Текст
                    

А В. Погорелов ГЕОМЕТРИЯ ю — 1 КЛАССЫ Учебник для общеобразовательных учреждений Базовый и профильный уровни Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 9-е издание МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 2009
УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 П43 На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 101106-5215/1415 от 25.10.06) и Российской академии образова- ния (№ 01-168/5/7д от 14.07.06) Погорелов А. В. П43 Геометрия. 10—11 классы : учеб, для общеобразоват. учрежде- ний : базовый и профил. уровни / А. В. Погорелов. — 9-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 175 с. : ил. — ISBN 978-5-09-021850-4. УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 ISBN 978-5-09-021850-4 © Издательство «Просвещение», 2000 © Издательство «Просвещение», 2006, с изменениями © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2006 Все права защищены
Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 1. Аксиомы стереометрии Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии, так же как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. При этом отправными являются свойства основ- ных геометрических фигур, выражаемые аксиома- ми. Основными фигурами в пространстве являют- ся точка, прямая и плоскость. Плоскость мы представляем себе как ровную поверхность крышки стола (рис. 1, а). Изображать плоскость будем в виде параллелограм- ма или в виде произвольной области (рис. 1, б, в). Плоскость, как и прямая, бесконечна. На рисунке мы изображаем только часть плоскости, но пред- ставляем ее неограниченно продолженной во все стороны. Плоскости обозначаются греческими бук- вами а, р, у, ... . Введение нового геометрического обра- за — плоскости заставляет расширить систему акси- ом. Поэтому мы вводим группу аксиом, которая вы- ражает основные свойства плоскостей в простран- стве. Эта группа состоит из следующих трех аксиом: Аксиома в) Рис. 1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не при- надлежащие ей. О Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точ- ку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости а и 0 имеют общую точ- ку, то существует прямая с, принадлежащая каж- дой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадле- жит прямой с. Аксиома Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. Это значит, что если две различные прямые а и b имеют общую точку С, то существует плоскость у, содержащая прямые а и Ъ. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна. Таким образом, система аксиом стерео- метрии состоит из аксиом I—IX планиметрии и трех аксиом стереометрии. Напомним аксиомы планиметрии: I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принад- лежащие ей. Через любые две точки можно прове- сти прямую, и только одну. II. Из трех точек на прямой одна и только одна ле- жит между двумя другими. III. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин ча- стей, на которые он разбивается любой его точкой. [V. Прямая, принадлежащая плоскости, разбива ет эту плоскость на две полуплоскости. V. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лу- чом, проходящим между его сторонами. VI. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и толь- ко один. 10 класс
VII. От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и толь- ко один. VIII. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в за- данном расположении относительно данной полу- прямой в этой плоскости. IX. На плоскости через данную точку, не лежа- щую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Замечание. В планиметрии мы имели одну плоскость, на которой располагались все рас- сматриваемые нами фигуры. В стереометрии мно- го, даже бесконечно много, плоскостей. В связи с этим формулировки некоторых аксиом планимет- рии как аксиом стереометрии требуют уточнения. Это относится к аксиомам IV, VII, VIII, IX. 2. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку Теорема 1.1 Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Доказательство. Пусть АВ — данная прямая и С — не лежащая на ней точка (рис. 2). Проведем через точки А и С прямую (аксиома I). Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на пря- мой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плос- кость а (аксиома С3). Она проходит через прямую АВ и точку С. Докажем, что плоскость а, проходящая через прямую АВ и точку С, единственна. Допус- тим, существует другая плоскость а', проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме С2 плос- кости а и а' пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки A, В, С. Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Рис. 2 Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия
Задача (7)1. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости. Решение. Пусть а — данная прямая (рис. 3). По аксиоме I существует точка А, не лежащая на пря- мой а. По теореме 1.1 через прямую а и точку А можно провести плоскость, обозначим ее oq. По ак- сиоме Сх существует точка В, не лежащая в плос- кости oq. Проведем через прямую а и точку В плоскость а2. Плоскости oq и а2 различны, так как точка В плоскости а2 не лежит на плоскости oq. Рис. 3 3. Пересечение прямой с плоскостью Теорема 1.2 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Доказательство. Пусть а — данная прямая и oq — дан- ная плоскость (рис. 4). По аксиоме I существует точка А, не лежащая на прямой а. Проведем че- рез прямую а и точку А плоскость а2. Если плос- кость а2 совпадает с плоскостью oq, то плоскость oq содержит прямую а, что и утверждается теоре- мой. Если плоскость а2 отлична от плоскости то эти плоскости пересекаются по прямой а\ со- 1 Число в скобках указывает номер задачи в списке задач, при- веденных в конце параграфа. 10 класс
держащей две точки прямой а. По аксиоме I пря- мая а' совпадает с а, и, следовательно, прямая а лежит в плоскости cq. Теорема доказана. Из теоремы 1.2 следует, что плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке (рис. 5). Задача (9). Даны две различные прямые, пересека- ющиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пе- ресекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости. Решение. Проведем через данные прямые а и b плоскость а (рис. 6). Это можно сделать по аксио- ме С3. Прямая с, пересекающая данные прямые, имеет с плоскостью а две общие точки М и N (точ- ки пересечения с данными прямыми). По теореме 1.2 эта прямая должна лежать в плоскости а. 4. Существование плоскости, проходящей через три данные точки Теорема 1.3 Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Доказательство. Пусть А, В, С — три данные точки, не лежащие на одной прямой (рис. 7). Проведем пря- мые АВ и АС; они различны, так как точки А, В, С не лежат на одной прямой. По аксиоме С3 через прямые АВ и АС можно провести плоскость а. Эта плоскость содержит точки А, В, С. Докажем, что плоскость а, проходящая через точки А, В, С, единственна. Действительно, плоскость, проходя- щая через точки А, В, С, по теореме 1.2 содержит прямые АВ и АС. А по аксиоме С3 такая плоскость единственна. Рис. 7 Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия
Задача (13). Можно ли провести плоскость через три точки, если эти точки лежат на одной прямой? Объясните ответ. Решение. Пусть А, В, С — три точки, лежащие на прямой а. Возьмем точку D, не лежащую на пря- мой а (аксиома I). Через точки А, В, D можно про- вести плоскость (теорема 1.3). Эта плоскость содер- жит две точки прямой а — точки А и В, а значит, содержит и точку С этой прямой (теорема 1.2). Следовательно, через три точки, лежащие на од- ной прямой, всегда можно провести плоскость. 5. Замечание к аксиоме I Аксиома I в списке аксиом стереомет- рии приобретает новый смысл по сравнению с тем, который она имела в планиметрии. В планиметрии эта аксиома утверждает существование точек вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Именно в таком смысле эта аксиома применялась нами при построении геометрии на плоскости. Теперь эта аксиома утверждает вообще существование точек, не лежащих на данной пря- мой. Из нее непосредственно не следует, что суще- ствуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Это требует специального доказательства. Дадим такое доказательство. Пусть eq — плоскость на — прямая в этой плоскости (рис. 8). Докажем существование точек в плоскости cq, не лежащих на прямой а. Отметим точку А на прямой а и точку А вне плоскости аР Проведем плоскость а2 через прямую а и точку А. Возьмем точку В вне плос- кости а2 и проведем через прямую ДА и точку В плоскость р. Плоскости 04 и Р пересекаются по прямой Ь, проходящей через точку А и отличной от прямой а. Точки этой прямой, отличные от точки А, лежат в плоскости вне прямой а, что и тре- бовалось доказать. Рис. 8 8 10 класс
6. Разбиение пространства плоскостью на два полупространства Теорема Плоскость разбивает пространство на два полу- пространства. Если точки X и Y принадлежат од- ному полупространству, то отрезок XY не пересе- кает плоскость. Если же точки X и Y принадле- жат разным полупространствам, то отрезок XY пересекает плоскость. Доказательство (не для запоминания). Пусть oq — данная плоскость. Отметим точку А, не лежащую в плоскости oq. Такая точка существует по аксиоме Ср Разобьем все точки про- странства, не лежащие в плоскости oq, на два полу- пространства следующим образом. Точку X отне- сем к первому полупространству, если отрезок АХ не пересекает плоскость oq, и ко второму полупро- странству, если отрезок АХ пересекает плоскость oq. Покажем, что это разбиение пространства обла- дает свойствами, указанными в теореме. Пусть точки X и Y принадлежат перво- му полупространству. Проведем через точки А, X и Y плоскость oq. Если плоскость oq не пересекает плоскость oq, то отрезок XY тоже не пересекает эту плоскость. Допустим, что плоскость oq пересекает плоскость oq (рис. 9). Так как плоскости различ- ны, то их пересечение происходит по некоторой прямой а. Прямая а разбивает плоскость oq на две полуплоскости. Точки X и У принадлежат одной полуплоскости, именно той, в которой лежит точ- ка А. Поэтому отрезок XY не пересекает прямую а, а значит, и плоскость oq. Если точки X и У принадлежат второ- му полупространству, то плоскость oq заведомо пересекает плоскость oq, так как отрезок АХ пере- секает плоскость oq. Точки X и У принадлежат одной полуплоскости разбиения плоскости oq пря- мой а. Следовательно, отрезок ХУ не пересекает прямую а, а значит, и плоскость oq. Рис. 9 Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 9
Если, наконец, точка X принадлежит одному полупространству, а точка Y — другому, то плоскость а2 пересекает плоскость cq, а точки X и Y лежат в разных полуплоскостях плоскости а2 относительно прямой а. Поэтому отрезок XY пересекает прямую а, а значит, и плоскость оц. Теорема доказана. Контрольные вопросы 1. Что такое стереометрия? 2. Назовите основные фигуры в пространстве. 3. Сформулируйте три аксиомы стереометрии. 4. Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. 5. Докажите, что если две точки прямой принадлежат плос- кости, то вся прямая принадлежит плоскости. 6. Докажите, что через три точки, не лежащие на одной пря- мой, можно провести плоскость, и притом только одну. Задачи Пункт 1 1. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажи- те, что прямые АВ и CD не пересекаются. 2. Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ. 3. 4. 5. 6. 7. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плос- костей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой. Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плос- костей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения (рис. 10). Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а, и прямая Ь, которая ле- жит в одной из этих плоскостей и пере- секает другую. Докажите, что прямые а и Ъ пересекаются. Пункт 2 Четыре точки не лежат в одной плоскос- ти. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните от- вет. Докажите, что через прямую можно про- вести две различные плоскости. 10 10 класс
Рис. 11 одной плоскости. 81. Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую (рис. 11). Пункт 3 9. Даны две различные прямые, пересека- ющиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные пря- мые и не проходящие через точку А, ле- жат в одной плоскости. 10. Докажите, что все прямые, пересекаю- щие данную прямую и проходящие че- рез данную точку вне прямой, лежат в 11. Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости, то прямые АС и BD также не лежат в одной плоскости. Пункт 4 12. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходя- щих через три из этих точек? Объясните ответ. 13. Можно ли провести плоскость через три точки, если эти точки лежат на одной прямой? Объясните ответ. 14. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что дан- ные четыре точки не лежат в одной плоскости. Параллельность прямых и плоскостей 7. Параллельные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскос- ти и не пересекаются. Прямые, которые не пере- секаются и не лежат в одной плоскости, называ- ются скрещивающимися (рис. 12). 1 1 Цветом отмечены задачи повышенной трудности. Рис. 12 Параллельность прямых и плоскостей
Задача (3). Докажите, что все прямые, пересекаю- щие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости. Решение. Так как данные прямые а и & парал- лельны, то через них можно провести плоскость (рис. 13). Обозначим ее а. Прямая с, пересекающая данные парал- лельные прямые, имеет с плоскостью а две общие точки — точки пересечения с данными прямыми. По теореме 1.2 эта прямая лежит в плоскости а. Итак, все прямые, пересекающие две данные па- раллельные прямые, лежат в одной плоскости — плоскости а. Рис. 13 Теорема 2.1 Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом толь- ко одну. Замечание. Утверждение единственности в теореме 2.1 не является простым следствием аксиомы па- раллельных, так как этой аксиомой утверждается единственность прямой, параллельной данной в данной плоскости. Поэтому теорема требует до- казательства. Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — точ- ка, не лежащая на этой прямой (рис. 14). Прове- дем через прямую а и точку А плоскость а. Про- ведем через точку А в плоскости а прямую alt параллельную а. Докажем, что прямая аг, парал- лельная а, единственна. Допустим, что существует другая пря- мая а2, проходящая через точку А и параллельная прямой а. Через прямые а и а2 можно провести плоскость а2. Плоскость а2 проходит через прямую а и точку А; следовательно, по теореме 1.1 она совпадает с плоскостью а. Теперь по аксиоме параллельных прямые аг и а2 совпадают. Теорема доказана. Рис. 14 10 класс
8. Признак параллельности прямых Теорема 2.2 Две прямые, параллельные третьей прямой, па- раллельны. Доказательство. Пусть прямые b и с параллельны пря- мой а. Докажем, что прямые b и с параллельны. Случай, когда прямые а, Ь, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть 0 — плоскость, в кото- рой лежат прямые а и Ь, а у — плоскость, в кото- рой лежат прямые а и с. Плоскости 0 и у различ- ны (рис. 15). Отметим на прямой b какую-нибудь точку В и проведем плоскость yj через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость 0 по прямой Ъг. Прямая Ьг не пересекает плоскость у. Действительно, точка пересечения должна принад- лежать прямой а, так как прямая Ьг лежит в плос- кости 0. С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая Ьг лежит в плоскос- ти уР Но прямые а тл. с как параллельные прямые не пересекаются. Так как прямая Ьг лежит в плоскости 0 и не пересекает прямую а, то она параллельна а, а значит, совпадает с & по аксиоме параллельных. Таким образом, прямая &, совпадая с прямой Ь19 ле- жит в одной плоскости с прямой с (в плоскости yj и не пересекает ее. Значит, прямые & и с парал- лельны. Теорема доказана. Задача (11). Докажите, что середины сторон прост- ранственного четырехугольника являются верши- нами параллелограмма (вершины пространственно- го четырехугольника не лежат в одной плоскости). Решение. Пусть ABCD — данный пространствен- ный четырехугольник (рис. 16). Пусть Alt Blf Clt D1 — середины его сторон. Тогда А^! — средняя Рис. 15 Параллельность прямых и плоскостей 13
линия треугольника АВС, параллельная стороне AC, C1D1 — средняя линия треугольника ACD, то- же параллельная стороне АС. По теореме 2.2 пря- мые AjBj и CXDX параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Точно так же доказывается па- раллельность прямых AyDy и BjCj. Итак, четырех- угольник AyByCyD^ лежит в одной плоскости и его противолежащие стороны параллельны. Следова- тельно, он параллелограмм. 9. Признак параллельности прямой и плоскости Прямая и плоскость называются парал- лельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек. Теорема 2.3 Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскос- ти, то она параллельна и самой плоскости. Доказательство. Пусть а — плоскость, а — не лежащая в ней прямая и аг — прямая в плоскости а, парал- лельная прямой а. Проведем плоскость а! через прямые а и аг (рис. 17). Плоскости а и пересе- каются по прямой аг. Если бы прямая а пересека- ла плоскость а, то точка пересечения принадлежа- ла бы прямой аг. Но это невозможно, так как пря- мые а и аг параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость а, а значит, параллельна плоскости а. Теорема доказана. Задача (15). Докажите, что если плоскость пересека- ет одну из двух параллельных прямых, то она пе- ресекает и другую. Решение. Пусть а и b — две параллельные пря- мые и а — плоскость, пересекающая прямую а в точке А (рис. 18). Проведем через прямые а и b плоскость. Она пересекает плоскость а по неко- торой прямой с. Прямая с пересекает прямую а Рис. 18 14 10 класс
(в точке А), а значит, пересекает параллельную ей прямую Ь. Так как прямая с лежит в плоскости а, то плоскость а пересекает прямую Ь. 10. Признак параллельности плоскостей Две плоскости называются параллель- ными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек. Теорема 2.4 Если две пересекающиеся прямые одной плоскос- ти соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство. Пусть а и Р — данные плоскости, и а2 — прямые в плоскости а, пересекающиеся в точке А, Ьг и Ь2 — соответственно параллельные им прямые в плоскости 0 (рис. 19). Допустим, что плоскости а и 0 не параллельны, т. е. пересекают- ся по некоторой прямой с. По теореме 2.3 прямые аг и а2, как параллельные прямым Ьг и Ь2, парал- лельны плоскости р, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким обра- зом, в плоскости а через точку А проходят две прямые (tij и а2), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы приш- ли к противоречию. Теорема доказана. Задача (19). Докажите, что через две скрещивающи- еся прямые можно провести параллельные плос- кости. Рис. 19 Рис. 20 Параллельность прямых и плоскостей
Решение. Пусть а и b — данные скрещивающие- ся прямые (рис. 20). Через произвольную точку прямой а проведем прямую Ъ', параллельную Ь, а через произвольную точку прямой Ъ проведем пря- мую а', параллельную а. Теперь проведем две плоскости: одну через прямые а и Ь', а другую че- рез прямые b и а'. По теореме 2.4 эти плоскости параллельны. В первой из них лежит прямая а, а во второй — прямая Ь. 11. Существование плоскости, параллельной данной плоскости Теорема 2.5 Через точку вне данной плоскости можно провес- ти плоскость, параллельную данной, и притом только одну. Доказательство. Проведем в данной плоскости а ка- кие-нибудь две пересекающиеся прямые а и b (рис. 21). Через данную точку А проведем парал- лельные им прямые аг и Ьг. Плоскость 0, проходя- щая через прямые аг и Ь}, по теореме 2.4 парал- лельна плоскости а. Допустим, что через точку А проходит другая плоскость 0Р тоже параллельная плоскости а (рис. 22). Отметим на плоскости 0! какую-нибудь точку С, не лежащую в плоскости 0. Проведем плоскость у через точки А, С и какую-нибудь точку В плоскости а. Эта плоскость пересечет плоскости а, 0 и 0! по прямым Ь, а и с. Прямые а и с не пересекают прямую Ь, так как не пересе- кают плоскость а. Следовательно, они параллель- ны прямой Ь. Но в плоскости у через точку А мо- жет проходить только одна прямая, параллельная прямой Ь. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана полностью. Рис. 21 Задача (23). Плоскости а и 0 параллельны плоскос- ти у. Могут ли плоскости а и 0 пересекаться? 16 10 класс
Решение. Плоскости а и р не могут пересекаться. Если бы плоскости аир имели общую точку, то че- рез эту точку проходили бы две плоскости (а и 0), параллельные плоскости у. А это противоречит тео- реме 2.5. 12. Свойства параллельных плоскостей Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны (рис. 23). Действительно, согласно определению параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. На- ши прямые лежат в одной плоскости — секущей плоскости. Они не пересекаются, так как не пе- ресекаются содержащие их параллельные плоскос- ти. Значит, прямые параллельны, что и требова- лось доказать. Задача (33). Даны две параллельные плоскости и а2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плос- костей. Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть Xj и Х2 — точки пересечения этой прямой с плоскостями а! и а2. Докажите, что от- ношение длин отрезков АХг : АХ2 не зависит от взятой прямой. Решение. Проведем через точку А другую прямую и обозначим через Ух и У2 точки пересечения ее с плоскостями а! и а2 (рис. 24). Проведем через пря- мые АХг и АУг плоскость. Она пересечет плоскос- ти а! и а2 по параллельным прямым X^j^ и Х2У2. Отсюда следует подобие треугольников AX^Xj и АХ2У2. А из подобия треугольников следует про- порция —- = —- т. е. отношения АХг : АХ2 и ах2 ау2 АУг : АУ2 одинаковы для обеих прямых. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. Рис. 24 Параллельность прямых и плоскостей
Действительно, пусть и а2 — па- раллельные плоскости, а и b — пересекающие их параллельные прямые, А2 и В2 — точки пе- ресечения прямых с плоскостями (рис. 25). Прове- дем через прямые а и b плоскость. Она пересека- ет плоскости ocj и а2 по параллельным прямым А^ и А2В2. Четырехугольник А1В1В2А2 — парал- лелограмм, так как у него противолежащие сторо- ны параллельны. А у параллелограмма противоле- жащие стороны равны. Значит, АГА2 = ВгВ2, что и требовалось доказать. Рис. 25 13. Изображение пространственных фигур на плоскости Для изображения пространственных фи- гур на плоскости обычно пользуются параллель- ным проектированием. Этот способ изображения фигуры состоит в следующем. Берем произвольную прямую Л, пересекающую плоскость чертежа а, проводим через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную h. Точка Аг пересечения этой прямой с плоскостью чертежа будет изобра- жением точки А (рис. 26). Построив таким обра- зом изображение каждой точки фигуры, получим изображение самой фигуры. Такой способ изобра- жения пространственной фигуры на плоскости со- ответствует зрительному восприятию фигуры при рассматривании ее издали. Отметим некоторые свойства изображе- ния фигуры на плоскости, вытекающие из описан- ного ее построения. Рис. 26 Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками (рис. 27). Действительно, все прямые, проектиру- ющие точки отрезка АС, лежат в одной плоскости, пересекающей плоскость чертежа а по прямой А1С1. Произвольная точка В отрезка АС изобража- ется точкой Вг отрезка А1С1. Замечание. В только что доказанном свойстве и да- лее предполагается, конечно, что проектируемые Рис. 27 18 10 класс
отрезки не параллельны направлению проектиро- вания. Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками (рис. 28). Действительно, пусть АС и АС — па- раллельные отрезки фигуры. Прямые А^! и А[С[ параллельны, так как они получаются при пересе- чении параллельных плоскостей с плоскостью а. Первая из этих плоскостей проходит через прямые АС и ААр а вторая — через прямые АС' и АА[. Отношение отрезков одной прямой или парал- лельных прямых сохраняется при параллельном проектировании. Покажем, например, что (рис. 29) АВ _ AjBj ' ВС Проведем через точку В прямую А2С2, параллельную А1С1. Треугольники ВАА2 и ВСС2 подобны. Из подобия треугольников и равенств А1В1 = А2В и ВгСг = ВС2 следует пропорция (*). Рис. 28 Рис. 29 Задача (37). Дана параллельная проекция треуголь- ника. Как можно построить проекции медиан это- го треугольника? Решение. При параллельном проектировании со- храняется отношение отрезков прямой. Поэтому середина стороны треугольника проектируется в середину проекции этой стороны. Следовательно, проекции медиан треугольника будут медианами его проекции. Наряду с параллельным проектировани- ем для изображения пространственных фигур на плоскости может использоваться также центральное проектирование, которое состоит в следующем. Бе- рем произвольную точку 8, не лежащую в плоскос- ти чертежа а, и проводим через произвольную точ- ку А фигуры прямую SA. Точка Аг пересечения этой 19 Параллельность прямых и плоскостей
прямой с плоскостью чертежа будет изображением <8 точки А (рис. 30). Построив таким образом изобра- жение каждой точки фигуры, получим изображение самой фигуры. \W Этот способ изображения дает наглядное \\ зрительное представление о фигуре, но точные раз- \ \]/^\ меры ее частей при этом теряются. \ Дд \ Из доказанных выше трех свойств парал- V/ дельного проектирования центральное проектирова- А\ / у ние обладает в полной мере только первым из них. V //~ / Что касается двух других свойств, то они даже для отрезков, параллельных плоскости чертежа, выпол- / няются не всегда. Рис. 30 Контрольные вопросы 1. Какие прямые в пространстве называются параллель- ными? 2. Какие прямые называются скрещивающимися? 3. Докажите, что через точку вне данной прямой можно про- вести прямую, параллельную этой прямой, и притом толь- ко одну. 4. Докажите признак параллельности прямых. 5. Что значит: прямая и плоскость параллельны? 6. Докажите признак параллельности прямой и плоскости. 7. Какие плоскости называются параллельными? 8. Докажите признак параллельности плоскостей. 9. Докажите, что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом толь- ко одну. 10. Докажите, что если две параллельные плоскости пересека- ются третьей, то прямые пересечения параллельны. 11. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключен- ные между двумя параллельными плоскостями, равны. 12. Перечислите свойства параллельного проектирования. 13. Что такое центральное проектирование и чем оно отлича- ется от параллельного проектирования? Задачи Пункт 7 1. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещиваются. 2. Можно ли через точку С, не принадлежащую скрещиваю- щимся прямым а и bt провести две различные пряжчые, каждая из которых пересекает прямые а и Ь? Объясните ответ. 10 класс
3. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные па- раллельные прямые, лежат в одной плоскости. 4. Прямые а и Ъ пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой Ъ и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости. 5. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены па- раллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках Alt В1 и Мх. Найдите длину отрезка MMlt если отрезок АВ не пересекает плоскость и если: 1) АА1 = 5 м, BBj = 7 м; 2) АА1 = 3,6 дм, ВВХ = 4,8 дм; 3) ААХ = 8,3 см, ВВ2 = 4,1 см; 4) ААг = а, ВВХ = b. i 6. Решите задачу 5, если отрезок АВ пересекает плоскость. 7. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В2 и СР Най- дите длину отрезка ВВ15 если: 1) СС1 = 15 см, АС : ВС = = 2 : 3; 2) CCt = 8,1 см, АВ : АС = 11 : 9; 3) АВ = 6 см, АС : CCj = 2 : 5; 4) АС = а, ВС = Ь, ССГ = с. Пункт 8 8. Даны параллелограмм ABCD и не пересекающая его плос- кость. Через вершины параллелограмма проведены парал- лельные прямые, пересекающие данную плоскость в точ- ках AJt Вп CJt D1 (рис. 31). Найдите длину отрезка DDlt если: 1) ААг = 2 м, ВВг = 3 м, ССХ = 8 м; 2) ААЛ = 4 м, ВВг = 3 м, ССГ = 1 м; 3) ААЛ = а, ВВ1 = д, СС} = с. 9. Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Можно ли про- вести прямую с, параллельную прямым а и Ь? 10. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины от- резков AD и CD. 11. Докажите, что середины сторон про- странственного четырехугольника явля- ются вершинами параллелограмма (вер- шины пространственного четырехуголь- ника не лежат в одной плоскости). 12. Даны четыре точки А, В, С, D, не ле- жащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины от- резков АВ и CD, АС и BD, AD и ВС, пересекаются в одной точке. 13. Дан треугольник АВС. Плоскость, па- раллельная прямой АВ, пересекает сто- 21 Рис. 31 Параллельность прялых
14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. рону АС этого треугольника в точке Alt а сторону ВС — в точке ВР Най- дите длину отрезка АгВ lt если: 1) АВ = 15 см, ААЛ : АС = 2 : 3; 2) АВ = 8 см, ААг : АгС = 5:3; 3) BjC = 10 см, АВ : ВС = 4 : 5; 4) ААг = а, АВ = Ь, АгС = с. Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей. Пункт 9 Докажите, что если плоскость пересека- ет одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Докажите, что через любую из двух скре- щивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой. Докажите, что если две плоскости, пе- ресекающиеся по прямой а, пересекают плоскость а по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости а (рис. 32). Пункт 10 Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую. Докажите, что через две скрещиваю- щиеся прямые можно провести парал- лельные плоскости. Через данную точку пространства про- ведите прямую, пересекающую каж- дую из двух скрещивающихся прямых (рис. 33). Всегда ли это возможно? Докажите, что геометрическое место се- редин отрезков с концами на двух скре- щивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым (рис. 34). Даны четыре точки А, В, С и D, не ле- жащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная пря- мым АВ и CD, пересекает прямые АС, AD, BD и ВС в вершинах параллело- грамма (рис. 35). 22 10 класс
23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. Пункт 11 Плоскости а и Р параллельны плоскости у. Могут ли плос- кости аир пересекаться? Плоскости аир пересекаются. Докажите, что любая плос- кость у пересекает хотя бы одну из плоскостей а, р. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плос- кости. Через данную точку проведите плос- кость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно? Пункт 12 Параллелограммы ABCD и ABCyDy ле- жат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник CDDyCy тоже па- раллелограмм (рис. 36). Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллель- ных плоскостей, проведены параллель- ные прямые, пересекающие другую плоскость в точках At, Bn С1? Dy. Дока- жите, что четырехугольник A1B1C1D1 то- же параллелограмм. Через вершины треугольника АВС, ле- жащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие другую плос- кость в точках Ay, By, Су. Докажите ра- венство треугольников АВС и А1В1С1. Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плос- кость в точках Ay, By, Су. Докажите подобие треугольников АВС и AjB^j (рис. 37). Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость а в вершинах параллелограм- ма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через точку А, тоже в вершинах параллелог- рамма (рис. 38). Рис. 36 Рис. 37 Рис. 38 23 Параллельность прямых и плоскостей
32. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В од- ной из плоскостей проведены параллельные прямые, пе- ресекающие другую плоскость в точках Аг и Вг. Чему ра- вен отрезок AjBp если АВ = а? 33. Даны две параллельные плоскости и а2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть Хг и Х2 — точки пересечения этой прямой с плоскостями 04 и а2. Докажи- те, что отношение длин отрезков АХг : АХ2 не зависит от взятой прямой. 34. Точка А лежит вне плоскости а, X — произвольная точка плоскости а, X' — точка отрезка АХ, делящая его в отно- шении т : п. Докажите, что геометрическое место точек X есть плоскость, параллельная плоскости а. 35. Даны три параллельные плоскости cq, а2, а3. Пусть Хп Х2, Х3 — точки пересечения этих плоскостей с произволь- ной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков XjX2 : Х2Х3 не зависит от прямой, т. е. одинаково для любых двух прямых. 36. Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в верши- нах параллелограмма, то любая плоскость, не параллель- ная данным прямым, пересекает их в вершинах некоторо- го параллелограмма. Пункт 13 37. Дана параллельная проекция треугольника. Как можно построить проекции медиан этого треугольника? 38. Дана параллельная проекция треугольника. Чем изобра- зится проекция средней линии треугольника? 39. Может ли при параллельном проектировании параллело- грамма получиться трапеция? Объясните ответ. 40. Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом? 41. Докажите, что параллельная проекция / центрально-симметричной фигуры так- / / ] же является центрально-симметричной / ! j фигурой. / / / 42. Дана параллельная проекция окружное- ( / ти и ее диаметра (рис. 39). Как постро- ить проекцию перпендикулярного диа- метра? Рис. 39 10 класс
И Перпендикулярность прямых и плоскостей 14. Перпендикулярность прямых в пространстве Так же как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересе- каются под прямым углом. Теорема Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны. Доказательство. Пусть а и Ь — перпендикулярные пря- мые, а и Ьг — параллельные им пересекающие- ся прямые. Докажем, что прямые аг и Ьг перпен- дикулярны. Если прямые а, Ь, а1У Ьх лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии. Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b ле- жат в некоторой плоскости а, а прямые аг и Ьг — в некоторой плоскости (рис. 40). По теореме 2.4 плоскости <х и at па- раллельны. Пусть С — точка пересечения прямых а и Ь, a Cj — точка пересечения прямых ах и Ьг. Проведем в плоскости параллельных прямых а и ах прямую, параллельную прямой ССг. Она пересе- чет прямые а и в точках А и А1. В плоскости прямых b и Ь1 проведем прямую, параллельную прямой CClf и обозначим через В и Вг точки ее пе- ресечения с прямыми Ь и Ъх. Четырехугольники САА1С1 и СВВ1С1 — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Рис. 40 25 Перпендикулярность прямых и плоскостей
Четырехугольник ABBVA1 также парал- лелограмм. У него стороны AAlf ВВг параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой ССг. Таким образом, четырехугольник ле- жит в плоскости, проходящей через параллель- ные прямые ААЛ и ВВг. А она пересекает парал- лельные плоскости а и а, по параллельным пря- мым АВ и AjBp Так как у параллелограмма противоле- жащие стороны равны, то АВ = AVB1, АС = АГС^ ВС = ВГСГ. По третьему признаку равенства тре- угольников треугольники АВС и равны. Итак, угол A1C1Blt равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые аг и Ъг перпендикулярны, что и тре- бовалось доказать. Задача (1). Докажите, что через любую точку пря- мой в пространстве можно провести перпендику- лярную ей прямую. Решение. Пусть а — прямая и А — точка на ней (рис. 41). Возьмем любую точку X вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость а (теорема 1.1). В плоскости а через точку А можно провести прямую Ь, перпендикулярную прямой а. Рис. 41 15. Признак перпендикулярности прямой и плоскости Прямая, пересекающая плоскость, на- зывается перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая ле- жит в данной плоскости и проходит через точку пересечения данной прямой и плоскости (рис. 42). Теорема 3.2 Если прямая перпендикулярна двум пересекаю- щимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости. 10 класс
Доказательство. Пусть а — прямая, перпендикулярная прямым b и с в плоскости а. Тогда прямая а про- ходит через точку А пересечения прямых b и с (рис. 43). Докажем, что прямая а перпендикуляр- на плоскости а. Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости а и покажем, что она перпен- дикулярна прямой а. Проведем в плоскости а про- извольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые Ь, с и х. Пусть точками пересечения будут В, С и X. Отложим на прямой а от точки А в раз- ные стороны равные отрезки ААг и АА2. Треуголь- ник АгСА2 равнобедренный, так как отрезок АС яв- ляется высотой по условию теоремы и медианой по построению (AAj = АА2). По той же причине тре- угольник AjBA2 тоже равнобедренный. Следова- тельно, треугольники АгВС и А2ВС равны по треть- ему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников АГВС и А2ВС следует равенство углов А^ВХ, А2ВХ и, сле- довательно, равенство треугольников А^Х и А2ВХ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон AjX и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник AjXA2 равнобедрен- ный. Поэтому его медиана ХА является также вы- сотой. А это и значит, что прямая х перпендику- лярна а. По определению прямая а перпендику- лярна плоскости а. Теорема доказана. Рис. 43 16. Построение перпендикулярных прямой и плоскости Задача (9). Докажите, что через данную точку пря- мой можно провести одну и только одну перпенди- кулярную ей плоскость. Решение. Пусть а — данная прямая и А — точка на ней (рис. 44). Проведем через нее две плоско- сти и проведем в них через точку А прямые b и с, перпендикулярные прямой а. Плоскость а, прохо- дящая через эти прямые, перпендикулярна пря- мой а по теореме 3.2. 27 Рис. 44 Перпендикулярность прямых и плоскостей
Докажем, что эта плоскость единствен- на. Допустим, что, кроме плоскости а, существует другая плоскость а', проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а (рис. 45). Пусть В — точка плоскости а', не лежащая в плоскости а. Проведем через точку В и прямую а плоскость. Она пересечет плоскости а и а' по различным прямым Ъ и Ь', перпендикулярным прямой а. А это, как мы знаем, невозможно, так как на плос- кости через данную точку прямой проходит толь- ко одна перпендикулярная ей прямая. Итак, пло- скость, проходящая через точку А и перпендику- лярная прямой а, единственна. Задача (11). Докажите, что через данную точку пло- скости можно провести одну и только одну перпен- дикулярную ей прямую. Решение. Пусть а — данная плоскость и А — точ- ка на ней (рис. 46). Проведем в плоскости а через точку А две прямые b и с. Проведем через точку А перпендикулярные им плоскости. Они пересе- кутся по некоторой прямой а, перпендикулярной прямым Ъ и с. Следовательно, прямая а перпенди- кулярна плоскости а. Докажем, что эта прямая единственна. Допустим, что, кроме прямой а, существует дру- гая прямая а', проходящая через точку А и пер- пендикулярная плоскости а (рис. 47). Проведем через прямые а и а' плоскость. Она пересечет пло- скость а по некоторой прямой Ь, перпендикуляр- ной прямым а и а'. А это, как мы знаем, невоз- можно. Итак, прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная этой плоско- сти, единственна. Рис. 45 Рис. 46 17. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости Теорема 3.3 Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. 10 класс
Доказательство. Пусть аг и а2 — две параллельные пря- мые и а — плоскость, перпендикулярная прямой ах (рис. 48). Докажем, что эта плоскость перпен- дикулярна и прямой а2. Проведем через точку А2 пересечения прямой а2 с плоскостью а произвольную прямую х2 в плоскости а. Проведем в плоскости а через точку А} пересечения прямой ах с плоскостью а прямую х1г параллельную прямой х2. Так как прямая аг перпендикулярна плоскости а, то прямые аг и хг перпендикулярны. А по теореме 3.1 параллельные им пересекающие- ся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендику- лярна любой прямой х2 в плоскости а. А это зна- чит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана. Задача (12). Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную дан- ной плоскости а. Решение. Проведем в плоскости а две пересекаю- щиеся прямые b и с (рис. 49). Через точку их пе- ресечения проведем плоскости р и у, перпендику- лярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой пря- мой а. Прямая а перпендикулярна прямым Ъ и с, значит, и плоскости а. Проведем теперь через точ- ку А прямую d, параллельную а. По теореме 3.3 она перпендикулярна плоскости а. а2 «1 Рис. 48 Рис. 49 Рис. 50 Теорема Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. 3.4 и той же Доказательство. Пусть а и b — две прямые, перпендику- лярные плоскости а (рис. 50). Допустим, что пря- мые а и Ъ не параллельны. 29 Перпендикулярность прямых и плоскостей
Выберем на прямой b точку С, не лежа- щую в плоскости а. Проведем через точку С пря- мую параллельную прямой а. Прямая Ъ' перпен- дикулярна плоскости а (теорема 3.3). Пусть В и В — точки пересечения прямых b и Ь' с плоско- стью а. Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пере- секающимся прямым Ъ и Ь'. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. 18. Перпендикуляр и наклонная Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка. Перпендикуляром, опущенным из дан- ной точки на данную плоскость, называется от- резок, соединяющий данную точку с точкой плос- кости и лежащий на прямой, перпендикуляр- ной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуля- ра. Расстоянием от точки до плоскости называ- ется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Наклонной, проведенной из данной точ- ки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведен- ных из одной и той же точки, называется проек- цией наклонной. На рисунке 51 из точки А проведены к плоскости а перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В — основание перпендикуляра, точка С — основание наклонной, ВС — проекция наклонной АС на плоскость а. Задача (26). Докажите, что если прямая параллель- на плоскости, то все ее точки находятся на одина- ковом расстоянии от плоскости. Решение. Пусть а — данная прямая и а — дан- ная плоскость (рис. 52). Возьмем на прямой а две произвольные точки X и Y. Их расстояния до плоскости а — это длины перпендикуляров XX' и УУ", опущенных на эту плоскость. По теореме 3.4 прямые XX' и YY' параллельны, следовательно, 30 10 класс
лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость а по прямой Х'У. Прямая а параллель- на прямой Х'У', так как не пересекает содержащую ее плоскость а. Итак, у четырехугольника XX'Y'Y противолежащие стороны параллельны. Следова- тельно, он параллелограмм, а значит, XX' = YY'. Расстоянием от прямой до параллель- ной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости. Точно так же, как в решении задачи 26, доказывается, что расстояния от любых двух точек плоскости до параллельной плоскости равны. В связи с этим расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от любой точ- ки одной плоскости до другой плоскости. 19. Теорема о трех перпендикулярах Теорема 3.5 Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проек- ции, то она перпендикулярна наклонной. И обрат- но: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. Доказательство. Пусть АВ — перпендикуляр к плоско- сти а, АС — наклонная и с — прямая в плоско- сти а, проходящая через основание С наклонной (рис. 53). Проведем прямую СА, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости а. Проведем через прямые АВ и АС плоскость р. Прямая с перпендикулярна прямой СА. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендику- лярна плоскости р, а значит, и прямой АС. Аналогично если прямая с перпенди- кулярна наклонной СА, то она, будучи перпен- дикулярна и прямой СА', перпендикулярна плос- кости Р, а значит, и проекции наклонной ВС. Теорема доказана. Задача (45). Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная Рис. 53 Перпендикулярность прямых и плоскостей
плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон данного треугольника. Решение. Пусть А, В, С — точки касания сторон треугольника с окружностью, О — центр окруж- ности и В — точка на перпендикуляре (рис. 54). Так как радиус ОА перпендикулярен стороне тре- угольника, то по теореме о трех перпендикулярах отрезок SA есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина — расстояние от точки В до стороны треугольника. По теореме Пифагора SA = л/аО2 + OS2 = ylr2 + OS2, где г — радиус вписанной окружности. Аналогич- но находим SB = V г2 + OS2, SC = ^lr2 + OS2, т. e. все расстояния от точки S до сторон треуголь- ника равны. 20. Признак перпендикулярности плоскостей Две пересекающиеся плоскости назы- ваются перпендикулярными, если третья плос- кость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикуляр- ным прямьш. На рисунке 55, а вы видите две перпен- дикулярные плоскости аир, пересекающиеся по прямой с. Плоскость у, перпендикулярная прямой с, пересекает плоскости а и р по перпендикулярным прямым а и Ь. Любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. Действительно, если взять другую плос- кость У, перпендикулярную прямой с (рис. 55, б), то она пересечет плоскость а по прямой а', перпен- дикулярной с, а значит, параллельной прямой а, а плоскость Р по прямой перпендикулярной с и, значит, параллельной прямой Ъ. По теореме 3.1 из перпендикулярности прямых а и b следует перпен- дикулярность прямых а' и д', что и требовалось доказать. 32 Рис. 54 Рис. 55 10 класс
Теорема 3.6 Если плоскость проходит через прямую, перпен- дикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Доказательство. Пусть а — плоскость, b — перпендику- лярная ей прямая, 0 — плоскость, проходящая че- рез прямую 6, и с — прямая, по которой пересе- каются плоскости а и 0 (рис. 56). Докажем, что плоскости а и 0 перпендикулярны. Проведем в плоскости а через точку пе- ресечения прямой b с плоскостью а прямую а, пер- пендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и Ъ плоскость у. Она перпендикулярна прямой с, так как прямая с перпендикулярна прямым а и Ь. Так как прямые а и b перпендикулярны, то плос- кости а и 0 перпендикулярны. Теорема доказана. Задача (34). Даны прямая а и плоскость а. Прове- дите через прямую а плоскость, перпендикуляр- ную плоскости а. Решение. Через произвольную точку прямой а проводим прямую b (рис. 57), перпендикулярную плоскости а (задача 12). Через прямые а и b про- водим плоскость 0. Плоскость 0 перпендикулярна плоскости а по теореме 3.6. Рис. 57 21. Расстояние между скрещивающимися прямыми Общим перпендикуляром двух скрещи- вающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. Докажем, что две скрещивающиеся прямые имеют общий пер- пендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоско- стей, проходящих через эти прямые. 2 Геометрия 10-11 кл 33 Перпендикулярность прямых и плоскостей
Действительно, пусть а и b — данные скрещивающиеся прямые (рис. 58). Проведем че- рез них параллельные плоскости а и 0. Прямые, пересекающие прямую а и перпендикулярные пло- скости а, лежат в одной плоскости (у). Эта плос- кость пересекает плоскость Р по прямой а', парал- лельной а. Пусть В — точка пересечения прямых а' и Ъ. Тогда прямая АВ, перпендикулярная плос- кости а, перпендикулярна и плоскости р, так как Р параллельна а. Отрезок АВ — общий перпенди- куляр плоскостей а и Р, а значит, и прямых а и Ь. Докажем, что этот общий перпендику- ляр единственный. Допустим, что у прямых а и b есть другой общий перпендикуляр CD. Проведем через точку С прямую £>', параллельную Ь. Прямая CD перпендикулярна прямой Ь, а значит, и пря- мой Ъ'. Так как она перпендикулярна прямой а, то она перпендикулярна плоскости а, а значит, па- раллельна прямой АВ. Выходит, что через прямые АВ и CD, как через параллельные, можно провес- ти плоскость. В этой плоскости будут лежать на- ши скрещивающиеся прямые АС и BD, а это не- возможно, что и требовалось доказать. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендику- ляра. Оно равно расстоянию между параллельны- ми плоскостями, проходящими через эти прямые. 22. Применение ортогонального проектирования в техническом черчении В черчении применяется ортогональное проектирование, т. е. параллельное проектирова- ние прямыми, перпендикулярными плоскости про- екции. Чертежи деталей машин получаются путем ортогонального проектирования на одну, две или три взаимно перпендикулярные плоскости. Эти плоскости называются плоскостями проекций. Плоскости проекций с проекциями изображаемой детали на них совмещаются поворотом около пря- мых, по которым они пересекаются. 11а рисунке 59 показано выполнение чертежа болта путем проектирования на две плос- кости: горизонтальную Н и вертикальную V. Чер- теж болта в двух проекциях показан на рисунке 60. Рис. 59 Рис. 60 34 10 класс
При выполнении чертежей деталей ма- шин пользуются различными условностями, пре- дусмотренными стандартом. В частности, резьба условно изображается сплошной тонкой линией, а центровые и осевые — штрихпунктирными лини- ями. Эти условности изображения применены на чертеже болта (см. рис. 60). Контрольные вопросы 1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярны- ми? 2. Докажите, что пересекающиеся прямые, соответственно па- раллельные перпендикулярным прямым, сами перпендику- лярны. 3. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоско- сти. 4. Докажите признак перпендикулярности прямой и плоско- сти. 5. Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. 6. Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. 7. Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость? 8. Что называется расстоянием от точки до плоскости? 9. Что такое наклонная, проведенная из данной точки к пло- скости? Что такое проекция наклонной? 10. Докажите теорему о трех перпендикулярах. 11. Какие плоскости называются перпендикулярными? 12. Докажите признак перпендикулярности плоскостей. 13. Что такое общий перпендикуляр скрещивающихся прямых? 14. Докажите, что скрещивающиеся прямые имеют общий пер- пендикуляр, и притом только один. Он является общим пер- пендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые. 15. Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми? Задачи Пункт 14 1. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую. 2. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей пря- мые. 35 П ерпендикулярностъ прямых и плоскостей
3. 4. 5. 6. 7. 8. Прямые АВ, АС и АО попарно перпен- дикулярны (рис. 61). Найдите отрезок CD, если: 1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, АО = 1,5 см; 2) BD = 9 см, ВС = 16 см, АО = 5 см; 3) АВ = Ь, ВС = a, AD = d; 4) BD = с, ВС = а, AD = d. Стороны четырехугольника ABCD и прямоугольника A^B^C-^D^ соответственно параллельны. Докажите, что ABCD — прямоугольник. Пункт 15 Докажите, что через точку, не лежа- щую в данной плоскости, нельзя прове- сти более одной прямой, перпендику- лярной плоскости. Через центр описанной около треуголь- ника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треуголь- ника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин тре- угольника (рис. 62). Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикуляр- ная его плоскости. Расстояния от точ- ки К до других вершин прямоуголь- ника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок АК. Через вершину острого угла прямо- угольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АО, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояния от точки D до вершин В и С, если АС = а, ВС = Ь, АО = с. Пункт 16 9. Докажите, что через данную точку прямой можно провес- ти одну и только одну перпендикулярную ей плоскость. 10. Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость р и прямая Ь. Докажите, что прямая b ле- жит в плоскости р. 11. Докажите, что через данную точку плоскости можно про- вести одну и только одну перпендикулярную ей прямую. Пункт 17 12. Докажите, что через любую точку А можно провести пря- мую, перпендикулярную данной плоскости а. 10 класс
13. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что: 1) пря- мая AD перпендикулярна плоскости прямых АВ и ВМ\ 2) прямая CD перпендикулярна плоскости прямых ВС и ВМ. 14. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости а, пересекающие ее в точках С и D соответст- венно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 3 м, BD = 2 м, CD = 2,4 м и отрезок АВ не пересе- кает плоскость а. 15. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, уда- ленных на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого — 3,9 м. Найдите длину перекладины. 16. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефон- ного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверх- ности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает. Пункт 18 17. Точка А находится на расстоянии а от вершин равносто- роннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника. 18. Из точки S вне плоскости а проведены к ней три равные наклонные SA, SBt SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра О является центром окруж- ности, описанной около треугольника АВС. 19. Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найди- те расстояние до плоскости треугольника от точки, кото- рая находится на расстоянии 2 м от каждой из его вер- шин. 20. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плос- кости треугольника и на равном расстоянии от его вер- шин. Найдите это расстояние. 21. Расстояния от точки А до вершин квадрата равны а. Най- дите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна Ь. 22. Найдите геометрическое место оснований наклонных дан- ной длины, проведенных из данной точки к плоскости. 23. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных. Перпендикулярность прямых и плоскостей
24. 25. Из точки к плоскости приведены две на- клонные. Найдите длины наклонных, если: 1) одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см; 2) наклонные относятся как 1 : 2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см. Из точки к плоскости проведены две на- клонные, равные 23 см и 33 см. Найди- те расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3. 26. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плос- кости. 27. Через вершину прямого угла С прямоугольного треуголь- ника АВС проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекции катетов на эту плос- кость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу. 28. Через одну сторону ромба проведена плоскость на рассто- янии 4 м от противолежащей стороны. Проекции диагона- лей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите проекции сторон. 29. Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости, проведе- ны перпендикуляр АС и наклонная BD, перпендикулярная отрезку АВ (рис. 63). Чему равно расстояние СО, если АВ = а, АС = b, BD = с? 30. Докажите, что расстояния от всех точек плоскости до па- раллельной плоскости одинаковы. 31. Расстояние между двумя параллельными плоскостями рав- но а. Отрезок длины b своими концами упирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плос- костей. 32. Два отрезка длин а и & упираются концами в две парал- лельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка. 33. Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, уда- лены от нее на 0,3 м и 0,5 м. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3 : 7? 34. Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости. 35. Через диагональ параллелограмма проведена плоскость. Докажите, что концы другой диагонали находятся на оди- наковом расстоянии от этой плоскости. 10 класс
36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Найдите расстояние от середины отрез- ка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояния от точек А и В до плоскости равны: 1) 3,2 см и 5,3 см; 2) 7,4 см и 6,1 см; 3) а и Ъ. Решите предыдущую задачу, считая, что отрезок АВ пересекает плоскость. Отрезок длиной 1 м пересекает плос- кость, концы его удалены от плоскости на 0,5 м и 0,3 м. Найдите длину проек- ции отрезка на плоскость. Через основание трапеции проведена плоскость, отстоящая от другого основа- ния на расстояние а. Найдите расстоя- ние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости, если осно- вания трапеции относятся как т : п (рис. 64). Через сторону параллелограмма прове- дена плоскость на расстоянии а от про- тиволежащей стороны. Найдите рассто- яние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой плоскости. Рис. 64 Рис. 65 Из вершины квадрата восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин квадрата равны а и b (а < Ь). Найдите дли- ну перпендикуляра и сторону квадрата (рис. 65). Из вершины прямоугольника восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны а, &, с (а < с, b < с). Найдите длину перпендикуляра и стороны прямо- угольника. Из данной точки к плоскости проведены две равные на- клонные длиной 2 м. Найдите расстояние от точки до пло- скости, если наклонные образуют угол 60°, а их проекции перпендикулярны. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 1 м, про- ведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плос- кости углы, равные 60°. Пункт 19 Через центр вписанной в треугольник окружности прове- дена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. 39 Перпендикулярность прямых и плоскостей
46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон данного треугольника. К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восставлен перпендикуляр дли- ной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендику- ляра до сторон треугольника. Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из его сторон — 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Из вершины равностороннего треугольника ЛВС восстав- лен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найди- те расстояние от точки D до стороны ВС, если AD =13 см, ВС = 6 см. Через конец А отрезка АВ длины b проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости проведена прямая. Найдите расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой равно а. Расстояния от точки А до всех сторон квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d. Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние о, а от его сторон на расстояние Ъ. Найдите расстояние от точки М до пло- скости угла. Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и бо- ковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга восстав- лен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сто- рон треугольника. Из вершины прямого угла С треугольника АВС восставлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если АВ = а, ВС = Ь, CD = с. Пункт 20 Даны прямая а и плоскость а. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости а. Даны прямая а и плоскость а. Докажите, что все прямые, перпендикулярные плоскости а и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости а. Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС вос- ставлены перпендикуляры ААг и ВВг к плоскости тре- угольника. Найдите расстояние от вершины С до середи- ны отрезка А^^ если АВ = 2 м, САг = 3 м, СВг = 7 м и отрезок А1В1 не пересекает плоскость треугольника. 10 класс
Рис. 67 57. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треуголь- ника АВС восставлены перпендикуляры ААг и ВВг к пло- скости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка ApBj, если АгС = 4 м, АгА = 3 м, ВгС = 6 м, ВГВ = 2 м и отрезок А1В1 не пересекает плос- кость треугольника. 58. Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плос- кости. 59. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных пло- скостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: 1) АС = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м; 2) АС = 3 м, BD = 4 м, CD = 12 м; 3) AD = 4 м, ВС = 7 м, CD = 1 м; 4) AD = ВС = 5 м, CD = 1 м; 5) АС = a, BD = Ъ, CD = с; 6) AD = а, ВС = Ь, CD = с. 60. Точка находится на расстояниях о и & от двух перпенди- кулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей (рис. 66). 61. Плоскости аир перпендикулярны. В плоскости а взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линии пере- сечения плоскостей) равно 0,5 м. В плоскости Р проведена прямая Ъ, параллельная прямой с и отстоящая на 1,2 м от нее. Найдите расстояние от точки А до прямой Ь. 62. Перпендикулярные плоскости а и Р пересекаются по пря- мой с. В плоскости а проведена прямая а, параллельная прямой с, в плоскости Р — прямая Ь, параллельная пря- мой с. Найдите расстояние между прямыми а и Ь, если расстояние между прямыми а и с равно 1,5 м, а между прямыми Ъ и с — 0,8 м (рис. 67). Перпендикулярность прямых и плоскостей
Декартовы координаты и векторы в пространстве 23. Введение декартовых координат в пространстве Возьмем три взаимно перпендикуляр- ные прямые х, у, z, пересекающиеся в одной точке О (рис. 68). Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые х и г/, называется плоскостью ху. Две дру- гие плоскости называются соответственно xz и yz. Прямые х, г/, z называются координатными осями (или осями координат), точка их пересечения О — началом координат, а плоскости ху, yz и xz — ко- ординатными плоскостями. Точка О разбивает каждую из осей координат на две полупрямые — полуоси, которые мы условимся называть положи- тельной и отрицательной. Возьмем теперь произвольную точку А и проведем через нее плоскость, параллельную плос- кости yz (рис. 69). Она пересекает ось х в некото- рой точке Ах. Координатой х точки А будем назы- вать число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОАХ. положительное, если точка Ах лежит на положительной полуоси х, и отрицательное, ес- ли она лежит на отрицательной полуоси. Если точ- ка Ах совпадает с точкой О, то полагаем х = О. Аналогично определяются координаты у и z точ- ки А. Координаты точки будем записывать в скоб- ках рядом с буквенным обозначением точки: А (х; у, z). Иногда будем обозначать точку просто ее координатами (х; у; z). Задача (2). Даны точки А (1; 2; 3), В (0; 1; 2), С (0; 0; 3), D (1; 2; 0). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости xz/; 2) на оси z; 3) в плоскости yz? Решение. У точек плоскости ху координата z рав- на нулю. Поэтому только точка D лежит в плоско- сти ху. У точек плоскости yz координата х равна нулю. Следовательно, точки В и С лежат в плоско- сти yz. У точек на оси z две координаты (х и у) рав- ны нулю. Поэтому только точка С лежит на оси z. Рис. 68 Рис. 69 42 10 класс
24. Расстояние между точками Выразим расстояние между двумя точ- ками Ar (хг; у^ zj и А2 (х2; i/2; z2) через коорди- наты этих точек. Рассмотрим сначала случай, когда пря- мая А]А2 не параллельна оси z (рис. 70). Проведем через точки Аг и А2 прямые, параллельные оси z. Они пересекут плоскость ху в точках А[ и А2. Эти точки имеют те же координаты х, I/, что и точки Аг, А2, а координата z у них равна нулю. Прове- дем теперь плоскость через точку А2, параллель- ную плоскости ху. Она пересечет прямую AjA^ в некоторой точке С. По теореме Пифагора А,А2 = А.С2 + СА2 л. Л. Отрезки СА2 и А{А2 равны, а А[А22 = (х2 - xj2 + (у2 - У1)2. Длина отрезка АГС равна |zx - z2|. Поэтому АгА2 = (х2 - xt)2 + (у2 - ух)2 + (z2 - Zi)2. Если отрезок АгА2 параллелен оси z, то AjA2 = fei - z2\. Тот же результат дает и полу- ченная формула, так как в этом случае хх = х2, У1 = Уг- Таким образом, расстояние между точками у±; zt) и Л2 (х2> У2* z2) вычисляется по формуле AiA2 = V(x2- Xj)2+ (у2- уг)2+ (z2— z^2. Задача (5). В плоскости ху найдите точку D (х; у' 0), равноудаленную от трех данных точек: А (0; 1; -1), В (-1; 0; 1), С (0; -1; 0). Решение. Имеем: AD2 = (х - О)2 + (у - I)2 + (0 + I)2, BD2 = (х + I)2 + {у - О)2 + (0 - I)2, CD2 = (х - О)2 + {у + I)2 + (0 - О)2. 43 Рис. 70 Декартовы координаты и векторы в пространстве
Приравнивая первые два расстояния третьему, полу- чим два уравнения для определения х и у: -4у + 1 = 0, 2х - 2у + 1 = 0. Л 1 1 „ ( Отсюда У = ~^’ х = ~г Искомая точка DI- 1 1 Р 4 25. Координаты середины отрезка Пусть Аг (хх; уг; zj и А2 (х2; у2; z2) — две произвольные точки. Выразим координаты х, г/, z середины С отрезка АгА2 через координаты его концов Аг и А2 (рис. 71). Для этого проведем че- рез точки А19 А2 и С прямые, параллельные оси z. Они пересекут плоскость ху в точках А[ (хх; yt; 0), А2 (х2’ ^2» 0) и С' (х; у; 0). По теореме Фалеса точ- ка С' является серединой отрезка А[А2. А мы зна- ем, что на плоскости ху координаты середины от- резка выражаются через координаты его концов по формулам Рис. 71 У1+У2 2 Для того чтобы найти выражение для z, достаточ- но вместо плоскости ху взять плоскость xz или yz. При этом для z получается аналогичная формула: Zi+ Zo Z=~2 ' Итак, координаты середины отрезка с концами At (хх; гг) и А2 (х2; i/2; z2) вычисляются по формулам _ xt + х2 _ У1 + у2 _ zx + z2 X % ’ У 2 ’ 2 2 Задача (9). Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (1; 3; 2), В (0; 2; 4), С (1; 1; 4), D (2; 2; 2) является параллелограм- мом. 44 10 класс
Решение. Как мы знаем, четырехугольник, у ко- торого диагонали пересекаются и точкой пересече- ния делятся пополам, есть параллелограмм. Вос- пользуемся этим для решения задачи. Координата- ми середины отрезка АС будут 1+1 л 3+1 2+4 х = —— = 1, у=—— = 2, г = —т—= 3. Координатами середины отрезка BD будут _0 + 2_ _2+2_О _4+2_О Х 2 У 2 2’ 2 2 3' Мы видим, что координаты середин отрезков АС и BD одинаковы. Значит, эти отрезки пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следова- тельно, четырехугольник ABCD — параллело- грамм. 26. Преобразование симметрии в пространстве Понятие преобразования для фигур в пространстве определяется так же, как и на плос- кости. Так же, как и на плоскости, определяются преобразования симметрии относительно точки и прямой. Кроме симметрий относительно точки и прямой в пространстве, рассматривают преобразо- вание симметрии относительно плоскости. Это пре- образование состоит в следующем (рис. 72). Пусть а — произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры опускаем перпендикуляр ХА на плоскость а и на его продолжении за точку А откладываем отрезок АХ', равный ХА. Точка X' называется симметричной точке X относительно плоскости а, а преобразование, которое переводит точку X в симметричную ей точку X', называ- ется преобразованием симметрии относительно плоскости а. Если точка X лежит в плоскости а, то считается, что точка X переходит в себя. Если пре- образование симметрии относительно плоскости а переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости а. а плос- •X' Рис. 72 Декартовы координаты и векторы в пространстве 45
кость а называется плоскостью симметрии этой фигуры. Задача (17). Даны точки (1; 2; 3), (0; -1; 2), (1; 0; -3). Найдите точки, симметричные данным относитель- но координатных плоскостей. Решение. Точка, симметричная точке (1; 2; 3) от- носительно плоскости XI/, лежит на прямой, перпен- дикулярной плоскости ху. Поэтому у нее те же ко- ординаты х и р: х = 1, у = 2. Симметричная точка находится на том же расстоянии от плоскости ху, но по другую сторону от нее. Поэтому координа- та z у нее отличается только знаком, т. е. z = — 3. Итак, точкой, симметричной точке (1; 2; 3) отно- сительно плоскости ху, будет точка (1; 2; —3). Для других точек и других координатных плоскостей решение аналогично. 27. Симметрия в природе и на практике Симметрия широко используется на практике, в строительстве и технике (рис. 73). Симметрия широко распространена в природе. Ее можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных ор- ганов животных, в форме кристаллических тел (рис. 74). 28. Движение в пространстве Движение в пространстве определяется так же, как и на плоскости. А именно: движени- ем называется преобразование, при котором сохра- няются расстояния между точками. Дословно так же, как и для движения на плоскости, доказывается, что при движении в пространстве прямые переходят в прямые, полу- прямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки и сохраняются углы между полупрямыми. Новым свойством движения в простран- стве является то, что движение переводит плоскости в плоскости. Рис. 73 46 10 класс
Докажем это свойство. Пусть а — про- извольная плоскость (рис. 75). Отметим на ней лю- бые три точки А, В, С, не лежащие на одной пря- мой. При движении они перейдут в три точки А', В', С', также не лежащие на одной прямой. Про- ведем через них плоскость а'. Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость а переходит в плоскость а'. Пусть X — произвольная точка плоско- сти а. Проведем через нее какую-нибудь прямую а в плоскости а, пересекающую треугольник АВС в двух точках Y и Z. Прямая а перейдет при дви- жении в некоторую прямую а'. Точки У и Z пря- мой а перейдут в точки У' и Z', принадлежащие треугольнику А'В'С", а значит, плоскости а'. Итак, прямая а' лежит в плоскости а'. Точка X при дви- жении переходит в точку X' прямой а', а значит, и плоскости а', что и требовалось доказать. В пространстве, так же как и на плос- кости, две фигуры называются равными, если они совмещаются движением. 29. Параллельный перенос в пространстве Параллельным переносом в пространст- ве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х; у; z) фигуры переходит в точку (х + а; у + d; z + с), где числа а, &, с одни и те же для всех точек (х; у\ z). Параллельный пе- ренос в пространстве задается формулами х' = х + а, у = у + b, z’ = z + с, выражающими координаты х', у’, z' точки, в кото- рую переходит точка (х; у\ z) при параллельном переносе. Так же как и на плоскости, доказывают- ся следующие свойства параллельного переноса: Рис. 74 1. Параллельный перенос есть движение. 2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. 3. При параллельном переносе каждая прямая пе- реходит в параллельную ей прямую (или в себя). 4. Каковы бы ни были точки А и А', существует единственный параллельный перенос, при кото- ром точка А переходит в точку Л'. Рис. 75 Декартовы координаты и векторо1 в пространстве 47
Задача (23). Найдите значения а, Ь, с в формулах параллельного переноса х = х + а, у' = у + Ь, z' = z + с, если при этом параллельном переносе точка А (1; 0; 2) переходит в точку А’ (2; 1; 0). Решение. Подставная в формулы параллельного переноса координаты точек А и А', т. е. х = 1, у = 0, z = 2, х = 2, у' = 1, z = 0, получим урав- нения, из которых определяются а, Ь, с: Рис. 76 2 — 1 + а, 1 — 0 + &, 0 — 2 + с. Отсюда а = 1, Ъ = 1, с = —2. Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее свойство: 5. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость. Действительно, пусть а — произвольная плоскость (рис. 76). Проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые а и Ъ. При параллельном переносе прямые а и b переходят либо в себя, ли- бо в параллельные прямые а’ и Ь'. Плоскость а пе- реходит в некоторую плоскость а', проходящую че- рез прямые а' и Ь'. Если плоскость а' не совпадает с а, то по теореме 2.4 она параллельна а, что и требовалось доказать. 30. Подобие пространственных фигур Преобразование подобия в пространстве определяется так же, как и на плоскости. А имен- но: преобразование фигуры F называется преобра- зованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т. е. для любых двух точек X и Y фигуры F и точек X', Y' фигуры F', в которые они переходят, X'Y' = k • ХУ. Так же как и на плоскости, преобразо- вание подобия в пространстве переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в от- резки и сохраняет углы между полупрямыми. Та- 48 10 класс
кими же рассуждениями, как в п. 28, доказывает- ся, что преобразование подобия переводит плоско- сти в плоскости. Так же как и на плоскости, две фигуры называются подобными, если они перево- дятся одна в другую преобразованием подобия. Простейшим преобразованием подобия в пространстве является гомотетия. Так же как и на плоскости, гомотетия относительно центра О с ко- эффициентом гомотетии k — это преобразование, которое переводит произвольную точку X в точку X' луча ОХ, такую, что ОХ' = k • ОХ. Преобразование гомотетии в пространстве перево- дит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость Гили в себя при k = 1). Действительно, пусть О — центр гомо- тетии и а — любая плоскость, не проходящая че- рез точку О (рис. 77). Возьмем любую прямую АВ в плоскости а. Преобразование гомотетии перево- дит точку А в точку А на луче ОА, а точку В в OAr OBг точку В' на луче ОВ, причем = k, = k, где k —коэффициент гомотетии. Отсюда следует подо- бие треугольников АОВ и А'ОВ'. Из подобия тре- угольников следует равенство соответственных уг- лов ОАВ и ОАВ', а значит, параллельность пря- мых АВ и АВ'. Возьмем теперь другую прямую АС в плоскости а. Она при гомотетии перейдет в парал- лельную прямую АС. При рассматриваемой гомо- тетии плоскость а перейдет в плоскость а', прохо- дящую через прямые АВ', АС. Так как АВ' || АВ и АС || АС, то по теореме 2.4 плоскости а и а' па- раллельны, что и требовалось доказать. Рис. 77 31. Угол между скрещивающимися прямыми Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные уг- лы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называет- ся углом между прямыми. Угол между перпен- дикулярными прямыми равен 90° по определе- 49 Декартовы координаты и векторы в пространстве
нию. Угол между параллельными прямыми счита- ем равным 0°. Углом между скрещивающимися пря- мыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещи- вающимся прямым. Этот угол не зависит от того, какие взя- ты пересекающиеся прямые. Докажем это. Пусть аг и Ьг — пересекающиеся в точке А прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым а и Ъ (рис. 78). Пусть а2 и Ъ2 — другие пря- мые, параллельные данным и пересекающиеся в точке В. По теореме 2.2 прямые аг и а2 параллель- ны (или совпадают) и прямые Ьг и Ь2 параллельны (или совпадают). Выполним параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В. Так как при параллельном переносе каждая прямая переходит либо в себя, либо в параллельную прямую, то ука- занный параллельный перенос переводит прямую аг в прямую а2, а прямую Ьг в прямую Ь2. Так как параллельный перенос сохраняет величину угла, то угол между прямыми а} и Ьг равен углу между прямыми а2 и Ъ2. А это и требовалось доказать. По данному ранее определению перпен- дикулярными называются прямые, пересекающие- ся под прямым углом. Однако иногда скрещиваю- щиеся прямые тоже называются перпендикуляр- ными, если угол между ними равен 90°. Задача (33). Докажите, что любая прямая на плоско- сти, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендику- лярна наклонной, то она перпендикулярна и про- екции наклонной. Решение. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскос- ти а, АС — наклонная и с — прямая в плоскости а, перпендикулярная ВС (рис. 79). Проведем через основание С наклонной прямую сг, параллельную с. По теореме о трех перпендикулярах прямая Cj перпендикулярна наклонной АС. А так как угол между прямой с и наклонной АС равен 50 Рис. 78 10 класс
углу между прямыми АС и с19 то прямая с тоже перпендикулярна наклонной АС. Обратно: если прямая с перпендикуляр- на наклонной АС, то прямая сг тоже перпендику- лярна ей, а значит, по теореме о трех перпендику- лярах и ее проекции ВС. Так как с || с19 то с 1 ВС. 32. Угол между прямой и плоскостью Определим понятие угла между прямой и плоскостью. Пусть а — плоскость и а — пересекаю- щая ее прямая, не перпендикулярная плоскости а (рис. 80). Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой а на плоскость а, лежат на пря- мой а'. Эта прямая называется проекцией прямой а на плоскость а. Углом между прямой и плоскостью на- зывается угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскос- ти, то угол считается равным 90°. Если параллель- на, то равным 0°. Так как прямая а, ее проекция а' на плоскость а и перпендикуляр к плоскости а в точ- ке ее пересечения с прямой а лежат в одной пло- скости, то угол между прямой и плоскостью до- полняет до 90° угол между этой прямой и пер- пендикуляром к плоскости. Задача (35). Точка А отстоит от плоскости на рассто- яние h. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под следующими углами к плоско- сти: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°. Решение. Опустим перпендикуляр АА' на плос- кость (рис. 81). Треугольник ААВ прямоугольный с прямым углом при вершине А'. Острый угол это- го треугольника, противолежащий катету АА, ра- вен 30° (соответственно 45°, 60°). Поэтому в пер- АА' вом случае наклонная АВ = —— = 2h. Во втором sin зо случае АВ = h\2 , в третьем АВ = . Уз 51 Рис. 80 Рис. 81 Декартовы координаты и векторы в пространстве
33. Угол между плоскостями Определим понятие угла между плоско- стями. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю. Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскос- ти по двум прямым. Угол между этими прямы- ми называется углом между данными плоскостя- ми (рис. 82). Определяемый так угол между плоско- стями не зависит от выбора секущей плоскости. Докажем это. Пусть а и Р — данные плоскости, пере- секающиеся по прямой с. Проведем плоскость у, перпендикулярную прямой с. Она пересечет плос- кости а и Р по прямым а и Ь. Угол между плос- костями а и Р равен углу между прямыми а и Ь. Возьмем другую секущую плоскость /, перпендикулярную прямой с. Пусть а' и &' — прямые пересечения этой плоскости с плоскос- тями аир. Выполним параллельный перенос, при котором точка пересечения плоскости у с прямой с переходит в точку пересечения плоскости у' с пря- мой с. При этом по свойству параллельного пере- носа прямая а переходит в прямую а', а прямая b — в прямую Ь'. Это значит, что углы между прямыми а и Ъ, а' и Ь' равны, что и требовалось доказать. Задача (43). Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка А, лежащая в одной из этих плоско- стей, отстоит от второй плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до прямой пе- ресечения плоскостей. Решение. Пусть аи(3 — данные плоскости и А — точка, лежащая в плоскости а (рис. 83). Опустим перпендикуляр АА' на плоскость Р и перпендику- ляр АВ на прямую с, по которой пересекаются плоскости. По теореме о трех перпендикулярах АВ ± с. Плоскость треугольника АВА перпенди- кулярна прямой с, и потому угол при вершине В прямоугольного треугольника АВА равен 30°. 52 Рис. 83 10 класс
Имеем: АВ = АА' sin 30° = 2а. 1 2 Расстояние от точки А до прямой с равно 2а. 34. Площадь ортогонально) i проекции многоугольника Теорема Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Доказательство. Рассмотрим сначала треугольник и его проекцию на плоскость, проходящую через одну из его сторон (рис. 84). Проекцией треугольника АВС является треугольник АВСХ в плоскости а. Прове- дем высоту CD треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах отрезок CXD — высота тре- угольника АВСГ. Угол CDCr равен углу ф между плоскостью треугольника АВС и плоскостью про- екции а. Имеем: CrD = CD совф, 8авс ~ ~2 AB ’ CD, SABCj = АВ • CrD. Отсюда Вавсл = *^ABC cos Ф* Таким образом, в рассматриваемом слу- чае теорема верна. Теорема верна и в случае, ког- да вместо плоскости а взята любая параллельная ей плоскость. Действительно, при проектировании фигуры на параллельные плоскости ее проекции совмещаются параллельным переносом в направле- нии проектирования. А совмещаемые параллель- ным переносом фигуры равны. Рассмотрим теперь общий случай. Разо- бьем данный многоугольник на треугольники. Каждый треугольник, у которого нет стороны, па- раллельной плоскости проекции, мы разобьем на Рис. 84 Декартовы координаты и векторы в пространстве 53
два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции, как это показано для четырех- угольника ABCD на рисунке 85. Теперь для каждого треугольника А на- шего разбиения и его проекции Д' запишем ра- венство cos ф. Сложим все эти равенст- ва почленно. Тогда получим слева площадь про- екции многоугольника, а справа площадь самого многоугольника, умноженную на cos ф. Теорема доказана. Рис. 85 35. Векторы в пространстве В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок. Бук- вально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: аб- солютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов. Координатами вектора с началом в точ- ке Аг (хг; уг; 2г) и концом в точке А2 (х2; у2; г2) называются числа х2 - xlt у2 - ух, z2 - zr. Так же как и на плоскости, доказывается, что равные век- торы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными коор- динатами равны. Это дает основгшие для обозна- чения вектора его координатами: a (at; а2; а3) или ПрОСТО (fZj, 6Z2, 6Z3). Задача (50). Даны четыре точки А (2; 7; -3), В (1; 0; 3), С (-3; -4; 5), D (-2; 3; -1). Укажите среди векторов АВ, ВС, DC, AD, АС и BD рав- ные векторы. Решение. Надо найти координаты указанных век- торов АВ, ВС, ... и сравнить соответствующие координаты. У равных векторов соответствующие координаты равны. Например, у вектора АВ ко- ординаты: 1 — 2 = -1, 0 - 7 = -7, 3 — (-3) = 6. У вектора DC такие же координаты: -3 - (-2) = = -1, -4 - 3 = -7, 5 - (-1) = 6. Таким образом, векторы АВ и DC равны. Другой парой равных векторов будут ВС и AD. 54 10 класс
36. Действия над векторами в пространстве Так же как и на плоскости, определя- ются действия над векторами: сложение, умноже- ние на число и скалярное произведение. Суммой векторов а (а^ а2; а3) и b (Ьг; Ь2; Ь3) называется вектор с (СЦ + Ьг; а2 + Ь2; а3 + Ь3). Так же как и на плоскости, доказывает- ся векторное равенство АВ + ВС = АС. Произведением вектора а (а1; а2; а3) на число X называется вектор Ха = (Хах; Ха2; Ха3). Так же как и на плоскости, доказыва- ется, что абсолютная величина вектора Ха равна |Х||а|, а_ направление совпадает с направлением век- тора а, если X > 0, и противоположно направле- нию вектора а, если X < 0. Задача (54). _ Дан вектор а (1; 2; 3). Найдите колли- неарный ему вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом В на плоскости ху. Решение. Координата z точки В равна нулю. Ко- ординаты вектора АВ: х -_1, у - 1, 0 - 1 = -1. Из коллинеарности векторов а и АВ получаем пропор- цию х-1 = у-1 1 1 2 3 * Отсюда находим координаты х, у точки В: 2 1 Х = ~-> У = -^’ 3^3 Скалярным произведением векторов (а2; а2; а3) и (Ьх; Ъ2, Ь3) называется число а1Ь1 + + а2Ъ2 + а3Ъ3. Буквально так же, как и на плоско- сти, доказывается, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных вели- чин на косинус угла между векторами. Задача (59). Даны четыре точки А (0; 1; — 1), В (1; -1; 2), С (3; 1; 0), D (2; -3; 1)^Найдите косинус угла ф между векторами АВ и CD. 55 Декартовы координаты и векторы в пространстве
Решение. Координатами вектора АВ будут 1 - 0 = 1, -1 - 1 = -2, 2 - (-1) = 3; lABl = Vl2+(-2)2+32 = V14. Координатами вектора CD будут 2 - 3 = -1, -3 - 1 = -4, 1 - 0 = 1; I CD\ = V(-l)2+(-4)2+l2 = V18. АВ‘CD 1(-1) + (-2)(-4) + 3 • 1 5 Значит, cos <р = —=—=- = ———=—--------------------= —= lABl-ICDl 714-V18 \'63 37. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам Так же как и на плоскости, два отлич- ных от нуля вектора в пространстве называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Как и на плоскос- ти доказывается, что если вектор b коллинеарен вектору а или равен нулевому вектору, то Ъ = Ха, где X — некоторое число. Пусть а, b и с — отличные от нуля не- коллинеарные векторы с общим началом О, лежа- щие в одной плоскости а (рис. 86, а). Докажем, что вектор с = Ха + Проведем через точку С, являющуюся концом вектора прямую в плоскости а, парал- лельную вектору а. Она пересечет прямую, на ко- торой лежит вектор &, в точке В. Имеем: ОС = ОВ + ВС. Так как векторы а и ВС коллинеарны, то ВС = ка. Так как векторы Ъ и О В коллинеарны, то О В = Таким образом, с~ = Ха + что и требова- лось доказать. Три ненулевых вектора в пространстве называются компланарными, если равные им век- торы с общим началом лежат в одной плоскости. Докажем, что в пространстве любой вектор d разлагается по трем некомпланарным векторам а, Ь, с, причем это разложение единственное. Рис. 86 56 10 класс
Отложим от произвольной точки О че- тыре вектора_ ОА, ОВ. ОС и OD, равные данным векторам а, Ъ, с и d соответственно, и обозначим через а плоскость, в которой лежат векторы ОА и ОВ (рисг 86, б). Если точка_ D лежит на прямой ОС, то OD = vOC. Отсюда, d — vc. Если точка D не лежит на прямой ОС, то проведем через нее прямую, параллельную ОС. Она пересечет плоскость а в некоторой точке D'. Векторы ОС и D'D коллинеарны. Поэтому D'D = = vOC. Вектор OD' лежит по построению в одной плоскости с векторами ОА и ОВ. По доказанному выше OD' = кОА + рОВ. Так как OD — OD' + D'D, то OD = кОА + рОВ + vOC, или d = ка + рд + \с. Существование разложения доказано. Докажем его единственность. Допустим, что суще- ствует другое разложение d = к'а + ц'Ь + v'c. Тогда, вычитая почленно эти разложения, получим (Л, - к')а + (р - p')fc + (v - v')c = 0. Умножая скалярно это равенство на вектор ё, пер- пендикулярный векторам а и Ь, получим (v - v')(c • е) = 0. Так как векторы с и ё не перпендикулярны (век- тор ё по предположению не параллелен плоскос- ти а), то с • ё * 0, а значит, v - v' = 0. Аналогич- но доказывается, что к - к' = 0, р - р' = 0. Тем самым доказана и единственность разложения. 38. Уравнение плоскости Составим уравнение плоскости. Пусть А0(х0; у0; z0) — какая-нибудь точка плоскости и п(а; Ь; с) вектор, перпендикулярный плоскости (рис. 87). Пусть А(х; у; z) — произвольная точка плоскости. Векторы А0А и п перпендикулярны. Поэтому их скалярное произведение равно нулю. И так как координаты вектора А0А равны х — х0, У ~ Уо* z- z0, то а(х - х0) + Ь(у - у0) + c(z - z0) = 0. п 11 Рис. 87 Декартовы координаты и векторы в пространстве 57
Обратно, если точка А(х; у; г) удовлет- воряет этому уравнению, то AqA • п = 0. Значит, точка А лежит в плоскости. Таким образом, выве- денное уравнение есть уравнение плоскости. Заметим, что коэффициенты а, Ь, с в уравнении плоскости ах + by + CZ + d = 0 являются координатами вектора, перпендикуляр- ного плоскости. Если уравнение плоскости разделить на число, равное длине вектора |n| = + b2 + с2 , то получим уравнение плоскости в нормальной фор- ме, с помощью которого легко вывести формулу для расстояния h от любой точки А(х; у; z) прост- ранства до плоскости ах + by + cz + d = 0. Для этого достаточно в левую часть ее нормального уравнения подставить координаты точки А: \ах + by + cz + d\ h = —. --------------- ' 2 . , 2 . 2 а + b + с Это следует из того, что расстояние от точки А до плоскости равно длине перпендику- ляра АВ, опущенного из нее на плоскость. Поэто- му если основание перпендикуляра В имеет коор- динаты х0, у0, z0, то ах0 + by0 + cz0 + d = 0, и, значит, ах + by + cz + d _ а(х - х0) + b(y - у0) + c(z - zQ) / 2 , ,2 2~ / 2 , , 2 . 2~ da + b + с yja + Ь + с I 2,2 2 ^а + b + с Знак «+» надо брать, когда п и ВА — одинаково направленные векторы, а знак «—» — когда эти векторы противоположно направленные. 10 класс
Контрольные вопросы 1. Объясните, как определяются координаты точки в прост- ранстве. 2. Выразите расстояние между двумя точками через коорди- наты этих точек. 3. Выведите формулы для координат середины отрезка через координаты его концов. 4. Что такое преобразование симметрии относительно точки? Какая фигура называется центрально-симметричной? 5. Объясните, что такое преобразование симметрии относи- тельно плоскости. Что такое плоскость симметрии фигу- ры? 6. Какое преобразование фигуры называется движением? 7. Докажите, что движение в пространстве переводит плос- кость в плоскость. 8. Какие фигуры в пространстве называются равными? 9. Дайте определение параллельного переноса. 10. Перечислите свойства параллельного переноса. 11. Докажите, что при параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в парал- лельную плоскость. 12. Что такое преобразование подобия? Перечислите его свой- ства. 13. Какое преобразование называется гомотетией? Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя). 14. Дайте определение угла между скрещивающимися пря- мыми. 15. Дайте определение угла между прямой и плоскостью. 16. Дайте определение угла между плоскостями. 17. Докажите, что площадь ортогональной проекции много- угольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и пло- скостью его проекции. 18. Что такое абсолютная величина вектора? Какие векторы называются одинаково направленными? 19. Дайте определение координат вектора с началом в точке Аг (хг; yr‘, zx) и концом в точке А2 (х2; z/2; z2). 20. Дайте определение действий над векторами: сложения, ум- ножения на число, скалярного произведения. 21. Какие векторы в пространстве называются коллинеарны- ми, компланарными? 22. Докажите, что любой вектор в пространстве можно разло- жить по трем некомпланарным векторам. 23. Выведите уравнение плоскости. 59 Декартовы координаты ' и векторы в пространстве
24. Какой геометрический смысл имеют коэффициенты а, Ь, с в уравнении плоскости ах + by + cz 4- d = О? 25. По какой формуле вычисляется расстояние h от точки А(х; t/; z) до плоскости, задаваемой уравнением ах + by + + cz + d = О? Задачи Пункт 23 1. Где лежат те точки пространства, для которых координа- ты х и у равны нулю? 2. Даны точки Л (1; 2; 3), В (О; 1; 2), С (О; О; 3), D (1; 2; О). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху\ 2) на оси г; 3) в плоскости yzl 3. Дана точка А (1; 2; 3). Найдите основания перпендикуля- ров, опущенных из этой точки на координатные оси и ко- ординатные плоскости. Пункт 24 4. Найдите расстояния от точки (1; 2; -3) до: 1) координат- ных плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат. 5. В плоскости ху найдите точку D (х; у', О), равноудаленную от трех данных точек: А (О; 1; -1), В (-1; О; 1), С (О; -1; О). 6. Найдите точки, равноотстоящие от точек (О; О; 1), (О; 1; О), (1; О; О) и отстоящие от плоскости yz на расстояние 2. 7. На оси х найдите точку С (х; О; О), равноудаленную от двух точек А (1; 2; 3), В (—2; 1; 3). 8. Составьте уравнение геометрического места точек прост- ранства, равноудаленных от точки А (1; 2; 3) и начала координат. Пункт 25 9. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (1; 3; 2), В (О; 2; 4), С (1; 1; 4), D (2; 2; 2) является параллелограммом. 10. Докажите, что четырехугольник ABCD я.ъл.яется. паралле- лограммом, если: 1) А (0; 2; -3), В (-1; 1; 1), С (2; -2; -1), D (3; -1; -5); 2) А (2; 1; 3), В (1; 0; 7), С (-2; 1; 5), D (-1; 2; 1). 11. Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если: 1) А (6; 7; 8). В (8; 2; 6), С (4; 3; 2), D (2; 8; 4); 2) А (0; 2; О), В (1; 0; 0), С (2; 0; 2), D (1; 2; 2). 12. Даны один конец отрезка А (2; 3; -1) и его середина С (1; 1; 1). Найдите другой конец отрезка В (х; у\ z). 10 класс
13. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCDt если координаты трех других его вершин известны: 1) А (2; 3; 2), В (О; 2; 4), С (4; 1; О); 2) А (1; -1; О), В (О; 1; -1), С (-1; О; 1); 3) А (4; 2; -1), В (1; -3; 2), С (—4; 2; 1). 14. Докажите, что середина отрезка с концами в точках А (а; с; —Ь) и В (—a; d; b) лежит на оси у. 15. Докажите, что середина отрезка с концами в точках С (a; by с) и D (р; д; -с) лежит в плоскости ху. Пункт 26 16. Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости ху задается формулами х' = х, у = Уу z' = -2. 17. Даны точки (1; 2; 3), (О; —1; 2), (1; О; —3). Найдите точ- ки, симметричные данным относительно координатных плоскостей. 18. Даны точки (1; 2; 3), (О; -1; 2), (1; О; -3). Найдите точ- ки, симметричные им относительно начала координат. Пункт 28 19. Докажите, что преобразование симметрии относительно точки есть движение. 20. Докажите, что преобразование симметрии относительно плоскости есть движение. 21. Докажите, что при движении в пространстве круг перехо- дит в круг того же радиуса. 22. Докажите, что при движении в пространстве три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, также лежа- щие на одной прямой. Пункт 29 23. Найдите значения а у by с в формулах параллельного пере- носа х = х + а, у = у + by 2' = 2 + Су если при этом па- раллельном переносе точка А (1; 0; 2) переходит в точку А' (2; 1; 0). 24. При параллельном переносе точка А (2; 1; —1) переходит в точку А' (1; -1; 0). В какую точку переходит начало ко- ординат? 25. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В, а точка С — в точку В, если: 1) А (2; 1; 0), В (1; 0; 1), С (3; -2; 1), D (2; -3; 0); 2) А (-2; 3; 5), В (1; 2; 4), С (4; -3; 6), D (7; -2; 5); 3) А (0; 1; 2), В (-1; 0; 1), С (3; -2; 2), D (2; -3; 1); 4) А (1; 1; 0), В (0; 0; 0), С (-2; 2; 1), D (1; 1; 1)? 2 1 Декартовы координаты и вектиры в пространстве
26. Докажите, что при параллельном переносе параллело- грамм переходит в равный ему параллелограмм. 27. Четыре параллельные прямые пересекают параллельные плоскости в вершинах параллелограммов ABCD и AjBjCj-Dj соответственно. Докажите, что параллелограммы ABCD и А1В1С1В1 совмещаются параллельным переносом. Пункт 30 28. Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия. 29. Три прямые, проходящие через точку В, пересекают дан- ную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей пло- скость в точках Аг, Blt Сг. Докажите, что треугольники АВС и А^^ гомотетичны. Пункт 31 30. Прямая а лежит в плоскости а, а прямая Ь перпендику- лярна этой плоскости. Чему равен угол между прямыми а и Ь? 31. Даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Чему равен угол между прямыми СА и СВ, если эти пря- мые образуют углы а и 0 с прямой АВ и а + Р < 90°? 32. Прямые а, Ъ, с параллельны одной и той же плоскости. Чему равен угол между прямыми Ъ и с, если углы этих прямых с прямой а равны 60° и 80°? 33. Докажите, что любая прямая на плоскости, перпендику- лярная проекции наклонной на эту плоскость, перпенди- кулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоско- сти перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. 34. 1) Докажите, что прямая, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами. 2) Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные прямые, пересекает их под равными углами. 35. Точка А отстоит от плоскости на расстояние h. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под следу- ющими углами к плоскости: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°. 36. Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол, равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°? 37. Отрезок длиной 10 м пересекает плоскость, концы его на- ходятся на расстояниях 2 м и 3 м от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью. 10 класс
38. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, прове- дены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных. 39. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, прове- дены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°. Найдите расстояние между кон- цами наклонных. 40. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, прове- дены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции образуют угол 120е. Найдите расстояние меж- ду концами наклонных. 41. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольни- ка проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью. Пункт 33 42. Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами. 43. Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка А, ле- жащая в одной из этих плоскостей, отстоит от другой пло- скости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точ- ки до прямой пересечения плоскостей. 41. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости. 45. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боко- вые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстоя- ние между вершинами треугольников. 46. Равнобедренные треугольники АВС и ABD с общим осно- ванием АВ лежат в различных плоскостях, угол между ко- торыми равен а. Найдите cos а, если: 1) АВ = 24 см, АС = 13 см, AD = 37 см, CD = 35 см; 2) АВ = 32 м, АС = 65 м, AD = 20 м, CD = 63 м. 47. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоско- сти, которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью треугольника. Пункт 34 48. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, ко- 63 Декартовы координаты и векторы в пространстве
торая образует с плоскостью треугольника угол, равный: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°. 49. 1) Найдите площадь ортогональной проекции треугольни- ка АВС из задачи 46 на плоскость треугольника ABD. 2) Найдите площадь ортогональной проекции треугольни- ка ABD из задачи 46 на плоскость треугольника АВС. Пункт 35 50. Даны четыре точки А (2; 7; -3), В (1; 0; 3), С (-3; -4; 5), D (—2; 3; -1). Укажите среди векторов АВ, ВС, ВС, АВ, АС и BD равные векторы. 51. Даны три точки А (1; 0; 1), В (-1; 1; 2), С (0; 2; -1). Най- дите точку В (х; у; z), если векторы АВ и СВ равны. 52. 53. 54. 55. Пункт 36 Найдите точку В в задаче 51, если сумма векторов АВ и СВ равна нулю. Даны векторы (2; и; 3) и (3; 2; т). При каких тип эти векторы коллинеарны? Дан вектор а (1; 2; 3). Найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом В на плоскости ху. При каком значении п данные векторы перпендикулярны: 1) а (2; -1; 3), b (1; 3; п); 2) а (п; -2; 1), b (п; -п; 1); 3) а (п; -2; 1), Ъ (п; 2п; 4); 4) а (4; 2п; -1), Ъ (-1; 1; п)? 56. Даны три точки А (1; 0; 1), В (-1; 1; 2), С (0; 2; —1). Найди- те на оси z такую точку В (0; 0; с), чтобы векторы АВ и СВ были перпендикулярны. 57. Векторы а и Ъ образуют угол 60°, а вектор с им пер- пендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора а + b + с. 58. Векторы а, 6, с единичной длины образуют попарно углы 60°. Найдите угол <р между векторами: 1) а и Ъ 4- с; 2) а и b — с. 59. Даны четыре точки Л (0; 1; —1), В (1; —1; 2), С (3; 1; 0), В (2; -3; 1). Найдите косинус угла <р между векторами АВ и СВ. 60. Даны три точки А (0; 1; -1), В (1; -1; 2), С (3; 1; 0). Найдите косинус угла С треугольника АВС. 10 класс
61. Докажите, что угол ф между прямыми, содержащими век- торы а и Ъ, определяется из уравнения \а Ъ | = |а| • |b| cos ф. 62. Из вершины прямого угла А треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите ко- синус угла ф между векторами ВС и BD, если угол ABD равен а, а угол АВС равен р. 63. Наклонная образует угол 45° с плоскостью. Через основа- ние наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45и к проекции наклонной. Найдите угол ф между этой прямой и наклонной. 64. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две рав- ные наклонные, образующие углы а с перпендикуляром. Найдите угол ф между проекциями наклонных, если угол между наклонными р. Пункт 38 65. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку А и перпендикулярна прямой АВ, если: 1) А(-1; 1; 2), В(2; О; 1); 2) А(1; 0; -1), В(4; 6; -3); 3) А(3; -4; 5), В(2; 1; -3). 66. Найдите расстояние от точки С(6; -8; 10) до плоскостей из предыдущей задачи. 67. Найдите отрезки, которые плоскость ах 4- Ъу 4- cz = d от- секает на осях координат, если коэффициенты a, Ь, с и d не равны нулю. 68. Докажите, что любая плоскость, параллельная плоскости ах 4- by 4- cz 4- d = 0, задается уравнением ах 4- by 4- cz 4- 4- dx = 0, dy * d. 69. Докажите, что плоскости, заданные уравнениями х + у + 4- z = 1, 2х 4- у 4- Зг 4- 1 = 0, х 4- 2z 4- 1 = 0, не имеют ни одной общей точки. 70. Найдите точку пересечения трех плоскостей, задаваемых уравнениями: 1) х 4- у 4- z = 1, х - 2у = 0, 2х 4- у 4- Зг 4- 1 = 0; 2) х - z/ = 3, 1/4-2 = 2, х - г = 4; 3) х 4- z = 0, 2х - у = 3, Зх 4- у - z = 8; 4) х 4- 2у 4- 3z = 1, Зх 4- у 4- 2z = 2, 2х 4- Зу 4- z = 3. 71. При каком условии плоскость, заданная уравнением ах 4- by 4- cz 4- d = 0: 1) параллельна оси г; 2) проходит через ось z\ 3) перпендикулярна плоскости хг? 3 Геометрия 10-11 кл. 65 Декартовы координаты и векторы в пространстве
J Многогранники 39. Двугранный угол Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ог- раничивающей их прямой (рис. 88). Полуплоскос- ти называются гранями, а ограничивающая их прямая — ребром двугранного угла. Плоскость, перпендикулярная ребру дву- гранного угла, пересекает его грани по двум полу- прямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимает- ся мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещают- ся параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от вы- бора линейного угла. Задача (1). Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры ААг и ВВ1 на ребро угла. Найдите отрезок АВ, если A4.J = a, BBj = b, AjBj = с и двугранный угол равен а (рис. 89). Решение. Проведем прямые АХС II ВВг и ВС || AjBp Четырехугольник А^В^ВС — параллелограмм, зна- чит, А}С = ВВГ = Ъ. Прямая А^В^ перпендикуляр- на плоскости треугольника AAjC, так как она пер- пендикулярна двум прямым ААг и САг в этой пло- скости. Рис. 88 Рис. 89 66 11 класс
Следовательно, параллельная ей прямая ВС тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, тре- угольник АВС — прямоугольный с прямым уг- лом С. По теореме косинусов АС2 = АА2 4- А}С2 - 2AAi • AtC • cos а = = а ' + b2 - 2ab cos а. По теореме Пифагора АВ = 11 АС2 + ВС2 = а2 + b2-2ab cos а + с2. 40. Трехгранным и многогранный углы Рассмотрим три луча а, Ь, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, со- ставленная из трех плоских углов (ab), (Ьс) и (ас) (рис. 90). Эти углы называются гранями трехгран- ного угла, а их стороны — ребрами. Общая вер- шина плоских углов называется вершиной трех- гранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугран- ными углами трехгранного угла. Аналогично определяется понятие мно- гогранного угла (рис. 91). Задача (2). У трехгранного угла (abc) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при реб- ре b равен ф, а плоский угол (Ьс) равен у ф,у< — • I 2 1 Найдите другие плоские углы: а = Z-(ab), Р = А(ас). Решение. Опустим из произвольной точки А реб- ра а перпендикуляр АВ на ребро Ъ и перпендику- ляр АС на ребро с (рис. 92). По теореме о трех пер- пендикулярах СВ — перпендикуляр к ребру Ъ. Из прямоугольных треугольников ОАВ, ОСВ, АОС и АВС получаем: tga =АВ: ОВ вс . вс _ tgy — cos <р * tgy — cos ф » tg Р=АС: ОС = ВС tg ф: = tg9 sin у. Рис. 92 67 Многогранники
Замечание. Полученные зависимости между углами а, Р, у, (p: tga = ^, tgp = tg<psiny — позволяют, зная два угла, найти два других. 41. Многогранник В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (гео- метрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогранник — это такое тело, по- верхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 93). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского много- угольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогран- ника называется гранью. Грани выпуклого много- гранника являются плоскими выпуклыми много- угольниками. Стороны граней называются ребра- ми многогранника, а вершины — вершинами многогранника. Из плоских многоугольников, являю- щихся гранями данного многогранника, можно склеить его модель. Но для этого надо знать, ка- кие их стороны склеиваются одна с другой, обра- зуя при этом ребра многогранника. Разверткой многогранника называется совокупность плоских многоугольников, равных его граням, для которых указано, как их склеивать друг с другом по сторо- нам и вершинам. Упоминание вершин при этом совсем не лишне, так как два многоугольника можно склеить по общей стороне двумя различны- ми способами. Поясним сказанное на примере знакомо- го вам куба (рис. 94, а). Куб есть выпуклый мно- гогранник. Его поверхность состоит из шести ква- дратов: ABCD, АВВ1А1, ... . Они являются его гра- нями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, ААг, ... . Вершинами куба яв- ляются вершины квадратов: А, В, С, D, Ах, Вг, ... . У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин. На рисунке 94, б показана крестообразная 68 11 класс
развертка куба, изображенного на рисунке 94, а, причем на ней часть сторон, подлежащих склейке, уже совмещены, а остальные склеиваемые стороны и вершины обозначены одинаковыми буквами. При этом окрестность вершины Сг состоит из од- ного угла развертки (который равен сумме трех пря- мых углов), а окрестность вершины А — из трех углов (каждый из которых равен прямому углу). Простейшим многогранникам — приз- мам и пирамидам, которые будут основным объ- ектом нашего изучения, — мы дадим такие опре- деления, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометри- ческие фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже. 42. Призма Призмой называется многогранник, ко- торый состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, со- единяющих соответствующие точки этих много- угольников (рис. 95). Многоугольники называют- ся основаниями призмы, а отрезки, соединяю- щие соответствующие вершины, — боковыми реб- рами призмы. Так как параллельный перенос есть дви- жение, то основания призмы равны. Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у призмы основания лежат в параллельных плос- костях. Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпада- ющим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые ребра параллельны и равны. Рис. 95 69 Многогранники
Поверхность призмы состоит из основа- ний и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из парал- лелограммов. У каждого из этих параллелограм- мов две стороны являются соответствующими сто- ронами оснований, а две другие — соседними бо- ковыми ребрами. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называ- ется диагональю призмы. Призма называется n-угольной, если ее основания — п-угольники. В дальнейшем мы будем рассматривать только призмы, у которых основания — выпуклые многоугольники. Такие призмы являются выпук- лыми многогранниками. На рисунке 95 изображена пятиуголь- ная призма. У нее основаниями являются пяти- угольники ABCDE, AXBXCXDXEX. XXх — отрезок, соединяющий соответствующие точки оснований. Боковые ребра призмы — отрезки AAlt BBlt ...» ЕЕ}. Боковые грани призмы — параллелограммы АВВ^А^, BCC1Blt ... . 43. Изображение призмы и построение ее сечений В соответствии с правилами параллель- ного проектирования изображение призмы строит- ся следующим образом. Сначала строится одно из оснований Р (рис. 96). Это будет некоторый плос- кий многоугольник. Затем из вершин многоуголь- ника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются, и получается другое основа- ние призмы. Невидимые ребра проводятся штрихо- выми линиями. Сечения призмы плоскостями, парал- лельными боковым ребрам, являются параллелог- раммами. В частности, параллелограммами явля- ются диагональные сечения. Это сечения плоскос- тями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (рис. 97). 70 11 класс
На практике, в частности, при решении задач часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую g на плоскости одного из оснований призмы. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания. Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Покажем, как строится такое сечение, если известна какая- нибудь точка Л на поверхности призмы, принадле- жащая сечению (рис. 98). Если данная точка А принадлежит дру- гому основанию призмы, то его пересечение с се- кущей плоскостью представляет собой отрезок ВС, параллельный следу g и содержащий данную точ- ку А (рис. 98, а). Если данная точка А принадлежит боко- вой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью строится, как показано на рисунке 98, б. Именно: сначала строится точка В, в кото- рой плоскость грани пересекает заданный след g. Затем проводится прямая через точки А и D. От- резок ВС прямой AD на рассматриваемой грани и есть пересечение этой грани с секущей плос- костью. Если грань, содержащая точку А, парал- лельна следу gt то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, проходящему через точ- ку А и параллельному прямой g. Концы отрезка ВС принадлежат и сосед- ним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с нашей секу- щей плоскостью. И т. д. На рисунке 99 показано построение се- чения четырехугольной призмы плоскостью, про- ходящей через прямую а в плоскости нижнего ос- нования призмы и точку А на одном из боковых ребер. 44. Прямая призма Призма называется прямой, если ее бо- ковые ребра перпендикулярны основаниям. В про- тивном случае призма называется наклонной. У прямой призмы боковые грани явля- ются прямоугольниками. При изображении пря- мой призмы на рисунке боковые ребра обычно про- водят вертикально (рис. 100). а) 71 Многогранники
Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными много- угольниками. Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сум- ме боковой поверхности и площадей оснований. Теорема 5.1 Боковая поверхность прямой призмы равна про- изведению периметра основания на высоту приз- мы, т. е. на длину бокового ребра. Доказательство. Боковые грани прямой призмы — прямо- угольники. Основания этих прямоугольников яв- ляются сторонами многоугольника, лежащего в ос- новании призмы, а высоты равны длине боковых ребер призмы. Отсюда следует, что боковая поверх- ность призмы равна <S = ах1 + 0-2^ + ••• + = РЪ где alt ..., ап — длины ребер основания, р — пе- риметр основания призмы, а I — длина боковых ребер. Теорема доказана. Задача (22). В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекаю- щее все боковые ребра. Найдите боковую поверх- ность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны I. Решение. Плоскость проведенного сечения разби- вает призму на две части (рис. 101). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещаю- щему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны I. Эта призма име- ет ту же боковую поверхность, что и исходная. Та- ким образом, боковая поверхность исходной приз- мы равна pl. Рис. 101 72 11 класс
a) 45. Параллелепипед Если основание призмы есть параллело- грамм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани — параллелограммы. На рисунке 102, а изображен наклон- ный параллелепипед, а на рисунке 102, б — пря- мой параллелепипед. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. Теорема 5.2 У параллелепипеда противолежащие грани парал- лельны и равны. Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две противо- лежащие грани параллелепипеда, например ADDlA1 и СВВ1С1 (рис. 103). Так как все грани параллеле- пипеда — параллелограммы, то прямая AD парал- лельна прямой ВС, а прямая АА} параллельна пря- мой DDX. Отсюда следует, что плоскости рассмат- риваемых граней параллельны. Из того, что грани параллелепипеда — параллелограммы, следует, что отрезки АВ, AjBj, D1C1 и DC параллельны и равны. Отсюда заключа- ем, что грань ADD1A1 совмещается параллельным переносом вдоль ребра АВ с гранью СВВ1С1. Зна- чит, эти грани равны. Аналогично доказывается параллель- ность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана. Рис. 103 73 Многогранники
Теорема 5.3 Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например DBA и АСг (рис. 104). Так как четырехугольники DABC и ВВ1С1С — па- раллелограммы с общей стороной ВС, то их сторо- ны AD и В^ параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересека- ет плоскости противолежащих граней параллеле- пипеда по параллельным прямым АВг и DCA. Сле- довательно, четырехугольник DAB1C1 — паралле- лограмм. Диагонали параллелепипеда DBt и АСа являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказывается, что диагона- ли BDr и AClt а также диагонали АСа и СА} пере- секаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали парал- лелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана. Рис. 104 Из теоремы 5.3 следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии. 46. Прямоугольный параллелепипед Прямой параллелепипед, у которого ос- нованием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоуголь- ного параллелепипеда все грани — прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед, у ко- торого все ребра равны, называется кубом. Длины непараллельных ребер прямо- угольного параллелепипеда называются его линей- ными размерами (измерениями). У прямоугольно- го параллелепипеда три измерения. 74 11 класс
Теорема 5.4 В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его изме- рений. Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллеле- пипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 105). Из прямоугольно- го треугольника АС^С по теореме Пифагора полу- чаем АС2 = АС2 + СС2. Из прямоугольного треугольника АСВ по теореме Пифагора получаем АС2 = АВ2 + ВС2. Отсюда АС2 = СС[ + АВ2 + ВС2. Ребра АВ, ВС и ССХ не параллельны, а следова- тельно, их длины являются линейными размерами параллелепипеда. Теорема доказана. У прямоугольного параллелепипеда, как у всякого параллелепипеда, есть центр симмет- рии — точка пересечения его диагоналей. У прямоугольного параллелепипеда есть также три плоскости симметрии, проходящие че- рез его центр симметрии параллельно граням. На рисунке 106 показана одна из таких плоскостей симметрии параллелепипеда. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллеле- пипеда. Концы ребер являются симметричными точками. Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме названных. Если же у параллелепипеда два линей- ных размера равны, то у него есть еще две плос- кости симметрии. Это плоскости диагональных се- чений, показанные на рисунке 107. Если у параллелепипеда все линейные размеры равны, т. е. он является кубом, то у не- го плоскость любого диагонального сечения явля- ется плоскостью симметрии. Таким образом, у ку- ба девять плоскостей симметрии. 75 Рис. 105 Рис. 107 Многогранники
47. Пирамида Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плос- кости основания, — вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точ- ками основания (рис. 108). Отрезки, соединяющие вершину пира- миды с вершинами основания, называются боко- выми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из осно- вания и боковых граней. Каждая боковая грань — треугольник. Одной из его вершин является вер- шина пирамиды, а противолежащей стороной — сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды называется перпен- дикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром. У пирамиды, изображенной на рисун- ке 108, основание — многоугольник A1A2...Ant вершина пирамиды — S, боковые ребра — SAj, SA2, ..., SAn, боковые грани — треугольники SA^A2f SA2A3, ...» SAnAl. В дальнейшем мы будем рассматривать только пирамиды с выпуклым многоугольником в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками. Рис. 109 48. Построение пирамиды и ее плоских сечений В соответствии с правилами параллель- ного проектирования изображение пирамиды стро- ится следующим образом. Сначала строится осно- вание. Это будет некоторый плоский многоуголь- ник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершина- ми основания. На рисунке 108 показано изображе- ние пятиугольной пирамиды. Сечения пирамиды плоскостями, прохо- дящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 109). В частности, треугольни- "7Х
ками являются диагональные сечения. Это сече- ния плоскостями, проходящими через два несосед- них боковых ребра пирамиды (рис. 110). Сечение пирамиды плоскостью с задан- ным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы. Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно пост- роить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью. Если на грани, не параллельной следу g, известна какая-нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани — точка D на рисунке 111. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, при- надлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани пира- миды, параллельной следу я, то секущая плос- кость пересекает эту грань по отрезку, параллель- ному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плос- костью и т. д. В итоге получается требуемое сече- ние пирамиды. На рисунке 112 построено сечение четы- рехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из ее боковых ребер. 49. Усеченная пирамида Теорема 5.5 Плоскость, пересекающая пирамиду и параллель- ная ее основанию, отсекает подобную пирамиду. Доказательство. Пусть S — вершина пирамиды, А — вершина основания и А' — точка пересечения се- кущей плоскости с боковым ребром SA (рис. 113, а). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэффициентом гомо- тетии , SA' k=~^- Многогранники
При этой гомотетии плоскость основания перехо- дит в параллельную плоскость, проходящую через точку А, т. е. в секущую плоскость, а следова- тельно, вся пирамида — в отсекаемую этой плос- костью часть. Так как гомотетия есть преобра- зование подобия, то отсекаемая часть пирами- ды является пирамидой, подобной данной. Теоре- ма доказана. По теореме 5.5 плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пира миду. Другая часть представляет собой многогран- ник, который называется усеченной пирамидой (рис. 113, б). Грани усеченной пирамиды, лежа- щие в параллельных плоскостях, называются ос- нованиями; остальные грани называются боковы- ми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные (более того, гомо- тетичные) многоугольники, боковые грани — трапеции. Задача (54). Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части и через точки деления прове- дены плоскости, параллельные основанию пирами- ды. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади сечений. Решение. Сечения подобны основанию пирамиды 12 3 с коэффициентами подобия —, — и Площади подобных фигур относятся как квадраты линей- ных размеров. Поэтому отношения площадей сече- Л1Л2 нии к площади основания пирамиды есть 1—1 , 0^) и 0Q * Следовательно, площади сечений равны 400 ’ З)= 25 (см2)* 400 * 3) = 100 <см2)’ 400 • (j) =225(0^). Рис. 113 78 11 класс
50. Правильная пирамида Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоуголь- ник, а основание высоты совпадает с центром это- го многоугольника (рис. 114). Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее вы- соту. Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани — рав- ные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пира- миды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Боковой поверхностью пирамиды назы- вается сумма площадей ее боковых граней. 5.6 Теорема Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апо- фему. Доказательство. Если сторона основания а, число сторон и, то боковая поверхность пирамиды равна: al anl pl '2П~~2~~~2 9 где I — апофема, а р — периметр основания пира- миды. Теорема доказана. Усеченная пирамида, которая получает- ся из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции; их вы- соты называются апофемами. Задача (69). Докажите, что боковая поверхность пра- вильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. Решение. Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции с одним и тем же верхним основанием а, нижним Ь и высотой (апофемой) I. Поэтому площадь одной грани равна — (а + Ь)1. Площадь всех граней, т. е. боковая поверхность, равна (ап + Ьп)1, где п — число вершин у основания пирамиды, ап и Ъп — периметры оснований пирамиды. 79 Рис. 114 Много? оанники
51. Правильные многогранники Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильны- ми многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходит- ся одно и то же число ребер. Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис. 115): правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. У правильного тетраэдра грани — пра- вильные треугольники; в каждой вершине сходит- ся по три ребра. Тетраэдр представляет собой тре- угольную пирамиду, у которой все ребра равны. У куба все грани — квадраты; в каж- дой вершине сходится по три ребра. Куб представ- ляет собой прямоугольный параллелепипед с рав- ными ребрами. У октаэдра грани — правильные тре- угольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра. У додекаэдра грани — правильные пя- тиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. У икосаэдра грани — правильные треуголь- ники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каж- дой вершине сходится по пять ребер. Задача (81). Найдите двугранные углы правильно- го тетраэдра. Решение. Пусть ABCD — правильный тетраэдр, точка Е — середина ребра АВ (рис. 116). Соединим точку Е с вершинами С и D тетраэдра. СЕ и DE — медианы граней, а следовательно, и высоты. Поэтому угол ф — линейный угол двугранного угла при ребре АВ. Угол ф находится по теореме косинусов для треугольника CDE. В нем CD = а, ЕС = ED = Имеем: Zj октаэдр додекаэдр икосаэдр Рис. 115 ЕС2 + ED2 - 2ЕС • EDcosip = CD2, ^а2+ ^а2-|а2 соэф = а2, соэф = ^, ф = 70°32'. Очевидно, двугранные углы при осталь- ных ребрах тетраэдра такие же по величине. 80 11 класс
Теорема (Эйлера). 5.7 Для любого выпуклого многогранника с числом вершин В, числом граней Г и числом ребер Р вы- полняется следующее равенство: В 4- Г — Р = 2. Эта теорема названа по имени швей- царского математика Леонарда Эйлера, почти вся научная деятельность которого была связана с Пе- тербург-ской академией. Он доказал эту теорему и опубликовал в 1752 г., хотя ее утверждение было известно ранее Р. Декарту. Убедимся на примере правильных многогранников в справедливости те- оремы. Для тетраэдра В = 4, Г = 4, Р = 6. Име- ем: 4 4-4-6 = 2. Для куба В = 8, Г = 6, Р = 12. Имеем: 8 + 6 - 12 = 2. Для октаэдра В = 6, Г = 8, Р = 12. Име- ем: 6 4- 8 - 12 = 2. Для додекаэдра В = 20, Г = 12, Р = 30. Имеем: 20 4- 12 — 30 = 2. Для икосаэдра В = 12, Г = 20, Р = 30. Имеем: 12 4- 20 - 30 = 2. Контрольные вопросы 1. Что такое двугранный угол (грань угла, 2. Что такое линейный угол двугранного угла? 3. Почему мера двугранного угла не зависит от выбора ли- нейного угла? 4. Объясните, что такое трехгранный угол (грани и ребра трехгранного угла). 5. Объясните, что такое плоские и двугранные углы трех- гранного угла. 6. Что такое многогранник? 7. Какой многогранник называется выпуклым? 8. Что такое грань выпуклого многогранника, ребро, верши- на, развертка? 9. Что такое призма (основания призмы, боковые грани, ребра)? 10. Докажите, что у призмы основания лежат в параллельных плоскостях и равны, боковые ребра параллельны и равны, боковые грани — параллелограммы. 11. Что такое высота призмы? 12. Что такое диагональ призмы? Рис. 116 ребро угла)? Многогранники
13. Что представляет собой сечение призмы плоскостью, параллельной боковым ребрам, в частности диагональное сечение? 14. Как строится сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую в плоскости основания призмы и данную точку на одной из боковых граней? 15. Какая призма называется прямой (наклонной)? 16. Какая призма называется правильной? 17. Что такое боковая (полная) поверхность призмы? 18. Докажите, что боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. 19. Что такое параллелепипед? 20. Докажите, что у параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. 21. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. 22. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллеле- пипеда является его центром симметрии. 23. Какой параллелепипед называется прямоугольным? Что такое линейные размеры прямоугольного параллелепи- педа? 24. Что такое куб? 25. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений. 26. Сколько плоскостей симметрии у прямоугольного парал- лелепипеда? 27. Что такое пирамида (основание пирамиды, боковые грани, ребра, высота)? 28. Что представляют собой сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину? 29. Что такое диагональное сечение пирамиды? 30. Как построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую в плоскости основания пирамиды и заданную точку на одной из боковых граней? 31. Докажите, что плоскость, пересекающая пирамиду и па- раллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду. 32. Объясните, что такое усеченная пирамида. 33. Какая пирамида называется правильной? Что такое ось правильной пирамиды? 34. Что такое апофема правильной пирамиды? 35. Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему. 36. Какой многогранник называется правильным? 37. Перечислите типы правильных многогранников и опиши- те их. 38. Сформулируйте теорему Эйлера для выпуклых многогран- ников. 11 класс
Задачи Пункт 39 1. Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опу- щены перпендикуляры ААХ и ВВГ на ребро угла. Найдите: 1) отрезок АВ, если А4Х = a, BBr = b, АГВГ = с и двугран- ный угол равен а; 2) двугранный угол а, если ААГ = 3, ВВХ = 4, АА = 6, АВ = 7. Пункт 40 2. У трехгранного угла (abc) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре Ъ равен ф, а плоский угол (Ьс) равен у »у < . Найдите другие плоские углы: а = Z-(ab), Р = А(ас). 3. У трехгранного угла один плоский угол равен у, а приле- жащие к нему двугранные углы равны ф(ф<90°). Найди- те два других плоских угла а и угол |3, который образует плоскость угла у с противолежащим ребром. 4. У трехгранного угла два плоских угла острые и равны а, а третий угол равен у. Найдите двугранные углы ф, про- тиволежащие плоским углам а, и угол Р между плоско- стью у и противолежащим ребром. Пункт 42 5. Докажите, что сечение призмы, параллельное основаниям, равно основаниям. 6. Сколько диагоналей имеет n-угольная призма? Пункт 43 7. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и одну из вершин другого основания. 8. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на боковых ребрах призмы. Пункт 44 9. У призмы одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Докажите, что остальные боковые ребра тоже перпендикулярны плоскости основания. 10. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы 18 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания. 11. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклоне- но к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту призмы. Многогранники
12. В наклонной треугольной призме расстояния между боко- выми ребрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите рас- стояние между большей боковой гранью и противолежа- щим боковым ребром. 13. Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной а, боковые грани — квадраты. Найдите диа- гонали призмы и площади ее диагональных сечений. 14. В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхне- го основания. Сторона основания равна а. Найдите пло- щадь построенного сечения (рис. 117). 15. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые гра- ни по отрезкам, угол между которыми а. Найдите угол на- клона этой плоскости к основанию призмы (рис. 118). 16. В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пе- ресекающая три боковых ребра и наклоненная к плоско- сти основания под углом а. Сторона основания равна а. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основа- ния 144 см2, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы. 18. В правильной четырехугольной призме площадь боковой грани равна Q. Найдите площадь диагонального сечения. 19. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15, высота равна 20. Найдите кратчайшее расстоя- ние от стороны основания до не пересекающей ее диаго- нали призмы (рис. 119). 20. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 м2. Найдите высоту. 21. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы 32 м2, а полная поверхность 40 м2. Найдите высоту. Рис. 117 Рис. 118 84 11 класс
22. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Най- дите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны I. 23. Расстояния между параллельными прямыми, содержащи- ми боковые ребра наклонной треугольной призмы, равны 2 см, 3 см и 4 см, а боковые ребра 5 см. Найдите боковую поверхность призмы. 24. По стороне основания а и боковому ребру Ь найдите пол- ную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной. 25. Плоскость, проходящая через сторону основания правиль- ной треугольной призмы и середину противолежащего ре- бра, образует с основанием угол 45°. Сторона основания I. Найдите боковую поверхность призмы. Пункт 45 26. У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м2, 2 м2 и 3 м2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда? 27. Известны углы, образуемые ребрами параллелепипеда, сходящимися в одной вершине. Как найти углы между ребрами, сходящимися в любой другой вершине? 28. Докажите, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым ребрам. 29. В прямом параллелепипеде стороны оснований 6 м и 8 м образуют угол 30°, боковое ребро равно 5 м. Найдите пол- ную поверхность этого параллелепипеда. 30. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см, угол между ними 60°. Боковая поверхность равна 220 см2. Найдите полную поверхность. 31. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите боль- шую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диа- гональ образует с плоскостью основания угол 60°. 32. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно а, а угон основания равен 60°. 33. Боковое ребро прямого параллелепипеда 5 м, стороны ос- нования 6 м и 8 м, а одна из диагоналей основания 12 м. Найдите диагонали параллелепипеда. 34. В прямом параллелепипеде боковое ребро 1 м, стороны ос- нования 23 дм и 11 дм, а диагонали основания относятся как 2:3. Найдите площади диагональных сечений. М ногогранники
Пункт 46 35. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7. 36. Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины. 37. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дм и 24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм. Найдите площадь диагонального сечения. 38. Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см. 39. Найдите боковую поверхность прямоугольного параллеле- пипеда, если его высота Л, площадь основания Q, а пло- щадь диагонального сечения М. 40. Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны а, &, с. Найдите ли- нейные размеры параллелепипеда (рис. 120). Пункт 47 41. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды. 42. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вы- числите высоту пирамиды. 43. Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом а. Как наклонены к плоскости основания боковые ребра? 44. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с плоско- стью основания угол р. Найдите высоту пирамиды. Рис. 121 11 класс
45. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с ка- тетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды. 46. Основание пирамиды — параллелограмм, у которого сто- роны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пи- рамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды. 47. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечения диа- гоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды. 48. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 40 см, 25 см и 25 см. Ее высота проходит че- рез вершину угла, противолежащего стороне 40 см, и рав- на 8 см. Найдите боковую поверхность пирамиды. 49. Основание пирамиды — квадрат, ее высота проходит через одну из вершин основания. Найдите боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20 дм, а высота 21 дм (рис. 121). Пункт 48 50. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей че- рез вершину пирамиды и две данные точки на ее основа- нии. 51. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания пирамиды и данную точку на противолежащем ребре. 52. Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоско- стью, проходящей через сторону основания и точку на од- ном из боковых ребер. Пункт 49 53. У четырехугольной усеченной пирамиды стороны одного основания равны 6 см, 7 см, 8 см, 9 см, а меньшая сторо- на другого основания равна 5 см. Найдите остальные сто- роны этого основания. 54. Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные час- ти и через точки деления проведены плоскости, параллель- ные основанию пирамиды. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади сечений. 55. Высота пирамиды равна 16 м. Площадь основания равна 512 м2. На каком расстоянии от основания находится се- чение, параллельное ему, если площадь сечения 50 м2? Многогранники
Пункт 50 56. В правильной треугольной пирамиде с высотой h через сто- рону основания а проведена плоскость, пересекающая про- тиволежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения. 57. Высота праьильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания 8 см. Найдите боковое ребро. 58. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найдите двугранный угол х при ос- новании пирамиды. 59. По данной стороне основания а и боковому ребру b найди- те высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четы- рехугольной; 3) шестиугольной. 60. По данной стороне основания а и высоте Ъ найдите апофе- му правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырех- угольной: 3) шестиугольной. 61. По стороне основания а и высоте h найдите полную по- верхность правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четы- рехугольной; 3) шестиугольной. 62. Найдите полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро а, а радиус окружности, вписанной в основание, г. 63. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боко- вой поверхности равна 14,76 м2, а площадь полной по- верхности 18 м2. Найдите сторону основания и высоту пирамиды. 64. По стороне основания а найдите боковую поверхность пра- вильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональ- ное сечение равновелико основанию. 65. Найдите боковую поверхность пирамиды, если площадь ос- нования Q, а двугранные углы при основании ф. 66. Найдите двугранные углы при основании правильной пи- рамиды, у которой площадь основания равна Q, а боковая поверхность S. 67. Найдите сторону основания и апофему правильной тре- угольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см, а площадь боковой поверхности равна 144 см2. 68. В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная по- верхность 16 см2. 69. Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему. 11 класс
70. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см. Сто- у''/ \ роны оснований равны 10 см и 2 см. \ Найдите боковое ребро пирамиды. ,''1 / \ 71. Стороны оснований правильной усе- s'____Х'К——— ченной треугольной пирамиды 4 дм и ' 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найдите \'и / высоту пирамиды. \ / 72. В правильной четырехугольной усе- ченной пирамиде высота равна 2 см, рИ(. ^2 а стороны оснований 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды. 73. Стороны оснований усеченной правильной треугольной пи- рамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим основанием угол 60°. Найдите высоту. 74. В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона большего основания а, сторона меньшего — Ь. Боковое ре- бро образует с основанием угол 45°. Найдите площадь се- чения, проходящего через боковое ребро и ось пирамиды1. 75. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 4 см. Стороны оснований равны 2 см и 8 см. Най- дите площади диагональных сечений. 76. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания 8 м, верхнего — 5 м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижним основанием (рис. 122). 77. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде сто- роны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите полную поверхность. 78. Найдите полную поверхность правильной усеченной пира- миды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиуголь- ной, если высота Л, а стороны оснований а и Ъ. Пункт 51 79. Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба. 80. Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетра эдра. 2Ось правильной усеченной пирамиды совпадает с осью соответству- ющей полной пирамиды. Многогранники
81. Найдите двугранные углы правильного тетраэдра. 82. Найдите двугранные углы октаэдра. 83. Какие плоскости симметрии имеет правильный тетраэдр? 84. Сколько плоскостей симметрии у правильного октаэдра, додекаэдра и икосаэдра? 85. Убедитесь в справедливости теоремы Эйлера для п-уголь- ной призмы (пирамиды, усеченной пирамиды). ИЯ Тела вращения 52. Цилиндр Цилиндром (точнее, круговым цилинд- ром) называется тело, которое состоит из двух кру- гов, не лежащих в одной плоскости и совмещае- мых параллельным переносом, и всех отрезков, со- единяющих соответствующие точки этих кругов (рис. 123). Круги называются основаниями ци- линдра, а отрезки, соединяющие соответству- ющие точки окружностей этих кругов, — образу- ющими цилиндра. Так как параллельный перенос есть дви- жение, то основания цилиндра равны. Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях. Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпада- ющим) прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из осно- ваний и боковой поверхности. Боковая поверх- ность составлена из образующих. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям основа- ний. Рис. 124 90 11 класс
В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для кратко- сти просто цилиндром. Прямой цилиндр наглядно можно представить себе как тело, которое описы- вает прямоугольник при вращении его около сто- роны как оси (рис. 124). Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она парал- лельна образующим. Если образующие боковой поверхности цилиндра неограниченно продолжить в обе сторо- ны, то получится полный цилиндр или цилин- дрическая поверхность, которая состоит из всех прямых (образующих), параллельных данной пря- мой s, которые пересекают данную окружность (рис. 125). Если окружность заменить какой-то другой линией, то получится цилиндрическая по- верхность общего вида, которую мы не будем рас- сматривать. Рис. 125 53. Сечения цилиндра плоскостями Сечение цилиндра плоскостью, парал- лельной его оси, представляет собой прямоуголь- ник (рис. 126, а). Две его стороны — образующие цилиндра, а две другие — параллельные хорды ос- нований. В частности, прямоугольником является осевое сечение. Это — сечение цилиндра плос- костью, проходящей через его ось (рис. 126, б). Задача (2). Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основа- ния цилиндра. Решение. Сторона квадрата равна vQ. Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна xQ 4 ’ 91 Тела вращения
Теорема Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. Доказательство. Пусть Р — плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра (рис. 127). Парал- лельный перенос в направлении оси цилиндра, совмещающий плоскость Р с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью Р с окружностью основания. Теорема доказана. Рис. 127 54. Вписанная и описанная призмы Призмой, вписанной в цилиндр, назы- вается такая призма, у которой плоскостями ос- нований являются плоскости оснований цилинд- ра, а боковыми ребрами — образующие цилинд- ра (рис. 128). Задача (7). В цилиндр вписана правильная шести- угольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус ос- нования равен высоте цилиндра. Решение. Боковые грани призмы — квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписан- ного в окружность, равна радиусу (рис. 129). Реб- ра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра ра- вен углу между диагональю и боковым ребром. А этот угол равен 45°, так как грани — квадраты. Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через обра- зующую цилиндра и перпендикулярная плоскос- ти осевого сечения, содержащей эту образую- щую (рис. 130). Призмой, описанной около цилиндра, называется призма, у которой плоскостями осно- ваний являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра (рис. 131). Рис. 128 92 11 класс
Рис. 132 55. Конус Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основа- ния (рис. 132). Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называ- ются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности. Конус называется прямым, если пря- мая, соединяющая вершину конуса с центром ос- нования, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вра- щении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис. 133). Высотой конуса называется перпендику- ляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержа- щая его высоту. Если образующие боковой поверхности конуса неограниченно продолжить в обе стороны, то получится коническая поверхность, которая состоит из всех прямых (образующих), проходя- щих через данную точку S, которые пересекают данную окружность (рис. 134). При этом окруж- ность можно заменить любой другой линией. Тогда получится коническая поверхность общего вида. 93 Рис. 133 Рис. 134 Тела вращения
Но мы будем рассматривать только коническую поверхность, направляющей для которой является окружность, и будем называть ее полным конусом. Точка S — вершина полного конуса — делит его на две полы. 56. Сечения конуса плоскостями Сечение конуса плоскостью, проходя- щей через его вершину, представляет собой равно- бедренный треугольник, у которого боковые сто- роны являются образующими конуса (рис. 134). В частности, равнобедренным треугольником явля- ется осевое сечение конуса. Это — сечение, кото- рое проходит через ось конуса (рис. 135). Теорема 6.2 Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса. Доказательство. Пусть Р — плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая ко- нус (рис. 136). Преобразование гомотетии относи- тельно вершины конуса, совмещающее плоскость Р с плоскостью основания, совмещает сечение конуса Рис. 135 Рис. 136 11 класс
плоскостью Р с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение бо- ковой поверхности — окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана. Задача (15). Конус пересечен плоскостью, параллель- ной основанию, на расстоянии d от вершины. Най- дите площадь сечения, если радиус основания ко- нуса R, а высота Н. Решение. Сечение конуса получается из основа- ния конуса преобразованием гомотетии относи- тельно вершины конуса с коэффициентом гомоте- тии k = . Поэтому радиус круга в сечении г = R~. Н £1 d2 Следовательно, площадь сечения S = л/Г—2 • н Плоскость, параллельная основанию ко- нуса и пересекающая конус, отсекает от него мень- ший конус. Оставшаяся часть называется усечен- ным конусом (рис. 137). 57. Вписанная и описанная пирамиды Пирамидой, вписанной в конус, называ- ется такая пирамида, основание которой есть мно- гоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса (рис. 138). Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса. Задача (25). У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она вписана в некоторый конус. Решение. Опустим перпендикуляр SO из вершины пирамиды на плоскость основания (рис. 139) и обо- значим длину боковых ребер пирамиды через I. Вершины основания удалены от точки О на одно и то же расстояние R=^ll2 - OS2 . Отсюда следует, что наша пирамида вписана в конус, у которого вершиной является вершина пирамиды, а основа- нием — круг с центром О и радиусом R. 95 Рис. 137 Рис. 138 8 Рис. 139 Т(ла вращения
Касательной плоскостью к конусу назы- вается плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого се- чения, содержащей эту образующую (рис. 140). Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием слу- жит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 141). Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса. Рис. 140 58. Шар Шаром называется тело, которое состо- ит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное рас- стояние — радиусом шара. Граница шара называется шаровой по- верхностью или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаро- вой поверхности, также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки ша- ровой поверхности и проходящий через центр ша- ра, называется диаметром. Концы любого диамет- ра называются диаметрально противоположными точками шара. Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вра- щении полукруга вокруг его диаметра как оси (рис. 142). 59. Сечение шара плоскостью Теорема 6.3 Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опу- щенного из центра шара на секущую плоскость. Доказательство. Пусть а — секущая плоскость и О — центр шара (рис. 143). Опустим перпендикуляр из
центра шара на плоскость а и обозначим через О' основание этого перпендикуляра. Пусть X — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости о. По теореме Пифаго- ра ОХ = ОО’2 + О'Х2. Так как ОХ не больше ра- диуса R шара, то О'Х < ']в2-ОО2 , т. е. любая точка сечения шара плоскостью а находится от точки О' на расстоянии, не большем у/R2 - ОО'2 , следовательно, она принадлежит кругу с центром О' и радиусом V/?2 - ОО'2 . Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А. это значит, что сечение ша- ра плоскостью а есть круг с центром в точке О’. Теорема доказана. Плоскость, проходящая через центр ша- ра, называется диаметральной плоскостью. Сече- ние шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 144), а сечение сферы — большой окружностью. Рис. 143 Рис. 144 Задача (30). Через середину радиуса шара проведе- на перпендикулярная ему плоскость. Как относит- ся площадь полученного сечения к площади боль- шого круга? Решение. Если радиус шара R (рис. 145), то ради- ус круга в сечении будет Отно- шение площади этого круга к площади большого круга равно тс :tlRj 3 4* 60. Симметрия шара Теорема 6.4 Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии. 4 Геометрия 10-11 кл. Тела вращения
Доказательство. Пусть а — диаметральная плоскость и X — произвольная точка шара (рис. 146). Постро- им точку X', симметричную точке X относительно плоскости а. Плоскость а перпендикулярна отрезку XX и пересекается с ним в его середине (в точ- ке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ' следует, что ОХ = ОХ. Так как ОХ < R, то и ОХ' < R, т. е. точ- ка, симметричная точке X, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано. Пусть теперь X" — точка, симметрич- ная точке X относительно центра шара. Тогда ОХ" = ОХ < R, т. е. точка X" принадлежит шару. Теорема доказана полностью. 61. Касательная плоскость к шару Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная ра- диусу, проведенному в точку А, называется каса- тельной плоскостью. Точка А называется точкой касания (рис. 147). Теорема 6.5 Касательная плоскость имеет с шаром только од- ну общую точку — точку касания. Доказательство. Пусть а — плоскость, касательная к ша- ру, и А — точка касания (рис. 148). Возьмем про- извольную точку X плоскости а, отличную от А. Так как ОА — перпендикуляр, а ОХ — наклон- ная, то ОХ > ОА = R. Следовательно, точка X не принадлежит шару. Теорема доказана. Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется ка- сательной к шару в этой точке. Так как касатель- ная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку — точку касания. Рис. 148 98 11 класс
Задача (39). Шар радиуса R касается сторон правиль- ного треугольника со стороной а. Найдите рассто- яние от центра шара до плоскости треугольника. Решение. Пусть А, В, С — точки касания шара со сторонами треугольника (рис. 149). Опустим из центра О шара перпендикуляр ООг на плоскость треугольника. Отрезки ОА, ОВ и ОС перпендику- лярны сторонам. По теореме о трех перпендикуля- рах отрезки OjAf ОгВ и ОгС тоже перпендикуляр- ны соответствующим сторонам треугольника. Из равенства прямоугольных треуголь- ников OOjAf OOjB, ООгС (у них катет общий, а гипотенузы равны радиусу) следует равенство сто- рон: OjA = ОгВ = ОгС. Следовательно, Oj — центр окружности, вписанной в треугольник. Радиус ал/3 этои окружности, как мы знаем, равен . По теореме Пифагора находим искомое расстояние. Оно равно у!О А2 - ОгА2 = уВ2~тй • 62. Пересечение двух сфер Теорема 6.6 Линия пересечения двух сфер есть окружность. Доказательство. Пусть Ог и О2 — центры сфер и А — точка их пересечения (рис. 150). Проведем че- рез точку А плоскость а, перпендикулярную прямой ОгО2. Обозначим через В точку пересечения плоскости а с прямой О]О2. По теореме 6.3 плоскость а пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Та- ким образом, окружность К принадлежит пересе- чению сфер. Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружнос- ти К. Допустим, точка X пересечения сфер не Тела вращения
лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку X и прямую ОгО2. Она пересечет сферы по окружностям с центрами и О2. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих ок- ружности К, да еще в точке X. Но две окружнос- ти не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение на ших сфер есть окружность (К). Теорема доказана. Задача (44). Два равных шара радиуса R расположе- ны так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересе- каются их поверхности. Решение. Проведем сечение через центры шаров (рис. 151). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 6.6). Ее радиус равен высоте равностороннего треугольника ОАО} со сто- P-Jq” ронами, равными R. Высота равна -----. Следова- 2 тельно, длина линии равна ‘kR'IS. Рис. 151 63. Вписанные и описанные многогранники Многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхнос- ти шара. Многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются поверх- ности шара. Задача (47). Докажите, что центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее оси. Решение. Опустим перпендикуляр ОА из цент- ра шара О на плоскость основания пирамиды (рис. 152). Пусть X — произвольная вершина ос- нования пирамиды. По теореме Пифагора АХ2 = ОХ2 - ОА2 = R2 - ОА2. Таким образом, АХ одно и то же для любой вер- шины основания пирамиды. А это значит, что точ- ке. А является центром окружности, описанной около основания пирамиды. Следовательно, центр шара О лежит на оси пирамиды. Рис. 152 700 11 класс
64. О понятии тела и его поверхности в геометрии В предыдущем изложении мы неодно- кратно употребляли слова тело и поверхность те- ла, вкладывая в их содержание известные вам на- глядные представления. Теперь мы дадим опреде- ление геометрического тела и его поверхности. Точка фигуры называется внутренней, если существует шар с центром в этой точке, це- ликом принадлежащий фигуре. Фигура называет- ся областью, если все ее точки внутренние и если любые две ее точки можно соединить ломаной, це- ликом принадлежащей фигуре. Поясним данное определение на примере шара (рис. 153). Каждая точка шара, которая удалена от его центра на расстояние г, меньшее R, являет- ся внутренней точкой шара, так как шар с цент- ром в этой точке и радиусом R — г содержится в исходном шаре радиуса R. Все точки шара, кото- рые удалены от центра на расстояние, меньшее R, образуют область. В самом деле, любые две та- кие точки А и В соединяются отрезком АВ, все точки которого удалены от центра на расстоя- ние, меньшее R. Точка пространства называется гранич- ной точкой данной фигуры, если любой шар с цен- тром в этой точке содержит как точки, принадле- жащие фигуре, так и точки, не принадлежащие ей. Для шара граничными точками являются точ- ки, которые удалены от точки О на расстояние, равное R, т. е. граница шара есть сфера. Для каж- дой такой точки С можно указать в каждом шаре с центром С и радиусом г > 0 точки Сг и С2, отсто- ящие от точки О на расстояние, большее R, и на расстояние, меньшее R. Область вместе с ее грани- цей называется замкнутой областью. Телом называется конечная замкнутая область. Граница тела называется поверхностью тела. Шар является примером тела. Другими зна- комыми нам примерами тел являются многогран- ник, цилиндр и конус. Подобно тому как в пространстве, на плоскости вводятся понятия внутренней точки фи- гуры, граничной точки и области. Граничные точ- ки области образуют границу области. В круге ра- Рис. 153 707 Тела вращения
диуса R точки, которые находятся на расстоянии, меньшем R, от центра, внутренние, а точки, нахо- дящиеся на расстоянии R, граничные. Круг — замкнутая область. Плоский многоугольник — это ограниченная замкнутая область на плоскости, граница которой является многоугольником. Kohi рольные вопросы 1. Объясните, что такое круговой цилиндр (образующая ци- линдра, основания цилиндра, боковая поверхность ци- линдра). 2. Какой цилиндр называется прямым? 3. Что такое радиус цилиндра, высота цилиндра, ось цилин- дра, осевое сечение цилиндра? 4. Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основа- ния цилиндра, пересекает его боковую поверхность по ок- ружности, равной окружности основания. 5. Что такое призма, вписанная в цилиндр (описанная около цилиндра)? Что такое касательная плоскость к цилиндру? 6. Что такое круговой конус, вершина конуса, образующая конуса, основание конуса, боковая поверхность конуса? 7. Какой конус называется прямым? 8. Что такое высота конуса, ось конуса, осевое сечение ко- нуса? 9. Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основа- ния конуса, пересекает боковую поверхность по окружно- сти с центром на оси конуса. 10. Что такое усеченный конус? 11. Какая пирамида называется вписанной в конус (описанной около конуса)? Что такое касательная плоскость к конусу? 12. Что такое шар (шаровая поверхность или сфера)? 13. Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точки шара называются диаметрально противоположными? 14. Докажите, что пересечение шара с плоскостью есть круг. 15. Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара? Что такое большой круг? 16. Докажите, что любая диаметральная плоскость шара яв- ляется его плоскостью симметрии; центр шара является его центром симметрии. 17. Какая плоскость называется касательной к шару? 18. Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром толь- ко одну общую точку — точку касания. 19. Какая прямая называется касательной к шару? 20. Линия пересечения двух сфер есть окружность. Докажите. 21. Какой многогранник называется вписанным в шар (опи- санным около шара)? 11 класс
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Задачи Пункт 53 Радиус основания цилиндра 2 м, высо- та 3 м. Найдите диагональ осевого сече- ния. Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра. Высота цилиндра 6 см, радиус основа- ния 5 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилинд- ра на расстоянии 4 см от нее. Высота цилиндра 8 дм, радиус основа- ния 5 дм. Цилиндр пересечен плоско- стью так, что в сечении получился ква- драт. Найдите расстояние от этого сече- ния до оси (рис. 154). Высота цилиндра 6 дм, радиус основа- ния 5 дм. Концы отрезка АВ, равного 10 дм, лежат на окружностях обоих ос- нований. Найдите кратчайшее расстоя- ние от него до оси. В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружно- сти верхнего основания соединена с точ- кой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен 60°. Найдите угол х между проведенной прямой и осью ци- линдра (рис. 155). Пункт 54 В цилиндр вписана правильная шести- угольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра. Высота цилиндра 2 м. Радиус основа- ний 7 м. В этот цилиндр наклонно впи- сан квадрат так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Най- дите сторону квадрата (рис. 156). 103 Тела вращения
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. Пункт 55 Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую. Образующая конуса I наклонена к пло- скости основания под углом 30°. Найди- те высоту. Пункт 56 Радиус основания конуса R. Осевым се- чением является прямоугольный тре- угольник. Найдите его площадь. В равностороннем конусе (в осевом сече- нии правильный треугольник) радиус основания R. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен а (рис. 157). Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найдите площадь сечения, прове- денного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса рав- но 12. Радиус основания конуса R, а образую- щая наклонена к плоскости основания под углом а. Через вершину конуса про- ведена плоскость под углом <р к его вы- соте. Найдите площадь полученного се- чения. Конус пересечен плоскостью, параллель- ной основанию, на расстоянии d от вер- шины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота Н. Высота конуса Н. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы пло- щадь сечения была равна половине площади основания? Через середину высоты конуса проведена прямая парал- лельно образующей I. Найдите длину отрезка прямой, за- ключенного внутри конуса. Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до ос- нования равно 6 см, а до высоты — 2 см. Найдите отре- зок прямой, заключенный внутри конуса (рис. 158). Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и G м, высота 4 м. Найдите образующую. Радиусы оснований усеченного конуса R и г, образующая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите высоту. 104 11 класс
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите ра- диусы. Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, образующая 5 дм. Найди- те площадь осевого сечения. Площади оснований усеченного конуса 4 дм2 и 16 дм2. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная ос- нованиям. Найдите площадь сечения. Площади оснований усеченного конуса Мит. Найдите площадь среднего сече- ния, параллельного основаниям. Пункт 57 У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она вписана в некоторый конус. В конусе даны радиус основания R и высота Н. Найдите ребро вписанного в него куба (рис. 159). В конусе даны радиус основания R и высота Н. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боко- вые грани — квадраты. Найдите ребро призмы. Рис. 159 Рис. 160 Пункт 59 28. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основа- ние и общую высоту. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Докажите, что пло- щадь сечения, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площа- ди основания (рис. 160). 29. Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на рас- стоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения. 30. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сече- ния к площади большого круга? 31. Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60° к нему. Найдите площадь сечения. 32. Радиус земного шара R. Чему равна длина параллели, если ее широта 60° (рис. 161)? Тела вращения
Рис. 161 33. Город N находится на 60° северной широты. Какой путь совершает этот пункт в течение 1 ч вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км. 34. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, прохо- дящей через эти точки. 35. Диаметр шара 25 см. На его поверхности даны точка А и окружность, все точки которой удалены (по прямой) от А на 15 см. Найдите радиус этой окружности. 36. Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, имеющие общую хорду длиной 2 см. Найди- те радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпен- дикулярны (рис. 162). Пункт 61 37. Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности про- ведены две плоскости: первая — касательная к шару, вто- рая — под углом 30° к первой. Найдите площадь сечения. 38. Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми по- верхностями (полый шар). Докажите, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сече- нию, касательному к внутренней шаровой поверхности (рис. 163). 39. Шар радиуса R касается всех сторон правильного треуголь- ника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара ло плоскости треугольника. 40. Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите рас- стояние от плоскости треугольника до центра шара, каса- ющегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см. 106 11 класс
41. Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность ка- сается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите рас- стояние от центра шара до плоскости ромба. 42. Через касательную к поверхности шара проведены две вза- имно перпендикулярные плоскости, пересекающие шар по кругам радиусов т\ и г2. Найдите радиус шара R. 43. Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона об- разующей к плоскости нижнего основания конуса равен а. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса. Пункт 62 44. Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину ли- нии, по которой пересекаются их поверхности. 45. Радиусы шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние меж- ду их центрами 36 дм. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности. 46. Найдите радиус шара, описанного около куба с ребром а. Пункт 63 47. Докажите, что центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее оси. 48. Докажите, что центр шара, вписанного в правильную пи- рамиду, лежит на ее высоте. 49. Найдите радиус шара, описанного около правильного тет- раэдра с ребром а. 50. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основа- ния равна а, а плоский угол при вершине равен а. Най- дите радиусы вписанного и описанного шаров. 51. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирами- да с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды. 52. Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания призмы равно а. Найдите высоту призмы при: 1) п = 3; 2) п = 4; 3) п = 6. 53. Сторона основания правильной n-угольной пирамиды рав- на а, двугранный угол при основании равен <р. Найдите ра- диус шара, вписанного в пирамиду. 54. Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под уг- лом а. 107 Тела вращения
I Объемы многогранников 65. Понятие объема Подобно тому как для фигур на плоско- сти вводится понятие площади, для тел в простран- стве вводится понятие объема. Сначала рассмотрим только простые тела. Тело называется простым, ес- ли его можно разбить на конечное число треуголь- ных пирамид. Для простых тел объем — это положи- тельная величина, численное значение которой об- ладает следующими свойствами: 1. Равные тела имеют равные объемы. 2. Если тело разбито на части, являющиеся про- стыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей. 3. Объем куба, ребро которого равно единице дли- ны, равен единице. Если куб, о котором идет речь в опреде- лении, имеет ребро 1 см, то объем будет в кубиче- ских сантиметрах: если ребро куба равно 1 м, то объем будет в кубических метрах: если ребро куба равно 1 км, то объем будет в кубических кило- метрах и т. д. Примером простого тела является любой выпуклый многогранник. Его можно разбить на конечное число треугольных пирамид следующим образом. Отметим какую-нибудь вершину S много- гранника. Разобьем на треугольники все грани многогранника, не содержащие вершину S. Тогда треугольные пирамиды, для которых основаниями являются эти треугольники, а общей вершиной — точка S, дают разбиение многогранника на тре- угольные пирамиды. На рисунке 164 показано та кое разбиение для произвольной пирамиды. Рис. 164 66. Объем прямоугольного параллелепипеда Найдем объем прямоугольного паралле- лепипеда с линейными размерами а, &, с. Для это- го сначала докажем, что объемы двух прямо- 108 11 класс
угольных параллелепипедов с равными основани- ями относятся как их высоты. Пусть Р и Рг — два прямоугольных па- раллелепипеда с общим основанием ABCD и высо- тами АЕ и Будем считать для определеннос- ти, что АЕХ < АЕ (рис. 165). Пусть V и V\ — объ- емы параллелепипедов. Разобьем ребро АЕ параллелепипеда Р на большое число п равных ча- стей. Каждая из них равна — . Пусть т — число п точек деления, которые лежат на ребре АЕг. Тогда Отсюда A D Рис. 165 — + 1). к п У т АЕ\ п "" АЕ т _|_ 1_ п п (*) Проведем через точки деления плоско- сти, параллельные основанию. Они разобьют па- раллелепипед Р на п равных параллелепипедов. Каждый из них имеет объем —. Параллелепипед Рг содержит первые т параллелепипедов, считая снизу, и содержится в т + 1 параллелепипедах. Поэтому т 00 (т + 1). Отсюда т < Vi < т _|_ 1 n V п п (**) Из неравенств (*) и (**) мы видим, что _ Vi AEi т т . 1 оба числа и заключены между — и — + —. „ - 1 , Поэтому они отличаются не более чем на —. А так как п можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при — = что и требова- лось доказать. Возьмем теперь куб, являющийся еди- ницей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: а, 1, 1; а, &, 1; 109 Объемы многогранников
a, b, с. Обозначим их объемы V19 V2 и V соответ- тт Vi a V2 b V с ственно. По доказанному — = , — = —• 1 1 Vi 1 v2 1 Перемножая эти три равенства почленно, получим V = abc. Итак, объем прямоугольного параллелепипеда с линей- ными размерами а, Ь, с вычисляется по форму- ле V = abc.__________ _ _______________ Задача (3). Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см3. Чему равно ребро куба? Решение. Обозначим ребро куба через х, тогда (х + 2)3 - х3 = 98, т. е. х2 + 2х - 15 = О. Урав- нение имеет два корня: х = 3, х = -5. Геометри- ческий смысл имеет только положительный ко- рень. Итак, ребро куба равно 3 см. 67. Объем наклонного параллеле пипеда Найдем объем наклонного параллелепи- педа (рис. 166). Пусть Р — наклонный параллеле- пипед с площадью основания S, высотой Н и объемом V. Дополним параллелепипед Р такими же п параллепипедами так, как показано на ри- сунке. Получим параллепипед Р', который имеет площадь основания nS, объем nV и высоту Н. Рассечем параллелепипед Р' на две час- ти плоскостью а, пересекающей все его ребра, па- раллельные АА', под прямым углом. Это всегда возможно, если достаточно велико п. Сдвинем од- ну из этих частей так, чтобы совпали точки А и А'. При этом получим новый параллелепипед Р", у которого также площадь основания пЯ, объем nV, высота Н, а его грани, по которым производился разрез плоскостью а, перпендикулярны основанию. Разрежем параллелепипед Р" на п рав- ных частей плоскостями, параллельными плоскос- ти а. Пусть — одна из этих частей, Рг — это па- раллелепипед с той же площадью основания, объ- емом и высотой, как исходный параллелепипед Р. Проделаем с параллелепипедом Рг такое же преобразование, каким из параллелепипеда Р 110 А Рис. 166 11 класс
получен параллелепипед Рг. При этом получится прямоугольный параллелепипед Р2 с тем же объе- мом, площадью основания и высотой, как у парал- лелепипеда Р. А так как у прямоугольного парал- лелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту, то и у параллелепипеда Р объем равен произведению площади основания на высоту. Итак, объем любого параллелепипеда равен произведе- нию площади основания ни высоту. ь Рис. 167 Задача (11). В прямом параллелепипеде стороны ос- нования а и Ь образуют угол 30°. Боковая поверх- ность равна S. Найдите его объем. Решение. Обозначим высоту через х (рис. 167). Тогда (2а 4- 2Ъ) х = S. Отсюда х = —-—. 2 (а + Ь) Площадь основания параллелепипеда ab равна ab sin 30 = — . Объем равен 4 + • 68. Объем призмы Рассмотрим сначала треугольную приз- му (рис. 168). Дополним ее до параллелепипеда, как указано на рисунке. Точка О является цент- ром симметрии параллелепипеда. Поэтому достро- енная призма симметрична исходной относитель- но точки О, следовательно, имеет объем, равный объему исходной призмы. Таким образом, объем построенного параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы. Объем параллелепипеда равен произве- дению площади его основания на высоту. Площадь его основания равна удвоенной площади треуголь- ника АВС, а высота равна высоте исходной приз- мы. Отсюда заключаем, что объем исходной приз- мы равен произведению площади ее основания на высоту. 7 7 7 А С Рис. 168 Объемы многогранников
Рассмотрим теперь произвольную приз- му (рис. 169). Разобьем ее основание на треуголь- ники. Пусть А — один из этих треугольников. Проведем через произвольную точку X треугольни- ка А прямую, параллельную боковым ребрам. Пусть ах — отрезок этой прямой, принадлежащий призме. Когда точка X описывает треугольник А, отрезки ах заполняют треугольную призму. Пост- роив такую призму для каждого треугольника А, мы получим разбиение данной призмы на тре- угольные. Все эти призмы имеют одну и ту же вы- соту, равную высоте исходной призмы. Объем данной призмы равен сумме объ- емов треугольных призм, ее составляющих. По до- казанному объем треугольной призмы равен произ- ведению площади ее основания на высоту. Отсюда следует, что объем исходной призмы равен: Рис. 169 V = S.H + S2H + ... + SnH = ± Ct ft = (Sj + S2 + ... + Sn)H, где S19 S2, ..., Sn — площади треугольников, на ко- торые разбито основание призмы, а И — высота призмы. Сумма площадей треугольников равна площади S основания данной призмы. Поэтому V = SH. Итак, объем любой призмы равен произведению площа- ди ее основания на высоту. Задача (24). В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекаю- щее все боковые ребра. Найдите объем призмы, ес- ли площадь сечения Q, а боковые ребра равны /. Решение. Плоскость проведенного сечения разби- вает призму на две части (рис. 170). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещаю- щему основания призмы. При этом получим пря- мую призму, у которой основанием служит сече- ние исходной призмы, а высота равна I. Эта приз- ма имеет тот же объем. Таким образом, объем исходной призмы равен QI. 112 11 класс
69. Равновеликие тела Два тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы. Две треугольные пирамиды с равными площадя- ми оснований и равными высотами равновелики. Действительно, пусть треугольные пира- миды имеют равные площади оснований и равные высоты. Докажем, что они равновелики, т. е. име- ют равные объемы. Разделим высоту каждой пирамиды на п равных частей и проведем через точки деления плоскости, параллельные основаниям. Эти плоско- сти разбивают пирамиду на п слоев. Для каждого слоя первой пирамиды построим содержащуюся в нем призму, как показано на рисунке 171, а. Для каждого слоя второй пирамиды построим призму, содержащую слой (рис. 171, б). Призма в /?-м (счи- тая от вершины) слое первой пирамиды и призма, содержащая (k - 1)-й слой второй пирамиды, име- ют равные площади оснований, так как эти осно- вания подобны основаниям пирамид и коэффици- ент подобия один и тот же ^0. Так как у этих призм и высоты одинаковы I ~ I, то они имеют равные объемы. Пусть V\ и V2 — объемы пирамид, a V{ и V2 — суммы объемов построенных для них призм. Так как объем призмы в fe-м слое первой пирамиды равен объему призмы (/? - 1)-го слоя второй пирамиды, то сумма объемов всех призм для первой пирамиды равна сумме объемов призм всех слоев второй пирамиды, кроме последнего. Объем призмы последнего слоя равен S^-, где S — площадь основания пирамиды, а Н — высота. От- сюда следует, что V[ = V2 - . Так как, кроме то- го, V\ > Vp a V2 < V2, то V\>V2-sH, или • Это неравенство выполняется при лю- бом сколь угодно большом п. А это возможно толь- 113 Объемы многогранников
ко при V2 - Vi < 0, т. е. при V2 < Vt. Поменяв ро- лями пирамиды, получим противоположное нера- венство V2 > А отсюда следует, что = V2. Утверждение доказано. 70. Объем пирамиды Пусть SABC — треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС. Дополним эту пи- рамиду до треугольной призмы с тем же основани- ем и высотой (рис. 172). Эта призма составлена из трех пирамид: данной пирамиды SABC и еще двух треугольных пирамид SCC1B1 и SCBBr. У второй и третьей пирамид равные основания — &СС1В1 и ДВ^ВС и общая высота, проведенная из вершины S. Поэтому у них равные объемы. У первой и третьей пирамид тоже равные основания — LSAB и ЛВВгЗ и совпадающие высо- ты, проведенные из вершины С. Поэтому у них то- же равные объемы. Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов рав- « « SH на объему призмы, то объемы пирамид равны ——. О Итак, объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: V = ±SH. О Пусть теперь имеем любую, не обяза- тельно треугольную пирамиду. Разобьем ее основа- ние на треугольники Др Д2» •••» Дл* Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольни- ки, а вершинами — вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду. Объем данной пира- миды равен сумме объемов составляющих ее пира- мид. Так как все они имеют ту же высоту И, что и данная пирамида, то объем ее равен: V = ^h(s. + Sz+... + Sn)= ^SH. 3 \ 1 2 И ) з Итак, _____________________________ объем любой пирамиды равен одной трети произ- ведения площади ее основания на высоту. Рис. 172 114 11 класс
71. Объем усеченной пирамиды Задача (44). Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований Q, и Q2 (Qi > Q2) и высотой Л. Решение. Дополним данную усеченную пирамиду до полной (рис. 173). Пусть х — ее высота. Объем усеченной пирамиды равен разности объемов двух полных пирамид: одной с площадью основания Qr и высотой х, другой с площадью основания Q2 и высотой х - h. Из подобия этих пирамид находим х‘. ©1 f х V о 7г1 = —- . Отсюда х = -р—- -. Q-z \x~hJ “ Рис. 173 Объем усеченной пирамиды равен: зЛ = (Qv 4- tyxQ2 + ^2)- О 72. Объемы подобных тел Пусть Т и Т' — два простых подобных тела. Это значит, что существует преобразование подобия, при котором тело Т переходит в тело Т'. Обозначим через k коэффициент подобия. Разобьем тело Т на треугольные пира- миды Р19 Р2, ..., Рп. Преобразование подобия, ко- торое переводит тело Т в тело Т', переводит пира- миды Рп Р2, ..., Рп в пирамиды Р{, Р2, ..., Р'п. Эти пирамиды составляют тело Т', и поэтому объем те- ла Т равен сумме объемов пирамид P't Р2, ..., Р„. Так как пирамиды Р[ и Р( подобны и ко- эффициент подобия равен k, то отношение их вы- сот равно /г, а отношение площадей их оснований равно k2. Следовательно, отношение объемов пира- мид равно k3. Так как тело Т составлено из пира- мид Рр а тело Т' составлено из пирамид Р/, то от- ношение объемов тел Т' и Т тоже равно k3. 115 Объемы многогранников
Число k — коэффициент подобия — равно отношению расстояний между любыми дву- мя соответствующими парами точек при преобра- зовании подобия. Следовательно, это число равно отношению любых двух соответствующих линей- ных размеров тел Т' и Т. Мы приходим к следую- щему выводу: объемы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров. Задача (48). Через середину высоты пирамиды про- ведена плоскость, параллельная основанию. В ка- ком отношении она делит объем пирамиды? Решение. Как мы знаем, проведенная плоскость отсекает подобную пирамиду (рис. 174). Коэффи- - 1 циент подобия равен отношению высот, т. е. —. Ci Поэтому объемы пирамид относятся как (-0 : 1. Следовательно, плоскость делит нашу пирамиду на части, объемы которых относятся как Рис. 174 JL 8 (Н)=1:7- Контрольные вопросы 1. Сформулируйте основные свойства объема. 2. Докажите, что объем прямоугольного параллелепипеда ра- вен произведению его линейных размеров. 3. Докажите, что объем любого параллелепипеда равен про- изведению площади основания на высоту. 4. Докажите, что объем треугольной призмы равен произве- дению площади ее основания на высоту. 5. Докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту. 6. Докажите, что треугольные пирамиды с равными площа- дями оснований и равными высотами равновелики. 7. Выведите формулу для объема треугольной пирамиды. 8. Докажите, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту. 9. Докажите, что объемы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров. 11 класс
Задачи Пункт 66 1. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплав- лены в один kv6. Какое ребро у этого куба? 2. Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб. 3. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см . Чему равно ребро куба? 4. Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найдите ребро. 5. Кирпич размером 25 X 12 х 6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность. 6. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3 на площадке размером 2,5 X 1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара. 7. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба. 8. Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см, 5 см. Если увеличить каждое ребро на х сантиметров, то поверхность увеличится на 54 см2. Как увеличится объем? 9. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одно- го погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см3)? 10. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, ди- агональ которого а составляет с плоскостью основания угол а, а с боковой гранью угол р? Пункт 67 11. В прямом параллелепипеде стороны основания а и & обра- зуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем. 12. В прямом параллелепипеде стороны основания 2^2 см и 5 см образуют угол 45°. Меньшая диагональ параллелепи- педа равна 7 см. Найдите его объем. 13. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь ко- торого 1м2. Площади диагональных сечений 3 м2 и 6 м2. Найдите объем параллелепипеда. 14. Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба Q, а площади диагональных сечений М и N. 15. Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сторо- на которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м Объемы многогранников
и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда. Грани параллелепипеда — равные ром- бы со стороной а и острым углом 60г. Найдите объем параллелепипеда. Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепи- педа все три плоских угла острые, по 2а каждый. Найдите объем параллеле- пипеда. 18. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны а, Ъ, с. Ребра а и Ъ взаимно перпенди- кулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а (рис. 175). Найдите объ- ем параллелепипеда. с а а а Рис. 175 Рис. 176 Пункт 68 19. По стороне основания а и боковому ребру Ь найдите объ- ем правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехуголь- ной; 3) шестиугольной. 20. Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева. 21. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы. 22. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найдите ее объем. 23. В правильной шестиугольной призме площадь наибольше- го диагонального сечения 4 м2, а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 2 м. Найдите объ- ем призмы. 24. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Най- дите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны I (рис. 176). 25. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояния между содержащими их параллельны- ми прямыми равны 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы. 118 11 класс
26. Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид рав- нобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с. 27. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи. 28. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы. 29. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см2, а площади боковых граней 9 см2, 10 см2 и 17 см2. Найдите объем призмы. 30. Основание призмы — треугольник, у которого одна сторо- на равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45°. Най- дите ребро равновеликого куба. 31. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней пер- пендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы. 32. Чему равен объем прямой четырехугольной призмы, если ее высота Л, диагонали наклонены к плоскости основания под углами а и Р и острый угол между диагоналями осно- вания равен у? Пункт 70 33. По стороне основания а и боковому ребру b найдите объ- ем правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырех- угольной; 3) шестиугольной. 34. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды. . 35. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое рав- / \ & но Ъ (рис. 177). Найдите объем пира- ь/ миды. ь 36. Чему равен объем правильной треуголь- ______1________ ной пирамиды, у которой сторона осно- \ вания а, а боковые ребра взаимно пер- \ | г' пендикулярны? 37. По ребру а правильного тетраэдра най- дите его объем. рис. 177 7 79 Объемы многогранников
38. По ребру а октаэдра найдите его объем. 39. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м, все боковые ребра равны 12,5 м. Найдите объем пирамиды. 40. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды. 41. Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, каждое из остальных 3 см. Найдите объем пирамиды. 42. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое бо- ковое ребро пирамиды равно I и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы а и 0. Найдите объем пи- рамиды. 43. Найдите объем пирамиды, имеющей основанием треуголь- ник, два угла которого а и 0, радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее осно- вания под углом у. Пункт 71 44. Найдите объем усеченной пирамиды с площадями основа- ний Qi и Q2 (Qr > Q2) и высотой h. 45. В пирамиде с площадью основания проведено сечение, параллельное основанию, на расстоянии h от него. Пло- щадь сечения равна Q2. Найдите высоту пирамиды. 46. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде сторо- ны нижнего и верхнего оснований равны а и Ь, а двугран- ный угол при ребре нижнего основания равен а. Найдите объем пирамиды. 47. Решите предыдущую задачу в случае правильной усечен- ной треугольной пирамиды. Пункт 72 48. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды? 49. Высота пирамиды h. На каком расстоянии от вершины пи- рамиды находится сечение, параллельное основанию и де- лящее ее объем пополам? 120 11 класс
Объемы и поверхности тел вращения 73. Объем цилиндра Если тело простое, т. е. допускает раз- биение на конечное число треугольных пирамид, то его объем равен сумме объемов этих пирамид. Для произвольного тела объем определяется следу- ющим образом. Данное тело имеет объем V, если суще- ствуют содержащие его простые тела и содержа- щиеся в нем простые тела с объемами, сколь угод- но мало отличающимися от V. Применим это определение к нахожде- нию объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н. При выводе формулы для площади кру- га были построены такие два п-угольника (один — содержащий круг, другой — содержащийся в кру- ге), что их площади при неограниченном увеличе- нии п неограниченно приближались к площади круга. Построим такие многоугольники для круга в основании цилиндра. Пусть Р — многоугольник, содержащий круг, а Р' — многоугольник, содержа- щийся в круге (рис. 178). Построим две прямые призмы с основа- ниями Р и Р' и высотой Н, равной высоте цилин- дра. Первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. Так как при нео- граниченном увеличении п площади оснований призм неограниченно приближаются к площади основания цилиндра S, то их объемы неограничен- но приближаются к SH. Согласно определению объем цилиндра V = SH = пТРБ. Итак, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. 74. Объем конуса Построим два многоугольника в плоско- сти основания конуса: многоугольник Р, содержа- щий основание конуса, и многоугольник Р', содер- жащийся в основании конуса (рис. 179). Построим Рис. 179 121 Объемы многогранников
две пирамиды с основаниями Р и Р' и вершиной в вершине конуса. Первая пирамида содержит ко- нус, а вторая пирамида содержится в конусе. Как мы знаем, существуют такие много- угольники Р и Р', площади которых при неогра- ниченном увеличении числа их сторон п неограни- ченно приближаются к площади круга в основа- нии конуса. Для таких многоугольников объемы построенных пирамид неограниченно приближают- ся к ^.SH, где S — площадь основания конуса, О а Н — его высота. Согласно определению отсюда следует, что объем конуса Рис. 180 V=±SH = 3 3 Итак, объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Объем усеченного конуса Задача (15). Найдите объем усеченного конуса, у ко- торого радиусы оснований равны Rr и R2 (R2 < -Ri), а высота h. Решение. Дополним данный усеченный конус до полного (рис. 180). Пусть х — его высота. Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов: одного с радиусом основания Rx и высотой х, другого с радиусом основания R2 и высотой х — h. Из подобия конусов находим х: х = Д1 х = hRr x-h R2* R\-R2 Объем усеченного конуса равен: TZ 1 hR-i ^2 V=3rR1R^-nR1‘ 3 R1-R2 3 1 1 z z 122 11 класс
76. Объем шара Найдем сначала объем полушара (рис. 181). Разделим радиус О А на большое число п рав- ных частей. Проведем через точки деления плос- кости, параллельные основанию полушара. Эти плоскости разбивают полушар на слои толщиной . Построим для каждого слоя цилиндр, содержа- щий слой. Обозначим тело, составленное из цилин- дров, через Т'. Полушар содержится внутри тела Т' (рис. 181, а). Поэтому тело Т" имеет объем V", больший объема V полушара. Опустим тело Т' вниз на расстояние . Тогда все цилиндры тела Т', начиная со второго, считая снизу, окажутся внутри полушара (рис. 181, б). Обозначим тело, составленное из этих цилиндров, через Т". Объем V" тела Т” меньше объема полушара. Итак, име- ем неравенство V > V > V”, V' — V" = где п — объем первого цилиндра тела Т'. Поскольку при достаточно большом п jrl?3 величина — сколь угодно мало отличается от нуля, то объем полушара V сколь угодно мало отличается от объема V тела Т'. Найдем объем V. Радиус ВС tn-го ци- линдра тела Т' определяется по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ОВС (рис. 182): Рис. 182 BCI 2 * = R2~(^R^. Объем цилиндра равен пВС2^ . Объем тела Т' ра- вен сумме объемов цилиндров, составляющих его. У'=лЯ2-£ + л В п R п 2 £ = лЯ3- ^"(1 + 22+... + (п-1)2). п I J Обозначим 1 + 22 + З2 + ... + (п - I)2 = о. Найдем величину о. Имеем тождества (k -I-1)3-k3 = ЗА2 4-3/г +1, k = 1, 2, 3, ..., (п - 1). 123 Объемы многогранников
Сложим почленно все эти тождества. Тогда в ле- вой части получим п3 - 1. Остальные слагаемые взаимно сокращаются. В правой части получим Зо + 3(1 + 2 + ... + (п - 1)) + (л - 1). Заметим, что 1 + 2 + 3 + ... + (и - 1) = . Итак, п3 - 1 = Зо + 3———. + (и - 1). Отсюда на- 2 ходим n3-l-|n(n-l)-(n-l) & Подставим это выражение о в формулу для V'. Тог- да получим Мы видим, что при достаточно больших п значение V сколь угодно мало отличается от 3 tlR3. А так как V' сколь угодно мало отличается от объема полушара, то объем полушара равен 2 4 3 пН3, а значит, объем шара 3 нВ3. Итак, объем шара радиуса R вычисляется по формуле V = О 77. Объем шарового сегмента и сектора Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью (рис. 183). Объем шарового сегмента вычисляется по формуле У=пН2(в-^\, & У где R — радиус шара, а Н — высота шарового сегмента. Эта формула сначала выводится для случая, когда сегмент меньше полушара (Н < R). При этом доказательство такое же, как для полу- шара. Разница только в том, что вместо полушара берется шаровой сегмент. Рис. 183 124 11 класс
Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и кону- са следующим образом. В случае когда сегмент меньше полушара, шаровой сектор получается до- полнением этого сегмента конусом с тем же осно- ванием, которое у сегмента, и вершиной в центре шара (рис. 184). В случае сегмента большего полушара шаровой сектор получается из этого сегмента уда- лением из него конуса, у которого основанием слу- жит основание сегмента, а вершина в центре шара. Объем шарового сектора определяется по формуле V = | nRzH, где R — радиус шара, а Н — высота соответствую- щего шарового сегмента. Эта формула получается с помощью фор- мул для объемов шарового сегмента и конуса. 78. Площадь боковой поверхности цилиндра Впишем в цилиндр правильную п-уголь- ную призму (рис. 185). Площадь боковой поверх- ности этой призмы Sn = РпН, где Рп — периметр основания призмы, а Н — ее высота. Как мы знаем, при неограниченном увеличении п периметр Рп неограниченно прибли- жается к длине С окружности основания цилинд- ра. Следовательно, площадь боковой поверхности призмы неограниченно приближается к СН. По- этому величина СН принимается за площадь боко- вой поверхности цилиндра. Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра вычисля- ется по формуле s = СН = 2kRH, где R — радиус цилиндра, а Н — его высота. Если боковую поверхность цилиндра с радиусом основания R и высотой Н разрезать по образующей и без деформаций развернуть на плос- кость, то получится прямоугольник, основание /25 Рис. 184 Рис. 185 Объемы многогрснников
которого равно 2nR, а высота — Н. Площадь раз- вертки боковой поверхности цилиндра вычисляет- ся по формуле S = 2nRH. 79. Площадь боковой поверхности конуса Впишем в конус правильную п-уголь- ную пирамиду (рис. 186). Площадь ее боковой по- верхности Sn= ^Рп1п, где Рп — периметр основания пирамиды, а 1п — апофема. При неограниченном увеличении п периметр основания Рп неограничен- но приближается к длине С окружности основания конуса, а апофема 1п — к длине I образующей. Со- ответственно боковая поверхность пирамиды нео- граниченно приближается к с4. В связи с этим величина с4 принимается за площадь боковой поверхности конуса. Итак, Рис. 186 площадь боковой поверхности конуса вычисляет- ся по формуле S =^Cl = nRl, где R — радиус основания конуса, а I — длина образующей. Аналогично для площади боковой по- верхности усеченного конуса с радиусами основа- ний Ru R2 и образующей I получается формула S = n(R1 + R2)l. Если боковую поверхность конуса с ра- диусом основания R и образующей I разрезать по образующей и без деформаций развернуть на плос- кость, то получится круговой сектор, представля- ющий собой часть круга радиуса Z, ограниченного двумя радиусами и дугой окружности длины 2nR. Площадь развертки боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S = nRl, где R — радиус основания конуса, al — его образующая. 11 класс
80. Площадь сферы Опишем около сферы выпуклый много- гранник с малыми гранями (рис. 187). Пусть S' — площадь поверхности многогранника, т. е. сумма площадей его граней. Найдем приближенное зна- чение площади поверхности многогранника, пред- полагая, что линейные размеры граней, т. е. рас- стояние между любыми двумя точками любой хра- ни, меньше е. Объем многогранника равен сумме объ- емов пирамид, имеющих своими основаниями гра- ни многогранника, а вершиной — центр сферы (рис. 188). Так как все пирамиды имеют одну и ту же высоту, равную радиусу R сферы, то объем многогранника V= ^S’R. о Объем многогранника больше объема шара, ограниченного сферой, но меньше объема шара с тем же центром и радиусом R + е. Таким образом, —nR3 < —S'R< 4 n(R 4- е)3. 3 3 з Отсюда 4tlR2 < S' < 4л(Л 4- е)2^1 + jQ Мы видим, что площадь поверхности описанного многогранника при неограниченном уменьшении размеров его граней, т. е. при неогра- ниченном уменьшении е, стремится к 4nR2. Поэто- му величина 4tiR2 принимается за площадь сферы. Итак, площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле S = 4яЯ2. Рис. 187 Рис. 188 Аналогично определяется площадь сфе- рической части поверхности шарового сектора, т. е. площадь сферического сегмента, для нее по- лучается формула S = 2nRHt где Н — высота сегмента. Объемы многогранников
Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Выведите формулу для объема цилиндра. Выведите формулу для объема конуса. Выведите формулу для объема тел вращения. Выведите формулу для объема шара. Что такое шаровой сегмент? Выведите формулу для объе- ма шарового сегмента. Что такое шаровой сектор? По какой формуле вычисляет- ся объем шарового сектора? По какой формуле вычисляется площадь боковой поверх- ности цилиндра? По какой формуле находится площадь боковой поверхнос- ти конуса (боковой поверхности усеченного конуса)? По какой формуле вычисляется площадь сферы? Задачи Пункт 73 1. 25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите ди- аметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см3). 2. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 мм, а ход поршня 150 мм. Чему равна часовая производительность насоса, ес- ли каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту? 3. Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не ме- няя его основание, чтобы объем увеличился в п раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объем увеличился в п раз? 4. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов ци- линдров. 5. Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шес- тиугольную призму, у которой каждое ребро равно а. 6. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова мас- са 25 м этой трубы? Пункт 74 7. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания ко- торой 2 м, а образующая 2,5 м. Найдите объем кучи щебня. 8. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямо- угольный треугольник, площадь которого 9 м2. Найдите объем конуса. 9. Длина образующей конуса равна I, а длина окружности ос- нования с. Найдите объем конуса. 11 класс
10. Образующая конуса I составляет с плос- ! костью основания угол а. Найдите объ- А ем конуса. / 11. Стог сена имеет форму цилиндра с ко- / i \ \ ническим верхом. Радиус его основания / • \ \ 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндриче- / ' \а \ ская часть стога имеет высоту 2,2 м. Х------- Плотность сена 0,03 г/см3. Определите к \ массу стога сена. ; 12. Жидкость, налитая в конический со- х. ’ суд высотой 0,18 м и диаметром основа- ', ния 0,24 м, переливается в цилиндриче- RQ ский сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде? 13. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей сто- роны а. Найдите объем полученного тела вращения. 14. Прямоугольный треугольник с катетами а и Ь вращает- ся около гипотенузы. Найдите объем полученного тела (рис. 189). Пункт 75 15. Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы ос- нований равны Rx и R2 (^2 < -^1)» а высота h. 16. Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) совершают, когда вычисляют объем бревна, умножая его длину на площадь поперечного сечения в середине бревна? 17. Радиусы оснований усеченного конуса R и г, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем. 18. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разно- сти площадей оснований, а радиусы оснований R и г. Най- дите объем этого конуса. 19. Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 см и 22 см, и равновеликий цилиндр имеют одну и ту же вы- соту. Чему равен радиус основания этого цилиндра? 20. По данным радиусам оснований R и г определите отноше- ние объемов усеченного конуса и полного конуса. Пункт 76 21. Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см3). 22. Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара. 5 Геометрия 10-11 кл. Объемы многогранников
23. Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска (плотность свинца 11,4 г/см3)? 24. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диамет- ру основания, выточен наибольший шар. Сколько процен- тов материала сточено? 25. Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина сменок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар. 26. Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного ци- линдром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем VI Пункт 77 27. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара? 28. Какую часть объема шара составляет объем шарового сег- мента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара? 29. Два равных шара расположены так, что центр одного ле- жит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара? 30. Диаметр шара, равный 30 см, является осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра. 31. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окруж- ности его основания 60 см, а радиус шара 75 см? 32. Круговой сектор с углом 30° и радиусом В вращается око- ло одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела. Пункт 80 33. Поверхности двух шаров относятся как т : п. Как относятся их объемы? 34. Гипотенуза и катеты треугольника яв- ляются диаметрами трех шаров. Какая существует зависимость между их по- верхностями? 35. Поверхность тела, образуемого вращени- ем квадрата около стороны, равновели- ка поверхности шара, имеющего радиу- сом сторону квадрата. Докажите. 36. Радиус шара 15 см. Какую площадь имеет часть его поверхности, видимая из точки, удаленной от центра на 25 см (рис. 190)? 130 11 класс
37. Шар радиуса 10 см цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 12 см. Найдите полную поверхность тела. Пункт 78 38. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала? 39. Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность под- вала. 40. Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изменилась, найди- те диаметр листа. 41. В цилиндре площадь основания Q, а площадь осевого се- чения М. Чему равна полная поверхность цилиндра? Пункт 79 42. Конусообразная палатка высотой 3,5 м с диаметром осно- вания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных мет- ров парусины пошло на палатку? 43. Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота кры- ши 2 м, диаметр башни 6 м. Найдите поверхность крыши. 44. Площадь основания конуса S, а образующие наклонены к плоскости основания под углом а. Найдите боковую по- верхность конуса. 45. Как относятся между собой боковая и полная поверхности равностороннего конуса (в сечении правильный треуголь- ник)? 46. Полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Докажите. 47. Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и осью конуса. 48. Радиус кругового сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свернут в коническую поверхность. Найдите радиус осно- вания конуса. 49. Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,036 м и образующая 1,42 м? 50. Сколько олифы потребуется для окраски внешней по- верхности 100 ведер, имеющих форму усеченного конуса с диаметрами оснований 25 см и 30 см и образующей 27,5 см, если на 1 м2 требуется 150 г олифы? Объемы многогранников
Избранные вопросы планиметрии 81. Решение треугольников Решение треугольников состоит в на- хождении неизвестных сторон и углов по извест- ным его углам и сторонам. Будем обозначать сто- роны треугольника через а, Ь, с, а противолежа- щие им углы через а, Р, у (рис. 191). Основными средствами для решения произвольных треуголь- ников являются теорема косинусов и теорема си- нусов. Напомним их формулировки. Теорема косинусов Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произ- ведения этих сторон на косинус угла между ними: а2 = Ь2 + с2 - 2bccosa. Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: а _ b _ с sina sinP sin у ’ Рассмотрим типовые задачи на решение треугольников. Задача 9.1. Даны сторона и два угла треугольника. Найти третий угол и остальные две стороны. Решение. Так как сумма углов треугольника рав- на 180°, то третий угол выражается через задан- ные углы. Имея сторону и все три угла, по теоре- ме синусов находим две остальные стороны. Зада- ча всегда имеет решение, и притом единственное. Конечно, сумма двух данных углов должна быть меньше 180°. Единственность решения следует из второго признака равенства треугольников. Задача 9.2. Даны две стороны, например а и &, и угол у между ними. Найти остальные два угла и третью сторону. J32 Рис. 191 11 класс
Решение. По теореме косинусов находим сторону с. Теперь, имея три стороны и угол, по теореме коси- нусов можно найти косинусы остальных углов и са- ми углы. Проще, однако, воспользоваться теоремой синусов и найти синусы неизвестных углов. При этом надо иметь в виду, что для данного значения синуса получаются два угла. Поэтому из получен- ных углов надо взять те, которые удовлетворяют известным соотношениям: сумма углов треугольни- ка равна 180°, против большей стороны лежит больший угол. Задача всегда имеет решение, и при- том единственное. Единственность решения следу- ет из первого признака равенства треугольников. Задача 9.3. Даны две стороны, например а, &, и угол, противолежащий одной из них, например а. Найти остальные два угла и третью сторону. Решение. По теореме синусов находим sin0. По sin0 находим отвечающие ему углы и 02. Выби- раем из них один или оба, имея в виду, что про- тив большей из сторон а и & лежит больший угол. Зная углы аир, находим угол у = 180° - а - р, а затем сторону с по теореме синусов. Эта задача в отличие от двух предыдущих может не иметь ре- шения, иметь одно решение или два решения. Задача 9.4. Даны три стороны треугольника. Найти его углы. Решение. По теореме косинусов находим один из углов. А затем поступаем так, как в задаче 9.2. Эта задача имеет решение, если большая из сторон меньше суммы двух других. Единственность реше- ния следует из третьего признака равенства тре- угольников. Приведем один пример. Задача (3). В треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из них. Найдите ос- тальные углы и сторону треугольника, если а = 6, Ъ = 8, а = 30°. Решение. По теореме синусов находим sin0: п b 8 sin В = — • sin а = - • sin30° ~ 0,667. г а 6 Объемы многогранников
Этому значению синуса соответствуют два угла: ~ 42° и 02 ~ 138°. Рассмотрим сначала угол ~ 42°. По не- му находим третий угол Yj = 180° — ос — ~ 108° и по теореме синусов третью сторону: a-smyi sml08 „ 0,951 -------- = о •------ == О------- sin a sin 30° 0,500 Аналогично по углу 02 ~ 138° находим у2 ~ 12° и с2 ~ 2,49. Замечание. Мы видим, что эта задача имеет два решения (рис. 192). При других числен- ных данных, например при а > 90°, задача может иметь лишь одно решение или вовсе не иметь ре- шений. Рис. 192 82. Вычисление биссектрис и медиан треугольника Зная длины сторон треугольника, мож- но вычислить его биссектрисы, медианы и высоты, используя при этом их определения и свойства. Теорема (свойство биссектрисы тре- угольника) 9.1 Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум дру- гим сторонам. Доказательство. Пусть CD — биссектриса треугольника, проведенная из вершины С (рис. 193). По теореме синусов из треугольников ADC и BDC получаем AD = AC BD = ВС АСВ sin ADC* . АСВ sinBDC ’ sin-- sin-- 2 2 Так как zLADC + A BDC = 180°, to sin ADC = sin BDC. Следовательно, AD _ BD AC BC’ т. e. отрезки AD и BD пропорциональны сторонам AC и ВС треугольника. Теорема доказана. 134 Рис. 193 11 класс
Докажем теперь, что если стороны треугольника равны а, Ь и с, то его биссектрисы 1а, 1Ь и 1С, проведенные к этим сторо- нам, вычисляются по формулам: Рис. 194 С Пусть CD — биссектриса треугольника АВС со сторонами АВ = с, АС = b и ВС = а, про- веденная к стороне АВ которую она делит на отрезки AD = сг и BD == с2 (рис. 194). Применяя теорему косинусов к треугольникам BCD и ACD, имеем а2 = I2 + с22 - 2с2 • lccosBDC, Ъ2 = I2 + с.2 - 2сг • lccosADC. Умножим эти равенства на сг и с2 соот- ветственно и сложим почленно. С учетом условия сг + с2 = с и равенства AADC + А В DC = 180° по- лучаем а2сг + Ъ2с2 = с(12 + схс2). Так как по теореме 9.1 отрезки сг и с2 пропорциональны сторонам b и а, то сг = kb, Ci Со с2 = ka, где k = — = —. Отсюда по свойству про- ft о с, + с2 с тя. порции имеем k = —-----— = -----. И значит, ft + а а + b Ъс ас 1 a+ft 2 a+b Подставляя для Z2, получаем эти значения в уравнение а%Ьс а + ft ft2 ас a + b abc2 (а + &)2 = е 12с 135 Объемы многогранников
или после упрощения ab = I1 2 , 2 abc (a + b)2 Отсюда и следует указанная выше фор- мула для биссектрисы 1С. Первые две формулы для вычисления 1а и 1Ь доказываются аналогично. Теорема 9.2 Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Доказательство. Пусть ABCD — данный параллело- грамм, АС и BD — его диагонали (рис. 195). При- меняя теорему косинусов к треугольникам АВС и BCD, получаем: АС2 = АВ2 + ВС2 - 2АВ • BCcos АВС, BD2 = ВС2 + CD2 - 2CD • BCcosBCD. Рис. 195 По свойству противолежащих сторон па- раллелограмма АВ = СВ, a cos АВС = —cos BCD (так как сумма углов В и С параллелограмма рав- на 180°). Поэтому, складывая полученные равен- ства почленно, получим АС2 + ВВ2 = АВ2 + 2ВС2 + СВ2 или АС2 + ВВ2 = АВ2 + ВС2 + АВ2 + СВ2. Теорема доказана. Из теоремы 9.2 следует, что если стороны треугольника равны а, Ь и с, то его медианы лпа, ть и тс, проведенные к этим сторо- нам, вычисляются по формулам: 1 /о 2 2 \ 2 пг = — 21b + с | — а , ° 2 \ \ / 1 /« ( 2 । 2 \ 2 иг, = — 21а +с 1— b , ° 2 V \ / 1 /« ( 2 । > 2 \ 2 —J2la + b 1 — с . 2 V \ / 136 11 класс
Действительно, так как диагонали па- раллелограмма пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам (см. рис. 195), то ВО — меди- ана треугольника АВС и диагональ BD = 2ВО. По- этому по теореме 9.2 АС2 + 4ВО2 = АВ2 + ВС2 + AD2 + CD2 = = 2(АВ2 + ВС2). Полагая АС = Ь, ВО = ть, АВ = с, ВС = а, имеем Ъ2 + 4тпь2 = 2(с2 + а2), откуда следует указанная выше формула для ме- дианы ть. Другие две формулы для вычисления медиан та и тс выводятся аналогично. 83. Формула Герона и другие формулы для площади треугольника Теорема (формула Герона) 9.3 Площадь треугольника со сторонами а, Ъ, с вычис- ляется по формуле S = у[р(р - а)(р - ь\р - с), где р = — (а + Ь + с) — полупериметр треугольника. Доказательство. Как известно, площадь треугольника со сторонами п, &, с вычисляется по формуле О 1 L S = -aosiny, □ где у — угол треугольника, противолежащий сторо- не с. По теореме косинусов с2 = а2 + Ь2 — 2n&cosy. а2 + _ с2 Отсюда cosy = ---—-----. Значит sin2y = 1 - cos2y = (1 - cosy)(l + cosy) = _ 2ab-a2-b2+c2 2ab + a2+b2-c2 _ 2ab 2ab 137 Объемы многогранников
c2-(a-b)2 (a+trf-c2 2ab 2ab —-—(c - a + b)(c + a - b^(a + b - c)(a + b + c 4a2b2 Замечая, что a + b + c = 2p, a + b - c = = 2p - 2c, a + c- b = 2p- 2b, c-a + b = 2p- 2a, получаем Таким образом, S = |a&siny = y]p(p - a)(p - b)(p - c). Теорема доказана. Из формулы Герона следует, что высоты Ло, hh, hc треугольника, опущенные на стороны а, Ь, с, вычисляются по формулам: h« = ^\1р(р-а)(р~ь')(р~с\ hb = |7/’(р-“)(р-ь)(р -с)’ \ = 77p(/’-“Xp bXp-c)- Для доказательства достаточно заме- тить, что площадь треугольника вычисляется по любой из формул: S = ^aha, S = ±bhb, S = ^chc. Li Li Li Теорема 9.4 Площадь треугольника со сторонами а, Ь, с и ра- диусом описанной окружности R или радиусом вписанной окружности г вычисляется по форму- лам: S = —, S = -(а + Ь + с)г. 4Р 2V 7 Доказательство. Начнем с первой формулы. Как мы знаем, г, а R =-----, где а — угол, противолежащий стороне а 2 sin а 11 класс
треугольника. Умножая числитель и знаменатель правой части на Ьс и замечая, что Resina = S, по- Zj лучаем В = Поэтому 4 о Q _ аЬС 4R’ что и требовалось доказать. Для доказательства второй формулы проведем отрезки, соединяющие центр О вписан- ной окружности с вершинами треугольника АВС (рис. 196). Площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников ОАВ, О ВС, ОСА. Значит, „ 1 1 1, 1, 8 = —сг + -аг + -Ъг = -(а + b + с)г. 2 2 2 2V ' Теорема доказана. Из теоремы 9.4 следует, что рддиус R окружности, описанной около треуголь- ника со сторонами а, Ь, с, и радиус г окружности, вписанной в него, вычисляются по формулам: Р _ abc _ 2S 4S ’ Г а+Ъ+с' где S — площадь треугольника. Рис. 196 84. Теорема Чевы Теорема (Чевы) 9.5 Если отрезки АА', ВВ', СС, соединяющие верши- ны треугольника АВС с точками А', В', С проти- волежащих сторон, пересекаются в одной точке, то АС ВА^ СВ' = С’В ' А'С В'А ~ И обратно: если А', В', С — точки деления сто- рон ВС, АС, АВ треугольника АВС и для них выполняется соотношение АС В А' СВ' = г СВ А'С В'А ’ то отрезки АА', ВВ', СС пересекаются в одной точке. Объемы многогранников
Доказательство. Пусть дан треугольник АВС и отрез- ки АА', ВВ', СС, пересекающиеся в точке М, которые соединяют вершины треугольника с точ- ками А', В', С', лежащими на противолежащих сторонах (рис. 197). Так как площади двух тре- угольников с равными высотами ^САС' &СВС ' По свойству пропорции имеем АС _ ^САС ~ 8МАС' СВ с — с ^свс амвс Аналогично получаем, что ВА' _ &авм СВ' _ А'С ~ ’ В'А ~ 13 САМ АС' их основаниям, то —-— С'В пропорциональны $ МАС' ^МВС' в Рис. 197 &САМ с ^ВСМ &всм &АВМ Перемножая почленно эти три пропор- ции, имеем АС ВА' СВ' _ & сам &авм & вс м _ СВ А'С В'A q q q &ВСМ ^САМ ^авм что и требовалось доказать. Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что отрезки АА и ВВ' пересекают- ся в точке М, а третьим отрезком, проходящих^ че- рез точку М, будет ССХ. Тогда по доказанному АСХ ВА' СВ' _ В ~^С ~ВА ~ А по условию теоремы АСУ ВА' СВ' С'В ' А'С ' В'А Отсюда следует, что ACj = АС^ СгВ С'В" и, значит, точка Сг совпадает с точкой С (так как обе они делят отрезок АВ в одном и том же отно- шении). Таким образом, отрезки АА', ВВ', СС пе- ресекаются в одной точке. Теорема доказана. Эта теорема названа по имени итальян- ского геометра Джованни Чевы, доказавшего ее в 1678 г. 740 11 класс
Задача (17). Докажите с помощью теоремы Чевы, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Решение. Пусть АА', ВВ', СС — медианы данного треугольника АВС. Тогда точки А', В', С' являют- ся по определению серединами его сторон. Значит, АС' ВА’ СВ’ . „ —— = —— = ——- = 1. Поэтому произведение этих £> 2т. (. Lj отношений также равно 1. По теореме Чевы (об- ратное утверждение) отсюда следует, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Замечание. Можно доказать, что теоре- ма Чевы имеет место и в том случае, когда неко- торые из точек А', В', С' лежат не на самих сто- ронах, а на их продолжениях. Но при этом надо учитывать, что прямые АА', ВВ', СС' могут быть и параллельными, т. е. могут «пересекаться в бес- конечно удаленной точке». 85. Теорема Менелая Пусть АВ и СВ — коллинеарные векто- ры. В этом пункте будем считать, что отношение длин отрезков АВ и СВ является положительным, если векторы АВ и СВ одинаково направлены, и отрицательным — если они противоположно m АВ ВА направлены. Так что -=-----. CD CD Теорема (Менелая) Если прямая, не проходящая через вершины тре- угольника АВС, пересекает его стороны АВ, АС, ВС или их продолжения в точках С*, В* м А* со- ответственно, то АС ВА' СВ' = СВ А'С В'А ~ И обратно: если точки С*, В* и А', не совпадаю- щие с вершинами треугольника АВС, лежат на его сторонах АВ, АС, ВС или на их продолжени- ях и для них выполняется соотношение АС В А' СВ' СВ ’ А'С ’ В'А то точки А*, В* и С лежат на одной прямой. Объемы многогранников
Доказательство. Пусть дан треугольник АВС и прямая т, пересекающая его стороны или их продолжения в точках А', В' и С (рис. 198). Проведем через вершину В прямую 11| т, пересекающую прямую АС в точке BY. По свойству пропорциональных отрез- ков для углов ВАС и ВСВ' и параллельных т и I имеем: АС' _ АВ' ВА' = В'ВХ С’В ~ В'ВХ ’ А'С ~ СВ' Перемножая эти равенства почленно и учитывая, что точки А, С, В' и Вх лежат на одной прямой, по- лучаем AC BA' _ АВ' B'Bj = АВ' = В'А С'В ' А'С ~ В'В1 СВ' ~ СВ' ~ СВ' * И значит, АС ВА' СВ' = ! СВ ’ А'С ' В'А ~ что и требовалось доказать. Пусть теперь точки С', В' и А' лежат на сторонах АВ, АС, ВС треугольника АВС или на их продолжениях и для них выполняется соотно- шение АС ВА' СВ' = С'В ' А'С ’ В'А Прямая А'С не параллельна прямой АС, так как в противном случае 142 11 класс
AC CA' AC BA' . — или — . — = 1, что противоречит условию теоремы. А значит, пря- мая А'С' пересекает прямую АС в некоторой точ- ке Вг. По доказанному выше АС ВА’ СВХ = СВ А'С ВХА ~ Сопоставляя это соотношение с условием, полу- чаем £В]_ = св' ВХА В'А’ Отсюда следует, что точка Вх совпадает с В (так как в случае, когда отношение яв- ляется положительным, обе они принадлежат отрезку АС, а в случае его отрицательности — обе они лежат на продолжении этого отрезка, при- чем по одну сторону от одного из его концов). Теорема доказана. Эта теорема названа по имени древне- греческого ученого Менелая Александрийского (I в.). Но, по-видимому, она была известна Евкли- ду. Дело в том, что Менелай доказывал эту теоре- му для треугольников на сфере и при этом писал так, как будто аналогичное свойство плоских тре- угольников было уже хорошо известно. Замечание. Из теоремы Менелая следует, что пря- мая, не проходящая через вершины треугольника, не может пересекать все его стороны. Она пересе- кает либо две стороны и продолжение третьей, либо продолжения всех трех сторон, потому что произведение только нечетного числа отношений ориентированных отрезков может быть отрица- тельным (равным —1) числом. 86. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на не- которой окружности. Объемы многогранников
Теорема (свойство и признак вписанно- го четырехугольника) У четырехугольника, вписанного в окружность, сумма протиьолежащих углов равна 180°. И обратно: если у выпуклого четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180°, то око- ло него можно описать окружность. Доказательство. Пусть дан четырехугольник ABCD, вписанный в окружность с центром О, и пусть его углы А и С — противолежащие (рис. 199). Вер- шины А и С четырехугольника ABCD лежат по разные стороны от прямой BD, и, значит, четырех- угольник выпуклый. По свойству вписанных углов ABAD = \aBOD, At где A.BOD — соответствующий центральный угол. И так как противолежащий ему угол BCD четырехугольника равен половине дополни- тельного центрального угла, то их сумма равна по- ловине суммы дополнительных центральных уг- лов, равной 360°. Следовательно, АА + АС = 180°. Рис. 199 Сумма углов В и D данного четырех- угольника также равна 180°, так как сумма всех углов четырехугольника равна 360°. Для доказательства обратного утверж- дения достаточно описать окружность около тре- угольника ABD. Тогда четвертая вершина С дан- ного четырехугольника ABCD, у которого АА + АС = 180°, тоже будет лежать на этой окружности. Это следу- ет из того, что геометрическое место вершин углов BCD, равных 180° - АА, лежащих в той же полу- плоскости относительно прямой BD, что и верши- на С, есть дуга окружности с концами в точках В и D. Теорема доказана. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. 144 11 класс
Теорема (свойство и признак описанно- го четырехугольника) 9.8 В описанном четырехугольнике суммы противоле- жащих сторон равны. И обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. Доказательство. Пусть стороны описанного четырех- угольника ABCD касаются окружности в точках К, L, М, N (рис. 200). По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки: АК = AN, ВК = BL, CL = CM, DM = DN. Поэтому (АК 4- КВ) 4- (СМ 4- MD) = = (AN 4- ND) 4- (BL 4- LC). т. e. AB 4- CD = AD 4- BC. Докажем теперь обратное утверждение. Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD выполняется равенство АВ 4- CD = ВС 4- AD. (*) Среди окружностей, лежащих в четырех- угольнике, найдется окружность F, касающаяся его сторон АВ, ВС и AD (рис. 201, а). Покажем, что окружность F касается и стороны CD. Допус- тим противное, т. с. окружность F не касается сто- роны CD. Тогда проведем из точки С луч р, кото- рый касается окружности F и пересекает сторону AD в точке К (рис. 201, б). Получим треугольник CDK. Окружность F вписана в четырехугольник АВСК. Поэтому АВ + СК = ВС 4- АК. (**) Вычитая равенство (**) из равенства (*), получаем, что CD - СК = AD - АК. Так как AD - АК — KD, то предыдущее равенство приводит к соотношению CD = СК 4- KD, которое противоречит неравенству треугольника. Следова- тельно, окружность касается и стороны CD, т. е. вписана в четырехугольник ABCD. Теорема дока- зана. 145 Рис. 200 6 Геометрия 10-11 кл. Рис. 201 Объемы многогранников
87. Углы в окружности Центральным углом в окружности на зывается плоский угол с вершиной в ее центре. При этом часть окружности, расположенная внут- ри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Теорема 9.9 1) Угол, вершина которого лежит внутри круга, ра- вен полусумме двух центральных углов, которым со- ответствуют дуги окружности, заключенные между сторонами данного угла и их продолжениями. 2) Угол, вершина которого лежит вне круга, а сторо- ны пересекают его окружность, равен полуразности двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключенные между сторонами данного угла. Доказательство. Пусть вершина В угла АВС лежит внут- ри круга (рис. 202, а) или вне круга (рис. 202, б). Проведем хорду AD, где D — точка пересечения прямой ВС с окружностью, отличная от точки С. В первом случае угол В является внеш- ним углом треугольника ABD и поэтому равен сумме углов А и D. Углы А и D как вписанные в окружность равны половинам соответствующих им центральных углов. Угол D равен половине цент- рального угла, соответствующей дугой окружности которого является дуга АС, заключенная между сторонами данного угла АВС, а угол А равен поло- вине центрального угла, соответствующей дугой окружности которого является дуга DK, заключен- ная между продолжениями сторон угла АВС. От- сюда следует первое утверждение теоремы. Во втором случае угол В является внут- ренним углом треугольника ABD и поэтому равен разности вписанных углов ADC и А. Угол A DC ра- вен половине центрального угла, соответствующей дугой окружности которого является дуга АС, зак- люченная между сторонами данного угла АВС, а угол А равен половине центрального угла, соответ- ствующей дугой окружности которого является дуга DK. Отсюда следует второе утверждение тео- ремы. Теорема доказана. Рис. 202 146 11 класс
Теорема 9.10 Если из точки В к окружности с центром О про- ведены касательная АВ и хорда СВ. то А А ВС = ^АВОС. Доказательство. Проведем диаметр BD окружности (рис. 203). Угол АВС равен или разности углов ABD и CBD (рис. 203, а), или их сумме (рис. 203, б). Так как угол ABD прямой, то он равен половине развернутого центрального угла. А вписанный угол CBD равен половине центрального угла COD. Поэтому данный угол АВС равен половине цент- рального угла, которому соответствует меньшая дуга ВС окружности в случае а и большая дуга ВС окружности в случае б. Утверждение справедливо также и в случае, когда хорда ВС является диаметром ок- ружности. Теорема доказана. Задача (35). Дан треугольник АВС. Постройте гео- метрическое место точек, из которых отрезок АВ виден под углом, равным углу А этого тре- угольника. Решение. Искомое геометрическое место точек является дугой окружности с концами в точках А и В (концах отрезка). Чтобы найти центр этой окружности, проведем перпендикуляр к отрезку АВ через его середину М и восстановим перпендикуляр к сторо- не АС данного треугольника (так как АС касатель- ная) в вершипе А (рис. 204). Пусть О — точка их пересечения. Дуга окружности с центром в этой точке и радиусом ОД, расположенная в верхней полуплоскости отно- сительно прямой АВ, является искомым геометри- ческим местом точек, так как любой вписанный в нее угол АХВ равен половине центрального угла АОВ и, значит, по теореме 9.10 равен углу А дан- ного треугольника АВС. б) 147 Объемы. многогранников
88. Метри ческие соотношения в окружности Теорема (свойство пересекающихся отрез- ков хорд окружности) Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS • BS = CS • DS. Доказательство. Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис. 205). Вписанные углы DC В и DAB равны, так как их вершины С и А ле- жат по одну сторону от прямой BD. А углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства ука- занных углов следует, что треугольники ASD и С SB подобны. Из подобия треугольников следует пропорция DS AS BS ~ CS ’ Отсюда AS • BS = CS • DS. Теорема доказана. Теорема (свойство отрезков секущей и касательной к окружности) 9.12 Произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки. Доказательство. Пусть к данной окружности из точки С проведены касательная CD и секущая, пересекаю- щая окружность в точках А и В (рис. 206). Соеди- ним точку касания D с точками А и В отрезками. Треугольники CAD и CDB подобны. У них угол С общий, а угол В равен углу ADC по свойству впи- санных углов и теореме 9.10. Из подобия треуголь- ников следует, что СР АС ВС ~ СР' Рис. 206 Отсюда CD2 = АС • ВС. Теорема доказана. 148 11 класс
89. О разрешимости задач на построение В задачах на построение речь идет о построении геометрической фигуры с помощью данных инструментов. В школьном курсе геомет- рии обычно рассматриваются построения с по- мощью циркуля и линейки. В частности, с по- мощью циркуля можно описать из данного центра окружность данного радиуса. Задачи на построение с помощью цирку- ля и линейки часто бывают очень трудными для решения. К числу таковых относится, например, задача о построении трех окружностей, касающих- ся сторон данного треугольника и друг друга. Но бывают задачи, вообще не разрешимые с помощью циркуля и линейки. Такова, например, классичес- кая задача древности об удвоении куба: построить ребро куба, объем которого в два раза больше объ- ема данного куба. Эта задача эквивалентна задаче о на- хождении корня кубического уравнения х3 — 2 = О, где х — ребро куба, объем которого в два раза больше объема единичного куба. А поскольку это уравнение неразрешимо в квадратных радикалах, то и задача об удвоении куба неразрешима с по- мощью циркуля и линейки. Другим примером классической задачи древности, не разрешимой с помощью циркуля и линейки, является задача трисекции угла: разде- лить данный угол на три равные части. Аналити- чески она сводится к решению уравнения третьей степени, которое в общем случае не имеет решения в квадратных радикалах. В частности, угол в 60° нельзя разде- лить на три равные части с помощью циркуля и линейки, так как уравнение 4х3 - Зх - = 0, кото- рое получается из формулы cos3a = 4cos3a — 3cosa при a = 20°, не имеет решения в квадратных ра- дикалах, что следует из формул Дж. Кардано (1501—1576) для корней кубического уравнения. 90° Однако любой угол, равный —, где п = 0,1,2,..., Объемы многогранников
с помощью циркуля и линейки можно разделить на три части (используя известный способ деления прямого угла на три равные части). Еще одной классической задачей, не разрешимой с помощью циркуля и линейки, явля- ется задача о квадратуре круга: построить квад- рат, равновеликий данному кругу. Но природа ее неразрешимости совершенно в другом, а именно в неразрешимости задачи о спрямлении окружности, т. е. в построении отрезка длины п (равного дли- не окружности диаметра 1). 90. Геометрические места точек в задачах на построение Геометрическим местом точек называет- ся фигура, которая состоит из всех точек плоскос- ти, обладающих определенным свойством. И пос- кольку обычно рассматриваются только задачи на построение с помощью циркуля и линейки, то для нас представляют интерес только такие геометри- ческие места точек, которые состоят из прямых и окружностей. Приведем некоторые из них. 1. Геометрическое место точек, равно- удаленных от данной точки, есть окружность с центром в этой точке (по определению). 2. Геометрическое место точек, находя- щихся на данном расстоянии от данной прямой, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на данном расстоянии (см. зада- чу 41 к §5 учебника 7—9 кл.). 3. Геометрическое место точек, равно- отстоящих от двух данных точек, есть прямая- перпендикулярная отрезку с концами в данных точках, проходящая через его середину, т. е. сере- динный перпендикуляр (см. теорему 5.3 из §5 учебника 7—9 кл.). 4. Геометрическое место вершин пря- мых углов, стороны которых проходят через дан- ные две точки, есть окружность (см. задачу 57 к §11 учебника 7—9 кл.). 5. Геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых про- ходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точ- ки, есть дуга окружности с концами в этих точках (см. задачу 58 к §11 учебника 7—9 кл.). 11 класс
6. Геометрическое место точек, отноше- ние расстояний от которых до двух данных точек постоянно и не равно 1, есть окружность (см. за- дачу 47 к §11 учебника 7 —9 кл.). Задача (39). Постройте треугольник по стороне, про- тиволежащему углу и высоте, опущенной из вер- шины этого угла. Решение. Пусть сторона ВС искомого треуголь- ника АВС равна а, противолежащий ей угол А ра вен а, а высота, проведенная из вершины этого уг- ла, равна h. Допустим, задача решена (рис. 207). Тогда вершина А принадлежит геометрическому месту точек, из которых отрезок ВС виден под уг- лом а и которые расположены по одну сторону от прямой ВС, т. е. дуге окружности с концами в точ- ках В и С. Кроме того, она лежит на прямой, параллельной прямой ВС и отстоящей от нее на расстоянии h. Поэтому вершина А является их точкой пересечения. Для решения задачи достаточно постро- ить прямую, параллельную АС и отстоящую от нее на h, и воспользоваться решением задачи 35 из п. 87. Задача может иметь два решения, одно ре- шение или ни одного. Это зависит от числа точек пересечения прямой, параллельной прямой ВС, с дугой окружности с концами в точках В и С. 91. Геометрические преобразования в задачах на построение Наряду с методом геометрических мест задачи на построение могут решаться с помощью других методов, связанных с геометрическими пре- образованиями. К ним относятся: метод подобия, метод симметрии, метод параллельного переноса и метод поворота. Приведем примеры задач на пост- роение, решаемых с помощью этих методов. Задача (45). Впишите в данный треугольник квад- рат, у которого две вершины лежат на одной из сторон треугольника, а две остальные — на двух других его сторонах. 15? Рис. 207 Объемы многогранников
Решение. Пусть АВС — данный треугольник (рис. 208). Возьмем произвольную точку Р на стороне АВ и построим квадрат PQRS, сторона SR которого лежит на стороне АС данного треугольни- ка. Далее находим точку пересечения Qr прямых AQ и ВС и применяем гомотетию с центром в точ- ке А и коэффициентом гомотетии k = ----. При AQ ней квадрат PQRS переходит в искомый квадрат PiQ^^S^, так как гомотетия является преобразова- нием подобия. Задача (49). Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на них. Постройте отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке. Решение. Пусть а и & — данные прямые и О — данная точка (рис. 209). Допустим, что задача ре- шена. Тогда концы отрезка АВ будут симметрич- ными относительно точки О как середины отрезка. Поэтому при симметрии относительно этой точки отрезок переходит в себя и, значит, прямая в7, в которую переходит при этой симметрии прямая а, проходит через конец В отрезка АВ. Таким образом, конец В искомого от- резка получается при пересечении прямой Ъ с прямой а7, симметричной прямой а относительно точки О. После этого достаточно провести прямую ВО до пересечения с прямой а. Получим второй конец отрезка — точку А. Задача (55). Постройте квадрат, стороны которого проходят через четыре заданные точки А, В, С, D. Решение. Допустим, что квадрат построен (рис. 210). Повернем отрезок DB около точки D на угол 90°. Получим отрезок DB'. А теперь перене- сем его параллельно так, чтобы точка D совмести- лась с точкой А. При этом точка В7 попадет в точку Вг на стороне квадрата, которая проходит через точку С (или на продолжение этой стороны). Это следует из равенства прямоугольных треуголь- ников BED и AFBX (у них гипотенузы BD и АВг Рис. 208 Рис. 209 152 11 класс
равны по построению, а катеты BE и AF равны стороне квадрата). Построив точку В , проводим прямую CBt, на которой лежит сторона квадрата. Далее проводим через точку А прямую, парал- лельную СВlf и через точки В и D прямые, пер- пендикулярные этой прямой. Искомый квадрат построен. 92. Эллипс, гипербола, парабола Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек (называе- мых фокусами), постоянна. Пусть В1? F2 — фокусы эллипса, рас- тояние между которыми равно 2с, и М — любая точка эллипса. По определению MFX + MF2 — 2а, где а > с (так как сумма двух сторон треугольни- ка, больше его третьей стороны). Составим урав- нение эллипса, выбрав за начало декартовых ко- ординат х, у середину О отрезка FXF2 и направив ось х по лучу OFr (рис. 211). Фокусы эллипса име- ют координаты В^с; 0), В2(-с; 0), а любая его точ- ка М(х; у). По формуле расстояния между двумя точками имеем: = ^(х- с)2 + у2 , MF2 = yj(x + c)2 + у2 . И значит, координаты любой точки эл- липса удовлетворяют уравнению ^(х- с)2 + у2 + yjfx + c)2 +у2 = 2а. И наоборот: любая точка ЛДх; у), коор- динаты которой удовлетворяют этому уравнению, принадлежит эллипсу, так как сумма расстояний от нее до фокусов Fr и F2 согласно этому уравнению равна 2а. Избавляясь от радикалов, уравнение эл- липса можно привести к следующему каноническо- му виду: Рис. 211 где Ь2 = а2 - с2. 153 Объемы многогранников
Параметры аиЬ называются полуосями эллипса, а число е = — < 1 — эксцентриситетом. а Так как уравнение эллипса содержит только квад- раты координат, то, если точка (х; у) принадлежит эллипсу, симметричные ей точки относительно осей координат (—х; у), (х; -у) и относительно на- чала координат (—х; —у) тоже принадлежат эллип- су. Точки пересечения эллипса с его осями сим- метрии называются вершинами эллипса. У эллип- са четыре вершины. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстоя- ний которых до двух данных точек (называемых фокусами), постоянен. Пусть Flt F2 — фокусы гиперболы, рас- тояние между которыми равно 2с, и М — любая ее точка. По определению \MFX - MF2| = 2а, где а < с. Выбрав декартовы координаты так, как это было сделано при выводе уравнения эллипса (рис. 212), получим следующее уравнение гипер- болы: Рис. 212 Гипербола, в отличие от эллипса, состо- ит из двух ветвей. Если MFr < MF2, то получаем ветвь, расположенную в правой полуплоскости от- носительно оси у, а если MFr > MF2 — ветвь рас- положенную в левой полуплоскости. Избавляясь от радикалов, уравнение гиперболы можно привес- ти к каноническому виду у2 Ъ2 где Ь2 = с2 - а2. Параметры а и b называются полуосями гиперболы, а число е = — > 1 — эксцентриситетом, а Как и в случае эллипса, оси координат являют- ся осями симметрии гиперболы, а начало коорди- нат — центром симметрии. Точки пересечения 154 11 класс
гиперболы с осями симметрии называются верши- нами гиперболы. У гиперболы две вершины. Левая часть уравнения гиперболы раскладывается на ли- « (х . у Yх у ' неиные множители — + — — - — . (а bД а b, тт х . У л х у л Прямые —h — = 0 и-------— = 0 пазы- fl о а о ваются асимптотами гиперболы, к которым не- ограниченно приближаются ее ветви при |х| и п|, стремящихся к бесконечности. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной прямой (называемой директрисой) и данной точки (называемой фокусом). Пусть F — фокус параболы, а 6 — ее директриса. Для вывода уравнения параболы вы- берем начало координат О в середине отрезка FD, который является перпендикуляром, опущенным из фокуса параболы на ее директрису, а ось х нап- равим по лучу OF (рис. 213). Пусть длина отрезка FD равна р. Тогда точка F имеет координаты 0У Если М(х\ у) — точка лежащая на пара- боле, то MF Рис. 213 11 значит, координаты точки М парабо- лы удовлетворяют уравнению И наоборот: любая точка М плоскости, координаты которой удовлетворяют этому уравне- нию, принадлежит параболе, так как она равно- удалена от точки FI —; 0 и прямой 5, задаваемой \ 2 у уравнением х = — Отсюда следует, что получен- Ci ное уравнение действительно является уравнением параболы. Избавляясь от радикала, получим кано- ническое уравнение параболы у2 = 2рх. 155 Ооъемы многогранников
Ось х является осью симметрии пара- болы, так как вместе с точкой (х; у) ей принад- лежит и точка (х; -у). Точка пересечения парабо- лы с ее осью симметрии называется вершиной параболы. Вершина параболы совпадает с началом координат. Эксцентриситет параболы считается равным 1. Как видим, канонические уравнения эл- липса, гиперболы и параболы, как и уравнение ок- ружности х2 + у2 = R2, представляют собой уравне- ния второй степени относительно координат х и у. Поэтому они называются кривыми второго поряд- ка. Этим кривым можно дать другие, эквивалент- ные приведенным выше, определения, используя понятие конической поверхности. Коническим сечением называется линия пересечения полного конуса и плоскости, не про- ходящей через его вершину (рис. 214). Каждое коническое сечение, кроме окружности, представ- ляет собой геометрическое место точек секущей плоскости, отношение расстояний которых от не- которой точки F и некоторой прямой 5 постоянно. Точка F называется фокусом конического сечения, а прямая 5 — директрисой. В зависимости от то- го, каково отношение е расстояний произвольной точки конического сечения от фокуса и директри- сы, кривая называется эллипсом (е < 1), парабо- лой (е = 1) и гиперболой (е > 1), а число е — экс- центриситетом . Если секущая плоскость, не проходя- щая через вершину конической поверхности (см. рис. 214), пересекает все образующие какой-ни- будь одной ее полы, то получается замкнутая кривая, представляющая собой эллипс (или ок- ружность, если секущая плоскость перпендику- лярна оси конуса). Если секущая плоскость парал- лельна какой-нибудь образующей конической по- верхности и, значит, пересекает только одну ее полу, то получается незамкнутая кривая, пред- ставляющая собой параболу. II, наконец, если се- кущая плоскость, не проходящая через вершину конической поверхности, пересекает образующие обеих пол, то получается незамкнутая кривая, со- стоящая из двух ветвей и представляющая собой гиперболу. Рис. 214 156 11 класс
Контрольные вопросы 1. Даны сторона и два угла треугольника. Как найти третий угол и две остальные стороны? 2. Даны две стороны треугольника и угол между ними. Как найти остальные два угла и третью сторону? 3. Даны две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них. Как найти остальные два угла и третью сто- рону? 4. Даны три стороны треугольника. Как найти его углы? 5. Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы тре- угольника. 6. Выведите формулы для вычисления биссектрис треуголь- ника по его сторонам. 7. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелог- рамма равна сумме квадратов его сторон. 8. Выведите формулы для вычисления медиан треугольника по его сторонам. 9. Докажите формулу Герона для площади треугольника. 10. Выведите формулы для вычисления высот треугольника по его сторонам. 11. Выведите формулы для площади треугольника через его стороны и радиус описанной или вписанной окружности. 12. Сформулируйте теорему Чевы и теорему Менелая. 13. Докажите, что сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180°. 14. Докажите, что если у выпуклого четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180°, то около него можно описать окружность. 15. Докажите, что в описанном четырехугольнике суммы про- тиволежащих сторон равны. 16. Докажите, что если у выпуклого четырехугольника суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. 17. Какая дуга окружности называется соответствующей дан- ному центральному углу в окружности? 18. Докажите, что угол, вершина которого лежит внутри кру- га, равен полусумме двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключенные между сто- ронами данного угла и их продолжениями. 19. Докажите, что угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны пересекают его окружность, равен полу разности двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключенные между сторонами данного угла. 20. Сформулируйте и докажите теорему об угле между хордой и касательной. 21. Докажите свойство отрезков пересекающихся хорд окруж- ности. Объемы многогранников
22. Сформулируйте и докажите свойство отрезков секущей и касательной к окружности. 23. Какие геометрические места точек используются обычно при решении задач на построение? 24. Какие существуют методы решения задач на построение с помощью геометрических преобразований? 25. Дайте определение эллипса (гиперболы, параболы) как гео- метрического места точек. 26. При каком геометрическом условии сечение полной кони- ческой поверхности является эллипсом (гиперболой, пара- болой)? Задачи Пункт 81 1. Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если: 1) b = 12, а = 36°, р = 25°; 2) с = 14, а = 64°, р = 48°. 2. Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону, если: 1) Ъ = 14, с = 10, а = 145°; 2) а = 32, с = 23, р = 152°; 3) а = 24, с = 18, р = 15°. 3. В треугольнике заданы две стороны и угол, противолежа- щий одной из них. Найдите остальные углы и сторону треугольника, если: 1) а = 34, b = 12, а = 164°; 2) а = 2, b = 4, а = 60°; 3) а = 6, b = 8, а = 30°. 4. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если: 1) а = 15, Ъ = 24, с = 18; 2) а = 23, Ъ = 17, с = 39; 3) а = 55, b = 21, с = 38. Пункт 82 5. Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с кате- тами а и д, проведенную из вершины прямого угла. 6. Докажите, что если две медианы или две биссектрисы тре- угольника равны, то этот треугольник равнобедренный. 7. Докажите, что медиана треугольника не меньше его бис- сектрисы, проведенной из той же вершины. 8. Найдите выражения для сторон треугольника через его ме- дианы. 9. Докажите, что если сумма квадратов диагоналей выпукло- го четырехугольника равна сумме квадратов его сторон, то этот четырехугольник является параллелограммом. Пункт 83 10. Найдите площадь треугольника с данными сторонами: 1) —, —, 6; 2) 13, 37—, 47—; 3) 2—, 3—, 1,83. 7 6 6 ’ 7 13’ 13’ 7 12 75 11 класс
11. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами, равными 17, 65, 80, и наибольшую высоту треугольника 12 1 со сторонами, равными 13, 37—, 47—. 12. Основания трапеции равны 19 см и 31 см, а диагонали — 39 см и 41 см. Найдите высоту трапеции. 13. Основания трапеции равны 5 см и 2— см, а боковые сто- 44 роны — 3— см и 1,83 см. Найдите высоту трапеции. 75 14. Найдите стороны треугольника АВС, если площади тре- угольников ABO, ВСО и АСО, где О — центр вписанной окружности, равны 52 дм2, 30 дм2 и 74 дм2. 15. Найдите площади треугольников АВО, ВСО, АСО, где О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС, у кото- рого АВ = 28 см, ВС = 15 см, АС = 41 см. 16. Найдите радиусы описанной (В) и вписанной (г) окружно- стей для треугольника со сторонами, равными: 1) 35, 29, 8; 2) 4, 5, 7. Пункт 84 17. Докажите с помощью теоремы Чевы, что медианы тре- угольника пересекаются в одной точке. 18. Докажите с помощью теоремы Чевы, что биссектрисы тре- угольника пересекаются в одной точке. 19. Докажите с помощью теоремы Чевы, что высоты остро- угольного треугольника пересекаются в одной точке. 20. Через каждую вершину треугольника проведена прямая, которая делит его периметр пополам. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке. 21. На медиане СМ треугольника АВС дана точка Р, через ко- торую проведены прямые АР и ВР, пересекающие сторо- ны ВС и АС треугольника в точках А* и В' соответствен- но. Докажите, что если АА' = ВВ', то данный треугольник равнобедренн ый. Пункт 85 22. Прямая, проходящая через середины диагоналей выпукло- го четырехугольника ABCD, пересекает его противолежа- щие стороны АВ и CD в точках М и N. Докажите, что AM : МВ = CN : ND. 23. Прямая пересекает стороны ВС, АС и АВ треугольника АВС в точках Ар Вг и Сг соответственно. Докажите, что середины отрезков AAlt BBlf ССг лежат на одной прямой. Объемы многогранников
24. Прямая пересекает стороны АВ, ВС, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD или их продолжения соответ- ственно в точках Р, Q, R, S. Докажите, что образовавши- еся отрезки удовлетворяют соотношению АР BQ CR DS РВ QC RD ' SA Пункт 86 25. Докажите, что площадь четырехугольника со сторонами а, д, с, d, вписанного в окружность, вычисляется по формуле S = yj d - а)(р - - с^(р - d^, где р — полупериметр данного четырехугольника. 26. Найдите площадь четырехугольника, вписанного в окруж- ность, стороны которого в порядке их обхода равны: 1) 1 см, 4 см, 8 см, 7 см; 2) 2 см, 5 см, 11 см, 10 см. 27. Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность. Верно ли обратное утверждение? 28. Равнобокая трапеция описана около окружности с радиу- сом 12 дм. Точка касания делит ее боковую сторону в от- ношении 9 : 4. Найдите площадь трапеции. 29. Около окружности радиуса г описана равнобокая трапеция с основаниями 2а и 2Ь. Докажите, что г1 — ab. 30. Найдите расстояние между сторонами ромба, диагонали которого равны dA и d2. Пункт 87 31. Две хорды пересекаются внутри окружности под углом 60 '. Найдите градусные меры двух дуг, заключенных между сторонами этого угла и их продолжениями, если они относятся как 1:3. 32. Продолжения хорд пересекаются вне окружности под углом 60°. Найдите градусные меры двух дуг, заключен- ных между сторонами этого угла, если они относятся как 1 : 3. 33. Хорда делит окружность на части, отношение которых равно 3:7. Найдите углы, которые образует эта хорда с касательной к окружности, проведенной в ее конце. 34. Угол между касательными, проведенными из одной точки к окружности, равен 50°. Найдите градусные меры дуг этой окружности, заключенных между точками касания. 35. Дан треугольник АВС. Постройте геометрическое место точек, из которых отрезок АВ виден под углом, равным углу А этого треугольника. 160 11 класс
Пункт 88 36. Докажите, что если через точку S, расположенную внутри окружности, проведено больше двух хорд, то произведение отрезков любой из хорд одинаково для всех хорд. 37. Из точки С проведена касательная к окружности, отрезок CD которой с концом в точке касания D равен а, и секу- щая СВ. Найдите длину секущей, если отношение внеш- ней ее части к внутренней равно т : п. 38. Докажите, что если из точки S, расположенной вне дан- ной окружности, проведено несколько секущих, то произ- ведение отрезков любой из этих секущих с концом в точ- ке S одинаково для всех секущих. Пункт 90 39. Постройте треугольник по стороне, противолежащему уг- лу и высоте, опущенной из вершины этого угла. 40. Постройте треугольник по стороне, противолежащему уг- лу и сумме двух других сторон. 41. Превратите данный треугольник в равновеликий ему тре- угольник с тем же основанием и заданным углом при про- тиволежащей вершине. 42. Постройте четырехугольник ABCD по сторонам АВ, ВС, диагонали АС и углу между диагоналями, если известно, что он является вписанным в окружность. 43. Докажите, что геометрическое место точек, равноудален- ных от двух пересекающихся прямых, состоит из биссект- рис углов, получающихся при пересечении этих прямых. 44. Найдите геометрическое место точек, которые делят в от- ношении т : п все хорды, имеющие своим общим концом данную точку окружности. Пункт 91 45. Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной из сторон треугольника, а две ос- тальные — на двух других его сторонах. 46. Впишите в данный равнобедренный треугольник прямо- угольник со стиронами, относящимися как 1 : 3, две вер- шины которого лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. 47. Дан угол и внутри него точка А. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку А. 48. Постройте треугольник по его двум углам и периметру. 49. Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на них. Постройте отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке. Объемы многогранников
50. Постройте прямоугольник ABCD, диагонали которого пе- ресекаются в данной точке О, вершина А лежит на данной прямой а, а вершины В и D — на пересекающихся пря- мых b и d, не проходящих через точку О. Всегда ли зада- ча имеет решение? 51. Даны попарно пересекающиеся прямые а, &, с. Постройте отрезок с серединой на прямой &, перпендикулярный ей, и концами на о и с. Всегда ли задача имеет решение? 52. Дан треугольник АВС и прямая d, проходящая через вер- шину С и пересекающая сторону АВ. Найдите на прямой d точку Л, из которой стороны АС и ВС треугольника вид- ны под равными углами. 53. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям. 54. Постройте трапецию по одному углу, двум диагоналям и средней линии. 55. Постройте квадрат, стороны которого проходят через четы- ре заданные точки А, В, С, D. 56. Впишите в квадрат равносторонний треугольник с заданной вершиной на одной из сторон квадрата. 57. Постройте треугольник, стороны которого пропорциональ- ны числам 3, 4 и 5, а вершины лежат на трех данных па- раллельных прямых. 58. 59. 60. Пункт 92 Что представляет собой фигура, задаваемая каноническим уравнением эллипса, если а = Ь? х у Дана окружность------1--= 1. Пусть плоскость ху равно- fl2 а2 мерно сжимается относительно оси х так, что точка (х; у) переходит в точку (х'; у'), где х' = х, а у' = — • у, Ъ * а. а В какую фигуру переходит при этом данная окружность? Выведите каноническое уравнение гиперболы, исходя из ее уравнения 61. Докажите, что ветви гиперболы-------= 1 расположены а2 Ь2 вне прямоугольника |х| < a, |z/| < д, но внутри вертикаль- ных углов, образованных прямыми, содержащими его ди- агонали. 62. Составьте каноническое уравнение параболы, осью симмет- рии которой является ось и, считая, что расстояние от ее фокуса до директрисы равно р. 11 к пасс
Ответы и указания к задачам § 1. 2. Можно. 8. Указание. Возьмите точку в другой пло- скости и проведите через нее и данную прямую плоскость. Примените к этой плоскости аксиому параллельных. 12. Четыре плоскости. 14. Указание. Воспользуйтесь доказательством от противного. § 2. 2. Нельзя. 5. 1) 6 м; 2) 4,2 дм: 3) 6,2 см; 4) 6. 1) 1 м; 2) 0,6 дм; 3) 2,1 см; 4) 7. 1) 37,5 см; 2) 9,9 см; 3) 15 см; 4) с(14-^). 8. 1) 7 м; 2) 2 м; 3) а 4- с - Ь. 9. Нельзя. 13. 1) 5 см; 2) 3 см; 3) 8 см; 4) -^~с> 19. Ука- зание. См. задачу 16. 20. Не всегда. Указание. См. задачу 16. 26. Решения нет, если точка лежит в плоско- сти прямых. 32. А1В1 = а. 35. Указание. Сравните отношение отрезков двух произвольных прямых: Х1Х2-^з и YjY2Y3. 38. Средней линией. 39. Не может. 40. Может. 41. Указание. Отношение отрезков сохраняется. 42. Указание. Проекция перпендикулярного диаметра проходит через середины хорд, параллельных проекции данного диаметра. § 3. 2. У к а з а н и е. См. задачу 1. 3. 1) 6,5 см; 2) 15 см; 3) yla2 — b2 + d2 ; 4) Va2 -с2 + 2d2. 7. 2 м. 8. BD = Та2 4- Ъ2 4- с2, CD=Va24-c2. 14. 2.6 м. 15. ~ 3,9 м. 16. 9 м. 17. aj|. Г~2 19. 1 м. 20. 6,5 м. 21. 1 а ~ ~2 * 22. Окружность. 23. 6 см, 15 см. 24. 1) 15 см, 41 см; 2) 4 см, 8 см. 25. 9 см. 27. 6 м. 28. 5 м, 3 м. 29. Va2 + с2-b2. 31. № - а2. 32. № + с2-а2. 33. 0,36 м или 0,44 м. 36. 1) 4,25 см; 2) 6,75 см; 3) 37. 1) 1,05 см; 2) 0,65 см; 3) 38. 0,6 м. 39. {т соответствует основанию, через которое проведена пло- скость). 40. 2 41. Длина перпендикуляра 72a2- &2, длина стороны V&2 - a2. 42. ча2 4- b2-c2, \с2-а2, ^с2 - b2 . 43. V2 м. 763 Ответы и указания 1 к задачам
44. 2д/2 м. 46. 2,5 м. 47. 6 м. 48. 14 см. 49. Ja^+b2. 50. уа2-^-. 51. 12b2-а2. 52. 2,5 м. 53. ^Ь2+с2-^ . 55. Указание. Прямые, перпендикулярные плоскости, параллельны. 56. ^23 м. 57. 4 м. 59. 1) 11 м; 2) 13 м; 3) 8 м; 4) 7 м; 5) а2 + &2 + с2 ; 6) yfrf + b2-c2. 60. . 61. 1,3 м. 62. 1,7 м. 1. На оси z. 3. (1; 0: 0), (0; 2; 0), (0; 0; 3), (1; 2; 0), (1; 0; 3), (0; 2; 3). 4. Расстояние от плоскости ху равно 3, от плоскости хг равно 2, от плоскости yz равно 1; рассто- яния от осей х, у, z соответственно равны 13 , V10 , расстояние от начала координат равно .14. 6. (2; 2; 2) и (-2; -2; -2). 7. С (0; 0; 0). 8. х 4- 2у 4- 3z = 7. 12. В (0; -1; 3). 13. 1) D (6; 2; -2); 2) D (0; -2; 2); 3) D (-1; 7; -2). 18. (-1; -2; -3), (0; 1; 2), (-1; 0; 3). 20. Указание. См. задачу 16. 24. (-1; -2; 1). 25. 1), 2), 4) Не существует; 3) существует. 30. 90°. 31. а 4- р или 1<х - pl. 32. 40° или 20°. 36. 1) ; 2) 3) 37. 30°. \/2 2 2 38. aV6. 39. ад/2. 40. За. 41. 30°. 44. 30°. 45. 13 м; д/409. 46. 1) cosa=—; 2) cosa=~. 47. 3,36 м. 48. 1) 2) ох a2V3 л л 30 2 а о 2 ос 2 128 2 3) ----. 49. 1) — м или 48 м ; 2) 2,5 м или — м . 8 7 7 51. D (-2; 3; 0). 52. D (2; 1; -2). 53. л=^-, т — о 2 55. 1) п = ^; 2) п = -1; 3) п = 2; 4) п = 4. 56. с = 1. о 57. Vial2 + l&l2 + kl2 + |а||&| . 58. 1) cos ср = -^; 2) ср = 90°. V о 60. cos 62. cos ср = cos a cos р. 63. 60°. Q 2 zj « cos p-cos a 64. COS (p = —5---. sin a 2) 3x 4- 6y - 2z - 5 = 66. 1) 2^1; 2) y; 3) 65. 1) Зх - у - z 4- 6 0; 3) x - — . 67. - y/10 a 5y 4- 8z - 63 69. У к = 0; = 0. а з a- d d b ’ c н и e. Сложите почленно первое и третье уравнения. 164 Ответы и указания к задачам
70. 1) (2; 1; -2); 2) (4,5; 1,5; 0,5); 3) (-2; -7; -28); 4) 71. 1) с = 0, d * О; 2) с = d = 0; 3) Ъ = 0. (3 3 3 tgl §5. 1. 2) 60°. 4. cos ср= ——- , cosp = c-v- 6. n (n - 3). COS-1 Ci 9. Указание. Воспользуйтесь теоремой 3.3. 10. 144 см2. 11. 7,5 см. 12. 12 см. 13. aV5, 2a, 2a2, a2V3. 14. 3a2. 15. cosx=V3tg^. 16. -^a-. 17. 22 cm. 18. QV2. 19. 12. z 8cosa 20. 2 m. 21. 4 m. 23. 45 cm2. 24. 1) Заб + ^Д; 2) 4a& 4- 2a2; Ci 3) 6ab 4- 3a2V3. 25. 3/2^3. 26. 12 m2. 29. 188 m2. 30. ~ 262 cm2. 31. 10 cm2. 32. 2a, an/2. 33. 13 m, 9 m. 34. 2 m2, 3 m2. 35. 1) 3; 2) 7; 3) 11. 36. aj|. 37. 2 m2. 38. 1464 cm2. I--«------т L2_l >,2 U I „2 , 2 72 / 1,2 , 2 ~2 39. 2^M2 + 2Qh2. 40. , V » • Ci । Ci Ci 41. 3 cm. 42. 12 cm. 43. tgc^ — 4-tga, tg a9 = tg ач = 43 tg a • Ct с О Ct 44. . 45. 2V3 cm. 46. 5 cm. 6 cm. 47. 26 m2. 4b. 540 cm2. Ci 49. 10 m2. 53. 35 TCM, 20 15 — CM, — CM 3 2 55. 11 m. 56. За2Л 57. 9 CM. 58. cosx=tg|. 59. 1) T ; 2) Г- 3) V&2-a2. 60. 1) ^Л24-^|; 2) ^Л24-^; 3) ^Л24-^. 61. 1) (a2 4-\a2 4-12Л2); 2) a(a 4-Va2 4-4h2); 3) ~(aV3 + 4 C 4- Л 3a2 4- 4Л2). 62. 2r(r<3 4- V3a2 - r2 ) . 63. 1,8 m, 4 m. 64. 3a2. 65. —66. costp = — . 67. 16 см и 6 см или 12 см и 8 см. cos ф v s Г~ гГ*— 68. v2 см. 70. 9 см. 71. 1 дм. 72. 6 см. 73. 2 см. 74. — 165 Ответы и указания к задачам
75. 2(W2. 76. 24 м2, 30\ 77. 168 м2. 78. 1) ^(a2 + b2 + (a 4- b) x X V12/z2 4-(a - &)2); 2) a2 + b2+ (a + b)\4h2+ (a-b)2 ; 3) ^(yl3 (a2 + b2) + (a + b)\4h2 + 3(a-b)2). 82. 109°28'. У к a- о з а н и e. Докажите сначала, что в каждой вершине окта- эдра сходятся две пары перпендикулярных ребер. Затем примените формулу задачи 4. §6. 1. 5 м. 3. 36 см2. 4. 3 дм. 5. 3 дм. 6. tgx = ^. 8.10 м. 9.5 м. 10. 11. В2. 12. 2Л2 sin а. 13.500. 14. Vl - tg2a tg2<p, если а 4- ф < 90°. 16. -4L. 17. 18. 3 см. 19. 5 м. 20. R — г, 21. а, 2а. 22. 30 дм2. 23.9 дм2. 24. 76M+W. 26. 27. ™ Л. “ 4' Н + R\2 Н + R\3 29. 16л м2. 31. 32. лВ. 33. ~ 785 км. 34. 12 см. 4 35. 12 см. 36. 5 см. 37. 40. 3 см. 41. 8 см. 42. tr2 + r2 . 4 1 Z 43. JRtg^; -4г; 4^-. 45. 4л м. 46. -а-^. 49. 2 sin а 2 4 50. i-tgf ттф г = £ Я------^=. 51. 2Я (1 - |sln2^). 4 sincos а а z I 2 I 2 52. 1) 2^R2-~; 2) 2^R2-~; 3) 2\!R2-a2. 53. ar*2 2tg 180° • n §7. 1. 6 cm. 2. ~ 8,4 г/см3. 4. 25 cm. 5. 1,8 г/см3. 6. ~ 2,29 m. 7. 30 m. 8. Вдвое. 9. ~ 192,72 кг. 12. 60 см3. 13. 3 м3. 14. 15. V2 м3. 16. 4=. 17. 2)/sin За sin3a . 18. abcx 2 v2 xV-cos 2a. 19. 1) — a2b; 2) a2b; 3) ^-a2b. 20. 0,5 г/см3. 4 4 Ответы и указания к задачам 166
21. 3 см3. 22. 23. 6 м3. 25. 3060 м3. 26. 6048 м3/ч. о 27. 35 200 м3. 28. 48 см3. 29. 12 см3. 30. 2 см. 31. х О 3 , 2 2 xV12a2-3c2. 32. 33. 1) ^V362-a2; 2) ^-V462 - 2a2; 2tgatgp 12 6 3) —\'3(b2 - a2) . 34. —. Указание. Высота пирамиды равна радиусу окружности, вписанной в основание. 35. ^Ь3. 36. ° г- . 37. . 38. .Указание. Разбейте октаэдр 12V2 12 3 на две правильные четырехугольные пирамиды. 39. 360 м3. 40. 48 см3. Указание. Основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основа- ния пирамиды. 41. V11 см3. 42. J 11 cos a cos Р Vsin2 a - cos2 P. о 43. , R3 sin a sin P sin (a 4- p) tg y. 45. . 46. ± (a3 - b3) tg a . Указание. Воспользуйтесь форму- o лой задачи 44. 47. — (a3-fr3)tga. 49 37=. §8. 1. ~ 0,75 мм. 2. ~ 4500 л. 3. В п раз; в Vn раз. 4. 4:1. 5. | ла3. 6. ~ 61 кг. 7. ~ 6,3 м3. 8. 9л м3. Указание. Вы- с2 I----------------------------------------------------- сота конуса равна радиусу его основания. 9. —£^4 л2/2-с2. 24л 10. |л/%т a cos2a. 11. ~ 1,6 т. 12. ~ 0,35 м. 13. о 4 2»2 о о 14. ™ 9 - 16- ~ 2%- 17- ч-|л3-г3|. 18. ^-|я3- г3|. Зуа*+Ь2 6 6 Г \3 19. 14 см. 20. 1 , если г < R. 21. ~ 14 см. 22. ~ 39 см. 23. 167. 24. 33—%. Указание. Диаметр шара равен 3 о у 2 диаметру цилиндра. 25. ~ 2148 см . 26. 27. 45л см3, 243л см3. 28. 0,028. 29. 5 : 16. 30. 3528л см3. 167 Ответы и указания к задачам
Указание. Разбейте указанную часть шара на ци- линдр и два сегмента. 31. 112,5л дм3 или 450л дм3. 32. |лй3(2 - V3) . Указание. Тело является шаровым сектором. 33. Vm3:Vn3. 34. Большая поверхность равно- велика сумме двух других. 35. Указание. Выразите обе поверхности через сторону квадрата. 36. 180л см2. 37. 512л см2. 38. - 40,4 м2. 39. -116 м2. 40. 75 см. 41. лтп + 2Q. Указание. По площади основания найди- те его радиус. 42. — 25,3 м3. 43. — 33,98 м2. 44. ——. cos а Указание. По площади основания найдите его радиус. 45. 2:3. 46. Выразите поверхность шара и конуса через длину образующей конуса. 47. 30°. 48. 1 м. Указание. Длина окружности основания равна длине дуги сектора. 49. - 1,04 м2. 50. - 4,3 кг. 1. 1) У = 119°, а - 16,7, с - 24,8; 2) у = 68°, а - b - 11,2. 2. 1) 0 — 21°, у - 15°, а - 22,9; 2) а - 16°, у = b - 53,4; 3) а - 130°, у - 35е, b - 8,09. 3. 1) с - 22,3, 0 у — 10°; 2) не имеет решения; 3) с — 11,4, Ъ — 42° или с - 2,49, Ь - 138°, у - 12°. 4. 1) а - 39°, у - 48°; 2) а — 15°, 0 - аЬу&. 6. У к а з а н и а + b лами для вычисления медиан и 29°. 5. 13,6, = 12°, *6°, 108° 3 - 93°, , у - 154°; 3) а - 136°, 0 - 15°, 7. См. указание к задаче 6. 8. 4- т2 2 ~та - т2 2 . 2 z, + а с 2 . 2 z, + а о е. Воспользуйтесь форму- биссектрис треугольника. 2 а ~ 3 2 С ~ 3 9. Указание. Докажите сначала, что четырехугольник, вершинами которого являются середины двух диагоналей данного четырехугольника и середины двух его противо- лежащих сторон, есть параллелограмм. Примените затем трижды теорему 9.2 и найдите квадрат длины отрезка, соединяющего середины диагоналей исходного четырех- угольника. 10. 1) 10; 2) ——; 3) 1,4. 11. 7,2; ——. 1о 1оУ 12. 31,2 см. Указание. Постройте сначала треуголь- ник, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья — сумме ее оснований. 13. 1,344 см. Указа- ние. Постройте сначала треугольник, две стороны которо- го равны боковым сторонам трапеции, а третья — разности оснований. 14. АВ = 26 дм, ВС = 15 дм, АС — 37 дм. 768 Ответы и указания к задачам
15. SABO = 42 см2, SBCO = 22,5 см2, SACO = 61,5 см2, io -о 11^ 7 пч D 35 \1б ло 16. 1) JR = ——, г = —; 2)Я = ——, г = —. 18. Указание. 6 3 476 2 Воспользуйтесь теоремой 9.1. 20. Указание. Докажите сначала, что стороны треугольника а, &, с разбиваются точками деления на отрезки, равные р - а, р - Ъ, р - с, где р — полупериметр данного треугольника. 21. Указа- ние. Докажите сначала с помощью теоремы Чевы, что четырехугольник АВ'А'В является равнобокой трапецией. 22. Указание. Примените теорему Менелая к LABO и LCDO, где О — точка пересечения диагоналей четырех- угольника ABCD, 23. Указание. Примените обратное утверждение теоремы Менелая к треугольнику, образо- ванному средними линиями данного треугольника и точ- ками, являющимися серединами отрезков AAlf BBlt ССГ. 24. Указание. Примените теорему Менелая к треуголь- никам, на которые делит данный четырехугольник одна из его диагоналей, и к данной прямой. 25. Указание. Площадь четырехугольника равна сумме площадей тре- угольников, на которые он разбивается одной из своих диагоналей. Углы, прилежащие к ней, дополняют друг друга до 180°. Поэтому площадь четырехугольника можно выразить через его стороны и синус одного из этих углов. А косинус этого угла также можно выразить через сто- роны четырехугольника. Так как sin2a + cos2a = 1, то от- сюда после преобразований, аналогичных тем, которые проводились при выводе формулы Герона, и получается требуемый результат. 26. 1) 18 дм2; 2) 36 см2. Указа- ние. Проще всего воспользоваться формулой из предыду- щей задачи. Однако, если сначала перейти от данного четырехугольника к равновеликому ему с помощью осевой симметрии, то его площадь можно найти и непосредствен- но. При этом становится очевидным само существование вписанных четырехугольников с заданными сторонами. 27. Да, вписанная в окружность трапеция является равно- бокой. 28. 312 дм2. 30. . 31. 30° и 90°. 32. 60° yjdi + d% и 120°. 33. 54° и 126°. 34. 130° и 230°. 36. Указание. Достаточно заметить, что произведение отрезков любой из данных хорд равно произведению отрезков диаметра окружности, проходящего через точку 8. 37. а./1 + — . у т 38. Указание. Достаточно заметить, что произведение 169 Ответы и указания 1 7 к задачам
отрезков любой из данных секущих равно квадрату от- резка касательной, проведенной из точки 8 к окружности. 40. Указание. Постройте сначала вспомогательный треугольник, который получается из искомого, если одну из его боковых сторон продолжить на отрезок, равный другой боковой стороне. Угол при веришне этого треуголь- ника, противолежащий основанию, равен половине данно- го угла. 41. Указание. Воспользуйтесь решением зада- чи 39. 42. Указание. Постройте сначала окружность, описанную около треугольника АВС. 43. Указание. Прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии. 44. Указание. Окружность, касающаяся данной окружности в данной точке. 46. Указание. Для построения искомого прямоугольника воспользуйтесь го- мотетией — аналогично тому, как это сделано в решении предыдущей задачи, в отличие от которой данная задача имеет два решения. 47. Указание. Постройте сначала какую-нибудь окружность, касающуюся сторон данного уг- ла, а затем воспользуйтесь гомотетией с центром в данной вершине угла. 48. Указание. Постройте сначала какой- нибудь треугольник, два угла которого равны данным уг- лам, а затем воспользуйтесь преобразованием подобия с коэффициентом подобия, равным отношению данного пе- риметра и периметра вспомогательного треугольника (для чего последний предварительно надо «развернуть» на пря- мую, содержащую одну из его сторон). 50. Указание. Постройте сначала вершины В и D искомого прямоуголь- ника, воспользовавшись решением предыдущей задачи. Задача имеет решение только в том случае, когда прямая а пересекает окружность с диаметром BD или касается ее. 51. Указание. Воспользуйтесь симметрией относитель- но прямой Ъ. Задача не имеет решения, если прямая а', симметричная прямой а относительно прямой &, парал- лельна прямой с. 52. Указание. Воспользуйтесь сим- метрией относительно прямой d. Искомая точка D яв- ляется точкой пересечения прямых d и АВ*, где В* — точка, симметричная точке В относительно прямой d. 53. Указание. Воспользовавшись параллельным пере- носом, сведите данную задачу к построению треугольника со сторонами, равными диагоналям трапеции, и основани- ем равным сумме оснований трапеции. 54. См. указание к предыдущей задаче. 56. Указание. Поверните квадрат на угол 60° около заданной вершины равностороннего тре- угольника. 57. Указание. Треугольник, стороны кото- рого пропорциональны числам 3, 4, 5, — прямоугольный. Повернув его на 90° вокруг вершины прямого угла, мож- 170 Ответы и указания f v к задачам
но один из его катетов перевести на прямую, содержащую другой катет, что позволяет построить последний, восполь- зовавшись тем, что его отношение к первому катету равно 3 4 — (или —). 58. Уравнение окружности с центром в начале координат. 59. Эллипс. 60. Указание. Рассмотрите от- дельно случаи MFr > MF 2 и MF2 > MFr. 61. У Казани е. Внутри указанного прямоугольника нет точек гиперболы, 2 2 X У ' 1 тт так как-----— < 1. Нет их и в оставшихся частях верти- >,2 а о Ь калъных углов, содержащих внутри ось у, так как — < у 62. х2 = 2ру.
Предметный указатель А Апофема пирамиды 79 — — усеченной 79 Б Боковая поверхность конуса 93, 126 ----пирамиды 79 ----призмы 70, 72 — — цилиндра 90, 125 В Высота конуса 93 — пирамиды 76 — призмы 70 — цилиндра 91 Г Геометрическое место точек 150 Гипербола 154 Грань многогранника 68 д Движение 46 Двугранный угол 66 Декартовы координаты в простран- стве 42 Диагональ призмы 70 Диагональное сечение пирамиды 77 ----призмы 70 Диаметр шара 96 Диаметральная плоскость шара 97 К Касательная плоскость конуса 96 ---- цилиндра 92 ----шара 98 Касательная прямая к шару 98 Коническое сечение 156 Конус 93 — прямой 93 — усеченный 95 Конуса осевое сечение 94 Круг большой (окружность) 97 Куб 74 Л Линейный угол двугранного угла 66 М Многогранник 68 — выпуклый 68 — правильный 80 Многогранники вписанные и опи- санные 100 Многогранный угол 67 Mнoгovгoльник вписанный 143 — описанный 144 Н Наклонная 30 О Общий перпендикуляр скрещиваю- щихся прямых 33 Объем 108 — конуса 122 — наклонного параллелепипеда 111 — пирамиды 114 — призмы 112 — прямоугольного параллелепи- педа 110 — цилиндра 121 — шара 124 — шарового сегмента 124 — — сектора 125 Объемы подобных тел 116 Оси координат 42 Основание перпендикуляра 30 Ось вращения 91, 93, 96 — прямого конуса 93 — цилиндра 91 П Парабола 155 Параллелепипед 73 — прямоугольный 74 Параллельность плоскостей 15 — прямой и плоскости 14 Параллельный перенос 47 Перпендикуляр к плоскости 30 Перпендикулярность плоскостей 32 — прямой и плоскости 26 Пирамида 76 — вписанная в конус 95 — описанная около конуса 96 Предметный указатель
— правильная 79 — усеченная 78 Плоскость 3 Площадь ортогональной проекции многоугольника 53 — сферы 127 Поверхность тела 101 Преобразование подобия 48 Призма 69 — вписанная в цилиндр 92 — наклонная 71 — описанная около цилиндра 92 — правильная 72 — прямая 71 Признак вписанного четырехуголь- ника 144 — описанного четырехугольника 145 — параллельности плоскостей 15 -----прямой и плоскости 14 — перпендикулярности плоскос- тей 33 — — прямой и плоскости 26 Признаки параллельности прямых 13 Проекция наклонной 30 — прямой на плоскость 51 Прямые параллельные 11 — перпендикулярные 25 — скрещивающиеся 11 Р Равновеликие тела 113 Радиус цилиндра 91 — шара 96 Расстояние между параллельными плоскостями 31 — — скрещивающимися прямы- ми 34 — от точки до плоскости 30 С Свойства параллельного переноса 47 — — проектирования 19 Свойство биссектрисы треугольника 134 — вписанного четырехугольника 144 — описанного четырехугольника 145 — отрезков секущей и касатель- ной 148 — пересекающихся отрезков хорд 148 Симметрия относительно плоскости 45 Стереометрия 3 Сфера 96 Т Тело 101 Теорема Менелая 141 — о трех перпендикулярах 31 — Чевы 139 — Эйлери 81 Тетраэдр 76 Точка касания 98 Трехгранный угол 67 У Угол между плоскостями 52 — — прямой и плоскостью 51 — — прямыми 49 — — скрещивающимися пря- мыми 50 Ф Формула Герона 137 ц Центр симметрии параллелепипеда 74 Центральный угол 146 Цилиндр 90 Ш Шар 96 Шаровой сегмент 124 — сектор 125 Э Эллипс 153
Содержание 10 КЛАСС § 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 1. Аксиомы стереометрии 3. 2. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку 5. 3. Пересечение прямой с плоскостью 6. 4. Существование плоскости, проходящей через три данные точки 7. 5. Замечание к аксиоме I 8. 6. Разбиение пространства плоскостью на два полупространства 9. Контрольные вопросы 10. Зада- чи 10. § 2. Параллельность прямых и плоскостей 7. Параллельные прямые в пространстве 11. 8. Признак параллельнос- ти прямых 13. 9. Признак параллельности прямой и плоскости 14. 10. Признак параллельности плоскостей 15. 11. Существование плос- кости, параллельной данной плоскости 16. 12. Свойства параллельных плоскостей 17. 13. Изображение пространственных фигур на плоскос- ти 18. Контрольные вопросы 20. Задачи 20. § 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей 14. Перпендикулярность прямых в пространстве 25. 15. Признак пер- пендикулярности прямой и плоскости 26. 16. Построение перпендику- лярных прямой и плоскости 27. 17. Свойства перпендикулярных пря- мой и плоскости 28. 18. Перпендикуляр и наклонная 30. 19. Теорема о трех перпендикулярах 31. 20. Признак перпендикулярности плоскос- тей 32. 21. Расстояние между скрещивающимися прямыми 33. 22. При- менение ортогонального проектирования в техническом черчении 34. Контрольные вопросы 35. Задачи 35. § 4. Декартовы координаты и векторы в пространстве 23. Введение декартовых координат в пространстве 42. 24. Расстояние между точками 43. 25. Координаты середины отрезка 44. 26. Преоб- разование симметрии в пространстве 45. 27. Симметрия в природе и на практике 46. 28. Движение в пространстве 46. 29. Параллельный пе- ренос в пространстве 47. 30. Подобие пространственных фигур 48. 31. Угол между скрещивающимися прямыми 49. 32. Угол между пря- мой и плоскостью 51. 33. Угол между плоскостями 52. 34. Площадь ортогональной проекции многоугольника 53. 35. Векторы в простран- стве 54. 36. Действия над векторами в пространстве 55. 37. Разложе- ние вектора по трем некомпланарным векторам 56. 38. Уравнение плос- кости 57. Контрольные вопросы 59. Задачи 60. 11 КЛАСС § 5. Многогранники 39. Двугранный угол 66. 40. Трехгранный и многогранный углы 67. 41. Многогранник 68. 42. Призма 69. 43. Изображение призмы и пост- роение ее сечений 70. 44. Прямая призма 71. 45. Параллелепипед 73. Содержание
16. Прямоугольный параллелепипед 74. 47. Пирамида 76. 48. Построе- ние пирамиды и ее плоских сечений 76. 49. Усеченная пирамида 77. 50. Правильная пирамида 79. 51. Правильные многогранники 80. Конт- рольные вопросы 81. Задачи 83. § 6. Тела вращения 52. Цилиндр 90. 53. Сечения цилиндра плоскостями 91. 54. Вписанная и описанная призмы 92. 55. Конус 93. 56. Сечения конуса плоскостя- ми 94. 57. Вписанная и описанная пирамиды 95. 58. Шар 96. 59. Се- чение шара плоскостью 96. 60. Симметрия шара 97. 61. Касательная плоскость к шару 98. 62. Пересечение двух сфер 99. 63. Вписанные и описанные многогранники 100. 61. О понятии тела и его поверхности в геометрии 101. Контрольные вопросы 102. Задачи 103. § 7. Объемы многогранников 65. Понятие объема 108. 66. Объем прямоугольного параллелепипе- да 108. 67. Объем наклонного параллелепипеда 110. 68. Объем приз- мы 111. 69. Равновеликие тела 113. 70. Объем пирамиды 114. 71. Объ- ем усеченной пирамиды 115. 72. Объемы подобных тел 115. Контроль- ные вопросы 116. Задачи 117. § 8. Объемы и поверхности тел вращения 73. Объем цилиндра 121. 74. Объем конуса 121. 75. Объем усеченного конуса 122. 76. Объем шара 123. 77. Объем шарового сегмента и сек- тора 124. 78. Площадь боковой поверхности цилиндра 125. 79. Пло- щадь боковой поверхности конуса 126. 80. Площадь сферы 127. Конт- рольные вопросы 128. Задачи 128. § 9. Избранные вопросы планиметрии 81. Решение треугольников 132. 82. Вычисление биссектрис и медиан треугольника 134. 83. Формула Герона и другие формулы для площа- ди треугольника 137. 84. Теорема Чевы 139. 85. Теорема Менелая 141. 86. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольни- ков 143. 87. Углы ь окружности 146. 88. Метрические соотношения в окружности 148. 89. О разрешимости задач на построение 149. 90. Геометрические места точек в задачах на построение 150. 91. Гео- метрические преобразования в задачах на построение 151. 92. Эллипс, гипербола, парабола 153. Контрольные вопросы 157. Задачи 158. Ответы и указания к задачам 163. Предметный указатель 172.
Учебное издание Погорелов Алексей Васильевич ГЕОМЕТРИЯ 10—11 классы Учебник для общеобразовательных учреждений Базовый и профильный уровни Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова, спец, редактор А. М. Зуоков, редакторы Т. Ю. Акимова, Т. Г. Войлокова, младший редактор Н.В.Сиделъковская, художники В. Е. Киселев, И. В. Горустович, Т. В. Делягина, Е. В. Анненкова, художественный редактор О. П. Богомолива, компьютерная верстка Н. В. Кондратьевой, Л. М. Аорамовой, корректоры О. Н. Леонова, О. В. Крупенко, Н. И. Новикова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 15.04.09. Формат 70х901/16. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 9,64+ 0,53форз. Тираж 40 000 экз. Заказ 2881. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Открытое акционерное общество «Тверской ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат детской литературы им. 50-летия СССР». 170U40, г. Тверь, проспект 50 лет Октября, 46. £
А. В. Погорелов УЧЕБНИК Б А 3 О В Ы Й • ПРОФИЛЬНЫЙ РОВНИ Учебно-методический комплект по геометрии для 10-11 классов включает: для 10-11 классов С. Б. Веселовский, В. Д Ряйчинская АНАЛИТИЧЕСКИЕ МАГЕРНААЫ для 10 u 11 классов А. Н. Земляков МЕТО ЛИ ЧЕС КИЕ РЕКОМЬНААЦИИ К УЧЕБНИКУ для 10 u 11 классов Б. Г Зив, В. М Мейлер, А. Г. Баханский ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕГРИ И ISBN 978-5-09-021850-4 9 785090 218504