В. Б. ПЕСТРЯКОВ
Фазовые
радио
технические
системы

В. Б. ПЕСТРЯКОВ
ФАЗОВЫЕ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
(Основы статистической теории)
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКОЕ РАДИО» МОСКВА —1968

УДК 621.396.983
Пестряков В. Б. Фазовые радиотехнические системы (основы
статистической теории) «Советское радио», 1968, стр. 468, тираж 14.000 экз., цена 1 р. 31 к.
Использование в радиотехнических системах информации,
содержащейся в фазе радиосигнала, позволяет при наличии помех
получать наиболее высокие точность определения пространственного
положения объектов и достоверность передачи сообщений. Это
определяет возрастающий интерес к фазовым системам и все более
широкое применение таких систем.
Процессы, происходящие в фазовых системах, и аппаратура
этих систем отличаются значительной сложностью.
В существующей литературе имеются описания принципа
действия схем различных систем, в которых используется фаза, а также
рассматриваются вопросы теории таких систем.
В данной книге приводится систематическое изложение
основных вопросов теории фазовых систем, основанной на
использовании статистических методов.
В первой главе дается краткое описание основных принципов
построения фазовых систем,и проблем, связанных с их анализом и
синтезом.
Во второй и третьей главах рассматриваются: понятия фазы
смеси сигнала с помехой и фазы одной помехи, функции
распределения и автокорреляции фазы, а также ее энергетический спектр,
простые инженерные методы расчета этих характеристик и физический
смысл результатов, особенности статистических характеристик
«переходов через нуль» и эффект «подавления» при демодуляции фазы.
В четвертой и пятой главах приводятся анализ влияния
статистических характеристик фазы на схемы и результаты оптимального
обнаружения, а также свойства фазового обнаружения и
сопоставляются схемы и результаты.
В шестой и седьмой главах приводятся исследования
оптимальных и квазиоптимальных схем измерения в присутствии помех
случайной и случайно (стационарно и нестационарно) изменяющейся
фазы, методы инженерного расчета основных параметров фазоизме-
рителей.
Изложение материала построено на использовании
математического аппарата теории вероятности, основные математические
преобразования выполнены с пояснениями, что делает книгу доступной
широкому кругу читателей.
В связи со стремлением читателя применять результаты теории
в практической деятельности и для лучшего понимания им
процессов, происходящих в реальных схемах, в книге большое внимание
уделяется физическому истолкованию результатов и процессов,
происходящих в аппаратуре.
Книга рассчитана на инженеров, занимающихся разработкой
и исследованием радиотехнических систем, а также на студентов
вузов соответствующих специальностей.
рис. 160 назв. библ. 64.
3-4-4
26-68

Предисловие
Высокие и все более возрастающие требования к
радиотехническим системам в части точности определения
пространственного положения объекта и достоверности
передачи сообщений в условиях естественных и
организованных помех, приводят в ряде случаев к
необходимости использования информации, содержащейся в фазе
радиосигнала.
Использование фазы сигнала позволяет получить
наиболее высокие точности определения пространственного
положения объекта, т. е. наиболее высокие точности
определения расстояния, разности расстояний, углов
и т. п.
Фазовые радионавигационные и радиогеодезические
разностно-дальномерные и дальномерные системы
обеспечивают минимальные ошибки при определении места
корабля или самолета, при «привязке» координат
объектов и т. п.
Фазовые пеленгаторы, широко используемые при
траекторных измерениях ракет и космических объектов,
позволяют осуществить измерение углов с предельно
высокой точностью.
Большое значение имеет использование фазы и в
системах передачи сообщений. При этом обеспечивается
наиболее высокая достоверность в передаче информации.
В системах передачи сообщений фаза может
использоваться как параметр радиосигнала, в котором
отображается передаваемое сообщение, и как параметр
радиосигнала, используемый для лучшего выделения сигнала
из помех.
3

Интересные новые и важные возможности
использования фазы сигнала определились в последние годы,
в связи с применением сложных (многомерных или шу-
моподобных) радиосигналов.
В фазу сигнала, точнее в сложный закон ее
изменения, может быть заложена информация об особенностях
радиосигнала, использование которой позволяет
наиболее эффективно выделять сигналы из помех, в том числе
и ретранслированных, и вызванных многолучевостью
и т. п., обеспечивать при отсутствии сведений о законе
(коде) изменения фазы, скрытность факта
функционирования системы, высокую помехоустойчивость против
организованных помех.
Сказанное объясняет возрастающий интерес к
изучению свойств и возможностей использования фазы
сигнала.
Необходимо отметить, что системам, использующим
информацию, содержащуюся в фазе сигнала,
свойственны и существенные ограничения и недостатки.
Фаза является таким параметром радиосигнала,
который легче всего «разрушается» в процессе
распространения радиоволны. В некоторых условиях ее
использование оказывается мало целесообразным или даже
невозможным.
Использование фазы обычно приводит к усложнению
схем и аппаратуры, ужесточению требования к точности
изготовления и стабильности конструктивно-схемных
элементов.
Физическое толкование процессов, происходящих
в системах, использующих фазу, и математические ме-
тоды анализа часто отличаются сложностью и приводят
к необходимости привлечения тонких и сложных
физических понятий, громоздких преобразований и
вычислений.
В литературе опубликовано много работ,
рассматривающих принципы использования фазы сигнала, схемы
систем и аппаратуры. Имеются также работы,
посвященные вопросам теории таких систем. Основополагающее
значение имеют работы В. И. Тихонова и его школы —
Б. И. Шахтарина, К. Б. Челышева, В. Т. Горяинова,
И. Н. Амиантова и др. Многие теоретические вопросы,
имеющие значения для фазовых систем,
рассматриваются также в посвященных статистической радиотехнике
4

широко известных монографиях Б. Р. Левина, С. Е. Фаль-
ковича, В. И. Бунимовича, Р. Л. Стратоновича, а также
коллектива авторов во главе с Г. П. Тартаковским.
Необходимо отметить также работы В. В. Цветнова,
Р. Л. Драбкина, Ю. Б. Черняка, В. В. Шахгильдяна,
В. П. Жукова и др.
В книге сделана первая попытка систематического
изложения основных вопросов теории таких систем.
Очевидно, что теория фазовых систем должна быть
основана на статистических методах.
В радиотехнических системах прием сигнала
осуществляется в условиях наличия помех. Помеха вызывает
случайные изменения (искажения) фазы.
Следовательно, первой задачей теории фазовых систем является
изучение статистических свойств и характеристик фазы
смеси сигнала и помехи и одной помехи, выработка
простых инженерных методов расчета этих характеристик
и физическое истолкование результатов.
Если полезная информация заключена не в фазе
сигнала, а например, в факте его наличия или
отсутствия, то фаза сигнала может использоваться для
улучшения выделения сигнала из помех. Следовательно,
второй задачей теории фазовых систем является выявление
типичных вариантов моделей сигнала, в части
статистических свойств его фазы и исследование методами
теории статистических решений влияния этих свойств на
алгоритмы (схемы) и результаты оптимального
обнаружения с использованием как всей информации о смеси,
так и информации только о фазе смеси. При этом
необходимо выявить роль фазы в обнаружении и
осуществить сопоставление различных схем и результатов.
Если полезная информация заключена в фазе
сигнала, то фаза является случайной величиной или функции
ей, которая подлежит выделению (измерению) в
системе. Искажения фазы за счет действия помех вызывают
случайные искажения информации.
Таким образом третьей основной задачей теории
фазовых систем является нахождение статистических
характеристик фазы при выполнении ею функций носителя
информации, выявление оптимальных и
квазиоптимальных алгоритмов (схем) выделения (измерения) фазы
сигнала, учитывающих случайный характер полезных
изменений фазы, отображающих информацию и случай-
5

ных ее искажений, обусловленных действием помех. При
этом необходимо установить параметры сигнала и помех,
влияющие на точность.
Упомянутые выше основные задачи теории систем,
использующих информацию, содержащуюся в фазе
сигнала, рассмотрены в данной книге.
Поскольку книга рассчитана на широкий круг
читателей, как правило, не владеющих, в полной мере
математическим аппаратом теории вероятности, но крайне
заинтересованных в практическом использовании
результатов теории, а также для понимания процессов,
происходящих в реальных схемах и устройствах, — в книге все
основные математические преобразования выполнены
с пояснениями. Большое внимание уделяется
физическому истолкованию результатов, а также объяснению
процессов, происходящих в схемах. Ограниченный объем
книги не позволил рассмотреть ряд важных вопросоз
теории фазовых систем, которые, с точки зрения автора,
должны быть темой специальных книг. К таким
вопросам можно отнести теорию многоканальных фазовых
систем и статистическую теорию аппаратуры фазовых
систем. Статистическая теория аппаратуры фазовых
систем должна содержать анализ влияния случайных
отклонений параметров элементов и их нестабильности
на искажения фазы сигнала при его прохождении по
цепям и каскадам аппаратуры, а также исследование
влияния неидеальности элементов схем и нестабильности
их параметров в аналоговых и цифровых фазоизмери-
телях.
Существенную помощь в подготовке рукописи
оказали автору кандидаты технических наук т.т. Цвет-
нов В. В., Линденбратен Ю. Д. и Драбкин Р. Л., а
также инж. Рубцов В. Д., которым автор выражает свою
благодарность за ценные советы и рекомендации.

ГЛАВА 1
Особенности фазовых
систем
§ 1.1. Фаза радиосигнала. Под фазовыми системами
будем подразумевать системы, в которых полезная
информация закладывается в фазу сигнала.
Математически фаза определяется как аргумент
гармонической функции
с (t) = Ac cos К* +Тс)
или
са)=Асе-И^\ (1.1.1)
Согласно математическому определению, фазой i|)
является величина со<^+<Рс, где <рс — начальная фаза
[1.1]. Если имеются две гармонические функции, то
можно ввести понятие сдвига фаз Лг|).
Сдвиг фаз показывает, какова разность фаз двух
колебаний
C1{t) = AClCOS(<x>01t-\-<?Cl)1
с2 (t) = АС2 cos (c*02t + <Рс2),
тогда
Дф = К1-«о.)Ж?с1-?с.). (1-1.2)
Таким образом, у колебаний с разными частотами сдвиг
фаз есть функция времени. Если колебания имеют
одинаковую частоту, то ДК|)=фс1—фсг^Акрс, т. е. сдвиг фаз
равен сдвигу начальных фаз Акре. Составляющая фазы
(о0/, определяемая частотой о)0, в радиотехнических
системах выполняет важную функцию, так как определяет
частоту переносчика сообщения или несущую частоту.
7

Полезная информация может быть заложена в
начальную фазу сигнала <рс. Извлечение полезной
информации сводится тогда к измерению начальной фазы.
Практически это приводит к необходимости измерения
разности начальных фаз двух колебаний
<РИ8=<РС — <РоП. (1Л.З)
Начальная фаза принимаемого сигнала <рс несет
полезную информацию. Начальная фаза <р0п вспомогательного
или опорного сигнала служит как бы начальной точкой,
от которой отсчитывается начальная фаза.
Поскольку фаза и сдвиг фаз —понятия
относительные, то обычно удобно полагать, что фоп=0, тогда
физ=<Р'с.
Устройство, осуществляющее измерение сдвига фаз,
будем называть фазоизмерителем. В фазовых системах
используется в основном начальная фаза срс; в
дальнейшем обычно будем использовать для нее более краткий
термин — фаза.
Информация может быть заложена в фазу колебания
при плавном или дискретном изменении (модуляция и
манипуляция в передатчике). Информация может быть
заложена в фазу колебания за счет движения объекта,
на котором ведется прием сигнала или с которого
ведется передача сигнала. При этом также изменяется
начальная фаза или, другими словами, осуществляется
модуляция фазы движением. Следовательно,
простейшим видом фазовых систем являются системы, в
которых информация закладывается в фазу несущей
гармонического сигнала. Сигнал оказывается модулированным
по фазе функцией <ри(/)-
При этом сигнал имеет вид
£(0 = ЛсСО8[^ + ?ос + ?и(0]- (1Л.4)
Если известна функция <рь(<1), то может быть найден
спектр сигнала. Чем передается больше информации,
тем шире спектр сигнала. На выходе фазоизмерителя,
т. е. после демодуляции, если положить <рос=0 и фо'п=0,
имеем:
<Риз = <Ри(/).
8

В общем случае сигнал может иметь дополнительную
модуляцию
с (t) = Ас (0 cos К* + 9дм (0 + ?и (0 + 9рс].
где Лс(</) и фкм(<)—детерминированные функции
времени.
Модуляция амплитуды по существу не отражается на
фазе или сдвиге фаз. Такая модуляция изменяет спектр
сигнала и может оказать влияние на выбор методов и
устройств для извлечения информации из фазы сигнала,
а также уменьшает энергию сигнала, от которой зависит
точность измерения фазы. Дополнительная модуляция
по амплитуде широко используется в фазовых системах
для разделения сигналов разных станций и для
разделения радиоволн, пришедших в точку приема разными
путями. Типичным примером модуляции является
модуляция по амплитуде, создающая сигнал в виде
последовательности импульсов, в фазе которых содержится
информация. Дополнительная модуляция сигнала по фазе
требует пояснений. Фазовая модуляция позволяет
существенно влиять на некоторые свойства сигнала. При
модуляции фазы амплитуда может не изменяться и
средняя мощность или энергия сигнала не будет
уменьшаться. Спектр сигнала расширяется, произведение ширины
полосы спектра на длительность сигнала, которое
называют «базой», оказывается много большим единицы.
Наибольший интерес в этих сигналах представляет то,
что при соответствующем выборе закона модуляции по
фазе [например, изменение фазы по квадратичному
закону или изменение фазы на ±90° (0-И800) по
псевдослучайному закону (коды Баркера, Хафмана, Диджилок
и др.)] амплитудно-частотный спектр сигнала
оказывается почти равномерным (как у шума) и все особенности
сигнала отражаются в фазо-частотном спектре. При
приеме такого сигнала с помощью согласованного с ним
фильтра на выходе фильтра происходит «сжатие» сиг*
нала по времени [1.4]. В результате на выходе фильтра
получается один короткий основной «выброс». Как
известно (см. гл. IV), при действии сигнала на
согласованный с ним фильтр, на выходе последнего
воспроизводится функция автокорреляции сигнала. Следовательно,
используя модуляцию по фазе по соответствующему за-
9

кону, можно получить сигналы с автокорреляционной
функцией, имеющей один узкий основной «выброс» при
малом уровне «боковых выбросов», причем чем шире
спектр сигнала, тем уже «выброс» по времени. Отметим,
что аналогичную функцию автокорреляции имеет шум
с ограниченным спектром. В связи с тем, что амплитуд:
но-частотный спектр и функция автокорреляции таких
сигналов по своему виду близки к спектру и функции
автокорреляции шума, такие сигналы иногда называют
«шумоподобными».
Шумоподобные сигналы являются весьма
перспективными, в том числе и для применения в фазовых
системах. Их основные положительные качества состоят в
следующем. Благодаря эффекту «сжатия» применение этих
сигналов позволяет осуществлять разделение сигналов,
пришедших в точку приема разными путями и,
следовательно, имеющих разные начальные фазы. При этом
не требуется использование очень коротких импульсов,
уменьшающих энергию сигнала (при той же мощности
передатчика). Расширение спектра позволяет при той же
энергии сигнала получить малую плотность мощности
сигнала на единицу полосы частот (много меньшую, чем
плотность мощности помехи) при хорошем выделении
сигнала на выходе согласованного фильтра. Это
обеспечивает высокую энергетическую скрытность таких
сигналов и их высокую помехоустойчивость по отношению
к организованным помехам. Чем больше база шумопо-
добного сигнала, тем больше его «сжатие», лучше
скрытность и выше помехоустойчивость.
Если шумоподобные сигналы используются в
фазовых системах, то полезная информация может быть
заложена в начальную фазу такого сигнала.
Если измерение сдвига фаз при наличии фдм(0
осуществляется относительно гармонического сигнала,
имеющего начальную фазу фоп, то
<Риз=<Рс— ?оп==?дм(0 + ЫО + ?ос — ?оп. ПЛ.5)
При этом извлечение полезной информации затрудняется
изменениями фазы за счет фдм(0-
Для того чтобы это извлечение стало эффективным,
необходимо модулировать фазу опорного напряжения
¥оп = ?дм (t) + <Poom
10

ТОГДа При фос—фОоп={)
?из = ?дм (* ) — <Ри (t) + ?ос— ?дм (t)—<Роеп= <Ри (О» (1Л.6)
При этом здесь и далее имеется ввиду, что функция
4>и('/) значительно более «медленная», чем ф'ДМ(0.
Аналогичный результат можно получить и другим
методом. Если сигнал, имеющий дополнительную фазовую
модуляцию, пропустить через согласованный с ним
фильтр, то на выходе последнего устраняется
дополнительная фазовая модуляция, закон которой известен, и
остается значение фазы, несущей информацию.
Таким образом, сигнал, имеющий дополнительную
фазовую модуляцию так же, как и простой
гармонический или амплитудно-модулированный сигнал, может
быть использован для передачи полезной информации
через фазу сигнала, однако устройство, обеспечивающее
решение этой задачи, должно быть более сложным.
Выше рассматривался случай, когда полезная
информация закладывается в фазу несущей, однако имеются и
такие фазовые системы, в которых информация
закладывается в фазу модуляции.
Необходимость использования фазы модуляции
обусловливается в основном тем, что вследствие малого
интервала однозначности, а также недостаточной
стабильности несущей частоты или наличия значительных
флюктуации фазы за счет условий распространения, фаза
несущей не может быть использована для передачи
информации. При этом используется модулированный по
амплитуде или фазе радиосигнал и фаза
вспомогательной модуляции передает информацию.
Если вспомогательная модуляция осуществляется
гармоническим сигналом, то
с (t) = A0\l+M cos (Qt -f fQ)\ cos Ы + Тс) (1.1.7)
при амплитудной модуляции, и
с (t) = AJzos Ы + ?ос + Д?й cos (Qt + ?B)I (1.1.8)
при фазовой модуляции.
И

Для использования информации, заложенной в фазу
модуляции, необходимо осуществить детектирование или
демодуляцию.
Предполагая, что демодуляторы обладают
идеальными характеристиками, получаем
ф) = АСМ cos (Ш + ?а), (1.1.9)
'в(0 = А?всс*(Ш + ?в). (1.1.10)
Демодуляция или детектирование сигнала,
модулированного по амплитуде, не вызывает принципиальных
трудностей, поэтому остановимся подробнее на случае
вспомогательной модуляции по фазе. При демодуляции
сигнала, модулированного по фазе, необходимо знать
начальную фазу несущей, а изменения фазы сигнала в
фазовом дискриминаторе преобразовать в переменное
напряжение с частотой Q, фаза которого несет
информацию. Ввиду сложности осуществления таких измерений
этот вариант фазовых систем используется редко.
Возможен и другой путь использования
вспомогательной фазовой модуляции. В некоторых случаях
удобно рассматривать модуляцию по фазе как модуляцию
по частоте.
Как известно,
dA<pa cos (Qt + <ра)
= «\>-M?sPsin(Qf + <Pa).
^ dt
причем А<раО можно характеризовать как величину,
эквивалентную отклонению или девиации частоты при
модуляции — Дб>й, тогда
«o = o>e + Aco8sin(G* + <ps). (1.1.11)
ичину —
ции
А(0о
Величину -тр или Д<ря часто называют индексом
МОДУЛЯМИ
При малом индексе модуляции, когда -^- ^ * или
Д<ра < 1 рад, модуляция по фазе сопровождается появле-
12

нием двух боковых частот, отстоящих от несущей
частоты на ztzQ.
При большом индексе модуляции, т. е. когда -j~ > 1
или Д?й> 1 рад, спектр колебания йолучается широким,
с большим числом боковых полос.
В первом приближении ширина такого спектра
составляет
2Дсоа = 2Д?й£1.
Таким образом, для осуществления демодуляции
сигнала, модулированного по фазе, можно применить
частотный (а не фазовый) дискриминатор. Частотный
дискриминатор не реагирует на неопределенность
начальной фазы и может быть использован для демодуляции
сигналов со случайной фазой несущей. При этом нужно
иметь в виду, что в частотном дискриминаторе продетек-
тированное напряжение пропорционально Д<*й т. е. при
неизменной Д<рй амплитуда продетектированного
напряжения будет изменяться при изменении частоты
модуляции по закону
AQ=kA%Q. (1.1.12)
В качестве вспомогательной модуляции сигнала при
передаче информации через фазу модуляции может быть
использована и частотная модуляция с девиацией Дша.
От вспомогательной фазовой модуляции этот случай
будет отличаться только тем, что Да>а и напряжение,
снимаемые с дискриминатора, не будут зависеть от частоты
модуляции.
Во всех случаях при использовании вспомогательной
модуляции на выходе демодулятора имеется напряжение
(1.1.9)
^в(0 = ^дСО8(а + ?В)
и задача состоит в измерении начальной фазы <ра..
Обычно используется вспомогательная амплитудная
модуляция, при которой технические решения
получаются наиболее простыми. Рассмотрим теперь возможности
использования фазы в различных радиотехнических
системах.
13

§ 1.2. Использование фазы в системах радиосвязи.
В фазу сигнала может быть заложена информация,
имевшая характер дискретного или непрерывного сообщения.
При передаче дискретных сообщений могут быть
использованы двоичные, третичные, четверичные и т. п. коды.
При этом сообщение состоит из двух, трех, четырех и т. п.
символов и сигнал формируется из двух, трех, четырех
и т. п. элементарных различимых сигналов. Наиболее
просто технически реализуются в фазовых системах
манипуляции фазы на 180 и 90°. При манипуляции на 180°
используются два символа 0 и У, каждому из которых
соответствуют элементарные сигналы, отличающиеся по
фазе на 180°.
При отличии фазы элементарных сигналов на 90°
можно создать одноканальную систему, в которой
передаются 4 символа, или двухканальную систему, в
каждом канале 'которой передаются два сигнала,
отличающиеся друг от друга на 180° и соответствующие двум
символам.
Отметим, что системы передачи дискретной
информации с фазовой манипуляцией обеспечивают наиболее
экономное использование диапазона частот и высокие
результаты достоверности воспроизведения сообщения.
Для реализации таких систем в точке приема должна
быть известна фаза ожидаемого сигнала, что требует
принятия специальных мер. Получение эталонированной
фазы при использовании высокостабильных независимо
работающих гетеродинов крайне затруднено, так как
предъявляет к стабильности их частоты очень жесткие
требования и может быть реализовано только в
ограниченном интервале времени.
Кроме того, в процессе распространения радиоволна
задерживается по фазе; величина этой задержки зависит
от изменяющихся условий распространения и
расстояния. Следовательно, если нужно знать фазу сигнала
в точке приема, то необходимо осуществлять ее
непрерывное измерение или синхронизацию гетеродина по
принимаемому сигналу, используя для этого, например,
его несущую частоту, поэтому в составе аппаратуры
связи должна быть система слежения за фазой, или
синхронизации по фазе.
Но в системах связи с фазовой манипуляцией
синхронизация вызывает большие трудности, так как в фазо-
14

манипулированном на ±я/2 сигнале и равной
вероятности 0 и 1, устойчивая несущая отсутствует. В связи с этим
синхронизация легко нарушается, происходит «перескок»
фазы синхронизированного гетеродина на 180°. Кроме
того, приходится принимать специальные меры, чтобы
избежать синхронизации на боковых частотах. Для
синхронизации можно использовать неполное подавление
несущей при фазовой манипуляции, применяя изменение
фазы не на ±90°, а, например, на ±60° или ±70°, однако
это уменьшает энергию информационных посылок и
ухудшает достоверность. Таким образом, в дискретной
радиосвязи следует ориентироваться на сигналы, фазы
которых случайны, но в этом случае невозможно
использовать обычную фазовую манипуляцию, а приходится
переходить на частотную (ЧМ).
Частотной манипуляции свойствен ряд недостатков,
основным из которых является расширение полосы
занимаемых частот. Использование преимуществ,
свойственных фазовой манипуляции, при упрощении технических
решений и устранении принципиальных ограничений —
привело к созданию систем с «относительной фазовой
манипуляцией» (ОФМ) или относительной фазовой
телеграфии (ОФТ) [1.6]. Принцип действия систем ОФМ
основан на сравнении фазы напряжения принятого
сигнала не с фазой опорного напряжения, а с фазой
напряжения предыдущего сигнала.
При этом технические решения получаются
сравнительно простыми, но ухудшается достоверность по
сравнению с фазоманипулированным сигналом с
известной фазой.
В некоторых случаях приходится считаться с тем, что
фаза принятого сигнала подвержена значительным флюк-
туациям и не может считаться постоянной, но случайной.
Это приводит к значительному ухудшению достоверности
и к невозможности использования фазовой манипуляции,
однако позволяет применять технически просто
реализуемые схемы. Итак, в настоящее время в радиосвязи
большое развитие 'получили сигналы со случайной фазой
и относительной фазовой или частотной манипуляциями.
. В вопросе об использовании фазовой манипуляции и
сигнала с известной фазой за последние годы произошли
изменения, которые нуждаются в дополнительных
пояснениях.
15

Канал
Сообщения
Канал
Освоение космоса выдвинуло задачи создания
комплексных систем, обеспечивающих передачу информации
(телеметрические линии) и траекторные измерения, при
использовании одной >и той же бортовой аппаратуры
[1.7, 1.8].
Важнейшими параметрами, получаемыми при траек-
торных измерениях, являются дальность и радиальная
скорость, а также угловое положение объекта и
угловые скорости. Все эти
параметры, как будет
показано далее, могут быть
измерены фазовыми
системами. Измерение
радиальной скорости
сводится к измерению разност-
азмерения ной частоты излученного
и принятого колебаний, а
дальности —к измерению
сдвига фаз. Эти
измерения удобно осуществлять,
используя фазовую
синхронизацию гетеродина.
Таким образом в
комплексной системе
требуется точная синхронизация
по фазе. Очевидно, что
это может быть использовано и при приеме фазомани-
пулированного связного сигнала с реализацией
помехоустойчивых методов. Схема осуществления такого
приема приведена на рис. 1.2.1. Слежение за фазой принятого
сигнала сводится к непрерывному измерению
изменяющейся фазы. В производную фазу заложена
информация о скорости движения объекта, а в фазу
—информация о нестабильности условий распространения, которая
сама по себе не является полезной, если не ставится
задача ее измерения, однако ее выявление позволяет
использовать результаты для обеспечения наиболее
помехоустойчивого приема телеметрических сообщений.
Кроме того, причиной возобновления внимания к вопросам
фазовой синхронизации в системах связи является
развитие систем с «шумоподобными» сигналами (1.9].
Прием таких сигналов требует создания сложных
согласованных фильтров, в то время как для приема простого
16
Рис. 1.2.1. Схема приема с
фазовой синхронизацией:
Яр —приемник; СД — синхронный
детектор; ГОН — генератор опорного
напряжения; ФД —фазовый
дискриминатор; У —« усилитель.

радиосигнала (в виде импульса конечной длительности)
практически оптимальный фильтр может быть
реализован на обычных контурах.
Рассмотрим в качестве примера шумоподобный
сигнал с псевдослучайной фазовой манипуляцией.
Оптимальный фильтр для такого сигнала может быть
реализован, например, в виде высокочастотной линии
задержки с отводами и фазовращателями, как это показано на
рис. 1.2.2. Очевидно, что к линии задержки в этом случае
Вход
ЛЗ
СД
Е_Е_1
2
Выход
Рис. 1.2.2. Оптимальный фильтр для шумоподобного сигнала:
ЛЗ — линия задержки; S — суммирующий блок; Ф ... — Фазовращатели,
установленные по определенному правилу-коду.
предъявляются требования очень высокой точности
изготовления и стабильности.
Положим, что Го —период радиочастоты; ^ —
длительность элементарного импульса; U — длительность
сигнала: tc=i\m, где т — число элементарных
импульсов в сигнале, определяющее его базу; U — полная
величина задержки в линии; 6t3 — допустимое отклонение.
Если ЛЗ составляется из соединения типовых линий,
имеющих задержку tx с дисперсией аг1, то отклонение
фазы ?! для каждой из элементарных линий составит
а =аг1(о0, где w0 — несущая. Амплитуда напряжения на
выходе сумматора будет равна
т
/5=0
При нормальном распределении для <fx
/ 2 v 2 2 о 4
«t(?i)=e?ie9j=4i-
Тогда среднее и дисперсия для <р* будут равны
2—635 17

При этом
.4
/л \ Ш 2 2 °ш|
С вероятностью 0,98 относительное уменьшение
выходного напряжения будет не больше, чем
A«(f = 0,98) = a>(-L+Jr)'
НО
х2
1 о
где
тогда
А«(р = 0,98) = ^4«'в|>(-1-+-1-).
Например, если допустить Дм = 0,1, то при ^-= Ю2,
* о
базе сигнала m=\0z необходимо обеспечить
Создание линии задержки с такими точностью и
стабильностью связано с очень большими трудностями. По
этим причинам представляет интерес возможность
оптимального приема такого сигнала с помощью активных
фильтров или корреляторов. Основное, что определяет
реальность применения корреляционных схем, это
возможность генерации точной копии ожидаемого сигнала.
Создание генератора точной копии сигнала в системах
радиосвязи, когда точка приема совершенно не зависит
от точки передачи, встречает большие трудности в
первую очередь из-за необходимости обеспечения
синхронизации по фазе и по задержке (моменту прихода
сигнала).
Большие возможности по упрощению реализации
оптимальных схем для приема сложных сигналов имеют
комбинированные корреляционно-фильтровые схемы.
Для сигнала с известной фазой такая схема может быть
реализована в виде,.изображенном на рис. 1.2.3.
18

На выходе синхронного детектора элементарные
радиоимпульсы превращаются в зависимости от их фазы
в двуполярные видеоимпульсы, псевдослучайная
последовательность которых оптимально обрабатывается
затем в линии задержки с отводами, работающей не на
радиочастоте, а на видеочастоте. При этом требование
к точности изготовления и стабильности частоты линии
задержки снижаются и ее реализация вызывает
меньшие технические трудности. Работа такой схемы
требует создания генератора начальной или опорной
фазы, для чего используется контур синхронизации.
L-i
LJ пр
СД
+90'
ФД\*-Ц
лз
jL Jl Jl IE
ъ
%
гон
V У ¥ E
Рис. 1.2.3. Схема с фазовой синхронизацией для оптимального
приема шумоподобного сигнала:
Пр — приемник; СД — синхронный детектор; ЛЗ — линия задержки; ФД —
фазовый детектор; ГОН — генератор опорного напряжения; 2 — сумматор;
У — усилитель; Ф — фазовращатели.
Ее важным преимуществом является отсутствие
необходимости поиска сигнала в помехах по задержке
и возможность определения фазы и производной
фазы для траекторных измерений. Основным
недостатком такой схемы является необходимость
использования сигнала, позволяющего осуществлять слежение за
фазой несущей, в том числе при большом уровне помех.
Для устранения этого недостатка можно создать схемы
корреляционно-фильтрового приема, работающие при
случайной фазе сигнала. В этой схеме генератор
опорного напряжения можно не синхронизировать. Каждый
из каналов оптимально принимает одну из
составляющих сигнала, имеющего случайную фазу. В системах
радиосвязи большую роль играет не только отмеченная
Bbiiiie фаза сигнала на радиочастоте, но и фаза его
огибающей. Практически наиболее важное значение имеет
2* 19

использование фазы огибающей, точнее временного
положения импульсов, для точной фиксации момента
«снятия отсчета» (или «принятия решения»), который при
реализации оптимального приема должен
соответствовать моменту окончания сигнала, а также для
управления распределением сигналов по каналам в
многоканальных линиях связи с временным уплотнением.
Поскольку невозможно в точке приема длительное
обеспечение точного временного положения импульсов, то эта
задача решается с помощью систем слежения за
задержкой импульсов или систем синхронизации по
задержке.
Итак, в системах радиосвязи широко используется
фаза сигнала как непосредственно для передачи
сообщения методами фазовой манипуляции, так и для
повышения помехозащищенности, при этом технические
решения могут быть различными. Все это делает
необходимым подробное рассмотрение роли фазы в
обнаружении радиосигналов, что сделано в гл. 4.
§ 1.3. Определение координат объектов (расстояний и
разности расстояний) с помощью информации,
содержащейся в фазе сигнала. Известно, что при
распространении радиоволны происходит накопление запаздывания по
фазе
с (t) = Ас cos (ю0* + <Рос — ^) =
==Aocoe(a>ef + ?0O--£- Я}, (1.3.1)
где S) — расстояние, пройденное волной (дальность).
Очевидно, что измерение дальности можно свести к
измерению сдвига фаз между принятым сигналом и опорным.
Удобно считать фОс=0, <рОп=0, тогда
Результирующая погрешность в измерении сдвига фаз
может быть доведена до 6<р==0,1 рад сравнительно
простыми техническими средствами.
Тогда ошибка в измерении расстояния б Я буд^т
равна
825 = 1?-Я^(0,05ч-0,01)Я.
20

Напомним, что импульсные системы измерения
расстояния обеспечивают точность
где 8химп — ошибка в отсчете времени по импульсу
длительностью т^мп; тп — число^периодов в импульсе.
Известно, что
ЙТиы
= 0,05-г-0,1 и т=20ч-100; тогда
*Симп
8£Un-(l-M0)A.
Следовательно, при той же длине волны точность
фазовых систем на несколько порядков выше точности
импульсных систем.
D
wo.
ЗГ Н ПеР
Accos (cOot^QC^D)
•f*
ЗГ-
A0n cos (aj0t+<pon)
Рис. 1.3.1. Принцип действия фазового дальномера:
- задающий генератор; Пер — передатчик; Пр — приемник; ИФ —
измеритель фазы; ГОН — генератор опорного напряжения.
При практической реализации фазового принципа
измерения расстояний возникают некоторые трудности. Не
будем рассматривать применение этого принципа в
радиолокации, так как здесь он не дает больших
преимуществ. Фазовые системы определения координат
основное применение получили при измерении траекторий
ракет и космических объектов [1.7, 1.8], а так же при
определении координат самолетов и кораблей для целей
навигации и управления движением [1.10, 1.11, 1.12]. При
использовании фазовых систем для определения
координат основные трудности определяются многозначностью,
свойственной фазовому методу, и необходимостью
создания опорного напряжения с точно выдерживаемой
начальной фазой, принимаемой за начало отсчета
сдвига фаз.
Рассмотрим эти вопросы подробнее.
Система, обеспечивающая теоретически простейшее
измерение расстояния фазовым методом, приведена на
21

рис. 1.3.1. Однако очевидно, что для ее реализации
стабильности частоты задающего гетеродина передатчика
и опорного гетеродина приемоизмерителя должны быть
очень высокими.
Можно показать, что ошибка из-за нестабильности
частоты определяется формулой
821=—с/, (1.3.3)
где 8ш/(0о — относительная нестабильность гетеродинов;
t — время, прошедшее с момента согласования фаз гетеро-
динов. При —=10"8 и ^ = 1000 сек (около 20 мин)
8£fes3 км.
Таким образом, даже при очень высокой
стабильности гетеродинов, если измерение дальности
осуществляется в течение длительного интервала времени,
измерение по схеме, изображенной на рис. 1.3.1, дает
значительную накапливающуюся ошибку. Необходимо
отметить, что синхронизация здесь в принципе невозможна,
так как при этом будет потеряна информация о
дальности, заключающаяся в разности фаз напряжений
опорного генератора и принятого сигнала. Трудности
обеспечения требуемых стабильностей обусловливают
использование рассматриваемой схемы только в
специфических случаях. Для преодоления этих трудностей
в фазовых системах измерения расстояний можно
применять ответчики. Типовая схема с ответчиком
изображена на рис. 1.3.2, на примере системы, в которой
используется трансформация частоты.
В такой системе передатчик измерительной станции
излучает сигнал на частоте /ь который принимается
приемником ответчика. Затем сигнал трансформируется по
частоте в отношении т/п (где т и п — целые числа) и
излучается передатчиком ответчика. Принятый
измерительным приемником сигнал подается на фазоизмери-
тель, на который одновременно подается сигнал с
передатчика (с учетом трансформации частоты). Если
отвлечься от сдвигов фаз напряжений в аппаратуре, то
получаем
?м = ~т2® (1.3.4)
22

или
ел * ^из \ т
o6, —~2~* "2^~^~"
1 <Риз \
2 2п п
Для определения положения на поверхности нужно
измерить два расстояния до двух точек, а для
определения положения или координат в пространстве нужно
измерить три расстояния до трех разных точек,
координаты которых известны. Однако реализация схем с
ответчиками в фазовых системах в отличие от импульсных
систем встречает принципиальные трудности, поскольку
Х/77
зг
^»
ж п
Пер
Пр
Пр
Пер
-—'
7/7. У
1
т
п
Ответчик
Рис. 1.3.2. Принцип действия дальномера с ответчиком:
ЗГ — задающий генератор; ИФ — измеритель фазы; Пер — передатчик; Пр —
приемник; Тр ч — трансформатор частоты.
приемник и передатчик как измерительной станции, так
и ответчика должны работать одновременно. В схеме,
изображенной на рис. 1.3.2, это достигается разделением
несущих /i и /2 за счет трансформации частоты.
Существует несколько принципов построения ответчиков
фазовых систем.
Не останавливаясь на разборе таких схем подробно,
так как они освещены в литературе [1.10, 1.11], отметим,
что ответчик фазовых систем обладает единичной
пропускной способностью, т. е. может обеспечить измерение
дальности только между двумя точками.
Основные свойства такой системы определяются
искажениями фаз сигналов при распространении в
пространстве и прохождении через различные блоки и каскады
и точностью измерения фаз фазоизмерителем при
наличии помех. Причем нестабильность и неточность частот
(несущих или модуляции) здесь уже не дают ошибок,
накапливающихся со временем.
23

Величина ошибки из-за нестабильности частоты
будет определяться соотношением
ЬХт=Л- или^=^- (1.3.5)
Ошибка из-за нестабильности частот может быть
сделана очень небольшой.
Единичная пропускная способность фазового
ответчика позволяет использовать такие фазовые системы
только для специальных целей, при необходимости
точного измерения положения в пространстве единичных
объектов, например ИСЗ.
Для расширения использования фазовых методов
измерения расстояний в навигации и управлении
движением самолетов, кораблей и т. п. нужно обеспечить
\зг
пер1
Cm И°)
Л "ft у
1
Ш
fj_
xm
'■ '-»■
fl
fz_
xn
/77/,
_L
ИФ
НГ
V
\
Cm У 2
Рис. 1.З.З. Принцип действия разиостно-дальномерной системы:
ЗГ — задающий генератор; Пер. — передатчик; Пр — приемник; Тр ч —
трансформатор частоты; ИФ — измеритель фазы.
функционирование системы при одновременном ее
использовании большим числом объектов. Для этого,
а также для достижения больших дальностей действия
системы без применения на объекте мощных и тяжелых
передатчиков и громоздких антенн в фазовых системах
определения положения объекта в пространстве широко
используются разностно-дальномерные или
гиперболические устройства. Принцип действия такой системы
с трансформацией частоты показан на рис. 1.3.3.
24

Задающая станция (ст. № /) и ответчик или
ведомая станция (ст. № 2) располагаются в точках с
известными координатами. Сигналы этих станций
принимаются в точке, координаты которой определяются.
После селекции, усиления и трансформации частоты
сигналы подаются на фазоизмеритель.
Можно показать, что
Д? вз = m%8B-m^ (SB,- Si,),
где т — множитель коэффициента трансформации частоты.
Следовательно, при известной базе Юъ по результатам
измерения сдвига фаз Д<риа можно найти Д® = ^51—Ю2.
В пункте, в котором определяется местоположение,
требуется установить только приемно-измерительное
устройство; по сигналам станций № 1 и № 2 может
определять свое местоположение любое число объектов. Для
определения местоположения на поверхности требуются
две гиперболы, т. е. минимум три станции — одна
ведущая и две ведомые.
Основной операцией, которую выполняет аппаратура
в таких системах, является измерение сдвига фаз между
двумя сигналами, частоты которых могут быть
приведены к одной. Однако в отличие от предыдущих случаев
оба сигнала, подаваемые на фазоизмеритель,
сопровождаются помехами.
Ошибка из-за нестабильности частоты
щ
Результаты работы системы и ее точность будут
определяться стабильностью сдвигов фаз сигналов при
распространении в пространстве и в аппаратуре и
точностью измерения сдвига фаз при наличии помех. Так
же как в фазовых дальномерах, в разностно-дальномер-
ных системах существует несколько принципов
обеспечения одновременной работы приемников и передатчиков
ведомых станций и приема сигнала всех станций прие-
мо-измерительным устройством.
Не останавливаясь на этом вопросе подробно,
отметим, что наиболее перспективным и широко
применяемым является принцип временного разделения или
использования импульсно-фазовых систем. При этом все
25

станции могут работать на одной несущей. Подробнее
принцип действия таких систем описан в § 1.6.
Теперь рассмотрим многозначность, имея в виду ра>
боту импульсно-фазовых систем.
Однозначность результата измерения расстояния или
разности расстояний возможна в пределах
Многозначность может быть устранена на основе
фазовых измерений.
Если осуществить модуляцию сигнала частотой Q
или использовать измерения сдвига фаз на двух
близких частотах, то можно получить
с (t) = А с [ 1 -J- М cos (Q/ + %)\ cos Ы + ус)
при измерении сдвига фаз на частоте модуляции
*«-=4'я или ®=^''
при измерении разности сдвига фаз на близких частотах:
А?ИЗ = ?«81 — <РИ32 = — К — «,)• (1.3.6)
Таким образом, при измерениях сдвига фаз на
частоте модуляции или разности сдвигов фаз на близких
частотах, результат измерения соответствует тому, который
получился, если бы распространялась волна с частотой
модуляции Q или разностной частотой )Aco = coi—сог. Это
позволяет, используя диапазон частот, оптимальный для
распространения в заданных условиях, получить любой
интервал однозначности. Однако переход на более
низкие частоты будет означать и меньшую точность, так
как те же нестабильности сдвига фаз сигналов в
аппаратуре и погрешности измерений при понижении частоты
будут соответствовать большим ошибкам в измерении
расстояния Р
Ьт = — 89апп
апгко со0 таип
на высокой частоте,
апп Д<о Доо
26

на разностной частоте,
°^апп Дсо
тогда
5аппа> ^
Здесь .йфаш — ошибка измерения за счет нестабильности
фаз сигналов в аппаратуре и неточности измерителя.
Указанные обстоятельства приводят к тому, что в
фазовых системах при измерении расстояний или разности
расстояний используются многошкальные отсчеты. Шаг
шкал определяется результирующей точностью
измерения и стабильностью сдвигов фаз, а их число — теми
априорными данными о местоположении, которые могут
быть получены независимо от фазовой системы.
Очевидно, что если наиболее точная шкала имеет
предел однозначности Дй30дна), то ошибка на следующей,
более грубой шкале должна быть меньше чем Л^од. .
Следовательно,
80Да)/ё=Д10одншО,5,
где 8<3Дц) — среднеквадратичная результирующая ошибка
на шкале; k — коэффициент запаса (обычно не менее чем
2-3);
Дсо ==o)j — со2#
Так как
До> д^ * резДш'
где В<р ез,Д(о — среднеквадратичное значение результирующей
ошибки сдвига фаз,
то
2пс , с
или
со, "Дсо Ч>езДш
Ай> _ь дуз'Дщ 2,
cOj 2n
Интервал однозначности на шкале Дсо будет
а^однД«>— %pe3> ^однш-
27

Например, при & = 3 и 8<ррез Д(О = 0,2 « 10°
— = 0,2, Д0 А ^5Ш
(Oj ' ' ОДНАй) v ОДНО*
Следовательно, при фазовых методах измерения
расстояний и устранении многозначности результатов
измерений точность измерения расстояний, число шкал и их
шаг определяются точностью измерения и
стабильностью сдвига фаз. При низкой точности измерения и
недостаточной стабильности сдвига фаз однозначное
измерение расстояния становится практически
невозможным, так как, например, при
8<р Л = ^30°
— = 0,5 и Д0 . ^2Д£5 ,
т. е. более грубая шкала мало отличается от точной и
для устранения неоднозначности нужно в систему
вводить много шкал, что усложняет ее. В разностно-дально-
мерных системах результаты будут аналогичными, но
они относятся не к расстоянию, а к разности
расстояний. В силу специфичности вопроса не будем
останавливаться на его деталях. Для его изучения может быть
рекомендована литература [1.10, 1.11].
Основной вывод, который можно сделать из
изложенного выше, состоит в том, что, используя различные
схемы, основанные на измерениях фазы, имеется
возможность добиться однозначного измерения расстояния или
разности расстояний, обеспечить работу системы с
ответчиком и реализовать фазовую систему для
определения координат неограниченным числом объектов.
Основное и важнейшее преимущество фазовых систем —
высокая точность определения координат обусловливает
развитие и широкое применение фазовых дальномерных
и разностно-дальномерных систем. Наряду с
традиционным использованием фазовых систем в радионавигации
и радиогеодезии фазовые принципы значительное
развитие получили в системах траекторных измерений и
в системах орбитальных измерений космических
объектов.
§ 1.4. Определение угловых координат объектов с
помощью информации, содержащейся в фазе сигнала.
28

Фазовые системы позволяют определять также и
угловые координаты объектов. Измеряя сдвиг фаз поля в двух
точках пространства или, другими словами, сдвиг фаз
между э. д. с, наведенными в антеннах, разнесенных
в пространстве, можно определить направление прихода
радиоволн [1.13, 1.14, 1.15].
Из рис. 1.4.1 следует, что для э. д. с, наведенных
в антеннах 1 и 2, можно написать
сх (t)=Aс l cos (a>0t -f- 9с — 2-я -^ sin a j;
cz (0 = Лс2 COS (co0* -f <pc -f- 2ъ -^ sina J ,
где 9c — начальная фаза сигнала в точке «0».
Рис. 1.4.1. Фазовое пеленгование ^ft)
на плоскости.
(1.4.1)
Измерив разность фаз, Получим
2пБ
или
Д<ри3 = -^- sin a = —- Б sin a
a = arc sin
ь>0Б
При малых углах а
или
А _ со0£ 2я£
г, — С Л,г> — Х А?из
(1Л2)
Для измерения угла в пространстве необходимы две
взаимно перпендикулярные пары антенн. "
Принцип действия такой системы показан на
рис. 1.4.2.
29

Измерив сдвиг фаз между э. д. с, наведенными в
антеннах 1—2 и 3—4, получим
А 2пБ • О
2пБ
A?H3^=-T-C05aCOSP-
Рис. 1.4.2. Фазовое пеленгование
в пространстве.
Используя АТизу-2 и АсРИзз-4' можно найти углы аир:
А<Риз 1-2
tga = -
а = arc tg
AW-4
А<Риз 1-2
AW-4
C0S P = IS" ^А?« /-2+ Д*2а *-<'
Р = аГС C°S W КД*и /-2 + A<Pi
из 5—4*
(1.4.3)
(1.4.4)
Фазовые пеленгаторы имеют инструментальную
точность, зависящую от величины базы, точности изме-
30

рения и стабильности сдвига фаз. Для системы,
изображенной на рис. 1.4.1, ошибка в измерении угла будет
где 6Лф — ошибка из-за нестабильности фаз сигналов
в аппаратуре и погрешности при измерении разности
фаз.
Для увеличения точности измерения угла
необходимо увеличивать ДА, но тогда результат отсчета угла
становится многозначным
или
А • X
Aa0AH==arcsin-£-.
Для Х(Б < 1 Даодн = -£- рад.
При измерении углов фазовым методом для
устранения многозначности в принципе можно
воспользоваться тем же методом, что при измерении расстояний или
разности расстояний, т. е. осуществлять измерение
разности фаз не на одной частоте, а на ряде частот о)0ь
iG>02, ..., общее число которых зависит от требуемой
угловой точности, конечного предела однозначности и
точности измерения разности фаз. Однако такое решение
в пеленгаторах мало целесообразно, так как во многих
случаях определение направления прихода волны
осуществляется по сигналу, параметры которого не зависят
от пеленгаторного устройства. В этих условиях можно
устранить многозначность созданием системы, в которой
имеется несколько антенн, с постепенно
уменьшающимися базами Б\, Б2 и т. д.
Выбор числа шкал и шага шкал, точно так же как и
в дальномере, определяется точностью измерения сдвига
фаз.
Известно, что измерение углов, характеризующих
направление на излучающий объект, можно осуществить
и другими методами, например очень распространенным
методом следящего пеленгатора с равносигнальной
зоной. Этот метод основан на использовании направлен-
31

ных антенн. Он обеспечивает пространственную
избирательность и высокую точность.
Инструментальная точность таких пеленгаторов
определяется шириной диаграммы направленности и
может быть вычислена из следующего ориентировочного
соотношения:
8ae(0fH-0f05).A„f
где |ДЛ — ширина лепестка диаграммы направленности.
Используя, например, Дл= 1-7-0,25°, можно обеспечить
очень высокие инструментальные точности, при которых
ошибка составит всего 0,05—0,005° или 3'— И". Такие
высокие инструментальные точности обычно не могут
быть полностью реализованы из-за ошибок в
механизмах следящих систем и вследствие искажения
направления равносигнальной зоны при незначительных
деформациях зеркала антенны. Однако можно считать
реальным получение точностей слежения до Г. Эти цифры
характеризуют точность без учета действия помех, так
как имеется в виду слежение за сигналом достаточно
мощного передатчика, и без учета тех искажений,
которые возникают за счет влияния атмосферы и ионосферы
и определяются особенностями распространения
радиоволн [Л. 1.23, 1.24].
В качестве недостатка таких систем при их
использовании для траекторных и орбитальных измерений
следует указать на необходимость осуществления поиска
объекта. Чем выше точность, т. е. уже диаграмма
направленности антенны, и чем шире телесный угол,
характеризующий первоначальную (априорную)
неопределенность в угловом положении объекта, и больше
угловые скорости движения объекта, тем сложнее
решается задача поиска и тем больше времени для этого
требуется.
Представляет интерес сравнить фазовые пеленгаторы
со следящими. Для сравнения ориентировочно примем,
что
где dA — диаметр зеркала антенны.
Тогда
8а ^0,03 Дл^ 0,06 ~
аА
32

В фазовом пеленгаторе при -^ = 0,03 (что достижимо,
так как инструментальная точность порядка 10° может
быть легко реализована) получаем 8а = 0,03-^- [1.23].
Итак, при одинаковых геометрических размерах
антенной системы, т. е. при соизмеримых размерах диаметра
зеркала следящей антенны и разноса антенн фазового
пеленгатора, инструментальные точности могут быть
одного порядка. Однако очевидно, что практическое
выполнение разноса антенн на большое расстояние
значительно проще, чем создание вращающейся следящей
антенны такого же размера. Например, использование
в фазовых пеленгаторах базы в 50—100 м не вызывает
больших трудностей, в то время, как точные следящие
антенны с диаметром зеркала 20—30 м и более
являются сложными и дорогими сооружениями. Кроме того,
для фазового пеленгатора высокой точности не
требуется выполнения точных и жестких конструкций [1.23].
Не менее значительным преимуществом фазового
пеленгатора является возможность полностью избежать
поиска, так как независимо от направления на объект
отсчет угла возможен сразу же после включения в
действие его передатчика. Вместе с тем необходимо
отметить, что фазовый пеленгатор, использующий
ненаправленные антенны, может давать дополнительные ошибки
из-за отражения радиоволн от местных предметов,
окружающих антенное поле. Поэтому для' обеспечения
высоких точностей необходим выбор соответствующей
площадки для антенного поля и использование
направленных разнесенных антенн.
По указанным причинам в системах точного
определения угловых координат при траекторных и
орбитальных измерениях широко используют фазовые принципы.
Поскольку мощности передатчика, по которому ведется
определение угловых координат, ограничены, а
расстояния могут быть значительными, особенно при
орбитальных измерениях дальних космических объектов, то
для фазовых пеленгаторных систем важнейшее
значение имеет оценка влияния помех на точность измерения
сдвига фаз.
§ 1.5. Определение скоростей движения объектов с
помощью информации, содержащейся в фазе сигнала.
3—635 33

Используя фазовые системы, можно измерять
радиальную и угловую скорости движения объекта. Поскольку
то
^ = 0г = .£-%•. (1.5.1)
dt r со0 dt \ • /
Аналогично получаем для углов
lr=4arcsin^A<P»s (L5-2)
или для Б > Я и направлений, близких к нормальным,
doc \ ^Д<риз
~df"~~2^E 5Г~*
Таким образом, производя непрерывное измерение
фазы физ или разности фаз (Aqfa, и осуществляя
дифференцирование результатов измерения, можно найти
радиальную и угловую скорости.
Сказанное выше показывает возможность получения
информации о скоростях движения путем измерения
сдвигов фаз с последующим дифференцированием.
Однако эти же результаты можно получить, используя не
фазовые, а частотные измерения.
Действительно, можно измерить сдвиг частоты
сигнала, полученного от ответчика, относительно частоты
излученного сигнала. Тогда
Дсо = со0 — шотч = со0 — ю0 £- (D0 = X. со0
А со
Vr = — £ .
Аналогично при измерении углов разность частот
сигналов, принятых в точках 1 и 2, будет
А 2я£ da
A<uS—ж
34

Фазовые и частотные методы измерений скоростей по
основным результатам равноценны, однако по
техническому исполнению и особенностям применяемой
аппаратуры они существенно отличаются. В одном случае
измеряется сдвиг фаз, т. е. используется устройство,
реагирующее на фазы или фазоизмеритель. В другом случае
измеряется разность частот, т. е. используется
устройство, реагирующее на сдвиг частоты. Не останавливаясь
на подробностях осуществления таких устройств,
отметим, что при наличии помех и в случае, когда сигнал
имеет конечную ширину спектра, эти два метода
измерения могут дать несколько отличающиеся результаты.
В гл. 2 будут рассмотрены факторы, обусловливающие
различие в работе фазовых и частотных схем при
помехах.
§ 1.6. Импульсно-фазовые системы. Для разделения
сигналов станций в фазовых системах можно
использовать импульсные сигналы с такой длительностью, при
которой передатчик включается в работу после
окончания приема импульса. При этом фазовый принцип
системы сохраняется, но измерение фазы должно
происходить по импульсному сигналу и результаты
измерения должны запоминаться. На рис. 1.6.1 приведена
схема импульсно-фазовой разностно-дальномерной системы
с временным разделением станций. Импульсы ведущей
станции (ст. № 1) имеют период повторения (такт) Тт
и какой-либо отличительный признак (в
рассматриваемом примере они взяты большей длительности). Это
позволяет в приемниках станций № 2 и № 3 отделить
сигналы станции № / от сигналов других станций и
синхронизировать работу всей системы. Осуществляя
на ведомых станциях (ст. № 2 и -ст. № 3) слежение за
временным положением синхронизирующего импульса,
можно управлять подачей нужного сигнала (от ст. № /)
на кольцо фазовой синхронизации (переключатель Кл).
Импульсы, вырабатываемые в схемах ведомых станций
и следящие за временным положением
синхронизирующего импульса, после задержки на 2/4 Тт и 3/4 Гт
подаются на блок 3, после которого поступают на передат-
3* 35

чик, управляя моментом излучения ведомых станций
(ст. № 2 и ст. № 3). Сигнал, подаваемый на кольцо
фазовой синхронизации, обеспечивает управление фазой
Cm АГ°2
ШШг
Cm /f°1
ANWr
WA-
Cm Sf°2
■W\r
ЛШг
Cm Jf°3
-WMr
Рис. 1.6.1. Принцип действия импульсно-фазовой разностно-далыю-
мерной системы:
Up — приемник; СО — блоки синхронизации по огибающей; ФД — фазовый
детектор; 3 — задержка импульсов модуляции; ГОН — генератор опорного
напряжения; Пер. — передатчик; ИФ — измеритель фазы.
опорного гетеродина на каждой станции. В результате
этого фаза сигнала, излучаемого каждой из ведомых
станций, управляется фазой сигнала, принятого от ст.
№ /. В этих условиях разность фаз сигналов, принятых
приемо-индикаторным устройством от станций № У, № 2
36

и № 3, будет определяться разностью расстояний®! —
Ю2 и ^-SjC учетом поправки на базу Б{ и Б2. В при-
емо-индикаторном устройстве также должна
осуществляться синхронизация переключения сигналов в канал
фазовой синхронизации и в каналы фазоизмерителей.
Необходимо отметить, что рассмотренная схема по
сравнению с другими имеет высокую инструментальную
точность, так как в приемо-измерительном устройстве
все сигналы от всех станций проходят по одному и тому
же радиочастотному тракту и фазовые сдвиги и
нестабильности в этом тракте не будут влиять на разности
сдвигов фаз, которые являются полезным результатом
работы системы.
Кроме факторов, рассматриваемых выше и
относящихся к использованию в фазовых системах импульсных
сигналов для разделения каналов, обеспечения
совместной работы передатчика и приемника на станции и
улучшения инструментальной точности, в некоторых
фазовых системах переход к импульсным сигналам
определяется также необходимостью устранения вредного
влияния «многолучевости» на фазу сигнала в точке
приема. ч
При работе фазовых систем на больших расстояниях
на средних и длинных волнах может иметь
место-случай, когда помимо поверхностной волны в точку приема
приходят отраженные от ионосферы волны, фаза
которых случайна. При достаточной интенсивности этих волн
по сравнению с основной поверхностной волной фаза
результирующего поля подвергается значительным
случайным изменениям, что ухудшает точность.
Указанное обстоятельство является одним из
основных факторов, влияющих на выбор длины волны, а
следовательно, на точность системы в зависимости от
расстояния, на котором она должна действовать. Это же
обстоятельство ограничивает максимально достижимую
дальность действия фазовых навигационных систем.
Поскольку это ограничение для ночного времени
оказывается очень существенным, естественно стремление
к ослаблению действия этих факторов. Большая степень
вредного влияния, связанного с «многолучевостью»,
может рассматриваться как следствие недостаточной
разрешающей способности системы. Проблема увеличения
разрешающей способности не является специфической
37

для фазовых систем. Она имеет важнейшее значение
в импульсной радиолокации.
Очевидным методом улучшения разрешающей
способности является использование импульсных сигналов
малой длительности. При этом длительность импульсов
и расстояние между ними, т. е. период повторения,
определяются другими соображениями, чем в случае
использования импульсно-фазовых методов для разделения
сигналов разных станций по времени. Задержка
отраженной волны в зависимости от дальности составляет от
25—300 мксек и более. При использовании простых
методов разделения поверхностной и пространственных
волн длительность импульсов должна быть не более
^25—200 мксек. Эта длительность много меньше, чем
при использовании импульсных сигналов для
временного разделения, когда могут применяться импульсы
длительностью в десятые доли секунды и несколько
секунд.
В рассматриваемых фазовых системах частота
повторения импульсов должна быть низкой, так как иначе на
полезный импульс данной станции могут налагаться
импульсы других станций. Не рассматривая этого
вопроса подробно, отметим, что может быть использована
частота повторения порядка 25—200 гц. Тогда
скважность сигналов станций составит 3 000—2 000.
Импульсная мощность передатчика обычно ограничена, тогда
уменьшение длительности импульсов при заданной
частоте повторения приводит к уменьшению средней
мощности или энергии сигнала, являющейся основным
фактором, определяющим достоверность обнаружения
сигнала и точность измерения его параметров, в том числе
и фазы. При использовании импульсных сигналов только
для разделения станций период повторения может всего
лишь в несколько раз превышать длительность
импульсов. Получающаяся при этом скважность (порядка 5—
10) вызывает небольшое уменьшение средней мощности.
В некоторых реальных системах для решения
проблемы средней мощности существенно увеличивалась
импульсная мощность передатчиков. Однако имеется
возможность принципиально по-другому решить эту
проблему, используя опыт радиолокационных систем по
применению шумоподобных сигналов или сигналов с
большой базой, позволяющих обеспечить высокую разре-
38

шающую способность без уменьшения средней мощности
и энергии сигнала. При этом «длинный» сигнал с
большой средней мощностью или энергией превращается на
выходе согласованного фильтра в короткий импульс,
обеспечивающий соответствующую разрешающую
способность.
При использовании в фазовых системах таких
сигналов каждая из станций излучает импульсы,
превосходящие по длительности интервал времени, в пределах
которого возможно разделение лучей. В приемном
устройстве ведомых станций и приемо-измерительном
устройстве на объекте (например, в согласованном
фильтре) осуществляется оптимальная обработка такого
сигнала, в результате чего происходит его «сжатие» и
становится возможным разделение сигналов.
Интересно отметить, что система с шумоподобным
сигналом также является своеобразной «фазовой
системой», так как в ней основная информация об
особенностях сигнала, определяющая возможность его
выделения из помех и отделения от других сигналов,
содержится в функции изменения его фазы или в его фазо-ча-
стотном спектре.
§ 1.7. Основные проблемы фазовых систем. Краткое
рассмотрение основных вариантов фазовых систем
показывает, что они могут иметь различное назначение и
различную инженерную реализацию. Использование
информации, содержащейся в фазе сигнала, позволяет
получить при наличии помех наиболее достоверную
информацию, обеспечить с наибольшей точностью определение
координат и элементов движения объекта, создать шу-
моподобные сигналы, отличающиеся наибольшей
помехоустойчивостью и скрытностью.
В этой связи понятен интерес к фазовым системам и
их быстрое развитие. Системы, в которых используется
информация, содержащаяся в фазе сигнала, длительное
время имели частное применение в основном в виде
фазовых радионавигационных и радиогеодезических
систем высокой точности. Начало этого направления было
положено еще в тридцатые годы академиками Ман-
дельштаммом Л. И. и Папалекс-и Н. Д. и их учениками.
В радиолокации фазовые системы не нашли
широкого применения в связи с тем, что импульсные системы
давали наиболее гибкое и простое техническое решение,
39

обеспечивая необходимые дальности, точности и
разрешающие способности. Это в значительной степени
определяется особенностями сигнала, отраженного от
сложных целей (происходит разрушение его фазовой
структуры), в результате чего потенциальные возможности,
заложенные в фазе, не могут быть реализованы.
В радиосвязи использование фазы сигнала в
основном сводилось к развитию систем «относительной
фазовой манипуляции». Однако примерно с 1950 года
положение начало существенно изменяться в связи с
развитием систем траекторных измерений ракет, а затем
систем передачи информации с борта космических
объектов и необходимостью точного измерения их орбит
[1.7, 1.8]. Фазовые системы благодаря их возможностям
по повышению помехоустойчивости передачи информации
и точности определения координат объектов в
пространстве позволили решить задачи, возникшие перед
радиотехникой в связи с освоением космоса. Развитие
фазовых систем потребовало решения ряда проблем
теоретического и практического порядка.
Одной из основных проблем является выяснение
тонких особенностей поведения фазы, возникающих при
распространении радиоволн в реальных атмосфере и
ионосфере и вдоль реальной земли. Поскольку
инструментальная точность фазовых систем может быть очень
высока, то на результаты их работы большое влияние
оказывают незначительные искажения фазовой скорости
распространения и фазового фронта. Искажения
средней скорости на 10~5—10~6 и фазового фронта на 0,01°
могут явиться основной причиной ошибок в фазовых
системах.
В ряде работ, например [1.16, 1.17, 1.18], эти
вопросы были подвергнуты изучению. Специфика этих
вопросов, их связь с изучением особенностей распространения
радиоволн делают целесообразным их разбор в
отдельной работе, и поэтому здесь они рассматриваться не
будут. Отметим только, что во многих случаях ошибки,
связанные с распространением радиоволн, могут быть
очень небольшими, составляя 10~4—10~7 по дальности
и 0,01° по углу.
Второй важнейшей проблемой фазовых систем
является изучение искажений фазы радиосигнала при его
прохождении по реальному тракту передатчика или при-
40

емника. Эти вопросы рассматривались в работах [1.13,
1.14, 1.15]. Дальнейшее развитие решения этой проблемы
требует применения статистических методов.
Теория и практика показывают, что соответствующим
выбором деталей и повышением их качества,
использованием компенсации и контроля, а также применением
соответствующих принципиальных схем можно
обеспечить удовлетворительные и высокие инструментальные
точности, при которых среднеквадратичное значение
нестабильности фазы в аппаратуре лучше чем (1-М0)°.
Третьей, основной проблемой фазовых систем
является создание фазоизмерителей, т. е. устройств,
позволяющих осуществлять измерение сдвига фаз. Существует
большое число методов и принципов построения таких
устройств. Наибольшее распространение получили
методы, в которых используются следящие системы и в
качестве чувствительного элемента фазовый
дискриминатор.
Следящие фазоизмерители позволяют использовать
цифровую и аналоговую технику, получать узкую
полосу пропускания и высокую точность измерения. Для
проектирования таких фазоизмерителей можно
использовать теорию автоматического управления.
Инженерные вопросы разработки фазоизмерителей правильнее
рассмотреть в отдельной работе. Особое место занимает
вопрос действия помех на фазоизмерители и выбора
принципов и схем, позволяющих оптимально измерять
фазу сигнала при наличии помех; этот вопрос подробно
рассмотрен в настоящей работе.
Четвертой, основной проблемой фазовых систем
является изучение их работы при наличии помех.
Поскольку фазовые системы имеют преимущество с точки
зрения помехоустойчивости и высокой точности, то оценка
их работы при наличии помех является важнейшей
задачей при их изучении и синтезе, а также
определении условий и областей целесообразного применения.
По этому вопросу имеются работы, позволяющие
получить решение определенных конкретных задач и дать
оценку конкретным схемам и системам [1.6, 1.10, 1.11,
1.13, 1.14, 1.15, 1.19 и др.].
Широкое развитие статистической радиотехники
позволяет получить более общее теоретически
обоснованное решение этой задачи. Для этого нужно исследовать
41

статистические характеристики смеси сигнала и помехи,
в первую очередь ее фазы [2.1, 2.2, 2.4]. Очевидно, что
анализ статистических характеристик смеси позволит
установить границы, в которых можно ожидать
улучшения работы и характеристик реальных схем и устройств.
Изучение этой проблемы и является основной задачей
данной работы.
Наконец, последней, пятой проблемой фазовых
систем является проблема синтеза структурных схем
системы и их оптимизация. Решение этой проблемы
возможно при широком использовании результатов работы
по указанным выше основным вопросам, а именно:
особенностям распространения радиоволн, искажению
фазы сигналов при прохождении радиотракта, параметрам
фазоизмерителей и действию помех.
В таком общем виде эта проблема пока не может
быть решена, однако имеются возможности
оптимизации конкретных фазовых систем по точности, дальности
действия и другим характеристикам. В связи с этим
вопросы синтеза и оптимизации систем правильнее
рассматривать в работах, посвященных не общей теории
фазовых систем, а в работах по анализу и синтезу
конкретных типов фазовых систем, например навигационных,
траекторных ближнего космоса, траекторных дальнего
космоса и т. п.
§ 1.8. Исходные соображения к вопросу об анализе
действия помех в фазовых системах. Задачей схемы
является обнаружение радиосигнала или измерение
какого-либо параметра радиосигнала. Как бы ни была
совершенна схема, в ней не могут быть полностью
устранены те искажения, которые вносит помеха в
используемый параметр сигнала.
Основной задачей данной работы является
выявление статистических характеристик смеси сигнала и
помехи, которые определяют работу фазовых систем. При
этом необходимо иметь в виду, что сигнал, в фазе
которого заключена полезная информация, может быть
очень различным: непрерывным гармоническим или
модулированным, импульсным в виде отдельного импульса,
сложным, состоящим из последовательности или пакета
импульсов, и, наконец, шумоподобным.
В последующих главах рассматриваются
статистические характеристики фазы одной помехи yi смеси помеху
4?

с сигналом, выявляется влияние фазы на оптимальное
обнаружение сигнала и характеристики фазового
обнаружения и, наконец, исследуются методы оптимального
измерения фазы и слежения за ней.
Для того чтобы выявить статистические
характеристики смеси, которые должны быть изучены, на основе,
изложенного в § 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 и 1.6, необходимо
рассмотреть основные обобщенные варианты схем,
осуществляющих извлечение информации, содержащейся
cfcPc)
ИЧ>
V
Опорная
Фаза
Пр
Д
c(t,9>ff)
ИФ
(б
Опорная
фаза
Рис.
1.8.1. Схемы приемо-измерительных устройств:
Пр — приемник; ИФ — измеритель фазы; Д — детектор, а — информация
заложена в фазу радиосигнала; б — информация заложена в фазу модуляции.
в фазе сигнала. Простейшая обобщенная схема может
состоять из приемника, который осуществляет усиление
сигнала и его предварительную селекцию, и измерителя
фазы, который выявляет информацию, содержащуюся
в фазе сигнала или в разности фаз. Если информация
закладывается в фазу модуляции, то между приемником
и измерителем необходимо включить детектор.
Структурные схемы приемо-измерительных устройств для этих
случаев приведены на рис. 1.8.1.
Амплитуда сигнала, поступающего на вход
приемника, подвергается большим изменениям в зависимости
от мощности передатчика, расстояния между точками
приема и передачи и т. п. Измерители, как правило,
требуют, чтобы амплитуда подаваемого на них напряжения
изменялась в небольших пределах. Кроме того, каскады
приемника имеют ограниченный предел линейности. По
этим причинам во многих случаях структурная схема
должна быть дополнена блоками, обеспечивающими
незначительные изменения амплитуды сигнала на выходе
приемника.t В качестве таких блоков может быть
использована АРУ. Тогда структурная схема приобретает
вид, изображенный на рис. 1.8.2. *

В тех случаях, когда информация заложена в фазу
несущей или в фазу модуляции по фазе сигнала, можно
для тех же целей использовать ограничитель, включая
его между приемником и измерителем. Соответствующая
структурная схема приведена на рис. 1.8.3. В отношении
постоянства амплитуды сигнала, подаваемой на
измеритель, обе эти схемы дают аналогичные результаты.
Однако по многим важным свойствам, в частности по
L
/7«
1 ''
\
1
АРУ
J
1
J*f<pj—> Т
— н^Л
Рис. 1.8.2. Схема приемо-изме-
рительного устройства с АРУ:
Пр — приемник; ИФ — измеритель
фазы; АРУ — автоматическая
регулировка усиления.
игр
j
Т
Рис. 1.8.3. Схема приемо-
измерительного хстР°^ства
с ограничителем:
Пр — приемник; Огр —
ограничитель; ИФ — измеритель фазы.
тому, как в них будут действовать помехи, эти схемы
существенно отличаются.
Приведенные на рис. 1.8.1, 1.8.2 и 1.8.3 схемы
относятся к одноканальным. В этих схемах информация
заложена в фазу сигнала. К таким схемам относятся
системы слежения за фазой (синхронизации), системы
измерения дальности и радиальной скорости.
Во многих фазовых системах, например разностно-
дальномерных и фазовых пеленгаторах, используется
информация, заложенная в разность фаз двух сигналов.
Обобщенная схема такой системы приведена на
рис. 1.8.4. Эта схема является двухканальной.
Очевидно, что в общем виде ее свойства определяются
функциями распределения разности фаз двух сигналов,
смешанных с помехами. Так же как и в одноканальных
системах, эта схема может иметь варианты: с
использованием фазы модуляции, с включением АРУ и
ограничителя. Техническое выполнение таких систем имеет
много особенностей, например в них просто применять
супергетеродинные схемы, так как фаза гетеродина не
войдет в результат измерений, если он сделан общим
для обоих каналов. Нестабильность сдвига фаз в аппа-
44

ратуре оценивается только как разность ухода фазы
в двух каналах и может быть много меньше, чем
нестабильность в каждом из них.
Полный анализ таких систем является
самостоятельной задачей. Как будет показано далее, многие,
практически важные свойства и особенности двухканальных
фазовых систем могут быть оценены на основе теории
одноканальных систем и функций распределения смеси
I Пп.
Пр1
Ci(%9c\)
ИФ
Cz(tT9ci)
пРг\ '
Рис. 1.8.4. Схема двухканальной системы:
Пр — приемник; ИФ — измеритель фазы.
сигнала и помехи, поэтому в дальнейшем двухканальные
системы в общем виде не рассматриваются.
Рассмотрим теперь вопрос о принципе построения
фазоизмерителя. Если полезная информация заложена
в фазу сигнала, то она может быть извлечена двумя
методами:
а) прямым измерением фазы, точнее разности между
фазой сигнала и фазой опорного напряжения, которая
принята как начальная или нулевая;
б) измерением частоты и последующим
интегрированием результата или, точнее, измерением разности
частоты принятого сигнала и частоты опорного
напряжения с последующим интегрированием этой разности.
Положим для простоты, что сигнал является
гармоническим колебанием
c(t) = Accos(<u0t-\-<pc).
Опорное напряжение
£оп(0 = А)пСО8й>0Л
При прямом измерении сдвига фаз, т. е. при фазовых
измерениях получим
9h8 = wo' + ¥c — wo' = ¥c
45

Заметим, что по результатам фазовых измерений может
быть найдена частота сигнала сос или ее отклонение Дсо
от coo:
"с = "о +-^р == "о + Дсо>
Aco = '
dt
При измерении сдвига фаз через измерение частот, т. е.
при частотных измерениях, выражения примут вид
Измеритель определяет
А А ^ФС
Дсоь=сос—со0, Дсо=-^-,
откуда
t
9йв = ?пач + J До)^ = ?нач + ?е (1.8.1)
О
при.
<Рнач = 0, Тив = Тс.
С точки зрения конечных результатов
рассмотренные схемы аналогичны, если иметь в виду, что
постоянную интегрирования ф^ач можно считать известной или
равной нулю. Однако по принципу построения
измерителя и по действию помех, они существенно отличаются.
На рис. 1.8.5 приведены структурные схемы для случаев
фазовых и частотных измерений. Используемые в
схемах измерители могут иметь разные характеристики.
В простейшем случае измеритель можно считать
идеальным, т. е. предполагать, что его показания не
зависят от амплитуды смеси и мгновенно и точно
отображают фазу смеси. В реальных условиях измеритель
обладает инерционностью или инерционность специально
вводится, чтобы улучшить результаты. В некоторых
случаях измеренная фаза используется для последующей
46

вторичной обработки результатов. При этом фильтрация
осуществляется после фазоизмерителя. При анализе
такого варианта удобно полагать, что измеритель
является идеальным, а после него включен фильтр.
Рассмотренные выше структурные схемы позволяют
выявить те статистические характеристики смеси сигнала и
помехи, которые представляют интерес. Необходимо
V
I— Пр *\ИФ\
У*}
Пр
ич
ДО)
0
P"ft
Опорная
(раза
s Опорная
частота
Рис. 1.8.5. Схемы для фазовых и частотных измерений:
Пр — приемник; ИФ — измеритель фазы; ИЧ — измеритель частоты;
J — интегратор.
изучить функции распределения и энергетические
спектры амплитуды, фазы, производной фазы (частоты),
смеси сигнала и помехи, а также функций распределения
нулей случайного процесса. Большой интерес
представляют также статистические характеристики одной
помехи. Они дают возможность оценить поведение приемо-
измерительного устройства при отсутствии сигнала. Это
имеет место в случае, когда сигнал исчез или он очень
слабый. Такое состояние аппаратуры часто встречается
при регулировке и эксплуатации ее. Статистические
свойства смеси сигнала и помехи рассмотрены в гл. 2
и 3. Изучение статистических свойств смеси сигнала и
помехи еще не дает полного представления о свойствах
и возможностях фазовых систем. В фазовых системах
предполагается выполнение двух основных операций.
Первой операцией является обнаружение сигнала,
при которой оператор или автоматически действующее
устройство должны «принять решение», что сигнал есть,
т. е. система функционирует и приемо-измерительное
устройство находится в зоне ее действия. В системах
дискретной радиосвязи эта операция является основной,
Второй операцией является извлечение информации,
заложенной в форму сигнала. Для этого должно
осуществляться измерение фазы или слежение за ней, в слу^
чае если в процессе наблюдения она изменяется. Оче-
47

видно, что принципиальный интерес представляет
исследование возможности оптимизации этих основных
процедур или операций, выполняемых в фазовых
системах, а также свойств оптимальных обнаружителей и
измерителей. Эти вопросы рассмотрены в 4, 5, 6, 7-й
главах,

ГЛАВА 2
Статистические
характеристики фазы
флюктуационной
помехи
§ 2.1. Флюктуационная помеха как случайный
процесс. Флюктуационная помеха является случайным
процессом. Источником флюктуационных помех являются
внутренние шумы приемника, атмосферные и
космические помехи, а также некоторые виды организованных
помех.
Приведем кратко основные определения для помехи
как случайного процесса.
Как всякий случайный процесс, помеха ш(/)
характеризуется:
а) одномерным распределением, дающим плотность
вероятности ее значений W\(ui, /). Одномерная
плотность вероятности может быть найдена, если известна
интегральная функция распределения /7(ш, t):
f ,v ^(Ш, t)
дш
где ^(ш, t) — вероятность того, что значения
описываемого случайного процесса в момент времени / не
превзойдут уровень ш. При этом имеется в виду, что
наблюдение случайного процесса в момент t
осуществляется одновременно на большом числе реализаций (одного
и того же случайного процесса) и что благодаря этому
величина ^(ш, t) становится почти постоянной, мало
зависящей от изменения числа обрабатываемых реали-
4—6^5 49

заций или, как говорят, приобретает статистическую
устойчивость;
б) двумерным распределением, характеризующим
плотность вероятности w2(ui\y шг, 't\, i2)> определенных
сочетаний мгновенных значений ihi и ш2,
наблюдаемых в различные моменты времени t\ и /2.
Следовательно, функция характеризует также и быстротечность
случайного процесса. Двумерная плотность
вероятности может быть найдена из ^(шь ui2, tfi, /2),
/ j. j. \ dFz(mtt Шо, tu L)
wt(mltmt, tutt)= ^Д" 2),
где F2(ui\y ш2, i\y /2) — двумерная интегральная функция
распределения, определяет вероятность того, что в
каждой из реализаций значение случайного процесса
в момент t\ будет меньше шь а в момент t2—
меньше шг;
в) математическим ожиданием mi(ui), которое
определяется из
т1 (ш, t) = f ш, w(ш, t) du\\
—00
г) дисперсией о2ш или вторым центральным моментом
распределения
о2т = М2 (ш, t) = f [ш — т1 (ш)]2 w (ш, t) dm.
—00
В большинстве случаев при описании помех
оказывается возможным допустить ряд упрощений, основным
из которых является предположение о стационарности
случайного процесса — помехи.
Случайный процесс является стационарным, если
функции распределений не зависят от времени. При
этом w2 будет зависеть только от разности моментов
времени
— w2(mu ш2, т),
где % = t2 — tx. Очевидно, что при этом уи(ш), М2(ш) =
= о^ и тг (ш) не зависят от времени,
50

Смысл этого Допущения состоит в том, 4fo ДЛЯ
определенных отрезка времени и условий работы
свойства и характеристики помехи считаются постоянными.
При этом для других условий работы или другого
отрезка времени можно брать другие характеристики
помехи. Такой подход к решению задачи значительно
упрощает анализ и практически полностью себя
оправдывает в том случае, если изменения характеристик
помех происходят медленно. В других же случаях
такое допущение принято быть не может и тогда
необходимо рассматривать помеху как нестационарный
случайный процесс. В дальнейшем изложении первичную
помеху, действующую на входе приемо-измерительного
устройства, будем считать стационарной.
Обычно считается, что закон распределения помехи
является нормальным и функции распределения имеют
вид
(ш —т1)2
W (Ш) = ,_
Ш2(Ш,, Ш2, %) = ;
2*2
(ш1—тЛ* + (ша—mQ2—2R(x)(m1 — mi)(m2—mx)
2а2 [l-#2 (Т)]
Хе ш ш
где тг — среднее значение помехи; о£ — дисперсия помехи;
Rm (*) — коэффициент корреляции, показывающий степень
статистической связи между значениями случайного
процесса, разделенными интервалом времени %.
Обычно помеха является случайным процессом,
имеющим среднее значение ти равное нулю; тогда
выражения упростятся и примут вид
ш2
1 ^2^
/ \ 1 ш
w (ш) = -т=— е ,
ui2+m^-2Rm(v)uilt ша
1
w2(mlt ш2,х) =
2а2 [1-/?2 (т)]
ш ш
(2.1.1)
51

Кроме приведенных выше характеристик очень
Широко используется также понятие функции
корреляции:
+оо +оо
Вш(ъ)= [ [ Шп ш2, wz{mu ш2, %)dmldmt.
—00—00
Иногда удобнее использовать относительную величину
D /т\ #ш (Х)
ш
Вш (0) == о2т при т1 = mj (ш) = О,
где Rm (т) — коэффициент корреляции.
Очевидно, что по определению при т —*0 Вш(ъ)—+о* ,
если mi(iii)=0. Величины 5ш(т) и Rm(x)
характеризуют статистическую связь двух значений случайного
процесса, разделенных интервалом времени т. При
т—^0 (/?ш(т)—*1; при т—^оо #ш(т)—0. Значение
интервала времени т, при котором величина /?ш(т)
становится незначительной, называют временем или интервалом
корреляции тк.
Значения случайных величин, характеризующих
случайный процесс в точках, разделенных интервалом
времени тк, можно считать практически не связанными
между собой. Другими словами, значение случайного
процесса в одной точке не определяет значения
случайного процесса в другой точке, если эти точки
разделены интервалом времени, большим чем тк.
Зная Вш(т), можно найти энергетический спектр
процесса
Gm(co) = 2 j £ш(т)е~у'штс/т = 4 J Bm(t) cos (отит. (2.1.2)
—CO О
Следовательно, энергетический спектр, т. е. спектр
мощности, характеризующий мощность случайного
процесса на единицу полосы, получается путем
нахождения изображения (спектра) Фурье от корреляционной
функции.
52

Если известен энергетический спектр, то по нему
может быть найдена корреляционная функция с по*
мощью обратного преобразования Фурье:
+00
5ш(т) = -^| ОшИе'втЛ> =
—оо
00
1 С
— "2^1 Сш(со)с08сотйсо. (2.1.3)
О
Из этих соотношений следует, что
оо
Яш (0) = <£ =-^-J Ош («)</«, (2.1.4)
О
Ош(0) = 4 J Bm(z)d%, (2.1.5)
о
где Gm(0) — плотность мощности на низких
(теоретически нулевых) частотах.
Во многих случаях энергетический спектр помехи,
действующей на входе, можно считать равномерным
в пределах от 0 до сов, тогда Gm(co)=A/r0, (о<<ов
°l=-hN*«* = Noh (2Л.6)
или
о2
0 f.B '
где N0 — «односторонняя» плотность мощности помехи
в предположении, что со>0. Здесь и ранее N0 и Gm(<o)
даются на единицу полосы не в угловых, а в обычных
частотах.
Для равномерного спектра выражение для
корреляционной функции также упрощается
D , х ЛГ0а>.в sin(oBT 2 sin owe ,0 л пх
Bm(V = -bi 57Г = <,ш-^ЗГ- \2Л-7)
271 G>BT ш Q)|BT
sin совт:
(ОшТ
53

Равномерный спектр и его корреляционная функция
даны на рис. 2.1.1.
Приведенные выше характеристики помехи
являются теоретическими и основаны на использовании
статистического усреднения или усреднения по множеству.
При этом предполагается, что для оценки случайного
процесса он должен быть одновременно многократно
воспроизведен и все его значения (для определенного
*шМ
U)
Рис. 2.1.1. Помеха с равномерным спектром и ее корреляционная
функция.
момента t или определенных моментов t\ и /2) затем
обрабатываются статистически.
Для практических целей такой подход к
характеристикам помехи как случайного процесса оказывается
мало удобным, так как в реальных условиях
одновременное воспроизведение большого числа одинаковых
случайных процессов встречает много трудностей.
Проще основываться на одном воспроизведении случайного
процесса, зафиксировав который в течение
определенного интервала времени, т. е. получив его реализацию,
оценивать характеристики этого процесса по этой одной
реализации. Проще эта задача решается для
стационарных случайных процессов, у которых основные их
характеристики: функции распределения и корреляции,
дисперсия, математическое ожидание и т. д., не зависят от
времени.
Многие случайные процессы обладают свойством
эргодичности. Для эргодических случайных процессов
усреднение по множеству может быть заменено
усреднением по времени.
Тогда основные характеристики могут быть найдены
из соотношений
т
тпх (ш) = lim 4- f ш (t) dt, (2.1.8)
0
54

где ш (t) — функция, выражающая реализацию случайного
процесса
т
о2 =Vm-±-{ui2(t)dt при т1(ш) = 0 (2.1.9)
О
т
Вт (т) = lim -7fr \ ш (t) m{t — z)dt.
О
Очевидно, что эти соотношения не могут быть
использованы для аналитического получения характеристик,
так как функция ш('/) является случайной и не может
быть выражена. В таком общем виде эти соотношения
имеют больше физический смысл, чем аналитический,
так как дают наглядное представление о смысле:
mi (ш) —как среднего значения случайной функции,о^—
как мощности случайного процесса и Вт{%) — как
функции, дающей представление о статистической
связи между значениями случайного процесса, разде-.
ленными интервалом времени х. Основное
положительное свойство соотношений, позволяющих выразить
характеристики случайного процесса через усреднение
по времени, состоит в том, что они дают возможность
перейти к приблизительным соотношениям,
позволяющим находить искомые характеристики из конечной
реализации случайного процесса.
Из соотношений для т1(т)9 а^ и Вщ(ъ) следует, что
они могут быть получены в результате статистической
обработки бесконечно длительной реализации
случайного процесса с непрерывной фиксацией его значений.
Однако практически реализация конечна, т. е. Г<оо.
Выше были введены понятия функции корреляции
и времени корреляции. Из смысла этих понятий
следует, что значения случайной функции, разделенные
малым интервалом времени обычно или чаще всего
бывают близки друг к другу и Вш(х)^о2т. При
увеличении х отсчеты функции, разделенные этим
интервалом, приобретают различные значения и усреднение
дает малые значения для Вш(х). При т=тк значения
функции оказываются практически не связанными
5.5

между собой. Очевидно, что если длительность
реализации существенно больше чем тк, т. е. Г>тк, то
случайный процесс за время Т успевает практически проявить
полностью все свои свойства. Имея такую реализацию,
можно найти 5ш(т), тк, тх(ш) и о^, которые
практически достаточно точно будут описывать исследуемый
случайный процесс.
Рассмотренные выше основные статистические
характеристики помехи позволяют дать ее
первоначальное описание и решить некоторые простые задачи,
связанные с влиянием помех на работу приемо-изхмери-
тельных устройств. В некоторых случаях этих
характеристик оказывается недостаточно и необходимо
использовать функции распределения высоких порядков,
совместные функции распределения и т. п. Следует
отметить, что предположение о нормальности случайного
процесса, характеризующего помеху, позволяет
получать сравнительно просто функции распределения
высоких порядков, если известна функция корреляции.
§ 2.2. Прохождение флюктуационной помехи через
приемник. Представим приемо-измерительное
устройство состоящим из двух частей: приемника и
измерителя. Под приемником будем понимать комплекс
усилительных и селектирующих элементов,
осуществляющих усиление и селекцию сигнала обычными методами.
С выхода приемника сигнал вместе с помехами
подается на детектор, или на измеритель, который измеряет
фазу.
Для того чтобы оценить работу детектора или
измерителя, необходимо иметь возможность дать
качественную и количественную оценку помех (шумов) и сигнала
на выходе приемника. Если на входе приемника
действует флюктуационная помеха, то на выходе будет
действовать помеха, получающаяся за счет усиления и
селекции. Шум на выходе приемника также является
случайным процессом, однако его основные
характеристики, а именно: функции распределения, дисперсия,
энергетический спектр и функция корреляции, будут
отличаться от соответствующих характеристик на входе.
Во многих случаях приемник можно считать линейным
устройством, поэтому особенности помехи (случайного
процесса) на выходе обусловливаются линейными пре-
56

образованиями в приемнике помехи (случайного ttpO-
цесса), поступающей на вход.
В общем случае шум — случайный процесс на
выходе приемника п(/) является нестационарным даже
тогда, когда шум — случайный процесс на входе
приемника ш(/) является стационарным.
Если известны m(t) и /С(/со), то п(/) может быть
найдена с помощью свертки или интеграла Дюамеля
n(t) = ^m{T)iN(t-T)dT,
О
где t — текущее время, отсчитываемое от момента
включения при / = 0; r\B(}t—T)— импульсная переходная
функция, т. е. отклик линейного звена с частотной
характеристикой /((/со) на воздействие в виде импульсной
функции Г(|/) или дельта-функции б(/).
Известно, что
+ 00
7l»W = ij *(/»)e""d«. (2.2.1)
—00
Физический смысл этого соотношения состоит в том, что
если на линейную цепь действует дельта-функция,
имеющая равномерный спектр, то спектр отклика повторяет
частотную характеристику.
Применив к частотной характеристике обратное
преобразование Фурье, получим функцию времени г)в(0>
описывающую отклик на дельта-функцию.
Из выражения для п(^) следует, что случайный
процесс п(/) является нестационарным.
Из приведенной формулы видно, что если взять
время после включения, много большее, чем время, в
течение которого т)в(0 существенно отличается от нуля, то
переходные процессы в цепях, вызывающие
нестационарность случайного процесса п(^), заканчиваются и
случайный процесс становится стационарным. Из этого
следует, если t—^оо r\B(t)—>0, то можно найти такой
момент времени после включения приемника, когда
допустимо не считаться с нестационарностью случайного
процесса на его выходе.
57

Для получения расчетных соотношений
воспользуемся тем, что без влияния на результат можно изменить
пределы интегрирования в свертке, для стационарного
состояния
-Н»
п(0= \ui(T)n*(t-T)dT. (2.2.2)
—00
Использование этого соотношения позволяет получить
очень простое выражение, связывающее энергетический
спектр на входе и выходе линейного звена
Ga H = | К (/«) j2 Gm (со) = К2 (со) Gm (со). (2.2.3)
Для оценки мощности помехи на выходе удобно
пользоваться понятием эквивалентной полосы
пропускания Дсоэ или Д/э.
Эквивалентной полосой пропускания обладает
приемник или фильтр, имеющий идеальную прямоугольную
частотную характеристику с полосой частот от coi до о)2,
причем coi—(02=А(0э, усиление реального преимника и
обеспечивающий ту же величину мощности помех на
выходе, что и в реальном приемнике.
Из этого условия следует
00
J = NUK* К) ^r=i N0 J К* (со) do,
О
откуда
со
А-= КТО j *>)*••
О
А/8=^-, (2.2.5)
где соо — средняя частота полосы пропускания.
Реальные приемные устройства могут иметь
различные частотные характеристики: в большинстве случаев
их удобнее всего аппроксимировать идеальной
прямоугольной или гауссовой частотными характеристиками.
(2.2.4)
58

При аппроксимации реальной частотной
характеристики идеальной прямоугольной характеристикой, что
при использовании полосовых фильтров дает близкие
результаты, получаем:
•/С(со) = /С0 ПрИ <*1<С<*<1<*2 ИЛИ O) = 6)0=!z—y~
и
/((о) = 0 при других значениях <о,
Gn(u) = K%N0 при ш = б)0±: -~L и Gm(o>0)z=N0y
Дсоэ = Да)и,
°l = KGM^t = KN0^. (2.2.6)
При аппроксимации гауссовой функцией, что при
использовании одиночных колебательных контуров дает
близкие результаты, получаем
(й)_а)0)2 ^ /(о_ ал0 \2
*(Дсо) = К0е""И, (2.2.7)
где Дссл = |/2itf3— полная полоса пропускания при
ослаблении 0,46; Д<о — расстройка в одну сторону от оу,
Оп(со) = /УД(
.[.-(^Т-
,-Ч^г)'
ВД*е >-•.', 0.2.8)
К/
2
Gn(Ao>) = ^0^e
<=Ъ™1 Je-WdA^^i^, (2.2.9)
59

где Д<д>э = -— соответствует полной полосе
энергетического спектра до точек с ослаблением 0,46.
Можно показать, что эквивалентная полоса
пропускания Дсоэ близка к полосе пропускания при
ослаблении в 0,7 по напряжению
т. е.
откуда
е bJ =0j7)
Д<о0„ = 0,97^.
Зная спектр помехи на выходе приемника, . можно
найти корреляционную функцию
оо
Дп(т) = JL Г GnHcoscoxdc». (2.2.10)
о
Поскольку речь идет об узкополосной помехе, то удобно
перейти к соотношениям, выражающим энергетический
спектр в зависимости от расстройки относительно
средней частоты частотной характеристики приемника.
Для этого произведем замену переменных
6) = О)0 -j- Д(0,
тогда
+00
Вя (х) = ^ f G„ К -J- Дсо) cos (ю0 + Дсо) zdДш =
+о&
= — \ Gu (со0 -f- Aw) cos w0t cos ДоахйДо —
—оо
+oo
— "2^! \ GnK + A^Jsintoo^sinAexdAa), (2,2.11)
60

Поскольку в пределах полосы пропускания, где Gn(<oo+
+Лсо) отличается от нуля, (Да)<)(0о), то предел
интегрирования' —iooo может быть заменен —оо. Если спектр
Gn(o)o+'Aco) (т. е. частотная характеристика приемника)
симметричен и частота соо выбрана в середине полосы,
то второй интеграл равен нулю как интеграл от
нечетной функции.
Следовательно, при этом
+00
Ви (х) = -;р Г Gd (ша -f- A») COS w0x COS ДюхйА<о =
+00
= (cos <о0т) -^ Г Gn К + До) cos ДсохйДш (2.2.12)
—00
или
5п(т)=а^0(т)сО8<о0т, (2.2.12)
где
+00
^0 W = -—2 [ GD К + Лб>) C0S Aa)TrfA6) =
2яоп J
—00
+ 00
= тг I G* (Д<о) cos Доходах.
—00
G*n(A(o)—спектр помехи при о>о—>-0.
Интегрирование ведется для До>>0, следовательно,
G*n(A(o)—«двухсторонний» спектр для частоты
расстройки До. Для приведенных выше моделей частотной
характеристики полученный интеграл может быть
вычислен.
Для идеальной линейной системы с полосой
пропускания Д(0И
61

где
А(оих
sin о
*.w=-s=t-; <2-2-13)
А(оих
0* = 4^д*
п 2я
при
_2я__ 1
Асои Afil
* = д^=д7Г ^»(х) = 0Л
Для линейной системы, имеющей гауссову частотную
характеристику,
или
где
при
£п(т) =
#П(Я>=
п
/ э' ' COS co0x
#о (т) COS со0т,
/?,(х) = е
1
*э =
1
-Нт)'.
1
1 Af.
, *.(*) =
-0,46,
(2.2.14)
Корреляционная функция узкополосного шума
содержит два множителя: один — высокочастотный cos coot,
определяющийся средней частотой спектра ©о, и
второй — низкочастотный, определяющийся ограниченной
полосой шума А(оэ. Чем уже полоса, т. е. меньше Дкоэ,
тем шире кривая Ro(x). Множитель коэффициента
корреляции Ro(x) соответствует коэффициенту корреляции
спектра при соо —0, т. е. при сдвиге в область низких
частот.
Интервал времени х = -^-xQ=zoi{-= —— можно
рассматривать как интервал корреляции^ для случайного процесса
62

с коэффициентом корреляции R0(i). Спектры и функций
корреляции приведены на рис. 2.2.1.
Кроме энергетического спектра, дисперсии и
функции корреляции случайного процесса на выходе
приемника могут быть определены также среднее значение и
функции распределения. Однако обычно в этом нет
надобности; среднее значение помех равно нулю, а
функция распределения может быть принята нормальной,
К (си)
ш-
Ди>
г
4
1
*
\^0,4б К(и>о)
Т ь>
R(t)
*п(Т)
Gn (Леи)
Gn(w).
_0,<+6&ь(0) А
Ш
7
KJ№SGn(uo)
си0
ft
А
Г
>?
Ток
Ч^*
I t+r
Рис. 2.2.1. Спектры помехи и корреляционные функции при гауссовой
модели фильтра.
так как даже если шум на входе не имеет нормального
распределения, то при его прохождении через
узкополосный приемник происходит нормализация
распределения. При этом имеется в виду, что приемник не
содержит нелинейных звеньев.
Таким образом, зная частотную характеристику
приемника К (/со), можно найти все основные
статистические характеристики помехи на его выходе. При этом
достаточно знать только амплитудно-частотную
характеристику, так как фазо-частотная характеристика не
влияет на энергетический спектр, который описывает
спектральные свойства случайных- процессов. Итак, для
линейной избирательной системы может быть найдена
функция корреляции помехи на ее выходе. Зная эту
функцию и имея в виду, что помеха на выходе линейной
системы является нормальным случайным процессом,
можно найти функции распределения высоких порядков,
что будет сделано далее.
§ 2.3. Функции распределения огибающей и фазы
узкополосной помехи. Полученными ранее характеристи-
63

ками помехи на выходе приемника неудобно
пользоваться при оценке влияния помехи на приемно-измеритель-
ное устройство, по той причине, что для извлечения
информации, заложенной в сигнал, схема приемо-изме-
рительного устройства обычно предусматривает
использование параметров сигнала, его амплитуды, частоты
или фазы.
На выходе приемника включают специальные
каскады — детекторы или дискриминаторы, которые
позволяют выполнить такие преобразования сигнала, при
которых выявляется заложенная в его параметры
информация. Эти детекторы могут реагировать на амплитуду,
фазу и производную фазы (или частоту) сигнала или
помехи. Это обусловливает действие помехи в приемо-
измерительном устройстве.
Для решения этой задачи необходимо так
преобразовать полученные статистические характеристики
помехи на выходе приемника, чтобы выявились именно эти
ее особенности.
Решению задачи очень способствует возможность
представить узкополосный случайный процесс, каким
является помеха на выходе приемника, в виде
гармонического колебания со случайной амплитудой и фазой,
т. е. положить, что согласно (2.1, 2.2, 2.4, 2.5]
n(t) = Au(t)cos[<*0t — <fu{t)]. (2.3.1)
На рис. 2.3.1 дано графическое изображение
случайного процесса на входе и выходе приемника. Опыт
подтверждает возможность представления узкополосного
случайного процесса на выходе приемника в виде
гармонического колебания с медленно изменяющейся
амплитудой и фазой. На рис. 2.3.1 наглядно видно изменение
амплитуды. Изменение фазы можно оценить, сравнивая
колебание, соответствующее случайному процессу, с
синусоидой, изображенной ниже и имеющей постоянные
начальную фазу и частоту, равную средней
(резонансной) частоте полосы пропускания приемника.
Все характеристики случайного процесса n(t):
функция распределения разных порядков, функция
корреляции, энергетический спектр, дисперсия и среднее
значение— могут быть получены, если известны
статистические характеристики помехи на входе приемника и его
частотная характеристика.
64

Если, зная характеристики случайного процесса
n(t)j можно будет найти статистические характеристики
An(t) и ф>п(/), то появится возможность более
конкретной оценки влияния помехи на работу приемо-измери-
тельного устройства. Результаты, получающиеся при
этом, позволят оценить влияние помех на приемо-измери-
тельное устройство, которое с помощью фазовых изме-
ч n(t)
iwvwwwwC*
Рис. 2.3.1. Помеха ui(t) на входе и п(/) на выходе приемника: ее
амплитуда и фаза.
рений извлекает информацию из фазы несущей
(распределение для ерь) и из фазы модуляции (распределение-
для Лп). Распределение Аи необходимо также при
анализе влияния АРУ.
Изучение влияния помехи на приемо-измерителыюе
устройство, извлекающее информацию, заложенную
в фазу, с помощью частотных измерений и при наличии
ограничителя, требует нахождения других
статистических характеристик помехи и будет рассмотрено
позднее.
Для решения поставленной задачи разложим
случайный процесс п(^), представленный в виде
гармонического колебания со случайной амплитудой и фазой, на два
5—635 65

ортогональных узкополосных случайных процесса:
п (t) = Лп (0 cos <рп (/) cos V + An (t) sin <pn (/) sin (»0t =
= 3)* (t) cos шв* -f gR (f) sin V, (2.3.2)
Фп(0 и (?Д (*) — случайные процессы.
Смысл этого преобразования состоит в том, что
узкополосный случайный процесс п(-/), рассматриваемый как
случайный процесс в виде косинусоидального колебания
Рис. 2.3.2. Взаимосвязь между
Ai(0> ?п(0, МО и £>„(*)
со случайными амплитудой и фазой, можно разложить
на два узкополосных случайных процесса со
случайными только амплитудами.
На рис. 2.3.2 дана взаимосвязь между An(t), ?a(0i
&a{t), &n(t). Поскольку
£}n{t) = Aa(t)cos<pn(t)
то
8n(t) = Au(t)sm<?u(t),
Au(t) = yg?(t) + fi(t),
(2.3.3)
Следовательно, интересующие нас случайные процессы
Au(t) и 9п(0 выражаются через случайные процессы
«U0 и (gD(0.
Рассмотрим теперь, как можно найти статистические
характеристики процессов An(t) и<рп(*), если они известны
для процесса n(t). Вначале нужно найти, как
выражаются функции распределения для £0п (t) и <gn (/) через
функции распределения процесса u(t).
66

Важно выяснить, является ли функция распределения
процессов Siu{t) и Qn{t) нормальной.
Для каждого момента времени tx n{tx) есть случайная
величина с нормальным распределением. Она является
суммой двух случайных величинам. (2.3.2)] :n(f,) =
= d1 + £1,.
d1 = g3d(*1)coso>#/1 и ex = &u{tx)s\nvjx.
u{tx) имеет нормальное распределение, тогда dx и ех
могут иметь только нормальное распределение. Но Sun{ti)
отличается от dl только детерминированным множителем.
Тогда функция распределения для &}n{tx) [и для $п(^)]
тоже нормальная.
Величины dx и ех имеют дисперсии o2d==o2^ cos8^/,
и o2ei=o* sinaco0^. Случайные процессы Sia{t) и $п(0 и,
следовательно, случайные величины dx и ех независимы.
Тогда распределение суммы будет также нормальным,
с дисперсией, равной сумме дисперсий слагаемых
< = 4. + < = 4> cos* «Л + 4 sin* V.= «J, = 4 • (2-3.4)
Таким образом, показано, что случайные процессы SSn{t)
и @tt(t) имеют нормальное распределение, причем их
дисперсия равна дисперсии исходного процесса <Л На
основании этого можно сделать предположение о том, что
процессы $5п (t) и $п (f) принадлежат к нормальным
случайным процессам, для которых все функции
распределения нормальные. Для получения функций распределения
SSn(t) и 3n(t) любого порядка нужно найти их функцию
корреляции по известной функции корреляции исходного
процесса. Приступим к решению этой задачи.
Напомним, что
П (t) = Юп (t) COS ш0* -f & (0 Sin c»0*. (2.3 5)
Введем понятие случайного процесса p{t),
сопряженного с п(*), тогда
ъ? ®v (0 ад V + $n (t) cos V, (2.3.6)

Понятие сопряженного случайного процесса понадобится
для облегчения промежуточных математических
преобразований при получении выражений для B~(t) и В„(т). Из
приведенных соотношений, показывающих связь между
процессами п (t) и p{t), следует, что они имеют
одинаковые дисперсии, функции корреляции и энергетические
спектры, т. е.
Отличие между этими процессами состоит в том, что они
сдвинуты друг относительно друга на 90°, т. е. если для
каждой конкретной реализации процесса u{t) найти
спектр Фурье, то для реализации сопряженного
процесса спектр Фурье будет отличаться множителем /,
т. е. иметь дополнительный сдвиг для всех частотных
составляющих на 90°.
Функция взаимной корреляции между процессами
п(<) и p(t) будет иметь вид
т
BB_p(*) = l\m-^{n(t)p(t — z)dt =
о
оо
— — Вр_ 1: (т) = -i- Г G0(со)sincoxd^.
о
Подробно на понятиях функции взаимной корреляции
не останавливаемся, читатель в случае необходимости
может обратиться, например, к (2.1, 2.2, 2.3].
Пользуясь понятием сопряженного процесса, можно
процессы $&a(t) и @a(t) выразить через n(t) и p(t).
Умножив левые и правые части выражений (2.3.6) на cosoV
или sino)0£, осуществив затем сложение или вычитание
и проведя преобразования, получим
£йа (t) = п (t) cos to0t 4- р (t) sin a>0f,
&n (t) = n (t) sin a>qf — p (t) cos <oqf,
68

Теперь В (х) или В„ (т) можно выразить через п (t) и
Pit):
т
Вю (х) = lim -J- \ 2Sa (t) &л (t — t)dt-.
Г->оо
о
= lim -=г- Г[п(Оп('— т)cos0)o^cosw0(t — т)-j-
Г-XJO У J
о
+ p(t)p(t — т) sin co0f sin «0(^ — л;) -f-
-|- п (t) p (t — %) cos ^Qt sin ш0 (t — %) —
— р (t) п (f — т) sin <V cos % (Y — т)1 Л.
Воспользовавшись выражением для произведения
косинусов и синусов и имея в виду, что интегралы,
содержащие в качестве множителя cos2coo/ или sin2coofy будут
равны нулю, получим
т
Вю (т)= lim Т" \ |~п W п ^ — ^ Т~cos (|)°т +
о
+ р (t) p(t — z)— cos <о0т -\-n(t)p(t — z)-Y sin со0т -f-
+ p(t)n(t — z) -1'sin «0т1 Л (2.3.7)
^ (T) = "2" C0S ^%B^ (Х) + "9" C0S ^zBP (*) +
или
+ -2-sin(D0i;flll.p(x)T--isin<o0i;fli)„1I(i;). £2.3.8)
Далее, выразив функции корреляции через Gn(co)f
получим
00
Вф (х) = ~2п \ ^° (") C0S °V CC)S "^^ "^
Q
69

-{-2jj- I Gn (со) sin co0t Sin coxdco =
0
00
:-ojJ- I Gu ((D) COS («0 — <D0) tflfco. (2.3.9)
Теперь выразим B^(i) через множитель /?0(т)
корреляционной функции исходного случайного процесса — Bu(i).
Для этого произведем замену переменных
О) — (00 = До, flfco = -|- ЙДсл, со = со0 -|- Дсо,
-О, Дсо—* — со0, со—«-ОО, Дсо—►-[-ОС.
со -
Тогда
вю^~т \ °п ("°"Ь Дб))cosДв^Дв=
+ 00
= *2^" I ^й (соо + Асо) COS A^trfДсо =
—оо
+00
= "2~- f G*n(Aco)cosAcoT^co. (2.3.10)
Здесь G*n(A«>)—„двустороннийtt спектр для частот Дсо.
Следовательно [см. (2.2.12)J,
яяМ=Д|(*)=#гв(*) (2.3.П)
или
Полученный результат имеет важное значение.
Коэффициент автокорреляции процессов SBn{t) и <§п (t) равен
низкочастотному множителю функции автокорреляции исходного
случайного процесса*.
* Для сокращения записи в последующих выражениях этой главц
индекс п дещ ф и £ опускаем
7Q

Если ширина полосы исходного процесса^До>и, то
случайные процессы 3}(t) и 8{t) имеют полосу частот,
примерно соответствующую Д«и/2. Таким образом, §fi(t)K&(t)
медленные [сравнительно с п(:/)] случайные процессы,
энергетический спектр которых соответствует примерно
половине ширины спектра исходного случайного
процесса. На основании этих сведений можно записать
многомерные функции распределения значений §й и 8
Например, одномерная функция распределения
w(SB)=-lr-e . (2.3.13)
Двумерная функция распределения будет иметь вид
1 *Si«-*s™
2тгоп 1П — Л§ <'в)
Аналогично выражаются
w(3) и тв>л(819 8„ х).
(2.3.14)
Процессы 3i{t) и $(t) являются независимыми в
совпадающие моменты времени. Функции совместного
распределения легко могут быть найдены
wz{®, g) = w{g})w{% (2.3.15)
w4(S}l9 0, 8ч &, х) = о;1(Ж1, S0„ z)wt(8u &■ *)•
(2.3.16)
После того как найдены статистические характеристики
случайных процессов SB(t)'. и &(t), в принципе можно
найти все статистические характеристики случайных
процессов Aa(t) и <?n(t).
Выше было показано, что между S(t)9 g{t) и An(t),
?u(t) такая же связь, как и между прямоугольными и
полярными координатами. Поэтому, найдя совместное
распределение w,(g}, g) или wA(Sa„ 0а, 8ч 82, *) и т. д.,
71

выполнив преобразование функции распределения,
соответствующее переходу от прямоугольных координат к
полярным, можно получить
w2(An, <Рп)
или
Щ(Апи ЛП2, <рП1, <рш, т).
Преобразования, связанные с переходом от
прямоугольных координат к полярным, носят чисто математический
характер. По этим причинам мы их здесь и в
дальнейшем опустим и приведем лишь конечный результат.
Подробно эти преобразования даны в [2.1, 2.2, 2.4] и др.
Для иллюстрации получающихся результатов
рассмотрим конкретный пример
<02+£2
2тюп
Имея в виду, что <3 = Лйcos<рп и <g = j4nsin9iri
получаем
щ(Ап, <рп) = A0w2(Апcos<рп, Д. sin <}>„) =
Лп
2™2П
-е
2 2
2°п Дп
9-«2
- е
л1
2"п
(2.3.17)
Имея совместные функции распределения и осуществляя
интегрирование, можно перейти к распределениям
низших порядков. Например для получения одномерных
функций распределения Лп и щ из полученной выше
^Иш Ф>п) необходимо выполнить интегрирование.
Начнем с функции распределения амплитуды
2к 2~ 2*
о п о
=^е 2'п . (2.3.18)
72

Для пользования таблицами удобнее перейти к
безразмерной форме записи функции распределения. Обозначим
-^ = ап, тогда
°п
2
ап
ш(ап) = аие 2 . (2.3.19)
Полученное распределение называется релеевским.
Найдем функцию распределения фазы
00
ш Ы = \ w2 (Aa, ь) dAn = ^г, (2.3.20)
О
так как
л\
оо ~~ 2
| — е dAn = 1,
о °п
как интеграл от функции распределения в бесконечных
пределах. Следовательно, фаза распределена равномерно
т. е. любое значение фазы от 0 до 2тс ра новероятно
Поскольку w(<¥n)w(An) = w2(An<fn), то можно утверждать
что фаза и амплитуда высокочастотного колебания,
эквивалентного шуму, статистически независимы (в
совпадающие моменты времени). Другими словами, по
значению амплитуды, нельзя судить о значении фазы, и
наоборот.
Для получения двумерной функции распределения
амплитуды и фазы нужно найти интеграл
2тс 2тс
Щ(Ат, А*2, Т)= Г |'Ш4(ЛШ, ЛЛ2, ?П1, <РП2, Т)^?П1^?П2
о 6
(2.3.21)
или
оооо
®Л?Й1. Ьа» *) = J С W4 (An, Ait. ?Д|. ?па. *)ААп<*Аи.
б О
(2.3.22)
Аналогичными методами могут быть получены и другие
функции распределения. Символически эти задачи ре-
7а

шаются просто. Однако при решении конкретных задач
при вычислении интегралов возникают трудности,
поэтому целесообразно решение интегралов выполнять
для каждого случая в отдельности.
§ 2.4. Функции распределения и основные
статистические характеристики помехи на выходе амплитудного
детектора сигнала и АРУ. Одномерное распределение
для огибающей позволяют оценить некоторые
особенности воздействия помех на приемо-измерительные
устройства [2.8, 2.11, 2.12, 2.13, 3.2].
"(и
ИЛ
lAn(t;
Рис. 2.4.1. Схема с детектором:
ИД г- идеальный детектор.
Огибающая или амплитуда шума могут проявиться
в том случае, если на детектор воздействует шум. В
приемнике имеется детектор в случае, если полезная
информация закладывается в амплитудную модуляцию
радиосигнала и во всех случаях, когда используется
АРУ.
Идеализированный детектор полезного сигнала
можно представить как такое нелинейное звено, которое без
искажений воспроизводит огибающую. Тогда
статистические характеристики огибающей узкополосного шума
можно рассматривать как статистические
характеристики напряжения на выходе детектора (рис. 2.4.1).
Ранее были получены w(An) и w(au). Вид функции
распределения приведен на рис. 2.4.2. Рассмотрим
теперь более подробно статистические характеристики,
которым подчиняется напряжение на выходе идеального
детектора.
Релеевское распределение, которому подчиняется
огибающая шума и напряжение на выходе идеального
детектора, несимметрично, поэтому среднее значение
(математическое ожидание) огибающей или постоянное
напряжение на выходе детектора не равно нулю.
Для определения постоянной составляющей проде-
74

тектированного напряжения помехи найдем среднее
значение огибающей
тх (Л„) = I Anw {An) dAn =
оо л2 -
=J-"e 2end^a=/-fan=l,25qn. (2.4.1)
Помеха по постоянной составляющей детектирования
эквивалентна синусоидальному напряжению с амплиту-
Рис. 2.4.2. Закон распределения
Релея.
дой Лс= 1,25огп и эффективным значением ис:
и0=Ь§Г-°«89з«-
Практически в первом приближении можно считать, что
шум и синусоидальный сигнал при равенстве
эффективных значений напряжения дают одно и то же значение
постоянной составляющей продетектированного
напряжения.
Кроме постоянной составляющей на выходе
детектора будут еще флюктуации, наличие которых можно
объяснить тем, что благодаря релеевскому распределению
огибающей, изменение амплитуды можно рассматривать
как наличие амплитудной модуляции шумом среднего
значения амплитуды шума.
75

Эти флюктуации можно охарактеризовать дисперсией
или вторым центральным моментом распределения
00
4=м2иш)=-^|л,(лп-0п|/^-)гх
Хе 2°"^D=i^V = 0,43a^ (2.4.2)
Шум можно считать эквивалентным сигналу, промоду-
лированному с глубиной модуляции Ми
(среднеквадратичной).
Жп = -^ 0,8^0,5.
Непосредственно на нагрузке детектора действует »и
постоянное и переменное низкочастотное напряжение. Во
многих случаях напряжение с детектора снимается
через разделительную емкость и в последующих цепях
действует только переменная низкочастотная
составляющая. Найдем, функцию распределения для
низкочастотной составляющей продетектированного напряжения.
Для выяснения некоторых статистических свойств
флюктуации удобно релеевское распределение
аппроксимировать нормальным распределением со смещенным
средним значением т(Аи) и дисперсией <*\ . Тогда
w(A^-—I— e 24 . (2.4.3)
Эта аппроксимация в дальнейшем будет использоваться
при приближенных решениях некоторых задач.
Приближенную функцию распределения для напряжения па
выходе детектора можно нормировать относительно аП,
что позволит удобнее сравнивать ее с точной (релеев-
ской) функцией распределения.
Функция распределения wf ■—- J приведена на рис. 2.4.3
76

вместе с точным релеевским распределением. Для
приближенных решений совпадение можно признать
достаточным, если точки с малой плотностью вероятности не
оказывают влияния на результат. Функция
распределения относительно среднего значения, т. е. функция
распределения флюктуации
w
®-
®*
Y 2я
(2.4.4)
Таким образом, в тех случаях, когда полезная
информация заложена в фазу модуляции и на приемо-измери-
Рис. 2.4.3. Аппроксимация функции
Релея:
/ — функция Релея;
2—аппроксимированная функция.
тельное устройство не подается сигнала или подается
очень слабый (по сравнению с помехами) сигнал, на
выходе детектора после разделительной емкости
получается флюктуирующее (переменное) напряжение
помехи4, дисперсия которой равна 0,43 от дисперсии помехи
на входе детектора. Если иметь в виду только
низкочастотные составляющие спектра флюктуации, то, как
будет показано далее, они имеют относительно большую
интенсивность. Полученный результат является
недостаточным для полной оценки работы схем с детекторами
при помехе, так как найдена только дисперсия и
одномерная функция распределения флюктуации. Более
детальное исследование действия помех в схемах,
содержащих детекторы, с учетом фильтрующих цепей,
включенных после детектора, требует того, чтобы был найден
спектр флюктуации продетектированного напряжения. Это
77

сделано далее в § 2.6. Полученная выше функция
распределения для огибающей w(Au) позволяет
рассмотреть работу АРУ при наличии помех. Детектор АРУ
может работать по схеме с задержкой по высокой
частоте с последующим усреднением с большой
постоянной времени, устраняющей пульсации управляющего
напряжения, которые могут иметь место за счет
модуляции полезного сигнала или флюктуации продетектирован-
ного напряжения шумов. Схема детектора АРУ может
быть выполнена и с задержкой по продетектированному
усредненному напряжению.
Коэффициент усиления реальных многокаскадных
приемников в процессе их эксплуатации подвергается
существенным изменениям из-за того, что напряжения
источников питания, температура, влажность, параметры
усилительных элементов и т. п. непрерывно изменяются.
Для того чтобы минимально возможное усиление было
достаточным для приема слабых сигналов, при
проектировании приемников предусматривают значительный
запас по усилению. Но тогда напряжение шумов (без
сигнала) достигает значительной величины, превышающей
порог ограничения детектора АРУ. Следовательно,
типичной является такая работа детектора АРУ, при
которой напряжение шумов превышает напряжение
задержки. В этих условиях детектор АРУ вырабатывает
напряжение смещения, уменьшающее усиление до уровня,
при котором в результате детектирования помехи
вырабатывается указанное смещение.
Для оценки работы АРУ при наличии шумов и
влияния АРУ на действие помех необходимо найти
зависимость продетектированного напряжения в цепи АРУ от
соотношения между напряжением шума и задержкой.
Идеализируя детектор и считая, что на его выходе
воспроизводится огибающая, можно найти постоянную
составляющую продетектированного напряжения как
математическое ожидание для огибающей в пределах
от уровня задержки А3 до бесконечности. При этом
предполагается, что фильтрация в цепи детектора АРУ
достаточна для практически полного сглаживания
пульсаций продетектированного напряжения, что обычно и
имеет место.
Напряжение, снимаемое с детектора АРУ в схеме
с задержкой до усреднения, может быть выражено
78

Ап 2о,
Д/и3 = Г (А, - Л3) -j e °n dAn. (2.4.5)
В относительных величинах
аи = -Г» Д^3 = —, аа=—•
Оп °П °П
ио _
Г* о 2
Д^з = 1 (сГ — афъ) е rfan:
= /2«[l-F(ae)It • (2.4.6)
где
«з 2.
1' /» ~"2
/7(a3)=—— I e df— табулированный интеграл.
—00
График зависимости напряжения на выходе АРУ
приведен на рис. 2.4.4.
В схеме с задержкой по усредненному напряжению
Дяг3 = тх (Лд) — А3 = 1,25зц — Л3
или
At/3 = 1,25 — a3; Д a3 > 0.
Из полученных результатов следует, что при идеальной
работе АРУ, т. е. когда достаточно очень небольшого
напряжения, снимаемого с детектора АРУ, чтобы
значительно изменить усиление, в схеме с задержкой до
усреднения оно установится на таком уровне, при
котором среднеквадратичное значение шума на детекторе
в 2—2,5 раза меньше, чем величина напряжения
задержки, так как при этом Av составляет 0,05—0,02, а в схеме
с задержкой после усреднения — на уровне, при котором
79

Оп=Л3/1,3. Зная напряжение шума на выходе
приемника с АРУ, можно найти постоянную и флюктуационную
составляющие продетектированного напряжения.
Постоянное продетекти-
рованное напряжение равно:
а) в схеме с задержкой
до усреднения
т1{Ап)=1,25оа = 0,6Ав;
(2.4.7)
б) в схеме с задержкой
после усреднения
тг(Аи)^Аъ.
Флюктуация
продетектированного напряжения
будут:
а) в схеме с задержкой
до усреднения
ой = 0,65, ол = 0,ЗЛ3; (2.4.8)
б) в схеме с задержкой
после усреднения
V=0,55A.
Рис. 2.4.4. Напряжение на
выходе детектора АРУ.
Напряжение в разных точках схемы для этих
случаев приведено на рис. 2.4.5. Таким образом, при
наличии АРУ напряжения в разных точках схемы
определяются напряжением задержки. В зависимости от качества
АРУ соотношения могут несколько отличаться от
принятых ранее.
Этот режим практически мало изменяется при
изменении коэффициента усиления приемника в широких
1 Пр
А
АРУ
Пр-
ао
mi(A*)=1>ZS6iiSS0fiAv
(Н)
б9=0,656п=0,ЗАъ
(0,55АЪ)
Рис. 2.4.5. Напряжения помех в схеме с АРУ:
-приемник; Д~ детектор; Д АРУ — детектор АРУ. В скобках даны
величины, для схемы с задержкой после усреднения.

пределах и при изменении уровня помех на входе
приемника.
Аналогичные результаты получаются для приемо-из-
мерительных устройств, выявляющих информацию,
заложенную в фазу несущей. Напряжение помех на
выходе приемника (за счет срабатывания АРУ) установит-
ся такой величины, когда
— =2 или
= 1,3. Этот
Рис. 2.4.6. Напряжение
помех в схеме с АРУ.
Пр — приемник; ИФ —
измеритель фазы; Д АРУ —
детектор АРУ.
L
\ Пп
*f
А
Г/
А 1,зJ p^-j
*' ->■ ИФ г
П
\АРУ\
результат показан на рис. 2.4.6. Напряжение помех на
выходе приемника будет мало зависеть от уровня помех
на входе и его усиления и в основном определяется А$.
§ 2.5. Простейшие статистические характеристики
фазы помехи. Перейдем теперь к фазе узкополосного
шума. Ранее было получено, что wifa)—-^-. Зная w(<pn)>
найдем среднее значение и дисперсию. Поскольку фаза
распределена равномерно, т. е. каждое значение фазы
равновероятно в пределах от 0 до 2тсилиот—% до -|-« и от
~ до -j- it и т. д., то понятие среднего значения или
математического ожидания становится условным и
зависит от того, каким выбран предел, в котором значение
фазы считается однозначным. Удобнее обычно
пользоваться пределами —я, +я, тогда
тЛ?п)=^ [?Л=о.
Для получения дисперсии вычислим интеграл
-(-тс
=i |<р>п=^з
,2Ь;
о as 1,8 s 100°.
9
6—635
81

Используя функциональные преобразования, можно
получить функцию распределения косинуса фазы
WW = кУГ=Т* ; 1*1= lcos?п1< 1 •
Как видно, фазоизмеритель при наличии одной
помехи должен показывать неопределенное значение фазы
(его показания будут существенно флюктуировать).
Таким образом, одномерная функция распределения
фазы позволяет получить очень ограниченное
представление о том, как помеха влияет на работу фазового
приемо-измерительного устройства. Для выявления
этого влияния необходимо найти многомерные функции
распределения фазы, функцию корреляции и
энергетический спектр, а также совместные функции
распределения фазы и ее производной, функции распределения
производной фазы и функцию распределения нулей
случайного процесса. Эти функции, которые будут
получены далее, позволят установить некоторые
принципиально важные особенности влияния помех на фазовое
приемо-измерительное устройство, существенно
изменяющиеся в зависимости от принципа построения фазоиз-
мерителя.
§ 2.6. Двумерная функция распределения.
Энергетический спектр и функция корреляции амплитуды помехи.
Во многих случаях в приемо-измерительном устройстве
после амплитудного детектора или фазоизмерителя
стоит фильтр с конечной полосой пропускания (или
амплитудный детектор и фазоизмеритель обладают конечной
полосой пропускания).
Тогда эффект действия помехи определяется спектрами,
GA(<x>) и бф(^) или функциями корреляции ВА(ъ) и В(ъ).
Функции корреляции, энергетические спектры и
двумерные функции распределения для огибающей и фазы
нельзя смешивать с характеристиками мгновенных
значений исходного узкополосного случайного процесса.
В § 2.2 были приведены выражения Вп(т) для
типичных видов Gn((o). Зная Ви(х) или Rn(x) и имея
в виду нормальность случайного процесса п(/), легко
написать функции распределения. Для огибающей и
фазы получение функций корреляции и энергетических
спектров связано со значительными математическими
трудностями,
82

Может быть выбрана любая последовательность
нахождения функций
G9(4 °ЛИ Ba(Z)> B9(%)>Wt(ATH> ^2»')»^(?ПП ?П2, *)■
так как все они связаны между собой, однако с
наименьшими математическими трудностями эта задача решается
через нахождение ш2(АП1% АП2, х), затем ВА{т) и GA (<o)
или шя(<рП1, 9п?. *). затем £ф(х) и G9(co). Двумерное рас-
пределение для амплитуды помехи может быть найдено
из четырехмерного распределения для амплитуды и
фазы путем интегрирования по фазе. Четырехмерное
распределение для амплитуды и фазы получается из
четырехмерного совместного распределения для 3 и 19,
которое может быть получено из двумерных
распределений для Si и <g.
Поскольку принято, что <§ и Si имеют нормальное
распределение, то
w2{Siu 3)Ш9*) =
2*iJ[1-*oM]'
2*'2пУ\-1$(т)
и аналогично
(2.6.1)
IP р \ * « a-S H—Я§
».(<§., &. *) =—. г - -е
2«в;/1-«8(х)
(2.6.2)
Процессы £} и & можно считать независимыми, тогда
X е" ^"^ (2.6.3)
Зная wA{3iu $B„ &, &, •*) и используя понятия
амплитуды (огибающей) и фазы процесса, можно получить
о>4(Лв1. ^г2, ?щ. ?т. х)>
6* 83

применяя правила преобразования функдий распределения
при переходе от прямоугольных координат (§й и $) к
полярным Ап и <Рп.
Выполнив необходимые преобразования, получим
Щ(Ап» А,2, 9m, ?п,) =
^ГЛ^Г
{2n*ly\/\-Rl(z)
■X
2 2
Лп1+ЛП2-2ЛГ1Л112/?0 (т) cos (cpt t—cpi2)
2^ [l-*0 Wl
Хе ni UV,J . (2.6.4)
Выполнив интегрирование по уП1 и <Рп2> получим
2тс 2тс
W,
(Атл, ЛП2, т)=Г Гш4(Лш, АП2У уП1, <рП2, x)d?md'fn
о о
^п^гг
2 2
^nl+^n2
2»£[1-*§(т)]
2i4rli4r2/?0(i)cos(«pril—ф12)
2тт 2тс
X^ST»^
О О
2*п[!-/?о(*)]
d9md?m;
2 2
ЛП|+ЛП2
^2(ЛП1, Лиа, U):
АД 2 е 2ап [1-/?0 (X)]
Х/о
R0(*)ArlA„t
*2n-wi
х
(2.6.5)
Этот результат следует из того, что
2тс
gLJe"*-^? = /.(«),
где /о (и)—модифицированная функция Бесселя
нулевого порядка.
84

Следовательно, взяв внутренний интеграл по фы,
получим выражение, не зависящее от фй2; и второй
интеграл по <рп2 после выноса за знак интеграла всех членов,
не зависящих от фй2, приводится к множителю 2я.
Непосредственное использование W2(AuU ЛП2, т)
затруднено, так как результаты мало наглядны и их
трудно интерпретировать.
Перейдем к ВА(х). Для получения ВА(х) нужно
выполнить интегрирование
00 00
О 6
Вычисление этого интеграла связано со значительными
математическими трудностями и громоздкими
преобразованиями. По этим причинам приводим конечный
результат (подробно вывод дан, например, в (2.1])
(2.6.6)
Полученное решение может быть представлено в виде
ряда по степеням Ro(x)
-+Г1?.'Г" ]'*>}■
Если ограничиться членами с /?с(х), то получим
ад = Т" °l fl +0,25^(,) +0,015/?; (.) +0,004/?; (.)].
(2.6.7)
Если ограничимся первыми двумя членами, так как
множитель при/?4(т) составляет всего 0,015 или 6°/0 от
множителя при/?*(т), то получим
^(x)^-JV[1+0,25^(t)]. (2.6.8)
85

Зная ВА(т), можем найти GA(o)), пользуясь
преобразованием Фурье. Первый член дает составляющую с
нулевой частотой, т. е. постоянную составляющую
детектирования, тогда
00
GA (о) = 4 f -J- о*0,25/?J (т) cos rotdx.
о
Здесь Ga(co)—«односторонний» спектр флюктуации
амплитуды. Под со понимаем частоту флюктуации
амплитуды. Причем со^О. Поскольку ВА(%) выражается
через Rq(x), то можно утверждать, что случайный
процесс An(t) является медленным [по сравнению с п(^)] и
определяется полосой пропускания приемника. Для того
чтобы найти вид энергетического спектра для
конкретных случаев, воспользуемся аппроксимацией частотной
характеристики приемника идеальным и гауссовым
фильтрами. При этом энергетический спектр помехи на
выходе приемника будет равномерным с полосой До)и
или гауссовым.
В первом случае
Асоцх
sin—g—
2
где Дюи — полная полоса пропускания идеального фильтра.
Во втором случае
где хэ=-д^-;
Д[э — полная эквивалентная полоса энергетического
спектра помехи (до ослабления 0,46).
Для гауссового фильтра
*»пГ -я "Г "2 *2°п ~5"(д=г)
G.(«) = -^ е ^ °; cosmxdt= ,._ " е v " ;.
^V ; 2 I 2К2Дсоэ
(2.6.9)
86

При выводе использованы формулы § 2.2. с переходом
от обозначения Аса (расстройка относительно несущей)
к со (частота флюктуации амплитуды)
О2*2 7102 О2
G-(0) = —= = " ^0,6-rf, (2.6.10)
Выразив дисперсию через энергетический спектр, получим
00
Л-
1 г «2* '№*•)'* -од ^
2* ] 2 V2 Да>0
о
Аналогичный результат следует и из (2.6.8)
о2А=ВА (0)-И,(Ли)]2 = -=- ^[1+0,25^(0)1-
_" 32= . a2sQ4a2
2 п о и п*
Это соответствует полученному выше результату.
Дсои?
sin—g—
Для Д,(т) =
Дсоит
О \ 9
87

00 2 2
1 С п °м / Асои — со
:2я
№'(:
Да>и
^=4а2 = 0,4а!,
что также соответствует результату, полученному ранее.
На рис. 2.6.1 даны энергетические спектры
флюктуации огибающей или флюктуации напряжения на выхо-
G(u»
1 6l
| ™~тк
<—j—4»
Аш
Jth
&ъ (оо=со0)
-~0,81
On (со)
i £п М
О 0,5 1 1,5
*)
Л «
f/m
Рис. 2.6.1. Энергетические спектры флюктуации огибающей помехи:
а — идеальный фильтр; о — гауссов фильтр.
де детектора. Полученные результаты позволяют
сделать ряд выводов. Как видно, энергетический спектр
флюктуации напряжения на выходе детектора
существенно шире, чем половина полосы пропускания на
радиочастоте. Это объясняется тем, что в детекторе
детектируются биения между крайними частотами спектра
§8

шума, проходящими через радиотракт. Необходимо
отметить, что более высокие степени i?o(t), не учитываемые
выражением (2.6.8), дают еще более значительное
расширение энергетического спектра, однако интенсивность
этих составляющих ничтожно мала и практически их
можно не учитывать.
Очевидно, что нет смысла полосу пропускания по
видео и Люэ
деочастоте делать шире, чем -у— и -=-=-, так как частоты
. Лео»,
модуляции, более высокие, чем -у^, не должны
присутствовать в полезном спектре сигнала, поскольку они
преходят через радиотракт (приемник) с большим
ослаблением. Если отбросить те части спектра флюктуации на
Асои
выходе детектора, которые лежат выше частоты -^—, то
дисперсия флюктуации заметно уменьшится и составит,
например, для идеального прямоугольного фильтра 0,7 от
o2Q или 0,3о^. Однако более существенно то, что спектр
флюктуации не равномерен и наибольшая плотность
мощности флюктуации замечается на низких частотах.
Плотность мощности этих флюктуации близка к
плотности мощности спектра помехи на выходе радиочастотной
части приемника, составляя 0,6 или 0,81 ее величины,
в зависимости от формы частотной характеристики.
Поэтому при вычислении дисперсии флюктуации на
выходе узкополосного фильтра нижних частот,
включенного после детектора, нужно учитывать плотность
мощности флюктуации на низких частотах.
Наиболее простые соотношения получаются для
прямоугольной частотной характеристики. Если Д£2Э —
полоса пропускания фильтра после детектора, то дисперсия
флюктуации на выходе фильтра равна
Д® 2л А у ' d nAfH Gn((D = CD0)
ИЛИ
а
дя
п г А/и у Gn (со = а>0) ' ЛГ Af и
89

где
Ml*
AF. = -
Э"
2п *
Таким образом, практически вполне допустимо при
подсчете мощности или среднеквадратичного значения
флюктуации на выходе узкополосного фильтра,
включенного после детектора, считать
аш"
При сужении полосы на радиочастоте она должна была
бы быть взята в два раза большей, чем после детектора,
при той же полосе пропускания для модулирующих
частот. Дисперсия флюктуации на выходе радиотракта
с суженной до 2AQ полосой имеет величину
2 2 2AQ
°2Дй — °„ Д(0„#
После детектирования флюктуации будут иметь
дисперсию
2 п Ло 2 2Л2 _ 2 A^
да > п Дсои п Д(ои
т. е. ту же величину, что и при сужении полосы до AQ3
после детектора.
§ 2.7. Двумерная функция распределения.
Энергетический спектр и функция корреляции фазы помехи.
Двумерная функция распределения фазы может быть
получена из четырехмерной функции распределения
амплитуды и фазы.
Четырехмерная функция распределения получена
в § 2.6., тогда
00 00
WtiVau ?m. *)= jftMAn. An. ?ni. ?*•, *)dAaidAm=s
о о
00 00
90

An\+Arfl-2R<>W ^гИпа003 ('ц-Ч"!*'
Х.е
Заменим переменные
гопН-ЛоО)
dAmdAm. (2.7.1)
г. = Ат/оа У 2 [1-/?(*)],
г, = ЛП1/ап|/211-^(х)1 ,
после преобразований получаем
«М?ш, fti., •с) = —Г5 X
^,e-(r?+r*-2r'™Wr,, (2.7.2)
хП
О О
где
Интеграл, входящий в (2.7.2), вычислен (см.,
например, [2.1] и [2.2]) и результат имеет вид
""гле-^^^^г^-Ц^^-. (2.7.3)
оо оо
И'
О О
4 sin2 a
где
а = arccos (—у).
(2.7.4)
Подставив (2.7.4) и (2.7.3) в (2.7.2), после
преобразований получим
-9"+arcsin^'
1-у*-гУ п_ыПз
■*» '.' (1-^)3/2 J
при т-»-оо, Л, (х) -»■ 0, и, следовательно
Щ (?т, ?и„ оо) = 4^1 = w (?m) w во»)-
(2.7.5)

Как и следовало ожидать, при больших т фазы
становятся статистически независимыми.
Полученные результаты представляют определенный
интерес; они показывают, что двумерная функция
распределения фазы имеет существенные особенности.
Плотность вероятности ш2(ф*ц, фп2> т) зависит не от
значений самих углов щ{ и (р^2, а только от их разности.
Это может быть объяснено тем, что функция
распределения фазы от —л до +'л (или от 0 до 2я) равномерна.
Поэтому не существенно значение фаз <р^п и (р^г, а
важно то, насколько они отличаются друг от друга.
Максимальное значение До2(<рпь qte т) будет соответствовать
<Pni—q»n2 = 0, т. е. наиболее вероятно такое сочетание фаз
в моменты, разделенные любым интервалом т, при
котором начальная фаза остается неизменной. Другими
словами, наиболее вероятно такое протекание случайного
процесса, при котором он имеет вид гармонического
колебания с неизменной начальной фазой.
Для ш2Макс(х) при <Рт — ?п2 = 0 может быть построена
зависимость в функции от /?о(т0 или т (при заданном Дсоэ).
Подставим в формулу (2.7.5) значение у = R0 (т) cos 0 =
= /?0(т), получим
-у+arcsini?0(x) I
=Ъ?{1 + [-T+arcsin^w] *J,)_J=J. (2.7.6)
Графически эта зависимость приведена на рис. 2.7.1.
Следовательно, в узкополосном шуме за счет корреляции фазы
при уменьшении т и увеличении /?0(х) плотность
вероятности для значений fni — <рП2 = 0 возрастает, а при
R0 (т) -> 1 Ш8Макс (*) -► °°.
По формуле ша(9п1, Тш» т)> задаваясь разными <рП| и <рП2>
можно построить цоверхность для заданного значения %
?2

[или /?о(*)]. На рис. 2.7.2 показаны некоторые плоские
кривые, образующие эту поверхность. Чем больше т, тем
меньше максимум w2(<pm, <рш, t), имеющий место при
?т — Уяг^О Для любых значений <рш (или <Рш). а>2(<рП1,
Упа, *с) зависит не от <рш и <рш, а от их разности (<?ш —
— <?п2), и из приведенной формулы можно получить функ-
U Л 4
РИС. 2.7.1. ЗаВИСИМОСТЬ Обмане S '
от /?0(т). *
0,5 «оМ
цию распределения для разности Дуй = <рП1 — <?Л2. Эта
функция должна показывать, как распределены плотности
вероятности тех или иных значейий разности фаз, и отличаться
от рассмотренной функции, в которой дается плотность
вероятности различного сочетания фаз <Рт и ¥иа. Хотя при
Рис. ?.7.2. Поверхность в>2(фпь фпг, т) при т=const.
93

этом и было установлено, что w2{<?nu <рП2, т) не меняется
от изменения ?П1 и <рД2 в случае, если <рш —срц,2 = const,
но приведенная выше зависимость дает все же плотность
вероятности сочетания <р01 и <Рп2- Для получения w (Д<рп)
нужно проинтегрировать вероятность w2 (<?m, <р02, -с) по всем
значениям 9я1
W
О
— 2п
-тг + arcsin t/
1 . L
*/ = #0(x)cosA<i>.
(2.7.7)
На рис. 2.7.3 приведена зависимость w(A*pn) при
различных Rq{x), которые являются параметром, в функции
£45
|* У I
\ *оЮ*м\
\0,7
W
S
Л
0,5
Wn=o/
- г
-ЯГ
&<рт\
0,5
RoM
Рис. 2.7.3. Одномерная функ- Рис. 2.7.4. Зависимость функции
ция распределения разности распределения разности фаз от
фаз. Ло(т).
Дфп. На рис. 2.7.4 дана зависимость яу(Дфп) от R0(x)
для различных Дер*. Одномерная плотность вероятности
для Дфп [зависящая от Ro(r)] при значениях
#о(т), близких к единице, т. е. для малых интервалов
времени т, принимает очень большие значения и
переходит в бесконечность. Это означает, что за короткие
конечные интервалы времени вероятность сохранения
начальной фазы, т, е. такого протеканщ случайного прр*
94

цесса, при котором его начальная фаза не изменяется,
является наибольшей.
Перейдем теперь к функции корреляции и
энергетическому спектру флюктуации фазы.
Зная ш8(?ип ?п2, ^), можно найти fijx):
+ к
£,(*) = J?m, срш, да,(?пп ?п«, ^dynirfVni. (2.7.8)
—*
Воспользовавшись тем, что wt(<pUu <рП2> х) есть
периодическая функция от ?П1— 9ns, можно разложить ее в ряд
Фурье по переменной <рш — <?т
*=—со
= А0 + 2 £ Л, cos i (Tnt - ?В1), (2.7.9)
i=l
где
Л—4^;
л*= 4«» L" k\(k+i)\ ^Тк w-
Выполнив интегрирование, получим
в,Ь) = ^^1гМ%)- (2-7Л0)
Использовав выражение для At и осуществив
разложение корреляционной функции в ряд по степеням Rq(x)9
получим
в м—— VV V z J о*-*™ —
*Mv— 2 lJ U k\(k + r)\ ^o —
95

+Ъ*1Ы + 1* $(*)•••
(2.7.11)
Более подробный вывод формул (2.7.9), (2.7.10), (2.7.11)
приведен в [2.1]. Если #0(т)<0,5, то основное значение
имеют первые члены разложения. При Ro(x)—>1 или
т—>0 суммирование ограниченного числа членов дает
большую ошибку и нужно суммировать весь ряд.
в9Ю
Ш
Рис. 2.7.5. Зависимость В (т) от
KmW
*оМ
Рис. 2.7.6. Зависимость R (t) от
я.о)-
Суммирование всего ряда при R0 (т) = 1 дает
Яф(0)=4-
График 5ф(т) в функции R0(z) приведен на рис. 2.7.5.
Коэффициент корреляции
В Л*)
График /? (т) в функции /?0(^) приведен на рис. 2.7.6.
Приведенные формулы и графики не полностью вскрывают
свойства By(z) или R (т), так как они даны не в
зависимости от т, а в зависимости от низкочастотного
множителя в функции корреляции /?0(т). Для получения
зависимости 5ф(т) и R (т) от т нужно оговорить вид частотной
характеристики радиотракта, которая определяет
зависимость /?0 (т) ОТ т.
96

Выше использовались две модели приемника:
в виде идеального фильтра
sm-
Дсоит
;д.оо=
Дсоит
в виде гауссовского фильтра
км-
■(■к)'
Пользуясь этими соотношениями, можно построить
зависимости 5ф(т) или /?ф(т;) от т/тко, где тко — интервал
или время корреляции. Функция корреляции фазы для
случая идеального фильтра построена на рис. 2.7.7.
к9Ю
Рис. 2.7.7. Функция корреляции
фазы.
На рисунке показана половина
функции, до т/тко=1;
симметричная ветвь для отрицательных т
не приведена.
Из полученных результатов можно сделать важный
вывод о том, что у функции корреляции фазы в точке
т—Ю или /?о{т)—Ч имеется скачок первой производной.
По этим причинам нахождение 'функции корреляции
производной фазы существенно затрудняется. 5ф (т)
более «узкая», чем низкочастотный множитель функции
корреляции исходного процесса, и энергетический спектр
флюктуации фазы должен содержать более
высокочастотные составляющие, т. е. должен быть более
широким, чем спектр исходного случайного процесса. Далее
этот вопрос будет рассмотрен подробно.
7—635 97

Вернемся к выражению для £ф (х) в виде ряда й вьше-
сем общий множитель за скобки, тогда
^w=-i-[^w+o,i6/?02(,)+
+ 0,l7i?03(x) + 0,07/?04(x) + 0,026/?05(x) + ...I; (2.7.12)
при т^О \Вг (т)=:-я-в1с и сумма должна быть равна 2.
Сравним это выражение с
ВА (*) =^[1+0,25^ (т)+0,015#04 (*) +...],
при т-^0
ВА(ъ) = о2А-{-\т1(Ап)Г = 0,43*1 +
+ (1,25ап)2 = 2а*
и сумма членов ряда должна быть равна
—=1,27.
Из сравнения видно, что в ряде, через который
выражается В (т), члены с высокими степенями R0(z) имеют
значительно большее влияние, чем в ряде для Вл (т).
Например, для R0 (х) = 1 сумма коэффициентов при степенях
выше второй составляет в ряде для В (т) около 0,8 или
40% от суммы всех членов ряда, в то время как в ряде
для BA(z)— около 0,025 или 0,7°/0 от суммы всех членов
ряда и «7% от члена с #о(т) во второй степени. По
этим причинам при исследовании флюктуации
амплитуды вполне допустимо пренебрегать всеми членами,
степень которых выше, чем вторая. При исследовании
флюктуации фазы использование члена Ro(x) во второй
степени не дает правильного представления о процессах
и нужно учитывать члены с более высокими степенями.
Очевидно, что чем выше степень /?o(t), тем шире
энергетический спектр, обусловливаемый этим членом.
198

Поскольку члены с высокими степенями в ряде для
£ф(т) имеют заметную величину, то теоретически спектр
флюктуации фазы должен быть очень широким, строго
говоря, бесконечно широким, причем существенная часть
дисперсии флюктуации фазы должна быть
сосредоточена в высокочастотной части энергетического спектра.
Поскольку при /?о(т) = 1 сумма членов со степенями
выше второй составляет около 40% от суммы членов
с более низкой степенью, следует ожидать, что заметная
часть дисперсии фазы обусловливается
высокочастотными составляющими флюктуации фазы, частота которых
выше, чем Лсоэ. Ранее неоднократно использовалось
соотношение для перехода от функции корреляции к
энергетическому спектру
Gf(«) = 4jfi9(t)c0s«TdT,
тогда
G,(») = 2ic
( RQ (т) cos сотйт -(-
+
2я
00
f R20 (%) cos ют dz -f-
+-g-f /?03(t)coso>Wx + ... , (2.7.13)
о * I
где G^o) — односторонний спектр.
Для того чтобы эффект расширения энергетического
спектра флюктуации фазы выявить наиболее наглядно,
рассмотрим случай идеального фильтра.
Вычислим интеграл Фурье от функции
ДсОиХ * h
si«n—о—
АсОтгХ
где k — степень соответствующего множителя.
99 7*

При k=\ результат очевиден. Этой степени
множителя будет соответствовать равномерный спектр в пре-
делах от 0 до -g-
00 Асоих
sin—о—
cos <x.xd%=-jp—. (2.7.14)
Асйих Дсо
При k = 2 результат был получен ранее
°? - Дсоих , 2
sin 0 \
RQ (т) COS сотйх = I I — J COS (OTrft =
t_ j(
А(оит I
2 /
При k > 3 удобно пользоваться приближенным
соотношением
00
Асои* v h
sin—n-
А(овт
COS wtflft =
6ft>2
..^^е"*4^. (2.7.16)
Дсо
Два первых члена при RQ (т) и R* (т) дают составляющие
спектра с ограниченной высшей частотой Да>и/2 и Д^и
соответственно. Третий член при R* (t) и последующие
члены дают составляющие спектра с бесконечно
широкой полосой, причем их доля в дисперсии
флюктуации фазы очень заметна. Точный расчет спектра требует
учета большого числа составляющих. При этом
качественно картина не изменится, так как учет члена /?3о(т)
уже дает бесконечно широкий спектр флюктуации фазы.
По этим причинам может представлять интерес аппрок-
100

симация ряда тремя членами с увеличением
коэффициента последнего члена до уровня, при котором
учитывается влияние всех последующих членов на дисперсию.
Это приводит к выражению
^)S1T [*.О*) +-5Г *о СО+ 0,84/$ W ]. (2-7-17)
/?„ (т) s0,5tf0 (t) + 0,08Я02 (*) + 0,42/?; (х). (2.7.18)
I
5 **
w
'.0
f.5 ^
6Ь)щ
Рис. 2.7.2. Энергетический спектр флюктуации
фазы при идеальном фильтре.
При использовании указанного приближения
энергетический спектр флюктуации фазы примет вид
Г те / . Дсои \ | 1 Дсои — со ,
-ast(w<—J+-
G9H = 2«
а»2
-2 Ш2
V2n0,84 4»;
е
При ю== О
Дшп
*]•
(2.7.19)
Г? (0\— 2"2 4- * ■ i 2я/"2*0,84
И'" Дсо„ Да>„ г
Дсои
= -д=гР«, + « + 0,М(2.И.
Дсок
(2.7.20)
На рис. 2.7.8 приведены составляющие спектра (пунктир)
и спектр G (ш)-Дюп.
Наличие в энергетическом спектре фазы
высокочастотных составляющих, т. е. составляющих с более вы-
101

сокой частотой, чем Л(ои, нуждается в дополнительных
пояснениях; составляющие эти отсутствуют в пределах
ширины полосы узкополосного спектра, наблюдаемого
на выходе идеального фильтра, причем взаимная
компенсация спектров флюктуации амплитуды и фазы не
может иметь места.
Можно высказать предположение, что наличие
высокочастотных составляющих является условным и
определяется тем, что выше фаза рассматривалась как
величина, возможные значения которой заключены в
пределах ±я. Поскольку фаза узкополосной помехи,
будучи случайной, может изменяться в более широких
пределах, то могут наблюдаться ее переходы (или
скачки) от +'(rt + rfq*i) к —я и наоборот, которые
сопровождаются изменением величины, численно
характеризующей фазу. Однако это предположение не может
полностью объяснить получающиеся результаты.
Рассмотрим это несколько подробнее. Функция корреляции
фазы, использованная для выявления энергетического
спектра, была получена интегрированием в пределах
±я (см. 2.7.8). При этом плотность флюктуации на
нулевых частотах оказалась конечной и процесс изменения
фазы стационарным.
Если не интересоваться высокочастотными
составляющими в спектре флюктуации фазы и ее
производной, которые отображаются в членах с высокими
степенями /?о(т) и обусловливают разрыв первой
производной В'9 (т) по т в точке т = 0, то можно просто перейти
к спектру производной фазы, пользуясь множителем со2.
Следовательно, конечность плотности флюктуации фазы
на близких к нулю частотах приводит к тому, что не
должны наблюдаться медленные флюктуации
производной.
Однако указанные выше особенности полученных
результатов не подтверждаются физическими
представлениями и выводами, вытекающими из более строгого
анализа статистических свойств производной фазы
узкополосной помехи и фазы, как интеграла от ее производной.
Из физических соображений следует, что фаза
узкополосного случайного процесса может изменяться
(«уходить») в очень широких пределах, значительно
превосходящих ±я. К этому выводу можно прийти также из
результатов, полученных ниже в § 2.9.
102

Анализ выражения 2.9.4 и 2.9.9 для функции
корреляции и энергетического спектра производной фазы
показывает, что медленные флюктуации частоты имеют
конечное значение. При этом фаза как интеграл от
отклонений частоты оказывается нестационарным
процессом с возрастающей дисперсией, т. е. флюктуируя, она
будет иметь все более и более увеличивающиеся
отклонения в разные стороны от первоначального значения,
много раз выходя за интервал ±я. Это, вероятно, и
обусловливает равномерную плотность вероятности
фазы в пределах —я, + я и стационарность того
случайного процесса, который описывается 2.7.11, 2.7.13
(и приближенными выражениями 2.7.17, 2.7.19), при
выводе которых возможность этих переходов и
учитывалась.
Выявлению смысла наличия высокочастотных
составляющих в энергетическом спектре фазы может
способствовать анализ функции корреляции и энергетического
спектра cos<pn. Очевидно, что cos <рп не претерпевает
изменений при переходе фазы от +я к —я.
Если высокочастотные составляющие в
энергетическом спектре фазы являются условными и вызваны
только переходами +я, —я, то энергетический спектр
cos фц должен иметь характерное отличие от спектра
для фп.
Для получения выражений Bz(x) и Gz(co), где
2=cos<cpib нужно осуществить функциональные
преобразования с ау(фпь Ф<п2, т), перейдя к г^созфш и z2 =
= С08ф'П2. Выполнив преобразования, можно получить:
Х| 4^ + 2 V At cos (i cos zx) cos (i cos z2) I. (2.7.21)
Из (2.7.21) после ряда преобразований (см. 2.1)
получаем
=х[*о (*>+4-^ w+■&$ w+- ] (2-7-22)
юз

Имея в виду, что при a>(qto) = -— дисперсия coscpn
равна 0,5, из (2.7.22) получаем, что при R0(x)—И
выражение в скобках стремится к 1.273. Следовательно, сумма
коэффициентов при У?о(т) с третьей и с более высокими
степенями должна составлять 0,273. Математическое
выражение для Gz(co) легко может быть получено из (2.7.22)
при использовании (2.7.16), и мы его опускаем. Однако
очевидно, что поскольку в выражении для Bz(x) члены
с высокими степенями Ro{x) значительны,
энергетический спектр Gz(co) будет иметь заметные
высокочастотные составляющие.
Сказанное позволяет высказать предположение о том,
что могут иметь место высокочастотные флюктуации
фазы, отражающие особенности случайного процесса ее
изменений. Но такое предположение вступает в
противоречие с условием узкополосности исходного
случайного процесса, так как допускает возможность
значительных и быстрых изменений квазигармонического
колебания, что может быть только в том случае, если
оно, при конечном значении амплитуды, содержит
в спектре исходного колебания дополнительные
составляющие, находящиеся вне пределов узкой полосы, чего
нет в рассматриваемом случае. Для того чтобы
избежать этого противоречия, следует напомнить, что
амплитуда узкополосной помехи подчиняется релеевскому
распределению и имеется конечная 'вероятность очень малых
ее значений. При близких к нулю или очень малых
значениях амплитуды резкие изменения фазы могут
наблюдаться и без существенных изменений спектра
исходного колебания. Качественно сказанное поясняется
рис. 2.10.5.
При рассмотрении всех случаев с фильтрацией после
фазоизмерителя нужно иметь в виду, что при действии
одной помехи любое изменение полосы не может
отразиться на дисперсии флюктуации показании фазометра,
так как все значения фазы остаются равновероятными
и дисперсия я2/3 сохраняется при любой полосе. Будет
изменяться только скорость изменения.показаний
фазометра. Следовательно, интегрирование спектра ^(о)
в ограниченных пределах не имеет смысла.
§ 2.8. Функция распределения производной фазы
помехи. Выше было использовано представление узкополос-
104

ной помехи в виде гармонического колебания со
случайными амплитудой и фазой. При этом средняя частота
соо полагалась равной средней частоте полосы
пропускания радиочастотных фильтров. Из найденных функций
распределения и энергетического- спектра фазы видно,
что фаза такого колебания случайна и имеет
равномерное распределение. Быстротечность основных изменений
фазы определяется половиной полосы пропускания,
однако имеются также и более быстрые изменения фазы.
Поскольку фаза эквивалентного помехе
гармонического колебания изменяется, то изменяется и его
мгновенная частота [2.6, 2.7].
Известно, что если
n(t) = An{t)oos\m0t-\-<pa(t)l
то частота
дмф=^Ш. (2.8Л)
Следовательно, мгновенное значение частоты
эквивалентного гармонического колебания является случайной
функцией времени. Если флюктуации фазы происходят
вокруг какого-то постоянного значения, то среднее
значение производной равно нулю и средняя частота
Однако поскольку все значения фазы
равновероятны, то среднее значение фазы может иметь монотонное
изменение, т. е. среднее значение производной фазы
может быть не равно нулю.
Таким образом, полученные ранее результаты не
дают основания для точной оценки средней частоты
помехи. Она может быть равна соо, но может и
отличаться от нее. Точная оценка частоты помехи представляет
интерес в том случае, если информация закладывается
в частоту сигнала или производную фазы. Фазоизмери-
тель может быть построен на принципе прямого
измерения сдвига фаз и тогда скорость изменения его
показаний будет определяться производной фазы. Если
средняя скорость изменения фазы (или среднее значение
производной фазы) равна нулю, то показания фазоизме-
рителя, флюктуируя под действием помех, не будут
содержать систематически изменяющейся составляющей.
105

Но фазоизмеритель может быть построен и по принципу
интегрирования разности частот, тогда при анализе
воздействия на него помехи необходимо исходить из
понятия частоты.
Эти два определения частоты применительно к
гармоническому колебанию эквивалентны. При случайном
узкополосном процессе эти определения дают
различные результаты. Помеха по-разному будет действовать
на измерители фазы и частоты, построенные на разных
физических принципах.
В первую очередь рассмотрим случай прямых
фазовых измерений, когда под частотой понимается
производная фазы, а затем перейдем к методу прямого
измерения частоты.
Для решения первой задачи найдем функцию
распределения производной фазы для узкополосной
помехи. Для получения функций распределения производной
можно воспользоваться выражением для функции
распределения разности фаз
w
(Д?п)= J^2(¥m, <Рт + д<Рш TOdfcr,, (2.8.2)
где до8(?ш, Тп1 + Д?п, т) — двумерная функция
распределения. В § 2.7 это интегрирование было выполнено
а>(ДЧ>п)=-
■*?М
2п
1 + У2
'У
-у + arcsin у
(1-^)3/2
(2.8.3)
где
Производную можно получить как предел
тогда
(2.8.4)
•с->0
Для перехода к до(фп) нужно выполнить некоторые
преобразования, так как в общем виде выражение
получается громоздким. Ro(r) можно разложить в ряд по
степеням г. Поскольку функция /?о(т) симметрична и при

т=0 имеет максимум, то для точек вблизи т=0 получим
tfo(*) = i+-2—г?—х •
Для получения функции распределения производной
нужно найти выражение до(Дф) для малых значений т
и, следовательно, Аф. Это позволяет члены, входящие
в (2.8.3), выразить приближенно, пренебрегая
величинами второго порядка малости. Тогда получаем
К l^^ 2rfx2 2 Их'
-^—(-arcsin y=~Y+arcsin X
Обозначим
тогда
^(Д?п) =
1 <*%(*) т2
2 dz*
d2Ro(*) __
dz2 —
— 5co2x2 Г
тЧ
4jc
8(0 . Af„
-8«2x2 + д?2
l + -S-t'r
4)(-
+ ■
$<D2
hi
(5(0V + Дср^ )3/2
Перейдем к функции распределения wf-^Л:
Ш
1
. — §(D2X2 +
(ib.)'.
(2.8.5)
(2.8.6)
107

(2.8.7)
После перехода к пределу при т—*0 и преобразований
получим
т^ = Ш- 1' ■ \3/2 '
V
1 +
1 -л3
ИР*' J
(2.8.8)
Основным параметром полученной функции распределения
является
8W = /
<*"«.(*)
tfx2
при х->0
Зная R0(t), можно найти соотношения, связьшающие So>
с характеристиками исходного случайного процесса.
Для идеального фильтра
Асоих
sm'
d2-
Дй)иТ
dz2
т->0
d*8
(A<D„)2
т->0
12
А(ои
/12
Для гауссовского фильтра
с*т2
d2e
■и*
h->o
cfx2
|т->о
А^
2«
А(Оу)
/2S
108

\ Следовательно, бсо имеет размерность частоты и
характеризует ширину спектра, в котором сосредоточены
основные отклонения производной фазы помехи. В [2.2]
для !&о> было принято название «средняя ширина
спектра». На рис. 2.8.1 приведены кривые, построенные по
формуле (2.8.8). На рис. 2.8.2 дана функция
распределен 2 <f а>
1
Рис. 2.8.1. Функция
распределения производной фазы.
Рис. 2.8.2. Функция распределения
производной фазы для идеального
фильтра.
ления производной фазы для идеального фильтра. Из
полученных результатов следует, что имеется конечная
вероятность больших отклонений мгновенных значений
производной фазы от среднего значения, которое
определяется средней частотой фильтра соо, так как (p=Ao)
И со = (D0-j- Д'о.
Однако функция w(yu) симметричная и среднее
значение или математическое ожидание ее равно нулю
+00
Mi(?n)= j,Tn^(?n)rf?n = 0.
Следовательно, если пользоваться прямыми фазовыми
измерениями и подходить к понятию частоты как
производной фазы, то средняя частота-узкополосной помехи
будет соответствовать средней частоте полосы
пропускания. Причем, флюктуации частоты могут содержать
значительные отклонения, много большие, чем половина
полосы пропускания.
Таким образом, мгновенное значение производной
фазы помехи подвержено значительным изменениям, но
среднее ее значение равно нулю. Интересно отметить,
109

что дирперсия флюктуации частоты не может быть
получена
+0°
al= J^(b)d?n-
!
—00 /
Этот интеграл не имеет конечного значения, так как
подынтегральная функция недостаточно быстро убывает
с увеличением q?n. Это также свидетельствует о конечной
вероятности больших отклонений производной фазы от
ее среднего значения.
Объяснение того, что не существует конечной
дисперсии производной фазы, по исследованиям В. И.
Тихонова [2.4, 2.9, 2.10] заключается в наличии «перескоков»
фазы на целое число 2я. Заметная плотность
вероятности значительных отклонений производной также не
противоречит отмеченному выше наличию быстрых
флюктуации фазы.
Таким образом, функция распределения производной
фазы узкополосной помехи позволила сделать важные
выводы о том, что при прямых фазовых измерениях
среднее значение производной фазы равно нулю и
наличие помехи не может дать систематической погрешности.
§ 2.9. Функция корреляции и энергетический спектр
производной фазы узкополосной помехи. Для оценки
действия помех на измерительное устройство, кроме
функции распределения до(фп), нужно знать также
функцию корреляции и энергетический спектр флюктуации
производной фазы. Это позволит определить
быстротечность флюктуации производной фазы и эффективность
действия фильтров, включаемых после измерителя.
Для получения В. (т) можно воспользоваться двумя
ф
методами: простым и сложным.
Простой метод предусматривает получение функции
корреляции производной случайного процесса путем
двойного дифференцирования функции корреляции
основного случайного процесса, в данном случае фазы,
ЛО—3^- (2.9Л)
Однако использование этого метода в конкретном случае
определения В. (т) встречает существенные трудности. При-
ф
но

та этих трудностей состоит в том, что 5ф(т) не
обладает непрерывностью первой производной в точке т = 0 и
/ ч> W имеет при т = 0 бесконечно большую Ееличину.
l,dx2
Эр, в частности, проявляется в том, что дисперсия о?
бесконечна. Следовательно, использование простого метода
нахождения В. (t) оказывается невозможным.
ф
Сложный метод требует выполнения всего объема
преобразований, необходимых для получения двумерной
функции распределения фь и функции корреляции. Для
этого необходимо:
найти четырехмерные функции распределения
ш4(0п 0Я> &и &а> т).
и
щ(3и &, ви &, *)
и восьмимерную функцию распределения
wt(sou яш, sau й„ <glf &, &, <ga> т),
осуществить преобразование прямоугольных
координат в полярные, тогда будет получена
tMAri, Ai2, Ащ, Лпа> <рш, ?па, ?П1, ?П2, *). (2.9.2)
Осуществив интегрирование по АЛи ЛП2, Лш, Лш, ?ш, <рП2,
можно получить искомую функцию. Получив ее, можно
найти В. (х), пользуясь интегралом
+00+09 ^
В№= I {?Д1?п2®2(?п1,¥п«, i!)rf?Dirf?n.. (2.9.3)
—СО—00
Вычисление указанных выше интегралов сопряжено
с громоздкими преобразованиями, в связи с чем
приводим выражение для В- (т) уже в окончательном виде
(2.1, 2.4]
1И

x[1+4^+4^+-]=
1 rn2
= —~\Ro^)~Ro^)Ro^)}
1п[1-Д02(т)]
*.M=^. ^W-T
(2.9.4)
Пользуясь (2.9.4), можно найти В. (т) для конкретных
ф
моделей энергетического спектра помехи и затем
получить выражения для энергетического спектра
флюктуации частоты помехи.
Рассмотрим это на примере идеального фильтра
с полосой Д(ои и средней частотой соо. При этом Ro(x)
определяется формулой (2,2.13).
А со и
cos-
Асйих
sin
Асоит
I Дооит / Асоих \2
L -г- [-2-J
d*RAi)
Д<о?,
/?0(х) = ^^-=^Х
(2.9.5)
X
АсоиХ
U
{ (^)'
sin-
Асоих
Асоих
(2.9.6)
Из (2.9.6) вытекает, что для малых т
*.W=-
12
48
и при х—О
^о(^) _
tfx2 =
Дсо£
12
П2

Пользуясь формулами (2.9.5) и (2.9.6), можно выполнить
расчет функции В. (*)• На рис. 2.9.1 приведены графики
функций, входящих в выражение (2.9.4). На рис. 2.9.2
приведены промежуточные графики и график В, (*); там же
fyft/
0.5
'0,5\
-1
In
[t-*oM]
1 \ Ro(*J
Асо$ \
Ц-—я-^—- ^/^"^
In 5 ■
/
^^7^-"^п
70
ЯГ
Ztf
^a;Mf
Рис. 2.9.1. Графики членов, входящих в выражение для функции
корреляции производной фазы.
0,5
\ ч\
\ ч
Вф(С)\
+* R(p
\
\
г
ft) (приближенная формула}
i I
ft) (точная формула)
\. \ Л<
>W •
[*!М-*оМ*о(*Я *
Ди*
Рис. 2.9.2. Функции корреляции исходного случайного процесса,
фазы и производной фазы.
8—635 ' ИЗ

для сравнения даны графики /?0(т)> Ry(x), вычисленные по
точной и приближенной формулам. Из рис. 2.9.2 видно,
что функция В. (т) значительно уже, чем R0(v) и /?в(т;),
ф ф
и, следовательно, спектр флюктуации производной фазы
будет значительно шире, чем спектр флюктуации фазы
и спектр помехи. Энергетический спектр флюктуации
производной фазы можно получить, осуществив
преобразование Фурье над В. (т).
Однако этот интеграл при подстановке в него (2.9.4)
не выражается через известные функции и может быть
вычислен в виде ряда, включающего большое число
членов, что мало удобно для расчетов. В [2.4] получено
оф(о)) = Ао)э5;^8/а e"TC/2*fe)2
п / ч -«WO2 1
для /?0(т) = е ; тэ = -ц-.
Полезно найти приближенные выражения для G. (со),
ф
позволяющие выявить основные закономерности,
свойственные энергетическому спектру флюктуации
производной фазы.
Из рис. 2.9.1 следует, что в первом приближении
/?о (т)s г—з~^° № и влиянием члена /?0 (т) можно
пренебречь.
Тогда
^(TH^/?oW[I + -2--'"l з г —J- (2.9.7)
Для учета членов ряда также можно допустить
приближение. Из (2.7.16) вытекает, что если степень /?о(т)
выше третьей, дальнейшее ее увеличение сравнительно
медленно влияет на форму составляющей
энергетического спектра, обусловленной соответствующим членом.
После группирования членов получим
В; W s Ж *о WI! + 1 >3< СО + 0,65<(х)] =
=^f- [0,5*Д«) + 0,65*06 (х) + 0,33< (х)1. (2.9.8)
Выражение (2.9.8) — приближенное, и не может быть
114

использовано для вычислений В^ (т) при т—И), таккаК
дает конечное значение.
Энергетический спектр выражается формулой
(2.9.9)
G.(0) = A»H1,1. (2.9.10)
Формула (2.9.9) —приближенная. Если учесть более
высокие степени l/?0(t), to ослабление энергетического
спектра на высоких частотах будет еще более
медленным. На рис. 2.9.3 приведен вид энергетического спектра
флюктуации производной фазы. Интересно сравнить
— 9ф(ш)
Ли)*
Рис. 2.9.3. Энергетический спектр флюктуации производной фазы.
энергетические спектры флюктуации амплитуды, фазы и
ее производной. Для этого на рис. 2.9.4 спектры
приведены к безразмерному виду. Из полученных результатов
следует, что спектр флюктуации производной фазы
более широкий, чем спектр флюктуации амплитуды и фазы.
Существенно также отметить, что флюктуации
частоты имеют заметные составляющие с частотой много
большей, чем ширина полосы исходного случайного
процесса. Полученный результат хорошо согласуется
115

Рис. 2.9.4.
Энергетический спектр флюктуации
амплитуды, фазы и
производной фазы;
безразмерный вид.
с тем, что не существует конечной дисперсии для
производной фазы помехи (§ 2.8). Как уже отмечалось
ранее, эти явления по исследованиям В. И. Тихонова
[2.4, 2.9, 2.10] объясняются «перескоками» фазы на целое
число 2я. Расширение спектра производной фазы
согласуется также с предположениями о наличии быстрых
флюктуации фазы.
§ 2.10. Основные статистические характеристики
частоты помехи. Выше были рассмотрены статистические
характеристики фазы и ее производной. Эти
характеристики позволяют оценить влияние помех в приемо-изме-
рительном устройстве с прямым измерением фазы.
Если измеритель построен по частотному принципу,
то он измеряет не производную фазы, а величину,
характеризующую частоту, т. е. число периодов в единицу
времени (секунду). Помеха является случайным
процессом и применительно к ней можно говорить о средней
Положительные ЧаСТ& И Т&КУЩеЙ ЧаСТ°-'
выбросы те- Частота узкополоснои
помехи является
случайным процессом и
определяется числом выбросов
в единицу времени. Если
вычислить среднее число
выбросов за большой
интервал времени, то это
будет соответствовать
средней частоте. Средняя
частота является
простейшей статистической
характеристикой случайной
частоты.
л
Отметки перехода
через нуль
Рис. 2.10.1. Переходы
случайного процесса через нуль.
116

Поскольку помеха является случайным процессом
с нулевым средним, то очевидно, что под частотой
нужно понимать число положительных (или отрицательных)
выбросов над нулевым уровнем. Но тогда число
выбросов соответствует числу переходов случайного процесса
через нуль или коротко «числу нулей». Смысл этих
определений поясняется рис. 2.10.1.
Таким образом, при частотных измерениях должен
осуществляться подсчет числа выбросов за единицу
времени (или определяться средняя длительность выброса)
или подсчет числа нулей (или определяться средняя
длительность интервала между нулями).
Техническая реализация измерителей,
осуществляющих эти операции, не вызывает принципиальных
трудностей. Можно использовать счетчики числа выбросов
(или импульсов отметок нулей) и относить результаты
подсчета ко времени или использовать измерение
временного интервала между импульсами — отметками
нулей и определять среднюю величину этого интервала. Не
рассматривая подробно вопросов технической
реализации таких измерителей, отметим, что на этой основе
можно построить частотомеры и фазоизмерители. Если
сравнивать измеренную частоту с эталонной частотой и
интегрировать разность частот, то полученная величина
будет соответствовать приращению начальной фазы.
Представляет интерес рассмотреть действие помех
на измеритель, построенный по частотному принципу, и
сравнить с результатами, получающимися для
измерителя, построенного по принципу прямого измерения
фазы. Для этого необходимо найти функции
распределения, среднее значение, дисперсию, функцию корреля-
0(Л
СЕВШХВВЯ
(осо->ф)а
S%0
™42 (Ф)'&
Рис. 2.10.2. Функция распределения производной фазы и
вероятность р(ф<(о0).
117

ций для частоты помехи, рассматриваемой не как
производная фазы, а как число выбросов или «периодов»
в единицу времени. Наиболее целесообразно начать
решение этой задачи с функции распределения. При этом,
как будет видно из дальнейшего, наибольший интерес
представляет нахождение среднего значения частоты и
сравнение его со средним значением производной фазы.
Для нахождения среднего можно действовать двумя
методами: первый метод — найти функцию
распределения для частоты и из нее получить среднее значение, и
второй метод — непосредственно найти среднюю
частоту, найдя среднее число «выбросов» или «нулей».
Начнем с нахождения выражения для функции
распределения частоты. Для этого воспользуемся функцией
распределения производной фазы. При рассмотрении функции
распределения производной фазы выше было отмечено,
что из нее вытекает заметная вероятность значительных
отклонений мгновенных значений производной фазы от
среднего значения. Очень существенно при этом то, что
вероятность значений ф^, превышающих wo, не равна
нулю, т. е. имеется конечная вероятность того, что в
отдельные моменты времени изменение мгновенной
частоты помехи превысит величину несущей. При этом ф^
будет отрицательна.
На рис. 2.10.2 показана функция распределения для
до(фп), из которой видно, что имеется конечная
вероятность того, что соо—фп<0. Для получения этой
вероятности нужно найти интеграл
—<о0
Р(?п< — «0) = Ja>(¥n)d?ii.
—СО
Имея в виду, что при
получим
'fc<-s>-"J.t ft)"*-
—эо
118

8<о2 Г • -з . • все2 /о 1 n 1 \
=— U ^п=-^, (2.Ю.1)
—00
Например, при Sco^SO^n, ш0 = 500-27с
/7(?и<--о)-0,01 = Р/0.
В связи с конечной вероятностью отрицательных
значений должно наблюдаться такое явление, когда
радиус-вектор, отображающий колебание, остановится на
короткое время и начнет двигаться в обратную сторону.
Если подходить к анализу этого явления с фазовых
позиций, то это будет означать, что средняя скорость
вращения вектора уменьшится. В равной степени могут
быть мгновения, когда фь оказывается значительной
положительной величиной и скорость вращения вектора,
отображающего колебания, существенно возрастет.
В среднем, как это было показано ранее, производная
фазы будет равна нулю, т. е. средняя частота помехи,
определенная через производную фазы, равна ооо.
Если же подходить к анализу с частотных позиций,
то положение в принципе изменяется. Отрицательная
величина соо+фп означает уменьшение средней скорости
изменения фазы и соответствует как бы отрицательной
частоте.
Но устройства, реагирующие на частоту, не
воспринимают знака частоты и отрицательные частоты будут
восприниматься так же как и положительные. Другими
словами, чем быстрее в отдельные моменты времени
вращается в обратную сторону вектор, отображающий
колебания, тем больше он уменьшает среднюю скорость
изменения фазы, но в этом случае имеет место большее
значение отрицательной частоты и большее увеличение
среднего значения частоты. Очевидно, что в этих
условиях функция распределения частоты должна
отличаться от функции распределения скорости изменения фазы.
Функция распределения производной от фазы была
получена выше
,• ч Scu2 1
Н9

Тогда функция распределения мгновенной частоты сом,
которую можно определить как
может быть найдена из следующих соображений:
»м = »о + <Рв ИЛИ <р* = (сом — (О0)2 При —^о<(Рп<°°,
^м = (Рп — «>о ИЛИ <p* = (c»M-f- О)0)2 ПрИ <Рп<— «о.
Тогда
5©2| 1
а,(Шм)=-2-{[5(й2+((йм_Шо)г]з/2 +
1;сом>0.
[дсо2+(«>м + (о0)2]3/2 I
(2.10.2)
Графически получение до(сом) изображено на рис. 2.10.3.
Из рисунка видно, что среднее значение сом не может
быть равно среднему значению — соо. Для получения
#м>Рп
Рис. 2.10.3. Функция распределения частоты помехи.
среднего значения частоты помехи соМСр нужно, зная
функцию распределения о>(<ом), найти математическое
ожидание от сом
00
*М CJ.
Г о>м^ (сом)
dm»
Вычислив интегралы, можно получить
-•>'-/* +{^)''-.[1 + ЩУ]. (2.Ш.З)
120

Например, для идеального фильтра 8<ds= * , тогда
Следовательно, среднее значение частоты помехи
больше, чем средняя частота фильтра, на величину
8WMcP=-0-i-(^y. (2.10.5)
Для идеального фильтра
* 1 /А(ои \2 А(ои /А(ои\
8«>мсг.= ^о-24- ("5Г J =~VTVWУ
Если процесс очень узкополосный, т. е. Асои^ш0, то
8^мср^0 и ^мср£а)о. Таким образом, помеха будет по-
разному действовать на приемо-измерительное
устройство, в зависимости от того, на каком принципе основан
измеритель. Это существенно, так как понятия фазы и
частоты связаны между собой и значения частоты
можно получить, дифференцируя измеренную фазу, или
значение фазы можно получить, интегрируя измеренное
значение частоты. Для узкополосного случайного
процесса это соотношение является приблизительным.
Как видно, функции распределения для производной
начальной фазы <рп и для 8(ом = шм — ш0 (отклонения частоты
от средней частоты фильтра — соо) отличаются мало и
отличие сводится к небольшой разнице в средних
значениях. Функцию корреляции и энергетические спектры
производной фазы и отклонения частоты помехи можно
считать практически одинаковыми. Небольшое отличие
в средних значениях может существенно изменить
действие помех на измеритель. Если осуществляется
прямое измерение фазы, то при идеальной аппаратуре
помеха любой интенсивности не может дать
систематической ошибки, она будет вызывать только флюктуации
показаний измерителя. Если осуществляется измерение
сдвига фазы через интегрирование разности частот, то
помеха будет создавать отклонение, систематически
нарастающее пропорционально времени.
121

Средняя начальная фаза будет „бежать" со скоростью
8о)м ср= со0 — (8о)/со0)2 радиан в секунду. Например, для
<о0 = 6.105 и Дсои = 600 8wMC1, = 2-10-2 рад/сек. При
наличии слабого сигнала помеха не должна давать
дополнительных систематических ошибок при прямых
фазовых измерениях и может вызвать большие ошибки при
частотных измерениях. Таким образом, во всех случаях,
где возможно, необходимо пользоваться прямыми
фазовыми измерениями.
Определим теперь среднюю частоту помехи
непосредственно по среднему числу выбросов (нулей) в единицу
времени и сравним с результатами, полученными из
анализа функции распределения частоты.
Для решения этой задачи нужно найти среднее
число пересечений помехой какого-то уровня по и затем,
приравняв п0 = 0, найти число положительных выбросов
или число нулей.
Среднее число выбросов за единицу времени над
уровнем п0 можно вычислить, если будет найдена вероятйость
рх(п0) пересечения помехой этого уровня вверх за малый
интервал времени т.
Тогда
/п(По)=—
при достаточно малом % или, точнее, при %—+0.
Для получения /?т(п0) можно найти вероятность того,
что в момент t п (^) <п0 -(- Ап/2, а в момент t — х n(t—
— х)>п0 — Ап/2. Этот случай изображен на рис. 2.10.4.
Эту вероятность можно найти из такого условия, что
случайная функция должна быть в пределах от п0—Ап/2
до По+Ап/2 и одновременно должна иметь только поло-
Рис. 2.10.4. Переход п(/) через уровень по.
122

жительную (или только отрицательную) производную.
Для вычисления этой вероятности нужно
воспользоваться двумерной, совместной плотностью вероятности
случайной функции и ее производной w(n, п). Вероятность
того, что случайная функция находится в пределах от
По—Ап/2 до По+Ап/2, может быть найдена из
соотношения
Р ( П° ~"Т~ < П < П°+~2~) =
По+Дп/2
= ( до(п, п)й?п = ш(п0, п)Ап. (2.10.6)
п0—Дп/2
Вероятность того, что случайная функция при всех
положительных значениях производной будет находиться
в этих пределах, можно найти из следующего
соотношения:
^т(п0) = /?^п0~-^-<п<п0+
+^-,п>0у=^ш(п0,п)Шп, (2.10.7)
6
тогда
00 00
/D(n0) = — U(n0, п)Дпб?п= Гш(п0, п)ш/п,
О О
Ап „ , .
так как п= скорость изменения случайной функции
(производная). Таким образом, для вычисления /п(п0) нужно
найти ш(п0, п), для чего необходимо получить выражение
для w(n).
Напомним, что функция распределения производной
может быть получена из функции распределения
разности Ап. Для этого нужно функцию распределения
разности отнести к интервалу времени т, для которого она
найдена, и осуществить предельный переход при т—^0.
Если имеется случайный процесс n(t) и известна его
двумерная функция распределения ш(пь П2, т), то
может быть найден коэффициент автокорреляции /?(т).
123

Для разности двух значений этого процесса Ап =
= П1—пг сохраняется нормальный закон распределения,
т. е. для него можно записать
2
^(Дп)=—i— e *А", (2.Ю.8)
У2ясДп
где Одп — дисперсия разности.
Известно, что дисперсия разности двух случайных
величин равна
где Vj и о2 —дисперсии случайных величин; /?
(т)—-коэффициент корреляции.
В данном случае, для разности значений одного и того
же случайного процесса о2 = о2 = з2 тогда о\и = 2*2 X
Х[1 — ^(т)1 и выражение для ш(Дп) примет вид
Дп2
w(An)=-——, 1 е п . (2.10.9)
/2«аЕ^[1-/?(х)]2
Как и следовало ожидать, функция распределения
разности Дп зависит также от времени т, через которое
вычисляется эта разность. Получив до(Дп), найдем теперь
функцию распределения для —.
Пользуясь известным правилом замены переменных
в функциях распределения, получим
W
У2[1-Д(т)]
w (ii) = lim w (—)
т->0 V Х J
е
tv
, (2.10.10)
(2.10.П)
Как видно, при т—*0 и числитель и знаменатель
превращаются в нули и, следовательно, получается неопре-
124

деленность. Для устранения неопределенности разложим
R (т) вблизи точки т = 0 в ряд по степеням т. Поскольку
R(x)—симметричная функция и членами разложения
выше второго можно пренебречь, то
d2R(z)
ад=1+^
х->0
"2"'
(2.10.12)
Так как при т = 0 имеется максимум функций /?(т), то
обозначим
d*R{z)
dz2
d2R(z)\
dz*
т-*0
<о,
k-*0
2
(2.10.13)
Физический смысл этого обозначения будет ясен из
дальнейшего.
Тогда
1-ед=
2 х-
П2
w (п) = -^=г-
2j2«)2
п 1
V 2Л0ПС0!
Перейдем к относительной переменной и = —
до (и) = ■
1
2<о2
У 2тс<о1
(2.10.14)
Для получения ад(п, п) воспользуемся тем, что случайная
функция и ее производная независимы в совпадающие
моменты времени.
Тогда w (п, п) = до (n) до (п),
до(п, п) =
1
2^2(0!
-^(п2+-5-
(2.Ю.15)
125

или, переходя к относительной переменной,
Найдем теперь частоту „выбросов" или „нулей" над уров-
f ... J 2 Г ^ Г •
Осуществим замену переменной
тогда
2 2
"О оо "1
/я(«о)=2^5"е 2 (°1 ",е 2 ^",:
—S-e 2 . (2.10.16)
Поскольку в данном случае основной интерес
представляет средняя частота помехи, т. е. среднее число
выбросов над нулевым уровнем в единицу времени или
среднее число нулей в единицу времени, то и0 = 0.
При этом
Ы0)=-£-=/,. (2.Ш.17)
Таким образом, среднее число выбросов определяется
величиной, которая может быть получена из
соотношения
2 d*R(z)\
1 ~ *■ Lo'
126

Для определения связи /п(0) с другими
характеристиками исходного случайного процесса вернемся к
выражению для coi и рассмотрим его более подробно.
Для узкополосного случайного процесса
тогда
/?(x) = /?0(t)cosco0t,
d*R(z)
d%2
х->0
2 , d*R.(z)\
т-*0
(2.10.18)
Как видно, средняя частота выбросов, т. е. средняя
частота помехи, обнаруживаемая при частотных
измерениях, отличается от средней частоты спектра
узкополосной помехи соо на величину
d2R0 (х)
d%2
t-*0
Это выражение было получено ранее при определении
функции корреляции производной фазы и смещения
средней частоты помехи.
Ранее было введено обозначение
d*Ro (х)
dz2
т->0
тогда
или
= со0+8со2
-,,./
|/ '+(£)■
(2.10.19)
(2.10.20)
Таким образом, вычисление средней частоты помехи как
среднего числа выбросов дало тот же результат, что и
при определении среднего значения функции
распределения частоты a>i=<oM.cp [см. (2.10.3)].
Средняя частота помехи отличается от средней
частоты полосы пропускания фильтра соо на величину
6coi=f6coMCp
* 1 / асо V
(2.10.21)
127

В [2.2] частота coi = coMCp была названа
«среднеквадратичной частотой» и показано, что
00
Однако, исходя из физического смысла, лучше называть
(01==соМср средней частотой помехи в отличие от «о —
средней частоты фильтра.
Рассмотрим физическое объяснение полученных
результатов. Узкополосный случайный процесс имеет
сходство с гармоническим колебанием, начальная фаза и
амплитуда которого являются случайными функциями.
Изменения амплитуды происходят медленно.
Энергетический спектр флюктуации фазы .в основном
сосредоточен в низкочастотной области, но имеются и
заметные высокочастотные составляющие, т. е. наряду
с медленными флюктуациями фаза совершает и быстрые
флюктуации. Из-за ограниченной ширины спектра зна-
И/\ А _ _ .л/1
[J/V/ - -тГ J\J
Л /wi
l/4^
Рис. 2.10.5. К объяснению изменения средней частоты.
чение исходного случайного процесса не может
изменяться быстро. Но при малых амплитудах небольшое
изменение мгновенного значения процесса может
сопровождаться значительными кратковременными
изменениями фазы и ее производной без наличия
соответствующих составляющих в спектре помехи. На рис. 2.10.5
показана реализация узкополосного случайного
процесса. Сплошная линия соответствует случаю, когда фаза
изменяется так же медленно, как и амплитуда. На этой
линии приведены пунктирные участки /, 2, 3, на которых
небольшое изменение мгновенного значения процесса
привело к значительным изменениям мгновенной фазы и
частоты без влияния на амплитуду. Выброс 1 дает
дополнительный переход через нуль, что приводит к увели-
128

чению средней частоты, определяемой по числу
переходов через нуль.
Если измеритель построен на принципе измерения
фазы, то происходит усреднение ускорений и замедлений
изменения фазы и в среднем эти быстрые флюктуации,
как и медленные, дают среднее значение для фазы и ее
производной, равное нулю. Если измеритель построен на
принципе измерения частоты, то он определяет число
«выбросов» или «нулей» в единицу времени,
подсчитывает дополнительные выбросы или нули, показывает
завышенное относительно >со;0 значение частоты.
§ 2.11. Основные статистические характеристики фазы
помехи при наличии ограничителя. Во всех предыдущих
параграфах предусматривалось, что помеха проходит
через линейный узкополосный радиотракт и поступает
на измерители и каскады АРУ. Поэтому при изучении
действия помехи на разные измерители основной
моделью была модель в виде гармонического колебания
со случайной амплитудой и фазой (или частотой).
В реальных приемо-измерительных устройствах
всегда требуется обеспечение малых изменений амплитуды
сигнала, подаваемого на измеритель при ее
значительных изменениях на входе приемника. Для этих целей
может быть использована АРУ, наличие которой влияет
и на прохождение помехи через приемо-измерительное
устройство и на то, какое действие оказывает она на
измерители.
Однако в фазовых системах, в которых информация
закладывается в фазу сигнала, АРУ иногда оказывается
не обязательной и обеспечение постоянства амплитуды
сигнала, подаваемого на измеритель, может быть
достигнуто с помощью ограничителя. В некоторых случаях,
например, когда полезная информация закладывается
в фазу колебания, модулирующего основную несущую
по амплитуде, включение ограничителя не допустимо.
Поэтому при изучении действи'я помех в
приемо-измерительных устройствах фазовых систем необходимо
рассмотреть случай, когда помеха проходит через
ограничитель. Ограничитель является нелинейным звеном,
поэтому он изменяет функцию распределения
мгновенных значений случайного процесса (помехи) и принятая
ранее модель помехи требует уточнения.
Поскольку ограничитель "является нелинейным зве-
9—635 129

ном и при прохождении через него одновременно
нескольких сигналов и помехи могут возникать
нелинейные преобразования и взаимные наложения, то
целесообразнее включать его на выходе радиотракта перед
подачей сигнала на измеритель. Тогда необходимо
изучить такой случай, когда узкополосная помеха
действует на ограничитель, и, выявив характеристики фазы
процесса, получающегося на его выходе, оценить
влияние помех в таком приемо-измерительном устройстве.
В качестве простейшей модели ограничителя можно
принять «идеальный ограничитель», характеристика
которого приведена на рис. 2.11.1 и аналитически
записывается следующим образом: у = / (х), f (x) = а0 при x^Q и
f(x) = Q при х<0. (2.11.1)
Если на такой ограничитель «подавать» узкополосный
случайный процесс (помеху), то на его выходе будет
Т Рис. 2.11.1. Характеристика
ао идеального ограничителя.
Л
также случайный процесс в виде прямоугольных
импульсов со случайными длительностью и моментом
возникновения. Графически это изображено на рис. 2.11.2. Из
рисунка видно, что импульсы на выходе ограничителя
возникают в моменты, соответствующие нулям
исходного случайного процесса, и имеют длительность,
соответствующую длительности выбросов. Таким образом,
ограничитель выявляет положение нулей исходного
случайного процесса.
Некоторые статистические характеристики этого
случайного процесса, а именно среднее значение числа
нулей в единицу времени (средняя частота помехи), были
получены ранее. Представляют интерес также и такие
статистические характеристики, как: функция
распределения нулей, функция автокорреляции и
энергетический спектр нулей. Рассмотрим эти характеристики.
Функция распределения нулей должна показывать
плотность вероятности перехода через нуль (например,
130

с положительной производной) в определенный момент Т
в интервале времени от ml\ до (пг-\-1)Т0, где Т0 =
__ 2п
hi—ii—inn
Рис. 2.11.2. Помеха на выходе ограничителя.
л\
Л 1\
г^лп
1
1 1
-^4-
1 1
1 1
U
Алл/
l\]\Jy
а)
Mil
в)
1 1
«;
а/1
/ '
и
1
t
1 1
t
Рис. 2.11.3. Относительное положение нулей помехи:
а — реализация помехи; б — нули помехи; в — нули колебаний с частотой (Оо
и с фазой, относительно которой ведется отсчет фазы помехи или перехода
помехи через нуль.
На рис. 2.11.3 приведено относительное положение
нулей помехи. Очевидно, что поскольку фаза помехи
может быть любой от 0 до 2я (от —я до +л) и а*(<рц) =
~~2те> то интервал времени Т может быть любым от
О до Г0.
Q*
у 131

Функция распределения для Т0 будет иметь вид
W(TJ=TT' так как T^W^' (2Л1-2)
Пр-и выводе (2.11.2) предполагалось, что помеха очень
узкополосная и ее средняя частота равна средней
частоте фильтра. Выше было показано, что они
отличаются.* Если отсчитывать Гф относительно точек с перио-
2%
»(Тч> = тГ*.Т. (2-П.З)
согласуется с (3.9.12) при ас = 0. Поскольку ~ обычно
близко к 1, то в дальнейшем будем иметь в виду (2.11.2).
Следовательно, интервал времени, характеризующий
положение нулей относительно нулей опорного
напряжения, имеет равномерное распределение.
Положение переходов через нуль флюктуирует.
Изменение интервала Т , отображающего фазу,
происходит с определенной быстротечностью; эта
быстротечность отражается в функции автокорреляции и
энергетическом спектре. Функция корреляции Вт(ъ) должна
показывать, как связаны статистически продолжительности
отрезков Т , отделенные друг от [друга интервалом
времени т. Поскольку Т отображает фазу <Рп, то в первом
приближении можно считать, что функция корреляции
BT(i) и энергетический спектр Gr(co) будут подобны
В (ъ) и G (со), отличаясь только постоянным
коэффициентом. Пользуясь выражением (2.7.17), получаем:
Вт (х) s Z| [0,5/?0 (х) + 0,08#02 (х) + 0,42*2 (х)],
RT (х) = 0,5*. (*) + 0,08/-* (х) + 0,42/?;; (х) (2.11.4)
и
оо
GT (со) = 4 f a*TRT (т) cos wxrfx.
о
132

Имея в виду приведенные ранее результаты расчетов
/?с(т) и G№(t) и используя их при анализе BT(z) и G7(co),
можно отметить, что интервал Т изменяется медленно.
В основном эти изменения имеют период, больший, чем
д-^-=27'и, >де Тк= д^-(для идеального фильтра), т. е.
много больший, чем Г0. Следовательно, как правило,
интервалы Гф в соседних периодах почти одинаковы. Однако
фуйкция корреляции Вт{ъ) содержит множители /?0(х)
в третьей степени (в точном выражении и в более высокой
степени), которым соответствуют высокочастотные
составляющие в энергетическом спектре; следовательно, "могут
наблюдаться быстрые изменения Т % приводящие к их
отличию в двух соседних периодах. Пример такого
изменения Гф виден на рис. 2.10.5.
Рассмотрим теперь статистические характеристики
периода переходов через нуль. Функция распределения
для мгновенной частоты ом дается выражением (2.10.2).
Если считать, что мгновенная частота связана с теку-
щим периодом колебаний Тж через Тм= — и текущий
период колебания отбражается в интервале между
соседними нулями, то выражение (2.10.2) описывает
функцию распределения величины, обратной Гм/2я.
Напомним, что функция распределения для 6(dm=<(Dm—(о0
близка к функции распределения для фп и отличие в
основном проявляется в средних значениях.
Среднее для <рп равно нулю, а~среднее для 8©м равно
. 1 /toy
»«мс:, = Т «•(—].
Функция корреляции и энергетический спектр для
б(ом, и фп могут быть приняты аналогичными.
Энергетический спектр G. (со) и, следовательно, G (со) ДОСТа-
точно широкий, следовательно, должны наблюдаться
сравнительно быстрые изменения 7"м или сом. Это может
быть объяснено наличием «.перескоков» фазы на 2л
[2.4, 2.9, 2.10]. Широкий энергетический спектр
отклонений частоты переходов через нуль согласуется также
с отмеченным выше наличием быстрых изменений Т .
138

Измерение фазы или, точнее, сдвига фаз это, по сути
дела, процесс измерения интервалов времени между
точками, имеющими одинаковую фазу, принадлежащими
к двум колебаниям. Если взять наиболее типичные
компенсационный и цифровой фазоизмерители, то в первом
путем изменения фазы опорного напряжения
добиваются такого положения, когда среднее значение
произведения напряжения измеряемого сигнала и опорного
напряжения равно нулю, а во втором (цифровом) сдвиг
фаз измеряется путем подсчета числа счетных
импульсов, укладывающихся в интервал времени между нулями
опорного напряжения и нулями процесса, фаза которого
измеряется.
Рассмотрим качественно работу таких измерителей
при воздействии на них помехи, прошедшей через
ограничитель.
При компенсационном измерителе флюктуации фаз
помех приводят к тому, что положение моментов
возникновения импульсов флюктуирует — изменяется по
случайному закону. Фаза опорного напряжения
изменяется, следя за этими флюктуациями. Измененная фаза
опорного напряжения и является полезным результатом
измерения.
В случае применения компенсационного фазоизмери-
теля, работающего от помех, быстрые флюктуации,
возникающие за счет высокочастотной части
энергетического спектра, легко устраняются вследствие
инерционности измерителя. При применении ограничителя и
цифрового измерителя положение изменяется.
Быстрые флюктуации вызывают дополнительные
переходы через нуль (дополнительные нули) и
дополнительные импульсы.
При цифровом измерителе сдвиг фаз определяется
по числу счетных импульсов, укладывающихся в
промежуток времени от «нуля» опорного колебания до первого
«нуля» колебания, фаза которого измеряется.
Из этого следует, что изменение временного
интервала, в котором определяется сдвиг фаз, происходит
в основном в сторону его уменьшения. Очевидно, что
среднее значение числа счетных импульсов может иметь
одностороннее отклонение, которое эквивалентно
искажению сдвига фазы.
134

Таким образом, применение цифровых фазовых
измерителей при больших уровнях помех сопровождается
дополнительной ошибкой.
§ 2.12. Особенности распределения фазы помехи в
многоканальных системах. Рассмотренные ранее
характеристики помехи относились к одноканальным фазовым
системам, в которых измеряется фаза сигнала по
отношению к фазе опорного напряжения при наличии только
одной помехи (отсутствии сигнала). Ее влияние на
измеритель определялось рассмотренными выше
статистическими характеристиками фазы и ее производной. По
другому действуют помехи в многоканальных системах.
Простейшим примером такой системы является двухка-
нальная система, изображенная на рис. 1.8.4. Полезным
результатом в таких системах обычно является
измеренная разность (сумма) фаз сигналов, прошедших по двум
самостоятельным каналам. При отсутствии сигнала по
каналам (приемникам) проходят только помехи и
поведение измерителя обусловливается статистическими
характеристиками разности фаз помех, действующих
в каждом из каналов.
При анализе статистических характеристик разности
(суммы) начальных фаз помех необходимо иметь в виду
различные варианты. Приемники могут иметь
одинаковые полосу, среднюю частоту фильтра и усиление и
могут иметь различные указанные характеристики.
Помехи, возникающие на выходе, могут быть результатом
усиления и селекции внутренних шумов в каждом из
каналов; тогда они оказываются не зависимыми друг
от друга, но помеха может создаваться и внешним
общим источником, действующим для двух каналов; тогда
между помехами, имеющимися на выходах, возникает
корреляция. Исследование статистических свойств фазы
помех и смеси сигнала с помехой в многоканальных
системах в общем виде является сложной
самостоятельной задачей. При наличии достаточно сильного сигнала,
как это будет показано далее, функции распределения
фазы и ее производной становятся близкими к
нормальным и тогда вычисление функций распределения и
других статистических характеристик разности (суммы) фаз
существенно упрощается, так как функция
распределения разности (суммы) нормальных величин остается
нормальной.
135

При наличии слабого сигнала или его отсутствии
функции распределения фаз и их производных не
подчиняются нормальному закону, вычисление
статистических характеристик усложняется и они могут
существенно отличаться от характеристик фазы в каждом из
каналов.
Не рассматривая этих вопросов подробно, найдем
функцию распределения разности фаз в многоканальных
системах в предположении идентичности каналов и
независимости помех.
При наличии одних помех
W (<рш<) = 2^Г И ~~ * < ?1ТК < 7С'
где к — номер канала.
Для получения w(<fL) нужно найти функцию
распределения суммы к величин распределенных равномерно.
При двух каналах решение получается сравнительно
простым, с использованием характеристических функций.
Опуская преобразования, приведем окончательный
результат
w(fz)
О при ?£< — 2ic,
!^--2ic<*E<0;
(2*)2
|2-1!£0< <2
О ?s>2*.
При большем числе каналов решение становится
громоздким. Однако важно то, что при k>4 + 5 функция
распределения становится близкой к нормальной, с
дисперсией
*;=(21г)-
12*
Поскольку помехи в каждом из каналов независимы, то
функция распределения будет одинаковой для разности
и суммы фаз на выходе. Однако эти результаты
нуждаются в корректировании. Значения фазы <р2, большие тс
и меньшие —я, не могут быть отсчитаны ввиду
циклического характера фазы. Следовательно, плотности вероят-
136

ности, Например, для <f>E от * Д° 2-тс должны быть
отнесены к углам от —я до 0. В результате, если при
отсчете сдвига фаз не считать циклы, то функция
распределения возвращается к равномерной. Аналогичный
результат получается и при k>2. Среднеквадратичное
отклонение оказывается большим я. Это также
приводит к тому, что распределение для <р£, отсчитанного
в пределах ±я, оказывается равномерным.

ГЛАВА 3
Статистические
характеристики фазы
смеси сигнала
и помехи
§ 3.1. Функция распределения смеси. Рассмотрим
статистические свойства смеси помехи и сигнала.
Помеху по-прежнему будем рассматривать как случайный
процесс, имеющий нормальное распределение с нулевым
средним и дисперсией сЛ Смесь сигнала и помехи имеет
вид
y(t) = c(t) + n(t).
Для того чтобы найти основные характеристики
случайного процесса y{t), воспользуемся полученными
в теории правилами нахождения функции
распределения суммы двух случайных величин, функции
распределения которых известны.
Эти результаты можно распространить на сумму
двух случайных процессов, если рассматривать
одномерный закон распределения случайной величины,
характеризующей значения случайного процесса в
определенный момент времени.
Для смеси сигнала и помехи получим
+ 00
Wi{y, t)= J wia(v)wiC(y — v)dv =
—00
+00
= J wm(v)b[y — с (t)— v]dv,
138

так как
wvc(c)=6(c-c(t)l
где Wm — функция распределения помехи; ш1с —
функция распределения сигнала; v — переменная
интегрирования.
Дельта-функция во всех точках, кроме нуля, равна
нулю, тогда в результате интегрирования получим
w(y, t) = wm\y~c{t)],
Например, если
win(n) = w(n) = —-=—е п
У 2тс оп
и имеется сигнал с(/), то
у 2явп
Этот результат вытекает также и из физических
представлений. Если случайность суммарного процесса
определяется только помехой, то очевидно, что для разности
между смесью (сигнала и помехи) и сигналом будет
справедливо распределение, присущее помехе.
Следовательно, при суммировании случайного
стационарного процесса и детерминированного сигнала
получается нестационарный случайный процесс, поскольку
его одномерная функция распределения зависит от
времени, так как сигнал является функцией времени.
Помеху можно рассматривать как колебание со случайными
амплитудой и фазой. Смесь сигнала и помехи также
можно рассматривать как кодебание со случайными
амплитудой и фазой.
Представление смеси, т. е. суммарного случайного
процесса в виде колебания со случайными амплитудой
и фазой, очень удобно для решения многих задач по
изучению прохождения смеси сигнала и шума через
приемо-измерительное устройство. Функции
распределения амплитуды дают представление о функции
распределения напряжения на выходе идеализированного
139
(ЗЛ.1)
(3.1.2)

детектора, а функции распределения фазы —о
Вероятности тех или иных значений отклонений фазы сигнала
под воздействием помех. Последнее распределение
представляет особый интерес для фазовых систем. Изучение
законов распределения фазы в смеси сигнала и шума
позволяет выявить многие важные свойства и
особенности фазовых систем и должно быть выполнено
достаточно подробно.
Рассмотрим теперь методику получения функций
распределения для амплитуды и фазы смеси.
Представим узкополосный шум в виде
синусоидального колебания со случайными амплитудой и фазой
n(t) = An (t) cos <fn (t) cos c»Qt -J- An (t) sin cp„ (t) sin ш0/ =
= 0И (*) cos <»0t -f- En (I) sin <*0ty
TflfiJBjtJit) и £'й(^)—1узкополосные ^медленные, случайные
нормальные процессы с дисперсией, равной дисперсии
процесса п(/). Их функции распределения приведены
в гл. 2.
Сигнал так же можно представить как синусоиду,
промодулированную по амплитуде и фазе
c(t) = Ac(t)cos[<»Qt + <?c(t)l
а также разложить на две ортогональные
составляющие, у которых промодулированы только амплитуды
с (/) = §йс (t) cos <o0t -f- Ec (t) sin V i
где
®c(t) = Ac{t)cos<fc(t)\
.Ec(t) = Ac(t)sm<fc(t)\ (3.1.3)
Ac(t) = V®l(t) + E2c(t);
*W = arrfgggf
Как помеха и сигнал в отдельности, так и их смесь
тоже могут быть разложены на две ортогональные
составляющие. Функции времени, характеризующие
140

амплитуды ортогональных составляющих смеси, могут
быть выражены через функции, характеризующие
амплитуды ортогональных составляющих сигнала и помехи:
y\) = n(t) + c(t) = Ay(t)co&\»0t + 9y(t)\ =
■■ = £>у (О cos co0/ -f- ЕУ (О sin <»0t;
«МО = «МО + «WO. ®y(t) = A7(t)cOS<fy(t),
Еу (0 = Ее (0 + ^п (0. Еу (t)=Ay (0 sin <?у (0.
Зная функции распределения для S3u(t) и En(t), можно
получить функции распределения для 9iy{t) и Ey(t) и
затем перейти к функциям распределения амплитуды
и фазы суммарного случайного процесса (смеси).
Поскольку Sic (0 и Ее (0 есть функции времени, то
ортогональные случайные процессы §йу (t) и Еу (t) в общем
случае будут нестационарными.
Если случайные процессы Siy{t) и Ey(t) являются
нестационарными, то выражаемые через них случайные
процессы, характеризующие амплитуду и фазу смеси,
также будут нестационарными.
Однако в отличие от функции распределения для
мгновенных значений смеси, где любой, даже самый
простой радиосигнал обусловливал нестационарность,
поскольку его мгновенное значение изменялось по
времени, для функций распределения амплитуды и фазы
смеси простейший гармонический сигнал с известными
амплитудой, частотой и начальной фазой легко может
быть учтен; при этом для получения §Uy{t) или Ey(t),
которые используются для получения Ay(t) и фгДО»
к значению ортогональной составляющей помехи
добавляется постоянная величина Accosq»c или ^csin(pc
соответственно.
Благодаря действию сигнала у ортогональных
составляющих смеси изменяется только среднее значение.
В том случае, если вследствие модуляции сигнала по
амплитуде и фазе величины Ас и <рс меняются, то, найдя
функции распределения амплитуды и фазы смеси для
заданного значения Лс и фс, можно выявить
закономерность изменения искомой функции распределения .ампли-
141

туды или фазы смеси. При этом математические уреоб-
разоваиия существенно упрощаются. Основная причина
возможности упрощения м атем этических преорр а зов а -
мни состоит © том, что при переходе к распределениям
ортогональных составляющих, а также амплитуды и
фазы смеси удается иметь дело только с медленными
случайными процессами и избегать «высокочастотное™».
Воспользуемся изложенным для того, чтобы определить
последовательность преобразований, выполняемых при
получении функций распределения.
Воспользуемся краткой записью
0c = ^ccos<j>c, Й5П и £,c = A>sin<pr., En,
понимая под Ас и <рс постоянную величину или функцию
времени, тогда
@у-= ^ccos^c + ^n, Ey = Acsin<fc-\-En.
Поскольку для помехи принято нормальное распределение
с нулевым средним и дисперсией а2, то одномерное
распределение для §йи и Еп известно.
Тогда распределение для составляющих смеси будет
- —2~ <&у -Лс cos ^c)2
w^)=yk;e 'п ' (ЗЛ-4)
w(Ev) = —f-e п . (3.1.5)
Зная w($0y) и w(Ey), можно найти их совместное
распределение, т. е. найти плотность вероятности того или иного
сочетания значений.
Поскольку ортогональные составляющие смеси
независимы, то
ЮЛЯ», Еу) = и>(2Ви)т(Еу) =
="ife " • (зл.6)
142

\
w(Ayy ?y) может быть найдена из w(SBy, Еу) с по-
мощью\ правил функциональных преобразований функций
распределения.
Функции распределения w(Ay) и w(<fy) получаются
интегрированием w(Ay, <fy).
Аналогичная последовательность преобразований может
быть использована для получения многомерных функций
распределения w2(Ayu АУ2 *), w2(<fyu <рУ2, т) и совместных
функций распределения w2(Ayj Ay) и w2(fy, <fy)u
Основным фактором, облегчающим получение результатов,
является то, что помеха может быть описана
нормальными функциями распределения и функции
распределения ее ортогональных составляющих также нормальны.
Двумерные функции распределения для
ортогональных составляющих смеси имеют вид
wt(SJyi,-&ut, х)= ' X
(0у1-^оа¥с)Н(£)м-Лссо8ус)»-2К,(т)(Ду1-^оз»с)(Ду>-Лссо8 9с)
»
(3.1.7)
2e2[l—"/?2(i)l
Хе п °
wt(Evu EV2, z)= J_=X
2попК1-/?02(т)
_ <Eyi-Ac sin ^)г+(£уг -Ay sin У^-г^ХЕ^-Л,, sin ycXgyg -Ac sin yc)
2c;2 11- R2 (T)]
Хе п °
(3.1.8)
где /?o(t)—низкочастотный множитель функции
корреляции помехи.
Пользуясь независимостью ортогональных
составляющих, можно получить четырехмерную функцию
распределения
^4 (°Vyii °®У2) Еуи £уг):==:
= ш1(Я1/1> Яуш, *)wt(Eyu Ey2i x). (3.1,9)
Для перехода к четырехмерной функции распределения
амплитуд и фаз w4(Avl, АУ2,уУ1,фУ29 г), необходимо
воспользоваться правилами функциональных преобразований
ИЗ

функций распределения. Для получения w2(Ayu Ayii x)
и Щ(?уи Уу2> т) требуется выполнить интегрирование.
Изложенный выше метод, разработанный Бу/шмови-
чем В. И. [2.2], имеет ту положительную сторону, что
дает единый подход к решению многих задач /юлучения
функций распределения для амплитуды и (рзы смеси
сигнала и помехи и их производных. В случае одной
помехи удается получить выражения в закрнченной
аналитической форме, пригодные для расчетов. В случае
наличия сигнала и помехи при интегрировании часто
возникают значительные трудности и обычно получить
такие выражения не удается.
В заключение этого параграфа найдем функцию
совместного распределения w2(Ay, yy). Функция совместного
распределения w2(£6y, Ey) была получена ранее.
Для перехода к w2(Ay, <py) нужно воспользоваться
правилами функциональных преобразований функции
распределений
(Лу cos <?и—Ас cos lpt.)2-f(/l!/ sin <ру—Ac sin ?c)s
Xe
AVAl V. , ,
- COS ('5 — ф )
a, 2i i v
=l^e e • • (З.1.10)
Обозначив <py — <?с = Д?у, где куу — отклонение фазы
смеси от фазы сигнала, окончательно получаем
распределение для амплитуды и отклонения фазы смеси сигнала
и шума от фазы сигнала
а* +л'2 А л
У с /ic/Jw .
^2 ^-Ч
wz{Ay, A?„)=-^e " е п • (3.1.11)
В некоторых случаях удобна другая форма записи;
поскольку функция распределения для щ зависит только
от отклонения фазы смеси от фазы сигнала, то удобно
144

вестйч отсчет фазы смеси от фазы сигнала и положить
фс = 0.\ Тогда
Wm\AU, ?y) =
л —р ^cos?»
Ay п п
2**1
Как видно из результата, распределение для амплитуды
смеси и отклонения фазы смеси от фазы сигнала при
постоянной амплитуде сигнала не зависит от времени,
т. е. случайный процесс для Лфу является стационарным
для любого закона изменения фс. Очевидно, что
случайный процесс, характеризующий <j>y=<pc+iA<pv, является
нестационарным, если <рс меняется во времени. Это
важный результат, так как он показывает, что если
интересоваться не значениями фазы, в которую заложена
информация, а отклонениями фазы смеси от величины,
определяемой фазой чистого сигнала, т. е.
рассматривать вопрос об искажениях фазы сигнала, вызываемых
наличием помехи, то математические соотношения
значительно упрощаются.
§ 3.2. Одномерные функции распределения
амплитуды смеси и подавление при детектировании. Рассмотрим
теперь функцию распределения амплитуды. Эта функция
представляет интерес в том случае, когда информация
закладывается в фазу модуляции, а также для
изучения действия АРУ при помехах. При идеализации
детектора функция распределения амплитуды будет
соответствовать функции распределения напряжения на
выходе детектора.
Для получения функции распределения амплитуды
осуществим интегрирование
2тс
W ' *
*у+А1
(Ay)=\wa(Au,9u)db==Jt, . "1 иЦЛ, (3-2Л)
6 °« \ °" /
так как
— Г
2* J I a2
П / / Jf*cS*y \ Г / ПсПу
, ( jAcAy \ _ г ( A,AV \
(3.2.2)
1Q-635 145

где /0/—^j —функция Бесселя нулевого порядк/
(модифицированная).
Перейдя к относительным величинам ау=—^ и ас =
—-, получим
а2 4-а2
J/T с
2
w(ay) = aye /0(а^с). (3.2.3)
Кривые, построенные по этой формуле, приведены на
рис. 3.2.1. Полученная функция распределения носит
название обобщенной функции распределения Релея.
Для характерных значений ас можно найти более
простые асимптотические приближения формулы.
При ас = 0 /0 (0) = 1,
а2
У_
/ ч 2
w(ay) = aye
что соответствует функции Релея.
При ас <Г 1, т. е. для малых значений амплитуды
сигнала
w(ay)~aye 2 (1 + 0,25^ а]). (3.2.4)
При ас > 1
_ (*„-««>'
-К) = ^к-е-(а%0С> (l + ТйУ У^- (3-2.5)
Поскольку при ас>1 плотность вероятности для ay<Cl
очень мала, формула может быть упрощена
(ау-ас)»
у ч * 2— (3.2.6)
146

ИЛИ
(К-Ас)>
2g*
W{Ay):
У2псп
Следовательно, при сигнале, превышающем помеху,
распределение амплитуды смеси близко к нормальному со
U/fQy)
Рис. 3.2.1. Обобщенная функция распределения Релея.
средним значением, равным ас (или Лс), и дисперсией
а\ Среднее значение амплитуды смеси или момент
первого порядка определяет напряжение постоянного тока
на выходе детектора или результат детектирования
m1[(A,J)=^Ayw(Av)dAy.
(3.2.7)
Пользуясь полученным выражением для w(Av) и
опуская математические преобразования, получаем
^ 2с* '' 4.»
С
10*
(3.2 8)
147

Ьычйсление интеграла (3.2.7) приведено в [3.1]
г.к)=1/Л¥[(1+т)/-/л2
mt
+
+U*4
(3.2.9)
В таком виде формула мало наглядна. Для получения
формул, более удобных для расчетов, рассмотрим
случаи слабого и сильного сигналов.
д
При —— < 1 формулу можно упростить
«.(^««-/t^ + iI)-
= /я,(Л,)(1 + -^
(3.2.10)
(3.2.11)
Изменение среднего значения амплитуды смеси по
сравнению со случаем наличия одной помехи, которое может
рассматриваться как полезный результат действия
сигнала в смеси, может быть найдено из соотношения
Aimi = m{(Ay)—т\(Аи). Это выражение дает
приращение напряжения на выходе идеального амплитудного
детектора при подаче сигнала.
Для относительных значений изменения амплитуды
смеси или для полезного продетектираванного
напряжения формулы будут иметь вид
(3.2.12)
148

При ^-=ас<1
При^=ас>1
При увеличении сигнала Атх асимптотически
приближается к
Ьпг^Ас — °ir]/-у
(3.2.15)
График полученной закономерности дан на рис. 3.2.2.
Приведенные результаты характеризуют подавление
ем
6п
W Ас
6п
Рис. 3.2.2. Зависимость полез- Рис. 3.2.3. Зависимость флюк-
ного результата детектирова- туаций продетектированного
ния от Aden- напряжения от Ас1ои.
в детекторе слабого сигнала помехой, так как полезный
результат детектирования сигнала при наличии
относительно сильной помехи много, меньше, чем при ее
отсутствии. При напряжении сигнала большем, чем
среднеквадратичное напряжение помехи на детекторе,
подавление становится незначительным.
Для практических расчетов часто принимают, что при
^с>^п или —^>ап подавление сигнала по амплитуде
прекращается.
149

/
Флюктуации амплитуды смеси, вызванные помехой,
можно оценивать величиной дисперсии, т. е.
центральным моментом второго порядка.
Для центрального момента второго порядка можно
записать
ММу)=^\ = Щ{Аи)~м\{Ау) = 2^ + А\-т\(Ау),
(3.2.16)
так как
fc_
2<j2 оо
-4-
Хе К dAy = 2,l+A2c. (3.2.17)
Вычисление этого интеграла см. в [3.1].
Рассмотрим приближения для случаев
^<1, Лс—0 и ^>1.
д
При —<1 пг^Ау) дается (3.2.10), тогда
о* = 2а2 +Л2-а2^-( 1 + 4-Y (3.2.18)
Л п I с п ^ I 4о^ /
и
/ А2 ЛА V
4=^0,43 + 0^-0,1^-)
или
-^=]/0,43 + 0,2-+-0Д_+.
г п п
При Лс —♦ О Од = 0,43з2; это соответствует полученным
ранее результатам.
150

При—>1 mt(Au) дается (3.2.11). Тогда
«2 / «2
= 2а: + ^-^ + -|--<=ап2 1--J- . (3.2.19)
С
При ^ > 1
2 2
А п
Полученная зависимость графически изображена на
рис. 3.2.3. Из результатов видно, что появление сигнала
приводит к увеличению флюктуации амплитуды смеси,
т. е. к увеличению помехи на выходе детектора.
Из полученных результатов следует, что при подаче
сигнала на вход приемо-измерительного устройства,
содержащего детектор, происходят сложные процессы
изменения уровня помех и сигнала на выходе
детектора. При увеличении интенсивности сигнала до
некоторого уровня и полезный сигнал и помеха на выходе
детектора растут. По достижении определенного уровня
дальнейшее увеличение интенсивности помехи прекращается,
и с увеличением сигнала на входе на выходе происходит
увеличение только полезного сигнала. Изменение
соотношения между сигналом и помехой на входе детектора
и на его выходе будет характеризовать влияние
детекторов в схеме.
Найдем отношение полезного сигнала и помехи на
выходе детектора и сравним его с аналогичным
отношением до детектора.
Отношение полезного сигнала к помехе на выходе
детектора определится формулой
Am, _~'ml(Av)—ml{An) (3 2 20)
°* YK + 4-4V*)
В общем виде выражение получается достаточно
громоздким и целесообразно ограничиться его упрощенными
вариантами. Получим упрощение Гформулы и выразим —-
Ас
через —
151

При
<i
Д/я, __ 1 Г к
При
При
Атг
У 0,43 + 0
Ь>1
l-'i/l
«и
Am-i Ас
А2
2-
* 2
-0,1
<
(3.2.21)
(3.2.22)
Полученный результат показывает, что при уменьшении
отношения — отношение сигнала к помехе на выходе де-
тектора, начиная с некоторого уровня, быстро уменьшается,
что графически изображено на рис. 3.2.4. Таким образом,
Рис. 3.2.4. Подавление слабого
сигнала в детекторе по
отношению сигнал/помеха.
в детекторе происходит пбдавление слабого сигнала не
только по его амплитуде, но и по отношению сигнал/по-
А
меха. Из рис. 3.2.4 видно, что при ^->1 сротнрще-
152

нке между сигналом и помехой на входе и выходе детектора
одного порядка. При —^\^2 соотношение
сигнал/помеха на выходе детектора начинает быстро ухудшаться.
В практических расчетах можно приближенно
считать, что при ЛС>(ТП подавления нет и соотношение
сигнал/шум в детекторе почти не изменяется, а при
Лс<Оп начинается подавление.
Полученные результаты имеют существенное
значение, так как определяют подход к синтезу систем и при-
емо-измерительных устройств. Использование модуляции
в системах вызовет наличие порога, и не даст
возможности осуществлять эффективный прием сигналов,
уровень мощности которых на детекторе равен или меньше
мощности помех.
Однако приведенные результаты еще не полностью
характеризуют подавление полезного сигнала помехой,
так как не учитывают действие АРУ.
§ 3.3. Статистические характеристики напряжения на
выходе детектора и подавление сигнала помехой за счет
действия АРУ. Для определения влияния смеси сигнала
и помехи на детектор АРУ и режим приемо-измеритель-
ного устройства воспользуемся той же идеализацией,
что и при анализе влияния на детектор АРУ одного
шума. Рассмотрим АРУ с «задержкой» в детекторе и АРУ
с «задержкой» после детектирования и усреднения.
При использовании АРУ с задержкой в детекторе
напряжение детектора АРУ можно рассматривать как
среднее значение амплитуды смеси' сигнала и шума при
использовании для усреднения значений амплитуды
смеси, превышающих определенный порог.
Функция распределения амплитуды смеси дается
выражением (3.2.1).
Математическое ожидание для разности амплитуд
смеси н задержки, соответствующее среднему значению,
и величина напряжения на выходе детектора АРУ могут
быть найдены из следующих соотношений:
Л , ,2
оо оо _ Лу ~т Ас
С С А о—
bmb=}(Ay — Aa)w(Au)dAu=]-2e 2ln X
153

J i л2
Х1/Щ<1Ау--^е < lJ^\dAy.
(3.3.1)
Полученные интегралы не выражаются в элементарных
функциях, поэтому рассмотрим приближенные
соотношения.
При сильных сигналах — > 1 w(Ay) дается (3.2.6),
тогда
00 __И ^_
Am-
■=1^-Л")7^Ге "п ^ <3-3-2)
t3 ■
ИЛИ
оо (Ду ~ "с>2
Aw»=e»JifVir)e 2 dfl^: (ЗЛЗ>
где
/1з # ' у* с
а3 — —; ^2/ = г~"> ^с = ^~~•
°п сп оп
Произведем замену переменных ау — ас = 6, а3 —- ас =
— Ьг, тогда
оо _*!
*3
|оо _£! оо _ 5! ^
Известно, что
|оо _°_1 оо _L
= у!г f 6е ^-*в( е 2 rfft • (3.3.4)
(А К J
\ бе db=e 2
=-f e 2 £/6=1-/46,),
154

где F (b3) — табулированный интеграл,
Ani3 = о„
(S-ac)2
/2тг
-(a*-ac)\l-F(aa-a0)\y (3.3.5)
По полученным формулам могут быть построены графики,
дающие зависимость относительной величины напряжения
Рис. 3.3.1. Результат
детектирования в детекторе АРУ.
Рис. 3.3.2. Результат
детектирования в детекторе АРУ.
Am
на выходе детектора АРУ —- от соотношения между —
и — • На рис. 3.3.1 даны результаты вычислений величины
^L в функции^ для ^ = 5; 3; 2; 1.
Из рисунка видно, что при напряжении сигнала,
равном напряжению задержки, за счет наличия шума
вырабатывается заметное продетектированное
напряжение, которое вызывает срабатывание АРУ и уменьшает
усиление приемника до уровня, при котором Ас будет
меньше А3.
На рис. 3.3.2 приведены результаты вычислений ——
в функции — для
-=5 и 3. Из этих кривых также
1
155

следует, что при идеальной АРУ напряжение сигнала,
при котором продетектированное напряжение практически
исчезает, становится меньше, чем (0,1 ч-0,5)ад, примерно
на оп меньше, чем напряжение задержки.
На рис. 3.3.3 (кривая г) приведено изменение — в
зависимости от ^i-c, из которого следует, что
продетектированное напряжение становится незначительным при
Лз"-Лс > 1 ч- 1,5. При слабых сигналах (~ = ас < 1 J
Рис. 3.3.3. Результат детектиро- Рис. 3.3.4. Сравнение работы
вания в детекторе АРУ. детектора АРУ при помехах.
функция распределения амплитуды имеет сложный вид.
Поэтому для получения простых расчетных соотношений
необходимо воспользоваться упрощающими
аппроксимациями. Зная из (3.2.8) и (3.2.18) дисперсию и среднее
для смеси, можно принять их в качестве параметров
нормального распределения, аппроксимирующего
точную функцию.
При таком упрощении формулы, использованные при
вычислении результата детектирования для случая
сильного сигнала, могут быть применены и для слабого
сигнала с тем, однако, отличием, что при сильном
сигнале среднее значение функции распределения смеси
определяется только сигналом, а дисперсия — только
шумом, в то время как для слабого сигнала и среднее
значение, и дисперсия сложно зависят и от сигнала, и
от шума.
156

д
Тогда для каждого — можно найти значения т1(Ау)
и о2д по формулам § 3.2 и затем, подставив в выражения
для Д/Яз, вычислить результат детектирования и построить
зависимость от — и от —
сп °п °п
Am. = o, {-pLe
(at л-
v зй
-(fliа9-вcв)П-^K9-flc9Я}, (3-3-6)
где
при ас = О
_ 1 »25 а„ __ « q„ о
ей — 0,65 ап— '.^-^
v зй
Д/га8 = бп{--=г-е
-(a3a-2)[l-^(a3a-2)lj. (3.3.7)
Результаты расчета по этой приближенной формуле
для частного случая (Лс = 0) приведены на рис. 3.3.4
(кривая 1). Там же дана кривая 2, построенная по
точной формуле, полученной в гл. 2 для одной помехи (т. е.
для Лс = 0), и подтверждающая допустимость принятых
упрощений.
Пользуясь приближенной формулой, для разных
значений — < 1 можно [получить —- в функции — или —•
На рис. 3.3.1 и 3.3.2 приведены результаты расчетов,
кривые и точки для -^- <1, из которых наглядно видно
срабатывание АРУ от помех.
157

При использовании АРУ с задержкой по продетек-
тированному напряжению после его усреднения
напряжение на выходе АРУ будет определяться из
ктз^т^Ау) — Л3 или -^- = т1(ау) — аг. (3.3.8)
Выражение для т^Ау) и т^йу) было получено ранее
[см. (3.2.8), (3.2.9)]. Из них легко получить
^=|/":[(1+^)'Чт)+
2
+Т'.($)] е"^-а.. (3.8.9)
График зависимости Дт3/ап от ас приведен на рис. 3.3.2
пунктиром для — =1; 3 и 5. Представляет интерес
также зависимость ^т3/ви от а3 — ас, которая может быть
рассчитана по полученным формулам и графически
приведена на рис. 3.3.3 пунктирными кривыми: а) ■— <^1;
б) dl=l; В)^>1.
Из приведенного выше следует, что при АРУ с
задержкой по усредненному продетектированному
напряжению влияние помех на результат работы АРУ
существенно меньше.
Результаты показывают, что продетектированное
напряжение АРУ существенно зависит от помех. При
хорошем качестве АРУ оно может иметь небольшую
величину для заметного уменьшения усиления. Это
изменение усиления уменьшит уровень сигнала на выходе
радиочастотного тракта и дополнительно к подавлению
сигнала шумом в детекторе вызовет подавление сигнала
шумом за счет работы АРУ.
На основании приведенных выше формул и
графиков проведем анализ эффекта подавления сигнала
помехами за счет действия АРУ.
Положим, что в'"приемнике имеется достаточный запас
усиления, т. е. оп соизмеримо с Л3) и АРУ работает прак-
158

тически идеально от -^- = 0,05. Тогда из графика, изобра-
А А
женного на рис. 3.3.3, следует, что — -=1,5 для
А А
схемы с задержкой на детекторе и —— — = 0,3 для
схемы с задержкой по усредненному [напряжению. При
определенном Лс/оп эт0 равенство ^может соблюдаться
только за счет того, что усиление приемника изменится
благодаря работе АРУ. При этом Ас/ап изменяться не
будет, так как усиление в одинаковой степени изменит
и сигнал, и шум, но изменится Л,з/ктп за счет
изменения <Лп.
Рассмотрим зависимость напряжения сигнала на
выходе приемника с АРУ от напряжения сигнала на входе
приемника вначале для схемы с задержкой в детекторе.
Обозначим измененное значение ЛсАру и начальное
значение при отсутствии АРУ Лс0, аналогично опАРУ и опо.
Тогда
.3-sd£! 4-1,5. (3.3.10)
°пАРУ °по
Вследствие наличия шумов АРУ будет срабатывать при
меньшем уровне сигнала и амплитуда сигнала при
действии АРУ и помех будет меньше, чем в случае
действия одного сигнала без помех, т. е.
^сАРУ<^со-
Поскольку отношение Лс/зп не изменяется при работе
АРУ, то
Ас АРУ_Л0
°п АРУ °по
Удобнее относить амплитуду сигнала к величине задержки,
тогда
\ ару/у4з__°пару
AC{i/Aa опо
А /А _°"АРуА,
/1сАРУ/Лз— ajo Лз
159

или
A_l^I=^j i \. (3.3.11)
Воспользовавшись этими формулами и имея в виду, что
усиление приемника взято с запасом, т. с. аио^Л3у
можно провести расчеты и получить графики,
характеризующие изменение амплитуды сигнала на выходе
радиотракта при изменении уровня сигнала на входе, т. е.
при изменении —•
JCAPS
us
1 Z 3 <* Ас0 _ Ас0
6[\о А^
Рис. 3.3.5. Подавление сигнала помехами
при применении АРУ.
На рис. 3.3.5 приведены результаты расчетов. Кривая 1
соответствует идеальной работе АРУ без помех. Кривая 2
дает изменение ЛсАРУ/Л3 при учете действия помех.
Кривая 5 — зависимость опАру/аП0.
Из результатов следует, что наличие помех
существенно изменяет работу АРУ, вызывая заметное
уменьшение уровня сигнала на выходе приемника.
Из изложенного может быть сделан неправильный
вывод о том, что увеличение усиления приемника
нежелательно, так как вызывает срабатывание АРУ от помех.
Если уменьшить усиление, то это отразится на том,
что увеличится А3/апо и АРУ от помех срабатывать не
будет, но и уровень сигнала уменьшится. В качестве
примера на рис. 3.3.5 приведены кривая 3 для случая
160

Рис. 3.3.6. Влияние начального
усиления на сигнал при
применении АРУ.
идеальной работы АРУ без помех при уменьшении
усиления до уровня, когда Лз/Опо = 3, и кривая 4 при тех
же условиях, но с учетом помех. Для того чтобы
оценить влияние усиления, можно построить кривую,
приведенную на рис. 3.3.6, характеризующую изменения
уровня сигнала при изменении усиления, выраженного
в <Тпо/Л8.
Следовательно, при
использовании АРУ
увеличение начального
усиления приемника почти не
сказывается на уровне
слабого или сильного
сигналов на выходе
радиотракта. Отсюда вытекает
практическая
целесообразность увеличения
усиления приемников с тем,
чтобы неизбежные при
изготовлении и
эксплуатации значительные
изменения усиления не
сказывались бы на уровне
сигнала, подаваемого на измерители. При этом типовым
можно считать режим, при котором номинальное
усиление приемника создает уровень помех, вызывающий
срабатывание АРУ. Аналогичные расчеты можно провести
и для АРУ, имеющего задержку по продетектированно-
му усредненному напряжению. Из предыдущего следует,
что в этом случае помехи будут влиять меньше. Опуская
расчеты, приведем на рис. 3.3.5 (кривая 6) зависимость
ЛсАРУ/Л3 для этого случая.
Таким образом, хорошая АРУ решает проблему
постоянства напряжения, подаваемого с выхода
приемника на измеритель и детекторы, но, вместе с тем
вызывает и отрицательные последствия, основное из которых
состоит в подавлении слабого сигнала помехой через
АРУ.
Если приемо-измерительное устройство по тем или
иным причинам имеет широкую полосу пропускания до
фазоизмерителя, в котором осуществляется обработка
сигнала с соответствующим сужением полосы
пропускания, то отношение помехи к сигналу на выходе радиоча-
11—635 161

10 Ac
Рис. 3.3.7. Совместное действие
помех на сигнал при наличии
детектора и АРУ.
стотного тракта можно допустить больше, чем единица,
поскольку последующая селекция отфильтрует помехи.
Но при таких отношениях помехи к сигналу
происходит подавление слабого сигнала помехой в АРУ, в
результате чего уровень сигнала уменьшается. Идеальный
фазоизмеритель работает при любой амплитуде сигнала
и для него величина
этого отношения не имеет
значения. В реальных фа-
зоизмерителях для
нормальной работы
требуется определенное
напряжение сигнала,
уменьшение которого может
вызвать нарушения, и, хотя
отношение помехи к
сигналу остается
допустимым, приемо-измеритель-
ное устройство
перестанет нормально работать
из-за того, что помехи будут «забивать» (подавлять)
сигнал по его уровню. Это «забивание» наиболее суще-
А
ственно может проявиться при -^ < 1.
Если полезная информация заложена в модуляцию
радиосигнала, то подавление происходит и за счет АРУ,
и за счет детектора.
Пользуясь полученными выше соотношениями,
можно провести расчеты для конкретных случаев.
Рассматривая совместно оба эффекта подавления и перемножая
ординаты при одинаковых отношениях Ас/аи, можно
получить результирующую кривую, характеризующую
подавление. На рис. 3.3.7 приведена такая кривая для
типового случая при задержке на детекторе. При
задержке по продетектированному напряжению подавление
будет несколько меньше.
А
Из этой кривой следует, что при — <2-.-3 уровень
сигнала резко снижается и при — < 1 он становится
ничтожно малым, составляя всего лишь 10 — 20% от
номинального уровня при Ас > зц. Эти результаты имеют
важное практическое значение, поскольку оказывается,
162

что при использовании амплитудной модуляции,
например, в фазовых системах, работающих на частоте
модуляции, системах слежения с коническим
сканированием, где избирательность измерительных (следящих)
устройств может быть очень высокой и не
ограничивает возможность снижения сигнала ниже уровня
помех, это снижение не может быть реализовано из-за
подавления сигнала помехами.
§ 3.4. Функции распределения фазы в смеси
сигнала и помехи. Приступим теперь к изучению функции
распределения фазы:
СО СО
4+Лс
w(?v)=$wt(Auifu)dAu=\-^2-e 2*« X
О О
1/ С 1 Л
— ■ t> , cos ф __ лс лс cos2 ф
Хе - йЛ# = -Ь-е -" е-°" X
2По-
СО
xj" Ayi
(Л _л cosq»У- я2 .
2*„ . =
СО
X J (At + Accos<py)e **dAu (3.4.1)
где Аг = Ay — Ac cos ^у.
Представив интеграл в виде суммы двух интегралов,
получим
X
!!•
со
J
L —Accosvy
4
W^">- 2«o* C
!_ ос
Л,е 2'п <*Л,+ j*
-Ассоа1ш
sin* <ру
2°" X
-Л. 1
2
ЛсСОБ^^е 2*п dAt
1
163

А2 Л2
1 2 TV л 2 TV
. Le 2an e 2a« 4-
Л
l/27uan
J=— e 2ffn
^cCOSCp^^COS?^
ИЛИ
2
1 2
+^^f (accos?,)e 2 **'' , (3.4.2)
у 2тс
где, как и раньше,
ас = — и ?с = 0.
При ас = О
7Л1 /'ГО \
При ?в = 0
«>Ы = йг (3-4.3)
2
и»(?у = 0) = ^е 2 +^^(«с). (3.4.4)
Полученное выражение достаточно громоздко для
расчетов и во многих случаях оказывается более удобным
пользоваться упрощенными приближенными формулами
для ас<\ и ас>1.
При ас>1 плотность вероятности для углов фу,
существенно отличающихся от нуля, мала. Поэтому
аппроксимацию можно осуществлять для ограниченного
диапазона углов и положить не только ас>1, но и
ас созфу>1.
2
Тогда, пренебрегая членом е 2 и считая, что
F.(aecos<fv) » 1,
164

получаем
2 2 2
gc sin% ac Vy
.<,.>« Ь2£-, • -jfc. -
или
2
»<'f«)=7fc;e •*-™«:-T-i <3-4-5)
при увеличении уровня сигнала ас — — —' °° и °ф -* и>
т. е. функция распределения стремится к
дельта-функции, характерной для распределения фазы
гармонического колебания, когда возможно только одно значение
фазы. Следовательно, при ас>1 распределение фазы
подчиняется нормальному закону с дисперсией
2 "2
При ас < 1 выражение можно разложить в ряд по
степеням ас; тогда получаем (см. [2.1])
2/27С ' 4я 4/2*
, ч__1_ ] flccosyy _,_flgcos2yy flcsin2^cosyy+...
2гс
Кгс a^'sin2 <f(y cosif,y + • • • \
■■к[х + а*у iC0S<fy + T os2<Pv
2/2 /
(3.4.6)
Использование при ас<1 функции распределения в
виде, даваемом выражением (3.4.6), может вызвать
некоторые возражения, так как с точки зрения физики
процесса трудно объяснить возрастание (по мере
увеличения ас) роли члена с множителем ас, который
обусловливает отрицательные выбросы в плотнооти вероятности
фазы смеси при углах фу, близких к ±я/2. Поскольку
165

учет членов с более высокими, чем а2с, степенями ас
делает выражение громоздким, можно рекомендовать
пользоваться приближением, учитывающим только ас.
В этом случае выражение легко получается
непосредственно из (3.5.2), так как при ас < 1
e-T»i, е-Т',я,% = 1,
Тогда
или
accos (p;
2 /2я
/ \ 1 I #cCOS 9w
W^) = 2S
^(^) = 2^1+а«|/|С05Ч)Л (3-4-7)
Дисперсия флюктуации фазы при слабом сигнале
вычисляется из выражения
<=г-^;
При Лс = 0, т. е. для одной помехи,
2 я2
% = 3-
Следовательно, при ас<1 функция распределения фазы
соответствует косинусоиде с постоянной составляющей
1/2тг. На рис. 3.4.1 приведены функции распределения
фазы для различных значений ас. Там же пунктиром
показана аппроксимация нормальным законом. При
ас^2 совпадение практически полное, при ас-= 1
имеется некоторое расхождение. Для ас = 0,5 вид функции
распределения практически не отличается от
косинусоиды.
! I Среднеквадратичное отклонение фазы увеличивается
при уменьшении отношения — • График изменения а^
приведен на рис. 3.4.2. Сопоставление совместного
распределения амплитуды и фазы и одномерных распределений для
166

амплитуды и фазы в смеси показывает, что поскольку
w(Ay^y)=7^w(Ay)w(fy), то фаза и амплитуда смеси не
являются статистически независимыми. Статистическая
независимость фазы и амплитуды в совпадающие
моменты времени имеет место только при отсутствии
сигнала.
Рис. 3.4.1. Функции распределения фазы.
Некоторый интерес представляет также
интегральная функция распределения фазы смеси р(ч>у<<рУтп) —
= 0(ф2/инт). При слабых сигналах 0(фз/инт) будет близка
к прямой, проходящей через точку 0,5 при фз,инт = 0. При
сильных сигналах ^(фуинт) будет близка к кривой
интегрального нормального закона распределения. В
практических задачах существенный интерес представляет
вероятность того, что отклонения фазы смеси не будут
превосходить определенного значения ±фПор, т. е.
/7(|ф.у|<|фпор|), которое также может быть найдено
интегрированием w(yy) в пределах ±фПор. При отсчете
167

фазы смеси относительно фазы сигнала, положив
q>c = 0, получим
>(1?»1<|?пор|)= J w(<fv)d<fy = 2 J w(fy)d<fy =
-^nop °
^c Фпор acsln»<py
2 j 2ac f p,^ Чл 2
У"2л
J
cos 9у F(ac cos <fy)e
dfy.
Этот интеграл не выражается через известные функции.
В работе {2.1] он был приведен приближенно к выраже-
Рис. 3.4.2. Среднеквадратичное
отклонение фазы в зависимости от
Ас/вп.
нию, которое позволяет выразить /?(|ф?/|<|фпор|) в виде
следующего соотношения:
/>(|?vl<l<Pm>p|) = 2f (fl0sin?nop) — 1 +
1 tg Упор е 2 Л _ l+2cOS2yrioP у (3.4.8)
па*
^COS2(pn0p
Для сильных сигналов ас > 1
p(\?y\<\nov\) = 2F(ac9aoT,)-l = 2F (^)-l.
Этот результат понятен, поскольку при сильном сигнале
распределение отклонений фазы подчиняется нормальному
168

закону с дисперсией al ^тгъ' Для нормального закона
<? и с
вероятность выражается через табулированный интеграл.
Для слабых сигналов
На рис. 3.4.3 приведены кривые функции /?(|<рУК|<Рпор|)
для различных величин ас.
РИС. 3.4.3. ФуНКЦИИ р(|'фу|<|фпор|)
для разных ас.
§ 3.5. Четырехмерная функция распределения
амплитуды и фазы смеси. Исследование одномерных функций
распределения амплитуды и фазы смеси позволило
выяснить ряд особенностей ее действия на приемо-измери-
тельное устройство. Однако эти функции не дают
представления о быстротечности случайных процессов Ay(t)
и (py(t). Следовательно, полученные выше результаты
справедливы только для условий, что идеальный фазо-
измериуель безынерционен и реагирует на все
флюктуации фазы смеси — на радиочастоте или частоте
модуляции. При этом функция распределения мгновенных
разовых отсчетов фазы, снятых с такого фазоизмерителя,
будет совпадать с функцией распределения в смеси.
Однако реальный фазоизмеритель обладает
конечной инерционностью. Во многих случаях с целью
увеличения точности измерения фазы фазоизмеритель делают
заведомо инерционным с узкой полосой пропускания.
Для того чтобы оценить действие помех в системах
с узкополосным фазоизмерителем, удобно пользоваться
169

энергетическим спектром флюктуации фазы и
амплитуды.
Энергетический спектр флюктуации может быть
найден через функцию корреляции. Функция корреляции
может быть получена из двумерной функции
распределения.
Двумерная функция распределения амплитуды или фазы
может быть получена из четырехмерной функции
распределения амплитуды и фазы щ(Аь„АУ2, 9bi>Vvv%)>
которая, в свою очередь, методом функциональных
преобразований может быть получена из wA(SDvuS0St2JEbl9Ey2iz).
Согласно общему выражению для функций
распределения стационарных нормальных процессов можно
записать
щ («U «*ti. ■*) = д *—— X
•22*j/l-«g(*)
(&ul-d)*M2)y2--d)>-2R0('i)(2)yl-d)(g)y2-d)
2^Ц-#о(т)';]
Хе
w%(EbUElt,%) = -— ! X
оп22*]/1-Я02(г)
(Eyl-e)2+(Ey2-e)*-2R0W(Eyl-e)(Ey2-e)
2^[1-/?§(т)]
Хе
где d = Accos<?c', e = Acsm<f>c
Bn(z) = alR0(z)cos<B0%.
Тогда четырехмерное совместное распределение
составляющих запишется в виде
.,<*,„ Яи, Eyt, E„t, *) = ^.Д^Х
^2^ d)* +^Eyl - *)« + (Еу2 - в)» - 2/?0 (т)
Хе
Г (Ящ-<*)' + <
Kg),, -<*> (Яуа - rf) МЕуг - «) (gy. - е)} t (3.5.1)
2^П -*§(*)]
170

Для получений Wi(Ayi,Ayi,<pyuyy2,t) нужно перейти
от Юуи £бУ2, Еух и ЕУ2 к их выражениям через Ау и <ру,
т. е.
^ui = Ayicos^yi1 Яиш = Ау%со8?и»
и найти так называемый Якобиан преобразования, который
в данном случае равен АУ1АУ2, тогда
wA(Ayu Ay„<fyl9<fy„*) =
=AylAy9Wi{Ayico&<?yl, Л^соз^,, Ayx$m<?yU Ay2sm<?y21 %)=
___ У1У2 I \/
~(2«a2)«[l-«g(x)] eXP( 2cn'[l-*gW] A
X [(A„, cos? yi — Ac cos <pc)2 -f (Ay2 cos ?y2 — Ac cos ус)2 +
-f (Ayi sin <?yi — Ac sin <pc)2 + (Ay2 sin <?y2 — Ac sin <j>c)2 —
— 2/?0 (x) ((Л yi cos <py, — Л с cos <pc) (ЛУ2 cos <рУ2 — Ac cos <pc) +
+ (Avlsmful — Acsmvc)(Ayismvvt— AcsmVcWV
§ 3.6. Двумерная функция распределения, функция
корреляции и энергетический спектр амплитуды. Для
получения двумерной функции распределения амплитуды
необходимо выполнить интегрирование
+ ТС + ТС
щ(Ау1АЬ2,ъ)= J §Wt(AyUAj,„?yi,<fyv%)d<fyid<fyi.
—тс —тс
(3.6.1)
Этот интеграл был получен ранее (для случая
отсутствия сигнала). При наличии сигнала интегрирование
связано с громоздкими преобразованиями, которые мы
вынуждены опустить. Для случая гармонического
171

сигнала с постоянной амплитудой получено следующее
выражение: /
Л, А,
Щ(АуиАуш,х)=-
«J[i-*?(')]
■X
л2 j.i.2
а\
Хе 2^[1-^(т)] е »*[1-Л§(т)]-
00
xL/m/m t ))х
m=0 \ /
-X
m=0
AcAyi
^'iw^H^^v (ЗЛ2)
£m=l при m = 0 и Ет=2 при m>0. Для получения
функции автокорреляции и энергетического спектра,
наиболее удобных для практического использования,
необходимо выполнить преобразования
00 00?
ВА (х) = j J AvlAytwt (Avl9 Л,2, z) dAyi dAh2,. (3.6.3)
о о
oo
GA H = 4 J £л (т) cos от d*. (3.6.4)
о
Эти преобразования отличаются значительной
сложностью, поэтому ограничимся тем, что приведем
выражение в окончательном виде
(2т\)[(2т+ 1)!!
-X
X^j 22">(те!)2
т=0
А2^ (2/те — п)! (п!)2
л=0
L2a2 ! + «.(*).
X
хл(я-а»-2,/1+1, -rfral)- (3-6-5)
172

Б^пзод (3.6.5) имеется в [2.1]. Сложность выражений,
трудности упрощения для конкретных случаев делают
его мало пригодным для практического использования
и получения GA(co).
Трудности получения выражений для функций
автокорреляции и энергетического спектра могут быть
частично уменьшены, если использовать аппроксимацию
детектора\ в виде короткозамкнутого нелинейного звена
с квадратичной амплитудной характеристикой. Решения
для этого случая могут быть получены в аналитическом
виде (см. [2.1]). Однако такая аппроксимация менее
точно воспроизводит реальный детектор, чем принятая
в этой работе (идеализированный детектор). Полезно
хотя бы качественно определить вид энергетического
спектра GA (со) при разных Лс/ап. Ранее были получены
функция распределения, дисперсия и энергетический
спектр амплитуды помехи.
При появлении сигнала одномерная функция
распределения амплитуды, дисперсия флюктуации амплитуды
и энергетический спектр изменяются. Для дисперсии oj
и одномерной функции распределения были получены
выражения (3.2.1) и (3.2.16), позволяющие производить
вычисления при любых отношениях Ас/аи. Поскольку
функцию автокорреляции и энергетический спектр для
огибающей смеси точно вычислить трудно, то
попытаемся из физических соображений найти приближенные
соотношения. При относительно сильном сигнале
флюктуации огибающей будут обусловливаться биениями
между сигналом и составляющими помехами. Тогда
спектр флюктуации огибающей должен приближаться
к исходному спектру помехи (его виду относительно
несущей). При простейшем равномерном высокочастотном
спектре он должен также приближаться к
равномерному. При этом плотность мощности составит
так как при этом дисперсия флюктуации ал = °п. Таким
образом, спектр амплитуды, постепенно изменяясь по
мере увеличения сигнала, переходит от «треугольного»
к «прямоугольному» с более узкой полосой с увеличе-
173

нием дисперсий в 2,5 раза и увеличением плотности MOin-
ности на низких частотах примерно в 2,5 раза. Мо^шо
предположить, что изменение формы спектра связано
с изменением вида одномерной функции распредедения.
Чем ближе она к нормальной со средним, точно равным
амплитуде сигнала, тем ближе спектр к равномерному.
При увеличении сигнала плотность мощности ^ысокоча-
?
t
-Л
L— etc »*
- -s
?
а со*
Дм»
Рис. З.6.1. Энергетический спектр
амплитуды.
стотных флюктуации между составляющими помех не
изменяется и дисперсия флюктуации увеличивается за
счет биений между помехой и сигналом, т. е. на
частотах, меньших, чем А!,сои/2. При сильном сигнале
(Лс!>!сгп) происходит эффект подавления сигналом
детектирования высокочастотных составляющих биений (т. е.
биений с частотой от А!сои/2 до Л*ои), поэтому при
увеличении сигнала плотность мощности на частотах выше
А1сои/2 должна уменьшаться, а на частотах в пределах от
О до Д|С0и/2 — увеличиваться.
Поскольку при—->5о^ = а^ и среднее значение
функции распределения становится близким к Лс, можно
полагать, что при этом спектр амплитуды смеси
превратится практически в равномерный (для идеального
радиофильтра). На рис. 3.6.1 приведены спектры для
разных Лс/ап, причем их площадь, т. е. дисперсия флюктуа-
174

\
ции, получены из расчета по формуле (3.2.18) и (3.2.19),
а форма построена на основе качественных соображе-
ний/изложенных выше,
Иа полученных результатов следует, что трудности
получения точных соотношений для GA(co) и ВА(г)
обусловливаются, вероятно, сложным видом спектра
низкочастотных флюктуации, даже при наиболее
простом, равномерном спектре высокочастотных помех.
Можно ^заметить, что для инженерных расчетов
точное вычисление формы энергетического спектра не
обязательно по следующим причинам. Если измерительное
устройство безынерционно, то на него действует весь
спектр флюктуации. В этом случае можно пользоваться
дисперсией флюктуации, которая вычисляется точно.
Если измерительное устройство является узкополосным,
то в нем, как правило, используется полоса частот
вблизи от нуля и на его работе не сказывается сложный вид
энергетического спектра. Для выявления зависимости
плотности мощности на низких частотах от величины
сигнала можно воспользоваться тем, что при изменении
сигнала в основном изменяется спектр в пределах от О
до Д1сои/2, возрастая более или менее равномерно на
всем этом интервале частот.
Тогда в первом приближении с увеличением
сигнала'изменение GA (<o) будет таким же, как увеличение а2А ,
которое может быть вычислено точно. На рис. 3.6.2 дана
зависимость -у от —, вычисленная по формулам § 3.5. По
п
принятому предположению эта же зависимость отражает из-
04 (°) п /т
менение г ,т—, где и. (0)сс — плотность мощности при
сильном сигнале. Рассмотренные ранее энергетические
спектры не полностью отражают те сложные процессы,
которые имеют место в фазовом ириемо-измерительном
устройстве при модуляции сигнала, так как при их
получении принималась во внимание только несущая.
В реальных условиях действует не одна несущая, а
целый спектр модулированного сигнала. В простейшем
случае необходимо учитывать несущую и две боковые
полосы. Получение точных аналитических выражений
для этого общего случая связано с большими матема-
175

гическими трудностями. В первом приближении и ти
модуляции сигнала помеху можно оценивать
характеристиками, полученными ранее для одной несущей. 7
Рассмотрим теперь свойства фазовой системы/в
которой используется модуляция. Структурная с&ема и
эпюры спектров сигнала и помехи имеют вид/изобра-
§
<?
Рис. 3.6.2. Плотность мощности на
нулевых частотах.
женный на рис. 3.6.3. На выходе низкочастотного
фильтра будут узкополосная помеха и сигнал на частоте
модуляции. Для смеси сигнала и помехи статистические
характеристики были получены ранее. Причем было
установлено, что они зависят от отношения сигнала к
помехе.
В данном случае они должны определяться отношением
Л: Я
. Установим соотношения между
лс Й
Пола-
иДЯ "ДЙ °п
гая, что частота модуляции низкая, можем
приближенно считать, что плотность мощности помехи вблизи
частоты модуляции близка к плотности мощности на
нулевой частоте.
Для слабого сигнала дисперсия помехи в узкой
полосе фильтра А-^нф будет равна
,2 =G
^ДЙ
i(0)A^ = 0,8
Д(Оя
ДО
нф*
(3.6.6)
Продетектированное напряжение сигнала с учетом
подавления в детекторе может быть получено из
выражения (3.2.15)
Л» = ЛоЛ*/-£-^
176

Отношение сигнала к помехе на выходе детектора (в уз-
кой\юлосе фильтра — Д/^нф или АОНф)
лсй
"ДЯ
SXL
(£)' /£•*«>*.
4
(3.6.7)
«?м
ш0 ш
ж
5?м
I. Л**
Ш0
• Я*
РФ
А
НФ
Ася,<&ая
ИФ
Рис. 3.6.3. Структурная схема приемо-измерительного устройства,
в которой используется модулированный сигнал:
РФ — радиочастотный фильтр; Д — детектор; НФ — низкочастотный фильтр;
ИФ — измеритель фазы.
Для сильного сигнала:
Д(0И
2АЙьф
В системе без детектора отношение равно Лс/(Тп.
Пользуясь полученными формулами, можно найти
соотношение между сигналом и помехой в системах с
модуляцией и без нее.
При сильных сигналах
сДЙ ап Г 2Д9Нф
(3.6.8)
Глубина модуляции М может иметь величину, близкую
к единице. Предположим, что полоса ограничивается
только спектром сообщения, имеющим высшую частоту
QCB, тогда
Дб)и ^ 2QCB и АОнф = Qctu
12—635
177

Принимая, что A<dm=2QCb, считаем, что
сужение/полосы на радиочастоте возможно. При более точных
расчетах необходимо учитывать влияние узкой пол/сы на
радиочастоте на инструментальную точность. О^видно,
что если положить М=\, то
£f=4- / (3.6.9)
Таким образом, при сильных сигналах использование
модуляции не изменяет соотношения сигнал/помеха.
Однако нужно иметь в виду, что при этом изменяется
масштаб в — раз и несколько уменьшаются
инструментальные ошибки, выраженные в угловых величинах.
Поэтому точность измерения дальностей или скоростей
изменяется, ухудшаясь при переходе к системам с
модуляцией.
При слабых сигналах
^:Jl=iL/^of3AfsOf5(—V (3.6.10)
Таким образом, при слабых сигналах системы с
модуляцией дают значительный проигрыш по отношению
сигнал/помеха.
§ 3.7. Двумерная функция распределения, функция
автокорреляции и энергетический спектр фазы. Для
получения двумерной функции распределения фазы
необходимо осуществить двукратное интегрирование по
амплитуде четырехмерной функции распределения
фазы и амплитуды
ОООО
= \1^ЛАУи Ауг,9уи 9y»*)dAyidA„. (3.7.1)
6 о
Выполнение интегрирования связано с громоздкими
математическими преобразованиями, которые мы опускаем
(см. [2.1]).
178

6 результате интегрирования получается выражение
\
у 4CV |-Я0(т)
Хе
-v
°„ vi+Ro<*)
е
X
X J 2/?,(т)cos (?„,-?„)»•-1-х
т=0
Х<[ Лс
Ац кт.„
/I-Mt)
cos?„,X
Kl + Я.СО
3 A=/l-tf,O0
x4 2 Г*1 2' 2' '«fi+ад C0S^JJ +
2 ' 2 ' 2an /!+/?,(,)
COS<p
)}x
yj)2]}. (3.7.2)
'2on ^fqr
x(-
/72+ 1 1 Лс |^1—/?q(t)
cos 9
Л 2 ' 2 ' 2an /l+/?,(,)
где i/7! — гипергеометрическая функция:
, и(а+1)(а+2)*' ,
"rY(Y+J)(Y,+ 2)3! "Г*#-
Приведенное выражение отличается большой
громоздкостью и не пригодно для практических расчетов.
Выражение для двумерной функции распределения фазы
12* 179

имеет большое значение, так как должно позволить/по-
лучить функцию корреляции фазы и спектр флюктуации
фазы в смеси сигнала и помехи. Целесообразно
отдельно и приближенно рассмотреть случаи очень слабого и
сильного сигналов. /
При слабом сигнале, когда его присутствие еще
мало влияет на распределение фазы, можно ожидать, что
спектр флюктуации фазы будет близок к то^у, который
имеет место при одной помехе. Этот спектр был
получен ранее. Напомним особенность этого спектра. В
основном флюктуации фазы сосредоточены в области частот
от 0 до Д1сои/2, но имеются и высокочастотные
флюктуации, на долю которых приходится около 15% «общей
мощности». Эта часть флюктуации имеет большое
значение для понимания некоторых сложных процессов,
связанных с частотой флюктуации или производной
фазы флюктуации, однако при анализе воздействия
флюктуации фазы на фазоизмеритель с ограниченной
полосой пропускания они не окажут существенного влияния,
так как обычно находятся вне его полосы пропускания.
Для большого уровня сигнала функции
распределения и спектр флюктуации должны коренным образом
измениться. С целью получения соотношений,
характеризующих функцию корреляции и спектр флюктуации
фазы, выведем приближенную формулу ^2(ф^ь Щ2, т)
для сильного сигнала. Для этого обратимся к
выражениям (3.5.2), (3.7.1) и проведем в них ряд упрощений.
Положим, что отсчет фазы ведется относительно
фазы сигнала. Тогда можно считать фс = 0, и
00 00
о, о
Х^{-afri-Uwi [{AyiC°S*"'~АсГ +
+ А\х sin2 <?У1 + (AVi cos сруа — АсУ + A2yt sin2 <fvt —
— 2R0 (т) ((АУ1 cos<pyi — Ac) (Ауг cos <?Уг — A0) +
+ ^»isin91/1i4tflsin«p„1)l|rfi4widi4yi. (3.7.3)
180

При наличии сигнала и при Ас>ап вероятность
больших отклонений фазы смеси от фазы сигнала, как это
следует из одномерной функции распределения фазы,
незначительна.
Тогд4 можно положить:
Луг COS <Pj,,^ Ayi,
Ayicosfyi^AyV
Ayisin<?yi^Ayi<?yu (3.7.4)
Ab2sm<?y2^Ay2<?V2,
и выражение примет вид
.00 00
0 0
МАу-Ас)2+Ау#у* - 2/?„ (х) \{АУ1 - Ac) (Ayt - Ас) +
+ AytAytfytfytWldA^dAyt
или
°' 0 0
2c:2[I_R2(t)] 2»2 И—/?2 Cs)l
Хе ° е п. ° X
Хе- «*М*,;,„ e-*W^.V^)dVV (3.7.5)
В тех членах, в которых Ау1 и Ау2 участвуют в виде
множителей, в первом приближении можно положить, что
АУ\=АС и Ау2 = Ас, поскольку вероятность больших
отклонений амплитуды от Ас мала.
181

Тогда
2«2[1-R2(i)l
Хе П ° X
X , Ч=^Х
хИе х
О О
XdAyidAy2. (3.7.6)
Поскольку двойной интеграл выражает полную
вероятность, то его можно положить равным единице.
Тогда
А2
Щ(?уи ?у*,*)= 21/ С , X
2a2li_/?2(T)]
Хе п ° . (3.7.7) •
a2
Ранее было введено обозначение —\ — о при этом
2*«2/l-«g(x)
2сг2
Хе ф . (3.7.8)
Двумерное распределение для фазы смеси сигнала и
помехи соответствует распределению мгновенных значений
для смеси при условии переноса спектра (соо = 0)
182

в область низких частот; Rq(x) —низкочастотный
множитель в коэффициенте корреляции узкополосного
случайного процесса.
При этом дисперсия флюктуации фазы определяется
соотношением
„2
2
а =
4
В связи с этим нет надобности специально вычислять В^ (т)
и Gy{<u), так как они соответствуют RQ(т) и G*(<o), с
учетом множителя °2JA2c для флюктуации фазы.
G9(cj)
6<р /d/M
Рис. 3.7.1. Энергетический
спектр фазы.
•Ас*0
£=Л
Леи»
2
Дм»
О)
Воспользовавшись этими результатами, можно построить
энергетические спектры флюктуации фазы при сильном
сигнале. Например, для смеси сигнала и помехи с равно-
мерным спектром с полосой от <о0 —- до <о0 -|—^- и
дисперсией оп получим равномерный спектр флюктуации
фазы с полосой Д<ои/2, дисперсией q2JA2c и спектральной
плотностью
£рН = 0 при ^>~f£.
Ha рис. 3.7.1 приведен спектр флюктуации фазы сигнала
при ^~-=^г=. Там же для сравнения приведен спектр
VT
183

флюктуации фазы одной помехи. Как видно из рисунка,
при значительных изменениях отношения сигнал/помеха
форма спектра изменяется мало, если пренебречь
высокочастотной частью спектра флюктуации, появляющейся
при слабом сигнале или в отсутствие сигнала.
При изменении Лс/ап изменяется дисперсия
флюктуации по закону, который был установлен ранее.
Поскольку ширина спектра флюктуации остается в
первом приближении неизменной, то плотность мощности
(энергетический спектр), в том числе и на частотах,
близких к нулю, может быть найдена из соотношения
о2
G (0)=2^.
§ 3.8. Подавление слабого сигнала помехой при
демодуляции фазы. Во многих фазовых системах
информация заложена в фазу высокочастотного колебания.
Тогда извлечение полезной информации из сигнала, т. е.
демодуляция фазы, сводится к измерению фазы смеси
сигнала и помехи. Для увеличения точности измерения
фазы при наличии помехи можно сужать полосу до и
после демодулятора-фазоизмерителя. В некоторых
случаях желательно осуществлять вторичную обработку
результатов фазовых измерений. Простейшим видом
такой обработки является сужение полосы после фазоиз-
мерителя, что просто может быть реализовано путем
включения инерционного звена или фильтра нижних
частот.
При сильном сигнале, когда оп<Ас,
0*-if=^T' (3-8Л)
с с
где Af„ — полная полоса по высокой частоте.
Если фильтр после фазоизмерителя пропускает узкую
полосу AF, то
но
о2
<pv ; А/и А2
184

и для идеального фазоизмерителя
Vf-^2^- A2
досужая полосу пропускания фильтра, включенного после
фазоизмерителя, можно при заданном о*/А2 добиться очень
малых значений а2^. Рассмотрим более подробно работу
системы с узкополосным фильтром, включенным после
фазоизмерителя при малых отношениях сигнала к
помехе.
При слабом сигнале распределение фазы
становится равномерным, дисперсия флюктуации фазы
стремится к я2/3, а энергетический спектр флюктуации в
первом приближении можно считать равномерным с
плотностью мощности
где А/и — полоса помехи до фазоизмерителя.
Если на такой фазоизмеритель действует одна
помеха, то при сужении полосы A\F казалось бы должно
происходить уменьшение дисперсии флюктуации фазы в
соответствии с соотношением
^ = 2йА/7- <3-8-2>
Однако само среднее значение фазы помехи является
неопределенным или любое значение начальной фазы
является равновероятным. Таким образом, при сужении
полосы после фазоизмерителя быстрые флюктуации
фазы перестают влиять на результат, величина отсчета
может быть почти постоянной, но само значение фазы
может быть любым. Следовательно, в этом случае
выражение (3.8.2) теряет смысл и работа фазоизмерителя
с включенным на его выходе фильтром при большом
уровне помех требует специального рассмотрения.
При отношении помехи к сигналу —-> 1,5-^-2 функций
распределения имеет вид, близкий к нормальному закону
185

со средним значением, соответствующим фазе сигнала, и
дисперсией о =-| при практически нулевой вероятности от-
клонений, близких к ±та, Для подтверждения этого на
рис. 3.8.1 приведен график зависимости
п2
йу(¥ = ±:*) = -7г-е
П-Р(ае)\.
2* ~ у~^
Следовательно, при ас= 1,5-^-2 можно считать, что
среднее значение фазы смеси будет точно соответствовать
Рис. 3.8.1. Плотность вероятности при
Аф=±я.
фазе сигнала, вероятность отклонений, близких к ±л,
ничтожно мала и сужение полосы после фазоизмерителя
будет уменьшать флюктуации фазы.
При а0<1,5-5-2 вероятность больших отклонений
фазы становится заметной и функция распределения
отклоняется от нормальной.
Для того чтобы выяснить влияние фильтрации после
фазоизмерителя при слабом сигнале, применим
следующий метод. Если помеха имеет большую величину, то
ее можно представить в виде суммы двух
составляющих: одной — пь дающей флюктуации фазы смеси
относительно фазы сигнала, и второй — пг, дающей
равновероятное распределение фаз, тогда
„2 J- i
а = с. -4- (
л п1 I
п2
186

и
yti2
= V<-<>- (3.8.3)
Часть помехи, обусловливающая флюктуации фазы
сигнала, не превосходящие ±л и подвергающиеся
усреднению, находится в определенной пропорции с Ас.
Для нее справедливо
!£!< 0,5 — 0,75 (см. рис. 3.8.1). (3.8.4)
Обозначим допустимое отношение символом k
а2, — £2Л2, (3.8.5)
111 '
тогда
<Ь=<-»К=<[1-»^)- ■ (3.8.6)
Составляющая п2 может иметь любую начальную фазу,
и фильтрация после фазоизмерителя не может повлиять
на функцию распределения и дисперсию флюктуации
фазы, обусловленных этой составляющей. При любой
полосе она останется равной л:2/3. Таким образом,
флюктуации фазы на выходе фильтра, включенного
после фазоизмерителя, будут определяться двумя
составляющими: составляющей, вызываемой пь с дисперсией
2
а* _2^_1-ДО^-^- (3.8.7)
с
и составляющей, вызываемой пг, с дисперсией, не
зависящей от полосы.
Определим дисперсию отклонений фазы, вызываемых
составляющей п2. Имея равномерную функцию
распределения, эта составляющая будет вызывать отклонения
фазы сигнала, определяемые сотношением между Ас и
п2. Можно полагать, что дисперсия этих отклонений
определиться из (3.4,5) в зависимости от соотношения
187

между Ас и <7п2 и при подстановке в формулу Ас/оп2
ИЛИ 1
На выходе фильтра результирующая дисперсия отклонений
фазы от точного значения, определяемого фазой сигнала,
будет^равна
~2 _2 | 2
О , rrr О , —\— G
ФФ cpl 1 ф2*
Пользуясь формулами (3.8.6), (3.8.7), (3.8.8) и (3.8.9), мож-
но найти а ф при любом -^-, ДО и До>и, задавшись k
(обычно можно брать k = 0,7). Для того чтобы выявить основ-
Рис. 3.8.2. Предельная
флюктуация фазы.
ную закономерность, свойственную фильтрации после фазо-
измерителя, рассмотрим предельный случай очень
узкополосного фильтра, когда а^ становится пренебрежимо малой
величиной по сравнению с ^2. На рис. 3.8.2 приведены
графики полученные из расчета по приведенным выше
формулам, для ДО—*0; на рисунке приведены следующие
обозначения: о — среднеквадратичная фазовая ошибка при
предельно узкой полосе фильтра; оф—среднеквадратичное
188

значение отклонений фазы смеси сигнала Ас и помехи с
дисперсией а*.
Из результатов следует, что сужением полосы
пропускания после фазоизмерителя можно улучшить
точность фазовых измерений только при Лс> (0,5-И) ап.
При Лс< (0,5-=-1) стп сужение полосы пропускания после
фазоизмерителя не может дать точных результатов при
измерении фазы. Таким образом, при демодуляции
фазы, так же как и при демодуляции амплитуды,
существует пороговое отношение Лс/стш при котором имеет
место подавление слабого сигнала помехой, и
последующая фильтрация не может дать таких результатов,
какие обеспечивают сужение полосы пропускания
демодулятора — фазоизмерителя.
§ 3.9. Функция распределения «нулей» смеси сигнала
и помехи. В фазовых системах для отсчета фазы иногда
используется временной интервал между «нулями»
колебания смеси и опорного колебания. Этот, метод
измерения фазы позволяет использовать цифровую технику
в фазоизмерителях, так как временной интервал удобно
оценивать по числу укладывающихся в нем счетных
импульсов. В некоторых схемах используются
ограничители. В этом случае основная информация о сигнале
оказывается сосредоточенной в моментах перехода
процесса через нуль. По этим и ряду других причин,
известный интерес представляет функция распределения
«нулей» и ее связь с функцией распределения фазы. Момент
перехода через «нуль» может характеризоваться
интервалом времени to между моментами перехода через
«нуль» напряжения смеси и опорного напряжения, как
это показано на рис. 3.9.1. Тогда функция
распределения «нулей» будет характеризоваться функцией
распределения интервалов времени to. Для решения этой
задачи отметим, что вероятность перехода через уровень
Уо в какой-то момент t с положительной производной
может быть выражена через совместную плотность
вероятности случайного процесса и его производной
[2.4, 3.4, 3.5, 3.6].
р(уо — ^г<у<уо+Ц-> w=y>0> *)=
Оо Уо+Ьу/2
*=J J w,(y,y,t)dydy, (3.9.1)

где уо — уровень, момент пересечения которого отсчиты-
вается. В дальнейшем эту величину положим равной
нулю, т. е. будем отсчитывать «нули», но пока для
общности оставим обозначение у$. Интервал Ау должен
Рис. 3.9.1. Интервал времени между
моментами перехода через нуль.
по величине быть малым, тогда внутренний интеграл
вычисляется просто, так как при этом
.Уо+Д.У/2
= ®ЛУо>У* ОаУ = №(Уо, У, t) M (3.9.2)
и
р(у.-Ц-<у<у*+Ц-, у>о, *)=
00
= At\'yw2{y0,y\t)dy. (3.9.3)
О
Но вероятность переходов через уровень у0 в момент t «+-
-*-t-\-bt может быть выражена через плотность
вероятности и интервал Д/, т. е.
р(Уо — &У<У<Уо, У>0, t) =
= w(y9) t) At = At J ywt(yt, у, t)dy, (3.9.4)
i
190

откуда
оо
И*. Уо)=\уи>ЛУ0, У> t)dy. (3.9.5)
и
Следовательно, для получения искомой функции
распределения нужно найти совместную плотность
вероятности w2(y, у, t) и затем выполнить подстановки и
интегрирование. Помеха имеет нормальное распределение
с дисперсией о^, тогда функция распределения смеси
помехи с сигналом с(/) имеет вид
.2
w{y't) = Vb
1 2ап
Оп
Производная помехи также имеет нормальное
распределение с дисперсией ojj, тогда функция распределения
производной смеси помехи с сигналом будет
w(y, t) =
Поскольку значения помехи и ее производной в
совпадающие моменты времени не зависимы, то совместная
функция распределения может быть записана в виде
. „ .-\
[У-с№ ] I d_i
\-y__dc{t)\*
"(У, У> ') = - X е 1 " 2°« К (3.9.6)
Для подстановки в формулу (3.9.5) нужно взять у=у0
и момент времени t = %, тогда
W
г п
<1Уо—с(т)1» , [> —с (т;)р |
I 2оп 2ог2 f .
Хе 1 п " >dy, (3.9.7)
т — время, отсчитанное от момента перехода чистого
сигнала через уо.
191

где
с (х) = с (t) при t = т;
• f ч tfc (Л ,
Вынесем за знак интеграла члены, не зависящие от у.
_ П-Уо-с (т))» с' (1) 1
1 I ^ *? f
00
У2 — 2>с(т)
XJye 2a» rfy. (3.9.8)
о
Интеграл, входящий в выражение (3.9.8), вычислен в
[3.3]
j>2 —2>>С(Т)
00 9
(» . 2<И
О
: =^[r(l).F.(,,J- ±|>)+
+^^(£)л(4-.-&-.ЭД <зм>
Известно, что:
г(1)=1, г (4-)=^?.
c2(t)
F(±± il^Ve2^
11 х I 2 V 2 ' 2а? /
/г Л JL i!W
11,1 2 ' 2а?
п
с(т)
с «СО Kg" а.
П
192

c(t)
c(x)
*1
w J-"
dU
pt Je!«, = f(^f)-0,5.
Подставив эти выражейия и произведя преобразования
получим
У* — 2ус(х)
2а?
</е
dy =
-<{
1
с2 (т)
а. п с(х) ./а:
о.
п
/2ц/7
с(х)
}•
(3.9.10)
Подставив в (3.9.8) и положив t/0 = 0, т. е. перейдя
к функции распределения нулей, получим
"Ы ='%£■„*
nJx
С* (Т0)
Х(1+е А ^U'^F [C^-|} =
/27С
2тс
!_ /г I с (то1
+
а.
п
. с2 Ы
с(х0) ' 2°п
2с е
п
(3.9.11)
Для выявления функции распределения отклонения
нулей от тех моментов, которые наблюдаются при сигнале
без помех, удобно взять сигнал в виде гармонического
колебания с пересечением нуля при То=0.
13-635 193

Тогда
с (t) = Ас sin *>0/, с (x) = Ac sin o>0 x,
С (t) = co0Ac COS to0 (£), С (x) = (О0Лс COS co0x.
Известно, что
2 2 2 г $
a- =0 6), , со. =con-4-Oto.
П II I ' * u '
Подставив в (3.9.11) и имея в виду -^=—, цолучим
"с . 9 "О «с ,
— sin» %-со + — -2~ cos шото
Хе * Ш] ' +
--Ц^—accosco0x0rl— accosto0x0 A
_ sin<ooTo
Хе 2 . (3.9.12)
Для сравнения с функцией распределения фазы удобно
перейти к отсчету временного интервала х0 в угловых
единицах сруо = со0т0.
Тогда
Ш^*)=с^Х
Yvo
Хе ' ' +
л2
ас
— sin2 ср
+J^acc<*9V0F(!± aecoscp.oje 2 M. (3.9.13)
Из (3.9.13) следует, что функции распределения
нулей и функции распределения фаз (см. (3.5.2)] по своему
виду хотя аналогичны, но отличаются друг от друга.
194

Различие в основном определяется отклонением
множителя —— от единицы.
В частном случае (очень узкополосного процесса)
G>1 1
—L= 1 и
^Ы = ^ге 2 +
2тс
2
1
+Т=- ас cos <?y0F (ac cos уу0) е
у 2тс
-sin2 и;,,
что полностью совпадает с (3.4.2). Следовательно, для
очень узкополосных процессов при любом отношении
сигнала к помехе функции распределения нулей и фаз
совпадают. Рассмотрим случаи сильного и слабого
сигналов.
При ас > 1 — сильный сигнал
2 2
<0(?*о) =
1/2тс
Функция распределения нулей нормальная для любой
ширины спектра помехи с той же дисперсией, что и для
фазы
При ас < 1 — слабый сигнал
wt9 ) = ^1-14-асС0$у"° =
=-S-i(1 + "5"ac'/'-rC0S^)-
Функция распределения нулей близка к функции
распределения фаз [см. (3.4.7)], но поскольку при широкой
полосе помех coi заметно больше со0, она получается
более сглаженной, т. е. с менее выраженным максимумом.
13* 195

Полученные результаты имеют большое значение. Они
показывают, что флюктуации положения «нулей» под
действием помех такие же, как и флюктуации фазы. При
сигнале с изменяющейся фазой полученные результаты
справедливы не для нулей, а для их отклонения от
положений, определяемых чистым сигналом. В первом
приближении можно полагать, что дисперсия
отклонения нулей, энергетический спектр и другие
статистические характеристики близки к соответствующим
характеристикам фазы. Следовательно, прохождение смеси
сигнала и помехи через ограничитель не влияет на
информацию, заложенную в фазу сигнала, и не
изменяет влияния помех на результат измерений. Таким
образом, для фазовых систем и для систем, в которых
информация об особенностях сигнала заложена в его фазу,
например фазоманипулированный сигнал, ограничитель
является как бы линейным устройством.
§ 3.10. Функции распределения фазы при
детерминированной помехе, имеющей случайную фазу. В фазовых
системах встречается такой случай, когда, кроме
полезного сигнала, фаза которого несет информацию, в точку
приема приходит сигнал той же частоты, но с другой
начальной фазой. Фаза результирующего колебания
изменяется и информация, заложенная в фазу,
искажается.
Рассмотрим случай, когда полезный и мешающий
сигналы являются гармоническими колебаниями:
с (t) = Ас cos (co0^ -f"?c) — полезный сигнал;
сОТм(0= -Аотр^о' + Тотг) —мешающий сигнал
(отраженный);
тогда с, en (t) = Лс г.ез cos (co0f -f <p, e8) — результирую-
щий сигнал. • (3.10.1)
Поскольку в данном случае интерес представляет не
фаза результирующего колебания, а ее отклонение от
фазы полезного сигнала, то положим фс = 0, отклонение
фазы ф>рез будет случайным, так как фаза ф0Тр —
случайная величина, для которой в большинстве случаев
может быть принято равномерное распределение.
Требуется найти ад (<ррез). На рис. 3.10.1 изображены фрез, фотр,
196

ЛСу Л0Тр. Так как w(^0TV) известна, то для получения
ДО (фрез) нужно найти функциональную связь между фр^
И фотр.
Пользуясь . соотношениями для косоугольных
треугольников, можно получить:
sin <Рг«в = -^ sin (те — 9, ез + Тотц),
tg?;.e3 =
?.«8 = arctgTq7F
6 sin <р0Тр
l + 6cOS<foTp '
6 sill^oTP
COS <ротр
6=
^отр
(3.10.2)
= P(?ptr). (З.Ю.З)
Лтд
Рис. 3.10.1. Искажение
фазы сигнала.
Найдем обратную функциональную связь
COS <Ротр = — -f Sitl2 <pi<e3 + C°S ?рез V& — Sin2 <рРез ,
9отГ. = arc cos J —y sin2 b** +
+ COS? ез1^2— Sin29je3 ]=a(?pe8). (3.10.4)
Функция a (9, .ев) многозначная, так как одному
значению косинуса соответствуют в пределах ± тс два
значения угла 9отг" Известно, что
^(<?Г(е3) = ^(?от].,)
rffoTTl
</fpe
+»<*««>|^
(3.10.5)
197

где
fOTpi
rffoi
^рез Д<ррез
— производные для двух значений
У™а ¥отР1 и 9отГ.« тв>(9отг) = -±г. Выполнив
дифференцирование выражения (3.10.4) и подставив в (3 10.5) после
преобразований получим ' )%
w'^)=TvF^ - (зло.6)
я У О2 — sin2 <р, ез У '
при b< 1. Аналогично получим
при 6>1.
На рис. 3.10.2 даны функции распределения для
нескольких значений *. Как видно из результатов, функции
м(9т)
Рреэ
Рис. 3.10.2. Функции распределения фрез.
распределения фазы смеси полезного сигнала с мешаю-
?Л1СИЛЬН0 отличаются от Функции распределения фазы
смеси сигнала с узкополосной помехой, хотя в том и
другом случае мешающий процесс имеет случайную
равномерно распределенную фазу. Причина этого отличия
состоит в том, что в рассматриваемом случае амплитуда
ел ч1йнаРеДеЛ6НН0е ЗНачение' а для помехи «на также
198

б частном случае, когда Л0Тр> Лс
™ ( \ 1 (л I C0S<Ppe3 \
«»(1>ре8) = -2Г^1 + f—y
Это совпадает с (3.4.7), если принять
±—/+-
что оправдано, так как ас=-^-, a 6=j-2-. Следова-
2
; г з * s ;
5
Рис. 3.10.3. Дисперсия отклонений
фазы.
тельно, при сильном мешающем сигнале функция
распределения практически совпадает с функцией
распределения фазы в смеси сигнала и помехи. Интересно
отметить, что:
— при 6< 1 среднее значение функции
распределения совпадает с функцией фазы сигнала и
усреднение по множеству (или по времени, если ф0Тр изменяет-
ся) может улучшить результат измерения фазы;
— при b >\ имеется составляющая -^—, которая так
же, как это было показано в § 3.8, при усредненци не
дает повышения точности измерений. По этим причинам
при Ь>\ и при любом усреднении останется ошибка.
Дисперсия отклонений фазы может быть вычислена
по формуле:
—я
199

Опуская преобразования, приведем результат зависимо*
сти а2л от-г-(рис. 3.10.3).
Vpe3 О хг '
§ 3.11. Особенности функций распределения фазы
в двухканальных системах. В двухканальных системах
информация заключается в разности фаз двух сигналов,
каждый из которых сопровождается помехами.
Несмотря на то, что исследование двухканальных фазовых
систем является самостоятельной задачей, полученные
выше результаты можно использовать и для анализа
некоторых случаев двухканальных систем.
Смесь сигналов и помех в каналах запишем в виде
y1(t) = c{t1yCl) + n1{t) = Ay1{t)cos[c>0t + <?Cl + <?yi(t)\
и
= Ay2(t)cos[<»ut + <?cz + <?vAt)\. (3.11.1)
Полезным результатом работы системы является разность
фаз.
Без помех Д<рс = <рС1—<рС2. При наличии помех
Д?Л0 = ¥о.-?е.+ ?,.Ю-Ы')- (З.П.2)
Следовательно, полезный результат будет искажаться
флюктуациями Afci (*) = ?vi (')—Ли (') Iй влияние помех
будет определяться функцией распределения и
энергетическим спектром случайного процесса А<рп(0- В общем
виде решение задачи сопряжено с многими трудностями
(см. [3, 4]) и не является целью данной работы. В
случае, когда помехи n\(t) и n2(t) не зависимы, т. е. не
создаются одним источником, действующим на оба
канала, а определяются самостоятельными факторами
в каждом из каналов (например, внутренние шумы
приемников) и сигналы в каналах превышают помеху,
статистические характеристики Д<рп могут быть найдены из
полученных выше формул. При этом cp^i (/) и фуг(0
имеют нормальное распределение.
200

Тогда функция рспределения для-Д<рь(/) также
нормальная, с дисперсией
< = 4 + «4=4-+^- (ЗЛ1-3)
лс1 лс2
Энергетический спектр является суммой энергетических
спектров флюктуации фазы в каждом из каналов
. G4VH = G9IH + G^(«). (3.11.4)
Если каналы идентичны и соотношения между помехой и
сигналом в них одинаковые, то GA(f(<o) = 26^ (со).
Следовательно, все полученные выше результаты справедливы
с учетом (3.10.3) и (3.10.4) и для двухканальных систем.

ГЛАВА 4
Роль фазы
в обнаружении
радиосигналов
§ 4.1. Статистический подход к проблеме
обнаружения сигнала в помехах и критерии оптимального
обнаружения. Обнаружение радиосигнала на фоне помех —
это операция, при которой осуществляется ответ на
вопрос о том, есть сигнал, или его нет, а есть только
помеха.
Обнаружение сигнала является первой операцией,
с которой начинается функционирование
радиотехнической системы.
При дискретных методах передачи информации
обнаружение радиосигнала является основной задачей
системы связи. В радиолокации обнаружение цели также
сводится к обнаружению радиосигнала. В
радионавигации и в траекторных измерениях работа системы
также начинается с обнаружения сигнала. Если сигнал
обнаружен, то это показывает, что система
функционирует и объект вошел в зону ее действия. Во многих
фазовых системах используются импульсные сигналы,
тогда работа начинается с поиска такого сигнала, т. е.
также, по существу, с его обнаружения.
Большое значение имеет оптимизация обнаружения
сигнала на фоне помех, т. е. нахождение такой схемы и
принципа действия приемоиндикатора или такой
процедуры или алгоритма, или правила обработки смеси
сигнала и помехи, которые позволяют оптимально, т. е.
наилучшим образом, обнаруживать сигнал. Помеха является
случайным процессом, а сигнал — функцией времени
со случайными параметрами, поэтому единственно пра-
202

ёильным подходом к задаче обнаружения является
статистический, вероятностный подход.
Задача обнаружения рассматривается обычно с
позиций теории проверки или испытания статистических
гипотез и является частью общей теории статистических
решений.
Рассмотрим задачу обнаружения с этих позиций.
При обнаружении сигнала предполагается, что сигнал
имеет конечную длительность и приемо-индикаторное
устройство осуществляет некоторое время наблюдение
того процесса (смеси), который поступает на вход
радиоприемника; при этом накапливаются статистические
сведения об этом процессе.
Для того: чтобы выбрать гипотезу или принять
решение, в приемоиндикаторе должна каким-то образом
осуществляться обработка статистических сведений,
поступивших на вход за время наблюдения. Правила, алгоритм
обработки должны быть заложены в
приемо-индикаторное устройство, в его схему и принцип действия.
На основе полученных сведений нужно выбрать одну
из альтернативных гипотез. Одна гипотеза—сигнал есть;
обозначим ее символом Гс. Другая гипотеза — сигнала
нет; обозначим ее символом Го-
Поскольку прием сигнала и выбор гипотез
происходит в условиях наличия помехи, то принятие решения
сопровождается ошибками. Ошибки могут быть двоякого
рода.
Может быть «пропуск сигнала», т. е. такой случай,
когда на основании наблюдаемого эффекта на выходе
приемника принимается решение — сигнала нет, т. е.
принимается гипотеза Г0, хотя в действительности сигнал на
входе был, но вследствие того, что его маскировали
помехи, на выходе приемоиндикатора его не смогли
обнаружить.
Может быть «ложное обнаружение» или «ложная
тревога», т. е. такой случай, когда по результатам
обработки смеси принимается решение, что сигнал есть, т. е.
принимается гипотеза Гс, хотя в действительности сигнала
на входе не было, но за счет действия помех эффект на
выходе приемоиндикатора был таким, как это должно
было быть при наличии сигнала.
При автоматическом приеме решение о выборе
гипотез Гс или Г0 должно приниматься самим приемоинди-
203

катором (его схемой) и может иметь вид даух разных
выходных напряжений — выходных сигналов. Каждой
гипотезе соответствует свой сигнал на выходе. Ошибки
в этом случае выражаются в том, что сигнал не
соответствует сигналу на входе.
Рассмотрим теперь вопрос о критерии оптимальности.
В зависимости от сочетания действительного состояния
и принятого решения могут иметь место следующие
различные ситуации:
1) сигнал был и было принято решение о его
наличии, т. е. правильно принята гипотеза Гс.
2) сигнал был, но было принято решение о его
отсутствии, т. е. ошибочно принята гипотеза Г0.
3) сигнала не было и было принято решение о его
отсутствии, т. е. правильно принята гипотеза Г0.
4) сигнала не было, но было принято решение о его
наличии, т. е. ошибочно принята гипотеза Гс.
Каждая из этих ситуаций имеет свою вероятность
появления. Обозначим их соответственно ри Р2, Рз, Ра-
Сама по себе вероятность той или иной ошибки еще не
полностью характеризует связанные с ней «вредные
последствия». Разные по характеру ошибки могут иметь
различные «по вредности» последствия.
Для учета особенностей ошибок и вредных
последствий, связанных с -их появлением, введем понятие «цена
(стоимость) ошибки» или «плата за ошибку», или
«величина потерь».
Очевидно, что вредные последствия ошибки и
реальное влияние ошибки на работу системы можно оценить
наиболее полно, если учесть и вероятность ошибочного
решения и цену ошибки. Это приводит к понятию
«риска» рг
Средний риск, связанный со всей совокупностью ошибок,
может быть найден как сумма «рисков»
p = Yi Ptrt.
i
Очевидно, оптимальной процедурой можно считать
такую, которая обеспечивает минимум отрицательных
последствий, связанных с наличием ошибок. Таким обра-
204

зом, оптимальной процедурой обработки можем считать
такую, которая обеспечивает минимум среднего риска.
При обнаружении радиосигналов ошибочнвге ситуации
могут быть двух видов — пропуск сигнала и ложное
обнаружение.
Тогда
P = /VnP + /V^ (4.1.1)
где гпр и гл — цены ошибок пропуска сигнала и ложного
обнаружения; /?2 и р\ — вероятности ошибочных решений.
Практическое использование этого критерия
встречает некоторые трудности. Рассмотрим их причины. Для
использования выражения, дающего средний риск,
нужно знать /пр и гл. При обнаружении сигнала в различных
системах цены ошибок определяются разными
обстоятельствами. В информационных связных системах сигнал
и пауза несут одинаковую информацию — наличие
сигналов соответствует единице, а его отсутствие — нулю (при
использовании двоичного кода). Поэтому и пропуск
сигнала и ложное обнаружение дают одинаковые
последствия. Очевидно, что при этом проще всего принять
цену ошибки за единицу, поскольку понятие цены условно,
т. е. /пр=«гл=1.
В радиолокационных системах последствия пропуска
сигнала, т. е. пропуска цели, отличаются от последствий
ложной тревоги. В фазовых системах (в том числе
радионавигационных) пропуск сигнала приводит к
необходимости повторения поиска, ложное обнаружение
вызывает задержку поиска. Цена ошибок может определяться
потерей времени при поиске. Таким образом, с той или
иной точностью и убедительностью цены ошибок в
некоторых системах могут быть определены, в других же
системах их определение вызывает трудности.
Вероятности /?2 и р\ являются совместными
вероятностями. /?2 — вероятность того, что произойдет два
события: будет передаваться сигнал и он будет пропущен
А = />(с,Г0).
р(с, Го) зависит от вероятности того, что сигнал
передавался, обозначим ее /?(с), и от условной вероятности
того, что при наличии сигнала он был пропущен в связи
с мешающим действием помех; обозначим эту
вероятность р(Г0/с).
205

р(с) не зависит от процедуры обработки смеси и
определяется особенностями принимаемого сообщения.
Эту вероятность часто называют априорной или доопыт-
ной.
Из теории вероятности известно, что /?2 = /7 (с, Г0) =
= />(с)р(Г0/с);
аналогично можно получить р4=р (О, Гс)=/? (0) р (Гс/0),
где /?(0)—априорная вероятность отсутствия
сигнала;
р(Гс/0)—условная вероятность принятия гипотезы
о наличии сигнала при условии, когда сигнала на входе
нет.
Часто в литературе р(Г0/с) обозначают рпр или
(1—D), а р(Гс/0) —Рлт или \F. Однако при этом
обозначение не подчеркивает условный характер этих
вероятностей и потому в последующем изложении будет
сохранена запись, точно отражающая суть понятий.
Теперь выражение для среднего риска можно
записать в развернутом виде
Р = гп:. р (с) р (Го/с) + гл//(0) //(Гс/0). (4.1.2)
Рассмотрим факторы, влияющие на р(0) и р(с).
В связных информационных системах при
использовании двоичного кода вероятность передачи 1 или 0
в среднем одинаковая, и если единице соответствует
наличие сигнала, а нулю его отсутствие, то
/>(е) = />(0) = 0,5.
Вероятности р(0) и р(с) в радиолокационных и
радионавигационных системах оценить сложно. В
конкретных условиях, например в радиолокаторах,
работающих в режиме дежурного обзора воздушного
пространства, вероятность рв может быть небольшой.
В других условиях может быть ситуация, при которой
эта вероятность близка к единице, и поэтому
выбор р(0) и р(с) затруднителен. Таким образом,
пользоваться критерием минимума среднего риска, когда
оптимальность оценивается обеспечением минимума р
(см. 4.1.2), в радионавигации и радиолокации, мало
удобно, поскольку выбор р(0), /?(с), гл и /'пР вызывает
много трудностей и часто носит условный характер.
206

Упрощение критерия минимального среднего риска
может быть достигнуто в тех случаях, когда все ошибки
одинаковы по своим отрицательным последствиям.
Положив Гпр=гл=1, можно выражение (4.1.2)
привести к виду
Р = Рош\=АР (с) Р (Го/с) + р(0)р (Гс/0), (4.1.3)
где рощ — полная вероятность ошибки.
При этом критерий минимума среднего риска
переходит в критерий минимума полной вероятности ошибки.
Этот 'Критерий называют критерием «идеального
наблюдателя».
Если, кроме того, /?(0) =р(с) =0,5, то
Рот = 0,5 \р (Г./с) + р (Гс/0)1 (4,1.4)
и величина полной вероятности ошибки или среднего
риска очень просто выражается через р(Г0/с) и р(Гс/0).
В условиях работы радиолокационных и
радионавигационных систем оказывается возможным и
целесообразным задаваться определенным значением /?(Гс/0),
т. е. определенной условной вероятностью ложной
тревоги.
Основная причина состоит в том, что часто работа
станций происходит в условиях, когда или нет сигнала
или неизвестно, какой он будет интенсивности, поэтому
основной ошибкой в этом режиме может быть «ложная
тревога». Для того чтобы ложные тревоги не вызывали
нарушений работы системы, полезно задаться
определенной величиной р(Гс/0). Это возможно сделать, так
как р(Гс/0) зависит от схемы и уровня помех и не
зависит от сигнала.
Очевидно, что в этих условиях оптимальной можно
считать схему, которая при заданной р(Гс/0) обеспечит
минимальную вероятность пропуска сигнала р(Г0/с) или
максимальную вероятность его правильного
обнаружения р{Гс/с). Это позволяет сформулировать критерий
оптимизации обнаружения, отличающийся от критерия
минимального среднего риска. Этот критерий получил
название критерия Неймана — Пирсона.
§ 4.2. Статистическое описание помехи, сигнала и их
смеси. Статистические характеристики помехи были
рассмотрены ранее. Однако полезно сделать одно пояснение.
207

При обнаружении сигнала наблюдение смеси сигнала и
помехи или одной только помехи может продолжаться
значительное время, существенно большее, чем интервал
корреляции помехи. Тогда для описания процесса нужно
иметь не одну (при одномерном распределении) и не две,
разделенные интервалом т (при двумерном
распределении), а много точек, теоретически (при непрерывном
наблюдении смеси) —бесконечное число точек. При этом
функция распределения, показывающая плотность
вероятности того или иного сочетания значений,
характеризующих случайный процесс, — должна быть
бесконечномерной.
Для того чтобы избежать трудностей, связанных со
статистическим описанием длительно действующей
помехи, необходимо от непрерывных функций,
описывающих случайный процесс у (t), перейти к выборкам у\,
#2, ..., т. е. пользоваться не всей совокупностью точек,
характеризующих непрерывную функцию времени,
а ограниченным их числом, отражающим значение
функции через определенные интервалы времени. Согласно
известной теореме Котельникова выборка отражает все
основные свойства функции времени, если интервал
выборки
А^ = хк = 11->
где /в — высшая частота спектра функции; тк — интервал
корреляции.
Значения случайного процесса, взятые через интервал
корреляции, статистически практически не зависимы
между собой. Это позволяет коренным образом
упростить математическое описание случайного процесса как
функции времени. От бесконечномерной функции
распределения непрерывного случайного процесса можно
перейти к га-мерной функции распределения для га
значений выборки. Здесь
где /и —время наблюдения при обнаружении; тк —
интервал корреляции; m-мерная функция распределения
может быть получена простым перемножением
одномерных функций распределения, справедливых для каждой
208

из точек выборки. При одной помехе выборка
определяется только ею.
Тогда
т
w {уи у и.. ./п) = w (п,, п2,...) = J] w (п<).
i=I
Воспользовавшись этим выражением и имея в в-иду
стационарный случайный процесс, для которого функция
распределения не зависит от времени, получим
П 1
ш(п"п---)=П-?1^ге п
т п2
(2«#»/2
ИЛИ
-V—-
J в *=1 п
(4.2.1)
W(yuy2,...ln):
1
-У-Х-
Zj о„2
(2«.jy»/2
2о2
/=1 п
где о^ — дисперсия помехи.
Как видим, многомерную функцию распределения
удалось получить в простом виде, что является очень
важным результатом.
В некоторых случаях бывает удобнее перейти от
суммы к интегралу
т 2 m
.к»
/=1 " " isl
НО
т 'н
14-635 209

тогда
w(y„y»...ln)= {2п^)1П/2 е о 9 (4.2.2)
так как a^ = iV0/B.
Физический смысл функции w(yu у2, ...) состоит
в том, что она показывает, какова плотность вероятности
того или иного сочетания #ь #2, ..., ут-
Перейдем теперь к статистическому описанию
сигнала. Если все параметры сигнала известны, то
напряжение (поле, ток) сигнала на входе приемника является
функцией только времени — с(/). Однако такой случай
в практике встречается редко. Обычно какой-либо из
параметров сигнала или несколько параметров являются
неизвестными. Эти параметры могут быть случайными
величинами или случайными процессами. В первом
случае параметр можно считать неизменным в течение всего
отрезка времени, пока осуществляется обнаружение. Во
втором случае случайный параметр сигнала существенно
изменяется за время наблюдения при обнаружении.
С теоретической и практической точек зрения эти два
случая отличаются друг от друга. В дальнейшем будем
полагать, что сигнал есть функция времени и случайных
параметров. Коротко такой сигнал можно записать
в виде
c(<,pIfp.....). (4.2.3)
где Рг — случайные параметры сигнала.
В радиотехнических системах случайность параметра
может играть различную роль.
Если система, функционируя, осуществляет только
обнаружение сигнала, то случайное значение параметра
не несет в себе полезной информации, и чем больше
у сигнала таких случайных параметров, тем хуже
результаты его обнаружения.
В некоторых системах, например радиолокационных
и радионавигационных, после обнаружения сигнала
обычно следует измерение тех его параметров, в
которые заложена полезная информация, например:
частоты— для измерения радиальной скорости, задержки и
фазы — для измерения дальности, амплитудной модуля-
210

цйи или сдвига фазы — для измерения направления. При
этом случайность параметра, затрудняя обнаружение,
в целом в системе играет положительную роль, так как
измерение этого параметра позволяет определить
координаты и элементы движения. В сигнале, кроме
случайных параметров, несущих 'Полезную информацию, могут
быть паразитные параметры, не содержащие полезной
информации.
Необходимо найти методы анализа оптимального
обнаружения радиосигнала в общем виде в
предположении, что у сигнала есть случайные параметры.
Рассмотрим теперь статистическое описание смеси
помехи и сигнала.
Будем анализировать случай, когда помеха действует
вместе с сигналом и не влияет на его характеристики и
параметры. Такие помехи называют аддитивными. Кроме
аддитивных помех, имеются еще мультипликативные,
особенность которых состоит в том, что они
накладываются на сигнал, изменяя его параметры.
Мультипликативные помехи имеют место, например, в случае, когда
сигнал и помеха проходят через нелинейные цепи.
В большинстве случаев помеху можно рассматривать
как аддитивную.
Тогда смесь, действующая на входе приемника,
является просто суммой помехи и сигнала
У(0 = п(0 + с(/,р1,р1>.-.)- (4-2.4)
Поскольку в смесь входит помеха (случайный процесс),
то смесь так же является случайным процессом и
должна описываться функцией распределения. Если все
параметры сигнала известны, то случайность смеси
обусловливается только помехой. Функции распределения для
помехи были получены ранее. При наличии сигнала это
выражение будет описывать функцию распределения
для смеси, если вместо П/ записать yi—с,-.
Таким образом,
т
, L 2*2
ИУпУ.,---/с-п)= '2уя/2 е <=> п . (4.2.5)
14*
211

При переходе от суммы к интегралу, получим
w(yi,y».../c*)= {2J^ai2 e °o f (4.2.6)
где л*, у и Cj — значения выборки помехи, смеси и
сигнала, взятые через интервал корреляции.
Если сигнал имеет случайные параметры fr, ffe, ....
то случайность значений, принимаемых выборкой смеси,
обусловливается и тем, что помеха есть случайный
процесс, и тем, что сигнал имеет р случайных параметров.
Функция распределения, статистически описывающая
этот процесс (смесь), должна быть совместной.
Непосредственное получение совместной функции
распределения вызывает трудности. Значительно проще
получить условную функцию распределения смеси для
какого-то любого сочетания значений случайных
параметров рь рг... Она будет иметь вид
W (Уи У*, • • ./Р«. Pit • - • С"П) = (2^2^/2 X
*ш
--3^-f[//(0-c(/,plip1)]fd/
Хе °° . (4.2.7)
Переход от условной функции распределения к
совместной будет рассмотрен далее.
Другими словами, плотность вероятности ансамбля
или комбинации значений уи Уъ, •.. будет определяться
не только сочетанием этих значений, но и сочетанием
значений случайных параметров сигнала.
Таким образом, получены выражения, описывающие
статистические свойства помехи, сигнала и смеси.
§ 4.3. Оптимальная процедура обработки смеси и
отношение правдоподобия. Перейдем теперь к выводу
соотношений, вскрывающих оптимальную процедуру
обработки смеси.
Для получения развернутых выражений,
показывающих те операции, которые нужно выполнить в приемнике
со смесью, необходимо выразить входящие в формулу
среднего риска вероятности р(Гс/0) и р(Г0/с) через ста-
212

тистические характеристики (функции распределения)
помехи, сигнала и смеси, найти условия, при которых р
минимизируется.
Предположим, что получена реализация, даваемая
выборкой у и у'2, • • • и нужно определить, чему она
соответствует. Вероятность (точнее дифференциал
вероятности) того, что значения смеси окажутся в пределах: от
У\ до y\+dyu от у2 до y2+dy2 и т. д., может быть
найдена из соотношения
dPcn = ш(#1> У» • •. /с-п)^ dyt... (4.3.1)
Аналогично вероятность того, что значения только
одной помехи окажутся в тех же пределах (от у\ до y\+dy\\
от #2 до y2+dy2 и т. д.,) может быть найдена из
соотношения
dpB = w(yliy2y. ../ujdy.dy^.., (4.3.2)
w (Уи Уг^. • ./с~п и w(Уп У2^ • • ./п) — условные плотности
вероятности для полученного сочетания выборок при
наличии сигнала и помехи и только одной помехи.
Для получения р(Гс/0) и /?(/Vc) нужно осуществить
интегрирование dpcnn dpn в определенных пределах:
о>(#1. У» . • ./с"п) и ш(Уп У*,. • ./п),
есть m-мерные функции распределения, следовательно,
они могут быть изображены в га-мерном пространстве.
Это пространство можно разделить на две области vTC
и vt0. Область vTC (область сигнала) —это область,
соответствующая решению о наличии сигнала. Область иго
(область помехи) —это область, соответствующая
решению об отсутствии сигнала и наличии только одной
помехи. Тогда очевидно, что р(Гс/0), т. е. вероятность того,
что при отсутствии сигнала будет принято решение о его
наличии, может быть найдена га-кратным
интегрированием с пределами, соответствующими области vTC, т. е.
р (Гс /0) = J J... Jo; (yu y„ . . ./п) dyx dy2... (4.3.3)
угс
213

Аналогично можно получить
р (Г01с) = j J ... £ш (ур у,, .. ./с-п) rf^ rfy2. .., (4.3.4)
"го
р (Гс/с) = j J ... jw (у,, у2, .. ./с-п) dyx dyt..„ (4.3.5)
^ (Го/0) = j [... $w (y„ y2i .. ./n) dy, dy2.. . (4.3.6)
Напомним, что
p(Го/с) =1-/?(Л/с) и /;(Го/0) =\-р(Гс/О).
Воспользовавшись этими соотношениями, можно
выражение для р преобразовать следующим образом:
Р = гпх>Р (с) — г„р/? (с) р (Гс/с) + глр (0) р (Гс/0).
Подставив в это выражение полученные выше
соотношения для р(Гс/с) и р(Гс/0), воспользовавшись тем, что
эти вероятности получаются за счет интегрирования
в пределах одной и той же области сигнала Цгс, получим
Р = гп:.р(с) — J j ... ^\р(с)гщ.т(уг, у2,.. ./с-п)—
— глр (0) w (уи у2,.. ./п)] dyl dy2. (4.3.7)
Рассмотрим теперь условия получения минимума р.
Величина /щ)/?(с) не зависит от того, как осуществляется
прием сигнала, а определяется априорными данными.
Для того чтобы при выборе решения «сигнал есть» или
■принятии гипотезы Гс р имело минимальное значение,
нужно, чтобы интеграл по области vTC имел
максимальное значение. Поскольку р(с), /?(0), /"пр, гл,
положительные величины, то для обеспечения
максимального значения интеграла необходимо, чтобы
подынтегральная функция всегда оставалась положительной.
Другими словами, обеспечение получения минимума р
214

при выборе гипотезы Гс может быть достигнуто при
выполнении условия
р (с) гщц) (уи у„ .. ./с-п) > глр (0) w (уи уш,.. ./п)
или
w(y»y*—/с-п) ^ глр(0) щ 2 8
м(У1,У2 /п) ^ /*пр/?(с) ' I • • J
При принятии решения Г0 нужно осуществить
интегрирование по области vt0. Из этих соображений, а также
непосредственно из (4.3.8) следует, что минимальный
средний риск также обеспечивается, если при выборе
гипотезы Г0 соблюдается условие
W(y1.y2..../C-Tl) Гл/>(0) (4 3 9)
Отношение (4.3.8) играет большую роль в теории
обнаружения радиосигналов. Оно именуется «отношение
правдоподобия» и обозначается 1(уи Уъ...) или 1(у).
Принцип оптимального обнаружения состоит в том,
что приемо-индикаторное устройство должно вычислить
отношение правдоподобия 1(у) и сравнить его с порогом
п _ глР(0)
1 ^пР/?(с) •
Если оказывается, что 1(у)>П\9 то должна
выбираться гипотеза Гс «сигнал есть».
Если оказывается, что l(y)<Uu то должна
выбираться гипотеза Го «сигнала нет».
Полученные выше соотношения могут быть
использованы при условии, что имеется выражение для
w(yu \)2, .../с-п). Оно просто получается из функций
распределения для помехи в тех случаях, когда все
параметры сигнала известны. Поскольку, как правило, сигнал
содержит те или иные случайные параметры, то
необходимо более подробно остановиться на методике
получения 1(у).
Положим, что сигнал имеет случайные параметры рь
р2, ••• Функция распределения смеси имеет вид (4.2.7).
215

Для перехода к w(yh у2, .../с-п) воспользуемся
теоремой умножения для вероятностей или плотностей
вероятностей
o>(0i,0t,....Pi,Pi, .../с-п) =
= У>(У» 02, • • .Д>п) ш(р„ Р„ • • ./01, 02, • • .) =
= w(PnP.....)w(»i,!/.,.../Pt.P.....). (4.3.Ю)
где ш(уь у2, .. ./с-п) — плотность вероятности сочетания
значений выборки уи 02 при любых (всех возможных)
значениях случайных параметров сигнала при условии
наличия сигнала; N
ш0Рь 02, ...Л/ь #2, ...)—условная плотность
вероятности того или иного сочетания случайных параметров
сигнала при условии того, что смесь характеризуется
реализацией, отражаемой в определенном сочетании,
значений выборки уи #2, ...;
ш(рь р2, ...) — совместная плотность вероятности
различных сочетаний значений случайных параметров
сигнала;
w'(yu #2, .../рь Рг, ...) —условная вероятность
определенного сочетания значений выборки уи 02, ... при
условии определенного сочетания случайных параметров
сигнала Рь рг
Умножив все части равенства (4.3.10) на dpb dp2, -..,
получим дифференциал вероятности. Осуществив затем
А-кратное интегрирование по переменным Рь Рг, ..., р,ч
и т. д. и взяв интеграл в пределах всех возможных
значений Рь Рг, ..., получим
J J .. :w (01,0а.... /с"п) ai(Pi» P», .../Ун Л,...) dpi <*Р....-.=
k раз
' = J J ...a»(P.,P,....)a'^..y.,.../P..P.....)rfp.^..-.
/г раз
(4.3.11)
Рассмотрим интегралы, входящие в выражение (4,3.11).
я>т(Уи 02, .../с-п)—по самому смыслу, как плотность
вероятности случайного процесса, обусловливаемого
только помехой и наличием сигнала, и не зависящая от
случайных параметров сигнала — является постоянной
216

величиной для переменных рь р2, ... и может быть вьше-
сена за знак интегралов;
/г раз
так как условная вероятность (для какой-то реализации
//ь У2) всех возможных значений pi, Р2 равна 1,
поскольку исчерпывает все возможные их сочетания. Тогда
я>(У»Уш>-.-1с-п) =
==J J .-• -Jo>(Pi.Pi. •••)«'(01,01, .../PnPi»---)^MPi.---
/г раз
(4.3.12)
Полученное выражение представляет большой интерес,
так как показывает, что для сигнала со случайными
параметрами функция распределения w{yu y2y . ..Ус-п),
необходимая для. вычисления отношения правдоподобия,
может быть получена интегрированием, если известны
функция совместного распределения случайных
параметров-о; (Pi, Р2, ...) и условная плотность вероятности
сочетания значений выборки при условии какого-то
значения случайных параметров. Как будет показано далее,
во многих случаях эти функции могут быть найдены и
получение w(yu уъ, .../с-п) для этих сигналов
оказывается возможным. Выражение (4.3.12) можно использовать
с целью получения отношения правдоподобия для
сигнала со случайными параметрами. Подставив (4.3.12)
в выражение для 1(у) и помня, что при отсутствии
сигнала функция распределения обусловливается только
помехой и может быть внесена под знак интеграла,
получим
iw--Jf-:fcg.A.-)^a;-|;-^>-4^
k раз
(4.3.13)
отношение
a>(ft.y,..'../h.b....) _//„ у /й ft )
W (Уг, У,, . . ./„) ■ • — ' {У*' У /Р" Рг' * ' •>
217

представляет собой отношение правдоподобия для
определенных сочетаний значений Pi, fb, т. е. условное
отношение правдоподобия, тогда
1 {у)=И .. Aw(рп^--)l{Уиу*'• • •/р" ^ • ■ -}х
k раз
Х<М.-.- (4.3.14)
Поскольку обычно случайные параметры сигнала
взаимно независимы, то
ИМ..-.0 = ПИР<).
1=1
и
lw=\ S •••$а'(Р»)а'(Р«)---/(^.л.---/Р..Р..---).х
k раз
X rfp, rfp,... (4.3.15)
Если случайный параметр один, то выражение упро-
щается
1{у) = |ИРН(У..0.,.../Р)*Р- (4.3.16)
Необходимо обратить внимание на то, что
оптимальный приемник не выполняет функции усиления сигнала,
а осуществляет только селекцию. Практически всегда
сигнал, принятый антенной, очень слаб и должен быть
усилен. При этом вместе с сигналом усиливаются и
помехи. Усилительные каскады могут обладать
избирательностью, которая должна быть учтена. Однако обычно
избирательность каскадов, осуществляющих усиление,
достаточна только для предварительного селектирования
сигнала и далека от оптимальной.
Приемо-индикаторное устройство состоит из:
антенны, усилительных каскадов и каскадов, осуществляющих
оптимальную обработку смеси. Изучение антенн и
усилительных каскадов приемников является
самостоятельной темой и не может изменить принципиальной
постановки вопроса об оптимальном обнаружении. Поэтому
в дальнейшем изложении под термином
приемо-индикаторное устройство будет пониматься только та часть
аппаратуры, которая осуществляет выделение сигнала
218

из помех. Будет считаться, что смесь y(t) достаточно
усилена для работы выходных устройств приемоинди-
катора. Воспользовавшись полученными выше общими
выражениями, рассмотрим роль фазы в обнаружении
радиосигналов. Для этого удобно взять модели сигналов,
отличающиеся статистическими характеристиками
только фазы (сигналы с известной, случайной и
флюктуирующей фазами и известными остальными
параметрами). Конечно, важную ооль в обнаружении играет и
случайность других параметров сигнала — амплитуды,
задержки, частоты, однако в нашу задачу не входит
всесторонний анализ обнаружения. Его можно найти
в [4.1, 4.2].
§ 4.4. Оптимальное обнаружение сигнала с
известными параметрами. Пользуясь изложенной выше теорией,
найдем процедуру оптимальной обработки или схему
оптимального приема при обнаружении сигнала, все
параметры которого известны, при этом y{t)=c(t)+n(t)
при наличии сигнала и помехи и y(t)=n(t) при наличии
одной помехи.
Функция распределения помехи дается выражением
(4.2.1). Функция распределения смеси при наличии
сигнала дается выражением (4.2.5). Сигнал имеет
длительность tc.
Отношение правдоподобия
т
1
2*2 2j
(У*-ЧУ-У2;
Цу) = * им
т т
= е П/=1е п,=1 . (4.4.1)
Заметив, что a2=NJB\ М=-^7—, так как Д^ = тк,
где 1Ц — полоса помехи; N0 — плотность мощности
помехи, получим, наблюдая сигнал все возможное время, т. е.
беря t = tc,
т т
l(y) = e i=1 e '=' . (4.4.2)
219

Имея в виду, что суммирование т членов подобно интег
рированию в пределах от 0 до tc, где
можно от сумм перейти к интегралам. Одновременно
воспользуемся тем, что с2Ы есть энергия элементов сигнала,
на которые он разбивается при переходе к выборке.
Тогда
т
где Зс—энергия сигнала.
При переходе от сумм к интегралам, получим
tc
-i k\c{t)ymt
t(y) = e e ° , (4.4.3)
найдем логарифм
In l(y) = - -§7+/£\v (0 c {*)dL (4-4-4)
Записывая пределы от 0 до tc, полагаем, что задержка
сигнала равна нулю, так как она считается известной.
Выбирается гипотеза «сигнал есть», если
lnt(y) = -^ + ^c(t)y(t)dt>lnllt
о
или
^y(t)c(t)dt = z>Ji2, (4.4.5)
О
220

и гипотеза «сигнала нет», если
^y(t)c(t)dt = z<JIz, (4.4.6)
О
^=^11111, + -^; (4.4.7)
при Л1 = 1
П — —
Полученные соотношения показывают, какова
оптимальная процедура или алгоритм обработки смеси или
какова оптимальная схема приема при обнаружении
сигнала с известными параметрами. Как видно из формул,
в оптимальной схеме смесь, подаваемая на вход приемо-
индикатора, должна перемножиться на сигнал (точнее
говоря, на копию сигнала), т. е. б приемоиндикаторе
должна быть создана копия сигнала, затем после
интегрирования результат подается на пороговое или
сравнивающее устройство, имеющее порог П2. Если величина
на выходе интегратора превышает порог, считаем, что
сигнал есть (гипотеза Гс), если не достигает порога, то
считаем, что сигнала нет (гипотеза Г0). Схема,
реализующая оптимальную процедуру, приведена на рис. 4.4.1.
Сочетание умножителя и интегратора часто называют
«коррелятором*, а интеграл [y(t)c(t)dt называют ,кор-
«
реляционным интегралом». Схема, осуществляющая
оптимальное обнаружение, состоит из элементов,
которые могут быть просто реализованы. В качестве
умножителя может быть использован, например, фазовый
дискриминатор. Известно, что выходное напряжение
фазового дискриминатора пропорционально произведению
опорного напряж!ения (здесь копия сигнала) и входного
напряжения (здесь смесь). В качестве интегратора
может быть использована, например, цепочка RC с
большой постоянной времени. В качестве сравнивающего
каскада может быть использован, например, запертый
221

диод. Напряжение запирания (порог) должно
подаваться от внешнего источника. С выхода выдается
постоянное напряжение, когда приемоиндикатором принято
решение о наличии сигнала на входе, и не выдается
никакого напряжения, если приемоиндикатором принято
решение об отсутствии сигнала на входе. Напряжение,
снимаемое с выхода, может быть использовано для
записи и последующего декодирования или для подачи
в логические и вычислительные устройства. Наибольшие
трудности могут возникнуть с генератором копии
сигнала (ГКС). Однако, в принципе, поскольку все
параметры сигнала известны, копия сигнала может быть
сформирована аналогично тому, как формируется сам
сигнал на передающем конце. Таким образом, можно
прийти к важному заключению о том, что теоретически
полученная схема оптимального обнаружения сигнала,
параметры которого известны, может быть
осуществлена. Оптимальная схема обнаружения сигнала по сути
построена на выявлении взаимокорреляции между
копией сигнала и смесью. Иначе говоря, оптимальный
приемник построен на принципе взаимокорреляции, или
реализует взаимокорреляционный метод приема.
При реализации взаимокорреляционного
оптимального приемоиндикатора должен быть использован
генератор копии, поэтому часто такие схемы обнаружения
сигнала в помехах называют схемами активной
фильтрации в отличие от схем пассивной фильтрации, в
которых используются согласованные фильтры. При
создании практических схем возникает необходимость в их
дополнении.
Теоретическая схема, показанная на рис. 4.4.1,
является схемой одноразового действия, т. е. если
известны параметры сигнала, то, включив эту схему в момент
времени, когда может начаться сигнал, после
наблюдения в течение времени, соответствующего длительности
сигнала, в момент окончания его действия принимается
решение о наличии или отсутствии сигнала на входе
приемника. Для приема следующего сигнала схема не
пригодна, так как накопившееся за счет действия помех или
сигнала и помех на выходе коррелятора напряжение не
равно нулю.
Исходя из предположения об идеальности
интегратора, можно ожидать, что это напряжение будет сохра-
222

Ияться сколь угодно Долго. Для обеспечения приёма
следующего сигнала требуется схему возвратить в
начальное состояние, для чего нужно величину на выходе
интегратора привести к нулю. Следовательно, для
непрерывного функционирования схемы она должна быть
дополнена ключом, замыкающим выход интегратора на
землю после каждой операции обнаружения сигнала.
Кроме того, схема нуждается еще в одном дополнении.
Ранее отмечалось, что сравнение величины на выходе
коррелятора с порогом должно осуществляться в опре-
y(t)
X
1
г
!
г
_ L
^ т*
(С
Рис. 4.4.1. Схема оптимального приема сигнала с известными
параметрами:
X — умножитель; \ — интегратор; ГЦС — генератор копии сигналов; П2 —
пороговое устройство.
деленный момент времени, а именно в момент окончания
действия сигнала. Следовательно, напряжение с выхода
коррелятора должно подаваться на пороговое устройство
не непрерывно, а в течение короткого интервала времени
(в момент t=tc). Эту роль в схеме может выполнить
ключ, замыкающийся в момент t=tc. Схема
оптимального обнаружения с учетом этих дополнений приведена
на рис. 4.4.2. Очевидно, что найденная схема в равной
степени пригодна для простых, сложных и шумоподоб-
ных сигналов. При этом отличие будет только в
генераторе копИ'И. Чем сложнее сигнал, тем сложнее его копия
и тем сложнее должен быть генератор копии сигнала.
При этом нужно отметить, что копия должна быть
воспроизведена с большой точностью по всем параметрам
сигнала: амплитуде, закону ее изменения, задержке,
закону изменения фазы, начальной фазе и частоте.
Особенно большие трудности возникают при
воспроизведении в копии фазы сигнала. Обеспечить такую
стабильность частоты, чтобы сдвиг фазы независимо
работающих передатчика и генератора копии в течение
длительного времени сохранялся, оказывается очень трудной
задачей. Поэтому, даже если можно утверждать, что фаза
223

сигнала известна, технические трудности реализации
точной копии сигнала по фазе заставляют в практических
схемах использовать фазовую синхронизацию с помощью
узкополосиых следящих фазовых фильтров.
Рассмотрим теперь процессы, происходящие в схеме
при воздействии на нее смеси сигнала и помехи или
только одной помехи. Зная процессы, происходящие на
выходе коррелятора, можно уяснить многие особенности
работы схемы.
Рис. 4.4.2. Схема оптимального приема с дополнительными
устройствами:
X — умножитель; J — интегратор; Л2 — пороговое устройство; Г КС —
генератор копии сигналов.
Рассмотрим работу схемы при действии только одной
помехи. Обозначим процесс на выходе коррелятора
символом Z.
При наличии только помехи получим
t
Zn=[n(t)c(t)dt. (4.4.8)
Перейдем от интеграла к сумме, для чего воспользуемся
выборкой, взятой через интервал корреляции. Тогда
в момент окончания действия сигнала (t=tc)
ZD = £c<n/A*.
i = \
В другие моменты времени [(£ = ?к<*с)
к
224

где ct-—выборка сигнала; nt- — выборка помехи;
т =
М » А/
Как видно, величина 2П)К для любого значения /=-/к
есть случайная величина, получающаяся в результате
суммирования случайных величин СгЩМ. Известно, что
при суммировании случайных величин, имеющих
нормальное распределение, функция распределения суммы
остается нормальной, а дисперсия суммы равна сумме
дисперсий.
Если о^ — дисперсия помехи, то дисперсия каждого
члена суммы будет ajj = o\*At2.
Дисперсия величины Zn равна
т
i=i
т
но V с24 М = $с — энергия сигнала;
2
Тогда о]=^-8о или *=Щ±. (4.4.9)
При отсутствии амплитудной модуляции, т. е. для
простых и шумоподобных сигналов, &c = Pctc и
2_ NoPc ,
2
При / = /к<*с
,2 _ N0pc 4
3« — ~~о~~" 'к.
Следовательно, при наличии на входе оптимального
«приемника помехи на выходе коррелятора возникает
помеха 2П, имеющая нормальное распределение и
дисперсию, пропорциональную энергии сигнала, а в пределах
времени действия сигнала пропорциональную времени,
15—635 225

отсчитываемому от его начала. Функция распределения
для величины zn будет иметь вид
1 2*2
ш(гп)=-7^—е г . (4.4.10)
Рассмотрим работу схемы при подаче на вход только
сигнала. При этом для момента / = /с
'с
zc = \c*(t)d( = 8c; (4.4.11)
о
в промежуточные моменты времени t = tVi
Для сигналов, не имеющих амплитудной модуляции $с,к=
= /?с^к, причем tK<C,tc и время отсчитывается от начала
сигнала. Важно подчеркнуть, что никакие другие
параметры сигнала, в том числе ширина спектра сигнала,
связанная с наличием любой модуляции, не влияет на
выход коррелятора.
Рассмотрим работу схемы при подаче смеси помехи и
сигнала.
При этом для t=ic
zy = [ с2 (t) dt + J n (/) с (t) dt. (4.4.12)
о о
В промежуточных точках будет изменяться предел t=tK.
Полученные интегралы были подробно рассмотрены
ранее. Очевидно, что zy=zc+zu. Следовательно,
величина zy есть сумма детерминированной величины zc и
случайной величины гп.
Тогда гу можно рассматривать как случайную
величину с ненулевым средним значением и одномерная
функция распределения будет иметь вид
w(2y) = —L—е 2°* . (4.4.13)
226

Если рассматривать не одну точку, а весь интервал
времени, в течение которого может действовать ожидаемый
сигнал, то zy будет случайным процессом,
нестационарным, с изменяющимися средним значением и дисперсией.
Из приведенных формул можно найти отношение
напряжения сигнала к среднеквадратичному значению
помехи на выходе коррелятора, в момент t=tc
Zc -ш/ 2ос
"« ~" У ~nT'
(4.4.14)
В момент окончания действия сигнала это отношение
достигает максимума.
nT/M/^v^^^^VI^^ ■
rft) ' a)
4ftfWW
Рис. 4.4.3. Процессы в схеме коррелятора при действии помехи.
Следовательно, на выходе коррелятора отношение
напряжения сигнала к напряжению помехи зависит только
от энергии сигнала и плотности мощности помехи.
На рис. 4.4.3 приведены кривые, характеризующие
работу схемы, при действии одной помехи в случаях:
а — помеха на входе; б —копия сигнала (для простоты
изображения ожидаемый сигнал — простой «импульсный
и взята соответствующая ему копия); в и г
—напряжение на выходе 'коррелятора. Из рисунка видно, что при
неблагоприятном стечении обстоятельств помеха может
превысить уровень порога (кривая г). Тогда величина
15*
227

на выходе оптимального приемника будет
соответствовать гипотезе Г0—«Сигнал есть» хотя на входе
сигнал отсутствует. На рис. 4.4.4 приведены кривые,
характеризующие работу схемы при действии одного
сигнала в случаях: а — простой сигнал и его копия;
б — величина на выходе коррелятора; в — сложный сиг-
c(t)
—щамалаа,
eft)
6)
% % ltttf
е)
Ф)
*)
ТОАаАГОа№
д)
Рис. 4.4.4. Процессы в схеме коррелятора при действии сигнала.
нал, состоящий из пяти импульсов и его копия; г
—величина на выходе коррелятора; д — шумоподобный сигнал
и его копия (для примера взят пятиимпульсный код Бар-
кера); е — величина на выходе коррелятора.
Для удобства сравнения все сигналы взяты равной
мощности и равных энергий. В момент окончания всех
трех сигналов, на выходе коррелятора будет одно и то
же значение величины zc, т. е. напряжение, снимаемое
с коррелятора, будет одинаковым.
При правильно выбранном пороге, учитывающем
энергию сигнала и априорные данные, напряжение от
одного сигнала на выходе коррелятора обязательно
превысит порог и произойдет правильное обнаружение.
228

На рис. 4.4.5 приведены кривые, характеризующие
работу схемы при действии смеси сигнала и помехи. Для
простоты изображения обнаруживаемый сигнал взят.про-
стой импульсный. Кривые а — смесь сигнала и помехи;
б — копия сигнала; в и г — величина на выходе
коррелятора. Очевидно, что при неблагоприятном стечении
обстоятельств помеха может так повлиять на выходную
Щ^^
б)
*п**с=а
Рис. 4.4.5. Процессы в схеме коррелятора при действии смеси
сигнала и помехи.
величину коррелятора, что она не достигнет порога
(кривая г), несмотря на наличие сигнала. Произойдет
ошибка в обнаружении, так как сигнал будет пропущен.
Поскольку дисперсия величины гп определяется плотностью
мощности помехи М0 и не зависит от ее дисперсии о2 ,
а величина izc, определяемая сигналом, зависит только
от энергии сигнала, то результаты обнаружения будут
зависеть только от N0 к $с. Какой бы ни был сигнал-
простой, сложный, шумоподобный, результат будет один
и тот же, если их энергия одинакова. Следовательно,
с точки зрения обнаружения сигнала во флюктуацион-
ных помехах нет никакого смысла усложнять сигнал, так
как это расширяет его спектр и усложняет генератор
копии сигнала.
229

Во всех случаях для лучшего обнаружения при
заданном значении Nq нужно увеличить или мощность
сигнала или его длительность. Равноценность этих мер
соблюдается только по отношению к естественным флюк-
туационным помехам. В случае же действия
организованных помех разные сигналы ведут себя различно, и
в результате получаются различные разрешающие
способности и точности измерений.
Можно сформулировать важный вывод о том, что
в необходимых случаях имеется возможность любым
образом усложнять сигнал, при этом (при правильном
проектировании приемоиндикатора) условия
обнаружения сигнала на фоне естественных флюктуационных
помех не ухудшаются. Для оценки качества обнаружения
сигнала оптимальной схемой нужно найти средний риск.
Для вычисления р требуется найти р(Гс/0) и р(Го/с).
Для нахождения этих вероятностей необходимо, зная
распределение для величин гп и zy, найти вероятности
того, что в момент окончания действия сигнала
величина 2П превысит порог, а величине zy не достигнет порога.
р(Гс/0) и р(Го/с) могут быть найдены
интегрированием w(zu) в пределах от порога до оо и w(zy) в
пределах от —оо до порога;
СО -^
р(Гс/0)= —1 (е **dzu, (4.4.15)
Y2nvz J
z
п (zy-ёс)2
2*2
z
p(rjc)=—l— j*e • dzy. (4.4.16)
На рис. 4.4.6 приведены функции распределения
величин zn и zy, показаны порог и площади, дающие р(Гс/0)
и р(Го/с).
Для получения формул, удобных для численных
расчетов, перейдем к безразмерным величинам; обозначим:
230

2 £МЛ
или, имея в виду, что az = 2 °, получаем
^ = /йг1пП. + К2^-
Подставив безразмерную переменную в выражение (4.4.5),
получим
00 -^
о *»
/;(Гс/0) = -р^-|е 2 rf5=l-f(lo) =
='-"(/5:1"п'+/ж)' <4А,7)
где Г(?п)—табулированный интеграл;
0(Го/с) о(Гс/о)
Рис. 4.4.6. Функции распределения Zn и Zy.
F^-kb
п 1
L-fc2
2 q
Л.
Для критерия идеального наблюдателя и при /?(0) =
= р (с) = 0,5 114 = 1, тогда
Л(/,о/0)=1-/?(/^)- (4.4.18)
Проведя для р(Г0/с) аналогичные преобразования, полу-
"(fb/c)=l-f(/5-/Jlnn) (4.4.19)
чим
231

Для критерия идеального наблюдателя и при Hj = 1
/>(/yc)=l-f(j/ ^
2Л/„;
(4.4.20)
it
Наиболее удобным в системах радиосвязи для сравнения
с Другими сигналами является случай П, = 1.
При этом
Рот = 0,5 \р (Г./с) + р (Гс/0)] = 1 - F(y^- ) • (4.4.21)
Кривые зависимости, характеризующие вероятность
ошибок от отношения EJNq, приведены на рис. 4.4.7. Как
видно из формул, вероятность ошибок и минимальный
средний риск при использовании оптимальной схемы
обнаружения определяются отношением &c/N0. Для
использования полученных формул нужмо знать гл, /щ,,
р(с) и р(0). Как отмечалось выше, во многих случаях,
например в радионавигации
и радиолокации,
определение или выбор этих величин
оказываются практически
невозможными. В этих
условиях вычисление р или
рот также невозможно, и
качество работы схемы
нужно оценивать по другому
критерию.
Из соотношений следует,
что априорные величины,
4Г. е. Пь влияют только на
величину порога. Работа
остальной части схемы, а
именно коррелятора и
генератора копии сигналов,
никак от них не зависит. Таким
образом, при неизвестности Гщ,, гл, р{с) и /?(0)
невозможно реализовать оптимальную схему,
обеспечивающую минимальный средний риск, только из-за
неопределенности порога. В этой связи необходимо вспомнить те
соображения, которые были приведены выше по
критерию Неймана-г-Пирсона. Исходным требованием к
схеме при этом является обеспечение заданной р(Го/0).
232
о
ю-1
W*
ю-3
W*
ю-*
ош 1
10
1'
Щ
гр
4t
Рис 4.4.7. Вероятность ошибок
для критерия идеального
наблюдателя.

Воспользовавшись соотношением (4.4.15), получим
/>(Л/0)=1-^(Ь.)=
далее можно получить
Пг н-п = VW arS F П - ^о/О)], (4.4.23)
где arg/7 обозначает обратную функцию; ПгН_п — порог
при использовании критерия Неймана—Пирсона от
априорных данных [гл, гПГ|, /?(0), /?(с)] не зависит.
Рис. 4.4.8. Вероятность обнару- 0,5
жения сигнала для критерия
Неймана — Пирсона.
' 2 3 О £с
Оптимальная схема должна обеспечивать максимум
р(Гс/с) или минимум р(Г0/о) при заданной величине
Р (/"с/О), р (Гс/с) можно вычислить интегрированием в
пределах от порога П2Н_П до оо, т. е.
(y-gc>'
р(Гс1с)=-±= [ е "2 dzy. (4.4.24)
пгН-П
Выполнив интегрирование, получим
/> (/ус)= 1-/? (Гс/с) =
= 1 _ /г | ^^- arg/ф - />(Гс/0)]}. (4.4.25)
233

Таким образом, вероятность правильного обнаружения
сигнала определяется только отношением $C/N0 и
заданным значением р(Гс[0).
Кривые зависимости р(Гс/с) от &C/N0 приведены на
рис. 4.4.8. В схеме, где порог определяется по критерию
Неймана—Пирсона, минимум среднего риска не
обеспечивается.
§ 4.5. Использование согласованных фильтров в
схемах оптимального обнаружения сигналов с известными
параметрами. Метод выделения сигнала из помех
основан на использовании ф>ильтров, частотные
характеристики которых согласованы с частотным спектром
сигнала. На выходе такого фильтра получается
максимальное отношение пикового напряжения сигнала к
среднеквадратичному напряжению помех.
Такая фильтрация получила название пассивной, так
как в ней нет активных цепей — генераторов копии
сигналов, а имеются только пассивные цепи — фильтры.
Поскольку функция времени, отображающая сигнал,
и спектр сигнала, связаны между собой, следует
ожидать, что 'И оба метода фильтрации — активный и
пассивный— также должны быть связаны между собой. При
активной фильтрации в схеме используется известная
функция времени, воспроизведенная в копии,
характеризующей сигнал*а следовательно, и спектр. При
пассивной фильтрации в схеме также используется известный
спектр сигнала (воспроизведенный в частотной
характеристике фильтра), а следовательно, и функция
времени.
Для сигнала с(/), может быть получен его спектр
Sc(M = Sc((D)e/>c(^
где 5с(/со)—комплексный спектр; Sc(co)—амплитудно-
частотный спектр; <рс(со)—фазо-частотный спектр.
Согласованный фильтр должен иметь характеристику
/СФ (/«) = 5С (.) е"*' < V4 = КФ (») еУф* w , (4.5,1)
где tc — длительность сигнала.
Согласованный фильтр, в момент окончания действия
сигнала на его входе обеспечивает на выходе макси-
234

мальное отношение пикового напряжения сигнала £фМ
к среднеквадратичному напряжению помехи на его
выходе Охф, причем доказано, что
£ф^=т/Ж, (4.5.2)
что соответствует (4.5.11).
Для сравнения пассивной и активной фильтрации
необходимо привести соотношения, характеризующие
работу фильтров и корреляторов к одному виду.
Известно, что если функция времени,
характеризующая сигнал, есть с(/), то импульсная переходная
характеристика согласованного фильтра имеет вид
ч*ф(0 = с(*с-0- (4-5-3)
Если на линейный фильтр подать напряжение y(t)>
которое в общем случае может содержать и сигнал и помеху,
то напряжение на выходе z$y может быть найдено через
интеграл Дюамеля
—00
где Т — вспомогательное время.
Если фильтр согласован с сигналом, то
t
z<bV=\y{T)c{tc-t-{-T)dT,
—00
так как для согласованного фильтра
°(\B<b(t-T) = c(tc-t + T).
Как и в случае исследования корреляционного
приема, полагаем, что сигнал начинается в момент / = 0, т. е.
c(i/)=0 при КО.
Тогда с(^с — t-\-T) = 0, если (tQ — /-(-Г)<0 или при
T<(t-te).
235

Тогда пределы интегрирования можно заменить с —оф
на / — tc и
2фу = $ y(T')C(tc-t + T)dT.
t-L
В момент окончания действия сигнала, т. е. при t = tc,
z<t>M = z<t>yit = tc) = §y(T)c(T)dT. (4.5.4)
о
y(t)
Рис. 4.5.1. Схема оптимального приема с согласованным фильтром:
СФ — сегласованный фильтр; ГС — генератор сигналов стробирования; Пг —
пороговое устройство.
Следовательно, напряжение на выходе согласованного
фильтра в момент, окончания действия сигнала
выражается точно так же, как на выходе коррелятора.
Тогда схема оптимального обнаружения сигнала
может быть реализована в виде, изображенном на рис. 4.5.1.
Как будет доказано далее, сам согласованный фильтр не
реагирует на фазу сигнала, поэтому информация о фазе
сигнала в схеме с согласованным фильтром
используется для управления моментом сравнения напряжения на
выходе фильтра с порогом; требования к точности
управления этим моментом очень жесткие. Практически в
такой схеме можно использовать синхронный детектор
с соответствующей фазой опорного напряжения. При
этом становится очевидной аналогичность схем с
корреляторами и схем с согласованными фильтрами по
требованию к синхронизации по фазе. Следовательно
требования iK наиболее трудно обеспечиваемому
параметру—фазе в ГКС (рис. 4.4.1) и ГС (рис. 4.5.1)
—одинаковые. Однако во многом схемы с коррелятором и
согласованным фильтром различаются. Это различие состоит
в том, что на выходе согласованного фильтра имеется
236

напряжение тока радиочастоты, а на выходе коррелято-
Ьа — напряжение постоянного тока. Огибающая
напряжения на выходе согласованного фильтра только в
некоторых частных случаях, например для простых
сигналов (при /<1/с). совпадает с формой напряжения на
выходе коррелятора. Во многих случаях, например для
щумоподобных сигналов, они коренным образом
отличаются друг от друга, совпадая только в момент t=tc.
Согласованный фильтр отличается от коррелятора
независимостью работы от начальной фазы и задержки
сигнала.
Если сигнал имеет начальную фазу q>co и задержку т3,
отличные от нуля, то в спектре сигнала появляется два
дополнительных множителя
Напряжение на выходе согласованного фильтра может
быть найдено через обратное преобразование Фурье
+ 00
—оо
-foo
—00
Воспользовавшись формулой Эйлера, можно получить
+00
—00
Отсюда следует, что если fCo = 0 и т3 = 0, то гфс
достигает максимального значения в момент t — tc = 0
или t = tc:
+ 00
£фс (t = tc) = -^ \ S2c (со) do> = gc,
—00
т. е. такого же значения, как и zc при t = tc.
237

При наличии начального сдвига фаз <рсо и задержки тя
гфС достигнет максимума той же величины, но в другой,
момент времени, когда /
^(t — ^3 — tc) — ?co = 0 J
или
'=^ + *з + 'о (4.5.5)
Следовательно, при наличии сдвига начальной фазы и
задержки выходное напряжение согласованного фильтра
не изменяет своей формы, но момент, при котором
напряжение достигает максимума, сдвигается ровно
настолько, насколько по времени был сдвинут сигнал.
Таким образом, согласованный фильтр не обладает
фазовой и временной избирательностью, Согласованный
фильтр отличается от коррелятора также отсутствием
идеальной памяти.
После окончания действия сигнала на выходе
коррелятора накопившееся напряжение теоретически
сохраняется сколь угодно долго и для приема последующих
сигналов нужно предусмотреть сброс.
В согласованном же фильтре эта память отсутствует:
после окончания действия сигнала выходное напряжение
согласованного ф-ильтра спадает до нуля. Поэтому при
использовании согласованного фильтра нужно иметь
дополнительные средства фиксации, например запись,
которая, как подтверждает -практика, практически должна
быть и в корреляционных схемах. Кроме того,
согласованный фильтр от коррелятора отличается характером
напряжения помех на его выходе.
Напряжение помех на выходе коррелятора является
нестационарным случайным процессом с
увеличивающейся дисперсией. В начальный момент появления
ожидаемого сигнала напряжение помех на выходе
коррелятора равно нулю, так как хотя на его входе помехи и
действуют непрерывно, однако на выходе они могут
проявляться только с момента подачи на умножитель копии
сигнала. При выводе отношения сигнала к помехе в
согласованном фильтре предполагают, что помеха
действует на входе фильтра достаточно долго, и берется
среднеквадратичное значение установившегося
случайного процесса (помехи на выходе).
238

\
\
\ Однако отношение напряжения сигнала к
среднеквадратичному значению помехи в момент окончания
ействия сигнала и для коррелятора и для согласован-
ого фильтра одно и то же.
\ Поскольку напряжение сигнала на выходе согласо-
анного фильтра и на выходе коррелятора в момент
кончания действия сигнала одинаково и равно $с> то,
следовательно, среднеквадратичное напряжение помехи
Однако для согласованного фильтра это
среднеквадратичное значение установившегося стационарного
случайного процесса справедливо для любых моментов
времени (до и после действия сигнала), а для коррелятора
это среднеквадратичное значение нестационарного
случайного процесса справедливо только для момента
окончания действия сигнала.
Различие характера напряжений помех на выходах
коррелятора и согласованного фильтра практически не
проявляется, если на сравнивающее устройство подавать
напряжение с их выходов только в один момент
времени t=tc.
Основная шричина указанных выше различий в
работе коррелятора и согласованного фильтра состоит в
следующем. В соответствии с соотношением (4.4.5)
коррелятор после прохождения сигнала (без помех) дает одно
значение функции автокорреляции сигнала или одну
точку этой функции, соответствующую сдвигу по
времени между сигналом и его копией. В оптимальном
приемнике копия полностью повторяет сигнал в том числе
и по фазе. Тогда на выходе коррелятора при t=\t0 будет
получено значение максимума функции автокорреляции
сигнала. Если изменять задержку и фазу копии сигнала,
то в установившемся выходном напряжении коррелятора
будет другая, но одна точка функции автокорреляции.
Можно показать, что на выходе согласованного фильтра
при действии сигнала .получается напряжение,
изменяющееся по времени, причем функция, описывающая это
напряжение, выраженная от момента окончания
действия сигнала, соответствует функции автокорреляции
сигнала. В момент окончания сигнала в согласованном
фильтре так же, как и в корреляторе, будет получен
максимум функции автокорреляции. Следовательно,
239
?

в этот момент времени выходное напряжение согласо
ванного фильтра соответствует точке функции автокор
реляции при т=0. В предыдущие и последующие момеет
ты времени воспроизводится вся функция для всех
сдвигов т, меньших и больших нуля. Короче говоря, выход
ное напряжение согласованного фильтра воспроизводит
функцию автокорреляции сигнала. ;
§ 4.6. Обнаружение сигнала с неизвестной амплитудой
и известной фазой. Системы с «активной паузой». При
оптимальном обнаружении сигнала с известными
параметрами амшштуда копии должна поддерживаться
определенной величины и изменяться вместе с изменением
амплитуды сигнала. Аналогично при использовании
согласованного фильтра ранее предполагалось, что его
коэффициент усиления (изменяется вместе с изменением
амплитуды сигнала, поскольку должно выполняться
равенство
-/C«,H = sc[H.
В оптимальном приемнике необходим источник
порогового стабильного напряжения, изменяющегося с
изменением условий приема.
Оптимальное обнаружение сигнала требует точного
и стабильного выполнения целого ряда амплитудных
соотношений. Практически такую точную и стабильную
реализацию необходимых соотношений и усилений
обеспечить довольно трудно. Поэтому, даже если считать, что
уровень сигнала, приходящего в антенну, известен, из-за
неточности изготовления и нестабильности режимов
усилительных 'каскадов, стоящих до каскадов,
осуществляющих оптимальную обработку, <и элементов
оптимальной схемы, приходится считать, что амплитуда
сигнала, поданного*на вход оптимальной схемы, изменяется
и является случайной величиной. Кроме того, имеется
ряд факторов, вызывающих изменение интенсивности
сигнала и помех на входе приемника. Следовательно, как
правило, амплитуда сигнала является случайной
величиной, а уровень помех подвержен изменениям. Для того
чтобы выявить роль неизвестной амплитуды при
оптимальном обнаружении, рассмотрим в несколько другом
виде условия оптимального обнаружения сигнала с
известными параметрами.
240

\ Запишем, что сигнал
I c(t) = Acc0(t), (4.6.1)
i
г&е с0 (0 —Функция времени для сигнала с единичной или
фиксированной амплитудой и энергией &0.
1 Тогда отношение правдоподобия примет вид
'с
4^ С Дсс, (<) *(<)<«
Хе °' . (4.6.2)
Условие принятия гипотезы о наличии сигнала
' с„ (0 у (t) dt = z0 > ^- In П, + it лс = П20. (4.6.3)
В частном случае при П,= 1
г.= |с.(0у(0Л>%Ло = П£,. (4.6.4)
О
Из результата следует, что повторять в копии сигнала
его амплитуду не обязательно. Копию сигнала можно
взять единичной амплитуды (т. е. любой). При этом
остается в силе схема, изображенная на рис. 4.4.1, но
уровень порога определяется по другому правилу (4.6.4).
Процессы, происходящие в схеме, будут такими же, как
было описано в § 4.4, и величина на выходе
коррелятора Zq подчиняется тем же законам.
Не повторяя выводов, аналогичных приведенным
в § 4.4, отметим следующее. В момент t=tc при наличии
одной помехи z^ имеет нормальное распределение с
дисперсией azo, при наличии смеси zy0 имеет нормальное
16—635 241

распределение со средним, равным &QAC, и той же ди
Персией.
Можно показать, что
Вероятности ошибок не изменяются. Аналогичные
результаты можно получить для согласованного фильтра
с постоянным усилением (не зависящим от амплитуды
оигнала). Таким образом, переход на фиксированную
амплитуду копии или постоянное усиление
согласованного фильтра сохраняет оптимальность схемы, только
несколько по-другому должен устанавливаться порог.
Это обстоятельство позволяет существенно упростить
реализацию оптимальных схем для сигналов с
известными параметрами. Однако основной смысл выражений
(4.6.3) и (4.6.4) состоит в том, что они позволяют
оценить роль неизвестности амплитуды при оптимальном
обнаружении. Практически амплитуда сигнала обычно
неизвестна: она является случайной величиной. Тогда
оказывается неопределенным порог. Случайность
амплитуды не влияет на другие операции оптимальной
обработки (кроме сравнения с порогом), они остаются
такими же, как при известной амплитуде. Теоретически
можно выбрать величину порога такой, чтобы
обеспечивался минимальный средний риск и при изменяющейся
амплитуде сигнала. Для этого нужно знать w(Ac) и
воспользоваться полученными выше зависимостями.
Выражение (4.6.2) для 1(у) при случайной величине
Ас следует считать условным отношением
правдоподобия 1(у/А).
Далее можно найти
»
l(y)=$w{Ac)t(ylAo)dA0. (4.6.6)
О
Пользуясь соотношениями (4.6.6), можно найти величину
порога, обеспечивающего минимальный средний риск при
изменяющейся неизвестной амплитуде сигнала. Если
имеют место значительные изменения амплитуды, то
очевидно, что качество работы схемы будет много хуже, чем
242

rip и известной амплитуде, т. е. величина среднего риска
иАи вероятность ошибок будет много больше.
I Для улучшения результатов обнаружения сигналов
с Неизвестной и изменяющейся амплитудой может быть
использовано несколько методов;
а) обеспечение постоянства амплитуды сигнала,
подаваемого на вход схемы оптимальной обработки с
помощью АРУ;
б) использование автоматически устанавливающихся
или самоприспосабливающихся порогов;
в) использование критерия Неймана — Пирсона;
г) использование активной паузы в связных
системах.
Обеспечение постоянства амплитуды сигнала с
помощью АРУ может ухудшить помехоустойчивость и не
устраняет необходимости изменения порога из-за
изменения N0.
Схемы с автоматически устанавливающимся или
самоустанавливающимся порогом позволяют системе
самоприспосабливаться к изменяющимся условиям по
усилению, амплитуде сигнала и интенсивности помех. Такие
схемы усложняют приемо-индикаторное устройство,
ухудшают его надежность. Их использование целесообразно
в специальных случаях, поэтому мы более подробно на
них останавливаться не будем.
При использовании критерия Неймана—Пирсона порог
устанавливается исходя из р(Гс/0).
Выражение (4.4.15) для случая копии с
фиксированной амплитудой примет вид
00
р(Гс/0)= ^w(zn9)dzU9,
где гпо — величина помех на выходе коррелятора,
получающаяся при единичной амплитуде копии. zm имеет
нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией з2
2.
ПО
16* 243

/
или порог при заданной р(Гс/0)у т. е. при использовании
критерия Неймана—Пирсона, будет равен /
.. ■ с
Пгон-п = \/ГЩ1к%РР-Р(Гс№. (4.6.7)
В отношение, связывающее /?(Гс/0) и Пг0Н_п при
фиксированной амплитуде копии сигнала, амплитуда сигнала
не входит, и, следовательно, порог от нее не зависит.
Таким образом, использование критерия
Неймана—Пирсона решает также и проблему обеспечения работы
схемы при изменяющейся амплитуде сигнала. Вероятность
пропуска сигнала можно вычислить по (4.4.24), так как
от амплитуды копии сигнала, при соответствующем
выборе порога, она не зависит. Хотя в данном параграфе
рассмотрен сигнал с известными параметрами (кроме
амплитуды), который редко встречается, общие выводы
о роли критерия Неймана — Пирсона для обнаружения
сигналов с неизвестной амплитудой сохраняют свою силу
и для других сигналов, более характерных для
радионавигации и радиолокации. При использовании критерия
Неймана—Пирсона полезно ввести понятие «порогового
сигнала». Под пороговым сигналом понимают сигнал
такой энергии (или такой мощности при заданной его
длительности), при которой обеспечивается допустимые
р(Г0/с) или /?(Л?/с), если вероятность р(Гс/0) равна
заданной. Очевидно, что сигналы с большей энергией
(мощностью), чем пороговая, будут обнаруживаться с
меньшей вероятностью пропуска и большей вероятностью
правильного обнаружения. В системах радиосвязи для
устранения влияния неизвестности амплитуды можно
перейти к «реж(иму работы с активной паузой». При
передаче двоичным кодом нуль и единица играют
одинаковую роль и передачу нуля можно осуществлять не
паузой, как это имелось в виду везде ранее, а используя
другой сигнал. Тогда единица соответствует сигналу C\(t),
а нуль — сигналу C2(t). При этом осуществляется не
простое обнаружение сигнала, а решается более сложная
задача распознавания двух ненулевых сигналов.
Используя методику, применяемую при получении
выражения (4.3.9), можно найти отношение правдоподо-
244

бия для случая распознавания дгух ненулевых сигналов.
lQ,) = JEpJ^J^l. (4.6.8)
При /((/)>П1 должна приниматься гипотеза ГС1 о
наличии сигнала с,.
При /(у)<IIj должна приниматься гипотеза ГС2 о на^
п r^pic,) (469
1 г1Лр (с2) v '
где г2)\ и Л,2 — цены ошибок переименования сигналов;
р(с\) и р(с2)—априорные вероятности передачи
сигналов С\ И Сг.
Для случая сигнала с известными параметрами
функции распределения получаются просто.
После соответствующих преобразований получим
"с
\nl{y) = -^-(gCl-Sc%)-\-^-^y{t)Ci{t)dt~
6
Ч
-\y(t)c2(t)dt]. (4.6.10)
о
Условия принятия гипотезы ГС1
'с <с
\)y{t)ci{t)dt-<\y{t)c2(t)dt =
б о
= 2гая>4-(5с-(Зс1) + ^1пП1=П,а11. (4.6.11)
Выражение (4,6.11) вскрывает оптимальную процедуру.
Схема, соответствующая (4.6.11), приведена на рис. 4.6.1.
Наибольший интерес представляет случай, когда IT^l
И <9Cl = (§С2=== Зс-
245

Тогда условия принятия гипотезы ГС1 примут вид /
^y(t)c1(t)dt-^y(t)c2(t)dt = zRn>Q=Uz&u. (4.6.12)
Полученный результат имеет важное значение, так как
показывает, что в системе с активной паузой получается
y(t)
\
X
/
i.
V
hft) j-
k
X
/
*2
: г
J Лап
\c2(t)
Рис. 4.6.1. Схема оптимального приема при «активной паузе»:
X — умножители; \ —интеграторы; /7ап — пороговое устройство при работе
с активной паузой.
нулевой порог, не зависящий от амплитуд сигнала и его
копии. Это практически решает вопрос об оптимальном
приеме сигналов с неизвестной амплитудой в связных
системах. Однако переход к активной паузе заставляет
специально подбирать сигналы сх(1) и c2(t).
Если не учитывать помех, то из (4.6.12) следует, что
при действии сигнала С\ (t) на выходе схемы будет
^яп г.
JcJ(f)rff— 5 ct(t)c2(t)dt (4.6.13)
или
г,
2апгс = (Рс,— J C,(f)c8(f)
dt.
Интеграл f c^cj^d/ в выражении (4.6.13) харак-
о
теризует взаимосвязь сигналов C\(t) и c2(t). Сигнал c{(t)
проходит по плечу коррелятора, предназначенному для
246

сигнала c2(i), в результате чего эквивалентная энергия
первого сигнала уменьшается. Для того чтобы
прохождение сигнала по плечу коррелятора, предназначенному
для другого сигнала, не ухудшало условий обнаружения
(распознавания) необходимо, чтобы
J с\ (*) с, (')<« = 0, (4.6.14)
о
т. е. чтобы сигналы cx(t) и c2(t) были ортогональными.
У It)
X
/
Рис. 4.6.2. Схема оптимального приема противоположных сигналов:
X — умножитель; J — интегратор.
Ортогональность сигналов может быть достигнута
различными методами: разносом их частот при
обеспечении неперекрывающихся спектров (частотная
манипуляция или частотная телеграфия); сдвигом фаз на 90°
(фазовая манипуляция или фазовая телеграфия);
использованием ортогональных кодов.
При использовании сигналов с известной фазой
могут быть созданы противоположные сигналы. Если
Ci{t)=—c2(t), т. е. если сигналы C\(t) и с2(1)
отличаются по фазе на 180°, то их можно назвать
противоположными. Тогда полезный результат от действия сигнала на
выходе схемы запишется в следующем виде:
U 'с
Zanc= J С? (0 Л — J С, (/) [— С, (01 Л = 2(gc- (4.6.15)
о о
Следовательно, эквивалентная энергия сигнала
удваивается. При этом схема приема может быть упрощена.
Вместо двух каналов с вычитанием (рис. 4.6.1) можно
использовать одноканальную схему, изображенную на
рис. 4.6.2.
Рассмотрим теперь процессы, происходящие в схемах.
Будем считать, что во всех схемах используются копии
247

сигнала с единичной амплитудой. Параметр 2ЬП на
выходе каждого из корреляторов при действии одной
помехи имеет нормальное распределение с нулевым
средним и дисперсией
zol «02 2 *0
При наличии сигнала параметр z19yz20y на выходе
каждого из корреляторов имеет нормальное распределение
с дисперсией о^ , но среднее значение для одного из Них
будет ненулевым, и .определяется полезным результатом
действия сигнала (считаем сигналы ортогональными).
Учитывая действия только сигнала, получим среднее
z,oc = f с, (t) c01 (t) dt = J AClc2Ql (t) dt = AcSo,
6 о
так как считаем
В схемах аля распознавания двух ненулевых
сигналов с двумя корреляторами нужно найти функции
распределения параметра гапо на выходе вычитающего
устройства, который сравнивается с нулевым порогом.
Поскольку на выходе каждого из корреляторов
параметры Zioy и z2oy имеют нормальное распределение и
каналы независимы, то получение функции распределения
MJ№ Zano не встречает трудностей, так как она остается
нормальной с дисперсией, равной сумме дисперсий и
средним, равным разности средних. Случай действия
одной помехи не представляет интереса, так как при
активной паузе один из сигналов обязательно
передается. При передаче любого сигнала дисперсия
отклонения <гапо от среднего значения будет равна
в2 = #<,&>.
г ап о и и
При ортогональных сигналах среднее значение на
выходе равного Л с а его знак будет изменяться в
зависимости от того, какой сигнал передается.
248

При противоположных сигналах в двухканальной
Схеме полезный результат от сигнала на выходе схемы
удваивается. Так как амплитуда сигнала при этом не
изменяется, то это эквивалентно увеличению энергии &0
в два раза. Противоположные сигналы могут
приниматься при использовании схемы (рис. 4.6.2).
urfzno)
uf(2*\o) для cz(t)
-&0Ас Р(Гс2/сг)\
Wfeano) для cz(t)
-2S0AC
wfeano) для c2(t)
i
-So Ac
*)
w(Zuo) - сильный
сигнал
flgo н-п *
* wfewo) для cf(t)
*)
P(rci/cz) &oAc
\(2ano) для c,(t)
Я*,an 2SQAC \ *
uf&ano) для cf(t)
Лё.Ап &oAc
*)
*i
Рис. 4.6.З. Функции распределения для параметра, сравниваемого
с порогом, и пороги в различных схемах.
Эта схема одноканальная, следовательно, дисперсия
флюктуации будет равна -у2-, среднее значение
равно &0АС, a его знак изменяется в. зависимости от того,
какой сигнал передается. В отличие от схемы приема
сигнала с пассивной паузой порог распознавания будет
нулевым.
Сказанное иллюстрируется рис. 4.6.3, на котором
приведены функции распределения для случаев:
а — сигнал с пассивной паузой, порог —по критерию
идеального наблюдателя;
249

б — сигнал с пассивной паузой, порог — по критерию
Неймана—Пирсона;
в — активная пауза, ортогональные сигналы; *
г — активная пауза, противоположные сигналы, двух--
канальная схема;
д — активная пауза, противоположные сигналы, одно-
канальная схема.
Для сравнения все функции распределения построены
при одном и том же значении ®оЛс и N0.
Из рисунка можно сделать некоторые качественные
выводы. Переход к работе с активной паузой и
ортогональными сигналами при сохранении амплитуды сигнала
приводит к уменьшению вероятности ошибок по
сравнению с работой с пассивной паузой, так как предел
интегрирования перемещается, а среднеквадратичное
значение флюктуации увеличивается в 1,4 раза.
Противоположные сигналы позволяют еще уменьшить вероятность
ошибок. Зная функции распределения и порог, можно
найти вероятности ошибок
(2апо Wc^2
1 /• гаи и
P{rc^i)=Zp= e tfzano,
r2rcczanoJ
гапО
—оо
z апо и
Аналогичные интегралы были вычислены ранее, поэтому
приводим сразу результат
• ,(r.*j>i-i>(/«a)_,_,(/£) ,4.6.16)
И
p(rCl/c2)=l-F(Yft).
Следовательно, при р (ct) = р (с2)
Рт=1-Р(У^)- (4.6.17)
Как видно, вероятность ошибок три ортогональных
сигналах и активной паузе меньше, чем при пассивной пау-
250

зе. Выигрыш в энергии сигнала составляет два раза, что
понятно, так как сигнал излучается -и при передаче «О».
Аналогично могут быть получены выражения для
противоположных сигналов
P(rC2lc1) = p(rcJc2)=l-F(Y §^)> (4.6.18)
p™=i-f{V*P/ (4-6Л9)
Вероятность ошибок при противоположных сигналах
оказывается меньшей, чем при пассивной паузе и при
ортогональных сигналах. Выигрыш в энергии не всегда
может быть полностью реализован, так как если
мощность передатчика ограничивается тепловым режимом, то
при переходе на активную паузу она должна быть
уменьшена в 2 раза. Тогда выигрыш по энергии остается
только для противоположных сигналов, достигая двух. При
сигналах с известной фазой нет смысла использовать
частотную манипуляцию, так как фазовая манипуляция
со сдвигом на 90° дает тот же результат и имеет те
преимущества, что она осуществляется в более узком
участке диапазона частот и для этого применяется более
простая схема. Наиболее выгодно применять фазовую
манипуляцию со сдвигом на 180° (противоположные
сигналы). Схема в этом случае значительно упрощается,
а выигрыш в энергии получается от двух до четырех.
В системах с активной паузой вместо корреляторов
можно использовать согласованные фильтры, но при этом
нужно учитывать некоторые особенности. При известной
фазе сигнала наиболее целесообразно применять
фазовую манипуляцию, но так как согласованный фильтр не
реагирует на фазу, то в схеме дополнительно к
согласованному фильтру следует включить синхронные
детекторы с подачей на них соответствующих опорных
напряжений. Аналогичные схемные решения могут быть и при
частотной манипуляции. Но синхронный детектор с
генератором опорного напряжения практически аналогичен
умножителю с генератором копии сигнала. Тогда
корреляционные схемы оказываются более простыми, так как
в них накопление (интегрирование) осуществляется на
постоянном токе после умножителя и обычно
технически решается просто независимо от сложности сигнала.
251

В схемах с согласованными фильтрами накопление
осуществляется в фильтре на радиочастоте, что создает
много технических трудностей, особенно при сложных
сигналах. Некоторым преимуществом схем с
согласованными фильтрами является облегчение решения задачи
приема сигнала при случайной задержке, однако
подробно на этом останавливаться не будем из-за
ограниченного объема книги. Таким образом, влияние
неизвестности амплитуды сигнала на оптимальное
обнаружение (распознание) в радиосвязи может быть
полностью устранено с помощью перехода на режим
работы с активной паузой.
Кроме того, при этом может быть достигнут выигрыш
по энергии сигнала. Эти обстоятельства и объясняют
широкое использование принципов активной паузы
в системах радиосвязи.
§ 4.7. Оптимальное обнаружение сигнала со случайной
фазой. Рассмотрим теперь свойства сигнала со случайной
фазой и особенности его обнаружения. Для того чтобы
выявить влияние случайности фазы, будем полагать,
что все остальные параметры сигнала известны. Строго
говоря, нестабильность фазы, связанная с
перемещением объекта, изменением условий распространения и
прохождением сигнала через каскады аппаратуры,
обусловливает также и неизвестность или случайность
задержки сигнала. Однако длительность сигнала всегда
много больше, чем период высокой частоты. Поэтому
небольшие изменения задержки удобнее рассматривать
как изменения фазы. При этом можно считать, что
время начала и конца сигнала известно, строго говоря,
с точностью до периода высокой частоты.
Следовательно, изучению подлежит радиосигнал c(t, q>c), все
параметры которого считаем известными, кроме случайной
фазы ф"с. Полагаем, что срс является случайной
величиной, т. е. она неизвестна, но за все время наблюдения
(приема) сигнала она не изменяется. Случай, когда
фаза изменяется в течение времени приема, т. е. когда
Фс=фс(0—случайная функция времени, будет
рассмотрен отдельно и даст другие результаты.
Перейдем к получению отношения правдоподобия.
Функция распределения помехи известна. Функцию
распределения смеси сигнала и помехи находим,
пользуясь полученными выше соотношениями.
252

Она будет иметь вид
(^У2,...,/ТсС-п) = (1-^Х
—^ \ [y(t)-c(t. t))>dt
Хе ° . (4.7.1)
Отсюда находим условное отношение правдоподобия
А
/(!//Тс)=еЧ'{ , (4.7.2)
так как энергия сигнала не изменяется при изменении
его фазы и
V
Jc2(^?c)^ = (gc.
О
Реализовать оптимальную схему, используя
соотношение (4.7.2), невозможно, так как корреляционный
интеграл в качестве множителя содержит сигнал c(t, cpc),
у 'которого фаза <рс- случайна. Следовательно, нужно
искать такие процедуры или схемы, в которых
случайность фазы перестает влиять на результат.
Математически это должно отразиться на том, что интеграл
(4.3.16) может быть вычислен.
Для того чтобы привести выражение (4.7.2) к виду,
удобному для интегрирования, рассмотрим подробнее
выражение для сигнала
тогда
с (ty 9с) = {Лс cos 9с cos [*0t 4- Ф (t)\ +
+ Ас sin 9с sin К* + -Ф"(01->. (4-7.3)
Следовательно, сигнал со случайной фазой может
рассматриваться как сумма двух ортогональных сигналов со
253:

случайными только амплитудами и известными всеми
остальными параметрами. Оптимальный прием сигналов
со случайной амплитудой был рассмотрен ранее. При
этом установлено, что если все остальные параметры
сигнала известны, то при оптимальном приеме используется
коррелятор, и случайность амплитуды влияет в схеме
только на порог обнаружения. Из этого можно сделать
тот вывод, что оптимальный прием сигнала со случайной
фазой можно осуществить, если в двухканальной схеме
подвергать корреляционной обработке каждую из двух
ортогональных составляющих.
Для этого копии сигнала в каждом из каналов
должны иметь вид
c4(0=-i4Kco8W + t(0l
С7 (0 = Лк Sin К/ + ф (*Д.
Их амплитуда может быть взята любой, поскольку она
отразится только на уровне порога. Величины ц и у на
выходе корреляторов будут иметь вид
t
^H=^y(t)AK cos [оу + f (/)J dt, (4.7.4)
о
t
4=$y(t)AK sin [V + Ф (01 dt. (4.7.5)
о
Однако при оптимальном обнаружении сигнала со
случайной фазой нельзя ограничиться корреляционной
обработкой каждой из составляющих, так как если
использовать результаты по каждому <из каналов отдельно, то
невозможно выбрать величину порога, поскольку
величина на выходе каждого из корреляторов зависит от
случайной фазы сигнала. Отсюда следует целесообразность
такого комбинирования или совместного использования
величин ц и у, при котором результирующая величина не
будет зависеть от фазы и может быть использована для
сравнения с порогом обнаружения.
Используя величины т] и у, найдем величину В:
254
£=W + Y2-
(4.7.6)

Величина В от фазы фс не зависит и может быть
использована для сравнения с порогом.
При приеме одного сигнала (без помех)
y(t) = c(t, <рс) = Асcos[V + Ф(0 + ?cb
тогда
Чо=Г AcAKc(Xfcos?l»0t + y(t)]dt = ^co&<tc> (4.7.7)
6
Tc = ^iLsin?c, (4.7.8)
*c = -^, (4.7.9)
что подтверждает независимость В от фазы <Рс Если
амплитуда копии АК=АС, то Вс = &с. Если амплитуда копии
равна единице (Лк=1), то 5с = $<Ио Вернемся к
выражению (4.7.2) для /(у/фс). При переходе к 7(у) нужно
выполнить интегрирование в соответствии с (4.3.16). Для
интегрирования необходимо произвести такие
преобразования выражения, т. е. с математической точки зрения
такие замены переменных, чтобы зависимость от фс
выявилась явно и в такой форме, которая позволяет это
интегрирование осуществить. Воспользуемся
полученными выше результатами для соответствующей замены
переменных.
Корреляционный интеграл
щ- \y(t)c(t, fQ)dt
о
может быть выражен через т\ и Y-
Поскольку с(£, ?с) выражается соотношением (4.7.3),
то
~- Г y(t)c(t, Tc)^ = ^(^cos<pc + Ysin?c). (4.7.10)
о
255

Выразим теперь ^ и у через В и введем угол 6: -ц —
= 5 cos в и Y = £sin6.
Тогда
'с
^^y(t)c(ty<fc)dt = ^Bcos(b-?c). (4.7.11)
При этом условное отношение правдоподобия примет вид
/(г//?с)=е"'е • . (4.7.12)
Таким образом удалось получить выражение для /(#Лрс)>
в котором зависимость от фс выражена в форме, удобной
для интегрирования.
Найдем теперь 1(у)
'G/) = e "•j-gU* %с. (4.7.13)
о
Из теории бесселевых функций известно, что
ifeacos(e~*W=/o(«), (4-7-!4)
о
где 10 (и) — модифицированная функция Бесселя нулевого
порядка.
Следовательно,
1п/(у) = -^ + 1п/#(^). (4.7.15)
Запишем условия обнаружения
1п/.(^-)>1пП, + ^=П. (4.7.16)
При/этом принимается гипотеза о наличии сигнала. При
обратном неравенстве принимается гипотеза об отсут-
256

ствии сигнала. Соотношение (4.7.16) выражает
оптимальную процедуру обработки смеси при случайной
фазе. Схема, осуществляющая такую обработку, приведена
на рис. 4.7.1. Она предусматривает более сложную
обработку сигнала, чем схема рис. 4.4.1. для сигнала с
известной фазой, но ее реализация значительно проще, так
как не требуется слежения за фазой сигнала и генератор
копии технически решается достаточно просто. Слежение
Рис. 4.7.1. Схема оптимального приема сигналов со случайной фазой:
X — умножители; J — интеграторы; ГКС — генератор копии сигнала; ()2 —
квадраторы; ^ — устройство для извлечения квадратного корня; In 10 — блок
нелинейных преобразований.
за фазой, как отмечалось ранее, требует создания
специальных устройств, в осуществлении которых могут
встретиться трудности (если в спектре сигнала нет четко
выраженной несущей).
Усложнение процедуры обработки сигнала
определяется двумя факторами. Во-первых, усложняется
коррелятор за счет перехода к двухканальному коррелятору
с квадратурными каналами. Во-вторых, усложняются
преобразования величины, получающейся на выходе
коррелятора.
В схеме приема сигнала с известными параметрами
выходная величина коррелятора подавалась
непосредственно на пороговое устройство. В этом же случае
величины, получающиеся на выходе корреляторов,
подвергаются сложным преобразованиям. Однако эти
преобразования величины В не носят принципиального
характера и по сути означают необходимость такого ее изме-
17-635 257

нения, чтобы она могла бы быть сравниваема с
величиной порога П, правило выбора которого не
изменяется при сигнале любой силы. Можно изменением схемы
так изменить правило выбора порога, чтобы он сам
согласовывался с величиной В. Такой видоизмененный
уровень порога Пв может быть найден из условия, что
ln42-£fblnII'+b (4-7Л7)
Схема будет иметь вид, изображенный на рис. 4.7.2.
y(t)
Н X
ЧХ
/гНП
ч
J
(У
+
вг
*■
£
В
•—*•
—
/7в|
SO*
ГКО
Рис. 4.7.2. Схема оптимального приема сигнала со случайной фазой
и порогом Яв:
X — умножители; J — интеграторы; Г/СС — генератор копии сигнала; ()2 —
квадраторы; '—устройство для извлечения квадратного корня.
Условия принятия гипотезы Гс будут иметь вид
£>ПВ. (4.7.18)
Выражения для порога могут быть упрощены для
частных случаев сильного и слабого сигналов.
Для сильного сигнала Г В > jY0; ln/0 (tt-J « тт-1
условия выбора гипотезы Гс запишутся как
B>N0l21nTLt + 8cP = ILB (4.7.19)
при П = 1
Пв = ^, (4.7.20)
258

т. е. выражается так же, как для сигнала с известной
фазой.
Для слабого сигнала
условия выбора гипотезы Гс запишутся
Я^Л^пП^&Д» (4.7.21)
при nj=l 5>|Л§сА/о = Пэ, т. е. порог в этом случае
существенно отличается от порога для сигнала с
известной фазой.
Физический смысл понятия «сильный сигнал» состоит
в том, что при этом напряжение сигнала на выходе двух-
канального коррелятора больше, чем напряжение от
помех.
При «слабом сигнале» напряжение от помех больше
напряжения от сигнала.
Из приведенных результатов следует, что основной
операцией в оптимальной схеме является получение
величины (или параметра) В, которая сравнивается с
порогом. Следовательно, свойства схемы будут
определяться функциями распределения величины В и
процессами, происходящими на выходе двухканального
коррелятора.
Для получения распределения В найдем вначале
функции распределения величин ц и у.
Предполагая, что амплитуда копии равна амплитуде
сигнала, и имея в виду случай подачи смеси помехи и
сигнала, выражение для ц запишем в виде
Ъ = J с (t, 9c) AG cos К*'+ ф (0] dt +
о
'с
+ J п (0 Ас cos [V + Ф (01dt = Чо + *Чп; (4.7.22)
о
Yc и Tic получены ранее [см. формулы (4.7.8), (4.7.9)].
17* 259

Таким образом, величина % (или уу) имеет
нарастающую по определенному закону составляющую,
обусловленную действием сигнала, причем величина этой
составляющей случайна, так как случаен угол ф0, и
флюктуирующую составляющую, обусловленную
действием помех.
Рассмотрим характеристики флюктуирующей
составляющей
Чп= J п(О А>cos[»0f+ ♦(')]<#•
о
Ранее было показано, что случайная величина,
выражающаяся через интеграл нормального процесса, будет
иметь нормальное распределение с нулевым средним и
возрастающей дисперсией.
В момент t = tc
о\ = Ц^. (47.23)
Аналогично можно получить
т. е.
2 2 2
а =о = с.
7) Т 1
Таким образом, функции распределения величин цу и уу
в момент времени t — tc будут иметь вид
(\-£cC0S(Pc)2
ИУ = ^ *' , (4.7-24)
V 2па,
(Ty-gcsinyc)'
1 *?
в,(Т„)=*-^-е . (4.7.25)
у 2гсах
В интервале времени от 0 до tc r\y(t) и Yv(0
являются нестационарными случайными процессами с
изменяющейся дисперсией и средним. Нестационарность процео
260

сов r\y(t) и yy(t) могла бы существенно усложнить
анализ обнаружения, если бы не то обстоятельство, что
наиболее благоприятные условия обнаружения создаются
в конце действия сигнала, <и для определения ошибок
можно пользоваться одномерными функциями
распределения для этого момента времени.
Найдя функции распределения для г\у и уу можем
приступить к получению функции распределения для Ву.
В оптимальном приемнике используется величина
Для получения функции распределения величины Ву,
зависящей и от цу и от уу, нужно воспользоваться
функцией совместного распределения w{-qy, чУ):
why* Ъ) = ®(ъ№(Ъ) = 1Г2Х
/КЗ}
tfy + t2y + £J?-2£C (*)„ cos Ф(.-Т1/ sin Ф(.)
ц
X е . (4.7.26)
Перейдем теперь к переменным В и Э. Физический
смысл величин В и Э может быть истолкован следующим
образом. Ву представляет собой модуль радиуса вектора,
для которого цу и уу суть его ортогональные проекции,
а 0 — фазу этого радиуса вектора. Для осуществления
перехода от координат <цу и уу к координатам Ву и Q
нужно произвести функциональное преобразование,
соответствующее переходу от прямоугольных координат к
полярным. Математически это означает нахождение
совместного распределения величин Ву и 6:
w(Byb) = ByW(Bycos9,-BySinb) =
B2 + £2-2By£ccos(e-<Pc)
ГД 2а2
=:-\е ' . (4.7.27)
2тсо|
Поскольку в схеме используется Ву, то нужно найти
w(By), для чего проинтегрируем w(Byb) от 0 до 2%.
261

Выполнив интегрирование, получим
т(Ву) = ^-10(В-^-)е *' . (4.7.28)
При наличии сигнала величина Ву распределена по
обобщенному закону Релея. При отсутствии сигнала, т. е.
<Sc—\jO, распределение переходит в релеевское
ш(5п) = %е . (4.7.29)
При — > 1 величина Ву распределена по нормальному
закону с дисперсией о2 = а2{ и средним значением @с
(0„-£с)2
2а2
0,(5,) «*е ' . (4.7.30)
у 2пох
Для пользования графиками и таблицами удобнее
перейти к безразмерной форме записи функций распределения;
обозначим
и Ву Ву i/2ffc
г-е-У N0
а
тогда получим
Ь2 —е*
w(by) = byt 2 /„(V). (4-7.31)
При е^О
*2
2
w(bn)^bae . (4.7.32)
262

При е > 1
w(b,.)~^ea 2 . (4.7.33)
Физический смысл полученных результатов состоит
в следующем. Схема с двумя корреляторами в случае
сигнала со случайной фазой позволяет оптимально
использовать всю энергию сигнала, так как составляющие
сигнала воспринимаются в каналах, давая выходную
величину, обусловленную энергией каждого из них. При
сложении величин на выходах корреляторов результат
работы схемы по сигналу определяется его полной
энергией. Иначе говоря, вся энергия сигнала используется
полезно, определяя величину В, наблюдаемую на выходе
сложного коррелятора.
Действие помех в рассматриваемой схеме
существенно отличается от их действия в схеме с одноканальным
коррелятором. Поскольку в целях использования всей
энергии сигнала приходится применять двухканальный
коррелятор, то при квадратурном сложении помех на
выходе происходит увеличение их интенсивности и
изменение функции распределения от нормальной к
обобщенной релеевской, что дает большую вероятность больших
выбросов помехи. При наличии сильного сигнала и
помехи функция распределения нормализуется и дисперсия
флюктуации от помехи такая же, как в схеме для
сигнала с известной фазой. При уменьшении 'интенсивности
сигнала функция распределения величин все более и
более приближается к релеевской, и условия обнаружения
сигнала ухудшаются значительно больше, чем для
случая сигнала с 'известной фазой. По этим причинам
уровень порога при сильном сигнале со случайной фазой
близок к уровню порога при сигнале с известной фазой.
При слабом сигнале уровни порога отличаются
значительно. Очевидно, что в связи с особенностями
функций распределения для величин В вероятность ошибок
в схеме со случайной фазой должна быть больше, чем
в схеме с известной фазой. Приведенные выше функции
распределения относятся к случаю, когда копия сигнала
воспроизводит его амплитуду. При анализе обнаружения
сигнала с известными параметрами было установлено,
что это не обязательно. Для случая сигнала со случай-
263

ной фазой также можно показать, что амплитуда копий
может быть взята любой, но при этом изменится только
уровень порога. Опуская преобразования, приведем
окончательные результаты.
Условие принятия решения имеет вид:
при
In /. (^) > In П, +^= П„ (4.7.34)
выбирается гипотеза Гс, где В0 параметр при Лк=1;
при сильном сигнале и И1 = 1 при
В0>^ф- = Ъ*0 (4.7.35)
выбирается гипотеза Гс.
Функции распределения для ч\0 и yQ будут
нормальными с дисперсией
°о = ^. (4.7.36)
Функция распределения для В0 запишется в виде
2.2
w(B7t)=-^-I0(-^^)e . (4.7.37)
°0 \ ff0
ЭуО J f ^УО^о^с \ _ °
При Лс = 0
«2«
по
2°2
ш{Вт) = -Ц~е °. (4.7.38)
•S
При сильном сигнале $0ЛС > о0
<вог,-«?Ис)а
»(^=—L_* "°2 . (4-7.39)
У 2яа0
Среднее'значение равно $0ЛС и дисперсия с^ =Oq# На
рис. 4.7.3 даны функции распределения w(Bno) при одной
помехе (без сигнала) и о>(5Уо) при смеси сигнала с
помехой, а также порог Пво и площади, отображающие ве-
264

роятность ошибок. Там же для сравнения даны функции
распределения для zn0 и z0y. Из рисунка следует, что
при случайной фазе вероятность ошибок возрастает.
Получив функции распределения величины Б, можем
найти вероятности ошибок. Для этого удобнее
воспользоваться схемами, в которых величина В
непосредственно сравнивается с порогом Пв, и рассматривать случай,
когда АК=АС.
v(B);\
Рис. 4.7.3. Функции распределения В и Z.
Для использования безразмерных функций
распределения приведем порог к тому же виду
тт —Пь
Вероятности ошибок могут быть найдены из выражений
00 П О
р (Гс/0) = f Ьа<ь~ ~ с1Ь„ = е~ ~. (4.7.40)
п ь2+е'
р (rojc) = j bye ~'l0 (bye) dby. (4.7.41)
— 00
Интеграл в формуле (4.7.41) не выражается через
известные функции. В общем виде результаты
получаются громоздкими, так как вычисляются для разных III и
Ec/N0. Для оценки и сравнений разных сигналов удоб-
цее пользоваться результатами, получающимися при
2Q5

применении критерия идеального наблюдателя и
критерия Неймана — Пирсона.
Расчеты упрощаются, если рассматривать случай
сильного сигнала, когда $с > jV0 или Вс > ов = ох.
При этом
n»=?r=-fe=/sc <4-7-42)
Тогда
/>(Гс/0) = е *\ (4.7A3)
и
/7(Г,/с)= jpU 2 <И„. (4.7.44)
—Ов
Аналогичный интеграл уже вычислялся при определении
ошибок приема сигнала с известными параметрами;
поэтому, опуская преобразования, приведем результат
P(rjc) =
Следовательно,
Рош — 0,5'
= 1-
,6
-F(nb
So
""ч|
(/
тУ <4-7-45)
-р(/щ)]\- (4J-46)
Как и следовало ожидать, вероятность ошибок зависит
только от отношения $с/#0. На рис. 4.7.4 приведен
график зависимости рош от <§с/#0- На этом же рисунке
приведена кривая ошибок при приеме сигнала с известными
параметрами (кривая а). Из полученных результатов
следует, что случайность фазы увеличивает вероятность
ошибки. При высокой достоверности приема информации
или при малых вероятностях пропуска сигнала и
ложной тревоги случайность фазы приводит к
сравнительно небольшому ухудшению результатов. Получающаяся
при этяш потеря энергии незначительна.
Остановимся на причинах ухудшения достоверности
при сильном сигнале, если фаза сигнала случайна.
266
л

Как следует из формулы (4.7.19), при сильном
сигнале порог для сигнала со случайной фазой такой же,
как и для сигнала с известной фазой. Выходное
напряжение двухканального коррелятора, так же как и одно-
канального, определяется энергией сигнала. Это
приводит к тому, что вероятности пропуска сигнала в схеме
£с
С СЛ ф\
- иэву>
;
0
ч
\^^^
^
, .. 1- 1, 1 I..,,-
W'1 W'2 Ю~3
0ои
Рис. 4.7.4. Ошибки при приеме
сигнала со случайной фазой для
критерия идеального
наблюдателя.
Рис. 4.7.5. Проигрыш в
энергии за счет случайности фазы.
со случайной фазой и в
схеме с известной фазой
одинаковы [см. (4.7.45)].
Вероятность же ложного
обнаружения,
определяемая для сигнала со
случайной фазой формулой (4.7.43), при равных ЕСШ0
существенно больше, чем для сигнала с известной фазой.
Таким образом ухудшение достоверности обнаружения
определяется в основном увеличением вероятности
ложных обнаружений. На потери энергии влияет
значительно больше неопределенность фазы при слабых сигналах,
когда достоверность низкая.
На рис. 4.7.5 приведена зависимость относительного
проигрыша мощности (энергии) при переходе от
сигнала с известной фазой к сигналу со случайной фазой.
Однако из этих результатов !не следует, что фаза
в обнаружении сигнала играет малую роль. Хотя
величина фазы сигнала и неизвестна, однако известно, что
она является случайной величиной, не изменяющейся
в процессе приема каждого сигнала. Оптимальная
схема использует информацию, содержащуюся в фазе
сигнала, вернее в ее постоянстве. Сигнал со случайной
фазой может иметь неизвестную амплитуду. Как сле-
267

дует из (4.7.34), при использовании в корреляторе копии
с единичной (т. е. любой фиксированной) амплитудой,
неизвестность амплитуды сигнала приводит к
трудностям только в выборе порога.
Для работы с сигналом с неизвестной амплитудой и
случайной фазой применяют копию с фиксированной
амплитудой; в радиолокации и радионавигации
используют критерий Неймана — Пирсона, а в радиосвязи
переходят к режиму с активной паузой.
Для критерия Неймана — Пирсона уровень порога
устанавливается из условий получения заданной
вероятности ложного обнаружения (ложной тревоги).
Вероятность ложной тревоги связана с порогом,
выражением (4.7.40)
п2
р (гс/0) = е~ ~ или In р (Го/0) = - ^Ы
и
ПЙН-п = V-2In/>(/yO), но П6Н_П=^МЫ!
ИЛИ
Пв0н-п = ^-^о^1п/7(Гс/0). (4.7.47)
Как видно из (4.7.47), уровень порога от амплитуды
сигнала не зависит.
При сильном сигнале р(Г0/с) вычисляется просто
п*н-п Jhz!L
Р^№ j vk* 2 Л*=1-/7^-П»н-п)=
—00
= 1-f[/l^—К-21п/;(Го/0]. (4.7.48)
где F (х) — табулированный интеграл.
Как и следовало ожидать, условная вероятность
пропуска сигнала определяется только отношением 3c/N0 и
р(Гс/0). Пользуясь выражением (4.7.48), можно
рассчитать вероятность /?(Гс/с)1вЦ зависимости от $с/#0, взяв
в качестве параметра р(Гс/0). Соответствующие кривые
приведены на рис. 4.7.6. Там же для сравнения
пунктиром даны кривые для сигнала с известными параметра-
268

МП. В радиосвязи можно использовать активную паузу и
ортогональные сигналы со случайной фазой.
Оптимальное распознавание реализуется схемой, вычисляющей
отношение правдоподобия для двух сигналов (4.6.8).
При случайной фазе функции распределения, не
зависящие от фс, могут быть получены интегрированием по
фс условных функций распределения. Это приводит к
необходимости выполнить преобразования, аналогичные
0,5 \
*
* /;
v //
V/ ,
// /
! /У /
1 ' / У
\sS S i
•V
//
' >
sV
S /^ A
/ / s/\
/ / //
/ * / V
/ * / /7
V /А \
/ //л 1
/ //* i
/ //
' ч
'/
//
_^_^__1
10
20
6с
"о
Рис. 4.7.6. Ошибки при обнаружении
сигнала со случайной фазой для критерия
Неймана — Пирсона.
тем, которые были использованы в § 4.7 при выводе
формулы (4.7.15). Опуская преобразования, получим
1(у)=е
Л?о °\ N° J
~^£)'
При /(у)>П, выбирается гипотеза ГС1.
При /(#)<П, выбирается гипотеза ГС2.
Перейдя к логарифму, получим
(4.7.49)
•*>'.ф-)-"".№>
Для случая наиболее близкого к реальным системам
связи, когда (§С1 = £с2 и П1=1, получим следующее
условие принятия решения о наличии сигнала cx(t):
ь/.(#)-"".(#)>о
269

или
В,
an-
Д-Д^О^Па
(4.7.50)
Но из предыдущего известно, что параметр В
вычисляется с помощью двухканального коррелятора.
Оптимальная схема распознавания двух ненулевых сигналов со
случайной фазой дана на рис. 4.7.7.
X
I !c,iv
/
(У
90°)
+
I X
ml и
/
(У
ТК
м
Н х
/
N Ui(t, + 90V
(У
+
Ч х
/
(У
\Г
'02
(tj
Рис. 4.7.7. Оптимальная схема распознавания двух ненулевых
сигналов со случайной фазой:
X—умножители; J — интеграторы; ( )2 — квадраторы; Н сумматоры;
V—устройство для извлечения квадратного корня.
Для того чтобы напряжение с выхода второго
двухканального коррелятора не ухудшало полезный эффект
от прохождения сигнала по основному двухканальному
коррелятору, необходимо, чтобы сигналы c\(t) и c2(t)
были ортогональными. При этом при передаче сигнала
C\(t) Bic==ECr и В2с = 0, и второй канал будет оказывать
влияние на распознавание только из-за помех.
Поскольку
л,с = К^ + тг
270

c
Y»A=Jc1(0c,(',? = 90o)d/,
0
то В2с может быть равно нулю, если ri2c = 0 и у2с = 0. Для
^того сигналы c\(t) и c2(t) должны быть ортогональны
при любом сдвиге начальных фаз.
Следовательно, при случайных фазах нельзя
использовать сигналы, в которых ортогональность достигается
изменением начальной фазы на 90°, и противоположные
сигналы. В этих условиях для обеспечения
ортогональности можно применять частотный разнос и
ортогональные коды. Процессы, происходящие в схеме,
определяются характеристиками параметра Вш на выходе
вычитающего устройства. В каждом из каналов параметр В{
или В2 имеет обобщенное релеевское распределение,
которое при слабом сигнале и одной помехе переходит
в релеевское, а при сильном сигнале — в нормальное,
с ненулевым средним. Функции распределения
параметра Бап на выходе вычитающего устройства оказываются
сложными, так как Вап являются результатом
вычитания двух случайных величин с распределением,
отличающимся от нормального. Схема, изображенная на
рис. 4.7.7, будет работать и при фиксированных
(одинаковых) амплитудах копий сигналов. При этом порог
останется нулевым. Если для качественного анализа
предположить, что функции распределения для B0i или
В\ и В02 'или В2 могут быть аппроксимированы
нормальными, то и распределение для В0ап или Вап так же
оказывается нормальным.
В силу независимости каналов дисперсия величины
Боап равна
а2 = а2 + а2 жО,7£Л. (4-7-51)
в ал о в 01 • в 02 ° ч '
гДе °boi — 0>5Af0£02 — дисперсия на выходе канала,
соответствующего передаваемому сигналу;
о202= 0,43 -^р~дисперсия на выходе канала, соот-
271

ветствующего непередаваемому сигналу. Среднее
Щ (£оап) = тх (В01) — тх (В02) f=-
= &Лс-1,25/^/ (4.7.52)
где т1(В01) = &0Ас — среднее на выходе канала с
сигналом;
т1(В02)= 1,25 у ~y1-~среднее на выходе канала
без сигнала.
при a(t) ,-у^
Щ и/(Вап0)
при с7 ft)
при с,ft)
Рис. 4.7.8. Функция распределения для Во ап.
&
При выводе (4.7.51) и (4.7.52) использовались (4.7.36),
(4.7.38) и (4.7.39) с учетом того, что В01 = Ву0к Во2 = Дпо-
На рис. 4.7.8 даны функции
распределения, показаны
порог и площади,
соответствующие ошибкам. Там же для
сравнения пунктиром даны
функции распределения для
Zano при использовании
ортогональных сигналов с известной
фазой и активной паузой.
Из полученных результатов
следует, что вероятность
ошибок при случайной фазе в
системах с активной паузой
также увеличивается. Для
вычисления ошибки нужно найти
,„Л „ вероятность того, что функция
^п^ак^ГГ/зеТя Распределения для Вап будет
сигналов со случайной иметь значение, меньшее нуля,
фазой. Однако ввиду сложного вида
272
о ю щ
to"
ю-г
W3
Рот
\\
\\
\\
\\
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ Л
\

этой функции распределения (если не пользоваться
аппроксимациями, которые могут внести существенную
неточность) Wot метод вычисления вероятности ошибок
мало удобенЛ^езультат получается проще, если найти
вероятность то^о, что В2>Ви т. е. что величина на
выходе второго к^ала (при действии одной помехи)
будет больше, чем величина на выходе второго канала
(при действии сигнала и помехи) и затем
проинтегрировать результат по всем возможным значениям Вх
с учетом различных значений плотности вероятности.
Имея в виду, что В{ = ВУ и В2 = Вп, получим
оо 2з*
p(Ba>Bv) = ^w(Ba)dBa=e , (4.7.53)
У_
00 2<j2 £<=
/>(Гс,/с,) = |е lw(By)dB, = -^e 2"»'
О
w (By) дается (4.7.28);
^ош = 0,5[/?(ГС2/с1)+/7(ГС1/с2)1 = 0,5е ^ (4.7,54)
На рис. 4.7.9 дана зависимость рош от $C/W0; Для
сравнения там же пунктиром дана зависимость рот при
известной фазе.
§ 4.8. Использование согласованных фильтров в
схемах оптимального приема сигнала со случайной фазой.
Оценка влияния случайности фазы. Представляет
интерес рассмотреть возможность замены двухканального
коррелятора согласованным фильтром. Характеристики
согласованного фильтра, форма и величина выброса
сигнала на его выходе не зависят от фазы сигнала.
Следовательно, согласованные фильтры при случайной и
известной фазе сигнала должны быть одинаковыми, но
в целом схемы должны существенно отличаться
элементами, включаемыми после фильтрой. Согласованный
фильтр имеет ту особенность, что в момент времени,
соответствующий окончанию действия сигнала, он аналоги-
18—635 273.

lnl0(x)
чен коррелятору и, следовательно, величина/на его
выходе также выражается корреляционным/интегралом.
При случайной фазе сигнала схема должна выявлять не
мгновенное значение напряжения на выходе
согласованного фильтра, а его огибающую. На выводе
согласованного фильтра имеется напряжение радиочастоты, фаза
которого неизвестна, так как фаза сигнала,
действующего на согласованный фильтр,
случайна. Очевидно, что в
этих условиях возможен
только один способ
выявления огибающей, а именно
включение обыкновенного
детектора. Синхронный
детектор использовать
невозможно, так как фаза
сигнала не известна.
Следовательно, согласованный фильтр с
детектором может заменить
двухканальный коррелятор.
При этом нужно иметь в
виду, что в оптимальной корреляционной схеме,
изображенной на рис. 4.7.2, не только выявляется огибающая
В, но с ней осуществляются сложные нелинейные преоб-
'25 "
Рис. 4.8.1. Функция In/0(я).
разования, в соответствии с функцией 1п/0
No
В этом отношении схема с согласованным фильтром
и детектором удобна, так как детектор обычно не
только выявляет огибающую, но и осуществляет ее
нелинейные преобразования.
На рис. 4.8.1 приведена функция \п1$(х)] как видно
из рисунка, на начальном участке она близка к
параболе и при #> 1 близка к прямой. Необходимо отметить,
что у многих реальных детекторов продетектированное
напряжение имеет аналогичную зависимость от
амплитуды поданного на их вход напряжения:
Ды = 1п/0(&Ид),
где Ь — коэффициент, зависящий от детектора; Аи —
продетектированное напряжение; uR — амплитуда или
огибающая переменного напряжения, поданного на
детектор.
274

Если рассматривать В как огибающую (в точке / = /с)
радиочастотного напряжения на выходе согласованного
фильтра, то выражение -гг- дает величину этого напряже-
ния, приведенную к другому масштабу. Тогда очевидно,
что имеется возможность такого выбора параметров
детектора и приведенной огибающей на выходе фильтра, чтобы
^ид=лг"5 ПРИ этом детектор будет не только
осуществив д
лять свою
y(t)
СФ
In
4*9
4%)
*т
t=U
Рис. 4.8.2. Схема с согласованным фильтром для оптимального
приема сигнала со случайной фазой:
СФ — согласованный фильтр; Д—детектор; Я —пороговое устройство;
2В
In /0 -rz блок нелинейных преобразований,
основную функцию, но выполнять такие нелинейные
преобразования, которые вытекают из алгоритма
оптимальной обработки сигнала со случайной фазой. При этом
схема оптимального приема будет иметь вид,
изображенный на рис. 4.8.2. Однако такой точный подбор
характеристик детектора и величин, подаваемых на него
напряжений, не обязателен, потому что, как уже
отмечалось ранее, сложные преобразования величины В
необходимы, чтобы можно было при обнаружении с
минимальным средним риском производить ее сравнение
с просто определенным порогом. К тем же результатам
приводит и другой вариант схемы, в которой детектор
берется близким к идеальному, т.- е. он просто выявляет
огибающую 5, без ее нелинейных преобразований. Но
тогда порог должен определяться по более сложным
правилам. Схема, соответствующая этому случаю,
приведена на рис. 4.8.3. Можно использовать детекторы
с любыми характеристиками, результаты при этом
изменяться не будут, но изменится правило вычисления
порога. Согласованные фильтры возможно использовать
также и в системах с активной паузой. Схема оптималь-
18* 275

пого распознавания при этом будет иметь Йид,
изображенный на рис. 4.8.4. /
Сравним теперь работу схем с корреляторами и
согласованными фильтрами при приеме сигнала со
случайной фазой.
Основное их отличие состоит в том, что схема с
коррелятором вычисляет одну точку функции
автокорреляции сигнала, а согласованный фильтр на своем выходе
воспроизводит всю функцию автокорреляции в реальном
масштабе времени.
— сф
Рис. 4.8.3. Схема с согласованным фильтром с порогом Пв для
оптимального приема сигналов со случайной фазой:
СФ — согласованный фильтр; ИД — идеальный детектор; Пв — пороговое
устройство.
Одноканальный коррелятор, как это следует из
(4.4.5), при действии одного сигнала будет давать
zc = jj c(t)c(t)dt.
Если создать между сигналом и его копией задержку т,
то
zc= J c(t)c(t — %)dt.
(4.8.1)
Поскольку сигнал начинается в момент /=0 и
кончается в момент t=tCj то можно изменить пределы
+00
гс= ( c(t)c(t — z)dt.
(4.8.2)
Выражение (4.8.2) с точностью до постоянного
множителя соответствует выражению для функции
автокорреляции сигнала. При заданном % будет получаться одна
точка этой функции. Например, для импульсного сиг-
276

нала, изменяя т и беря большое число отсчетов, можно
получить кривую, аналогичную изображенной на
рис. 2.2.1. В двухканальном корреляторе сдвиг фаз
сигнала и копии перестает влиять на результат, и такая
схема будет выявлять точку огибающей функции
автокорреляции сигнала.
В связи с этим рассматриваемая корреляционная
схема для своего функционирования требует знания зна-
y(t)
»
СФ,
с*г
д
А
-■■СГ, С
*
?-Гс
<С2
Рис. 4.8.4. Схема с согласованным фильтром оптимального
распознавания сигналов:
СФ — согласованные фильтры; Д — детекторы.
чений задержки сигнала, и напряжение на выходе
схемы, сохраняющееся долгое время постоянным, требует
«сброса». Знание задержки сигнала в этих схемах
нужно также для того, чтобы управлять моментом снятия
отсчета — принятия схемой решения. Поскольку
задержка обычно неизвестна или изменяется, то за нею нужно
осуществлять слежение с помощью самостоятельной
схемы (устройства). Работа схемы должна начинаться
с поиска и слежения. Все это усложняет устройство и
процедуру включения системы.
Схема с согласованным фильтром функционирует по-
другому. Отклики согласованного фильтра на сигнал
описывается известным выражением
0
•T)c(T)dT.
(4.8.3)
Поскольку сигнал с(/) начинается в момент ^ = 0, т. е.
для 7< 0 с(£)=0, то нижний предел можно изменить
на —оо.
Отклик на элементы сигнала во время, следующее
после / = 7\ не изменяет выходного напряжения, вычис-
277

ляемого для момента t. Это дает возможность изменить
верхний предел на +<х>, тогда '
гф(<)= j tiB(t-T)c(T)dT; (4.8.4)
—00
но для согласованного фильтра
•Чвс(0 = с(^с — t)
7iac(t-T) = c(tc-t + T).
+00
. 2гсф (0 = J с (7с -t + T)t (Г) Л, (4.8.5)
—00
и для t = tc получаем
гсф (f = fe)= J с (Г) с (Т) dT, (4.8.6)
—00
т. е. величина гс$ при f = £с соответствует значению
функции автокорреляции сигнала при т=0. В промежуточные
моменты времени от / = 0 (за ^=0 принят момент начала
сигнала) до t = tc и при t>tc нужно пользоваться общим
выражением, однако удобнее этому выражению придать
другой вид. Будем осуществлять отсчет времени от t =
— tc, для чего введем переменную t\=t—tc.
Тогда функция, описывающая изменение отклика
(выхода) согласованного фильтра при действии
сигнала, примет вид,
*сф(',)= jfc(T-tt)c(T)dt9 (4.8.7)
—00
что совпадает с выражением функции автокорреляции
сигнала. Однако в выражении (4.8.7) t\— не
фиксированное время задержки копии относительно сигнала
{как это имеет место для т в выражении (4.8.2)], а
текущее время, отсчитываемое от момента, соответствующего
концу сигнала.
или
Тогда
278

Таким образом, отклик согласованного фильтра в
реальном масштабе времени воспроизводит функцию
автокорреляции сигнала.
На выходе детектора, включенного после
согласованного фильтра, что соответствует схеме оптимального
обнаружения сигнала со случайной фазой, будет
выявляться огибающая функции автокорреляции сигнала.
Для функционирования схемы с согласованным
фильтром и детектором знание задержки сигнала не
обязательно, но момент максимума (пика) сигнала будет
изменяться в зависимости от задержки сигнала. Поэтому
для принятия решения (т. е. принятия гипотез Гс или
Г0, Лл или Гс2) нужно знать задержку сигнала и,
используя ее, управлять моментом включения «решающей»
схемы. На схемах (рис. 4.8.2, 4.8.3 и 4.8.4) это
отображено в виде ключа, замыкающегося в момент t = tc.
Практически отличие от корреляционных схем состоит
в том, что для начала приема сигнала не требуется его
поиска по задержке: он будет принят и выделен
фильтром из помех сразу же, как только появится. Это
упрощает процедуру введения системы в действие и
позволяет осуществлять слежение за задержкой по сигналу,
наблюдаемому на выходе согласованного фильтра,
выделенному из помех. Для примера на рис. 4.8.5 для
простейшего шумоподобного сигнала, сформированного по
коду Баркера, изображены: а — сигнал; б — выходное
напряжение на согласованном фильтре с детектором,
т. е. огибающая функции автокорреляции сигнала; там
же пунктиром показан отклик при изменении задержки
сигнала на ta\ в — выходное напряжение на
двухканальном корреляторе при т=0; г — выходное напряжение на
двухканальном корреляторе при тг=/э- Из изложенного
следует, что согласованный фильтр «сжимает» сигналы,
если они имеют функцию автокорреляции, характерную
для шумоподобных сигналов (с одним узким основным
выбросом), но не обладает фазовой и временной
селекцией. Если селекция требуется, то она должна
осуществляться схемами, включенными после фильтра.
Коррелятор не «сжимает» сигнала, выходное
напряжение его нарастает плавно и зависит от энергии
сигнала, а не от его функции автокорреляции. Коррелятор
обладает фазовой и временной избирательностью. При
изменении задержки сигнала выходное напряжение двух-
т

канального коррелятора в момент окончания действия
опорного сигнала (копии) будет обусловливаться
соответствующей точкой огибающей функции
автокорреляции. Следовательно, схемы с согласованными
фильтрами и корреляторами дадут близкие по существу, но
разные по форме результаты.
Рис. 4.8.5. Отклики согласованного фильтра й двухканального
коррелятора на шумоподобный сигнал.
Техническая реализация фильтровых и
корреляционных схем сталкивается с различными трудностями.
Фильтрация и накопление в согласованном фильтре
осуществляется на радиочастоте. Если сигнал сложный (пакет
импульсов или шумоподобный сигнал), то его спектр —
амплитудно-частотный или фазо-частотный, а
следовательно, характеристики фильтра оказываются сложными
и изготовление таких фильтров, особенно при больших
базах сигнала, требует таких высоких точностей и ста-
бильностей элементов схемы, которые обеспечиваются
с большими техническими трудностями или же вообще
не могут быть достигнуты.
280

В корреляционных схемах накопление
осуществляется в просто реализуемом устройстве — интеграторе,
действующем на постоянном токе. Основные трудности
связаны с созданием копии сигнала, точнее с управлением
ее задержкой и фазой (если используется не двухканаль-
ный, а одноканальный коррелятор), а также с поиском
сигнала по задержке.
В связи с трудностями реализации корреляционных
и фильтровых схем, особенно для случаев сложных и
шумоподобных сигналов, большое внимание уделяется
комбинированным — корреляционно-фильтровым схемам.
В этих схемах используются перемножители с опорным
сигналом и согласованные фильтры.
В качестве примера приведем следующие
комбинации, которые можно использовать для фазоманипулиро-
ванного сигнала.
1. Осуществляется слежение за фазой сигнала; по
задержке поиска и слежения нет. Тогда в перемножителе,
на который подаются радиокод и непрерывный опорный
сигнал с требующейся фазой, радиокод преобразуется
в знакопеременный видеокод или в пачку видеоимпульсов.
Согласованный фильтр в этом случае с использованием
видеочастотных линий задержки реализуется
значительно проще, чем на радиочастоте.
2. Осуществляется поиск и слежение по задержке
сигнала; по фазе слежения нет. Тогда в умножителе, на
который подаются радиокод и знакопеременный видео-
код, радиокод преобразуется в продолжительный немо-
дулированный сигнал со случайной фазой, который
можно обрабатывать в сравнительно простом «однозубом»
согласованном радиофильтре.
3. Поиск и слежение ни по задержке ни по фазе не
осуществлены. Тогда сигнал можно подать на
квадратурные перемножители, выходное напряжение которых
будет содержать знакопеременный видеокод или пачку
видеоимпульсов; амплитуда видеоимпульсов в
квадратурных каналах будет случайной и будет определяться
случайной начальной фазой.
В каждом из каналов видеокоды обрабатываются
в согласованном фильтре, после чего осуществляется
квадратурное сложение. Указанная схема приведена на
рис. 4.8.6.
281

В качестве согласованных фильтров для
знакопеременных видеокодов, вырабатываемых квадратурными ие-
ремножителями, в ней использованы линии задержки
с отводами, в которые включены каскады,
обеспечивающие равенство амплитуд суммируемых видеоимпульсов и
изменение их знаков по определенному правилу — коду.
Достоверность обнаружения сигнала с пассивной
паузой или распознавания двух ненулевых ортогональных
Ч^
лз
90л
i \-\т—|
лэ 1
гон
ш
()г
Выход
Рис. 4.8.6. Корреляционно-фильтровая схема:
Up — приемник; X — умножители; ГОН — генератор опорного напряжения;
ЛЗ—линии задержки; ( )2 —квадраторы; н—суммирующее устройство.
сигналов мало изменяется в зависимости от того,
известна фаза сигналов или она случайна, т. е. не известна,
но постоянна. Проигрыш в энергии сигнала при высокой
достоверности, т. е. малой вероятности ошибок рош при
пассивной паузе и применении критерия идеального
наблюдателя, малой вероятности ложной тревоги р(Гс/0)
при использовании критерия Неймана — Пирсона и
малой вероятности переименования сигналов (рош) в
системах с активной паузой, оказывается небольшим.
Увеличение энергии сигнала на 10—25% в обычно
используемых режимах позволяет скомпенсировать ухудшение
достоверности, вызываемое случайностью фазы.
Случайность фазы существенно сказывается только при слабых
сигналах (Ec<\No), но эти режимы обычно не
представляют интереса из-за недостаточной достоверности
обнаружения (распознавания), которая при этом имеет
место. Сказанное непосредственно вытекает из кривых, изо-
282

браженных на рис. 4.7.4 и 4.7.9. Следовательно, основное
влияние на обнаружение сигнала в шумах оказывает
использование информации о постоянстве или известном
изменении фазы сигнала. Дополнительная информация
о конкретном значении фазы не дает существенных
улучшений выделения сигнала из помех.
Поскольку техническая реализация корреляционных
и фильтровых схем существенно упрощается при отказе
от использования конкретного значения фазы сигнала и
при ориентировке >на случайность, так как при этом не
требуется слежение за фазой, а ухудшение качества
приема получается небольшим, то наибольшее применение
имеют системы, в которых используются сигналы со
случайной фазой.
Однако этим сигналам в радиосвязи свойственны
некоторые ограничения. При случайной фазе сигнала
нельзя создавать ортогональные сигналы сдвигом фаз на 90°
и противоположные сигналы сдвигом фазы на 180°.
Ортогональность достигается сдвигом по частоте, что
расширяет участок диапазона частот, используемый
системой. Стремление устранить это ограничение привело
к созданию систем с активной паузой, и с относительной
фазовой манипуляцией (ОФМ или ОФТ —
относительная фазовая телеграфия). В этих системах фазовая
манипуляция используется и при случайной фазе сигнала.
Это достигается тем, что при передаче нуля фаза
посылки не изменяется относительно предыдущей, а при
передаче единицы происходит изменение фазы. В приемнике
происходит сравнение фаз двух соседних посылок.
Системы с ОФМ получили широкое распространение.
Свойства таких систем проанализированы в ряде работ (1.2,
1.6], и поэтому на них подробно останавливаться не
будем. Необходимо лишь отметить, что поскольку в этих
системах используются сигналы со случайной фазой, то
достоверность, обеспечиваемая этими системами, будет
хуже, чем для случая использования сигналов с
известной фазой. Подробный анализ показывает, что при
использовании наиболее целесообразных решений системы
с ОФМ дают результаты, близкие к результатам для
оптимальных систем распознавания сигналов со
случайной фазой.
§ 4.9. Оптимальное обнаружение сигнала с
флюктуирующей фазой. Рассмотрим теперь оптимальное обнару-
283

жение сигнала, имеющего флюктуирующую фазу. Если
фаза сигнала в процессе приема изменяется или
флюктуирует, то возможность ее использования для
обнаружения сигнала затрудняется. Из физических
соображений можно предположить, что чем больше
флюктуации фазы наблюдается в процессе приема сигнала,
тем меньше пользы в обнаружении сигнала она может
принести. Для математического решения задачи
необходимо исходить из того, что при этом фаза сигнала
является не случайной величиной, а случайным процессом
или случайной функцией времени.
Рассмотрим сигнал c(t), с флюктуирующей фазой
?с(0» гДе ?с (t) — случайная функция времени. Другие
параметры считаем известными. Случайная функция времени
характеризуется функцией распределения и
автокорреляционной функцией. Положим, что ш(<рс) = -9-" и известна
Дрс (т) или энергетический спектр G (со); они
определяются быстротечностью случайного процесса, т. е. природой
тех факторов, которые вызывают флюктуации фазы. Зная
Дрс(т;), можно найти время или интервал корреляции тКф.
Значения фазы, разделенные этим интервалом, можно
считать статистически независимыми.
Если /с < т то имеем рассмотренный выше случай
практически постоянной (за время действия сигнала) фазы.
Если /с > \ф г то за время действия сигнала фаза
успевает принять большое число независимых случайных
значений.
В этом случае можно использовать следующую модель
сигнала: считать, что сигнал состоит из последовательности
элементарных сигналов (для краткости — элементов),
каждый из которых имеет длительность /г- = т и случайную
фазу.
Общее число элементов составит k = /с/\щ ,
следовательно,
k
с [f, ?с (01 — с (t, <рСр ?с2)= £ М cos Ы + ?сг)> (4.9.1)
284

A{ = const при *\ф <*<(*'+1)%
и
Ai = 0 при i\9>t>\^{i + l).
Таким образом сигнал с флюктуирующей фазой можно
рассматривать как сигнал с k случайными параметрами.
Функция распределения для смеси сигнала и помехи
примет вид
^(|/1,Л,..-/?С1?С|,...,С-п) =
*с k
~ 4- I [у & " S Алcos Ы+9&) Xdt
1 ° /—1
Функция распределения помехи известна.
Отношение правдоподобия (условное) запишется как
<с k
—П-l [S^cos(v+*ci>]2<«
t(y/fCl, ?с2,...)=е X
'с ft
Хе ' ° г=' . (4.9.3)
Элементы сигнала ортогональны, поэтому
О i = l t=l
Корреляционный интеграл можно подвергнуть пре-
образованиям
'с к
ih\y{t) [S^cosK'+?ci)]^=
О i=\
k *с
=д^У] [y(t)AiCo&(<»0t-{-<?ci)dt.
'i=\ 0
285

Очевидно, что
j у (t) Ai cos (<V + 9c J df =
0
С'+1)Лкф
= l у (t) Ai cos (V + ?a) dt,
поскольку Af- отличается от нуля только на этом
промежутке времени. Следовательно, каждое из слагаемых
суммы, к которой приводится корреляционный интеграл,
является корреляционным интегралом, соответствующим
приему каждого из элементов.
Таким образом, оптимальный прием сигнала с
флюктуирующей фазой приводит к тому, что предварительно
должен быть получен корреляционный интеграл для
каждого из элементов.
Каждый из элементов является сигналом с
известными параметрами, кроме фазы, которая представляет
собой случайную величину.
Корреляционный интеграл при приеме такого сигнала
был получен ранее.
Поэтому, опуская преобразования, сразу запишем
J у (0 Ai cos К* + <рсг) dt = Bi cos (в< — 9сг)> (4.9.4)
где
Y* = J i/(f),4ism<D0fdf, (4.9.5)
7|*= J y(t) Ai cos <*0tdt. (4.9.6)
Величина В/ может быть получена с помощью двухка-
нального коррелятора с квадратурными каналами или
286

с помощью фильтра, согласованного с элементом
сигнала и детектора.
Подставив полученные выражения в уравнение
(4.9.3), получим
Ч0/?с,?о„...) = е X
2 k
Хе и • (4.9.7)
Полученное отношение правдоподобия является
условным, так как справедливо для какого-то определенного
сочетания фаз феи, <р02- • •
Для получения отношения правдоподобия, не
зависящего от сочетания фаз, выполним интегрирование
k раз
X'(0/?oi,?oi,...)d?oid?Ci...
Фазы элементов приняты статистически независимыми. Тогда
'(?с,?с2,...)= (i)*'
k раз
k
= e
до(
/=1 —7C
П7-№> " ^4.9.8)
= e
287

При преобразованиях использовано то обстоятельство,
что подынтегральная функция может быть
представлена в виде произведения показательных функций. При
этом переменные разделяются.
Перейдем к логарифму
(4.9.9)
Условия обнаружения при принятии гипотезы сигнала
примут вид
j 1а/.(•$)> to П,+£. (4.9.10)
i=l
Полученное выражение дает оптимальный алгоритм
обработки сигнала с флюктуирующей фазой и позволяет
in
чШ
СФ3
ид
А.
X
1 А»
п
inlo
яТ
Рис. 4.9.1. Схема оптимального приема сигнала с флюктуирующей
фазой:
СФп — согласованный фильтр; ИД — идеальный детектор; In /0 — блок
нелинейных преобразований; 2 — сумматор; Я — пороговое устройство.
составить схему оптимального приема. Схема,
показанная на рис. 4.9.1, состоит из: устройства для
вычисления (Bi) (двухканальный квадратурный коррелятор или
согласованный с элементом сигнала фильтр и детектор);
блока нелинейных преобразований (In/о); сумматора 2,
накапливающего результаты приема каждого из
элементов, и порогового устройства П. Вместо идеального
детектора и нелинейных блоков может быть использован
детектор, обеспечивающий нелинейное преобразование
при детектировании.
Рассмотрим частные случаи сильного и слабого
сигнала.
288

Для сильного сигнала (BL > N0)
Тогда условие принятия гипотезы Гс примет вид
k
Я = 2^>^-1пП1 + ^- = Пн.
i=i
При П,= 1 Пн=:-^-, где Пн — порог.
(4.9.11)
(4.9.12)
y(t)
СФЭ
ид
Oi
К
Z
1
н
\ _
/7н|
Рис. 4.9.2. Схема оптимального приема сигнала с флюктуирующей
фазой для порога Ян:
СФЭ — согласованный фильтр; ИД — идеальный детектор; 2 — суммирующее
устройство; Ян — порог.
Схема, соответствующая этому алгоритму и
содержащая идеальный детектор, приведена на рис. 4.9.2.
Для слабого сигнала (В{ < N0)
"".№)"4('-*)- «А13>
Используя приближение (4.9.13), получаем условия
принятия гипотезы Гс при учете члена в скобках только
в среднем значении.
k
Я = 2^>^1пП1 + 5с^в + 0,б(§<(8о = Пв; (4.9.14)
при П, = 1
П.= &Д,(1 + 0,5^).
Для получения B^l можно использовать согласованный
фильтр и квадратичный детектор. Схема, реализующая
19—635 289

алгоритм оптимального обнаружения (4.9.14), приведена
на рис. 4.9.3. Блоки, входящие в схемы рис. 4.9.2 и 4.9.3,
могут быть реализованы. Согласованный фильтр СФЭ
sin*
должен иметь частотную характеристику вида -^—, так
как огибающая кривая для каждого элемента принята
прямоугольной. Практически можно удовлетвориться
квазиоптимальным фильтром, например, с гауссовой ха-
y(t)
СФ=
НЛ<
<квадр
Bi
Г Н
Пи{
Рис. 4.9.3. Схема оптимального обнаружителя слабого сигнала
с флюктуирующей фазой:
СФЭ — согласованный фильтр; Лквадр — квадратичный детектор; 2 —
суммирующее устройство; П — пороговое устройство.
рактеристикой, подобрав его полосу пропускания.
Детекторы с характеристиками, близкими к квадратичной
или идеальной, также осуществимы. Суммирование
дискретных значений Bt или В2, может быть получено на
линии задержки с отводами. Если сигнал с
флюктуирующей фазой непрерывный, то суммирование может быть
заменено интегрированием, с изменением уровня порога.
Для сильного сигнала
ii*<
i=l
vk?
с
B(t)dt.
Условия выбора гипотезы Гс
"с
j В(/)Л>^111П,+ 4!-'о = П£. (4.9.15)
Для слабого сигнала]
/=1 О
290

Условия выбора гипотезы Гс
J Я8 (0 dt > N\ In П, + gttcN, + 0,5^с (4.9.16)
О
Для понимания процессов, происходящих в схеме, и
вычисления вероятности ошибок нужно найти функции
распределения для той величины, которая сравнивается
с порогом. Функции распределения для огибающей на
выходе согласованного фильтра или для величины на
выходе квадратурного коррелятора для случаев смеси
сигнала и помехи и одной помехи были получены ранее.
При одной помехе распределение Bin подчиняется
закону Релея.
При наличии сигнала функция распределения В[У
выражается обобщенным законом Релея
w(Btu) = ^-lJB-^p.)e 2*'' , (4.9.17)
где Si — энергия элемента сигнала;
Для получения функций распределения величины,
сравниваемой с порогом, необходимо учесть, что Bt
подвергается нелинейным преобразованиям и
последующему суммированию.
Вывод соотношений в общем виде связан с
громоздкими выкладками. Поэтому ограничимся частными
случаями сильного и слабого сигналов.
ПриТсильномт сигнале (Si ^> Qt) обобщенная функция
Релея может быть аппроксимирована нормальным
распределением
При этом Biy^> N0 и справедливо выражение (4.9.12).
Следовательно, суммированию подвергается непосредственно
величина Bty.
19* 291

Как известно при суммировании статистически
независимых нормальных случайных величин нормальный
закон распределения сохраняется. При этом дисперсия
и средние складываются.
Тогда функция распределения величины Я при
наличии сигнала может быть легко найдена
w{Hy)=-=± е , (4.9.19)
У2поНу
где
2 ,2 &V<A /V0£c
При отсутствии сигнала функция распределения для Яп
благодаря суммированию приближается к нормальной.
Для нахождения среднего и дисперсии после
суммирования воспользуемся тем, что для релеевского
распределения среднее m\(BiTi) = 1,25 cr,- и дисперсия o2Bi =0,43atf.
Тогда при одной помехе функция распределения Яп
примет вид
где
°яп — k°Bt™ —27 °'4d ~ ~~4~ '
ml(Hn) = kml(Bia)^kl925^^^Scl925Y^
Из полученных результатов следует, что функция
распределения параметра Я, ее среднее значение и
дисперсия при наличии сильного сигнала с флюктуирующей
фазой такие же, как для сигналов с известной и
случайной фазой. Это совпадение понятно.
Если сигнал сильный (<§*>#0). то 5fy>at-,
детектирование происходит без подавления и не имеет значения,
292

где осуществляется накопление — до детектора или
после. При отсутствии сигнала Яп распределена по
нормальному закону с ненулевым средним. Это сильно
отличается от распределения при известной фазе
(нормальный закон с нулевым средним) и случайной фазе
(закон Релея).
При слабом сигнале (<&<#<>) обобщенная функция
Релея аппроксимируется функцией Релея, т. е. остается
такой же, как для одной помехи, но с увеличенным
множителем су. Тогда w(Biy) имеет вид
л?
biy
w(Biu)=fy-e 2X (4.9.21)
Использованное приближение вытекает из следующего.
Известно, что при £* < N0
D2 , Р2 П2 1 Р2
/п \ Вну 2°2i ж {h*E*\ ~ *L± 2at v
w(Biu)=~^e Io[~^2-~)^l2~e X
at Д ■?
B4v /. &
«У
xh +
Тогда
в21уе* \ я.../- *?\ 2°2i I *?
4a?
1— •
iy tf ' 2
При слабом сигнале происходит суммирование Б.
ИЛИ 5?п-
Следовательно, интересующая нас функция
распределения величины, сравниваемой с порогом, может быть
найдена, если предварительно получить функцию
распределения для B2t . Известно, что если какая-либо ве-
293

личина имеет релеевское распределение, то квадрат этой
величины имеет экспоненциальное распределение
w{Bl )=-rVe
Чп 2а?
Известно также, что если слагаемые суммы имеют
экспоненциальное распределение, то сумма k таких слагаемых
имеет y2h распределение, т. е. //-распределение с 2k
степенями свободы. Функция распределения /2 с 2k
степенями свободы имеет вид
k_
Щ.г Л*)=рщХ*-'е~2 . (4.9.24)
При увеличении k уД -распределение приближается к
нормальному с ненулевым средним. Для наглядного
истолкования результатов удобнее не прибегать к
^-распределению и следует пользоваться приближенным методом,
основанным на аппроксимации этого распределения
нормальным. Можно принять, что величины Ну и Яп будут
иметь нормальное распределение, параметры которого—
среднее, и дисперсию можно найти, если известны
среднее и дисперсия для В? и В?п.
Для В\п из экспоненциального закона распределения
можно получить
тогда :
ml(Hu) = 2kol = N0gG. (4.9.26)
294
20i у
я?
(4.9.23)

Аналогично находим для смеси сигнала и помехи
2 _ и J (л I &*
°ну==
=*«:(>+£)'
т,(Я„)=2*^(1 + ^). (4.9.27)
Соотношение между среднеквадратичным и средним
значениями отклонений будет
(4.9.28)
тх{Ни) ' y~k
Следовательно, при большом k среднее значительно
превосходит среднеквадратичное отклонение. При
появлении слабого сигнала изменению подвергается среднее
значение.
Прирост среднего значения при наличии сигнала равен
ScSi и его отношение к среднему равно ~-
bmx = aQQt. (4.9.29)
Функции распределения величины Я, сравниваемой
с порогом, получены ранее для случая, когда
амплитуда копии или усиление согласованного фильтра
определяются амплитудой сигнала. Эта форма записи удобна
для вычисления вероятности ошибок. Для рассмотрения
процессов, происходящих в схеме, более правильно
использовать функции распределения для случая
фиксированной амплитуды копии.
Приведем окончательные результаты, опустив выводы
2 ffto/Vo
ш(^по) = ^-е ^ (4.9.30)
295

Для сильного сигнала
2
ш(^„) = —ф— е , (4.9.31)
/и (Яш) = 1,25<g0 /^ = 1,25* |Л^, (4.9.32)
(4.9.33)
(4.9.34)
(4.9.35)
порог Пяо= -^~ при П = 1.
Функции распределения Я0 для этого случая и их
сравнение с функциями распределения для В0 и Z0
приведены на рис. 4.9.4.
Для слабого сигнала
°НпО~^
Шг(Н0у):
2
°нуо:
4 '
~@оАс,
~~~ 2 '
ш(^0) = ^е 2°Ц
°tiyo
среднее при одной помехе
ml(Hm) = N030l (4.9.36)
среднее при смеси
«. (Я,») = #0& (l + -^); (4.9.37)
порог
^0 = ^0(1 + 0,5 -*£s); (4.9.38)
296

среднеквадратичное отклонение
прирост среднего при появлении сигнала
(4.9.39)
/ \
/ \
/ \
w(Hyo); w(Byo); w(Zyo)
Р (I'о/сJ P (Гс/о) S0AC
Пно
Рис. 4.9.4. Функции распределения Н0 при сильном сигнале.
отношение прироста среднего [к среднеквадратичному
отклонению
^Ы = 7пУ1г\
отношение прироста к среднему от помехи
Дт, (Я.)
6г0Лс
Si,
Щ (^по)
n0
'N,
Функции распределения для этого случая приведены на
рис. 4.9.5; там же для сравнения даны w {Вш) и w (Byo).
Из полученных результатов следует, что при
флюктуирующей фазе функции распределения величины,
сравниваемой с порогом, существенно отличаются от
функции распределения соответствующих величин при
известной и случайной фазах, особенно для случая
слабого сигнала. В основном это отличие обусловливается
тем, что накопление производится после детектора на
постоянном токе. Накопление или выделение сигнала
из помех до детектора ограничивается тем интервалом
времени, в течение которого фазу можно считать по-
297

стоянной. Для сигнала с флюктуирующей фазой
результаты сильно изменяются в зависимости от
отношения энергии элемента сигнала St , в пределах
длительности которого фазу можно считать постоянной, к
плотности мощности помех N0.
При сильном сигнале, когда $г>Лг0, основное влияние
на обнаружение оказывает полная энергия сигнала <йс,
но достоверность должна быть несколько хуже, чем для
сигнала с известной и случайной фазами за счет боль-
иг{впо) ''.w(8uq)
р(Го/с) \о(Гс/0)
Пъо £„% 6o»o(t + %)
Рис. 4.9.5. Функции распределения Н0 при слабом сигнале.
шего действия помех, обусловленного накоплением
после детектора.
При слабом сигнале $;<Л/0, оптимальная схема и
функции распределения величины, сравниваемой с
порогом, изменяются. В отличие от сигнала со случайной
фазой понятие сильного и слабого сигналов связано не
с энергией всего сигнала, а с энергией элемента, в
пределах которого флюктуирующую фазу можно считать
постоянной.
Работа | схемы при слабом сигнале определяется не
только полной энергией сигнала, но ^отношением St/N0 или
SioA2JN0, Существенно то, что для малых Si/N0 прирост
среднего, вызванный действием сигнала, в относительных
величинах очень мал и равен &i/N0 или ShA2JN0\ это
означает, что требования к стабильности уровня порога
оказываются очень жесткими. Уровень порога определяется
в основном выражением N0$0\ при незначительных
изменениях усиления или уровня помех может произойти его
298

перемещение tia величину, соизмеримую с «приростом».
Следовательно, к стабильности режима схемы, ее
коэффициенту усиления и уровню помех должны
предъявляться жесткие требования, во многих случаях трудно
выполнимые практически.
Очевидно, что полученные функции распределения
позволяют оценить работу схемы и при использовании
фиксированного порога (т. е. критерия Неймана —
Пирсона). При этом уровень порога определяется
допустимой величиной р(Гс/0) и при фиксированной амплитуде
копии или фиксированном усилении согласованного
фильтра от амплитуды сигнала не зависит (но зависит
от его длительности, т. е. So)- Сигналы с
флюктуирующей фазой можно использовать также для систем с
активной паузой, однако останавливаться на этом вопросе
не представляется возможным.
Рассмотрим теперь вероятность ошибок. Поскольку
функции распределения для величины, сравниваемой
с порогом, найдены, то вероятности ошибок могут быть
получены интегрированием их в соответствующих
пределах.
При сильном сигнале
р(Гс/0)= J т^"е dhu* (4-9*40)
где
П,11Г = Пя/з//п; при П, = 1 Плд = у -|^-
Интеграл подобного вида вычислялся ранее, поэтому,
опуская преобразования, запишем результат
/7(Гс/0)=1-/?[ПАв-т1(Ап)1;
при П1 == 1
р(Гс/О) = \-F (j/"-^-- /*")• (4.9.41)
299

Проведем аналогичные преобразования для р(Г0/с)
/?(Г,/с) = f -^-e 2 dhv,
—00
где
"u — „ > е — „ > ±±hy — — .
"ну "ну "ну
p(re/c)=l-F{e-Uhy); (4.9.42)
при П, = 1 />(Г,/с) = \-F^Jb-.
Для случая П1=1 рош = 0,5 }[l -F (j/J£--|/F)]+
Вероятность пропуска сигнала с флюктуирующей
фазой близка к вероятности пропуска сигнала со
случайной фазой и с известной фазой. Вероятности же
ложного обнаружения для таких сигналов отличаются
существенно. Поэтому рассмотрим более подробно
P(rj0).
Преобразуем (4.9.41), используя то, что $с = $г-,&
тогда
^(Гс/0)^1-^[/Г(/-|—l)]. (4.9.44)
Выражение справедливо для сильного сигнала, т. е. когда
$i>2iV0. Увеличение k или &, входящих в формулу для
энергии сигнала, вызывает уменьшение вероятности
ложного приема, но она остается заметно больше той
величины, которая «имела бы место при использовании
сигнала со случайной или известной фазой.
В связи с большей вероятностью ложных
обнаружений при обнаружении сигнала с флюктуирующей фазой
полная вероятность ошибки оказывается больше, чем для
сигнала со случайной и известной фазами.
300

На рис. 4.9.6 приведены графики полной ошибки при
П1 = 1: /7(0) = р(с) = 0,5.
Кривые а, б и в соответствуют случаям, что и на
рис. 4.9.6. Результаты, приведенные на рисунке, соот-
Рис. 4.9.6/Ошибки обнаружения
сигнала с флюктуирующей фазой:
а —сигнал с известной фазой; б —сигнал
со случайной фазой; в — сигнал с
флюктуирующей фазой при giJNQ=A\ г—сигнал с
флюктуирующей фазой при <£^/Л/0 = 9.
ветствуют случаю, когда энергия сигнала
увеличивается за счет увеличения его длительности.
При слабом сигнале
Р(ГС/0):
У'2п
оо [ffa-Wl (Яд)1«
( е 2а <ШП, (4.9.45)
"Яп
ПЯ 1Ну-тЛНу)\*
/>(Л/с) = ^r±__ j e *%y dHy. (4.9.46)
Y2na
НУ
Величины аЯп, тх(Нп)у аНуу тх{Ну) и П^ даются
выражениями (4.9.25), (4.9.26), (4.9.29).
301

Вычисление аналогичных интегралов выполнялось
ранее, поэтому, опуская преобразования, приведем
результирующую формулу, полученную с использованием
упрощающих допущений.
При П, = 1
Рош~1-Р (/]£&} (4.9.47)
Формула (4.9.47) справедлива только при $* < N0.
Сравнивая ее с выражением для вероятности ошибок при
сигнале с известной фазой, видим, что из-за флюктуации
фазы эквивалентная энергия уменьшается, так как 8ijNQ <
< 1. Для критерия Неймана—Пирсона
р (Г0/с) = 1 - F [Ц^* - arc F [1 - р (Го/0)]}- (4.9.48)
Время наблюдения tu для обнаружения с заданными
р(Г0/с) и /?(Гс/0) будет равно
VT« = ^S^F\\-p{rM +
+ (1 + |-)агсГ[1-р(Г0/с)1}, (4.9.49)
где А/с — ширина спектра сигнала;
Следовательно, флюктуации фазы при слабом сигнале
значительно ухудшают достоверность. Интересно
отметить, что оптимальная схема обнаружения слабого
сигнала с флюктуирующей фазой близка к оптимальной
схеме обнаружения стохастического сигнала, т. е.
сигнала, подобного шуму — с флюктуирующими амплитудой
и фазой. Для стохастического сигнала оптимальная
схема энергетического обнаружителя содержит:
квадратичный детектор, сумматор и пороговое устройство.
Следовательно, слабый сигнал с флюктуирующей фазой
обнаруживается в основном за счет увеличения общей
302

мощности (энергии) смеси, т. е. энергетический
обнаружитель близок к оптимальному.
Однако обнаружение стохастического сигнала имеет
и некоторые особенности, отличающие его от
обнаружения сигнала с флюктуирующей фазой.
§ 4.10. Оценка влияния фазы на оптимальное
обнаружение радиосигналов. Изложенные ранее результаты
показывают, что характеристики фазы сигнала оказывают
большое влияние на оптимальные схемы в смысле
трудности их технической реализации, а также на
достоверность обнаружения.
Наилучшие результаты по достоверности имеют место
при известной фазе сигнала. Оптимальная схема при
этом (без учета синхронизации) получается простой.
Дополнительный выигрыш в энергии сигнала
достигается в радиосвязи при переходе к системам с активной
паузой и противоположным сигналам. При фазовой
манипуляции можно экономно разместить каналы связи по
диапазону частот. Сложно манипулированные (шумопо-
добные) сигналы могут обрабатываться на более
простых в реализации видеофильтрах. В этом случае
отсутствует пороговый эффект, достоверность обнаружения
постепенно увеличивается, по мере увеличения энергии
сигнала. Несмотря на указанные выше положительные
стороны обнаружения сигнала с известной фазой, этот
вариант практически встречается редко. В
радионавигации и радиолокации применение его не имеет смысла,
так как в этих системах фаза сигнала, могущая нести
полезную информацию, обычно не известна. Перед
измерениями в этих системах осуществляется поиск и
обнаружение сигнала, но он должен рассматриваться как
сигнал со случайной или флюктуирующей фазой. После
того как первоначальный поиск при случайной фазе
осуществлен и затем выполнено измерение фазы
(например, слежение за фазой), сигнал становится «сигналом
с известной фазой».
В радиосвязи использование сигналов с известной
фазой в принципе возможно, однако при технической
реализации таких систем возникает много трудностей.
Поскольку длительное время запомнить фазу сигнала
невозможно, то за ней нужно следить, что усложняет
аппаратуру. Практически основная трудность состоит в том,
что у большинства сигналов, используемых в дискретных
303

системах связи с фазовой манипуляцией, нет явно
выраженной несущей и слежение за ее фазой оказывается
невозможным. Указанные трудности могли бы быть
преодолены, если бы в этом была техническая
необходимость. Очень важно то, что случайность фазы (если она,
будучи случайной, постоянна или изменяется по
известному закону при случайном, но постоянном значении
начальной фазы) мало ухудшает достоверность и
сопровождается небольшими потерями энергии сигнала.
Таким образом, поиск и обнаружение сигнала в
радионавигации мало ухудшают свои параметры из-за того,
что приходится осуществлять эту процедуру при
неизвестной фазе сигнала. В радиосвязи при ориентации
на случайность фазы схемы и их техническая
реализация значительно упрощаются, причем в этом случае
можно сохранить некоторые преимущества фазовой
манипуляции, переходя к ОФМ. Наиболее существенным
недостатком оказывается невозможность полного
использования выигрыша энергии, связанного с
противоположными сигналами.
Этими соображениями объясняется то
обстоятельство, что наибольшее практическое применение получили
системы, реализующие оптимальное обнаружение или
распознавание сигналов со случайными фазами.
Практически обнаружение сигнала с известной фазой может
иметь значение для специальных систем, в которых фаза
несет полезную информацию, и за ней нужно следить, и
по этому же каналу должны передаваться сообщения.
Такие условия имеют место, например в космических
системах.
Оптимальные схемы и свойства систем коренным
образом изменяются, если фаза используемого сигнала
флюктуирует. Додетекторная обработка или фильтрация,
или накопление ограничены здесь тем интервалом
времени, в течение которого фазу можно считать
постоянной. Основное накопление должно осуществляться после
детектора, в котором информация о фазе уничтожается.
Как было показано ранее, даже при таком сильном
сигнале, при котором на выходе предварительного
широкополосного фильтра, т. е. на детекторе, сигнал
получается больше помехи, все же имеет место заметное
ухудшение достоверности. Однако основное отрицательное
свойство сигналов с флюктуирующей фазой состоит в том,
304

что их обнаружение имеет явно выраженные пороговые
свойства. При уменьшении амплитуды сигнала, с
некоторого ее уровня, происходит быстрое ухудшение
достоверности и она оказывается много хуже той, которая при
прочих равных условиях наблюдается при сигналах со
случайной фазой. Однако использование схем,
предназначенных для сигналов с флюктуирующей фазой, дает
наиболее простые технические решения, позволяет не
предъявлять жестких требований к стабильности частот,
методам формирования сигналов, стабильности и
точности элементов схемы.. В связи с изложенным является
очевидной целесообразность использования сигналов со
случайной фазой. Однако условия генерирования,
распространения и отражения радиоволн создают ряд
ограничений.
Усовершенствование методов формирования и
генерирования сигналов позволяет считать, что создание
сигналов с очень медленными флюктуациями фазы
возможно. Такие сигналы обычно вполне можно рассматривать
как сигналы со случайной, но постоянной фазой.
Основные ограничения возникают в связи с
условиями распространения и отражения радиоволн. При
этом в особом положении оказывается радиолокация,
в которой обнаруживается отраженный сигнал. Наличие
быстрых флюктуации фазы отраженного сигнала,
необходимость использования импульсрв малой длительности
для разделения целей с обеспечением большого
отношения мощности сигнала (в импульсе) к мощности помех,
широкое применение на первых этапах магнетронных
передатчиков, мощность которых в значительной степени
ограничивалась не импульсной, а средней мощностью
привели к тому, что основным методом обнаружения
в радиолокации оказался технически наиболее простой
метод последетекторного накопления и основным видом
сигнала — сигнал, состоящий из пакета импульсов со
случайными фазами, т. е. сигнал с флюктуирующей
(в пакете) фазой.
Применение более эффективных методов
обнаружения с использованием фазы сигнала сопряжено со
значительным усложнением аппаратуры и
принципиальными ограничениями, связанными со спектром
флюктуации амплитуды и фазы сигнала при отражении или,
как иногда говорят, со спектром «мерцания» цели.
20—635 305

Применение схем обнаружения, в которых
используются пакеты когерентных импульсов, в принципе
возможно для ограниченных интервалов накопления. Этот
интервал должен быть меньше, чем интервал
корреляции фазы. Поскольку для многих важных целей этот
интервал оказывается порядка не более чем 0,1—0,05 сек,
то методы, в которых используется фаза, ограничены
случаями, когда время накопления существенно меньше.
Интервал корреляции фазы имеет важное значение
для шумоподобных сигналов. ШПС формируется в
основном за счет фазовой манипуляции (модуляции).
Следовательно, формировать такой сигнал можно только при
его длительности, существенно меньшей, чем интервал
корреляции фазы. Это ограничивает величину базы
таких сигналов в радиолокации. Но теория и практика
показывают, что она может быть достаточно большой для
обеспечения эффективности применения ШПС. По
указанным причинам в современных системах, в которых
используются ШПС, применяются сложные устройства,
осуществляющие обработку смеси со случайной, но
постоянной начальной фазой сигнала.
Ограничения использования фазы сигнала для
улучшения его выделения из помех в радиосвязи
значительно меньше, чем в радиолокации (кроме некоторых
специфических случаев). При обычных скоростях передачи
информации, когда каждый информационный импульс
продолжается не более чем 10~3—Ю-6 сек, даже
сигналы, распространяющиеся сложными путями (вследствие
отражения от ионосферы, тропосферы, пояса диполей
и т. п.), можно считать имеющими длительность,
меньшую, чем интервал корреляции фазы такого сигнала.
Однако в новых системах радиосвязи, в которых
используются очень малые мощности сигналов и которые
обеспечивают высокую достоверность за счет значительного
увеличения длительности сигналов, должны
учитываться ограничения, налагаемые на систему функциями
автокорреляции фазы и интервалом корреляции фазы,
обусловленными влиянием условий распространения и
отражения радиоволн. Примером таких систем могут
служить системы передачи информации из дальнего
космоса, когда оказывается необходимым увеличивать
длительность информационных сигналов до десятков секунд
и даже нескольких минут. Очевидно, что интервал кор-
306

реляции флюктуации фазы за счет Прохождения луча
через ионосферу и атмосферу будет ограничивать
целесообразную длительность сигнала, которую оптимально
возможно обработать до детектора. В радионавигации
флюктуации фазы и ее изменение при движении могут
ограничивать интервал времени наблюдения при
первоначальном обнаружении. Таким образом, системы,
осуществляющие обнаружение с использованием фазы
сигнала, имеют ограничения, обусловленные природой
распространения радиоволн, однако они обеспечивают
наилучшие достоверности и минимальные требования
к мощности передатчиков, во многих случаях могут быть
реализованы, хотя и отличаются большей технической
сложностью, чем системы, в которых не используется
фаза сигнала.
20*

ГЛАВА 5
Фазовое обнаружение
§ 5.1. Особенности фазового обнаружения. Ранее
были рассмотрены основные закономерности оптимального
обнаружения сигнала. При этом оптимально
использовались все параметры смеси сигнала и помехи — а именно
и фаза и амплитуда. Представляет интерес рассмотреть
вопрос об обнаружении сигнала при использовании его
фазы и при отказе от использования амплитуды.
Обнаружение при использовании фазы сигнала (фазовое
обнаружение) представляет интерес с точки зрения
теоретического определения роли фазы и амплитуды сигнала
и возможности его практического использования в
фазовых системах.
При реализации такого метода обнаружения
необходимо предполагать, что создание устройств,
реагирующих только на фазу смеси и не испытывающих
заметного влияния амплитуды смеси сигнала с помехой на
возможность измерения фазы, возможно.
При этом предполагается, что имеет место влияние
амплитуды сигнала на флюктуации фазы от помех, т. е.
ее отклонения от значения, определенного фазой
сигнала.
Постановка вопроса о фазовом обнаружении имеет
смысл в том случае, если реальные устройства могут
быть с какой-то степенью приближения
аппроксимированы идеальными фазо-измерителями. Некоторые фазоиз-
мерительные устройства, например фазометр следящего
привода, измеряют сдвиг фазы при изменении
амплитуды в широких пределах. Следовательно, широкий класс
фазоизмерителей можно аппроксимировать идеальным
фазоизмерителем. Этот метод не предполагает наличия
308

какой-либо обработки смеси сигнала и помехи,
предварительно разрушающей информацию об амплитуде, но
имеется в виду, что используемые в схемах фазоизмери-
тели идеальны и выявляя фазу смеси, работают при
практически любых значениях амплитуды. Это
предположение, по сути дела, означает использование
нелинейной обработки смеси в самом фазоизмерителе.
Независимая работа фазоизмерителя от амплитуды
смеси может быть получена и при использовании АРУ;
тогда на фазоизмеритель подается напряжение смеси
неизменной амплитуды, и он измеряет фазу смеси,
обусловленную фазой сигнала и ее отклонениями от действия
помех. Очевидно, что АРУ должна быть с достаточным
быстродействием. Можно представить себе такие схемы
или процедуры обработки смеси, в которых информация
об амплитуде предварительно «разрушается».
Напомним, что предварительное «разрушение» информации,
заложенной в фазу, имеет место в амплитудных методах
обнаружения, когда детектирование позволяет выявить
информацию, заложенную только в амплитуду, и
разрушает информацию, заложенную ,в фазу. Такая
нелинейная обработка смеси используется в случае, когда фаза
равновероятна и быстро изменяется. Процедура
детектирования является по сути нелинейной операцией над
смесью сигнала и помехи и технически очень просто
позволяет выявить только амплитуду смеси без
какого-либо влияния фазы на результат. Это и обусловливает
техническую простоту амплитудных методов обнаружения.
«Разрушение» информации о сигнале, заложенной в
амплитуду смеси, можно осуществить, используя
нелинейные устройства, типа ограничителей. Действительно,
если пропустить смесь через идеальный ограничитель,
то процесс, получаемый на его выходе, не будет зависеть
от амплитуды (если порог ограничения выбран
правильно) и вместо синусоидального напряжения со
случайными амплитудой и фазой будут иметь место напряжения
прямоугольной формы со случайными моментами
перехода через нули. В этом случае уже нельзя
пользоваться функциями распределения для смеси сигнала и
помехи, полученными в предположении отсутствия какой-
либо нелинейной обработки смеси, когда смесь
узкополосной помехи и сигнала рассматривалась как процесс
со случайными амплитудой и фазой.
309

Функция распределения для амплитуды при
идеальном ограничении превращается в дельтатфункцию,
дающую бесконечно большую плотность вероятности для
амплитуд, соответствующих порогу ограничения.
Функция распределения для фаз в этом случае
переходит в функцию распределения для моментов
перехода смеси через нулевой уровень. Эта функция
распределения может отличаться от функции распределения
фазы.
Таким образом, для фазового обнаружения
возможно также использовать метод, который
предусматривает схему с ограничителем. При использовании этого
метода обработке подвергается не непосредственно фаза
смеси, а связанный с ней ансамбль «нулей» или
«переходов через нуль», или «пересечений нуля». С
принципиальной и технической точек зрения методы фазового
обнаружения, в которых используются идеальный фазо-
измеритель и ограничитель, отличаются друг от друга.
Учитывая сказанное, имеет смысл найти
оптимальную процедуру обработки фазы и соответствующую ей
схему оптимального фазового обнаружителя и
определить вероятности ошибок. Можно представить также и
простую (неоптимальную) обработку смеси, когда
осуществляется измерение фазы и по наблюдениям ее
значения принимается решение о выборе гипотезы о
наличии или отсутствии сигнала в смеси.
В заключение этого параграфа отметим, что фазовое
обнаружение в данной постановке вопроса не может
рассматриваться как метод, оптимизирующий обработку
смеси в каком-либо конкретном случае, а может скорее
рассматриваться как техническая возможность, поэтому
представляет интерес его оценка по сравнению с
оптимальными. Рассмотрим теперь особенности методов
реализации фазового обнаружения. При анализе фазового
обнаружения рассмотрим случаи сигнала с известной
фазой и сигнала со случайной фазой.
§ 5.2. Простое фазовое обнаружение. Рассмотрим
свойства простого фазового обнаружения, т. е. такой
процедуры обработки смеси, когда структура
обнаружителя задана. Обнаружитель содержит фазоизмеритель и
пороговое устройство. Его схема приведена на рис. 5.2.1.
Решение о наличии или отсутствии сигнала принимается
на основе наблюдения измеряемого сдвига фаз в тече-
310

пне времени, соответствующего длительности сигнала.
При этом предполагается, что основные параметры
ожидаемого сигнала: фаза, задержка и длительность — из-,
вестны и могут быть использованы при обнаружении.
При простом фазовом обнаружении длительность
сигнала можно использовать двумя методами. Можно
осуществлять отсчеты фазы в течение всего времени
действия сигнала и затем их усреднять, используя, например,
инерционность фазоизмерителя. Можно сужать полосу
4#П0П
Сигнал
есть
Сигнала х
нею
Рис. 5.2.1. Структурная схема простого фазового обнаружителя:
ОФ — оптимальный фильтр; ИФИ — идеальный фазовый измеритель.
пропускания фильтра, стоящего до фазоизмерителя в
такой степени, как это позволяет продолжительность
сигнала.
Учитывая, что простое фазовое обнаружение дает
очень ограниченные возможности и различие
результатов, получаемых при использовании этих двух методов,
незначительно, рассмотрим их, пользуясь некоторыми
упрощающими допущениями. В зависимости от
продолжительности сигнала может быть выбрана полоса
пропускания фильтра, установленного перед идеальным
фазоизмерителем.
При наличии сигнала дисперсия флюктуации фазы
тем меньше, чем больше отношение Ас/ат где Ас —
амплитуда сигнала, подаваемого на фазоизмеритель; ап —
среднеквадратичное значение флюктуации.
Известно, что согласованный фильтр дает
максимальное отношение сигнала к помехе/В момент окончания
сигнала на его входе отношение амплитуды сигнала на
выходе фильтра к среднеквадратичному значению помехи
достигает максимального значения и определяется из
известного соотношения
Лгм__-|/2^
28сш
311

В этих условиях отсчет фазы, произведенный в момент
окончания действия сигнала, когда его величина на
выходе фильтра максимальна, будет сопровождаться
наименьшей ошибкой и может служить мерилом при
обнаружении. Если фиксированная величина фазы близка
к известной фазе ожидаемого сигнала, то может быть
сделано заключение, что сигнал есть. Если измеренная
величина фазы окажется сильно отличающейся от
известной фазы ожидаемого сигнала, то должна быть
принята гипотеза об отсутствии сигнала. Следовательно,
в этом случае также должно быть введено понятие
порога, под которым должен пониматься сектор углов,
характеризующий отклонения сдвига фаз, при которых
принимается та или другая гипотеза. Для определения
величины этого сектора можно исходить из критерия
минимального среднего риска или критерия идеального
наблюдателя и воспользоваться отношением
правдоподобия. Поскольку предполагается, что отсчет сдвига фаз
осуществляется для одного момента времени
(окончание сигнала), то для получения отношения
правдоподобия могут быть использованы одномерные функции
распределения фазы помехи и смеси. Эти функции были
получены во 2-й и 3-й главах.
Взяв их отношение, легко получить 1{<¥У)\
4
XF(^cosb)e 2'n ; (5.2.1)
при l(<{>y)>TL1 принимается гипотеза „сигнал есть"; при
/((р2/)<П, принимается гипотеза „сигнала нет". В общем
виде решение этого уравнения громоздко, поэтому
рассмотрим частные случаи —слабый сигнал (-^"^ Ч и силь*
йый сигнал (-^-> ч-
312

Случай слабого сигнала
Возьмем для простоты вычислений случай идеального
наблюдателя и /?(с) = /?(0) = 0,5, тогда П1 = 1.
Принимается гипотеза „сигнал есть" при
1+/ ? -s-cos ^l или lt Y\cos ъ > °- (5-2-3)
По условиям при простом фазовом обнаружении
используется измеренное значение сдвига фаз щ. Полученное
выражение для выявления процедуры обработки фазы
применять не будем, так как при простом фазовом
обнаружении предполагается простое (прямое) использование
результатов измерения сдвига фаз; его можно применить
для нахождения порогового значения.
Пороговое значение угла сдвига может быть найдено
из условия
— у -2-cos?I/„oP = 0,
что дает cos9i/nop = 0, тогда
?уаор = ±^. (5.2.4)
Если измеренное значение угла сдвига фаз смеси
сигнала и помехи больше чем 90°, то должна приниматься
гипотеза «сигнала нет» и при угле, меньшем чем 90°, —
гипотеза «сигнал есть».
Вычислим ошибки обнаружения сигнала
/7(Гс/0)= Г ±d<fy = Q,5, (5.2.5)
р(/ус) = 2. J (l + ^-Y^-cos9y)db<0,5.
it/2
Очевидно, что при таких ошибках обнаружение теряет
смысл. Следовательно, если после оптимальной фильтра-
313

ции отношение амплитуды сигнала к помехе остается
малым, т. е. отношение Ас/ви на входе приемника
меньше единицы или близко к ней, то простое фазовое
обнаружение сопровождается большими ошибками.
Рассмотрим теперь случай, когда на входе фазоизме-
рителя, т. е. на выходе согласованного фильтра,
с 1 / с
>1.
Тогда для % может быть принято нормальное
распределение с дисперсией
* Al
При отсутствии сигнала распределение остается
равномерным. Тогда отношение правдоподобия
2
Чу
2
П?») = тМ^ **. (5-2.6)
при
о>Ы %
lnl/M-ln^-i^lnn, (5.2.7)
9 2оФ
должно приниматься решение, что сигнал есть.
В схеме, изображенной на рис. 5.2.1, используется фу;
отсюда можем найти пороговое значение угла сдвига
фаз
4w=^ЧIn^при п*=L (5,2,8)
Поскольку
ТО
W=l/£-to/Sr. (5.2.9)
314

Найдем величину ошибок
г упор
J 2* ^_ it ~
-•*1
упор
=4-|/fe-'°/^ <s-2-I0>
А 2
>(Г0/с) = 2 J
2°;
2яо„
но
тогда
тупор
(5.2.11)
f=/21n/4-^/
/;(r0/c) = 2[l-f(|/21n|/^
' _ 1 J 1 ,/^Llni/^
(5.2.12)
(5.2.13)
+ [l-^(l/"21n/^)]}- (5-2.14)
Из полученных соотношений следует, что и порог и
вероятность ошибок при простом фазовом обнаружении
определяются только отношением энергии сигнала
к спектральной плотности мощности шума, как это
имело место для оптимальных методов обнаружения. Кри-
вая зависимости рош от тр приведена на рис. 5.2.2.
Рассмотрим теперь случай, когда используется
усреднение после фазоизмерителя. Сигнал полагаем сильным,
т. е.. на фазоизмерителе имеем Лс><тп.
Тогда функция распределения отсчетов фаз будет
нормальной с дисперсией а^=а^/Уг«
315

Если полоса пропускания до фазоизмерителя Д/ и
длительность сигнала tc, то значения измеренной фазы
будут содержать m=\tcAf независимых отсчетов.
Усредняя величины, соответствующие этим отсчетам, можно
уменьшить дисперсию отклонений фазы в т раз
п2 — п2 1
<рф ср т
Функция распределения смеси сигнала и помехи
остается нормальной. Функция распределения фазы при
действии одной помехи остается равномерной при любой
полосе. Следовательно, правило выбора порога (5.2.8)
при использовании дисперсии а^ф сохранится.
Ошибки обнаружения будут определяться
выражениями, вывод которых аналогичен выполненному ранее
/>(Гс/0)=-
пАс Ym у
/>(Го/с) = 2
Alni^-, (5.2.15)
, (5.2.16)
l_F(t/2lnV^nA
и могут быть приведены к тому же виду, как и (5.2.10)
и (5.2.13). Полученные формулы справедливы при
Ас>ап. Получающиеся при этом результаты аналогичны
приведенным на рис. 5.2.2. Простое фазовое
обнаружение значительно уступает оптимальному,
рассмотренному в гл. 4. Следовательно, простое наблюдение сдвига
фаз при попытке его использования для обнаружения
сигнала дает плохие
результаты. Это может быть
объяснено тем, что, например,
при (§c/iVo = 4, наибольшее
отношение сигнала к
помехе на выходе
согласованного фильтра (ЛаДтп)
составит 2,8. При таком
отношении энергии сигнала
к плотности мощности
п соо в л шума оптимальные методы
Рис. 5.2.2. Вероятность ошибок J
при простом фазовом обнару- обнаружения сигнала с из-
жении, вестными параметрами да-
316

дут вероятность ошибки, меньшую чем 0,07, а
среднеквадратичное значение флюктуации фазы составит
а =-^-=0,35 рад или « 20°.
При таких больших флюктуациях фазы, естественно,
получается большая вероятность выхода отсчета за
пределы порогового сектора, что приводит к большой
вероятности ложных тревог.
§ 5.3. Оптимальное фазовое обнаружение слабого
сигнала с известными параметрами в схемах с
использованием идеального фазоизмерителя. Рассмотрим теперь
вопрос об оптимальном фазовом обнаружении. Задача
в этом случае состоит в том, чтобы, используя только
фазу смеси, найти оптимальную процедуру ее
обработки, т. е. найти те действия, которым должна подвергаться
измеряемая величина фазы, для того, чтобы результаты
обнаружения получились бы оптимальными [5.1].
Под оптимальностью обнаружения будем понимать
обеспечение минимального среднего риска.
Для решения этой задачи нужно найти отношение
правдоподобия для случая использования только
функций фазы смеси.
Одномерная функция распределения фазы одной
помехи известна. Для получения многомерной функции
распределения фазы помехи воспользуемся тем, что
случайная функция изменения фазы может быть заменена
выборкой. Удобнее всего осуществлять выборку через
интервал корреляции, в данном случае через интервал
корреляции фазы.
Ранее было установлено, что энергетический спектр
флюктуации фазы помехи в основном сосредоточен в
области от 0 до —~- (или -—"V где Д<ои, Д^и — полоса
пропускания фильтра. Поэтому в первом приближении можно
допустить выборку через время [М= 2Д, /2 = -д1г-- При
такой выборке фазы будут упущены ее быстрые
флюктуации, которые не должны играть существенной роли при
рассматриваемом методе обнаружения. При этих
условиях значения фазы в выборке через Ш можно считать
статистически независимыми.
317

Тогда многомерная функция распределения фазы
помехи для выборки из значений фазы через интервалы
времени Ы> будет иметь вид
w(?nu <Р02,...) = И?2/1, ?i/2>--7n)^=(i)W- (5-зл)
При наличии полезного сигнала одномерная функция
распределения фазы имеет вид, изображенный на
рис. 3.2.1.
Для получения многомерной функции опять
воспользуемся выборкой фазы через At=j^. Считая, что в этих
точках фазы статистически независимы, получим
следующее выражение для многомерной функции
распределения фазы смеси:
т 2
*>(9уг, СР,2,.../с-п)=П{2^е2аП +
/=1
—2"sin2V
-cos?wF^co8T^e *п J, (5.3.2)
где Ai — значения амплитуды сигнала на входе приемника
при i-ы отсчете фазы; о2п — дисперсия помехи на входе
приемника; <pyi— отклонение фазы смеси от фазы сигнала
по данным отсчета, т — объем выборки, определяющийся
длительностью сигнала tc:
Отношение правдоподобия
2 /•—
^fs'n?vS
X(-^-co8T„i)e 2°° }. (5.3.3)
318

Принимается решение о том, что „сигнал есть", если
Принимается решение о том, что „сигнала нет*, если
Если прологарифмировать выражение для 1(<?у), то
получим решение „сигнал есть", если
1п/(?у)>1пП1э
и решение „сигнала нет", если
In /(?„)< In П,.
Очевидно, что
_! ■
/71 2
л?51п2У
Xcos^iF^cosy^e 2a" p (5.3.4)
Анализ этого выражения в общем виде приводит к
громоздким вычислениям, что связано с математическими
трудностями.
Рассмотрим поэтому частные случаи: случай слабого
сигнала (Дс<ап) и случай сильнбго сигнала (Лс><тп).
Рассматривая случай слабого сигнала, следует иметь
в виду, что термин «слабый сигнал» определяет
отношение мощностей сигнала и помехи. При этом
отношение энергии сигнала к плотности мощности помехи,
которое определяет ошибки оптимального обнаружения,
может быть большим и сигнал может обнаруживаться
с малой вероятностью ошибок.
319

Отношение правдоподобия для этого случая можно
упростить, пользуясь тем, что
W
л? \
1=1 " °п
=Пе п . (5-3-5)
л? .
+/-f-e-cos^)- (5Д6)
Отношение правдоподобия сравнивается с порогом Hi
или логарифм отношения правдоподобия сравнивается
с логарифмом Пь Принимается решение «Сигнал есть»
при
/И
т
+2/?-^" «»?„«> Inn,
1=1
ИЛИ
/el " /=1
320

но
т
п 1
8-u
б
тогда
от
или
±%А,сКЪ1>У±Ш,+1%-/±
III
■^JjAtaaf^yi-Ui^+y^fcl (5.3.7)
от суммы перейдем к интегралу
'с
j Ло(0сО8?Л')Л^-5}-Х
о
Для простейшего случая, когда сигнал имеет вид
синусоидальной посылки, ЛС(/) = ЛС, и если используется
критерий идеального наблюдателя, то
'с _
|ЛСС08<Ы^>^/^^
или
с
z9=j cos Ь (О Л > 4£- /-f=П?, (5.3.9)
О
<с _
J одЛоСов^^Л^у^-д-So ^О.бЗ^о. (5.3.10)
о
21—635 321

Полученные выражения позволяют выявить
оптимальную процедуру обработки фазы смеси сигнала и помехи
при фазовом обнаружении.
Из этих формул следует, что для оптимального
фазового обнаружения необходимо, измерив идеальным фазо-
измерителем сдвиг фаз смеси относительно фаз
ожидаемого сигнала, осуществить затем тригонометрическое
преобразование этого угла (взять косинус угла) и
результат интегрировать в течение времени, соответствующего
y(t)
ИФИ\
<fiy
COS
£,<р=соъ(Ру
S
<Рь
«т
Рис. 5.3.1. Схема оптимального фазового обнаружителя слабого
сигнала:
ИФИ — идеальный фазовый измеритель; j —интегратор; П — пороговое
устройство.
длительности сигнала. Величина на выходе интегратора
сравнивается с порогом, который зависит от отношения
сигнала к помехе AJan и длительности сигнала.
Схема оптимальной процедуры приведена на
рис. 5.3.1. Полученные результаты и схема нуждаются
в некоторых пояснениях. Казалось бы, что
использование идеального фазоизмерителя, показания которого не
зависят от амплитуды сигнала или смеси, должно
привести к тому, что параметры и работа схемы
обнаружения не должны зависеть от амплитуды сигнала. Однако
полученный результат не соответствует этому, так как
кЛ t
порог зависит от отношения ——, т. е. от отношения
°п
мощности сигнала к мощности помехи и от
длительности сигнала. Эта зависимость объясняется тем, что при
изменении отношения сигнал/шум изменяется
интенсивность флюктуации фазы и необходимо устанавливать
другой порог, уровень которого должен зависеть от
флюктуации. Если изменяется одновременно и Ас и оп,
например, при изменении усиления приемника, то порог
изменять не требуется, если же изменяется только
помеха или только сигнал, то порог необходимо изменять.
В этом отношении имеется некоторая разница с
оптимальными обнаружителями, однако эта разница не
322

дает существенных преимуществ фазовому
обнаружителю. Схема оптимального фазового обнаружителя
достаточно сложна, она существенно сложнее, чем схема
оптимального амплитудно-фазового обнаружителя
сигнала с известными параметрами. Для реализации
фазового обнаружителя также необходимо знать все
параметры сигнала. В этой связи представляет интерес
детальное сравнение процедуры обработки сигнала в
оптимальных амплитудно-фазовом и фазовом
обнаружителях, которое выполнено далее.
§ 5.4. Ошибки при фазовом обнаружении слабого
сигнала с известными параметрами. Рассмотрим теперь
ошибки, свойственные оптимальному фазовому
обнаружению слабого сигнала.
Ошибки будут определяться тем, что имеется конечная
*с
вероятность превышения интегралом" f cos<fy(t)dt порога
б
при отсутствии сигнала или непревышения его при наличии
сигнала.
Для вычисления этой вероятности нужно найти
функции распределения.
Перейдем от интеграла к сумме
*с т
^=fcoscp2/(f)^=5i-Jjcoscp2/£. (5.4.1)
6 f=i
Следовательно, распределение может быть найдено,
исходя из того, что при любом распределении для cos qv
распределение суммы стремится к нормальному со
средним и дисперсией, равными сумме средних и дисперсий.
Для нахождения дисперсии величины cos ф^
напомним, что при отсутствии сигнала распределение фу;=<рп
равномерное от —я до +я. Если'известно распределение
для фп/, то распределение для cos ф^- может быть
найдено по правилам функциональных преобразования
случайных величин.
Выше было получено
21<
w(cos<p„)=—-:=L==-. (5.4.2)
Я yl — COS2 <f>n
323

Первый момент для этого распределения равен нулю.
Второй момент или дисперсия
2 1 Г 2 1 л
°™с м=— I cos2 Фи — a cos фп.
Используем пределы от —1 до -f-1, поскольку значения
функции за пределами ±1 считаем тождественно равными
нулю. Применив подстановку cos2<pn = sinA:, получим
+ «/2
0coStp-i j (l-coe2*)«fc=-l-. (5-4-3>
—it/2
m
следовательно, дисперсия для величины V cos<pnt будет
i = l
равна яг/2, а для величины
гфП=J cos Ti/ (0 d'=57; J] cos ?п«
О / = 1
дисперсия будет равна
При наличии сигнала распределение для cos q^
изменяется, поскольку изменяется распределение для фу.
При слабом сигнале функция распределения для cosq>y
должна быть получена по правилам функциональных
преобразований случайных величин.
После преобразований получаем функцию
распределения
w(cos?„)«-7F=L==(l + /-f-^cosO- (5.4.5)
пу 1—cos2 <pv \ r z °п /
Распределение становится несимметричным и плотность
вероятности для значений cosqpy, близких к +1,
увеличивается, так как увеличивается вероятность углов (ру,
близких к нулю.
324

В этих условиях среднее значение уже не равно
нулю
тх (cos ?у) = 4" К "Г ^ <5-4-6)
так как
Г
—1
dx-=~
fl+x* 2 •
Для величины jj- y]^osfvt = z среднее значение будет
равно
и дисперсия
(5.4.8)
2 т
W 2А/2 2Д/И '
Следовательно, полученные для величины гф функции
распределения аналогичны функциям распределения
величины z в амплитудно-фазовом обнаружителе,
а именно нормальное распределение для значений этой
величины при отсутствии сигнала (с нулевым средним)
и нормальное распределение со смещенным средним при
наличии сигнала. Кривые, характеризующие
распределения, приведены на рис. 5.4.1. Величина порога [см.
(5.3.9)] равна половине среднего значения, как и в
оптимальном амплитудно-фазовом обнаружителе.
Для определения вероятностей ошибок нужно
найти интегралы
аг(г9у)
Рис. 5.4.1. Функции распределения величины г^ при слабом сигнале.
325

фП
00 00
2*
гфП
У"2гса
dzm, (5.4.9)
2фП
фП
-ф
/7(Г0/С)= jt»(Zw)d29jf =
[zi9y — ml (Zyyff
"ф
= f—
J /2«c
2»:
2ф^
2ф^
dz u.
ЧУ
(5.4.10)
Аналогичные интегралы были найдены ранее, поэтому,
опуская промежуточные выкладки, запишем
p{rcIO)=l-F
' '2фП J
P(r0/c) = i-ffi).
При П,= 1
Пф _ П* _i/~
а о — Г 8
2фП 2ф^ Г U
ЛГ.
(5.4.П)
(5.4.12)
тогда
Аш=1-/?(/^^-)- (5.4.13)
Напомним, что при оптимальном амплитудно-фазовом
обнаружении сигнала с известными параметрами
Аш=1— F
(/за
Получаемый результат показывает, что оптимальное
фазовое обнаружение, если оно может быть технически
осуществлено, дает несколько худшие результаты, чем
оптимальное амплитудно-фазовое обнаружение. Однако
полученная разница в эквивалентной энергии не очень
велика. При фазовом обнаружении эквивалентная
энергия сигнала уменьшается в 1,25 раз. Другими словами,
326

оптимальное использование только фазы сигнала при
обнаружении как бы на 25% уменьшает энергию
сигнала. Следовательно, при слабом сигнале оптимальное
фазовое обнаружение дает функции распределения
величины z , сравниваемой с порогом, и достоверность,
очень близкие к соответствующим результатам для
оптимального амплитудно-фазового обнаружения. Этот же
результат получается при использовании критерия
Неймана— Пирсона и для систем с активной паузой. Таким
образом основная информация о слабом сигнале
заложена в фазе.
§ 5.5. Фазовое обнаружение сильного сигнала с
известными параметрами. При сильном сигнале Лс>ап,
тогда
.А
0,Ы=-Т?5= е * •
При переходе к выборке с объемом m = tcAf получим
1
т
п
1
— е
U
г. 2
%
/=1
При отсутствии сигнала
Отношение правдоподобия
^^•iteJEd^en^e *\ (5.5.3)
1=1 *
тогда
ln/(?,)=SlnJ?L-S#. (5-5.4)
327

Условия принятия решения о наличии сигнала будут иметь
вид
S^^S1"-^-1"11' <6-5-5>
/ = 1 ф /=1
ИЛИ
т т
т
2»: - уТкАй
/ = 1 С
при ACi = const = АС и П1=1.
Перейдя от сумм к интегралам, получим
О
t
<Af Г In V2nAc(t) dt — lnUt. (5.5.7)
0
Для случая Лс = const, при использовании критерия
идеального наблюдателя (1пП1=0) получим
'с
^j<W^<[ln(^)]fc (5.5.8)
или
V
Л ?2у (0 dt < 2^ In (^-)=п, (5.5.9)
О ^ '
Схема, соответствующая полученной оптимальной
фазовой обработке при сильном сигнале, приведена на
рис. 5.5.1. Работа схемы имеет существенную ©собен-
328

ность, состоящую в том, что ответ «сигнал есть» дается
в том случае, когда результат интегрирования меньше
порога (а не больше, как было во всех предыдущих
схемах), и ответ «сигнала нет» — в том случае, когда
порог превышен. Физически это может быть объяснено
тем, что при наличии сильного сигнала флюктуации
фазы смеси относительно фазы сигнала становятся
незначительными, квадрат отклонения фазы и интеграл
квадратов имеют малую величину, и если они меньше опреде-
y(t)
\ИФИ\
<Py(t)
U
(Г
£.9-ч>у(Щ
S
г?
«Г
Рис. 5.5.1. Схема оптимального фазового обнаружителя сильного
сигнала:
ИФИ — идеальный фазовый измеритель; ( )2 — квадратор; J — интегратор;
Я — пороговое устройство
ленного уровня, то это свидетельствует о наличии
сигнала. При отсутствии сигнала фаза смеси
равновероятна, квадрат отклонений имеет в отдельных случаях
большие значения и интегрирование квадрата
флюктуации фазы смеси дает большие величины.
Найдем функции распределения для напряжения на
выходе интегратора. Величина 9 распределена или рав номерно
„ я2
с дисперсией -у при отсутствии сигнала, или по
нормальному закону с дисперсией о2 при наличии сигнала.
Для получения функций распределения <р?
необходимо воспользоваться правилами функциональных
преобразований.
При
1
''it' «'Г-о"
у~^2я
(5.5.10)
329

и при нормальном распределении для fy
ш(?2)=—=4^е 2°'. (5.5.11)
В рассматриваемом случае основной интерес
представляет не сама функция распределения, а ее среднее и
дисперсия, так как на выходе схемы действует сумма
большого числа случайных величин, функция
распределения которой может быть принята нормальной со
средним, равным сумме средних, и дисперсией, равной
сумме дисперсий. Найдем средние и дисперсию для случаев
отсутствия и наличия сигнала.
При отсутствии сигнала
среднее
тл (Г) =
дисперсия
ф2П
О
J 2n У Уп
При наличии сигнала
среднее
"■■^=Firke "'«»:=
дисперсия
<=-|-. (5-5-14)
(f _ 02 )• е df = 2з4 . (5.5.15)
ззо

Тогда при отсутствии сигнала
'М**>=<«тНг-г <5-5Л6)
и
%n = /«ljM^=-4F-- (5-5Л7)
При наличии сигнала
С=^2-^г=2^4^. (5.5.19)
с
Функции распределения для величины на выходе
интегратора запишутся в виде
_ lz<pn-mi <г<рп>12
1 ** :
w (г Л = -jJ- е щ (5.5.20)
без сигнала
с сигналом.
Для определения ошибок нужно найти интегралы
/>(Г0/0) = J в> (*,„)<**„,, (5.5.22)
О
/>(iyC) = ]w(zjdz„. (5.5.23)
п9
На рис. 5.5.2 дано изображение функции распределения
для г и г и порога II . Площади, соответствующие
/7 (Гс/и) и /?(Г0/с) заштрихованы.
331

При вычислении ошибок ограничимся случаей,
когда Я i = 1, тогда
П =2^1п^-=2Л/я1п^. (5.5.24)
D>wir=]/2wln
У2я
<р< гуу
т=100
zoo / п9\ зоо
Р(Г0/с) p(rz/0)
Рис. 5.5.2. Функции распределения г при сильном сигнале.
Вероятность ошибок не зависит от того, используется
в схеме суммирование или интегрирование. Интегралы,
аналогичные (5.5.22) и (5.5.23), неоднократно
вычислялись ранее, и поэтому, опуская преобразования,
приводим окончательный результат:
= \-F | ^да (1,12-0,673; In J^-)
/>(Г./с)=1-Лу2/и1п(3^-.- 4
Am = 0,5fp(rc/0) + p(ro/c)I.
(5.5.25)
(5.5.26)
332

Формулы (5.5.25) и (5.5.26) могут быть упрощены для
заданного отношения
Для Ас/аа = 1,5
р (Гс/0)» 1 - ^ (0,74 /ю), (5.5.27)
/7(r0/c)^l-F(l,05|/m).
Для Лс/ап= 10
/7(Гс/0)~1-/г(1,1| //я). (5.5.28)
/?(r0/c)=l-F(4Km).
Если формулу (4.4.18) для вероятности ошибок
оптимального амплитудно-фазового обнаружителя
преобразовать, пользуясь тем, что
Зс = АгсЫтОу5,
то получим
/Г /П\ I „/Г /„\)П * 1 /7 /'n R ^c l/\^ #
Аш = [/> (Гс/0) + р (Г0/с)] 0,5 = 1 - F (0,5 £ |/*Л
При Лс/<зп=1,5 получим выражение, очень близкое к
(5.5.27).
Из результатов следует, что увеличение т одинаково
эффективно и при оптимальном амплитудно-фазовом и
при оптимальном фазовом обнаружении. Увеличение
амплитуды сигнала, т. е. увеличение ЛС/(7П, вызывает
быстрое уменьшение ошибок при амплитудно-фазовом
обнаружении и сравнительно медленное их уменьшение
при фазовом обнаружении.
При Лс/<7п~1>5, когда формулы (5.5.25) и (5.5.26)
еще могут быть использованы, при фазовом
обнаружении достоверность получается немного хуже, чем при
оптимальном амплитудно-фазовом обнаружении.
При Лс/(Тп>5ч-10 при фазовом обнаружении
получаются заметно большие вероятности ошибок, чем при
амплитудно-фазовом.
ззз

§ 5.6. Сравнение процедуры обработки в оптимальных
амплитудно-фазовом и фазовом обнаружителях сигнала
с известной фазой. Сравним теперь процедуры
оптимальных обработок смеси (с использованием ее амплитуды
и фазы) и только ее фазы. Схема оптимального
амплитудно-фазового обнаружителя сигнала с известными
параметрами имеет вид, изображенный на рис. 4.4.1.
Схемы оптимальных фазовых обнаружителей приведены на
рис. 5.3.1 и 5.5.1. Сопоставление показывает, что в этих
схемах имеются общие элементы, но есть и отличие,
заключающееся в основном в разной процедуре получения
величины, подаваемой на интегратор. Для сравнения
участков схем, включенных до интегратора, расшифруем
операцию умножения, используемую в оптимальном
амплитудно-фазовом обнаружителе.
Положим, что обнаруживаемый сигнал является
отрезком синусоиды c(t) =АС cos<gW и копия сигнала
воспроизводит его амплитуду. При наличии сигнала на
входе на умножитель подается смесь, которую можно
представить как колебание со случайной амплитудой и
фазой:
y(t) = c(t) + n(t) = Ay(t)c<*l*0t + iv(t)l
где Ау — амплитуда смеси; <рЛ0— отклонение фазы смеси
от фазы сигнала.
На выходе умножителя получим
iy = y(t)c (0« M2— cos *у (')+
Членом с cos 2©of можно пренебречь, так как он не
влияет на выходную величину интегратора.
Тогда на выходе умножителя получим
1у=Щ^сов9у«). (5-6.1)
При отсутствии сигнала выражение (5.6.1) сохраняет
силу, но
Ay{t) = An{t), a <Pi/ (0 = <Рп(0- гДе An(t)
334

и ?п(0 — случайные функции времени, описывающие
узкополосную помеху.
Сравним теперь процедуры обработки смеси в
амплитудно-фазовом и в фазовом обнаружителях, при слабом
сигнале. В фазовом обнаружителе согласно (5.3.9) на
интегратор подается величина ^ = cos^p^ (^).
Следовательно, процедура обработки сигнала при
оптимальном фазовом обнаружении слабого сигнала
близка к процедуре обработки в умножителе при
оптимальном амплитудно-фазовом обнаружении. Однако
между ними имеется отличие, состоящее в том, что 1У
содержит множитель Ay(\t), определяемый амплитудой
смеси сигнала и помехи. Для Бф этот множитель равен
единице. Это отличие не являлось бы принципиальным,
если бы Ay(\t) не был бы случайной функцией времени.
Умножитель также вычисляет cos<py(rf), но с весовым
коэффициентом Ay{t), который придает большую роль
в обработке смеси тем cos<py, которые отсчитываются
при больших значениях Ay(t). Теперь сравним пороги.
В оптимальном амплитудно-фазовом обнаружителе
величина
г = f луУ)Ас cos fy (t) dt (5.6.2)
о
сравнивается с порогом $с/2.
> if При j слабом сигнале наиболее вероятное значение
Ay{t)^'on. В фазовом обнаружителе величина
гф=£ cosyу(t)dt
о
сравнивается с порогом ~^- у -^- или
'с
о
сравнивается с порогом
TV Тщ
(5.6.3)
(5.6.4)
335

Из полученных результатов видно, что если несколько
изменить схему фазового обнаружителя, введя усиление с
коэффициентом -^р-, т0 величина Б становится в большей
степени подобна величине iy в оптимальном
обнаружителе.
Из полученного следует, что по сути оптимальный
фазовый обнаружитель отличается от оптимального
амплитудно-фазового обнаружителя тем, что
интегрируемая величина имеет в качестве множителя не
случайную амплитуду смеси Ay(t), мало зависящую от
амплитуды слабого сигнала, а постоянный множитель оп,
близкий к наиболее вероятному значению амплитуды
смеси при слабом сигнале, и порог, мало отличающийся
от порога при оптимальном обнаружении.
Следовательно, оптимальный амплитудно-фазовый обнаружитель
при слабом сигнале в основном построен на принципе
оптимальной обработки фазы. Необходимо отметить, что
амплитудно-фазовый обнаружитель прост по устройству
и может быть выполнен в виде обычного фазового
дискриминатора и интегратора, в то время как в фазовом
обнаружителе требуются очень сложные устройства
в виде идеального фазоизмерителя и блока,
осуществляющего тригонометрическое преобразование
измеренного угла. Следовательно, нет инженерного смысла
реализовать специально оптимальное фазовое обнаружение:
оно по сути используется при обычном оптимальном
обнаружении слабого сигнала с известными параметрами.
Имеющиеся в литературе указания на преимущество
фазового обнаружителя, в смысле независимости порога
от мощности или энергии сигнала, являются
неправильными, так как в оптимальном фазовом обнаружителе
порог также зависит от энергии сигнала.
Проведем теперь сравнение оптимального фазового
и оптимального амплитудно-фазового обнаружения при
сильных сигналах.
Поскольку сигнал сильный, то Ac^Av(t).
Тогда на интегратор в амплитудно-фазовом
обнаружителе подается
ly=^cos?y(t). (5.6.5)
336

Принимается гипотеза „сигнал есть", если
i
О
**■ cos fy(t)dt>fy (5.6.6)
С
2
J cos <pу {t)dt>±. . (5.6.7)
о
При сильном сигнале флюктуации фазы незначительны,
тогда
cos <?у (*)»1—Т^У)-
Условие обнаружения примет вид
'с
J f2y(t)dt<tc. (5.6.8)
О
Из сравнения полученного выражения с (5.5.9) следует,
что схема оптимального амплитудно-фазового
обнаружителя осуществляет оптимальную обработку фазы и
при сильном сигнале, и кроме этого она использует
информацию о наличии сигнала, заложенную в амплитуду
смеси.
Оптимальный фазовый обнаружитель этой
информации не использует, поэтому при сильном сигнале
результаты фазового обнаружения заметно хуже оптимального
амплитудно-фазового обнаружения. Для подтверждения
этого результата преобразуем (5.5.9) так, чтобы порог
выражался аналогично формуле .(5.6.8). Тогда для
оптимального фазового обнаружителя сильного сигнала
получим условия обнаружения при TIi = 1
Лс - ' <?(t)dt<tc.
2 f ._— ЛлА 1*1/
°ч. 2 In
(*"*) J
22—635 Щ

Как видно, в фазовом обнаружителе за счет
неиспользования информации об амплитуде перед интегралом
стоит множитель, который для рассматриваемого
случая (Лс><Тп) много больше единицы. Следовательно,
для выполнения неравенства и обнаружения с
одинаковой вероятностью пропуска требуется, чтобы
флюктуации фазы в фазовом обнаружителе были много меньше,
чем в амплитудно-фазовом, т. е. сигнал должен быть
более сильным. Так же как для слабого сигнала, в
данном случае обычно нет инженерного смысла
реализовать самостоятельные оптимальные фазовые
обнаружители и при сильном сигнале. Эти обнаружители имеют
более сложную схему, чем амплитудно-фазовые. В
последних более простыми техническими средствами тоже
реализуется по сути оптимальная процедура обработки
фазы и, кроме того, используется амплитуда сигнала.
Сравним теперь между собой схемы оптимальных
фазовых обнаружителей при сильном и слабом
сигналах. Внешне схемы значительно отличаются друг от
друга. Это обстоятельство может вызвать большие
трудности при практической реализации, так как
требует изменения схемы в зависимости от амплитуды
сигнала. Для выяснения этого вопроса рассмотрим
работу оптимального фазового обнаружителя слабого
сигнала при приеме сильного сигнала.
В оптимальной схеме для слабого сигнала на вход
интегратора будет подаваться cosq)y, который можно
представить как
cos <?у = |/1 — sin2 <ру.
При сильном сигнале углы <ру малы и coscp^l—0,5 <р .
Из этого следует, что оптимальная схема для слабого
сигнала, вычисляющая cosqpy и интегрирующая эту
величину, при сильном сигнале также будет
осуществлять оптимальную обработку по правилам,
справедливым для сильного сигнала, т. е. вычислять квадрат
угла ц)у и интегрировать его. Таким образом, все
оптимальные схемы амплитудно-фазовых и фазовых
обнаружителей для сигналов с известными параметрами
осуществляют аналогичную процедуру обработки фазы
смеси, которая в основном построена на вычислении
четной функции отклонения фазы смеси от фазы ожц-
338

даемого сигнала. Из этого можно сделать вывод, что
существенная информация о сигнале, используемая при
его обработке для обнаружения, сосредоточена в фазе
сигнала. Конечно, влияние амплитуды как фактора,
определяющего энергию сигнала и достоверность
оптимального обнаружения, остается при всех условиях.
Сравним оптимальное
фазовое обнаружение с
простым. Необходимо отметить,
что рассмотренное в § 5.2
простое фазовое
обнаружение, при котором измеряется
фаза смеси и результат
сравнивается с фазой
ожидаемого сигнала, дает намного
худшие результаты, чем
оптимальное фазовое и
оптимальное
амплитудно-фазовое обнаружение. Причина
этого состоит в том, что
измерение фазы с
использованием согласованного
фильтра до фазоизмерителя
или с усреднением резулв
татов измерения фазы после
фазоизмерителя реализует
не оптимальную для
обнаружения процедуру
обработки измеренной фазы. Оптимальная процедура фазового
обнаружения предусматривает при слабом сигнале
тригонометрические преобразования измеренной фазы
(cos ф^), при сильном сигнале — возведение в квадрат,
что аналогично для этих условий взятию cos*j%.
Подобные операции с фазой .производятся в схемах
оптимального амплитудно-фазового обнаружения. Эти нелинейные
преобразования в оптимальных процедурах и
определяют значительную разницу в результатах по
сравнению с простым фазовым обнаружением. Нелинейные
преобразования измеренной фазы изменяют функции
распределения как для случая одной помехи, так и для
случая смеси сигнала и помехи. Накопление в
интеграторах или фильтрах нижних частот результатов
нелинейно преобразованных значений измеренной фазы
22* 339
4
1
«?-'
ю-1
ю-3
го-
Рот
? 10
р|И11 ■■ ■ ,
"
"""У"
^£
j4
N0
Рис. 5.6.1. Сравнение ошибок
обнаружения при слабом
сигнале:
а —для оптимального
обнаружения (формула 5.7.18); б — для
оптимального фазового обнаружения
(формула 5.4.13); в — для простого
фазового обнаружения, с
согласованным фильтром до
фазоизмерителя (формула 5.2.14).

Дает значительный выигрыш & Достоверности
обнаружения. Физические причины того, что простое фазовое
обнаружение дает неудовлетворительные результаты,
состоит в том, что среднее значение фазы шума,
получающееся в результате интегрирования или
усреднения, может не отличаться от среднего значения фазы
смеси, поскольку фаза помехи при любом усреднении
остается равновероятной. Во
всех оптимальных схемах
используется четная
функция фазы (cos фу или <ру).
Тогда результат
накопления значений отсчетов при
смеси и помехе получается
разным. Для того чтобы
сравнить достоверность
обнаружения разными
методами, приведем результат
расчетов, выполненных по
полученным выше
формулам. Расчеты выполнены
для случая р(с)=р(0) =0,5
и Гпр=!Гл='1. Результаты
сравнения будут
аналогичными и при использовании
критерия Неймана —
Пирсона. На рис. 5.6.1 даны кривые для слабого сигнала.
На рис. 5.6.2 даны кривые для сильного сигнала
при Лс/ап=1.
§ 5.7. Оптимальное фазовое обнаружение при
использовании ограничителя. Ранее был рассмотрен случаи,
когда смесь сигнала и помехи подавалась на идеальный
фазоизмеритель, показания которого не зависели от
амплитуды. При этом оказалось возможным
воспользоваться функциями распределения смеси.
Использование идеального фазоизмерителя по сути означает
нелинейные преобразования смеси, благодаря которым
влияние амплитуды устраняется. Устранения влияния
амплитуды можно добиться при помощи прямого
метода, применив в схеме ограничитель. Тогда основная
информация о сигнале остается только в фазе, точнее
в функции «нулей».
340
Рис. 5.6.2. Сравнение ошибок
обнаружения при сильном
сигнале (Лс/ап=1):
а — оптимальное обнаружение: б —
оптимальное фазовое обнаружение
(формулы 5.5.27 и 5.5.29); в —
простое фазовое обнаружение
(формулы 5.2.18 и 5.2.19).

Одномерная функция распределения нулей мало ot-
личается от функции распределения фаз, если полоса
частот помех сравнительно узкая. Обычно в приемных
устройствах имеется фильтр, осуществляющий
предварительную неоптимальную фильтрацию. По этим
причинам в первом приближении можно считать, что функция
распределения нулей, оцениваемая в угловых
величинах, повторяет функцию распределения фаз. Тогда
оптимальный фазовый обнаружитель можно построить
по схеме, приведенной на рис. 5.7.1.
ЪтШл
X
.огр
/
Копия I c(t)
сигналах ' '
к
Рис. 5.7.1. Схема фазового обнаружителя с ограничителем:
Ф — фильтр; Р — ограничитель; X — умножитель; J — интегратор; П^
пороговое устройство.
На перемножающее устройство подается напряжение
смеси с выхода ограничителя и копия сигнала. Копия
сигнала должна иметь начальную фазу, задержку и
длительность, соответствующие ожидаемому сигналу.
На выходе перемножителя появится напряжение,
значение которого равно [см. (5.6.1)]
Sorp ~ Ь о огр cos <fy (t) = const cos <py (/),
где Л огр — уровень ограниченного напряжения,
определяющий его амплитуду; yy(t) — отклонение фазы смеси
от фазы сигнала.
Высокочастотной составляющей этого напряжения
можно пренебречь, так как она не скажется на
результатах интегрирования. Очевидно, что сочетание
ограничителя и умножителя выполняет ту же функцию, что и
сочетание идеального фазоизмерителя и
тригонометрического преобразователя. При соответствующем выборе
порога такая схема должна обеспечивать оптимальную
обработку сигнала по его фазе. При наличии сигнала
341

начальная фаза смеси q)y(t) флюктуирует с
преобладающими небольшими отклонениями. Следовательно,
cos фу (t) имеет преобладающие значения, близкие
к единице; на выходе интегратора должно
накапливаться большое напряжение, которое обычно превышает
порог, в результате принимается гипотеза о наличии
сигнала. Из-за отклонений фазы результат
интегрирования может уменьшиться и порог не будет достигнут.
При отсутствии сигнала на перемножающее устройство
подается сигнал со случайной равновероятной
начальной фазой. При достаточно широкой полосе
пропускания радиотракта начальная фаза за время накопления
случайно изменяется и с равной вероятностью могут
наблюдаться как малые, так и большие значения сру,
для которых cos<p^ будет близким к нулю или иметь
отрицательную величину. Это уменьшает результат
интегрирования; отличие его от нуля проявляется в
конечной вероятности ложного обнаружения. При
увеличении интенсивности сигнала фаза смеси в основном
соответствует фазе сигнала и напряжение на выходе
интегратора с большой вероятностью превышает порог,
который по мере увеличения отношения сигнала к
помехе увеличивается, что уменьшает вероятность
ложного обнаружения.
Если принять, что функция распределения нулей
совпадает с функцией распределения фазы, то
характеристики фазового обнаружителя с ограничителем будут
такие же, как и характеристики оптимального фазового
обнаружителя. На рассмотренном принципе может быть
построен обнаружитель, в котором используется
критерий Неймана—Пирсона. Необходимо отметить, что
схема фазового обнаружителя с ограничителем и
умножителем значительно проще, чем схемы, приведенные
на рис. 5.3.1 и 5.5.1. При ее реализации используются
ограничитель и те же элементы, что и в схеме
амплитудно-фазового обнаружителя. Она не использует фазо-
измерений и по сути в технической форме, близкой
к амплитудно-фазовому обнаружителю, реализует
фазовое обнаружение за счет разрушения информации об
амплитуде в ограничителе.
§ 5.8. Фазовое обнаружение сигнала с неизвестной
фазой. Представляет интерес возможность фазового
обнаружения сигнала, фаза которого не известна. При
342

оптимальном амплитудно-фазовом обнаружении
сигнала со случайной фазой используется или
согласованный фильтр с детектором, или двухканальный
коррелятор с таким сложением результатов, при котором
влияние случайности фазы на величину, сравниваемую
с порогом, устраняется. Таким образом, в этом случае
фаза сигнала как бы не участвует в обнаружении.
Однако можно показать, что и при случайной (но
стабильной) фазе обнаружение также в значительной
степени осуществляется за счет оптимальной обработки
фазы сигнала.
Рассмотрим работу оптимального
амплитудно-фазового обнаружителя сигнала со случайной фазой с точки
зрения фазовых соотношений. Возьмем случай
синусоидального сигнала
C(f) = AjCOS(e>0f + <pc).
Смесь сигнала и помехи может быть представлена как
процесс со случайными амплитудой и фазой
У (0 = Ау (t) cos [<*0t + срс + уу (t)]\
функции распределения для Ay(t) и <py(t) были получены
ранее.
Тогда на выходах умножителей получим (при Ак=1)
\ = Ау (О cos К* + ?с + ?у (0 eos ш0* J =
=^cos[<pc + <M0L (5.8.1)
членом с 2со0 пренебрегаем,
?T = ^-)sm[Tc + Ty(0l- (5.8.2)
Рассмотрим подробнее случай сильного сигнала, когда
Ас > <%, 9у ^ * и членами sin <py {t) можно пренебречь
^^^cos?cCos<M'), (5.8.3)
S « ^-sin?0 cos?, (/), (5.8.4)
343

На выходе интеграторов получим
с
*1= \-JL^-cos f^i) cos <fcdt,
о
Y= J dsiQ.сое9„(/)singed/,
тогда
52 = -п2 + у2 =
[^- cos % {t)dt
(5.8.5)
(5.8.6)
(5.8.7)
поскольку при Ас > cd
Л, (0 ~ Лс> cos <py (0=1- ?! (0, 0,5
то
#=-75 г
с
(5.8.8)
Условием принятия гипотезы „сигнал есть" является
Пв<£, т. е.
Пв<^-^ j?;w<«,
или, так как Пв = ^- (4.7.35)
с
(5.8.9)
Оптимальная обработка фазы смеси в оптимальном
амплитудно-фазовом обнаружителе сигнала со
случайной фазой, вскрываемая формулой (5.8.9), аналогична
обработке в оптимальном фазовом обнаружителе
сильного сигнала с известной фазой, даваемой формулой
(5.5.9), и обработке в оптимальном амплитуднр-фаас^

66м обнаружителе сйгиаЛа с известной фазой, которая
в фазовой интерпретации дается (5.6.8). Таким
образом, в оптимальной схеме амплитудно-фазового
обнаружителя сигнала со случайной фазой его фаза
подвергается оптимальной обработке. Следовательно, и при
случайной фазе сигнала информация о нем заложена
в фазу, точнее в ее постоянство и оптимальная
обработка смеси включает и оптимальную обработку ее
фазы. Однако вследствие случайности фазы для ее
оптимальной обработки требуется двухканальная
схема, которая характеризуется увеличенным действием
помех и ухудшением достоверности.
Такие же результаты получаются и при анализе
случая слабого сигнала. Рассмотрим теперь
возможность осуществления фазового обнаружения сигнала со
случайной фазой. Сигнал со случайной фазой является
основной моделью сигнала в фазовых системах. Перед
гем, как осуществлять измерение, необходимо
обнаружить сигнал, т. е. убедиться, что приемо-измерительное
устройство находится в зоне действия системы и, если
сигнал импульсный, найти его по временному
положению (устранить неопределенность задержки). Если
такой сигнал возможно обнаружить фазовыми
методами, то это может иногда позволить упростить
аппаратуру (устраняется необходимость создания системы
амплитудно-фазового обнаружения, действующей
независимо от канала измерения). Очевидно, что простое
фазовое обнаружение сигнала в этом случае в принципе
невозможно, так как его фаза случайна и простое
измерение фазы смеси не может дать ответа на вопрос
о наличии или отсутствии сигнала. При оптимальных
методах фазового обнаружения производятся
нелинейные преобразования измеренной фазы и накопление
информации. Пользуясь принципами фазового
обнаружения, можно создать также схему фазового
обнаружителя и для сигнала со случайной фазой. При
осуществлении оптимального фазового обнаружителя
сигнала со случайной фазой невозможно ограничитьсл
одноканальной схемой обработки. Напомним, что для
оптимального амплитудно-фазового обнаружения
необходимы двухканальные схемы с квадратурными
каналами. Схему фазового обнаружителя сигнала со
случайной фазой также можно строить как двухканаль-
345

МуЮ. Схема такого обнаружителя приведена на
рис. 5.8.1. Использование в одной из ветвей синусного
преобразователя вместо косинусного обосновано тем,
что этот канал оптимально обрабатывает фазу
квадратурной составляющей смеси, что необходимо в связи со
случайной начальной фазой сигнала. Интегрирование
позволяет осуществлять накопление в каждом канале,
причем в каждом канале накопленная величина зависит
yjth
Начал
фа.
9>t
РИ
«
ьная
за
cos
sin
=cos(pc+i
,=sfn/j»c*
J_
9y(t,
1
9
ill
77
+
Й
£_
dp
lr
Рис. 5.8.1. Схема фазового обнаружителя сигнала со случайной
фазой:
ИФИ — идеальный фазовый измеритель; sin и cos — тригонометрические
преобразователи; j — интеграторы; ( )2 — квадраторы; Н сумматор; V~L.
устройство для вычисления квадратичного корня; П — пороговое устройство.
от фс и, следовательно, не может быть использована
для сравнения с порогом. Однако последующие
преобразования накопленных величин, аналогичные тем,
которые используются в оптимальном
амплитудно-фазовом обнаружителе, позволяют получить величину 2? ,
не зависящую от фазы сигнала и определяемую только
наличием сигнала:
с
5,? = cos[Тс+Ту(0Ь *1Ф = j ^ С) Л.
346
о
г»2 2,2

Рассмотрим работу схемы при обнаружении сильного
сигнала. При сильном сигнале (fy(t)<^7t)
6|ф st cos ?0 cos ?„(*), (5.8.10)
52(p^sin<pccos<py(0. (5.8.11)
После интегрирования, возведения в квадрат,
суммирования и извлечения корня (рис. 5.8.1) получим
В9 = J cos ffy (t) dt« tc - 0,5 J *J (0 Л.
о о
Условие принятия решения о наличии сигнала примет
вид
^2y(t)dt<2tc-Ur . (5.8.12)
о
Очевидно, что процедура обработки случайной фазы,
соответствующая выражению (5.8.12) и рис. 5.8.1,
аналогична процедуре обработки фазы смеси в
оптимальном амплитудно-фазовом обнаружителе сигнала со
случайной фазой, если ее рассматривать с точки зрения
фазовых соотношений, как это сделано при выводе
выражения (5.8.9). Аналогичные результаты получаются
и при анализе обнаружения слабого сигнала.
Следовательно, оптимальное фазовое обнаружение сигнала со
случайной фазой осуществить возможно. Можно
ожидать, что достоверность обнаружения или вероятность
ошибок в схеме фазового обнаружителя сигнала со
случайной фазой будет несколько хуже, чем в
оптимальном обнаружителе сигнала со случайной фазой и
оптимальном фазовом обнаружителе в сигнала с известной
фазой.
Получение аналитических выражений для функций
распределения величин 6^ , 6ф2 и гф1 , г^ связано с
громоздкими математическими преобразованиями, что
определяет сложность математических выражений, с помощью
которых можно вычислить вероятность ошибок р(Гс/0)
и р(Го/с). По этим причинам ограничимся качествен-
347

ным анализом факторов, влияющих на вероятность
ошибок.
При наличии „сигнала (будем предполагать, что
сигнал сильный) фазоизмеритель дает мало
изменяющиеся показания, соответствующие случайной фазе
сигнала фс. После тригонометрических преобразований
получаются величины cos<pc и sin<pc- Поскольку за
время обнаружения фс считаем постоянной величиной,
то результаты интегрирования также будут
пропорциональны cos<pc и sinxpc, и после перехода к В^=В^С
получим величину, не зависящую от <рс> которую
надлежит сравнивать с порогом. За счет действия помех
величина, измеряемая фазометром, изменяется. При
этом может наблюдаться пропуск сигнала в том случае,
если уровень порога не будет достигнут.
При отсутствии сигнала фазометр измеряет
случайную фазу помехи фп, которая с равной вероятностью
может иметь любое значение от 0 до ±я. За время
действия сигнала значение фазы подвергается
изменениям. Тогда соБфь и sin<pn являются случайными
функциями. Их интегрирование и квадратичное сложение
даст результирующую величину/?фп .
Наличие 5 создает ошибки ложного обнаружения,
вероятность которых будет определяться вероятностью
превышения порога. Очевидно, что при увеличении
длительности сигнала величина В^ на выходе интеграторов,
обусловливаемая действием сигнала, будет нарастать
быстрее, чем величина В , обусловливаемая действием
помех.
Однако возможность создания схемы фазового
обнаружителя для сигнала со случайной фазой еще не
решает вопроса о целесообразности реализации таких
схем.
Очевидно, что фазовый обнаружитель много
сложнее, чем оптимальный амплитудно-фазовый. Особенно
сложными являются фазоизмеритель и
тригонометрические преобразователи. Фазовый обнаружитель
сигнала со случайной фазой может быть реализован
с использованием ограничителя и двухканального
квадратурного коррелятора.
§ 5.9. Фазовые фильтры. Во всех рассмотренных
ранее оптимальных фазовых обнаружителях использова-
348

лись принципы взаимно корреляционного приема или
активной фильтрации. Представляет интерес
рассмотреть возможность осуществления пассивных фазовых
фильтров. Для этого можно воспользоваться тем, что
если сигнал имеет стабильную начальную фазу, то
значения его фазы в точках, разделенных на целое число
периодов высокой частоты, будут одинаковыми. Для
обнаружения сигнала нужно оптимально обработать
y(t)
Ч
ИФИ
)
i
COS
~Т
Рис. 5.9.1. Схема фазового фильтра:
ИФИ — идеальный фазовый измеритель; cos — тригонометрический
преобразователь; \ — интегратор.
сдвиг фаз между точками сигнала, разделенными
определенной задержкой, что сводится к вычислению
косинуса сдвига фаз и последующему интегрированию.
Схема фазового фильтра, в которой реализуется этот
принцип, приведена на рис. 5.9.1. Вместо идеального
фазоизмерителя и тригонометрического
преобразователя можно использовать ограничители и
перемножитель, тогда схема примет вид, изображенный на
рис. 5.9.2. Разберем работу этих схем. При подаче на
фильтр одной помехи фаза напряжения помехи
является случайной функцией времени.
Значения фазы, разделенные интервалом 'времени т3 =
= kT0, где Т0 — —, а <о0 — средняя частота полосы про-
пускания тракта до фазового фильтра, отличаются друг
от друга. Идеальный фазоизмеритель будет давать
отсчеты сдвига фаз с равной вероятностью в пределах от
—я до +Jt, если т3 больше, чем интервал корреляции
для фазы. После тригонометрического преобразования
и интегрирования получится случайная функция
напряжения с нулевым средним и расходящейся дисперсией.
Если оно превысит порог, это может привести к
ложному обнаружению. При подаче на фильтр сигнала
с постоянной начальной фазой и частотой на фазоизме-
349

ритель будет поступать составляющая напряжения с
постоянным сдвигом фаз, равным нулю. Следовательно,
величина на выходе ИФИ будет флюктуировать
преимущественно около положения, соответствующего нулевому
сдвигу, для которого косинус близок к единице. В
результате на выходе интегратора будет накапливаться
напряжение. Превышение этим напряжением порога
соответствует выбору гипотезы о наличии сигнала. Как
y(t)
з-
М гг
f
/
Рис. 5.9.2. Схема фазового фильтра с ограничителями:
__р — устройство, подающее меандр; X — умножитель; f — интегратор.
известно, согласованный фильтр дает те же
характеристики при обнаружении, что и корреляционная схема.
На этом основании можно утверждать, что при
соответствующем выборе параметров, фазовый фильтр
обеспечивает те же характеристики, что и
рассмотренные выше корреляторы. Работа такого фильтра не
будет зависеть от абсолютной величины сигнала,
подаваемого на его вход, а будет зависеть только от
отношения сигнал/помеха. Один из вариантов такого
фильтра был исследован в работе [5.1]. Было показано, что
он может дать лучшие результаты, чем получающиеся
при амплитудном обнаружении. Этот вывод может быть
сделан и из приведенной ранее теории. Фазовые
фильтры не получили значительного развития и применения.
§ 5.10. Оценка фазового обнаружения. На основании
анализа фазового обнаружения можно сделать ряд
выводов. Основной вывод состоит в том, что при
обнаружении сигнала оптимальными амплитудно-фазовыми
обнаружителями фаза сигнала обрабатывается
оптимально. Это относится как к слабым, так и к сильным
сигналам. В тех случаях, когда фаза неизвестна
(случайна), но постоянна, при оптимальном обнаружении
также осуществляется оптимальная обработка фазы.
Этим и объясняется то, что схемы оптимального ампли-
350

тудно-фазового обнаружения сигнала с неизвестной (нб
стабильной) фазой, дают результаты, близкие к
получаемым в схемах обнаружения сигнала с известной
фазой. Основная информация о сигнале, используемая
при обнаружении, заключается в его фазе, поскольку
оптимальный амплитудно-фазовый обнаружитель
в основном выполняет операции, аналогичные
выполняемым в оптимальном фазовом обнаружителе. В
оптимальном фазовом обнаружителе осуществляется
измерение фазы и последующее преобразование результатов
измерения в соответствии с оптимальным алгоритмом.
Оптимальные фазовые обнаружители могут быть
созданы для сигнала с известной и случайной фазой. В
обоих фазовых обнаружителях оптимально обрабатывается
только фаза сигнала. При случайной фазе из-за двух-
канальности увеличивается действие помех, что
обусловливает ухудшение достоверности. Кроме того,
неиспользование амплитуды сигнала в процессе
обработки смеси в фазовых обнаружителях вызывает
ухудшение достоверности или потерю энергии. Эти потери
энергии при слабых сигналах незначительны. При
сильных сигналах они оказываются более существенными.
Амплитуда сигнала при фазовом обнаружении влияет
на порог, однако использование режима с активной
паузой и критерия Неймана — Пирсона позволяют
создать схемы, режим которых не зависит от амплитуды
сигнала. Если практическая реализация фазовых
обнаружителей была бы проще, чем амплитудно-фазовых,
целесообразно было бы поставить вопрос об их
самостоятельном использовании, однако схемы, приведенные
ранее, показывают, что фазовые обнаружители
получаются более сложными, чем амплитудно-фазовые.
Наиболее сложной частью фазовых обнаружителей
является измеритель фазы. По этим причинам трудно
ожидать самостоятельного применения фазовых
обнаружителей.
Особое положение в этом отношении может быть
в фазовых системах. Если система предназначена для
извлечения информации из фазы сигнала, то в ней
обычно имеется измеритель фазы, в той или иной
степени приближающийся к идеальному. В этих условиях
принципиально важно то, что в такой системе и
измерение параметра и обнаружение сигнала могут осуще-
351

егвлятьСя на оДном и toM Же принципе. Другими
словами, в фазовую систему нет необходимости вводить
амплитудно-фазовый обнаружитель. Используя
информацию только о фазе сигнала, система может решать
также и задачу обнаружения, почти без потери
информации о сигнале. Оптимальное фазовое обнаружение
имеет место при использовании оптимальных
амплитудно-фазовых обнаружителей (в схему которых входят
умножители, интеграторы и генераторы копии сигнала)
в случае, если перед подачей смеси на обнаружитель
она нормируется по амплитуде, например, при
прохождении через ограничитель или за счет действия
достаточно быстродействующей АРУ. Сказанное ранее,
видимо, и обусловливает интерес к теории фазовых
обнаружителей, некоторые аспекты которой
рассмотрены в работах {5.2, 5.3]. Возможность использования
квантования фазы при фазовых методах обнаружения
исследованы в работе [5.4].

ГЛАВА 6
Оптимальное
измерение фазы
§ 6.1. Постановка задачи. После того как сигнал
обнаружен (установлено, что он есть), во многих
случаях должна быть решена задача измерения
параметров сигнала, в которых содержится полезная
информация. В связи с этим не меньшее значение, чем
оптимальное обнаружение, имеет оптимальное измерение
параметров сигнала.
Полезная информация может быть заложена в
задержку, амплитуду, частоту и фазу сигнала.
Измерение каждого из параметров хотя и имеет
свои особенности, однако могут быть установлены
общие закономерности.
При измерении параметра считаем, что параметр
является неизвестной случайной величиной, в которой
отражена полезная информация. При этом остальные
параметры сигнала могут быть известны или также
являются случайными величинами, но паразитными, не
несущими полезной информации.
В общем виде это записывается так:
c(f, alf a2, ..., plf pf, ...), (6.1.1)
где / — время; щ — случайные, параметры, несущие
информацию; р/ — случайные параметры, не несущие
информации.
В качестве простейшего примера можно привести
такие сочетания:
а) полезная информация заложена в задержку
сигнала, т. е. т3 — случайная величина, несущая
информацию и подлежащая измерению, остальные параметры
сигнала Лс, фс, соо являются случайными величинами,
23—635 353

Этот случай соответствует измерению дальности до
движущейся цели импульсным радиолокатором;
б) полезная информация заложена в фазу сигнала,
т. е. 1ф<с — случайная величина, несущая информацию и
подлежащая измерению, остальные параметры сигнала,
кроме амплитуды, известны. Этот случай соответствует
радионавигационной фазовой системе, в которой
используется непрерывный сигнал или импульсный
сигнал, но в этом случае перед измерением фазы
определяется задержка;
в) полезная информация заложена в фазу сигнала,
частота сигнала известна; Ас и т3 являются случайными
величинами. Это соответствует фазовой системе, в
которой используются импульсные сигналы, если
задержка импульсов не определяется.
Измерение параметров сигнала всегда
осуществляется в условиях, когда есть не только сигнал, но и
помеха п(^)- Для измерения параметра в течение
определенного времени tH наблюдается смесь сигнала и
помехи. Это время может быть ограничено длительностью
сигнала или какими-либо другими факторами, если
сигнал длится дольше, чем то время, в течение
которого его можно наблюдать, измеряя параметры.
Например, в радионавигационных системах время
наблюдения может быть ограничено не длительностью
сигнала, а временем, в течение которого должны быть даны
координаты точки наблюдения. Следовательно, время
наблюдения всегда ограничено. В общем случае
измеряемый параметр может за время наблюдения
изменяться, и тогда задача измерения принципиально
усложняется. Поэтому правильнее задачу измерения
параметров решать для двух случаев, а именно:
измерение параметра, являющегося случайной
величиной, сохраняющей свое значение в процессе
наблюдения сигнала, и
измерение параметра, изменяющегося в процессе
наблюдения. Первый случай иногда называют «прием
отдельных значений непрерывных сообщений», второе—
«прием колебаний». Могут быть использованы также
термины измерение и сопровождение или слежение.
В этом разделе будет рассмотрено только измерение.
По результатам наблюдения, т. е. по полученной
реализации y(t) или выборке г/ь г/2, ..., соответствующей
354

этой реализации, должен быть решен вопрос о том,
какое значение имел параметр (или параметры), или,
как говорят, должна быть дана оценка параметра.
Поскольку время наблюдений ограничено и сигнал
сопровождается помехами, то очевидно, что оценка
параметра будет отличаться от его истинного значения. Задача
состоит в том, чтобы установить, какой процедуре
обработки должна подвергаться смесь сигнала и помехи,
чтобы измерение параметра было оптимальным, причем
необходимо конкретизировать понятие оптимальности,
т. е. установить критерий оптимальности. Найдя
процедуру оптимальной обработки, полезно решить вопрос
о сложности и практической осуществимости этой
процедуры или схемы, выяснить зависимость схемы от
особенностей сигнала и установить характеристики
результатов измерения параметра. Для решения этой
задачи необходимо иметь исходные статистические
сведения о сигнале, измеряемом параметре и помехе.
Помеха имеет нормальное распределение, ее можно
характеризовать: дисперсий о2, одномерной функцией
распределения эд(п), энергетическим спектром Gn(o>) или
функцией автокорреляции Вц(т) и многомерной
функцией распределения.
Полезные и паразитные случайные параметры
сигнала должны характеризоваться функциями
распределения. Для распределений случайных параметров
сигнала нельзя принять какую-то общую модель. В
каждом конкретном случае функция распределения может
быть разной.
Во многих случаях трудно найти функцию
распределения случайного параметра. Трудности, связанные
с выбором функции распределения случайного
параметра, обусловлены тем, что часто на основании
предшествующего опыта или теоретических выкладок не
удается точно сформулировать закон распределения.
Рассматриваемое распределение часто называют
априорным, т. е. доопытным, поскольку оно не зависит от
результатов опыта (наблюдения смеси) и должно
определяться предварительно. Однако обычно функция
распределения измеряемого параметра мало влияет на
схему, которая будет найдена как оптимальная, а
случайные паразитные параметры оказывают основное
23* 355

влияние на процедуру обработки смеси вследствие
самого факта случайности их значения. Как правило,
следует отметить, что наличие в сигнале паразитных,
случайных, неизмеряемых параметров заставляет
изменять процедуру и схему оптимальной обработки,
поскольку тот шш иной параметр не может быть
использован при выделении сигнала из помех и
схема должна быть построена так, чтобы случайный
характер этого параметра не влиял на результат
измерения, т. е. чтобы было устранено действие этого
параметра. Например, при случайной фазе необходимо
осуществлять детектирование, которое уничтожает
информацию о фазе, или при случайной задержке
пропускать на выход все сигналы, не осуществляя строби-
рования, и т. п. Очевидно, что модель сигнала и
параметр, подлежащий измерению, определяются
назначением радиотехнического устройства и условиями его
работы. Для фазовых систем должна быть поставлена
задача нахождения оптимальной процедуры обработки
при измерении фазы сигнала, все остальные параметры
которого известны, или при наличии случайных
паразитных параметров. Целесообразно рассмотреть общую
методику, которая должна позволить выработать общий
подход к решению таких задач.
§ 6.2. Критерий оптимальности. Решение задачи
определения оптимальной процедуры обработки нужно
начать с того, чтобы установить, какой результат
надлежит считать оптимальным, т. е. выработать критерий
оптимальности. Вопросы оптимизации играют большую
роль в науке и технике. В каждой отрасли существуют
свои критерии оптимальности и методы анализа и
синтеза оптимальных машин, устройств и систем.
Особенность рассматриваемого случая состоит в том, что
ставится задача оптимизации измерения при наличии
помех. Решение этой задачи основано на теории
статистических решений, развившей методы проверки
статистических гипотез и методы оценок.
Воспользовавшись основными результатами этой
теории, выясним вопрос о выборе критерия
оптимальности для систем, в которых используется измерение
параметров радиосигнала. Для большей лаконичности
записи формул и наглядности изложения положим, что
у сигнала имеется один измеряемый случайный пара-
356

метр а. Вариант наличия случайных неизмеряемых
параметров рассмотрен далее. Осуществляя наблюдение
смеси, необходимо решить вопрос о том, какое
значение имел параметр сигнала а, т. е. дать ему оценку а.
При решении этой задачи можно использовать
мгновенный отсчет смеси — у или конкретную реализацию y{t),
или выборку из этой реализации у1У у2, у3„ — Для
получения оценки параметра необходимо воспользоваться
каким-то правилом решения, которое может быть записано
х ^х
в виде функции g, ^тогда a = g[y(t)] или короче" a =g(y).
Это правило решения может быть регулярным, т. е.
таким, при котором каждому конкретному значению
разового отсчета у или каждой конкретной реализации
y(t) может соответствовать только одна вполне опре-
X
деленная оценка а, полученная с помощью одного,
вполне определенного правила решения. Теория
статистических решений позволяет развить эту мысль и
рассматривает также рандомизированные правила
решения, при которых различные правила могут
использоваться с какой-то вероятностью. В дальнейшем
изложении будут рассматриваться только регулярные
(нерандомизированные) правила решения.
Поскольку прием сигнала происходит при наличии
помех, то разовый отсчет или выборка искажаются помехами
X
и оценка а отличается от истинного значения измеряемого
х х
параметра, т. е. а — а = 8а=^0. Величина а—а может
быть названа ошибкой 6а. Для того чтобы оценить
оптимальность используемого правила решения, т. е.
выяснить, насколько удачно в каком-то смысле
обрабатывается смесь для получения оценки, в теории
статистических решений вводится понятие «функция
потерь» или «функция убытков». Функция потерь должна
выражать зависимость потерь от значения
измеряемого параметра и его оценки.
В общем виде функция потерь может быть записана
х
в виде Cf (а, а). Наиболее естественно считать, что при
<х = а потери могут оцениваться как нулевые. В случае
простого измерения параметра наиболее закономерно счк-
357

тать, что функция потерь должна зависеть только от
разности а — а и увеличивать значение потерь при увеличе-
х х
нии разности, тогда <7 (а, а) = «7(а—а). Наиболее
распространенными являются три вида функции потерь:
х х
& (а — а) = |а — а|,
х
ff(a-
х х
«7 (а — а)=(а —а)я,
х
-а)=1 при |а — а|>Да,
(6.2.1)
<7(а — а) = 0 при |а — а|<[Да.
Графически эти функции потерь приведены на
рис. 6.2.1. Каждая из этих функций имеет определен-
х х
ный практический смысл. При J (а—а) = [а—кх]
считается, что потери увеличиваются так же, как ошибка,
т. е. отрицательные последствия ошибки измерения
пропорциональны модулю ошибки. Такая зависимость
характерна для случаев, при которых полезные
результаты медленно ухудшаются при увеличении ошибок.
х х
При Cf(a—a) = (a—a)2
предполагается, что отрицательные
последствия ошибки увеличиваются быстрее,
чем сама ошибка, т. е. потери,
связанные с большими ошибками,
относительно больше. Эта функция потерь
используется наиболее часто; она
хорошо согласуется с интуитивным
представлением о том, что небольшие
ошибки в ограниченных пределах
мало сказываются на полезности
результата измерения. Третий вид функции,
когда ошибки в определенных
пределах вообще не вызывают потерь
(нулевые потери), а начиная с некото-
#-о6 рой величины ошибки результаты из-
Р'ис. 6.2.1. Функ- мерений становятся мало полезными,
ции потерь. соответствует еще более крити-
358

ческой оценке ошибок. Как будет показано далее, вид
функции потерь мало сказывается на оптимальной
процедуре обработки смеси сигнала и помехи и
отражается, в основном, на количественной характеристике
последствий неточностей в оценке параметра.
Сформулируем теперь критерий оптимальности. Измеряемый
параметр а является случайной величиной и изменяется
от одного цикла измерений к другому в соответствии
с присущим ему априорным распределением w(a).
х
Величина а также случайна, поскольку определяется
наличием помех, искажающих сигнал. Ошибка 8а и вели-
х
чина потерь, т. е. «7 (а, а) являются случайными величи-
х
нами, причем <7(а, а) может принимать только
положительные значения, что с очевидностью следует из приве-
х
денных выше типовых функций потерь. Если «7 (а, а)
является случайной, то одно ее конкретное значение не
может характеризовать потерь, сопутствующих
измерению. Для случайных величин необходимо пользоваться
понятиями среднего значения, дисперсии, функций
распределения и т. д. В рассматриваемом случае
естественнее всего воспользоваться средним значением или
математическим ожиданием величины потерь.
Усреднение необходимо проводить по всем возможным значе-
х
ниям а и а с учетом вероятности их определенных
сочетаний. Среднее значение функции потерь принято
называть средним риском R.
Для получения математического ожидания величины
функции потерь нужно умножить ее на функцию распре-
х
деления до(а, а) и выполнить интегрирование по всем воз-
х
можным значениям а и а.
В результате получим
+оо -|-оо XX X
R— \ f 9" (a., a)w(a, a) da da. (6.2.2)
—00—00
Понятие среднего риска является достаточно общим
и позволяет оценить качество измерения и качество
процедуры обработки смеси сигнала и помехи, исполь-
359

зуемой при измерении параметра сигнала, имеющего
неизвестное значение. Поэтому оптимальность той или
иной процедуры обработки (того или иного правила
решения, по которому на основании конкретного
наблюдения дается оценка измеряемому параметру)
целесообразно характеризовать по тому, дает ли эта
процедура минимальный средний риск. Процедуру
обработки или правило решения, обеспечивающие
минимальный средний риск, можно признать
оптимальными. Следовательно, g{y)9 при которой
минимизируется i?, является оптимальной — gom{y)-
Если удается найти это правило, то по тем
математическим операциям, которые оно содержит, можно
определить оптимальную процедуру или схему приемо-
измерительного устройства. В результате наблюдения
смеси фиксируется выборка уи Уг, ... или один отсчет
у. Для выявления оптимальной схемы нужно R
выразить через уи У2, • • • или у. Рассмотрим случай
использования одного отсчета у. В формуле (6.2.2) перейдем
х
от оценки а к выражению g(y) и отсчету смеси у.
В функции потерь эту подстановку можно
осуществить непосредственно
<7(а, a) = ff[g(y), а]. (6.2.3)
В функции распределения замена переменных
должна осуществляться по правилам функциональных
преобразований функций распределения.
В результате можно получить
х х
ш(а, a)dada = w(y, a)dyda.
х
Очевидно, что а>(а, а) и w(y, а) —разные функции и
символ w означает, что обе они характеризуют плотности
вероятности.4
Тогда
+ 00 +00
R = S $& te &)> а\w (у> «) dy da> (6-2-4)
—00 —00
где w(y, а) —двумерная функция совместного
распределения.
360

По известной формуле умножения
w(y, a) = w(a)w(yfa) = w(y)w(a/y)\
после подстановки получим
+ oo-f-°o
R== j" 1 ^ISiy)* *\w(y)w(afy)dyda =
—00—00
—oo I—oo J
+ 00
= J w(y)Ry-dy, (6.2.5)
-00
+60
*i/ = J^feG/), a]w(afy)dat (6.2.6)
—oo
где /?-у — условный "средний риск (при определенном
значении отсчета у).
Поскольку rw(y) имеет положительные значения, то
минимизация R может быть обеспечена через минимизацию
х
R . Для этого нужно, зная & (а, а) и w(a/y), найти
вид функции g(y)f минимизирующей R . Подробно на
этих преобразованиях остановимся позднее.
§ 6.3. Критерий минимального среднего риска при
использовании конечного времени наблюдения. Ранее
было получено общее выражение для R при
использовании одноразового отсчета. В радиотехнических
системах, основанных на измерении параметров
радиосигнала, как правило, имеется возможность осуществлять
наблюдение смеси в течение отрезка времени,
существенно превышающего интервал корреляции помехи.
Вследствие того, что в течение времени наблюдения
накапливаются данные об измеряемой величине,
измеряемая величина может быть оценена более точно. По
этим причинам выражение для /?, полученное в
предыдущем параграфе, должно быть развито. Более удобно
для получения математических выражений пользоваться
"""'"" -'**'•***"' 361

понятием выборки, т. е. иметь в виду, что за время tu
может быть сделано т независимых отсчетов смеси
У\, У2у ... через
■ Д' = !>Ь
где /в — высшая частота в спектрах помехи и сигнала.
Правило решения приобретает следующий вид:
х
* = g{Vu у*, •••); (6.3.1)
функция потерь может быть записана в виде
?№(Уи У» ■••). *!• (6.3.2)
Для получения среднего риска нужно воспользоваться
совместной функцией распределения w(yu уь • • •> а) и
осуществить многократное (т раз) интегрирование по
всем возможным значениям уи Уь ..., и интегрирование
по а аналогично тому, как это предусмотрено в (6.2.4)
для одномерного случая.
Тогда выражение для R примет вид
+ оо
я= Ь-И-'-Я^и^ у» •••). «]х
—об т раз
Хи>(Уи Уг> ••• *)dbdyxdyx... (6.3.3)
Перейдем теперь от совместной плотности вероятности
к условным вероятностям, воспользовавшись известным
из теории вероятностей соотношением:
и>{У» У^ -..*) = w(a)w{yl9 ул, .../а) =
= w(yu у,. ...)w{a/yu yu ...), (6.3.4)
тогда
R= ^w(a)doi J J ,.. ^\ё{Уи yt, ...)o]X
—oo m раз
Xa»(ft, У» ■ ■»rf^idy,... (6.3.5)
362

функция
(6.3.6)
может быть названа условным средним риском, т. е.
средним риском при определенном значении а. Для
получения среднего риска нужно найти среднее по всем
значениям а, т. е.
+ 00
R= Г Raw{a)da. (6.3.7)
—00
Можно получить и другое соотношение для R
+ 00
—оо m раз
Хи>(а/Уи У*, -")dyu dy2, ...da. (6.3.8)
Этому выражению можно придать следующий вид:
Д =
+00
—00
Х®(«/»„ 0., ...)^а- (6-3-9)
Функция
+°°
Яу = J ^[^(Уп У2, ...)а]^(а/Уп У«. ...)^а- (6.3.10)
—оо
также может быть названа условным средним риском,
т. е. средним риском для определенной реализации уи
#2, ... . Тогда средний риск (безусловный) можно найти,
усредняя /?по всем возможным реализациям.
Так как реализации являются случайным процессом,
то усреднение примет вид
R=llm'%l\RvW^yu У** m-)dy*dy*- (6-ЗЛ1)
Полученные выражения позволяют сделать очень
важный шаг. Очевидно, что условный риск и плотность ве-
Збз

роятнорти — величины сугубо положительные; тогда
минимум среднего риска будет обеспечиваться в случае,
если удается обеспечить минимизацию условного
среднего риска Ry или /?а. По причинам, изложенным далее,
удобнее воспользоваться понятием Ry. Следовательно,
если найти такую функцию решения g(y\, #2, .'..)»
которая обеспечивает минимизацию Ry, то можно
утверждать, что она соответствует оптимальной процедуре
обработки. Как видно, решение задачи существенно
упростилось благодаря переходу к условному среднему риску
Ry и возможности использовать для его вычисления
сравнительно простое выражение, выполняя однократное
интегрирование. В дальнейшем изложении будем
рассматривать только условный риск Ry и анализировать
алгоритмы, позволяющие его минимизировать.
Выражение для Ry (6.3.10) может быть
преобразовано, так как
/ / \ w(a)w(y19 у2, . . ./а) /л q 10i
МФг, У„ • • •)= ~ w^,yt,...) > <6-ЗЛ2)
тогда
4-оо
*'=»(y,.i.....) j *]е{уч y» •••)alX
—ao
Xw{a)w{yl, y2, . ../a)rfa. (6.3.13)
Функция обратной вероятности w(a/yu У2, ...) и
функция правдоподобия w(yu #2, • • ■ /а) играют важную
роль в теории оценок и в дальнейшем их использование
будет рассмотрено подробно. Для примера приведем
выражение Ry для конкретного вида функции потерь.
Примем квадратичную функцию потерь
^[8(Уи </2> -..)aI = fe(0i. У» •-•) — al2> (6.3.14)
получим
Ry= f \8(Уи У» •:•) — а12^(аМ. Л. •••)<*«
—оо
или
+i° х •
Ду = j (a — a)2w{<z/y1,y2i...)da. (6.3.15)
—00
364

Аналогичные выражения коШо йолучить й Для Другюс
функций потерь, однако квадратичная функция
позволяет получить конечные результаты в наиболее простой
форме. Кроме того, как будет показано далее, вид
функции потерь, если она остается симметричной и
возрастающей, не сказывается на оптимальной процедуре
обработки.
Необходимо отметить ряд ограничений, присущих
полученным выше соотношениям. Все выводы делались
в предположении, что сигнал является известной
функцией времени с одним неизвестным, измеряемым
параметром. В реальных условиях может стоять задача
измерения нескольких неизвестных параметров си, ot2,
при наличии нескольких случайных неизмеряемых
параметров iPi, p2, .... Исследование оптимальной обработки
смеси при одновременном измерении нескольких
параметров имеет существенные особенности и не входит
в нашу задачу. Оптимальная обработка смеси при
измерении одного параметра и при наличии в сигнале
случайных неизмеряемых параметров является частым
случаем. Примеры таких сочетаний приводились ранее.
Поэтому полученная выше общая методика нахождения
оптимальной процедуры обработки должна быть
развита и дополнена для случая наличия в сигнале случайных
неизмеряемых параметров. Рассмотрим случай, когда
имеется один паразитный случайный параметр сигнала р.
Для решения задачи должна быть известна
совместная функция распределения измеряемого и неизмеряе-
мого случайных параметров ш(а, р). Обычно можно
считать случайные параметры аир статистически
независимыми, тогда
а; (а, Р)==ау(а)до(Р).
Для того чтобы воспользоваться полученными ранее
результатами и привести к ним решение задачи в случае
наличия у сигнала случайных неизмеряемых параметров,
необходимо провести такие математические
преобразования, которые позволили бы избавиться от влияния
случайного неизмеряемого параметра на результат.
Вначале предположим, что используется разовый отсчет.
Напомним, что по теореме умножения
w (ар/у) w (у) = w (у/ар) w (ар), (6.3.16)
365

где w(a$ly)—условная плотность вероятности
сочетания различных значений параметров аир при условии
определенного отсчета смеси у\ w(y)—плотность
вероятности значений смеси; w(y/a$)—условная плотность
Ёероятности значений смеси при условии определенного
значения случайных параметров а и |3;
w(a$)—плотность вероятности совместного
распределения случайных параметров.
Тогда
»(<#/) = "^У^М («Р)»(*/«Р), (6.3.17)
поскольку
+ ОС+ЭО
J J w (aftу) da dp =1,
то
*■ = .оо+оо ' • (6-ЗЛ8)
С f w(at)w{y/af) do.d§
Во всех приведенных ранее формулах использовалась
w{ajy), следовательно, нужно от w(a$[y) перейти к w(afy).
,Для этого, как известно, нужно проинтегрировать
выражение w(a$fy) по всем возможным значениям р
+00
а> (*/#) = J w(a$[y)d$ =
+00
= Г ft,a»(ap)a)(y/ap)rfp. (6.3.19)
—00
Обычно можно считать случайные параметры сигнала
независимыми, тогда полученное выражение можно
представить в другом виде:
+ 00
w(afy) = klw(a) Г w($)w(y/a$)d$. (6.3.20)
—00
Таким образом, при наличии у сигнала неизмеряемого
случайного параметра возможно решение задачи опти-
366

мизации измерения, но оптимальная процедура должна
иметь существенные особенности вследствие
необходимости вычисления интеграла (6.3.20). Необходимость
выполнения этого интегрирования обычно существенно
изменяет оптимальную процедуру и, следовательно,
оптимальную схему измерения параметра.
Аналогично можно выполнить преобразования для
случая, когда при измерении параметра радиосигнала
осуществляется наблюдение смеси в течение конечного
времени.
Функция w(a/yu у2, ...) может быть получена из
выражения
+ 00
o>W#i, Л. . ..)= J w(a$/yu y2, ...)</р =
—00
-foo
= М>(«) J w$)w(yu yt, .../ap)rfp. (6.3.21)
—00
§ 6.4. Критерий максимума обратной вероятности.
Рассмотрим теперь смысл полученных выражений и
сформулируем на этой основе вариант критерия
минимального среднего риска, так называемый критерий
максимума обратной вероятности. Из выражения для Ry
следует, что для удовлетворения критерия минимального
среднего риска интеграл от произведения квадрата
ошибки на условную функцию распределения w(a/yu
у2у ...) должен быть минимальным. Функция
распределения w(a/yu #2, •. •) определяет плотность
вероятности того или иного значения а при определенном
сочетании значений выборки у у, у2, ..., которая была получена
при наблюдении смеси. Эту функцию обычно называют
«функцией обратной вероятности», так как она
показывает вероятность (точнее, плотность вероятности)
причины а в зависимости от следствия — выборки уи #2, • • • •
Такая функция обычно имеет вид, изображенный на
рис. 6.4.1.
При определенной реализации или выборке функция
распределения при каком-то значении a = aM имеет
максимум. Очевидно, что значение a = aM наиболее вероятно.
Естественно за искомое значение измеряемого параметра
принять его наиболее вероятное значение, т. е. положить
367

X
а = ам. Поясним это более подробно. Функция потерь
х
изображена на рис. 6.4.2. Очевидно, что при условии а =
= ам площадь, ограниченная кривой, получающейся в ре-
х
зультате перемножения (а—а)2 и w(a/y\, #2, •••)> будет
минимальной, т. е. интеграл, выражающий средний риск,
будет минимальным. Если увеличивать объем выборки,
т. е. брать большее число независимых отсчетов, то
для УиУг».*
о6-(Хм оС
Рис. 6.4.1. Функция обратной
вероятности.
функция распределения w(a/yu У2), должна становиться
все более узкой, так как вероятность того, что
полученное сочетание отсчетов соответствует какому-то другому
значению а, будет все меньше и меньше. Чем уже
будет функция распределения, тем меньше будет
риск, так как площадь, ограниченная кривой, получаю-
х
щейся при перемножении (а—а)2 на w(a/yu У2, • • •)>
будет уменьшаться. Таким образом, при условии, что
функция распределения w(a/yu уч, ...) симметрична
относительно максимума, критерий минимального среднего
риска приводит к возможности сформулировать
критерий максимума обратной вероятности. Схема будет
обеспечивать минимальный средний риск, если она
позволит вычислить функцию обратной вероятности и найти
значение -а, соответствующее максимуму обратной ве-
х
роятности. Тогда а0пт = ам.
Можно воспользоваться другим подходом к решению
задачи нахождения оптимальной оценки.
Действительно, если в результате осуществления наблюдения, т. е.
по полученной выборке уи Уь Уз, -.., можно построить
функцию распределения w(a/yu #2, ...)> т. е. функцию
обратной вероятности, то к нахождению оптимальной
36.3
«
4
^

оценки аопт можно подойти следующим образом. Если
эта функция распределения носит симметричный
характер, то в соответствии с предельными теоремами теории
вероятностей при бесконечном увеличении выборки
среднее значение стремится к истинному. Однако
наблюдение практически осуществляется конечное время tR.
Рис. 6.4.2. Функция обратной вероятности
и функция потерь.
Тогда при ограниченном объеме выборки оценка
измеряемого параметра будет ближе всего к истинному, если
использовать среднее значение оценок измеряемого
параметра за время наблюдения. Это можно сделать или
усреднением оценок, полученных для каждого из
отсчетов, или нахождением среднего значения функции
обратной вероятности (если по результатам наблюдения
(выборки) функция построена) с помощью соотношения
X +0°
«опт = асг(= £ <*iHa/f/i> У%, ...)^а- (6.4.1)
Эта оценка будет сопровождаться ошибкой, так как
функция w(a/yu #2, .. •) строится по результатам
наблюдения за ограниченное время. Если полагать, что эта
функция симметрична, что обычно имеет место, так как
случайные отклонения в разные стороны могут
наблюдаться с равной вероятностью, то среднее значение
совпадает со значением, при котором функция
распределения достигает максимума.
Таким образом, правило выбора оценки может быть
сформулировано так
X
аопт = ам = аС1>. (6.4.2)
24-335 369

§ 6.5. Критерий максимума правдоподобия. Для того
чтобы найти схему приемоизмерителя, выполняющую
найденную оптимальную обработку, и оценить
возможность ее упрощения, необходимо преобразовать
полученное выражение. В формулы, определяющие оптимальную
процедуру, входит w(a/yu Уч, • • •)• Необходимо получить
выражения, которые связывают эту функцию с такими
соотношениями, которые могут быть просто получены
в схемах. Для этого воспользуемся тем, что
w(d)w{yu yt, ...fa) = w{afyu y2i ...)w{yu yz, . ..)
или
w(a[yi, y„ ...) = ay"y'"f, (6.5.1)
V /«/1» <?2> / W(yx> У2> . . .) V '
где w(a)—функция распределения измеряемого
параметра; w( уи Уч, • • 7а) —условная функция
распределения, дающая плотность вероятности того или иного
сочетания уи у2У ... при определенном значении измеряемого
параметра а.
Формула, через которую записывается эта функция,
должна содержать зависимость от а. Рассматриваемая
как функция а, эта формула дает так называемую
«функцию правдоподобия» L(a).
Часто функцию распределения w(yu #2, .../а) также
называют функцией правдоподобия; w(y\, Уч, ...)
—безусловная плотность вероятности полученного сочетания
значений уи Уч, ... .
Поскольку исследуется плотность вероятности оа, т. е.
измеряемого параметра, при наличии конкретной
реализации уи #2, • •., то w(yu У2, • •.) для данного опыта или
данного конкретного измерения можно считать
величиной постоянной, так как определенное конкретное
сочетание отсчетов в выборке имеет определенную плотность
вероятности. Для определения величины w(y\, у2, ...)
можно исходить из того, что интегрирование
дифференциала верЪятности в пределах всех возможных значений
а даст единицу, т. е.
+ 00
—00
370

Подставив вместо w(aiy\y \)i, ...), приведенное выШе
выражение (6.5.1), получим
+ЭО
С W(a)w(y19 У2, .../a) da_i
J w{yl9 у2, . ..)
—оо
ИЛИ
+оо
®(Уи У*, ...)= J w(a)w(yu y„ .../a)da, (6.5.2)
—00
ИЛИ
+оо
-i-= Г ш(а)йУ(</1> Л, .../а)^а- (6-5-3)
—со
В принципе вычисление этого интеграла возможно, так
как полагаем, что w(a) известна или задана, а функция
®{Уи У2, - - Jo) или функция правдоподобия, как будет
показано далее, может быть найдена, если известны
выражения для сигнала и функций распределения
помехи. Однако вычислять этот интеграл не требуется,
достаточно лишь установить, что его вычисление приводит
к числу, а не к функции от а.
В результате выполненных преобразований функция
обратной вероятности может быть выражена следующим
образом:
и>(а/0п Ун •-•) = ktw(a)w(yl, t/2, ...fa). (6.5.4)
Из результатов предыдущего параграфа следует, что,
получив выражение w(a/yu #2, . •.), можем найти оценку
х
а двумя методами: 1) найти максимум этой функции по
а; 2) найти среднее значение (математическое
ожидание) а в функции распределения w(afyu У2, • • .)• Из
выражения (6.5.4) следует, что форма функций обратной
вероятности и правдоподобия, положение их максимума
и среднего значения, отличаются только за счет функции
распределения w(a). Это очень важный результат, так
как получение функций правдоподобия и математически
и в схемном отношении значительно проще, чем
функции обратной вероятности.
24* 371

Физический смысл функции
b том, что она дает вид функции
личных сочетаний выборки (или
деленном значении параметра а.
ведется конечное время, то эта
многомерная и ее графическое
глядно. Однако для простейшего
правдоподобия Состоит
распределения для раз-
реализации) при опре-
Поскольку наблюдение
функция распределения
изображение мало на-
случая, когда
осуществи/^!
Рис. 6.5.1. Функция правдоподобия.
вляется измерение параметра с использованием одного
разового отсчета, она будет одномерной и может быть
наглядно изображена графически. Функция
распределения w(y/a) дает плотность вероятности того или иного
значения у при заданном значении а.
Но поскольку в этой функции обязательно
содержится зависимость от а, то можно поступить наоборот:
по математическому выражению для w(yla) построить
зависимость плотности вероятности какого-либо
заданного значения при изменении параметра а. Это и будет
функция правдоподобия. Очевидно, что чем меньше
помех, искажающих результат измерения, тем уже
функция правдоподобия. Примерный вид функции о (у/а)
приведен на рис. 6.5.1. Рассмотрим теперь возможность
использования при оптимизации измерения не функции
обратной вероятности, а функции правдоподобия. Для
этого нужно выяснить, как может повлиять w(a) на
различие в форме и положении максимума и среднего
значения у функций обратной вероятности и
правдоподобия. Можно доказать, что для большинства
практически важных случаев w(a) близко к равномерному
распределению и потому не вносит существенных различий
в форму функции обратной вероятности и
правдоподобия. Это может быть обосновано следующими сообра-
372

жениями. Равновероятное распределение дает наименее
благоприятные результаты, так как предусматривает
наибольшую неопределенность величины измеряемого
параметра. Поэтому, даже если можно ожидать другое
распределение для а, полезно проводить исследования
и расчеты для худшего случая. Во многих случаях труд*
об; ос* а
Рис. 6.5.2. Функции до (а) и L(a) для
большого уровня помех.
но сформулировать закон w(a), и тогда естественнее
всего полагать, что распределение равновероятное, т. е.
все значения параметра в каких-то реальных пределах
равновероятны. Функция распределения w(a) должна
иг
Рис. 6.5.3. Функции w(a) и
L(a) для малого уровня
помех.
об
быть значительно более «плавная», чем функция
правдоподобия w((ju #2, • • 7а), так как иначе теряется смысл
проведения измерения. Если, например, функция w(a)
имеет вид, изображенный на рис. 6.5.2, и
предусматривает возможность нахождения измеряемого параметра
в основном в пределах от щ до >а2, а функция
правдоподобия за счет большего уровня помех имеет вид
плавной кривой, изображенной на рис. 6.5.2, то очевидно, что
результаты измерения для уточнения значения
измеряемой величины практически ничего не дают. Конечно, при
us(oL)
373

этом функция обратной вероятности будет явно
несимметричной. Если в этих же условиях удается, например,
за счет увеличения мощности сигнала уменьшить
«ширину» функции правдоподобия, то получаются
результаты, изображенные на рис. 6.5.3. В этом случае
результаты измерения имеют смысл: они позволяют
определить значение измеряемого параметра с большей
точностью, чем оно было известно априори. Из рисунка
видно, что в таких случаях функция априорного
распределения уже мало может повлиять на положение и
форму функции обратной вероятности.
Следовательно, практически во всех случаях, когда
измерения имеют смысл, функция обратной
вероятности по форме и положению максимума близка к
функции правдоподобия. На основании приведенных выше
соображений следует, что в большинстве случаев
можно с успехом пользоваться критериями оптимальности,
основанными на функции правдоподобия, и использовать
то правило решения, которое реализует этот критерий.
Таким образом, оптимальная оценка может быть
дана по следующему правилу:
х
аопт = ам пр, (6.0.5)
где ампр — значение параметра, дающего максимум
функции L(u),
или
X
аойт == аср пр>
где схсрпр — среднее значение параметра а в функции
правдоподобия L(ia).
В большинстве случаев удобным оказывается
критерий максимума правдоподобия, которым мы в
дальнейшем и воспользуемся. Рассмотрим в общем виде теперь
алгоритмы оптимальной обработки смеси и
соответствующие им оптимальные схемы измерения
параметров.
х
Начнем с правила решения а0ПТ = <хсрП1<. Если
использовать функцию правдоподобия, то алгоритм примет вид
х +«
«опт = const J aw(yu у2, ...(a)da. (6.5.6)
—oo
374

Схема, соответствующая этому алгоритму, приведена
на рис. 6.5.4. Вместо нахождения математического
ожидания для а, предусмотренного выражением (6.5.6),
можно осуществлять усреднение по времени. Тогда
вычисляется оценка для каждого независимого отсчета
смеси и затем находится среднее. Соответствующая
схема приведена на рис. 6.5.5.
y(t)
УиУг,-
ЦоС)
м(уиУг,-/<*-)
X
■/
X
О^олт
{*2 0б
Рис. 6.5.4. Оптимальная схема измерителя параметра по среднему
значению функции правдоподобия:
L(а) — устройство для получения функции правдоподобия; X — умножитель;
J — интегратор.
1 ТЛХ
Операция —/!а* может осуществляться фильтром
нижних частот.
Рассмотрим схемы, получающиеся при использовании
х
правила решения а0пт = «мщ» т. е. критерия максимума
правдоподобия.
y(t)
9опг(У()
X
/77 *
060
УиУг*~
Рис. 6.5.5. Оптимальная схема измерителя параметра при
использовании усреднения.
Схема должна вычислять
L(a)=w(yu y2,
./*)
и находить .
rfL(a).
da '
* dL («опт) п
ptpnf находится из решения уравнения —xrfg = U.
375

Схема, реализующая этот алгоритм, изображена на
рис. 6.5.6. Ранее были получены результаты в общем
виде. Они могут быть использованы при определении
алгоритмов и схем, обеспечивающих оптимальное
измерение тех или иных параметров радиосигнала,
содержащих полезную информацию. Используем изложенный
метод для определения оптимальной процедуры измерения
фазы сигнала.
y(t)
М
*
dLML'=0 ' *
dot U
опт
ЧиУг> ••
Рис. 6.5.6. Оптимальная схема измерителя параметра по максимуму
функции правдоподобия.
§ 6.6. Оптимальная процедура измерения фазы и
ошибки измерения. Имеется сигнал с(>/, <рс). Фаза
сигнала фс неизвестна и содержит полезную информацию.
Прием сигнала происходит на фоне аддитивной помехи.
Для того чтобы найти оптимальную процедуру
измерения фазы, необходимо получить функцию правдоподобия
х
и найти оценку кр, максимизирующую ее.
Многомерная условная функция распределения
смеси сигнала и помехи имеет вид
V™'„ )
2 чш/2
[y(ty-c{t,vc)]*dt
(6.6.1)
Полученное выражение содержит зависимость от <рс и
может рассматриваться как функция правдоподобия
1Ы=дй;« ' • (6-6-2)
Для того чтобы представить эту функцию в более
удобной форме, позволяющей найти оценку, соответствую-
376

щую максимуму правдоподобия, произведем
преобразования
L{?c)-
1
:ехр
■г.^'ОЛ-
~^ с2(t, ?с)л+4; J #WC^ ?«)л
о о
о2г и iV0 — параметры помехи, у (t) —конкретная реализация,
по которой ищется фаза — считаются известными, тогда
е о =К
н
j C2(f, ?с)Л=(8н
(энергии сигнала за время наблюдения).
Подставив в выражение для L(<pc), получим
'п
_Jj? 2 С Jf(0c(/.9C)*
i(?o)=*ee e °
в общем* случае,
с (t, <рс) = Лсас (t) cos [V -f- фс (О Н- ?d =
= ЛсЯс (t) COS Cpc COS [co0/ -f- фс (*)] —
— Асас (t) sin 9c sin [V + Фс (01.
В простейшем случае синусоидального сигнала
С (t, 9с) = Ac COS (co0f -f" (ре) = Л с COS 9с COS <»0t -f-
4- ^с sin 9с sin ш0^
(6.6.3)
377

тогда
е>н
L (ус) =&se N° ехр | -|; j № О А<=а° W cos ?с cos К' +
+ фс (01 + У (0 Лса0 (0 sin «pcsin [»,f + f с (01М
Для вычисления некоторых из полученных выше
соотношений могут быть применены известные схемы —
корреляторы.
У(г)
X
т
/
ъ y(t)
^> т
/
Acac(tJ CQs[cu0tt (pQ(t)] Acac(t)s™[vot+0c(t)]
Рис. 6.6.1. Схема вычисления г\ и у:
X — умножитель; J — интегратор.
Можно составить схему, которая вычисляет
1 = f 0 (0 ЛсЯс (0 COS [со0£ -f фс (f )J df,
н
T = J У (0 Лсас (t) sin [ш0* -f фс (f)1 Л.
Схемы, позволяющие вычислить эти интегралы,
приведены на рис. 6.6.1. Имея в виду использование таких
схем, приведем выражение для L(<pe) к виду
- £Н- -77- ft cos cpc-H sin фс)
L(?c)=^e "°е"° . (6.6.4)
Для получения более удобной формы записи, введём
обозначения Tj2-f-Y2 = £2 и 6 = arctgY/q.
378

Отметим, что величины В и 0 могут быть получены с
помощью математических преобразований,
осуществляемых с величинами ц и у, т. е. могут быть реализованы
схемы, дающие эти величины. Тогда
- £». 4- В cos <8-фс)
L(?c)=£3e "°е"° , (6.6.5)
tj = £cos6, Y = £sin6,
<рс—неизвестная начальная фаза сигнала; б — величина,
которая может быть вычислена схемой.
Полученное выражение дает зависимость значения
функции правдоподобия от величины, которая может
быть получена в схеме. Оценка искомой фазы сигнала
должна осуществляться так, что, если в выражении
£(ф|с) вместо независимой переменной ф'С поставить ее
х
оценку фс, функция L(\<f\c) должна достигать максимума.
Без проведения сложного анализа видно, что Д(фс) при
измерении ф>с достигает максимума тогда, когда ф'С =
х
= 0=.ф!О1Гт> так как при этом cos(0—фс) = 1.
Таким образом, максимизация функции
правдоподобия достигается при использовании для оценки правила
f У (t) ac(t) sin [(o0t + ^c(t)]dt
уоДТ = 6 = arctg i . (6.6.6)
H
^ У (t)ac(t) cos [u0t + 1?c {t)] dt
6
Для синусоидального сигнала
\ y(t)sinw0tdt
?опт = arctg 7 .
\ у (t) cos со0tdt
b
Схема, осуществляющая оптимальное измерение фазы
сигнала, должна иметь вид, изображенный на рис. 6.6.2.
379

Отметим, что схема сохраняет силу как оптимальная и
при неизвестной амплитуде сигнала, так как и г\ и у
пропорциональны Лс, если амплитуда сигнала известна
и заложена в копию. Если амплитуда сигнала
неизвестна и в копии использована любая амплитуда, результат
y(V
X
, 1
>
9
0°
R
I
■«
* 1
W
I
ас1
1
Ч '
1
3>
rt) cos [со0
tg0=tgseOriT
•
U^cft)J
arctg
о Л
0=9 от
Рис. 6.6.2. Схема оптимального измерителя фазы:
X — умножители; ГОН — генератор опорного напряжения; J — интеграторы;
Y/T) — устройство для вычисления данного отношения; arctg —
тригонометрический преобразователь.
не изменится. Рассмотрим теперь процессы,
происходящие в оптимальной схеме. Если на вход подается сигнал
без помехи, то ранее было показано, что
tjc = 8н cos <рс и Yc = $Hsm<Pc, (6.6.7)
где (§н —энергия сигнала за время наблюдения, а фс —
фаза сигнала, отсчитанная относительно значения,
которое принято за нулевое и которое заложено в фазу
генератора опорного напряжения. Тогда
Y/T) = tg9c и 6 = <Рс.
При этом отношение величин на выходах-двух
корреляторов точно соответствует тангенсу фазы сигнала.
Если на вход подается смесь сигнала и помехи, то
Ъ = Ъ + 1п и Yj/ = Yc + Yn,
где. % и уу — случайные функции времени; цс и ус —
составляющие (функции), обусловленные действием
сигнала и определяющие среднее значение; т)п и Yn —
случайные составляющие (функции), обусловленные
действием помех.
Эти функции имеют возрастающую по времени
дисперсию и нулевое среднее.
380

В момент /=*н и <^ == oj = oj == ^±-. Если
задержка известна не точно, то эффект от сигнала
уменьшается и точность измерения фазы ухудшается.
Уменьшение может быть найдено по функции корреляции
сигнала при т, соответствующем ошибке по задержке
(см. § 4.8).
Если задержка имеет значительную
неопределенность, но опорное напряжение позволяет осуществлять
наблюдение большее время, чем длительность сигнала,
то помех будет на выходе накапливаться больше и
точность ухудшится.
Рис. 6.6.3. Ошибка измерения фазы.
Следовательно, на выходах корреляторов имеются
случайные составляющие, обусловливающие
отклонения величин от тех значений, при которых точно
соблюдается условие 0=фс. Очевидно, руководствуясь алгорит-
X
мом при отсчете фазы, мы допустим ошибку 6<р и ф'=#=фо
Физический смысл этой ошибки пояснен на рис. 6.6.3. Из
рисунка видно, что случайные отклонения величин % и
уу из-за действия помех, вызовут случайные отклонения
х
оценки <р от истинного значения фс, т. е. случайные
ошибки *бф. Как и следовало ожидать, оптимальная
процедура измерения не освобождает от ошибок, однако
позволяет получить их теоретически минимальными.
Напомним, что при нахождении оптимальной процедуры
х
измерения было использовано правило решения щлт~
381

= Ф^пр. Это правило обеспечивает минимальную
ошибку и минимальный риск; при любой симметричной
функции потерь, в зависимости от функции потерь будет
изменяться только численное значение риска.
Представляет большой интерес найти выражения, позволяющие
вычислить величину ошибок измерения и их зависимость
от условий измерения. Для решения этой задачи нужно
иметь в виду, что статистические характеристики вели-
х
чины 0, принятой за оптимальную оценку фазы ф0пт,
которые должны позволить найти численные значения
ошибок, определяются статистическими
характеристиками величин цу и уу и последующими функциональными
преобразованиями. Для определенного момента
времени можно % и уу рассматривать как нормальные
случайные величины и функции распределения для момента
окончания наблюдения могут быть записаны в виде
(4.11.4) и (4.11.5)
wM = -7^-z , (6.6.8)
X
Для получения функции распределения w(fc) нужно
вначале найти ш(т|, у). В гл. 4 эта функция была получена
в виде
Перейдем к полярным координатам, аналогично тому,
как это делалось в гл. 3 и 4
*(*») =-А*
_в_
2ло
~~7Т l(Bcos e-£ucos <РС)2-НД sin 8 —£usincpc)2l
1
1 р 1
2гсо2
382

до (6) можно получить, выполнив интегрирование
до (6)= [w(By Ъ)йВ.
о
Вычисление подобного интеграла было выполнено в § 3.4,
поэтому сразу запишем окончательный результат для Вср =
= 9 — <Рс=<Ропт — 9с, и, имея в виду, что а, = —^
Я*
1 Л70
2п
+/ж-cos ь? F ЫЩcos ь<?) е~^sm 5"- (б-бл°)
Как видно из (6.6.10) функция распределения ошибки
в оценке фазы выражается аналогично функции
распределения отклонения фазы смеси от фазы сигнала, но
параметром распределения является не Acjon, a $H/^<>.
Следовательно, функция распределения ошибки в
оценке фазы зависит только от энергии сигнала за время
наблюдения при отсчете фазы и от плотности мощности
помех.
Рассмотрим частные случаи.
При отсутствии сигнала ($н = 0)
тогда
2 Я2
При малой энергии сигнала (8n<N0)
«(^«iO + V^coeir). (6.6.11)
383

При большой энергии сигнала ($н>#в)
j5y2
2*2
ш(8?)= —i е , (6.6.12)
/2715
6ф
2 __Л^
Рассмотрим теперь приближенный метод получения
выражения для о^ . Поскольку <рс [является случайной
величиной и может принимать значения от 0 до 2тг, то и при
Л/ .
(gH >—^-gH cos срс или (gnSinfc могут иметь малые
значения.
Для получения приближенных соотношений
предположим, что функция распределения отклонений 0 от
среднего точного значения не зависит от фс; найдем это
распределение для наиболее удобного в смысле
математических преобразований случая. Допущение о
независимости функции распределения отклонений 0 от ф<с
хорошо согласуется с интуитивными представлениями о том,
что все значения фазы равновероятны и равноценны и
при ее оптимальном измерении не должно быть
предпочтения тем или иным значениям.
Для упрощения преобразований рассмотрим случай,
когда фс~0, тогда: уу — случайная величина с нулевым
средним значением и дисперсией о2 = o2x^=QnN0l2\ т^—^н,
так как флюктуациями величины % можно пренебречь,
поскольку сигнал сильный.
Тогда величина y«n = tg0 на' выходе делителя будет
случайной величиной, имеющей нормальное
распределение с нулевым средним и дисперсией
<.=4-я£-- (6-6ЛЗ)
Среднеквадратичное значение флюктуации величины
tg 0 будет равно
ъ.-к*
384

Пбскольку взят случай, когда ф»с = 0 и сигнал сильный,
то tg0<l. При этом преобразование arctg упрощается и
0~tg 0. Тогда
Так как величина tg0 при принятых допущениях
распределена по нормальному закону, то и 0 имеет
нормальное распределение.
Ранее была принята гипотеза о независимости
отклонений оценки фазы от ее значения в пределах от 0 до
2л;. Тогда можно получить выражение функции распре-
х
деления отклонений бф оптимальной оценки фазы фопт
от ее истинного значения <рс при сильном сигнале
м(Щ = -ф—е \ (6.6.15)
5ср
что совпадает с (6.6.12). Полученные результаты
представляют существенный интерес: они показывают, что
дисперсия флюктуации фазы зависит только от
отношения плотности мощности помех к энергии сигнала.
Сигнал может быть промодулирован любым способом —
по амплитуде или фазе (частоте), и если модуляция
известна и воспроизведена в копии сигнала, то результат
измерения будет зависеть только от энергии сигнала.
Следовательно, сигнал может быть сложным, т. е.
состоять из последовательности импульсов (пачки) с
разной формой огибающей каждого импульса и пачки
в целом, или шумоподобным, т. е. сложно промодулиро-
ванным по фазе; точность измерения фазы от этого не
изменяется, если законы модуляции известны и
воспроизведены в копии, и энергии сигналов взяты
одинаковыми. Этот результат показывает, что как для
обнаружения сигнала, так и для измерения такого важного
25—635 385

параметра сигнала, как его фаза, основным фактором,
определяющим точность, является энергия сигнала за то
время, в течение которого может осуществляться
наблюдение при измерении. Чем более сложным взят
сигнал, тем сложнее должна быть реализация схемы, так
как соответственно усложняется генератор копии
сигнала. Казалось бы, что в этих условиях нет смысла
использовать сложные и шумоподобные сигналы, так
как их применение не повышает точность (при той же
энергии), а реализация оптимальной схемы при этом
усложняется. Однако использование таких сигналов
в фазовых системах имеет очень важное значение, так
как оно должно позволить решить ряд задач —
уменьшения вредного действия «многолучевости» на точность,
временного разделения сигналов, используемых для
измерения фазы, и т. п. При этом'очень важно то
обстоятельство, что сигнал может выбираться любым, как
это требуется для достижения необходимых результатов,
и точность измерения его фазы не изменяется, если
используется оптимальная процедура обработки и
сохраняется энергия (при флюктуационных помехах),
Большой интерес представляет также то, что
результаты оптимального измерения фазы не зависят от
отношения амплитуды сигнала к среднеквадратичному
значению помех на входе измерителя фазы.
Обусловливается это тем, что в оптимальном фазоизмерителе
используется вся информация о смеси, заключающаяся
и в ее фазе и в ее амплитуде, и нелинейные
преобразования (деление и взятие арктангенса), выявляющие фазу,
осуществляются после операции накопления (в
интеграторах), на протекание которой влияет и амплитуда и
фаза смеси. Поскольку речь идет'о фазовых системах,
то уместно поставить вопрос о возможности создания и
о характеристиках таких схем измерения фазы, в
которых используется информация, заключающаяся только
в фазе смеси, и не используется информация,
заключающаяся в амплитуде смеси. Практически это можно
выполнить, поставив перед оптимальным измерителем
фазы ограничитель, который разрушит информацию об
амплитуде смеси. При этом интегрируемые в
корреляторах функции изменятся. Например, величина на
выходе одного из квадратурных корреляторов вместо
выражения, справедливого для оптимального фазоизмери-
386

теля, использующего всю информацию
,= j А^Ьксов[Тк-Ту(0]Л,
о
будет иметь вид (при наличии ограничителя)
'в
Чонр=|^сов|ч>к-?в(01Л-
О
Результаты измерения фазы должны ухудшиться, так
как используется меньшая информация о смеси. Если
сигнал сильный (Ас><хп)> то, пользуясь изложенной
выше приближенной методикой, получим
что совпадает с (6.6.12). Таким образом, при сильном
сигнале амплитуда смеси почти постоянна и ее
использование при фазоизмерении не влияет на результаты
измерений. При слабом сигнале (А0<.ои) отклонение
измеряемой фазы увеличивается в 4/я раза для
гауссовой помехи и в 2 раза для помехи с постоянной
амплитудой, т. е. при фазоизмерении важно использование
информации об амплитуде смеси [6.5, 6.7].
§ 6.7. Некоторые варианты схем оптимального и
квазиоптимального измерения фазы. Получение максимума
правдоподобия, т. е. оптимальное измерение фазы
может быть обеспечено и другими схемными решениями,
отличающимися от схемы рис. 6.6.2.
Рассмотрим выражение для функции правдоподобия
L(?o) = A1e % °' , (6.7.1)
где фс — случайная фаза сигнала.
Корреляционный интеграл имеет вид
*9=Jl0(Oc(f, ?c)\ dt. (6.7.2)
о
25*
387

Максимум его соответствует максимуму L(q>c);
реализация схемы, соответствующей выражению (6.7.2),
затруднена, так как фаза <рс неизвестна. Если составить
схему из коррелятора и генератора копии сигнала с
переменной начальной фазой, то результаты измерений
по этой схеме позволят вычислять интеграл
*i=$[y(t)Ck(t, 9k)\dt, (6.7.3)
о
где cK(ty ф'к)—копия сигнала с начальной фазой фк.
Изменяя фазу фк, можно для каждого ее значения
наблюдать смесь с помощью коррелятора.
Для простоты и наглядности возьмем случай
синусоидального сигнала
у (I) = А у (t) cos [ю0* + ?с + У у (01 Л.
Ск (t, ?к) = Л к COS (о>0* + ?к),
о
= ^АУ(()АК cos [»,f + ?с -f- Ъ {t)\ cos Ы + <Рк)=
о
'в
=|А^ксо8[?с-?к+?Л0]Л;
0
членом с 2о)о пренебрегаем, так как на выходе
интегратора он будет давать нуль.
Если корреляционный интеграл будет иметь
максимум, то при этом будет и максимум правдоподобия, что
непосредственно следует из (6.7.1). Поскольку
максимумы корреляционного интеграла и функции
правдоподобия совпадают, при составлении схемы, в которой
используется принцип максимума правдоподобия,
можно ограничиться тем, что она должна обеспечивать
выявление максимума корреляционного интеграла. Следо-
388

вательно, значение фкм, при котором наблюдается
максимум величины на выходе коррелятора, может быть
принято за.оптимальную оценку фазы
Топт = ?км-
(6.7.4)
Схема, в которой обеспечивается оптимальная оценка
фазы, может иметь вид, изображенный на рис. 6.7.1.
y(t)*t(t,9)+n(t)
Измеритель г^
(анализатор)
X
/
я
0>ОПТ
с* (ty ук)
\фвр
Изменение
9>*
/% при t=tH
1
ГОН
(ГКО)
Рис. 6.7.1. Одноканальная схема оптимального измерителя фазы:
X —- умножитель; Фвр — фазовращатель; ГОН — генератор опорного
напряжения; Г— интегратор.
Если шаг изменения фазы копии !Акр*к будет небольшим,
то ошибка будет обусловливаться искажением
результата интегрирования помехами и максимум будет
получен в точке, где <р»км несколько отличается от <p,c. При
практической реализации схемы ее можно упростить,
применив вместо идеального интегратора со сбросом
фильтр нижних частот или инерционное звено с
передаточной функцией:
k(s) =
1 ■
Ts+Г
Схема, соответствующая этому случаю, приведена на
рис. 6.7.2. Так же как в схеме с интегратором, помехи
будут искажать результат и вызовут ошибку. На
рис. 6.7.3 дана зависимость г от фк. Кривая а
соответствует слабым помехам. Если считать, что схема рабо-
389

тает идеально, то в этом случае максимум будет
зафиксирован практически точно при
х
<Ркм= <Ровт = <Рс.
При наличии заметных помех отсчеты будут иметь
отклонения; в результате наблюдения будет получена, на-
Измеритель г9
(анализатор)
y(t)*z(ty(p)+n(t)
[xj
С,
ФВр
Vе
1Н\
eft,?*)
1с И3
1
J$+1
Рол?
менеииё
(ГКО)
Рис. 6.7.2. Одноканальная схема оптимального измерителя фазы
с фильтром нижних частот:
X —умножитель; Фвр —фазовращатель; ГОЯ —генераторТ опорного напряжения;
- г—инерционное звено.
X
пример, кривая б. При отсчете фопт по максимуму г
будет допущена ошибка бф. Очевидно, что в этой схеме
для получения отсчета будет затрачиваться значительно
больше времени, чем в оптимальной схеме с прямым
отсчетом, приведенной на рис. 6.6.2. В схеме (рис. 6.6.2)
время отсчета и время наблюдения совпадают. Схема
начинает работать уже в первые моменты после подачи
Рис. 6.7.3. Зависимость 2ф от <рк.
390

сигнала; напряжения на выходах корреляторов
начинают нарастать, причем их отношение непрерывно дает
оценку фазы. Наименьшая ошибка будет в момент
окончания наблюдения, когда вся возможная энергия
будет полезно использована для оценки фазы.
В схеме, приведенной на рис. 6.7.1, 6.7.2, время
отсчета будет равно
д *Н *ОТСЧ«
Фаза сигнала фс — случайная величина, которая может
принимать значения от 0 до 360° или от 0 до ±180°,
а Дфк при точном измерении может быть меньше 1°.
Зная ^(фс) и Дфк, можно найти т^/отсч).
Например, при т1(фс)=90° и Дфк=1° ^1(*отсч)=90 4.
Основные недостатки рассматриваемой схемы:
а) время наблюдения в каждой точке (tfH) много
меньше общего времени, которое нужно затратить для
получения отсчета;
б) точное определение слабо выраженного
максимума вызывает много технических трудностей и может
вызвать значительные инструментальные ошибки;
в) при работе со схемой необходимо выполнять ряд
сложных операций: изменять <рк, наблюдать и фиксировать
гф, анализировать результаты наблюдения, находя точку
<ркм, при которой 2ф максимальна. Имеются возможности
усовершенствования рассмотренной схемы.
Рассмотрим некоторые из них. Из зависимости z от <Рк
следует, что она имеет характерную точку, положение
которой жестко связано с максимумом. Наблюдение этой
точки технически значительно цроще. Такой точкой
является переход через нуль, имеющий место при <рКо =
= ?опт=±:90о.
Вместо выявления <ркм, при которой наблюдается
максимум z , можно наблюдать угол <рк<>> при котором
х
zf = 0. При этом (Ропт = ?ко±90°. Действие помехи при
этом сохранится, но требования к инструментальной
точности и стабильности тех частей схемы, которые
фиксируют результаты интегрирования и выявляют
точку с характерными особенностями, будут менее жестки-
391

ми. Для устранения недостатка, связанного с
дополнительной затратой времени на отсчет, можно применить
многоканальную схему, изображенную на рис. 6.7.4.
В этой схеме все р каналов действуют одновременно. Их
число определяется требованием к инструментальной
точности, так как значение Лфк входит в
инструментальную ошибку
№
УМ
Р-1
\<*9к
М?к
—Li^l—"р
&9к
«У
4
Р =
360
Ропт
ГОН
(ГНС)
Д<рк "
Принцип действия этой
схемы очевиден из
предыдущего. Время,
необходимое для отсчета, равно
времени наблюдения
(А>тсч=,^н). Наиболее
сложной частью схемы
является анализатор
максимума, который
должен «выбрать» канал,
дающий в момент 't=tu
максимальное
напряжение, и по номеру оценить
Рис. 6.7.4. Многоканальная схема
оптимального измерения фазы:
X — умножители; ГОН —• генератор
опорного напряжения.
фазу ф'опт. Вследствие
этого, а также из-за
многоканальное™ реализация
такой схемы получается
сложной. Для
автоматизации действия схемы,
на рис. 6.7.2, может быть примене-
следящая система, в качестве сиг-
изображенной
на замкнутая
нала ошибки используется величина на выходе
умножителя — фазового дискриминатора. Схема,
соответствующая этому случаю, приведена на рис. 6.7.5.
В этой схеме ПФ — предварительный фильтр,
выявляющий постоянную составляющую на выходе ФЦ\ У —
усилитель, и ИО — исполнительный орган, служащий
для того, чтобы сигнал ошибки обеспечивал изменение
положения фазовращателя (Фвр). Очевидно, что, как
и в любой следящей системе, фазовращатель будет
устанавливаться исполнительным органом в положение,
при котором сигнал ошибки стремится к нулю. Но сиг-
392

нал ошибки, снимаемый с фазового детектора,
определяется разностью фаз фс и.ф>к в соответствии с
выражением
СО = const sin foe — Тк + 90°);
СО —0 при ?с-?к + 90° — 0.
Сдвиг фаз, обусловленный фазовращателем, может быть
снят с проградуированной
дан в ЦВМ и принят
в качестве оценки фазы
сигнала с учетом
поправки на 90°. Очевидно, что
поскольку
рассматриваемая схема представляет
собой следящую
замкнутую систему, то при ее
анализе должны быть
учтены: устойчивость,
степень астатизма
системы, динамические,
инструментальные и флюк-
туационные ошибки
системы, переходные
процессы, быстродействие и
характеристики режима захвата. Из-за значительной
специфики этих вопросов рассматривать их в данной книге
не представляется целесообразным. Интересующиеся
могут с ними ознакомиться по литературе [6.3, 6.4].
Представляет интерес рассмотреть такую схему с точки
зрения оптимизации измерения фазы. При этом будем
считать, что все вопросы работы этой схемы как
следящей системы могут быть решены, т. е. может быть
обеспечена ее устойчивость при заданной степени астатизма,
и при этом получены требующаяся полоса пропускания
и быстродействие. Из изложенного ранее следует, что
рассматриваемая схема реализует алгоритм,
вытекающий из оптимизации измерения, на основе принципа
максимума правдоподобия. Схема содержит все элементы,
присущие оптимальной схеме: перемножитель —
фазовый детектор, узкополосный фильтр — замкнутая
следящая система и опорное напряжение — копия сигнала
с самоподгоняющейся под точку г *= 0 фазой. Полоса
393
шкалы оператором или вы-
y(t)
,
ФД
Фвр
гон
с° >
\ (t, У>к)
(ГКС)
ПФ
ио
и
Рис. 6.7.5. Схема измерения
фазы со следящей системой:
ФД — фазовый детектор; Фвр —
фазовращатель; ПФ —
предварительный фильтр;
ИО—исполнительный орган; У —усилитель.

следящей системы в замкнутом состоянии или .ее
постоянная времени Гсс, зависящие в основном от
усиления контура в разомкнутом состоянии, определяет
время наблюдения ^н—^сс- Однако имеются и существенные
особенности, отличающие эту схему от оптимальной.
Первой основной особенностью схемы, изображенной на
рис. 6.7.5, является то, что время отсчета /0Тсч и время
наблюдения (tH~Tcc существенно отличаются друг от
друга, причем
*н ^ *отсч«
В схеме, приведенной на рис. 6.7.5, в момент подачи
сигнала фазовращатель может находиться в любом
положении, отличающемся на любой угол (до ±180°) от
фазы сигнала и ее оценки, даваемой положением
фазовращателя при сигнале ошибки, равном нулю.
Следовательно, следящая система в начале отсчета может
оказаться в сильно рассогласованном состоянии,
которое должно быть скомпенсировано, на что система
должна затратить значительное время.
Определим ориентировочно соотношение между /0тсч
и tH. Обычно в контур следящей системы вводят
нелинейность типа «насыщение» для того, чтобы
обеспечивался допускаемый режим двигателя следящего
привода, поворачивающего фазовращатель. Тогда большое
рассогласование система отрабатывает с постоянной
скоростью. При этом время отработки пропорционально
начальному рассогласованию и может быть определено
по следующей приближенной формуле:
j. ,^, А<рнач 71
*ОТР дТ * СС»
где Дсрнач — начальное рассогласование, Дер0щ—
рассогласование, при котором происходит ограничение.
Практически Д<р0гР = 5 -г-10°, тогда
*отр = 0,1ГссД^1ач.
Поскольку рассогласование Дф
нач — величина
случайная с равномерным распределением, то удобно восполь-
394

зоваться ее средним значением
т1(А?.ач)«90°>
тогда
тг (/отг) « 107\>с.
В величину времени ^0тсч войдет также время
отработки в пределах линейного участка, которое может быть
вычислено с использованием методики определения
быстродействия линейных следящих систем и составляет
ориентировочно tf0Tp лин='(3-2-4) Гсс-. Следовательно, общее
время отсчета
* О ТС Ч === *0 Тр ~Г *0 Тр ЛИН >
Щ\ иотсч) ==: ^i (*отр) "~Г *отр лин -^ ( Н' -f- 10) Iн.
Как видно, время отсчета существенно больше tm но
меньше, чем получаемое при измерениях по схеме,
изображенной на рис. 6.7.1. Следовательно, для оценки
полезно используется только часть времени действия
сигнала. Если это время задано, то энергия &в при
использовании схемы, изображенной на рис. 6.7.1, будет
меньше и точность при действии флюктуационных помех
будет хуже, чем получающаяся при использовании схемы
рис. 6.6.2. Однако этот недостаток сказывается только
при начальном режиме работы, в начале измерения.
Обычно приходится осуществлять измерение
изменяющейся фазы, тогда после окончания начального режима
и устранения случайного большого рассогласования
сравниваемые схемы работают примерно одинаково,
причем схемы со следящими системами могут давать
выигрыш в результирующей точности из-за применения
технически более простых методов уменьшения
некоторых видов динамических ошибок: Второй
принципиальной особенностью схемы со следящей системой является
то, что в отличие от схем, изображенных на рис. 6.6.2 и
6.7.1, в ней используется неидеальное опорное
напряжение, так как оно связано (по фазе) с фазой напряжения
смеси. Помехи, содержащиеся в смеси, частично
проходя через следящую систему, будут вызывать
флюктуации фазы опорного напряжения. Очевидно, что это
должно сопровождаться ухудшением помехоустойчиво-
395

ети схемы по сравнению с теоретическим уровнем,
обеспечиваемым при оптимальной оценке фазы (рис. 6.6.2).
Однако если требуется высокая точность измерения,
то при заданных уровне помех и мощности сигнала
должна быть выбрана такая полоса следящей системы
обусловливаемая tn кЗю чтобы отклонения положения
фазовращателя были небольшими, но тогда и
флюктуации фазы опорного напряжения получаются также
небольшими и их влиянием на помехоустойчивость можно
пренебречь. Следовательно, отличие схемы 6.7.5 от
оптимальной заметно проявится только при осуществлении
грубых измерений, которые обычно не представляют
большого практического интереса. По изложенным
причинам схема со следящим фазометром в большинстве
практических случаев может рассматриваться как
оптимальная, и флюктуационная ошибка измерения, которая
ей присуща, близка к вычисляемой по формуле (6.6.15).
Отметим, что по принципу действия и характеристикам
система, изображенная на рис. 6.7.5, близка к
системам фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) и
к следящим фильтрам, которые часто используются
в фазовых системах. Подобный анализ систем ФАПЧ
приведен в [6.1, 6.3, 6.4, 6.8, 6.9—6.12].
Многие полученные здесь результаты могут быть
использованы при оптимизации и анализе
помехоустойчивости ФАПЧ. Отметим некоторые особенности
вторичной обработки фазы в фазовых системах. Для
повышения точности фазовых измерений можно
осуществлять вторичную обработку результатов измерений —
с усреднением, экстраполяцией и т. п., что особенно
успешно может выполняться при использовании ЦВМ.
Однако при этом нужно считаться с некоторыми
ограничениями. Как показано в гл. 3, при демодуляции
фазы имеется пороговый эффект или эффект
«подавления», который проявляется в том, что если при
измерении фазы ее флюктуации превышают примерно 50°
(среднеквадратичное отклонение), то последующая
фильтрация (усреднение) дает существенно худшие
результаты, чем фильтрации до фазоизмерителя или в
самом фазоизмерителе. При этом может наблюдаться
ошибка, не устранимая при любой продолжительности
усреднения. Следовательно, принципиально важно
обеспечить некоторую точность при первичной обработке
396

смеси, т. е. при самом фазоизмерении. Эти ограничения
являются еще большими при использовании следящих
измерителей. Последние близки к оптимальным только
в том случае, если поставлены в условия, при которых
обеспечивается высокая точность измерений. Третьей
особенностью следящих фазоизмерителей является то,
что во многих случаях при большом уровне помех их
необходимо рассматривать как нелинейные системы.
Это существенно усложняет процесс и их анализ.
§ 6.8. Использование согласованных фильтров в
схемах оптимального измерения фазы. Ранее неоднократно
указывалось на то, что в оптимальных схемах вместо
коррелятора могут использоваться согласованные
i Пр
1 y(t)-t(t,9)+*M
СФ
______
i
ИФИ
Ропт
9о\
Рис. 6.8.1. Схема оптимального измерения фазы с согласованным
фильтром:
Пр — приемник; СФ — согласованный фильтр; ИФИ — идеальный измеритель
фазы.
фильтры. Напомним, что согласованный фильтр
независимо от начальной фазы и задержки оптимально
выделяет из помех сигнал, с которым он согласован.
Изменение этих параметров сигнала отразится только на фазе
и временном положении выходного напряжения
согласованного фильтра. Корреляторы обладают фазовой
избирательностью, что и позволяет с их помощью создать
схемы оптимального измерения начальной фазы
сигнала, рассмотренные выше. Следовательно, в отличие от
корреляторов согласованный фильтр не может быть
непосредственно использован для измерения фазы, однако
возможно сочетание согласованного фильтра и
идеального фазоизмерителя, изображенное на рис. 6.8.1,
позволяющее обеспечить измерение фазы сигнала. Для
того чтобы выявить, насколько эта схема близка к
теоретической оптимальной, сравним точность, которую
она обеспечивает, с точностью оптимальной схемы.
При смеси, в которой сигнал превышает помеху,
функция распределения фазы смеси нормальна и дис-
397

Персия ее флюктуации равна
<р п' с7
где а2— дисперсия помехи; Ас — амплитуда сигнала.
Если смесь помехи и сигнала пропустить через
согласованный фильтр, то отношение сигнала к помехе
в момент окончания его действия на входе фильтра, как
известно, равно
^Фм | / 2е с
И
2 __^ф Л^
<рф а2 ~ 2#с '
см
где ЛфМ — максимальное напряжение на выходе
согласованного фильтра; о2 — дисперсия помех; <^ф— дисперсия
флюктуации фазы.
Если с выхода согласованного фильтра смесь
подавать на идеальный достаточно быстродействующий
фазоизмеритель и в момент окончания действия
сигнала осуществлять измерение фазы, то отсчет фазы будет
сопровождаться ошибкой, которая имеет дисперсию,
соответствующую дисперсии флюктуации фазы в смеси.
Таким образом, дисперсия отклонений измеренной фазы
будет равна
Тот же результат для дисперсии отклонений оценки
фазы от ее истинного значения был получен ранее для
оптимального фазоизмерителя. Таким образом, схема
с согласованным фильтром и идеальным фазоизмери-
телем по результатам соответствует схеме оптимального
фазоизмерителя. Этот вывод будет понятен, если
напомнить, что согласованный фильтр осуществляет
обработку всей смеси, используя при этом ее амплитуду и
фазу. Если сигнал простой, то трудности реализации
согласованного фильтра в основном определяются
требованиями к его полосе пропускания, т. е. длительно-
398

стью сигнала. Если сигнал состои'т из
последовательности импульсов, фаза которых несет информацию, то
реализация согласованного фильтра затрудняется, так
как тогда он должен иметь трудно реализуемую
«гребенчатую» частотную характеристику. Если сигнал шу-
моподобный, то согласованный фильтр должен иметь
сложную фазо-частотную характеристику. В
применениях согласованных фильтров для обеспечения
оптимального фазоизмерения и оптимального обнаружения
имеется очень существенная разница.
При оптимальном обнаружении требования к
точности и стабильности фазовых Характеристик
определяются необходимостью получить малые потери в амплитуде
«свернутого» сигнала. При этом отклонения фаз на
10-Т-200 сравнительно мало сказываются на
результатах.
При оптимальном фазоизмерении требования к
точности и стабильности фазовых характеристик
согласованных фильтров существенно жестче, так как фильтр
должен обеспечить не только «свертку», но и такую
стабильность и точность фазы сигнала на выходе
согласованного фильтра, которая мало бы отличалась от
идеального.случая. Отклонение и нестабильность фазы
вызовут инструментальную ошибку при измерении
фазы. Во многих случаях требования к точности
измерения фазы достаточно высоки, допустимые ошибки не
превосходят 1—3°. Следовательно, точность настройки
и стабильность согласованных фильтров в данном
случае должны быть на порядок выше, чем в схемах
обнаружения. Практические трудности использования
согласованных фильтров объясняются в большой степени
тем, что время наблюдения при измерении фазы обычно
бывает значительным, а применяемый сигнал —
продолжительным. Это приводит к тому, что полоса
пропускания согласованного фильтра оказывается очень узкой
(порядка долей герца). При узкой полосе
незначительные нестабильности и неточности настройки вызовут
существенные уходы фазы и погрешности ее измерения.
В связи с этим для получения минимальной
результирующей ошибки может оказаться целесообразным
расширение полосы пропускания фильтра.
Рассмотрим влияние на точность измерений
неидеальности фильтра.
399

Воспользуемся приближенными соотношениями
[см. (1.14)] согласно которым
гнест ■
AU •
где 8?нест — нестабильность фазы; В/ — ]расстройка; Д/Эф—
полоса пропускания.
Так как далее будут рассматриваться случаи
согласованного и несогласованного с сигналом фильтров, то
в индексы введем дополнительные обозначения: с и не.
Расстройка б/ обусловливается нестабильностью
частот гетеродинов приемника и передатчика, изменением
параметров элементов избирательных контуров
приемника. Практически основное влияние на расстройку
оказывает нестабильность (характеристик) элементов
контуров. Потери, коэффициенты связи, величины
индуктивности и емкости элементов контуров могут
существенно изменяться под воздействием температуры,
влажности, механических нагрузок и т. п.
В первом приближении можно считать, что 6f имеет
нормальное распределение, и характеризовать
нестабильность среднеквадратичным отклонением или
дисперсией о^.
Тогда дисперсия ошибки из-за нестабильности
характеристик несогласованного фильтра будет равна
а'эфнс
Ошибка, вызванная действием помех, при
использовании согласованного фильтра равна
5срфс
=-^-=1/NfT'*e , (6.8.3)
где Д/Эфс —эффективная полоса фильтра согласованного;
Д/эФнс — эффективная полоса фильтра несогласованного;
-Афмс — максимальная амплитуда сигнала на выходе
согласованного фильтра.
При расширении полосы фильтра ошибка из-за
помех будет увеличиваться, так как помехи возрастают
пропорционально полосе, а амплитуду сигнала можно
400

считать постоянной. Тогда дисперсия флюктуации фазы
на выходе фильтра с измененной полосой будет иметь
вид
&Ф фнс
?пфнс __ ЛГ0А/&фс А/;,
Л2
лфм нс
А2
лфмс
.эф не 2
= О,
Д/еф ,
A/Wc ^Фс А/Эфс
дисперсия результирующей ошибки
2
и
2 2
&Ф рез 5ф фс
Af
эф нс
Э5/
А/ьфс
о2 АР
5ф фса'эфс
( А^\эф^нс_ \
(6.8.4)
(6.8.5)
Минимум а^ф рез при изменении полосы А/ЭфНс
соответствует условию, когда
<*(%рез)
. А/эф. не
А/дфс
= 0,
что дает
тогда
А/Эф ]
Д/»фс
5ф рез мин
/опт г
Р АР
5ффс"'эфс
°bf
,2 д,2
&Ф фс 'эфе
Выражение 6.8.6 справедливо только для 8
°5f
АЛ2
эфе
(6.8.6)
(6.8.7)
йффе '
т. е. непригодно для высоких отосительных
стабильности, когда alf <СЛ/Эфс что обусловлено допущением,
использованным при получении 6.8.4.
Из полученных результатов следует, что во многих
случаях при использовании в фазовых системах
избирательных элементов на радиочастоте нестабильность
характеристик радиочастотного фильтра может оказаться
фактором, уменьшающим точность и
помехоустойчивость системы. Если исходить из допустимого'
ухудшения точности, то можно найти требующуюся
стабильность.
26-635 401

Например, если ошибка от помех, получающаяся при
оптимальном измерении фазы, равна о6 фс = 0,05 = 2,5-^3°
и ее дисперсия ^?фс = 0,0025, то для обеспечения ее
увеличения при переходе к реальному радиотракту не более
чем в три раза, требуется, чтобы
о2
ИЛИ
"=0,0025
Д/эфс
а5/ = 0,05А/Ефс.
При этом полоса пропускания системы должна быть
увеличена в 2 раза по сравнению с полосой
согласованного фильтра. Полоса Д/ефС определяется в основном
временем наблюдения tK. Положим, что она составляет,
например, 1 гц, тогда требующаяся нестабильность
должна быть меньше чем 0,05 гц (среднеквадратичное
отклонение), что обычно мало реально. Если исходить
из реальной нестабильности настройки, то можно
определить ухудшение точности системы.
В качестве примера возьмем случай, когда: з5/=1 гц\
и условия измерения фазы позволяют в оптимальном варианте
(без учета нестабильности) реализовать полосу Д/Эфс =
= 1 гч; точность при оптимальном измерении оценивается
дисперсией a^c = 0,0025. Проведя расчет, получим, что
реальная точность ухудшится примерно в 50 раз (по
дисперсии) и полоса радиотракта должна быть взята
в 30 раз более широкой, чем у согласованного фильтра.
Сказанное ранее позволяет сделать важный вывод о том,
что применение согласованных фильтров на
радиочастоте в фазовых системах обычно мало целесообразно.
Более правильно использовать оптимальные и
квазиоптимальные корреляционные схемы, в том числе
«следящие». В этих схемах накопление информации,
обеспечивающее узкую полосу пропускания помех,
осуществляется на постоянном токе, мало влияет на
инструментальные ошибки и реализуется технически просто (даже
и для очень узких полос). Значительный интерес
представляют также комбинированные
корреляционно-фильтровые схемы,
402

ГЛАВА 7
Оптимизация слежения
за фазой
§ 7.1. Постановка задачи. Во многих случаях
наблюдение за фазой сигнала продолжается относительно
долго, и она за это время может существенно
измениться. Фаза в этом случае должна рассматриваться как
случайный процесс. Следует заметить, что полученные
ранее результаты в данном случае не применимы и
задача должна быть решена самостоятельно.
Иногда изменение фазы по времени можно
описывать какой-либо детерминированной функцией, однако
получающиеся при этом результаты имеют частный
интерес. Более правильно полагать, что измеряемая
фаза случайна и изменяется как случайная функция
времени. При анализе результатов измерения
изменяющейся фазы возникают специфические сложные
вопросы. При измерении постоянной фазы ошибки могут
обусловливаться неидеальностью элементов схемы
(инструментальные) и действием помех. Ранее была
найдена оптимальная схема, дающая минимум ошибок из-за
помех. При слежении за изменяющейся фазой
появляются еще динамические ошибки, вызванные тем, что
измерительное (следящее) устройство, имея
ограниченное быстродействие, не может сразу отразить или
воспроизвести все изменения измеряемой фазы.
Уменьшить динамические ошибки можно повышением
быстродействия измерителя. Но при этом расширяется его
полоса пропускания и, следовательно, увеличивается
действие помех. Противоречие между динамическими и
флюктуационными ошибками (из-за помех) является
основной особенностью таких измерителей. Обычно под
26*
403

оптимизацией слежения за фазой понимают
определение режимов или условий, при которых результирующая
ошибка будет минимальной. Можно пользоваться более
общими и строгими критериями оптимальности, однако,
как подтвердила практика, обычно оказывается
достаточным использовать простейший критерий
оптимальности. Очевидно, что для анализа оптимальной
процедуры необходимо найти или задать основные
характеристики фазы как случайного процесса. К ним
следует отнести функцию распределения и энергетический
спектр или функцию корреляции. Рассмотрим основные
факторы, определяющие статистические
характеристики измеряемой фазы, несущей полезную информацию.
§ 7.2. Статистические характеристики фазы сигнала.
Для помех с достаточной точностью может быть
принята модель нормального стационарного случайного
процесса с равномерным энергетическим спектром.
Функции распределения и энергетический спектр отклонений
фазы сигнала под действием помех рассмотрены в гл. 3.
Статистические характеристики изменяющейся фазы
сигнала (сообщения) не могут быть оценены так
просто и единообразно для различных реальных условий
и задач.
Напомним, что в фазу может быть заложено: а)
какое-либо сообщение или информация об изменении
условий распространения и стабильности фазовых
сдвигов в аппаратуре, используемая для создания
напряжения опорной фазы, обеспечивающего наиболее
помехоустойчивый прием информации в системах связи;
б) информация о пространственном положении и
движении объекта или информация об изменении несущих
частот.
Эти два случая существенно отличаются друг от
друга по статистическим характеристикам фазы и должны
быть рассмотрены самостоятельно.
Рассмотрим вначале статистические характеристики
фазы сигнала, когда ее изменение обусловлено
сообщением или изменениями условий распространения и
прохождения сигналов по трактам аппаратуры.
Эти изменения фазы сигнала происходят в конечных
пределах и обычно обусловливаются многими,
независимо действующими факторами, например изменением
температуры, влажности и давления в различных точ-
404

ках трассы распространяющейся радиоволны,
изменением настройки контуров под влиянием влажности,
температуры, старения деталей, механических воздействий,
пульсаций напряжений источников питания и т. п.
В первом приближении при таких условиях
случайный процесс изменения фазы можно считать
стационарным и функцию распределения — нормальной.
Поскольку среднее значение фазы сигнала можно
признать за «нулевую» фазу, то функция распределения
фазы будет иметь вид
«,(90)= *_ е 'с, (7.2.1)
где <? — дисперсия изменений фазы.
Однако основной интерес представляет
энергетический спектр изменений фазы.
Интенсивность медленных флюктуации фазы обычно
больше, чем быстрых. Это обусловлено тем, что многие
факторы, вызывающие изменение фазы, являются
медленно изменяющимися.
Наиболее удобной моделью энергетического спектра
изменений фазы является гауссовский или «колоколо-
образный» спектр
Сф>) = ОфС(0)е Ш**°**К (7.2.2)
где G (0) — значение энергетического спектра флюктуации
фазы на нулевых частотах.
При этом функция корреляции имеет вид
B^) = i/"^\ (7.2.3)
где
_ 1 _ 2я
Т0фс 4А/£ 4Асо '
\ = т:0срс — интервал корреляции; Д/эсрс — эквивалентная
полоса энергетического спектра
'ЭфС
405

На рис. 7.2.1 приведены: реализация случайной
функции изменения фазы, В (ъ) и G^M.
Зная G^co), B^ty и ш(<рс), можно найти функции
распределения, корреляции и энергетический спектр для
производной фазы.
9t(tK
В9с(*)
fycM
*Oyt
к0ч46&9С(а>=0)
Рис. 7.2.1. Реализация случайного процесса
изменения фазы, В с{ъ) и G с (со).
Функция распределения производной фазы остается
нормальной
;п2
Ш(<рс) :
1
2а?
фС
"У2яс
фС
где
фС
= о2 п ^о2 — 4Af2 =а2 АС°э<рс
фс2т? ' Фс 4 'эфе фс 2п *
(7.2.4)
(7.2.5)
Офс
Функция корреляции может быть найдена из выражений
d2
dx2 dz2
2 4е L ^1"^T)J~"
В. (х) = --%<!> =
фс ч ' ах2
= °ЛМ'
(7.2.6)
406

V'H1-2-^)']
, * l 2^0ч>с j
(7.2.7)
Энергетический спектр находим, применив
преобразование Фурье к /?. (х), или определяем его по частотной ха-
(рс
рактеристике дифференцирующего звена
4гс2о?
12А(0ЭфС ] .
fC
Асо:
(7.2.8)
э<рс
Графики функций R. '(%) и G. (о>) приведены на
рис. 7.2.2.
*ЛМ
^сМ
Рис.
ФАоОъус
7.2.2. Функция корреляции и энергетический
спектр производной стационарной фазы.
Из полученных результатов можно сделать
существенные выводы.
Если полагать, что спектр изменений фазы является
гауссовым, а случайный процесс — стационарным, то
энергетический спектр флюктуации производной фазы
или энергетический спектр отклонений частоты имеет
важную особенность — он не содержит составляющих
очень медленных изменений частоты.
Во многих случаях принятые выше функции
распределения фазы и простейшая модель спектра изменений
фазы требуют дополнительных пояснений. В реальных
условиях при стационарном случайном процессе
изменения фазы может наблюдаться случай, когда
отклонения фазы значительно превосходят ±л или ±2jt, как
это показано на рис. 7.2.3.
Так как фазовый измеритель сам по себе не может
разделить значения фазы, отличающиеся на 2л, показа-
407

ния идеального фазоизмерителя при этом будут
изменяться так, как показано на рис. 7.2.3.
При этом функция распределенияТфазы (влфеделах^-п)
изменяется и в первом приближении может^быть принята
равномерной ш (f с) = -9^-. Как известно, дисперсия в этом
случае составляет о2 =-^г.
о
-27Г
Рис. 7.2.3. Стационарный процесс
изменения фазы в пределах,
превышающих 2я.
Следует заметить, что использование равномерной
функции распределения фазы с ограниченной
дисперсией для некоторых задач является неправильным.
Система, следящая за фазой, изменяющейся по такому
закону, иногда должна отрабатывать изменения фазы
в тех пределах, в которых последняя реально
изменяется в сигнале. Но для того чтобы воспользоваться этими
пределами, нужно вести отсчет интервалов изменений
фазы на 2я. При перерыве в измерениях результаты
нарушаются. Поскольку фазовым измерениям свойственна
многозначность, то при модуляции фазы сообщением,
если оно выявляется через измерение фазы, желательно
ограничиваться изменением фазы до ±я или вводить
разрешение многозначности с помощью дополнительных
более грубых отсчетов.
Если не осуществлять отсчета циклов или разрешения
многозначности, то обычный фазоизмеритель при о2 > 2
не будет давать полной информации об изменяющейся
4Q8
Показания
фазометра
k-w^v

фазе. Однако эта информация иногда оказЫваетсй
Достаточной, например в случае слежения за фазой
сигнала для создания копии сигнала в системах,
реализующих оптимальный прием сигнала с известными
параметрами.
Интересно отметить, что рассмотренные
статистические характеристики фазы сигнала подобны
характеристикам фазы узкополосной помехи, но между сигналом
со случайной фазой и помехой имеется принципиальное
отличие. Ширина спектра сигнала (имеется в виду
ширина спектра в одну сторону от несущей) больше, чем
ширина спектра флюктуации фазы, что видно из (7.2.8).
В отличие от этого ширина спектра помехи всегда уже,
чем ширина спектра флюктуации ее фазы (см. гл. 2).
Это происходит из-за того, что в помехе случайна также
и амплитуда.
Рассмотрим статистические характеристики
измеряемой фазы при изменении или нестабильности несущих
частот.
При этом удобнее вначале рассмотреть
статистические характеристики сдвига частоты Л|/,с, так как этот
случайный процесс во многих случаях может быть
признан стационарным, в то время как случайный процесс
изменения фазы оказывается нестационарным.
Из физических соображений очевидно, что типичным
является случай, когда сдвиг по частоте может
принимать различные значения, начиная от нулевых, и
плотность вероятности отклонений частоты по мере
увеличения величины отклонения уменьшается. Во многих
случаях можно принять нормальную функцию
распределения отклонения частоты с дисперсией о^с.
Энергетический спектр отклонений частоты должен
иметь низкочастотные составляющие, поскольку могут
иметь место очень медленные изменения частоты. Это
обстоятельство принципиально важно, так как его
следствием является нестационарность случайного процесса
изменений фазы.
Во многих случаях может быть принята гауссова
модель энергетического спектра отклонений частоты
или производной фазы
G4A-) = GA!c(0)e~K^^\ (7.2.9)
409

где 2п = A/9Afc — эквивалентная Полоса отклонений
частоты;
' "'эД/с
Функция корреляции отклонений частоты или
производной фазы будет иметь вид
^W-Ve"^'. (7-2-п)
где
I
*ол/с-4ДГэД/с-
Рассмотренные статистические характеристики
имеют место, например, при слежении за фазой сигнала,
имеющего некоторую нестабильность несущей частоты.
Зная технические характеристики гетеродинов,
используемых на радиолинии, можно найти
энергетический спектр отклонений частоты и дисперсию этих
отклонений. В зависимости от принятых мер по
стабилизации, среднеквадратичное отклонение частоты обычно
составляет от Ю-3 до Ю-9 от величины несущей.
Энергетический спектр отклонений обычно очень узкий,
а величина А/эД/с может составлять 10~2-ь10~3 гц.
Однако при применении конструкций и схем
гетеродинов, слабо защищенных от механических воздействий и
пульсаций напряжений источников питания, могут быть
случаи, когда Д/эД,с имеет величину до 100 гц.
Перейдем от статистических характеристик
отклонений частоты к статистическим характеристикам
изменений фазы.
Случайная функция фазы может быть выражена
в следующем виде:
t
?.(*) = 2«$ДМ0Л, (7.2.12)
о
и является случайной функцией времени со своими
функциями распределения и корреляции.
410

Основной особенностью случайной функции
времени фс(0 в рассматриваемом случае будет ее
нестационарность, в чем можно убедиться, исходя из следующих
соображений.
При переходе к выборке интеграл заменим суммой
т
где
М = ТкД/с = ТоД/с-
Поскольку срст получается в результате суммирования
большого числа случайных величин Д/С*Д£, то функция
распределения получается нормальной.
Дисперсия о2 может быть найдена как сумма
дисперсий суммируемых случайных величин
i=<2«>'E^'=^f'- <7-2-13»
1=1
где
Следовательно, случайный процесс, описывающий
фазу, является нормальным нестационарным процессом
с увеличивающейся дисперсией. При этом, если
отсчитывать фазу в пределах ±jt, функция распределения
фазы будет равномерной (72я). Энергетический спектр
флюктуации фазы будет более узким, чем спектр
сигнала, и на нулевых частотах стремиться к бесконечности.
Рассмотрим теперь статистические характеристики
фазы при ее изменениях из-за перемещения объектов.
Случайный процесс изменения фазы, как будет видно
из последующего, является нестационарным. Найдем
статистические характеристики изменений отклонения
частоты.
411

Скорость относительного движения, определяющая
отклонение частоты от номинального значения, может
изменяться в ограниченных пределах, поэтому
случайный процесс изменения отклонений частоты
оказывается стационарным. Функция распределения отклонений
обычно имеет сложный вид, и иногда в первом
приближении может быть принята равномерной или
нормальной, однако она не играет большой роли, так как фаза
есть интеграл от отклонения частоты и, следовательно,
функция распределения фазы обычно будет близка
к нормальной. Необходимо только знать дисперсию
отклонений частоты о^с.
Основной интерес представляет энергетический
спектр отклонений частоты. Из физических соображений
следует, что быстрые изменения частоты должны
наблюдаться реже, чем медленные. Таким образом,
можно ожидать, что энергетический спектр отклонений
частоты будет иметь плотность «мощности»,
уменьшающуюся с увеличением частоты. Однако этих
качественных объяснений недостаточно, и для расчетов требуется
получение количественных характеристик
рассматриваемого случайного процесса, в первую очередь,
энергетического спектра отклонений частоты. Рассмотрим этот
вопрос подробнее.
Для получения энергетического спектра отклонений
частоты, вызванных движением, должна быть принята
какая-либо гипотеза движения. Простейшим движением
является равномерное. Можно представить движение
с детерминированным маневром, например разворот
на 180° с заданным радиусом или по более сложным
программам.
Гипотезы, в которых используются
детерминированные ситуации, могут представлять некоторый интерес, и
для них можно рассчитать характеристики,
описывающие воздействие. Однако это дает возможность
получить только частное решение и осуществить
оптимизацию режима слежения для определенного, конкретного
случая.
Основной интерес представляет исследование
гипотез движения, дающих возможность осуществить
статистический подход к задаче. В качестве моделей таких
движений примем траекторию «маневрирующего» объ-
412

екта и «транспортный» комплект траекторий. Пример
траектории «маневрирующего» объекта дан на рис. 7.2.4;
там же приведен график изменений относительной
скорости движения объекта. При этом для простоты
предполагаем, что скорость движения изменяется
скачкообразно.
Обычно можно оценить параметры движения
объекта, т. е. его скорость и среднюю продолжительность
движения без маневра тСр.
Траектории
^отн
•
Точка
наблюдения
(опорная точка)
Л
ли
График скоростей
Рис. 7.2.4. Траектория и график скоростей «маневрирующего»
объекта.
Приняв, что случайный процесс изменения
относительной скорости является стационарным, можно найти
функцию корреляции и энергетический спектр.
Рассмотрим общий случай, когда моменты изменения
и значения скоростей случайны. При этом v(i)=Vi при
ti<t<ti+\, где vi — случайные значения относительной
скорости; Mi=ti+\—ti случайные интервалы, в пределах
которых не происходит скачка скорости.
Вероятность k перемен скорости за время т
определится из распределения Пуассона [7.4]
,(*) = <^е-
(7.2.14)
при k = 0, т. е. для случая, когда перемены не
происходит,
/>(0) = е "р ,
413

где vcn — среднее число перемен в секунду (единицу
времени)
vcp=-U (7.2.15)
В зависимости от того, находятся моменты времени,
разделенные интервалом т, в пределах одного и того же
интервала Aft или разных, получим
v(t)v(t + x) = vl,
или
v(t)v(t-\-z) = Vtvi+k,
где k — различие в числе интервалов.
Функция корреляции может быть найдена как
математическое ожидание (среднее значение) от
произведения v(t)v(t+]t) для всех возможных сочетаний
попадания в один и тот же или разные интервалы Д4
Для случайного процесса с дискретными значениями
от
5„(x) = lim — Y.ViVi+k.y
при й = 0, 1, 2 ...
Функцию корреляции можно выразить в виде двух сумм:
т-+ао т Ык
т
+ lim-i.\]O,t>i+*[l-P(0)I.
/=1
Первый член соответствует случаям, когда на
интервале скорость не изменяется.
Считаем значения скорости, после момента скачка,
статистически независимыми, тогда
т
lim — \^ViVi+k = 0 прий^П.
ОТ-+00 »
/ = 1
414

В то же время
т
m-wo
/?„(x) = P(0)o;We с> . (7.2.16)
Зная £*(*), находим Gv (<*>),
оо
G„ (со) = 4 J aV~V°p T COS сот </т =
о
2 е ср
4о — (Vcr COS cox + со Sill cot) =
* vc2p + co*V C1 ^
= 4a2^£L_=4ii * (7.2.17)
"vc2p + co* vep {+^
vcp
От функций для относительной скорости легко
перейти к функциям для отклонения частоты
тогда
где
f2
Если положить, что все скорости от 0 до аМакс
равновероятны, то
»2 v2 f2
2 имакс 2 имакс 'О
°v ~ 3 • А/с— 3 С2 '
где умакс — максимальная скорость объекта.
415

Аналогичные преобразования можно выполнить для
энергетического спектра
1
f2
/о
со*
f2
'О
Уср 1+-
"ср
"макс J0
1
сой
ср
GAfc (0)
'Afc
-. (7.2.18)
1 +
~ср
£0
77
0,3 ,, /7я£ -70 -5"
^ср
5 -г; сек
0,5 1 1,5 jt_
Рис. 7.2.5. Энергетический спектр и функция корреляции
отклонений частоты для маневрирующего объекта.
Плотность «мощности» на низких частотах
2 а л „2
Г /Г>\ 4 макс /о д/с
2
'Л/с ^/ 3
Рассмотрим пример
^макс = 3600 км/тс, /0 = 1 Мгц, t>cp = 0,2
с^"
сек
Графики 5Д/С(х) и Од^ (со) для рассматриваемого
примера приведены йа рис. 7.2.5.
Полученные результаты позволяют сделать важный
вывод о том, что энергетический спектр отклонений
частоты для частот, близких к нулю, имеет конечное
значение. Это означает, что фаза будет описываться
нестационарным случайным процессом.
416

При выводе выражений для «маневрирующего»
объекта был сделан ряд допущений. Очень существенным
допущением является предположение о возможности
скачкообразного изменения скорости объекта, что в
реальных условиях выполнить невозможно, так как при
этом потребуются бесконечные ускорения.
В реальных условиях «маневры» объекта должны
быть плавными, что приведет к более быстрому умень-
Рис. 7.2.6. Случайные марш- Рис. 7.2.7. Модель случайных
руты. маршрутов.
шению интенсивности высокочастотных составляющих-
По этим причинам использование (7.2.17) и (7.2.18)
для расчетов не всегда оправданно.
Перейдем теперь к анализу спектра, который имеет
место при «транспортной» задаче. В этом случае объект
может следовать мимо опорной точки любыми
маршрутами. Примем модель прямолинейных маршрутов, тогда
их сочетание может иметь вид, изображенный на
рис. 7.2.6.
Практически дальность действия радиотехнической
системы всегда ограничена и в принятой модели это
выражается в виде окружности с радиусом /?Макс.
Считая все маршруты равновероятными и имея в
виду, что спектр информации, содержащейся в фазе
сигнала, не зависит от направления движения, можем
перейти к модели, изображаемой на рис. 7.2.7, на котором
дан дискретный набор траекторий.
7—635 417

Поскольку v0TH = имакс cos a, tg а = ^A , где At0 —
время, отсчитываемое от момента t0, то
^отн = ^макс COS ^arctg д^^ ) >
причем значения иотн имеют смысл только в пределах
Аймаке, которое может быть вычислено из формулы
ЯМакс=1А1с<,акс + Я2
Для каждой конкретной траектории может быть
построена соответствующая кривая изменения относитель-
Рис. 7.2.8. График случайных
скоростей.
ной скорости. Однако каждая из траекторий случайна,
и кривые могут чередоваться в любой
последовательности. Считая, что объект при движении переходит из
одной области в другую, можно построить реализацию
случайного процесса изменения и0тн, состоящую из
детерминированных отрезков кривых со случайными
величинами скачка относительной скорости. Пример такой
реализации приведен на рис. 7.2.8.
Случайный процесс изменения относительной
скорости и смещения частоты может рассматриваться как
стационарный. Этот процесс в некоторой степени
аналогичен тому, который был получен для «маневрирующего»
объекта. Отличие состоит в том, что каждый скачок
скорости сопровождается переменой знака и относительная
скорость имеет и скачки и плавные переходы. В первом
. приближении, предполагая, что скорость изменяется
скачкамл, можно принять, что энергетический спектр
определяется выражением, аналогичным (7.2.16), спектр
в этом случае будет более широким.
418

Опуская вывод, напишем выражение для Gv(co):
ь(»)=4?—^ (7-2-19)
1+ч
Если предположить, что функция распределения
скоростей близка к равномерной, получим
2 ^макс
О = —~—.
Следует заметить, что предположение о равномерном
распределении иотн в пределах от 0 до яМакс является
грубым приближением. Хотя функция распределения
скоростей в данном случае и отличается от
равномерной, однако применение более точного анализа лишь
несколько изменит численное значение дисперсии.
Основные закономерности, важные для оптимизации, при этом
остаются в силе.
Длительность каждого выброса скорости находится
в пределах от 0 до Rmmc/v макс-
Среднее значение длительности выбросов
_ ' * -^ П 1 "мат-с
•BCji= =5r U, / -.
^ср У макс
Благодаря наличию участков плавного изменения
скорости реальный спектр будет содержать меньше
высокочастотных составляющих, чем это следует из
(7.2.16). Наблюдающееся в реальных условиях для
«маневрирующего» объекта' и «транспортной» задачи и
в других аналогичных случаях плавное изменение
скорости приводит к тому, что спектр, даваемый
выражением (7.2.16), может на высоких частотах существенно
отличаться от получающегося из .(7.2.18) и (7.2.19).
В этой связи рассмотрим возможность использования
гауссовой модели спектра отклонений частоты.
На рис. 7.2.9 приведены графики функций
(кривая а) и
со
1 +
<
■)■
е эЛ/с ' (кривая б) для случая, когда До> =0ср.
27* 419

Как видно, кривые заметно расходятся на высоких
частотах. Плавность изменения относительной скорости
или смещения частоты можно простейшим способом
учесть, используя инерционный множитель
1
Гасо2 + 1 ■
Положив Т = -у тс,., т. е. предполагая, что объект
осуществляет маневр в среднем через время, в два раза
1/Z7t
7С f/vcp
Рис. 7.2.9. Аппроксимации спектра
фазы.
большее, чем его инерционность,* и учтя поправку,
даваемую им, получим кривую в на рис. 7.2.9.
Энергетический спектр изменений относительной
скорости при учете инерционного множителя практически
полностью совпадает с гауссовой моделью, кроме
высоких частот, где интенсивность спектра незначительна.
Это дает основание для случаев «маневрирующего»
объекта и «транспортной» ситуации принять гауссову
модель спектра
<V» = GA,c(0)e
(г^эл/с)
(7.2.20)
420

где
Сд
-2
V
/с(0) =
I
3
f2
/о
°Afc
Д/эД/с
У2
имакс
и для «маневрирующего» объекта имеем
Для ранее рассмотренного случая гауссова модель
спектра запишется в виде
_ * / ^ у
(?ifcH^100e~T™.
Эквивалентная полоса
AU = ^=0-035 гЧ.
Энергетический спектр отклонений частоты в
рассматриваемом случае на нулевых частотах имеет конечное
значение. Это приведет к тому, что случайный процесс
изменения фазы оказывается нестационарным.
Подводя итог результатам, полученным в настоящем
параграфе, можно отметить следующее.
В некоторых фазовых системах фаза сигнала,
несущая информацию, может описываться стационарным
случайным процессом, для которого могут быть
приняты основные статистические характеристики,
рассмотренные ранее. При этом возникает задача измерения
изменяющейся фазы, которая является стационарным
случайным процессом. Этот вариант можно называть
случаем «стационарной фазы».
В ряде фазовых систем изменения фазы
характеризуются нестационарным случайным процессом и анализ
оптимизации измерения усложняется. При этом можно
просто найти статистические характеристики
производной фазы или отклонения частоты, случайный процесс
изменения которых во многих случаях является
стационарным. Аналогичными методами можно найти стати-
421

стические характеристики не фазы сигнала, а разности
фаз двух сигналов. Применительно к фазовым
навигационным и траекторным системам эти характеристики
должны описывать статистические свойства разности
фаз, измеряемой навигационным приемо-измерительным
устройством в гиперболической фазовой системе или
фазовым пеленгатором в системе траекторных
измерений. Полученные ранее статистические характеристики
фазы описывали изменение фазы каждого из сигналов
при движении объекта (маневре) в пределах области
действия одной системы или при пересечении областей
действия нескольких систем.
Основной рабочей областью в навигационных
системах является область, в которой расстояние до станции
соизмеримо с базой. В этой области изменения фазы
сигнала каждой из станций можно считать практически
статистически независимыми. Тогда функция
распределения разности отклонения частоты или разности фаз
может быть найдена по правилам нахождения функции
распределения разности двух независимых величин,
имеющих заданное распределение. Методика
оптимизации основана на определении минимума дисперсии
ошибки по энергетическим спектрам, поэтому в первую
очередь должен быть найден энергетический спектр.
Очевидно, что при независимости изменения отклонения
частот или фаз энергетический спектр разности
отклонения частот или разности фаз будет равен сумме
энергетических спектров изменения отклонения частот или
фаз. Результирующий спектр сохранит ту же форму,
дисперсия будет равна сумме дисперсий.
Сложнее решается задача, когда база много меньше,
чем расстояние до точек наблюдения. Этот вариант
требует отдельного исследования. При относительно малой
базе изменения фазы двух сигналов оказываются
коррелированными, и результат измерения разности фаз
содержит информацию об угловой координате а или |3
(см. рис. 1.4.1, 1.4.2). Тогда удобнее статистические
характеристики разности фаз оценить непосредственно
через статистические характеристики угловой скорости и
угла. Поскольку объект обладает конечной линейной
скоростью и не может находиться в непосредственной
близости от точки измерения, то случайный процесс
изменения угловой скорости оказывается стационарным,
422

а угол описывается нестационарным процессом. Это
следует из рис. 7.2.4 при условии, если рассматривать не
расстояния, а углы.
Выполнив преобразования, аналогичные
приведенным в начале параграфа, получим
4°2 1
"*" .,2
„2^_«™ (7.2.21)
а о
Объект обладает инерционностью, поэтому маневры
вызывают не скачкообразное, а плавное изменение угловой
скорости. При этом лучше воспользоваться гауссовой
моделью энергетического спектра
тс / со \2
4" I До • I
<?.H = G-(0)e
в а
А^=2*А^=^ Gi(0)=sfr- <7-2-22)
Эа
От характеристик угловой скорости можно перейти к
характеристикам разности приращений частот [А(А/)]. При
этом изменится дисперсия. Так, например, для
плоскости и центрального сектора
2 2 / Б V
где Б — база.
Энергетический спектр производной угла и разности
приращений частот имеет конечное значение на
нулевых частотах, следовательно, случайный процесс
изменения углов и разности фаз оказывается
нестационарным.
§ 7.3. Измерение фазы при воспроизведении
изменений, соответствующих основной части спектра
Предположим, что статистические характеристики
изменения фазы известны. Тогда непрерывный процесс измене-
423

ния фазы можно характеризовать выборкой,
осуществляемой через интервал М = \^с, как показано на рис. 7.3.1.
В этой формуле ткфС — интервал корреляции для
случайного процесса, характеризующего изменение фазы.
При этом некоторые детали процесса будут упущены,
однако основная картина его изменения будет
сохранена, так как все «самостоятельные» значения процесса,
Рис. 7.3.1. Изменение фазы и дискретное
представление функции.
т. е. статистически независимые от предыдущих
значений, будут учтены.
В первом приближении плавный процесс изменения
фазы можно заменить набором дискретных значений,
сохраняющих свою величину в течение времени т . . При этом
допущении оптимальное измерение изменяющейся фазы
может быть расчленено на оптимальное измерение случайных
значений фазы, постоянных в течение времени наблюдения
K<fC •
Оптимизация измерения случайной фазы была
подробно рассмотрена ранее и здесь можно
воспользоваться этими результатами.
Теоретическая схема для рассматриваемого случая
приведена на рис. 7.3.2.
Интегрирование должно осуществляться в течение
времени Д*, после чего должны фиксироваться фаза и
величины т] и у приводиться к нулю,
Следовательно, процедура измерения изменяющейся
фазы предусматривает использование корреляторов, но
интервал накопления в них (интегрирования)
определяется не интервалом времени наблюдения сигнала tHJ
а интервалом (временем) корреляции \ .
Эффективное значение энергии сигнала при этом
уменьшается и определяется не его длительностью и
мощностью, а шириной энергетического спектра фазы
или временем корреляции и мощностью сигнала.
424

Следует отметить, что ошибки измерения фазы в
оптимальной схеме можно определить, используя
выражение (6.6.15), из формулы
»ф 2ёъ
(7.3.1)
где $э — энергия информационного элемента.
Энергия информационного элемента
<?э = ^срт
КфС '
где Рср — средняя мощность сигнала.
т.
Фиксация
значений $
Генератор
так/па At
Рис. 7.3.2. Схема слежения за фазой:
X — умножители; Г КС — генератор копии сигнала; J — интеграторы; \М —
устройство, вычисляющее данное отношение; arcig — тригонометрический
преобразователь.
Полученные соотношения позволяют найти
теоретический предел точности измерения фазы сигнала, когда
он имеет очень большую длительность или является
практически непрерывным (например, в навигационных
системах или системах траекторных измерений) и когда
точность определяется не продолжительностью сигнала,
а быстротой изменения измеряемой фазы.
Из схемы следует, что сигнал может быть любым —
простым, сложным, шумоподобным — результат от этого
не изменится, так как закон модуляции по амплитуде
или фазе может быть воспроизведен в копиях.
Полученные результаты позволяют в первом
приближении правильно оценить потенциальные возможности
измерения изменяющейся фазы.
425

Однако они имеют и одно важное принципиальное
ограничение.
При выводе соотношений, определяющих процедуру,
было предположено, что обязательным условием
является воспроизведение основной информации, заложенной
в фазу. Это отразилось на том, что длительность
информационного элемента сигнала была принята т . При
таком интервале выборки значений фазы в ней
(выборке) отражаются основные (но не все) изменения. При
слабых помехах может быть нецелесообразной потеря
части информации об изменениях фазы. Это приводит
к динамическим ошибкам, так как энергетический спектр
изменений фазы медленно убывает с частотой и часть
спектра изменений, лежащая выше чем 1/2 т в
измерениях не учитывается. При интенсивных помехах
могут быть такие условия, при которых ошибки,
вызываемые помехами, много больше ошибок, возникающих,
когда часть энергетического спектра фазы не
учитывается. При этом для улучшения результатов измерений
может быть полезным использовать увеличенный
интервал времени, в течение которого фаза принимается
постоянной. При этом увеличатся ошибки в
воспроизведении сообщения, но из-$а увеличения времени накопления
и энергии информационного элемента сигнала будут
уменьшаться ошибки от помех. Рассматриваемая
методика не дает возможности найти оптимум по точности,
в чем и состоит ее важное принципиальное ограничение.
В связи с изложенным необходимо рассмотреть
задачу слежения за фазой в более широкой постановке,
имеющей целью получить оптимальные результаты, т. е.
минимизацию результирующей ошибки, состоящей из
флюктуационной и динамической ошибок.
§ 7.4. Оптимальное слежение за фазой с
использованием линейной фильтрации. Для того чтобы решить
задачу оптимизации характеристик измерителя
изменяющейся фазы, рассмотрим измерение для случая, когда
фильтрация осуществляется до фазоизмерителя или в самом
фазоизмерителе со следящей узкополосной системой при
условии обеспечения высокого качества измерения.
Полезным «сигналом» для фазоизмерителя является
случайная функция времени, характеризующая фазу
сигнала фс(0, для которой должны быть известны функция
распределения и энергетический спектр. Помеха создает
426

флюктуации фазы смеси <py(t). При сильном сигнале
функция распределения флюктуации фазы является
нормальной с дисперсией о2 , а энергетический спектр
повторяет энергетический спектр помехи со смещением
к «нулевой» несущей частоте. Соответствующая этому
случаю схема приведена на рис. 7.4.1. Задача в этом
случае сводится к отфильтрованию «сигнала» из смеси
с шумом, с тем чтобы «сигнал» на выходе фильтра
Фф(/) наиболее точно воспроизводил «сигнал» фс(0-
»
Фильтр-
фазоизмеритель
Рис. 7.4.1. Включение линейного
фильтра фазоиз.мерителя.
Слово «сигнал» заключено в кавычки, так как в фазовой
системе полезным результатом являются показания фа-
зоизмерителя, т. е. величина, отсчитанная в угловых,
единицах.
Такая постановка задачи является достаточно
общей. Эта задача теоретически была решена
Колмогоровым и Винером.
Рассмотрим основные этапы и результаты решения
применительно к случаю оптимизации слежения за фазой.
Считаем, что <fc (t) и <ру (t) — случайные функции времени,
энергетические спектры которых Gc(*>) и G (ю)
известны.
Требуется найти комплексную частотную
характеристику оптимального линейного фильтра ^ф опт (/со),
обеспечивающую наилучшее воспроизведение полезного-
«сигнала» q>c(/). Под наилучшим или оптимальным
воспроизведением полезного сигнала будем понимать такое,
при котором среднеквадратичная ошибка минимальна..
Известно, что
М/«)= J fm(t)e-iwtdt
42Г

где r\B(t) — импульсная переходная функция или весовая
функция фильтра; k$ (/<о) — комплексная частотная
характеристика фильтра и
+00
—00
Поскольку &ф(/со) и ЦъЦ) связаны между собой
преобразованием Фурье, то теоретически безразлично, что
будет найдено для оптимального фильтра ^ф опт (/со) или
'ПвоптМ. Как известно, отклик звена, имеющего весовую
функцию т]в(/), на воздействие ф^ез(0 может быть
найден с помощью интеграла свертки или интеграла Дюа-
меля
00
?ф(0=1?1'еэ(' — *)Чц(*)Л.
О
В рассматриваемом случае воздействие имеет вид
тогда
оо
П (0 = .( [То (*—«) + ?у (' - *)1 Чв («О Л. (7.4.2)
б
При отсутствии помех и искажений в фильтре
?ф(0 = ?с(0.
Теперь можем записать выражение для ошибки
Вычислив квадрат ошибки и подставив значение ?<&(*)»
получим
00
V (0 = ?1 (0 - 2?с (О J [?c (* - ■«) + ъ V- ^)1 % (*)d* +
О
Оо
+ {!J{<?c(t-*) + ?y(t-y)dz\y =
о
428

= ?! (О - 2?с (О J [То (/ - х) + ?„ (*-т)] -г)в (х) dx+
о
00 00
+ J'${[M*-*) + ?j,('-'OIIM/-t1) +
О О
+ ?1/ (* — ^l)I % (*) Т]В (Т,)} ^Х rfTle
Среднее значение квадрата ошибки или дисперсия ошибки
т
Г-юо J
-2 — 11Ш_
Р Г->оо У
О
Подставив в это выражение значение 8<j>2 (f), получим
так как
"< = <c-2j5or)(x)1lB(x)rfxH-
о
оо оо
+ ] ) % (*) Т]в W ^ ез (х — *,) dT dxlf (7.4.4)
00
lim -1- f Тс (t) Ti.es (* — *) <** = #сР (*),
7->оо
о
т. е. функции взаимокорреляции между сигналом и смесью
сигнала и помехи и
00
lim -^ [<рРез(t — т) ?1<ез(* — *i)dt = BP{% — тх),
Т-*оо J J
о
т. е. автокорреляционной функции смеси.
Найденное интегральное уравнение (7.4.4) должно
быть исследовано на минимум. Для этого можно
воспользоваться методами вариационного анализа. Опустим
подробный вывод, поскольку он имеется в §§ 7.3 и 7.4.
429

После ряда преобразований можно получить
+оо +оо
G»cH = 2 j J 1вопт(0[5фС<х-0 +
—оо —оо
+ Яф,(т-*)1е-""</т<И, (7.4.5)
где т]в опт
(^) — импульсная переходная функция
оптимального фильтра.
Дальнейшее решение уравнения можно существенно
упростить, если пределы интегрирования изменить
с 0-гоо на —00-Г- + 00. При изменении пределов
интегрирование осуществляется и для моментов времени
/<0, т. е. при получении выражения для характеристик
оптимального фильтра предполагается, что отклик
оптимального фильтра может быть и до того момента, как
приложено воздействие, или, другими словами, для
реализации такого оптимального фильтра может
потребоваться введение в его состав физически неосуществимых
звеньев с опережением. Анализ более строгого решения
и характеристик оптимального фильтра, полученных при
оговоренных упрощающих предположениях, показывает,
что для практически важных видов спектров бфС (со) и
6<?у (ю) это упрощение может использоваться. По этим
причинам рассмотрим подробнее простое решение.
Изменив пределы интегрирования и произведя замену
переменных
, Л—/сот Л— /<от2 _—/«*
х — t = т2, е J = е е ,
получим
-+оо оо
G,» = 2 j J IJbohtWX
—00—00
При этом преобразовании переменные разделяются и
-foo +оо
G*c И = 2 J 71b on,(Oe-;erfrf* J [5?c (x2) +
—oo —oo
430
+ Яф„К)1е-'-т'Л1>
(7.4.6)

но
+ 00
]|^БОПт(Ое ;Ы dt = k(b0UT(j<»),
где &ф опт (/о>) — комплексная частотная характеристика
оптимального фильтра.
Тогда
СУ*) = Аф ойт (/со) [ОфС (со) + G^ Н]
или
*фовт(/») = ^ДсоГ+О.Лсо) ~. , <У^> ' (7-4J)
фС
Следовательно, оптимальный фильтр должен иметь
амплитудно-частотную характеристику, зависящую от
соотношения энергетических спектров изменений фазы
сигнала, вызванных сообщением, и ее флюктуации под
действием помех, и фазо-частотную характеристику,
предусматривающую сдвиг фаз, равный нулю. Учитывая, что
выражение (4.7.7) содержит только вещественную часть,
в дальнейшем будем рассматривать его как выражение
для.; модуля частотной характеристики оптимального
фильтра.
При слабом «сигнале» [G^c (to) << G (со)]
ЙфоптН— G^((0)
Если, как это часто бывает, спектр флюктуации фазы
из-за помех можно считать равномерным, то
&ф опт Ы = COnst G^ (со).
т. е. частотная характеристика оптимального фильтра
должна повторять энергетический спектр «сигнала».
При сильном «сигнале» [G с(со) > G («>)]
&фопт (<*>)= 1,
431

т. е. частотная характеристика оптимального фильтра
во всем диапазоне частот энергетического спектра
«сигнала» должна обеспечивать равномерное усиление.
Найдем теперь выражение для минимальной
среднеквадратичной ошибки. На выходе фильтра будет иметь
место спектр смеси
°,Ф (-) = К „„ И KV (•) + Gvy (.)!. (7.4.8)
Ошибка в воспроизведении «сигнала» на выходе будет
иметь энергетический спектр
= GlwH + Gi9n(«,), (7.4.9)
где G. (со) и Glipn (со) — энергетические спектры
динамической и флюктуационной составляющих ошибки.
Дисперсия ошибки
2
=2^j^n^=C+C (7-4-10>
где з I и о2ь п — дисперсия динамической и
флюктуационной составляющих ошибки.
При использовании формулы (7.4.7) для k$ 0пт (<°) имеем
i=-k] [G*(m) ~ to„ («о+(^)г] *»+
о
О
При сильном «сигнале» [G (0) > G (0)J
00
а. ж тг- I G „(со) rfco
«а2
432

Теоретическая возможность создания оптимальных,
систем измерения изменяющейся фазы, или систем опти*
мального слежения за фазой, является важным
фактором, позволяющим осуществлять анализ и синтез
реальных систем, достаточно близких к оптимальным.
§ 7.5. Особенности реализации систем оптимального
слежения за фазой. Для выявления основных
особенностей характеристик оптимальных фильтров
воспользуемся результатами § 7.4. Как было показано ранее, спектр
изменений фазы может быть аппроксимирован гауссовой
функцией {см. (7.2.2)].
GfCH = G^(0)e"*(s=^)l
О«(0) = зД. (7А!>
где о^. — дисперсия изменений фазы сигнала, которую»
должна отслеживать (измерять) система.
Флюктуации фазы под действием помехи имеют в
первом приближении равномерный спектр
при со< Дшп = 2^А/п,
где Д/п — полоса пропускания помех на участке до
следящего фазоизмерителя (на радиочастоте полоса 2Д/П).
Необходимо отметить, что G^c (со) и G^c (0) не зависят
от амплитуды сигнала и определяются только
особенностями изменений его фазы. Спектр G (о) зависит от
отношения Лс/зп. В гл. 2 и 3 было показано, что энергетический
спектр флюктуации фазы при уменьшении отношения Acjon
и при одной помехе приобретает сложную форму и
дисперсия флюктуации фазы в этом случае стремится к пределу
«2/3. Однако поскольку предполагается, что измерение
фазы осуществляется при использовании линейной фильтрации^
на «входе» фазометра отношение а0/Лс, которому
соответствует условная дисперсия \jA\ = о* > -^- , можно
допускать большим. Зная ^(со) и G (о»), можно, пользуясь
433>

(7.4.7), найти частотную характеристику оптимального
-фильтра. В результате расчета может получиться .
частотная характеристика, реализация которой потребует
сложной схемы фильтра. В этой связи практически
важно то, что оптимальная частотная характеристика в
первом- приближении может быть аппроксимирована ча-
Рис. 7.5.1. Спектры изменений
(флюктуации) фазы и
частотная характеристика оптималь-
5 qj ного фильтра:
Тур" а — для оптимального фильтра;
• б—для инерционного зв^на.
стотной характеристикой инерционного звена. На рис.
7.5.1 в качестве примера приведена зависимость йф0пт(со)
(кривая а) для:
А/:
ЭфС
1 гц, А/п = 5 гц, оп/Лс = 1=«
ф;"
/\2
фС..
3, О <0) = 3, С М = 3е
-Ш
фС
фС
.^Л0) = 0,2
и зависимость для инерционного звена (кривая б).
Инерционное звено практически легко реализуется,
поэтому его удобно использовать в качестве фильтра,
но такой фильтр будет квазиоптимальным.
Частотная характеристика инерционного звена имеет
вид
К<о24ин+1
гдеТфин — постоянная времени звена;
434

■* ф ин —"
1
Юф| СИН
где о>фсин — частота сопряжения инерционного звена,
соответствующая эквивалентной полосе пропускания
звена Асофэ, умноженной на 2/л.
Удобно сопрягать характеристики в точке с
относительным усилением 0,5 (рис. 7.5.1)
но
#ф ин опт (шфо,5 ин опт; — #ф опт (^фо.б опт)
^фо,ь ин опт U,b ^ Шф Син опт.
f -2Afe*4n
<?Ф,(0)
Расстройка для оптимальной частотной характеристики
на уровне 0,5 может быть вычислена в соответствии
с выражением, которое получается из (7.5.1), (7.5.2),
Вычислив /ф 0,5 опт, легко найти частоту сопряжения
квазиоптимального фильтра нижних частот (инерционного
звена)
/ ф с ин опт = U, О / фо,5 ин опт ==: 0,Ь / фо,5 опт»
Полоса пропускания квазиоптимального согласованного
фильтра, состоящего из инерционного звена, зависит от от-
./фсинопт
Рис. 7.5.2. Зависимость полосы фильтра
от уровня помех.
28*
435

ношения «сигнала» к «помехе», т. е. от G^fOJ/G (0).
Кривые зависимости /ф§,5Рцт и /фсинодт от —^—т^г-
приведены на рис. 7.5.2.
Рнс. 7.5.3. Зависимость полосы от Ас/аа.
При работе аппаратуры основным изменениям
подвергается отношение Лс/оц. Тогда G^ (0)IG^y (со) можно
выразить через Лс/ся:
М°> _ ^Af^_ 2 Af„ 45
^u(O)
f e2
'S<pC П
«PC At
Э(рС
-f. (7.5.4)
Результаты для рассмотренного ранее примера
приведены на рис. 7.5.3, на котором дана зависимость
/ф с
Af.
ОТ
при «J^=15.
9(рС
On
9(рС
Из результатов видно, что при слабом «сигнале»
полоса узкая, /ф с ин опт составляет примерно 0,6 от Д/9(рс; при
увеличении интенсивности «сигнала», т. е. при увеличении
&<pc(0)/Gw (0) или Лс/зц, происходит расширение полосы, и
она может в несколько раз превысить А/ .
Необходимость изменения полосы является важным
фактором, ограничивающим использование оптимальных
436

режимов при слежении за фазой, так как при этом
усложняется фильтр и оказывается необходимым
введение в схему трудно выполнимого измерительного
устройства, регистрирующего соотношение между помехой и
сигналом. По этой причине желательно рассмотреть
возможность использования фильтра с заранее выбранной
фиксированной полосой, что будет сделано в конце
настоящего параграфа.
Рассмотрим факторы, определяющие ошибку при
слежении за фазой. Выражение для ошибки (7.4.11) при
оптимальном слежении получено ранее.
В общем виде решение интеграла получается
громоздким. Рассмотрим приближенное решение.
Ошибку в воспроизведении фазы можно разделить
на две части — флюктуационную от помехи и
динамическую (7.4.9) и (7.4.10). В случае, если известна
частотная характеристика фильтра &ф(оа), получаем
00
С = 2г|^(ш)^[(<о)^, .(7.5,5)
О
о
Имеется в виду, что &ф(0)=1, так как фазометр
реагирует на фазу, не изменяя ее абсолютного значения.
Если используется квазиоптимальный фильтр,
выполненный в виде инерционного звена, или оптимальный фильтр,
аппроксимируемый инерционным звеном, то расчеты
упрощаются.
Тогда, имея в виду, что эквивалентная полоса
пропускания помех для инерционного звена
Д^фэин^ -гГ^фсин» (7.5.7)
получим
с ин опт
%п == ~2ЙГ %>» \У) -f" ШФ с ин опт = ; 4 ==
(7.5.8)
28—635 437

£ — гт2 [
А " V 2Ди,Э<рС J
О
Cg гон -
J ФС^ 1+^2/со|СИНОпт
/.v2 Д(0
ЭфС
Дсо w4> с ин опт
1 +
т
0,5
iteT^
/i-i (a)
r-iffi)
0,2
0,5
Р=-
Лш
эус
<Уфс опт
Рис. 7.5.4. Значение интеграла /(Р).
Обозначим
" До)
Р=.
А со
ЭфС
ЭфС
Юф с ин опт
(7.5.9)
когда
00 « .
5фД'
где
=<«-<v«»-iFje' ^ii'-'«
/.
о о
Зависимость /(р) и 1— /((3) от р приведена На рис. 7.5.4.
Приведенные результаты позволяют получить
относительную динамическую ошибку в общем виде
2
фС
438

Из 7.5.3 следует, что
Р =
|Ли 0,3
тогда
э5фД
фС
In
1-/
V* о,з
(7.5.10)
* в/ 0,2 о,з о,* &*§.
Gvc (О)
Рис. 7.5.5. Зависимость динамической
ошибки от помех (при оптимальной полосе).
Кривая зависимости <4Д/<^С от G^y (0)(G^ (0) приведена на
рис. 7.5.5.
Получив о^фД и о^п, можно найти о6ф [по (7.4.10)].
Пользуясь формулами (7.5.7), (7.5.9), (7.5.10) и (7.4.10)
и кривыми, изображенными на рис. 7.5.4, 7.5.5 и 7.5.2,
можно выполнить расчеты ошибок с точностью,
достаточной для многих практические целей.
Как видно из результатов, ошибка при оптимальном
измерении изменяющейся фазы зависит от отношения
^pjf(0)Av(0), т. е. от отношения помехи к сигналу, и
статистических характеристик случайно изменяющейся
фазы [7.5.4]. С принципиальной точки зрения полезно
выявить зависимость ошибки при оптимальном слежении за
фазой от энергии сигнала и плотности мощности помех.
28* 439

Формулу (7.5.7) можно преобразовать следующим
образом:
2
2 1 °п СОфсинрцт 'МрП 1 f 7 ^ 1 1 \
где <§а— энергия элемента сигнала, имеющего
продолжительность, равную интервалу корреляции фазы сигнала.
Но ранее было показано, что р = Д<оэ с/о>фСин011т
зависит от GJ(0)/G^(0) (см. 7.5.3), но
п
Следовательно, отношение гус п зависит также от <§QjN0.
Таким образом, в конечном счете флюктуационная
составляющая ощибки слежения за фазой зависит от
отношения &B[N0 и о^с. Рассмотрим с этой точки зрения
выражение для Oj (7.5.10). Динамическая составляющая
ошибки зависит от р, но р определяется отношением
G«pc(0)/G j,(0), которое, в свою очередь, зависит от 2g9/W0
и о^с. Таким образом, динамическая составляющая
ошибки в конечном счете также определяется отношением
Из сказанного можно сделать важный вывод о том,
что при оптимальном измерении изменяющейся фазы
основным фактором, определяющим точность, является
отношение энергии элемента сигнала &в, в пределах
длительности которого фазу сигнала можно считать
постоянной, к плотности мощности помех. Для
оптимального слежения за фазой требуется включение фильтра
с изменяющейся частотной характеристикой, в
простейшем случае — с изменяющейся полосой. В этой связи
представляют интерес вопросы о критичности полосы и
формы частотной характеристики фильтра и о
возможности использования фильтра с фиксированной полосой.
Рассматривая критичность полосы фильтра, можем
отметить, ЧТО При ОТКЛОНеНИИ Мф оин ОТ 0>ф син опт ДОЛЖНО
происходить уменьшение одной и увеличение другой со-
440

ставляющей ошибки и оптимум должен получаться
«размытым». Расчеты можно выполнить по формулам
(7.5.7) и (7.5.8), заменив соф син опт на о)ф син* На рис. 7.5.6
приведены результаты расчета для случая
<V (0)/еф,(0)=5, д.„/Д^= wo, <£=1.
Из них следует, что полоса фильтра не критична. Это
существенно облегчает практическую реализацию опти-
ОЛ
0,3
ОЛ
0,1
О
0,5 1 *фсии
Рис. 7.5.6. Влияние полосы на точность
измерения фазы.
мальных фильтров, оправдывает использование
аппроксимации частотной характеристики оптимального
фильтра частотной характеристикой инерционного звена и
дает обоснование для применения квазиоптимальных
фильтров нижних частот. Рассматривая вопрос об
использовании фильтра с фиксированной полосой,
необходимо иметь в виду, что при каком-то уровне сигнала
и при использовании оптимального фильтра ошибки
становятся столь значительными, что теряется смысл
использование результатов. Обычно в практических
задачах можно задаваться предельной ошибкой а5фПред.
Оптимальный фильтр может быть выбран для такого
соотношения между сигналом и помехой, для которого
при оптимальной полосе будет обеспечена з&фгтред и в
процессе функционирования параметры фильтра изменениям не
подвергаются.
441

Очевидно, что в этом случае будут потери в
точности, так как при улучшении отношения сигнал/помеха
можно было бы расширить полосу и снизить
динамические ошибки, а при ухудшении отношения
сигнал/помеха сузить полосу и добиться меньшей ошибки за счет
уменьшения флюктуационных ошибок.
Однако подробное рассмотрение этого вопроса,
которое не может быть приведено из-за ограниченного объ-
6&у
0,5
0,25
О
Фильтр /
с постоянной /
полосой /у
*
/Г 1
0,1
^у^Оптамаль-
Sный Фильтр
GfpnpeA
1 .
0,2 &9У(0)
G9c(0)
Рис. 7.5.7. Ошибки при постоянной полосе.
ема книги, показывает, что во многих случаях реальные
характеристики точности системы измерения фазы при
использовании фильтра с фиксированной полосой
ухудшаются практически незначительно.
Для иллюстрации этого положения на рис. 7.5.7 дано
изменение дисперсии ошибки при изменении отношения
^(р^(0)/^фс (0) ПРИ выборе оптимального фильтра для
условий, когда предельная дисперсия ошибки составляет
аб!р = 0,25. Остальные параметры соответствуют
предыдущему примеру. Из кривых следует, что для условий
примера практически допустимо использовать
фиксированную полосу.
Таким образом, в ряде случаев имеется возможность
использовать фильтры с фиксированной полосой для
компромиссного решения задачи обеспечения
минимальной ошибки воспроизведения фазы. При этом
практическое выполнение фильтра упрощается, так как не тре-
442

буется измерять отношения сигнал/помеха и изменять
полосу фильтра, но ошибки несколько увеличиваются.
Полученные результаты показывают, что можно
найти характеристики оптимального фильтра. Полоса
пропускания таких фильтров соизмерима с полосой спектра
изменений измеряемой фазы. Ранее было отмечено, что
во многих фазовых системах этот спектр сравнительно
узкий, что позволяет создавать узкополосные
помехоустойчивые фазовые системы. Однако теоретическая
возможность создания узкополосных систем не всегда
может быть реализована.
Рассмотрим основные варианты технической
реализации, близких к оптимальным, измерителей переменной
фазы. Основными вариантами являются: а) прямоот-
счетный фазоизмеритель; б) сочетание согласованного
фильтра и быстродействующего фазоизмерителя; в)
фазоизмеритель со следящей системой; г) фазоизмеритель
с включенным на его выходе фильтром.
Варианты а и б могут обеспечить оптимальное
измерение изменяющейся фазы при любых отношениях
помехи к сигналу. Однако их практическая реализация
встречает много трудностей. В соответствии с
изложенными выше соображениями можно подобрать параметры
прямоотсчетного фазоизмерителя, работающего по
схеме, изображенной на рис. 7.3.2. Создание узкой полосы
не вызывает при этом технических трудностей.
Значительные трудности возникают с созданием копии
сигнала, особенно при сложных сигналах, и в связи с
необходимостью осуществления перед измерением поиска и
слежения за сигналом по задержке. Важным
недостатком является также трудность устранения динамических
ошибок при типовых детерминированных динамических
воздействиях и трудности точного выполнения
математических преобразований (типа деление и взятие
арктангенса). По изложенным причинам этот вариант не нашел
широкого практического применения.
Вариант с согласованным фильтром имеет ту
особенность, что в нем предъявляются минимальные
требования к фазоизмерителю. Все основные трудности
оптимальной обработки смеси в этом случае
перекладываются на согласованный фильтр. Это вызывает много
трудностей с реализацией таких фильтров, если спектр
Gq>c (**) узкополосный. Если радиосигнал непрерывный,
443

ЧТ6 имеет место в HeKofopbtx навигационных системах и
системах траекторных измерений, то его спектр
определяется модуляцией фазы за счет информации. Спектр
радиосигнала сложно зависит от спектра фазы. Не
рассматривая эти зависимости, отметим, что в фазовых
системах он обычно оказывается узким. Полоса
пропускания согласованного ф-иль-
y(t)
ПФ
С/1 ФИ
1Pnm(t)
Рис. 7.5.8. Квазиоптимальная
схема слежения за фазой простого
сигнала:
ПФ — полосовой фильтр радиосигнала;
СлФИ — следящий фазоизмеритель.
тра должна быть узкой.
Практически осуществить
по радиочастоте полосу
пропускания порядка
нескольких герц или долей
герца очень трудно.
Причем требования к
стабильности элементов фильтра
будут очень жесткими, так
как изменение настройки
на 2% от полосы дает уход фазы примерно на 1°, что
вызывает соответствующую инструментальную ошибку.
Создание согласованного фильтра дополнительно
усложняется, если используется сложный сигнал, например
в виде пачки импульсов. При этом спектр расширяется
в соответствии с длительностью каждого импульса и
состоит из отдельных «зубцов», находящихся на «рас-
1 т
стоянии» -~- друг от друга, где Тт — период повторе-
ния импульсов. Ширина полосы «зубца» определяется
при конечном числе импульсов в пачке длительностью
пачки, а при непрерывной последовательности
импульсов— спектром изменений фазы. Следовательно,
согласованный фильтр должен иметь несколько узкополосных
каналов и очень жесткие требования к стабильности
элементов фильтров. По изложенным причинам вариант
с согласованными фильтрами также используется редко.
Наибольшее применение имеет вариант со следящей
системой, изображенный на схеме рис. 7.5.8. Простыми
техническими средствами — изменением параметров
следящей системы — достигается узкая полоса в следящем
фазоизмерителе (СлФИ). Для непрерывного сигнала при
выборе полосы пропускания следящей системы в
соответствии с приведенными формулами будет обеспечено
оптимальное измерение изменяющейся фазы. Фильтр
для радиосигнала (ПФ на схеме рис. 7.5.8), включенный
444

до фазоизмерителя, может иметь относительно широкую
полосу, что повышает инструментальную точность и
упрощает его конструкцию. С теоретической точки зрения
отношение помехи к сигналу на входе фазоизмерителя
не играет роли и ошибки будут определяться только
отношением энергии сигнала за время, соответствующее
интервалу корреляции фазы, к плотности мощности
помех. Однако практически желательно уменьшать уровень
X
СФ1
С/1Ф.И
Последовательность
видеоимпульсов
Рис. 7.5.9. Квазиоптимальиая схема
слежения за фазой сложного сигнала:
X — умножитель; СФ\ — согласованный фильтр;
СлФИ — следящий фазоизмеритель.
последних для предотвращения «забивания» каскадов
помехами. При сложных сигналах использование
следящих фазоизмерителей усложняется. Опорное
напряжение, подаваемое на фазовый дискриминатор следящей
системы, должно иметь такую же модуляцию по
амплитуде и фазе, как и полезный сигнал, с обеспечением
согласования модуляций по времени. В некоторых
случаях целесообразно использовать
корреляционно-фильтровые схемы. Пример такой схемы для пачки
импульсов приведен на рис. 7.5.9. В этой схеме СФ\ —
согласованный фильтр для обработки отдельного импульса,
умножитель и генератор последовательности
видеоимпульсов осуществляют предварительную обработку
смеси, а узкая полоса достигается в следящем фазоизмери-
теле. Основным ограничением схем <со следящим фазо-
измерителем является то, что они выдают результаты,
близкие к оптимальным, до тех пор, пока флюктуации
показаний незначительны.
Вариант с селекцией после фазоизмерителя
представляет интерес при использовании вторичной обработки
фазоизмерений и имеет ограничения, обусловливаемые
эффектом подавления при демодуляции фазы,
отмеченные ранее.
445

Из изложенного ранее следует, что наиболее просты
в техническом решении фазоизмерители со следящей
системой, с соответствующим выбором их полосы.
§ 7.6. Оптимизация слежения при нестационарности
случайного процесса, характеризующего фазу. В
параграфе 7.2 были найдены некоторые статистические
характеристики производной от фазы и фазы для случаев,
когда при перемещении объекта или изменении частоты
информация закладывается в фазу.
Если целью работы системы является прямое
измерение отклонений частоты (скоростей), то для слежения
за частотой используются частотные дискриминаторы.
Для оптимизации систем измерения изменяющейся
частоты оказывается справедливой теория оптимизации,
изложенная в § 7.4, при этом используется спектр
производной флюктуации фазы, обусловленных действием
помех.
Более сложным для анализа является случай, когда
основой работы системы является слежение за фазой.
Для оптимизации такой системы необходимо знать
статистические характеристики фазы. Эти характеристики
могут быть получены из статистических характеристик
ее производной. Как было показано в § 7.2, фаза
характеризуется нестационарным случайным процессом.
Это обстоятельство создает принципиальные
трудности в оптимизациях таких систем.
В решенной в § 7.4 задаче оптимизации
предполагалось, что фильтр должен был обеспечить простое
воспроизведение полезного «сигнала».
При нестационарной фазе требуется найти
оптимальный фильтр, который при наличии помех воспроизводит
фазу (нестационарную) с минимальными ошибками.
Следовательно, фильтр должен не только
минимизировать ошибку, но и осуществлять преобразование
случайного стационарного процесса, в рассматриваемом
случае — интегрирование.
На выходе фильтра будет получаться функция
времени фф(/).
Ошибка в воспроизведении «сигнала» с учетом пре*
образования будет выражаться
b?(t) = n)(t)-2^^fc(t)]dt. (7.6Л)
Q
44р

Дисперсия ошибки
т Т-*оо ы
Г
-ПтФ(0-2«|д/с(0Л
о L о
Л. (7.6.2)
Интегральное уравнение (7.6.2) нужно исследовать
таким образом, чтобы выявить весовую функцию r\B(t),
минимизирующую дисперсию о^ Математически решение
этой задачи значительно сложнее, чем для фильтра
с Простым воспроизведением «сигнала», которая была
рассмотрена в § 7.4.
В связи с этим целесообразно провести исследование
квазиоптимального фильтра, у которого при заданной
форме частотной характеристики осуществляется выбор
полосы пропускания, при которой обеспечивается
получение минимальной результирующей ошибки, состоящей
из динамической и флюктуационной (от помех) ошибок.
Это решение проще, дает наглядное физическое
толкование результатов и во многих случаях соответствует
реальным требованиям, так как выбор оптимальной
полосы мало критичен и обычно дает результаты,
близкие к теоретически оптимальным.
Необходимо отметить, что оптимизация системы
слежения за нестационарной фазой не может быть решена
с помощью оптимизации этой системы при слежении за
производной фазы. Чувствительный элемент при
слежении за фазой реагирует на фазу смеси сигнала и
помехи, и сигнал ошибки определяется сдвигом фаз между
опорным напряжением и напряжением смеси. Сигнал
ошибки равен нулю в тот момент, когда сдвиг фаз
равен нулю, хотя при этом частоты (т. е. производные
полной фазы) могут отличаться друг от друга.
Следовательно, при оптимизации слежения за
нестационарной фазой нужно исследовать схему, имея в виду,
что она реагирует на сдвиг фаз/
В рассматриваемом случае, так же как и в
предыдущем, наиболее целесообразно использование фазоизме-
рителей со следящей системой. При анализе
оптимизации измерения нестационарной фазы будем
ориентироваться на этот вариант. Поведение линейной следящей
системы при наличии управляющих и возмущающих
воздействий можно анализировать с помощью передаточ-
447

иых функций и частотных характеристик. Воспользуемся
этими известными методами анализа следящих систем
[7.2] для получения выражений, позволяющих найти
величину (среднеквадратичное значение) ошибок
динамических и флюктуационных в зависимости от полосы и
затем определить полосу, при которой общая ошибка
будет минимальной. Помеха, искажающая фазу,
приложена ко «входу» следящей системы, и ее прохождение
«на выход», т. е. ее влияние на результат измерения
фазы, определится передаточной функцией ^(s) или
комплексной частотной характеристикой Фу(/(о) по
каналу управления
^у (S)— j + ^ {s) , Vy (]<*) —{+Мф (/а>) ,
где 5 — комплексное число; Ыф (s) — передаточная
функция; Ыф (/<о) — комплексная частотная характеристика
следящей системы в разомкнутом состоянии.
Зная спектр флюктуации фазы от помех G^(co) можно
найти спектр и дисперсию флюктуации показаний фазоиз-
мерителя от помех
0ц«н=|ФЛН1Ч,(»),
l]\0y(h)\2G9y(<oyd«.
6фП
Для вычисления динамической ошибки можно
воспользоваться тем, что в следящей системе имеется
сигнал, соответствующий ошибке. Он вырабатывается после
сравнивающего (вычитающего) устройства (рис. 7.6.1).
Динамическая ошибка определяется из передаточной
функции по ошибке Ф0ш(^)
Фош(*)= 1 + ^(5). (7.6.3)
При изучении динамических ошибок для случайных
воздействий необходимо перейти к частотной
характеристике по сигналу ошибки
Фо„,(М= [+ы1и»)
448

и ее модулю
Известно, что
*ошН —1*ош(/«)|.
G5,AW = [^omH]2GvcW
(7.6.4)
(7.6.5)
где б5д((о) — энергетический спектр динамической
ошибки; G (со)— энергетический спектр изменений фазы.
Этим соотношением пользоваться нельзя, так как
в йашем случае фаза нестационарна и ее спектр О (а>)
(fifKfiy
+ 1
\-1
dxp
Qp(S)
<Pq>
Рис. 7.6.1. Схема следящей
системы.
изменяется во времени. Поскольку при нестационарной
фазе G9C(co = 0) имеет бесконечно большие значения, то из
(7.6.5) вытекает, что G5cpA (со = 0) так же может иметь
бесконечно большие [значения, т. е. ошибка будет
характеризоваться нестационарным случайным процессом.
Рассмотрим условия, при которых динамическая
ошибка будет выражаться стационарным случайным
процессом. В общем виде изображения Лапласа
воздействия [изменяющейся фазы <pc(s)] и отклика [ошибки
6ф|(5)] связаны соотношением
или
b<f(s) = 0oul(s)<?c(s)
(7.6.6)
где <рс (s) s — изображение производной воздействия;
—2ЕЛЕ1—передаточная функция, связывающая изображе-
о
ние производной воздействия и изображение ошибки.
Полученное выражение позволяет найти изображение
ошибки не по изображению воздействия, а по
изображению его производной.
449

Если перейти к частотным характеристикам, то Мож-
но найти спектр отклика (ошибки) по спектру
производной воздействия и измененной частотной
характеристике по сигналу ошибки
При анализе случайных воздействий нужно от спектра
Фурье перейти к энергетическому спектру.
Тогда
G H = i«w (/»)"
ОФД V / ил
&фД V / у ©
Gif». (7.6.7)
При вычислении спектра отклика (ошибки) по
спектру производной воздействия передаточная функция и
частотная характеристика претерпевают
принципиальные изменения.
В исходную передаточную функцию по сигналу
ошибки добавляется множитель —, а в комплексную частот-
1
ную характеристику множитель j^-.
Частотная характеристика, по которой можно
вычислить спектр ошибки, если известен спектр производной
воздействия, будет иметь вид
\Ф'ош(1<*)\=\Фош(П-^
(7.6.8)
Если воздействие характеризуется конечным значением
энергетического спектра производной на нулевых частое
тах, то интегрирующий множитель обусловит то, что
ошибка будет нестационарным случайным процессом
с возрастающей дисперсией. Следовательно, первым
шагом оптимизации должно явиться определение условий,
при которых производная воздействия с конечным
значением энергетического спектра на нулевых частотах, не
будет давать возрастающей по времени динамической
ошибки. Очевидно, это определяется видом
передаточных фуНКЦИЙ Ф0ш(5) И Л^ф(5).
450

Передаточная функция системы в разомкнутом
состоянии может содержать интегрирующие множители
*•(*>=-$&-• <7-6-9)
где R(s) и D (s) — полиномы; р — степень астатизма
системы.
Для статической системы (/? = 0)
При этом в (7.6.8) имеется интегрирующий множитель,
и оптимизация системы невозможна.
Для астатической системы (/7=1),
Nih(s) = MsL
iy*\s' sD{s) '
^ош^; — sD(s) + R(s)
И
Ф'оМ= DUs + W (7-6'П>
При этом интегрирующий множитель исчезает и
оптимизация системы оказывается возможной. Физический
смысл этого результата состоит в следующем. Если
спектр изменений частоты конечен на нулевых частотах
и случайный процесс изменения фазы нестационарен, то,
используя статическую систему (для фазы), нельзя
получить минимум ошибки, так как нестационарное
воздействие, т. е. нестационарная фаза на входе, будет
вызывать ошибку с возрастающей дисперсией.
В астатической системе нестационарное изменение
фазы на входе не дает возрастающей ошибки, так как
система астатична и погрешность вызывается не
величиной воздействия, а его изменением.
Все дальнейшие действия будем предпринимать, имея
в виду астатическую систему.
Найдем энергетический спектр динамической ошибки
<%д И = GA/c (-) I Ф'ош (/•) Г - Од/с (•) | яц^йц..)
(7.6.12)
451

Как видно из полученного результата, в астатической
системе на всех частотах интенсивность энергетического
спектра ошибки конечна и дисперсия о^ так же должна
иметь конечную величину.
Для облегчения понимания некоторых особенностей
оптимизации таких систем преобразуем полученное
выражение
ф.«(М=ф»(/«)тгдаг.
тогда
Фот (/СО) __ Фу (/СО)
£/со /шЛ^ф .(/со)'
бсрд V ) А/с V / /а>Д/ф (/(0)
(7.6.13)
Формула (7.6.13) может быть использована и для
расчета энергетического спектра ошибки при стационарной
фазе.
При стационарной фазе энергетический [спектр
производной О- (<*>) имеет на нулевых частотах нулевую
интенсивность, ошибка в этом случае может быть конечна на
всех частотах и при статической системе.
Важно подчеркнуть, что спектр динамической ошибки
будет различным в случаях стационарной и
нестационарной фазы при той же форме частотной
характеристики системы в замкнутом состоянии, т. е. при
одинаковых Фу(](х>) и УУф(/со).
Это различие обусловливается тем, что вид 0^с(<*) для
стационарной и GA. («>) для нестационарной фазы
существенно отличается друг от друга. Здесь и в дальнейшем
(?Л. ((о) — спектр изменений частоты; О-(со) — спектр
производной фазы; сос = 2и;Д/с; из этих выражений следует,
что при стационарной фазе исходным является
случайный процесс изменения фазы, а при нестационарной
фазе — процесс изменения частоты.
Для того чтобы сравнить спектры ошибок,
рассмотрим пример.
452

Предположим, что
т. е. в разомкнутом состоянии система приводится к
интегрирующему звену, что является первым
приближением для многих реальных систем; тогда комплексная
частотная характеристика по каналу управления будет
иметь вид:
I Фу (fa) I2=ф] W = „J , , ; л^ф (/со) /со=#фв,
у со2/Л^п + 1
тогда
| Фу (/>0)
/соЛ^ф (/со)
Частотная характеристика рассматриваемой системы
слежения за фазой в замкнутом состоянии подобна
частотной характеристике инерционного звена с усилением,
равным единице, и инерционностью, зависящей от
усиления ЛГфо в разомкнутом состоянии. Частотная
характеристика системы по сигналу ошибки для производной
фазы аналогичная, но усиление выражается
отношением 1//Уф0.
Задавшись гауссовыми моделями спектра фазы (для
стационарной фазы) и спектра отклонений частоты (для
нестационарной фазы) и используя полученные
выражения для частотных характеристик, можно рассчитать
энергетические спектры динамической ошибки.
Результаты расчета приведены на рис. 7.6.2 (а — для
стационарной фазы; б — для нестационарной фазы).
Как видно, спектры динамической ошибки для
рассматриваемых двух случаев сильно отличаются. По этим
причинам форма характеристики фильтра и его полоса
будут по-разному влиять на динамическую ошибку.
В следящих системах управлять формой частотной
характеристики в замкнутом состоянии по каналу
управления [Фу((й)] трудно, так как система может иметь
тенденцию к неустойчивости. Воспользуемся теперь вы-
29—635 453
'riL 1 + covyvL
Win + <о2
(7.6.15)

ражением (7.6.13) для получения соотношений,
позволяющих найти оптимальную полосу следящей системы,
выполняющей роль фильтра.
По этим причинам форма частотной характеристики
фильтра должна быть близка к форме частотной харак-
hy^cW
y^yGpcfv)
г . .
Гтт****<+уМ
-^^^ G/!fc/V)
-^, *у ''М
1 ММ \г
у \j0t)N<b(j(O)\
Ьуф Ms &9С М фу М
,Ь&9* М
,&гы№
*)
б)
Рис. 7.6.2. Энергетические спектры:
а —для стационарной фазы; б —для нестационарной фазы.
теристики инерционного звена и цри оптимизации
желательно ограничиваться выбором полосы пропускания
фильтра (системы), имея в виду, что в разомкнутом
состоянии система содержит интегрирующее звено. Модуль
частотной характеристики будет равен
\Фу(Н\ =
/"2/<02фсин+1
где соф син — частота сопряжения инерционного звена,
к которому приведена следящая система в замкнутом
состоянии.
Щ

Тогда
Фу (М
/соЛ^ф (/со)
офсин / j
V "фсин /
Подставив в (7.6.13) и осуществив интегрирование
энергетического спектра по всем частотам, получим
дисперсию динамической ошибки
00
02 =_L fe (w) —!—&<*. (7.6.16)
*' ф с ин ~ w
При аппроксимации спектра гауссовой моделью
получим
. .? =МГГ',(ч5г)-_<-_ (7.6.,7)
О ' Ф с ин
Для облегчения расчетов можно перейти к безразмерным
величинам. Для этого преобразуем выражение (7.6.17),
введя переменную а= . ю и параметр р = Дй>э^с/софСин:
2 __^А[с
09Д—
Интеграл, входящий в выражение, был вычислен ранее.
График, по которому определяется значение этого
интеграла, приведен на рис. 7.5.4;
тогда
= O„e(0)A»rt, c/(p)=i <Е.р1/(р)
Коэффициент Од.с/Дй>^с характеризует особенность спектра
изменений (отклонений) частоты: (32/((3) зависит от
соотношения между полосой фильтра следящей системы и
шириной спектра изменений частоты.
29* 455

Дисперсия ошибки от помех равна
5<рп "
2я
°п /ф с йн л
2 (0фсин^^2 д/п
°п 11 Л(0эД/с 1
Коэффициент о;;/Л2" °>эл/с
мех Дсоп и их интенсивность,
.т
Al 2 Д»« Р '
L характеризует спектр по-
УЗ Auj-wfc
Рис. 7.6.3. Влияние полосы на
составляющие ошибок.
На рис. 7.6.3 приведены зависимости Р2/(Р) и 1/р от
1/р, по которым можно просто построить кривые для
различных значений коэффициентов и найти оптимальную
полосу фильтра.
Для примера на рис. 7.6.4 приведены кривые ошибок,
результирующая ошибка и оптимальная полоса для
случая
1 А =1, Дсоп = 100,
д/с сек
» > Ас°эД/с
Тогда
Лс/оп = 0,22.
Al Ао>п
Доз
эд/с
В рассматриваемом примере оптимальная полоса
пропускания фильтра составляет 2,5 рад (сек, т. е. примерно
в три раза шире чем До>эД.с . При уменьшении относитель-
456

ного уровня помех полоса фильтра будет расширяться,
при увеличении — сужаться.
Таким образом tipn нестационарной фазе можно
оптимизировать фазоизмеритель. Полоса пропускания такого
измерителя соизмерима с АоэД/с ; в фазовых системах она
часто бывает узкой, что дает возможность создавать
узкополосные помехоустойчивые фазовые системы.
3
г
1
" / г \ з ' * 5 1
f/fiom P
Рис. 7.6.4. Пример кривых ошибок.
§ 7.7. Измерение изменяющейся разности фаз двух
сигналов. В фазовых системах встречается случай, когда
необходимо осуществлять измерение разности фаз двух
принятых сигналов Дфс = Ф,си—Ф'с2. Измерение разности
фаз двух сигналов имеет некоторые особенности,
которые в основном заключаются в том, что функции
распределения и энергетический спектр разности фаз сигналов
могут отличаться от соответствующих функций фазы
сигналов и каждый из сигналов, разность фаз которых
измеряется, принимается на фоне помех, т. е. их фаза под
действием помех флюктуирует. Помехи в каждом из
каналов могут быть независимыми или
коррелированными. В связи с изложенным в общем виде теория двух-
канальных фазовых систем требует отдельного
рассмотрения.
Некоторые же случаи, имеющие существенное
значение для практики, могут быть рассмотрены на основе
изложенных здесь методов.
В § 7.2 были выяснены условия, при которых
энергетический спектр подлежащей измерению разности фаз
двух сигналов может быть легко получен
суммированием энергетических спектров изменений фазы каждого из
них. В этом случае оптимальная схема измерения
разности фаз может быть построена на оптимальном изме-
457
&&ух\

рении фазы каждого из сигналов относительно опорного,
имеющего любую фазу, и последующем вычислении
разности. Соответствующая схема приведена на рис. 7.7.1.
Ранее было установлено, что оптимальные фазоизмери-
тели технически наиболее целесообразно строить с ис-
yift)=C,(t,9>j)
9>a(th9>yi(
\гкс
+ п
t)
id)
i
УютШ
X
Vzom(t)
hi\i(t)
0ФИ2
y2(t)=Zz(t>y>z)+*z(t)
V>cz(t)+<Py2(V
Рис. 7.7.1. Оптимальная схема измерений разности фаз двух
сигналов:
ОФИ — оптимальные фазоизмерители; ГКС — генератор копии сигналов.
пользованием следящих систем. Если фазы cpici(0 и
фС2(0 нестационарны, то следящие системы должны
иметь астатизм минимум первого порядка.
Пользуясь изложенной ранее методикой, можно
найти оптимальные параметры каждого из измерителей, на-
У?М
ФД
Фвр
-*»\У*К
ио U-J
УгМ
Рис. 7.7.2. Квазиоптимальная
схема измерения разности фаз
двух сигналов:
ФД — фазовый детектор; Фвр —
фазовращатель; МО —
исполнительный орган; У+К — усилительные и
корректирующие звенья.
пример оптимальную полосу пропускания следящих
систем, и дисперсию ошибок.
Если фазы qjid(tf) и q>C2(0 суть независимые
случайные процессы, и помехи, действующие в каждом из
каналов, так же не зависимы, т. е. не зависимы
флюктуации фазы под действием помех ^(tf) и фУ2 (^), то
дисперсия результирующей ошибки будет равна сумме
дисперсий результирующей ошибки измерений в каждом из
каналов.
Дисперсия динамических ошибок и флюктуационных
ошибок от помех также суммируются. Следовательно,
изложенные ранее методы и результаты можно исполь-
458

зовать при анализе некоторых вариантов двухканальных
фазовых систем.
Можно создать измеритель разности фаз со следящей
системой, в которой в качестве опорного применяется
один из сигналов. Схема такого измерителя приведена
на рис. 7.7.2. Отсчет положения фазовращателя
используется для оценки разности фаз
yi(t) = Ayi(t)co&l<*0t-{-<fci-\-9yi(t)]\
y*(t) = Ay2(t)CQS\<*0t + <fct+<fyt(t)l
После фазового детектора получим
0,5Л У1 (t) АУ2 (t) cos [(<pCl — <рС2) + <рУ1 (t) — <?У2 (*)],
если пренебречь флюктуациями фазы в фазовращателе
по сравнению с флюктуациями фазы в смеси.
Следовательно, схема работает аналогично
рассмотренным ранее.
Флюктуации разности фаз определяются
свойствами случайного процесса
*fv(t) = ?vi(t) + 9v*(t).
Если <fyi(t) и <?y2(t) распределены по нормальному закону,
то это распределение сохраняется и для h<?y(t).
Дисперсия флюктуации разности фаз будет равна
сумме дисперсий
2 2.2
% = 0Ф1+°ф2-
При одинаковых дисперсиях она удваивается. Очевидно,
что для такой следящей системы также можно найти
оптимальную полосу пропускания, используя методику,
изложенную ранее. Для этого нужно знать функцию
распределения, энергетический спектр разности фаз и
уровень помех,

Литература
К главе 1
1.1. Асеев Б. П. Фазовые соотношения в радиотехнике. Связь-
издат, 1954.
1.2. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. Изд-во
«Советское радио», 1963.
1.3. Теп лов Н. Л. Помехоустойчивость систем передачи
дискретной информации. Изд-во «Связь», 1964.
1.4. В а км а н Д. Е. Сложные сигналы и принцип
неопределенности в радиолокации. Изд-во «Советское радио», 1965.
1.5. До л у х а н о в М. Н. Оптимальные методы передачи сигналов
по линиям радиосвязи. Изд-во «Связь», 1965.
'1.6. П етр о в ич Н. Т. Передача дискретной информации в
каналах с фазовой манипуляцией. Изд-во «Советское радио», 1965.
1.7. «Электронные методы контроля траекторий космических
аппаратов». Изд-во иностранной литературы, 1963.
1.8. Контор А. В. Аппаратура и методы измерений при
испытаниях ракет. Оборонгиз, 1963.
1.9. Р а з м а х н и н М. К. Широкополосные системы связи (обзор).
«Зарубежная радиоэлектроника» № 8, 1965.
1.10. Астафьев Г. П., Шебшаевич В. С, Юрков Ю. А.
Радионавигационные устройства и системы. Изд-во «Советское
радио», 1958.
1.11. Б ел а вин О. В., 3 еров а М. В. Современные средства
радионавигации. Изд-во «Советское радио», 1965.
1.12. Сайбель А. Г. Основы радиодальнометрии. Оборонгиз, 1960.
1.13. Б ел а вин О. В., В ей дел ь В. А., Ульянов В. С.
Коротковолновые радиопеленгаторы. Оборонгиз, 1959.
1.14. Пестр я ков В. Б. Радионавигационные угломерные
системы, Госэнергоиздат, 1955.
1.15. Исследование точности и помехоустойчивости фазовых
радиопеленгаторов. Сборник трудов МАИ, под ред. Пестрякова
В. Б. Судпромгиз, 1959.
1.16. Мандельштам Л. И. и Папалекси Н. Д. Новейшие
исследования распространения радиоволн вдоль земной
поверхности. Гостехиздат, 1945.
1.17. «Проблемы дифракции и распространения радиоволн». Изд-во
Ленинградского университета, 1962.
1.18. Распространение длинных и сверхдлинных радиоволн. Сборник
переводов под ред. Пестрякова Р. Б., Изд-во иностранной
литературы.
460

1.19. Цвет нов В. В. Пороговая чувствительность фазовых
радиопеленгаторов. «Радиотехника», 1962, № 3.
1.20. Цвет нов В. В, Статистические свойства сигналов и помех
в двухканальных фазовых системах. «Радиотехника», 1957, №5.
1.21. Цветнов В. В. Фазовые корреляционные свойства сигналов
■и помех в двухканальных фазовых системах. «Радиотехника»,
1958, № 4.
1.22. Цветнов В. В. О распределении разности фаз гармонических
сигналов и некоррелированных гауссовых помех в двухканаль-
ной фазовой системе с идентичными каналами. «Радиотехника»,
1964, № 10.
1.23. Блэв, Бретон, Сент-Этьен. Точность интерферометри-
ческого метода измерения координат ИСЗ в системе Диана.
«Зарубежная радиоэлектроника», 1967, № 2.
1.24. Б ар то л о м е. Системы передачи информации и измерения
параметров траекторий искусственных спутников Земли и
космических аппаратов. «Зарубежная радиоэлектроника», 1966,
№ 2.
К главе 2
2.1. Левин Б. В. Теория случайных процессов и ее применение
в радиотехнике. Изд-во «Советское радио», 1951.
2.2. Бунимович В. И. Функциональные процессы в
радиоприемных устройствах. Изд-во «Советское радио», 1951.
2.3. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Изд-во «Наука»,
1965.
2.4. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во
«Советское радио», 1967.
2.5. Тихонов В. И. Один способ определения огибающей
квазигармонических флюктуации. «Радиотехника и электроника»,
1957, № 4.
2.6. Тихонов В. И. Среднее число выбросов частоты и фазы.
«Радиотехника и электроника», 1962, № 6.
2.7. Жуков В. П. Плотность вероятности производной фазы
суммы синусоидального сигнала и гауссова шума. «Радиотехника
и электроника».
2.8. Тихонов В. И. и Г о р я и н о в В. Т. Детектирование
случайных сигналов. «Радиотехника», 1966, № 1.
2.9. Тихонов В. И. и Челышев К. Б. Статистическая
динамика фазовой автоподстройки частоты. «Радиотехника и
электроника», 1963, № 2.
2.10. Тихонов В. И. Основные статистические характеристики
канала синхронизации «Электросвязь», 1966, № 4.
2.11. Тихонов В. И. Распределение максимума огибающей
квазигармонического шума. «Известия вузов», Радиотехника, 1933,
№ 5.
2.12. Тихонов В. И. О распределении наибольших значений
в реализациях флюктуации конечной длительности. «Известия
вузов», Радиотехника, 1961, № 5.
2.13. Тихонов В. И. и Куликов Е. И. Распределение
выбросов и максимумов флюктуации. Радиотехника, 1962, № 2.
461

К главе 3
3.1. В а т с о н Г. Н. Теория бесселевых функций.
3.2. Тихонов В. И. Воздействие электрических флюктуации на
детектор (метод огибающей). «Известия АН СССР, ОТН, 1955,
№ 10.
3.3. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи.
Изд-во «Советское радио», 1961.
3.4. Тихонов В. И. Дисперсия числа выбросов в реализациях
нормального шума конечной длительности «Радиотехника и
электроника», 1964, № 1.
3.5. Тихонов В. И. Характеристики выбросов случайных
процессов «Радиотехника и электроника», 1964, № 3.
3.6. Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихонов В. И.
О длительност-и выбросов случайной функции ЖТФ, 1954, № 1.
К главе 4
4.1. Ширм ан Я. Д. и Голиков В. Ы. Основы теории
обнаружения радиолокационных сигналов и измерение их
параметров. Изд-во «Советское радио», 1963.
4.2. Гуткин Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема
при флюктуационных помехах. Госэнергоиздат, 1961.
4.3. Пестряков В. Б. Оптимальное обнаружение радиосигналов.
Издание МЭИС 1967.
К главе 5
5.1. Левин Б. Р., Оптимальные фазовые методы обнаружения
сигналов. «Радиотехника и электроника», 1960, № 4.
5.2. Черняк Ю. Б. О линейных свойствах системы
«Широкополосный ограничитель — фильтр». «Радиотехника и электроника»,
1962, № 7.
5.3. Черняк Ю. Б. Чувствительность, точность и разрешающая
способность многоканального приемника с широкополосным
ограничителем. «Радиотехника и электроника», 1962, № 7.
5.4. Черняк Ю. Б. Квантование фазы при обнаружении сигналов
на фоне шумов. «Радиотехника и электроника», 1963, № 8.
5.5. Хагчинс В. и Миддлтон Д. Сравнение фазовых и
амплитудных принципов обнаружения сигналов. Сб. «Прием сигналов
при наличии шума», под ред. Гуткина Л. С. Изд-во иностранной
литературы, 1960.
К главе 6
6.1. Тихонов В. И. Работа фазовой автоподстройки частоты при
наличии шумов. «Автоматика и телемеханика», 1960, № 3.
6.2. Цветное В. В. Порогозая чувствительность идеальных фазо-
метрических звеньев. «Радиотехника», 1962, № 1.
6.3. Шахгильдян В. В. и Ляховкин А. А. Фазовая
автоподстройка частоты. Изд-во «Связь», 1966.
6.4. К а п л а н о в М. Р. и Левин В. А. Автоматическая
подстройка частоты. Госэнергоиздат, 1962.
462

6.5. Д р а б к и н Р. Л. Устройство выделения сигнала из флюктуа-
ционных помех и измерения его фазы. «Радиотехника», 1965,
т. 20, № 7.
6.6. Цветное В. В. Сравнение флюктуационных ошибок фазо-
метрических и корреляционных измерителей. «Радиотехника и
электроника», 1964, № 7.
6.7. Пестряков В. Б., Цветнов В. В. и Рубцов В. Д.
Потенциальная . точность слежения за фазой (измерения фазы) при
использовании полной информации о смеси и информации
только о ее фазе. Первая научно-техническая конференция по
космической радиосвязи, февраль 1967. Тезисы докладов. Изд-во
«Советское радио», 1967.
6.8. Челышев К. Б. Воздействие внешнего шума на фазовую
автоподстройку частоты. «Автоматика и телемеханика», 1963, № 7.
6.9. Тихонов В. И. и Шахтарин Б. И. Статистические
характеристики фазовой автоподстройки частоты. «Автоматика и
телемеханика», 1965, № 9.
6.10. Шахтарин Б. И. О фильтрующей способности системы
фазовой автоподстройки частоты. «Электросвязь», 1966, № 4.
6.11. Тихонов В. И. Нелинейная фильтрация и
квазиоптимальный характер фазовой автоподстройки частоты. «Техническая
кибернетика», 1965, № 2.
6.12. Тихонов В. И. Основные статистические характеристики
канала синхронизации «Электросвязь», 1965, № 4.
К главе 7
7.1. Кр ивицкий Б. X. Автоматические системы
радиотехнических устройств. Госэнергоиздат, 1962.
7.2. Красовский А. А. и Поспелов Г. С. Основы
автоматики и технической кибернетики. Госэнергоиздат, 1962.
7.3. Солодовников В. В. Введение в статистическую динамику
систем автоматического управления. ГИТТЛ, 1952.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Особенности фазовых систем 7
§ 1.1. Фаза радиосигнала 7
§ 1.2. Использование фазы в системах радиосвязи . 14
§ 1.3. Определение координат объектов (расстояний и
разности расстояний) с помощью информации,
содержащейся в фазе сигнала 20
§ 1.4. Определение угловых координат объектов с
помощью информации, содержащейся -в фазе сигнала 28
§ 1.5. Определение скоростей движения объектов с
помощью информации, содержащейся в фазе сигнала 33
§ 11.6. Импульсно-фазовые системы 35
§ 1.7. Основные проблемы фазовых систем .... 39
§ 4.8. Исходные соображения к вопросу об анализе
действия помех в фазовых системах . ... 42
Глава 2. Статистические характеристики фазы флюктуа-
ционной помехи 49
§ 2.1. Флюктуационная помеха как случайный процесс 49
§ 2.2. Прохождение флюктуационной помехи через
приемник 56
§ 2.3. Функции распределения огибающей и фазы
узкополосной помехи 63
§ 2.4. Функции распределения и основные статистические
характеристики помехи на выходе амплитудного
детектора сигнала и АРУ /4
§ 2.5. Простейшие статистические характеристики фазы
помехи 81
§ 2.6. Двумерная функция распределения. Энергетический
спектр и функции корреляции амплитуды помехи 82
§ 2.7. Двумерная функция распределения. Энергетический
спектр и функции корреляции фазы помехи . . 90
§ 2.8. Функция распределения производной фазы помехи 104
§ 2.9. Функция корреляции и энергетический спектр
производной фазы узкополосной помехи . . ПО
§ 2.10 Основные статистические характеристики частоты
помехи 116
§ 2.11. Основные статистические характеристики фазы
помехи при наличии ограничителя , 129
464

§ 2.12. Особенности распределения фазы помехи в
многоканальных системах 135
Глава 3. Статистические характеристики фазы смеси
сигнала и помехи 138
§ 3.1. Функции распределения смеси 138
§ 3.2. Одномерные функции распределения амплитуды
смеси и подавление при детектировании . . . 145
§ 3.3. Статистические характеристики напряжения на
выходе детектора и подавление сигнала помехой за
счет действия АРУ 153
§ 3.4. Функции распределения фазы в смеси сигнала и
помехи 163
§ 3.5. Четырехмерная функция распределения амплитуды
и фазы смеси 169
§ 3.6. Двумерная функция распределения. Функция
корреляции и энергетический спектр амплитуды . 171
§ 3.7. Двумерная функция распределения, функция
автокорреляции и энергетический спектр фазы . .. 178
§ 3.8. Подавление слабого сигнала помехой при
демодуляции фазы 184
§ 3.9. Функция распределения «нулей» смеси сигнала и
помехи 189
§ ЗЛО. Функции распределения фазы при
детерминированной помехе, имеющей случайную фазу . . 196
§ 3.11. Особенности функций распределения фазы в двух-
канальных системах 200
Глава 4. Роль фазы в обнаружении радиосигналов . . 202
§ 4.1. Статистический подход к проблеме обнаружения
сигнала в помехах и критерии оптимального
обнаружения 202
§ 4.2. Статистическое описание помехи, сигнала и их
смеси 207
§ 4.3. Оптимальная процедура обработки смеси и
отношение правдоподобия 212
§ 4.4. Оптимальное обнаружение сигнала с известными
параметрами 219
§ 4.5. Использование согласованных фильтров в схемах
оптимального обнаружения сигналов с известными
параметрами 234
§ 4.6. Обнаружение сигнала с неизвестной амплитудой
и известной фазой. Системы с «активной паузой» 240
§ 4.7. Оптимальное обнаружение сигнала со случайной
фазой 252
§ 4.8. Использование согласованных фильтров в схемах
оптимального приема сигнала со случайной фазой.
Оценка влияния случайности фазы .... 273
§ 4.9. Оптимальное обнаружение сигнала с
флюктуирующей фазой 283
§ 4.10. Оценка влияния фазы на оптимальное обнаружение
радиосигналов 303
Глава 5. Фазовое обнаружение 308
465

§ 5.1. Особенности фазового обнаружения .... 308
§ 5.2. Простое фазовое обнаружение 310
§ 5.3. Оптимальное фазовое обнаружение слабого сигнала
с известными параметрами в схемах с
использованием идеального фазоизмерителя 317
§ 5.4. Ошибки ори фазовом обнаружении слабого
сигнала с известными параметрами 323
§ 5.5. Фазовое обнаружение сильного сигнала с
известными параметрами 327
§ 5.6. Сравнение процедуры обработки »в оптимальных
амплитудно-фазовом и фазовом обнаружителях
сигнала с известной фазой 334
§ 5.7. Оптимальное фазовое обнаружение при
использовании ограничителя 340
§ 5.8. Фазовое обнаружение сигнала с неизвестной фазой 342
§ 5.9. Фазовые фильтры 348
§ 5.10. Оценка фазового обнаружения 350
Глава 6. Оптимальное измерение фазы 353
§ 6Л. Постановка задачи 353
§ 6.2. Критерий оптимальности 356
§ 6.3. Критерий минимального среднего риска при
использовании конечного времени наблюдения . . . 361
§ 6.4. Критерий максимума обратной вероятности . . 367
§ 6.5. Критерий максимума правдоподобия .... 370
§ 6.6. Оптимальная процедура измерения фазы и ошибки
измерения 376
§ 6.7. Некоторые варианты схем оптимального и
квазиоптимального измерения фазы 387
§ 6.8. Использование согласованных фильтров в схемах
оптимального измерения фазы 397
Глава 7. Оптимизация слежения за фазой .... 403
§ 7.1. Постановка задачи 403
§ 7.2. Статистические характеристики фазы сигнала . 404
§ 7.3. Измерение фазы при воспроизведении изменений,
соответствующих основной части спектра . . . 423
§ 7.4. Оптимальное слежение за фазой с использованием
линейной фильтрации 426
§ 7.5. Особенности реализации систем оптимального
слежения за фазой 433
§ 7.6. Оптимизация слежения при нестационарности
случайного процесса, характеризующего фазу . . 446
§ 7.7. Измерение изменяющейся разности фаз двух
сигналов 457
Литература . . . : 460

ВЛАДИМИР БОРИСОВИЧ ПЕСТРЯКОВ
ФАЗОВЫЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Редактор В. Г. Машарова
Художественный редактор В. Т. Сидоренко
Технический редактор Г. 3. Шалимова
Корректоры Т. Л. Князева-, 3. Н. Ахмедова
Сдано в набор 28/XI 1967 г. Подписано к печати 25/IV 1968 г.
Формат 84x108/32 Бумага типографская № 1
Объем 24,57 усл. п. л. Учетно-издат. лист. 22,704
Тираж 14.000 экз. T-05086 Зак. 635
Издательство „Советское радио", Москва, Главпочтамт, п/я 693
Московская типография № 10 Главполиграфпрома
Комитета- по печати при Совете Министров СССР.
Шлюзовая наб.. 10.
Цена 1 р. 31 к.

Готовится к выпуску новая книга
В А К И Н С. А., Ш У С Т О В Л. Н.
ОСНОВЫ РАДИОПРОТИВОДЕЙСТВИЯ И РАДИОТЕХНИЧЕСКОЙ
РАЗВЕДКИ
ИЗД-ВО «СОВЕТСКОЕ РАДИО», 27 л., ЦЕНА 1 р. 54 к.
В книге рассмотрены критерии эффективности и различные
способы создания активных и пассивных помех современным
радиоэлектронным средствам, а также вопросы радиотехнической
разведки. Описаны методы оценки информационного ущерба,
наносимого средствами активных помех. Исследованы различные
виды помех по каналу углового сопровождения РЛС
(моноимпульсных и с коническим сканированием). Изложены методы создания
активных помех системам автоматического сопровождения по
дальности и скорости. Дана оценка различных видов помеховых
сигналов радиолиниям связи и командного управления. Выведены
расчетные соотношения, позволяющие оценивать потребное
количество дипольных отражателей для подавления РЛС различного
назначения. Рассмотрены особенности подавления пассивными
помехами импульсно-когерентных РЛС.
Книга предназначена для широкого круга специалистов,
занимающихся вопросами разработки, эксплуатации и применения
радиоэлектронной аппаратуры.