либо невозможным, либо
нежелательным по ряду технических соображений.
29
Чаще всего задачу целесообразно формулировать следующим
образом: на .основании наблюдения (приема) смеси, образован¬
ной сигналом и шумом, выделить оптимальным образом полезное
сообщение. Таким образом, здесь речь идет о проектировании
устройства, обеспечивающего наилучший прием (в смысле извле¬
чения полезного сообщения), причем способ передачи (вид моду¬
ляции, код, значение несущей и т. -п.) является заданным.
Это направление радиотехники, тесно связанное с теорией ин¬
формации, получшщ название теории оптимальных методов ра-
диоприема или теории обнаружения и выделения сигналов на
фоне помех.
В зависимости от того, что именно является полезным сооб¬
щением, при таком подходе можно рассматривать, например, сле¬
дующие проблемы:
1. Обнаружение сигнала, когда требуется только дать
ответ, имеется ли полезный сигнал в принятом колебании или
оно образовано одним шумом.
2. Оценка параметров, когда требуется с наибольшей
точностью (в смысле среднеквадратичной ошибки) определить
значение одного или нескольких параметров полезного сигнала,
таких, как амплитуда, частота и т. п. (разумеется, это можно сде¬
лать лишь после того, как произведено обнаружение сигнала, т. е.
его наличие на входе приемника с достаточной уверенностью за¬
фиксировано) .
3. Разрешение (или различение) сигналов,
когда возможно наличие на входе нескольких сигналов (относи¬
тельно каждого из которых имеются некоторые априорные све¬
дения) и нужно указать, какие именно сигналы присутствуют.
4. Воспроизведение формы сигнала, искаженной
действием шумов, в ее первоначальном виде.
5. |П р е дс к а з а н и е (экстраполяция) сигнала, когда
нужно, располагая «историей» сигнала, предсказать его наибо¬
лее вероятные значения в будущем.
Задачи обнаружения, оценки параметров, раз!решения -возни¬
кают, например, в радиолокации, измерениях, радиоастрономии.
Задачи воспроизведения и предсказания характерны для автома¬
тического управления.
Целью теории является получение математического выражения
(алгоритма), описывающего преобразования входного воздействия,
такие, чтобы выделение полезного сообщения осуществлялось
наилучшим образом. Нахождение такого алгоритма решает (по
крайней мере принципиально) задачу синтеза оптимального при¬
емного устройства. Дальнейшим техническим аспектом проблемы
является реализация схемы и конструкции устройства, достаточно
точно осуществляющего преобразования, соответствующие этому
алгоритму. Таким образом, оптимальный приемник является по
существу ничем иным, как электронной счетной машиной, осуще¬
ствляющей заданный закон преобразования входных воздействий.
30
Выходным эффектом такого приемника является то или иное со¬
общение в зависимости от назначения .приемника: ответ типа «да»
или «нет» — для случая обнаружения; значение параметра (или
параметров); ответы типа «да—нет» по каждому из сигналов*
которые могут .присутствовать во входном воздействии (<при раз-
решении); форма сигнала или его вероятнейшие значения в бу¬
дущем и т. д. Из-за наличия шума полезное сообщение всегда
будет .искаженно, однако «оптимальность» приемника понимается
в том смысле, что эти искажения минимальны.
Методы отыскания алгоритмов для перечисленных выше за¬
дач радиоприема излагаются в специальных курсах.
С точки зрения теории радиотехнических сигналов и цепей
большой интерес представляет так называемая оптимальная
фильтрация сигналов на фояе «белого шума». Оптимальный
фильтр, включаемый в .приемник, представляет собой линейную
цепь, функция передачи которой «сопряжена» с сигналом таким
образом, чтобы обеспечивалось .получение максимального отноше¬
ния пикового значения сигнала к шуму на выходе фильтра. Син¬
тез подобных фильтров рассматривается в гл. 18.
1.8. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА
Перечисленные в предыдущих параграфах радиотехнические
процессы и преобразования осуществляются с помощью сочетания
большого числа линейных и нелинейных элементов и
устройств. 'Линейные системы, в свою очередь, подразделяются на
системы с постоянными и системы с переменными параметрами.
Следует-иметь в виду, что подобное деление устройства является
условным, так как поведение этих устройств в сильной степени
зависит от величины сигналов, воздействующих на них. Тем не
менее такое деление оказывается вполне оправданным и удобным
для анализа и изучения работы основных радиотехнических
элементов.
Обратимся к рассмотрению основных свойств линейных и не¬
линейных систем.
Можно дать следующее общее определение: система ли¬
нейна, если ее 'поведение описывается линей-
ны'ми.-интегро-дифференциальцыми уравнениями.
В противном случае, т. е. если для описания пове¬
дения системы требуется применение нелиней¬
ных уравнений, то система нелинейна.
Для раскрытия физического содержания приведенных мате¬
матических формулировок рассмотрим сначала свойства линей¬
ных систем. С этой целью обратимся к цепи, состоящей из трех
элементов: индуктивности L, емкости С и сопротивления г, и до¬
пустим, что последовательно в контур включена электродвижущая
сила произвольной формы e{t).
31
Для тока в контуре i(t) можно написать следующее интегро-
^дифференциальное уравнение:
Так как дифференцирование и интегрирование являются ли¬
нейными операциями, можно утверждать, что uL и uq линейно
связаны с током i при любом законе изменения последнего^ во
времени. Относительно иг это утверждение еще более ^очевидно.
Если, сохраняя закон изменения тока во времени, увеличить ток
в п раз, то во столько же раз увеличатся и ип uL и *гС-
В частности, при изменении тока по закону
Изменение амплитуды тока / в п раз дает такое же изменение •
амплитуды напряжения на элементах г, L и С.
Это свойство линейных элементов можно толковать как ре¬
зультат линейности их вольтамоерных характеристик. Для эле¬
мента г вольтамперная характеристика представлена на рис. 1.5,
на котором по осям координат .можно откладывать как мгновен¬
ные, так и амплитудные значения иг и /, а для элементов L и С —
рис. 1.6, где по осям отложены соответственно амплитуды UL,
I или Uc, /.
Заметим, что частотные зависимости вольтамперньими харак¬
теристиками не учитываются. Здесь важна только связь между
амплитудами рассматриваемых величин UL, Uc и /. В случае
32
(1.20)
Это уравнение является линейным, если коэффициенты L,
г и -^-не зависят от величины тока i или, что то же са-
и
мое, от величины внешней силы e{t).
При выполнении этого условия напряжения на каждом из
элементов контура линейно связаны с величиной тока i. Действи¬
тельно, обозначая эти напряжения соответственно через ип uL и
ис, можем написать
(1.21)
получим
(1.22)
же элемента г функции ur(t) и /(/), как известно, могут отли¬
чаться только постоянным коэффициентом г.
Угловой коэффициент вольтамперных характеристик в случае
гармонического изменения тока во времени равен:
Ur
— для сопротивления tga = y—г\
UL
— для индуктивности tg a = -у = o)L;
Uc 1
— для емкости \ga = -±- = —.
Другим важным свойством линейных систем, также вытекаю¬
щим из линейности дифференциального уравнения, описывающего
поведение (ток, напряжение) системы, является справедли¬
вость принципа независимости или наложения
(суперпозиции).
Суть этого принципа может быть сформулирована следующим
обр^ом: .при действии на линейную систему не-
сколькдх внешних сил поведение системы (ток,
напряжение) можно определять путем наложе¬
ния (суперпозиции) решений, найденных для
каждой из сил в отдельности.
Можно применить еще и такую формулировку: в линейной
системе сумма эффектов от различных воздей¬
ствий совпадает с эффектом от сум<мы воздействий.
Принцип наложения лежит в основе исследования поведения
линейных систем под действием сложных внешних сил (несину¬
соидальные токи и напряжения, импульсные процессы и т. д.).
Пусть, например, требуется .найти ток в цепи, на которую дей¬
ствует электродвижущая сила e(t) в виде сложной функции, гра¬
фик которой показан на рис. 1.7 сплошной линией. Разобьем ось
времени на равные интервалы At и обозначим через еи е2у ..., еп
ординаты кривой e{t) в моменты времени t\=At, /г = 2А/,
3 Зак. 3/235 33
Рис. 1.5
Рис. 1.6
tn=nAt, а через Aeu Ae2, ..., Aen и так далее — соответственно
приращения э. д. с. Находим ток t’o от включения постоянной
э. д. с. е0 в момент £=0, ток t'i—от включения постоянной э. д. с.
Aei в момент t=At, ток. 1*2 — от включения э. д. с. Ае2 в момент
t=2At и т. д. Тогда в силу принципа наложения суммарный ток
в момент времени t определится как предел суммы
где суммирование ведется по всем интервалам от 0 до t.
Удобство этого метода, позволяющего сколь угодно сложное
воздействие разложить на более простые (элементарные) воздей¬
ствия, для которых определение
реакции системы обычно не пред¬
ставляет труда, очевидно.
В данном примере использо¬
вано разложение на постоянные
электродвижущие силы, возника¬
ющие в различные моменты
времени. Можно было бы раз¬
ложить e\t) и а гармониче¬
ские э. д. с.( действующие при
оо — <] t < + 00, по отношению
к которым применимы обычные
методы теории переменных токов
(например, метод комплексных амплитуд). Последний прием, осо¬
бенно употребительный в радиотехнике, подробно излагается
в гл. 2.
Изложенные выше свойства линейных систем справедливы и
в том случае, когда параметры цепи L, С или г являются функ¬
циями времени (конечно, при условии, что L(t), C(t) или r(t) не
зависят от токов и напряжений).
Если же параметры цепи являются постоянными величинами,
то линейная система обладает еще одним важным свойством:
при сколь угодно сложном воздействии в линёй-
ной системе с постоянными параметрами невоз¬
можно возникновение новых частот.
Для доказательства этого положения достаточно представить
сколь угодно сложную внешнюю силу, стоящую в правой части
уравнения (1.20), в виде суммы гармонических слагаемых, дей¬
ствующих в пределах —°°<^<+ Тогда суммарный ток (или
напряжение) в цепи можно в силу принципа независимости искать
в виде суммы частных решений, соответствующих отдельным гар¬
моническим составляющим сложной э. д. с.
Так как по условию последние действуют при — со <t< + 00,
то и вызываемые ими токи представляют собой гармонические
функции времени, действующие при —оо<^<+оо. Следова-
34
L
Ряс. 1.7
тельно, частотный спектр тока состоит из тех же частот, что и
спектр вынуждающей э. д. с.
Поясним это положение на следующем .примере. Пусть дей*
ствующая в контуре L, С, г э. д. с. e(t) имеет вид последователь¬
ности прямоугольных импульсов; тогда ток в контуре будет пред¬
ставлять собой серии затухающих колебаний, возникающих в мо
менты разрывов функции e(t) (рис. 1.8). Эти серии представляют
собой собственные колебания контура и характеризуются перио*
дом который связан с .параметрами контура следующим соот¬
ношением (влиянием сопро¬
тивления г пренебрегаем):
следования импульсов вынуж¬
дающей э. д. с. e(t)y что на первый взгляд противоречит положе¬
нию о невозможности возникновения новых частот в линейной си¬
стеме с постоянными параметрами. Нетрудно, однако, показать,
что это противоречие только кажущееся. В действительности по¬
казанный на рис. 1.8 ток является сложной периодической функ¬
цией времени, состоящей из тех же гармоник, что и э.д. с. e(t).
Резкое отличие формы тока от формы э. д. с. обусловлено измене¬
нием амплитудных и фазовых соотношений между отдельными
гармониками тока ввиду неодинаковой реакции контура на раз¬
личные гармоники э.д.с. Эта реакция тем сильнее, чем ближе ча¬
стота гармоники к собственной частоте контура. Этим и объяс¬
няется, что кривая i(t) имеет период Г0, хотя в составе тока нет
частот, которых бы не было в составе э.д.с.
Итак, с помощью одних лишь линейных систем с постоянными
параметрами принципиально невозможно осуществить преобразо¬
вание электрической энергии, сопровождающееся трансформацией
частотных спектров.
Иначе обстоит дело в случае линейных систем с переменными
параметрами. Изменяя по определенному закону один из параме¬
тров системы, находящейся под воздействием внешней э.д.с., мо-
-жно осуществить то или иное преобразование тока или напряжения
в цепи, сопровождающееся появлением новых частот. Простей¬
шим примером подобной системы является угольный микрофон,
в котором изменение сопротивления, обусловленное колебаниями
мембраны, -приводит- к изменению тока в цепи, питаемой от источ¬
ника постоянной э.д.с. Таким образом, в цепи микрофона возни¬
кают токи звуковой частоты, которой нет в составе э. д. с. Можно
привести также пример и из области высокочастотной техники.
Таким образом, частота
возбуждаемых в контуре коле¬
баний (тока) определяется па¬
раметрами системы и совер¬
шенно не зависит от периода
Рис. 1.8
35
Изменяя по определенному закону индуктивность или емкость ко-1
лебательной системы, находящейся под воздействием гармониче¬
ской э.д.с., можно осуществить модуляцию тока в системе, что
сопровождается возникновением новых частот.
С такими явлениями приходится встречаться, в частности,
в параметрических усилителях, представляющих со¬
бой линейную (по отношению к слабому сигналу) колебательную
систему, один из параметров которой — индуктивность- или ем¬
кость — подвергается периодическому изменению от вспомогатель¬
ного устройства.
Обратимся к рассмотрению нелинейных систем. Если хотя бы
один из коэффициентов дифференциального уравления системы
является функцией действующих в си¬
стеме токов или напряжений, то урав¬
нение становится нелинейным. Стро¬
гих методов интегрирования нелиней¬
ных уравнений, как известно, не суще¬
ствует. Поэтому в технике широкое
распространение получили приближен¬
ные методы, основанные на различных
приемах сведения нелинейных систем
к «почти» линейным.
Некоторые из этих методов будут рассмотрены в соответствую¬
щих частях данного курса. Здесь же нам важно отметить главные
принципиальные особенности нелинейных систем. Эти особенности
заключаются в следующем:
— между токами и напряжениями в нелинейной системе нет
прямой пропорциональности; иными словами, вольтамперные ха¬
рактеристики нелинейных элементов обладают кривизной;
— для нелинейных элементов и систем принцип суперпозиции
не применим;
— при воздействии внешней силы в нелинейной системе обяза¬
тельно возникают колебания, имеющие новые .частоты, не содер¬
жащиеся в составе внешней э. д. с.
Первые два свойства после того, что было сказано выше в от¬
ношении линейных систем, не требуют дополнительных пояснений.
Для иллюстрации же третьего свойства рассмотрим следующий
простой пример. Пусть на цепь, состоящую из электрического вен¬
тиля (например, диода) и сопротивления (рис. 1.9), действует си¬
нусоидальная э. д. с. с частотой Q.
Так как через диод проходит ток только в течение одной полу¬
волны, то напряжение u(t) на, сопротивлении R будет иметь вид,
показанный на нижней диаграмме рис. 1.10.
Это напряжение, представляющее собой сложную периодиче¬
скую функцию времени, содержит помимо частоты й ряд гармоник
с частотами, кратными Q. Таким образом, в рассматриваемом про1
стейшем примере нелинейность системы (диода) приводит к по¬
явлению .новых частот, которых не было в составе э. д. с. В даль-
36
Рис. 1.9
нейшем будет .показано, что при сложной форме внешней силы
в нелинейной системе помимо гармоник, возникают еще и комби¬
национные частоты, являющиеся результатом взаимодействия от¬
дельных, частот, входящих в состав внешней силы.
Особенный интерес для ра¬
диотехники представляют сво¬
бодные колебания в нелиней¬
ных .системах. Подобные коле¬
бания называются автоколеба¬
ниями, поскольку они возни¬
кают ,и могут устойчиво суще¬
ствовать в отсутствие внешне¬
го периодического воздействия.
Расход энергии при - колеба¬
ниях покрывается в подобных системах за счет источника энергии
постоянного тока.
Упомянутые в предыдущем параграфе основные радиотехниче¬
ские процессы—'Генерация, модуляция, детектирование и преоб¬
разование частоты, — как правило, сопровождаются трансформа¬
цией частотного спектра. Поэтому осуществление этих процессов
возможно либо с помощью нелинейных систем, либо систем линей¬
ных, но с изменяющимися параметрами.
Принцип действия подобных систем будет рассмотрен в соот¬
ветствующих частях настоящей книги.
1.9-. ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Основной задачей курса является изучение физических явлений
в радиотехнических устройствах и овладение методами математи¬
ческого описания этих явлений.
Содержание курса можно определить как теорию радио¬
сигналов и радиоцепей, изучаемую с позиций теории информации.
В соответствии с такой постановкой задачи курс должен вклю¬
чать в себя:
1. Анализ сигналов и модулированных колебаний (радиосиг¬
налов) .
2. Теорию колебательных систем с сосредоточенными и распре¬
деленными постоянными, линейное и нелинейное усиление коле¬
баний, вопросы устойчивости линейных .систем, теорию систем с об¬
ратной связью, элементы синтеза цепей по заданному сигналу.
ч3. Теорию црохождения радиосигналов через линейные радио¬
цепи.
4. Синтез и преобразование сигналов: генерирование колеба¬
ний; модуляцию, детектирование, преобразование частоты, умно¬
жение и деление частоты, теорию параметрического возбуждения
и усиления и т. д.
5. Рассмотрение статистических явлений в радиотехнических
устройствах, механизм возникновения шумов и их действие на ли¬
нейные и нелинейные устройства канала связи.
37
Рис. il.lO
В данной книге материал расположен в следующем порядке.
В гл. 2 и 3 рассматриваются основные свойства радиосигналов.
Гл. 4—8 посвящены линейным радиоцепям: колебательным си¬
стемам, цепям с сосредоточенными и распределенными парамет¬
рами, а также теории линейных усилителей. В гл. 9 рассматри¬
вается -прохождение управляющих сигналов и модулированных ко¬
лебаний через линейные системы.
Таким образом, гл. 2—9 составляют «линейную» часть курса
«Радиотехнические цепи и сигналы».
В гл. 10—14, составляющих «нелинейную» часть курса, рассма¬
триваются основные радиотехнические процессы и .преобразова¬
ния: усиление (нелинейное), генерация, модуляция, детектирова¬
ние, преобразование частоты, а также воздействие внешней силы
на нелинейные системы.
В гл. 15 изучаются линейные системы с обратной связью, во¬
просы их устойчивости, а также особенности систем с запаздываю¬
щей обратной связью. Гл. 16 посвящена теории параметрического
возбуждения и усиления колебаний.
Наконец, гл. 17—18 посвящены изучению механизма образова¬
ния шумов в радиоэлектронных устройствах и основным положе¬
ниям синтеза фильтров, «оптимальных» по отношению к некото¬
рым заданным сигналам.
Таким образом, содержание курса направлено на изучение фи¬
зических процессов, лежащих в основе преобразования сигналов
в радиотехнических устройствах канала связи, и на овладение ме¬
тодами математического описания этих процессов. Данный курс
является теоретической базой для овладения методикой расчета
и проектирования конкретных радиоустройств, что является пред¬
метом ряда специальных дисциплин, изучаемых в дальнейшем.
ГЛАВА 2
СИГНАЛЫ
2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
При изучении радиотехнических и электронных устройств при-»
ходится иметь дело с электрическими сигналами, которые свя¬
заны с передаваемыми сообщениями принятым способом коди¬
рования.
В процессе 'передачи по радиолинии сигнал подвергается
различным преобразованиям. Одним из наиболее типичных
преобразований является модуляция, суть и назначение
которой в общих чертах были описаны в вводной главе
(см. § 1.6).
Получаемое в результате модуляции высокочастотное колеба¬
ние, несущее в себе передаваемое сообщение, иногда называется
радиосигналом. В отличие от этого сигнала модулирующий
сигнал иногда называют управляющим о и гнал ом. Таким
образом мы можем Считать, что управляющие сигналы
представляют собой напряжения (или токи), модулирующие несу¬
щее колебание и выделяемые в результате детектирования в при¬
емнике радиолинии.
В дальнейшем мы .будем применять термины сообщения
или управляющие еигналы в одинаковом смысле.
2Л. характеристики управляющих сигналов
Структура передаваемого сообщения оказывает существенное
влияние на выбор параметров основных звеньев радиолинии. При
этом важную роль играет характер сообщения и способ его инди¬
кации (регистрации).
В зависимости от того, используется ли слуховая индикация
(наушники, динамики), визуальная (экран электронно-лучевой
трубки) или иная индикация (например, прибор, регистрирующий
максимальное, среднее или среднеквадратичное значение управ¬
ляющего сигнала), роль одних характеристик может быть основ¬
ной, а других — второстепенной. Так обстоит дело, например,
39
с речью и музыкой, при воспроизведении которых важно сохранить
лишь .правильное соотношение между уровнями отдельных тонов;
фазовые соотношения при этом, как известно, роли не играют, так
как ухо человека не чувствительно к фазам отдельных тонов.
При передаче изображений, .наоборот, сохранение фазовых соот¬
ношений между отдельными составляющими имеет решающее
значение для неискаженного восюроизчведения, в то время как
некоторое изменение амплитудных соотношений может быть до¬
ту щен о.
Требования к радиотехническому тракту с достаточной полно¬
той могут быть выявлены на основе следующих двух характери¬
стик управляющего сигнала:
а) спектральная характеристика;
б) распределение уровней.
Спектральная характеристика определяет частотное распреде¬
ление сигнала. Для детерминированного сигнала спектральная ха¬
рактеристика в общем случае является комплексной функцией ча¬
стоты. Модуль спектральной характеристики определяет ампли¬
туды, а аргумент — фазы отдельных гармонических составляющих
сложного сигнала. Из этого ясно, что знание спектральной харак¬
теристики сигнала позволяет сформулировать требования к 'по¬
лосе пропускания цепи, а также к равномерности амплитудной ц
линейности фазовой характеристики этой цепи в -полосе проту-
скания^
Для сигнала, имеющего характер случайного процесса, спек¬
тральная характеристика дает лишь распределение средней мощ¬
ности по частотам. Хотя, никаких сведений о фазах отдельных со-
ставляющих сигнала подобная спектральная характеристика не
содержит, знание этой характеристики необходимо для разумного
выбора полосы пропускания цепи, обеспечивающей достаточно пол¬
ное использование энергии сигнала.
Вторая характеристика — распределение по уровням — играет
существенную роль по отношению к сообщениям, имеющим харак¬
тер случайных процессов. На* основе этого распре деления можно
найти относительную длительность пребывания величины сигнГала
в определенном интервале уровней, среднее и среднеквадратичное
значения сйгнала, отношение максимальных значений к средне¬
квадратичному (пикфактор) и ряд других важных параметров
сигнала. Все эти параметры определяют требования к линей¬
ности амплитудных характеристик отдельных звеньев радиотех¬
нических устройств, а также энергетический режим электрон¬
ных приборов, источников питания и некоторых других элементов-
устройств.
В данной главе сначала будут рассмотрены спектральные ха-
рактеристики некоторых наиболее распространенных детермини¬
рованных сигналов (периодических и непериодических), а затем —
спектральные характеристики и законы распределения уровней
некоторых сигналов типа случайных процессов.
40
Рис. 2.1
Реальные сигналы имеют начало и конец. В дальнейшем под:
гармоническим сигналом иногда будет подразумеваться сигнал,,
определяемый функцией, совпадающей с выражением (2.1) в ко¬
нечном интервале времени.
Гармоническое колебание, определяемое выражением (2.1),
иногда бывает удобно представлять в одной из следующих форм:
5 (0 = A Re [ег(2'-ф)] = 1 Ае+т~*] + \ Ле_г(2/_ф). (2.1')
Первой из этих форм соответствует векторное представление,
изображенное на рис. 2.1, я, а второй форме — на рис. 2.1,6.
В первом случае действительная функция s(t) получается как
проекция ОБ вектора А на горизонтальную ось, а во втором — как
сумма проекций ОВ на ту же ось двух векторов с амплитудами
вращающимися с угловой частотой Q во взаимно противопо¬
ложных направлениях.
1 Здесь Q используется для обозначения угловых частот управляющих,
сигналов (сообщений).
41
В соответствии с этим второе слагаемое в правой части выра¬
жения (2.1') можно трактовать как колебанйе с «отрицательной»
частотой, что приводит к следующей записи:
(2.1")
причем 2_ = — 2+ и <]>_= —<|>+.
Гармонический сигнал находи? широкое применение в прак¬
тике, в частности при регулировке радиоэлектронных устройств и
снятии их амплитудных и частотных характеристик.
Любой сложный периодический сигнал может быть представ¬
лен в виде суммы элементарных гармонических сигналов, дей¬
ствующих при — ОО </< + со.
Это представление, как изве¬
стно, осуществляется с по¬
мощью ряда Фурье.
Пусть заданная в интерва¬
ле U<t<ti функция s(t) пе¬
риодически повторяется с ча-
2%
стотой Qi = —, где Т — период
повторения (рис. 2.2), причем выполняются следующие условия
(условия Дирихле):
1) в любом конечном интервале функция s(0 должна быть
непрерывна или должна иметь конечное число разрывов первого
рода *;
2) в пределах одного периода функция s(t) должна иметь ко¬
нечное число максимумов и минимумов.
Подобная функция может быть представлена рядом Фурье,
который может быть записан в тригонометрической или комплекс¬
ной формах:
(2.2)
(2.3)
постоянная составляющая (среднее значение);
ап и Ьп -г амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов
разложения s(i).
1 То есть при стремлении t к точкам разрыва непрерывности как справа
'(от больших значений времени), так и слева (от меньших значений!) функ¬
ция s(t) должна иметь конечные пределы.
42
Рис. 2.2
Эти величины определяются выражениями
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Амплитуда (модуль) и фаза (аргумент) п-й гармоники выра¬
жаются через ап и Ь„ следующим образом:
Входящая в выражение (2.3) комплексная амплитуда Ап,
в свою очередь, связана с ап и Ьп следующими очевидными соот¬
ношениями:
Комплексные амплитуды Ап и Л_„являются взаимно сопряжен¬
ными комплексными величинами.
В дальнейшем нам понадобится следующее выражение для
квадрата модуля амплитуды:
В- соответствии с выражениями (2.5) и (2.6) можно также на*
писать
Нетрудно убедиться, что фазовый угол есть функция, не¬
четная относительно п (т. е. относительно частоты), а модуль ком¬
плексной амплитуды — четная функция. В самом деле, непосред¬
ственно из выражений (2.5) и (2.6) видно, что действительная
часть амплитуды ап есть функция четная, а мнимая Ьп — нечетная
относительно п. Отсюда в соответствии с формулой (2.8) получаем
(2.8)
(2.7)
(2.9)
А„А-а = (а„ - ibn) (ап + ibn) = а\ + Ъ\ = А\. (2.10)
(2.11)
43
Четность модуля Ап вытекает непосредственно из выражения
(2.7).
Сопоставление формул (2.2) и (2.3) показывает, что фигури¬
рующие в последней «отрицательные» частоты (при отрицатель¬
ных п) имеют формальный характер и связаны с применением ком¬
плексной формы для представления действительной функции* вре¬
мени.
Гармонической составляющей с какой-либо «физической» ча¬
стотой Qk согласно выражению (2.1") соответствует следующая
пара слагаемых, входящих в вьиражение
(2.3):
Таким образом, при использовании удобной для анализа фор¬
мулы (2.3) всегда можно освободиться от отрицательных частот
.путем перехода к тригонометрической форме.
Следует отметить, что приведенным выше условиям Дирйхле
удовлетворяют все физически осуществимые сигналы. Поэтому при
представлении периодических сигналов в виде рядов Фурье эти
условия в практике не приходится специально оговаривать.
В тех случаях, когда сигнал представляет собой функцию чет¬
ную относительно t, т. е. s(t) =s(—t), в тригонометрической записи
остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициенты
Ьп в соответствии с формулой (2.6) обращаются в нуль. Для не¬
четной относительно t функции s(t), наоборот, в нуль обращаются
коэффициенты ап (формула 2.5) и ряд состоит только из синусо¬
идальных членов.
Структура частотного спектра периодического сигнала полно¬
стью определяется двумя характеристиками — амплитудной и фа¬
зовой, т. е. модулем и аргументом комплексной амплитуды [фор¬
мулы (2.7) и (2'8)]. Наглядное представление о «ширине» спектра
и относительной величине отдельных его составляющих дает гра¬
фическое изображение спектра (рис. 2.3). По Ьси ординат отжь
4 4
В силу четности модуля и нечетности
фазы относительно k эта пара слагае¬
мых дает в сумме гармоническую 'ве¬
щественную функцию, выраженную через положительную ча¬
стоту:
Рис. 2.3
жены модули амплитуд, по оси абсцисс — частоты гармоник. Для
исчерпывающей характеристики спектра подобное изображение
должно быть дополнено заданием фаз отдельных гармоник.
Спектр периодической функции состоит из отдельных «линий»,
соответствующих дискретным частотам: 0, Qb Q2=2Qi, Q3=3Qi
и т. д. Отсюда и название линейчатый или дискретный
спектр.
Значение рядов Фурье в современной технике и особенно в ра¬
диоэлектронике очень велико. Основанный на формулах (2.2) и
(2.3) гармонический анализ сложных периодических сигналов в со¬
четании с принципам наложения (§ 1.8) представляет собой эффек¬
тивное средство для изучения влияния линейных систем на про¬
хождение сигналов.
Если под s(t) подразумевается периодическая электродвижу¬
щая сила-е^) на входе линейного четырехполюсника, характери¬
стики которого известны, то для нахождения выходного сигнала
достаточно учесть амплитудные и фазовые изменения, претерпевае¬
мые каждой из гармонических составляющих сигнала при прохож¬
дении через рассматриваемую систему. (Оговоренное выше условие
линейности цепи позволяет рассматривать прохождение каждой из
гармоник сигнала независимо от всех остальных гармоник.
Пусть коэффициент передачи четырехполюсника, представляю¬
щий собой отношение комплексной амплитуды напряжения на вы¬
ходе к комплексной амплитуде .на входе, задан в форме
K(Q) = K( 2)еМ2). (2.13)
Тогда для учета амплитудных и фазовых изменений комплекс¬
ная амплитуда каждой из гармоник э. д. с. должна быть умножена
иа К (й).
Поэтому, если сигнал e(t) на входе линейного четырехполюс¬
ника записан в форме
2 > (2.14)
П — — оо
то сигнал u(t) на выходе в соответствии с принципом суперпози¬
ции может •быть найден о помощью следующего выражения:
«(0=4 2 £«tf^*)eV=2 ип*п‘- (2.15)
П — — со П-— оо
Здесь £„ и Un = EnK(Qn)=EnK(Qn)e ^ представляют
собой соответственно комплексные амплитуды п-й гармоники
сигнала на входе и выходе четырехполюсника. Таким образом,
для получения решения задачи о прохождении сигнала через
систему потребовалось только умножить Еп на комплексный
коэффициент передачи /С(2„).
45
' Следует иметь в виду, что такое решение имеет практическую
ценность только при условии быстрой сходимости рядов Фурье.
Между тем наиболее распространенные в радиотехнике сигналы
этому условию не отвечают, и для удовлетворительного воспроиз¬
ведения формы сигналов обычно необходимо суммировать боль¬
шое число гармоник. Следует .поэтому считать, что в случае слож¬
ных периодических сигналов применение метода рядов Фурье
удобно более для анализа сигналов, нежели для их синтеза К
Ниже приводятся при¬
меры разложения в ряд
Фурье некоторых важных
периодических функций.
Попутно рассматривает¬
ся вопрос о сходимости
рядов и влиянии фаз от¬
дельных гармоник на
форму сигнала.
2.4. ПРИМЕРЫ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ
СИГНАЛОВ
2.4.1. Периодическая
последовательность пря¬
моугольных импульсов
{рис. 2.4, а). Амплитуда импульсов равна Е, длительность равна т.
Применяя формулы (2.4), (2.5) и (2.6), находим среднее значение
(«постоянную составляющую»)
(2.4.1)
амплитуду косинусоидальной составляющей п-й гармоники
(2.4.2)
амплитуду синусоидальной составляющей п-й гармоники
(2.4.3)
1 Трудности, связанные с осуществлением синтеза сигналов по заданным
рядам Фурье, в значительной степени могут быть преодолены с помощью по¬
дробных таблиц сумм тригонометрических рядов, а также с помощью правил
для перехода от сумм одних рядов к суммам других, разработанных А. М. За-
ездным (см. 3 а е зл н ы й А. М. Гармонический синтез в радиотехнике »
электросвязи. Госэнергоиздат, 1961).
46
Рис. 2.4
С .помощью формул (2.7) и (2.8) находим амплитуду и фазу
п-й гармоникц
(2.4.4)
(2.4.5)
Подставляя найденные коэффициенты в формулу (2.2), полу-
чаем
(3.4.6)
При использовании комплексной формы ряда Фурье с помощью
формулы (2.11) сразу находйм комплексную амплитуду
(2.4.7)
Аргумент комплексной амплитуды определяет фазу совпа¬
дающую с выражением (2.4.5). При ином выборе начала отсчета
времени (рис. 2.4,6) функция e(t) является четной относительно
t и для нее имеем
Поэтому тригонометрический ряд принимает вид
(2.4.9)
Последовательность прямоугольных импульсов часто встре¬
чается в радиотехнических задачах. В дальнейших примерах рас¬
сматриваются некоторые ха¬
рактерные частные слу¬
чаи.
2.4.2. Последовательность
радиолокационных видео¬
импульсов. Этот случай
(.рис. 2.5) характеризуется
очень малым отношением
длительности импульса к периоду повторения, т. е. Вели-
т
чина, обратная этому отношению, N = — > 1 получила название
«скважности» импульсов. В зависимости от назначения радиоло¬
катора скважность изменяется в пределах 200—2500.
Большая по сравнению с длительностью импульса величина
периода повторения приводит к .необходимости учитывать очень
большое число гармоник. Спектр в этом случае имеет вид, пока¬
занный на рис. 2.6. Расстояние между спектральными линиями
очень мало ^2! = — ^, а амплитуды соседних гармоник близки по
величине. Это наглядно -видно из формулыГ(2.4.4), которую в дан¬
ном случае удобно записать в несколько видоизмененном виде,
(2.4.4')
Ввиду ничтожной величины отношения -у- аргумент синуса сро¬
стом п. изменяется медленно.
При малых ^значениях п приближенно можно считать
sin
48
Рис. 2.6
Рис. 2.5
а амплитуды гармоник равными
(2.4.10)
Заметим, что при ^-<1 постоянная составляющая, равная
Д0=£'^-) вдвое меньше, чем Ах.
Существенно также, что постоянная составляющая во много раз
меньше амплитуды импульса Е.
2.4.3. ПоследователоНость пилообразных импульсов (рис. 2.7).
Подобные функции часто встре¬
чаются на практике в устрой¬
ствах для развертки изображе¬
ния в осциллографах. Так как
эта функция является нечет¬
ной, ряд Фурье для нее содер¬
жит только синусоидальные
члены. С помощью формул
(2.5) — (2.7) нетрудно опреде- •
лить коэффициенты ряда Фурье. Опуская эти выкладки, напи¬
шем окончательное выражение для ряда:
Рис. 2.7
(2.4.11)
Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону , где
п= 1, 2, 3, ... На рис. 2.8 показан график суммы первых пяти
гармоник.
Ряс. 2.8
4 Зак. 3/235
Рис. 2.9
2.4.4. Последовательность треугольных импульсов (рис. 2.9)
Ряд Фурье имеет для *этой функции следующий вид:
e(t) = E — ^(cos£M-f ^cos3£V +
+ i cos 52^+...)]. (2-4.12
Сумма первых трех членов этого ряда изображена на рис. 2.9.
Отметим более быстрое убывание амплитуд гармоник, чем в пре¬
дыдущих примерах. Это объясняется отсутствием разрывов (скач¬
ков) в функции.
2.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В СПЕКТРЕ
ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА
Пусть сигнал s(t) представляет собой сложную периодическую
функцию времени с периодом Т.
Под средней за период мощностью сигнала можно подразуме¬
вать величину
т
) = T^s*{t)dt, (2.16)
О
где черта над функцией обозначает операцию усреднения по вре¬
мени.
Разложим сигнал s(f) в ряд Фурье
S (*) = ? +2 (а„ cos + Sin/12^) (2.17)
П — 1
и подставим этот ряд под интеграл в выражении (2.16).
При возведении в квадрат правой части выражения (2.17) по¬
лучатся слагаемые следующих видов:
>. (?/.
2. a?cos2nQ1t и 6* sin2/12^,
3. 2 I?«л cosnQ^ и 2 ^b„sinnQLt,
4. 2anbn со^ п2г1 sin я2^ = a„b„ sin 2nQxt,
5. 2a„am cos nQtt cos mQxt — anam cos (re — tn) 2,/f -j-
-j- anamcos (re -f tn) QJ и 2an6msinre21/sin/re21/ —
= anbm cos (n — m) QJ — anbm cos (re 4- tn) 2^ при пфтп,
6. 2 anbm cos nQJ sin — anbm sin (re — m) 2 -j-
+ a„bmsin(n-\- tn) 2^ при пфт.
50
Так как п и от по условию — целые числа, замечаем, что все
слагаемые видов 3)—6) являются гармоническими функциями
с частотами, кратными частоте Qi = -^- .Следовательно, интегралы
от этих функций, взятые за .период Т исходной функции, равны
нулю.
Слагаемые же вида 2) после приведения к форме
an(T + Tcos2”2^) и ^(у — y cos 2/l21*) и интегрирования
в пределах О, Т дают
а0
Ясно также, что постоянное слагаемое -j- после интегрирования
“о г
дает -j- Т.
Таким образом, выражение (2.16) принимает следующий про¬
стой вид:
где 50 —-у- — постоянная составляющая, а
Sn — амплитуда п-й гармоники сигнала.
При использовании комплексного ряда Фурье этот результат
в соответствии с формулой (2.10) может быть представлен в форме
Если s(t)=i(t) представляет собой электрический ток, то при про¬
хождении через омическое сопротивление г выделяется мощность
(средняя за период Т)
Как видим, полная мощность является суммой средних мощно¬
стей, выделяемых по отдельности постоянной составляющей /0 и
гармониками (с амплитудами /ь /2 и т. д.).
Важно отметить, что эта мощность не зависит от фазировки от¬
дельных гармоник. Это означает, что изменение формы сигнала,
получающееся при изменении фазовых соотношений между от¬
дельными гармониками внутри спектра, не оказывает влияния на
величину средней мощности сигнала.
4* 51
Итак, можно считать, что в энергетическом отношении отдель¬
ные спектральные составляющие сложного периодического сиг¬
нала аддитивны, т. е. суммарную среднюю мощность подобного
сигнала можно определять как сумму мощностей отдельных ком¬
понент спектра сигнала.
Из предыдущего рассмотрения ясно, что это свойство является
'результатом ортогональности гармонических функций с кратными
частотами К
По виду функции, представляющей собой огибающую величин
5^, можно судить о распределении мощности в спектре периодиче¬
ского сигнала. Это позволяет выбирать полосу пропускания цепи,
обеспечивающую достаточно полное использование мощности сиг¬
нала. Подробнее этот вопрос рассматривается в § 2.9 (примени¬
тельно к непериодическим сигналам).
2.6. НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ
Пусть задан сигнал в виде функции времени, удовлетворяющей
условиям Дирихле (§ 2.3) во всяком конечном интервале и, кроме
того, абсолютно интегрируемой.
Последнее условие означает, что интеграл
+ оо
j \s(t)\dt,
— оо
где \s(t)\ — абсолютное значение функции s(t), должен сходиться
Для удобства рассуждений примем пока, что сигнал s(t) дей¬
ствует в конечном интервале ti<t<f2. Из дальнейшего будет
видно, что это допущение не ограничивает общности рассмотрения.
Для проведения гармонического анализа непериодической
функции поступим следующим образом. Превратим нашу функ¬
цию в периодическую путем повторения ее с произвольным перио¬
дом T>t2 — t\. Тогда для этой новой функции применимо разло¬
жение в ряд Фурье, причем входящие в выражение (2.2) коэффи¬
циенты-у > и Ьп в соответствии с формулами (2.4) — (2.6) бу¬
дут тем меньше, чем больше интервал Г, выбранный в качестве
периода. Устремляя Т к бесконечности, в пределе лолучим бес¬
конечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма
1 Две функции <р(дс) и 'ф(дс) называются ортогональными в промежутке
\а> 6], если их произведение имеет интеграл, равный нулю
ъ
]У(лг)<|/(лг) <£* = (). (2.21)
а
Из этого общего определения следует, что две тригонометрические (гармо¬
нические) функции с частотами r&i и mQi ортогональны в промежутке [0, 71],
52
которых изображает исходную непериодическую функцию s(t), за¬
данную в интервале t\<t<t2 (рис. 2.10).
Количество гармонических составляющих, входящих в ряд
Фурье, будет при этом бесконечно большим, так как при Г ос
основная частота функции Qi= -у -*0. Иными словами, расстояние
между спектральными линиями (рис. 2.3), равное основной ча¬
стоте Qi, становится бесконечно малым, а спектр — сплошным.
Отсюда следует, что при
гармоническом анализе не¬
периодической функции по¬
лучается сплошной спектр,
состоящий из, бесконечно
большого количества гармо¬
ник с бесконечно малыми
амплитудами. ,
Математически это мож¬
но выразить следующим об¬
разом. Подставив формулы (2.5) и (2.6) в формулу (2.9), полу¬
чаем
(2.22)
Теперь воспользуемся комплексной формной ряда Фурье [см.
формулу (2.3)] и подставим вместо Ап выражение (2.22):
и
(2.23)
Здесь учтено, что Т—
Если теперь устремить Т к бесконечности, то в пределе полу¬
чим исходную непериодическую функцию s(/), заданную в интер¬
вале tx<t<t2.
При Т-> оо частота Qi превращается в rfQ, /zQi — в текущую
частоту Q, а операция суммирования — в операцию интегрирова¬
ния. Таким образом, получаем двойной интеграл Фурье
(2.24)
53
Внутренний интеграл, являющийся функцией Q, обозначим
и
.5(2) = |«(<)е_в<Л. (2.25)
ti
5(й) называется спектральной плотностью или
спектральной характеристикой функции s(t).
В общем виде, когда не уточнены пределы t{ и спектральную
плотность представляют выражением
+ оо
5(2)*= J s(t)e~<atdt, (2.26)
— оо
а после подстановки (2.26) в выражение (2.24) получаем
+ оо
s(*)=i J S(Q)emdQ. (2.27)
—оо
Пара выражений (2.26) — (2.27) называется прямым и обрат¬
ным преобразовяниями Фурье.
Выражение (2.27) представляет непериодическую функцию
в виде суммы (интеграла) гармонических колебаний с бесконечно
малыми амплитудами. Из сравнения выражения (2.27) с рядом
Фурье (2.3) видно, что амплитуды этих составляющих равны
-^-5(2) dQ.
Сравнение (2.26) с выражением (2.11) для комплексной ампли¬
туды соответствующей гармоники периодической функции позво¬
ляет в наглядной форме пояснить смысл спектральной плотности
S,(Q).
Именно, выделив какую-либо дискретную частоту Q„=nQi, со¬
ответствующую в случае периодической функции п-й гармонике,
получим для амплитуды этой гармоники выражение
2 С -iq t
An = T )s(i)e ndt.
ti
В случае же непериодической функции, совпадающей с s(t)
в интервале t\<t<t2, получим для спектральной плотности, соот¬
ветствующей той же частоте Q = Qn, следующее выражение:
^2
5(2„) = jS(*)e““V<ft.
ti
54
Т 1
Отсюда видно, что 5(2л) = -2-.4п или, учитывая, что Т = -рг-,
2S(Qn)=TAn = j±. (2.28)
Таким образом, 2S(Qn) получается путем деления амплитуды
А„ п-й гармоники на полосу частот Fu отделяющую соседние ли¬
нии дискретного спектра (рис. 2.3), т. e.S (Q; имеет смысл плот-
Л ^ Г амплитуда ]
ности амплитуд и обладает размерностью — J.
К' этому результату можно прийти еще и следующим образом.
Рассмотрим линейчатый спектр какой-либо периодической функ¬
ции и составим отношение амплитуды п-й гармоники Ап к частот¬
ному интервалу между двумя соседними спектральными линиями,
т. е. к частоте повторения F\. Если теперь период Т устремить
к бесконечности, то это отношение, т. е. у5-,останется неизменным,
поскольку с увеличением Т как А„, так и Fi одинаково уменьша¬
ются. В пределе, при Т -»■ с», придем к «спектральной плотности»
непериодической функции.
Из выражения (2.28) вытекает следующее важное положение:
огибающая сплошного спектра (модуль спектральной плотности)
непериодической функции и огибающая линейчатого спектра пе¬
риодической функции (полученной из непериодической путем про¬
должения ее с периодом Т) совпадают по форме и отличаются
только масштабом.
Итак,
S(Qn)=^-An=-^An. (2.29)
Отметим, что »при £2 = 0, когда «постоянная составляющая»
2
Л0 = -^- определяется выражением (2.4), можно написать
S(0) = TA0 = ^Aq. (2.29')
Спектральная плотность 5(Q) обладает всеми основными свой¬
ствами комплексной амплитуды А„.
По аналогии с выражением (2.9) можно написать следующее
соотношение:
5(2) == А (2) - IB (2) =5(2) е-гф(д), (2.30)
где А (£2) и В(Q)—соответственно действительная и мнимая ча¬
сти спектральной плотности;
S(Q) и ф(й)—амплитудная и фазовая характеристики спек¬
тральной плотности.
55
Непосредственно из формулы (2.26) вытекают следующие вы¬
ражения для А (£2) и B(Q), аналогичные формулам (2.5) и (2.6):
+ оо
Л (2)= J s (t) cosQtdt, (2.31)
— о°
+ оо
5(2)= j s (t) sin Qtdt. (2.32)
— oo
Очевидно также, что модуль и фаза спектральной плотности
определяются выражениями
5(2) = 1/И(2)Р+[£(2)]2, (2.33)
-i(Q) = arctg4^. (2.34)
Как и в случае ряда Фурье (см. § 2.3), модуль спектральной
плотности есть функция четная, а фаза — нечетная относительно
частоты Q.
На основании формулы (2.30) нетрудно привести ин¬
тегральное преобразование (2.3) к тригонометрической форме.
Имеем
+ оо
s(0=^T J S(Q)ei{at^)dQ =
— оо
-г ОО * -f оо
= -^- J S (2) cos (2^ — ф)с?2 J S (2) sin (2^ — Ф) dQ.
— оо —оо
Из упомянутых выше свойств модуля и фазы следует, что под¬
ынтегральная функция в первом интеграле является четной, а во
втором интеграле нечетной относительно Q. Следовательно, второй
интеграл равен нулю, и окончательно
-г«э
J ^ (2) cos (2* — <()) с?2 =
— оо
-г оо
= 4~ j 5(2) cos (21 - Ф) dQ (2.35)
О
Как видим, при переходе от комплексной формы (2.27) к три¬
гонометрической (2.35) отпадает необходимость интегрирования
в области отрицательных значений Q. Обычно этот переход целе¬
сообразен в конце анализа; все промежуточные выкладки при при¬
менении интеграла Фурье удобнее и проще производить на основе
комплексной формы (2.27).
56
Интегральные преобразования (2.26) — (2.27) очень удобны для
исследования прохождения непериодических сигналов через ли¬
нейные цепи. По аналогии с выражениями (2.14) — (2.15) можно
написать следующие очевидные соотношения для сигнала e(t) на
входе и сигнала u(t) ца выходе линейного четырехполюсника:
где Е (2) = Е (2) е ^ — спектральная плотность напряжения на
входе, a U (Q) =£ (2) К (2) = Е (2) К (2) т на выходе
четырехполюсника, коэффициент передачи которого есть/С(2) =
= К(2) А
Прикладное значение интегральных преобразований (2.26) и
(2.27), позволяющих осуществить гармонический анализ неперио¬
дических сигналов, еще более велико, чем значение рядов.Фурье,
так как непериодические сигналы встречаются в практике чаще,
чем периодические.
Большим облегчением при использовании интеграла Фурье яв¬
ляется возможность получения выражения для выходного сигнала
в замкнутой форме, а не в виде медленно сходящегося ряда, как
это имеет место, например, в случае периодической последователь¬
ности прямоугольных импульсов (§ 2.4). Подробно этот вопрос бу¬
дет разобран в гл. 9 при изучении воздействия сигналов на ли¬
нейные системы.
Из рассмотрения прямого и обратного преобразований Фурье
(2.26) и (2.27) можно сделать некоторые общие заключения о ха¬
рактере S(Q) при заданной функции s(t) и, наоборот, о функции
s(t) при заданной функции S(Q).
Если в обратном преобразовании (2.27) заменить S(Q) на
S(Q)e±i2t°> гДе U — постоянная величина, имеющая размерность
времени, то s(£) переходит в s(£±^o).
Действительно,
(2.36)
И (0 = -4- J Е (2) К(2) elQtdQ =
J f/(2) eiQtdQ, (2.37)
— оо
— оо
2.7. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
— оо
= -%г j S(Q)e‘°-('-wrf2 = s(^± t0). (2.38)
— оо
57
Это означает, что если всем составляющим спектра функции
~s(t) дать фазовый сдвиг <р = ±Шо, линейнб связанный с частотой
Й, то функция s(t) сдвигается во времени на ±/о- Очевидное об¬
ратное положение: сдвиг во времени функции s(t) на величину
±to означает изменение фазовой характеристики спектральной
плотности S(Q) на величину ±£2/<>.
Из указанных свойств преобразований (2.26) и (2.27) вытекают
следующие требования к линейным системам, выполнение кото¬
рых необходимо для неискаженной передачи сигналов: ампли¬
тудно-частотная характеристика системы должна быть равно¬
мерна, а фазо-частотная характеристика q>(£2)—линейна в преде¬
лах всего спектра сигнала (или по крайней мере той части спек¬
тра, в которой сосредоточена основная доля общей энергии сиг¬
нала). Действительно, пусть в выражении (2.13) модуль коэффи¬
циента передачи цепи не зависит от частоты и является постоян¬
ной величиной /С(Й) = Ко, а фаза—линейной функцией ча¬
стоты
ср (2) = — t0Q.
Тогда, если на входе цепи действует сигнал s(/) со спектром S(Q),
то на выходе цепи будет сигнал
-Ьоо
s.«(*)=-Er J S(Q) К(2) eiatdQ —
— оо
4-эо ~г оо
= i I S(Q)K0e~toQeiatdQ = K0-b j*Se'e(/_4/a.
— оо —оо
Основываясь на выражении (2.38), этот результат можно за¬
писать в следующей форме:
^вых (0 to).
Отсюда видно, что при прохождении через систему с равномер¬
ной амплитудно-частотной и линейной фазо-частотной характе¬
ристиками сигнал полностью сохраняет евою форму; изменяется
лишь величина сигнала (в Ко раз) и ^появляется запаздывание
(«время пробега»), равное /о, т. е равное наклону фазовой харак¬
теристике цепи ^
<• = -§. (2.39)
Отметим, что в физически выполнимых (реальных) цепях на¬
клон фазовой характеристики <p(Q) всегда отрицателен в полосе
пропускания, так что непериодический сигнал на выходе, есте¬
ственно, не может опережать сигнал на входе «цепи. Подробнее
этот вопрос рассматривается в гл. 6. '
Обратимся теперь к рассмотрению S(Q) для различных функ¬
ций s(t).
58
1. Пусть s(£) есть функция, четная относительно t. Переписав
выражение (2.26) в виде
+ 00 + со
5(2)= J s (t) cosQtdt — i § s (t)s'mQtdt,
— oo —CO
убеждаемся, что при четной s(t) второй интеграл равен нулю,
так как произведение s(t) sinQt является функцией, нечетной от¬
носительно t, а пределы интегрирования симметричны.
Следовательно, при
s(t), четной относительно
t, функция 5(Q), опреде¬
ляемая первым интегра¬
лом, есть функция, веще¬
ственная и четная отно¬
сительно Q.
2. Если s(£) нечетна
относительно t, то в нуль
обращается первый ин¬
теграл и
Следовательно, в этом
случае 5 (Й) — нечетная
и чисто мнимая функ¬
ция Q.
3. Если, наконец, s(i) не является четной или нечетной функ¬
цией относительно t, то s(t) можно разложить на две функции:
четную Si(^) и нечетную s2(t).
В этом случае S(Q) представляет собой комплексную функ¬
цию 2.
Из первого доказанного свойства вытекает, что в случае чет¬
ной функции s(t) в выражении (2.26) можно произвольно изме¬
нять знак перед £2. Следовательно, в этом случае интегралы в вы¬
ражениях (2.26) и (2.27) совершенно подобны и переменные й
и t взаимно заменимы.
Из этого, в частности, следует, что если прямоугольному им¬
пульсу s(t) (рис. 2.11,а) соответствует спектр, показанный на
рис. 2.11,6, то спектру 5(Q) с прямоугольной огибающей
(рис. 2.11, в) должна соответствовать функция времени s(t), изо¬
браженная на рис. 2.11, г.
Так как в области частот (рис. 2.11,6) спектр S(Q)
можно считать почти неизменным, то рис. 2.1,1, г непосредственно
характеризует искажения, претерпеваемые прямоугольным импуль¬
сом при отбрасывании всех частот вне полосы 0—£2, (при Q
59
Рис. 2.11
2.8. СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ РАСПРОСТРАНЕННЫХ СИГНАЛОВ
Как уже отмечалось в §§ 2.2. и 2.3, структура частотного спектра
полностью определяется двумя характеристиками: амплитудной и
фазовой, т. е. модулем и аргументом спектральной плотности S(Q).
Определение указанных характеристик для функций s(/), от¬
вечающих условию абсолютной интегрируемости, легко произво¬
дится с помощью формул (2.26), (2.33), (2.34) и не требует каких-
либо пояснений. Остановимся лишь на некоторых частных слу¬
чаях, существенных для даль¬
нейшего изложендо.
Рассмотрим прежде всего
единичный скачок, т. е. функ¬
цию, определяемую усло¬
виями
5 (t) = 1 при t > 0, |
s(t)= о при t < 0. (• (2-4°)
Для этой функции
оо
J | s (i) | dt -* оо, ввиду чего
о
формулы (2.26) и (2.27) не мо¬
гут быть применены непосред¬
ственно. Можно, однако, легко
обойти это затруднение, если искомую спектральную плотность
функции s(*), заданной выражением (2.40), представить как пре¬
дел S(Q) для функции s(t)e~ct, где с — положительное число,
стремящееся к нулю. Тогда в соответствии с выражением (2.26)
искомая спектральная плотность для единичного скачка опреде¬
лится выражением
*'В»=Й^=Ж = 1'"'^ (2-41)
т. е.
5(2) =4 , ф(2)=^-- (2.41')
Графики S(2) = -jj- и ф(2) изображены на рис. 2.12 сплош¬
ными линиями.
Приведенные выше рассуждения могут быть использованы для
определения спектра экспоненциального импульса, т. е. функции,
определяемой условиями
s (t) =&~at при t > 0, )
s(t) = 0 при t < 0 J
при а>0.
60
Рис. 2.12
Заменяя в формуле (2.41) величину с на постоянную вели¬
чину а и не применяя предельного .перехода, получаем следующее
выражение для спектральной плотности экспоненциального им¬
пульса с единичной амплитудой:
откуда следует
Графики 5(й) и ф(£2) для экспоненциального импульса пока¬
заны на рис: 2.12 пунктирными линиями.
Обращаясь, вновь к единичному скачку, мы видим, что при ну¬
левой частоте кривая спектральной плотности уходит в бесконеч¬
ность. Это обстоятельство указывает на то, что в составе сплош¬
ного спектра скачка имеется дискретное колебание с конечной ам¬
плитудой, в данном случае при нулевой частоте. Это следует по¬
до
нимать таким образом, что :при Й->0 S(£2)-> оо , a lim \ 5(2) dQ *
да-*о "
принимает конечное значение.
Для определения величины «постоянной составляющей» рас¬
сматриваемой функции подставим выражение (2.41“) в формулу
(2.27):
Второе слагаемое в правой части этого выражения ввиду чет-
, sin Qt ~
ности функции —q— относительно Q равно
—при t < О,
+ при t > 0.
Поскольку левая часть выражения (2.43), т. е. s(t), равна 0
при t<0 и 1 при t>0, приходим к выводу, что первое слагаемое
правой части (2.43) равно '/г.
61
Итак, единичный скачок может быть наряду с выражением
(2.43) представлен формулой
<2.44)
аналогичной интегралу Фурье.
Сказанное поясняется рис. 2.13, на котором единичный ска¬
чок s(t) представлен в виде суммы двух функций Si(/) ш s2(0
причем
С помощью выражения (2.44), а также (2.35) легко пояснить
смысл постоянства фазовой характеристики ^(2) = -^-.
Именно из выражения (2.35) следует, что <]>(£2) представляет
собой начальную фазу гармоники с частотой Q при косинусоидаль¬
ном отсчете. Следовательно, равенство ф(й) = у = const означает,
что для образования в момент £ = 0 скачка требуется суммирова¬
ние синусоид всех гармонических составляющих спектра. Более
того, поскольку амплитуды составляющих убывают по закону-q,
то наклон всех синусоид в точке ^ = 0, пропорциональный производ¬
ной от синусоиды, оказывается одинаковым для всех гармоник,
так как
Рис. 2.14
Рис. 2.13
Сумма бесконечно большого числа синусоидальных гармоник
(с бесконечно малыми амплитудами) создает в точке t=0 скачок
с бесконечно крутым фронтом.
Переходим к нахождению спектра прямоугольного импульса*
Вместо прямого использования общего выражения (2.26) мы вос¬
пользуемся принципом суперпозиции, позволяющим находить
спектр суммы или разности функций времени в ,виде суммы или
разности соответствующих этим функциям спектров. Представим
прямоугольный импульс,, действующий на протяжении отрезка вре¬
мени от 0 до т, в виде5 разности двух скачков: одного в момент
t=0 и другого в момент t==x (рис. 2.14).
Для первого скачка в соответствии с выражением (2.41) полу¬
чим спектральную плотность
S,(S)=4,
а для второго в соответствии с выражением (2.38*)
52(2)=51(Q)e-,0t = -^-e-'0x.
Таким образом, спектральная плотность прямоугольного им¬
пульса
Нетрудно определить модуль этого выражения:
(2.46)
Отметим, что для £2 = 0
и, следовательно,
5(0) =Лт. (2.47)
Таким образом, для нулевой частоты спектральная плотность
прямоугольного импульса равна площади импульса. Ниже, в §2.10,
будет показано, что этот вывод можно распространить на импульс
произвольной формы.
63
Зависимость модуля S (S2) от аргумента -j- изображена на
рис. 2.15 сплошной линией. На оси ординат этого графика отло¬
жена безразмерная функция S(Q)/Aх. Пунктирной' линией пока¬
зан модуль спектра одной из функций Sj(£) или s2(0> т- е* спек"
тра скачка с амплитудой Л. В координатах рис. 2.15 эта кривая
определяется уравнением
Sl( 2) = 4 = -£--£
2
или
J_
St(Q) _ 2
Az Qx
~T
Появление нулей в спёктре прямоугольного импульса является
результатом взаимной компенсации гармонических составляющих
скачков Si(<) и s2(t), для которьЛс сдвиг фаз равен целому числу
2я. Такие сдвиги получаются на частотах £2, отвечающих условию
Qt = п2л, где п — любое целое число. При частотах же спектров
5i(Q) и 52(й), для которых Qx=(2n—1)я, наоборот, вычитание
приводит к удвоению амплитуд.
Если начало отсчета времени совместить с серединой импульса
(рис. 2.16), т. ev сдвинуть s(t) н$ величину -у в сторону опереже¬
ния, то для полученной функции, четной относительно t, согласно
выражениям (2.45) и (2.38) можно написать
Рис. 2.15
В данном случае 5(£2) —всегда действительная величина, при¬
нимающая положительный или отрицательный знак (рис. 2.17).
Qt
Именно,, при частотах от £2=0 до значения, при котором -у,-=«
и, следовательно, sin-^->0, S (2) получается положительной ве-
Ри,с. 2.16
личиной. Это означает, что в указанной области частот начальные
фазы if>(Q) всех гармоник равны нулю. В области частот, отве¬
чающих условию
5(Q) получается отрицательной величиной, что равносильно
скачку фазы всех гармоник на величину л. Таким образом, в этой
области частот я|)(£2)=я.
В следующей области ча¬
стот, отвечающих усло¬
вию
5(£2) опять положитель¬
но, что равносильно до¬
полнительному сдвигу
фазы на я и т. д.
Таким образом, в дан¬
ном случае рис. 2.17 дает
полную характеристику
спектра: амплитудную и
фазовую.
На рис. 2.18, а и б
изображены отдельно графики модуля спектральной плотности
(в верхней части) и фазы (в нижней части). Каждая перемена
знака S(Q) на этом рисунке учтена изменением фазы на угол я.
Физический смысл этой фазовой характеристики пояс¬
няется рисунком 2.19, на котором сплошными линиям^ изо-
5 Зак. 3/235 65
Рис. 2.18
Рис. 2.17
бражены компоненты спектра с частотами из первой области
(О = а пунктирными — из второй области
(«<-^г<2я:, <|>(2)=яу Само собой разумеется, что на рис. 2.19
амплитуды показаны в бесконечно увеличенном масштабе.
На рис. 2.20 показана спектральная плотность прямоугольного
импульса (симметричного относительно начала отсчета времени),
которая получается при представлении каждой из составляющих
спектра в виде суммы положительной и отрицательной частот
[см. формулу (2.12)].
С удлинением импульса расстояние (между нулевыми значе¬
ниями S (Q) (рис. 2.15) сокращается, а начальное значение S(Q)
(т. е. при Q=0) возрастает. В пределе, при т-> <», остается один
скачок si(t) и спектр S(Q) вырождается в спектр 5j(Q) скачка
при £=0 (рис. 2.15, пунктирная кривая).
66
Рис. 2J19
Рис. 2.20
При укорочении импульса (и постоянстве амплитуды) 5(£2)
п гл 2ъ
падает. В пределе при т-»0 точка 2! = — , соответствующая
S(Q)=0, удаляется в бесконечность и спектральная плотность,
бесконечно малая по величине, становится равномерной в полосе
частот от 0 до оо и равной S(0) г т. е. площади импульса.
Если одновременно с уменьшением т увеличивать амплитуду А
по закону -j-, т. е. так, чтобы площадь импульса оставалась по¬
стоянной и равной единице, то согласно формуле (2.45') спек¬
тральная плотность, одинаковая для всех частот, окажется рав¬
ной Ах.
Таким образом, приходим к понятию об единичном импульсе,
под которым подразумевается предел при т->0 функции, заданной
условиями:
Часто единичный импульс представляют в Биде функции 6(0
(дельта-пункция, функция Дирака), которая равна нулю при всех
значениях t, кроме момента t—0, в котором она обращается в бес*
конечность. Из определения 6(0 следует, что
Площадь такого импульса равна единице, и, следовательно,
спектральная плотность для всех частот также равна единице.
Особенно удобно пользоваться единичным импульсом при ис¬
следовании действия коротких (по сравнению с постоянной - вре¬
мени или с периодом собственных колебаний цепи) импульсов
на линейные системы.
2.9. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В СПЕКТРЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО
СИГНАЛА
Пусть задан сигнал s(i), обладающий конечной энергией. Это
означает, что интеграл
пропорциональный величине энергии сигнала, является сходя¬
щимся (см. § 2.6).
В дальнейшем мы будем называть А энергией сигнала, не уточ¬
няя размерности s (ток, напряжение, напряженность поля и т. д.).
(2.48)
(2.49)
(2.50)
67
Постараемся выразить А через модуль сдектральнрй плотности
сигнала *S(Q).
С этой целью вначале рассмотрим периодическую функцию
snep(0> образованную путем повторения исходной функции s(0
с надлежащим образом выбранным периодам Т.
По отношению к этой периодической функции может быть при¬
менена формула (2.19) для средней за период мощности сигнала
1 °°
snep(0=~4~ 2 *^я’
л= — оо
причем амплитуда п-й гармоники (с частотой Sn связана
со спектральной функцией S (й) соотношением (2.29).
Таким образом, получаем
Энергия сигнала за период Т, очевидно, равна Ts%ep(t). Следо¬
вательно,
2 +51 (*-£■)•
П = —оо
Устремляя Т к бесконечности и совершая предельный переход
аналогично тому, как это было сделано при выводе выражения
(2.24), т. е. полагая-у;—y-^-dQ, п-у--+ 2, и заменяя операцию
суммирования операцией интегрирования, получаем окончательно
+ оо
А = 11шГ5Л7)=^г f [5(2)|М2 =
Т-*■ оо •
— оо
оо
= -Lj[SW]‘rf2. (2.51)
о
Это выражение называется равенством Парсеваля.
' В отличие от выражения (2.19) формула (2.51) определяет не
среднюю мощность (которая для любой непериодической, абсо¬
лютно интегрируемой функции равна нулю), а полную энергию,
выделяемую сигналом s(f) за все время его действия.
По виду функции [S(£2)]2 можно судить о распределении энер¬
гии в спектре непериодической функции, и поэтому формула (2.51)
может быть использована для выбора полосы пропускания элек¬
трической цепи, обеспечивающей достаточно полное использование
68
энергии сигнала. В частности, при действии сигнала s(t) на фильтр
нижних частот с затуханием, равным нулю в полосе частот от О
до Q] и равным бесконечности вне этой полосы, энергия на выходе
фильтра равна
где 5ВЫХ (/) — сигнал на выходе цепи.
2.10. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВРЕМЕННЫМИ И СПЕКТРАЛЬНЫМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СИГНАЛА
Основной вывод, который (можно сделать »з проведенного
в предыдущих параграфах рассмотрения свойств непериодиче¬
ского сигнала, сводится к следующему: чем короче сигнал, тем
шире его частотный спектр.
Такая формулировка не является строгой, так как теоретиче¬
ски любой сигнал конечной длительности обладает бесконечно
широким спектром.
Действительно, из общего определения спектральной плотности
(2.26) следует, что если функция s(t) отлична от нуля в конеч¬
ном интервале от t\ до t2, то функция
является аналитической (и, кроме того, целой) комплексной функ¬
цией. Но это означает, что спектр 5(£2) ограниченной во времени
функции s(t) может принимать нулевые значения только в изоли¬
рованных точках и не может обращаться в нуль на конечном
интервале переменной £2 (так как иначе, в силу принципа анали¬
тического продолжения, функция .S(Q) должна была бы рав¬
няться нулю при всех значениях £2).
В практике под шириной спектра сигнала обычно подразуме¬
вают полосу частот, в которой сосредоточена основная доля энер¬
гии сигнала. При таком определении полосы обычно обеспечи¬
вается и достаточно удовлетворительное воспроизведение формы
сигнала, хотя в некоторых случаях последнее требование застав¬
ляет сохранять в спектре более высокие частоты, чем это дик¬
туется энергетическими соображениями.
При грубых оценках в технике широко пр'инято считать, что
произведение соответствующим образом определенной длитель¬
ности сигнала на „техническую” ширину спектра близко к единице.
Таким образом,
(2.52)
(2.53)
69
Это соотношение относится к управляющему сигналу (сообще¬
нию). Как будет видно из дальнейшего (гл. 3 и 18), при наложении
модуляции спектр сигнала может быть во много раз шире, чем
величина, обратная длительности сигнала.
Проверим формулу (2.53) на случае прямоугольного импульса.
Величине Д/т??*1 соответствует аргумент выражения (2.46), рав¬
ный Щ-= 2тс^/Ч_ = г., т. е. равный абсциссе, соответствующей
первому нулю спектральной плотности импульса (рис. 2.18, а).
Вычисление, которое нетрудно провести с помощью формулы
2тс
(2.52), показывает, что в ;полосе частот 0 < 2 < — сосредоточено
несколько более 90% полной энергии импульоа.
Следующее важное свойство частотного спектра сигнала ко¬
нечной длины заключается в том, что в области достаточно низких
частот спектральная плотность равна площади сигнала независимо
от его формы. Этот вывод легко сделать из общего выражения
(2.26), устремив в нем £2 к нулю. Очевидно,
+ оо
5(2)= f s{t)dt. (2.54)
о-о
Правая часть этого выражения есть не что иное, как площадь
импульса s(t). Под «импульсом» здесь подразумевается любой
сигнал конечной длительности.
Условие достаточной малости £2 сводится к неравенству
. 2^«1,
где т — общая протяженность отрезка переменной t, на котором
функция s(t) существенно отличается от нуля.
Относительно характера, кривой S(Q) можно сделать следую¬
щее замечание: функция S(Q) обращается при некоторых часто¬
тах в нуль в тех случаях, когда сигнал представляет собой сово¬
купность одинаковых по форме и величине элементарных сигналов,
сдвинутых один относительно другого во времени. В, случае пря¬
моугольного импульса пульсирующая форма спектральной плот¬
ности S(Q) объясняется интерференцией спектров двух сдвинутых
во времени скачков (рис. 2.14). Нетрудно убедиться, что и в бо¬
лее общем случае группы из двух произвольных, но одинаковых
сигналов, обладающих монотонно изменяющимися функциями
5(й), результирующая спектральная функция будет также пуль¬
сирующей. С увеличением числа равноотстоящих импульсов поло¬
жение нулей на оси частот остается неизменным, максимальные
же значения 5(£2) возрастают.
Отметим, наконец, что задание модуля S(Q), т. е. амплитудно-
частотного спектра, однозначно определяет распределение энер¬
гии сигнала по частотам [это следует из равенства Парсеваля
70
(2.51)], но ничего не говорит о форме сигнала. Совместно же
с фазо-частотной характеристикой of (£2) задание S(Q) полностью
определяет сигнал: как форму, так и положение его на оси вре¬
мени.
2.11. СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Реальные сигналы, с которыми, приходится' иметь дело в ра¬
диотехнике, представляют собой более или менее хаотические
функции времени. Такой функцией является, например, электри¬
ческое напряжение, соответствующее речи, музыке, последователь¬
ности знаков телеграфного кода при передаче неповторяющегося
текста и т. д. Рассмотренные в § 2.3 строго периодические после¬
довательности, импульсов являются лишь абстракцией, полезной
при изучении некоторых важных для практики свойств сигналов
реальных, непериодических. Упомянутые выше хаотические сиг¬
налы, образующие так называемый случайный или стохастический
процесс, в дальнейшем будем называть случайными. Для анализа
случайных сигналов необходимо применять статистический под¬
ход. Если длительность действия подобных сигналов достаточно
велика, чтобы в пределах рассматриваемого отрезка времени успе¬
вали проявиться все существенные для практики свойства сигнала
(например, среднеквадратичное значение сигнала), то при расче¬
тах и проектировании радиоаппаратуры подобные сигналы можно
рассматривать как длящиеся бесконечно долго.
Для облегчения анализа целесообразно исходить из допуще¬
ния, что статистические свойства сигнала не зависят от времени,
т. е. что случайный сигнал представляет собой стационарный слу¬
чайный процесс.'
В качестве основных характеристик случайного сигнала, как
отмечалось ранее (§ 2.2.), следует принять: а) спектральное рас¬
пределение мощности сигнала и б) вероятностные распределения
для параметров сигнала, имеющих случайный характер.
Говоря о спектральной характеристике, следует иметь в виду,
что ни ряд Фурье, ни интегральные преобразования Фурье к слу¬
чайным процессам неприменимы. Невозможно найти спектраль¬
ную плотность S(Q) для функции, соответствующей, например,
неопределенно долго передаваемой речи. Само понятие спектраль¬
ной плотности в смысле определений, данных .в § 2.6, по отно¬
шению к случайным сигналам теряет свой смысл.
Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности сред¬
него (по времени) квадрата случайной функции g(t). Если под
случайной функцией g(t) подразумевается электрическое напря¬
жение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассмат¬
ривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении,
равном 1 ом. Спектральную плотность среднего квадрата g(^)
можно рассматривать как усредненную по времени мощность, со¬
держащуюся в полосе частот А/7= 1 гц. Введенную таким обра¬
71
зом спектральную плотность W(Q) в дальнейшем будем называть
энергетической спектральной плотностью или просто энергетиче¬
ским спектром функции g(t).
Следует отметить, что энергетический спектр W(Q)y являю¬
щийся весьма важной характеристикой случайного сигнала, все
же имеет более ограниченное значение, чем спектральная плот¬
ность £(£2) непериодического сигнала с конечной энергией (т. е.
абсолютно интегрируемого). -По заданному энергетическому
спектру U?(Q) нельзя восстановить исходную функцию g(t), как
это возможно сделать по заданной спектральной плотности G(Q)
для сигналов,, которые можно представить в виде интеграла
Фурье. Иначе говоря, в случае случайного сигнала возможен ана¬
лиз функций, но не синтез. Это обстоятельство является результат
том утери фаз всеми составляющими спектра при усреднении
их мощности. Обратное преобразование Фурье, примененное
к №(Q), позволяет найти не самую функцию g(t), а лишь функ¬
цию корреляции для исходной функции g(t) (гл. 17, § 17.3).
Обратимся к второй важнейшей характеристике случайного
процесса — вероятностному распределению. Выделив
произвольный момент tu мы можем рассматривать g(^i) как слу¬
чайную величину х, причем вероятность пребывания этой вели¬
чины в интервале значений х и x+dx равна p(x)dxf где р(х) —
так называемая плотность вероятностей или дифференциальный
закон распределения случайной 1 величины х.
Вероятность пребывания х в конечном интервале х\<х<х2
или интегральная вероятность определяется интегра¬
лом
Таким образом, вероятность пребывания случайной вели¬
чины х в интервале от Х\ до х2 равна площади кривой р(х) на
участке хх<х<х2 (рис. 2.21).
Рис. 2.2]
(2.55)
1 Имеются в виду случайные величины «непрерывного» типа.
72
импульсов. Каждой букве, а также интервалам между буквами »
словами, соответствует определенная комбинация импульсов.
В настоящее время наибольшее распространение имеют два кода:
Морзе и равномерный пятизначный. Последний применяется при.
буквопечатающем приеме.
В коде Морзе каждая буква образуется комбинацией коротких
и длинных знаков («точки» и «тире»), причем тире по длительно¬
сти равно трем точкам. Интервал между соседними знаками ра¬
вен длительности точки, между группами знаков, образующих
букву, — трем точкам, а между словами — пяти точками. Таким,
образам, при передаче сообщения (текста) по коду Морзе элек-
■f-рический сигнал выглядит как последовательность коротких,
(точки) и длинных (тире) импульсов, разделенных интервалами,
равными длительности коротких импульсов (рис. 2.22). На
рис. 2.22 показана последовательность таких импульсов при. пере¬
даче слова «Москва».
7»
Рис. 2.22
где хиив и лмаКс— нижний и верхний пределы возможны* значе¬
ний, х.
Это очевидно, так как имеется полная гарантия (стопроцент¬
ная вероятность) того, что случайная величина х принимает одно-
из значений в пределах хиин <х<хмакс.
Некоторые из наиболее важных для радиоэлектроники законов
распределения, в том чйсле особенно распространенный в при¬
роде «нормальный» (гауссов) закон распределения, будут рас¬
смотрены в гл. 17.
2.12. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ РЕАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ
Одним из наиболее распространенных электрических сигналов
является телеграфный сигнал, используемый для передачи сооб¬
щений как в проводной, так и в радиотелеграфной связи.
При телеграфной работе отдельные буквы, цифры и знаки пре¬
пинания, образующие сообщение, передаются с помощью спе¬
циальных кодов, получаемых при различных комбинациях из
При любом непрерывном распределении существует равенство-
При передаче сложных сообщений чередование точек и тире
имеет нерегулярный характер. При рассмотрении записи на ленту
заранее незнакомого по содержанию и смыслу сообщения, невоз¬
можно с уверенностью предсказать, что последует после заданного
знака: точка, тире или пауза.
Таким образом, сигнал в любом из последующих интервалов
является случайной величиной, могущей принимать одно из двух
дискретных значений: 1 или 0.
Для определения средней длительности пёредачи одного слова
и распределения времени между знаками и паузами необходимо
исходить из статистических закономерностей, присущих' данному
языку и характеру сообщения ( слова, цифры, служебные знаки
и т. д.). Установлено, что при длительной передаче разнообраз¬
ного текста, на одно слово в■среднем приходится пять букв, для
передачи которых требуется время, равное 48 точкам. Из этого
времени только 22 точки соответствуют знакам, а остальные 26 —
интервалам между знаками и буквами, включая и паузу в конце
слова.
Значительно более сложны характеристики звукового сиг¬
нала— речи, музыки, шума и др. В акустике принято следующее
подразделение звуков:
Музыкальные тона, близкие к периодическим процессам.
При чисто синусоидальной форме колебаний звук называется про¬
стым тоном. Сложный музыкальный тон, как и всякий сложный
периодический процесс, может быть охарактеризован линейчатым
спектром. Фазовая характеристика интереса не представляет, так
как изменение фазировки простых тонов ухом человека не вос¬
принимается.
Звуковые удары или импульсы, имеющие характер
отдельных кратковременных возмущений. Как и всякий неперио¬
дический процесс, электрические напряжения или токи, соответ¬
ствующие звуковому импульсу, полностью характеризуются зада¬
нием спектральной плотности (см. § 2.6).
Шумы или длительные звуки, возникающие при бес¬
порядочном наложении большого числа звуковых импульсов или
при беопорядочном наложении большого числ!а простых тонов.
Если фазы отдельных тонов взаимно независимы, то шум пред¬
ставляет собой случайный процесс, подчиняющийся нормальному
закону распределения. Этот вопрос рассматривается в гл. 17.
Спектральная характеристика электрических напряжений или то¬
ков, соответствующих шуму, может быть задана в форме энерге¬
тического спектра (см. § 2.11). В зависимости от длительности
импульсов, образующих .шум, основная часть мощности шума
может быть сосредоточена в области более высоких или более
низких частот.
Соответствующее шуму электрическое колебание имеет слож¬
ную форму, в которой нельзя усмотреть какой-либо закономер-
74
ности. Наблюдаемые в отдельные моменты выбросы (пики) в 2—
3 раз-а превышают среднеквадратичное значение шума.
Электрические сигналы, соответствующие передаче речи, пения
и музыки, не могут быть отнесены ни к одному из 'перечисленных
выше звуков. В отдельные моменты — при произнесении гласных
звуков — речь имеет характер музыкальных тонов, при .произне¬
сении согласных — разнообразную и сложную структуру.
Для разборчивости речи требуется воспроизведение частот
в полосе от 300 до 2000 гц. Поэтому в служебной радиотелефонии
стандартизована полоса частот 300—2400 гц. Наибольшее значе¬
ние имеют частоты в области 500—1000 гц. Для сохранения же
тембра каждого индивидуального голоса необходимо передавать
обертоны (гармоники), в виду чего для высококачественной пере¬
дачи речи требуется полоса частот от 80 примерно до 10000 гц.
Для очень хорошей передачи пения и (музыки требуется полоса
от 30 до 15000 гц.
Реализация этих требований в практике ограничивается «тесно¬
той в эфире» из-за большого числа радиостанций и взаимными
помехами между станциями, работающими на близких частотах
{особенно н,а длинных и средних волнах). Кроме того, стоимость
приемников быстро растет с расширением полосы акустических
частот, подлежащих воспроизведению. Поэтому в радиовещании
принята полоса частот от 50 до 4500 гц. На ультракоротких вол¬
нах используется более широкая полоса — примерно 30—10 000 гц
(звуковое сопровождение в телевидении).
Электрическое напряжение, соответствующее передаче речи,
характеризуется очень большим отношением выбросов (пиков)
к среднеквадратичному значению. Для среднего голоса это отно¬
шение с учетом паузы примерно равно 5—7. .При пении это отно¬
шение может быть еще в несколько раз больше. Из этого выте¬
кает необходимость проёктировать радиолинии с большим запа¬
сом линейного участка амплитудных характеристик или применять
специальные устройства для автоматического сужения динамиче¬
ского диапазона акустических сигналов.
Рассмотрим теперь основные характеристики телевизионных
сигналов. Структура этих сигналов сильно зависит от характера
передаваемых изображений. Современные методы передачи изо¬
бражений основаны на построчном «прочитывании» с помощью
электронного луча экрана специальной трубки, на который (экран)
нанесен потенциальный рельеф, соответствующий данному изобра¬
жению. В электрической цепи, связанной с экраном трубки, ток
изменяется в соответствии с величиной потенциала отдельных
элементов экрана, т. е. в соответствии с яркостью отдельных эле¬
ментов передаваемого изображения.
Для точного воспроизведения изображения число строк должно
быть достаточно велико. По стандарту, принятому в СССР, число
строк равно 625. Для того чтобы изображение воспринималось
глазом слитно, в одну секунду .передастся 25 кадров. Таким обра-
75
<зом, время, отводимое для пробега электронным лучом одной
строки, равно ~б25*. 25~ сек' За это время ток в цепи, свяг
занной с экраном, изменяется по сложному закону: на участках
строки с примерно одинаковой яркостью ток почти не изменяется,
в местах резкого перехода от «черного» поля к «белому» требуется
почти мгновенное изменение тока от максимального до минималь¬
ного значения. Для точного воспроизведения мелких деталей
изображения полное изменение тока должно происходить за
время, очень малое по сравнению с длительностью одной строки,
примерно щдо-. Это равносильно требованию передачи очень
коротких импульсов с длительностью порядка долей микросекунды.
С другой стороны, для передачи медленных изменений яркости
требуются очень длинные импульсы, вплоть до передачи постоян¬
ного тока. Поэтому телевизионные сигналы характеризуются
очень широкой полосой частот от 0 примерно до 6 Мгц. С этим
связана также необходимость применения очень коротких волн
(метровых и дециметровых) для передачи телевизионных сиг*
налов.
Телевизионная техника еще усложняется необходимостью пе¬
редачи специальных сигналов для синхронизации работы прием*
ника и передатчика, а также звукового сопровождения.
2.13. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
Как уже пояснялось в § 1.6, в случае непрерывных сообщений
теория информации строится на замене последних эквивалентной
им по информационному содержанию совокупностью дискретных
сигналов (сообщений).
Операция такой замены, которую будем называть дискре¬
тизацией непрерывного сигнала, основывается на теореме от¬
счетов (Котельникова), гласящей: если функция s(t) не содержит
частот выше Fm гц, то она полностью определяется последовав
тельностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга
на кг? сек.
m
76
Рис. 2.23
Смысл этой теоремы становится ясным при учете сделанного
в § 1 замечания, что функция не может существенно изменить
свое значение за время меньшее, чем половина периода наивыс¬
шей частоты, т. е. за время .
т
Для аналитического задания функции s(t) с помощью ее зна¬
чений в моменты отсчета используется вспомогательная функция
следующего вида (рис. 2.23):
= (2.57)
Подобная функция, уже встречавшаяся ранее (см. § 2.7), обла¬
дает следующими свойствами:
а) спектр ее равномерен в полосе частот от 0 до Fm;
б) в точке t = 0 g (0) = 1, а в точках t == пМ = я- функ¬
ция g{nb.t) обращается в нуль. Здесь л —любое целое число:
положительное или отрицательное.
Основываясь на этих свойствах функции g{t), заданный сиг¬
нал s(t) со спектром, ограниченным полосой от 0'до Fm, можно
представить в виде следующей суммы:
s(i)=^j(nM)g(t-aM)= (2.58)
Л=—оо
Здесь nAt представляют собой отсчетные точки на оси t.
То, что эта сумма точно определяет заданный сигнал s(t) в точ¬
ках отсчета, не требует дополнительных доказательств. Действи¬
тельно, в любой из этих точек, например £-й, все слагаемые под
знаком суммы, для которых n=fck, в силу свойства а) о'бращаются
в нуль, в слагаемом же с индексом n = k дробь обращается в еди¬
ницу, и .правая часть выражения (2.58) равна просто s(kAt), т. е.
значению s(t) в точке t=kAt.
Замечательно, однако, что выражение (2.58) точно определяет
функцию s(t) в любой момент t, а не только в точках отсчета
t=kAt. Доказательство этого свойства суммы приводится в при¬
ложении I.
Итак, непрерывный сигнал s(t) полностью определяется дис¬
кретной последовательностью своих значений, отсчитанных через
интервалы времени, равные к^г-. Эти значения функции иногда
т
называют выборками сигнала.
Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала s(t)
конечна и равна Г, а полоса частот по-прежнему равна Fm. Эти
.условия, строго говоря, несовместимы, так как функция конечной
длительности обладает теоретически бесконечно широким спект¬
ром. Практически, однако, всегда можно ограничить спектр поло'
сой Fm и при этом иметь очень малые значения сигнала вне интер¬
вала Т.
77
Итак, если задан сигнал длительностью Т^ и с полосой частот
Fm, то общее число независимых параметров [т. е. значений
5(мА^)], которое необходимо для полного задания сигнала, оче¬
видно, равно
N = 1 —2FmT-\- 1. (2.59)
т
Прн > 1 можно считать N=2FmT.
При этом выражение (2.58) принимает следующий вид:
*«)= 2
п * —F Т
тп
Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала
s(t), так как даже при произвольном выборе значений s(n&t)
cyiMMa вида (2.60) определяет функцию s(t), удовлетворяющую
условиям заданного спектра и заданной длительности сигнала.
Инодда оказывается удобным представлять сигнал с помощью
выборок спектральной функции 5(й), а не функции s(t). Если
ранее накладывалось условие, что полоса частот сигнала ограни¬
чена интервалом от —йт до + Йт, то теперь следует исходить
из условия, что сигнал существует только в пределах промежутка
Т , Т
времени от —до + -у.
Задача заключается в представлении 5(й) в форме, аналогич¬
ной выражению (2.60).
Это нетрудно сделать на основании отмеченного в § 2.7 свой¬
ства взаимной заменимости переменных t и й в преобразованиях
Фурье (2.26) — (2.27). Применительно к выражению (2.60) это
означает, что t должно быть заменено на й, a Qm — на Т/2. При
этом интервал Дt= между выборками функции s(t) должен
быть заменен частотным интервалом Дй = -у .
Итак, ,по аналогии с выражением (2.58) можно написать сле¬
дующее выражение для спектральной плотности 5(й):
Здесь 5 (ti — выборки функции 5(2), т. е. значения функ*
ции 5(2) в отсчетны-х точках /г-у- на оси частот.
Если кроме длительности ограничен также и спектр 1 сигнала*
причем наивысшая частота есть £2т> то число отсчетных точек
равно
(2.62>
В общем случае 5(й) является комплексндй величиной и, сле¬
довательно, в каждой отсчетной точке (за исключением точки
£2=0) должны быть заданы дейс*1- S(B)
ей,тельная и мнимая, части функции
5(й) (или модуль и фаза). Поэто¬
му, как и при временном представ¬
лении, общее число независимых
параметров или «степеней свобо¬
ды» сигнала равно N — 2FmT + 1«
2 FmT.
Рис. 2.24'
Чем «длиннее» сипиал
заданной наивысшей частоте
тем меньше частотные интервалы -у между выборками функ¬
ции 5(0).
На рис. 2.24 изображен график модуля функции 5(2) и
соответственно абсолютные значения (модули)2 выборок 5 (я-у-) ^
Для полного задания спектральной функции должны быть допол¬
нительно указаны аргументы (фазы) выборок.
В дальнейшем нам понадобится умение' выражать полную
энергию сигнала через заданные выборки. Для установления тре¬
буемого сортношения воспользуемся выражением типа (2.50)
(2.63)
Здесь As представляет собой энергию, выделяемую сигналом s(t)
(ток, напряжение) в сопротивлении 1 ом за все время действия
сигнала Т.
1 См. сделанную выше оговорку относительно нестрогости допущения об
одновременном ограничена сигнала по спектру и по длительности.
2 Эти значения определяются по ф-ле (2.29), в которой Ап—амплитуда
п й гармоники периодической функции, получающейся при повторении задан¬
ного сигнала с периодом Т.
79
При возведении суммы в квадрат получаются слагаемые двух
видов
sin2Qm (t—kkt) sin2*
Q2m (t—/Ш)2 ~' *2
•И
sinQm(t — k\t) sin2m(i‘—Ш)_ sin* sin(дг — rtrn)
Qm(t — kbt) Qm(t—at) x (x — rtrn) ’
где обозначено m = l — кф 0;
т т
При Г > М пределы интегрирования — и + y можно заме^
нить пределами — оо и +оо.
Интегрирование слагаемых первого вида дает
а слагаемых второго вида
/ , „ sin* sin(.*: — /w) / гЛ
1 в силу ортогональности функции —— и ^ _ т71— при /и. =£ UJ .
Таким образом, выражение для As приводится к виду
Этому результату можно дать следующее простое толкование:
энергия сигнала за время одного интервала At, соответствующего,
например, n-й выборке, р.авна [s(reA0]2^ = -oc— [s («Д^)]2. Для
m
вычисления полной энергии сигнала за время Т остается просум¬
мировать полученные выражения для всех значений п от —FmT
до +FmT.
80
ГЛАВА 3
МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
3.1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть задано высокочастотное колебание (напряжение, ток),
мгновенное значение которого определяется выражением
a {t) = A sin (<о^ -f- 0) = A sin ty, (3.1)
где амплитуда А, частота © и фаза 0 могут быть либо постоян¬
ными, либо изменяющимися величинами, a i|)— фаза колебания
в момент времени t.
Если Л, 0 и <о — постоянные величины, то выражение (3.1)
определяет гармоническое колебание; частота ю = шо этого коле¬
бания обычно называется «несущей» частотой.
Если А или г|) подвергаются принудительному изменению
с целью передачи сообщений, то колебание a(i) становится мо¬
дулированным.
Процесс управления одним из параметров колебания назы¬
вается модуляцией.
В зависимости от того, изменяется ли при модуляции ампли¬
туда А „или угол различают два основных вида модуляции:
амплитудную и у г л о в у ю модуляцию.
Угловая модуляция; в свою очередь, подразделяется на два
вида: частотную и фазовую модуляцию. Эти два вида мо¬
дуляции между собой тесно связаны, и различие между ними про¬
является лишь в характере изменения во времени угла i|> при
одной и той же модулирующей функции.
Изменяемые по закону передаваемого сообщения параметры —
амплитуда, чаютота или фаза — могут обычно рассматриваться
как медленные функции времени. Это означает, что спектр
модулирующего (передаваемого) сигнала группируется в обла¬
сти низких по сравнению с ©о частот.
Изменение хотя бы одного из параметров — амплитуды, ча¬
стоты или фазы — лишает высокочастотное колебание гармониче¬
ского характера и превращает его в колебание сложное, состоящее
из большего или меньшего числа простых гармонических колеба¬
ний. Таким образом, модулированное колебание обладает
6 Зак. 3/235 81
спектром частот. Структура спектра зависит как от характера
передаваемого сигнала (сообщения), так и от вида модуляции.
В практике часто приходится встречаться со смешанной мо¬
дуляцией, например амплитудно-фазовой или амплитудно-частот¬
ной. Иногда один из видов модуляции является полезным (рабо¬
чим), а другие — паразитными, сопровождающими основную мо¬
дуляцию из-за несовершенства технических опособов осуществле¬
ния модуляции или из-за деформации спектра модулированного
колебания при его прохождении через электрические цепи.
Перечисленные выше виды модуляции основаны на прямом из¬
менении одного из параметров высокочастотного колебания.
Успехи, достигнутые в освоении сверхвысоких частот, а также
развитие импульсной техники способствовали созданию новых ви¬
дов управления колебаниями, а именно импульсной моду¬
ляции. При такой модуляции передаваемый сигнал (сообщение)
тем или иным способом изменяет вспомогательную импульсную
последовательность, которая, в свою очередь, модулирует высо¬
кочастотное колебание.
В зависимости, от того, какой параметр изменяется при пер¬
вичной модуляции — амплитуда, длительность или положение
импульсов, — различают амплитудно-импульсную модуляцию
(АИМ), модуляцию по длительно¬
сти (ДИМ), частотно-импульсную
(ЧИМ), фазово-импульсную моду¬
ляцию (ФИМ) и др.
Некоторые виды импульсной
модуляции рассматриваются в
§3.9.
3.2. АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ
КОЛЕБАНИЯ
При чисто амплитудной модуля¬
ции огибающая амплитуд высокоча¬
стотного колебания изменяется по
закону изменения управляющего
сигнала. Пусть этот сигнал представляет собой заданную функ¬
цию времени e(t), показанную иа рис. 3.1, а.
Тогда амплитудно^модулированное колебание, изображенное
на рис. 3.1,6, можно представить выражением
а (t) = [Л0 -f- ke (^)] sin (<о0i + 0О) — А (t) sin (<о0^ + ^о). (3.2)
где k — коэффициент пропорциональности;
0О —начальная фаза колебания (пр’и ^ = 0), а
А0 — амплитуда несущего колебания (в отсутствие модуляции).
Для полного использования мощности передатчика относи¬
тельное изменение амплитуды при,(Модуляции выгодно доводить до
наибольшей возможной величины. Если в качестве исходного
82
Рис. 3.1
уровня выбрать амплитуду Ао, то изменение огибающей «вниз» не
может превышать Ао, т. е. относительное изменение не может
быть больше единицы. Изменение же «вверх» может быть, в прин¬
ципе, и больше Aq.
Определение понятия глубины модуляции удобно ввести для
случая тональной модуляции, когда модулирующая функция e(t)
является гармоническим коле¬
банием:
e(t)=E sin (Qt + 7).
В этом случае огибающую вы¬
сокочастотного колебания мо¬
жно записать в виде
A(t) =
= А, + ААт sin (Qt + т), (3.3)
Рис. 3.2
где 2 — частота модулирующей функции;
Т — начальная фаза огибающей, а
ААт = kE — амплитуда изменения огибающей (рис. 3.2).
Отношение
Л>
называется коэффициентом глубины модуляции или
просто коэффициентом модуляции.
Таким образом, мгновенное значение модулированного коле¬
бания можно записать в форме
л (t) — Aq [1 -}- М. sin (Qt -j- т)] (<V "H ®o)*
При неискаженной модуляции (M<1)
изменяется в пределах от минимальной
амплитуда
(3.4)
колебания
до максимальной
■^мин — -Ао (1 М)
-^макс — (^ “I- •^)*
В соответствии с изменением амплитуды изменяется и средняя
за период высокой частоты мощность модулированного колебания.
Если A(t)—амплитуда тока в колебательном контуре, та выде¬
ляемая в сопротивлении потерь г мощность (средняя за период
несущей).
P(t) = ^LL.
Это выражение справедливо при условии, что 2 < а>0, так
что в пределах одного периода fT0 = — фдрму тока можно счи-
й>0
тать синусоидальной.
6*
83
Различают следующие характерные значения P(t):
1) мощность режима несущей волны (в отсутствие модуляции)
А\г
Р ———
о 2
2) мощность в максимальном режиме
Рт. =^- = ^Ц-^/- = Рв(1 +Л)«;
3) мощность в минимальном режиме
r=w_Mf;
4) мощность, средняя за период модуляции. Эту мощность
можно определить следующим образам 1:
рЩ^^1г =-^А20 [1 -fMsin(2* + T)]2 = />0(l +0,5М2). (3.5)
Таким образом, при стопроцентной модуляции
^макс — 4Я0.
P(t) = l,5P0.
Из последнего выражения видно, что полезное приращение
средней мощности колебания, в основном и определяющее условия
выделения сигнала при приеме, не превышает половины мощности
режима молчания.
В максимальном же режиме передатчик должен развивать
мощность, вчетверо превышающую Ро. Эта особенность ампли¬
тудной модуляции является существенным недостатком, ухудшаю¬
щим использование электронных приборов передатчика и удоро¬
жающим его стоимость.
3.3. СПЕКТР АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ
Во введении к данной главе (§ 3.1) отмечалось, что изменение
одного из параметров высокочастотного колебания, в данном слу¬
чае амплитуды, приводит к образованию новых частот. Проще
всего это можно показать для случая тональной (гармонической)
модуляции. Обращаясь к выражению (3.4), перепишем его сле¬
дующим образом:
о, (t) = ^4g [sin (u>0^ -j- 0q) -j- M sin(2^ •]— y) sin (®o^ —|- 6q)]. (3.4/)
»Среднее значение sin (Qi! +1) за период модулирующей частоты равно
нулю, а среднее значение sin3 (Qt -f f) равно 1/2. Черта над функцией означает
операцию усреднения по времени.
84
Второе слагаемое в правой йасти этого выражения, являю¬
щееся продуктом модуляции, может быть приведено к виду
М sin (2^ + т) sin (<i>0tf 0О) =
= - Ц- COS [К + 2) t + (00 + т)] + 4 cos [(“о - 2) t + (в0 - ?)],
в соответствии с чем развернутое выражение для a(t) принимает
следующую форму:
а (0 = Л о sin К* + 0О) — cos [К + 2) t + 0О + т] +
+ i^cos[K-2)< + 0o-T]. (3.6)
Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное
немодулированное колебание с «несущей» частотой соо- Второе и
третье слагаемые соответствуют новым колебаниям (гармониче¬
ским), появляющимся в процессе модуляции амплитуды. Частоты
этих колебаний юо+£2 и ох> — £2 называются «верхней» и «нижней»
боковыми частотами модуляции.
Амплитуды этих двух колебаний одинаковы и составляют от
амплитуды немодулированного колебания долю, равную М/2, а их
фазы симметричны отно¬
сительно фазы несущего
колебания. Это в нагляд¬
ной форме иллюстрирует¬
ся векторной диаграм¬
мой, представленной на
рис. 3.3.
На этой диаграмме
ось времени вращается
по часовой стрелке с уг¬
ловой частотой <оо, причем
отсчет угла oV ведется
от линии ОВ. Поэтому
несущее колебание
Л0 sin {со0*+0о) изобра¬
жается на этой диаграмме
в виде неподвижного вектора длиной Л0, составляющего с горизон¬
талью угол 0о. Мгновенное значение несущего колебания в мо¬
мент t равно проекции вектора А0 на линию, перпендикулярную
к оси времени (отрезок DK).
• Для представления на этой же диаграмме колебания с часто¬
той <оо+£2, превышающей угловую частоту оси времени на вели¬
чину £2, необходимо воспользоваться, вектором, вращающимся
с угловой частотой £2 против часовой стрелки (вектор DC\). Для
изображения колебания с частотой соо— £2 потребуется вектор,
вращающийся с такой же скоростью £2 по часовой стрелке (век-
85
Рис. 3.3
тор DCi). Поэтому колебания боковых частот — верхней и ниж*
„ МА0
ней — изображаются двумя векторами длинои —j-> вращающи¬
мися во взаимно противопрложных направлениях. Фазировка этих
векторов симметрична относительно вектора несущего колебания
/4«. Это следует из выражения (3.6), которое для большей нагляд¬
ности целесообразно записать в несколько видоизмененной форме.
С помощью соотношений
cosa=—sin^a—^ ; cos a = sin (a + -?r)
выражение (3.6) можно привести к виду
a (t) = Л0 sin Ы + 0О) + ^ sin {(®0< + 0О) - [-J - (Qt + Т)]} +
MAq sln J(a)o< _|_ _J_ J"_ _|_ y)J| .
Из этого выражения видно, что при любой начальной фазе
огибающей у векторы DC{ и Ьс2, соответствующие колебаниям
верхней и нижней боковых частот, занимают симметричное отно¬
сительно вектора OD положение, причем векторы боковых частот
образуют с вектором несущей частоты углы, равные у (Ш+у).
На рис. 3.3 начала векторов DC^ и DC2 перенесены из точки О
в точку D. Равнодействующий вектор DF, являющийся геометри¬
ческой суммой векторов DCX и DC2 и называемый вектором моду¬
ляции, всегда располагается на линии OD, вследствие чего сумма
всех трех колебаний — несущей и двух боковых частот — может
рассматриваться как колебание с постоянной начальной фазой и
частотой, но с модулированной амплитудой.
Попутно можно отметить, что если в результате прохождения
через электрические цепи нарушается равенство амплитуд коле¬
баний боковых частот или симметрия их фаз относительно фазы
несущего колебания, то возникает качание вектора, представляю¬
щего результирующее колебание, относительно направления OD.
Это равносильно возникновению паразитной фазовой модуляции.
Остановимся на вопросе о фазе огибающей амплитуд при
чисто амплитудной модуляции. Допустим, что начальная фаза вы¬
сокочастотного колебания 0о = 9О°. Тогда векторная диаграмма
примет вид, показанный на рис. 3.4. Если при Qt = 0 векторы бо¬
ковых частот DC 1 и DC2 направлены «верх (положение / на рис. 3.5),
то огибающая амплитуд проходит в этот момент через свое макси¬
мальное значение Ло(1+М). Этот случай отвечает начальной фазе
огибающей Y=y [уравнение (3.4)], и уравнение огибающей будет
86
A(t) = A0(l + Ж cos2*).
Если же в момент Ш=0 векторы DC\ и DC2 занимают гори¬
зонтальное положение, то равнодействующая проходит через зна-
чение^равное A0t В этом случае начальная фаза огибающей y=0
и уравнение для огиба¬
ющей будет
Рис. 3.4
Рис. 3.5
Спектральная диаграмма колебания npni тональной модуляции
показана на рис. 3.6. Ширина спектра в этом случае равна удвоен¬
ной частоте модуляции 2Q, а амплитуды колебаний боковых ча¬
стот не могут превышать половины амплитуды немодулирован-
ного колебания (при Л4-<1).
Полученные результаты нетруд¬
но распространить на случай моду¬
ляции любым сложным сигналом.
Картину образования спектра ам-
плитудно-модулированного колеба¬
ния проще всего пояснить сначала
на примере, когда модулирующее
напряжение e(t) является суммой
двух тонов:
е (t) = Ei sin 2^ -f- Е2 sin 2 2t.
Рис. 3.6
По аналогии с выражением (3.3) получаем
(3.7)
Подставляя это выражение в уравнение (3.2) и производя три*
гонометрические преобразования, аналогичные тем, которые были
87
использованы лри получении уравнения (3.6), придем к следую^
щему результату (начальные фазы несущего колебания 0о и моду¬
лирующих напряжений с частотами £2i и й2 здесь для упрощения
опущены):
С,)*-
(3.8)
Мы видим, что каждая из частот Qi и Й2 образует свою тональ¬
ную модуляцию, сопровождающуюся возникновением пары боко¬
вых частот, причем этот процесс является линейным в том смысле,
что амплитуды и фазы боковых частот от различных модулирую¬
щих напряжений взаимно независимы. (Последнее свойство со¬
храняется при условии, что суммарное изменение огибающей
«вниз» не превышает
100%).
Если управляющий
сигнал e(t) обладает бо¬
лее сложным спектром,
картина не изменяется:
каждая составляющая
спектра e(t) дает свою
пару боковых частот. В
результате получается
спектр, состоящий из
двух полос, симметрич¬
ных относительно несу¬
щей* частоты <оо, причем
с увеличением числа со¬
ставляющих в спектре
e(t) снижается значение
коэффициента модуля¬
ции, приходящееся на
каждую из этих состав¬
ляющих.
Построение амплитуд¬
ного спектра модулированного колебания по заданному спектру
сигнала e(t) поясняется на рис. 3.7. В верхней части этого ри¬
сунка изображен дискретный спектр управляющего сигнала,
а в самой нижней части — спектр модулированного сигнала.
На рис. 3.7, б показан спектр сигнала, который получается при
представлении каждого компонента e(t) в виде суммы колебаний
с положительной и отрицательными частотами. В соответствии
с §2.3, формулой (2.12), амплитуды этих колебаний вдвое меньше,,
чем при пользований только положительными частотами.
Итак, структура спектра амплитудно-модулированного колеба¬
ния может быть получена из спектра управляющего сигнала пу-
88
Рис. 3.7
тем сдвига последнего спектра по оси частот на величину ©о-
вправо. Отсюда видно, что отрицательные частоты, формально
введенные при комплексном представлении гармонического коле¬
бания (см. § 2.3), в случае модуляции имеют физический смысл:
«положительные» частоты управляющего сигнала £2, суммируясь*
с несущей частотой ©о, образуют верхние боковые частоты моду¬
ляции юо+й, а «отрицательные» частоты образуют нижние бо¬
ковые частоты ©о— £5.
На рис. 3.8 приведено построение, аналогичное рис. 3.7, для
случая, когд'а модулирующий сигнал представляет собой периоди¬
ческую последовательность прямоугольных импульсов. На
рис. 3.8, а показан спектр последовательности «видеоимпульсов»,
а на рис. 3,8,6 — «радиоимпульсов».
Более общий метод нахождения спектра модулированного ко¬
лебания, пригодный для любого вида модуляции, будет изложен-
в § 3.8 данной главы.
3.4. УГЛОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ. СВЯЗЬ» МЕЖДУ ЧАСТОТНОЙ И ФАЗОВОЙГ
МОДУЛЯЦИЕЙ
Пусть заданы два гармонических колебания с постоянными, но
разными частотами ©i и ©2
причем Д<о = (01 — ©2>0.
Если представить оба колебания в виде векторов на диаграмме*
ось времени которой вращается по часовой стрелке с угловой
скоростью, равной ©i, то вектор О А, соответствующий колеба¬
ние. 3.8
а = А0 sin a>tt = A0 sin
b = B0 sin w2i=B0 sin (<■>!* + Дт<) — В0 sin ty2>
(3.9)
89
нию а, будет неподвижен, а вектор ОВ, соответствующий коле¬
банию’ Ь а частотой co2>coi, будет равномерно вращаться против
часовой стрелки с угловой скоростью Д© = со2 — Qi (рис. 3.9).
Угол 0 между векторами ОА и ОВ будет непрерывно возрастать
и по истечении времени t достигнет величины 0 = Дсо^. Подставив
это значение 0 во второе уравнение (3.9), получим
a = A0sin^t, |
й = Д0sin К*+ 6(0]. I
Отсюда видно, что колебание с постоянной частотой ©2
можно рассматривать как колебание с частотой ач < ©г, но
с линейно возрастающей начальной фазой
0 (t) = Ш.
Можно, конечно, и колебание с частотой ©i
трактовать как колебание с частотой (02>соь
но с непрерывно убывающей фазой 0 =
«=—До/.
Таким образом, если известно, что за вре¬
мя t колебание Ь опередило по фазе коле¬
бание а на угол 0, то можно утверждать, что
на протяжении указанного отрезка времени
частота ©2 превышала частоту coi на величину
Аы=Т-
Допустим теперь, что на протяжении времени t частота коле¬
бания b не оставалась постоянной, так что разность Дсо = о)2 — toi
являлась функцией времени. Тогда для определения фазового
сдвига к моменту времени t мы уже не вправе больше умножать
Дсо на t, а должны искать 0 в виде интеграла
t
е= j* До>(t)dt (зло)
о
Полная фаза колебания Ь будет при этом
t
ф2 = <0^+» J Да>(t)dt.
о
Это выражение справедливо, если «и — постоянная величина.
В общем случае, если задан закон изменения мгновенной частоты
колебания в виде функции
w = w(t),
то полный набег фазы за время от 0 до t следует определять с по¬
мощью выражения
Рис. 3.9
Очевидно и обратное положение: если за промежуток вре¬
мени dt набег фазы колебания Ь относительно колебания а равен
d$, то частотное отклонение (разность частот) в момент t равно
А» (*)=-£• (3.12)
В общем случае, если задана полная фаза колебания в виде
функции
Ф = Ф(*).
то мгновенное значение частоты в момент t определяется выра-
жением
»(*) = ■$-. (3.13)
Эти свойства колебания можно сформулировать следующим
образом: изменение частоты во времени по закону ®(t) эквива¬
лентно изменению полной фазы пЬ закону интеграла от (a(t),
а изменение полной фазы по закону эквивалентно изменению
частоты по закону производной от
Это положение, являющееся основным в теории угловой моду¬
ляции, определяет связь между изменениями частоты и фазы я
указывает на общность, существующую между двумя разновид¬
ностями угловой модуляции — модуляцией частоты и модуляцией
фазы.
Приложим полученные результаты к тональной модуляции, т. е.
к случаю, когда модулирующая функция задана в виде
«(*)=£ cos 9/. (3.14)
Не уточняя пока способа осуществления модуляции, допустим,
что частота генератора изменяется по закону
<o(tf) == (о0 Кцщ.Е cos 2^ = (в0 -f- о>д cos 2^. (3.15)
Здесь <о0 = 2гс/0 — средняя частота колебания (в отсутствие мо¬
дуляции);
ЛГчм — коэффициент пропорциональности, определяю¬
щий связь между модулирующим напряжением
и изменением частоты генератора;
2 = 2tiF — частота модуля ции;
<1>‘=2и/д — амплитуда частотного’ отклонения.
Для краткости юд в дальнейшем будем называть девиацией
частоты или просто девиацией.
Составим выражение для мгновенного значения колебания
(тока или напряжения), частота кбторого изменяется по закону
(3.15). Для этого записываем выражение высокочастотного коле¬
бания в общей форме
a = -A0sin<}>. (3.16)
Полную фазу колебания определяем по формуле (3.11), под- '
ставив в нее вместо ю(<) выражение (3.15):
t t
<|>= Jo>(t)dt== J[o>0 + «1Д cos2^] dt — a>0£ -f- sin Qi. (3.17)
о о
Таким образом,
a = Д, sin ^<o0^-f- •^•sinQ^ . (3.18)
Рассматривая это выражение, убеждаемся, что периодическая
модуляция частоты в пределах ±сод чистым тоном £2 эквивалентна
гармонической вариации фазы с той же частотой в пределах
угла ± -^р. Таким образом, амплитуда получаемой при этом ва^
риации фазы равна
9макс = -¥:. (3.19)
Отношение
т = -^- = ви!1КС, (3.20>
называемое часто индексом модуляции, является основным пара¬
метром угловой модуляции. Существенно, что индекс модуляции
не зависит от средней (смодулированной) частоты о>о, а опре¬
деляется исключительно величиной девиации и модулирующей
частотой.
Допустим теперь, что генератор дает колебание со стабиль¬
ной частотой оо, но фаза этого колебания с помощью -специаль¬
ного модулятора, не связанного с генератором, варьируется по
закону
0 = /C<j>M^sin2^ = 0MaKCsin<2^. (3.21)
Здесь Кфм — коэффициент пропорциональности, определяющий
связь между модулирующим напряжением и изме¬
нением фазы колебания;
0макс — амплитуда изменения фазы при модуляции.
В данном случае полная фаза колебания (тока или напряже¬
ния) определяется, суммой
ф = (в0^ + 9 — -f 0MaKcSin2^ = a>o£-|-/rasin2tf (3.22)
и мгновенное значение колебания
а (0 = А0 sin ф = А0 sin(<V + Q*)- (3.23)
Мгновенная частота этого колебания в соответствии с выра¬
жением (3.13) будет
»(*)=-§- = «>, + 0макс2 cos 21. (3.24)
92
Итак, модулируя фазу в пределах ±0макс с частотой 2, мы
получили колебание, мгновенная частота которого изменяется
с той же частотой 2 в пределах ±0макс2.
Учитывая, что по определению (3.20)
а <»д
°макс — ш — q >
можно выражение (3.24) переписать в форме
Рис. 3.10
Таким образом, при модуляции чистым тоном по характеру
колебания и его свойствам нельзя вывести никакого заключения
о том, с какой модуляцией мы имеем дело — частотной или фазо¬
вой. В обоих случаях вектор О А, изображающий на круговой
диаграмме модулированное колебание, качается относительно
своего исходного положения таким образом, что угол 0 (рис. 3.10)
изменяется во времени по закону:
0 = 0MaKcsin^ при фазовой модуляции,
0 = -^-sln2^ = 0MaKCsin2< при частотной модуляции (по закону
Д<1)=(0дСО8Ш).
В то же время различие между частотной и фазовой модуля¬
цией проявляется при изменении частоты модуляции или же при
одновременной модуляции полосой частот.
При частотной модуляции величина девиации ©д пропорцио¬
нальна амплитуде модулирующего напряжения V и не зависит
от частоты модуляции £2.
93
При фазовой же модуляции величина бмакс пропорциональна
амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты
модуляции.
Эти положения поясняются рис. 3.fl и ЭГ. 12, на которых пока¬
заны частотные характеристики для величин а»д и бмакс при ча¬
стотной и фазовой модуляции. В обоих случаях предполагается,
что на вход модулятора подается модулирующее напряжение
,с неизменной амплитудой, а частота й изменяется от ймиа
ДО ймакс*
В первом случае, т. е. при частотной модуляции, величина <ад>
зависящая, как указывалось выше, только от амплитуды '£/, бу¬
дет постоянной величиной. Величина же индекса модуляции, т. е.
Рис. 3.11 Рис. 3.12
т==-^— ^макс. с увеличением частоты будет убывать (рис. 3.11).
Во втором случае, т. е. при фазовой модуляции, 0макс не зави¬
сит от й, а Юд = 0максй изменяется пропорционально частоте мо¬
дуляции (рис. 3.12).
Если на вход модулятора подается не гармоническое, а слож¬
ное напряжение, то структура модулированного колебания будет
различной для ЧМ и ФМ. В первом случае медленным измене¬
нием сигнала (т. е. низким частотам) будут соответствовать
очень большие значения 0Макс(рис. 3.11), а во втором, т. е.' при
фазовой модуляции, — очень малые значения юд (рис. 3.12).
Поясним это на примере. Пусть на вход частотного и фа¬
зового модуляторов подается одинаковое напряжение, частота ко¬
торого ^изменяется в пределах от Fam= 200 гц до F„aKC=2000 гц.
При частотной модуляции /„ = 20 кгц, а при фазовой модуляции
®макс =0,5 рад, причем эти величины при заданной и неизменной
амплитуде 'U остаются неизменными в полосе от 200 до 2000 гц.
Тогда при ЧМ максимальное значение фазового отклонения будет
при Fum равно
о /. 20000 1Л1А ,
®макс — /•'„ин — 200 — рО-д.
Минимальное же значение фазового отклонения при FMкс бу¬
дет
94
При фазовой модуляции минимальная девиация, равная /дмин =
®макс^мин
= 100 гц, будет при наинизшей частоте модуляции Fum,
Максимальная же девиация, равная /дмакс = бМакЛакс= 1000 гц,
будет при наивысшей частоте модуляции Fuiкс.
Помимо различия в структуре колебания (при модуляции
сложным сигналом) частотная и фазовая модуляции различаются
по способу осуществления. В первом случае обычно применяется
прямое воздействие на частоту колебаний генератора. В случае
же фазовой модуляции гейератор дает стабильную частоту, а фаза
колебания модулируется
в одном из последующих
элементов устройства.
Вместе с тем рассмо¬
тренные особенности ко¬
лебания при ЧМ и ФМ
указывают на возмож¬
ность преобразования од¬
ного вида модуляции в
другой. Так, например,
если требуется осуществить частотную модуляцию с помощью
фазового модуляционного устройства, то достаточно на входе по¬
следнего включить корректирующее устройство, обладающее ча¬
стотной характеристикой вида -q . Благодаря этому устройству
амплитуда модулирующего напряжения, а следовательно, и индекс
модуляции будут убывать обратно пропорционально частоте £2,
как это и требуется для частотной модуляции. В простейшем виде
схема корректора представляет собой последовательное соедине¬
ние активного сопротивления и емкости, как это показано на
рис. 3.13. При выполнении условия /?>о—г> гДе £2МИН—наимень-
^МИН Ь
шая модулирующая частота, получается требуемая частотная ха¬
рактеристика коэффициента передачи цепи
Рис. 3.13
Можно осуществить также и фазовую модуляцию с помощью
частотного модуляционного устройства. Подробнее этот вопрос
рассматривается в гл. 12.
3.5. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОЙ УГЛОВОЙ
МОДУЛЯЦИИ
Запишем выражение1 для мгновенного значения колебания,
модулированного по частоте или фазе чистым тоном Q,
а = ^0sin(w0^-fmsin2<)> (3.25)
1 Для упрощения записи начальная фаза высокочастотного колебания
принята б0 = 0. То же самое относится и к начальной фазе у модулирующей
функции.
95
в несколько видоизмененной форме:
а = А0 [cos (т sin Qt) sin w0i -f- sin (m sin Qt) cos o>0£]. (3.26)
Рассмотрим сначала свойства колебания при ^неглубокой»
модуляции, характеризующейся относительно небольшим значе¬
нием фазового отклонения, т. е. индексом т<^1.
В этом случае можно считать
sin (т sin 2/) ^ т. sin Qt,
cos (т sin 2/) ^’l.
Подставляя эти приближенные равенства в выражение (3.2§),
•получаем
a AQ [sin a\t + tn sin 2/ cos <V] =
= A0 jsina»0t + y sin (<o0 -f- 2) t — -y sin (<o0 — 2) tJ. (3.27)
Сравним этот результат с случаем амплитудной модуляции.
С этой целью воспользуемся выражением (3.4) и подставим
в него 00=0 и7=-|-,т. е. приведем уравнение амплитудно-моду-
лированного колебания к виду
a(t) — А0 [1 -\-М cos 2*] sin<V.
При этом амплитуда колебания модулируется по закону, сов¬
падающему с законом изменения частоты в выражении (3.25).
Спектр колебания при AM в соответствии с (3.6) будет
а (t) = А0 £sin o>0t + 4г sin (<о0 + 2) t + Ц- sin (щ — 2) .
Из сравнения этого выражения с уравнением (3.27) видно, что
спектр колебания, модулированного по частоте или по фазе, при
малом значении т состоит, как и спектр амплитудно-модулиро-
ванного колебания, из несущей частоты со0 и двух боковых ча¬
стот— верхней (оо+£2 и нижней ©о—Й. Единственное отличие за¬
ключается в сдвиге колебания нижней боковой частоты на 180°
(знак минус) относительно того положения, какое оно занимает
при амплитудной модуляции. Это положение иллюстрируется
векторной диаграммой (рис. 3.14). В результате вектор модуля¬
ции DF всегда перпендикулярен к направлению вектора OD.
Вектор OF, изображающий результирующее колебание, изме¬
няется по фазе и по амплитуде; однако при т = 0макс< 1 ампли¬
тудными изменениями можно пренебрегать, вследствие чего мо¬
дуляция может в первом приближении рассматриваться как чи¬
сто фазовая.
Спектральная диаграмма угловой модуляции при m< 1 пока¬
зана на рис. 3.15. Так как фазы отдельных составляющих ко¬
лебаний этой диаграммой не учитываются, то характер диа¬
граммы получается такой же, как и в случае амплитудной мо¬
дуляции (рис. 3.6). Амплитуды колебаний боковых частот равны
96
таким образом, в данном случае индекс модуляции т сов¬
падает по величине с коэффициентом М, характеризующим глу¬
бину изменения амплитуды в случае амплитудной модуляции.
Полезно отметить, что ширина спектра при т<^ 1 равна 2Q, как
и в случае AM.
Этот результат показывает, что при очень малых девиациях
(Од (по сравнению с Q) ширина спектра от величины сод не за¬
висит.
При увеличении фазового отклонения, т. е. при возрастании
величины т, уравнение (3.27) и диаграмма рис. 3.14 не дают
правильного представления о дей¬
ствительной картине явлений при
частотной или фазовой модуля-'
ции. Это объясняется тем, что
с помощью колебания несущей ча¬
стоты и всего лишь одной пары
колебаний боковых частот невоз¬
можно представить колебание,
Рис. 3.14
частота или фаза которого изменяются в широких пределах по
синусоидальному закону, а амплитуда остается строго постоян¬
ной. Действительно, анализ выражения (3.26) показывает, что
периодическая вариация фазы или частоты колебания приводит
к появлению большого числа дополнительных частот и что при
одинаковой модулирующей частоте спектр колебания, модулиро¬
ванного по частоте или фазе, оказывается значительно шире, чем
спектр колебания, модулированного по амплитуде.
Чтобы в этом убедиться, достаточно разложить в ряд Фурье
функции sin (т sin Qt) и cos (m sin Q/). В теории бесселевых
функций доказываются следующие соотношения:
sin (т sin 2/) = 2Jx (т) sin 2/ -j- 2J3 (m) sin 32/ -f-
+ 2/6(**)sin52/ + (3.28)
cos (m sin Qt)=J0 (m) -f- 2J2 (m) cos 2Qt + 2/4 (m) cos 42/ + ..., (3.29)
sin (m cos 2/) = 2Jx (m) cos 2/ — 2/3 (m) cos 32/ 4-
+ 2Jb (m) cos 52/ — ..., (3.30)
cos (pi cos 2/) = J0 (tri) — 2 J2 (tri) cos 22/ + 2 JA (m) cos 42/ — ..(3.31)
Jn(m) —бесселева функция первого рода /г-го порядка от ар¬
гумента т.
7 Зек. 3/235 97
Рис. 3.15
С Номощью соотношений (3.28) й (3.29) уравнениё (3.25) мо¬
жет быть представлено в виде
а = А0 sin (<»0* -)- т sin £2/) = А0 {/„ (т) sin u>0t +
+ 2/, (т) sin Qi cos <о0* -f- 2У2 (m) cos 2Qt sin o>0/ -|-
+ 2J3 (tn) sin 32* cos <o0t + • • • I (3.32)
или в более развернутом виде
а = А0 sin (а\t-\-m sin 2 /) = Д , {/„ (т) sin n>0t -j-
-j- J\ (tn) [sin (<o0 -j- 2) t — sin (<i>0 — 2) *] -j-
-f- J% (tn) [sin (o>o -f- 22) t -(- sin (o)0 — 22) t\ -j-
-|- J3 (tn) [sin (o>0 -f- 32) t — sin (<!>0 — 32) *] -j-
+ ....}. (3.33)
Таким образом, при частотной и фазовой модуляции спектр
колебания состоит из бесконечного числа боковых частот, отли¬
чающихся от несущей частоты на nQ, где п — любое целое число.
Амплитуда п-й боковой составляющей равна An=Jп(т)А0, где
А0 — амплитуда немодулиро-
ванного колебания, а т — ин¬
декс модуляции.
Существенно, что амплиту¬
ды колебаний боковых частот
определяются исключительно
отношением =т и совер¬
шенно не зависят от абсолют¬
ного значения несущей часто-
ТЫ 0)о.
Слагаемые вида
Jn (т) sinnQfcosoo/ или
/n(m) cosnQ/sin (i)o^, представ-
ляющие собой равнодействую¬
щие двух боковых частот'
«о + Ш и о)о — nQt по аналогии с амплитудной модуляцией могут
рассматриваться как векторы модуляции. Фазировка этих векто¬
ров относительно вектора несущей частоты sinooo/ неодинакова:
те из векторов модуляции, которые определяется множителем
cos wotf повернуты на 90° относительно вектора несущей, а век¬
торы вида /„ (т) cos nQt sin 0)0/ — в фазе с векотором несущей ча¬
стоты.
Само собой разумеется, что если несущая частота будет вы¬
ражена через cos о)01, то вектор /я(т) sin nQt cos о)0/ будет в фазе
с вектором несущей, а вектор Jn(m) cos AiQ/sin oW сдвинут на 90°
относительно вектора несущей частоты. Ориентировка векторов
модуляции поясняется диаграммой рис. 3.16, построенной дл*
98
Рис. 3.16
двух значений Qt(Qt=0 н Q/=90°) при индексе модуляции
m= 1.
При дальнейшем возрастании т приходится учитывать боль¬
шее число боковых частот. Это видно из рис. 3.17 и 3.18, пред¬
ставляющих амплитудные спектры для ряда значений т от 0,5
Рис. 3.17
Рис. 3.18
до 24. Амплитуды всех составляющих спектра представлены на
этих чертежах в виде вертикальных отрезков, длины которых
равны Jn(m), а расстояния от отрезка /о(т), соответствующего
амплитуде колебания несущей частоты, равны nQ, где Q — ча¬
стота модуляции, а п — порядковый номер боковой частоты. Ам¬
плитуда немодулированного колебания принята за 100%; обозна¬
ченные на чертежах величины /л(т) дают амплитуды колебаний
соответствующих частот в процентах от амплитуды немодулиро¬
ванного колебания. Рис. 3.17 построен для неизменной девиации
«од> а рис. 3.18 —для неизменной модулирующей частоты Q. Для
7* 99
изменения индекса модуляции т от 0,5 до 24 в первом случае
требуется изменять сод в пределах от содмин = 0,5£2 До содмакс =
=-24£2; во втором случае необходимо изменять Q от Ц«акс =-jj-f-ДО
^мин = -J7* Графики некоторых коэффициентов Jn(m) приводятся
на рис. 3.19.
Рассмотрение рис. 3.17—3.19 показывает, что при малых зна¬
чениях индексов т (а именно т<0,5) ширина спектра опреде¬
ляется, как и в случае амплитудной модуляции, одной парой бо¬
ковых частот и равна, следовательно, 2Q. При значениях ин¬
декса т от 0,5 до 1 приобретает некоторое значение вторая пара
боковых частот, ввиду чего ширина спектра должна быть при¬
равнена 4Q. Далее, при значениях индекса т от 1 до 2 приходится
считаться с третьей и четвертой парами боковых частот, соответ¬
ственно чему ширина спектра доходит до (6—8) Q. При больших
значениях индексу модуляции ширина спектра приближается
к величине 2mQ. Это бзначает, что наивысший номер п боковой
частоты, с амплитудой которой необходимо считаться, прибли¬
жается к индексу модуляции т. Так, например, при т = 5 ампли¬
туды всех частот выше п = 6 не превышают 10%; при т = 7 этому
условию удовлетворяют все боковые частоты, соответствующие
при т=15 — боковые частоты, соответствующие 1G
И т. д.
На этом основании ширину спектра при больших индексах
модуляции можно считать приближенно равной удвоенной ам¬
плитуде частотного отклонения, поскольку
2ямакс 2 ^ 2mQ = 2(1)д. (3.34)
В заключение данного параграфа отметим, что в отношении
максимальной мгновенной мощности и ширины полосы частот
между амплитудной и частотной модуляцией существует следую¬
щее принципиальное различие. При .AM пиковая мощность
в (1+М)2 раз больше мощности немодулированного колебания,
100
Рис. 3.19
а полоса частот равна удвоенной частоте модуляции 22. При ча¬
стотной модуляции, наоборот, мощность колебания всегда посто¬
янна и равна мощности немодулированного колебания, но зато
полоса частот весьма велика и (при m> 1) приблизительно
в т раз шире, чем при амплитудной модуляции.
Эти особенности определяют преимущества и недостатки, об¬
ласти применения, а также формы практической реализации каж¬
дого из этих видов модуляции.
3.6. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ
СЛОЖНЫМ СИГНАЛОМ
Ранее было -показано (§ 3.3), что при амплитудной модуляции
сложным сигналом каждая гармоническая составляющая сигнала
образует в модулированном колебании пару колебаний, ампли¬
туды и частоты которых не зависят от остальных составляющих
сигнала. Иными словами, между спектром сигнала и спектром
модулированного колебания при AM существует линейная связь.
При ЧМ или ФМ структура спектра получается значительно
более сложная. При добавлении новой модулирующей частоты не
только изменяются амплитуды колебаний боковых частот от
остальных составляющих сигнала, но появляются еще и новые
комбинационные частоты, сильно усложняющие структуру спектра
модулированного колебания.
Рассмотрим это явление на относительно простом примере мо¬
дуляции частоты двумя тонами, когда мгновенная частота можег
быть записана в виде
Полная фаза колебания в момент t в соответствии с уравне¬
нием (3.17) равна
Уравнение для колебания, модулированного по частоте двумя
тонами, можно записать в форме
(3.35)
t
где
(3.37)
101
С помощью формул (3.28) —(3.31) выражение (3.37) может
быть представлено в следующей более развернутой форме:
Таким образом, при одновременной модуляции двумя часто¬
тами Qi и Q2 спектр содержит следующие компоненты:
а) несущую частоту со<> с амплитудой, пропорциональной про¬
изведению бесселевых функций нулевого порядка от аргументов
пг1 и Ш2\
б) боковые частоты o>o±nQi с амплитудами, пропорциональ¬
ными произведениям J n\m\)h{^2)\
в) боковые частоты соо±лЙ2 с амплитудами, пропорциональ¬
ными произведениям Jn(m2)h{^\)\
г) дополнительные боковые частоты вида [соо± (pQ\±nQ2)],
где р и п — любые целые числа; амплитуды этих частот пропор¬
циональны произведению бесселевых функций от тх и т2, при¬
чем порядок этих функций определяется коэффициентами р и /I.
На первый взгляд может показаться, что общая ширина по¬
лосы частот при модуляции двумя или несколькими частотами
всегда значительно превосходит полосу при модуляции одной ча¬
стотой (наибольшей). В действительности, однако, этого нет
в тех случаях, когда при добавлении новых частот модуляции со¬
ответственно уменьшаются величины девиации, приходящиеся на
каждую из частот в отдельности. Такие условия мы и имеем при
102
передаче сложных сигналов, когда полоса канала определяется,
исходя из максимальной девиации <од, являющейся суммой де¬
виаций от всех модуляционных частот, образующих сигнал. При
распределении суммарной девиации по большому числу топов
индекс т для каждого тона, а следовательно, и общее число ком¬
понент сокращаются; что же касается комбинационных частот,
то амплитуды их с уменьшением m быстро убывают.
Поясним сказанное путем сравнения амплитуд колебаний, ча¬
стоты которых расположены на границе канала, при следующих
двух режимах модуляции: 1) модуляция одной частотой /г= 10 кгц
при полной девиации /*=60 кгц и 2) модуляция двумя частотами
Fx — 9 кгц при /Д1 = 30 кгц и /2=10 кгц при /д2=30 кгц. Ширину
канала примем равной 2/д = 120 кгц.
В случае простой тональной модуляции с индексом т = ^=6
шестая боковая частота, расположенная на границе канала, имеет
амплитуду, пропорциональную /п(т)/1о=/б(6)Лоя»0,25/4о. При
модуляции двумя частотами с индексами m1~m2=3 амплитуды
шестых боковых частот от каждой из частот модуляции Qi и Q*
пропорциональны произведению
Jn {щ) /0 («,) = Л (3) Л (3) « 0,02 • 0,3 = 0,006,
т. е. более чем в сорок раз меньше, чем амплитуда соответствую¬
щей боковой частоты при модуляции одним тоном с той же пол¬
ной девиацией.
Амплитуды комбинационных частот вида юо± (3Qi Н-3£2г)» про¬
порциональные произведению (0,35)2«0,12, при¬
близительно вдвое меньше амплитуд боковых частот при модуля¬
ции одним тоном.
Аналогично при одновременной модуляции более чем двумя то¬
нами амплитуды комбинационных частот, выходящих за пределы
канала 2/д, убывают настолько быстро, что могут не приниматься
во внимание.
Если модулирующий сигнал обладает широким спектром ча¬
стот, определение компонентов спектра модулированного колеба¬
ния приведенным выше способом оказывается трудной или даже
неразрешимой задачей. В таких случаях необходимо использовать
иные приемы. Некоторые из них будут рассмотрены в § 3.8.
3.7. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ СМЕШАННОЙ МОДУЛЯЦИИ —
ЧАСТОТНОЙ И АМПЛИТУДНОЙ
Пусть амплитуда и частота колебания модулируются одновре¬
менно по законам
Л(0 = А>(1 + A* cos О*)»
o>(0 = <0o + wflCOs2^; .
103
Тогда уравнение модулированного колебания с учетом выра¬
жения (3.33) принимает следующий вид:
a (t) = А0 (1 + М cos Qt) sin (a\t + т sin 2^) =
= Л0 (1 + М cos 2^) {/„ (т) sin i»0t +
-j- (fit) [sin(o)0 + 2) t — sin (o)q — 2) t\ -j-
-f- J2 (m) [sin (o)0 -f 22) t -f sin (u>0 — 22) t] +
-)- (/и) [sin (u>o -(- 32) t — sin (<i>0 — 32) t\ -(- ...). (3.39)
Отличие колебания, изображаемого уравнением (3.39), от
случая простой частотной модуляции заключается в том, что
каждая из составляющих спектра частотно-модулированного ко¬
лебания подвергается амплитудной модуляции по закону (1 +
-fAfcosQ/) и дает, следовательно, дополнительно пару боковых
частот вида:
MJ0 (т.) cos 2^ sin <ouf = sjn (mo _j_ Q) / sin (Wo _ Q) ^
MJt (m) cos 21 sin (<o0 -(- 2) t — ~‘^m^ sin (<o0 + 22) t +
, MJ, (tn) . .
H 2^—smwX
(m) cos 2^ sin (o>0 — 2) / = sin <o0t +
, MJy (m) . , 0<~ч л
4 к— 22 )t
и Т. Д.
Эти колебания накладываются на составляющие спектра, со¬
ответствующего частотной модуляции. В результате после груп¬
пировки слагаемых с одинаковыми частотами придем к следую¬
щему выражению для модулированного колебания:
104
Из теории функций Бесселя известна следующая рекуррентная
формула:
На основании этой формулы выражение (3.40) может быть при¬
ведено к следующему виду1:
Из этого выражения видно, что при одновременной модуля¬
ции по амплитуде и частоте амплитуды верхних и нижних боко¬
вых частот в каждой паре получаются неодинаковые. Это объяс¬
няется тем, что при AM колебания боковых частот симметричны
относительно несущего колебания как по амплитудам, так и по
фазам, а при частотной модуляции — только по амплитудам.
Поэтому при наложении спектров от обоих видов модуляции
некоторые из колебаний боковых частот складываются в фазе,
а другие — в противофазе.
В частном случае, когда
амплитуды составляющих с частотами а>о — я£2 обращаются
в нуль.
Разобранное явление наблюдается на практике в устройствах,,
где изменение амплитуды колебания сопровождается изменением
частоты генерации (например, в магнетронах). При осуществле¬
нии частотной модуляции в обычных генераторах асимметрия
спектра амплитуд относительно несущей частоты может служить
признаком того, что рабочая модуляция (частотная) сопровож¬
дается значительной амплитудной модуляцией (паразитной).
1 Телятников Л. И. Искажение а мплиту дно-моду лированных колеба¬
ний вследствие паразитной модуляции частоты. Труды Московского авиацион¬
ного института, № 98, 1958.
(3.40')
3.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРОВ СЛОЖНЫХ РАДИОСИГНАЛОВ
Современное состояние радиотехники характеризуется непре¬
рывным усовершенствованием способов передачи информации.
Это развитие идет по линии изыскания новых видов сигналов и
hob^v способов обработки их в радиоприемных устройствах.
Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные
колебания и их спектры являются лишь простейшими видами ра¬
диосигналов. В более общем случае приходится анализировать
радиосигналы, получаемые в результате одновременной модуля¬
ции амплитуды и частоты (или фазы) колебания по сложному
закону, когда применение рассмотренных выше способов анализа,
удобных для периодической модуляции, оказывается практически
непригодным.
Пусть задано колебание
s (t) = A (t) cos <|> (t) = A (t) cos [<V + 0 (О + <Po], (3.41)
причем (o0 выбрано так, чтобы в 6(0 не оставалось члена, Ли¬
нейно зависящего от времени
Независимо от происхождения и способа получения это коле¬
бание можно трактовать как модулированное колебание. При
этом обычно предполагается, что A(t) и 8(0 являются «медлен¬
ными» функциями. В § 3.1 в качестве условия медленности ис¬
пользовалось условие низкочастотности спектра этих функций по
сравнению с радиочастотой соо.
Дополним это определение оценкой скорости изменения A(t)
и 0(0 во времени. С этой целью воспользуемся выражением
>(3.13) и напишем
^ (^) = = шо Н—= шв Н~ A<°(0- (3.42)
Из этого простого соотношения непосредственно следует, что
•функцию 0(0 можно считать медленной, если абсолютное зна¬
чение ее производной мало по сравнению с частотой ах>:
I Л | dt •’
1 Если функция s{t) задана, то уравнение (3.41) не позволяет однозначно
определить функции A(t) и г|?(/), так как одному и тому же значению s(t)
может соответствовать неограниченное количество пар значений Л(4) и
при которых уравнение (3.41) будет выполняться. Эта неопределенность может
быть исключена, если определять A(t) и ф(£) с помощью следующих соотно¬
шений:
а (о = V«*(<> +«?(*).
-но = arctg-y$-.
где si(t)—сопряженная по отношению к s(t) функция, являющаяся преобра¬
зованием Гильберта от функции s(4). Подробнее этот вопрос рассматривается
в приложения II.
ioa
откуда вытекает следующее «условие медленности»:
1 I dfl I |Дш(0|
Считая это условие выполненным, обратимся к оценке скоро¬
сти изменения амплитуды. С этой целью найдем относительное
изменение амплитуды A(t) за врейя, равное одному периоду ча¬
стоты to®» н потребуем, чтобы это изменение было мало по срав¬
нению с единицей.
йА
Абсолютное изменение амплитуды за период равно Т.
СлеДовательно, условие медленности изменения огибающей
амплитуд можно записать в виде следующего неравенства:
йА
dt .. , dA .. А 1
< 1 или -зг€т= 2^«><А (3.44)
Считая условия (3.43) — (3.44) выполненными, обратимся
к определению спектральной плотности радиосигнала ‘, описы¬
ваемого выражением (3.41).
Применяя общее выражение (2.26), получаем:
+ СО
$(<&)= J A {t) cos [<о0/ -|-D (t) -|- <р0] е шdt.
—оо
Используя соотношение
cos х = -g- elx + Y e-i*,
аерепишеи последнее выражение в иной форме:
1 Мы исходим из предположения, что функция s(t) абсолютно интегрируема
{см. § 2.6). Практически s(t) представляет собой сигнал с ограниченной дли¬
тельностью.
107
Замечаем, что во втором интеграле вместо со фигурирует сумма
<о -f- о>0. Это означает, что подынтегральная функция в этом
интеграле представляет собой произведение медленной функции
А (Л на быстро осциллирующий множитель е“-‘(а,+и,°^
Интеграл от такой функции близок к нулю, так как площади
положительных и отрицательных полуволн взаимно уничтожа¬
ются.
Выражение (3.46) с достаточной для практики точностью
можно поэтому записывать в упрощенной форме
Рис. 3.20
Рис. 3.21
При этом следует иметь в виду, что при вычислении интеграла
основное значение имеют частоты со, близкие к со0, для которых
множитель е
является медленной функцией1 времени.
Поясним применение выражения (3.46) к некоторым радио¬
сигналам. В случае, когда огибающая сигнала A(t) представляет
собой единичный скачок, а частота заполнения постоянна и равна
соо (рис. 3.20), выражение (3.46) переходит в следующее И = 1;
6(0=0]:
Повторяя рассуждения, использованные в § 2.7 при определении
спектра единичного скачка, получаем
1
Если фо = 0, т. е. сигнал «имеет вид функции
5 (/) = cos о)0/ при />0,
5 (t) = 0 при t < 0,
(3.47)
(3.48)
1 Подобный прием вычисления интеграла в математике известен как «спо¬
соб стационарной фазы».
108
получаем
(3.49)
Этот результат является хорошей иллюстрацией к изложен¬
ному в § 3.3 правилу построения спектра амплитудно-модулиро-
ванного колебания по спектру модулирующего сигнала. Сравни¬
вая выражение (3.49) с формулой (2.41), мы видим, что для
этого достаточно заме¬
нить Q на со—соо и ввести
коэффициент 72, учиты¬
вающий, что каждый из
компонентов Й образует
две боковые частоты в
спектре модулированно¬
го колебания.
Если колебание зада¬
но в форме
s(£)=sino>0£ при 0,
s (/) = 0 при t < 0,
то следует считать <р0 =
Рис. 3.22
(3.50)
Наконец, в случае радиоимпульса с прямоугольной огибаю¬
щей и постоянной частотой заполнения (при фо=0) при отсчете
t от середины импульса (рис. 3.21) имеем
График спектральной плотности, вычисленный по этой фор¬
муле, изображен на рис. 3.22. От аналогичного графика «видео¬
импульса», показанного на'рис. 2.20, он отличается сдвигом гочки
отсчета частоты на величину соо и снижением вдвое масштаба ор¬
динат.
Приложение формулы (3.46) к некоторым другим сигналам,
в частности*к импульсам с частотно-модулированным заполне¬
нием, будет дано в гл. 18.
109
3.9. ИМПУЛЬСНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Как уже отмечалось в § 3.1, в радиотехнике широкое приме¬
нение получили различные виды импульсной модуляции, при ко¬
торой управляющий сигнал накладывается на вспомогательную
импульсную последовательность.
Первый вопрос, который возникает при рассмотрении подоб¬
ной модуляции, это вопрос о выборе частоты следования импуль-
сов («тактовая частота»).
Для улучшения использования радиолинии выгодно увеличи¬
вать интервалы между импульсами, т. е. снижать тактовую ча¬
стоту Q,, так как при этом
открывается возможность
повышения пропускной спо¬
собности радиолинии (путем
увеличения числа «времен¬
ных» каналов). Однако сни¬
жение тактовой частоты
ниже определенного мини¬
мума, зависящего от частотного спектра передаваемого сообщения,
недопустимо, так как это приводит к потере информации.
Ответ на поставленный выше вопрос дается изложенной?
в § 2.13 теоремой отсчетов. Если наивысшая частота сообщения
равна Qm = 2^Fmt то интервалы между импульсами не должны
превышать At — т. е. тактовая частота должна отвечать
условию
Q1>~^2^2Fm = 2Qm. (3.52)
Считая это условие выполненным, допустим, что в отсутствие
Модуляции имеется последовательность импульсов, предс+авленная
на рис. 3.23. Хотя на этом рисунке для простоты изображен слу¬
чай прямоугольных импульсов, можно считать, что импульсная
Последовательность получается путем периодического повторения
с частотой 21 = у импульсов произвольной формы. Обозначая
функцию, определяющую отдельный импульс, через /(/)* можно
периодическую последовательность аналитически представить
в виде следующего выражения:
где
tk = kTx + t,t (3.54)
a k — целое число.
Если в результате воздействия управляющего сигнала им¬
пульсы изменяются по высоте, сохраняя при этом неизменными?
110
Рис. 3.23
свою форму, длительность и положение (во времени), то такая?
модуляция называется амплитудно-импульсной модуля¬
цией (сокращенно АИМ).
Импульсная последовательность, промодулированная по ам¬
плитуде синусоидальным сигналом, изображена на рис. 3.24. Ана¬
литически эта последовательность может быть представлена урав¬
нением
(3.55)*
где Q — частота модуля¬
ции;
Т — начальная фаза
управляющего
сигнала [см. вы¬
ражение (3.3)]; Рис. 3.24
Ма — коэффициент (глубина) модуляции амплитуды импуль¬
сов, а функция s(^) определяется выражением (3.53).
Нетрудно найти спектр модулированной последовательности
sm(t), изображенной на рис. 3.24, если известен спектр немодули-
рованной последовательности s(t). Для этого в соответствии
с выражением (3.55) каждый из компонентов опектра функции 5(/).
нужно умножить на 1 -bAfasin (Q^+t)-
Тогда постоянная слагающая функций s(f), которую обозна¬
чим через So, даст произведение
[1 -f- Masin (Qt -j- т)] S0 = S0 4" MaS0s\n (Qt + т);
первая гармоника функции s(t) даст произведение вида [см. вы¬
ражение (3.6)]
[1 -j- Ма sin (Qt + 7)] sin (Q{t -f- 0j) =
— Si sin (2^ -j- 0j) cos [(Qt + Q) t -f- + 7] -f-
+ %^-cos [(«2,-2)^ + 6, — T];
вторая гармоника функции s(t) даст произведение вида
Итак, при АИМ к спектру исходной немодулированной последо¬
вательности добавляется компонента с частотой £2 и амплитудой
111
MaS0 и «боковые частоты» nQi±Q с амплитудами -^MaSn* распо¬
лагающиеся симметрично относительно частот Qn, т. е. гармоник
функции s(t). Получающийся в результате спектр функции sm{t)
изображен на рис. 3.25. Пунктирными линиями показаны ампли¬
туды дополнительных частот, возникающих в результате моду¬
ляции. Аналогичное рассуждение и построение спектра нетрудно
провести и для более сложного закона изменения огибающей им¬
пульсов. По существу, каждая из гармоник исходного спектра яв¬
ляется как бы несущей частотой, около которой располагаются
две симметричные полосы боковых частот модуляции.
Обратимся к рассмотрению временной импульсной моду¬
ляции, при которой тактовые импульсы, сохраняя свою форму и
величину, смещаются во времени на величину At, определенным
образом связанную с напряжением модулирующего сигнала (со¬
общения). Примерный вид модулированной последовательности
при синусоидальной модуляции показан на рис. 3.26.
Если амплитуда временного сдвига Atm не зависит от частоты
и определяется исключительно амплитудой модулирующего на¬
пряжения, то временная модуляция может рассматриваться как
\ 12
Рис. 3.25
Рис. 3.26
фазово-импульсная модуляция (ФИМ). В этом случае
величину временного сдвига &-го импульса (при синусоидальном
модулирующем сигнале) можно определить выражением
Здесь через = обозначена амплитуда изменения
фазы.
Допустим теперь, что модуляция заключается в изменении ча¬
стоты следования импульсов, причем амплитуда частотного от¬
клонения Д£2т пропорциональна амплитуде сигнала и не зависит
от частоты модуляции
Такую разновидность временной модуляции можно рассматри¬
вать как частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ).
Как и в случае непрерывного колебания, нетрудно установить
связь между модуляцией фазы и модуляцией частоты импульс¬
ной последовательности.
Очевидно, что модуляция фазы импульсов по закону
эквивалентна изменению мгновенной частоты следования по за¬
кону
Наоборот, модуляция частоты следования импульсов по за¬
кону
откуда временной сдвиг с учетом выражения (3.57) определится
выражением
(3.56)
а величину фазового сдвига выражением
0 = QtUk = 2^ sin (2 tk + Т) = 0m sin (2 tk + т). (3.57)
(3.58)
(3.57')
где обозначено
эквивалентна изменению фазы по закону
%-sin(2* + T)+e0>
О
8 Зак 3/236
113
Здесь
<3-59)
Таким образом, при модуляции полосой частот величина Atm
не зависит от Q при ФИМ [уравнение (3.56)] и обратно пропор¬
циональна Q при ЧИМ [уравнение (3.59)]. В случае же тональ¬
ной модуляции ФИМ и ЧИМ тождественны.
Определение спектра при ФИМ и ЧИМ является задачей бо¬
лее сложной, нежели при АИМ.
Из рассмотрения, проведенного в приложении III, следует, чго
при ФИМ и ЧИМ (при тональной модуляции это безразлично)
не только появляются дополнительные компоненты, но также из¬
меняются амплитуды основных гармоник немодулированной (ис¬
ходной) импульсной последовательности.
Если в отсутствие модуляции эти амплитуды равны Sn, то при
модуляции' они снижаются до
Jo(nQibtJSn,
где /0 — бесселева функция первого рода нулевого порядка, а
nQt — частота п-й гармоники.
Таким образо-м, при ФИМ и ЧИМ частоты гармоник исходной
последовательности представляют собой как бы несущие частоты
фазово-модулированных колебаний, причем роль индекса моду¬
ляции играет величина т = пQiA/m.To обстоятельство, что индекс
т пропорционален п, вполне понятно, так как при заданном вре¬
менном сдвиге tsim амплитуда изменения фазы пропорциональна
частоте гармоники nQ\. С повышением номера гармоники п уве¬
личивается число боковых частот в спектре, группирующемся
около частоты nQ
Амплитуды боковых частот, располагающихся по обе стороны
от соответствующей «несущей» частоты nQi, определяются сле¬
дующим выражением:
Jk [(«2, ± *2) Дtm\ F(nQх ± kQ) А (3.60)
где k — номер боковой частоты, а Р(п£1\±Ш)—модуль спект¬
ральной плотности одиночного импульса при частоте, соответст¬
вующей рассматриваемой боковой частоте модуляции.
В отличие от случая АИМ при ЧИМ и ФИМ амплитуды бо¬
ковых частот несимметричны относительно соответствующих гар¬
моник тактовой частоты.
Кроме перечисленных видов модуляции значительный практи¬
ческий интерес представляет модуляция «по длительности»
(ДИМ). При этом обычно имеются в виду импульсы прямоуголь¬
ной формы.
На фиг. 3.27, а изображена импульсная последовательность
при односторонней (модуляции по длительности, когда один из
фронтов импульса, в данном случае задний, перемещается в про-
114
цессе модуляции на величину Дtk, пропорциональную модули¬
рующему напряжению, а другой фронт сохраняет свое фиксиро¬
ванное положение. Рисунок 3.27, б соответствует симметричной
двусторонней модуляции по длительности.
Определение спектра при ДИМ может быть выполнено с по¬
мощью метода, описанного в приложении III. Основной интерес
при ДИМ представляет из¬
менение среднего значения
импульсной последователь¬
ности. Ясно, что при задан¬
ной и неизменной тактовой
частоте изменение длитель¬
ности приводит к пропор¬
циональному изменению
среднего значения всей по¬
следовательности.
Таким образом, при
ДИМ, как и при АИМ,. име¬
ется составляющая с часто¬
той сообщения йис амплитудой, равной где МД — глубина
модуляции длительности импульса.
Нетрудно видеть, что симметричная модуляция по длительно¬
сти не -сопровождается фазовой модуляцией, так как середина им¬
пульса сохраняет при модуляции неизменное положение.
То обстоятельство, что ib модулированной последовательно¬
сти содержится непосредственно компонент с частотой модуля¬
ции Q, является особенностью импульсных методов модуляции.
После того как модулированная последовательность переносится
на радиочастоту (путем повторной модуляции), получается обыч¬
ный спектр модулированного колебания, состоящий только из вы¬
соких частот, группирующихся около несущей частоты соо. Для
выделения из такого спектра частоты исходного сигнала Q тре¬
буется применение методов детектирования.
Рис. 3.^7
8*
ГЛАВА 4
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. ОДИНОЧНЫЙ КОНТУР
4.1. ВВЕДЕНИЕ
Колебательная система является неотъемлемой частью любого
радиотехнического (высокочастотного) устройства.
Различают два вида колебательных систем: с сосредото¬
ченными параметрами и с распределенными парамет¬
рами. Колебательные системы с сосредоточенными пара¬
метрами представляют собой линейные электрические цепи, со¬
стоящие из индуктивностей и емкостей, способные резонировать
на одной или нескольких частотах. Активные сопротивления со¬
держатся в подобных цепях в виде сопротивлений потерь, а так¬
же иногда в виде специальных нагрузочных сопротивлений. Ко¬
лебательные системы с сосредоточенными постоянными применя¬
ются при относительно невысоких частотах (не выше 10—30 Мгц).
Колебательные системы с распределенными парамет¬
рами, применяемые на более высоких частотах, обычно представ¬
ляют собой отрезки линий; в диапазоне сверхвысоких частот при¬
меняются отрезки волноводов и различные полые системы.
Главной особенностью систем с распределенными параметрами
является то, что электрические и магнитные поля в них сущест¬
вуют не раздельно (как в «сосредоточенных» емкостях и индук¬
тивностях), а образуют единое электромагнитное" поле, связанное
с токами и напряжениями на проводящих поверхностях системы.
Для радиотехнических применений основное значение имеют
резонансные свойства колебательных систем. Явление резонанса
встречается в различных областях техники и физики и нередко
рассматривается как явление вредное, опасное для целости уст¬
ройства или сооружения (например, пробои изоляции трансфор¬
маторов и электрических машин, связанные с перенапряжениями
в электрических сетях, разрушение .мостов при раскачивании их
с частотой, совпадающей с частотой собственных колебаний
и т. д.).
В радиотехнических устройствах явление резонанса лежит
в основе большинства процессов и преобразований и исполь¬
зуется для решения разнообразных задач.
116
Изучение колебательных систем с сосредоточенными постоян¬
ными -проводится в данной книге в трех главах, посвященных
одиночному колебательному контуру, v двухконтурным связанным
системам и сложным колебательным цепям.
Колебательные системы в виде отрезков линий рассматрива¬
ются в гл. 7.
Следует пбдчеркнуть, что, несмотря на непрерывное расшире¬
ние иопользуемого в радиоэлектронике частотного диапазона
(в сторону повышения частот), важность детального изучения
колебательных систем с сосредоточенными постоянными нисколько
не снижается. Объясняется это помимо сохранения практического
значения диапазонов длинных и средних волн еще и тем, что для
истолкования ряда свойств систем с распределенными постоян¬
ными последние часто сводятся к некоторым «эквивалентным*
системам с сосредоточенными параметрами. Теория колебатель¬
ных систем с сосредоточенными постоянными является для радио¬
электроники фундаментом, на котором строится изучение и более
специальных колебательных систем.
Каждая из перечисленных выше систем изучается сначала
в режиме вынужденных колебаний под действием гармонической
внешней силы, nocjfe чего рассматриваются свободные колебания,
возникающие при ударном возбуждении.
В данной главе изучается одиночный колебательный контур.
4.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР.
РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
Рассмотрим контур, образованный последовательным средине-
нием индуктивности L, емкости С и активного сопротивления г
(рис. 4.1), находящийся под действием гармо¬
нической электродвижущей силы
e(t)=E cos (u>t -f 0O). (4.1)
Внутреннее сопротивление генератора, кото¬
рое здесь мы считаем независимым от величи¬
ны тока в контуре, входит в величину г.
Определим ток в контуре. Применяя символический метод,
представим комплексную амплитуду>.тока в виде следующего вы¬
ражения:
где £= Ее1В° — комплексная амплитуда э. д^. с.;
Z = r -\-ix — комплексное сопротивление последовательного
контура;
ср = arctg = arctg -у (4.3)
117
Рис. 4.1
— сдвиг фазы тока относительно фазы э.д.с., а £ и z = Vг2 + х2
модули соответственно комплексной амплитуды э. д. с. и полного
сопротивления контура -при частоте со.
Положительные значения угла <р соответствуют отставанию
фазы тока, а отрицательные — опережению. Переходя к тригоно¬
метрической форме, находим для мгновенного значения тока
в контуре следующее выражение:
Здесь 0О — фаза внешней э.д.с. [см. выражение (4.1)].
Для комплексных амплитуд напряжений на реактивных эле¬
ментах контура — индуктивности L и емкости С — имеем
Мгновенные значения этих напряжений можно записать в виде
амплитуда тока в контуре достигает наибольшей возможной (при
данной амплитуде э. д. с. Е) величины
(4.4)
При «резонансной» частоте внешней аилы
(4.9)
отвечающей условию
(4.10)
Амплитуды напряжений на индуктивности L и емкости С, про¬
порциональные току, ори резонансной частоте со = сор достигают
величины
ULv = E^, (4:12)
1
<ОрС
Цср = ^—• (4.13)
Одинаковые по величине сопротивления юр£ и обознача¬
ются через р и называются характеристическими или
волновыми сопротивлениями:
р = <»)pL = * =l/£f = 30 VW-. (4Л4)
г р сорС г Сф У Сем
Иногда р называют также характеристикой контура.
В радиотехнических колебательных контурах волновое сопро¬
тивление р, как правило, во много раз больше, чем активное со¬
противление г. Из этого следует, что и одинаковые по величине
амплитуды резонансных напряжений на индуктивности и емкости
ULf=Uc, = E± (4.15)
могут во много раз превышать амплитуду Е внешней э. д. с., дей¬
ствующей на контур.
Отсюда и происходит название резонанс напряжений
или последовательный резонанс.
Величина
U, иГп
Q = -r'=-4r = *r, (4.16)
равная отношению характеристического сопротивления р к актив¬
ному г и определяющая коэффициент повышения напряжения на
реактивных элементах контура по отношению к внешней э.д.с.,
называется добротностью контура.
В зависимости от качества деталей контура, степени его на-
груженности полезным сопротивлением, а также от условий, опре¬
деляющих характеристическое сопротивление 1 р, добротность кон¬
тура изменяется в широких пределах. В радиотехнической прак¬
тике встречаются величины Q примерно от 10 до нескольких со¬
тен и выше. Чаще всего величина Q лежит в пределах от 50 до
1 Особенно на сверхвысоких частотах, когда величина р определяется
емкостью контура, обусловленной междуэлектродными емкостями электронного
прибора.
119
200. Величина, обратная Q, называется затуханием и обо¬
значается
Это соотношение справедливо для простейшего последователь¬
ного контура, изображенного на рис. 4.1. В следующем параграфе
будет рассмотрена несколько иная схема, в которой конденсатор
контура зашунтирован омическим сопротивлением. Как будет по¬
казано, для подобной схемы добротность определяется иной фор¬
мулой. Можно, кроме того, дать общее определение добротности
в виде отношения запаса энергии к расходу ее за один период.
Такое энергетическое определение добротности, приводимое
в § 4.5, пригодно для любой разновидности колебательного кон-
4.3. РЕЗОНАНСНАЯ КРИВАЯ И ФАЗОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОНТУРА
Помимо определения резонансных значений амплитуд тока и
напряжений большой интерес представляет характер зависимости
этих амплитуд, а также фаз от частоты внешней э.д.с. Знание
этих зависимостей необходимо для суждения об избиратель¬
ности контура, играющей основную роль в большинстве приме¬
нений колебательного контура.
Под избирательностью колебательного контура понимают его
способность к выделению сигналов заданной частоты и ослабле¬
нию сигналов всех других частот.
Считая амплитуду э. д. с. £ и параметры контура неизменными,
рассмотрим сначала зависимости /(со) и ф(со).
Первая из этих зависимостей определяется модулем выраже¬
ния (4.2)
Амплитуду /(со) удобно выражать через максимальную ам¬
плитуду при резонансе /р. Используя выражение (4.11), получаем
тура.
/н =
Е
/(со)
Безразмерное отношение
/(<*>)_ 1
1
можно рассматривать как уравнение резонансной кривои
колебательного контура. Из определения '(4.18) очевидно, что
я<1.
Фазовая характеристика, выражающая частотную зависи¬
мость сдвига фазы тока в контуре относительно э. д. с., опреде-
ляется выражением (4.3).
Графики резонансной кри¬
вой и фазовой характеристи¬
ки, построенные по уравне¬
ниям (4.18) и (4.3), приведе¬
ны на рис. 4.2. а, б. Эти графи¬
ки имеют обобщенный харак¬
тер, так как аргумент функ¬
ций п ^-~j и ф включает
в себя помимо величины рас¬
стройки все возможные соотно¬
шения между .реактивными и
активными сопротивлениями
контура.
Если в качестве независи¬
мого переменного принять от-
О)
ношение —, то, задавая раз¬
личные соотношения между г
и р, получаем два семейства
кривых п и ф.
Уравнения этих кривых мо¬
жно привести к виду (учиты¬
вая, что
Рис. 4.2
(4.19)
(4.20)
Графики п и f для некоторых значений Q приве¬
дены на рис. 4.3 и 4.4.
Из рассмотрения этих графиков видно, что с повышением
добротности резонансные кривые становятся более острыми,
а фазовые характеристики в области частот, близких к резо¬
нансу, — более крутыми. Максимальная ордината п независимо
1Л
л / (i> \ О)
от Q равна единице, а <р J при отклонении — от еднниць
■стремится к в области > I и к —£ в области < 1.
Если по оси ординат откладывать не относительную величину
п = ~f~, а абсолютную величину амплитуды / и изменять величину
'о
Рис. 4.4
г (при неизменном р), то .семейство резонансных кривых для раз¬
личных сопротивлений примет вид, показанный на рис. 4.5.
122
Если активное сопротивление г поддерживать неизменным,
а изменять величину р, то получится семейство резонансных кри¬
вых, изображенных на рис. 4.6. Здесь максимальная ордината /р,
£
равная —, остается неизменной. Рисунок 4.6 отличается от
рис. 4.3 только масштабом по оси ординат.
В радиотехнической практике часто приходится иметь дело
с малыми расстройками частоты юр относительно внешней ча¬
стоты о). В тех случаях, когда на контур действует модулирован-
Рис. 4.6
ная электродвижущая сила, ширина спектра этой э. д. с., как пра¬
вило, составляет небольшую долю от средней частоты спектра
(см. § 3.3). Если контур настроить на эту среднюю (несущую)
частоту, то по отношению к любой другой частоте со, входящей
в спектр модулированного колебания, величина — близка к еди¬
нице.
123
Рис. 4.5
Это обстоятельство позволяет существенно упростить и сделать
более удобными для практического применения выражения (4.19)
и (4.20). С этой целью введем величину
Дсо = о) — шр, (4.21)
которую в дальнейшем будем называть расстройкой внешней
э. д. с. по отношению к резонансной частоте контура или просто
расстройкой контура.
Тогда можно написать
ир
Нетрудно видеть, что в тех случаях, когда относительная рас¬
стройка достаточно мала, т. е.
А о)
можно считать
Подставляя выражение (4.22) в формулы (4.19) и (4.20), полу¬
чаем
Входящая в эти выражения величина Q может быть наз-
(Ор
вана обобщенной расстройкой контура, так как она
учитывает все основные параметры: расстройку Дсо, резонансную
частоту контура сор и добротность Q.
Для краткости обобщенную расстройку в дальнейшем будем
обозначать
a = ^-Q. (4.25)
В этих обозначениях резонансная кривая и фазовая характе¬
ристика записываются в наиболее сжатой форме
я= . 1 , (4.23')
/1 + Я2
<P = arctga. (4.24')
124
Графики п (а) и <р (а) совпадают с кривыми, показанными на
рис. 4.2, поскольку в области частот, близких к резонансной, спра¬
ведливо приближенное равенство
(4.25')
Приведем, наконец, еще одну формулу записи уравнений ре¬
зонансной кривой и фазовой характеристики, получаемую с по¬
мощью следующих очевид¬
ных преобразований:
где Т:
= —= Acdt, (4.26)
2L 1
= —= „постоян-
Г а
ная времени" контура.
Смысл этой величины ста¬
новится ясным из рассмо¬
трения свободных колеба¬
ний в контуре (§ 4.9).
Подставляя формулу
(4.26) в выражения (4.23')
и (4.24'), получаем
Ш/Шр
П
Рис. 4.7
На рис. 4.7, а и б сплош¬
ными линиями показаны
графики, построенные по приближенным формулам (4.23) и (4.24),
а пунктирными»—по точным формулам (4.19) и (4.20) при подста¬
новке в них © = Юр + Дш. Добротность контура принята Q — 100.
При, одной и той же относительной расстройке расхождение между
кривыми, построенными по точным и приближенным формулам,
получается тем меньше, чем выше добротность.
Отметим, что при введенных выше обозначениях входное со¬
противление последовательного контура при расстройке удобно
выражать следующими формулами:
Z = r -f wc = r(l +ia) = r [1 -f i(u> — u>p) x] =r(l -fiAwx). (4.27)
В радиотехнических схемах выходное напряжение снимается
обычно с реактивных элементов контура, как это показано, на¬
пример, на рис. 4.8. При этом контур используется как четырех-
125
полюсник, к входным зажимам которого подключается, генератор
э. д. с., а к выходным зажимам — внешняя схема, в данном слу¬
чае электронная лампа. Входная емкость этой лам<пы входит в ем¬
кость С.
Коэффициент передачи такого четырехполюсника (отношение
амплитуды напряжения на выходе к амплитуде э. д. с. на
входе) определяется следующим об¬
разом:
1
Рис. 4.8
Заменяя знаменатель правой части
выражением (4.27), можно привести Кс
к виду
(4.28)
где
(4.29)
представляет собой сдвиг фазы емкостного напряжения относи¬
тельно фазы э. д. с., вводимой в контур от генератора.
При съеме выходного напряжения с индуктивности нетрудно
вывести аналогичное выражение для коэффициента передачи
(4.28')
где
(4.29')
При резонансе получим:
при съеме напряжения с емкости
— при съеме напряжения с индуктивности
Разделив модули выражений (4.28) и (4.28') на KP = Q, полу¬
чим уравнения резонансных кривых для емкостного и индуктив¬
ного напряжений
Сравнение этих выражений с формулой (4.23') показывает,
что резонансные кривые напряжений на L и С отличаются от
Рис. 4.9
резонансной кривой тока только множителем — или соответ--
(Ор
ственно — :
О)
Это различие обычно не проявляется сколько-нибудь заметно,
со
так как отклонение множителя — от единицы, как отмечалось
СОр
выше, чаще всего не превышает нескольких процентов.
В тех же случаях, когда это отклонение значительно (a Q от¬
носительно мало), необходимо учитывать несимметричность
формы резонансных кривых для nL и tic. На рис. 4.9 и 4.10 эти
кривые построены для Q = 10. Пунктиром на этих рисунках пока¬
заны резонансные кривые для п.
Фазовые характеристики для напряжений UL и Uq в соответ¬
ствии с выражениями (4.5) — (4.6) и (4.29) — (4.29') отличаются
от фазы тока на угол ± .
127
Рис. 4.10
показана на рис. 4.12, б (для случая, когда сопротивление на¬
грузки Ra подключено параллельно конденсатору).
Для определения «эквивалентных» параметров г3 и Са соста¬
вим выражение для полного сопротивления между точками 1—2
в схеме рис. 4.12, а
Из этого выражения ^следует, что последовательные эквива¬
ленты сопротивления Ra и емкости С равны
(4.30)
128
В тех случаях, когда т- е. когда активная прово¬
димость нагрузки мала по сравнению с реактивной проводи¬
мостью конденсатора С, можно исходить из следующих прибли¬
женных равенств:
Таким образом, при Ян>1ЛоС
емкость Сэ на схеме замещения
может быть оставлена такой же,
что и в исходной схеме рис. 4.12, я,’
и построение схемы замещения
сводится к замене параллельного
сопротивления RH новым сопротив¬
лением гэ, которое должно быть
введено внутрь контура. После та¬
кой замены к схеме замещения мо¬
гут быть применены все приведен:
ные выше формулы для входного
сопротивления, резонансной и фа¬
зовой характеристик и т. д. При
этом выходное напряжение Uc,
снимаемое с последовательного со¬
единения Сэ и гэ (рис. 4.12, б),
будет по отношению к фазе э. д. с. иметь сдвиг, несколько отли¬
чающийся от я/2.
Нетрудно составить выражение для добротности контура, изо-*
браженного на рис. 4.12, а. Основываясь на эквивалентной схеме
Рис. 4.11
Рис. 4.12
рис. 4.12,6 и пренебрегая сопротивлением г по сравнению с гэ
можно по аналогии с формулой (4.16) написать
где гэр — последовательный эквивалент нагрузочного сстротивле*
ния RH, вычисленный для резонансной частоты.
9 Зак 3/235 1 29
В соответствии с формулой (4.30') можно написать
'*=(=£? i=lr- <4-30">
Следовательно, получаем следующее выражение для доброт¬
ности контура, шунтированного сопротивлением Rn (без учета г):
е=1г=т-- (4'3,)
Рассмотрим в заключение этого параграфа вопрос о наклоне
фазовых характеристик контура вблизи резонансной частоты сор.
Ввиду параллельности кривых ф, фс и ф/, достаточно рассмотре¬
ния одной из них, например ф(со). Обращаясь к основному * урав¬
нению фазовой характеристики (4.3) и дифференцируя его по ча¬
стоте со, получаем
В точке (1) = о)р будем иметь
Итак, наклон фазовой характеристики ф(со) имеет размерность
времени и равен постоянной времени контура х (при резонансной
частоте).
Это важное положение играет большую роль при определе¬
нии задержки сигналов, пропускаемых через колебательные кон¬
туры.
4.4. ПОЛОСА ПРОПУСКАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОНТУРА
При действии на контур модулированной э. д. с. принципиально
неизбежны искажения формы сигнала, обусловленные неравно¬
мерностью резонансной и кривизной фазовой характеристик кон¬
тура, так как частоты различных составляющих спектра э. д. с.
отличаются от резонансной частоты контура. Для ослабления
•искажений необходимо так выбирать параметры .контура, чтобы
в полосе частот, содержащей основную часть энергии модулиро¬
ванного колебания, указанные выше характеристику были доста¬
точно удовлетворительными. Эта полоса частот называется по¬
лосой пропускания контура.
В радиотехнике установилось определение полосы пропуска¬
ния колебательного контура как полосы частот вблизи резонанса„
130
на границах которой амплитуда тока (или напряжения) сни¬
жается до от резонансного значения. При этом амплитуда
у 2
действующей на контур э.д. с. считается неизменной.
Положение полосы пропускания на резонансной кривой пока¬
зано на рис. 4.13. При достаточно высокой добротности полоса
пропускания практически симметрична относительно резонансной
частоты сор, так что граничные частоты coi и сог отвечают усло¬
вию
=-<0р “ “г-
При таком определении полосы про¬
пускания относительное ослабление мощ¬
ности колебаний на граничных частотах
coi и сог, равное квадрату ослабления
амплитуд, достигает -у-. Это ослабление
ке позволяет, конечно, считать ампли¬
тудно-частотную характеристику доста¬
точно равномерной для совершенно не
искаженной передачи сигналов, особенно
при использовании нескольких конту¬
ров.
Полосу пропускания одиночного контура легко связать с ос¬
новными параметрами: Q, d и т.
Подставив в выражение (4.23)
2Ао> = — со 2
и приравняв левую часть этого выражения п = —, получим оче-
V ^
видное условие
(4.33)
Это означает, что на границах полосы пропускания обобщен¬
ная расстройка по абсолютной величине равна единице [см. фор¬
мулу (4.25)].
Обозначим полосу пропускания через
2^ = ^ — (о2. (4.34)
Тогда на основании формулы (4.33) получаем простое соотно¬
шение
Учитывая формулу (4.26), можем также написать
9*
(4.35)
(4.36)
131
Рис. 4.13
Наконец, относительная полоса пропускания равна
(4.37)
Последнее выражение наиболее удобно и чаще всего приме¬
няется в радиотехнических расчетах..
Полезно отметить, что на границах полосы пропускания, где
обобщенная расстройка а=±1, фазовая характеристика в соот¬
ветствии с формулой (4.24)
равна:
— при частоте (Oj ср((о1) =-f-45°;
— при частоте ю2 9 (о>2) = — 45°.
В пределах полосы пропу¬
скания фазовая характеристи¬
ка близка к линейной. Отме¬
тим, что фазовая характери¬
стика тем линейнее, чем более
равномерна амплитудная (ре¬
зонансная) кривая. Эта связь
между .амплитудной и фазовой
характеристиками имеет об¬
щий характер для любых
линейных цепей. Более подробно этот вопрос рассматривается
в гл. 6.
Простота выражений (4.33) — (4.37), связывающих полосу про¬
пускания с величиной добротности и затухания, используется
в практике для определения величин Q и d. Для этого достаточно
изменять частоту э. д. с., действующей на контур, до снижения
показания измерительного прибора, регистрирующего ток в кон¬
туре (или напряжение на реактивных элементах контура), до -у=
от максимального значения, соответствующего резонансной ча¬
стоте. Отсчитав частоты wi, ©2 и зная сор, легко подсчитать доб¬
ротность по формуле
(4.38)
При проведении измерения необходимо следить за тем, чтобы
при изменении частоты генератора амплитуда э. д. с. оставалась
неизменной.
В практике часто приходится встречаться со случаем, когда
генератор работает на фиксированной частоте, а настройка про¬
изводится изменением емкости или индуктивности контура. При
изменении, например, емкости, резонансная кривая имеет вид,
показанный на рис.; 4.14,
132
Рис. 4.14
Нетрудно выразить добротность контура через разность ем¬
костей С2 — Сь соответствующих граничным частотам 002 и соь
Для этого воспользуемся очевидными соотношениями
+ Aw, 1
Возведем в квадрат оба тождества и вычтем второе из пер¬
вого:
0)2 — 0)2 = 4А(000)р = -щ — -щ- „
отсюда
2А<00 — о)2 ____ С%—Ci
> ~ > “ 2<OpZ,C1C2 '
Так как при относительно малых отклонениях Ct и С2 от
резонансного значения Ср можно считать CjC2«*C£ и учитывая,
кроме того, что (o^LCp = 1, получаем
2Д(о0 С 2 — Ci
(4.39)
Таким образом, окончательно добротность
2СР
(4-40)
4.5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ РЕЗОНАНСЕ
При синусоидальном токе с амплитудой / мгновенное значение-
мощности, выделяемой в активном сопротивлении, контура,
р (t) = rP cos2 (vt + 60). (4.41)
Среднее значение этой мощности за период
Р=Щ-. (4.42)
а энергия, расходуемая в г за один период,
WT = PT. (4.43)
Эта энергия поставляется в контур генератором. Общее же
количество энергии в контуре определяется энергией, за**
пасаемой магнитным полем катушки и электрическим полем кон¬
денсатора.
Энергия магнитного поля катушки
/ j\ LP(t)
133
а энергия электрического поля конденсатора
,,v
®с(0=—— •
Подставляя вместо тока i(t) и напряжения «с (0 выражения
'(4.4) и (4.8) и учитывая, что три резонансе —5— = L, получаем
О)
Отсюда видно, что максимальные значения wL и wc одина¬
ковы и равны
(4.46)
Мгновенные значения wL и' wc изменяются с удвоенной ча¬
стотой около среднего значения /р, причем максимуму одной из
них соответствует минимум другой и наоборот (рис. 4.15).
134
Рис. 4.15
Таким образом, при резонансе происходит непрерывное пере¬
распределение энергии контура между энергией конденсатора и
т
энергией катушки, причем в моменты / = 0, -о- и так далее
Т 3
:0, в моменты t = —9 —Т и так Далее, наобо-
™L=Wмакс 3 WC:
рот, wL=0, a = WМакс (фаза 0О здесь опущена). Суммарная
же энергия остается неизменной
(4.47)
Эта энергия во много раз больше той, которая расходуется
в активном сопротивлении контура за один период. Действительно,
разделив выражение (4.47) на (4.43), получим
(4.48)
Это выражение, позволяющее выразить добротность через за¬
пасаемую в контуре энергию, пригодно для любой разновидно¬
сти контура, а также и для колебательных систем с распределен¬
ными параметрами.
Запасенная контуром энергия в режиме установившихся ко¬
лебаний не оказывает влияния на генератор, который работает
на контур как на чисто активное сопротивление. Однако три лю¬
бых нарушениях стационарного режима — включении и выклю¬
чении генератора, быстрых изменениях амплитуды э. д. с. и так
далее — требуется определенное время для
восстановления энергетического баланса в
контуре. Таким образом, колебательный
контур является инерционной линейной си¬
стемой.
4.6. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОНТУР.
РЕЗОНАНС ТОКОВ
Пусть генератор с внутренним сопротив¬
лением Ri подключен к колебательному
контуру параллельно, как это показано ка
рис. 4.16. Каждая из ветвей контура может содержать индуктив¬
ности, емкости и сопротивления; Х\ и Х2 обозначают результирую¬
щие реактивные сопротивления первой и второй ветви, г\ и г2 — их
активные сопротивления.
В радиотехнических устройствах — высокочастотных усилите¬
лях и генераторах, использующих параллельный контур в каче¬
135
стве нагрузочного сопротивления, к (последнему предъявляются
следующие требования:
а) активный характер этого сопротивления между зажимами
а — k (рис. 4.16) при частоте генератора (или усилителя) и
б) избирательный характер нагрузки.
В случае использования электронных приборов с большим
внутренним сопротивлением (например, ,пентод) к этим требо¬
ваниям добавляется еще одно: контур должен обладать большим
сопротивлением (при резонансе) между зажимами а — k. В схе-
ма£ с полупроводниковыми приборами, обладающими большими
выходными и малыми входными сопротивлениями, обычно преду¬
сматриваются согласующие элементы (неполная связь с контуром
и другие способы).
Всем этим требованиям отвечает параллельный контур с до¬
статочно высокой добротностью, работающий в режиме резонанса
токов. Условием резонанса токов, как известно, является равен¬
ство абсолютных значений реактивных проводимостей обеих вет¬
вей контура при противоположных их знаках. Таким образом*
одна из ветвей контура обязательно должна иметь характер ин¬
дуктивного сопротивления, а вторая — емкостного.
Введем обозначения полных сопротивлений ветвей:
Zx = rx + ixt — для индуктивной ветви,.
Z2 = г2 + — Для емкостной ветви.
Тогда сопротивление контура между точками а — k будет
(4.49)
Для определения сопротивления контура при резонансе соста¬
вим выражения для проводимостей ветвей и приравняем их мни¬
мые части.
Имеем
(4.50>
При выполнении этого условия полная проводимость контура
между точками а — k, имеющая чисто активный характер,
Тогда условие резонанса токов будет
а сопротивление между точками а — k
_ tf + 4)tf + 4) (452>
^-^(rl + xD + r^rl + xl)' ^Z}
Для обозначения модуля резонансного сопротивления будем
в дальнейшем применять символ z3p, так как оно имеет чисто ак¬
тивный характер.
В большинстве случаев выполняются следующие неравенства:
r;«Li.i (4-5з>
Поэтому условие резонанса токов можно упростить, отброси»
активные сопротивления г\ к г2 в знаменателе выражения (4.50).
Таким образом, получаем
I *11 = \х21
или
Xi -f- х2 — 0.
Итак, для получения резонанса токов в контуре с малыми по¬
терями полное реактивное сопротивление контура при последо¬
вательном обходе его элементов должно равняться нулю. Это
условие совпадает с условием резонанса напряжений в последо¬
вательном контуре. Из этого следует, что в случае высокой доб¬
ротности резонансные частоты для параллельного и последова¬
тельного контуров одинаковы и определяются выражением (4.9),
в котором >под L и С следует подразумевать результирующие ин¬
дуктивность и емкость контур,а при последовательном его обходе,
т. е.
L — Lt -f- L2 + ...,
-=-+1+
При выполнении условий (4.53) выражение (4.52) может быть
упрощено отбрасыванием слагаемый г\ и г\ в суммах г\-^х\ и»
rl + xl:
*-2„2 „2 у.2
z ~ —2-^-2 5 « —= —2- . (4.54)
Г1Х2 + Г1Х\ Г1 + Г2 г1 + г2
Обозначив сумму активных сопротивлений ветвей через г=
= П+^2, получим окончательное выражение для полного сопро¬
тивления резонансного параллельного контура между точками
а — k в зиде
х
.2 *2
1 2
гэр=7 = 7. (4.55)
Приложим эту формулу к некоторым разновидностям схем
параллельных контуров, встречающихся в практике.
137
Простейшая и наиболее распространенная схема показана на
дэис. 4.17. Здесь левая ветвь не содержит емкостей, а правая —
^индуктивностей. Активные сопротивления г\ и гг учитывают по¬
тери в катушке и конденсаторе, а также активное сопротивление,
©носимое в ту или иную ветвь полезной нагрузкой.
В данном случае» имеем:
В формуле (4.56) L, С и г выражены ,в практической системе
единиц: генри, фарадах и омах.
В практике индуктивность и емкость часто выражают в сан¬
тиметрах. Тогда
(4.57)
{г — по-прежнему в омах).
Учитывая, что добротность контура равна
За¬
получаем еще одну удобную формулу для определения сопротив¬
ления резонансного контура
29p=Qp. (4.58)
Формулы (4.56), (4.57) и (4.58) широко распространены
в практике радиотехнических расчетов.
В случае контура, одна ветвь которого является чисто индук¬
тивной, а вторая кроме конденсатора, содержит еще и индуктив¬
ность (рис. 4.18), получим
138
По формуле (4.55) находим
_ (V.)2 _(">с ~“pia)
гэр—" г — ■ г
Резонансная частота сор, определяемая из условия
х1 = — х2, хх-\- х2 = 0
ИЛИ
<opZi14-‘opL2-1^=0>
равна, как и в случае последовательного резонанса,
1 1
ѰЗ V+ ^2) С ~ УLC’
где L=Li+L2 — полная индуктивность контура.
Обозначим через р отношение*
р=т£ц=т- <4'59>
Тогда, очевидно,
Х1 = u>pL1 = pa>pL = рр (4.60)
и
z3p=p2?y=P2Qp. (4.61)
Коэффициент р, определяющий степень связи контура с внеш¬
ней цепью (электронным прибором), иногда называют коэффи¬
циентом включения контура. Схема рис. 4.18 часто получается
при присоединении анода лампы к промежуточной точке на ка¬
тушке контура (рис. 4.19).
Если L\ и L2 связаны между собой взаимной индукцией М
(например, представляют собой две части одной катушки), то
коэффициент р определяется формулой
L>-\ / i лл\
р= ь + ц± 2М ■ <4 62>
Знак плюс берется при согласных направлениях магнитных
потоков катушек L\ и L2 (две части одной катушки), знак ми¬
нус — при встречных.
Для контура, собранного по схеме рис. 4.20, получим
■*2 1
Z*P— Г ~ (<орС2)2г/
Учитывая, что в данном случае резонансная частота опреде¬
ляется выражением
1 1
получим
откуда следует* что коэффициент включения Р — ^-
2
К этому выражению можно прийти и непосредственно, опре¬
деляя р через отношение соответствующих сопротивлений:
1
Изменяя положение точки а на катушке в схеме рис. 4.19 или
соотношение между емкостями С\ и С2 в схеме рис. 4.20, можно
в широких пределах регулировать величину резонансного сопро¬
тивления контура. Так как р<Л, то наибольшая возможная при
заданной характеристике р величина определяется выраже¬
нием (4.56) (при р= 1].
Важное значение имеет вопрос о распределении токов в схеме
с резонансным параллельным контуром. Имея в виду схему
рис. 4.17, обозначим через / ток в неразветвленной части схемы
(ток генератора), а через /х и /2—токи в индуктивной и емкост¬
ной ветвях контура. Напряжение на контуре (между точками
а — k) обозначим через Ua. При этих обозначениях можно напи¬
сать -следующие выражения:
А (^1 “Ь ^l) ==: А (^2 ”Ь ^2) = ^эр = (4.63)
А + /2 = /. (4.64)
Отсюда следует, что при резонансе токи в ветвях связаны
с общим током / соотношениями
А = <4-65>
(4.66)
140
Учитывая, что при резонансе гэр — чисто активное сопротив¬
ление, можно также написать
(4.65')
(4.66')
где
Если Xi — реактивное сопротивление индуктивной, а Хг — ем¬
костной ветви, то угол <pi — запаздывающий, а <рг — опережаю¬
щий фазу тока /(и, следовательно, фазу напряжения Ua). Диа¬
грамма токов и напряжений принимает поэтому вид, показанный
на рис. 4.21.
При резонансе результирующий ток / совпадает по фазе с на¬
пряжением на контуре Ua. Так как |*il>fi и |*2|>Г2, углы <pt
и ф2 по абсолютной величи¬
не близки к-|-. Поэтому то¬
ки 1Х и /2 сдвинуты .между
собой по фазе на угол, близ¬
кий к я, а по амплитудам
практически одинаковы. Это
позволяет при рассмотре¬
нии работы резонансного
контура считать, что токи
ветвей 1Х и /2 образуют как
бы один контурный tqk Ik,
обтекающий последователь¬
но все элементы конту¬
ра.
Таким образом, можно считать
По отношению к току / контурный ток 1к сдвинут на угол
«90° в сторону запаздывания для индуктивной и на угол «90°
в сторону опережения для емкостной ветви.
Существенно, что при резонансе ток в контуре во много раз
больше, чем в неразветвленной части схемы (т. е. в анодной
цепи электронной лампы). Действительно, учитывая, что г\<^х\
и г\<^х\ и используя формулу (4.60), получаем
IK=zIt = I2 = IpQ (4.68)
(так как |*i | = |л:2|=рр).
141
(4.67)
Рис. 4.21
В частности, при р= 1 имеем
(4.69)
Таким образом, при резонансе отношение тока в контуре
к току в общем проводе равно добротности контура. Отсюда и
происходит название резона нх токов или параллель¬
ный резонанс.
Применение параллельного резонансного контура в качестве
нагрузки особенно удобно в схемах о электронными лампами.
Так как последние работают при относительно слабых токах, то
для выделения значительного напряжения на нагрузке требуется
высокоомное сопротивление. Этому требованию отвечает 2эр, пре¬
вышающее сопротивление г в Q2 раз [см. формулу (4.56), из ко-*
*эр /Р)2 1
торой следует, что — = I — J =цМ.
При этом мощность, подводимая к контуру от генератора и
равная
выделяется «внутри» контура в низкоомном сопротивлении г.
Эту мощность можно выразить еще и в форме
которая легко получается из предыдущей подстановкой
'Этот результат показывает, что параллельный контур можно
рассматривать как трансформатор, преобразующий низкоомное
сопротивление г в высокоомное гэр = , необходимое для обес¬
печения выгодного режима работы электронной лампы.
Попутно возникает следующий вопрос: какова должна быть
величина коэффициента р для получения наибольшего возмож¬
ного напряжения на контуре.
Если при заданных /?,*, L, С и г изменять р от нуля до еди¬
ницы, то напряжение 1)с на С (рис. 4.19) будет сначала возра¬
стать, а затем, начиная с некоторого оптимального значения ропт,
уменьшаться. Максимум t/c, очевидно, совпадает с максимумом
тока в контуре, а последний получается при отдаче от генератора
в контур наибольшей возможной при заданных Е и Ri мощ¬
ности.
142
Из электротехники хорошо известно, что для этого необхо¬
димо, чтобы р =Ri. Таким образом, можно написать
п2 — — R
У опт г ^
откуда следует
,„=m.= yZEZ.
V ’ эр макс
где гэрмакс — резонансное сопротивление контура при полном
включении (р— 1).
Отметим, что при подобном согласовании контура с внутрен¬
ним сопротивлением источника амплитуда напряжения между-
зажимами a — k равна половине амплитуды э. д. с., т. е. Uak —
Е г т Uak Е т-
= "9“, а напряжение на емкости ис =—— = . Если так;
z Pom опт
выбрать элементы контура Lx, Сиг, чтобы гэр > 4Rt и, следова¬
тельно, р0ПГ < -j , то можно получить Uc, превышающее э. д. с. Е_
В схемах с электронными лампами, особенно при пентодах,
как правило, z3p < Максимальное напряжение на контуре,
*^эр
равное + г Е, получается в этих случаях при р= 1.
Согласованием нагрузки с внутренним сопротивлением источ¬
ника назначение контура не исчерпывается. Как отмечалось ра¬
нее, важную роль играет избирательная способность контура..
С возрастанием добротности внешнее сопротивление резонанс¬
ного контура (.при данной характеристике р) возрастает. Контур
с большой величиной характеристического сопротивления р и по»
возможности малым сопротивлением потерь г используется иногда
в качестве высокоомного сопротивления, предназначенного для-;
ослабления токов определенной частоты в некоторых цепях
устройству. Такой контур иногда называют «стопорным» или «кон¬
туром-пробкой».
4.7. РЕЗОНАНСНАЯ КРИВАЯ И ФАЗОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОНТУРА. ПОЛОСА ПРОПУСКАНИЯ
Для выявления частотных свойств параллельного контура
воспользуемся общим выражением (4.49), определяющим внеш¬
нее сопротивление контура при любых соотношениях между ча¬
стотой внешней силы со и резонансной частотой сор. Как и при
выводе формулы (4.54), будем считать r\ <C|a:iI и г2<\Xi\. Учиты¬
вая далее, что полное реактивное сопротивление контура, полу¬
чаемое при последовательном его обходе, равно
где L и С — результирующие индуктивность и емкость контура,
находим вместо формулы (4.49) следующее выражение:
Z3 = t ~XlX2 -T=~flX2-. (4.70)
э г 4- / (хх + х2) г + IX
Заметим, что числитель правой части является положительной
вещественной величиной. В случае простого контура с однород¬
ными ветвями (рис. 4.17), когда
Xi = o)L и Хо = Кг,
1 “ соС ’
получаем
г + 1\ш1 — а>С) 1 + ' г
L
где гэр — — сопротивление параллельного контура при резо¬
нансе.
В случае контура со смешанными ветвями (рис. 4.18 и 4.20)
произведение Х\Х% зависит от частоты. Так, например, для кон¬
тура, показанного на рис. 4.18,
— ХхХ2 = о)11 — a)2£xZ2.
Для контура рис. 4.20
L 1
*1*2 — С2 ш2С•
Однако в области частот, близких к резонансной, можно счи¬
тать [см. формулу (4.160) ]
— ХхХ2 « р2р2 = const.
Кроме того, в этой же области частот знаменатель правой
части выражения (4.71) определяется [см. формулу (4.25')] при¬
ближенной формулой
1, ix * , . 2Да> , ", .
I +7 = 1 + * —Q = 1 +и*.
Г СОр
Подставляя эти выражения в формулу (4.71), получаем для
внешнего сопротивления параллельного контура при относительно
малых расстройках ^ С 1 j следующую формулу:
Z3 = _!?£_. (4.72)
э 1 + ia
Это выражение может быть использовало для выявления ча¬
стотных свойств параллельного контура, используемого в каче-
144
стве нагрузочного сопротивления. Если задан ток в неразвег-
вленной части схемы (например, анодный ток в случае, электрон¬
ной лампы), то амплитуда развиваемого на контуре напряжения
пропорциональна модулю сопротивления контура <гэ
Ua = 1агэ = ■ (4.73)
л а УI -fa2 У1 + я2
Отсюда получаем уравнение резонансной кривой напряжения
на контуре
п=ил^)= 1 (4>74)
Uap /1 + [«(“)]*
Фазовая характеристика параллельного контура, определяю¬
щая частотную зависимость сдвига фазы напряжения
Uа = /Z3 = Iz3e~lf
относительно фазы тока /, совпадает с аргументом сопротивления
Z3. Поэтому в соответствии с выражением (4.72) можем написать
<Р (а) = arctg (а) = arctg ^ QJ. (4.75)
Таким образом, все, что ранее было сказано для тока в после¬
довательном контуре, может быть распространено на напряжение,
действующее на параллельном контуре. Это положение справед¬
ливо при условии, что амплитуда т©ка в неразветвленной части
схемы не зависит от частоты генератора (или от настройки кон¬
тура) или, что то же самое, что внутреннее сопротивление генера¬
тора (электронного прибора) очень велико по сравнению с 2эр.
В реальных устройствах приходится считаться с зависимостью
этого тока от величины нагрузочного сопротивления Z3(со) и, сле¬
довательно, от величины расстройки Асо = о) — сор.
Действительно, обращаясь к схеме рис. 4.16, можем написать:
/= о £
Ri + Zb >
Z,
u=iz3=e-Ri¥2-
Uap = Е
Z,
эр
Таким образом,
Подставляя сюда
Ri + ^эР
Ua (Ri -f- z3p)
Uар ^эр(^/ + ^э)
Z
z,
эр
э ■
1 -f- io, 9
10 Зак. 3/235
145
получаем
Uа Ri + ^эр Ri + гэр I ^ (4.76)
Uар (1 + ia) Ri + 2эр Ri "t* 2 эр + i&Ri 1 + / -
2эр
1 +_я7
П-
Переходя к модулю, получаем
1
/Г2До> Q
Т’ТЖ
(4.77)
Из сравнения этого выражения с формулой (4.23) видно, что ге¬
нератор, обладающий конечным внутренним сопротивлением, ока¬
зывает на контур шунтирующее действие, притупляя его резонанс¬
ную кривую. Эквивалентная добротность шунтированного контура
г. Q (4.78)
^эр
1+ъ
г,
снижается тем сильнее, чем больше отношение -щ. Эквивалент¬
ное затухание контура da соответственно растет с увеличе-
нием .
Это обстоятельство необходимо учитывать при определении по¬
лосы пропускания параллельного контура, используемого в каче-
стве нагрузки в анодной цепи электронного усилителя. Если для
«холостого» параллельного контура полоса пропускания, опреде¬
ляемая по снижению п до равна, как и в случае (последова¬
тельного контура,
2Ао>0 1
<йр Q '
то с учетом шунтирующего действия генератора относительная
полоса будет
(4J9)
Расширение полосы контура проявляется особенно заметно пор:
использовании лампы с относительно малым внутренним сопротив¬
лением Ri (триоды) К Расширение полосы может при этом дости-
1 Заметим, что при —- <С 1 резонансные свойства контура (по отноше-
2ър
нию к напряжению на контуре) вообще не проявляются. Действительно, при
Ri -► 0 э. д. с. оказывается приложенной непосредственно к контуру. Незави¬
симо от соотношения частот со и top напряжение на контуре будет равно э. д. с.
генератора.
146
гать 20—30%. При использовании электронных приборов с очень
большим внутренним сопротивлением (например, пентоды) их шун¬
тирующим действием обычно можно пренебрегать.
4.8. СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОНТУРА
Представив полное сопротивление контура, определяемое фор¬
мулой (4.72), в форме
~ ^эо /1 а \ _
Z3= 1 + ia = *ЭР (l + а* ~ 1 1 + ау = (4.80)
можно трактовать параллельный
контур в виде последовательного
соединения активного сопротив¬
ления
= 2эр (4.81)
и реактивного
^э=-^эрг^2* (4.82)
Графики функций ,
а также отношения ^ в зависи-
*Эр
мости от обобщенной расстрой¬
ки а показаны на рис. 4.22.
При положительной расстрой¬
ке, т. е. для частот выше резо¬
нансной, когда Дсо == со — (ор>0
и а>0, реактивная слагающая
сопротивления последовательной схемы замещения хэ?С0, т. е.
параллельный контур может быть замещен последовательным сое¬
динением конденсатора емкостью Сэ и активного сопротивления
JR9. Для частот (о<сор, наоборот, схема замещения состоит из по¬
следовательно соединенных Яэ и Ьэ.
Итак: для резонансной частоты контур представляет собой
чисто активное сопротивление Яэ — гэр; для частот выше ре¬
зонансной, когда преобладает проводимость емкостной ветви,
контур является комплексным сопротивлением с емкостной ре¬
активной составляющей; для ча1отот; ниже резонансной, когда
преобладает проводимость индуктивной ветви, контур является
комплексным сопротивлением с индуктивной реактивной со^
ставляющей.
JC
Отметим, что экстремумы кривой —- получаются, как это не-
трудно видеть из формулы (4.82), при значениях обобщенной
10* 147
Рис. 4.22
расстройки а-
тура.
± 1, т. е. на границах полосы пропускания кон-
При этом максимальные ординаты кривой равны (поаб-
1
солютной величине) у, так же как и орДинаты кривой .
Часто оказывается удоб¬
ным применять параллель¬
ную схему замещения,
в которой сопротивление по¬
терь г (рис. 4.23, а) учиты¬
вается сопротивлением R3t
включенным параллельно ре¬
активным элементам контура
(рис. 4.23,6).
Параметры схемы замеще*
ния 1Э, Сэ и /?э (рис. 4.23, б)
нетрудно получить из выраже*
ния для комплексной проводи¬
мости контура, показанного на
рис. 4.23, а.
В соответствии с формулой (4.70) находим
r + i{a,L — '^c)
Отсюда следует, что
L_
С
Rs = 2эр = 4
— f— шС — I
(йЬ
L3 = L,
С, = С.
(4.83)
(4.84)
Таким образом, для перехода от схемы 4.23, а к схеме 4.23,6
достаточно сопротивление г, включенное в контур последовательно,
заменить параллельным сопротивлением R3, равным резонансному
сопротивлению контура гэр.
Очевидно и обратное положение: для перехода от параллель¬
ного сопротивления Rm, шунтирующего контур, к сопротивлению гэ,
включенному в контур последовательно, необходимо определять
последнее по формуле
(4.85)
Это выражение совпадает в формулой (4.30").
Найдем общее выражение для сопротивления контура, образо¬
ванного параллельным соединением трех ветвей: L, С и R (схема
такого контура совпадает со схемой рис. 4.23,6),
/ (4.86)
Учитывая, что в случае параллельного подключения активного
сопротивления R к конденсатору, «постоянная времени» контура
(см. § 4.9)
х = 2 RC, (4.87)
и обозначая по-прежнему
получаем
(4.86')
Рис. 4.24
Рис. 4.25
В области малых расстроек «С 1) по аналогии с форму¬
лой (4.27) можно считать
<4">
где Дш = «) — <0р.
Поясним применение формул (4.84) — (4.85) на следующем при¬
мере.
Пусть задан контур, содержащий активные сопротивления,
включенные как внутри, так и параллельно контуру (рис. 4.24).
Требуется: 1) привести эту схему к виду схемы рис. 4.23, а и
2) привести эту схему к виду рис. 4.23, б.
В первом случае к сопротивлению г добавляем сопротивление
р2
— Во втором случае к шунту Rm добавляем (параллельно)
Ш р2
шунт R3 = y. В результате получаем схемы замещения, пока¬
занные на рис. 4.25, а и б.
149
4.9. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА
При передаче через контур реальных сигналов большую роль
играют свободные колебания, возникающие при появлении и пре¬
кращении действия сигналов, а также при любых изменениях ам¬
плитуды, фазы или частоты сигнала.
Характер свободных колебаний полностью определяется диффе¬
ренциальным уравнением контура. Для «последовательного» кон¬
тура это уравнение имеет следующий вид:
L + ri + ^ J idf= 0. (4.89)
Каждое из слагаемых этого уравнения есть напряжение соответ¬
ственно на индуктивности, сопротивлении и емкости контура.
Решение уравнения (4.89), как известно, может быть записано
в форме
г (^) = /е—cin (о>с„^ + т)» (4.90)
где
шсв — j/~ ~[q — jjj (4.91)
представляет собой угловую частоту собственных коле¬
баний контура, а
а = зГ <4-92)
является коэффициентом-затухания, определяющим ско¬
рость убывания амплитуд. Начальные амплитуда / и фаза ф сво¬
бодного колебания зависят от начальных условий. Последние же
определяются общим запасом энергии в контуре в момент t = 0
и распределением этой энергии между элементами L и С.
/
Для стандартизации начальных условий временные характе¬
ристики линейной цепи принято характеризовать откликом ее на
«единичный импульс» э. д. с. или тока.
Этот отклик называется импульсной характеристикой
цепи.
Так как длительность единичного импульса бесконечно мала
{см. § 2.8, формула (2.48)], то импульсная характеристика может
рассматриваться как свободное колебание в цепи, начиная с мо¬
мента t = 0. Рассмотрим два случая воздействия на контур: 1) еди¬
ничным импульсом э. д. с. и 2) единичным импульсом тока.
Первый случай имеет смысл и удобен для последовательного
(рис. 4.26,а), а второй — для параллельного контура (рис. 4.26,6).
Обращаясь к схеме рис. 4.26, а, мы можем считать, что в мо¬
мент / = 0 вся э. д. с. приложена, к индуктивности. Следовательно,
ток в контуре при t = 0 равен
х
i(0) = 2- {e{t)dt. (4.93)
х-° о
150
Но в соответствии с определением единичного импульса {§ 2.8, фор¬
мула (2.49)] интеграл в последнем выражении равен единице. Сле¬
довательно, йачальное значение тока в последовательном контуре
равно
i(0) = r- (4-94)
При рассмотрении вопроса о размерности полученной величины
не следует упускать из вида, что стоящая в числителе правой части
выражения (4.94) единица есть произведение вольт на секунды.
L
Ряс. 4.26
Подставляя в выражение (i.90) / = 0и приравнивая его выра¬
жению (4.94), находим
/ sin ? = -j ■
(4.95)
Второе уравнение для определения / и <р можно получить из
условия, что начальное значение тока является максимальным,
т. е.
Дифференцируя выражение (4.90) и приравнивая производную
нулю, получаем
{[— asin(<oCB* + cp) + о)свcos(<»CBt + ср)] е-а*Ь->о —
= — a sin <р -f- а>св cos <р = 0,
откуда
tg? = ^B. (4-96)
Исключая с помощью этого результата sin <р из уравнения (4.95),
находим начальную амплитуду колебания
1 1 / “с2в + “2
L sin <р L
Итак, окончательно,
]/1 +(—У
е a<sin (<oCBt -f- <p).
(4.97)
(4.98)
151
Из предыдущего материала данной главы (см., например, § 4.2)
ясно, что для радиотехнических контуров величина
1
Поэтому можно считать / ^ -j- и <р ^ -у . Выражение (4.98)
при этом переходит в следующее:
*(*)« -1 e~at cos<oCBt. (4.99)
На основании этого выражения нетрудно найти и напряжения на
элементах контура
«i(0 — «“cBe^sinu)^, (4.100)
«юсве sin <oCBt. (4.101)
Графики функций i(t)9 uL(t) и uc(t) изображены на рис. 4.27. Все
эти три функции могут рассматриваться как импульсные характе¬
ристики соответственно для i(t), uL(t) и uc(t) при последователь¬
ном введении э. д. с. в контур.
В случае схемы рис. 4.26, б можно считать, что в момент t = 0
импульс тока полностью проходит через емкость, сообщая ей заряд
•г
q{t) = yi{t)dt= 1.
Следовательно, начальное напряжение на С равно
Ис( 0) = ^ = 1. (4.102)
Повторяя предыдущие рассуждения, находим:
152
Импульсные характеристики uc(i), i(t) и uL (t) для случая*
воздействия единичным импульсом тока на параллельный контура
изображены на рис. 4.28,
Кроме введенных выше основных параметров контура сосв и а
часто пользуются еще логарифмическим декрементом затухания*
и постоянной времени контура.
Логарифмический декремент затухания равен логарифму отно'
шения двух значений тока, отделенных одним периодом Т:
Так как
то
Ри<р. 4.27
Рис. 4.28
Таким образом, логарифмический декремент является для сво¬
бодного колебания постоянной величиной.
Постоянная времени контура
^ = ~ = Т (4.107)
♦соответствует отрезку времени, на протяжении которого ампли¬
туда убывает в е раз.
Выясним связь приведенных выше величин с параметрами резо¬
нансного колебательного контура, работающего в режиме вынуж-
VТс'
то выражение (4.91) можно представить в форме
денных колебаний. Так как резонансная частота контура <ор=-
г2
4£2
Отсюда видно, что при достаточно высокой добротности Q
^св *** о>р, поэтому в практике обычно не делают разницы между
резонансной и собственной»частотами контура.
Далее, коэффициент затухания а можно привести к виду
Г 1 Г 1 (Ор
a = 2Z ==¥“^Га)Р = '2 Q ’
откуда
|г=4- <4-,08>
Сравнивая это выражение с (4.37), приходим к выводу, что 2а
равно полосе пропускания колебательного контура, выраженной
в угловых частотах.
Логарифмический декремент затухания нетрудно выразить че¬
рез добротность контура. Очевидно,
8=“7'=Е-^ = ? = *л (4.109)
Отсюда видно, что введенное ранее [см. формулу (4.17)] затуха¬
ние связано с логарифмическим декрементом соотношением
Для контура среднего качества d ==» 0,01 и логарифмический де¬
кремент 6 «= 0,03.
Рассмотрим в заключение параметры свободного колебания для
контура с параллельным подключением .нагрузочного сопротив¬
ления R (рис. 4.12,а и 4.23,6).
154
В первом случае при последовательном включении источника
э. д. с. и при обозначениях рис. 4.29 получим следующую систему
уравнений (для £>0):
di, 1 Г . ,
L~ir + c) гС^=°,
*z,=: *с (4.110)
= icdt.
Исключая из третьего уравнения i# (с помощью второго урав¬
нения), получаем
или
Рис. 4.30
Подставляя найденное выражение в первое уравнение системы
(4.110), приходим к следующему дифференциальному уравнению:
: 0.
(4.111)
Аналогичные уравнения можно составить также и для токов
h и /*.
Из сравнения уравнения (4.11.1) с уравнением (4.89) видно,
что для схемы рис. 4.29 коэффициент затухания
а~~2RC ' (4.112)
а постоянная времени
* = 1 = 2/?С.
(4.113)
Для схемы рис. 4.30 можно написать следующие уравнения (для
/>0):
(4.115)
155
Рис. 4.29
Подставляя выражения (4.115) для iLy ic и i% в уравнение
(4.114), получаем следующее уравнение для напряжения на кон¬
туре и:
Из уравнений (4.111) и (4.11Б) следует, что независимо от спо¬
соба возбуждения колебаний коэффициент затухания и постоянная
времени контура, шунтированного омическим сопротивлением,
определяются формулами (4.112) и (4.113).
Ясно также, что частота собственных колебаний в обоих слу¬
чаях
(4.116)
(4.117)
ГЛАВА 5
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
5.1. ВИДЫ СВЯЗИ. КОЭФФИЦИЕНТ связи
Рассмотренные в гл. 4 одиночные контуры обладают недоста¬
точно высокой избирательностью. Относительно невысокая кру¬
тизна скатов резонансной кривой одиночного контура препятствует
четкому разделению сигналов по частотному признаку. Для повы¬
шения избирательности в радиотехнике широко применяются слож¬
ные колебательные системы, составленные из нескольких колеба¬
тельных контуров, различным образом между собой связанных.
Применение нескольких контуров часто необходимо и для осущест¬
вления различных схемных задач, например трансформации нагру¬
зочных сопротивлений, сопряжения различных элементов многокас¬
кадных электронных устройств, получения необходимых фазовых
сдвигов и т. д. Наибольшее распространение получили системы,
состоящие из двух связанных контуров.
В зависимости от того, как осуществляется связь между кон¬
турами— через общий магнитный поток или общее электрическое
поле, — различают м а гнитн у ю связь и электрическую
связь. Возможна также и комбинированная связь — магнитная и
электрическая. В некоторых специальных случаях (в измеритель¬
ных устройствах) иногда оказывается удобным применять связь
через общее сопротивление («гальваническая связь»).
На рис. 5.1—5.4 показаны наиболее распространенные схемы
связанных контуров. Схемы рис. 5.1 и 5.2 являются двумя возмож¬
ными вариантами магнитной связи. Первая из них (рис. 5.1) назы-
Рис. 5.1
Рис. 5.2
157
вается индуктивной или трансформаторной, вторая (рис. 5.2) —
кондуктивной или автотрансформаторной. Два варианта электри¬
ческой связи показаны на рис. 5.3 и 5.4.
На первом из них (рис. 5.3) показана схема емкостной «внут¬
ренней», а на втором (рис. 5.4)—емкостной «внешней» связи.
Комбинированная трансформаторно-емкостная связь изображена
на рис. 5.5, а гальваническая связь — на рис. 5.6.
Возможны также случаи, когда один из контуров, обычно вто¬
рой, представляет собой апериодическую (неколебательную) цепь.
Для выявления резонансных свойств системы из двух связан¬
ных контуров удобно исходить из условия, что амплитуда Е сину¬
соидальной электродвижущей силы, вводимой в первый контур,
поддерживается неизменной, а частота со этой э. д. с. может изме¬
няться.
При рассмотрении стационарного режима любую из двухкон¬
турных связанных систем можно представить в виде обобщенной
схемы, показанной на рис. 5.7. На этой схеме индексами 1 и 2 обо¬
значены элементы, входящие только в первый или второй контур,
а индексами 12— элементы, общие для первого и второго конту¬
ров. Таким образом, каждый из контуров в .общем случае может
содержать элементы Lh С{ и г{ или L2, С2 и входящие только
в данный контур, и элементы L\2y Сi2 и г12, общие для двух конту¬
ров. Результирующие величины индуктивности, емкости и сопро¬
тивления, получаемые при обходе данного контура и при разомк¬
нутом втором контуре, обозначим через
158
Рис. 5.3
Рис. 5.4
Рис. 5.5
Рис. 5.6
Рис. 5.7
Комплексные сопротивления подобного контура при частоте о>
определяются выражениями
Z12 называется сопротивлением связи двух контуров.
Очевидно, что
Если связь между контурами осуществляется через взаимоин¬
дукцию М, то сопротивление связи Zi2 == шМ. При этом Zn и Z22
определяются формулами (5.1).
Для количественной оценки взаимного влияния контуров при¬
меняется так называемый коэффициент связи двух конту^
ров. Понятие коэффициента связи проще всего сформулировать для
схем с чисто магнитной или с чисто электрической связью, когда
Z12 является чисто реактивным сопротивлением, индуктивным шщ
емкостным.
Рассмотрим сначала схему, показанную на рис. 5.1. Пусть при
разомкнутом втором контуре в первом контуре протекает ток /х
Составим отношение электродвижущей силы, индуктированной
в катушке L22, к полному напряжению на индуктивности Ln пер¬
вого контура
Величина имеющая смысл коэффициента трансформации
напряжения, называется степенью связи первого контура со вто¬
рым.
Если генератор включить со стороны второго контура, а первый
разомкнуть, то получим степень связи ’второго контура с первым
в виде
При одновременном протекании токов в обоих контурах имеется
взаимное влияние между контурами. Это влияние тем сильнее, чем
больше произведение kik2.
Коэффициент связи между контурами определяется вы^
ражением
(5.1 >
Сопротивление цепи, общей для двух контуров, будет
(5.2)
(5.3)
(5.4)
159
Для индуктивной связи (рис. 5.1), очевидно,
k = —M=^. (5.5)
Y £ц^22
Особенностью резонансных трансформаторов при высоких до¬
бротностях колебательных контуров является использование очень
малых величин коэффициентов трансформации kx и k2. Величины
этих коэффициентов в радиотехнике измеряются сотыми долями
единицы. Таков же порядок величины k.
Для автотрансформаторной связи (рис. 5.2) имеем
Для емкостной связи по схеме, изображенной на рис. 5.3,
*$шеем
CtC12 С2С12
С С с с
где Сп = сД.^1г и С22— с2+с12 — результирующие емкости при
обходе соответственно первого и второго контуров.
При изменении емкости связи Сi2 в пределах от 0 до оо полу¬
чим изменение коэффициента связи от единицы до нуля. В первом
случае (Ci2 = 0) конденсатор связи фактически отсутствует и си¬
стема вырождается в одиночный контур, состоящий из последова¬
тельно соединенных элементов Си С2, Lu L2, ru г2. Во втором слу¬
чае (Ci2->-°°) сопротивление связи равно нулю, токи 1Х и /2 не
создают падения напряжения на общем элементе цепи и система
распадается на два не связанных между собой контура. Для полу-
•чения k величиной в несколько процентов емкость связи Сп должна
J60
быть очень велика rio сравнению с емкостями С\ и Сг. При этих
условиях
k ~ . (5.7')
Oi2
Для схемы связи, показанной на рис. 5.4, называемой иногда
«внешней емкостной связью», имеем
(5.8)
В данном случае для получения k порядка нескольких процен¬
тов емкость связи С0 должна быть мала по сравнению с С] и Сг-
Поэтому обычно можно считать
(5.8')
Рассмотрим в заключение схему трансформаторно-емкостной
связи (рис. 5.5). Характер сопротивления связи зависит в этой
схеме от Соотношения величин соМ и ^ , а также от знака М.
“С 12
Если при разомкнутом втором контуре наводимая в катушке L2
э. д. с. находится в противофазе с напряжением на конденсаторе С12,
то сопротивление связи будет
Если <оМ>-^—, то связь может рассматриваться как маг¬
нитная.
При этом
Таким образом, при комбинированной связи коэффициент связи
зависит от частоты.
И Зак. 3/235 161
Если а>М < , то связь может рассматриваться как емкост¬
ная. При этом
К
“Cl2 (5.9')
-V—
О) Г
Если повернуть катушку овязи *(не выключая ее из схемы) так,
чтобы фаза э.д. с. Е2 на зажимах а—а изменилась на 180°
(рис. 5.8), то
При этом связь будет емкостная.
Вообще, если связь осуществляется
через чисто реактивное сопротивление
*12, то коэффициент связи можно выра¬
зить в виде следующей формулы:
где Pi и р2 — характеристики контуров.
Это выражение справедливо для случая, когда оба контура на¬
строены на одинаковую частоту, совпадающую с частотой генера¬
тора со.
5.2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТОКАМИ В СВЯЗАННЫХ КОНТУРАХ.
СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ ПЕРВОГО КОНТУРА
Исходя из обобщенной схемы (рис. 5.7), получаем систему из
двух уравнений
ZnIx — Z12/2 = Е, )
-Z I-о (5Л1>
^12у1 I ^22*2 )
В этих уравнениях за положительное направление контурных то¬
ков /х и /2 принято направление, совпадающее с направлением
вращения часовой стрелки. Знак минус ставится перед членами
162
Рис. 5.8
уравнения, соответствующими падениям напряжении бт тока,
правленного навстречу току данного контура.
Решая уравнения системы (5.11), находим для токов следую¬
щие выражения:
д=—V- (5Л2>
^12
Zn —
<5ЛЗ>
22
Приложим эти выражения к системам с чисто магнитной или
чисто электрической связью. В обоих случаях Zi2 есть чисто реак¬
тивное сопротивление. Обозначив это сопротивление через ±ix 12
(знак плюс при магнитной связи, знак минус при электрической),
получим
z212=(± ix12)2 = -x\2.
Тогда уравнения (5.12) и (5 13) можно переписать в форме
/i=—Ч-, (5-12')
V12
22
(± ^12)
(5.13')
Из выражения (5.12) видно, что под влиянием связи со вторым
контуром полное сопротивление первого контура возрастает на ве¬
личину
гт=ф. (5.14)
^•22
Это сопротивление, в общем случае комплексное, называется
вносимым в первый контур сопротивлением. Подставим в вы¬
ражение (5.14)
Z22 =— Г22 “I- ^ {^1*22 e>Ci2 ) == ^• (5.15)
Тогда
’Действительная часть этого выражения определяет прираще¬
ние активного сопротивления первого контура, а мнимая учитывает
реактивное сопротивление, вносимое вторым контуром в первый.
Обозначим первое через гвн, а второе через хвн. Таким обра¬
зом, имеем
гвв = фг22, (5.17)
г22
хю=-$х22. (5.18)
г\
22
Для индуктивной связи получим
(5.19)
22
соШ2
г2
22
х22. (5.20)
Для емкостной связи (по схеме рис. 5.3)
1
«*С?2
г\
Г 22> (5.19')
1
<02 С
>2
— х22. (5.20')
-2
г22
Отметим, что независимо от связи и от настройки второго кон¬
тура активное сопротивление гвн всегда положительно. Это оче¬
видно и из физического рассмотрения, так как второй контур не
содержит генератора и расходуемая в сопротивлении • гщ энергия
берется из первого контура. Ясно, что для учета добавочных потерь
в первый контур должно быть введено положительное активное
сопротивление.
Иное дело с реактивной частью вносимого в первый контур
сопротивления. В зависимости от настройки второго контура это
сопротивление может быть как положительным, так и отрицатель¬
ным. Если резонансная частота второго контура сор2 > ю, то
х22 — и>Ь22 —74— < 0
д “022
*вн > о.
Если же о)р2 < о), то х22 > 0 и хш < 0.
Это означает, что при емкостной расстройке второго контура
в первый контур вносится индуктивное сопротивление, а при индук¬
тивной расстройке — емкостное сопротивление.
164
Полное эквивалентное сопротивление первого контура с учетом
реакции второго можно записать в форме
zi3 = Z>n -f~ ZBн = rn -f- гш + 1 (*11 + *вн) —
(5.21)
На основании этого выражения можно построить для первого
контура схему замещения, изображенную на рис. 5.9.
Для тока в первом контуре можно написать следующее выра¬
жение:
Для тока во втором контуре в соответствии с (выражением
(5.13') имеем
г Е (± 1*12)
/2 2
42
(5.23)
Величины гвн и хвн очень сильно зависят от настройки второго
контура. С приближением ее к резонансу с частотой генератора со
гвн растет, а хвн падает (по аб¬
солютной величине).
При резонансе второго кон¬
тура, т. е. “когда сор2 =со, *22
обращается в нуль, что при¬
водит к следующим выраже¬
ниям:
ЛГВН ==::
fl2
”вн. макс — Г22 •
(5.24)
Интересно, что в этом случае гвн обратно пропорционально со¬
противлению потерь второго контура.
165
Рис. 5.9
Рис. 5.10
Фазировка токов /, и /2 относительно э. д. с. Е при расстроен¬
ных контурах (относительно частоты генератора со) показана на
векторных диаграммах рис. 5.10 (для индуктивной связи) и рис. 5.11
(для внутренней емкостной связи).
Первая диаграмма построена по уравнениям, получаемым пу¬
тем подстановки
Z12 = id>J]/l
в уравнение (5.11). Таким образом, для индуктивной связи имеем
= 0
(5.25)
Вторая диаграмма, для емкостной связи, построена по уравне¬
ниям
(5.26)
Нетрудно убедиться, что в случае настройки первого и второго
контуров на частоту генератора © сдвиг фазы между током 1г и Е
равен нулю, а ток/2 сдвинут относительно 1Х на +90° в случае ин¬
дуктивной связи и на —90° в случае емкостной.
С помощью векторной диаграммы рис. 5.12 нетрудно также по¬
яснить смысл знака м.инус в правой части выражения (5.20) для
166
Рис. 5.11
JCBH. Для большей наглядности диаграмма построена для случая,
когда первый контур настроен на частоту генератора, а второй не¬
много расстроен.
Как видно из диаграммы, наличие индуктивной расстройки во
втором контуре (aL22 > -^7) приводит к повороту вектора Л на
угол ф в сторону опережения отно¬
сительно Е, что равносильно внесе¬
нию в первый контур емкостного
сопротивления.
5.3. НАСТРОЙКА
СЭЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
В зависимости от назначения
двухконтурной схемы к ее настрой¬
ке могут предъявляться различные
требования. При использовании,
например, двухконтурной системы
в качестве резонансного трансфор¬
матора, работающего на одной ча¬
стоте, основным требованием яв¬
ляется получение высокого коэффи¬
циента .полезного действия. В пе¬
редатчиках при усилении модули¬
рованных колебаний требуется хо¬
рошая отдача в сочетании с опре¬
деленной формой резонансной ха¬
рактеристики системы. В приемниках основным требованием яв¬
ляется получение формы резонансной характеристики, выгодной
для выделения сигнала из помех; требование высокой отдачи яв¬
ляется при этом второстепенным.
Для выявления условий оптимальной настройки двухконтурной
системы при различных требованиях к последней необходимо сна¬
чала исследовать зависимость амплитуды тока /2 в выходном кон¬
туре от настройки каждого из контуров в отдельности и от вели¬
чины коэффициента связи при постоянных Е и о).
В основу исследования положим выражения для модулей ам¬
плитуд токов 1\ и /2. В соответствии с формулами (5.22) и (5.23)
имеем
Рис. 5.12
X
Дифференцируя у по х12 и приравнивая производную ~
нулю, находим условие
Положение максимумов токов на графике /i=/i(*n) и /2 =
= Ы*и) зависит от исходной настройки второго контура. Если
*22 > 0, то максимумы получаются при индуктивной расстройке
первого контура, при х&<0 — при емкостной. Таким образом, при
рассматриваемом резонансе оба контура имеют расстройки одина¬
кового характера.
Этот резонанс, получаемый только лишь путем подбора пара¬
метров первого контура, называется первым частным резо¬
нансом. Само собой разумеется, что определяемое формулой
(5.30)значение/2макс не является наибольшим возможным при дан¬
ных параметрах контуров и приданной амплитудеэ. д.с. Е. Для до¬
стижения наибольшего-возможного значения /2ШКс («максимум—
максиморум») необходимо еще подобрать оптимальную связь
между контурами, т. е. оптимальную величину сопротивления связи
*12. Это значение легко найти из условия максимума дроби
Рассмотрим случай настройки одного лишь первого контура с
помощью изменения емкости Cj или индуктивности L\. Параметры
второго контура будем считать неизменными, причем резонансная
частота юр2 этого контура может не совпадать с частотой и гене¬
ратора. Величину сопротивления связи считаем также постоянной.
При этих условиях в выражениях (5.27) и (5.28) переменной
величиной является только Хц. При изменении этой величины /1
и /2 изменяются по одинаковому закону.
При настройке первого контура, отвечающей условию
амплитуды токов максимальны и равны
откуда
•^12опт==:^22 ‘ (5.31)
Подставляя это значение х12 в выражения (5.29) и (5.30), по¬
лучаем
£
(А макс)дг J2 опт == ~2р7Г » (5.32)
(5.33)
Подобная настройка, при которой подбираются элементы од¬
ного из контуров и устанавливается оптимальная связь, получила*
название сложного резонанса.
Рассмотрим теперь случай настройки одного лишь второго кон¬
тура при неизменных параметрах первого контура и неизменной
связи. В данном случае переменная величина хп входит в выра¬
жения (5.27) — (5.28) более сложным образам, чем хц■ Для выяс¬
нения зависимости тока /% от Х22 обратимся к общему выраже¬
нию (5.13) и приведем его к виду
2Tj2
/ — & ^12 ^ ^11 /г 04V
2 Z2 z22 Z2 ' (о.о4)
^12 22 12
11 7ЛЛ 22 7
^22 -^11
Числитель правой части может рассматриваться как э. д. с., ввчо-
димая во второй контур в режиме холостого хода, т. е. при разомк¬
нутом втором контуре. Знаменатель представляет собой эквива¬
лентное сопротивление второго контура с учетом влияния первого
контура при условии, что питание системы производится со стороны
второго контура. Таким образом, величина
z2
_ _12 у
7 ^-'вн
zll
может рассматриваться как сопротивление, вносимое из первого*
контура во второй при питании системы со стороны второго кон¬
тура.
По аналогии с формулами (5.14) и (5.16) можно написать
г2 г2
Л1 о Д-11
*11
Подставляя это выражение в уравнение (5.34), получим
^12
Модуль этого выражения
Гп
Соответственно и наибольшее возможное значение тока
Е
(5.39)
2ММ_ •
Это выражение совпадает в формулой (5.33). При этом ток
в первом контуре равен
(5.40)
Рассмотрим, наконец, полный резонанс, получаемый при на¬
стройке каждого из контуров порознь на частоту генератора и при
подборе оптимальной связи. В этом наиболее для практики важ¬
ном случае выполняются следующие условия:
При выполнении условия
имеет место второй частный резонанс и амплитуда тока /2
достигает значения
Как и в случае первого частного резонанса, подбором связи
можно получить наибольшую возможную при данных параметрах
контуров и при данной амплитуде э. д. с. Е величину /2 маКс (слож¬
ный резонанс), Ввиду Полной симметрии выражений (5.37) и (5.30)
оптимальная величина Х\% может быть получена простой заменой
индексов 1 и 2 в формуле (5.31)
Подставляя эти выражения непосредственно в формулы (5.27),
(5.28), получаем
(А макс) Х\2 опт = 2гп ’ (5.41)
А мм — п г ~ • (5.42)
£у гпг<^
Заметим, что при полном резонансе сопротивление гва, вноси¬
мое из второго контура в первый, равно собственному сопротивле¬
нию гп первого контура.'
Сравнивая формулу (5.42) с формулами (5.33) и (5.39), заме¬
чаем, что наибольшие возможные значения /2 при сложных резо¬
нансах и при полном резонансе одинаковы. Однако для получения
этого значения /2 при полном резонансе требуется наименьшее по
величине сопротивление связи, равное гпг22- Отсюда
видно, что величина сопротивления связв х12 опт близка к Гц и г22,
т. е. измеряется единицами ом.
Отметим, что при одинаковых сопротивлениях гп и г2г о случае
полного резонанса токи /[ и /2 одинаковы по величине. При
гп<г22, очевидно, /i>/2; при г]1>г22, наоборот, /2>/ь
Итак, для получения полного резонанса нужно настроить каж¬
дый контур в отдельности на частоту генератора, после чего подо¬
брать оптимальную связь. Если конструкция двухконтурной си¬
стемы позволяет плавно регулировать связь, то первоначальную
настройку каждого из цонтуров' можно производить при очень сла¬
бой связи, не нарушая схемы. В случае постоянной связи настройку
каждого из контуров целесообразно производить при разомкнутс?м
другом контуре.
5.4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ДВУХКОНТУРНОЙ СИСТЕМЕ
Рассматривая второй контур как нагрузочный, содержащий по¬
лезное сопротивление г22, а первый контур как вспомогательный,
можно ввести понятие коэффициента полезного действия двухкон¬
турной системы в виде отношения
1
где Р2 — мощность, расходуемая в сопротивлении г22;
Pi — мощность, расходуемая в сопротивлении га;
Рт — суммарная мощность, отдаваемая генератором.
Нетрудно выразить т) через параметры контуров и через со¬
противление СВЯЗИ Х\2.
Очевидно,
Но мощность Р2 можно выразить и через ток /ь если восполь¬
зоваться схемой замещения для первого контура, изображенной на
рис. 5.9. Очевидно, что мощность, выделяемая током 1Х в сопротив¬
лении гвн, численно равна мощности, отбираемой вторым конту¬
ром из первого. Таким образом,
/2 /2 г2
Р —г — 1 12 г
2 “2" 17 Г22-
Подставляя эти выражения в формулу для к. п. д., получаем
Особенно простое выражение получается для случая, когда вто¬
рой контур настроен на частоту генератора. Тогда
г2
г 12
ВН_ Г22
Заметим, что при полном резонансе, когда
Х12 — У ГПГ22»
коэффициент полезного действия равен 50%.
Такой же результат получается при втором частном резонансе и
при одновременном подборе оптимальной связи.
Для получения более высокого к. п. д. необходимо увеличивать
отношение гвн к щ. С этой целью целесообразно снижать до воз¬
можного минимума сопротивление потерь г и первого контура и
подбирать достаточно сильную связь. Такой подход целесообразен
к двухконтурной системе, работающей, например, на выходе пере¬
датчика, когда вторым контуром является антенна передатчика.
В этих случаях к. п. д. доводят до 0,8—0,9. Таким образом, полный
или сложный резонанс не пригоден в тех случаях, когда от двух¬
контурной системы требуется высокий коэффициент полезного дей¬
ствия.
Если поставить задачу выделения максимальной мощности во
втором контуре при заданных Е и гп, то нетрудно показать, что
потребуется (вносимое сопротивление гвн = Гц.
Это вытекает непосредственно из схемы замещения для первого
контура (рис. 5.9). Коэффициент полезного действия при этом ра¬
вен 50%.
172
5.5. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ ДВУХКОНТУРНОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим теперь поведение связанных контуров с постоян¬
ными параметрами при изменении частоты генератора, включенного
в первый контур. Считая амплитуду э. д. с. генератора неизменной,
выведем уравнения для Л и /2 в зависимости от частоты генератора.
Основной интерес представляет поведение амплитуд токов вблизи
резонансных частот системы.
Можно поэтому при определении сопротивлений Zn и Z22, вхо¬
дящих в выражения (5.12) и (5.13)' исходить из приближенных
выражений [см. формулу (4.27)]
Zn ~ (1 + iax), |
^22 ~ Г22 (1 №2)1 I
где а,\ и а2 — обобщенные расстройки первого и второго контуров
порознь. В соответствии с формулой (4.25) эти величины опреде¬
ляются как
2 (о — сор1) ^ 2 (со — сор1) 1
Qi •
copi сор1 dx ’
2 (со — сор2) ^ 2 (со — сор2) 1
а2 — 5^ 42= — •
(5.45)
Здесь юр1, Qi и di — резонансная частота, добротность и зату¬
хание первого контура (без учета.влияния второго);
соР2> Q2 и d2 — то же для второго контура.
Подставив в выражения (5.12') и (5.13') Zn и Z22 по форму¬
лам (5.44), получим
h = -r • (5-46)
Г11 -*12
1 — а^а 2 + ГиГ22 + 1 + а2)
*12
УГПГ22
V Г пГ22
X
.2
(5.47)
42
1 — d\d% + ГпГф * (Й1 а2)
х
Входящая в Ьти выражения дробь -у- в соответствии с фор-
ГцГ22
1.
мулой (5.10) может быть преобразована следующим образом
_fk=^lLJi.= £2QQ = *1 (5.48)
г 11г22 PlP2 Г11 г22 ^1^2
Заметим, кроме того, что в соответствии с формулами (5.41) и
(5.42)
1 Это выражение справедливо для частот, близких к резонансным ча¬
стотам контуров.
173
первые множители в правых частях уравнений (5.46)' и (5.47) равны
удвоенным амплитудам токов соответственно первого и второго кон¬
туров при полном резонансе.
Можно поэтому переписать (5.46) и (5.47) следующим обра¬
зом:
1Х = 2 (Лмаке)*,, — ^1 + а2 . ,5 49^
12оПт /(1-aia2 +^^2)2 +(д1 +^2 ^
А = 2/2мм-7=^- */Ql92 ■e-f(yn±1'), (5.50 >
1^(1 — а^а2 4- (#1 -j-
где
cp2 = arctga2; (5.51)
?ia = arctg x_a^+%lQt ■ (5-52>
Знак плюс перед соответствует емкостной связи, а знак:
минус — магнитной.
На основании выражений (5.49) и (5.50) тюлучаем следующие
уравнения для резонансных кривых токов /1 и /2:
«1==-7т—^ = "я , (5.53*
( 1макс) а‘12опт У0 — ai&2 ~h ^2QiQ2)2 “f" (Д1 + ^2)2
п —М — V QiQz (5 54)
^2мм у/~(1 — “Ь ^2QlQ2)2 “Ь (^1 "Ь ^2)2
Фазовые характеристики для токов 1г и /2, т. е. частотные зави¬
симости фазовых сдвигов 1г и /2 относительно фазы э. д. с., вводи¬
мой в первый контур, определяются выражениями
Ь = 9.2 - ?2 = arctg- ^+^Q- - arctgа2, (5.55*
?п = ± j = arctg i_^+%QlQ, ± т • (5-56>>
Выражения (5.53) — (5.56) справедливы для любых настроек
контуров и для любых соотношений между добротностями конту¬
ров. Единственным ограничением является условие относительно,
малого изменения частоты генератора (см. § 4.3).
Для практики наибольший интерес представляют следующие
два частных случая:
1. Контуры полностью одинаковы: Qi = Q2; (0pi = °>p2*
2. Одинаковы лишь резонансные частоты шр1 = <ор2. Затухания
же различны, причем Q2<Qi.
Первый случай характерен для двухконтурных систем, исполь¬
зуемых в качестве полосовых фильтров в приемниках. Второй слу-
174
чай характерен для передатчиков, когда первый так называемый
промежуточный контур обладает весьма малыми потерями, а вто¬
рой содержит относительно большое сопротивление нагрузки и
обладает низкой добротностью.
Рассмотрим первый случай. Подставляя в уравнения (5.53) —
Из этих выражений видно, что форма резонансных кривых
сильно зависит от величины произведения kQ.
Рассмотрим сначала поведение п2. Если kQ < 1, то все слагае¬
мые в подкоренном выражении положительны и с ростом величины
расстройки |а| независимо от ее знака знаменатель растет, а мг па¬
дает. Таким образом, при kQ < 1 резонансная кривая имеет один
максимум при а= 0, т. е. при частоте ю, совпадающей с резонанс¬
ными частотами контуров <ор1 = сор2 = 0)р.
Если kQ > 1, то второе слагаемое в подкоренном выражении
будет отрицательно (при любом знаке а) и с увеличением рас¬
стройки |а| знаменатель будет сначала падать, а затем расти.
В соответствии с этим пг с увеличением расстройки |а| вначале
растет, а затем убывает. Это означает, что резонансная кривая
обладает при kQ > 1 двумя максимумами: одним при ах > 0 и вто¬
рым при ап< О, т. е. при частотах coj > <ори о)п < <ор. При совпа¬
дении же частоты генератора се с резонансными частотами контуров
Юр получается экстремум типа минимуму.
Для отыскания значений ах и ан нужно найти производную
подкоренного выражения по а и приравнять ее нулю:
4а (1 - k2Q2) + 4а3 = 0 или а [1 - k2Q2 + а2] =0.
Корни этого уравнения будут
Последний корень, как это ясно из предыдущего, соответствует
минимуму резонансной кривой, а первые два, существующие только
при kQ > 1, — максимумам резонансной кривой.
Величина коэффициента связи, соответствующая условию
(5.54) а1 = а2 — а, Q1=Q,==Q= —, получаем
2 V1 + & 2 у 1 + &
2 kQ
(5.58)
У(1 + Jfe2Q2)2 + 2а2 (1 — k'ZQt) + я*'
a, = + T/A2Q2- 1 ,
an= — V k2Q2 — 1 ,
аш — о.
(5.59)
kQ — \,
(5.60)
175
’называется критической. В дальнейшем будем обозначать кри¬
тический коэффициент через kKP. При k < kKp связь называют
слабой, при k > kKV — сильной. Итак, при слабой связи резо¬
нансная кривая является
'п*| | | f одногорбой, при сильной
связи — двугорбой.
Семейство кривых
п2(а) для различных зна¬
чений параметра kQ по¬
строено на рис. 5.13.
В точке а=0 ордина¬
та резонансной кривой
для тока h определяется
выражением
(5.61)
С увеличением kQ
глубина седловины в ре¬
зонансной кривой растет.
Обратимся теперь к
исследованию резонанс¬
ной кривой для тока 1\.
Из выражения (5.57) сле¬
дует, что образование
седловины в кривых
tii(a) наступает пря ве¬
личинах kQ, меньших, чем это вытекает .из условия (5.60). Это объ¬
ясняется влиянием добавочного [по сравнению с правой частью
выражения (5.58)] множителя V1 + а2, усугубляющего подъем ре-
.зонансной кривой /i(co) вблизи (o=<op. Для отыскания величин
расстроек аг и аи, соответствующих экстремумам .кривой щ(а),
.в данном случае нужно исходить из выражения
Выполнив дифференцирование и приравняв числитель дроби
шулю, получим следующее уравнение:
а [а4 + 2а2 + 2( 1 - k2Q2) - (1 + k2Q2)2] =0. (5.62)
Корни этого уравнения
«I. п= ± V -1 +/T^2(1-£2Q2) + (1 + £W =
(5.63)
176
Рис. 5.13
Мнимые корни aiv, v отброшены как не имеющие физического
смысла.
Корни ahn существуют только при условии
-1 +1/1 -2(1 -/fe2Q2) + (l i-A2Q2)*>0.
Это условие и определяет возникновение седловины в резонанс¬
ной кривой П|(а). Нетрудно показать, что критическое значение
связи определяется из условия
kKpQ — 0,49.
Семейство кривых щ (а) при различных значениях параметра
kQ построено на рис. 5.14.
На рис. 5.15 и 5.16 изображены фазовые характеристики для
токов Ii и /2 в случае идентичных контуров, построенные по урав¬
нениям
<Р, = arctg }_фй+ klQf - arctgа, (5.55')
= arctg klQT ± y . (5.56')
На рис. 5.16 по оси ординат отложена величина <р[,, отличаю¬
щаяся от <рц на угол ± -у. При индуктивной связи для полу-
12 Зак. 3/J3S 177
Рис. 5.14
Рис. 5.15
Рис. 5.16
чения <pjj кривую <рп нужно сдвинуть вниз на -у, при емкост¬
ной — поднять на такую же величину вверх. 'Напомним, что
в исходные выражения для Л и /2 фазовые углы <pj и <рп входят
со знаком минус [см. формулы (5.49) и (5.50)].
Обратимся теперь к исследованию условия образования седло¬
вины в резонансных кривых в случае контуров с неодинаковыми
добротностями. Подставляя в выражения (5.53) и (5.54)
2 (<*> — “pi) _ _
а\ — ^ Qi — siQi>
<^pl
2 (о) (0о9)
- pJQ2 = e2Q2
и учитывая, что резонансные частоты контуров совпадают, т. е.
81= 82= е, получаем
п Л 2^1 + S-Ql
(Лмакс)д: 12опт /(1 — t2QiQi + + -2 (Qi + Qi)2
„ _ h 2 кУ(Щг
2 /2„м Y(\_ _ k-Qt Q>)2 + ^ (Qt + Q2)2 '
, т dn, dn2
Находя и —£■ и приравнивая производные нулю, можем
найти значения относительной расстройки е, при которых пi(e) и
Пг(е) обладают экстремумами. Опуская промежуточные выкладки,
приведем окончательные результаты. Для резонансной кривой п2(г)
условие образования седловины имеет вид
/' + <&
(5-64)
"2
Таким образом, критический коэффициент связи
/А + dl1
-V1-- <5-65)
При этом максимумы резонансной кривой получаются при отно^
сительных расстройках
Г d\ + d\
е = ± у k2 4Р-. (5.66)
В тех случаях, когда d^ d\, получаем соответственно
d
V2 ’
Лкр«г^-, (5.65')
8 « ± \/Ь2 - 4 • <5.660
12* 179
Заметим, что в случае неточной настройки контуров, т. е. когда
^pi ¥= шр2> резонансные кривые могут иметь двугорбую форму даже
при слабой связи. При этом кривые получаются несимметричным#:
один из горбов выше другого.
В практике часто важно знать отношение амплитуды напряже¬
ния на реактивных элементах второго контура к напряжению, вво¬
димому в первый контур. Это отношение определяется коэффици¬
ентом передачи (например, при съеме напряжения с емкости вто¬
рого контура)
1
I^ 1(1
А — £
Учитывая выражение (5.47) и приравнивая а\= а2 (одинаковые
контуры), получаем
1 ± kQ
К
ыСг (1 + /а)2 -h &2Q2 •
Здесь знак плюс соответствует магнитной связи контуров, знак ми¬
нус— емкостной. Так как при малых расстройках можно считать
11 Q,
ыСг <Ор С Г
то окончательно
К= + Q тпг^т—.W- (5-67>
“ ^[1 + |(<а — <0р) т]2 4- k’-Q1 v '
При критической связи (kQ = 1) будем иметь
к= ± и ,1 -и U .и Ч 12= ± Ке~‘9{т). (5.68)
1 + [1 + I (<■> + «Лр)-']2 ' '
Модуль и фаза коэффициента передачи определяются выраже¬
ниями 1
К=
(5.68')
У [‘2 — (<о — «р)2 t' 4 (о) — Шр) “ т2 ’
/ \ * 2 (<0 <Ор) X
?(<■>) = arctg 2i_-(a> _ Ыр)2 •
5.6. ИСТОЛКОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ
СИЛЬНОСВЯЗАННОЙ СИСТЕМЫ
Изгпроведе*нного в предыдущем параграфе исследования видно,
что глайной особенностью двухконтурных систем является двух-
волнистость, т. е. наличие при достаточно сильной связи двух мак¬
симумов в резонансной кривой.
1 Следует иметь в виду, что при таком определении фазы в выражении
для К перед <р(е»>) должен быть поставлен знак минус.
180
Ввиду важности этого явления для практики остановимся на
тем несколько подробнее. Постараемся ответить на следующие во¬
просы:
1. Каковы параметры схемы замещения первого контура, изо¬
браженной на рис. 5.9, при частотах соь п, соответствующих макси¬
мумам тока /2 [т. е. максимумам резонансной кривой п2(а)]?
2. Как следует представлять себе причину образования седло¬
вины в резонансных кривых и как объяснить то, что седловина
в кривой /ii(a) наступает при kQt меньших, чем это имеет место
для п2(а\?.
3. Какова разница между частотами, соответствующими макси¬
мумам /2 и /1?
Для ответа на первый вопрос выясним, каково полное реактив¬
ное сопротивление первого контура xi9 на частотах coj и cofr. Для
этого воспользуемся выражением
^ х12
•X'ls — Хц т1 Х22'
Z22
С целью упрощения задачи оба контура считаем одинаковыми.
Тогда собственные их реактивные сопротивления одинаковы:
•*11К и)= Х2Ъ К н)
и
■*is = *n(l - ■"Г") •
х2
Но в соответствии с формулой (5.31) —^-=1 (при сложном
^22
резонансе). Следовательно, х1э = 0.
Этот весьма важный результат показывает, что при частотах
возбуждения Ю|,ц, отвечающих максимуму резонансной кривой
яг (w), полное сопротивление первого контура является чисто ак¬
тивным и фаза тока 11 совпадает с фазой э. д. с. Е, вводимой в пер¬
вый контур. Этим и объясняется то, что фазовая характеристика
ф|(а) (при kQ > 1) пересекает ось абсцисс в точках ±а, соответ¬
ствующих максимумам кривой «2(0) (сравнить точки пересечения
оси абсцисс кривой <р, при kQ = 3 на рис. 5.15 с абсциссами макси¬
мумов кривой Пг(а) при том же значении kQ на рис. 5.13). Итак,
на частотах м, и toj,, соответствующих максимумам /12(a), схема
замещения первого контура состоит из двух активных сопротивле¬
ний: Г11 и гвн.
Переходим ^ко второму вопросу. Возникновение седловины в ре^
зонансных кривых щ(а) и /12(a) можно представлять себе следую¬
щим образом. Имея в виду систему из двух одинаковых контуров,
станем мысленно изменять частоту со генератора от низких частот
к высоким, наблюдая при этом за изменением полных сопротив¬
лений контуров, а также токов /] и /2.
181
В области частот, меньших чем сор, оба контура порознь обла¬
дают емкостной расстройкой (поскольку э. д. с. вводится последо¬
вательно). Второй контур вносит в первый помимо активного со¬
противления еще и индуктивное сопротивление. При некотором
значении со = соп < сор, соответствующем равенству |лсц| = \хт\,
в первом контуре наступает последовательный резонанс, при кото¬
ром амплитуда тока равна
£
A Kl) — ги 4- Гвн (®н) '
При дальнейшем повышении частоты со ток 1Х падает, так как,
во-первых, растет гвн (ибо частота со приближается к резонансной
частоте сор второго контура) и, во-вторых, нарушается компенсация
реактивного сопротивления первого контура. Правда, когда со про¬
ходит через значение сор, опять наступает резонанс, поскольку Х\и
*22, а следовательно, и хш обращаются в нуль. Однако в этой точке
ток в первом контуре, определяемый выражением
£
А ( р) ru Гвн (о>р)
значительно меньше, чем /i(con), поскольку гвн (сор) больше, чем
^вн(С|)11) > и тем сильнее, чем сильнее связь.
В области частот, превышающих сор» также имеется точка
(o)j), в которой наступает резонанс в первом контуре, однако
в данном случае при индуктивных расстройках в обоих контурах
и при емкостном характеру дгРН. Ясно также, что гвн (со/) < гвн(а>р).
Итак, симметрично относительно сор расположены две частоты
<*>i и <*>,,„ при которых I\ больше, чем при сор. Следует иметь в виду,
что при сильной связи превышение /i(cobII) над Л(сор) является
весьма значительным. Действительно, в соответствии с § 5.3, при
критической связи (при «полном резонансе») rBe(a>p)Kp = ru — г>
а при kQ > 1, когда x12 = kQ(x 12)крг rm(u>p) = (kQ)2ru, т. е.
больше, чем г.
Далее, поскольку при частотах соЬ11 выполняется условие
—1L — 1, то гвн (соь и) = гп = г22! = г. Следовательно, интересующее
г22
нас отношение токов может быть подсчитано следующим образом:
А К, и) _ + г°и (V _ гп + (feQ)2 ги _ 1 + (*Q)2
h (“р) rn + гвн (“I, II) ги + гп 2
Например, при связи, йдвое большей, чем критическая, т. е. при
kQ = 2, отношение токов получается равным 2,5.
Пропорционально амплитуде Л возрастает э. д. с., вводимая во
второй контур, а следовательно, и амплитуда тока /2. Максимумы
в кривой /2(10) выражены, однако, менее резко, чем в кривой /1 (to),
так как /2 зависит не только от э. д. с. £2 = / i*|2, но-и от г2 2; послед-
182
нее же на частотах coj и больше, чем на частоте юр. Ясно, что
для образования седловины в кривой /2 (со) требуется, чтобы пре¬
вышение I\(<0ji л) над /,(о)р) перекрывало превышение 222(<0j, ц)
над z22(«>p).
Это условие как раз и обеспечивается при kQ > 1. Можно вы¬
делить три области значений kQ: kQ < 0,49, 0,49 < kQ < 1 и
kQ> 1.
В первой области обе резонансные кривые, как П\(а), та« и t
п2(а), являются одногорбными.
Во второй области (0,49<&Q<1) в кривой п\(а) образуется
седловина, а кривая п2(а) остается одногорбой. Наконец, в третьей
области (kQ> 1) обе кривые как пх(а), так и лг(а) двугорбые,
причем в кривой rii(a) седловина глубже, чем в кривой п2(а).
Теперь нетрудно ответить и на третий из поставленных выше
вопросов. Как уже отмечалось при рассмотрении первого вопроса,
на частотах Wj и ©„ схема замещения первого контура состоит
только из двух активных сопротивлений: гц и гвн. Однако ампли¬
туда тока /1 не проходит через максимум в точках Ш] и сои, так
как гвн весьма велико. При дальнейшем увеличении расстройки
|ю — Юр| сопротивление гвн падает, что приводит к росту /1 до тех
пор, пока влияние снижения гвн не будет скомпенсировано ростом
Xja. Поэтому частоты, отвечающие максимумам /ь отстоят от сор
дальше, чем М| и Иными словами, при одной и той же вели¬
чине kQ, максимумы кривой Л](а) раздвинуты шире, нежели мак¬
симумы кривой Пг(а). Этот вывод может быть сделан также из
сопоставления выражений (5.59) и (5.63), а также рис. 5.13
и 5.14.
Из предыдущего ясно, наконец, что чем сильнее связь, тем
больше |*вн| и, следовательно, тем больше величина Хц, которая
может быть скомпенсирована вносимым реактивным сопротивле¬
нием. Из этого следует, что с увеличением связи разница между
резонансными частотами системы o>It о>ц и резонансными частотами
самих контуров сор возрастает.
5.7. ПОЛОСА ПРОПУСКАНИЯ ДВУХКОНТУРНОЙ СИСТЕМЫ
Считая резонансные частоты контуров одинаковыми, определим
«полосу пропускания» двухконтурной системы как полосу частот,
на границах которой амплитуда тоха /2 снижается до ~y:for
максимальной амплитуды. Так как величина максимальной ампли¬
туды зависит от величины kQ, то необходимо отдельно рассмотреть
случаи слабой, критической и сильной связи.
При слабой связи (kQ < 1) максимум амплитуды /2 получается
при а= 0, причем величина «г(0) в соответствии с формулой (5.61)
равна
- /АЧ_ 2 kQ
2 1 + k'tQa •
183
Для определения обобщенной расстройки |а0| на границах по¬
лосы пропускания можно воспользоваться выражением (5.58), при¬
равняв в нем правую часть величине
л3 (0) 2kQ
/2 >/2(1+ Jfe2Q2) •
Таким образом, получаем
2 kQ 2kQ
У2 (1+ A2Q2) /"(I + kiQi) + 2al(\— k*Q*) + ag
Решив это уравнение относительно ао, получим
(5.69)
|a0| = K*2Q2- 1 + /2(1+A:4Q4). (5.70)
Для перехода к полосе пропускания, выраженной в частотах,
можно воспользоваться соотношением
KI=-^Q,
Р
откуда относительная полоса пропускания
2Ао>0 | g0|
“р Q
и сама полоса пропускания
К И (5.71)
<*>i — «>2 = 2Дсо0 = __ | Ло (ы»рд?. (5.72)
При очень слабой связи, т. е. когда kQ <С 1, выражение (5.70)
можно заменить' приближенным равенством
| а01» Y-\ +V 2 да Уйм « 0,64.
Заметим, что для одиночного контура обобщенная расстройка
на границах полосы пропускания равна единице (по абсолютной
величине). Отсюда видно, что при очень слабой связи двух конту¬
ров полоса пропускания системы составляет приблизительно 0,64
от полосы пропускания каждого из контуров порознь.
При критической связи (kQ = 1) и одинаковых контурах усло¬
вие (5.69) для определения |а01 принимает следующую простую
форму:
\a*\ = V2. (5.73)
Отсюда относительная полоса пропускания
2^о =_1^] = | а<) j d = V2 d. (5.74)
184
Таким образом, при критической связи полоса пропускания
системы в V 2 раз больше, чем полоса каждого контура порознь
[см. с формулы (4.35)
одиночного
для
кон-
полосы
тура].
Остановимся, наконец,
на случае сильной связи
контуров, когда &Q>1. Оп¬
ределение полосы пропуска¬
ния с помощью условия
(5.70) не имеет в данном
случае смысла, так как зна¬
чение П2 при резонансе не
максимальное. Ясйо, что
значение п2(0) должно быть
не меньше, чем на границах
полосы, т. е. П2(0)>—=.
У ^
Вид резонансной кривой при
Лг(0) = показан на рис.
5.17. Этому случаю соответ¬
ствует в согласии с форму¬
лой (5.61) /zQ = 2,41. Для
I <AQ <2,41 полосу пропу¬
скания нужно определять с помощью других выражений, получае¬
мых из условия
Пз (До)
2 kQ
V2 /(1 + *2Q>y + 2а’а (1 - VQI) + а*
При очень сильной связи, соответствующей рис. 5.17, получается
|aol ~ 3,1, т. е. полоса системы в 3,1 раза* шире, чем полоса каждого
из контуров порознь.
Иногда сильная связь применяется для создания искусственного
подъема частотной характеристики радиолинии в области высоких
частот модуляции. В подобных случаях важно знать расположение
максимумов резонансной кривой ri2(a) на оси частот. Этот вопрос
может быть решен с помощью выражений (5.59), определяющих
обобщенные расстройки а, и ахь при которых Лг(а) проходит че¬
рез свои максимумы. Переходя к частотам, получаем
2 Го>1 — <*>0) ,
щ = Ч—"-Q = + Vk*Q*-i,
CL\\
2 (0)П — top)
Vk2Q2 - 1,
где g),> <*>p и <оп < o)p — искомые частоты.
185
Рис. 5.17
Отсюда получаем
(5.75)
При очень сильной связи (k ^>d) можно пользоваться прибли¬
женными формулами
(5.75')
При использовании связанных систем в качестве полосовых
фильтров обычно исходят из критической связи, при которой резо¬
нансная кривая имеет форму, наиболее благоприятную для равно¬
мерного пропускания частот в пределах полосы 2а0 и резкого ослаб¬
ления частот вне этой ч полосы.
Это видно из рис. 5.18, на кото¬
ром совмещены для сравнения
резонансные кривые для одиноч¬
ного контура (пунктирная кри¬
вая) и для двухконтурной схемы
(при критической связи) при од¬
ной и той же полосе пропуска¬
ния (по ослаблению -у= \
Таким образом, двухконтур¬
ная связанная система обладает
большей избирательностью, чем
одиночный контур.
5.8. РЕЗОНАНСНЫЕ ЧАСТОТЫ
ДВУХКОНТУРНОЙ СИСТЕМЫ
ПРИ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ И ПРИ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ НАСТРОЙКЕ
КОНТУРОВ
При исследовании в §5.3 раз¬
личных способов настройки двух¬
контурной системы мы исходили
из условия получения наибольшей возможной амплитуды тока во
втором контуре. Это условие определяло величину связи (т. е. со¬
противление связи Х12) при заданных параметрах обоих контуров.
В § 5.5 изучалось поведение полностью заданной системы при
изменении частоты генератора, включенного в первый контур.
Однако это рассмотрение ограничивалось случаем, правда наибо-
186
Рис. 5.18
лее важным для практики, настройки обоих контуров на одну и
ту же частоту.
Поставим теперь задачу следующим образом: пусть заданы ре¬
зонансные частоты обоих контуров сорх и о)р2, в общем случае
произвольные, а также величина коэффициента связи k, и тре¬
буется определить частоты, при которых наступает резонанс в пер¬
вом и, следовательно, максимум тока во втором контуре. Иными
словам^, требуется определить частоты, при которых обращается
в нуль полное реактивное сопротивление первого контура (с учетом
Приравнивая х1э нулю, получаем следующее уравнение для опре¬
деления искомых резонансных частот
Отыскание корней этого уравнения в общем случае при учете
сопротивления г22 связано с 'весьма громоздкими выкладками. Ре¬
шение задачи может быть, однако, сильно упрощено для случая
заведомо сильной связи, когда kKp. Как было показано в § 5.6,
чем сильнее связь, тем больше разница между резонансными ча¬
стотами системы со1Л1 и резонансными частотами самих контуров
о)р. Можно, поэтому, принять, что вблизи искомых частот выпол¬
няется условие
Отбрасывая поэтому г22, перепишем приведенное выше ураъне
ние в упрощенном виде
Для определенности рассмотрим случай трансформаторной
связи, т. е. будем считать
Разделив это уравнение на LnL22 и использовав соотношения
xj2 = aAW2.
Тогда будем иметь
получим
о»4 - (»*, + «&) “* + =О
или
(1 — k2)(o* — (««J + 0>р ш2 + «8^ = 0.
Из четырех корней полученного биквадратного уравнения два
отрицательных корня должны быть отброшены как не имеющие
физического смысла. Положительные же корни, определяемые вы¬
ражением
_ 1 /“pi + “р2 ± V 0р1 + “р2)2 - 4 (1 - *2) “pl“p2 (5 7g4
II У 2(1— k2) • [О./О)
дают искомые резонансные частоты эквибалентного контура, изо¬
браженного на рис. 5.9.
Как и следовало ожидать, таких частот имеются две.
Для практики большой интерес представляет выяснение харак¬
тера изменения частот coj и соц в зависимости от относительной
расстройки контуров. Для выяснения этой зависимости зафикси¬
руем настройку одного из контуров, например первого, и станем
изменять настройку второго контура путем изменения L2 или С2.
Величину коэффициента связи между контурами сохраняем при
этом неизменной. Таким образом, о)р1 = const, k = const. Разделив
обе части уравнения (5.76) на постоянную величину сор1, полу¬
чим
М1.Ч= 1 v
"pi /2(1-/558)
х /1 + Ш ± /(• +^-)“ - 4(1 - *!>^- • (Мб')
Графики и в функции отношения для опреде¬
ленного значения k — kx приведены на рис. 5.19 сплошными жир¬
ными линиями. Пунктирными линиями показаны те же функции
для случая более слабой связи k2 < kt.
Проанализируем ход кривых и При -^- = 1, т. е.
при совпадении резонансных частот обоих контуров, фор¬
мула (5.76') дает следующие значения частот u>j и и)и:
— -t=J г-}/2 + /4-4(1 =
“pi /2(1— щ г у ’
1 -\Го | сГ£. /2(1 + к) "|у 1 + к 1
У 2(1 — &) /2(1 — А!) _ У (1 —*)(!+*) —
“и -1 f 2(1—ft) 1
“р» ~ У 2(1 - к’-) yi+J ■
188
Таким образом, при о>р1 = о>р2 = и>р
О) р
О).
(5.77)
Как видим, чем сильнее связь, тем больше частоты wj и о>п от¬
личаются от собственных резонансных частот контуров.
Нетрудно также убедиться, что найденные выражения (5.77) по
существу совпадают с формулами (5.75').
В области частот сор2 а>р1 формула (5.76') дает почти постоян¬
ное значение
1
COL
»pi
, асимптотически приближающееся к величине
, тогда как
°>ii
wpi
стремится к нулю.
В области частот <ор2 > отношение асимптотически
приближается к прямой
*>рз
Рис. 5.19
Отношение же при > 1 может быть приведено к виду
Из проведенного анализа, а также непосредственно из рис. 5.19,
можно сделать вывод, что о>х всюду превышает наибольшую
из резбнансных частот шр1 и о>р2, а о>и меньше, чем наименьшая
из частот шр1 и о)р2. Таким образом, положение ojj и а>п на оси
частот независимо от соотношения сор1 и сор2 должно соответ¬
ствовать рис. 5.20.
В данном параграфе рассмотрение ограничивается определением
резонансных частот эквивалентного .контура, получаемого в резуль¬
тате реакции второго контура на первый. Результаты этого рас¬
смотрения будут неоднократно использованы в дальнейшем.
5.9. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ДВУХКОНТУРНОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим два способа подключения источника э. д. с. Е
(с внутренним сопротивлением Ri) к двухконтурной системе: после¬
довательное включение (рис. 5.21) и параллельное (рис. 5.22,а). •
В первом случае модуль входного сопротивления (между зажи¬
мами а—к) в области частот, близких к резонансным частотам си¬
стемы п, может быть представлен э следующей форме:
_ Е _ Е 1 _ _2_ (5.78)
8Х Л (Лмакс)дг12опт Пх ^ П'
190
Rhc. 5.20
При составлении этого выражения использовано соотношение
(5.53), а также (5.41) для (А макс)*]2опт.
Во втором случае, т. е. для параллельного подключения, при
определении модуля сопротивления системы (между точками а—k,
рис. 5.22, а) 'можно исходить из формул (4.70), (4.71) и других ана¬
логичных формул, приведенных в гл. 4, при условии добавления
к собственным сопротивлениям контура гп и хп сопротивлений гвн
и хвю вносимых из второго контура.
С этой целью воспользуемся схемой замещения, изображенной
на рис. 5.22, б, где гш и хвн определяются обычным образом [см. вы¬
ражения (5.17) — (5.18)]. Считая, как и в случае одиночного парал¬
лельного контура,
^*1 I “^1 I • I I у « I I >
можем написать следующее выражение для полного сопротивления
между зажимами а—k на схеме рис. 5.22, а:
Здесь гп = гг + г[, •— реактивное сопротивлейие одной ветви*
а х[ — реактивное сопротивление второй ветви, в которую
включен элемент связи х12. Сопротивление гвн может быть отне¬
сено к любой ветви.
Учитывая, что знаменатель последнего выражения представляет
собой входное сопротивление ZBX двухконтурной системы при после¬
довательном включении источника э. д. с. в первый контур, а также
что |*il я l^l — величины, близкие к рр\ (см. §4.6) и \хвп\ мо¬
жем написать
7 ^ Л1 ^ Л1 /к jq\
э~ ZBX — гп 2 — 2 ’
Рг Pi
где гэрП=— резонансное сопротивление первого контура
(между зажимами a — k, рис. 5.22, а) при разомкнутом втором
контуре.
191
Рис. 5.21
Рис. 5.22
Выражения (5.78) — (5.79) позволяют выявить частотные зави¬
симости для входного сопротивления двухконтурной системы при
любых настройках контуров и любой связи, если только известны
резонансные характеристики для тока первого контура, т. е.
п1(а), построенные для последовательного включения источника
э. д. с.
Основываясь на приведенных в §5.5 выражениях (5.53) и (5.57),
а также на графиках рис. 5.14, можно сделать ряд существенных
выводов о характере зависимостей гшх (а) и гэр(а).
В частном случае тождественных контуров, когда кривые яв¬
ляются симметричными относительно абсциссы а = О, графики zBX
и гэр также являются сим»метричными. Особенно существенное зна¬
чение имеет определение этид сопротивлений на резонансных часто¬
тах системы o)lfij, т. е. на частотах, соответствующих максимумам
П2(а). Как показано в § 5.5, этим частотам соответствуют обобщен¬
ные расстройки аМ1, определяемые формулами (5.59). Подставляя
эти формулы в выражение (5.57) для ri\{a)y получим: я, (а,„) = 1.
Таким образом, на резонансных частотах входное сопротивле¬
ние системы из двух одинаковых контуров равно: при последова¬
тельном включении источника э. д. с.
гВхР = 2 гп, (5.80)
а при параллельном включении
^ __ *эрп_Р2?\ /с 014
2зр— 2 — 2гп • (5.81)
Эти результаты легко пояснить следующими простыми сообра¬
жениями: на частотах со1;11 реактивная слагающая вносимого в пер¬
вый контур сопротивления хъы компенсирует собственное реактив¬
ное сопротивление этого контура (х19 =0), а активная слагающая
гви равна Гц. Поэтому при последовательном включении контура
входное сопротивление / удваивается, а при параллельном — сни¬
жается вдвое.
В обшем случае неодинаковых контуров и произвольных частот
шр1 и соР2 картина получается более сложной. Однако качественное
выяснение характера зависимостей zBX(со) и гэ(ы) может быть про¬
ведено весьма просто.
В дальнейшем, для объяснения некоторых явлений ® автогене¬
раторах, обусловленных сильной сбязью между контурами, нам по¬
требуется сравнение величин гэр на резонансных частотах системы
Ш1 и <*>н ПРИ различных соотношениях между резонансными часто¬
тами контуров озр1 и сор2.
Для ответа на этот вопрос достаточно оценить .величину гвн
при частотах <0j и <ofI. На той из частот, при которой гвн больше,
сопротивление гэр будет меньше и, наоборот, при частоте, на
которой гвн меньше, гэр будет больше.
192
Обращаясь к выражению 1
( ч -*12 у12г22 -*12
ВН 1,11 4 (шь II) r22 [* + а1 (щь II)] г22 [1 -Г (“ьн)]
убеждаемся, что основное влияние на гвн оказывает величина
обобщенной расстройки второго контура относительно рассматри*
ваемых частот coj и соц, т. е. величина
Рис. 5.23
Частоты coj, ц, в свою очередь, зависят от соотношения резонанс*
ных частот собственно контуров сор1 и сор2.
Рассмотрим два возможных случая: сор2 > “pi И й)р2 < 0)р1.
Если <1>р2 > (орь то положение частот <вр1 и шр2, а также <oj
и о>ц на частотной шкале соответствует рис. 5.20, а. Нетрудно
заключить, что в рассматриваемом случае абсолютная величина
расстройки о>п — (0р2 больше, чем расстройка шх — а)р2:
I “и “рг I > — Юрг-
Следовательно,
| а2 (wjj) | > | а2 (u>j) |,
гва (“и) \ гвп (col)
и
^эр (“и) ^эр (“i)* (5.82)
Этот случай изображен на рис. 5.23, а.
1 Разницей в величине х!2 при частотах tOj и ш;1 пренебрегаем,
13 Зак. 3/235 193
При шр2<о)р1, очевидно,
I а2 (wIl) | < \<И К) I,
(5.82')
Этот случай изображен на рис. 5.23, б.
При очень сильной связи и настройке контуров на различ¬
ные частоты (о)р1 Ф о)р2) разница в резонансных сопротивлениях
^(oj) и 2эр(о)2) может быть весьма значительной. Это обстоя¬
тельство оказывается существенным при использовании двух¬
контурных схем в усилительных и генераторных устройствах.
5.10. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ДВУХКОНТУРНОЙ СИСТЕМЕ
Как и в случае одиночного контура (§ 4.9), режим свободных
колебаний удобно изучать при допущении, что система подвер¬
гается в момент t = 0 ударному возбуждению единичным импуль¬
сом. Имея ввиду схему рис. 5.24, составим основные уравнения для
токов i\ и *2
Б правой части первого уравнения (5.83) отсутствует e(t). Как
и в § 4.9, учет импульса требуется для определения начальных
условий; во все же осталь-
Обозначая дифференцирование оператором р, перепишем уравне¬
ния (5.83) в форме
г будем считать оба контура
идентичными, т. е.
ные .моменты (т. е. при
t > 0) e(t) = 0.
Для упрощения анализа
Рис. 5.24
194
или
(f + тР + тс) *1 + -т^=°> (5-84>
(р^+тР + т^^ + чгР41=0- <5-85>
Исключая из уравнения (5.84) /2, получаем
[(Р2 + т/> + т^)2 - (4) V] =°-
Отсюда видно, что характеристическое уравнение для системы
(5.83) имеет вид
[{р2 + тР + Тс) + т-/’2] [(^2 + + ^) - -г ^2]=°- (5-86>
/* iW
Учитывая, что -j-= 2а и -j- = k, где а — коэффициент затухания
каждого из контуров в отдельности, a k — коэффициент связи,
получаем следующие выражения для корней уравнения (5.86):
Каждая пара комплексна сопряженных корней соответствует од¬
ному из решений уравнения в виде затухающего колебания. Сле¬
довательно, общее решение системы уравнений (5.83) может быть
записано в форме
Н (t) = -^1е * SUl ((1>св^ “Ь ФО “Ь -^2е " t Кв* Ф1) ,
/2 (*) =B1e~a't sin (а>свt + <|4) + в2е~а’1 sin (wtBt -f ф2).
(5.89)
Здесь At, А2, Ви В2 — амплитуды; фр Фг — начальные фазы
колебаний.
Итак, ток в каждом из контуров представляет собой сумму
двух свободных колебаний с частотами ю'в и (о'в и коэффициентами
затухания соответственно а' и а". Частоты ш'в и «”в называются
частотами связи. Эти частоты отличаются от собственных
частот контуров (в данном случае одинаковых) тем больше, чем
13* 195
больше коэффициент связи k. Так как обычно и
(fe'Cl, то можно считать
(5.90)
Сравнивая эти выражения с формулами (5.77), убеждаемся,
что частоты связи ш'в и а>"в приближенно равны частотам (оп и <оь
при которых наблюдаются максимумы двугорбой резонансной
кривой дв^хконтурной системы в режиме вынужденных синусои¬
дальных колебаний.
Сложение в каждом из контуров двух близких по частоте коле¬
баний образует биения, картина которых изображена на рис. 5.25.
Так как каждое из слагаемых колебаний является затухающим, то
и результирующее колебание тоже затухает. Амплитуды Ах и Аг,
а также В\ и В2 одинаковы. Поэтому амплитуда результирующего
колебания достигает в некоторые моменты нуля. Частота результи¬
рующего колебания при биении двух колебаний с одинаковыми
амплитудами равна
Рис. 5.25
а основная частота изменения огибающей амплитуд
Подставляя в эти выражения соотношения (5.90) и учитывая,
что k <1, получаем
^ср — <V
2 kdip.
Таким образом, частота заполнения результирующего колеба¬
ния практически совпадает с собственными частотами контуров.
Все вышесказанное относится к системе, составленной из
двух одинаковых контуров. В общем случае, при а>р1 Ф ау,
частота о>ср отличается как от оу, так и от ыр2.
Отметим, наконец, что максимумам огибающей амплитуд тока
соответствуют минимумы огибающей тока i2 и наоборот. Это объяс¬
няется явлением «перекачки» энергии из одного контура в другой.
ГЛАВА 6 •
СЛОЖНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
6.1. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Изложенные в предыдущих двух главах основные сведения
о простейших колебательных системах — одноконтурной и дв»ухкон-
турной — далеко не исчерпывают теории электрических цепей, ис¬
пользуемых в современ¬
ной радиоэлектронике.
Широко распростра¬
нены значительно более
сложные системы, состав¬
ленные из большого чис¬
ла реактивных элементов.
Общая теория подоб¬
ных цепей — двухполюс¬
ников, четырехполюсни¬
ков, цепных* схем и т.д.,—
составляющая содержа¬
ние курса Теоретических
основ электротехники, в
данной книге не изла¬
гается. Задачей данной
главы является изучение лишь некоторых специальных вопросов
теории цепей, особенно важных 'при анализе и синтезе колебатель¬
ных и фильтрующих устройств, применяемых в высокочастотной
технике.
Рассмотрение этих вопросов начнем с составления общих вы¬
ражений для входного сопротивления двухполюсника и для коэф¬
фициента передачи четырехполюсника.
Пусть имеется сложная линейная система, составленная из про¬
извольного числа контуров с сосредоточенными параметрами и на¬
ходящаяся под действием гармонических электродвижущих сил
с частотой со.
В общем, случае каждый i-Pi контур помимо элементов Lu Сь
и .входящих только в данный контур, может содержать эле¬
менты Likt Cik и Riki общие для двух контуров ink (рис. 6.1).
198
Рис. 6.1
Индуктивность Lik, емкость Cik и сопротивление Rik предста¬
вляют собой, следовательно, элементы связи контура i с конту¬
ром k.
Результирующие величины индуктивности, емкости и сопротив¬
ления, получаемые при обходе t-го контура и при условии, что все
остальные контуры разорваны, обозначим через Ьц, Сц и Яц. Комп¬
лексное сопротивление подобного контура (при частоте ш) опреде¬
ляется выражением
Полное сопротивление связи для контуров i и k, очевидно,
равно
При наличии взаимоиндукции между контурами i и k правая
часть выражения (6.2) должна быть дополнена слагаемым +
Обходя каждый из контуров и применяя закон Кирхгофа для
напряжений, получаем следующую систему из п уравнений:
где /г и Ei — комплексные амплитуды тока и э. д. с. в контуре г;
Число неизвестных (токов) в этой системе равно п. За положи¬
тельное направление контурных токов принимается произвольное, но
одинаковое для всех контуров направление. Сопротивления Zfk бе¬
рутся со знаком плюс, если по ним проходят токи, совпадающие по
направлению с основным током данного г'-го контура, и минус —
в противном случае.
Решение системы уравнений (6.3) имеет следующий вид:
а через М^ — минор, получаемый из определителя Д вычерки¬
ванием строки v и столбца у, на пересечении которых стоит эле¬
мент Zv;.
(6.1)
(6.2)
(6.3)
n — число контуров.
(6.4)
Здесь через Д обозначен определитель;
(6.5)
199
Выражение (6.4), устанавливающее связь между токами и на¬
пряжениями в произвольной линейной системе с сосредоточенными
постоянными, может быть положено в основу анализа свойств ли¬
нейных двухполюсников и четырехполюсников.
Допустим, что в схеме выделены два зажима, относительно ко¬
торых заданная цепь рассматривается как двухполюсник
(рис. 6.2, а) и требуется определить сопротивление такого двухпо¬
люсника.
Эта задача сводится к определению тока /г в первом контуре,
содержащем источник э. д. с. при условии, что все остальные
h
Рис. 6.2
э. д. с. равны нулю. Уравнение (6.4) при этом переходит в следую¬
щее (v = 1, / = 1):
Отсюда легко получается искомое общее выражение для вход¬
ного сопротивления Дзухполюсника
1_ А
1Х~ М
11
(6.7)
Определитель Д находится с помощью уравнения (6.5), а минор
Мп определяется выражением
(6.8)
Входное сопротивление Z (или обратная ему входная прово-
1/ j'Vf 1 * \
димость г = -д±М полностью характеризует двухполюсник.
Рассмотрим теперь случай, когда в схеме выделены две пары
зажимов: одна пара входных и одна пара выходных зажимов
(рис. 6.2,6). Получающийся при этом четырехполюсник характери¬
зуется соотношениями между входными и выходными токами и на¬
пряжениями (при условии, что, кроме Ех и Еъ все остальные э. д. с.
равны нулю).
Для определения тока h подставим в уравнение (6.4) / = 1 и
v = 1, v = 2:
200
Для определения /2 подставим j — 2 и v= 1/ v = 2:
Г -Mio j,-, I M99 n
(6.10)
Из свойств определителей следует, что миноры Л112 и М2\ равны
между собой. Введем следующие обозначения:
Y — м п
711 А >
(0Л1>
Тогда уравнения (6.9) — (6.10) можно записать в форме
(6.12)
или
2Z~±Z1
\Zf2-Zzi
Таким образом, Yn пред*
ставляет собой входную про¬
водимость, а У21 — взаимную
проводимость четырехполюс¬
ника при коротком замыкании
выхода.
Аналогично, если замкнуть накоротко входные зажимы (т. е. по¬
ложить Еь= 0), получим:
Рис. 6.3
Из этих выражений видно, что Yn, Y12, У21 и У22 имеют смысл
и размерность проводимостей, а любой линейный пассивный че¬
тырехполюсник может быть
представлен в виде эквивалент,
ной /7-образной схемы, пока¬
занной на рис. 6.3, а.
Если выходные зажимы
замкнуть накоротко, т. ,е. по¬
ложить Е2 = 0, то будем иметь
откуда
(6.14)
Величина У22 представляет собой входную проводимость, a Уi2—
взаимную проводимость четырехполюсника со стороны э. д. с. Е2
(при коротком замыкании зажимов Ег). Как уже отмечалось выше,
У12= У21. Это положение (теорема взаимности) имеет место в слу¬
чае пассивных четырехполюсников (т. е. не содержащих внутри
источников энергии). Как будет видно из дальнейшего, в схемах
с усилителями У12 У2\ (гл. 8).
Если в качестве исходных величин принять не Е1 и Еъ а токи
/1 и /2 и решить систему уравнений (6.12) относительно Ех и Еъ то
получим
где коэффициенты Zlb ZJ2 и Z22, имеющие смысл сопротивлений
«холостого хода», связаны с Уп, У12 и У22 следующими соотноше¬
ниями:
На основании уравнений (6.15) любой четырехполюсник можно
лредставить в виде эквивалентной Г-о(бразной схемы, показанной
на рис. 6.35,6.
При анализе радиотехнических цепей особенно часто приходится
встречаться с четырехполюсниками, возбуждаемыми только со сто¬
роны входа; при этом под выходным напряжением обычно подра¬
зумевается падение напряжения на элементах схемы, с которых
осуществляется съем напряжения.
Допустим, что выходные зажимы подключены к сопротивлению
«Z*, входящему в k-и контур и обтекаемому током Ik. Тогда выход¬
ное напряжение на основании формулы (6.4) может быть пред¬
ставлено в форме
(6.15)
(6.16)
Уц^22 — 112
(-1 )k+lMlkZk
А
Отсюда следует, что коэффициент передачи четырехполюсника
(иногда также называемый «функцией передачи»), определяемый
202
как отношение комплексных амплитуд выходного и входного на¬
пряжений, равен
. (бЛ7)
В тех случаях, когда £/вых снимается не с одного элемента Zk,
а с любых двух точек схемы, всегда может быть составлена
формула, аналогичная (6.17), с тем лишь отличием, что вместо
MlkZk появится сумма (или разность, в зависимости от напра¬
влений токов) произведений MlkZk, MimZm и так далее, Соот¬
ветственно числу элементов Zkj Zm и так далее, напряжения на
которых входят в (7ВЫХ.
Итак, входное сопротивление двухполюсника Z и коэффициент
передачи четырехполюсника К определяются формулами вида
(6,7) и (6.17).
Входящие в эти выражения Mlk и А являются функциями ча¬
стоты.
Исследование частотных свойств двухполюсников и четырехпо¬
люсников сводится к изучению зависимости от частоты выраже¬
ний (6,7) и (6.17).
6.2. ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СОПРОТИВЛЕНИЯ
ДВУХПОЛЮСНИКА
Входящий в выражение (6.7) определитель А, равный сумме
произведений (вида ZnZ2 2 ... Znn, Zi2Z23 ... Znl и так далее, при
подстановке формул (6.1) и (6.2) приводит к наибольшей возмож¬
ной положительной степени гсо, равной /г, и к наибольшей отрица¬
тельной степени, также равной /г.
Минор Мп, состоящий из суммы произведений вида Z22Z33.. .Znny
Z23Z34...Z„2 и так далее приводит, соответственно, к степеням
{п — 1) и — (п— Ц.
Из выражений (6'.1) и (6.2) легко видеть, что наивьгсшие поло¬
жительные и отрицательные степени /со определяются только реак¬
тивными сопротивлениями. Омические -сопротивления Rki на сте¬
пени не влйяют. Можно поэтому при определении степени А и Мц
не учитывать сопротивления Riki полагая, что
Zkl = mLkl + .
Для того чтобы освободиться от отрицательных степеней, умно¬
жим это выражение на /со:
i^^ki= (^)2^ki “Ь ~с~
и подставим i^Zkl вместо Zkl в выражения (6.5) и (6.8).
Тогда вместо А и Ми получим новый определитель
А* = (ао)лД
203
и новый минор
Alii
Обозначив iw=p и подставляя Д = -^- и уИп = в выра¬
жение (6.7), получаем
z=~^r. (6.18)
рМп
Теперь уже наивысшая возможная степень А* равна 2п,
а произведения рМ*х—соответственно 2п—1. Следует, однако,
иметь в виду, что в зависимости от структуры отдельных элементов
двухполюсника степень Д* может быть либо на единицу выше,
либо на единицу ниже степени pM\v
Так, например, если вычеркиваемый при образовании минора
Мп элемент состоит из одной лишь индуктивности, т. е.
Zkl='mLkl, то степень Мп ниже, чем степень Д, если же
Zkl = , то степень Мп получается выше, чем у Д. В любом
случае, однако, степени числителя и знаменателя в выражении
(6.18) не могут разниться больше чем на одну единицу.
Установив наивысшие возможные степени Д* и рМ*v мы мо*
жем представить эти величины в виде полиномов по степеням ш.
Полагая по-прежнему, что омические сопротивления отсутст¬
вуют, получаем
д* = Ч „Р2п + «2Л-2Р2л_2 + • • • + ЧР2 +• «о, (6-19)
РМ*П = К-хРи~1 + К-гР2п~3 + • • • + %Р3 + Pi Р- (6-20)
Коэффициенты а2п, а2п_2, ..., а0 и р2я_ь р2я_3, ..., ^ предста-
вляют собой действительные числа, имеющие смысл произведе'
ний из индуктивностей, емкостей и сопротивлений цепи.
Выражение (6.18) переходит теперь в следующее:
7 а2пР^п а2я—гРап 2 ~Ь ••• + агР2 ~Ь ао
(6.21)
В числителе имеются только четные степени р, а в знамена-
теле — только нечетные. Если в качестве независимого переменного
выбрать р2, то выражение (6.21) можно представить в форме
^ к (р‘1 -рТ) О2 ~Ръ)-• -О2~ Pln-i) ,fi2n
где через р\ обозначены корни полиномов, стоящих в числителе и
знаменателе выражения (6.21), именно
p2kz= (до*)2 = —0)2; pk—±iЩ, (6.22)
204
причем нумерация корней должна выбираться так, чтобы индексы
k — \, 3, 5, ..., 2д — 1,
k = 0, 2, 4, ..., 2п — 2
соответствовали корням числителя и знаменателя в выражении
(6.21). Таким образом, ри Рз,---, р2п-\ представляют собой п кор¬
ней числителя, а р0, рг,..., р2п-2 — п корней знаменателя, причем
Ро = 0 есть нулевой корень знаменателя.
Через К обозначено
К = -р*~. (6.23)
P2/I-1
Переходя обратно от pk к /со, можно представить сопротивле¬
ние двухполюсника в следующей общей форме:
(^0)2 — а>Г)Га>2— о>!Г)...Га>2—0)2 Л
V» " V- (6-24)
(“2 — “2) (“2 — “4) • • • (“ — а2п-2)
Можно сказать, что частоты соь соз,..., со2л-1 являются нулями
входного сопротивления, а частоты сог, 04,со2л_2 — полюсами.
Для проводимости У, наоборот, частоты соь соз,со 2n-i являются
полюсами, а частоты 02, 0)4,..., со2л_2 — нулями. Физически это
означает, что при частотах соь соз,..., co2„_i цепь настраивается
в последовательный резонанс и при сделанном допущении об от¬
сутствии потерь входное сопротивление обращается в нуль. Ча¬
стотам 02, С04,..., о)2/1—2 соответствует резонанс токов, при котором
входное сопротивление обращается в бесконечность.
Из выражения (6.24) следует важный вывод, что задание ре¬
зонансных частот реактивного двухполюсника — нулей и полю¬
сов— однозначно определяет с точностью до постоянного коэффи¬
циента сопротивление двухполюсника на всем частотном диапа¬
зоне.
Дальнейшие важные выводы о поведении функции Z(со) и
о расположении резонансных частот на оси оз можно сделать на
основании доказываемой в теории цепей теоремы о реактивном
сопротивлении (теорема Фостера).
Согласно этой теореме производная функции лс(о)) по частоте
для чисто реактивного двухполюсника всюду положительна:
-^->0. (6.25)
Простое объяснение этого свойства функции д:(<в) заключается
в том, что сопротивление 'любого из элементов чисто реактивного
двухполюсника, рассматриваемое как величина алгебраическая,
возрастает с частотой:
xL = wL; хс == .
205
Ясно также, что из условия (6.25) вытекает положительность
производной проводимости У (со) 'по частоте1.
Из теоремы (6.25) следует, прежде всего, что нули и полюсы
входного сопротивления чередуются, т. е. что выполняется усло¬
вие
О < О)! < Ш2 < ... < <02п_2 < СО. (6.26)
Рис. 6.4
1 1
1 Учитывая, что У = , и обозначая чисто мнимую проводимость
через g (со), т. е. Y — ig (<*>), получаем
У 1
*н = — = -т.
Следовательно,
206
Действительно, если допустить, что на оси частот последовательна
расположены два нуля или два полюса, то кривая *(со) должна
между указанными точками изменить знак наклона, что противо¬
речит условию (6.26). Поэтому изменение х(со) должно иметь вид
одной из функций, изображенных на рис. 6.4.
При сохранении общего характера эти функции различаются
своим поведением при со->0 и to-> оо.
Рис. 6.4, а соответствует двухполюснику, пропускающему посто¬
янный ток [х(0)=0] и обладающему индуктивным сопротивлением,
при со-* оо. Рис. 6.4,6 соответствует двухполюснику, также пропу¬
скающему постоянный трк, но обладающему емкостным сопротив¬
лением при со-* оо.На рис. 6.4, в и 6.4?г изображены аналогичные
графики х(<о) для двухполюсников, не пропускающих постоянный
ТОК [х(0) = оо].
Поведение x(cd) при а>->0 и и>-> оо в каждом конкретном
случае очень нетрудно определить из рассмотрения схемы цепи.
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что двухполюс¬
ники являются чисто реактивными. Потери, не оказывая влияния
на число резонансов и мало влияя на частоты этих резонансов,
существенно изменяют поведение входного сопротивления двухпо¬
люсника вблизи резонансных частот.
При частотах последовательного резонанса (соь соз и т. д.) со^
противление двухполюсника при наличии потерь не обращается
в нуль, а равно действительной величине. При частотах параллель¬
ного резонанса х не обращается в бесконечность. В результате
получается изменение эквивалентной реактивной слагающей хэ и
эквивалентной активной слагающей R3, показанное на рис. 6.5. На
рис. 6.5, а пунктиром показано изменение х без учета потерь. Вблизи
частот 0)2, 0)4, соответствующих параллельным резонансам, кривая г
(сплошная линия на рис. 6.5,а), (рис. 6.5,6) и £э (»рис. 6.5,в)
имеют такой же вид, как и в случае одиночного параллельного
контура, рассмотренного в § 4.
Аргумент ф(со) сопротивления Z9 (/со) изменяется в пределах,,
близких к ± -у(рис. 6.5,г). Вблизи параллельных резонансов на¬
клон ф(со) отрицателен, а вблизи последовательных резонансов —
•юложителен. Этот результат совпадает со случаем одиночного
контура, именно: слева от значений сог, 0)4, и так далее двух¬
полюсник обладает индуктивной слагающей сопротивления^
а справа — емкостной.
Итак, -входное сопротивление двухполюсника, рассматриваемое
как функция действительной переменной о, при наличии активных
сопротивлений в элементах схемы не может обращаться ни в нуль,
ни в бесконечность. Поэтому на оси о) функции Z(iсо) и Y(ко) для
реального пассивного двухполюсника не имеют ни нулей, ни по¬
люсов.
Если же Z рассматривать как функцию комплексной перемен¬
ной р = сг+/о), то в некоторых точках плоскости р функция Z(p)
20 7
может обращаться в нуль или бесконечность. Для цепей с поте¬
рями эти точки могут быть расположены только слева от оси ш,
т. е. при отрицательных значениях действительной части р. Этот
вывод может быть сделан из рассмотрения (6.7).* Как А, так и
Мц могут обращаться в нуль только при значениях р, обращаю¬
щих в нуль полное сопротивление Zik одного из элементов двух¬
полюсника. Заменяя в выражении (6.1) т на р, получаем усло¬
вие
Рис. 6.5
откуда
Так как Rik > 0 и Lik > О, то действительная часть рхл, т. е.
величина а, всегда отрицательна.
Из выражения (6.27), кроме того, следует, что нули и полюсы
функции Z(p) являются комплексно сопряженными числами. Рас¬
положение нулей и полюсов для Z(p) двухполюсника, составлен¬
ного из L, С и R, показано на рис. 6Д а. Следует обратить вни¬
мание на то, что мнимые части нулей (кружки) и (полюсов (крестики)
Ши *’о)2, ••• чередуются, в то время как действительные части Ои
02,... могут быть расположены любым образом (но обязательно
слева от мнимой оси).
В случае чисто реактивных двухполюсников нули и полюсы рас¬
положены на мнимой оси (рис. 6.6,6).
Наконец, в случае двухполюсников, составленных только из R
и С или только из R и L, нули и полюсы расположены на действи¬
тельной оси а (рис. 6.6,в).
14 Зак 3/235 209
Рис. 6.6
Отметим еще следующие два свойства функции Z(p):
а) для действительных значений р функция Z(p) также дейст¬
вительная. Это очевидно из рассмотрения структуры Д и Мц при
подстановке в них Zik(p) при ко = 0, т. е. когда р=кт;
б) для р с положительной действительной частью (itf^O) дей¬
ствительная часть функции Z(p) также положительна. Это свой¬
ство функции Z(p) легко выводится с помощью энергетических со¬
ображений, так как активная слагающая сопротивления пассив¬
ной цепи не может принимать отрицательного значения.
Перечисленные «ыше свойства функции Zip) (которые пол-
при рассмотрении задачи синтеза двухполюсников.
6.3. ЧИСЛО РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТ СЛОЖНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА
Этот вопрос весьма важен при исследовании различных элек¬
тронных устройств, в которых используются сложные нагрузочные
и фильтрующие цепи. Даже относительно простые схемы обычных
высокочастотных усилителей и генераторов сильно усложняются
при учете индуктивностей вводов и междуэлектродных емкостей
электронных приборов, монтажных емкостей и других паразитных
элементов.
Для правильного конструирования и расчета подобных уст¬
ройств необходимо уметь определять частоты возможных резонан¬
сов не только в заданном рабочем диапазоне, но и во всем диапа¬
зоне от самых низких, до самых высоких частот, так как в прак¬
тике очень часто возникает паразитная генерация на одной или
нескольких резонансных частотах, весьма далеких от рабочей ча¬
стоты.
Из предыдущего параграфа ясно, что определение общего
числа резонансных частот сводится к задаче отыскания числа ну¬
лей и полюсов функции а:(со) для чисто реактивного двухполюс¬
ника, получающегося из реального двухполюсника при пренебре-
/Кении омическими сопротивлениями. Так как в соответствии с вы¬
ражением (6.26) нули и полюсы функции л:(со) чередуются, до¬
статочно найти расположение на оси частот только нулей этой
функции. Из выражения (6.7) следует, что нули л:(со) совпадают
с корнями уравнения Д = 0.
В тех случаях, когда степень Мц выше, чем степень А, х мо¬
жет обращаться в нуль также при со-> сю. Очевидно, что для выяс¬
нения расположения нулей х необходимо прежде всего найти число
корней уравнения А = 0, а для этого нужно знать степень этого
уравнения.
Напомним, что при составлении выражения (6.24) через п было
обозначено число контуров, образующих двухполюсник, причем
предполагалось, что каждый из контуров состоит из элементов Lk,
Ckt входящих только в данный контур, и из элементов Lkh Ckb
210
ностью распространяются и на Y(p)
понадобятся в § 6.4
общих для контуров k, I. Для такой цепи степень уравнения Д=0
является наибольшей возможной и равна 2п. В более общем слу¬
чае, когда какой-либо из элементов Lk, Lv Lkl и Сы отсутствует,
степень уравнения Д = 0 может быть ниже чем 2п.
Можно указать на следующий способ определения степени
определительного уравнения непосредственно по схеме двухполюс¬
ника. Совершая обход каждого из контуров, следует считать, что
индуктивность и емкость дают степень 2, каждая из них по еди¬
нице, причем если в контуре имеется несколько индуктивностей и
емкостей, то степень все равно берется равцой двум, но засчиты¬
ваются только по одной индуктивности и емкости, рстальные же
учитываются при обходе следующих контуров. Омические сопро¬
тивления в расчет не принимаются.
Общая степень определяется суммированием всех степеней,
вносимых отдельными контурами.
Поясним сказанное на примере схемы, изображенной на
рис. 6.7.
Обходя первый контур, засчитываем только индуктивность и ем¬
кость, обозначенные 1 (мелким шрифтом), и получаем степень 2.
Остальные элементы (обозначенные через 2 мелким шрифтом), на
степень, вносимую первым контуром, уже не влияют. При обходе
второго контура эти элементы (2—2) дают степень 2. Остальные
элементы во 2-м контуре также в расчет не принимаются (при об¬
ходе данного контура).
В третьем контуре имеются только индуктивности (омическое
сопротивление не учитывается), поэтому этот контур дает степень
единица (за счет индуктивности, обозначенной 3. Другая индук¬
тивность в данном контуре уже не учитывается). Четвертому кон¬
туру очевидно соответствует нулевая степень (т.к. индуктивность3
уже была учтена при обходе третьего контура). Пятый контур
дает степень единица за счет индуктивности 5, шестой — тоже
единицу за счет индуктивности б (не учтенной при обходе 3-го
контура). Наконец, 7-й контур дает степень 2 за счет индуктивно¬
14* 211?
Рис. 6.7
сти 7 и емкости 7, не засчитанных при обходе 1-то и 2-го контуров.
Всего получается 9 степень уравнения A =. JD.
Можно указать также несколько правил, позволяющих устано¬
вить расположение нулей и полюсов х на оси частот в зависимо¬
сти от четности или нечетности степени определительного уравне¬
ния Д=0.
Если эта степень нечетная, то среди корней имеются сопряжен¬
ные пары и один простой корень. Каждая пара корней определяет
один нуль функции л;(со) между со = 0 и о)=оо. Это — внутрен¬
ние нули. Простой корень дает один внешний нуль, который
расположен либо прд со = 0, либо при со = оо.Ответ на этот вопрос,
Рис. 6.8
как уже отмечалось в § 6.2, легко получить непосредственно из
рассмотрения схемы цепи.
Если степень Д четная, то нули х являются либо все внутрен¬
ними, причем общее число нулей в этом случае равно половине
степени уравнения Д=0, либо два из них — внешние (один при
<о = 0 и другой при о)= оо). Внешние нули определяются простыми
корнями, а внутренние — сопряженными парами.
В качестве примера рассмотрим схему, изображенную на
рис. 6.8. Применяя описанный выше способ, находим,-что для этой
схемы уравнение Д = 0 имеет седьмую степень. Из семи корней
шесть образуют три сопряженные пары, дающие три внутренних
нуля между о)=0 и о)=,°о. Седьмой корень (простой) дает внеш¬
ний нуль. Из схемы видно, что при со = 0 л:(0)=0* Следовательно,
внешний нуль расположен в точке со = 0. Таким образом, прихо¬
дим к расположению нулей и полюсов функции x(w), показанному
на рис. 6.9, а.
На этом рисунке внутренние нули (кружки) обозначены через
<оз, о)5 и о)7, а полюсы (крестик») —через соз, со4 и о)б. Внешний
нуль (при со=.0) обозначен через соь График функции x(ico), изо¬
браженный на рис. 6.4, а, построен именно для этого случая.
Дополним теперь рассматриваемую схему одним емкостным
элементом (на рис. 6.8 показано пунктиром). Для новой схемы
уравнение Д=0 имеет восьмую степень и обладает восемью кор¬
нями. Шесть из них дают, как и ранее, три внутренних нуля соз,
212
о)5 и о)7, а остальные два корня (простые) дают внешние нули при
со = 0 и со= °о Расположение нулей и полюсов х для новой схемы
показано на рис. 6.9, б.
Полученные результаты позволяют также установить мини¬
мальное число индуктивных и емкостных элементов, необходймое
Рис. 6.10
для получения заданного .числа резонансных частот. Действи¬
тельно, из выражения (6.24) следует, что общее число нулей и
213
Рис. 6.9
полюсов, не считая точек со = 0 и со = оо, равно 2п — 1 (п корней
числителя и п—1 корней знаменателя). Таким образом, общее
число резонансов как последовательных, так и параллельных равно
2п — 1.
Следовательно, для *получения 2п — 1 резонансов требуется не
менее чем 2п элементов типа индуктивности ft емкости. При этом
предполагается, что если в какой-либо- ветви имеется более чем
одна емкость или более чем одна индуктивность, то и Lkl обо¬
значают результирующую емкость и индуктивность ветви.
Если через N обозначать общее число индуктивностей и емко¬
стей, то число резонансов не может превышать N—1. Так, на¬
пример, для схем, изображенных на рис. 6.10,6 и в, при двух эле¬
ментах (одна индуктивность и одна емкость) имеется всего по од¬
ному резонансу, в схеме 6.10, г, содержащей три элемента, имеется
два резонанса.
Пример же того случая, когда число резонансов меньше, чем
N—1, дает схема, представленная на рис. 6.8. Здесь при девяти
элементах имеется всего лишь шесть резонансов.
6.4. СИНТЕЗ РЕАКТИВНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА
В § 6.2 были установлены основные свойства функции Z(p)
реального двухполюсника. Если ставится обратная задача: синте¬
зировать двухполюсник по заданной функции Z(p), то необходимо
прежде всего выяснить, может ли эта функция являться сопротив¬
лением физически осуществимого двухполюсника.
Эта задача решается особенно просто для реактивных двухпо¬
люсников. Так как. этот случай представляет наибольший интерес
для радиотехнических целей, мы им и ограничимся. Из предыду¬
щего рассмотрения следует, что заданная функция Z(p) можег
являться сопротивлением реактивного двухполюсника, если:
1. Функция рациональная, с простыми полюсами и нулямй,
расположенными на оси /со.
2. Нули и полюсы чередующиеся.
3. Отношение степеней полиномов «нечетно-четное или четно¬
нечетное.
4. Наклон кривых Z(/co) положителен.
5. Действительная часть функции положительна, равна нулю
или отрицательна, когда действительная часть р соответственно
положительна, равна нулю или отрицательна. Совершенно анало¬
гичные условия имеют место и для функции Y(р) = z ^ -.
Если заданная функция удовлетворяет перечисленным требо¬
ваниям, то задача-хинтеза заключается в отыскании схемы двух¬
полюсника, реализующего эту функцию при минимально возмож¬
ном числе элементов.
В предыдущем параграфе было показано, что частотная зави¬
симость входного сопротивления (и проводимости) реактивного
двухполюсника однозначно определяется его резонансными ^асто-
214
тами, а также пределами, к которым стремится Z при оо=0 и со= со.
Поэтому задача синтеза двухполюсника по заданной частотной
характеристике сводится по существу к отысканию схемы и всех
элементов двухполюсника по заданным резонансным частотам,
а также Z(0) и Z(со). Иными словами, требуется найти строение
и параметры цепи, удовлетворяющей заданному расположению
нулей и полюсов функции Z(*c>) на оси частот при минимально
возможном числе элементов L и С.
В основу синтеза двухполюсника можно положить либо выра¬
жение (6.24) для Z, либо аналогичное ему выражение для вход¬
ной проводимости. Как будет видно из дальнейшего, эти два под¬
хода приводят к двум различным, но единственно возможным
в своем классе схемам двухполюсника.
Рассмотрим первый способ, после чего полученные результаты
распространим и на второй.
Идея метода заключается в следующем. Разложив правую
часть выражения для Z на простейшие слагаемые, отождествляют
затем каждое из этих слагаемых с сопротивлением элементарного
двухполюсника. Схема и параметры такого двухполюсника, как
будет видно из дальнейшего, легко определяются.
Ясно, что искомая схема синтезируемого двухполюсника дол¬
жна представлять собой последовательное соединение найденных
элементарных двухполюсников.
Выражение (6.24) для Z имеет вид дроби, представляющей со¬
бой рациональную функцию, т. е. функцию, имеющую конечное
число полюсов. Поэтому разложение Z на простейшие слагаемые
есть не что иное, как разложение на простейшие дроби.
С помощью такого разложения выражение (6.24) можно приве¬
сти к виду
Z = ЫК Г1 + ^ + • • • + 1 • (6.28)
[ 6>2 —<о2 Ш2— <о2л_2 J
Первое слагаемое (единица) возникает в тех случаях, когда
правая часть выражения (6.24) приближается к величине шК при
оо, т. е. если Z обладает полюсом при оо.
Коэффициенты А0. А2,..., Лгя- г могут быть найдены путем
приравнивания выражений (6.28) и (6.24). Для определения ка-
кого-либо из коэффициентов Ak устремим в этих выражениях ча¬
стоту (о к частоте со*.
При достаточном приближении и> к u>k всеми слагаемыми
в выражении (6.28) можно пренебречь по сравнению с членом
А* у. Таким образом, можно написать
Сокращая одинаковые множители (со2 — оз|) в знаменателях и
переходя к пределу, т. е. к со = »получим окончательные выраже¬
ния для коэффициентов Ак в виде:
(6.29)
где k = 0, 2, 4, ..., 2п — 2. >
Здесь следует обратить внимание на то, что в знаменателе от¬
сутствует множитель («4 — “*)•
Выражение (6.28) позволяет* осуществить синтез двухполюс¬
ника. Каждый член этого выражения следует отождествить с од¬
ной из простейших комбинаций из эле¬
ментов L и С.
Первый член, именно шК, имеет ха¬
рактер реактивного сопротивления ин¬
дуктивности, равной К. Обозначим эту
индуктивность через Ь2п, так как этот
элемент образует полюс функции Z при
о)-* оо, т. е. правее полюса о> = <д>2п-2, со¬
ответствующего последнему слагаемому
в правой части выражения (6.28). Таким
образом
Рис. 6.11
■ К.
(6.30)
Второе слагаемое," т. е.
а<А,,
(-КАо)
, можно рассматривать
как реактанс емкости, равной
1
КА0
Обозначим эту емкость
через С0, поскольку образуемый ею полюс функции Z расположен
в точке ш = 0. Таким образом
с-=-к!с' <б-31>
Каждое из последующих слагаемшх может быть реализовано
с помощью звена, изображенного на рис. 6.11.
Действительно, сопротивление такого звена может быть приве¬
дено к виду
1
где (о
1
резонансная частота звена.
VtkCk
Приравнивая это выражение слагаемому
ЫК-
0)2 -
216
находим, что емкость звена Ск должна равняться
(6.32>
а индуктивность
(6.33)'
причем индекс может принимать значения
Итак, все элементы синтезируемого двухполюсника выражены
через коэффициенты Ак, т. е. через заданные резонансные частоты,
(Oi, <02, соз,..., g)2„-i [формула (6.29)], а также через постоянную^
/С, которая определяется путем задания численного значения:
входного сопротивления на какой-либо фиксированной ча'стоте.
В соответствии с полученными результатами наиболее общая
схема синтезируемого двухполюсника должна иметь вид, показан¬
ный на рис. 6.12.
В некоторых частных случаях отдельные элементы, указанные
на рис. 6.12, могут отсутствовать.
Так, например, если задано условие, что двухполюсник дол¬
жен пропускать постоянный так (т. е. что Z(0) = 0), то в исходном^
уравнении (6.24) отсутствует множитель о)2 в знаменателе, обра-
вой части выражения (6.28) отсутствует, т. е. коэффициент Л0->0
и, в соответствии с формулой (6.31), С0-+ оо, т. е. емкость С0 на>
схеме 6.12 отсутствует.
Аналогично, если по условию при g)->coZ(cd) должно обра¬
щаться в нуль, то в разложении (6.28) отсутствует первое слагае¬
мое (единица) и L2n отсутствует на схеме рис. J6.12.
Существенно, что схема двухполюсника, найденная по задан-
ным нулям и полюсам функции Z, состоит из минимально возмож¬
ного числа элементов. Действительно, в общем случае, соответст¬
вующем рис. 6.12, при числе звеньев-контуров, равном п—1Г
имеется (п—1) параллельных резонансов (полюсов) и п последо¬
вательных резонансов (нулей), всего 2п—1. В качестве иллю-
Рис. 6.12
зующий полюс в точке о)==0. В этом случае слагаемоев пра-
21Г
страции рассмотрим еще эквивалентную схему (рис. 6.13), отве¬
чающую условию, чтобы общее число резонансов было шесть, при
дополнительных требованиях, чтобы Z(0)=0, a Z(oo) = оо.Число
звеньев-контуров должно, очевидно, равняться трем, а расположе¬
ние нулей и полюсов функции Z(со) должно соответствовать
рис. 6.9, а. Общее число элементов на схеме рис. fi.13 равно семи,
Рис. 6.13
т. е. всего на единицу больше числа резонансов, а на схеме рис. 6.8,
обладающей такими же частотными свойствами, что и схема
рис. 6.13, число элементов равно девяти.
Обратимся ко второму способу синтеза двухполюсника, кото¬
рый основан на разложении на простейшие дроби выражения для
проводимости У(со)= Каждый нуль функции Z(co) дает по-
Рис. 6.14
Рис. 6.15
люс функции Y (со). Поэтому разложение для У (со) по аналогии
с выражением (6.28) может быть приведено к виду
1 £3 1 » Bin—i
-]
(6.34)
В данном случае коэффициенты Вi, Вз,..., Вгп-1 определяются
выражениями вида
(6
35>
где k = 1, 3, 5,..., 2п— 1.
Как и в выражении (6.29), в знаменателе правой части от¬
сутствует МНОЖИТеЛЬ (<|>| — wj-).
Каждому из слагаемых полученного выражения для Y можно
привести в соответствие простое звено, представляющее собой по¬
следовательное соединение Ьк и Сь (рис. 6.14).
218
Действительно, проводимость такого звена равна
№
(6.36)
где
Приравнивая выражение (6.36.) соответствующему слагаемому
правой части выражения (6.34), находим индуктивность звена
обладающего заданной частотной зависимостью К(о), должна
иметь вид, показанный на рис. 6.15.
Эта полная схема обеспечивает получение заданного числа
резонансов при дополнительных требованиях, чтобы при <о = 0
Z(0)-*oo и при ш = оо Z(оо) -э- оо. Если задано, что при о> = 0
входное сопротивление должно равняться нулю, то в первом
звене емкость С, должна отсутствовать (в этом случае первый
полюс функции Y расположен в точке wj = 0; подставляя
в (6.38) (oft = (o1 = 0, получаем Cj ^ оо, т. e.-Ct отсутствует).
Продолжая пример синтеза двухполюсника, обладающего
шестью резонансными частотами при условии, что Z(0)=0, при¬
ходим к параллельной схеме, изображенной на рис. 6.16. Эта
схема при надлежащем подборе элементов эквивалентна схеме
рис. 6.10 в отношении хода функций х(со), У(со), а также в отно¬
шении общего числа резонансов.
Ясно, что если по условию х(со)->0, то в одном из звеньев
должна отсутствовать индуктивность (в звене 2п—1).
6.5. КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕДАЧИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Одной из наиболее удобных и распространенных характеристик
линейного четырехполюсника является отношение комплексных
амплитуд выходного и входного напряжений
и емкость звена
Полная схема синтези¬
руемого двухполюсника,
Рис. 6.16
(6.39)
Эта безразмерная, в общем случае комплексная, величина назы¬
вается «комплексным коэффициентом передачи» или просто «ко-’
219
эффиц.иентом передачи» четырехполюсника. Через параметры цепи
коэффициент передачи может быть -выражен с помощью общего
соотношения (6.17).
Коэффициент передачи удобно представлять в форме
К(ш)=К(ю)е‘*"\ (6.40)
Модуль /((G)) иногда ^называют «амплитудно-частотной харак¬
теристикой» или просто «амплитудной характеристикой» четырех¬
полюсника. Аргумент ф(со) коэффициента передачи называют
«флзо-частотной характеристикой» или просто «фазовой характе¬
ристикой» четырехполюсника.
Исследование свойств функции К(ш) может быть проведено
с помощью выражения вида (6.17).
С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были ис¬
пользованы в § 6.2 при исследовании свойств входного сопротив¬
ления двухполюсника, выражение (6.17) может быть приведено
к виду
„,^_1>(р-ры){р-р1\)(р-ры){р-р1г)---(р-р«т){р-р1т) 1С лл^
\Р) — / ч/ *\/ \/ * \ / \/
(Р—Рт) (P—Pni) iP—Pra) (Р —Pjo)-• -iP-Pm) (Р —Р„п)
Здесь р = о + ш — комплексная переменная;
Роi> Pqi — первая пара комплексно-сопряженных нулей
функции К(р);
Ро2> Pq2 ~ вторая пара нулей и т. д., а
Рп\> Р*п1 — первая пара комплексно-сопряженных полю¬
сов функции К(р);
рп2, pi2 — вторая пара полюсов и т. д.
Полюсы функции К(р) могут быть расположены только в ле¬
вой полуплоскости переменного р. В «идеальном» четырехполюс¬
нике без потерь полюсы располагаются на мнимой оси. Это поло¬
жение может быть обосновано так же, как и для функции Z(p)
или Y(р) [§ 6.2, формула (6.27)]: ни один из .множителей вида
(р— рпк) в выражении (6.41) не может обратиться в нуль при
положительной действительной части переменной р из-за наличия
потерь в элементах четырехполюсника.
Далее, нули и полюсы К(р) могут быть либо действительными
(расположенными на оси а), либо комплексно сопряженными. Сле¬
дует, однако, подчеркнуть, что в отличие от функции Z(p) двухпо¬
люсника, нули и полюсы функции К (р) не обязательно череду¬
ются. Кроме того, степени числителя и знаменателя в выражении
(6.41) могут разниться более чем на единицу.
Отметим, наконец, следующую важную особенность функции
К(р) : нули могут быть расположены как в левой, так и в правой
полуплоскрсти р. В связи с тем, что этот вопрос имеет важное
значение для установления некоторых существенных свойств че¬
тырехполюсников, остановимся на нем несколько подробнее.
220
Рис. 6.17
ветвей (Z\2 или Z23 и т. д.) равно нулю. Но сопротивление двух¬
полюсника может иметь .полюсы или нули только в левой полу¬
плоскости. Следовательно, функция К(р) для цепных схем не мо¬
жет иметь нулей в правой полуплоскости.
Рассмотрим теперь схему, показанную на рис. 6.18, а и экви¬
валентную ей мостовую схему (рис. £Ц8,б). На этой схеме L, С
Рис. 6.18
и R подобраны так, чтобы выполнялось условие -£= /^.Непосред¬
ственно по схеме затруднительно судить о возможности существо¬
вания нулей функции К (р) в правой полуплоскости. Применяя
формулу (6.17) \ можно получить следующее выражение для ко¬
эффициента передачи:
(6.42)
1 Выражение (6.42) особенно просто выводится в теории скрещенных схем
(см., например, Давыдов Г. Б. Основы теории и расчета фазокорректирую¬
щих цепей. Связьиздат, 1958, или Атабеков Г. И. Теория линейных элек¬
трических цепей, изд-во «Советское радио», 1960).
221
Рассмотрим один из наиболее распространенных четырехпо¬
люсников в виде цепной схемы (рис. 6.17).
Функция К (р) в подобных схемах может обратиться в нуль,
если одно из сопротивлений продольных ветвей (Zi или Z2 и т. д.)
равно бесконечности или какое-либо из сопротивлений поперечных
Переходя от /со к р, получаем
К(Р)=М^Г- <6'43)
Эта функция обладает нулем в точке р0= т. е. в правой
полуплоскости (в данном примере на действительной оёи).
Помимо различного рода мостовых и балансных схем, нули
функции К(р) в правой полуплоскости могут иметь также цепи
с несколькими перекрестными связями между различными звень¬
ями.
При анализе и синтезе четырехполюсников вместо коэффи¬
циента передачи К(р) часто оказывается удобным применение
функции 6 (р), связанней с К(р) соотношением
9(р) = 1пК(р). (6.44)
На оси частот эта новая функция принимает вид
6 (га>) = In К(ш) = In К + щ (со) = А («>) + h (<*>). (6.45)
Действительная часть этой функции
Л ((о) ?= In/Г (со) (6.46)
называется логарифмическим затуханием четырехполюсника.
Учитывая, что
К (ш) = еЛ(“), (6.47)
комплексный коэффициент передачи можно представить в форме
К (ио) = е(Ы) = еЛ(ш)+Мш). (6.48)
Определяемая выражением (6.45) комплексная функция 0(/со),
характеризующая логарифмическое затухание амплитуды, а так¬
же изменение фазы в четырехполюснике, может быть названа п о-
стоянной передачи четырехполюсника по аналогии
с термином, применяемым в теории длинных линий.
6.6. СВЯЗЬ МЕЖДУ АМПЛИТУДНОЙ И ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Этот вопрос представляет большой практический и научный ин¬
терес для радиоэлектроники. В различных задачах, связанных
с формированием сигналов, а также с синтезом цепей, необходимо
знать, можно ли управлять одной из характеристик, не изменяя
другую, или же между ними имеется однозначное 'соответствие.
Поскольку амплитудная и фазовая характеристики четырехпо¬
люсника представляют собой соответственно модуль и аргумент
комплексного коэффициента передачи /Г(/со), вопрос сводится
222
к установлению связи между модулем и аргументом комплексной
функции, обладающей следующими свойствами: а) конечное число
полюсов и б) отсутствие полюсов в правой полуплоскости пере¬
менного р и на мнимой оси (пассивный четырехполюсник).
В такой постановке этот вопрос приводит к одной из наиболее
сложных проблем теории функций комплексного переменного. Зна¬
чительно более простой задачей является выражение действитель¬
ной части функции через мнимую или мнимой через действитель¬
ную.
Для этого может быть использована введенная в предыдущем
параграфе функция 0(/со), определяемая выражением (6.45). При
этом задача сводится к установлению -связи между Л (со) и <р(со),
т. е. между действительной и мнимой частями комплексной функ¬
ции 0(/со).
Воспользуемся для этого следующим равенством, доказывае¬
мым в теории функции комплексного переменного:
C-^ioo -(-/оо
2ш f Hp)dp = б(/шд)4--^-r- f .6(*»>*(*»>.. (6.49)
J р — ш1 2 Vi/* 2 т J г<о — v 7
— / ООО —/оо
Путь интегрирования в левой части этого выражения совпадает
с осью т (с^О), с обходом точки справа. Первс& слагаемое
в правой части представляет' собой половину вычета .в точке twi,
т. е. интеграл по окружности бесконечно малого радиуса г.
Действительно, на этой окружности функция 0(р) с точностью
до бесконечно малых высшего порядка равна 0(f‘o>i), а знамена¬
тель равен
. /ф
р — тх = ге
так что
dp — ire^d'b.
Поэтому
f + /(a>—г) те
С—/(а)—г) О
= Ы — Т 0
Второе слагаемое — это интеграл по мнимой оси с исключением
особой точки i(t)\ (главное значение интеграла).
Следует иметь в виду, что с увеличением р (по модулю) и при
условии, что Re(p) > О, функция в(р) стремится к нулю. Поэтому
интеграл от функции по дуге бесконечно большого радиуса
R, лежащей в правой полуплоскости, равен, нулю. Это дает осно¬
вание заменить интеграл, стоящий в левой части равенства (6.49),
интегралом по замкнутому контуру, показанному на рис. 6.19.
223
Наложим условие, что функция %(р) не имеет полюсов в пра¬
вой полуплоскости р. Тогда по теореме Коши этот интеграл равен
нулю. Приравнивая левую часть в (6749) нулю и заменяя 0(ш) по
уравнению (6.45), приходим к следую¬
щему выражению:
1[лЫ-/*ы1+^Г4^+
— оо
-f- оо
1 С = о
1 2к J О) О»!
— оо
Разделяя действительные и мни¬
мые части, получаем
Так как Л(ю) есть четная, а ср(о>) —нечетная функция, то
Подставляя эти результаты в предыдущие выражения, приходим
к следующим окончательным формулам:
(6.50)
(6.51)
Итак, фазовая характеристика <р (а>х) при какой-либо фиксиро¬
ванной частоте осп выражается через логарифмическое затухание
Л (со), причем последнее интегрируется в пределах от о>=0 до
224
Рис. 6.19
(■)= оо.То же относится и к логарифмическому затуханию. Таким
образом, для определения одной из характеристик при какой-либо
частоте требуется знание' изменения другой на всем частотном диа¬
пазоне.
Переходя в выражении (6.50) от Л (со) к модулю /С(со) по фор¬
муле (6.46), получаем искомую зависимость между фазовой и ам¬
плитудной характеристиками
Оговоренное ранее условие отсутствия полюсов функции 0(р)
в правой полуплоскости равносильно условию отсутствия полюсов
и нулей функции К(р) в этой же полуплоскости (так как в точках
плоскости р, гдеК(р) равно нулю, In/((со) обращается в —оо).
Можно поэтому сформулировать следующее важное положение:
однозначное соответствие между амплитудной и фазовой характе¬
ристиками имеется только у четырехполюсников, коэффициент пе¬
редачи которых К (р) не имеет полюсов и нулеЦ в правой полу¬
плоскости комплексного переменного р — а-\-ш.
Четырехполюсники, отвечающие этому условию, называются
минимально-фазовыми. К таковым относятся обычные
колебательные системы, фильтры, цепные и другие схемы, в кото¬
рых отсутствуют перекрестные связи.
К неминимально - фазовым относятся мостовые и некоторые
другие специальные цепи.
Условие отсутствия полюсов К{р) в правой полуплоскости для
пассивных четырехполюсников (не содержащих источников энер¬
гии) не требует дополнительных пояснений.
Остановимся несколько на дополнительном условии отсутствия
нулей К(р) в правой полуплоскости.
В предыдущем параграфе была рассмотрена одна из схем, ко¬
эффициент передачи которой обладает нулем в правой полупло¬
скости (рис. 6.18). Заметим, что для этой схемы модуль коэффи¬
циента передачи /С(со) в соответствии с формулой (6.42) равен
единице для всех частот от 0 до со, в то время как аргумент <р('со)
определяется выражением
Отсюда видно, что между амплитудной и фазовой характери¬
стиками рассматриваемой цепи не существует никакой связи. Со¬
единяя каскадно подобные цепи, можно осуществлять фазовую
коррекцию линейной системы при неизменной амплитудно-частот¬
ной ее характеристике.
Если к минимально-фазовому четырехполюснику с коэффи¬
циентом передачи Кг (ш) (не имеющим нулей в правой полуплос¬
кости) добавить каскадно четырехполюсник мостового типа
с коэффициентом передачи то полученная система мо-
15 Зак. 3/235 225
оо
о
(6.52)
ср (ад) == —2arctg <оС/?.
(6.53)
жет рассматриваться как новый четырехполюсник с результи¬
рующим коэффициентом передачи К(/а>) =Kt (т)К2(^)- Модуль
этого коэффициента остается прежним, так как /С2 (<*>) = 1, а фа¬
зовая характеристика равна ср (о>) = <pt (a)) -f- ъ (а))- Ясно, что но¬
вый четырехполюсник не является минимально-фазовым.
Можно сделать и обратный вывод: если коэффициент передачи
четырехполюсника содержит один или несколько нулей в правой
полуплоскости р, то этот четырехполюсник можно представить
в виде каскадного соединения одного или нескольких звеньев мо¬
стового типа и одного минимально-фазового четырехполюсника
с коэффициентом передачи, который получается из исходного пу¬
тем исключения множителей, содержащих нули в правой полупло¬
скости.
Помимо скрещенных схем, к неминимально-фазовым цепям от¬
косятся системы с распределенными постоянными, используемые
в качестве линий (в режиме «бегущей волны»).
Выражения (6.50) —(6.51) помимо своего значения как сред¬
ства для определения одной из характеристик по заданной другой
полезны еще и тем, что позволяют сделать некоторые важные вы¬
воды качественного характера.
Из рассмотрения указанных выражений видно, что величины
интегралов определяются характером изменения А (со) и <р(со)
вблизи частоты coi, так как при удалении со от coi абсолютная ве¬
личина дроби 2~ быстро убывает.
О)2 — 001
Заметим, прежде всего, что интеграл от этой дроби, взяты£
в пределах от 0 до оо, равен нулю1. Если поэтому допустить, что
для некоторой физической цепи затухание Л(со)=Л0, т. е. является
постоянной величиной для всех частот от 0 до оо, то
Следовательно, равномерное для всего диапазона логарифми¬
ческое затухание (а следовательно, и амплитудную характери¬
стику) можно получить только для цепи, фазовая характеристика
которой равна нулю, т. е. если цепь состоит из чисто омических со¬
противлений.
С другой стороны, добавление к затуханию А (со) постоянной
величины А0 не изменяет фазовой характеристики, так что выра¬
жение (6.50) может быть записано в более общей форме
оо
оо
1 Имеется в виду главное значение интеграла с исключением особой
точки.
226
Физически это означает просто лишь изменение масштаба ампли¬
тудно-частотной характеристики с помощью, например, усилителя,
обладающего равномерной амплитудно-частотной характеристикой,
или с помощью делителя напряжений (потенциометра), составлен¬
ного из чисто омических сопротивлений. (В первом случае А$
нужно брать со знаком плюс, во втором — со знаком минус).
Можно также показать, что если вблизи рассматриваемой ча¬
стоты coi функция А (со) изменяется слабо, то определяемая выра¬
жением (6.50) фазовая характеристика изменяется линейно, уча¬
сткам же диапазона с относительно быстрым изменением А (со)
соответствует нелинейное изменение <р(со). Иными словами, участ¬
кам с равномерной амплитудной характеристикой соответствует
линейная фазовая характеристика.
Кроме того, при прохождении К (со) через максимум, т. е. в по¬
лосе прозрачности цепи, наклон фазовой характеристики отрица¬
телен < о) • Соответственно при прохождении через мини¬
мум (в полосе непрозрачности) наклон фазовой характеристики
положителен - > о) • Эти положения хорошо иллюстриру¬
ются, в частности, амплитудными и фазовыми характеристиками
рассмотренных в гл. 4 и 5 колебательных систем.
6.7. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Для полной характеристики линейной цепи .помимо ее частот¬
ных свойств требуется еще знание импульсной характери¬
стики, т. е. отклика цепи на воздействие в виде единичного
импульса.
Пусть имеется четырехполюсник с коэффициентом передачи
К(ш) и требуется определить импульсную характеристику этого
четырехполюсника g(t).
Эту задачу нетрудно решить с помощью интеграла Фурье. Если
на вход четырехполюсника действует единичный импульс э. д. с.,
обладающий спектральной плотностью, равной единице для всех
частот от нуля до бесконечности (см. §2.8), то спектральная
плотность выходного напряжения равна просто К(ш). Следова¬
тельно, отклик на единичный импульс, т. е. импульсная характе¬
ристика легко определяется с помощью обратного преобразова¬
ния Фурье [см. формулу (2.27)]
оо
UBha(t) = g(t)=-^ J К (/<*>) eMd<o. (6.54)
— оо
В дальнейшем импульсную характеристику будем обозначать
через функцию g(t), под которой можно подразумевать не только
напряжение, но и любую другую электрическую величину.
15*
227
Если коэффициент передачи задан в виде функции К(р), то
выражение (6.54) может быть записано в. форме обратного пре¬
образования Лапласа
C + ioo
eW=-£r J K(P)eptdP- (6-55)
С—ioo
Свойства импульсной характеристики полностью определяются
поведением функции К(р) на плоскости р. Этот вопрос будет
рассмотрен в гл. 9, посвященной изучению воздействия сигналов
на линейные системы. Здесь мы ограничимся указанием на сле¬
дующие основные свойства функции g(t) пассивных четырехпо¬
люсников: при ^<0 g(t)—0 и при t **оо Оба эти
свойства имеют простое физическое объяснение: отклик физиче¬
ской цепи не может опережать воздействие (т. е. единичный
импульс, действующий при / = 0) и, кроме того, отклик представ¬
ляет собой затухающее свободное колебание.
ГЛАВА 7
ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ
7.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Системы с распределенными постоянными играют очень боль¬
шую роль в радиоэлектронике. В диапазонах длинных и средних
волн подобные системы применяются в основном в качестве ан¬
тенных устройств и фидерных линий, соединяющих передатчик
с антенной и антенну с приемником. На коротких и особенна
ультракоротких волнах (диапазон сверхвысоких частот) системы
с распределенными постоянными применяются помимо антенно-фи-
дерных устройств также и в качестве колебательных систем.
Рассмотренные в предыдущих главах колебательные системы
с сосредоточенными постоянными обладают тем свойством, что
электрические и магнитные поля в них существуют раздельно: элек¬
трическое поле в емкостях, магнитное поле в индуктивностях. С по¬
вышением частоты такое разделение полей не удается реализовать
и колебательные системы приобретают характер волновых систем.
В настоящей главе рассматриваются основные положения тео¬
рии длинных линий, а также колебательных систем с распреде¬
ленными устройствами. Рассмотрение ограничивается технической
стороной вопроса, так как полное изучение структуры электро¬
магнитного поля в подобных системах входит в другие курсы.
7.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛИННОЙ ЛИНИИ
Пусть задана двухпроводная линия, обладающая следующими
параметрами, отнесенными к единице длины: индуктивностью L,
емкостью С, сопротивлением R и проводимостью изоляции G. Эти
параметры считаются здесь неизменными вдоль линии («однород¬
ная» линия). К входным зажимам линии подключен генератор
синусоидальной электродвижущей силы с амплитудой Е и частотой
со, а к выходным зажимам подсоединено нагрузочное сопротивле¬
ние ZH (рис. 7.1).
Как известно из курса Теоретических основ электротехники,
комплексные амплитуды напряжения (J(x) и тока 1 (х) в сечении
229
линии, отстоящем от конца линии на расстоянии х, определяются
следующими выражениями:
U(x)=A^x + А2^х,
(7.1)
В этих выражениях у и W являются параметрами линии,
именно:
(7.2)
10L
— «постоянная распространения»; действительная часть этой по¬
стоянной р характеризует убывание амплитуды напряжения или
Рис. 7.1
тока на единицу длины линии и поэтому называется постоян¬
ной затухания линии, а мнимая часть а определяет изменение
фазы напрякения или тока на единицу длины и называется ф а-
зовой постоянной или угловым коэффициентом
линии.
Второй параметр W называется волновым сопротивле¬
нием линии и определяется выражением
*=УШ§- <7-3>
Подставив выражение (7.2) в первое уравнение (7.1), получим
U(x) = A^xeiax + A2e~?xe~iax. (7.4)
Это выражение показывает, что в установившемся режиме (при
гармоническом возбуждении) напряжение в линии является сум¬
мой двух волн, распространяющихся во взаимно противоположных
направлениях.
Первая волна, амплитуда которой с увеличением х растет, а
фазовое отставание убывает, движется от генератора к концу ли¬
нии. Эта волна называется прямой или падающей.
Вторая волна, называемая обратной или отраженной волной,
движется от конца линии к ее началу. Это видно из того, что с уве¬
личением х, т. е. при приближении к началу линии, амплитуда этой
волны падает, а фаза получает все большее запаздывание.
230
Нетрудно определить скорость распространения волн вдоль ли¬
нии. Выделим отрезок линии 1\ и составим выражение для фазо¬
вого сдвига, претерпеваемого одной из волн, например прямой, на
этом отрезке. Очевидно,
?/, = аЛ.
С другой стороны, при частоте возбуждающей э. д. с. со, этот же
сдвиг может быть представлен в форме
срЛ = <0/1,
где t\ — время пробега волной отрезка 1\.
Приравнивая шравые части этих выражений, получаем
(о^ = a/t,
откуда
=т'- <7-5>
Следовательно, скорость распространения волн («фазовая ско¬
рость»)
<7-6>
а длина волны в линии
\ = vT = — T= — . (7.7)
а а ' 7
Существенно, что скорость v зависит от частоты со лишь при
наличии .потерь в линии. В случае же идеальной линии (R = О,
(3 = 0) выражение (7.2) обращается в следующее:
у = ш УLC =
откуда [
a = a)]/ LC.
Таким образом, в линии без потерь скорость волны независимо
от частоты возбуждения равна
v = — = -^=. (7.8)
a У LC
Полученные результаты могут быть распространены и на вто¬
рое уравнение (7.1) для тока. По аналогии с уравнением (7.4) его
можно записать в форме
. /(;с) = ф- e?xeiax - ф е~?хе~1ах. (7.9)
Из сравнения выражений (7.9) и (7.4) видно, что прямая волна
тока связана с прямой волной напряжения законом Ома, т. е.
1/щ> (х)
231
Аналогичное выражение .можно написать и для отраженных
волн тока и напряжения.
Остановимся в заключение на истолковании того факта, что
отраженные волны напряжения и тока входят в выражения (7.1)
с разными знаками.
Нетрудно выяснить смысл знака минус перед вторым слагае¬
мым (отраженной волной тока) в выражениях (7.1) и (7.9). При
питании линии со сторо¬
ны зажимов 1—1Г (рис.
7.2) и отсчете положи¬
тельного направления
напряжения от зажима 1
к зажиму V положитель¬
ное направление волны
тока в линии обозначено стрелкой а на рис. 7.2. Если же линию
питать со стороны зажимов 2—2', то при одинаковом направлении
э. д. с. положительное направление волны тока в линии будет про¬
тивоположно (стрелка б на рис. 7.2). Таким образом, перенесение
одного и того же источника э. д. с. от зажимов 1—1' к зажимам
2—2' связано с изменением направления тока в линии.
Рассматривая отраженную волну тока как результат действия
некоторого эквивалентного генератора, питающего линию со сто¬
роны зажимов 2—2\ приходим к выводу, что если отраженная
волна напряжения входит в уравнение (7.1) со знаком плюс (как
и падающая волна), то отраженная волна тока в уравнении (7.1)
должна быть взята со знаком минус.
Под входным сопротивлением линии подразумевается отно
шение
где х — расстояние от точек подключения генератора до точек под¬
ключения нагрузочного сопротивления, т. е. длина линии.
Для определения U(x) и 1(х) необходимо найти соотношение
между А\ и Л2, т. е. между амплитудами падающей и отраженной
волн. С этой целью положим в уравнениях (7.1)'х = 0 и учтем, что
U (0) есть напряжение на нагрузочном сопротивлении ZH, а/(0) —
ток через это сопротивление.
Следовательно,
7.3. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛИНИИ
(7.10)
232
(7.11)
Рис. 7.2
откуда
l 1 —
и я 7 IV/ "^1 IV/
Х- н — — , А‘
1_ л
Из последнего выражения легко найти отношение амплитуды
отраженной волны напряжения А2 к амплитуде падающей
волны А\
A — z»~ w — Г (7 12>
Ал ~~ ZH+ w ' У }
Отсюда следует, что коэффициент Г, определяемый формулой
(7.12), имеет смысл коэффициента отражения напряжения у конца
линии.
Исключая с помощью формулы (7.12) А2 из выражений (7.1),,
получаем
U(x)=Al(e'IX+ ЛГТ*),
/(*)=А(е^_/е-П } (7ЛЗ)'
Для практических целей удобно выражать U (х) и I (х) через ам¬
плитуды напряжения и тока у конца линии. Это нетрудно сделать
с помощью выражений (7.11) и (7.12):
ия = А1 + А2=А1(\+Г), Uн
1 +Г’
^-(А1-А2)=^(1-п,^--,и
(7.14)
'н w vn W ” W 1 —Г'
Подставляя эти соотношения в выражение (7.13), получаем
еТГ* I Гр— T-f 1
U(x) = UH^-+{ep ,
eV-re- т* (7Л5>'
/(*)=/. - - v_ier . J
Подставляя, наконец, Г из формулы (7.12) и переходя к гипер¬
болическим функциям
, е^ + е-т* . е^ —е-^
ch ТХ = 2 > sh ух = 2 >
получаем окончательные выражения для амплитуд напряжения и
тока в сечении линии, отстоящем на расстоянии х от конца:
U(x) = U„ j^chfx + sh , (7.16)
/(*) = /. [chT* + -%-shTx]. (7.17)
233
На основании этих соотношений выражение (7.10) принимает
следующий вид:
W , ■
ch-pc +~z~ sh tx
Z(x) = Z. £ . (7-18)
ch ^ “j- sh *fx
7.4. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПОСТОЯННАЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ
Волновое сопротивление W, зависящее от первичных параме¬
тров линии L, С, R, G и, кроме того, от частоты со, является ком¬
плексной величиной. В соответствии с определением (7.3)
W
=1/4Ш" <7Л9>
В линии, свободной от потерь («идеальная» линия), R—0 и
<3 = 0. В этом случае
W = P = (7-2°)
Здесь L — выражено в генри, а С — в фарадах на единицу
длины. Если L и С выражать в сантиметрах на единицу длины,
то получим
W = PoM = 3oV-^. (7.20')
1 °см
Таким образом, волновое сопротивление линии, без потерь яв¬
ляется чисто активным и не зависит от частоты.
Вынесем за знак радикала в выражении (7.19)
w=V 4
/fj/i
С + Ы
Нетрудно видеть, что если выполняется условие
R__0_
L~ С 9
(7.21)
то второй множитель в правой части равен единице при любой ча¬
стоте и волновое сопротивление линии, даже при наличии потерь,
совпадает с чисто активным волновым сопротивлением идеальной
линии. Линии, для которых выполняется условие (7.21), называ¬
ются неискажающими линиями.
При, передаче по линии сигналов с очень широким спектром
независимость волнового сопротивления от частоты обеспечизает
234
отсутствие искажений сигналов. Этот вопрос более подробно рас¬
сматривается в гл. 9.
В области радиотехнических частот сопротивление R в реаль¬
ных линиях, как правило, очень мало по сравнению с индуктивным
сопротивлением соL, а проводимость G мала по сравнению с емко¬
стной проводимостью соС. Можно поэтому без существенной
ошибки определять волновое сопротивление высокочастотных ли¬
ний, как и в случае идеальной линии, по формуле (7.20).
Следует отметить, что погонная индуктивность L и погонная
емкость С тесно между собой связаны и могут быть выражены
одна через другую. В теории электромагнитного поля доказы¬
вается, что
LC = [is. (7.22)
Здесь \х— магнитная проницаемость,
8 — диэлектрическая постоянная среды, окружающей линию;
L и [х — выражены в абсолютных электромагнитных единицах,
С и е — в абсолютных электростатических.
Для случая линии в пустоте или воздушной линии имеем
LC= 1. (7.23)
В практике часто применяются коаксиальные линии с диэлек¬
трическим заполнением. В этом случае будем иметь
ZC = s. (7.24)
Если обе величины L и С выражены в одной системе единиц:
в абсолютной электростатической, в абсолютной электромагнитной
или в практической, то соотношение (7.22) принимает вид
LC = ^. (7.20')
Сопоставляя это выражение с формулой (7.8), отмечаем по¬
путно, что скорость движения волны вдоль линии может быть вы¬
ражена еще и в такой форме:
(7-25)
Если L и С выражены в сантиметрах на единицу длины (т. е. L
выражена в абсолютных электромагнитных, а С в абсолютных
электростатических единицах), а е=1 и ц=1, то на основании фор¬
мулы (7.23) выражение (7.20') для волнового сопротивления мо-
, жно привести к следующему виду:
/L —
-JHjb (7-26)
СМ см
235
В случае диэлектрического заполнения в соответствии с форму¬
лой (7.24) будем иметь
„ _зоут
Ром-тйг- (7-26>
см
Проиллюстрируем формулы (7.26) и (7.26') на примерах, отно¬
сящихся к симметричной и несимметричной линиям.
В первом случае (рис. 7.3) погонная емкость на единицу длины
двух цилиндрических параллельных проводов' как доказывается
в электростатике, равна
£ см
С =
Следовательно, волновое сопротивление
30/Г _ 30 ’ 41п Т_ 120 ln Т __ 27б1^7
Ром— С — у7 — у- — .
Например, для воздушной линии из двух проводов диаметром
3 мм, расположенных на расстоянии 120 мм друг от друга, полу¬
чаем:
е = 1, d= 12 см, г = 0,15 см,
^ 1 :0,057 -см
9,21 lg 80 см'
30 30 сог
' р=~с = тт=525 ом-
Для воздушной линии, состоящей из цилиндрического провода
радиусом сечения г, протянутого горизонтально над землей, кото¬
рая принимается идеально проводящей (рис. 7.4), емкость на еди¬
ницу длины определяется формулой
1
1
Рис. 7.3
Рис. 7.4
Например, при высоте подвеса Л=3 м и радиусе сечения про¬
вода г =1,5 мм получим
С — -ТсТлсТ^ТТйГ = 0,0605 СМ
4,6051g 400
см
и волновое сопротивление
30 30
Р С 0,0605 ~
В высокочастотной технике большое рас¬
пространение в настоящее время получили
коаксиальные кабели, крупным достоинст¬
вом которых является полная экраниров¬
ка электромагнитного поля линии. Для та¬
кой линии, состоящей из двух коаксиаль¬
ных цилиндров (рис. 7.5), в электростати¬
ке выводится следующая формула, опреде¬
ляющая емкость на единицу длины линии:
Рис. 7.5
Следовательно,
_3° утя
1381g Л.
Так, например, для воздушной линии, состоящей из трубы с вну¬
тренним диаметром 5 см и осевого провода диаметром I см, по¬
лучим
Для стандартного коаксиального кабеля типа РК-1, выполнен¬
ного из гибкой трубки (в виде металлической оплетки) с внутрен¬
ним диаметром 4,6 мм и коаксиальной металлической жилы диа¬
метром 0,68 мм, при заполнении пространства между внешним и
внутренним проводом полиэтиленом с диэлектрической постоянной
е«2,2 будем иметь
Скорость волны в рассматриваемом кабеле в]/£ раз меньше,
чем в воздушной линии того же сечения [см. формулу (7.25)].
Обратимся к исследованию постоянной распространения у==
= Р + /а. Для определения действительной части р и мнимой ча¬
сти а воспользуемся определением (7.2)
р -f- /а = i/*(/? + ) (G + шС).
Возведем в квадрат обе части этого соотношения
Р2 - а2 + 2^а= (RG - со2LC) + ш (LG + RC).
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем
З2 — а2 = RG — io2LC,
2^а = со (LG 4“ RC).
Возведя в квадрат оба эти уравнения:
_ 2р2я2 а4 = (QQ _ Ш2£С)2;
4Р2а2 = (о2 (LG + RC)2,
и складывая, получаем
(pa + а2)2 = (RG - со2LC)2 + (LG + RC)2 .
или
Р* _|_ а2 _ _
(7.27)
= у (/?2 + 0)2£2) (С?2 + ш2С2). (7.28)
Решая это уравнение совместно с первым уравнением системы
(7.27), получаем окончательно
Р = Yy [(RG - (o2ZC) + V(R2 + “2^2) (G2 + ш2С2)] , (7.29>
a=j/±j(o&C-/?G) -j- У(R2 + u>2L2) (G + u>2C2)] . (7.30)
В случае радиотехнических линий эти общие выражения можно
сильно упростить. Учитывая, что в области радиочастот можно
считать
R <
G « шС,
и отбрасывая малые величины высших порядков, можем написать
V(R2 + ш2£2) (G2 + (в2С2)= u>2LC j/~(l +^)(l + ^)‘
+да~и>2/'с[1 +т("& + да)]-
238
Подставляя это выражение в правые части формул (7.29) и
(7.30), получаем
(7.31)
Подставляя = получаем для погонного затухания удоб¬
ную формулу
p*4(f+Gp)- (7-32>
Следует отметить, что в высокочастотных линиях, особенно без.
диэлектрического заполнения, утечкой G обычно можно пренебре¬
гать.
В этих случаях затухание определяют с учетом одного лишь со¬
противления R
(7.33)
При определении R необходимо, конечно, учитывать скин-эф*
фект.
7.5. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ НАГРУЗКАХ
Пусть задан отрезок однородной линии длиной I и трефуется
выяснить распределение амплитуд напряжения и тока вдоль линии
при различных соотношениях (между сопротивлением нагрузки ZB
и волновым сопротивле¬
нием линии р (рис. 7.6).
В основу - рассмотре¬
ния можно положить вы¬
ражения (7.16) — (7.18) с
учетом упрощений, выте¬
кающих из допущения об
отсутствии потерь.
Полагая
Рис. 7.6
можно в уравнениях (7.16)
Учитывая, что
239
получаем следующие уравнения, справедливые для линии без по¬
терь:
U(x) = Ua j^cos ах + i sin ахj, (7.34)
/(х) = /„ £cosax -j- i -^-sinaxj , (7.35)
причем входное сопротивление
p p
rr, v cos ax + i sin ax cos ax + i -y- sin ax
ZW=^f = 2, f= = P . z" . (7.36)
cos ax + i — sin ax -7— coS ax + i sin ax
P ^ H
Приложим полученные выражения к. некоторым важным для
практики частным случаям.
1. Согласованная нагрузка. Бегущие волны
Полагая Za = 'R — р, получаем'
U(а:) = UB [cos о.х A-i sin ax] = UHelax,
I (x) = /„ [cos ax-\-’l sin ax] = /не1аж,
Z(x)—ZH = p.
Как видим, при работе на согласованную нагрузку в линии су¬
ществуют только падающие (бегущие) волны тока и напряжения.
Так как затуханием р мы пренебрегли, то модули амплитуд U (х)
и 1(х) вдоль линии не изменяются и равны соответственно моду¬
лям UH и /н.
Переходя к мгновенным значениям, получаем
и (t, х) = Ua cos (a>t -j- ax),
i (t, x) = IH cos (u>^ + ax).
В начале линии при х=1 будем иметь
u(t, I) — UB cos (wt + a/),
i(t, I) = /„ cos (u>t a,l),
а в конце линии
и (t, 0) = UH cos ait,
i (t, 0) = /„ cos <01.
Таким образом, фаза бегущей волны в конце линии отстает на
угол
*/ = «* = 2«т = -Т
от фазы волны в начале линии (для воздушной линии, когда и —с).
240
Учитывая соотношение (7.5), можем написать
где t\ — время пробега волной отрезка I.
2. Нагрузка на чисто реактивное сопротивление. Стоячие волны
Полагая ZH = u;H, получаем
Из этих выражений видно, что при чисто реактивной нагрузке
в линии устанавливаются так называемые стоячие волны на¬
пряжения и тока. В точках, отстоящих от конца на расстояниях, при
которых ах — <pi = 0, я, 2я, ..., |cos(cu — Ф1)] обращается в еди¬
ницу, |sin(ajc — Ф1)| — в, нуль, амплитуда напряжения достигает
своего максимума, а амплитуда тока равна нулю. Эти точки соот¬
ветствуют пучностям напряжения и узлам тока. В точ¬
ках, где olx — cpt = ^ Т75 ’ * ’ и так далее, наоборот, устана -
вливаются узлы напряжения и пучности тока.
Заметим, что входное сопротивление линии при стоячих вол¬
нах имеет характер чисто реактивного сопротивления. Действи¬
тельно, уравнение (7.36) при ZH = ixH дает
Из этого следует, что в любом сечении линии напряжение и ток
сдвинуты то фазе (во времени) на угол 90°.
(7.37)
где
срх == arctg -j- .
Л н
Переходя к модулям амплитуд, будем иметь
(7.38)
р
cos ах + — sm ах
Z (л:) = ix+
(7.39)
cos ах — — sin ах
р
16 Зак 3/235
241
Из выражений (7.37) видно, что в .пучностях соответственно
напряжения и тока амплитуды равны
Если умножить обе части последнего выражения на р, то по¬
лучим
Приравнивая левые части формул (7.40) и (7.42), приходим
к следующему важному выводу: при чисто стоячих волнах макси¬
мальные амплитуды напряжения и тока связаны простым соотно¬
шением
Интересно также установить связь между амплитудой в пуч¬
ности и амплитудой падающей волны. В соответствии с соотноше¬
ниями (7.14) можно написать следующее выражение для напряже¬
ния на конце линии:
Подставляя полученный результат в формулу (7.40), находим
окончательно
Итак, при чисто реактивной нагрузке амплитуды в пучностях
равны удвоенному значению амплитуды падающей волны. Физиче¬
ский смысл этого результата становится очевидным, если учесть,
что образование стоячей волны является результатом интерферен¬
ции падающей и отраженной волн.
*/макс=*4|/1 +(ТН)2’
(7.40)
макс
(7.41)
/„аксР = /н W + 4 = /А У1 + ( У2 = ишу\+ (£f. (7.42)
(7.43)
(7.14')
Учитывая, что в данном случае
р Р
+ Р
и переходя в выражении (7.14') к модулю, получаем
(7.44)
U — п
^Л«акс — 2£/пад.
Аналогично можно показать, что
Т —2/
7 макс — ^'■‘пад*
макс
макс
242
Так как модуль коэффициента отражения при чисто реактив*
ной нагрузке равен единице [ом. формулу (7.44)], то амплитуды
отраженной и задающей волн одинаковы. При распространении
вдоль линии во взаимно противоположных направлениях эти
волны удваиваются по амплитуде в точках, где их фазы совпадают
(пучности), и взаимно уничтожаются в точках, где сдвиг фазы
равен 180° (узлы) (рис. 7.7).
Из предыдущего ясно, что режим чисто стоячей волны возмо¬
жен лишь в линии без потерь.
Случай, показанный на рис. 7.7, соответствует емкостной на¬
грузке при
|т. е. ?! = — 45°, ин=у=ииакс, см. уравнения (7.37) и (7.40)j .
Рассмотрим еще вопрос о распределении, энергии электромаг¬
нитного поля вдоль линии со стоячей волной. Для этого выделим
с помощью двух параллельных плоскостей, перпендикулярных
к оси линии, пространство, связанное с элементом линии длиной
Ал:, и составим выражение для энергии, магнитного и электриче¬
ского' поля в указанном пространстве. Если амплитуда тока в рас¬
сматриваемом элементе линии 1(х), а напряжение U(x), то, оче¬
видно, мгновенное значение энергии магнитного поля будет
I2 (•*•)cos2 (шг< + е)>
16*
243
Рис. 7.7
а мгновенное значение энергии электрического поля
wE = U2 (х}Ып2 (ш/4-в).
При составлении этих выражений учтено, что при стоячей
волне напряжение и ток сдвинуты по фазе (во времени) на 90°.
Начальная фаза 0 может иметь произвольную величину и для рас¬
сматриваемого здесь вопроса значения не имеет.
Средние за период Т = .-£ энергии будут, очевидно, равны
we = ££-U*(x).
Подставляя вместо 1{х) и U{x) уравнения (7.38) и учитывая
соотношения' (7.40) — (7.41) и (7.43), будем иметь
= /*акс sin2 (ах - <р,),
^„2aKccos2 (0JX- 9i) = ^тг^аксР2 cos2 («“* ~ ?i) =
=~ ~Z~ ^макс COS2(tt>X T1) •
Суммируя полученные энергии, находим
, LAx т0
ws = wH + wE = — /м2акс.
Таким образом, приходим к выводу, что при чисто стоячей
волне средняя энергия электромагнитного поля (на единицу
длины) не изменяется вдоль линии. Имеет место лишь перераспре¬
деление энергии между магнитным и электрическим полем. В пуч¬
ностях напряжения вся энергия запасена в электрическом поле
(магнитное поле отсутствует), а в пучностях тока —в (магнитном
поле (электрическое поле отсутствует).
3. Нагрузка на произвольное чисто активное сопротивление
Подставив в уравнения (7.34) — (7.35) ZH=RHi получим
Ц (х) = ия j^cos ах + ь sin axj ,
/(х) = /н |cos ах + i -у- sinaxj.
(7.45)
244
Предположим для определенности, что /?н > р, и обозначим
-g- через k. Тогда уравнение (7.45) можно записать в виде
U (я) = UH [cos ах + ik sin ал:],
— [k cos ах -f- / sin ад:].
Переходя к модулям, находим амплитуды U(x) и 1(х)
U (х) = UB У cos2 ах + k2 sin2 ах,
I (х) —^~Yk2 cos2 ах + sin2 ах,
или
U{x) — UH'\/ j(l -rk2) +^-(1 — £2)cos2ax,
I(x)=IfY^( 1 +^2) -yO - k2)cos2ax.
Так как k<ly то легко видеть, что максимумы U(x) находятся
в точках, для которых cos2ax=l. Таким образам, прй k<\ макси¬
мальные амплитуды равны UH.
Максимумы 1(х) находятся в точках, определяемых условиями
cos2ax=l, и равны . Отсюда видно, что кривые распределения
U(x) и 1(х) вдоль линии имеют одинаковую форму и смещены
одна относительно другой на -|-Я. Вид кривых распределения U(x)
на «протяжении половины волны дан на рис. 7.8, а для разных зна¬
чений &<1. На рис. 7,8,6 дано распределение 1(х) три
У конца линии (а^ = 0) устанавливается максимум U(x) и мини¬
мум 1(х). На расстоянии -j-A, от конца линии (ах = 90°) устанавли¬
вается минимум напряжения и максимум тока.
Однако в отличие от предыдущего пункта при нагрузке на ак¬
тивное сопротивление /?н =^0 в линии нет точек с нулевыми ампли¬
тудами. Это объясняется тем, что часть энергии падающей волны
поглощается в нагрузке и отраженная волна, равная
U — гц — А»~ Р, и _ 1 —ь ц
отр — 1 ^пад— /?н + р пад — \ -\- k пад>
накладываясь на падающую волну, образует максимумы и мини¬
мумы амплитуд в различных точках линии. Чисто стоячие волны
получаются лишь при /г=0. Наоборот, при k=l амплитуды напря¬
жения и тока вдоль линии не изменяются и, следовательно, в ли¬
нии существует одна лишь бегущая волна. Отсюда видно, что про¬
межуточные случаи можно рассматривать как наложение стоячих
и бегущих в®лн.
245
(7.45')
Отношение
Uu
UM
называется коэффициентом бегущей волны
Обратное отношение
носит название коэффициента стоячей волны (КСВ).
По определению КБВ всегда меньше единицы, а КСВ больше еди¬
ницы.
Входное сопротивление линии в соответствии с уравнениями
(7.45) равно
ry COS ах + ik sin аХ (п i7v
Р —г ;—:—: . I / .т-' )
г k COS ах -f" I sm ах v 7
Освободившись от мнимости в знаменателе, приведем послед¬
нее выражение к виду
(7.47')
Напомним, что вывод этой формулы сделан в предположении,
что £<1, а х отсчитывается от конца линии, т. е. от пучности на¬
пряжения, в направлении к источнику энергии.
246
Рис. 7.8
В случае /?н < Р> когда > 1, картина изменяется. С помощью
рассуждений, аналогичных приведенным выше, нетрудно убе¬
диться, что при ЯН<Р на конце линии устанавливаются макси¬
мум тока и минимум напряжения, т. е. все кривые смещаются
к генератору на X.
4. Нагрузка на произвольное комплексное сопротивление
Если нагрузочное сопротивление имеет вид
zH=/?„ + /*„,
то на конце линии устанавливается не максимум и не минимум
напряжения, а некоторое промежуточное значение амплитуды. Не¬
смотря на это, характер распределения амплитуд U(x) и I(х)
вдоль линии остается таким же, как и при нагрузке на чисто ак¬
тивное сопротивление р, необходимо лишь производить от¬
счет х не от конца линии, а от пучности напряжения.
Чтобы в этом убедиться, подставим в уравнение (7.36)
Л = ^н + *Л'н
р
COS ах + I о , . Sin ах
Z(X) —р _
cos ах 4- i sin ах
RH “I- i
Освободившись от мнимости в знаменателе, приводам это вы¬
ражение к виду
Z(x) = р-
ЯнР , '. Г / Р2 Л1 1 • О , *^НР о
+' lte+з - V. ■7 ™ «?+?. с“
~2 COS2 ах -f Sin2 ах — —2Р Ун Sin 2аХ
(7.48)
К+< К+К
Можно показать, что это уравнение выражает кривую того же
вида, что и уравнение (7.47), но отнесенную к другому началу
координат. Для этого необходимо заменить х на дсо+*ь (причем
абсциссу хо нового начала координат нужно подчинить условию
tg 2ах0 = 2рХи
*н + *„-Р2
При указанных условиях выражение (7.48) может быть приве¬
дено к виду
где
Уравнение (7.48'), имеющее тот же вид, что и уравнение (7.47'),
причем &i<l, позволяет определять входное сопротивление линии
в любом ее сечении при любых нагрузках ,на ее конце. Для этого
необходимо знать только k\, т. е. соотношение между параметрами
нагрузки и линии (т. е. Rn, хн и р), а также положение пучности
напряжения *о, относительно которого производится отсчет х\ в на¬
правлении к источнику энергии. Таким образом, приведенные на
рис. 7.8 кривые распределения U(x) и 1(х) могут быть использо¬
ваны и в случае комплексной нагрузки при замене k на k\ и при
соответствующем отсчете х.
5. Короткое замыкание линии
Полагая ZH — 0, находим для коэффйциента отражения
г=f«L=i = -i.
Zh + р
Следовательно,
#,= (1+ Л ?п« = 0,
/н — (1 ^пад — 2/пад — Aia к с.
Выражения (7.34) — (7.36) в данном случае обращаются в сле¬
дующие:
(7.49)
Z(x) = ^ = i^x- (7-5°)
В линии (без потерь) устанавливается стоячая волна напряже¬
ния и тока, причем у короткозамкнутого конца получается узел
напряжения и пучность тока. Амплитуда напряжения в пучности
(в точке х= связана с амплитудой тока в пучности (в т©чке
л: = 0), как и в случае линии, нагруженной на конечное реактивное
сопротивление, соотношением (7^43), т. е.
^макс ^максР*
248
Распределение амплитуд напряжения и тока вдоль коротко-
замкнутой линии и график зависимости входного сопротивления
линии от ее длины (расстояния от конца линии х) /показаны на
рис. 7.9.
Из формулы (7.50) видно, что
если ах < ~, т. е. длина линии
7С 1 71 X X
Х< 2“2"2i — 7’
то входное сопротивление линии
является положительным реак¬
тивным сопротивлением, т. е.
имеет характер индуктивного со¬
противления. При ^ < л; < -j
входное сопротивление имеет ха¬
рактер емкостного сопротивле-
1 ^ ^ 3 *
ния, при ~2 < х < -^1 — опять
индуктивного и т. д. В узлах напряжения входное сопротивление
линии без потерь равно, следовательно, нулю, к в узлах тока —
бесконечности. Характер входного сопротивления линии на отдель¬
ных участках х символически представлен на рис. 7.9. В точках,
где ZBX =0, отрезок линии можно представить эквивалентным по¬
следовательным резонансным контуром, а в точках, где ZBX->oo,—
параллельным резонансным контуром.
Рис. 7.9
6. Разомкнутая линия
Полагая ZH = oo, находим
2^пад — ^макс>
Далее
(7.51)
(7.52)
Графики распределения амплитуд .напряжения и тока вдоль ли¬
нии и график зависимости входного сопротивления линии от длины
(расстояния от конца линии *) показаны на рис. 7.10.
249
Рис. 7.10
В данном случае при длине линии от 0 до от до -|-Х
и так далее, т. е. вхслучае, когда на линии укладывается нечетное
число четвертей волны, входное сопротивление имеет емкостный
характер, а при четном числе четвертей
вол'н — индуктивный.
7.6. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ
ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ЛИНИЙ
Из предыдущего рассмотрения вид¬
но, что в зависимости от характера на¬
грузки, а также от соотношения между
длиной линии и длиной волны линия об¬
ладает самыми различными свойствами.
Этим объясняется универсальность при¬
менений линий и непрерывное расшире¬
ние. круга задач, решаемых с помощью
линий в высокочастотной технике.
Рассмотрим вкратце лишь примене¬
ние линий в качестве фидеров для ка¬
нализации энергии высокочастотных колебаний и в качестве эле¬
ментов колебательных систем.
При использовании линии в качестве высокочастотного фидера,
соединяющего источник энергии с нагрузкой, основное внимание
обращается на получение режима бегущей волны. Если входное
сопротивление потребителя энергии (передающая антенна, (питае¬
мая генератором через фидер, или входная цепь приемника, соеди¬
ненная через фидер с приемной антенной) отличается от волно¬
вого сопротивления линии, то для устранения отражения волн
у конца линии применяются специальные согласующие устройства
(высокочастотные трансформаторы). Работа в режиме чисто бегу¬
щей волны позволяет снизить потери энергии в фидере и, что осо¬
бенно важно в случае значительных мощностей, устраняет опас¬
ность нарушения изоляции в пучностях напряжений, которые имеют
место при не чисто бегущей волне.
Для количественной характеристики согласования линии, с на¬
грузкой в практике широко попользуется коэффициент бегущей
волны (КБВ), .под которым понимается отношение амплитуд на¬
пряжения (тока) в минимуме и в максимуме [см. формулу (7.46)].
В реальных устройствах КБВ обычно не меньше чем 0,5—0,6.
Коэффициент шолезного действия фидера определяется как от¬
ношение мощности, поступающей в нагрузку, к мощности, подво¬
димой к фидеру. В частном случае чисто бегущей волны, когда
сопротивление цагрузки равно р, к. п. д. может быть представлен
в простой форме
Учитывая, что бегущие (падающие) волны напряжения и тока
убывают на длине линии в е-р/ раз, получаем
Так как обычно 2[3/<1, то
т] « 1 - 2р/.
С повышением частоты открытые линии оказываются все менее
пригодными из-за потерь на излучение. От этого недостатка сво¬
бодны коаксиальные кабели, в которых достигается полная экра¬
нировка электромагнитного поля. В диапазоне 30—600 Мгц такие
кабели получили в настоящее время основное распространение.
В области более высоких частот оказывается затруднительным обес¬
печить достаточно малое сопротивление потерь в коаксиальных
кабелях. Кроме того, когда радиальное расстояние между внеш¬
ним и внутренним .проводниками коаксиальной линии становится
больше половины волны или длина окружности среднего радиуса
— г% больше волны, то в кабеле наряду с основной поперечной
электромагнитной волной возникают высшие типы волн, в резуль¬
тате чего резко возрастают потери. Для устранения высших типов
волн приходится уменьшать поперечные размеры кабеля, что при¬
водит к росту потерь и к снижению электрической прочности.
Последнее обстоятельство, в свою очередь, приводит к уменьше¬
нию максимальной пропускаемой мощности.
В связи с этим на частотах выше 2000—3000 Мгц, как правило,
используются канализирующие устройства в виде металлических
труб без центрального проводника. Такие устройства называются
волноводами.
Линии находят также широкое распространение в измеритель¬
ной технике.
Использование линии в качестве измерительного устройства
основано на том факте, что характер распределения амплитуд тока
и напряжения при заданной частоте генератора и заданном волно¬
вом сопротивлении линии полностью определяется модулем и аргу¬
ментом нагрузочного сопротивления.
Определение соотношения между амплитудами напряжения
(или тока) в максимуме и в минимуме совместно с определением
смещения максимума относительно конца линии позволяет при из¬
вестных р и X найти как активную, так и реактивную слагающую
нагрузочного сопротивления (см. § 7.5, !п. 4).
Таким образом, отрезок линии длиной порядка 1 —1,5 волны,
снабженный градуированным по частоте генератором и устрой¬
ством для снятия кривой распределения амплитуд вдоль линии,
позволяет осуществить измерение комплексных сопротивлений,
подключаемых к концу линии. Подобные измерительные линии
получили широкое применение в сверхвысокочастотной технике,
251
где они используются помимо измерения сопротивлений также для
определения КБВ линии.
Более подробно рассмотрим свойства отрезков линий, исполь¬
зуемых в качестве колебательных систем. В § 7.5 было показано,
что короткозамкнутая или разомкнутая на конце линия обладает
входным сопротивлением, изменяющимся как по своему характеру,
так и по величине в зависимости от длины отрезка. Допустим, что
длина отрезка равна точно четверти волны, т. е. при частоте гене¬
ратора со выполняется условие
Найдем входное сопротивление подобного отрезка линии. Если
пренебрегать потерями в линии, то в соответствии с формулами
(7.50) и (7.52), а также графиками рис. 7.9 и 7.10 сопротивление
ZBX равно бесконечности (при «коротком Замыкании у конца) или
нуйю (при разомкнутом конце). Для получения истинного сопро¬
тивления реальной линии вблизи резонансной частоты необходимо,
следовательно, учитывать потери в линии.
Воспользуемся поэтому общим выражением (7.18) и подста¬
вим для случая короткого замыкания ZH = 0.
Находим, учитывая, что W= р,
= тг <7-53>
Учитывая соотношения
sh 7/ = sh (Р -(- га) / = sh р/ cos а/ -j- i ch j3/ sin а/,
ch 7/ = ch (fJ + га) I — ch §1 cos а/ -f- i sh’(3/ sin al
и подставляя a 1 = ^, получаем
У ch р/
^ВХК 3 Р •
Так как обычно то можно считать
chp/«l,
sh р/ « р/.
Окончательно получаем
^вхкз = £. (7.53')
Как отмечалось в § 7.4, в случае высокочастотных воздушных
линий погонное затухание [см. формулу (7.33)] равно
252
При этом вместо (7.53') получаем следующее выражение;
2
Этот результат отличается от резонансного сопротивления па¬
раллельного контура с сосредоточенными постоянными только тем
(см. гл. 4), что вместо полного сопротивления
потерь контура в данном случае фигурирует поло¬
вина полного сопротивления потерь линии. Это
различие объясняется неравномерным распределе¬
нием амплитуды тока по длине линии при работе
в режиме стоячей волны. Действительно, при
распределении, показанном на рис. 7.11, полная
мощность потерь в сопротивлении линии (средняя
за период) будет
Отсюда, видно, что если мощность потерь относить к току в пуч¬
ности, то эквивалентное сосредоточенное сопротивление (которое
нужно включить в пучности тока) будет
Я, = ^. (7.54)
Аналогично для четвертьволновой разомкнутой линии нетрудно
получить следующее выражение:
•у ch 7/ sh р/ л < R 1 //-г г* \
=р * р агр ~ №=р %1=т • (7-55)
Как и в случае последовательного резонансного контура, вход¬
ное сопротивление разомкнутой четвертьволновой линии равно
просто активному сопротивлению потерь (с учетом распределен¬
ного характера потерь, как и в случае короткозамкнутой линии).
Для полуволновой линии (^ = •5-) входное сопротивление при
Rl р2
коротком замыкании равно -к-, а при холостом ходе —Ч- и т. д.
4
253
Рис. 7.11
Нетрудно выявить форму резонансной кривой четвертьволно¬
вого отрезка линии. При небольшой расстройке частоты ю относи¬
тельно резонансной частоты о)р получим
(^р ^а)) ^ п (л I Ао>\ тс .
al=- H-=2(1+^)=2 + *•
где ср = у^ — относительно небольшой угол..
Можно считать
cos а.1 = cos ( y + <р) = — sin f « — <p,
sin a I sin (y + cp^ = cos ср г» 1.
Подставляя эти соогношения в выражение (7.53), получаем
7 sh р/ cos al + / ch р/ sin al n — $l<f + I
»x<3 P ch pI cos al + i sh p/ sin al P — 9 + Щ
Произведение двух малых величин р/ и <р :по модулю очень
мало по сравнению с единицей. Можно поэтому считать
1 + ‘ pi
Учитывая формулу (7.53'), получаем
^з(А«)«—^V- (7.56)
1 + гр /
По форме это выражение совпадает с уравнением (4.72), опре¬
деляющим сопротивление параллельного контура в зависимости от
расстройки. Следовательно, и форма резонансной кривой четверть¬
волнового отрезка совпадает с резонансной кривой обычного кон¬
тура. Величина по аналогии может быть названа обобщенной
расстройкой эквивалентного контура.
Таким образом, при ? ~ ^ п0ЛУчаем
71 Асо
ср 2 О)0 2ДсО 7Ср
pi = Rl = 2RI •
2р
Отсюда видно, что добротность эквивалентного контура равна
п _9_ 2яр
Уэ— 2 Rl — R\ ’
где Х = 4/.
254
Соотношения (7.53') — (7.56) полезны, в частности, для оценки
входного сопротивления четвертьволновых отрезков, используемых
в качестве «металлических изоляторов», т. е. устройств, предна¬
значенных для преграждения пути токам высокой частоты.
В усилительных или генераторных схемах СВЧ, содержа¬
щих электронные лампы, колебательные контуры составляются из
междуэлектродных емкостей ламп и отрезков линий. Пример та¬
кого контура изображен на рис. 7.12. Для получения резонанса
токов .входное сопротивле¬
ние линии ,в данном случае
должно быть индуктивным.
Это означает, что на длине
линии I должно уклады-
Рис. 7.12
ваться несколько менее четверти волны («работа в первой чет¬
верти») или несколько менее трех четвертей («работа в третьей
четверти») и т. д.
Если заданы со, С и р, то длину I отрезка нетрудно найти из
формулы (7.50). Приравнивая индуктивное сопротивление линии
емкостному сопротивлению конденсатора, получаем
откуда
.1 ,1.Х
1 = ^атс{%Щ + п2 ’
где п — целое положительное число.
В отличие от простого контура с сосредоточенными постоян¬
ными схема рис. 7.12,6 обладает бесконечным числом резонанс¬
ных частот. Действительно, пусть заданы С, р и I. Если изменять
частоту со от нуля до бесконечности, то зависимость емкостного
сопротивления конденсатора (абсолютного значения) и входного
сопротивления линии (реактивной слагающей) от частоты будет
иметь вид графиков, представленных на рис. 7.13.
255
Рис. 7.13
При частотах со = coi, со2 и так далее, являющихся абсциссами
точек пересечения ^ и хвх, получаются параллельные резонансы.
Чем выше порядок резонансной частоты, тем меньше величина
характеристики эквивалентного резонансного контура >
... и т. д.). Поэтому -при практическом исйользовании отрезков
линии в качестве колебательных контуров стараются обеспечить
работу в первой четверти, в крайнем случае в третьей.
Многочастотность колебательных систем & распределенными
постоянными в автогенераторах СВЧ может при некоторых усло¬
виях приводить к явлению паразитной генерации на одной из ча¬
стот, отличной от рабочей.
Отметим, что резонансные частоты схемы рис. 7.12 не нахо¬
дятся между собой в кратных соотношениях, как это имеет место
в отрезках линии, не шунтированных сосредоточенной емкостью
или индуктивностью.
При частотах выше 2000—3000 Мгц в качестве колебательных
систем используются полые резонаторы.
ГЛАВА 8
ЛИНЕЙНОЕ УСИЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
8.1. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УСИЛИТЕЛЕЙ
Усиление управляющих сигналов (сообщений) и модулирован¬
ных колебаний (радиосигналов) является одним из основных ра¬
диотехнических процессов.
Для осуществления усиления в радиотехнике и многих других
областях науки и техники в настоящее время используются разно¬
образные приборы: электронные лампы, специальные электронные
приборы СВЧ (лампы с бегущей в-олной, .клистроны и др.), полу¬
проводниковые приборы и т. д. В последние годы быстро разви¬
вается усилительная техника, основанная на совершенно новых
принципах и физических явлениях. Это — параметрическое усиле¬
ние, осуществляемое путем периодического изменения одного из
энергоемких элементов колебательной системы и квантовомехани¬
ческое усиление.
По соображениям методического характера из всего этого мно¬
гообразия в данном курсе, посвященном теории радиотехнических
цепей, изучаются только усилители, работающие на электронных
лампах и полупроводниковых приборах, а также параметрические
усилители. Усилители СВЧ изучаются в курсе «Электронные и
ионные приборы», а также в некоторых других специальных кур¬
сах по технике СВЧ, а квантовомеханические усилители — в курсе
«Электроника твердого тела». Такое разделение обусловлено тем,
что в СВЧ и квантрвомеханичеоких усилителях основную роль
играет обмен энергией непосредственно между электромагнитным
полем и заряженными частицами. Выделение собственно усили¬
тельного элемента и внешней цепи в подобных устройствах оказы¬
вается нецелесообразным и даже невозможным.
В данной главе рассматриваются принципы работы линейных
усилителей на электронных лампах и полупроводниковых трио¬
дах.
Принципы параметрического усиления будут рассмотрены
в гл. 16 после изучения ряда радиотехнических процессов, знаком¬
ство с которыми необходимо для понимания явлений в параметри¬
ческих усилителях.
17 Зак. 3/235 2 57
8.2. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ УСИЛИТЕЛЕЙ НА ЭЛЕКТРОННОЙ ЛАМПЕ.
ОСНОВНЫЕ РЕЖИМЫ УСИЛЕНИЯ
Обобщенная схема электронного усилителя с анодной нагруз¬
кой может быть приведена к виду, изображенному на рис. 8.1.
Эта схема содержит следующие три основных элемента: источник
энергии, электронную лампу и нагрузочное сопротивление.
В качестве источника энергии обычно используется любой
источник постоянного тока при достаточно высоком напряжении
(сеть переменного тока с выпрямителем, аккумуляторы и т. д.).
Электронная лампа может содержать различное число элек¬
тродов. На схеме рис. 8.1 указаны цепи только основных электро-
1п дов лампы — анода, управляющей
сетки и катода. Источник тока на¬
кала катода, а также источники
вспомогательных постоянных на¬
пряжений, используемых в цепях
управляющей и остальных сеток,
на схеме опущены.
Колебание, подлежащее усиле-.
нию, подводится к выводам сетки и
катода лампы, а усиленное колеба¬
ние снимается с нагрузочного со¬
противления Z, которое в зависи¬
мости от назначения усилителя может быть активным, реактивным
или комплексным сопротивлением. Междуэлектродные емкости
лампы включены в двухполюсник Z, причем предполагается, что
эгот двухполюсник пропускает постоянную составляющую анод¬
ного тока.
Связь между выходным напряжением и напряжением на входе
усилителя обусловливается электронным током лампы. Поэтому
основные свойства и характеристики электронного усилителя тесно
связаны с формой вольтамперной характеристики электронной
лампы. Под последней подразумевается зависимость анодного тока
от напряжений, действующих на электродах лампы.
Допустим, что напряжения на сетках лампы так подобр.аны, что
сеточные токи малы и анодный ток близок к току эмиссии. Тогда
анодный ток ia является функцией управляющего напряжения, ко¬
торое может быть отнесено либо к сетке» либо к аноду. Наиболь¬
шее распространение получило определение тока через управляю¬
щее напряжение сетки. Это напряжение равно:
— для триодов
(8.1)
(8.2)
(8.3)
258
Рис. 8.1
— для тетродов
— для пентодов
В этих выражениях D\—.проницаемость управляющей (перо¬
вой) сетки, D2 — экранирующей (второй) сетки, £>з — защитной
(третьей) сетки. Произведения D1D2 и D1D2D3 обычно настолько
малы, что управляющее напряжение для тетродов и пентодов мо¬
жно определять выражением
еупр ~eg~\~ Dxeg2. (8.4)
Физически это означает, что в пентодах можно пренебрегать
реакцией напряжений анода и третьей сетки на ток эмиссии.
Так как напряжение третьей сетки обычно
мало и постоянно, то/ток этой сетки близок
к нулю и отмеченное выше положение можно
распространить и на анодный ток. При этих
условиях функцию ia(fynp) можно считать оди¬
наковой для триодов и пентодов.
Зависимость ia(eупр) является нелинейной.
Вид этой зависимости изображен на рис. 8.2.
В отсутствие усиливаемого колебания,
когда напряжения всех электродов постоянны,
рабочая точка на характеристике 1а{еущ)
определяется исходным значением управляю¬
щего напряжения £0упр (рис. 8.2). При подаче
на сетку лампы напряжения b.eg, вызываю¬
щего изменение управляющего напряже¬
ния Деупр, анодный ток изменится. Для уста¬
новления аналитической связи между изме¬
нением анодного тока и изменением управляющего напряжения
можно воспользоваться разложением функции ia (е0 упр + д£упр) по
степеням Деупр. Применяя ряд Тэйлора, можем написать
В этом выражении / представляет собой анодный ток в от¬
сутствие сигнала („ток покоя"), коэффициент a = S— крутизну
характеристики ia (<?уПр) в точке <?упр = ео упр. коэффициент р —
первую производную крутизны (с коэффициентом gj-j, коэффи¬
циент т — вторую производную крутизны ^с коэффициентом ^
и т. д.
Относительное значение отдельных членов разложения (8.5)
определяется положением рабочей точки на характеристике ламлы
17* 259
Рис. 8.2
и величиной переменной части управляющего «алряжения Аеупр,
т. е. в конечном итоге величиной сигнала Aeg, подводимого к управ¬
ляющей сетке.
Если Aeg, следовательно, Аеупр настолько мало, что изменения
анодного тока укладываются на линейном участке характери¬
стики ia(eyпр), то в разложении (8.5) могут быть опущены все
члены со степенями А^упр выше первой. В этом случае
la ~ iао *4“ а^^упр = 1а0 “Г ^^^упр- (8.6)
При использовании пентодов, когда можно считать
^^упр ~
получаем
'1а~'1а0 + 5AV
Подобный режим усиления называется линейным усилением.
При линейном усилении изменения анодного тока в точности вос¬
производят изменения сеточного напряжения. В частности, при
усилении гармонического напряжения
Aeg = Eg cos Ш
анодный ток будет
ia = iao + SEecosQt'
т. е. анодный ток, а следовательно, и напряжение на нагрузочном
сопротивлении в анодной цепи лампы не содержат новых ,по срав¬
нению с Aeg частот.
Переходя от характеристики га(£упр) к характеристике ia(eg)>
получаем построение, показанное на рис. 8.3. Исходное -положение
рабочей точки (в отсутствие усиливаемого колебания) опреде-
260
ляется постоянным напряжением Ego. Рабочую точку обычно сме¬
щают в область отрицательных сеточных напряжений. В связи
с этим Е называется напряжением смещения. Из предыдущего
рассмотрения, а также из рис. 8.3 следует, что линейный режим
характеризуется малой величиной отношения изменения тока
к току покоя i . Это означает, что большая часть подводимой
«о
к лампе мощности расходуется бесполезно (нагрев анода). Линей¬
ный режим усиления используется поэтому обычно только в мало¬
мощных усилителях, когда основным требованием является точное
воспроизведение формы сигнала, а энергетические показатели уси¬
лителя большого значения не имеют.
Усилители, работающие в линейном режиме, .предназначаются
чаще всего для усиления напряжения колебания. Подобные усили¬
тели иногда называются усилителями напряжения.
При работе с большими значениями Aeg нелинейные члены
в .разложении (8.5) оказывают существенное влияние на работу
усилителя. Если сохранить указанное на рис. 8.2 и 8.3 положение
исходной рабочей точки и постепенно увеличивать амплитуду
сигнала А^(и соответственно Aeynp), то при не очень больших
значениях Аеупр можно ограничиваться добавлением к правой
части выражения (8.6) одного лишь квадратичного члена рАеупр*
Введение этого члена пбзволяет учесть асимметрию характери¬
стики относительно рабочей точки, которая проявляется в том,
что положительным приращениям напряжения еупр соответствуют
приращения анодного тока большие, нежели отрицательным.
Если рабочая точка установлена на середине характеристики,
а последняя симметрична относительно этой середины (рис. 8.4),
то квадратичная и все остальные четные степени в разложении
(8.5) выпадают. В этом случае кривизну характеристики .при из¬
менении ДеуПр в достаточно широких пределах можно учесть с по¬
мощью неполного полинома третьей степени
1а ~ К0 + аД*упр + 7Д£упр- (8-7)
При очень больших величинах Деупр необходимо учитывать
и более высокие нечетные степени А^упр.
Если рабочая точка и величина ДеуПр выбраны такими, что
высшие гармонические составляющие приобретают относительно
большое значение, то такой режим работы усилителя называется
нелинейным.
Для упрощения технических расчетов в практике широко ис¬
пользуется представление характеристики, лампы в виде ломаной
линии, составленной из трех прямых.
В координатах ьа и еупр подобная характеристика принимает
вид, показанный на рис. 8.5, а в координатах ia и eg при еа
в качестве параметра — на рис. 8.6. Реальные характеристики
показаны на этих рисунках пунктиром. Напряжение Esупр
261
(и соответственно/:^), при котором достигается наибольший воз¬
можный ток /5, называется напряжением насыщения. При таком
упрощении формы характеристики анодный ток может быть
представлен в виде следующего уравнения:
ia = S[eg + D(ea-EaJ]. (8.8)
Здесь Еао—так называемое «напряжение приведения», соот¬
ветствующее такому анодному напряжению, <при котором идеали¬
зированная характеристика проходит через начало координат. На
рис. 8.6 эта характеристика показана пунктирной линией.
При установлении рабочей точки вблизи нижнего сгиба харак¬
теристики (рис. 8.5 и 8.6) получается сильное искажение формы
анодного тока пр сравнению с формой Аеупр и Aeg. Подобный
режим работы лампы является нелинейным.
Искажение формы анодного тока еще не означает, что неиз¬
бежно искажение формы усиливаемого колебания. С помощью
специальных приемов, которые будут рассмотрены в гл. 10, можно
осуществить неискаженное усиление колебаний при работе в не¬
линейном режиме. Крупным преимуществом подобного усиления,
называемого нелинейным усилением, является более выгодный
энергетический режим работы. Усилители, в которых осущест¬
вляется усиление мощности колебания, называются усилителями
мощности. Усилители мощности, как правило, работают в нели¬
нейном режиме.
В некоторых устройствах (например, в умножителях частоты)
нелинейность характеристики используется для получения коле¬
баний с частотами, кратными частоте входного напряжения.
262
Рис. 8.5
Рис. 8.6
'Полезно отметить, что в нелинейных усилителях ошибка в рас¬
четах, обусловленная заменой реальных .характеристик спрям¬
ленными, получается тем меньшей, чём больше амплитуда коле/
бания, подводимого к усилителю. Действительно, в режимах,
представленных на рис. 8.5 и 8.6, искажение формы анодного тока
обусловлено, главным образом, выходом напряжений еупР и eg за
пределы участка а — б. Ход же характеристики в пределах этого
участка оказывает слабое влияние на форму анодного тока. Та¬
ким образом, все основные черты нелинейного процесса — иска¬
жение формы анодного тока и возникновение новых-частот — при
спрямлении характеристик сохраняются.
В данной главе изучаются, линейные усилители*
По схеме и конструкции усилители, подразделяются на аперио¬
дические и резонансные. Апериодические усилители используются
для усиления управляющих сигналов. Схемы подобных усилите¬
лей содержат только апериодические цепи. Резонансные усили¬
тели используются на высоких частотах (радиочастотах). К ре¬
зонансным усилителям можно также отнести полосовые усили¬
тели, у которых в качестве колебательных систем используются
обычно связанные контуры.
8.3. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УСИЛИТЕЛЯ.
ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА АНОДНОЙ ЦЕПИ ЭЛЕКТРОННОЙ ЛАМПЫ
При работе на линейном участке характеристики электронную
лампу можно рассматривать как линейное устройство, по отноше¬
нию к которому применим принцип наложения (суперпозиции).
Удобно поэтому при установлении соотношений между входными
и выходными напряжениями исходить из усиления гармонического
колебания. Полученные результаты нетрудно затем использовать
для рассмотрения работы усилителей сложных колебаний (аку¬
стических сигналов, импульсов, модулированных колебаний
и т. д.).
Итак, пусть на сетку триода кроме постоянного напряже¬
ния Е подается небольшое по амплитуде напряжение
keg = Eg cos Qt. (8.9)
Для определения вызываемого этим напряжением изменения
анодного тока можно воспользоваться выражением (8.8), под¬
ставив в него
eg = Ego + Aeg = Ego + EgcosQt. (8.10)
&
Напряжение еа, входящее в уравнение (8.8), представляет со¬
бой разность потенциалов анода и катода лампы. Эта разность
потенциалов отличается от электродвижущей силы Еа источника
питания на величину падения напряжения иа, создаваемого на на¬
грузочном сопротивлении анодным током. Принимая за положи¬
263
тельное направление анодного тока во внешней цепи направле¬
ние катод—нагрузка — анод и отсчитывая потенциалы относи¬
тельно катода лампы, получаем направление напряжения иа,
обозначенное стрелкой на рис. 8.7.
Это направление противоположно направлению э. д. с. источ¬
ника питания Еа, поэтому
еа = Еа-иа: (8.11)
Здесь и в дальнейшем под иа подразумевается падение напря¬
жения, создаваемое приращением анодного тока. Если нагрузка
обладает омическим сопротив¬
лением Ra, то под величиной
Еа 'подразумевается не э. д. с.
источника, а разность между
э. д. с. источника и величиной
iaO * Ra
Подставляя выражения
(8.10) и (8.11) в уравнение
(8.8), получаем
ia = S [Ego 4- Eg cos Qt +
+ D{Ea-Ea-ua)\. (8.12)
В отсутствие сигнала, т. е. когда b.eg = 0 и иа = 0, имеем
1*=ЧЕ*+ЧЕ»-Е. о)]- <8ЛЗ>
Вычитая выражение (8.13) из (8.12), находим лриращение
анодного тока
(8.14)
В общем случае, при произвольной форме keg и иа) можно
написать:
Ma = S(beg-Dua). (8.14')
Следует подчеркнуть, что напряжение Aeg отсчитывается от
сетки к катоду, а напряжение иа — от катода к аноду (рис. 8.7).
Так как по условию лам:па работает в линейном режиме, то
Аеа представляет собой гармоническую функцию времени с ча¬
стотой Q, совпадающей с частотой подводимого к сетке напря¬
жения.
Представим Дia в виде
Aia = /ecos(2* — срв), (8.15)
где Iа — амплитуда, а
сРд — начальная .‘фаза переменной составляющей тока.
264
Рис. 8.7
Тогда напряжение, создаваемое током Ма на нагрузочном’
сопротивлении Z, будет
— 4zcos(2* — срв + ср2). (8.16)
Здесь rpz — аргумент комплексного сопротивления Z.
Переходя к комплексным амплитудам, можем написать
Ua = IaZ, (8.17)
Ia = SEg - SDUa = - SDZIa. (8.18)
Решая это уравнение относительно /«, получаем
Ia = Eg y^tszJ) • (8.19)
Это выражение позволяет определить ток 1а по заданной
э. д. с. Eg и по известным параметрам лампы (5, D) и нагрузки (Z).
В курсе электровакуумных приборов доказывается, что
где Ri — внутреннее сопротивление лампы (между анодом и ка¬
тодом).
Можно поэтому выражения (8.18) и (8.19) записать в сле¬
дующей форме:
Ia = SEg-%!, (8.18')
~g— Eg = SdEg, (8.190
1 + Ъ
где
1 + Ri
(8.20)
представляет собой так называемую крутизну динамической ха¬
рактеристики или динамическую крутизну, которая меньше ста¬
тической крутизны, так как с увеличением нагрузочного сопро¬
тивления Z растет падение напряжения иа и снижается потенциал
анода относительно катода еа=Еа — иа. При Z -> 0, когда иа -> 0*
реакция анодной цепи на величину анодного тока отсутствует и
So -*■ S.
Выражение (8.19) можно, также, привести к следующему
виду:
_1_
1а~ЕгRi + Z =Ri + Z ’ (8.21 >
где I» = ^ — коэффициент усиления лампы.
265
Все полученные для триодов результаты можно распростра¬
нить на тетроды и пентоды. Необходимо лишь под проницаемо¬
стью D подразумевать произведение D\D2 (для тетродов) или
DiD2D3 (для -пентодов, см. § 8.2).
Уравнению (8.21) отвечает эквивалентная схема анодной
цепи лампы*1, представленная на рис. 8.8.
Выходное напряжение усилите¬
ля снимается с нагрузочного сопро¬
тивления Z. При отсчете потенциа¬
лов относительно потенциала като¬
да, получим
#.«=-Со¬
отношение
(8.22)
называется коэффициентом усиления схемы (по напряжению).
При чисто активном нагрузочном сопротивлении (Z = JR}
<р2 = 0) напряжение Ua совпадает по фазе с током 1а> а# послед¬
ний — с напряжением сетки Eg. Динамическая крутизна1* Sd ста¬
новится при этом чисто вещественной. Получается векторная
диаграмма, представленная на рис. "8.9. Напряжение //вых в этом
случае сдвинуто на угол 180° относительно входного напряжения
= и коэффициент усиления К является отрицательным
действительным числом.
Отсюда следует важное правило: одноламповый усилитель
с чисто активными сопротивлениями поворачивает фазу усиливае¬
мого гармонического колебания на угол 180°. При этом имеется
в виду сделанное выше замечание, что все напряжения в схеме
отсчитываются относительно катода лампы.
1 При определении амплитуды анодного тока выбор направления элек¬
тродвижущей силы эквивалентного генератора значения не имеет. Для полу¬
чения же правильных фазовых соотношений необходимо исходить из условия,
согласно которому в пассивных элементах направление напряжения совпадает
с положительным направлением тока, а в генераторах — противоположно на¬
правлению тока.
Чтобы удовлетворить этому требованию при заданном направлении (по¬
ложительном) тока 1а, эквивалентная э. д.с. должна быть направлена на¬
встречу э. д. с. Eg, приложенной к точкам сетка — катод, т. е. эквивалентная
э. д. с. должна быть взята со знаком минус.
266
Рис. 8.9
При комплексном характере нагрузочного сопротивления век¬
торные диаграммы получают вид, представленный на рис. 8.10
(для х>0) и рис. 8.11 (для х < 0). Через ук обозначен фазовый
сдвиг напряжения ивы* относительно Eg, т. е. аргумент комплекс¬
ного коэффициента усиления К.
Подставляя в выражение (8.22) уравнения (8.17) и (8.21), не¬
трудно получить
(8.23)
Рис. 8.11
Отсюда получаем следующее выражение для модуля коэффи¬
циента усиления:
(8.24)
где Ra и ха — соответственно активная и реактивная составляю¬
щие нагрузочного сопротивления (Z — Ra-\-ixa)
и выражение для аргумента:
(8.25)
Выражение (8.24) определяет амплитудно-частотную харак¬
теристику усилителя, а (8.25)—фазо-частотную.
267
Рис. 8.10
В соответствии с выражением (8.21) сдвиг фазы анодного
тока 1а относительно напряжения Eg равен
<ра = arctg R.^Ra .
а угол
T, = aictg g.
Из выражения (8.24) видно, что /С(со) всегда (меньше коэффи¬
циента усиления лампы \х. Для хорошего использования усили¬
тельной способности лампы выгодно увеличивать отношение .
В реальных схемах име¬
ется, однако, ряд ограни¬
чений, препятствующих
повышению этого отно¬
шения. Междуэлектрод-
ные емкости, а также ем¬
кости схемы ограничива¬
ют в апериодических уси¬
лителях величину z в об¬
ласти высоких частот.
Для получения равно¬
мерного в заданной полосе частот усиления приходится по¬
этому выбирать величину z не слишком большой и в области
низких частот. В резонансных усилителях создание очень боль¬
ших нагрузочных сопротивлений также наталкивается на труд¬
ности.
Отметим, что в усилителях на триоде величина обычно не
превышает 2—5. При использовании пентодов, обладающих очень
большим внутренним сопротивлением, это отношение значи-
I'* Z
тельно меньше. Обычно -5- <1.
Можно поэтому при в соответствии с формулой (8.23),
приближенно считать
K(*) = -v.±~-Sz. (8.26)
Заметим, что при построении эквивалентной схемы анодной
цепи пентод удобно представлять в виде эквивалентного генера¬
тора тока (рис. 8.12). Основываясь на уравнении (8.18'), ток ге¬
нератора можно приравнять величине SEe, а ток, ответвляющийся
^ 1 * и а
через проводимость ut= , — величине щ.
При таком определении эквивалентного генератора величина
и направление тока 1а во внешней цепи (справа от пунктирной
линии на рис. 8.12), а также напряжения Ua остаются неизмен-
268
Рис. 8.12
ными. Это означает, что напряжение выхода, отсчитываемое отно¬
сительно катода, равно UBHX— — Ua.
Если R^z, то проводимость Gt может быть опущена, и
схема принимает вид, показанный на рис. 8.13.
Приведение схемы линейного электронного усилителя к экви¬
валентным схемам типа рис. 8.8 и 8.13 «позволяет приложить к ним
все основные положения теории пассивных линейных цепей, из¬
ложенные в гл. 6. Необходимо лишь учитывать, что при состав¬
лении уравнений вида (6.3) для цепи, содержащей наряду с пас¬
сивными элементами также и активные элементы (лампы),
только одно из напряжений Е в правой части этого уравнения
является подводимым напряжением, в то время как другие на¬
пряжения являются линейными функциями от первого и, пред¬
ставляют собой эквивалентные генераторы, отображающие усиле¬
ние ламп.
Эти генераторы можно поэтому рассматривать как зависи¬
мые источники, .напряжение которых зависит от напряжения на
сетке соответствующей лампы. Например, на схеме рис. 8.8 не¬
зависимый генератор подает напряжение на сетку лампы, а экви¬
валентный ^генератор, создающий в анодной цепи напряжение
—\\>Еg у является зависимым источником. Ясно также, что в схеме
рис. 8.13 эквивалентный генератор тока является зависимым ис¬
точником, ток которого задается независимым источником напря¬
жения, действующим в сеточной цепи лампы. Необходимо, кроме
того, учитывать, что в цепях с активными элементами типа элек¬
тронных ламп принцип взаимности не выполняется. Иными сло¬
вами, при возбуждении схемы со стороны выхода (т. е. со сто¬
роны анодной цепи) связь между выходом и входом может
отсутствовать.
Часто оказывается удобным представлять линейный усилитель
в виде четырехполюсника, на входе которого действует напряже¬
ние \bEg, а на выходе UBUX = KEg(рис. 8.14). Коэффициент пе¬
редачи такого четырехполюсника будет
Рис. 8.13
Рис. 8.14
(8.27)
Если напряжение выхода относить непосредственно к напря¬
жению, подаваемому на сетку лампы, то коэффициент передачи
269
четырехполюсника совпадает с коэффициентом усиления
схемы.
В случае же многокаскадных усилителей удобно применять
понятие об активном четырехполюснике, на который распростра¬
няются все положения теории «пассивных четырехполюсников, за
исключением принципа взаимности. Пример применения понятия
об активном четырехполюснике будет (приведен в § 8.11 ;при рас¬
смотрении полупроводниковых усилителей.
Полезно подчеркнуть, что значение эквивалентных схем типа
рис. 8.8, 8.12 и 8.13 исчерпывается установлением связи только
между переменными составляющими напряжений и токов. Так
как постоянные составляющие токов и напряжений этими схемами
не учитываются, то никаких выводов об энергетических показа¬
телях усилителя, т. е. об отдаче усилителя, на основании экви¬
валентных схем сделать нельзя. Вместе с тем, эквивалентные
схемы анодной цепиг линейного усилителя могут быть использо¬
ваны для выбора нагрузочного сопротивления по максимуму от¬
даваемой мощности. Как и в обычной линейной электрической
цепи, этот максимум получается при равенстве нагрузочного со¬
противления R и внутреннего сопротивления Ri.
Рассмотрим в заключение вопрос об отдаче линейного уси¬
лителя. Если обратиться к рис. 8.3, то нетрудно убедиться, что
при малых амплитудах сигнала среднее значение анодного тока
одинаково как при наличии, так и в отсутствие усиливаемого ко¬
лебания. Подводимая к лампе от источника питания мощность
всегда одинакова и равна
Р0 = Еа1ао. (8.28)
В отсутствие сигнала вся эта мощность теряется на аноде
лампы (нагрев электронной бомбардировкой). При действии сиг¬
нала часть этой мощности переходит в нагрузку. Нетрудно под¬
считать эту мощность по формуле
p =Ua_JaCOS(fz (829)
Так как при линейном усилении а £/а меньше, чем Еа>
то < Р0.
Таким образом, линейные усилители характеризуются очень
низкой отдачей. Почти вся подводимая к лампе мощность Р0 вы¬
деляется на аноде лампы, как и в отсутствие сигнала.
8.4. АПЕРИОДИЧЕСКИЕ УСИЛИТЕЛИ
Так называются усилители, в которых в качестве анодной на¬
грузки используются апериодические цепи. Основные схемы апе¬
риодических усилителей изображены на рис. 8.15 и 8.16.
Первая из этих схем соответствует усилителю на сопротивле¬
ниях, а вторая — усилителю с трансформатором.
270
Основным достоинством усилителя на сопротивлениях яв¬
ляется возможность получения равномерной амплитудно-частот¬
ной характеристики в широкой полосе частот. Этим объясняется
исключительно шйрокое распространение подобных усилителей
в импульсной технике и в других областях радиоэлектроники,
когда требуется передача сигнала с очень широким спектром ча¬
стот («видеоимпульсы» в телевидении, радиолокационные им¬
пульсы и др.). Усилители на сопротивлениях широко применя¬
ются и в «низкочастотных» (акустических) усилителях слабых
сигналов (первые ступени
многокаскадных • усилите¬
лей).
Усилитель с трансфор¬
матором (рис. 8.16) облада¬
ет следующими . двумя до¬
стоинствами: удобство со¬
гласования нагрузочного*
сопротивления Ru с анодной цепью лампы (подбором соответ¬
ствующего коэффициента трансформаций) и разделение цепей
усилителя и нагрузки по постоянному току. Эти преимущества,
существенные для усилителей мощности, удается реали¬
зовать на относительно невысоких частотах, чем и объясняется
особенно широкое применение схем с трансформатором в усили¬
телях акустического диапазона частот.
Основной характеристикой апериодического" усилителя является
амплитудно-частотная характеристика, под которой подразуме¬
вается зависимость коэффициента усиления устройства от ча¬
стоты.
Рассмотрим, от каких элементов схемы усилителя — рабочих и
паразитных — зависит форма этой характеристики. С этой целью
обратимся к схемё, показанной на рис. 8.15, а. Основной нагруз¬
кой усилителя является сопротивление Цепочка Cg, Rg слу¬
жит для разделения цепей по постоянному току. Сопротивле¬
ние Rgy как правило, является высокоомным сопротивлением,
очень большим по сравнению с Ra. Со включает междуэлектрод-
ную емкость лампы, а также емкость внешней схемы, шунтирую¬
щей нагрузочное сопротивление Ra.
Рис. 8.15
Рис. 8.16
271
Эквивалентная схема усилителя при замене лампы генератором
тока показана на рис. 8.15,6. На этой с&семе потенциал точки k
(катод) принят равным нулю, а точки а (анод) равным —Ua (см.
§ 8.3).
Для определения коэффициента усиления в виде отношения
комплексных амплитуд
K{Q) = ^,
воспользуемся методом узловых напряжений. Для узла а можно
составить следующее уравнение:
<- Ua) (О, + Оа + Й2С0) + [(- иа) - tfBbIX] iQCg = -SEg; (8.30)
для узла b
UBbaGg+ [«U- (- Ua)\ Й2С, = 0. (8.31)
Совместное решение этих уравнений дает для ивых следующее
выражение:
UB ых = —. (8.32)
(Oi + Go) (l + -JqqJ) + ®Со + Og
Учитывая, что емкость Cg блокировочного конденсатора обычно
во много раз больше, чем емкость С0, можно считать
Со + Cg 1
^g
Поэтому для комплексного коэффициента усиления получаем
следующее выражение: „
К (Q) = г! г- (8-33)
(Gt + Ga + Gg)-i (Gi + Ga) - 2C0j
Модуль коэффициента усиления
ЛГ(2)=%В= , S,,- (8.34)
Eg
У (Gi + Ga + Gg)* + (Gi + Gal -
Это выражение может рассматриваться как уравнение ампли¬
тудно-частотной характеристики усилителя.
С помощью выражения (8.34) нетрудно выявить влияние емко¬
стей С0 и Cg на форму частотной характеристики усилителя. Рас¬
смотрим три участка диапазона: нижние, средние и верхние ча¬
стоты. На очень низких частотах основное значение в знамена¬
теле имеет слагаемое
Gg -(Gi + Gg).
QCg
272
Отбрасывая все остальные слагаемые, получаем для K(Q) при
очень 'малых частотах следующее приближенное выражение:
K(Q)
(Ci + Ga) Qg
Учитывая, что при использовании пентодов
(8.34')
получаем
K(Q)^SRa-
(8.34")
В этом выражении множитель SRa определяет отношение
напряжений ^ [см. § 8.3, формулу (8.26)], а второй множитель
&
характеризует деление напряжений в цепочке Cg, Rg.
На средних частотах можно выделить участок диапазона, на
Go-
котором слагаемое + Оа) очень мало по сравнению с сла¬
гаемым (G/ + Оа + Gg), а £С0 еще очень мало (из-за малости С0).
На этом участке коэффициент усиления достигает максимального
значения, равного
Если проводимости Gt и
Gg малы по сравнению с
Ga, то
На верхних частотах коэффициент усиления падает из-за
шунтирующего действия емкости Со.
Таким образом, амплитудно-частотная характеристика усили¬
теля на сопротивлениях имеет вид, показанный на рис. 8.17.
При выборе величины нагрузочного сопротивления Ra, а также
элементов разделительной цепочки Cg, Rg, необходимо исходить
из условия обеспечения достаточной равномерности амплитудно-
частотной характеристики в области наиболее важных частот.
Если задана верхняя граница области / (рис. 8.17), то постоян¬
ная времени цепи Cg) Rg может быть найдена из условия
18 Зак 3/235
(8.35)
273
Рис. 8.17
или
RgCg ^ Q1 •
В области высших частот сп'адание амплитудно-частотной ха¬
рактеристики начинается тогда, когда проводимость емкости Со
становится соизмеримой с проводимостью нагрузки Ga= пг , по-
Ка
этому условие равномерности амплитудно-частотной характери-
стки вблизи границы области (рис. 8.17) можно представить
в виде
22C0«i
Следовательно, если задана частота Q2 и известно значение Со
(по данным лампы и монтажа схемы), то можно найти наиболь¬
шее -приемлемое значение Ra.
В схеме с трансформатором (рис. 8.16) основное влияние на
форму амплитудно-частотной характеристики усилителя оказы¬
вают паразитные параметры трансформатора: индуктивности рас¬
сеяния и емкости обмоток.
Эти параметры могут создавать резонансы на некоторых уча¬
стках диапазона усиливаемых частот и, следовательно, неравно¬
мерности амплитудно-частотной характеристики. Иногда этим
пользуются для создания искусственного подъема характеристики
в области верхних частот заданного диапазона.
8.5. ИСКАЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В ЛИНЕЙНЫХ УСИЛИТЕЛЯХ
Рассмотренная в предыдущем параграфе неравномерность
амплитудно-частотной характеристики определяет степень частот¬
ных искажений сигнала в усилителе. Эти искажения, обусловлен¬
ные линейными элементами усилителя (паразитными емкостями
и индуктивностями) и независящие от амплитуды усиливаемого
сигнала, называются линейными искажениями.
При усилении сигнала, обладающего спектром частот, линей¬
ные искажения проявляются в неравномерном усилении отдель¬
ных гармонических составляющих.
При передаче сигналов речи и музыки это приводит к сниже¬
нию разборчивости и изменению тембра, при передаче телеви¬
зионных сигналов — к ухудшению четкости изображения и т. д.
Однако новых частот при этом не возникает (см. § 1.8 об ос¬
новных свойствах линейных систем с постоянными парамет¬
рами).
Для снятия амплитудно-частотной характеристики на вход
усилителя подается гармоническое напряжение, амплитуду кото¬
рого поддерживают неизменной, а частоту изменяют в пределах
рабочей полосы частот усилителя. Получающееся при этом изме-
274
нение амплитуды выходного1 напряжения и определяет неравномер¬
ность амплитудно-частотной характеристики усилителя.
Количественную оценку неравномерности амплитудно-частот¬
ной характеристики принято давать в децибелах. Число де¬
цибел определяется как десятикратный логарифм отношения
мощностей
N= 10 logao^, (8.36)
где Pi — мощность на выходе усилителя при какой-либо фикси¬
рованной частоте, выбранной за исходную, а
Рг — мощность на любой другой частоте.
Так как отношение мощностей равно квадрату отношения
амплитуд напряжений (или токов), то выражение (8.36) можно
представить еще и в следующей форме:
N — 20 logic ^ — 20 log10 . (8.37)
В высококачественных усилителях отклонение коэффициента
усиления от значения, которое он имеет на исходной частоте, не
должно превышать + (1-ь2) дб.
По напряжению (или току) это соответствует изменению на
± (12ч-25)%.
В практике часто выражают в децибелах не только неравно¬
мерность амплитудно-частотной характеристики, но и коэффи¬
циент усиления устройства. Усилению мощности в 10 раз соответ¬
ствует- + 10 дб, усилению в 100 раз соответствует +20 дб и т. д.
Очевидно, что ослаблению мощности в 10 раз соответствует
—10 дб, в 100 раз соответствует —20 дб и т. д.
Кроме линейных искажений для полной оценки качественных
показателей усилителя должны быть учтены еще нелинейнБ1е
искажения, обусловленные некоторой неизбежной кривизной ха¬
рактеристики.
Эти искажения оцениваются коэффициентом нелинейных ис¬
кажений, определяемым по формуле
к,= ^-М|+- _ (838)
где А\ — амплитуда основной частоты, а
А2, Л3, ... и т. д. — амплитуды высших гармоник выходного
напряжения (или тока), возникающие при подаче на вход уси¬
лителя гармонического колебания.
Для определения этих амплитуд 'можно воспользоваться при¬
ближенным представлением характеристики в виде ряда (8.5).
Подставив в это выражение
18*
275
получим
ia ~ la0 + aEg cos Qt -j—y (1 -f cos 2Qt) +
T£:
з
+ (3 cos-j- cos 32/0 + ... =
= k. + ^£+ •••) + (a£* + ^JL + •••)cosa^
+ + ...) cos 2Qt -f + ...) cos 32*1 + .
Отсюда видно, что из-за нелинейности характеристики лампы
несколько изменяется амплитуда основной частоты и возникают
высшие гармоники с амплитудами
, $El S' ОГ)
/2 яа —?г~= 2 ■ 21 g ПРИ частоте 22,
4 i3,-Eg при частоте 32 и т. д.
S"
Считая напряжения на выходе усилителя пропорциональными
амплитудам /2, /3 и так далее, а Д « aEg = SEg, найдем коэффи¬
циент нелинейных искажений:
по второй гармонике
к -h -■ — si Е
АЛ Ii ~ 2aEg ~ 2 • 2! 5 «■’
по третьей гармонике
v h 1Eg S"
К, ~т~~ То = /Г Qi'И т. д.
/з /* 4a£g. 4 • <3! S ^
При правильном выборе режима работы лампы коэффи¬
циенты АГд, АГ/з и так далее не превышают одного-двух про¬
центов.
8.6. РЕЗОНАНСНЫЕ УСИЛИТЕЛИ. УСИЛЕНИЕ АМПЛИТУДНО-
МОДУЛИРОВАННЫХ КОЛЕБАНИИ
Для усиления высокочастотных колебаний в радиоприемных
устройствах .применяются усилители с колебательными системами.
Так как на вход приемника действую/г очень слабые напряжения,
режим усиления в подобных устройствах получается линейным.
Некоторым исключением «могут являться лишь последние каскады
усилителя, где амплитуды могут достигать значительных вели¬
чин.
276
Схема одной ступени резонансного усилителя изображена на
рис. 8.18. Анодной нагрузкой в этой схеме является параллельный
контур. Сопротивление такого контура при резонансе равно (см.
§4.6)
9 1 + ia ’
где a — — обобщенная расстройка.
СОр
Резонансный коэффициент усиления может быть определен
по формуле (8.26) при подстановке z = zsp. При использовании
пентодов (fl,»z8p) можно считать
Kp~Szsp. (8.39)
Знак минус здесь опущен.
Важно установить связь между коэффициентом усиления сту¬
пени и полосой пропускания. Это нетрудно сделать путем под¬
становки в выражение (8.39)
z3 Р = PQ — Р 2д/0 >
откуда :получается
Из этого соотношения видно, что при
данной лампе (S) коэффициент усиления
пропорционален волновому сопротивлению
контура р и обратно пропорционален относительной полосе про¬
пускания -у0 . Так как полоса пропускания обычно бывает за¬
дана, то для повышения усиления выгодно увеличивать р, т. е.
повышать индуктивность и снижать емкость контура.
Предел снижению емкости обусловлен требованиями к ста¬
бильности настройки контура. При слишком малых емкостях, со¬
измеримых с 'междуэлектродными емкостями лампы, стабильность
резонансной частоты контура сильно ухудшается, так как изме¬
нения расстояний между электродами лампы при разогреве,
а также разброс емкостей для различных экземпляров ламп ока¬
зывают значительное влияние на настройку контура.
Особенно затрудняется получение значительных величин р на
очень высоких частотах, где емкость контура определяется в ос¬
новном междуэлектродными емкостями лампы. В таких случаях
для получения значительного усиления остается один путь — при-
277
Рис. 8.18
а при расстройке
менение ламп с высокой крутизной и малыми между электрод¬
ными емкостями. Требования, вытекающие из особенностей широ¬
кополосных усилителей, привели к созданию ряда приемно-усили¬
тельных ламп, обладающих весьма высокой крутизной (20' ма/в и
больше).
В практике часто применяются усилители, содержащие не¬
сколько одинаковых ступеней. При общем числе ступеней, рав¬
ном п, резонансный коэффициент усиления будет
Амплитудная и фазовая характеристйки всего тракта опреде¬
ляются следующими формулами:
где ах = Q — обобщенная расстройка каждого из контуров
Оценка качественных показателей резонансного усилителя за¬
висит от его назначения. Рассмотрим следующие два случая: уси¬
ление амплитудно-модулированных колебаний и усиление коле¬
баний, модулированных по частоте или, фазе.
При AM передаваемая информация содержится в изменении
огибающей амплитуд, входного сигнала. Для неискаженного уси¬
ления требуется поэтому сохранение формы огибающей, а для
этого, в свою очередь, нужно, чтобы во всей полосе частот 'моду¬
лированного колебания коэффициент усиления /С(со) было доста¬
точно равномерен и, кроме того, чтобы не, возникало значитель¬
ных нелинейных изменений вгибающей из-за кривизны характери¬
стики лампы.
Приведенная выше формула (8.42) по существу является
амплитудно-частотной характеристикой усилителя с колебатель¬
ным контуром. Подставляя в эту формулу вместо со — сор частоту
модуляции Q, можно получить представление о степени равно¬
мерности усиления боковых частот сор±£2 в зависимости от Q.
Для оценки нелинейных искажений поступим так же, как и
в § 8.5, т. е. подставим в полином (8.5) вместо Aeg входной сиг¬
нал, в данном случае модулированное колебание
Knp = (Sz3py
и комплексный коэффициент усиления
(8.41)
(SZ3 р)"
(8.42)
[1 -Ь /(<0 — <ор) •
(8.43)
<P„ = «arctga1,
(8.44)
2Дш
в отдельности.
278
eg = Е0 (1 + М sin Qt) sin a>0tf.
(8.45)
В результате получим
ia — iao -f- + М sin 2*) sin a>0* + §Е\ (1 + М sin 2*)2 sin8 a>,* -f-
При исследовании этого выражения необходимо учитывать из¬
бирательность колебательного контура, который отфильтровывает
все составляющие анодного тока, не попадающие в полосу про¬
зрачности контура.
Рассмотрим с этой точки зрения отдельные слагаемые выра¬
жения (8.46).
Слагаемое а.Е0 (1 + М sin2*)sina>0*, пропорциональное первой
степени eg, есть, очевидно, полезная составляющая анодного
тока.
Квадратичное слагаемое
ные составляющие $Е\{МsinQt cos$
по амплитуде колебание с несущей частотой 2о>0.
Все эти составляющие тока отфильтровываются контуром и
могут не приниматься во внимание.
Кубическое слагаемое в выражении (8.46) после отбрасыва¬
ния члена с частотой 3<оо дает следующую составляющую тока,
попадающую в полосу прозрачности контура (при относительно
низких частотах модуляции й):
.Подставляя это выражение в формулу (8.46) и оставляя
только составляющие, попадающие в полосу пропускания кон¬
тура, получаем
+ ffg (1 + М sin Qt)3 sin3 <!>„<+•••
(8.46)
§Е\ (1 4- M sin 2*)2 sin2 <!>0^ =
— $El ^1 + 2M sin 9,t 4- 4^ — cos ^
2 cos
m
содержит постоянную составляющую -j—
221 — sin 32*1 sinu>o^.
+ ME0 [a + A sin Qt - | тM*E* cos 22* -
- El sin 32*... J sin (o0t.
(8.47)
279
Выражение в фигурных скобках представляет собой огибаю¬
щую переменной составляющей анодного тока. Можно считать,
что и напряжение на контуре имеет огибающую .амплитуд такой
же формы. Под влиянием некоторой кривизны характеристики
лампы эта огибающая отличается от огибающей модулирован¬
ной э. д. с., подводимой к сетке лампы. Отличие проявляется в не¬
большом изменении амплитуды несущего колебания и глубины
модуляции на полезной частоте £2 и, главное, в возникновении
частот 2Q, 3Q и так далее в огибающей. После осуществления
амплитудного детектирования эти частоты проявляются на вы¬
ходе приемника з виде напряжений с частотами 2Q, Зй и, т. д.
Изменение глубины модуляции на основной частоте полу¬
чается обычно очень малым и им можно пренебречь.
Относя амплитуду • 2-й гармоники огибающей к амплитуде
' 9 /
составляющей с частотой £ и пренебрегая слагаемым +
М2 \
+ —f-j по сравнению с а, найдем коэффициент 2-й гармоники
JL з
—^ JLAlf2—— — ЖЯ2—— — Al£2 (8 48)
Л/2— МЕ0« ~ 8 a Jvlco — 8 3IS По — 16 S о*
Для коэффициента третьей гармоники получим
3 уМ3 о
16 о 3 M2S"Ei M^S"
к — - ° F2 (Q
V3— МЕ0а 16-3! 5 — 32S о* уо.ю)
Таким образом, нелинейные искажения (по второй гармо¬
нике) растут пропорционально квадрату амплитуды несущего ко¬
лебания и первой степени коэффициента модуляции.
С нелинейными искажениями при усилении модулированных
колебаний в приемнике приходится считаться в оконечных каска¬
дах усиления, где амплитуды колебания достигают единиц вольт.
В первых каскадах амплитуды настолько малы, что кривизна
вольтамперных характеристик не проявляется.
8.7. УСИЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ С ОБЩЕЙ СЕТКОЙ И С ОБЩИМ АНОДОМ
Рассмотренные в предыдущих параграфах данной главы уси¬
лители с заземленным катодом не являются единственно возмож¬
ным типом электронного усилителя. В ряде случаев применяются
еще так называемые схемы с заземленной сеткой и с заземленным
анодом.
Схема усилителя с заземленной сеткой представлена на
рис. 8.19, а. Для упрощения рассуждений здесь изображен уси¬
литель на активных сопротивлениях, хотя в области высоких ча¬
стот вместо Rgk и Rag применяются резонансные колебательные
контуры. Источники питания на схеме не показаны.
280
Из рис. 8.19,5, несколько видоизменного >по сравнению
с рис. 8.19, а, видно, что анодный ток (в данном случае нас инте¬
ресует переменная составляющая) замыкается во внешней цепи
лампы через последовательно соединенные сопротивления Rag и
Rgk. Это означает, что анодная цепь оказывает 'реакцию на сеточ¬
ную цепь, которая проявляется в уменьшении тока через Rgk, так
как ток 1а направлен навстречу току Ig от источника усиливае¬
мого колебания Eg. Для преодоления этой реакции источник
энергии, возбуждающий усилитель, должен отдавать повышен¬
ную мощность.
Действительно, если бы ток 1а отсутствовал, для поддержания’
на сопротивлении RgK требуемого возбуждающего напряжения*
Рис. 6:19
El Eg1g.
с амплитудой Eg требовалась бы мощность Pgx — ,■
где / — амплитуда тока, посылаемого возбудителем через сопро¬
тивление /?гк(при 1а — 0).
При наложении тока 1а, вычитающегося из тока, посылаемого
возбудителем, эквивалентное сопротивление нагрузки как бы
снижается и новое значение тока от источника Eg равно Ig —
— Igi-\-la- Так как напряжение на RgK равно прежнему, т. е. Eg,
это равносильно увеличению мощности, отбираемой от возбу¬
дителя, на величину —• Эта добавочная мощность расходуется,
конечно, не в сопротивлении RgK (через которое протекает раз¬
ностный ток Ig — 1а, равный прежнему току / ), а передается
в анодную цепь и выделяется в нагрузочном сопротивлении Rag-
Это можно представлять себе еще и следующим образом.
В схеме с заземленной сеткой сопротивление нагрузки включено-
между анодом и сеткой, напряжение между которыми равно
Uag=UaK + Eg.
Соответственно повышению напряжения на величину Еg (прг
заданном токе 1а) увеличивается и мощность, рассеиваемая на
/ Е
этом сопротивлении, на величину -а^ . Следует отметить, что»
281
усилитель с заземленной сеткой не дает (поворота фазы. Из
рис. 8.19, б видно, что напряжения на входе и выходе, оба отсчи¬
тываемые относительно заземленной точки, (т. е. сетки), совпа¬
дают по знаку.
Схемы с общей сеткой находят широкое применение в усили¬
телях, работающих на очень высоких частотах. Конечн#, вместо
Рис. 6.20
активных сопротивлений, как ранее уже упоминалось, применя¬
ются колебательные контуры.
Примененное выше наименование «схема с заземленной сет¬
кой» не является точным. Главной особенностью рассматриваемой
схемы является то, что сеточный зажим является общим для
входа и выхода усилителя. Поэтому более правильно говорить
о «схеме с общей сеткой». Рассмотренные в предыдущих парагра¬
фах данной главы усилители являют¬
ся «схемами с общим катодом». Вы¬
бор же точки для заземления, обычно
диктуемый конструктивными сообра¬
жениями, не определяет в принципе
соотношений между токами и напря¬
жениями е -схеме..
Рассмотрим в заключение схему с
общим (заземленным) анодом,' пред¬
оставленную на рис. 8.20, а. Эта же схема в несколько измененном
начертании и без источника питания изображена на рис. 8.20, б.
.Из рассмотрения рис. 8.20, а и ’8.20, б видно, что схема с об¬
щим анодом представляет собой усилитель с катодной нагрузкой.
Найдем отношение ивых к £, т. е. коэффициент усиления
схемы по напряжению (здесь <7ВЬ1Х и Е— амплитуды переменных
напряжений). С этой целью воспользуемся Эквивалентной схемой
анодной цепи, представленной на рис. 8.21. При построении этой
схемы учтено, что действующее между сеткой и катодом лампы
напряжение является разностью между э. д. с. Е и напряжением
на сопротивлении Rk, создаваемым током 1а (см. схему
рис. 8.20,а).
282
Рис. 8.21
Таким образом, получается следующее соотношение между на¬
пряжением Е и током 1а-
р (Е — ЛЛ)=ia (Ri + ^*)-
Решая это уравнение относительно тока, находим
, V-E
а Rk (1 + н-) Ri
Далее, напряжение на выходе
Следовательно,
Е
(1 + р) Rk + Ri \xRk -j- Rk -f- Ri
\><Rk
Отсюда видно, что в усилит еле с катодной нагрузкой коэффи¬
циент усиления по напряжению всегда меньше единицы. Хотя на¬
грузочное сопротивление Rk обычно мало по сравнению с все
же в практике выполняется условие
Это объясняется большой величиной коэффициента усиления
лампы (пентод).
Поэтому приближенно можно считать
Итак, напряжение на выходе близко к величине входного на¬
пряжения.
Нетрудно' видеть, что этот результат является следствием
сильной обратной связи, которая существует между анодной и се¬
точной цепью. Именно, создаваемое на сопротивлении Rk анод¬
ным током /а напряжение вводится обратно в сеточную цепь, при¬
чем с обратным по .отношению к Е знаком. Из дальнейшего
рассмотрения (в гл. 15) будет видно, что схема с катодной на¬
грузкой представляет собой предельный случай усилителя с отри¬
цательной обратной связью.
Следует подчеркнуть, что хотя рассматриваемая схема и не
дает усиления напряжения, все же эта схема является усили¬
тельной. Нужно иметь в виду, что выходное напряжение разви¬
вается анодным токам лампы на относительно малом сопротив¬
лении Rkt в то время как входное напряжение прикладывается
к зажимам сетка—земля, сопротивление между которыми при ра¬
боте без сеточных таков очень велика (порядка мегомов). Усили¬
тель с катодной нагрузкой 'можно поэтому рассматривать как
усилитель тока при неизменном напряжении.
283
То обстоятельство, что напряжение с выхода полностью вво¬
дится обратно в цепь сетки, делает работу усилителя почти неза¬
висимой от параметров нагрузки. Чтобы в этом убедиться, найдем
выходное сопротивление усилителя. Для этого допустим, что
к зажимам 2—2' усилителя (рис. 8.20,6) приложено от внешнего
источника синусоидальное напряжение £/вых, и найдем полный
ток, посылаемый этим источником в эквивалентную схему, пред¬
ставленную на рис. 8.22.
На этой схеме внутреннее сопротивление лампы Rt подклю¬
чено непосредственно к зажимам нагрузки Rk, так как анод
лампы заземлен (постоянное напряжение Еа здесь не учитывается),
ветвь =S соответствует
току в анодной цепи, ко¬
торый создается . напряже-
ит
приложенным
непосредственно к зажимам
сетка—катод лампы (при
этом зажимы 1—1' счи¬
таются замкнутыми нако¬
ротко). Наконец, между-
электродные емкости Cgk и Cak оказываются включенными па¬
раллельно, так как сетка и анод заземлены.
Полная проводимость между зажимами 2—2' (рис. 8.21) ока¬
зывается при этих условиях равной:
Таким образом,
где
Обычно величина (1+р*)^ в несколько раз превышает Rt.
Можно в таких случаях считать
^ _ Rt _ 1 ‘
5 “
JR.
i + м* Iх
Итак, выходное сопротивление усилителя с катодной нагруз¬
кой почти не зависит от параметров схемы и определяется только
крутизной характеристики лампы. Так, например, для ламп типа
6П9, часто применяемых в усилителях с катодной нагрузкой,
S=10Ma/e и /?э не превышает 100 ом. При таком малом сопротив¬
лении емкость нагрузки, шунтирующая выход усилителя, почти не
сказывается на частотной характеристике устройства и не иска-
284
Рис. 8.22
жает формы сигнала. Слудет, кроме того, иметь в виду, что вы¬
ходное напряжение, отсчитываемое относительно земли, совпа¬
дает по фазе (полярности) с входным напряжением. Таким обра¬
зом, усилитель с катодной нагрузкой «повторяет» сигнал, не
изменяя ни его формы и величины, ни полярности напряжения, но
переводя его с высокоомного сопротивления на низкоомное. По¬
этому усилитель с катодной нагрузкой часто называют «катод¬
ным повторителем».
8.8. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ УСИЛИТЕЛИ. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ
В радиотехнике с момента ее возникновения использовались
нелинейные свойства пары кристалл — металл (кристаллический
детектор). Возможность применения кристаллических приборов
для целей усиления и генерации была впервые обнаружена
О: В. Лосевым в 1922—27 гг.
В начале 30-х годов кристаллические /приборы были почти
полностью вытеснены более совершенными — электронными лам¬
пами.
В настоящее время на основе современных достижений науки
и техники создаются полупроводниковые приборы, превосходя¬
щие по некоторым показателям электронные лампы.
Принцип действия и особенности полупроводниковых усилите¬
лей вытекают из физики явлений в полупроводниках. Не останав¬
ливаясь здесь на изучении этих явлений, что .входит в задачу
курса «Электронные и ионные приборы», рассмотрим работу уси¬
лителя с так называемым «плоскостным» кристаллическим трио¬
дом.
Плоскостной триод представляет собой кристалл (обычно гер¬
маний), имеющий три слоя, из которых два (крайние) обладают
проводимостью одного характера, а один (средний) —другого
характера. На рис. 8.23 схематически изображен так называемый
п-р-п усилитель. В слоях крдсталла типа п проводимость осу¬
ществляется избыточными электронами, а в слое р вследствие
недостатка электронов существуют избыточные носители
(«дырки»).
Усилитель типа р-п-р изображен на рис. 8.24.
285
Рис. 8.23
Рис. 8.24
Контактный слой или так называемый электронно-дырочный
переход между слоями кристалла с различными типами проводи¬
мости обладает выпрямительной способностью: при одной и той
же величине напряжения ток получается больше в «прямом» на¬
правлении, чем в «обратном». На рис. 8.23 и 8.24 к левому пере¬
ходу батарея Еэ6 подключена в прямом направлении, а к правому
переходу в обратном (батарея Екб).
Поэтому в усилителе п-р-п (рис. 8.23) через левый переход
устанавливается поток электронов в -направлении от п-области
к p-области, в то время как поток электронов из правой п-обла-
сти в p-область отсутствует. Электроны, проникшие в р-область
через левый переход, диффундируют к правому переходу и втя¬
гиваются в правую n-область благодаря электрическому полю,
создаваемому батареей Екб в этой области.
Все, что выше было сказано об усилителе п-р-п, (может быть
распространен^ и, на усилитель р-п-р (рис. 8.24) с тем лишь
отличием, чтог все токи в данном случае определяются диффузией
«дырок» вместо электронов *.
Левый слой кристалла на рис. 8.23 и 8.24, эмитирующий
электроны (или дырки) в средний слой, играет примерно такую
же роль, как и катод в электронной лампе. Правый слой кри¬
сталла, к которому устремляются электроны (или дырки), (может
быть уподоблен аноду лампы.
В соответствии с выполняемыми функциями эмитирующий
слой кристалла называют эмиттером, а Другой крайний слой —
коллектором. Средняя часть кристалла называется базой или ос¬
нованием. Соответственно этому и обозначены электроды на
рис. 8.23 и 8.24: Э — эмиттер, К— коллектор и Б — база. При
определении полярности батарей Еэб и Ек6 следует руководство¬
ваться следующим правилом: к электродам эмиттер—база всегда
должно подаваться прямое напряжение, а к электродам коллек¬
тор—база — обратное (см. рис. 8.23 и 8.24).
Так как при-движении электронов в средней p-области (в уси¬
лителе п-р-п) или дырок в средней n-области (в усилителе
р-п-р) происходит частичная рекомбинация электронов и ды¬
рок, то не весь поток электронов (или дырок), посылаемых эмит¬
тером в базу, достигает коллектора.
Отношение
1 Наряду с триодами плоскостного типа довольно широкое распростране¬
ние получили так /Называемые «точечные» триоды, в которых инъекция элек¬
тронов (или дырой) осуществляется в электронно-дырочном переходе, образо¬
ванном между основной массой полупроводника и областью с проводимостью
другого типа, в • месте контакта металла с полупроводником. Выяснение про¬
цесса усиления проще и нагляднее удается провести на кристаллических трио¬
дах плрскостного типа, чем и ограничивается рассмотрение в данной книге.
286
характеризующее степень использования тока эмиттера, является
одним из основных параметров полупроводникового триода
(транзистора).
Для повышения использования тока эмиттера толщину базы
делают достаточно малой (десятые, сотые и даже тысячные доли
миллиметра). Благодаря этому, а также благодаря относительно
малой скорости рекомбинации, число собираемых коллектором
электронов (или дырок) удается доводить До 0,95—0,98 от об¬
щего числа эмитирующих электронов (дырок). Таким образом,
ток коллектора почти равен
току эмиттера (но всегда
меньше). _ Для выяснения
механизма усиления в кри¬
сталлическом триоде суще¬
ственное значение имеет
форма вольтамперных ха¬
рактеристик последнего.
На рис. 8.25 изображено
семейство характеристик
для транзистора п-р-п, вы¬
ражающих зависимость на¬
пряжения коллектор—база
ек от тока коллектора iK,
который рассматривается
как независимое перемен¬
ное. (В электронных лам¬
пах, как известно, в качестве независимого переменного выби¬
рается напряжение на аноде, а ток определяется как функция на¬
пряжения.)
Ток эмиттера i9 является для семейства характеристик eK(iK)
параметром [для ламповых характеристик 1а(еа) параметром
является напряжение сетки].
Структура изображенных на рис. 8.25 характеристик опреде¬
ляется следующими особенностями п-р-п усилителя. В отсут¬
ствие тока эмиттера правый п-р переход (рис. 8.23), находящийся
под действием обратного напряжения Ек6, пропускает весьма ма¬
лый ток /о, очень слабо зависящий от напряжение ек.
При наличии тока эмиттера характеристика eK(iK), сохраняя
свою форму, сдвигается вправо на величину <«э. (На рис. 8.25
за положительное напряжение ек принято напряжение, прило¬
женное плюсом на коллектор и минусом на базу.)
Для транзистора р-п-р получаются совершенно аналогичные
характеристики. Различие заключается лишь в изменении знаков
токов и напряжений, в соответствии с полярностью напряжений
Еэб и Екб на схеме, изображенной на рис. 8.24.
Из рассмотрения характеристик (рис. 8.25) видно, что в отли¬
чие от электронной лампы полупроводниковый триод представ¬
ляет собой устройство, в котором управление током коллектора
287
Рис. 8.25
-осуществляется при помощи тока эмиттера, а не, напря¬
жения.
На рис. 8.26 представлена типичная зависимость напряжения
эмиттер—база от тока эмиттера при различных значениях тока
коллектора.
Усиливаемое колебание (сигнал) в схемах с общей базой, изо¬
браженных на рис. 8.23 и 8.24, вводится в цепь эмиттер—база,
а нагрузочное сопротивление включается в цепь коллектора. При
правильном выборе рабочей точки на характеристике иэ(1э)
(рис. 8.26) и усилении от¬
носительно слабых сигна¬
лов обеспечивается практи¬
чески линейная связь меж¬
ду током *э и напряжением
сигнала. Так как ток кол¬
лектора iK почти равен то¬
ку эмиттера i3> то измене¬
ние тока коллектора совпа¬
дает с изменением i3.
Из рис. 8.25 видно, что
характеристики коллектор¬
ного тока обладают чрез¬
вычайно большим наклоном
и идут почти параллельно
оси ек. Это обстоятельство
можно трактовать как ре¬
зультат очень большого сопротивления коллектора, т. е. сопро-,
тивления, определяемого как
160
по
80
Это сопротивление очень велико (порядка мегомов) и во много раз
больше, чем входное сопротивление полупроводникового триода,
т. е. сопротивление между электродами, эмиттер—база (порядка
нескольких сотен омов).
Так как нагрузочное сопротивление в схемах рис. 8.23 и 8.24
включается в цепь коллектора, то величина его может быть взята
того же порядка, что и гк (обычно берут несколько десятков ты¬
сяч ом и более). В результате, относительно малое изменение
напряжения сигнала приводит к очень большому относительному
изменению выходного напряжения, т. е. име^т место усиление по
напряжению.
Для определения величины усиления учтем, что напряжение
сигнала ес, которое требуется для управления током эмиттера,
равно
288
Рис. 8.26
где /?вх ~ входное сопротивление полупроводникового триода
между точками Э—Б, а напряжение на нагрузочном
сопротивлении /?н равно
Таким образом, коэффициент усиления напряжения может
быть представлен в виде
IS Ин Кн „ /О СГ1 \
(8'51)
Ранее указывалось, что коэффициент а близок к единице.
Обычно а~0,95-^0,98, а сопротивление /?вх относительно мало,
так как батарея Еэб подключена к левому электронно-дырочному
переходу в прямом направлении. Поэтому усиление напряжения,
приблизительно равное отношению сопротивления нагрузки
к входному сопротивлению, может быть доведено до весьма
больших величин.
Как и ламповый усилитель с общей сеткой (см. § 8.7), полу¬
проводниковый усилитель с общей базой не поворачивает фазц
усиливаемого колебания.
Рассмотренная в данном параграфе схема с общей (заземлен¬
ной) базой, удобная для выяснения физической стороны усиле¬
ния, не является единственно возможной схемой полупроводни¬
кового усилителя. Возможны еще схемы с общим эмиттером и
общим коллектором, являющиеся аналогами ламповых схем с об¬
щим катодом и общим анодом. Указанные схемы рассматрива¬
ются в следующем параграфе.
8.9. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
Из предыдущего рассмотрения вытекают следующие особен¬
ности полупроводникового усилителя: а) относительно малое
входное сопротивление и б) распределение тока эмиттера между
цепью базы и цепью коллектора.
Первая особенность 4 заставляет учитывать расход мощности
источника сигнала, а вторая — зависимость входного сопротивле¬
ния триода от нагрузки в коллекторной цепи и соответственно
выходного сопротивления усилителя от внутреннего сопротивления
источника сигнала, действующего на входе.
Полезно напомнить, что в случае лампового усилителя при ра¬
боте без сеточного тока (в области отрицательных потенциалов
сетки) входное сопротивление усилителя теоретически бесконечно
велико и от источника сигнала не требуется мощности. Кроме
того, так как весь электронный ток, эмитируемый катодом, по¬
падает на анод, то сеточную и анодную цепи лампы можно счи¬
тать полностью развязанными.
19 Зак. 3/235 2 89
Отмеченные выше особенности, полупроводникового триода за¬
ставляют трактовать его как четырехполюсник, в котором все
входные и выходные параметры взаимосвязаны.
Схема подобного четырехполюсника для усилителя с общей
базой изображена на рис. 8.27,6. На этой схеме гэ, гб и гк пред¬
ставляют собой дифференциальные сопротивления соответственно
эмиттера, базы и коллектора, зависящие от выбора рабочей
точки на характеристике триода (т. е. от напряжений источников
питания Еэб и Екб). Обозначенные на схеме рис. 8.27, а, а также
рис. 8.27,6, токи и напряжения представляют собой изменения,
обусловленные действием входного сигнала, причем последний
Рис. 8.27
считается достаточно малым, чтобы оправдывалось линейное рас¬
смотрение системы.
Дополнительный генератор еэкв на схеме рис. 8.27,6 учиты¬
вает действие тока эмиттера «а цепь коллектора. Направление
э. д. с. еэкв выбрано из условия, чтобы создаваемый ею в цепи
коллектора ток совпадал по направлению с током 1Э (т. е. <по на¬
правлению часовой стрелки).
Так как в соответствии с формулой (8.50) ток в коллекторе,
обусловленный током i9, равен а/э, то при сопротивлении кол¬
лектора гк эквивалентная э. д. с. должна быть приравнена
^экв == а^э^"к*
Обозначив
агк = г т, (8.52)
получим, что e9KB = rmi3, как и обозначено на рис. 8.27,6.
Э. д. с. rmi3 имеет в данном случае такой же смысл, как peg
в теории лампового усилителя (см. § 8.3, рис. 8.8). Действи¬
тельно, эту э. д. с. можно записать в форме peg = jRiSeg = ftlia,
где ia — Seg — анодный ток, обусловленный напряжением eg.
Таким образом, действие сеточного напряжения учитывается
введением в анодную цепь (имеющую сопротивление R{) экви¬
валентной э. д.“с., равной iaRi.
Изображенный на рис. 8.27,6 четырехполюсник является ли¬
нейным активным четырехполюсником с зависимым источником.
290
При обозначениях рис. 8.27,6 можно написать следующие
уравнения:
(8.53)
Рис. 8.28
Условное изображение схемы усилителя с общим эмиттером
показано на рис. 8.28, а, а схема эквивалентного четырехполюс¬
ника — на рис. 8.28, б.
Как уже отмечалбсь ранее, схема с общим эмиттером является
аналогом лампового усилителя с общим катодом.
На рис. 8.28,6 обозначения остав¬
лены те же, что и на рис. 8.27, б,
однако полярность эквивалентного
генератора гmi3 изменена в соответст¬
вии с условием, чтобы сумма токов
/б и iK равнялась току эмиттера. Со¬
отношения между токами и напряже¬
ниями в данной схеме определяются
следующими уравнениями:
из
Рис. 8.29
Исключая из второго уравнения i3 = i6-j-iK, получаем
и2 = (гэ - rm) i6 + (гк - гт + гэ) v (8.55)
Первому уравнению (8.54) совместно с уравнением (8.55) от¬
вечает эквивалентная схема рис. 8.29, несколько видоизмененная
по отношению к рис. 8.28.
На этой схеме сопротивление гк — гт в цепи коллектора
заменяет сопротивление гт, а дополнительная э. д. с. rmiK
заменена на rmi6 [в соответствии с уравнением (8.55)].
Наконец, на рис. 8.30 изображены аналогичные схемы для уси¬
лителя с общим коллектором.
19* 291
Для данной схемы имеют место следующие уравнения Кирх¬
гофа:
8.10. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
Для определения важнейших параметров полупроводникового
усилителя — входного и выходного сопротивлений, усиления по
напряжению, по току и по мощности, а также для выявления
условий согласования триода с нагрузкой и с «источником сиг-
Рис. 8.31
нала — целесообразно применять обычную теорию четырехполюс¬
ников.
Все три приведенные выше на рис. 8.27, 8.29 и 8.30 схемы
можно свести к четырехполюснику, изображенному на рис. 8.31.
Применяя основные уравнения (6.15), можем написать:
и\ = Rnh “Ь R\zh> | _
и2 = R2lh +#22*2. J
В этих уравнениях Zn, Zi2, Z2i и Z22 заменены на активные со¬
противления Riu Rn, R21 и R22i что допустимо при чисто активных
сопротивлениях в схеме усилителя.
Из простого сопоставления уравнений (8.57) с уравнениями
(8.53), (8.55) и (8.56) можно получить следующие выражения для
•Rn, Rl2, R2I И R22-
292
Рис. 8.30
Рис. 8.32
— для схемы с общей базой (ри.с. 8.27)
^?11 =гэ + гб, R12 — г6>
#21 = r6 + rm< #22 = гб + гк;
— для схемы с общим эмиттером (рис. 8.29)
#11 — гб + гэ> Rl2 — r3,
R21 = гэ — rm, R22 = гк — гт + гэ;
— для схемы с общим коллектором (рис. 8.30)
Ru — гв.+ rK, R12 = гк- гт,
R2\ ~~ Гк, R22 = fK fm -{- г,.
(8.58)
(8.59)
(8.60)
То обстоятельство, что сопротивления R\2 и R2i не равны друг
другу, является особенностью активного четырехполюсника.
В случае пассивного четырехполюсника всегда выполняется усло¬
вие Rn=Ri2 (теорема взаимности).
При учете внутреннего сопротивления генератора сигнала RT
и нагрузочного сопротивления RH получается схема, представлен¬
ная ,на рис. 8.32. Для этой схемы очевидны следующие соотноше¬
ния:
ul—ec — ilRt, (8.61)
и2 = — i2RH. (8.62)
Подставляя эти уравнения в (8.57), нетрудно привести по¬
следние к виду
(*11 4" Яг) h + #12*2 = ес, |
/?2Л + (/?28 + Ян)*2 = 0. J ( ^
Решая эти уравнения относительно тока й и i2, получаем
: . ^22 + R« /Q
h~ с(Яи +Яг)(^+RH)-RnRn '
h = 6с RnR21 - (Rn +\) (R22 + Лн) • (8’65)
Отсюда следует, что
R\ )R> ]
~Г #г + #вх Rr + #11 ~ p
h ^22 ~ ■*'H
и, следовательно, входное сопротивление четырехполюсника
#« = #н-3г!йг- (8.66)
^22 "Г
Для определения выходного сопротивления учтем, что напря¬
жение на разомкнутом выходе четырехполюсника равно
„ _ Rn „ (8.67)
Rr + Rn
293
Разделив е2 на ток i2, определяемый выражением (8.65), и
учитывая направление i2, получаем
ег DID О I D ^12^21
---^—«н-ГКвых — Кн I К22 - ЛГ+^Г *
откуда получается следующее выражение для выходного сопро¬
тивления:
^?.ых = /?22-^^Г. (8-68)
Из выражений (8.66) и (8.68) отчетливо видно, что входное
сопротивление транзистора зависит не только от его собственных
параметров, но и. от нагрузочного сопротивления RH, а выходное,
в свою очередь, — от внутреннего сопротивления генератора сиг¬
нала Rr. Как уже отмечалось выше, это является особенностью
полупроводникового усилителя, так как в ламповом усилителе
(работающем без сеточных токов) вход и выход усилителя раз¬
вязаны.
Сравним входное сопротивление для двух схем: с общей ба¬
зой (рис. 8.27) и общим эмиттером (рис. 8.28). Используя выра¬
жения (8.58), (8.59) и. (8.66), получаем:
— для схемы с общей базой
RBX = r3 + r6—Гб(Гб+,Гв ■; (8.69)
вх э ' 6 Гб + гк + /?„ ’ ' '
— для схемы с общим эмиттером
R =гб + гэ (8.70)
вх о i э Гк_Гт + Гэ + кн у л
Для получения количественной оценки воспользуемся следую¬
щими данными, типичными для плоскостного триода:
гэ — 25 ом, г6 = 250 ом, гк= 12 Мом, а = 0,98;
rm = 11,76 Мом, /?„ = 0,1 Мом.
При этих данных формулы (8.69) и (8.76) соответственно дают
Як ^ гэ + гб — г6 = гэ + гб (1 — а) « гэ = 25 ом;
Г К
#вх~'б + ''э+ Гк — Гт + Яя =275 -f 0,24 • 106 + 0,1 • 106 =1150 ом-
Как видим, во втором случае, т. е. для усилителя с общим эмит¬
тером, входное сопротивление получается во много раз большим,
чем в усилителе с общей базой.
Упрощенно это можно объяснить тем, что в схеме с общим
эмиттером (рис. 8.28) ток /б, отбираемый от генератора сигнала,
составляет всего лишь (1—а) от тока эмиттера, в то время как
294
в схеме с общей базой (рис. 8.27) генератор сигнала должен да¬
вать весь ток /э.
Обратимся к определению усиления. Из выражений (8.62) и
(8.65) непосредственно видно, что для любой из схем включения
транзистора коэффициент усиления напряжения равен
IS и2 ^н^21 /о 71 \
и ес (Rn + Rr) (/^22 + ^н) — R 12^21
Выражение для коэффициента усиления тока получается непо¬
средственно из второго уравнения (8.63)
*‘ = -Т = 35Т75Г- <8'72>
Наконец, усиление по мощности
is __ 1!'-- ( h) ts- jv- RhRqi —«V
р ~ ес it — — [(/?„ + Rr) (/?22 + Лн) — RnRn] (Ra + #н) * К )
Для схемы с общей базой при подстановке Ru, R21, R12 и R22
по формулам (8.58) получается
и Лг + (1 а)
<"Р"*.«'«>.
Кр~Ки.
Как видим, усилитель с общей базой дает усиление по на¬
пряжению приблизительно такое же, как и :по мощности. При при¬
веденных выше параметрах транзистора и /?г = 100 ом коэффици¬
ент усиления Ка « 800.
Для схемы с общим эмиттером получаются следующие выра¬
жения:
Ян гт
ки~-
(Гб + гэ + /?г) (гк — Гт + Ra) + ГэГт
rk — rm + Ra '
При прежних данных транзистора, нагрузки и внутреннего со¬
противления генератора 'получается
Ка^ -3000, АГ/ ~ — 35.
(Знак минус учитывает поворот фазы сигнала на 180° в схеме
с общим эмиттером.)
Усиление по мощности в рассматриваемой схеме равно /Ср^Ю5.
Таким образом, усилитель с общим эмиттером дает в не¬
сколько раз большее усиление по напряжению и очень большое
295
превышение усиления по мощности по сравнению с усилителем
с общей базой.
С помощью аналогичных рассуждений нетрудно показать,
что усилитель с общим коллектором (полупроводниковый ка¬
тодный повторитель) дает усиление по току Ki ~ ~\—а ПРИ 1*
То обстоятельство, что в по¬
лупроводниковом усилителе
входное сопротивление весьма
невелико и зависит от RHJ застав¬
ляет уделять внимание согласо¬
ванию /?н, а также Rr с пара¬
метрами транзистора. С помощью
известных из электротехники за¬
конов согласования генератора,
нагрузки и связывающего их че¬
тырехполюсника можно показать,
что оптимальные условия, соот¬
ветствующие максимальному усилению мощности, получаются при
соблюдении следующих равенств:
(8.74)
Совместное решение этих уравнений приводит к следующим «со¬
гласованным» сопротивлениям генератора и нагрузки:
(8.75)
В заключение отметим, что иногда вместо эквивалентного ге¬
нератора э. д. с. гт1э вводят эквивалентный генератор тока ai3
параллельно сопротивлению гк, как это показано на рис. 8.33.
Само собой разумеется, что подобная замена не влияет на окон¬
чательные соотношения и результаты расчетов.
В энергетическом отношении полупроводниковые усилители,
работающие в линейном режиме, мало отличаются от линейных
ламповых усилителей. В обоих случаях для обеспечения неиска¬
женного усиления приходится устанавливать относительно боль¬
шие токи покоя, которые сильно снижают отдачу усилителя (по
цепи коллектора). Однако крупным достоинством полупроводни¬
ковых усилителей является отсутствие расхода энергии на на¬
кал, а также очень большой срок службы кристаллов.
296
Рис. 8.33
8.11. ПАРАЗИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ТРИОДА
В предыдущих параграфах -при построении эквивалентных"
схем полупроводниковых усилителей все три элемента триода —
эмиттер, база и коллектор — характеризовались чисто омическими
сопротивлениями гэ, гб и гк. Такой подход оправдан лишь на низ¬
ких частотах усиливаемого сигнала. С повышением частоты на¬
чинают проявляться инерционные свойства транзистора, обуслов¬
ленные физическими процессами в полупроводнике.
Основное значение имеют следующие три фактора:
1. Диффузия электронов в базе п-р-п усилителя (или дырок,
в р-п-р усилителе).
2. Влияние емкости .перехода эмиттер — база.
3. Влияние емкости, перехода база — коллектор.
Рассмотрим первый фактор. Для диффузии электронов (или
дырок) в базе в направлении от эмиттера к коллектору требуется
определенное время. Если бы это время было одинаковым для
всех электронов, то имело бы место запаздывание (задержка),
что не особенно существенно для (работы усилителя. Хуже то, что»
имеет место дисперсия: различные электроны приходят к коллек-
тору с различной задержкой.
Когда с повышением частоты эта разница становится соиз¬
меримой с периодом усиливаемого колебания, действие различ¬
ных электронов (дырок) взаимно нейтрализуется и усиление
падает. Получается как бы снижение коэффициента а для пере¬
менной составляющей коллекторного тока.
На эквивалентных схемах, изображенных на рис. 8.27—8.309,
указанный эффект проявляется в снижении эквивалентного со¬
противления гт с повышением частоты. Имеется предельная (кри¬
тическая) частота /а, выше которой триод теряет свои усилитель¬
ные свойства. В практике предельную частоту определяют по сни¬
жению статического коэффициента усиления тока на 3 дб.
Исследования показывают, что частота fa обратно пропор¬
циональна толщине базы. Для распространенных плоскостных
триодов /а лежит в пределах 2—10 Мгц.
Влияние второго фактора сводится к тому, что на достаточно
высоких частотах эмиттер,ный переход не может более рассматри¬
ваться как чисто омическое сопротивление. Появляется емкост¬
ное сопротивление, шунтирующее сопротивление гэ.
Для ослабления влияния этого эффекта выгодно максимальна
возможно снижать внутреннее сопротивление источника сигнала,
возбуждающего эмиттер. Остается, однако, сопротивление базы
гь, которое всегда входит в последовательную цепь: источник сиг¬
нала, эмиттер, база.
На частотах, близких к критической частоте /а, емкостное со¬
противление эмиттерного перехода приблизительно равно гэ..
Можно поэтому считать, что критическая частота /э, при которой
триод теряет усилительное действие из-за емкости эмиттерного*
29?
•перехода, равна /а, если гь велико. При снижении г8 частота /э
растет.
Переходим к третьему фактору—влиянию емкости коллек¬
торного перехода Ск. Эта емкость оказывает существенное
влияние на работу усилителя даже в области частот, значительно
более низких, чем критические частоты /„ или /э, так как вели¬
чина Ск весьма значительна и, кроме того, эта емкость шунтирует
очень большое сопротивление
коллектора гк. На эквивалент¬
ной схеме усилителя емкость Ск
должна подключаться парал¬
лельно последовательному
соединению сопротивления гк
и эквивалентного генерато¬
ра rmi9 (рис. 8.34). Величи¬
на Ск зависит от питаю¬
щего напряжения, приложенного к коллектору. Теоретические
щ экспериментальные исследования показывают, что Ск изме¬
няется обратно пропорционально кубическому корню из напря¬
жения. Для наиболее распространенных в практике транзисторов
<СК изменяется в пределах 5—15 пкф.
Тот факт, что Ск зависит от напряжения, является существен¬
ным недостатком в резонансных усилителях, так как непостоян¬
ство напряжения ‘приводит к расстройке усилителя и к наруше¬
нию нейтрализации обратной связи, что может .приводить к па¬
разитной генерации.
Из сказанного выше можно .прийти к заключению, чт® в на-
•стоящее время полупроводниковые усилители могут эффективно
применяться лишь при относительно невысоких частотах
Верхняя граница частотного диапазона с усовершенствованием
технологии изготовления транзисторов непрерывно (передвигается
iB сторону более высоких частот.
8.12. ОСОБЕННОСТИ СХЕМ; ПРЕИМУЩЕСТВА И НЕДОСТАТКИ
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
Некоторые особенности построения схем полупроводниковый
усилителей и выбора их элементов вытекают, главным образом, из
отмеченных в предыдущих параграфах свойств транзисторов: ма¬
лого входного сопротивления, распределения тока эмиттера
между базой и коллектором, а также зависимости емкости кол¬
лекторного перехода от напряжения коллектора (последнее об¬
стоятельство существенно для резонансных усилителей).
Распространенная схема низкочастотного р-п-р усилителя
с общим эмиттером изображена на рис. 8.35. Эта схема по суще¬
ству не отличается от лампового усилителя с общим (заземлен¬
ным) катодом. В случае использования п-р-п транзистора поляр¬
ность источника питания Екз должна быть изменена на обратную
Рис. 8.34
(стрелка на эмиттере указывает направление положительного
тока, совпадающего в р-п-р транзисторе с направлением движе¬
ния дырок в базе).
В схеме с общим эмиттером для питания коллектора и эмит¬
тера может быть использован общий источник. Так как в р-п-р
усилителе потенциал базы по отношению к эмиттеру должен быть
отрицательным, то на схеме рис. 8.35 база соединена через
большое сопротивление R с отрицательным зажимом батареи.
Е '
Сопротивление R определяется как -j£-, где /б— постоянный ток
в базе. Этот ток весьма мал и составляет всего лишь (1—а) от
Рис. 8.35
постоянного тока коллектора /к. Последний же выбирается из
условия обеспечения линейного усиления с учетом формы харак¬
теристик транзистора.
Емкость разделительного конденсатора С должна быть доста¬
точно большой, порядка нескольких микрофарад, чтобы реактив¬
ное сопротивление этого конденсатора на нижних частотах аку¬
стического диапазона было мало по сравнению с входным сопро¬
тивлением усилителя (в схеме с общим эмиттером порядка
1000 ом).
Если представленный на рис. 8.35 усилитель является одной
ступенью многокаскадного усилителя, то оба трансформатора
должны быть понижающими (по напряжению), обеспечивающими
согласование низкоомной нагрузки (вход транзистора) с высоко¬
омным выходом предыдущего транзистора.
В полупроводниковых усилителях высокой частоты (резонан¬
сных) приходится считаться с влиянием нестабильности емкости
коллекторного перехода на настройку контуров.
Заканчивая на этом рассмотрение полупроводниковых усили¬
телей (линейных), отметим следующие основные их достоинства:
отсутствие накала, очень большой срок службы, малые размеры
и низкие напряжения источников питания (10—30 в). Недо¬
статками являются: малый уровень мощности, зависимость
характеристик от температуры и относительно высокий уровень
шумов.
299
ГЛАВА 9
ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОСИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ
СИСТЕМЫ
9.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В радиоэлектронике приходится иметь дело с различными сиг¬
налами и с разнообразными цепями. Сложный характер воздей¬
ствий в сочетании с инерционным характером радиотехнических
цепей придает особое значение вопросу о переходных процессах
в этих цепях при передаче сигналов.
В гл. 1 отмечалось, что большинство радиотехнических
устройств представляет собой сочетание линейных и нелинейных
элементов. Это обстоятельство чрезвычайно усложняет задачу
строгого рассмотрения переходных процессов в радиоцепях, так
как классические методы анализа, основанные на использовании
-принципа суперпозиции, являются линейными методами.
В связи с этим в радиотехнике широко распространены при¬
ближенные методы анализа воздействия сигналов на реальные
устройства.
Упрощение идет по двум линиям: во-первых, выделяются ли¬
нейные цепи, которые рассматриваются изолированно от нели¬
нейных элементов и, во-вторых, используются некоторые особен¬
ности радиотехнических цепей для упрощения самих методов.
Так, в частности, высокая избирательность колебательных систем
позволяет эффективно применять «метод медленно-меняющихся
амплитуд» и некоторые другие разновидности этого метода.
Дальнейшее ограничение заключается в том, что рассмотре¬
ние переходных процессов проводится только для линейных си¬
стем с постоянными параметрами.
Несмотря на перечисленные ограничения, имеется широкий
круг практических задач, которые можно успешно решать на ос¬
нове линейного подхода. К таким задачам относится, прежде
всего, прохождение радиосигналов через линейные усилители
с апериодическими и колебательными цепями. Из содержания
предыдущих глав следует, что слабо выраженная нелинейность
усилительных элементов (ламп, транзисторов и др.) не препят¬
ствует линейному рассмотрению прохождения импульсов и
300
модулированных колебаний через «линейные» усилители. Из
дальнейшего будет видно, что и в случае существенно нелинейных
устройств часто удается получать полезные для практики резуль¬
таты на основе линейного рассмотрения отдельных элементов и
узлов этих устройств.
Перечислим" основные методы, с которыми приходится иметь
дело при анализе прохождения сигналов через радиотехнические
цепи.
В случае простейших систем, описываемых дифференциаль¬
ными уравнениями не выше второго шорядка, решение задачи
обычно нетрудно получдть с помощью классического метода диф¬
ференциальных уравнений.
При более сложных цепях значительно более удобными оказы¬
ваются методы, основанные на спектральном представлении сиг¬
нала. К этим методам относится метод интеграла Фурье
и тесно с ним связанный операторный метод (преобразо¬
вания Лапласа).
Наряду со спектральным методом в радиоэлектронике очень
часто используется также метод временного интегрирования, за¬
ключающийся в отыскании отклика цепи на произвольный сиг¬
нал по известной импульсной характеристике цепи (см. гл. 6,
Кроме перечисленных «строгих» методов применяются упомя¬
нутые выше -приближенные методы, приспособленные к особен¬
ностям рассматриваемых цепей и сиг,налов. Некоторые из таких
методов будут изложены ниже попутно с рассмотрением конкрет¬
ных задач.
Следующие два параграфа «посвящены краткому изложению
сути операторного метода и метода временного интегрирования
с учетом особенностей, связанных с (применением этих методов
к радиотехническим задачам.
9.2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Воспользуемся общими соотношениями (2.36) и (2.37), пред¬
ставляющими собой интегралы Фурье соответственно для вход¬
ного сигнала e(t) и для сигнала u(t), действующего на выходе
произвольного четырехполюсника:
§ 6.7).
(9.1)
(9.2)
В этих выражениях Е (1ш) — спектральная плотность входного
сигнала, a К(1<°) — коэффициент передачи четырехполюсника.
301
Вычисление интегралов вида (9.2) значительно облегчается при
использовании методов контурного йнтегрирования на плоскости
комплексного переменного. Переход от действительной перемен¬
ной © к комплексному переменному р = а + т позволяет также
полностью, устранить ограничения, вытекающиеоиз требования
Рис. 9.1
абсолютной интегрируемости функции e(t) (см. § 2.6). Заменив
в выражениях (9.1) — (9.2) т на р, получим
(9.4)
При новой переменной функция Е(р) определяется выраже¬
нием, получаемым при замене /со на р в выражении (2.26):
(9.5)
Это соотношение, преобразующее действительную функцию e(t)
действительного переменного t в комплексную (в общем случае)
функцию Е{р) комплексного переменного р, называется преобра¬
зованием Лашласа. Е(р) иногда называют преобразован¬
ной по Лапласу функцией e(t) или изображением функ¬
ции e(t). Исходную функцию e(t) называют оригиналом.
Соотношение (9.3) по аналогии с выражением (2.27) иногда
называют обратным преобразованием Лапласа.
Сравнивая выражения (9.4) и (9.2), приходим к выводу, что
переход от со к р означает изменение пути интегрирования. В вы¬
ражении (9.2) интегрирование ведется по действительной оси со,
а в выражении (9.4) — по прямой, лежащей н«а плоскости р —
302
= а+ш и проходящей параллельно мнимой оси ш на расстоянии*
с от последней (рис. 9.1).
Величина постоянной с определяется характером подынте¬
гральной функции U(р)=Е(р)К(р): путь интегрирования дол¬
жен проходить правее особых точек (-полюсов) этой функции.
Добавлением к прямой с — iоо, c + ico дуги бесконечна
большого радиуса можно образовать замкнутый контур интегри¬
рования. Для того чтобы добавление этой дуги не изменяло ве¬
личины интеграла, нужно руко¬
водствоваться следующим пра¬
вилом: при положительных зна¬
чениях t контур • должен быть
расположен в левой полуплоско¬
сти переменного р, а при отрица¬
тельных t — в правой.
Тогда в первом случае, т. е.
при проведении дуги в левой по¬
луплоскости (рис. 9.2,а), контур
интегрирования охватывает все
полюсы подынтегральной функ¬
ции (лежащие левее прямой
с — /оо, с+ioo) и в соответствии с теорией вычетов1 интеграл (9.4)*
определяется как
Рис. 9.2
где 2 п*-сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции.
При проведении дуги в правой полуплоскости, т. е. при f<0
(рис. 9.2,6), полюсы функции U(р)ept оказываются вне контура
интегрирования и в соответствии с теоремой Коши, интеграл по>
замкнутому контуру равен нулю.
Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура^
интегрирования получим
— при t > О
1 В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. III, ч. 2, 1949, стр. 85—87.
303,
Напомним важное свойство контурных интегралов: величина
интеграла не зависит от формы замкнутого контура, по которому
производится интегрирование, если только особые точки подынтег¬
ральной функции остаются внутри контура. На основании этого
свойства контур, образованный добавлением дуги ABC беско¬
нечно1 большого радиуса R (рис. 9.2, а) к прямой с — iоо, с-М оо,
можно произвольно деформировать при соблюдении условия, что
все полюсы, расположенные левее прямой с — iоо, • с+гоо,
остаются внутри контура.
Итак, вычисление интеграла (9.4) сводится к определению вы¬
четов в полюсах подынтегральной функции.
Представим подынтегральную функцию выражения (9.4)
® виде
Методика применения контурных интегралов для представле¬
ния различных функций, играющих большую роль в теории пе¬
реходных процессов, будет в дальнейшем пояснена на при¬
мерах.
Для составления выражения (9.4) не обязательно всегда на¬
чинать с интеграла Фурье. Если известно интегро-дифференци-
альное уравнение исследуемой системы, выражение для U{p) мо¬
жет быть получено путем алгебраизации уравнения с помощью
.преобразования Лапласа.
Пусть, например, имеется уравнение
Искомой функции i(t) соответствует пока неизвестное изобра¬
жение /(р). Для алгебраизации уравнения (9.12) нужно найти
изображения для производной и интеграла функции i(t).
.304
(9.9)
Тогда вычет функции имеющей в точке р—рх простой
яолюс (первой кратности), определяется формулой
(9.10)
Если функция имеет в точке ,рх полюс кратности т
'(где т — целое положительное число), то
(9.12)
Алгебраизация интегро-дифференциальных уравнений осо¬
бенно упрощается при «нулевых» начальных условиях, т. е. при
рассмотрении процессов, связанных с подключением в момент
f=0 электродвижущих сил к «пустой» цепи (когда все токи че¬
рез индуктивности и напряжения на емкостях равны нулю).
В этом случае
Очевидно, что производной i (t) k-то порядка соответствует
изображение рк1(р).
20 Зак. 3/235 305
Рассмотрим сначала производную ■ Применяя фор¬
мулу (9.5) и интегрируя по частйм, получаем
Учитывая, что е ptjtmoo = 0 и е р<|,= 0=1, можем написать
где i (0) — значение функции i(t) при / = 0.
Подобным же образом для Ji{t)dt можно получить
где постоянная С соответствует значению интеграла к моменту
г = 0, т. е.
В результате применения преобразования (9.5) ко всем чле¬
нам исходного интегро-дифференциального уравнения последнее
может быть приведено к виду
Z (р) I(р) =Е(р), (9.15)
где 1{р)—изображение для искомой функции i(t)\
Е{р)—изображение для внешней силы e(i), действующей на
рассматриваемую систему, а
Z(p)—функция от р, определяемая параметрами цепи (опе¬
раторное сопротивление).
Таким образом, изображение искомой функции i(t) опреде¬
ляется в явной форме
цР)=ёМ
Л'Р> Zip)'
Для отыскания i(t) остается применить выражение типа (9.7).
Практическое применение изложенного выше операторного ме¬
тода облегчается наличием подробных таблиц изображений для
широкого класса функций. Эти таблицы приводятся в литературе
по операционному исчислению.
9.3. МЕТОД ВРЕМЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Вместо разложения сложного сигнала на гармонические со¬
ставляющие (спектральный метод) можно воспользоваться раз¬
биением на /последовательность скачков или импульсов, возникаю¬
щих в, соответствующие
моменты времени.
Разбиение s действую¬
щей на систему внешней
силы на смещенные во
времени скачки лежит в
основе так называемого
«метода интеграла Дюа-
меля». Применительно к
задачам радиотехники
более удобным оказывается разбиение произвольного сигнала на
«дельта-функции» (см. § 2.8) с использованием импульсной ха?
рактеристики цепи g(t).
Для уяснения сути этого метода поступим следующим обра¬
зом. Разобьем произвольный сигнал s(x) на элементарные им¬
пульсы, как это показано на рис. 9.3, и найдем отклик цепи
в «момент t\ от элементарного импульса (заштрихованного), дей¬
ствовавшего в момент т. При достаточно малой длительности At
этот отклик, очевидно, равен
S^Axgi^ — т),
где g(tt — т) — отклик цепи на единичный импульс, возникающий
в момент т, а
s (т) Ат — площадь элементарного импульса.
306
Рис. 9.3
Для определения полного значения выходного сигнала в мо¬
мент t\ нужно шросуммировать действие всех импульсов в про¬
межутке от т=0 до т=Л. При Дт -> О суммирование сводится к ин¬
тегрированию. Следовательно,
или, опуская индекс при tu
В общем случае, если начало сигнала s(t) не фиксировано,
последнее выражение можно записывать в форме заменено
на t)
(9.17)
Для реальных систем ’ всегда выполняется условие
(9.18)
так как отклик не может опережать воздействие. Можно поэтому
выражение (9.17) заменить выражением
(9.19)
(При этом имеется в виду, что для т>t подынтегральное выраже¬
ние обращается в нуль.)
Приведем, наконец, еще одну форму записи, которая полу¬
чается из выражения (9.16) при замене t на t — т:
9.4. ПРОХОЖДЕНИЕ ВИДЕОИМПУЛЬСОВ ЧЕРЕЗ ФИЛЬТР
НИЖНИХ ЧАСТОТ
Рассмотрение этого относительно простого и важного для
практики вопроса существенно также и как первый этап в изу*
чении воздействия более сложных сигналов на различные си»
стемы.
Обратимся к простейшему однозвенному фильтру нижних ча¬
стот (рис. 9.4) и найдем его импульсную характеристику g(t).
20* 307
С этой целью составим исходное выражение для коэффициента
передачи:
(9.21)
Рис. 9.5
Пусть фильтр нагружен на активное сопротивление R, согла¬
сованное с волновым сопротивлением фильтра, т. е. R = VI
Подставив это выражение и вводя обозначение
получим окончательное выражение для коэффициента передачи
в виде
Амплитудная и фазовая характеристики рассматриваемого
четырехполюсника изображены на рис. 9.5.
'Для определения g(t) могут быть использованы выраже¬
ния (6.54) или (6.55). Первое из них (интеграл Фурье), учитывая
выражение (9.21), приводит к весьма громоздкому интегралу.
308
Рис. 9.4
Воспользуемся поэтому выражением (6.55), для чего заменим
в формуле (9.21) i'Q на р:
_ о
(9.2Г)
Тогда
(9.24)
Подынтегральная функция имеет два 'полюса в точках
Применяя формулу (9.10), находим для вычетов в этих точках
следующие выражения:
Отсюда в соответствии с выражениями (9.7) и (9.24) импульс¬
ная характеристика
(9.25)
Основываясь на .полученном выражении, нетрудно исследовать
прохождение различных сигналов через звено типа рис. 9.4. Рас¬
смотрим два случая: а) включение на вход фильтра в момент t=0
постоянной э. д. с. и б) входной сигнал в виде прямоугольного
импульса.
Воспользуемся выражением (9.17).
В случае а) входной сигнал может быть записан в форме:
s(t) = 1 при t >0,
= 0 при t < 0.
Следовательно, выражение (9.17) переходит в следующее:
График выходного сигнала изображен на рис. 9.6 сплошной
линией. Для полного установления сигнала требуется ^2,5,
чему соответствует время
В случае б) входной сигнал записывается в виде:
s (t) = 1 при 0 < t < т0,
= 0 при 0 > t > т0.
Здесь — длительность прямоугольного импульса.
В пределах 0<*<То выражение для выходного сигнала совпа¬
дает с формулой (9.26).
При t > t0 подынтегральная функция в выражении (9.17) обра¬
щается в нуль при т > х0 (так как при т > т0 s(t)=0). Следо-
рательно, для t > т0 выражение (9.20) переходит в следующее:
(9.27)
Переходя к новой переменной %\ = t — т, приведем это выраже¬
ние к виду
(9.27')
Подставляя g(tt) по формуле (9.25), получаем следующее
окончательное выражение для «Вых(^) при t > т0:
(9.28)
Ход функции 5ВЫХ(0 при t>tQ показан на рис. 9.6 пунктир¬
ной линией.
310
Рис. 9.6
Рис. 9.7
При применении двух, трех или более звеньев частотная харак¬
теристика фильтра все более приближается к идеализированной
фор|.ме, изображенной на рис. 9.7. Фазовая характеристика ста¬
новится при этом все более крутой и линейной (в полосе про¬
зрачности фильтра).
При характеристике, показанной на рис. 9.7, выходное напря¬
жение удобно определять с помощью интеграла Фурье. Полагая
в полосе частот от 0 до /С(£2) =/C=const, а ф(й)=Шо— линей¬
ной функцией частоты, в соответствии с выражением (2.44) полу¬
чаем (при включении в момент ^=0 постоянной э. д. с. Е)
Здесь siQ(£ —10)—интегральный синус.
График функции — А>) изображен на
рис. 9.8. Величина (о на этом рисунке выбрана произвольно, так
как для получения идеальной частотной характеристики (рис. 9.7)
требуется бесконечно большое число звеньев и наклон фазовой
характеристики t0 обращается в бесконечность.
Следует иметь в виду, что простирающиеся до Qt = + оо
осцилляции и„ых(^) также являются результатом идеализации
частотной характеристики. В физически осуществимых цепях
скаты частотной характеристики обладают конечной крутизной
и и»ых(0 начинается не ранее момента V = 0. Несмотря на все
Рис. 9.8
(9.29)
311
эти недостатки, связанные с заменой реального фильтра идеаль¬
ным, наклон кривой ^ на участке а — б (рис. 9.8) довольно
близко совпадает с наклоном для реального фильтра, об¬
ладающего той же полосой пропускания 2С.
Замена реальной частотной характеристики фильтра идеали¬
зированной позволяет найти .простую связь между полосой про¬
пускания Qc (рис. 9.7) и длительностью процесса установления
выходного напряжения.
Под длительностью процесса установления выходного напря¬
жения можно подразумевать время, соответствующее участку
кривой а — б на рис. 9.8.
Точке а соответствует
si2,(*„-*o) = -|, 2Л^-*о) = -1.92,
а точке б
si2c(*«>-*o) = + !> 2Д^-*о) = +1,92;
отсюда1 находим
= <9-30>
Таким образом, наклон фронта выходного напряжения
обратно пропорционален полосе пропускания фильтра.
Приведенные в дайном параграфе примеры являются доста¬
точными иллюстрациями, указывающими путь применения выра¬
жений (9.4) и (9.17) при любых имлульсагх и любых цепях.
9.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ
В современной радиоэлектронике часто встречается необхо¬
димость в преобразовании сигнала, которое имеет характер диф¬
ференцирования или интегрирования. Под этим подразумевается,
что на вход линейного четырехполюсника подается сигнал s(t)y
а с выхода снимается сигнал вида
в случае дифференцирования и
в случае интегрирования.
Здесь т — постоянная величина, имеющая размерность вре¬
мени.
Для выявления структуры дифференцирующей и интегрирую¬
щей цепей проще всего исходить из спектрального ростава вход-
312
ного сигнала s(t) и выходного 5ВЫХ(0- Пусть спектральная плот¬
ность входного сигнала есть «9(й). Тогда в соответствии с выра¬
жениями (9.13') и (9.14') спектральная плотность производной
s(t) равна г£25(й), а для интеграла равна -^<£(£2). Следова¬
тельно, для спектральной плотности выходного сигнала получа¬
ются следующие выражения:
SBHX(2) = tQtS(Q)
в случае дифференцирования и
5вых(2)=^5(2)
в случае интегрирования^
Рис. 9.9
Из последних двух выражений непосредственно видно, что
коэффициент передачи цепи должен иметь вид
K(iQ) = *iQ (9.31)
в первом случае и
K(i 2) = ^2 (9.32)
во втором случае.
Осуществить систему с частотной характеристикой вида (9.31)
или (9.32) .при изменении частоты Q от 0 до оо невозможно. По¬
этому задача дифференцирования или интегрирования сигналов
с широким спектром может быть осуществлена лишь прибли¬
женно, с тем большей точностью, чем в более узкой полосе частот
концентрируется основная часть энергии сигнала.
Простейшие дифференцирующие цепи изображены на рис. 9.9:
— для рис. 9.9, а
В области частот, удовлетворяющих условию RCQ 1 (для
рис. 9.9, а) или -^-2 С 1 (для рис. 9.9, б), коэффициент передачи
313
цепи удовлетворяет выражениям (9.31) — (9.32), причем входящая
в эти выражения величина * имеет смысл постоянной времени RC
или .
Таким образом, приходим к выводу, что приближение «Вых(0
ds
к i-t получается тем лучше, чем меньше постоянная времени
дифференцирующей цепи и чем быстрее убывание спектральной
плотности 5(2) в области высших частот (где K(iQ) отличается
от «2).
Рис. 9.10
При заданной полосе частот (;игнала с наивысшей частотой
£2макс удовлетворительное дифференцирование обеспечивается при
достоянной времени цепи, отвечающей условию
Отметим, что обычная разделительная цепочка Cg, Rg в уси¬
лителях на сопротивлениях (см. §*8.4, рис. 8.15) может быть ис¬
пользована для дифференцирования сигналов, если постоянная
времени CgRg значительно меньше длительности сигнала.
Простейшие интегрирующие цепи, приближающиеся к усло¬
вию (9.32), изображены на рис. 9.10. При соблюдении условия
Йт >1 коэффициент передачи для этих цепей
(9.35)
где i = RC или т .
Как видим, в отличие от дифференцирующих цепей интегри¬
рование получается тем точнее, чем больше постоянная времени
цепи и чем выше частоты, на которых концентрируется основная
часть энергии сигнала.
9.6. ИСКАЖЕНИЯ АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
Рассмотренные в гл. 3, 4 и 5 свойства модулированных коле¬
баний и свойства резонансных* колебательных систем позволяют
выявить влияние последних на качество передачи сигналов по
314
радиолинии. Рассмотрение начнем с наиболее простого случая,
когда модулированная по амплитуде (одним тоном) электродви¬
жущая сила действует в последовательном колебательном кон¬
туре и требуется найти ток в контуре в установившемся режиме.
Контур считаем настроенным на нГесущую частоту колебания,
т. е. <1^= соо.
Наиболее простым способом решения постав¬
ленной задачи является разложение модулиро¬
ванной э. д. с. на гармонические составляющие
и применение к ним обычных законов теории пе¬
ременных токов.
На основании выражения (3.6) можем напи¬
сать (начальные .фазы 0О и ч опущены)
Положение частот соо и coo±Q относительно
резонансной кривой контура показано на
рис. 9.11.
Так как контур настроен на частоту о>о, то сопротивление кон¬
тура для частоты соо равно г, а для частот coi = coo+fi и со2=*оо — Й,
близких к о)р:
22
Здесь а = — Q — абсолютная величина обобщенной расстройки
о)р
KOHfypa для верхней и нижней боковых частот.
Разделив все слагаемые э. д. с. на соответствующие сопротив¬
ления, получим для тока следующее выражение:
(9.36)
Угол ф равен
(9.37)
Из выражения (9.36) видно, что на верхней боковой частоте
ток запаздывает на угол <р относительно э. д. с., а на нижней бо-
315
Рис. 9.11
ковой частоте, наоборот, ток опережает э. д. с. на такой же угол.
Кроме того, амплитуды токов боковых частот ослаблены по срав¬
нению с током несущего колебания в Yl + #2 раз. Если свернуть
выражение (9.36), т е. перейти к форме, аналогичной (3.4), то
получится
(9.36')
Как видим, закон изменения амплитуды тока совпадает с из¬
менением амплитуды электродвижущей силы, однако из-за нерав¬
номерности резонансной кривой кон¬
тура имеется следующее различие
между огибающими тока и э. д. с.:
1) глубина модуляции тока Мх
меньше, чем глубина модуляции
э. д. с. М
2) огибающая амплитуд тока за¬
паздывает на угол
относительно огибающей э. д. с.
Отметим, что сдвиг фазы огибающей совпадает со сдвигом
фазы колебания верхней боковой частоты.
Коэффициент
(9.38)
определяющий уменьшение глубины модуляции тока относительно
э. д. с., иногда называется коэффициентом демодуляции или
просто демодуляцией. График зависимости D от частоты модуля¬
ции совпадает с 'правой ветвью резонансной кривой (рис. 9.12).
Полученные результаты показывают, что с -повышением ча¬
стоты модуляции Q демодуляция падает. Из этого следует, что
при передаче сложного сигнала, обладающего полосой от £2МИН до
£2макс> верхним частотам соответствуют меньшие коэффициенты
модуляции. Так как при приеме колебаний напряжение на вы¬
ходе детектора приемника «пропорционально коэффициенту моду¬
ляции, получается ослабление верхних частот сигнала. Таким
образом, зависимость D(Q) олределяет влияние колебательного
контура на частотную характеристику радиолинии, т. е. опреде¬
ляет степень линейных частотных искажений передаваемых сиг¬
налов.
316
Рис. 9.12
Поскольку форма огибающей тока при тональной модуляции
э. д. с. сохраняется синусоидальной, напряжение на выходе детек¬
тора также остается синусоидальным. Следовательно, нелинейных
искажений сигнала в данном случае не возникает. Из всего пре¬
дыдущего ясно, что это является результатом симметрии частот¬
ного спектра (модулированной э. д. с. относительно резонансной
кривой контура, т. е. результатом
точной настройки контура на часто¬
ту несущего колебания.
Картина изменяется при рас¬
стройке контура, когда (ор^о)0.
Этот случай изображен на рис. 9.13.
Векторная диаграмма для токов представлена на рис. 9.14. На
этой диаграмме вектор OD показывает несущее колебание тока,
запаздывающее относительно фазы э. д. с. на угол 0о (так как
рис. 9.13 соответствует положительной расстройке Д(о = «о—(ор>0).
Амплитуда тока верхней боковой частоты (вектор DC\) в дан¬
ном случае значительно меньше, чем амплитуда тока нижней
боковой частоты (вектор DC2). Длина равнодействующего вектора
OF, изображающего результирующий ток, изменяется по слож¬
ному закону, не совпадающему с синусоидальным законом измене¬
ния огибающей э. д. с.
Следует иметь в виду, что для восстановления передаваемого
сигнала на выходе радиолинии, работающей с амплитудной моду¬
ляцией, применяется амплитудный детектор, обычно представляю¬
щий собой нелинейное устройство. Напряжение на выходе детек¬
тора пропорционально огибающей модулированного колебания.
Из этого следует, что нарушение симметрии амплитуд и фаз ко¬
лебаний боковых частот при неточной настройке контура на несу¬
щую частоту coo приводит к нелинейным искажениям передавае¬
мых сигналов.
Эти искажения проявляются в возникновении новых частот,
кратных частоте Q полезной модуляции.
317
Рис. 9.13
Рис. 9.14
Кроме искажения формы огибающей амплитуд возникает
также псевдо-фазовая модуляция колебания, так 'как при враще¬
нии векторов DC\ и DC% (рис. 9.14) непрерывно изменяется фаза 0
вектора OF относительно фазы несущего колебания э. д. с, (при¬
нятой в качестве исходной). В некоторых случаях это может при¬
вести к добавочным искажениям сигнала.
Все проведенное выше рассмотрение относилось к току в кон¬
туре. Обычно напряжение снимается с реактивных элементов кон¬
тура — индуктивности или емкости. Поэтому для полноты картины
нужно определить структуру модулированного напряжения на
указанных элементах контура. Если
<2
отношение — недостаточно мало, та
(О0
эти напряжения по своей ст{*уктуре
могут отличаться от модулированного
Рис. 9.16
тока в контуре. Очевидно, что на емкости напряжение нижней бо¬
ковой частоты будет больше, чем верхней, а на индуктивности
большее напряжение будет на верхней боковой частоте. Таким
образом, симметрия напряжений боковых частот на реактивных
элементах нарушается. В практике, однако, разница в сопротив¬
лениях реактивных элементов для частот соо + й и соо — £2 на¬
столько мала, что асимметрией можно пренебрегать.
Полученные выше результаты нетрудно распространить на лю¬
бую колебательную систему, например на связанные контуры.
Если резонансная кривая такой системы симметрична ^относи¬
тельно несущей частоты соо, то правая ветвь этой кривой может
рассматриваться как характеристика коэффициента демодуляции
(рис. 9.12).
Остановимся на некоторых особенностях прохождения модули¬
рованных колебаний через двухконтурную систему при сильной
связи контуров. Если k>kKp и на вход системы подается э. д. с.*
промодулированная на 100%, то при частотах модуляции Q, со¬
ответствующих тодъемам резонансной кривой (coi и ©2 на
рис. 9.15) будет иметь место «перемодуляция». Это объясняется
тем, что амплитуда колебаний боковых частот на выходе системы
превысят 50% от амплитуды несущего колебания. Форада выход¬
ного колебания при перемодуляции «показана на рис. 9.16. В точ¬
ках перехода огибающей амплитуд через нуль фаза колебания
318
Рис. 9.15
изменяется на я. При неточной настройке контуров, т. е. когда
о>р =т^=шо, как и в случае одиночного контура, возникают искажения
из-за асимметрии резонансной кривой.
9.7. ИСКАЖЕНИЯ ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
Сложная структура колебания при ЧМ усиливает по сравне-
нию с AM влияние контуров ,на форму сигналов. Даже при гар-
монической (тональной) модуляции частоты спектр модулирован-
ного колебания содержит очень большое число пар боковых ча¬
стот. Если из-за неравномерности, частотной и кривизны фазовой
характеристик цепи нарушаются нормальные амплитудные и фа¬
зовые соотношения между отдельными парами боковых частот,
то параметры результирующего колебания на выходе цепи отли¬
чаются от параметровn входного колебания даже при полной
симметрии частотных и фазовых характеристик цепи.
Влияние цепи может сказаться;
— в искажении закона изменения мгновенной частоты и мгно¬
венной фазы колебания;
— в изменении амплитуды лолезного частотного отклонения о>
в зависимости от частоты модуляции Q и
— в возникновении паразитной амплитудной модуляции.
При детектировании колебаний с помощью частотного детек¬
тора напряжение на выходе приемника пропорционально изме¬
нению мгновенной частоты колебания. Поэтому искажение закона
изменения мгновенной частоты в колебательных контурах пере¬
датчика и приемника приводит к нелинейным искаже¬
ниям сигнала, проявляющимся на выходе детектора в виде
добавочных напряжений с частотами, кратными основной частоте
модуляции, й.
Второе из отмеченных выше изменений параметров частотно-
модулированного колебания приводит к неравномерности частот¬
ной характеристики радиолинии с ЧМ и, следовательно, к ч а-
стотным (линейным) искажениям сигнала.
Рассмотрим воздействие электродвижущей силы, частота ко¬
торой изменяется по закону
(9.39)
на резонансную колебательную систему. Амплитуду э. д. с. Ео счи¬
таем строго постоянной, так что э. д. с. можно представить выра¬
жением (см. § 3.4)
Комплексный коэффициент передачи цепи обозначим через
Примерный вид модуля /((со) и. фазы ф(со) для обычной ре¬
зонансной системы изображен на рис. 9.17, а. Так как выбран
знак плюс перед ф (со), фазовая характеристика <р(со) обладает
отрицательным наклоном в полосе прозрачности цепи. Частотный
апекпр и график -изменения мгновенной частоты о>(t) входной
э. д. с. показаны на рис. 9.17,6 и в. Колебательные системы
обычно настраиваются на среднюю
частоту модулированного колеба¬
ния, поэтому рис. 9.17 и дальней¬
шее рассмотрение относятся к слу¬
чаю
0)Р=0)0.
Для нахождения колебания на
выходе цепи можно, в принципе,
воспользоваться таким же спосо¬
бом, как и в случае амплитудной
модуляции (см. § 9.6). При этом не¬
обходимо учесть изменение ампли¬
туд и фаз для каждой из пар боко¬
вых частот э. д. с. в соответствии
с кривыми К (со) и ф(со). Подобный
метод, вполне точный, пригоден,
однако, лишь при очень малых ин¬
дексах модуляции, т. е. в случае,
когда состав спектра ЧМ колеба¬
ния мало отличается от AM колеба¬
ния (см. § 3.5). В практике, одна¬
ко, чаще всего приходится встре¬
чаться с модуляцией, характери¬
зующейся столь большим числом
составляющих в используемой по¬
лосе частот, что применение спект¬
рального метода сопряжено с боль¬
шими, иногда непреодолимыми,
трудностями вычисления. В таких случаях приходится прибегать
к приближенным методам, позволяющим, хотя (и не вполне точно,
находить колебание на выходе цепи по заданному закону измене¬
ния мгновенной частоты э. д. с. и по заданным частотно-
фазовым характеристикам цепи без разложения э. д. с.
в спектр.
Эти методы, называемые методами «мгновенной» частоты,
основаны на допущении о медленности изменения частоты.
Частота модуляции считается настолько малой, что амплитуда и
фаза колебания на выходе цепи в каждый момент времени могут
быть без большой погрешности определены по частотной и фазо¬
вой характеристикам цепи так же, как и в стационарном режиме.
Таким образом, принимается, что установление стационарных ко¬
320
Рис. 9.17
лебаний -на выходе (происходит почти одновременно с измене¬
нием частоты на входе цепи..
Эти предпосылки тем ближе к истине, чем больше период мо-
2тс
дуляции -Q- и чем меньше .постоянная времени цепи т. Так как
последняя обратно пропорциональна полосе пропускания цепи
2Асо0, то одним из условий применимости метода мгновенной ча¬
стоты является неравенство
При одной и той Же частоте £2 скорость изменения мгновен¬
ной частоты э. д. с. зависит от амплитуды частотного отклоне¬
ния сод, поэтому соблюдения только этого неравенства еще недо¬
статочно. Должны быть наложены ограничения и на отношение
Болеё подробное рассмотрение1 показывает, что если
меньше или близко к единице, то метод мгновенной частоты
обеспечивает вполне достаточную для практики точность.
При выполнении перечисленных условий напряжение на вы¬
ходе цепи можно определить с помощью выражения
(9.40)
где ф = о)0^ + т sin 2t — полная фаза э. д. с. на входе цепи
(см. § 3.4), а
9 (о>) — аргумент коэффициента передачи цепи.
Из этого выражения видно, что амплитуда выходного напря¬
жения изменяется по закону
(9.41)
а мгновенная частота по закону
(9.42)
Так как первый член в правой части этого выражения пред¬
ставляет собой мгновенную частоту входной э. д. с. со(/),' то ве¬
личина
(9.43)
характеризует влияние рассматриваемой системы на частоту вы¬
ходного колебания.
Итак,
1 См. Гоноровский И. С. Радиосигналы и переходные явления в ра¬
диоцепях. Связьиздат, 1954.
21 Зак 3/235
321
Если известно уравнение фазовой характеристики <р(со), то,
подставив вместо со в соответствии с выражением (9.39) вели¬
чину
и дифференцируя по t, получим общее выражение для s(t)
(9.45)
При периодической модуляции частоты s(t) является также
периодической функцией времени и может быть разложена в ряд
Фурье. Так как при настройке системы на среднее значение вы¬
нуждающей частоты соо фазовая характеристика обычно анти¬
симметрична относительно о)о, то ряд Фурье содержит одни
лишь нечетные гармоники £2, 3Q, 5Q и т. д. Учитывая, наконец,
что 'при изменении частоты тю закону (9.39) производная <р, т. е.
s(t), является нечетной функцией времени, приходим к выводу,
что ряд Фурье содержит одни лишь синусоидальные члены, т. е.
(9.46)
где Si, S3, ... и так далее — амплитуды гармоник функции s(t).
Подставляя выражение (9.46) в (9.44), получаем
(9.47)
Слагаемое Sj под знаком радикала отброшено как величина выс¬
шего порядка малости по сравнению с о>^.
Сопоставление выражений (9.47) и (9.39) позволяет сделать
вывод о том, что влияние цепи на выходное колебание заклю¬
чается в запаздывании фазы сигнала на угол у, определяемый
выражением
и в возникновении нечетных гармоник в законе изменения мгно¬
венной частоты.
Как отмечалось выше, наибольшее значение имеет обычно
последнее обстоятельство.
Приложим полученные результаты к двум случаям: оди¬
ночному колебательному контуру и двухконтурной связанной
системе.
322
1. Одиночный контур
Подразумевая под К{т) отношение комплексной амплитуды
напряжения на конденсаторе к амллитуде э. д. с., вводимой после¬
довательно в контур, получаем
Учитывая, что
и пренебрегая изменением со в числителе, так как юд обычно очень
мало по сравнению с шо, можем написать
где
На основании соотношения (9.^5) находим
Применяя формулу (2.6), находим
Произведя интегрирование, получим следующие окончатель¬
ные формулы для амплитуд первой и третьей гармоник функ¬
ции s(t):
(9.50)
(9.51)
Здесь
Далее по формуле (9.47) находим фазовый сдвиг для сиг¬
нала
Теперь нетрудно определить коэффициент нелинейных иска¬
жений по третьей гармонике, который получится после детекти¬
рования частотно-модулированного колеба¬
ния. Для этого нужно разделить амплиту¬
ду S3 третьей гармоники функции s(t) на
амплитуду (Од основной частоты Q [см. фор-
мулу (9.51)1:
(9.53)
(9.53')
Рис. 9.18
График зависимости тК3(юл*) изображен на рис. 9.18. При
<»дТ < 1 формулы (9.52) и (9.53) приводят к простым соотноше¬
ниям
Рис. 9.19
При «ус-> 1 (но 1), т. е. при девиации, почти равной
полосе пропускания контура,
Итак, в условиях, когда -метод мгновенной частоты применим,
предельные искажения в одиночном контуре не превышают долей
процента.
Нетрудно найти амплитудные изменения выходного колебания.
Для этого можно воспользоваться резонансной кривой контура и
произвести построение, показанное на рис. 9.19. Нетрудно видеть,
что основная частота изменения огибающей амплитуд U вдвое
превышает частоту модуляции Q.
2. Система из двух связанных контуров
В данном случае под К(ш) подразумевается отношение ком¬
плексной амплитуды напряжения на конденсаторе второго кон¬
тура .к амплитуде э. д. с., вводимой в первый контур. В соответ¬
ствии с формулой (5.56') для критической связи двух одинаковых
контуров фазовая характеристика коэффициента передачи опре¬
деляется выражением 1
/ч , 2 (<•>-— ш0) т , 2о>дТ cos Ш
9 (») = - arctg г_[(—-)-.у = - arctg >
откуда
2с1)д'г2 sin Qt (2 + со cos2 йЛ
5 (t) = — —Ц 5 L . (9.54)
4 + o)^t4cos4 Ш
Для сравнения с одиночным контуром ограничимся малыми
величинами и>дт<^1. Вместо выражения (9.54) можно написать
/ и2п&Со&Ш \
s (t) « (одт2 sin Ш (^1 -| —2 J- (9.54')
Сравнивая это выражение с формулой (9.49), которая при
малых о)дТ может быть представлена в форме
s (t) « 2(одт sin 2^(l — (одт2 cos2 Ш),
приходим к выводу, что в случае двух связанных контуров
(&Q=1) коэффициент нелинейных искажений в два раза меньше,
чем при использовании каждого из контуров порознь. Это, есте¬
ственно, вытекает из того факта, что полоса пропускания двух¬
контурной системы лри kQ= 1 в У 2 раз больше, чем у одного
контура. Если исходить из одной и той же полосы пропускания,
для чего потребуется в случае связанной системы увеличить х
в /2 раз, то искажения будут в У 2 раз больше, чем в одном
контуре2.
1 Знак минус здесь взят потому, что в выражении для K(iсо) аргумент
входит со знаком плюс.
2 При kQ < 1, т. е. при очень слабой связи, искажения по величине при¬
ближаются к искажениям в системе, состоящей из двух разделенных кон¬
туров.
325
Проведенное в настоящем параграфе рассмотрение охваты¬
вает случай относительно медленного и «узкополосного» измене¬
ния частоты, не выходящего за пределы полосы прозрачности цепи.
В современной радиоэлектронике большое распространение
получили также устройства, в которых используется качание ча¬
стоты колебания в широких пределах. Воздействие такого коле¬
бания на избирательные системы рассматривается в следующем
параграфе.
9.8. ВОЗДЕЙСТВИЕ РАДИОИМПУЛЬСОВ НА ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ
В § 9.4 было рассмотрено прохождение импульсов без высо¬
кочастотного заполнения через апериодические цепи, а в пара¬
графах 9.6—9.7 — прохождение простейших AM и ЧМ колебаний
через колебательные системы. Теперь нам предстоит ознакомиться
с методами исследования воздействия более сложных радиосигна¬
лов на колебательные системы
В общем случае радиосигнал можно представить в виде высо¬
кочастотного колебания, модулированного по амплитуде и по
углу:
5 (t) = A (i) cos [<V-f 0(OL (9.55)
где A(t) и 0(/) —медленно изменяющиеся по времени амплитуда
и фаза колебания [см. § 3.8, выражение (3.41)].
Выбор наиболее удобного метода определения сигнала на вы¬
ходе системы зависит от формы сигнала и характера цепи; в прин¬
ципе, могут быть использованы как спектральный или оператор¬
ный методы (§ 9.2), тж и метод временного интегрирования
(§ 9.3). В тех случаях, когда сигнал представляет собой сложную
функцию времени, для которой спектральную плотность затруд¬
нительно выразить аналитически, более удобным оказывается
второй метод.
Подставляя в уравнение (9.17) выражение (9.55), получаем
следующее общее выражение для сигнала на выходе цепи, обла¬
дающей импульсной характеристикой g(t):
t
«вых(*)= J .А (-с) cos [<ОО/ + 0 (<}]£(< — t)di. (9.56)
—оо
Для дальнейшей конкретизации этого выражения требуется зна¬
ние характера сигнала и структуры цепи.
1. Включение немодулированной ВЧ э. д. с. в колебательный
контур
Входной сигнал в этом случае можно записать следующим
образом:
5 (0 — cos («>о^ То) при ^>0, |
Это означает, что в выражении (9.55)
A{t) = 1 при^>0;)
Л (*>=() при * < 0 J (9'58)
И
0 (/?) = ср0 = const. (9.59)
В качестве выходной величины примем напряжение на емко¬
сти контура. Тогда в соответствии с выражением (4.101) импульс¬
ная характеристика цепи.
S (0 — cos сосв^. (9.60)
Подставляя выражения (9.57) — (9.59) в исходное уравнение
(9.56), получаем
t
W (t) = («ев J е-*^-’’ cos «>св (t — х) cos К* + <Ро)—
0
t
_j*е-«у--)cos J(ШоWcj4-<р0] dt +
0
t
+ j C0S [(“о + “ев) х — "евt + То] rfx-
о
Интеграл произведения „медленной" функции е-а( х) на
функцию, осциллирующую с частотой о>0 -j- “св. может быть от¬
брошен (см. § 3.8).
В результате получаем
327
Наиболее простой результат получается при совпадении ча¬
стоты заполнения э. д. с. соо с частотой собственных колебаний кон¬
тура сосв. Подставляя соо = соСв> получаем
(9.61)
Из этого выражения видно, что при совпадении частот соо и
<осв огибающая амплитуд выходного сигнала нарастает по закону
независимо от фазы 9. д. с. в момент включения.
Диаграммы s(t) и sBblx(/) для рассматриваемого случая изо¬
бражены на pfic. 9.20.
sft)
(JO
Рис. 9.21
Отметим, что полученные результаты можно распространить
и на случай, когда о>0 совпадает не с о>св, а с резонансной часто¬
той о)р, так как разница между «>р и о)св обычно ничтожно мала.
При расстройке контура относительно частоты э. д. с.
(о)0 ^ (осв) картина несколько усложняется. Выражение (9.60)
в этом случае приводится к виду
(9.62)
где
328
Рис. 9.20
(9.63)
Из выражения (9.62) видно, что при соот^св огибающая вы¬
ходного сигнала нарастает не монотонно (как на рис. 9.20),
а с пульсациями (рис. 9.21). Частота этих пульсаций равна Дсо,
т. е. разности частот внешней силы и собственный колебаний кон¬
тура. При относительно малых расстройках Асо свободное коле¬
бание затухает быстрее, чем за время одного периода разностной
частоты. При этом фронт нарастания огибающей лишь незначи¬
тельно отличается от случая cdo = (dcb-
2. Прохождение прямоугольного импульса с смодулированным
заполнением через колебательный контур
Частота заполнения (постоянна и равна собственной частоте
контура (соо = сосв). Этот случай легко сводится к предыдущему.
В промежутке 0<^<т0 диа¬
грамма выходного сигнала (на¬
пряжение на емкости контура)
имеет вид, показанный на рис.
9.20, начиная же с момента пре¬
кращения действия импульса
сигнал представляет собой сво¬
бодное колебание с частотой саСв
и с амплитудой, убывающей по
закону е_а/.
Таким образом, при воздейст¬
вии на контур радиоимпульса
с прямоугольной огибающей
получим картину, изображен¬
ную на рис. 9.22 (при (оо=
== ^св ) •
3. Воздействие э. д. с. с линейно меняющейся частотой
на избирательную систему
Пусть э. д. с. определяется выражением
£(/?) = cos (<*>i^-f-f^2) ПРИ <>0. (9.64)
Амплитуда этой э. д. с. постоянна и равна единице, а частота из¬
меняется ло линейному закону:
(9.65)
со скоростью 2р.
Требуется найти напряжение на выходе избирательной цепи*
обладающей заданными резонансной частотой и полосой про¬
329
Рис. 9.22
зрачности. Подобная задача часто встречается в различных ра¬
диоэлектронных устройствах, использующих качание частоты по
пилообразному закону (приборы для анализа амплитудно-частот-
ных характеристик избирательных систем, анализаторы спектра
сигналов и др.)* Каждый пробег частоты э. д. с. через полосу
прозрачности цепи при пилообразном изменении можно, при не¬
которых оговоренных ниже условиях, рассматривать как воздей¬
ствие э. д. с., определяемой выражением (9.64).
Для облегчения выяснения сути метода, а также принципиаль¬
ной стороны явлений, мы ограничимся случаем одиночного коле-
Рис. 9.23
бательного контура. В качестве выходной величины примем, как
и в п. 1, напряжение на емкости контура. Тогда импульсная ха¬
рактеристика цепи в соответствии с выражением (9.60), равна
g V) = “све-"' cos u>CBt,
а изменение частоты входной э. д. с. относительно полосы про¬
зрачности контура имеет вид, показанный на ри,с. 9.23. Через At
на этом рисунке обозначено время пребывания мгновенной ча¬
стоты о)(/) в полосе прозрачности контура, равной 2Асоо=2а (на
рис. 9.23 полоса заштрихована). Частота сосв приравнена о)р.
Применяя выражение (9.16), составляем выражение для вы¬
ходного напряжения
(9.67)
(9.69)
Это выражение можно свести к табулированным функциям1
следующего вида:
(9.70)
Действительно,
1 Фаддеева В. Н. и Терентьев Н. М. Таблицы значений интеграл*
вероятностей от комплексного аргумента. Гостехиздат, 1954.
331
[второй интеграл, содержащий суммарную частоту (2^ + шсв),
как и в предыдущих примерах, отброшен].
Запишем выражение (9.6.6) в форме, более удобной для инте¬
грирования:
Показатель степени в подынтегральном выражении целесо¬
образно преобразовать к виду
Тогда выражение (9.66/) может быть приведено к следующему
виду:
где обозначено
(9.72)
(9.72')
Исследование выражения (9.71) позволяет определить все па¬
раметры выходного колебания: огибающую амплитуд, частоту и
фазу. '
Рассмотрим два предельных случая: очень медленное и очень
быстрое изменение частоты э. д. с.
Первой случай имеет место, когда время пребывания At мгно¬
венной частоты со(^) в полосе прозрачности контура 2Дсоо очень
велико по сравнению с постоянной времени контура т,*а второй
случай — когда, наоборот, это время мало по сравнению с по¬
стоянной времени.
Непосредственно из рис. 9.23 видно, что
или
1
(9.73)
332
В дальнейшем для упрощения анализа мы будет считать
coi = 0. При этом
Следовательно, условие медленности изменения о>(^) можно за¬
писать в виде
При этом условии в соответствии с выражением (9.67) полу¬
чаем, что при о)1=0 комплексная величина
по модулю во много раз больше единицы. В силу свойств функ¬
ций W(Z)y можно приближенно считать W(Z\)-+0.
Кроме того, при o)i = 0
Таким образом, выражение (9.71) лереходит в следующее:
где
Первый множитель в правой части есть не что иное, как урав¬
нение резонансной кривой контура [см. формулу (4.23")].
Следовательно, при изменении со во времени изменение ампли¬
туды выходного напряжения воспроизводит форму резонансной
кривой цепи. Рассмотренный режим медленного изменения ча¬
стоты э. д. с. > 1 j характерен для устройств, используемых
для исследования амплитудно-частотных характеристик избира¬
тельных цепей.
1 См. сноску на стр. 331.
333
Обратимся к определению W(Z2). Из выражений (9.67) и
(9.72) следует, что при coi = 0 Z2 может быть приведено к виду
Учитывая далее, что * = — ~> a запишем
окончательное выражение для u(t) в следующей форме:
При любом значении <o(t) |Z2|>1. Поэтому можно восполь¬
зоваться приближенным выражением 1
Подставляя это выражение в уравнение (9.71) , получаем
То обстоятельство, что фаза ф является функцией времени и,
следовательно, частота выходного колебания несколько отли-
Рис. 9.24
чается от входной частоты, значения не имеет (при медленном
изменении со(/), —р «0).
В другом предельном случае, когда—<^1 и соответственно
—^=-<1, очень быстрый пробег частоты э. д. с. через полосу
у Р
334
Р»с. 9.25
прозрачности контура создает „удар“, в результате которого
в контуре возбуждается свободное колебание с частотой <*>св vt
с затуханием а.
От времени пребывания со (t) в полосе контура зависит лишь
начальная амплитуда свободного колебания. Более подробно
этот вопрос рассматривается в приложении IV.
В промежуточных случаях, когда At соизмеримо с т, коле¬
бание имеет сложную форму. Огибающая напряжения, вычислен¬
ная по формуле (9.71) для нескольких значений параметра -4=,
У Р
изображена на рис. 9.24. Осцилляции огибающей объясняются
сложением вынужденных колебаний (с частотой внешней э. д. с.)
с собственными колебаниями контура. Рис. 9.24 построен для ли¬
нейно нарастающей частоты (р>0). В случае убывания частоты
(р<0) получается картина явлений, изображенная на рис. 9.25.
9.9. ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОСИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ СИСТЕМЫ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Цепи с распределенными постоянными обладают некоторыми
особенностями, которые затрудняют применение спектрального
метода анализа .переходных процессов.
В гл, 7 было показано, что распределение токов и напряжений
в линии конечной длины сильно зависит от частоты (за исклю¬
чением случая согласованной нагрузки на омическбе сопротивле¬
ние R=p). При разложении электродвижущей силы, действую¬
щей на входе линии, на отдельные гармонические составляющие
выражение для входного сопротивления линии оказывается очень
сложной функцией частоты. При широком спектре сигнала сумми¬
рование тсжов и, напряжений для нахокдения распределения ре¬
зультирующих токов или напряжений является весьма сложной
задачей.
Более целесообразно искать решение непосредственно в виде
волн, распространяющихся вдоль линии при появлении на ее
входе сигнала. Эта задача успешно решается с помощью опера¬
торного метода.
Вывод исходных уравнений для устанавливающегося режима
в линии при включении в момент t — О произвольной электродви¬
жущей силы e(t) внешне совпадает с обычным выводом для
стационарного режима при гармоническом возбуждении линии
(см. § 7.2). В основу анализа можно положить уравнения (7.1),
заменив в них комплексные амплитуды U(x) и 1(х) на изображе-
ния их(р) и 1х(р);
(9.77)
335
В этих*, выражениях *'постоянная распространения у = у (р) и
волновое сопротивление W=W(p) получаются заменой /со на р
в выражениях (7.2) и (7.3):
(9.78)
(9.79)
а постоянные А\(р) и А2(р) определяются с помощью выражений
типа (7.12) и (7.14), в которых под коэффициентам отражения
(у конца линии) напряжения Г следует подразумевать величину
В дальнейшем вместо у{р) и W(p) будем’ писать просто
у и W.
Для перехода от Ux(p) и 1х(р) к мгновенным значениям ux(t)
и ix(t) или, опуская индекс х, к ^u(t) и i(t) можно применять
обратное .преобразование Лапласа, как это изложено в § 9.2.
Применительно к задаче исследования переходных процессов
расстояния удобно отсчитывать не от конца линии (как в гл. 7),
а от ее начала. В соответствии с таким отсчетом, когда х обозна¬
чает расстояние данного сечения линии от ее начала, исходные
уравнения (9.77) должны быть записаны в следующей форме:
При определении А\(р) и А2(р) следует учитывать выбран¬
ную систему отсчета х.
9.10. ПЕРВАЯ ПАДАЮЩАЯ ВОЛНА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ СИГНАЛЕ
Допустим, что явления в линии рассматриваются хронологи¬
чески, начиная с момента появления сигнала на входе линии.
Тогда на первом этапе процесса установления, от момента £ = 0
до момента t\ прихода волны к концу линии, отраженные волны
в линии еще отсутствуют и в выражениях (9.81) можно ограни¬
читься первыми членами. При этом ^i(p) имеет, очевидно, смысл
напряжения (точнее изображения напряжения) в начале линии.
Обозначив это напряжение через Uo(p) =Ai(p)9 можем написать
(W
(9.81)
(9.8Г)
336
при
О < t < tlu
Обратимся теперь к выражению (9.78) для постоянной рас¬
пространения у, и приведем его к виду
При этих обозначениях постоянную распространения можно
представить в форме
Дальнейший ход решения зависит от соотношения между па¬
раметрами линии, а также от структуры f/o(p), т. е. от спектра
сигнала, передаваемого по линии.
Использование точного уравнения (9.86) оказывается иногда
эправданцым в технике проводной связи, когда необходимо учи¬
тывать искажение формы телеграфных сигналов в кабельных ли¬
ниях большой протяженности,.
Применяемые в высокочастотной технике линии обычно ха¬
рактеризуются относительно малой протяженностью и относи¬
тельно малыми потерями на единицу длины. Целесообразно по¬
этому упростить выражение (9.86), считая условно потери
равными нулю. Полученное с таким допущением решение может
22 Зак. 3/235 337
Введем обозначения
(9.82)
(9.83)
(9.84)
(9.85)
и уравнения (9.8Г) принимают вид
(9.86)
при
О < t < tu
быть затем уточнено учетом затухания амплитуд вдоль
линии.
Итак, для линии без потерь, когда R = О, G = 0 и, следова¬
тельно, 8 = а = 0, a W—j/r-^-=-p, уравнения (9.86) переходят
в следующие:
(9.87)
В соответствии с правилом образования замкнутого контура
интегрирования (см. § 9.2) интеграл в правой части выражения
(9.88) при t<— обращается в нуль. Таким образом, независимо
от характера приложенного к линии напряжения uo(t) напряже-
ние в точке х возникает в момент t= —. Величина и, определяе¬
мая формулой (9.82), представляет собой скорость движения
волны вдоль линии.
Отметим, что выражение (9.82) совладает с выражением (7.8),
определяющим скорость распространения синусоидальной волны
вдоль линии без потерь в стационарном режиме. В § 7.2 при
истолковании формулы (7.8) уже отмечалось, что в линии без
потерь скорость v не зависит от частоты. Этим и объясняется, что
полученная выше скорость распространения сложного сигнала не
зависит от его частотного спектра. Из этого вытекает следующее
важное положение: при распространении сигнала вдоль линии
без потерь форма его остается неизменной.
При напряжение в точке л; определяется путем сумми¬
рования вычетов в полюсах функции UQ(p). В частности, при
включении на линию в момент 1 = 0 постоянного напряжения
u0(t) = U09 когда изображение uQ(t) равно
338
Искомые мгновенные значения напряжения и тока легко опре¬
деляются с помощью выражения вида (9.6).
Для напряжения в сечении линии на расстоянии л: от конца
имеем
находим [см. формулы (9.7) —(9.8)]
(9.89)
Аналогично нетрудно получить выражение для мгновенного
значения тока в сечении линии, отстоящем на расстоянии х от
начала:
(9.90)
Полученные результаты нетрудно распространить и на «не¬
искажающую» линию [см. выражение (7.21)], т. е. на случай*
когда
(9.91 >
(9.92)
при
Уравнения (9.92) показывают, что волна напряжения (или
тока) в случае имеет вид, показанный на рис. 9.26. Эта
волна характеризуется неискаженным фронтом, достигающим
точки х в момент времени t — ^j. При ^ ~ напряжение и ток
22* 339
При этом а обращается в нуль и выражения (9.86) перехо¬
дят в следующие:
Применяя выражения (9.6),-(9.7) и (9.8), получаем.
в рассматриваемом сечении будут иметь постоянные значения,
определяемые выражениями (9.92).
При включении в момент £=0 синусоидального напряжения
применение выражений (9.7) —(9.8) дает в случае неискажаю¬
щей линии
При подстановке 6 = 0 получится решение для линии без по¬
терь.
Волна напряжения в неискажающей линии при включении
синусоидального напряжения изображена на рис. 9.27. Фронт
волны передвигается в направлении положительных х со ско¬
ростью V.
Если зафиксировать какое-либо сечение х, то, начиная с мо¬
мента t= —, напряжение и ток в рассматриваемом сечении из¬
меняются во времени по закону (9.93). Амплитуды в этом сечении
8
х 1
в е v раз меньше, чем в начале линии, а фазы отстают на
угол <р = от фазы колебаний в начале линии.
При длине линии I фронт волны достигает конца линии за
время <1= Следовательно, сделаннное выше допущение об
340
изображение которого
Рис. 9.26
Рис. 9.27
(9.93)
при
отсутствии в линии отраженных волн справедливо для проме¬
жутка времени от 0 до t\. В последующие (моменты времени на
напряжение и ток, определяемые выражениями (9.8Г), должны
быть наложены волны, получающиеся в результате отражений
у концов линии. Этот вопрос рассматривается в следующем пара¬
графе.
9.11. ОТРАЖЕНИЕ СИГНАЛА У КОНЦА ЛИНИИ
Рассмотрим отрезок однородной линии длиной /, нагруженный
на конце произвольным сопротивлением Z(p) (рис. 9.28). Функ¬
ция Е(р) представляет собой, как и в предыдущем параграфе*
изображение Лапласа для произвольной э. д. с. e(t); действующей
при 0.
Рассмотрение явлений в линии начнем с момента времени
t\ = ~ , когда фронт волны достигает конца линии. При подходе
к сопротивлению Z(p) падающая волна
напряжения в соответствии с формулой
(9.91) определяется выражением (при* = /)
--1 - 1
Ut (р)=Е(р)е v е Р*. (9.94)
При определении напряжения на сопро¬
тивлении Z(p) необходимо учитывать от¬
раженную волну, возникающую в точках, где нарушается одно¬
родность линии. Обозначим отраженную волну напряжения через
ихо(р). Тодда напряжение Ui0(p) этой волны в точке х = 1 сов¬
местно с падающей волной U, (р) -должно удовлетворять уело-
ВИЮ
U2(p) = Ut (р) + и1о(р), (9.95>
П 0
где Uzip) — результирующее напряжение на сопротивлении Z(/?)..
Подобное выражение можно написать и для токов
lz(p)=I, (Р) + 1[о(Р), (9-96)
П *°
U Ар)
где Iz(p)= /, . ток через сопротивление Z(p), а /, (р) э
** \Р) У П
11о (р) соответствуют падающей и отраженной волнам токов, при¬
чем согласно выражению (9.81)
Рис. 9.28
Таким образом, выражение (9.96)* приводится к виду
Отношение
(9.100)
Складывая это напряжение с Uxn(p), можно найти результи¬
рующее напряжение в любом сечении линии в промежутке вре¬
мени
Выражения (9.98) и (9.101) полностью решают задачу опре¬
деления напряжения (или тока) на сопротивлении Z(p) и в отра¬
женной волне. Формула (9.98), в частности, показывает, что при
определении тока через сопротивление Z(p) можно исходить из
эквивалентной схемы рис. 9.29, в которой линия, питающая на-
342
или
Складывая выражения (9.95) и (9.97), получаем
Подставляя выражение (9.98) в формулу (9.95), легко най¬
дем напряжение
можно назвать переходным коэффициентом отражения.
Как и при установившемся режиме, переходный коэффициент
отражения Г(р) = 1 для разомкнутой на конце линии [Z(p)= оо]
и Г(р)= — 1 для короткозамкнутой
линии [Z(p)= 0].
Величина U0 (р), как указывалось
выше, представляет собой изображе¬
ние для отраженной волны напряже¬
ния в точке х = 1. При удалении от
конца линии отраженная волна по
аналогии с формулой (9.91) определяется выражением
Рис. 9.29
грузку Z(p), заменяется генератором с э. д. с. 2 U (р) и внутрен-
, 1
ним сопротивлением р, включаемым в схему в момент t— —.
Рассмотрим важный для практики пример. К отрезку линии,
нагруженному на конце резонансным колебательным контуром
(рис. 9.30), в момент t=0 прикладывается напряжение e(t) =
=Е sin coo t.
Рис. 9.30
Рис. 9.31
Напряжение падающей волны в точке х=1 в соответствии
с выражением (9.93) равно
(9.102)
при
Основываясь на формуле (9.98), сведем схему рис. 9.30
к эквивалентной схеме рис. 9.32, для которой э. д. с. равна
2и, (^). Для определения напряжения uK(t) на контуре восполь¬
зуемся общим выражением (9.4), в котором под Е(р) нужно
понимать изображение для э. д. с. 2и, (t), а под коэффициентом
П
передачи К (р) следующее отношение:
343
Составим выражение для Е(р). Применяя к выражению
<9.102) формулу (9.5) и учитывая правило (2.38), получаем
Далее
Следовательно,
Подставляя найденные выражения для Е(р) и К(р) в выра¬
жение (9.4), будем иметь
После того как свободное колебание в контуре, вызванное
ударом падающей волны в момент t— , затухает, на контуре
устанавливается стационарное напряжение, соответствующее
одной лишь падающей волне в точке х = 1:
Определяя вычеты подынтегральной функции и применяя
выражение (9.7), получаем (для резонансного случая, когда
Подставляя в это выражение
и учитывая, что = представляет собой резонансное сопро¬
тивление собственно контура, получим следующее окончатель¬
ное выражение:
Допустим, что контур Ьогласован с линией, т. е. что резо¬
нансное со,противление контура (в стационарном режиме) равно
rj, г 1 1
волновому сопротивлению линии. Тогда х ~ ~z С = ~рС~ и выРа“
жение (9.103) переходит в следующее:
Сравнивая выражения (9.103') и (9.103"), можно заключить*
что время, необходимое для установления режима в согласован¬
ной на конце линии, определяется постоянной времени резонанс¬
ного контура. При определении затухания контура должно быть
учтено шунтирующее действие линии, т. е. аэ необходимо опре¬
делять по формуле
Составим выражение для отраженной волны напряжения.
Для этого можно воспользоваться общей формулой (9.101). В дан¬
ном примере, после того как найдены и, (t) и uK(t), это можно
п
выполнить .проще на основании очевидного соотношения [см. фор¬
мулу (9.95)]
Из сопоставления выражения (9.102) и (9.103") непосред¬
ственно следует, что у конца линии отраженная волна напряжения
будет
(9.104)
при t > —, а при удалении от конца линии эта волна изменяется
по закону
Таким образом, в рассматриваемом примере отраженная
волна напряжения представляет собой колебание, затухающее
как вдоль линии, так и во времени.
Все вышесказанное относится также и к току в линии.
Полученные выше результаты 'имеют большое прикладное
значение для передающих, приемных, измерительных и других
радиотехнических устройств, в которых используются цепи с рас¬
пределенными параметрами (антенны, фидеры, волноводы). При
недостаточно полном согласовании линии $ нагрузкой (во всем
спектре частот сигнала) возникают отражения («эхо»), искажаю¬
щие передачу.
Так, например, отражения в антенно-фидерных трактах теле¬
визионных устройств могут .приводить к появлению повторных
‘изображений на экранах телевизоров. Уровень эхо может быть
оценен с помощью' рассуждений, аналогичных приведенным в на¬
стоящем параграфе.
345»
ГЛАВА 10
НЕЛИНЕЙНОЕ УСИЛЕНИЕ
10.1. НАЗНАЧЕНИЕ И ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
УСИЛИТЕЛЕЙ
В гл. 8 было показано, что линейный режим усиления сигна¬
лов достигается ценою отказа от хорошей отдачи усилителя. Рез¬
кое снижение коэффициента полезного действия в подобных
усилителях является результатом слабого использования вольт-
амперной характеристики усилительного элемента. В маломощ¬
ных «усилителях напряжения», где энергетика не играет суще¬
ственной роли, этот недостаток имеет второстепенное значение.
В радиоэлектронике имеются, однако, обширные области,
в которых наряду с требованием неискаженного воспроизведения
сигналов первостепенное значение имеет требование достаточно
высокого коэффициента полезного действия усилителя. К таким
областям относятся: радиопередающие устройства, бортовая ра¬
диоэлектронная аппаратура в авиации и ракетной технике, мощ¬
ные акустические усилители и т. д. Повышение отдачи в усилите¬
лях имеет двоякое значение: а) снижается потребление энергии и
б) снижаются потери и соответственно тепло, выделяемое в са¬
мом усилительном элементе.
Оказывается, что с помощью специальных схемных приемов
можно осуществить практически неискаженное усиление
в устройстве, работающем в нелинейном режиме, при котором
удается получить весьма хорошую отдачу.
Суть этих приемов заключается в компенсации высших гар¬
моник сигнала, возникающих из-за кривизны вольтамперной ха¬
рактеристики усилительного элемента.
В результате получается устройство, являющееся сочетанием
линейных и нелинейных элементов, которое в целом обладает
свойствами линейной системы и, вместе с тем, позволяет создать
выгодный энергетический режим для усилительного (нелиней¬
ного) элемента.
Из гл. 8 ясно, что для получения хорошей отдачи и одновре¬
менно наибольшей возможной мощности должно обеспечиваться
достаточно полное использование характеристики усилительного
346
элемента при минимально возможном токе покоя. В случае элек¬
тронного усилителя /подобный режим работы получается при уста¬
новлении рабочей точки вблизи нижнего сгиба характеристики
лампы и при подаче на вход усилителя напряжения достаточно
большой амплитуды. Получающийся при этом режим работы
представлен на (рис. 10.1 для пентода, когда реакцией анодного
напряжения можно пренебрегать и анодный ток определяется
в основном напряжением сетки. Напряжение смещения выбрано
отрицательным и настолько 'большим по абсолютной величине, что
в отсутствие переменного сеточного напряжения лампа заперта
и анодный ток равен нулю.
При действии на сетку напряжения
Aeg (t) = Eg cos
анодный ток существует лить на протяжении части периода, рав¬
ной 20 (рис. 10:1), т. е. когда выполняется условие
Eg cos ibt — | EgQ | -|- | -fg! | >0, (Ю.1)
где egl — напряжение (отрицательное) сетки, соответствующее на¬
чалу вольтамперной характеристики лампы (пересечению оси
абсцисс с продолжением линейной части характеристики). В мо¬
менты перехода eg(t) через значение Egl происходит «отсечка»
анодного тока.
Угол со^ = 0, соответствующий изменению тока от максималь¬
ного значения 1т до нуля, получил название угла отсечки.
347
Рис. 10.1
Основание импульса анодного тока равно, очевидно, 20. В пре¬
делах этого угла форма импульса тока близка к косинусоидаль¬
ной и, если пренебречь кривизной вольтамперной характеристики,
мгновенное значение анодного тока может быть выражено урав¬
нением
ia = rm (coseot — cos 0) (10.2)
при — 0 < < 0.
Здесь Гт обозначает максимальное значение импульса, кото¬
рое получилось бы при отсчете ординат ia от пунктирной ли¬
нии at на рис. 10.1.
Для дальнейшего рассмотрения целесообразно выразить ia че¬
рез амплитуду 1т реально существующего импульса, который^
конечно, не может превысить тока ограничения лампы. Для этого
приравняем в выражении (10.2)со^=0, тогда
ia (0) =1т = Гт( 1 — cos 9),
откуда
Подставив это выражение в уравнение (10.2), получим окон¬
чательно
'la = Т—ms в (C0S Wt ~ C0S в)’ (10-3)
— 0 < Ы < 0.
Определяемый этим выражением импульсный анодный ток,
изображенный в правой части рис. 10.1 и на рис. 10.2, резко отли¬
чается !по форме от усиливаемого колебания, подводимого к сетке.
Это является результатом использования электронной лампы
в нелинейном режиме. При этом неизбежно возникновение
в анодном токе составляющих (гармоник) с частотами, крат¬
ными со. Однако искажение формы анодного тока еще не озна¬
чает обязательного искажения формы колебания, выделяемого на
анодной нагрузке. Если построение и параметры схемы усилителя
обеспечивают выделение полезной составляющей тока, т. е. основ¬
ной гармоники с частотой со, и достаточно хорошее подавление
высших гармоник 2со, Зсо и так далее, то выходное напряжение,
как и в случае линейного усиления, может быть получено в виде
гармонического или почти гармонического колебания.
348
Крупным энергетическим преимуществом подобного режима
работы электронного усилителя является относительно малая ве¬
личина постоянного тока, отбираемого лампой от источника пи¬
тания. Эта величина определяется средним значением импульс¬
ного тока, представленного на рис. 10.2.
Для выявления основных показателей усилителя, (работающего
«с отсечкой анодного така, необходимо найти соотношение между
амплитудой Ia 1 первой гармоники и постоянной составляющей 1ао-
Кроме того, для выявления требований к устройству, предназна¬
ченному для ослабления (влияния высших гармоник, необходимо
найти амплитуды этих гармоник. Все эта величины можно найти
€ помощью гармоническото анализа анодного тока лампы.
В'в'иду четности функции ia((ot)9 определяемой уравнением
(10.3), относительно Ы анодный ток можно представить в виде
ряда Фурье, содержащего одни лишь косинусоидальные члены:
К = 4о + /Л1 cos ts>t + Ia2 cos 2o><+...
Применяя формулы (2.4) —(2.5), находим
называются коэффициентами постоянной составляющей, первой
гармоники, второй гармоники'анодного тока и т. д.
349
Аналогично можно получить общее выражение для амплитуды
п-й гармоники
Отношения
Рис. 10.3
тающего с отсечкой анодного тока, и прежде всего то, что с умень¬
шением угла отсечки отношение
(10.10)
растет. Следо-вательно, при уменьшении 0 растет отдача усили¬
теля, т. е. отношение мощности, выделяемой в нагрузке, к мощ¬
ности, отбираемой от источника анодного питания. Не следует
при этом забывать, что по абсолютной величине обе эти мощно¬
сти с уменьшением © падают. В практике угол отсечки обычно
устанавливают близким «к 90°. При такой величине 0 «получается
почти полное использование тока лампы (си ~ 0,5, что близко
к максимуму) .при достаточно хорошей отдаче усилителя.
При 0 = 90° все нечетные га;рмон1ики анодного така, за исклю¬
чением первой, обращаются в нуль. Это обстоятельство, как будет
показано ниже (§ 10.4), :может быть с успехом использовано
в усилителях акустической частоты. Наконец, из рис. 10.3 видно,
что с повышением порядка гармоник максимумы (коэффициентов
ос2, а3 и так далее перемещаются в область более малых значе¬
ний 0. Это обстоятельство оказывает существенное ’влияние на
выбор режима работы ламлы а умножителях частоты (см. § 10.7).
350
Коэффициенты ао, си, а2 и так далее, а также отношение =
= - являются функциями угла отсечки. Графики этих функций
показаны на рис. 10.3. Из рассмотрения графиков можно вывести
важные заключения о свойствах электронного усилителя, рабо-
10.2. РЕЗОНАНСНЫЕ УСИЛИТЕЛИ МОЩНОСТИ
Наиболее благоприятные условия для реализации энергетиче¬
ских преимуществ нелинейного режима имеются в усилителях
радиочастоты, в которых нагрузкой служит колебательная си¬
стема. Высокая избирательность колебательных контуров обеспе¬
чивает настолько полное ютфильтровывание высших гармоник, что
•при любом искажении формы импулысов анодного тока напря¬
жение на выходе усилителя сохраняет практически синусоидаль¬
ную форму.
Схема резонансного усилителя, работающего с отсечкой тока„
ничем не отличается от схемы обычного линейного усилителя,,
рассмотренного в § 8.6 (см. рис. 8.18).
Различие имеется лишь в режиме работы электронной лампы
и в соотношениях между токами и напряжениями в схеме. Для
установления этих соотношений заменим реальные характери¬
стики лампы идеализированными, как это было сделано в § 8.2>
и воспользуемся выражением (8.8)
ia — S [eg-\-D{ea- Еа0)\
при
—в < Ы < + 0.
Подставляя сюда
eg (t) — Eg cos u>t — | Eg01,
ea(t)=Ea — Uacosvt,
получаем
ia = S (Eg - DUa) cos u) t + S (DEa -Ea0-\Eg0\). (10.11 >
При tot= +6 анодный ток обращается в нуль, поэтому
0 = S(Eg- DUa) cos в + 5 (DEa -Еа0-\ Eg0 |). (10.11').
Вычитая (10.11') из (10.11), получаем для тока ia в интер~
вале —9 < < + В следующее выражение:
ia — S (Eg — DUa) (cos v>t — cos0). (10.12)
Так как из этого выражения исключены постоянные напряже-
ния Еа к Eg0, можно воспользоваться им,для установления связи
между амплитудами первых гармоник токов и напряжений. Для
этого приравняем со£=0. Тогда в левой части уравнения (10.12)
ia обращается в амплитуду импульса Im:
Im — S(Eg — DUa) (1 — cos в).
Учитывая формулу (10.8), получаем
bL- = S(Eg-DUa)( 1-cosB)
351
.Учитывая, наконец, что амплитуда напряжения на контуре
Uа Лг1^эр>
находим для 1а\ следующее выражение:
Так как SD = ^- и 5#г = -^- = у, получаем
(10.16)
где 5ср — „средняя" крутизна Характеристики, приведенная
к амплитуде первой гармоники, а
Uy„t==Eg — DUa — „управляющее напряжение" (амплитуда).
Выражение (10.14) позволяет представить анодную цепь
лампы, работающей в нелинейном режиме, в виде эквивалентной
схемы, показанной на рис. 10.4. Не следует забывать, что эта
схема', имеющая смысл только для установления связи между 1а\
и Eg, не может быть использована для установления энергетиче¬
ских соотношений.
Кроме того, величина R\ зависит от угла отсечки 0 и, следо¬
вательно, от амплитуды колебаний в схеме. График зависимости
аI, построенный по формуле (10.16), изображен на рис. 10.5.
При 9 -* те, т. е. при переходе к линейному режиму, R't обра¬
щается в Ri. При 9-»-0, т. е. при запирании лампы на протя¬
жении всего периода, R't обращается в бесконечность. В част¬
ном случае 9 — -£> R^-PRi-
.352
Сопротивление
•формально представляет собой внутреннее сопротивление лампы,
приведенное к первой гармонике анодного тока.
Заметим, что на основании выражений (10.13) и (10.16) можно
написать
откуда коэффициент усиления (по напряжению)
(10.18)
Это выражение отличается от выражения для коэффициента
усиления линейной схемы [см. формулу (8.23)] только заменой Rt
на R'r
Полагая, как и ранее, R[ > гэр, по¬
лучаем
V
\
Рис. 10.4
Рис. 10.5
Здесь 5 — паспортное значение крутизны характеристики
лампы. Коэффициент усиления ino напряжению при использова¬
нии генераторных ламп получается 'порядка 5—20.
Необходимо отметить, что усиление напряжения не является
главной задачей усилителей мощности.
Рассмотренные в данном параграфе усилители представляют
собой по существу генераторы с посторонним (независимым)
возбуждением, преобразующие энергию 'источника анодного пи¬
тания в энергию высокочастотных колебаний.
Приведенные: выше соотношения необходимы для определения
напряжения, которое нужно подать на сетку лампы, чтобы полу¬
чить требуемую величину первой гармоники анодного тока. Основ¬
ные же параметры анодной цепи усилителя выбираются, исходя
из требуемой полезной мощности и из условия получения хоро-<
шей отдачи усилителя.
Нетрудно составить выражение для коэффициента полезного
действия усилителя с отсечкой.
23 Зак. 3/235
353
Мощность, подвозимая к аноду лампы от источника постоян¬
ного тока,
Р0 = Еа1а о. (10.19)
Полезная мощность, отдаваемая лампой в нагрузку,
Я-= иа^-~. (10.20)
Разделив (10.20) да (10,19), найдем следующее выражение
для отдачи усилителя:
р 1 lax U0
T' = X = lf F' (10-21)
* 0 £ *ао 11 а
Отношение обозначенное ранее (см. § 10.1) через и
-*ао
определяемое формулой (10.10), зависит от угла отсечки.
Отношение амплитуды переменного напряжения на анодной
нагрузке к напряжению анодного питания
иа
Еа
называется коэффициентом использования анод¬
ного наиряжения.
Таким образом, выражение (10.2.1) можно записать в виде
ij = 0,5t15.
Коэффициент для в»90° равен [см. формулу (10.10)].
Коэффициент же £ доводят до величины, близкой к 0,8—1,0. При
этом минимальный потенциал анода еаит = Еа — Ua не снижается
до величины меньшей, чем максимальный сеточный потенциал
eg макс = Eg — I Eg01. Подобный режим, когда еа мин « eg макс, назы¬
вается критическим. При больших значениях £, когда
мин < &gмакс> получается перенапряженный режим, характери¬
зующийся резким возрастанием сеточного тока- При этом им¬
пульсы анодного тока расщеплйются, что приводит к снижению
амплитуды первой гармоники.
Отсюда видно, что к. п. д. усилителя с отсечкой может быть
получен порядка 60—70%, что следует считать вполне удовлет¬
ворительным для устройства, преобразующего постоянный ток
в колебания очень высокой, частоты.
10.3. ЭЛЕМЕНТЫ СХЕМ РЕЗОНАНСНЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ МОЩНОСТИ
Рассмотрим сначала схемы питания анодной цепи усилителя.
Различают две основные схемы: последовательного и параллель¬
ного питания анода. Последовательная схема питания изображена
на рис. 10.6.
354
На этой схеме три основных элемента усилителя: источник пи¬
тания, колебательный контур и электронная лампа, образуют по¬
следовательное соединение. Источник постоянного напряжения Еа
шунтирован конденсатором (так называемым блокировочным
конденсатором) Сбл, представляющим очень малое сопротивление
для токов высокой частоты. Таким образом, при рассмотрении
распределения высокочастотных напряжений в схеме нижнюю
точку контура можно считать присоединенной непосредственно
к катоду лампы.
Основным достоинством .последовательной схемы является то,
что контур не шунтирован никакими вспомогательными элемен¬
тами. Это ослабляет опасность возникновения .паразитной генера¬
ции и снижает потери высокочастотной энергии. Этим объясняется
широкое применение последовательной схемы в диапазоне ко¬
ротких волн. Недостатком этой схемы является то, что контур на¬
ходится по отношению к земле под высоким напряжением Еа. Это
удорожает стоимость контура, особенно при использовании очень
высоких напряжений в мощных передатчиках (10—12 кв и выше),
и усложняет конструкцию органов настройки контура.
От перечисленных 'недостатков свободна схема параллель¬
ного питания, изображенная на рис. 10.7. На этой схеме
источник питания Еа, лампа и контур образуют три параллельные
ветви. Разделительный (блокировочный) конденсатор Сбл -прини¬
мает на себя постоянное напряжение Еау освобождая тем самым
колебательный контур от этого напряжения. Можно (поэтому одну
из обкладок конденсатора контура и нижний вывод катушки
просто заземлять. Дроссельная (блокировочная) катушка Ьъл за¬
пирает путь токам высокой частоты в цепь источника питания.
Так как Ьбл представляет единственное в этой цепи большое со¬
противление для высокой частоты, то все колебательное напряже¬
ние, развиваемое на колебательном контуре, действует также и
на катушке L бл. Для постоянного тока сопротивление катушки
(•омическое) настолько мало, что падением (напряжения от (по¬
стоянной составляющей анодного тока можно пренебрегать.
При выборе величин Сбл и Ь6л можно исходить из следующих
условий: емкостное сопротивление разделительного конденсатора
23* 355
Рис. 10.6
Рис. 10.7
для первой гармоники должно быть адало по сравнению с сопро¬
тивлением контура:
-=Ь«2„. (10.22)
При выполнении этого условия сопротивление для высших
гармоник будет еще меньше, и падением напряжения высокой ча¬
стоты на конденсаторе Сбл можно пренебрегать.
Индуктивность Ьбл, шунтирующая колебательный контур, не
должна оказывать существенного влияния на резонансную ча¬
стоту контура. Для этого величина Ь6л должна быть велика по
сравнению с индуктивностью контура LK.,
Рис. 10.8
Отношение тока высокой частоты, ответвляющегося в дрос¬
сель £бл, к току в основной катушке контура обратно пропорцио¬
нально 4^-. Поэтому при достаточно большой величине послед¬
ил:
него отношения током высокой частоты в цепи источника Еа
можно пренебрегать. Распределение электронного тока лампы
между ветвями с дросселем и разделительным конденсатором по:
ясняется рис. 10.8. В верхней части этого рисунка показан полный
анодный ток ia, а на рис. 10.8,6 и в — соответственно ток через
дроссель, равный 1ао, и ток через разделительный конденсатор,
/равный (разности ia — /до* Этот последний ток представляет собой,
очевидно, сумму всех гармоник, входящих в импульсный ток ia.
Недостатком параллельной схемы питания, затрудняющим
применение ее на коротких волнах, является шунтирование кон¬
тура вспомогательными элементами, ухудшающими качество кон¬
тура и облегчающими возникновение паразитной генерации.
В автогенераторах блокировочный дроссель существенно влияет
на стабильность частоты автоколебаний.
Рассмотрим теперь сеточную цепь усилителя мощности.
Большие амплитуды напряжения на входе нелинейного уси¬
лителя создают значительный сеточный ток, достигающий 10—
20% от анодного тока. Сеточный ток существует при положитель-
356
ном (относительно катода) потенциале сетки. При отрицательном
напряжении смещения |£^о| и амплитуде возбуждения Eg сеточный
ток имеет форму импульсов, похожих на импульсы, изображенные
на рис. 10.2, но с углом отсечки 0^, определяемым соотношением
Наличие сеточного тока создает расход мощности источника
сигнала. В нелинейных усилителях приходится поэтому интересо¬
ваться не столько усилением по напряжению, сколько усилением
по мощности.
Остановимся еще на вопросе о способах газдания напряжения
смещения Eg0. Вместо независимого источника э. д. с. (батарея,
выпрямитель и т. д.) часто используется падение напряжения,
создаваемое постоянной составляющей сеточного тока на омиче¬
ском сопротивлении. Возможные схемы включения сопротивления
показаны на рис. 10.9, а и б.
Наибольшая величина |£^01» которую можно получить с по¬
мощью сеточной утечки (при, Rg -> °о), не превышает амплитуды
Eg переменного напряжения, вводимого в цепь сетки от возбуди¬
теля. Более подробно этот вопрос рассматривается в гл. 13, по¬
священной детектированию колебаний.
10.4. АПЕРИОДИЧЕСКИЕ УСИЛИТЕЛИ МОЩНОСТИ.
ДВУТАКТНЫЕ СХЕМЫ
В акустических усилителях задача уничтожения высших гар¬
моник решается сочетанием балансной схемы включения усили¬
тельных элементов с установлением определенного режима ра¬
боты этих элементов.
Применительно к электронному усилителю подобная схема, на¬
зываемая двутактной схемой, изображена на рис. 10.10.
Особенностью этой схемы является совместная работа двух
ламп на общую нагрузку через трансформатор, первичная обмотка
которого состоит из двух одинаковых частей, связанных со вто¬
ричной обмоткой общим магнитным потоком. Усиливаемое напря-
(10.23)
Рис. 10.9
357
жение подается через трансформатор с симметричной вторичной
обмоткой на сетки ламп Л\ к JI2 противофазно. Напряжение
смещения Eg0 на сетки обеих ламп подается одинаковое. Допу¬
стим, что это смещение выбрано таким, что угол отсечки анодного
така получается близким к 90°. Тогда анод¬
ные токи ламл Лх иЛ2 имеют вид, показан¬
ный на рис. 10.11. Ввиду противофааности
сеточных нал-ряжений имлульсы тока лампы Лх сдвинуты от¬
носительно импульсов лампы Л2 на время, равное половине пе¬
риода.
Таким образом, ламлы работают поочередно, посылая анод¬
ный ток то в одну, то в другую половину первичной обмотки
анодного трансформатора, причем направления токов ia\ и ia2
в указанных частях обмотки противоположны. По отношению
к (вторичной обмотке анод¬
ного TpaHc4>op'MaTqpa дей-
ствие Двух половин пер¬
вичной обмотки можно
заменить одной обмоткой,
обтекаемой током, состав¬
ленным ИЗ ia\ и ia2, КЖ
это показано на рис. 10.12.
т
Если основание импульсо,в равно(угол отсечки 0 = 90°), то этот
ток ничем не отличается от обычного синусоидального тока и форма
напряжения на выходе усилителя будет совпадать ic формой (вход¬
ного напряжения, подаваемого к усилителю. Таким образом, можно
получить неискаженное (линейное) усиление 'сигнала пр!и исполь¬
зовании ламлы в нелинейном режиме, обеспечивающем хорошую
отдачу усилителя.
Из предыдущего рассмотрения видно, что этот результат осно¬
ван на удачном сочетании особенностей работы лампы с отсечкой
анодного тока с особенностями двутактной схемы: работа с от¬
сечкой 90° позволяет свести к нулю нечетные гармоники (за
исключением 1-й) в самом анодном токе каждой из ламп
>(рис. 10.3), а д1вута!ктное включение ламп по схеме рис. 10.10 при-
358
Рис. 10.10
Рис. 10.11
Рис. 10.12
водит к взаимной компенсации всех четных гармоник в выходной
обмотке анодного трансформатора. Последнее обстоятельство
поясняется рис. 10.13, из которого видно, что при сдвиге импульс¬
ной последовательности ia2 на половину периода относительно ia 1
вторые гармоники этих токов совпадают по фазе. То же, оче¬
видно, относится к 4-й, 6-й и всем остальным четным гармоникам.
В двух половинах первичной
обмотки анодного трансформа¬
тора токи четных гармоник
протекают во взаимно проти¬
воположных направлениях и
создаваемые ими магнитные
потоки взаимно уничтожаются.
Ясно также, что и магнит¬
ные потоки от постоянных со¬
ставляющих анодных токов
обеих ламп взаимно уничтожа-
ются, ввиду чего устраняется
подмагничивание сердечника
тр анаформ атора постоянным
током анодного питания. Это
весьма ценное свойство двух¬
тактной схемы позволяет значительно уменьшить габариты и сни¬
зить стоимость трансформатора.
Приведенные выше свойства двутактной схемы реализуются
при полной симметрии схемы и ламп. Ввиду неизбежного в прак¬
тике разброса параметров ламп стыкование двух полупериодов
может сопровождаться некоторыми искажениями формы выход¬
ного напряжения. Подбором напряжений возбуждения обеих ламп
и некоторыми другими приемами (например, применением отрица¬
тельной обратной связи) можно обеспечить коэффициент нелиней¬
ных искажений не хуже, чем в линейных усилителях.
Частотная характеристика рассматриваемого усилителя опре¬
деляется в' основном выходным трансформатором.
Принцип компенсации четных гармоник с помощью двухтакт¬
ных схем, рассмотренный в этом параграфе на примере лампового
усилителя, .может быть отнесен к любым другим усилительным
элементам (например, полупроводниковым).
10.5. АМПЛИТУДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНОГО УСИЛИТЕЛЯ.
СРЕДНЯЯ КРУТИЗНА
Обратимся вновь к резонансному усилителю, рассмотренному
в § 10.2, и попытаемся выяснить характер зависимости ампли¬
туды выходного колебания от амплитуды напряжения на входе.
Знание этой зависимости важно для выяснения возможности
применения нелинейного режима для усиления колебания с из¬
359
Рис. 10.13
меняющейся амплитудой. Кроме того, амплитудные характери¬
стики нелинейного усилителя, играющие большую роль в теории
и практике автогенераторов, понадобятся нам в следующей главе.
Для облегчения задачи аналитического .построения амплитуд¬
ной характеристики рассмотрим сначала случай, когда рабочая
точка расположена вблизи точки перегиба характеристики га(еупр),
как это показано на рис. 8.9. В соответствии с выражением (8.7)
характеристика в этом случае может быть аппроксимирована
с помощью полинома, содержащего только нечетные степени:
ia = *ао + *ее + т*2 + и + • • • (10-24)
С целью дальнейшего упрощения ограничимся полиномом
всего лишь третьей степени
*а = **> + «*. + Т<Ф <10-25)
Соответствующая этой аппроксимации характеристика показана
на рис. 10.14 пунктирной линией.
Напряжение Esynр, соответствующее экстремумам характери¬
стики и отсчитываемое от еупр —е0упр, иногда называют напря¬
жением насыщения. Задание этого напряжения, а также а, т. е.
крутизны S0 в точке £0упр, однозначно определяет коэффициент 7
в выражении (10.25).
Действительно, в точке е0упр + Esупр, т. е. при ec = Esynp,
выполняется тождество,
Рис. 10:14
откуда
Здесь использовано соотношение
cos3a>/ = -i- (3cos (*)/ + cos Зо>/).
В выражении (10.28) нас в данном случае интересует только
слагаемое с частотой со. Амплитуда этого слагаемого, т. е. ампли¬
туда первой гармоники,
1а\
(10.29)
Так как амплитуда £/анапря- '
жения на контуре (рис. 10.6)
пропорциональна 1аЪ то в ка- о,г
честве выходной величины
можно принять /«!• Замечаем,
т. е. имеет место линейная зависимость между /а1 и Ет. С уве¬
личением Ет рост Idt замедляется. Получается амплитудная ха¬
рактеристика, показанная на рис. 10.15.
То обстоятельство, что Iai растет медленее, чем Ет, можно
истолковывать как снижение средней крутизны характери¬
стики. С этим понятием мы уже встречались в § 10.2, формуле
(10.17), где средняя крутизна определялась как следующее отно¬
шение:
(10.30)
361
В случае гармонического сигнала
это выражение принимает следующий вид:
При обозначениях рис. 10.14 и 10.15 под амплитудой управляю¬
щего напряжения следует подразумевать Ет.
Следовательно, для характеристики, описываемой неполным
полиномом третьей степени (10.25), средняя крутизна равна
с2
(10.31)
График функции 5ср для этого случая изображен на рис. 10.15.
Следует отметить, что при чрезмерном увеличении пределов
изменения амплитуды колебания кубическая аппроксимация не
*<z
t
может ооеспечить достаточной
точности. Удовлетворительное
отображение реальных харак¬
теристик получается при
^synp
Рассмотрим теперь изобра¬
женный на рис. 10.16 'режим,
характерный для усилителя
с отсечкой.
Пренебрегая, как и ранее
(см. § 10.2), реакцией анода,
мы будем определять анодный
ток с помощью выражения
(10.17)
(10.32)
ср"
Введем следующий параметр, определяющий характеристику
рис. 10.16, а также положение исходной рабочей точки:
(10.34)
Рис. 10.16
где средняя крутизна Scp в соответствии с формулами (10.16) и
(10.17) определяется выражением
Кроме того,
где
(10.35)
(10.36)
В новых обозначениях выражения (10.32) и (10.33) могут быть
записаны в следующей форме:
-т,+\е1л=^х=^а- х)х■ <10 37>
=/(л, х). (10.38)
Здесь функция
f{a,x)=-L (10.39)
определяется углом отсечки 0, который, в свою очередь, полно¬
стью определяется величинами а их [см. формулу (10.35)].
Формулы (10.35) — (10.39) справедливы для амплитуд Eg
удовлетворяющих условию
I Eg0 — egi I < Eg < ES + I Ego I •
При \Eg\ < | Eg01 — | egi | анодного тока вообще нет и /*1=0.
При > £у +l^ol импульсы тока ограничены сверху величи¬
ной /у, что приводит к ограничению также и /а1. В результате
« Ia\ Eg
получаются графики зависимости ^ |е—jy- от *=£—гу^—j>
изображенные на рис. 10,17, б для нескольких значений пара¬
метра а.
При а = 0 угол отсечки 0 равен 90° при любых амплиту¬
дах Eg. Поэтому при 0 = 90° Szv — Sj2 (при Eg < Es + l^ol). При
отрицательных значениях а ^0 средняя крутизна vScp при
очень малых значениях Eg совпадает со статической крутизной S,
а при‘ а > 0 5ср = 0 при Eg < | Eg0 — egl |.
Следует отметить, что коэффициент усиления нелинейного уси¬
лителя (по напряжению) пропорционален средней крутизне. Сле¬
довательно, изображенные на рис. 10.17, а графики Scp(x) пока¬
зывают (в масштабе/ равном сопротивлению нагрузки) одновре¬
менно и зависимость коэффициента усиления от амплитуды
еходного напряжения.
В заключение полезно отметить, что .при работе с отсечкой тока
нелинейность системы определяется не столько формой характе¬
ристики в рабочей ее части, сколько наличием самой отсечки.
Иначе говоря, хотя на участке egl-*-Es (рис. 10.16) характери¬
стика и -прямолинейна (или близка к таковой), в целом в преде¬
лах всего '.приложенного сигнала (от —Eg до +£^) характери¬
стику следует рассматривать как ломаную линию, составленную
из трех или более прямых отрезков. Использованная на рис. 10.16
аппроксимация называется полигональной. Кроме рассмот¬
ренных в данном параграфе полиномиальной (степенной) и
полигональной аппроксимаций в радиоэлектронике часто при¬
меняют и другие способы приближенного представления вольт-
363
Рис. 10.17
теристик, весьма разнообразных для различных электронных,
полупроводниковых и иных приборов.
Введенное в этой главе понятие средней крутизны во многих
случаях упрощает анализ работы нелинейных элементов, так как
364
амперных характеристик, например: с помощью экспоненты и
разности экспонент, с помощью функции arctg и некоторые другие.
Удачный выбор способа аппроксимации зависит от вида харак-
позволяет распространить на эти элементы теорию, разработан¬
ную для линейных устройств.
При этом следует иметь в виду, что в действительности, кроме
токов и напряжений основной частоты в нелинейном устройстве
существуют также и гармоники, искажающие форму сигнала.
Поэтому применение понятия 5ср имеет смысл и оказывается 'по¬
лезным лишь в тех случаях, когда обеспечивается подавление
побочных частот и, несмотря на нелинейность устройства, форма
колебания на выходе усилителя близка к синусоидальной. Подоб¬
ные условия как раз характерны для резонансных и некоторых
других радиотехнических усилителей.
Следует подчеркнуть, что рассмотренные в данной главе осо¬
бенности нелинейного усиления — снижение коэффициента усиле¬
ния и средней крутизны с увеличением амплитуды входного сиг¬
нала— характерны для усилителя любого типа: лампового, полу¬
проводникового, на лампах с бегущей волной, на клистронах и др.
10.6. УМНОЖЕНИЕ ЧАСТОТЫ
Наличие в составе импульсного анодного тока ряда гармоник
с частотами, кратными основной частоте возбуждения, позволяет
использовать усилитель, работающий с отсечкой анодного тока,
в качестве умножителя частоты. Для этого не требуется произво¬
дить каких-либо изменений в схеме резонансного усилителя. До¬
статочно настроить нагрузочный колебательный контур на ча¬
стоту выделяемой гармоники и установить режим работы лампы,
наиболее выгодный для подчеркивания полезной гармоники. Из
графиков |эис. 10.3 видно, что в случае удвоения частоты выгодно
работать с, углоси отсечки, близким к 60°, при котором коэффи¬
циент второй гармоники проходит через максимум, в случае
утроения частоты — при 0^40° и т. д.
Если контур настроен на частоту /гсо, где п = 2, 3 и так далее,
то гармоники тока порядка п— 1 и более низкие пройдут преиму¬
щественно через индуктивную ветвь контура, а гармоники п +1
и более высокие — через емкостную ветвь. При достаточно высо¬
кой добротности напряжение на контуре от всех гармоник, за
исключением я-й, очень мало. Поэтому напряжение на контуре
близко к синусоидальному с частотой псо.
Следует иметь в виду, что для полного использования эмис¬
сии катода, т. е. для поддержания амплитуды импульса на уровне,
близком к току насыщения (имеются в виду лампы с вольфра¬
мовым катодом), снижение угла отсечки должно сопровождаться
одновременным увеличением амплитуды Eg и отрицательного сме¬
щения |£gj. На рис. 10.18 углу 0 = 90° соответствует смещение Eg01,
углу 0 = 60° Eg02 и так далее; амплитуды Eg выбраны так, что и
остается неизменным. Можно поэтому считать характерным для
умножителя частоты работу с большими амплитудами сеточного
напряжения.
365
Если к началу последующего импульса колебание, вызванное
предыдущим импульсом, не,успевает полностью затухнуть, необ¬
ходимо учитывать наложение свободных колебаний.
366
Это обстоятельство наряду со снижением полезной мощности
при повышении порядка умножения из-за убывания коэффициен¬
тов ап (рис. 10.3) заставляет в передатчиках ограничиваться
удвоением или утроением частоты в одной ступени. Лишь изредка
используется учетверение
частоты. Если требуется
осуществить умножение бо¬
лее высокого порядка, то
применяется последователь¬
ное умножение частоты в
нескольких ступенях пере¬
датчика.
Умножение частоты ши¬
роко применяется в ряде
измерительных устройств,
когда требуется получить
сетку частот, кратных какой-
либо одной определенной
частоте, рассматриваемой
в качестве опорной.
В подобных системах ча¬
сто используется электрон¬
ная лампа, работающая с
очень малым углом отсечки.
Подавая на сетку лампы достаточно большое переменное напряже¬
ние при большом смещении, можно получить анодный ток в виде
последовательности очень острых импульсов. Такой ток богат гар¬
мониками, образующими очень широкий линейчатый (цтектр. При
воздействии такого спектра на контур напряжение на нем может
сильно отличаться от си¬
нусоидального, так как в
полосу прозрачности кон¬
тура попадает ряд гармо¬
ник. В подобных случаях
напряжение на контуре
часто удобно определять,
исходя не из спектраль¬
ного представления импульсного тока, а из рассмотрения свободных
колебаний, возбуждаемых каждым из импульсов анодного тока
в отдельности. Подобный случай изображен на рис. 10.19. В про¬
межутке Т между двумя импульсами тока амплитуда напряжения
на контуре убывает по закону (см. § 9.5)
Рис. 10.18
Рис. 10.19
ГЛАВА И
ГЕНЕРИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИИ
11.1. ВВЕДЕНИЕ. ОБОБЩЕННАЯ СХЕМА АВТОГЕНЕРАТОРА
СИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Применяемые в радиотехнике автогенераторы можно разбить
на две основные группы: генераторы синусоидальных колебаний
и генераторы разрывных (релаксационных) колебаний. Генера¬
торы синусоидальных колебаний в свою очередь делятся на высо¬
кочастотные генераторы, неотъемлемой частью которых является
колебательная система, и низкочастотные генераторы с апериоди¬
ческими цепями (так называемые генераторы RC). Релаксацион¬
ные генераторы, используемые для получения низкочастотных
колебаний специальной формы, также работают на апериодиче¬
ских цепях.
Основное внимание в данной главе уделено высокочастотным
автогенераторам синусоидальных колебаний. Рассмотренные
в предыдущей главе нелинейные усилители представляют собой,
по существу, генераторы с посторонним возбуждением. Под авто¬
генераторами подразумеваются генераторы с самовозбуждением,
т. е. устройства, в которых для возбуждения используются коле¬
бания, вырабатываемые самим генератором. Таким образом,
автогенератор является первичным источником колебаний, не тре¬
бующим применения возбудителя.
Как и в случае генераторов с посторонним возбуждением, ко¬
лебания в автогенераторе получаются путем преобразования
энергии, подводимой к электронному прибору обычно в виде по¬
стоянного тока. Поэтому, как и усилитель мощности, любой высо¬
кочастотный автогенератор состоит из следующих трех основных
элементов: источника питания (генератора постоянного тока,
аккумулятора, сети переменного тока с выпрямителем и др.)
электронного прибора и колебательной системы.
Для перехода от генератора с посторонним возбуждением
к автогенератору достаточно подменить возбудитель специальным
устройством, обеспечивающим возбуждение усилителя от соб¬
ственной колебательной системы. Такое устройство называется
обратной связью-
367
Амплитуда и фаза колебания, подаваемого по каналу обрат¬
ной связи на вход, должны быть такими же, как и при подаче от
возбудителя.
Ясно, однако, что система, в которой отсутствует внешняя вы¬
нужденная сила, принципиально отличается от генератора с по¬
сторонним возбуждением. Наиболее ярко это различие прояв¬
ляется в том, что частота и амплитуда стационарных колебаний
в случае автогенератора целиком определяются параметрами са¬
мого автогенератора, а в случае постороннего возбуждения ча¬
стота колебаний навязывается возбудителем, а амплитуда зави¬
сит как от возбудителя, так и от параметров усилителя. Далее,
в случае самовозбуждения большое значение приобретает вопрос
о, механизме возникновения колебаний три запуске автогенера¬
тора, а также вопрос об устойчивости стационарного состояния
автогенератора.
Ответ на все эти вопросы .можно получить из рассмотрения
поведения автогенератора в процессе нарастания колебаний, от
момента запуска и до полного установления стационарного со¬
стояния автогенератора. Можно наметить следующую картину
явлений. В момент запуска в колебательной системе автогенера¬
тора возникают свободные колебания, обусловленные включением
источников питания, замыканием цепей, электрическими флюктуа¬
циями и т. д. Благодаря обратной связи эти первоначальные
колебания усиливаются и растут по амплитуде, причем на первом
этапе, пока амплитуды малы, усиление является практически ли¬
нейным и система может рассматриваться как линейная. Энерге¬
тически процесс нарастания амплитуд объясняется тем, что за
один период колебания усилитель сообщает контуру энергии
больше, чем расходуется за это же время в контуре. С ростом
амплитуд начинает проявляться нелинейность системы (кривизна
вольтамперной характеристики усилительного элемента) и усиле¬
ние снижается. Нарастание амплитуд прекращается, когда усиле¬
ние снижается до уровня, при котором только компенсируется
затухание колебаний в контуре, т. е. когда энергия, отдаваемая
усилителем в контур за один период, равна энергии, расходуемой
за это же время в контуре.
Таким образом, на последнем этапе установления колебаний
основную роль играет нелинейный характер системы, без учета
которого не может быть определено стационарное состояние
автогенератора.
Обобщенную схему автогенератора высокочастотных колеба¬
ний, находящегося в стационарном режиме, можно представить
схемой, показанной на рис. П.1.
На этой схеме автогенератор изображен в виде сочетания трех
четырехполюсников: одного нелинейного, безынерционного, и двух
линейных. Нелинейный четырехполюсник соответствует усили¬
тельному. элементу (электронная лампа, транзистор, кли¬
строн и т. д.), первый из линейных четырехполюсников — колеба-
<368
тельной системе? автогенератора, а второй — устройству обратной
связи.
Усилительный элемент совместно с избирательным четырехпо¬
люсником, обеспечивающим фильтрацию (подавление) высших
гармоник, образует обычный нелинейный усилит ель, развивающий
на выходе синусоидальное напряжение. Коэффициент усиления
этого устройства на частоте а>г, соответствующей частоте гене¬
рируемых колебаний, обозначим через Ку (сог). Очевидно, что
*Ук, (ил)
В общем случае этот коэффициент является комплексной
функцией, зависящей как от частоты сог (из-за избирательного
Рис. 11.1
четырехполюсника), так и от амплитуды Ui (из-за нелинейности
усилительного элемента). При фиксированной частоте сог Ку яв¬
ляется функцией только амплитуды U
Коэффициент передачи линейного четырехполюсника обрат¬
ной связи, который в дальнейшем будем называть просто коэф¬
фициентом обратной связи, может быть выражен через ампли¬
туды U3 и U2:
. *«<»)=-£.
Но на-пряжение U3, снимаемое с выхода четырехполюсника
обратной с;вязи, есть одновременно напряжение Uu действующее
на входе усилителя. Следовательно,
*<*»=-£. (И-2)
Сравнивая это выражение с отношением (11.1), приходим
к выводу, что в стационарном режиме автогенератора (когда
только и можно пользоваться методом комплексных амплитуд)
24 Зак 3/235 369
коэффициенты Ку («>г, £/,) и Кос («О являются взаимно обратными
величинами:
Ку к, £/,)/СосК) = 1. (11.3)
Так как коэффициент передачи линейного четырехполюсника
не зависит от амплитуды колебаний, то выражение (11.3) может
быть использовано для определения установившейся амплитуды
колебания при заданном Кос. Имению, когда усиление Ку, сни¬
жаясь с ростом амплитуды (из-за нелинейности вольтамперной
характеристики усилительного элемента),' достигает величины
11Кес, дальнейший росг амллитуды, как ранее уже указывалось,
прекращается. Это положение поясняется рис. 11.2, на ко¬
тором кривая Ky(U\)
имеет вид одной из кри¬
вых Scp/S, изображенных
на рис. 10.17, а.
Стационарная ампли¬
туда £/1ст определяется
как абсцисса точки пе¬
ресечения графиков Ку
И Кос-
С другой стороны, вы¬
ражение (11.3) может
быть использовано для определения коэффициента обратной связи,
требуемого для поддержания определенной амплитуды U1CT при
заданной функции Ky{Uх) (т. е. при известной амплитудной харак¬
теристике усилителя).
Для установления перечисленных выше общих свойств авто¬
генератора нам не требовалось уточнять ни тип усилительного
элемента, ни вид схемы автогенератора. Это объясняется тем, что
мы ограничились рассмотрением стационарного состояния авто¬
генератора.
Для выяснения же механизма возникновения колебаний,
а также механизма установления стационарного режима необхо¬
димо исходить из конкретного электронного прибора и конкретной
схемы автогенератора. В последующих параграфах это рассмот¬
рение проводится в основном на электронных генераторах, ра¬
ботающих .на триодах или многосеточных лампах. Изучение
подобных автогенераторов, очень широко распространенных
в радиоэлектронике и используемых в различных частотных диа¬
пазонах, является необходимой ступенью к изучению и более
сложных генераторов, применяемых на сверхвысоких частотах
(магнетроны, клистроны и др.). Краткое рассмотрение генера¬
торов, работающих на полупроводниковых триодах, приводится
в § 11.12. Некоторые другие автогенераторы, основанные на ис¬
пользовании иных физических, явлений, будут рассмотрены
в гл. 16.
370
Рис. 11.2
11.2. ОСНОВНЫЕ СХЕМЫ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ АВТОГЕНЕРАТОРОВ.
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
На рис. 11.3, 11.4 и 11.5 показаны три простейшие схемы лам¬
повых автогенераторов: схема с трансформаторной или индуктив¬
ной обратной связью, схема с автотрансформаторной обратной
связью (индуктивная трехточечная схема) и схема с емкостной
Рис. 11.3
Рис. 11.4
обратной связью (емкостная трехточечная схема). Все три схемы
показаны в варианте «параллельного питания анода» (см. § 10.3).
Сопоставление с обобщенной схемой рис. 11.1 показывает, что
функции избирательного четырехполюсника и четырехполюсника
обратной связи совмещены в этих простейших схемах в одном че¬
тырехполюснике. Этот четырехполюс¬
ник получается на / базе колебатель¬
ного контура: входными зажимами
четырехполюсника являются точки,
к которым подключены анод и катод
лампы, а выходными — точки подклю¬
чения сетки и катода. Таким обра*
зом, все три схемы, показанные
на рис. 11.3, 11.4 и 11.5, могут
быть сведены к одной эквивалентной
схеме рис. 11.6. Источники питания
электродов лампы на этой схеме не
показаны.
Под коэффициентом усиления Ку в данной схеме следует
подразумевать отношение [см. также § 8.3, формулу (8.22)]
а под коэффициентом обратной связи
(11.10
(П.2')
Появление знака минус в выражении (11.Г) можно объяснить
тем, что на схеме рис. 11.6 напряжение^ направлено от сетки
к катоду, (между тем как напряжение Ua направлено по току 1аХ
24* 371
Рис. 11.5
(первая гармоника анодного тока), т. е. от катода* к аноду. Ана¬
логично объясняется и знак минус в выражении (11.2'): напряже¬
ние на входе четырехполюсника обратной связи Ua отсчитывается
от катода к аноду (снизу вверх), а на выходе — от сетки к катоду
(сверху вниз).
В рассматриваемых простейших схемах частота генерации
близка к резонансной частоте контура. На этой частоте напряже¬
ние Uа совпадает (или почти совпадает) по фазе с током/аь а по¬
следний— с напряжением Eg (см. § 8.3, векторную диаграмму
следовательно, для поддержания колебания напряжение, подавае¬
мое по каналу обратной связи с выхода на вход, должно получить
дополнительный сдвиг на 180°.
Нетрудно проследить, как обеспечивается это требование
в схемах, изображенных на рис. 11.3, 11.4 и 11.5.
В схеме с трансформаторной связью (рис. 11.3) амплитуда
э. д. с., индуктируемой в катушке Lg, равна
Взаимоиндукция М рассматривается нами как положительная
величина (так же как и индуктивность). Знак в последнем выра¬
жении зависит от способа подключения катушки Lg к зажимам
сетка — катод.
Правильная фазировка Eg относительно Ua получается при
включении, которому соответствует знак плюс. При этом
При перекрещивании концов катушки Кос (со) получается по¬
ложительным и самовозбуждение колебаний оказывается невоз¬
можным.
Итак, для схемы рис. 11.3 коэффициент обратной связи опре¬
деляется выражением (11.6), а модуль этого коэффициента
Рис. 11.6
рис. 8.9). Из этого следует, что ар¬
гумент коэффициента обратной свя¬
зи Кос (w), Т. е. фазовый сдвиг в
четырехполюснике обратной связи,
должен быть близок к 180°. К это¬
му результату можно прийти с по¬
мощью еще более простых рас-
суждений: однокаскадный резонанс¬
ный усилитель поворачивает фазу
усиливаемого колебания на 180°;
(11.4)
(11.4')
В индуктивной трехточечной схеме (рис. 11.4) требуемая фа¬
зировка достигается тем, что напряжение на сетку подается
372
с индуктивности Lg, входящей в емкостную ветвь контура. Так
как частота генерируемых колебаний в рассматриваемых схемах
очень близка к резонансной частоте контура, то токи в ветвях
контура сдвинуты по фазе на угол, близкий к 180° (см. § 4.6);
следовательно, на такой же угол будут сдвинуты и фазы напря¬
жений, действующих на зажимах анод — катод и на зажимах
сетка—катод.
Так как амплитуды токов, протекающих через La и Lg, при ре¬
зонансе одинаковы, то модуль коэффициента обратной связи
(11.4")
В схеме рис. 11.5 аналогичный результат достигается подачей
на сетку напряжения с конденсатора Cg, включенного в индук¬
тивную ветвь контура.
Очевидно, что
(11.4'")
Так как Кос обычно не превышает 10—15%, то емкость Cg
должна быть значительно больше Са. Резонансная частота кон¬
тура определяется в основном емкостью Са, а Кос — отноше¬
нием CJCg. • >
Полезно отметить, что всем трем рассмотренным схемам при¬
суще следующее важное свойство: коэффициент обратной связи
не зависит от частоты. Как будет видно из дальнейшего, более
сложные схемы — двухконтурные, а также схемы с более слож¬
ной цепью обратной связи—этим свойством не обладают.
Генераторы с трансформаторной и автотрансформаторной
обратной связью при последовательном питании анода показаны
на рис. 11.7 и 11.8. На этих схемах точки k, заземленные через
373
Рис. 11.7
■ Рис. 11.8
большие емкости, по высокой частоте соединены с катодом прак¬
тически накоротко. Следовательно, высокочастотные напряжения
распределены 'Между электродами лампы в этих схемах так же,
как и в схемах с параллельным питанием (рис. 11.3 и 11.4).
В § 11.7 будут приведены некоторые другие схемы генерато¬
ров с самовозбуждением.
11.3. ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ
При рассмотрении начального этапа установления автоколе¬
баний существенную роль играют условия запуска генератора.
Допустим, что запуск производится поворотом катушки обратной*
связи в схеме рис. 11.7 из нейтрального положения, при котором
М= 0, в положение, соответствующее определенной величине
М ф0. Напряжение питания анода (и накала катода) считаем
поданным заранее, так что к моменту запуска все процессы, свя¬
занные с включением источников питания, уже закончены.
Так как в приведенных выше схемах в сеточных цепях отсут¬
ствуют внешний источники постоянного напряжения, то в момедт
запуска напряжение смещения равно 0. Следовательно, при за¬
пуске рабочая точка на характеристике ia(eg,Ea) совпадает с точ¬
кой eg = 0, а постоянный анодный ток равен iao (рис. 11.9).
Составим дифференциальное уравнение для какой-либо изме¬
няющейся во времени величины, например для тока в индуктивной
ветви контура, с учетом обратной связи и с учетом влияния
лампы. Для определенности выберем трансформаторную схему
(рис. 11.10). Полученные результаты нетрудно будет распростра¬
нить в дальнейшем на любые LC автогенераторы (одноконтур¬
ные).
Разрежем представленную на рис. 11.10 схему по линии d — с
и составим основные уравнения, связывающие токи и напряжения
в левой и правой 'частях схемы. Для правой части, при выбран-
374
Рис. 11.9
Рис. 11.10
ном за положительное (направлении тока ia и отсчете напряжения
относительно катода, получим следующие уравнения:
(И.5)
Исключая из первого уравнения (11.5) ic с помощью второго
и третьего уравнений, получаем
diT cPiT
ia = h-\~ rC ~ + CL -. (11-6)
Напряжение, индуктируемое в катушке обратной связи, свя¬
зано с током в индуктивной ветви контура следующим соотно¬
шением:
eg^=±M^-.
Из § 11.1 ясно, что для получения противофазности напря¬
жений анод — катод и сетка — катод необходимо брать знак
плюс.
Таким образом,
л л ^ L
е* = м~Я‘
Теперь необходимо анодный ток ia выразить через напряже¬
ния, действующие на электродах лампы. Основываясь на мало¬
сти амплитуд колебаний, зависимость ia (eg, иа) можно считать
линейной. Здесь под ia, eg и иа подразумеваются переменные
составляющие. Применяя выражение (8.14'), получаем
ia — S{eg — Dua), (11.7)
где S— крутизна характеристики ia(eg, Еа) в точке eg — 0, а
иа — падение напряжения на контуре. Все входящие в урав¬
нение (11.7) величины: ia, eg и и.а являются пока еще не¬
известными функциями времени.
di.
Подставив в уравнение (11.7) eg — M—^~, получим
ia = SM^L-SDua = SM^--%. (11.7')
Приравнивая правые части уравнений (11.6) и (11.7'),
а также учитывая третье уравнение системы (11.5), после груп-
375
пировки слагаемых получаем следующее дифференциальное урав¬
нение:
(И.8)
Учитывая, что -5- <С1 и вводя обозначение
*<i
приводим уравнение (11.8) к виду
rf2/, diT 1
-d-+^,-jt + -CC>L=0. (11.8')
Это линейное уравнение 2-го порядка определяет ток в индук¬
тивной ветви контура в виде колебания
iL — А0еГа»‘ sin (<oCB*+ <р0), (11.10)
где амплитуда Л0 и фаза <р0 определяются начальными услови¬
ями запуска, а частота о>св в соответствии с выражением (4.91)
равна
Характер колебания iL зависит от знака коэффициента зату¬
хания а9. Если аэ > 0, ток iL затухает (рис. 11.11, а), если аэ < О,
амплитуда колебания растет (рис. 11.11,6).
Рассмотрим 'подробнее выражение для аэ. При М = 0, т. е.
в отсутствие обратной связи, коэффициент затухания положите¬
лен и определяется сопротивлением потерь контура г и сопротив¬
лением, учитывающим шунтирующее действие лампы (см. § 4.7):
аэ — 2т(г + ~CRl)—~2L (r + -fe) •
Введение обратной связи вносит в контур добавочное сопротив-
* „ SM
ление, равное по абсолютной величине —.
При правильном выборе направления витков, при котором
обеспечивается сдвиг фазы между напряжениями анод — катод и
сетка — катод на 180°, это сопротивление отрицательно. Если
при этом
4r>r+W’ (11-12)
то результирующее сопротивление контура получается отрица¬
тельным. В этом случае аэ<0 и ток iL нарастает по закону
376
Таким образом, выполнение условия (11.12) обеспечивает
рост амплитуды колебания при сколь угодно малых начальных
значениях амплитуды. Этому условию можно придать более об¬
щий вид
Это условие, называе¬
мое основным уравнением
генератора с самовозбужде¬
нием, позволяет легко объ¬
яснить влияние основных
параметров лампы и схемы
на возникновение колеба¬
ний.
Чем больше крутизна
характеристики 5 и больше
усиление триода р- = -jy ,
тем меньшая требуется величина /Сос> т. е. тем легче возникают
автоколебания. Увеличение потерь в контуре, снижающее вели¬
чину гэр = ~, наоборот, требует увеличения ЛГ0С> т. е. затруд¬
няет возникновение колебаний.
Следует напомнить, что неравенство (11.14) ничего не гово¬
рит о стационарной амплитуде автоколебаний. Для определения
последней необходимо, как уже указывалось ранее, учитывать за¬
висимость крутизны характеристики лампы от амплитуды коле¬
баний. Это будет сделано в следующем параграфе. Здесь же»
отметим, что когда средняя крутизна характеристики Scp сни¬
жается против крутизны 5 настолько, что неравенство (11.14)
обращается в равенство
(11.15)
в автогенераторе устанавливается стационарная амплитуда коле¬
бания.
377
М
Учитывая, что в соответствии с формулой (11.4') -j- пред¬
ставляет собой абсолютную величину коэффициента обратной
L
связи, a -Qf= zap — резо¬
нансное сопротивление па¬
раллельного контура, полу¬
чаем окончательно
11.4. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АМПЛИТУДЫ И ЧАСТОТЫ
СТАЦИОНАРНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ
Из предыдущего видно, что механизм ограничения амллитуды
колебаний определяется нелинейным характером лампы. По мере
возрастания амплитуды колебаний в контуре увеличивается и
амплитуда Eg переменного напряжения, подаваемого через обрат¬
ную связь на сетку ламлы. Возрастание Eg, в свою очередь, уве¬
личивает отрицательное напряжение смещения, создаваемого
цепью утечки Rg, Cg. Рабочая
точка смещается в область
нижнего сгиба характеристи¬
ки, и анодный ток приобре¬
тает импульсную форму. Из¬
менение амплитуды Eg и на¬
пряжения смещения по¬
казано на рис. 11.12, где
Е g о — установившееся напря¬
жение смещения. По оконча¬
нии процесса установления
получается обычный режим,
характерный для усилителя,
работающего с отсечкой анод¬
ного тока. Нетрудно видеть,
что в течение одного периода
сеточного напряжения исполь¬
зуются участки характери¬
стики лампы с различной
крутизной, причем в интер¬
валах между импульсами
анодного тока, когда лампа заперта, крутизна обращается
в нуль.
Вместе с тем, для установления связи между амплитудами на¬
пряжений на сетке Eg и на контуре Ua не требуется учета полного
анодного тока. Достаточно знания амплитуды Iai лервой гармо¬
ники анодного тока, так как постоянная составляющая 1ао и, выс¬
шие гармоники контуром отфильтровываются. Удобно поэтому
использовать введенное в § 10.2 понятие средней крутизны харак¬
теристики, определяемое в соответствии с выражением (10.17)
как *
При таком определении крутизна 5ср не изменяется внутри
одного периода колебания, но зависит от амплитуды колебаний.
Введение понятия средней крутизны позволяет построить так
называемую «квазилинейную» теорию автогенератора. Суть этой
теории заключается в том, что при заданных и неизменных ампли-
378
Рис. 11.12
тудах по отношению к первым гармоникам токов и напряжений
автогенератор рассматривается как линейное устройство, к кото¬
рому можно, в частности, применять метод комплексных ампли¬
туд. Нелинейный же характер устройства, как отмечалось выше,
учитывается зависимостью (11.16). Из предыдущего ясно, что
в основе квазилинейного метода лежит условие высокой избира¬
тельности колебательной системы автогенератора, обеспечиваю¬
щее синусоидальность напряжения на контуре независимо от
формы импульсов анодного тока.
Квазилинейный метод позволяет обосновать представленную
на рис. 11.6 обобщенную схему автогенератора. В соответствии
с выражением (11.16) комплексную амплитуду первой гармоники
анодного тока можно представить в виде
fai=ScpUynp = Scp(Eg-DUa). (11.17)
Это уравнение устанавливает связь между током 1а] и напря¬
жениями в лампе, т. е. в нелинейной части схемы. С другой сто¬
роны, эти же величины, т. е. Ial, Eg и Ua, можно связать уравне¬
нием, охватывающим линейную часть схеПмы. Для этого восполь¬
зуемся соотношением [см. формулу (11.2')]
Eg=- UaKoc («),
Ua=IalZs(m),
где Кос (0>) — комплексный коэффициент обратной связи, а
Z3 (<о) — входное сопротивление четырехполюсника, являю¬
щееся нагрузкой для лампы.
Таким образом, имеем'
Uynp = Eg-DUa=- UaK0C - DUa =
— Кос — D)Z3(m)Ial.
Выражение
-(#T0C + D)Ze(®)=Zy(a.)
называется управляющим сопротивлением.
Итак, получаем следующие два уравнения:
/*1 *^ср^упр» Г
Usap=-(Koe + D)Z9{*)Ial-
Заметим, что уравнение (I) устанавливает связь между /в1 И
Uynр независимо от частрты, так как 5ср зависит только от ампли¬
туды колебаний (инерция электронов здесь не учитывается),
уравнение же (II), относящееся к линейной части схемы, наобо¬
рот, устанавливает связь между Uynp и 1а1 только в зависимости
от частоты. В стационарном режиме автогенератора, по уста¬
новлении равновесия амплитуд и фаз, уравнения (I) и (II)
379
(11.18)
(11.19)
(I)
(Н)
должны выполняться одновременно. Перемножив левые и правые
части этих уравнений, получим важное соотношение
- ScpZ3 К) [Кос К) + D] = 1 (11.20)
или
SCpZy(cor) = l. (11.200
Здесь о)г обозначает частоту генерации. Ввиду того, что в дан¬
ном случае Scp является действительной величиной \ a Zy (о>г)
может быть комплексным, выражение (11.20) или (11.20') распа¬
дается на два уравнения.
Действительно, подставив в (11.20')
Zy (^г) = Ry (Юг) + iX (сог),
получим
/?y((Dr)Scp = l, (11.21)
ху (сог) =0. (11.22)
Уравнение (11.21) определяет амплитуду, а уравнение
(11.22)—частоту стационарного колебания.
В случае одноконтурных автогенераторов частота генерируе¬
мых колебаний очень близка к резонансной частоте контура.
Можно поэтому при определении стационарной амплитуды в ка¬
честве .первого приближения считать шг=Подставляя эту
у LC
частоту в выражение (11.19), получаем
Zy (сог) = — (Кос + D) гэр.
Так как в схемах рис. 11.3—11.6 коэффициент обратной связи
не зависит от частоты и является отрицательной действительной
величиной, получаем
/*УМ = (Кос-Я)*эр- (П.23)
Подставляя это выражение в (11.21), приходим к выражению
(Koc-D)z9pScp = l', (11.24)
которое совпадает с условием (11.15)
АГ0с= Л +D. (11.24')
*эр°ср
Нетрудно видеть, что правая ча!с1ъ этого выражения есть не что
иное, как величина, обратная коэффициенту усиления нелинейного
усилителя [см. формулу (10.18)]. Следовательно, формула (11.24')
полностью совпадаете формулой (11.3).
1 На очень высоких частотах, когда время пролета электронов соизмеримо
с периодом колебания, Scp является комплексной величиной.
380
Основываясь на выражении (11.24'), можно уточнить частоту
автоколебаний. Для этого составим выражение для реактивной
части управляющего сопротивления Ху(со). Имея в виду схему
автогенератора, показанную на рис. 11.10, и применяя метод ком¬
плексных амшлитуд, можем написать следующие соотношения:
Следовательно,
Отсюда находим
Для реактивной части управляющего сопротивления получаем
следующее выражение:
Отсюда видно, что для выполнения условия (11.22)* числитель
правой части последнего выражения должен равняться нулю. Та¬
ким образом,
м
Решая это уравнение относительно о>г и учитывая, что -£- =
•-—Кос, получаем
Это выражение можно упростить, если учесть, что в соответ¬
ствии с формулой (11.24)
°ср^эр
Второе слагаемое в выражении, стоящем «под знаком радикала,
может быть приведено к виду
Заметим, что это значение частоты отличается от того, которое
может быть получено непосредственно из дифференциального урав¬
нения (11.8) заменой Ri на R'r Поправку ,к частоте, зависящую от
приведенного сопротивления лам(пы R[, шриходится учитывать при
оценке нестабильности частоты, обусловленной влиянием режима
лампы на частоту автоколебаний. При выполнении же технических
расчетов одноконтурных автогенераторов частоту автоколебаний
обычно считают совпадающей с резонансной частотой колебатель¬
ного контура.
11.5. МЯГКИЙ И ЖЕСТКИЙ РЕЖИМЫ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ
Основываясь на выражении (11.24), можно определить ампли¬
туду установившегося колебания. Для этого нужно построить за¬
висимость Scp от амплитуды управляющего напряжения, как это
382
Но в соответствии с формулой (10.18')
Окончательно получаем
показано на рис. 11.13. Абсцисса точки пересечения кривой 5ср (£/упр)
с горизонтальной прямой, проведенной на уровне
S — 1
°СР (Кос — D) 2эр ’
и определяет стационарную амплитуду управляющего напряжения.
Это построение по существу не отличается от построения, показан¬
ного на рис. 11.2.
Зависимость Scp(£/ynp) может быть получена эксперименталь¬
ным или расчетным путем. Можно указать следующий порядок
экспериментального определения Scp(L/ynv). Поставив лампу в ре¬
жим усиления (т. е. устранив обратную связь), находят зависи¬
мость амплитуды тока в контуре от амплитуды Eg подводимого
к сеже напряжения. Такая зависимость называется колебательной
характеристикой генератора (в режиме постороннего возбуж¬
дения).
В § 10.5 подобные характеристики рассматривались как «ам¬
плитудные» характеристики нелинейного усилителя. По известной
величине добротности контура нетрудно найти амплитуду первой
гармоники
/ —JL /
а\ — Q 'к-
Далее по известным величинам гэр и D можно найти
IJ — [ ?
•*аГсэр>
kynp = Eg-DUa,
а отсюда и искомую зависимость
5'Ср(^упр)=7^--
Метод определения стационарной амплитуды можно сделать
более наглядным, если в основу исследования положить коле¬
бательную характеристику IK(Eg), где /^ — амплитуда напряже¬
ния на сетке.
383
Рис. 11.13
Допустим, что эта характеристика имеет вид, показанный на
рис. 11.14 (кривая I), Как отмечалось .въине, колебательная харак¬
теристика определяется при работе лампы в усилительном режиме.
Для определения амплитуды, которая установится в автогене¬
раторе, т. е. при переходе на самовозбуждение, необходимо уста¬
новить зависимость между током /к и напряжением Egi обуслов¬
ленную обратной связью. Так как подаваемое «на сетку напряжение
равно
Е —Iх
L-g 1 КЛСВ>
где л:св — сопротивление связи, то можно написать
Зависимость IK(Eg), определяемая линейной частью схемы,
показана на рис. 11.14 в виде прямой линии II, наклоненной
к оси Е„ под углом
+ 1
а = arctg —— .
-*СВ
Эта линия называется линией обратной связи.
Ордината точки пересечения линий / и // определяет стацио¬
нарную амплитуду тока /к, а абсцисса — стационарную ампли¬
туду Eg. Действительно, в точке пересечения величина тока /к,
развиваемого лампой в контуре (линия /), как раз совпадает
с величиной тока (линия II), необходимого для создания на сетке
(по каналу обратной связи) напряжения Eg, при котором лампа
дает ток /к.
384
Рис. 11.14
С увеличением связи наклон линии II уменьшается и стацио¬
нарная амплитуда тока /к растет. При очень большой обратной
связи стационарная амплитуда /к может уменьшиться из-за пере¬
хода в «перенапряженный режим» и возрастания тока сетки. Та¬
кой режим получается, например, при линии связи, приходящей
в точку А (рис. 11.14). При ослаблении связи наклон линии связи
растет и при критическом значении Кос, обращающем неравенство
(11.14) в равенство, возникновение колебаний невозможно. Линия
связи, соответствующая критической величине обратной связи,
приходит на рис. 11.14 в точку В.
Если в автогенераторе с индуктивной обратной связью и коле¬
бательной характеристикой вида рис. 11.14 плавно изменять М, то,
начиная- с критического
значения Мкр, амплиту¬
да стационарного коле¬
бания будет плавно из¬
меняться, как показано
на рис. 11.15. Такой ре¬
жим самовозбуждения
называется мягким.
Из- предыдущего вид¬
но, что для получения
мягкого режима необхо¬
димо, чтобы колебательная характеристика начиналась из нулевой
точки и имела достаточно большой наклон в области ма¬
лых амплитуд. Все эти требования выполняются при использова¬
нии сеточной утечки для создания напряжения смещения (автома¬
тическое смещение). При подаче на сетку очень малых амплитуд
Eg напряжение смещения близко к нулю и средняя крутизна Scp
мало отличается от статической крутизны. Это обеспечивает ли¬
нейный ход колебательной характеристики в области малых ам¬
плитуд Eg. С возрастанием Eg средняя крутизна снижается и коле¬
бательная характеристика принимает вид, показанный на рис. 11.14.
Снижение средней крутизны обусловлено в основном ростом
отрицательного смещения и переходом рабочей точки на нижний
сгиб характеристики, что приводит к отсечке анодного тока. При
очень больших амплитудах Eg возможно также уменьшение анод¬
ного тока из-за возрастания тока сетки.
При использовании принудительного смещения колебательная
характеристика принимает вид, показанный на рис. 11.16. Для
возникновения колебаний в данном случае требуется очень сильная
обратная овязь (линия О А на рис. 11.16). После того как колеба¬
ния установились, связь можно ослаблять вплоть до величины Af2,
при которой линия связи занимает положение ОВ. При дальней*
шем ослаблении связи колебания срываются. Для восстановления
колебаний М нужно увеличить до значения Мi, соответствующего
линии связи О А. Такой режим самовозбуждения называется же¬
стким.
25 Зак. 3/235
385
Рис. 11.15
Зависимость стационарной амплитуды /к от величины М при
жестком режиме показана на рис. 11.17. Здесь стрелками обозна¬
чено направление изменения М.
Если принудительное напряжение смещения настолько велико,
что колебательная характеристика начинается не из нуля
(рис. 11.18), то никакое увеличение обратной связи не способно
вызвать автоколебания. Если же с помощью внешнего воздействия
вызвать колебания, то при достаточно сильной обратной связи ко¬
лебания могут сохраниться и после прекращения воздействия.
Из двух точек пересечения линий / и II точка С является устой¬
чивой, а точка D— неустойчивой. Это означает, что при небольших
случайных отклонениях амплитуды около точки С система возвра¬
щается в исходное состояние, в районе же точки D сколь угодно
малое отклонение амплитуд прогрессивно возрастает и переводит
амплитуду /к либо в устойчивую точку С, либо в точку О (также
устойчивую).
386
Рис. 11.16
Рис. 11.17
Поясним это положение для точки С (на рис. 11.16). Допу¬
стим, что амплитуда тока в контуре случайно увеличилась на
величину Д/к. Это вызовет увеличение напряжения, подаваемого
на сетку через обратную связь, на величину AEg. При новом
напряжении на сетке EgCT-{-kEg лампа способна поддерживать
в контуре ток /', который меньше, чем /К + Д/К- Таким образом,
ток в контуре не может удержаться на уровне /к + и нач¬
нет убывать, т. е. возвращаться к исходному значению /к. То же
будет при случайном уменьшении тока в контуре. Аналогичными
рассуждениями нетрудно доказать неустойчивость амплитуды
в точке D.
Из приведенных рассуждений видно, что в генераторах с само¬
возбуждением целесообразно применять автоматическое смещение,
которое позволяет сочетать благоприятные для запуска автогене¬
ратора условия (£,g.0=0 в момент включения) с выгодным рабочим
режимом "в стационарном состоянии. При выборе сопротивления
утечки можно исходить из условия получения требуемой величины
Egо в установившемся режиме автогенератора
Р =1М (11.28)
* 'go
где Ig0 — постоянная слагающая сеточного тока в стационарном
режиме.
Емкость сеточного конденсатора Cg должна быть достаточно
большой, чтобы за время между двумя импульсами сеточного
тока напряжение на нем изменялось незначительно. Это требо¬
вание выполняется, если постоянная времени цепи утечки Tg =
= CgRg велика по сравнению с периодом Тт — ^~ автоколебаний.
Таким образом, должно выполняться условие
сг»т5"£=ЗггГ С1-28''
Чрезмерное увеличение постоянной времени Tg может отрица¬
тельна сказаться на работе автогенератора, особенно при импульс-
25* 387
Рис. 11.18
1
388
Рис. 11.20
Рис. 11.19
ной модуляции. Если Тg намного больше, чем длительность им¬
пульса т, то за время т отрицательное смещение не успевает на¬
расти до требуемой величины Eg0 и генератор работает в неблаго¬
приятном энергетическом режиме, практически без смещения.
Большая инерционность цепи Rg, Cg (при большом Rg) может
привести к нарушению нормальной работы и в автогенераторе не¬
прерывного действия. Это нарушение, получившее название пре¬
рывистой генерации, заключается в следующем.
Пусть Rg выбрано настолько большим, что при данной вели¬
чине обратной связи и данном контуре стационарная амплитуда
автоколебаний получается относительно малой. Подобный режим
изображен на рис. 11.19. Из-за большой величины сопротивле¬
ния Rg стационарное напряжение Ещо почти равно Eg. Стацио¬
нарная амплитуда Eg определяется из условия снижения сред¬
ней крутизны 5ср до величины [см. формулу (11.24)];
с — \
ср z3V(Koc~D) *
Для установления подобного режима необходимо, чтобы отри¬
цательное напряжение смещения нарастало по абсолютной вели¬
чине одновременно с ростом £^,как это и показано на рис. 11.19.
Если же постоянную времени выбрать очень большой, то из-за
инерционности цепи Rgt Cg рост напряжения смещения отстает от
увеличения амплитуды Eg. Это приводит к тому, что при очень
большой величине Tg — #gCg амплитуда Eg может достигнуть зна¬
чения E'gy намного большего стационарной амплитуды Egy пока¬
занной на рис. 11.19. На рис. 11.20 амплитуда достигает своего
предельного значения E'g при очень малом напряжении смещения.
По мере роста напряжения смещения рабочая точка будет сме¬
щаться влево, а амплитуда Eg—постепенно уменьшаться из-за
снижения средней крутизны, причем рост отрицательного смещения
не прекращается при стационарном значении Eg0, показанном на
рис. 11.19 и 11.20, а продолжается дальше. Это приводит к сниже¬
нию Scp до величины меньшей, чем это необходимо для устойчи¬
вой работы, и колебания срываются. После этого емкость Cg мед¬
ленно разряжается через сопротивление Rg (ток сетки при этом
отсутствует) до величины напряжения смещения, близкого к нулю,
при котором опять возникают автоколебания. Таким образом, при
прерывистой генерации возникновение и срыв колебаний образуют
периодический процесс.
11.6. БАЛАНС ФАЗ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ. СТАБИЛЬНОСТЬ ЧАСТОТЫ
АВТОКОЛЕБАНИЙ
Обратимся к общему уравнению равновесия автогенератора
(11.20) и представим его в несколько ином виде
•Vs Ы\К0СЫ + О\<!ГЬ+'г + Чс+ 4= 1 • (11 -29)
389
Здесь ср^, <р2 и ,D —аргументы соответственно средней
ос
крутизны, сопротивления анодного колебательного контура и ве¬
личины Кос (wr) + D, а угол к учитывает знак минус в левой
части выражения (11.20).
Для простоты рассуждений пренебрежем величиной D.
Толда можно считать
U ^Е
упр' '^g’
о lax
°СР — Eg ’
5ср29(“г) ^ГосК) е (п+^+<Рг+9ос) = 1( (11.29')
где через <рос обозначен аргумент коэффициента обратной связи
/СвсК).
Произведение модулей величин Scp, Z3(o>) и Кос (<о) при а> =
= (i>r равно единице. Это условие совпадает с условием (11.21) и
определяет амплитуду стационарных автоколебаний. Второе усло¬
вие, которое вытекает из выражения (11.29'), может быть запи¬
сано в виде
+ Ts + Тг + Тос = 0. 2гс, 4ft, ... (11.30)
Этому условию, которое является другой формой условия
(11.22), можно придать более общий вид
2<р, = я2*, (11.30')
где п — нуль или любое целое число.
Из условия (11.30') следует, что сумма фазовых сдвигов при
обходе замкнутого тракта автогенератора, включая и сдвиг, созда¬
ваемый лампой, равна целому числу 2я. В простейших автогене¬
раторах, изображенных на рис. 11.3—11.5, фазовые сдвиги созда¬
ются лампой (на 180°) и цепью обратной связи (на 180°) всего
«а 0° (или 360°, что то же самое).
Из условия (11.30') видно, что все факторы, оказывающие влия¬
ние на фазовые сдвиги в отдельных звеньях автогенератора, влияют
и на частоту генерируемых колебаний.
С этим обстоятельством необходимо считаться <при разработке
мер, направленных на -повышение стабильности частоты генери¬
руемых колебаний.
Оказывается, что обеспечения стабильности резонансной ча¬
стоты колебательного контура еще недостаточно для решения про¬
блемы стабилизации частоты генерации.
Рассмотрим один из факторов, влияющих на частоту генерации
через фазу ср^.
Во всех предыдущих рассуждениях средняя крутизна характе¬
ристики лампы считалась действительной величиной. В действи¬
тельности же из-за инерции электронов, наличия фазовых сдвигов
390
в цепи обратной связи и некоторых других факторов, крутизна Scp
является комплексной величиной, так что угол ср^ отличается от
нуля.
В диапазоне СВЧ угол ср5 может достигать значительной
величины. Если фаза коэффициента обратной связи не зависит
от частоты, как это имеет место, например, в одноконтурных
автогенераторах, то восстановление баланса фаз возможно
только за счет изменения угла <pz на величину Дсрг, компенси¬
рующую угол ср5. Это означает, что в системе автогенератора
устанавливается частота о>г, отличающаяся от резонансной час¬
тоты контура С1)р.
Нетрудно установить связь между отклонением частоты
А(о = и)г —(ор и величиной | Дсрг| = | cpj. Для этого воспользуемся
уравнением фазовой характеристики контура (см. § 4.7)
cp, = arctg Q).
Так как при (йг = (ор <рг = 0, то можно потребовать, чтобы
I А<рг I = | arctg (^q)|^| 2^|q = |?,|,
откуда относительное отклонение частоты, необходимое для
компенсации угла <?s, должно быть
До) | _ | А<рг | _ | 9s |
о)р |— 2Q 2Q * (11.31)
Например, при ср^=15° и Q = 100 получим
Так как время пролета электронов между электродами лампы,
а следовательно, и угол зависят от анодного напряжения, то из¬
менение этого напряжения приводит к некоторому изменению ча¬
стоты автоколебаний. Этот фактор является одним из ряда факто¬
ров, определяющих нестабильность частоты генератора.
Существенно, что с повышением Q дестабилизирующее влияние
угла ослабляется. Этот вывод, следующий из формулы (11.31),
поясняется рис. 11.21. С увеличением крутизны фазовой характе¬
ристики контура (при увеличении Q) величина А(о = о)г —о)р, не¬
обходимая для получения заданного компенсирующего угла Дфг,
уменьшается. Это положение можно распространить и на любые
другие дестабилизирующие факторы, кроме тех, которые действуют
непосредственно на резонансную частоту контура.
Таким образом, для повышения стабильности частоты автогене¬
ратора необходимо, насколько это возможно, повышать доброт¬
ность колебательной системы при одновременном повышении эта¬
лонное™ самой колебательной системы. Иногда применяют спе-
391
цйальные конструкции конденсаторов и катушек, обеспечивающие
ослабление влияния температурных изменений на резонансную
частоту контура, а также, при особо жестких требованиях к ста¬
бильности частоты, термостатирование колебательной системы.
В генераторах, работающих на волнах длиннее 30—40 м, ши¬
роко применяется стабилизация частоты с помощью пьезокварце¬
вых осцилляторов. Определенным образом вырезанные из кристал¬
лов кварца пластины, обладающие пьезоэлектрическим эффектом,
представляют собой колебательную систему с очень высокой доб¬
ротностью (порядка десятков тысяч) и высокой этало-нностью ча¬
стоты. Введение в схему автогенераторов подобных колебательных
контуров позволяет резко ослабить влияние различных дестабили¬
зирующих факторов на частоту автоколебаний. Некоторые схемы
кварцованных генераторов приведены в § 11.9. На сверхвысоких
частотах повышение стабильности частоты достигается примене¬
нием'^ высокодобротных полых резонаторов.
11.7. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ АВТОГЕНЕРАТОРА
В предыдущих параграфах данной главы изучались условия
возникновения колебаний и определялась устойчивость стационар¬
ного режима автогенератора. Теперь необходимо рассмотреть весь
процесс установления автоколебаний: от первоначального включе¬
ния и до стационарного режима. Этот вопрос помимо своего об¬
щего значения важен для ряда приложений, при которых прихо¬
дится иметь дело с формированием короткйх радиоимпульсов (на¬
пример, в импульсных радиосистемах).
Для полного описания поведения автогенератора, охватываю¬
щего все стадии процесса установления, необходимо отказаться от
условия малости амплитуд, лежащего в основе линейного диффе¬
ренциального уравнения (11.8).
392
Рис. 11J21
Использованное при составлении этого уравнения линейное вы¬
ражение (11.7)
ia = S(eg — Dua)
должно быть заменено нелинейной функцией.
1а = У(ее — Dua), (11.32)
определяющей анодный ток 1а при любых значениях eg и иа.
Для дальнейшего иссле¬
дования удобно перейти от
схемы рис. 11.10 к схеме,
показанной на рис. 11.22.
Использованная в этой
схеме параллельная схема
замещения колебательного
контура, не меняя сути де¬
ла, упрощает составление
дифференциального урав¬
нения для напряжения иа,
действующего на контуре.
При выбранных на этом рисунке направлениях токов » напряже¬
ний можно написать следующие исходные уравнения:
(11.33)
(11.34)
di.
Здесь знак плюс взят по соображениям, связанным с фазцров-
кой обратной связи (см. § 11.3).
Таким образом,
f (eg -Dua) = 4? - £>)ив] = «1» [(/Сос - D) иа] = f (Киа), (11.36)
где обозначено
K-Koc-D. (11.37)
Нетрудно видеть, что eg — Dua = Kua есть не что иное, как
управляющее напряжение сетки йупр.
393
Подставляя выражения (11.34) и (11.32) в (11.33), получаем
Подставляя выражение (11.36) в уравнение (11.35) и диффе¬
ренцируя последнее по t, получаем
сРиа . 1 da а . 1 1 d<\> (Киа)
dt2 * CR dt ' LC а С dt
ШЛИ
Как и следовало ожидать, получилось нелинейное уравнение.
Дальнейший путь заключается в подстановке в уравнение (11.38)
какой-либо аппроксимации функции г|i{Kua). Наиболее удобной яв¬
ляется полиномиальная аппроксимация, неоднократно упоминав¬
шаяся в гл. 8 и 11. Чтобы не слишком усложнять задачу, обычно
ограничиваются кубическим членом в выражении (8.7)
1а = амупр + Р«у„р + f“ynp- (11.39)
Слагаемое ia0 здесь опущено, так как оно не оказывает
влияния на свойства функции иа, а также и другие связанные
с иа переменные величины, входящие в уравнение (11.33).
Аппроксимация (11.39) пригодна для иследования лишь «мяг¬
кого» режима самовозбуждения, когда .для ограничения ампли¬
туды автоколебаний достаточно захода на относительно слабо вы¬
раженные криволинейные участки характеристики. В случае «же¬
сткого» режима для удовлетворительного описания характеристики
требуется удержание в выражении (8.7) по крайней мере еще и
5-й степени.
Итак, ограничиваясь случаем мягкого режима (наиболее рас¬
пространенного в практике), приведем выражение (11.39) к виду,
более удобному для подстановки в уравнение (11.38). Учитывая,
что иупр=Киа [с,м. замечание, сделанное после формулы (11.37)],
получаем
= Ф (Киа) = *Киа + - I т IКЧ1 =
= + (11-40)
где
Рк = **Р; ТК = /С31 т I - (11.41)
Знак минус перед кубическим членам взят в соответствии с фор¬
мулой (10.26), из которой видно, что у отрицательно.
Подставляя (11.40) в (11.38), получаем
(Рид ■ /J \„ Рк „2 I _Тк из] I J_„ —о
d& ^ dt[C \R a*jua С С “J ' LC а
Для сокращения записи и приведения последнего уравнения
к канонической форме введем следующие обозначения:
Кроме того, введем „безразмерное" время
Тогда
или
где
(11.46)
Переходим, наконец, от напряжения иа (в вольтах) к «безраз¬
мерному» напряжению
»=/*“»• <п-47)
Тогда
Вводя обозначение
Ь = -р=^, (11.48)
V «эТэ
приходим к окончательному уравнению, известному под названием
уравнения Ван-дер-Поля:
^_e(l+to_a2)-*L + e = o. (11.49)
Величина и знак коэффициента b зависят от вида характери¬
стики и положения исходной рабочей точки. При симметричной ха¬
рактеристике, рассмотренной в § 10.5, и при расположении рабочей
точки в точке перегиба характеристики (рис. 10.14) коэффициент
395
Подставляя все это в уравнение (12.42), получаем
b=0. В этом частном случае уравнение (11.49) несколько упро¬
щается:
igL-e(l-^)-^- + u=.0. (11.50)
Хотя это уравнение составлено для случая фиксированного по¬
ложения рабочей точки и, следовательно, не учитывает изменения
этого положения в процессе нарастания амплитуды (из-за изме¬
нения напряжения Eg0 при автоматическом смещении), уравнение
(11.50) все же, как показывает опыт, хорошо описывает'поведение
автогенератора, работающего в мягком режиме.
При малых напряжениях, когда и2 < 1 (напомним, что и—без¬
размерная величина), уравнение (11.50) переходит в обычное
линейное уравнение, совпадающее с уравнением (11.8х), в котором
коэффициент 2аэ совпадает с —е. С увеличением напряжения и
все сильнее проявляется нелинейность системы.
Не существует методов, позволяющих получить точное решение
нелинейного уравнения (11.50).
В современной математике, в значительной степени под влия¬
нием требований радиоэлектроники, широко применяются различ¬
ные приближенные («асимптотические») методы отыскания реше¬
ния нелинейных уравнений типа (11.50) и других близких к нему
уравнений. Некоторые из этих методов будут рассмотрены ниже
попутно с исследованием отдельных радиотехнических задач (сле¬
дующий параграф, а также гл. 14 и 16).
11.8. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ АВТОГЕНЕРАТОРА
МЕТОДОМ МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД
Суть этого метода заключается в том, что решение нелинейного
уравнения (11.50) ищется в форме высокочастотного колебания
и = А (т) cos т = A (t) cos (11.51)
где о)р = частота, определяемая контуром, т. е. о)р = <о0 =^==, а
А(х) — „медленно44 меняющаяся во времени функция.
Как указывалось в § 3.8, условие медленности заключается
2п
в том, что относительное изменение амплитуды за период Т0 = —
является достаточно малой величиной, т. е.
1 ЛА. m // л 1 (tA /у 1 СО а / i i гл\
~а иг о« или -а~зг<-7;=<1L52>
В системах, близких к консервативнымкаковыми являются
автогенераторы с высокодобротными колебательными контурами,
1 Консервативными называются системы, в которых запас энергии является
постоянной величиной.
396
условие (11.52) выполняется, так как для существенного изменения
амплитуды и, следовательно, запасенной в контуре энергии тре¬
буется время, измеряемое значительным числом периодов.
Итак, для отыскания приближенного решения уравнения
(11.50) остается найти только функцию A(t), т. е. огибающую ам¬
плитуд колебания. Частота этого колебания просто приравни¬
вается о)р, а постоянная начальная фаза, которая в решении (11.51)
опущена, может быть принята любой в зависимости от начальных
условий запуска генератора *.
Подставим выражение (11.51) в уравнение (11.50).
т-, du Фи, о du
Предварительно наводим и м "57 :
и = A cost, = — A sin х + A cos х,
d?u
= —A cos х — A sin х — A sin х + A cos х = да —A cos х — 2A sinx,
(A3cos3t) =
dz'2
2 da 1 а! (и3) 1 d
U ~dx T dx T ~dx
=t^[az (t cos * + T c?s Зт)]~т^ <лз cos =
Аз . .1 dAз >13 ,
= --rsint + T • COST» - -j-sint.
Слагаемое с А отброшено, так как вторая производная мед-
лено меняющейся функции является величиной второго порядка
малости; слагаемое же с cos3t = cos Зо>р/ отброшено, так как утроен¬
ная частота отфильтровывается колебательным контуром, на¬
строенным на частоту (ор. Следует, кроме тогр, иметь в виду, что
dA*
последнее слагаемое вида cost после подстановки в уравне¬
ние (11.50) и умножения на малую величину е также может быть
отброшено по сравнению со слагаемыми с коэффициентами
вида А, А или &43. Подставляя полученные соотношения в урав¬
нение (11.50), получаем
(—A cos т — 2A sinx) — s(—A sini + A cost) —
—е sin + A COS X = 0
или
С Аз
2A sin х — еЛ sin х -|—sin х = 0.
1 В действительности фаза, а следовательно, и частота колебания в про¬
цессе установления является функцией времени. Для определения «поправки>
к частоте необходимо находить второе или даже более высокие приближения.
397
Слагаемое s-Acost отброшено как произведение двух малых
величин.
Итак,
Так как sim^O, то приходим к следующему уравнению для
амплитуды:
Получилось уравнение первого порядка относительно квадрата
амплитуды А.
Стационарная амплитуда Аст определяется из этого уравнения
немедленно: достаточно приравнять нулю производную от А2. Та¬
ким образом,
Итак, при неполной кубической аппроксимации стационарная
амплитуда напряжения (безразмерного) на контуре равна двум.
Переход к «размерной» амплитуде будет сделан несколько далее.
Для решения уравнения (11.53') используется следующая за¬
мена переменной:
(11.53)
Умножив на Л и учитывая, что 2АА = -^~, перепишем это
уравнение в следующей форме:
(11.53')
откуда
(11.54)
Тогда
или
и
398
Теперь можно разделить переменные, после чего получаем
dx ,
-—
Ч'-т)
Интегрирование этого выражения дает
In (х —+ С = —-ет.
Пусть начальное значение амплитуды колебания в момент
т=0 равно А0. Тогда соответствующее этому моменту значение
равно 1/Ао2. Приравнивая в последнем выражении т=0, находив
постоянную интегрирования С
С= In (х0 .
Следовательно,
и, наконец,
где т0 определяется из формулы (11.55) по заданной начальной
амплитуде —
JC о
Подставляя выражение (11.56) в (11.51), получаем
2 COS X /11 С7\
и = . (11.57)
У 1 + е~е(х—Хо)
Совершая переход от т и и к первоначальным переменным t
и иа [по формулам (11.44) и (11.47)], записываем это решение
в форме
2 /ircos(y + ?o)
Иа = —==?£: (11.58)
1/ -(<У“То)'
Г 1 + е “р
где фо — произвольная начальная фаза колебания.
399
Представим знаменатель этого выражения в форме
Учитывая, что в соответствии с формулами (11.43) и (11.46)
приходим к следующему окончательному выражению для мгновен¬
ного значения напряжения на колебательном контуре автогенера¬
тора:
— Uait) COS («Op^ + сро). (11.59)
где t0=-^-, причем *0 определяется из формулы (11.55).
Для выяснения характера нарастания амплитуды автоколеба¬
ния удобно выразить огибающую Ua(t) через начальную ампли¬
туду иао- Замечаем, что при t=0 эта амплитуда равяа
где {/ост—стационарная амплитуда.
Если начальные условия запуска определяются свободными
колебаниями включения, то Ua0 < Ua ст.
Следовательно, в последнем выражении
и можно считать
Итак, огибающая амплитуд
(11.61)
(11.60)
Отсюда видно, что на начальном этапе запуска автогенератора
(t близко к нулю), пока
огибающая нарастает по экспоненциальному закону
(11.62)
Этот результат совпадает с выражением (11.13) (разные формы
показателя степени определяются различием схем рис. 11.10 и
11.22).
В выражении (11.61) полезно перейти от ак к а — S [с по¬
мощью формул (12.41) и (12.37)]:
(11.63)
Если учесть, кроме того, формулу (11.24), из которой следует, что
то получим
где <х0 = 2#с ~ затУхание собственно контура.
Итак, окончательно
где аэ определяется выражением (11.43).
Общий характер функции Ua(t) для нескольких значений
параметра
показан на рис. 11.23.
Из выражения (11.64) и рис. 11.23 видно, что время установ¬
ления стационарной амплитуды существенно зависит от начальной
26 Зак. 3/235 401
амплитуды, т. е. от начальных условий запуска. Этот вопрос имеет
важное значение для импульсных автогенераторов (ом. § 17.11).
Рис. 11.23
11.9. ДВУХКОНТУРНЫЕ АВТОГЕНЕРАТОРЫ. КВАРЦОВАННЫЕ
ГЕНЕРАТбРЫ
Рис. 11.24
Помимо рассмотренных в § 11.2 простейших одноконтурных
автогенераторов в практике пииролко применяются автогенераторы
с более сложными колебательными
системами. Особенно часто встре¬
чаются двухконтурные схемы сле¬
дующих двух типов: с обратной
связью через междуэлектродную
емкость анод—сетка (рис. 11.24, а)
или через емкость анод—катод
(рис. 11.24,6). Источники питания
на рис. 11.24 не показаны.
Рассмотрим условия самовоз¬
буждения в схеме с обратной
связью через емкость анод—сетка
(рис. 11.24,а). Представим колеба¬
тельную систему автогенератора в
виде одного контура, состоящего
из последовательного соединения
трех элементов: емкости Cagi реак¬
тивного сопротивления xgk участка
сетка—катод и реактивного сопро¬
тивления хаъ участка анод—катод
(рис. 11.25).
Из условия противофазное™
напряжений Eg и Ua и для того,
402
чтобы контур был колебательным, сопротивления xgk и xak на
частоте генерации должны быть индуктивными. Следовательно,
приходим к выводу, что самовозбуждение в рассматриваемой
схеме возможно только на частоте, меньшей, чем резонансные
частоты о)а и o>g, так как только при этом
условии сопротивления xgk и хаП являются
индуктивными. К этому же выводу можно
•прийти и другим путем.
Рассматривая контур как реактивный
двухполюсник, включенный между анодом
к катодом лампы, получаем для результи¬
рующего сопротивления между точками
а—к частотную зависимость, представлен*
ную на рис. 11.26 (см. § 6.3). Так как рас¬
сматриваемый двухполюсник пропускает
постоянный ток, то зависимость Z9 (о) на¬
чинается из нуля, cdi и со3 соответствуют «параллельным» резонан¬
сам, а со2 — «(последовательному» резонансу.
Поскольку для нормальной работы автогенератора требуется
большое нагрузочное сопротивление между анодом и катодом,
генерация на частоте о)2 невозможна. Из двух частот, соответ¬
ствующих резонансу токов, и>1 меньше резонансных частот се-
Рис. 11.25
точного и анодного контуров и o>fl, а <о3 лежит между указан¬
ными частотами1. На основании указанного выше условия
противофазности напряжений Eg и Ua приходим к выводу, что
генерация возможна только на одной частоте меньшей, чем
наинизшая из частот <оЛ и u>g.
1 Частота со3 не может превышать наивысшей из частот u)g или (да,
так как при этом и xZk и xak являлись бы емкостными сопротивлениями и ре¬
зонанс был бы невозможен.
26* 403
Рис. 11.26
В схеме с обратной связью через емкость анод—катод
(рис. 11.24,6) эквивалентный колебательный контур принимает
вид, показанный на рис. 11.27. В данном случае для противо¬
фазное™ напряжений Eg и (Ja необходимо, чтобы на частоте гене¬
рации сопротивление xgk было емкостным. Следовательно, частота
генерации сог должна быть выше, чем резонансная частота парал¬
лельного контура, включенного между сет¬
кой и катодом. С другой стороны, так как«
участок анод—сетка должен быть индук¬
тивным (поскольку остальные два участка
являются емкостными), то частота генера¬
ции должна быть ниже, чем резонансная
частота контура, включенного между
анодом и сежой. Отсюда видно, что для
самовозбуждения частота (£>ag должна быть
обязательно выше, чем частота со^, и ча¬
стота генерации лежит между значе¬
ниями (dgk И (Oag.
Существенно, что если сеточный и анодный контуры обладают
значительной расстройкой, то основное влияние на частоту авто¬
колебаний оказывает изменение 'параметров того из контуров, ча¬
стота которого ближе к резонансной частоте эквивалентного кон¬
тура. В схеме рис. 11.24, а, например, таким контурам является
контур, частота которого минимальна.
Это свойство двухконтурной схемы часто используется для
искусственного повышения стабильности частоты автогенераторов
Рис. 11.27
путем введения в схему 1высоиодобротного и эталонного контура,
который в основном и определяет частоту генерации. Второй же
контур (нагрузочный) при этом настраивается на частоту, заве¬
домо более высокую, чем частота эталонного контура.
■В качестве эталонного контура, как отмечалось в предыдущем
параграфе, часто применяется кварцевая пластина. Наиболее рас¬
пространенные в практике схемы квасцованного автогенератора
изображены на рис. 11.28.
На схеме, предоставленной на рис. 11.28, а, кварцевая пластина
включена между сеткой и катодом лампы. Сопротивление Rgf не-
404
Рис. 11.28
обходимое для создания сеточной утечки, берется достаточно боль¬
шим (несколько десятков тысяч ом), чтобы не вносить заметного
затухания в контур кварца. Обратная связь в рассматриваемой
схеме осуществляется обычно через междуэлектродную емкость
анод—сетка.
На более длинных волнах для усиления обратной связи иногда
включают дополнительную емкость параллельно промежутку
анод—сетка. Нетрудно видеть, что схема рис. 11.28, а соответствует
принципиальной схеме рис. 11.24, а.
На схеме, опфбдставленной на рис. 11.28,6, мварцевая пластина
включена между анодом и сеткой,’ а обратная связь осуще¬
ствляется через емкость оетка—катод лампы, ко¬
торая шунтирует высокоомное сопротивление утеч¬
ки Rg. При достаточно длинных волнах параллель¬
но собственной емкости лампы приходится вклю¬
чать дополнительно небольшую емкость.
Кварцевая пластина представляет собой меха¬
ническую колебательную систему. При наличии пье¬
зоэлектрического эффекта механические колебания
кварца сопровождаются возникновением на его
гранях переменного электрического напряжения,
частота которого равняется частоте механических
колебаний. Последняя связана с геометрическими
размерами пластины следующим соотношениехМ
(при колебаниях по толщине пластины d):
где d выражено в миллиметрах.
Длина электромагнитной волны, соответствующая этой частоте,
ра(вна
Толщину кварца не рекомендуется брать меньше 0,2—0,3 мм,
так как очень тонкие пластины становятся хрупкими и недоста¬
точно эталонными. Таким образом, кварцевые пластины удобны
для стабилизации волн длиннее 25—30 м. Для (получения более
коротких волн часто применяется умножение частоты, позволяющее
строить возбудитель на более длинных волнах, выгодных для ис¬
пользования кварца в хорошем режиме.
Тесная свя'зь между механическими и электромагнитными коле¬
баниями © кварцевой пластине позволяет представлять последнюю
в виде эквивалентного колебательного контура. Схема подобного
контура показана на рис. 11.29.
Параметры эквивалентного контура Lqi Cq и rQ зависят от тех¬
нологии изготовления кварцевой пластины (способа вырезания из
кристалла кварца, шлифовки,конструкциикварцедержателя и др.).
Емкости Сд очень малы (сотые доли микромикрофарады), а ин-
405
Рис. 11.29
дуктивности Lq велики (десятки и сотни миллигенри). Поэтому
волновое сопротивление контура кварца очень велико и, несмотря
на значительные сопротивления гд (до десятков и сотен ом), доб¬
ротности контура кварца получаются порядка десятков и сотен тысяч.
Как уже отмечалось, схема рис. 11.28, а соответствует схеме
рис. 11.24, а, в которой обычный контур заменен эквивалентным
■контуром кварца. Из этого следует, что эквивалентная схема
рис. 11.25 может быть использована для исследования работы ге¬
нератора с кварцем между сеткой и катодом. Необходимо лишь
под .^подразумевать эквивалентное реактивное сопротивление па¬
раллельного контура, изображенного на рис. 11.29.
Аналогично нетрудно составить эквивалентную схему и для
генератора с кварцем между анодом и сеткой.
Более подробное изучение кварцевой стабилизации частоты ге¬
нераторов составляет одну из задач курса радиопередающих
устройств.
11.10. ЯВЛЕНИЕ ЗАТЯГИВАНИЯ ЧАСТОТЫ
Рассмотрим одну особенность автогенераторов, колебательная
система которых состоит из двух сильно связанных контуров
(рис. 11.30). Заметим, что в отличие от разобранных .выше двух¬
контурных автогенераторов здесь непосредственно с ламтгой свя¬
зан лишь один из контуров. Так как
коэффициент обратной связи в схе¬
ме рис. 11.30 и других аналогичных
схемах почти не зависит от часто¬
ты (вблизи резонанса), то необхо¬
димые для самовозбуждения усло¬
вия вполне могут выполняться для
обеих частот связи. Однако из двух
частот coj и соГ1 установится коле¬
бание той частоты, для которой ре¬
жим самовозбуждения является
более благоприятным.
Для выяснения сути этого явления ограничимся качественным
рассмотрением, которое начнем с момента запуска автогенератора.
В первый момент в схеме могут возникать оба колебания и, пока
амплитуды малы и нелинейность системы еще не проявляется, оба
'колебания нарастают по амплитуде почти независимо. Крутизна
нарастания амплитуд не является, однако, одинаковой для частот
<*>! и соп. В гл. 5 (§ 5.8) было установлено, что в зависимости от
относительной расстройки контуро'в резонансное сопротивление
нагрузки при одной из частот связи больше или меньше, чем при
другой. Следовательно, и усиление схемы неодинаково для частот
<*>! и соц. Это приводит к тому, что амплитуда одного из колеба¬
ний (для которого резонансное сопротивление больше) выходит
на нелинейный участок*характеристики лампы раньше, чем ампли¬
туда второго колебания.
406
Рис. 11.30
Более подробное рассмотрение доказывает, что при воздействии
на нелинейное устройство одновременно двух колебаний средняя
крутизна характеристики снижается быстрее для колебания с мень¬
шей амплитудой. Таким образом, по мере выхода на нелинейный
участок характеристики лампы, первоначальное преобладание
одного из колебаний возрастает и приводит к полному гашению
второго колебания.
Следует отметить, что это свойство лампо1вых генераторов про¬
является лишь при достаточно близких частотах сравниваемых
колебаний. Вообще же возникновение
в автогенераторах побочных колебаний
с частотами, далекими от рабочей ча¬
стоты и сопровождающих рабочее ко¬
лебание («паразитная» генерация), яв¬
ляется распространенным в практике
явлением.
В проведенных выше рассуждениях
мы интересовались механизмом уста¬
новления одного из колебаний и га¬
шения другого. Допустим теперь, что
после установления стационарного режима на одной из частот щ
или (оп, мы начнем изменять настройку одного из контуров, на¬
пример второго, сохраняя настройку первого контура неизмен¬
ной. Как при этом будет изменяться частота генерируемых коле¬
баний?
Ответ на этот вопрос может быть получен с помощью рассуж¬
дений, основанных на использовании приведенного в §5.3. графика
зависимости частот связи от относительной настройки контуров.
Этот график воспроизведен на рис. 11.31 (на котором по осям ко¬
ординат отложены не отношения частот, а частоты).
Допустим, что в схеме возбуждены колебания сначала на
частоте соответствующей частоте о)р2 < о)р1 (точка Ау на кри¬
вой o)j). Установление этой частоты обусловлено, очевидно, тем,
что при (1)р2 < о)Р1 резонансное сопротивление ^((Oj) больше,
чем хэр (о)п) (рис. 5.22, § 5.8).
При постепенном повышении частоты шр2 (изменением емкости
или индуктивности второго контура)"частота генерации будет
сначала идти по кривой Wj (рис. 11.31), а затем в точке Е, распо¬
ложенной правее точки о) = а)р1, частота скачком перейдет на
кривую о)п. При обратном изменении о>р2 частота генерации будет
идти по кривой о)п до точки F, где скачком'перейдет на кривую а>1в
Перескок частоты в точке Е объясняется тем, что на участке
от о)р1 до о)£ (рис. 11.31) условия генерации более благоприятны
для частоты ш1Ь однако ранее возбужденное колебание <о1 ока¬
зывается устойчивым и при некотором снижении гэр. Когда это
снижение настолько возрастает, что колебания coj становятся
неустойчивыми, происходит срыв этих колебаний и возникно¬
вение колебаний с частотой о)п.
407
Рис. 11.31
Аналогично может быть объяснен и скачок частоты генерации
в точке F. Таким образом, получается «петля затягивания ча¬
стоты». Ширина области затягивания ^Р-^-тЕ тем больше, чем
сильнее связь между контурами и чем выше добротность второго
контура.
Явление затягивания играло отрицательную роль в передатчи¬
ках ранних типов, в которых автогенератор работал на антенну
через промежуточный контур. Изменение резонансной частоты ан¬
тенного контура (например, при раскачивании проводов антенны
ветром) привадило к перескокам частоты генератора, особенно
при телеграфной манипуляции, когда создавались благоприятные
условия для установления колебаний с той или иной частотой. Для
устранения этого недостатка приходилось ослаблять связь, что
невыгодно в энергетическом отношении. С явлением затягивания
приходится встречаться и в со©,ременных автогенераторах, работа¬
ющих со сложной колебательной системой. Иногда это явление
используется для искусственного повышения стабильности частоты
автогенератора с помощью выеокодобротного и эталонного кон¬
тура (кварц, объемный резонатор и др.), который связывается
с основным контуром автогенератора. Установив частоту эталон¬
ного контура в петле затягивания, можно добиться ослабления
влияния нестабильности .первого контура на частоту генерации.
11.11. ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРИБОР КАК ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ. ДИНАТРОННЫЙ И ТРАНЗИТРОННЫЙ
ГЕНЕРАТОРЫ
При рассмотрении механизма возникновения колебаний в авто¬
генераторах (§ 11.3) мы уже встречались с понятием отрицатель¬
ного сопротивления, вносимого (последовательно) в колебатель¬
ный контур лампой при надлежащем вы¬
боре фазы обратной связи. Для того
чтобы колебания в контуре были незату¬
хающими, абсолютная величина отрица¬
тельного сопротивления в установившем¬
ся режиме генератора должна равняться
положительному сопротивлению потерь
контура. Аналогичный результат можно
получить и при представлении лампы
в виде отрицательного сопротивления
/?г, включенного параллельно контуру
(рис. 11.32).
Рассматривая, как и в § 11.3, начальный этап развития коле¬
баний (малые амплитуды), можем написать исходные соотношения
в виде линейных уравнений (11.5) и (11.6), однако связь между
1а и иа в данном случае выразим не через S, е и Dua [см. урав¬
нение (11.7)], а через сопротивление RT:
Рис. 11.32
Подставляя это соотношение в левую часть уравнения (11.6J
и используя первое уравнение системы (11.5), получаем вместо
(11.8) следующее линейное дифференциальное уравнение:
Для того чтобы амплитуда колебания нарастала, коэффициент
три первой производной должен быть отрицательным. Отсюда по¬
лучаем условие во&никнавения
колебаний ,в 'виде
Здесь | I — абсолютная величина отрицательного сопротивле¬
ния возбужденной лампы; гэр — резонансное сопротивление контура.
Когда сопротивление |/?г|, зависящее от амплитуды колебания
(при переходе на нелинейную часть характеристики лампы),,
увеличится до
в автогенераторе установится стационарная амплитуда колебаний.
Режим будет устойчивым, если кривая |/?г(^а)1 пересекает
линию | I = ^эр с положительным наклоном (рис. 11.33). Все,,
что в предыдущих параграфах было сказано о характере нели¬
нейной зависимости средней крутизны от амплитуды управляю¬
щего напряжения, в данном случае может быть распространено
на зависимость величины, обратной | |, от напряжения Ua..
Физическое истолкование лампы как отрицательного сопротив¬
ления (при противофазном возбуждении) может быть дано на
основании знака производной 4^-. Из' рис. Д1.34 видно, что из-за
противофазное™ напряжений eg и иа положительному прира¬
щению еа отвечает убывание тока ia и наоборот. Следовательно,,
в данном случае ..
или
г
Рис. 11.33
Рис. 11.34
(11.67')
409^
Подача в соответствующей фазе напряжения на сетку лампы
является "хотя и наиболее распространенным, но не единственно
возможным способом создания отрицательного сопротивления.
Можно, например, воспользоваться падающим участком, кото¬
рый получается в характеристиках тетродов при динатронном эф¬
фекте. Подобная характери¬
стика изображена на~ рис.
11.35. На участке характе¬
ристики а—b промежуток
анод—катод тетрода обла¬
дает отрицательным сопро¬
тивлением. Подключение
тетрода, работающего в по¬
добном режиме, к колеба¬
тельному контуру способно
поддерживать в последнем
незатухающие колебания.
Схема подобного генерато¬
ра, называемого динатрон-
ным генератором, показана
на рис. 11.36. Как видно,
в этой схеме нет специальных элементов для создания обратной
связи. Отрицательный характер сопротивления лампы достигается
установкой рабочей точки на падающем участке вольтамперной
характеристики. Для этой цели на анод подается напряжение пи¬
тания Eat меньшее, чем на экранную сетку.
Рис. 11.35
Из-за недостаточной устойчивости динатронного эффекта и низ¬
ких энергетических качеств динатронные генераторы применяются
редко. Значительно большее распространение (в радиоизмеритель-
иых устройствах, в качестве гетеродинов приемников и т. д.) по-
.лучили так называемые транзитронные генераторы, работающие
на пентодах. В транзитронном генераторе используется то обстоя¬
тельство, что распределение электронного тока между анодом и
второй сеткой лампы зависит от напряжения третьей сетки. Пр^
увеличении потенциала последней ток ig2 падает. - Зависимость
igb(egз) изображена на рис. 11.37.
410
Рис. 11.36
Рис. 11.37
Для перехода от усиления колебаний к самовозбуждению не¬
обходимо переменное напряжение с контура подать на вход, т. е.
на третью сетку.
TaiK как в данном случае в цепи обратной связи не требуется
создания фазового сдвига, то вторую и третью сетки по высокой
частоте можно соединить
накоротко. Таким обра¬
зом, приходим к схеме
транзитронного генерато¬
ра, показанной на рис.
11.39. Сопротивление R0
берется достаточно боль¬
шим (порядка 100 Ком) у
чтобы не вносить замет¬
ного затухания в контур.
Емкость С0, соединяющая
вторую сетку с третьей и
необходимая для разде¬
ления постоянных токов, должна для частоты автоколебаний обла¬
дать малым по сравнению с R0 сопротивлением. Таким образом,
При выполнении этого условия вторую и третью сетки по вы¬
сокой частоте можно считать эквипотенциальными. Следовательно,
(падающий участок характеристики ^2(^з)» наказанный на
рис. 11.37, можно отождествлять (для переменных токов и напря¬
жений) с характеристикой ig2{^eg2). Для возникновения колеба-
411
Рис. 11.38
Если колебательный контур ввести в цепь второй сетки, а пе¬
ременное напряжение подавать на третью сетку (рис. 11.38), то
можно осуществить усиление колебаний, причем в отличие от обыч¬
ного усилителя с контуром в анодной цепи 'выходное напряжение
в данном случае совпадает по
фазе с напряжением входа.
Действительно, при поло¬
жительном приращении напря¬
жения eg3 ток ig2 убывает, па¬
дение напряжения на контуре
снижается, а потенциал вто¬
рой сетки (по отношению к ка¬
тоду) растет. Промежуток вто¬
рая сетка—катод ведет себя
при этом как отрицательное
сопротивление, поскольку про¬
изводная
Рис. 11.39
ний необходимо, чтобы абсолютная величина отрицательнего со¬
противления, равная
отвечала условию типа (11.67).
Стационарная амплитуда колебаний установится, когда среднее
сопротивление |/?ГСр(£*з) I* возрастая с увеличением амплитуды
Eg3, сравняется с z9p.
Простота схемы и отсутствие необходимости в подборе обрат¬
ной связи делает в некоторых устройствах транзитронный генера¬
тор удобным источником колебаний малой мощности.
Помимо триодов, тетродов и пентодов существует большое
число нелинейных устройств, вольтамперным характеристикам ко¬
торых можно придать опадающий характер, обеспечивающий гене¬
рацию незатухающих колебаний (электрическая дуга, газоразряд¬
ные лампы, полупроводниковые приборы, магнетроны, клистроны
и др.).
В данном курсе 3tn устройства не рассматриваются.
11.12. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ
СИНУСОИДАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ
Как и всякие усилители, полупроводниковые усилители, допол¬
ненные цепью положительной обратной связи, могут быть превра¬
щены в автогенераторы. Все приведенные в предыдущих парагра¬
фах данной главы соображения об условиях возникновения авто¬
колебаний и их устойчивости с некоторыми непринципиальными
«изменениями, вытекающими из особенностей построения схем, мо¬
гут быть распространены и на кристаллические автогенераторы.
Рассмотрим некоторые из возможных схем автогенераторов
с плоскостными кристаллическими триодами.
На рис. 11.40 показаны обычная трехточечная схема лампового
автогенератора и полупроводниковый аналог этой схемы.
Сопротивление R6 и емкость Сб играют в данной схеме такую
же роль, как Rg и Cg в схеме ламповото генератора, т. е. создают
смещающее напряжение для базы. Единственное отличие заклю-
412
Рис. 11.40
чается в том, что сопротивление R6 соединяет базу не с эмиттером,
а с положительным зажимом коллекторной батареи (что необхо¬
димо для создания на базе положительного ino отношению к эмит¬
теру потенциала в случае п-р-п кристалла, см. § 8.8).
Существенным недостатком рассмотренной и других аналогич¬
ных схем с обратной связью является шунтирование колебатель¬
ного контура весьма низ¬
ким входным сопротивлени¬
ем эмиттера. От этого недо¬
статка свободны схемы, в
которых обратная связь осу¬
ществляется без ответвле¬
ния с контура, например
схемы, представленные на
рис. 11.41. Подбором соот¬
ношения между сопротивле¬
нием /?' и резонансным со¬
противлением колебательного контура можно обеспечить требуе-
' мую величину обратной связи.
Отметим, что полупроводниковые приборы с точечным контак¬
том, в которых имеет место усиление по току (а>1), (позволяют
осуществлять генерацию и без внешней обратной (связи.
Полупроводниковые автогенераторы находят все большее при¬
менение в качестве 'источника синусоидальных колебаний малой
мощности и относительно невысокой частоты.
Рис. 11.41
11.13. ГЕНЕРАТОРЫ RC
Генераторы с колебательным контуром незаменимы как источ¬
ники высокочастотных колебаний.. Для генерирования же низких
частот (меньше 15—20 кгц) они неудобны, так как колебательный
контур получается слиш¬
ком громоздким и труд¬
но перестраиваемым.
В связи с этим для гене¬
рирования низкочастот¬
ных синусоидальных ко¬
лебаний малой мощности
широко применяются так
называемые /?С-<генера-
торы. Один из вариантов
схемы такого автогене¬
ратора изображен на рис. 11.42. Отличие этого генератора от
обычного генератора типа LC заключается в том, что вместо на¬
грузочного колебательного контура здесь (применено простое
омическое сопротивление Ra, а обратная связь осуществляется при
помощи специального четырехполюсника, составленного из оми¬
чеоких сопротивлений и конденсаторов.
Рис. 11.42
Для получения устойчивой генерации на какой-либо определен¬
ной частоте необходимо, чтобы сум.ма фазовых сдвигав при обходе
замкнутого кольца обратной связи равнялась 2я и коэффициент
усиления ламшы являлся величиной, обратной коэффициенту об¬
ратной связи [см. формулу (11.3)].
Так как обычно Ra<^R> то в схеме рис. 11.42 лампа работает
как обычный усилитель на сопротивлениях и, следовательно, пово¬
рачивает фазу на 180°. Отсюда ясно, что обведенный пунктиром
четырехполюсник обратной связи должен обеспечивать дополни¬
тельный сдвиг фазы на 180°.
Нетрудно выявить требования к элементам четырехполюсника.
Придерживаясь обозначений рис. 11.42, составляем систему урав¬
нений:
(11.68)
Применяя выражения (6.4), легко находим
1
Учитывая, что
получаем
(11.69)
(11.70)
Для того чтобы фазовый сдвиг в цепи обратной связи равнялся
180°, коэффициент Кос при частоте генерации сог должен быть дей¬
ствительной отрицательной величиной. Приравнивая в выражении
(11.70) мнимую часть нулю, получаем следующее уравнение:
откуда
414
Отметим, что задание произведения RC определяет не только
частоту генерации,- но и величину коэффициента обратной связи,.
а следовательно, и необходимое для генерации усиление лампы.
Применяя формулу (11.3), находим
(11.73)
К этому результату можно прийти и с помощью выраже¬
ния (11.24'). если подставить в него Кос — -^, а гэр заменить
на Ra. В данном случае уравнение (11.24') удобно использовать
для определения величины Scp
(11.74)
При разбиении произведения RC на множители имеется значи¬
тельная свобода, облегчающая требования к выбору удобных ве¬
личин сопротивлений и емкостей. Необходимо лишь обеспечивать
условие так как только при этом усиление лампы не за¬
висит от величины R.
Другой весьма распространенный вариант схемы генератора
изображен на рис. 11.43. Здесь необходимый для генерации баланс
фаз обеспечивается двумя ступенями усиления на сопротивлениях.
415
Итак, генерация возможна (с точки зрения выполнения фазо¬
вого баланса) на частоте, определяемой простым соотношением
Подставляя найденное значение сог в выражение (11.70), нахо¬
дим модуль коэффициента обратной связи
Каждая лампа поворачивает фазу на 180°. Назначение же вспо¬
могательной цепи Сь /*1, Сг и г2 заключается в том, чтобы обеспе¬
чивать выполнение фазового баланса только на вполне определен¬
ной частоте и нарушать баланс на всех других частотах.
Емкость Cg на выходе второй лампы выбирается настолько
большой, что при частоте генерации сопротивление конденса¬
тора Cg очень мало по сравнению с Rg и цепочка Cg, Rg не
создает заметного сдвига фазы.
Для нахождения элементов Си П, и г2 составим отношение
амплитуд напряжений на сетке второй лампы Eg2 и на аноде пер¬
овой лампы Uа\•
(11.76)
Для того чтобы при частоте генерации (ог делитель гь Гг, Ci и
С2 не влиял на фазу, должно выполняться условие
Если это отношение умножить на коэффициент усиления
второй лампы Къ = ~ег^~ , то получится выражение
«откуда
При выполнении этого условия левая чйсть уравнения (11.75)
обращается в .действительное число, равное
так как Ua2» Eg! {сопротивление конденсатора Cg очень мало
по сравнению с Rg).
Применяя формулу (11.3), находим необходимое усиление пер¬
вой штампы
Существуют и другие разновидности схем 7?С-генераторов, од¬
нако разобранных примеров достаточно для уяснения принципа
построения автогенераторов с апериодическими цепями нагрузки
и обратной связи.
Остановимся на некоторых особенностях механизма ограниче¬
ния амплитуды автоколебания в генераторе типа RC. Этот вопрос
тесно связан с вопросом о форме генерируемых колебаний.
Как и в обычных генераторах, стационарная амплитуда уста¬
навливается при снижении средней крутизны от начального значе¬
ния S до значения Scp, удовлетворяющего уравнению (11.74) для
однолампового автогенератора (рис. 11.42) или уравнению (11.77)
для схемы 1 рис. 11.43.
Однако в данном случае нельзя допускать установления значи¬
тельной амплитуды, так как это неизбежно приведет к искажению
формы генерируемых колебаний за счет гармоник анодного тока.
В отличие от генераторов с колебательным контуром в ^С-генера¬
торах отсутствует фильтрация высших гармоник. Таким образом,
получается противоречие .между требованием неискаженной формы
колебаний (малые амплитуды) и требованием надежного ограниче¬
ния (большие амплитуды). Для устранения этого противоречия
в /?С-генераторы обычно вводят так называемую «инерционную
нелинейность» в виде термосопротивления, т. е. сопротивления, из¬
меняющего свою величину в зависимости от степени нагрева про¬
ходящим через него током.
В схемах, представленных на рис. 11.42 и 11.43, термосапротив-
ление Rf включено в цепь катода лам'пы. Рассмотрим действие Rt,
например, в схеме рис. 11.42. При прохождении переменной состав¬
ляющей анодного тока, на сопротивлении Rt создается падение
напряжения, совпадающее по фазе с током и отсчитываемое от
1 Коэффициенты усиления К\ и /С2 определяются выражениями вида
С увеличением амплитуды колебаний 5ср1 и 5ср2 падают и коэффициенты
К\ и /С2 снижаются.
или
(11.77)
417
катода лампы «к земле. Напряжение же, поступающее с четырех¬
полюсника обратной связи, также совпадает по фазе с анодным
током и также отсчитывается от сетки ik земле. Отсюда следует,
что результирующая разность потенциалов между сеткой и като¬
дом является разностью между вторым и первым напряжениями.
Следовательно, коэффициент обратной связи К'ос, понимаемый как
отношение «результирующего напряжения сетка—катод к напря¬
жению анод—катод, зависит от величины Rt. При увеличении
анодного тока Rt также растет и К'ос падает. При уменьшении
тока Rt падает и К'ос растет. Таким образом, получается автома¬
тическое регулирование амплитуды колебания на определенном
уровне, зависящем, в основном, от нелинейной характеристики
термосопротивления. Так как при изменении тока величина Rt
из-за тепловой инерции изменяется относительно медленно, то
в пределах одного периода генерируемых колебаний Rt является
практически постоянной величиной. Это означает, что изменение
Rt не вносит нелинейных искажений и не нарушает синусоидаль¬
ной формы колебаний.
Аналогично действие Rt также и в схеме, показанной на
рис. 11.43.
^С-генераторы находят широкое применение в радиоизмери-
тельной технике и в ряде случаев, когда требуется получение низ¬
ких частот, изменяемых в очень широком диапазоне. Переключе¬
нием сопротивлений или емкостей различной величины можно
изменять частоту от единиц герц до десятков килогерц. Для плав¬
ного изменения частоты требуется относительно небольшое измене¬
ние емкости или сопротивления. К качеству конденсаторов и со¬
противлений, входящих в четырехполюсник обратной связи, необ¬
ходимо предъявлять жесткие требования, так как нестабильность
С или R при изменении температуры приводит к изменению ча¬
стоты генератора. Конденсаторы должны обладать очень высоким
сопротивлением изоляции (малой утечкой), так как в противном
случае в области очень низких частот шунтирующее действие
утечки влияет на фазовые соотношения в четырехполюснике.
Для сохранения (правильного режима работы /?С-генераторы
должны работать на большое нагрузочное сопротивление (внеш¬
нее). Генератор RC является поэтому генератором напряжения.
Для получения значительной мощности У?С-генератор обычно до¬
полняется одной или двумя ступенями усиления.
11.14. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ
Наряду с генераторами синусоидальных колебаний в радио¬
электронике широкое распространение получили генераторы раз¬
рывных колебаний, часто называемые релаксаторами. Хотя подоб¬
ные генераторы в физике давно известны, особое значение и
широкое распространение они получили в связи с развитием им¬
пульсной радиотехники.
418
Из большого числа различных видов релаксационных
устройств наибольшее распространение получили следующие д©а
релаксатора: мультивибратор и бло!Кинг-генератор.
Типичная схема мультивибратора изображена на рис. 11.44.
Эта схема обладает полной симметрией: анод (первой лампы со¬
единен через разделительный конденсатор с сеткой 'второй лампы,
а анод второй—с сеткой оервой лампы. Кроме того, обычно
Ral = Ra2> Rgi = Rg2 и Cgi = Cg2-
Если сопротивления Ral, Rgi и Ra2, /?^2^0CTaT04H0 велики,так что
усиление каждой из ламп (превышает определенную «величину, то
представленное на рис. 11.44 устрой¬
ство не может находиться в состоянии
покоя: неизбежно возникают колеба¬
ния. Чтобы в этом убедиться, допу¬
стим на мгновение, что колебаний нет
и через лампы Лх и Л2 протекают по¬
стоянные токи iaX и ia2. Тогда, очевид¬
но, напряжения на конденсаторах Cgl
и Cg2 также постоянны, а на сетках
обеих ламп напряжения равны нулю.
Обе лампы «открыты». Такое со¬
стояние не может быть устойчивым,
так как достаточно сколь угодно ма¬
лого возмущения (флюктуация элек¬
тронного тока, тепловое движение
электронов в сопротивлениях и т. д.),
чтобы система вышла из состояния по¬
коя. Действительно, пусть напряжение на сеже одной из ламп,
например Ли получит незначительное положительное приращение
в виде скачка напряжения. На сетку лампы Л2 этот скачок пере¬
дается усиленным по .величине и измененным по знаку (полярно¬
сти). В результате ток ia 1 возрастет, а ток ia2 снизится. Но на
этом процесс не прекращается. С анода j/ампы Л2 импульс пере¬
дается обратно на сетку лампы Л\ уже с положительной поляр-
ностью, что вызывает дальнейшее возрастание тока ia\ и т. д.
В конце концов лампа Л2 окажется «запертой», что и положит
предел нарастанию тока ia\. Существенно, что разобранный про¬
цесс запирания одной и отпирания другой лампьппроисходит, если
не учитывать влияния междуэлектродных и иных паразитных ем¬
костей, .мгновенно. Новое состояние также не может быть устой¬
чивым, и вслед за лавинообразным процессом начинаются отно¬
сительно медленные процессы разряда и заряда конденсаторов»
пока опять не произойдет перебрасывание анодного тока из лампы
Л\ в лампу Л2. В результате в схеме возникают колебания в виде
периодической последовательности импульсов с крутыми фронтами
и относительно пологими 'вершинами. Спектр колебания получается
очень широкий, (богатый гармониками. Этим и объясняется проис¬
хождение термина «мультивибратор».
27* 419*
Рис. 11.44
Нетрудно видеть, что мультивибратор представляет собой
гэбычный двухкаокадный усилитель на сопротивлениях, у которого
выход соединен со входом (рис. 11.45).
В одноламповом генераторе с колебательным контуром тре¬
буется, чтобы дополнительный сдвиг фазы в цепи обратной свяаи
равнялся 180°. В мультивибраторе же, благодаря .наличию двух
ступеней усиления, дополнительный фазовый сдвиг должен быть
равен .нулю. Из этого условия может быть определена основная
частота генерации в мультивибраторе.
Обращаясь к схеме рис. 11.45, мы видим, что в первой сту¬
пени усиления фазовый сдвиг создается емкостью С0 (показанной
пунктиром), шунтирующей нагрузочное сопротивление Ral,
и разделительной цепочкой Cg2, Rg2, а во второй ступени соот¬
ветственно емкостью С0, шунтирующей сопротивление Ra2,
и цепочкой Cgi, Rg\.
Основываясь на .результатах рассмотрения эквивалентной схемы
усилительной ступени, показанной на рис. 8.15,6, а также на вы¬
ражении (8.33), нетрудно получить выражения для фазовых сдви¬
гов в отдельных элементах мультивибратора.
На 'нагрузочных сопротивлениях Ra\ и Ra2
(эти выражения.получены из формулы (8.33) при подстановке
Gg = 0, т. е. Rg= оо).
В разделительных цепочках Cg2, Rg2 и Cgj, соответственно
Суммарный фазовый сдвиг (опережающий) в разделительных
цепочках Ф^+Ф^а также сдвиг фа1 + фС2 (запаздывающий) из-за
420
шунтирующих емкостей Со показаны на рис. 11.46 'пунктирными*
линиями, а результирующая фазовая характеристика— сплошной
линией [эта характеристика может быть вычислена более точно
как аргумент правой части выражения (8.33) без учета знака шь
нус перед дробью, так как этот знак обусловлен сдвигом* фазы наг
180°, создаваемым ламлой].
На этом же рисунке показана обычная амплитудно-частотная
характеристика усилителя на сопротивлениях /C(Q).
* Частота Qr, при которой результирующая фазовая характери¬
стика пересекает ось абсцисс, и определяет основную частоту ге¬
нерации, (которая возникает при доста¬
точном усилении /С(Й).
Из проведенного рассмотрения сле¬
дует, что без параллельных емкостей Со
возникновение генерации вообще невоз¬
можно, так как частота фазового балан¬
са становится бесконечно большой.
Схема блокинг-генератора изображе¬
на на рис. 11.47. В отличие от мульти¬
вибратора в да!нной схеме используется
всего лишь одна лампа, а дополнитель¬
ный фазовый сдвиг на 180°, необходимый
для получения фазового баланса, достигается с помощью транс¬
форматора, через который осуществляется обратная связь. Из
сравнения схемы, показанной на рис. 11.47, со схемой обычного
автогенератора с колебательным 'контуром видно, что блокинг-ге-
нератор представляет собой вырожденный тип лампового автоге¬
нератора с индуктивной обратной связью, у которого емкости ко¬
лебательных контуров сведены до минимума, обусловленного меж-
дуэлектродными и монтажными емкостями, а обратная связь резко
421
Рис. 11.47
Рис. 11.46
усилена применением трансформатора с железным сердечником.
Чем меньше емкость обмоток трансформатора и иные шунтирую¬
щие емкости, а также чем меньше индуктивности рассеяния обмо¬
ток трансформатора, тем выше область частот, в которой выпол¬
няется фазовый баланс и, следовательно, тем более широкий
спектр гармоник можно получить от блокинг-генератора.
Для выяснения 'принципиальной сторо.ны явлений обратимся
к рассмотрению дифференциального уравнения генератора разрыв¬
ных колебаний. Если ограничиться кубической аппроксимацией
характеристики электронного прибора, то уравнение получается
такое же, что и для генератора синусоидальных колебаний [т. е.
уравнение (11.50)].
Действительно, для схемы блокинг-генератора (рис. М.47),
внешне не отличающейся от схемы рис. 11.3, это очевидно.
Аналогичное уравнение при .некоторых упрощающих предполо¬
жениях можно получить и для мультивибратора. То обстоятель¬
ство, что релаксаторы не содержат колебательных систем, приво¬
дит к резкому увеличению коэффициента «при первой производной,
т. е. в.
Итак, задача сводится к исследованию решения уравнения вида,
<(11.50) при той существенной особенности, что е>1. Ясно, что ме¬
тод медленно меняющихся амплитуд ib данном случае непригоден.
В виду отсутствия аналитических методов решения уравнения
(11.60) при е>1, рассмотрим сначала поведение системы при очень
малых отклонениях, (когда можно пренебречь и2 по сравнению с еди¬
ницей. Получающееся при этой линейное уравнение
(11.78)
имеет следующее решение:
При 8^> 1 отклонение и очень быстро возрастает (апериодиче¬
ски), что указывает на неустойчивость состояния покоя в рассма¬
триваемой системе.
С другой стороны, при больших значениях иу когда и2> 1 и ко¬
эффициент при втором члене в уравнении (11.50) становится по¬
ложительным, система ведет себя как система с положительным
сопротивлением и отклонение и должно убьввать.
Таким образом можно прийти к заключению, что ib рассматри¬
ваемой системе должны .происходить периодические колебания
сложной формы, причем ©нутри каждого периода должны быть
участки с очень быстрым изменением и (вблизи и—0) и участки
с медленными изменениями (при больших отклонениях и).
Для получения !более подробного представления о форме коле¬
баний приходится прибегать к графическому интегрированию урав-
422
нения (11.50). Результаты .решения, полученные Ван-дер-Полем,
приведены на рис. 11.48 для трех значений е, а именно:
s = 0,l, е= 1 и е = 10.
Верхняя кривая на этом рисунке соответствует 6 = 0,1, т. е.
близка к случаю e^l, который был уже подробно рассмотрен
чв § 11.8. Кривая 8=1 относится к промежуточному случаю, а кри¬
вая 6=10 иллюстрирует ярко выраженный релаксационный харак¬
тер автоколебаний, имеющих резко 'несинуюоидалыную форму.
Можно также отметить, что в отличие от случая г С1, где процесс
нарастания длится в течение многих периодов, релаксационные
колебания достигают своей конечной стационарной амплитуды
сразу, после первого же периода.
Из кривой е= 10 видно, что на протяжении большей части пе¬
риода колебание изменяется очень медленно, .между тем как пере¬
ход из одного медленно изменяющегося состояния в другое проис¬
ходит в виде резких скачков, почти мгновенно. Так как «медлен¬
ные» изменения в схемах 'мультивибратора и блокинг-генератора
связаны с процессом заряда или разряда емкости Cg через сопро-
423
Рис. 11.48
тивление JRg, то период релаксаций связан с постоянной времени
Величина коэффициента k зависит от соотношения уровней
величин и, при которых происходит перебрасывание схемы из
одного состояния в другое.
Некоторые детали релаксационных колебаний зависят от соот¬
ношения сопротивлений Ra и Rg (в схеме рис. 11.44), от влияния
междуэлектродных емкостей, от индуктивности рассеяния транс¬
форматора (в схеме рис. 11.47) и т. д.
Форма колебаний, действующих на различных элементах схемы
релаксатора, может существенно отличаться от показанной на
рис. 11.48. Возможно получение очень 'Крутых фронтов и острых
выбросов, облегчающих задачу формирования импульсных сигна¬
лов, а также задачу запуска и остановки различных импульсных
устройств. Все эти вопросы подробно рассматриваются в курсе
импульсной техники.
Релаксаторы широко применяются и играют особо важную роль
в электронных вычислительных машинах.
Под фазовой плоскостью подразумевается плоскость, каждая
точка которой однозначно определяет состояние (фазу) системы.
Так как плоскость обладает двумя измерениями, то ясно, что ме¬
тод фазовой плоскости применим к анализу движения систем/
описываемым дифференциальным уравнением второго порядка.
В случае механической системы состояние полностью определяете я
заданием координаты (перемещение) и скорости движения. Для
электрической системы должны быть заданы аналогичные две пере¬
менные, например заряд емкости (или напряжение) и ток. Основ¬
ным достоинством метода фазовой плоскости является пригодность
его к анализу как линейных, так и нелинейных систем. Некоторые
важные свойства нелинейных систем, которые невозможно или
затруднительно исследовать аналитически, поддаются нагляд¬
ному истолкованию и качественному исследованию с по¬
мощью графоаналитического построения на фазовой плоско¬
сти.
Суть этого метода проще всего объяснить на примере линейной
системы (обычного колебательного контура), описываемого урав¬
нением
(11.79)
11.15. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
(11.80)
в котором под х можно подразумевать, например, заряд конден¬
сатора.
424
Уравнение (11.80) может быть записано в виде системы двух
уравнений первого порядка
(11.81
Таким образом, если х— заряд, то у— ток в контуре.
Разделив второе из этих уравнений иа .первое, получим урав¬
нение, не содержащее в явной форме время t:
(11.82)*
Входящие в это уравнение две (переменные х и у = х можно
рассматривать как координаты изображающей (или пред¬
ставляющей) точки на плоскости х, у. Тогда уравнение^
(11.82) является дифференциальным уравнением движения изо¬
бражающей точки на фазовой плоскости х, у. Если найти решение
уравнения (И.82) y = f(x, Л), где А—произвольная постоянная,
определяемая начальными условиями Хо, у^ то получим семейство*
кривых, являющихся интегральными по отношению к исходному
уравнению (11.80). y—f(x, А) иногда называют первым интегра¬
лом уравнения (11.80), так как у = х.
На фазовой плоскости решение y=f(x, А) образует семейство^
фазовых траекторий изображающей точки, соответствую¬
щих различным фиксированным значениям А, т. е. различным на¬
чальным условиям х0, у0. Так как :при заданных начальных усло¬
виях уравнение (>11.80) и соответственно (11.82) имеют единствен¬
ное решение, то каждой ларе координат х, у отвечает одна, и
только одна, интегральная кривая. Иньгми (словами, вся фазовая
плоскость покрыта семейством непересекающихся интегральных
кривых (фазовых траекторий). Исключение из этого правила со¬
ставляют точки, соответствующие состоянию равновесия (покоя)
системы. Этот вопрос будет рассмотрен несколько далее; сначала
мы рассмотрим способ построения фазовых траекторий. В случае
линейного уравнения фазовая траектория легко определяется с по¬
мощью уравнения типа (11.82). В более сложном случае нелиней¬
ного уравнения это построение выполняется с помощью метода
изоклин. Термин «изоклина» эквивалентен понятию «кривая
равного наклона». Изоклина представляет собой геометрическое
место точек фазовой плоскости, в которых фазовые траектории
имеют касательные с заданным (фиксированным) угловым коэф¬
фициентом k.
В частности, в случае уравнения (11.82) угловой коэффициент k.
равен левой части. Приравнивая эту часть заданному значе¬
нию kt получаем
откуда приходим к следующему уравнению изоклин:
При постоянных значениях k это уравнение определяет пучок
прямых, проходящих через начало кобрдинат.
После того как на фазовую плоскость занесено семейство изо¬
клин (для разных значений k)t нетрудно-осуществить «приближен¬
ное построение фазового портрета изучаемой системы. Для этого
в каждой точке фазовой плоскости проводится прямолинейный
отрезок с наклоном, равным соответствующему значению k бли¬
жайшей изоклины (рис. Ill.49). Чем меньше интервалы значений k
отдельных изоклин, тем выше точность построения фазового порт¬
рета. Исходная точка х0, г/о, с которой начинается поютроение, мо¬
жет быть выбрана произвольно, однако дальнейший ход фазовой
траектории однозначно определяется выбранными значениями хо, Уо-
Рассмотрим следующие два Свойства фазовых траекторий, зна¬
ние которых существенно облегчает построение фазового портрета
из/чаемой системы:
а) в верхней полуплоскости (#>0) изображающая точка дви¬
жется только вправо, а в нижней только влево. Действительно, по-
dx .
скольку У — > а время t только возрастает, то положительность у
означает возрастание и абсциссы х. Соответственно если у<0
(нижняя полуплоскость), то изменение х должно быть отрицатель¬
ным, т. е. изображающая точка движется влево (рис. 1.1.49);
426
Рис. 11.49
б) интегральные кривые пересекают ось абсцисс (у = 0) только
под nip him ым углом (рис. 11.49). Действительно, из уравнения
(11.82), представляющего 1собой уравнение углового коэффициента-
•касательной 'к интегральной кривой в точке х, у, следует, что при
Для выявления структуры фазового портрета системы полезно
таюке установить, нет ли среди семейства изоклин такой прямой,
которая является одновременно и интегральной кривой для исход¬
ного уравнения системы. Такая прямая (если ома имеется) должна
•удовлетворять уравнению изоклин (11.83) и, кроме того, должна
являться первым интегралом уравнения (11.80). Иными 'словами,
нужно найти значение &, при котором выполняются одновременно
следующие два условия:
Подставляя в первое из этих условий y = kx (постоянную С
отбрасываем), получаем уравнения
Но k -не может быть комплексной или мнимой величиной. Сле¬
довательно, искомая изоклина, которая одновременно является
интегральной кривой, существует только в случае а>(0о, т. е.
1в случае апериодического контура.
Остается еще найти изоклину горизонтальных касательных (т. е.
при & = 0) и изоклину вертикальных касательных (при £= °о).
Подставляя^ в уравнение (Illj83) k = 0, находим уравнение изо¬
клины горизонтальных касательных:
Изоклиной вертикальных касательных (k=co) является прямая
у=о*л;=0, т.. е. ось х. Этот результат совпадает с отмеченным
выше свойством б).
Основываясь на полученных результатах, рассмотрим фазовые
портреты-для (системы, описываемой уравнением (11.80), при раз¬
личных соотношениях между а и соо.
1. Апериодическая система; -^->1.
В соответствии с выражением (11.84), угловой коэффициент изо¬
клины — интегральной кривой, равен
(11.84)
(11.85)
427
Таким образом, имеются две такие .прямые:
у = — (а Ь) х — прямая С
и
у = — (а 4- S) х — прямая D.
Кроме того, ,нам известна определяемая уравнением (11.85) .пря¬
мая, которую обозначим через А, являющаяся изоклиной горизон¬
тальных касательных, и, наконец, известно, что ось абсцисс яв¬
ляется прямой вертикаль¬
ных касательных. Знание
перечисленных прямых, об¬
разующих «каркас» фазово¬
го портрета, в сочетании е
условием непересекаемости
фазовых траекторий полностью определяет структуру фазового
портрета, изображенного на рис. 11.50. Главной особенностью
этого портрета является то, что при любых начальных условиях
изображающая точка движется к началу координат. Таким обра¬
зом, в рассматриваемом случае точка х = 0, у = 0 яв¬
ляется точкой устойчивого равновесия системы.
Эта точка называется особой точкой типа устойчивого
узла.
2. Колебательная система с затуханием; 0 < < 1.
В соответствии с условием (11.84) изоклины С и D отсутствуют.
Каркас фазо'вого портрета определяется только прямой А и усло¬
вием -пересечения оси х под прямыми углами. Цри — <1 угловой
0)0
коэффициент этой прямой, в соответствии с уравнением (11.84),
отрицателен. Соответствующий этому случаю фазовый портрет,
представляющий собой окручивающуюся к началу координат спи¬
раль, изображен на рис. 11.51.
D
ч
Рис. 11.50
Рис. 11.51
428
Из любого начального положения изображающая точка с тече¬
нием времени приближается к началу координат, являющемуся
точкой устойчивого равновесия.* Эта точка называется особой точ¬
кой типа устойчивого фокуса.
3. Колебательная -система с инкрементом; 0 — 1.
Фазовый .портрет отличается от показанного на *рис. 11.51 лишь
тем, что спираль «(раскручивается» и изображающая точка уда¬
ляется от начала координат. Точка х=0, у=0 является особой точ¬
кой типа неустойчивого фокуса.
4. Апериодическая система с инкрементом;, — 1 > ■““> — 00 •
Фазовыц портрет отличается от показанного на рис. 11.50 тем,
что изображающая точка удаляется от начала координат, пред¬
ставляющего собой особую точку типа неустойчивого узла.
Кроме перечисленных типов особых точек в теории колебаний
различают еще особую точку типа седла [в случае систем, описы¬
ваемых дифференциальным уравнением вида (11.80), но с отри¬
цательным знаком перед последним членом].
Из приведенных -выше примеров видно, что точки фазовой плос¬
кости, в которой фазовые траектории пересекаются, являются точ¬
ками равновесия системы — устойчивого или неустойчивого. Изу¬
чение свойств фазовых траекторий в окрестности таких «особых»
точек играет большую роль в теории устойчивости.
Применительно к рассматриваемому ,в следующем параграфе
фазовому портрету автогенератора особый интерес приобретает
случай а = 0, когда уравнение (11.80) вырождается в уравнение
гармонического колебания
(11.86)
решение которого, как известно, имеет вид
x = Qsin(a)0^-(-cp), у = х = a)0Q cos (о)0/ -|- ср). (11.87),
Здесь Q — амплитуда заряда конденсатора контура.
Уравнение фазовой траектории (11.82) при а = 0 принимает вид
Это — уравнение с разделяющимися , переменными, которое легко
интегрируется:
Разделив обе части уравнения (11.88) на С, придем к выражению
Подставляя вместо х и у выражение (11.87), получаем
•представляющему собой уравнение эллипса с горизонтальной по¬
луосью Q и вертикальной полуосью cooQ (рис. 11.52).
Итак, при а = 0 фазовые траектории представляют собой семей¬
ство эллипсов *с общим центром в начале координат, причем раз¬
меры осей эллипса определяются амплитудой гармонического
Колебания, т. е. в конечном счете энер¬
гией, запасенной в системе. Эта энер¬
гия может быть выражена в виде
2^г Q2 (максимальная энергия в емко¬
сти) или в виде -у (coQ)2 (в индук¬
тивности). Так как потери отсутству¬
ют, то запас энергии остается неиз¬
менным («консервативная» система)
и каждому значению запаса энергии
соответствует свой эллипс.
11.16. ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ АВТОГЕНЕРАТОРОВ
Итак, га!рмоническо,му движению системы соответствует замкну¬
тая фазовая траектория на фазовой плоскости (эллипс).
В более -общем случае сложного периодического движения (не
'обязательно гармонического) фазовая траектррия может иметь
сложную фор/му, но она обязательно является замкнутой.
В случае автоколебательной системы, обладающей устойчивым
стационарным состоянием, на фазовой плоскости имеется замкну¬
тая кривая, к которой с возрастанием времени приближаются со¬
седние фазовые траектории. Для выявления формы этой замкнутой
интегральной кривой, а также характера приближения к ней рас¬
смотрим на фазовой плоскости всю картину установления авто¬
колебаний в генераторе синусоидальных колебаний от запуска до
установления стационарного состояния.
В начале .процесса система является линейной и описывается
уравнением (11.8'), совпадающим с уравнением (11.80).
Для удобства дальнейших рассуждений iMe вместо уравнения
(11.8') будем исходить из уравнения
(11.90)
получающегося из нелинейного уравнения (11.50) при пренебре¬
жении величиной и2 .по сравнению с единицей. Напомним, что в этом
2аэ J
уравнении £ = “^“> ат=а)0£.
Так как при выполнении условия самовозбуждения е положи¬
тельно [см. формулу (11.43)], то соответствующая начальному этапу
фазовая траектория имеет вид раскручивающейся логарифмиче¬
ской спирали (особая точка типа неустойчивого фокуса).
430
Рис. 11.52
Когда с ростом амплитуды колебаний начинает проявляться*
нелинейность системы, увеличение радиуса спирали замедляется
и в пределе (теоретически при t-+ оо) фазовая траектория пре¬
вращается в окружность с радиусом Аст, равным стационарной
амплитуде автоколебания [см. выражение (11.61), в котором вместо
Ua(t) и Uаст можно подразумевать А(т) и Лст].
Если начальное положение изображающей точки задать вне-
окружности радиуса Аст (точка В на рис. ill.53), то движение изо¬
бражающей точки будет'Происходить по скручивающейся спиралш
(так как при А>АСТ е отрицательно) до перехода на окружность
радиуса Лст-
В силу устойчивости стационарного 'состояния автогенератора
(в данном случаес мягким самовозбуждением), при любых началь¬
ных условиях изображающая точка переходит на окружность 'ра¬
диуса Лст.
Изолированная замкнутая кривая на фазовой плоскости, к ко¬
торой ic воэрастанием t приближаются (по спирали) с внутренней
и внешней стороны соседние фазовые траектории, называется
предельным циклом.
Легко представить себе, что в слвучае автогенератора с жестким
режимам самовозбуждения к предельному циклу будут стяги¬
ваться только фазовые траектории, радиус которых больше неко¬
торой ‘критической величины, соответствующей амплитуде в точке/)’
на рис. 11.16. Бели начальные условия запуска автогенератора
таковы, что начальная амплитуда меньше этого значения Лмин, то
изображающая точка на фазовой плоскости будет двигаться по
окручивающейся спирали, постепенно приближаясь к началу коор¬
динат, являющемуся в данном случае устойчивым фокусом
(рис. 11.54).
431
Рис. 11.53
Рис. 11.54
Остановимся на вопросе о характере возвращения изображаю¬
щей точки на предельный цикл -после того, как под действием-
внешней силы было нарушено нормальное движение. Допустим,
что после установления стационарного режима ;в колебательный
жонтур автогенератора каким-либо образом была введена допол¬
нительная энергия, в резуль¬
тате чего амплитуда и фаза
колебания получили мгно¬
венные приращения: ампли¬
туда на величину б Л, а фа¬
за на угол фо. Отклонение
изображающей точки от
предельного цикла, соответ¬
ствующее этому возмуще¬
нию, выразится в переходе
на спираль с радиусом Лсх +
+ 6А и в изменении фазы ко¬
лебания на фо (рис. 11.55).
Дальнейшее поведение
автогенератора полностью
определяется * дифференци¬
альным уравнением ампли¬
туд (11.53) (имеется в виду
«мягкий» автогенератор).
Подставляя в это уравнение вместо Аст новую амплитуду
Аст-\-ЪА, получаем
Полагая возмущение бА достаточно малым, мы можем прене¬
бречь высшими степенями ЬА. Таким образом, последнее выраже¬
ние можно привести к виду
Так как выражение в квадратных скобках равно /нулю в силу
уравнения (11.53), то приходим к следующему уравнению, линей¬
ному относительно малого возмущения б А:
откуда
432
Рис. 11.55
Но, в соответствии с выражением (11.54), Аст — 2.
Следовательно,
Постоянная Ci представляет собой (начальное возмущение ам¬
плитуды.
Итак, по мере движения изображающей точки по спирали
отклонение от предельного цикла* убывает по экспоненте с .показа¬
телем &t.
Существенно, что фазовые отклонения в автогенераторе не убы¬
вают: любые толчки фазы не восстанавливаются, так как в авто¬
генераторе отсутствуют силы, которые стремились бы удерживать
фиксированную фазу колебания.
Рассмотренная выше устойчивость предельного цикла носит
название орбитной или орбитальной устойчивости.
В заключение отметим, что предельный цикл имеет форму
Kipyra при строго синусоидальной форме генерируемых колебаний.
В действительности эта форма искажается наложением высших
гармоник. В автогенераторах, близких к консервативным (с вы-
сокодобротной колебательной системой), влиянием гармоник
:можно пренебрегать, в случае же генераторов релаксационного типа
предельный цикл может йметь весьма сложную форму (близкую
■к прямоугольнику и др.).
Построение фазовых траекторий для нелинейных систем, как
уже отмечалось в предыдущем параграфе, производится с помощью
графоаналитических методов (например, метод изоклин).
28 Зак 3/235
Окончательно, получаем
ГЛАВА .12
УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ (МОДУЛЯЦИЯ)
12.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Назначением модуляционного устройства является управление
одним или несколькими параметрами колебания по закону изме¬
нения передаваемого сообщения. Поскольку процесс модуляции
сопровождается изменением частотного спектра модулируемого
колебания, осуществление модуляции с помощью одних лишь ли¬
нейных систем с постоянными параметрами невозможно (см. § 1.8).
Независимо от вида модуляции — амплитудной, частотной или фа¬
зовой, модуляционное устройство должно содержать либо нели¬
нейные элементы, либо линейные, но с изменяющимися при мо¬
дуляции параметрами.
Чаще всего модуляция осуществляется с помощью нелинейных
систем.
В данной главе изучение ограничивается основными видами
управления высокочастотным колебанием: амплитудной, частот¬
ной и фазовой модуляцией. В § 12.6 приводятся основные понятия
о схемах импульсной модуляции.
12.2. АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Осуществление управления амплитудой высокочастотного коле¬
бания тесно связано с'о способом получения этого колебания.
Следует различать два случая: управление амплитудой авто¬
колебаний и управление амплитудой колебаний, получаемых от
независимого и немодулированного источника. В первом случае
модуляция заключается в воздействии непосредственно на авто¬
генератор, а во втором — на усилитель.
С модуляцией в автогенераторе часто приходится иметь дело,
например, в импульсной технике. Последовательность радиоим¬
пульсов (рис. 12.1,6), создаваемых импульсным автогенератором,
можно трактовать как результат изменения огибающей высоко¬
частотного колебания в соответствии с последовательностью ви¬
деоимпульсов (рис. 12.1,а). Подобную модуляцию часто называют
импульсной модуляцией, а источник видеоимпульсов, питающих
автогенератор, — импульсным модулятором. По существу, однако,
здесь имеет место не модуляция, а запуск автогенератора в мо-
434
менты возникновения импульсов и срыв генерации в моменты их
прекращения. То обстоятельство, что в начале каждого импульса
колебание устанавливается заново, оказывает существенное влия¬
ние на спектр последова¬
тельности радиоимпуль¬
сов. Если показанная на
рис. 12.1, а последова¬
тельность видеоимпуль¬
сов является периодиче-
ской и начальные фазы
высокочастотного запол¬
нения радиоимпульсов
(рис. 12.1,6) одинаковы
(«привязаны» к переднему фронту), то и получаемая в результате
модуляции последовательность радиоимпульсов представляет со¬
бой периодическую функцию времени с периодом, равным периоду
повторения видеоимпульсов. Спектр подобного колебания, содер¬
жащий частоты, кратные частоте Q видеоимпульсов, показан на
рис. 12.2. Частота заполнения соо в таком спектре может отсутст¬
вовать. Этот случай изображен 'на рис. 12.2: положение соо на оси
частот, обозначенное пунктиром, приходится между k-н и (£+1)-й
гармониками частоты модуляции £2.
Рис. 12.2
Рис. 12.3
Для получения строго «модуляционного» спектра, содержащего
«несущую» частоту со0 и две симметричные полосы боковых ча¬
стот, необходимо обеспечить когерентность заполнения импульсов.
Одним из способов получения последовательности когерентных
радиоимпульсов является импульсная модуляция в усилителе, на
вход которого подается непрерывное колебание с частотой о>о.
Получающийся при этом спектр изображен на рис. 12.3.
Рис. 12.1
Огибающие показанных на рис. 12.2 и 12.3 спектров одинаковы
и определяются формой и длительностью модулирующих видеоим¬
пульсов.
При передаче непрерывных сообщений, к генераторам и пере¬
датчикам, как правило, предъявляются жесткие требования в от¬
ношении неискаженной
передачи сигналов и ста¬
бильности частоты несу¬
щего колебания.
В связи с этим про¬
цессы генерирования и
модуляции обычно стара¬
ются разделить и управ¬
ление амплитудой коле¬
бания переносят на усилитель. Можно 'поэтому считать, что ам¬
плитудная модуляция заключается в изменении амплитуды коле¬
бания на выходе усилителя по закону передаваемого сообщения
при постоянной амплитуде несущей частоты на входе усилителя.
Типичная схема устройства, отвечающего перечисленным функ¬
циям, изображена на рис. 12.4,
Изменение амплитуды колебания на выходе усилителя при по¬
стоянной амплитуде на входе можно рассматривать как результат
изменения коэффициента усиле¬
ния под действием модулирую¬
щего напряжения. Это изменение
может быть достигнуто различ¬
ными способами в зависимости
от принципа действия электрон¬
ного прибора, используемого в
модулируемом усилителе. Пояс¬
ним принцип амплитудной моду¬
ляции сначала на примере элек¬
тронной лампы.
Простейшая и наиболее часто
встречающаяся схема сеточ¬
ной модуляции изображена
на рис. 12.5. Модулирующее на¬
пряжение egQ, развиваемое на выходе трансформатора, вводится
в цепь постоянной составляющей сеточного тока последовательно
с источником постоянного напряжения смещения Eg0. Амплитуда
Eg высокочастотного напряжения, поступающего от возбудителя,
в процессе модуляции остается неизменной.
Для осуществления неискаженной модуляции требуется, чтобы
амплитуда переменной составляющей анодного тока (частоты соо)
изменялась пропорционально напряжению eg2. Для выяснения воз¬
можных режимов модуляции обратимся к типичной характери¬
стике лампы, показанной на рис. 12.6. Пунктирными линиями
436
Рис. 12.5
обозначены приблизительные границы квадратичного (/) и линей*
ного (II) участков характеристики. На (первом участке крутизна
характеристики, определяемая как 5 = -^-, линейно нарастает,
а на втором участке S = const.
Нетрудно убедиться, что при использовании одного лишь ли¬
нейного участка характеристики модуляция невозможна. Действи¬
тельно, если исходную рабочую точку (при egQ=0) установить
Рис. 12.7
в области II и работать с малыми амплитудами Eg, как это пока-*
зано на рис. 12.7, то изменение «смещения будет приводить лишь
к низкочастотному изменению среднего значения анодного тока.
437
Рис. 12.6
Амплитуда переменной составляющей (с частотой соо) остается
при этом неизменной и, следовательно, никакой модуляции нет.
Этот результат естественно вытекает из общего положения
о невозможности осуществления модуляции .с помощью линейной
системы с постоянными параметрами (в данном случае с посто¬
янной крутизной S).
Рассмотрим теперь режим работы, изображенный на рис. 12.8.
При достаточно малой амплитуде высокочастотного возбуждения
Eg амплитуда изменения анодного тока пропорциональна кру¬
тизне S, которая, в свою очередь, линейно зависит от напряжения
модуляции egQ.
Таким образом осуществляется изменение амплитуды анодного
тока, а следовательно, и напряжения на контуре по закону пере¬
даваемого сообщения е
Электронный прибор при таком режиме его использования
представляет собой по отношению к высокочастотному напряже¬
нию Egcosv>0t линейное устройство с переменным параметром
(крутизна S), управляемым модулирующим напряжением.
По отношению же к низкочастотному (модулирующему) напря¬
жению рассматриваемое устройство является нелинейным, так как
сопротивление сетка—катод, нагружающее источник напряжения
е^, изменяется в зависимости от величины этого напряжения.
В генераторах и передатчиках важным требованием обычно яв¬
ляется получение по возможности высокого уровня выходной мощ¬
ности при хорошей отдаче. Ясно, что рассмотренный выше линей-
438
Рис. 12.8
ный режим модуляции этому требованию не отвечает. Для улуч¬
шения энергетических показателей модуляции необходимо исполь¬
зовать нелинейный режим усиления, подобно тому, как это было
показано в гл. 10. Модуляция сводится при этом к управлению
средней крутизной характеристики [см. § 10.5, формула (10.30)].
Соответствующий такой модуляции режим показан на рис. 12.9.
Изменение напряжения смещения (за счет е а) приводит к изме¬
нению амплитуды импульров анодного тока и, следовательно, к из¬
менению амплитуды первой гармоники.
При правильном выборе амплитуды модулирующего напряже¬
ния изменение амплитуды импульсов А 1т связано с изменением
смещения линейным соотношением
где k — постоянный коэффициент.
Так как изменение смещения (при постоянной амплитуде Eg)
сопровождается изменением угла отсечки 0, то амплитуда первой
гармоники анодного тока [ом. формулу (10.8)]
изменяется по закону, отличающемуся от закона изменения моду¬
лирующего напряжения. Отсюда видно, что при модуляции сеточ¬
ным смещением неизбежны искажения: форма огибающей тока
1а\ отличается от формы напряжения egQ. Искажения могут быть
сделаны достаточно малыми при правильном выборе пределов из¬
менения угла отсечки и работе с неслишком глубокой модуляцией
Кроме рассмотренной здесь сеточной модуляции управлять
средней крутизной можно путем изменения напряжения и на дру¬
Рис. 12.9
439
гих электродах лампы: на аноде («анодная модуляция»), на
экранной или пентодной сетке (в пентодах) и т. д.
В усилителях СВЧ, работающих на лампах с бегущей волной
или на клистронах, амплитудная модуляция может быть осуще¬
ствлена путем изменения потенциала на электроде, от которого
зависит ток электронного пучка. В результате получается изме¬
нение коэффициента усиления лампы.
Подобный режим модуляции может быть отнесен к линейному,
так как изменение коэффициента усиления не сопровождается из¬
менением формы тока.
При решении ряда радиотехнических задач встречается необ¬
ходимость в подавлении несущего колебания, входящего в состав
амплитудно-модулированного колебания. Эта задача может быть
осуществлена с помощью так называемого балансного модуля¬
тора, один из вариантов которого представлен на рис. 12.10.
В балансном модуляторе немодулированное напряжение с ча¬
стотой соо подается на сетки ламп JIX и Л2 синфазно, а модулирую¬
щее напряжение с частотой Q — противофазно. Нагрузочное со¬
противление (в данной схеме колебательный контур, настроенный
на частоту оо) включено между анодами ламп. Если лампы одина¬
ковы, а контур симметричен относительно точки нулевого потен¬
циала (по высокой частоте), то потенциалы анодов обеих ламп
одинаковы и ток через конденсатор контура равен нулю. Таким
образом, в отсутствие модуляции схема сбалансирована и колеба¬
ний с частотой соо на выходе нет.
При подаче модулирующего напряжения (противофазно) ба¬
ланс схемы нарушается. Одна из ламп, на сетку которой подается
в данный момент положительная полуволна, посылает в контур
увеличенный по амплитуде ток первой гармоники, а вторая лам-
440
12.3. БАЛАНСНАЯ АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Рис. 12.10
па — сниженный. Между анодами ламл возникает разностное на¬
пряжение, а в контуре — колебательный ток. Для наглядности до¬
пустим сначала, Фго модулирующее напряжение (синусоидальное)
подается только на одну из ламп, например Лх. Тогда в контуре
будут два тока: один от лампы Ли модулированный по ампли¬
туде (рис. 12.11,а), и второй от лампы Лъ, немодулированньда
(рис. 12.11,6). Так как фаза второго тока сдвинута на 180° отно¬
сительно несущего колебания, входящего в состав первого тока,,
а амплитуды этих несущих рав¬
ны, то результирующий ток в кон¬
туре будет иметь вид, представ¬
ленный на рис. 12.11, в. Если те¬
перь учесть модуляцию тока
второй лампы, то получим диа¬
грамму, представленную на
рис. 12.11, г, которая отличается
от предыдущей только удвоением
амплитуд.
К полученному результату
легко прийти аналитически. Для
этого представим контурные то¬
ки i{ и /2 от ламп Лх и Л2 в ви¬
де следующих уравнений:
h = Л# (1 + М sin Qt) sin о)0t,
h — (1 — M sin Qt) sin a\t.
Разные знаки в скобках учи¬
тывают противофазность моду¬
лирующих напряжений на лам¬
пах Лх и Л2. Результирующий ток в контуре, равный разности то¬
ков от обеих ламп, будет
Огибающая этого тока, равная 2М1к01 sin 2^ |, изменяется с ча¬
стотой 2£2. Частота заполнения огибающей равна частоте несу¬
щего колебания соо, причем каждые полпериода модуляции фаза
колебания изменяется на 180°.
Энергетический режим ламп при балансной модуляции полу¬
чается весьма неблагоприятный. Взаимная компенсация в анод-
ной цепи колебательных напряжений частоты соо приводит к тому,
что в отсутствие модуляции лампы работают как бы «в статиче¬
ском режиме: анодное напряжение не изменяется, и в моменты
прохождения импульсов анодного тока почти вся подводимая от
источника питания мощность выделяется на анодах ламп. Ухуд¬
шается также использование ламп по току. Все это указывает на
целесообразность осуществления балансной мрдуляции в относи-
4411
Рис. 12.11
тельно маломощных ступенях с последующим усилением получен¬
ного колебания. В следующей главе будет показано, что осущест¬
вление балансной амплитудной модуляции возможно также и с по¬
мощью специальных схем на диодах.
12.4. ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Управление частотой колебания может быть осуществлено либо
прямым воздействием на автогенератор (прямые методы), либо со¬
ответствующей обработкой колебания, получаемого от стабиль¬
ного и смодулированного источника (косвенные методы). Прямые
методы частотной модуляции, в свою очередь, существенно зави^
сят от рабочей частоты автогенератора. В диапазоне частот oi
самых низких до нескольких десятков мегагерц, где используются
автогенераторы с колебательными системами с сосредоточенными
постоянными, модуляция сводится к изменению емкости или ин¬
дуктивности контура.
На сверхвысоких частотах широко используются автогенера¬
торы без колебательной системы (например, лампы обратной
волны).
В подобных автогенераторах управление частотой генерации
обычно сводится к изменению напряженности электрического по¬
ля, от которого зависит скорость и, следовательно, пролетное
время электронов, определяющее период генерируемого колеба¬
ния.
Рассматриваемые в данном параграфе прямые методы частот¬
ной модуляции относятся к автогенераторам с колебательной си¬
стемой.
Существует ряд способов управления резонансной частотой
колебательной системы: электронные, электромагнитные и др. Вы¬
бор того или иного способа зависит от основных параметров мо-
Д(о
дуляции: относительного изменения частоты — и скорости изме¬
нения частоты. Последний параметр характеризуется спектром
модулирующего сигнала. При медленной модуляции (низкие ча¬
стоты) широко применяются такие способы, как изменение индук¬
тивности катушки путем изменения тока, подмагничивающего сер¬
дечник катушки, и др.
Если спектр сигнала содержит относительно высокие частоты,
ю приходится прибегать к безынерционным способам управления
емкостью или индуктивностью контура.
Типичным и широко распространенным способом электронного
управления резонансной частотой контура является способ, осно¬
ванный на применении так называемых «реактивных» ламп.
Принцип действия подобных ламп поясняется схемой, представ¬
ленной на рис. 12.12. Реактивная лампа, о’бычно пентод, подклю¬
чается параллельно контуру автогенератора. Напряжение высокой
частоты с амплитудой Ug(a подается на управляющую сетку с со-
442
противления Zb ©ходящего в делитель напряжений Zb Z2, а мо¬
дулирующее напряжение е9 — на одну из сеток пентода, напри¬
мер на ту же управляющую или на экранирующую сетку. Сопро¬
тивления Z\ и Z2 подбираются таким образом, чтобы фаза сеточ¬
ного напряжения Ug<0 была сдвинута относительно фазы напря¬
жения на контуре Uа на угол, по возможности близкий к 90°. Так
как переменная составляющая анодного тока /у в пентоде в очень
Рис. 12.13
слабой степени зависит от анодного напряжения, то можно счи¬
тать
(12.1)
где Scр — средняя крутизна характеристики лампы [см. § 10.5,
ф-ла (10.30)].
Рассматривая реактивную лампу как двухполюсник, подклю¬
ченный к источнику напряжения Ua и потребляющий ток /у, на¬
ходим сопротивление этого двухполюсника для частоты о>:
(12.2)
е (12.3)
Обычно выполняется условие |/С|С1» т. е. < z2. Поэтому
можно считать
(12.2')
Делитель напряжений обычно составляется из емкости и оми¬
ческого сопротивления. При включении сопротивления R между
443
Рис. 12.12
анодом и сеткой, а емкости — между сеткой и катодом реактивной
лампы (рис. 12.13), получим:
(12.4)
CR
Так как величина -q— всегда положительная, то эквивалентно»
Оср
сопротивление реактивной лампы можно представить в форм
индуктивного сопротивления
Z3 = шЬ9>
где
(12.5)
Отсюда ясен смысл термина «реактивная лампа».
Как видим, при схеме делителя, представленной на рис. 12.13,
реактивная лампа оказывает на контур такое же влияние, как па¬
раллельно подключенная индуктив¬
ность L3.
При включении делителя по схеме
рис. 12.14, т. е. при
1
1
(12.6)
Рис. 12.14
т. е. реактивная лампа эквивалентна
емкости
Сэ = 5ср. CR. (12.7)
Фигурирующая в выражениях (12.5) и (12.7) средняя кру¬
тизна 5ср зависит при данной амплитуде высокочастотного напря¬
жения Ugta от положения рабочей точки на характеристике лампы,
т. е. от напряжения смещения на управляющей и других сетках
реактивной лампы. Подавая на одну из сеток модулирующее на¬
пряжение, можно осуществить модуляцию частоты изменением ин¬
дуктивности Ьэ или емкости Сэ.
Вариация средней крутизны может быть осуществлена двумя
способами: изменением положения рабочей точки на криволиней¬
ном участке характеристики или же за счет изменения угла от¬
сечки анодного тока реактивной лампы. Первый метод находит
444
применение в тех случаях, когда требуемая для изменения ча¬
стоты на величину ±сод вариация тока /у настолько мала, что
может быть получена при использовании небольшого участка ха¬
рактеристики лам-пы, причем крутизна характеристики на этом
участке линейно связана с напряжением смещения сетки, по ко¬
торой производится . модуляция.
Подобный режим представлен на рис. 12.15. На рис. 12.15,6
изображена диаграмма полного анодного тока, а на рис. 12.15, в -
Рис. 12.15
только высокочастотной составляющей частоты соо- Получается
обычная амплитудная модуляция тока, в результате чего крутизна
изменяется пропорционально амплитуде /у.
По отношению к высокочастотному напряжению реактивная
лампа, используемая в указанном режиме, представляет собой ли¬
нейный элемент с переменной крутизной (и соответственно с пе¬
ременным сопротивлением). Поскольку, однако, этот линейный
элемент определяет частоту' а.втогенерации, представляющей со¬
бой существенно нелинейный процесс, то и устройство в целом
также является нелинейным.
При работе с отсечкой анодного тока процесс модуляции ам¬
плитуды 1у мало отличается от рассмотренного в § 12.2 процесса
при амплитудной модуляции изменением смещения. Некоторой
особенностью является то, что колебательное анодное напряжение,
навязываемое реактивной лампе контуром автогенератора, сдви¬
нуто по фазе на угол 90° относительно фазы тока /у.
445
Для установления связи между заданной величиной отношения
Aw
и требуемым относительным изменением емкости или индук¬
тивности колебательной системы автогенератора допустим, что мо¬
дуляция осуществляется по схеме рис. 12.14 и отклонению емко¬
сти на величину АС относительно исходного значения С0 соответ¬
ствует изменение частоты на величину Асо относительно исходной
частоты coo. Пренебрегая влиянием потерь в контуре и считая ча¬
стоту автоколебаний совпадающей с резонансной частотой кон¬
тура, получаем следующие очевидные соотношения:
1
откуда
(12.8)
Положительному приращению емкости ДС>0 соответствует от¬
рицательное приращение частота Асо, и наоборот.
В ряде применений частотной модуляции относительное изме¬
нение частоты весьма невелико. Например, при передаче речи и
музыки на УКВ (§ 3.4) величина —не превышает нескольких до-
<*>0
лей процента. В подобных случаях выражения (12.8) — (12.9)
можно записать в более простой форме, пренебрегая и
А 0
А а) ^
, а также более высокими степенями этих отношении, по
о>0
сравнению с единицей:
Разделив последнее выражение на <о0, получим
Таким образам, при малых относительных изменениях, Асо и
АС связаны между собой линейными -соотношениями. Такой же
результат нетрудно получить и для изменения индуктивности
контура.
Следовательно, для получения линейной частотной модуляции
требуется изменение емкости или индуктивности контура по за¬
кону, совпадающему с законом изменения модулирующего напря¬
жения.
При значительных отношениях и — необходимо учиты¬
вать нелинейный характер выражений (12.8)—1(12.9).
Выражение (12.10) ‘ позволяет выявить требования к току ре¬
активной лампы. Обращаясь к эквивалентной схеме колебатель¬
ного контура, представленной на рис. 12.16, и
учитывая, что протекающий через основную
емкость С0 ток /Со мало отличается от полного
контурного тока /к, получаем
Рис. 12.16
Отсюда находим для амплитуды переменной составляющей
анодного тока реактивной лампы следующее выражение:
(12.13)
Из этого выражения видно, что для облегчения требований
к эмиссии (и крутизне характеристики) реактивной лампы вы¬
годно снижать ток в контуре. Анодное напряжение целесообразно
снижать до минимума, при котором еще обеспечивается устойчи¬
вая генерация и создается необходимая мощность автогенератора,
а характеристику контура р выгодно брать по возможности более
высокой. Не следует, однако, забывать, что чрезмерное повышение
р, достигаемое за счет малой емкости контура, ухудшает стабиль¬
ность средней частоты автогенератора из-за возрастающего влия¬
ния междуэлектродных емкостей лампы.
С повышением рабочей частоты соо эффективность реактивной
лампы снижается. На очень высоких частотах из-за снижения ха¬
рактеристики р и, следовательно, увеличения тока /к влияние элек¬
тронного тока реактивной лампы на резонансную частоту контура
оказывается очень слабым. Кроме того, подключение реактивной
лампы к колебательной системе генератора ухудшает условия для
генерации очень коротких волн и сопряжено с серьезными кон¬
структивными трудностями. Эти трудности особенно велики на
волнах дециметрового диапазона. Иногда для обхода трудностей,
связанных с осуществлением частотной модуляции на очень высо¬
ких частотах, применяют умножение частоты. Выбором удобной
447
для использования реактивных ламп частоты возбудителя можно
До>
•получить требуемую величину которая затем в процессе умно¬
жения частоты остается неизменной.
Управление частотой автогенератора обычно сопровождается
паразитной модуляцией амплитуды. Основной причиной изменения
амплитуды является наличие активной составляющей в эквива¬
лентом сопротивлении реактивной лампы. В процессе модуляции
эта составляющая изменяется, что приводит к изменению зату¬
хания контура автогенератора и, следовательно, к некоторому из¬
менению амплитуды автоколебаний. Амплитудная модуляция мо¬
жет быть ослаблена введением
в делитель напряжения Zx и
Z2 элементов, обеспечивающих
фазовый сдвиг тока 1У относи¬
тельно Va ПО ВОЗМОЖНОСТИ
точно на 90°. При очень боль¬
ших относительных величинах — изменение амплитуды автоко¬
лебаний может являться результатом изменения характеристики
контура.
Важной проблемой при частотной модуляции является стаби¬
лизация средней частоты автогенератора. В практике широко рас-
лространены различные системы автоподстройки средней частоты
модулированного генератора по опорному (эталонному) генера¬
тору, обычно стабилизованному кварцем. На рассмотрении по¬
добных систем из-за недостатка места не останавливаемся. При¬
ведем лишь в заключение схему двутактного частотного модуля¬
тора (рис. 12.17), позволяющего существенно ослабить влияние на
частоту генератора изменений питающих напряжений. В этой
схеме одна из реактивных ламп работает как индуктивность, а дру¬
гая— как емкость. Модулирующее напряжение подается к лампам
/ и II в цротивофазе, благодаря чему девиация частоты получается
вдвое больше, чем от каждой лампы в отдельности.
Например, при подаче на индуктивную лампу положительной
-полуволны модулирующего напряжения ток /у1 (индуктивный)
растет, что эквивалентно уменьшению Ьэ лампы и повышению
частоты контура. В это же время на емкостную лампу подается от¬
рицательная полуволна модулирующего напряжения, что приводит
к уменьшению тока /у11 (емкостного) и, следовательно, к умень¬
шению Сэ и повышению частоты контура. Таким образом, дейст¬
вие ламп I и II при противофазной модуляции складывается. Из-
448
Рис. 12.18
Рис. 12.17
менения же напряжений источников питания (анодное напряже¬
ние, напряжение смещения сеток, напряжение накала), действую¬
щие на обе лампы синфазно, приводят к взаимной компенсации
частотных отклонений, вызываемых каждой из ламп в отдель¬
ности.
Рассмотренные выше схемы с реактивными лампами не исчер¬
пывают всех возможностей безынерционного управления частотой
автогенераторов с колебательными системами. Развитие полупро¬
водниковой техники привело к созданию нового прибора, так на¬
зываемого варикапа, представляющего собой диод с электронно-
дырочным переходом (р*п переход), емкость которого зависит от
внешнего напряжения, приложенного в направлении запирания
перехода. Эта зависимость определяется выражением
где <рк — контактная разность .потенциалов, зависящая от кри¬
сталла, примесей и др.;
и — внешнее напряжение.
Емкость Ск обычно определяется при малом переменном на¬
пряжении, наложенном на постоянное напряжение смещения.
Эквивалентная схема перехода показана на рис. 12.18. Сопро¬
тивление (дифференциальное) перехода R в зависимости от ам¬
плитуды внешнего напряжения изменяется от единиц килоом до
сотен килоом; г — объемное сопротивление толщи полупроводника.
Крупным преимуществом варикапов перед реактивными лам¬
пами является возможность получения больших относительных из¬
менений емкости, простота схемы и экономичность (фактически не
расходуется энергия).
Недостатки варикапа: возможность использования при очень
малых уровнях напряжений и относительно сильно выраженная
паразитная амплитудная модуляция, обусловленная влиянием ак¬
тивных сопротивлений варикапа.
Изложенные выше соображения о связи между относительными
изменениями емкости и частоты колебательного контура, о ста¬
бильности средней частоты и так далее, могут быть распростра¬
нены и на частотные модуляторы с варикапами.
Под фазовой модуляцией подразумевается изменение фазы ко¬
лебания по закону изменения модулирующего напряжения. Эта
задача может быть осуществлена различными способами. Наи¬
большее распространение получили способы, основанные на пре¬
образовании амплитудной модуляции в модуляцию фазы или на
изменении параметров цепи (расстройка контура).
Блок-схема устройства для фазовой модуляции, осуществляе¬
мой по первому способу, представлена на рис. 12.19. В этой схеме
12.5. МОДУЛЯЦИЯ ФАЗЫ КОЛЕБАНИЙ
29 Зак. 2^235
449
на вход усилителя подаются два напряжения: немодулированное
напряжение от стабильного задающего генератора с частотой о>о
и напряжения боковых частот шоН-Й и о о — £2, выделенных с по-
Рис. 12.19
мощью балансного модулятора (см. § 12.3). Модулирующее на¬
пряжение с частотой Q подается на лампы балансного модулятора
в противофазе, а несущая частота соо — в фазе, вследствие чего
в выходном напряжении балансного модуля¬
тора колебание с частотой соо уничтожается
и остаются лишь колебания боковых частот.
Амплитуды этих колебаний пропорциональны
амплитуде модулирующего напряжения ча¬
стоты Q.
Для получения на выходе усилителя коле¬
бания, модулированного по фазе, одно из на¬
пряжений— либо несущая частота соо, посту-
яающая с задающего генератора, либо напря¬
жение, поступающее с балансного модуля¬
тора,— должно быть повернуто по фазе на
±90°. На схеме рис. 12.19 фазосдвигающее
устройство включено на выходе балансного
модулятора. Суммарное колебание, выделяе¬
мое на выходе усилителя, изображается на
векторной диаграмме (рис. 12.20) вектором
OD. Вектор ОА соответствует немоду-
лированному колебанию, поступающему с
задающего генератора, а вектор AD —
сумме двух колебаний с частотами
юо±£2, поступающих с балансного модуля¬
тора.
Изменение при модуляции длины вектора AD приводит к изме¬
нению фазы результирующего колебания OD по закону (см. § 3.4)
450
Рис. 12.20
Амплитуда изменения фазы
(12.15)
Линейность модуляционной характеристики обеспечивается при
выполнении условия
В этом случае
(12.14')
(12.15')
Отсюда видно, что основным недостатком фазовой модуляции,
получаемой путем преобразования амплитудной модуляции, яв-
Усилитель Вч
ляется затруднительность получения значительных индексов мо¬
дуляции. При высоких требованиях к линейности модуляции при*
ходится ограничиваться величиной бмакс ^ 10-Н200.
Примерно такой же результат получается при осуществлении
модуляции фазы изменением расстройки колебательного контура
в одной из усилительных ступеней, возбуждаемых стабильным по
частоте генератором. Схема подобного фазового модулятора пред¬
ставлена на рис. 12.21. Реактивная лампа, с помощью которой
осуществляется изменение резонансной частоты контура, включена
параллельно контуру в анодной цепи усилительной лампы. Все
приведенные в#§ 12.4 соображения о режиме работы реактивной
лампы, способе возбуждения ее и так далее полностью прило¬
жимы к данному случаю с той лишь разницей, что изменение ре¬
зонансной частоты контура при постороннем возбуждении приво-*
дит не к изменению частоты (определяемой задающим генерато¬
ром), а к изменению фазы напряжения на контуре.
Связь между относительным изменением резонансной частоты
контура -jjjp и фазовым изменением легко может быть установлена
29*
451
Рис. 12.21
на основании уравнения фазовой характеристики контура (см.
§ 4.7)
Отсюда следует, что для облегчения требований к реактивной
лампе выгодно увеличивать добротность контура. Например, при
Q = 200 и т«0,5 требуется
что легко может быть достигнуто с помощью реактивной лампы.
Наряду с отмеченным выше недостатком (малые 0Макс), круп¬
ным достоинством рассматриваемых способов модуляции является
возможность обеспечения высокой стабильности средней частоты
о)о. Задающий генератор, работающий на фиксированной частоте,
может быть стабилизирован, например, с помощью кварца.
Для сохранения этого преимущества и получения больших зна¬
чений 0макс иногда применяют многократное умножение частоты.
При умножении частоты в п раз в такое же число раз возрастает
и фазовая девиация выходного колебания. Действительно, если
подводимое к сетке лампы умножителя напряжение сдвинуть по
фазе на угол 01 = coi^i, то импульс анодного тока будет сдвинут во
452
Приравнивая <р = 0, <ор = <о0 и подставляя Аю = о)д cos 2/, по¬
лучаем
Из сравнения полученных выражений с выражениями (12.14)
и (12.15) видно, что с точки зрения максимальных фазовых от¬
клонений, в пределах которых модуляция линейна, рассматривае¬
мый способ не отличается от способа, основанного на преобразо¬
вании амплитудной модуляции. Полагая 0макс 0,2-M3,3 радиан,
получаем
Для получения требуемого индекса модуляции реактивная
лампа должна обеспечивать расстройку контура в пределах
времени на величину t\. По отношению к п-й гармонике анодного
тока этот временной сдвиг означает фазовый сдвиг вл = <*>я/1 =
= nuiti = пВг.
Фазовую модуляцию в пределах ^макс^С 15-^20° с последую¬
щим многократным умножением частоты иногда применяют для
получения частотной модуляции. Для этого, как отмечалось
в гл. 3, на входе фазового модулятора необходимо зключить кор¬
ректирующее устройство, осуществляющее интегрирование моду¬
лирующего напряжения, т. е. четырехполюсник с частотной харак¬
теристикой, обратно пропорциональной частоте модуляции Q.
Проблема осуществления фазовой модуляции с большими зна¬
чениями 0маКс значительно упрощается в диапазоне сверхвысоких
частот при использовании специальных электронных приборов типа
ламп с бегущей волной, в которых пролетное время можно в не¬
которых пределах изменять величиной потенциала на соответст¬
вующих электродах лампы. При заданной и неизменной частоте
возбуждения на входе лампы соо, изменение пролетного времени на
величину Дт эквивалентно изменению фазы выходного колебания
на угол ф = о^рДт. Таким образом удается получить весьма боль¬
шое ф, измеряемое десятками и более радиан. Подбором соответ¬
ствующей модулирующей функции (интеграл от требуемого изме¬
нения частоты) фазовую модуляцию можно преобразовать в ча¬
стотную, при сохранении стабильности исходной частоты щ.
12.6. НЕКОТОРЫЕ СХЕМЫ ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИИ
Рассмотренные в § 3.9 основные виды импульсной модуляции
могут быть осуществлены различными способами с использова¬
нием разнообразных приемов импульсной техники. Здесь приво¬
дятся лишь некоторые из этих
способов.
Начнем с амплитудно-им-
пульсной модуляции. Задача уп¬
равления амплитудой импульс¬
ной последовательности может
быть выполнена с помощью прие¬
мов, близких к обычной модуля¬
ции амплитуды непрерывного ко¬
лебания. Одна из таких схем
представлена на рис. 12.22. Здесь
немодулированная последова¬
тельность евх подается на управ¬
ляющую сетку пентода, а модулирующее напряжение eQ—на
экранную сетку.
Исходный режим подбирается таким образом, чтобы в отсут¬
ствие модулирующего напряжения лампа работала в режиме
ограничения снизу и импульсы анодного тока не превышали опре¬
деленной величины. Такой режим изображен на рис. 12.23 (уча-
453
Рис. 12.22
сток а — б). Изменение напряжения экранной сетки приводит
к смещению характеристик анодного тока и к соответствующему
изменению амплитуды импульсов анодного тока (участок б — в).
Нагрузкой в анодной цепи должно служить омическое сопротив-
Рис. 12.23
Рис 12.24
ление, подбираемое из условия достаточно хорошего воспроизве¬
дения формы импульсов при наличии паразитных емкостей (вы¬
ходная емкость лампы модулятора, а также входная емкость по¬
следующих цепей). Временные диаграммы модулирующего напря¬
жения, анодного тока и напряжения, а также напряжения на вы-
л ходе модулятора1 представлены на
рис. 12.24.
Схема диодного модулятора изобра¬
жена на рис. 12.25. Здесь диод работает
в качестве ограничителя, причем уровень
ограничения в отсутствие модуляции
определяется постоянным напряжением
Еа, а при модуляции — суммарным на¬
пряжением Ea + eQ. Диаграммы дейст¬
вующих в схеме напряжений представ¬
лены на рис. 12.26. Заштрихованные части импульсов входного
напряжения соответствуют импульсам на выходе модулятора. До¬
стоинствами схемы являются простота устройства и высокая ли¬
нейность модуляционной характеристики, недостатками — малая
крутизна этой характеристики и относительно низкое входное со¬
противление по отношению к источнику немодулированной им¬
пульсной последовательности.
Переходим к рассмотрению способов осуществления модуля¬
ции по длительности импульсов. Одна из возможных схем пока¬
Рис. 12.25
1 Для напряжения ивых даны абсолютные величины импульсов, полярность
же этих импульсов противоположна полярности импульсов ia-
454
зана на рис. 12.27. На управляющую сетку пентода подается пи¬
лообразное напряжение еп с частотой, равной требуемой тактовой
частоте импульсной последовательности, а также модулирующее
напряжение eQ. Исходное напряжение смещения Eg подбирается
с таким расчетом, чтобы в отсутствие напряжений еп и ея лампа
Рис. 12.26
была заперта. В отсутствие модуляции, т. е. при £s=0, анодный
ток появляется каждый раз, когда линейно нарастающее напря¬
жение еп достигает величины, равной \Eg01—l^l. Благодаря сопро¬
тивлениям Rg и RK ток ограничен величиной, близкой к току /о
(рис. 12.28), так как с ростом анодного тока растет смещение,
создаваемое на RKt а при заходе результирующего сеточного на¬
пряжения в положительную область появляется сеточный ток,
резко перераспределяющий напря¬
жение еп между большим сопротив¬
лением Rg и малым из-за сеточного
тока сопротивлением сетка — катод
rg. К концу периода пилы лампа
мгновенно запирается. Таким обра¬
зом, рассматриваемая схема пред¬
ставляет собой один из вариантов
устройства, преобразующего лило-
Рис. 12.28
образное напряжение в последовательность импульсов, фиксиро*
ванной амплитуды и формы, близкой к прямоугольной.
455
Рис. 12.27
При наложении модулирующего напряжения один из фронтов,
в данном случае передний, сдвигается во времени в зависимости
от напряжения ей, в то время как положение заднего фронта
остается неизменным. В результате получается односторонняя мо¬
дуляция импульсов по длительности.
Ясно, что при выборе пилы с ли¬
нейно убывающим участком можно
получить фиксированное положение
переднего фронта и одностороннюю
модуляцию по длительности за счет
сдвига заднего фронта импульса.
Наконец, если подавать на управляющую сетку симметричное
пилообразное напряжение (рис. 12.29), то можно получить сим¬
метричную модуляцию по длительности.
в/
Рис. 12.30
Изменение длительности импульсов по закону передаваемого
сигнала с успехом можно осуществить и с помощью пусковых
схем типа мультивибраторов. На рассмотрении таких схем мы не
останавливаемся.
Переходим к рассмотрению фазово-импульсных модуляторов.
Для получения последовательности коротких импульсов, положе¬
ние которых во времени пропорционально величине модулирую¬
щего напряжения, обычно применяется ряд последовательных пре¬
образований. Один из способов получения фазово-импульсной
модуляции поясняется временными диаграммами, показанными на
рис. 12.30.
466
Рис. 12.29
Диаграмма рис. 12.30, а соответствует вспомогательной немоду-
лированной последовательности коротких импульсов, которая за¬
тем подвергается амплитудной модуляции (рис. 12.30,в). Модули¬
рующая функция еа изображена на рис. 12.30,6. Следующим эта¬
пом является преобразование АИМ в одностороннюю модуляцию
по длительности (рис. 12.30,г). Далее импульсы подвергаются диф¬
ференцированию (рис. 12.30,<9) и ограничению, в результате чега
получаются импульсы одной полярности, модулированные по по¬
ложению (рис. 12.30, е). Все перечисленные преобразования могут
быть выполнены с помощью двух-трех ламп.
ГЛАВА 13
ДЕТЕКТИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ЧАСТОТЫ
13.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Детектирование колебаний заключается в восстановлении
управляющего сигнала, который в неявной форме содержится
в модулированном высокочастотном колебании. По своему назна¬
чению детектирование является процессом, обратным процессу мо¬
дуляции. В тех случаях, когда требуется подчеркнуть это обстоя¬
тельство, наряду с термином «детектирование» (обнаружение)
применяют термин «демодуляция» колебаний. Соответственно ос¬
новным видам модуляции различают амплитудное, частотное и фа¬
зовое детектирование. Последние два вида детектирования, ввиду
тесной связи, имеющейся между частотой и фазой колебания, ча-
<сто осуществляются мало' различающимися между собой устрой¬
ствами.
На вход детектора подается модулированное колебание, со¬
держащее только высокочастотные составляющие: несущее коле¬
бание и боковые частоты. На выходе же выделяется напряжение
с низкочастотным спектром передаваемого сообщения. Следова¬
тельно, детектирование сопровождается трансформацией частот¬
ного спектра и не может быть осуществлено без применения не¬
линейных систем или же линейных систем, но с переменными па¬
раметрами. В настоящее время широко применяются детекторы
с нелинейными элементами. В качестве таковых применяются
электронные лампы — диоды, триоды и т. д., а также полупровод¬
никовые' диоды.
13.2. АМПЛИТУДНОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ. ДИОДНЫЙ ДЕТЕКТОР
Принцип детектирования амплитудно-модулированных колеба¬
ний может быть пояснен с помощью обобщенной схемы, представ¬
ленной на рис. 13.1. На входе детектора действует высокочастот¬
ное колебание с несущей частотой о>о и амплитудой E(t), изменяю¬
щейся по закону передаваемого сообщения. Нелинейный элемент
обозначен через D. Напряжение выхода ывых(/) снимается с ли-
458
нейной нагрузки, представляющей собой обычно омическое сопро¬
тивление, шунтированное конденсатором. Напряжение ивых(0 опре¬
деленным образом связано с £(0> причем характер этой связи за¬
висит от формы характеристики нелинейного элемента А от ис¬
ходного положения рабочей точки на характеристике и амплитуды
подводимых к детектору колебаний.
Рассмотрение работы амплитудного детектора удобнее всего
начинать с детектирования слабых колебаний. Допустим, что в ка¬
честве нелинейного элемента исполь¬
зуется диод и рабочая точка уста¬
новлена на нижнем сгибе характе¬
ристики диода (рис. 13.2). Исход¬
ное постоянное напряжение, соот¬
ветствующее этой точке, обозначено
через Еао. Характеристику диода
при работе на нижнем сгибе можно аппроксимировать с помощью
первых трех членов ряда (10.5).
ia = ia 0 + аДеа + р(ДО2. (13.1)
Здесь ia0 — анодный ток в отсутствие сигнала;
Ь.еа — изменение анодного напряжения.
Приравняем Аеа внешнему напряжению e(t), подводимому
к детектору. Это можно сделать, так как нагрузка детектора, как
правило, является очень малым сопротивлением для высокой ча¬
стоты. Таким образом,
Дев = е (t) = Е (t) cos <»0t, (13.2)
ia — iaо + ae -j- $e2 = ia% -)- aE (t) cos a>0zf + $E2 (t) cos2 <oQt. (13.3)
Учитывая, что cos2 =-j + -g- cos2<i>0^, переписываем выраже¬
ние (13.3) в форме
ia = 'lao + o-E (t) cos m0t + cos W 4- ■ ^2^ • (13.3')
Приращение анодного тока, обусловленное действием э. д. с.
e(t), состоит из:
— составляющей с частотой <о0 и огибающей aE(t);
— составляющей с частотой 2®0 и огибающей и
— низкочастотной составляющей 1^2 _
459
Рис. 13 2
Рис. 13.1
Полезный сигнал содержится в последнем слагаемом, первые
же два (высокочастотные) являются при детектировании беспо¬
лезными и'должны быть, отфильтрованы. Эти требования выпол¬
няются при использовании в качестве нагрузки детектора парал¬
лельного соединения активного сопротивления и конденсатора.
В результате приходим к схеме диодного детектора, представлен¬
ной на рис. 13.3. Если сопротивление конденсатора С для частоты
©о мало по сравнению с R, т. е.
(13.4)
то напряжение, создаваемое на нагрузке детектора высокочастот¬
ными составляющими анодного тока, мало, и напряжение выхода
Рис. 13.3
Рис. 13.4
создается, практически, только низкочастотной составляющей
тока
(13.5)
Так как эта составляющая пропорциональна квадрату ампли¬
туды входного напряжения, то при малых амплитуд.ах
детектирование является квадратичным. Из пре-
дыдущего ясно, что детектирование малых амплитуд возможно
только при работе на нелинейном (квадратичном) участке вольт-
амперной характеристики лампы. Это положение справедливо
как для диода, так и для любого другого нелинейного
элемента, используемого для детектирования слабых колеба¬
ний.
Следует отметить, что показанный на рис. 13.3 источник по¬
стоянного напряжения £„<> не является обязательным и в реальных
схемах применяется редко. Прц очень слабых колебаниях рабо¬
чая точка может быть установлена в точке еа=0 и схема прини¬
мает вид, представленный на рис. 13.4.
Обратимся к анализу выходного напряжения при квадратичном
детектировании. Так как напряжение на нагрузке, являющейся
линейной цепью, пропорционально приращению Aia, то ывых про-
460
порционально квадрату амплитуды входного сигнала. Это обстоя¬
тельство не является препятствием к правильному воспроизведе¬
нию формы импульсных (прямоугольных) сигналов. Пусть, напри¬
мер, напряжение на входе детектора имеет характер высокоча¬
стотных импульсов с прямоугольной огибающей (рис. 13.5,а).
Среднее значение анодного тока диода показано на рис. 13.5,6.
В интервалах между импульсами этот ток совпадает с «током по¬
коя» iao, а при наличии импуль¬
сов отличается на величину
где Е представляет собой ампли¬
туду высокочастотного напряже¬
ния, неизменную в пределах дли¬
тельности импульса to.
Напряжение на нагрузке де¬
тектора показано на рис. 13.5, в.
В те отрезки времени, когда про¬
цесс заряда или разряда конден¬
сатора С закончен, напряжение
на нагрузке равно iaoR (в интер¬
вале между импульсами) или
(/ао + А/а)/? (при наличии сигна¬
ла). На рис. 13.5, г показано от¬
дельно приращение напряжения,
создаваемое сигналом. Для отде¬
ления этого приращения от по¬
стоянного напряжения iaoR мо¬
жет быть использована раздели¬
тельная цепь, составленная из
конденсатора и сопротивления.
Представленное на рис. 13.5, г напряжение по форме мало от¬
личается от огибающей высокочастотного напряжения, действую¬
щего на входе детектора. Таким образом, убеждаемся, что квад¬
ратичный закон детектирования не препятствует воспроизведению
формы прямоугольных импульсов. Нелинейность характеристики
детектирования в данном случае проявляется лишь в том, что
амплитуда импульса на выходе детектора пропорциональна квад¬
рату амплитуды высокочастотного напряжения на входе детек¬
тора.
Иначе обстоит дело при квадратичном детектировании колеба¬
ний, огибающая которых модулирована такими сигналами как
речь, музыка и т. д. Для упрощения рассуждений рас¬
смотрим случай тональной модуляции. Подставив в выраже¬
ние (13.5)
461
Рис. 13.5
Заметим, что в отсутствие модуляции (М = 0), т. е. когда на
детектор действует одно лишь колебание несущей частоты, при¬
ращение анодного тока равно Таким образом,(при возникно¬
вении тональной модуляции среднее значение анодного тока по¬
лучает постоянное по величине относительное «приращение, равное
-4р. Переменная часть тока содержит следующие два слагаемых:
а) полезное, воспроизводящее сигнал, 2М sin Ш и
б) вредное, являющееся второй гармоникой сигнала,-y-cos 22/.
Отсюда следует, что коэффициент нелинейных искажений, раз¬
ный в данном случае отношению амплитуды второй гармоники
к амплитуде первой, равен
(13.8)
При стопроцентной модуляции получается
При одновременной модуляции двумя частотами Qi и Q2 в вы¬
ходном напряжении детектора наряду с гармониками 2Qi и 2Q2
.возникают еще комбинационные частоты вида Q1 + Q2 и Qi—Q2
<3 амплитудами, пропорциональными произведению парциальных
.коэффициентов модуляции Mi и М2. Этот результат нетрудно по¬
лучить, если в выражение (13.5) подставить
При передаче сложных сигналов, содержащих большое число
•частот, гармоники и комбинационные частоты оказывают, при глу¬
бокой модуляции, очень сильное влияние на разборчивость и
тембр сигнала. Поэтому применение квадратичного детектирования
нецелесообразно в тех случаях, когда требуется неискаженное вос-
ороизведение сигналов (речь, музыка и т. д.).
Переходим к рассмотрению детектирования больших ампли¬
туд. Как и ранее, имеется в виду диодный детектор. Не изменяя
схемы, представленной на рис.* 13.4, рассмотрим сначала воздей¬
ствие на детектор ^смодулированной э. д. с. Такой режим харак¬
терен, в частности, для однополупериодного диодного выпрямителя.
462
получим
Диаграмма напряжений и токов в анодной цепи диода представ¬
лена на рис. 13.6. Напряжение выхода представляет собой луль^
сирующую около среднего значения U0 функцию (рис. 13.6,а). Это»
напряжение является отрицательным по отношению к диоду, т. е~
приложено плюсом на ка¬
тод, а минусом на анод
диода. Поэтому ток через
диод возможен только в
течение отрезков периода,
когда положительная
полуволна э. д. с. превы¬
шает напряжение #ВЫх(0*
Иными словами, ток че¬
рез диод имеет форму
импульсов, показанных
на рис. 13.6,6.
В промежутках меж¬
ду импульсами анодного
тока, когда происходит разряд конденсатора С через сопротивле¬
ние /?/напряжение ивых убывает. В промежутках ti<t<t2 конден-
сатор подзаряжается импульсами анодного тока и ивых растет.
Если постоянная времени нагрузочной цепи велика по сравнению
Рис. 13.6
2 п
с периодом Tq= —, т. е. если выполняется условие (13.4), то ам¬
плитуда пульсаций напряжения ивых мала и в первом приближе¬
нии можно считать ивых ж U0. Учитывая, Что напряжение на на¬
грузке является по отношению к диоду «напряжением смещения»,
приходим к. построению, представленному на рис. 13.7.
463
Рис. 13.7
Нетрудно при сделанном выше допущении определить пара¬
метры импульсов анодного тока. Амплитуда имлульсов, очевидно,
будет
где /?/ — внутреннее сопротивление диода, а угол отсечки опре¬
деляется выражением
Так как выпрямленное напряжение связано с постоянной сла¬
гающей тока Iа0 соотношением
где ао — коэффициент постоянной составляющей импульсного тока
{формула (10.7)], то на основании выражений (13.9) — (13.12) не¬
трудно установить связь между параметрами схемы и углом от¬
сечки анодного тока. Из уравнения (13.9) иаходим
Используя уравнения (13.10), (13.11) и (13.12), получаем
«отсюда
Учитывая, что .в соответствии с формулой (10.7)
окончательно получаем 'Следующее выражение:
Итак, задание внутреннего сопротивления диода Ri и сопротив¬
ления нагрузки R однозначно определяет угол отсечки 0. При этом
предполагается, что емкость С, шунтирующая сопротивление R, от¬
вечает условию (13.4), так как только в этом случае напряжение
на выходе можно считать близким ~к постоянному. Уравнение
(13.13), связывающее угол отсечки 0 с отношением -^г, является
трансцендентным. Поэтому определение 0 удобно производить по
графику, представляющему собой зависимость отношения -^г
от 0. Этот график построен на рис. 13.8.
464
Интересно рассмотреть два предельных случая: 1) 0=0 и
2) 0 = 90°. Первый случай получается при -> 0, т. е. при беско¬
нечно большом сопротивлении нагрузки /?, когда схема детектора
вырождается в схему, представленную на рис. 13.9. При этом вы¬
прямленное напряжение на конденсаторе С достигает наибольшей
возможной величины U0 = E и ток* через диод в установившемся
режиме, когда закончен процесс зарядки конденсатора, равен
нулю. Таким образом, случай 0=0 соответствует «холостому ходу».
Второй случай (0 = 90°) соответствует режиму «короткого за¬
мыкания» нагрузки, т. е. /?-> 0. При этом вся э.д.с. оказывается
приложенной к диоду и ток последнего принимает форму полувол¬
новых импульсов (или усеченных в верхней части, если Е -больше,
чем напряжение насыщения). Если не учитывать действие емкости,
что 'допустимо гари малых /?, приходим к схеме, представленной на
рис. 13.10. Напряжение на нагрузке совпадает в этом случае по
форме с импульсами тока ia.
Из приведенных .соображений видно, что для получения на вы¬
ходе выпрямленного -напряжения, близкого по величине к ампли-
30 Зак. 3/235 465
Рис. 13.9
Рис. 13.10
туде э.д.с. Е, угол отсечки 0 должен быть относительно мал,
а отношение * весьма велико. При 0 10-ь20° получим
Для получения такого режима требуется сопротивление на¬
грузки 100 Rt.
После того как .найдено /?, требуемая емкость С может быть
определена с помощью условия (13.4).
Переходим к рассмотрению (работы детектора «больших ампли¬
туд» при модуляции. Так как 'напряжение U0 при выполнении най¬
денных выше условий по>чти совпадает с амплитудой э.д.с., то
в процессе модуляции напряжение изменяется по закону, .почти
совпадающему с законом изменения огибающей, т. е. по закону,
передаваемого сигнала. Таким образом, связь между выход¬
ным напряжением (выпрямленным) Uo и амплитудой входной
э.д.с. получается почти линейной. В этом смысле детектор, рабо¬
тающий в режиме больших амплитуд и с 'нагрузкой, обеспечиваю¬
щей близкое совпадение напряжений U0 и Е, .называется линей¬
ным детектором. При этом не следует, конечно, упускать из
вида, что детектор, работающий с отсечкой анодного тока, яв¬
ляется сугубо нелинейным устройством. Однако эта нелинейность
обусловлена формой характеристики 'не только в области еа>0
(где характеристика может быть близка к линейной), а на протя¬
жении всей области действующих на диоде напряжений. Таким
образом, при работе с отсечкой характеристика диода представ¬
ляет собой ломаную линию, состоящую из участка оси абсцисс
(при еа<0) и наклонной линии (-при еа>0),„ с изломом вблизи
точки еа=0.
466
Рис. 13.11
Совмещая условия (13.4) и (13.14), получаем
(13.14)
(13.15>
Левая часть этого «еравенства предусматривает требование от-
фильтровывания высокочастотных составляющих анодного тока
диода, а правая — требование воспроизведения огибающей моду¬
лированной э. д. с. Так как частоты too и £2 обычно сильно разли-
30* 467
Режим линейного детектирования тонально модулированных
колебаний поясняется построением, представленным на рис. 13.11.
Диаграммы напряжений на входе и выходе детектора отдельно по¬
казаны на рис. 13.12.
Режим модуляции накладывает «а выбор элементов нагрузки
детектора дополнительные ограничения. Необходимо, чтобы по¬
стоянная времени цепи на¬
грузки была мала по срав¬
нению с периодом модуля¬
ции. В противном случае из¬
менение выпрямленного на¬
пряжения на нагрузке мо¬
жет отставать от изменения
огибающей входной э. д. с.
Подобный режим представ¬
лен на рис. 13.13. На
участке а—б 'из-за чрезмерно большой инерционности цепи R,
С напряжение ыВых отстает в своем росте от огибающей э. д. с.
В точке б, где ивых и амплитуда модулированной э.д. с. уравни¬
ваются, ток через диод и ipocrr ивых прекращаются. На участке
б—в источник э. д. с. й диод, не оказывают никакого влиямия на
нагрузочную цепь, и в последней происходит разряд конденса¬
тора С через сопротивление R. Таким образом, на участке б—в
напряжение ывых является экспонентой. Получается нелинейное
искажение сигнала. Так как
эти искажения обусловлены!
тесным взаимодействием,
нелинейного элемента (ди¬
од) с линейной системой
С), степень -нелинейных ис¬
кажений зависит не только
от параметров системы и от
глубины модуляции, но так¬
же от частоты модуляции. Эти искажения возрастают с повыше-
нием частоты, а также глубины модуляции входной э. д. с.
Для устранения рассматриваемых искажений необходимо,
чтобы
Рис. 13.12
Рис. 13.13
чаются (Я<^юо), то выполнение условия (13.15) не встречает
затруднений.
При импульоной модулядии огибающей, в травой части нера¬
венства (13.15) вместо периода модуляции Тя~^ следует под¬
ставлять длительность импульса.
Диодное детектирование находит широкое применение не только
в 'радиоприемных устройствах, но и в измерительных приборах
(катодные вольтметры и др.).
Рассмотрим в заключение вопрос о входном сопротивлении
диодного детектора, ,т. е. сопротивлении последовательной цепи
диод—нагрузка (RC). Этот вопрос имеет существенное значение
для определения затухания, вносимого детектором в колебатель¬
ный контур источника напряжения.
Ограничимся случаем когда угол 0 настолько мал,
что можно считать
В заключение отметим, что значение проведенного в настоящем
параграфе рассмотрения принципов амплитудного детектирования
не ограничивается диодным детектором. Основные результаты этого
рассмотрения могут быть распространены на полупроводнико¬
вые детекторы и любые другие нелинейные устройства, обла¬
дающие односторонней проводимостью (вентильными свойст¬
вами).
468
Мощность, забираемая детектором 6т источника, равна Щр-,
где 1а1 — амплитуда первой гармоники тока через диод. Мощ¬
ность же, выделяемая на сопротивлении нагрузки,
равна U0Ia0. При практически вся мощность,
забираемая детектором, выделяется в /?.
Можно поэтому приближенно считать
Поделив и левую и правую части на Я2, получим
где /?э — искомое входное сопротивление детектора.
Отсюда исходим
13.3. ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ОДНОПОЛОСНОЙ МОДУЛЯЦИИ
Для лучшего использования канала связи иногда ограничи¬
ваются передачей одной лишь полосы боковых частот амплитудной
модуляции. В подобных системах 'несущая частота, подавленная
в передатчике, восстанавливается при приеме от местного гетеро¬
дина, входящего в состав приемника. Для правильного воспроиз¬
ведения передаваемых сообщений частота гетеродина должна
строго совпадать с подавленной несущей частотой передатчика.
В некоторых случаях {например, при передаче телевизионных
сигналов) ограничиваются передачей несущей частоты и одной
лишь верхней полосы боковых частот.
Рассмотрим особенности детектирования колебания, представ¬
ляющего собой сумму несущего колебания Е0 sin too* и боковой
частоты Е\ sin((Oo+Q)f, где й — частота модуляции. Предпола¬
гается, кроме того, что Е\<Е0 (при наложении несущей частоты
в приемнике возможно, в принципе, любое соотношение между Е\
Учитывая, что при амплитудном детектировании основное зна¬
чение имеет форма огибающей результирующего колебания, дей¬
ствующего на входе детектора, сложим напряжения несущей и
боковой частот:
Рассматривая множители при sino>0^ и cosa>0^ как медленно
меняющиеся функции времени, представим последнее выражение
в несколько иной форме:
где огибающая определяется выражением
(13.160
(13.18)
£
Форма огибающей при различных отношениях изображена
£
на рис. 13.14. При £*<0,5 форма огибающей близка й синусои-
469
а фаза
дальной; с помощью разложения функции (13.17) в ряд Ф^рье
по периоду ^ нетрудно показать, что при ^ = 0,5 амплитуда
гармоники с частотой 22 составляет 10% от амплитуды основной
частоты модуляции 2. При доведении ■— до единицы огибаю-
щая E{t) принимает вид, показанный на рис. 13.14 пунктирной
линией.
Основываясь на выражении (13.17) и рис. 13.14, можно выявить
особенности амплитудного детектирования однополосной моду¬
ляции. Совершенно ясно, что в случае линейного детектирования
{§ 13.2), когда выходное напряжение воспроизводит форму оги-
1 JE
бающей входного напряжения, отношение -с1- должно 'быть значи-
тёльно меньше единицы, так как в противном случае возникают
значительные искажения. При квадратичном же детектировании
выходное напряжение, пропорциональное квадрату огибающей [ам.
(13.5)],
(13.19)
воспроизводит частоту модуляции Q без искажений.
13.4. ЧАСТОТНОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
Напряжение на выходе частотного детектора должно воспроиз¬
водить закон изменения мгновенной частоты модулированного ко¬
лебания. Представив последнее в форме
(13.20)
470
Рис, 13.14
получим для идеального частотного детектора следующую функ¬
циональную -связь:
где A(D(t)z=— представляет собой мгновенное значение частот¬
ного отклонения входной э. д. с., а 5ЧД = const — крутизну ха¬
рактеристики детектора, выраженную в вольта'х на единицу
угловой частоты. Если пользоваться частотами /=^, то, обоз¬
начая соответствующую крутизну через S4A, получим
Предполагается, что Af(t), а следовательно, и ивых являются
«медленными» функциями времени. Для выделения ивых из частот-
но-модулированного колебания, спектр которого состоит только из
высокочастотных составляющих (несущая частота о>о и боковые
частоты модуляции), необходимо нелинейное устройство.
Следовательно, частотный детектор обязательно должен включать
в себя нелинейный элемент. Однако, в отличие от амплитудного
детектора, одного лишь -нелинейного элемента недостаточно для
образования частот сообщения. Действительно, из рассмотрение
вольтамперных характеристик нелинейных элементов вйдно, что
-при постоянстве амплитуды входного напряжения нелинейный эле¬
мент не реагирует на изменение частоты этого напряжения. Иными
словами, нелинейность таких устройств, как диод, триод и т. д.,
проявляется лишь при изменении величины действующего на них
напряжения, но не 'при изменении частоты или, в общем случае,
скорости изменения сигнала. Обычный частотный детектор пред¬
ставляет сабой поэтому сочетание следующих двух основных ча¬
стей: 1) избирательной линейной системы, преобразующей частот¬
ную модуляцию в амплитудную, и 2) амплитудного детектора.
При правильном построении схемы частотного детектора изме¬
нение амплитуды входной э. д. с. не должно влиять на величину
выходного напряжения. Поэтому в состав частотного детектора
входит обычно устройство для ограничения амплитуды входной
э.д.с. Иногда ограничение осуществляется путем установления
специального режима работы усилительной лампы, входящей в со¬
став частотного детектора.
В качестве линейной системы может быть использована любая
электрическая цепь, обладающая неравномерной частотной харак¬
теристикой: цепи rL, гС, фильтры, колебательные контуры и т. д.
В высокочастотной технике исключительное распространение полу¬
чили колебательные системы. Схема частотного детектора, содер¬
жащего простой колебательный контур, 'представлена на рис. 13.15.
(13.21)
(13.22)
Здесь 5ЧД имеет размерность
471
Если резонансная частота -контура отличается от средней частоты
модулированного колебания, то изменение амплитуды напряжения
на контуре 'повторяет, в известных пределах, изменений частоты
.входнюго напряжения (приложенного к сетке лампы).
Положение точек cd0 и сор на оси частот, а также изменение Ua '
для случая синусоидальной модуляции частоты, .показаны на
рис. 13.16. Изменение амплитуды Ua высокочастотного напряжения
с помощью диода Д преобразуется в низкочастотное напряжение.
которое выделяется на апериодической нагрузке /?, С. Отметим,
попутно, что при точной настройке контура на частоту о>0 сигнал
искажается: частота изменения огибающей получается вдвое выше,
чем частота полезной модуляции. В исходном положении, т. е. в от¬
сутствие модуляции, рабочая точка должна устанавливаться на
скате резонансной кривой.
472
Рис. 13.16
Рис. 13.15
Детектор с одиночным контуром обладает весьма ограниченным
линейным участком резонансной кривой. Значительно лучшие ре¬
зультаты могут быть получены от дифференциальной схемы, пока-
занной на рис. 13.17.
В этой схеме напряжение на выходе детектора получается как
разность двух выпрямленных напряжений U0{ и U02, создаваемых
на сопротивлениях Ri и R2 лампами Л{ и Л2. Контуры этих ламп
расстраиваются относительно средней частоты колебания на ±Ао>о?
благодаря чему амплитуды напряжений Иа\ и Иа2 (^рис. 13.18) при
частоте а>0 приблизительно одинаковы и равны
Здесь Uaр — амплитуда напряжения при резонансной частоте;
а0 - обобщенная расстройка.
При отклонении частоты подводимого колебания от номиналь¬
ного значения соо на величину —Асо напряжение на контуре лам¬
пы Ли настроенном на частоту coi = соо—Асоо, увеличивается (так
как расстройка уменьшается до Асоо—Асо, рис. 13.18) и становится
равным
Рис. 13.17
Рис. 13.18
где
473
По отношению к контуру лампы Л2, настроенному на частоту
'(02=С00+Д(о0, «аоборот, расстройка возрастает до Дсоо+Дсо, в связи
с чем напряжение Ua2 падает до величины
Рис. 13.19
Так как cos в является величиной почти постоянной (и близ¬
кой к единице), то напряжение и2 .пропорционально функции ty(a),
определяемой уравнением
(13.28)
Графики функции ф(а) для (ряда значений параметра а0 пост¬
роены на рис. 13.19.
Функция <J>(a) представляет собой в некотором масштабе ха¬
рактеристику частотного детектора. Для нахождения напряже-
474
Разность напряжений равна
Так как выпрямленные напряжения £/01 или U02, действующие
на выходе соответственно первого и второго амплитудного де¬
текторов, связаны с ампли¬
тудами UaX и Ua2 извест¬
ными соотношениями [см.
<13.10)]
то напряжение на выходе частотного детектора равно
ния uQ (вольт) в функции отклонения частоты А/ (герц) орди-
наты должны быть умножены на Uap cos0, а абсциссы — на ^
* Cg
Рис. 13.20
Существенным недостатком рассмотренной схемы является не*
обходимость настройки контуров на частоты, отличиые от частоты
немодулированного колеба¬
ния. От этого недостатка-сво¬
бодна схема частотного де¬
тектора, представленная на
рис. 13.20.
Эта схема, широко рас¬
пространенная в (приемни¬
ках частотно-модулирован-
ных колебаний, а также в
устройствах для автомати¬
ческой подстройки частоты генераторов, содержит колебатель¬
ную систему в виде двух связанных контуров, настроенных на
частоту ад. Напряжение вы¬
сокой частоты (й0±А(я по¬
дается на сетку пентода, а
п р од етект и р ов а и ное н ап ря¬
жение ия выделяется на со¬
противлениях R\ иТ?2- Прин¬
цип действия данного детек¬
тора поясняется эквива¬
лентной схемой и векторной
диаграммой, .представлен¬
ными на рис. 13.21 и 13.22.
Пусть U\ напряжение на
первом контуре, U2 — на
втором контуре, £/з и t/4 — напряжения точек D и В относительно
катода ламлы (земля). Заметим, что Ub и U4 'представляют собой
амплитуды высокочастотных напряжений, 'приложенных соответ¬
ственно к диодам Д2 и Дь В отсутствие модуляции, когда частота
475
Рис. 13.22
Рис. 13.21
входного напряжения совпадает с резонансными частотами конту¬
ров, напряжение (/2, развиваемое на втором iKOHrype, сдвинуто тто
фазе на 90° относительно напряжения U\.
Действительно, п.ри индуктивной связи контуров имеем
2
т. е. напряжение U2 на 90° опережает напряжение Ut.
Обратимся к определению напряжений t/з и i/4. Учитывая, что
средняя точка второго контура присоединена по высокой частоте
непосредственно к точке А и, следовательно, напряжение Us яв¬
ляется суммой напряжения U1 и половины напряжения U2y полу¬
чаем
(13.31)
Аналогично для напряжения U4 можем написать:
(13.32)
Модули напряжений {/3 и t/4 одинаковы и равны
(13.33)
а фазы симметричны относительно фазы напряжения U\. Соот¬
ветствующая этому случаю векторная диаграмма представлена
на рис. 13.22, а. Так как выпрямленные напряжения Uoi и i/ог»
действующие на сопротивлениях R\ и /?2, пропорциональны ампли¬
тудам U3 и f/4, то результирующее^напряжение на выходе детек¬
тора, равное разности t/oi и Uo2, при резонансной частоте будет
равно нулю.
Рассмотрим теперь векторную диаграмму напряжений ;при рас¬
стройке. Пусть .частота на входе детектора отклонится от резо¬
нансной частоты соо на величину Асо, причем ^<1. Тогда век¬
тор BD, соответствующий напряжению U2 (рис. 13.22,6), повер¬
нется относительно своего резонансного Положения на угол <р2,
который определяется выражением [формула (4.24)]
476
Так как при о) = (о0 = а)р Z2 = r2, a -^~~=Q2, получаем
Вместо выражений (13.31) и (13.32) будем иметь
Первый и второй контуры обычно берутся одинаковыми. По¬
этому отношениё -£~=k является коэффициентом связи контуров.
Обозначив через
P = T-Qa = *Q2
й переходя к модулям, получим-
(13.35)
Напряжение на выходе, при учете дифференциального включе¬
ния напрузок, будет
(13.36)
Теперь остается учесть зависимость амплитуды U\ от рас¬
стройки. В практике лг/мпа частотного детектора обычно ставится
в режим амплитудного ограничения с целью ослабления влияния
помех и паразитной амплитудной модуляции, возникающей при
осуществлении модуляции в передатчике, а также при прохожде¬
нии частотно-модулированного колебания через избирательные
цепи передатчика и приемника. Ограничение достигается включе¬
нием в цепь сетки автоматического смещения и установлением
специального режима анодной цепи (пониженное анодное напря¬
жение), при котором изменение в широких пределах амплитуды
входного напряжения почти не отражается на амплитуде напря¬
жения U\. Влияние изменения эквивалентного сопротивления
анодной нагрузки, связанного с изменением частоты входного на¬
пряжения, на величину амплитуды напряжения U\ обычно мало,
так как частота при модуляции не выходит из полосы пропуска¬
ния контуров детектора.
При этих условиях амплитуду 1)\ можно считать
и, ж £/,р = const.
477
Принимая также cos@~l, перепишем формулу (13.36) в -виде
иа = (/1рф(а), (13.37)
где
(13.38)
Зависимость \|)(а) представлена на рис. 13.23 в виде семейства
характеристик для различных значений параметра р. Умножив
ординаты этих характеристик на резонансную амплитуду U]p и
на cos 0, а абсциссы на
/o/2Q, получим характери¬
стику частотного детектора
в виде зависимости и2
(вольт) от Л/ (герц).
Рис. 13.23
При выборе параметров контуров и величины связи основным
требованием является обеспечение линейности и получение макси¬
мально возможной крутизны характеристики частотного детек¬
тора.
В частотных детекторах (дискриминаторах), используемых
в устройствах автоподстройки частоты, линейность характери¬
стики не является обязательной и при выборе параметров конту¬
ров может быть допущена большая свобода. В дискриминаторах^
используемых для автоподстройки частоты в импульсных систе¬
мах, полоса пропускания контуров должна обеспечивать доста¬
точно удовлетворительное воспроизведение высокочастотных
импульсов.
Кроме разобранных выше имеется ряд других схем частот¬
ных детекторов, отличающихся лишь в деталях.
13.5. ФАЗОВОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
Пусть фаза высокочастотного колебания, подлежащего детек¬
тированию, изменяется по закону 0(0- Если такое колебание по¬
дать на обычный частотный детектор, реагирующий на изменение
478
мгновенной частоты колебания, то напряжение на выходе детек¬
тора будет
т. е. выходное напряжение будет пропорционально производной
фазы входного колебания.
Отсюда видно, что для осуществления фазового детектирова¬
ния может быть использован обычный частотный детектор. Необ¬
ходимо лишь дополнить его корректирующей цепью, осуществля¬
ющей интегрирование выходного напряжения, т. е. цепью с ча¬
стотной характеристикой вида К(2) = . Простейшие интегри¬
рующие цепи описаны в § 9.4.
Подобный прием используется при детектировании колебаний
с «медленно» меняющейся фазой, т. е. в тех случаях, когда про¬
изводная фазы конечна (например, при передаче речи). В случае
же скачкообразного изменения фазы, а также при необходимости
сравнения фазы принимаемого колебания с фазой опорного (эта¬
лонного) колебания, применяются специальные фазовые детек¬
торы, в которых выходное напряжение пропорционально огибаю¬
щей напряжения, .получаемого при суммировании колебаний со.
сравниваемыми фазами.
Подобные устройства рассматриваются в специальных курсах
13.6. ДЕТЕКТИРОВАНИЕ МОДУЛИРОВАННЫХ ИМПУЛЬСОВ
При приеме сообщений, переданных по импульсной радиоли-
нии, приходится дважды применять процесс детектирования. Сна¬
чала производится детектирование радиоимпульсов с .помощью
обычного амплитудного детектора, на выходе которого выде¬
ляются видеоимпульсы. Режим работы этого детектора ничем не
отличается^ от разобранного в § 13.2 детектирования высокоча¬
стотного колебания. Нужно лишь, чтобы постоянная (времени,
нагрузки детектора была достаточно малой для удовлетвори¬
тельного «воспроизведения формы огибающей радиоимпульса.
Полученная в результате первого детектирования последователь¬
ность видеоимпульсов подается ко второму, импульсному детек¬
тору, на выходе которого (выделяется сообщение, тем или иным
способом наложенное па импульсную последовательность при мо¬
дуляции.
По сравнению с процессом детектирования радиоимпульсов и
вообще радиочастотных (непрерывных) колебаний импульсное де¬
тектирование обладает рядом существенных особенностей. Эти
особенности связаны со структурой спектра модулированной по¬
следовательности импульсов, а также с необычным для высоко¬
частотного колебания соотношением между частотой модуляции
и частотой следования импульсов (тактовой частотой).
479
Проведенное в § 3.9 рассмотрение показало, что в спектре мо¬
дулированной последовательности, наряду с гармониками ча¬
стоты повторения и с различными комбинационными частотами,
содержатся также и непосредственно модулирующие частоты. Из
этого следует, что задача выделения из модулированной импульс¬
ной последовательности сообщения может быть в принципе осу¬
ществлена с помощью линейной избирательной системы
(фильтра). С другой стороны, то обстоятельство, что частота сле¬
дования импульсов (тактовая частота) обычно превышает наи¬
высшую частоту модуляции всего лишь в 2—3 раза,' затрудняет
разделение частот и создает опасность попадания в полосу частот
сообщения ряда комбинационных
частот. Ясно поэтому, что выбор
метода детектирования должен про¬
изводиться с учетом особенностей
апектра ‘импульсной (последователь¬
ности ‘При том или ином виде моду¬
ляции.
Так, например, в случае ампли¬
тудно-импульсной модуляции, когда
в спектре имеется сильно выраженная составляющая с часто¬
той модуляции £2, можно воспользоваться линейным методом
выделения сигнала. Применяя фильтр нижних частот с полосой
пропускания от 0 до о>с > 2макс> где 2макс — наивысшая частота
модуляции, можно выделить полезные составляющие спектра и
задержать тактовую частоту Qi и все остальные частоты спектра.
Из представленного на рис. 13.24 спектра видно, что наиболее
опасной частотой является частота £2i — £2Макс- Для возможности
выделения полосы частот от 0 до Ймакс необходимо, чтобы выпол¬
нялось условие
или
Расположение частот 2макс и Qt — 2макс показано на рис. 13.24.
Таким образом, тактовая частота Qi должна превышать наи¬
высшую частоту модуляции по крайней мере^в два раза. Этот
вывод совпадает с результатом, -полученным в §* 3.9.
В практике обычно исходят из условия
Дальнейшее повышение частоты следования импульсов невы¬
годно, так как при этом увеличивается средняя мощность излу¬
чаемого передатчиком колебания и, кроме того, сокращается
число каналов, которое можно разместить в интервалах между
импульсами.
Наряду с линейными фильтрами широко распространено
также детектирование АИМ с помощью обычной диодной схемы.
480
Рис. 13.24
Особенностью импульсного диодного детектора по сравнению
с детектором непрерывного колебания является необходимость
в относительно большой постоянной времени цепи нагрузки. Эта
особенность вытекает из большой скважности импульсной после¬
довательности.
Кроме того, так как импульсный диодный детектор связы¬
вается с апериодическим усилителем видеоимпульсов (а не с ре¬
зонансным усилителем, как в случае детектора непрерывного ра¬
диочастотного колебания), то при расчете режима и выборе
элементов схемы необходимо детектор и предварительный видео¬
усилитель рассматривать как одно целое.
Рассмотрим теперь детектирование импульсов, модулирован¬
ных по длительности. Как и в случае АИМ, при периодическом
изменении длительности импульсов в спектре модулирдванной
последовательности возникает сильно выраженная компонента
с частотой модуляции Q. Амплитуда этой компоненты пропорцио-
дт
нальна отношению —(см. § 3.9 и приложение III). Ясно, что
для выделения из спектра импульсного напряжения полезной со¬
ставляющей может быть, как и ,в случае АИМ, использован линей¬
ный фильтр. Необходимо лишь при выборе параметров импульс¬
ной последовательности и модуляции, а также полосы прозрач¬
ности фильтра учитывать сложную структуру спектра и возмож¬
ность попадания комбинационных частот в полосу фильтра.
Упомянем в заключение о детектировании импульсной после¬
довательности, модулированной по фазе или по частоте (ФИМ
и ЧИМ). Ранее уже отмечалось, что компонента основной частоты
модуляции в спектре модулированного напряжения при ВИМ
выражена весьма слабо. Поэтому линейные методы детектирова¬
ния в данном случае оказываются неэффективными и в практике
обычно применяется преобразование ВИМ в АИМ или в ДИМ,
после чего используется диодный детектор (в случае АИМ) или
фильтр (в случае ДИМ).
Детектирование ВИМ можно также осуществить следующим
образом: с помощью фильтра выделяется одна из гармоник
импульсной последовательности вместе с примыкающим к этой
гармонике спектром боковых частот, являющихся результатом мо¬
дуляции, после чего осуществляется обычное частотное (или фа¬
зовое) детектирование непрерывного колебания. Ввиду сложно¬
сти этот способ применяется редко.
13.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ С ПОМОЩЬЮ НЕЛИНЕЙНОЙ
СИСТЕМЫ
При решении ряда радиотехнических задач возникает нербхо-
димость в сдвиге частотного спектра сигнала при сохранении
структуры сигнала. Такое преобразование лежит в основе ра¬
боты, например, супергетеродинного приемника.
31 Зак 3/235 481
Для выяснения основных черт процесса преобразования ча¬
стоты рассмотрим воздействие на нелинейный элемент двух на¬
пряжений, из которых одно, иемодулированное, берется от вспо¬
могательного генератора («гетеродина»), а второе является
сигналом, подлежащим 'преобразованию. В качестве нелинейного
элемента возьмем диод, .причем нагрузку будем пока считать со¬
стоящей из чисто омического сопротивления R (рис. 13.25). Обо-
значив напряжение гетеродина через ег, напряжение сигнала че*
рез ес и аппроксимируя характеристику диода уравнением (13.1),
можем написать для тока диода следующее
выражение:
. (13.39)
Основной интерес с точки зрения преоб¬
разования частоты сигнала представляет по¬
следний член, являющийся результатом взаи¬
модействия напряжений ес и ег.
Поясним это положение на (примере синусоидального сигнала.
Пусть
(13.40)
(13.41)
Тогда
(13.42)
Все слагаемые, за исключением последнего, являются либо
постоянными величинами, либо величинами, пропорциональными
ес и ег, либо, наконец, вторыми гармониками напряжений ес и ег.
При учете в уравнении (13.39) более высоких степеней, в выра¬
жение (13.42) вошли бы гармоники и более высоких порядков.
Представив последний член правой части выражения (13.42)
в форме
(13.43)
убеждаемся, что при одновременном воздействии на нелинейный
элемент двух напряжений с частотами о>с и сог в составе выход-
482
ного тока содержатся колебания с частотами о)с-|-а>г и а>с —а>г.
Если <ог > (ос, то разностную частоту нужно определять в виде
сог — о)с.
Для выделения одной из этих частот—разностной или суммар¬
ной — нужно применять соответствующую нагрузку на выходе
преобразователя. Пусть, например, частоты сос и сог очень близки
и требуется выделить разностную частоту. Такая задача часто
встречается в различных измерительных приборах (гетеродинные
волномеры, прием незатухающих колебаний на слух и т. д.).
В этом случае нагрузка должна строиться так же, как и при
амплитудном детектировании, т. е. должна состоять из (параллель¬
ного соединения R и С.
Если разностная частота i сос—сог| ле¬
жит б радиотехническом диапазоне, то для
ее выделения должны применяться избира¬
тельные системы в виде одного (рис. 13.25)
или нескольких ’колебательных контуров.
То же относится 'и к случаю, кояда полез¬
ной, :псхдлежащей «выделению, является сум¬
марная частота о)с +озг.
Заметим, что амплитуды составляющих тока с частотами
сос + сог и о)с — (ог пропорциональны произведению амплитуд сиг¬
нала Ес и гетеродинного напряжения Ег. Выгодно поэтому
с целью увеличения амплитуды полезной составляющей при
приеме слабых сигналов брать достаточно большую амплитуду
напряжения гетеродина Ег.
В тех случаях, когда используется разностная частота |сос—<ог|,
процесс преобразования по существу ничем не отличается от про¬
цесса детектирования биений, образуемых сложением двух коле¬
баний с близкими частотами. Приведенные выше результаты со¬
впадают со сделанным в предыдущем параграфе заключением
о свойствах квадратичного детектора при воздействии на него
суммы двух синусоидальных колебаний.
Ясно также, что поскольку при приеме слабых сигналов вы-
/?
полняется условие р-с<1, то и при преобразователе, работающем
■Сг
в режиме линейного детектирования (т. е. при больших ампли¬
тудах Ег, с отсечкой тока), обеспечивается выделение разностной
частоты | о)с — (ог| без искажений, т. е. без возникновения частот,
кратных | о)с — шг |.
Перейдем к рассмотрению преобразования частоты модули¬
рованного колебания. Пусть амплитуда Ес и частота сос сиг¬
нала представляют собой (произвольные функции времени,
т. е.
3! *
483
Рис. 13.26
Подставляя это выражение в уравнение (13.39) и выделяя
слагаемое, аналогичное (13.43), будем иметь
Так как Ег величина постоянная, то амплитуды обоих коле¬
баний изменяются пропорционально амплитуде сигнала Ec(t).
Беря производные аргументов обоих колебаний, находим
в соответствии с формулой (3.4) мгновенные частоты этих коле¬
баний в виде
Отсюда видно, что при .преобразовании частоты закон изме¬
нения амллитуды и частоты входного напряжения переносится на
составляющие тока с суммарной и разностной частотами,.
Если полоса пропускания колебательной системы, являющейся
нагрузкой преобразователя, рассчитана на ширину спектра моду¬
лированного колебания, то напряжение на выходе по своей струк¬
туре совпадает с напряжением сигнала на входе. Все слагаю¬
щие тока диода, частоты которых находятся вне полосы пропу¬
скания нагрузки, отфильтровываются.
Спектральная диаграмма для напряжений на входе и выходе
преобразователя для случая, когда < о>с, представлена на
рис. 13.27 (с таким же успе¬
хом можно взять (0Г>0)С).
Через сопр обозначена разност¬
ная частота | а>г — а>с |.
В супергетеродинных ра¬
диоприемниках основное уси¬
ление сигнала производится
на разностной частоте, которая
называется промежуточной, а
усилители, работающие на частоте сопр, называются усилителями
промежуточной частоты.
Если амплЬтуда Ec(t) мала по сравнению с амплитудой гете¬
родина Ег> то структура спектра напряжения на выходе преобра¬
зователя полностью совпадает со структурой напряжения сигнала
на входе независимо от типа нелинейного элемента. В этом
смысле преобразование является линейным, а преобразователь
называется «линейным».
Устройства, в которых осуществляется «смешивание» напря¬
жения сигнала и гетеродина с целью выделения колебания с ком¬
бинационной частотой вида сос — сог или |сос—сог|, называются
также смесителями.
и
484
Рис. 13.27
Остановимся в заключение на выявлении особенностей пре¬
образования сигнала, апектр которого несимметричен относительно
частоты сос. Для упрощения рассуждений возьмем спектр в виде
совокупности двух частот: coi и о)2, причем соi<002. Рассмотрим два
случая: частота гетеродина выше частот coi и о)2 и частота гете¬
родина ниже частот coi и 0)2.
В первом случае в результате линейного преобразования по¬
лучим спектр, изображенный в левой части рис. 13.28. Частоты
Шг — ^2 и (0г — coj занимают положение, обратное положению
Рис. 13.28
Рис. 13.29
в исходном спектре: более высокой частоте (co2>coi) отвечает
меньшая частота о)г — а)2 < шг — а^.
Во втором случае, т. е. при (orr<coi, со2, спектр преобразован¬
ного напряжения сохраняет свою структуру (рис. 13.29).
Из приведенного простого лримера видно, что при несиммет¬
ричном спектре сигнала для сохранения структуры последнего
частота гетеродина должна быть ниже частот сигнала. В против¬
ном случае происходит «выворачивание» спектра. Высшие и низ¬
шие частоты меняются местами. Это обстоятельство необходимо
учитывать, в частности, при преобразовании одной боковой по¬
лосы частот модуляции.
В свете изложенного становится ясным, что и при преобразо¬
вании сигнала с симметричным спектром имеет место «выворачи¬
вание» частот, однако это не нару¬
шает симметрии сигнала на выходе
up е об р азов а тел я.
13,8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ
ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
„ Наряду с диодами для ,преобразо¬
вания частоты широко распростране¬
ны' специальные «смесительные» лам¬
пы, на управляющую (сигнальную) сетку которых подается сигнал,
а на одну из дополнительных сеток—напряжение от гетеродина
(рис. 13.30). Под действием напряжения ег изменяется крутизна S
по управляющей сетке:
Следовательно, изменение анодного тока, обусловленное сиг¬
налом, определяется выражением
Ма « ecS = Ес cos coc£S0 (1 + т cos ®rt) = ECS0 cos &ct +
+ ™E£S-0 cos (coc — cor) t + -mE^S° cos (o)c + (Dr) t. (13.46)
При настройке нагрузочного контура на частоту <*>пр = | — °>г|>
на выходе смесителя выделяется разностная (промежуточная)
частота. С таким же успехом может быть выделена и суммарная
частота сог <*>с-
В рассматриваемом устройстве преобразование частоты дости¬
гается не воздействием двух напряжений на нелинейный элемент,
как в случае диодного (преобразователя (ом. § 13.7), а изме¬
нением параметра системы — крутизны S — по закону изменения
гетеродинного напряжения. Так как управление (крутизной про¬
изводится независимо от сигнала, то по отношению к последнему
данное устройство может рассматриваться как линейное (.при
условии, конечно, настолько «слабого» сигнала, что зависимо¬
стью S от сигнала можно пренебрегать).
Описанное устройство является одним из простейших при¬
меров применения линейной системы с (переменными параметрами
для преобразования частоты сигнала. Более общие положения
теории систем с переменными параметрами будут рассмотрены
в гл. 16.
Полезно провести параллель между рассмотренным здесь
процессом преобразования частоты и обычной амплитудной мо¬
дуляцией (§ 12.2).
Из выражения (13.46) видно, что состав тока при гетеродини-
роваиии сигнала (получается такой же, как и (гири амплитудной
модуляции: несущее колебание сос и две боковые частоты сос ±сог.
Основное различие заключается в том, что в смесителе исполь¬
зуется всего лишь одна составляющая модулированного тока:
нижняя (или верхняя) боковая частота.
Выделение этой частоты и подавление несущей и другой бо¬
ковой частоты облегчается выбором достаточно большой вели¬
чины (0пр.
13.9L. СИНХРОННОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
Рассмотрим особый вид преобразования частоты, который по¬
лучается при частоте гетеродина, равной частоте сигнала.
Полагая в выражении (13.45) о)г = а>с и записывая сигнал сна¬
чала в виде немодулированного колебания
£c = £oCos(o)c<-f-cp0), (13.47)
получаем выражение, аналогичное (13.46):
Ма « Е0 cos (u>ct -)- <р0) S0 (1 + tn cos =
= Sofo COS (<»ct + <р0) 4- cos (2«)cjf + ср0) _|_ cos ср0. (13.48)
486
Как видим, в частном случае шг = (ос, колебание с нижней бо¬
ковой частотой модуляции вырождается в постоянный ток
г0 = *—у-5 cos <р0. (13.49)
При или тс ток i0 достигает максимума, при <?*=•£•
*о = 0.
Этот результат легко пояснить с помощью рис. 13.31, на
котором изображены сигнал ec(t) и крутизна S(t) для случая
?о = 0.
Показанное на нижнем графике этого рисунка произведение
ecS представляет собой сложное колебание, наложенное на
mSnEQ f-r тс
постоянную составляющую —- Ясно, что в случае = у
эффект выпрямления отсутствует и произведение ecS не содер¬
жит постоянной слагающей.
Введем теперь в рассмотрение амплитудную модуляцию вход¬
ного сигнала. Пусть амллитуда сигнала изменяется по закону
Ec(t)=E0(l + MslnQt).
Тогда все слагаемые выражения (13.48), пропорциональные
амплитуде сигнала, должны быть умножены на (1+iWsinQf).
487
Рис. 13.31
Первые два слагаемых (с частотами шс и 2сос) образуют ампли-
тудно-модулированные высокочастотные колебания, а последнее
слагаемое 'принимает следующий вид:
1 — cos ср0 (1 -f- М sin 2^). (13.50)
2 2
Таким образом на выходе преобразователя возникает компо¬
нент с частотой модуляции Q.
С помощью обычного фильтра нижних частот (составленного
из С и R) нетрудно отфильтровать высокочастотные составляю¬
щие, группирующиеся вблизи частот сос и 2сос, и выделить полез¬
ный сигнал Q.
Таким образом, с помощью полностью линейной системы, со¬
ставленной, например, из смесителя, работающего на принципе
изменения крутизны 5 (см. § 13.7), и линейного фильтра нижних
частот, можно осуществить детектирование модулированного сиг¬
нала. Подобный принцип, предложенный в 1934 г. Е. Г. Момотом,
получил название синхронного детектирования. Как
ясно из предыдущего, в основе этого принципа лежит примене¬
ние в приемнике гетеродина, синхронного с несущей частотой
принимаемого сигнала. Основным преимуществом такого способа
обработки сигнала является повышение избирательности
приема, достигаемое благодаря использованию фильтра
нижних частот; очевидно, что полоса прозрачности такого
фильтра может быть сделана значительно более узкой, нежели
в высокочастотных колебательных системах (нижний предел по¬
лосы фильтра равен наивысшей частоте Ймакс (принимаемого сиг¬
нала).
Следует, однако, отметить, что реализация принципа синхрон¬
ного детектирования наталкивается на значительные трудности,
так как обеспечение синхронизма частоты гетеродина и частоты
принимаемого сигнала является сложной проблемой, особенно
при приеме слабых сигналов на фоне помех,
13.10. БАЛАНСНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ ЧАСТОТЫ
В § 13.7 было показано, что на выходе простого преобразо¬
вателя при смешивании частот о)с и <ог возникают, помимо полез¬
ной составляющей с разностной (или суммарной) частотой
также и составляющие с частотами о>с и о)г. Иными словами
можно сказать, что такой преобразователь „пропускает" частоты
(ос и о)г.
В рассмотренных ранее примерах (рис. 13.26 и 13.30) для по¬
давления всех частот, кроме полезной сос— сог (или ос +(ог),
применялся колебательный контур либо цепь R, С (в случае
близких частот сос и сог, при выделении разностной частоты).
В некоторых случаях, однако, применение избирательных систем
на выходе преобразователя нежелательно или затруднительно,
488
например, в диапазоне акустических частот, или когда одна из
смешиваемых частот мала по сравнению с другой, так что отно¬
сительная расстройка частот сос+сог и сос весьма мала (с подоб¬
ным случаем мы встретились в гл. 12 при рассмотрении баланс¬
ной модуляции).
Для уничтожения на выходе преобразователя частот сос и
часто применяются балансные преобразователи.
На рис. 13.32 изображена схема балансного преобразователя,
позволяющая скомпенсировать на выходе частоту о)г, источник
которой включен синфазно, между тем как источник частоты сос
включен противофазно.
Напряжения &1вых и и2вых на каждом из сопротивлений R можно
легко найти, умножив ток ia, определяемый выражением (13.39),
на /?. Учитывая, что при дифференциальном включении нагру-
зок ивых является разностью и1вых и и2вых, можем написать:
Так как ес1 и ес2 одинаковы по амплитуде и различны по
знаку, то ес1 — ес2 — 2ес1, е\х — е\2 = 0.
Отсюда видно, что на выходе балансного преобразователя отсут¬
ствует составляющая с частотой сог [которая содержится в слагае¬
мом аег, см. выражение (13.39)], однако сигнал, включенный
протиЕофазно, проходит, как и в простом преобразователе.
В тех случаях, когда требуется, чтобы на выходе отсутство¬
вала также и частота сос> применяется двойная балансная схема
(рис. 13.33).
Рис. 13.32
Рис. 13.33
Следовательно,
(13.51)'
Эта схема отличается от ранее рассмотренной добавлением
двух диодов (3 и 4).
Получается совмещение двух балансных схем типа рис. 13.32.
Благодаря обратному включению диодов 3 и 4 (по отношению
к диодам 1 и 2) дополнительное напряжение на выходе, создавае¬
мое вторым преобразователем (генераторы ег, ес1, ес2, диоды 3 и
4), равно
ивых = 2Я(-аес1 + 2$егес1). (13.52)
От напряжения и'ых, создаваемого первым преобразователем
(с диодами 1 и 2), это напряжение отличается только знаком при
•аес1; слагаемое 2^егес1 сохраняет свой знак, так как оба напря¬
жения ег и ес1 изменяют
свой знак по отношению
к диодам 3. и 4.
Суммируя «;ых и ивых,
получаем
«Вых = 4/?регес1. (13.53)
Если входное напря¬
жение сигнала обозначить
через евх (рис. 13.33), то
выражение (13.53) можно
записать в общей форме
^ВЫХ (13.54)
где коэффициент N зависит от способа введения сигнала в схему
и от нагрузочных'сопротивлений преобразователя.
На рис. 13.34 изображено несколько видоизмененное начерта¬
ние двойного балансного модулятора, соответствующего схеме
рис. 13.33. Эту схему иногда называют кольцевым моду¬
лятором.
Следует отметить, что простые выражения (13.53) и (13.54)
получились на основании допущения о малости более высоких,
нежели вторая, степеней в уравнении характеристики диода. При
значительных амплитудах подводимых к преобразователю напря¬
жений на выходе возникают дополнительные составляющие
с комбинационными частота*ми.
Рис. 13.34
ГЛАВА 14
ДЕЙСТВИЕ ВНЕШНЕЙ СИЛЫ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
14.1. РЕГЕНЕРАЦИЯ
В гл. 11 было показано, что положительная обратная связь
вносит в колебательный контур автогенератора отрицательное
сопротивление, которое полностью компенсирует сопротивление
потерь и обеспечивает поддержание незатухающих колебаний.
Положительная обратная связь может
быть использована также и в усилителях,
работающих в режиме, близком к линей¬
ному, если величину связи не доводить
до порога генерации. При этом полу¬
чается частичная компенсация потерь в
контуре и действие обратной связи сво¬
дится лишь к повышению добротности
регенерированного контура. Одна из
возможных схем регенеративного уси¬
лителя изображена на рис. 14.1. Уси¬
ливаемое колебание Е вводится в колебательный контур, вклю¬
ченный между сеткой и катодом лампы, а обратная связь осу¬
ществляется за счет катушки La, обтекаемой переменной состав¬
ляющей анодного тока 1а и индуктивно связанной с катушкой кон¬
тура L.
Нетрудно выявить влияние лампы и обратной связи на экви¬
валентные параметры колебательного контура. Рассмотрим сна¬
чала более простой случай малых амплитуд, когда используется
небольшой участок характеристики лампы и средняя крутизна 5ср
может быть приравнена крутизне S.
При синусоидальной э.д.с. с амплитудой Е и частотой со
амплитуда тока в контуре (в стационарном режиме) может быть
определена с помощью следующего выражения:
Рис. 14.1
(14.1)
491
Здесь Еос — комплексная амплитуда э. д. с. обратной связи,,
т. е. электродвижущей силы, вводимой в контур по каналу обрат¬
ной связи. Так как система предполагается линейной (при ма¬
лых амплитудах), то эта э. д. с. совпадает по частоте с э. д. с. Е
и может отличаться от последней лишь фазой.
Очевидно, что
Е0С = шМ1а, (14.2)
а амплитуда переменной составляющей анодного тока /а, если
пренебречь реакцией анодной цепи, равна
/‘ = SUg=S-£t-
Таким образом, можно написать
^ = (14.2')
Подставляя это выражение в уравнение (14.1) и решая его
относительно /к, получим
MS Е, , Гу (14'3)
г — с +i\^—u>c)
Как и следовало ожидать (см. § 11.3), влияние положительной
обратной сеязи сводится к уменьшению сопротивления потерь
контура на величину
,0ТР=^. (14-4)
Таким образом, результирующее активное сопротивление ре¬
генерированного контура равно
MS / 1 , r-v
Г э Г ^отр 1* Q > (14.5}
а добротность
Увеличением М можно добиться существенного увеличения Qэ
и, следовательно, повышения усиления схемы.
П ^ С\ А15
При гэ < 0, т. е. при —£- > г, система становится неустойчи¬
вой и возникают автоколебания, т. е. усилитель превращается
в генератор.
Не следует, однако, думать, что приближением величины
к г можно сколь угодно повышать добротность регенерированного
контура. Формула (14.6) была получена при допущении о линей-
492
ности системы. В действительности же, если (поддерживать неизмен¬
ной э. д. с. Е, то снижение гэ приводит к увеличению амплитуды
тока в контуре и, следовательно, амплитуды напряжения на кон¬
туре. Это приводит к уменьшению средней крутизны Scp, которая
становится меньше, чем 5. В результате убывание гэ замедляется
и .эквивалентная добротность контура ограничивается определен¬
ной величиной, которая не может быть превышена никаким уве¬
личением М (имеется в виду, конечно, увеличение М, не превы¬
шающее порога генерации схемы). Для учета нелинейного харак¬
тера рассматриваемого устройства необходимо S заменить на
среднюю крутизну S^Ug), являющуюся функцией амплитуды
сеточного напряжения. *
Основываясь на аппроксимации характеристики лампы с по¬
мощью полинома третьей степени, воспользуемся выражением
(10.31):
(14.7)
Разница между Ug и управляющим напряжением Ug — DUa
здесь не учитывается.
Подставляя 5ср в выражение (14.3) и полагая со = сор, т. е.
имея в виду случай возбуждения усилителя на резонансной ча¬
стоте, получаем
где
(14.8)
(14.9)
Из выражения (14.8) видно, что максимальная амплитуда тока
в контуре (на грани самовозбуждения, при rj не может
превысить следующую величину:
(14.10)
493
откуда
Полученный результат указывает также и на то обстоятель¬
ство, что при больших амплитудах резонансная характеристика
регенерированного контура должна иметь форму, отличную от
случая обычного линейнего контура. Действительно, при откло¬
нении вынуждающей частоты (о от резонансного значения (ор>
возрастание полного сопротивления цепи, обусловленное реактив¬
ной составляющей x = d)L — в некоторой степени компенси¬
руется уменьшением активного сопротивления, которое убывает
вместе с амллитудой тока. Это видно из выражения (14.9) для
эквивалентного активного сопротив¬
ления.
При значительных расстройках
преобладающее влияние на ампли¬
туду оказывает реактивное со¬
противление и резонансная кривая
быстро спадает почти до нуля.
В результате резонансные характе¬
ристики регенерированного контура
в верхней части уплощаются и
тем сильнее, чем больше амплитуда
внешней 3. д. с., действующей на
контур.
Подобная характеристика показана на рис. 14.2 (кривая //).
На том же рисунке кривая / соответствует резонансной характе¬
ристике регенерированного контура при малых амплитудах, а кри¬
вая III — нерегенерированному контуру.
Зависимость затухания регенерированного контура от ампли¬
туды внешней э. д. с. приводит к образованию новых частот и к не¬
линейным искажениям при передаче сигналов. Отсюда следует,
что регенерация может быть эффективно использована для повы¬
шения добротности контура и повышения усиления только при
малых амплитудах внешней э. д. с. В этом случае нелинейным,
членом в выражении (14.9) можно пренебрегать и отношение со¬
противления регенерированного контура гэ к сопротивлению по¬
терь г равно
а отношение соответствующих добротностей
(14.11)
Это отношение характеризует также и увеличение напряжения
на контуре, обусловленное использованием регенерации.
С явлением регенерации часто приходится встречаться в ра¬
диотехнике.
494
Рис. 14.2
Еще в 1925—1930 гг. довольно широкое распространение по¬
лучили регенеративные приемники.
Принципиальная схема однолампового регенеративного при¬
емника представлена на рис. 14.3.
В этой схеме лампа осуществляет следующие функции: усиле¬
ние по высокой частоте с использованием регенерации, сеточное
детектирование и усиление по низкой частоте. Регенеративные
приемники обладают следующими двумя крупными недостатками:
а) сужение полосы пропу¬
скания регенерированного
контура, сопровождающее
повышение усиления; это
обстоятельство особенно не¬
желательно на относительно
длинных волнах; б) созда¬
ние помех близко располо¬
женным приемникам при
возникновении генерации,
которая неизбежна при на¬
стройке приемника и под¬
боре оптимальной величины обратной связи. Последнее обстоя¬
тельство привело к необходимости запрещения массового промыш¬
ленного выпуска регенеративных приемников.
Регенеративные приемники находят. некоторое применение и
в настоящее время для слухового приема телеграфных сигналов
на коротких волнах. При этом обратная связь увеличивается до
возникновения генерации, а частота генерации путем настройки
контура устанавливается несколько отличной от частоты прини¬
маемой станции. Биение частот сигнала и собственной генерации
образует после детектирования звуковой тон разностной частоты,
который и воспринимается оператором на слух.
В импульсной технике регенерация находит применение
в устройствах ударного возбуждения колебаний.
Явление регенерации часто возникает в усилительных устрой¬
ствах из-за наличия паразитных обратных связей и может слу¬
жить причиной искажения сигналов, а также возникновения па¬
разитной генерации.
14.2. ДЕЙСТВИЕ СЯНУСОИДАЛЬНОЙ Э.Д.С. НА АВТОГЕНЕРАТОР.
ЗАХВАТЫВАНИЕ ЧАСТОТЫ
Поведение автогенератора, находящегося под действием внеш¬
ней силы, существенно зависит от амплитуды и частоты этой силы.
Если амплитуда очень мала по сравнению с амплитудой автоко¬
лебаний и одновременно частота сос значительно отличается от ча¬
стоты соо свободного автогенератора, то действие внешней э.д.с.
сводится к эффекту «модуляции» автогенератора, которая прояв¬
ляется в периодическом изменении фазы «и амплитуды автоколе-
495
Рис. 14.3
бания. Нелинейный характер устройства приводит к весьма слож¬
ному закону изменения фазы и амплитуды, однако основная ча¬
стота этих изменений определяется разностью частот шс и соо,
а средняя частота колебания остается равной или очень близкой
к 0)0-
С уменьшением расстройки частот сос и соо картина меняется.
Средняя частота автогенератора «подтягивается» к частоте внеш¬
ней э.д. с., и при некотором значении Асо = |сос—cool, зависящем от
соотношения амплитуд, автогенератор начинает работать точно на
настоте сос без каких-либо признаков модуляции. Частота генера¬
тора оказывается «захвачен¬
ной» или «увлеченной» часто¬
той вынуждающей силы.
Явление захватывания ча¬
стоты используется в ряде ра¬
диотехнических устройств, ко¬
гда требуется осуществить при¬
нудительную синхронизацию
автогенератора с помощью ма¬
ломощного источника колеба¬
ний,
В некоторых случаях, цри
наличии паразитных связей
между двумя автогенераторами, явление захватывания возникает
самопроизвольно и препятствует -независимой их работе на близ¬
ких частотах.
Рассмотрим механизм явления захватывания частоты на про¬
стейшем одноконтурном автогенераторе с трансформаторной об¬
ратной связью при последовательном включении независимого
источника э. д. с. в цепь сетки лампы (рис. 14.4). Следует подчерк¬
нуть, что такой выбор схемы сделан только ради определенности
рассуждений. С точки же зрения установления общих соотношений
вид схемы автогенератора и способ введения вынуждающей э.д. с.
принципиального значения не имеют.
Рассмотрим явления в автогенераторе при внезапном вклю¬
чении синусоидальной э. д. с. с частотой о)с, совпадающей
с частотой со0. Воспользуемся для этого методом, предложен¬
ным в 1939 г. Е. Г. Момотом. Следуя этому методу, амплитуду
Е считаем малой по сравнению с амплитудой напряжения обрат¬
ной связи Еос свободного автогенератора. До-включения Е фазо¬
вые соотношения в автогенераторе соответствуют векторной диа¬
грамме, представленной на рис. 14.5, а (см. также § 8.3 и 11.6).
Так как частота генерации в схеме рис. 14.4 в отсутствие Е опре¬
деляется контуром, то напряжение на контуре Ua совпадает по
фазе с током первой гармоники Li, а последний — с напряже¬
нием на сетке Eg = E0C. '
Допустим, что начальная фаза внешней э. д. с. равна <р0, т. е.
e = £'cos(u>c^ + <po)-
496
Рис. 14.4
Тогда в момент включения (* = 0) вектор напряжения на
сетке Eg, являющийся геометрической суммой напряжений Е и
£ос, повернется относительно исходного положения на малый
угол ip! (рис. 14.5, б), величина которого связана с <р0, Е и Eg
следующим соотношением:
Вместе с напряжением Eg изменится и фаза тока 1а1. Так как
анодное напряжение слабо влияет на фазу анодного тока, то
угол поворота вектора тока Iai почти не отличается от угла
На Диаграмме рис. 14.5,6 фаза /а1 совмещена с фазой
вому положению вектора 1а1 должно соответствовать :
положение вектора Ua.
В отличие от тока 1аХ
напряжение на контуре
не может мгновенно из¬
менить свою фазу. Необ¬
ходимое для установле¬
ния новой фазы время тем
больше, чем больше за¬
пас энергии в контуре,
т. е. чем больше доброт¬
ность контура. Поэтому,
начиная с момента вклю¬
чения Е, вектор Ua на диа¬
грамме рис. 14.5, б должен
вращаться в направлении
к вектору 1аг. Но вместе
с цзменением фазы Ua из¬
меняется и фаза напряже¬
ния обратной связи Еос.
Действительно, в схе¬
ме автогенератора с
трансформаторной связью
напряжение Еос, отсчиты¬
ваемое от сетки к ка¬
тоду, всегда в фазе с Ua
(см. § 11.2). Поэтому
к тому времени, когда вектор Ua повернется на угол напря¬
жение foc и ток /а1 займут новое положение, показанное на
рис. 14.5, в. Процесс будет продолжаться, пока векторы JaX и Ua
не примут положение, совпадающее с направлением вектора Е,
т. е. пока фаза напряжения Ua не уравняется с фазой внеш-
не^ э. д. с. Е. Векторная диаграмма для стационарного режима
автогенератора показана на рис. 14.5, г.
Таким образом, приходим к выводу, что в случае ©с =«о влия¬
ние внешней э. д. с. сводится лишь к навязыванию автогенератору
32 Зак 3/235 497
Рис. 14.5
фазы ф0, причем для установления новой фазы требуется некото¬
рое время. Из приведенного выше качественного рассмотрения
следует, что это время тем больше, чем больше инерционность
контура (выше Q) и чем меньше амплитуда Е вынуждающей
силы.
Так как изменение фазы во времени неразрывно связано с из¬
менением мгновенной частоты колебания, то процесс установления
фазы сопровождается изменением частоты автогенератора. Если
фаза напряжения на контуре изменяется по закону г|)а(£), то мгно¬
венная частота, в соответствии с
§ 3.4, равна
По окончании процесса уста¬
новления = <р0 = const и ча¬
стота генератора опять становится
равной частоте о>0.
Характер изменения и
со(^) при частном значении ф0 по¬
казан на рис. 14.6.
При изменении величины и знака ф0 знаки наклона функций
i|:a(t) и Дсо(/) могут быть различными, однако общий характер этих
функций сохраняется. Ясно также, что в частном случае Фо = 0,
т. е. когда э. д. с. Ев момент включения совпадает по фазе
с Еос, фазовый баланс в автогенераторе не нарушается и влияние
внешней э. д. с. ограничивается лишь некоторым изменением ам¬
плитуды автоколебаний.
Переходим теперь к случаю расстройки частот о)с и <*>0. Для
определенности допустим, что > а>0, и, следовательно, вектор
Е на диаграммах рис. 14.5 непрерывно вращается по часовой
стрелке (так как линия времени на этих диаграммах вращается
с угловой частотой о>0). Тогда вектор (Ja, стремясь занять поло¬
жение, совпадающее с вектором /а1, будет непрерывно вра¬
щаться, причем вектор Ua всегда будет несколько отставать от
вектора 1аХ (угол ф2). Если угловая частота вращения вектора
Е не слишком велика, т. е. если <ос близка к <о0, то в автогене¬
раторе в конце концов установится стационарное состояние, при
котором все векторы: Е, Еос, Egt /а1 и Ua равномерно вращаются
с угловой частотой, равной тс — о>0. Иными словами, автогенера¬
тор будет работать на частоте <ЬС. Переходя к новой векторной
диаграмме, линия времени которой вращается с частотой <ос,
получаем построение, показанное на рис. 14.7. На этой диа¬
грамме в качестве исходной фазы выбрана фаза э. д. с. Е (т. е.
?0=0).
498
Рис. 14.6
Фазовые углы и сра нетрудно выразить через заданное от¬
ношение амплитуд и через расстройку (*>с — о)0. По аналогии
с выражением (14.12), для стационарного режима можно написать
следующее соотношение:
sin-b = ^f^. (14.14)
c.g
С другой стороны, угол определенным образом связан
с расстройкой о>с — о>0 и параметрами контура. Действительно, для
поддержания фазового баланса автогенератора необходимо, чтобы
фазовый сдвиг между Eg и Еос, обуслов¬
ленный введением в цепь сетки внеш¬
ней э. д. с. Е (рис. 14.7), компенсиро¬
вался в анодной цепи фазовым сдвигом
между током /а1 и напряжением Ua.
Иными словами, по отношению к резо¬
нансной частоте контура о>0 генерируемая
частота должна быть расстроена на вели¬
чину о)с — о)0, определяемую условием
(14.15)
Совместное решение уравнений
(14.14) и (14.15) сильно упрощается в
том случае, когда амплитуда Е мала по
сравнению с напряжением обратной
связи свободного автогенератора. В этом случае в выражении
(14.14) можно не делать разницы между Ег и Еос, причем под
Е0(. можно подразумевать амплитуду сеточного напряжения в от¬
сутствие постороннего воздействия.
Тогда вместо уравнений (14.14) и (14.15) можно написать
Рис. 14.7
Приравнивая правые части полученных уравнений, находим
искомое соотношение
(14.16)
Это соотношение имеет смысл при условии, что абсолютная
величина расстройки |(*>с — <о0| не превышает некоторой предель¬
ной величины, при которой |sin<pa| = l. Из физических сообра¬
жений очевидно, что эти предельные величины | <ос — о>0 |макс соот¬
ветствуют границам полосы захватывания. Подставляя в уравнение
32* 499
(14:16) sincp^= + l, найдем полную относительную ширину по¬
лосы захватывания в виде
(14.17)
Итак, полоса захватывания пропорциональна отношению ам¬
плитуды внешней э. д. с. к амплитуде колебаний свободного авто¬
генератора и затуханию контура d=-Q •
В тех случаях* когда внешняя э. д. с. вводится последовательно
в колебательный контур автогенератора, выражению для полосы
захватывания можно придать несколько иной вид. Рассмотрим
в качестве примера схему генератора с контуром в цепи сетки
(рис. 14.8). Схема эквивалентного контура, в котором действие
обратной связи учтено генератором э. д. с. Еос, изображена на
рис. 14.9. В отсутствие постороннего воздействия амплитуда Eg
напряжения на сетке связана с Еос соотношением
(14.18)
Аналогично можно показать, что при введении вынуждающей
э. д. с. в анодный колебательный контур получится
(14.18')
где Uа—амплитуда напряжения на контуре свободного автогене¬
ратора.
Нетрудно заметить, что отсутствие в формулах (14.18) и
(14.18') величины Q объясняется тем, что постороннее воздейст¬
вие оценивается э. д. с., вводимой последовательно в контур, а ре-*
жим свободного автогенератора — напряжением, действующим на
реактивном элементе контура. Если же исходить из одинаково
определяемых внешней силы и собственного колебания, то неза-
500
Рис. 14.8
Рис. 14.9
Подставляя это соотношение в формулу (14.17), получаем
висимо от схемы полоса захватывания определяется выражением
вида (14.17).
Вне полосы захватывания частота генератора о>г несколько
отличается от частоты свободного автогенератора а>0, и лишь при
большой расстройке частот <ос
и о>о можно считать сог -> со0.
Отклонение сог от со0 возра¬
стает по мере приближения
к границам области захватыва¬
ния. Если, изменяя частоту’о>с
вынуждающей э.д. с. (при не¬
изменной амплитуде) измерять
частоту биений, то можно по¬
строить график, представлен¬
ный на рис. 14.10. На этом
графике по оси ординат отложена частота биений, равная абсо¬
лютной величине разности частот сог и о>с (сплошная линия).
Пунктирной линией показан ход изменения частоты биений между
свободным генератором и внешним источником колебаний с ча¬
стотой сос.
То обстоятельство, что сплошная линия идет ниже пунктирной,
объясняется уже отмеченным в начале данного параграфа фактом
«подтягивания» частоты автогенератора к частоте внешней э.д.с.
В 'полосе захватывания, где частота сог полностью совпадает с ча¬
стотой сос, биения отсутствуют.
14.3. ПРОЦЕСС УСТАНОВЛЕНИЯ РЕЖИМА ЗАХВАТЫВАНИЯ
Проведенное выше рассмотрение позволяет выяснить общую
картину явления захватывания частоты, а также определить по¬
лосу захватывания в стационарном
режиме. Для определения же за¬
кона изменения фазы и частоты
автогенератора в процессе установ¬
ления режима захватывания, что
важно, в частности, в импульсных
системах, необходимо обратиться
к нелинейному дифференциальному
уравнению автогенератора.
Основываясь на установленной
в предыдущем параграфе незави¬
симости полосы захватывания от
способа введения внешней силы, дальнейшее рассмотрение прове¬
дем для схемы, показанной на рис. 14.11 (источники питания на
схеме не показаны). Источником внешней силы является генера¬
тор тока, величина которого равна
(14.19)
501
Рис. 14.10
Рис. 14.11
Так как рассматриваемая схема отличается от рис. 11.22 только
добавлением генератора тока /, то можно воспользоваться не¬
сколько видоизмененным уравнением (11.38):
(14.20)
Как и в § 11.7, воспользуемся аппроксимацией характеристики
в виде
Ф (Киа) = акцв — ТкиЗ.
Тогда уравнение (14.20) приводится к виду
Применяя метод медленно меняющихся амплитуд, решение
этого уравнения ищем в форме
иа (t) = А (*) cos [шс/1 + fa (0] = A (t) cos I (t). (14.22)
В отличие от случая свободного автогенератора [см. выражение
(11.51)], частота колебания не приравнена резонансной частоте
контура, а рассматривается как неизвестная функция:
Если по истечении достаточно большого времени (после вклю¬
чения внешней силы) сра принимает постоянное значение, то
<о(^)->(ос. Это означает, что установился режим захватывания
(синхронизации). Если же производная <ра в нуль не обращается,
то ш(0 отличается от шс; это означает, что автогенератор не
синхронизируется и имеет место биение между частотой генера¬
ции и частотой внешней силы а)с.
Подставляя в уравнение (14.21) выражение (14.22) и используя усло¬
вие малости вторых производных А и £, а также отбрасывая слагаемые
с утроенной частотой [аналогичная процедура была подробно пояснена в § 11.7
при решении уравнения (11.50)], приходим к следующему уравнению:
502
Учитывая, что £ = o>ct -f срй, приведем это выражение к следующей форме:
(14.24)
(14.25)
(14.26)
Дальнейший ход решения зависит от соотношения амплитуды внешней
силы / и амплитуды свободного автогенератора, в данном случае — от ампли¬
туды тока /д0 в сопротивлении R (рис. 14.11), которая, очевидно, равна
/д0 = AolRy где Ло — амплитуда напряжения на контуре (в отсутствие внеш¬
него воздействия).
В тех случаях, когда / С («слабое воздействие»)), фазу <pfl в первом
приближении можно определять при допущении, что амплитуда автоколеба¬
ний постоянна. Приравнивая в уравнениях (14.25) и (14.26) производную
амплитуды нулю, получаем
503
Приравнивая коэффициенты при cos &ct и sin <&с£ получаем следующие два
уравнения для определения неизвестных и А:
Умножив первое из этих уравнений на coseра, второе на sin уа и склады¬
вая, получим
откуда
Учитывая, что А0 = I#0R и 2CR = т [см. § 4.9, ф-ла (4.113)'], получаем сле¬
дующее окончательное уравнение для фазы:
1
(14.27)
Составим аналогичное уравне^е первого приближения для амплитуды А.
С этой целью умножим уравнение (14.25) на sin (ра, а уравнение (14.26) нз
cos фа, после чего вычтем второе уравнение из первого.
Тогда получим
По установлении режима синхронизации фаза сра и амплитуда А должны
принять постоянные значения. Следовательно, если в уравнениях (14.27) и
(14.28j), приравнять нулю (ра и Л, то получатся следующие уравнения для опре¬
деления стационарных значений сра и А в режиме синхронизации:
(14.27')
(14.28')
504
Следовательно,
Это уравнение можно упростить, так как
Таким образом приходим к следующему уравнению для амплитуды
Обратимся к решению уравнения (14.27) для фазы. Это уравнение может
быть проинтегрировано следующим образом.
Разделим переменные1:
тогда
(14.29)
Здесь ф с0т-фаза автоколебания в момент / = О, т. е. в момент приложе¬
ния внешней э. д. с.
Введем следующие обозначения:
(14.30)
или
(14.31)
(14.31')
(14.33)
Нетрудно выяснить смысл двух решений, соответствующих двум случаям:
/я2 < 1 и /и2 > 1.
1 В дальнейшем полагаем <ро = 0.
2 Рыжик И. М. и Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений. Гостехиздат, 1951.
505
Тогда уравнение (14.29) может быть записано в форме
(14.32)
убеждаемся, что при т2 < 1 существует такое значение фа, при котором вы¬
полняется тождество
т -f sin сра = 0, (14.35)
v а производная сра = 0, т. е. фаза уа принимает постоянное значение уа ст» соот¬
ветствующее стационарному состоянию. Это означает, что частота опреде¬
ляемого выражением (14.23) напряжения будет
(14.36)
т. е. по истечении времени, необходимого для установления фазы фдСт(теоРе‘
тически t-+ оо), генератор будет работать на вынуждающей частоте сос; иными
словами, при | т | < 1 имеет место режим принудительной синхронизации и ав¬
тогенератор работает в режиме захватывания частоты. В случае же т2 > 1
тождество (14.35j) не может иметь места, что указывает на несовпадение
частоты генератора с вынуждающей частотой и на наличие «биений». Разница
в частотах будет равна сра.
Таким образом, условие
(14.37)
определяет «полосу захватывания» автогенератора.
Полная ширина полосы захватывания, симметричная относительно частоты
coo свободного автогенератора, очевидно, равна
(14.38)
а относительная полоса
(14.39)
Этот результат совпадает с ранее полученной формулой (14.17).
Выражение (14.32) позволяет найти закон изменения фазы
Решая это уравнение относительно <рa(t), получаем
(14.40)
/#«• \ X I/ ^ J
где
Стационарная фаза определяется при подстановке f->oo в вы¬
ражение (14.40):
Обращаясь к уравнению (14.27) и переписав его в обозначениях (14.30):
На верхней границе полосы захватывания, т. е. при о>с = ш0 +
4- A«Wc> и <?аст — 2arctg(—1) = — ^ , а на нижней границе
(o)c=:(i)0 — Ди>макс, /я— 1) соответственно <рвСт = + -7-
Графики зависимостей <ра(-^-^для ряда значений <ра0 и т, вы¬
численные по формуле (14.40), приведены на рис. 14.12, а, б, в.
I I (о>с — 0>о) X
Напомним, что параметр т = -— .
Интересно отметить, что при 9а0 = ?аст стационарная фаза
колебания устанавливается мгновенно, т. е. для полного увлече¬
ния частоты автогенератора не требуется времени.
Установление закона изменения фазы позволяет найти и за¬
кон изменения мгновенной частоты автогенератора, равной
®(*)=®с + 9«.
Таким образом,
Так как согласно формуле (14.38), равно | Д<о |чакс, то выра¬
жение (14.44) можно записать в форме
Дифференцируя выражение (14.40) по * = Да>макс^, полу¬
чаем
Величина v в соответствии с формулой (14.44') представляет
собой мгновенное отклонение частоты автогенератора в процессе
установления режима захватывания, выраженное в долях поло¬
вины полосы захватывания.
Графики зависимостей *(Дюмакс^) дл# некоторых значений т и
<ра0 представлены на рис. 14.13 (<ра0 = + у) и 14.14 (<ра0 = — j)-
Из рассмотрения графиков для <ра ^ tj и v(Au)MaKCt) можно
сделать вывод, что процесс установления фазы и частоты закан¬
чивается при величинах Ди>макс^, близких к трем.
Следовательно, величину
508
Рис. 14.12
Рис. 14.14
509
Рис. 14.13
можно рассматривать как время установления режима захватыва¬
ния частоты. Такйм образом, длительность процесса установления
возрастает с увеличением добротности контура и с уменьшением
амплитуды вынуждающей силы.
Напомним, что приведенные выше результаты были получены
в предположении, что л« 1. Опыт показывает, что уравнения
(14.45), (14.46) хорошо отображают количественную сторону про¬
цесса установления фазы и частоты при я<ДЗ-Ю,5. При я>0,5-^-
-Н),7 внешнее воздействие сопровождается значительным измене¬
нием амплитуды автоколебания.
При п > 1 и | сос — (о01 < -щ режим принудительной синхрониза¬
ции устанавливается практически мгновенно.
14.4. ДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ
В радиоэлектронике иногда встречается необходимость в полу¬
чении на выходе устройства синусоидального колебания с часто¬
той точно в п раз меньшей, чем на входе, где п — целое число.
Обратная задача, т. е. умножение частоты, как было показано
в § 10.6, может быть осуществлена в обычном резонансном нели-'
нейном усилителе. Деление частоты является более сложным про-
Рис. 14.15
цессом, требующим в общем случае применения комплекса других
процессов, таких, как умножение и преобразование частоты, авто¬
генерация и др.
Функциональная схема подобного устройства изображена на
рис. 14.15. По существу, здесь используется принцип автогенера¬
ции, с тем, однако, отличием от обычного автогенератора, что
в цепь обратной связи включены умножитель частоты и преобра¬
зователь (смеситель).
Допустим, что выполняются все необходимые для генерации
условия и на выходе нелинейного усилителя развивается напря¬
жение с частотой соо- Цосле умножения частоты в (п—1) раз это
напряжение совместно с входным напряжением частоты со пода¬
ются на преобразователь, на выходе которого выделяется разност¬
ная частота со—(п—1) соо- Но эта частота не может отличаться
510
от частоты, действующей на выходе усилителя, т. е. от ооо. Следо¬
вательно, получаем условие
о) — (п — 1) о)0 = о)0, (14.47)
из которого вытекает, что =
Совершенно такой же результат получается и в случае умно¬
жения частоты в цепи обратной связи в (п+ 1) раз, когда на вы¬
ходе преобразователя выделяется частота (п+1)о)0 — о).
Делители частоты, основанные на использовании системы с об¬
ратной связью, называются регенеративными делителями.
Механизм возникновения колебаний в подобном устройстве,
а также ограничение амплитуды ‘в основном не отличаются от
обычного автогенератора. Общее усиление в замкнутом кольце
обратной связи должно быть больше единицы (для возникновения
колебаний), а суммарный набег фазы — равняться &2я, где k — це¬
лое число. Некоторой особенностью является то, что в отсутствие
входного колебания (с частотой со) цепь обратной связи оказы¬
вается разомкнутой и автогенерация невозможна. Более того,
имеется определенное минимальное значение амплитуды напря¬
жения частоты со, ниже которого генерация невозможна, так как
амплитуда напряжения на выходе смесителя пропорциональна
произведению амплитуд обоих напряжений на входе смесителя.
Можно считать, что коэффициент обратной связи в схеме рис. 14.15
пропорционален амплитуде ,входного сигнала *о.
Получение больших коэффициентов деления с помощью опи¬
санной схемы сопряжено со значительными трудностями, так как
с увеличением п усложняется задача осуществления умножения
частоты, а также задача отфильтровывания побочных частот, воз¬
никающих при умножении и преобразовании частоты в кольце об¬
ратной связи. Поэтому значительное распространение получили
простые регенеративные делители с коэффициентом деления п = 2.
Для получения более высоких коэффициентов деления исполь¬
зуется цепочка подобных делителей. Таким образом, при общем
числе ступеней т, коэффициент деления получается п = 2т.
Распространенная в практике схема одной ступени регенера¬
тивного делителя изображена на рис. 14.16. Дополнительного
умножения частоты в кольце обратной связи в данном случае не
511
Рис. 14.16
требуется. Напряжение частоты о)0, снимаемое с катушки обратной
связи обычного автогенератора, подается непосредственно к ба¬
лансному смесителю («кольцевому модулятору», § 13.10).
На выходе смесителя развивается напряжение, содержащее две
частоты: со — ооо и о) + о)0. Суммарная частота (о + о)0 не оказывает
существенного влияния на усилитель, контур которого настроен на
частоту о)0, а разностная частота должна отвечать условию (14.47),
из которого следует, что о)0 = б)/2.
Применение балансного смесителя в данном случае необхо¬
димо, так как частота о^о, подаваемая по цепи обратной связи,
может проходить через простой смеситель и в отсутствие ча¬
стоты со.
Некоторой особенностью регенеративного делителя частоты,
рассматриваемого как автогенератор, является зависимость вели¬
чины коэффициента обратной связи от амплитуды входного на¬
пряжения. Поясним это на примере схемы, показанной на
рис. 14.16, и заодно выясним основные соотношения для стацио¬
нарного режима подобного делителя частоты.
Рассмотрим общий случай, когда резонансная частота контура
автогенератора сор неравна со/2, т. е. по отношению к выходной ча¬
стоте делителя соо = со/2, имеется расстройка
В результате этой расстройки создается фазовый сдвиг <р, так
что между комплексными амплитудами Uoc и Ug (обозначения
по рис. 14.16) устанавливается следующее соотношение:
(14.48)
где Ку — модуль коэффициента усиления нелинейного усилителя.
Но в соответствии с свойствами преобразователя частоты
(см. § 13.10) напряжение на его выходе, т. е. Ug, связано с вход¬
ными напряжениями UBX и £/ос следующими соотношениями:
Так как в стационарном режиме о)0 = о)/2, то первое слагаемое
имеет частоту о)0, а второе — частоту Зсоо. Очевидно, что последняя
подавляется колебательным контуром и может не приниматься
во внимание. Таким образом, напряжение ug(t) может быть пред¬
ставлено в форме
Ug (t) = WUgUoc cos ы _f) = Ug^t t (14_49)
где
512
Подставляя это выражение в (14.48), получаем
(14.50)
Так как правая часть этого выражения является действитель¬
ной величиной, то аргумент левой части равен нулю. Это означает,
что начальная фаза напряжения Uoc равна нулю независимо от
частоты входного напряжения. Иными словами, фазовый баланс
выполняется при любой настройке контура относительно частоты
000 = со/2.Это легко объясняется тем, что фаза напряжения на вы¬
ходе смесителя равна разности аргумента входного напряжения
с более высокой частотой со и аргумента с более низкой частотой
<00. При вычитании знак перед ф изменяется на обратный, что и
приводит к компенсации фазового сдвига, возникающего в уси¬
лителе.
Итак, для поддержания автогенерации остается одно лишь ус¬
ловие: равновесие амплитуд. Из выражения (14.50) видно, что это
условие сводится к равенству
Чем больше амплитуда входного напряжения £/вх, тем меньше
может быть Ку.
При достаточно большом уровне UBX делитель устойчиво рабо¬
тает в весьма широком диапазоне входных частот (полуторном)
без перестройки колебательного контура,
Рассмотрим в заключение механизм возникновения колебаний
на выходе регенеративного делителя частоты, изображенного на
рис. 14.16.
Дифференциальное уравнение для анодной цепи лампы, как и
для обычного автогенератора на начальной стадии запуска, имеет
вид (см. § 1L3)
(14.52)
Напряжение ug снимается с балансного смесителя, на вход ко¬
торого подаются следующие два напряжения;
Следовательно, в соответствии с § 13.10, напряжение на выходе
смесителя, т. е. ug(t) равно
* л л
(14.53)
33 Зак 3/235 5 1 3
Подставляя это выражение в уравнение (14.52), получаем
Из этого уравнения видно, что в отличие от обычного автоге¬
нератора в рассматриваемом делителе частоты обратная связь
приводит к появлению дополнительной активной проводимости, из¬
меняющейся по закону входного напряжения.
В некоторые моменты результирующая проводимость
становится отрицательной, что и служит причиной возникновения
и нарастания колебаний. Таким образом, колебания возбуждаются
при помощи периодического изменения параметра контура (в дан¬
ном случае проводимости). Такое возбуждение называется пара¬
метрическим возбуждением. Этот вопрос подробно рассматри¬
вается в гл. lfi, посвященной параметрическому воздействию на
энергоемкие элементы контура — С или L.
Следует подчеркнуть, что .параметрический характер возбуж¬
дения получился из-за отсутствия фильтрующего элемента (кон¬
тура) на выходе смесителя в схеме рис. 14.16. Если обеспечивается
отфильтровывание частоты со-Ьсоо непосредственно на выходе сме¬
сителя, то напряжение ug(t) вместо выражения (14.53) будет
определяться следующим выражением (поскольку возникающее
на контуре напряжение имеет вид иа= Ua(t)cos ш00:
Отбрасывая слагаемое с частотой со + соо и учитывая, что ю = 2о)о,
получаем
ug (*) «JVP -^-^rUa (О COS <v = ЛГР4"1Г <14-55)
При подстановке этого результата в уравнение (14.52) полу¬
чим
(14.56)
В данном случае обратная связь приводит к шунтированию
контура постоянной отрицательной проводимостью и схему можно
рассматривать как обычный автогенератор.
514
(14.57)
м
Учитыеёя, что RS есть усиление лампы, а коэффициент
трансформации контур — катушка обратной связи, можем счи¬
тать, что
Тогда условие (14.57) принимает вид
(14.58)
С увеличением амплитуды, .когда вместо S нужно учитывать
среднюю крутизну, Ку падает, и по установлении стационарного
режима неравенство (14.58) переходит в равенство (14.51).
Из проведенного рассмотрения видно, что в системе с обрат¬
ной связью между 'параметрическим возбуждением колебаний и
обычной автогенерацией нет существенного различия: в обоих слу¬
чаях энергия колебаний черпается от источника, питающего анод¬
ную цепь лампы.
Существенной особенностью делителя частоты является то, что
коэффициент деления не зависит от изменений в некоторых пре¬
делах параметров делителя, а также параметров входного колеба¬
ния. Из этого следует, что нестабильность (относительная) поде¬
ленной частоты равна нестабильности делимой частоты.
Делители частоты находят широкое распространение в устрой¬
ствах для созданий г сетки стабильных частот (кварцевые кали¬
браторы и т. п.).
33*
или
Условие возникновения колебаний:
ГЛАВА 15
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
15.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Рассмотренные в гл. 11 и 14 системы характеризуются приме¬
нением положительной обратной связи. Положительная обратная
связь необходима для осуществления автогенерации или для по¬
вышения усиления (регенерация). Существует, однако, широкий
круг задач, требующих применения отрицательной обратной связи.
К таким задачам относятся: компенсация искажений в усили¬
телях, автоматическое регулирование и др.
В радиоэлектронике и вычислительной технике широко приме¬
няются системы с-задержкой в цепи обратной связи, обладающие
той особенностью, что в рабочей полосе частот знак обратной
связи меняется с отрицательного на положительный.
В данной главе рассматриваются сначала линейные системы
с отрицательной обратной связью, а затем после ознакомления
с основными положениями теории устойчивости приводятся крат¬
кие понятия о системах с запаздывающей обратной связью.
15.2. УСИЛИТЕЛИ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Введение в усилитель отрицательной обратной связи, при ко¬
торой часть выходного напряжения подается на вход усилителя
в обратной фазе, должно приводить к снижению коэффициента
усиления. Несмотря на этот неизбежный недостаток, применение
отрицательной обратной связи' позволяет существенно улучшить
работу усилителя и в настоящее время получило широкое распро¬
странение в усилительной технике.
Первоначально отрицательная обратная связь предназначалась
для компенсации нелинейных искажений в низкочастотных уси¬
лителях. В дальнейшем круг решаемых с помощью отрицательной
обратной сцязи задач значительно расширился.
Для выяснения особенностей усилителя с отрицательной обрат¬
ной связью рассмотрим обобщенную схему, представленную на
рис. 15.1. Здесь обозначено: Е—комплексная амплитуда синусои-
516
дального напряжения на входе системы (зажимы 1—/), К (о) —
коэффициент усиления собственно усилителя, т. е. отношение ком¬
плексной амплитуды выходного напряжения U к амплитуде на¬
пряжения на зажимах 2—2, и (3 (со)—комплексный коэффициент
передачи линейного четырехполюсника обратной связи.
Очевидно,
(15.1)
где U$ — напряжение обратной связи, подаваемое последовательно
с усиливаемым напряжением Е на вход усилителя. ,
Основной интерес представляет отношение выходного напря¬
жения U к напряжению входа Е, т. е. коэффициент усиления рас¬
сматриваемой системы.
Для определения эт(
го коэффициента вое
пользуемся очевидным
соотношениями
Рис. 15.1
и, следовательно, комплексный коэффициент усиления устройства
с обратной связью
(15.2)
В обычном усилителе с активным нагрузочным сопротивлением
выходное напряжение сдвинуто на 180° относительно напряжения
входа (см. § 8.3). Это означает, что К (со) является отрицательным
и действительным числом. Если четырехполюсник обратной связи
на частоте со не вносит добавочных фазовых сдвигов, то {3 (со) яв¬
ляется действительным числом, притом положительным. В этом
случае произведение К( «>) Р (со) —отрицательная действительная
величина и выражение (15.2) может быть переписано в форме
(15.2')
где К и (3 — абсолютные величины коэффициентов передачи пря¬
мого и обратного каналов.
Таким образом, введение отрицательной обратной связи сни¬
жает коэффициент усиления устройства в 1+/СР раз.
Выясним теперь влияние отрицательной обратной связи на не¬
линейные искажения, которые возникают в основном усилителе
из-за кривизны вольтамперных характеристик ламп. При синусои¬
дальном напряжении на входе эти искажения проявляются в виде
517
откуда
высших гармонических усиливаемой частоты. Допустим, что в от¬
сутствие обратной связи и при подаче на вход амплитуды Е\ ам¬
плитуда одной из гармоник напряжения на 'выходе усилителя
равна Un, а амплитуда основной частоты 'U\. Усилитель с искаже¬
ниями можно представить в виде идеального линейного усилителя,
на вход которого действует «генератор гармоник», как это пока¬
зано на эквивалентной схеме
рис. 15.2.
£
При этом отношения и
Рис. 15.2
одинаковы, так как коэффи¬
циент усиления К (<*>) считается
одинаковым как для основной частоты, так и для частоты п-й
гармоники. Таким образом, амплитуда э. д. с. эквивалентного ге¬
нератора должна быть приравнена Еп = -^~.
При введении отрицательной обратной связи для получения на
выходе прежней амплитуды V\ входное напряжение Ех необходимо
увеличить в 1 + /Ср раз, как это вытекает из формулы (15.1). Это
обстоятельство отражено на рис. 15.3 в виде дополнительного уси¬
лителя с коэффициентом усиления 1+/Ср. Следует, однако, иметь
Рис. 15.3
в виду, что напряжение основной частоты, действующее непосред¬
ственно на зажимах 3—3, остается таким же, как и в схеме без
отрицательной обратной связи, представленной на рис. 15.2. Дей¬
ствительно, рассматриваемое напряжение является разностью
между напряжением £2 = £i(1+/(|3), Действующим на зажимах
2—2 (рис. 15.3), и напряжением обратной связи fHUu т. е.
Но Е1 /С есть не что иное как U\ (рис. 15.2). Следовательно,
Ez = E\ + EiK$ — pt/i = £i. Так как результирующее напряжение
основной частоты на зажимах <2—3 остается таким же, как и
518
в отсутствие обратной связи, то амплитуда Еп эквивалентного ге-»
нератора гармоник должна быть оставлена неизменной, поскольку
при заданном усилителе уровень нелинейных искажений опреде¬
ляется только амплитудой напряжения, приложенного непосред¬
ственно ко входу усилителя. Учитывая теперь напряжение обрат¬
ной связи по п-й гармонике, равное $Un, которое вычитается из
э. д. с. Еп, получим на выходе напряжение
откуда
(15.3)
получается в 1+/Ср раз меньше, чем в отсутствие обратной связи.
Правда, это улучшение достигается ценой увеличения в 1+/СР раз
напряжения, подводимого к зажимам 2—2 (рис. 15.3). Это не яв¬
ляется, однако, существенным недостатком, так как дополнитель¬
ное усиление может быть осуществлено в одном из предваритель¬
ных каскадов (маломощных) без искажений.
Само собой разумеется, что проведенное выше рассуждение
может быть распространено на все гармоники усиливаемого на¬
пряжения. Ясно также, что применение отрицательной обратной
связи позволяет помимо ослабления нелинейных искажений пони¬
зить и уровень «фона», обусловленного пульсацией питающих на¬
пряжений и питанием накала катодов ламп переменным током.
Таким образом, все колебания побочных частот, возникающие
в самом усилителе как из-за нелинейности характеристик ламп,
так и из-за несовершенства источников питания, ослабляются об¬
ратной связью в 1+/(р раз.
Перечисленными достоинствами не ограничиваются возможно¬
сти отрицательной обратной связи. Одним из ценных свойств уси¬
лителей, охваченных «глубокой» противосвязью, является высокая
стабильность коэффициента усиления устройства при весьма боль¬
ших колебаниях величин питающих напряжений, нагрузочных со¬
противлений и т. д. Действительно, если произведение /С|3>1 (глу-*
бокая противосвязь), то выражение (15.2') переходит в следующее
приближенное равенство:
Отсюда видно, что при /С|3>1 усиление системы определяется
в основном цепью обратной связи. Так как последняя обычно не
содержит ламп, то усиление К' получается весьма стабильное.
519
Таким образом, отношение
Из этого выражения вытекает также и то, что отрицательная
обратная связь позволяет улучшить равномерность частотной ха¬
рактеристики усилителя; для этого необходимо обеспечить * рав¬
номерность частотной характеристики Р(со) канала обратной связи,
что является задачей гбраздо более легкой, чем обеспечение рав¬
номерности частотной характеристики мощного усилителя.
При проведенном выше упрощенном рассмотрении не учиты¬
вались дополнительные фазовые сдвиги, которые неизбежны в апе¬
риодическом усилителе и в цепи обратной связи. В § 15.3 будет
показано, что указанные сдвиги могут при некоторых условиях
нарушать устойчивую работу усилителя.
15.3. УСТОЙЧИВОСТЬ УСИЛИТЕЛЕЙ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Обратимся к обобщенной схеме усилителя с обратной связью,,
представленной на рис. 15.1, и допустим, что в основном усилит еле
или в цепи обратной связи имеются элементы, создающие допол¬
нительные фазовые сдвиги (паразитные емкости, переходные кон¬
денсаторы, индуктивности рассеяния обмоток трансформатора
и др.)* Если на ка/кой-либо частоте, лежащей в полосе усиливае¬
мых частот или вне ее, эти сдвиги дают в сумме дополнительный
угол в 180°, то обратная связь из отрицательной превращается
в положительную и может возникнуть паразитная генерация.
Опасность возникновения генерации тем больше, чем больше
величина /Ср. Это обстоятельство сильно ограничивает эффектив¬
ность применения отрицательной обратной связи.
Для уменьшения фазовых сдвигов необходимо применять спе¬
циальные меры при конструировании усилителя. Желательно сво¬
дить к минимуму влияние реактивных элементов, особенно таких,
как индуктивность рассеяния обмоток трансформаторов. Так как
трансформаторы вносят значительные фазовые сдвиги, обратную
связь обычно осуществляют таким образом, чтобы трансформа¬
тор не входил в кольцо обратной связи. Пример подобной схемы
представлен на рис. 15.4. В случае сложных усилителей борьба
520
Рис. 15.4
с паразитной генерацией при больших /Ср является трудной зада¬
чей, требующей применения специальных фазокомпенсаторов it
других устройств для отдаления частоты возможной генерации от
полосы полезных (усиливаемых) частот, а также для внесения за¬
тухания в области частот возможной генерации. Часто оказы¬
вается, что введение в схе-
му новых элементов приво¬
дит лишь к смещению ча¬
стоты паразитной генера¬
ции в область очень низких
или очень высоких частот.
Поэтому использование от^
рицательной обратной связи
тесно связано с проблемой
обеспечения устойчивости
усилителя.
Для правильного по¬
строения системы и выбора
ее параметров большое значение приобретают методы определения!
устойчивости усилителя. Применительно к усилителям с отрица¬
тельной обратной связью наиболее простым и наглядным является'
амплитудно-фазовый или частотный метод. Суть этого метода за¬
ключается в следующем. Разомкнем систему усилителя с обрат¬
ной связью, представленную на рис. 15.5, в точках а—а и составим'
выражение для коэффициента передачи двух каскадно соединен-
Рис. 15.5
Рис. 15.6
ных линейных четырехполюсников: К (со) и £ (со) (рис. 15.6).
Можно, очевидно, написать:
Модуль
и аргумент
(15.4)
(15.5)
(15.6)>
полученного коэффициента передачи являются функциями ча¬
стоты.
1 При исследовании системы на устойчивость зажимы 1—1 на рис. 15.5
считаем короткозамкнутыми.
521
Если при изменении со от 0 до оо аргумент <р не достигает ве¬
личины 2к, то замкнутая система (рис, 15.5) устойчива при любой
величине К$.
Действительно, как это было выяснено в § 11.6, для возникно¬
вения генерации должно быть выполнено условие фазового ба¬
ланса 2ф = я2я, где п — любое целое число.
Если существуют частоты, при которых <p = (p* + .<рр = я2я, но
Н = К$< 1, то генерация на этих частотах также невозможна, по¬
скольку не выполняется условие амплитуд (ем. § 11.4).
Отсюда следует, что паразитная генерация возможна только
на частотах, при которых одновременно выполняются следующие
два условия:
(15.7)
Вычисление амплитудной (частотной) Я (со) и фазовой <р(со)
характеристик для усилителя с цепью обратной связи обычно не
представляет большой сложности. Построив графики /Ср и ср* + Фр
в функции частоты, можно 'получить наглядное представление об
устойчивости системы.
Пример указанных графиков для устойчивой системы пока¬
зан на рис. 15.7, а для неустойчивой — на рис. 15.8.
Величина Кф при ш = 0 и <*> = оо в обычных усилителях, как
правило, обращается в нуль. При о) -> 0 это обусловлено влия¬
нием последовательно включенных конденсаторов в канале К
или р, а при о) -> оо влиянием шунтирующих емкостей (между-
электродные емкости, емкость монтажа и т. д.). В усилителях
постоянного тока и в некоторых других устройствах, не содержа¬
щих разделительных конденсаторов, при о)->0 величина мр-
жет принимать конечное значение.
Полное изменение аргумента (фазы) при изменении со от О
до оо зависит от характера и числа звеньев системы.
Приведенное выше условие устойчивости более сжато форму¬
лируется при представлении комплексного коэффициента передачи
522
Рис. 16.7
в полярной системе координат Я, <р. В этой системе координат ко¬
эффициент передачи //(со) изобразится в виде вектора длиной Hf
проведенного под углом ф к положительному направлению дейст¬
вительной оси а (рис. 15.9). При изменении частоты со конец этого
Кр д,кЧр
1,0
О
Рис. 15.8
вектора описывает кривую, называемую годографом амплитудное
фазовой характеристики.
При наличии в замкнутом кольце обратной связи переходных
конденсаторов или шунтирующих емкостей модуль Я, как ранее
уже отмечалось, при со = 0 или со -* оо обращается в нуль. Поэтому
для подобных систем годограф ампли-
тудно-фазовой характеристики при
изменении со от 0 до оо начинается и
заканчивается в начале координат.
Предположим, что при некотором
значении ш0 фаза достигает величины
2я, но система все же остается устой¬
чивой. Согласно * условию (15.7) для
этого необходимо, чтобы величина /С(3
при частоте со0 была меньше единицы.
Так как при ,ф=я2я мнимая часть
комплексного коэффициента передачи
равна
я действительная
то условие (15.7) означает, что отсекаемый годографом отрезок
положительной действительной оси, соответствующий величине
/Ср при частоте возможной генерации соо, для устойчивой системы
должен быть меньше единицы.
523
Рис. 15.9
Если же этот отрезок превышает единицу, т. е. /Ср>1, то все
необходимый Для возникновения генерации условия выполняются
и система неустойчива.
Отсюда вытекает так называемый критерий устойчивости Найк-
виста: если годограф амплитудно-фазовой характеристики разомк¬
нутой системы обратной связи не охватывает точку 1, Ю, — си¬
стема устойчива. В противном случае система неустойчива.
Примеры диаграмм Найквиста для двух систем — устойчивой
и неустойчивой — приведены на рис. 15,10 и 15.11, В случае слож¬
ных цепей годограф может принимать более сложную форму, при
которой возможно и многократное пересечение действительной
оси.
Более общая формулировка критерия Найквиста будет приве¬
дена в следующем параграфе при рассмотрении общих методов
анализа устойчивости систем.
Если кривая //(со) охватывает точку 1, Ю и система неустой¬
чива, то возникает генерация на частоте соо,, при которой 6 (со) = 0.
По существу, этот результат совпадает с условием для олтределег
ния частоты, приведенным в гл. 11, § 4.
Амплитуда колебаний при возникновении автогенерации воз¬
растает до тех пор, показе вступает в действие нелинейность ха¬
рактеристик ламп усилителя, которая с ростом амплитуд приводит
к сниженщо «средней (крутизны и, следовательно, к уменьшению
усиления /((со). Когда величина /Ср снижается до единицы, насту¬
пает стационарный режим автоколебаний. Подробное рассмотре¬
ние режима генерации для неустойчивого усилителя не представ¬
ляет большого практического интереса. Основное значение
описанного выше метода заключается в выявлении условий,
обеспечивающих устранение возможности возникновения ге¬
нерации.
В случае же устойчивости усилитель, охваченный отрицатель¬
ной обратной связью, может рассматриваться как линейная си¬
стема.
524
Рис. 1$; 10
Рис. 15.11
15.4. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Широкое применение систем с обратной связью как в усили¬
тельной технике, так и в технике автоматического регулирования
привело к существенному развитию методов исследования устой¬
чивости.
В зависимости от характера исследуемой системы — электриче¬
ской (электронной), электромеханической, содержащей звенья
с сосредоточенными или распределенными постоянными, — могут
оказаться удобными различные критерии устойчивости. Наряду
с амплитудно-фазовым методом в последнее время все большее
распространение получает так называемый критерий Гурвица—
Рауса. Этот критерий, основанный на исследовании коэффициентов
характеристического уравнения, описывающего поведение -системы,
<может быть назван алгебраическим методом.
Некоторые из результатов, вытекающих из анализа корней
характеристического уравнения, оказываются полезными также и
для обоснования и развития амплитудно-частотного метода. Оста¬
новимся поэтому несколько более подробно на выяснении сути
алгебраического критерия устойчивости.
Пусть задано однородное дифференциальное уравнение линей¬
ной системы с сосредоточенными постоянными в виде
где д: — ток, напряжение, перемещение и т. д., а постоянные коэф¬
фициенты ао, а\, а2, ап — действительные числа, зависящие
от параметров системы.
Решение уравнения (15.8), как известно, имеет вид
*=2 A^lt, (15.9)
i = 1
где At — постоянные, a pt — корни характеристического уравне¬
ния
(15.10)
Условие устойчивости состояния покоя системы заключается
в том, что после прекращения действия внешних возмущений си¬
стема возвращается к исходному состоянию. Для этого необхо¬
димо, чтобы возникающие в системе при нарушении состояния
покоя свободные (переходные) токи и напряжения были зату¬
хающими. А это, в свою очередь, означает, что корни рь р2, ..Рп
уравнения (15.10) должны быть либо отрицательными действи¬
тельными величинами, либо комплексными корнями с отрицатель¬
ными действительным^ частями. Из этих простых физических сооб¬
ражений вытекает следующий фундаментальный критерий устой-
525
чивоста любых линейных систем1: система устойчива, если
действительные части всех корней характеристического уравнения
системы отрицательны.
Простым примером, поясняющим этот критерий, может служить
приведенное в § 11.8 линейное уравнение 2-го порядка, описываю¬
щее поведение автогенератора при малых амплитудах (в начале
запуска).
При когда аэ = ~> 0, корни характеристического
уравнения рх 2 = — аэ ± ш0 обладают отрицательными действи¬
тельными частями и в системе возможны только затухающие
колебания — система устойчива. При -^->г действительные ча¬
сти становятся положительными и в системе возникают нараста¬
ющие по амплитуде колебания — система неустойчива.
Отметим, что в случае квадратного характеристического урав¬
нения для отрицательности действительных частей корней доста¬
точно потребовать, чтобы коэффициенты уравнения а0, а\ и a<i были
'положительны (точнее, одинакового знака).
Действительно, приведя характеристическое уравнение к виду
« учитывая известные соотношения между корнями квадратного
уравнения
(15.12)
приходим к следующему выводу. Если оба корня вещественные
(действительные) и отрицательные, то их произведение положи¬
тельно, следовательно, — >0. Из первого же выражения (15.12)
#0
ясно, что если рх и р2 отрицательны, то > 0. Следовательно,
а0 > 0, at > 0 и а2> 0.
Нетрудно провести аналогичное рассуждение и для случая
сопряженно-комплексных корней.
В случае кубического характеристического уравнения
1 Это фундаментальное положение было обосновано А. М. Ляпуновым,
который в 90-х годах прошлого века заложил основы теории устойчивости.
Рассматриваемый в данной главе вопрос об устойчивости состояния покоя
системы является частным случаем общей теории Ляпунова.
S26
корни ри р2 и рг связаны между собой следующими соотноше¬
ниями
(15.14)»
Из первого выражения следует, что если действительные ча¬
сти всех корней отрицательны 2, то и < 0, т. е. ах > О
CLq
(коэффициент а0 считаем положительным). Далее, из третьего-
выражения следует, что если все три корня действительные и
отрицательные числа, то их произведение отрицательно и > 0.
Если же два корня сопряженные комплексные, р1 = — а + т
и р2 = — а — ш, то — равно произведению действительного*
“0
корня рг на произведение
рхр2 = (— a -f- Ы) (— а — т) =а2 + ш2 > 0.
Поэтому, если рг отрицательно, то снова а3>0. Рассмотрим, на¬
конец, коэффициент а2. Если все корни действительны и отрица¬
тельны, то непосредственно из второго выражения (15.14) видно,
что-^->0. Допустим теперь, что корни р\ и Р2 — сопряженно-ком-
плексные. Представив второе выражение (15.14) в форме
=АА+Л(А+й)>
замечаем, что произведение р\р2 всегда положительно, а сумма
Р1+Р2 обладает тем же знаком, что и действительные части кор¬
ней р\ и р2> Поэтому, если р3, а. также действительные части кор¬
ней р 1 и р2 отрицательны, то снова положительно.
Oq
Итак, приходим к выводу, что в случае кубического характе¬
ристического уравнения для устойчивости необходимо, чтобы вы¬
полнялось условие
Яо > 0, ах > 0, а2 > 0 и аъ > 0. (15.15)
к
Этих условий оказывается, однако, недостаточно.
Из предыдущих рассуждений видно, что к условию (15.15)
можно прийти и в том случае, если исходить из предположения *
о положительности действительных частей корней р\ и рг- Следо¬
вательно, для устойчивости системы еще необходимо, чтобы соот--
1 Смирнов В. Н. Курс высшей математики, т. 1. ОГИЗ, 1948, стр. 442.
2 Как известно из математики, при действительных коэффициентах ис¬
ходного дифференциального уравнения возможны следующие два случая:
либо все корни действительные, либо один действительный, а два других
сопряженно-комплексные.
527
ношения между подожитёлУйьши коэффициентами а0, аь а2 и %
отвечали определенным условиям.
Обращаясь к характеристическому уравнению (15.13), заме¬
чаем, что если а3 очень велико -по сравнению с а0, ах и a2l то УРав~
.яение "(15.13) вырождается в простое уравнение
рЗ_|__£Ь _ 0.
у 1 Оо
Корни этого уравнения
Так как действительные части корней р\ и р% положительны,
:приходим к выводу, что при сделанном допущении относительно
величины аъ система неустойчива.
Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда а3 очень
мало по сравнению с а0, и а2, так что уравнение, (15.13) при¬
ближенно может быть заменено квадратным уравнением
#о Р2 + #1Р + #2 = 0.
Из приведенного выше рассмотрения квадратного характери-
.стического уравнения уже известно, что положительность коэффи¬
циентов ао, и а2 обеспечивает устойчивость системы.
Можно поэтому утверждать, что при уменьшении положитель¬
ного коэффициента а3 от очень больших значений к очень малым
обязательно найдется такое критическое значение а3, при котором
корни р 1 и р2 будут чисто мнимыми. При этом значении аъ в си¬
стеме возможно существование гармонических (незатухающих)
колебаний.
В этой критической точке
Р\)2 = ± Ц)»
где сог0 — частота колебаний.
Подставляя эти значения р{ и р2 в исходное уравнение (15.13)
и производя несложные преобразования, получаем два уравнения:
Отсюда находим следующее условие для определения критиче*
*ско?б значения а3:
528
или
(15.16)
При а3 > система неустойчива, при а3 < — устой¬
чива.
Итак, необходимыми и достаточными условиями устойчивости
системы, описываемой дифференциальным уравнением третьего по¬
рядка, являются следующие неравенства:
(15.17)
Проведение подобного анализа для характеристических урав¬
нений четвертой и более высоких степеней является весьма слож¬
ной задачей.
В таких случаях определение устойчивости системы может быть
произведено с помощью теоремы Гурвица1, которая гласит, что
для того, чтобы действительные части всех корней уравнения
(ZqJC —{— ci^jc —J- а2х —{— ... —{— &п —J— ап О
с действительными коэффициентами и а0 > 0 были отрицатель¬
ными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными
все определители Д1? Д2', Л„, составленные из коэффициен¬
тов уравнения а0, аг, а2, ..., ап по следующей схеме:
1 Доказательство этой теоремы см. напр, в книге К у р о ш А. Г. «Курс
высшей алгебры», 1949, стр. 287.
34 Зак. 3/235 5 29
При составлении определителей по этой схеме коэффициенты
с индексом, превышающим степень характеристического уравне¬
ния, заменяются нулями.
Поэтому, например, для уравнения четвертой степени полу¬
чаются следующие определители:
Нетрудно видеть, что все последовательные определители
являются главными диагональными минорами определителя Дя.
Так' как последний столбец определителя Д„ содержит лишь
один отличный от нуля элемент ап, расположенный на главной
диагонали, то выполняется равенство
A*=aA-i.
Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица усло¬
вия устойчивости могут быть сформулированы в виде следующих
неравенств:
Aj >0, Д2 >0, ..., Дл_! >0, ап > 0.
Так, например, для характеристйческого уравнения второй сте¬
пени получаем
Ai=«i>0, а2 > 0.
Для уравнения третьей степени:
т. е. at > 0, аха2 > а3а0, а3 > 0.
Так как а0, ах и а3 положительны, то и а2 > 0.
Для уравнения четвертой степени:
^2-0-1 > 0,
Дг== агао ^ 0>
Д3 = а3 {ахаг - а3а0) - арА > 0,
а4> 0.
530
Из третьего условия на основании четвертого вытекает нера¬
венство
Можно поэтому второе условие заменить условием а3>0. Таким
образом, для уравнения четвертой степени получаются следующие
условия устойчивости:
ct\ > 0, а3 > 0, а3 (ага2 — а0а3) — а\а4 >0, а4 > 0.
С помощью теоремы Гурвица можно обосновать также крите¬
рий Рауса, который является разновидностью критерия Гурвица.
Критерий устойчивости, основанный на отрицательности действительных
частей корней характеристического уравнения системы, является тем фунда¬
ментом, на котором базируются все другие критерии.
Можно, в частности, утверждать, что для устойчивой линейной системы
коэффициент передачи К (р), определяемый выражением (6.17), может иметь
полюсы только в левой полуплоскости комплексного переменного р = а + т.
Действительно, знаменатель правой части выражения (6.17) представляет
собой не что иное, как характеристическое уравнение системы.
Если все корни р\, р2 и т. д. уравнения
где ак > 0, то в выражении (6.41) множители вида (р ± /о>ок + ак) могут обра¬
щаться в нуль только в том случае, когда Re (р) < 0, т. е. в левой полуплоскости
переменного р = а + /со.
Итак, наличие полюсов К (р) в правой полуплоскости указывает на то, что
система неустойчива.
Это обстоятельство может быть использовано для обоснования изложен¬
ного в предыдущем параграфе критерия Найквиста, а также для выработки
некоторых правил, облегчающих применение этого критерия в случае слож¬
ных систем.
Именно, понимая под коэффициентом передачи системы с Обратной связью
величину [см. формулу (15.2))]
можно определять устойчивость системы по положению полюсов А*' (р) на
плоскости р.
Система устойчива, если функция К' (р) не имеет полюсов в правой полу¬
плоскости р.
Так как по условию функция К (р) не может иметь полюсов в правой
полуплоскости, то остается потребовать, чтобы функция
а3 (ata2 — а0а3) > a\ak > 0.
Д(Р) = 0
имеют вид
Рк — ± го)ок>
(15.18)
где
Т(р) = -К(р)$(р) = -Н(р),
(15.19)
F(p) = l + T{p)
не имела нулей в правой полуплоскости р.
(15.20)
34s5'
531
Это означает, что показанный на рис. 15.12 замкнутый контур на пло¬
скости р = а + /со, образованный мнимой осью т и дугой бесконечно большого
радиуса R, не должен охватывать такой точки р, в которой функция F(p)
обращается в нуль.
Перейдем теперь от плоскости р к плоскости F(p), т. е. такой плоскости,
на действительной и мнимой осях которой откладываются соответственно дей¬
ствительная ир и мнимая vp части комплексной функции F(p). Тогда замкну¬
тому контуру обхода С (на плоскости р, рис. 15.12) будет соответствовать
также замкнутый контур на плоскости F(p). При этом движению точки р вдоль
оси /со (рис. 15.12) соответствует уравнение функции
F(p) = F (/со) = 1 + Т (/со), (15.20')
а при движении точки р по дуге бесконечно большого радиуса R уравнение
будет
F( оо) = 1,
Рис. 15.14
* 0 (см. § 15.3).
Следовательно, изменяя со от — оо
до + оо, получим замкнутый конттр
функции F (/со) на плоскости vp. По¬
добный контур для устойчивой системы
показан на рис. 15.13. Сплошной линией
показана часть контура, соответствую¬
щая частотам 0 < со < + оо, а пунктир¬
ной — частотам — оо < со < 0.
Так как функция ^(col)—четная
относительно со, a vf((d)—нечетная,
то оба участка контура симметричны
относительно действительной оси.
Замечаем, что если описываемый
концом вектора F(со) контур не охватывает начала координат, то полное
изменение аргумента этого вектора при обходе замкнутого контура равно нулю.
Если же начало координат охватывается контуром, то каждо'му обороту
вектора F вокруг нулевой точки будет соответствовать один переход ампли-
трудно-фазовой характеристики через отрезок действительной оси (—оо, 0).
Если считать переход из верхней полуплоскости в нижнюю положитель¬
ным, а с нижней полуплоскости в верхнюю отрицательным (обход по годо¬
графу производится по возрастания* со), то для того, чтобы полное изменение
аргумента “ф вектора F равнялось нулю, т. е. для устойчивости системы необ¬
ходимо, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами
амплитудно-фазовой характеристики отрезка действительной оси (—°°,0) рав¬
нялась нулю.
532
Рис. 15.12
Рис. 15.13
Переходя от функции F(i<&) = 1 + 7 (/со) к функции Т (/<о) = F (ш) — 1, по¬
лучим рис. 15.14, отличающийся от рис. 15.13 сдвигом годографа на одну еди¬
ницу влево.
Применительно к плоскости ит, vT требование Аг)?((о|) = 0 означает, что
годограф Г(/о)) должен либо вовсе не пересекать отрезок действительной оси
(—оо, —1), либо пересекать его в положительном и отрицательном направ¬
лениях одинаковое число раз.
Для перехода к годографу Н (ш) = К (w) Р (<*>), т. е. к амплитудно-фазовой
характеристике разомкнутого тракта обратной связи, нужно в соответствии
с выражением (15.2Q) повернуть годограф рис. 15.14 на 180°. Таким образом
получим рис. 15.15, на котором, как и в § 15.2, критической точкой является
точка +1, 0.
При таком изображении годографа необходимо подсчитывать число поло¬
жительных и отрицательных переходов через отрезок оси ин(1, оо). ан и vH
совпадают с а (со) и b (со), принятыми для обозначения Н coscp и //sincp в § 15.2.
На рис. 15.15 показан годограф амплитудно-фазовой характеристики для
устойчивой системы, а на рис. 15.16 — для неустойчивой. В первом случае годо¬
граф вообще не пересекает отрезок'оси (1, оо), а во втором имеются два по¬
ложительных и ни одного отрицательного перехода через указанный отрезок
(построение показано только для со > 0).
15.5. СИСТЕМЫ С ЗАДЕРЖКОЙ В ЦЕПИ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
Рассмотрим систему, состоящую из линейного четырехпо¬
люсника с коэффициентом передачи /С0(<») и „идеальной" линии
задержки Т, с выхода которой напряжение U2 вводится обратно
Рис. 15.17
в цепь возбуждения, последовательно с генератором э. д. с. Ux
(рис. 15.17).
Под идеальной подразумевается линия, в которой время за¬
держки Т не зависит от частоты. Коэффициент передачи подоб¬
ной линии принимается равным е~1шТ. При этом предполагается,
что затухание линии учитывается четырехполюсником /С0(ш),
включающим в себя также и линейное усиление.
533
Рис. 15.15
Рис. 15.16
Повторяя рассуждения, использованные при выводе выраже¬
ния (.15.1), получаем для коэффициента передачи устройства, изо¬
браженного на ,рис. 15.17, следующую формулу:
*,(«)=-£= UM)rl ■ (15.21)
При достаточно большой величине Т для изменения фазы
в кольце на 1*80° требуется относительно малое изменение частоты.
Главной особенностью системы с запаздывающей обратной связью
является поэтому то, что в достаточно широкой полосе частот
обязательно имеются частоты, при которых обратная связь
является отрицательной, и частоты, при которых обратная связь
положительна.
Первые из этих частот соответствуют условию
соГ + arg К0 (о>) = (2k + 1) тс, k = 0, 1, 2, 3, ..., (15.22)
а вторые:
а>7+arg/С0 (<*>)= 2Ьг, k = 0, 1, 2, 3, ... (15.22')
Вблизи частот, соответствующих отрицательной обратной связи,
модуль коэффициента передачи К0 (со) может быть сколь угодно
большим. При частотах же, соответствующих положительной обрат¬
ной связи, для устойчивости системы модуль Ко (со) обязательно
должен быть меньше единицы (см. § -15.3). В дальнейшем мы бу¬
дем исходить из условия, что в интересующей нас полосе частот
/Со(со) либо вообще не изменяется, либо изменяется слабо. По¬
этому условие устойчивости сводится к неравенству
К0 (<*>) < 1,
которое должно выполняться на всех частотах 0<о><оо.
Считая это условие выполненным, перепишем выражение (15.21)
в виде (Геометрической прогрессии:
*9(Ш) = Ко и е~1шТ {1 + Ко (о>) е~иг + [Ко (со)]2 е-й“г +...} =
= К0 (<») е-'“г4- [/С0 (ш)]2е_‘2“г4- [Л"0 (и>)]3 е_‘3шГ+ ... (15.23)
Соответственно
и2 = и,К0 и е-£шГ+ и, [К0 (Ш)]»е-,2“г+ • • • (15.24)
Правую часть этого выражения можно трактовать как сумму
комплексных амплитуд напряжений, являющихся результатом
последовательных циркуляций в замкнутом кольце обратной
связи: слагаемое Ux [/С0 («>)] е-,шГ „проходит" один раз
через четырехполюсник К0 (w) и линию задержки, слагаемое
Ux [*оН]2е-г2шГ проходит два раза и т. д.
534
Найдем амплитудно- и фазо-частотную характеристики коэффи¬
циента передачи /<Гэ(ш).
Представляя комплексный коэффициент К0 (ш) в форме
*0(о>)=*0( со)е-г?и
и -воспользовавшись выражением
e_i(“r+?) = COS(o)r-bcp) - isin(a>7' + «p),
приводим (15.21) к виду
— I arctg
где
v t ч_ Дс(“)е-г("г + ?)е 1-^(®)соз(«.г+?)
Аэ (.со) — —
у [1 — Ко (“) cos (со Г + tf)]2 -f 1(2 (ш) sm2 (и>Т + f)
= Кэ(и)е~'Нш\ (15.25)
КА*) = —т=г Ко(и>) (15.26)
у 1 + К0(<*) — 2Ко (*>) cos (со Г 4- <р)
M») = »r + T + arctg-r^4jilj^±f5-. (15.27)
Поведение амплитудной и фазовой характеристик коэффициента
передачи существенно зависит от'свойств четырехполюсника
*о( со), входящего в кольцо обратной связи. Некоторые важные для
практики случаи рассматриваются в дальнейших параграфах дан¬
ной главы.
15.6. ГРЕБЕНЧАТЫЙ ФИЛЬТР
Сначала допустим, что К0 («о) =К0 = const и ср(ш)=0 при
0<со <оо, т. е. что четырехполюсник составлен из одних лишь оми¬
ческих сопротивлений. Тогда при частотах, отвечающих первому
условию (15.22), cos и>Т = — 1 и Кэ (w) в соответствии с форму¬
лой (15.26) имеет экстремумы типа минимума, а при частотах,
отвечающих второму условию (15.22'), Кэ (<°) проходит 'через
максимумы.
Таким образом, минимальные значения амплитудной характе¬
ристики
^Ы = т^. (15.28)
а максимальные
КЛ^и) = Т^щ. (15-29)
Частотный интервал между двумя соседними максимумами
(или минимумами), как это ясно из (15.22), при arg/C0(to)=0
равен
ДШ1=-у-; ДЛ=4-. (15.30)
535
536
Рис. 15.18
Графики АГэИ Для нескольких значений /С0 представлены
на рис. 15.18.
Амплитудно-частотная характеристика четырехполюсника с за¬
держкой в цепи обратной связи имеет вид «гребенки». Фильтры-
с такими характеристиками получили название «гребенчатых»
фильтров.
Ширина 2А(0о каждого 'зубца гребенки, определяемая по ослаб¬
лению на границах до -у~ от максимума, может быть найдена из;
соотношения
и
Асо0 — + ~ arccos 4/<~° 2^°——. (15.31 >
При значениях Ко, близких к единице, выражение (15.31) значи¬
тельно упрощается. Так как при этом
мало отличается от единицы, то можно положить
откуда следует, что Дю0Т« 1 — К0> а вся „полоса пропускания“
одного зубца гребенки
(15.32)
С приближением Ко, т. е. коэффициента передачи разомкнутого-
тракта кольца, к единице толщина зубцов гребенки очень быстро-
уменьшается. Это свойство гребенчатого фильтра весьма ценно>
для выделения периодических сигналов из шумов или любых дру¬
гих помех с «размытым» спектром. Если задержка Т равна периоду'
повторения сигналов, то в зубцы гребенки попадают соответствую¬
щие компоненты дискретного спектра сигнала я лишь небольшая
доля компонентов спектра помехи. Таким образом достигается пог-
сигнал ,
Еышение отношения ~помеха' на выходе фильтра по сравнению с та*
ким же отношением на его входе. Следует, однако, отметить, что
при введении в кольцо обратной связи усиления, приближающего
Ко к единице, резко снижается запас устойчивости системы и об-
53Т
откуда
538
Рис. 15.19
легчается возникновение самовозбуждения (паразитной генерации).
Обратимся к рассмотрению фазовой характеристики гребенча¬
того фильтра вблизи одной из частот со2к> соответствующей макси¬
муму амплитудной характеристики.
Перепишем формулу (15.27) с учетом того, что-ср = 0, а соТ =
— {®2k + ^со) Т — 2k~ -f ДсоТ:
4 (<o2ft + Д«о) = 2k- + Д0,7’ + arctg t ■ (15'33)
Наклон фазовой характеристики
В точке
Сравнивая этот результат с формулой (15.29), замечаем, что
наклон фазовой характеристики в зубцах гребенки превышает
время задержки во столько же раз, во сколько модуль коэффи¬
циента передачи /Сэ^к) четырехполюсника с обратной связью
превышает модуль Ко коэффициента передачи разомкнутого
тракта.
Все приведенные выше соотношения были получены при допу¬
щении о равномерности амплитудно-частотной характеристики
/Со(со). В реальных системах это условие, конечно, не имеет места.
Нетрудно, однако, учесть влияние неравномерности характери¬
стики /Со(со) >на форму гребенки. Как правило, в пределах одного
зубца изменением Ко(со) можно пренебрегать. Медленное же
изменение этой характеристики на широких частотных интервалах,
порядка ~y и более, можно учесть подстановкой -в формулы
(15.25) — (15.34) значений /Со(со), соответствующих рассматривае¬
мому участку диапазона.
При этом оказывается, что даже незначительное изменение
/Со (со) приводит к резкому, особенно при АГ0 (со) 1, изменению
амплитуды „зубцов“.
Для иллюстрации этого свойства гребенчатого фильтра на
рис. 15.19 изображена амплитудно-частотная характеристика,
получающаяся при изменении характеристики /С0 (со) разомкнутого
тракта всего лишь от /С0 — 0,90 (при соГ < Ютг) до /С0 = 0,95
(при соТ > Ютг).
Из приведенных данных видно, что линейная система с поло¬
жительной обратной связью обладает свойствами, противополож-
539
(15.34)
П.Ч
ными свойствам отрицательной обратной связи: усугубление нерав¬
номерности амплитудной характеристики и увеличение фазовых
сдвигов, присущих четырехполюснику разомкнутого тракта. Имеет
место также подчеркивание нелинейных
искажений, возникающих в усилительном
элементе кольца.
В заключение рассмотрим свойства
коэффициента передачи Кэ (р) на ком¬
плексной плоскости р = а+т.
Записывая выражение (15.21) в опе¬
раторной форме [K0(i^) — K0(p) = K0
считаем действительным и постоянным
числом]
КАр) = -х-^~т- (15.35)
и приравнивая знаменатель нулю, находим особые точки (полюса)
функции Кэ(р):
1-/С0е-р«г = 0, еРпТ = К0,
р„Т — а± ш2я, а — In К0 ~ — (1 — К0).
Таким образом,
Расположение особых точек рп на плоскости р показано на
рис. 15.20.
15.7. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ГРЕБЕНЧАТОГО ФИЛЬТРА
Основываясь на соотношении (6.55)1
и подставляя вместо Кэ(ш) формулу (15.23), получаем для
импульсной функции четырехполюсника с задержкой Т в цепи
обратной связи следующее выражение:
(15.36)
540
Рис. 15.20
Первое слагаемое представляет сабой импульсную функцию
четырехполюсника K0(iоо), смещенную во времени «а величину Т
(в сторону запаздывания).
Второе слагаемое является импульсной функцией каскадного
соединения двух одинаковых четырехполюсников К0 (ш) с общим
коэффициентом передачи [^Co(*g))]2. Величина 'времени запаздыва¬
ния в данном случае равна 2ТЛ Третье слагаемое определяет им¬
пульсную функцию каскадного соединения трех четырехполюсни¬
ков *о( ш) с общей задержкой 3Т и т. д.
Таким образом, выражение (15.36) определяет импульсную
функцию четырехполюсника е обратной связью в виде наложения
импульсов, циркулирующих по замкнутому кольцу обратной связи,
причем каждый последующий импульс пробегает на один четырех¬
полюсник К0(ш) больше, чем предыдущий. Как правило, с возра¬
станием номера циркуляции длительность отдельных импульсных
функций возрастает. Поэтому, если на первых пробегах эти функ¬
ции, при достаточно большой задержке Т, не перекрываются во
'времени, то в дальнейшем такое перекрытие является неизбеж¬
ным.
Рассмотрим сначала идеализированный случай /С0((о) = ЛГ0 =
= const. Ясно, что при равномерном пропускании всего спектра от О
до оо каждый из членов выражения (15.36) дает функцию вида
K%S(t — nT), т. е. единичный импульс, ослабленный в раз
и задержанный на пТ сек.
Таким образом, в данном слу^е
g(t)=KMt-T)+K$(t-2T)+K$(t-3T)+ ...
.В тех случаях, когда Ко близко к единице, можно воспользо¬
ваться соотношением
Тогда
Можно поэтому считать, что амплитуды импульсов, возникающих
на выходе четырехполюсника через интервалы Т, убывают по за-
кону е 1 (рис. (15.21).
Отсюда следует, что постоянная времени гребенчатого фильтра
т
равна • Заметим, что этот результат совпадает с найденной
в предыдущем параграфе величиной наклона фазовой характе¬
ристики фильтра вблизи одной из точек u>2k— •
Рассмотрим теперь другой важный для практики случай, когда
541
■входящий в кольцо обратной связи четырехполюсник представляет
собой избирательную (резонансную) цепь.
Для упрощения математического анализа целесообразно исхо¬
дить из «гауссова» фильтра с коэффициентом передачи
(15.37)
где Юр — резонансная частота фильтра;
2 Уа — половина полосы пропускания, определяемая по ослаб¬
лению на границах на 1 непер (в е раз);
^ — наклон фазовой характеристики (линейной). Кроме того,
А < 1 (из условия устойчивости системы).
Импульсная характеристика» фильтра, определяемая первым
слагаемым правой части формулы (115.36), приводится к виду1
а при учете задержки Т
gi (О
(15.38)
(15.39)
Таким образом, первая импульсная функция представляет
собой „гауссов“ импульс с длительностью ^на уровнеи
с частотой заполнения о>р.
При определении импульсной функции, соответствующей вто¬
рому слагаемому формулы (15.36), следует иметь в виду, что воз¬
ведение в квадрат /Со (со) эквивалентно 'снижению вдвое а и увели¬
чению вдвое U (и, конечно, возведению в квадрат А).
Поэтому функция, аналогичная (15.38), должна быть записана
в форме
1 Это выражение нетрудно получить с помощью выражения (6.55).
542
Рис. 15.21
а с учетом задержки на 2Т
(15.40>
Для п-го члена формулы (15.36) получим следующее общее
выражение:
(15.41)-
Отсюда видно, что после я-го пробега по кольцу длитель¬
ность импульса возрастает в п раз (но сравнению с первым.'
пробегом), а амплитуда импульса снижается в —раз.
А
Этот результат можно сформулировать в виде общего празила:
сужение полосы пропускания четырехполюсника, входящего в.
кольцо обратной связи, приводит к убыстрению убывания цирку¬
лирующих импульсов и увеличению их длительности. /
15.8. НАКОПЛЕНИЕ СИГНАЛА В ГРЕБЕНЧАТОМ ФИЛЬТРЕ
Рассмотренные в предыдущих параграфах свойства функций’
передачи К АР) и импульсных функций g(i) позволяют выявить,
главные особенности протекания процессов установления в гребен¬
чатых фильтрах.
Пусть к системе, изображенной на рис. 15.17, в момент ^ = 0*
прикладывается э. д. с. произвольной формы e(t).
Переходя к изображению этой э. д. с. 'по Лапласу Е(р) и осно¬
вываясь на выражениях (d5.21) и (15.23), которые в операторной?
форме имеют вид
можем записать общее выражение для сигнала на выходе системы*
(см. выражение (9.4)]:
Первое слагаемое в правой части этого выражения определяет
«изменение входного сигнала после первого пробега через четырех¬
полюсник К0 (р) и линию задержки, второе слагаемое — после'дву¬
хкратного пробега по кольцу, третье слагаемое — после трехкрат¬
ного пробега и т. д.
Таким образом, для 0<t<T напряжение на выходе системы
;равно нулю, для T<\t<2T это напряжение определяется первым
Слагаемым, для 2T<t<3T полное выходное напряжение является
-суммой первых двух слагаемых, для 3T<t<4T—суммой трех
слагаемых и т. д.
В тех случаях, когда входной сигнал e\t) имеет характер им¬
пульсов с длительностью меньшей, чем время задержки Т, причем
1при последовательной циркуляции по кольцу эффект удлинения
импульсов проявляется незаметно, в суммировании слагаемых вы¬
ражения ,(15.42) нет необходимости: каждое слагаемое определяет
полное выходное напряжение в соответствующие моменты времени.
Выражение (16.42) по своей структуре совпадает с ('15.24)
с тем, однако, различием, что (15.24) определяет комплексную
амплитуду установившегося гармонического напряжения с часто¬
той со, а (15.42) —мгновенное значение выходного напряжения при
произвольной форме входного сигнала.
Рассмотрим некоторые частные случаи при -различных допуще¬
ниях относительно характера сипнала e(t) и коэффициента пере¬
дачи Ко (о).
1. Включение гармонической э. д. с. e(t) =Е0 sin a>t в момент
Задавая определенную функцию К0(р) и подставляя изобра¬
жение синусоидальной э. д. с. по формуле
нетрудно найти каждое из слагаемых правой части выражения
(15.42). По истечении достаточно большого времени на выходе
системы установится напряжение с частотой со ш комплексной ам¬
плитудой, определяемой выражением (15.24). С целью максималь¬
ного упрощения задачи допустим, что K0(w) =К0 = const при
0<ш< оо .
Тогда: для 0 < t < Т правая часть равна нулю,
для Т < t < 2Т все слагаемые, кроме первого, равны
нулю, а первое равно
для 2Т < t <ЗГ отличны от нуля два первых слагаемых,
которые дают суммарное напряжение;
*=0.
и т. д.
544
Через каждый промежуток времени Т к ранее действовав¬
шему на выходе напряжению добавляется (скачком) синусоидаль¬
ное напряжение с амплитудой, в
I/Ко раз меньшей (Яо<1 по усло¬
вию устойчивости системы), и с фа¬
зой, на соГ отстающей тго сравне¬
нию с предыдущим скачком.
При представлении с помощью
векторной диаграммы результирую¬
щее выходное напряжение изобра¬
зится вектором ОА, скачком изме¬
няющим сивою дл*ину и положение
в моменты t = T, 2 Г, ЗГ,... (рис.
,15.22). При t со длина вектора
О А обращается в Кэ\(л)Е0.
Если частота © э.д.с. кратнаве-
личине -у, т. е. соГ = &2я, где k —
любое целое число, то все парци¬
альные векторы складываются
в фазе и амплитуда выходного напряжения изменяется так, как
это изображен© на рис. 15.23.
В тех случаях, когда четырехполюсник /Со(со) является инер¬
ционным, приращения амплитуды и фазы в моменты t=Ty 2 7\..<
не имеют скачкообразного характера, а происходят плавно. Опре¬
деление точного закона амплитуды и фазы может быть выполнено
•на основе выражения (15.42).
2. Включение сложной периодической э. д. с. с основной
частотой 2 = -^-, где Т — время задержки.
35 Зак 3/235 545
Рис. 15.22
Рис. 15.23
Этот случай представляет основной интерес для практики, так
как .гребенчатый фильтр широко применяется для фильтрации
именно периодических сигналов, точнее, «пачки» одинаковых им¬
пульсов с постоянными временными интервалами.
Полагая, как и ранее, /Со/(со) =/C0=,const, а также считая линию
задержки «идеальной» (см. § 15.5), пр-иходим к следующему оче¬
видному результату: каждый входной импульс порождает на вы¬
ходе системы серию импульсов, отстоящих один от другого на
время Т и имеющих амплитуды, убывающие по закону /Со, /Со2,
/Со3,...
Рис. 15.24
На рис. 15.24, а показана периодическая последовательность
входных импульсов, начинающаяся с момента ^ = 0, а на
рис. 15.24, б, в, г, и т. д. — I, II и т. д. серии убывающих им¬
пульсов, возникающих на выходе под действием соответственно
1-го, 2-го и т. д. входных импульсов.
Суммируя (по вертикали) последовательности I, II и т. д., по¬
лучим: в момент
Fk
При я-> оо, t ^ оо, ивых = у—(нижний график на рис. 15.24).
546 °
Нетрудно установить, что огибающая выходных импульсов на-
растает по закону 1 — е , как это и должно быть при им¬
пульсной функции, изображенной на рис. 15.21.
К этому же результату можно прийти и с помощью спектраль¬
ного подхода: разлагая входной сигнал в ряде Фурье и применяя
к каждой гармонике результаты, полученные в предыдущем пункте
для включения синусоидальной э.д. с., найдем, что после оконча¬
ния процесса установления амплитуда каждой из гармоник на вы¬
ходе увеличивается в ^ Раз- ^ак как частоты всех гармоник
2п ,°
кратны величине -у, то фазовые соотношения в спектре сохра¬
няются и выходные импульсы, совпадая по фазе с входными, воз-
К0
растают.в у_ ;раз.
При учете инерционности четырехполюсника /С0(о>) задача
сильно усложняется, так как приходится учитывать не только
ослабление амплитуды, но и изменение формы импульса при после¬
довательных циркуляциях по кольцу обратной связи.
Не останавливаясь .более подробно на рассмотрении подобных
задач, ограничимся приведенными выше рассуждениями, весьма
наглядно поясняющими суть процесса накопления в гребенчатом
фильтре при совпадении периода повторения сигналов с временем
задержки в кольце обратной связи.
15.9. РЕЦИРКУЛЯТОРЫ
Для систем с обратной связью без специальных линий за¬
держки метод расчета, основанный на циклическом обходе замкну¬
той системы, по существу является всего лишь формальным прие¬
мом.
При сигналах же, коротких по сравнению с временем задержки,
использованное в предыдущих параграфах данной главы понятие
о «циркуляции» сигналов в кольце отображает реальный физиче¬
ский процесс.
Для современной радиоэлектроники особый интерес представ¬
ляют «кольца», способные обеспечивать достаточно большое число
циркуляций без заметного искажения сигнала. Помимо того, что
подобная система представляет собой гребенчатый фильтр (см.
§ 15.6), она «может быть использована в качестве «памяти», т. е.
устройства, запасающего информацию.
Чем меньшие^ искажения претерпевает сигнал при пробеге по
кольцу, тем меньше разрушается содержащаяся в нем информация
и тем, следовательно, большее число циркуляций может быть
использовано для запасания информации. Ясно поэтому, что
длительность памяти подобного устройства, иногда называемого
рециркулятором, равна времени задержки Т9 умноженному на
число неискаженных циркуляций п.
35* 547
Построение рециркуляторов на большие значения п является
весьма сложной задачей. Дело в том, что п пробегов сигнала по
кольцу эквивалентно одному пробегу того же сигнала через п
каскадно соединенных четырехполюсников, каждый из которых
содержит все элементы кольца. При этом резко подчеркиваются
все дефекты амплитудно- и фазо-частотных характеристик усили¬
телей, используемых в кольце для компенсации весьма большого
затухания линии задержки.
Для более отчетливого представления о возникающих трудно¬
стях полезно напомнить, что при снижении -на какой-либо частоте
амплитудно-частотной характеристики в кольце до Ко (относи¬
тельно максимального значения, приравненного единице), неравно¬
мерность тракта, эквивалентного п пробегам, составляет КЦИ
Так, например, при ослаблении всего лишь на 1%, т. е. при
/<0=0,99 и п= 100, ослабление характеристики эквивалентного
тракта из 100 четырехполюсников составит 0,99100~0,37.
В связи с этим простые рециркуляторы «амплитудного» типа
пригодны практически для относительно небольшого числа цир¬
куляций, не превышающего нескольких десятков.
Для увеличения «памяти» используются приемы, основанные
«а различных преобразованиях входного сигнала.
Общий смысл этих приемов заключается в том, чтобы по воз¬
можности ослабить требования к характеристикам кольца.
ГЛАВА 16
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ
КОЛЕБАНИИ
16.1. ОСОБЕННОСТИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
При рассмотрении процессов модуляции и преобразования ча¬
стоты мы уже встречались с линейными системами, один из пара¬
метров которых, обычно крутизна характеристики лампы, является
функцией времени. В подобных системах, предназначенных для
соответствующего преобразования спектра сигнала без повышения
его мощности, воздействие производится «а активную проводи¬
мость цепи (или, что. не меняет дела, на активное сопротивление).
Между устройством, осуществляющим изменение параметра (на¬
пример, гетеродином в преобразователе частоты, рис. 13.30), и
устройством, в которое входит управляемый параметр, обмена
энергии нет. Это объясняется тем, что для изменения величины
активной проводимости (или активного сопротивления) элемента,
не запасающего энергию, не требуется производить работы. Прин¬
ципиально иначе обстоит дело с такими энергоемкими элементами,
как емкость и индуктивность.
Для изменения величины емкости конденсатора, на обкладках
которого имеется разность потенциалов, илц для изменения индук¬
тивности катушки, на зажимах которой поддерживается опреде¬
ленная амплитуда переменного напряжения, требуется совершить
работу. Эта работа является положительной, если для изменения С
или L требуется преодолеть действие сил поля, и отрицательной,
если работа совершается за счет сил поля.
В первом случае в контур вводится энергия от устройства, осу¬
ществляющего изменение параметр^, а во втором случае, наоборот,
часть энергии передается из контура в это устройство.
Это положение легко проиллюстрировать на следующих двух
примерах: при изменении L и при изменении С.
Пусть на зажимах индуктивности L поддерживается (от внеш¬
него источника сигнала) синусоидальное напряжение определен-
Е
,ной частоты to. Амплитуда тока через индуктивность / = , а
549
максимальная энергия магнитного поля катушки раша AL =
LP £2
2 2©2L •
Заметим, что при наличии тока и создаваемого им магнитного
поля существует пондеромоторная сила, стремящаяся так изменить
.конфигурацию проводов, несущих ток, чтобы общий запас энергии
IB системе уменьшился. В случае соленоида, когда соседние витки
обтекаются одинаково направленными токами, пондеромоторная
сила стремится сблизить витки, тем самым увеличивая L и снижая
запас энергии AL. Ясно, что для раздвижения витков требуется
приложить силу, преодолевающую силу притяжения, и тем самым
совершить положительную работу. В результате этой работы L
снизится, а ток и соответственно энергия магнитного поля в момент
изменения L возрастут.
Другим наглядным примером преобразования энергии при из¬
менении параметра электрической цепи является хорошо из¬
вестный пример с механическим раздвижением пластин кон¬
денсатора.
Пондеромоторная сила электрического поля стремится сблизить
пластины (независимо от полярности напряжения); следовательно,
для их раздвижения необходимо произвести положительную ра¬
боту, которая повышает запас энергии в конденсаторе, так как при
заданном и неизменном заряде снижение емкости приводит к по-
U2C
вышению напряжений, а энергия Ас = С-^-. При увеличении емко¬
сти конденсатора (сближении пластин) напряжение и соответ¬
ственно энергия конденсатора снижаются.
Из приведенных простых рассуждений непосредственно сле¬
дует, что для введения в электрическую цепь энергии изменение
параметра должно обязательно производиться таким образом,
чтобы уменьшение параметра (С, L) производилось «в моменты мак¬
симальных, а увеличение параметра — в моменты минимальных
значений энергии поля, запасаемой в рассматриваемом элементе.
«В случае синусоидального изменения напряжения на конден¬
саторе емкость можно, следовательно, снижать дважды за период:
в моменты, соответствующие положительной и отрицательной
амплитудам напряжения. Увеличение же емкости следует произво¬
дить в моменты прохождения напряжения через нулевое значение,
когда отсутствуют пондеромоторные силы.
Отсюда видно, что для наиболее интенсивной «накачки» энергии
частота внешней силы, управляющей ёмкостью, должна вдвое пре¬
вышать частоту электрического напряжения, приложенного к кон¬
денсатору. При изменении индуктивности все, что выше было
сказано относительно напряжения, следует отнести к току через
индуктивность.
Таким образом, апериодическое изменение одного из энергоемких
элементов позволяет осуществить параметрическое возбуждение
колебательной системы.
550
Принцип работы параметрических устройств механического и
электромеханического типа известен уже с прошлого века, а в трид¬
цатых годах нынешнего столетия советскими радиофизика ми
Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекёи m их учениками было
изучено явление «параметрического резонанса», заключающееся
в том, что при определенных соотношениях между частотой изме¬
нения L («ли С) и собственной частотой контура возникает явле¬
ние генерации.
Эти идеи получили широкое практическое применение лишь
в последние годы в связи с развитием полупроводниковой техники,
я также техники ферритов, позволившей осуществить управление
емкостью или индуктивностью в области сверхвысоких частот, на
которых использование принципов параметрического воздействия
привело к созданию нового типа малошум1ящего параметрического
усилителя.
В настоящее время особенно широкое распространение полу¬
чают параметрические усилители, основанные на использовании
емкости полупроводникового диода. Для изменения этой емкости
применяются 'вспомогательные генераторы «накачки». Частота и
амплитуда напряжения накачки определенным образом подби¬
раются в соответствии со схемой и данными колебательной си¬
стемы параметрического усилителя.
Подобные системы, строго говоря, не могут рассматриваться
как линейные, поскольку управляемые элементы — С или L — за¬
висят как от напряжения (или тока) «-накачки», так и от усили¬
ваемого сигнала. В практике, однако, амплитуда накачки во много
раз больше амплитуды сигнала. Изменением С или L, вызываемым
самим сигналом, обычно можно полностью пренебрегать по сравне¬
ние с изменением, создаваемым накачкой. По отношению к сла¬
бому сигналу подобные системы можно считать линейными, имея
при этом в виду, что по отношению к источнику напряжения «на¬
качки» система является нелинейной.
Итак, отвлекаясь от способа управления, мы в дальнейшем
будем считать, что один из параметров цепи, например емкость,
является функцией времени C = C(t)t не зависящей от приложен¬
ного к цепи сигнала.
Как уже отмечалось *в гл. 1, а также в ряде предыдущих глав,
•прохождение сигнала через линейную систему с переменными па¬
раметрами сопровождается преобразованием частотного спектра
сигнала. В частности, при гармонической внешней силе возникают
частоты, являющиеся комбинациями вида сумм и разностей частоты
воздействия и частоты изменения параметра. Понятие коэффи¬
циента передачи VC(со), определяемого как отношение комплексных
амплитуд выходного и входного напряжений, по отношению к цепи
с переменными параметрами теряет свой смысл. В связи с этим
спектральный метод, столь эффективный при анализе прохожде¬
ния сигналов через цепи с постоянными параметрами, оказывается
мало пригодным в том случае, когда хотя бы один из параметров
55!
цепи является функцией времени. Спектральный анализ входного
сигнала сохраняет, конечно, свою силу, так же как и то, что линей¬
ная система, хотя и с переменными параметрами, полностью отве¬
чает принципу суперпозиции. Все дело заключается в том, что
отклик такой цепи даже на простейшее гармоническое воздействие
оказывается в общем случае настолько сложным, что суммирова¬
ние откликов при одновременном действии большого числа спек¬
тральных составляющих не удается -выполнить практически.
Однако в. тех случаях, когда на выходе усилителя выделяется
относительно узкая полоса комбинационных частот, удается свести
параметрический усилитель к эквивалентной схеме усилителя с по¬
стоянными параметрами и тем самым сохранить все преимуще¬
ства спектрального анализа прохождения сигналов.
16.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Для выявления основных свойств линейной колебательной си¬
стемы, один из элементов которой является периодической функ¬
цией времени фундаментальное значение имеет изучение диффе¬
ренциального уравнения системы.
Прежде всего необходимо уточнить соотношения между основ¬
ными * электрическими величинами* для каждого из энергоемких
элементов:
L = L(t) и C = C(t).
Пусть задана индуктивность L = L(t) и требуется найти напря¬
жение Ul, создаваемое на этой индуктивности током i(t). Основы¬
ваясь на законе электромагнитной индукции, следует исходить из
общего выражения
+ <Ш)
В частном случае L = const второе слагаемое в правой части
обращается в нуль и uL =L . Существенно, что в случае ме¬
няющейся во времени индуктивности на ее зажимах возникает
напряжение даже при прохождении постоянного тока.
Если задано напряжение uL (/) на индуктивности L = L(t)J то,
очевидно,
L (t) i (t) = J uLdt
и, как и в случае достоянной индуктивности,
(16-2)
Для емкости C = C(t) исходным является соотношение между
зарядом q{t), напряжением uc(t) и емкостью C(t):
q(t) = C(t)uc(t).
552
Отсюда для тока через конденсатор i(t) получается следующее
выражение:
В данном случае полезно отметить, что при переменной емкости
возможен ток даже при постоянном напряжении на емкости.
При заданном токе i(t) напряжение на емкости ue(t)9 оче¬
видно, равно
Для последовательного соединения трех элементов: L(t), C(t)
и r(\t), находящегося под действием э. д. с. f(t), имеем
Переходя от тока i к заряду qr/ перепишем последнее уравнение
еще и в следующей, часто удобной форме:
Тип уравнения и способы его интегрирования зависят от функ¬
ций L(t) и С (t).
Для практики наибольшее значение имеет случай периодиче¬
ского изменения параметров цепи. В связй с этим приходится иметь
дело с линейными уравнениями с периодическими коэффициентами.
При усилении сигналов, подводимых к цепи от внешнего источ¬
ника, уравнения являются неоднородными (с правой частью); при
выяснении же механизма возбуждения колебаний -в параметриче¬
ском генераторе, когда единственным воздействием на систему яв¬
ляется изменение параметра, правая часть в уравнении (16.6)
равна нулю и уравнение становится однородным.
Рассмотрим уравнение, получающееся из уравнения (16.6) при
L=const и г —const и изменении одной лишь емкости по закону:
Подставляя это выражение в уравнение (16.6) и обращая
dL
в нуль —jf, получаем
(16.4)
или в развернутой форме
(16.5)
(16.6)
(16.7)
Здесь, как и в случае контура с постоянными параметрами, обо¬
значено:
а :
Постоянная величина со0 представляет резонансную частоту
контура в отсутствие параметрического воздействия, т. е. при пг=0.
Для приведения уравнения (16.8) к канонической форме ис¬
пользуется подстановка
(16.9)
исключающая из уравнения (16.8) первую производную q.
Дифференцируя дважды выражение (16.9):
,и подставляя полученные выражения в уравнение ('16.8), получаем
Но о)2 —а2 = «)2в есть квадрат собственной частоты контура
(в отсутствие модуляции емкости).
Переходя к безразмерному времени
и вводя обозначения
перепишем последнее уравнение в форме
(16.12)
При обращении правой части в нуль, т. е. в отсутствие сигнала,
уравнение (16.12) переходит в уравнение Матье:
(16.13)
Теория уравнения Матье хорошо разработана. Общее решение
этого уравнения имеет следующий вид:
(16.14)
где А и В — произвольные постоянные, cpi и ф2 — периодические
функции с периодом1 л или 2я, а |ш—-показатель, зависящий от
коэффициентов исходного уравнения б и е.
Переходя с помощью формулы (16.9) от у к заряду q, а также
от т к размерному времени / [см. формулу (16.10)], получаем вме¬
сто (16.14)
(16.15)
Из этого выражения следует, что если \х есть положительное
или отрицательное действительное число, превышающее (по абсо¬
лютному значению) величину —, то одно из слагаемых выраже¬
ния (16.15) с увеличением t неограниченно возрастает. Это озна¬
чает, что решение уравнения (16.13) неустойчиво. К такому же
выводу следует прийти в случае комплексного |i, если действитель¬
ная часть р, удовлетворяет отмеченному выше условию.
Физический смысл неустойчивого решения заключается в том,
что при определенных соотношениях между г и б, т. е. между
глубиной модуляции емкости и относительной частотой этой мо¬
дуляции, при любых сколь угодных малых начальных возмущениях
(например, тепловые шумы) в контуре возникают колебания с не¬
ограниченно нарастающей амплитудой. Источником энергии для
этих колебаний служит генератор «накачки», воздействующий “на
емкость.
Полезно сделать следующее сопоставление: в случае дифферен¬
циального уравнения с постоянными коэффициентами, описываю¬
щего обыкновенный контур с постоянными I и С, для получения
неустойчивого решения требуется, чтобы коэффициент при первой
производной был отрицателен («отрицательное сопротивление»);
в случае же периодического изменения одного из коэффициентов
уравнения, т. е. L или С, для неустойчивости требуется выполнение
определенных соотношений между е и б (достаточно глубокая моду¬
ляция параметра m и определенное соответствие между Q и сосв).
Случай неустойчивого решения, представляющий особый интерес
для задачи возбуждения колебаний (параметрический автогенера¬
тор), рассматривается в следующем параграфе.
Применительно же 'к задаче параметрического усиления основ¬
ное значение имеет изучение воздействия сигнала на устойчивую
1 При безразмерном времени т = -у период ~ соответствует периоду 7\,
QTt 2тс
определяемому из соотношения —g— — 7Г» откуда Тг — -р-; периоду 2тс соот-
2 тс
ветствует период Т2 = 27\ — 2-^. Иными словами, периодичность по т,
Q
равная тс или 2тс, означает по t периодичность с основной частотой 2 или-дт .
555
систему. Эта задача приводит к необходимости исследования реше¬
ния неоднородных уравнений (16.8) и (16.12) при условии, что
решение соответствующего однородного уравнения является устой¬
чивым.
Эта задача рассматривается в § 16.4.
16.3. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
Из предыдущего рассмотрения уже ясно, что для возбуждения
колебаний в контуре с помощью периодического изменения емко¬
сти требуется, чтобы частота этого изменения £2 была определен¬
ным образом связана с частотой собственных колебаний кон¬
тура сосв, а глубина модуляции емкости т — с затуханием
контура а. Для выявления требуемых соотношений обратимся к ис¬
следованию решения уравне¬
ния М,атье (16.14); задача за¬
ключается в определении по¬
казателя [х «по заданным ко¬
эффициентам уравнения б и 8,
а также в выявлении харак¬
тера функций <Pi(t) и ф2(т).
Точное определение [х является
•весьма громоздким делом, тре¬
бующим сложных вычислений
и графоаналитических построе¬
ний. В этом, однако, нет необ¬
ходимости при рассмотрении
механизма возбуждения ко¬
лебаний в контуре с малым
затуханием, когда коэффициент т<^\ и соответственно 8<С&- Высо¬
кая избирательность контура позволяет воспользоваться методом
медленно меняющихся амплитуд (см. гл. 11), значительно упро¬
щающим решение уравнения (16.13).
Прежде чем приступать к подобному анализу, рассмотрим при¬
веденное на рис. 16.1 разбиение плоскости б, е на области неустой¬
чивых (заштрихованные) и устойчивых решений уравнения
МатьеГ
Отдельные устойчивые области смыкаются в точках г = 0,
Ъ = п2, где ti — ^~-= 1, 2, 3, ... Это означает, что при 8=1, 4,
2 1
9,..., т. е. при 2 = 2о>св, 2 = сосв, й = —о)св, Й = у о>св и т. д.,
решения уравнения Матье неустойчивы при сколь угодно малой
глубине модуляции параметра т (е->0). При промежуточных
значениях Q, когда воздействие на параметр производится не
в такт с собственной частотой контура, для неустойчивости тре¬
буется значение 8 тем большее, чем ниже частота £2. Отсюда сле¬
дует, что наиболее благоприятные условия для параметрического
возбуждения колебаний имеются вблизи абсциссы 6=1, что соот-
556
Рис. 16.1
ветствует Q«2a>CB, когда «подкачка» энергии в контур произво¬
дится дважды за период собственных колебаний.
Дальнейшее рассмотрение ограничим именно этим случаем,
имеющим наибольшее практическое значение.
Итак, будем исходить из условия, что 2«2шсв, так что
Q
частота-g- находится в полосе прозрачности контура.
В соответствии с методом медленно меняющихся амплитуд, ре¬
шение уравнения (16.13) можно искать в виде
(16.16)
где a{t) и %{t) в общем случае являются функциями времени,
a Q у
„медленными” по сравнению с cos ~^t.
С другой стороны, из теории уравнений Матье известно, что
входящие в точные решения (16.14) функции <рх и <р2 (-у
2
могут содержать только основную частоту -у и кратные ей ча-
стоты k Y. При достаточно высокой добротности контура выс¬
шие гармоники отфильтровываются и остается только составляю-
Q £>
щая с частотой -g-. Но если частота должна быть точно -<=>-, то
производная «медленно» меняющейся функции g в выражении
(16.16) должна равняться пулю. Таким образом приходим к вы¬
воду, что в пределах применимости метода медленно меняющихся
амплитуд фазу £ можно считать постоянной величиной.
Заменяя поэтому Е на Е0 и переходя к безразмерному времени
Q
х = ~2*> перепишем выражение (16.16) в форме
у = а( t)cos(t + S0). (16.17)
Сопоставляя это выражение с (16.14), приходим к цыводу, что
функция а(т) должна иметь одну из следующих двух форм:
причем каждой из этих двух форм должна соответствовать своя
фаза gi или g2- Иными словами, общее решение уравнения (16.13)
в первом приближении можно представить в виде
у = У2= -Ае^ cos (х^1) ^е ^ cos (^-f-£2)* (16.19)
Для определения |л, а также £1 и £2 остается подставить в ис¬
ходное уравнение (16.13) поочередно у\ и у2 (так как каждое из
этих решений удовлетворяет исходному уравнению).
557
Слагаемое {i2cos(t +<pt) может быть отброшено как величина
второго порядка малости.
Подставляя и у\ в уравнение (16.13), получаем
(16.20)
Умножив первое из этих уравнений на sin?1( второе на cos?!
и вычитая второе из первого, получим
или
(16.21)
Умножив затем первое из уравнений (16.20) на cos Si, второе
на sin$! и складывая, получаем
Итак,
Учитывая, что cos 2т cos(t + ?i) = -^ cos (т — cos (3*-Hi).
и отбрасывая слагаемое с утроенной частотой, приходим к сле¬
дующему выражению, в котором сгруппированы слагаемые, со¬
держащие sinx и cost:
Приравнивая нулю коэффициенты при1 sinт и cost, получаем
два уравнения для определения ^ и
или
Выражая sin2Si через C0S2?! и учитывая формулу (16.21),
получаем
= k(t)’-(V-)'- 06-23)
Заметим, что поскольку выражение (16.21) имеет смысл для
(8 — 1) < , то определяемая формулой (16.23) величина ц яв¬
ляется действительной (положительной).
Для определения воспользуемся одним из уравнений (16.20),
например вторым. Разделив его на cos^, получим
1
Таким образом,
52=-?!. (16.26)
Подставляя этот результат в выражение (16.19), получаем
у = Ае*х cos (т + у + Ве~^ cos (х - (16.27)
а заряд q(t) в соответствии с выражением (16.9) и с учетом
(16.10)
/2 \
(16.28)
Основываясь на этом выражении, нетрудно найти и ток в кон-
туре и напряжения1 на элементах L и С £ul — L • ,
q{t) ]
C(t)
1 При определении ис в первом приближении можно исходить из усло¬
вия C(t)—C0.
559
Аналогичным образом нетрудно убедиться, что при подстановке
в уравнение (Ш.13)
LLT / I ь Ч
получается следующее выражение для &
Для истолкования физического содержания полученных резуль¬
татов рассмотрим случай 6=1, т. е. случай изменения емкости
с частотой Q, точно вдвое превышающей собственную частоту кон¬
тура сосв- При этом:
(16.29)
£
На рис. 16.2 изображены графики C(t)= ; +m°C0SQt> а также
cos (-j-1 + 45°^ и cos 1 — 45° j при 4^- > а.
Из этого рисунка видно, что убывание емкости соответствует
прохождению q\ через амплитудные значения, а <72 — через нуле¬
вое значение. Это означает, что q\{t) «правильно» сфазировано
относительно закона изменения C(t) и «накачка» приводит
-
к росту амплитуды (по закону е 2 ), a qz(t) сфазировано
неправильно: в моменты амплитудных значений заряда емкость
растет, что приводит к отбору
энергии из контура и к зату¬
ханию амплитуды (по закону
На основании приведенных
рассуждений можно наметить
следующую картину возникнове¬
ния и нарастания колебаний з
параметрическом генераторе.
В момент включения контура
или в момент запуска генератора
накачки в контуре существуют
беспорядочные шумовые колеба¬
ния, вызываемые тепловым дви¬
жением заряженных частиц.
В составе этих колебаний
имеется компонент и с частотой
, однако ампл'итуда и фаза этого компонента являются случай¬
ными величинами. Допустим, что в рассматриваемый начальный
момент времени интересующий нас компонент имеет ампли¬
туду О А и фазу 0 (рис. 16.3). Разложим вектор, изображающий
это колебание, по двум направлениям: N\N2 и М\М2. Вектор ОД
совпадающий с прямой N\N2 и равный О A cos (0 — £1), изобра¬
жает колебание, правильно сфазированное относительно фазы
«накачки», а вектор ОС, совпадающий с прямой МХМ2, изобра¬
жает колебание, которое под воздействием изменения емкости
начинает затухать. Можно поэтому считать, что начальные усло-
560
Рис. 16.2
бия для параметрического генератора определяются амплитудой
составляющей, фаза которой определенным образом связана
с фазой накачки. Из формул (16.29), а также из рис. 16.3 ясно,
что таких положений вектора имеется два: при ^ = 45° и gi = 225°
(для частного случая -тг=(осв). Если вектор ОА расположен над
прямой М\М2, то проекция его на прямую N\N2 положительна,
в противном случае — отрицательна. Это означает, что при задан¬
ной фазе накачки фаза колебания в параметрическом генераторе
может принимать одно из двух фиксированных значений. При
Й = 2сосв эти фазы различаются на 180°.
Двузначность фазы колебаний, ге¬
нерируемых при параметрическом воз¬
буждении, используется в специаль¬
ных генераторах («параметрон»), при¬
меняемых в вычислительных устрой¬
ствах для получения двух устойчивых
состояний, соответствующих двум зна¬
кам двоичного кода.
Напомним, что в обычном автогене¬
раторе фаза установившихся колеба¬
ний может принимать любое значение,
целиком зависящее от начальных усло¬
вий. Нетрудно видеть, что отмеченная
выше особенность параметрического
генератора объясняется тем, что кон¬
тур с периодически изменяющейся емкостью является не автоном¬
ной системой, а системой, подвергающейся внешнему воздействию.
Естественно, что частота и фаза генерируемых колебаний жестко
связаны с частотой и фазой внешней силы, действующей на систему.
Другой особенностью параметрического генератора является
необходимость искусственного введения нелинейности для осу¬
ществления ограничения амплитуды генерируемых колебаний. Без
этого амплитуда колебаний в линейном контуре при параметри¬
ческом возбуждении должна нарастать неограниченно вплоть до
разрушения контура (пробой конденсатора, перегрев элементов
контура). В качестве нелинейности может быть, например, исполь¬
зована индуктивность со стальным сердечником, который при до¬
стижении амплитудой тока определенного уровня доводится до
магнитного насыщения. Связанное с этим изменение индуктивно-
2
сти приводит к расстройке контура относительно частоты -у- и,
следовательног к ухудшению условий возбуждения. Можно также
применять сопротивление, величина которого возрастает с уве¬
личением амплитуды колебаний в контуре.
Остановимся в заключение на некоторых важных выводах,
вытекающих из выражения (16.23). Как ясно из всего предыду¬
щего рассмотрения, условие возбуждения колебаний сводится
36 Зак 3/235 561
Рис. 16.3
к условию --у— >а. Обозначим через $кр значение ^отвечающее
равенству
: а.
Здесь ткр — критическое значение коэффициента модуляции емко¬
сти (на грани возникновения генерации).
Решая полученное выше уравнение относительно ткр и учи¬
тывая, что £ 2со0 ^ 20)^, получаем
Обозначая через Асо расстройку
2Да
или окончательно
где Q — добротность контура.
График ткр(а), где a = -^-Q, изображен на рис. 16.4 (сплош¬
ная кривая). Пунктирные прямые, являющиеся асимптотами кри¬
вой ткр(а), соответствуют границе области устойчивости пара¬
метрически возбуждаемого контура без потерь.
562
Тогда на основании формулы (16.23) можем написать
где в соответствии с формулой (16.11)
можем считать, что
Следовательно,
ввиду чего
Двойной штриховкой обозначена область возбуждения коле-
баний, а горизонтальной штриховкой — область неустойчивых ре¬
шений уравнений Матье, которые, однако, после умножения на
е~а/ приводятся к устойчивым решениям. Наконец, незаштрихо-
ванная область соответствует устойчивым решениям уравнения
Матье и тем более устойчивым решениям исходного уравнения
(16.8).
Следует подчеркнуть, что приведенные результаты, получен¬
ные на основании допущения о фильтрации контуром всех частот,
кратных ~2~ ~сосв, справедливы лишь при достаточно малых зна¬
чениях обобщенной расстройки а= -^-Q, не превышающих не-
^СВ *
скольких единиц. Нетрудно видеть, что рис. 16.4 по существу
является изображением в увеличенном масштабе одного «языка»
диаграммы рис. 16.1 в окрестности точки 6=1, е=0.
16.4. ОДНОКОНТУРНЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
Для выяснения принципа работы и, некоторых особенностей
одноконтурного параметрического усилителя необходимо изучить
поведение контура с периодически меняющейся емкостью под
действием простейшего сигнала в виде гармонической э. д. с. Ма¬
тематически задача сводится к решению уравнения (16.12),
в котором f(t) представляет собой синусоидальную э. д. с.
Е cos («>/ + ¥о):
(16.32)
Обозначив всю. правую часть через fi(x), перепишем 'эго уравне¬
ние в форме
<16.33)
563
Рис. 16 4
Как и в предыдущих параграфах, здесь
Для упрощения анализа будем считать, что частота „накачки"
вдвое превышает частоту а>св, так что 8=1 и г^т.
Само собой разумеется, что величина т должна быть меньше
найденного в предыдущем параграфе критического значения тпкр,
соответствующего порогу устойчивости. В соответствии с форму¬
лой (16.31) при 6=1 (или, что то же самое, Аю = 0)
Для решения уравнения (16.33) воспользуемся способом ва¬
риации постоянных, т. е. представим искомое решение неоднород¬
ного уравнения в такой же форме (1Q.19), что и решение соответ¬
ствующего однородного уравнения (16.13)
с тем, однако, отличием, что коэффициенты С1 и С2 должны рас¬
сматриваться как функции т.
Для определения функций Ci(t) и Сг(т) требуется два урав¬
нения. Одним из них является условие, что решение (16.34)
удовлетворяет уравнению (16.33). Второе уравнение можно за¬
дать произвольно. Дифференцируя выражение (16.34), получаем
откуда видно, что в качестве дополнительного уравнения для
определения Cf и С2 целесообразно взять следующее:
(16.34)
(16.35)
При этом выражение для у' упрощается:
y/==CiyJ+ С2у2.
Дифференцируя повторно, находим:
(16.36)
564
Подставляя выражения (16.34) и (16.36) в исходное уравнение
(16.33), получаем
Замечаем, что выражения в квадратных скобках равны нулю, по¬
скольку у\ и у2 являются решениями однородного уравнения
(16.13). Таким образом, приходим к следующему уравнению:
Это уравнение совместно с (16.35) однозначно определяет Ci и Сг-
Из уравнения (16.35) определяем
Подставляя выражения (.16.38) и (16.39) в (16.34), получаем окон¬
чательное выражение
Нетрудно видеть, что сумма последних двух слагаемых является
общим решением однородного уравнения, соответствующего урав¬
нению (16.33), и определяет свободное колебание в контуре, зави¬
сящее от начальных условий. Следовательно, искомое частное ре¬
шение уравнения (16.33) с правой частью, определяющее вынуж-
или
(16.37)
(16.38)
где К\ — произвольная постоянная.
Аналогичным образом находим, чгго
(16.39)
565
Подставляя это выражение в (16.37), получаем
откуда
девный режим в контуре и не зависящее от начальных условий,
имеет следующий вид:
Переходя, наконец, от у к q = ye ** и от i к у<, получаем
общее выражение для q(t):
Учитывая, что в соответствии с выражением (16.34)
причем |i = 45 (при 6=1), определяем знаменатель подынтеграль¬
ных функций:
Так как при 8 = 1, ц = -|- — 1, то можно считать
Подставляя этот результат в (16.41) и учитывая выражения для
У и Уг и Ш. получаем
Косинусы суммарных частот (-у +со как высокочастотные функ¬
ции (по сравнению с'разностными частотами), при интегрировании
могут быть опущены (см. § 3.8).
Таким образом, выражение для q{t) принимает следующий вид:
(16.44)
567
Преобразуем подынтегральные функции:
Выполнив интегрирование и произведя несложные тригонометриче¬
ские преобразования, приводим это выражение к виду
Главной особенностью одноконтурного усилителя, как это вытекает
из выражения (16.44), является возникновение комбинационной
Q
частоты £2—со. Лишь при точном совпадении частоты со с -g,когда
Q — со = со, получается одно колебание с частотой сигнала со.
Прежде чем обратиться к* оценке влияния комбинационной
частоты, выясним оптимальное значение начальной фазы сигнала
<р0. С этой целью рассмотрим „резонансный* случай о> = -^-.
При этом Q —о) = о),—со = 0 и выражение (16.44) перехо¬
дит в следующее:
Для проверки рассмотрим случай т = О (отсутствие параметриче¬
ского Бездействия) . При эт#м
Получается правильное выражение для заряда: амплитуда
£
заряда равна резонансной амплитуде тока — , поделенной на со,
а фаза на 90° запаздывает относительно тока и приложенной
э. д. с. [cos (<о^ -j- ср0)] • С другой стороны, для получения суще¬
ственного усиления, доводится до величины, близкой к а
(с некоторым запасом устойчивости). Можно поэтому считать,
тй . тО.
что а g— настолько мало по сравнению с а-)—g- , что вто-
рыми дробями в квадратных скобках выражения (16.44') допу¬
стимо нренебрегать.
Тогда получается следующее выражение:
Отсюда можно найти фо, обеспечивающее получение максимальной
амплитуды сигнала в контуре. Очевидно, для этого необходимо,
чтобы
d (sin со- — cos ср0) » . л
V L — = cos ср0 + sin ср0 = 0,
568
что возможно при фо = —45° или фо=135°. Нетрудно видеть, что эти
фазы !на 90° отличаются (в сторону опережения) от фаз <7(0, ПРИ
которых получается максимальная «накачка».
Как показано было в предыдущем параграфе, эти фазы равны
Ь = 45° и 225°. Учитывая, что q(t) на 90° отстает от сигнала f(t),
фаза последнего должна быть 45° + 90°=135° или 225° + 90о = 315°
(что эквивалентно — 45°).
То обстоятельство, что амплитуда колебания в контуре зависит
от соотношения фаз сигнала и накачки, является существенным
недостатком одноконтурного усилителя.
Даже *при усилении сигнала с неизменной частотой со= -у
поддерживать оптимальную фазу накачки является задачей прак¬
тически очень сложной. При усилении же сложного сигнала, обла¬
дающего определенным спектром частот, соблюдение необходимых
фазовых соотношений для всех компонентов спектра принципи¬
ально невозможно.
Обращаясь вновь к уравнению (16.44) и учитььвая только сла-
( mQ \
гаемые, содержащие в знаменателе (а g-J , приходим к сле¬
дующим выражениям для компонент с частотами со и £2—со:
Итак, амплитуды составляющих с частотами со и Q—со одинаковы.
Взаимодействие этих колебаний образует биения ,с частотой
(Q—■со) — со = £2 — 2со, которая .не может превысить полосу про¬
пускания контура (поскольку й=2*оо, а со по условию 'находится
в лолосе соо±Асоо, где Дсоо — 'половина полосы пропускания кан-
тура; таким образом, |£2 — 2со| <!2Дсоо).
няя за период биений амплитуда колебаний получается большей,
чем амплитуда в отсутствие параметрического воздействия, т. е.
имеет место усиление сигнала. Однако подобный режим рагботы
усилителя, при котором возникают биения и связанные с этим
последствия (пульсация амплитуды и изменение фазы результи¬
рующего колебания), мало пригоден для практики.
Здесь
Можно показать, что даже при расхождении частот со и у, сред-
569
В связи с этим одноконтурный усилитель не получил особенно
широкого распространения. Несмотря на это, отчетливое понима¬
ние происходящих в этом усилителе явлений необходимо для объ¬
яснения работы иных ти/по в параметрических усилителей, свобод¬
ных от рассмотренных выше недостатков.
Важное значение, в частности, имеет установление факта воз¬
никновения комбинационных частот. В случае воздействия сигнала
с частотой со на контур, емкость которого изменяется с частотой £2,
возникают комбинационные частоты вида £2 + со и £2 — со. Первая
из этих частот была отброшена при составлении уравнений пер¬
вого 'Приближения (16.20), а также при вычислении интегралов
в выражении (16.42) на том основании, что о,на расположена да¬
леко от полосы прозрачности контура. Вторая комбинационная
частота £2 — со, попадающая в полосу прозрачности 'контура, ока¬
зывает, как это видно из выражений (16.44) — (16.447), большое
влияние на работу усилителя.
Один из способов к усовершенствованию (параметрического уси¬
лителя, как будет видно из дальнейшего, заключается в удалении
комбинационной частоты £2—со от полосы прозрачности сигналь¬
ного контура.
16.5. ДВУХКОНТУРНЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
В предыдущем параграфе был выявлен основной недостаток
одноконтурного усилителя: возникновение комбинационной частоты
£2 — со, близкой к частоте сигнала.
От этого недостатка -свободен двухконтурный параметрический
усилитель, схема которого изображена на рис. 16.5. В этой схеме
контур L2, С2 с резонансной частотой сор2 является вспомогательным
(«холостым»), а сигнал e(t) вводится в первый контур Lh С\9 на¬
строенный на центральную частоту сигнала соь т. е. сор1=соь Сопро¬
тивления R1 и R2 учитывают потери в первом и втором контурах.
Управляемая емкость C(t) является в данной схеме элементом
связи между обоими 'контурами, причем частота изменения этой
емкости берется равной сумме частот сор1 и <ор2:
Рис. 16.5
Рис. 16.£
(16.45)
570
Для уяснения принципа работы подобного усилителя рассмотрим
сначала схему, представленную на рис. 16.6. От схемы рис. 16.5
эта схема отличается только тем, что первый контур и источник
сигнала заменены генератором э. д. с. с нулевым 'внутренним сопро¬
тивлением, который поддерживает на своих зажимах разность
потенциалов:
п\ (0 = cos (V -f- <рх) = , (16.46)
где Ul = U1 • ei<fl — комплексная амплитуда входной э. д. с.
Через Z2(со2) на схеме рис. 16.6 обозначено комплексное
сопротивленце второго контура, весьма большое для частот,
близких к (1)р2 и исчезающе малое для частот <орЬ 2 и 2 + (°pi-
Емкость C(t) зададим выражением
C(O=fc0[ 1 — т cos(2^ 4- ф)] = С0 — ДСcos (2^ + <]>), (16.47)
где АС = тС0.
Из предыдущего параграфа ясно, что при воздействии напря¬
жения с частотой coi на емкость C(t), изменяющуюся с частотой Q,
возникает так на трех частотах: соь £2-f-(Di и Q — соь Первые два
компонента тока замыкаются через второй контур, не создавая на
нем падения напряжения, третий же компоненте частотой £2 — o)i =
= 0)2 создает на контуре напряжение с неизвестными пока ампли¬
тудой U2 и фазой ф2:
и2 (t) = U2 cos Ы + ?2) = и2е‘ш’-‘; U2 = U2^\ (16.48)
Постараемся определить полную проводимость <схемы рис. 16.6
между зажимами 1—1 для 'частоты сигнала о)ь По характеру этой
проводимости можно будет судить о влиянии, которое оказывает
емкость C(t) совместно с вспомогательным контуром L2, С2 на
основной сигнальный контур.
Определим прежде всего ток i\{t) через емкость С(/), созда¬
ваемый напряжением U\(t), приложенным фактически нелорред-
ственно к емкости C(t) (так как для частоты o)i второй контур не
оказывает заметного сопротивления). Применяя соотношение
(16.3), а также (16.47), можем написать
н = + [Со - ДС cos (21 -!- Ф)] X
X [— «>i£/iSin(V-f <Pi)j rf[Co—ACcos(2f + w)] ^/^05(0,^ + ^).
Произведя обычные тригонометрические преобразования и отбра¬
сывая слагаемые с частотой Q + ft>i, получим
h (t) = — i/jtOjCo sin (<»i^ + <Pi) + (2 — coj sin X
X [(2 — (o,)*-f tp — = — U^Cq sin (<V + ?]) +
, и^г . , , , , , (16.49)
+ - 2 stn((02^-f ф — yt).
571
Первое слагаемое есть не что иное, как ток частоты coj через
постоянную емкость Со, подключенную параллельно зажимам 1—/.
Второе же слагаемое тока (с частотой (02) создает на контуре
Ь2, С2 напряжение:
li2 (t) = (<»■>) sin ^ ф _ ?1 ^ (16.50)
где «^ — аргумент комплексного сопротивления ,г2 (<о2).
Сопоставляя выражения (16.50) и (16.48), находим амплитуду
и фазу напряжения и2:
Ц = J/tACysK) е%, ?2 = ф_<р1+9г1_'. (16,51)
Это напряжение, будучи приложено полностью к C{t), создает
ток
(,«) = -(с $+«,§). (16.52)
Знак минус учитывает 'направление тока, обратное току i\(t), на¬
правление которого принято за положительное.
Подставляя в .выражение (16.52) формулы (16.50), (16.47) и
произведя преобразования, аналогичные тем, которые были сде¬
ланы при выводе формулы (16.49), получаем
к (0 — «>2^0 COS (u>2* + ф — ?1 + <?г) —
_ UiLCb&i (ш2) ^ ^ cos ? j _
=и2ш2С0 sin (а)2г! -f <p2) — ^ ^ cos ^ -j- cpt — <p^). (16.53)
Первое слагаемое в пра-вой части, представляющее собой не что
иное, как ток частоты (о2 через постоянную емиость С0, подключен¬
ную параллельно контуру L2, С2, интереса не представляет. Второе
же слагаемое определяет добавочный ток с частотой сигнала соь
обусловленный влиянием (реакцией) контура L2y С2. Очень важно
отметить, что фаза этого тока не зависит от фазы гр накачки.
Итак, полный ток частоты o)i равен
(0 = — sin (ш^ + ?1) — —■-■^2<1)2а>1 г2 (ш2) COS (V + <Pi — cp0j)
или в комплексной форме
Разделив комплексную амплитуду этого тока на комплексную
амплитуду сигнала U^91, найдем полную проводимость схемы
рис. 16.6 между зажимами 1 — 1:
Y(<*>i) = toxCo — j A^cojco^ (o)2) e .
—/фу
Ho z(w2)e 2 есть функция, комплексно сопряженная по от-
ношению к сопротивлению 22(«>2)е '•
Обозначая эту функцию через Z*(u)2) = —;—, получим окон-
Г2((02)
чательно
\г / \ ; Д (7^0)}<02 / v . j0)2 / 1 Г Л \
К(ojj) — JWjCo ^ 2Г2 (ш2) — ШгСо 4у* ^ J ‘ (16.54)
Итак, дополнительная проводимость, обусловленная периоди-
1 ческой модуляцией емкости и наличием второго контура, равна
ул„\_ (<о2) _ дсч«г /1ессч
— '4 — . ~ • (16.55)
4 4Г2(<о2)
Как уже отмечалось выше, фаза ф накачки не оказывает
влияния на величину эквивалентной проводимости.
При точной настройке холостого контура на частоту и>2 =
— 2_ 0)1 у* (Ш2) _ чисто активная проводимость; следовательно,
при этом Уэ (<ot) — действительная и отрицательная величина.
В частности, для схемы, изображенной на рис. 16.5, „резонанс¬
ное' значение К,^) равно
G3= ПК)рез= - !«,l(o2AC2/?2. (16.56)
Переходя от схемы рис. 16.6 к схеме двухконтурного усилителя,
показанного на рис. 16.5, нетрудно определить эффект от подклю¬
чения -отрицательной проводимости G3 к положительной про,води-
мости Gi = 1//?!,сигнального контура (при резонансе). Именно, по¬
лучается компенсация лотерь первого контура, что эквивалентно
усилению сигнала. Некоторые основные расчетные соотношения
для подобного усилителя, а также его частотные характеристики
рассматриваются в следующем параграфе.
Здесь мы остановимся на некоторых принципиальных особен¬
ностях двухконтурного усилителя.
Из предыдущих рассуждений ясно, что если отрицательная
проводимость Gs превышает по абсолютной величине положитель¬
ную проводимость Gb то схема становится неустойчивой и насту¬
пает режим генерации. Таким образом, условие устойчивости в дан¬
ном случае можно сформулировать в виде следующего неравенства:
A£?2(*)iO)2^2 1
или
(16.56')
Далее следует отметить то очевидное положение, что оба кон¬
тура «равноправны» в том смысле, что цри введении сигнала в лю¬
бой из них другой является холостым контуром. В практике,
однако, параметры сигнального и холостого контуров выбираются
различными (ом. § 16.6).
Важным преимуществом двухконтурного усилителя, как уже
отмечалось, является независимость усилительного действия от
фазы г|) накачки. Ясно также, что и некоторое изменение частоты
накачки £2, не приводящее к выходу частоты 02 —£2— coi из полосы
пропускания второго (холостого) контура, не нарушает работы уси¬
лителя.
Эти важные свойства двухконтурного усилителя могут быть сде¬
ланы более наглядными при рассмотрении взаимодействия «на¬
качки» с результирующим напряжением на C(t).
С этой целью примем, что амплитуды напряжений U{ и U2 на
контурах схемы рис. 16.5 приблизительно одинаковы, что близко
к реальному режиму работы усилителя на ярани устойчивости (т. е.
когда неравенство (16.56') близко-к равенству). Результирующее
напряжение на конденсаторе C(t) равно разности напряжений
uu(t) и u2(t) [поскольку последнее является падением напряжения,
создаваемым на 22(со2) током, направленным слева направо (см.
Для упрощения рассмотрения положим q>z =0 (резонансный
случай) и, кроме того, для изменения знака минус на .плюс доба¬
вим Jt к фазе напряжения и2. Тогда, полагая UX = U2, получим
Начальная фаза первого слагаемого, т. е. аргумент при t = 0Т
есть ?!, а второго слагаемого ф —<Pi + -g-*
Следовательно, сумма двух напряжений образует биения с ча¬
стотой заполнения
рис. 16.5)]:
и с начальной фазой
574
it 2
Но полусумма частот ы1 и со2 есть не что иное, как , т. е.
частота, наиболее благоприятная для отбора емкостью энергии
от источника накачки.
С другой стороны, фаза результирующего напряжения также
’является оптимальной, ибо лри ф = 0 фаза напряжения должна
'быть 45° (или 225°), как это было установлено в § 16.3, формула
’(16.28), а при сдвиге фазы накачки на угол г|) фаза напряжения,
[частота которого вдвое меньше, должна быть сдвинута всего лишь
'на ф/2.
Из этого рассмотрения ясно, 'почему усиление двухконтурного
усилителя не зависит от соотношения фаз усиливаемого сигнала и
(накачки. Это объясняется тем, что фаза -ф накачки полностью .пе¬
редается напряжению U\ (частоты со2), ввиду чего результирующее
«напряжение на C(t) всегда сохраняет оптимальную фазировку по
отношению к накачке.
Следует, ко-нечно, иметь в виду, что при снижении АС падает
амплитуда U2 (относительно U\)4 что ухудшает фазировку. Это
обстоятельство учитывается тем, что Сэ и, соответственно, коэффи¬
циент усиления уменьшаются пропорционально .квадрату т, а не
первой степени, как в одноконтурном усилителе (см. § 16.4).
16.6. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ДВУХКОНТУРНОМ УСИЛИТЕЛЕ
Основными характеристиками параметрического усилителя, как
1и любого другого усилителя, являются -коэффициент усиления и
полоса пропускания.
По сравнению, однано, с ранее рассмотренными обычнььми уси¬
лителями .некоторые особенности подхода к параметрическим уси¬
лителям, применяемым в основном «в качестве входных усилителей
в радиоприемных устройствах, заключаются в том, что при построе¬
нии схемы и выборе ее элементов преследуется цель извлечения
наибольшей возможной мощности сигнала из приемной антенны.
'Удобно -поэтому антенну со всеми согласующими цепями представ¬
лять в виде эквивалентного генератора э.д. с. с соответствующим
внутренним сопротивлением или, что не меняет сути дела, в виде
генератора тока с внутренней проводимостью G; = -^, а коэффи¬
циент усиления определять как отношение мощности, выделяемой
'в полезном нагрузочном сопротивлении к максимальной .мощности,
(которую способен развить источник сигнала, работающий на согла¬
сованную нагрузку (в отсутствие усиления).
В случае генератора э.д.с. с амплитудой Е эта мощность
равна
а в случае генератора токае амплитудой /
/>..~=Ц4У*,=г£- о6-58»
В 'первом случае учитывается, что та согласованном нагрузоч¬
ном сопротивлении, равном Rt, напряжение вдвое меньше, чем э. д. е.
генератора, а во втором — что ток в нагрузке ‘равен половине тока
генератора.
Обратимся к рассмотрению схемы двухконтурного усилителя
(рис. 16.7), отличающейся от рис. 16,5 только тем, что источник
сигнала представлен в виде генератора тока i(t) с внутренней
проводимостью = , а®к проводимости Gt— -щ добавлена на-
* г 1
грузочная проводимость ин = ^.
Определим коэффициент усиления сперва для резонансной
частоты со, = (Opj, когда амплитуда тока в нагрузочном сопро¬
тивлении равна:
/а = /_—-fo. (16.59)
н Gj-г Oi * С„ т бэ
где G3 определяется формулой (16.56), а мощность, выделяе-
/2
мая этим током в нагрузке, равна gj-.
Разделив эту мощность на Рткс (см. формулу (16.58)], най¬
дем коэффициент усиления мощности в виде
is IGnGj 4GHG; Hfififn
“ (G« tOi + Ght G,)2 — / AC4»s „ V '
vCitGh — —4 RoJ
Из этого выражения следует, что для получения значитель¬
ного усиления нужно так выбирать АС, чтобы величина C2R2
была близка к сумме проводимостей +-j-<7В; таким образом,
амплитуда изменения емкости должна быть порядка
Следует, конечно, иметь в виду, что это значение АС является
критическим, при превышении которого наступает генерация. Для
576
обеспечения достаточного запаса устойчивости не следует ДС
слишком приближать к пороговому значению.
Из формул (16.60) и ('16.61) видно, что для повышения коэф¬
фициента усиления и облегчения требований к управляемой емко¬
сти, т. е. для снижения требуемой величины АС, выгодно 'повышать
вспомогательную частоту а>2, а также снижать G2 = -^p, т. е. повы¬
шать добротность холостого контура.
Обратимся к определению полосы пропускания двухконтурного
усилителя.
Составим выражение для коэффициента усиления при частоте
сигнала отличающейся от резонансной частоты активного
контура сор1 на величину Асо:
Считая частоту модуляции параметра 2 неизменной и равной
wpi + wp2> приходим к выводу, что частоте сигнала будет
соответствовать новая вспомогательная частота
со2 = & — щ — (шр1 -f- сор2) — (сор1 -f А со) = (ор2 — Ао).
Проводимость холостого контура для этой частоты равна
Подставляя это выражение в формулу (16.55), получаем
Как и следовало ожидать, отклонение частоты входного
сигнала от резонансного значения <ор1, во-первых, вызывает сни¬
жение абсолютной величины отрицательной проводимости [срав¬
нить (7Э (Асо) в (16.62) с G3 в (16.56)] и, во-вторых, приводит
к появлению реактивной проводимости К, (Асо), шунтирующей
активный контур.
37 Зак. 3/235 577
сопряженная функция
Учитывая также собственную реактивную проводимость актив¬
ного контура, обусловленную изменением частоты сигнала на ве¬
личину Дсо и равную
получаем следующее выражение для полной проводимости 'между
зажимами 1—1 на схеме рис. 16.7:
О/ + Gi + GH + G3 (Aw) + i [со^с, ^ + п (Am)].
Применяя формулу, аналогичную (16.60), находим коэффициент
усиления мощности
(16.64)
578
Здесь использовано соотношение
т. е. под Ql3 подразумевается добротность нагруженного первого
контура.
Для определения полосы пропускания по половинному уровню
мощности приравняем /Ср(Асоо), как и в обычном усилителе, поло¬
вине резонансного коэффициента усиления Кр, определяемого фор¬
мулой (16.60). Тогда лолучается следующее соотношение:
Оценим величину а20 = ^~Q2> представляющую собой нечто
иное, как обобщенную расстройку холостого контура на грани¬
цах полосы пропускания усилителя. Хотя добротность холостого
контура Q2 может быть весьма значительной (до я# 1000), вели¬
чина а20 имеет тот же порядок, что и обобщенная расстройка
первого контура a10 = -^-Ql9, так как обычно шр2 значительно
превышает шр1. С другой стороны, полоса пропускания усилителя;
т. е. первого'контура с учетом отрицательной проводимости, зна¬
чительно уже, чем полоса нерегенерированного контура. Поэтому
на границах полосы пропускания обобщенная расстройка как пер¬
вого контура (без учета регенерации), так и второго значительно
меньше единицы. Можно поэтому пренебречь слагаемым (■2А<1>°
\ “Р2 )
по сравнению с единицей, что позволяет просто решить уравнение
(16.64) относительно flio=-^-2-Qi3:
Обозначим для краткости через Gl3 полную активную .проводимость
первого контура, т. е.
Тогда с учетом формулы (16.56), выражение (16.Е5) можно пере¬
писать в следующей форме:
Но .ранее бьгло .найдено, что резонансный коэффициент усиления
равен [см. формулу (16.60)]
откуда
Можно поэтому относительную полосу ~ выразить через резо¬
нансный коэффициент усиления Р
В тех случаях, когда ^ > 1, а | С7Э | близка к 01э, выполняется
условие
Наконец, произведение корня квадратного из коэффициента усиле¬
ния на относительную полосу пропускания приблизительно равно
(16.68)
При высоких коэффициентах усиленйя, когда |G3|^Gl3, ве¬
личина 2 у j-^jблизка к единице.
При этом приблизительно
(16.69)
Итак, для повышения произведения коэффициента усиления на
полосу выгодно повышать -отношение холостой частоты сог к частоте
сигнала соь
Из проведенного выше анализа видно, что параметрический
усилит ель представляет собой разновидность регенеративного
устройства. Периодическое изменение одноло из энергоемких эле¬
ментов колебательной системы приводит ik повышению эквивалент¬
ной добротности контура и к соответствующему увеличению ампли¬
туды сигнала. Как и в обычном регенеративном усилителе (§ 14.1),
этот эффект сопровождается сужением полосы пропускания кон:
тура, что не является, однано, существенным 'недостатком при уси¬
лении сверхвысоких частот, когда относительная ширина спектра
22макс
сигнала весьма мала и главное значение имеет снижение
(Di
уровня шумов в усилителе. В этом отношении параметрическое
усиление, при котором энергия черпается из источника напряжения
«накачки», обладает преимуществам .перед ламповыми, 'полупро¬
водниковыми и другими усилителями, в которых уровень шумов
■относительно высок из-за дробовых, диффузионных и других эф¬
фектов (см. гл. 17).
530
При этом выражение (16.67) еще более упрощается:
16.7. ОСОБЕННОСТИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ УСИЛИТЕЛЕЙ
СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТ
В обычных электронных и полупроводниковых усилителях, рас¬
смотренных .в гл. 8, а также в регенеративном усилителе, описан¬
ном в § 14.1, обеспечивалась развязка «входа» и «выхода»: в лам¬
повом усилителе сигнал вводится в сеточную, а .выделяется в анод¬
ной цепи, в полупроводниковом усилителе также имеются разде¬
ленные .входная и .выходная цепи.
Иначе обстоит дело в параметрическом усилителе СВЧ, в ко¬
тором усиливаемый и усиленный сигналы действуют, по существу,
в одних и тех же тачках ко¬
лебательной системы. В све¬
те изложенной в трех пре¬
дыдущих параграфах теории
эта особенность параметри¬
ческого усилителя объясня¬
ется тем, что создаваемая
переменной емкостью отри¬
цательная проводимость
подключена непосредствен¬
но к входному сигнальному
контуру.
Другой особенностью па¬
раметрического усилителя является необходимость применения
двухчастотной колебательной системы, в которой элементом связи
между отдельными контурами является управляемая (напряже¬
нием накачки) емкость.
Таким образом, проблема реализации двухконтурного усилителя
СВЧ, основанного на периодическом изменении емкости, сводится
к практическому рещению следующих трех задач: а) создание
конденсатора, допускающего безынерционное изменение емкости
с помощью высокочастотного напряжения, б) разработка двух¬
частотной колебательной системы, конструктивно представляющей
одно целое с управляемым элементом связи, и в) разделение вход¬
ного и выходного сигналов.
Первая из этих задач успешно решейа современной полупро¬
водниковой (техникой, 'приведшей к созданию электронно-управляе¬
мых емкостей (§ 12.4).
Вторая задача, т. е. создание двухчастотной колебательной си¬
стемы, не представляет сложности для современной техники СВЧ.
Обычно для этой цат и применяются (полые резоиаггоры.
Наконец, третья задача, т. е. разделение входного и выходного
сигналов, успешно осуществляется с помощью ферритовых цирку¬
ляторов.
Сочетание перечисленных выше элементов и .приемов приводит
к своеобразным схемам параметрических усилителей, один из воз¬
можных примеров которых изображен на рис. 16.8.
581
Рис. 16.8
На этой схеме .входной сигнал (с частотой coi) с циркулятора
попадает ,на -параметрический усилитель, а также на выход, но
усиленный сигнал с параметрического усилителя может пройти
•через циркулятор только на выход.
Заградительный (,режекторный) фильтр, настроенный на ча¬
стоту Q, преграждает путь частоте накачки в циркулятор и связан¬
ные с ним цепи.
На бошее подробном рассмотрении схемных и конструктивных
•особенностей параметрических усилителей мы не останавливаемся,
так ’как это входит в задачу специальных курсов.
Отметим в заключение, <что приведенная в данной главе теория
охватывает лишь основные воцросы, связанные с энергетическими
соотношениями в параметрической системе.
В настоящее время широко применяются разнообразные схемы,
в которых процесс усиления сигнала сочетается с процессом 'пре¬
образования частоты.
ГЛАВА 17
ПОМЕХИ В РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВАХ
17.1. ПРОБЛЕМА ПОМЕХ В РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ
В реальных устройствах формирование, .передача, усиление и
любые другие преобразования сигналов всегда сопровождаются
помехами, возникающими в различных элементах самого устрой¬
ства или поступающими извне. Эти помехи оказывают существен¬
ное, а в некоторых случаях решающее влияние на работу радио¬
электронного устройства. Степень и характер этого влияния зави¬
сят от величины усиления и характера устройства (линейного или
нелинейного).
Чем выше усиление, тем сильнее (проявляется вредное действие
•помех. Как уже отмечалось ранее, современная электроника позво¬
ляет, в /принципе, осуществить сколь угодно большое усиление
сигнала. Однако повышать усиление имеет смысл при условии, что
отношение величины сигнала к величине помехи превышает опре¬
деленный минимум, необходимый для различения сигнала на фоне
помех.
Важнейшее значение приобретает поэтому уровень сигнала от¬
носительно «помехи на входе усилителя. Чем выше этот уровень,
тем слабее влияние 'помех и тем в большей степени может быть
использовано усиление системы. Тажая постановка вопроса харак¬
терна для радиоприемных, а также любых других усилительных
устройств, от которых требуется высокая чувствительность (на¬
пример, в усилителях, используемых в ядзрной физике).
Действие помех проявляется по-раз)личнаму в линейных и не¬
линейных системах.
В линейных устройствах помехи накладываются на сигнал
линейно, не оказывая влияния на структуру самого сигнала. Вредное
действие помех заключается при этом лишь в создании маскирую¬
щего фона, затрудняющего извлечение полезной информации из
сигнала.
В нелинейных устройствах действие помех оказывается обычно
более сложным, так как помимо создания мешающего фона изме¬
няется также и структура сигнала. Так обстоит дело, например,
s нелинейных элементах приемника (детектирование). Другой при-
583
мер можно привести из области генераторной техники: собствен¬
ные шумы (связанные с дробовым эффектом ,в электронных при¬
борах) нарушают монохроматичность автоколебания («размытие»
спектральной линии), приводят к случайности положения фронтов
радиоимпульсов и т. д.
Собственные шумы являются одной из основных характеристик
любого радиотехнического устройства, в котором используется зна¬
чительное усиление. Поэтому в данной главе основное внимание
уделено -изучению структуры собственных шумов усилителя, а так¬
же изучению изменения этой структуры три прохождении шумов
через типовые элементы радиотехнического тракта. Затем рассма¬
тривается совместное действие синусоидального .сигнала и шумовой
помехи на амплитудный детектор.
В 1швце главы кратко рассматривается влияние шумов на ра¬
боту автогенератора.
17.2. ДРОБОВОЙ ЭФФЕКТ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО ТОКА ЛАМПЫ
Дробовой эффект является одним из основных источников шумов-
в усилителях. Изучение структуры анодного тока лампы является
весьма удобным .путем к ознакомлению с основными -свойствами:
•стационарных случайных процессов с нормальным распределением,
играющих важную роль в теории обнаружения сигналов на фоне
шумов.
Анодный ток электронной лампы представляет собой совокуп¬
ность импульсов, каждый из которых обусловлен переносом заряда
одного электрона. Так как моменты выхода электронов из катода
могут рассматриваться как случайные и взаимно независимые, то
•образуемый отдельными импульсами результирующий ток пред¬
ставляет собой случайный процесс. Для полного описания этого
процесса должны быть известны: а) закон распределения мгновен¬
ных значений тока и б) спектральное распределение рреднего квад¬
рата тока (или тесно с этой характеристикой связанная корреля¬
ционная функция случайного процесса).
Обратимся к рассмотрению первой из этих характеристик. За¬
дача сводится к отысканию закона распределения для функции i(t),
являющейся суммой одинаковых по форме и величине, ню сдвину¬
тых по времени появления импульсов.
Пусть за время Г, достаточно большое по сравнению с дли¬
тельностью пролета хе, с катода лампы вылетает К электронов.
Тогда суммарный ток в момент t можно представить в виде суммы:
(17.1)
где ie(t) — импульс тока, создаваемого в анодной цепи электроном,
вылетевшим в момент ^=0, a tk— момент вылета k-то электрона.
Эти моменты практически можно считать случайными и равнове-
584
роятными в интервале О, Т. Определим прежде всего среднее
значение (постоянную составляющую) анодного тока с помощью
следующего очевидного выражения:
Здесь
(17.5>
представляет собой среднее за одну секунду число электронов.
Итак, анодный ток можно представлять себе в виде случайного
•процесса, образованного флюктуациями мгновенного эначения от¬
носительно среднего значения /0=/Сь При этом существенно, что
в любой момент времени ток v(t) является суммой очень большого
числа перекрывающихся импульсов ie(t~tk), так как средняя дли¬
тельность интервала между моментами вылета электронов, рав¬
ная -щ, во много раз мейьше длительности пролета электрода хе.
Это видно из сопоставления следующих цифр.
При токе /о, равном всего лишь 1 ма, средняя длительность,
интервала в соответствии с формулой (17.4) равна
(заряд электрона е = 1,6 • 10-19 кулон).
Длительность же имлульса те, зависящая от геометрии лампы
и от напряженности электрического поля в междуэлектродных про¬
межутках, составляет величину порядка (Н-10) • 10-10 сек. Таким
образом, за пролетное время хе из катода вышетает несколько мил¬
лионов электронов. Учитывая случайность моментов вылета it,, мы
можем считать, что в любой момент времени i(t) является суммой
огромного числа независимых случайных величин ie(t—tk). При
этих условиях применима центральная предельная теорема теории
вероятностей, согласно которой расцределение для сум.мы неза-
585
Меняя местами порядок интегрирования и суммирования « учи¬
тывая, что независимо от момента вылета электрона
где е — заряд электрона, .получаем
висимых случайных величин с увеличением числа слагаемых стре¬
мится к нормальному (гауссову) закону:
(17.6)
где р (jc) — плотность вероятностей случайной величины х\
х — среднее значение (математическое ожидание);
с2 = (л — xf — дисперсия (среднее значение квадрата флюктуа¬
ции х — х).
Рис. 17.1
Черта_1над случайной .величиной х, а также случайной величи¬
ной (х—х)2 означает операцию усреднения по временя1.
Графики функции р(х) для некоторых значений а изображены
на рис. 17.1.
Применительно к анодному току, имеющему среднее значе¬
ние /о, выражение (17.6) принимает следующий вид:
(17.7)
Дисперсия dj представляет собой средний квадрат, a ot — эф¬
фективное (среднеквадратичное) значение флюктуационной со¬
ставляющей анодного тока. Часто под подразумевают среднюю
.мощность, выделяемую флюктуациями электронного тока в оми¬
ческом сопротивлении, равном 1 ом.
1 Стационарные случайные процессы обладают свойством эргодичности, за¬
ключающимся в том, что усреднение случайной величины по системам (по
ансамблю|) эквивалентно усреднению по времени в пределах одной реализации.
586
На рис. (17.2 график плотности вероятностей p(i) для,случай¬
ной величины i совмещен» с графиком функции тока i(t), флюктуи¬
рующего относительно .среднего значения /о.
Плотность вероятностей pi(i) характеризует вероятность p(i)Ai
того, что случайная величина i принимает одно из значений в-ин¬
тервале от i до i+Ai. На основе заданной функции p(i) можно
в соответствии с известными положениями теории вероятностей
найти все моменты .распределения случайной величины
1 В теории вероятностей доказываются следующие положения.
Среднее статистическое значение случайной величины х («первый момент»
или «математическое ожидание»))
(17.8)
Среднее значение квадрата случайной величины («второй момент»)
(17.9)
Средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения
(дисперсия)
(17.10)
Последнее соотношение может быть приведено к виду
^х — х2 — 2хх + (х)2.
Учитывая, что 2хх — 2 (х)2у получаем
=^z—(x)2. (17.11)
В этих выражениях черта над случайной величиной обозначает усреднение
по системам (по ансамблю). Это нужно понимать следующим образом: повторяя
много раз случайный процесс x(t) и определяя каждый раз значение х ~ x(t\)
в фиксированный момент t\t получим последовательность независимыхч случай¬
ных величин х.
Усреднение х и х2 по указанным процессам (реализациям) при числе испы¬
таний, стремящемся к бесконечности, приводит к выражениям (17.8|)—(17.11).
Отмеченное в предыдущей сноске (на стр. 586) свойство эргодичности ста¬
ционарных процессов позволяет применять выражения (17.8)—(17.11) для
определения средних (по времени|) значений тока, мощности флюктуаций
и т. д.
587
Рис. 17.2
Таким образом, закон распределения p(i) позволяет полностью
охарактеризовать флюктуацию анодного така с количественной
стороны (интенсивность, убывание ,вероятности пребывания i в ин¬
тервале Ai при удалении последнего от /о, вероятность превышения
флюктуацией определенного уровня и т. д.). Вместе с тем, функция
p(i) ничего не говорит о характере изменения случайного процесса
i(t) ibo времени. Эта сторона может быть в некоторой степени оха¬
рактеризована с помощью -спектральной функции или с помощью
корреляционной функции процесса.
17.3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Задача заключается в 'определении спектра случайной после¬
довательности импульсов. В случае электронного тока отдельные
импульсы, обусловленные переносом заряда электрона, имеют оди¬
наковую форму и амплитуду. Случайными являются моменты вы¬
лета электронов из катода, т. е. положение импульсов тока во вре¬
мени. Можно поэтому считать, что известны модули спектральной
плотности элементарных импульсов, но неизвестны их фазовые ха¬
рактеристики, зависящие от моментов вылета электронов.
Напомним, что в гл. 2, § 2.6, была установлена связь между
спектрами одиночного импульса и периодической последователь¬
ности импульсов. Непосредственно к «шуму», длящемуся при
— оо</<+ оо, полученные там соотношения применить нельзя.
Можно, однако, воспользоваться следующим приемом.
Рассматривая шум в виде случайной функции i(f), длящейся
от t=— со до ^ = + оо, выделим достаточно большой интервал
т т
—2"> ~t~ ~2 > внутри которого при одной из реализаций шума
имеется точно К импульсов.
Рассматривая теперь Т как период повторения вьгбранного
«куска шума», получим периодическую функцию с дискретным
спектром, содержащим частоты п -у-, где /2 = 0, 1, 2, ... Нетрудно
определить среднюю мощность любой из гармоник этой периоди¬
ческой функции. С этой целью выделим один из импульсов ie(t—tk)y
соответствующий k-y электрону, вылетающему с катода лампы
в момент tk, и запишем спектральную плотность для этого им¬
пульса в виде
Здесь </((о) — спектральная плотность импульса, вылетающего из
катода в момент /=0. Для всех импульсов, независимо от моментов
их вылета, модули спектров, очевидно, одинаковы и равны G(со).
Фазы же Рд, должны рассматриваться как случайные величины,
равновероятные в интервале 0-^-2я.
588
При периодическом повторении отрезка шума выбранный им-
пульс ie (t — t%) образует свою периодическую последователь¬
ность с дискретным спектром, в котором п-я гармоника с часто¬
той Пу имеет амплитуду, равную уб^у) [см* § 2.6, фор¬
мулу (2.29)]. Средняя мощность этой гармоники (при протекании
через омическое сопротивление в 1 ом), очевидно, равна
(17.12)
Отметим, что эта мощность 1не зависит от фазы §k.
Для любого другого электрона из интервала Г, выбранного в ка¬
честве периода повторения, получается такое же значение сред¬
него квадрата гармоники с частотой п^г . При общем числе элек¬
тронов, равном К, получим суммарное значение среднего квадрата
п-й гармоники
(17.13)
Относя эту мощность к частотному интервалу между соседними
гармониками, т. е. к полосе частот hF=^~, найдем величину
среднего квадрата анодного тока, приходящуюся на 1 гц\
Ц^а(пЦ=Ца(пЦ. (>7.,4)
Теперь остается устремить Т -> оо и тем самым перейти от
дискретного спектра, возникшего из-за периодического повто¬
рения конечного отрезка шума, к сплошному спектру, соответ¬
ствующему шуму, длящемуся от t=— оо до t = -f-oo.
При этом
— среднее за 1 сек число электронов [см. формулу (17.5)].
Таким образом, выражение (17.14) принимает вид
W(^) = 2Ki[G(^)]2. (17.15)
Величину Ц7(<о), представляющую собой спектральную плот¬
ность среднего квадрата случайного процесса (т. е. усредненную
по времени мощность, содержащуюся в полосе частот 1 гц), обычно
называют энергетическим спектром случайной функции.
Как и следовало ожидать, энергетический спектр Щш) полно¬
стью определяется спектром G(со») отдельных импульсов, образую¬
589
есть текущая частота спектра, а
щих случайный процесс. Так как при суммировании средних ква¬
дратов отдельных гармонических составляющих (от различных
имитульсов) случайные их фазы роли не играют, то в соответствии
с формулой (17.15) Щю) определяется квадратом модуля G(co)
спектральной плотности элементарного импульса и средним за 1 сек
числом Ki этих импульсов.
Из определения энергетического спектра W(со) как средней
мощности .в полосе 1 гц 'вытекает, что средний квадрат случайной
функции (в данном случае флюктуации электронного тока), может
быть выражен через Щсо) следующим образом:
Рассмотрим, наконец, корреляционную функцию случайного
процесса. Как известно из теории стационарных случайных процес¬
сов, функция корреляции г|>(т) для случайной функции x(t) (пред¬
полагается, что среднее значение x(t) — 0, т. е. x(t) является флюк¬
туацией) определяется выражением
Из этого определения следует, что -ф (т) характеризует стати¬
стическую связь между двумя значениями функции x(t), отделен¬
ными интервалом т. Чем медленнее, «плавнее», изменяется во
времени x(t), тем больше интервал т, в пределах которого наблю¬
дается связь между мгновенными значениями случайной величины х.
Естественно, что чем больше длительность импульсов, образую¬
щих случайный процесс x(t), тем больше и «интервал корреля¬
ции» т. Но с удлинением импульсов сужается спектр G(co) и в
соответствии с формулой (17.15) также и энергетический спектр.
Можмо поэтому сформулировать следующее йоложение: чем шире
спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и,
соответственно, чем больше интервал корреляции, тем уже спектр
случайного процесса.
Взаимосвязь между функциями i|j(t) и IF (со) в общей форме
на основании теоремы Хиичина устанавливается с помощью сле¬
дующих выражений, по существу являющихся преобразованиями
Фурье:
(17.16)
(17.17)
(17.18)
(17.19)
590
Заметим, что в соответствии с выражением (17.18), при т=0
(17.20)
Часто пользуются нормированной функцией корреляции R(x) „
определяя ее следующим образом:
(17.18')
При этом выражение (17.19) принимает следующую форму:
(17.19')
Приложим полученные соотношения к анодному току электронной
лампы.
Найдем прежде всего модуль спектральной плотности импульса
тока, соответствующего переносу заряда одного электрона.
Ввиду малой длительности импульса спектральная плотность
G(со) в области не слишком высоких частот (отвечающих условию
ют* < 1) в согласии с § 2.10 равна площади импульса. Так как по¬
следняя равна заряду электрона (см. выражение (17.3)], то по¬
лучаем
(17.21)
Подставляя это выражение в формулу (17.15), находим
W{u) = 2Kle\
а с учетом выражения (17.4)
W(t») = 2el0. (17.22)
При частотах <и, соизмеримых с величиной, обратной длительности
те импульса, с увеличением <в функция W'(co) убывает.
Подстановка W(ш) в выражение (17.18) позволяет найти функ¬
цию корреляции для дробового шума. Очевидно, что допущение
о постоянстве энергетического спектра 1F(©) при 0<ю<+ оо,
которое эквивалентно допущению о бесконечно малой длительно¬
сти импульса т«, приводит к тому, что функция корреляции обра¬
щается в бесконечность при т=0 и в нуль при т 0, т. е. функция
корреляции принимает вид дельта-функции 6 (т) [см. §2.8, выраже¬
ние (2.49)]. Подобный случайный цроцесс называется дельта-
коррелированным процессом или белым шумом1.
1 Часто под белым шумом условно подразумевают шум с ограниченным
спектром, равномерным в некоторой полосе частот.
591
В действительности, при учете конечной длительности импульса хе>
интервал корреляции имеет порядок, близкий к %е.
Следует отметить, что 'Приведенная выше формула (17.22) спра¬
ведлива для случая работы лампы в режиме насыщения, т. е. ко¬
гда пространственный заряд отсутствует и весь ток эмиссии попа¬
дает на анод. Наличие пространственного заряда ослабляет дро¬
бовой шум. В технических расчетах эго обстоятельство учитывается
введением в формулу (17.22) так называемого «коэффициента
депрессии» дробового эффекта Г2:
Величина Г2 в зависимости от геометрии триода и режима про¬
странственного заряда может падат!? до 0,02. Таким образом,
ослабление дробового эффекта пространственным зарядом может
быть весьма значительным.
В многосеточных лам(пах дробовой эффект выражен сильнее,
чем в триодах. Это объясняется тем, что разделение тока эмиссии
между отдельными электродами лампы ослабляет депрессию дро¬
бового шума -пространственным зарядом.
Итак, флюктуации электронного тока лампы образуют стацио¬
нарный случайный процесс с нормальным законом распределения
и с энергетическим спектром W(a) =2е10 (в режиме насыщения и
в области частот, отвечающих условию <о< где ze— длитель-
ze
ность пролета электрона). Интервал корреляции этого процесса
весьма мал (порядка хе).
Механизм образования шумов в полупроводниковых приборах
значительно сложнее, чем в электронных лампах, и требует спе¬
циального рассмотрения, не входящего в задачу данной книги. От¬
метим лишь, что закон распределения остается нормальным, од¬
нако спектральный состав значительно отличает¬
ся от дробового шума в электронной лампе.
17.4. ДРОБОВОЙ ШУМ В ЛИНЕЙНОМ УСИЛИТЕЛЕ
Установленные в предыдущем параграфе свой¬
ства флюктуаций электронного тока лампы по¬
зволяют выявить структуру и все количественные
данные шумового напряжения, создаваемого
этими флюктуациями на нагрузке усилителя.
Пусть в анодную цепь электронной лампы включен линейный
двухполюсник с сопротивлением Z(co), представляющий собой лю¬
бое сочетание индуктивностей, емкостей цсопротивлений (рис. 17.3).
Сежа лампы на этом рисунке соединена с катодом накоротко, чтобы
подчеркнуть отсутствие сигнала на входе усилителя. Требуется
найти напряжение u(t) на зажимах двухполюсника, создаваемое
флюктуациями анодного тока.
592
Рис. 17.3
Наиболее простой путь — определение энергетического спектра
шумового напряжения Wu(<&). Обозначая энергетический спектр
дробового тока через Wi{^)=2el0 [см. формулу (17.22)] и учи¬
тывая, что Wi(u>) есть усредненная спектральная плотность
квадрата тока, приходим к очевидному выражению
(17.23)
где z(со) — модуль сопротивления двухполюсника.
Применяя затем выражения (17.18) « (17.20), находим функцию
корреляции 'фи(т) и средний квадрат шумового напряжения. Тем
самым это напряжение полностью охарактеризовано, так как закон
распределения остается тем же, что и для дробового тока, т. е. нор¬
мальным. Последнее обстоятельство вытекает из основного поло¬
жения теории случайных процессов: при любых линейных преобра¬
зованиях процессов с нормальным распределением закон распреде¬
ления остается нормальным. Изменяется лишь дисперсия и
функция корреляции (энергетический спектр).
Рассмотрим некоторые 'важные для практики частные случаи
нагрузки г (со).
а) Апериодическая нагрузжа в виде параллельного соединения
К и С (апериодический усилитель, в котором полезное нагрузочное
сопротивление R шунтируется емкостями лампы и схемы):
(17.24)
Подставляя это выражение в (17.18), поЛучаем следующее вы¬
ражение для функции корреляции:
Здесь
Входящий в правую часть последнего выражения интеграл равен
Окончательно
I -г I
(17.25)
38 Зак. 3/235
593
При т = 0 это выражение определяет диаперсию шумового напря¬
жения: -
Таким образом, нормированная функция корреляции
_ м.
= (17.26')
а эффективное значение шумового напряжения, развиваемого на
анодной нагрузке, равно
(17.27')
Из выражений (17.26) и (17.26/) следует, что с увеличением
интервала т функция корреляции для шумового напряжения <на па.-
раллельном соединении R и С убывает экспоненциально. При
| т|^(2-4-3)RC <]>и(т)^ 0. Это означает, что интервал корреляции,
т. е. промежуток времени, в котором еще ощущается корреляция
между двумя мгновенными значениями u(t) *и u(t — т), в два-три
раза превышает (постоянную времени цепи RC. Нетрудно пояснить
смысл полученного результата. Шумовое напряжение на нагрузке
образуется совокупностью беспорядочно следующих импульсов
така, создаваемых отдельными электронами. Каждый из этих им¬
пульсов создает импульс напряжения, длительность которого опре¬
деляется постоянной времени нагрузки. При наложении большого
числа импульсов относительная скорость изменения суммарного
шумового напряжения u(t) должна быть того же порядка, что и
скорость изменения отдельных импульсов. Поэтому для независи¬
мости двух напряжений, отсчитываемых в моменты tut — т, вели¬
чина т должна 'быть не менее длительности импульсов, образую¬
щих шум.
Определяемое формулой (17.277) напряжение условно можно
рассматривать как результат приложения некоторого шумового на¬
пряжения ко «входу усилителя, т. е. к зажимам сежа—катод пер¬
вой лампы. При коэффициенте усиления каскада k величина экви¬
валентного шумового сеточного напряжения должна быть прирав¬
нена:
(17.28)
В качестве иллюстрации порядка величины шумового напря¬
жения, создаваемого дробовым эффектам, приведем следующий
пример апериодического усилителя: анодный ток /0 = 10 ма, сопро¬
тивление нагрузки R = 5 ком, емкость 50 пф.
Применяя формулу (17.27), находим эффективное значение шу¬
мового напряжения на выходе усилителя:
594
При крутизне характеристики лампы 5 = 5 ^ и R = 5 к&м
коэффициент усиления каскада k«25. Поэтому эквивалентное
шумовое напряжение на входе усилителя Ug3$ ^ 10 мкв.
Эта величина и определяет нижний порог сигнала, который*
еще имеет смысл усиливать данным усилителем (в действитель¬
ности уровень шумов еще выше из-за тепловых шумов, которые
будут'рассмотрены в § 17.5).
б) Нагрузка в виде колебательного контура Ц С, шунтирован*
ного омическим сопротивлением JR (резонансный усилитель).
(17.30)-
График \ГЯ(<*>) изображен на рис. 17.4.
Выражение (17.18) для функции корреляции в данном случае-
принимает следующий вид: /
38*
595
Рис. 17.4
В соответствии с формулой (4.88) квадрат модуля сопротив¬
ления контура ори достаточно большой добротности определяется
следующим выражением:
где тк —- постоянная времени контура.
Подставляя это выражение в формулу (17.23), находим
Переходя к новой переменной = <о — о)р, получаем
-Используя формулу (17.25), получаем
Здесь через а = 7- обозначено затухание контура. Учитывая, что
при шунтировании контура сопротивлением R коэффициент за¬
тухания равен а =2jiQ [см. формулы (4.26), (4.36) и (4.87)],
запишем формулу (17.31) еще в следующей формуле:
(17.31')
Из этой формулы вытекает, во-лервых, что .средний квадрат шумо¬
вого напряжения на контуре равен
(17.32)
Заметим, что при достаточно 'большой добротности контура выпол¬
няется условие
Поэтому нижний лредел интегралов —сор можно заменить на — оо.
Второй интеграл обращается ‘при этом в нуль ввиду нечетности
подынтегральной функции относительно .переменной интегрирова¬
ния (0]. Первый же интеграл ©виду четности .подынтегральной
функции приводится к виду
и, следовательно, эффективное шумовое напряжение
Во-вторых, функция корреляции имеет вид,показанный на рис. 17.5.
Время корреляции в рассматриваемом случае определяется ходом
огибающей корреляционной функции.
Выражение (17.32) позволяет ввести понятие шумовой или
энергетической полосы контура. Действительно, заменяя на
рис. 17.4 заштрихованную площадь кривой (to) равновеликим.
по площади прямоугольником с высотой 2eI0R2, находим в соот¬
ветствии с формулой (17.32), что основание этого прямоугольника*
т. е. энёргетическая полоса контура (в герцах), (равна -тр.
С другой стороны, обычная полоса пропускания контура,
определяемая по ослаблению на границах до ~т=, равна 2Д/0 =
У
2а а
2тс тс
Отсюда следует, что энергетическая полоса контура в раз
больше обычной 'полосы 'пропускания.
Аналогичным способом можно найти эффективное ^значение С19ф
и энергетическую «полосу шумов на анодной нагрузке и на выходе
усилителя при любой форме частотной характеристики.
Пересчет напряжения шу^ов iko входу усилителя, как и в слу¬
чае апериодического усилителя, может быть сделан по фор¬
муле (17.28), в которой под k следует подразумевать коэффициент
усиления на резонансной частоте контура.
Остановимся 'несколько подробнее на вопросе о структуре шу¬
мовой помехи на выходе резонансного усилитедя.
Вырезание из равномерного спектра 'входного шума относи¬
тельно узкой полосы, совпадающей с полосой прозрачности ко-
597
Рис. 17.5
.леОательной системы, придает шумовому напряжению на выходе
характер высокочастотного колебания с медленно меняющимися
амплитудой и фазой. Это следует из графика корреляционной
функции, изображенной на рис. 17.5. Осцилляции этой функции
с частотой сор указывают на то, что и мгновенное значение шумо¬
вого напряжения изменяется в среднем с частотой coip.
Убывание же огибающей корреляционной функции по экспонен¬
циальному закону с коэффициентом затухания а указывает на то,
что огибающая амплитуд шумового напряжения изменяется отно¬
сительно медленно, обнаруживая статистическую связь между
двумя значениями ib интервале, равном 2—3 (постоянным (времени
контура. Для выявления характера изменения огибающей рассмо¬
трим интересный для практики случай, когда шум пропускается
через идеализированный узкополосный фильтр с центральной ча¬
стотой (о0 и полосой 2Ao)io, в пределах которой частотная характе¬
ристика фильтра равномерна и ‘равна Ко- Тогда энергетический
спектр напряжения на «выходе фильтра равномерен в полосе от
ш0 —Аш0 до со0 + А(о0, т. е. Wu (оо) = Wa (o)0) = const и функция
корреляции [см. формулу (17.18)]
Из этого выражения следует, что, как указывалось выше, мгно¬
венное значение шумового напряжения осциллирует со случайной
частотой, близкой .к соо, а амплитуда (огибающая) флюктуирует
с частотой, близкой к Дсоь, т. е. к половине полосы пропускания
фильтра.
598
Рис. 17.6
Итак, шумовое (напряжение на выходе узкополосного фильтра
следует представлять себе 'как высокочастотное (колебание с мед¬
ленно изменяющимися амплитудой и фазой:
и (t) = U(t) cos [V + 0 (OL (17.33)
где coo — центральная частота полосы шума. График одной из реа¬
лизаций подобной случайной функции изображен на рис. 17.6.
Еще раз следует подчеркнуть, что все параметры этого ко¬
лебания: амплитуда U(t), фаза 0(/) и, следовательно, частота
оз° ^ — являются случайными функциями времени.
17.5. ТЕПЛОВЫЕ ШУМЫ
Тепловое движение свободных электронов в проводниках вызы¬
вает микротоки, которые создают на зажимах цепи флюктуацион-
ное напряжение. Это напряжение складывается из очень большого
числа импульсов, обусловленных движением отдельных электро¬
нов. Поэтому, как и в случае дробового эффекта (§ 17.2), шумовое
напряжение теплового движения электронов («тепловой шум»)
является стационарным случайным процессом с нормальным за¬
коном распределения.
Длительности отдельных импульсов чрезвычайно малы. По¬
этому энергетический спектр теплового шума сохраняет неизменное
значение, равное энергетическому спектру при нулевой частоте,
в очень широкой полосе частот.
По теореме Найквиста энергетический спектр шумового напря¬
жения, генерируемого сопротивлением /?', определяется следующим
выражением
We(v)=AkTR, (17.34)
где & = 1,37 • 10~23 6m2p^p- — постоянная Больцмана, а
Т — абсолютная температура проводника.
При определении шумового напряжения на зажимах цепи, со¬
держащей шумящее сопротивление i/?, последнее удобно заменять
последовательным соединением эквивалентного генератора шумо¬
вой электродвижущей силы еш и нешумящего сопротивления Ry
кж это показано на рис. 17.7, а. Эффективное значение шумового
599
Рис. 17.7
напряжения е2ш эф, определенное в полосе Д/, должно при этом в со¬
ответствии б формулой (17.16) отвечать условию
(17.35)
Если шумящие сопротивления входят в состав произвольного
линейного двухполюсника, содержащего любое сочетание сопро¬
тивлений, .индуктивностей и емкостей, то энергетический апектр
шумового напряжения определяется на основании обобщенной тео¬
ремы Найивиста выражением
где 7?((о) — активная составляющая импеданса Z(olh) рассматри¬
ваемого двухполюсника. Эквивалентная схема шумящего двухпо¬
люсника имеет при этом вид, показанный на рис. 17.7, б.
Например, в случае контура, содержащего шумящее сопротив¬
ление г внутри контура, при определении шумового напряжения на
его внешних зажимах величину R(со) следует определять по фор¬
муле (4.81):
Это выражение отличается от выражения (17.30) только по¬
стоянным множителем (4kTZ3p вместо 2RI0R2). Поэтому эффектив¬
ное значение и все остальные параметры шумового напряжения
на контуре могут быть определены так же, как и при дробовом
эффекте. Часто вместо эквивалентного генератора шумовой э.д.с.
шумящее сопротивление представляют в виде параллельного со-
• в ЦТ и
единения генератора шумового тока 1Ш — -jjf- и нешумящеи .прово¬
димости -g-, как это показано на <рис. 17.8, а.
1Гв(а)=4Л77?(ю),
(17.34')
■О
Рис. 17.8
Энергетический спектр при этом равен
600
Если шумящее сопротивление входит в состав двухполюсника,
содержащего любое сочетание индуктивностей и емкостей, то в со¬
ответствии с обобщенной эквивалентной теоремой Найювиста экви¬
валентная шумовая схема двухполюсника может быть представ¬
лена в виде, показанном на рис. 17.8,6.
На этой схеме через g обозначена активная составляющая ком¬
плексной ‘проводимости двухполюсника.
Энергетический спектр тока im легко выразить через спектр
шумовой* э. д. с. Так как средние квадраты еш и 1Ш связаны
очевидным соотношением
Итак, все статистические характеристики теплового и дробо¬
вого шума качественно одинаковы; 1при расчете общих шумов в уси¬
лителе можно просто складывать их средние квадраты (т. е. мощ¬
ности) или соответственно энергетические спектры. Часто оказы¬
вается удобным (представлять все шумы в виде тепловых шумов.
Для этого достаточно в выражении (17.22) для энергетического
спектра дробового тока заменить 2е10 на величину 4kT3g, пде g —
активная слагающая проводимости анодной нагрузки. Из этого
условия можно найти «эквивалентную температуру» Тэ сопротив¬
ления анодной нагрузки, при которой шумовые ток и напряжение
будут такими же, как при дробовом эффекте. С другой стороны,
тепловой шум может быть заменен эквивалентным дробовым шу¬
мом, если ввести эквивалентный «ток насыщенного диода» 10э, оп¬
ределяемый из условия 2eI03 = AkTg, где Т и g — заданные вели¬
чины, определяющие тепловой шум.
В практике наибольшее -распространение получил способ харак¬
теристики шумовых свойств усилителя эквивалентным шумящим
сопротивлением, подключенным ко входу усилителя.
Для пояснения этого способа рассмотрим простейший одно¬
ламповый усилитель с анодной нагрузкой Z(a)i), изображенный на
рис. 17.9, а.
На этом рисунке в анодной цепи показан эквивалентный ге¬
нератор шумового тока, учитывающий тепловые шумы генери¬
руемые сопротивлением анодной нагрузки Z(m). В соответствии
с формулой (17.36) энергетический спектр этого тока №^(о>}
равен AkTgy где g — активная составляющая проводимости ,
а эффективное значение тока в полосе частот А/ равно
то с учетом выражения (17.34) получаем
601
На рис. 17.9,6 этот генератор тока заменен эквивалентным гене¬
ратором шумовой э. д. с. е^-эф, действующим на входе усилителя.
При крутизне характеристики лампы S очевидно, что
или
С другой стороны, это эквивалентное напряжение можно тракто¬
вать как результат включения между сеткой и катодом шумящего
сопротивления Яш, так подобранного, чтобы выполнялось условие
[см. формулу (17.35)]
Приравнивая правые части последних двух выражений, полу¬
чаем условие для определения эквивалентного шумящего сопротив¬
ления
Аналогичным образом можно пересчитать и дробовые шумы на
эквивалентное сопротивление /?ш, которое должно быть добавлено
к ранее найденной величине, учитывающей тепловые шумы.
В приведенных выше рассуждениях использовались такие поня¬
тия, как эффективные значения и энергетические спектры шумо¬
вых напряжений и токов на входе и выходе усилителя. Однако для
полной характеристики шумо;вых свойств усилителя 'важно знать
соотношения между средними мощностями шумов на входе и вы¬
ходе. Для ^ведения подобной характеристики рассмотрим обоб¬
щенную схему усилителя, представленную на рис. 17.10.
Рис. 17.9
17.6. КОЭФФИЦИЕНТ ШУМА УСИЛИТЕЛЯ
602
На этой схеме источник сигнала изображен в виде генератора
э. д. с. es с внутренним сопротивлением Zs\ Zt — входное сопро¬
тивление усилителя; евых — э. д. с., развиваемая на выходе уси¬
лителя в холостом режиме (т. е. при разомкнутом выходе),
а ивых — напряжение на нагрузке ZH; ZBblx соответствует внутрен¬
нему сопротивлению усилителя со стороны выхода; наконец,
/ш — генератор шумового тока, учитывающий внутренние источ¬
ники шумов.
Допустим, что полезный сигнал на входе усилителя отсут¬
ствует и что усилитель не привносит собственных шумов, так что
Рис. 17.10
единственным источником (внешним) шумов является сопротив¬
ление Rs, т. е. активная составляющая импеданса Zs, подклю¬
ченного ко входу усилителя. При таком допущении под es сле¬
дует подразумевать шумовую э. д. с. ешвх, отвечающую соотно¬
шению
(17.37)
где А/ — весьма узкая полоса частот, в которой определяется эф¬
фективное шумовое на/пряжение.
Величина шумовой мощности на входе усилителя зависит от
соотношения сопротивлений ZL и Zs. Целесообразно вести расчет
по максимуму шумо;вой мощности на входе усилителя. Из электро¬
техники хорошо известно, что при заданной э. д. с. источника и за¬
данном внутреннем его сопротивлении ZS = RS -f- ixs, максимально
возможная мощность -на нагрузке (в данном случае на сопротив¬
лении Zi} выделяется при условии
Так как при этом на нагрузке выделяется напряжение, равное
•половине э.д. с., то максимально возможная мощность шумов на
603
входе усилителя равна (нагрузка Z,- предполагается «нешумя¬
щей»)
Заметим, что эта мощность не зависит от величины Rs и опреде¬
ляется только темшературой сопротивления.
Аналогичным образом можно написать для максимально воз¬
можной мощности шума на выходе (при ZB = Z*axy.
где jRu — активная составляющая нагрузочного сопротивления.
Таким образом, максимально возможное усиление по мощности
равно
(17.40)
где We (и) и Wu (<р) — энергетические спектры соответственно
э. д. с. ешвх и выходного напряжения ивых.
Связь между и We(to), в соответствии со схемой
рис. 17.10, определяется следующим очевидным выражением:
(17.41)
где Ки (<») — коэффициент усиления по напряжению, определяемый
как отношение амплитуды ивых к амплитуде напря¬
жения входа (снимаемого с сопротивления Zt) при
гармоническом возбуждении.
Подставляя это выражение в (17.40), получаем
Существенно, что усиление по мощности зависит от соотношения
между внутренними и нагрузочными сопротивлениями как источ¬
ника сигнала, так и усилителя.
Итак, мощность шумов на выходе (ib полосе А/), обусловленная
шумами источника сигнала, равна
Для получения полной шумовой мощностйна выходе усилителя
к этой величине .нужно добавить мощность Р0 шумов, генерируе¬
мых в самом усилителе.
Отношение
учитывающее прирост шумов на выходе усилителя по отношению
к шумам, обусловленным лишь внешним источником, называется
коэффициентом шума или шум факт о ром усилителя.
Обычно собственные шумы усилителя создаются в основном
первой ступенью усилителя. Обозначим мощность этих шумов, пе¬
ресчитанную ко входу усилителя, через РоВх- Так как усиление
схемы одинаково для внешних и внутренних шумов, то шумфак-
тор может быть приравнен,отношению
(17.45)
Чем меньше собственные шумы усилителя Pqbx, тем ближе к еди¬
нице шумфактор F. Шумфактор F, определенный выше через Мощ¬
ности в узкой полосе А/, является функцией частоты.
Если мощности шумов определять с помощью выражений типа
(17.38), (17.43), т. е. ®о всей полосе частот, то 'можно ввести 'поня¬
тие среднего шумфактора, уже не являющегося функцией ча¬
стоты.
В реальных усилителях шумфатсщр зависит не только от режима
первого каскада, но и от числа каскадов, так как внутренние
шумы возникают и в последующих каскадах уоилителя.
При наличии на входе усилителя полезного сигнала, который
для простоты примем гармоническим
Таким образом, отношение мощности сигнала к мощности шумов
на входе усилителя, зависящее от свойств внешнего источника сиг¬
нала, равно
Следует иметь в виду, что усиление по мощности для сигнала и
шумов (определенны* в полосе частот, соответствующей полосе
пропускания уоилителя) одинаково. Поэтому в случае отсутствия
внутренних источников .шумов отношение (7f)BbIX было :бы таким
же, как и на входе. В действительное^ же, при учегге шумов, гене-
605
мощность, выделяемая сигналом на входе, определяемая анало¬
гично выражению (17.38), раина
рируемых в самом усилителе, это отношение 'снижается и может
быть записано следующим образом
Учитывая, что в соответствии с формулой (17.44)
получаем
Приравнивая на основании сделанного выше замечания отно¬
шения мощностей сигнала и помехи на входе и выходе усилителя
приходим к выводу, что шумфактор может быть определен еще и
следующим образом:
Итак, шумфактор доказывает, во сколько раз снижается отно¬
шение мощностей сигнала и помехи за счет внутренних шумов уси¬
лителя.
17.7. ДЕЙСТВИЕ ШУМОВОЙ ПОМЕХИ НА АМПЛИТУДНЫЙ ДЕТЕКТОР
В предыдущих ('параграфах данной главы изучалось образова¬
ние и прохождение шумов через линейные элементы усилительных
устройств. При этом прохождение шумов и полезных сигналов
можно было (рассматривать раздельно. В -случае нелинейной систе¬
мы, каковой является, в частности, обычный детектор, такой подход,
конечно, непригоден и нужно учитывать взаимодействие сигнала
и помехи. Эта задача будет рассмотрена в следующих двух пара¬
графах. Здесь же предварительно -рассматривается воздействие
одной лишь помехи на детектор. Такие условия часто (встречаются
в практике, а в некоторых системах, как, например, в импульсной
радиолокации, являются типичными для работы радиоприемного
устройства в интервалах между импульсами, когда на выходе при¬
емника имеется один лишь шум.
В обычном радиоприемном устройстве детектор, как правило,
включается после усилителя, обладающего относительно узкой по¬
лосой пропускания. Поэтому шумовое напряжение, возникающее
в первых каскадах приемника и усиленное последующими каска-
606
(17.47)
дами, на входе детектора имеет вид, изображенный на рис. 17.6.
Как отмечалось в § 17.3 и 17.4, это напряжение представляет собой
случайную функцию времени, имеющую нормальное распределе¬
ние, (причем изменение во времени напоминает высокочастотное
колебание с медленно изменяющейся амплитудой. Амплитудный
детектор (имеется б виду «линейный» детектор, § 13.2) выделяет
на своем выходе напряжение, почти совпадающее с огибающей
высокочастотного напряжения на его входе. Поэтому все параметры
шумового напряжения на выходе детектора, а следовательно, и на
выходе 'приемного устройства (в отсутствие сигнала) определяются
статистическими характеристиками огибающей шумового напряже¬
ния на входе детектора. Особое значение поэтому приобретает
вопрос о законе распределения огибающей «узкополосного» шума,
сформированного избирательной системой, предшествующей детек-
тору.
Из теории случайных процессов известно, что плотность вероят¬
ностей для огибающей U шума (с нормальным законом распреде¬
ления) определяется следующим выражением (распределение Ре-
лея) •.
(17.48)
Здесь а2и = и2 — средний квадрат шумового напряжения на входе
детектора.
График функции p(U) изображен на рис. 17.11.
Если коэффициент передачи детектора близок к единице, то
выражение (17.48) и рис. 17.11 могут 'быть отнесены непосред¬
ственно к напряжению, действующему на выходе детектора.
Основываясь на известном распределении случайной величи¬
ны U, можно определить все основные параметры шумовой помехи,
действующей на выходе детектора в отсутствие полезного сигнала:
эффективное напряжение, постоянную составляющую, вероят¬
ность выбросов, превышающих определенный уровень, и др. Зна¬
ние этих-параметров особенно важно в тех случаях, когда реальная
чувствительность приемника определяется уровнем собственных
607
Рис. 17.11
шумов. Подобные условия характерны, в частности, для работы
радиолокационного приемника три наблюдении за целью, находя¬
щейся на границе дальности действия радиолокатора:
Найдем прежде всего средний квадрат шумового напряжения
на выходе детектора. Применяя -выражение (17.9), получаем
Подставляя p(U) из (17.48) и произведя интегрирование, получим
Бели эту величину разделить на нагрузочное сопротивление /?,
то 'получится полная хмощность шумовой помехи на выходе детек¬
тора. В составе этой помехи цмеется постоянная составляющая t/0,
которую можно определить как среднее значение U с помощью
выражения (17.8) 2:
1 См. Рыжик И. М. и Градштейн И. С. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. ГТТИ, 1951, стр. 169, формула 3.272:
(17.49)
(17.50)
608
2 См. там же, стр. 169, формула 3.271:
При а = 1 и р = —2 интеграл равен
В данном случае р = —у, а — 1, следовательно, интеграл равен
^и
Применяя выражение (17.11), находим дисперсию, т. е. средний
квадрат флюктуационной составляющей помехи на выходе детек¬
тора:
и эффективное значение флюктуационного напряжения
(17.51)
Итак, все параметры продетектированной помехи весьма просто
выражаются через эффективное напряжение помехи аи на входе
детектора. Особенно существенное значение имеет величина Оф,
определяющая уровень шумов на выходе детектора (за раздели¬
тельным конденсатором, который задерживает постоянную состав¬
ляющую U о).
Структура полного шумового напряжения на выходе ампли¬
тудного детектора (линейного) изображена на рис. 17.12,6. На
рис. 17.12, а показан закон распределения p(U), причем масштабы
U на обоих рисунках одинаковы.
Помеха имеет вид «шумовой дорожки», снизу ограниченной
более или менее четкой прямой линией, а сверху напоминающей
беспорядочную «гребенку». Четкое ограничение снизу объясняется
тем, что огибающая напряжения на входе детектора не может
опускаться ниже нуля, а выбросы вверх могут достигать весьма
больших величин.
Некоторые характерные особенности распределения уровней по¬
казанной на рис. 17.12 помехи легко выявить с помощью выраже¬
ния (17.48). Так, например, значение UKp, соответствующее макси¬
муму функции p(U), определяет наивероятнейшее значение U. При
подаче продетектированной помехи на отклоняющие пластины
осциллографической трубки на уровне 11К9 будет наблюдаться наи¬
большая яркость свечения экрана.
39 Зак. 3/235 609
Рис. 17.12
Нетрудно найти это значение UKp. Дифференцируя выраже¬
ние (17.48) и приравнивая -gjp- нулю, находим
откуда
ик р = ая. (17.52)
Таким образом, линия максимальной яркости на осциллограмме
рис. 17.12 проходит на уровне аи, т. е. на 0,26aw ниже -постоянной
составляющей U&
Далее нетрудно оценить вероятность того, что всплеск напря¬
жения превысит определенный заданный уровень U\. С этой
целью определим вероятность пребывания напряжения в области
О<U<UX (рис. 17.13):
Так как вероятность пребывания U в области О<U< оо равна
единице, то очевидно, что вычитаемое в правой части (17.53) «пред¬
ставляет собой вероятность вы¬
хода U за линию U=Uy:
При Ux = 2зи получается
P(U{ < U < оо) = е“2 « 0,135, а
при U{ =3^и — всего лишь 0,01.
Таким образом, вероятность того,
что всплеск помехи превысит уровень Ззи, равна всего лишь од¬
ному проценту. Этим объясняется тот факт, что наблюдаемые
глазом выбросы шумовой дорожки (рис. 17.12) не превышают
(3-М К.
Так как оя = ^^-оф [см. формулу (17.51)], то можно считать,
что наблюдаемая ширина шумовой дорожки не превышает
610
Переходя к новой переменной x=U2, получим
Рис. 17.13
з
приблизительно Заи = -^^-аф ^ 4,5аф. Отсюда следует, что пик-
фактор помехи, понимаемый как отношение половины ширины
шумовой дорожки к эффективному значению аф, приближенно
равен 2—2,5.
Для полной характеристики продетектировалной помехи тре¬
буется еще знание корреляционной функции.
В § 17.4 было показано, что ширина энергетического спектра
огибающей узкополосного процесса близка к половине полосы
шума. Это положение можно распространить и на флюктуацион-
ное напряжение, выделяемое на выходе амплитудного детектора
(линейного).
На рассмотрении прохождения шумовой помехи через детекторы
с иными характеристиками (квадратичный и иные детекторы) мы
не останавливаемся 1.
17.8. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ ПОМЕХИ
И СИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА НА АМПЛИТУДНЫЙ
ИЛИ ЧАСТОТНЫЙ ДЕТЕКТОР
Синусоидальная помеха часто возникает в практике при одно¬
временном действии на приемник двух близких по частоте радио¬
передающих станций: «'полезной», создающей сигнал, и «мешаю¬
щей», создающей помеху. В отсутствие модуляции последняя
представляет собой простое синусоидальное колебание. Так как
приемник настраивается на полезную станцию, то частота сигнала
может считаться совпадающей с резонансной частотой приемника.
Если частота помехи отличается от последней более чем на поло¬
вину полосы пропускания усилителя промежуточной частоты, то
на детектор это напряжение попадает значительно ослабленным.
Однако возможны случаи, когда помеха попадает в полосу пропу¬
скания приемника и проходит через усилитель промежуточной
частоты в одинаковых с сигналом условиях. Имея в виду этот слу¬
чай, допустим, что на сетку первой лампы приемника действуют два
^смодулированных напряжения:
Здесь буквы С и Я обозначают соответственно сигнал и помеху.
Каждое из этих напряжений, действуя по отдельности, может
создавать на выходе детектора лишь постоянное напряжение,
обычно не оказывающее никакого влияния на регистрирующее
устройство приемника. Это положение справедливо при любом
виде детектирования — амплитудном или частотном. Иная картина
получается при одновременном воздействии на детектор двух
1 См. Левин Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в радио¬
технике. Изд-во «Советское радио, изд. 2-е, 1960, стр. 404.
(17.55)
39*
611
гармонических напряжений. В этом случае благодаря нелинейному
характеру процесса детектирования на выходе детектора возникают
■низкочастотные составляющие, являющиеся продуктом взаимодей¬
ствия сигнала и помехи. Для определения напряжения на выходе
детектора необходимо исходить из суммарного напряжения сигнала
и помехи на входе.
Обозначая это напряжение через
(17.56)
отношение амплитуд помехи « сигнала через
(17.57)
и расстройку частоты помехи относительно частоты сигнала через
(17.58)
приведем выражение (17.56) к виду, совпадающему с выражением
(13.16):
В этом выражении
(17.60)
(17.61)
представляют собой амплитуду и фазу результирующего колебания.
Так как расстройка 2П частоты помехи <оп относительно
частоты сигнала <ос предполагается сравнительно малой величи¬
ной (не выше полосы пропускания приемника), то функции A(t)
и 6(0 можно рассматривать как „медленно" изменяющиеся, т. е.
„ 2л 2тс ,
в пределах одного периода высокой частоты, — или —, форму
“с “п
результирующего напряжения можно считать синусоидальной.
Само собой разумеется, что с одинаковым основанием результи¬
рующее напряжение можно представить в виде колебания с ча¬
стотой <«>п и с соответственно изменяющейся фазой. Примененная
выше форма выражения (17.59) удобна для случая, когда ампли¬
туда Uc > ип.
Выражение (17.59) показывает, что линейную сумму двух гар-
монических напряжений с близкими частотами можно условно рас¬
сматривать как колебание, модулированное <по амллитуде и по
фазе (а следовательно, и ‘по частоте).
612
В приемнике амплитудно-модулированных колебаний детектор
не чувствителен к изменению фазы или частоты колебания. В этом
случае существенное значение имеет только изменение амплитуды
колебания. Так как напряжение на выходе амплитудного детектора
пропорционально амплитуде (в случае «линейного» детектирова¬
ния, гл. 13), то выражение (17.60) с точностью до постоянного
коэффициента определяет напряжение помехи на выходе прием¬
ника.
Анализ особенно упрощается в случае относительно слабой по¬
мехи, т. е. при
(17.62)
В этом случае выражению (17.60) может быть придан следую¬
щий вид
(17.60')
ип
Отсюда видно, что отношение Мп = ут- имеет смысл коэффи-
с
циента модуляции сигнала, получающейся в результате наложе¬
ния помехи на несущее колебание.
После детектирования получается гармоническое напряжение
с частотой 2п = (оп —о>с и амплитудой, пропорциональной MnUc.
Так как при тональной модуляции полезного колебания напря¬
жение на выходе приемника .пропорционально коэффициенту моду¬
ляции Met то отношение амплитуд сигнала С и помехи П на
выходе приемника равно
(17.63)
Учитывая, что предельная глубина неискаженной модуляции не
может превысить 100%, приходим к выводу, что максимально воз¬
можное отношение сигнала к помехе на выходе приемника ампли¬
тудно-модулированных колебаний равно
(17.63')
Итак, при передаче сигнала с помощью амплитудной модуляции
воотношение между сигналом и помехой в процессе детектирова¬
ния сохраняется неизменным и отношение сигнала к помехе на
выходе приемника не может быть улучшено по сравнению с отно¬
шением амплитуд высокочастотных напряжений сигнала и помехи
на входе приемника *.
1 Имеется в виду условие, что частота помехи попадает в полосу про¬
пускания УПЧ.
613
Для обеспечения требуемого 'подавления помех при амплитуд¬
ной модуляции остается лишь одно средство: повышение отноше¬
ния сигнала к помехе на входе приемника. Для этого требуется
повышать мощность передатчика, а также применять направлен¬
ные антенны, если это допускается характером передачи и приема.
Иначе обстоит дело при передаче сигналов с помощью частот¬
ной модуляции и при использовании в приемнике частотного детек¬
тора. Благодаря ограничителю (см. § 13.4) частотный детектор не
реагирует на амплитудную модуляцию <и напряжение помехи
на выходе детектора пропорционально частотному отклонению,
создаваемому помехой. Поэтому существенное значение имеет вы¬
ражение (17.61), дифференцирование которого (см. § 3.4) позво¬
ляет найти частотное отклонение. Предварительно упростим (выра¬
жение (17.61), использовав условие малости Мп:
(17.64)
Тогда частотное отклонение равно
(17.65)
Отсюда видно, что наложение синусоидальной помехи с отно¬
сительно малой амплитудой на синусоидальное несущее .колебание
сигнала создает эффект гармонической частотной модуляции х.
Частота этой модуляции равна 2п = а)п — а>с, а девиация
(17.66)
Амплитуда напряжения помехи на выходе частотного детек¬
тора пропорциональна найденной величине о>дп. Следовательно,
при заданном и неизменном отношении на входе приемника,
амплитуда напряжения помехи на выходе частотного детектора
пропорциональна абсолютной величине расстройки | £2П|=|а>п — (°с|.
Полезно напомнить, что в случае амплитудной модуляции и
амплитудного детектирования напряжение помехи на 'выходе при¬
емника в соответствии с формулой (17.60) не зависит от ча¬
стоты fin.
Графики зависимости амплитуды помехи Еп на 'выходе прием¬
ника от положения соп в полосе пропускания представлены на
рис. 17.14.
1 Не следует забывать, что этот результат получен при допущении о ма¬
лости амплитуды помехи по сравнению с амплитудой сигнала. При сильной
помехе закон изменения мгновенной частоты суммарного колебания полу¬
чается более сложным.
614
Горизонтальная пунктирная линия, (проведенная «а уровне
Еп =^п^с=^п» соответствует случаю амплитудного детектиро¬
вания.
Наклонные пунктирные прямые изображают зависимости
Здесь /Счд — крутизна характеристики частотного детектора.
Сплошными линиями на том же рисунке показаны реальные
зависимости /:п(а>п) при учете влияния неравномерности частот¬
ных характеристик отдельных звеньев приемника. Завал в области
частот, близких к а>с = а>р, обусловлен влиянием выходного (апе¬
риодического) усилителя приемника, не пропускающего очень
низкие частоты z= I шп — шс | • ^Ри больших расстройках
2n = l^n “ | завал характеристики ^(^п) может быть обусло¬
влен как ослаблением помехи в колебательных контурах прием¬
ника, так и ослаблением детектированной помехи в выходных
цепях приемника.
В практике наивысшая пропускаемая апериодическим усили¬
телем частота £2Макс обычно меньше, чем поло-вина .полосы пропу¬
скания резонансной части приемника (до детектора). На рис. 17.14
изображен именно этот случай, причем резонансная частота при¬
емника совмещена с «несущей» частотой сигнала.
Составим отношение сигнала к помехе для случая частотной
модуляции. Так как напряжение полезного сигнала и а выходе ча¬
стотного детектора пропорционально девиации (одс, создаваемой
в передатчике в процессе модуляции, то очевидно, что
Рис. 17.14
(17.67)
Отсюда видно, что, увеличивая девиацию частоты в передат¬
чике, можцо улучшить отношение сигнал/помеха при одном и
615
Ur Ur
том же отношении -jj— на входе приемника. При заданных -jj—
С
и о)дС отношение падает с возрастанием 2П, т. е. при частот¬
ам
ной модуляции действие помехи наиболее сильно выражено при
значениях &п, близких к граничной частоте полосы пропускания
^макс- Для этой частоты, соответствующей наиболее тяжелому
случаю, отношение сигнала к помехе при ЧМ “будет
Для частот 2П < 2макс выигрыш в ослаблении помех возра¬
стает.
Эти результаты указывают пути повышения отношения сиг¬
нал/помеха на выходе приемника по сравнению с тем же отно¬
шением на входе. Необходимо по возможности ограничить лолосу
пропускания в апериодическом усилителе с целью сужения спектра
помех, прослушиваемых на выходе приемника, и одновременно до¬
вести до возможного максимума амплитуду частотного откло¬
нения (Оде создаваемую полезным сигналом.
Само собой разумеется, что выражение (17.69), полученное из
рассмотрения действия одной лишь синусоидальной помехи в отсут¬
ствие полезной модуляции и при малом уровне помехи относительно
сигнала, не может служить базой для технического расчета; зна¬
чение выражения (17.69) в том, что оно указывает на потенциаль¬
ную возможность ослабления действия помех за счет расширения
размахов частотного отклонения, а не за счет повышения мощности
передатчика, .как это требуется при использовании амплитудной
модуляции.
Практическая реализация этого способа ослабления помех воз¬
можна лишь в диапазоне ультракоротких волл и при радиопередаче
на относительно небольшие расстояния (в пределах 'прямой види¬
мости). Только при этих условиях удается обеспечить необходимую
для «широкополосной» частотной модуляции ширину канала связи,
а также избежать искажений сигнала, связанных с многократно¬
стью путей распространения радиоволн.
Полезно отметить, что приемник с амплитудным ограничителем
и частотным детектором является «пороговой» системой. Для нор¬
мального лриема необходимо, чтобы амплитуда сигнала превы-
616
Сравнение выражений (17.68) и (17.63') показывает, что ослаб*
ление действия синусоидальной помехи при переходе от AM к ЧМ
равно
шала амплитуду помехи на величину не меньшую, чем порог
ограничения (рис. 17.15). При нарушении этого условия разность
между сигналом и помехой, получающаяся при наложении помехи
на сигнал со сдвигом по фазе в 180°, ока¬
зывается ниже порога ограничения и огра¬
ничитель не обеспечивает срезания паразит¬
ной амплитудной модуляции.
Необходимо также иметь в виду, что
увеличение девиации частоты при модуля¬
ции заставляет соответственно увеличивать
полосу пропускания усилителя промежу¬
точной частоты в приемнике, а это ведет к
росту уровня шумовых помех на входе огра¬
ничителя. Повышать соде можно лишь при
условии обеспечения достаточно высокого
уровня полезного сигнала на входе прием¬
ника, т. е. при достаточно большой мощно¬
сти передатчика.
17.9. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ШУМОВОЙ ПОМЕХИ
И СИНУСОИДАЛЬНОГО СИГНАЛА НА АМПЛИТУДНЫЙ ДЕТЕКТОР
Пусть на входе детектора действуют два напряжения: по¬
лезное ис = Ucsin(ос/ (немодулированное несущее колебание) и
„узкополосное" шумовое ип= Un(t) sin [а>0/+ <р (/)], в котором
в соответствии с выражением (17.33) амплитуда Un(t) и фаза
<?(t) являются-случайными функциями времени, а ^ — централь¬
ная частота полосы шума.
Действующее на детектор суммарное напряжение по аналогии
.с предыдущим параграфам можно записать следующим образом:
(17.70)
(17.71)
(17.72)
(17.73)
По сравнению с предыдущим параграфом данная задача ос¬
ложняется случайным характером изменения огибающей A(t) и
фазы 0(^) суммарного напряжения. Для определения напряжения
на выходе амплитудного детектора требуется знание статистиче-
617
Рис. 17.15
где
ских свойств случайной функции A(t), а на выходе частотного де¬
тектора— случайной функции — (-поскольку мгновенная ча¬
стота'суммарного напряжения равна ) • Эти задачи решены
в современной теории случайных процессов. Приведем здесь лишь
некоторые положения этой теории, -необходимые для выяснения
принципиальной стороны явлений.
Имея в ©иду случай амплитудного детектирования, напишем
выражение для закона распределения огибающей A(t) (обобщен¬
ная функция распределения Релея):
(17.74)
— дисперсия шумового напряжения;
— функция Бесселя нулевого порядка
от мнимого аргумента.
ис
Графики функции (17.74) для нескольких значений =
ис
где И*Ф — эФФективное значение шумового напряжения,
приведены на рис. 17.16.
ис
Из рис. 17.16 видно, что при малых значениях обобщенная
и
функция распределения Релея мало отличается от распределения
огибающей одного лишь шума [см. формулу (17.48)]. При боль¬
ших же отношениях сигнала к помехе выражение (17.74) можно
618
Рис. 17.16
упростить с помощью асимптотического разложения функции Бес¬
селя
При достаточно больших значениях А (по сравнению с аи) полу-
Заметим, что для значений А, существенно отличающихся
от (Jc, экспоненциальный множитель в этом выражении быстро
убывает. Поэтому изучение функции р{А) представляет инте¬
рес только вблизи А « £/с. Однако в этой области множитель
Таким образом приходим к выводу, что ;при значительном пре¬
вышении сигнала над помехой закон распределения Релея для оги¬
бающей суммарного напряжения переходит в нормальный закон
с дисперсией ои2 и со средним значением Uc:
Отсюда следует, что при наложении относительно слабой шу¬
мовой помехи на синусоидальный сигнал (зи<^ Uq) напряжение на
выходе идеального линейного детектора представляет собой сумму
постоянного напряжения, равного Uc, и нормально распределен¬
ного шума с эффективным значением, равным эффективному зна¬
чению аи шума на входе детектора. Ширина же энергетического
спектра этого шума, как и в отсутствие сигнала, равна половине
полосы шума на входе детектора. Эти результаты вытекают также
непосредственно из выражения (17.71), которое для случая МП<С 1
чаем
Таким образом,
(17.75)
(17.75')
619
близок к единице
(при всех значениях Uu{t), вероятность которых существенно
больше нуля) может быть записано в форме
A(t)^Uc[l+Mn cos ср (*)] = UC + Un (t) cos ср (*).. (17.71')
Произведение £/п (t) cos <р {t) распределено по нормальному закону
с дисперсией
Таким образом, выявлены основные параметры помехи: мощ¬
ность и полоса частот.
17.10. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В АВТОГЕНЕРАТОРАХ.
ФЛЮКТУАЦИЯ ЧАСТОТЫ И ФАЗЫ
На протяжении ©сей книги применялось понятие о несущей
частоте сигнала, как о монохроматическом колебании («гармо¬
ническое» колебание). Монохроматичность колебания является
основным условием получения когерентных колебаний, т. е. коле¬
баний, разность фаз между которыми сохраняется неизменной за
время Г, достаточное для наблюдений 1.
В радиотехнике широко распространены способы передачи ин¬
формации, использующие в*се .параметры сигнала, в том числе и
фазу колебания. В этом заключается коренное отличие методов
радиотехники от чисто оптических методов, хотя природа электро¬
магнитных радиоволн совпадает с природой света.
Источниками монохроматических колебаний в радиоэлектронике
являются или, вернее, должны являться автогенераторы. Рассмот¬
ренные в гл. 11 принципы автогенерации отвечают этому требо¬
ванию, однако при более внимательном рассмотрении явлений
в подобных устройствах обнаруживаются факторы, нарушающие
Mo-HoxipoMэтичность генерируемого колебания. К числу «(неприн¬
ципиальных» факторов можно отнести такие, как пульсации на¬
пряжений источников питания автогенератора, внешние электри¬
ческие и магнитные наводки, механические вибрации колебатель¬
ной системы, приводящие к изменениям собственной частоты, и др.
К числу «принципиальных», неустранимых, факторов следует отне¬
сти нарушения монохроматичности колебаний, обусловленные
структурой электронных потоков, взаимодействующих с электро¬
магнитным полем, и тепловые шумы электрических цепей автоге¬
нератора. Таким образом, речь идет о влиянии собственных шумов
автогенератора на параметры автоколебания.
1 Такое определение когерентности принято в оптике. В радиотехнике под
когерентностью иногда подразумевают любую форму связи между двумя
сигналами.
620
Полезно отметить, что на протяжении первых 3—4 десятков лет
развития радиоэлектроники существовал прочно укоренившийся
взгляд, что в устройствах, не использующих большого усиления
(генераторы, модуляторы и т. д.), с шумами можно не считаться.
Проникновению статистических методов в генераторную технику
помимо отмеченных выше требований к монохроматичности коле¬
бания способствовало также развитие теории информации и выте¬
кающих из нее новых выводов об эффективности различных сигна¬
лов, и в частности вывод о целесообразности придания сигналу
свойств белого шума.
Рассмотрим прежде рсего влияние собственных шумов генера¬
тора на монохроматичность автоколебания.
С этой целью обратимся к рис. 17.17, на котором схема обыч¬
ного одноконтурного автогенератора дополнена генератором шумо¬
вого тока /ш, включающим в себя все собственные шумы автоге¬
нератора— как тепловые, так и дробовые. Относительно статисти¬
ческих свойств тока /ш сделаем обычные допущения: распределе-
ние считаем гауссовым, а энергетический спектр—сосредоточенным
в относительно узкой полосе частот вблизи резонансной частоты
контура coo- Последнее обстоятельство позволяет представить 1Ш
в виде функции с медленно меняющимися амплитудой /ш и фа¬
зой 0 [см. формулу (17.33)]:
(17.76)
Задача сводится к отысканию частоты или фазы и амплитуды
автогенератора, находящегося под действием внешней силы.
Аналогичная задача решалась в гл. 14. Ввиду полного совпа¬
дения схем, показанных на рис. 14.11 и 17.17, можно восполь-,
зоваться готовыми уравнениями (14.27) и (14.28), заменив в них
/, /, <р0 соответственно на /ш, /ш и б, а также сос на о>0 (так как
согласно (17.76), im выражено через щ).
Таким образом, искомое автоколебание можно представить
в форме, аналогичной выражению (14.22):
(17.77)
621
Рис. 17.17
причем фаза сра и амплитуда А определяются следующими урав¬
нениями [см. выражения (J4.27) и (14.28)]:
(17.78)
(17.79)
При полном внешнем сходстве эти выражения отличаются от
(14.27) и (14.28) тем, что в данном случае q>a и А являются слу¬
чайными величинами. Поэтому основной интерес 'представляет
определение среднеквадратичных значений флюктуации основных
параметров автоколебания и в первую очередь — частоты авто¬
колебания.
Заметим, что в соответствии с выражением (14.23) частота
автоколебания равна
(17.80)
Таким образом, определяемая уравнением (17.78) 'производная
фазы фа дает мгновенное значение флюктуации частоты автогене¬
ратора.
Обозначим эту флюктуацию через До>(^). Из уравне¬
ния (17.78) видно, что случайная величина До>(/) подчиняется
нормальному закону распределения, так как огибающая -If- от-
/?
ли чается от огибающей шума только постоянным множителем
-4-, а фаза <ра — б случайна и равновероятна в интервале 0,2тс1
R
[как и аргумент а)о/-{-0 в выражении (17.76)].
Для определения -среднего квадрата частотной флюктуации
нужно возвести в квадрат и усреднить по времени правую часть
1выражения (17.78). Таким образом,
Но числитель этого выражения есть не что иное как диспер¬
сия шумового тока /ш, т. е. oj.
Таким образом, эффективное (среднеквадратичное) значение
частотной флюктуации равно
(17.81)
1 Случайные процессы /ш sin ((&0t + б) и /ш sin (<ра — 0) различаются лишь
своими корреляционными функциями и соответственно энергетическими спек¬
трами Энергетический спектр первого процесса группируется вблизи частоты о>ог
а второго — вблизи нуля.
622
и соответственно
Оценим порядок величины А/Эф для двух одинаковых автоге¬
нераторов, работающих соответственно на частотах /0 = 3 • 107 гц
(X = 10 м) и /о = 3 • 109 гц (Х = 10 см). Величину зададим
lR
^ 10”6 для обоих генераторов (в действительности с повыше¬
нием рабочей частоты амплитуда IR падает и 4^- несколько
R
увеличивается) так же, как и Q^20 (добротность нагруженного,
контура).
При /0 = 3 • 107 получается Д/Эф~0,75 гц, а при /0 = 3 • 109 —
соответственно 75 гц.
Из этого грубого примера видно, что на частотах метрового диа¬
пазона с влиянием шумов на частоту автоколебания практически-
можно не считаться, а в сантиметровом, и особенно миллиметров
вом, диапазонах это влияние становится существенным.
В практике часто основной интерес представляет не сама вели¬
чина Д/эф, а обусловленный ею набег фазы.
Так как этот набег (за определенный интервал наблюдения),
также является случайной величиной, то «речь идет о среднеквадра¬
тичном значении набега фазы ф^ф. Можно показать (см. приложе¬
ние V), что когда полоса частот шумового тока im формируется
собственной колебательной системой автогенератора, величина ф9ф*
приблизительно равна
где At — промежуток времени, за который определяется набег
фазы, а т — постоянная времени контура автогенератора; Q — до¬
бротность.
Величина <рЭф приобретает существенное значение при болыпих^
интервалах наблюдения. Такие условия особенно характерны для*
радиоастрономии.
17.11. ВЛИЯНИЕ ШУМОВ НА РАБОТУ ИМПУЛЬСНОГО
АВТОГЕНЕРАТОРА
В предыдущем параграфе рассматривалось влияние шумов на
работу автогенератора непрерывных колебаний. Теперь нам пред¬
стоит выявить влияние шумов на параметры последовательности
радиоимпульсов, создаваемых импульсным автогенератором. Это
влияние может заключаться в случайном изменении начальных
Итак,
623
условий, определяющих основные (параметры каждого из радио¬
импульсов: моменты достижения амплитудой своего стационарного
значения и фазу высокочастотного заполнения. Первый фактор
имеет существенное значение для импульсных систем передачи
информации, основанных на применении ЧИМ и ФИМ (§ 3.9),
иа
а -второй — для когерентно-импульсных систем, в 'которых инфор¬
мация заключена в фазе заполнения радиоимпульсов.
В § 11.8 было установлено, что длительность установления ста¬
ционарной амплитуды автоколебаний зависит от начальной ампли¬
туды колебаний, имеющихся в автогенераторе в момент запуска
(включения), а фаза автоколебаний целиком определяется фазой
этих начальных колебаний. Отсюда следует, что задача выяснения
влияния шумов на работу импульсного
автогенератора сводится к рассмотре¬
нию начальных условий запуска авто¬
генератора.
В отсутствие шумов (точнее, при
достаточно слабых шумах) начальные
условия определяются свободными
колебаниями, возникающими в коле¬
бательной системе автогенератора при
подаче на анод лампы импульса
питающего напряжения. Начальная
амплитуда свободных колебаний, воз¬
никающих в схеме, зависит от крутизны переднего фронта им¬
пульса и от параметров и структуры колебательной системы авто¬
генератора.
Для выяснения принципиальной стороны разбираемого вопроса
рассмотрим запуск простого одноконтурного автогенератора, пред¬
ставленного на рис. 17.18-
График напряжения анодного питания (передний фронт им¬
пульса) показан на рис. 17.19. Наконец, на рис. 17.20 изображена
эквивалентная схема анодной цепи автогенератора, удобная для
определения броска анодного тока в момент включения источ-
624
Рис. 17.18
Рис. 17.19
Рис. 17.20
ника Еа. Через Ri обозначено сопротивление лампы для (постоян¬
ного така, т. е. сопротивление, определяющее величину этого бро¬
ска. При 'включении источника э.д. с. ea(t) на контуре возникает
колебательное напряжение, с которого и начинается процесс на¬
растания амплитуды (благодаря обратной связи). Так 'как здесь
нас интересует только начальная амплитуда свободного колеба¬
ния, то обратная связь, а также сопротивление потерь контура на
схеме рис. 17.20 не показаны.
Пусть длительность фронта импульса равна tY. Тогда наклон
фронта, т. е. крутизна нарастания э. д. с., равна а =
и для напряжения на контуре ua(t) имеют место следующие
соотношения (обозначения по рис. 17.20):
1 Е
Учитывая, что ^ ^ ^ р, а также, что а = приходим к вы¬
ражению
Итак, ори линейном нарастании питающей э.д. с. напряжение
на контуре состоит из постоянной составляющей (не представляю¬
щей интереса) и переменной составляющей с начальной ампли¬
тудой
(17.87)
При наличии обратной связи колебание будет не затухать, а
наоборот, нарастать по закону, определяемому выражением (11.64).
Однако начальная амплитуда С/а(0), практически не зависящая от
затухания контура, 'может быть оставлена такой же, как и в отсут¬
ствие обратной связи.
40 Зак 3/235 625
Отсюда получается следующее дифференциальное уравнение
для ua(t):
Решение этого уравнения имеет следующий вид:
Из формулы (17.87) следует, что три заданных р и а амплитуда
«ударного» колебания тем меньше, чем выше частота сосв. Можно
ожидать, что в диапазоне сверхвысоких частот амплитуда Ua{0)
становится соизмеримой с шумбвым напряжением, действующим
на -контуре (иш).
Оценим величину Ua(0) и иш для импульсного генератора
при следующих данных: сосв = 2тг • 3 • 109 (X = 10 см)у Z:a=1000 в>
^ = 0,3 мкс, р = 20 ом, /?/ = 5000 ом.
По формуле (17.87) находим Ua{0)^5 • 10“4 в = 500 мкв.
Стационарную амплитуду можно принять приблизительно равной
половине Еа. Таким образом, £/flCX~ 500 в и
Уровень шумов в автогенераторе примам такой же, что и в при-
мере предыдущего параграфа, т. е.
Таким образом, отношение -шумового напряжения аш к на¬
чальной амплитуде Ua(0)
Следует отметить, что условия для самовозбуждения обеспе¬
чиваются не сразу -при включении источника питания, а после того,
как анодное напряжение достигнет достаточно большой величины.
К этому времени амплитуда свободного -колебания значительно
убывает и амплитуда t/e, определяющая начало процесса самовоз¬
буждения, оказывается еще на один или даже на два порядка
меньшей, чем найденное выше значение Ua(0). В результате 'роль
ударных процессов в задании начашьных условий генерации сильно
снижается. Шумы, накладывающиеся на свободные колебания
включения, приводят к флюктуации огибающей результирующего
колебания. Отношение л= становится случайной величиной,
изменяющейся от импульса к импулысу. Соответственно из/меняется
и длительность установления стационарной ам-плитуды, что приво¬
дит к шумовой модуляции положения фронтов радиоимпульсов на
оси времени. Эта модуляция служит причиной возникновения по¬
мех в системах, где для передачи информации применяется фазо¬
вая или частотная модуляция импульсной последовательности.
Ясно, кроме того, что от импульса к импульсу изменяется по
случайному закону и фаза результирующего колебания', опреде¬
ляющего начальные условия генерации. Таким образом фаза вы¬
сокочастотного заполнения импульсов из-за действия шумов при¬
обретает 'случайный характер.
Для ослабления влияния шумов на работу импульсного авто¬
генератора иногда применяют специальное подвоз'буждение.
626
ГЛАВА 18
ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПО ЗАДАННОМУ СИГНАЛУ
18.1. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛА НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА
С точки зрения теории цепей большой интерес (Представляет
задача отыскания структуры и параметров цепи, оптимальной по*
отношению к заданному сигналу.
Подход (К решению этой задачи зависит от ^критерия оптималь¬
ности.
В ряде областей радиотехники встречается .необходимость в син¬
тезе устройств, обеспечивающих наишучшее приближение (выход¬
ного сигнала к заданной
форме в ответ на определен¬
ное входное воздействие (на¬
пример, на единичный им¬
пульс). Подобные задачи ха¬
рактерны для техники фор¬
мирования сигналов и рас¬
сматриваются в некоторых
специальных курсах.
В данной книге рассматривается иная задача. Пусть на вход?
линейного фильтра 'подается произвольный, но известный сигнал1
s(t) и белый шум n(t) (рис. 18.1). Энергия и форма сигнала,
а также равномерный энергетический спектр шума WQ предпола¬
гаются заданными и известными.
Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий получение^
наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала
к эффективному значению шума на выходе фильтра.
В такой постановке эта задача особенно актуальна для систем
радиосвязи, в которых решается задача, обнаружения сигнала на
фоне помех, 'между тем как форма сигнала может быть выбрана
любой. Наиболее ярким примером подобной системы может слу¬
жить радиолокационная система, особенно импульсная.
Проблема синтеза может быть сведена к двум этапам: 1) опре¬
деление функции передачи оптимального фильтра и 2) отыскание
структуры и параметров цепи по найденной /функции передачи.
40* 627
Рис. 18.1
Первая из этих двух задач обычно не 'вызывает никаких труд¬
ностей и может быть однозначно решена !Пр«и любой форме
сигнала. Вторая же задача является значительно более сложной и
не имеет однозначного решения* более того, не всякая функция
передачи, отвечающая заданному сигналу, может быть реализо¬
вана.
В данном параграфе рассматривается лишь -первая задача:
отыскание оптимального коэффициента передачи со) по задан¬
ному сигналу s(t).
Для решения этой задачи (составим общие выражения отдельно
для 'сигнала и отдельно для шума, действующих на входе .и -вы¬
ходе фильтра.
Представив входной сигнал в виде интеграла Фурье [см. выра¬
жение (2.27)]
я искомый коэффициент передачи в виде
можем -написать следующее общее выражение для «сигнала на вы¬
ходе фильтра:
(18.1)
Допустим, что 'пик сигнала получается в какой-то момент вре¬
мени to ('пока еще неизвестный). Для этого'момента
(18.2)
Составим теперь выражение для эффективного значения шума
еа выходе фильтра. Средняя мощность шума в соответствии с фор¬
мулой (17.16)
а среднеквадратичное (эффективное) значение равно половинной
степени N.
^528
Следовательно, отношение пикавого значения сигнала к ]/ЛГ
(18.3)
Дальнейшая задача сводится к отысканию коэффициента пере¬
дачи /Г(со), обращающего в максимум правую часть выражения
(18.3).
Воспользуемся для этого неравенством Шва>рца, которое при¬
менительно :к числителю (выражения (18.3) 'можно записать в сле¬
дующей форме:
На основании этого неравенства выражение (18.3) (можно так¬
же записать в виде неравенства:
Правая часть этого выражения не зависит от /С(со). Следова¬
тельно, отношение сигнала к помехе достигает максимума, когда
629*
(18.4)
’неравенство обращается в равенство. Для этого необходимо, что¬
бы, во-первых,
или
и, во-вторых, чтобы
где А0 — постоянный коэффициент.
Отсюда следует, что «коэффициент передачи оптимального филь¬
тра должен представлять собой следующую функцию:
Но
есть функция, комплексно-сопряженная по отношению к 5(со).
‘Следовательно, окончательно
(18.5)
Итак, оптимальный фильтр можно представить в виде четырех¬
полюсника с коэффициентом передачи Ло<$*(со) и задержкой ^о-
На рис. 18.2 задержка выделена, хотя в действительности она воз¬
никает при реализации
функции S*(со).
Как будет видно из
дальнейшего, время за¬
держки t0 не может быть
меньше длительности
входного сигнала.
Нетрудно выявить фи¬
зический смысл соотно¬
шения (18.5).
Для этого достаточно учесть, что четырехполюсник с коэффи¬
циентом передачи Л0^(со) обладает фазовой характеристикой,
обратной по знаку фазовой характеристике спектра сигнала. При
прохождении сигнала s(t) со спектром S (со) через подобный четы¬
рехполюсник получается полная компенсация фаз и -все (компоненты
спектра сигнала складываются с одинаковыми начальными фазами,
образуя в момент t0 пик выходного сигнала. С другой стороны, сов¬
падение формы амплитудно-частотной характеристики фильтра
с модулем опектральной плотности сигнала обеспечивает наиболь¬
шее возможное относительное ослабление шума.
630
Рис. 18.2
Составим общее выражение для сигнала, (пропущенного через
оптимальный фильир:
Учитывая, что
получаем
(18.6)
Максимальное значение (пик) сигнала, получаемое в момент
t=to, равно
(18.6')
Но в соответствии ic равенством Парсеваля (см. § 2.9) 'полная
энергия входного сигнала равна
(18.7)
Следовательно,
(18.6")
Отсюда видно, что пиковое значение сигнала на выходе фильтра
зависит только от энергии входного сигнала. То, >на первый взгляд
парадоксальное, обстоятельство, что величина лика сигнала на
выходе не зависит от формы входного сигнала, объясняется уже
упоминавшейся ранее компенсацией фаз спектра сигнала в опти¬
мальном фильтре.
Следует иметь в виду, что входящий в выражения (18.6) —
(18.6") -коэффициент А0 не является безразмерной величиной. Дей¬
ствительно, из определения (18.5) следует, что
631
откуда
Подставляя это выражение в формулу (18.6"), получаем
Как и .следовало ожидать, при заданных форме сигнала и функции
передачи -пиковое значение сигнала на выходе оптимального филь¬
тра пропорционально (Половинной степени энергии входного
сигнала.
Итак, отношение пикового значения сигнала к эффективному
значению помехи на выходе оптимального фильтра, получающееся
при обращении неравенства (18.4) в равенство [а также при учете
формулы (18.7)], /равно
(18.8)
Следует, кроме того, иметь в виду, что 'полученные в этом па¬
раграфе результаты справедливы только для случая наложения
сигнала на белый шум, т. е. шум с равномерным энергетическим
спектром. При ином характере энергетического спектра получится
и другая функция Копт (со). В теории обнаружения сигналов дока¬
зывается, что каждому «ансамблю» сигнала и шума соответствует
определенный оптимальный фильтр. Таким образом, рассмотренный
выше случай является -наиболее простым случаем оптимальной
фильтрации сигнала. Вместе с тем этот случай представляет основ¬
ной интерес для практики, так как белый шум является «стан-^
дартной» помехой, на которую обычно рассчитывается приемное
устройство.
18.2. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА
То обстоятельство, что функция передачи оптимального фильтра
К0пт (о)) является функцией, сопряженной по отношению к спектру
сигнала S(со), указывает на существование тесной связи также и
между временными характеристиками фильтра и сигнала.
Для выявления этой связи найдем импульсную характеристику
оптимального фильтра.
632
Применяя выражение (6.54) и учитывая формулу (18.5) для:
Kom(w)> получаем
(18.9)
Учитывая, что
и переходя к новой переменной a»i = —со, перепишем выражение
(18.9) следующим образом:
(18.9'>
Правая часть этого выражения есть не что иное, как функ¬
ция A,s(^0 — t).
Следовательно, если задан сигнал s(t), то импульсная харак¬
теристика сопряженного (оптимального) фильтра g(t) опреде¬
ляется просто как функция:
g-(O=As(^0-O. (18Л0>
Построение графика функции s(to—t) показано на рис. 18.3.
Пунктирная кривая s(—t) является отображением заданного сиг¬
нала s(t), зеркальным относительно оси ординат. Функция же-
s(t0 — t) зеркальна по отношению к тому же сигналу s(t), но
с осью симметрии, сдвинутой вправо на величину to!2. Действи¬
тельно, при t=t0 — h
Следовательно, абсцисса точки пересечения кривых s(t) й
s(t0—t) равна
Для практических целей 'полезно уметь находить форму сиг¬
нала на выходе сопряженного фильтра по входному сигналу s(t)
633
Рис. 18.3
без обращения к его апектру £(оо). Для этого можно .воспользо¬
ваться выражением (9.20), в /котором g(t) (должно быть выражено
через s(t) [с помощью формулы (18.10)]:
Эта форма удобна в тех случаях, когда отсчет времени ведется от
начала сигнала.
•В более общем случае следует «исходить из выражения
б котором пределы интегрирования уточняются в каждом кон¬
кретном -случае в зависимости от способа задания «сигнала.
После тою ‘как 'выявлена связь между импульсной характери¬
стикой оптимального фильтра g(t) и сигналом s(/), можно восполь¬
зоваться приведенными в § 6.7 рассуждениями о физической осу¬
ществимости четырехполюсника с заданной функцией g(t). Со¬
гласно полученным там результатам импульсная характеристика
физически осуществимого четырехполюсника должна отвечать сле¬
дующим двум условиям:
— при ^<0 функция g(t) должна равняться нулю и
— при t-> оо функция g(t) должна стремиться к нулю.
Применительно к рассматриваемому здесь фильтру, импульс¬
ная характеристика которого связана с сигналом равенством(18.10),
•первое условие сводится к требованию to—t2^>0. Это условие,
особенно наглядно видное из рис. 18.3, обеспечивает требование,
чтобы функция g(t), представляющая собой отклик фильтра на
единичный импульс в момент t = 0, не опережала воздействие, т. е.
не начиналась при t < 0. Тем самым выясняется смысл задержки U
на схеме (рис. 18.2 и в выражении (18.5).
Эта задержка не может быть меньше длительности сигнала 5 (/).
При совмещении начала отсчета времени с началом сигнала, т. е.
три /i = 0, время задержки t0 разно просто t2. Только при ^0> t2
может быть использована вся энергия сигнала, необходимая для
еоздани,я пика в точке to.
Яснб, что увеличение t0 сверх t2, не влияя на величину пика
сигнала, просто сдвигает его вправо (в сторону запаздывания).
Второе условие (g(t)-+0 при t-> ^), которое, по существу, необ¬
ходимо для обеспечения устойчивости системы (см. § 6.7 и § 15.4),
в данном случае накладывает на сигнал s(/) требование, чтобы
длительность его t2 была конечна; только в этом случае при ‘конеч¬
ной величине задержки можно выполнить условие to^>t2. Как ви-
634
(18.11')
18.3. УСЛОВИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ
дим, второе условие, по существу, содержится в перво,м, если
имеется в виду конечная величина t0, что только и может иметь
смысл для практики.
Приведенные выше условия физической осуществимости совер¬
шенно не указывают, как ‘.можно построить фильтр с требуемой
функцией передачи. Более того, выполнение этих условий еще не
означает, что -подобный фильтр вообще можно реализовать.
Эти условия лишь указывают на то, при каких требованиях
к g(t) фильтр 'принципиально невозможно ^осуществить. В тех же
случаях, когда g(t) отвечает условиям физической осуществимости,
можно искать структуру цегоГ, позволяющей синтезировать (при¬
ближенно или точно) требуемую функцию передачи.
Некоторые примеры синтеза, когда структура оптимального
фильтра может быть найдена непосредственно по функции пере¬
дачи, рассматриваются в § 18.4—18.7.
18.4. ПРИЗЕРЫ СИНТЕЗА ФИЛЬТРА ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ СИГНАЛОВ
В данном параграфе рассматривается задача оптимальной
фильтрации для двух случаев: сигнал в виде одиночного прямо¬
угольного -импульса (видеоимпульс) и сигнал в виде Такого же
импульса с высокочастотным заполне¬
нием (радиоимпульс).
Пусть задан сигнал в виде сле¬
дующей функции времени (рис.
18.4):
Коэффициент передачи оптимального фильтра находим по фор¬
муле (18.5); время задержки t0 приравниваем длительности им¬
пульса т:
(18.12)
Рассматриваемый пример любопытен тем, что /С0Пт(а)) отли¬
чается от спектра сигнала Е(и>) лишь постоянным коэффициен¬
том. Ясно, что и импульсная характеристика фильтра g(t) сов¬
падает по форме с самим ■ сигналом e(t); действительно, из
соотношения (18.10) следует, что (при Л0=1)
(18.13)
635
Рис. 18.4
Спектр сигнала в соответствии с выражением
Построение графика g(t) (показано на рис. 18.5. Итак, задача сво¬
дится к отысканию'(структуры физической цепи, обладающей .им¬
пульсной характеристикой, изображенной на ,рис. Л8.5 [и (комплекс¬
ным коэффициентом пе¬
редачи, определяемым
формулой (18.12)].
Одна из возможных
функциональных схем
подобного устройства
изображена на рис. 18Д
При подаче на вход этой
схемы единичного им¬
пульса 6 (/), что необходимо для определения «импульсной ха¬
рактеристики», .на выходе (первого элемента — интегрирующего
устройства—■ развивается постоянное напряжение. Это напряжение
Рис. 18.6
подается на вычитающее устройство (—) по двум каналам: непо¬
средственно .и через линию задержки т. На выходе устройства по¬
лучается напряжение в виде разности двух единичных скачков
напряжений, сдвинутых один относительно другого на время т
(рис. 18.7, а).
В результате отклик рассматриваемой схемы на единичный
импульс получается в виде импульса прямоугольной фо,рмы, в соот-
636
Рис. 18.7
ветствии с требуемой .импульсной характеристикой, ‘показанной на
рис. 18.5.
К этому же результату можно также прийти и с помощью (рас-
суждений, основанных 'на спектральных представлениях: равно¬
мерный спектр входного импульса 6(/) в идеальной интегрирующей
цепи превращается ib спектр вида 1До) (ом- § 9.5), а после вычита-
1 —/сот
ния спектра е задержанного .импульса дает на выходе ре¬
зультирующий спектр
полностью совпадающий с требуемым.
Реализация изображенного на рис. ,18.6 устройства, которое
обеспечивало бы точное интегрирование, а также задержку вход¬
ного сигнала без искажения его формы (в пределах бесконечно
широкого спектра единичного импульса), практически неосуще¬
ствима. Можно, однако, получить достаточно хорошее приближение
к требуемым свойствам п-ри использовании реального интегрирую¬
щего'.устройства, например, в виде цепи R, С (юм. § 9.5), если обес¬
печить, чтобы постоянная времени этой цепи бьма достаточно
велика по сравнению с длительностью т требуемой импульсной
характеристики. Получающееся при этом на выходе вычитающего
устройства напряжение, являющееся разностью двух экспонент
((рис. 18.7,6), может быть сделано достаточно близким к прямо¬
угольному импульсу.
Найдем напряжение на «выходе фильтра при подаче на его
вход сигнала, показанного на рис. 18.4. Используя выражение
(18.11), пол/учаем
где е (т — х) — зеркальное отображение сигнала относительно
т
2 •
Рассмотрим отдельно два промежутка времени: 0 < t < т и
т < t < 2т. В первом промежутке при х > t множитель e(t — x)
равен нулю. В пределах же 0 < л: < t оба множителя постоянны
и равны единице.
Поэтому при 0 < t < т
В промежутке т < t < 2т х ограничено сверху и снизу. Верх¬
ний предел переменной х может быть найден из условия
е(т — х)^>0, откуда следует, что верхний предел х равен т.
Нижний же предел находится из условия, чтобы множитель
637
e(t — x) не обращался в нуль, для чего необходимо, чтобы
t — х < т или хмин = t — т. Итак, для т < t < 2т
шением для простого фильтра с прямоугольной амплитудно-частот¬
ной характеристикой.
Основываясь на выражении (18.8) и приравнивая а-мшлитуду
входного импульса единице, что дает для энергии импульса вели¬
чину Е=т, получаем
Пр,и использовании 'простого фильтра* (полоса его 'пропускания
обычно берется равной А/=.1/т, что обеспечивает достижение ам¬
плитудой выходного сигнала максимального значения, в данном
примере равного единице.
Мощность же помехи на выходе такого фильтра, очевидно,
равна
Следовательно,
Сравнивая это отношение с предыдущим, убеждаемся, что при¬
менение оптимального фильтра дает улучшение в два (раза (по
мощности).
638
Наконец, при t > 2т еВыХ(0=0* График выходного сигнала
изображен на рис. 18.8.
Максимальное значение выходного сигнала, 'равное А0т, дости¬
гается в момент t = т, т. е. к концу действия входного сигнала.
В заключение данного примера найдем отношение сигнал/помеха
на выходе оптимального фильтра и сравним его с таким же отно-
Рис. 18.9
Рис. 18.8
Рассмотрим теперь оптимальную фильтрацию прямоугольного
радиоимпульса, определяемого в виде следующей функции времени
(рис. 18.9):
e(i)= sinaV при 0</<.т
= 0 при 0 > t > т.
Опектр /подобного сигнала может быть получен заменой со на
оз—со0 в выражении (2.45) для спектра соответствующего видео¬
импульса (см. § 3.8). Тогда, заменяя в выражении (18.12) о>
на со—соо, находим коэффициент передачи оптимального фильтра:
Первый член этой функции .приближённо реализуется с по/мощью
резонансного контура /с достаточно малым затуханием. Действи¬
тельно, при включении по
схеме, показанной на рис.
18.10, коэффициент пере¬
дачи первого звена равен
Таким образом прихо¬
дим к схеме оптимального
фильтра, показанной на
рис. 18.10
Если сооТ=&2я, где k —
целое число, то фазосдви¬
гающее устройство, создающее фазовый сдвиг coot, может быть ис¬
ключено. Сигнал на выходе фильтра представлен на рис. 18.1 L
1 Отсутствие множителя i в A'i(u)) означает, что все компоненты спектра
сигнала на выходе контура отличаются по фазе на 90° относительно фаз при
точном интегрировании. В случае узкополосного сигнала это не приводит к за¬
метному влиянию на его форму.
639>
Рис. 18.10
Рис. 18.11
Следует -подчеркнуть, что в рассмотренных здесь случаях про¬
стых юишалов применение оптимального фильтра дает весьма
скромный выигрыш в отношении сигнал/помеха по сравнению
с обычным фильтром нижних частот (в случае видеоимпульса) или
с обычным резонансным фильтром (в случае радиоимпульса).
Ниже рассматриваются более сложные сигналы, когда при¬
менение оптимального фильтра дает весьма существенные прак¬
тические результаты.
18.5. ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛА, ПРЕДСТАВЛЯЮЩЕГО СОБОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ОДИНАКОВЫХ ИМПУЛЬСОВ
Рассмотрим теперь сигнал в виде группы -из п одинаковых ви¬
деоимпульсов (рис. 8.12).
Спектр такого сигнала
(18.15)
Здесь Sx (о>) — спектр первого импульса, начинающегося в мо¬
мент / = 0; 5] (со) е~шТ' — спектр второго импульса, начинающе¬
гося в момент t=Tx и тч д.
Так как полная длительность изображенного на рис. 18.12 си¬
гнала равна Тп+ т, то в соответствии с выражением (18.5) согла¬
сованный со (спектром £(ш) фильтр должен обладать коэффициен¬
том передачи
(18.16)
В этом /выражении K10IIT(m) представляет собой коэффициент
передачи фильтра, оптимального для одиночного импульса (начи¬
нающегося в момент t—0).
Основываясь на выражении (18.16), нетрудно наметить схему
фильтра, оптимального для сигнала, изображенного на рис. 18.12.
Подобный фильтр должен представлять собой каскадное сое-
640
Рис. 18.12
динение фильтра /СюптО0) с набором линий задержки Тп — Тп_и
тп — Тп_2, Тп и с суммирующим устройством 2-
Один из возможных вариантов подобного устройства показан
на рис. 18.13.
Максимальный импульс на выходе сумматора получается в мо-
мент t = Tnj когда первый импульс входной последовательности,
прошедший через задержку Тп, суммируется со вторым импуль-
сом, прошедшим через задержку Тп — Ти с третьим импульсом,
задержанным на Тп—Т2, и т. д. вплоть до последнего импульса,
проходящего через рассматриваемое устройство без дополнитель¬
ной задержки.
Вместо набора из п линий задержек конструктивно проще и
выгоднее применять одну линию задержки с п отводами, как это
показано на рис. 18.14.
Отводы на линии располагаются таким образом, чтобы соот¬
ветствующие им задержки соответствовали моментам возникнове¬
ния импульса во входном сигнале.
Построение оптимального фильтра значительно упрощается
в том случае, когда входной сигнал представляет собой последова¬
тельность равноотстоящих одинаковых импульсов, т. е. когда
Т2 = 2Т, Г8 = 37\ ..., Тп = пТ.
Для этого случая выражение (18.16) может быть записано так:
641
Рис. 18.13
При достаточно большом числе п выражение в квадратных
скобках можно свернуть по формуле геометрической прогрес¬
сии
С подобным выражением мы уже встречались в гл. 15. Это есть
не что иное, как коэффициент 'передачи гребенчатого фильтра.
Таким образом, оптимальная фильтрация, например последова¬
тельности равноотстоящих и одинаковых прямоугольных импуль¬
сов может быть осуществлена с помощью сочетания устройства,
изображенного на рис. 18.6, с гребенчатым фильтром, описанным
в § 15.6.
Все приведенные выше рассуждения можно распространить и
на фильтрацию последовательности радиоимпульсов. Необходимо
лишь под /Сюпт(со) подразумевать коэффициент передачи фильтра,
оптимального для первого радиоимпульса входной последова¬
тельности.
18.6. СЖАТИЕ РАДИОИМПУЛЬСОВ С ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫМ
ЗАПОЛНЕНИЕМ
Рассмотрим сигнал, изображенный «а рис. 18.15, а. Огибающая
этого сигнала имеет прямоугольную форму, а частота заполнения
изменяется по линейному закону со скоростью.
(18.17)
где т — длительность импульса; 2сод — полное изменение частоты
внутри импульса, а соо — центральная частота заполнения.
В дальнейшем исходим из условия, что 2сод <С соо.
Изменение мгновенной частоты f(t) показано на рис. 18.15,6.
Таким образом,
(18.18)
Рис. 18.14
а мгновенное значение сигнала в интервале от —до +2"
определяется выражением (см. § 3.4):
Найдем функцию передачи оптимального фильтра для рас¬
сматриваемого сигнала и определим форму сигнала на выходе
такого фильтра.
Для этого прежде всего нужно
найти спектральную плотность сиг¬
нала, определяемого выражением
(18.19).
Применяя выражение (2.26>), по¬
лучаем
Рис. 18.15
Второе слагаемое, представляющее собой интеграл от быстро
осциллирующей функции, можно отбросить (см. §§ 3.8 и 9.8)«
В первом же слагаемом показатель степени в подынтегральной
функции целесообразно дополнить до квадрата разности (р счи¬
таем положительной величиной):
где обозначено
(18.22)
Подставляя выражение (18.21) в (18.20) и переходя к новой
переменной
41 *
(18.23)
643
получаем
Обозначим пределы интегрирования через щ и «2:
Заметим, что произведение рт = 2сод есть полная девиация ча¬
стоты (угловой) внутри импульса, а рт*т=2содт представляет
собой безразмерный параметр, имеющий смысл индекса фазовой
модуляции. В данном случае частотную модуляцию удобно ха¬
рактеризовать с помощью произведения полной девиации, выра¬
женной в герцах, на длительность импульса т. Обозначим этот
параметр через т:
(18.25)
644
Тогда Ui и U2 можно привести к следующему виду:
В этих обозначениях выражение для Е(ю) принимает следую¬
щий вид:
(18.27)
Из выражения (18.26) следует, что модуль спектральной плот¬
ности рассматриваемого сигнала равен
(18.28)
а фазовая характеристика спектра
(18.29)
Графики зависимости £(<о) от ——для нескольких зна*
(Од
чений параметра т изображены на рис. 18.16. Существенно, что
при больших значениях т. (порядка сотни и более) форма £(<»)
приближается к прямоугольной и ширина спектра близка к вели¬
чине 2(од, а фазовая характеристика ■ф(со) принимает вид квадра¬
тичной параболы (рис. 18.16,в).
В случае отрицательного р (т. е. при убывании частоты внутри
импульса) выражение (18.28) для модуля Е(со) остается преж¬
ним, а в выражении (18.29) для фазы знаки должны быть изме¬
нены на обратные. Наконец, при бтсчете времени, от начала
импульса спектральная плотность рассматриваемого сигнала
должна быть представлена в форме
(18.30)
где £(©) и iJ)((o) определяются соответственно выражениями
(18.28) и (18.29).
Выражение (18.30) полностью определяет функцию передачи
оптимального фильтра. В соответствии с общим выражением
(18.5) можем написать
(18.31)
Заметим, что в точке u) = u>0 Е(ш0) = —.
у Р
Положив
Put. 16.16
646
получим
Следовательно,
(18.ЗГ)
Это выражение может быть, в принципе, положено в основу
синтезирования фильтра. Ясно, однако, что' создание четырехпо¬
люсника, точно реализующего столь сложные амплитудную и
фазовую характеристики фильтра, как это диктуется выраже¬
ниями (18.28) 'и (18.29), представляет собой задачу трудную или
даже вообще невыполнимую. В связи с этим приходится прибе¬
гать к различным приемам аппроксимации амллитудной и фазо¬
вой характеристик.
В данном случае нас интересует следующий вопрос: какова
форма сигнала на выходе фильтра, обладающего функцией пере¬
дачи точно по выражению (18.31)?
Для ответа на этот вопрос воспользуемся выражением (18.11').
При отсчете времени о г середины импульса (рис. 18.15,а) это выражение пе¬
реходит в следующее (?о =* 0):
(18.32)
Удобно перейти к новой переменной
Тогда
Подставим в это выражение, в согласии с выражением (18.19),
647
(если частота сигнала о> (£) = со0 + то частота зеркального отображения
{ W2 \
равна а)0 — {Jfi следовательно, е (—/) = cos ( <о0* — —), a ety — t) =
Тогда
Второе слагаемое, содержащее под интегралом быстро осциллирующую
[с частотой (2g)o+2P# — fit)] функцию, можно отбросить (см. § 3.8 и 9.8).
Таким образом,
Заметим, что в выражении (18.33) огибающая функции е (у) отлична от
X т
нуля (и равна единице) лишь в интервале.от у = — у до у = -f > а функ-
т т
ция е (у — 0 — в интервале от у = — у + * до у = + t Следовательно, эти
Т Т
функции перекрываются в промежутке от у = —~2 + t до у — у (при t > 0).
Поэтому в промежутке 0 < t < т выходное напряжение определяется выраже¬
нием
Совершенно аналогичное выражение получается и для t<0.
648
(18.34)
Итак, огибающая выходного напряжения изменяется по за¬
кону
а частота заполнения немодулированна и равна соо, т. е. централь¬
ной частоте входного сигнала.
Учитывая, что
получаем следующее окончательное выражение для огибающей:
При о)дТ > 1 получаем
0>д*
(18.36)
(18.360
Подставляя сюда А0 = угр [см. вывод формулы (18.3Г)] и учи¬
тывая, что -гг = J/^|/^у т, получаем
(18.37)
График огибающей выходного напряжения показан на
рис. 18.17,6, а входного — на рис. 18.17, а. Длительность выход¬
ного импульса, отсчиты¬
ваемая между первыми
двумя нулями, равна
При определении Дли¬
тельности выходного им^
пульса по уровню \/уг 2,
от максимального значе¬
ния получается приблизи¬
тельно вдвое меньшая
длительность, именно:
совпадающее по величине
с параметром модуля-
Рис. 18.17
649
Таким образом, отно¬
шение
ции т [см. выражение (18.24)], может быть названо коэффициен¬
том сжатия частотно-модулированного импульса в оптимальном
фильтре. При этом среднее значение амплитуды в пределах тВых
близко к ]/ т (см. рис. 18.17,6).
Из выражения (18.37) видно, что компенсация фаз спектра сиг¬
нала, составляющая сущность оптимальной фильтрации, приво¬
дит в рассматриваемом случае к сокращению длительности
импульса в m раз при одновременном увеличении амплитуды сиг¬
нала в Ym Раз• Это обстоятельство является весьма ценным для
практики, так как позволяет удлинять имлульс, излучаемый пе¬
редатчиком, с целью увеличения энергии сигнала без потери
разрешающей способности, которая определяется длительностью
импульса на выходе оптимального фильтра. Техническое преиму¬
щество подобного метода проявляется особенно сильно в тех
случаях, когда увеличение амплитуды импульсов в передатчике
ограничивается «импульсной мощностью» электронных приборов,
используемых для генерации колебаний. Значительно проще по¬
вышать энергию сигнала путем удлинения импульсов при одно¬
временном наложении частотной модуляции. При этом величина
параметра модуляции m должна расти пропорционально длитель¬
ности т излучаемого сигнала (при заданной длительности твь,х
импульса на выходе оптимального фильтра). Иными словами,
девиация частоты должна оставаться неизменной, а скорость из¬
менения частоты р должна изменяться обратно пропорционально
изменению т.
18.7. РЕАЛИЗАЦИЯ ФИЛЬТРА ДЛЯ СЖАТИЯ ЧАСТОТНО-
МОДУЛИРОВАННЫХ РАДИОИМПУЛЬСОВ
В предыдущем параграфе уже отмечалась сложность синтези¬
рования фильтра с амплитудной и фазовой характеристиками
точно по выражениям (18.28) и (18.29). В связи с этим в практике
идут на различные упрощения задачи. Первым этапом на этом
пути является допущение о том, что огибающая спектра сигнала
имеет прямоугольную форму, а фазовая характеристика — форму
квадратичной параболы. Таким образом, точные выражения
(18.28) и (18.29) заменяются приближенными:
(18.40)
(18.41)
Из рис. 18.16 видно, что такое приближение тем лучше, чем
больше величина m = 2fдт.
650
Для сигнала с подобными амплитудным и фазовым спектрами
коэффициент передачи оптимального фильтра должен обладать
прямоугольной амплитудной характеристикой с полосой прозрач¬
ности 2о)д и квадратичной фазовой характеристикой.
Дальнейшее упрощение заключается в замене прямоугольной
амплитудной характеристики фильтра на обычную характери¬
стику резонансного фильтра. После этого оптимальный фильтр
может быть практически синтезирован с помощью сочетания сле¬
дующих двух линейных четырехполюсников: полосового резонанс-
лого фильтра (обычный усилитель промежуточной частоты при¬
емника) и специального четырехполюсника с равномерной ампли¬
тудной и квадратичной фазовой характеристиками.
В качестве такого четырехполюсника может быть использована
любая цепь, обладающая дисперсией, т. е. цепь, у которой время
задержки зависит от частоты.
Можно, в частности, использовать неминимально-фазовые цепи скрещен¬
ного типа, широко применяемые для осуществления коррекции фаз в технике
связи.
Одно звено подобной цепи изображено на рис. 18.18, а. Если Za и пред¬
ставляют собой колебательные контуры без потерь, как это показано на
рис. 18.18, б, настроенные на одну и ту же частоту, т. е. при
1 Давыдов Г. Б. Основы теории и расчета фазокорректирующих це*
пей. Связьиздат, 1958.
Рис. 18.18
(18.42)
а фильтра, составленного из п звеньев:
(18.42')
где1
(18.43)
651
то коэффициент передачи одного звена имеет вид
Здесь обозначено1:
Вид фазовой характеристики изображен на рис. 18.19. На этом же ри¬
сунке показана первая производная фазовой характеристики, определяющая
зависимость от частоты времени задержки 11, а также вторая производная,
характеризующая дисперсию задержки.
Из рис. 18.19 видно, что по обе стороны от резонансной частоты звена <ор
имеются относительно широкие области, в которых задержка почти линейно
изменяется с частотой, а вторая производная фазовой характеристики изме¬
няется относительно слабо. Эти области на (рис. 18.19 заштрихованные) могут
быть использованы для осуществления компенсации фаз спектра частотно-мо-
дулированного радиоимпульса. Для отыскания оптимальной рабочей точки на
фазовой характеристике звена, т. е. оптимальной настройки сор контуров звена
при заданной центральной частоте сигнала (Оо, представим фазовую характе¬
ристику в виде ряда Тейлора по степеням разности со — (Оо:
1 В практике применяются несколько иные схемы звеньев, получаемые из
скрещенных схем и эквивалентных им (Атабеков Г. И. Теория линейных
электрических цепей. Изд-во «Советское радио», 1960).
652
Рис. 18.19
Первое слагаемое в правой части определяет фазовый сдвиг на частоте соо,
а второе, т. е. ^oi(o) — (Оо), — фазовый сдвиг, обусловленный величиной за¬
держки на частоте (Оо, т. е. величиной tQ\.
Эффект компенсации обусловлен квадратичным членом и выражен тем
сильнее, чем больше по абсолютной величине коэффициент уь равный
(18.46)
Так как коэффициент передачи фильтра |Xi (o))P, определяемый выраже¬
нием (18.42'), должен быть функцией, сопряженной по отношению к выра¬
жению (18.26), то ясно, что при Р > 0, т. е. при возрастании частоты запол¬
нения в импульсе, коэффициент Yi должен быть отрицательным, а при убы¬
вании частоты заполнения — положительным. Следовательно, в первом случае
(при Р > 0) резонансная частота со0 должна быть ниже частоты сов, а во
втором — выше.
Полагая, что выбрана настройка сор < со0, найдем оптимальное зна-
о>0
чение —.
СОр
Дифференцируя дважды уравнение (16.43), приходим к следующему вы¬
ражению для коэффициента yi:
Здесь обозначено:
Можно показатьчто абсолютная величина коэффициента Yi достигает
максимума в зависимости от параметра р при значениях Qm, приведенных
в следующей таблице:
Совмещая со0 с частотой Qma>р, т. е. при заданной частоте со0 настраивая
а>о
контуры фильтра на частоту с*>р = -х—, получаем наибольшее возможное
/72
(при выбранном параметре р) значение | Yi I*
Для полной компенсации фаз спектра в соответствии с выражением (18.41),
требуется выполнение условия
т. е.
где y = Щ\ — коэффициент при квадратичном члене результирующей фазовой
характеристики многозвенного фильтра.
1 К г о n е г t R. Impulsverdichtung. Nachrichtentechnik, BcL VII, April, 1957,
Heft 4.
653
Еели спектр сигнала достаточно узок, так что в пределах спектра yi мало
отличается от ушакс, то требуемое для заданного коэффициента сжатия число
звеньев фильтра определяется соотношением
(18.47)
п
На есневании формулы (18.17) это выражение может быть приведено к виду
где kp — коэффициент, зависящий от р — — —q— (см. таблицу).
Учитывая, что /д = 1/to, где to — длительность «сжатого» импульса, отсчи¬
тываемая по «нулям» (рис. 18.17), получаем окончательно
Из этой формулы видно, что для получения значительных коэффициентов
т
сжатия — требуется очень большое число звеньев.
° 2/д
Так, например, при —?— = 0,1 и параметре р = 0,25, чему соответствует
J р
£р =z 16,36 (см. таблицу), получается
т
При = 50 требуется около 3000 звеньев! Даже при использовании более
широкого участка фазовой характеристики, что может быть достигнуто сни¬
жением резонансной частоты сор до величины, всего лишь в 2,5 раза пре¬
вышающей 2(од, требуется около 200 звеньев.
Проектирование, изготовление и наладка подобных фильтров представляет
собой весьма сложную задачу. Наличие потерь, некоторое рассогласование
входных сопротивлений звеньев, влияние паразитных параметров и т. д. при¬
водят к очень сильному нарушению равномерности амплитудно-частотной
характеристики и, следовательно, к искажению формы сигнала на7 выходе
фильтра. /
Для выравнивания амплитудной характеристики приходится применять
специальные корректирующие цепи.
Таким образом, многозвенный фильтр, рассчитанный на получение боль¬
шого коэффициента сжатия, представляет собой весьма сложное и громоздкое
устройство.
Задача реализации фильтра для получения больших коэффициентов сжа¬
тия требует поисков'более простых и эффективных устройств, нежели простое
увеличение числа звеньев фильтра.
18.8. СИНТЕЗ СИГНАЛА, СОПРЯЖЕННОГО С ЗАДАННЫМ ФИЛЬТРОМ
В § 18.2 было установлено, что импульсная характеристика
фильтра, оптимального для заданного1 сигнала (на фоне "белого
шума), является зеркальным отображением самого сигнала. Это
свойство оптимального фильтра указывает на новый !путь форми-
654
рования сигналов, сопряженных с заданным фильтром. Откры¬
вается возможность получения требуемого сигнала с помощью
ударного возбуждения фильтра, являющегося «обратным» по от¬
ношению к заданному фильтру.
Для пояснения подобного метода построения канала связи
рассмотрим схему, изображенную на рис. 18.20.
Пусть на приемной стороне используется фильтр, оптималь¬
ный по отношению к определенному сигналу. Это означает, что
коэффициент передачи фильтра Кi (со) связан с спектром сигнала
Рис. 18:20
5(<в) соотношением (18.5). Опуская здесь постоянную задержку to,
перепишем это выражение в следующей форме:
(18.49)
Допустим, что на передающей стороне применен „обратный"
фильтр с коэффициентом передачи /С2 (ш)> являющимся комп-
лексно-сопряженной функцией по отношению к Ai(m).
Следовательно,
(18.50)
где А\ и Лг — постоянные коэффициенты.
Нетрудно убедиться, что импульсная характеристика фильтра
с подобной функцией передачи совпадает с требуемым сигналом
(18.51)
Отсюда следует, что требуемый сигнал на передающей стороне
может быть создан в виде отклика «обратного» фильтра на еди¬
ничный импульс 6(/). Практически достаточно, чтобы длитель¬
ность ударного импульса была достаточно малой по сравнению
с периодом собственного колебания фильтра.
Так как формирование сигналов, а также их обработка в при¬
емнике обычно осуществляются на «промежуточной» частоте, то
схема рис. 18.20 должна быть дополнена генератором высокой
частоты и преобразователем для сдвига спектра сигнала в область
655
высокой частоты в передатчике, а также гетеродином с преобра¬
зователем для обратного преобразования частоты в приемнике.
Несмотря на кажущуюся простоту изложенного принципа фор¬
мирования сигнала, обеспечивающего оптимальность его обра¬
ботки в приемнике, реализация «обратного» фильтра является
весьма сложной задачей, которая может быть успешно решена
не для любого сигнала и не для любого «прямого» фильтра.
Относительно просто подобная задача решается для фазомани-
•*пулированного сигнала. Для генерации подобного сигнала может
Рис. Г8.21
быть использована схема, показанная на рис. 18.21. На этой схеме
четырехполюсник /^(со) может представлять собой устройство,
изображенное на рис. 18.10, т. е. устройство с импульсной харак¬
теристикой в виде прямоугольного радиоимпульса с частотой
заполнения й0 и с длительностью х (см. рис. 18.9). Четырехполюс¬
ники bk представляют собой безынерционные схемы, пропускаю¬
щие единичные импульсы, поступающие с отводов линии за¬
держки, без изменения полярности или с изменением. Таким
образом, коэффициенты передачи этих четырехполюсников могут
быть приравнены ±1. Разница .в задержках между двумя бли¬
жайшими отводами линии делается равной т, т. е. длительности
отклика четырехполюсника F(со) на единичный импульс.
В результате на выходе рассматриваемой схемы в ответ на
единичный импульс возникает сигнал, представляющий собой по¬
следовательность из п радиоимпульсов, следующих без интерва¬
лов и различающихся между собой только фазой заполнения: (в за¬
висимости от знака bk фаза k-ro импульса может быть либо 0,
либо я.
656
На рис. 18.22 изображен подобный сигнал для случая пяти от¬
водов на линии задержки (п=4), ,при: &о= + 1, &i = + l, £>2=—1»
bo, — — 1 и 64= -f- 1.
Положительным значениям коэффициентов bk соответствует
начальная фаза заполнения импульсов, равная 0, а отрицатель¬
ная — равная я.
Эффективная ширина спектра подобного сигнала определяется
длительностью элементарного импульса и близка к величине —
(см. § 2.10, рис. 2.20 и § 3.8, рис. 3.22).
В практике применяются линии задержки с весьма большим
числом отводов, достигающим нескольких десятков и более. При
выборе закона чередования коэффициентов b0j bu 62» ••• Ьп стре¬
мятся придать сигналу такую структуру, чтобы при воздействии на
обычный (не согласованный с сигналом) фильтр получался отклик,
максимально приближающийся по своим свойствам к шуму.
В теории обнаружения сигналов показывается, что подобный сиг¬
нал обладает наибольшей возможной при заданной-энергии эф¬
фективностью.
Схема фильтра, оптимального для рассматриваемого сигнала,
изображена на рис. 18.23. Эта схема отличается от схемы
рис. 18.14 только добавлением элементов bk, а от схемы
рис. 18.21—взаимной заменой входа и выхода. По существу
фильтры, показанные на рис. 18.21 и 18.23, совершенно идентичны,
что является крупным достоинством, особенно в тех случаях, когда
приемник и передатчик находятся в одном месте, как, например,
в случае радиолокатора. В подобных случаях генерирование сиг¬
нала и оптимальная его обработка при приеме могут быть осу¬
ществлены с помощью одного фильтра.
Крупным достоинством фазоманипулированного сигнала яв¬
ляется -постоянство амплитуды и возможность удлинения сигнала
без потери разрешающей способности, так как на выходе опти¬
мального фильтра (рис. 18.23) в момент времени t = nx выделяется
максимальный импульс с длительностью т, являющийся суммой
42 Зак. 3/235 657
Рис. 18.22
всех п элементарных импульсов фазоманипулированного сигнала.
Можно .поэтому считать, что показанный на рис. 18.23 фильтр
осуществляет сжатие сигнала, причем коэффициент сжатия ра¬
вен /2, т. е. числу отводов линии задержки. При достаточно боль¬
шом числе п можно осуществить значительное сжатие. Число п
в данном фильтре играет такую же роль, как произведение
Рис. 18.23
2/дт=т для фильтра, осуществляющего сжатие радиоимпульсов
с частотно-модулированным заполнением [см. формулу (18.39)].
В обоих случаях основной характеристикой фильтра является
произведение полоса пропусканияхдлителъность сигнала. В слу¬
чае фильтра для ЧМ сигнала это произведение равно /га = 2/дт,
а в случае ФМ сигнала равно А/ • т = ^- пх=2п.
Достоинством фазоманипулированного сигнала перед ча-
стотно-модулироаанным является относительная простота его фор¬
мирования и обработки, а недостатком — неравномерность ча¬
стотного спектра в пределах полосы ^ — [в случае ЧМ с доста¬
точно большим значением параметра т — 2/дт спектр близок
к прямоугольному, рис. 18.16].
ПРИЛОЖЕНИЯ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ОТСЧЕТОВ (к гл. 2)
В соответствии с выражением (2.58) эта теорема утверждает,
что сигнал s(£), спектр которого ограничен полосой от 0 до Fm,
однозначно определяется следующей суммой:
где nkt—отсчетные точки на оси t.
Для доказательства теоремы необходимо показать, что спектр
правой части выражения (1.1) совпадает со спектром S(Q) исход¬
ной функции s(t). Этого совпадения также и достаточно для до¬
казательства, поскольку функция времени однозначно опреде¬
ляется своим спектром.
Итак, находим спектр *Si(Q) правой части выражения (1.1).
Применяя обычное выражение для преобразования Фурье, полу¬
чаем
Меняя местами порядок интегрирования и суммирования,
а также переходя к новой переменной x=t — пА/, приводим по¬
следнее выражение к виду
ал)
С помощью соотношения
661
входящий в выражение (1.2) интеграл легко приводится к сумме
следующих четырех интегралов:
Следовательно, при Q < Qm первые два интеграла дают в сумме я.
Интегралы же в квадратных скобках обращаются в нуль ввиду
нечетности подынтегральных функций относительно х1
Итак, для 2 < Qm выражение (1.2) приводится к виду
(1.3)
(1.4)
1 Это относится к главным значениям интегралов. В точках же х = 0 каж¬
дый из интегралов независимо от соотношения между Qm и Q обращается
воо и разность интегралов равна нулю.
662
Так как суммирование ведется как по положительным, так и
отрицательным значениям п, можно изменить знак перед п. Учи¬
тывая также, что А^_ —- =——, записываем последнее выра-
zrm
жение в несколько видоизмененной форме:
Нетрудно видеть, что полученное выражение есть не что иное,
как представление функции з', (Q) в виде ряда Фурье с периодом
от —йт до +Q. Коэффициенты этого ряда, очевидно, равны
Для сопоставления 5,(2) с 5(2) необходимо определить
коэффициенты аналогичного ряда Фурье для функции <S(2). Это
проще всего сделать с помощью подстановки t = nM в общее
выражение интеграла Фурье для s{t):
Пределу интегрирования здесь взяты с учетом ширины
спектра функции s(/).
Но правая часть последнего выражения представляет собой
(—я)-й коэффициент разложения функции S(Q) в ряд Фурье
с периодом от — Qm до +2т (см. 1.1).
Следовательно, коэффициенты ряда Фурье для функции 6 (£2)
равны
(1.5)
т
В точках
и соответственно
(1.6)
(1.7)
663
Рис. 1.1
Совпадение выражений (1.5) и (1.7) для коэффициентов Ап
и Вп доказывает тождественность спектров Si(Q) и 5(2), а сле¬
довательно и соответствующих им функций времени.
Итак, непрерывный сигнал s(/) со спектром Fm полностью
определяется дискретной последовательностью своих значений,
отсчитанных через интервалы, равные
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ОГИБАЮЩАЯ И ФАЗА УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА (к гл. 3)
Пусть задан радиосигнал s(t), о котором известно, что он
представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все
спектральные составляющие сигнала группируются в относи¬
тельно узкой, по сравнению с некоторой центральной частотой соо,
полосе. При представлении (подобного сигнала в форме
(ил)
возникает, как уже отмечалось в § 3.8, неоднозначность в выборе
функций A(t) и гр(0, так как ПРИ любой функции г|)(0 всегда
можно удовлетворить уравнению (но надлежащим выбором
функции А (().
Так, например, при желании, простейшее (гармоническое) ко¬
лебание
(II.2)
можно представить в форме
(И.З)
где со = со0 4- Дю.
В выражении (II.3) огибающая A(t) в отличие от Ао является
функцией времени. Эта функция может быть определена из усло¬
вия
(Н.4)
Из этого примера видно, что при нерациональном выборе аргу¬
мента г|>(/) [со/ вместо coofl сильно усложнилось выражение для
A(t), причем эта новая функция A(t), по существу, не является
«огибающей» в общепринятом смысле, так как она может пере¬
секать кривую s(t) (вместо касания в точках, где s(t) имеет
максимальное значение).
Ясно, что оперирование с подобной «огибающей» не имеет
смысла, а в некоторых случаях и недопустимо, так как можег
664
привести к ошибочным практическим выводам (например, при
рассмотрении работы амплитудного детектора).
Неопределенности можно избежать при определении A(t) и
ty(t) с помощью следующих соотношений:
(И.5)
(и.б)
где s\(t)—новая функция, определенным образом связанная
с исходной функцией s(f).
Выражения (П-5) — (И.б) основаны на (представлении s(t)
в виде проекции вектора A(t) на ось абсцисс, относительно кото¬
рой . отсчитывается угол г|)(0
(рис. II.1).
Для того чтобы выявить требуе¬
мый характер функции Si(0» рассмот¬
рим сначала некоторые свойства вели¬
чины A(t), вытекающие непосред¬
ственно из выражения (II.5) и спра¬
ведливые при любой функции S\(t).
Прежде всего мы видим, что в точ¬
ках, в которых Si (/) равно нулю,
имеет место равенство
(П.7)
Дифференцируя выражение (II.5), получаем
Отсюда видно, что при Si = 0, когда Л(/)=я(/), имеет место до¬
полнительное равенство
(II.8)
Следовательно, в точках, в которых S\(t)=Of кривые A(t) и
s(t) имеют общие касательные.
Этих условий, однако, еще недостаточно, для того чтобы можно
было рассматривать A(t) как огибающую быстро осциллирующей
функции s(t). ,
Необходимо потребовать, чтобы кривая A(t) касалась кривой
s(/) в точках, в которых последняя проходит через максимальные
(амплитудные) значения. Иными словами, в точках, в которых
Si(/) обращается в нуль, функция s(t) должна проходить через
максимумы.
665
Рис. II.1
Этому условию отвечают преобразования Гильберта 1
(Н.9)
(11.10)
причем здесь имеются в виду главные значения несобственных
интегралов.
Функция Si(t) называется функцией сопряженной функцииs(t).
Нетрудно убедиться, что в точках, в которых |s(f)l проходит
через максимум, Si(/) обращается в нуль. Действительно, из рас¬
смотрения выражения (11.10) следует, что величина интеграла оп¬
ределяется в основном участками пути интегрирования вблизи
x=t, где функция ~_t . обладая противоположными знаками по
обе стороны от точки x=t, стремится к бесконечности.
Если в точке т = * функция |s(x)| проходит через максимум
и, следовательно, dsJ^ — 0, то в окрестности этой точки | s (*) | =
= |s(tf)| может рассматриваться как постоянная величина. Вынося
поэтому s(-c) за знак интеграла, записываем последний в форме
где 2s — интервал, в котором » 0.
Ввиду нечетности подынтегральной функции относительно т
последний интеграл обращается в нуль.
Соответственно, в точках т, в которых s (т) .проходит через нуль
и, следовательно, меняет свой знак, подынтегральная функция
становится четной и |si(0l обращается в максимум.
Приведем несколько простых примеров, поясняющих примене¬
ние преобразования Гильберта к определению огибающей и фазы
некоторых радиосигналов.
Рассмотрим прежде всего сигнал в виде гармонического коле¬
бания
(11.11)
Хотя в столь простом случае не возникает недоразумений в во¬
просе об огибающей, определение сопряженной функции Si(f)
1 Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. ОГИЗ, Гостех-
издат, 1948, стр. 161.
666
все же полезно для установления общих соотношений между спек¬
трами функций s(t) и Sl(0-
Применяя общее выражение (11.10) и переходя к новой пере¬
менной x=x—t, находим сопряженную функцию
Известно, что
(в смысле главного значения) и
Следовательно,
Подставляя выражения (II.11) и (11.12) в формулы (II.5) —
(II.6), получаем 1 \
где <р = arctg —.
Сопоставление выражений (11.11) и (11.12) показывает, что
функции
соответствует сопряженная функция
а функции
Рассмотрим теперь совокупность трех гармонических компонен¬
тов, образующих обычное амплитудно-модулированное колебание:
при
Находим сопряженную функцию
si (0 — — -Ао [cos <•>„* + К cos (ю0 + 2) t + К cos(<d0 — 2) t], (11.14)
Подставив выражения (11.13) и (11.14) в формулы (II.5) и
(II.6), после несложных преобразований получаем
Таким образом,
Этот результат можно, конечно, получить и непосредственно из
(11.13), если слагаемые с «боковыми частотами» юо+й и соо—Q
привести к виду 2/(cos Q? sin соо/.
Из приведенных выше примеров уже ясно, что если исходный
сигнал s(t) представляет собой сумму спектральных состав¬
ляющих
то сопряженная функция
Ряд (11.17) называется рядом, сопряженным ряду (11.16).
Если сигнал s(t) представлен не рядом (11.16), а интегралом
Фурье:
(11.18)
соответствует сопряженная функция
то функция Siit) может быть представлена в виде интеграла
(11.19)
сопряженного интегралу (11.18).
Сопоставление выражений (11.18) и (11.19) позволяет устано¬
вить общее соотношение между спектральными плотностями функ¬
ций s(t) и s\(t). С этой целью запишем выражение (11.18) в сле¬
дующей форме:
>
(11.20)
[Сравнить с выражением (2.30)].
Аналогично выражение (11.19) можно записать в форме
I)
Сравнивая выражение (11.21) с (11.20) замечаем, что в области
положительных значений со спектральные плотности Si(co) и£(со)
связаны соотношением
С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что
в области отрицательных значений со имеет место следующее со¬
отношение:
Рассмотрим теперь сигнал, спектральная плотность которого
постоянна в полосе частот Асо = сог — соч:
5(a)) = 1 при (*>! < со < со2,
= 0 при СО < (Oj и со > со2.
669
Подобный спектр получается при вырезании полосы юг—o>i из
равномерного спектра единичного импульса.
Применяя выражения (11.18) — (11.19), в которых приравни¬
ваем а(со) = 1, 6(со)=0, а пределы интегрирования 0, оо заменяем
на «и, юг, получаем
(11.22)
(11.23)
и т. д.
670
Отсюда огибающая
а фаза
где п = 0, 1, 2,... в зависимости от знака множителя
~ . А О) Г
именно при 0 < —2~ < те, когда последнее выражение положи¬
тельно, имеем
Итак, окончательно
График этой функции для случая, когда С 1,
изображен на рис. II.2.
Отсчет времени на этом рисунке ведется от точки ^ = 0, так как
при «вырезании» полосы частот сог—coi не учитывалась задержка
сигнала, ’неизбежная ;в реальном филь¬
тре.
Как уже отмечалось в начале дан¬
ного приложения, .понятие «огибающая»
амплитуд имеет определенный смысл
только для узкополосного сигнала. Это
положение легко пояснить на рассма¬
триваемом здесь примере. Для этого
начнем понижать центральную частоту
jcoo при неизменной полосе Асо. В пределе,
при coi = 0, 0)2 = Асо, получим спектр
«видеосигнала», показанный на рис. II.3.
Этот спектр должен рассматриваться как широкополосный, по-
Дсо
скольку величина , равная в рассматриваемом случае 2, не
Д<1>
отвечает условию
671
Рис. II.2
Рис. 11.3
Подставляя в выражения (11.22) и (11.23) сон = 0, о)2=Дсо, по¬
лучаем
Следовательно, «огибающая» A (t) для функции времени s(/),
обладающей спектром, показанным на рис. II.3, будет
(11.27)
Графики функций s(t), S\(t) и A(t) изображены на рис. II.4.
Как видим, в рассматриваемом случае величина A(t), опреде¬
ляемая выражением (11.27), может лишь условно рассматриваться
как «огибающая» амплитуд исходного сигнала. Из рассмотрения
кривой s(i) (рис. II.4) видно, что это объясняется слишком бы¬
стрым изменением амплитуд $(t) или, говоря спектральным
языком, слишком широкой относительной полосой частот сиг¬
нала.
В некоторых специальных случаях выражения (11.5) — (11.6)
совместно с (Н.9) — (11.10) применяют и по отношению к широко¬
полосным сигналам. Однако при этом нужно отказываться от тре¬
бования, чтобы «огибающая» A(t) касалась кривой s(t) только
в точках, в которых s(t) имеет амплитудное значение.
672
Рис. II.4
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ОБЩИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СПЕКТРОВ ИМПУЛЬСНОЙ
МОДУЛЯЦИИ (к гл. 3)
Некоторой особенностью определения спектра модулированной
импульсной последовательности является то, что интересующая
нас функция времени представляет собой совокупность отдельных,
по существу, не связанных между собой импульсов. Каждому из
импульсов в отдельности соответствует сплошной спектр. Задача
сводится, следовательно, к суммированию сплошных спектров всех
одиночных импульсов, образующих заданную модулированную по¬
следовательность.
Мы будем считать, что модулирующая функция (сигнал) яв¬
ляется периодической функцией времени (тональная модуляция).
Исходная импульсная последовательность (в отсутствие модуля¬
ции) является периодической функцией по условию. Можно по¬
этому считать, что и модулированная последовательность пред¬
ставляет собой периодическую функцию, причем период этой
функции кратен 1 как по отношению к периоду модуляции Т = ,
гр 2ти
так и по отношению к тактовому периоду Т
Рассмотрим сначала операцию перехода от сплошного спектра
одиночного импульса к дискретному спектру простой периодиче¬
ской последовательности в отсутствие модуляции. Пусть задан
одиночный импульс произвольной формы, определенный условиями
1 Строго говоря, это выполнимо при условии, что Т и Т\ находятся между
собой в рациональном соотношении, т. е. TJTi — любое целое или дробное, но
обязательно не иррациональное число. Ясно, однако, что для практики это
ограничение не существенно, так как путем изменения одного из периодов Т
или Т\ на сколь угодно малую величину, не оказывающую фактически никакого
влияния на спектр, всегда можно обеспечить рациональность отношения T/Ti.
43 Зак. 3/235 6 73
Интеграл Фурье и спектральная плотность для этой функции
могут быть написаны в следующей форме:
Рассмотрим теперь периодическую последовательность импуль¬
сов, полученную путем бесконечного повторения f0(t) с периодом
Тi= ,причем считается выполненным условие T\>t2 — ti. Ряд
Фурье и частотный спектр (дискретный) для такой периодической
последовательности напишем в форме, аналогичной выражениям
(III.1) — (III.2):
(111.3)
(111.4)
Сравнение (1II.2) и, (III.4) показывает, что при периодическом
повторении заданной функции /о(t) амплитуда п-й гармоники
дискретного спектра Fn и спектральная плотность /'o(nQi), соот¬
ветствующая той же частоте coi=nQi (входящей в состав сплош¬
ного спектра одиночного импульса), связаны между собой следую¬
щим простым соотношением:
(111.5)
Этот результат был рассмотрен ,в § 2.6.
Представим теперь нашу периодическую последовательность им¬
пульсов в виде суммы интегралов Фурье, каждый из которых
изображает соответствующий одиночный импульс. Для импульса,
сдвинутого во времени относительно fo(t) на отрезок Т\, получим
а для импульса, сдвинутого на отрезок kTh соответственно
(111.6)
При таких обозначениях периодическая последовательность
импульсов может быть представлена в виде суммы
(Ш.7)
или в тригонометрической форме
С другой стороны, эта же (периодическая функция согласно
(III.3) выражается рядом Фурье. Приравнивая (III.3) и (III.8),
мы видим, что для компоненты coi=n£2i имеет место тождество
Смысл этого тождества заключается в том, что при повторении '
/р 2п
импульсов с интервалами Тi = -g~ все компоненты с частотами оси,
не кратными Qi, ослабляются и в пределе при переходе к строго
периодической функции обращаются в нуль.
Следовательно, при переходе от сплошного спектра к дискрет¬
ному, выражение для п-й гармоники может быть получено из
(III.9) путем стягивания пределов интегрирования к дискретным
значениям частоты w=n£2i (т. е. при а->0).
Очевидно, что вблизи дискретной частоты ш = л21 (в беско¬
нечно малом интервале ± а), спектральную плотность можно
считать постоянной и равной F0(nQt). То же самое можно ска¬
зать относительно cos(o>^ — <|>) и sin (vat — ф), которые в указан¬
ном интервале частот обращаются в
cos (nQJ — ({>„) и sin (tiQ^ — (|>„).
Вынося эти величины за знак интеграла (III.9) и используя
соотношение (III.5), можно на основании выражения (III.9) поле¬
чить следующие два важных равенства:
Выражения (III.10) и (III.11), доказанные с помощью сопо¬
ставления интеграла и ряда Фурье для простой (немодулирован-
ной) периодической последовательности импульсов, могут быть
использованы также для исследования спектра модулированной
последовательности, если, конечно, имеется в виду модуляция пе¬
риодическим сигналом.
Перечисленные в § 3.9 разновидности импульсной модуляции
могут быть сведены либо к изменению одного лишь аргумента ко¬
синуса в выражении (III.8) (модуляция по фазе или по частоте),
либо к изменению одной лишь спектральной плотности, F(a>)
(симметричная модуляция 'по длительности), либо, наконец, к од¬
новременному изменению F(g)) и фазы («односторонняя» модуля¬
ция по длительности).
43 * 675
(111.10)
(Ш.11)
Во всех этих случаях спектр является дискретным и уравнение
(III.8) с помощью несложного разложения подынтегрального вы¬
ражения, как будет показано ниже, может быть приведено к сумме
интегралов следующего вида:
Из предыдущего ясно, что такой интеграл равен нулю на про¬
тяжении всей частотной шкалы, кроме дискретных точек, опреде¬
ляемых из Условия
и так как nk — целое число, то в силу (III.10) имеет место очевид¬
ное тождество
Заменив <]> на -j' + 'h, получим аналогичную формулу для
Таким образом, спектр периодически модулированной импульс¬
ной последовательности может содержать в себе частоты, являю¬
щиеся всевозможными комбинациями компонент спектра немоду-
лированной последовательности и спектра сигнала.
Приложим полученные общие выражения к случаю, когда сдвиг
импульсов во времени изменяется в процессе модуляции по закону
В соответствии с § 3.9 и выражением (3.56J такой закон изме¬
нения соответствует ФИМ и ЧИМ (при тональной модуляции это
безразлично).
676
или
где п и N -г— целые положительные числа.
Действительно, при указанных значениях частот
Уравнение для модулированной последовательности импульсов
может быть получено непосредственно из (III.8), если вместо kT\
подставить +
(III.14)
Выражение, стоящее под знаком суммы, с помощью обыч¬
ного разложения (обозначая <оДtm = m, QkTt -f- 7 = х)
может быть приведено к виду
I
Применяя ,к каждому из слагаемых этого (выражения операцию
(III.13), получим весьма простые формулы для всех интересую¬
щих нас компонент спектра.
Первое слагаемое дает, очевидно, частоту повторения и кратные
ей частоты /1Q1:
(111.16)
Так как согласно (III.5) 2--^—^ = Fn> то амплитуды частот
(гармоник), кратных основной частоте немодулированной последо¬
вательности, равны
Это выражение совпадает с выражением (3.60).
Таким образом, при фазо-импульсной модуляции гармоники ча¬
стоты повторения представляют собой как бы средние (несущие)
частоты колебаний, модулированных по фазе, причем амплитуда
фазового отклонения (индекс модуляции) пропорциональна поряд¬
ковому номеру гармоники: m=nQiAtm. Следует, правда, отметить/
677
Ф — фаза, соответствующая этой же частоте (в спектре
одиночного импульса).
Верхние боковые частоты вида n£2i + Q определяются интегри¬
рованием следующего (3-го) слагаемого (III.15), содержащего
член (co±Q)&7Y, амплитуды указанных частот равны
Общее выражение для амплитуды комбинационной частоты
вида nQi±NQ может быть написано в форме, совпадающей с вы¬
ражением (3.61):
(III.17)
Указанная выше асимметрия боковых частот, располагающихся
слева и справа от соответствующей гармоники частоты повторе¬
ния («несущей»), является, очевидно, особенностью, связанной
с фазовой модуляцией импульсной последовательности.
В отличие от обычной фазовой модуляции непрерывного (сину¬
соидального) колебания здесь мы должны учитывать, что в про¬
цессе модуляции изменяется соотношение между длительностью
импульса и интервалом между соседними импульсами. Действи¬
тельно, интервал изменяется периодически с частотой модуляции й,
а длительность импульса остается неизменной. Это обстоятельство
указывает также на то, что в спектре модулированной импульсной
последовательности имеются компоненты с частотой сигнала £2 и
кратными ей частотами1 2Q, 3Q и т. д.
1 При некотором изменении закона модуляции, когда Д= Arfmsin [Q.kTl [■
+ 4- f], частоты 2Q, Зй и т. д. в спектре отсутствуют.
678
что боковые частоты спектра такого колебания несимметричны от¬
носительно частоты /г£2ь .амплитуды верхних и нижних боковых
частот могут быть неодинаковы.
Нижние боковые частоты вида o)=nQi —й могут быть получены
интегрированием второго слагаемого в выражении (III.15):
F (nQi — 2) — спектральная плотность, соответствующая частоте
Колебания с частотой Q определяются слагаемым, содержащим
член (a) — Q)kTi, который при подстановке ю = £2 обращается в нуль,
в силу чего
поэтому
где Ей — постоянная составляющая периодической (немодулиро-
ванной) последовательности импульсов.
Подставив полученные выражения в (III.7), получим для ам¬
плитуды сигнала следующее приближенное выражение:
E0QMm. (111.20)
Смысл выражения (111.20) становится более наглядным, если
выразить Мт согласно (3.59) через Д2т, т. е. через частотное
отклонение, отвечающее модуляции фазы на величину 2гМт;
1 Д2
подставив в (111.20) = , получим выражение
где <}>2 — фаза, соответствующая частоте Q в сплошном спектре
одиночного импульса.
Для N-й гармоники частоты сигнала получим общее выра¬
жение
Рассмотрим выражение для амплитуды компоненты с часто¬
той £2. Для практики, как уже отмечалось выше,, наибольший ин¬
терес представляет случай, когда 2Д^т<^1. При этом один из
сомножителей в выражении для амплитуды может быть упрощен
следующим образом:
Далее, если иметь в виду импульсы малой длительности, то
можно считать, что в интервале частот 0<со<£2 спектральная плот¬
ность практически не изменяется. Это означает, что
Итак, амплитуда колебания основной частоты О при фазо-им-
пульсной (и частотно-импульсной) модуляции приближенно равна
произведению постоянной слагающей Е0 не моду лированной после¬
довательности на относительное изменение частоты повторе-
A Qm
ния .
“1
Разумеется, этот результат можно получить непосредственно
из рассмотрения процесса модуляции импульсной <последователь-
т
ности по фазе или по частоте как изменения «скважности» , так
как длительность импульсов т остается неизменной, а период Тх
частоты повторения в (процессе модуляции периодически изме¬
няется.
да
При частотно-импульсной модуляции, когда —может до¬
стигать значительной величины, амплитуда составляющей ча¬
стоты Q выражена в спектре импульсной последовательности также
весьма заметно. Выделение сигнала из спектра импульсной после¬
довательности может быть в принципе осуществлено с помощью
фильтра нижних частот без какого-либо специального (нелиней¬
ного) устройства. Однако при суждении об эффективности подоб¬
ной демодуляции необходимо учитывать некоторые другие фак¬
торы, связанные с .повышением помехоустойчивости приема, кру¬
тизной характеристики демодуляции и т. д.
С помощью выражения (III.13) можно аналогичным образом
исследовать спектры импульсных последовательностей и при дру¬
гих видах модуляции.
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИГНАЛОВ С БЫСТРО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ЧАСТОТОЙ
ЗАПОЛНЕНИЯ НА ИЗБИРАТЕЛЬНУЮ СИСТЕМУ (к гл. 9)
В соответствии с обозначениями рис. 9.23, выражения (9.72)
для Z\ и Z2 можно записать в форме
В этих выражениях момент времени /о, равный
соответствует пересечению мгновенной частотой сo(t) линии
В данном случае нас интересует случай очень быстрого изме¬
нения co(t), когда время пребывания о)(^) в полосе прозрачности
контура мало по сравнению с постоянной времени этого контура,
т. е. случай, жогда выполняются неравенства
(IV.3)
Выражение (IV. 1) при этих условиях может быть упрощено:
(IV.4)
Выражение же (IV.2) для Z2 зависит от рассматриваемого
интервала времени. Выделим два интервала:
Сделаем подстановку
Тогда
На первом интервале, в момент t — t0 —, выражение (IV.2)
обращается в следующее:
Рассмотрим выражение в квадратных скобках формулы (9.71)
для приведенных выше значений Z\ и Z2.
Основываясь на выражении (9.70) для функции W(Z), можем
написать:
Отсюда видно, что до вхождения мгновенной частоты в полосу
прозрачности контура колебания в нем практически отсутствуют.
Обратимся к второму интервалу tQ Основы¬
ваясь на выражении (9.66'), перепишем его следующим образом:
Но выше было показано, что первый интеграл равен нулю. Со¬
вершенно аналогичным образом можно показать, что и третий
интеграл обращается в нуль. Физически это означает, что после
выхода мгновенной частоты э. д. с. из полосы прозрачности контура
действие э. д. с. на контур практически прекращается.
Таким образом, при «быстром» пробеге частоты э. д. с. через
полосу контура, т. е. когда У р/а > 1, отклик контура на внешнее
воздействие определяется вторым интегралом, имеющим пределы
to—1/а и to+1/а.
Итак, при t > tQ — 1/а
Для оценки, полученного интеграла воспользуемся методом
стационарной фазы, который пригоден в тех случаях, ко¬
гда подынтегральная функция является быстро осциллирующей
всюду, кроме относительно небольшого участка, на котором «фаза»
этой функции сохраняет постоянное значение, а сама функция до¬
стигает экстремума. Можно считать, что «главное значение» ин¬
теграла определяется именно этим участком. Так как величина
интеграла от аналитической функции не зависит от пути интегри¬
рования, то последний должен быть проведен через точку стацио¬
нарной фазы так, чтобы мнимая часть показателя степени подын¬
тегральной функции (фаза) сохраняла постоянное значение.
Для нахождения момента т, соответствующего экстремуму
подынтегральной функции, приравняем нулю производную пока¬
зателя степени этой функции:
682
откуда
Таким образом, в точке экстремума 'подынтегральная функция
выражения (IV.6) принимает следующий вид:
Введем теперь новую переменную интегрирования Z по фор¬
муле
Тогда показатель степени в подынтегральной функции будет
Для новой переменной Z пределы интегрирования будут:
— нижний
— верхний
Подставляя выражение (IV.10) в (IV.6), получаем
683
Таким образом, выражение для u(t) принимает следующий
вид:
при
Учитывая, что = и обозначая фазу э. д. с. в момент
t — tQ через ф0> запишем выражение (IV.11) в следующей окон¬
чательной форме:
где — время, отсчитываемое от момента t0.
Итак, цри быстром пробеге мгновенной частоты э. д. с. через
полосу прозрачности контура в последнем возникает свободное ко¬
лебание с частотой со с в и с затуханием а. Начальная амплитуда
этого колебания пропорциональна а/У j3, т. е. отношение полосы
прозрачности контура к корню квадратному из скорости изменения
частоты внешней силы. Множитель Q в выражении (IV. 12) обус¬
ловлен тем, что э. д. с. вводится в контур (Последовательно, а на¬
пряжение u(t) по условию снимается с емкости контура.
НАБЕГ ФАЗЫ АВТОКОЛЕБАНИЙ, ВЫЗЫВАЕМЫЙ СОБСТВЕННЫМИ
ШУМАМИ ГЕНЕРАТОРА (к гл. 17)
Для исследования флюктуационного набега фазы в автогене¬
раторе полезно выяснить механизм влияния шумов сначала на
простом примере линейного резонансного усилителя, представлен¬
ного на рис. V.I. На этой схеме через im обозначен шумовой ток,
включающий в себя все собственные шумы усилителя — как теп¬
ловые, так и дробовые.
(IV.12)
ПРИЛОЖЕНИЕ V
684
На анодной нагрузке усилителя развиваются два независимых
напряжения: полезное гармоническое напряжение
ae(0 = tf«cos<o0* (V.1)
и шумовое напряжение um(t), которое в соответствии с выраже¬
нием (17.33) можно записать в форме
(V.2)
Здесь Um{t) и б(t) — случайные величины, являющиеся медлен¬
ными функциями времени.
Энергетический спектр и дисперсия напряжения um(t) в соот¬
ветствии с выражениями (17.30) и (17.32) равны
(V.4)
где
а
Здесь через п обозначено отношение:
(V.5)
(V.6)
(V.7)
(V.8)
685
Рис. V.1
Полагая <ор = о>о, мы можем 'представить суммарное напряжение
на контуре в виде выражения, аналогичного выражению (17.70):
Если определяемое выражением (V.5) напряжение подвергнуть
амплитудному ограничению, то получится колебание с постоянной
амплитудой и с изменяющейся по закону (V.7) фазой.
Имея в виду, что в реальных электронных усилителях (и авто¬
генераторах) среднеквадратичное значение п имеет порядок 10“б и
менее (см. § 17.10), можем считать
приходим к выводу, что выражение (V.11) можно записать в форме
представляет собой функцию корреляции для случайной вели¬
чины y(t).
Для определения Ф7(Д^) воспользуемся соотношением (17.18),
которое в данном случае может быть записано в форме
(V.14)
где Wj (2) — энергетический спектр величины у, т. е. произве¬
дения /г sin 0, равного
(V.15)
Так как Um и*0 являются медленными, функциями времени, то
энергетический спектр произведения Um sin0 группируется в об¬
ласти низких частот, примыкающих к нулю. Из теории случайных
процессов известно \ что при узкой полосе частот, выделяемых
контуром, этот спектр может быть получен удвоением Wu(со) при
замене со*—соо на Q в формуле (V.3).
1 См. Бунимович В. И. Флюктуацисшные процессы в радиоприемных
устройствах. Изд-во «Советское радио», 1951, стр. 177—185.
686
Отсюда следует, что флюктуационный набег фазы за интервал
времени At равен
а дисперсия набега фазы
Учитывая, что в случае стационарного случайного процесса
Таким образом,
W~ (Q) — + Q) = 4е/«о R2 (V 16)
7 u2a i/J (1 + 22x2) V
Подставляя это выражение в (V.14) и производя интегриро¬
вание, получаем
Отсюда видно, что при линейном наложении «малого» шумового
напряжения на фиксированное по фазе гармоническое напряжение
дисперсия фазы суммарного напряжения при малых At Ст растет
пропорционально Дty а при больших At (по сравнению с т) фак¬
тически не зависит от времени'наблюдения.
Этот результат может быть распространен и на усилитель, ра¬
ботающий с отсечкой анодного тока, если под Ua подразумевать
амплитуду напряжения основной частоты соо, а под 1ао— постоян¬
ную составляющую анодного тока.
Переходим к определению флюктуационного набега фазы
в автогенераторе. В отличие от усилителя, в данном случае нет
гармонического колебания с фиксированной фазой. Как уже от¬
мечалось в гл. 11, изменения фазы автоколебаний, обусловленные
любыми причинами, не восстанавливаются. Можно поэтому ожи¬
дать, что уровень вызываемого шумами флюктуационного набега
фазы должен возрастать с увеличением интервала наблюдения.
В основу определения набега фазы в случае автогенератора
следует положить найденное в § 17.10 выражение для флюктуа¬
ции частоты Дсо(/), именно:
687
где
Подставляя (V.17) в (V.12), получаем
При
а при
где в соответствии с выражением (17.76) /ш и 6 — огибающая и' фаза
шумового тока (см. рис. 17.17), а Ir— амплитуда «динамической»
составляющей автоколебания (в отсутствие шума). По аналогии
с выражением (V.8) обозначим
Как уже отмечалось в § 17.10, величина Aco(t), а следовательно,
и 5(() имеет нормальное распределение.
Основываясь на выражении (V.22), мы можем написать сле¬
дующее общее выражение для набега фаз^г к моменту t:
(V.23)
Для того чтобы уравнять верхние 'Пределы интегралов, сделаем
в первом из них подстановку
Тогда
а для набега фазы за время от t до t
Тогда
Следовательно, выражение (V.23) может быть записано в форме
Теперь остается найти средний квадрат Aq>(f, kt), т. е. дисперсию
набега фазы. Для этого предварительно найдем средний квадрат
подынтегральной функции, т. е. разности s(f+Af) —s(f). Очевидно,
что поскольку s(t) отличается от введенной выше величины y{t)
только постоянным коэффициентом-^- = -щ [сравнить формулы
(V.9) и, (V.22')], то на основании выражений (V.14) и (V.17)
можно сразу определить функцию корреляции для s(t):
Для среднего квадрата разности s(t + At)— s(t) можно поэтому
написать (см. выражение (V. 12)]:
Из теории случайных процессов известно, что при интегриро¬
вании стационарного случайного процесса с энергетическим спек¬
тром IFT(£2) получается новый процесс, энергетический спектр
WJQ)
которого равен —^— •
Следовательно, для определения среднего квадрата интеграла
от разности s(t+At)—s(t) можно воспользоваться выражением
W.,(Q)
(V.24), заменив в нем 1FT(£2) на —^—•
Таким образом, для среднего квадрата выражения (V.23) мо¬
жно написать:
Подставляя сюда Wy(Q) из (V.16), используя обозначение
(V.18) и произведя интегрирование, шлучим следующее оконча¬
тельное выражение для среднего квадрата набега фазы аа проме¬
жуток At:
При > 1 можно считать
Сравним это выражение с уравнением (V.19), определяющим
флюктуационный набег фазы в случае усилителя (при At/т>1).
В отличие от последнего дисперсия набега фазы в автогенераторе
пропорциональна времени наблюдения. Это обстоятельство яв¬
ляется результатом отсутствия внешнего гармонического воздей¬
ствия с фиксированной фазой, как это имеет место в усилителе.
Из выражения (V.26') следует, что среднеквадратичное значе¬
ние набега фазы фэф равно
как средний квадрат шумового тока в „энергетической" полосе
пропускания, равной [см. формулу (17.32)], приходим к выра¬
жению
совпадающему с формулой (17.83).
Учитывая, что
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Глава 1. Введение . 5
1.1. Задачи радиотехники 5
1.2. Сообщение и сигнал. Количество информации 6
1.3. Канал связи. Кодирование 13
1.4. Передача сигналов на расстояние. Особенности распространения
волн и используемые в радиотехнике частоты ..... 17
1.5. Канал с шумами. Проблема помехоустойчивости .... 23
1.6. Основные радиотехнические процессы 26
1.7. Проблема синтеза радиотехнического канала 29
1.8. Радиотехнические цепи и методы их анализа 31
1.9. Задачи и содержание курса 37
Глава 2. Сигналы 39
2.1. Основные определения 39
2.2. Характеристики управляющих сигналов 39
2.3. Периодические сигналы "... 41
2.4. Примеры периодических сигналов 46
2.5. Распределение мощности в спектре периодического сигнала . 50
2.6. Непериодические сигналы 52
2.7. Свойства преобразования Фурье 57
2.8. Спектры некоторых распространенных сигналов .... 60
2.9. Распределение энергии в спектре непериодического сигнала . 67
2.10. Связь между временными и спектральными характеристиками
сигнала 69
2.11. Случайные сигналы. Основные характеристики 71
2.12. Характеристики некоторых реальных сигналов .... 73
2.13. Дискретизация непрерывных сигналов 76
Глава 3. Модулированные колебания 81
3.1. Общие определения 81
3.2. Амплитудно-модулированные колебания 82
3.3. Спектр амплитудно-модулированного колебания 84
3.4. Угловая модуляция. Связь между частотной и фазовой мо¬
дуляцией 89
3.5. Спектр колебания при гармонической угловой модуляции . . 95
3.6. Спектр колебания при угловой, модуляции сложным сигналом 101
3.7. Спектр колебания при смешанной модуляции — частотной и
амплитудной ЮЗ
3.8. Определение спектров сложных радиосигналов 106
3.9. Импульсная модуляция 110
Глава 4. Колебательные системы. Одиночный контур 116
4.1. Введение 116
4.2. Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений 117
44* 691
Стр.
4.3. Резонансная кривая и фазовая характеристика последователь-
ного контура
4.4. Полоса пропускания последовательного контура ....
4.5. Энергетические соотношения при резонансе
4.6. Параллельный контур. Резонанс токов
4.7. Резонансная кривая и фазовая характеристика параллельного
контура. Полоса пропускания |43
4.8. Схемы замещения параллельного контура 147
4.9. Временные характеристики колебательного контура . . 150
Г лава 5. Колебательные системы. Связанные контуры * 157
5 1. Виды связи. Коэффициент связи 157
5.2. Соотношения между токами в связанных контурах. Схема
замещения первого контура 16^
5.3. Настройка связанных контуров . . |Ь7
5.4. Энергетические соотношения в двухконтурной системе . . . 171
5.5 Резонансные кривые двухконтурной системы 173
5 6. Истолкование некоторых свойств сильносвязанной системы . 180
5.7. Полоса пропускания двухконтурной системы 183
5.8. Резонансные частоты двухконтурной системы при сильной связи
и при произвольной настройке контуров 186
5 9. Входное сопротивление двухконтурной системы 190
5.10. Свободные колебания в двухконтурной системе .... 194
Глава 6. Сложные колебательные цепи 198
6.1. Исходные соотношения 198
6.2. Частотная характеристика сопротивления двухполюсника . . 203
6.3. Число резонансных частот сложного двухполюсника . . . 210
6.4. Синтез реактивного двухполюсника 214
6.5. Коэффициент передачи четырехполюсника 219
6.6. Связь между амплитудной и фазовой характеристиками четырех¬
полюсника 222
6.7. Импульсная характеристика четырехполюсника 227
Глава 7. Цепи с распределенными постоянными 229
7.1. Общие замечания 229
7.2. Основные уравнения длинной линии 229
7.3. Входное сопротивление линии 232
7.4. Волновое сопротивление и постоянная распространения однород¬
ной линии 234
7.5. Линия без потерь при различных нагрузках 239
'7.6. Основные применения высокочастотных линий 250
Глава 8. Линейное усиление сигналов 257
8.1. Основные виды усилителей 257
8.2. Принцип действия усилителей на электронной лампе. Основные
режимы усиления 258
8.3. Основные соотношения для линейного усилителя. Эквивалент¬
ная схема анодной цепи электронной лампы 263
8.4. Апериодические усилители 270
8.5. Искажения сигналов в линейных усилителях 274
8.6. Резонансные усилители. Усиление амплитудно-модулированных
колебаний 276
8.7. Усилительные схемы с общей сеткой и с общим анодом . 280
8.8. Полупроводниковые усилители. Принцип действия .... 285
8.9. Эквивалентные схемы полупроводниковых усилителей . . 289
8.10. Основные параметры полупроводниковых усилителей . . . 292
8.11. Паразитные параметры полупроводникового триода . . . 297
8.12. Особенности схем; преимущества и недостатки полупроводнико¬
вых усилителей 298
692
Стр.
Г лава 9. Прохождение радиосигналов через линейные системы . . . 300
9.1. Общие замечания 300
9.2. Интеграл Фурье и преобразования Лапласа 301
9.3. Метод временного интегрирования 306
9.4. Прохождение видеоимпульсов через фильтр нижних частот . 307
9.5. Дифференцирование и интегрирование сигналов .... 312
9.6. Искажения амплитудно-модулированных сигналов в колеба¬
тельных системах 314
9.7. Искажения частотно-модулированных сигналов в колебатель¬
ных системах 319
9'8. Воздействие радиоимпульсов на избирательные системы . . 326
9.9. Прохождение радиосигналов через системы с распределенными
постоянными. Исходные уравнения 335
9.10. Первая падающая волна при произвольном сигнале . . . 336
9.11. Отражение сигнала у конца линии 341
Глава 10. Нелинейное усиление 346
10.1! Назначение и принцип действия нелинейных усилителей . . 346
10.2. Резонансные усилители мощности 351
10.3. Элементы схем резонансных усилителей мощности . . . 354
10.4. Апериодические усилители мощности. Двутактные схемы . . 357
10.5. Амплитудные характеристики нелинейного усилителя. Сред¬
няя крутизна 359
10.6. Умножение частоты 365
Глава 11. Генерирование колебаний 367
11.1. Введение. Обобщенная схема автогенератора синусоидальных
колебаний 367
11.2. Основные схемы высокочастотных автогенераторов. Обратная
связь 371
11.3. Возникновение колебаний в автогенераторе 374
11.4. Уравнения для амплитуды и частоты стационарных автоко¬
лебаний 378
11.5. Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения 382
11.6. Баланс фаз в автогенераторе. Стабильность частоты автоко¬
лебаний 389
11.7. Нелинейное уравнение автогенератора 392
11.8. Решение нелинейного уравнения автогенератора методом мед¬
ленно меняющихся амплитуд 396
11.9. Двухконтурные автогенераторы. Кварцованные генераторы . 402
11.10. Явление затягивания частоты 406
11.11. Электронный прибор как отрицательное сопротивление. Ди-
натронный и трянзитронный генераторы 408
11.12. Полупроводниковые генераторы синусоидальных колебаний * 412
11.13. Генераторы /?С 413
11.14. Релаксационные генераторы 418
11.15. Метод фазовой плоскости . 424
11.16. Фазовые портреты автогенераторов 430
Г лава 12. Управление колебаниями (модуляция) 434
12.1. Общие замечания 434
12.2. Амплитудная модуляция 434
12.3. Балансная амплитудная модуляция 440
12.4. Частотная модуляция 442
12.5. Модуляция фазы колебаний 449
12.6. Некоторые схемы импульсной модуляции 453
693
Стр.
Глава 13. Детектирование колебаний. Преобразование частоты . . . 458
13.1. Вводные замечания 45в
13.2. Амплитудное детектирование. Диодный детектор .... 458
13.3. Детектирование однополосной модуляции 469
13.4. Частотное детектирование 470
13.5. Фазовое детектирование 478
13.6. Детектирование модулированных импульсов 479
13.7. Преобразование частоты с помощью нелинейной,- системы . . 481
13.8. Преобразование частоты линейной системой с переменными
параметрами 485
13.9. Синхронное детектирование 486
13.10. Балансные преобразователи частоты 488
Г лава 14. Действие внешней силы на нелинейные системы с обратной
связью 491
14.1. Регенерация 491
14.2. Действие синусоидальной э. д. с. на автогенератор. Захватыва¬
ние частоты 495
14.3. Процесс установления режима захватывания 501
14.4. Деление частоты 510
Глава 15. Линейные системы с обратной связью 516
Л5.1. Общие замечания 516
15.2. Усилители с отрицательной обратной связью 516
15.3. Устойчивость усилителей с обратной связью 520
15.4. Критерии устойчивости линейных систем 525
15.5. Системы с задержкой в цепи обратной связи 533
15.6. Гребенчатый фильтр 535
15.7. Импульсная характеристика гребенчатого фильтра . 540
15.8. Накопление сигнала в гребенчатом фильтре 543
15.9. Рециркуляторы 547
Глава 16. Параметрическое возбуждение и усиление колебаний . . 549
16.1. Особенности колебательных систем с переменными параметрами 549
16.2. Дифференциальное уравнение колебательного контура с пере¬
менными параметрами 552
16.3. Параметрическое возбуждение колебаний 556
16.4. Одноконтурный параметрический усилитель 563
16.5. Двухконтурный параметрический усилитель 570
16.6. Основные соотношения в двухконтурном усилителе .... 575
16.7. Особенности параметрических усилителей сверхвысоких частот 581
Глава 17. Помехи в радиоэлектронных устройствах 583
17.1. Проблема помех в радиоэлектронике 583
17.2. Дробовой эффект. Распределение вероятностей для электрон¬
ного тока лампы 584
17.3. Энергетический спектр и корреляционная функция случайного
процесса . . 588
17.4. Дробовой шум в линейном усилителе 592
17.5. Тепловые шумы . 599
17.6. Коэффициент шума усилителя 602
17.7. Действие шумовой помехи на амплитудный детектор . . . 606
17.8. Совместное действие синусоидальной помехи и синусоидаль¬
ного сигнала на амплитудный или частотный детектор . . 611
17.9. Совместное действие шумовой помехи и синусоидального сиг¬
нала на амплитудный детектор 617
17 10 Статистические явления в автогенераторах. Флюктуация ча¬
стоты и фазы . 620
17.11. Влияние шумов на работу импульсного автогенератора . . 623
694
Стр.
Глава 18. Элементы синтеза радиотехнических цепей по заданному
сигналу 627
18.1. Оптимальная фильтрация сигнала на фоне белого шума . 627
18.2. Импульсная характеристика оптимального фильтра . . . 632
18.3. Условия физической осуществимости 634
18.4. Примеры синтеза фильтра для простейших сигналов . . . 635
18.5. Фильтрация сигнала, представляющего собой последователь¬
ность одинаковых импульсов 640
18.6. Сжатие радиоимпульсов с частотно-модулированным запол¬
нением * 642
18.7. Реализация фильтра для сжатия частотло-модулированных
радиоимпульсов .650
18.8. Синтез сигнала, сопряженного с заданным фильтром . . . 654
Приложения
I. Доказательство теоремы отсчетов (к гл. 2) 661
II. Огибающая и фаза узкополосного сигнала (к гл. 3) 664
III. Общий метод определения спектров импульсной модуляции (к гл. 3) 673
IV. Воздействие сигналов с быстро изменяющейся частотой заполнения
на избирательную систему (к гл. 9) 680
V. Набег фазы автоколебаний, вызываемый собственными шумами ге¬
нератора (к гл. 17) 684
И. С. ГОНОРОВСКИЙ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
И СИГНАЛЫ
Редактор Н. Г, Заболоцкий
Техн. редактор А. А. Свешников
Обложка художника В. Т. Сидоренко
Сдано в набор 22.11. 1963 г. Подписано к пе¬
чати 34.VIII-63 г. Формат 60x90Vi6- Уч.-изд. л. 42,422.
Объем 43,5 п. л. Г-94662. Зак. 3/235. Тираж 30 тыс.
Цена в переплете № 5 — 1 р. 58 к., № 7 — 1 р. 68 к.
Ленинградская типография Госгортехиздата,
Ленинград, ул. Салтыкова-Щедрина, 54