Библиотека учителя математики
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
3. ПО ТРЕМ СТОРОНАМ
ПО ДВУМ СТОРОНАМ
И УГЛУ МЕЖДУ ними
ПО СТОРОНЕ
И ПРИЛЕГАЮЩИМ К НЕЙ
УГЛАМ
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
а||&, если:
Z! = Z2(Z3 = Z4)
или
Z 1 + Z4 = 186°
(Z2 + Z3 = 180°)
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
С
С = 189
8
СООТНОШЕНИЯ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА
И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
1. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
Z3 =	— *1/ + (ff2 — yi)2
1. КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА
*•. + *2
„ _ У\ + У2
У 2
X
2
Библиотека учителя математики
А. В. ПОГОРЕЛОВ
ГЕОМЕТРИЯ
Пробный учебник
для 6—10 классов
средней школы
Материалы для ознакомления
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1981
ББК 22.151. Оя72
П43
Рекомендоеано Министерством просвещения СССР
Погорелов А.В.
П43 Геометрия: Пробный учебник для 6—10 кл. сред,
школы. Материалы для ознакомления. — М.: Просве-
щение, 1981. — 271 с., ил. — (Б-ка учителя матема-
тики).
Пробный учебник издан с целью ознакомления учителей с оригинальным изложе-
нием геометрического материала как возможного варианта построения школьного кур-
са геометрии (6-10 кл.) и в настоящее время проходит экспериментальную проверку в
ряде школ страны.
60501—692
П ТТ—~—77 подписное 4306010400
103(03)—81
ББК22.151.Оя72
513(075)
© Издательство «Просвещение», 1981 г.
6 класс
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Геометрия — это наука о свойствах геометрических фи-
гур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский
язык означает землемерие. Такое название связано с приме-
нением геометрии для измерений на местности.
Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат,
окружность (рис. 1).
Геометрические фигуры весьма разнообразны. Часть лю-
бой геометрической фигуры является геометрической фигу-
рой. Объединение нескольких геометрических фигур есть
снова геометрическая фигура. На рисунке 2 фигура слева
образована треугольником и тремя квадратами, а фигура
справа — окружностью и частями окружности. Всякую гео-
метрическую фигуру мы представляем себе составленной из
точек.
Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на пло-
скости, называется планиметрией. Мы начнем изучение гео-
метрии с этого раздела.
Точка и прямая
Основными геометрическими фигурами на плоскости яв-
ляются точка и прямая< На чертеже точки и прямые нано-
сятся остро отточенным карандашом. Для построения пря-
Рже. 2
Рис. 1
3
Рис* 5
мых пользуются линейкой. Точки при-
нято обозначать прописными латински-
ми буквами: А, В, С, D, ... . Прямые
обозначаются строчными латинскими
буквами: а, b, с, d, ... .
На рисунке 3 вы видите точку А и
прямую а.
Основные свойства принадлежности
точек и прямых
Посмотрите на рисунок 4. Вы види-
те прямые а, Ь и точки А, В, С. Точки
А и С лежат на прямой а. Можно
сказать также, что точки А и С принад-
лежат прямой а или что прямая а
проходит через точки Ап С.
Точка В лежит на прямой Ъ. Она
не лежит на прямой а. Точка С лежит
и на прямой а, и на прямой Ъ. Прямые
а и Ъ пересекаются в точке С. Точка С яв-
ляется точкой пересечения прямых а и Ъ.
На рисунке 5 вы видите, как с помощью линейки строится
прямая, проходящая через две заданные точки А и В.
Основными свойствами принадлежности то-
чек и прямых мы будем называть следующие два свойства.
11. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принад-
лежащие прямой, и точки, не принадлежащие прямой.
1г. Через любые две точки можно провести прямую и толь-
ко одну.
Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на
ней. Например, прямую а на рисунке 4 можно обозначить АС,
а прямую b можно обозначить ВС.
Могут ли две различные прямые иметь более одной точки
пересечения? Не могут. Если бы они имели две точки пересе-
чения, то через эти точки проходили бы две различные пря-
мые. А это невозможно, так как через две точки проходит
только одна прямая. Таким образом, получается следующее
утверждение.
1.1. Две различные прямые либо не пересекаются, либо
пересекаются только в одной точке.
4
Основные свойства взаимного расположе-
ния точек на прямой и на плоскости
Посмотрите на рисунок 6. Вы видите
прямую а и три точки на этой прямой А9
В9 С. Точка В лежит между точками А и
С9 точки Avl С лежат по разные стороны
от точки В. Можно сказать также, что
точка В разделяет точки А и С. Точки А
и В лежат по одну сторону от точки С,
они не разделяются точкой С. Точки В и
С лежат по одну сторону от точки А.
Пусть на прямой а лежат точки А и В
(рис. 7). Отрезком АВ называется часть
прямой а9 точками которой являются
все точки X этой прямой, лежащие меж-
ду А и В. Точки А и В называются кон-
цами отрезка.
Посмотрите на рисунок 8. Прямая а
разбивает плоскость на две полуплоскос-
ти. Точки А и В лежат в одной полуплос-
кости. Отрезок АВ не пересекается с пря-
мой а. Точки С и D лежат в разных полуплоскостях. От-
резок CD пересекается с прямой а.
Основными свойствами расположения точек
на прямой и плоскости мы будем называть следующие свой-
ства.
III. трех точек на прямой одна и только одна лежит
между двумя другими.
II2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полу-
плоскости, то отрезок не пересекается с прямой. Если концы
отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пе-
ресекается с прямой.
Задача (8). Даны прямая и три точки А, В, С, не ле-
жащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает
прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли пря-
мую отрезок ВС? Объясните ответ.
Решение. Прямая разбивает плоскость на две полу-
плоскости. Точка А принадлежит одной из них. Отрезок АС
не пересекает прямую. Значит, точка С лежит в той же полу-
плоскости, что и А. Отрезок АВ пересекает прямую. Значит,
5
а/ , точка В лежит в другой полуплоскос-
/	7 ти. Таким образом, точки В и С лежат
/	7 в разных полуплоскостях. А это зна-
у у чит, что отрезок ВС пересекает нашу
А 7	л /у	t прямую.
А /	А /	b —	~	—
У	—у---------- Посмотрите на рисунок 9, а. Вы ви-
7 а) / б) дите прямую а и точку А на ней. Возь-
рис 9	мем на прямой а какую-нибудь другую
точку В. Полупрямой или лучом АВ на-
зывается часть прямой а, точками которой являются точка
В и каждая точка этой прямой, лежащая вместе с точкой В по
одну сторону от точки А. Точка А называется начальной
точкой полупрямой АВ. Различные полупрямые одной пря-
мой с общей начальной точкой называются дополнительными.
1.2. Любые две точки луча не разделяются его начальной
точкой.
Поясним это. Через точку А проведем любую прямую &,
отличную от прямой а (рис. 9, б). Она разбивает плоскость
на две полуплоскости, в одной из них лежит точка В. Возьмем
на луче АВ какие-нибудь точки X и Y. Точка А пересечения
прямых а и & не разделяет точки X и В, поэтому обе они ле-
жат в одной полуплоскости. То же справедливо для точки Y.
А значит, любые две точки луча X и Y лежат в одной полу-
плоскости, в которой лежит точка В. Поэтому отрезок XY
не пересекается е прямой 6. Значит, любые две точки X, Y
луча АВ не разделяются точкой А.
Полупрямая обозначается двумя точками —начальной
и еще какой-нибудь точкой, принадлежащей полупрямой.
При этом начальная точка ставится на первом месте. Можно
обозначать полупрямые строчными латинскими буквами.
Например, луч на рисунке 9, а обозначается так: а, АВ.
Задача (12). На отрезке АВ взята точка С. Среди
полупрямых АВ, АС, С А и СВ назовите пары совпадающих
полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ.
Решение. Рассмотрим полупрямые с начальной точкой А
(полупрямые АВ и АС}. Точка С лежит между точками А и В,
так как по условию задачи принадлежит отрезку АВ. Значит,
точка А не лежит между В и С, т. е. В и С лежат по одну сторо-
ну от точки А. Поэтому полупрямые АВ и АС совпадают.
Рассмотрим теперь полупрямые с начальной точкой С
(полупрямые СА м. СВ). Точка С разделяет точки А и В.
6
Поэтому точки А и В не могут принадлежать одной полу-
прямой, а значит, полупрямые С А и СВ дополнительные.
Основные свойства измерения отрезков и углов
Для измерения отрезков применяются различные измери-
тельные инструменты. Простейшим таким инструментом яв-
ляется линейка с делениями на ней. На рисунке 10 отрезок
АВ равен 10 см, отрезок АС равен 6 см, а отрезок ВС равен
4 см. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.
Основными свойствами измерения отрезков
мы будем называть следующие свойства.
III1. Каждый отрезок имеет определенную длину, боль-
шую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на кото-
рые он разбивается любой его точкой.
Это значит, что если на отрезке АВ взять любую точку С,
то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.
Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точ-
ками А и В.
Задача (15 и 17). Три точки А, В, С лежат на одной
прямой. Известно, что АВ = 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС —
— 3,2 ем. Может ли точка А лежать между В и С? Может ли
точка С лежать между А и В? Какая из трех точек А, В, С
лежит между двумя другими?
Решение. Если точка А лежит между В и С, то по
свойству измерения отрезков должно быт* АВ 4- АС — ВС.
Но 4,3 + 7,5	3,2. Значит, точка А не лежит между В и С.
Если точка С лежит между А м. В, то должно быть АС +
ВС = АВ, но 7,5 + 3,2	4,3. Значит, точка С не лежит
между А и В.
Из трех точек на прямой А, В, С одна точка лежит между
двумя другими. Значит, этой точкой является В.
Углом называется, фигура, которая состоит из двух раз-
личных полупрямых с общей начальной точкой. Эта точка
называется вершиной угла, а полупрямые — сторонами угла.
Если стороны угла являются
дополнительными полупрямы-
ми одной прямой, то угол на-
зывается развернутым.
На рисунке 11 вы видите
угол с вершиной О и сторона-
Рис. 10
ми a, b. Угол обозначается ли-
бо указанием его вершины, ли-
бо указанием его сторон, либо
указанием трех точек: вер-
шины и двух точек на сторо-
нах угла. Слово «угол» иногда
заменяют значком ZL. Угол
на рисунке 11 можно обоз-
начить тремя способами: Z.O,
ZL(ab), /LAOS. При третьем
способе обозначения угла
буква, обозначающая верши-
ну, ставится посередине.
Посмотрите на рисунок
12. Мы будем говорить, что
луч с проходит между сторо-
нами угла (ab), если он исхо-
дит из его вершины и пере-
секает какой-нибудь отрезок
с концами на сторонах
угла.
В случае развернутого угла мы считаем, что любой
луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон,
проходит между сторонами угла.
Углы измеряются в градусах при помощи транспортира.
На рисунке 13 угол (ab) равен 120°, полупрямая с проходит
между сторонами угла (ab). Угол (ас) равен 90е, а угол (Ьс)
равен 30е. Угол (ab) равен сумме углов (ас) и (Ьс).
Основными свойствами измерения углов мы
будем называть следующие свойства.
III2. Каждый угол имеет определенную градусную меру,
большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера
угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разби-
вается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла
(ab), то угол (ab) равен сумме углов (ас) и (Ьс).
Задача (26). Может ли луч с проходить между сторона-
ми угла (ab), если Z_(ac) = 30°, Z_(cb) = 80е, Z_(ab) = 50°?
Решение. Если луч с проходит между сторонами угла
(ab), то по свойству измерения углов zL(ac) + zL(cb) = ZL(ab).
8
Рис. 15
Рис. 14
Но 30 + 80 #= 50. Значит,
луч с не может проходить
между сторонами угла (ab).
Основные свойства отклады-
вания отрезков и углов
Посмотрите на рисунок 14.
Здесь показано, как с помо-
щью линейки на полупрямой
а с начальной точкой А мо-
жно отложить отрезок данной
длины (3 см).
Посмотрите на рисунок 15.
Полупрямая а, будучи про-
должена за начальную точку
А, разбивает плоскость на
две полуплоскости. На ри-
сунке показано, как с помо-
щью транспортира отложить
от полупрямой а в верхнюю
полуплоскость угол с данной
градусной мерой (60°).	<3
Основными свойствами откладывания от-
резков и углов мы будем называть следующие свойства.
IV1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно
отложить отрезок заданной длины и только один.
IV 2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость
можно отложить угол с заданной градусной мерой и только
один.
Задача (35). На луче АВ отложен отрезок АС, мень-
ший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между
двумя другими? Объясните ответ.
Решение. Так как точки В и С лежат на одной полу-
прямой с начальной точкой А, то они не разделяются точкой А,
т. е. точка А не лежит между В и С. Может ли точка В ле-
жать между АиС? Если бы она лежала между А и С, то было
бы АВ + ВС = АС. Но это невозможно, так как по условию
отрезок АС меньше отрезка АВ. Значит, точка В не лежит
между А и С. Из трех точек А, В, С одна лежит между дву-
мя другими. Поэтому точка С лежит между А и В.
9
Существование треугольника, равного данному
Треугольником называется фигура, которая состоит из
трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно
соединяющих их отрезков. Точки называются вершинами
треугольника, а отрезки — его сторонами. На рисунке 16
вы видите треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ,
ВС, АС. Треугольник обозначается его вершинами. Вместо
слова «треугольник» иногда употребляют значок Д. Напри-
мер, треугольник на рисунке 16 обозначается так: ДАВС.
Углом треугольника АВС при вершине А называется угол,
образованный полупрямыми АВ и АС. Так же определяются
углы треугольника при вершинах В и С.
Два отрезка называются равными, если они имеют одина-
ковую длину. Два угла называются равными, если они имеют
одинаковую угловую меру в градусах. Треугольники АВС и
А^Сд называются равными, если у них ДА = ДАХ, ДВ =
= ДВХ, Z-C = А.Си АВ = А1В1, ВС = BiCx, АС = А^.
Кратко это выражают словами: треугольники равны, если у
них соответствующие стороны и соответствующие углы равны.
Для обозначения равенства треугольников употребляется
обычный знак равенства =. Запись ДАВС —	чи-
тается: «треугольник АВС равен треугольнику А^В^С^ъ.
При этом имеет значение порядок, в котором записываются
вершины треугольника. Равенство ДАВС — AAiByCi озна-
чает, что ДА — А.В = ДВХ,... .Аравенство ДАВС =
= ABjAxCx означает уже совсем другое: ДА = ДВ!, ДВ =
= ДАХ.......
Задача (41). Треугольники АВС и PQR равны. Из-
вестно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему
равны сторона PQ и угол В? Объясните ответ.
к
Решение. Так как треугольники АВС и PQR равны,
то у них Z.C = АЛ, АВ = PQ. Значит, PQ = 10 м, АЛ. «
= 90°.
Пусть мы имеем треугольник АВС и луч а (рис. 17). Пе-
реместим треугольник АВС так, чтобы его вершина А совме-
стилась с началом луча а, вершина В попала на луч я, а вер-
шина С оказалась в заданной полуплоскости, определяемой
лучом а и его продолжением. Вершины нашего треугольника
в этом новом положении обозначим А1г Blt Сх. Треугольник
А1В1С1 равен треугольнику АВС. Существование треуголь-
ника Л1В1С1, равного треугольнику АВС и расположенного
указанным образом относительно заданного луча а, мы отно-
сим к числу основных свойств простейших фигур.
Это свойство мы формулируем следующим образом.
IV s. Каковы бы ни. были треугольник и полупрямая, су-
ществует треугольник, равный данному, у которого первая
вершина лежит в начале полупрямой, вторая — на полупря-
мой, а третья — в заданной полуплоскости относительно по-
лупрямой и ее продолжения.
Основное свойство параллельных прямых
Две прямые на плоскости называются параллельными,
если они не пересекаются. При этом прямые считаются не-
ограниченно продолженными в обоих направлениях.
На рисунке 18 показано, как с помощью угольника и ли-
нейки можно провести через данную точку В прямую Ъ, па-
раллельную данной прямой а.
Для обозначения параллельности прямых употребляется
значок ||. Запись а || Ъ читается: «прямая а параллельна пря-
мой б».
Основное свойство парал-
лельных прямых состоит в следующем.
V. Через точку, не лежащую на дан-
ной прямой, можно провести на плоско-
сти не более одной прямой, параллельной
данной.
Задача (43). Может ли прямая,
пересекающая одну из параллельных
прямых, не пересекать другую? Объясни-
те ответ.
11
Решение. Обозначим через а и Ъ
две параллельные прямые, а через с обоз-
начим прямую, пересекающую одну из
прямых а или &, например а. Обозначим
через А точку пересечения прямых аис
(рис. 19). Если бы прямая с не пересека-
ла прямую &, то через точку А проходили бы две прямые, не
пересекающие прямую &, — прямая а и прямая с. Но по
свойству параллельных прямых это невозможно. Значит,
прямая с, пересекая прямую а, должна пересекать и прямую Ъ.
Аксиомы, теоремы и доказательства
Правильность утверждения о свойстве той или иной гео-
метрической фигуры устанавливается путем рассуждения.
Это рассуждение называется доказательством. Предложе-
ние, выражающее свойство геометрической фигуры, которое
доказывается, называется теоремой. Приведем пример.
Теорема 1.3. Если прямая, не проходящая ни через одну
из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то
она пересекает только одну из двух других сторон.
Доказательство. Пусть прямая а не проходит
ни через одну из вершин треугольника АВС и пересекает его
сторону АВ (рис. 20). Прямая а разбивает плоскость на две
полуплоскости. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях,
так как отрезок АВ пересекается с прямой а. Точка С лежит
в одной из этих полуплоскостей. Если точка С лежит в одной
полуплоскости с точкой А 9 то отрезок АС не пересекается с
прямой а, а отрезок ВС пересекается с
этой прямой (рис. 20, а). Если точка С
лежит в одной полуплоскости с точкой
В, то отрезок АС пересекается с прямой а,
а отрезок ВС не пересекается (рис. 20. б).
В обоих случаях прямая а пересекает
только один из отрезков АС или ВС. Вот
и все доказательство.
Основные свойства простейших фигур,
сформулированные в данном параграфе,
являются отправными в доказательствах
других свойств. Основные свойства не
доказываются и называются аксиомами.
12
При доказательстве теорем разрешается пользоваться
основными свойствами простейших фигур, т. е. аксиомами,
а также свойствами, уже доказанными, т. е. доказанными тео-
ремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они
нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя.
При доказательстве теорем разрешается пользоваться
чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем
слонами. Не разрешается использовать в рассуждении свой-
ства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосно-
вать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее.
Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей.
В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называет-
ся условием теоремы. В другой части говорится о том, что
должно быть доказано. Эта часть называется заключением
теоремы. Условие теоремы 1.3 состоит в том, что прямая не
проходит ни через одну из вершин треугольника и пересекает
одну из его сторон. Заключение теоремы состоит в том, что
эта прямая пересекает только одну из двух других сторон
треугольника.
В этом параграфе, кроме основных свойств простейших
фигур, отмечены другие свойства: 1.1 и 1.2. Эти свойства по-
лучены нами путем рассуждений с помощью основных свойств,
т. е. аксиом. Значит, они являются теоремами.
Вопросы для повторения
1.	Что такое геометрия?
2.	Приведите примеры геометрических фигур.
3.	Что такое планиметрия?
4.	Назовите основные геометрические фигуры на плоско-
сти.
5.	Каким чертежным инструментом пользуются для прове-
дения прямых?
6.	Как обозначаются точки и прямые?
7.	Какие точки, отмеченные на рисунке 4, лежат на прямой
а, какие точки — на прямой &? В какой точке прямые а
и Ъ пересекаются?
8.	Сформулируйте основные свойства принадлежности то-
чек и прямых.
9.	Объясните, почему две различные прямые не могут иметь
двух точек пересечения.
13
10.	Какая из трех точек на рисунке 6 разделяет две другие?
Как расположены точки В и С относительно точки А?
11.	Объясните, что такое отрезок с концами А и В.
12.	Сформулируйте основные свойства расположения точек
на прямой и на плоскости.
13.	Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две
полуплоскости?
14.	Объясните, почему любые две точки луча не разделяются
его начальной точкой.
15.	Каким инструментом пользуются для измерения от-
резков?
16.	Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.
17.	Какая фигура называется углом?
18.	Какой угол называется развернутым?
19.	Как обозначается угол?
20.	Объясните, что означает выражение: полупрямая про-
ходит между сторонами угла.
21.	В каких единицах измеряются углы и с помощью какого
инструмента? Объясните, как проводится измерение.
22.	Сформулируйте основные свойства измерения углов.
23.	Сформулируйте основные свойства откладывания отрез-
ков и углов.
24.	Что такое треугольник?
25.	Назовите вершины и стороны треугольника на рисунке 16.
26.	Какие отрезки называются равными?
27.	Какие углы называются равными?
28.	Что означает выражение: треугольник АВС равен тре-
угольнику А1В1С1?
29.	Какие прямые называются параллельными?
30.	Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.
31.	Что такое геометрическое доказательство?
32.	Что такое теорема?
33.	Приведите пример теоремы и ее доказательства.
84.	Сформулируйте аксиомы принадлежности точек и пря-
мых.
85.	Сформулируйте аксиомы измерения отрезков и уг-
лов.
36.	Сформулируйте аксиомы откладывания отрезков и углов.
37.	Сформулируйте аксиому существования треугольника,
равного данному.
38.	В чем состоит аксиома параллельных?
14
89. Какими свойствами геометрических фигур разрешается
пользоваться при доказательстве теоремы?
40. Как используется чертеж при доказательстве теоремы?
41. Из каких двух частей состоит формулировка теоремы?
Упражнения1
1.	Проведите прямую. Отметьте какую-нибудь точку А, ле-
жащую на прямой, и точку В, не лежащую на прямой.
2.	Проведите две пересекающиеся прямые а и Ъ. Отметьте
точку С пересечения прямых, точку А на прямой а, не
лежащую на прямой Ь, точку D, не лежащую ни на одной
из прямых а и &.
3.	Отметьте на листе бумаги две точки. Проведите через
них от руки прямую. С помощью линейки проверьте пра-
вильность построения. Повторите упражнение.
4.	Отметьте на листе бумаги две точки. Отметьте теперь
третью точку на глаз так, чтобы она лежала на прямой,
проходящей через первые две точки. Проверьте правиль-
ность построения с помощью линейки. Повторите упраж-
нение.
5.	Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-ни-
будь точки А и. В. Отметьте теперь точку С так, чтобы
точка А лежала между В и С.
6.	Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-
нибудь точки А и В. Отметьте теперь какую-нибудь точку
С отрезка АВ.
7.	Проведите прямую и отметьте какую-нибудь точку А,
не лежащую на этой прямой. Отметьте теперь две точки В
и С так, чтобы отрезок АВ пересекал прямую, а отрезок
ВС не пересекал ее.
8.	Даны прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой
прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а
отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отре-
зок ВС? Объясните ответ.
9.	Даны прямая и четыре точки, не лежащие на этой пря-
мой: А, В, С, D. Известно, что отрезки АВ, ВС и CD
пересекают прямую. Пересекает ли прямую отрезок AD?
Объясните ответ.
1 Многие упражнения настоящего учебника заимствованы из школьных
учебников и задачников прошлых лет, в особенности из «Геометрии» А. П. Ки-
селева и «Сборника задач по геометрии» Н. Рыбкина.
15
10.	Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну
из этих точек. Известно, что три точки расположены в
одной полуплоскости относительно этой прямой, а две
точки — в другой полуплоскости. Каждая пара точек
соединена отрезком. Какое число отрезков пересекает
прямую? Объясните ответ.
11.	Отметьте две точки А и В. Проведите полупрямую АВ.
12.	На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ,
АС, С А и СВ назовите пары совпадающих полупрямых,
дополнительных полупрямых. Объясните ответ.
13.	Точка М лежит на прямой CD между точками С и В. Най-
дите длину отрезка CD, если СМ = 2,5 см и MD =3,5 см.
14.	Отметьте на прямой две точки А и В. Отметьте на глаз
середину отрезка АВ. Проверьте правильность построе-
ния измерениями с помощью линейки. Повторите упраж-
нение.
15.	Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно,
что АВ = 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС — 3,2 см. Может ли
точка А лежать между В и С? Может ли точка С лежать
между А и В?
16.	Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В
принадлежать отрезку АС, если АС = 5 см, а ВС =
= 7 см? Объясните ответ.
17.	Какая из трех точек А, В, С в задаче 15 лежит между
двумя другими?
18.	Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если
АВ — 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ.
19.	Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой,
если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин
отрезков АС и ВС? Объясните ответ.
20.	Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину
отрезка ВС, если АВ = 2,7 м, АС — 3,2 м. Сколько реше-
ний имеет задача?
21.	На отрезке АВ взята точка С. Какой отрезок длиннее:
АВ или АС? Почему?
22.	На отрезке АВ длиной 20 м отмечена точка С. Известно,
что отрезок АВ на 6 м длиннее отрезка ВС. Найдите дли-
ны отрезков АС и ВС.
23.	На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Известно,
что отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС. Чему
равны длины отрезков АС и ВС?
1в
24.	Проведите из одной точки три произвольных луча. Опре-
делите на глаз углы, образуемые этими лучами. Про-
верьте ваши ответы, измеряя углы транспортиром. По-
вторите упражнение.
25.	Луч о проходит между сторонами угла (cd). Угол (ас) равен
35°, а угол (ad) равен 75°. Найдите угол (cd).
26.	Может ли луч с проходить между сторонами угла (ab),
если Z_(ac) = 30°, А(с&) = 80°, А.(аЪ) = 50°?
27.	Может ли луч с проходить между сторонами угла (ab),
если угол (ас) больше угла (аЬ)?
28.	Луч с проходит между сторонами угла (аЬ). Какой угол
больше: Z_(a&) или Z_(ac)? Почему?
29.	Между сторонами угла (аб), равного 70°, проходит луч
с. Найдите углы (ас) и (Ьс), если известно, что угол (ас)
на 30° больше угла (Ьс).
30.	Между сторонами угла (ab), равного 60°, проходит луч.
с. Найдите углы (ас) и (Ьс), если угол (ас) в два раза
больше угла (Ьс).
31.	Проведите прямую. Отметьте на ней какую-нибудь точ-
ку А. А теперь отметьте на глаз точку В этой прямой
так, чтобы АВ = 5 см. Проверьте точность построения
точки В линейкой. Повторите упражнение для АВ =
= 3 см, АВ = 7 см, АВ = 10 см.
32.	Постройте на глаз углы 30°, 45°, 60°, 90°. Проверьте
точность построения транспортиром. Повторите упраж-
нение.
33.	Существует ли на полупрямой АВ такая точка X, от-
личная от В, что АХ — АВ? Объясните ответ.
34.	Сколько существует точек X на прямой АВ, отличных
от В, для которых АХ = АВ? Объясните ответ.
35.	На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ.
Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя дру-
гими? Объясните ответ.
36.	На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка
ВС, если АВ = 1,5 м, АС = 0,3 м.
37.	Постройте на глаз треугольник с равными сторонами
(равносторонний треугольник). Проверьте точность по-
строения измерением сторон.
38.	На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему
равна сторона АВ треугольника, если AD = 5 см, а
BD — 6 см?
17
39.	На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему
равен угол С треугольника, если A.ACD = 30°, а
Z.BCD = 70°?
40.	Начертите какой-нибудь треугольник. Постройте от ру-
ки, на глаз, равный ему треугольник. Проверьте пра-
вильность построения, измеряя соответствующие углы
и стороны. Повторите упражнение.
41.	Треугольники АВС и PQB равны. Известно, что сторо-
на АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сто-
рона PQ и угол В? Объясните ответ.
42.	Треугольники ABC, PQB и XYZ равны. Известно, что
АВ = 5 см, QR = 6 см, ZX = 7 см. Найдите остальные
стороны каждого треугольника.
43.	Может ли прямая, пересекающая одну из параллельных
прямых, не пересекать другую? Объясните ответ.
44.	Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести
третью, параллельную каждой из данных прямых?
45.	Может ли прямая пересекать все три стороны данного
треугольника? Объясните ответ.
46.	Отрезки АВ и АС пересекают данную прямую. Пересе-
кает ли эту прямую отрезок ВС?
§ 2. УГЛЫ
Смежные углы
Два угла называются смежными, если у них одна сторона
общая, а другие стороны этих углов являются дополнитель-
ними полупрямыми. На рисунке 21 уг-
лы (ахЬ) и (а2Ь) смежные.
Пусть С — точка на прямой АВ, ле^
жащая между точками А и В, a D — точ-
ка, не лежащая на прямой АВ (рис. 22).
Тогда углы BCD и ACD смежные. У них
сторона CD общая. Стороны С А и СВ яв-
ляются дополнительными полупрямы-
ми прямой АВ, так как точки А и В
этих полупрямых разделяются началь-
ной точкой С.
Т е о р е м а 2.1. Сумма смежных уг-
лов равна 180°.
Доказательство. Пусть
Рис. 22
13
/_(а1Ь) и ZJflzb) — данные смежные углы (см. рис. 21). Луч Ъ
проходит между сторонами ах и а2 развернутого утла. Поэто-
му сумма углов {агЬ) и (а2Ь) равна развернутому углу,
т. е. 180°. Теорема доказана.
Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смеж-
ные с ними углы равны.
Задача (3). Найдите смежные углы, если один из них
в два раза больше другого.
Решение. Обозначим градусную меру меньшего из
углов через х. Тогда градусная мера большего угла будет
2х. Сумма углов равна 180°. Итак, х 4- 2х = 180. Отсюда
х — 60. Значит, наши смежные углы равны 60е и 120е.
Угол, равный 90°, называется прямым углом. Из теоремы
2.1 следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой
угол.
Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, боль-
ший 90°, называется тупым. Так как сумма смежных углов
равна 180°, то угол, смежный с острым, — тупой, а смежный
с тупым — острый.
Вертикальные углы
Два угла называются вертикальными, если стороны одно-
го угла являются дополнительными полупрямыми сторон
другого. На рисунке 23 углы (ахЬ1) и (а2&2) являются верти-
кальными.
Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (Oi&i) и (а2Ь2) — дан-
ные вертикальные углы (рис. 23). Угол (ах&2) является смеж-
ным с углом («1&1) и углом (а2&2). Отсюда по теореме 2.1 за-
ключаем, что каждый из углов (fljbj) и (а2&2) дополняет угол
(ахЬ2) до 180°, т. е. углы и (а2&2) равны. Теорема дока-
зана.
Задача (9). Сумма двух углов, которые получаются
при пересечении двух прямых, равна 50°. Найдите каждый
из этих углов.
Решение. Два угла, которые	✓
получаются при пересечении двух пря-	д S' 1
мых, либо смежные, либо вертикальные. —-...мС---
Наши углы не могут быть смежны- 2	1
ми, так как их сумма равна 50°, Уог
а сумма смежных углов равна 180°.	рис. 23
19
Значит, они вертикальные. Так как вертикальные углы рав-
ны, а по условию их сумма 50°, то каждый из углов ра-
вен 25°.
Перпендикулярные прямые
Пусть а и Ь — две пересекающиеся прямые (рис. 24).
При пересечении этих прямых образуются четыре угла.
Пусть а — один из этих углов. Тогда любой из остальных
трех углов будет либо смежным с углом а, либо вертикаль-
ным с углом а. Отсюда следует, что если один из углов
прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае
мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом,
и называем их перпендикулярными. Перпендикулярность
прямых обозначается значком ±. Запись а ± Ъ читается:
«прямая а перпендикулярна к прямой &».
Теорема 2.3. Через каждую точку прямой можно про-
вести перпендикулярную к ней прямую и только одну.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и
А — данная точка на ней. Обозначим через Oj одну из полу-
прямых прямой а с начальной точкой А (рис. 25). Отложим от
полупрямой Oj угол (Oibi), равный 90°. Тогда прямая, содер-
жащая луч Ьи будет перпендикулярна к прямой а.
Допустим, что, кроме построенной
прямой, существует другая прямая,
тоже проходящая через точку А и пер-
пендикулярная к прямой а. Обозна-
чим через сх полупрямую этой пря-
мой, лежащую в одной полуплоскости
с лучом Ьх.
Углы (Oibi) и (ajcj), равные 90° каж-
дый, отложены в одну полуплоскость
ОТ полупрямой ах. Но от полупря-
мой ах в данную полуплоскость мож-
но отложить только один угол, рав-
ный 90°. Поэтому не может быть дру-
гой прямой, проходящей через точ-
ку А и перпендикулярной к прямой а.
Теорема доказана.
20
Доказательство от противного
Способ доказательства, который мы применили в теоре-
ме 2.3, называется доказательством от противного. Этот
способ доказательства состоит в том, что мы делаем сначала
предположение, противоположное тому, что утверждается тео-
ремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и
уже доказанные теоремы, приходим к выводу, противореча-
щему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо до-
казанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что
наше предположение было неверным, а значит, верно утвер-
ждение теоремы.
Поясним это на примере доказательства теоремы 2.3.
Теоремой утверждается, что через каждую точку прямой мож-
но провести только одну перпендикулярную к ней прямую.
Допустив, что таких прямых можно провести две, мы пришли
к выводу, что от данной полупрямой в данную полуплоскость
можно отложить два угла с одной и той же градусной мерой
(90°). А это противоречит аксиоме откладывания углов. Со-
гласно этой аксиоме от данной полупрямой в данную полу-
плоскость можно отложить только один угол с данной гра-
дусной мерой.
Углы, отложенные в одну полуплоскость
Теорема 2.4. Если от данной полупрямой отложить в
одну полуплоскость два угла, то сторона меньшего угла, от-
личная от данной полупрямой, проходит между сторонами
большего угла.	\
Доказательство. Пусть Z_(ab) и Z_(ac) — углы,
отложенные от данной полупрямой а в одну полуплоскость, и
пусть угол (ab) меньше угла (ас) (рис. 26). Докажем, что луч 6
проходит между сторонами угла (ас).
Обозначим через at полупрямую, дополнительную к а.
Отметим на луче а какую-нибудь точку А, на луче — точ-
ку В и на луче с — точку С.
Прямая, содержащая луч Ъ, пересекает сторону АВ тре-
угольника АВС, а значит, пересекает одну из двух других
его сторон АС или ВС. Пересечение производится лучом Ь,
так как дополнительный луч лежит в другой полуплоскости.
Если бы луч Ь пересекал отрезок ВС, то он проходил бы
между сторонами угла (а^с) (рис. 26, а). Тогда по аксиоме
21
измерения углов	= Z_(avb) 4- Z_(bc). Значит, угол
(ахс) больше угла (ахЬ). А для смежных им углов было бы-
Z.(ac) < Z_(ab), что противоречит условию теоремы. Итак,
луч b пересекает отрезок АС (рис. 26, б), т. е. проходит меж-
ду сторонами угла (ас). Теорема доказана.
Задача (17). От полупрямой а в различные полупло-
скости отложены углы Z_(ab) = 80° и Z_(ac) =70°. Найдите
угол (Ьс).
Решение. Обозначим через ct луч, дополнительный к
лучу с (рис. 27). Лучи Ъ и сх лежат в одной полуплоскости
относительно прямой а. По свойству смежных углов Z.(acx) =
= 180° — Z_(ac) = 110°, т. е. угол (асх) больше угла (ab) =
= 80°. Тогда по теореме 2.4 луч Ъ проходит между сторонами
угла (асх). Значит, zL(bcx) = Z-(ac^ — Z-(ab) — 110° — 80° =
— 30°. Углы (Ьсх) и (Ьс) смежные. Поэтому Z-(bc) = 180° —
— Z_(bcx) = 150°.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из
его вершины, проходит между его сторонами и делит угол
пополам.
Задача (21). Докажите, что угол между биссектри-
сами смежных углов равен 90°.
Решение. Пусть Z_(ab) и Z_(axb) — смежные углы и
с, сх — их биссектрисы
угол (ас). Имеем:
(рис. 28). Выразим угол (асх) через
Z_(acx) = 180° — Z_(axcx) =
= 180° —-iz_(axb) =
= 180° — - [180° — Z.(ab)] =
2
= 180° — 90° + ~ Z_ (ab) =
= 90° + zL(ac).
22
Итак, от полупрямой а в одну полуплоскость отложены
углы Z.(aCj) = А.(ас) + 90° и Л.(ас). По теореме 2.4 луч с прохо-
дит между сторонами угла (acj). Поэтому Z_(ac) 4- 90’=Z. (ас) 4-
4- / (ccj), т. е. Z. (ссО = 90°. Что и требовалось доказать.
Вопросы для повторения
1.	Какие углы называются смежными?
2.	Объясните, почему углы DCA и DCB на рисунке 22
смежные.
3.	Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
4.	Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними
углы также равны.
5.	Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
6.	Докажите, что угол, смежный прямому, есть прямой
угол.
7.	Какие углы называются вертикальными?
8.	Докажите, что вертикальные углы равны.
9.	Докажите, что если при пересечении двух прямых один
из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
10.	Какие прямые называются перпендикулярными?
11.	Докажите, что через любую точку прямой можно прове*
сти перпендикулярную к ней прямую и только одну.
12.	Объясните, в чем состоит доказательство от противного.
13. Докажите теорему об углах, отложенных в одну полу-
плоскость.
14.	Что называется биссектрисой угла?
Упражнения
1.	Найдите углы, смежные с углами: 30’, 45’, 60’, 90°.
2.	Могут ли два смежных угла быть оба острыми (тупыми,
прямыми)? Обоснуйте ответ.
3.	Найдите смежные углы, если один из них в два раза
больше другого.
4.	Найдите смежные углы, если один из них на 30’ больше
другого.
5.	Разность смежных углов равна 40°. Найдите эти углы.
6.	Найдите смежные углы, если один из них в три раза
меньше другого.
7.	Один из углов, которые получаются при пересечении
двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы?
8.	Чему равен угол, если два смежных с ним угла составля-
ют в сумме 100°?
23
9.	Сумма двух углов, которые получаются при пересечении
двух прямых, равна 50°. Найдите каждый из этих углов.
10.	Найдите углы, которые получаются при пересечении
двух прямых, если сумма трех из этих углов равна 270®.
11.	Из вершины развернутого угла (ааг) проведены в одну
полуплоскость лучи Ъ и с. Может ли луч с проходить
между сторонами угла (ab), если Z_(ab) = 40°, a /-(ас) =
= 50°?
12.	Может ли луч с проходить между сторонами угла (ab),
если углы (ас) и (Ьс) тупые?
13.	Из вершины развернутого угла (aaj проведены в одну
полуплоскость лучи & и с. Чему равен угол (Ьс), если
/-(ab) = 50®, /.(ас) = 70°?
14.	Решите задачу 13, если /.(а^Ь) = 50°, /.(ас) = 70®.
15.	Из вершины развернутого угла (aaj проведены лучи Ъ
и с в одну полуплоскость. Известно, что /_(аЪ) = 60®,
а /.(ас) = 30®. Найдите углы (ajb), (atc) и (be).
16.	Из вершины развернутого угла (aaj проведены лучи Ъ
и с в одну полуплоскость. Известно, что /.(ab) — 60®,
zL(a1c) = 30®. Найдите угол (Ьс).
17.	От полупрямой а в разные полуплоскости отложены
углы /_(аЪ) = 80° и /-(ас) = 70°. Найдите угол (Ьс).
18.	Решите задачу 17, если /.(ab) — 80°, /-(ас) = = 170®.
19.	Найдите угол между биссектрисой и стороной угла в 30°?
20.	Найдите угол, если его биссектриса и сторона образуют
угол в 60°.
21.	Докажите, что угол между биссектрисами смежных углов
равен 90°.
22.	Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на
одной прямой.
23.	Найдите угол между биссектрисой угла в 50® и продолже-
нием одной из его сторон.
24.	Найдите угол между биссектрисой прямого угла и про-
должением его стороны.
§ 3. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Первый признак равенства треугольников
Теорема 3.1 (признак равенства треугольников по двум
сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол меж-
ду ними одного треугольника равны соответственно двум сто-
24
ронам и углу между ними другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Доказательство. Пусть у треугольников АВС
и АХВХСХ Z.A = Z.AX, АВ = АХВХ, AC = AjCi (рис. 29).
Докажем, что треугольники равны, т. е. докажем, что /_В =
= А£х, zLC = Z_CX. ВС = ВгСг.
По аксиоме существования треугольника, равного дан-
ному, существует треугольник А^В^С^, равный треуголь-
нику АВС, у которого вершина В2 лежит на луче Aj.Blt а
вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной Сх
относительно прямой АХВХ. Так как АХВХ = АХВ2, то по ак-
сиоме откладывания отрезков точка В2 совпадаете Вх. Так как
Z-BX.AXCX = Z_B2AXC2, то по аксиоме откладывания углов
луч АХС2 совпадает с лучом А^С^. И так как А& « АХС2,
то вершина С2 совпадает с Сх. Итак, треугольник АХВХСХ сов-
падает с треугольником АХВ2С2, а значит, равен треугольнику
АВС. Теорема доказана.
Задача (1). Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О,
которая является серединой каждого из них. Чему равен от-
резок BD, если отрезок АС = 10 м?
Решение. Треугольники АОС и BOD равны по пер-
вому признаку равенства треугольников (рис. 30). У них
углы АОС и BOD равны как вертикальные, О А = О В и
ОС — OD потому, что точка О является серединой отрезков
АВ и CD. Из равенства треугольников АОС и BOD следует
равенство их сторон АС и BD. А так как по условию задачи
АС = 10 м, то и BD — 10 м.
Второй признак равенства треугольников
Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по
стороне и прилежащим к ней углам).Если сторона и прилежащие
к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне
25
и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Доказательство. Пусть АВС и AiB^C^ — два
треугольника, у которых АВ = Z.A = /-А^ и Z_B =
= Z-Bx (рис. 31). Докажем, что треугольники равны, т. е.
докажем, что АС — АгСц ВС = B^Ci и Z_C = Z.Cx.
По аксиоме существования треугольника, равного дан-
ному, существует треугольник AiB2C2, равный треугольнику
АВС, у которого вершина В2 лежит на луче АгВг, а верши-
на С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной Сг относи-
тельно прямой AjBx. Так как АгВ2 == А^Вц то вершина В2
совпадает с Bt. Так как АВхАхСг = Z-BxAxCx, а A-AjBjCi =
= Z-AxBjCx, то по аксиоме откладывания углов луч АГС^
совпадает с лучом АГС2, а луч Bfix совпадает с лучом ВХС2.
Отсюда следует, что вершина С2 совпадает с Сх. Итак, тре-
угольник AiBxCi совпадает с треугольником АХВ2С2, а зна-
чит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.
Равнобедренный треугольник
Треугольник называется равнобедренным, если у него
две стороны равны. Эти равные стороны называются боко-
выми сторонами, а третья сторона называется основанием
треугольника. На рисунке 32 изображен равнобедренный
треугольник с боковыми сторонами АС, ВС и основанием АВ.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется
равносторонним.
Теорема 3.3. б равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
Доказательство. Пусть АВС — равнобедренный
треугольник с основанием АВ (см. рис. 32). Докажем, что
у него Z.A = Z.B. Треугольник САВ равен треугольнику
СВА по первому признаку равенства треугольников. Дей-
Рис. 31
Рнс. 32
26
ствительно, СА — СВ, СВ = СА, А.С = Z-С. Из равенства
треугольников следует, что Z-A = Z_B. Теорема доказана.
Задача (13). Докажите, что у равностороннего тре-
угольника все углы равны.
Решение. Пусть АВС — данный треугольник с рав-
ными сторонами: АВ — ВС — СА. Так как АВ = ВС, то
этот треугольник равнобедренный с основанием АС. По тео-
реме 3.3 Z.C = Z_A. Так как ВС = СА, то треугольник АВС
равнобедренный с основанием АВ. По теореме 3.3 Z.A. —
= Z-В. Таким образом, Z.C = Z-A — Z-В, т. е. все углы
треугольника равны.
Теорема 3.4. Если у треугольника два угла равны, то он
равнобедренный.
Доказательство. Пусть АВС — треугольник, у
которого А.А = Z-В (см. рис. 32). Докажем, что он равно-
бедренный с основанием АВ. Треугольник АВС равен тре-
угольнику ВАС по второму признаку равенства треуголь-
ников. Действительно, АВ — BA, Z_B — Z-.A, Z_A — А.В.
Из равенства треугольников следует, что АС — ВС. Теорема
доказана.
Теорема 3.4 является обратной теореме 3.3. Заключение
теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие тео-
ремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая тео-
рема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то
обратная теорема может быть неверна. Поясним это на при-
мере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сфор-
мулировать так: если два угла вертикальные, то они равны.
Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны,
то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных
угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Задача (14). Сформулируйте и докажите теорему,
обратную утверждению задачи 13.
Решение. В задаче 18 условие состоит в том, что все
стороны треугольника равны, а заключение в том, что все
углы треугольника равны. Поэтому обратная теорема долж-
на формулироваться так. Если у треугольника все углы рав-
ны, то у него все стороны равны. Докажем эту теорему.
Пусть АВС — треугольник с равными углами: А.А =•
~ А.В = Z.C. Так как Z.A = Z_B, то по теореме 3.4 АС =»
~ СВ. Так как ZJB — Z_C, то по теореме 3.4 АС = АВ.
Таким образом, АВ = АС = СВ, т. е. теорема доказана.
27
Медиана, биссектриса и высота треугольника
Пусть АВС — треугольник и D — точка на прямой АВ
(рис. 33). Отрезок CD называется высотой треугольника,
если прямые АВ и CD перпендикулярны. Отрезок CD на-
зывается медианой треугольника, проведенной к стороне
АВ, если точка!) есть середина отрезка АВ, т. е. AD —DB. От-
резок CD называется биссектрисой треугольника, если точ-
ка D лежит на стороне АВ is. полупрямая CD делит угол С
треугольника пополам, т. е. Z.ACD = Z-BCD.
Теорема 3.5. В равнобедренном треугольнике медиана,
проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство. Пусть АВС — данный равно-
бедренный треугольник с основанием АВ (рис. 34). Пусть CD—
медиана, проведенная к основанию. Треугольники CAD
и CBD равны по первому признаку равенства треугольников.
У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС
равнобедренный. Углы CAD и CBD равны по теореме 3.3.
Стороны AD и BD равны, потому что!)— середина отрезка АВ.
Из равенства треугольников следует равенство углов: Z-ACD —
= Z_BCD, Z-ADC = Z-BDC. Так как углы ACD и BCD
равны, то CD — биссектриса. Так как углы ADC и BDC
смежные и равны, то они прямые, поэтому CD — высота
треугольника. Теорема доказана.
Задача (27). Докажите, что биссектриса равнобедрен-
ного треугольника, проведенная из вершины, противолежа-
щей основанию, является медианой и высотой.
Решение. Пусть АВС — равнобедренный треуголь-
ник с основанием АВ, a CD — его биссектриса (см. рис. 34).
Треугольники ACD и BCD равны по второму признаку. У
них стороны АС и ВС равны как боковые стороны равнобед-
ренного треугольника АВС; углы при вершине С равны по-
тому, что CD — биссектриса угла АС В, а углы при вершинах
АиВ равны как углы при ос-
новании равнобедренного тре-
угольника АВС. Из равенства
треугольников следует равен-
ство сторон AD и BD. Зна-
чит, CD — медиана треуголь-
ника АВС. По теореме 3.5
она является и высотой.
28
Третий признак равенства треугольников
Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по
трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны
соответственно трем сторонам другого треугольника, то
такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть АВС и AlB^ — два
треугольника, у которых АВ «= А^, АС — А^, ВС =
= B^i (рис. 35). Докажем, что треугольники равны.
Допустим, что треугольники АВС и А^В^С^ не равны. По
аксиоме существования треугольника, равного данному, су-
ществует треугольник АГВ2С2, равный треугольнику АВС,
у которого вершина В2 лежит на луче А^, а вершина С2
лежит в одной полуплоскости с вершиной Сх относительно
прямой A^Bi. Так как АХВХ = АХВ2, то точка В2 совпадает с
Bi. А так как по предположению треугольники АХВ2С2 и
AiBiCi не равны, то луч АгС2 не совпадает с лучом AxClt
а луч ВХС2 не совпадает с лучом ВХСХ.
Пусть D — середина отрезка СХС2. Треугольники AxCxCt
и ВХСХС2 равнобедренные с общим основанием С2С2. По тео-
реме 3.5 их медианы АХ_О и ВХВ являются высотами. Значит,
прямые АХВ и ВХВ перпендикулярны прямой СХС2. А так как
через точку D прямой СХС2 можно провести только одну пер-
пендикулярную к ней прямую (теорема 2.3), то эти прямые
должны совпадать. Но они различны, потому что точка D
по построению не лежит на прямой АХВХ. Мы пришли к про-
тиворечию. Теорема доказана.
Задача (28). У треугольников АВС и АХВХСХ АВ =
= АХВХ, АС = АХСХ, АС = АСХ = 90°. Докажите, что
А АВС = ААХВХСХ.
Решение. На продолжении стороны АС отложим отре-
зок CD, равный отрезку АС (рис. 36). Треугольники ABC H.DBC
равны по первому признаку.
У них углы при вершине С
прямые, а значит, равны, сто-
рона ВС общая, а стороны АС
и CD равны по построению.
Из равенства треугольников
следует равенство сторон АВ
иВВ.
Отложим на продолжении
стороны АХСХ отрезок СХВХ,
29
А С В A, Ct D,
Рис. 36
равный стороне АгСх. Так же, как
и только что, доказываем, что тре-
угольники .Ai-BiCx и Р1В1С1 рав-
ны. Из равенства треугольников
следует равенство сторон AiBt =
= PiBv
Теперь по третьему признаку
заключаем, что треугольники ABD
и. AiBtDi равны. У них АВ —
=А1В1 по условию; BD =B1D1, так как BD =AB,a.B1D1=ArBl,
наконец AD —А^В^, так как АС — АГСХ. Из равенства треуголь-
ников ABD и AlBiPi следует равенство их углов: /LA = А.АХ.
Теперь приходим к выводу о равенстве исходных треуголь-
ников АВС и AjBxCi по первому признаку. У них АВ = А^В^
AC — AtCt по условию, Z.A » AAi по доказанному.
Вопросы для повторения
1.	Какие отрезки называются равными?
2.	Какие углы называются равными?
3.	Что такое треугольник?
4.	Что значит: треугольник АВС равен треугольнику
AjBiCi?
5.	Сформулируйте и докажите первый признак равенства
треугольников.
6.	Сформулируйте и докажите второй признак равенства
треугольников.
7.	Какой треугольник называется равнобедренным (равно-
сторонним)? Какие стороны равнобедренного треуголь-
ника называются боковыми сторонами? Какая сторона
называется основанием?
8.	Докажите, что у равнобедренного треугольника углы
при основании равны.
9.	Докажите, что если у треугольника два угла равны, то
он равнобедренный.
10.	Объясните, что такое обратная теорема. Приведите при-
мер. Для всякой ли теоремы верна обратная?
11.	Объясните, что такое медиана, биссектриса и высота
треугольника.
12.	Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана,
проведенная к основанию, является биссектрисой и вы-
сотой.
80
13.	Сформулируйте и докажите третий признак равенства
треугольников»
Упражнения
1.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая яв-
ляется серединой каждого из них. Чему равен отрезок
BD, если отрезок АС = 10 м?
2.	Через середину отрезка АВ проведена прямая, перпен-
дикулярная к прямой АВ. Докажите, что каждая точка
этой прямой одинаково удалена от точек А та В.
3.	Из вершины С равнобедренного треугольника АВС с
основанием АВ отложены равные отрезки:	— на
стороне С А и	— на «тороне СВ. Докажите равенство
треугольников CABt и СВАГ.
4.	Докажите равенство треугольников АВВГ и ВААГ в
задаче 3.
5.	На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а
на стороне AiBi треугольника А^В^С^ взята точка Dt.
Известно, что треугольники ADC и AyDfiy равны и
отрезки DB и DiBi равны. Докажите равенство треуголь-
ников АВС и AiBiCx.
6. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя
точками А та В, между которыми
нельзя пройти с мерной цепью
(рис. 37), выбирают точку С, из
которой можно пройти к точке А
и к точке В и из которой видны
обе эти точки. Провешивают1 рас-
стояния АС и ВС, продолжают их
за точку С и отмеряют CD — АС
и ЕС — СВ. Тогда отрезок ED ра-
вен искомому расстоянию. Почему?
7.	Чтобы измерить на местности рас-
стояние между двумя точками А
и В, из которых одна (точка А)
недоступна, провешивают направ-
ление отрезка АВ (рис. 38) и на его
продолжении отмеряют произволь-
ный отрезок BE. Выбирают на
Отмечают направление шестами-вехами.
31
местности точку D, из которой видна точка А и мож-
но пройти к точкам В и Е. Провешивают прямые BDQ
и EDF и отмеряют FD = DE и DQ = BD. Затем
идут по прямой FQ, смотря на точку А, пока не найдут
такую точку Н, которая лежит на прямой AD. Тогда
HQ равно искомому расстоянию. Докажите.
8.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите
равенство треугольников АСО и DBO, если известно,
что угол АСО равен углу DBO и ВО — СО.
9.	Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Докажите
равенство треугольников ВАО и DCO, если известно,
что угол ВАО равен углу DCO и АО = СО.
10.	Периметр (сумма длин сторон) равнобедренного тре-
угольника равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Найдите
длину боковой стороны.
11.	Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м.
Его основание меньше боковой стороны на 3 м. Найдите
стороны.
12.	Решите задачу 11 в случае, когда основание больше
боковой стороны на 3 м.
13.	Докажите, что у равностороннего треугольника все
углы равны.
14.	Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверж-
дению задачи 13.
15.	На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки
Сх и С2. Докажите, что треугольник АВС равнобедрен-
ный, если треугольники ABCr и ВАС2 равны.
16.	Треугольники АССг и ВССг равны. Докажите, что тре-
угольники АВС и ABCi равнобедренные.
17.	Докажите, что середины сторон равнобедренного тре-
угольника являются также вершинами равнобедренного
треугольника.
18.	Докажите, что середины сторон равностороннего тре-
угольника являются также вершинами равностороннего
треугольника.
19.	Докажите, что у равнобедренного треугольника биссек-
трисы, проведенные из вершин при основании, равны;
медианы, проведенные из тех же вершин, тоже равны.
20.	Докажите, что у равных треугольников АВС и AjBiCi
медианы, проведенные из вершин А и Alt равны; биссек-
трисы, проведенные из вершин А и Ait равны.
32
21.	Точки А, В, С, D лежат на одной прямой, причем от-
резки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что
если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ,
то треугольник CDE — равнобедренный с основанием
CD.
22.	Докажите равенство треугольников по углу, биссек-
трисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
23.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена медиана ВМ. На ней взята точка К. Докажите,
что треугольники АВК и СВК равны.
24.	Докажите равенство треугольников АМК и СМК в за-
даче 23.
25.	На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Найди-
те длину отрезка CD, если периметры треугольников
ABC, ACD и BCD соответственно равны 50 м, 45 м и 35 м.
26.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр
треугольника АВС равен 50 м, а треугольника ABD —
40 м.
27.	Докажите, что биссектриса равнобедренного треуголь-
ника, проведенная из вершины, противолежащей осно-
ванию, является медианой и высотой.
28.	У треугольников АВС и A^Ci АВ = А^, АС = AiClt
А.С = A.Ci = 90°. Докажите, что ДАВС = AAjBjCx.
29.	Докажите, что в равнобедренном треугольнике высота,
опущенная на основание, является медианой и биссек-
трисой.
30.	Треугольники АВС и АВСг равнобедренные с общим осно-
ванием АВ. Докажите равенство треугольников ACCt
и BCCj.
31.	Точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Докажите, что
если треугольники ABEt и АВЕ2 равны, то треуголь-
ники CDEi и CDE2 тоже равны.
32.	Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая
является серединой каждого из них. Докажите равенство
треугольников ACD и BDC.
33.	Докажите равенство треугольников по двум сторонам и
медиане, проведенной к одной из них.
34.	Отрезки АВ и CD пересекаются. Докажите, что если от-
резки АС, СВ, BD и AD равны, то прямые АВ и CD
перпендикулярны.
2 А. В. Погорелов	о«
35.	Докажите, что в задаче 34 луч АВ является биссектрисой
угла CAD, а луч CD — биссектрисой угла АСВ.
36.	Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и Л
лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите ра-
венство треугольников CBD и DAC.
37.	Докажите, что в задаче 36 прямая CD отрезок АВ
пополам.
38.	Докажите равенство треугольников по двум сторонам и
медиане, исходящим из одной вершины.
39.	Докажите равенство треугольников по стороне, медиане,
проведенной к ней, и углам, которые образует с ней ме-
диана.
40.	Докажите равенство треугольников по медиане и углам,
на которые она разбивает угол треугольника.
§ 4. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Признаки параллельности прямых
Теорема 4.1. Дее прямые, параллельные третьей, па-
раллельны.
Доказательство. Пусть прямые а и & параллель-
ны прямой с. Допустим, что прямые а и Ъ не параллельны.
Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Значит, через
точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. Но
это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной
прямой, можно провести к этой прямой не более одной парал-
лельной прямой. Теорема доказана.
Пусть АВ и CD — две прямые. Пусть АС — третья пря-
мая, пересекающая прямые АВ и CD (рис. 39). Прямая АС
по отношению к АВ и CD называется секущей. Утлы, которые
образуются при пересечении прямых АВ и CD секущей АС,
имеют специальные названия. Если точки В и D лежат в
одной полуплоскости относительно прямой АС, то углы ВАС
и DC А называются внутренними односторонними (рис. 39, а).
Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относи-
тельно прямой АС, то углы ВАС и DC А называются внутрен-
ними накрест лежащими (рис. 39, б).
Секущая АС образует с прямыми АВ и CD две пары внут-
ренних односторонних и две пары внутренних накрест лежа-
щих углов. Из свойства смежных углов следует, что если
внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то
внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны,
а сумма внутренних односторонних углов каждой пары рае-
34
на 180°. Обратно, если сумма внутрен-
них односторонних углов одной пары
равна 180°, то сумма внутренних одно-
сторонних углов другой пары тоже рав-
на 180°, а внутренние накрест лежащие
углы каждой пары равны. Поясним
первое утверждение.
Внутренние накрест лежащие углы
одной пары являются смежными
внутренним накрест лежащим уг-
лам другой пары (рис. 39). По-
этому, если углы одной пары равны, то
углы другой пары как смежные им тоже
равны. Если один из внутренних на-
крест лежащих углов заменить смежным
ему внутренним углом, то получим пару
внутренних односторонних углов. По-
этому, если внутренние накрест лежа-
щие углы равны, то полученная пара
внутренних односторонних углов дает
в сумме 180°.
Теорема 4.2. Если внутренние ар pi
накрест лежащие углы равны или сум-	с
ма внутренних односторонних углов
равна 180°, то прямые параллельны.
Доказател ьство. Допус-
тим, что прямые а и 6 не параллельны,	Рис. 40
следовательно, пересекаются в некото-
рой точке С (рис. 40). Отложим на продолжении отрезка
СА отрезок AD, равный отрезку ВС, а на продолжении
отрезка СВ отметим какую-нибудь точку Е. Треугольники
ВАС и ABD равны по первому признаку равенства тре-
угольников. У них сторона АВ общая, углы СВА и DAB
равны по условию теоремы как накрест лежащие, a AD =ВС
по построению.
Из равенства треугольников следует, что угол ABD ра-
вен углу ВАС, а значит, и накрест лежащему углу АВЕ.
Из равенства углов ABD и АВЕ по аксиоме откладывания
углов следует совпадение лучей BD и BE. Таким образом,
точка D принадлежит лучу BE, а значит, и прямой BE. Вы-
2*
83
ходит, что прямые а и Ъ, кроме точки
пересечения С, имеют еще другую точ-
ку пересечения D. А это невозможно.
Мы пришли к противоречию. Теорема
доказана.
Теоремы 4.1 и 4.2 выражают приз-
наки параллельности прямых.
Задача (3). Даны прямая АВ и
точка С, не лежащая на этой прямой.
Докажите, что через точку С можно про-
вести прямую, параллельную прямой
АВ.
Решение. Прямая АС разбивает
плоскость на две полуплоскости (рис.
41). Точка В лежит в одной из них.
Отложим от полупрямой С А в другую
полуплоскость угол ACD, равный углу
С АВ. Тогда прямые АВ и CD будут
параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей
АС углы ВАС и DC А внутренние накрест лежащие. А так как
они равны, то по теореме 4.2 прямые АВ и CD параллельны.
Сопоставляя утверждение задачи 3 и аксиомы V (основное
свойство параллельных прямых), приходим к такому выводу:
через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести
только одну прямую, параллельную данной.
Теорема 4.3 (обратная теореме 4.2). Внутренние накрест
лежащие углы, образованные при пересечении параллельных
прямых третьей, равны, а сумма внутренних односторонних
углов равна 180°.
Доказательство. Пусть прямые а и Ь параллель-
ны. Проведем через точку А прямую ах так, чтобы сумма внут-
ренних односторонних углов, образованных секущей с и
прямыми аг н. Ь, была равна 180° (рис. 42). Тогда по теореме
4.2 прямая aj будет параллельна прямой Ъ. Но через точку А
проходит только одна прямая, параллельная Ъ. Следователь-
но, прямая а совпадает с аи Итак, сумма внутренних одно-
сторонних углов, образованных секущей с и параллельными
а и Ъ, равна 180®, а значит, накрест лежащие углы равны.
Теорема доказана полностью.
Из теорем 4.2 и 4.3 следует, что две прямые, перпендику-
лярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна
Зв
К одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и
к другой.
Задача (7). Угол АВС равен 80°, а угол BCD равен 120°.
Объясните могут ли прямые АВ и CD быть параллельными.
Решение. Для прямых АВ и CD и секущей ВС углы
АВС и. BCD являются либо внутренними односторонними,
либо внутренними накрест лежащими. Если бы прямые
АВ и CD были параллельными, то было бы либо гСАВС—
= Z_BCD (если углы накрест лежащие), либо А.АВС +
। Z_BCD — 180° (если углы односторонние). Но 80° #= 120°
и go0 -|- 120° = 200° #= 180°. Значит, прямые АВ и CD не
могут быть параллельными.
Сумма углов треугольника
Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пусть А АВС — данный тре-
угольник (рис. 43.) Отметим середину О стороны СВ треуголь-
ника. Отложим на продолжении отрезка АО отрезок OD, рав-
ный отрезку ОА. Треугольники BOD и СОА равны, так
как у них углы при вершине О равны как вертикальные, а
ОБ — ОС п ОА = OD по построению. Из равенства треуголь-
ников следует, что угол DBO равен углу АСО.
Для прямых АС и BD и секущей ВС углы DBO и АСО
являются внутренними накрест лежащими. Действительно,
точки А и D лежат в разных полуплоскостях относительно
прямой ВС, так как отрезок AD пересекает ВС (в точке
О). Из равенства внутренних накрест лежащих углов DBO
и АСО (теорема 4.2) следует, что прямые АС и ^^параллельны.
Для прямых АС и BD и секущей АВ углы DBA таСАВ
являются внутренними односторонними. Действительно, точ-
ки С и D лежат в одной полуплоскости
относительно прямой АВ, именно в той
полуплоскости, где лежит точка О. Так
как прямые АС и BD параллельны,
то сумма внутренних односторонних
углов С АВ и DBA равна 180°.
Угол DBA равен сумме углов DBC
и АВС, так как луч ВС пересекает от-
резок AD с концами на сторонах угла
Рис. 43
37
ABD. По доказанному угол DBC равен углу АС В. Следователь-
но, сумма углов треугольника АВС, т. е. А ВСА-]-ААВС +
+ АСАВ, равна сумме внутренних односторонних углов
при параллельных АС и BD и секущей АВ, т. е. 180°. Теорема
доказана.
Из теоремы 4.4 следует, что у любого треугольника хотя
бы два угла острые.
Доказательство. Допустим, что у треугольника
только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда
у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не
меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А
это невозможно, так как сумма всех трех углов треугольника
равна 180°.
Задача (12). Чему равны углы равностороннего тре-
угольника?
Решение. У равностороннего треугольника, как мы
знаем, все углы равны (задача 13 § 3). Так как они в сумме
дают 180°, то каждый из них равен 60°<
Внешним углом треугольника АВС при вершине А назы-
вается угол, смежный с углом треугольника при вершине А.
Чтобы не путать угол треугольника при вершине А с внеш-
ним углом при этой вершине, его называют внутренним углом.
Теорема 4.5. Внешний угол треугольника равен сумме
двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказательство. Пусть АВС — данный тре-
угольник. По теореме 4.4 АА + ^-В + АС = 180°. Отсюда
следует, что АА + ^-В = 180° — АС. В правой части этого
равенства стоит градусная мера внешнего угла треугольника
при вершине С*. Теорема доказана.
Из теоремы 4.5 следует, что внешний угол треугольника
больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Задача (28). В треугольнике АВС проведена высота
CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими,
если углы АнВ треугольника острые?
0 А Рис. 44	Решение. Точка В не может ле- жать между А и D. Если бы она лежала между А и D (рис. 44), то острый угол АВС как внешний угол треугольника CBD был бы больше прямого угла CDB. Точно так же доказывается, что и точка А не может лежать между В и D. Значит, точка D ле- жит между А и В.
38
Прямоугольный треугольник
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть
прямой угол. Так как сумма углов треугольника равна 180°,
то у прямоугольного треугольника только один прямой угол.
Два других угла прямоугольного треугольника острые. Ост-
рые углы дополняют друг друга до 90°. Сторона прямоуголь-
ного треугольника, противолежащая прямому углу, называ-
ется гипотенузой, две другие стороны называются кате-
тами.
Для прямоугольных треугольников, кроме трех извест-
ных нам признаков равенства, имеются другие признаки.
Вот эти признаки:
1.	Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе и острому уг-
лу другого треугольника, то такие треугольники равны. (При-
знак равенства по гипотенузе и острому углу.)
2.	Если катет и противолежащий ему угол одного прямо-
угольного треугольника соответственна равны катету и проти-
волежащему углу другого треугольника, то такие треугольни-
ки равны. (Признак равенства по катету и противолежа-
щему углу.)
3.	Если гипотенуза и катет одного прямоугольного тре-
угольника соответственно равны гипотенузе и катету другого
треугольника, то такие треугольники равны. (Признак ра-
венства по гипотенузе и катету.)
Доказательство. Пусть АВС и — прямо-
угольные треугольники с прямыми углами С и Clf для кото-
рых выполняется одно из условий:
1)	АВ = Лх-Вх, Z_A = zLAx;
2)	ВС = BiC» Z-A = Z.Ax;
3)	АВ = AiBi, ВС = В^!.
Докажем, что треугольники равны (рис. 45).
Для доказательства первых двух признаков достаточно
заметить, что если А.А = А-Ац то А.В = Z_Bx. А тогда тре-
угольники в обоих случаях равны по второму признаку ра-
венства треугольников.
Доказательство признака равенства прямоугольных тре-
угольников по гипотенузе и катету было дано в решении зада-
чи 28 § 3.
I Задача (34). Докажите, что в прямоугольном тре-
89
угольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу,
равен половине гипотенузы.
Решение. Пусть АВС — прямоугольный треугольник
с прямым углом С и острым углом В, равным 30° (рис. 46).
Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD, равный
АС. Треугольники АВС и DBC равны по первому признаку:
у них углы при вершине С прямые, сторона ВС общая, а АС =»
= CD по построению. Из равенства треугольников следует,
что Z-D — /_А = 60°, Z-CBD — А.СВА — 30°, а значит,
A.ABD = 60°. Так как в треугольнике ABD углы В и D
равны 60°, то он равнобедренный с основанием BD. Поэтому
АС = — AD = ~АВ, что и требовалось доказать.
2	2
Перпендикуляр к прямой
Пусть а — прямая, А — не лежащая на ней точка и В —
точка на прямой а. Отрезок АВ называется перпендикуляром,
опущенным из точки А на прямую а, если прямые а и АВ
перпендикулярны (рис. 47). Точка В называется основанием
перпендикуляра.
Теорема 4.6. Из любой точки, не лежащей на данной
прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр и
только один.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и
А — не лежащая на ней точка (рис. 48). Проведем через
точку А прямую Ь, параллельную прямой а (задача 3 § 4).
Проведем теперь через точку А прямую с, перпендикулярную
прямой Ь. Она будет перпендикулярна прямой а (теорема 4.3)
и пересечет ее в некоторой точке В. Отрезок АВ — перпенди-
куляр, опущенный из точки А на прямую а.
Допустим, что из точки А можно опустить на прямую а
40
два перпендикуляра АВ и	д
АС. Тогда у треугольника
АВС было бы два прямых
угла, что невозможно. Теоре-
ма доказана.	д
Длина перпендикуляра, г ---------
опущенного из данной точки Рис 47
на прямую, называется рас-
стоянием от точки до прямой.
с
А b
-----------------
\
\
\
------g4-\g g,
Рис. 48
Задача (39). Докажите, что расстояния от любых
двух точек прямой до параллельной прямой равны.
Решение. Пусть а и 6 — параллельные прямые.
Отметим на прямой а две точки А и Аг и опустим из них пер-
пендикуляры АВ и AtBt на прямую Ъ. Прямоугольные тре-
угольники АВАх и В}АХВ равны по гипотенузе и острому уг-
лу. У них гипотенуза ВА^ общая, а острые углы АА]В я
В1ВА1 равны как внутренние накрест лежащие для парал-
лельных а и Ь я секущей BAY. В самом деле, эти углы либо
внутренние накрест лежащие, либо внутренние односторон-
ние. Они не могут быть внутренними односторонними, так
как, будучи острыми, не дают в сумме 180°. Из равенства
треугольников следует равенство сторон АВ я AiBlt т. е.
расстояния от точек А я At прямой а до прямой Ь равны.
Как видим, параллельные прямые — равноотстоящие.
Расстоянием между параллельными прямыми называется рас-
стояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой
прямой.
Вопросы для повторения
1. Какие прямые называются параллельными?
2. Сформулируйте аксиому параллельных.
8.	Докажите теорему 4.1: две прямые, параллельные треть-
ей, параллельны.
4.	Объясните, какие углы называются внутренними одно-
сторонними. Какие углы называются внутренними на-
крест лежащими?
5.	Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы
одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы
другой пары тоже равны, 4 сумма внутренних односторон-
них углов каждой пары равна 180°. Обратно, если сумма
внутренних односторонних углов одной пары равна 180°,
41
то сумма внутренних односторонних углов другой пары
тоже равна 180°, а внутренние накрест лежащие углы
каждой пары равны.
6.	Сформулируйте и докажите признак параллельности
прямых по их углам с секущей.
7.	Докажите, что внутренние накрест лежащие углы, обра-
зованные при пересечении параллельных прямых секу-
щей, равны, а сумма внутренних односторонних углов
равна 180°.
8.	Вопросы к доказательству теоремы 4.4 о сумме углов
треугольника (см. рис. 43):
а)	объясните, почему углы CBD и ВС А являются внут-
ренними накрест лежащими для прямых AC, BD и секу-
щей ВС;
б)	объясните, почему углы ABD и ВАС являются внут-
ренними односторонними для прямых AC, BD и секу-
щей АВ;
в)	объясните, почему угол ABD равен сумме углов АВС
и ВВС.
9.	Что такое внешний угол треугольника АВС при вер-
шине А?
10.	Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме
двух внутренних углов, не смежных с ним.
11.	Какой треугольник называется прямоугольным?
12.	Какая сторона прямоугольного треугольника называ-
ется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?
13.	Чему равна сумма острых углов прямоугольного тре-
угольника?
14.	Докажите признаки равенства прямоугольных треуголь-
ников: по гипотенузе и острому углу, по катету и проти-
волежащему углу, по гипотенузе и катету.
15.	Объясните, что такое перпендикуляр, опущенный из дан-
ной точки на прямую.
16.	Что называется расстоянием от точки до прямой?
17.	Объясните, что такое расстояние между параллельными
прямыми.
Упражнения
1.	Докажите, что если прямая пересекает одну из двух
параллельных прямых, то она пересекает и другую.
42
2.	Дан треугольник АВС. На стороне АВ отмечена точка
В а на стороне АС — точка Сх. Назовите внутренние
односторонние и внутренние накрест лежащие углы при
прямых АВ, АС и секущей В^.
3.	Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой.
Докажите, что через точку С можно провести прямую,
параллельную прямой АВ.
4.	Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих
углов, образованных параллельными и секущей, парал-
лельны, т. е. лежат на параллельных прямых.
5.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой
точкой пополам. Докажите, что прямые АС и BD парал-
лельны.
6.	Треугольники АВС и BAD равны. Точки С и D лежат
по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что прямые
АС и BD параллельны.
7.	Угол АВС равен 80°, а угол BCD равен 120°. Могут ли
прямые АВ и CD быть параллельными? Объясните ответ.
8.	Разность двух внутренних односторонних углов при
двух параллельных прямых и секущей равна 30°. Найди-
те эти углы.
9.	Сумма двух внутренних накрест лежащих углов при двух
параллельных прямых и секущей равна 150°. Чему рав-
ны эти углы?
10.	Один из углов, которые получаются при пересечении
параллельных прямых секущей, равен 72°. Найдите ос-
тальные семь углов.
11.	Один из углов, которые получаются при пересечении двух
параллельных прямых секущей, равен 30°. Может ли один
из остальных семи углов равняться 70°? Объясните ответ.
12.	Чему равны углы равностороннего треугольника?
13.	Под каким углом пересекаются биссектрисы двух внут-
ренних односторонних углов при параллельных прямых?
14.	Найдите углы треугольника, если они относятся как
2:3:4.
15.	Один угол треугольника равен 50°, а другой 30°. Найдите
третий угол.
16.	Может ли в треугольнике быть два тупых угла (тупой и
прямой угол, два прямых угла)?
17.	Может ли быть тупым угол при основании равнобедрен-
ного треугольника?
18.	В равнобедренном треугольнике угол при основании ра-
вен 40°. Найдите угол при вершине.
19.	В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен
80°. Найдите углы при основании.
20.	Один из углов равнобедренного треугольника равен 100°.
Найдите остальные углы.
21.	Один из углов равнобедренного треугольника равен
70°. Найдите остальные углы. Сколько решений имеет
задача?
22.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена биссектриса CD. Найдите углы треугольника,
если угол ADC равен а.
28.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
и углом при вершине В, равным 36°, проведена биссект-
риса AD. Докажите, что треугольники CD А и ADB
равнобедренные.
24.	В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин
А и В. Точка их пересечения обозначена D. Найдите
угол ADB, если известно,что АА = а, АВ = 0.
25.	Найдите угол ADB в задаче 24, если известно, что
АС = у.
26.	Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы
при двух его вершинах равны 120° и 150°.
27.	Два внешних угла треугольника равны 100° и 150°.
Найдите третий внешний угол.
28.	В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из
трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если уг-
лы А и В треугольника острые?
29.	Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена
высота BD. Найдите угол CBD, зная, что АА = а.
80.	Из вершины тупого угла треугольника АВС проведена
высота BD. Найдите углы треугольников ABD и CBD,
зная, что АА — а, АВ = 0.
81.	Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине
равнобедренного треугольника параллельна основанию.
82.	Сумма внешних углов треугольника АВС при вершинах А
и В, взятых по одному для каждой вершины, равна 240°.
Чему равен угол С треугольника?
83.	Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС
отложены отрезки AD — АВ и СЕ — СВ. Как найти уг-
лы треугольника DBE, зная углы треугольника АВС!
44
34.	Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом
80° катет, противолежащий этому углу, равен половине
гипотенузы.
35.	Найдите углы прямоугольного равнобедренного тре-
угольника.
36.	В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана
AD. Найдите углы треугольника ABD.
37.	Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и
С, пересекаются в точке М. Найдите ААМС, если Z-A =
= 70°, Z.C = 80°.
38.	В треугольнике АВС медиана BD равна половине сторо-
ны АС. Найдите угол В треугольника.
39.	Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой
до параллельной прямой равны.
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
Окружность
Окружностью с центром О и радиусом R называется фигу-
ра, точками которой являются все точки плоскости, находя-
щиеся на расстоянии R от точки О. Точка О называется цен-
тром окружности, a R — радиусом окружности (рис. 49).
Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий
точку окружности с ее центром.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется
хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диамет-
ром. На рисунке 49 OD — радиус окружности, ВС — хорда,
DE — диаметр.
Окружность называется описанной около треугольника,
если она проходит через все его вершины.
Центр окружности, описанной около треугольника, явля-
ется точкой пересечения перпендикуля-
ров к сторонам треугольника, праве-
денных через середины этих сторон. р/
Доказательство. Пусть	/ \
4ВС — данный треугольник и О — I	)
центр описанной около него окруж- \
ности (рис. 50). Треугольник АОС рав- В
нобедренный. У него стороны ОА и ОС
равны как радиусы. Медиана этого рИс. 49
45
треугольника OD одновременно является высотой. Поэтому
центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной к
стороне АС и. проходящей через ее середину. Точно так же
доказывается, что центр окружности лежит на перпенди-
кулярах к двум другим сторонам треугольника.
Прямая, проходящая через точку А окружности, называ-
ется касательной к окружности в этой точке, если она перпен-
дикулярна к радиусу, проведенному в точку А. Точка А
называется точкой касания (рис. 51).
Окружность называется вписанной в треугольник, если его
стороны касаются окружности.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является
точкой пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть АВС — данный тре-
угольник, О — центр вписанной в него окружности, D, Е
и F — точки касания окружности со сторонами (рис. 52).
Прямоугольные треугольники AOD и АОЕ равны по гипоте-
нузе и катету: у них гипотенуза АО общая, а катеты OD и
Рис. 53
46
ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует
равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит
На биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А.
Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух дру-
гих биссектрисах треугольника.
Говорят, что две окружности, имеющие общую точку,
касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую ка-
сательную (рис. 53). Касание окружностей называется вну-
тренним,. если центры окружностей лежат по одну сторо-
ну от их общей касательной (рис. 53, а), и внешним, если
центры ''окружностей лежат по разные стороны от их общей
касательной (рис. 53, б).
Что такое задачи на построение
В задачах на построение идет речь о построении геометри-
ческой фигуры с помощью данных чертежных инструментов.
Такими инструментами чаще всего являются линейка и цир-
куль. Решение задачи состоит не столько в построении фи-
гуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и
соответствующем доказательстве. Задача считается решен-
ной, если указан способ построения фигуры и доказано, что
в результате выполнения указанных построений действитель-
но получается фигура с требуемыми свойствами.
С помощью линейки как инструмента геометрических по-
строений можно провести произвольную прямую; произволь-
ную прямую, проходящую через данную точку; прямую, про-
ходящую через две данные точки. Никаких других операций
выполнять линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать
линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления.
Циркуль как инструмент геометрических построений по-
зволяет описать из данного центра окружность данного ради-
уса. В частности, циркулем можно отложить данный отрезок
на данной прямой из данной точки.
Рассмотрим простейшие задачи на построение.
Построение треугольника с данными сторонами
Задача 5.1. Построить треугольник с данными сторона-
ми а, Ь, с ( рис. 54, а).
Решение. С помощью линейки проводим произволь-
ную прямую и отмечаем на ней произвольную точку В
(рис. 54, б). Раствором циркуля, равным а, описываем окруж-
ность с центром В и радиусом а. Пусть С — точка ее пересе-
47
I
а
а)
чения с прямой. Теперь раствором 1
циркуля, равным с, описываем окруж- I
ность из центра В, а раствором циркуля, |
равным Ь, описываем окружность из |
центра С. Пусть А — точка пересече-
ния этих окружностей. Треугольник
АВС имеет стороны, равные а, Ъ, с. $
41
Построение угла, равного данному	|
Задача 5.2< Отложить от данной	f
полупрямой в данную полуплоскость	|
угол, равный данному углу.	i
Решение. Проведем произволь-
ную окружность с центром в вершине '*
А данного угла (рис. 55, а). Пусть В
и С — точки пересечения окружности
со сторонами угла. Радиусом АВ про-
ведем окружность с центром в точке
О— начальной точке данной полупря-
мой (рис. 55, б). Точку пересечения
этой окружности с данной полупрямой
обозначим Bi. Опишем окружность с
центром и радиусом ВС. Точка Сх
пересечения построенных окружнос-
тей в указанной полуплоскости лежит
на стороне искомого угла. Для дока-
зательства достаточно заметить, что
треугольники АВС и ОВ±СГ равны как треугольники с соответ-
ственно равными сторонами. Углы А я О являются соответ-
ствующими углами этих треугольников.
Построение биссектрисы угла
Задача 5.3. Построить биссектрису жданного угла.
Решение. Из вершины А данного угла как из центра
описываем окружность произвольного радиуса (рис. 56).
Пусть В я С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из
точек ВяС тем же радиусом описываем окружности. Пусть D—
точка их пересечения, отличная от А. Полупрямая AD де-
лит угол ВАС пополам. Это следует из равенства треуголь-
ников ABD и ACD, у которых углы DAB и DAC являются
соответствующими.
48
Деление отрезка пополам
Задача 5.4. Разделить данный отре-
зок пополам.
решение. Пусть АВ — дан-
ный отрезок (рис. 57). Из точек А и
В радиусом АВ описываем окружности.
Пусть С и Ci — точки пересечения
этих окружностей. Они лежат в раз-
ных полуплоскостях относительно пря-
мой АВ. Отрезок ССХ пересекает пря-
мую АВ в некоторой точке О. Эта точ-
ка и есть середина отрезка АВ.
Действительно, треугольники САСХ
и CBCt равны по третьему признаку
равенства треугольников. Отсюда сле-
дует равенство углов АСО и ВСО.
Треугольники АСО и ВСО равны по
первому признаку равенства треуголь-
ников. Стороны АО и ВО этих треуголь-
ников являются соответствующими, а
поэтому они равны. Таким образом,
О — середина отрезка АВ.
Построение перпендикулярной прямой
Задача 5.5.Через данную точку Опровести прямую, пер-
пендикулярную к данной прямой а.
Решение. Возможны два случая:
1) точка О лежит на прямой а;
2) точка О не лежит на прямой а.
Рассмотрим первый случай (рис. 58).
Из точки О проводим произвольным радиусом окружность.
Она пересекает прямую а в двух точках А и В. Из точек А
и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С — точка
их пересечения. Искомая прямая про-
ходит через точки О я С. Перпендику-
лярность прямых ОС и АВ следует из
равенства углов при вершине О треу-	/ \
гольников АСО и ВСО. Эти треуголь-	/	\
ники равны по третьему признаку ра- д / Q
венства треугольников.	а '	<
Рассмотрим второй случай (рис. 59).
Из точки О проводим окружность,	Рис. 58
49

Рис. 59
о. в
Рис. 60
пересекающую прямую а. Пусть А и В—точ-
ки ее пересечения с прямой а. Из точек Аи В
тем же радиусом проводим окружности.
Пусть Ох — точка их пересечения, лежа-
щая в полуплоскости, отличной от той, в
которой лежит точка О. Искомая прямая
проходит через точки О и Ох. Докажем это.
Обозначим через С точку пересечения пря-
мых АВ и ООХ. Треугольники АОВ и АОгВ
равны по третьему признаку. Поэтому угол
О АС равен углу О±АС. А тогда треугольни-
ки О АС и ОгАС равны по первому призна-
ку. Значит, их углы АСО и АСОг равны.
А так как они смежные, то они прямые.
Таким образом, ОС — перпендикуляр, опу-
щенный из точки О на прямую а.
Геометрическое место точек
Одним из методов решения задач на
построение является метод геометричес-
ких мест. Геометрическим местом точек называется фигу-
ра, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих
определенным свойством. Например, окружность есть гео-
метрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Важное геометрическое место точек дает следующая теорема.
Теорема 5.6. Геометрическое место точек, равноудален-
ных от двух точек А и В, есть прямая, перпендикулярная к
отрезку АВ и проходящая через его середину О (рис. 60).
Доказательство. То, что каждая точка С ука-
занной прямой находится на одинаковом расстоянии от то-
чек А и В, следует из равенства треугольников АОС и ВОС.
У этих треугольников углы при вершине О прямые, сторона
ОС общая, а АО = ОВ, так как О — середина* отрезка АВ.
Покажем теперь, что каждая точка D плоскости, равноуда-
ленная от точек А и В, лежит на прямой ОС.
Рассмотрим треугольник ADB. Он равнобедренный, так
как AD = BD. В нем ВО — медиана. По свойству равнобед-
ренного треугольника медиана, проведенная к основанию,
является высотой. По теореме 2.3 прямая OD совпадает с
ОС, а значит, точка D лежит на прямой ОС. Теорема дока-
зана.
Метод геометрических мест


Сущность метода геометрических мест, используемого
при решении задач на построение, состоит в следующем.
Пусть нам надо построить точку X, удовлетворяющую двум
условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих
первому условию, есть некоторая фигура Flt а геометрическое
место точек, удовлетворяющих второму условию, есть неко-
торая фигура F2. Искомая точка X принадлежит Fx и F2,
т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометриче-
ские места простые (например, состоят из прямых и окружно-
стей), то мы можем их построить и найти интересующую нас
точку X. Приведем пример.
Задача (37). Даны три точки А, В, С. Постройте точ-
ку X, которая одинаково удалена от точек А и Ви находится
на данном расстоянии от точки С.
Решение. Искомая точка X удо-
влетворяет двум условиям: 1) она оди-
наково удалена от точек А и В; 2) она
находится на данном расстоянии от
точки С. Геометрическое место точек,
удовлетворяющих первому условию,
есть прямая, перпендикулярная отрез-
ку АВ и проходящая через его середину
(рис. 61). Геометрическое место точек,
удовлетворяющих второму условию,
есть окружность данного радиуса с
центром в точке С. Искомая точка X
лежит на пересечении этих геометри-
ческих мест.
Углы, вписанные в окружность
Угол, вершина которого лежит на
окружности, а стороны пересекают эту
окружность, называется вписанным в
окружность (рис. 62).
Теорема 5.7. Все вписанные в ок-
ружность углы, стороны которых про-
ходят через две данные точки окружно-
сти, а вершины лежат по одну сторону
°т прямой, соединяющей эти точки, рав-
ны (рис. 63).
51
Рис. 64
Доказательство. Пусть АВС —угол, вписанный
в окружность с центром О (рис. 64). Проведем диаметр BD.
Треугольники АОВ и СОВ равнобедренные. По свойству
внешнего угла треугольника (теорема 4.5) A.AOD = А.ОАВ +
+ А.ОВА = 2А.0ВА. Отсюда А.ОВА = -1 Z-AOD. Аналогич-
но А.ОВС = - A.COD.
2
В случае, который представлен на рисунке 64, а,
A ABC = Z ABD + Z. CBD = - (AAOD + АСОВ) =- ZAOC.
2	2
В случае, представленном на рисунке 64, б,
ААВС = Z ABD + A.CBD = - (Z AOD + ZCQD) =
2
= —[(180° — ZAOB) + (180° — ZCOB)] =
2
= 180° — - (ZAOB + ZCOB) = 180° — - ZAOC.
2	2
В случае, представленном на рисунке 64, в,
ААВС == A.ABD — A.CBD =i (AAOD — ZCOB) =- А.АОС.
2	2
Если хорда АС является диаметром (рис. 65), то
А. АВС A.ABD + ACBD = -(AAOD + ZCOD) = 90°.
2
Мы видим, что если вершина вписанного угла АВС лежит
в одной полуплоскости с центром О относительно прямой АС,
то ААВС = — £ АОС; если вершина В лежит в другой по-
2
52
лу плоскости, то L АВС=180°—Z АОС.
Если хорда АС является диаметром, то
АВС=90 . А отсюда и следует ут-
верждений нашей теоремы. Теорема
доказана.
Задача (43). Точки А, В, С
лежат на окружности. Чему равен
угол АВС, если хорда АС равна радиу-
су окружности? (Два случая.)
решение. Если точка В лежит
по одну сторону с центром О относи-
тельно прямой АС (рис. 66, а), то по
свойству вписанного угла А.АВС —
= — А. АОС. Так как по условию хор-
2
да АС равна радиусу, то треугольник
АОС равносторонний, а значит, угол
АОС равен 60°. Поэтому А.АВС = 30°.
Если точки В и О лежат по разные
стороны прямой АС (рис. 66, б), то по
свойству вписанного угла А.АВС —
= 180° - -А. АОС = 150°.
2
Вопросы для повторения
1.	Что такое окружность, центр
окружности, радиус?
2.	Что такое хорда окружности? Ка-
кая хорда называется диаметр*
3.	Какая окружность называется описанной около тре«
угольника?
4.	Какая прямая называется касательной к окружности?
5.	Какая окружность называется вписанной в треуголь-
ник?
6.	Что значит: окружности касаются в данной точке?
7.	Какое касание окружностей называется внешним, ка-
кое — внутренним?
8.	Объясните, как построить треугольник по трем сто-
ронам.
9.	Объясните, как отложить от данной полупрямой в дан-
ную полуплоскость угол, равный данному углу.
63
10.	Объясните, как разделить данный угол пополам.
11.	Объясните, как разделить отрезок пополам.
12.	Объясните, как провести через данную точку прямую,
перпендикулярную к данной прямой.
13.	Что такое геометрическое место точек?
14.	Что представляет собой геометрическое место точек,
равноудаленных от двух данных точек?
15.	В чем состоит метод геометрических мест, используемый
при решении задач на построение? Приведите пример.
16.	Какой угол называется вписанным в окружность?
17.	Докажите теорему об углах, вписанных в окружность.
Упражнения
1.	Докажите, что любой луч, исходящий из центра окруж-
ности, пересекает окружность в одной точке.
2.	Докажите, что прямая, проходящая через центр окруж-
ности, пересекает окружность в двух точках.
3.	Докажите, что диаметр окружности, проходящий через
середину хорды, перпендикулярен к ней.
4.	Сформулируйте и докажите теорему, обратную утвер-
ждению задачи 3.
5.	Из точки данной окружности проведены диаметр и хор-
да, равная радиусу. Найдите угол между ними.
6.	Из точки данной окружности проведены две хорды,
каждая из них равна радиусу. Найдите угол между
ними.
7.	Может ли окружность касаться прямой в двух точках?
Объясните ответ.
8.	Докажите, что касательная к окружности не имеет дру-
гих общих точек с окружностью, кроме точки касания.
9.	Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окруж-
ности, с касательной в точке А?
10.	Найдите углы, под которыми пересекаются касательные к
окружности в концах хорды, равной радиусу.
11.	Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите
расстояние между центрами окружностей в случаях внеш-
него и внутреннего касаний.
12.	Могут ли касаться окружности, если их радиусы равны
25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см?
13.	Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем
в двух точках?
54
14.	Докажите, что две окружности не могут пересекаться
более чем в двух точках.
15.	Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему
треугольник ABD.
1в.	Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу опи-
санной окружности.
17.	Постройте окружность данного радиуса, проходящую
через две данные точки.
18.	Постройте треугольник: по стороне и прилежащим к ней
углаед по двум сторонам и увлу между ними.
19.	Постройте равнобедренный треугольник по боковой сто-
роне и углу при основании.
20.	Постройте треугольник по двум сторонам и углу, проти-
волежащему одной из них.
21.	Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежа-
щий к ней угол и периметр треугольника.
22.	Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежа-
щий к ней угол и разность двух других сторон.
23.	Разделите угол на четыре равные части.
24.	Постройте углы 60° и 30°.
25.	Постройте треугольник по двум сторонам и медиане,
проведенной к одной из них.
26.	Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, про-
веденной к третьей стороне.
27.	Дан треугольник. Постройте его медианы и высоты.
28.	Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной
к этой стороне, и радиусу описанной окружности.
29.	Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и
катету.
30.	Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опу-
щенной на третью сторону.
31.	Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней
медиане и высоте.
32.	Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опу-
щенной на одну ив них.
33.	Постройте равнобедренный треугольник по боковой сто-
роне и высоте, опущенной на основание.
34.	Постройте равнобедренный треугольник по основанию и
радиусу описанной окружности.
35.	Докажите, что геометрическое место точек, удаленных
от данной прямой на расстояние Л, состоит из двух
55
прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на h.
36. На данной прямой найдите точку, которая находится на
данном расстоянии от другой данной прямой.
37.	Даны три точки А, В, С. Постройте точку X, которая
одинаково удалена от точек А и В и находится на данном
расстоянии от точки С.
38.	На данной прямой найдите точку, равно удаленную от
двух данных точек.
39.	Даны четыре точки А, В, С, D. Найдите точку X, которая
одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена
от точек С и D.
40.	Постройте окружность, которая касается сторон данного
угла, причем одной из них — в данной точке.
41.	Сторона треугольника равна 10 см, а противолежащий ей
угол 150°. Найдите радиус описанной окружности.
42.	Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда
АС, если угол АВС равен 30°, а диаметр окружности
10 см?
43.	Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равен угол
АВС, если хорда АС равна радиусу окружности? (Два
случая.)
44.	Докажите, что центром окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, является середина ги-
потенузы.
45.	Докажите, что медиана прямоугольного треугольника,
проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равно-
бедренных треугольника.
46.	Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и
высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипо-
тенузу.
47.	На окружности отмечены четыре точки А, В, С, D.
Чему равен угол ADC, если угол АВС равен а? (Два
случая.)
48.	Хорды окружности AD и ВС пересекаются. Угол АВС
равен 10°, угол ACD равен 20°. Найдите угол CAD.
7 класс
§ 6. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Выпуклые четырехугольники
Четырехугольником ABCD называется фигура, которая
состоит из четырех точек А, В, С, никакие три из которых
не лежат на одной прямой и четырех попарно не пересекаю-
щихся отрезков АВ, ВС, CD и DA, соединяющих эти точки
(рис. 67). Точки А, В, С, D называются вершинами четырех-
угольника, а отрезки АВ, ВС, CD, DA называются его сто-
ронами. Вершины С и А, В и D называются противолежащи-
ми вершинами. Стороны АВ и CD, ВС и DA называются про-
тиволежащими сторонами. Отрезки, соединяющие проти-
волежащие вершины, называются диагоналями.
Четырехугольник называется выпуклым, если он распо-
ложен в одной полуплоскости относи-
тельно каждой прямой, содержащей од-
ну из его сторон. При этом сама пря-
мая считается принадлежащей полу-
плоскости. На рисунке 67, а изобра-
жен выпуклый четырехугольник, а на
рисунке 67, б — не выпуклый.
Далее мы будейГрассматривать толь-
ко выпуклые четырехугольники. Углом
выпуклого четырехугольника ABCD
при вершине А называется угол, об-
разованный полупрямыми АВ и AD.
Задача (1). Докажите, что если
диагонали четырехугольника пересека-
ются, то он выпуклый.
Решение. Пусть ABCD — че-
тырехугольник, у которого диагонали
пересекаются (рис. 68). Возьмем лю-
бую сторону четырехугольника, напри-
57
мер АВ. Прямая АВ разбивает плос-
кость на две полуплоскости. Точка
S — точка пересечения диагоналей—
лежит в одной из них. В той же по-
луплоскости лежат и вершины С и Р.
Поэтому стороны ВС, CD и DA ле-
жат в полуплоскости, где лежит точ-
ка В, т. е. по одну сторону от пря-
мой АВ. То же самое можно повторить
для любой из трех остальных сто-
рон четырехугольника. Значит, че-
тырехугольник ABCD выпуклый.
Параллелограмм
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого про-
тиволежащие стороны параллельны, т.е. лежат на параллель-
ных прямых (рис. 69).
Теорем а 6.1. Если диагонали четырехугольника пересе-
каются и точкой пересечения делятся пополам, то данный че-
тырехугольник — параллелограмм.
Доказательство. Пусть ABCD — данный четы-
рехугольник и О — точка пересечения его диагоналей (рис. 70).
Треугольники AOD и СОВ равны. У них углы при вершине О
равны как вертикальные, a OB = OD и О А = ОС по условию
теоремы. Значит, углы ОВС и ODA равны. А они являются
внутренними накрест лежащими при прямых AD и ВС и се-
кущей BD. По теореме 4.2 прямые AD и ВС параллельны.
Параллельность прямых АВ и CD доказывается с помощью
равенства треугольников АО В и COD. Теорема доказана.
Т е о р е м а 6.2 (обратная теореме 6.1). Диагонали парал-
лелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся по-
полам.
Рис. 69
Рис. 70
Рис. 71
58
Доказательство. Пусть ABCD — данный парал-
лелограмм (рис. 71). Проведем его диагональ BD. Отметим
на ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим
отрезок OCi, равный АО. По теореме 6.1 четырехугольник
ABC^D есть параллелограмм. Следовательно, прямая ВСХ
параллельна AD. Но через точку В можно провести только
одну прямую, параллельную AD. Значит, прямая ВСХ совпа-
дает с прямой ВС. Так же доказывается, что прямая DCt
совпадает с прямой DC. Значит, точка С\ совпадает с С.
Параллелограмм ABCD совпадает с ABC^D. Поэтому его
диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся по-
полам. Теорема доказана.
Задача (4). Через точку пересечения диагоналей па-
раллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее,
заключенный между параллельными сторонами, делится в
этой точке пополам.
Решение. Пусть ABCD — данный параллелограмм
и EF — прямая, пересекающая параллельные стороны АВ
и CD (рис. 72). Треугольники ОАЕ и ОСЕ равны по второму
признаку. У них стороны О А и ОС равны, так как О — сере-
дина диагонали АС (теорема 6.2). Углы при вершине О равны
как вертикальные, а углы ЕАО и ECO равны как внутренние
накрест лежащие при параллельных АВ, CD и секущей АС.
Из равенства треугольников следует равенство сторон ОЕ =»
= OF. Что и требовалось доказать.
Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие сто-
роны равны, противолежащие углы равны.
Доказательство. Пусть ABCD — данный парал-
лелограмм (рис. 73). Проведем диагонали параллелограмма.
Пусть О — точка их пересечения. Равенство противолежащих
сторон АВ и CD следует из равенства треугольников АОВ
и COD. У них углы при вершине О равны как вертикальные,
а О А = ОС и О В == OD по теореме 6.2. Точно так же из ра-
69
венства треугольников AOD и СОВ следует равенство другой
пары противолежащих сторон AD и ВС.
Равенство противолежащих углов АВС и CD А следует из
равенства треугольников АВС и CDA (по трем сторонам). У
них АВ — CD и ВС — DA по доказанному, а сторона BD
общая. Точно так же равенство противолежащих углов BCD
и DAB следует из равенства треугольников BCD и DAB.
Теорема доказана полностью.
Задача (10). Докажите, что если у выпуклого четы-
рехугольника две стороны параллельны и равны, то он явля-
ется параллелограммом.
Решение. Пусть ABCD — данный четырехугольник
(рис. 74), у которого стороны АВ и CD параллельны и рав-
ны. Проведем через вершину В прямую Ъ, параллельную сто-
роне AD. Эта прямая пересекает прямую DC в некоторой
точке С^ Точка принадлежит лучу DC, так как дополни-
тельный луч и прямая Ъ лежат в разных полуплоскостях
относительно прямой AD. Четырехугольник ABCXD есть па-
раллелограмм. По теореме 6.3 CiD=AB. А по условию АВ =
= CD. Значит, DC = DCi. Отсюда следует, что точки С тз. Сх
совпадают. Таким образом, четырехугольник ABCD совпада-
ет с параллелограммом ABCVD, а значит, является паралле-
лограммом.
Прямоугольник. Ромб. Квадрат
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все
углы прямые (рис. 75).
Теорема 6.4. Прямоугольник есть параллелограмм. Ди-
агонали прямоугольника равны.
Доказательство. Пусть ABCD — данный пря-
моугольник (см. рис. 75). Прямые AD и ВС, будучи перпенди-
кулярными к прямой АВ, параллельны. Прямые АВ и CD
перпендикулярны к AD и поэтому тоже параллельны. Сле-
довательно, прямоугольник —- параллелограмм.
Второе утверждение теоремы следует из равенства пря-
моугольных треугольников BAD и CDA. У них углы BAD
и CD А прямые, катет AD общий, а катеты АВ и CD равны как
противолежащие стороны параллелограмма. Из равенства
треугольников следует, что их гипотенузы равны. А гипоте-
нузы являются диагоналями прямоугольника. Теорема дока-
зана.
во
Задача (16). Докажи-
те, что если у параллелограм-
ма все углы равны, то он яв-
ляется прямоугольником.
Решение. Углы парал-
лелограмма, прилежащие к
одной стороне, являются внут-
ренними односторонними, по-
этому их сумма 180°. 'Гак как
по условию задачи эти углы равны, то каждый из них пря-
мой. А параллелограмм, у которого все углы прямые, есть
прямоугольник.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны
равны (рис. 76).
Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под пря-
мым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его
углов.
Доказательство. Пусть ABCD — данный ромб
(см. рис. 76), О — точка пересечения диагоналей. По свойству
параллелограмма АО = ОС. Значит, в равнобедренном тре-
угольнике АВС отрезок ВО является медианой. По свойству
равнобедренного треугольника медиана, проведенная к его
основанию, является биссектрисой и высотой. А это значит,
что диагональ BD является биссектрисой угла В и перпенди-
кулярна к диагонали АС. Теорема доказана.
Задача (22). Докажите, что если у параллелограмма
диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
Решение. Пусть ABCD — параллелограмм с пер-
пендикулярными диагоналями и О — точка пересечения диа-
гоналей (см. рис. 76). Треугольники АОВ и AOD равны по
первому признаку равенства треугольников. У них углы при
вершине О равны по условию задачи (углы прямые), а О В =
= OD по свойству параллелограмма (теорема 6.2). Из равен-
ства треугольников следует равенство сторон: АВ — AD.
А по теореме 6.3 AD = ВС, АВ — CD. Итак, все стороны
параллелограмма равны, а значит, он есть ромб.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны
равны.
Квадрат также является ромбом. Он обладает свойствами
прямоугольника и ромба.
61
Трапеция
Теорема 6.6 (теорема Фалеса'). Если параллельные
прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его
стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на
другой его стороне.
Доказательство. Пусть AiA2 = А2А3 (рис. 77).
Докажем, что ВХВ2 = В2В3. Точки и А3 лежат по разные
стороны прямой А2В2, так как отрезок АХА3 пересекает эту
прямую (в точке А2). Точки Аун. В3 лежат по одну сторону
прямой А2В2, так как отрезок A^Bi параллелен прямой А2В2,
а значит, не пересекает ее. Точно так же точки А3 и В3 ле-
жат по одну сторону прямой А2В2. Значит, точки и В3
лежат по разные стороны этой прямой и поэтому отрезок ВгВ3
пересекает прямую А2В2 в точке В2.
Проведем через точку В2 прямую ЕЕ, параллельную пря-
мой АгА3. По свойству параллелограмма AtA2 = ЕВ2,
А*А3 — В2Е. И так как Л1Л2 = А2А3, то ЕВ2 — В2Е.
Треугольники В2ВГЕ и В2В3Е равны по второму призна-
ку. У них углы при вершине В2 равны как вертикальные, а
углы Б^ЕВх и В2ЕВ3 равны как внутренние накрест лежащие
при параллельных AiBi и А3В3 и секущей ЕЕ. Из равенства
треугольников следует равенства сторон ВгВ2 — В2В3. Тео-
рема доказана.
Зад а ч а 6.7. Разделить данный отрезок АВ на п равных
частей.
Решение. Проведем из точки А полупрямую а, не
лежащую на прямой АВ. Отложим на полупрямой а равные
отрезки ААи АгА29 А2А3, ..., Ап__гАп . Проведем через точки
Ап и В прямую Ъ. Прямые, параллельные &, проходящие че-
рез точки А^ ..., Ап_19 пересекают отрезок АВ в точках Вп
В2, ..., Вя_р которые делят отрезок АВ на п равных отрезков
(теорема 6.6).
Средней линией треугольни-
ка называется отрезок, соеди-
няющий середины двух его сто-
рон.
1 Фалес Милетский — древнегрече-
Рис. 77	ский ученый, живший в VI в. до н. э.
62
Теорема 6.8. Средняя линия треугольника, соединяющая
середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и рав-
на ее половине.
Доказательство. Пусть DE — средняя линия
треугольника АВС (рис. 78). Проведем через точку D прямую,
параллельную АВ. По теореме 6.6 она пересекает отрезок АС
в его середине, т. е. содержит среднюю линию DE. Первое
утверждение доказано.
Проведем теперь среднюю линию DF. Она параллельна
стороне АС. Четырехугольник AEDF — параллелограмм.
По свойству параллелограмма ED = AF, а так как AF —
= FB, то ED = —АВ. Теорема доказала.
2
Задача (37). Докажите, что середины сторон четырех-
угольника являются вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть ABCD — данный четырехугольник и
Е, F, G, Н— середины его сторон (рис. 79). EF — средняя
линия треугольника АВС. Поэтому EF [| AC. GH — средняя
линия треугольника ADC. Поэтому GH Ц АС. Итак, EF ||
[| GH, т. е. противолежащие стороны EF и GH четырехуголь-
ника EFGH параллельны. Точно так же доказывается парал-
лельность другой пары противолежащих сторон. Значит,
четырехугольник EFGH—параллелограмм. Что и требовалось
доказать.
Трапецией называется выпуклый четырехугольник, у ко-
торого только две противолежащие стороны параллельны
(рис. 80). Эти параллельные стороны называются основаниями
трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторона-
ми. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется
равнобокой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон,
называется средней линией трапеции.
Теорема 6.9. Средняя линия трапеции параллельна ос-
нованиям и равна их полусумме.
Рис. 78	Рис. 79	Рис. 80
63
Доказательс т-в о. Пусть ABCD — данная трапе-
ция (рис. 81). Проведем через вершину В и середину Р боко-
вой стороны CD прямую. Она пересекает прямую AD в не-
которой точке Е. Треугольники РВС и PED равны по второму
признаку равенства треугольников. У них СР — DP по по-
строению, углы при вершине Р равны как вертикальные, а
углы PC В и PDE равны как внутренние накрест лежащие при
параллельных прямых ВС и AD и секущей CD. Из равенства
треугольников следует равенство сторон РВ = РЕ, ВС =
= ED. Значит, средняя линия PQ трапеции является средней
линией треугольника АВЕ. По свойству средней линии тре-
угольника PQ || АЕ и отрезок PQ = — АЕ = —(AD + ВС).
2	2
Теорема доказана.
Задача (47). Докажите, что отрезок, соединяющий
середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и
равен полуразности оснований.
Решение. Пусть ABCD — данная трапеция с боль-
шим основанием CD (рис. 82). Проведем через середину G
боковой стороны ВС прямую, параллельную основаниям. Она
пересечет диагонали в точках Е и F, которые являются их
серединами. EG — средняя линия треугольника DBC, FG —
средняя линия треугольника АВС. Отрезок EF равен раз-
ности этих средних линии: EF ------------= --------, что
2	2	2
и требовалось доказать.
Вопросы для повторения
1.	Какой четырехугольник называется выпуклым?
2.	Что такое параллелограмм?
3.	Докажите, что если диагонали четырехугольника пере-
секаются и точкой пересечения делятся пополам, то он
является параллелограммом.
64
4.	Докажите, что диагонали параллелограмма пересека-
ются и точкой пересечения делятся пополам.
б. Докажите, что у параллелограмма противолежащие сто-
роны равны, противолежащие углы равны.
6.	Что такое прямоугольник?
7.	Докажите, что прямоугольник является параллелограм-
мом; диагонали прямоугольника равны.
8.	Что такое ромб?
9.	Докажите, что диагонали ромба пересекаются под пря-
мым углом; диагонали ромба являются биссектрисами
соответствующих углов.
10.	Что такое квадрат? Перечислите свойства квадрата.
11.	Докажите теорему Фалеса.
12.	Докажите, что средняя линия треугольника равна по-
ловине соответствующей стороны.
13.	Какой четырехугольник называется трапецией?
14.	Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме
оснований.
Упражнения
1.	Докажите, что если диагонали четырехугольника пере-
секаются, то он выпуклый.
2.	Медианы треугольника АВС, проведенные из вершин А
и С, пересекаются в точке М. Докажите, что четырех-
угольник АВСМ не выпуклый.
3,	Каждая из боковых сторон равнобедренного треуголь-
ника равна 5 см. Из точки, взятой на основании этого
треугольника, проведены две прямые, параллельные бо-
ковым сторонам. Найдите периметр получившегося па-
раллелограмма.
4.	Через точку пересечения диагоналей параллелограмма
проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключен-
ный между параллельными сторонами, делится в этой
точке пополам.
5.	В параллелограмме ABCD через точку пересечения диа-
гоналей проведена прямая, которая отсекает на сторо-
нах ВС и AD отрезки BE = 2 м и AF = 2,8 м. Найдите
стороны ВС и АО.
в. Один из углов параллелограмма равен 40°. Найдите
остальные углы.
3 А. В. Погорелов	лк
7.	Найдите углы параллелограмма, зная, что один из них
больше другого на 60°.
8.	Может ли один угол параллелограмма быть равным 40°,
а другой 50°?
9.	Е — середина стороны ВС, a F — середина стороны AD
параллелограмма ABCD. Докажите, что четырехуголь-
ник BEDF — параллелограмм.
10.	Докажите, что если у выпуклого четырехугольника две
стороны параллельны и равны, то он является паралле-
лограммом.
11.	В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А,
которая пересекает сторону ВС в точке Е. Определите
отрезки BE и ЕС, если АВ — 9 см, AD = 15 см. (У к а-
з а н и е. Докажите, что треугольник АВЕ равнобедрен-
ный с основанием АЕ.)
12.	Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а пе-
риметр его равен 2,8 м. Найдите стороны.
13.	В параллелограмме ABCD прямая BF, перпендикуляр-
ная AD, делит сторону AD пополам. Найдите диагональ
BD и стороны параллелограмма, если известно, что пе-
риметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр тре-
угольника ABD равен 3 м.
14.	Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диа-
гонали; 2) по стороне и двум диагоналям.
15.	Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу;
2) по диагоналям и углу между ними.
16.	Докажите, что если у параллелограмма все углы равны,
то он является прямоугольником.
17.	Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны,
то он является прямоугольником.
18.	В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит
от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей сто-
роны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите
стороны прямоугольника.
19.	Из одной точки окружности проведены две взаимно пер-
пендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см
и 10 см. Найдите их длину.
20.	В прямоугольный треугольник, каждый катет которого
равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треуголь-
ником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.
21.	В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан
бв
прямоугольник так, что две его вершины находятся на
гипотенузе, а две другие — на катетах. Чему равны сто-
роны прямоугольника, если известно, что они относятся
как 5 : 2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?
22.	Докажите, что если у параллелограмма диагонали пер-
пендикулярны, то он является ромбом.
23	Докажите, что если диагональ параллелограмма являет-
ся биссектрисой его углов, то он является ромбом.
24.	Углы, образуемые диагоналями* ромба с одной из его
сторон, относятся как 4 : 5. Найдите углы ромба.
25.	В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите
углы ромба.
26.	Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из
этого угла; 2) по диагонали и противолежащему углу.
27.	Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум
диагоналям.
28.	В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый
катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним об-
щий угол. Найдите периметр квадрата.
29.	Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены
равные отрезки AAi = BBt = CCt — DDX. Докажите,
что четырехугольник AiBiC1Dl — квадрат.
30.	Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его является
диагональю другого квадрата. Найдите сторону второго
квадрата.
31.	Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его явля-
ется стороной другого квадрата. Найдите диагональ вто-
рого квадрата.
32.	В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой его
стороне находится одна вершина прямоугольника и
стороны прямоугольника параллельны диагоналям ква-
драта. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна
из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата
равна 12 м.
33.	В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан
квадрат так, что две его вершины находятся на гипоте-
нузе, а другие две — на катетах. Найдите сторону ква-
драта, если известно, что гипотенуза равна 3 м.
34.	Из внешней точки проведены к окружности две взаимно
•перпендикулярные касательные; радиус круга 10 см.
Найдите длины касательных.
3*
67
35.	Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдите
стороны треугольника, вершинами которого являются
середины сторон данного треугольника.
36.	Периметр треугольника равен 12 см; середины сторон
соединены отрезками. Найдите периметр полученного
треугольника.
37.	Докажите, что середины сторон четырехугольника явля-
ются вершинами параллелограмма.
38.	Найдите стороны параллелограмма из задачи 37, если
известно, что диагонали четырехугольника равны 10 м
и 12 м.
39.	Боковая сторона трапеции разделена на три равные ча-
сти и из точек деления проведены к другой стороне отрез-
ки, параллельные основаниям. Определите длины этих
отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.
40.	Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основа-
нии равны.
41.	Определите углы равнобокой трапеции, если известно,
что разность противолежащих углов равна 40°.
42.	В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м,
боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60°. Найдите
меньшее основание.
43.	В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины
тупого угла, делит большее основание на отрезки 6 см и
30 см. Найдите основания трапеции.
44.	Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой
стороне, а диагональ перпендикулярна к боковой сторо-
не. Найдите углы трапеции.
45.	По одну сторону от данной прямой даны две точки А и
В на расстоянии 10 м и 20 м от нее. Найдите расстояние от
середины отрезка АВ до данной прямой.
46.	По разные стороны от данной прямой даны две точки А
и В на расстоянии 10 см и 4 см от нее. Найдите расстоя-
ние от середины отрезка АВ до данной прямой.
47.	Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагона-
лей трапеции, параллелен основаниям и равен полураз-
ности оснований.
48.	Основания трапеции относятся как 2 : 3, а средняя ли-
ния равна 5 м. Найдите основания.
49.	Концы диаметра удалены от касательной на 1,6 м и 0,6 м.
Найдите длину диаметра.
68
50	Постройте трапецию по основаниям и боковым сто*
ронам.
51	Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
§ 7. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Косинус угла
Пусть а — острый угол с вершиной А (рис. 83). Отметим
на одной из его сторон произвольную точку В и опустим из
этой точки перпендикуляр ВС на другую сторону угла. Ко-
АС
синусом угла а (обозначается cos а) называется отношение —:
АС
cos а = —.
АВ
Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной
меры угла.
Доказательство. Теоремой утверждается, что
величина косинуса не зависит от выбора точки В на стороне
угла и косинусы равных углов равны.
Начнем с первого утверждения теоремы. Возьмем на сто-
роне АВ угла точку В± и опустим из нее перпендикуляр BtCt
на сторону угла АС (рис. 84). Докажем, что
АСг __ АС
ABt ~ АВ
Допустим, что	—. На- АВг АВ АС	АС пример, —-> —. Возьмем на от- АВг АВ резке АС± точку С2 так, чтобы АС2 _ АС ъ * —— —. Разобьем отрезок АС на АВХ АВ большое число п равных частей и про- ведем через точки деления прямые, параллельные прямой ВС. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отре- зок АВ на п равных отрезков. При достаточно большом п на отрезке С^С^ будут точки деления. Обозначим одну из них через У. Пусть а = —, ъ = — и пусть m — п	п	Bs •4*	С Ряс. 83 fix Д‘' Сг	с Рис. 84 69
число малых отрезков раз-
биения, которые лежат на
отрезке AY. Имеем: АС = па,
АВ = nb, AY = та, АХ =
= mb. Мы видим, что
AC AY
АВ~ АХ ‘
Заменим в правой части ра-
венства величину AY мень-
шей величиной АС2, а вели-
чину АХ — большей: АВХ. Тогда правая часть уменьшится
АС АС, к	s	п А& АС,
и мы получим: — > —А по выбору точки С» — = —
АВ ABi	АВ АВ}
Мы пришли к противоречию. Первое утверждение теоремы
доказано.
Докажем второе утверждение (рис. 85). Возьмем любой
угол, равный данному. Пусть — его вершина. Отложим
на одной стороне этого угла отрезок А^В^ равный АВ, и
опустим перпендикуляр В1С1 на другую сторону. Прямо-
угольные треугольники АВС и А1В1С1 равны по гипотенузе
и острому углу. Отсюда следует, что АС = AjC^ А так как
АВ = А1В1, то
AC А1С1
АВ ~ А1В1*
Теорема доказана полностью.
Задача (1). Постройте угол, зная, что его косинус
5
равен —.
Решение. Строим прямоугольный треугольник с ка-
тетом 5 и гипотенузой 13 единиц длины. У этого треугольника
угол, противолежащий второму катету, будет искомым.
Теорема Пифагора
Т е о р е м а 7.2 (Теорема Пифагора1). В прямоугольном
треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов.
1 Пифагор — древнегреческий ученый, живший в VI в. до н. э.
70
Доказательство. Пусть
ДВС — данный прямоугольный тре-
угольник с прямым углом С. Проведем
высоту CD из вершины прямого угла С
(рис. 86).
По определению косинуса угла
л с ас	Ряс. 81
СОЗ А = — = — • Отсюда А В. AD=AC2.
АС АВ
Аналогично cos В —	Отсюда АВ • BD = ВС2.
Складывая полученные равенства почленно и замечая, что
AD + DB = АВ, получим:
АС2 + ВС2 = АВ (AD + DB) = АВ2.
Теорема доказана.
Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном тре-
угольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Отсюда в
свою очередь следует, что cos а < 1 для любого острого
угла а.
Задача (16). Найдите радиус окружности, описанной
около равнобедренного треугольника
с основанием а и боковой стороной Ь.
Решение. Находим высоту CD
(рис. 87), опущенную на основание. По
теореме Пифагора
cd = Vac2—ad2 = ь2—
Обозначим радиус описанной окружно-
сти через R. Если центр окружности
лежит на высоте CD (рис. 87, а), то OD =
= CD — R. Если центр окружности
лежит на продолжении высоты
(рис. 87, б), то OD = R — CD. По тео-
реме Пифагора АО2 = OD2 + AD2.
Значит,
Л!=(-*)'+(!)’•
Отсюда находим:
71
Пусть BA — перпендикуляр, опущен-
ный из точки В на прямую а, и С
любая точка прямой а, отличная от А.
Отрезок ВС называется наклонной, про-
веденной из точки В к прямой а (рис.
88). Точка С называется основанием на-
клонной. Отрезок АС называется про-
екцией наклонной.
Из теоремы Пифагора следует, что если из одной точки к
прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то наклонная
больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные
проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция
больше.
Соотношения между углами и сторонами прямоугольного
треугольника
Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым
углом С и острым углом при вершине А, равным а (рис. 89).
Согласно определению cos а = Таким образом, cos а
равен отношению катета, прилежащего к углу ы, к гипо-
тенузе.
Синусом угла а (обозначается sin а) называется отношение
противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ:
вс
sm а = —.
АВ
Тангенсом угла а (обозначается tg а) называется отноше-
ние противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС:
ВС
tga = —.
АС
Синус и тангенс угла, так же как и косинус, зависят толь-
ко от величины угла.
Действительно, по теореме Пифагора
ВС = У АВ2 —АС2',
. ВС . /'	/ЛС\2	,/-=----5-
sin а = — = 1 / 1 — — =У 1 — cos2 а.
АВ V \АВ/
Так как cos а зависит только от величины угла, то и sin а
зависит только от величины угла. Далее,
. ВС ВС AC sin а
tg а = — = — : — =---------------------•
* AC АВ АВ cos а
72
Отсюда видно, что и tg а зависит только от величины угла.
Из определения sin a, cos а и tg а получаем следующие
правила.
Катет, противолежащий углу а равен произведению гипо-
тенузы на sin а.
Катет, противолежащий углу а, равен произведению гипо-
тенузы на cos ос.
Катет, противолежащий углу а, равен произведению вто-
рого катета на tg ос.
Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоуголь-
ного треугольника и острый угол, находить две другие сто-
роны; зная две стороны, находить острые углы.
Задача (31). В прямоугольном треугольнике даны ги-
потенуза с и острый угол а. Найдите катеты, их проекции на
гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
Решение (рис. 90). АС = АВ cos а = с cos а;
ВС = АВ sin а = с sin а; BD = ВС sin а = с sin2 а; AD =
= AC cos а = с cos2 а; CD = AC sin а — с sin а cos а.
Для sin а, cos а и tg а составлены специальные таблицы.
Эти таблицы позволяют для данного угла а найти sin a, cos а
и tg а или по значениям sin а, cos а, tg а найти соответствую-
щий угол.
Задача (32). Пользуясь таблицами тригонометриче-
ских функций, найдите sin 20°, cos 40°, tg 50°. Найдите углы х,
У, г, для которых sin х = 0,33, cos у = 0,25, tg г — 2.
Ответ, sin 20° = 0,3420; cos 40° = 0,7660; tg 50° =*
= 1,192; х = 19°16'; у = 75°31'; г = 63°25'.
Отметим следующие тождества:
sin2 а + cos2 а = 1,
tg2 а + 1 = —-—,
cos2 а
73
1Н---— = —.
tg2 a sin2 a
Первое из них следует из теоремы Пифагора для треуголь-
ника АВС (см. рис. 89):
ВС2 + АС2 = АВ2.
Разделим обе части равенства на АВ2:
вс2 ас2 __ 1
АВ* + АВ2
Отсюда sin2 a + cos2 a = 1. Второе тождество получа-
ется из первого делением на cos2 а, а третье — делением на
sin2 a.
Значение этих тождеств заключается в том, что они по-
зволяют, зная одну из величин sin a, cos а или tg a, найти
две другие.
§
Задача (44). Известно, что cos а = —. Найдите sin a
и tg a.
Решение. Так как sin2 a + cos2 a = 1, то
sin a = V1 — cos2 a = 1/ 1 — f ;
У \13/	13
. sin a 12
tga=-----= —.
cos a 5
Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов
Теорема 7.3. Для любого острого угла a
sin (90° — a) = cos a, cos (90° — a) = sin a.
Доказательство. Пусть ЛВС — прямоугольный
треугольник с острым углом а при вершине Л. (см. рис. 89).
Тогда острый угол при вершине В равен 90° — а. Согласно
определению
вс	АС
sin а = —, cos a = —;
АВ	АВ
sin (90э — а) = —, cos (90° — а) = —.
'	АВ	АВ
Из второго и третьего равенств получаем: sin (90° — a) =
= cos а. Из первого и четвертого равенств получаем:
cos (90°— a) = sin а. Теорема доказана.
Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°. Для этого по-
74
строим прямоугольный треугольник с
острым углом 45°. Второй его острый
угол тоже 45°, поэтому треугольник равно-
бедренный. Пусть катеты треугольника
равны а. По теореме Пифагора гипотенуза
будет а У2. Находим:
sin 45° = —7=
а/2
cos 45° = -±= = -JL; tg 45° = ± =1.
ау2 у2	а
Найдем синус, косинус и тангенс угла 30°. Возьмем равно-
сторонний треугольник АВС (рис. 91). Проведем в нем медиа-
ну AD. Она будет биссектрисой и высотой. Поэтому треуголь-
ник ABD прямоугольный с острым углом при вершине А
в 30°. Пусть а — сторона равностороннего треугольника. Тог-
да BD =
По теореме Пифагора
АН = УАВ* — BD2= Л/ а2 —=
Г \2/	2
Значит,
sinSO0 =-: а = -;	cos30° = — =
2	2	а 2
По теореме 7.3
sin 60° = cos 30° = УН.; cos 60° = sin 30° = —;
2	2
tg60° = —0= = 1/'3?
cos 60°
Изменение since, cos а и tgce при возрастании угла а
Теорема?.4. При возрастании острого угла sin а в tga
возрастают, a cos а убывает.
Доказательство. Пусть а и ₽ — острые углы,
причем a < р. Отложим углы а и Р от полупрямой АВ в
75
одну полуплоскость (рис. 92). Про-
ведем через точку В прямую, перпен-
дикулярную АВ. Она пересекает сто-
роны наших углов в точках С и D.
Так как а < Р, то точка С лежит меж-
ду В и D. Поэтому ВС < BD. А
значит, по свойству наклонных, про-
веденных из одной точки к прямой,
АС < AD. Так как
АВ	о АВ
сова — —, cos8 = —,
АС	1	AD
то cos а > cos Р, т. е. при возрастании угла косинус убывает.
Так как sin а = ]Л1 — cos2 a, a cos а убывает при воз-
растании угла, то sin а возрастает.
Так как tg а — и sin а возрастает, a cos а убывает
cos а
при возрастании а, то tg а возрастает при возрастании а.
Теорема доказана.
Неравенство треугольника
Если точки А и В различны, то расстоянием между ними
называется длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают,
то расстояние между ними принимается равным нулю.
Неравенством треугольника называется свойство расстоя-
ний между тремя точками, которое выражается следующей
теоремой.
Теорема 7.5. Каковы бы ни были три точки, расстояние
между любыми двумя из этих точек не больше суммы их рас-
стояний от третьей точки.
Доказательство. Пусть А, В, С — три данные
точки. Если две точки из трех или все три точки совпадают,
то утверждение теоремы очевидно. Если все точки различны
и лежат на прямой, то одна из них лежит между двумя дру-
гими, например В. В этом случае АВ 4-
+ ВС = АС. Отсюда видно, что каж-
дое из трех расстояний не больше сум-
мы двух других.
Допустим теперь, что точки не ле-
жат на одной прямой (рис. 93). Дока-
жем, что АВ < АС + ВС. Опустим
76
перпендикуляр CD на прямую АВ. Так как	-----
в прямоугольном треугольнике катет мень- ___________\в
ше гипотенузы, то AD < AC, BD < ВС. /
По доказанному АВ < AD + BD. Сле-	I
довательно, АВ < АС + ВС. Теорема до- \ .	/
казана.	х.
Заметим, что в случае, когда точки не
лежат на одной прямой, в неравенстве тре- Рис. 94
угольника — строгое неравенство. Это зна-
чит, что в любом треугольнике каждая сторона меньше сум-
мы двух других сторон.
Задача (50). Докажите, что любая хорда окружности
не больше диаметра и равна ему только тогда, когда сама
является диаметром.
Решение. По неравенству треугольника АВ О А +
+ OB = 2R (рис. 94), и если центр О не лежит на отрезке
АВ, то неравенство строгое. Равенство имеет место толь-
ко в случае, когда хорда проходит через центр, т. е. является
диаметром.
Вопросы для повторения
1.	Что такое косинус острого угла?
2.	Докажите, что косинус угла зависит только от градусной
меры угла.
3.	Докажите теорему Пифагора.
4.	Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипоте-
нуза больше любого из катетов.
5.	Докажите, что косинус острого угла меньше 1.
6.	Докажите, что если из одной точки к прямой проведены
перпендикуляр и наклонная, то наклонная больше пер-
пендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции,
из двух наклонных больше та, у которой проекция
больше.
7.	Что такое синус и тангенс острого угла? Докажите, что
они зависят только от градусной меры угла.
8.	Как выражается катет прямоугольного треугольника
через гипотенузу и острый угол, через острый угол и
другой катет?
9.	Докажите тождества:
sin2 а-|-cos2 а = 1; tg2 а + 1 = —i—;	1-1_— = - Х—.
cos2 а	tg2 а sin2 а
77
10.	Докажите, что для любого острого угла а
sin (90® — а) = cos а, cos (90° — а) = sin а.
11.	Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для
углов 30®, 45°, 60°?
12.	Докажите, что при возрастании острого угла sin а и
tg а возрастают, a cos а убывает.
13.	Докажите «неравенство треугольника».
14.	Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше
суммы двух других сторон.
Упражнения
1.	Постройте угол, зная, что его косинус равен
2.	Стороны прямоугольника равны 60 см и 91 см. Чему рав-
на диагональ?
3.	Диагонали ромба равны 6 м и 8 м. Найдите сторону
ромба.
4.	Диагональ квадрата равна а. Чему равна сторона квад-
рата?
5.	Можно ли из круглого листа железа диаметром 1,4 м
вырезать квадрат со стороной 1 м?
6.	Катет прямоугольного треугольника равен 5 м, а его
проекция на гипотенузу 3 м. Найдите гипотенузу и вто-
рой катет.
7.	Докажите, что катет прямоугольного треугольника яв-
ляется средним пропорциональным между гипотенузой
и проекцией этого катета на гипотенузу.
8.	Докажите, что высота прямоугольного треугольника,
опущенная из вершины прямого угла, есть среднее про-
порциональное между проекциями катетов на гипоте-
нузу.
9.	Проекции катетов прямоугольного треугольника на ги-
потенузу равны 9 см и 16 см. Найдите катеты.
10.	Даны отрезки а и Ь. Как построить отрезок:
1)	У а2 + Ь2;	2) Уа2 — Ъ2, а > ЬЧ	_
11.	Даны отрезки а та Ь. Как построить отрезок с = УаЬ?
12.	Между двумя фабричными зданиями устроен покатый
желоб для передачи материалов. Расстояние между зда-
ниями равно 10 м, а концы желоба расположены на высо-
те 8 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба.
78
13.	Стороны прямоугольника равны а и Ъ. Найдите радиус
описанной окружности.
14.	В окружность вписан прямоугольник, стороны которого
относятся как 8 : 16. Найдите эти стороны, если радиус
окружности 34 см.
15.	В равнобедренном треугольнике боковая сторона 17 см, а
основание 16 см. Найдите высоту, опущенную на осно-
вание.
16.	Найдите радиус окружности, описанной около равно-
бедренного треугольника с основанием а и боковой сто-
роной Ь.
17.	В равностороннем треугольнике со стороной а найдите
высоту.
18.	В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 24 см,
боковая сторона 25 см. Найдите высоту трапеции.
19.	В равнобокой трапеции боковая сторона равна 41 см,
высота 40 см, а средняя линия 45 см. Найдите основания.
20.	Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см, а высота,
опущенная на основание, 24 см. Найдите основание.
21.	Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см, а основание
25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на
основание.
22.	Решите задачу'21, приняв основание равным 11 см.
23.	Найдите высоты треугольника, у которого стороны 13 см,
14 см и 15 см.
24.	Из точки В к прямой а проведена наклонная. Докажите,
что из точки В к прямой а можно провести еще одну на-
клонную той же длины.
25.	Можно ли провести из данной точки вне прямой три на-
клонные равной длины? Объясните ответ.
26.	У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а
синус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдите
гипотенузу и второй катет.
27.	Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедрен-
ный треугольник с основанием а и боковой стороной Ь.
28.	Найдите радиус г вписанной и радиус R описанной ок-
ружностей для равнобедренного треугольника с основа-
нием 10 см и боковой стороной 13 см.
29.	В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а, а
один из острых углов а. Найдите второй острый угол и
катеты.
79
30.	В прямоугольном треугольнике катет равен а, а проти-
волежащий ему угол а. Найдите второй острый угол,
противолежащий ему катет и гипотенузу.
31.	В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и
острый угол а. Найдите катеты, их проекции на гипоте-
нузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
32.	Пользуясь таблицами тригонометрических функций, най-
дите sin 20°, cos 40°, tg 50°. Найдите углы х, у, 2, для
которых sin х = 0,33, cos у = 0,25, tg 2 = 2.
33.	Высота равнобедренного треугольника равна 12,4 м,
а основание 40,6 м. Найдите углы треугольника и боко-
вую сторону.
34.	Отношение катетов прямоугольного треугольника равно
38 : 56. Найдите его углы.
35.	Стороны прямоугольника равны 12,4 и 26. Найдите угол
между диагоналями.
36.	Диагонали ромба равны 4,73 и 2,94. Найдите его углы.
37.	Сторона ромба 241 м, высота 120 м. Найдите углы.
38.	Радиус окружности равен 5 м. Из точки, отстоящей от
центра на 13 м, проведены касательные к окружности.
Найдите длину касательных и угол между ними.
39.	Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого
равна 7 м, составляет 4 м. Выразите в градусах высоту
солнца над горизонтом.
40.	Основание равнобедренного прямоугольного треуголь-
ника равно а. Найдите боковую сторону.
41.	В прямоугольном треугольнике с гипотенузой а и острым
углом 60° найдите катет, противолежащий этому углу.
42.	Найдите радиус г окружности, вписанной в равносторон-
ний треугольник со стороной а, радиус R окружности,
описанной около него.
43.	В треугольнике больший угол при основании равен 45°,
а высота делит основание на части 20 см и 21 см. Найдите
большую боковую сторону.
§
44.	Известно, что cos а = —. Найдите sin а и tg а.
45.	Известно, что sin а = 0,8. Найдите cos а и tg а.
g
46.	Постройте угол а, если известно, что sin а = —.
5
47.	Постройте угол а, если известно: 1) cos а =	;
2)	tg а = 3.
80
48.	У прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С
угол А больше угла В. Какой из катетов больше: АС
f	или ВС?
49	У прямоугольного треугольника АВС катет ВС больше
катета АС. Какой угол больше: А или В? Объясните
ответ.
50.	Докажите, что любая хорда окружности не больше диа-
метра и равна ему только тогда, когда сама является диа-
метром.
51.	Внутри окружности радиуса R взята точка на расстоя-
нии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее рас-
стояния от этой точки до точек окружности.
,	52. Вне окружности радиуса R взята точка на расстоянии d
от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстоя-
ния от этой точки до точек окружности.
:	53. Могут ли пересекаться окружности, центры которых
находятся на расстоянии 20 см, а радиусы 8 см и 11 см?
Объясните ответ.
54.	Могут ли пересекаться окружности, центры которых на-
ходятся на расстоянии 5 см, а радиусы 6 см и 12 см? Объяс-
ните ответ.
55.	Докажите, что окружности в задаче 53 находятся одна
вне другой, а в задаче 54 окружность радиуса 6 см на-
’	ходится внутри окружности радиуса 12 см.
56.	Могут ли пересекаться окружности с радиусами и
Я2 и расстоянием между центрами d, если Rt + R2 <
< d?
§ 8. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
Введение координат на плоскости
Проведем на плоскости через точку О две взаимно перпен-
дикулярные прямые х и у — оси, координат (рис. 95). Ось х
In (она обычно горизонтальна) называется осью абсцисс, а ось
У — осью ординат. Точкой пересечения О — началом коор-
динат — каждая из осей разбивается на две полуоси. Усло-
вимся одну из них называть положительной, отмечая ее стрел-
кой, а другую — отрицательной.
Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел —
координаты точки — абсциссу (х) и ординату {у) по такому
правилу.
81

Рис. 95
Ау<
I!
+)
HI
Рис. 96
(+,+)
IV
(+,-)
Рис. 97
л
Ax X
Через точку А проведем прямую, параллельную оси ор-
динат у (рис. 96). Она пересечет ось абсцисс х в некоторой
точке Ах. Абсциссой точки А мы будем называть число х,
абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О
до Ах, — положительное, если Ах принадлежит положитель-
ной полуоси, отрицательное, если Ах принадлежит отрица-
тельной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат у, то
полагаем х равным нулю.
Ордината (у) точки А определяется аналогично. Через
точку А проведем прямую, параллельную оси абсцисс х
(см. рис. 96). Она пересечет ось ординат у в некоторой точке
Ау. Ординатой точки А мы будем называть число у, абсолют-
ная величина которого равна расстоянию от точки О до Ау, —
положительное, если Ау принадлежит положительной полу-
оси, отрицательное, если Лу принадлежит отрицательной
полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем
у равным нулю.
Координаты точки будем записывать в скобках рядом с
буквенным обозначением точки, например А (х, у) (на первом
месте — абсцисса, на втором — ордината).
Оси координат разбивают плоскость на четыре части —
четверти — I, II, III, IV (рис. 97). В пределах одной четвер-
ти знаки обеих координат сохраняются и имеют значения,
указанные на рисунке.
Точки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты
(у = 0), а точки оси у (оси ординат) — равные нулю абсцис-
сы (х = 0). У начала координат абсцисса и ордината равны
нулю.
Плоскость, на которой введены описанным выше способом
координаты х и у, будем называть плоскостью ху. Произволь-
ную точку на этой плоскости с координатами х и у будем иног-
да обозначать просто (х, у).
82
Введенные на плоскости координаты х, у называются
декартовыми по имени французского математика Р. Декарта
£1596_1650), который впервые применил их в своих иссле-
дованиях.
Задача (9). Даны точки А (—3, 2) и В (4, 1). Дока-
жите, что отрезок АВ пересекает ось у, но не пересекает ось х.
Решение. Ось у разбивает плоскость ху на две полу-
плоскости. В одной полуплоскости абсциссы точек положи-
тельны, а в другой отрицательны. Так как у точек А и. В
абсциссы противоположных знаков, то точки А и В — в раз-
ных полуплоскостях. А это значит, что отрезок АВ пересека-
ет ось у.
Ось х также разбивает плоскость ху на две полуплоско-
сти. В одной полуплоскости ординаты точек положительны,
а в другой отрицательны. У точек А та. В ординаты одного
знака (положительны). Значит, точки А и В лежат в одной
полуплоскости. А следовательно, отрезок АВ не пересекает-
ся с осью х.
Координаты середины отрезка
Пусть А (хг, У1) и В (х2, у2) — две произвольные точки и
С (х, у) — середина отрезка АВ. Найдем связь между коорди-
натами точки С и координатами точек А и В. Допустим,
что Хх #= х2, т. е. отрезок АВ не параллелен оси у. Проведем
через точки А, В, С прямые, параллельные оси у (рис. 98).
Они пересекут ось х в точках Ах (хг, 0), Вх (х2, 0),	(х, 0).
Точка будет серединой отрезка ALBL.
Так как точка Сх — середина отрезка АхВх, то АхСх —
— BLClt а значит, |х— хх | = |х — х2|. Отсюда следует, что
либо х — Хх = (х — ха), либо х — хх = — (х — х2). Первое
равенство невозможно, так как хх =И= х2.
Поэтому верно второе. А из него по-
лучается формула
X =	+
2
Если Хх = х2, т. е. отрезок АВ па-
раллелен оси у, то все три точки Ах,
81» Сх имеют одну и ту же абсциссу.
Поэтому формула остается верной и
в этом случае.
83
Ордината точки С находится аналогично. Через точки
А, В, С проводятся прямые, параллельные оси х. Получается
формула	।
и = У1 + Уг
V 2	*
Задача (17). Даны три вершины параллелограмма
ABCD А (1, 0), В (2, 3), С (3, 2). Найдите координаты чет- '
вертой вершины (О) и точки пересечения диагоналей.	!
Решение. Точка пересечения диагоналей является ;
серединой каждой из них. Поэтому она является серединой i
отрезка АС, а значит, имеет координаты	j
1	’ 2. у, i;;
2	У 2	. J
Теперь, зная координаты точки пересечения диагоналей, на-
ходим координаты х, у четвертой вершины D. Пользуясь
тем, что точка пересечения диагоналей является серединой
отрезка BD, имеем:
2 4~х __ 2	4~ У _ J
2	’	2
Отсюда х = 2, у = —1.
Расстояние между точками
Пусть на плоскости ху даны две точки: Ах с координатами
«i, z/j и с координатами xz, у2. Выразим расстояние между
точками Аг и А2 через координаты этих точек.
Допустим, что xt =£ х2 и уг =£ у 2. Проведем через точки
Al и А2 прямые, параллельные осям координат (рис. 99).
Расстояние между точками А и Аг равно |уг —у2\, а расстоя-
ние между точками А и. Az равно \х± — х2|. Применяя к пря-
моугольному треугольнику AAiA2 теорему Пифагора, по-
лучим:
dz = («1 — х2)2 + (i/i — у2)2,	(*)
где d — расстояние между точками Ai
и Аг.
Хотя формула (*) для расстояния
между точками выведена нами в пре-
дположении хг =/= xz, ух ¥= у2, она ос-
тается верной и в других случаях.
Действительно, если хх = х2, уг =#=!/«»
84
TO d равно lyi— Уг\- Тот же результат дает и формула (*).
Аналогично при хг =/= х$, У1 — у2. При Xj = х%, У1 — Уа
точки Л1 и А2 совпадают и формула (*) дает d = 0.
Задача (27). Найдите на оси х точку, равноудаленную
от точек (1, 2) и (2, 3).
Решение. Пусть (х, 0) — искомая точка. Приравни-
вая ее расстояния до данных точек, получим:
(х _ 1)2 + (0 - 2)2 = (х - 2)2 + (0 - З)2.
Отсюда находим: х = 4. Таким образом, искомая точка есть
(4, 0).
Уравнение окружности
Уравнением фигуры на плоскости в декартовых координа-
тах называется такое уравнение с двумя неизвестными х и у,
что координаты любой точки фигуры являются решением
этого уравнения, а координаты любой точки, не принадлежа-
щей фигуре, не являются его решением.
Составим уравнение окружности с центром в точке
Ао (а, Ь) и радиусом R (рис. 100). Возьмем произвольную точ-
ку А (х, у) на окружности. Ее расстояние от центра Ао рав-
но В. Квадрат расстояния от точки А до Ао равен (х — а)2 4-
4- (у — б)2. Таким образом, координаты х, у каждой точки А
окружности удовлетворяют уравнению
(х — а)2 4- (У — Ъ)2 = В2.	(*)
Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетво-
ряют уравнению (*), принадлежит окружности, так как ее
расстояние от точки Ао равно В. Отсюда следует, что уравне-
ние (*) действительно является уравнением окружности с
центром Ао и радиусом В.
Заметим, что если центром окруж-
ности является начало координат, то
уравнение окружности имеет вид:
х2 4- у2 = В2.
Задача (29). При каком условии
окружности с радиусами а и Ъ и рас-
стоянием между центрами с пересека-
ются?
8$
:¥
' К-
Решение. Пусть О и Ох — центры окружностей. При-
мем точку О за начало декартовой системы координат, а полу-
прямую ООг за положительную полуось х. Уравнения окруж-
ностей будут:
х2 + у2 — а2, (х — с)2 + у2 = Ь2.	(**)
Если окружности пересекаются, то координаты х, у точ-
ки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям (**). И !
обратно, если система уравнений (**) имеет решение, т. е. '.
существуют хну, удовлетворяющие обоим уравнениям, то
они являются координатами точки пересечения окружностей.
Число точек пересечения (если окружности пересекаются)
равно числу решений системы.
Будем решать систему уравнений (**). Для этого сначала j
вычтем уравнения почленно. Получим: 2сх — с2 — а2 — Ъ2. г
^2 _1 с2___________ £2
Отсюда х = ——--------. Подставляя это значение х в первое
2с
уравнение, получим:
/а2+с2_&2х2
(----S----) + ^ = ° 
Отсюда
Преобразуем подкоренное выражение как разность квадратов:
I . а2 + с2 — b2 \ /	а2 + с2 — Ь2 \
а Ч---!------ а------—------- =
\	2с )\	2с /
== (2ас + а2 + с2 — Ь2) (2ас — а2 — с2 Ь2) ==
= Л + с>2 -	- (а - с)2] =
4СЛ
= -?-(а + Ь + с)(а + с — &)(& 4- а — с)(Ъ — а + с).
4с2
Итак,
= ± ~ К(а + & + с)(а + с — Ь)(а + & — с)(Ь + с — а).
Отсюда видно, что если а + с > Ь, а+&>сиЬ+с>а,
то подкоренное выражение положительно и, следовательно,
система (**) имеет решения. Причем таких решений будет
два. Одно отвечает знаку «+» перед корнем, а второе — знаку
«—». Соответственно окружности пересекаются в двух
точках.
88
Если хотя бы один из сомножителей а + с — Ъ, а 4- Ь — с,
& । с __ а равен нулю, то система (♦♦) имеет одно решение.
Окружности касаются.
Если один из сомножителей под знаком корня отрица-
телен, то система (♦♦) не имеет решений и окружности не
пересекаются. Два сомножителя под знаком корня не могут
быть отрицательными, так как тогда их сумма отрицательна.
А она заведомо положительна. Например, если а + с — Ь <
< 0 и а + Ъ — с <0, то их сумма (а + с — Ь) + (а + b —
__с) = 2а < 0. А это невозможно. Точно так же будет и в
других случаях.
Таким образом, если одно из чисел а, Ъ, с больше суммы
двух других, то окружности не пересекаются; если одно из
этих чисел равно сумме двух других, то окружности касают-
ся; если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то
окружности пересекаются в двух точках.
Уравнение прямой
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах
х, у имеет уравнение вида
ах Ц- Ьу + с = 0»
(*)
Пусть h — произвольная прямая на плоскости ху. Прове-
дем какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой Л,
и отложим на ней от точки пересечения С с прямой h равные
отрезки CAt и CAt (рис. 101).
Пусть alt bi — координаты точки At п аг, Ъ2 — координа-
ты точки А2. Как мы знаем, любая точка А (х, у) прямой Л
равноудалена от точек Ai и А2. Поэтому координаты ее удов-
летворяют уравнению
(X _ в1)2 (у _ &1)2 = (х _ а2)г +
Обратно, если координаты х и у ка-
кой-нибудь точки удовлетворяют урав-
нению (**), то эта точка рав'цруда-
лена от точек Ах и А2, а значит, при-
надлежит прямой h. Таким образом,
уравнение (**) является уравнением
прямой h. Если в этом уравнении рас-
крыть скобки и перенести все члены
Уравнения в левую часть его, то оно
(У - &а)2-	(**)
87
примет вид (*):
2 (йа — аг)х + 2 (ba — bi)y -|- (of -f- bf — of — bf) — 0.
Утверждение доказано.
Задача (41). Составьте уравнение прямой, которая
проходит через точки А (—1, 1), В (1, 0).
Решение. Как мы знаем, наша прямая имеет уравне-
ние вида ах + by + с = 0. Точки А и В лежат на прямой, а
значит, их координаты удовлетворяют этому уравнению. Под-
ставляя координаты точек А и В в уравнение прямой, по-
лучим:
—о + Ь+ с=О, а + с = 0.
Из этих уравнений можно выразить два коэффициента,
например а и Ь, через третий (с). Получим: а — —с, Ъ = —2с.
Подставляя эти значения а и b в уравнение прямой, получим:
—сх — 2су + с = 0.
На с можно сократить. Тогда получим уравнение
—х — 2у 4- 1 =0.
Это и есть уравнение нашей прямой.
Расположение прямой относительно осей координат
Выясним, как расположена прямая относительно осей ко-
ординат, если ее уравнение ах + by + с = 0 имеет тот или
иной частный вид.
1.	а — 0, b =Н= 0. В этом случае уравнение прямой можно
переписать так:
С
Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же орди-
( с \
натуг----, следовательно, прямая параллельна оси х
\ ь /
(рис. 102, а). В частности, если и с = 0, то прямая совпа-
дает с осью х.
2.	Ь == 0, а =/= 0. Этот случай рассматривается аналогич-
но. Прямая параллельна оси у (рис. 102, б) и совпадает с
ней, если и с = 0.
3.	с = 0, а2 + Ь2 =#= 0. Прямая проходит через начало
координат, так как его координаты (0, 0) удовлетворяют
уравнению прямой (рис. 102, в).
88
Рис. 102
Пересечение прямой с окружностью
Рассмотрим, вопрос о пересечении прямой с окружностью.
Пусть R — радиус окружности и d — расстояние от центра
окружности до прямой. Примем центр окружности за начало
координат, а прямую, перпендикулярную к данной, за ось х.
Тогда уравнение окружности есть х2 + у2 = 2?2, а уравнение
прямой есть х = d. Для того чтобы прямая и окружность пе-
ресекались, надо, чтобы система двух уравнений
х2 + у2 = R2, х — d
имела решение. И обратно, всякое решение этой системы дает
координаты х, у точки пересечения прямой с окружностью.
Решая нашу систему, получим:
х = d, у = ± VR2 — d2.
Из выражения для у видно, что система имеет два решения,
т. е. окружность и прямая имеют две точки пересечения,
если R > d. Система имеет одно решение (прямая и
окружность касаются), если R — d. Система не имеет реше-
ния, т. е. прямая и окружность не пересекаются, если R< d.
Определение синуса, косинуса и тангенса
для любого угла от 0° до 180°
До сих пор значения синуса, косинуса и тангенса были
определены только для острых учетов. Теперь мы определим
их для любого угла от 0° до 180°. Возьмем окружность на пло-
скости ху с центром в начале координат и радиусом R
(рис. 103). Пусть а — острый угол, который образует радиус
О А с положительной полуосью х. Пусть х и у — координаты
точки А. Значения sin a, cos а и tg а для острого угла а
выражаются через координаты точки А. Именно
cos а = —, sin а = —, tg а = — .
R	R	х
89
Определим теперь значения sin a, cos а
и tg а этими формулами для любого уг-
ла а. (Для tg а угол а = 90° исклю-
чается.) При таком определении
sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° = 0,
cos 180° — —1. Считая, что совпадаю-
щие лучи образуют угол 0°, будем
иметь: sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0°= 0.
Теорема 8.1. Для любого угла а
0° < а < 180°, sin (180° — а) = sin а,
cos (180° — а) = — cos а.
Доказательство. Тре-
угольники ОАВ и ОА^Вх равны по ги-
потенузе и острому углу (рис. 104). Из
равенства треугольников следует, что
АВ = AiBu т. е. у = ylt OB — OBlt
следовательно, х = —хх.	Поэтому
sin (180° — а) = — = — =sina,
R R
cos (180° — а) = — = — = —cos а.
R R
Теорема доказана.
Вопросы для повторения
1.	Объясните, как определяются координаты точки.
2.	Какие знаки у координат точки, если она принадлежит
первой (второй, третьей, четвертой) четверти?
3.	Чему равны абсциссы точек, лежащих на оси ординат?
Чему равны ординаты точек, лежащих на оси абсцисс?
Чему равны координаты начала координат?
4.	Выведите формулы для координат середины отрезка.
5.	Выведите формулу для расстояния между точками.
6.	Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах?
7.	Выведите уравнение окружности.
8.	Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет
уравнение вида ах + by + с = 0.
9.	Как расположена прямая, если в ее уравнении ах +
+ by + с — 0 коэффициент а = 0 (коэффициент & = 0,
коэффициент с — 0)?
10.	При каком условии прямая и окружность не пересека-
ются (пересекаются в двух точках, касаются)?
90
11.	Дайте определение синуса, косинуса и тангенса для лю-
бого угла от 0° до 180°.
12.	Докажите, что для любого угла а, 0° < а < 180°,
sin (180° — а) = sin а, cos (180° — а) = —cos а.
Упражнения
1.	Проведите оси координат, выберите единицу длины на
осях, постройте точки с координатами: (1, 2), (—2, 1),
(-1, -3), (2, -1).
2.	Возьмите наудачу четыре точки на плоскости ху. Найдите
координаты этих точек.
3.	На прямой, параллельной оси х, взяты две точки. У одной
из них ордината у = 2. Чему равна ордината другой
точки?
4.	На прямой, перпендикулярной к оси х, взяты две точки.
У одной из них абсцисса х = 3. Чему равна абсцисса
 другой точки?
5.	Из точки А (2, 3) опущен перпендикуляр на ось х. Най-
дите координаты основания перпендикуляра.
6.	Через точку А (2, 3) проведена прямая, параллельная
оси х. Найдите координаты точки пересечения ее с осью у.
7.	Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для
которых абсцисса х = 3.
8.	Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для
которых |х| = 3.
9.	Даны точки А (—3, 2), В (4, 1). Докажите, что отрезок
АВ пересекает ось у, но не пересекает ось х.
10.	Какую из полуосей оси у (положительную или отрица-
тельную) пересекает отрезок АВ в предыдущей задаче?
11.	Найдите расстояние от точки (—3, 4) до оси х (оси у).
12.	Найдите расстояние от точки (—3, 4) до начала коорди-
нат.
13.	На биссектрисе первой четверти взята точка с ординатой
У = 2. Чему равна абсцисса этой точки?
14.	Решите предыдущую задачу, если точка находится на
биссектрисе второй четверти.
15.	Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для
которых х — у.
16.	Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для
которых х = —у.
91
17.	Даны три вершины параллелограмма ABCD'. А (1, 0),
В (2, 3), С (3, 2). Найдите координаты четвертой вер-
шины D и точки пересечения диагоналей.
18.	Докажите, что четыре точки А (—1, —2), В (2,—5),
С (1, —2), D (—2, 1) являются вершинами параллело-
грамма. Найдите точку пересечения его диагоналей.
19.	Найдите координаты середины отрезка с концами (2, 0)
и (0, 2).
20.	Даны один конец отрезка (1, 1) и его середина (2, 2).
Найдите второй конец отрезка.
21.	Докажите, чточетыре точки (3, 0), (1, 0), (1, —2), (3, —2)
являются вершинами квадрата.
22.	Докажите, что четыре точки (1, 0), (—1, 0), (0, 1), (0, —1)
являются вершинами квадрата.
23.	Найдите расстояние между точками: 1) (1, 0) и (3, 0);
2) (1, 0) и (-3, 0).
24.	Докажите, что расстояние между точками оси х (хх, 0)
и (х2, 0) при любых хх и х2 определяется по формуле
d = |х2 — хх|.
25.	Даны три точки А (4, —2), В (1, 2), С (—2, 6). Найдите
расстояния между этими точками, взятыми попарно.
26.	Докажите, что точки А, В, Св предыдущей задаче лежат
на одной прямой. Какая из этих точек лежит между
двумя другими?
27.	Найдите на оси х точку, равноудаленную от точек (1, 2)
и (2, 3).
28.	Найдите точку, равноудаленную от осей координат и
точки (3, 6).
29.	При каком условии окружности с радиусами а и Ь и
расстоянием между центрами с пересекаются?
30.	Докажите, что если каждое из трех положительных чисел
а, Ь, с меньше суммы двух других, то существует треуголь-
ник со сторонами, равными а, Ь, с.
31.	Найдите центр окружности на оси х, если известно, что
окружность проходит через точку (1, 4) и радиус окруж-
ности равен 5.
32.	Найдите координаты точек пересечения окружности
х2 + уг — 8х — 8у + 7 = 0 с осью х.
33.	Найдите координаты точек пересечения двух окружно-
стей
х2 + У2 + 8х — 8у — 8 =0,
92
х2 4- у2 — 8x + 8y — 8 = 0.
34.	Составьте уравнение окружности с центром в точке (1, 2),
касающейся оси х.
35.	Составьте уравнение окружности с центром (—3, 4),
проходящей через начало координат.
36.	Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах 4-1=0 не
пересекается с осью у.
37.	Докажите, что окружность х2 -f- у2 4- 2ах = 0 касается
оси у.
38.	Составьте уравнение геометрического места точек, равно-
удаленных от двух данных точек (0, 1) и (1, 2).
39.	Найдите точки пересечения прямой х 4- 2р 4-3=0 с
осями координат.
40.	Найдите точку пересечения прямых х 4- 2у 4- 3 = 0,
4х 4* 5у 4- 6 — 0.
41.	Составьте уравнение прямой, которая проходит через
точки А (—1, 1), В (1, 0).
42.	Чему равны коэффициенты а и Ъ в уравнении прямой
ах 4- by = 1, если известно, что она проходит через точ-
ки (1, 2) и (2, 1)?
43.	Чему равен коэффициент с в уравнении прямой х 4- У 4-
4- с = 0, если она проходит через точку (1, 2)?
44.	При каком с прямая х 4- У 4- с = 0 касается окружности
х2 + у2 = 1? f
45.	Докажите, что три4прямые х 4- 2у = 3, 2х — У = 1 и
Зх 4- У = 4 пересекаются в одной точке.
46.	Докажите, что прямые х 4- 2у = 3 и 2х 4- 4у — 3 не
пересекаются.
47.	Составьте уравнение прямой, зная, что она параллельна
оси х и проходит через точку (2, 3).
48.	Составьте уравнение прямой, зная, что она проходит через
начало координат и точку (2, 3).
49.	Найдите синус, косинус и тангенс углов 120°, 135°, 150°.
50.	Известно, что tg а = — —. Найдите sin а и cos а.
12
51.	Постройте угол а, если известно, что sin а = —.
5
52.	Постройте угол а, если известно, что cos а — ——.
5
53.	Пользуясь таблицами тригонометрических функций, най-
дите sin 160°, cos 140°, tg 130°.
93

54.	Пользуясь таблицами тригонометрических функций, най-
дите углы, для которых sin ах = 0,2, cos а2 = —0,7,
tg а3 = —0,4.
55.	Докажите, что если cos а = cos 0, то а = 0.
56.	Докажите, что если sin а = sin 0, то либо а — 0, либо
а = 180° — 0.
§ 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР
Примеры преобразований фигур
Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь
образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фи-
гура получена преобразованием из данной. Приведем несколь-
ко примеров.
Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка
плоскости (рис.'105). Возьмем произвольную точку X фигу-
ры F. Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отре-
зок ОХ', равный ОХ. Преобразование фигуры F в фигуру F’,
при котором каждая ее точка X переходит в точку X', по-
строенную указанным способом, называется симметрией от-
носительно точки О.
Если такое преобразование симметрии переводит данную
фигуру в себя, то фигура называется центрально-симметрич-
ной, а точка О называется центром симметрии. Например,
параллелограмм является центрально-симметричной фигурой.
Центром симметрии является точка пересечения диагоналей
(рис. 106).
Второй пример. Пусть F — данная фигура и g — фикси-
рованная прямая (рис. 107). Возьмем произвольную точку X
фигуры и опустим перпендикуляр XX на прямую g. На про-
должении перпендикуляра за точку X отложим отрезок XX",
равный XX. Преобразование фигуры F в F’, при котором каж-
дая точка X переходит в точку X’, построенную указанным
способом, называется симметрией относительно прямой g.
Рис.	Рис. 106
94
Если такое преобразование сим-
ыетрии переводит фигуру F в себя,
то эта фигура называется симметрич-
ной относительно прямой St а прямая
S называется осью симметрии фигуры.
Например, прямые, проходящие через
точку пересечения диагоналей прямо-
угольника параллельно его сторонам,
являются осями симметрии прямо-
угольника (рис. 108). Прямые, на ко-
торых лежат диагонали ромба, явля-
ются его осями симметрии (рис. 109).
Задача (2). Докажите, что пря-
мая, проходящая через центр окруж-
ности, является ее осью симметрии.
Решение. Пусть О — центр
окружности и а — прямая, проходя-
щая через центр (рис. 110). Возьмем
произвольную точку X на окружности
и построим точку X', в которую пере-
ходит точка X при симметрии отно-
сительно прямой а.
Треугольники ОАХ и ОАХ' равны
по первому признаку. У них углы при
вершине А прямые, сторона ОА об-
щая, а стороны АХ и А X' равны по
определению симметрии. Из равенства
треугольников следует равенство сто-
рон ОХ vl ОХ', т. е. точка X’ лежит
на окружности. А это значит, что ок-
ружность при симметрии относительно
прямой а переходит в себя, т. е. пря-
мая а есть ось симметрии окружности.
Третий пример. Пусть F — данная фигура и О — фикси-
рованная точка (рис. 111). Проведем через произвольную
точку X фигуры луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ',
равный k • ОХ, где k > 0. Преобразование фигуры F, при
котором каждая ее точка X переходит в точку X', построен-
ную указанным способом, называется гомотетией отно-
сительно центра .О. Число k называется коэффициентом
гомотетии. Фигуры F и F' называются гомотетичными.
95
Движение
Преобразование фигуры F в фигу-
ру F' называется движением, если оно
сохраняет расстояния между точками,
т. е. переводит любые две точки X и Y
фигуры F в точки X’, У фигуры F'
так, что XY = ХУ.
Теорема 9.1.Преобразования сим-
метрии относительно точки и относи-
тельно прямой являются движениями.
Доказательство. Рассмот-
рим сначала преобразование симмет-
рии относительно точки (рис. 112).
Пусть X и Y — две произвольные
точки фигуры F. Преобразование сим-
метрии относительно точки О перево-
дит их в точки X' и Y'. Рассмотрим
треугольники XOY и Х’ОУ. Эти тре-
угольники равны по первому признаку
равенства треугольников. У них углы
при вершине О равны как вертикаль-
ные, а ОХ = ОХ', OY = OY' по опре-
делению симметрии относительно точ-
ки О. Из равенства треугольников
следует равенство сторон XY = ХУ.
А это значит, что симметрия относи-
тельно точки О есть движение.
Рассмотрим преобразование симмет-
рии относительно прямой. Примем эту
прямую за ось у декартовой системы ко-
ординат (рис. 113). Пусть произвольная точка X (х, у) фигуры F
переходит в точку X' (х', у') фигуры F'. Из определения
симметрии относительно прямой следует, что у точек X и
X' равные ординаты, у' — у, а абсциссы отличаются только
знаком: х' = —х.
Возьмем две произвольные точки Хг (хп ух) и Хг (х2, у2).
Они переходят в точки Х{ (—хх, у у) и Х2 (—х2, уа). Имеем:
ХхХ2 2= (х2 - хх)2 + (у2 - Ух)2,
X'iX22 = (—х2 + хх)2 + (у2 - ух)2.
Отсюда видно, что XrX2 — XiX'2. А это значит, что преобра-
96
зование симметрии относительно прямой есть движение. Тео-
рема доказана полностью.
Теорема 9.2. При движении точки, лежащие на прямой,
переходят в точки, лежаиуие на прямой, и сохраняется поря~
док их взаимного расположения.
Это значит, что если точки А, В, С, лежащие на прямой,
переходят в точки Ах, Blt Сх, то эти точки также лежат на
прямой; если точка В лежит между точками А и С, то точка
В\ лежит между точками А1 и Сх.
Доказательство. Пусть точка В лежит между
точками А и С. Если точки Ах, Blt CL не лежат на прямой, то
они являются вершинами треугольника. Поэтому А^ <
< AiBx + BiC^ По определению движения отсюда следует,
что АС < АВ + ВС. Однако по свойству измерения отрез-
ков АС = АВ + ВС. Мы пришли к противоречию. Первое
утверждение теоремы доказано.
Покажем теперь, что точка Вх лежит между Ах и Сх.
Допустим, что Ai лежит между Вх и Сх. Тогда АХВХ +
+ А1С1=В1С1 и, следовательно, АВ+АС = ВС. Но это про-
тиворечит равенству АВ + ВС = АС. Таким образом, точка
Ai не может лежать между Вх и Сх. Аналогично доказывается,
что точка Сх не может лежать между Ах и Вх. Так как из трех
точек Ах, Вх, Сх одна лежит между двумя другими, то этой
точкой может быть только Вх. Теорема доказана полностью.
Из теоремы 9.2 следует, что при движении прямые пере-
ходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в
отрезки.
Поясним это на примере преобразования отрезка. Пусть
АВ — данный отрезок. При движении точки А и В перейдут
в некоторые точки А' и В'. Покажем, что отрезок АВ перей-
дет в отрезок А'В'. Возьмем произвольную точку X на от-
резке АВ. Она перейд1ет в некоторую точку X' прямой А'В',
лежащую между точками А' и В' (теорема 9.2), т. е. точка X
отрезка АВ переходит в точку X' отрезка А'В'. Для всякой
ли точки X' отрезка А'В' найдется точка X отрезка АВ, ко-
торая при нашем движении перейдет в точку Х"1 Да, для вся-
кой точки. Если взять такую точку X на отрезке АВ, что АХ =
~ А X', то она как раз и перейдет в точку X'.
Пусть АВ и АС — две полупрямые, исходящие из общей
точки А, не лежащие на одной прямой. При движении эти
полупрямые перейдут в некоторые полупрямые АХВХ и АХСХ.
4 А. В. Погорелов	Q7
Так как движение сохраняет расстояния, то треугольники
АВС и А1В1С1 равны по третьему признаку равенства тре-
угольников. Из равенства треугольников следует равенство
углов ВАС и Bj^AiCx. Следовательно, при движении сохра-
няются углы между полупрямыми.
Пусть фигура F переводится движением в фигуру F',
а фигура F' переводится движением в фигуру F". Пусть при
первом движении точка X фигуры F переходит в точку X'
фигуры F', а при втором движении точка X’ фигуры F' пе-
реходит в точку Х“ фигуры F". Тогда преобразование фигу-
ры F в фигуру F", при котором произвольная точка X фи-
гуры F переходит в точку X" фигуры F", сохраняет расстоя-
ние между точками, а значит, является также движением.
Это свойство движения выражают словами: два движения,
выполненные последовательно, дают снова движение.
Пусть преобразование фигуры F в фигуру F' переводит
различные точки фигуры F в различные точки фигуры F'.
Цусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразова-
нии переходит в точку X' фигуры F'. Преобразование фигуры
F' в фигуру F, при котором точка X' переходит в точку X,
называется преобразованием, обратным данному. Движение
сохраняет расстояния между точками, поэтому переводит
различные точки в различные. Очевидно, преобразование, об-
ратное движению, является также движением.
Равенство фигур
Фигуры F и F' называются равными, если они движением
переводятся одна в другую. Для обозначения равенства
фигур употребляется обычный знак равенства. Запись F ==
= F' означает, что фигура F равна F'. В записи равенства
треугольников ЛАВС == AAiBiCt предполагается, что сов-
мещаемые при движении вершины стоят на соответствующих
местах. При таком условии равенство треугольников, опре-
деляемое через их совмещение движением, и равенство, как
мы его понимали до сих пор, выражают одно и то же. Дока-
жем это.
Пусть треугольник АВС совмещается движением с тре-
угольником AtBjCt, причем вершина А переходит в вершину
At, В — в Bj и С — в Ct. Так как при движении сохраняют-
ся расстояния и углы, то для наших треугольников АВ “
98
— А,В„ ВС =BtClt AC -AfC,,
2a -
_ г. e. треугольники рав-
ны в том смысле, как мы это по
нимали до сих пор.
Пусть теперь у треугольни-
ков АВС и A^BiCi АВ = AiBlt
ВС = BiCu АС = АтС» zLA =
=я Z_Ai, A-В =Z-Blt A-C = Z-Cl.
А переходит в вершину
Докажем, что они совмещают-
ся движением, причем вершина
Au В — в Bi и С — в Ci.
Подвергнем треугольник АВС
преобразованию симмет-
рии относительно прямой а, перпендикулярной отрезку AAt,
проходящей через его середину (рис. 114). Получим треуголь-
ник AiB3C3. Подвергнем его симметрии относительно пря-
мой &, соединяющей точку Ах с серединой отрезка BiB3.
Получим треугольник AiBiC3.
Если точки Ci и С3 лежат по одну сторону от прямой AiBit
то они совпадают. Действительно, так как углы В1А1С1 и
BtAiC3 равны, то лучи ArCi и AiC3 совпадают, а так как отрез-
ки AiCi и AiC3 равны, то совпадают точки Ci и С3.
Таким образом, треугольник АВС движением переведен
в треугольник AiBtCi.
Если точки Ci и С3 лежат по разные стороны от прямой
AiBi, то надо еще применить симметрию относительно пря-
мой AiBt.
Преобразование подобия
Преобразование фигуры F в фигуру F' называется пре-
образованием подобая, если при этом преобразовании расстоя-
ния между точками изменяются (увеличиваются или уменьша-
ются) в одной то же число раз. Это значит, что если произ-
вольные точки X, Y фигуры F при этом преобразовании
переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = k • XY.
Число k называется коэффициентом подобия.
Теорема 9.3. Гомотетия есть преобразование подобия.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть О — центр гомотетии и
k коэффициент гомотетии (рис. 115). Введем декартовы
координаты х, у, приняв точку О за начало координат. Рас-
смотрим преобразование, при котором произвольная точка
(х, у) переходит в точку (кх, ky). Мы утверждаем, что это и
есть наша гомотетия.
Пусть A (Xj, у}) — произвольная точка фигуры. Она пе-
реходит в точку A' (kxlt Ayi). Прямая ОА проходит через
начало координат, а значит, имеет уравнение вида ах + by —
= 0.. Ему удовлетворяют координаты точки А', так как
akxi + bkyi — k (ахх + byr) = 0. Значит, точка А' лежит на
прямой ОА. А так как хх и kxlf ух и куг одного знака, то А'
лежит на луче ОА.
Имеем:
О А = ]/xf 4- Г/2, О А! = К(^)2 + (^х)2 = к ]/х2 + Z/2.
Отсюда ОА' = кОА. Следовательно, преобразование дей-
ствительно является гомотетией относительно центра О с
коэффициентом гомотетии к.
Возьмем теперь две произвольные точки А (хх, yt) и
В (*2« Уг)- О™ переходят в точки A! (kxlt ky^, В' (kx2, ky2).
Имеем:
АВ2 = (х2 - XJ2 + (у, _ У1)2,
А'В'2 = (йх2 — kxj2 + (ky2 — kyi)2 =
= k2 [(х2 - хх)2 + (у2 — yj2] = k2AB2.
Отсюда А'В' — kAB. А это и значит, что рассматриваемое
преобразование есть преобразование подобия. Теорема дока-
зана.
Так же как и для движения, доказывается, что при пре-
образовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной
прямой, переходят в три точки Alt Blf Си также лежащие на
одной прямой. Причем если точка В лежит между точками
А и С, то Вх лежит между точками Ах и Сх. Отсюда следует,
100
ЧТО преобразование подобия переводит
прямые в прямые, полупрямые — в по-	S
лупрямые, отрезки— в отрезки.
Докажем, что преобразование подо-	7& s' \
бия сохраняет узлы между полупря-	)
лемм»- Действительно, пусть угол	J
АВС преобразованием подобия с коэф- // V
фициентом k переводится в угол А1В1С1	b
(рис. 116). Подвергнем угол АВС пре- ₽ис 117
образованию гомотетии относительно
его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точ-
ки Л и С перейдут в точки А2 и С2. Треугольники А2ВС2
и AiBiCt равны по третьему признаку. Из равенства тре-
угольников следует равенство углов А2ВС2 и А^С^ Значит,
углы АВС и AiBlCl равны, что и требовалось доказать.
Задача (21). Даны угол (ab) и внутри него точка А.
Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходя-
щую через точку А.
Решение. Строим какую-нибудь окружность, ка-
сающуюся сторон угла (рис. 117). Проводим прямую через
вершину угла и точку А. Пусть В — точка пересечения этой
прямой с построенной окружностью. Гомотетия относительно
вершины угла, переводящая точку В в точку А, переводит
построенную окружность в искомую.
Подобие фигур
Две фигуры F и F' называются подобными, если они пере- ’
водятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозна-
чения подобия фигур употребляется специальный знак: со.
Запись F со F' читается так: «фигура F подобна фигуре F'*.
В записи подобия треугольников ДАВС со AAxB^j пред-
полагается, что вершины, совмещаемые преобразованием по-
добия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит
в Ai, В — в Вх и С — в Ср
Из свойств преобразования подобия следует, что у подоб-
ных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие
отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треуголь-
ников АВС и
А.А = А.Аи Z_B = А.В), АС = АС»
АВ _ ВС = АС
HjBi	BjCj ~ АХС1 ‘
101
Признаки подобия треугольников дает следующая теорема.
Теорема 9.4. Два треугольника подобны:
1)	если два угла одного соответственно равны двум углам
другого;
2)	если две стороны одного пропорциональны двум сторо-
нам другого и углы, лежащие между этими сторонами,
равны;
3)	если стороны одного треугольника пропорциональны
сторонам другого.
Доказательство. Пусть АВС и А^ВхСх два
реугольника, для которых выполняется одно из условий:
1) АЛ = AAn АВ = АВХ;
2)Z.A = Z.Alt -d*- = -Z£_.
Аг(\
AB AC BC
o) --- —----—-----.
A& A1C1 B&
Докажем, что треугольники подобны. Пусть k =
Подвергнем треугольник Л1В1С1 какому-нибудь преобразова-
нию подобия с коэффициентом подобия k, например преобра-
зованию гомотетии. При этом получим некоторый треуголь-
ник А2В2С2, равный треугольнику АВС. Действительно, в
первом случае имеем:
А.А = А.А1 = Z.A2, /LB = Z.Bx = АВ2,
j4.2B2 == kA-^Bi === АВ.
Треугольники АВС -я А.2В2С2 равны по второму признаку
равенства треугольников.
Во втором случае
Z.A = ZLA2, А2В2 = АВ, АгСг = АС.
Треугольники равны по первому признаку равенства тре-
угольников.
В третьем случае
Л2В2 = АВ, В2С2 = ВС, Л2С2 = АС.
Треугольники равны по третьему признаку равенства тре-
угольников. Так как треугольник А2В2С2 равен треуголь-
нику АВС, то он переводится в него движением. Значит, тре-
угольник AiBiCi переводится в треугольник АВС последо-
вательным выполнением преобразования подобия и движе-
102
ния, а это есть преобразование подобия. /U—---
Признаки подобия треугольников доказаны. /f\	^\с
Задача (22). Хорды АВ и CD ок- I /
руясности пересекаются в точке S. Дока- \/	II
жите, что AS * BS CS • DS,	'
Решение. Проведем прямую BD
(рис. 118). Точки А и С лежат в одной по- Рис. 118
луплоскости относительно прямой BD, а
именно в полуплоскости, где лежит точка 8. Отсюда сле-
дует, что точки А и С обе принадлежат одной из дуг, на ко-
торые прямая BD разбивает окружность. А это значит, что
вписанные углы DCB и DAB равны. Таким же способом до-
казываем равенство вписанных углов АВС и ADC. Из ра-
венства указанных углов следует, что треугольники ASD и
С SB подобны (теорема 9.4). Из подобия треугольников сле-
дует пропорция
DS AS
BS ~ cs'
Отсюда
А8 • BS = CS • DS.
Вопросы для повторения
1.	Объясните, что такое преобразование симметрии отно-
сительно точки. Какая фигура называется центрально-
симметричной? Что такое центр симметрии фигуры?
2.	Объясните, что такое преобразование симметрии относи-
тельно прямой. Какая фигура называется симметричной
относительно прямой? Что такое ось симметрии фигуры?
3.	Объясните, что такое преобразование гомотетии относи-
тельно данной точки. Что такое центр гомотетии, коэф-
фициент гомотетии? Какие фигуры называются гомоте-
тичными?
4.	Какое преобразование фигуры называется движением?
5.	Докажите, что симметрия относительно точки и симмет-
рия относительно прямой являются движениями.
6.	Докажите, что если при движении три точки А, В, С,
лежащие на прямой, переходят в точки Ait Bit Ci, то
эти точки также лежат на прямой. Если точка В лежит
между АиС, то точка Вх лежит между и Ci.
108
7.	Во что переходят прямые (полупрямые, отрезки) при дви- fl
жении?	’
8.	Докажите, что при движении сохраняются углы.
9.	Какие фигуры называются равными?	V
10.	Докажите, что отрезки равной длины и углы с равной I
градусной мерой совмещаются движением.
11.	Что такое преобразование подобия?
12.	Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.
13.	Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы.
14.	Сформулируйте и докажите признаки подобия треуголь-
ников.
Упражнения
1.	Докажите, что центр окружности является ее центром
симметрии.
2.	Докажите, что прямая, проходящая через центр окруж-
ности, является ее осью симметрии.
3.	Докажите, что биссектриса угла является его осью сим-
метрии.
4.	Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобед-
ренного треугольника, проведенную к основанию, явля-
ется осью симметрии треугольника.
б.	Даны отрезок АВ и точка О, не лежащая на прямой АВ.
Что представляет собой фигура, симметричная отрезку
АВ относительно точки О? Постройте ее.
6.	Даны прямая а и точка О, не лежащая на этой прямой.
Что представляет собой фигура, симметричная прямой а
относительно точки О? Постройте ее.
7.	Сколько центров симметрии у фигуры, состоящей из
двух параллельных прямых? Где они расположены?
8.	Может ли у треугольника быть центр симметрии?
9.	Докажите, что у параллелограмма точка пересечения
диагоналей является центром симметрии.
1	10. Сколько осей симметрии имеет отрезок?
11.	Сколько осей симметрии имеет прямая?
12.	Докажите, что прямые, проходящие через точку пере-
сечения диагоналей квадрата параллельно его сторонам,
являются его осями симметрии.
13.	Докажите, что диагонали ромба являются его осями сим-
метрии.
104
14	Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на
1 * этих прямых. Постройте отрезок с концами на данных
прямых и серединой в данной точке. (Указание: восполь-
зуйтесь преобразованием симметрии относительно дан-
ной точки.)
15	Даны три попарно пересекающиеся прямые а, Ъ, с. По-
стройте отрезок, перпендикулярный к прямой 6, с сере-
диной на прямой Ъ и концами на прямых а и с.
16.	У параллелограммов ABCD и A^C^D^ АВ — АгВи
AD — AiDi и А-А — Z.AX. Докажите, что параллело-
граммы равны, т. е. совмещаются движением.
17.	Докажите, что два ромба равны, если у них равны диаго-
нали.
18.	Докажите, что две окружности одинакового радиуса
равны, т. е. совмещаются движением.
19.	Докажите, что фигура, подобная окружности, есть ок-
ружность.
20.	Что представляет собой геометрическое место точек, де-
лящих хорды окружности, имеющие общий конец, в от-
ношении т : п?
21.	Даны угол и внутри него точка А. Постройте окружность,
касающуюся сторон угла и проходящую через точку А.
22.	Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S.
Докажите, что AS • BS = CS • DS.
23.	Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две
вершины лежат на данной стороне. (Указание: восполь-
зуйтесь гомотетией относительно вершины треугольника,
противолежащей данной стороне.)
24.	Стороны треугольника относятся как 4:5:6. Найдите
стороны подобного треугольника, если меньшая из них
равна 0,8 м.
25.	Стороны треугольника относятся как 2:5:4. Найди-
те стороны подобного треугольника, если его периметр
равен 55 м.
26.	Докажите подобие равнобедренных треугольников с рав-
ными углами при вершине.
27.	У двух равнобедренных треугольников углы при верши-
не равны. Боковая сторона и основание одного треуголь-
ника равны 17 см и 10 см; основание другого равно 8 см.
Найдите его боковую сторону. I
28.	У треугольников АВС и А&С). Z-A = Z_AU А.В =>
105
== /LBV. Их стороны равны АВ =5м, ВС = 7м, AtBt =
“ 10 м, А&! •= 8 м. Найдите остальные стороны тр®.
угольников.
29.	Решите задачу 28, если АВ = 16 см, ВС =* 20 см, А^ ==
= 12 см, АС — AiCi — 6 см.
80.	Докажите, что высота прямоугольного треугольника,
опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на
два треугольника, подобных исходному.
31.	Основание высоты прямоугольного треугольника, опу-
щенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см.
Найдите стороны треугольника.
82.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см,
а один из катетов равен 10 см. Найдите проекцию другого
катета на гипотенузу.
83.	У подобных треугольников АВС а	проведены
высоты BD и BiZ>i. Докажите, что ж
34.	В треугольник с основанием а и высотой & вписан квад-
рат так, что две его вершины лежат на основании тре-
угольника, а другие две — на боковых сторонах. Вычис-
лите сторону квадрата.
35.	Углы В и Bt треугольников АВС и AiBiCi равны. Сто-
роны треугольника АВС, прилежащие к углу В, в 2,5 ра-
за больше сторон треугольника AiBiCu прилежащих к
углу Bi. Найдите АС и А1Сг, если их сумма равна
4,2 м.
86.	В треугольнике АВС сторона АВ — 15 м и АС 20 м.
На стороне АВ отложен отрезок AD = 8 м, а на сторо-
не АС — отрезок АЕ — 6 м. Подобны ли треугольники
АВС и ADE1
87.	Решите задачу 36, если AD — 9 м и АЕ = 12 м.
38.	Подобны ли треугольники АВС и AED из задачи 86?
89. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС,
пересекает сторону АС в точке Р, а сторону ВС — в
точке Q. Докажите, что треугольники АВС и PQC по-
добны.
40. Точка Р делит сторону АС треугольника АВС в отноше-
нии т : п. В каком отношении делит сторону ВС точка Q,
если прямая PQ параллельна АВ?
41. В треугольнике АВС проведен отрезок DE, параллель-
ный стороне АС (конец Л отрезка лежит на стороне АВ,
106
__на стороне ВС). Найдите AD, если АВ — 16 см,
= 20 см и DE = 15 см.
_ g задаче 41 найдите отношение AD : BD, если известно,
•	5	4
что АС : DE = у : —•
43.	Найдите длину отрезка DE в задаче 41, если:
1)	АС = 20 см, АВ — 17 см и BD = 11,9 см;
2)	АС = 18 дм, АВ = 15 дм и AD = 10 дм.
44.	Даны отрезки а, Ъ, с. Постройте отрезок х = у.
45.	Подобны ли треугольники АВС и А&С» если:
1)	АВ = 1 м, АС = 1,5 м, ВС — 2 м, AjBj = 10 см,
АгС1 = 15 см, = 20 см;
2)	АВ = 1 м, АС = 2 м, ВС = 1,5 м, А^ — 8 дм,
А& = 16 дм, BiCi = 12 дм;
3)	АВ = 1 м, АС = 2 м, ВС = 1,25 м, A^ = 10 см,
АХС1 = 20 см, BiCi = 13 см?
46.	Стороны одного треугольника равны 0,8 м, 1,6 м и 2 м.
Периметр подобного ему треугольника равен 5,5 м. Най-
дите стороны другого треугольника.
47.	Периметр одного треугольника составляет ~ пери-
метра подобного ему треугольника. Разность двух со-
ответствующих сторон равна 1 м. Найдите эти стороны.
48.	Длина тени фабричной трубы равна 35,8 м; в это же вре-
мя вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м
дает тень длиной 1,62 м. Найдите высоту трубы.
49.	Постройте треугольник, подобный данному, с данным пе-
риметром.
50.	В треугольник АВС вписан ромб ADEF так, что угол А
у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС.
Найдите сторону ромба, если АВ = с и АС = Ъ.
51.	Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на
которые она разбивается другой диагональю, если осно-
вания трапеции относятся как т : п.
52.	Прямая, проходящая через точку пересечения диагона-
лей трапеции, делит одно основание в отношении т : п.
В каком отношении она делит другое основание?
53.	В трапеции ABCD с диагональю АС углы АВС и ACD
равны. Найдите диагональ АС, если основания ВС и
AD соответственно равны 12 м и 27 м.
54.	Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну
107
боковую сторону в отношении т : п. В каком отноше-
нии делит она вторую боковую сторону?
55.	Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD
пересекаются в точке Е. Найдите стороны треугольника
AED, если АВ = 5 см, ВС = 10 см, CD = 6 см, AD ==
— 15 см.
56.	Найдите высоту треугольника AED из задачи 55, если
ВС = 7 см, AD = 21 см и высота трапеции равна 3 м.
57.	Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в
точке М. Докажите, что около четырехугольника можно
описать окружность, если AM • СМ = ВМ • DM.
58.	Из точки А, лежащей вне окружности, проведены две
секущие, которые пересекают окружность в точках Вг
и Clt В2 и С2. (Bt лежит между А и Clt В2 — между А и
С2.) Докажите подобие треугольников АВхС2 и АВ2СХ.
59.	Докажите, что произведение отрезков секущей, прове-
денной из точки вне окружности, равно квадрату каса-
тельной. (Указание: см. предыдущую задачу.)
60.	Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км
над Землей, если радиус Земли 6370 км?
61.	Вычислите радиус горизонта, видимого с вершины теле-
башни в Останкино, высота которой 533 м.
8 класс
§ 10. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
Параллельный перенос
Введем на плоскости декартовы координаты х, у. Преобра-
зование фигуры F, при котором произвольная ее точка (х, у)
переходит в точку (х + а, у + Ь), а и Ъ — постоянные, назы-
вается параллельным переносом (рис. 119). Параллельный пе-
ренос задается формулами
х' = х + а, у' = у + Ь.	(*)
Эти формулы выражают координаты х', у' точки, в которую
переходит точка (х, у) при параллельном переносе.
Параллельный перенос есть движение. Действительно,
две произвольные точки А (хх, у С) и В (х2, у2) переходят в
точки А' (хх + а, ух + Ь), В' (х2 + а, у% + Ь) и
АВ2 = (х2-хх)2 + (К2-1/1) 2, А'В'2 = (х2-хх)2 + (уz — у^.
Отсюда АВ = А'В'. Таким образом, преобразование сохра-
няет расстояния, а значит, является
движением.
Название «параллельный перенос»
оправдывается тем, что при параллель-
ном переносе точки смещаются по па-
раллельным (или совпадающим) пря-
мым на одно и то же расстояние.
Действительно, пусть точки А (хх, уг)
и -В (ж2, J/г) переходят в точки
(«1+ а, У1 + Ъ), В' (х2 +а,у2+ Ь)
(рис. 120). Середина отрезка АВ’ имеет
координаты
х = -51	4~ д __ Ух Ч~ У2 4~
2	’ у	2
Те же координаты имеет и середина от-
резка А В. Отсюда следует, что диаго-
109
нали четырехугольника АА' В'В пересекаются и точкой пере-
сечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник_
параллелограмм. А у параллелограмма противолежащие
стороны АА' и В В' параллельны и равны.
Заметим, что у параллелограмма АА'В’В параллельны и
две другие противолежащие стороны АВ и А'В'. Отсюда
следует, что при параллельном переносе прямая переходит в
параллельную прямую (или в себя).
Теорема 10.1.Каковы бы ни были две точки А и А', су-
ществует и притом единственный параллельный перенос, при
котором точка А переходит в точку А'.
Доказательство. Начнем с доказательства един-
ственности. Пусть X — произвольная точка фигуры и X' —
точка, в которую она переходит при параллельном переносе
(рис. 121). Как мы знаем, отрезки ХА' и АХ' тшекп общую
середину О. Задание точки X однозначно определяет точку
О — середину отрезка А'X. А точки А и О однозначно опре-
деляют точку X', так как О является серединой отрезка АХ'.
Однозначность в определении точки X' и означает единствен-
ность параллельного переноса.
Докажем существование параллельного переноса, пере-
водящего точку А в А'. Введем декартовы координаты на
плоскости. Пусть alt аг — координаты точки А и а\, аг —
координаты точки А'. Параллельный перенос, задаваемый
формулами
х' = х + а[ — at, у' = у + а2 — аг,
переводит точку А в А'. Действительно, при х = at и у — аг
получаем: х' — alt у' = а2. Теорема доказана полностью.
Задача (3). При параллельном переносе точка (1,1)
переходит в точку (—1, 0). В какую точку перейдет начало
координат?
Решение. Любой параллельный
перенос задается формулами х' = х + а,
<	>• у' = у 4- Ь. Так как точка (1,1) перехо-
дит в точку (—1, 0), то —1 = 1 + а, 0 —
= 1 + 6. Отсюда а — —2, 6 = —1. Таким
s' \ образом, наш параллельный перенос, пере-
А • А> водящий точку (1,1) в (—1,0), задается фор-
Рис. 121 мулами х — х — 2, у' — у — 1. Подстав-
110
переноса, выполненные один
лельный перенос.
Доказательство,
задается формулами вида
х' = х 4- а,
В эти формулы координаты начала (л == 0, у — б),
Получим: х' = —2, у' = —1. Итак, начало координат пере-
ходит в точку (-2,-1).
Теорема 10.2. Преобразование, обратное параллельно-
му переносу, есть параллельный перенос. Два параллельных
за другим, дают снова парал-
Любой параллельный перенос
У' — У + Ь.
Обратное преобразование задается формулами того же вида
х == х' — а, у = у' — Ь,
а следовательно, является параллельным переносом. Первое
утверждение доказано.
Рассмотрим теперь два параллельных переноса, задава-
емые формулами
х' » х + а, у' = у + Ъ;
х" =• х' + с, у" = у' + d.
Преобразование, которое получается в результате последо-
вательного выполнения этих параллельных переносов, за-
дается формулами
х” == х + а + с, у" = у 4- Ь 4- d.
Это преобразование есть параллельный перенос. Теорема до-
казана полностью.
Понятие вектора
Некоторые" физические величины, такие, как сила, ско-
рость, ускорение и др., характеризуются не только величиной,
но и направлением. Например, для того чтобы охарактеризо-
вать движение тела в данный момент, недостаточно сказать,
что оно движется со скоростью 60 км/ч, надо еще указать на-
правление его движения, т. е. направление скорости. В связи
с этим указанные физические величины удобно изображать
направленными отрезками. Такой способ изображения фи-
зических величин не только отличается наглядностью, но
имеет и другие основания. Приведем пример. Опыт показы-
111
jвает, что если к телу А приложены две си-
аТ	/ лы а и & (Рис- 122), то их действие равно-
_ / сильно действию одной силы с, которая изо-
т бражается диагональю параллелограмма,
построенного на отрезках а и Ъ. Можно бы-
Рис. 122	а
ло бы привести и другие примеры, где опе-
рации над физическими величинами при
% изображении их направленными отрезками
сводятся к простым геометрическим постро-
ениям, как в данном примере.
Направленный отрезок называется век-
тором (рис. 123). Для обозначения векто-
ров будем пользоваться, строчными латин-
Рис. 123 скими буквами а, Ь, с, ... . Иногда вектор
обозначают указанием концов отрезка, изо-
бражающего вектор. Например, вектор на рисунке 123 мож-
но обозначить АВ. При таком способе обозначения вектора
а точка А называется началом, а точка В — концом вектора
а. При обозначении вектора с помощью концов изображающе-
го его отрезка на первом месте всегда ставится начало векто-
ра. Иногда вместо слова «вектор» над буквенным обозначе-
нием вектора ставится стрелка. Например, запись а читается:
«вектор а».
Абсолютная величина и направление вектора
Две полупрямые называются одинаково направленными,
если они совмещаются параллельным переносом, т. е. суще-
ствует параллельный перенос, который переводит одну полу-
прямую в другую.
Если полупрямые а и Ь одинаково направлены и полу-
прямые Ъ и с одинаково направлены, то полупрямые а и с
тоже одинаково направлены. Действительно, так как
а и Ь одинаково направлены, то существует параллельный
перенос, который переводит полупрямую а в Ъ. Так как Ъ
и с одинаково направлены, то существует параллельный пере-
нос, который переводит полупрямую Ъ вс. Эти два параллель-
ных переноса, выполненные последовательно, дают парал-
лельный перенос, который переводит полупрямую а в с.
Следовательно, полупрямые а и с одинаково направлены.
Две полупрямые называются противоположно направлен-
112
ными, если каждая из них одинаково на- • /	/
правлена с полупрямой, дополнительной к t	L
ДРУГОЙ-	в/_________[с
Задача (5). АВ и CD — параллель- “*	*
ные прямые. Точки А и D лежат по одну Рис. 124
сторону от секущей ВС. Докажите, что лу-
чи ВА и CD одинаково направлены.
решение. Подвергнем луч CD параллельному пере-
носу, при котором точка С перейдет в точку В (рис. 124).
При этом прямая CD совместится с прямой В А. Точка D,
смещаясь по прямой, параллельной СВ, остается в той же
полуплоскости относительно прямой ВС. Поэтому луч CD
совместится с лучом ВА, а значит, эти лучи одинаково на-
правлены.
Векторы АВ и CD называются одинаково направленными,
если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Абсо-
лютной величиной (или модулем) вектора называется длина
отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина век-
тора а обозначается |п|.
Два вектора называются равными, если они совмещаются
параллельным переносом. Это означает, что существует па-
раллельный перенос, который переводит начало и конец
одного вектора соответственно в начало и конец другого век-
тора. Отсюда следует, что равные векторы одинаково на-
правлены и равны по абсолютной величине. Обратно,
если векторы одинаково направлены и равны по абсолют-
ной величине, то они равны. Действительно, пусть АВ и
CD — одинаково направленные векторы, равные по абсолют-
ной величине. Параллельный перенос, переводящий точку С
в А, совмещает полупрямую CD с полупрямой АВ, так как
они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и CD рав-
ны, то при этом точка D совмещается с точкой В, т. е. парал-
лельный перенос переводит вектор CD в вектор АВ. Значит,
векторы АВ и CD равны.
Задача (8). ABCD — параллелограмм. Докажите ра-
венство векторов АВ и DC.
Решение. Подвергнем вектор АВ параллельному пе-
реносу, при котором точка А переходит в точку D (рис. 125).
При этом переносе точка А смещается по прямой AD, а значит,
точка В смещается по параллельной прямой ВС. Прямая АВ
113
>4_______'в	переходит в параллельную прямую, а зна-
/	I	чит, в прямую DC. Следовательно, точка В
/	/	переходит в точку С. Таким образом, наш
/	/ параллельный перенос переводит вектор АВ
lj	в вектор DC, а значит, эти векторы равны.
Обозначая вектор его концами (АВ), ес-
Риг 125
тественно и, как увидим дальше, целесо-
образно рассматривать вектор, у которого
концы совпадают (АА). Этот вектор будем называть нуле-
вым вектором и о^о&я&чать обычным нулем (О). О направле-
нии нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нуле-
вого вектора считается равной нулю. Все нулевые векторы
равны по определению.
Из свойств параллельного переноса следует (теорема 10.1),
что из любой точки можно отложить вектор, равный
данному вектору, и только один. Для доказательства до-
статочно выполнить параллельный перенос, при котором на-
чало вектора перейдет в данную точку.
Координаты вектора
Пусть вектор а имеет началом точку Ах (xlt yt), а концом —
точку А2 (х2, у2). Координатами вектора а будем называть
числа at — х2 — xi> fl2 — J/a — У» Координаты вектора будем
ставить рядом с буквенным обозначением вектора, в данном
случае а (а19 а2), или просто (ах, о2). Координаты нулевого
вектора равны нулю.
Из формулы, выражающей расстояние между двумя точ-
ками через их координаты, следует, что абсолютная величина
вектора с координатами alf а2 равна j/a® 4- а*.
Теорема 10.3. Равные векторы имеют равные соответст-
вующие координаты. И обратно, если у векторов соответст-
вующие координаты равны, то векторы равны.
Доказательство. Пусть Ai (xt, уг) и А» (хг, у3) —
начало и конец вектора а. Так как равный ему вектор а'
получается из вектора а параллельным переносом, то его
началом и концом будут соответственно Aj (хх + с, 4- d)
и Аг («г 4- с, у3 4- d). Отсюда видно, что оба вектора а
и а' имеют одни и те же координаты х3 — х1г у3 — уи
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть соответ-
114
ствующие координаты векторов А2А2 и А'хА2 равны. Дока-
жем, что векторы равны. Пусть х'х и у{ — координаты точки
Ai а Хг, Уг — координаты точки А2. По условию теоремы
х _ Xi = Х2 — х[, у2 — Ух = У2 — Ух. Отсюда х2 = х2 +
। х'__Xl, уг ~ У* +	— Vf Параллельный перенос, за-
даваемый формулами х' = х 4- х{ — xlt у' = у 4- yt — ylt
переводит точку Ах в точку Ан а точку А2 в точку А2, т. е.
векторы АхА2 и A'xA2 равны. Теорема доказана.
3 а д а ч а (12). Даны три точки А (1, 1), В(—1,0),
С (0, 1). Найдите точку D (х, у) так, чтобы векторы АВ и
CD были равны.
Решение. Координаты вектора АВ: (—2, —1). Ко-
ординаты вектора CD', (х — О, у — 1). Так как АВ = CD,
т0 х __ о = —2, у — 1 — —1. Отсюда находим координаты
точкиD: х = —2, у — 0.
Сложение векторов
Суммой векторов а и Ь с координатами а2 и Ь2 на-
зывается вектор с с координатами а2 4"	<4 4* Ъ2, т. е.
a (alt а2) 4- Ь (&lt b2) = с (ах 4- Ьх, а2 4- &2).
Для любых векторов a(alt а2), Ь(Ь1, b2), с(с2 с2)
а 4- Ь = Ь 4- а, а 4- (Ь 4-с) = (® 4- Ь) 4-с-
Для доказательства достаточно сравнить соответствующие
координаты векторов, стоящих в правой и левой частях ра-
венств. Мы видим, что они равны. А по теореме 10.3 векторы
с соответственно равными координатами равны.
Теорема 10.4. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет
место векторное равенство
АВ + ВС АС.
Доказательство. Пусть A (xlt у2), В (х2, у2),
С (х3, у3) — данные точки. Координаты вектора
АВ: (х2 — xlt у2 — уг), координаты вектора ВС: (х3 — х2,
У» — У г)- Следовательно, координаты вектора АВ 4- ВС:
(х3 — xlt Уз — УхУ. А это есть координаты вектора АС. По тео-
реме 10.3 векторы АВ 4- ВС и АС равны. Теорема доказана.
Из теоремы 10.4 получается следующий способ построе-
ния суммы произвольных векторов а и &. Надо из конца век-
115
a+b
Рис. 12в
Рис. 127
— Ъ:
3
тора а отложить вектор Ь', равный вектору
Ь. Тогда вектор, начало которого совпадает
с началом вектора а, а конец — с концом
вектора будет суммой векторов а 4- Ь
(рис. 126).
Задача (15). ABCD параллелограмм.
--------------------------->•	—►
Докажите векторное равенство АВ + АП-^
—
— АС (травило параллелограмма» сложе-
ния векторов).
Решение. Имеем: АВ + ВС = АС
(рис. 127). Но векторы ВС и AD равны (см.
задачу 8). Поэтому АВ + AD = АС.
Разностью векторов а (аг, а 2) и b (Ъ19 Ь2)
называется такой вектор с (с1У с2), который в
сумме с вектором Ъ дает вектор а: Ъ + с = а.
Отсюда находим координаты вектора с = а—
Ci — а± — с2 “ а% — Ъ2.
а д а ч а (17). Даны векторы с общим началом: АВ и АС»
Докажите, что АС — АВ = ВС.
Решение. Имеем: АВ + ВС = АС. А это значит,
что АС — АВ = ВС.
Умножение вектора на число
Произведением вектора (а^ а2) и числа % называется век-
тор (Хап Ха2), т. е.
(<Х|, а2) X = Х(а^, а2) = (Ха^, Ха2).
Из определения операции умножения вектора на число
следует, что для любого вектора а и чисел X, ц
(X + р) а = Ха + |ха.
Для любых двух векторов а и Ь и числа X
X (а ~|- Ь) = Ха “4“ Х5.
Теорема 10.5. Абсолютная величина вектора ha равна
|Х||а|. Направление вектора ha совпадает с направлением
вектора а, если X > 0, и противоположно направлению век-
тора а, если X < 0.
Доказательство. Построим векторы ОА и ОБ,
равные векторам а и Ха соответственно (О — начало коорди-
нат). Пусть ах и а2 — координаты вектора а. Тогда координа-
тами точки А будут числа а± и а2, а координатами точки В
116
будут Хах, Ха2. Уравнение прямой ОА имеет вид
ах + Ру = 0.
Так как ему удовлетворяют координаты точки А (аи а2),
то ему удовлетворяют и координаты точки В (Хах, Ха2). От-
сюда следует, что точка В лежит на прямой ОА. Координаты
точек на полупрямой О А сохраняют знак, а при переходе на
дополнительную полупрямую меняют знак на противополож-
ный. Поэтому если X > 0,'то точка В лежит на полупрямой ОА,
а следовательно, векторы а и Ха одинаково направлены. Если
X < 0, то точка В лежит на дополнительной полупрямой,
векторы а и Ха противоположно направлены.
Абсолютная величина вектора Ха равна
|Ха| = V(Хах)2 + (Ха2)2 = | Х| Vа\ + а2 = |Х| |а|.
Теорема доказана.
Задача (21). Даны точки A (хх, ух) и В (х2, у2). До-
кажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены.
Решение. Координаты вектора АВ: х2 — хх и у2 —
— ух. Координаты вектора ВА: xt — х2 и ух — у2. Мы видим,
что АВ = (—1) ВА. А значит, по теореме 10.5 векторы АВ
и ВА противоположно направлены.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат
на одной прямой или на параллельных прямых.
Теорема 10.6. У коллинеарных векторов соответствую-
щие координаты пропорциональны. И обратно, если у двух
векторов соответствующие координаты пропорциональны, то
векторы коллинеарны.
Доказательство. Пусть а (ах, а2) и Ь (Ьх, Ь2) —
данные векторы. Допустим, что векторы коллинеарны. Рас-
смотрим с =±JaL ъ, где знак «+» берется, когда векторы а
I Ь|
и Ъ одинаково направлены, и знак «—», когда они противо-
положно направлены. Вектор с равен вектору а, так как по
теореме 10.5 они одинаково направлены и имеют одну и ту
же абсолютную величину. Приравнивая координаты векторов
° и с, получим:
Отсюда
117
— = ±	— = ± -^-L. Значит,	т. е. координаты
«J	|а| аа	|а|	ах а2
векторов а и 6 пропорциональны.
Пусть теперь у векторов а и й координаты пропорциональ-
ны. Докажем, что векторы коллинеарны. Имеем:
Д1 «а ’
Обозначая общее значение этих отношений через А, получим:
bi = Улц &2 — Аа2. Отсюда следует, что b = Аа. А это зна-
чит (теорема 10.5), что векторы коллинеарны.
Задача (31). Известно, что векторы а (1, —1) и
Ь (—2, т) коллинеарны. Найдите, чему равно т.
Решение. У коллинеарных векторов координаты про-
порциональны. Следовательно,	Отсюда т — 2.
Вектор называется единичным, если его абсолютная ве-
личина равна единице. Единичные векторы, имеющие на-
правления положительных координатных полуосей, называ-
ются координатными векторами или ортами. Мы будем их
обозначать (1, 0) на оси х, е2 (0, 1) на оси у.
Любой вектор a (aif а %) допускает представление в виде
а — а1е1 -|- а^е^.
Действительно, (alt а2) = (ах, 0) 4- (0, а2) = at (1, 0) +
-f- а2 (0, 1) = a^i 4" о2е2.
Задача (35). Даны векторы а (1, 0), b (1, 1), с (—1, 0).
Найдите такие числа А и р, чтобы имело место векторное ра-
венство с = Аа 4- рЬ.
Решение. Приравнивая соответствующие координа-
ты векторов с и Аа 4* получим два уравнения, из которых
находим Аир: —1 = А • 1 + ц • 1, 0 — А • 0 4- р • !•
Отсюда р = 0, А = —1.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов о (ах, а2) и Ь (Ьг, Ь2)
называется число a^i 4* а2Ь2. Для скалярного произведения
векторов употребляется такая же запись, как и для произве-
дения чисел. Скалярное произведение аа обозначается а2.
Очевидно, а2 = |а|2.
118
Из определения скалярного произведения векторов сле-
дует, что для любых векторов a (alt а%), Ъ (Ьп б2), с (сп с,)
(а + Ь)с = ас 4- Ъс.
Действительно, левая часть равенства есть (ах 4- Ьх) ct 4-
_]_ (аг 4- Ь2) с2, а правая а^ 4- а2с2 4-	4- &2с2. Очевидно,
они равны.
углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется
угол ВАС. Углом между любыми двумя векторами а и &
называется угол между равными им векторами с общим на-
чалом. Угол между одинаково направленными векторами счи-
тается равным нулю.
Теорема 10.7. Скалярное произведение векторов равно
произведению их абсолютных величин на косинус угла меж-
ду ними.
Доказательство. Пусть а и & — данные векторы и
Ф — угол между ними. Имеем:
(а 4- Ь)2 = (а + Ъ) (а + Ь) = (а + b) а + (а + b) b
— аа 4- Ьа 4- аЬ 4- ЬЬ = а2 4- 2а6 4- Ьг.
Или
\а 4- &|2 = |а|2 + 1Ы2 4- 2а&.
Отсюда видно, что скалярное произведение ab выражается
через длины векторов а, Ъ и а 4- &» а поэтому не зависит от
выбора системы координат, т. е. скалярное произведение не
изменится, если систему координат выбрать специальным
образом. Возьмем систему координат ху так, как показано
на рисунке 128. При таком выборе системы координат коор-
динатами вектора а будут |а| и 0, а координатами вектора b
будут 16| cos ф и |&| sin ф. Скалярное произведение
ab — | а | | 61 cos ф 4-0 1 б I sin Ф —
Iа| |&| cos ф.
Теорема доказана.
Из теоремы 10.7 следует, что если
векторы перпендикулярны, то их ска-
лярное произведение равно нулю. И
обратно, если скалярное произведение
отличных от нуля векторов равно нулю,
то векторы перпендикулярны.
119
Задача (47). Даны векторы а (1, 0) и b (1, 1). Найдите
такое %, чтобы вектор а + был перпендикулярен вектору а.
Решение. Имеем: а (а + №) =0, а2 + X (ab) = 0.
Отсюда
Вопросы для повторения
1.	Объясните, что такое параллельный перенос.
2.	Докажите, что параллельный перенос есть движение.
3.	Докажите, что при параллельном переносе точки фигуры
смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым
на одно и то же расстояние.
4.	Докажите, что при параллельном переносе прямая пере-
ходит в параллельную прямую (или в себя).
5.	Докажите существование и единственность параллель-
ного переноса, переводящего данную точку А в данную
точку А'.
6.	Докажите, что преобразование, обратное параллельному
переносу, есть параллельный перенос. Два параллельных
переноса, выполненные один за другим, дают снова па-
раллельный перенос.
7.	Что такое вектор?
8.	Какие полупрямые называются одинаково направлен-
ными?
9.	Докажите, что если полупрямая а одинаково направлена
с полупрямыми b и с, то полупрямые Ъ и с тоже одинаково
направлены.
10.	Какие полупрямые называются противоположно на-
правленными?
11.	Что значит: векторы АВ и CD одинаково направлены?
12.	Что такое абсолютная величина вектора?
13.	Какие векторы называются равными?
14.	Докажите, что из любой точки можно отложить вектор,
равный данному вектору, и только один.
15.	Что такое координаты вектора?
16.	Докажите, что равные векторы имеют соответственно
равные координаты, а векторы с соответственно равными
координатами равны.
17.	Дайте определение сложения векторов.
18.	Докажите, что для любых векторов anba+b—Ь-\-а.
120
19	Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, с а + (Ь +
+ с) = (а + W + с-
20	Докажите векторное равенство АВ 4- ВС = АС.
21	Докажите, что для получения суммы векторов а и b
надо из конца вектора а отложить вектор равный век»
тору &• Тогда вектор, начало которого совпадает с нача-
лом вектора а, а конец — с концом вектора будет
равен сумме векторов а и Ь.
22.	Что называется разностью векторов?
23.	Сформулируйте правило умножения вектора на числоо
24.	Докажите, что абсолютная величина вектора Ка равна
| %| |а|, направление вектора Ка совпадает с направлением
вектора а, если X > 0, и противоположно направлению
вектора а, если % <0.
25.	Какие векторы называются коллинеарными?
26.	Докажите, что векторы (ап а2) и (Ь19 Ь2) коллинеарны
di	CL л
тогда и только тогда, когда — = —.
Ь1 Ь2
27.	Какой вектор называется единичным?
28.	Докажите, что любой вектор а (ап а2) допускает пред-
ставление а = а1е1 + а2е2, где и е2 — единичные век-
торы координатных осей.
29.	Что такое скалярное произведение векторов?
30.	Докажите, что для любых трех векторов а, Ъ, с (а + Ь) с =*
= ас + Ьс.
31.	Что такое угол между векторами?
32.	Чему равен угол между одинаково направленными век-
торами?
33.	Докажите, что скалярное произведение векторов равно
произведению их абсолютных величин; на косинус утла
между ними.
34.	Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их
скалярное произведение равно нулю. И обратно, если
скалярное произведение отличных от нуля векторов рав-
но нулю, то векторы перпендикулярны.
Упражнения
1.	Параллельный перенос задается формулами х' = х + 1,
У ~ У — 1. В какие точки при этом параллельном пере-
носе переходят точки: (0, 0), (1, 0), (0, 2)?
2.	Найдите величины а и & в формулах параллельного пе-
121
реноса х' ~ х + а, у’ = у + Ь, если известно, что точка
(1, 2) переходит в точку (3, 4).
3.	При параллельном переносе точка (1, 1) переходит в
точку (—1, 0). В какую точку перейдет начало координат?
4.	Существует лй параллельный перенос, при котором
точка (1, 2) переходит в точку (3, 4), а точка (0, 1) в
точку (—1, 0)?
5.	АВ и CD — параллельные прямые. Точки А и D лежат
по одну сторону от секущей ВС. Докажите, что лучи ВА
и CD одинаково направлены.
6.	Докажите, что в задаче 5 лучи В А и CD противоположно
направлены, если точки А и D лежат по разные стороны
от секущей ВС.
7.	На прямой даны три точки А, В, С, причем точка В ле-
жит между А и С. Среди векторов АВ, АС, ВА и ВС на-
зовите одинаково направленные и противоположно на-
правленные.
8.	ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов
АВ и DC.
9.	Докажите, что для векторов АВ, ВС и АС имеет место
неравенство | АС | (АВ| + 1-ВС|.
10.	Докажите, что для любых векторов а и Ь имеет место не-
равенство |а + 6|	1<*1 + I(Указание: воспользуй-
тесь результатом предыдущей задачи.)
11.	Даны точки А (0, 1), В (1, 0), С (1, 2), D (2, 1). Докажи-
те равенство векторов АВ и CD.
12.	Даны три точки А (1, 1), В (—1, 0), С (0, 1). Найдите
точку D (х, у) так, чтобы векторы АВ и CD были равны.
13.	Абсолютная величина вектора а (5, т) равна 13. Найди-
те т.
14.	Абсолютная величина вектора b (п, 24) равна 25. Най-
дите п.
15.	ABCD — параллелограмм. Докажите векторное равен-
ство АВ + AD = АС.
16.	Найдите сумму векторов а (1, —2) и Ъ (2, —3).
17.	Даны векторы с общим началом: АВ и АС. Докажите,
что АС — АВ = ВС.
18.	По векторам а и Ь задачи 16 найдите вектор а — Ъ.
19.	Найдите модуль вектора а + Ь, если а = (1, —4), b —
= (-4, 8).
122
20.	По векторам а и 5 задачи 19 найдите модуль вектора
а — Ь.
21.	ДанЫ точки А &1’ и В <*»’ у^‘ Докажите> ’1Т0 векто-
ры АВ и ВА противоположно направлены.
22.	Докажите, что векторы а (1, 2) и Ъ (0,5; 1) одинаково на-
правлены, а векторы с (—1, 2) и d (0,5; —1) противопо-
ложно направлены.
23.	Дан вектор а (3, 4). Найдите вектор Ь (blt Ьа), одинаково
направленный с вектором а, имеющий в два раза боль-
шую длину.
24.	Решите предыдущую задачу для вектора Ь, противопо-
ложно направленного с вектором а.
25.	Даны векторы а (3, 2) и & (0, —1). Найдите вектор
— 2а + 4&.
26.	Найдите абсолютную величину вектора —2а 4- 4Ь из
задачи 25.
27.	Найдите абсолютную величину вектора За, если
а = (3,4).
28.	Абсолютная величина вектора Аа равна 5. Найдите Л,
если вектор а имеет координаты (—6, 8).
29.	Даны векторы а (2, —4), Ь (1, 2), с (1, —2), а (—2, —4).
Укажите пары коллинеарных векторов.
30.	Какие векторы задачи 29 одинаково направлены, а какие
противоположно направлены? Какие из этих векторов
имеют равные абсолютные величины?
31.	Известно, что векторы а (1, —1) и Ь (—2, т) коллинеар-
ны. Найдите, чему равно т.
32.	При каком значении п векторы а (п, 1), Ъ (4, п) колли-
неарны и одинаково направлены?
33.	Среди векторов	а(— —, —bl—, —с (0, —1),
\	5	5 /	\ 3	3 /
j / 3	4 \	*,	__
«	----найдите единичные и укажите, какие из них
\ 5	5 /
коллинеарны.
34.	Найдите единичный вектор, коллинеарный вектору
а (6, 8), одинаково с ним направленный.
35.	Даны векторы а (1, 0), Ъ (1, 1) и с (—1, 0). Найдите та-
кие числа Аир, чтобы имело место векторное равенство
с = Аа pb.
36.	Точки М я N являются серединами отрезков АВ и CD
123
соответственно. Докажите векторное равенство MN =
= 1(АС + BD).
87.	(1, 0) и е2 (0, 1) — координатные векторы. Чему рав-
ны координаты вектора 2ех — Зе2?
88.	Чему равны X и р, в представлении вектора а (—5, 4):
а = Л.Й! + ре2?
89.	Докажите неравенство для векторов а и b: (ab)2	а2Ь2.
40.	Найдите угол между векторами а (1, 2), b 11, —
\	2 J
41.	Даны векторы а п Ъ. Найдите абсолютную величину век-
тора а Ъ, если известно, что абсолютные величины век-
торов а и b равны 1, а угол между ними 60°.
42.	Найдите угол между векторами а и а + b предыдущей
задачи.
43.	Даны вершины треугольника А (1, 1), В (4, 1), С (4, 5).
Найдите косинусы углов треугольника.
44.	Найдите углы треугольника с вершинами А (0, ]/3),
8(2, /3), с(|,
45.	Докажите, что векторы а (т, п) и b (—п, т) либо пер-
пендикулярны, либо равны нулю.
46.	Даны векторы а (3, 4) и & (т, 2). При каком значении
т эти векторы перпендикулярны?
47.	Даны векторы а (1, 0) и & (1, 1). Найдите такое %, чтобы
вектор а + КЬ был перпендикулярен вектору а.
48.	При каком значении Л вектор а + Х& в задаче 47 перпен-
дикулярен вектору Ь?
49.	Докажите, что если а и Ъ — единичные неколлинеарные
векторы, то векторы а + Ь и а — Ъ отличны от нуля и
перпендикулярны.
50.	Единичные векторы а и b образуют угол 60°. Докажите,
что вектор 2Ь — а перпендикулярен вектору а.
51.	Векторы а + Ь и а — b перпендикулярны. Докажите,
что | а | = | Ь|.
52.	Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба пер-
пендикулярны.
53.	Даны четыре точки: А (1, 1), В (2, 3), С (0, 4), D (—1, 2).
Докажите, что четырехугольник ABCD — прямо-
угольник.
54.	Даны четыре точки: А (0, 0), В (—1, 1), С (0, 2), D (1, 1).
Докажите, что четырехугольник ABCD — квадрат.
124
§ 11. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема косинусов
Теорема 11.1 (теорема косинусов). Квадрат стороны
треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ми-
нус удвоеное произведение этих сторон на косинус угла меж-
ду ними.
Доказательство. Пусть АВС — данный тре-
угольник (рис. 129). Имеем векторное равенство АВ + ВС =
= АС. Отсюда ВС = АС — АВ. Возводя это равенство ска-
лярно в квадрат, получим:
ВС2 = АВ2 + АС2 — 2АВ • АС.
Отсюда
| ВС|2 = | АВ]2 + |АС|2 — 2 | АВ| | AC] cos А.
Теорема доказана.
Заметим, что | AC | cos А равно по абсолютной величине
проекции AD стороны АС на сторону АВ или ее продолже-
ние. Знак | AC I cos А зависит от угла А: «+», если угол А
острый,«—», если угол А тупой. Отсюда получается следствие:
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон «+» удвоенное произведение одной из них на
проекцию другой/
Задача (1). Стороны треугольника а, Ъ, с. Найдите
высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Решение. Имеем: а2 = Ь2 + с2 ± 2г • AD (см. рис. 129).
Отсюда AD = ± - •~ с По теореме Пифагора
2с
CD -/AC2 —AD2 =
Из теоремы косинусов
следует, что сумма квадратов
диагоналей параллелограмма
равна сумме квадратов его
сторон. Действительно, пусть
ABCD — параллелограмм
(рис. 130). Применим теоре-
му косинусов к треугольни-
кам АВС и ABD. Получим:
Рис. 129
125
AC2 = AB2- 4- ВС2 — 2 АВ  ВС cos 0,
BD2 = АВ2 + АР2 — 2АВ • AD cos а.
Складывая эти равенства и замечая,
что cos 0 = —cos а, АВ = CD, полу-
чим:
АС2 + BD2 = АВ2 + ВС2 + CD2- + AD2,
что и требовалось доказать.
Теорема синусов
Теорем a l 1.2 (теорема синусов).
Стороны треугольника пропорциональ-
ны синусам противолежащих углов.
Дока зательство. Пусть
АВС — треугольник со сторонами а, Ъ,
с и противолежащими углами а, 0, у
(рис. 131). Докажем, что
sin а  sin 0 sin у
а Ь	с
Опустим из вершины С высоту CD.
Из прямоугольного треугольника ACD,
если угол а острый, получаем: CD = Ь
sin а (рис. 131, а). Если угол а тупой, то CD —b sin (180°— а) =
= & sin а (рис. 131, б). Аналогично из треугольника
BCD получаем: CD = a sin 0. Итак, a sin 0 = Ь sin а. От-
сюда
sin 0  sin а
b а
Аналогично доказывается равенство
sin 0  sin у
Ь с
Для доказательства надо провести высоту из вершины А.
Теорема доказана.
Из теоремы синусов следует, что если в треугольнике со
сторонами а, Ь и противолежащими им углами ос, 0 будет
а > 0, то а > Ъ. И обратно, если а > Ь, то а > 0. Короче
говоря, в треугольнике против большего угла лежит большая
сторона, против большей стороны лежит больший угол.
126
Действительно, если углы
а и ₽ острые, то при а > Р
будет sm > sin Р* А так
как
sin a sin Р
---- ==: -9
а Ь
т0 а > Ъ. Если угол а тупой
(оба угла не могут быть тупы-
ми), то угол 180° — а ос-
трый. Причем 180° — а боль-
ше 0
этому sin а = sin (180° — а)
чаем, что а
тивного.
Рис. 132
как внешний угол треугольника,
> sin 0.
не
смежный
0. По-
11 мы снова заклю-
> Ъ.Обратное утверждение доказывается от про-
Задача (10). Докажите, что в теореме синусов каждое
„ sin a ein 6 sin у _____________ 1	D
из трех отношении ---, —к, —равно —-, где R — радиус
а 6 с	2Я
окружности, описанной около треугольника.
Решение. Проведем диаметр BD (рис. 132). По свой-
ству углов, вписанных в окружность, угол при вершине D пря-
моугольного треугольника BCD либо равен а, если точки Ata.D
лежат по одну сторону прямой ВС (рис. 132, а), либо равен
180° — а, если они лежат по разные стороны прямой ВС
(рис. 132, б). В первом случае ВС e BD sin а, во втором ВС =
= BD sin (180° — а). Так как sin (180° — а) = sin а, то
в любом случае а = 2R sin а. Следовательно, = —,
о 2R
что и требовалось доказать.
Решение треугольников
Задачи на определение неизвестных сторон и углов тре-
угольника через известные углы и стороны принято называть
задачами на решение треугольников. Будем обозначать сто-
роны треугольника через а, b, с, а противолежащие им углы
через а, 0, у.
Задача 1. Даны сторона и два угла треугольника. Найти
третий угол и остальные две стороны.
Решение. Так как сумма углов треугольника равна
180 , то третий угол выражается через заданные углы. Имея
127
сторону и все три угла, по теореме синусув находим две
остальные стороны. Задача всегда имеет решение и притом
единственное. Конечно, сумма двух данных углов должна быть
меньше 180°. Единственность решения следует из второго
признака равенства треугольников.
Задача 2. Даны две стороны, например а и Ь, и угол у
между ними. Найти остальные два угла и третью сторону.
Решение. По теореме косинусов находим сторону с.
Теперь, имея три стороны и угол, по теореме косинусов можно
найти косинусы остальных углов и сами углы. Проще, одна-
ко, воспользоваться теоремой синусов и найти синусы неиз-
вестных углов. Но при этом надо иметь в виду, что для дан-
ного значения синуса получаются два угла. Поэтому из полу-
ченных углов надо взять те, которые удовлетворяют извест-
ным соотношениям: сумма углов треугольника равна 180°,
против большей стороны лежит больший угол. Задача всег-
да имеет решение и притом единственное. Единственность ре-
шения следует из первого признака равенства треугольников.
Задача 3. Даны две стороны, например а и Ь, и угол,
противолежащий одной из них, например а. Найти остальные
два угла и третью сторону.
Решение. По теореме синусов находим sin 0. По sin 0
находим отвечающие ему углы ₽i и 02. Выбираем из них
один или оба, имея в виду, что против большей из сторон а
и Ь лежит больший угол. Зная углы а и 0, находим угол у =
== 180° — а — 0, а затем находим сторону с по теореме си-
нусов. Эта задача в отличие от двух предыдущих может не
иметь решения, иметь одно решение или два решения.
Задача 4. Даны три стороны треугольника. Найти его
углы.
Решение. По теореме косинусов находим один из
углов. А затем поступаем, как во второй задаче. Эта задача
имеет решение, если большая из сторон меньше суммы двух
других. Единственность решения следует из третьего при-
знака равенства треугольников.
Вопросы для повторения
1.	Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
2.	Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сум-
ме квадратов двух других сторон «±» удвоенное произве-
128
pfiwae одной из этих сторон на проекцию другой. От чего
зависит знак « +» или «—»?
3	Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллело-
грамма равна сумме квадратов его сторон.
4.	Докажите теорему синусов.
5	Докажите, что в любом треугольнике против большей
стороны лежит больший угол и против большего угла
лежит большая сторона.
Упражнения
1.	Даны стороны треугольника а, &, с. Найдите высоту тре-
угольника, опущенную на сторону с.
2.	Даны стороны треугольника а, &, с. Найдите его медианы.
3.	Даны диагонали параллелограмма с и d и угол между
ними а. Найдите стороны параллелограмма.
4.	Даны стороны параллелограмма а и Ъ и один из углов а.
Найдите диагонали параллелограмма.
5.	Докажите теорему, обратную теореме Пифагора: если
а, &, с — стороны треугольника и а2 + Ь2 = с2, то тре-
угольник прямоугольный с прямым углом, противолежа-
щим стороне с.
6.	Докажите, что если а, &, с — стороны треугольника и
а2 + Ъ2 > с2, то угол, противолежащий стороне с, ост-
рый. Если а2 + Ь2 < с2, то угол, противолежащий сто-
роне с, тупой.
7.	У треугольника две стороны 20 м и 21 м, а синус угла
между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.
8.	Стороны треугольника 13 м, 14 м, 15 м. Найдите косинусы
углов треугольника.
9.	В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Дока-
AjB ad
жите, что — = —. (Указание: воспользуйтесь теоре-
мой синусов, применив ее к треугольникам ABD и CBD.)
Ю. Докажите, что в теореме синусов каждое из трех отноше-
ттгтй Sina sin3 Siny	1	„
нии ——г, —L равно —, где R — радиус окружно-
сти, описанной около треугольника. (Указание: восполь-
зуйтесь теоремой об углах, вписанных в окружность.)
• У треугольника две стороны равны 5 см и 6 см. Может ли
угол, противолежащий стороне 5 см, быть тупым?
5 А. В. Погорелов
Рис. 134
12.	У треугольника АВС АВ = 15 см,
АС = 10 см. Может ли sin р = Лу
4
13.	Объясните, как найти расстояние
от точки А до недоступной точ-
ки В (рис. 133), зная расстояние
АС и углы а и р.
14.	Объясните, как найти высоту х
здания (рис. 134) по углам аир
и расстоянию а.
15.	Даны сторона и два угла треуголь-
ника. Найдите третий угол и ос-
тальные две стороны, если:
1) а = 5,
2) а = 20,
3) а = 35,
4) Ъ = 12,
5) с = 14,
6)	Ь = 10,
р = 30°,
а = 75°,
Р = 40°,
а = 36°,
а = 64°,
у = 17°,
У = 45°;
р = 60°;
у = 120°;
Р = 25°;
Р = 48°;
Р = 110°.
16.	Даны две стороны и угол, проти*
волежащий третьей стороне. Най-
дите остальные два угла и третью
сторону, если:
1) а = 12,	Ъ = 8,	у - 60°;
2) а = 7,	Ъ = 23,	у = 130°;
3) b = 9,	с = 17,	а = 95°;
4) b = 14,	с .= 10,	а = 145°;
5) а = 32,	с = 23,	р = 152°;
6) а - 24,	с = 18,	р = 15°.
17.	У треугольника заданы две стороны а, b и угол а, про-
тиволежащий стороне а. Найдите остальные углы и сто-
рону треугольника, если:
1) а = 12,	Ь = 5,	а = 120°;
2) а = 27,	b = 9,	а = 138°;
3) а = 34,	Ь = 12,	а = 164°;
4) а = 2,	6=4,	а = 60°;
5) а = 6,	6=8,	а = 30°;
6) а = 8,	6 = 12,	а = 43°.
130
18 Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если:
1) а = 2,	Ъ = 3,	с = 4;
2) а = 7, -	5 = 2,	с 8;
3) а = 4,	Ь = 5,	с = 7;
4) а = 15, Ь — 24, с — 18;
5) а = 23, Ь = 17, с = 39;
6) а = 55, Ъ = 21, с = 38.
§ 12. МНОГОУГОЛЬНИКИ
Ломаная
Ломаной AtA2A3 ... Ап называется фигура, которая со-
стоит из точек Аг, А2, ..., А„ и соединяющих их отрезков
AiA2, А2А3, .... A„_tA„. Точки А2.Ап называются
вершинами ломаной, а отрезки AjA2, А2А3, ..., A„_,An —
звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она
не имеет самопересечений. На рисунке 135, а показана про-
стая ломаная, а на рисунке 135, б — ломаная с самопересе-
чением (в точке В). Длиной ломаной называется сумма длин
ее звеньев.
Теорема 12.1. Длина ломаной не меньше длины отрезка,
соединяющего ее концы.
Доказательство. Пусть AtA2A3 ... данная ло-
маная. Заменим звенья ломаной AiA2 и А2А3 одним звеном
АгА3. Получим ломаную A!A3At ... . По неравенству тре-
угольника она имеет длину, не большую, чем исходная лома-
ная. Заменяя таким же способом звенья AiA3 и A3At звеном
AiAt, переходим к ломаной AiA4A5 .... И так далее. В конце
концов мы придем к отрезку AiAn , соединяющему концы ло-
маной. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину,
не меньшую длины отрезка AtAa. Теорема доказана.
Рис. 136
Задача (1). Даны две
окружности с радиусами Д,
и R 2 и расстоянием между
центрами d > Rx + R2. Че-
му равны наибольшее и наи-
меньшее расстояния между
точками этих окружностей?
Решение. Пусть X и
Y — произвольные точки окружностей (рис. 136). Для ло-
маной О1ХУО2 по теореме 12.1 ОХО2 С 01% + XY + УО2.
Значит, d Rx + XY + R%. Отсюда XY d — 7?х — _R2.
Так как АС — d — Rx — 2?2» то наименьшее расстояние
между точками окружностей равно d — Rx — Ri-
Для ломаной XOxO^Y XY Rx + d + R<f Так как BD —
= d + Rx + Rit то наибольшее расстояние между точками
окружностей равно d + Rx + R%.
Выпуклые многоугольники
Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпа-
дают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольни-
ком, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Вер-
шины ломаной называются вершинами многоугольника, а
звенья ломаной — сторонами многоугольника. Отрезки, со-
единяющие не соседние вершины многоугольника, называют-
ся диагоналями. Многоугольник с п вершинами, а значит,
и п сторонами называется п-угольником.
Плоским многоугольником или многоугольной областью
называется конечная часть плоскости, ограниченная много-
угольником (рис. 137, а).
б)
Рис. 137
132
Много угольник называется выпуклым 9	Д?	Д^
если он лежит в одной полуплоскости	У	\
относительно прямой, содержащей любую /	\
его сторону. При этом сама прямая счита- Аг/	/
ется принадлежащей полуплоскости. На \	/
рисунке 137, б изображен выпуклый мно- \
гоугольник, а на рисунке 137, в — не	п
выпуклый. Углом выпуклого многоуголь-
ника при данной вершине называется Рис- 138
угол, образуемый его сторонами, сходя-
щимися в этой вершине.
Теорема 12.2. Сумма углов выпуклого п-угольника
равна 180° (п 2).
Доказательство. Пусть Р: АГА3 ... Ап — дан-
ный выпуклый многоугольник (рис. 138). Проведем диаго-
наль AiA3. Получим треугольник AXA2A3 и многоугольник с
п — 1 вершиной Pi. AiA3 ... Ап. Углы при вершинах Ai и
А3 многоугольника Р равны сумме углов многоугольника Р\
и треугольника AiA3A3 при этих вершинах. Отсюда следует,
что сумма углов многоугольника Р равна сумме углов
многоугольника Pi плюс сумма углов треугольника AiA2A3,
т. е. 180°. Далее таким же способом заключаем, что сумма
углов многоугольника Pi равна сумме углов многоугольни-
ка Р2: AiAt ... Ап плюс 180°. А значит, сумма углов много-
угольника Р равна сумма углов многоугольника Р2 плюс
180°-2.
Продолжая таким же образом, на п — 3 шаге мы придем
к треугольнику AiAn_1An. А сумма его углов равна 180°.
В итоге сумма углов многоугольника Р равна 180° (п — 3) 4-
+ 180° = 180° (и — 2). Теорема доказана.
Задача (7). Чему равна сумма внешних углов вы-
пуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вер-
шине?
Решение. Внешний угол при данной вершине — это
Угол, смежный внутреннему углу. Их сумма равна 180°.
Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов равна 180°п.
Но сумма всех внутренних углов по теореме 12.2 равна
180 (п — 2). Значит, сумма внешних углов, взятых по од-
ному при каждой вершине, равна 180°п — 180°(п — 2) =
= 360 и не зависит от п.
133
Правильные многоугольники
Выпуклый многоугольник называется правильным, если
у него все стороны равны и все углы равны.
Многоугольник называется вписанным в окружность,
если все его вершины лежат на некоторой окружности. Много-
угольник называется описанным около окружности, если
все его стороны касаются некоторой окружности.
Теорема 12.3. Правильный выпуклый многоугольник
является вписанным в окружность и описанным около ок-
ружности.
Доказательство. Пусть А и В — две соседние
вершины многоугольника (рис. 139). Проведем биссектрисы
углов А и В многоугольника. Пусть О — точка их пересече-
ния. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ и
углами при основании, равными —, где а — угол много-
2
угольника. Соединим точку О с вершиной С9 соседней с В.
Треугольники АВО и СВО равны по первому признаку ра-
венства треугольников. У них сторона О В общая, стороны
АВ и ВС равны как стороны многоугольника, а углы при вер-
шине В равны —. Из равенства треугольников следует, что
2
треугольник ОВС равнобедренный с углом при вершине С,
ника.
Далее соединяем точку О с вершиной Р, соседней с С, и
доказываем, что треугольник COD равнобедренный и DO —
биссектриса угла D многоугольника. И так далее. В итоге
получается, что каждый треугольник, у которого одной сто-
роной является сторона многоугольника, а противолежащей
вершиной — точка О, является равнобедренным. Все тре-
Рис. 139
угольники имеют равные боковые сто-
роны. Отсюда следует, что все верши-
ны многоугольник^ находятся на
окружности с центром О и радиусом,
равным боковым сторонам треуголь-
ников, а все стороны многоугольника
касаются окружности с центром О и
радиусом, равным высотам треуголь-
ников, проведенным из вершины О.
Теорема доказана.
134
Рис. 140
Найдем радиус R описанной окружности и радиус г
вписанной окружности для правильного многоугольника со
стороной а и числом сторон п (рис. 140, а). Имеем:
Р = 90° -у = 90° - (ге~£—
R — OB
СВ
sin Р
г = ОС =
св
tgp
а
180° *
2 sin ----
п
а
180° *
2tg------
Для правильного треугольника п = 3,
252. = во°
3
В	г==_____?___=
2sin60°	/з”	2tg603	2/3
Для правильного четырехугольника (квадрата) п — 4,	= 45°,
Л — а ~ а
2 sin 45° ~ /2
г = а =
2 tg 45°	2 ‘
Для правильного шестиугольника п = 6,	= 30°,
6
2 sin 30э	2 tg 30э	2
Задача (21). Докажите, что сторона правильного
восьмиугольника вычисляется по формуле а8 — R 1^2 — ]Л2,
где R — радиус описанной окружности.
Решение. Пусть АВ — сторона вписанного квадрата.
135
AC — сторона восьмиугольника (рис. 140, 6). Тогда
АС ~ V ad* л-сd\ AD = — =	,
1	2	2
CD = ОС — OD = R —
£л
и поэтому
а8 = АС =	— В EZV = 2? ]/ 2 - /2.
Длина окружности
Наглядное представление о длине окружности получается
следующим образом. Представим себе нить в форме окружно-
сти. Разрежем ее и растянем за концы. Длина полученного
отрезка и есть длина окружности. Как найти длину окруж-
ности, зная ее радиус? Из наглядных соображений ясно, что
длина окружности сколь угодно мало отличается от периметра
вписанного в нее выпуклого многоугольника с достаточно
малыми сторонами. Исходя из этого, докажем некоторые
свойства длины окружности.
Теорема 12.4. Отношение длины окружности к ее диа-
метру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для лю-
бых двух окружностей.
Доказательство. Возьмем две произвольные ок-
ружности. Пусть R± и R2 — их радиусы, а 1± и Z2 — длины
окружностей. Допустим, что утверждение теоремы неверно и
~ —х например
2Bi 2R2
h < h	/*\
2R2	К '
Впишем в наши окружности правильные выпуклые много-
угольники с большим числом сторон п. Если п очень велико,
то длины наших окружностей б^дут очень мало отличаться
от периметров вписанных многоугольников Pi и р2* Поэтому
неравенство (*) не нарушится, если в нем заменить на
а 12 на т. е-
Р1 < Р%
2R±	2Л2"’
Выразим периметры Pi и р2 через радиусы окружностей.
136
Из формулы
R = —-—
180°
2 sin-----
п
для радиуса окружности, описанной около правильного мно-
гоугольника, следует, что стороны наших вписанных много-
угольников равны sin 2JR2 sin Поэтому пери-
1800	• 180°
метры многоугольников— 2RX п sin ——, р2 = 2Л2п sin——.
А это противоречит неравенству (**). Теорема доказана.
Отношение длины окружности к диаметру принято обо-
значать греческой буквой л (читается: «пи»):
I
— = л.
2R
Число л иррациональное. Приближенное значение
л ^3,1416.
Таким образом, длина окружности вычисляется по фор-
муле	I = 2лЯ.
Центральный угол и дуга окружности
Плоским углом называется часть
плоскости, ограниченная двумя различ-
ными лучами, исходящими из одной
точки. Эти лучи называются сторона-
ми угла. Существуют два плоских уг-
ла с данными сторонами. Они назы-
ваются дополнительными. На рисунке
141, а заштрихован один из плоских
углов со сторонами а и Ъ.
Если плоский угол является час-
тью полуплоскости, то его градусной
мерой называется градусная мера обыч-
ного угла с теми же сторонами. Если
плоский угол содержит полуплоскость с
то его градусная мера равна 360° — а,
где а — градусная мера дополнитель-
ного плоского угла.
Центральным углом в окружности
называется плоский угол с вершиной
137
в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плос-
кого угла, называется дугой, окружности, соответствующей
этому центральному углу (рис. 141, б).
Найдем длину дуги окружности, отвечающей централь-
ному углу в п°. Развернутому углу соответствует длина полу-
окружности nR. Следовательно, углу в 1° соответствует ду-
ля	о
га —, а углу в п соответствует дуга
/ _
V - ” " Г?.
180
Радианной мерой угла называется отношение длины соот-
ветствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для
длины дуги окружности следует, что
1	л
— = ------п>
R	180
т. е. радианная мера угла получается из градусной умноже-
нием на В частности, радианная мера угла 180° равна л,
радианная мера прямого угла равна —.
2
Единицей радианной меры углов является радиан. Угол
в один радиан — это угол, у которого длина дуги равна ра-
диусу. Градусная мера угла в один радиан равна примерно
57°.
Вопросы для повторения
1.	Что такое ломаная, длина ломаной?
2.	Докажите, что длина ломаной не меньше длины отрезка,
соединяющего её концы.
3.	Что такое многоугольник, выпуклый многоугольник?
4.	Выведите формулу для суммы углов выпуклого много-
угольника.
5.	Докажите, что правильный многоугольник является
вписанным в окружность и описанным около окружности.
6.	Выведите ^Ьрмулы для радиусов вписанной и описанной
окружностей для правильного п-угольника.
7.	Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей
для правильного треугольника, квадрата, шестиуголь-
ника.
8.	Докажите, что длины двух окружностей относятся как
их радиусы или диаметры.
138
9	По какой формуле определяется длина дуги окружности?
Ю Что такое радианная мера угла?
11' Чему равна радианная мера углов 180°, 90°, 45°, 30°?
Упражнения
1.	Даны две окружности с радиусами Bi и Ла и расстоянием
между центрами d >	+ Я2. Чему равны наибольшее
и наименьшее расстояния между точками этих окружно-
стей?
2.	Решите задачу 1 при условии, что d <	— Б2.
3.	Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной
прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, сое-
диняющего ее концы.
4.	Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между
любыми двумя вершинами не больше половины длины
ломаной.
5.	Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого звена
не больше суммы Длин остальных звеньев.
6.	Может ли замкнутая ломаная иметь звенья длиной 1 м,
2 м, 3 м, 4 м, 11 м? Объясните ответ.
7.	Чему равна сумма внешних углов выпуклого многоуголь-
ника, взятых по одному при каждой вершине?
8.	Углы выпуклого четырехугольника относятся как
1 : 2 : 3 : 4. Найдите их.
9.	Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каж-
дый из внутренних углов которого равен: 1) 135°; 2) 150°?
10.	Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если
каждый из внешних его углов равен: 1) 36°; 2) 24°?
11.	Докажите, что вершины правильного 2и-угольника, взя-
тые через одну, являются вершинами правильного «-
угольника.
12« Докажите, что середины сторон правильного «-угольни-
ка являются вершинами правильного «-угольника.
13.	Докажите, что правильные n-угольники с одинаковыми
сторонами равны, т. е. совмещаются движением.
14.	Докажите, что правильные «-угольники подобны, т. е.
переводятся другу в друга преобразованием подобия.
15.	Хорда, перпендикулярная к радиусу в его середине,
равна стороне правильного вписанного треугольника.
Докажите.
139
16.	У правильного треугольника радиус вписанной окруж-
ности в два раза меньше радиуса описанной окружности.
Докажите.
17.	Сторона правильного вписанного в окружность треуголь-
ника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в
эту окружность.
18.	В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный
треугольник, на стороне которого построен квадрат.
Найдите радиус окружности, описанной около квад-
рата.
19.	Конец валика диаметром 4 см опилен под квадрат. Най-
дите наибольший размер, который может иметь сторо-
на квадрата.
20.	Конец винта газовой задвижки имеет правильную трех-
гранную форму. Какой наибольший размер может иметь
каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет
диаметр 2 см?
21.	Докажите, что сторона правильного восьмиугольника
вычисляется по формуле as = R V 2 — ]Л2, где R —
радиуе описанной окружности.
22.	Докажите, что сторона правильного 12-угольника вы-
числяется по формуле а12 = R V 2 — ]3, где R— ра-
диус описанной окружности.
23.	Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус
описанной окружности R. Найдите радиус вписанной
окружности.
24.	Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус
вписанной окружности г. Найдите радиус описанной ок-
ружности.
25.	Выразите сторо^ Ъ правильного описанного многоуголь-
ника через радиус R окружности и сторону а правиль-
ного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.
26.	Выразите сторону а правильного вписанного много-
угольника через радиус R окружности и сторону b пра-
вильного описанного многоугольника с тем же числом
сторон.
27.	Впишите в окружность правильный 12-угольник.
28.	Опишите около окружности правильный 8-угольник.
29.	Вычислите длину окружности, если радиус равен:
1)	10 м; 2) 15 м.
140
30.	На сколько изменится длина окружности, если радиус
изменится на 1 мм?
31	Найдите отношение периметра правильного вписанного
8-угольника к диаметру и сравните его с приближенным
значением л.
32.	Решите предыдущую задачу для случая правильного
12-угольника.
33.	Найдите радиус земного шара, исходя из того, что 1 м
составляет одну 40-миллионную долю длины экватора.
34.	На сколько удлинился бы земной экватор, если бы радиус
земного шара увеличился на 1 см?
35.	п равных окружностей, расположенных внутри окружно-
сти радиуса И, касаются между собой и данной окружно-
сти. Найдите радиус этих окружностей, если число их
п равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.
36.	Решите предыдущую задачу, если окружности располо-
жены вне данной окружности.
37.	Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в ми-
- нуту. Найдите скорость точки на окружности шкива.
38.	По данному радиусу R = 1 м найдите длину дуги, от-
вечающей центральному углу: 1) 45°; 2) 30°; 3) 120°.
39.	По данной хорде а определите длину ее дуги, если она со-
ответствует центральному углу: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
40.	По данной длине I дуги определите ее хорду, если дуга
содержит: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
§ 13. ПЛОЩАДИ ФИГУР
Понятие площади
Задачи об определении площадей фигур относятся к глу-
бокой древности. Они возникли в связи с практической дея-
тельностью людей.
Представим себе два земельных
участка: один в форме квадрата, а
Другой произвольной формы (рис. 142).
Пусть оба участка используются под
посев, например пшеницы. Допустим,
после посева выяснилось, что на пер-
вый участок пошло т кг зерна, а на
второй п кг зерна. Естественно счи-
141
тать, что второй участок в — раз больше первого . Число, ука-
т
зывающее, во сколько раз второй участок больше первого,
мы будем называть площадью второго участка. Первый учас-
ток является здесь единицей измерения. Из этого опреде-
ления понятия площади получаются следующие ее свойст-
ва.
Во-первых, так как для засева каждого участка требуется
определенное количество зерна, то каждый участок имеет
определенную площадь.
Во-вторых, для засева равных участков потребуется одно
ито же количество зерна, поэтому равные участки имеют рав-
ные площади.
В-третьих, если данный участок разбить на две части, то
количество зерна, необходимое для засева всего участка, бу-
дет состоять из количества зерна, необходимого для засева
его частей. Поэтому площадь всего участка равна сумме пло-
щадей его частей.
По данному нами определению, для того чтобы узнать пло-
щадь участка, надо на нем сделать посев. В жизни, однако,
требуется решать как раз обратную задачу. Требуется узнать
количество зерна, необходимое для посева, до того, как сде-
лан посев. Если бы мы знали площадь участка, то это коли-
чество зерна получили бы,, умножая площадь участка на ко-
личество зерна, необходимое для засева единицы площади.
Как же узнать площадь участка?
Сейчас мы докажем, что отмеченные нами три свойства
площади полностью ее определяют, и найдем формулы для
вычисления площадей простых областей. Говоря о площа-
дях треугольника, параллелограмма, трапеции и вообще мно-
гоугольника, мы будем иметь в виду площйщ областей, огра-
ниченных ними. Условимся называть область простой, если
она допускает разбиение на конечное число треугольников.
При этом под треугольником понимается ограничиваемая им
область.
Площадь прямоугольника
Найдем площадь прямоугольника. На рисунке 143
изображены квадрат, являющийся единицей измерения пло-
щади, и прямоугольник, площадь которого надо измерить.
Единицей длины служит сторона квадрата.
142
									
									
—									
									
									
—									
									
									
									
									
Рис. 143
Рассмотрим сначала тот случай, когда длины сторон пря-
моугольника а и Ъ выражаются конечными десятичными дро-
бями и число десятичных знаков после запятой не более п.
Разобьем стороны квадрата на 10‘ равных частей и прове-
дем через точки деления прямые, параллельные его сторонам.
При этом он разобьется на 10" • 10я малых квадратов. На ри-
сунке сторона квадрата разбита на 10 частей. Число малых
квадратов равно 10 • 10 = 100.
Найдем площадь малого квадрата. По свойству площа-
ди площадь большого квадрата равна сумме площадей малых
квадратов. Так как площадь большого квадрата равна едини-
це, а число малых квадратов равно 102я, то площадь малого
квадрата -i-.
Так как числа — = а • 10я и — = Ъ • 10я целые, то
1	1
10"	10"
стороны прямоугольника можно разбить на целое число ча-
стей, равных На стороне а их будет а • 10я , а на сторо-
не Ъ их будет Ь • 10я. Проведем через точки деления сторон
прямые, параллельные сторонам прямоугольника. При этом
мы получим разбиение прямоугольника на малые квадраты со
стороной Число их будет а • 10" • Ъ • 10". Площадь
10"
прямоугольника равна сумме площадей содержащихся в нем
143
малых квадратов. Так как площадь малого квадрата равна
а число их равно ab • 102", то площадь прямоугольни-
ка равна аЪ • IO2" • —= ab.
io2"
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть стороны прямо-
угольника а и Ъ выражаются конечными или бесконечными
десятичными дробями. Обозначим через и а2 приближенные
значения числа а с недостатком и с избытком с точностью до
п десятичных знаков. Приближенные значения числа Ъ с той
же точностью обозначим через Ьг и Ь2. Прямоугольник со сто-
ронами а± и bt имеет площадь меньшую, чем данный, так как
его можно поместить внутрь данного. Прямоугольник со сто-
ронами а2 и Ъ2 имеет площадь большую, чем данный, так как
данный прямоугольник можно поместить в него. По доказан-
ному площадь прямоугольника со сторонами аг и Ь± равна
а площадь прямоугольника со сторонами а2 и Ь2 равна
а2Ь2. Таким образом, площадь S нашего прямоугольника за-
ключена между arbi и а2Ь2. Так как и а2Ь2 дают прибли-
женное значение ab с любой наперед заданной точностью,
если п достаточно велико, то S = ab. Итак, площадь прямо-
угольника вычисляется по формуле
S ~ ab.
Площади простейших фигур
Найдем площадь параллелограмма. Пусть ABCD — дан-
ный параллелограмз^(рис. 144). Если он не является прямо-
угольником, то один из его углов, А или В, острый. Пусть
для определенности угол А острый, как изображено на ри-
сунке. Опустим перпендикуляр АЕ из вершины А на прямую
CD. Площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей па-
раллелограмма ABCD и треугольника ADE.
Опустим перпендикуляр BF из вершины В на прямую CD.
Рис. 144
Тогда площадь трапеции АВСЕ равна сум-
ме площадей прямоугольника ABFE и тре-
угольника BCF. Прямоугольные треуголь-
ники ADE и BCF равны, а значит, имеют
равные площади. Отсюда следует, что пло-
щадь параллелограмма ABCD равна пло-
щади прямоугольника ABFE, т. е. равна
АВ • BF. Отрезок BF называется высотой
144
D
с
В
А
Рис. 145
параллелограмма, соответствующей сторо-
нам АВ и CD.
Итак, площадь параллелограмма равна
произведению его стороны на высоту, прове-
денную к этой стороне.
Найдем площадь треугольника. Пусть
дВС — данный треугольник (рис. 145). До-
полним этот треугольник до параллело-
грамма ABCD, как указано на рисунке. Площадь парал-
лелограмма равна сумме площадей треугольников АВС и
CD А. Так как эти треугольники равны, то площадь паралле-
лограмма равна удвоенной площади треугольника АВС.
Высота параллелограмма, соответствующая стороне АВ, рав-
на высоте треугольника АВС, проведенной к стороне АВ.
Отсюда следует, что площадь треугольника равна полови-
не произведения его стороны на высоту, проведенную к этой
стороне.
Задача (15). Докажите справедливость формулы для
площади треугольника АВС:
S ~ ~АВ • АС • sin А.
2
Решение. Проведем в треугольнике АВС высоту BD
(рис. 146). Имеем: S = -i АС • BD. Из прямоугольного тре-
угольника ABD BD = АВ • sin а, если угол а острый
(рис. 146, а), BD = АВ sin (180° — а), если угол а тупой
(рис. 146, б). Так как sin (180° — а) = sin а, то в любом
случае BD = АВ sin а. Следовательно, площадь треуголь-
ника S = 1ас •
2
АВ sin а.
Рис. 146
Рис. 147
145
В	Найдем площадь трапеции. Пусть
уЛ ABCD — данная трапеция (рис. 147).
Диагональ трапеции АС разбивает её
Л д	на два треугольника АВС и CD А. Сле-
/	довательно, площадь трапеции равна
сумме площадей этих треугольников.
A b	С Площадь треугольника АВС равна
Рис. 148	— ЛВ • СЕ, площадь треугольника
2
ACD равна — DC • AF. Высоты СЕ и AF этих треугольников
2
равны расстоянию между параллельными прямыми АВ и
CD. Это расстояние называется высотой трапеции.
Следовательно, площадь трапеции равна произведению
полусуммы ее оснований на высоту.
Задача (29). Выведите следующие формулы для ра-
диусов описанной (R) и вписанной (г) окружностей треуголь-
ника:
п abe	2S
R = —, г =-------,
4S а + Ъ + с
где а, &, с — стороны треугольника, a S — его площадь.
Решение. Начнем с формулы для R. Как мы знаем,
T-J _ й	о
R =-----9 где а — угол, противолежащий стороне а тре-
2 sin а
угольника (задача 10 § 11).
Умножая числитель и знаменатель правой части на Ъс
и замечая, ^о -^bc sin а = S, получим: R =
Выведем формулу для г (рис. 148). Площадь треугольника
АВС равна сумме площадей треугольников О АВ, ОВС и ОСА'.
а 1	,1 .li.
S = — сг —ar —Ьг.
2	2 Г 2
Отсюда
а Ь с
Площади подобных фигур
Пусть Fj и Рг — две подобные простые фигуры. Выясним,
как относятся площади S (Ft) и S (F2) этих фигур. Так
как фигуры подобны, то существует преобразование подобия,
при котором фигура Fx переходит в фигуру Fa.
1-46
Разобьем фигуру Ft на треугольники Д'ь Д2, Дз. ... .
Преобразование подобия, переводящее фигуру Ft в F2, пере-
водит эти треугольники в треугольники Дь Д2, Дз» ••• раз-
биения фигуры F2. Площадь фигуры равна сумме площа-
дей треугольников д!, Дъ .... а площадь фигуры равна
сумме площадей треугольников Дь Д2, ... .
Если коэффициент подобия равен k, то размеры треуголь-
ника Дл в k раз больше соответствующих размеров треуголь-
ника Дл- В частности, стороны и высоты треугольника Дп в
k раз больше, чем соответствующие стороны и высоты треуголь-
ника Д«. Отсюда следует, что S (Д„) — k2S (Д„). Склады-
вая эти равенства почленно, получим:
S (F2) = k2S (FJ.
Коэффициент подобия k равен отношению соответствую-
щих линейных размеров фигур и. Fi. Поэтому площади
подобных фигур относятся как квадраты соответствующих
линейных размеров.
Площадь круга
Кругом радиуса R с центром О называется часть плоскос-
ти, все точки которой находятся на расстоянии, не большем
R, от точки О. Границей круга является окружность с теми
же центром и радиусом. Найдем формулу для площади круга.
Прежде всего докажем следующую формулу для площади
выпуклого многоугольника, описанного около круга:
s=ri-
где р — периметр, т. е. сумма длин сторон многоугольника,
а г — радиус круга.
Соединим центр круга с вершинами многоугольника (рис.
149). Они разбивают наш многоугольник на треугольники
-AiOA2, А2ОА3, .... Площадь многоугольника равна сумме
площадей треугольников. Площади треугольников:
л. s (Д AiOAj) = А2. г, S (Д А2ОА3) = —AtAs г, ... .
2	2
Складывая площади треугольников, получим площадь много-
угольника:
147
Рис. 149
В
Рис. 150
S — АгА2 • г 4- -~А2А3 • г + ... =
= "Т (-^1^2 + -^2^3 + •*•) Г•
В скобках стбит периметр многоуголь-
ника. Формула доказана.
Найдем теперь площадь S круга ра-
диуса R. Опишем около круга правиль-
ный выпуклый n-угольник Рх и впи-
шем в круг правильный выпуклый п-
угольникР2 (рис. 150). Многоугольник
Рг содержит круг, а следовательно,
имеет площадь, большую площади кру-
га. Многоугольник Р2 содержится в
круге, а поэтому имеет площадь, мень-
шую площади круга. Площади много-
угольников Pj и Р2:
=	~ ~гРгг ’
где г — радиус окружности, вписанной
в многоугольник Р2.
Пусть b и о — стороны многоуголь-
ников Рх и Р2. Из треугольника АС В
(рис. 150)
<	а
. п АС	Ь 2
cos а	2	cos а
Отсюда nb = —-а-, т. е. pj — —— .
cos а	cos а
Из треугольника ОАС
получаем: 7’ — ОС = R cos а. Теперь
1	р	£
= —р2-----, S2=-p2«cosa.
2	cos а	2
При достаточно большом п периметр р2 сколь угодно мало
отличается от длины окружности круга, cos а сколь угодно
мало отличается от 1, так как угол а сколь угодно мал. Сле<
довательно, сколь угодно мало отличается от —, где I —
2
длина окружности круга. По тем же соображениям и <S? сколь
IR
угодно мало отличается от —. Площадь круга S заключена
2
148
Рис. 151
Рис. 152
между Sx и S2, поэтому и она сколь угодно мало отличается
от —. А это может быть только в том случае, когда S = —.
2	2
Итак, площадь круга вычисляется по формуле
S = l— = лй2.
2
Круговым сектором называется часть круга, лежащая
внутри соответствующего центрального угла (рис. 151).
Площадь кругового сектора вычисляется по формуле
а ля2
S =-------------------------а,
36Э
где R — радиус круга, а а — градусная мера соответствую-
щего центрального угла.
Круговым сегментом называется общая часть круга и полу-
плоскости (рис. 152).Площадь сегмента, не равного полукру-
гу, вычисляется по формуле
Ь = ---а ± Ьд,
360
где 8Д — площадь треугольника с вершинами в центре круга
и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сек-
тор. Знак «—» надо брать в случае, если а < 180°, знак « +» —
в случае, если а > 180°.
Вопросы для повторения
1.	Сформулируйте свойства площади.
2.	Докажите, что площадь прямоугольника со сторонами а
и b равна аЪ.
3.	Докажите, что площадь параллелограмма равна произве-
дению его стороны на высоту, соответствующую этой
стороне.
149
4.	Докажите, что площадь треугольника равна половине
произведения его стороны на высоту, проведенную из
противолежащей вершины.
б. Докажите, что площадь описанного выпуклого много-
угольника равна произведению его полупериметра на
радиус круга.
6.	Как относятся площади подобных фигур?
7.	Выведите формулу для площади круга.
8.	По каким формулам вычисляются площади кругового
сектора и кругового сегмента?
Упражнения
1.	Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных
на катетах прямоугольного треугольника, равна пло-
щади квадрата, построенного на гипотенузе.
2.	Стороны двух участков земли квадратной формы равны
100 м и 150 м. Определите сторону квадратного участка,
равновеликого им.
3.	Выразите площадь S квадрата через его диагональ а.
4.	Во сколько раз площадь квадрата, описанного около
круга, больше площади квадрата, вписанного в тот же
круг?
5.	Как изменится площадь квадрата, если каждую его сто-
рону увеличить в 3 раза?
6,	Во сколько раз надо ^Леныпить стороны квадрата, чтобы
его площадь уменьшилась в 25 раз?
7.	Найдите стороны прямоугольника, если его стороны от-
носятся как 4 : 9, а площадь 144 м2.
8,	Найдите стороны прямоугольника, если его периметр
74 дм, а площадь 3 м2.
9.	Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые
стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если
площадь его равна половине площади прямоуголь-
ника.
10♦ Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из
фигур имеет большую площадь? Объясните ответ.
11. Найдите площадь ромба, если его высота 10 см, а острый
угол 30°.
12. Найдите площадь ромба, если его высота равна 12 см, а
меньшая диагональ 13 см.
150
13 Докажите, что площадь ромба равна половине произве-
дения диагоналей.
14	Докажите, что если диагонали выпуклого четырехуголь-
ника перпендикулярны, то его площадь равна половине
произведения диагоналей.
15.	Докажите справедливость формулы для площади тре-
угольника АВС’.
S = -АВ- AC sin А.
2
16.	Докажите, что площадь параллелограмма равна полови-
не произведения диагоналей на синус угла между ними.
17.	Разделите данный треугольник на три равновеликих тре-
угольника прямыми, выходящими из одной вершины.
18.	Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника
параллелограмм.
19.	Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если
его основание 120 м, а боковая сторона 100 м?
20.	Найдите площадь равнобедренного прямоугольного тре-
угольника с гипотенузой а.
21.	Найдите площадь равностороннего треугольника со сто-
роной а.
22.	Найдите площадь правильного треугольника, вписанного
в круг радиуса R.
23.	Чему равна площадь прямоугольного треугольника, если
его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см?
24.	Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если
его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2?
25.	Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 13, 14,
15.
26.	Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами 13,
14, 15.
27.	Чему равна площадь трапеции, у которой параллельные
стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см?
28.	В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м,
боковая сторона 17 м и диагональ 39 м. Найдите площадь
трапеции.
29.	Выведите следующие формулы для радиусов описанной
(7?) и вписанной (г) окружностей треугольника:
и___„_____ 2S
4S	а + Ъ 4- с
где а, Ь, с — стороны, треугольника, aS — его площадь.
151
30.	Докажите, что площадь треугольника со сторонами а, Ъ
с определяется по формуле
S = Ур(р —а)(р — Ъ) (р — с)
(формула Герона1), где р —	(Указание: вое-
2
пользуйтесь результатом задачи 1 § 11.)
31.	Найдите радиусы R описанной и г вписанной окружно-
стей для треугольника со сторонами: 1) 13, 14, 15;
2) 15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7.
32.	Боковая сторона равнобедренного треугольника равна
6 см, высота равна 4 см. Найдите радиус описанной ок-
ружности.
33.	Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус
вписанной окружности равен половине разности между
суммой катетов и гипотенузой.
34.	Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см.
Найдите радиусы R описанной и г вписанной окружно-
стей.
35.	Найдите площадь круга, если длина окружности Z.
36.	Во сколько раз увеличится площадь круга, если его диа-
метр увеличить в т раз?
37.	Найдите отношение площади круга к площади вписан-
ного квадра^и
38.	Найдите отношение площади круга, вписанного в пра-
вильный треугольник, к площади круга, описанного
около него.
39.	Найдите площадь кругового сегмента с основанием а]/3
о Л
и высотой —.
2
40.	Найдите площадь той части круга, которая расположена
вне вписанного квадрата. Радиус круга R.
* Герои Александрийский — древнегреческий ученый, живший в I в. н. э.
9 класс
СТЕРЕОМЕТРИЯ
§ 14. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изу-
чаются фигуры в пространстве. В стереометрии, так же как
и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавли-
ваются путем доказательства соответствующих теорем. При
этом отправными являются свойства основных геометриче-
ских фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами
в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Вве-
дение нового геометрического образа — плоскости заставляет
расширить систему аксиом. Именно мы вводим группу аксиом
С, которая выражает основные свойства плоскостей в про-
странстве. Эта группа состоит из следующих трех аксиом.
Сх. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, при-
надлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то
они пересекаются по прямой.
Это значит, что если две различные плоскости а и [3 имеют
общую точку, то существует прямая с, принадлежащая каж-
дой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит
обеим плоскостям, то она принадлежит прямой с.
С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то
через них можно провести плоскость и притом только одну.
Это значит, что если две различные прямые а и Ъ имеют
общую точку С, то существует плоскость у, содержащая пря-
мые а и Ъ. Плоскость, обладающая этим свойством, единст-
венна.
Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из
аксиом планиметрии и группы аксиом С. Для удобства изло-
жения напомним аксиомы планиметрии первой группы.
11. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принад-
лежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
I2. Через любые две точки можно провести прямую и толь-
ко одну.
153
у------“7--7 Некоторые следствия аксиом стереометрии
» / Теорема 14.1. Через прямуюи не ле-
/ а/ а / жащую на ней точку можно провести пло-
скость и притом только одну.
Рис.153	Доказательство. Пусть а_________
данная прямая и В — не лежащая на
ней точка (рис. 153). Отметим на прямой
/К	а какую-нибудь точку А. Такая точка су-
I х.________ ществует по аксиоме 1Х. Проведем через
/ А ГЛ *7 точки и & прямую Ь (аксиома 12). Пря-
/ * / fa z	/	мые а и & различны, так как точка В пря-
X. / J j / мой Ъ не лежит на прямой а. Прямые а
Лч/ /	/ и Ъ имеют общую точку А. Проведем че-
рез прямые а и b плоскость а (аксиома С3).
Рис. 154 Эта плоскость проходит через прямую а
и точку В.
Докажем теперь, что плоскость а, проходящая через пря-
мую а и точку В, единственна. Допустим, что существует
другая, отличная от а плоскость а', проходящая через пря-
мую а и точку В. По аксиоме С2 плоскости а и а' пересекаются
по прямой. Следовательно, любые три общие точки пло-
скостей а и а' лежат на прямой. Но точка В и две точки пря-
мой а заведомо не лежат на одной прямой. Мы пришли к про-
тиворечию. Теорема доказана полностью.
Задача (2). Четыре точки не лежат в одной плоскости.
Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой?
Объясните ответ.
Решение. Допустим, что какие-нибудь три точки ле-
жат на одной прямой. Проведем через эту прямую и четвертую
точку плоскость (теорема 14.1). В этой плоскости лежат все
четыре точки. А это противоречит условию задачи. Значит,
никакие три точки не могут лежать на одной прямой.
Теорема 14.2 Если две точки прямой принадлежат
плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и
а — данная плоскость (рис. 154). По аксиоме 1Х существует
точка А, не лежащая на прямой а. Проведем через прямую о
и точку А плоскость а'. Если плоскость а' совпадает с а, то
плоскость а содержит прямую а, что и утверждается теоремой.
154

Если плоскость а' отлична от а, то эти плоскости перзсека-
ются по прямой а', содержащей две точки прямой а. По ак-
сиоме 12 прямая а' совпадает с а и, следовательно, прямая а
ле5КИТ в плоскости а. Теорема доказана.
Из теоремы 14.2 следует, что плоскость и не лежащая на
ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной
точке.
Задача (4). Даны две различные прямые, пересекаю-
щиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие
данные и не проходящие через точку А, лежат в одной пло-
кэсти.
Решение. Проведем через данные прямые плоскость.
Это можно сделать по аксиоме С3. Обозначим эту плоскость
через а. Прямая, пересекающая данные прямые, имеет с
плоскостью а две общие точки — точки пересечения с данны-
ми прямыми. По теореме 14.2 эта прямая должна лежать в
плоскости ос.
Теорема 14.3. Через три точки, не лежащие на прямой,
можно провести плоскость и притом только одну.
Доказательство. Пусть А, В, С — три данные
точки, не лежащие на одной прямой (рис. 155). Проведем пря-
мые АВ и АС; они различны, так как то^тки А9 В, С не лежат
на одной прямой. По аксиоме С3 через прямые АВ и АС мож-
но провести плоскость. Эта плоскость содержит точки А, В, С.
Докажем, что плоскость а, проходящая через точки А, В,
С, единственна. Действительно, плоскость, проходящая че-
рез точки А, В, С, по теореме 14.2 содержит прямые АВ и
АС. А по аксиоме С3 такая плоскость единственна.
Зад а ч а (7). Можно ли провести плоскость через три
точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.
Решение. Пусть А, В, С — три точки, лежащие на
прямой а. Возьмем точку D, не лежащую на прямой а (ак-
сиома IJ. Через точки А, В, D можно провести плоскость
(теорема 14.3). Эта плоскость содержит
две точки прямой а — точки А и В, а зна- /---
чит, содержит и точку С этой прямой (те-	/
орема 14.2). Следовательно, через три /
точки, лежащие на одной прямой, всегда / /
можно провести плоскость.	рис 155
155
Вопросы для повторения
1.	Что такое стереометрия?
2.	Сформулируйте аксиомы группы С.
3.	Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку
можно провести плоскость и притом только одну.
4.	Докажите, что если две точки прямой принадлежат пло-
скости, то вся прямая принадлежит плоскости.
5.	Докажите, что через три точки, не лежащие на одной
прямой, можно провести плоскость и притом только
одну.
Упражнения
1.	Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости.
Докажите, что если две из прямых пересечения этих пло-
скостей пересекаются, то третья прямая проходит через
их точку пересечения.
2.	Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли ка-
кие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объяс-
ните ответ.
3.	Даны две не пересекающиеся плоскости. Докажите, что
прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересе-
кает и другую.
4.	Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А.
Докажите, что все прямые, пересекающие две данные и не
проходящие через точку Л9 лежат в одной плоскости.
5.	Докажите, что все прямые, пересекающие данную пря-
мую и проходящие через данную точку, лежат в одной
плоскости.
в. Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной
плоскости, то прямые АС и BD также не лежат в одной
плоскости.
7.	Можно ли провести плоскость через три точки, если они
лежат на одной прямой? Объясните ответ.
8.	Можно ли через три точки, лежащие на одной прямой,
провести две плоскости? Объясните ответ.
156
§ 15. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Параллельные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными,
если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Пря-
мые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости,
называются скрещивающимися.
Задача (1). Докажите, что все прямые, пересекающие
две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
Решение. Так как данные прямые параллельны, то
через них можно провести плоскость. Обозначим ее а. Пря-
мая, пересекающая данные параллельные прямые, имеет с
плоскостью а две общие точки — точки пересечения с данны-
ми прямыми. По теореме 14.2 эта прямая лежит в плоскости
а. Итак, все прямые, пересекающие две данные параллельные
прямые, лежат в одной плоскости — плоскости а.
Теорема 15.1. Через точку вне данной прямой можно
провести прямую, параллельную этой прямой, и притом толь-
ко одну.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и
А — точка, не лежащая на этой прямой (рис. 156). Проведем
через прямую а и точку А плоскость а. Проведем через точ-
ку А в плоскости а прямую а19 параллельную а. Докажем,
что прямая параллельная а, единственна.
Допустим, что существует другая прямая а2, проходящая
через точку А и параллельная прямой
и а2 можно провести плоскость а2.
Плоскость а 2 проходит через прямую
а и точку А, следовательно, по теоре-
ме 14.1 она совпадает с ос. По аксиоме
параллельных прямые а± и а2 совпада-
ют. Теорема доказана.
Задача (2). Докажите, что все
параллельные прямые, пересекающие
данную прямую, лежат в одной плос-
кости.
Решение. Пусть а — данная пря-
мая и Ъ, с — параллельные прямые,
пересекающие прямую а (рис. 157).
Проведем через прямые а и b плос-
а. через прямые а
157
кость а. Проведем через точку С пересечения прямых а и с в 7
плоскости а прямую с , параллельную Ь. По теореме 15.1 .
через точку С можно провести только одну прямую, парал-
лельную &. Отсюда следует, что прямая с' совпадает с пря-
мой с, а значит, лежит в плоскости а. Итак, любая прямая
с', параллельная Ь и пересекающая прямую о, лежит в ।
плоскости а, что и требовалось доказать.
Теорема 15.2. Две прямые, параллельные третьей пря-
мой, параллельны друг другу.
Доказательство. Пусть прямые & и с парал-
лельны прямой а. Докажем, что прямые b и с параллельны.
Случай, когда прямые а, &, с лежат в одной плоскости,
был рассмотрен в планиметрии. Поэтому предположим, что
наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть р — пло-
скость, в которой лежат прямые а и &, а у — плоскость, в
которой лежат прямые а и с. Плоскости Р и у различны
(рис. 158). Отметим на прямой Ь какую-нибудь точку В и про-
ведем плоскость ух через прямую с и точку В. Она пересечет
плоскость р по некоторой прямой 6Х.
Прямая &! не пересекает плоскость у. Действительно,
точка пересечения должна принадлежать прямой а, так как
прямая bi лежит в плоскости р. С другой стороны она должна
лежать на прямой с, так как прямая лежит в плоскости уР
Но прямые а и с как параллельные не пересекаются.
Так как прямая Ь± лежит в плоскости Р и не пересекает
прямую а, то она параллельна а и, значит, совпадает с & по
аксиоме параллельных. Таким образом, прямая Ь, совпадая
с прямой &х, лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости
У1) и не пересекает ее. Значит, прямые b и с параллельны.
Теорема доказана.
Задача (7). Докажите, что середины сторон простран-
ственного четырехугольника являют-
ся вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть ABCD — дан-
ный пространственный четырехуголь-
ник (вершины четырехугольника не ле-
жат в одной плоскости, рис. 159). Пусть
Ai, Bi9 Ci, Di — середины его сторон.
Тогда AtBx — средняя линия треуголь-
ника АВС, параллельная стороне АС;
158
C Di — средняя линия треугольни-
ка ACD, тоже параллельная стороне
дС. По теореме 15.2 прямые АгВг и	/
С Di параллельны, а значит, лежат	-*	/
в одной плоскости. Точно так же Л
доказывается параллельность пря- ЛА-'П
мых -AiDt и В1С1. Итак, все вер-	1
шины четырехугольника А^В^С^Р^
лежат в одной плоскости и его про-	°
тиволежащие стороны параллельны.	Рис. 159
Следовательно, он параллелограмм.
Параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость называются параллельными, если
они не пересекаются.
Теорема 15.3. Если прямая, не принадлежащая плоско-
сти, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то
она параллельна и самой плоскости.
Доказательство. Пусть а — плоскость, а — не
лежащая в ней прямая и аг — прямая в плоскости а, парал-
лельная прямой а. Проведем плоскость at через прямые а и
(рис. 160). Она отлична от а, так как прямая а не лежит
в плоскости а. Плоскости а и аг пересекаются но прямой аи
Если бы прямая а пересекала плоскость а, то точка пересе-
чения принадлежала бы прямой av Но это невозможно, так
как прямые а и параллельны. Итак, прямая а не пересе-
кает плоскость а, а значит, параллельна плоскости а. Теоре-
ма доказана.
Задача (10). Докажите, что через любую из двух
скрещивающихся прямых можно провести плоскость, парал-
лельную другой прямой.
Решение. Пусть о и & — две скрещивающйеся прямые
(рис. 161). Возьмем на прямой а любую точку и проведем че-
рез нее прямую параллельную прямой Ь. Проведем через
Ь
159
прямые а и У плоскость а. По теореме 15.3 она будет парал-
лельна прямой Ь.
Параллельность плоскостей
Две плоскости называются параллельными, если они не
пересекаются.
Теорема 15.4. Две плоскости параллельны, если одна
из них параллельна двум пересекающимся прямым, лежа-
щим в другой плоскости.
Доказательство. Пусть а и ₽ — данные плос-
кости и Ъ19 Ь2 — две пересекающиеся прямые в плоскости Р,
параллельные плоскости а (рис. 162). Плоскости аир
различны. Допустим, что они пересекаются по некоторой
прямой с. Прямые и Ь2 не пересекают плоскость а,
следовательно, не пересекают прямую с этой плоскости. Но
это невозможно по аксиоме параллельных, так как пря-
мые b19 Ь2и с лежат в одной плоскости — плоскости р. Мы
пришли «противоречию. Теорема доказана.
Задача (13). Даны две скрещивающиеся прямые. Как
провести через них две параллельные плоскости?
Решение. Пусть а и Ъ — данные скрещивающиеся
прямые (рис. 163). Через произвольную точку прямой а про-
ведем прямую Ь', параллельную Ъ, а через произвольную
точку прямой Ь проведем прямую а', параллельную а. Теперь
проведем две плоскости — одну через прямые а и а дру-
гую через прямые & и а'. По теореме 15.4 эти плоскости па-
раллельны. В первой из них лежит прямая а, а во второй—
прямая Ь.
Теорема 15.5. Через точку вне данной плоскости можно
провести плоскость, параллельную данной, и притом только
одну.
Доказательство. Проведем на данной плоско-
сти а какие-нибудь две пересекающиеся прямые а и &. Через
Рис. 162	Рис. 163	Рис. 164
160
данную точку А проведем параллельные им прямые аг та Ъ±.
Плоскость Р, проходящая через прямые аг и Ьх, по теореме
15.4 параллельна плоскости а (рис. 164).
Допустим, что через точку А проходит другая плоскость
|У, параллельная плоскости а. Плоскость параллельных пря-
мых а и «1 пересекает плоскость Р' по прямой а'. Прямая а>
не пересекает прямую а, так как она не пересекает содержа-
щую ее плоскость а. Поэтому прямая а параллельна прямой
а, а, значит, по аксиоме параллельных совпадает с пря-
мой
Плоскость параллельных прямых Ъ и пересекает плос-
кость Р' по прямой Прямая Ъ' не пересекает прямую Ь.
Поэтому прямая Ъ' параллельна прямой Ь, а значит, по аксио-
ме параллельных совпадает с прямой Ьх.
Так как по аксиоме С3 через прямые и Ьх можно про-
вести только одну плоскость, то плоскость Р' совпадает с
плоскостью р. Мы пришли к противоречию. Теорема дока-
зана.
Задача (14). Плоскости а и Р параллельны плоскости
у. Могут ли плоскости а и Р пересекаться?
Решение. Плоскости а и Р не могут пересекаться.
Если бы плоскости а и р имели общую точку, то через эту
точку проходили бы две плоскости (а и Р), параллельные пло-
скости у. А это противоречит теореме 15.5.
Теорема 15.6. Если две параллельные плоскости пере-
секаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Доказательство. Согласно определению парал-
лельные прямые — это прямые, лежащие в одной плоскости
и не пересекающиеся. Наши прямые лежат в одной плоско-
сти — секущей плоскости. Они не пересекаются, так как не
пересекаются содержащие их параллельные плоскости. Зна-
чит, прямые параллельны. Теорема доказана.
Задача .(23). Даны^две параллельные плоскости ах и
«г и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Че-
рез точку А проведена произвольная прямая, Хх и Х2 — точ-
ки пересечения ее с плоскостями ах и а2. Докажите, что от-
ношение длин отрезков АХх : АХг не зависит от взятой
прямой.
Решение. Проведем через точку А другую прямую
и обозначим через и У2 ее точки пересечения с плоскостя-
6 А. В. Погорелов
ми 0&! и а2 (рис. 165). Проведем через
прямые АХ*1 и AYr плоскость. Она пе-
ресечет плоскости ах и а2 по параллель-
ным прямым X]Yi и X2Y2 (теорема 15.6).
Отсюда следует подобие треугольников
AX1Y1 и AX2Y2. А из подобия тре-
угольников следует пропорция
АУг
ах2 ^ay2
т. е. отношения АХГ : АХ2и AY± : AY2
одинаковы для обеих прямых.
Теорема 15.7. Отрезки параллель-
ных прямых, заключенные между па-
раллельными плоскостями, равны.
Доказательство. Пусть
и ос2 — параллельные плоскости, а и
Ь — пересекающие их параллельные
прямые, А19 А2 и В19 В2 — точки пере-
сечения прямых с плоскостями (рис. 166).
Проведем через прямые а иЬ плоскость.
Она пересекает плоскости и а2 по
параллельным прямым АД и А2В2. Четырехугольник
AiBiJ32A2 — параллелограмм, так как у него противолежа-
щие стороны параллельны. А у параллелограмма противоле-
жащие стороны равны. Значит, АгА2 = В1В2. Теорема дока-
зана.
Изображение пространственных фигур на плоскости
Для изображения пространственных фигур на плоскости
обычно пользуются параллельным проектированием. Этот
способ изображения фигуры состоит в следующем. Берем
произвольную прямую й, пересекающую плоскость черте-
жа, и проводим через произвольную точку А фигуры прямую,
параллельную й. Точка пересечения Ai этой прямой с пло-
скостью чертежа будет изображением точки А (рис. 167).
Построив таким образом изображение каждой точки фигуры,
получим изображение самой фигуры. Такой способ изображе-
ния пространственной фигуры на плоскости соответствует
зрительному восприятию фигуры при рассматривании ее из-
дали.
162
Отметим некоторые свойства изо-
бражения фигуры на плоскости, вы-
текающие из описанного ее построе-
ния.
Отрезки фигуры изображаются на
плоскости чертежа отрезками (рис. 168).
Действительно, все прямые, проекти-
рующие точки отрезка АС, лежат в од-
ной плоскости, пересекающей плоскость
чертежа а по прямой AiCx. Произволь-
ная точка В отрезка АС изображается
точкой Bi отрезка А^С^.
Рис. 167
Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоско-
сти чертежа параллельными отрезками (рис. 169). Дей-
ствительно, пусть АС и А'С—параллельные отрезки фигу-
ры. Прямые А^ и AxCi параллельны, так как они полу-
чаются в пересечении параллельных плоскостей с плоскостью
а. Первая из этих плоскостей проходит через прямые АС и
ААХ, а вторая — через прямые А'С' и А'А^.
Отношение отрезков одной прямой или параллельных
прямых сохраняется при параллельном проектировании.
Покажем, например, что
ав . вс
----—-------. (*)
Проведем через точку В прямую, параллельную AiCr
(рис. 170). Треугольники ВАА% и ВСС2 подобны. Из подо-
бия треугольников следует пропорция (*).
Задача (29). Дана параллельная проекция треуголь-
ника. Как построить проекции медиан этого треугольника?
Решение. При параллельном проектировании сохра-
няется отношение отрезков прямой. Поэтому середина сторо-
168	Рис. 169	Рис. 170
6*
168
ны треугольника проектируется в середину проекции этой
стороны. Следовательно, проекции медиан треугольника
будут медианами его проекции.
Вопросы для повторения
1.	Какие прямые в пространстве называются параллельны-
ми?
2.	Докажите, что через точку вне данной прямой можно
провести прямую, параллельную этой прямой, и притом
только одну.
3.	Докажите, что две прямые, параллельные третьей, па-
раллельны друг другу.
4.	Что значит: прямая и плоскость параллельны?
5.	Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая
параллельны, если в плоскости найдется прямая, парал-
лельная данной прямой.
6.	Какие плоскости называются параллельными?
7.	Докажите, что две плоскости параллельны, если одна из
них параллельна двум пересекающимся прямым, лежа-
щим в другой плоскости.
8.	Докажите, что через точку вне данной плоскости можно
провести плоскость, параллельную данной, и притом
только одну.
9.	Докажите, что отрезки параллельных прямых между
параллельными плоскостями равны.
10.	Перечислите свойства параллельного проектирования.
Упражнения
1.	Докажите, что все прямые, пересекающие две параллель-
ные прямые, лежат в одной плоскости.
2.	Докажите, что все параллельные прямые, пересекающие
данную прямую, лежат в одной плоскости.
3.	Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух
параллельных прямых, то она пересекает и вторую.
4.	Через концы отрезка АВ и его середину М проведены
параллельные прямые, пересекающие некоторую плос-
кость в точках Аг, By и Му. Найдите длину отрезка ММ19
если ААу = 5 м, ВВу = 7 м и отрезок АВ йе пересекает
плоскость.
164
5	Решите задачу 4, если отрезок АВ пересекает плоскость.
6.	Дан параллелограмм ABCD и не пересекающая его плос-
кость. Через вершины параллелограмма проведены па-
раллельные прямые, пересекающие данную плоскость
в точках Alt Bi, Dt. Найдите длину отрезка DDlt
если AAi = л, ВВ± — Ь, СС± = с.
7.	Докажите, что середины сторон пространственного четы-
рехугольника являются вершинами параллелограмма.
8.	Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной пло-
скости. Докажите, что прямые, соединяющие середины
отрезков АВ и CD, АС и BD, AD и ВС, пересекаются
в одной точке.
9.	Через данную точку проведите прямую, параллельную
каждой из двух данных пересекающихся плоскостей.
10.	Докажите, что через любую из двух скрещивающихся
прямых можно провести плоскость, параллельную дру-
гой прямой.
11,	Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по
прямой а, пересекают плоскость а по параллельным пря-
мым, то прямая а параллельна плоскости а.
12.	Докажите, что если прямая пересекает одну из двух па-
раллельных плоскостей, то она пересекает и вторую.
13.	Даны две скрещивающиеся прямые. Как провести через
них две параллельные плоскости?
14.	Плоскости а и р параллельны плоскости у. Могут ли
плоскости аи₽ пересекаться?
15.	Плоскости аир пересекаются. Докажите, что любая
плоскость у пересекает хотя бы одну из плоскостей
а, Р.
16.	Докажите, что все прямые, проходящие через данную
точку параллельно данной плоскости, лежат в одной
плоскости.
17.	Через данную точку проведите плоскость, параллельную
каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это
возможно?
18.	Докажите, что если параллелограммы ABCD и ABCrDv
лежат в разных плоскостях, то четырехугольник CDD^Cx
тоже параллелограмм.
19.	Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в
одной из двух параллельных плоскостей, проведены
параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость
165
в точках Ах, Blt Сх, i>t. Докажите, что четырехугольник
AXBXCXDX тоже параллелограмм.
20.	Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной
из двух параллельных плоскостей, проведены парал-
лельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точ-
ках Аг, Ви Сх. Докажите равенство треугольников АВС
и А^В^С-^»
21.	Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают
плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плос-
кость—в точках Alt Blt Сг. Докажите подобие треуголь-
ников АВС и AiB^i.
22.	Докажите, что если четыре прямые, проходящие через
точку А, пересекают плоскость а в вершинах параллело-
грамма, то они пересекают любую плоскость, параллель-
ную а и не проходящую через А, тоже в вершинах па-
раллелограмма.
23.	Даны две параллельные плоскости ах и а2 и точка А, не
лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А
проведена произвольная прямая, Хх и Х2 — точки пере-
сечения ее с плоскостями ах и а2. Докажите, что отно-
шение длин отрезков АХх : АХ2 не зависит от взятой
прямой.
24.	Точка А лежит вне плоскости а, X — произвольная точ-
ка плоскости а, X’ — точка отрезка АХ, делящая его
в данном отношении т : п. Докажите, что геометриче-
ское место точек X' есть плоскость, параллельная плос-
кости а.
25.	Даны три параллельные плоскости ах, а2, а3; Хг, Х2, Х3—
точки пересечения этих плоскостей с произвольной пря-
мой. Докажите, что отношение длин отрезков ХхХ2:Х2Х3
не зависит от прямой, т. е. одинаково для любых
двух прямых.
26.	Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если
какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в вер-
шинах параллелограмма, то любая плоскость, не парал-
лельная данным прямым, пересекает их в вершинах не-
которого параллелограмма.
27.	Даны две параллельные плоскости, пересекающая их
прямая и окружность в одной из плоскостей. Через каждую
точку X окружности проводится прямая, параллельная
данной прямой и пересекающая вторую плоскость в не-
166
которой точке X'. Что представляет собой геометриче-
ское место точек X'? Объясните ответ.
28.	Даны две параллельные плоскости, точка вне этих пло-
скостей и окружность в одной из плоскостей. Через каж-
дую точку X окружности и данную точку проводится
прямая, пересекающая вторую плоскость в некоторой
точке X'. Что представляет собой геометрическое место
точек Х'Ч Объясните ответ.
29.	Дана параллельная проекция треугольника. Как по-
строить проекции медиан этого треугольника?
30.	Дана параллельная проекция треугольника. Чем изобра-
зится проекция средней линии треугольника? Объясните
ответ.
31.	Может ли при параллельном проектировании параллело-
грамма получиться трапеция? Объясните ответ.
32.	Может ли проекция параллелограмма при параллельном
проектировании быть квадратом? Объясните ответ.
33.	Докажите, что параллельная проекция центрально-сим-
метричной фигуры также является центрально-симмет-
ричной фигурой.
34.	Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра.
Как построить параллельную проекцию перпендикуляр-
ного диаметра?
§ 16. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ
Перпендикулярность прямых
Так же как и на плоскости, две прямые называются пер-
пендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Теорема 16.1. Пересекающиеся прямые, параллельные
перпендикулярным прямым, перпендикулярны.
Доказательство. Пусть а и Ъ — перпендикуляр-
ные прямые, аг и — параллельные им пересекающиеся
прямые. Докажем, что прямые и перпендикулярны.
Если прямые a, b, alt лежат в одной плоскости, то они
обладают указанным в теореме свойством (доказано в плани-
метрии). Пусть прямые не лежат в одной плоскости. Тогда
прямые а и 6 лежат в некоторой плоскости а, а прямые ах и
167
— в некоторой плоскости ах (рис. 171).
По теореме 15.3 прямые а и & парал-
лельны плоскости ах. Цо теореме 15.4
плоскости а и ах параллельны.
Пусть С — точка пересечения прямых
а и &, а Сг — точка пересечения прямых
di и bi. Проведем в плоскости параллель-
ных прямых а и аг прямую, параллель-
ную прямой CCi. Она пересечет прямые
d и di в точках А и Ах. Аналогично в
Ъ и bi проведем прямую, параллельную
прямой ССХ, и обозначим через В и Вг точки ее пересечения
с прямыми Ъ и Ь^
Четырехугольники СААХСХ и CBBiCi — параллелограм-
мы, так как у них противолежащие стороны параллельны.
Четырехугольник ABBxAi также параллелограмм. У него
стороны AAi и BBi параллельны, потому что каждая из них
параллельна прямой ССХ. Стороны АВ и АХВХ лежат в парал-
лельных плоскостях, следовательно, параллельны.
Так как у параллелограмма противолежащие стороны рав-
ны, то АВ = AiBi, АС — AiC19 ВС — ВгСг. По третьему
признаку равенства треугольников треугольники АВС и
АХВХСХ равны. Следовательно, угол АХСХВХ, равный углу
АСВ9 прямой, т. е. прямые ах и &х перпендикулярны. Теорема
доказана.
Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой
в пространстве можно провести перпендикулярную к ней пря-
мую.
Решение. Пусть а — данная прямая и А — точка на
ней. Возьмем любую точку X вне прямой а и проведем через
эту точку и прямую а плоскость а (теорема 14.1). Теперь
в плоскости а через точку А можно провести прямую &, пер-
пендикулярную прямой а, что и требовалось доказать.
I
Перпендикулярность прямой и плоскости
I
Прямая а, пересекающая плоскость а, называется пер- :i
пендикулярной к плоскости а, если она перпендикулярна к
любой прямой в плоскости а, проходящей через точку пересе-
чения прямой а с плоскостью а.
168
Теорема 16.2. Если прямая, пересе-
кающая плоскость, перпендикулярна к
двум прямым в этой плоскости, то она
перпендикулярна плоскости.
Доказательство. Пусть а —
прямая, пересекающая плоскость а в
точке А и перпендикулярная к прямым b
и с в этой плоскости, которые прохо-
дят через точку А (рис. 172). Докажем,
что прямая а перпендикулярна к плос-
КОСТИ ОС.
Проведем произвольную прямую х че-
рез точку А в плоскости а и покажем, что она перпенди-
кулярна к прямой а. Можно считать, что прямая х отлична
от прямых Ъ и с. Проведем в плоскости а произвольную пря-
мую, не проходящую через точку А и пересекающую пря-
мые Ь, с и х. Пусть точками пересечения будут В, С и X.
Отложим на прямой а из точки А в разные стороны от этой
точки равные отрезки ААХ и АА2. Треугольник AiCA2 равно-
бедренный, так как отрезок АС является высотой по условию
теоремы и медианой по построению (AAj = АА2). По той же
причине треугольник AjBA2 тоже равнобедренный. Следова-
тельно, треугольники АХВС и А2ВС равны по третьему при-
знаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников AiBC и А2ВС следует равен-
ство углов А^ВХ, А2ВХ и, следовательно, равенство тре-
угольников АгВХ и А2ВХ по первому признаку равенства
треугольников. Из равенства сторон АГХ и А2Х этих тре-
угольников заключаем, что треугольник Ai-XA.2 равнобедрен-
ный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А
это и значит, что прямая х перпендикулярна к а. Теорема
доказана.
Задача (3). Докажите, что через любую точку данной
прямой можно провести перпендикулярную к ней плоскость.
Решение. Пусть а — данная прямая и А — точка на
ней. Проведем через точку А две различные перпендикуляр-
ные к ней прямые (см. задачу 1). Проведем через эти прямые
плоскость а (аксиома Са). Плоскость а проходит через точку
А и перпендикулярна прямой а (теорема 16.2).
Теорема 16.3. Если плоскость перпендикулярна к одной
1G9
из двух параллельных прямых, то она
Qf	перпендикулярна и к другой.
_ Доказательство. Пусть at
-у и — две параллельные прямые и а
/ >1	у плоскость, перпендикулярная к пря-
/а _________/ мой аг (рис. 173). Докажем, что эта плос-
кость перпендикулярна и к прямой аг.
Рис. 173 Проведем через точку пересечения пря-
мой а 2 с плоскостью а произвольную пря-
мую х2 в плоскости а. Проведем через точку пересечения
прямой ах с плоскостью а прямую хх, параллельную пря-
мой х2. Она лежит в плоскости а. Так как прямая аг пер-
пендикулярна к плоскости а, то прямые аг и хх перпендику-
лярны. А по теореме 16.1 параллельные им пересекающиеся
прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, пря-
мая а 2 перпендикулярна к любой прямой яг2. А это значит,
что прямая а2 перпендикулярна к плоскости а. Теорема до-
казана.
Задача (5). Докажите, что через любую точку А мож-
но провести прямую, перпендикулярную данной плоскости а.
Решение. Проведем в плоскости а две пересекающие-
ся прямые Ъ и с. Через точку их пересечения проведем пло-
скости р и у, перпендикулярные прямым Ъ и с соответствен-
но. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а пер-
пендикулярна прямым Ь и с, а значит, и плоскости а. Про-
ведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По
теореме 16.3 она перпендикулярна плоскости а.
Теорема 16.4. Две прямые, перпендикулярные к одной
и той же плоскости, параллельны.
Доказательство. Пусть а и & — две прямые,
перпендикулярные к плоскости а (рис. 174). Допустим, что
прямые а и Ь не параллельны. Проведем через какую-ни-
Рис. 174
будь точку С прямой Ъ прямую па-
раллельную прямой а. Прямая Ь' перпен-
дикулярна к плоскости а (теорема 16.3).
Пусть В и В' — точки пересечения пря-
мых b и Ь' с плоскостью а. Тогда пря-
мая В В' перпендикулярна к прямым Ъ
и А это невозможно. Мы пришли к
противоречию. Теорема доказана.
170
Перпендикуляр и наклонная
Пусть а — плоскость, А — точка, не лежащая в плоско-
сти а, и В — точка плоскости а (рис. 175). Отрезок АВ назы-
вается перпендикуляром, проведенным из точки Л. к плоско-
сти а, если прямая АВ перпендикулярна к плоскости а.
Длина отрезка АВ называется расстоянием от точки А до
плоскости.
Пусть С — точка плоскости а, отличная от В. Отре-
зок АС называется наклонной, проведенной из точки А к
плоскости а. Отрезок ВС называется проекцией наклон-
ной.
Задача (7). Докажите, что если прямая параллельна
плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоя-
НИИ от плоскости.
Решение. Пусть а — данная прямая и а — данная
плоскость (рис. 176). Возьмем на прямой а две произвольные
точки X и Y. Их расстояния до плоскости а — это длины пер-
пендикуляров XX' и YY', опущенных на эту плоскость. По
теореме 16.4 прямые XX' и YY' параллельны, следовательно,
лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость
а по прямой X'Y'. Прямая а параллельна прямой X'Y', так
как не пересекает содержащую ее плоскость а. Итак, у четы-
рехугольника XX' Y' Y противолежащие стороны параллель-
ны. Следовательно, он параллелограмм, а значит, XX' =
= YY', что и требовалось доказать.
Теорема 16.5 (теорема о трех перпендикулярах). Пря-
мая, проведенная на плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к ее проекции, перпендикулярна и к самой
наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпенди-
171
Рис. 178
кулярна к наклонной, то она перпенди-
кулярна к проекции наклонной.
Доказательство. Пусть
АВ — перпендикуляр к плоскости а,
АС — наклонная и с — прямая в плос-
кости а, проходящая через основание
С наклонной (рис. 177). Проведем пря-
мую СА', перпендикулярную к плос-
кости а. Она параллельна прямой АВ
(теорема 16.4). Проведем через пря-
мые АВ и А'С плоскость 0. Прямая
с перпендикулярна к прямой СА'. Так
как она перпендикулярна к прямой СВ, то она перпен-
дикулярна к плоскости 0, а значит, и к прямой АС.
Аналогично, если прямая с перпендикулярна к наклон-
ной С А, она, будучи перпендикулярна и к прямой СА', пер-
пендикулярна к плоскости 0, а значит, и к проекции наклон-
ной ВС. Теорема доказана.
Задача (25). Из центра вписанной в треугольник ок-
ружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости
треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой рав-
ноудалена от сторон треугольника.
Решение. Пусть А, В, С — точки касания сторон
треугольника с окружностью, О — центр окружности и S —
точка на перпендикуляре (рис. 178). Так как радиус О А пер-
пендикулярен стороне треугольника, то по теореме 16.5 от-
резок SA есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина —
расстояние от точки S до стороны треугольника. По теореме
Пифагора SA = УАО2 + OS2 = )Лг2 + OS2, где г — ра-
диус вписанной окружности. Аналогично находим: SB =
= ’|/rr2 + OS2, SC = l^r2 + OS2, т. e. все расстояния от точ-
ки S до сторон треугольника равны.
Перпендикулярность плоскостей
Пусть к и Р — две плоскости, пересекающиеся по прямой
с (рис. 179). Через произвольную точку А прямой с проведем
перпендикулярную к ней плоскость у. Она пересечет плос-
кости а и 0 по прямым а и Ъ. Плоскости аир называются
перпендикулярными, если прямые а и Ъ перпендикулярны.
172
Это определение не зависит от выбора точки А. Действитель-
но, возьмем другую точку А' м. проведем через нее плоскость
у', перпендикулярную к прямой с. Она пересечет плоскости
а и р по прямым а’ и Ь', параллельным а и & соответственно.
По теореме 16.1 из перпендикулярности прямых а и Ь следу-
ет перпендикулярность прямых а' и Ь'.
Теорема 16.6. Если плоскость проходит через прямую,
перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости пер-
пендикулярны.
Доказательство. Пусть а — плоскость, Ъ — пер-
пендикулярная к ней прямая, Р — плоскость, проходящая
через прямую Ъ (рис. 180). Докажем, что плоскости а и Р
перпендикулярны. Проведем в плоскости а прямую а через
точку пересечения прямой Ъ с плоскостью а, перпендикуляр-
ную к прямой с, по которой пересекаются плоскости а и р.
Проведем через прямые а и Ь плоскость у. Она перпендику-
лярна к прямой с, так как прямая с перпендикулярна к пря-
мым а и Ь. Так как прямые а и & перпендикулярны, то пло-
скости аир перпендикулярны. Теорема доказана.
Задача (42). Даны прямая а и плоскость а. Провести
через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости а.
Решение. Через произвольную точку прямой а про-
водим прямую Ь, перпендикулярную плоскости а (задача 5).
Через прямые а и Ъ проводим плоскость р. Плоскость Р пер-
пендикулярна плоскости а по теореме 16.6.
Теорема 16.7. Если в одной из двух перпендикулярных
плоскостей провести прямую, перпендикулярную к прямой
их пересечения, то она будет перпендикулярна другой пло-
скости.
Доказательство. Пусть а и Р — данные перпен-
Рис. 179
Рис. 180
Рис. 181
173
дикулярные плоскости, пересекающиеся по прямой с, и а —
прямая в плоскости а, перпендикулярная с (рис. 181). Дока-
жем, что прямая а перпендикулярна плоскости (3. Через точ-
ку С пересечения прямых а и с проведем прямую Ь в плоско-
сти (J, перпендикулярную к прямой с. Плоскость, проходящая
через прямые а и &, перпендикулярна к прямой с, так как ле-
жащие в ней прямые а и & перпендикулярны к прямой с. Так
как плоскости аир перпендикулярны, то прямые а и b пер-
пендикулярны. Кроме того, прямые а и с перпендикулярны
(по условию), поэтому прямая а перпендикулярна к плоско-
сти р. Теорема доказана.
Вопросы для повторения
1.	Какие прямые в пространстве называются перпендику-
лярными?
2.	Докажите, что пересекающиеся прямые, параллельные
перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны.
8.	Объясните, как провести через данную точку прямой в
пространстве перпендикулярную к ней прямую.
4. Что означает перпендикулярность прямой и плоскости?
б. Докажите, что если прямая, пересекающая плоскость,
перпендикулярна к двум прямым в этой плоскости, то
она перпендикулярна к плоскости.
6.	Объясните, как через данную точку прямой провести
плоскость, перпендикулярную к этой прямой.
7.	Докажите, что если плоскость перпендикулярна к одной
из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна
и к другой.
8.	Объясните, как через данную точку провести прямую,
перпендикулярную данной плоскости.
9.	Как построить три взаимно перпендикулярные прямые?
10. Докажите, что две прямые, перпендикулярные к одной
и той же плоскости, параллельны.
11. Объясните, что такое перпендикуляр, опущенный из дан-
ной точки на плоскость.
12. Что называется расстоянием точки от плоскости?
18. Докажите теорему о трех перпендикулярах.
14. Докажите, что плоскость, которая проходит через пря-
мую, перпендикулярную к данной плоскости, перпенди-
кулярна к этой плоскости.
174
15. Докажите, что если в одной из двух перпендикулярных
плоскостей провести прямую, перпендикулярную к пря-
мой их пересечения, то она будет перпендикулярна к
другой плоскости.
Упражнения
1.	Докажите, что через любую точку прямой в пространстве
можно провести перпендикулярную к ней прямую.
2.	Докажите, что через любую точку прямой в пространстве
можно провести две различные перпендикулярные к ней
прямые.
3.	Докажите, что через любую точку данной прямой можно
провести перпендикулярную к ней плоскость.
4.	Докажите, что через любую точку плоскости можно про-
вести перпендикулярную к ней прямую.
б.	Докажите, что через любую точку А можно провести
прямую, перпендикулярную к данной плоскости а.
6.	Докажите, что через точку, не лежащую в данной плос-
кости, нельзя провести более одной прямой, перпендику-
лярной к плоскости.
7.	Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то
все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от
плоскости.
8.	Докажите, что расстояния всех точек плоскости от па-
раллельной плоскости одинаковы.
9.	Найдите геометрическое место оснований наклонных дан-
ной длины, проведенных из данной точки к плоскости.
10.	Из центра описанной около треугольника окружности
х проведена прямая, перпендикулярная к плоскости тре-
угольника. Докажите, что каждая точка этой прямой
равноудалена от вершин треугольника.
11.	Из точки S вне плоскости а проведены три наклонные
SA, SB, SC равной длины и перпендикуляр SO. Дока-
жите, что основание перпендикуляра О является цент-
ром окружности, описанной около треугольника АВС.
12.	Расстояние между двумя параллельными плоскостями
равно а. Отрезок длины Ь своими концами упирается
в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каж-
дую из плоскостей.
13.	Два отрезка длин а и Ъ упираются концами в две парал-
175
лельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а)
на плоскость равна с. Найдите проекцию второго от-
резка.
14.	Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость,,
удалены от нее на 0,3 ми 0,5 м. Как удалена от плоскости
точка, делящая данный отрезок в отношении 3 : 7?
15.	Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите,
что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии
от этой плоскости.
16.	Через диагональ параллелограмма проведена плоскость-
Докажите, что концы другой диагонали находятся на
одинаковом расстоянии от этой плоскости.
17.	Концы отрезка АВ отстоят от плоскости на расстояния а
и &. Найдите расстояние от его середины С до плоскости.
Рассмотрите два случая: 1) отрезок АВ не пересекает
плоскость; 2) отрезок АВ пересекает плоскость.
18.	Отрезок длиной 1 м пересекает плоскость, концы его уда-
лены от плоскости на 0,5ми0,3м. Найдите длину проек-
ции отрезка на плоскость.
19.	Телефонная проволока длиной 15 м протянута от столба,
где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли,
к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите рас-
стояние между домом и столбом, предполагая, что прово-
лока не провисает.
20.	Через основание трапеции проведена плоскость, отстоя-
щая от другого основания на расстояние а. Найдите рас-
стояние от точки пересечения диагоналей трапеции до
этой плоскости, если основания трапеции относятся как
т : п.
21.	Через сторону параллелограмма проведена плоскость на
расстоянии а от противолежащей стороны. Найдите рас-
стояние от точки пересечения диагоналей параллелограм-
ма до этой плоскости.
22.	Из точек А и В опущены перпендикуляры на плоскость а.
Найдите расстояние между точками А и В, если пер-
пендикуляры равны 3 м и 2 м, расстояние между их ос-
нованиями равно 2,4 м, а отрезок АВ не пересекает
плоскость.
23.	Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, уда-
ленных на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной.
176
Высота одного столба 5,8 м, а другого 3,9 м. Найдите
длину перс Kia дины.
24.	Расстояния от точки А до вершин квадрата равны а.
Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата,
если сторона квадрата равна &.
25.	Из центра вписанной в треугольник окружности проведе-
на прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника.
Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена
от сторон треугольника.
26.	Через конец А отрезка АВ длины Ъ проведена плоскость,
перпендикулярная к отрезку, и в этой плоскости прове-
дена прямая. Найдите расстояние от конца В до прямой,
если расстояние от конца А до прямой равно а.
27.	Расстояния от точки А до всех сторон квадрата равны а.
Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата,
если диагональ квадрата равна d.
28.	Из вершины квадрата проведен перпендикуляр к его
плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра
до других вершин квадрата равны а и & (а < &). Найдите
длину перпендикуляра и сторону квадрата.
29.	Из вершины прямоугольника проведен перпендикуляр
к его плоскости. Расстояния от конца этого перпенди-
куляра до других вершин прямоугольника равны а, &,
с (а < с, Ь < с). Найдите длину перпендикуляра и сто-
роны прямоугольника.
30.	Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла,
удалена от вершины угла на расстояние а, а от его сторон-
ка расстояние Ъ. Найдите расстояние от точки М до пло-
скости угла.
31.	Из вершины А прямоугольника ABCD восставлен пер-
пендикуляр АК к его плоскости, расстояния от конца К
которого до других вершин равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите
длину перпендикуляра АК.
32.	Из данной точки к плоскости проведены две равные на-
клонные длиной 2 м. Найдите расстояние от точки до
плоскости, если наклонные образуют угол 60°, а их про-
екции перпендикулярны.
33.	Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 1 м, про-
ведены две равные наклонные. Найдите расстояние меж-
ду основаниями наклонных, если известно, что наклон-
177
ные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром
к плоскости углы, равные 60°.
84. Через вершину прямого угла С прямоугольного тре-
угольника АВС проведена плоскость, параллельная ги-
потенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекции катетов на
эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу.
35. Через одну сторону ромба проведена плоскость на рас-
стоянии- 4 м от противолежащей стороны. Проекции диа-
гоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите про-
екции сторон.
86.	Стороны равностороннего треугольника равны 3 м.
Найдите расстояние от точки до плоскости треугольни-
ка, если она находится на расстоянии 2 м от каждой из
его вершин.
37.	Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и бо-
ковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга проведен
перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м.
Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до
сторон треугольника.
38.	В равнобедренном треугольнике основание и высота рав-
ны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от
плоскости треугольника и на равном расстоянии от его
вершин. Найдите это расстояние.
39.	Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости, прове-
дены перпендикуляр АС и наклонная BD, перпендику-
лярная к отрезку АВ. Чему равно расстояние CD, если
АВ = а, АС = Ъ, BD = с?
40.	Из вершины острого угла прямоугольного треугольника
АВС с прямым углом С восставлен перпендикуляр AD
к плоскости треугольника. Найдите расстояния от точ-
ки D до вершин В и С, если АС = а, ВС = b, AD = с.
41.	Из вершины прямого угла С треугольника АВС восстав-
лен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Най-
дите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника,
если АВ — а, ВС ~ Ь, CD = с.
42.	Даны прямая а и плоскость а. Проведите через прямую а
плоскость, перпендикулярную плоскости а.
43.	Даны прямая а и плоскость а. Докажите, что все прямые,
перпендикулярные к плоскости а и пересекающие пря-
мую а, лежат в одной плоскости, перпендикулярной к
плоскости а.
178
44.	Точки А и В лежат в двух перпендикулярных плоскостях.
Найдите длину отрезка АВ, если проекции отрезка на
данные плоскости и прямую их пересечения равны а,
Ъ, с.
45.	Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных пло-
скостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую
пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ,
если AD = а, ВС — b, CD = с.
46.	Точка находится на расстояниях а и b от двух перпенди-
кулярных плоскостей. Найдите расстояние от точки до
прямой пересечения плоскостей.
§ 17. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Введение декартовых координат в пространстве
Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые х, у, 2,
пересекающиеся в одной точке О (рис. 182). Проведем через
каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходя-
щая через прямые хи у, называется плоскостью ху. Две другие
плоскости называются соответственно хг и уг. Прямые х, у, г
называются координатными осями или осями координат,
точка их пересечения О — началом координат, а плоскости
ху, уг и хг — координатными плоскостями. Точка О разби-
вает каждую из осей координат на две полупрямые. Усло-
вимся одну из них называть положительной, а другую —
отрицательной.
Возьмем теперь произвольную точку А и проведем через
нее плоскость, параллельную плоскости у г (рис. 183). Она
179
пересечет ось х в некоторой точке Ах. Координатой х точ^ч
А будем называть число, равное по абсолютной величине
длине отрезка ОАХ, положительное, если точка Ах лежит
на положительной полуоси х, и отрицательное, если она ле-
жит на отрицательной полуоси. Если точка Ах совпадает с
точкой О, то полагаем х = 0. Аналогично определяются ко-
ординаты г/ и г точки А. Координаты точки будем записывать
в скобках рядом с буквенным обозначением точки: А (х, у, г).
Иногда будем обозначать точку просто ее координатами
(х, У, г).
Задача (1). Даны точки А (1, 2, 3), В (0, 1, 2),
С (0, 0, 3), D (1, 2, 0). Какие из этих точек лежат: 1) в пло-
скости ху; 2) на оси г; 3) в плоскости уг?
Решение. У точек плоскости ху координата г равна
нулю. Поэтому только точка D лежит в плоскости ху. У то-
чек плоскости уг координата х равна нулю. Следовательно,
точки В и С лежат в плоскости уг. У точек на оси 2 две коор-
динаты (х и у) равны нулю. Поэтому точка С лежит на оси г.
Выразим расстояние между двумя точками Ах (хх, ylt %)
и А2 (х2, г/2, 22) через координаты этих точек.
Рассмотрим сначала тот случай, когда прямая А}А2 не
параллельна оси 2 (рис. 184). Проведем через точки Ах и А2
прямые, параллельные оси г. Они пересекут плоскость ху
в точках Ах и А2. Эти точки имеют те же координаты х и у,
что точки Ах и Аа, а координата г у них равна нулю. Прове-
дем теперь плоскость через точку А2, параллельную плоско-
сти ху. Она пересечет прямую А1А1 в некоторой точке С. По
теореме Пифагора
А1А1 = АхС2 + CAI.
Отрезки САг и АХА2 равны, а
АхА22 = (х2 — Хх)2 + (У* — У1)2‘
Длина отрезка АХС равна |2X — г2\.
Поэтому
АхА22 = (х2 — *х)2 +
+ <Уг — Ут)2 + («г — 21)2-
Если отрезок A2A2 параллелен оси
г, то АхА2=|2х — г2|. Тот же
результат дает и полученная форму-
ла, так как в этом случае хг = х2,
Уг = Уг-
180
Задача (4). В плоскости ху найдите точку D (х, у, 0),
равноудаленную от трех данных точек А (0, 1, —1),
В (-1.0,1). С (0, -1, 0).
решение. Имеем:
AD2 = (х — О)2 + (у — I)2 + (0 + I)2,
BD2 = (х + I)2 + (у — О)2 + (0 — I)2,
CD2 = (х — О)2 + (у + I)2 + (0 — О)2.
Приравнивая первые два расстояния третьему, получим два
уравнения для определения х и у.
—4у + 1=0, 2х — 2у + 1 = 0.
Отсюда у — —, х — —-. Искомая точка D (— —, oV
4	4	\	4 4	/
Пусть Al (хх, pi, +) и А2 (х2, у2, 2а) — две произвольные
точки. Выразим координаты х, у, г середины С отрезка AYA2
через координаты его концов и А2 (рис. 185). Для этого про-
ведем через точки А2 и С прямые, параллельные оси г.
Они пересекут плоскость ху в точках Ai (хг, уи 0),
А2 (х2, у2, 0) и С (х, у, 0). По теореме Фалеса точка С является
серединой отрезка АгА2- А мы знаем, что на плоскости ху
координаты середины отрезка выражаются через координаты
его концов по формулам
X =	+	_ У1 + У2 ,
2	’ У 2
Для того чтобы найти выражение для 2, достаточно вместо
плоскости ху взять плоскость хг или уг. При этом для г полу-
чается аналогичная формула:
_ г1+22
2
Задача (8). Докажите, что че-
тырехугольник ABCD с вершинами в
точках А (1, 3, 2), В (0, 2, 4),
С (1, 1, 4), D (2, 2, 2) является парал-
лелограммом.
Решение. Мы знаем, что четы-
рехугольник, у которого диагонали
пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам, — параллелограмм.
Воспользуемся этим для решения
181
задачи * Координаты середины отрезка АС:
1 + 1	1	3 + 1 о 2 + 4 о
X = —— = 1 у = —!_ = 2, 2 = —Ь- = 3.
2^2	2
Координаты середины отрезка BD:
x = °_±a=i, у = ^2=2, 2=4-±^=з.
2	2	2
Мы видим, что координаты середин отрезков АС и BD оди-
наковы. Значит, эти отрезки пересекаются и точкой пересече-
ния делятся пополам. Следовательно, четырехугольник
ABCD — параллелограмм.
Преобразования фигур в пространстве
Понятие преобразования для фигур в пространстве опреде-
ляется так же, как и на плоскости (§ 9). Так же, как и на пло-
скости, определяются преобразование симметрии относитель-
но точки и гомотетия.
В пространстве вместо симметрии относительно прямой
рассматривают преобразование симметрии относительно пло-
скости. Это преобразование состоит в следующем. Пусть а —
произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры
опускаем перпендикуляр XX на плоскость ос и на его продол-
жении за точку X откладываем отрезок XX', равный XX.
Преобразование, которое переводит точку X в симметричную
ей точку X', называется преобразованием симметрии относи-
тельно плоскости ос. Если преобразование симметрии относи-
тельно плоскости а переводит фигуру в себя, то фигура назы-
вается симметричной относительно плоскости а, а плоскость
ос называется плоскостью симметрии.
Задача (12). Даны точки (1, 2, 3), (0, —1, 2), (1, 0, —3).
Найдите точки, симметричные данным относительно коорди-
натных плоскостей.
Решение. Точка, симметричная точке (1, 2, 3) отно-
сительно плоскости ху, лежит на прямой, перпендикулярной
плоскости ху. Поэтому у нее те же координаты х и у: х = 1,
у — 2. Симметричная точка находится на том же расстоянии
от плоскости ху. Поэтому координата 2 у нее отличается толь-
ко знаком, т. е. 2 — —3. Итак, точкой, симметричной точке
(1, 2, 3) относительно плоскости ху, будет (1, 2, —3). Для
других точек и других координатных плоскостей решение ана-
логично.
182
Рис. 186
Так же, как и на плоскости, определяется понятие движения
в пространстве. А именно движением называется преобразова-
ние, при котором сохраняются расстояния между точками.
Преобразования симметрии относительно точки и относи-
- тельно плоскости в пространстве являются движениями.
Так же, как и для движения в плоскости, доказывается,
что при движении в пространстве прямые переходят в пря-
мые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки и
что сохраняются углы между полупрямыми.
Новым свойством движения в пространстве является
то, что движение переводит плоскости в плоскости. Дока-
жем это.
Пусть а — произвольная плоскость (рис. 186). Отметим
на ней любые три точки А, В, С, не лежащие на одной пря-
мой. При движении они перейдут в три точки А', В', С',
также не лежащие на одной прямой. Проведем через них
плоскость а'. Докажем, что при рассматриваемом движении
плоскость а переходит в плоскость а'. Пусть X — произволь-
ная точка плоскости а. Проведем через нее какую-нибудь
прямую а в плоскости ос, пересекающую треугольник АВС
в двух точках Y и Z. Прямая а перейдет при движении в не-
которую прямую а'. Точки Y и Z прямой а перейдут в точки
Y' и И', принадлежащие треугольнику А'В'С', а значит,
плоскости а'. Итак, прямая а' лежит в плоскости а'. Точка X
при движении переходит в точку X' прямой а', а значит, и
плоскости а'. Утверждение доказано.
Параллельным переносом в пространстве называется такое
преобразование, при котором произвольная точка (х, у, г)
фигуры переходит в точку (х + а, у + Ь, z + с), где а, Ь, с —
постоянные. Параллельный перенос в пространстве задается
183
формулами
х' = х + а9 у' = у + Ь9 г = 2 + с,
выражающими координаты х', у\ г точки, в которую пере-
ходит точка (х, у, 2) при параллельном переносе. Так же,
как и на плоскости, доказываются следующие свойства па-
раллельного переноса.
1.	Параллельный перенос есть движение.
2.	При параллельном переносе точки смещаются по парал-
лельным (или совпадающим) прямым на одно и то же рас-
стояние.
3.	При параллельном переносе каждая прямая переходит
в параллельную ей прямую (или в себя).
4.	Каковы бы ни были точки А и А', существует и при-
том единственный параллельный церенос, при котором точка
А переходит в точку А'.
5.	Два параллельных переноса, выполненных последова-
тельно, дают параллельный перенос.
6.	Преобразование, обратное параллельному переносу,
есть параллельный перенос.
Задача (14). Найдите значения а, &, с в формулах па-
раллельного переноса х' = х + а, у' = у + Ь, г = z + с,
если при этом параллельном переносе точка А (1, 0, 2) пере-
ходит в точку А' (2, 1, 0).
Решение. Подставляя в формулы параллельного пе-
реноса координаты точек А и А', т. е. х = 1, у = 0, 2 = 2,
х' = 2, у' = 1, г = 0, получим уравнения, из которых опре-
деляются а, Ь, с:
2 = 1+а, 1 = 0 + &, 0=2 +с. Отсюда а = 1, b = 1,
с = —2.
Новым для параллельного переноса в пространстве явля-
ется следующее свойство.
7.	При параллельном переносе в пространстве каждая
плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей
плоскость.
Доказательство. Пусть а — произвольная пло-
скость. Проведем в этой плоскости две пересекающиеся пря-
мые а и &. При параллельном переносе прямые а и Ь пере-
ходят либо в себя, либо в параллельные прямые а' и Ь'. Пло-
скость а переходит в некоторую плоскость а', проходящую
184
через прямые а' и Ь'. Если плоскость а' не совпадает с а, то
она параллельна а. Утверждение доказано.
Так же, как и на плоскости, определяются гомотетия
и преобразование подобия в пространстве и доказывается,
что гомотетия в пространстве является преобразованием
подобия.
Углы между прямыми и плоскостями
Две пересекающиеся прямые образуют смежные и верти-
кальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы
дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из
них называется углом между прямыми. Угол между перпен-
дикулярными прямыми равен 90° по определению.
Две прямые на плоскости либо пересекаются, либо парал-
лельны. В пространстве прямые могут не пересекаться и не
быть параллельными. Такие прямые называют скрещивающи-
мися. Если в двух параллельных плоскостях взять непарал-
лельные прямые, то эти прямые будут скрещивающимися.
Действительно, они не пересекаются, так как лежат в парал-
лельных плоскостях, и не параллельны (по условию).
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол
между пересекающимися параллельными им прямыми. Этот
угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся пря-
мые. Докажем это.
Пусть аг и а 2 — пересекающиеся в точке А прямые, па-
раллельные данным скрещивающимся прямым. Пусть bt и
Ь2 — другие прямые, параллельные данным и пересекаю-
щиеся в точке В. По теореме 15.2 прямые аг и Ьх параллель-
ны и прямые а2 и параллельны. Выполним параллельный
перенос, при котором точка А переходит в точку В. Так как
при параллельном переносе каждая прямая переходит либо
в себя, либо в параллельную прямую, то указанный парал-
лельный перенос переводит прямую аг в Ьи а прямую а2 в
Так как параллельный перенос сохраняет величину угла,
то угол между прямыми ах и а2 равен углу между прямыми
bi и Ь2. А это и требовалось доказать.
Угол между параллельными прямыми считается равным
нулю.
Определим понятие угла между прямой и плоскостью.
Пусть а—плоскость и а—пересекающая ее прямая (рис. 187).
185
Основания перпендикуляров, опущенных из точек пря-
мой а на плоскость а, лежат на прямой а. Эта прямая назы-
вается проекцией прямой а на плоскость а. Углом между
прямой а и плоскостью а называется угол между этой прямой
и ее проекцией на плоскость а. Угол между параллельными
прямой и плоскостью считается равным нулю, а угол между
перпендикулярными прямой и плоскостью — равным 90°.
Так как прямая а, ее проекция а на плоскость а и перпенди-
куляр к плоскости а в точке пересечения с прямой а лежат в
одной плоскости, то угол между прямой и плоскостью
дополняет до 90° угол между этой прямой и перпендикуля-
ром к плоскости.
Задача (16). Точка А отстоит от плоскости на расстоя-
ние й. Найдите длину наклонных, проведенных из этой точ-
ки под следующими углами к плоскости: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
Решение, Опустим перпендикуляр АА' на плоскость
(рис. 188). Треугольник АА'В — прямоугольный с прямым
углом при вершине А'. Острый угол этого треугольника,
противолежащий катету АА', равен 30° (соответственно 45°,
АА'
60 ). Поэтому в первом случае наклонная АВ =	= 2й.
Во втором случае АВ = й]/г2, в третьем АВ =
Определим понятие угла между плоскостями. Угол между
параллельными плоскостями считается равным нулю. Пусть
а и Р — плоскости, пересекающиеся по прямой с (рис. 189).
Проведем плоскость у, перпендикулярную к прямой с. Она
пересечет плоскости а и р по прямым а и Ъ. Углом между пло-
скостями а и Р называется угол между прямыми а и Ь. Дока-
жем, что угол между плоскостями не зависит от выбора пло-
скости у.
Возьмем другую плоскость у', перпендикулярную к пря-
186
мой с. Пусть а' и Ъ' — прямые Пересе-
ченпя этой плоскости с плоскостями а	\вЧ
и р. Выполним параллельный перенос,	\ дХ.
при котором точка пересечения плос- ________\	/\ \
кости у с прямой с переходит в точку ХЛ\ \
пересечения плоскости у' с прямой с. X.	^7 Хь,я \
При этом параллельном переносе пря-	Х^_______Х\
мая а переходит в прямую а', а пря-	Рис. 190
мая Ъ — в прямую Ь'. Это значит, что
углы между прямыми а и Ъ, а' и Ь' равны. Утверждение до-
казано.
Задача (20). Две плоскости пересекаются под уг-
лом 30°. Точка А, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит
от второй плоскости на расстояние#. Найдите расстояние от
этой точки до прямой пересечения плоскостей.
Решение. Пусть а и 0 — данные плоскости и А —
точка, лежащая в плоскости а (рис. 190). Опустим перпенди-
куляр АА' на плоскость р и перпендикуляр АВ на прямую с
пересечения плоскостей. По теореме о трех перпендикуля-
рах А'В ± с. Угол при вершине В прямоугольного треуголь-
ника АВА' равен 30°. Имеем:
АВ е= = а : -	2а.
sin 30	2
Расстояние от точки А до прямой с равно 2а.
Векторы в пространстве
В пространстве, как и на плоскости, вектором называется
направленный отрезок. Так же определяются основные поня-
тия для векторов в пространстве: абсолютная величина век-
тора, направление вектора, равенство векторов.
Координатами вектора с началом в точке Аг (хг, ylt 2г)
и концом в точке А2 (х2, у2, г2) называются числа х2 — xlf
Уч — Уи г2 — гх. Так же, как и на плоскости, доказывается,
что равные векторы имеют соответственно равные координатй,
и обратно, векторы с соответственно равными координатами
равны. Это дает основание для обозначения вектора его коор-
динатами: а (аь а2, а8), или просто (ап а2, а3).
Задача (27). Даны четыре точки А (2, 7, ——3),
В (1, 0, 3); С (—3, —4, 5), D (—2, 3, —1). Укажите среди
векторов АВ, ВС, DC, AD, АС и BD равные векторы.
187
Решение. Надо найти координаты указанных векто-
ров АВ, ВС, ... и сравнить соответствующие координаты.
У равных векторов соответствующие координаты равны. На-
пример, у вектора АВ координаты: 1—2 = —1, 0 — 7 = —7,
3 — (—3) =6. У вектора DC такие же координаты:
—3 _ (—2) = —1, —4 — 3 = -7, 5 — (—1) = 6. Таким
образом, векторы АВ и DC равны. Другая пара равных векто-
ров ВС a AD.
Так же, как и на плоскости, определяются действия над
векторами: сложение, умножение на число и скалярное произ-
ведение.
Суммой векторов а (а1, а2, а3) и Ъ (blt Ьг, Ь3) называется
вектор с (в! + blt а2 + Ь2, а3 + &3).
Так же, как и на плоскости, доказывается векторное ра-
венство АВ + ВС — АС.
Произведением вектора а (ах, аг, а3) и числа X называется
вектор Ха = (Хах, Ха2, Ха3). Так же, как и на плоскости, до-
казывается, что абсолютная величина вектора Ха равна | X | | а |,
а направление совпадает с направлением вектора а, если
X > 0, и противоположно направлению вектора а, если X < 0.
Задача (31). Дан вектор а (1, 2, 3). Найдите колли-
неарный ему вектор с началом в точке А (1, 1, 1) и концом
В на плоскости ху.
Решение. Координата г точки В равна нулю. Коорди-
наты вектора АВ: х'— 1, у — 1,0 — 1 = —1. Из коллине-
арности векторов а и АВ получаем пропорцию
x-ly-1 —1
1	2	3 '
Отсюда находим координаты х, у точки В:
Скалярным произведением векторов (аъ а2, а3) и (&х, &2, &3)
называется число a^bi + а2&2 + а3Ь3. Буквально так же,
как на плоскости, доказывается, что скалярное произведение
векторов равно произведению их абсолютных величин на коси-
нус угла между векторами.
Задача (36). Даны четыре точки А (0, 1, —1),
В (1, —1, 2), С (3, 1, 0), D (2, —3, 1). Найдите косинус
угла <р между векторами АВ и CD.
Решение. Координаты вектора АВ:
188
!	0 = 1, —1 — 1 = —2, 2 — (-1) = 3.
| АВ | = /12 4- (—2)2 + З2 = /14.
Координаты вектора CD'.
2 — 3 = —1, —3 — 1 = —4, 1 — 0 = 1.
ICDI = /(—I)2 4- (—4)2 + I2 = /18.
Значит,
АВ  CD 1 • (—1) + (—2) (—4) + 3-1	5
С08ф " I ЛВ|| с2>| "	/14 •/18	-/63-
Подобно тому как для векторов на плоскости, в пространст-
ве имеет место разложение
С (^1, ^2, «з) ==	4“ ^2^2 4~ аяе3,
где Сх, ег и е3 — единичные векторы, имеющие направления
координатных осей. Действительно,
(an а2, а8) = (alt 0, 0) + (0, а2, 0) + (0, 0, а3) =
= Oi (1, 0, 0) + а2 (0, 1, 0) + а3 (0, 0, 1) = 0161. 4" о2е3 4- о3е3.
Уравнение плоскости
Составим уравнение плоскости. Пусть Ао (х3, г/о, г0) —
какая-нибудь точка плоскости и п (а, Ь, с) — вектор, перпен-
дикулярный к плоскости (рис. 191). Пусть А (х, у, г) — про-
извольная точка плоскости. Векторы А3А и п — перпендику-
лярны. Поэтому их скалярное произведение равно нулю.
Координаты вектора АоА равны х — х0, у — уо, г — г0. Так
как АдА • п — 0, то
а (х — х0) 4- Ь (у — уд) 4- с (г — 2д) = 0.	(*)
Обратно, если точка А (х, у, г) удовлетворяет этому урав-
нению, то А0А • п — 0. А значит, точка А лежит в плоско-
сти. Таким образом, уравнение (*) есть уравнение нашей
плоскости.
Заметим, что коэффициенты а,Ь,с
в уравнении плоскости
ах+ Ьу 4- св d = О
являются координатами вектора, пер-
пендикулярного плоскости.
Задача (45). Даны точки
-4(1, 2, 3) и В (0, 1, —1). Найдите
18»
уравнение плоскости, проходящей через точку А перпенди-
кулярно к прямой АВ.
Решение. Вектор АВ перпендикулярен к плоскости.
Его координаты: —1, —1, —4. Поэтому уравнение плоскости
можно записать так:
(-1)х + (~1)у + (-4)2 + d - 0.
Так как точка А лежит в плоскости, то ее координаты долж-
ны удовлетворять этому уравнению:
(-1)1 + (-1)2 + (-4)3 + d = 0.
Отсюда d = 15. Уравнение искомой плоскости
—х — у — 4г + 15 = 0.
Как мы знаем, любая прямая полностью определяется,
если заданы две плоскости, проходящие через эту прямую.
Отсюда следует, что любая прямая в пространстве задается
двумя линейными уравнениями — уравнениями плоскостей,
проходящих через эту прямую:
«1Х + а2у + п3г + а4 = 0,
bi# + Ь%у + Ь32 + Ь4 = 0.
Точка (х, у, г), удовлетворяющая этим двум уравнениям,
принадлежит каждой из плоскостей, а значит, принадлежит
прямой. Обратно, координаты точки прямой удовлетворяют
обоим уравнениям, так как точка принадлежит каждой из
плоскостей.
Вопросы для повторения
1.	Где лежат те точки пространства, для которых коорди-
наты х и у равны нулю?
2.	Выразите расстояние между двумя точками через коор-
динаты этих точек.
3.	Выведите формулы для координат середины отрезка через
координаты его концов.
4.	Что такое преобразование симметрии относительно точ-
ки? Какая фигура называется центрально-симметричной?
5.	Объясните, что такое преобразование симметрии отно-
сительно плоскости. Что такое плоскость симметрии
фигуры?
6.	Какое преобразование фигуры называется движением?
7.	Докажите, что преобразование симметрии относительно
точки есть движение.
190
8.	Докажите, что преобразование симметрии относительно
координатной плоскости ху задается формулами х’ = х,
у' = у, г' = —2. Докажите, что преобразование симмет-
рии относительно плоскости есть движение.
9.	Докажите, что движение в пространстве переводит плос-
кость в плоскость.
10.	Дайте определение параллельного переноса.
11.	Докажите, что при параллельном переносе в пространст-
ве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в па-
раллельную плоскость.
12.	Дайте определение угла между прямыми.
13.	Докажите, что угол <р между прямыми, содержащими
векторы а и Ъ, определяется из уравнения
|а • &| = |а| |Ь| • cos <р.
14.	Дайте определение угла между прямой и плоскостью.
15.	Дайте определение угла между плоскостями.
16.	Дайте определение координат вектора с началом в точке
41 (*1» Ух» гх) и концом в точке Л2 (х2, у2, г2).
17.	Что такое абсолютная величина вектора? Какие векторы
называются одинаково направленными?
18.	Дайте определения действий над векторами: сложения,
умножения на число, скалярного произведения.
19.	Докажите, что любой вектор a (alt at, а3) можно предста-
вить в виде а —	+ агег + п3е3, где еи е2, е3 —
единичные векторы, имеющие направления координат-
ных осей.
Упражнения
1.	Даны точки А (1, 2, 3), В (0, 1, 2), С (0, 0, 3), D (1, 2, 0).
Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху", 2) на оси
2', 3) в плоскости уг?
2.	Дана точка А (1, 2, 3). Найдите основания перпендикуля-
ров, опущенных из этой точки на координатные оси и ко-
ординатные плоскости.
3.	Найдите расстояния от точки (1, 2, —3) до: 1) коорди-
натных плоскостей, 2) осей координат, 3) начала коор-
динат.
4.	В плоскости ху найдите точку D (х, у, 0), равноудален-
ную от трех данных точек А (0, 1, —1), В (—1, 0, 1),
с (О, -1, 0).
191
5.	Найдите точки, равноотстоящие от точек (0, 0, 1), (0, 1, 0),
(1, 0, 0) и отстоящие от плоскости уг на расстояние 2.
6.	На оси х найдите точку С (х, 0, 0), равноудаленную от
двух точек А (1, 2, 3), В (—2, 1, 3).
7.	Составьте уравнение геометрического места точек про-
странства, равноудаленных от точки А (1, 2, 3) и начала
координат.
8.	Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в
точках А (1, 2, 3), В (0, 2, 4), С (1, 1, 4), D (2, 2, 2) яв-
ляется параллелограммом.
9.	Даны четыре точки А (6, 7, 8), В (8, 2, 6), С (4, 3, 2),
D (2, 8, 4). Докажите, что они являются вершинами
ромба.
10.	Даны один конец отрезка А (2, 3, —1) и его середина
С (1, 1, 1). Найдите второй конец отрезка В (х, у, г).
11.	Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD
А (2, 3, 2), В (0, 2, 4), С (4, 1, 0). Найдите координаты
четвертой вершины D и точки Е пересечения диагоналей.
12.	Даны точки (1, 2, 3), (0, —1, 2), (1, 0, —3). Найдите
точки, симметричные данным относительно координат-
ных плоскостей.
13.	Даны точки (1, 2, 3), (0, —1, 2), (1, 0, —3). Найдите точ-
ки, симметричные им относительно начала координат.
14.	Найдите значения а, Ь, св формулах параллельного пе-
реноса х’ = х + а, у' = у + Ь, г' = г + с, если при
этом параллельном переносе точка А (1, 0, 2) переходит
в точку А' (2, 1, 0).
15.	При параллельном переносе точка А (2, 1, —1) пере-
ходит в точку А! (1, —1, 0). В какую точку переходит
начало координат?
16.	Точка А отстоит от плоскости на расстояние Л. Найдите
длину наклонных, проведенных из нее под следующими
углами к плрскости: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
17.	Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклон-
ной на плоскость, если наклонная составляет с плос-
костью угол, равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°?
18.	Отрезок длиной 10 м пересекает плоскость; концы его на-
ходятся на расстоянии 2 м и 3 м от плоскости. Найдите
угол между данным отрезком и плоскостью.
19.	Два равнобедренных треугольника имеют общее основа-
ние, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание
192
равно 16 м; боковая сторона одного треугольника 17 м,
а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите
расстояние между вершинами треугольников.
20.	Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка А, ле-'
жащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй
плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой
точки до прямой пересечения плоскостей.
21.	Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая
на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоско-
стей вдвое дальше, чем от второй плоскости.
22.	Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две
наклонные, образующие с плоскостью углы 45® и 30®, а
между собой прямой угол. Найдите расстояние между
концами наклонных.
23.	Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, про-
ведены две наклонные, образующие с плоскостью углы
45°, а между собой угол 60°. Найдите расстояние между
концами наклонных.
24.	Через катет равнобедренного прямоугольного треуголь-
ника проведена плоскость под углом 45° ко второму ка-
тету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.
25.	Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две
наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проек-
ции образуют угол 120°. Найдите расстояние между кон-
цами наклонных.
26.	Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м.
Найдите расстояние от вершины прямого угла до пло-
скости, которая проходит через гипотенузу и составляет
угол 30° с плоскостью треугольника.
27.	Даны четыре точки А (2, 7, —3), В (1, 0, 3), С (—3,—4,5),
D (—2, 3, —1). Укажите среди векторов АВ, ВС, DC,
AD, АС и BD равные векторы.
28.	Даны три точки А (1, 0, 1), В (—1, 1, 2), С (0, 2, —1).
Найдите точку D (х, у, г), если векторы АВ и CD равны.
29.	Найдите точку D в задаче 28, если сумма векторов АВ
и CD равна нулю.
30.	Даны векторы (2, п, 3) и (3, 2, т). При каких тип эти
векторы коллинеарны?
31.	Дан вектор а (1, 2, 3). Найдите коллинеарный ему век-
тор с началом в точке А (1, 1, 1) и концом В на плоско-
сти ху.
7 А. В. Погорелов	193
32.	Даны векторы а (2, —1, 3) и & (1, 3, п). При каком зна- '
чении п эти векторы перпендикулярны?
33.	Даны три точки А (1, 0, 1), В (—1, 1, 2), С (0, 2,_1)#
Найдите на оси г такую точку D (0, 0, с), чтобы векторы
АВ и CD были перпендикулярны.
34.	Векторы а и Ъ образуют угол 60°, а вектор с им перпенди-
кулярен. Найдите абсолютную величину вектора а 4- Ь -f.
+ с.
35.	Векторы а, Ь, с единичной длины образуют попарно углы
60°. Найдите угол <р между векторами: 1) а и Ъ 4- с;
2)	а и & — с.
36.	Даны четыре точки Л. (0, 1, —1), В (1, —1, 2), С (3, 1, 0),
D (2, —3, 1). Найдите косинус угла <р между векторами
АВ и CD.
87.	Даны три точки А (0, 1, —1), В (1, —1, 2), С (3, 1, 0).
Найдите косинус угла С треугольника АВС.
38.	Из вершины А треугольника АВС восставлен перпенди-
куляр AD к плоскости треугольника. Найдите угол ср
между векторами ВС и BD, если угол ABD равен а, а
угол АВС равен р.
39.	Наклонная образует угол 45° с плоскостью. Через основа-
ние наклонной проведена прямая в плоскости под углом
45° к проекции наклонной. Найдите угол <р между этой
прямой и наклонной.
40.	Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две
равные Наклонные, образующие углы а с перпендикуля-
ром. Найдите угол <р между проекциями наклонных,
если угол между наклонными 0.
41.	Найдите единичный вектор, коллинеарный вектору
(2, 1, —2).
42.	Даны две точки А (1, 0, 2) и В (—1, 1, 1). Найдите коор-
динаты единичного вектора е (а, Ь, с), коллинеарного
АВ и одинаково с ним направленного.
43.	При каком условии вектор a (alt a2, a3) параллелен
оси 2?
44.	При каком условии плоскость, задаваемая уравнением
ах + by + С2 4- d — 0, параллельна плоскости ху!
45.	Даны точки А (1, 2, 3) и В (0, 1, —1). Найдите уравне-
ние плоскости, проходящей через точку А перпендику-
лярно к прямой АВ.
46.	Найдите отрезки, которые плоскость ах 4- by 4“ сг 4- d=®
194
отсекает на осях координат, если а, 6, с, d не равны нулю.
47.	Докажите, что прямая пересечения плоскостей, заданных
уравнениями ахх + Ъху = dlt агх + b2y — d2, парал-
лельна оси 2.
48.	Докажите, что плоскости, заданные уравнениями
ах + by + сг + d = 0, ах 4- by + С2 + dx = О,
не имеют общих точек, если d =£= dx.
49.	Докажите, что любая плоскость, параллельная плоско-
сти ах + by + сг + d = 0, задается уравнением вида
ах + by + С2 + d' = 0, где d' =£ d.
50.	Плоскость задана уравнением ах 4- by + сг + d = 0.
Какому условию должны удовлетворять координаты точ-
ки Р (k, I, т), чтобы прямая, проходящая через эту точ-
ку и начало координат, была перпендикулярна к пло-
скости?
51.	Дана точка Р (А, I, т). Найдите уравнение плоскости,
проходящей через начало координат О и перпендикуляр-
ной к прямой ОР.
52.	Найдите точку пересечения трех плоскостей, заданных
уравнениями х + у + 2' = 1, х — 2у — О, 2х 4* у 4-
4~ Зг -j- 1 = 0.
53.	Докажите, что плоскости, заданные уравнениями
х + у + 2 — 1, 2х + у 4- Зг + 1 = 0, х + 2г 4-1 =0,
не имеют пи одной общей точки.
54.	При каком условии плоскость, заданная уравнением
ах 4- by 4* С2 4- d — 0: 1) параллельна оси з; 2) прохо-
дит через ось з?
55.	При каком условии плоскость, заданная уравнением
ах 4- by 4- сг 4* d = 0, перпендикулярна к плоскости
ху?
56.	Плоскость задала уравнением 2х +.3г/ 4- г = 1. Укажите
какой-нибудь вектор, параллельный плоскости.
57.	Прямая является пересечением плоскостей: 2х 4- Зу 4-
4-2 = 1, «4у4г = 1. Укажите какой-нибудь вектор,
параллельный прямой.
7*
10 класс
§ 18. МНОГОГРАННИКИ
Многогранные углы
Двугранным углом называется фигура, образованная дву-
мя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой
(рис. 192). Полуплоскости называются гранями, а ограничи-
вающая их прямая — ребром двугранного угла.
Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла,
пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образован-
ный этими полупрямыми, называется линейным углом дву-
гранного угла. За меру двугранного угла принимается мера
соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы
двугранного угла совмещаются параллельным переносом,
а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит
от выбора линейного угла.
Задача (1). Из точек А и В, лежащих в гранях дву-
гранного угла, опущены перпендикуляры ААГ и ВВг на реб-
ро угла. Найдите длину отрезка АВ, если AAi = а, ВВГ = Ъ,
АхВг = с и двугранный угол равен а (рис. 193).
Решение. Проведем прямые АГС || ВВг и ВС || А^Вр
Прямая А1В1 перпендикулярна плоскости треугольника
AAiC, так как она перпендикулярна двум прямым в этой
плоскости AAi и САХ, следовательно, параллельная ей пря-
мая ВС тоже перпендикулярна этой плоскости. А значит,
треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. По
196
теореме косинусов
AC2 = AAl + AjC2 — 2AAi • AtC • cos a =
= a2 + b2 — 2ab cos a.
По теореме Пифагора
AB = У AC2 + ВС2 =Уа2 + b2 — 2ab cos a + c2.
Трехгранным углом (abc) называется фигура, составлен-
ная из трех плоских углов (a&), (Ьс) и (ас) (рис. 194). Эти уг-
лы называются гранями трехгранного угла, а их стороны —
ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной
трехгранного угла. Двугранные углы, образуемые гранями
и их продолжениями, называются двугранными углами трех-
гранного угла.
Аналогично определяется понятие многогранного угла
(axa2a3 ... ал), как фигуры, составленной из плоских углов
(aia2), (a2a3), (a3a4), ..., (artax). Для многогранного угла опре-
деляются понятия граней, ребер и двугранных углов так же,
как и для трехгранного угла (рис. 195).
Задача (3). У трехгранного угла один плоский угол
равен у, а прилежащие к нему двугранные углы равны
Ф ^ф < Найдите два других плоских угла (ос и Р), кото-
рые образует плоскость угла у с противолежащим ребром
(рис. 196, а).
Решение. Опустим из произвольной точки S ребра,
противолежащего углу у, перпендикуляр SA на плоскость
угла у и перпендикуляры SB и SC на его стороны (рис. 196, б).
197
По теореме о трех перпендикулярах отрезки АВ и АС перпен-'
дикулярны сторонам угла у. Прямоугольные треугольники
SCA и SBA равны по катету и противолежащему углу.
Поэтому АВ ~ АС. Прямоугольные треугольники АОВ и АОС
равны по катету и гипотенузе. Поэтому Z. АОС = Z. АОВ =
2*
Имеем:
OA = —
. Y
sin —
2
tga ~ —
ОС
SC = —, AC =
sin	tg ф
AS ОС - AC — AS
Y ’	v	y
tgtpsin—	tg—	tgtptg —
Zj
Отсюда
tg<p.tg-l	tg-l
----;-----=--------, tg Р = tg ф • Sin-^.
sm Ф	cos ср	2
Многогранник
Многогранником называется тело, ограниченное конечным
числом плоскостей. Граница многогранника называется его
поверхностью (рис. 197).
В_____С
л/\ р/
Рис. 198
Многогранник называется выпуклым, ес-
ли он лежит по одну сторону каждой из
ограничивающих плоскостей. Общая часть по-
верхности выпуклого многогранника и огра-
ничивающей его плоскости называется гранью.
Стороны граней многогранника называются
рёбрами, а вершины — вершинам многогран-
ника.
Поясним данное определение на приме-
ре знакомого вам куба (рис. 198). Куб есть
многогранник. Его поверхность состоит из
шести квадратов: ABCD, BEFC, ... . Они
являются его гранями. Ребрами куба яв-
ляются стороны этих квадратов АВ, ВС,
BE, ... . Вершинами куба являются вер-
шины квадратов А, В, С, D, Е, ... . У ку-
ба шесть граней, двенадцать ребер и восемь
вершин.
198
Призма
Пусть а и а' — две параллельные плоскости и Л — пря-
мая, пересекающая эти плоскости. Пусть Р — выпуклый
плоский многоугольник в плоскости а и А1г А2, ... — его
вершины. Проведем через каждую точку X многоугольника
р прямую, параллельную прямой h, и обозначим через X'
точку пересечения ее с плоскостью а' (рис. 199). Отрезки XX'
заполняют некоторый многогранник. Этот многогранник на-
зывается призмой. Его граница состоит из многоугольника
р, равного ему многоугольника Р' в плоскости а' и парал-
лелограммов AiA2A2At, А2А3А3А2, ... .
Многоугольники Р и Р' называются основаниями призмы,
а параллелограммы — боковыми гранями. Отрезки АМь
А2А2, ••• называются боковыми ребрами призмы. Высотой
призмы называется расстояние между плоскостями ее осно-
ваний. Отрезок, который соединяет две вершины, не принад-
лежащие одной грани, называется диагональю призмы. Диа-
гональным сечением призмы называется сечение плоскостью,
проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих
одной грани. Призма называется прямой, если ее боковые
ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае
призма называется наклонной. Прямая призма называется
правильной, если ее основания являются правильными много-
угольниками.
Задача (8). Основанием призмы является правильный
шестиугольник со стороной а, а боковые грани — квадраты.
Найдите диагонали призмы и площади ее диагональных се-
чений.
Решение. Диагональные сечения призмы представля-
ют собой прямоугольники (рис. 200), у которых основаниями
являются диагонали оснований призмы, а высотой — вы-
Рвс. 199	Рис. 200 .	Рис. 201
199
сота призмы. Диагонали основания равны: большая 2а и
меньшая а)3. Так как высота призмы равна стороне осно-
вания а, то площади диагональных сечений равны 2а2 и а2Уз~.
Диагонали призмы являются диагоналями диагональных
сечений. По теореме Пифагора диагонали призмы равны
у (2а)2 + а2 = а/5, К(а^З)2 + а2 = 2а.
Площадью боковой поверхности (короче, боковой поверх-
ностью) призмы называется сумма площадей боковых граней.
Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхно-
сти и площадей оснований.
Теорема 18.1. Боковая поверхность прямой призмы рав-
на произведению периметра основания на высоту призмы,
т. е. длину бокового ребра.
Доказательство. Боковые грани прямой приз-
мы — прямоугольники. Основания этих прямоугольников
являются сторонами многоугольника, лежащего в основании
призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует,
что боковая поверхность призмы равна
S — аг1 -|- а%1	... Н- anl — pl,
где р — периметр основания призмы, а I — длина боковых
ребер. Теорема доказана.
Задача (17). В наклонной призме проведено сечение,
перпендикулярное боковым ребрам, пересекающее все боко-
вые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если пери-
метр сечения равен р, а боковые ребра равны I.
Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает
призму на две части (рис. 201). Подвергнем одну из них па-
раллельному переносу, совмещающему основания призмы.
При этом получим прямую призму, у которой основанием
служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны I.
Эта призма имеет ту же боковую поверхность. Таким обра-
зом, боковая поверхность исходной призмы равна pl.
Параллелепипед
Если основание призмы — параллелограмм, то она назы-
вается параллелепипедом (рис. 202). У параллелепипеда все
грани — параллелограммы.
Теорема 18.2. Диагонали параллелепипеда пересекают-
ся в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
200
Доказательство. Рассмот-
рим какие-нибудь две диагонали па-
раллелепипеда, например А^Аз и. А^А2
(рис. 203). Так как четырехугольники
AiA 2А3 А и А 2 А2 Аз А 3 — параллело-
граммы, то четырехугольник А^А^Аз
тоже параллелограмм. Диагонали
параллелепипеда АхАз и А4А2 явля-
ются диагоналями этого параллело-
грамма. Поэтому они пересекаются и
точкой пересечения О делятся попо-
лам. Аналогично доказывается, что диа-
гонали АМз и А2А.4, а также диаго-
нали Ai-Аз и A3Ai пересекаются и точ-
кой пересечения делятся пополам. От-
сюда заключаем, что все четыре диа-
гонали параллелепипеда пересекаются
в одной точке и точкой пересечения
делятся пополам. Теорема доказана.
Из теоремы 18.2 следует, что точка
пересечения диагоналей параллелепи-
педа является его центром симметрии.
Рис. 202
Задача (24). В прямом параллелепипеде стороны ос-
нования 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см.
Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что
меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол
в 60°.
Решение. Находим вторую диагональ основания.
Так как основанием служит параллелограмм, а у паралле-
лограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квад-
ратов его сторон, то вторая диагональ основания равна
]/2 • 32+2-52—42=рл52>4. Боковое ребро равно 4 tg 60° =
= 4)3\ Большая диагональ параллелепипеда равна
V(Кб2)2 + (4КЗ)2 = 10 (см).
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, на-
зываются противолежащими.
Теорема 18.3. У параллелепипеда противолежащие гра-
ни параллельны и равны.
Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две
201
противоположные грани параллелепипеда,,например AiAjAjAA
и А3А4А<Аз (см. рис. 202). Так как все грани параллеГ
лепипеда — параллелограммы, то прямая AiA2 параллельна
прямой А3А4, а прямая ArAi параллельна прямой А4А^.Ч
Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней па.
раллельны. Из того, что грани параллелепипеда — паралле-
лограммы, следует, что все отрезки: АгА4, AiAit А2А3 и АгА3 —;
параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань AjAzA^Aj
совмещается параллельным переносом вдоль ребра АгА4 с
гранью А3А4АзА4. Следовательно, эти грани равны. Анало-
гично доказывается параллельность и равенство любых двух
противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.
Задача (28). У параллелепипеда три грани имеют
площади 1 м2, 2 м2 и 3 м2. Чему равна полная поверхность
параллелепипеда?
Решение. У параллелепипеда противолежащие гра-
ни равны, а следовательно, имеют равные площади, поэтому
у нашего параллелепипеда есть две грани с площадью 1 м2,
две грани — 2 м2 и две грани — 3 м2. Так как у параллелепи-
педа шесть граней, то его полная поверхность равна 2 • 1 +
+ 2- 2 + 2- 3 = 12 (м2).
Прямой параллелепипед, у которого основанием является
прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипе-
дом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямо-
угольники.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра
равны, называется кубом.
Длины непараллельных ребер прямоугольного параллеле-
пипеда называются его линейными размерами. У прямоуголь-
ного параллелепипеда три линейных размера.
Теорема 18.4. В прямоугольном параллелепипеде квад-
рат любой диагонали равен сумме квадратов
трех его линейных размеров.
Доказательство. Рассмотрим прямо-
угольный параллелепипед ABCDA'B'C'D'
(рис. 204). Из прямоугольного треуголь-
ника АС'С по теореме Пифагора получаем:
АС'2 = АС2 + СС'2.
Из прямоугольного треугольника АСВ по
Рис. 204
202
теореме Пифагора получаем: АС2 — АВ2 + ВС2. Отсюда
АС'2 = СС'2 + АВ2 + ВС2.
ребра АВ, ВС, СС не параллельны, а следовательно, их
длины являются линейными размерами параллелепипеда.
Теорема доказана.
Задача (33). Диагонали трех граней прямоугольного
параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны а, Ь,
с. Найдите линейные размеры параллелепипеда.
Решение. Обозначим через х, у, г линейные размеры
параллелепипеда. Имеем: х2 + г/2 = с2, у2 + г2 — а2, г2 + х2 =
= Ъ2. Складывая почленно первые два уравнения и вычитая
третье, получим: 2у2 = с2 + с2 — Ь2. Отсюда
^ = ]/’4(с2 + аа-П
Аналогично находим:
х =	(Ь2 + с2 — а2)» 2 = jZy (а2 -f- Ь2 — с2).
Пирамида
Пусть Р — плоский выпуклый многоугольник в плоско-
сти а и S — точка, не принадлежащая плоскости а. Соединим
каждую точку X многоугольника Р с точкой S отрезком XS.
Отрезки XS заполняют некоторый многогранник. Этот мно-
гогранник называется пирамидой (рис. 205). Пирамида назы-
вается п-угольной, если Р — n-угольник. Треугольная пира-
мида называется также тетраэдром. Многоугольник Р назы-
вается основанием пирамиды, а точка S — вершиной пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущен-
ный из ее вершины S на плоскость а, в которой лежит осно-
вание. Пусть Alt Az, ...» Ап— вершины многоугольника Р,
лежащего в основании пирамиды. Тогда треугольники AtSA2,
A2SA3, ... называются боковыми гранями пирамиды, а отрез-
ки AXS, A2S, ... — боковыми ребрами.
Задача (35). Основанием пирамиды
является прямоугольник со сторонами 6 см
и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды /у !\ \
равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
Решение. Так как боковые ребра /а\Г\/ /
равны, то вершины основания одинаково Л "У V /
Удалены от основания высоты пирамиды ‘--------!------
(рис. 206), т. е. ВО = СО = DO = АО. Рис.205
203
Значит, основание высоты пирамид
является центром окружности, описан-
ной около основания, т. е. точкой це.
ресечения диагоналей прямоугольника.
Поэтому высота пирамиды равна ка-
тету прямоугольного треугольника, у
которого другой катет равен половине
диагонали основания, а гипотенузой яв-
ляется боковое ребро. Диагональ ос-
нования АС = } 62 + 82 = 10 см. По-
этому высота пирамиды SO=]/132—52=
= 12 см.
Теорема 18.5. Плоскость, парал-
лельная основанию пирамиды и пере-
секающая ее, отсекает подобную пира-
миду.
Доказательство. Пусть S—
вершина пирамиды, а — плоскость
ее основания и а' — секущая пло-
скость (рис. 207). Возьмем две про-
извольные точки X и Y на основании
пирамиды. Плоскость а' пересекает отрезки XS и YS
в точках X' и У'. Прямые XY и X'Y’ параллельны, так как
лежат в. одной плоскости XYS и не пересекаются. Из подо-
бия треугольников следует, что отношения и
XS YS
X'S
равны, т. е. отношение -- = k не зависит от взятой точки
XS
X. Отсюда следует, что отсекаемая плоскостью а' пирамида
получается из данной пирамиды преобразованием гомотетии
относительно точки S с коэффициентом гомотетии k. А гомо-
тетичные фигуры подобны. Теорема доказана.
Задача (36). Высота пирамиды разделена на четыре
равные части и через точки деления проведены плоскости,
параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2.
Найдите площади сечений.
Решение. Сечения подобны основанию пирамиды с
коэффициентом подобия —, — и —. Площади подобных фи-
4	4	4
гур относятся как квадраты линейных размеров. Поэтому
площади наших сечений относятся к площади основания пи-
204
/1\2 /2\2	/3 .2	„
рРмтгды как I— j , 1—1 и I — 1 . Следовательно, они равны
4Oo(-iy = 25 (см2), 400(| j2 = 100 (см2), 400^2 = 225 (см2).
Пирамида называется правильной, если ее основанием яв-
ляется правильный многоугольник, а основание высоты сов-
падает с центром этого многоугольника. У правильной пира-
миды боковые ребра равны, следовательно, боковые грани —
равные равнобедренные треугольники. Высота боковой гра-
ни правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, назы-
вается апофемой. Боковой поверхностью пирамиды называется
сумма площадей ее боковых граней.
Теорема 18.6. Боковая поверхность правильной пирами-
ды равна произведению полупериметра основания на апофему.
Доказательство. Если сторона основания а, а
число сторон п, то боковая поверхность пирамиды будет:
—п = 22? = £?, где I — апофема, ар — периметр основания.
2	2	2
Теорема доказана.
Задача (51). Найдите боковую поверхность пирамиды,
у которой площадь основания а, а двугранные углы при ос-
новании равны <р.
Решение. Пусть AiA2 ... А„ — многоугольник в ос-
новании пирамиды (рис. 208). Проведем высоту пирамиды
МО и высоту грани МА1А2. По теореме о трех перпендикуля-
рах ОБ — высота треугольника ОАгА2. Имеем: МВ ~~~~-
Отсюда — Aj-Aa • МВ = — АгА^-^-. Или S (ДА.1А2ЛГ) =
2	2 cos ф
S (Л^4^АРО) А	о/ л л а т\/г\_
=------\ Аналогично получаем: 8{/\А2А3М)------------------
COS ф	. COS Ф
и т. д. Складывая эти равенства почленно, в левой части полу-
чим боковую поверхность пирамиды, а
в правой — площадь основания а, де-
ленную на cos <р. Итак, площадь бо-
ковой поверхности пирамиды равна
а
COS ф
По теореме 18.5 плоскость а', па-
раллельная плоскости основания а
пирамиды и пересекающая пирамиду,
отсекает от нее подобную пирамиду.
205
.si----Другая часть также представляет собой
/Ч^_/ \ многогранник, который называется усе-
/ / 1 (______\ ченной пирамидой (рис. 209). Грани усе-
Ь''' I \ / ченной пирамиды, лежащие в параллель-
/	\/ ных плоскостях а и а', называются осно-
ваниями пирамиды; остальные грани
Рис. 209 называются боковыми гранями. Основа-
ния усеченной пирамиды представляют
собой подобные (более того, гомотетичные) многоугольники,
боковые грани — трапеции. Усеченная пирамида, которая
получается из правильной пирамиды, также называется
правильной. Боковые грани правильной усеченной пира-
миды — равные равнобокие трапеции; их высоты называ-
ются апофемами.
Задача (58). Докажите, что боковая поверхность пра-
вильной усеченной пирамиды равна произведению полусум-
мы периметров оснований на апофему.
Решение. Боковые грани пирамиды — трапеции с
одним и тем же верхним основанием а, нижним Ь и высотой
(апофемой) I. Поэтому площадь одной грани равна -i- (а + Ъ)1.
Площадь всех граней, т. е. боковая поверхность, равна
— (ап + Ьп)1, где ап и Ьп — периметры оснований.
л
Правильные многогранники
Выпуклый многогранник называется правильным, если
его грани являются правильными многоугольниками с одним
и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника
сходится одно и то же число ребер.
Существует пять типов правильных выпуклых многогран-
ников (рис. 210): правильный тетраэдр, куб, октаэдр, доде-
каэдр и икосаэдр.
У правильного тетраэдра грани — правильные треуголь-
ники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр
представляет собой треугольную пирамиду, у которой все
ребра равны.
У куба все грани — квадраты; в каждой вершине сходит-
ся по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный па-
раллелепипед с равными ребрами.
208
Октаэдр
Рис. 215
Икосаэдр
Додекаэдр
У октаэдра грани — правильные треугольники, но в от-
личие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре
ребра.
У додекаэдра грани — правильные пятиугольники. В
каждой вершине сходится по три ребра.
У икосаэдра грани — правильные треугольники, но в от-
личие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по
пять ребер.
Задача (70). Найдите двугранные углы правильного
тетраэдра.
Решение (см. задачу 3). Так как все плоские углы
равны 60°, то tg 60° = где ф — двугранный угол тет-
COS <р
раэдра. Отсюда
1
cos ф =	= —, ф « 70°32'.
уз з
Вопросы для повторения
1.	Объясните, что такое двугранный угол.
2.	Что такое линейный угол двугранного угла?
3.	Почему мера двугранного угла не зависит от выбора ли-
нейного угла?
4.	Объясните, что такое трехгранный, многогранный угол.
б. Объясните, что такое многогранник.
6.	Что такое выпуклый многогранник?
7.	Что такое грань выпуклого многогранника, ребро, вер-
шина?
8.	Объясните, что такое призма (основания призмы, боко-
вые грани, ребра, высота, диагонали).
9.	Какая призма называется прямой?
207

10.	Какая призма называется правильной?
11.	Докажите, что боковая поверхность прямой призмы рав-
на произведению периметра основания на высоту приямкт.
12.	Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются
в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
13.	Какой параллелепипед называется прямоугольным? Что
такое линейные размеры прямоугольного параллелепи-
педа?
14.	Что такое параллелепипед? Докажите, что у параллеле-
пипеда противолежащие грани параллельны и равны.
15.	Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квад-
рат любой диагонали равен сумме квадратов линейных
размеров.
16.	Объясните, что такое пирамида (основание пирамиды,
боковые грани, ребра).
17.	Докажите, что плоскость, параллельная основанию пира-
. миды, отсекает от нее подобную пирамиду.
18.	Что такое правильная пирамида? Докажите, что боковая
поверхность правильной пирамиды равна произведению
полупериметра основания на апофему.
19.	Объясните, что такое усеченная пирамида. Докажите,
что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды
равна произведению полусуммы периметров оснований
на апофему.
20.	Какой многогранник называется правильным?
21.	Перечислите пять типов правильных многогранников и
опишите их.
Упражнения
1.	Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла,
опущены перпендикуляры ААХ и ВВХ на ребро угла.
Найдите длину отрезка АВ, если ААХ = а, ВВГ — Ь,
АгВ1 = с и двугранный угол равен а.
2.	В задаче 1 найдите двугранный угол а, если ААХ = 3,
ВВХ = 4, АХВХ = 6, АВ = 7.
3.	У трехгранного угла один плоский угол равен у, а при-
лежащие к нему двугранные углы равны <р (<р < — .
Найдите два других плоских угла (а) и угол (Р), который
образует плоскость угла у с противолежащим ребром.
4.	У трехгранного угла два плоских угла острые и равны а,
а третий угол равен у. Найдите двугранные углы, проти-
208
во л ежащие плоским углам а, и угол Р между плоскостью
угла V и противолежащим ребром.
5.	В прямой треугольной призме стороны основания равны
10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы 18 см. Найдите пло-
щадь сечения, проведенного через боковое ребро и мень-
шую высоту основания.
6.	Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклоне-
но к плоскости основания под углом в 30°. Найдите вы-
соту призмы.
7.	В наклонной треугольной призме расстояния между бо-
ковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите рас-
стояние между большей боковой гранью и противоле-
жащим боковым ребром.
8.	Основанием призмы является правильный шестиуголь-
ник со стороной а, а боковые грани — квадраты. Найдите
диагонали призмы и площади ее диагональных сечений.
9.	Внутри правильной шестиугольной призмы, у которохх
боковые грани — квадраты, проведите плоскость через
сторону нижнего основания и противолежащую ей сто-
рону верхнего основания. Сторона основания а. Найдите
площадь построенного сечения.
10.	Через сторону нижнего основания правильной треуголь-
ной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые
грани по прямым, составляющим угол а. Найдите угол
наклона этой плоскости к основанию призмы.
11.	В правильной четырехугольной призме через середины
двух смежных сторон основания проведена плоскость,
пересекающая три боковых ребра и наклоненная к пло-
скости основания под углом а. Сторона основания рав-
на а. Найдите площадь полученного сечения.
12.	В правильной четырехугольной призме площадь основа-
ния 144 см2, а высота равна 14 см. Найдите диагональ
этой призмы.
13.	В правильной четырехугольной призме площадь боковой
грани равна а. Найдите площадь диагонального сечения.
14.	Сторона основания правильной четырехугольной призмы
равна 15, высота равна 20. Найдите кратчайшее расстоя-
ние от стороны основания до не пересекающей ее диаго-
нали призмы.
15.	В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая
поверхность равна 12 м2. Найдите высоту.
8 А. В. Погорелов	grg
16.	Боковая поверхность правильной четырехугольной приз-
мы равна 32 м2, а полная поверхность 40 м2. Найдите вы-
соту.
17.	В наклонной призме проведено сечение, перпендикуляр-
ное боковым ребрам, пересекающее все боковые ребра.
Найдите боковую поверхность призмы, если периметр
сечения равен р, а боковые ребра равны I.
18.	Расстояния между боковыми ребрами наклонной тре-
угольной призмы: 2 см, 3 см и 4 см, а боковые ребра 5 см.
Найдите боковую поверхность призмы.
19.	По стороне основания а и боковому ребру b найдите пол-
ную поверхность правильной призмы: 1) треугольной;
2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
20.	Плоскость, проходящая через сторону основания пра-
вильной треугольной призмы и середину противолежа-
щего ребра, образует с основанием угол в 45°. Сторона
основания I. Найдите боковую поверхность призмы.
21.	Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по
трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.
22.	Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 м, сторо-
ны основания равны 6 м и 8 м, а одна из диагоналей ос-
нования равна 12 м. Найдите диагонали параллелепипеда.
23.	Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины куба
до его диагонали.
24.	В прямом параллелепипеде стороны основания равны
3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите
большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая
диагональ образует с плоскостью основания угол в 60°.
25.	Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у кото-
рого каждое ребро равно а, а угол основания равен 60°.
26.	В прямоугольном параллелепипеде стороны основания
7 дм и 24 дм, а высота параллелепипеда равна 8 дм.
Найдите площадь диагонального сечения.
27.	В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 1 м, сто-
роны основания равны 23 дм и 11 дм, а диагонали осно-
вания относятся как 2 : 3. Найдите площади диагональ-
ных сечений.
28.	У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м2, 2 м2
и 3 м2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда?
29.	Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда
по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см.
210
30.	Найдите боковую поверхность прямоугольного парал-
лелепипеда, если его высота h, площадь основания Q,
а площадь диагонального сечения М.
31.	В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 м
образуют угол в 30°; боковое ребро равно 5 м. Найдите
полную поверхность этого параллелепипеда.
32.	В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и
8 см; угол между ними 60°. Боковая поверхность равна
220 см2. Найдите полную поверхность.
33.	Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипе-
да, сходящиеся в одной вершине, равны а, Ъ, с. Найдите
линейные размеры параллелепипеда.
34.	Основание пирамиды — равнобедренный треугольник,
у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см!
Боковые грани образуют с основанием равные двугран-
ные углы, содержащие 45°. Найдите высоту пирамиды.
35.	Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см
и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см.
Вычислите высоту пирамиды.
Зв. Высота пирамиды разделена на четыре равные части и
через точки деления проведены плоскости, параллельные
основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите
площади сечений.
37.	Высота пирамиды равна 16 м. Площадь основания равна
512 м2. На каком расстоянии от основания находится
сечение, параллельное основанию, если его площадь
50 м2?
38.	Основанием пирамиды служит правильный треугольник;
одна из боковых граней перпендикулярна к основанию,
а две другие наклонены к нему под углом а. Как накло-
нены к плоскости основания боковые ребра?
39.	В основании пирамиды лежит прямоугольный треуголь-
ник с гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с
плоскостью основания угол р. Найдите высоту пирамиды.
40.	Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с
катетами 6 см и 8 см. Все боковые грани наклонены к
плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту пи-
рамиды.
41.	В правильной треугольной пирамиде через сторону ос-
нования проведена плоскость, перпендикулярная к про-
тиволежащему боковому ребру. Найдите площадь сече-
8*
211
ния, если сторона основания а, а высота пирами-
ды h.
42.	Высота правильной четырехугольной пирамиды равна
7 см, а сторона основания равна 8 см. Найдите боковое
ребро.
43.	Основание пирамиды — параллелограмм, у которого сто-
роны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пи-
рамиды, проходящая через точку пересечения диагона-
лей, равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды.
44.	В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол
при вершине равен а. Найдите двугранный угол х при
основании пирамиды.
45.	По данной стороне основания а и боковому ребру Ь най-
дите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2)
четырехугольной; 3) шестиугольной.
46.	По данной стороне основания а и высоте b найдите апо-
фему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырех-
угольной; 3) шестиугольной.
47.	По стороне основания а и высоте h найдите полную по-
верхность правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) че-
тырехугольной; 3) шестиугольной.
48.	Найдите полную поверхность правильной шестиуголь-
ной пирамиды, если ее боковое ребро а, а радиус ок-
ружности, вписанной в основание, г.
49.	В правильной четырехугольной пирамиде боковая по-
верхность равна 14,76 м2, а полная поверхность 18 м2.
Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
50.	По стороне основания а найдите боковую поверхность
правильной четырехугольной пирамиды, у которой диа-
гональное сечение равновелико основанию.
51.	Найдите боковую поверхность пирамиды, у которой
площадь основания Q, а двугранные углы при основании
равны <р.
52.	Через сторону треугольника с площадью S проведена
плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол
а. Докажите, что площадь проекции треугольника на
эту плоскость равна S cos а.
53.	Найдите сторону основания и апофему правильной тре-
угольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см,
а боковая поверхность равна 144 см2.
54.	В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторо-
212
ну основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная
поверхность 16 см2.
65.	Основанием пирамиды является ромб с диагоналями 6 м ।
и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересече-
ния диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую по-
верхность пирамиды.
66.	Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со
сторонами 40 см, 25 см и 25 см. Высота пирамиды про-
ходит через вершину угла, противолежащего стороне
40 см, и равна 8 см. Найдите боковую поверхность пира-
миды.
67.	Основание пирамиды — квадрат, ее высота проходит
через одну из вершин основания. Найдите боковую по-
верхность пирамиды, если сторона основания равна
20 дм, а высота равна 21 дм.
58.	Докажите, что боковая поверхность правильной усечен-
ной пирамиды равна произведению полусуммы перимет-
ров оснований на апофему.
59.	Высота правильной четырехугольной усеченной пирами-
ды равна 7 см. Стороны оснований 10 см и 2 см. Найдите
боковое ребро пирамиды.
60.	Стороны оснований правильной усеченной треугольной
пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найдите вы-
соту пирамиды.
61.	В правильной четырехугольной усеченной пирамиде вы-
сота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Най-
дите диагональ пирамиды.
62.	Стороны оснований усеченной правильной треугольной
пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим
основанием угол 60°. Найдите высоту.
63.	В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона
большего основания а, сторона меньшего &. Боковое реб-
ро образует с основанием угол 45°. Найдите площадь
сечения, проходящего через боковое ребро и ось пирами-
ды.
64.	Высота правильной четырехугольной усеченной пира-
миды равна 4. Стороны оснований равны 2 и 8. Найдите
площади диагональных сечений.
65.	В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны
оснований 8 м и 5 м, а высота 3 м. Проведите сечение че-
рез сторону нижнего основания и противоположную вер-
213.
шину верхнего основания. Найдите площадь сечения и
двугранный угол между сечением и нижним основанием.
66.	В правильной четырехугольной усеченной пирамиде
стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите
полную поверхность.
67.	Найдите полную поверхность правильной усеченной пи-
рамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шести-
угольной, если высота Л, а стороны оснований а и Ь.
68.	Докажите, что центры граней куба являются вершина-
ми октаэдра, а центры граней октаэдра являются вер-
шинами куба.
69.	Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей
противолежащих граней куба являются вершинами тет-
раэдра.
70.	Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.
171. Найдите двугранные углы октаэдра.
§ 19. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Цилиндр
Пусть а и а' — две параллельные плоскости (рис. 211).
Возьмем произвольный круг К в плоскости а и проведем че-
рез произвольную точку X круга К прямую, перпендикуляр-
ную к плоскости а. Отрезок этой прямой между плоскостями
а и а' обозначим через ах. Когда точка X описывает круг К,
отрезки ах заполняют некоторое тело. Это тело называется
круговым цилиндром или просто цилиндром.
Граница цилиндра состоит из круга К, равного ему круга
К’ в плоскости а' и боковой поверхности. Боковая поверх-
ность цилиндра описывается отрезком
ах, когда точка X пробегает окружность
круга К. При этом сами отрезки ах на-
зываются образующими цилиндра.
Круги К та К' называются основания-
ми цилиндра.
Прямая, проходящая через центр
основания цилиндра параллельно его
образующим, называется осью цилинд-
ра. Сечение цилиндра плоскостью, про-
214
ходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.
Плоскость, которая проходит через образующую цилиндра
перпендикулярно к осевому сечению, проведенному через
эту образующую, называется касательной плоскостью ци-
линдра.
Задача (2). Осевое сечение цилиндра — квадрат, пло-
щадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.
Решение. Сторона квадрата равна УQ. Она равна
диаметру основания. Поэтому площадь основания равна
Л \~2“/ — 4 *
Теорема 19.1. Плоскость, перпендикулярная к оси ци- \
линдра, пересекает его боковую поверхность по окружности,
равной окружности основания.
Доказательство. Пусть 0 — плоскость, перпен-
дикулярная к оси цилиндра. Эта плоскость параллельна ос-
нованиям. Параллельный перенос в направлении оси цилинд-
ра, совмещающий плоскость 0 с плоскостью основания цилинд-
ра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью 0
с окружностью основания. Теорема доказана.
Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма,
у которой плоскости оснований совпадают с плоскостями ос-
нований цилиндра, а боковые ребра являются образующими
цилиндра (рис. 212, а). Призма называется описанной около
цилиндра, если плоскости ее оснований являются плоскостями
оснований цилиндра, а грани касаются боковой поверхности
(рис. 212, б).
3 а д а ч а (7). В цилиндр вписана правильная шести-
угольная призма. Найдите угол между диагональю ее боко-
21»
вой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен вы-
соте цилиндра.
Решение (рис. 213). Боковые грани призмы — квад-
раты, так как сторона правильного шестиугольника, вписан-
ного в окружность, равна радиусу. Ребра призмы парал-
лельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю
грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и бо-
ковым ребром. А этот угол равен 45°, так как грани —
квадраты.
Конус
Пусть а — плоскость, SO — перпендикуляр, опущенный
из точки S на плоскость а, и К — круг в плоскости а с цент-
ром О (рис. 214). Соединим произвольную точку X круга К
отрезком XS с точкой S. Когда точка X описывает круг К,
отрезки XS заполняют некоторое тело. Это тело называется
: круговым, конусом, или просто конусом. Граница конуса состоит
. из круга К — основания конуса — и боковой поверхности.
Боковую поверхность конуса описывает отрезок XS, когда
точка X движется по окружности круга К. Точка S называ-
ется вершиной конуса. Отрезки XS, соединяющие вершину
конуса с точками окружности основания, называются обра-
зующими конуса. Прямая OS называется осью конуса.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось,
называется осевым сечением. Плоскость, которая проходит
через образующую конуса перпендикулярно к осевому сече-
нию, проведенному через эту образующую, называется каса-
тельной плоскостью конуса.
Задача (12). В равностороннем конусе (в осевом сече-
. нии — правильный треугольник) радиус основания R. Най-
дите площадь сечения, проведенного через две образующие,
угол между которыми а.
Решение. Сечение представляет собой равнобедрен-
ный треугольник с боковыми сторонами, равными диаметру
основания (2JR), и углом между ними, равным а. Площадь
этого треугольника равна — (2JR) (21?) sin a = 21?2sina.
2
Теорема 19.2. Плоскость, перпендикулярная к оси ко-
нуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность —
по окружности с центром на оси конуса.
216
Доказательство. Пусть 0 — плоскость, перпен-
дикулярная к оси конуса и пересекающая конус. Преобразо-
вание гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее
плоскость 0 с плоскостью основания, совмещает сечение ко-
нуса плоскостью 0 с основанием конуса. Следовательно, се-
чение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверх-
ности — окружность с центром на оси конуса.
Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от
него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным
конусом (рис. 215).
Задача (15). Конус пересечен плоскостью, парал-
лельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите
площадь сечения, если радиус основания R, а высота Н.
Решение. Проведем осевое сечение конуса (рис. 216).
Из подобия треугольников SAB и SAjBj получаем:
1	• АВ = 2R, ЛВх = 2г
АВ SO
(г — радиус круга в сечении), OS = Н, OtS = d. Поэтому
2r . d ___Rd
2R~H'	“ Я**
Площадь сечения яг2 = л
TWA
.я) ’
Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирами-
да, основание которой есть многоугольник, вписанный в ок-
ружность основания конуса, а вершиной является вершина
конуса (рис. 217, а). Боковые ребра пирамиды, вписанной в
конус, являются образующими конуса. Пирамида называет-
ся описанной около конуса, если ее основанием является
многоугольник, описанный около основания конуса, а вер--
217
Рис. 217
I
шина совпадает с вершиной конуса (рис. 217, б). Боковые
грани описанной пирамиды являются касательными плоско-
стями конуса.
Задача (27). У пирамиды боковые ребра равны I.
Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.
Решение. Опустим перпендикуляр SO из вершины
пирамиды на плоскость основания (рис. 218). Вершины ос-
нования удалены от точки О на одно и то же расстбяние R =
—	— OS2. Отсюда следует, кчто наша пирамида вписана
в конус, у которого вершиной является вершина пирамиды,
а основанием — круг с центром О и радиусом R.
Шар
Пусть О — произвольная точка я R — любое положи-
тельное число. Тело, точками которого являются все точки
пространства, которые удалены от точки О на расстояние,
не большее R, называется шаром. Точка О называется цент-
ром шара, а число R — радиусом шара. Граница шара назы-
вается шаровой поверхностью или сферой. Таким образом,
точками сферы являются те точки шара, которые удалены от
центра на расстояние, равное радиусу. Отрезок, соединяю-
щий центр шара с любой точкой шаровой поверхности, так-
же называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки
шаровой поверхности и проходящий через центр шара, на-
зывается диаметром. Концы любого диаметра называются
диаметрально противоположными точками шара.
Теорема 19.3. Всякое сечение шара плоскостью есть
круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опу-
щенного ив центра шара на секущую плоскость.
218
Рис. 219
Доказательство. Пусть а —
секущая плоскость и О — центр шара
(рис. 219). Опустим перпендикуляр из
центра шара на плоскость а и обозначим
через О' основание этого перпендикуля-
ра. Пусть X — произвольная точка ша-
ра, принадлежащая плоскости а. По
теореме Пифагора ОХ2 = 00'2 + О'Х2.
Так как ОХ не больше радиуса R ша-
ра, то О'X	У R2 — 00’2, т. е. любая точка сечения шара
плоскостью а находится на расстоянии, не большем
УR2—00'2 от точки О', следовательно, принадлежит кругу с
центром О' и радиусом У\Л2 — ОО'2. Обратно, любая точка
X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение
шара плоскостью а есть круг с центром в точке О'. Теорема
доказана.
Из доказательства теоремы следует, что радиус круга,
который получается в сечении шара плоскостью, можно вы-
числить по формуле
Л' = УЛ2 —ОО'2.
Отсюда видно, что круг в сечении плоскостью а будет тем
больше, чем ближе плоскость а к центру шара, т. е. чем мень-
ше расстояние 00'. Наибольший круг получается в сечении
плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого
круга равен радиусу шара. Плоскости, равноудаленные от
центра, пересекают шар по равным кругам.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется
диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной
плоскостью называется большим кругом.
Задача (29). Через середину радиуса шара проведена
перпендикулярная к нему плоскость. Как относится площадь
полученного сечения к площади большого круга?
Решение. Если радиус шара R, то радиус круга в
сечении будет: j/л2 — ( —)2 = Л J/ Отношение площади
/	_ /-о №
з
этого круга к площади большого круга равно — -—— — —.
яЯ2 4
Теорема 19.4. Любая диаметральная плоскость шара
является его плоскостью симметрии. Центр шара является
его центром симметрии.
219
Доказательство. Пусть а—<
диаметральная плоскость и X — про-
извольная точка шара (рис. 220). Пост-
роим точку X', симметричную точке X
относительно плоскости а. Отрезок XX'
перпендикулярен к плоскости а и пе-
ресекается этой плоскостью посередине
(точка А). Из равенства прямоуголь-
ОАХ и ОАХ' следует, что ОХ' =
Я, то и ОХ' Я, т. е. точка, симмет-
них треугольников
= ОХ. Так как ОХ
ричная точке X, принадлежит шару. Первое утверждение
теоремы доказано.
Пусть теперь X" — точка, симметричная точке X относи-
тельно центра шара. Тогда ОХ" = ОХ Я, т. е. точка X"
принадлежит шару. Теорема доказана полностью.
Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверх-
ности перпендикулярно к радиусу, проведенному в точку А,
называется касательной плоскостью. Точка А называется
точкой касания.
Теорема 19.5- Касательная плоскость имеет с шаром
только одну общую точку — точку касания.
Доказательство. Пусть а — плоскость, каса-
тельная к шару, и А — точка касания (рис. 221). Возьмем
произвольную точку X плоскости а, отличную от А. Так
как ОА — перпендикуляр, а ОХ — наклонная, то ОХ >
> О А = R. Следовательно, точка X не принадлежит шару;
Теорема доказана.
Прямая, проходящая через точку А шаровой поверхности
перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, на-
зывается касательной.
Теорема 19.6. Через любую точку шаровой поверхности
проходит бесчисленное множество касательных, все они ле-
жат в касательной плоскости шара.
Доказательство. Действи-
тельно, пусть а — касательная плос-
кость шара в точке А (см. рис. 221).
Тогда любая прямая в плоскости а,
проходящая через точку А, перпенди-
кулярна к радиусу ОА и, следователь-
но, является касательной. Любая ка-
сательная, проходящая через точку А,
Рис. 221

220
перпендикулярна к радиусу ОА, а
следовательно, лежит в плоскости а.
Задача (38). Шар радиуса R ка-
сается сторон правильного треугольни-
ка со стороной а. Найдите расстоя-
ние от центра шара до плоскости тре-
угольника.
Решение. Пусть А, В, С — точ-
ки касания шара со сторонами треуголь-
ника (рис. 222). Опустим из центра шара
перпендикуляр ООХ на плоскость треугольника. Отрезки ОА*
ОВ и ОС перпендикулярны к сторонам. По теореме о трех
перпендикулярах отрезки ОгА, О±В и ОХС тоже перпендику-
лярны к соответствующим сторонам треугольника. Из равен-
ства прямоугольных треугольников ООГА, ОО^В, ООГС (у
них катет ОО\ общий, а гипотенузы равны радиусу) следует
равенство сторон ОХА = ОХВ = ОХС. Следовательно, Oi —
центр окружности, вписанной в треугольник. Радиус этой
окружности, как мы знаем, равен . По теореме Пифагора
находим искомое расстояние. Оно равно У О А2 — ОХА2 =»
Уравнение сферы
Составим уравнение сферы в декартовых координатах х,
у, г. Пусть центр сферы находится в точке А (а, &, с), а радиус
сферы R. Точками сферы являются те и только те точки про-
странства, расстояния от которых до точки А равны R. Квад-
рат расстояния от точки (х, у, 2) до точки А равен
(х - а)2 + (у - Ь)2 + (2 - с)2.
Поэтому уравнение сферы имеет вид
(х _ а)2 + (у - &)2 + (2 - с)2 = R2.
Если центром сферы является начало координат, то уравне-
нием сферы будет
X2 + у2 + 22 = В2.
Задача (43). Найдите уравнение сферы, которая про-
ходит через точки (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0).
221

Решение. Мы знаем, что уравнение сферы имеет вид:
(х — а)2 + (у — 6)2 + (г — с)2 = R2.
Координаты данных точек должны удовлетворять этому урав.
нению. Подставляя их в уравнение, получаем систему урав-
нений, из которой находим неизвестные а, Ъ, с и В:
а2 + Ь2 + с2 = К2,
а2 + Ь2 + (1 — с)2 = В2,
а2 + (1 — 6)2 + с2 = В2,
(1 — а)2 4- 62 + с2 = В2.
Почленно вычитая первое уравнение из остальных, получим:
2с — 1 = 0, 26 — 1 = 0, 2а — 1 = 0.
Отсюда а —	— с — R — F а2 + Ь2 + с2 = j/~А.
Искомым уравнением сферы будет:
Теорема 19.7. Пересечение двух сфер есть окружность.
Доказательство. Примем прямую, соединяю-
щую центры	сфер, за ось	х. Пусть	точка	(а,	0,	0)	—	центр
первой	сферы,	a	'Ri — ее	радиус.	Точка	(6,	0,	0)	—	центр
второй сферы, a R2 — ее радиус. Уравнения сфер:
(х - а)2	+ у2 + z2	= Rl,	(1)
(х — Ь)2	+ у2 + z2	= Rl	(2)
Точками пересечения сфер являются те точки пространст-
ва, которые удовлетворяют уравнениям (1) и (2). Поэтому
они удовлетворяют уравнению, которое получается почлен-
ным вычитанием уравнений (1) и (2), т. е. уравнению
2	(6 — а) х + (а2 — 62) = Rl — В|.	(3)
Это уравнение является уравнением плоскости, параллель-
ной плоскости уг. Таким образом, пересечение наших сфер
совпадает с пересечением плоскости, задаваемой уравнением
(3), с любой из данных сфер. А это пе-
ресечение, как мы знаем, является ок-
ружностью. Теорема доказана.
Задача (45). Два равных шара
радиуса R расположены так, что центр
одного лежит на поверхности друго-
го. Найдите длину линии, по которой
пересекаются их поверхности.
Рис. 223
222
Решение. Проведем сечение через центры шаров
(рис. 223). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окруж-
ность (теорема 19.7). Ее радиус равен высоте равносторон-
него треугольника ОАО}. со сторонами, равными R. Высота
R V3
равна —|—. Следовательно, длина линии равна л]/ 3 R.
Вопросы для повторения
1.	Объясните, что такое круговой цилиндр (образующая
цилиндра, основания цилиндра).
2.	Докажите теорему: «Плоскость, перпендикулярная к оси
цилиндра, пересекает его боковую поверхность по ок-
ружности, равной окружности основания».
3.	Какая призма называется вписанной в цилиндр (описан-
ной около цилиндра)?
4.	Объясните, что такое круговой конус (вершина конуса,
образующая, основание, боковая поверхность).
5.	Какой конус называется круговым конусом?
6.	Докажите, что плоскость, перпендикулярная к оси ко-
нуса, пересекает боковую поверхность по окружности
с центром на оси конуса.
7.	Что такое усеченный конус?
8.	Какая пирамида называется вписанной в конус (описан-
ной около конуса)?
9.	Что такое шар (шаровая поверхность, сфера)?
10.	Докажите, что пересечение шара с плоскостью есть круг.
11. Докажите, что любая диаметральная плоскость шара
является его плоскостью симметрии. Центр шара являет-
ся его центром симметрии.
12.	Какая плоскость называется касательной к шару?
13.	Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром
только одну общую точку — точку касания.
14.	Докажите, что через любую точку шаровой поверхности
проходит бесчисленное множество касательных прямых,
все они лежат в касательной плоскости шара.
15.	Составьте уравнение сферы с данным центром (а, &, с)
и радиусом R.
16.	Докажите, что пересечение двух сфер есть окружность.
Упражнения
1.	Радиус основания цилиндра 2 м, высота 8 м. Найдите
диагональ осевого сечения.
223
2.	Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которо-
го Q. Найдите площадь основания цилиндра. _
3.	Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найдите
площадь сечения, проведенного параллельно оси ци-
линдра на расстоянии 4 см от нее.
4.	Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр
пересечен плоскостью так, что в сечении получился квад-
рат. Найдите расстояние от этого сечения до оси.
5.	Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы
данного отрезка длиной 10 дм лежат на окружностях
обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от
него до оси.
6.	В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте ци-
линдра) точка окружности верхнего, основания соединена
с точкой окружности нижнего основания. Угол между
радиусами, проведенными в эти точки, равен 60°. Найди-
те угол х между проведенной прямой и осью цилиндра.
7.	В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма.
Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью
цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
8.	Высота цилиндра 2 м. Радиус оснований 7 м. В этот ци-
линдр наклонно вписан квадрат так, что все вершины
его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону
квадрата.
9.	Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите обра-
зующую.
10.	Образующая конуса I наклонена к плоскости основания
под углом 30°. Найдите высоту.
11.	Радиус основания конуса R. Осевым сечением служит
прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.
12.	В равностороннем конусе (в осевом сечении — правиль-
ный треугольник) радиус основания Я. Найдите площадь
сечения, проведенного через две образующие, угол меж-
ду которыми равен а.
13.	Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найдите пло-
щадь сечения, проведенного через вершину, если расстоя-
ние от него до центра основания конуса равно 12.
14.	Радиус основания конуса Я, а образующая наклонена
к плоскости основания под углом а. Через вершину ко-
нуса проведена плоскость под углом (р к его высоте.
Найдите площадь полученного сечения.
224
15.	Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию,
на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения,
если радиус основания В, а высота Н.
16.	Высота конуса Н. На каком расстоянии от вершины надо
провести плоскость, параллельную основанию, чтобы
площадь сечения была равна половине площади основа-
ния?
17.	Через середину высоты конуса проведена прямая парал-
лельно образующей I. Найдите длину отрезка прямой,
заключенной внутри конуса.
18.	Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен
прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до
основания равно 6 см, а до высоты 2 см. Найдите отрезок
этой прямой, заключенный внутри конуса.
19.	В конусе даны радиус основания R и высота Н. Найдите
ребро вписанного в него куба.
20.	В конусе даны радиус основания R и высота Н. В него
вписана правильная треугольная призма, у которой бо-
ковые грани — квадраты. Найдите ребро призмы.
21.	Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м, высота
4 м. Найдите образующую.
22.	Радиусы оснований усеченного конуса Виг; образую-
щая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите вы-
соту.
23.	Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к
основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое
больше радиуса другого основания. Найдите каждый из
радиусов.
24.	Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, обра-
зующая 5 дм. Найдите площадь осевого сечения.
25.	Площади оснований усеченного конуса 4 дм2 и 16 дм2.
Через середину высоты проведена плоскость, параллель-
ная основаниям. Найдите площадь сечения.
26.	Площади оснований усеченного конуса Мит. Найдите
площадь среднего сечения, параллельного основа-
ниям.
27.	У пирамиды боковые ребра равны Z. Докажите, что она
является вписанной в некоторый конус.
28.	Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на
расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.
29.	Через середину радиуса шара проведена перпендикуляр-
225
ная к нему плоскость. Как относится площадь получен-
ного сечения к площади большого круга?
30.	Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плос-
кость под углом 60° к нему. Найдите площадь сечения.
31.	Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности
проведены две плоскости: первая — касательная к шару,
вторая — под углом 30° к первой. Найдите площадь се-
чения.
32.	Радиус земного шара R. Чему равна длина параллели,
если ее широта 60°?
33.	Город N находится на 60° северной широты. Какой путь
описывает этот пункт в течение 1 ч вследствие вращения
Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным
6000 км.
34.	На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные
расстояния между ними 6 см, 8 см и 10 см. Радиус шара
13 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости,
проходящей через эти точки.
35.	Диаметр шара 25 см. На его поверхности даны точка А и
окружность, все точки которой удалены (по прямой) от
А на 15 см. Найдите радиус этой окружности.
36.	Полушар и вписанный в него конус имеют общее основа-
ние и общую высоту, через середину высоты проведена
плоскость, параллельная основанию. Докажите, что
площадь сечения, заключенного между боковой поверх-
ностью конуса и поверхностью полушара, равна поло-
вине площади основания.
37.	Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми
поверхностями (полый шар). Докажите, что его сечение
плоскостью, проходящей через центр, равновелико се-
чению, касательному к внутренней шаровой поверх-
ности.
38.	Шар радиуса R касается сторон правильного треуголь-
ника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара
до плоскости треугольника.
39.	Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите рас-
стояние от плоскости треугольника до центра шара, ка-
сающегося сторон треугольника. Радиус шара 5 см.
40.	Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность
касается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите
расстояние от центра шара до плоскости ромба.
23В
41.	Через точку, лежащую на поверхности шара, проведены
две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пере-
секают шар по кругам радиусов rt и г2. Найдите радиус
шара R.
42.	Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные
окружности, имеющие общую хорду, равную 2 см. Най-
дите радиусы окружностей, зная, что плоскости их пер-
пендикулярны .
43.	Найдите уравнение сферы, которая проходит через точки
(О, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0).
44.	Найдите уравнение сферы радиуса 3, проходящей через
точки (0, О, 0), (4, 0, 0), (0, 4, 0).
45.	Два равных шара радиуса R расположены так, что центр
одного лежит на поверхности другого. Найдите длину
линии, по которой пересекаются их поверхности.
46.	Радиусы шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние между
их центрами 36 дм. Найдите длину линии, по которой
пересекаются их поверхности.
47.	Найдите радиус шара, описанного около куба со сторо-
ной а.
48.	Найдите радиус шара, описанного около. правильного
тетраэдра с ребром а,
49.	Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона
образующей к плоскости нижнего основания конуса ра-
вен а. Найдите радиусы оснований и образующую усе-
ченного конуса.
50.	Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R.
Ребро основания призмы равно а. Найдите высоту приз-
мы при п — 3; 4; 6.
51.	Сторона основания правильной n-угольной пирамиды
равна а, двугранный угол при основании равен <р. Най-
дите радиус шара, вписанного в пирамиду.
52.	Определите радиус шара, описанного около правильной
n-угольной пирамиды, если стороны основания равны а,
а боковое ребро наклонено к плоскости основания под
углом а.
53.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона осно-
вания а и плоский угол при вершине а. Найдите радиусы
г и R вписанного и описанного шаров.
227
§ 20. ОБЪЕМЫ ТЕЛ
Понятие объема
Представим себе два сосуда: первый —в форме куба, а
второй — произвольной формы (рис. 224). Пусть оба сосуда
доверху наполняются жидкостью. Допустим, выяснилось,
что для наполнения первого сосуда пошло т кг жидкости, а
для наполнения второго сосуда пошло п кг жидкости. Естест-
венно считать, что второй сосуд в — раз больше первого. Чис-
ло, указывающее, во сколько раз второй сосуд больше пер-
вого, мы будем называть объемом второго сосуда. Первый со-
суд является здесь единицей измерения. Из этого определе-
ния понятия объема получаются следующие его свойства.
Во-первых, так как для заполнения каждого сосуда требуется
определенное количество жидкости, то каждый сосуд имеет
определенный (положительный) объем. Во-вторых, для за-
полнения равных сосудов потребуется одно и то же коли-
чество жидкости. Поэтому равные сосуды имеют равные
объемы. В-третьих, если данный сосуд разделить на две части,
то количество жидкости, необходимое для заполнения всего
сосуда, состоит из количества жидкости, необходимого для
заполнения его частей. Поэтому обтаем всего сосуда равен
сумме объемов его частей.
По данному нами определению, для того чтобы узнать
объем сосуда, надо заполнить его жидкостью. В жизни, од-
нако, требуется решать обратную задачу. Требуется узнать
количество жидкости, необходимое для заполнения сосуда,
не производя самого заполнения. Если бы мы знали объем
сосуда, то количество жидкости мы получили бы, умножая
объем сосуда на количество жидкости, необходимое для за-
полнения единицы объема. Как же узнать объем сосуда? Сей-
час мы докажем, что отмеченные три
свойства объема полностью его опреде-
ляют, и найдем формулы для вычисле-
ния объема простых тел.
Тело мы будем называть простым,
если его можно разбить на конечное чи-
сло тетраэдров, т. е. треугольных пира-
мид. В частности, такие тела, как призма,
Рис. 224
228
пирамида, вообще выпуклый многогранник, являются прос-
тыми.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Найдем объем прямоугольного параллелепипеда. На
рисунке 225 изображены куб, являющийся единицей измере-
ния объема, и прямоугольный параллелепипед, объем кото-
рого надо измерить. Единицей длины служит ребро куба.
Рассмотрим сначала тот случай, когда длины ребер парал-
лелепипеда а, Ь и с выражаются конечными десятичными
дробями с числом десятичных знаков после запятой не более
чем га.
Разобьем ребра куба, исходящие из одной вершины, на
10я равных частей и проведем через точки деления плоскости,
перпендикулярные этим ребрам. При этом куб разобьется на
10я • 10я • 10" = ТО34 малых кубов с ребрами, рав-
1
ными —.
10я
Найдем объем малого куба. По свойству объема объем
большого куба равен сумме объемов малых кубов. Так как
объем большого куба равен единице, а число малых кубов
равно 103я, то объем малого куба равен —j.
Так как числа = а10п, ~ — ь 10я, -у- = с 10я целые,
10я	10я	10я
то ребра параллелепипеда можно разбить на целое число
частей, равных На ребре а их будет а10я, на ребре Ъ бу-
220
дет b 10я, на ребре с будет с10л. Проведем через точки деления
ребер перпендикулярные им плоскости. При этом мы полу-
чаем разбиение параллелепипеда на малые кубы со стороной
Число их равно а10л • М0л • с10“ = abc 103л. Объем
параллелепипеда равен сумме объемов содержащихся в нем
малых кубов. Так как
объем малого куба равен а их
число равно abc • 103л, то объем параллелепипеда равен
abc • 103л • -i- = abc.
юзл
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть ребра паралле-
лепипеда а, Ь, с выражаются конечными или бесконечными
десятичными дробями. Обозначим через ах и а2 приближенные
значения числа а с недостатком и с избытком с точностью до
п десятичных знаков после запятой. Приближенные значения
чисел Ъ и с с той же точностью обозначим через 5Х и Ь2, сх и
с2. Параллелепипед с ребрами а1г Ъг и сх имеет объем, мень-
ший, чем данный параллелепипед, так как его можно поме-
стить внутрь данного. Параллелепипед с ребрами а2, Ь2, с2
имеет объем, больший, чем данный параллелепипед, так как
данный параллелепипед можно поместить внутрь его. По
доказанному объем параллелепипеда с ребрами Ьх, с{ ра«
вен а^Сх, а объем параллелепипеда с ребрами а2, Ь2, с2 равен
а252с2. Таким образом, объем данного параллелепипеда за-
ключен между а^ЪуСх и а2&2с2. Так как а^Сх и а2Ь2с2 дают
приближенное значение числа abc с любой наперед заданной
точностью, если п достаточно велико, то V — abc. Итак,
объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по фор-
муле
V = abc.
Задача (3). Если каждое ребро куба увеличить на 2 см,
то его объем увеличится на 98 см3. Чему равно ребро куба?
Решение. Обозначив ребро куба через х, будем иметь:
(х + 2)3 — х3 = 98, т. е. х2 + 2х — 15 = 0. Уравнение име-
ет два корня х — 3, х — —5. Берем положительный корень.
Итак, ребро куба равно 3 см.
Объем наклонного параллелепипеда
Найдем объем наклонного параллелепипеда (рис. 226, а).
Проведем через ребро ВС плоскость, перпендикулярную к
основанию ABCD, и дополним параллелепипед треугольной
230
призмой ВВхВ^ССхСг. Отсечем теперь от полученного тела
треугольную призму плоскостью, проходящей через ребро
AD перпендикулярно к основанию ABCD. Тогда получим
снова параллелепипед. Этот параллелепипед имеет объем,
равный объему исходного параллелепипеда. Действительно,
достроенная призма и отсекаемая совмещаются параллель*
ным переносом на отрезок АВ, следовательно, имеют одина-
ковые объемы. При описанном преобразовании параллелепи-
педа сохраняются площадь его основания и высота. Сохра-
няются также плоскости двух боковых граней, а две другие
становятся перпендикулярными к основанию. Применяя еще
раз такое преобразование к наклонным граням, получим па-
раллелепипед с боковыми гранями, перпендикулярными к
основанию, т. е. прямой параллелепипед. Полученный пря-
мой параллелепипед подвергнем аналогичному преобразова-
нию в прямоугольный параллелепипед, дополняя его сначала
призмой 1, а затем отсекая призму 2 (рис. 226, б). Это преоб-
разование также сохраняет объем параллелепипеда, площадь
основания и высоту.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведе-
нию его линейных размеров. Произведение двух линейных
размеров есть площадь основания параллелепипеда, а третий
размер — его высота. Таким образом, у прямоугольного па-
раллелепипеда объем равен произведению площади основания
на высоту. Так как в описанном выше преобразовании дан-
ного параллелепипеда в прямоугольный каждый раз сохра-
няются объем, площадь основания и высота, то и у исходного
параллелепипеда объем равен произведению площади осно-
вания на высоту.
Итак, у любого параллелепипеда объем равен произведе-
нию площади основания на высоту.
231
Задача (9). В прямом параллелепипеде стороны осно-
вания а и & образуют угол в 30°. Боковая поверхность равна S.
Найдите объем.
Решение. Обозначив высоту через х, будем иметь:
§
(2а + 2b)x = S. Отсюда х =-------. Площадь основания
2 (а + Ь)
параллелепипеда равна ab sin 30° = Объем равен
Объем призмы
Найдем объем призмы. Рассмотрим сначала треугольную
призму (рис. 227). Дополним ее до параллелепипеда, как ука-
зано на рисунке. Точка О является центром симметрии парал-
лелепипеда. Поэтому достроенная призма симметрична ис-
ходной относительно точки О, следовательно, имеет объем,
равный объему исходной призмы. Та-
ким образом, объем построенного па-
раллелепипеда равен удвоенному объ-
ему данной призмы.
Объем параллелепипеда равен про-
изведению площади его основания на
высоту. Площадь его основания равна
удвоенной площади треугольника
АВС, а высота равна высоте исходной
призмы. Отсюда заключаем, что объем
исходной призмы равен произведению
площади ее основания на высоту.
Рассмотрим теперь произвольную
призму (рис. 228). Разобъем ее ос-
нование на треугольники. Пусть* Л —
один из этих треугольников. Прове-
дем через произвольную точку X тре-
угольника Д прямую, параллельную
боковым ребрам. Пусть ах — отрезок
этой прямой, принадлежащий призме.
Когда точка X описывает треуголь-
ник Д, отрезки ах заполняют тре-
угольную призму. Построив такую
призму для каждого треугольника
Л, мы получим разбиение данной приз-
Рис. 228
232
мы на треугольные. Все эти призмы имеют
одну и ту же высоту, равную высоте исходной R /\
призмы.	/ \	/
Объем данной призмы равен сумме объемов /	\
треугольных призм, ее составляющих. По до-
казанному объем треугольной призмы равен / 7_______/
произведению площади ее основания на высоту. V | У
Отсюда следует, что объем данной призмы \1/
V = SrH + S2H + ... + SnH =
= (Sx + s2 + ... + Sn)H,	Рис
где S2, ..., Sn — площади треугольников
д, на которые разбито основание призмы.
Сумма площадей треугольников Д равна площади S основа-
ния данной призмы. Поэтому
V = SH.
Итак, объем любой призмы равен произведению площади
ее основания на высоту.
Задача (21). В наклонной призме проведено сечение,
перпендикулярное боковым ребрам, пересекающее все боко-
вые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q,
а боковые ребра равны I.
Решение. Плоскость проведенного сечения разби-
вает призму на две части (рис. 229). Подвергнем одну из них
параллельному переносу, совмещающему основания призмы.
При этом получим прямую призму, у которой основанием
служит сечение исходной призмы, а высота равна I. Эта приз-
ма имеет тот же объем. Таким образом, объем исходной приз-
мы равен QI.
Объем пирамиды
Чтобы найти объем треугольной пирамиды, естественно
было бы попытаться дополнить ее равными пирамидами до
параллелепипеда и, таким образом, зная объем параллелепи-
педа, найти объем пирамиды. К сожалению, это в общем слу-
чае сделать нельзя. Поэтому мы применим другой способ.
Разобьем высоту пирамиды на п равных частей и через
точки деления проведем плоскости, параллельные основанию
пирамиды (рис. 230). При этом пирамида разобьется на слои.
Для каждого такого слоя построим две призмы: призму, со-
держащую слой, и призму, содержащуюся в слое, как пока-
зано на рисунке 230.
233
Рис. 230
Обозначим через Vm объем m-го слоя ’
пирамиды, считая от вершины. Основание
призмы, содержащей слой пирамиды,
подобно основанию пирамиды, и поэтому
(т \2
— , где S — пло-
п /
щадь основания пирамиды. Высота приз-
мы —, поэтому объем призмы -Нт*. Так
п	п3
как призма содержит слой пирамиды, то
она имеет больший объем. Имеем:
Vm <	<3т2 + Ш + 1} ~ [(Ш + 1)3" т3]*
Объем пирамиды
v = Vi + V, + ... + Ve<g[(n + 1)3-1] =
SH гл . 1 \з	1	SH [л .	1 \»
=----11 ± -4- — I-------- |	1 -Ч-1 •
8 [\ п /	b3J	3 \	п /
Так как объем призмы, содержащейся в слое, меньше объе-
ма слоя, то при т > 1
v ^ЗЯ(т-1)* >SH (jn_1)2 + 3(zn_1) _|_ц =
Зп3
8тг
»»
Отсюда получаем:
Г = Ух + У, + У, + ... + Гя>^(п-1)»=^(1-|у.
от*	О \	Т* /
Таким образом,
вя Л	1 \з	sh л	1 \з
| jl   п — I у	—I— —— I ,
3 \	п )	3 \	п)
При достаточно большом п правая и левая части неравенства
сколь угодно мало отличаются от —, а значит, заключен-
з
ная между ними величина V также сколь угодно мало отли-
чается от —. Но это может быть только тогда, когда V = —.
3	3
Итак, объем любой треугольной пирамиды равен одной
трети произведения площади основания на высоту:.
V^^SH,
3
834
Пусть теперь имеем любую, не треу-
гольную пирамиду. Разобьем ее основание	// \
на треугольники Ац Д2, .... Дя. Пира-
миды, у которых основаниями служат /
эти треугольники, а вершиной — вершина \ / 1
данной пирамиды, составляют данную пи-
рамиду. Объем данной пирамиды равен
сумме объемов составляющих ее пирамид. ₽ис* 231
Так как все они имеют одну и ту же высоту Д’, что и данная
пирамида, то объем данной пирамиды
V = 1 н (S, + 32 + ... + s„) = ±SH.
о	о
Итак, объем любой пирамиды равен одной трети произве-
дения площади ее основания на высоту.
Задача (42). Найдите объем усеченной пирамиды
с площадями оснований Qi и Q2 (Qx > Q2) и высотой h.
Решение. Дополним данную усеченную пирамиду до
полной (рис. 231). Пусть х — ее высота. Объем усеченной
пирамиды равен разности объемов двух полных пирамид:
одной — с площадью основания и высотой х, другой — с
площадью основания Q2 и высотой х — Л. Из подобия этих
Qi ( х \2	_	h Vq.
пирамид находим х : — = —:. Отсюда х = ----—-—.
\Х-Л/	YQi—VQ.
Объем усеченной пирамиды равен
V = - fg,—— Qa (—а\1 =
=	= Lh(Ql + YqJq + q2).
3 VQi-VQz 3
Объемы подобных тел
Пусть Т и Т' — два простых подобных тела. Это значит,
что существует преобразование подобия, при котором тело Т
переходит в тело Т'. Обозначим через k коэффициент подобия.
Разобьем тело Т на треугольные пирамиды Р1г Р2, ..., Рп.
Преобразование подобия, которое переводит тело Т в тело
7", переводит пирамидыPlf Р2, ...,РЯ в пирамидыPj,P2,..., Ря.
Эти пирамиды составляют тело Т', п поэтому объем тела Т'
равен сумме объемов пирамид Pj, Р2, ..., Рп.
235
Так как пирамиды Р\ и Pi подобны и коэффициент подо-
бия равен й, то отношение их высот равно й, а отношение
площадей их оснований равно й2. Следовательно, отношение
объемов пирамид равно й3. Так как тело Т составлено из пи-
рамид Р*, а тело Т' составлено из пирамид Рь то отношение
объемов тел Г и Г тоже равно й3.
Число й, коэффициент подобия, равно отношению рас-
стояний между любыми двумя соответствующими парами то-
чек при преобразовании подобия. Следовательно, это число
равно отношению любых двух соответствующих линейных
размеров тел Т' и Т. Таким образом, мы приходим к следую-
щему выводу.
Объемы двух подобных тел относятся как кубы соответст-
вующих линейных размеров.
Задача (48). Через середину высоты пирамиды про-
ведена плоскость, параллельная основанию. В каком отно-
шении она делит объем пирамиды?
Решение. Как мы знаем, проведенная плоскость от-
секает подобную пирамиду. Коэффициент подобия равен от-
ношению высот, т. е. —. Поэтому объемы пирамид относятся
2
I 1 з , „
как 1 — 1 : 1. Следовательно, плоскость делит нашу пирамиду
на части, объемы которых относятся как — : (1 — —= —.
8	\	8/	7
Объемы цилиндра и конуса
Найдем объем V цилиндра с радиусом основания R и вы-
сотой Н.
При выводе формулы для площади круга (§ 13) были по-
строены два многоугольника: один, содержащий круг, вто-,
рой, содержащийся в круге, с площадями, как угодно мало
отличающимися от площади круга. Построим такие много-
угольники для круга в основании цилиндра. Пусть Р — мно-
гоугольник, содержащий круг, а Р' — многоугольник, со-
держащийся в круге. Пусть площади этих многоугольников
отличаются от площади круга меньше чем на 8 > 0.
Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р' и
высотой Я, равной высоте цилиндра. Первая призма содер-
жит цилиндр, а значит, имеет объем, больший объема цилинд-
238
ра. Вторая призма содержится в цилиндре, а следовательно,
имеет объем, меньший объема цилиндра.
Площадь основания первой призмы меньше л/?2 + е,
поэтому ее объем не больше (лЯ2 + &)Н. Площадь основания
второй призмы больше лЯ2 — е, а ее объем не меньше (лЯ2 —
— е)Н. Объем цилиндра заключен между объемами призм:
Н (лЯ2 — е) < V < (лЯ2 + е)Я.
Отсюда
—Яе < V — лЯ2Я < Яе,
т. е. разность V — nR2H сколь угодно мала. А так как она
имеет вполне определенное значение, то V — nR2H = 0.
Таким образом, объем цилиндра с радиусом основания R и
высотой Н равен
V = лД2Я.
Таким же способом для объема конуса получается фор-
мула
V = -aR2H,
3
где Я — радиус основания конуса, а Я — высота. При вы-
воде этой формулы строятся две пирамиды с основаниями Р
и Р' и вершиной в вершине конуса.
Задача (56). Найдите объем усеченного конуса, у ко-
торого радиусы оснований Ях и Я2 (Я2 < Ях), а высота h.
Решение. Дополним данный усеченный конус до -пол-
ного. Пусть х — его высота. Объем усеченного конуса равен
разности объемов двух полных конусов: одного — с радиусом
основания Я^ и высотой х, другого — с радиусом основания
Я2 и высотой х — h. Из подобия конусов находим х:
х _ х __
x — h R2	R± — R2 *
Объем усеченного конуса равен
Т7 Г П-2	т>2 / Л-Н.
V = — лЯ1-----------лЯг -----------h) =
3	R2 \ R-± — R2	/ ]
-
=	— —лА + -Ri-Ra + ^2)-
о	— J\2 о
Общая формула для объемов тел вращения
Телом вращения называется такое тело, которое плоскостя-
ми, перпендикулярными к некоторой прямой — оси враще-
ния, пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Кру-
237
говой цилиндр, конус, шар явля-
ются примерами тел вращения.
Найдем формулу для вычисления
объема любого тела вращения.
Введем декартовы координа-
ты х, у, 2, приняв ось тела за
ось х. Плоскость ху пересекает по-
верхность тела по линии, для ко-
торой ось х является осью симмет-
рии. Пусть у = / (х) — уравнение
той части линии, которая распо-
ложена над осью (рис. 232).
Проведем через точку х оси абсцисс плоскость, перпенди-
кулярную к ней, и обозначим через V (х) объем части тела,
лежащей слева от этой плоскости, тогда V (х) является функ-
цией от х. Найдем ее производную.
По определению
'	Л-0	Л
Разность V (х + й) — V (х) представляет собой объем слоя
тела толщиной h между двумя плоскостями, перпендикуляр-
ными к оси х, проходящими через точки с абсциссами х и
х + й. Пусть М — наибольшее, ат — наименьшее значение
функции f (х) на отрезке [х, х + Л]. Тогда рассматриваемый
слой тела содержит цилиндр с радиусом т, высотой h и со-
держится в цилиндре с радиусом М и той же высотой h (см.
рис. 232). Поэтому
лт2й < V (х + й) — V (х) < лМ2й,
r(, + »>-VW
Л
Если f (х) — непрерывная функция, то при й 0 левая и
правая части неравенства стремятся к одному и тому же пре-
делу л/2 (х). К тому же пределу стремится и отношение, за-
ключенное между ними, т. е. производная V" (х) = л/2 (х).
По известной формуле анализа
ь
V (b) — V (a) = J л/2 (x)dx, а < Ь.
а
Эта формула и дает объем тела между параллельными пло-
скостями х = а и х = Ъ.
288
Объем шара и его частей
г„, Применим полученную формулу для объемов тел враще-
ния к вычислению объема шара и его частей: шарового слоя
и сегмента. Введем декартовы координаты, приняв центр шара
за начало координат. Плоскость ху пересекает шар по окруж-
ности, которая, как известно, задается уравнением
х2 4- у2 — R2.
Полуокружность, расположенная над осью х, задается урав-
нением
у = f (х) = +К-R2 — х2, — R < х < R.
Поэтому объем шарового слоя между плоскостями х = а и
х = Ь определяется по формуле
ь
v = V(b} — V (а) = я J (R2 — x2)dx =
а
= n^R2x —	b = nR2(b — a) — ^(b3 — a3!).
Для объема всего шара надо взять а — —R, b — R. Тогда
получим объем шара
V = -лй3.
3
Для получения объема шарового сегмента высотой Н надо
взять а = R — Н, Ъ — R, получим объем шарового сегмента
V = nH2^R—
Шаровым сектором называется тело, которое получается
из шарового сегмента и конуса следующим
образом. Если шаровой сегмент меньше
полушара, то шаровой сегмент дополняет-
ся конусом, у которого вершина в центре
шара, а основанием служит основание сег-
мента. Если же сегмент больше полуша-
ра, то указанный конус из него удаляет-
ся (рис. 233). Объем шарового сектора по-
лучается сложением или вычитанием объе-
мов соответствующего сегмента и конуса.
Для объема шарового сектора получается
следующая формула:
V = -лЛ2Я,
3
23»
где R — радиус шара, а Н — высота соответствующего ша-
рового сегмента.
Вопросы для повторения
1. Сформулируйте основные свойства объема.
2. Докажите, что объем прямоугольного параллелепипеда
равен произведению его линейных размеров.
8.	Докажите, что объем любого параллелепипеда равен
произведению площади основания на высоту.
4.	Докажите, что объем любой призмы равен произведению
площади ее основания на высоту.
5.	Выведите формулу для объема треугольной пирамиды.
6.	Докажите, что объем любой пирамиды равен одной трети
произведения площади основания на высоту.
7.	Докажите, что объемы подобных тел относятся как кубы
соответствующих линейных размеров.
8.	Выведите формулу для объема цилиндра (конуса).
9.	По каким формулам вычисляются объемы шара, шаро-
вого сектора, сегмента?
Упражнения
1.	Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавле-
ны в один куб. Какую длину имеет ребро этого куба?
2.	Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу
514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плот-
ность металла, из которого сделан куб.
3.	Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем
увеличится на 98 см3. Чему равно ребро куба?
4.	Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем
увеличится в 125 раз. Найдите ребро.
5.	Кирпич размером 25 х 12 X 6,5 см3 имеет массу 3,51 кг. Най-
дите его плотность.
в. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3
на площадке размером 2,5 х 1,75 м2, служащей для него
дном. Найдите высоту резервуара.
7.	Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м
и 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба.
8.	Измерения прямоугольного бруса 3 см, 4 см и 5 см. Если
увеличить каждое ребро на х см, то поверхность увели-
чится на 54 см2. Как увеличится его объем?
240
9.	В прямом параллелепипеде стороны основания а и Ь
образуют угол в 30°. Боковая поверхность равна S. Най-
дите объем.
’ 10. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания
2 см и 5 см и образуют угол в 45°. Меньшая диагональ
параллелепипеда равна 7 см. Найдите объем.
11.	Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь
которого 1 м2. Площади диагональных сечений 3 м2 и
6 м2. Найдите объем параллелепипеда.
12.	Решите предыдущую задачу в общем случае, если пло-
щадь ромба Q, а площади диагональных сечений М и N.
13.	Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сто-
рона которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно
2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основа-
ния угол в 60°. Найдите объем параллелепипеда.
14.	Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и
острым углом в 60°. Найдите объем параллелепипеда.
15.	По стороне основания а и боковому ребру определите
объем правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырех-
угольной; 3) шестиугольной.
16.	Деревянная плитка в форме правильного восьмиуголь-
ника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу
17,3 г. Найдите плотность дерева.
17.	Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя
ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса 1 по-
гонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см3)?
18.	Диагональ правильной четырехугольной призмы равна
3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем
призмы.
19.	Сторона основания правильной треугольной призмы рав-
на а, боковая поверхность равновелика сумме оснований.
Найдите объем.
20.	В правильной шестиугольной призме площадь наиболь-
шего диагонального сечения 4 м2, а расстояние между
двумя противолежащими боковыми гранями 2 м. Найдите
объем призмы.
21.	В наклонной призме проведено сечение, перпендикуляр-
ное боковым ребрам, пересекающее все боковые ребра.
Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а бо-
ковые ребра равны I.
22.	Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны
9 А, В. Погорелов
241
15 м, а расстояния между ними 26 м, 25 м и 17 м. Найдите
объем призмы.
23.	Вычислите пропускную способность (в кубических мет-
рах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид
равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и вы-
сотой 1,2 м. Скорость течения воды 2 м/с.
24.	Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с
нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м.
Найдите, сколько кубических метров земли приходится
на 1 км насыпи.
25.	В прямой треугольной призме стороны оснований равны
4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте
основания. Найдите объем призмы.
26.	Площадь основания прямой треугольной призмы равна
4 см2, а площади боковых граней 9 см2, 10 см2 и 17 см2.
Найдите объем.
27.	Основанием призмы служит треугольник, у которого одна
сторона равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро
равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол в
45°. Найдите ребро равновеликого куба.
28.	Основанием наклонной призмы служит равносторонний
треугольник со стороной а, одна из боковых граней перпен-
дикулярна к основанию и представляет собой ромб, у кото-
рого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы.
29.	Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда,
диагональ которого а составляет с плоскостью основания
угол а, а с боковой гранью угол 0?
80.	Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из
верщин параллелепипеда все три плоских угла острые,
по 2а каждый. Найдите объем параллелепипеда.
31.	В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из од-
ной вершины, равны а, Ь и с. Ребра а и Ъ взаимно перпен-
дикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а.
Найдите объем параллелепипеда.
32.	Найдите объем прямой четырехугольной призмы, если
ее высота h, диагонали наклонены к плоскости основания
под углами а и 0 и острый угол в пересечении диагоналей
основания равен у.
33.	По стороне основания а и боковому ребру b найдите
объем правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырех-
угольной; 3) шестиугольной.
34.	Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды
а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите
объем пирамиды.
35.	Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпен-
дикулярны, каждое из них равно Ь. Найдите объем пира-
миды.
36.	Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у
которой сторона основания а, а боковые ребра взаимно
перпендикулярны?
37.	По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.
38.	По ребру а октаэдра найдите его объем.
39.	Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 9 м
и 12 м; каждое из боковых ребер равно 21,5 м. Найдите
объем пирамиды.
40.	Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со
сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Боковые ребра равны по 9 см
каждое. Найдите объем пирамиды.
41.	Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, каждое
из остальных 3 см. Найдите объем пирамиды.
42.	Найдите объем усеченной пирамиды с площадями основа-
ний и Q2 (Qi > Qa) и высотой Л.
43.	В пирамиде с площадью основания проведено сечение,
параллельное основанию, на расстоянии h от него. Пло-
щадь сечения равна Q2. Найдите высоту пирамиды.
44.	В правильной усеченной четырехугольной пирамиде сто-
роны нижнего и верхнего оснований равны а и Ъ, а дву-
гранный угол при ребре нижнего основания равен а.
Найдите объем пирамиды.
45.	Решите предыдущую задачу в случае правильной усечен-
ной треугольной пирамиды.
46.	В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое
боковое ребро пирамиды равно I и составляет со смеж-
ными сторонами прямоугольника углы аир. Найдите
объем пирамиды.
47.	Найдите объем пирамиды, имеющей основанием треуголь-
ник, два угла которого а и р, а радиус описанной окруж-
ности R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоско-
сти ее основания под углом у.
48.	Через середину высоты пирамиды проведена плоскость,
параллельная основанию. В каком отношении она делит
объем пирамиды?
9*
243
49.	Высота пирамиды Л. На каком расстоянии от вершины на-
ходится сечение, параллельное основанию и делящее ее
объем пополам?
50.	25 м медной проволки имеют массу 100,7 г. Найдите диа-
метр проволоки (плотность меди 8,94 г/см3).
51.	Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водя-
ных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 мм, а ход порш-
ня 150 мм. Найдите часовую производительность^ на-
соса, если известно, что каждый поршень делает 50 ра-
бочих ходов в минуту.
52.	Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя
основания, чтобы объем увеличился в п раз? Во сколько
раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя
высоту, чтобы объем увеличился в п раз?
53.	В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а
в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов
цилиндров.
54.	Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную ше-
стиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.
55.	Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщи"
ной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Ка-
кова масса 25 м этой трубы?
56.	Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы
оснований Bi и В2 (В2 < RJ, а высота Л.
57.	Отрезок ствола сосны длиной 15,5 м имеет диаметры кон-
цов 42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) соверша-
ют, вычисляя объем ствола умножением площади сред-
него поперечного сечения ствола на его длину?
58.	Радиусы оснований усеченного конуса R и г, образую-
щая наклонена к плоскости основания под углом 45°.
Найдите объем.
59.	Площадь осевого сечения усеченного конуса равна раз-
ности площадей оснований, а радиусы оснований R и г.
Найдите объем конуса.
60.	Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 см
и 22 см, требуется превратить в равновеликий цилиндр
такой же высоты. Чему равен радиус основания этого
цилиндра?
61.	По данным радиусам оснований Лиг найдите отноше-
ние объемов усеченного конуса и полного конуса.
62.	Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания
244
которой 2 м, а образующая 3,5 м. Найдите объем кучи
щебня.
63.	Осевым сечением конуса служит равнобедренный прямо-
угольный треугольник, площадь которого 9 м2. Найдите
объем конуса.
64.	Длина образующей конуса равна I, а длина окружности
основания с. Найдите объем.
65.	Образующая конуса I составляет с плоскостью основа-
ния угол а. Найдите объем конуса.
66.	Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом.
Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилинд-
рическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена
0,03 г/см3. Найдите массу стога сена.
67.	Жидкость, налитая в конический сосуд 0,18 м высоты и
0,24 м в диаметре основания, переливается в цилиндри-
ческий сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как
высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?
68.	Равносторонний треугольник вращается вокруг своей
стороны а. Найдите объем тела вращения.
69.	Прямоугольный треугольник с катетами а и & вращается
около гипотенузы. Найдите объем полученного тела.
70.	Каждый чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг.
Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см3).
71.	Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с
диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара.
72.	Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков
диаметром 1 см можно отлить из куска? (Плотность свинца
11,4 г/см3.)
73.	Из деревянного цилиндра, в котором высота равна диа-
метру основания, выточен наибольший шар. Сколько
процентов материала сточено?
74.	Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок
3 см. Найдите объем.
75.	Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного
цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая
часть, чтобы сосуд имел объем V?
76.	Плоскость, перпендикулярная к диаметру шара, делит
его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем
шара?
77.	Какую часть объема шара составляет объем шарового сег-
мента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
245
78.	Два равных шара расположены так, что центр одного
лежит на поверхности другого. Как относится объем об-
щей части шаров к объему целого шара?
79.	Диаметр шара, равный 30 ем, является осью цилиндра,
у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем
части шара, заключенной внутри цилиндра.
80.	Чему равен объем шарового сектора, если радиус окруж-
ности его основания равен 60 ем, а радиус шара равен
75 см?
81.	Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается
около одного из боковых радиусов. Найдите объем полу-
ченного тела.
§ 21. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ
Понятие площади поверхности
Рассмотрим одну практическую задачу. Представим себе
купол здания и плоский лист железа в форме квадрата со сто-
роной 1 м. Пусть купол здания и лист железа окрашиваются.
Если на окраску купола пошло л краски, а на окраску
листа железа V2 л краски, то естественно считать, что пло-
щадь купола здания в — раз больше площади листа желе-
*2
Vl
set. Величина — характеризует величину площади поверх-
^2
кости купола в сравнении с единицей площади в 1 м2. Коли-
чество краски, необходимое для окраски листа железа, при-
мерно равно объему параллелепипеда с квадратом 1 х 1 м2
в основании и высотой й, равной толщине красочного покры-
тия. Поэтому для оценки площади поверхности купола полу-
чается величина —.
h
Перейдем теперь к геометрическому определению площади
поверхности. Пусть F — данная поверхность. Построим тело
Fh, состоящее из тех точек пространства, для каждой из ко-
торых найдется точка поверхности F на расстоянии, не боль-
шем й. Наглядно тело F можно представить себе как тело, за-
полненное краской при окрашивании поверхности с обеих
сторон слоем краски толщиной й.
Пусть Vh — объем тела Fh. Площадью поверхности F
246
/
мы будем называть предел отношения —
2Л
при Л -> О, т. е.
S — lim —.
h->0 2А
Можно доказать, что для таких простых
выпуклых поверхностей, как боковая поверх-
ность призмы и пирамиды, данное опреде-
ление дает прежнее значение площади по-
верхности—сумму площадей боковых граней.
Рис. 234.
Площадь сферы
Найдем площадь сферы. Пусть F — данная сфера радиуса
R. Тело Fh, о котором идет речь в определении площади по-
верхности, представляет собой слой между двумя концент-
рическими сферами радиусов R + h и R — h (рис. 234). Объем
этого тела равен разности объемов шаров радиусов R 4- Л
и R — h, т. е.
Уд=4я[(Я + Л)3-(Я-й)3].
Имеем:
(6АВ2 + 2ft3) = 4л7?2 fl 4- — \
2Л 3-2Л	1	\ ЗЯ2/
При h -> 0 отношение стремится к пределу 4л/?2. Таким
образом, площадь сферы радиуса Rравна 4 л/?2.
Боковая поверхность цилиндра
Найдем площадь боковой поверхности цилиндра радиуса
R и высоты Н. Тело Fh, о котором идет речь в определе-
нии площади поверхности, в данном случае заключено между
цилиндрическими поверхностями радиусов R 4* Л, R — Ь и
двумя плоскостями, перпендикулярными к оси цилиндра,
отстоящими на расстояние Н 4- 2Л (рис. 235). Часть этого
слоя, расположенная между плоскостями, отстоящими на
расстояние Н, целиком принадлежит телу Fh. Отсюда следует,
что
Vh < [л (Я + Л)2 - л (R - Л)2] (Я 4- 2Л),
Vk > [л (/? 4- А)2 — л (В — А)2] Я.
247
Рис. 235
Или 4л2?АЯ < Vh < 4nRh (Н + 2h).
Отсюда 2nRH <^< ZaRH 4- 4nRh.
При h -> 0 правая часть неравенства стре-
мится к 2nRH. Следовательно,
Ит = 2л RH.
h-*0 2Л
Таким образом, площадь боковой поверх-
ности цилиндра определяется по формуле
S = 2nRH,
где R — радиус цилиндра, а Н — высота.
Аналогично можно найти площадь боковой поверхности
конуса и сферического сегмента.
Площадь боковой поверхности конуса
S=nRl,
где R — радиус основания конуса, а I — длина образующей.
Площадь поверхности сферического сегмента:
S = 2лЯЯ,
' где R — радиус сферы, а Н — высота сегмента.
Вопросы для повторения
1.	Дайте определение понятия площади поверхности тела.
2.	Выведите формулу для площади поверхности шара.
3.	По какой формуле вычисляется площадь шарового сег-
мента?
4.	Выведите формулу для боковой поверхности цилиндра.
б. По какой формуле находится площадь боковой поверх-
ности конуса?
Упражнения
1.	Поверхности двух шаров относятся как тп : п. Как от-
носятся их объемы?
2.	Гипотенуза и катеты являются диаметрами трех шаров.
Какая существует зависимость между их поверхностями?
3.	Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет
высоту 18 м. Сколько квадратных метров жести нужно
для ее изготовления, если на заклепку уходит 10 % всего
требуемого количества жести?
4.	Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и
5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность подвала.
248
5.	Из круглого листа металла выштампован цилиндрический
стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагаяг
что площадь листа при штамповке не изменилась, найдите
диаметр листа.
6.	В цилиндре площадь основания равна Q, а площадь осе-
вого сечения М. Чему равна полная поверхность ци-
линдра?
7.	Конусообразная палатка высотой 3,5 м с диаметром ос-
нования 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных
метров парусины пошло на палатку?
8.	Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота
крыши 2 м, диаметр башни 6 м. Найдите поверхность
крыши.
9.	Площадь основания конуса S, а образующие наклонены
к основанию под углом а. Найдите боковую поверхность
конуса.
10.	Как относятся между собой боковая и полная поверх-
ности равностороннего конуса (в сечении — правильный
треугольник)?
11.	Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите
угол между образующей и осью конуса.
12.	Радиус кругового сектора равен 3 м, его угол 120°. Сек-
тор свернут в коническую поверхность. Найдите радиус
основания конуса.
13.	Сколько квадратных метров латунного листа потребуется,
чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца
0,43 м, другого конца 0,036 м и образующая 1,42 м?
14.	Сколько олифы потребуется для окраски 100 ведер кони-
ческой формы, если диаметры ведер 25 см и 30 см, а обра-
зующая 27,5 см и если на 1 м2 требуется 150 г олифы?
15.	Полная поверхность равностороннего конуса равнове-
лика поверхности шара, построенного на его высоте как
на диаметре. Докажите.
16.	Поверхность тела, образуемого вращением квадрата око-
ло стороны, равновелика поверхности шара, имеющего
радиусом сторону квадрата. Докажите.
17.	Радиус шара 15 см. Чему равна часть его поверхности,
видимая из точки, удаленной от центра на 25 см?
18.	Шар радиуса В = 10 см цилиндрически просверлен по
оси. Диаметр отверстия 12 см. Найдите полную поверх-
ность тела.
249
Ответы и указания к упражнениям
§ 1
9. Пересекает. 10. 6 отрезков. 13. 6 см. 16. Не может. 18; Не могут. 19. Не
могут. 20. 0,5 м или 5,9 м. 21. Отрезок АВ. 22. ВС — 7 м, АС=13 м. 23. ВС ==
= 5 м, АС = 10 м. 25. / (cd) = 110°. 27. Не может. 28. Угол (ab) больше.
29. Z (Ьс) = 20°, / (ас) = 50°. 30. / (Ьс) = 20°, / (ас) = 40°. 33. Не су-
ществует. 34, Одна. 36. ВС = 1,2 м. 38. АВ == 11 см. 39. / С = 100°.
42. ДАВС: "АВ = 5 см, ВС = 6 см, АС = 7 см. 44. Нельзя. 45. Не может.
46. Не пересекает.
§ 2
1. 150°, 135°, 120°, 90°. 2. Острыми, тупыми — не могут, прямыми — могут.
4. 105° и 75°. 5. 110° и 70°. 6. 135° и 45°. 7. 150°, 150°, 30°. 8. 130°. 10. Все
углы прямые. 11. Не может. 12. Не может. 13. Z (Ьс) = 20°. 14. Z (Ьс) =
= 60°. 15. Z (Л1&) = 120°, Z (М = 150°, Z (Ьс) = 30°. 16. / (Ьс) == 90°.
18. Z (Ьс) = 110°. 19. 15°. 20. 120°. 22. Указание. Воспользоваться
утверждением задачи 21 и теоремой 2.3. 23. 155°. 24. 135°.
6 3
10. 0,3 м. 11. 3,2 м; 6,2 м; 6,2 м. 12. 7,2 м; 4,2 м: 4,2 м. 21. У к а з а н и е.
Воспользоваться свойством медианы в равнобедренном треугольнике. 25.
CZ>=15 м. 26. ВР=15 м. 29. Указание. Воспользоваться’утверждением
задачи 28. 38. Указание. Продолжить медианы на их длину. 40. Ука-
зание. Продолжить медианы на их длину.
в 4
2. Углы АВхСг и АСГВГ и углы BBYCX и ССхВг внутренние односторонние, а
углы АВгС± и ССГВГ и углы ВВгСг и АС^В^ внутренние накрест лежащие.
8. 105° и 75°. 9. 75°. 10. Три угла по 72° и четыре угла по 108°. 11. Не может.
13. 90°. 14. 40°, 60°, 80°. 15. 100°. 16. Не может. 17. Не может. 18. 100°.
19. 50°. 20. 40°, 40°. 21. 70° и 40° или 55° и 55°. 22. Два угла равны 120° —
2	4	сс -4- В	V
—	—а и один —а — 60°. 24. 180° — —25. 90° + - j. 26. 60°, 80° и 90°.
27. 110°. 29. / CBD = а. 30. Углы ДАВ2>: /А = a, /D = 90°, /В =
= 90° — а; углы ЛСВР: /Р = 90°, /В = а + Р — 90°, /С = 180° —
—	а — р. 82. /С = 60°. 33. Z D =	/А, ZE =	/С, £DBE =
2	2
250
== Z 3 + у (/a + Z С). 35. 90э, 45°, 45°. 36. Z D = 90°, Z В = 60°,
ZA = 30°. 37. ^AMC = 150°. 38. /3 = 90°.
§ 5
1. Указание. Отложить на луче отрезок, равный радиусу. 2. См. за-
дачу 1. 5. 60°. 6. 123°. 7. Не может. 9. 30°, 15Э°. 10. 60° и 120°. 11. 70 см, 10 см.
12. Не могут. 13. Не могут. Указание. Воспользоваться утверждением
задачи. 3. 14. Указание. Доказать сначала, что линия центров окруж-
ностей перпендикулярна прямой, проходящей через две их точки пересече-
ния. Отсюда вывести, что если есть три точки пересечения, то они лежат на
одной прямой. А это невозможно (см. задачу 13). 24. Указание. Начать
с построения равностороннего треугольника. 26. Указание. В искомом
треугольнике продолжить медиану на ее длину. 31. Указание. Начать
с построения высоты. 35. См. задачу 39 § 4. 36. См. задачу 35. 40. Указа-
ние. Центр искомой окружности лежит на биссектрисе угла. 41. 10 см.
42. 5 см. 45. См. задачу 44. 47. а или 180° — а. 48. 150°.
§6
3. 10 см. 5. ВС = AD = 4,8 м. 6. 40°, 140°, 140°. 7. 115° и 65°. 8. Не могут.
11. BE = 9 см, СЕ = 6 см. 12. 0,6 м и 0,8 м. 13. АВ = BD = 1,1 м; AD =
~ 0,8 м. 18. 10 см и 18 см. 19. 12 см, 20 см. 20. 12 см. 21. 10 см и 25 см или
7,5 см и 18,75 см. 24. 80° и 100°. 25. 60° и 120°. 28. 4 м. 30. 2 м. 31. 2 м.
32. 4 м, 8 м. 33. 1 м. 34. 10 см. 35. 4 см, 5 см, 6 см. 36. 6 см. 38. 5 м, 6 м.
39. 3 м, 4 м. 41. 70° и 110°. 42. 1,7 м. 43. 24 см, 36 см. 44. 60° и 120°. 45. 15 м.
46. 3 см. 48. 4 м, 6 м. 49. 2,2 м. 50. У к а з а н и е. Построить сначала
треугольник, две стороны которого равны боковым сторонам трапеции, а
третья — разности ее оснований. 51. Указание. Построить сначала тре-
угольник, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья — сум-
ме ее оснований.
§7
а	12
2. 109 см. 3. 5 м. 4.	5. Нельзя. 6. 8— м; 6— м. 7. Указание. Вы-
Y 2	3	3
разить катет и его проекцию через гипотенузу и косинус угла между этим ка-
тетом и гипотенузой. 9. 15 см, 20 см. 11. У к а з а н и е. Искомый отрезок —
высота прямоугольного треугольника, основание которой делит гипотенузу
на отрезки а и Ь (см. задачу 8). 12. р^Иб м ~ 10,8 м. 13. -~]Ai2 + &2. 14.
2
32 см, 60 см. 15. 15 см. 17. ±12l. 18. 24 см. 19. 86 см, 54 см. 20. 25 см или
2
168
11 см. 21. 24 см. 22. 24 см. 23. 12 см, 11,2 см, — см. 25. Нельзя.
13
26. 10 см, 6 см. 27. — 1/	28. R = ~ см, г = ~ см. 29. 90° — а,
2 Г 25 + а	24	8
251
a cos a, a sin a. 30. 90° — a, —, —. 33. 23,8 cm; 31°25'; 31°25'; 117°10'.
tg a sin a
34. 34°10' и 55°50'. 35. 51°. 36. 116°16' и 63°44'. 37. 29°52' и 150°8'. 38. 12 m,
45°14'. 39. 60°16'. 40.	41.	42. R =-7=h r =	. 43. 29 см.
V 2	2	/Т 2 "У 3
4
45. cos a = 0,6; tg a = —-. 48. Катет ВС больше. 49. Угол А больше.
3
51. R — d, R + d. Указание. Воспользоваться неравенством треуголь-
ника. 52. d — R, d + R. Указание. Воспользоваться неравенством
треугольника. 53. Не могут. 54. Не могут. 55. Указание. Сравнить
расстояние между центрами окружностей с их радиусами. 56. Не могут.
S 8
3. 2. 4. 3. 5. (2, 0). 6. (0,3). 7. Прямая, параллельная оси у. 8. Две прямые
х = 3 и х = —3. 10. Положительную. 11. 4, (3). 12. 5. 13. 2. 14. —2.
15. Биссектрисы 1 и III четверти. 16. Биссектрисы II и IV четверти.
18. (0, —2). 19. (1, 1). 20. (3,3). 23. 1) 2; 2) 4. 25. АВ = 5t АС — 10, ВС = 5.
26. Точка В. 28. (3,3) и (15, 15). 30. См. задачу 29. 31. (—2, 0) или (4, 0).
32. (7,0) и (1,0). 33. (2,2) и (—2, —2). 34. (х — I)2 + (у — 2)2 = 4.
35. (х + З)2 + (у — 4)2 = 25. 38. х + у = 2. 39. (—3, 0) и (о, — -|-1
40. (1, —2). 42. а — Ь = —. 43. с — —3. 44. с — ± f 2.45. У к а з а н и е.
3
Найти точку пересечения двух прямых и проверить, лежит ли она на третьей
прямой. 47. у = 3. 48. Зх—2у — 0. 49. sin 120°= I-?-, cos 120° = — 1,
2	a
tg 120° = — У 3; sin 135° = -±=., cos 135°=— -^=,
/2	У 2
tg 135°= —1; sin 150°=
1	о 1/ Я	1	о	12
— —, cos 150 — — L—, tg 150° == —	50. sin a — —, cos a = — —.
2	2	Y 3 ‘	13	13
53. sin 160° = 0,3420; cos 140° = —0,7660; tg 130° = —1,192. 54. a 11°32'
или 168°28'; a2 134°26'; a3 158°12'.
S 9
5. Отрезок. 6. Прямая. 7. Бесконечное множество. На прямой, параллель-
ной данным и равноотстоящей от них. 8. Не может. 10. Две. 11. Бесконеч-
ное множество. 15. Указание. Воспользоваться симметрией относи-
тельно прямой &. 20. Окружность. Указание. Воспользоваться гомоте-
тией относительно общего конца хорд. 24. 0,8 м; 1м; 1,2 м. 25. 10 м, 25 м,
20 м. 27. 13,6 см. 28. АС = 4 м, В& = 14 м. 29. АС = 24 см, AtCt = 18 см,
В±С^ == 15 см. 31. 15 см, 20 см, 25 см. 32. 21 см. 34. ——. 35. АГСХ — 1,2 м;
а -f- п
АС = 3 м. 36. Не подобны. 37. Подобны. 38. Подобны. 40. т : п. 41. 4 см.
252
42. —. 43. 1) 14 см; 2) 6 дм. 44. У к а з а н и е. На одной стороне угла от-
2о,
ложить от его вершины отрезки а и Ь, а на другой — отрезок с. Провести че-
рез конец отрезка а прямую, параллельную прямой, которая проходит черев
концы отрезков бис. 45. 1) Да; 2) да; 3) нет. 46. 1 м, 2 м, 2,5 м. 47. 6,5 м »
Ьс
5,5 м. 48.	42 м. 50. ---. 51. т : п. 52. п : т. 53. АС = 18 м. У к а з а-
Ъ + с
н и е. Треугольники ACD и СВА подобны. 54. т : п. 55.15 см, 18 см. 56. 4,5 м.
57. См. задачу 22. 60. ~ 225,8 км (см. задачу 59). 61. ях 82,4 км (см. зада-
чу 59).
§ 10
1. (1, —1), (2, —1), (1, 1). 4. Не существует. 7. Векторы АВ, АС и ВС оди-
наково направлены, вектор ВА и любой из векторов АВ, АС, ВС противо-
положно направлены. 13. т = ±12. 14. п — ±7. 16. (3, —5). 18. (—1, !)►
19. 5. 20. 13. 23. Ъ (6, 8). 24. Ь (—6, —8). 25. (—6, —8). 26. 10. 27. 15.
28. X = —. 29. а и с, Ь и d. 30. Векторы аис одинаково направлены, Ь и d
2
противоположно направлены, | а| = | d|, | b| = | с|. 32. а — 2. 33. Единичные
векторы а, с, d*, векторы а и d коллинеарны. 34. (0,6; 0,8). 37. (2, —3). 38. X =
= —5, ц = 4. 40. 90°. 41.	3. 42. 30°. 43. cos А =» —, cos В » 0, cos С =•
5
4	8	1
=	44. £А = 30°, ZB = 60°, /С = 90°. 46. т = — —. 48. А. = — -.
5	3	2
$ 11
2. Медиана, проведенная к		стороне с, равна “У"2 (а2 + Ь2) — с2- ЛА
1				5 33 3
8.	Vс2 + d2 ± 2cd cos а. 4. ]/ а2 + b2 ± 2ab cos а. 7. 13 м. 8. 2	13 65 5		
11. Не может. 12.		AC sin р _	a sin а • sin р
	Не может. 13	. АВ  	14. х= :
		sin(a + P)	sin (а — Р)
15. 1) а s 105°,	Ь ~ 2,59,	с ~ 3,66,
2) у 45°,	Ь 17,93,	с 14,64,
3) а 20°,	Ь ~ 65,78,	с 88,62,
4) у ~ 119°,	а ~ 16,69,	с 24,83,
5) у » 68°,	а « 13,57,	Ь ж 11,22.
16. 1) а 79°6',	Р 40°54',	с 10,58,
2) а 11°2',	Р » 38°58',	с ~ 28,02,
3) р 26°45',	у 58°15',	а 19,92,
4) р ж 20°30',	у ж 14°30',	а 22,92,
5) а 16°20',	у ~ 11°40',	Ъ ~ 53,41,
6) а 129°50',	у ~ 35°10',	Ь ~ 8,09.
17. 1) с 8,69,	р ~ 21°9',	у ~ 38°51',
2) с 19,63,	Р 12°53',	у ~ 29°7',
3) с 22,30,	Р 5°35',	у ж 10°25',
253
4) решения не имеет,
б)	С ~	11,40,	Р ® 41°49',	у ж 108°11'
или	С ~	2,46,	Р =s 138°1Г,	у 11°49'.
18. 1)	а ж	28°57',	Р ® 46°34',	у 104°29',
2)	а дг	53°35\	Р ® 13°18',	у ~ 113°7',
8)	а	34°3',	Р ~ 44°25',	у 101°32',
4)	а ~	38°38',	Р ss 92°50'„	у 48°32',
б)	а ~	14°58',	Р = И°,	у 154°2',
6)	а ~	135°35',	Р ss 15°30',	у 23°55'.
§ 12
2. См. задачу 1. 6. Не может. 8. 36°, 72°, 108°, 144°. 9. 1) 8 сторон; 2) 12 сто-
рон. 10. 1) 10 сторон; 2) 15 сторон. 11. У к а з а н и е. У этого и-угольника
все стороны равны, все углы равны. 12. У к а з а н и е. У этого и-угольника
все стороны равны, все углы равны. 16. Указание. Выразить оба ра-
диуса через сторону треугольника и сравнить их,
.Указание.
Найти сначала радиус окружности. 18. 2]Аб дм. 19. 2]/2 см. 20. ]/Т см.
22. Указание. Воспользоваться теоремой косинусов. 23. г =
= 1/Я2—24. Л= 1/"Г2+^. 25. Ъ=	26.	27. У к а- ,
V 4	F 4	/ 4Я2—а2	У 4Я2+ д2
з а н и е. Вписать сначала правильный шестиугольник. 28. Указание.
Вписать сначала квадрат. 29. 1) 62,8 м; 2) 94,2 м. 30. 6,28 мм. 31. ~ 3,06.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 21, 32.	3,11. Ука-
зание. Воспользоваться результатом задачи 22. 33. ^6366,2 км.
Я/3 R	R
34. ^6,3 см. 35. 1)--2) ------т=, 3) —. Указание. Центры кру-
2+/3	1+У2	3
гов являются вершинами правильного п-угольника. 36. 1) R (3 + 2)^3),
2) R (jf 2 + 1), 3) R. Указание. Центры кругов являются вершинами
Л	Л	2Л
правильного п-угольника. 37. 351,9 м/мин. 38. 1) —м, 2) — м, 3) — м.
4	6	3
ла ла 2ла
39. 1) —, 2) -. _, 3) —у=. Указание. По хорде и соответствующему
3	2 у 2	3 у 3Z
3Z тЛ 2* I 3 1/"31
цешральному углу найти радиус окружности. 40. 1) — ,2) I---, 3)—£--
Л Л 2Л
Указание. Найти сначала радиус окружности.
§ 13
а2
1. Указание. Применить теорему Пифагора. 2. ~180 м. 3. S = —.
Л
4. В 2 раза. 5. Площадь увеличится в 9 раз. 6. В 5 раз. 7. 8 м, 18 м. 8. 12 дм,
25 дм. 9. 30°. 10. Квадрат. 11. 200 см2. 12. 202,8 см2. 16. Указание.
а2	Уз"
Воспользоваться утверждением задачи 15. 19. 4800 м2. 20. —. 21. —I—.
4	4
254
22. 8jg/3 . 23. 600 см2. 24. 55 см, 48 см. 25. 84. 26. 11,2. 27. 480 см2.
4
28. 540 м2. 31. 1) R = г = 4; 2) R = —, г = 1,5; 3) R = —, г = —;
8	8	6	3
35	Р
4)	Я = -yz= ж 3,6; г = L_l=l,2. 32. 4,5. 34. Я = 29 см, г = 12 см. 35. —.
У96	2	4л
36. В т2 раз. 37. —. 38. —. 39. а2 (— —40. (л — 2) R2.
2	4	\ 3	4 )
§ 14
3.	Указание. Взять точку в другой плоскости и провести через нее и
данную прямую плоскость. Применить к этой плоскости аксиому параллель-
ных. 8. См. задачу 7.
§ 15
4.	6 м. 5. 1 м. 6. а + с — Ь. 8. См. задачу 7.13. См. задачу 10. 17. Решения
нет, если точка лежит в плоскости прямых. 25. Указание. Сравнить
отношение отрезков двух произвольных прямых Х-^Х^Х^ YiY2Y3. 27. О к-
ружность. 28. Окружность. 30. Средней линией. 31. Не может. 32. Может.
33. Указание. Отношение отрезков сохраняется. 34. Указание,
Проекция перпендикулярного диаметра проходит через середины хорд, па-
раллельных проекции данного диаметра.
§ 16
2.	См. задачу 1. 9. Окружность. 12.]ЛЪ2 — а2. 13. У Ъ2 + с2 — а2. 14. 0,36 м.
а 4- b 1а — Ь |	ат
17. 1)-----, 2)-------• 18. 0,6 м. 19. 9 м. 20.----- (т соответствует ос-
2	2	(т + п)
а
нованию, через которое проведена плоскость). 21. —-. 22. АВ=2,6 м (отрезок
а
АВ не пересекает плоскость). 23. ~3,8 м. 24. а2—26. У а2Ь2.
а2—28. Длина перпендикуляра У2а2 — Ъ2, стороны У Ь2 — а2.
29. У а2 4- Ь2 — с2, Ус2 — Ъ2, /с2 — а2. 30. У 2Ь2 — а2. 31. 2 м. 32. У 2м.
33. 2/2м. 34.6м. 35. 5м, 3 м. 36.1 м. 37.2,5 м. 38. 6,5 м. 39. Уа2 + с2—Ь2.
40. BD = /а2 + Ь2 + с2, CD = /а2 + с2. 41. j/b2 + с2 —	43. У к а-
ванне. Прямые, перпендикулярные к плоскости, параллельны,
44. /а2 + Ь2 — с2. 45. У а2 + Ъ2 + с2. 46. У а2 + Ъ2.
9 17
2. (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3); (1, 2,0), (1,0, 3), (0,2, 3). 3. Расстояние от пло-
скости ху равно 3, от плоскости хг равно 2, от плоскости уг равно 1; расстоя-
ния от осей х, у, г соответственно равны 13, У10, У5; расстояние от начала
255
координат равно У14. 5. (2, 2, 2) и (—2, —2, —2). в. С (О, О, 0). 7. х +
4- 2у + За = 7. 10. В (О, —1, 3). И. D (6, 2, —2), Е (3, 2, 1). 13. (—1,
—2, —3), (0, 1, —2), (—1, 0, 3). 15. (—1, —2, 1). 17.1) -4=, 2) -, 3)	.
у 2	2	2
30°. 19. 13 м. 21. 30°. 22. а/б! 23. а^2. 24. 30°. 25. За. 26. 3,36 м.
4	1
= т = 4,5. 32. п = —.
3	3
18.
28.
D (—2, 3, 0).	29. D (2, 1, —2).	30. п
33.
с = 1. 34. /а2 + Ь* + с2 + | а| • | Ь|. 35.
1) cos Ф = —2) Ф = 90°.
37. cos С
cos ф = cos а • cos ф. 39.
C0S Р— COS2 а
60 . 40. cos ф=-----------------
41.
2>|	( Л	А £\
Гз’ з’— з~/ и \	з’~ з’ з/
42. е
43. aj = а2 = 0, аз =# 0. 44. а — Ъ — 0, с 0, d 0. 46.
I а
sin2 а
1 \
1 — 1
Ь I с
2
d
k	I	т
50. - = — = — о. 51. kx + ly + m2 = 0. 52. (2, 1, —2).
а	Ъ	с
53. У ка-
в а н и е. Сложить почленно первое и третье уравнения. 54. 1) с = 0, d Ф О,
2) с = d = 0. 55. с = 0 (см. задачу 54). 56. Указание. Найти какой-
нибудь вектор, перпендикулярный вектору (2, 3, 1). 57. У к а з а н и е.
Найти вектор, перпендикулярный к векторам (2, 3, 1) и (1, 1, 1).
$ 18
	2	cos а
2. 60 . 4. cos ф =----, cos р == -----. 5. 144 см2. 6. 7,5 см. 7. 12 см.
tga	у
cos —
2
____ а 7а2	______
9. За2. 10. cos х = 13 tg —. 11. -----. 12. 22 см. 13. а/ 2.14.12. 15. 2 м.
2	8 cos а
16.	4 м. 18. 45 см2. 19. 1) ЗаЬ + °2 К3., 2) 4аЬ + 2а2, 3) 6аЬ +3/3а2.
2
20.	3/3?. 21.1) 3; 2) 7; 3) 11.22.13 м, 9 м. 23. a j/l. 25. 2а, аУг. 26. 2 м2.
27.	2 м2, 3 м2. 29. 1464 см2. 30. 2/М2 + 2QA2. 31. 188 м2. 32. ~ 260 см2.
1	а tg 6
34.	3 см. 37. 11 м. 38. tg = — tg а, tg а2 = tg а3 == 1—.tg а. 39.-----.
2	2	2
. За2Л	а
40.	4 см. 41.	42. 9 см. 43. 5 см, 6 см. 44. cos х = tg —.
4 у а2 + ЗА2	2
45.	1) jAs—|2,2) |/&2-^, 3) У Ь2—а2. 46.1)	2) j/ft2+^,
8)	]Л2 + —. 47. 1) ?К3' (а + У а2 + 12Л2), 2) а2 + аУ а2 + 4Л2,
г 4	4
За ______	__________ ______________ ____________
3)	7	3 + УЗа2 + 4Л2). 48. 2г (гУЗ + У За2 — г2). 49. 1,8 м; 4 м.
а
256
50.	За2. 53. 16 см и 6 см или 12 см и 8 см. 54. см. 55. 26 м2. 56. 540 см2.
57.	10 м3. 59. 9 см. 60. 1 дм. 61. 6 см. 62. 2 см. 63. — (а3 — Ь3). 64. 20)2.
8
65.	24 м3 и 30°. 66. 168 м3. 67. 1)	(а3+ Ь2+ (а + Ь) /Ш3+ (а—Ь)3),
4
2)	а34-Ь3+(а+&) У4№ + (а — 5)3, 3) - (/8(а3+53)+(а+Ь)/4Л3+3(а—&)3).
2
71.	109°28'. Указание. Докажите сначала, что противоположные
ребра, сходящиеся в одной вершине октаэдра, перпендикулярны. Затем
надо применить формулу задачи 4.
§ 19
1. 5 м. 3. 36 см3. 4. 3 дм. 5. 3 дм. 6. tg х = —. 8. 10 м. 9. 5 м. 10.
2
2
2’
11. Я3. 13. 500. 14. Д8 tg ”* У1— tg3a-tg3q>, a + ф < 90°. 16. -у=. 17.
созф	- у 2	4
HR У 2	HR УЗ
18. Зсм. 19.--г——.20. ---------—= . 21. 5 м. 22. |Я — г|. 23. а, 2а.
Я + Я/2 Я+Я/3
24. 30 дм3. 25.9 дм3. 26. — (УМ + Ут)2. 28. 16л м3. 30.^. 31.
4	4	4
32. лЯ. 33. « 785 км. 34. 12 см. 35.12 см. 39. 3 см. 40. 8 см. 41. / г2
42. 5 см. 44. (х — 2)3 + (у — 2)3 + (г ± I)3 = 9. 46. 4л м. 47.	.
48.	49. Rtg-; —; —. 50. 2 1/я3	2 1/Я3
4	2 a sin a V 3 Т 2
tgT
2/Я3 — a3.
Ф
51.----------. 52.
л 180°
2 tg----
n
________а_________
180°
2 sin 2a • sin---
n
Я =

§ 20
1. 6 cm. 2. ~ 8,4 г/см3. 4. 25 cm. 5. 1,8 г/см3. 6. ~ 2,29 m. 7. 30 m. 8. Вдвое.
10.60 CM3. 11. 3 m8. 12. j/. 13. /2 м3.14. ^=. 15. 1) 1C1 a2b, 2) a2b,
8) ?.У^а35. 16. 0,5 г/см8. 17. « 192, 72 кг. 18. 3 см8. 19.7-. 20. 6 м8.
2	8
22. 3060 м3. 23. 6048 м3/ч. 24. 35 200 м3. 25. 48 см3. 26. 12 см3. 27. 2 см.
257
28. ~ас У 12аа—Зс3.29. a3 sin а.sin 0]Лсоз3 а—sin3 0. 30. 2)/sin За-sin3 а см.
о
31. abc V—cos 2а. 32. —- -ln ?	33. у —j/'g/jS _ аг 2) —1Л452 — 2а2,
2tgatgP	12	6Г
а3 г_________ 3
3) ~ У 3 (Ь2 — а2). 34. — а3. Указание. Высота пирамиды
2	4
1	О3
равна радиусу окружности, вписанной в основание. 35. —Ь3. 36. -т=.,
6	12]/2
37. •"	• 38. °- V/?.. Указание. Разбить октаэдр на две правильные
12	3
четырехугольные пирамиды. 39. 360 м3. 40. 48 см3. Указание. Основа-
ние высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около
г— о	У& 1
основания пирамиды. 41. у 11 см3. 43. -—---~~~~~~ • 44. — (а3— Ь3) tg а.
(/Qi-ZQs) 6
Указание. Воспользоваться формулой задачи 42. 44. — (а3 — b3) tg а.
24
4	______________
— Z3 cos а • cos 0 у sin3 а — cos2 0. 47.
3
h
□— . 50. ~ 0,75 мм. 51. « 4500 л. 52.
^2
3
—ла3. 55. ~61 кг. 57. ^2%. 58.
4
60. 14 см. 61.1 —I —— ] . 62. 2л 1/У М3. 6
46.
49.
2
—В3 sin a sin 0 • sin (a + 0) tg у.
3
В п раз; в У п раз. 53. 4 : 1.
54.
Л	л3
— (В3 — Г3). 59. - (Я3 — г3}.
3	3
----------- . —	— ... . J. 9л м3. Указание. Высота
\R)	F 3
с2 ________ 1
конуса равна радиусу его основания. 64.-У 4л2/2— с2. 65. — n^sinacos2».
2* Л2	3
Ла3	Ла2Ь2
66. ^1,6 т. 67. ^0,35 м. 68. —. 69. —т=. 70. ^14 см.
4	3 У а2 + 52
71. ~39 см. 72.167. 73. 33--%. Указание. Диаметр шара равен диамет-
3
V	2
ру цилиндра. 74. ~ 2148 см3. 75. - — — R. 76. 45 л см3, 243 л см3.
ЛВ2	3
77.	0.028. 78. 5 : 16. 79. 3528л см3. Указание. Представить указанную
часть шара в виде цилиндра и двух сегментов. 80. 112,5 л дм3 или 450 л дм3.
1 Q	Г-
81.	—лВ3 (2 — у 3). Указание. Тело является шаровым сектором.
821 ~
1.	2. Большая поверхность равновелика сумме двух других.
3. ~ 41 м2. 4. ~ 116 м2. 5. 75 см. 6. лМ + 2Q. Указание. По площади
S
основания найти его радиус. 7. ~ 25,3 м2. 8, ~ 33,98 м2. 9.-. Указа-
cosa
ние. По площади основания найти его радиус. 10. 2 : 3. 11. 30°. 12. 1 м.
Указание. Длина окружности основания равна длине дуги сектора.
13. ~ 1,04 м2. 14. ~ 4,3 кг. 15. Указание. Выразить объемы шара и
конуса через длину образующей конуса и сравнить их. 16. Выразить обе по-
верхности через сторону квадрата и сравнить их. 17. 180 л см2. 18. 512 л см3.
258
ПОСЛЕСЛОВИЕ О МЕТОДИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЯХ
УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ А. В. ПОГОРЕЛОВА
Более десяти лет назад академик А. В. Погорелов напи-
сал широко известную сейчас книгу «Элементарная геомет-
рия», в короткое время выдержавшую несколько изданий1.
Книга писалась как один из вариантов учебника по геомет-
рии для массовой школы. Будучи горячим приверженцем
традиционной системы изложения, вобравшей в себя много-
вековой опыт преподавания геометрии, А. В. Погорелов
избрал в качестве образца популярный учебник геометрии
выдающегося советского педагога А. П. Киселева. Конечно,
с научной точки зрения этот учебник к тому времени уже уста-
рел: в первую очередь было необходимо пересмотреть си-
стему доказательств, повысив их обоснованность и полноту;
требовалось включить целый ряд новых разделов, усиливаю-
щих идейную сторону курса (геометрические преобразова-
ния, координаты, векторы и т. д.). Однако в методическом
плане учебник А. П. Киселева был хорошо отработан: из-
бранная в нем последовательность изложения геометриче-
ского материала была удачно структурирована, позволяла
эффективно использовать богатый заданный материал. Осо-
бенно ценной представлялась в высшей степени наглядная
и поэтому доступная для школьников методика обучения
доказательству геометрических утверждений, основанная на
использовании признаков равенства треугольников.
Сейчас можно только гадать о том, насколько проще для
школы оказался бы переход от традиционных по построению
учебников дореформенных лет к учебнику А. В. Погорелова:
в то время всеобщее увлечение идеей построения курса на
основе геометрических преобразований не позволило, к
сожалению, даже рассмотреть этот вариант. Со временем,
однако, выявились существенные недостатки нового подхода:
сложность восприятия шестиклассниками основного объек-
та изучения — геометрического преобразования и неразра-
ботанность соответствующей системы упражнений.
1 См.: Погорелов А. В. Элементарная геометрия. 3-е изд., доп.
М., Наука, 1977.
259
Серьезная критика состояния обучения математике в шко-
ле, прозвучавшая в последние годы в выступлениях ряда
известных ученых, многочисленных письмах учителей и ро-
дителей, публикациях журналов и газет, непосредственно
относится и к обучению геометрии. Признано, что действую-
щие учебники по геометрии трудны для учащихся и учите-
лей. Длительный процесс их доработки не привел пока к
существенному повышению уровня геометрической подго-
товки школьников. Все это заставило по-новому взглянуть
на достоинства традиционной системы изложения, реализо-
ванной с необходимой сейчас научной полнотой и строго-
стью в книге А. В. Погорелова. Поэтому по предложению
Комиссии по реформе математического образования Отделе-
ния математики АН СССР и Министерства просвещения СССР
А. В. Погорелов подготовил переработанное для школы но-
вое издание своей книги, предназначенное для проведения
экспериментальной проверки1. Результаты эксперимента,
проводившегося во многих школах Украинской ССР, оказа-
лись весьма обнадеживающими. В короткое время, учтя
замечания и предложения учителей и методистов А. В. По-
горелов подготовил второе издание учебного пособия, также
подвергнутое экспериментальной проверке. И вот перед вами
третье издание пособия. Цель этого издания — познакомить
широкую учительскую общественность с перспективным
вариантом учебника геометрии для массовой школы. Реше-
нием Коллегии Министерства просвещения СССР учебное
пособие А. В. Погорелова «Геометрия» для VI—X классов
утверждено в качестве общесоюзного и рекомендовано к мас-
совому внедрению в школу начиная с 1982/83 учебного года
(тираж 1150 тыс.).
Что же это за пособие, каковы его математические и пе-
дагогические особенности, как по нему надо работать — эти
вопросы в первую очередь волнуют учителей. Надо сказать,
что по многим своим параметрам пособие нестандартно и
оригинально, методические позиции автора трудно выявить
из текста и они требуют объяснения и обоснования. Цель
настоящего послесловия как раз и состоит в том, чтобы пред-
ложить читателю наше понимание методической системы
А. В. Погорелова, основанное на многочисленных беседах
и спорах с автором, на анализе хода и результатов много-
этапного массового эксперимента по уцебному пособию в
школах Харькова и Харьковской области, Севастополя,
Киева и Московской области.
Целевую установку А. В. Погорелова в преподавании гео-
метрии лучше всего описать, воспроизведя цитату из его
предисловия к «Элементарной геометрии»:
1 Погорелов А. В. Геометрия. М., Просвещение, 1979.
260
«Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что
главная задача преподавания геометрии в школе — научить
учащегося логически рассуждать, аргументировать свои ут-
верждения, доказывать. Очень немногие из оканчивающих
школу будут математиками, тем более геометрами. Будут
и такие, которые в их практической деятельности ни разу не
воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется
хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализи-
ровать, доказывать».
В соответствии с этой установкой учебное пособие
А. В. Погорелова представляет собой систематическое изло-
жение требуемого программой геометрического содержания —
как традиционных вопросов планиметрии и стереометрии,
так и новых для школы разделов, построенное на базе ори-
гинальной системы аксиом.
Известно мнение, согласно которому шестиклассники вообще не могут
воспринять аксиоматического построения геометрии. Так, Ж. Дьедонне
писал: «Я считаю, что, пока детям не исполнится пятнадцать лет, никакая
аксиоматическая система вообще не должна вводиться в школу»1. При обо-
сновании такой позиции иногда ссылаются на выводы психологов: однако
эти выводы неоднозначны, и их можно интерпретировать по-разному. Более
существенно другое — наши представления о полной аксиоматике геометрии.
Очевидна бессмысленность попыток построения геометрии на основе, на-
пример, системы аксиом Гильберта. Более экономные системы аксиом обхо-
дят трудный вопрос введения меры для отрезков и углов путем аксиоматиче-
ского введения меры.
Так, вы могли убедиться, что избранная А. В. Погорело-
вым система аксиом весьма экономна. Аксиомы измерения
отрезков и углов позволяют отнести существенную долю
трудностей в область арифметики действительных чисел,
с которой учащиеся уже знакомы.
Противники аксиоматического noci роения геометрии в школе часто
путают два вопроса — собственно построение геометрии на основе опреде-
ленной системы аксиом и осознание учащимися идеи такого построения.
Надо ли требовать от шестиклассника, чтобы уже на первых уроках он вос-
принял аксиоматическую конструкцию? Конечно, нет. В полном соответ-
ствии с этим тезисом начало учебного пособия А. В. Погорелова (собственно,
введение в систематический курс геометрии) не содержит никаких аксиом!
Здесь систематизируются основные, хорошо известные учащимся из опыта и
из предыдущего изучения математики свойства простейших геометрических
фигур, проводятся простейшие рассуждения, в ходе которых из этих свойств
выводятся другие. Впоследствии эти основные свойства будут объявлены
аксиомами — но об этом знает учитель, а не ученик! Таким образом, пони-
мание логической конструкции геометрии появляется у учащихся посте-
пенно, формируется в ходе обучения.
Часто предлагают существенно растянуть период введения системы
аксиом: сначала поработать на уровне наглядных представлений и интуитив-
но понятных выводов, получить так первые существенные результаты и лишь
1 Дьедонне Ж. А. Надо ли учить «современной» математике? —
В кн.: На путях обновления школьного курса математики. М., Просвещение,
1978, с. 280.
261
затем перейти к точным формулировкам аксиоматического изложения. Но
если это сделать поздно, то основное содержание курса будет изложено
«на пальцах», что нас сейчас уже не устраивает. Тем не менее в обсуждаемом
предложении есть рациональное зерно: систематическому изложению геомет-
рии должна предшествовать определенная пропедевтическая работа.
Подчеркнем одно важное преимущество достаточно раннего введения
аксиоматики. Оно связано с таким принципиальным с педагогической точки
зрения вопросом, как мотивировка необходимости доказательств. Одно дело,
если требуется доказывать все и авторы учебника сами следуют этой про-
грамме. Таковы объявленные «правили игры», здесь в неявном виде присут-
ствует идея логической упорядоченности геометрических фактов — с этим
ученик может согласиться. Другое дело, когда одни утверждения доказыва-
ются, похожие на них не доказываются либо как наглядно очевидные, либо
как слишком сложно доказываемые.
Остановимся на вопросе о доказательстве наглядно очевидных утверж-
дений. В рамках первого подхода — принятия «программы» доказывать все
без исключения — доказательство даже наглядно очевидных фактов вы-
глядит мотивированным для ученика. В то же время разрешение не доказы-
вать очевидное может разрушить мотивировку необходимости доказательст-
ва вообще: ведь если что-то можно не доказывать как очевидное, то другой
факт можно, например, принять на веру. Принятие подхода «доказывать все»
создает мощную целевую психологическую установку учащихся, что осо-
бенно важно в начале обучения. Поэтому именно на первом этапе системати-
ческого изложения необходима скрупулезность в прослеживании логических
связей. Впоследствии же, когда учащиеся уже освоятся с нею, вполне допу-
стимо несколько снизить требования к формальной полноте доказательств
(предполагая каждый раз возможность проведения полного доказательства).
В пособии А. В. Погорелова «программа» проведения
доказательств объявляется в конце вводного параграфа —
после фактического повторения основных свойств геометри-
ческих фигур, одновременно с введением термина «аксиома»
и присваиванием статута аксиом выделенным основным свой-
ствам. Традиционное построение курса, в котором основным
аппаратом доказательства является использование призна-
ков равенства треугольников, приводит к тому, что доказа-
тельства «на уровне аксиом» проводятся недолго: достаточно
быстрый переход к теоремам о равенстве треугольников дает
в руки учащихся эффективный аппарат доказательства.
После появления признаков равенства треугольников соб-
ственно аксиомы привлекаются в доказательства уже редко.
Но именно теперь мы начинаем пожинать плоды заблаго-
временного проведения «программы» доказательств, которое
подготовило учащихся к необходимости доказывать. И, по-
лучив в руки аппарат доказательства — признаки равенст-
ва, — они оказываются уже подготовленными к решению
многочисленных интересных задач.
Начало систематического курса геометрии всегда затруд-
няло учащихся. Налицо определенный психологический
барьер, который надо перейти. Подобно тому как маленькие
дети учатся говорить — ошибаются, строят неверно фразу, —
так в эксперименте по учебнику А. В. Погорелова шести-
классники учились доказывать. На этом этапе обучения сле-
262
дует признать их право на ошибку (конечно, исправляемую
учителем), надо помочь им за временными трудностями по-
стоянно видеть основную цель — выполнение программы
доказывать все. И благодарный момент наступает: во всех
экспериментальных классах после появления признаков ра-
венства треугольников дети заговорили! Конечно, предстоял
еще долгий путь обучения доказательству, были ошибки,
но была воспринята сама идея, и отмечалось стремление ее
провести.
Избранная А. В. Погореловым система аксиом позволяет
строго дедуктивно выстроить весь основной ствол содержа-
ния курса геометрии — всю основную совокупность гео-
метрических фактов. Здесь достигнут весьма высокий уро-
вень доказательности. Так например, доказаны многие свой-
ства движений (перемещений), принятые в действующем
учебнике без доказательства.
Тем не менее курс не оказался громоздким. Целесообраз-
ная система аксиом, логическая последовательность изложе-
ния, а также найденные автором новые математические под-
ходы к изложению ряда трудных разделов позволили су-
щественно сократить объем пособия. Эффективное подклю-
чение к доказательству геометрических утверждений коор-
динатного метода резко сокращает объем материала, вполне
современно по духу и создает действительные предпосылки
осуществления межпредметных связей геометрии и алгебры.
Читатель может сам убедиться, насколько привлечение та-
кого «арифметического» подхода к изложению темы «Век-
торы» упрощает доказательства многих традиционно труд-
ных вопросов, таких, как, например, распределительное
свойство скалярного произведения. В изложении А. В. Пого-
релова доказательство этого свойства становится легл'о вы-
полнимым упражнением для слабых учащихся!
Как мы уже отмечали, основной ствол содержания посо-
бия выстроен строго дедуктивно. На периферии же основ-
ного содержания имеются отклонения от этого правила,
сделанные из методических соображений. Так, из этих со-
ображений вопрос о геометрических построениях с помощью
циркуля и линейки целесообразно рассматривать в VI клас-
се. Здесь еще нельзя доказать, например, что если прямая
удалена от центра окружности на расстояние, меньшее ра-
диуса, то имеются ровно две точки их пересечения. Но для
реальных построений и их обоснования это и не обязательно.
Поэтому при изложении вопросов геометрических построе-
ний циркулем и линейкой подобные детали опускаются.
Аналогично игнорируются многие тонкости в вопросе об
измерении геометрических величин: длин, площадей и объе-
мов. Строгое изложение вопроса об измерении величин изо-
билует многими тонкими нюансами, требует привлечения
изощренного аппарата, выходящего за рамки школьных
263
программ. Снижение уровня логической требовательности
в этом прикладном вопрЬсе вполне естественно и целесо-
образно.
Многие чисто математические детали изложения окажут-
ся знакомыми учителю, учившему и учившемуся по старым
учебникам. Другие могут вызвать первоначальное недоуме-
ние. Так, например, в отличие от действующего учебника,
треугольник определяется не как часть плоскости, а как фи-
гура, образованная тремя не лежащими на прямой точками
и тремя попарно соединяющими их отрезками. Если вдумать-
ся, именно такие треугольники мы и рисуем на доске или
в тетради.
Другой пример — определение равенства треугольников.
В действующем учебнике равенство (конгруэнтность) тре-
угольников определяется через перемещение, в старых учеб-
никах геометрии равенство треугольников определялось пу-
тем наложения. Первое из этих определений слишком абст-
рактно для шестиклассников, второе — с трудом применимо
в аксиоматическом изложении, поскольку требует привлече-
ния соответствующих довольно сложных аксиом.
В пособии А. В. Погорелова найден интересный выход:
определяется равенство обозначенных треугольников. Ины-
ми словами, по определению А АВС = /\MNP, если равны
их соответственные элементы: АВ = MN, АС = МР,
ВС = NP, Х-А = Х-М, Х-В = X_N, Х-С = Х-Р. При этом
порядок записи элементов имеет значение: «ААВС может
не быть равным АВСА».
Принятие такого определения сразу же устраняет множе-
ство чисто математических трудностей, упрощает доказа-
тельство многих утверждений. Некоторый дискомфорт, испы-
тываемый учителями (но не учащимися), быстро проходит.
Напротив, обнаруживаются известные методические пре-
имущества такого подхода: учащиеся с самого начала при-
учаются следить за тем, какие элементы треугольников равны
между собой. Впоследствии, после введения геометрических
преобразований, понятие равенства треугольников обобща-
ется: фигуры объявляются равными, если они переводятся
одна в другую движением.
Итоговое определение равенства фигур совпадает с при-
нятым в действующих учебниках. Однако учащимся оно
предъявляется значительно позже, когда у них уже накоп-
лен большой запас знаний о геометрических фигурах и их
свойствах.
Обратим еще внимание учителя на традиционность ис-
пользуемой символики, на отсутствие всегда понятных из
контекста записи разграничений между отрезком и его дли-
ной, углом и мерой этого угла, и т. д. Практика показывает,
что намеренное снижение формальной требовательности в
©том вопросе не приводит к путанице, но существенно упро-
264
щает обучение, избавляя его от непринципиальных деталей.
Более того, отсутствие указанного разграничения побуждает
учащихся не производить записи формально, а каждый раз
анализировать содержание записи — относится ли она к
углам или их величинам, например. Мы избавляемся от
необходимости затрачивать время и усилие на понимание и
усвоение учащимися сложной символики, избегаем великого
множества допускаемых ими здесь ошибок.
Последнее, о чем хотелось бы еще упомянуть в разговоре
о математических особенностях учебника, — это широкое
использование конструктивных определений. Конструктив-
ное определение математического объекта, подобное приве-
денному выше определению треугольника, позволяет уча-
щимся представить процесс построения объекта. Это су-
щественно облегчает работу по формированию понятий.
Правда, определения через род и видовое отличие выглядят
короче, но их восприятие требует проведения сложной мы-
слительной операции по выделению некоторого подмноже-
ства объектов (видовое отличие) из описания заданного
множества (род). Известно, что формирование понятий, оп-
ределяемых по этой схеме, требует особой методической ра-
боты и занимает много времени.
В этом коротком обзоре мы не в состоянии подробно ра-
зобрать все оригинальные методические особенности учеб-
ного пособия А. В. Погорелова. Тем более, что педагогиче-
ские идеи автора, связанные с организацией учебной дея-
тельности учащихся, представляют, на наш взгляд, особый
интерес. Во всяком случае, без знакомства с ними невозмож-
но составить себе адекватного представления о пособии,
нецелесообразно его обсуждать и нежелательно использовать.
Читатель уже обратил внимание на удивительно малый
объем книги. Учебное пособие по планиметрии и стереомет-
рии, рассчитанное на пять классов средней школы, содержа-
щее весь необходимый комплект упражнений, вопросы для
повторения, уместилось всего на 261 страницах книги обыч-
ного формата! Конечно, уменьшению объема пособия спо-
собствовала математическая изобретательность автора, но
одним этим все не объясняется.
Учебное пособие А. В. Погорелова овеществляет новую
педагогическую концепцию учебника, лишь в самое послед-
нее время выдвигаемую в работах ряда советских педагогов,
и поэтому трудно судить о ней, исходя из традиционно сло-
жившихся представлений об учебнике.
Используя педагогический жаргон, можно сказать, что
традиционный учебник «ометодичен». В нем все написано
так, как должно быть на уроке: надо произнести соответст-
вующий текст, затем решить указанные упражнения, затем
произнести последующий текст и т. д.
Учебник как бы становится основным организатором учеб-
265
ной деятельности учащихся, а учитель воспроизводит текст
учебника и контролирует его усвоение. Разумеется, мы со-
знательно несколько утрировали картину, для того чтобы
контрастнее показать принципиальные отличия подхода
А. В. Погорелова. К тому же, насколько нам известно, ни
в одном из учебников математики не удалось с достаточной
полнотой реализовать идею «ометодичивания».
Сторонники этой' концепции считают тот учебник луч-
шим; в котором большую часть материала ученик может
изучить полностью самостоятельно. Получается, что идеа-
лом стала бы работа совсем без учителя, а самым лучшим учеб-
ником стал бы самоучитель. Нам представляется подобная
идея педагогически несостоятельной, а попытки ее сколько-
нибудь полного проведения опасными для школы.
Учитель был и остается центральной фигурой педагоги-
ческого процесса: он основной организатор и руководитель
хода обучения, основной источник учебной информации.
Только учитель, находящийся в классе, видящий и оцени-
вающий реакцию своих учеников, может подобрать опти-
мальные темп и уровень обучения.
Каждый новый урок по одной и той же теме создается
учителем заново, и в этом проявляются и творческий харак-
тер процесса обучения и воспитания учащихся, и творческий
характер работы учителя. Оправданно ли при таком подходе
отводить учителю роль чтеца, воспроизводящего текст учеб-
ника?
Указанная концепция могла иметь положительное значе-
ние тогда, когда школе не хватало квалифицированных педа-
гогов. В настоящее время положение изменилось: требова-
ния к работе учителя возрастают и отводить учителю скром-
ную роль комментатора учебника нельзя.
Центральная роль учителя особо подчеркнута той кон-
цепцией учебника, в соответствии с которой написано посо-
бие А. В. Погорелова. По мысли автора, учебник является
книгой для самостоятельной работы учащихся после того,
как они прослушали соответствующие объяснения учителя.
Иными словами, это книга для повторения и закрепления
уже пройденного, используемая учащимися самостоятельно.
Поэтому в пособии отсутствует традиционный методический мате-
риал всевозможные пояснения, вводные слова, мотивировки
введения понятий и подготовки доказательств теорем и многое
другое, что обязательно должно быть на уроке, но излишне
при работе с учебником подобного типа.
Казалось бы, какой может быть вред от включения этого
материала в книгу для закрепления и повторения? Но прак-
тика обучения показывает, что обилие текста затрудняет
учащемуся выделить главное в этом тексте. И вот ученик на
уроке конспектирует это доказательство и далее готовится
не по учебнику, а по конспекту. Подобная концепция учеб-
266
ной книги требует разработки принципиально нового мето-
дического обеспечения. Существенно возрастает роль книги
для учителя, где должен быть сосредоточен весь выводимый
из пособия методический материал, приведены различные
варианты изложения, методические рекомендации по орга-
низации изучения и т. п. Книга для учителя должна стать
расширенным учебником, предусматривающим разные ва-
рианты изложения, рекомендующим использование разно-
образных методов обучения.
Покажем на одном крайне важном примере, как приме-
няется этот подход. Рассмотрим приведенное в учебнике
строгое доказательство теоремы о сумме углов треугольника
(см. с. 37).
В этом доказательстве ради логической его строгости и
полноты приведены все необходимые аргументы. Поэтому
оно выглядит громоздким, и вряд ли окажется понятным
учащимся: логические тонкости обоснования закроют им
простой и наглядный смысл геометрической картины. Но
это — итоговое доказательство, воспроизведением которого
должно заканчиваться изучение теоремы. На уроке же ре-
комендуется поступить так: сначала предложить учащимся
сокращенное наглядное доказательство, опуская некоторые
логические аргументы в тех случаях, когда их смысл ясен
из чертежа и наглядных соображений, — первый проход
доказательства. Когда идея доказательства понята учащими-
ся, доказательство повторяется, причем опущенные аргу-
менты приводятся, и на них акцентируется внимание, —
второй проход доказательства. Наконец, в третьем проходе
доказательство воспроизводится полностью в том виде, как
оно приведено в учебнике.-
Проиллюстрируем этот методический прием на доказа-
тельстве теоремы о сумме углов треугольника.
Первый проход. Пусть АВС — данный треугольник. Отметим
середину О на стороне ВС треугольника. Отложим на продолжении отрезка
АО отрезок OD, равный АО. Треугольники BOD и СОА равны по первому
признаку: у них углы при вершине О равны как вертикальные (*), а О В
= ОС и ОА = OD по построению.
Из равенства треугольников BOD и СОА следует равенство углов DBO и
АСО. А эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых АС 9
BD и секущей ВС (*). Значит, прямые АС и BD параллельны.
Так как угол АСО равен углу DBO, то сумма углов нашего треуголь-
ника при вершинах В та С равна углу DBA (*). Значит, сумма всех трех углов
треугольника АВС равна сумме углов DBA и С АВ. А эти углы являются
внутренними односторонними при параллельных AC, BD и секущей АВ <*).
Значит, их сумма равна 180°, и поэтому сумма углов треугольника АВС
равна 180°.
При втором проходе доказательство повторяется и в ме-
стах, отмеченных звездочками, ставятся вопросы и приводят-
ся необходимые уточнения. Традиционное школьное доказа-
тельство теоремы о сумме углов треугольника (в одном из его
267
вариантов) и отличается от приводимого в учебнике только
тем, что аргументы, отмеченные звездочками, не приводят-
ся, — в этом и состоит его нестрогость.
В книге для учителя как раз и место рекомендациям по
проведению каждого из таких проходов доказательства.
В учебнике же, с которым ученик будет работать дома после
того, как троекратно на уроке выслушает доказательство,
приводится, естественно, только его итоговый вариант.
На этом важном примере мы видим, что содержание урока
не является копией содержания учебника: оно богаче и раз-
нообразней в методическом отношении.
Практика эксперимента показала, что хотя для учителя
такой подход оказывается сначала непривычным, но скоро
он с ним осваивается и начинает ощущать его преимущества
в сравнении с традиционным. Отметим выделяемую многими
учителями экспериментальных классов психологическую вы-
году подобного подхода для учителя: довольно неприятно
говорить ученикам только то, что они и без тебя могут про-
читать в учебнике.
Однако мало сообщить учащимся, что учебное пособие
предназначено для их самостоятельной работы. Необходимо
еще обеспечить организацию такой работы.
Этой цели в пособии А. В. Погорелова служит совершен-
но оригинальная система вопросов для повторения. Собст-
венно, вопросы для повторения входят в содержание многих
учебников. Однако их роль в пособии А. В. Погорелова
весьма своеобразна. Каждый учащийся знает следующее:
а) на любой вопрос в учебнике содержится точный ответ —
надо только его найти; б) совокупность всех вопросов охва-
тывает все содержание учебного пособия. Таким образом,
система вопросов выделяет главное в изучаемом теоретиче-
ском материале, фиксируя одновременно обязательный уро-
вень era усвоения. Домашнее задание по теоретическому
материалу становится возможным задавать не в традицион-
ной форме: «выучите такой-то раздел», а конкретно: «под-
готовить ответы на вопросы 12, 13 и 15».
Такая система оказывается очень удобной как для учи-
теля, так и для ученика. Важна конкретность задания, его
фиксированный объем. Ученик знает, какую работу ему сле-
дует произвести, чтобы получить положительную оценку, —
и это оказывается мощным психологическим фактором, по-
буждающим школьника к ее выполнению. Учитель знает,
что если школьник не подготовил ответа на заданный во-
прос из учебника, то это не может объясняться объемом ра-
боты, неумением выделить главное в изучаемом тексте и т. п.
И, начиная работать по вопросам, учащиеся приучаются са-
мостоятельно работать с учебным текстом, видеть в нем су-
щественное, различать его элементы — так ненавязчиво уче-
ника учат работать с книгой. Это, кстати, помогает ученику,
268
пропустившему несколько занятии, самостоятельно подго-
готовиться к занятиям. Конечно, в особо сложных случаях
потребуется помощь учителя — но укажите учебник, по
отношению к которому этого нельзя было бы сказать!
Пособие снабжено и достаточным заданным материалом.
Его важной особенностью является многократная «прокрут-
ка» основного материала в решениях многих задач. Одна и
та же базовая геометрическая конфигурация, один и тот же
прием доказательства несколько раз повторяется в доказа-
тельствах теорем и в решениях задач, многократно предъяв-
ляется учащимся на одном уроке и в результате оседает у них
в памяти.
Вообще на первых порах обучения учителю рекомендуется
чаще прибегать к показу образцов действий, не побуждая
пока учащихся, скажем, самостоятельно доказать теорему
или решить задачу. Напротив, полезно показать в классе
решение одной задачи, а решение другой, аналогичной, по-
требовать выполнить самостоятельно. Кстати сказать, многие
задачи в учебнике так и расположены парами, с тем, чтобы
обеспечить описываемую работу.
О педагогических особенностях учебника можно еще
сказать многое. Не все из сказанного выше было справедли-
во по отношению к предыдущим изданиям пособия. Многое
дал эксперимент, который позволил выявить отдельные не-
достатки предыдущих вариантов и исправить их при под-
готовке следующих изданий. Есть, наверное, недостатки и у
этого, третьего издания.
Однако и в этом виде она представляется весьма перспек-
тивным вариантом учебника для средней школы, подкупаю-
щим целым рядом своих математических и педагогических
достоинств. Думается, что знакомство с пособием А. В. Пого-
релова окажется полезным для каждого учителя математики.
И. Ф. Тесленко, В. В. Фирсов
СОДЕРЖАНИЕ
6 класс
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур.......... 8
Точка и прямая 3. Основные свойства принадлежности точек и
прямых 4. Основные свойства взаимного расположения точек на
прямой и на плоскости 5. Основные свойства измерения отрезков
и углов 7. Основные свойства откладывания отрезков и углов 9.
Существование треугольника, равного данному 10. Основное
свойство параллельных прямых 11. Аксиомы, теоремы и доказа-
тельства 12. Вопросы для повторения 13. Упражнения 15.
6 2. Углы ..................................................... 18
Смежные углы 18. Вертикальные углы 19. Перпендикулярные
прямые 20. Доказательство от противного 21. Углы, отложенные
в одну полуплоскость 21. Вопросы для повторения 23. Упражне-
ния 23.
§ 3. Признаки равенства треугольников ......................... 24
Первый признак равенства треугольников 24. Второй признак
равенства треугольников 25. Равнобедренный треугольник 26.
Медиана, биссектриса и высота треугольника 28. Третий признак
равенства треугольников 29. Вопросы для повторения 30. Упраж-
нения 31.
$ 4. Сумма углов треугольника ................................. 84
Признаки параллельности прямых 34. Сумма углов треугольника
37. Прямоугольный треугольник 39. Перпендикуляр к прямой 40.
Вопросы для повторения 41. Упражнения 42.
S 5. Геометрические построения ................................ 45
Окружность 45. Что такое задачи на построение 47.Построение тре-
угольника с данными сторонами 47. Построение угла, равного
данному 48. Построение биссектрисы угла 48. Деление отрезка
пополам 49. Построение перпендикулярной прямой 49. Геометри-
ческое место точек 50. Метод геометрических мест 51. Углы,
вписанные в окружность 51. Вопросы для повторения 53. Уп-
ражнения 54.
7 класс
S 6. Четырехугольники .......................................  57
Выпуклые четырехугольники 57. Параллелограмм 58. Прямоуголь-
ник. Ромб. Квадрат 60. Трапеция 62. Вопросы для повторения 64.
Упражнения 65.
§ 7.	Теорема Пифагора ........................................ 69
Косинус угла 69. Теорема Пифагора 70. Соотношения между угла-
ми и сторонами прямоугольного треугольника 72. Значения си-
270
нуса, косинуса и тангенса некоторых углов 74. Изменение sin а»
cos а и tg а при возрастании угла а 75. Неравенство треугольника
76. Вопросы для повторения 77. Упражнения 78.
§ 8.	Декартовы координаты на плоскости.......................... $1
Введение координат на плоскости 81. Координаты середины от-
резка 83. Расстояние между точками 84. Уравнение окружности I
85. Уравнение прямой 87. Расположение прямой относительно .
осей координат 88. Пересечение прямой с окружностью 89. Опре-
деление синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0 до
180° 89. Вопросы для повторения 90. Упражнения 91.
§ 9.	Преобразования фигур .....................................  94
Примеры преобразования фигур 94. Движение 96. Равенство
фигур 98. Преобразование подобия 99. Подобие фигур 101. Вопро-
сы для повторения 103. Упражнения 104.
8 класс
§ 10. Векторы на плоскости ................................,	109
Параллельный перенос 109. Понятие вектора 111. Абсолютная
величина и направление вектора 112. Координаты вектора 114.
Сложение векторов 115. Умножение вектора на число 116. Скаляр-
ное произведение векторов 118. Вопросы для повторения 120. Уп-
ражнения 121.
6 11. Решение треугольников ,................................ 125
Теорема косинусов 125. Теорема синусов 126. Решение треуголь-
ников 127. Вопросы для повторения 128. Упражнения 129.
§ 12.	Многоугольники .......................................  131
Ломаная 131. Выпуклые многоугольники 132. Правильные мно-
гоугольники 134. Длина окружности 136. Центральный угол и
дуга окружности 137. Вопросы для повторения 138. Упражне-
ния 139.
§ 13.	Площадь фигур ......................................... 141
Понятие площади 141. Площадь прямоугольника 142. Площади
простейших фигур 144. Площади подобных фигур 146. Площадь
круга 147. Вопросы для повторения 149. Упражнения 150.
9 класс
S 14. Аксиомы стереометрии .............................  .	. . .	153
Некоторые следствия аксиом стереометрии 154. Вопросы для
повторения 156. Упражнения 156.
§ 15.	Параллельность прямых и плоскостей........................  157
Параллельные прямые в пространстве 157. Параллельность пря-
мой и плоскости 159. Параллельность плоскостей 160. Изобра-
жение пространственных фигур на плоскости 162. Вопросы для
повторения 164. Упражнения 164.
$ 16. Перпендикулярность прямых и плоскостей .................. 167
Перпендикулярность прямых 167. Перпендикулярность прямой
и плоскости 168. Перпендикуляр и наклонная 171. Перпендику-
лярность плоскостей 172. Воцросы для повторения 174. Упраж-
нения 175.
271
б 17. Декартовы координаты и векторы в пространстве	179
Введение декартовых координат в пространстве 179. Преобразо-
вания фигур в пространстве 182. Углы между прямыми и плоско-
стями 185. Векторы в пространстве 187. Уравнение плоскости 189.
Вопросы для повторения 190. Упражнения 191.
10 класс
6 18. Многогранники ........................................... 196
Многогранные углы 196. Многогранник 198. Призма 199. Парал-
лелепипед 200. Пирамида 203. Правильные многогранники 206.
Вопросы для повторения 207. Упражнения 208.
§ 19. Тела вращения ........................................... 214
Цилиндр 214. Конус 216. Шар 218. Уравнение сферы 221. Вопро-
сы для повторения 223. Упражнения 223.
§ 20. Объемы тел .............................................. 228
Понятие объема 228. Объем прямоугольного параллелепипеда 229.
Объем наклонного параллелепипеда 230. Объем призмы 232.
Объем пирамиды 233. Объемы подобных тел 235. Объемы цилин-
дра и конуса 236. Общая формула для объема тел вращения 237.
Объем шара и его частей 239. Вопросы для повторения 240. Уп- ;
ражнения 240.
t 21. Площади поверхностей тел ................................ 246
Понятие площади поверхности 246, Площадь сферы 247. Боковая
поверхность цилиндра 247. Вопросы для повторения 248. Уп-
ражнения 248.
Ответы и указания к упражнениям.
Послесловие................................................ 259
Алексей Васильевич Погорелов
ГЕОМЕТРИЯ
Пробный учебник
для 6—10 классов
средней школы
Спец, редактор а. М. ЗУБКОВ
Редактор т. А. БУРМИСТРОВА
Обложка художника б. Л. НИКОЛАЕВА
Художественный редактор е. Н. КАРАСИК
Технический редактор н. А. БИРКИНА
Корректоры т. с. цари КОВ А,
Н. В. ЛЕПЕНДИНА
ИБ № 6788
Сдано в набор 16.03.81. Подписано к печати 17.06.81. 60x90Vie. Бум. типограф. № 2. Гарн.
школьн. Печать высокая. Усл. печ. л. 17+форз. 0,25. Усл. кротт. 17,69. Уч.-изд. л. 14,18+
форз. 0,45. Тираж 263 400 экз. Заказ 60. Цена 55 коп. ?
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного коми-
tera РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполи-
графпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книж-
кой торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
СООТНОШЕНИЯ
В ПРОИЗВОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
ЛАТИНСКИЙ АЛФАВИТ

ПЕЧАТ- НЫЕ БУКВЫ	РУКО- ПИСНЫЕ БУКВЫ	НАЗВА- НИЯ БУКВ
А а	a	a
БЪ		бэ
Сс	С c	ЦЭ
Dd	Dd	дэ
Ее	6 e	э
Ff	ИП	эф
Gg	ИМИ	же
Hh	H h	аш
И	J l	и
Ji	НИМ	йот (жи)
Kk	К k	ка
LI	C I	эль
Mm	Л4/т.	эм
ПЕЧАТ- НЫЕ БУКВЫ	РУКО- ПИСНЫЕ БУКВЫ	НАЗВА- НИЯ БУКВ
А'л	уХп	ЭН
Оо	0 a	о
ИМ|	HH	ПЭ
Qq	°- °	к у
Rr	Rr	эр
Ss	Si	эс
Tt	MB	та
Uu	Id LC	у
Vv		БЭ
Wui	Ш-	дубль-вз
Xx	X X	икс
Yy	1	игрек
Zz	1 Zz	ЗЭТ
НЕКОТОРЫЕ БУКВЫ ГРЕЧЕСКОГО АЛФАВИТА
буквы	а	|х 1	Y	6	Z	м
названия	з лъфа	бета	гамма	дельта	ламбда	мю
буквы	л	1*	1’	Ч	<	G)
названия	пи	ро	тау	фи	ПСИ	омега
$