МГУ - ШКОЛЕ
Геометрия
10-11
 W   КЛАССЫ
Учебник
для общеобразовательных
учреждений
Базовый и профильный уровни
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
22-е издание
Москва «Просвещение» 2013
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
Г36
Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году
Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев,
Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк
В соответствии с федеральным компонентом образовательного стан-
дарта по математике в данное издание внесены существенные допол-
нения, подготовленные С. Б. Кадомцевым и В. Ф. Бутузовым.
Большая часть нового материала является необязательной для ба-
зового уровня, она отмечена знаком *.
Издание подготовлено под научным руководством
академика А. Н. Тихонова
Учебник занял первое место на Всесоюзном конкурсе учебников по матема-
тике для средней общеобразовательной школы
На учебник получены положительные заключения
Российской академии наук (№ 2-10106-5215/1416 от 25.10.06)
и Российской академии образования (№ 01-16916/7д от 14.07.06)
Условные обозначения:
— пункт, необязательный для изучения на базовом уровне
20 — задача, не являющаяся обязательной на базовом уровне
▼ — начало материала, необязательного для изучения на базовом
уровне
— окончание материала, необязательного для изучения на ба-
зовом уровне
Геометрия. 10—11 классы : учеб, для общеобразоват.
Г36 учреждений : базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян,
В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 22-е изд. — М. :
Просвещение, 2013. — 255 с. : ил. — (МГУ — школе). —
ISBN 978-5-09-030854-0.
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
ISBN 978-5-09-030854-0
© Издательство «Просвещение», 1992
© Издательство «Просвещение», 2006,
с изменениями
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2006
Все права защищены
Введение
1	Предмет стереометрии
Школьный курс геометрии состоит из
двух частей: планиметрии и стереометрии. В плани-
метрии изучаются свойства геометрических фигур
на плоскости. Стереометрия — это раздел геометрии,
в котором изучаются свойства фигур в пространст-
ве. Слово ♦стереометрия» происходит от греческих
слов «стереос» — объемный, пространственный и
«метрео» — измерять.
Простейшими и, можно сказать, основны-
ми фигурами в пространстве являются точки, прямые
и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рас-
сматривать геометрические тела и их поверхности.
Представление о геометрических телах дают окружа-
ющие нас предметы. Так, например, кристаллы име-
ют форму геометрических тел, поверхности которых
составлены из многоугольников. Такие поверхности
называются многогранниками. Одним из простейших
многогранников является куб (рис. 1, а). Капли жид-
кости в невесомости принимают форму геометриче-
ского тела, называемого шаром (рис. 1, б). Такую же
форму имеет футбольный мяч. Консервная банка име-
ет форму геометрического тела, называемого цилинд-
ром (рис. 1, в).
В отличие от реальных предметов гео-
метрические тела, как и всякие геометрические
фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы
представляем геометрическое тело как часть про-
странства, отделенную от остальной части простран-
ства поверхностью — границей этого тела. Так, на-
пример, граница шара есть сфера, а граница цилинд-
ра состоит из двух кругов — оснований цилиндра и
боковой поверхности.
а)
Куб
б)
Шар
в)
Цилиндр
Рис. 1
3
Введение
Изучая свойства геометрических фигур —
воображаемых объектов, мы получаем представление
о геометрических свойствах реальных предметов (их
форме, взаимном расположении и т. д.) и можем ис-
пользовать эти свойства в практической деятельности.
В этом состоит практическое (прикладное) значение
геометрии. Геометрия, в частности стереометрия, ши-
роко используется в строительном деле, архитектуре,
машиностроении, геодезии, во многих других областях
науки и техники.
При изучении пространственных фигур,
в частности геометрических тел, пользуются их изобра-
жениями на чертеже. Как правило, изображением про-
странственной фигуры служит ее проекция на ту или
иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различ-
ные изображения. Обычно выбирается то из них, кото-
рое создает правильное представление о форме фигуры
и наиболее удобно для исследования ее свойств. На ри-
сунках 2, а, б изображены два многогранника — парал-
лелепипед и пирамида, а на рисунке 2, в — конус. При
этом невидимые части этих фигур изображены штрихо-
выми линиями. Правила изображения пространствен-
ных фигур приведены в приложении 1.
В течение двух лет мы будем изучать вза-
имное расположение прямых и плоскостей, многогран-
ники, векторы и метод координат в пространстве,
♦ круглые» геометрические тела — цилиндр, конус,
шар и рассмотрим вопрос об объемах тел.
2	Аксиомы стереометрии
В планиметрии основными фигурами были
точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рас-
сматривается еще одна основная фигура — плоскость.
Представление о плоскости дает гладкая поверхность
стола или стены. Плоскость как геометрическую фигу-
ру следует представлять себе простирающейся неогра-
ниченно во все стороны.
Как и ранее, точки будем обозначать про-
писными латинскими буквами А, В, С и т. д., а пря-
мые — строчными латинскими буквами а, Ь, с и т. д.
или двумя прописными латинскими буквами АВ, CD
и т. д. Плоскости будем обозначать греческими буква-
ми а, Р, у и т. д. На рисунках плоскости изображаются
в виде параллелограмма (рис. 3, а) или в виде произ-
вольной области (рис. 3, tf).
Конус
Рис. 2
Введение
Ясно, что в каждой плоскости лежат
какие-то точки пространства, но не все точки про-
странства лежат в одной и той же плоскости. На рисун-
ке 3, б точки А и В лежат в плоскости Р (плоскость р
проходит через эти точки), а точки М, N, Р не лежат
в этой плоскости. Коротко это записывают так: А е 0,
В е 0, М е 0, N г Р, Р ё р.
Основные свойства точек, прямых и плоско-
стей, касающиеся их взаимного расположения, выраже-
ны в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состо-
ит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома
по курсу планиметрии. Полный список аксиом и неко-
торые следствия из них приведены в приложении 2.
Здесь мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном
расположении точек, прямых и плоскостей в простран-
стве. Ниже они обозначены А1э А2, А3.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой,
проходит плоскость, и притом только одна.
Иллюстрацией к этой аксиоме может слу-
жить модель, изображенная на рисунке 4. Плоскость,
проходящую через точки А, В и С, не лежащие на од-
ной прямой, иногда называют плоскостью АВС.
Отметим, что если взять не три, а четыре
произвольные точки, то через них может не проходить
ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут
не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким
наглядным подтверждением этого факта: если ножки
стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех
ножках, т. е. опирается на три «точки», а конец чет-
вертой ножки (четвертая «точка») не лежит в плоско-
сти пола, а висит в воздухе.
А2
Иллюстрация к аксио-
ме Ар пластинка поддер-
живается тремя точками
А, В и С, не лежащими на
одной прямой
Рис. 4
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точ-
ки прямой лежат в этой плоскости*.
Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки» («две прямые»,
♦ три плоскости» и т. д.), будем считать, что эти точки (пря-
мые, плоскости) различны.
Введение
В таком случае говорят, что прямая
лежит в плоскости или плоскость проходит через
прямую (рис. 5, а).
Свойство, выраженное в аксиоме А2, исполь-
зуется для проверки «ровности» чертежной линейки.
С этой целью линейку прикладывают краем к плоской
поверхности стола. Если край линейки ровный (прямо-
линейный), то он всеми своими точками прилегает
к поверхности стола. Если край неровный, то в ка-
ких-то местах между ним и поверхностью стола обра-
зуется просвет.
Из аксиомы А2 следует, что если прямая не
лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более
одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют
только одну общую точку, то говорят, что они пересе-
каются (рис. 5, б).
а)
Прямая АВ лежит в пло
скости а
Прямая а и плоскость а
пересекаются в точке М
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой лежат все общие точки
этих плоскостей.
В таком случае говорят, что плоскости пе-
ресекаются по прямой (рис. 5, в). Наглядной иллюст-
рацией аксиомы А3 является пересечение двух смеж-
ных стен, стены и потолка классной комнаты.
Прежде чем перейти к первым следствиям
из данных аксиом, отметим одно важное обстоятель-
ство, которым будем пользоваться в дальнейшем.
В пространстве существует бесконечно много плоско-
стей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы
и теоремы планиметрии. Более того, признаки равен-
ства и подобия треугольников, известные из курса
планиметрии, справедливы и для треугольников,
расположенных в разных плоскостях (см. приложе-
ние 2).
Плоскости аир пересе-
каются по прямой а
Рис. 5
3	Некоторые следствия из аксиом
Теорема
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит
плоскость, и притом только одна.
Введение
Доказательство
Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней
точку М (рис. 6). Докажем, что через прямую а и точ-
ку М проходит плоскость. Отметим на прямой а две
точки Р и Q. Точки М, Р и Q не лежат на одной пря-
мой, поэтому согласно аксиоме Aj через эти точки про-
ходит некоторая плоскость а. Так как две точки пря-
мой а (Р и Q) лежат в плоскости а, то по аксиоме А2
плоскость а проходит через прямую а.
Единственность плоскости, проходящей че-
рез прямую а и точку М, следует из того, что любая
плоскость, проходящая через прямую а и точку М,
проходит через точки М, Р и Q. Следовательно, эта
плоскость совпадает с плоскостью а, так как по аксио-
ме Aj через точки М, Р и Q проходит только одна плос-
кость. Теорема доказана.
Рис. 6
Теорема
Через две пересекающиеся прямые проходит плос-
кость, и притом только одна.
Доказательство
Рассмотрим прямые а и Ь, пересекающиеся
в точке М (рис. 7), и докажем, что через эти прямые
проходит плоскость, и притом только одна.
Отметим на прямой b какую-нибудь точ-
ку А, отличную от точки М, и рассмотрим плос -
кость а, проходящую через точку N и прямую а. Так
как две точки прямой b лежат в плоскости а, то по ак-
сиоме А2 плоскость а проходит через прямую Ь. Итак,
плоскость а проходит через прямые а и Ь. Единствен-
ность такой плоскости следует из того, что любая
плоскость, проходящая через прямые а и д, про-
ходит через точку N. Следовательно, она совпадает
с плоскостью а, поскольку через точку N и прямую а
проходит только одна плоскость. Теорема доказана.
Рис. 7
Вопросы и задачи
1	По рисунку 8 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые
РЕ, МК, DB, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой DK с плоско-
стью АВС, прямой СЕ с плоскостью ADB; в) точки, лежащие
в плоскостях ADB и DBC; г) прямые, по которым пересекаются
плоскости АВС и DCB, ABD и CDA, PDC и АВС.
2	По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях DCCX
и BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая ААХ; в) точки пе-
ресечения прямой МК с плоскостью ABD, прямых DK и ВР
Введение
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
с плоскостью AjBjCp г) прямые, по кото-
рым пересекаются плоскости ААХВХ и ACD,
РВХСХ и АВС; д) точки пересечения пря-
мых МК и DC, ВХСХ и ВР, СХМ и DC.
Верно ли, что: а) любые три точки лежат
в одной плоскости; б) любые четыре точки
лежат в одной плоскости; в) любые четыре
точки не лежат в одной плоскости; г) через
любые три точки проходит плоскость, и при-
том только одна?
Точки А, В, С и D не лежат в одной плоско-
сти. а) Могут ли какие-то три из них лежать
на одной прямой? б) Могут ли прямые АВ
и CD пересекаться? Ответ обоснуйте.
Докажите, что через три данные точки, ле-
жащие на прямой, проходит плоскость.
Сколько существует таких плоскостей?
Три данные точки соединены попарно от-
резками. Докажите, что все отрезки лежат
в одной плоскости.
Две прямые пересекаются в точке М. До-
кажите, что все прямые, не проходящие
через точку М и пересекающие данные
прямые, лежат в одной плоскости. Лежат
ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?
Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат
в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если
три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность ле-
жит в этой плоскости?
Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей парал-
лелограмма лежат в плоскости а. Лежат ли две другие вершины
параллелограмма в плоскости а? Ответ обоснуйте.
Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника,
если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит
через одну из вершин треугольника?
Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что
все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие дан-
ную прямую, лежат в одной плоскости.
Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли
плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?
Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку;
б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?
Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них
проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?
Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат
в одной плоскости, либо имеют общую точку.
Введение
Глава I
Параллельность прямых
и плоскостей
Параллельность прямых,
прямой и плоскости
4 Параллельные прямые в пространстве
Введем понятие параллельных прямых в пространстве.
Определение
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они
лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Параллельность прямых а и b обозначается
так: а || Ь. На рисунке 10 прямые а и b параллельны,
а прямые а и с, а и d не параллельны.
Докажем теорему о параллельных прямых.
Теорема
Через любую точку пространства, не лежащую на дан-
ной прямой, проходит прямая, параллельная данной,
и притом только одна.
Доказательство
Рассмотрим прямую а и точку М, не лежа-
щую на этой прямой (рис. 11). Через прямую а и точку
М проходит плоскость, и притом только одна (п. 3).
Обозначим эту плоскость буквой а. Прямая, проходя-
щая через точку М параллельно прямой а, должна ле-
жать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т. е.
должна лежать в плоскости а. Но в плоскости а, как
известно из курса планиметрии, через точку М прохо-
дит прямая, параллельная прямой а, и притом только
одна. На рисунке 11 эта прямая обозначена буквой Ь.
Итак, b — единственная прямая, проходящая через
точку М параллельно прямой а. Теорема доказана.
В дальнейшем нам понадобятся также по-
нятия параллельных отрезков, параллельных отрезка
и прямой, параллельных лучей. Два отрезка называют-
ся параллельными, если они лежат на параллельных
прямых. Аналогично определяется параллельность от-
резка и прямой, а также параллельность двух лучей.
Рис. 11
Параллельност ь прям ых
и плоскостей
На рисунке 12 отрезки CD и EF параллельны (CD || EF),
а отрезки AB и CD не параллельны, отрезок AB парал-
лелен прямой а (АВ || а).
5 Параллельность трех прямых
Докажем лемму о пересечении плоскости
параллельными прямыми, необходимую для дальней-
шего изложения.
Лемма
D{
\E
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную
плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Доказательство
Рассмотрим параллельные прямые а и 6,
одна из которых — прямая а — пересекает плоскость а
в точке М (рис. 13, а). Докажем, что прямая b также
пересекает плоскость а, т. е. имеет с ней только одну
общую точку.
Обозначим буквой р плоскость, в которой
лежат параллельные прямые а и Ь. Так как две различ-
ные плоскости аир имеют общую точку М, то по ак-
сиоме А3 они пересекаются по некоторой прямой р
(рис. 13, б). Эта прямая лежит в плоскости Р и пересе-
кает прямую а (в точке М), поэтому она пересекает па-
раллельную ей прямую b в некоторой точке N. Пря-
мая р лежит также в плоскости а, поэтому N — точка
плоскости а. Следовательно, ЛГ — общая точка пря-
мой b и плоскости а.
Докажем теперь, что прямая b не имеет дру-
гих общих точек с плоскостью а, кроме точки ЛГ. Это
и будет означать, что прямая b пересекает плоскость а.
Действительно, если бы прямая b имела еще одну общую
точку с плоскостью а, то она целиком лежала бы
в плоскости а и, значит, была бы общей прямой плоско-
стей а и Р, т. е. совпадала бы с прямой р. Но это невоз-
можно, так как по условию прямые а и b параллельны,
а прямые аир пересекаются. Лемма доказана.
Из курса планиметрии известно, что если
три прямые лежат в одной плоскости и две из них па-
раллельны третьей прямой, то эти две прямые парал-
лельны. Аналогичное утверждение имеет место и для
трех прямых в пространстве. Сформулируем и дока-
жем это утверждение.
Рис. 13
П араллельность прямых
и плоскостей
10
Теорема
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они
параллельны.
Доказательство
Пусть а || с и b || с. Докажем, что а || Ь. Для
этого нужно доказать, что прямые а и b: 1) лежат в од-
ной плоскости и 2) не пересекаются.
1)	Отметим какую-нибудь точку К на пря-
мой b и обозначим буквой а плоскость, проходящую
через прямую а и точку К (рис. 14). Докажем, что
прямая b лежит в этой плоскости. Действительно, если
допустить, что прямая b пересекает плоскость а, то по
лемме о пересечении плоскости параллельными пря-
мыми прямая с также пересекает плоскость а. Но так
как прямые а и с параллельны, то и прямая а пересе-
кает плоскость а, что невозможно, ибо прямая а лежит
в плоскости а.
2)	Прямые а и b не пересекаются, так как
в противном случае через точку их пересечения прохо-
дили бы две прямые (а и д), параллельные прямой с,
что невозможно. Теорема доказана.
Рис. 14
6 Параллельность прямой и плоскости
Если две точки прямой лежат в данной
плоскости, то согласно аксиоме А2 вся прямая лежит
в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три
случая взаимного расположения прямой и плоскости
в пространстве:
а)	прямая лежит в плоскости (см. рис. 5, а);
б)	прямая и плоскость имеют только одну
общую точку, т. е. пересекаются (см. рис. 5, б);
в)	прямая и плоскость не имеют ни одной
общей точки.
Определение
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не
имеют общих точек.
Параллельность прямой а и плоскости а
обозначается так: а || а. Наглядное представление о пря-
мой, параллельной плоскости, дают натянутые троллей-
бусные или трамвайные провода — они параллельны
плоскости земли. Другой пример дает линия пересече-
ния стены и потолка — эта линия параллельна плоско-
сти пола (рис. 15, а). Заметим, что в плоскости пола
Параллельность прямых
и плоскостей
имеется прямая, параллельная этой линии. Такой пря-
мой является, например, линия пересечения пола с той
же самой стеной.
На рисунке 15, а указанные прямые
обозначены буквами а и Ь. Оказывается, что если
в плоскости а имеется прямая Ь, параллельная пря-
мой а, не лежащей в плоскости а, то прямая а и плос-
кость а параллельны (рис. 15, б).
Другими словами, наличие в плоскости а
прямой Ь, параллельной прямой а, является призна-
ком, по которому можно сделать вывод о параллельно-
сти прямой а и плоскости а. Сформулируем это утвер-
ждение в виде теоремы.
Теорема
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, парал-
лельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоско-
сти, то она параллельна данной плоскости.
Доказательство
Рассмотрим плоскость а и две параллель-
ные прямые а и д, расположенные так, что прямая b
лежит в плоскости а, а прямая а не лежит в этой пло-
скости (рис. 15, б). Докажем, что а || а.
Допустим, что это не так. Тогда прямая а
пересекает плоскость а, а значит, по лемме о пересече-
нии плоскости параллельными прямыми прямая b так-
же пересекает плоскость а. Но это невозможно, так
как прямая b лежит в плоскости а. Итак, прямая а не
пересекает плоскость а, поэтому она параллельна этой
плоскости. Теорема доказана.
Докажем еще два утверждения, которые
часто используются при решении задач.
1°. Если плоскость проходит через данную
прямую, параллельную другой плоскости, и пересека-
ет эту плоскость, то линия пересечения плоскостей па-
раллельна данной прямой.
Пусть через данную прямую а, параллель-
ную плоскости а, проходит плоскость р, пересекающая
плоскость а по прямой b (рис. 16). Докажем, что b || а.
Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости
(в плоскости Р) и не пересекаются: ведь в противном
случае прямая а пересекала бы плоскость а, что невоз-
можно, поскольку по условию а || а.
а
б)
Рис. 15
Рис. 16
Параллельность прямых
и плоскостей
12
2°. Если одна из двух параллельных пря-
мых параллельна данной плоскости, то другая прямая
либо также параллельна данной плоскости, либо ле-
жит в этой плоскости.
В самом деле, пусть а и b — параллельные
прямые, причем прямая а параллельна плоскости а.
Тогда прямая а не пересекает плоскость а, и, следова-
тельно, по лемме о пересечении плоскости парал-
лельными прямыми прямая Ъ также не пересекает
плоскость а. Поэтому прямая b либо параллельна плос-
кости а, либо лежит в этой плоскости.
Рис. 17
Вопросы и задачи
16	Параллельные прямые а и b лежат в плоскости а. Докажите, что
прямая с, пересекающая прямые а и Ь, также лежит в плоскости а.
17	На рисунке 17 точки М, JV, Q и Р — середины отрезков DB, DC,
АС и АВ. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если
AD = 12 см, ВС = 14 см.
18	Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость,
а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту
плоскость соответственно в точках Вх и СР Найдите длину отрез-
ка ССП если: а) точка С — середина отрезка АВ и ВВХ = 7 см;
б) АС : СВ = 3 : 2 и ВВХ = 20 см.
19	Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость а.
Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость а.
20	Средняя линия трапеции лежит в плоскости а. Пересекают ли
прямые, содержащие ее основания, плоскость а? Ответ обоснуйте.
21	Треугольники АВС и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите,
что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоско-
сти данных треугольников.
22	Точки А и В лежат в плоскости а, а точка С не лежит в этой плос-
кости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрез-
ков АС и ВС, параллельна плоскости а.
23	Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите,
что прямая CD параллельна плоскости АВМ.
24	Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием АО.
Докажите, что прямая AD параллельна плоскости ВМС.
25	Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по кото-
рой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то
она параллельна этим плоскостям.
26	Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости а, а сторо-
ны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. До-
кажите, что треугольники АВС и MBN подобны.
Параллельность прямых
и плоскостей
27
28
29
Точка С лежит на отрезке АВ, причем
АВ : ВС = 4 : 3. Отрезок CD, равный 12 см,
параллелен плоскости а, проходящей через
точку В, Докажите, что прямая AD пересе-
кает плоскость а в некоторой точке Е, и
найдите отрезок BE.
На сторонах АВ и АС треугольника АВС
взяты соответственно точки D и Е так,
что длина отрезка DE равна 5 см и ^2.
DA 3
Плоскость а проходит через точки В и С
и параллельна отрезку DE. Найдите длину
отрезка ВС.
В трапеции ABCD основание ВС равно
12 см. Точка М не лежит в плоскости тра-
30
пеции, а точка К — середина отрезка ВМ.
Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой
точке Н, и найдите отрезок КН.
Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости а, а вер-
шина С лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD
трапеции лежит в плоскости а; б) средняя линия трапеции
параллельна плоскости а.
31	Плоскость а параллельна стороне ВС треугольника АВС и прохо-
дит через середину стороны АВ. Докажите, что плоскость а прохо-
дит также через середину стороны АС.
32	Плоскости а и Р пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллель-
на как плоскости а, так и плоскости р. Докажите, что прямые а
и АВ параллельны.
Решение
Через точку А проведем* прямую AM, параллельную прямой а
(рис. 18). Так как прямая а параллельна плоскостям а и р, то пря-
мая AM лежит как в плоскости а, так и в плоскости Р (п. 6,
утверждение 2°). Таким образом, AM — прямая, по которой пере-
секаются плоскости а и р, т. е. она совпадает с прямой АВ. Следо-
вательно, АВ || а.
33	Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну пря-
мую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересека-
ются, либо параллельны, либо имеют общую точку.
Выражения «проведем прямую», «проведем плоскость», разуме-
ется, не нужно понимать в буквальном смысле (ни прямую, ни
плоскость в пространстве мы не проводим). Эти слова означа-
ют, что указанная прямая или плоскость вводятся в рассмот-
рение.
Y ув Параллельность прямых
7 4 ц плоскостей
2
Взаимное расположение прямых
в пространстве.
Угол между двумя прямыми
7	Скрещивающиеся прямые
Если две прямые пересекаются или парал-
лельны, то они лежат в одной плоскости. Однако в про-
странстве две прямые могут быть расположены так,
что они не лежат в одной плоскости, т. е. не существу-
ет такой плоскости, которая проходит через обе эти
прямые. Ясно, что такие прямые не пересекаются и не
параллельны.
Определение
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат
в одной плоскости.
Наглядное представление о скрещиваю-
щихся прямых дают две дороги, одна из которых про-
ходит по эстакаде, а другая — под эстакадой (рис. 19).
Докажем теорему, которая выражает при-
знак скрещивающихся прямых.
Теорема
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоско-
сти, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке,
не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещи-
вающиеся.
Доказательство
Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плос-
кости а, и прямую СВ, пересекающую эту плоскость
в точке С, не лежащей на прямой АВ (рис. 20). Дока-
жем, что АВ и CD — скрещивающиеся прямые, т. е.
они не лежат в одной плоскости. Действительно, если
допустить, что прямые АВ и CD лежат в некоторой
плоскости р, то плоскость Р будет проходить через пря-
мую АВ и точку С и поэтому совпадет с плоскостью а.
Но это невозможно, так как прямая CD не лежит
в плоскости а. Теорема доказана.
Итак, возможны три случая взаимного рас-
положения двух прямых в пространстве:
а)	прямые пересекаются, т. е. имеют толь-
ко одну общую точку (рис. 21, а);
Рис. 20
Параллельность прямых
и плоскостей
15
а)	б)
Пересекающиеся прямые
Параллельные прямые
Скрещивающиеся прямые
Рис. 21
б)	прямые параллельны, т. е. лежат в одной
плоскости и не пересекаются (рис. 21, б);
в)	прямые скрещиваются, т. е. не лежат
в одной плоскости (рис. 21, в).
Докажем еще одну теорему о скрещиваю-
щихся прямых.
Теорема
Через каждую из двух скрещивающихся прямых про-
ходит плоскость, параллельная другой прямой, и при-
том только одна.
Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые АВ
и CD (рис. 22). Докажем, что через прямую АВ прохо-
дит плоскость, параллельная прямой CD, и такая
плоскость только одна.
Проведем через точку А прямую АЕ, парал-
лельную прямой CD, и обозначим буквой а плоскость,
проходящую через прямые АВ и АЕ. Так как пря-
мая CD не лежит в плоскости а и параллельна пря-
мой АЕ, лежащей в этой плоскости, то прямая CD
параллельна плоскости а.
Ясно, что плоскость а — единственная плос-
кость, проходящая через прямую АВ и параллельная
прямой CD. В самом деле, любая другая плоскость, про-
ходящая через прямую АВ, пересекается с прямой АЕ,
а значит, пересекается и с параллельной ей прямой CD.
Теорема доказана.
Наглядной иллюстрацией этой теоремы слу-
жат две дороги, одна из которых проходит по эстакаде,
а другая — под эстакадой (см. рис. 19). Нижняя доро-
га лежит в плоскости земли, параллельной дороге на
эстакаде. Ясно, что и через дорогу на эстакаде прохо-
дит плоскость, параллельная плоскости земли, а зна-
чит, параллельная нижней дороге.
Рис. 22
Параллельност ь прямых
и плоскостей
8	Углы с сонаправленными сторонами
Согласно одной из аксиом (см. приложе-
ние 2) любая прямая а, лежащая в плоскости, разделя-
ет эту плоскость на две части, называемые полуплоско-
стями (рис. 23). Прямая а называется границей каж-
дой из этих полуплоскостей. Любые две точки одной
и той же полуплоскости лежат по одну сторону от пря-
мой а, а любые две точки разных полуплоскостей — по
разные стороны от этой прямой (см. рис. 23).
Два луча ОА и не лежащие на одной
прямой, называются сонаправленными, если они па-
раллельны и лежат в одной полуплоскости с грани-
цей ООр Лучи ОА и ОХАХ, лежащие на одной прямой,
называются сонаправленными, если они совпадают
или один из них содержит другой. На рисунке 24 лучи
ОА и О^!, а также лучи А2В2 и О2В2 сонаправлены,
а лучи ОА и О2А2, ОА и О3А3, О2А2 и О2В2 не являются
сонаправленными (объясните почему). Докажем теоре-
му об углах с сонаправленными сторонами.
Теорема
Если стороны двух углов соответственно сонаправле-
ны, то такие углы равны.
Доказательство
Ограничимся рассмотрением случая, ко-
гда углы О и Ох с соответственно сонаправленными
сторонами лежат в разных плоскостях, и докажем,
что Z0 = Z0P
Отметим на сторонах угла О какие-нибудь
точки А и В и отложим на соответственных сторонах
угла Ох отрезки ОХАХ = ОА и ОХВХ = ОВ (рис. 25). Так
как лучи ОА и Ох А, сонаправлены и ОА = ОХАХ, то полу-
чится параллелограмм ОААХОХ и, следовательно,
ААХ || 00! и AAj = 00]. Аналогично получаем: ВВХ || 00,
и ВВХ = ООХ, Отсюда следует, что ААХ || ВВХ и ААХ = ВВХ,
а, значит, АВВХАХ — параллелограмм и АВ = АХВХ.
Сравним теперь треугольники АОВ и АХОХВХ.
Они равны по трем сторонам, и поэтому Z0 = ZOP
Теорема доказана.
Замечание
При доказательстве мы неявно воспользова-
лись тем, что отрезки АВ и АХВХ не пересекаются (в про-
тивном случае параллелограммом оказалась бы фигу-
ра АВХВАХ, а не AJ$BXAX). Докажем это. Допустим, что
отрезки АВ и АХВХ пересекаются. Тогда плоскости АОВ
и AJOXBX пересекаются по некоторой прямой а. Поскольку
ОА llOjAj, то ОА || АХОХВХ, поэтому а || ОА (см. п. 6).
Рис. 25
Паралл ел ьност ь прям ых
и плоскостей
Аналогично а || ОВ. Но этого не может быть, так как через
точку О проходит одна прямая, параллельная прямой а.
Следовательно, отрезки АВ и АХВХ не пересекаются.
9	Угол между прямыми
Любые две пересекающиеся прямые лежат
в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых
угла. Если известен один из этих углов, то можно най-
ти и другие три угла (рис. 26). Пусть а — тот из углов,
который не превосходит любого из трех остальных уг-
лов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися
прямыми равен а. Очевидно, 0° < а < 90°.
Введем теперь понятие угла между скрещи-
вающимися прямыми. Пусть АВ и CD — две скрещи-
вающиеся прямые (рис. 27, а). Через произвольную
точку Мх проведем прямые АХВХ и CXDU соответственно
параллельные прямым АВ и CD (рис. 27, б).
Если угол между прямыми АХВХ и CXDX ра-
вен <р, то будем говорить, что угол между скрещиваю-
щимися прямыми АВ и CD равен (р.
Докажем, что угол между скрещивающи-
мися прямыми не зависит от выбора точки
Действительно, возьмем любую другую точку М2 и
проведем через нее прямые А2В2 и C2D2, соответственно
параллельные прямым АВ и CD (см. рис. 27, б). Так
как АХВХ || А2В2, CxDx || C2D2 (объясните почему), то сто-
роны углов с вершинами Мх и М2 попарно сонаправ-
лены (на рис. 27, б такими углами являются Z.AXMXCX и
ZA2M2C2, ZAxMxDx и ZA2M2D2 и т. д.). Поэтому эти уг-
лы соответственно равны. Отсюда следует, что угол
между прямыми А2В2 и C2D2 также равен <р.
В качестве точки Мх можно взять любую
точку на одной из скрещивающихся прямых. На ри-
сунке 27, в на прямой CD отмечена точка М и через
нее проведена прямая А'В', параллельная АВ. Угол
между прямыми А'В' и CD также равен <р.
Вопросы и задачи
34 Точка D не лежит в плоскости треугольни-
ка АВС, точки М, N и Р — середины отрез-
ков DA, DB и DC соответственно, точка К
лежит на отрезке B7V. Выясните взаимное
расположение прямых: a) ND и АВ; б) РК
и ВС; в) MN и АВ; г) МР и АС; д) KN
и AC; е) MD и ВС.
35 Через точку М, не лежащую на прямой а,
проведены две прямые, не имеющие общих
Рис. 26
Рис. 27
ГТариллельность прямых
и плоскостей
18
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
точек с прямой а. Докажите, что по крайней мере одна из этих
прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми.
Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую Ь, параллель-
ную прямой а. Докажите, что b и с — скрещивающиеся прямые.
Прямая т пересекает сторону АВ треугольника АВС. Каково вза-
имное расположение прямых т и ВС, если: а) прямая т лежит
в плоскости АВС и не имеет общих точек с отрезком АС; б) пря-
мая т не лежит в плоскости АВС?
Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а, параллель-
ная диагонали BZ), а через вершину С — прямая Ь, не лежащая
в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые а и CD пересека-
ются; б) а и b — скрещивающиеся прямые.
Докажите, что если АВ и CD скрещивающиеся прямые, то AD и ВС
также скрещивающиеся прямые.
На скрещивающихся прямых а и b отмечены соответственно точки
М и N. Через прямую а и точку N проведена плоскость а, а через
прямую b и точку М — плоскость р. а) Лежит ли прямая b в плос-
кости а? б) Пересекаются ли плоскости аир? При положитель-
ном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются.
Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть парал-
лельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.
Даны параллелограмм ABCD и трапеция АВЕК с основанием ЕК, не
лежащие в одной плоскости, а) Выясните взаимное расположение
прямых CD и ЕК. б) Найдите периметр трапеции, если известно,
что в нее можно вписать окружность и АВ = 22,5 см, ЕК = 27,5 см.
Докажите, что середины сторон пространственного четырехуголь-
ника* являются вершинами параллелограмма.
Прямые ОВ и CD параллельные, а ОА и CD — скрещивающиеся
прямые. Найдите угол между прямыми ОА и CD, если:
a) ZAOB = 40°; б) ZAOB = 135°; в) ZAOB = 90°.
Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не ле-
жит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD — скре-
щивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из
углов параллелограмма равен: а) 50°; б) 121°.
Прямая т параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит
в плоскости ромба. Докажите, что: а) т и АС — скрещивающиеся
прямые — и найдите угол между ними; б) тп и AD — скрещиваю-
щиеся прямые — и найдите угол между ними, если угол АВС ра-
вен 128°.
В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD
равны. Докажите, что прямые АВ и CD образуют равные углы
с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD.
Четырехугольник называется пространственным, если его
вершины не лежат в одной плоскости.
Параллельность прямых
и плоскостей
s3
Параллельность плоскостей
10 Параллельные плоскости
Мы знаем, что если две плоскости имеют
общую точку, то они пересекаются по прямой (аксио-
ма А3). Отсюда следует, что две плоскости либо пересе-
каются по прямой (рис. 28, а), либо не пересекаются,
т. е. не имеют ни одной общей точки (рис. 28, б).
Определение
Две плоскости называются параллельными, если они не пересека-
ются.
Представление о параллельных плоскостях
дают пол и потолок комнаты, две противоположные
стены, поверхность стола и плоскость пола.
Параллельность плоскостей аир обозна-
чается так: а || р. Рассмотрим признак параллельности
двух плоскостей.
Теорема
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости со-
ответственно параллельны двум прямым другой плос-
кости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство
Рассмотрим две плоскости аир (рис. 29).
В плоскости а лежат пересекающиеся в точке М пря-
мые а и Ь, а в плоскости Р — прямые ах и Ь}9 причем
а || ах и b || Ьх. Докажем, что а || р. Прежде всего отме-
тим, что по признаку параллельности прямой и плоско-
сти а || Р и b || р.
Рис. 29
Плоскости аир пересекаются Плоскости аир параллельны
Рис. 28
Параллельность прямых
и плоскостей
20
Допустим, что плоскости а и р не парал-
лельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с.
Мы получили, что плоскость а проходит через пря-
мую а, параллельную плоскости р, и пересекает плос-
кость р по прямой с. Отсюда следует (по свойству 1°,
п. 6), что прямые а и с параллельны.
Но плоскость а проходит также через пря-
мую Ь, параллельную плоскости р. Поэтому b || с. Та-
ким образом, через точку М проходят две прямые а
и д, параллельные прямой с. Но это невозможно, так
как по теореме о параллельных прямых через точку М
проходит только одна прямая, параллельная прямой с.
Значит, наше допущение неверно и, следовательно,
а || р. Теорема доказана.
11 Свойства параллельных плоскостей
Рассмотрим два свойства параллельных
плоскостей.
1°. Если две параллельные плоскости пере-
сечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Наглядным подтверждением этого факта
служат линии пересечения пола и потолка со стеной
комнаты — эти линии параллельны.
Для доказательства данного свойства рас-
смотрим прямые а и Ь, по которым параллельные плос-
кости а и Р пересекаются с плоскостью у (рис. 30). До-
кажем, что прямые а и b параллельны. Эти прямые
лежат в одной плоскости (в плоскости у) и не пересе-
каются. В самом деле, если бы прямые а и b пересека-
лись, то плоскости а и Р имели бы общую точку, что
невозможно, так как эти плоскости параллельны.
Итак, прямые а и b лежат в одной плоско-
сти и не пересекаются, т. е. прямые а и b параллельны.
2°. Отрезки параллельных прямых, заклю-
ченные между параллельными плоскостями, равны.
Для доказательства этого свойства рассмот-
рим отрезки АВ и CD двух параллельных прямых, за-
ключенные между параллельными плоскостями а и Р
(рис. 31). Докажем, что АВ = CD, Плоскость у, прохо-
дящая через параллельные прямые АВ и CD, пересека-
ется с плоскостями а и р по параллельным прямым АС
и BD (свойство 1°). Таким образом, в четырехугольни-
ке ABDC противоположные стороны попарно парал-
лельны, т. е. ABDC — параллелограмм. Но в парал-
лелограмме противоположные стороны равны, поэтому
отрезки АВ и CD равны.
Параллельность прямых
и плоскостей
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
Вопросы и задачи
Укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной
обстановки.
Прямая пг пересекает плоскость а в точке В. Существует ли плос-
кость, проходящая через прямую т и параллельная плоскости а?
Плоскости а и Р параллельны, прямая т лежит в плоскости а.
Докажите, что прямая т параллельна плоскости р.
Докажите, что плоскости а и Р параллельны, если две пересекаю-
щиеся прямые тип плоскости а параллельны плоскости р.
Две стороны треугольника параллельны плоскости а. Докажите,
что и третья сторона параллельна плоскости а.
Три отрезка А]А2, ВХВ2 и СХС2, не лежащие в одной плоскости, име-
ют общую середину. Докажите, что плоскости АХВХСХ и А2В2С2 па-
раллельны.
Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N
и Р — середины отрезков ВА, ВС и BD соответственно.
а)	Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны.
б)	Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треуголь-
ника ADC равна 48 см2.
Докажите, что если прямая а пересекает плоскость а, то она пе-
ресекает также любую плоскость, параллельную данной плоско-
сти а.
Решение
Рассмотрим произвольную плоскость р, параллельную плоско-
сти а. Через какую-нибудь точку В плоскости р проведем пря-
мую д, параллельную прямой а.
Так как прямая а пересекает плоскость а, то прямая b также пере-
секает эту плоскость. Следовательно, прямая b пересекает плос-
кость р (а не лежит в ней). Поэтому прямая а также пересекает
плоскость р.
Плоскости а и Р параллельны, А — точка плоскости а. Докажите,
что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная
плоскости р, лежит в плоскости а.
Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей.
Докажите, что прямая а либо параллельна другой плоскости, либо
лежит в ней.
Докажите, что если плоскость у пересекает одну из параллельных
плоскостей а и р, то она пересекает и другую плоскость.
Решение
Пусть плоскость у пересекает плоскость а по прямой а. Докажем,
что плоскость у пересекает также плоскость р. Проведем в плоско-
сти у прямую Ь, пересекающую прямую а. Прямая b пересекает
плоскость а, поэтому она пересекает и параллельную ей плос-
кость Р (задача 55). Следовательно, и плоскость у, в которой лежит
прямая Ь, пересекает плоскость р.
1Iараллельность прямых
и плоскостей
59 Докажите, что через точку А, не лежа-
щую в плоскости а, проходит плоскость,
параллельная плоскости а, и притом толь-
ко одна.
Решение
Проведем в плоскости а две пересекающие-
ся прямые а и 5, а через точку А проведем
прямые ах и соответственно параллель-
ные прямым а и Ь. Рассмотрим плос-
кость р, проходящую через прямые ах и Ьх.
Плоскость Р — искомая, так как она про-
ходит через точку А и по признаку парал-
лельности двух плоскостей параллельна
плоскости а.
Докажем теперь, что Р — единственная плоскость, проходящая
через данную точку А и параллельная плоскости а. В самом деле,
любая другая плоскость, проходящая через точку А, пересекает
плоскость р, поэтому пересекает и параллельную ей плоскость а
(задача 58).
60	Две плоскости аир параллельны плоскости у. Докажите, что
плоскости а и Р параллельны.
61	Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежа-
щая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А про-
ходит плоскость, параллельная прямым а и 5, и притом только
одна.
62	Для проверки горизонтальности установки диска угломерных ин-
струментов пользуются двумя уровнями, расположенными в пло-
скости диска на пересекающихся прямых. Почему уровни нельзя
располагать на параллельных прямых?
63	Параллельные плоскости аир пересекают сторону АВ угла ВАС
соответственно в точках Ах и А2, а сторону АС этого уг-
ла — соответственно в точках Вх и В2. Найдите: а) АА2 и АВ2, если
AjA2 = 2АХА = 12 см, АВХ = 5 см; б) А2В2 и АА2, если АХВХ = 18 см,
AAj = 24 см, АА2 AjA2.
64	Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной
плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках
Ап Вх и Сп а другую — в точках А2, В2 и С2. Докажите, что тре-
угольники AjBiCj и А2В2С2 подобны.
65	Параллельные отрезки АХА2, ВХВ2 и СХС2 заключены между парал-
лельными плоскостями а и Р (рис. 32).
а) Определите вид четырехугольников АХВХВ2А2, ВХСХС2В2 и АХСХС2А2.
б) Докажите, что ДАХВХСХ = ДА2В2С2.
П арил л ел ьност ь прям ы х
и плоскостей
4
Тетраэдр и параллелепипед
12 Тетраэдр
Одна из глав нашего курса будет посвящена
многогранникам — поверхностям геометрических тел,
составленным из многоугольников. Но еще до подробно-
го изучения многогранников мы познакомимся с двумя
из них — тетраэдром и параллелепипедом. Это даст
нам возможность проиллюстрировать понятия, связан-
ные со взаимным расположением прямых и плоскостей,
на примере двух важных геометрических тел.
Прежде чем ввести понятия тетраэдра и па-
раллелепипеда, вспомним, что мы понимали под мно-
гоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рас-
сматривали либо как замкнутую линию без самопере-
сечений, составленную из отрезков (рис. 33, а), либо
как часть плоскости, ограниченную этой линией,
включая ее саму (рис. 33, б). При рассмотрении по-
верхностей и тел в пространстве будем пользоваться
вторым толкованием многоугольника. При таком тол-
ковании любой многоугольник в пространстве пред-
ставляет собой плоскую поверхность.
Перейдем теперь к определению тетраэдра.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС
и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольни-
ка. Соединив точку D отрезками с вершинами тре-
угольника АВС, получим треугольники DAB, DBC
и DCA. Поверхность, составленная из четырех тре-
угольников ABC, DAB, DBC и DCA, называется тетра-
эдром и обозначается так: DABC (рис. 34).
Треугольники, из которых состоит тетраэдр,
называются гранями, их стороны — ребрами, а верши-
ны — вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет четыре
грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетра-
эдра, не имеющие общих вершин, называются противо-
положными. На рисунке 34 противоположными явля-
ются ребра AD и ВС, BD и AC, CD и АВ. Иногда выделя-
ют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием,
а три другие — боковыми гранями.
Тетраэдр изображается обычно так, как по-
казано на рисунках 34 и 35, т. е. в виде выпуклого или
невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При
24
Многоугольник ABODE —
фигура, составленная из
отрезков
Многоугольник ABODE —
часть плоскости, ограни-
ченная линией ABODE
Рис. 33
Рис. 34
Параллельность прямых
и плоскостей
этом штриховыми линиями изображаются невидимые
ребра. На рисунке 34 невидимым является только реб-
ро АС, а на рисунке 35 — ребра ЕК, KF и KL.
13 Параллелепипед
Рассмотрим два равных параллелограмма
ABCD и AXBXCXDX, расположенных в параллельных
плоскостях так, что отрезки ААИ ВВП ССХ и DDX па-
раллельны (рис. 36, а). Четырехугольники
АВВХАХ, ВССХВХ, CDDXCX, DAAXDX (1)
также являются параллелограммами, так как каждый
из них имеет попарно параллельные противоположные
стороны, например, в четырехугольнике АВВХАХ сторо-
ны AAj и ВВХ параллельны по условию, а стороны АВ
и AjBj — по свойству линий пересечения двух парал-
лельных плоскостей третьей (свойство 1°, п. 11). Поверх-
ность, составленная из двух равных параллелограммов
ABCD и AXBXCXDX и четырех параллелограммов (1), на-
зывается параллелепипедом и обозначается так:
ABCDAXBXCXDX.
Параллелограммы, из которых составлен
параллелепипед, называются гранями, их стороны —
ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами
параллелепипеда. Параллелепипед имеет шесть гра-
ней, двенадцать ребер и восемь вершин. Две грани па-
раллелепипеда, имеющие общее ребро, называются
смежными, а не имеющие общих ребер — противопо-
ложными. На рисунке 36, б противоположными явля-
ются грани ABCD и AXBXCXDX, АВВХАХ и DCCXDX,
ADDXAX и ВССХВХ. Две вершины, не принадлежащие
одной грани, называются противоположными. Отре-
зок, соединяющий противоположные вершины, назы-
вается диагональю параллелепипеда. Каждый парал-
лелепипед имеет четыре диагонали. На рисунке 36, б
диагоналями являются отрезки АСХ, BDX, САХ и DBX.
Часто выделяют какие-нибудь две противо-
положные грани и называют их основаниями, а осталь-
ные грани — боковыми гранями параллелепипеда.
Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основа-
ниям, называются боковыми ребрами. Так, если в ка-
честве оснований выбрать грани ABCD и AXBXCXDX, то
боковыми гранями будут параллелограммы (1), а боко-
выми ребрами — отрезки ААИ ВВХ, ССХ и DDX.
Параллелепипед изображается обычно так,
как показано на рисунке 36, б. При этом изображениями
Рис. 36
Параллельность прямых
и плоскостей
25
граней являются параллелограммы; невидимые ребра
и другие невидимые отрезки, например диагонали,
изображаются штриховыми линиями*.
Рассмотрим два свойства параллелепипеда.
1°. Противоположные грани параллелепи-
педа параллельны** и равны.
Докажем, например, параллельность и ра-
венство граней АВВХАХ и DCCXDX параллелепипеда
ABCDAXBXCXDX (рис. 37, а). Так как ABCD и ADDXAX —
параллелограммы, то АВ || DC и ААХ || DDX. Таким обра-
зом, две пересекающиеся прямые АВ и ААХ одной гра-
ни соответственно параллельны двум пересекающимся
прямым CD и DDX другой грани. Отсюда по признаку
параллельности плоскостей следует, что грани АВВХАХ
и DCCXDX параллельны.
Докажем теперь равенство этих граней. Так
как все грани параллелепипеда — параллелограммы,
то АВ = DC и ААХ = DDX. По этой же причине стороны
углов АХАВ и DXDC соответственно сонаправлены, и,
значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные
стороны и угол между ними параллелограмма АВВХАХ
соответственно равны двум смежным сторонам и углу
между ними параллелограмма DCCXDX, поэтому эти па-
раллелограммы равны.
2°. Диагонали параллелепипеда пересека-
ются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Чтобы доказать это свойство, рассмотрим
четырехугольник AXDXCB, диагонали которого АХС и DXB
являются диагоналями параллелепипеда ABCDAXBXCXDX
(см. рис. 37, а). Так как AXDX || ВС и AXDX = ВС (объяс-
ните почему), то AXDXCB — параллелограмм. Поэтому
диагонали АХС и DXB пересекаются в некоторой точке О
и этой точкой делятся пополам.
Далее рассмотрим четырехугольник ADXCXB
(рис. 37, б). Он также является параллелограммом (до-
кажите это), и, следовательно, его диагонали АС! и DXB
пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Но серединой диагонали DXB является точка О. Таким
е)
Рис. 37
* Более подробно об изображении пространственных фигур на
плоскости, в частности параллелепипеда, рассказано в прило-
жении 1.
Две грани параллелепипеда называются параллельными, если
их плоскости параллельны.
Параллельность прямых
и плоскостей
образом, диагонали АХС, D}B и АСХ пересекаются в точ-
ке О и делятся этой точкой пополам.
Наконец, рассматривая четырехугольник
A}BXCD (рис. 37, в), точно так же устанавливаем, что
и четвертая диагональ DB} параллелепипеда проходит
через точку О и делится ею пополам.
14 Задачи на построение сечений
Для решения многих геометрических задач,
связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно
уметь строить на рисунке их сечения различными
плоскостями. Уточним, что понимается под сечением
тетраэдра или параллелепипеда. Назовем секущей
плоскостью тетраэдра (параллелепипеда) любую плос-
кость, по обе стороны от которой имеются точки данно-
го тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость
пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по от-
резкам. Многоугольник, сторонами которого являются
эти отрезки, называется сечением тетраэдра (паралле-
лепипеда). Так как тетраэдр имеет четыре грани, то
его сечениями могут быть только треугольники и четы-
рехугольники (рис. 38). Параллелепипед имеет шесть
граней. Его сечениями могут быть треугольники, четы-
рехугольники (рис. 39, а), пятиугольники (рис. 39, б)
и шестиугольники (рис. 39, в).
При построении сечений параллелепипеда
на рисунке следует учитывать тот факт, что если се-
кущая плоскость пересекает две противоположные
грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки парал-
лельны (свойство 1°, п. 11). Так, на рисунке 39, б се-
кущая плоскость пересекает две противоположные
грани (левую и правую) по отрезкам АВ и CD, а две
другие противоположные грани (переднюю и зад-
нюю) — по отрезкам АЕ и ВС, поэтому АВ || CD
и АЕ || ВС. По той же причине на рисунке 39, в
АВ || ED, AF || CD, ВС || EF. Отметим также, что для
построения сечения достаточно построить точки пере-
сечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (па-
раллелепипеда), после чего остается провести отрез-
ки, соединяющие каждые две построенные точки, ле-
жащие в одной и той же грани.
Рассмотрим примеры построения различ-
ных сечений тетраэдра и параллелепипеда.
Задача 1
На ребрах АВ, BD и CD тетраэдра ABCD от-
мечены точки М, N и Р (рис. 40, а). Построить сечение
тетраэдра плоскостью MNP.
Параллельность прямых
и плоскостей
Решение
Построим сначала прямую, по которой плос-
кость MNP пересекается с плоскостью грани АВС. Точ-
ка М является общей точкой этих плоскостей. Для по-
строения еще одной общей точки продолжим отрезки NP
и ВС до их пересечения в точке Е (рис. 40, 6), которая
и будет второй общей точкой плоскостей MNP и АВС.
Следовательно, эти плоскости пересекаются по пря-
мой ME. Прямая ME пересекает ребро АС в некоторой
точке Q. Четырехугольник MNPQ — искомое сечение.
Если прямые NP и ВС параллельны
(рис. 40, в), то прямая NP параллельна грани АВС, поэто-
му плоскость MNP пересекает эту грань по прямой ME',
параллельной прямой NP. Точка Q, как и в первом слу-
чае, есть точка пересечения ребра АС с прямой ME'.
Задача 2
Точка М лежит на боковой грани ADB тет-
раэдра DABC (рис. 41, а). Построить сечение тетраэдра
плоскостью, проходящей через точку М параллельно
основанию АВС.
Решение
Так как секущая плоскость параллельна
плоскости АВС, то она параллельна прямым АВ, ВС
и СА. Следовательно, секущая плоскость пересекает бо-
ковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сто-
ронам треугольника АВС (п. 6, утверждение 1°). Отсю-
да вытекает следующий способ построения искомого
сечения. Проведем через точку М прямую, параллель-
ную отрезку АВ, и обозначим буквами Р и Q точки
пересечения этой прямой с боковыми ребрами DA и DB
(рис. 41, б). Затем через точку Р проведем прямую, па-
раллельную отрезку АС, и обозначим буквой R точку
пересечения этой прямой с ребром DC. Треуголь-
ник PQR — искомое сечение.
Задача 3
На ребрах параллелепипеда даны три точ-
ки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда
плоскостью АВС.
Решение
Построение искомого сечения зависит от то-
го, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки А, В
и С. Рассмотрим некоторые частные случаи. Если точ-
ки А, В и С лежат на ребрах, выходящих из одной вер-
шины (см. рис. 39, а), нужно провести отрезки АВ, ВС
и СА, и получится искомое сечение — треуголь-
ник АВС. Если точки А, В и С расположены так, как
а)
б)
Параллельность прямых
и плоскостей
28
показано на рисунке 39, б, то сначала нужно провести
отрезки АВ и ВС, а затем через точку А провести пря-
мую, параллельную ВС, а через точку С — прямую,
параллельную АВ. Пересечения этих прямых с ребра-
ми нижней грани дают точки Е и D. Остается прове-
сти отрезок ED, и искомое сечение — пятиугольник
ABCDE — построено.
Более трудный случай, когда данные точ-
ки А, В и С расположены так, как показано на рисун-
ке 39, в. В этом случае можно поступить так. Сначала
построим прямую, по которой секущая плоскость пере-
секается с плоскостью нижнего основания. Для этого
проведем прямую АВ и продолжим нижнее ребро, ле-
жащее в той же грани, что и прямая АВ, до пересече-
ния с этой прямой в точке М. Далее через точку М
проведем прямую, параллельную прямой ВС. Это
и есть прямая, по которой секущая плоскость пересе-
кается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая
пересекается с ребрами нижнего основания в точках Е
и F. Затем через точку Е проведем прямую, парал-
лельную прямой АВ, и получим точку D. Наконец,
проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение —
шестиугольник ABCDEF — построено.
Рис. 41
«Задачи
66	Назовите все пары скрещивающихся (т. е. принадлежащих скре-
щивающимся прямым) ребер тетраэдра ABCD. Сколько таких пар
ребер имеет тетраэдр?
67	В тетраэдре DABC дано: ZABB = 54°, ABDC = 72°, ZCDA = 90°,
DA = 20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) ребра основания
АВС данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней.
68	Точки М и N — середины ребер АВ и АС тетраэдра ABCD. Дока-
жите, что прямая MN параллельна плоскости BCD.
69	Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плос-
кость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересе-
кает грани SAB и SBC по параллельным прямым.
70	Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ,
АС и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD.
71	Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC и ВС отметьте соот-
ветственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения: а) пря-
мой MN и плоскости АВС; б) прямой KN и плоскости ABD.
72	Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра
плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости
грани АВС, если: а) точка М является серединой ребра AD;
б) точка М лежит внутри грани ABD.
73	В тетраэдре ABCD точки М, N и Р являются серединами ребер АВ,
ВС и CD, АС = 10 см, BD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP
Параллельность прямых
и плоскостей
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
проходит через середину К ребра AD,
и найдите периметр четырехугольника,
полученного при пересечении тетраэдра
с плоскостью MNP.
Через точку пересечения медиан грани
BCD тетраэдра ABCD проведена пло-
скость, параллельная грани АВС. а) До-
кажите, что сечение тетраэдра этой пло-
скостью есть треугольник, подобный тре-
угольнику АВС. б) Найдите отношение
площадей сечения и треугольника АВС.
Изобразите тетраэдр KLMN. а) Построй-
те сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через реб-
ро KL и середину А ребра MN. б) Докажите, что плоскость, прохо-
дящая через середины Е, О и F отрезков LM, МА и МК, парал-
лельна плоскости LKA. Найдите площадь треугольника EOF, если
площадь треугольника LKA равна 24 см2.
Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Докажите, что АС || АХСХ
и BD || BXDX.
Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDAXBXCXDX равна 120 см.
Найдите каждое ребро параллелепипеда, если |,	|.
На рисунке 42 изображен параллелепипед ABCDAXBXCXDX, на реб-
рах которого отмечены точки М, N, Мх и Nj так, что AM = CN =
= АХМХ = CXNX. Докажите, что MBNDMXBXNXDX — параллелепипед.
Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его сече-
ние: а) плоскостью АВСХ; б) плоскостью АССХ. Докажите, что по-
строенные сечения являются параллелограммами.
Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его сече-
ния плоскостями АВСХ и DCBX, а также отрезок, по которому эти
сечения пересекаются.
Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и отметьте точки М
и N соответственно на ребрах ВВХ и ССХ. Постройте точку
пересечения: а) прямой MN с плоскостью АВС; б) прямой AM
с плоскостью АХВХСХ.
Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и отметьте внутрен-
нюю точку М грани ААХВХВ. Постройте сечение параллелепипеда,
проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания
ABCD; б) грани ВВХСХС; в) плоскости BDDX.
Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его сече-
ние плоскостью, проходящей через: а) ребро ССХ и точку пересече-
ния диагоналей грани AAxDxD-9 б) точку пересечения диагоналей
грани ABCD параллельно плоскости АВХСХ.
Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его сече-
ние плоскостью, проходящей через точки Вх, Dx и середину реб-
ра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.
Параллельность прямых
и плоскостей
85
86
87
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его сече-
ние плоскостью BKL. где точка К — середина ребра ААХ, а точ-
ка L — середина ребра ССР Докажите, что построенное сечение —
параллелограмм.
Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его сечение
плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллель-
но диагонали BDX. Докажите, что если основание параллелепипе-
да — ромб и углы АВВХ и СВВХ прямые, то построенное сечение —
равнобедренный треугольник.
Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его сече-
ние плоскостью MNK. где точки М, N и К лежат соответственно
на ребрах: a) BBn AAU AD\ б) ССР АО, ВВИ
Вопросы к главе I
Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то
они параллельны?
Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекаю-
щих прямую а, проходит через точку М? Сколько из этих прямых
параллельны прямой а?
Прямые а и с параллельны, а прямые а и Ь пересекаются. Могут
ли прямые Ь и с быть параллельными?
Прямая а параллельна плоскости а. Верно ли, что эта прямая:
а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости а;
б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости а;
в) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости а?
Прямая а параллельна плоскости а. Сколько прямых, лежащих
в плоскости а, параллельны прямой а? Параллельны ли друг дру-
гу эти прямые, лежащие в плоскости а?
Прямая а пересекает плоскость а. Лежит ли в плоскости а хоть
одна прямая, параллельная а?
Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плос-
кости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна
этой плоскости?
Верно ли утверждение: если две прямые параллельны некоторой
плоскости, то они параллельны друг другу?
Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти пря-
мые: а) пересекаться; б) быть скрещивающимися?
Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными
прямой с?
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости а. Параллель-
ны ли плоскость а и плоскость трапеции?
Две стороны параллелограмма параллельны плоскости а. Парал-
лельны ли плоскость а и плоскость параллелограмма?
Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключенные
между параллельными плоскостями?
Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые?
Параллельность прямых
а плоскостей
15
16
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна
грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы;
в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число
всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?
Какие многоугольники могут получиться в сечении: а) тетраэдра;
б) параллелепипеда?
Дополнительные задачи
Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость а в точках А
и В. Точки С и D лежат по одну сторону от плоскости а, АС = 8 см,
BD = 6 см, АВ = 4 см. а) Докажите, что прямая CD пересекает
плоскость а в некоторой точке Е. б) Найдите отрезок BE.
Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Медианы треуголь-
ников АВС и CBD пересекаются соответственно в точках Мх и М2.
Докажите, что отрезки AD и МХМ2 параллельны.
Вершины А и В трапеции ABCD лежат в плоскости а, а вершины С
и D не лежат в этой плоскости. Как расположена прямая CD отно-
сительно плоскости а, если отрезок АВ является: а) основанием
трапеции; б) боковой стороной трапеции?
Через каждую из двух параллельных прямых а и b и точку М, не
лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Дока-
жите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной
прямым а и Ь.
Плоскость а и прямая а параллельны прямой Ь. Докажите, что
прямая а либо параллельна плоскости а, либо лежит в ней.
Прямые а и Ь параллельны. Через точку М прямой а проведена
прямая MN, отличная от прямой а и не пересекающая прямую Ь.
Каково взаимное расположение прямых MN и Ь?
Даны две скрещивающиеся прямые и точка В, не лежащая на
этих прямых. Пересекаются ли плоскости, каждая из которых
проходит через одну из прямых и точку В? Ответ обоснуйте.
Прямая а параллельна плоскости а. Докажите, что если пло-
скость р пересекает прямую а, то она пересекает и плоскость а.
Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные меж-
ду плоскостью и параллельной ей прямой, равны.
Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторона-
ми либо равны, либо их сумма равна 180°.
Прямая а параллельна плоскости а. Существует ли плоскость,
проходящая через прямую а и параллельная плоскости а? Если
существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.
Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых
двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные от-
резки.
Даны две скрещивающиеся прямые и точка А. Докажите, что че-
рез точку А проходит, и притом только одна, плоскость, которая
либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из
них и параллельна другой.
П ара л л ел ьност ь прям ых
и плоскостей
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Докажите, что отрезки, соединяющие середины противополож-
ных ребер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся
пополам.
Докажите, что плоскость а, проходящая через середины двух ре-
бер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основа-
нию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и
площадь сечения тетраэдра плоскостью а, если длины всех ребер
тетраэдра равны 20 см.
На ребрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отмечены точки М, N и Р
так, что DM : МА = DN : NB - DP : PC. Докажите, что плоско-
сти MNP и АВС параллельны. Найдите площадь треугольни-
ка MNP, если площадь треугольника АВС равна 10 см2 и
DM : МА = 2 : 1.
Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. По-
стройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М
параллельно прямым АС и BD.
Изобразите тетраэдр DABC и отметьте точки М и N на ребрах BD
и CD и внутреннюю точку К грани АВС. Постройте сечение тетра-
эдра плоскостью MNK.
Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точку К на ребре DC и точ-
ки М и N граней АВС и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоско-
стью MNK.
Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. По-
стройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М
параллельно грани BDC.
В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересе-
кают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках Ах, Вх и СР До-
кажите, что отрезки ААХ, ВВХ и ССХ пересекаются в одной точке.
Две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра
параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, пересекаются
по прямой а. Докажите, что прямая а параллельна боковым реб-
рам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.
Докажите, что в параллелепипеде ABCDAXBXCXD} плоскость AXDB
параллельна плоскости DXCB}.
Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ре-
бер, имеющих общую вершину.
Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепи-
педа равна сумме квадратов двенадцати его ребер.
По какой прямой пересекаются плоскости сечений AXBCDX
и BDD}B} параллелепипеда ABCDAXBXCXDX?
Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и отметьте на ребре АВ
точку М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, прохо-
дящей через точку М параллельно плоскости АСС}.
Точка М лежит на ребре ВС параллелепипеда ABCDAXBXCXDX. По-
стройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей
через точку М параллельно плоскости BDCX.
лл Параллельность прямых
ЛЗ и плоскостей
2 — Л. С. Атанасян
Глава II
Перпендикулярность прямых
и плоскостей
Перпендикулярность прямой
и плоскости
15 Перпендикулярные прямые
в пространстве
Две прямые в пространстве называются пер-
пендикулярными (взаимно перпендикулярными), если
угол между ними равен 90°. Перпендикулярность пря-
мых а и b обозначается так: alb. Перпендикулярные
прямые могут пересекаться и могут быть скрещиваю-
щимися. На рисунке 43 перпендикулярные прямые а
и b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с
скрещивающиеся. Докажем лемму о перпендикулярно-
сти двух параллельных прямых к третьей прямой.
Лемма
с
Рис. 43
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к треть-
ей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
▼ Доказательство
Пусть а || b и а ± с. Докажем, что b ± с. Че-
рез произвольную точку М пространства, не лежащую
на данных прямых, проведем прямые МА и МС, парал-
лельные соответственно прямым а и с (рис. 44). Так
как а ± с, то ZA/WC = 90°.
По условию b || а, а по построению а || МА,
поэтому Ь || МА. Итак, прямые b и с параллельны соот-
ветственно прямым МА и МС, угол между которыми
равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с
также равен 90°, т. е. b ± с. Лемма доказана.
а
b
Рис. 44
16	11араллельные прямые, перпендикулярные
к плоскости
Определение
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она пер-
пендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
34
Перпендикулярность прямой а и плоскости а
обозначается так: а 1 а. Говорят также, что плоскость а
перпендикулярна к прямой а.
Если прямая а перпендикулярна к плоско-
сти а, то она пересекает эту плоскость. В самом деле,
если бы прямая а не пересекала плоскость а, то она
или лежала бы в этой плоскости, или была бы парал-
лельна ей. Но тогда в плоскости а имелись бы прямые,
не перпендикулярные к прямой а, например прямые,
параллельные ей, что противоречит определению пер-
пендикулярности прямой и плоскости. Значит, пря-
мая а пересекает плоскость а.
На рисунке 45 изображена прямая а, пер-
пендикулярная к плоскости а.
Окружающая нас обстановка дает много
примеров, иллюстрирующих перпендикулярность пря-
мой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб
стоит прямо, т. е. перпендикулярно к плоскости зем-
ли. Так же расположены колонны здания по отноше-
нию к плоскости фундамента, линии пересечения стен
по отношению к плоскости пола и т. д.
Докажем две теоремы, в которых устанав-
ливается связь между параллельностью прямых и их
перпендикулярностью к плоскости.
Рис. 45
Теорема
Если одна из двух параллельных прямых перпенди-
кулярна к плоскости, то и другая прямая перпендику-
лярна к этой плоскости.
Доказательство
Рассмотрим две параллельные прямые а и а}
и плоскость а, такую, что ala. Докажем, что и аг 1 а.
Проведем какую-нибудь прямую х в плос-
кости а (рис. 46). Так как ala, то a 1 х. По лемме
о перпендикулярности двух параллельных прямых
к третьей ах 1 х. Таким образом, прямая ах перпенди-
кулярна к любой прямой, лежащей в плоскости а,
т. е. ах 1 а. Теорема доказана.
Докажем обратную теорему.
Теорема
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то
они параллельны.
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
2*
Доказательство
Рассмотрим прямые а и 6, перпендикуляр-
ные к плоскости а (рис. 47, а). Докажем, что а || Ь.
Через какую-нибудь точку М прямой Ъ про-
ведем прямую параллельную прямой а. По предыду-
щей теореме ± а. Докажем, что прямая Ьх совпадает
с прямой Ь. Тем самым будет доказано, что а || Ь. Допу-
стим, что прямые b и Ьх не совпадают. Тогда в плоскости р,
содержащей прямые b и д,, через точку М проходят две
прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пе-
ресекаются плоскости аир (рис. 47, б). Но это невоз-
можно, следовательно, а || Ь. Теорема доказана.
17	Признак перпендикулярности прямой
и плоскости
Как проверить, перпендикулярна ли данная
прямая к данной плоскости? Этот вопрос имеет практи-
ческое значение, например, при установке мачт, колонн
зданий и т. д., которые нужно поставить прямо, т. е.
перпендикулярно к той плоскости, на которую они ста-
вятся. Оказывается, что для этого нет надобности прове-
рять перпендикулярность по отношению к любой пря-
мой, как о том говорится в определении, а достаточно
проверить перпендикулярность лишь к двум пересекаю-
щимся прямым, лежащим в плоскости. Это вытекает из
следующей теоремы, выражающей признак перпендику-
лярности прямой и плоскости.
Рис. 47
Теорема
Бели прямая перпендикулярна к двум пересекающим-
ся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендику-
лярна к этой плоскости.
Доказательство
Рассмотрим прямую а, которая перпенди-
кулярна к прямым р и <7, лежащим в плоскости а и пе-
ресекающимся в точке О (рис. 48, а). Докажем, что
а ± а. Для этого нужно доказать, что прямая а перпен-
дикулярна к произвольной прямой тп плоскости а.
Рассмотрим сначала случай, когда пря-
мая а проходит через точку О (рис. 48, б). Проведем
через точку О прямую /, параллельную прямой т (если
прямая т проходит через точку О, то в качестве I возь-
мем саму прямую т). Отметим на прямой а точки А
и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ,
и проведем в плоскости а прямую, пересекающую пря-
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
36
мые р, q и I соответственно в точках Р, Q и L. Будем
считать для определенности, что точка Q лежит между
точками Р и L (рис. 48, б).
Так как прямые р и q — серединные пер-
пендикуляры к отрезку АВ, то АР = ВР и AQ = BQ.
Следовательно, AAPQ = &BPQ по трем сторонам. По-
этому ZAPQ = ZBPQ.
Сравним треугольники APL и BPL. Они равны
по двум сторонам и углу между ними (АР = BP, PL — об-
щая сторона, Z.APL = Z.BPL), поэтому AL - BL. Но это
означает, что треугольник ABL равнобедренный и его меди-
ана LO является высотой, т. е. I ± а. Так как 11| т и 11 а, то
т 1 а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных
прямых к третьей). Итак, прямая а перпендикулярна к лю-
бой прямой т плоскости а, т. е. а 1 а.
Рассмотрим теперь случай, когда прямая а
не проходит через точку О. Проведем через точку О
прямую параллельную прямой а. По упомянутой
лемме ах ± р и ах 1 д, поэтому по доказанному в первом
случае ах 1 а. Отсюда (по первой теореме п. 16) следу-
ет, что о 1 а. Теорема доказана.
Воспользуемся признаком перпендикуляр-
ности прямой и плоскости для решения следую-
щей задачи.
Задача
Доказать, что через любую точку простран-
ства проходит плоскость, перпендикулярная к дан-
ной прямой.
Решение
Обозначим данную прямую буквой а, а про-
извольную точку пространства — буквой М. Докажем,
что существует плоскость, проходящая через точку М
и перпендикулярная к прямой а.
Проведем через прямую а две плоскости а
и р так, чтобы М е а (рис. 49)*. В плоскости а через
точку М проведем прямую р, перпендикулярную
к прямой а, а в плоскости 0 через точку пересечения
прямых р и а проведем прямую q, перпендикулярную
к прямой а. Рассмотрим плоскость у, проходящую че-
рез прямые р и q. Плоскость у является искомой, так
как прямая а перпендикулярна к двум пересекающим-
ся прямым р и q этой плоскости.
Рис. 48
Рис. 49
На рисунке 49 изображен тот случай, когда точка М не лежит
на прямой а. Однако приведенное решение задачи пригодно
и для того случая, когда точка М лежит на прямой а.
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
37
Замечание
Можно доказать, что у — единственная плос-
кость, проходящая через точку М и перпендикулярная
к прямой а (задача 133).
18	Теорема о прямой, перпендикулярной
к плоскости
Теорема
Через любую точку пространства проходит прямая,
перпендикулярная к данной плоскости, и притом толь-
ко одна.
Доказательство
Данную плоскость обозначим а, а произ-
вольную точку пространства — буквой М. Докажем,
что: 1) через точку М проходит прямая, перпенди-
кулярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна.
1) Проведем в плоскости а произвольную
прямую а и рассмотрим плоскость р, проходящую че-
рез точку М и перпендикулярную к прямой а (рис. 50).
Обозначим буквой Ь прямую, по которой пересекаются
плоскости а и р. В плоскости Р через точку М проведем
прямую с, перпендикулярную к прямой Ь. Прямая с
и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендику-
лярна к плоскости а, так как перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым этой плоскости (с ± b по по-
строению и с 1 а, так как р ± а).
2) Предположим, что через точку М прохо-
дит еще одна прямая (обозначим ее через q), перпенди-
кулярная к плоскости а. Тогда (по обратной теореме
п. 16)	|| с, что невозможно, так как прямые сх и с
пересекаются в точке М. Таким образом, через точ-
ку М проходит только одна прямая, перпендикулярная
к плоскости а. Теорема доказана.
Задачи
116	Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Докажите, что:
a)	DC 1 ВХСХ и АВ ± AXDX, если ABAD = 90°;
б)	АВ 1 ССХ и DDX 1А}ВУ если АВ ± DDX.
117	В тетраэдре ABCD ВС LAD. Докажите, что ADLMN, где М
nN — середины ребер АВ и АС.
118	Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости а,
а точки О, В, С и D лежат в плоскости а. Какие из следующих
углов являются прямыми: ZAOB, ZMOC, ZPAM, ZBOA, АВМОЧ
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
Прямая ОА перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О являет-
ся серединой отрезка AD. Докажите, что: а) АВ = DB\ б) АВ = АС,
если ОВ = ОС; в) ОВ = ОС, если АВ = АС.
Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого
равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости
квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата,
если ОК = Ь.
В треугольнике АВС дано: ZC = 90°, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ — ме-
диана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная
к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ.
Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треуголь-
ника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК,
параллельная прямой CD. Известно, что АВ 16\ 3 см, ОК = 12 см,
CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и К до вершин А и В
треугольника.
Докажите, что если две плоскости аир перпендикулярны к пря-
мой а, то они параллельны.
Решение
Проведем какую-нибудь прямую, параллельную прямой а, так, чтобы
она пересекала плоскости а и р в различных точках А и В. По первой
теореме п. 16 плоскости аир перпендикулярны к прямой АВ.
Если допустить, что плоскости а и Р не параллельны, т. е. имеют
хотя бы одну общую точку М, то получим треугольник АВМ с дву-
мя прямыми углами при вершинах А и В, что невозможно. Следо-
вательно, а || р.
Прямая PQ параллельна плоскости а. Через точки Р и Q прове-
дены прямые, перпендикулярные к плоскости а, которые пересе-
кают эту плоскость соответственно в точках Рг и Докажите,
что PQ = PjQp
Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикуляр-
ные к плоскости а и пересекающие ее соответственно в точках Р}
и Qj. Найдите PrQx, если PQ = 15 см, РРХ = 21,5 см, QQX = 33,5 см.
Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника
АВС. Определите вид треугольника MBD, где D — произвольная
точка прямой АС.
В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 90°. Прямая BD пер-
пендикулярна к плоскости АВС. Докажите, что CD 1 АС.
Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
проведена прямая ОМ так, что МА = МС, МВ = MD. Докажите,
что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.
Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD,
диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что:
а) прямая BD перпендикулярна к плоскости АМО; б) МО ± BD.
Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая ВМ. Известно,
что Z.MBA = АМВС = 90°; МВ = т, АВ = п. Найдите расстояния
от точки М до: а) вершин квадрата; б) прямых АС и BD.
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
131 В тетраэдре ABCD точка М— середина ребра ВС, АВ=АС,
DB = DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпенди-
кулярна к прямой ВС.
132 Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей пер-
пендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна
к этой прямой.
133 Докажите, что через любую точку пространства проходит только
одна плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Решение
Согласно задаче п. 17 через данную точку М проходит плоскость а,
перпендикулярная к данной прямой а. Предположим, что через
точку М проходит еще одна плоскость ап перпендикулярная к этой
прямой. Тогда плоскости а и оц параллельны (см. задачу 123). Но
это невозможно, так как эти плоскости имеют общую точку М. Сле-
довательно, наше предположение неверно, и через точку М прохо-
дит только одна плоскость, перпендикулярная к прямой а.
134 Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М
прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости,
проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой а.
135 Прямая а перпендикулярна к плоскости а и перпендикулярна
к прямой Ь, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b || а.
136 Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного от-
резка АВ, то она лежит в плоскости, проходящей через середину
отрезка АВ и перпендикулярной к прямой АВ.
137 Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных
скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная
к другой прямой.
*2
Перпендикуляр и наклонные.
Угол между прямой и плоскостью
19 Расстояние от точки до плоскости
Рассмотрим плоскость а и точку А, не
лежащую в этой плоскости. Проведем через точку А
прямую, перпендикулярную к плоскости а, и обозна-
чим буквой Н точку пересечения этой прямой с плос-
костью а (рис. 51). Отрезок АН называется перпенди-
куляром, проведенным из точки А к плоскости а,
а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим
в плоскости а какую-нибудь точку М, отличную от Я,
и проведем отрезок AM. Он называется наклонной,
проведенной из точки А к плоскости а, а точка М —
основанием наклонной. Отрезок НМ называется про-
П ерпендикулярность
прямых и плоскостей
40
екцией наклонной на плоскость а. Сравним перпен-
дикуляр АН и наклонную AM: в прямоугольном тре-
угольнике АМН сторона АН — катет, а сторона AM —
гипотенуза, поэтому АН < AM. Итак, перпендикуляр,
проведенный из данной точки к плоскости, меньше
любой наклонной, проведенной из той же точки
к этой плоскости.
Следовательно, из всех расстояний от точ-
ки А до различных точек плоскости а наименьшим яв-
ляется расстояние до точки Н. Это расстояние, т. е.
длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плос-
кости а, называется расстоянием от точки А до плос-
кости а. Когда мы говорим, что некоторый предмет,
например лампочка уличного фонаря, находится на та-
кой-то высоте, скажем 6 м от земли, то имеем в виду,
что расстояние от лампочки до поверхности земли из-
меряется по перпендикуляру, проведенному от лампоч-
ки к плоскости земли (рис. 52).
Замечания
1.	Если две плоскости параллельны, то все
точки одной плоскости равноудалены от другой плос-
кости. В самом деле, рассмотрим перпендикуляры АА()
и ММ0, проведенные из двух произвольных точек А
и М плоскости а к параллельной ей плоскости р. Так
как AAq ± Р и MMq ± р, то АА{) || MMG. Отсюда следует,
что MMq = АА{} (свойство 2°, п. 11), т. е. расстояние от
любой точки М плоскости а до плоскости Р равно дли-
не отрезка АА^. Очевидно, все точки плоскости Р нахо-
дятся на таком же расстоянии от плоскости а.
Расстояние от произвольной точки одной из
параллельных плоскостей до другой плоскости называ-
ется расстоянием между параллельными плоскостями.
Как уже отмечалось, примером параллель-
ных плоскостей служат плоскости пола и потолка ком-
наты. Все точки потолка находятся на одинаковом рас-
стоянии от пола. Это расстояние и есть высота комнаты.
2.	Если прямая параллельна плоскости, то
все точки прямой равноудалены от этой плоскости (за-
дача 144). В этом случае расстояние от произвольной
точки прямой до плоскости называется расстоянием
между прямой и параллельной ей плоскостью.
3.	Если две прямые скрещивающиеся, то,
как было доказано в п. 7, через каждую из них прохо-
дит плоскость, параллельная другой прямой, и притом
только одна. Расстояние между одной из скрещиваю-
щихся прямых и плоскостью, проходящей через дру-
гую прямую параллельно первой, называется расстоя-
нием между скрещивающимися прямыми.
47
Рис. 52
6 м
Перпен ди к ул яр нос т ь
прямых и плоскостей
20 Теорема о трех перпендикулярах
Теорема
Прямая, проведенная в плоскости через основание на-
клонной перпендикулярно к ее проекции на эту плос-
кость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Доказательство
Обратимся к рисунку 53, на котором отре-
зок АН — перпендикуляр к плоскости а, AM — на-
клонная, а — прямая, проведенная в плоскости а через
точку М перпендикулярно к проекции НМ наклонной.
Докажем, что а 1АМ.
Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а пер-
пендикулярна к этой плоскости, так как она перпенди-
кулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН, ле-
жащим в плоскости АМН (а ± НМ по условию и а 1 АН,
так как АН 1 а). Отсюда следует, что прямая а пер-
пендикулярна к любой прямой, лежащей в плоско-
сти АМН, в частности a LAM. Теорема доказана.
Эта теорема называется теоремой о трех
перпендикулярах, так как в ней говорится о связи
между тремя перпендикулярами АН, НМ и AM.
Справедлива также обратная теорема: пря-
мая, проведенная в плоскости через основание на-
клонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна
и к ее проекции. По аналогии с доказательством пря-
мой теоремы, используя рисунок 53, докажите эту тео-
рему самостоятельно (задача 153).
21 Угол между* прямой и плоскостью
В п. 19 было дано определение проекции
наклонной на плоскость. Введем теперь понятие про-
екции* произвольной фигуры. Проекцией точки на
плоскость называется основание перпендикуляра,
проведенного из этой точки к плоскости, если точка
не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит
в плоскости. На рисунке 54 точка Мх — проекция
точки М на плоскость a, a N — проекция самой точ-
ки N на ту же плоскость (N е а).
Обозначим буквой F какую-нибудь фигуру
в пространстве. Если мы построим проекции всех то-
Рис. 53
* В данном пункте речь идет о прямоугольной (или ортогональ-
ной) проекции фигуры. Более общее понятие параллельной
проекции фигуры рассматривается в приложении 1.
I Jepnendu кулярность
прямых и плоскостей
чек этой фигуры на данную плоскость, то получим фи-
гуру которая называется проекцией фигуры F на
данную плоскость. На рисунке 54 треугольник —
проекция треугольника F на плоскость а.
Докажем теперь, что проекцией прямой
на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой,
является прямая.
Данную плоскость обозначим буквой а,
а произвольную прямую, не перпендикулярную к плос-
кости а, — буквой а (рис. 55). Из какой-нибудь точ-
ки М прямой а проведем перпендикуляр МН к плоско-
сти а и рассмотрим плоскость [3, проходящую через а
и МН. Плоскости аир пересекаются по некоторой пря-
мой ах. Докажем, что эта прямая и является проекцией
прямой а на плоскость а. В самом деле, возьмем произ-
вольную точку Мх прямой а и проведем в плоскости р
прямую МХНХ, параллельную прямой МН (Нх — точка
пересечения прямых МХНХ и ах). По первой теореме
п. 16 МХНХ ± а, и, значит, точка Нх является проекцией
точки Мх на плоскость а. Мы доказали, что проекция
произвольной точки прямой а лежит на прямой аР Ана-
логично доказывается, что любая точка прямой ах явля-
ется проекцией некоторой точки прямой а. Следова-
тельно, ах — проекция прямой а на плоскость а.
Из доказанного утверждения следует, что
проекцией отрезка АВ, не перпендикулярного к пло-
скости, является отрезок, концами которого служат
проекции точек А и В. Поэтому определение проекции
наклонной (п. 19) полностью согласуется с общим
определением проекции фигуры. Используя понятие
проекции прямой на плоскость, дадим определение угла
между прямой и плоскостью.
Определение
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую
и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее
проекцией на плоскость.
Можно доказать, что угол (р0 между данной
прямой AM и плоскостью а (рис. 56) является наи-
меньшим из всех углов ср, которые данная прямая об-
разует с прямыми, проведенными в плоскости а через
точку А (задача 162).
Если прямая перпендикулярна к плоскости,
то ее проекцией на эту плоскость является точка пере-
сечения этой прямой с плоскостью. В таком случае
угол между прямой и плоскостью считается равным 90°.
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
Если данная прямая параллельна плоско-
сти, то ее проекцией на плоскость является прямая,
параллельная данной. В этом случае понятие угла
между прямой и плоскостью мы не вводим. (Иногда до-
говариваются считать, что угол между параллельными
прямой и плоскостью равен 0°.)
Замечание
Наряду с рассмотренной в этом пункте пря-
моугольной проекцией и параллельной проекцией,
речь о которой пойдет в приложении 1, иногда исполь-
зуется центральная проекция. Она определяется так.
Рассмотрим произвольную плоскость а и какую-нибудь
точку О, не лежащую в этой плоскости. Пусть р —
плоскость, проходящая через точку О и параллельная
плоскости а. Центральной проекцией (с центром О)
точки М, не лежащей в плоскости р, на плоскость а
называется точка Мх пересечения прямой ОМ с плос-
костью а. Центральной проекцией фигуры на плос-
кость а называется множество центральных проекций
на плоскость а всех точек этой фигуры, не лежащих
в плоскости р. Примером центральной проекции фигу-
ры является ее фотографический снимок.
Задачи
138	Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендику-
ляр и наклонная, угол между которыми равен <р. а) Найдите на-
клонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр
равен d. б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если
наклонная равна т.
139	Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажи-
те, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если
проекции наклонных равны, то равны и наклонные; в) если наклон-
ные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.
140	Из точки А, не принадлежащей плоскости а, проведены к этой
плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС.
Известно, что ZOAB = ZBAC = 60°, АО = 1,5 см. Найдите расстоя-
ние между основаниями наклонных.
141	Один конец данного отрезка лежит в плоскости а, а другой нахо-
дится от нее на расстоянии б см. Найдите расстояние от середины
данного отрезка до плоскости а.
142	Концы отрезка отстоят от плоскости а на расстояниях 1 см и 4 см.
Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости а.
143	Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного тре-
угольника АВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до
плоскости АВС, если АВ = 6 см.
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
144	Прямая а параллельна плоскости а. Докажите, что все точки пря-
мой а равноудалены от плоскости а.
Решение
Через какую-нибудь точку прямой а проведем плоскость р, парал-
лельную плоскости а (задача 59). Прямая а лежит в плоскости р,
так как в противном случае она пересекает плоскость Р, а значит,
пересекает и плоскость а (задача 55), что невозможно. Все точки
плоскости Р равноудалены от плоскости а, поэтому и все точки
прямой а, лежащей в плоскости р, равноудалены от плоскости а,
что и требовалось доказать.
145	Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым уг-
лом С проведена прямая АО, перпендикулярная к плоскости тре-
угольника. а) Докажите, что треугольник CBD прямоугольный,
б) Найдите BD, если ВС = a, DC = b.
146	Прямая а пересекает плоскость а в точке М и не перпендикулярна
к этой плоскости. Докажите, что в плоскости а через точку М
проходит прямая, перпендикулярная к прямой а, и притом только
одна.
147	Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямо-
угольника ABCD. Докажите, что треугольники AMD и MCD
прямоугольные.
148	Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треуголь-
ника АВС, а точка М — середина стороны ВС. Докажите, что
МК1 ВС.
149	Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треуголь-
ника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, AD = 12 см.
Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой ВС.
150	Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК,
перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что
KD = 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см. Найдите: а) расстояние от точ-
ки К до плоскости прямоугольника ABCD; б) расстояние между
прямыми АК и CD.
151	Прямая CD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. До-
кажите, что: а) треугольник АВС является проекцией треугольни-
ка ABD на плоскость АВС; б) если СН — высота треугольника
АВС, то DH — высота треугольника ABD.
152	Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпенди-
кулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до пря-
мых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм,
АВ = 4 дм.
153	Докажите, что прямая а, проведенная в плоскости а через основа-
ние М наклонной AM перпендикулярно к ней, перпендикулярна
к ее проекции НМ (см. рис. 53).
Решение
Прямая а перпендикулярна к плоскости АМН, так как она пер-
пендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости
ГТерпенди кулярност ь
прямых и плоскостей
154
155
156
157
158
159
160
161
162
(a ± AM по условию и a ± АН, так как АН ± а). Отсюда следует,
что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плос-
кости АМН, в частности а ± НМ, что и требовалось доказать.
Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС, Из-
вестно, что BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите:
а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольни-
ка ACD.
Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного
треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его
плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если
АС = 4 см, а СМ = 2^7 см.
Один из катетов прямоугольного треугольника АВС равен т,
а острый угол, прилежащий к этому катету, равен ф. Через верши-
ну прямого угла С проведена прямая CD, перпендикулярная
к плоскости этого треугольника, CD = п. Найдите расстояние от
точки D до прямой АВ,
Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали
которого пересекаются в точке О, а) Докажите, что расстояния от
точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны,
б) Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм.
Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендику-
лярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до пря-
мых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, Z BAD = 60°,
ВМ = 12,5 см.
Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости прямоугольника
ABCD, Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости
ADM и ВСМ, перпендикулярна к плоскости АВМ,
Концы отрезка АВ лежат на двух параллельных плоскостях, рас-
стояние между которыми равно d, причем d < АВ. Докажите, что
проекции отрезка АВ на эти плоскости равны. Найдите эти проек-
ции, если АВ = 13 см, d = 5 см.
Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD. Докажи-
те, что если Z.ABC = Z.ABD, причем Z.ABC < 90°, то проекцией лу-
ча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.
Прямая МА проходит через точку А плоскости а и образует с этой
плоскостью угол ф0 # 90°. Докажите, что ф0 является наименьшим
из всех углов, которые прямая МА образу-
ет с прямыми, проведенными в плоскости
а через точку А.
Решение
Обозначим буквой Н основание перпендику-
ляра, проведенного из точки М к плоско-
сти а, и рассмотрим произвольную прямую р
в плоскости а, проходящую через точку А
и отличную от прямой АН. Угол между пря-
мыми AM и р обозначим через ф (рис. 57)
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
46
и докажем, что ф > ф0. Из точки М проведем перпендикуляр MN
к прямой р. Если точка N совпадает с точкой А, то ф = 90° и поэто-
му ф > ф0. Рассмотрим случай, когда точки А и N не совпадают (см.
рис. 57). Отрезок AM — общая гипотенуза прямоугольных
треугольников ANM и АНМ, поэтому sin ф= sin ф0 = Так
АМ	АМ
как MN > МН (MN — наклонная, МН — перпендикуляр), то из
этих двух равенств следует, что sin ф > sin ф0 и поэтому ф > ф0.
163	Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d.
Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол меж-
ду прямой АМ и данной плоскостью равен: а) 45°; б) 60°; в) 30°?
164	Под углом ф к плоскости а проведена наклонная. Найдите ф, если
известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.
165	Из точки А, удаленной от плоскости у на расстояние d, проведены
к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости.
Их проекции на плоскость у образуют угол в 120°. Найдите ВС.
3
Двугранный угол.
Перпендикулярность плоскостей
22	Двугранный угол
Углом на плоскости мы называем фигуру,
образованную двумя лучами, исходящими из одной точ-
ки. В стереометрии наряду с такими углами рассматри-
вается еще один вид углов — двугранные углы. Чтобы
ввести понятие двугранного угла, напомним, что любая
прямая, проведенная в данной плоскости, разделяет эту
плоскость на две полуплоскости (рис. 58, а). Предста-
вим себе, что мы перегнули плоскость по прямой а так,
что две полуплоскости с границей а оказались уже не
лежащими в одной плоскости (рис. 58, б). Полученная
фигура и есть двугранный угол.
Таким образом, можно дать такое определе-
ние двугранного угла: двугранным углом называется
фигура, образованная прямой а и двумя полуплоско-
стями с общей границей а, не принадлежащими одной
плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный
угол, называются его гранями. У двугранного угла две
грани, отсюда и название — двугранный угол. Пря-
мая а — общая граница полуплоскостей — называется
ребром двугранного угла.
Двугранный угол с ребром АВ, на разных
гранях которого отмечены точки С и D, называют дву-
гранным углом CABD.
а)
Прямая а разделяет плос-
Двугранный угол
Рис. 58
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
В обыденной жизни мы часто встречаемся
с предметами, имеющими форму двугранного угла.
Такими предметами являются двускатные крыши зда-
ний, полураскрытая папка, стена комнаты совместно
с полом и т. д.
Мы знаем, что углы на плоскости (обычные
углы) измеряются в градусах. А как измеряются дву-
гранные углы? Это делается следующим образом. Отме-
тим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку
и в каждой грани из этой точки проведем луч перпенди-
кулярно к ребру. Образованный этими лучами угол на-
зывается линейным углом двугранного угла. На рисун-
ке 59, а угол АОВ — линейный угол двугранного угла
с ребром CD. Так как О А ± CD и О В ± CD, то плос-
кость АОВ перпендикулярна к прямой CD. Таким обра-
зом, плоскость линейного угла перпендикулярна к реб-
ру двугранного угла. Очевидно, двугранный угол имеет
бесконечное множество линейных углов (рис. 59, б).
Докажем, что все линейные углы дву-
гранного угла равны друг другу. Рассмотрим два линей-
ных угла АОВ и АХОХВХ (см. рис. 59, 6). Лучи ОА и ОХАХ
лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ООХ,
поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены
лучи ОВ и ОХВХ. Поэтому ЛАХОХВХ = Z.AOB (как углы
с сонаправленными сторонами).
Градусной мерой двугранного угла называ-
ется градусная мера его линейного угла. На рисун-
ке 60, а градусная мера двугранного угла равна 45°.
Обычно говорят коротко: «Двугранный угол равен 45°».
Двугранный угол называется прямым (ост-
рым, тупым), если он равен 90° (меньше 90°, боль-
ше 90°). Двугранный угол, изображенный на рисун-
ке 60, б, прямой, на рисунке 60, а — острый, а на
рисунке 60, в — тупой.
Линейный угол двугран-
ного угла
Рис. 59
Рис. 60
П ер п е ндикулярность
прямых и плоскостей
48
23	Признак перпендикулярности
двух плоскостей
Две пересекающиеся плоскости образуют
четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 61, а).
Если один из этих двугранных углов равен ф, то другие
три угла равны соответственно 180° - ф, ф и 180° - ф.
В частности, если один из углов прямой (ф = 90°), то
и остальные три угла прямые. Если ф — тот из четы-
рех углов, который не превосходит каждого из осталь-
ных, то говорят, что угол между пересекающимися
плоскостями равен ф. Очевидно, 0° < ф < 90°.
Определение
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными
(взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°
(рис. 61, б).
Примером взаимно перпендикулярных пло-
скостей служат плоскости стены и пола комнаты. Ясно,
что все четыре двугранных угла, образованные взаимно
перпендикулярными плоскостями, прямые.
Рассмотрим признак перпендикулярности
двух плоскостей.
Теорема
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую,
перпендикулярную к другой плоскости, то такие плос-
кости перпендикулярны.
Доказательство
Рассмотрим плоскости аир такие, что
плоскость а проходит через прямую АВ, перпендику-
лярную к плоскости Р и пересекающуюся с ней в точ-
Перпендикулярностъ
прямых и плоскостей
ке А (рис. 62). Докажем, что alp. Плоскости аир пе-
ресекаются по некоторой прямой АС, причем АВ 1 АС,
так как по условию АВ 1 р, т. е. прямая АВ перпенди-
кулярна к любой прямой, лежащей в плоскости р.
Проведем в плоскости р прямую АВ, пер-
пендикулярную к прямой АС. Тогда угол BAD — ли-
нейный угол двугранного угла, образованного при
пересечении плоскостей а и р. Но ZBAD = 90° (так как
АВ 1 р). Следовательно, угол между плоскостями а и Р
равен 90°, т. е. al р. Теорема доказана.
Следствие
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются
две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоско-
стей (рис. 63).
24	Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед называется прямоуголь-
ным, если его боковые ребра перпендикулярны к осно-
ванию, а основания представляют собой прямоугольни-
ки. Форму прямоугольного параллелепипеда имеют
многие предметы: коробки, ящики, комнаты и т. д. На
рисунке 64 изображен прямоугольный параллелепипед
ABCBA^CjBp Его основаниями служат прямоуголь-
ники ABCD и AxB1CiDlf а боковые ребра ААИ ВВИ ССХ
и DD} перпендикулярны к основаниям. Отсюда следу-
ет, что AAj 1 АВ, т. е. боковая грань ААХВХВ — прямо-
угольник. То же самое можно сказать и об остальных
боковых гранях. Таким образом, мы обосновали следу-
ющее свойство прямоугольного параллелепипеда:
1°. В прямоугольном параллелепипеде все
шесть граней — прямоугольники.
Полуплоскости, в которых расположены
смежные грани параллелепипеда, образуют двугран-
ные углы, которые называются двугранными углами
параллелепипеда.
Докажите самостоятельно, что:
2°. Все двугранные углы прямоугольного
параллелепипеда — прямые.
Теперь рассмотрим одно из самых замеча-
тельных свойств прямоугольного параллелепипеда.
Длины трех ребер, имеющих общую верши-
ну, назовем измерениями прямоугольного параллеле-
пипеда. Например, у параллелепипеда, изображенного
Если у la, то у±а
и у±р
Рис. 63
Прямоугольный паралле-
лепипед
Рис. 64
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
50
на рисунке 64, в качестве измерений можно взять дли-
ны ребер АВ, AD и ААХ.
В обыденной практике, говоря о размерах
комнаты, имеющей форму прямоугольного паралле-
лепипеда, вместо слова «измерения» используют обыч-
но слова «длина», «ширина» и «высота» комнаты. Яс-
но, что длина, ширина и высота комнаты — это и есть
ее измерения.
Прежде чем сформулировать свойство па-
раллелепипеда, связанное с его измерениями, вспо-
мним, что в прямоугольнике квадрат диагонали равен
сумме квадратов смежных сторон.
Длины смежных сторон можно назвать из-
мерениями прямоугольника, и поэтому квадрат диаго-
нали прямоугольника равен сумме квадратов двух его
измерений. Оказывается, аналогичным свойством об-
ладает и прямоугольный параллелепипед.
Теорема
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда
равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство
Обратимся к рисунку 64, на котором изо-
бражен параллелепипед ABCDAXBXCXDX, и докажем, что
AC2 = АВ2 + AD2 + АА2.
Так как ребро ССХ перпендикулярно к осно-
ванию ABCD, то угол АССХ прямой. Из прямоугольного
треугольника АССХ по теореме Пифагора получаем
АС2 = AC2 +СС2.
Но АС — диагональ прямоугольника ABCD,
поэтому АС2 = АВ2 4- AD2. Кроме того, ССХ = ААр Следо-
вательно, АС2 =АВ2 + AD2 4-АА2. Теорема доказана.
Следствие
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Прямоугольный параллелепипед, у которо-
го все три измерения равны, называется кубом. Все
грани куба — равные друг другу квадраты.
25* Трехгранный угол
Рассмотрим три луча с общим началом О —
ОА, ОВ и ОС, не лежащие в одной плоскости. Фигура,
состоящая из углов АОВ, ВОС, СОА и их внутренних об-
Перпендикулярностпъ
прямых и плоскостей
ластей, называется трехгранным углом ОАВС, а указан-
ные углы — плоскими углами этого трехгранного угла.
Докажем, что каждый плоский угол трех-
гранного угла меньше суммы двух других плоских уг-
лов. Рассмотрим трехгранный угол ОАВС и для опреде-
ленности будем считать, что ЛВОС > ЛАОС > ЛАОВ.
Достаточно доказать, что ЛВОС < ЛАОВ + ЛАОС (объ-
ясните почему). Если ЛВОС = ЛАОВ, то справедли-
вость этого неравенства очевидна. В противном случае
(ЛВОС > ЛАОВ) поступим так.
На луче ВС выберем точку М так, чтобы
угол МОВ оказался равным углу АОВ (рис. 65, а). По-
скольку ЛВОС > ЛАОВ, то точка М будет лежать меж-
ду точками В и С. Далее, на луче ОА отложим отрезок
ON = ОМ. Треугольники BON и ВОМ равны по первому
признаку равенства треугольников, поэтому BN = ВМ.
В треугольнике BCN имеем: ВМ + МС =
= ВС < BN + NC = ВМ + NC, откуда находим: МС < NC.
Разогнем двугранный угол с ребром ОС так,
чтобы точки М, N, О и С оказались лежащими в одной
плоскости, и проведем биссектрису OD треугольни-
ка MON (рис. 65, б). Поскольку треугольник MON —
равнобедренный, то отрезок OD является его медианой
и высотой: MD = DN, OD 1MN. Таким образом, пря-
мая OD проходит через середину стороны MN тре-
угольника MNC и перпендикулярна к этой стороне.
Следовательно, она пересекает большую из сторон МС
и NC (докажите это), т. е. сторону NC. Поэтому
ЛМОС < Л^OC. Обратимся теперь к рисунку 65, а.
Мы видим, что
ЛВОС = ЛМОВ + ЛМОС =
= ЛАОВ + ЛМОС < ЛАОВ + ЛNOC = ЛАОВ + ЛАОС,
что и требовалось доказать.
26* Многогранный угол
Рассмотрим фигуру, составленную из углов
АХОА2, А2ОА2, ..., АпОАх и их внутренних областей так,
что смежные углы (т. е. углы АХОА2 и А2ОАз» ... > АпОА\
и АХОА2) не лежат в одной плоскости, а несмежные
углы (с их внутренними областями) не имеют общих
точек. Такая фигура называется многогранным углом
ОА^А2 ... Ап, углы, из которых составлен этот многогран-
ный угол, — плоскими углами, лучи ОАХ, ОА2, ..., ОАп —
ребрами, а точка О — вершиной этого многогранного
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
52
угла. Примером многогранного угла является трех-
гранный угол.
Многогранный угол называется выпуклым,
если он лежит по одну сторону от плоскости каждого
из своих плоских углов. В частности, трехгранный
угол — выпуклый (объясните почему).
Докажем, что для любого выпуклого мно-
гогранного угла существует плоскость, пересекающая
все его ребра. Рассмотрим ребра ОАХ и ОА2 многогран-
ного угла ОАхА2 ... Ап. Поскольку данный многогран-
ный угол — выпуклый, то точки А3, ..., Ап лежат по
одну сторону от плоскости ОАхА2.
Проведем среднюю линию ВС треугольни-
ка ОАХА2 (рис. 66) и выберем из ребер ОА3, ...» ОАп то
ребро ОА,, для которого величина двугранного угла ОВСА,
имеет наименьшее значение (на рисунке грани этого
двугранного угла закрашены). Рассмотрим полуплос-
кость с границей ВС, делящую двугранный угол ОВСА,
на два двугранных угла (на рисунке эта полуплоскость
не изображена). Все вершины Ап ..., Ап лежат по одну
сторону от плоскости а, содержащей эту полуплос-
кость, а точка О — по другую сторону от плоскости а
(объясните почему). Следовательно, плоскость а пере-
секает все ребра ОАИ ..., ОАп. Утверждение доказано.
Рис. 66
Выпуклые многогранные углы обладают
еще одним важным свойством.
Теорема
Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла
меньше 360°.
Доказательство
Рассмотрим выпуклый многогранный угол
с вершиной О и проведем плоскость, пересекающую все
его ребра в некоторых точках Ан А2, ..., А„ (рис. 67).
Ясно, что многоугольник А\А2 ... Ап — выпуклый. Имеем
ZA1OA2 + АА2ОА3 + ... + /АЯОА1 =
= (180° - ZOAXA2 - АОАгА^ + (180° - ZOA^ - ^OAjAJ + ...
... + (180° - ZOA„Ai - ZOAjAJ =
= 180° • п - (ХОА,Ап + ХОА{А2} - (ZOA2Ax + ZOA2A3) - ...
...-(ZOA^^ + ZOA^i)-
Но сумма двух плоских углов трехгранного
угла больше третьего плоского угла (см. п. 25), поэтому
О
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
53
ZOA^ + ZOAj A > ZAnAiA2,
ZOAn A -1 + ZOA„ Ai > ZA. _ АнЛ-
Следовательно, искомая сумма меньше, чем
180е • п - (ZAnAiA2 + ZAAA3 + ... + ZAn_ АА) =
= 180° • п - 180° • (п - 2) = 360°.
Теорема доказана.
Задачи
166 Неперпендикулярные плоскости а и 0 пересекаются по прямой MN.
В плоскости Р из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой MN
и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости а.
Докажите, что ZABC — линейный угол двугранного угла AMNC.
167 В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М — середина ребра АС.
Докажите, что Z.DMB — линейный угол двугранного угла BACD,
168 Двугранный угол равен <р. На одной грани этого угла лежит точка,
удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите
расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.
169 Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две
другие грани являются различными полуплоскостями одной плос-
кости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180°.
170 Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит
в плоскости а, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВР
Найдите расстояния от точки В до прямой АС и до плоскости а,
если АВ = 2 см, ZBAC = 150° и двугранный угол ВАСВХ равен 45°.
171 Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит
в плоскости а, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30°.
Найдите угол между плоскостью а и плоскостью треугольника.
172 Катет АС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С ле-
жит в плоскости а, а угол между плоскостями а и АВС равен 60°.
Найдите расстояние от точки В др плоскости а, если АС = 5 см,
АВ = 13 см.
173 Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости АВС,
АВ = ВС = АС = 6, BD = 3 Л. Найдите двугранные углы DACB,
DABC, BDCA.
174 Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB,
DAC и АСВ прямые, АС = СВ = 5, DB = 5 Тб.
175 Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугран-
ные углы также равны. Найдите эти углы.
176 Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что
двугранный угол BADM равен 60°. Найдите сторону ромба, если
ZBAD = 45° и расстояние от точки В до плоскости ADM равно 4^3.
g-jt Перпендикулярность
прямых и плоскостей
177 Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по кото-
рой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каж-
дой из этих плоскостей.
178 Плоскости а и Р взаимно перпендикулярны и пересекаются по
прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости а, перпендику-
лярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости р.
Решение
Проведем в плоскости а произвольную прямую АС, перпендику-
лярную к прямой с, С е с. Докажем, что СА 1 р.
В плоскости Р через точку С проведем прямую СВ, перпендикуляр-
ную к прямой с. Так как СА 1 с и СВ ± с, то ZACB — линейный
угол одного из двугранных углов, образованных плоскостями а и
р. По условию задачи а 1 Р, поэтому ZACB — прямой, т. е.
СА 1 СВ. Таким образом, прямая СА перпендикулярна к двум пе-
ресекающимся прямым с и СВ плоскости р, поэтому СА 1 р.
179 Плоскости а и Р взаимно перпендикулярны. Через некоторую точ-
ку плоскости а проведена прямая, перпендикулярная к плоскости р.
Докажите, что эта прямая лежит в плоскости а.
180 Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпенди-
кулярные к одной и той же плоскости, параллельны.
181 Плоскости а и Р пересекаются по прямой а. Из точки М проведены
перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям аир. Пря-
мая а пересекает плоскость AMВ в точке С. Докажите, что МС ± а.
182 Плоскости а и Р взаимно перпендикулярны и пересекаются по
прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ
к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость AM В в точ-
ке С. а) Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямо-
угольником. б) Найдите расстояние от точки М до прямой а, если
AM = m, ВМ - п.
183 Плоскости а и Р пересекаются по прямой а и перпендикулярны
к плоскости у. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плос-
кости у.
184 Общая сторона АВ треугольников АВС и ABD равна 10 см. Плоско-
сти этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD,
если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равно-
бедренные с гипотенузой АВ.
185 Прямая а не перпендикулярна к плоскости а. Докажите, что су-
ществует плоскость, проходящая через прямую а и перпендику-
лярная к плоскости а.
Решение
Через произвольную точку М прямой а проведем прямую р, пер-
пендикулярную к плоскости а, и рассмотрим плоскость р, прохо-
дящую через прямые аир. Плоскость Р является искомой, так
как она проходит через прямую а и по признаку перпендикуляр-
ности двух плоскостей перпендикулярна к плоскости а.
П ерпенди кулярность
прямых и плоскостей
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересе-
кающая две данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендику-
лярная к каждой из них.
Решение
Рассмотрим плоскость а, проходящую через прямую а и параллель-
ную прямой Ь. Через прямые а и b проведем плоскости р и у так,
чтобы Р ± а и у ± а (задача 185). Докажите самостоятельно, что
прямая р, по которой пересекаются плоскости Р и у, искомая.
Докажем, что р — единственная прямая,
удовлетворяющая условию задачи. Предпо-
ложим, что существуют две прямые АХВХ
и А2В2, пересекающие данные скрещиваю-
щиеся прямые а и b и перпендикулярные
к каждой из них (рис. 68). Прямые АХВХ
и А2В2 перпендикулярны к плоскости а
(объясните почему), поэтому они парал-
лельны. Отсюда следует, что скрещивающие-
ся прямые а и b лежат в одной плоскости,
Рис. 68
что противоречит определению скрещиваю-
щихся прямых.
Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его
измерения равны: а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) V39, 7, 9.
Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.
Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани,
в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба
равна т; б) диагональ куба равна d.
Дан куб ABCDAXBXCXDX. Найдите следующие двугранные углы:
а) АВВХС; б) ADDXB; в) АХВВХК, где К — середина ребра А,!)!.
Дан куб ABCDAXBXCXDX. Докажите, что плоскости АВСХ и AXBXD
перпендикулярны.
Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной
из его граней.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX дано: DXB = d,
AC = m, AB = n. Найдите расстояние между: а) прямой AXCX
и плоскостью АВС; б) плоскостями ABB! и DCCX\ в) прямой DDX
и плоскостью АССХ.
Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающими-
ся прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба;
б) диагональ куба и диагональ грани куба.
Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX,
если АСХ = 12 см и диагональ BDX составляет с плоскостью грани
AAXDXD угол в 30°, а с ребром DDX — угол в 45°.
Изобразите куб ABCDAXBXCXDX и постройте его сечение плоскостью,
проходящей через: а) ребро ААХ и перпендикулярной к плоскости
BBXDX; б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости CDAX.
56
Перпендикулярность
прямых и плоскостей
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
197
198
199
200
201
Вопросы к главе II
Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпенди-
кулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Верно ли
это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной
плоскости?
Параллельные прямые Ъ и с лежат в плоскости а, а прямая а пер-
пендикулярна к прямой Ь. Верно ли утверждение: а) прямая а
перпендикулярна к прямой с; б) прямая а пересекает плоскость а?
Прямая а перпендикулярна к плоскости а, а прямая b не перпен-
дикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые а и Ъ быть парал-
лельными?
Прямая а параллельна плоскости а, а прямая Ъ перпендикулярна
к этой плоскости. Верно ли утверждение, что прямые а и b взаим-
но перпендикулярны?
Прямая а параллельна плоскости а, а прямая b перпендикулярна
к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная
к прямым а и Ь?
Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к дан-
ной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной
плоскости?
Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна
к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями;
б) перпендикулярными плоскостями?
Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каж-
дые две из которых взаимно перпендикулярны?
Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как
расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой
плоскости?
Сколько двугранных углов имеет: а) тетраэдр; б) параллелепипед?
Дополнительные задачи
Отрезок ВМ перпендикулярен к плоскости прямоугольника ABCD.
Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости МВС.
Точка А лежит в плоскости а, а точка В удалена от этой плоскости
на расстояние 9 см. Точка М делит отрезок АВ в отношении 4 : 5,
считая от точки А. Найдите расстояние от точки М до плоскости а.
Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника
и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что пря-
мая SM, где М — середина гипотенузы, перпендикулярна к плос-
кости треугольника.
Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр
окружности, описанной около многоугольника, и перпендикуляр-
на к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого
многоугольника.
Найдите угол между скрещивающимися прямыми АВ и PQ, если
точки Р и Q равноудалены от концов отрезка АВ.
57 Перпенди кулярност ь
прямых и плоскостей
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника
на расстояние 10 см. На каком расстоянии от плоскости треуголь-
ника находится эта точка, если медиана, проведенная к гипотену-
зе, равна 5 см?
Через центр О окружности, вписанной в треугольник АВС, прове-
дена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости треугольника.
Найдите расстояние от точки К до сторон треугольника, если
АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, ОК = 4 см.
Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треуголь-
ника АВС и проходит через центр О этого треугольника, ОМ = а,
Z.MCO = ф. Найдите: а) расстояние от точки М до каждой из вер-
шин треугольника АВС и до прямых АВ, ВС и СА; б) длину окруж-
ности, описанной около треугольника АВС; в) площадь треугольни-
ка АВС.
Через вершину С прямого угла прямоугольного треугольника АВС
проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого тре-
угольника. Найдите площадь треугольника ABD, если СА = 3 дм,
СВ = 2 дм, CD = 1 дм.
Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через верши-
ну А меньшего угла треугольника проведена прямая AM, перпен-
дикулярная к его плоскости. Определите расстояние от точки М
до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если из-
вестно, что AM = 20 см.
В треугольнике АВС дано: АВ = ВС = 13 см, АС = 10 см. Точка М
удалена от прямых АВ, ВС и АС на 81 см. Найдите расстояние от
точки М до плоскости АВС, если ее проекция на эту плоскость ле-
жит внутри треугольника.
Из точки К, удаленной от плоскости а на 9 см, проведены к плос-
кости а наклонные KL и КМ, образующие между собой прямой
угол, а с плоскостью а — углы в 45° и 30° соответственно. Найди-
те отрезок LM.
Углы между равными отрезками АВ и АС
и плоскостью а, проходящей через точку А, рав-
ны соответственно 40° и 50°. Сравните расстоя-
ния от точек В и С до плоскости а.
На рисунке 69 двугранные углы НАВР и PABQ
равны. Докажите, что каждая точка плоскости
АВР равноудалена от плоскостей АВН и ABQ.
Плоскости правильного треугольника KDM
и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны.
Найдите DN, если КМ = а.
Точка С является проекцией точки D на плос-
кость треугольника АВС. Докажите, что пло-
щадь треугольника ABD равна $ » гДе
Рис. 69
прямых и плоскостей
58
Перпендикулярность
В — площадь треугольника ABC, а а — угол между плоскостями
АВС и ABD.
213 Правильные треугольники АВС и DBC расположены так, что вер-
шина D проектируется в центр треугольника АВС. Вычислите угол
между плоскостями этих треугольников.
214 Проекцией прямоугольника ABCD на плоскость а является квад-
рат ABC^D^ Вычислите угол ф между плоскостью а и плоскостью
прямоугольника ABCD, если АВ : ВС =1:2.
215 Параллельные прямые АВ и CD лежат в разных гранях двугранно-
го угла, равного 60°. Точки А и D удалены от ребра двугранного
угла соответственно на 8 см и 6,5 см. Найдите расстояние между
прямыми АВ и CD.
216 Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного
120°. Отрезки АС и BD проведены в разных гранях и перпендику-
лярны к ребру двугранного угла. Найдите отрезок CD, если
АВ = АС = BD = а.
217 Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда,
имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его ребра пропорцио-
нальны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.
Глава III
Многогранники
§
Понятие многогранника. Призма
27 Понятие многогранника
В главе I мы рассмотрели тетраэдр и парал-
лелепипед: тетраэдр — поверхность, составленная из
четырех треугольников (рис. 70, а), параллелепипед —
поверхность, составленная из шести параллелограммов
(рис. 70, б). Каждая из этих поверхностей ограничива-
ет некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от
остальной части пространства.
Поверхность, составленную из многоуголь-
ников и ограничивающую некоторое геометрическое
тело, будем называть многогранной поверхностью или
многогранником. Тетраэдр и параллелепипед — при-
меры многогранников. На рисунке 71 изображен еще
один многогранник — октаэдр. Он составлен из восьми
треугольников. Тело, ограниченное многогранником,
часто также называют многогранником.
Многоугольники, из которых составлен мно-
гогранник, называются его гранями*. Гранями тетра-
эдра и октаэдра являются треугольники (рис. 70, а
и 71), гранями параллелепипеда — параллелограммы
(рис. 70, б). Стороны граней называются ребрами,
а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок,
соединяющий две вершины, не принадлежащие одной
грани, называется диагональю многогранника. Плос-
кость, по обе стороны от которой имеются точки много-
гранника, называется секущей плоскостью, а общая
часть многогранника и секущей плоскости — сечением
многогранника.
Многогранники бывают выпуклые и невы-
пуклые. Многогранник называется выпуклым, если он
расположен по одну сторону от плоскости каждой его
грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр — выпук-
б)
Параллелепипед
Рис. 70
При этом предполагается,
многогранника не лежат в
что никакие две соседние грани
одной плоскости.
Многогранники
лые многогранники. На рисунке 72 изображен невы-
пуклый многогранник.
Ясно, что все грани выпуклого многогран-
ника являются выпуклыми многоугольниками. Отме-
тим также, что в выпуклом многограннике сумма всех
плоских углов при каждой его вершине меньше 360°
(см. п. 26). Рисунок 73 поясняет это утверждение: мно-
гогранник «разрезан» вдоль ребер и все его грани с об-
щей вершиной А развернуты так, что оказались распо-
ложенными в одной плоскости а. Видно, что сумма
всех плоских углов при вершине А, т. е. <pi + Фг + Фз»
меньше 360°.
28* Геометрическое тело
Мы отметили, что многогранник ограничи-
вает некоторое геометрическое тело. Уточним понятие
геометрического тела.
Точка М называется граничной точкой дан-
ной фигуры F, если среди сколь угодно близких к ней
точек (включая ее саму) есть точки, как принадлежа-
щие фигуре, так и не принадлежащие ей. Множество
всех граничных точек фигуры называется ее границей.
Так, например, границей шара является сфера.
Точка фигуры, не являющаяся граничной,
называется внутренней точкой фигуры. Каждая
внутренняя точка фигуры характеризуется тем, что
все достаточно близкие к ней точки пространства
также принадлежат фигуре. Так, любая точка шара,
не лежащая на сфере — его границе, является внут-
ренней точкой шара.
Фигура называется ограниченной, если ее
можно заключить в какую-нибудь сферу. Очевидно,
шар, тетраэдр, параллелепипед — ограниченные фигу-
ры, а прямая и плоскость — неограниченные.
Фигура называется связной, если любые
две ее точки можно соединить непрерывной линией,
целиком принадлежащей данной фигуре. Примерами
связных фигур являются тетраэдр (см. рис. 70, а),
параллелепипед (см. рис. 70, б), октаэдр (см. рис. 71),
плоскость. Фигура, состоящая из двух параллельных
плоскостей, не является связной.
Геометрическим телом (или просто телом)
называют ограниченную связную фигуру в пространст-
ве, которая содержит все свои граничные точки, причем
сколь угодно близко от любой граничной точки нахо-
дятся внутренние точки фигуры. Границу тела называ-
ют также его поверхностью и говорят, что поверхность
ограничивает тело.
Невыпуклый много-
гранник
Рис. 72
Рис. 73
61
Многогранники
Плоскость, по обе стороны от которой име-
ются точки данного тела, называется секущей плос-
костью. Фигура, которая образуется при пересечении
тела плоскостью (т. е. общая часть тела и секущей
плоскости), называется сечением тела.
29* Теорема Эйлера
Сейчас мы докажем удивительную теорему,
связанную с именем выдающегося математика Леонар-
да Эйлера (1707—1783), швейцарца по происхожде-
нию, большую часть жизни работавшего в России.
Теорема
В любом выпуклом многограннике сумма числа гра-
ней и числа вершин больше числа ребер на 2.
Доказательство
Рассмотрим произвольный выпуклый мно-
гогранник, имеющий е вершин, f граней и k ребер.
Докажем, что f + е - k = 2.
Выберем произвольную грань G, отметим
какую-нибудь точку М ее внутренней области и прове-
дем из нее луч h, перпендикулярный к плоскости этой
грани и лежащий по ту сторону от нее, по которую нет
точек многогранника. Если плоскости каких-либо дру-
гих граней пересекают луч Л, то выберем на нем точ-
ку О, лежащую между М и ближайшей к М точкой
пересечения; в противном случае возьмем в качестве
точки О произвольную точку луча h (рис. 74). Тогда
точка О окажется лежащей по ту же сторону от плос-
кости каждой грани многогранника, отличной от G,
что и сам многогранник.
Удалим теперь грань G. В результате полу-
чим многогранную поверхность F, имеющую те же реб-
ра и вершины, что и исходный многогранник, число
граней которой равно f - 1. Любой луч с началом О пе-
ресекает поверхность F не более чем в одной точке (по-
скольку после пересечения лучом поверхности F он
«уходит» в то полупространство, в котором точек по-
верхности F нет). Примем точку О за центр проектиро-
вания и рассмотрим центральную проекцию поверхно-
сти F на плоскость грани G (рис. 75; грань G на этом
рисунке изображена в увеличенном масштабе). Она
представляет собой грань G, составленную из f - 1 вы-
62
Многогранники
пуклых многоугольников — проекций остальных гра-
ней (докажите, что эти многоугольники — выпуклые).
Число вершин этих многоугольников равно е, а число
сторон равно k. Если провести диагональ какого-ни-
будь из них, то число вершин не изменится, число мно-
гоугольников увеличится на 1, число сторон также уве-
личится на 1, поэтому разность числа многоугольников
и числа сторон не изменится (см. рис. 75). Следователь-
но, если каждый многоугольник разделить диагоналя-
ми на треугольники, то грань G окажется разделенной
на f' треугольников с е' вершинами и k' сторонами,
причем
f + e'-k' = (f-l) + e-k.
Пусть п — число сторон грани G. Каждый
из треугольников имеет три стороны, поэтому число k'
меньше числа 3/' на число сторон, каждая из которых
принадлежит одновременно двум треугольникам, т. е.
на k' - п:
*'= ЗГ - (*'- п).
Отсюда получаем: п = 2k' - 3/'.
Сумма углов всех треугольников, с одной
стороны, равна /'• 180°, с другой — сумме углов п-уголь-
ника G плюс 360°, умноженных на число е' - п вер-
шин, лежащих внутри G:
Г • 180° = (п - 2) • 180° + 360° • (ez - и).
Отсюда находим
f = 2е' - п - 2 = 2е' - (2k' - 3/') - 2,
т. е. f' + е' - k' = 1. Но f' + е' - k' = (f - 1) + е - k. Следо-
вательно, f + е - k = 2. Теорема доказана.
30 Призма
Рассмотрим два равных многоугольника
АрА2... Ап и BjB2... Вл, расположенных в параллельных
плоскостях а и Р так, что отрезки АХВХ, А2В2, ...» АпВп.
соединяющие соответственные вершины многоуголь-
ников, параллельны (рис. 76). Каждый из п четырех-
угольников
А1А2В2В1, А2А3В3В2, ..., АпАхВхВп (1)
63
Призма. Многоугольники
... Ап и ВХВ2 ... Вп —
основания призмы. Парал*
лелограммы АХА2В2ВХ, ...»
АПА1В1ВЛ— боковые грани
Рис. 76
Многогранники
является параллелограммом, так как имеет попарно
параллельные противоположные стороны. Например,
в четырехугольнике А}А2В2ВХ стороны АХВХ и А2В2 па-
раллельны по условию, а стороны АХА2 и ВХВ2 — по
свойству параллельных плоскостей, пересеченных
третьей плоскостью (п. 11).
Многогранник, составленный из двух рав-
ных многоугольников AjA2 ... Ап и ВХВ2 ... Вл, располо-
женных в параллельных плоскостях, и п параллело-
граммов (1), называется призмой (см. рис. 76).
Многоугольники АХА2 ... Ап и ВХВ2 ... Вп на-
зываются основаниями, а параллелограммы (1) — бо-
ковыми гранями призмы. Отрезки АХВХ, А2В2, ..., АпВп
называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как
противоположные стороны параллелограммов (1), по-
следовательно приложенных друг к другу, равны
и параллельны. Призму с основаниями AjA2 • ••Ап
и ВХВ2 ... Вп обозначают АХА2 ... АпВхВ2 ... Вп и назы-
вают n-угольной призмой. На рисунке 77 изображены
треугольная и шестиугольная призмы, а на рисун-
ке 70, б — четырехугольная призма, являющаяся па-
раллелепипедом .
Перпендикуляр, проведенный из какой-ни-
будь точки одного основания к плоскости другого осно-
вания, называется высотой призмы.
Если боковые ребра призмы перпендику-
лярны к основаниям, то призма называется прямой,
в противном случае — наклонной. Высота прямой
призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной,
если ее основания — правильные многоугольники.
У такой призмы все боковые грани — равные прямо-
угольники (объясните почему). На рисунке 77 изобра-
жена правильная шестиугольная призма.
Площадью полной поверхности призмы на-
зывается сумма площадей всех ее граней, а площадью
боковой поверхности призмы — сумма площадей ее
боковых граней. Площадь вполн полной поверхности
выражается через площадь S^K боковой поверхности
и площадь S(X.H основания призмы формулой
^палн — ^бсж + 28^.
Докажем теорему о площади боковой поверх-
ности прямой призмы.
64
Рис. 77
Л/ ногогра нники
Теорема
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна
произведению периметра основания на высоту призмы.
Доказательство
Боковые грани прямой призмы — прямо-
угольники, основания которых — стороны основания
призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь
боковой поверхности призмы равна сумме площадей
указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произ-
ведений сторон основания на высоту h. Вынося мно-
житель h за скобки, получим в скобках сумму сторон
основания призмы, т. е. его периметр Р. Итак, S6oK = Ph.
Теорема доказана.
31* Пространственная теорема Пифагора
Решим сначала такую задачу.
Задача
Найти площадь Sj прямоугольной проекции
многоугольника с площадью S на плоскость а, если
угол между плоскостью многоугольника и плоскостью а
равен ф (0° < ф < 90°).
Решение
а)	Начнем с того случая, когда данный
многоугольник является треугольником, одна из сто-
рон которого лежит в плоскости а. Обратимся к рисун-
ку 78, а, на котором сторона АВ треугольника АВС ле-
жит в плоскости а, отрезок ССХ — перпендикуляр, про-
веденный из точки С к плоскости а, и, следовательно,
треугольник АВСХ — проекция треугольника АВС на
эту плоскость. Пусть отрезок СХН — высота треугольни-
ка АВСХ. Тогда отрезок СН — высота треугольника АВС
(по теореме о трех перпендикулярах), a Z.CHCX = ф (объ-
ясните почему). Так как
S^AB-CJi, S = ±AB CH, CtH = CH • cos <p,
TO
8j = 8 • cos ф.	(2)
б)	Если сторона AB данного треугольни-
ка АВС параллельна плоскости а (рис. 78, б; на этом
б)
3 — Л. С. Атанасян
65
М н огогра нники
рисунке треугольник AjBjCj — проекция треугольни-
ка АВС, плоскость АВС2 параллельна плоскости а),
то, согласно доказанному, площадь треугольника АВС2
равна S • cos (р. Но треугольник АВС2 равен треуголь-
нику AjBjC, (докажите это), поэтому его площадь рав-
на Таким образом, и в этом случае площадь про-
екции треугольника АВС с площадью S выражается
формулой (2).
в) Рассмотрим, наконец, произвольный
многоугольник с площадью S. Разобьем его на тре-
угольники. Если ни одна из сторон какого-то из них
не параллельна плоскости а и не лежит в ней, то разо-
бьем этот треугольник на два треугольника отрезком,
проведенным через одну из его вершин параллельно
плоскости а (рис. 78, в), либо в самой плоскости а
(рис. 78, г). Выразим площадь проекции каждого тре-
угольника по формуле (2) и сложим эти площади. Вы-
неся за скобки общий множитель cos <р, получим
в скобках сумму площадей треугольников, т. е. пло-
щадь В данного многоугольника. Таким образом, пло-
щадь Sj проекции многоугольника выражается фор-
мулой (2).
Воспользуемся этим для доказательства
утверждения, получившего название пространствен-
ная теорема Пифагора.
Теорема
Если все плоские углы при одной из вершин тетраэд-
ра — прямые, то квадрат площади грани, противоле-
жащей этой вершине, равен сумме квадратов площа-
дей остальных граней.
Доказательство
Рассмотрим тетраэдр ОАВС, в котором
ZAOB = ZBOC = ZCOA = 90°. Пусть Sc, SA, SB и S —
площади треугольников ОАВ, ОВС, ОСА и АВС, а, Р,
у — величины двугранных углов с ребрами АВ, ВС,
СА, точка D — проекция точки О на плоскость грани
АВС (рис. 79). Поскольку а < 90°, р < 90°, у < 90° (до-
кажите это), то точка D лежит внутри треугольника
АВС. Треугольники ОАВ, ОВС и ОСА являются проек-
циями треугольника АВС, поэтому Sc = S cos а,
SA = S cos p, SB = S cos y.
Треугольники ABD, BCD и CAD являются
проекциями треугольников ОАВ, ОВС и ОСА на плос-
Рис. 79
66
М и огогра н н и к и
кость грани АВС, причем сумма площадей этих
треугольников равна площади S треугольника АВС.
Таким образом,
(S cos а) • cos а + (S cos (3) • cos [3 + (S cos у) • cos у =
= S (cos2 а + cos2 p + cos2 y) = S.
Следовательно, cos2 а + cos2 p + cos2 y= 1. Поэтому
Sc2 + SA2 + SB2 = S2 (cos2 а + cos2 p + cos2 y) = S2.
Теорема доказана.
Задачи
218 Докажите, что: а) у прямой призмы все боковые грани — прямо-
угольники; б) у правильной призмы все боковые грани — равные
прямоугольники.
219 В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны
12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью
основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.
220 Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналя-
ми 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите
большую диагональ параллелепипеда.
221 Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см,
боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего
через сторону верхнего основания и противолежащую вершину
нижнего основания.
222 Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция
с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные
углы при боковых ребрах призмы.
223 Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь
которого равна 64 х 2 см2. Найдите ребро куба и его диагональ.
224 Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена
к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сече-
ния, проходящего через сторону нижнего основания и противоле-
жащую сторону верхнего основания, если диагональ основания
равна 4 <2 см.
225 Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плос-
костью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю
и плоскостью основания.
226 В правильной четырехугольной призме через диагональ основания
проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите пло-
щадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее вы-
сота равна 4 см.
227 Основание призмы — правильный треугольник АВС. Боковое реб-
ро ААХ образует равные углы со сторонами основания АС и АВ.
Докажите, что: а) ВС б) ССХВХВ — прямоугольник.
3*
М н агогра нники
228 Основанием наклонной призмы АВСА}В}С} является равнобедрен-
ный треугольник АВС, в котором АС = АВ = 13 см, ВС = 10 см,
а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол
в 45°. Проекцией вершины Ах является точка пересечения медиан
треугольника АВС. Найдите площадь грани ССХВ}В.
229 В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высо-
та равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности приз-
мы, если: а) л = 3, а = 10 см, h = 15 см; б) л = 4, а = 12 дм, h = 8 дм;
в) л = 6, а = 23 см, h = 5 дм; г) л = 5, а = 0,4 м, h = 10 см.
230 Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см
и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей бо-
ковых граней равна 35 см2. Найдите площадь боковой поверхно-
сти призмы.
231 Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см
и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сече-
ний* равна 130 см2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
232 Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует
с плоскостью основания угол ф, а с одной из боковых граней —
угол а. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
233 Основанием прямой призмы АВСАХВХСХ является прямоугольный
треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ} проведено
сечение BB}DXD, перпендикулярное к плоскости грани ААХСХС.
Найдите площадь сечения, если ААХ = 10 см, AD = 27 см,
DC = 12 см.
234 Основанием прямой призмы является прямоугольный треуголь-
ник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведе-
на плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты равны 20 см
и 21 см, а боковое ребро равно 42 см.
235 Основанием прямой призмы является прямоугольный треуголь-
ник с острым углом ф. Через катет, противолежащий этому углу,
и через противоположную этому катету вершину основания
проведено сечение, составляющее угол 0 с плоскостью основа-
ния. Найдите отношение площади боковой поверхности призмы
к площади сечения.
236 Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы
равна произведению периметра перпендикулярного сечения** на
боковое ребро.
237 Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см,
а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Сечение параллелепипеда называется диагональным, если
оно содержит какую-нибудь его диагональ и боковое ребро.
^Перпендикулярным сечением наклонной призмы называется
ее сечение плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам
и пересекающей их.
А/ ногогра нники
238 В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно пер-
пендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боко-
вых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боко-
вой поверхности призмы.
Пирамида
32	Пирамида
Рассмотрим многоугольник А}А2 ... Ап и
точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольни-
ка. Соединив точку Р отрезками с вершинами много-
угольника, получим п треугольников (рис. 80):
PAiA2, РА2А3, •••» PAnAi.	(1)
Многогранник, составленный из п-уголь-
ника Ap42 ... 4 и л треугольников (1), называется пи-
рамидой. Многоугольник AiA2 ... Ап называется осно-
ванием, а треугольники (1) — боковыми гранями
пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды,
а отрезки РАИ РА2, ..., РАп — ее боковыми ребрами.
Пирамиду с основанием AjA2 ... Ап и вершиной Р обо-
значают так: РА,А2 ... Ап — и называют п-угольной
пирамидой. На рисунке 81 изображены четырехуголь-
ная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треуголь-
ная пирамида — это тетраэдр.
Перпендикуляр, проведенный из вершины
пирамиды к плоскости основания, называется высотой
пирамиды. На рисунке 80 отрезок PH является высо-
той пирамиды.
Площадью полной поверхности пирамиды
называется сумма площадей всех ее граней (т. е. осно-
вания и боковых граней), а площадью боковой поверх-
ности пирамиды — сумма площадей ее боковых гра-
ней. Очевидно, Sn<w,B =
33	Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если ее
основание — правильный многоугольник, а отрезок,
соединяющий вершину пирамиды с центром основа-
ния*, является ее высотой (рис. 82).
Пирамида. Многоуголь-
ник А0.2^3 •••Ая —
основание пирамиды.
Треугольники AjPA2.
А2РА3, .... АпРАх— боко-
вые грани. Р — вершина
пирамиды
Рис. 80
Рис. 81
Напомним, что центром правильного многоугольника назы-
вается центр вписанной в него окружности.
М ногогра мни ки
Докажем, что все боковые ребра правиль-
ной пирамиды равны, а боковые грани являются рав-
ными равнобедренными треугольниками.
Рассмотрим правильную пирамиду
РАХА2... Ап (см. рис. 82). Сначала докажем, что все бо-
ковые ребра этой пирамиды равны. Любое боковое реб-
ро представляет собой гипотенузу прямоугольного тре-
угольника, одним катетом которого служит высота РО
пирамиды, а другим — радиус описанной около ос-
нования окружности (например, боковое ребро РАХ —
гипотенуза треугольника ОРА1Э в котором ОР = Л,
ОАХ = Я). По теореме Пифагора любое боковое ребро
равно <Л2Я2, поэтому
РА1 = РА2 = ... = РАП.
Мы доказали, что боковые ребра правиль-
ной пирамиды РАХА2 ... Ап равны друг другу, поэтому
боковые грани — равнобедренные треугольники. Осно-
вания этих треугольников также равны друг другу, так
как АхА2 ... Ап — правильный многоугольник. Следова-
тельно, боковые грани равны по третьему признаку ра-
венства треугольников, что и требовалось доказать.
Высота боковой грани правильной пирами-
ды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
На рисунке 82 отрезок РЕ — одна из апофем. Ясно, что
все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.
Докажем теорему о площади боковой по-
верхности правильной пирамиды.
Теорема
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
равна половине произведения периметра основания на
апофему.
Доказательство
Боковые грани правильной пирамиды —
равные равнобедренные треугольники, основания кото-
рых — стороны основания пирамиды, а высоты равны
апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды
равна сумме произведений сторон основания на поло-
вину апофемы d. Вынося множитель за скобки, по-
лучим в скобках сумму сторон основания пирамиды,
т. е. его периметр. Теорема доказана.
Л/ н огогра н ники
34	Усеченная пирамида
Возьмем произвольную пирамиду РА}А2 ... Ап
и проведем секущую плоскость [3, параллельную плос-
кости а основания пирамиды и пересекающую боковые
ребра в точках В2, ..., Вп (рис. 83). Плоскость р раз-
бивает пирамиду на два многогранника. Многогранник,
гранями которого являются n-угольники АХА2 ... Ап
и ВХВ2 ... Вп (нижнее и верхнее основания), располо-
женные в параллельных плоскостях, и п четырех-
угольников АХА2В2ВХ, А2А3В3В2, ..., АпАхВхВп (боковые
грани), называется усеченной пирамидой.
Отрезки AjBj, А2В2, ..., АпВп называются
боковыми ребрами усеченной пирамиды.
Усеченную пирамиду с основаниями АХА2... Ап
и ВхВ2...Вп обозначают так: АХА2 ... АпВхВ2... Вп.
Перпендикуляр, проведенный из какой-
нибудь точки одного основания к плоскости другого
основания, называется высотой усеченной пирами-
ды. На рисунке 83 отрезок СН является высотой усе-
ченной пирамиды.
Докажем, что боковые грани усеченной пи-
рамиды — трапеции. Рассмотрим, например, боковую
грань А}А2В2ВХ (см. рис. 83). Стороны А}А2 и В}В2 па-
раллельны, поскольку принадлежат прямым, по кото-
рым плоскость РАХА2 пересекается с параллельными
плоскостями а и р. Две другие стороны АХВХ и А2В2
этой грани не параллельны — их продолжения пересе-
каются в точке Р. Поэтому данная грань — трапеция.
Аналогично можно доказать, что и остальные боковые
грани — трапеции.
Усеченная пирамида называется правиль-
ной, если она получена сечением правильной пирами-
ды плоскостью, параллельной основанию. Основания
правильной усеченной пирамиды — правильные много-
угольники, а боковые грани — равнобедренные тра-
пеции (докажите это). Высоты этих трапеций называ-
ются апофемами. Площадью боковой поверхности усе-
ченной пирамиды называется сумма площадей ее
боковых граней.
Р
Усеченная пирамида
Рис. 83
Теорема
Площадь боковой поверхности правильной усеченной
пирамиды равна произведению полусуммы перимет-
ров оснований на апофему.
▼ Докажите эту теорему самостоятельно. Д
М н агогра нники
Задачи
239 Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна
5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пи-
рамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диаго-
налей основания и равна 7 см.
240 Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны кото-
рого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см2. Высота пи-
рамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания
и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пира-
миды.
241 Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м
и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит че-
рез точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите
площадь полной поверхности пирамиды.
242 Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер
перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой гра-
ни, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоско-
сти основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно
12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверх-
ности пирамиды.
243 Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у кото-
рого АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см; ребро AD перпендикулярно
к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой по-
верхности пирамиды.
244 Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треуголь-
ник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, а катет АС равен
21 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основа-
ния и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пира-
миды.
245 Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ кото-
рого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикуляр-
ны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют
с основанием углы в 30° и 45°. Найдите площадь поверхности пи-
рамиды.
246 Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боко-
вой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см.
а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окруж-
ности, вписанной в ее основание, б) Найдите площадь основания
пирамиды, если его периметр равен 42 см.
247 Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что:
а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписан-
ной в основание пирамиды; б) высоты всех боковых граней, про-
веденные из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой по-
верхности пирамиды равна половине произведения периметра
основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины пи-
рамиды.
Многое ран ники
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см,
10 см и 10 см. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к осно-
ванию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пи-
рамиды.
В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что:
а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описан-
ной около основания; б) все боковые ребра пирамиды составляют
равные углы с плоскостью основания.
Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник
с углом 120°. Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см,
углы в 45°. Найдите площадь основания пирамиды.
Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треуголь-
ник с гипотенузой ВС. Боковые ребра пирамиды равны друг дру-
гу, а ее высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды,
если ВС = 10 см.
Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник
АВС, в котором стороны АВ и АС равны, ВС = 6 см, высота АН рав-
на 9 см. Известно также, что DA = DB = DC = 13 см. Найдите высоту
пирамиды.
Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с осно-
ваниями 6 см и 4 х 6 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пи-
рамиды равно 13 см. Найдите ее высоту.
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а,
высота равна Н. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плос-
кий угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым реб-
ром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой
гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боко-
вом ребре пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна
8 см, а плоский угол при вершине равен ф. Найдите высоту этой
пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
т, а плоский угол при вершине равен а. Найдите: а) высоту пира-
миды; б) боковое ребро пирамиды; в) угол между боковой гранью
и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре
пирамиды.
Высота правильной треугольной пирамиды равна Л, а двугранный
угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь поверх-
ности пирамиды.
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует
угол в 60° с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности
пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания рав-
на 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания ра-
вен 60°. Найдите боковое ребро пирамиды.
М ногогранники
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
В правильной треугольной пирамиде DABC через боковое ребро DC
и высоту DO пирамиды проведена плоскость а. Докажите, что:
а) ребро АВ перпендикулярно к плоскости а; б) перпендикуляр,
проведенный из вершины С к апофеме грани ADB, является пер-
пендикуляром к плоскости ADB.
Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещиваю-
щиеся ребра взаимно перпендикулярны.
Докажите, что плоскость, проходящая через высоту правильной
пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости
боковой грани.
В правильной пирамиде MABCD точки К, L и N лежат соответ-
ственно на ребрах ВС, МС и AD, причем KN || BA, KL || ВМ.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью KLN и определите
вид сечения, б) Докажите, что плоскость KLN параллельна плос-
кости AM В.
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиуголь-
ной пирамиды, если сторона ее основания равна а, а площадь бо-
ковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину
пирамиды и большую диагональ основания.
В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к пло-
скости основания под углом 60°. Через сторону основания проведена
плоскость под углом 30° к плоскости основания. Найдите площадь
получившегося сечения, если сторона основания пирамиды равна
12 см.
Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые
ребра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами
6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диаго-
наль основания параллельно боковому ребру.
Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию.
Докажите, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой
плоскостью на пропорциональные части.
Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четы-
рехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении
1 : 2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усечен-
ной пирамиды равна 4 дм, а площадь ее полной поверхности равна
186 дм2. Найдите высоту усеченной пирамиды.
Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды
равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту
и апофему пирамиды.
Основаниями усеченной пирамиды являются правильные тре-
угольники со сторонами 5 см и 3 см соответственно. Одно из боко-
вых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскостям оснований и
равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пи-
рамиды.
Многогранники
Правильные многогранники
35	Симметрия в пространстве
В планиметрии мы рассматривали фигуры,
симметричные относительно точки и относительно
прямой. В стереометрии рассматривают симметрию от-
носительно точки, прямой и плоскости.
Точки А и называются симметричными
относительно точки О (центр симметрии), если О — се-
редина отрезка ААХ (рис. 84, а). Точка О считается
симметричной самой себе.
Точки А и Ах называются симметричными
относительно прямой а (ось симметрии), если пря-
мая а проходит через середину отрезка АА{ и перпенди-
кулярна к этому отрезку (рис. 84, б). Каждая точка
прямой а считается симметричной самой себе.
Точки А и Aj называются симметричными
относительно плоскости а (плоскость симметрии), если
плоскость а проходит через середину отрезка ААг и пер-
пендикулярна к этому отрезку (рис. 84, в). Каждая точ-
ка плоскости а считается симметричной самой себе.
Введем понятия центра, оси, плоскости
симметрии фигуры. Точка (прямая, плоскость) называ-
ется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры,
если каждая точка фигуры симметрична относительно
нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет
центр (ось, плоскость симметрии), то говорят, что она
обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.
На рисунках 85, а, б, в показаны центр О,
ось а и плоскость а симметрии прямоугольного парал-
М ног огра нники
лелепипеда. Параллелепипед, не являющийся прямо-
угольным, но являющийся прямой призмой, имеет
плоскость (или плоскости, если его основание — ромб),
ось и центр симметрии.
Фигура может иметь один или несколько
центров симметрии (осей, плоскостей симметрии).
Например, куб имеет только один центр симметрии и
несколько осей и плоскостей симметрии. Существуют
фигуры, имеющие бесконечно много центров, осей
или плоскостей симметрии. Простейшими из таких
фигур являются прямая и плоскость. Любая точка
плоскости является ее центром симметрии. Любая
прямая (плоскость), перпендикулярная к данной
плоскости, является ее осью (плоскостью) симмет-
рии. С другой стороны, существуют фигуры, не
имеющие центров, осей или плоскостей симметрии.
Например, параллелепипед, не являющийся прямой
призмой, не имеет оси симметрии, но имеет центр
симметрии и может иметь (подумайте, в каком слу-
чае) плоскость симметрии; призма и пирамида в об-
щем случае не имеют ни плоскости, ни оси, ни цент-
ра симметрии (плоскость, ось или центр симметрии
у этих многогранников могут быть лишь в некоторых
частных случаях).
С симметрией мы часто встречаемся в при-
роде, архитектуре, технике, быту. Так, многие здания
симметричны относительно плоскости, например глав-
ное здание Московского государственного университета
(рис. 86), некоторые виды деталей имеют ось симмет-
рии. Почти все кристаллы, встречающиеся в природе,
имеют центр, ось или плоскость симметрии (рис. 87).
В геометрии центр, оси и плоскости симметрии много-
гранника называются элементами симметрии этого
многогранника.
Рис. 86
Рис. 87
36	Понятие правильного многогранника
Выпуклый многогранник называется пра-
вильным, если все его грани — равные правильные
многоугольники и в каждой его вершине сходится одно
и то же число ребер. Примером правильного много-
гранника является куб. Все его грани — равные квад-
раты, и к каждой вершине сходятся три ребра.
Очевидно, все ребра правильного много-
гранника равны друг другу. Можно доказать, что рав-
76
М ногигра пни к и
ны также все двугранные углы, содержащие две грани
с общим ребром.
Докажем, что не существует правильного
многогранника, гранями которого являются правиль-
ные шестиугольники, семиугольники и вообще п-уголь-
ники при п > 6. В самом деле, угол правильного п-уголь-
ника при л >6 не меньше 120° (объясните почему).
С другой стороны, при каждой вершине многогранника
должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому ес-
ли бы существовал правильный многогранник, у кото-
рого грани — правильные n-угольники при п > 6, то
сумма плоских углов при каждой вершине такого мно-
гогранника была бы не меньше чем 120° • 3 = 360°. Но
это невозможно, так как сумма всех плоских углов
при каждой вершине выпуклого многогранника мень-
ше 360° (п. 27).
По этой же причине каждая вершина пра-
вильного многогранника может быть вершиной либо
трех, четырех или пяти равносторонних треугольни-
ков, либо трех квадратов, либо трех правильных пяти-
угольников. Других возможностей нет.
В соответствии с этим получаем следующие
правильные многогранники:
Правильный тетраэдр* (рис. 88) составлен
из четырех равносторонних треугольников. Каждая
его вершина является вершиной трех треугольников.
Следовательно, сумма плоских углов при каждой вер-
шине равна 180°.
Правильный октаэдр (рис. 89) составлен
из восьми равносторонних треугольников. Каждая
вершина октаэдра является вершиной четырех тре-
угольников. Следовательно, сумма плоских углов при
каждой вершине равна 240°.
Правильный икосаэдр (рис. 90) составлен
из двадцати равносторонних треугольников. Каждая
вершина икосаэдра является вершиной пяти треуголь-
ников. Следовательно, сумма плоских углов при каж-
дой вершине равна 300°.
Правильный тетраэдр
Рис. 88
Правильный октаэдр
Рис. 89
Правильный икосаэдр
Рис. 90
Мы различаем правильный тетраэдр и правильную треуголь-
ную пирамиду. В отличие от правильного тетраэдра, все реб-
ра которого равны, в правильной треугольной пирамиде боко-
вые ребра равны друг другу, но они могут быть не равны реб-
рам основания пирамиды.
Многогранники
Куб (рис. 91) составлен из шести квадратов.
Каждая вершина куба является вершиной трех квадра-
тов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой
вершине равна 270°.
Правильный додекаэдр (рис. 92) составлен
из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая
вершина додекаэдра является вершиной трех правиль-
ных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских уг-
лов при каждой вершине равна 324°.
Других видов правильных многогранников,
кроме перечисленных пяти, нет.
Замечания
1.	Число граней /, ребер k и вершин е каж-
дого из правильных многогранников можно найти с по-
мощью теоремы Эйлера. В самом деле, пусть гг — число
ребер каждой грани, т — число ребер, сходящихся к
каждой вершине. Поскольку каждое ребро принадле-
жит двум граням, то nf = 2k. Кроме того, те = 2k (так
как каждое ребро содержит две вершины) и по теореме
Эйлера f + е - k = 2. Из этих трех равенств находим:
f ^т k %тп е
2т 2п тп * 2т 2п тп ’ 2т 2п тп '
Таким образом,
у правильного тетраэдра (и = 3, т = 3):
/=4, /2 = 6, е = 4;
у правильного октаэдра (п = 3, т = 4):
/=8, /2 = 12, е = 6;
у правильного икосаэдра (п = 3, т = 5):
/ = 20, /2 = 30, е = 12;
у куба (п = 4, т = 3): f = 6, /2 = 12, е = 8;
у правильного додекаэдра (и = 5, т = 3):
/=12, /г = 30, е=20.
2.	Мы доказали, что существует не более
пяти видов правильных многогранников, но не доказа-
ли, что каждый из указанных многогранников дей-
ствительно существует. Существование правильного
тетраэдра правильной треугольной пирамиды со сто-
х	ч	- чб
ронои основания, равной а, и высотой, равной -~-а и
куба очевидно. Центры граней куба являются верши-
нами правильного октаэдра (докажите это), поэтому
существование правильного октаэдра не вызывает со-
мнений. Правильный икосаэдр составлен из двух
правильных пятиугольных пирамид и многогранника,
78
Куб
Рис. 91
Правильный додекаэдр
Рис. 92
М н огогра н ники
отдаленно напоминающего пятиугольную призму.
Высоты пирамид и этого многогранника легко выража-
ются через ребро а (как?), поэтому существование пра-
вильного икосаэдра также не вызывает сомнений. Нако-
нец, центры граней правильного икосаэдра являются
вершинами правильного додекаэдра (убедитесь в этом),
поэтому правильный додекаэдр тоже существует.
Отметим, что в существовании всех пяти
правильных многогранников можно убедиться воочию,
если склеить их из разверток (задания 271—275).
37	Элементы симметрии
правильных многогранников
Рассмотрим элементы симметрии правиль-
ных многогранников. Правильный тетраэдр не имеет
центра симметрии. Прямая, проходящая через середи-
ны двух противоположных ребер, является его осью
симметрии. Плоскость а, проходящая через ребро АВ
перпендикулярно к противоположному ребру CD пра-
вильного тетраэдра ABCD, является плоскостью сим-
метрии (рис. 93). Правильный тетраэдр имеет три оси
симметрии и шесть плоскостей симметрии.
Куб имеет один центр симметрии — точку
пересечения его диагоналей. Прямые а и Ь, проходя-
щие соответственно через центры противоположных
граней и середины двух противоположных ребер, не
принадлежащих одной грани, являются его осями сим-
метрии (рис. 94). Куб имеет девять осей симметрии.
Все оси симметрии проходят через центр симметрии.
Плоскостью симметрии куба является плоскость, про-
ходящая через любые две оси симметрии. Куб имеет
девять плоскостей симметрии.
Правильный октаэдр, правильный икоса-
эдр и правильный додекаэдр имеют центр симметрии и
несколько осей и плоскостей симметрии. Попробуйте
подсчитать их число.
Рис. 95
Практические задания
271 Перерисуйте развертку правильного тетраэд-
ра (рис. 95) на плотный лист бумаги в боль-
шем масштабе, вырежьте развертку (сделав
необходимые припуски для склеивания) и
склейте из нее тетраэдр.
272 Перерисуйте развертку куба (рис. 96) на
плотный лист бумаги в большем масштабе,
вырежьте развертку и склейте из нее куб.
Рис. 96
79
М ногогра мни к и
273 Перерисуйте развертку правильного октаэдра (рис. 97) на плотный
лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте
из нее октаэдр.
274 Перерисуйте развертку правильного додекаэдра (рис. 98) на плот-
ный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и
склейте из нее додекаэдр.
275 Перерисуйте развертку правильного икосаэдра (рис. 99) на плот-
ный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и
склейте из нее икосаэдр.
Вопросы и задачи
276 Сколько центров симметрии имеет: а) параллелепипед; б) пра-
вильная треугольная призма; в) двугранный угол; г) отрезок?
277 Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) правильный тре-
угольник; в) куб?
278 Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильная четырех-
угольная призма, отличная от куба; б) правильная четырехуголь-
ная пирамида; в) правильная треугольная пирамида?
279 Найдите угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими
общий конец.
280 Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения, проходящего через
диагонали двух его граней.
281 В кубе ABCDA}BxCyD} из вершины Dx проведены диагонали граней
DXA, D}C и D}B} и концы их соединены отрезками. Докажите, что
многогранник DXAB£ — правильный тетраэдр. Найдите отноше-
ние площадей поверхностей куба и тетраэдра.
282 Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые
имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани (см. рис. 89).
283 В правильном тетраэдре DABC ребро равно а. Найдите площадь се-
чения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани АВС:
а) параллельно грани BDC; б) перпендикулярно к ребру AD.
284 От каждой вершины правильного тетраэдра с ребром 2 отсекают
тетраэдр с ребром 1. Какая фигура получится в результате?
285 Докажите, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие
центры граней, равны друг другу.
286 В правильном тетраэдре h — высота, т — ребро, ап — расстояние
между центрами его граней. Выразите: а) т через Л; б) п через т.
М погогра нники
287
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
288
289
290
291
Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между:
а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух
смежных граней; в) противоположными гранями.
Вопросы к главе III
Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?
Призма имеет п граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?
Является ли призма прямой, если две ее смежные боковые грани
перпендикулярны к плоскости основания?
В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?
Является ли призма правильной, если все ее ребра равны друг другу?
Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы
являться и высотой призмы?
Существует ли призма, у которой: а) боковое ребро перпендику-
лярно только одному ребру основания; б) только одна боковая
грань перпендикулярна к основанию?
Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, прохо-
дящей через средние линии оснований, на две призмы. Как отно-
сятся площади боковых поверхностей этих призм?
Будет ли пирамида правильной, если ее боковыми гранями явля-
ются правильные треугольники?
Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, мо-
жет иметь пирамида?
Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противопо-
ложные боковые грани перпендикулярны к основанию?
Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными
треугольниками?
Можно ли из куска проволоки длиной 66 см изготовить каркас-
ную модель правильной четырехугольной пирамиды со стороной
основания, равной 10 см?
На какие многогранники рассекается треугольная призма плоско-
стью, проходящей через вершину верхнего основания и противоле-
жащую ей сторону нижнего основания?
Дополнительные задачи
Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер
кратно 3.
Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2d2, где
d — диагональ куба.
Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепи-
педа, равной I, и одной из сторон основания равен (р. Угол между
этой стороной и диагональю параллелепипеда равен 0. Найдите
площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.
В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует
с плоскостью основания угол ф, а с одной из сторон основания —
угол 0. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
М ногогра н н и к и
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
В правильной четырехугольной призме сторона основания равна
6 см, боковое ребро равно 8 см. Найдите расстояние от стороны
основания до не пересекающей ее диагонали призмы.
В правильной четырехугольной призме ABCDAXBXCXDX диагонали
BXD и DXB взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между
диагоналями АХС и BXD призмы равен 60°.
Правильная четырехугольная призма пересечена плоскостью, со-
держащей две ее диагонали. Площадь сечения равна So, а сторона
основания а. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX является
ромб. Боковое ребро ССХ составляет равные углы со сторонами
основания CD и СВ. Докажите, что: а) ССХ ± BD; б) BBXDXD —
прямоугольник; в) BD1AAXCX; г) ААХСХ ± BBXDX.
Высота правильной треугольной призмы равна h. Плоскость а,
проведенная через среднюю линию нижнего основания и парал-
лельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью
нижнего основания острый двугранный угол <р. Найдите площадь
сечения призмы плоскостью а.
Основанием треугольной призмы АВСАХВХСХ является правильный
треугольник ABC, BD — высота этого треугольника, а вершина Ах
проектируется в его центр. Докажите, что: a) AXBD 1ААХСХ;
б) ААХО ± BBjC; в) грань ВВХСХС — прямоугольник.
Основание параллелепипеда с боковым ребром b — квадрат со сто-
роной а. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от вер-
шин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности.
Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона
основания равна т, а площадь боковой поверхности вдвое больше
площади основания.
В правильной треугольной пирамиде DABC точки В, F и Р — сере-
дины сторон ВС, АВ и АО. Определите вид сечения, проходящего
через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания
пирамиды равна а, боковое ребро равно Ь.
Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пи-
рамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины В до бокового
ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды.
Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами
3 см и 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды прохо-
дит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см.
Найдите боковые ребра пирамиды.
Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпен-
дикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол
в 120°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основа-
ния под углом в 30°. Найдите площадь поверхности пирамиды,
если ее высота равна 12 см.
В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вер-
шине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой
Л/ ногогри нники
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла
при боковом ребре.
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна й, плоский
угол при вершине равен а. Найдите площадь боковой поверхности.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и состав-
ляет угол (р с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной
поверхности пирамиды.
В правильной пирамиде MABCD AM - d, AD - а. а) Постройте се-
чение пирамиды плоскостью а, проходящей через диагональ BD
основания параллельно ребру МА, и найдите площадь сечения,
б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости а.
Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей
диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см, проходит че-
рез точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты боко-
вых граней пирамиды, проведенные из ее вершины.
Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является
прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна
6 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сто-
рону и середину высоты.
В пирамиде DABC ребро DA перпендикулярно к плоскости АВС.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если АВ = АС =
= 25 см, ВС = 40 см, DA = 8 см.
Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами
АС = 13 см, АВ = 15 см, СВ = 14 см. Боковое ребро DA перпенди-
кулярно к плоскости основания и равно 9 см. а) Найдите площадь
полной поверхности пирамиды, б) Докажите, что основание пер-
пендикуляра, проведенного из вершины А к плоскости грани BDC,
лежит на высоте этой грани, и найдите длину этого перпендикуляра.
В правильной n-угольной пирамиде боковые грани составляют
с плоскостью основания угол ф. Найдите тангенс угла между плос-
костью основания и боковым ребром.
Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды
равны 12 дм и 6 дм, а ее высота 1 дм. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна
63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7 : 3.
Найдите стороны оснований пирамиды.
Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вер-
шинами куба.
Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются
вершинами другого правильного тетраэдра.
Докажите, что центры граней куба являются вершинами правиль-
ного октаэдра.
Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра
и двугранного угла правильного октаэдра равна 180°.
Сколько плоскостей симметрии, проходящих через данную верши-
ну, имеет правильный тетраэдр?
М н огогра н ники
Глава IV
Векторы в пространстве
Понятие вектора в пространстве
38	Понятие вектора
В курсе планиметрии мы познакомились
с векторами на плоскости и действиями над ними.
Основные понятия для векторов в пространстве вводят-
ся так же, как и для векторов на плоскости.
Отрезок, для которого указано, какой из
его концов считается началом, а какой — концом, на-
зывается вектором. Направление вектора (от начала
к концу) на рисунках отмечается стрелкой. Любая точ-
ка пространства также может рассматриваться как
вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало
и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет
какого-либо определенного направления. На рисун-
—*•	——►
ке 100, а изображены ненулевые векторы АВ и CD и
—>•
нулевой вектор ТТ, а на рисунке 100, б — ненулевые
векторы 5, Ъ и с, имеющие общее начало. Нулевой век-
тор обозначается также символом 0.
—*
Длиной ненулевого вектора АВ называется
► [
длина отрезка АВ. Длина вектора АВ (вектора а) обо-
значается так: | АВ \ (| а |). Длина нулевого вектора счи-
тается равной нулю: |0| = 0.
Два ненулевых вектора называются кол-
линеарными, если они лежат на одной прямой или на
>
параллельных прямых. Если два ненулевых вектора АВ
и CD коллинеарны и если при этом лучи АВ и CD со-
—*	—►
направлены, то векторы АВ и CD называются со-
направленными, а если эти лучи не являются
сонаправленными, то векторы АВ и CD называются
противоположно направленными. Нулевой вектор усло-
вимся считать сонаправленным с любым вектором.
Запись a ttd обозначает, что векторы а и b сонаправлены,
84
Векторы в пространстве
а запись ? tl d — что векторы end противоположно
направлены. На рисунке 101 изображен параллелепи-
пед. На этом рисунке AM tt DK, AOtt ЕК, ABU DC;
—►	—►
векторы AD и AM не являются ни сонаправленными,
ни противоположно направленными, так как они не
коллинеарны.
Изучая векторы на плоскости, мы отмеча-
ли, что многие физические величины, например сила,
перемещение, скорость, являются векторными величи-
нами. При изучении электрических и магнитных явле-
ний появляются новые примеры векторных величин.
Электрическое поле, создаваемое в пространстве заря-
дами, характеризуется в каждой точке пространства
вектором напряженности электрического поля. На ри-
сунке 102, а изображены векторы напряженности элек-
трического поля положительного точечного заряда.
Электрический ток, т. е. направленное дви-
жение зарядов, создает в пространстве магнитное поле,
которое характеризуется в каждой точке пространства
вектором магнитной индукции. На рисунке 102, б изоб-
ражены векторы магнитной индукции магнитного по-
ля прямого проводника с током.
39	Равенство векторов
Векторы называются равными, если они
сонаправлены и их длины равны. На рисунке 101
AE = DK, так как АЕ U DK и |AE|=|Dtf|, а АВ * DC,
так как АВ 11 DC.
Если точка А — начало вектора а, то гово-
рят, что вектор а отложен от точки А. Нетрудно дока-
зать, что от любой точки можно отложить вектор, рав-
ный данному, и притом только один. В самом деле,
пусть а — данный вектор, М — данная точка (рис. 103).
Проведем через начало и конец вектора а и точку М
—►
плоскость и в этой плоскости построим вектор MN = а.
•  >
Очевидно, что вектор MN искомый. Из построения яс-
>
но также, что MN — единственный вектор с началом М,
равный вектору а.
Рис. 103
85
Векторы в пространстве
320
321
Вопросы и задачи
В тетраэдре ABCD точки М, N и К — сере-
дины ребер АС, ВС и CD соответственно,
АВ = 3 см, ВС = 4 см, BD = 5 см. Найдите
длины векторов:
а)	АВ, ВС, BD, NM, BN, МГ;
б)	СВ, BA, DB, NC, KN.
Измерения прямоугольного параллелепипе-
да ABCDAXBXCXDX имеют длины: AD = 8 см,
АВ = 9 см и AAj = 12 см. Найдите длины
Рис. 104
322
323
324
векторов:
a)	CCj, СВ, CD;
б)	DCX, DB, DBX.
На рисунке 104 изображен параллелепипед
ABCDAjBjCjDp Точки М и К — середины
ребер В|С, и AXDX. Укажите на этом рисунке
все пары:
а)	сонаправленных векторов;
б)	противоположно направленных векторов;
Рис. 105
в)	равных векторов.
На рисунке 105 изображен тетраэдр ABCD, ребра которого равны.
Точки М, N, Р и Q — середины сторон АВ, AD, DC, ВС.
а) Выпишите все пары равных векторов, изображенных на этом
рисунке, б) Определите вид четырехугольника MNPQ.
Справедливо ли утверждение:
а) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, коллинеарны
между собой; б) два вектора, сонаправленные с ненулевым векто-
ром, сонаправлены; в) два вектора, коллинеарные ненулевому
вектору, сонаправлены?
325
Известно, что ААХ = ВВХ. Как расположены по отношению друг
326
к другу:
а) прямые АВ и АХВХ; б) прямая АВ и плоскость, проходящая че-
рез точки Ах тл Вх; в) плоскости, одна из которых проходит через
точки А и В, а другая проходит через точки Ах и Вх?
На рисунке 104 изображен параллелепипед, точки М и К — сере-
дины ребер ВХСХ и AXDX. Назовите вектор, который получится,
если отложить:
а)	от точки С вектор, равный DDX; б) от точки D вектор, рав-
ный СМ; в) от точки А! вектор, равный АС; г) от точки Сх вектор,
—►	- ►
равный СВ; д) от точки М вектор, равный КАХ.
Векторы а пространстве
,2
Сложение и вычитание векторов.
Умножение вектора на число
40 Сложение и вычитание векторов
Введем правило сложения двух произволь-
ных векторов а и Ь. Отложим от какой-нибудь точки А
вектор АВ, равный а (рис. 106). Затем от точки В отло-
—►	—*
жим вектор ВС, равный Ь. Вектор АС называется сум-
мой векторов а и b: АС = а + b.
Это правило сложения векторов называется
правилом треугольника. Рисунок 106, а поясняет это
название. Отметим, что по этому же правилу складыва-
ются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении
и не получается треугольника. Рисунки 106, б, в иллю-
стрируют сложение коллинеарных векторов.
Точно так же, как в планиметрии, доказыва-
ется, что сумма а + Ь не зависит от выбора точки А, от
которой при сложении откладывается вектор а. Иными
словами, если при сложении векторов а и b по правилу
треугольника точку А заменить другой точкой Ар то век-
тор АС заменится равным ему вектором А}СХ (рис. 107).
Докажите это утверждение самостоятельно.
Правило треугольника можно сформулиро-
вать в такой форме: для любых трех точек А, В и С
имеет место равенство
АВ + ВС = АС.
Для сложения двух неколлинеарных векто-
ров можно пользоваться также правилом параллело-
грамма, известным из курса планиметрии. Это правило
пояснено на рисунке 108.
Свойства сложения векторов, изученные
в планиметрии, имеют место и для векторов в про-
странстве. Напомним их.
Для любых векторов а, Ъ и с справедливы равенства:
а + b = b + а (переместительный закон);
(а + Ь) + с = а + (Ь + с) (сочетательный закон).
Два ненулевых вектора называются
противоположными, если их длины равны и они
87
Векторы в пространстве
противоположно направлены. Вектором, противопо-
ложным нулевому вектору, считается нулевой век-
—►
тор. Очевидно, вектор ВА является противополож-
ным вектору АВ (рис. 109).
Разностью векторов а и b называется такой
вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а.
Разность а - b векторов а и b можно найти по формуле
a-fe = a+(-d),	(1)
где (-/?) — вектор, противоположный вектору Ь.
На рисунках 110, а, б представлены два спо-
соба построения разности двух данных векторов а и Ь.
Доказательства законов сложения и равен-
ства (1) для векторов в пространстве ничем не отлича-
ются от доказательств для векторов на плоскости.
41 Сумма нескольких векторов
Сложение нескольких векторов в простран-
стве выполняется так же, как и на плоскости: первый
вектор складывается со вторым, затем их сумма —
с третьим вектором и т. д. Из законов сложения векто-
ров следует, что сумма нескольких векторов не зави-
сит от того, в каком порядке они складываются.
На рисунке 111 показано построение суммы
трех векторов а, b и с: от произвольной точки О отложен
► t	—► -»
вектор ОА = а, затем от точки А отложен вектор АВ = Ь,
и, наконец, от точки В отложен вектор ВС = с. В ре-
зультате получается вектор ОС, равный а + Ь + с.
Аналогично можно построить сумму любого
числа векторов. На рисунке 112 построена сумма ОЕ
пяти векторов: a, b, с, d и е, Это правило построения
суммы нескольких векторов называется правилом
многоугольника. Заметим, однако, что, в отличие от
случая векторов на плоскости, «многоугольник», кото-
рый получается при построении суммы векторов
в пространстве, может оказаться пространственным,
т. е. таким, у которого не все вершины лежат в одной
плоскости. Таковым является, например, «четырехуголь-
ник» ОАВС на рисунке 111, с помощью которого по-
 "►
строен вектор ОС,
Ь
Правило параллелограм-
ма сложения двух некол-
линеарных векторов
Рис. 108
В
АВ и ВА — противопо-
ложные векторы
Рис. 109
ОА=~а, АВ = -Ь
OB = а +(-д) = а - b
ОА=~а, ОВ=~Ь
—► —► —►
ВА = а - Ь
Рис. но б)
Векторы в пространстве
Правило многоугольника можно сформули-
ровать также следующим образом: если А2, ...» Ап —
произвольные точки, то
^'2^3"*’	— AAl *
Это правило проиллюстрировано на рисун-
ке 113 для п = 7. Отметим, что если точки Aj и Ап, т. е.
начало первого вектора и конец последнего, совпадают,
то сумма векторов равна нулевому вектору.
42 Умножение вектора на число
Произведением ненулевого вектора а на
число k называется такой вектор Ь, длина которого
равна | /?| • |а|, причем векторы а и b сонаправлены
при k > О и противоположно направлены при k < 0.
Произведением нулевого вектора на любое число счи-
тается нулевой вектор.
Произведение вектора а на число k обозна-
чается так: ka. Из определения произведения вектора
на число следует, что для любого числа k и любого
вектора а векторы а и kd коллинеарны. Из этого опре-
деления следует также, что произведение любого век-
тора на число нуль есть нулевой вектор.
Напомним основные свойства умножения
вектора на число, известные нам для векторов на плос-
кости. Они имеют место и для векторов в пространстве.
Для любых векторов а, Ь и любых чисел fe, I справед-
ливы равенства:
(kl) а = k (id) (сочетательный закон);
k (а 4- b) = kd + kb (первый распределительный закон);
(k 4- I) а = kd 4- la (второй распределительный закон).
Отметим, что (-1) а является вектором,
противоположным вектору а, т. е. (-1)5 =-а. Дейст-
вительно, длины векторов (-1) а и а равны: |(-1)а| =
=|-1| • | а|=| а|. Кроме того, если вектор а ненулевой,
то векторы (-1)а и а противоположно направлены.
Точно так же, как в планиметрии, можно
доказать, что если векторы а и Ъ коллинеарны и а * 0,
то существует число k такое, что b = kd.
ОС = а + Ь + с
Рис. 111
Рис. 112
Рис. 113
89
Векторы в пространстве
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
Задачи
На рисунке 104 изображен параллелепипед АВСБА^С^. Назо-
вите вектор, начало и конец которого являются вершинами парал-
--------------------------------------► ---► > ---------►
лелепипеда, равный сумме векторов: a) AB + A1Dl; б) AB + ADx;
в) DA + В, В; г) DDX + РВ; д) DBX + ВС.
— ♦	»	——► 11 »
Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что: а) АВ + BD = АС + CD;
б)	АВ+ BC = DC +AD; в) DC + BD = AC + ВА.
Назовите все векторы, образованные ребрами параллелепипеда
ABCDAyB^C^Dy. которые: а) противоположны вектору СВ; б) про-
 » >
тивоположны вектору В} А; в) равны вектору -DC; г) равны векто-
РУ ~АХВХ.
Нарисуйте параллелепипед ABCDAXBXCXDX и обозначьте векторы
CjDj, BAj, AD соответственно через а, Ь, с. Изобразите на рисунке
векторы: а) а-b; б) а-с; в) b - а; г) с - Ь; д) с-а.
Пусть ABCD — параллелограмм, а О — произвольная точка про-
странства. Докажите, что: а) ОВ - ОА = ОС - OD; б) ОВ - ОС = DA.
На рисунке 104 изображен параллелепипед ABCDA1BiCxDl. Пред-
—►	—►
ставьте векторы АВХ и DK в виде разности двух векторов, начала
и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками.
В пространстве даны четыре точки А, В, С и D. Назовите вектор
с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов:
а) (АВ + CA+DC) + (ВС + CD); б) (АВ - АС) + DC.
Дан прямоугольный параллелепипед KLMNKXLXMXNX. Докажите,
что: &)\МК + ЛШ,| = \МК - ММХ\; б) |K^LX- WL,I = \ML + AfMj;
в) |NL-A^L| = \K?N-LN\.
Упростите выражение: а) АВ + MN + ВС + СА + PQ + NM; б) FK +
+MQ + КР + AM +QK + PF-, в) КМ + DF + АС + FK + CD + СА +
+ МР-,г) AB + BA+CD + MN+DC + NM.
►
Даны точки А, В, С и D. Представьте вектор АВ в виде алгебраиче-
—► » »	—> —►	»
ской суммы следующих векторов: а) AC, DC, BD; б) DA, DC, СВ;
в) DA, CD, ВС.
Векторы в пространстве
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
Упростите выражение: a) OP - ЕР + KD - КА; б) AD + МР + ЕК -
-ЕР-MD; в) АС - ВС - РМ - АР + ВЫ.
Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Докажите, что ОА+ОСХ =
= ОС + ОАХ, где О — произвольная точка пространства.
Дан параллелепипед АВСВАХВХСХВХ. Укажите вектор х, начало
и конец которого являются вершинами параллелепипеда, такой, что:
a) DC + Вх Aj + СВХ + х + AjCj = ВВ; б) ВА + х + Вх В + АВХ + ВА = ВС,
Дана треугольная призма АВСАХВХСХ, Укажите вектор х, начало и
конец которого являются вершинами призмы, такой, что: а) ААХ +
+ ВХС- х= ВА; б) АСХ - ВВХ + х = АВ; в) АВХ + х = АС - х + ВСХ.
Основанием четырехугольной пирамиды с вершиной Р является
трапеция АВСВ, Точка О — середина средней линии трапеции.
Докажите, что РА + РВ + PC + РВ = 4РО.
Точка Р — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Дока-
жите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных
боковыми ребрами пирамиды, равна сумме всех векторов с нача-
лом в точке Р, образованных апофемами.
Известно, что АО = | АВ, Докажите, что точки А и В симметричны
относительно точки О,
Диагонали куба АВСВАХВХСХВХ пересекаются в точке О, Найдите
число k такое, что: а) АВ = k • СВ; б) АСХ = k • АО; в) ОВХ = k • ВХВ,
Точки Е и F — середины оснований АВ и ВС параллелограмма
АВСВ, а О — произвольная точка пространства. Выразите: а) век-
тор ОА - ОС через вектор EF; б) вектор ОА - ОЕ через вектор ВС,
Точки М и N — середины оснований АВ и СВ трапеции АВСВ,
а О — произвольная точка пространства. Выразите вектор
» > >	 —>
ОМ - ON через векторы АВ и ВС,
Упростите: а) 2 (тп + п) - 3 (4/п - п) + гп; б) гп - 3 (п - 2т + р) +
+ 5(р - 4тп).
Докажите, что в параллелепипеде АВСВАХВХСХВХ АСХ + ВХВ = 2ВС,
—►	—►
Три точки А, В и М удовлетворяют условию AM = X • МВ, где
X * -1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для лю-
- w	лл	ХТ7 ОА + X • ОВ
бои точки О пространства выполняется равенство ОМ =-----------.
1 + X
Векторы в пространстве
350
351
352
353
354
Решение
Из равенства AM - X • МВ следует, что векторы AM и МВ кол-
линеарны, поэтому прямые AM и МВ либо параллельны, либо
совпадают. Так как эти прямые имеют общую точку М, то
они совпадают, и, следовательно, точки А, В и М лежат на од-
---------------------------► > > > > ►
ной прямой. Поскольку AM = ОМ - ОА, МВ = ОВ - ОМ, то из
равенства AM = Л • МВ имеем ОМ - ОА = X (ОВ - ОМ), или
—>	» >
(1 + X) ОМ = ОА + X • ОВ. Отсюда, разделив на 1 + X, получаем
искомое равенство.
Известно, что р = а + b + с, причем векторы а, b и с попарно не
сонаправлены. Докажите, что | р|<|а| +|6| +|с|.
Векторы а и с, а также b и с коллинеарны. Докажите, что коллине-
арны векторы: а) а + b и с; б) а - b и с; в) а + 36 и с; г) -а + 2Ъ и с.
Векторы а + b и а - b коллинеарны. Докажите, что векторы а и b
коллинеарны.
Векторы а + 2Ь и а - 36 коллинеарны. Докажите, что векторы а и b
коллинеарны.
Докажите, что если векторы а + 6 и а - 6 не коллинеарны, то не
коллинеарны и векторы: а) а и Ь; б) а + 26 и 2а -Ь.
§
Компланарные векторы
43 Компланарные векторы
Векторы называются компланарными, если
при откладывании их от одной и той же точки они
будут лежать в одной плоскости. Другими словами,
векторы называются компланарными, если имеются
равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Ясно, что любые два вектора компланарны;
три вектора, среди которых имеются два коллинеар-
ных, также компланарны (объясните почему), а три
произвольных вектора могут быть как компланарны-
ми, так и не компланарными. На рисунке 114 изобра-
—►	> ►
жен параллелепипед. Векторы ВВ1, OD и ОЕ компла-
нарны, так как если отложить от точки О вектор,
равный ВВ}, то получится вектор ОС, а векторы ОС,
—► —►	—►
OD и ОЕ лежат в одной плоскости ОСЕ. Векторы ОА,
Рис. 114
Векторы в пространстве
ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит
в плоскости ОАВ. Рассмотрим признак компланарно-
сти трех векторов.
Если вектор с можно разложить по векто-
рам а и Ь, т. е. представить в виде
с = ха + yb,	(1)
где х и у — некоторые числа, то векторы а, b и с
компланарны.
Докажем этот признак. Будем считать, что
векторы а и b не коллинеарны (если векторы а и b
коллинеарны, то компланарность векторов а, b и с оче-
видна). Отложим от произвольной точки О векторы
—► t » —»	—► —►
ОА=а и ОВ = Ь (рис. 115). Векторы ОА и ОВ лежат
в плоскости ОАВ. Очевидно, в этой же плоскости лежат
—►	>	—►	  »
векторы ОАХ - х • ОА и ОВ} = у • ОВ, а следовательно,
> »	—>
и их сумма — вектор ОС = х • ОА + у • ОВ, равный векто-
ру с. Итак, векторы ОА = а, ОВ = Ь и ОС = с лежат
в одной плоскости, т. е. векторы а, b и с компланарны.
Справедливо и обратное утверждение: если
векторы а, Ь и с компланарны, а векторы а и Ь не
коллинеарны, то вектор с можно разложить по век-
торам а и b (т. е. представить в виде (1)), причем коэф-
фициенты разложения (т. е. числа х, у в формуле (1))
определяются единственным образом. Пользуясь тео-
ремой о разложении вектора по двум неколлинеарным
векторам, известной из курса планиметрии, докажите
это утверждение самостоятельно.
“ ОА^хОА
Рис. 115
44 Правило параллелепипеда
Для сложения трех некомпланарных векто-
ров можно пользоваться так называемым правилом па-
раллелепипеда. Опишем его. Пусть а, Ъ, с — некомпла-
нарные векторы. Отложим от произвольной точки О
—* -» —-♦ —** -•
пространства векторы ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с и построим
параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были
его ребрами (см. рис. 114). Тогда диагональ OD этого па-
раллелепипеда изображает сумму векторов а, b и с: OD =
= а + b + с. Действительно, OD = ОЕ + ED = (ОА + АЕ) +
+ED = ОА + ОВ + ОС = а + b + с.
93
Векторы в пространстве
45 Разложение вектора
по трем некомпланарным векторам
Если вектор р представлен в виде
р = ха + yb + 2СУ	(2)
где Ху у и г — некоторые числа, то говорят, что вектор р
разложен по векторам а, Ъ и с. Числа х, у у г называют-
ся коэффициентами разложения.
Докажем теорему о разложении вектора по
трем некомпланарным векторам.
Теорема
мма।
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.
Доказательство
Пусть Sy b и с — данные некомпланарные
векторы. Докажем сначала, что любой вектор р можно
представить в виде (2).
Отметим произвольную точку О и отложим
от этой точки векторы (рис. 116):
ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с, ОР = р.	(3)
Через точку Р проведем прямую, параллель-
ную прямой ОСу и обозначим через Рх точку пересе-
чения этой прямой с плоскостью АОВ (если Р е ОСу то
в качестве точки Рх возьмем точку О). Затем через точ-
ку Рх проведем прямую, параллельную прямой ОВ,
и обозначим через Р2 точку пересечения этой прямой
с прямой ОА (если Рх 6 ОВ, то в качестве точки Р2 возь-
мем точку О). По правилу многоугольника
op = ор2 + pTR +	(4)
Векторы ОР2 и ОАу Р2РХ и ОВ, Р}Р и ОС кол-
линеарны, поэтому существуют числа х, у, г такие, что
ОР2 = х • ОА, Р2Р} = у • ОВ, РХР = г • ОС. Подставив эти вы-
ражения в равенство (4), получим:
ОР = х • ОА + у • ОВ + г • ОС.
Отсюда, учитывая равенства (3), приходим
к равенству (2).
94
р
Рис. 116
Векторы п пространстве
Докажем теперь, что коэффициенты разло-
жения в формуле (2) определяются единственным обра-
зом. Допустим, что наряду с разложением (2) имеется
другое разложение вектора р: р = хха + yxb + zxc. Вычи-
тая это равенство из равенства (2) и используя свойства
действий над векторами, получаем:
б = (х - хх) а + (у - ух) b + (г - гх) с.
Это равенство выполняется только тогда,
когда х - хх = 0, у - ух = 0, z - zx = 0. В самом деле, ес-
ли предположить, например, что z - zx * 0, то из этого
равенства находим: с = - а - —— 6*, откуда следует,
2-2х	2-2х
что векторы а, b и с компланарны. Но это противоречит
условию теоремы. Значит, наше предположение невер-
но, и х = хп у = ух, z = Следовательно, коэффициен-
ты разложения (2) определяются единственным обра-
зом. Теорема доказана.
Если векторы р, а и b компланарны,
то z = 0 (объясните почему), и вектор р оказывается
фактически разложенным по двум векторам а и Ь.
355
356
357
358
359
Вопросы и задачи
Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Какие из следующих трех
векторов компланарны: а) АА,, СС,, BBt; б) АВ, AD, AAt;
в) В^В, AC, DD}; г) AD, CClt aJb/1
Точки Е и F — середины ребер АС и BD тетраэдра ABCD. Докажи-
► ► ' »  >
те, что 2FE = BA + DC. Компланарны ли векторы FE, ВА и DC?
Даны параллелограммы ABCD и AB}C}Di. Докажите, что векторы
ВВХ, ССХ и DDX компланарны.
Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Назовите вектор, начало и ко-
нец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме
векторов: а) АВ + AD + ААХ; б) DA + DC + DDX; в) А, Вх + С^ВХ +
+ ВВХ; г) АХА + A^DX + АВ; д) В^Х + ВВХ + ВС.
►
Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. а) Разложите вектор BDX
по векторам ВА, ВС и ВВХ. б) Разложите вектор BXDX по векто-
—► —►	' »
рам AjA, АХВ и AXDX,
Векторы в пространстве
360 В вершинах Ап В и D куба ABCDAXBXCXDX, ребро которого равно а,
помещены точечные заряды q. а) Выразите результирующую на-
пряженность* создаваемого ими электрического поля в точках А
>
и Сх через вектор АСХ. б) Найдите абсолютную величину результи-
рующей напряженности в точках С, В,, в центре грани AXBXCXDX
и в центре куба.
361 Диагонали параллелепипеда ABCDAXBXCXDX пересекаются в точ-
> > —► —► »
ке О. Разложите векторы CD и DXO по векторам ААХ, АВ и AD.
►
362 Точка К — середина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK
по векторам а - DA, b = АВ и с = АС.
Решение
Так как точка К — середина отрезка ВС, то DK = 1 (DB + DC).
Но DB = DA 4- АВ = а +b, DC = DA + AC = а + с. Поэтому
DK = Ца+Ь + а+с) = а + -Ь + -с.
2	'	2	2
363 Основанием пирамиды с вершиной О является параллелограмм
ABCD, диагонали которого пересекаются в точке М. Разложите
> - > > _*  •> (	—►
векторы OD и ОМ по векторам а = ОА, b = ОВ и с = ОС.
364 Точка К — середина ребра ВХСХ куба ABCDAXBXCXDX. Разложите
—। , ►
вектор АК по векторам а - АВ, b = AD, с = ААХ и найдите длину
этого вектора, если ребро куба равно т.
365 Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. Точка М —
середина АВ, а точка К — середина MD. Разложите векторы ОМ
—।	—* —* , —
и ОК по векторам а = ОА, b = ОВ, с = ОС.
366 Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника
АВС, а О — произвольная точка пространства, то
ОМ =~(ОА+ОВ + ОС).	(5)
Если в точке О находится точечный заряд q, то напряженность Е
создаваемого им электрического поля в точке М выражается
формулой Е =	• ОМ, где коэффициент k зависит от выбора
ОМ3
системы единиц.
Векторы в пространстве
367
368
369
370
371
372
Решение
По теореме о точке пересечения медиан тре-
► -----------------►
угольника АМ = 2МАХ, где — медиана
треугольника АВС (рис. 117). Согласно за-
оло гл лГт 0A + 20Aj ОА + 20Aj	т_Тл
даче 349 ОМ =------------ =--------. Но
1+2	3
ОАХ - ±(ОВ + ОС) (объясните почему), по-
этому ОМ =	ос..
В тетраэдре ABCD медиана AAj грани АВС
делится точкой К так, что АК : КАХ = 3:7.
Разложите вектор DK по векторам DA,
DB, DC.
Точки М и N являются серединами ребер
АВ и AXDX параллелепипеда ABCDAXBXCXDX.
Разложите, если это возможно, по векторам
АВ и AD вектор: а) АС; б) СМ; в) CXN;
Рис. 118
г) АСг; д) AXN; е) AN; ж) MD.
Медианы грани АВС тетраэдра ОАВС пересекаются в точке М.
—►	—► —► —►
Разложите вектор ОА по векторам ОВ, ОС, ОМ.
Высоты АМ и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются
в точке К. Разложите по векторам а = DA, b = DB, с = DC вектор:
a) DN; б) DK; в) АМ; г) МК.
В тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О.
Докажите, что длина отрезка АО меньше одной трети суммы длин
ребер с общей вершиной А.
Докажите, что диагональ АСХ параллелепипеда ABCDAXBXCXDX про-
ходит через точки пересечения медиан треугольников AXBD и CBXDX
и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 118).
Решение
Обозначим через Мх точку пересечения медиан треугольни-
ка AXBD. Применив формулу (5) к тетраэдру AAXBD> по-
—►	. —► —► —►
лучим AMj = i (AAj +АВ + AD). По правилу параллелепипеда
з
--9	-9	--9	-->	-9	--9
ААХ + AB + AD = ACX, поэтому АМХ = —АСх. Отсюда следует, что
3
точка Мj принадлежит диагонали АСХ и АМХ = i АСХ.
3
4 — Л. С. Атанасян
Векторы в пространстве
373
374
375
1
2
3
4
5
6
Точно так же можно доказать, что точка М2
пересечения медиан треугольника CBXDX
принадлежит диагонали АСХ и СХМ2 = i АСХ.
о
Из равенств АМХ = iACj и С}М2 = ~АСХ
следует, что точки Мх и М2 делят диаго-
наль АСХ параллелепипеда на три равных
отрезка АМХ, МХМ2 и М2СХ.
Точки BXf Cj и Мх — основания перпен-
дикуляров, проведенных к плоскости а из
вершин треугольника АВС и из точки М
пересечения медиан этого треугольника
(рис. 119). Докажите, что ММХ = i (ААХ + ВВХ + CCJ. Останется
ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника АВС пе-
ресекаются с плоскостью а?
Отрезки АВ и CD не лежат в одной плоскости, точки М и N —
середины этих отрезков. Докажите, что MN < | (АС + BD).
В тетраэдре ABCD точки К и М — середины ребер АВ и CD, Дока-
жите, что середины отрезков КС9 KD, МА и МВ являются верши-
нами некоторого параллелограмма.
Вопросы к главе IV
Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно на-
правленных вектора коллинеарны; б) любые два коллинеарных
вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеар-
ны; г) любые два сонаправленных вектора равны; д) еслиаИЬ,
b tic, то a tl с; е) существуют векторы а, b и с такие, что а и с не
коллинеарны, b и с не коллинеарны, а а и b коллинеарны?
► >
Точки А и С симметричны относительно точки О и AD = ВС. Сим-
метричны ли точки В и D относительно точки О?
- » —►
Точки А и С симметричны относительно прямой а и AD = ВС.
Могут ли точки В и D быть: а) симметричными относительно пря-
мой а; б) несимметричными относительно прямой а?
Точки А и С, а также точки В и D симметричны относительно
—►	—►
плоскости а. Могут ли векторы АВ и CD быть: а) равными;
б) неравными?
Известно, что векторы а и а + Ъ коллинеарны. Коллинеарны ли
векторы а и Ь?
Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждо-
го из слагаемых?
98 Векторы в пространстве
7
8
9
10
11
12
13
14
15
376
377
378
379
380
Может ли длина суммы нескольких ненулевых векторов быть рав-
ной сумме длин этих векторов?
Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной
сумме длин этих векторов?
Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной
разности длин этих векторов?
Может ли длина суммы двух ненулевых векторов быть равна дли-
не разности этих векторов?
На какое число нужно умножить ненулевой вектор а, чтобы полу-
чить вектор Ь, удовлетворяющий следующим условиям:
a) b tt а и |Ь|=|а|; б) b tl а и |Ь|=3|а|; в) b U а и |fe| = А|а|; г) b = б?
 -> »
Известно, что АВ = k • CD. причем точки А, В и С не лежат на од-
ной прямой. При каком значении k прямые АС и BD являются:
а) параллельными; б) пересекающимися? Могут ли прямые АС
и BD быть скрещивающимися?
Компланарны ли векторы: а) а, Ъ, 2d, ЗЬ; б) a, b, а + b, а - Ь?
Известно, что векторы а, b и с компланарны. Компланарны ли
векторы: а) а, 2Ь, Зс; б) а + Ь, а 4- 2с, 2Ъ - Зс ?
Точки А, В и С лежат на окружности, а точка О не лежит в плос-
► > »
кости этой окружности. Могут ли векторы ОА, ОВ и ОС быть ком-
планарными?
Докажите, что:
Дополнительные задачи
Дан параллелепипед MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что: а) МQ +
+ М& =N\P} + NP; б) PQ + NI\ = NQ{; в)	= 0^.
На рисунке 120 изображен правильный октаэдр.
a)	AB + FB = DB; б) AC-CF = ЁС;
в) АВ + АсГ+ AD + AE = 2AF.
Докажите, что разность векторов а и b вы-
ражается формулой а - b = а + (-/?).
Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векто-
ров: а) АВ + BD + DC; б) AD + СВ + DC;
в) АВ+ СР + BC + DA.
Дан параллелепипед ABCDA^BfixD^. Найдите
► ► »	—►
сумму векторов: а) АВ + ВХСХ + DDX + CD;
б)	В^С, + АВ + DDX + СВХ+ВС + А^А;
в)	ВА + AC + CB + DC + DA.
Рис.
120
99
Векторы в пространстве
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
Даны треугольники АВС, АХВХСХ и две точки О и Р пространства.
Известно, что ОА + OP = ОАХ, ОВ + ОР = ОВХ, ОС 4- ОР = ОСХ. Дока-
жите, что стороны треугольника АХВХСХ соответственно равны
и параллельны сторонам треугольника АВС.
При каких значениях k в равенстве а = kb, где b Ф 0, векторы а и Ь:
а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направле-
ны; г) являются противоположными?
Числа k и I не равны друг другу. Докажите, что если векторы а + kb
и а + lb не коллинеарны, то: а) векторы а и b не коллинеарны;
б) векторы а 4- kxb и а + 1ХЬ не коллинеарны при любых неравных
числах kx и 1Х.
Точки Вх и Cj — середины сторон ВС, АС и АВ треугольника
АВС, точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что
ОАХ + ОВХ + ОСХ = ОА + ОВ + ОС.
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четы-
рехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка О — произ-
вольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство
ОМ = 1 (ОА + ОВ + ОС + OD).
4
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Дока-
жите, что для любой точки М пространства справедливо неравен-
ство МО < 1 (МА + МВ + МС + MD).
Три точки М, N и Р лежат на одной прямой, а точка О не лежит
» ► —►
на этой прямой. Выразите вектор ОР через векторы ОМ и ON, если:
a) NP = 2MN; б) MP = -iPN; в) MP = k • MN, где k — данное число.
Докажите, что векторы р, а и b компланарны, если: а) один из
данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны.
На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: Ах, А2,
—►	> —►	>
А3 и Вх, В2, В3, причем Ах А2 = k • АХА3, ВХВ2 = k • ВХВ3. Докажите,
что прямые АХВХ, А2В2, А3В3 параллельны некоторой плоскости.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX, в котором
АВ = AD = а, ААХ = 2а. В вершинах Вх и Dx помещены заряды q,
а в вершине А — заряд 2q. Найдите абсолютную величину резуль-
тирующей напряженности электрического поля: а) в точке А^
б) в точке С; в) в центре грани AXBXCXDX\ г) в центре грани ABCD.
В тетраэдре ABCD точка К — середина медианы ВВХ грани BCD.
—, ** -* , »
Разложите вектор АК по векторам а = АВ, b = АС, с = AD.
Векторы в пространстве
392 На трех некомпланарных векторах р = АВ, q = AD, г = ААХ постро-
ен параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Разложите по векторам р, q и г
векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.
393 В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точка К — середина ребра ССР
—►	> > —►	—►
Разложите вектор: а) АК по векторам АВ, AD, ААХ; б) DAX по век-
торам АВХ, ВСХ и CDX.
394 В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX диагонали грани DCCXDX пере-
—►	>
секаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам АВ,
AD и ЛА,.
395 Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников АВС
и АХВХСХ совпадают, то прямые ААХ, ВВХ и ССХ параллельны неко-
торой плоскости.
396 В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС. Выразите через
-♦  > t > -♦	—►	—> —► —►
векторы b = АВ, с = АС и d = AD следующие векторы: ВС, CD, DB
и DM.
397 В тетраэдре ABCD точки М и N являются соответственно точками
пересечения медиан граней ADB и BDC. Докажите, что MN || АС,
и найдите отношение длин этих отрезков.
398 Треугольники АВС, АХВХСХ и А2В2С2 расположены так, что точки
А, В, С являются серединами отрезков АХА2, ВХВ2, СХС2 соответст-
венно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников
АВС, АХВХСХ и А2В2С2 лежат на одной прямой.
399 Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки
пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию
тетраэдра.
Глава V
Метод координат в пространстве.
Движения
Координаты точки
и координаты вектора
46	Прямоугольная система координат
в пространстве
Если через точку пространства проведены
три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из
них выбрано направление (оно обозначается стрелкой)
и выбрана единица измерения отрезков*, то говорят, что
задана прямоугольная система координат в пространст-
ве (рис. 121). Прямые с выбранными на них направле-
ниями называются осями координат, а их общая точ-
ка — началом координат. Она обозначается обычно
буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу,
Oz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось
аппликат. Вся система координат обозначается Oxyz.
Плоскости, проходящие соответственно через оси коор-
динат Ох и Оу, Оу и Oz, Oz и Ох, называются коор-
динатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуг, Огх.
Точка О разделяет каждую из осей коорди-
нат на два луча. Луч, направление которого совпадает
с направлением оси, называется положительной полу-
осью, а другой луч — отрицательной полуосью.
В прямоугольной системе координат каждой
точке М пространства сопоставляется тройка чисел, ко-
торые называются ее координатами. Они определяются
аналогично координатам точек на плоскости. Проведем
через точку М три плоскости, перпендикулярные
к осям координат, и обозначим через Мх, М2 и М3 точки
пересечения этих плоскостей соответственно с осями аб-
сцисс, ординат и аппликат (рис. 122). Первая координа-
та точки М (она называется абсциссой и обозначается
обычно буквой х) определяется так: х = ОМХ, если
Мх— точка положительной полуоси; х=-ОМх, если
Мх — точка отрицательной полуоси; х = 0, если Мх сов-
падает с точкой О. Аналогично с помощью точки М2
определяется вторая координата (ордината) у точки М,
* Напомним, что при выбранной единице измерения отрезков
длина каждого отрезка выражается положительным числом.
В данной главе под длиной отрезка подразумевается это число.
Метод координат
в пространстве.
Движения
а с помощью точки М3 — третья координата (аппли*
ката) г точки М. Координаты точки М записываются
в скобках после обозначения точки: М (х; у; 2), при-
чем первой указывают абсциссу, второй — ординату,
третьей — аппликату. На рисунке 123 изображены
шесть точек А (9; 5; 10), В (4; -3; 6), С (9; 0; 0),
D (4; 0; 5), Е (0; 3; 0), F (0; 0; -3).
Если точка М (х; у; г) лежит на координат-
ной плоскости или на оси координат, то некоторые ее ко-
ординаты равны нулю. Так, если М е Оху, то аппликата
точки М равна нулю: г = 0. Аналогично если М g 0x2, то
у = 0, а если М е Oyz, то х = 0. Если М g Ох, то ордината
и аппликата точки М равны нулю: у = 0 и г = 0 (напри-
мер, у точки С на рисунке 123). Если М е Оу, то х = 0 и
2 = 0; если М е Oz, то х = 0 и у = 0. Все три координаты
начала координат равны нулю: О (0; 0; 0).
47	Координаты вектора
Зададим в пространстве прямоугольную си-
стему координат Oxyz. На каждой из положительных по-
луосей отложим от начала координат единичный вектор,
т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим
через i единичный вектор оси абсцисс, через j — единич-
ный вектор оси ординат и через k — единичный вектор
оси аппликат (рис. 124). Векторы Т, j, k назовем коорди-
натными векторами. Очевидно, эти векторы не ком-
планарны. Поэтому любой вектор а можно разложить
по координатным векторам, т. е. представить в виде
а = xi + yj + zk,
причем коэффициенты разложения х, у, z определя-
ются единственным образом.
Коэффициенты х, у и z в разложении векто-
ра а по координатным векторам называются координа-
тами вектора а в данной системе координат. Коорди-
наты вектора а будем записывать в фигурных скобках
после обозначения вектора: а {х; у; z}. На рисунке 125
изображен прямоугольный параллелепипед, имеющий
следующие измерения: ОАХ = 2, ОА2 = 2, ОА3 = 4. Коор-
динаты векторов, изображенных на этом рисунке, та-
ковы: а {2; 2; 4}, b {2; 2; -1}, А^А {2; 2; 0}, Г {1; 0; 0},
f {0; 1; 0}, k {0; 0; 1}.
103
X
Рис. 123
Рис. 124
Метод координат
в пространстве.
Движения
Так как нулевой вектор можно представить
в виде 0 = 0/+ 0/ 4- 0/?, то все координаты нулевого век-
тора равны нулю. Далее, координаты равных векторов
соответственно равны, т. е. если векторы а {х^ ух; zx}
и b {х2; у2; z2} равны, то хх = х2, ух = у2 и zx = z2 (объ-
ясните почему).
Рассмотрим правила, которые позволяют
по координатам данных векторов найти координаты их
суммы и разности, а также координаты произведения
данного вектора на данное число.
1°. Каждая координата суммы двух или
более векторов равна сумме соответствующих коорди-
нат этих векторов. Другими словами, если а {х^ ух\ zj
и b {х2; у2, z2} — данные векторы, то вектор а + b имеет
координаты {Xj + х2; ух + у2; zx + z2}.
2°. Каждая координата разности двух век-
торов равна разности соответствующих координат
этих векторов. Другими словами, если а {Хр zj
и b {х2; у2; z2} — данные векторы, то вектор а - b имеет
координаты {Xj - х2; ух - у2\ zx - z2}.
3°. Каждая координата произведения век-
тора на число равна произведению соответствующей
координаты вектора на это число. Другими словами,
если а {х; у; г} — данный вектор, а — данное число, то
вектор аа имеет координаты {ах; ау; az}.
Утверждения 1°—3° доказываются точно
так же, как и для векторов на плоскости.
Рассмотренные правила позволяют нахо-
дить координаты любого вектора, представленного
в виде алгебраической суммы данных векторов, коор-
динаты которых известны. Рассмотрим пример.
Задача
Найти координаты вектора р = 2a-	+ с,
если а {1; -2; 0}, b {0; 3; -6}, с {-2; 3; 1}.
Решение
По правилу 3° вектор 2d имеет координаты
{2; -4; 0}, а вектор | — координаты {0; -1; 2}. Так
как р = (2a) +	с, то его координаты {х; у; z}
можно вычислить по правилу 1°: х = 2 4- 0 - 2 = 0,
у = -4-14-3 = -2, z = 04-2 + l = 3. Итак, вектор р
имеет координаты {0; -2; 3}.
104
Рис. 125
Л/с т од коорди н а т
в пространстве.
Движении
48	Связь между координатами векторов
и координатами точек
Вектор, конец которого совпадает с данной
точкой, а начало — с началом координат, называется
радиус-вектором данной точки. Докажем, что коорди-
наты любой точки равны соответствующим координа-
там ее радиус-вектора.
Обозначим координаты данной точки М че-
рез (х; у; г). Пусть М2, М3 — точки пересечения
с осями координат плоскостей, проходящих через точ-
ку М перпендикулярно к этим осям (рис. 126). Тогда
ОМ = ОМХ + ОМ2 + ОМ3.	(1)
Докажем, что ОМХ - xi. В самом деле, если
точка Мх лежит на положительной полуоси абсцисс,
—►	-♦
как на рисунке 126, то х = ОМП а векторы ОМ} и i со-
—►	-» -»
направлены. Поэтому ОМ 1 = ОМХ -i = xi. Если точ-
ка Mi лежит на отрицательной полуоси абсцисс, то
х = -OMlt а векторы ОМ} и Г противоположно направ-
лены. Поэтому ОМ} = -ОМх -i - xi. Наконец, если точ-
ка Мх совпадает с точкой О, то х = О, ОМХ = 0. Поэтому
xi = 0, и снова справедливо равенство ОМХ = xi. Таким
образом, в любом случае ОМХ = xi. Аналогично доказы-
—►	-* —►	-♦
вается, что ОМ2 = yj, ОМ3 = zk.
Подставив эти выражения в равенство (1),
получим ОМ = xi + yj + zk.
Отсюда следует, что координаты вектора ОМ
равны {х; у; z}9 т. е. координаты точки М равны соот-
ветствующим координатам ее радиус-вектора ОМ, что
и требовалось доказать.
Пользуясь доказанным утверждением, вы-
>
разим координаты вектора АВ через координаты его
начала А и конца В. Пусть точка А имеет координаты
(Хр i/,; zj, а точка В — координаты (х2; y2l z2). Век-
—►	»
тор АВ равен разности векторов ОВ и ОА (рис. 127), по-
105
Рис. 126
В(х2; у2; г2)
/ \ AB{x2-xt;
/ \
О \
ЧА(х,; j/,; zt)
Рис. 127
Метод координат
в пространстве.
Движения
этому его координаты равны разностям соответствую-
—►	—►
щих координат векторов ОВ и ОА.
—► —►
Но координаты векторов ОВ и ОА совпадают
с соответствующими координатами точек В и А:
► >	——►
ОВ {х2; у29 z2}, ОА {х,; у}; г{}. Поэтому вектор АВ имеет
координаты {х2 - х,; у2 - ух; z2 - zj.
Итак, каждая координата вектора равна
разности соответствующих координат его конца и
начала.
49 Простейшие задачи в координатах
а) Координаты середины отрезка. В систе-
ме координат Oxyz отметим точку А с координатами
(Хр У\\ zx) и точку В с координатами (х2; у2\ z2). Выра-
зим координаты (х; у; г) середины С отрезка АВ через
координаты его концов (рис. 128).
Так как точка С — середина отрезка АВ, то
ОС = ±(ОА + ОВ).	(2)
(Это было доказано в курсе планиметрии.)
—►	►
Координаты векторов ОС, ОА и ОВ равны со-
ответствующим координатам трех точек С, А и В:
> » - »
ОС {х; у; z}, ОА {х^ у{; zj и ОВ {х2; у2; z2}. Записав ра-
венство (2) в координатах, получим
Х=|(Х1 + х2), y = ±(yt +у2), * = |(*1 +z2).
Таким образом, каждая координата середи-
ны отрезка равна полусумме соответствующих коорди-
нат его концов.
б) Вычисление длины вектора по его коор-
динатам. Докажем, что длина вектора а {х; у; г} вы-
числяется по формуле
| а | = у/х2 + у2 + 22 .	(3)
>
Отложим на осях координат векторы ОА, =
= xi, ОА2 = yj, ОА3 = zk и рассмотрим вектор ОА =
= ОА, + ОА2 4- ОА3 = xi + yj + zk = а (рис. 129). Длина
Рис. 128
Рис. 129
Метод координат
в пространстве.
Движения
706
вектора ОА выражается через длины векторов ОА{, ОА2
—►
и ОА3 следующим образом:
|OA|= JoA,|2+|OA2|2 + |ОА3|2.

(4)
В самом деле, если точка А не лежит на
координатных плоскостях (см. рис. 129), то равенст-
во (4) справедливо в силу свойства диагонали прямо-
угольного параллелепипеда: ОА2 = ОА2 + ОА% + ОА%.
Во всех других случаях расположения точки А (точ-
ка А лежит на координатной плоскости или на оси ко-
ординат) равенство (4) также верно (рассмотрите эти
случаи самостоятельно).
Так как |OAj=| хГ|=| х|, |ОА2|=|у|, |ОА3|=|г|
-►
и ОА = а, то из равенства (4) получаем формулу (3):
|а|= ^|x|2+|y|2+|z|2 = Jx* Ту*~+~г*.
Мг(х2< у2’ гг)
Рис. 130
У
в) Расстояние между двумя точками. Рас-
смотрим две произвольные точки: точку Мх с коорди-
натами (Xj; yt; zj и точку М2 с координатами
(х2\ у2; z2) (рис. 130). Выразим расстояние d между
точками Mj и М2 через их координаты.
С этой целью рассмотрим вектор MjM2. Его
координаты равны {х2 - хг; у2 - у^ г2 - z{}. По форму-
ле (3) |Af,Af2|= д/(х2 -xj2 +(i/2 -у,)2 + (z2 -z,)2. Ho
------
d =|M1M2|. Таким образом, расстояние между точками
Mt (Хр гх) и М2 (х2; у2; z2) вычисляется по формуле
d = 7<Х2 - *1 )2 + (02 ~ J/1 )2 + (*2 - *1 )2 •
Вопросы и задачи
400 Даны точки А (3; -1; 0), В (0; 0; -7), С (2; 0; 0), D (-4; 0; 3),
Е (0; -1; 0), F (1; 2; 3), G (0; 5; -7), H(-V5;V3; 0). Какие из этих
точек лежат на: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат;
г) плоскости Оху, д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?
401 Найдите координаты проекций точек А (2; -3; 5), В I3; -5; i I и
с(-л/з- -^>V5-V3 )на- а) координатные плоскости Oxz Охп
и Oyz; б) оси координат Ох, Оу и Oz.
Метод координат
в пространстве.
Движения
402
403
404
405
406
407
408
409
410
Даны координаты четырех вершин куба ABCDAXBXCXDX.
А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0) и Ах (1; 0; 0). Найдите координа-
ты остальных вершин куба.
Запишите координаты векторов: а = Зг + 2/-5&, & = -5i + 3/-&,
с =i - j, d = j + k, m=k -Г, n = 0,7k.
Даны векторы a {5; -1; 2}, b {-3; -1; 0}, c {0; -1; 0}, d {0; 0; 0}. Запи-
шите разложения этих векторов по координатным векторам i, j, k.
На рисунке 131 изображен прямоугольный параллелепипед, у кото-
рого ОА = 2, ОВ = 3, ООХ = 2. Найдите координаты векторов ОАХ,
- '> • > —> —► —► & >
ОВ}, ОО}, ОС, ОСХ, ВСХ, АСХ, ОХС в системе координат Oxyz.
Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов
равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.
Даны векторы а {3; -5; 2}, b {0; 7; -1}, с{|;0;0 }и d {-2,7; 3,1; 0,5}.
Найдите координаты векторов: а) а + Ь; б) а + с; в) b + с; г) d + b;
д) d + а; е) а + b + с; ж) b + а + d; з) а + b + с + d.
По данным рисунка 132 найдите координаты векторов АС, СВ, АВ,
MN, NP, ВМ, дм, ОР, если ОА = 4, ОВ = 9, ОС = 2, а М, N и
Р — середины отрезков АС, ОС и СВ.
Даны векторы а {5; -1; 1}, Ь {-2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и
Найдите координаты векторов: а) а-Ь\ б) Ь- а;
b + с; ж) а - b - с; з) 2а; и) - ЗЬ;
d
l 3	5
в) a - с; r) d - a; a)c-d; e) a -
к) -6c; л)-у-3; m) 0,2b.
Даны векторы а {-1; 2; 0}, b {0; -5; -2} и с {2; 1; -3}. Найдите ко-
ординаты векторов р = ЗЬ - 2а + с и q = Зс - 2Ь + а.
Метод координат
в пространстве.
Движения
411 Даны векторы а {-1; 1; 1}, b {0; 2; -2}, с {-3; 2; 0} и d {-2; 1; -2}.
Найдите координаты векторов: а) За + 26 - с; б) -а + 2с - d; в) 0,1а +
+ 36 + 0,7с - 5d; г) (2а + 36) - (а - 26) + 2(а - 6).
412 Найдите координаты векторов, противоположных следующим век-
торам: Г, f, k, а{2‘, 0; 0}, 6 {-3; 5; -7}, с {-0,3; 0; 1,75}.
413 Коллинеарны ли векторы: а) а {3; 6; 8} и 6 {6; 12; 16}; б) с {1; -1; 3}
и d {2; 3; 15}; в) Г {1; 0; 0} и j {0; 1; 0}; г) т {0; 0; 0} и п {5; 7; -3};
д) р{|;-1;5|и q {-1;-3;-15}?
Решение
а)	Координаты вектора а {3; 6; 8} пропорциональны координатам
вектора Ъ {6; 12; 16}: - = — = — = k, где k = Поэтому а = kb, и,
6	12	12	2
следовательно, векторы а и b коллинеарны.
б)	Координаты вектора с {1; -1; 3} не пропорциональны координа-
там вектора d {2; 3; 15}, например i * -i. Поэтому векторы с и d
2	3
не коллинеарны. В самом деле, если предположить, что векто-
ры с и d коллинеарны, то существует такое число k, что с = kd. Но
тогда координаты вектора с пропорциональны координатам векто-
ра d, что противоречит условию задачи.
414 Найдите значения тип, при которых следующие векторы коллине-
арны: а) а {15; т; 1} и b {18; 12; п}; б) с {т; 0,4; -1} и и; 5
415 Компланарны ли векторы: а) а {-3; -3; 0}, i и j; б) b {2; 0; -3}, i и /;
в) с {1; 0;-2}, Г и Л; г) d {1; -1; 2}, е{-2;0;1} и / {5;-1; 0};
д) т {1; 0; 2}, n {1; 1; -1} и р {-1; 2; 4}; е) q {0; 5; 3}, г {3; 3; 3}
и s {1; 1; 4}?
Решение
г) Векторы d {1; -1; 2} и е {-2; 0; 1} не коллинеарны, так как
координаты одного не пропорциональны координатам другого. Ес-
ли вектор f {5; -1; 0} можно разложить по векторам d и е, то векто-
ры d, е и f компланарны. Если же вектор f нельзя разложить по
векторам d и е, то векторы d, е и f не компланарны (в противном
случае вектор f можно было бы разложить по векторам d и е). Та-
ким образом, для решения задачи нужно установить, можно ли
Метод координат
в пространстве.
Движения
416
417
418
419
420
421
422
423
вектор f разложить по векторам d и е, т. е. существуют ли числа х
и у такие, что f = xd + уе. Записывая это равенство в координа-
тах, получаем: 5 = х - 2у, -1 = -х, 0 = 2х + у.
Если эта система уравнений имеет решение относительно х и у, то
вектор f можно разложить по векторам d и е, а если не имеет ре-
шения, то вектор f разложить нельзя. В данном случае система
имеет решение: х = 1, у = -2. Поэтому вектор f можно разложить
по векторам d и е, и, значит, векторы d, е и f компланарны.
Даны векторы ОА {3; 2; 1}, ОВ {1; -3; 5} и 6с(- |; 0,75; -2.
Запишите координаты точек А, В и С, если точка О — начало ко-
ординат.
Даны точки А (2; -3; 0), В (7; -12; 18) и С (-8; 0; 5). Запишите ко-
►  -» —►
ординаты векторов ОА, ОВ и ОС, если точка О — начало координат.
—►
Найдите координаты вектора АВ, если: а) А (3; -1; 2), В (2; -1; 4);
б) А (-2; 6;-2), В (3; -1; 0); в) А[1;|;1\
Вершины треугольника АВС имеют координаты: А (1; 6; 2),
» » >
В (2; 3; -1), С (-3; 4; 5). Разложите векторы АВ, ВС и СА по коор-
динатным векторам i, j и k.
Даны точки А (3; -1; 5), В (2; 3; -4), С (7; 0; -1) и D (8; -4; 8). До-
> —►	» —►
кажите, что векторы АВ и DC равны. Равны ли векторы ВС и AD?
Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если: а) А (3; -7; 8),
В (-5; 4; 1), С (27; -40; 29); б) А (-5; 7; 12), В (4; -8; 3),
С (13; -23; -6); в) А (-4; 8; -2), В (-3; -1; 7), С (-2; -10; -16)?
Решение
1 ►
а) Если векторы АВ и АС коллинеарны, то точки А, В и С лежат
на одной прямой, а если не коллинеарны, то точки А, В и С не ле-
жат на одной прямой. Найдем координаты этих векторов:
АВ {-8; 11; -7}, АС {24; -33; 21}. Очевидно, АС = - ЗАВ, поэтому
векторы АВ и АС коллинеарны, и, следовательно, точки А, В и С
лежат на одной прямой.
Лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости, если:
а) А (-2; -13; 3), В (1; 4; 1), С (-1; -1; -4), D (0; 0; 0);
б) А (0; 1; 0), В (3; 4; -1), С (-2; -3; 0), D (2; 0; 3);
в) А (5; -1; 0), В (-2; 7; 1), С (12; -15; -7), D (1; 1; -2)?
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС с вер-
шинами A (Xi? у с, zt), В (х2; уг; г2), С (х3; у3; г3) имеет координаты
[ Xt + Х2 + Xg . У1 + У2+Й1 . Zl + Z2+Z3 |
v 3	’	3	3	‘
Метод координат
в пространстве.
Движения
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
Точка М — середина отрезка АВ. Найдите координаты: а) точки М,
если А (0; 3; -4), В (-2; 2; 0); б) точки В, если А (14; -8; 5),
М (3; -2; -7); в) точки А, если В (0; 0; 2), М (-12; 4; 15).
Середина отрезка АВ лежит на оси Ох. Найдите тип, если:
а) А(-3; т; 5), В (2;-2; п); б) А (1; 0,5;-4), В(1; т; 2п);
в) А (0; т;п + 1), В (1; п; -т + 1); г) А (7; 2пг + п; -л), В (-5; -3; т - 3).
---------------------------►
Найдите длину вектора АВ, если: а) А(-1; 0; 2), В(1; -2; 3);
б) А (-35; -17; 20), В (-34; -5; 8).
Найдите длины векторов: а {5; -1; 7}, b {2V3; -6; 1}, с = i + j + k,
d = -2k, гп -i - 2j.
Даны векторы а {3; -2; 1}, b {-2; 3; 1} и с {-3; 2; 1}. Найдите:
a) |a + fe|; б) |а|+|б|; в) |а|-|б|; г) |а-&|; д) |3с|; е) <14 |с|;
ж) \2а - Зс|.
Даны точки М (-4; 7; 0) и N (0; -1; 2). Найдите расстояние от на-
чала координат до середины отрезка MN.
Даны точки А^;1;-2|, В(2;2;-3) и С (2; 0;-1). Найдите:
а) периметр треугольника АВС; б) медианы треугольника АВС.
Определите вид треугольника АВС, если: а) А (9; 3; -5), В (2; 10; -5),
С (2; 3; 2); б) А(3; 7; -4), В (5; -3; 2), С(1; 3; -10); в) А (5; -5; -1),
В (5; -3; -1), С (4; -3; 0); г) А (-5; 2; 0), В (-4; 3; 0), С (-5; 2; -2).
Найдите расстояние от точки А(-3;4;-4) до: а) координатных
плоскостей; б) осей координат.
На каждой из координатных плоскостей найдите такую точку,
расстояние от которой до точки А (-1; 2; -3) является наимень-
шим среди всех расстояний от точек этой координатной плоскости
до точки А.
На каждой из осей координат найдите такую точку, расстояние от
которой до точки В (3; -4; \7) является наименьшим среди всех
расстояний от точек этой оси до точки В.
Даны точки А (1; 0; k), В(-1; 2; 3) и С (0; 0; 1). При каких значе-
ниях k треугольник АВС является равнобедренным?
Даны точки А (4; 4; 0), В (0; 0; 0), С (0; 3; 4) и D (1; 4; 4). Дока-
жите, что ABCD — равнобедренная трапеция.
Найдите точку, равноудаленную от точек А (-2; 3; 5) и В (3; 2; -3)
и расположенную на оси: а) Ох; б) Оу; в) Ог.
Даны точки А (-1; 2; 3), В (-2; 1; 2) и С (0; -1; 1). Найдите точку,
равноудаленную от этих точек и расположенную на координатной
плоскости: а) Оху; б) Оуг; в) Ozx.
Даны точки О (0; 0; 0), А (4; 0; 0), В (0; 6; 0), С (0; 0; -2). Найди-
те: а) координаты центра и радиус окружности, описанной около
треугольника АО В; б) координаты точки, равноудаленной от вер-
шин тетраэдра ОАВС.
Метод координат
11 в пространстве.
Движения
440 Отрезок CD длины т перпендикулярен к плоскости прямоугольно-
го треугольника АВС с катетами АС = b и ВС = а. Введите подходя-
щую систему координат и с помощью формулы расстояния между
двумя точками найдите расстояние от точки D др середины гипо-
тенузы этого треугольника.
2
Скалярное произведение векторов
50	Угол между векторами
Возьмем два произвольных вектора а и Ь.
Отложим от какой-нибудь точки О векторы ОА = а
и ОВ = Ь. Если векторы а и b не являются сонаправлен-
ными, то лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ (рис. 133).
Градусную меру этого угла обозначим буквой а и будем
говорить, что угол между векторами а и b равен а. Ес-
ли же векторы а и b сонаправлены, в частности один
из них или оба нулевые, то будем считать, что угол
между ними равен 0°. Если угол между векторами ра-
вен 90°, то векторы называются перпендикулярными.
Угол между векторами а и b обозначается так: а Ь.
На рисунке 134 изображено несколько век-
торов. Углы между ними таковы: ab- 30°, ас = 120°,
ad = 60°, bc = 90°, d f = 0°, d с = 180°. На этом рисунке
die, did, blf.
51	Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними. Скалярное произведение векторов а и b
обозначается так: ab. Таким образом,
db =|a|*|d| cos (а 6).
Как и в планиметрии, справедливы следую-
щие утверждения:
скалярное произведение ненулевых векто-
ров равно нулю тогда и только тогда, когда эти векто-
ры перпендикулярны;
Метод координат
в пространстве.
Движения
7 72
скалярный квадрат вектора (т. е. скалярное
произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.
Докажите эти утверждения самостоятельно.
Скалярное произведение двух векторов мож-
но вычислить, зная координаты этих векторов: скаляр-
ное произведение векторов a {хр ух; zx} и b {х2; у2; z2}
выражается формулой а Ъ = ххх2 4- уху2 4- zxz2. Это утвер-
ждение доказывается точно так же, как в планиметрии.
Косинус угла а между ненулевыми вектора-
ми a {xj; ух; zj и b {х2; у2\ z2} вычисляется по формуле
cos а =
*1*2+ ^2* *1*2
Д2 + у2 + х2 •	+ у2 + г2
(1)
В самом деле, так как
db = | а| -1 cos а,
то
cos а = ——.
|а|-|?1
Подставив сюда выражения для ab, | а | и | b |
через координаты векторов а и b, получим формулу (1).
Сформулируем основные свойства скаляр-
ного произведения векторов.
Для любых векторов а, Ь, с и любого числа k справед-
ливы соотношения:
1°. а2 > О, причем а2 > 0 при а # 0.
2°. а Ь = Ъ а (переместительный закон).
3°. (а 4- Ь)с = а с 4- b с (распределительный закон).
4°. k(a b) = (kd)b (сочетательный закон).
Утверждения 1°—4° доказываются точно
так же, как в планиметрии.
Нетрудно доказать, что распределительный
закон имеет место для любого числа слагаемых. Напри-
мер, (a+b + c)d=ad+bd+cd (см. задачу 458).
52	Вычисление углов между прямыми
и плоскостями
Для вычисления угла между двумя прямы-
ми, а также между прямой и плоскостью во многих слу-
чаях удобно использовать скалярное произведение.
Прежде чем рассмотреть две такие задачи на вычисление
углов, введем понятие направляющего вектора прямой.
Метод координат
в пространстве.
Движения
113
Ненулевой вектор называется направляю*
щим вектором прямой а, если он лежит либо на пря*
мой а, либо на прямой, параллельной а.
На рисунке 135 вектор АВ является направ-
ляющим вектором прямой а.
Задача 1
Найти угол между двумя прямыми (пересе-
кающимися или скрещивающимися), если известны
координаты направляющих векторов этих прямых.
Решение
Пусть р {хх; у}; zx} и q {х2; «/2; z2} — направ-
ляющие векторы прямых а и Ь. Обозначим буквой ф
искомый угол между этими прямыми. Для решения за-
дачи достаточно найти cos ф, так как значение cos ф
позволяет найти угол ф.
Введем обозначение: 0 = р q. Тогда либо
Ф = 0, если 0 < 90° (рис. 136, а), либо ф = 180° - 0, если
0 > 90° (рис. 136, б).
Поэтому либо COS ф = cos 0, либо COS Ф =- cos 0.
В любом случае | cos ф | = | cos 01, а так как ф < 90°, то
cos ф > 0, и, следовательно, cos ф = |cos 0|. Используя
формулу (1) п. 51, получаем
cos ф =	l*!*»*^*1*»1	.	<2>
№ +	’ ^2 +	+ г|
Задача 2
Найти угол между прямой и плоскостью,
если известны координаты направляющего вектора
прямой и координаты ненулевого вектора, перпендику-
лярного к плоскости.
Решение
Пусть р {х^ «/,; zj — направляющий век-
тор прямой а, п {х2; у2; z2} — ненулевой вектор, пер-
пендикулярный к плоскости а. Это означает, что пря-
мая, на которой лежит вектор л, перпендикулярна к
плоскости а. Обозначим буквой ф искомый угол между
прямой а и плоскостью а, а буквой 0 — угол рп.
Пользуясь рисунком 137, нетрудно дока-
зать (сделайте это самостоятельно), что sin ф = | cos 01.
Поэтому для sin ф получается такое же выражение,
как и в правой части равенства (2). Зная sin ф и учиты-
вая, что ф < 90°, можно найти угол ф.
Рис. 135
Рис. 136
Метод координат
в пространстве.
Движения
114
53* Уравнение плоскости
Пусть задана прямоугольная система коор-
динат Oxyz и дана некоторая поверхность F, например
плоскость. Уравнение с тремя переменными х, у, z на-
зывается уравнением поверхности F, если этому урав-
нению удовлетворяют координаты любой точки поверх-
ности F и не удовлетворяют координаты никакой точки,
не лежащей на этой поверхности. Отметим, что понятие
уравнения поверхности аналогично понятию уравнения
линии, введенному в курсе планиметрии.
Выведем уравнения плоскости а, проходя-
щей через точку MQ (х0; у0; z0) и перпендикулярной
к ненулевому вектору п {а; Ь; с}.
Если точка М (х; у; z), отличная от Мо,
принадлежит плоскости а, то векторы п {а; Ь; с} и
Af0Af {х - х0; у - г/0; z - z0} взаимно перпендикулярны,
поэтому их скалярное произведение равно нулю:
а (х - х0) + b (у - у0) + с (z - z0) = 0.	(3)
Отметим, что координаты точки MQ также
удовлетворяют этому уравнению. Если же точка
М (х; у; г) не принадлежит плоскости а, то угол меж-
ду векторами п и М0М отличается от 90° (на величину
угла между прямой MQM и плоскостью а), и поэтому
скалярное произведение этих векторов отлично от нуля
и, следовательно, равенство (3) не выполняется.
Итак, уравнению (3) удовлетворяют коор-
динаты любой точки плоскости а и не удовлетворяют
координаты никакой точки, не лежащей в этой плоско-
сти. Поэтому уравнение (3) является уравнением плос-
кости, проходящей через точку Мо (х0; у0; zQ) и перпен-
дикулярной к ненулевому вектору п {а; Ь; с}.
Замечание
Уравнение (3) можно записать также в виде
ах + by + cz + d = 0,
где а2 + Ь2 + с2 * 0. Таким образом, уравнение плоско-
сти в прямоугольной системе координат является
уравнением первой степени.
Уравнение плоскости можно использовать
для вычисления расстояния от данной точки до этой
плоскости.
115
а)
б)
Рис. 137
Метод координат
в пространстве.
Движения
Задача 3
Найти расстояние от точки до плоскости, ес-
ли известны координаты точки и уравнение плоскости.
Решение
Пусть Мо (х0; z/0; z0) — данная точка, ах +
+ by + cz + d = 0 (а2 4- Ь2 + с2 * 0) — уравнение данной
плоскости а, Мх (хх; ух; zx) — проекция точки Мо на
плоскость а. Поскольку точка Мх лежит в плоскости а,
то ее координаты удовлетворяют уравнению этой плос-
кости:
ахх 4- Ьух 4- czx 4- d = 0.	(4)
—►	—►	-»
Вектор MqMj (если М^МХ * 0), как и вектор
п{а;Ь;с}, перпендикулярен к плоскости а, поэтому
М()МХ || п (если МаМ1 = 0, то также MQMX || Я). Следова-
—►	t
тельно, существует такое число /?, что М^МХ = kn. За-
пишем это равенство в координатах:
«1 - х0 = ka, yl-y0 = kb, z, - г0 = kc.	(5)
Заметим, наконец, что искомое расстоя-
ние I равно длине вектора MqM, т. е. равно
“ хо)2 +	- Vo)2 + (2i - 2о)2 • Таким образом, с
учетом равенств (5) получаем:
I = | k | Va2 4- Ь2 4- с2.	(6)
Выразим теперь координаты точки Мх из
уравнений (5) и подставим их в уравнение (4):
a (ka + x0) + b (kb + у0) + с (kc 4- z0) 4- d = 0.
Отсюда находим
,	ах0 + by0 + czQ+d
а2 + Ь2 + с2
Таким образом, формула (6) принимает вид
j = |ох0+Ьу0+сг0+</|
V а2 + Ь2 + с2
Задачи
441 Дан куб ABCDAXBXCXDX. Найдите угол между векторами: а) ВХВ
и В,С; б) DA и BXDX; в) АХСХ и АХВ; г) ВС и АС; д) ВВХ и АС; е) ВХС
и ADX; ж) AXDX и ВС; з) ААХ и СХС.
Метод координат
в пространстве.
Движения
116
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
Угол^между векторами АВ и CD равен <р. Найдите углы ВА DC,
ВА CD, АВ DC.
Ребро куба ABCDAXBXCXDX равно а, точка О, — центр грани
Вычислите скалярное произведение векторов: a) AD
и ВХСХ; б) АС и СХАХ; в) DXB и АС; г) ВАХ и ВСХ; д) AjO] и АХСХ;
е) DxО, и ВХОХ; ж) ВОХ и СХВ.
Даны векторы а {1; -1; 2}, Ь {-1; 1; 1} и с {5; 6; 2}. Вычислите ас,
a b, bс, а а, \Ь Ь.
Даны векторы a = 3i-5j + kvtb = j- 5k. Вычислите: а) а Ь; б) а Г;
в) b j; г) (a + b)k; д) (а - 2Ь)(/г + i- 2f}.
Даны векторы а {3; -1; 1}, b {-5; 1; 0} и с {-1; -2; 1}. Выясните, ка-
кой угол (острый, прямой или тупой) между векторами: а) а и Ь;
б) b и с; в) а и с.
Дан вектор а {3; -5; 0}. Докажите, что: a) at < 90°; б) a j > 90°;
в) ak = 90°.
Даны векторы а {-1; 2; 3} и b {5; х; -1}. При каком значении х вы-
полняется условие: a) ab = 3; б) a b = -1; в) alb?
Даны векторы а = mi + Зу + 4Л и b = 4i + mj - 7k. При каком значе-
нии т векторы а и b перпендикулярны?
Даны точки А (0; 1; 2), В (V2; 1; 2), С (у2; 2; 1) и D (0; 2; 1).
Докажите, что ABCD — квадрат.
Вычислите угол между векторами: а) а {2; -2; 0} и b {3; 0; -3};
б) а {д/2; V2; 2} и b {-3; -3; 0}; в) а {0; 5; 0} и b {0; -V3; 1);
г) а {-2,5; 2,5; 0} и Ъ {-5; 5; 5>/2}; д) а {- v'2; - V2; -2} и b	; -11.
Вычислите углы между вектором а {2; 1; 2} и координатными век-
торами.
Даны точки А (1; 3; 0), В (2; 3; -1) и С (1; 2; -1). Вычислите угол
между векторами СА и СВ.
Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами ко-
торого являются точки А (1; -1; 3), В (3; -1; 1) и С (-1; 1; 3).
Дан куб ABCDA}B1C1D1. Вычислите косинус угла между вектора-
ми: а) АД! и АСг; б) BDX и DB^, в) DB и АСХ.
Метод координат
в пространстве.
Движения
456 Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX, в котором
—►	—►
АВ = 1, ВС = CCj = 2. Вычислите угол между векторами DBX и ВСХ.
457 Известно, что ас = Ьс = 60°, | а | = 1, | b | = | с | = 2. Вычислите (5 + Ь) с.
458 Докажите справедливость равенства (а + b + c)d = ad + bd + cd.
Решение
Запишем сумму трех векторов а, b и с в виде а + Ь + с = (а + Ь) + с.
Пользуясь распределительным законом скалярного произведения
векторов, получаем (а + b + с) d = ((а + b) + с) d = (а + b) d + cd =
= (ad + bd) +cd = ad + bd + cd.
459 Векторы а и b перпендикулярны к вектору c, ab =120°, |а| =
= | b | = | c | = 1. Вычислите: а) скалярные произведения (a + b + c)(2b)
и (а - b + c)(d -с); б) |а-д| и |а + b -с|.
460 Докажите, что координаты ненулевого вектора в прямоугольной си-
стеме координат равны {|a|cos фх; |a|cos ф2; |a|cos ф3}, где ф, = ai,
<р2 = aj, фз = dV
Решение
Если вектор а имеет координаты {х; у; г}, то a = xi + yj + zk. Умно-
жив это равенство скалярно на i и используя свойства скалярного
произведения, получим ai = (xi 4- yj + zk) i = x (i i) + у (j i) + z (k i).
Так как ГГ = 1, Ji = 0, k i = 0, то а T= x. С другой стороны, по опре-
делению скалярного произведения a i = | а 11 i | cos ф! = | а | cos фР
Таким образом, х=|а|созф1. Аналогично получаем равенства
у =|a| cos ф2, г =|a| cos ф3.
461 Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу. Точки М и N — сере-
дины ребер AD и ВС. Докажите, что MN AD = MN ВС = 0.
462 В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX ААХ = АВ = AD = 1, Z.DAB = 60°,
ZAXAD = ZAXAB = 90°. Вычислите:
а) BAD{\; б) ВСХ 1\В\ в) АСх АСх\ г) \DBx\; д) |А^С\;
е) cos (DAX DXB); ж) cos (АС\ DBX).
463 В тетраэдре ABCD противоположные ребра AD и ВС, а также BD
и АС перпендикулярны. Докажите, что противоположные ребра
CD и АВ также перпендикулярны.
Решение	ж х г	,
Введем векторы а = DA, b = DB, с = DC (рис. 138). Тогда АВ -b - а,
АС = с - а, ВС - с - Ь. По условию AD ± ВС^ и BD 1 АС, поэтому
al(c-b) и Н(с-а). Следовательно, а(с-Ь) = 0 и д(с-а) = 0.
Метод координат
в пространстве.
Движения
Рис. 138
а)
Рис. 139
464
465
Отсюда получаем ас = ab и Ьс = Ьа. Из этих двух равенств следует,
что ас=Ьс, или (Ь-а)с = О. Но b - а = АВ, с = DC, поэтому
АВ DC = 0, и, значит, АВ ± CD. что и требовалось доказать.
Вычислите угол между прямыми АВ и CD. если: а) А (3; -2; 4),
В (4; -1; 2), С (6; -3; 2), D (7; -3; 1); б) А (5; -8; -1), В (6; -8; -2),
С (7; -5; -11), D (7; -7; -9); в) А (1; 0; 2), В (2; 1; 0), С (0; -2; -4),
D(-2; -4; 0); г) А (-6; -15; 7), В (-7; -15; 8), С (14; -10; 9), D (14; -10; 7).
Дана правильная треугольная призма АВСАХВХСХ. в которой ААХ =
= \[2АВ (рис. 139, а). Найдите угол между прямыми АСХ и АХВ.
Решение
Пусть АВ = а, тогда АА, = \2а. Введем прямоугольную систему ко-
ординат так, как показано на рисунке 139, б. Вершины А, В, Ар Сх
имеют следующие координаты (объясните почему): А |	; 01,
В (0; а; 0), А, ; |• а>/2 ) С, (0; 0; aV2).
Отсюда находим координаты векторов АСХ и ВАХ:
AC,	ВАХ
L	Ct	I	I &	£
> »
Векторы АСХ и ВАХ являются направляющими векторами пря-
мых ACj и АХВ. Искомый угол ф между ними можно найти по фор-
муле (2V	.
_3a2+lfl2 + 2a2
4	4
466
COS Ф = г	=—/ 	;----= 1, откуда ф = 60°.
— а2 + 1д2 + 2а2 • —а2+±а2 + 2а2 2
V4 4	V4 4
В кубе ABCDAXBXCXDX точка М лежит на ребре AAj, причем
AM : МАХ = 3 : 1, а точка N — середина ребра ВС. Вычислите ко-
синус угла между прямыми: а) MN и DDX; б) MN и BD; в) MN
и BXD; г) MN и АХС.
Метод координат
в пространстве.
Движения
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX АВ = ВС = | ААХ.
Найдите угол между прямыми: a) BD и CDX; б) АС и АСХ.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX АВ = 1, ВС = 2,
ВВХ = 3. Вычислите косинус угла между прямыми: а) АС и DXB;
б) АВХ и ВС,; в) А,В и АС,.
В кубе ABCDAXBXCXDX диагонали грани ABCD пересекаются в точ-
ке N, а точка М лежит на ребре AXDX, причем АХМ : MDX = 1:4.
Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани:
a) ABCD; б) DDXCXC; в) AAXDXD.
В тетраэдре ABCD Z.ABD = Z.ABC = ZDBC = 90°, АВ = BD = 2,
ВС = 1. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через
середины ребер AD и ВС, и плоскостью грани: a) ABD; б) DBC;
в) АВС.
Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из
которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани
куба, равен 90°.
Дан куб MNPQMXNXPXQX. Докажите, что прямая РМХ перпендику-
лярна к плоскостям MNXQX и QNPX.
Лучи ОА, ОВ и ОС образуют три прямых угла АОВ, АОС и ВОС.
Найдите угол между биссектрисами углов СОА и АОВ.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX Z.BACX = ZDACX =
= 60°. Найдите ф = ZAXACX.
Решение
Зададим прямоугольную систему коорди-
нат Oxyz так, как показано на рисунке 140,
и рассмотрим единичный вектор а, со-
—*	t
направленный с вектором АС,. Вектор а
имеет координаты {cos 60°; cos 60°; cos ф},
или
{ I ; I ’ COS Г Так КНК I а | = 1, то полу-
чим равенство 1 + 1 + cos2 ф = 1. Отсюда
4	4
1	/о
cos2 ф = -, или созф = ±—. Так как угол ф
2	2
острый, то cos ф = откуда ф = 45°.
В тетраэдре DABC DA = 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см, ZBAC = 90°,
Z.DAB = 60°, ZBAC = 45°. Найдите расстояние от вершины А до
точки пересечения медиан треугольника DBC.
Угол между диагональю АС, прямоугольного параллелепипеда
ABCDAXBXCXDX и каждым из ребер АВ и AD равен 60°. Найдите
ZCAC,.
Проекция точки К на плоскость квадрата ABCD совпадает с цент-
ром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми АК и BD
равен 90°.
Метод координат
« пространстве.
Движения
120
s3
Движения
54	Центральная симметрия
В курсе планиметрии мы познакомились
с движениями плоскости, т. е. отображениями плоско-
сти на себя, сохраняющими расстояния между точка-
ми. Введем теперь понятие движения пространства.
Предварительно разъясним, что понимается под слова-
ми отображение пространства на себя. Допустим, что
каждой точке М пространства поставлена в соответст-
вие некоторая точка причем любая точка Мх
пространства оказалась поставленной в соответствие
какой-то точке М. Тогда говорят, что задано отображе-
ние пространства на себя. Говорят также, что при дан-
ном отображении точка М переходит (отображается)
в точку Л/р Под движением пространства понимается
отображение пространства на себя, при котором любые
две точки А и В переходят (отображаются) в какие-то
точки Aj и Вх так, что AjBj = АВ. Иными словами, дви-
жение пространства — это отображение пространства
на себя, сохраняющее расстояния между точками.
Примером движения может служить центральная сим-
метрия — отображение пространства на себя, при ко-
тором любая точка М переходит в симметричную ей
точку Мх относительно данного центра О.
Докажем, что центральная симметрия яв-
ляется движением. Обозначим буквой О центр симмет-
рии и введем прямоугольную систему координат Oxyz
с началом в точке О. Установим связь между координа-
тами двух точек М (х; у; г) и Мх (Хр ух; Zj), симмет-
ричных относительно точки О. Если точка М не совпа-
дает с центром О, то О — середина отрезка ММХ. По
формулам координат середины отрезка получаем
~~2 = °’	2 = °’	= °’ Откуда = ~Х' У' = ~У'
Z] = —Z. Эти формулы верны и в том случае, когда точ-
ки М и О совпадают (объясните почему).
Рассмотрим теперь две точки А (хж; yt; гх)
и В (х2; у& 22) и докажем, что расстояние между симмет-
ричными им точками Ах и Вх равно АВ. Точки А! и В,
имеют координаты Aj (-х^ -ух*9 -zx) и Вх (-х2; -у2\ ~z2).
По формуле расстояния между двумя точками на-
Метод координат
в пространстве.
Движения
121
ходим: АВ = 7(х2 - х, )2 + (i/2 - у, )2 + (z2 - z, )2,	=
= ^(-х2 + X] )2 + (-у2 + у, )2 + (-z2 + Z] )2. Из этих соотно-
шений ясно, что АВ = АХВХ, что и требовалось доказать.
55	Осевая симметрия
Осевой симметрией с осью а называется та-
кое отображение пространства на себя, при котором
любая точка М переходит в симметричную ей точку Мх
относительно оси а.
Докажем, что осевая симметрия является
движением. Для этого введем прямоугольную систему
координат Охуz так, чтобы ось Oz совпала с осью сим-
метрии, и установим связь между координатами двух
точек М (х; у; z) и Мх (х^ ух\ zx), симметричных отно-
сительно оси Oz. Если точка М не лежит на оси Oz, то
ось Oz: 1) проходит через середину отрезка ММХ и
2) перпендикулярна к нему. Из первого условия по
формулам для координат середины отрезка получаем
Х*— = 0 и = 0» откуда хх = -х и ух = -у. Второе
условие означает, что аппликаты точек М и Мх равны:
zx = z. Полученные формулы верны и в том случае,
когда точка М лежит на оси Oz (объясните почему).
Рассмотрим теперь любые две точки
А(Хр У и 2i) и В (х2; Уъ\ и докажем, что расстояние
между симметричными им точками Aj и Вх равно АВ.
Точки Aj и Вх имеют координаты Ах (-х^ -ух\ zj и
Bj (~х2; -у2; z2). По формуле расстояния между двумя точ-
ками находим: АВ = д/(х2 - х,)2 -I- (у2 - ух)2 + (z2 - zj2,
А,В( = 7(-х2 + х, )2 + (-у2 + </г)2 -+- (z2 - z, )2. Из этих
соотношений ясно, что АВ=А1В1, что и требовалось
доказать.
56	Зеркальная симметрия
Зеркальной симметрией (симметрией от-
носительно плоскости а) называется такое отображе-
ние пространства на себя, при котором любая точ-
ка М переходит в симметричную ей относительно
плоскости а точку Мх.
Докажем, что зеркальная симметрия явля-
ется движением. Для этого введем прямоугольную си-
стему координат Oxyz так, чтобы плоскость Оху совпа-
ла с плоскостью симметрии, и установим связь между
координатами двух точек М (х; у, z) и Мх (хх; ух; zx),
122
Метод координат
в пространстве.
Движения
симметричных относительно плоскости Оху. Если точ-
ка М не лежит в плоскости Оху, то эта плоскость:
1) проходит через середину отрезка ММХ и 2) перпен-
дикулярна к нему. Из первого условия по формуле ко-
ординат середины отрезка получаем
г—— = 0, откуда
2Х = —г. Второе условие означает, что отрезок ММj па-
раллелен оси 02, и, следовательно, х1 = х, ух = у. Полу-
ченные формулы верны и в том случае, когда точка М
лежит в плоскости Оху (объясните почему).
Рассмотрим теперь две точки A (х^ ух; гх)
и В (х2; у2\ г2) и докажем, что расстояние между сим-
метричными им точками Aj и Вх равно АВ. Точки А,
и В} имеют координаты Aj (х^ ух; -г,) и В} (х2; у2; -г2).
По формуле расстояния между двумя точками на-
ходим: АВ = Л/(х2 -х,)2 + (у2 -yj2 + (г2 - г,)2, AjBj =
= ^/(x2 - х, )г + (у2 - У] )2 + (-г2 + г, )2. Из этих соотно-
шений ясно, что АВ = АХВХ, что и требовалось доказать.
57	Параллельный перенос
Приведем еще один пример движения про-
странства. Возьмем какой-нибудь вектор р. Параллель-
ным переносом на вектор р называется отображение
пространства на себя, при котором любая точка М пе-
реходит в такую точку Мх, что ММХ = р(рис. 141, а).
Докажем, что параллельный перенос яв-
ляется движением. При параллельном переносе на век-
тор р любые две точки А и В переходят в точки Aj и Вх
» t —►	t
такие, что ААХ = р и ВВ, = р. Требуется доказать, что
► ►
АХВХ = АВ. По правилу треугольника АВХ = АА, + АХВХ.
—►	—►
С другой стороны, АВХ = АВ + ВВХ (рис. 141, б). Из
 » ► - > —►
этих двух равенств получаем ААХ + АХВХ = АВ 4- ВВ,,
(	—►	► в »
или р + АХВХ = АВ 4- р, откуда АХВ} = АВ. Следователь-
но, AjBj = АВ, что и требовалось доказать.
Можно доказать (это делается так же, как
и в планиметрии), что при любом движении отрезок пе-
реходит в отрезок, прямая — в прямую, плоскость —
в плоскость. Можно доказать также, что понятие нало-
жения, с помощью которого в нашем курсе вводится
равенство фигур (см. приложение 2), совпадает с поня-
тием движения, т. е. любое наложение является дви-
б)
Рис. 141
Метод координат
в пространстве.
Движения
123
жением и, обратно, любое движение является наложе-
нием. Это утверждение доказывается аналогично тому,
как это делалось в планиметрии.
58*Преобразование подобия
Центральным подобием с центром О и ко-
эффициентом k * О называется отображение простран-
ства на себя, при котором каждая точка М переходит
—►	—►
в такую точку Мп что ОМj = kOM.
Нетрудно доказать, что если при централь-
ном подобии с коэффициентом k точки А и В перехо-
—►	—►
дят в точки А, и В1Т то А}В} = kAB (см. приложение 1).
Из этого, в частности, следует, что при центральном
подобии треугольник переходит в подобный ему тре-
угольник, плоскость, проходящая через точку О, пере-
ходит в себя, не проходящая через точку О — в парал-
лельную ей плоскость, а сфера с центром С радиуса г
(т. е. поверхность, состоящая из всех точек простран-
ства, расположенных на расстоянии г от точки С) —
—►	►
в сферу с центром радиуса kr, где ОС{ = kOC. Дока-
жите эти утверждения самостоятельно.
Центральное подобие является частным
случаем так называемого преобразования подобия.
Преобразованием подобия с коэффициентом k > 0 на-
зывается отображение плоскости на себя, при котором
любые две точки А и В переходят в такие точки А!
и В1? что AjBi = k АВ. Примерами преобразования по-
добия являются, очевидно, движение (при этом k = 1),
центральное подобие, а также результат их последова-
тельного выполнения.
Оказывается, верно и обратное утвержде-
ние: любое преобразование подобия представляет со-
бой результат последовательного выполнения движе-
ния и центрального подобия.
Докажем это. Рассмотрим преобразование
подобия с коэффициентом k. Произвольные точки А и
В переходят при нем в такие точки Ai и Вп что
А}В} = k • АВ. Рассмотрим теперь центральное подобие
с произвольным центром О и коэффициентом i. Точки
k
At и Вх переходят при нем в такие точки А2 и В2, что
А2В2 = Тем самым в результате последовательного
k
выполнения преобразования подобия и центрального
124
Метод координат
в пространстве.
Движения
подобия произвольные точки А и В переходят в такие
k • АВ
точки А2 и В2, что А2В2 = —-— = АВ. Это означает, что
результатом последовательного выполнения указан-
ных преобразований является движение. В свою оче-
редь, в результате последовательного выполнения это-
го движения и центрального подобия с центром О
и коэффициентом k точки А и В (взятые произвольно)
переходят в те же точки Aj и что и при исходном
преобразовании подобия. Но это и означает, что ис-
ходное преобразование подобия является результатом
последовательного выполнения указанного движения
и центрального подобия с центром О и коэффициен-
том k. Утверждение доказано.
Преобразование подобия часто использует-
ся в геометрии. С его помощью, например, можно ввес-
ти понятие подобия произвольных тел: два тела назы-
ваются подобными, если существует такое преобразо-
вание подобия, при котором одно из них переходит
в другое.
Задачи
478 Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2),
В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при: а) центральной симметрии относи-
тельно начала координат; б) осевой симметрии относительно ко-
ординатных осей; в) зеркальной симметрии относительно коорди-
натных плоскостей.
479 Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не прохо-
дящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей
прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отобра-
жается на себя.
480 Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не про-
ходящая через центр симметрии, отображается на параллельную
ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии,
отображается на себя.
481 Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная
оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, об-
разующая с осью угол <р, отображается на прямую, также образую-
щую с осью угол ф.
482 При зеркальной симметрии прямая а отображается на прямую ах.
Докажите, что прямые а и ах лежат в одной плоскости.
483 При зеркальной симметрии относительно плоскости а плоскость р
отображается на плоскость рР Докажите, что если: а) р || а, то
Pi || а; б) Р 1 а, то р, совпадает с р.
Метод координат
в пространстве.
Движения
484
485
486
487
488
489
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Докажите, что при параллельном переносе на вектор р, где р*0:
а) прямая, не параллельная вектору р и не содержащая этот вектор,
отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллель-
ная вектору р или содержащая этот вектор, отображается на себя.
Треугольник АХВХСХ получен параллельным переносом треугольни-
ка АВС на вектор р. Точки Мх и М — соответственно точки пересе-
чения медиан треугольников АХВХСХ и АВС. Докажите, что при па-
раллельном переносе на вектор р точка М переходит в точку Мг.
Докажите, что при движении: а) прямая отображается на пря-
мую; б) плоскость отображается на плоскость.
Докажите, что при движении: а) отрезок отображается на отре-
зок; б) угол отображается на равный ему угол.
Докажите, что при движении: а) параллельные прямые отобража-
ются на параллельные прямые; б) параллельные плоскости ото-
бражаются на параллельные плоскости.
Докажите, что при движении: а) окружность отображается на
окружность того же радиуса; б) прямоугольный параллелепипед
отображается на прямоугольный параллелепипед с теми же изме-
рениями.
Вопросы к главе V
Как расположена точка относительно прямоугольной системы ко-
ординат, если: а) одна ее координата равна нулю; б) две ее коор-
динаты равны нулю?
Объясните, почему все точки, лежащие на прямой, параллельной
плоскости Оху, имеют одну и ту же аппликату.
Даны точки А (2; 4; 5), В (3; х; у), С (0; 4; г) и D (5; t; и). При ка-
ких значениях х, у, z, t и и эти точки лежат: а) в плоскости, па-
раллельной плоскости Оху; б) в плоскости, параллельной плоско-
сти Oxz; в) на прямой, параллельной оси Ох?
—►	► ►
Найдите координаты вектора СА, если АВ {хх; у}; zj, ВС {х2; у2; z2}-
Первая и вторая координаты ненулевого вектора а равны нулю.
Как расположен вектор а по отношению к оси: a) Oz; б) Ох; в) Оу?
Первая координата ненулевого вектора а равна нулю. Как распо-
ложен вектор а по отношению: а) к плоскости Oxz; б) к оси Ох?
Коллинеарны ли векторы: а) а {-5; 3; -1} и b {6; -10; -2};
б) а {-2; 3; 7} и b {-1; 1,5; 3,5}?
Длина радиус-вектора точки М равна 1. Может ли абсцисса точ-
ки М равняться: а) 1; б) 2?
Длина вектора а равна 3. Может ли одна из координат вектора а
равняться: а) 3; б) 5?
Абсцисса точки равна 3, а абсцисса точки М2 равна 6. а) Мо-
жет ли длина отрезка МХМ2 быть равной 2? б) Как расположен от-
резок МХМ2 по отношению к оси Ох, если его длина равна 3?
Метод координат
в пространстве.
Движения
11
12
13
14
15
16
17
490
491
492
493
494
495
496
497
Векторы а и b имеют длины а и Ь. Чему равно скалярное произве-
дение векторов а и Ь, если: а) векторы а и b сонаправлены;
б) векторы а и b противоположно направлены; в) векторы а и b
перпендикулярны; г) угол между векторами а и Ь равен 60°;
д) угол между векторами а и Ь равен 120°?
При каком условии скалярное произведение векторов а и Ь: а) по-
ложительно; б) отрицательно; в) равно нулю?
Дан куб AB€Z)A1B1C]Z>I. Перпендикулярны ли векторы: a) AD
и Z>tCx; б) BD и СС,; в) AlCi и AD; г) DB и D}CX; д) ВВ и АС?
Первые координаты векторов а и b равны соответственно 1 и 2.
Может ли скалярное произведение векторов а и b быть: а) мень-
ше 2; б) равно 2; в) больше 2?
Какие координаты имеет точка А, если при центральной симмет-
рии с центром А точка В (1; 0; 2) переходит в точку С (2; -1; 4)?
Как расположена плоскость по отношению к осям координат Ох и
Ог, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости
точка М (2; 1; 3) переходит в точку Мх (2; -2; 3)?
В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зер-
кальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?
Дополнительные задачи
Даны векторы а {-5; 0; 5}, Ь {-5; 5; 0} и с {1; -2; -3}. Найдите ко-
ординаты вектора: а) ЗЬ - За + Зс; б) -0,1с + 0,8а - 0,56.
Коллинеарны ли векторы: а) а {-5; 3; -1} и b {6; -10; -2};
; - 1} и b {6; -5; 9};
г) а {0,7; -1,2; -5,2} и b {-2,8; 4,8; -20,8}?
Даны точки А (-5; 7; 3) и В (3; -11; 1). а) На оси Ох найдите точ-
ку, ближайшую к середине отрезка АВ. б) Найдите точки, облада-
ющие аналогичным свойством, на осях Оу и Ог.
Компланарны ли векторы: а) а {-1; 2; 3}, i + j и i - k; б) b {2; 1; 1,5},
Т + /+7 и Т-7; в) а{1; 1; 1}, b {1; -1; 2} и с {2; 3; -1}?
Даны точки А (3; 5; 4), В (4; 6; 5), С (6; -2; 1) и D (5; -3; 0). Дока-
жите, что ABCD — параллелограмм.
Даны точки А (2; 0; 1), В (3; 2; 2) и С (2; 3; 6). Найдите координа-
ты точки пересечения медиан треугольника АВС.
Даны координаты четырех вершин параллелепипеда ABCDA^B^^Df.
А (3; 0; 2), В (2; 4; 5), Aj (5; 3; 1), D (7; 1; 2). Найдите координа-
ты остальных вершин.
Середина отрезка АВ лежит в плоскости Оху. Найдите Л, если:
а) А (2; 3; -1), В (5; 7; k); б) А (0; 4; Л), В (3; -8; 2); в) А (5; 3; k\
В (3; -5; 3*).
б) а {-2; 3; 7} и b {-1; 1,5; 3,5}; в) а ( - |; j
I ЗУ
Метод координат
в пространстве.
Движения
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
Найдите координаты единичных векторов, сонаправленных соот-
ветственно с векторами а {2; 1; -2} и b {1; 3; 0}.
Длина вектора а {х; у, г} равна 5. Найдите ординату вектора а,
если х = 2, г = -V5.
Даны точки М (2; -1; 3), N (-4; 1; -1), Р (-3; 1; 2) и Q (1; 1; 0).
Вычислите расстояние между серединами отрезков MN и PQ.
Найдите расстояние от точки В (-2; 5; V3) до осей координат.
На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек
А (13; 2; -1) и В (-15; 7; -18).
Найдите координаты центра окружности, описанной около тре-
угольника с вершинами А (0; 2; 2), В (2; 1; 1), С (2; 2; 2).
Вершины треугольника АВС расположены по одну сторону от
плоскости а и находятся от этой плоскости на расстояниях 4 дм,
5 дм и 9 дм. Найдите расстояние от точки пересечения медиан
треугольника до плоскости а.
Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину
тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, ко-
торая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины.
Даны векторы а {-1; 5; 3), b {3; 0; 2}, с {0,5; -3; 4} и d {2; 1; 0}.
Вычислите: a) aft; б) ac; B)dd; r)(a + ft+c)d; д) (а - ft )(с - d).
В тетраэдре DABC DA = DB = DC, Z.ADB = 45°, Z.BDC = 60°. Вычис-
» --------------------------------► ----------*• ---► ---►
лите угол между векторами: а) DA и BD; б) DB и СВ; в) BD и ВА.
Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, Dx — проекция точ-
—►
ки D на плоскость АВС. Перпендикулярны ли векторы: а) DXB
и DXD; б) DDX и ВС; в) DA и ВС; г) DXB и DC?
Вычислите косинус угла между прямыми АВ и CD, если:
а) А (7; -8; 15), В (8; -7; 13), С (2; -3; 5), D (-1; 0; 4); б) А (8; -2; 3),
В (3; -1; 4), С (5; -2; 0), D (7; 0; -2).
В кубе ABCDAXBXCXDX точка М — центр грани ВВХСХС. Вычислите
---------------------------► ----► -----► ---►
угол между векторами: а) AXD и AM; б) MD и ВВХ.
В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX АВААХ = /.BAD = Z.DAAX = 60°,
—►	—►
АВ = ААХ = AD = 1. Вычислите длины векторов АСХ и BDX.
Проекция точки М на плоскость ромба ABCD совпадает с точкой О
пересечения его диагоналей. Точка N — середина стороны ВС,
АС = 8, DB = МО = 6. Вычислите косинус угла между прямой MN
и прямой: а) ВС; б) DC; в) АС; г) DB.
В кубе ABCDAXBXCXDX точка М лежит на ребре ВВ1Э причем
ВМ : МВХ = 3 : 2, а точка N лежит на ребре АО, причем AN : ND =
= 2:3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью
грани: а) DDXCXC; б) AXBXCXDX.
Метод координат
в пространстве.
Движения
514 Лучи ОА, ОВ, ОС и ОМ расположены так, что ЛАОВ = ЛВОС =
= ЛСОА = 90°, ЛАОМ = (ри ЛВОМ = ф2, ЛСОМ = ф3. Докажите,
что cos2 <pj + cos2 ф2 + cos2 фз = 1 •
515 Лучи ОА, ОВ и ОС расположены так, что ZВОС = ЛВОА = 45°,
ЛАОС = 60°. Прямая ОН перпендикулярна к плоскости АОВ. Най-
дите угол между прямыми ОН и ОС.
516 Дан двугранный угол CABD, равный ф (ф < 90е). Известно, что
АС ± АВ и Л DAB - 0. Найдите cos ЛСАО.
517 Отрезки СА и DB перпендикулярны к ребру двугранного угла CABD,
равного 120°. Известно, что АВ = т, СА- п, BD = р. Найдите CD.
518 При движении прямая а отображается на прямую а1? а плоскость
а — на плоскость аи Докажите, что: а) если а || а, то ах || cq;
б) если а ± а, то 1 oq.
519 При зеркальной симметрии относительно плоскости а плоскость [3
отображается на плоскость рр Докажите, что если плоскость [3 об-
разует с плоскостью а угол ф, то и плоскость р1 образует с плоско-
стью а угол ф.
520 Докажите, что при параллельном переносе на вектор р: а) плос-
кость, не параллельная вектору р и не содержащая этот вектор, ото-
бражается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, параллель-
ная вектору р или содержащая этот вектор, отображается на себя.
5 —Л. С. Атанасян
Глава VI
Цилиндр, конус и шар
§
Цилиндр
59 Понятие цилиндра
Рассмотрим произвольную плоскость а
и окружность L с центром О радиуса г, лежащую в этой
плоскости. Через каждую точку окружности L проведем
прямую, перпендикулярную к плоскости а. Поверхность,
образованная этими прямыми, называется цилиндриче-
ской поверхностью, а сами прямые — образующими ци-
линдрической поверхности. Прямая, проходящая через
точку О перпендикулярно к плоскости а, называется
осью цилиндрической поверхности. Поскольку все об-
разующие и ось перпендикулярны к плоскости а, то
они параллельны друг другу (см. п. 16).
Рассмотрим теперь плоскость 0, параллель-
ную плоскости а (рис. 142). Отрезки образующих, за-
ключенные между плоскостями а и 0, параллельны
и равны друг другу (см. п. 11). По построению концы
этих отрезков, расположенные в плоскости а, запол-
няют окружность L. Концы же, расположенные
в плоскости 0, заполняют окружность Lj с центром Oj
радиуса г, где Ох — точка пересечения плоскости 0
с осью цилиндрической поверхности. Справедливость
Цилиндр
Рис. 142
Цилиндр, конус и шар
этого утверждения следует из того, что множество кон-
цов образующих, лежащих в плоскости р, получается
из окружности L параллельным переносом на вектор
ООХ. Параллельный перенос является движением и,
значит, наложением, а при наложении любая фигура
переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при
параллельном переносе на вектор ОО} окружность L
перейдет в равную ей окружность Lx радиуса г с цент-
ром в точке ОР
Тело, ограниченное цилиндрической поверх-
ностью и двумя кругами с границами L и Lx, называет-
ся цилиндром (см. рис. 142). Круги называются основа-
ниями цилиндра, отрезки образующих, заключенные
между основаниями, — образующими цилиндра, а об-
разованная ими часть цилиндрической поверхности —
боковой поверхностью цилиндра. Ось цилиндрической
поверхности называется осью цилиндра.
Как уже отмечалось, все образующие ци-
линдра параллельны и равны друг другу. Длина обра-
зующей называется высотой цилиндра, а радиус осно-
вания — радиусом цилиндра.
Цилиндр может быть получен вращением
прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисун-
ке 143 изображен цилиндр, полученный вращением
прямоугольника ABCD вокруг стороны АВ. При этом
боковая поверхность цилиндра образуется вращением
стороны CD, а основания — вращением сторон ВС и AD.
Рассмотрим сечения цилиндра различными
плоскостями. Если секущая плоскость проходит через
ось цилиндра, то сечение представляет собой прямо-
угольник (рис. 144), две стороны которого — образую-
щие, а две другие — диаметры оснований цилиндра.
Такое сечение называется осевым.
Если секущая плоскость перпендикулярна
к оси цилиндра, то сечение является кругом. В самом
деле, такая секущая плоскость (плоскость у на рисун-
ке 145) отсекает от данного цилиндра тело, также явля-
ющееся цилиндром. Его основаниями служат два круга,
один из которых и есть рассматриваемое сечение.
Замечание
На практике нередко встречаются предме-
ты, которые имеют форму более сложных цилиндров.
На рисунке 146, а изображен цилиндр, каждое основа-
131
I
Цилиндр получен враще-
нием прямоугольника
ABCD вокруг стороны АВ
Рис. 143
Осевое сечение цилиндра
Рис. 144
Сечение цилиндра плос-
костью, перпендикуляр-
ной к оси
Рис. 145
5*
Цилиндр, конус и шар
ние которого представляет собой фигуру, ограничен-
ную частью параболы и отрезком. На рисунке 146, б
изображен цилиндр, основаниями которого являются
круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны
к плоскостям оснований (наклонный цилиндр). Однако
в дальнейшем мы будем рассматривать только такие
цилиндры, которые были определены в этом пункте. Их
называют иногда прямыми круговыми цилиндрами.
60	Площадь поверхности цилиндра
На рисунке 147, а изображен цилиндр.
Представим себе, что его боковую поверхность разреза-
ли по образующей АВ и развернули таким образом, что
все образующие оказались расположенными в некото-
рой плоскости а (рис. 147, #)• В результате в плоскости а
получится прямоугольник АВВ'А', Стороны АВ и А'В'
прямоугольника представляют собой два края разреза
боковой поверхности цилиндра по образующей АВ.
Этот прямоугольник называется разверткой боковой по-
верхности цилиндра. Основание АА' прямоугольника
является разверткой окружности основания цилиндра,
а высота АВ — образующей цилиндра, поэтому АА' = 2лг,
АВ - Л, где г — радиус цилиндра, h — его высота.
За площадь боковой поверхности цилиндра
принимается площадь ее развертки.
Так как площадь прямоугольника АВВ'А'
равна АА' • АВ = 2лгЛ, то для вычисления площади
боковой поверхности цилиндра радиуса г и высоты h
получается формула
а)
Рис. 146
Sfc. = 2лгЛ.
Итак, площадь боковой поверхности ци-
линдра равна произведению длины окружности осно-
вания на высоту цилиндра.
б)
Рис. 147
Цилиндр, конуг и шар
Площадью полной поверхности цилиндра
называется сумма площадей боковой поверхности
и двух оснований. Так как площадь каждого основа-
ния равна яг2, то для вычисления площади 5ЦИЛ полной
поверхности цилиндра получаем формулу
= 2пг (г + Л).
Задачи
521 Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоуголь-
ником, две противоположные стороны которого — образующие,
а две другие — диаметры оснований цилиндра. Найдите диаго-
наль осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высо-
та равна 4 м.
522 Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между
этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите:
а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания
цилиндра.
523 Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна
20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания ци-
линдра.
524 Осевые сечения двух цилиндров равны. Верно ли, что высоты двух
цилиндров равны, если равны их осевые сечения?
525 Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь осно-
вания равна 5 м2. Найдите высоту цилиндра.
526 Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сече-
ния как л/Зл : 4. Найдите: а) угол между диагональю осевого сече-
ния цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналя-
ми осевого сечения.
527 Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Ра-
диус цилиндра равен г, его высота — Л, а расстояние между прямой
АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: а) Л, если г = 10 дм, d = 8 дм,
АВ = 13 дм; б) d, если h = 6 см, г = 5 см, АВ = 10 см.
528 Докажите, что если секущая плоскость параллельна оси цилиндра
и расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра меньше его
радиуса, то сечение цилиндра представляет собой прямоугольник,
две противоположные стороны которого — образующие цилиндра.
529 Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь
сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если рассто-
яние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.
530 Высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания равен 10 см.
Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси, так, что
в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра
до секущей плоскости.
531 Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плос-
костью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее,
равна 240 дм2. Найдите радиус цилиндра.
Цилиндр, конус и шар
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
Через образующую ААХ цилиндра проведены две секущие плоско-
сти, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отно-
шение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол
между ними равен ф.
Высота цилиндра равна Л, а площадь осевого сечения равна S.
Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной
его оси, если расстояние между осью цилиндра и плоскостью сече-
ния равно d.
Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности
основания дугу в 120°. Найдите площадь сечения, если высота ци-
линдра равна Л, а расстояние между осью цилиндра и секущей
плоскостью равно d.
Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности
основания дугу в 60°. Образующая цилиндра равна 10<3 см, рас-
стояние от оси до секущей плоскости равно 2 см. Найдите пло-
щадь сечения.
Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендику-
лярные плоскости. Площадь каждого из полученных сечений рав-
на S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна
длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверх-
ности цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите пло-
щадь осевого сечения цилиндра.
Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндриче-
ской формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на
один квадратный метр расходуется 200 г краски?
Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной
поверхности равна 288л см2. Найдите радиус основания и высоту
цилиндра.
Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовле-
ние трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходи-
мо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?
Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения
равен ф, площадь основания цилиндра равна S. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилинд-
ра равен ф, диагональ равна d. Найдите площади боковой и полной
поверхностей цилиндра.
Из квадрата, диагональ которого равна d, свернута боковая поверх-
ность цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра.
Цилиндр получен вращением квадрата со стороной а вокруг од-
ной из его сторон. Найдите площадь:
а) осевого сечения цилиндра; б) боковой поверхности цилиндра;
в) полной поверхности цилиндра.
134 Цилиндр, конус и шар
546 Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг
прямой АВ, а другой цилиндр — вращением этого же прямоуголь-
ника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых по-
верхностей этих цилиндров равны, б) Найдите отношение площа-
дей полных поверхностей этих цилиндров, если АВ = а, ВС = Ь.
62
Конус
61	Понятие конуса
Рассмотрим окружность L с центром О
и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости а этой
окружности. Через точку Р и каждую точку окружно-
сти проведем прямую. Поверхность, образованная эти-
ми прямыми, называется конической поверхностью
(рис. 148), а сами прямые — образующими конической
поверхности. Точка Р называется вершиной, а пря-
мая ОР — осью конической поверхности.
Тело, ограниченное конической поверхно-
стью и кругом с границей L, называется конусом
(рис. 149). Круг называется основанием конуса, вер-
шина конической поверхности — вершиной конуса,
отрезки образующих, заключенные между вершиной
и основанием, — образующими конуса, а образованная
ими часть конической поверхности — боковой поверх-
ностью конуса. Ось конической поверхности называ-
ется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между
вершиной и основанием, — высотой конуса. Отметим,
что все образующие конуса равны друг другу (объ-
ясните почему).
Конус может быть получен вращением пря-
моугольного треугольника вокруг одного из его кате-
тов. На рисунке 150 изображен конус, полученный
вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг
катета АВ. При этом боковая поверхность конуса обра-
зуется вращением гипотенузы АС, а основание — вра-
щением катета ВС.
Рассмотрим сечение конуса различными
плоскостями. Если секущая плоскость проходит через
ось конуса (рис. 151), то сечение представляет собой
равнобедренный треугольник, основание которого —
диаметр основания конуса, а боковые стороны — обра-
зующие конуса. Это сечение называется осевым.
L
Рис. 149
Рис. 148
i^^ocb конуса
pl----вершина
конуса
образующие
конуса
— боковая
поверхность
конуса
основание
конуса
Рис. 150
135
Цилиндр, конус и шар
Если секущая плоскость перпендикулярна
к оси ОР конуса (рис. 152), то сечение конуса представ-
ляет собой круг с центром расположенным на оси
г>	р°\
конуса. Радиус г, этого круга равен -^-г, где г — ра-
диус основания конуса, что легко усмотреть из подобия
прямоугольных треугольников РОМ и РОХМХ. Доказа-
тельство этого факта приведено в решении задачи 556.
62	Площадь поверхности конуса
Боковую поверхность конуса, как и боко-
вую поверхность цилиндра, можно развернуть на плос-
кость, разрезав ее по одной из образующих
(рис. 153, а, б). Разверткой боковой поверхности кону-
са является круговой сектор (см. рис. 153, б), радиус
которого равен образующей конуса, а длина дуги сек-
тора равна длине окружности основания конуса.
За площадь боковой поверхности конуса
принимается площадь ее развертки. Выразим пло-
щадь боковой поверхности конуса через его образу-
ющую I и радиус основания г. Площадь кругового сек-
тора — развертки боковой поверхности конуса (см.
рис. 153, б) — равна ^-а, где а — градусная мера ду-
360
ги АВА', поэтому
Осевое сечение конуса
Сечение конуса плос-
костью а. перпендикуляр-
ной к его оси, — круг
с центром Ох радиуса
Выразим а через I и г. Так как длина ду-
ги АВА' равна 2пг (длине окружности основания кону-
са), то 2лг = ^а, откуда а = ^^. Подставив это
выражение в формулу (1), получим
«бок = wl.
(2)
Таким образом, площадь боковой поверх-
ности конуса равна произведению половины длины
окружности основания на образующую.
Площадью полной поверхности конуса на-
зывается сумма площадей боковой поверхности и осно-
вания. Для вычисления площади SKO8 полной поверхно-
сти конуса получается формула
«кок = яг (/ + г).
а)	б)
Рис. 153
136
Цилиндр, конус и тар
63 Усеченный конус
Возьмем произвольный конус и проведем
секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта
плоскость пересекается с конусом по кругу и
разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя
на рисунке 154) представляет собой конус, а другая на-
зывается усеченным конусом. Основание исходного ко-
нуса и круг, полученный в сечении этого конуса плос-
костью, называются основаниями усеченного конуса, а
отрезок, соединяющий их центры,— высотой усечен-
ного конуса.
Часть конической поверхности, ограничи-
вающая усеченный конус, называется его боковой
поверхностью, а отрезки образующих конической по-
верхности, заключенные между основаниями, называ-
ются образующими усеченного конуса. Все образую-
щие усеченного конуса равны друг другу (докажите это
самостоятельно).
Усеченный конус может быть получен вра-
щением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой сто-
роны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке 155
изображен усеченный конус, полученный вращением
прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD,
перпендикулярной к основаниям AD и ВС. При этом бо-
ковая поверхность образуется вращением боковой сто-
роны АВ, а основания усеченного конуса — вращением
оснований СВ и DA трапеции.
Докажем, что площадь боковой поверхно-
сти усеченного конуса равна произведению полусуммы
длин окружностей оснований на образующую, т. е.
основание
конуса
боковая
поверхность
образующая
основание конуса
Усеченный конус
Рис. 154
Усеченный конус получен
вращением прямоуголь-
ной трапеции ABCD во-
круг стороны CD
Рис. 155
S6cK = n(r + r,)l,
где г и Г1 — радиусы оснований, I — образующая усе-
ченного конуса.
Пусть Р — вершина конуса, из которого по-
лучен усеченный конус, ААХ — одна из образующих
усеченного конуса, г > гп точки О и Ох — центры осно-
ваний (рис. 156). Используя формулу (2), получаем
Збок = яг • РА - пг\ • РАХ = яг (РА, -ь ААХ) - nrt • РАХ.
Отсюда, учитывая, что ААХ = I, находим
Рис. 156
Зе™ = яг/ + я (г - гх) РАР	(3)
137
Цилиндр, конус и шар
Выразим РАХ через /, г и гР Прямоугольные
треугольники РОХАХ и РОА подобны, так как имеют об-
щий острый угол Р, поэтому
РА1 . РА	rl	РА1	Г1 = —, или ------ = — г	РАj + 1 г
Отсюда получаем
РА,
Подставив это выражение в формулу (3),
приходим к формуле
5*ж = я (г + rt) I.
Задачи
547 Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найди-
те образующую конуса.
548 Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости осно-
вания под углом а. Найдите площадь основания конуса, если:
а) а = 30°; б) а = 45°; в) а = 60°.
549 Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от вершины ко-
нуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы
площадь сечения была равна: а) половине площади основания;
б) четверти площади основания?
550 Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите
площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.
551 Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 2г.
Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие ко-
нуса, угол между которыми равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°.
552 Высота конуса равна Л, а угол между высотой и образующей кону-
са равен 60°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, прохо-
дящей через две взаимно перпендикулярные образующие.
553 Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна
6 дм2, а площадь основания равна 8 дм2.
554 Образующая конуса равна /, а радиус основания равен г. Найдите
площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду
основания, стягивающую дугу: а) в 60°; б) в 90°.
555 Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходя-
щего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу
в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания ко-
нуса угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°.
556 Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса г с цент-
ром О. Докажите, что если секущая плоскость а перпендикулярна
Цилиндр, конус и шар
к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с цент-
ром О] радиуса где О} — точка пересечения плоскости а с осью РО,
РО
a гх = (см. рис. 152).
Решение
Докажем сначала, что любая точка лежащая в плоскости а на
окружности радиуса гх с центром О1? лежит на некоторой образую-
щей конуса, т. е. является точкой рассматриваемого сечения.
Обозначим буквой М точку пересечения луча РМХ с плоскостью
основания конуса. Из подобия прямоугольных треугольников
РОХМХ и РОМ (они подобны, так как имеют общий острый угол Р)
находим: ОМ = лО,М, =	= г, т. е. точка М лежит на
РОХ 1	1 РО1 1
окружности основания конуса. Следовательно, отрезок РМ, на кото-
ром лежит точка является образующей конуса.
Докажем теперь, что любая точка лежащая как в плоскости а,
так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности
радиуса г\ с центром Действительно, из подобия треугольников
РО}МХ и РОМ (РМ — образующая, проходящая через точку М{)
имеем ОХМХ = ^1»ОМ ~-Лг = г1. Таким образом, окружность
радиуса гх с центром О} является сечением боковой поверхности
конуса плоскостью а, поэтому круг, границей которого является
557
558
559
560
561
562
563
564
эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью а.
Две секущие плоскости перпендикулярны к оси конуса. Докажите,
что площади сечений конуса этими плоскостями относятся как
квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.
Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой а.
Найдите а, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания ра-
вен 3 см.
Найдите дугу сектора, представляющего собой развертку боковой
поверхности конуса, если образующая конуса составляет с плоско-
стью основания угол в 60°.
Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверт-
кой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной:
а) 180°; б) 90е; в) 60°.
Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой
его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен
9 см, а дуга равна 120°.
Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая
равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см2. Высота конуса рав-
на 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.
Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом ф.
В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона
Цилиндр, конус и шар
равна а, а противолежащий угол равен а. Найдите площадь полной
поверхности конуса.
565 Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается во-
круг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной по-
верхностей образованного при этом вращении конуса.
566 Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна /и,
а угол при основании равен ф, вращается вокруг основания. Най-
дите площадь поверхности тела, полученного при вращении тре-
угольника.
567 Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований
равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.
568 Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см, а обра-
зующая равна 10 см. Найдите: а) высоту усеченного конуса;
б) площадь осевого сечения.
569 Радиусы оснований усеченного конуса равны Я и г, где Я > г, а об-
разующая составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите
площадь осевого сечения.
570 Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см2. Через середи-
ну высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярная к высо-
те. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при
этом усеченного конуса.
571 Дана трапеция ABCD, в которой ZA = 90°, ZZ) = 45°, ВС = 4 см,
CD = 3>/2 см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей
усеченного конуса, образованного вращением данной трапеции во-
круг стороны АВ.
572 Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которо-
го равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько кило-
граммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих
сторон 100 таких ведер, если на 1 м2 требуется 150 г краски? (Тол-
щину стенок ведер в расчет не принимать.)
53
Сфера
64	Сфера и шар
Сферой называется поверхность, состоя-
щая из всех точек пространства, расположенных на
данном расстоянии от данной точки (рис. 157).
Данная точка называется центром сферы
(точка О на рисунке 157), а данное расстояние — ради-
усом сферы. Радиус сферы часто обозначают латин-
ской буквой Я.
Любой отрезок, соединяющий центр и ка-
кую-нибудь точку сферы, также называется радиусом
Рис. 157
140
Цилиндр, конус и шар
сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и про-
ходящий через ее центр, называется диаметром сферы.
Очевидно, диаметр сферы равен 2R. Отметим, что сфе-
ра может быть получена вращением полуокружности
вокруг ее диаметра (рис. 158).
Тело, ограниченное сферой, называется ша-
ром. Центр, радиус и диаметр сферы называются так-
же центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно,
шар радиуса R с центром О содержит все точки про-
странства, которые расположены от точки О на рассто-
янии, не превышающем R (включая и точку О), и не
содержит других точек.
65	Уравнение сферы
Выведем уравнение сферы (см. начало п. 53)
радиуса R с центром С (х0; у0; z0) (рис. 159).
Расстояние от произвольной точки М (х; у; z)
до точки С вычисляется по формуле
МС = Л/(х-х0)2 +(j/-f/0)2 +(г-г0)2.
Если точка М лежит на данной сфере, то
МС = R, или МС2 - R2, т. е. координаты точки М удов-
летворяют уравнению
(х-х0)2 +(у-у0)2 +(z-20)2 = й2.	(1)
Если же точка М (х; у; z) не лежит на дан-
ной сфере, то МС2 Ф R2, т. е. координаты точки М не
удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямо-
угольной системе координат уравнение сферы радиу-
са Я с центром С (х0; t/0; z0) имеет вид
(х-х0)2 + (у-у0)2 +(z-z0)2 = R2.
66	Взаимное расположение
сферы и плоскости
Исследуем взаимное расположение сферы
и плоскости в зависимости от соотношения между ради-
усом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.
Обозначим радиус сферы буквой Я, а рассто-
яние от ее центра до плоскости а — буквой d. Введем
систему координат так, как показано на рисунке 160:
плоскость Оху совпадает с плоскостью а, а центр С сфе-
ры лежит на положительной полуоси Oz. В этой системе
координат точка С имеет координаты (0; 0; d), поэтому
141
А1
I
Сфера получена вращени-
ем полуокружности АСВ
вокруг диаметра АВ
Рис. 158
Рис. 159
Цилиндр, конус и шар
сфера имеет уравнение х2 + у2 + (z - d)2 = R2. Плоскость а
совпадает с координатной плоскостью Оху, и поэтому
ее уравнение имеет вид г = 0 (объясните почему).
Если координаты какой-нибудь точки
М (х; у\ z) удовлетворяют обоим уравнениям, то точка М
лежит как в плоскости а, так и на сфере, т. е. является
общей точкой плоскости и сферы. Если же система
этих двух уравнений не имеет решений, то сфера
и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, во-
прос о взаимном расположении сферы и плоскости сво-
дится к исследованию системы уравнений
f 2 = 0
}х2 + у2 + (z -d)2 = R2.
Подставив 2 = 0 во второе уравнение, получим
х2 + у2 = R2 -d2.
(2)
Возможны три случая.
1)	d < R. Тогда R2 - d2 > 0, и уравнение (2)
является уравнением окружности радиуса г = \R2 -d2
с центром в точке О на плоскости Оху. Координаты лю-
бой точки М (х; у*, 0) этой окружности удовлетворяют
как уравнению плоскости а, так и уравнению сферы,
т. е. все точки этой окружности являются общими точ-
ками плоскости и сферы (см. рис. 160, а). Таким обра-
зом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются
по окружности. Итак, если расстояние от центра сфе-
ры до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение
сферы плоскостью есть окружность.
Ясно, что сечение шара плоскостью есть
круг. Если секущая плоскость проходит через центр ша-
ра, то d = 0 и в сечении получается круг радиуса R, т. е.
круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг
называется большим кругом шара (рис. 161). Если се-
кущая плоскость не проходит через центр шара, то
d > 0 и радиус сечения r = \R2 -d2, очевидно, меньше
радиуса шара (см. рис. 160, а).
2)	d = R. Тогда R2 - d2 = 0, и уравнению (2)
удовлетворяют только числа х = 0, у = 0. Следова-
тельно, только координаты точки О (0; 0; 0) удовлетво-
ряют обоим уравнениям, т. е. О — единственная общая
точка сферы и плоскости (см. рис. 160, 0). Итак, если
расстояние от центра сферы до плоскости равно
d = R
б)
d>R
в)
Рис. 160
142
Цилиндр, конус и тар
радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только од-
ну общую точку.
3)	d> R. Тогда R2 - d2 < 0, и уравнению (2)
не удовлетворяют координаты никакой точки. Следо-
вательно, если расстояние от центра сферы до плоско-
сти больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не
имеют общих точек (см. рис. 160, в).
67	Касательная плоскость к сфере
Рассмотрим более подробно случай, когда
сфера и плоскость имеют только одну общую точку.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую
точку, называется касательной плоскостью к сфере,
а их общая точка называется точкой касания плос-
кости и сферы.
На рисунке 162 плоскость а — касательная
к сфере с центром О, А — точка касания. Касательная
плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным
свойству касательной к окружности. Оно выражено
в следующей теореме:
Рис. 161
Рис. 162
Теорема
Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и
плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Доказательство
Рассмотрим плоскость а, касающуюся сфе-
ры с центром О в точке А (рис. 162). Докажем, что ра-
диус ОА перпендикулярен к плоскости а.
Предположим, что это не так. Тогда радиус
ОА является наклонной к плоскости а, и, следователь-
но, расстояние от центра сферы до плоскости а меньше
радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересека-
ются по окружности. Но это противоречит тому, что
плоскость а — касательная, т. е. сфера и плоскость а
имеют только одну общую точку. Полученное противо-
речие доказывает, что радиус ОА перпендикулярен
к плоскости а. Теорема доказана.
Докажем обратную теорему.
Теорема
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, про-
ходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта
плоскость является касательной к сфере.
Цилиндр, конус и шар
Доказательство
Из условия теоремы следует, что данный
радиус является перпендикуляром, проведенным из
центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние
от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и,
следовательно, сфера и плоскость имеют только одну
общую точку. Это и означает, что данная плоскость яв-
ляется касательной к сфере. Теорема доказана.
68	Площадь сферы
В отличие от боковой поверхности цилиндра
или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и,
следовательно, для нее непригоден способ определения
и вычисления площади поверхности с помощью раз-
вертки. Для определения площади сферы воспользуемся
понятием описанного многогранника. Многогранник на-
зывается описанным около сферы (шара), если сфера
касается всех его граней*. При этом сфера называется
вписанной в многогранник. На рисунке 163 изображе-
ны описанные около сферы тетраэдр и куб.
Рассмотрим последовательность описанных
около данной сферы многогранников, в которой число
граней многогранника неограниченно возрастает и при
этом наибольший размер каждой грани** многогранни-
ка стремится к нулю. За площадь сферы примем пре-
дел последовательности площадей поверхностей этих
многогранников.
В п. 84 мы докажем, что этот предел суще-
ствует, и получим следующую формулу для вычисле-
ния площади сферы радиуса R:
8 = 4^.
Рис. 163
69* Взаимное расположение
сферы и прямой
Исследуем взаимное расположение сферы
с центром О и прямой а в зависимости от соотношения
между радиусом сферы R и расстоянием d от центра
сферы до прямой а.
* Говорят, что сфера касается грани многогранника, если плос-
кость грани является касательной к сфере и точка касания
принадлежит грани.
**Наибольшим размером грани мы называем наибольшее рас-
стояние между двумя точками грани. Так, например, если
грань является прямоугольником, то ее наибольший размер
равен диагонали.
Цилиндр, конус и шар
Проведем через центр сферы и прямую а
плоскость а (если центр сферы лежит на прямой а, то
в качестве плоскости а возьмем любую плоскость, про-
ходящую через прямую а). Она пересекает сферу по
окружности L с центром О радиуса R. Ясно, что все об-
щие точки сферы и прямой а (если они есть) лежат
в плоскости а и, следовательно, на окружности L. Воз-
можны три случая:
1.	d > R, В этом случае окружность L и
прямая а не имеют общих точек, поэтому сфера и пря-
мая а также не имеют общих точек (рис. 164, а).
2.	d = R. В этом случае окружность L и
прямая а имеют ровно одну общую точку, поэтому сфе-
ра и прямая а также имеют ровно одну общую точку
(рис. 164, б).
3.	d < R. В этом случае окружность L и
прямая а имеют ровно две общие точки, поэтому сфера
и прямая а также имеют ровно две общие точки
(рис. 164, в).
Прямая, имеющая со сферой ровно одну об-
щую точку, называется касательной к сфере, а общая
точка — точкой касания прямой и сферы.
Докажите самостоятельно, что:
радиус сферы, проведенный в точку каса-
ния сферы и прямой, перпендикулярен к этой прямой;
если радиус сферы перпендикулярен к пря-
мой, проходящей через его конец, лежащий на сфере,
то эта прямая является касательной к сфере.
Рассмотрим теперь две касательные к сфере
с центром О, проходящие через точку А и касающиеся
сферы в точках В и С (рис. 165). Отрезки АВ и АС на-
зовем отрезками касательных, проведенными из точ-
ки А. Они обладают следующим свойством: отрезки
касательных к сфере, проведенные из одной точки,
равны и составляют равные углы с прямой, проходя-
щей через эту точку и центр сферы.
Это следует из равенства прямоугольных
треугольников АВО и АСО (они имеют общую гипоте-
нузу АО и катеты ОВ и ОС, равные радиусу сферы).
а
Рис. 164
70* Сфера, вписанная в цилиндрическую
поверхность
Говорят, что сфера вписана в цилиндриче-
скую поверхность, если она касается всех ее образующих.
Рассмотрим цилиндр, ограниченный круга-
ми с центрами О и Ох радиуса г и цилиндрической
145
Цилиндр, конус и шар
поверхностью, а также сферу S с центром О радиуса г
(рис. 166). Поскольку расстояние от точки О до каж-
дой из образующих равно радиусу сферы, то эта сфера
касается всех образующих, т. е. является сферой, впи-
санной в цилиндрическую поверхность. Отметим так-
же, что множество всех общих точек сферы S и цилин-
дрической поверхности представляет собой окружность
основания цилиндра.
Рассмотрим теперь какую-нибудь плос-
кость а, пересекающую одну из образующих нашей ци-
линдрической поверхности и, следовательно, пересекаю-
щую все образующие. Докажем, что существует сфера,
касающаяся плоскости а и цилиндрической поверхности.
Проведем из точки О перпендикуляр ОН
к плоскости а (случай, когда плоскость а проходит че-
рез точку О, рассмотрите самостоятельно) и обозначим
буквой А точку пересечения луча ОН и сферы S
(рис. 167, а). Если точки А и Н совпадают, то сфе-
ра S — искомая (обоснуйте это). Если же точки А и Н
не совпадают, то проведем через точку А прямую, па-
раллельную образующей, и обозначим буквой В точку
ее пересечения с плоскостью а. При параллельном пе-
►
реносе на вектор АВ сфера S переходит в сферу S' ра-
диуса г с центром О', лежащим на прямой ООХ
(рис. 167, б), поэтому эта сфера касается цилиндриче-
ской поверхности. Расстояние от точки О' до плоскости
а равно О'В = ОА (объясните почему), т. е. равно ради-
усу г. Следовательно, сфера S' касается плоскости а,
т. е. является искомой. Утверждение доказано.
71* Сфера, вписанная в коническую
поверхность
Говорят, что сфера вписана в коническую
поверхность, если она касается всех ее образующих.
Рассмотрим конус с вершиной Р, ограничен-
ный кругом с центром О и конической поверхностью
(рис. 168). Пусть ф — угол между прямой РО и образу-
ющей, S — сфера с центром О радиуса РО • sin ф.
Поскольку расстояние от точки О до каждой из образу-
ющих равно радиусу сферы, то эта сфера касается всех
образующих, т. е. является сферой, вписанной в кони-
ческую поверхность. Отметим также, что множество
146
Рис. 166
Рис. 167
s
Цилиндр, конус и шар
всех общих точек сферы S и конической поверхности
представляет собой окружность, лежащую в плоскости,
параллельной плоскости основания конуса, и удаленной
от вершины конуса на расстояние РО • cos2 (р (пользуясь
рисунком 168, докажите это самостоятельно).
Пусть РА — одна из образующих конуса.
Рассмотрим какую-нибудь плоскость а, пересекающую
образующую РА конической поверхности в точке В, ле-
жащей на луче РА. Докажем, что существует сфера,
касающаяся плоскости а и конической поверхности.
Проведем из точки О перпендикуляр ОН
к плоскости а (случай, когда плоскость а проходит че-
рез точку О, рассмотрите самостоятельно) и обозна-
чим буквой С точку пересечения луча ОН и сферы S
(рис. 169). Если точки С и Н совпадают, то сфе-
ра S — искомая (обоснуйте это). Если же точки С и Н
не совпадают, то проведем через точку С касательную
плоскость р к сфере S. Пусть РМ и PN — перпендику-
ляры, проведенные из точки Р к плоскостям аир,
При центральном подобии с центром Р и коэффициен-
том, равным (см. п. 58), плоскость Р переходит
в плоскость а, а сфера В, касающаяся конической по-
верхности и плоскости р, переходит в сферу S', касаю-
щуюся конической поверхности и плоскости а (дока-
жите это). Следовательно, сфера S' — искомая.
Утверждение доказано.
Рис. 168
Рис. 169
72* Сечения цилиндрической поверхности
Мы знаем, что если секущая плоскость пер-
пендикулярна к образующей цилиндрической поверхно-
сти, то сечением является окружность. Если секущая
плоскость параллельна образующей цилиндрической
поверхности, то сечением являются две параллельные
прямые (объясните почему). А как выглядит сечение
этой поверхности плоскостью а, проходящей под углом
Ф к образующей при 0 < ф < 90°?
Пусть М — произвольная точка сечения,
Fx — точка касания плоскости а и сферы Sn касающей-
ся цилиндрической поверхности, Lx — окружность, со-
стоящая из точек касания сферы и цилиндрической по-
верхности, — точка окружности Lt, лежащая на
147
Цилиндр, конус и шар
одной образующей с точкой М (рис. 170, а). Отрезки
MF. и являются отрезками касательных, прове-
денными из точки М к сфере Sl9 поэтому
Рассмотрим теперь сферу S2, касающуюся
цилиндрической поверхности по окружности L2, а плос-
кости а — в некоторой точке F2 (сфера S2 симметрична
сфере Si относительно точки пересечения плоскости а
и оси цилиндрической поверхности). Пусть М2 — точка
окружности Ь2, лежащая на одной образующей с точкой
М. Отрезки MF2 и ММ2, будучи отрезками касатель-
ных, проведенными из точки М к сфере S2, равны:
MF2 = ММ2.
Таким образом,
MF. + MF2 = ММ. + ММ2 = М}М2.
Мы видим, что для любой точки М рассмат-
риваемого сечения сумма MF. + MF2 равна М}М2, т. е.
равна расстоянию между параллельными плоскостями
окружностей L. и L2, и поэтому не зависит от выбора
точки М. Следовательно, все точки сечения лежат на
эллипсе с фокусами F. и F2, расположенном в плоско-
сти а (см. п. 97).
Докажем теперь, что любая точка N указан-
ного эллипса является точкой сечения. Проведем через
точку N какую-нибудь плоскость р, проходящую через
две образующие цилиндра (например, плоскость осевого
сечения). Она пересекает рассматриваемое сечение
в двух точках, лежащих на линии а пересечения плос-
костей а и р, причем каждая из этих точек (согласно до-
казанному) принадлежит эллипсу. Но прямая а не мо-
жет иметь более двух общих точек с эллипсом (см.
п. 97). Следовательно, точка N является одной из этих
двух точек, т. е. является точкой сечения.
Итак, сечением цилиндрической поверхно-
сти плоскостью а является эллипс.
Замечание
Тот факт, что все точки сечения лежат на
эллипсе с фокусом можно установить иначе. Пусть
b — линия пересечения плоскости а с плоскостью
окружности МН — перпендикуляр, проведенный
а)
148
Цилиндр, конус и шар
из точки М сечения к прямой b (рис. 170, б; на этом
рисунке изображением прямой b служит точка Н). То-
гда ЛНММГ = ф и поэтому
ММХ
тпг’™*-
Но ММ, = MFr. Следовательно, отношение
расстояния от каждой точки М сечения до точки Fx
к расстоянию от точки М до прямой b равно числу
cos ф, не зависящему от точки М и меньшему 1. Ины-
ми словами, каждая точка сечения лежит на эллипсе с
фокусом директрисой b и эксцентриситетом cos ф.
73* Сечения конической поверхности
Рассмотрим сечения конической поверхно-
сти различными плоскостями. Если секущая плоскость
проходит через вершину конической поверхности, то
сечением являются либо две образующие, либо одна об-
разующая, либо одна точка — вершина конической по-
верхности (объясните почему). А как выглядит сечение
плоскостью а, не проходящей через вершину?
Пусть ф — угол между плоскостью а и осью
конической поверхности (т. е. осью какого-нибудь кону-
са, ограниченного кругом и этой поверхностью). Если
Ф = 90°, то, как мы знаем, сечением является окруж-
ность. Пусть ф^90°, 6 — угол между осью конической
поверхности и ее образующей, М — произвольная точ-
ка сечения, F — точка касания плоскости а и сферы S,
касающейся конической поверхности, L — окружность,
состоящая из точек касания сферы и конической поверх-
ности, — точка окружности L, лежащая на одной
образующей с точкой М (рис. 171). Отрезки MF и ММ}
являются отрезками касательных, проведенными из
точки М к сфере S, поэтому MF = ММХ.
Проведем из точки М перпендикуляр МК
к плоскости р окружности L, обозначим буквой b ли-
нию пересечения плоскостей а и Р и проведем из точ-
ки М перпендикуляр МН к прямой Ь. Тогда
ЛКММХ = 9, Z.KMH= ф и из прямоугольных треуголь-
ников МКМХ и МКН находим: МК - ММХ cos 9,
МК = МН cos ф. Учитывая, что ММХ = MF, приходим
к равенству:
MF _ cosy
МН cos 0 *
Рис. 171
149
Цилиндр, конус и шар
Мы видим, что если cos ср < cos 0, то все
точки сечения лежат на эллипсе с фокусом F и дирек-
трисой д, если cos (р = cos 0, то на параболе с фокусом F
и директрисой Ь, а если cos <р > cos 0, то на гиперболе
с фокусом F и директрисой Ь. Доказательство того, что
каждая точка указанных линий является точкой сече-
ния (аналогичное соответствующему доказательству
в п. 72), проведите самостоятельно.
Итак, в зависимости от угла между секу-
щей плоскостью и осью конической поверхности сече-
ние может быть эллипсом, параболой или гиперболой.
По этой причине эллипс, параболу и гиперболу часто
объединяют общим названием конические сечения.
Замечания
1. В случае cos (р # cos 0 можно рассмотреть
еще одну сферу, касающуюся плоскости а и кониче-
ской поверхности, и привести еще одно доказательство
того, что каждая точка сечения лежит либо на эллип-
се, либо на гиперболе. Подумайте, как это сделать.
2. Из доказанного утверждения следует,
что центральной проекцией окружности может быть
либо эллипс, либо парабола, либо одна из ветвей гипер-
болы (объясните почему). Этот факт хорошо известен
нам из опыта. Так, ближний свет автомобильной фары
освещает часть асфальта, ограниченную эллипсом,
а дальний — гиперболой.
Задачи
573 Точки А и В лежат на сфере с центром О е АВ, а точка М лежит на
отрезке АВ. Докажите, что: а) если М — середина отрезка АВ, то
ОМ ± АВ; б) если ОМ 1 АВ, то М — середина отрезка АВ.
574 Точка М — середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере
радиуса R с центром О. Найдите: а) ОМ, если Я = 50 см, АВ =
= 40 см; б) ОМ, если R = 15 мм, АВ = 18 мм; в) АВ, если R = 10 дм,
ОМ = 60 см; г) ДМ, если R = а, ОМ = Ь.
575 Точки А и В лежат на сфере радиуса R. Найдите расстояние от
центра сферы до прямой АВ, если АВ = т.
576 Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если:
а) А (2; -4; 7), R = 3; б) А (0; 0; 0), R = 42; в) А (2; 0; 0), R = 4.
577 Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точ-
ку N, если: а) А (-2; 2; 0), N (5; 0; -1); б) А (-2; 2; 0), N (0; 0; 0);
в) А (0; 0; 0), N (5; 3; 1).
Цилиндр, конус и шар
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнени-
ем: а) х2 + у2 -ь г2 = 49; б) (х - З)2 + (у + 2)2 + z2 = 2.
Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравне-
нием сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сфе-
ры: а) х2 - 4х 4- у2 + г2 = 0; б) х2 4- у2 4- г2 - 2у = 24; в) х2 4- 2х 4-
4- у2 4- г2 = 3; г) х2 - х + у2 4- Зу 4- г2 - 2z = 2,5.
Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на рассто-
янии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.
Вершины треугольника АВС лежат на сфере радиуса 13 см. Най-
дите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если
АВ = 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см.
Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите
расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если
его диагональ равна 16 см.
Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите рас-
стояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его сто-
роны равны 10 см, 10 см и 12 см.
Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см.
Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника,
если АВ = 13 см, ВС = 14 см, СА = 15 см.
Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, каса-
ются сферы радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы
до плоскости ромба.
Отрезок ОН — высота тетраэдра ОАВС. Выясните взаимное рас-
положение сферы радиуса R с центром О и плоскости АВС, если:
a) R = 6 дм, ОН = 60 см; б) R = 3 м, ОН = 95 см; в) R = 5 дм,
ОН = 45 см; г) R = 3,5 дм, ОН = 40 см.
Расстояние от центра шара радиуса R до секущей плоскости рав-
но d. Вычислите: а) площадь S сечения, если R = 12 см, d = 8 см;
б) R, если площадь сечения равна 12 см2, d = 2 см.
Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая
плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы ра-
вен R. Найдите: а) радиус получившегося сечения; б) площадь бо-
ковой поверхности конуса, вершиной которого является центр
сферы, а основанием — полученное сечение.
Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы ра-
диуса R так, что угол между диаметром и плоскостью равен а.
Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если:
a) R = 2 см, а = 30°; б) R = 5 м, а = 45°.
Через точку сферы радиуса R, которая является границей данного
шара, проведены две плоскости, одна из которых является каса-
тельной к сфере, а другая наклонена под углом ф к касательной
плоскости. Найдите площадь сечения данного шара.
Сфера касается граней двугранного угла в 120°. Найдите радиус
сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от
центра сферы до ребра двугранного угла равно а.
Цилиндр, конус и шар
592
593
594
595
596
597
598
599
600
1
2
3
4
5
6
7
8
Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, каса-
тельной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите рас-
стояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.
Найдите площадь сферы, радиус которой равен: а) 6 см; б) 2 дм;
в) >[2 м; г) 27з см.
Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр, равна 9 м2.
Найдите площадь сферы.
Площадь сферы равна 324 см2. Найдите радиус сферы.
Докажите, что площади двух сфер пропорциональны квадратам
их радиусов.
Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы
радиуса 5 м.
Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см.
Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Найдите
площадь сферы.
Радиусы сечений сферы двумя взаимно перпендикулярными плос-
костями равны г, и г2. Найдите площадь сферы, если сечения име-
ют единственную общую точку.
Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра, получен-
ного при вращении квадрата вокруг одной из его сторон, равна
площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата.
Вопросы к главе VI
Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плос-
костью, проходящей через образующую цилиндра?
Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллель-
ной его образующей?
На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу
хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих
хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилин-
дра; в) меньше высоты цилиндра?
Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одина-
ковой толщины. Высота первой детали в два раза больше высоты
второй, но радиус ее основания в два раза меньше радиуса осно-
вания второй детали. На какую из деталей расходуется больше
никеля?
Равны ли друг другу углы между образующими конуса и:
а) плоскостью основания; б) его осью?
Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей
через его вершину?
Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару
любая точка отрезка АВ?
Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами
4 см и 2V2 см лежать на сфере радиуса V5 см?
Цилиндр, конус и шар
9
10
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами
иметь общую касательную плоскость?
Что представляет собой множество всех точек пространства, из ко-
торых данный отрезок виден под прямым углом?
Дополнительные задачи
Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь се-
чения цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса
основания перпендикулярно к этому радиусу.
Вершины А и В прямоугольника ABCD лежат на окружности од-
ного из оснований цилиндра, а вершины С и D — на окружности
другого основания. Вычислите радиус цилиндра, если его образую-
щая равна а, АВ = а, а угол между прямой ВС и плоскостью осно-
вания равен 60°.
Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и рассто-
яние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то
плоскость содержит образующую цилиндра, и притом только од-
ну. (В этом случае плоскость называется касательной плоскостью
к цилиндру.)
При вращении прямоугольника вокруг неравных сторон получа-
ются цилиндры, площади полных поверхностей которых равны
и S2. Найдите диагональ прямоугольника.
Найдите отношение площадей полной и боковой поверхностей
цилиндра, если осевое сечение цилиндра представляет собой:
а) квадрат; б) прямоугольник ABCD, в котором АВ : AD =1:2.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга,
описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса
цилиндра к его высоте.
Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую пло-
щадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения ци-
линдра равен 2р.
Толщина боковой стенки и дна стакана цилиндрической формы
равна 1 см, высота стакана равна 16 см, а внутренний радиус ра-
вен 5 см. Вычислите площадь полной поверхности стакана.
Четверть круга свернута в коническую поверхность. Докажите, что
образующая конуса в четыре раза больше радиуса основания.
Найдите косинус угла при вершине осевого сечения конуса, имею-
щего три попарно перпендикулярные образующие.
Площадь основания конуса равна Sx, а площадь боковой поверх-
ности равна 80. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса
равно Найдите угол между образующей и плоскостью основа-
ния конуса.
Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу
в 120°, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания
угол в 45°. Найдите площадь сечения, если радиус основания ра-
вен 4 см.
Цилиндр, конус и шар
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверт-
кой его боковой поверхности является сектор с дугой 270°.
Прямоугольный треугольник с катетами а и b вращается вокруг
гипотенузы. Найдите площадь поверхности полученного тела.
Равнобедренная трапеция, основания которой равны 6 см и 10 см,
а острый угол 60°, вращается вокруг большего основания. Вычис-
лите площадь поверхности полученного тела.
Высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см. Вычис-
лите площадь полной поверхности правильной n-угольной пирами-
ды, вписанной в конус*, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6.
Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны.
Одно из оснований осевого сечения равно 40 см, а его площадь
равна 36 дм2. Вычислите площади боковой и полной поверхностей
усеченного конуса.
Докажите, что: а) центр сферы является центром симметрии сфе-
ры; б) любая прямая, проходящая через центр сферы, является
осью симметрии сферы; в) любая плоскость, проходящая через
центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.
Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см
лежат на сфере, а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см,
то центр сферы лежит в плоскости треугольника, б) Найдите рас-
стояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус
сферы равен 6,5 см.
Точка А лежит на радиусе данной сферы с центром О и делит этот
радиус в отношении 1:2, считая от центра сферы. Через точку А
проведена плоскость а так, что радиус сферы с центром О, касаю-
щейся плоскости а, в 6 раз меньше радиуса данной сферы. Найди-
те: а) угол между прямой ОА и плоскостью а; б) отношение пло-
щади сечения данной сферы плоскостью а к площади самой сферы.
Найдите координаты точек пересечения сферы, заданной уравне-
нием (х - З)2 + у2 + (z + 5)2 = 25, с осями координат.
Найдите радиус сечения сферы х2 + у2 + г2 = 36 плоскостью, прохо-
дящей через точку М (2; 4; 5) и перпендикулярной к оси абсцисс.
Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют об-
щую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольни-
ков лежат на одной сфере.
Расстояние между центрами двух равных сфер меньше их диаметра,
а) Докажите, что пересечением этих сфер является окружность,
б) Найдите радиус этой окружности, если радиусы сфер равны Я,
а расстояние между их центрами равно 1,6Я.
Точки А, В, С и D лежат на сфере радиуса Я, причем Z.ADB =
= Z BDC = Z.CDA = 2ф, AD = BD = CD. Найдите: а) АВ и АВ;
б) площадь сечения сферы плоскостью АВС.
Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание
вписано в основание конуса, а вершина пирамиды совпадает
с вершиной конуса.
Цилиндр, конус и шар
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
Вне сферы радиуса 10 см дана точка М на расстоянии 16 см от бли-
жайшей точки сферы. Найдите длину такой окружности на сфере,
все точки которой удалены от точки М на расстояние 24 см.
Тело ограничено двумя сферами с общим центром. Докажите, что
площадь его сечения плоскостью, проходящей через центры сфер,
равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней
сфере.
Разные задачи на многогранники, цилиндр.
конус и шар
Поясним некоторые термины, которые встречаются в задачах это-
го раздела. Напомним, что многогранник называется описанным
около сферы, если сфера касается всех его граней. При этом сфера
называется вписанной в многогранник. Многогранник называется
вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При
этом сфера называется описанной около многогранника.
Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр тре-
угольной призмы* проходит через ось цилиндра, то две другие гра-
ни взаимно перпендикулярны.
В конус высотой 12 см вписана пирамида, основанием которой яв-
ляется прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите отноше-
ние площадей полных поверхностей пирамиды и конуса.
В усеченный конус вписана правильная усеченная n-угольная пи-
рамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усеченно-
го конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см
и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхно-
сти пирамиды при: а) и = 3; б) п = 4; в) п = 6.
Докажите, что если в правильную призму можно вписать сферу,
то центром сферы является середина отрезка, соединяющего цент-
ры оснований этой призмы.
Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду,
лежит на высоте этой пирамиды.
Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы
радиуса R многогранника, если этот многогранник: а) куб;
б) правильная шестиугольная призма; в) правильный тетраэдр.
Около сферы радиуса R описана правильная четырехугольная пи-
рамида, плоский угол при вершине которой равен а.
а)	Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
б)	Вычислите эту площадь при R = 5 см, а = 60°.
Докажите, что если в правильную усеченную четырехугольную
пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна по-
лусумме сторон оснований ее боковой грани.
Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания
вписаны в основания цилиндра.
Цилиндр, конус и шар
а)	б)	а)	б)
Рис. 172	Рис. 173
637 Докажите, что центр сферы, описанной около: а) правильной
призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры основа-
ний этой призмы; б) правильной пирамиды, лежит на высоте этой
пирамиды или ее продолжении.
638 Докажите, что: а) около любого тетраэдра можно описать сферу;
б) в любой тетраэдр можно вписать сферу.
639 Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности:
а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шести-
угольной призмы, высота которой равна Я; в) вписанного пра-
вильного тетраэдра.
640 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а,
а боковое ребро равно 2а. Найдите радиусы вписанной и описан-
ной сфер.
641 В правильной четырехугольной пирамиде радиусы вписанной и опи-
санной сфер равны 2 см и 5 см. Найдите сторону основания и вы-
соту пирамиды.
642 Сфера вписана в цилиндр (т. е. она касается оснований цилиндра
и каждой его образующей, рис. 172, а). Найдите отношение пло-
щади сферы к площади полной поверхности цилиндра.
643 В конус с углом ф при вершине осевого сечения и радиусом основа-
ния г вписана сфера радиуса R (т. е. сфера касается основания кону-
са и каждой его образующей, рис. 172, б). Найдите: а) г, если из-
вестны R и <р; б) R, если известны г и ф; в) ф, если R = 1 см, г = V3 см.
644 В конус вписана сфера радиуса г. Найдите площадь полной поверх-
ности конуса, если угол между образующей и основанием конуса
равен а.
645 Цилиндр вписан в сферу (т. е. основания цилиндра являются сече-
ниями сферы, рис. 173, а). Найдите отношение площади полной
поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра
равна диаметру основания.
646 Конус с углом ф при вершине осевого сечения и радиусом основа-
ния г вписан в сферу радиуса R (т. е. вершина конуса лежит на
сфере, а основание конуса является сечением сферы, рис. 173, б).
Найдите: а) г, если известны R и ф; б) R, если известны г и ф;
в) ф, если R = 2г.
Цилиндр, конус и тир
Глава VII
Объемы тел
Объем прямоугольного
параллелепипеда
74 Понятие объема
Понятие объема тела вводится по аналогии
с понятием площади плоской фигуры. Из курса плани-
метрии известно, что каждый многоугольник имеет
площадь, которая измеряется с помощью выбранной
единицы измерения площадей. В качестве единицы
измерения площадей обычно берут квадрат, сторона
которого равна единице измерения отрезков.
Аналогично будем считать, что каждое из
рассматриваемых нами тел имеет объем, который мож-
но измерить с помощью выбранной единицы измерения
объемов. За единицу измерения объемов примем куб,
ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб
с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обо-
значают см3. Аналогично определяются кубический
метр (м3), кубический миллиметр (мм3) и т. д.
Процедура измерения объемов аналогична
процедуре измерения площадей. При выбранной единице
измерения объем каждого тела выражается положитель-
ным числом, которое показывает, сколько единиц изме-
рения объемов и частей единицы содержится в данном
теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит
от выбора единицы измерения объемов, и поэтому едини-
ца измерения объемов указывается после этого числа.
Например, если в качестве единицы измерения объемов
взят 1 см3 и при этом объем V некоторого тела оказался
равным 2, то пишут V =2 см3.
Если два тела равны, то каждое из них
содержит столько же единиц измерения объемов и ее
частей, сколько и другое тело, т. е. имеет место сле-
дующее свойство объемов:
1°. Равные тела имеют равные объемы.
Замечание
Равенство двух фигур, в частности двух
тел, в стереометрии определяется так же, как и в пла-
Объемы тел
ниметрии: два тела называются равными, если их
можно совместить наложением. Примерами равных
тел являются два прямоугольных параллелепипеда
с соответственно равными измерениями (рис. 174, а),
две прямые призмы с равными основаниями и равными
высотами, две правильные пирамиды, у которых соот-
ветственно равны стороны оснований и высоты
(рис. 174, б). В каждом из указанных случаев равенст-
во двух тел можно доказать на основе аксиом наложе-
ния и равенства фигур (см. приложение 2).
Рассмотрим еще одно свойство объемов.
Пусть тело составлено из нескольких тел. При этом мы
предполагаем, что любые два из этих тел не имеют об-
щих внутренних точек, но могут иметь общие гранич-
ные точки (см. рисунок 175, на котором цилиндр Q
и конус F имеют общие граничные точки — точки их
общего основания). Ясно, что объем всего тела склады-
вается из объемов составляющих его тел. Итак,
2°. Если тело составлено из нескольких
тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.
Свойства 1° и 2° называют основными свой-
ствами объемов. Напомним, что аналогичными свой-
ствами обладают длины отрезков и площади много-
угольников. В дальнейшем на основе этих свойств мы
выведем формулы для вычисления объемов параллеле-
пипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.
Предварительно отметим одно следствие из
свойств 1° и 2°. Рассмотрим куб, принятый за единицу
измерения объемов. Его ребро равно единице измерения
отрезков. Разобьем каждое ребро этого куба на п рав-
ных частей (п — произвольное целое число) и проведем
через точки разбиения плоскости, перпендикулярные к
этому ребру. Куб разобьется на п3 равных маленьких
кубов с ребром i. Так как сумма объемов всех малень-
л
ких кубов равна объему всего куба (свойство 2°), т. е.
равна 1, то объем каждого из маленьких кубов равен —
л
(объемы маленьких кубов равны друг другу по свойст-
ву 1°). Итак, объем куба с ребром 1 равен -J— .
п	л3
Этот факт нам понадобится в следующем
пункте при выводе формулы объема прямоугольного
параллелепипеда.
Рис. 175
158
Объемы те.1
75 Объем прямоугольного параллелепипеда
Теорема
мнввкмшмшшшннннмнмнвн
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произ-
ведению трех его измерений.
* Доказательство
Обозначим измерения прямоугольного па-
раллелепипеда Р буквами а, 6, с, а его объем буквой У,
и докажем, что V = abc.
Могут представиться два случая.
1) Измерения а, b и с представляют собой
конечные десятичные дроби, у которых число знаков
после запятой не превосходит п (можно считать, что
п > 1). В этом случае числа а • 10", Ъ • 10" и с • 10"
являются целыми. Разобьем каждое ребро параллеле-
пипеда на равные части длины —и через точки раз-
10 п
биения проведем плоскости, перпендикулярные
к этому ребру. Параллелепипед Р разобьется на
abc • 103" равных кубов с ребром Так как объем
каждого такого куба равен —— (см. п. 74), то объем
Ю3"
всего параллелепипеда Р равен abc • 103" • —= abc.
Ю3"
Итак, V = abc.
2) Хотя бы одно из измерений а, b и с пред-
ставляет собой бесконечную десятичную дробь. Рас-
смотрим конечные десятичные дроби ал, Ьп, сп9 которые
получаются из чисел а, д, с, если отбросить в каждом
из них все цифры после запятой, начиная с (п + 1)-й.
Очевидно, ап < а < а', где а'п = ап +	, и аналогичные
*	'*	|0 п
неравенства справедливы для b и с. Перемножив эти
неравенства, получим
апЬс < а^с <	» гДе Ъ' = bn + —, с' = сл + -i—. (1)
п п п	л л л 7	л Л J Q 7 Л Л |0Л V '
По доказанному в первом случае левая
часть (1) представляет собой объем Vn прямоугольного
параллелепипеда Рп с измерениями ап, Ьп9 сп1 а правая
часть — объем V'n прямоугольного параллелепипеда Рл
с измерениями а'п, Ь'п, с'п. Так как параллелепипед Р со-
держит в себе параллелепипед Рл, а сам содержится
Объемы тел
в параллелепипеде Р'п (рис. 176), то объем V параллеле-
пипеда Р заключен между Vn = anbncn и УЛ' = a'nb'nc'n, т. е.
аДс„ < V < а'„Ь'„с'„.
Будем неограниченно увеличивать п. Тогда число
(2)
1
10л
будет становиться сколь угодно малым, и поэтому число
а'лЬлсл будет сколь угодно мало отличаться от чис-
ла апЬпсп. Отсюда в силу неравенств (1) и (2) следует, что
число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Зна-
чит, они равны: V = abc, что и требовалось доказать.
Следствие 1
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению
площади основания на высоту.
В самом деле, примем грань с ребрами а и b
за основание. Тогда площадь S основания равна ab,
а высота h параллелепипеда равна с. Следовательно,
V=abc = Sh.
Следствие 2
Объем прямой призмы, основанием которой является прямо-
угольный треугольник, равен произведению площади основания
на высоту.
Для доказательства этого утверждения до-
полним прямую треугольную призму с основанием АВС
(ZA прямой) до прямоугольного параллелепипеда так,
как показано на рисунке 177. В силу следствия 1 объ-
ем этого параллелепипеда равен 2SABC • Л, где SABC —
площадь треугольника ABC, h — высота призмы. Плос-
кость В{ВС разбивает параллелепипед на две равные
прямые призмы, одна из которых — данная. (Эти
призмы равны, так как имеют равные основания
и равные высоты.) Следовательно, объем V данной
призмы равен половине объема параллелепипеда, т. е.
У = SABC • Л, что и требовалось доказать.
Замечание
Рассмотрим квадрат со стороной а. По
теореме Пифагора его диагональ равна \ 2а, поэтому
площадь построенного на ней квадрата вдвое больше
площади данного квадрата. Таким образом, не состав-
ляет труда построить сторону квадрата, площадь кото-
рого вдвое больше площади данного квадрата.
Рис. 177
160
Объемы тел
Рассмотрим теперь куб со стороной а. Воз-
никает вопрос: можно ли с помощью циркуля и линей-
ки построить сторону куба, объем которого вдвое боль-
ше объема данного куба, т. е. построить отрезок,
равный \2cfl Эта задача, получившая название задача
об удвоении куба, была сформулирована еще в глубокой
древности. И лишь в 1837 г. французский математик
Пьер Лоран Ванцель (1814—1848) доказал, что такое
построение невозможно. Одновременно им была доказа-
на неразрешимость еще одной задачи на построение —
задачи о трисекции угла (произвольный данный угол
разделить на три равных угла). Напомним, что к числу
классических неразрешимых задач на построение отно-
сится также задача о квадратуре круга (построить
квадрат, площадь которого равна площади данного
круга). Невозможность такого построения была доказа-
на в 1882 г. немецким математиком Карлом Луизом
Фердинандом Линдеманом (1852—1939).
Задачи
647 Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объемы V,
и V2. Выразите объем V тела R через V\ и V2, если:
а) тела Р и Q не имеют общих внутренних точек;
б) тела Р и Q имеют общую часть, объем которой равен iy,.
з
648 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основа-
ния которого равны а и Ь, а высота равна Л, если:
а) а = 11, b = 12, Л = 15;	б) а = 3 <2, b = Л>, Л = 10 V10;
в) а = 18, b = 5 х 3, Л = 13;	г) а = 3 1, b = V5, h = 0,96.
3
649 Найдите объем куба ABCDAXBXCXDX, если: а) АС = 12 см;
б) АСХ = 3 >/2 м; в) DE = 1 см, где Е — середина ребра АВ.
650 Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см
и 18 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого
параллелепипеда.
651 Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измере-
ниями 25 см, 12 см и 6,5 см. Плотность кирпича равна 1,8 г/см3.
Найдите его массу.
652 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX.
если АСХ = 13 см, BD = 12 см и ВСХ = 11 см.
653 Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и состав-
ляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым
ребром. Найдите объем параллелепипеда.
654 Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол а
с плоскостью боковой грани и угол 0 с плоскостью основания.
Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна Л.
6 —Л. С. Атанасян
Объемы тел
655 Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и Ь.
Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содер-
жащей сторону основания, равную Ь, угол в 30°. Найдите объем
параллелепипеда.
656 В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX диагональ BXD
составляет с плоскостью основания угол в 45°, а двугранный угол
AXBXBD равен 60°. Найдите объем параллелепипеда, если диаго-
наль основания равна 12 см.
657 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX.
если: а) АСХ = 1 м, АСХАС = 45°, АСХАВ = 60°; б) АСХ = 24 см,
АСХААХ = 45°, диагональ АСХ составляет угол в 30° с плоскостью
боковой грани.
658 Найдите объем прямой призмы АВСАХВХСХУ если ZBAC = 90°,
ВС = 37 см, АВ = 35 см, ААХ = 1,1 дм.
2
Объемы прямой призмы и цилиндра
76 Объем прямой призмы
Теорема
Объем прямой призмы равен произведению площади
основания на высоту.
▼ Доказательство
Сначала докажем теорему для треуголь-
ной прямой призмы, а затем — для произвольной
прямой призмы.
1. Рассмотрим прямую треугольную призму
АВСАХВХСХ с объемом V и высотой Л. Проведем такую вы-
соту треугольника АВС (отрезок BD на рисунке 178), ко-
торая разделяет этот треугольник на два треугольника
(по крайней мере, одна высота треугольника этому усло-
вию удовлетворяет). Плоскость BBXD разделяет данную
призму на две призмы, основаниями которых являются
прямоугольные треугольники ABD и BDC. Поэтому объ-
емы Vx и V2 этих призм соответственно равны Sabd • h
и SBDC • h. По свойству 2° объемов V = Vx + V2, т. е.
V - &abd ’ Л + SBDC • h = (Sab/j + SBDC) • h. Таким образом,
V=SABC>h.	(1)
2. Докажем теорему для произвольной
прямой призмы с высотой h и площадью основания 8.
Рис. 178
162
Объемы тел
Такую призму можно разбить на прямые треугольные
призмы с высотой h. Например, на рисунке 179 изобра-
жена выпуклая пятиугольная призма, которая разбита
на три прямые треугольные призмы. Выразим объем
каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим
эти объемы. Вынося за скобки общий множитель Л, по-
лучим в скобках сумму площадей оснований треуголь-
ных призм, т. е. площадь S основания исходной приз-
мы. Таким образом, объем исходной призмы равен
произведению S • Л. Теорема доказана.
Е
Рис. 179
77 Объем цилиндра
Говорят, что призма вписана в цилиндр, ес-
ли ее основания вписаны в основания цилиндра
(рис. 180, а), и призма описана около цилиндра, если
ее основания описаны около оснований цилиндра
(рис. 180, б). Ясно, что высота любой призмы, вписан-
ной в цилиндр или описанной около него, равна высоте
самого цилиндра.
Теорема
Объем цилиндра равен произведению площади основа-
ния на высоту.
▼ Доказательство
Впишем в данный цилиндр Р радиуса г и вы-
соты h правильную n-угольную призму Рп (рис. 181). Пло-
щадь Sn основания этой призмы выражается формулой
а)	б)
Призма, вписанная	Призма, описанная
в цилиндр	около цилиндра
Рис. 180	Рис. 181
6*
Объемы тел
Наряду с призмой Рп рассмотрим приз-
му Qn, описанную около цилиндра Р (рис. 182). Пло-
щадь ее основания равна
nr tg 1^1 г =-—---.
П cos2 1*01
п
Поскольку призма Рп содержится в цилинд-
ре Р, а цилиндр Р содержится в призме Qn, то объем V
цилиндра Р удовлетворяет неравенствам
S-h<V<—-----------Л.	(2)
СОЗ	
п
Будем неограниченно увеличивать число п.
Так как при п —► оо cos 1^5— —► 1, a Sn —► лг2, то правая
п
и левая части неравенств (2) стремятся к величине
nr2h. Следовательно,
V=nr2h.	(3)
Обозначив площадь пт2 основания цилинд-
ра буквой S, из формулы (3) получим
• h.
Теорема доказана.
Вопросы и задачи
659 Найдите объем прямой призмы АВСАХВХСХ, если: а) /ВАС = 120°,
АВ = 5 см, АС = 3 см и наибольшая из площадей боковых граней
равна 35 см2; б) /АВХС = 60°, АВХ = 3, СВХ = 2 и двугранный угол
с ребром ВВХ прямой.
660 Найдите объем прямой призмы АВСАХВХСХ, если АВ = ВС = тп,
/АВС = <р и ВВХ = BD, где BD — высота треугольника АВС.
661 Найдите объем прямой призмы АВСАХВХСХ, если АВ = ВС, /АВС = а,
диагональ АХС равна I и составляет с плоскостью основания угол [3.
662 Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сто-
рону основания, равную а, и противолежащую ей сторону другого
основания проведено сечение, составляющее угол (3 с плоскостью
основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объем данной
призмы.
663 Найдите объем правильной n-угольной призмы, у которой каждое
ребро равно а, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6; г) п = 8.
664 В правильной треугольной призме через сторону нижнего основа-
ния и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено
сечение, составляющее угол в 60° с плоскостью основания. Найди-
те объем призмы, если сторона основания равна а.
Объемы тел
665 Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна
8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем
призмы.
666 Пусть V, г и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра.
Найдите: а) V, если г = 2^2 см, h = 3 см; б) г, если V - 120 см3,
h = 3,6 см; в) /г, если г - Л, V = 8л см3.
667 Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найди-
те длину провода (плотность алюминия 2,6 г/см3).
668 Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая ци-
стерна диаметром 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна
0,85 г/см3?
669 Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь его осевого се-
чения равна S. Найдите объем цилиндра.
670 Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщиной стенок
4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если
ее длина равна 25 м?
671 В цилиндр вписана правильная n-угольная призма. Найдите отноше-
ние объемов призмы и цилиндра, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6;
г) п = 8; д) п — произвольное целое число.
672 В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямо-
угольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему углом а.
Найдите объем цилиндра, если высота призмы равна Л.
53
Объемы наклонной призмы,
пирамиды и конуса
78 Вычисление объемов тел
с помощью определенного интеграла
Рассмотрим способ вычисления объемов тел,
основанный на понятии интеграла, которое известно из
курса алгебры и начал анализа.
Пусть тело Т, объем которого нужно вычис-
лить, заключено между двумя параллельными плоско-
стями аир (рис. 183). Введем систему координат так,
чтобы ось Ох была перпендикулярна к плоскостям а
и р, и обозначим буквами а и b абсциссы точек пересе-
чения оси Ох с этими плоскостями (а < Ь). Будем счи-
тать, что тело таково, что его сечение Ф (х) плоскостью,
проходящей через точку с абсциссой х и перпендику-
лярной к оси Ох, является либо кругом, либо много-
угольником для любого х е [а; Ь] (при х = а и х = b сече-
ние может вырождаться в точку, как, например, при
Объемы me.i
х = а на рисунке 183). Обозначим площадь фигуры Ф (х)
через S (х) и предположим, что S (х) — непрерывная
функция на числовом отрезке [а; д].
▼ Разобьем числовой отрезок [а; Ь] на п рав-
ных отрезков точками а = х0, хи х2, хп = b и через
точки с абсциссами х{ проведем плоскости, перпенди-
кулярные к оси Ох (рис. 184). Эти плоскости разбива-
ют тело Т на п тел: Т19 Т2, ...» Тп.
Если сечение Ф (xj — круг, то объем тела Tt
(выделенного красным цветом на рисунке 184) прибли-
женно равен объему цилиндра с основанием Ф (х<)
«А	ь - а
И ВЫСОТОЙ Дх, = Xi - Xi _ ! = -.
л
Если Ф (xj — многоугольник, то объем те-
ла Ti приближенно равен объему прямой призмы
с основанием Ф (xj и высотой Дхг
И в том и в другом случае объем тела Т,
приближенно равен S (х,) • Дх,, а объем V всего тела Т
можно приближенно вычислить по формуле
=£S(xl)M.
Приближенное значение Vn объема тела Т
тем точнее, чем больше п и, следовательно, мень-
ше Дхг Примем без доказательства, что lim Vn равен
Л—оо
объему тела, т. е. V = lim Vn.
fl-* ею
С другой стороны, сумма Vn является интег-
ральной суммой для непрерывной функции S (х) на
числовом отрезке [а; 6], поэтому
166
Объемы rric.i
ь
lim Vn = Г S (x) dx. A
л-*оо	J
a
В результате получается следующая форму-
ла для вычисления объема тела с помощью интеграла:
ь
V = J S (х) dx.
а
Назовем ее основной формулой для вычисления объ-
емов тел. Пользуясь этой формулой, вычислим объемы
некоторых тел, изученных нами в главах III и VI.
▼ Замечание.
Из основной формулы для вычисления объ-
емов тел следует, что отношение объемов подобных тел
(см. п. 58) равно кубу коэффициента подобия. Поду-
майте, как это доказать. Д
79 Объем наклонной призмы
Теорема
Объем наклонной призмы равен произведе-
нию площади основания на высоту.
▼ Доказательство
Докажем сначала теорему для треугольной
призмы, а затем — для произвольной призмы.
1. Рассмотрим треугольную призму с объ-
емом V, площадью основания S и высотой h. Отметим
точку О на одном из оснований призмы и направим
ось Ох перпендикулярно к основаниям (рис. 185, а).
Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендику-
лярной к оси Ох и, значит, параллельной плоскости
основания. Обозначим буквой х абсциссу точки пересе-
чения этой плоскости с осью Ох, а через S (х) — пло-
щадь получившегося сечения.
Докажем, что площадь S (х) равна площа-
ди S основания призмы. Для этого заметим, что
треугольники АВС (основание призмы) и АХВ}СХ (сече-
ние призмы рассматриваемой плоскостью) равны. В са-
мом деле, четырехугольник ААХВХВ — параллелограмм
(отрезки АА{ и ВВХ равны и параллельны), поэтому
АХВХ = АВ. Аналогично доказывается, что ВгСг = ВС
и AjCj = АС. Итак, треугольники и АВС равны по
У=(81 + 52-Ь8з)Л = 5Л
б)
Рис. 185
167
Объемы me. t
трем сторонам. Следовательно, 8 (х) = S. Применяя те-
перь основную формулу для вычисления объемов тел
при а = 0 и b = Л, получаем
Л	Л	Л	р
V = J S (x)dx = J Sdx = S J dx = S • x |0 = S • h.
0	0	0
2. Докажем теперь теорему для произволь-
ной призмы с высотой h и площадью основания 8. Та-
кую призму можно разбить на треугольные призмы
с общей высотой h (на рисунке 185, б показано разбие-
ние для выпуклой пятиугольной призмы). Выразим
объем каждой треугольной призмы по доказанной на-
ми формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки
общий множитель й, получим в скобках сумму площа-
дей оснований треугольных призм, т. е. площадь S
основания исходной призмы. Таким образом, объем ис-
ходной призмы равен S • Л. Теорема доказана.
Замечание
Для наклонной призмы существует и дру-
гой способ вычисления объема, а именно: объем на-
клонной призмы равен произведению бокового ребра
на площадь сечения призмы плоскостью, перпендику-
лярной к боковым ребрам и пересекающей их. Коротко
говорят так: объем наклонной призмы равен произве-
дению бокового ребра на площадь перпендикулярного
ему сечения (см. задачу 682).
80 Объем пирамиды
Теорема
Объем пирамиды равен одной трети произведения
площади основания на высоту.
Доказательство
Сначала докажем теорему для треугольной
пирамиды, а затем — для произвольной пирамиды.
1. Рассмотрим треугольную пирамиду
ОАВС с объемом V. площадью основания 8 и высотой Л.
Проведем ось Ох (рис. 186, а, где ОМ — высота пира-
миды) и рассмотрим сечение А}ВХС} пирамиды плоско-
стью, перпендикулярной к оси Ох и, значит, параллель-
ной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу
точки М} пересечения этой плоскости с осью Ох, а через
Объемы тел
S (x) — площадь сечения. Выразим S (х) через S, Л и х.
Заметим, что треугольники АХВХСХ и АВС подобны. В са-
мом деле, АХВХ || АВ, поэтому ЛОАХВ1 ™ ДОАВ. Следова-
тельно,	Прямоугольные треугольники
ОА{МХ и ОАМ также подобны (они имеют общий
острый угол с вершиной О). Поэтому	= р
Таким образом, = р Аналогично доказывается,
что ~= т и = т- Итак, треугольники АХВХСХ
ВС п СА п
и АВС подобны с коэффициентом подобия 4- Следова-
п
тельно,	или ®	~ ^2х2‘
Применяя теперь основную формулу для вы-
числения объемов тел при а = О, b = Л, получаем
л	*	л	.А
V = f S (х) dx = \-^-x2dx = Д- Гx2dx =	0	= -	h.
J ' ’ J h2	h2 J	h2 3 10	3
0	0	0
2. Докажем теперь теорему для произволь-
ной пирамиды с высотой h и площадью основания В. Та-
кую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды
с общей высотой h (на рисунке 186, б показано разбие-
ние для выпуклой пятиугольной пирамиды). Выразим
объем каждой треугольной пирамиды по доказанной на-
ми формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки об-
щий множитель i h, получим в скобках сумму площадей
3
оснований треугольных пирамид, т. е. площадь В основа-
ния исходной пирамиды. Таким образом, объем исход-
ной пирамиды равен i Sh. Теорема доказана.
з
Следствие
Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площа-
ди оснований равны В и Вп вычисляется по формуле
v = x-h(s + sl +7s7s7).
Пользуясь тем, что усеченная пирамида по-
лучается из обычной пирамиды путем отсечения от нее
меньшей пирамиды и, следовательно, объем усеченной
пирамиды равен разности объемов данной пирамиды
и отсеченной, выведите эту формулу самостоятельно.
Объемы тел
81 Объем конуса
Теорема
Объем конуса равен одной трети произведения площа-
ди основания на высоту.
Доказательство
Рассмотрим конус с объемом V, радиусом
основания R, высотой h и вершиной в точке О. Введем
ось Ох так, как показано на рисунке 187 (ОМ — ось
конуса). Произвольное сечение конуса плоскостью,
перпендикулярной к оси Ох, является кругом с цент-
ром в точке Мх пересечения этой плоскости с осью Ох
(п. 61). Обозначим радиус этого круга через Rx, а пло-
щадь сечения через S (х), где х — абсцисса точки Мх.
Из подобия прямоугольных треугольников ОМХАХ
и ОМА следует, что
ОМ 1 Rx _____ у Rx
~ОМ~ = ~R' ИЛИ h = ~й"’
откуда х. Так как S (х) = лЯ2, то
S(x) = ^x2.
Л2
Применяя основную формулу для вычисле-
ния объемов тел при а = 0, b = h, получаем
V - f^^-x2dx =	[ x2dx = L = 4 лЯ2Л.
J Аг	Л2 J	л2 3 |о 3
О	о
Площадь S основания конуса равна nR2,
поэтому V = ^-Sh. Теорема доказана.
з
Следствие
Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади
оснований равны S и вычисляется по формуле
V = |ft(S + S, + 7s• S, ).
Пользуясь рисунком 188, выведите эту фор-
мулу самостоятельно.
Объемы тел
Рис. 189
Рис. 190
Задачи
673 Сечение тела, изображенного на рисунке 189, плоскостью, пер-
пендикулярной к оси Ох и проходящей через точку с абсцис-
сой х, является квадратом, сторона которого равна i. Найдите
объем этого тела.
674 Фигура, заштрихованная на рисунке 190, вращается вокруг оси
Ох. Найдите объем полученного тела.
675 Фигура, заштрихованная на рисунке 191, вращается вокруг оси
Оу. Найдите объем полученного тела.
676 Найдите объем наклонной призмы, у которой основанием является
треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а боковое ребро,
равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол в 60°.
677 Найдите объем наклонной призмы АВСАХВХСХ, если АВ = ВС =
= СА =а, АВВХАХ — ромб, АВХ < ВАХ, АВХ = Ь, двугранный угол
с ребром АВ прямой.
678 Основанием призмы АВСАХВХСХ является равносторонний тре-
угольник АВС со стороной т. Вершина Aj проектируется в центр
этого основания, а ребро ААХ составляет с плоскостью основания
угол ф. Найдите объем призмы.
679 Основанием наклонной призмы АВСАХВХСХ является прямоуголь-
ный треугольник АВС с катетами АВ = 7 см и АС = 24 см. Верши-
на Ах равноудалена от вершин А, В и С. Найдите объем призмы,
если ребро ААХ составляет с плоскостью основания угол в 45°.
680 Основанием наклонного параллелепипеда является прямоуголь-
ник со сторонами а и Ь. Боковое ребро длины с составляет со
смежными сторонами основания углы, равные ф. Найдите объем
параллелепипеда.
681 Все грани параллелепипеда — равные ромбы, диагонали которых
равны 6 см и 8 см. Найдите объем параллелепипеда.
682 Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению бо-
кового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпенди-
кулярной к боковым ребрам и пересекающей их.
Объемы тел
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
Найдите объем наклонной треугольной призмы, если расстояния
между ее боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 30 см, а пло-
щадь боковой поверхности равна 480 см2.
Найдите объем пирамиды с высотой Л, если:
a)	h = 2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м;
б)	h = 2,2 м, а основанием служит треугольник АВС, в котором
АВ = 20 см, ВС = 13,5 см, ZABC = 30°.
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота кото-
рой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.
Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым реб-
ром /, если:
а)	боковое ребро составляет с плоскостью основания угол <р;
б)	боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания
угол а;
в)	плоский угол при вершине равен р.
В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине
равен ф, а сторона основания равна а. Найдите объем пирамиды.
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если:
а) ее высота равна Я, а двугранный угол при основании равен р;
б) сторона основания равна zn, а плоский угол при вершине равен а.
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно т
и составляет с плоскостью основания угол ф. Найдите объем пи-
рамиды.
Найдите объем и площадь боковой поверхности правильной
шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 13 см,
а диаметр круга, вписанного в основание, равен 6 см.
Основание пирамиды — равнобедренный треугольник АВС, в кото-
ром АВ = ВС = 13 см, АС = 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды
образует с ее высотой угол в 30°. Вычислите объем пирамиды.
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с ка-
тетами а и Ь. Каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости
основания под углом ф. Найдите объем пирамиды.
Докажите, что если в пирамиду можно вписать шар, то объем V
пирамиды можно вычислить по формуле V = i S • г, где S — пло-
3
щадь полной поверхности пирамиды, аг — радиус вписанного
в пирамиду шара.
Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см. Каждый
из двугранных углов при основании равен 45°. Найдите объем пи-
рамиды, если ее высота равна 1,5 см.
Найдите объем треугольной пирамиды SABC, если:
a)	ZCAB = 90°, ВС = с, ZABC = ф и каждое боковое ребро состав-
ляет с плоскостью основания угол 0;
б)	АВ = 12 см, ВС = СА = 10 см и двугранные углы при основании
равны 45°;
в)	боковые ребра попарно перпендикулярны и имеют длины а, b и с.
Объемы me,!
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором
АВ = 20 см, АС = 29 см, ВС = 21 см. Грани DAB и DAC перпенди-
кулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней
угол в 60°. Найдите объем пирамиды.
Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды
равны а и 0,5а, апофема боковой грани равна а. Найдите объем
усеченной пирамиды.
Основания усеченной пирамиды — равнобедренные прямоуголь-
ные треугольники, гипотенузы которых равны т и п (тп > п). Две
боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основа-
нию, а третья составляет с ним угол ф. Найдите объем усеченной
пирамиды.
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, ка-
теты которого равны 24 дм и 18 дм. Каждое боковое ребро равно
25 дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости
основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объем полу-
ченной усеченной пирамиды.
В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны основа-
ний равны 6 см и 4 см, а площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной гра-
ни, равна 15 см2. Найдите объем усеченной пирамиды.
Пусть Л, г и V соответственно высота, радиус основания и объем
конуса. Найдите:
а)	V, если h = 3 см, г = 1,5 см;
б)	Л, если г = 4 см, V = 48л см3;
в)	г, если h = /и, V = р.
Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его
пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объем
исходного конуса, если объем меньшего конуса, отсекаемого от ис-
ходного, равен 24 см3.
Найдите объем конуса, если площадь его основания равна Q,
а площадь боковой поверхности равна Р.
Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объем ко-
нуса, если его высота равна Н.
Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь
осевого сечения равна 60 см2.
Высота конуса равна 12 см, а его объем равен 324л см3. Найдите
угол сектора, который получится, если боковую поверхность кону-
са развернуть на плоскость.
Площадь полной поверхности конуса равна 45л дм2. Развернутая
на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сек-
тор с углом в 60°. Найдите объем конуса.
Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а образую-
щая равна 5 м. Найдите объем усеченного конуса.
В усеченном конусе известны высота Л, образующая I и площадь S
боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объем
усеченного конуса.
Объемы тел
Объем шара и площадь сферы
82 Объем шара
Теорема
Объем шара радиуса R равен ±nR3.
з
Доказательство
Рассмотрим шар радиуса R с центром в
точке О и выберем ось Ох произвольным образом
(рис. 192). Сечение шара плоскостью, перпендикуляр-
ной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси,
является кругом с центром в точке М. Обозначим ра-
диус этого круга через г, а его площадь через S (х), где
х — абсцисса точки М. Выразим S (х) через х и R. Из
прямоугольного треугольника ОМС находим
г = Voc2 -ОМ2 = <7?2 -х2.
Так как В (х) = яг2, то
S (х) = л (R2 - х2).	(1)
Заметим, что эта формула верна для любого
положения точки М на диаметре АВ, т. е. для всех х,
удовлетворяющих условию -R < х < R. Применяя
основную формулу для вычисления объемов тел при
а = -Я, b = Я, получаем:
я	R	R
V = | л (Я2 - х2) dx = лЯ2 J dx - л J x2dx =
-я	-я	-я
= лЯ2х|_я-5|1|.я = |яЛ8.
Рис. 192
Теорема доказана.
83 Объемы шарового сегмента,
шарового слоя и шарового сектора
а) Шаровым сегментом называется часть
шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. На
рисунке 193 секущая плоскость а, проходящая через
точку В, разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг,
получившийся в сечении, называется основанием
/74
Объемы тел
каждого из этих сегментов, а длины отрезков АВ и ВС
диаметра АС, перпендикулярного к секущей плоско-
сти, называются высотами сегментов.
Если радиус шара равен R, а высота сегмен-
та равна h (на рисунке 193 h = АВ), то объем V шарово-
го сегмента вычисляется по формуле
V = 7гЛ2[/?-|л).
Действительно, проведем ось Ох перпенди-
кулярно к плоскости а (см. рис. 193). Тогда площадь
S (х) произвольного сечения шарового сегмента плос-
костью, перпендикулярной к оси Ох, выражается фор-
мулой (1) при R - h < х < R. Применяя основную фор-
мулу для вычисления объемов тел при а = R - Л, b = R,
получаем:
У = я J(fl2-x2)dx = л[я2х-^-)|"_А = лй2(я-|й]. А
R-h
б) Шаровым слоем называется часть шара,
заключенная между двумя параллельными секущими
плоскостями (рис. 194). Круги, получившиеся в сече-
нии шара этими плоскостями, называются основания-
ми шарового слоя, а расстояние между плоскостями —
высотой шарового слоя.
Объем шарового слоя можно вычислить как
разность объемов двух шаровых сегментов. Например,
объем шарового слоя, изображенного на рисунке 194,
равен разности объемов шаровых сегментов, высоты
которых равны АС и АВ.
в) Шаровым сектором называется тело,
полученное вращением кругового сектора с углом, мень-
шим 90°, вокруг прямой, содержащей один из огра-
ничивающих круговой сектор радиусов (рис. 195).
Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и кону-
са. Если радиус шара равен R, а высота шарового сег-
мента равна Л, то объем V шарового сектора вычисля-
ется по формуле
У = |яЯ2Л.
Выведите эту формулу самостоятельно.
Шаровой сегмент
Рис. 193
Шаровой слой
Шаровой сектор
Рис. 195
175
Объемы тел
84* Площадь сферы
В п. 68 мы привели без доказательства фор-
мулу для вычисления площади S сферы радиуса R:
S = 4лЯ2.
Выведем эту формулу, пользуясь формулой
для объема шара.
Рассмотрим сферу радиуса R с центром
в точке О и описанный около нее многогранник, имею-
щий п граней. Занумеруем грани в произвольном по-
рядке и обозначим через S. площадь i-й грани (i = 1,
2, ..., л). Соединив центр О сферы отрезками со всеми
вершинами многогранника, получим п пирамид с об-
щей вершиной О, основаниями которых являются грани
многогранника, а высотами — радиусы сферы, прове-
денные в точки касания граней многогранника со сфе-
рой. Следовательно, объем Z-й пирамиды равен ^S,R,
з
а объем Vn всего описанного многогранника равен:
V =yls.fl = lflysi
я 3 1	3	‘	3 п
/=1
л
где Рп =	— площадь поверхности многогранника.
/=1
Отсюда получаем
(2)
Будем теперь неограниченно увеличивать п
таким образом, чтобы наибольший размер каждой гра-
ни описанного многогранника стремился к нулю. При
этом объем Vn описанного многогранника будет стре-
миться к объему шара. В самом деле, если наибольший
размер каждой грани описанного многогранника не
превосходит 5, то описанный многогранник содержит-
ся в шаре радиуса R + 8 с центром в точке О. С другой
стороны, описанный многогранник содержит исходный
шар радиуса R. Поэтому |лЯ3<Уп < ^л(Я + 8)3.
Так как | л (Я + 8)3	| лЯ3 при 8 —► 0, то
и Vn —► | лЯ3 при 8 -* 0 (и —► оо).
з
Объемы тел
Переходя затем к пределу в равенстве (2),
получаем
limP,,
л—»оо
=	3 Um у = з .4 лДз =4пД2
л-оо R R л-^оо л R 3
По определению площади сферы S = lim Рп,
следовательно,
S = 47гЯ2.
Вопросы и задачи
710 Пусть V — объем шара радиуса Я, a S — площадь его поверхности.
Найдите: a) S и У, если R = 4 см; б) R и S, если V = 113,04 см3;
в) R и V, если S = 64я см2.
711 Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвертую часть диа-
метра Земли. Сравните объемы Луны и Земли, считая их шарами.
712 Шар и цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен диа-
метру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через ра-
диус шара.
713 Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину
12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две
ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Перепол-
нит ли мороженое стаканчик, если оно растает?
714 В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой
до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика
диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в мензурке?
715 Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы,
имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м
и высотой 60 см?
716 Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на
поверхности другого. Как относится объем общей части шаров
к объему одного шара?
717 Найдите объем шарового сегмента, если радиус окружности его
основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.
718 Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления
проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объ-
ем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.
719 В шаре проведена плоскость, перпендикулярная к диаметру и де-
лящая его на части 6 см и 12 см. Найдите объемы двух получен-
ных частей шара.
720 Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основа-
ния соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус
шара равен 75 см.
721 Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается вокруг одно-
го из ограничивающих его радиусов. Найдите объем получившего-
ся шарового сектора.
177 Объемы тел
722
723
724
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Вода покрывает приблизительно - земной поверхности. Сколько
4
квадратных километров земной поверхности занимает суша?
(Радиус Земли считать равным 6375 км.)
Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса
10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)
Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности
конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основа-
ния равен образующей конуса.
Вопросы к главе VII
Каким соотношением связаны объемы и V2 тел и Р2, если:
а) тело Pi содержится в теле Р2;
б) каждое из тел Pj и Р2 составлено из п кубов с ребром 1 см?
Какую часть объема данной прямой треугольной призмы составля-
ет объем треугольной призмы, отсеченной от данной плоскостью,
проходящей через средние линии оснований?
Изменится ли объем цилиндра, если диаметр его основания увели-
чить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза?
Как изменится объем правильной пирамиды, если ее высоту уве-
личить в п раз, а сторону основания уменьшить в п раз?
Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четы-
рехугольники с соответственно равными сторонами. Равны ли
объемы этих пирамид?
Как относятся объемы двух конусов, если их высоты равны, а от-
ношение радиусов оснований равно 2?
Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной
трапеции вокруг большего основания?
Один конус получен вращением неравнобедренного прямоугольно-
го треугольника вокруг одного из катетов, а другой конус — вра-
щением вокруг другого катета. Равны ли объемы этих конусов?
Диаметр одного шара равен радиусу другого. Чему равно отно-
шение:
а)	радиусов этих шаров;
б)	объемов шаров?
Сколько нужно взять шаров радиуса 2 см, чтобы сумма их объ-
емов равнялась объему шара радиуса 6 см?
Во сколько раз объем шара, описанного около куба, больше объ-
ема шара, вписанного в этот же куб?
Как изменится площадь сферы, если ее радиус:
а) уменьшить в 2 раза; б) увеличить в 3 раза?
Отношение объемов двух шаров равно 8. Как относятся площади
их поверхностей?
В каком отношении находятся объемы двух шаров, если площади
их поверхностей относятся как т2 : и2?
Объемы те.1
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
Дополнительные задачи
Площади трех попарно смежных граней прямоугольного парал-
лелепипеда равны Sn S2, 83. Выразите объем этого параллелепи-
педа через Sn S29 S3 и вычислите его при Sj = 6 дм2, S2 = 12 дм2,
S3 = 18 дм2.
В прямоугольном параллелепипеде диагонали трех граней, выхо-
дящие из одной вершины, равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объем
параллелепипеда.
Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда равно а. Сечение,
проведенное через две стороны разных оснований, является квад-
ратом с площадью Q. Найдите объем параллелепипеда.
Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см иЗ\2 см,
а острый угол основания равен 45°. Меньшая диагональ параллеле-
пипеда составляет угол в 45° с плоскостью основания. Найдите объ-
ем параллелепипеда.
В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX диагонали BDX и АХС
взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, АВ = 3 см. Найди-
те объем параллелепипеда.
В прямой призме, основанием которой является прямоугольный
треугольник, пять ребер равны а, а остальные четыре ребра равны
друг другу. Найдите объем призмы.
Объем прямой призмы, основанием которой является прямоуголь-
ный треугольник, равен 3 м3, а наименьшая и наибольшая из пло-
щадей боковых граней равны 3 м2 и 3 V5 м2. Найдите длины ребер
призмы.
Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна d
и составляет угол ф с плоскостью другой боковой грани. Найдите
объем призмы.
Докажите, что объем треугольной призмы равен половине произ-
ведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до
параллельного ей ребра.
На трех данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоско-
сти, отложены три равных отрезка ААХ, ВВХ и ССХ. Докажите, что
объем призмы, боковыми ребрами которой являются эти отрезки, не
зависит от положения отрезков на данных прямых.
Площади боковых граней наклонной треугольной призмы пропор-
циональны числам 20, 37, 51. Боковое ребро равно 0,5 дм, а пло-
щадь боковой поверхности равна 10,8 дм2. Найдите объем призмы.
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если боковая
грань составляет с плоскостью основания угол ф, а не лежащая в этой
грани вершина основания находится на расстоянии т от нее.
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет
с основанием угол ф, а середина этого ребра удалена от основания
пирамиды на расстояние, равное т. Найдите объем пирамиды.
Объемы тел
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
Высота правильной треугольной пирамиды равна Л, а двугранный
угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен
2ф. Найдите объем пирамиды.
В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине ра-
вен а, а сторона основания равна а. Найдите объем пирамиды.
Основанием пирамиды является треугольник, два угла которого
равны (pi и ф2. Высота пирамиды равна Л, а каждое боковое ребро
составляет с плоскостью основания угол ф3. Найдите объем пира-
миды.
Основанием четырехугольной пирамиды, высота которой равна Н,
является параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересека-
ются под углом а. Попарно равные противоположные боковые реб-
ра пирамиды образуют с плоскостью основания углы Р и у. Найди-
те объем пирамиды.
Основанием пирамиды является ромб со стороной а. Две боковые
грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и обра-
зуют тупой двугранный угол ф. Две другие боковые грани состав-
ляют с плоскостью основания двугранные углы 9. Найдите объем
пирамиды.
Два ребра тетраэдра равны д, а остальные четыре ребра равны а.
Найдите объем тетраэдра, если ребра длины Ь: а) имеют общие
точки; б) не имеют общих точек.
В усеченной пирамиде соответственные стороны оснований отно-
сятся как 2 : 5. В каком отношении делится ее объем плоскостью,
проходящей через середину высоты этой пирамиды параллельно
основаниям?
Найдите объем цилиндра, если: а) площадь боковой поверхности
равна S, а площадь основания равна Q; б) осевое сечение является
квадратом, а высота равна Л; в) осевое сечение является квадра-
том, а площадь полной поверхности равна S.
Докажите, что объемы двух цилиндров, у которых площади боко-
вых поверхностей равны, относятся как их радиусы.
Конический бак имеет глубину 3 м, а его круглый верх имеет ра-
диус 1,5 м. Сколько литров жидкости он вмещает?
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар
В конус вписана пирамида, основанием которой является прямо-
угольник. Меньшая сторона прямоугольника равна а, а острый
угол между его диагоналями равен фР Боковая грань, содержащая
меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания
двугранный угол ф2. Найдите объем конуса.
Основанием пирамиды является ромб со стороной а и острым
углом ф. В пирамиду вписан конус, образующая которого состав-
ляет с плоскостью основания угол 0. Найдите объем конуса.
В цилиндр вписан шар. Найдите отношение объемов цилиндра
и шара.
Объемы тел
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
Найдите объем конуса, если радиус его основания равен 6 дм,
а радиус вписанной в конус сферы равен 3 дм.
В конус, радиус основания которого равен г, а образующая рав-
на Z, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера каса-
ется боковой поверхности конуса.
В усеченный конус, радиусы оснований которого равны г и rh впи-
сан шар. Найдите отношение объемов усеченного конуса и шара.
В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом а при
основании вписан шар объема V, Найдите объем пирамиды.
В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а
и углом а, вписан шар. Найдите объем шара, если каждая боковая
грань пирамиды составляет с основанием угол 0.
В сферу радиуса R вписан цилиндр, диагональ осевого сечения
которого составляет с основанием угол а. Найдите объем цилиндра.
В шар вписан цилиндр, в котором угол между диагоналями осево-
го сечения равен а. Образующая цилиндра равна /. Найдите объем
шара.
В шар вписан конус, радиус основания которого равен г, а высота
равна Н, Найдите площадь поверхности и объем шара.
В шар вписана пирамида, основанием которой является прямо-
угольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Найдите пло-
щадь поверхности и объем шара, если каждое боковое ребро пира-
миды составляет с основанием угол а.
В шар вписана пирамида, основанием которой является прямо-
угольник с диагональю 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды
составляет с основанием угол 0. Найдите площадь поверхности
и объем шара.
Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которого присоеди-
нены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м,
а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образую-
щая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м3?
Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры основа-
ний равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из
этих тел имеет наибольший объем и какое — наименьший?
Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого ра-
вен 10 см, а толщина стенки: а) 2 мм; б) 1,5 мм? (Плотность меди
8,9 г/см3.)
Задачи для повторения
В правильной треугольной призме АВСА&С^ сторона основания
равна 6 см, а боковое ребро равно 3 см.
а)	Найдите площадь сечения призмы плоскостью АВС}.
б)	Докажите, что прямая АХВХ параллельна плоскости АС}В.
в)	Найдите угол, который составляет прямая ВХС с плоскостью АВС.
г) Найдите угол между плоскостями АВ}С и АВС.
Объемы тел
д) Найдите длину вектора ВВХ - ВС 4- 2АХА - СХС
е) Найдите объем призмы.
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона АВ осно-
вания равна 6x^2 см, а боковое ребро МА равно 12 см. Найдите:
765
766
767
768
769
770
а)	площадь боковой поверхности пирамиды;
б)	объем пирамиды;
в)	угол наклона боковой грани к плоскости основания;
г)	угол между боковым ребром и плоскостью основания;
д)	скалярное произведение векторов (АВ + AD) АМ-,
е) площадь сферы, описанной около пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде DABC высота DO равна 3 см,
а боковое ребро DA равно 5 см. Найдите:
а) площадь полной поверхности пирамиды;
б)	объем пирамиды;
в)	угол между боковым ребром и плоскостью основания;
г)	угол наклона боковой грани к плоскости основания;
скалярное произведение векторов ^(DB + DC)MA, где М — сере-
&
д)
дина ребра ВС;
е) радиус шара, вписанного в пирамиду.
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD боковое
ребро МА, равное 8 см, наклонено к плоскости основания под
углом 60°. Найдите:
площадь боковой поверхности пирамиды;
а)
б)
в)
Г)
Д)
объем пирамиды;
угол между противоположными боковыми гранями;
угол между боковой гранью и плоскостью основания;
скалярное произведение векторов ~(MB + MD)MK, где К —
&
середина ребра АВ\
е) радиус описанного около пирамиды шара.
Задачи повышенной трудности
В основании пирамиды МАВС лежит треугольник АВС, в котором
ZC = 90°, АС = 4 см, ВС = 3 см. Грань МАС перпендикулярна к
плоскости основания, а две другие боковые грани составляют рав-
ные углы с плоскостью основания. Расстояние от основания высо-
ты МН пирамиды до грани МВС равно 2 см. Найдите площадь
4
боковой поверхности пирамиды.
Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку
пересечения высот противоположной грани, то и остальные высо-
ты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот проти-
воположных граней.
Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О равны 90°. До-
кажите, что площадь треугольника АОВ равна среднему геометри-
ческому площадей треугольников АВС и ОХАВ, где Ох — проекция
точки О на плоскость АВС.
Объемы me.i
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
Через ребро тетраэдра проведена плоскость, разделяющая дву-
гранный угол при этом ребре пополам. Докажите, что она делит
противоположное ребро тетраэдра в отношении, равном отноше-
нию площадей граней, заключающих этот двугранный угол.
Сколько существует плоскостей, каждая из которых равноудалена
от четырех данных точек, не лежащих в одной плоскости?
Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла,
образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пе-
ресечения равноудалены от ребра.
Докажите, что сечением куба может быть правильный треуголь-
ник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть пра-
вильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом
сторон более шести.
Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до
прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения
этой прямой.
Разбейте куб на шесть равных тетраэдров.
Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хо-
чет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую
в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен
двигаться паук?
Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через ко-
торое можно протащить куб таких же и даже больших размеров.
Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды
равна S. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, прохо-
дящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоско-
сти боковой грани.
Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетра-
эдра, который помещается в коробку, имеющую форму куба
с ребром 1 см?
Дан куб ABCDAXBXCXDX. Докажите, что пересечение тетраэдров
ABXCDX и CXBAXD есть правильный октаэдр.
Докажите, что из конечного числа попарно различных кубов нельзя
составить прямоугольный параллелепипед.
Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причем любая
плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает ее не более
чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. До-
кажите, что можно построить ломаную, обладающую указанным
свойством, длина которой сколь угодно мало отличается от 3 см.
Отрезки АВ и CD перемещаются по скрещивающимся прямым.
Докажите, что объем тетраэдра ABCD при этом не изменяется.
Докажите, что центры граней правильного додекаэдра являются
вершинами правильного икосаэдра.
Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются
вершинами правильного додекаэдра.
В правильном треугольнике АВС сторона равна а. Отрезок AS дли-
ны а перпендикулярен к плоскости АВС. Найдите расстояние
и угол между прямыми АВ и SC.
Объемы пк.!
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
В правильном треугольнике АВС сторона равна а. На сонаправлен-
ных лучах BD и СЕ, перпендикулярных к плоскости АВС, взяты
точки D и Е так, что BD = ~^=,СЕ =а\2. Докажите, что треуголь-
v2
ник ADE прямоугольный, и найдите угол между плоскостями АВС
и ADE.
Используя векторы, докажите, что сумма квадратов четырех диа-
гоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его
ребер.
Основание АВС тетраэдра ОАВС прозрачное, а все остальные грани
зеркальные. Все плоские углы при вершине О прямые. Докажите,
что луч света, вошедший в тетраэдр через основание АВС под про-
извольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в проти-
воположном направлении по отношению к входящему лучу. (На
этом свойстве основано устройство уголкового отражателя, кото-
рый, в частности, был запущен на Луну для измерения расстояния
до нее с помощью лазера.)
Из точки А исходят четыре луча АВ, AC, AD и АЕ так, что
ЛВАС = 60°, Z BAD = Z DAC = 45°, а луч АЕ перпендикулярен
к плоскости ABD. Найдите угол САЕ.
Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда
и только тогда, когда его противоположные ребра перпендику-
лярны.
Три боковых ребра тетраэдра равны друг другу. Докажите, что
прямая, образующая равные углы с этими ребрами и пересекаю-
щая плоскость основания, перпендикулярна к этой плоскости.
Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О прямые.
Докажите, что проекция вершины О на плоскость АВС есть точка
пересечения высот треугольника АВС.
Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды.
Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения
этих хорд.
Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, про-
ходящими через данную прямую, не пересекающую шар.
Найдите множество всех таких точек, из которых можно прове-
сти к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные
прямые.
В тетраэдр с высотами й1? й2* Л3, вписан шар радиуса R.
Докажите, что = ~г- +	+ ~т~ + -Д—
л	h2	h4
Какому условию должны удовлетворять радиусы трех шаров, по-
парно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести
общую касательную плоскость?
На плоскости лежат четыре шара радиуса Я, причем три из них
попарно касаются друг друга, а четвертый касается двух из них.
На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса г,
касающиеся друг друга, причем каждый из них касается трех
больших шаров. Найдите радиус маленьких шаров.
Объемы me,i
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
На плоскости лежат три шара радиуса R, попарно касающиеся
друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а дан-
ные шары касаются его извне. Высота конуса равна X_R. Найдите
радиус его основания.
Плоскости АВХСХ и А,ВС разбивают треугольную призму АВСАХВХСХ
на четыре части. Найдите отношение объемов этих частей.
Докажите, что объем тетраэдра равен ^abc sinip, где а и b — про-
6
тивоположные ребра, а (р и с — соответственно угол и расстояние
между ними.
Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину про-
тивоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объ-
емы которых равны.
Основанием пирамиды OABCD является параллелограмм ABCD.
В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходя-
щая через прямую АВ и среднюю линию грани OCD1
Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости.
На одной из них взят отрезок АВ, а на двух других — точки С и D
соответственно. Докажите, что объем тетраэдра ABCD не зависит
от выбора точек С и D.
Точки Е и F — середины ребер DC и ВВХ куба ABCDAXBXCXDX с реб-
ром 1 см. Найдите объем тетраэдра ADXEF.
В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их
вершины соединены отрезками так, что у полученного многогран-
ника все боковые грани — трапеции, треугольники и параллело-
граммы. Докажите, что
V = |(S, +S2+4S3),
где V — объем многогранника, h — его высота, Sj и S2 — площа-
ди оснований, a S3 — площадь сечения плоскостью, параллельной
плоскостям оснований и равноудаленной от них.
Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров,
расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом
и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров.
Найдите объем общей части этих цилиндров, если радиус каждого
из них равен 1 см.
Вокруг данного шара описан конус с углом а при вершине осевого
сечения. При каком значении а конус имеет наименьший объем?
В конус вписан шар. Докажите, что отношение объемов конуса
и шара равно отношению площадей полной поверхности конуса
и сферы, являющейся границей шара.
Правильная четырехугольная пирамида, у которой сторона осно-
вания равна а, а плоский угол при вершине равен а, вращается во-
круг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне
основания. Найдите объем полученного тела вращения.
Объемы тел
813 Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей
диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некото-
рой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диа-
метра, разбивает шар на две равные по объему части. Найдите
косинус угла между этой хордой и диаметром.
814 Все высоты тетраэдра пересекаются в точке Н. Докажите, что точ-
ка Н, центр О описанной сферы и точка G пересечения отрезков,
соединяющих вершины с точками пересечения медиан противопо-
ложных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйле-
ра), причем точки О и Н симметричны относительно точки G.
815 Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке.
Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания
высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, со-
единяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении
2:1, считая от вершины, лежат на одной сфере, центр которой
расположен на прямой Эйлера (сфера Эйлера).
Глава VIII*
Некоторые сведения из планиметрии
Углы и отрезки,
связанные с окружностью
85	Угол между касательной и хордой
Мы знаем, что вписанный угол измеряется
половиной дуги, на которую он опирается. Докажем
теорему об угле между касательной и хордой.
Теорема
Угол между касательной и хордой, проходящей через
точку касания, измеряется половиной заключенной
в нем дуги.
Доказательство
Пусть АВ — данная хорда, ССХ — касатель-
ная, проходящая через точку А. Если АВ — диаметр
(рис. 196, а), то заключенная внутри угла ВАС (и так-
же угла ВАСХ) дуга является полуокружностью. С дру-
гой стороны, углы ВАС и ВАСХ в этом случае — пря-
мые, поэтому утверждение теоремы верно.
Пусть теперь хорда АВ не является диамет-
ром. Ради определенности будем считать, что точки С
и Сг на касательной выбраны так, что угол САВ —
острый, и обозначим буквой а величину заключенной
в нем дуги (рис. 196, б). Проведем диаметр AD и заме-
тим, что треугольник ABD — прямоугольный, поэтому
ZADB = 90° - ZDAB = ZBAC. Поскольку угол ADB —
вписанный, то /LAD В = |, а значит, и /LBAC = р Итак,
угол ВАС между касательной АС и хордой АВ измеря-
ется половиной заключенной в нем дуги.
Аналогичное утверждение верно в отноше-
нии угла ВАСХ. Действительно, углы ВАС и ВАСХ —
смежные, поэтому /LBACX = 180° - ~ = ^6°2—— • С другой
стороны, (360° - а) — это величина дуги ADB, заклю-
ченной внутри угла ВАСр Теорема доказана.
187
Некоторые сведения
из планиметрии
86	Две теоремы об отрезках,
связанных с окружностью
Из теоремы о вписанном угле следует, что
вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу,
равны. Воспользуемся этим наблюдением для доказа-
тельства теоремы об отрезках пересекающихся хорд.
Теорема 1
Произведение отрезков одной из двух пересекающихся
хорд равно произведению отрезков другой хорды.
Доказательство
Пусть хорды АВ и CD пересекаются в точ-
ке Е (рис. 197). Докажем, что АЕ • BE = СЕ • DE.
Треугольники ADE и СВЕ подобны по пер-
вому признаку подобия треугольников: Z1 = Z2, так
как эти углы опираются на одну и ту же дугу BZ), углы
3 и 4 равны как вертикальные. Следовательно,
~ или АЕ • BE = СЕ • DE. Теорема доказана.
Важным следствием из теоремы об угле
между касательной и хордой является теорема о квад-
рате касательной.
Теорема 2
Если через точку М проведены секущая, пересекаю-
щая окружность в точках А и В, и касательная МК
(К — точка касания), то МА • МВ = МК2.
Кратко эту теорему формулируют так:
произведение секущей на ее внешнюю часть равно
квадрату касательной.
Доказательство
Проведем отрезки АК и ВК (рис. 198). Тре-
угольники АКМ и КВМ подобны: угол М у них — об-
щий, а углы АКМ и В равны, так как каждый из них
измеряется половиной дуги АЛТ. Следовательно, = тттг»
МА МК
или МА • МВ = МК2. Теорема доказана.
Замечание
Из доказанной теоремы следует, что если
точка М лежит вне окружности и через нее проведена
секущая, пересекающая окружность в точках А и В, то
произведение МА • МВ не зависит от положения секу-
щей — это произведение равно квадрату касательной,
проведенной из точки М. С другой стороны, квадрат
188
Рис. 198
Некоторые снедения
ил планиметрии
касательной МК равен ОМ2 - R\ где О — центр
окружности, R — ее радиус (рис. 199, а). Итак,
МА- МВ = ОМ2 - R2.	(1)
Рассмотрим теперь точку М, лежащую внут-
ри окружности. Проведем через нее какую-нибудь хор-
ду АВ (рис. 199, б). Из теоремы 1 следует, что произведе-
ние МА • МВ не зависит от положения хорды — оно рав-
но произведению отрезков диаметра, проходящего через
точку М, т. е. равно (R + ОМ) - (R - ОМ) = R2 - ОМ2.
Итак, в этом случае
МА • МВ = R2 - ОМ2.	(2)
Формулы (1) и (2) похожи друг на друга.
Если воспользоваться скалярным произведением век-
торов, то их можно даже объединить в одну формулу:
МА ‘МВ = ОМ2 -R2.
87	Углы с вершинами внутри и вне круга
Теоремы о вписанном угле и об угле между
касательной и хордой позволяют выразить углы с вер-
шинами внутри и вне круга через заключенные внутри
них дуги. Рассмотрим примеры таких углов.
Угол между двумя пересекающимися хор-
дами измеряется полусуммой заключенных между
ними дуг.
В самом деле, рассмотрим хорды АС и ВТ),
пересекающиеся в точке М, и проведем хорду ВС
(рис. 200). Так как ХАМ В — внешний угол треуголь-
ника ВМС, то ХАМ В = Zl + Х2. По теореме о вписан-
ном угле Z1 = | CLD, Z2 = | ^ АКВ, поэтому
Z.AMB = 1	CLD + АКВ),
что и требовалось доказать.
Угол между двумя секущими, проведенны-
ми из одной точки, измеряется полуразностью заклю-
ченных внутри него дуг.
Обратимся к рисунку 201. Угол 1 — внеш-
ний угол треугольника AMQ, поэтому Zl = Z2 + ХАМ В.
Поскольку углы 1 и 2 — вписанные, то Z1 = | АВ>
Z2 = 1 PQ, Следовательно,
ЛАМ В = У(уАВ- '-'PQ),
что и требовалось доказать.
б)
Рис. 199
Рис. 201
Некоторые сведения
из планиметрии
189
Угол между касательной и секущей, прове-
денными из одной точки, измеряется полуразностью
заключенных внутри него дуг.
Обратимся к рисунку 202, а. Угол 1 являет-
ся внешним углом треугольника АМК, поэтому Z1 =
= Z2 + Z.AMK. По теореме об угле между касательной
и хордой Z1 = | АК, а по теореме о вписанном угле
Z2 = | ВК. Следовательно,
ЛАМК = У (^АК-^ВКУ
что и требовалось доказать.
Угол между двумя касательными, проведен-
ными из одной точки, равен 180° минус величина за-
ключенной внутри него дуги, меньшей полуокружности.
В самом деле, поскольку отрезки касатель-
ных, проведенные из одной точки, равны, то треуголь-
ник KML на рисунке 202, б равнобедренный. По тео-
реме об угле между касательной и хордой сумма углов
К и L при его основании равна о KL. Следовательно,
AKML « 180° - о KL, что и требовалось доказать.
88	Вписанный четырехугольник
Напомним, что многоугольник, все верши-
ны которого лежат на окружности, называется вписан-
ным в окружность, а окружность — описанной около
этого многоугольника.
В отличие от треугольника около четырех-
угольника не всегда можно описать окружность. Если
же около четырехугольника можно описать окруж-
ность, то такой четырехугольник является выпуклым
(докажите это), а его углы обладают следующим за-
мечательным свойством: в любом вписанном четырех-
угольнике сумма противоположных углов равна 180°.
Это свойство легко установить, если обра-
титься к рисунку 203 и воспользоваться теоремой о
вписанном угле. В самом деле,
Z.А = 1ч> BCD, ZC = ±~BAD,
2	2
поэтому
ZA + ZC = 1 ('-'BCD + '-BAD) = L  360° = 180°.
Рис. 202
Рис. 203
Некоторые сведения
из планиметрии
190
Оказывается, верно и обратное утвержде-
ние (признак вписанного четырехугольника): если
сумма противоположных углов четырехугольника рав-
на 180°, то около него можно описать окружность.
Действительно, рассмотрим выпуклый че-
тырехугольник ABCD, в котором ZA + ZC = 180°, и до-
кажем, что вершина С лежит на окружности, проходя-
щей через точки А, В и D (см. рис. 203).
Предположим, что это не так. Тогда пря-
мые СВ и CD либо являются касательными к указан-
ной окружности (рис. 204, а), либо хотя бы одна из
них, например, прямая СВ, является секущей по отно-
шению к этой окружности (рис. 204, б, в). Рассмотрим
эти случаи в отдельности.
Если прямые СВ и CD — касательные, то
ZC = 180° - UBD (см. п. 87), поэтому
ZA + ZC = 1 - BD + 180° ~^BD = 180° -1 « BD < 180°,
2	2
а это противоречит условию.
Если же прямая СВ — секущая, то она пе-
ресекает окружность еще в одной точке Е (см.
рис. 204, б, в). Поскольку четырехугольник ABED —
вписанный, то ZA + ZE = 180°. Но ZE * ZC, так как
один из этих углов является углом треугольника DCE,
а другой — внешним углом этого треугольника. Следо-
вательно, в этом случае ZA + ZC # 180°, и мы снова
приходим к противоречию с условием.
Таким образом, вершина С лежит на окруж-
ности, проходящей через точки А, В и В, что и требо-
валось доказать.
Замечание
Из доказанного утверждения, в частности,
следует, что если углы А и С четырехугольника ABCD
прямые, то около него можно описать окружность,
причем диагональ АС является диаметром этой окруж-
ности (объясните почему). Иными словами, точки В и D
лежат на окружности с диаметром АС. Справедливо
и более общее утверждение: множество точек плоско-
сти, состоящее из двух данных точек А и В и всех та-
ких точек М, для которых угол А МВ — прямой, пред-
ставляет собой окружность с диаметром АВ.
В самом деле, поскольку для любой точки
М окружности с диаметром АВ, отличной от А и В,
вписанный угол АМВ — прямой (рис. 205), то любая
191
б)
Рис. 204
Некоторые сведения
из планиметрии
точка этой окружности принадлежит указанному мно-
жеству. Осталось доказать, что если точка М принад-
лежит рассматриваемому множеству, то она лежит на
окружности с диаметром АВ. Докажем это.
Рассмотрим окружность, описанную около
треугольникаАМВ (см. рис. 205). УголАМВ, вписан-
ный по отношению к этой окружности, — прямой, по-
этому отрезок АВ — ее диаметр. Таким образом, точ-
ка М лежит на окружности с диаметром АВ, что и
требовалось доказать.
Отметим, что множество всех точек, облада-
ющих каким-либо геометрическим свойством, иногда
называют геометрическим местом точек. Можно ска-
зать, в частности, что геометрическим местом точек М,
для которых угол АМВ прямой (А и В — данные точ-
ки), является окружность с диаметром АВ, из которой
удалены точки А и В.
89 Описанный четырехугольник
Напомним, что многоугольник, все стороны
которого касаются окружности, называется описанным
около окружности, а окружность — вписанной в этот
многоугольник.
В отличие от треугольника не в любой четы-
рехугольник можно вписать окружность. Если же в че-
тырехугольник можно вписать окружность, то его сто-
роны обладают следующим замечательным свойством:
в любом описанном четырехугольнике суммы противо-
положных сторон равны.
В самом деле, обратимся к рисунку 206, на
котором одними и теми же буквами обозначены равные
отрезки касательных. Мы видим, что
АВ + CD = a + b + c + d, ВС + AD = a + b + c + d,
поэтому АВ + CD = ВС + AD.
Справедливо и обратное утверждение (при-
знак описанного четырехугольника): если суммы про-
тивоположных сторон выпуклого четырехугольника
равны, то в него можно вписать окружность.
Действительно, рассмотрим выпуклый четы-
рехугольник ABCD, в котором АВ + CD = ВС + AD. Точ-
ка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена
от сторон АВ, AD и ВС, поэтому можно провести
окружность с центром О, касающуюся указанных трех
192
Рис. 206
Hr которые сведен ал
u.i планиметрии
сторон (рис. 207, а). Докажем, что эта окружность каса-
ется также стороны CD и, значит, является вписанной
в четырехугольник ABCD.
Предположим, что это не так. Тогда пря-
мая CD либо не имеет общих точек с окружностью, ли-
бо является секущей. Рассмотрим первый случай
(рис. 207, б). Проведем касательную C'D', параллель-
ную стороне CD (С' и D' — точки пересечения касатель-
ной со сторонами ВС и AD). Так как ABC'D' — описан-
ный четырехугольник, то АВ + C'D' = ВС' + AD', или
АВ + C'D' = BC-C'C+AD- D'D.
Заменяя в правой части этого равенства сум-
му ВС + AD на сумму АВ + CD, приходим к равенству
C'D' + С'С + D'D = CD, т. е. в четырехугольнике C'CDD'
одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого
не может быть, и, значит, наше предположение (о том,
что прямая CD и окружность не имеют общих точек)
неверно. Аналогично доказывается, что прямая CD не
может быть секущей по отношению к окружности.
Следовательно, окружность касается стороны CD, что
и требовалось доказать.
Рис. 207
Задачи
816
817
818
819
820
Через точку D, лежащую на радиусе ОА окружности с центром О,
проведена хорда ВС, перпендикулярная к ОА, а через точку В про-
ведена касательная к окружности, пересекающая прямую ОА в точ-
ке Е. Докажите, что луч ВА — биссектриса угла СВЕ.
Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту
точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность
в точках А и Ап а другую — в точках В и ВР Докажите, что
АА} || ВВР
Прямая АС — касательная к окружности с центром Ov, а прямая
BD — касательная к окружности с центром О2 (рис. 208). Докажи-
те, что: a) AD || ВС; б) АВ2 = AD • ВС; в) BD2 : АС2 = AD : ВС.
Точка М лежит внутри четырехугольника ABCD. Докажите, что
AAMD = Z.ABM + Z.MCD тогда и только тогда, когда окружности,
описанные около треугольников АВМ и
MCD, имеют в точке М общую касатель-
ную.
Окружность касается сторон АВ и АС
треугольника АВС и пересекает сторону
ВС в точках Р и Q, BP = CQ. Докажите,
что треугольник АВС равнобедренный.
7-Л. С. Атанасян
193
Некоторые сведения
из планиметрии
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
Окружность отсекает на двух прямых, кото- Bi^---------
рые пересекаются в точке, не лежащей на
окружности, равные хорды. Докажите, что / \	\
расстояния от точки пересечения этих пря- I \	\
мых до концов той и другой хорды соответ- Al |N
ственно равны между собой.	\	\	/
Через точку К, лежащую на окружности \ \	/
с центром О, проведены хорда КА и касатель-
ная КВ, а через точку О проведена прямая,
перпендикулярная к прямой ОА и пересекаю- 209
щая хорду КА в точке М, а касательную
КВ — в точке N. Докажите, что NK = NM.
Точки Bj и Сх — середины дуг АВ и АС (рис. 209). Докажите, что
AM=AN.
Точки А, В, С и D л&жял на одной окружности, луч BD содержит
биссектрису ВМ треугольника АВС. Докажите, что ZAMD = ZBAD.
Хорды АВ и CD взаимно перпендикулярны, луч АВ является бис-
сектрисой угла DAE. Докажите, что АЕ 1 ВС. Рассмотрите все воз-
можные случаи.
Отрезки ААХ и ВВХ — высоты треугольника АВС. Докажите, что
точки А, В, Aj и Вх лежат на одной окружности.
Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника пер-
пендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четы-
рехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы
углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Дока-
жите, что CD = ВС + AD.
Докажите, что в любом четырехугольнике, вписанном в окруж-
ность, произведение диагоналей равно сумме произведений проти-
воположных сторон (теорема Птолемея).
На окружности даны четыре точки А, В, С и D в указанном поряд-
ке. Точка М — середина дуги АВ, К — точка пересечения хорд АВ
и MD, Е — точка пересечения хорд АВ и МС. Докажите, что около
четырехугольника CDKE можно описать окружность.
Противоположные стороны выпуклого четырехугольника продол-
жены до пересечения. Докажите, что около четырехугольника
можно описать окружность тогда и только тогда, когда биссектри-
сы образовавшихся углов взаимно перпендикулярны.
Докажите, что в выпуклый многоугольник можно вписать окруж-
ность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в два
треугольника, на которые он разделяется диагональю, касаются
этой диагонали в одной точке.
Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной око-
ло окружности, равна произведению ее оснований.
Y Qyf Некоторые сведения
7 Упг из планиметрии
834 В трапецию ABCD с основаниями АВ и CD
(АВ > CD) вписана окружность. Найдите
площадь трапеции, если CD = a, DK = Ь и
АК = d, где К — точка касания окружно-
сти и стороны AD.
835 На каждой из сторон выпуклого четырех-
угольника отмечены две точки. Эти точки со-
единены отрезками так, как показано на ри-
сунке 210. Известно, что в каждый из закра-
шенных четырехугольников можно вписать
окружность. Докажите, что и в исходный че-
тырехугольник можно вписать окружность.
2
Решение треугольников
90 Теорема о медиане
Напомним, что решением треугольника на-
зывается нахождение его элементов по трем данным
элементам, определяющим треугольник. Для решения
треугольников используются, как правило, теоремы си-
нусов и косинусов. Приведем пример теоремы, доказа-
тельство которой основано на решении треугольников.
Теорема
ившнммманшяннннвяжшлимннввмвшншнвмв
Квадрат медианы AM треугольника АВС выражается
формулой AM2 = л^2 + - с-- - — 2 .
н J	2	2	4
Доказательство
Зная стороны треугольника АВС, можно
найти, например, косинус угла В. Для этого нужно
воспользоваться теоремой косинусов (рис. 211):
АС2 = АВ2 + ВС2 - 2АВ • ВС cos В, откуда
cosB = Ag 2^C2-AC2
2 АВ ВС
Рассмотрим теперь треугольник АВМ. Учи-
тывая, что ВМ = по теореме косинусов находим:
AM2 = АВ2 +	- 2АВ • *£ • АВ2 + ВС2-ДС2 =
4	2	2 АВ•ВС
= + Ас2 - вс2
2	2	4 *
Теорема доказана.
Рис. 211
Некоторые сведения
из планиметрии
7*
195
Следствие
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его сторон.
В самом деле, рассмотрим параллело-
грамм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке
О (рис. 212). Поскольку диагонали параллелограмма
точкой пересечения делятся пополам, то отрезок АО,
равный половине АС, является медианой треугольни-
ка ABD. Следовательно, АС2 = 4АО2 = 2АВ2 + 2AD2 - BD2,
откуда АС2 + BD2 = 2АВ2 + 2AD2 = АВ2 + CD2 4- AD2 +
+ ВС2, что и требовалось доказать.
Рис. 212
91 Теорема о биссектрисе треугольника
Теорема
Биссектриса треугольника делит его сторону на части,
пропорциональные двум другим сторонам.
Доказательство
Пусть AD — биссектриса треугольника
АВС. Докажем, что	(рис. 213).
АВ АС
Рассмотрим сначала треугольник ABD. По
теореме синусов ,DB- = откуда
r	sin Z1 sin Z 3
DB _ sin Z1
AB sinZ3*
Аналогично, рассматривая треугольник
ACD, получаем:
DC _ sin Z2
AC sinZ4*
Ho Z2 = Z1 по условию, Z4 = 180° - Z3, по-
этому sin Z2 = sin Z1 и sin Z4 = sin Z3. Следовательно,
= Теорема доказана.
Следствие
В треугольнике АВС со сторонами АВ = с, ВС = а, С А = Ъ и биссек-
трисой AD имеют место равенства:
= DC = ^~.	(1)
В самом деле, из доказанной теоремы
следует, что DB • b = DC • с. Кроме того, DB + DC = а.
Н скот оры е свсдс пил
из планиметрии
Выражая из этих двух равенств DB и DC, приходим
к формулам (1).
Воспользуемся этим следствием для реше-
ния следующей задачи.
Задача
Выразить биссектрису AD треугольника
АВС через стороны АВ = с, АС = b и угол А.
Решение
Пусть ВС = а. Применяя теорему косинусов
к треугольнику ABD и используя первую формулу
из (1), получаем (см. рис. 213):
a2g2 - = AD2 + с2 - 2cAD cos А*
(д + с)2	2
Аналогично из треугольника ACD находим:
а2ь2 = AD2 + b2 - 2bAD cos А.	(3)
(Ь + с)2	2
Умножая равенства (2) и (3) соответственно
на Ь2 и -с2, а затем складывая их, приходим к равенству
О = AD2 (Ь + с) (Ь - с) - 2bc (b -c)ADcos А.
Таким образом, при btc получаем:
AD = cos А.	(4)
Ь + с 2
Формула (4) верна и при b = с (проверьте
это самостоятельно).
Замечания
1. Пусть К — точка пересечения прямой,
проходящей через точку D перпендикулярно к AD, с
большей из сторон АВ и АС (со стороной АС на рисун-
ке 214). Из формулы (4) следует, что длина отрезка АК
зависит только от длин этих сторон и не зависит от ве-
личины угла А: АК = -А~- =	. Этот факт можно
cosA Ъ + с
2
усмотреть и непосредственно. В самом деле, пусть
АЕ = АВ. Тогда отрезок DK — биссектриса треугольни-
ка DCE (докажите это самостоятельно). Следовательно,
_ EK _ DE _ DB _ с
b - АК КС DC DC b'
откуда АК = 2bc_.
о + с
2. Если величину cos А выразить из фор-
мулы (4) и подставить в формулу (2), то получится
197
А
В D	С
Рис. 214
Некоторые сведения
из планиметрии
формула, связывающая биссектрису AD co сторонами
треугольника:
AD2 = bc--*^'
(Ь+с)2
С учетом формулы (1) она принимает совсем
простой вид:
AD2 = bc-DB- DC.
92 Формулы площади треугольника
Теорема 1
Площадь S треугольника выражается формулой
S = рг,	(5)
где р — полупериметр треугольника, г — радиус впи-
санной в него окружности.
Доказательство
Соединим вершины треугольника с центром
вписанной в него окружности (рис. 215). Тогда треуголь-
ник окажется разделенным на три треугольника, пло-
щадь каждого из которых равна половине произведе-
ния соответствующей стороны на радиус г вписанной
окружности. Складывая эти площади и вынося общий
множитель £ за скобки, приходим к формуле (5). Тео-
рема доказана.
Итак, мы получили формулу, связывающую
площадь треугольника с радиусом вписанной в него
окружности. Чтобы найти формулу, связывающую пло-
щадь треугольника с радиусом описанной около него
окружности, докажем следующую теорему, уточняю-
щую теорему синусов.
Рис. 215
Теорема 2
В треугольнике АВС со сторонами АВ = с, ВС = а
и С А = Ъ имеют место равенства
а = ь = -с— = 2R,
sin A sin В	sin С
где R — радиус окружности, описанной около треуголь-
ника АВС.
Доказательство
В треугольнике АВС хотя бы один из уг-
лов — острый. Пусть, например, острым является
угол А. Проведем диаметр BD (рис. 216) и рассмотрим
Некоторые сведения
из планиметрии
198
треугольник DBC. Угол С этого треугольника — пря-
мой, ZD = ZA, поскольку указанные вписанные углы
опираются на одну и ту же дугу ВС. Следовательно,
а = ВС = BD sin А = 2R sin А, откуда .а - = 2R. Пользу-
sin А
ясь теоремой синусов, получаем:
-2- = -±- = ^£-=2Я.
sin A sm В sin С
Теорема доказана.
Следствие 1
Площадь 8 треугольника со сторонами а, b и с выражается фор-
М*ЛОЙ	„аЬс_
где R — радиус описанной около него окружности.
(6)
В самом деле, если А — угол, противолежа-
щий стороне а, то S = | be sin A, a sin А = откуда и
получается указанная формула.
Следствие 2
Площадь S треугольника АВС выражается формулой
S = 2Я2 sin A sin В sin С,
где R — радиус описанной около него окружности.
Для доказательства этого утверждения до-
статочно воспользоваться формулой (6) и теоремой 2.
93 Формула Герона
В этом пункте мы выведем формулу площа-
ди 8 треугольника со сторонами а, b и с, которую свя-
зывают с именем древнегреческого математика и инже-
нера Герона Александрийского (ок. I в. н. э.):
s = ч р (р-а)(р-Ь)(р-с),
а+д+с
где р = — ----полу периметр треугольника.
Рассмотрим треугольник АВС со сторонами
АВ = с, ВС = а и СА = b и выразим его площадь S через
а, b и с. Поскольку
S = | be sin А,	(7)
то достаточно найти sin А. Это можно сделать, пользу-
ясь теоремой косинусов и основным тригонометриче-
ским тождеством. В самом деле, из теоремы косинусов
Некоторые сведения
uj планиметрии
следует, что cos А = -i- (b2 + с2 - а2). Учитывая, что
2 ос
sin А > 0, из основного тригонометрического тождества
находим:
sin А = Vl-cos2 А = J- yl4b2c2 ~(b2 +с2 -а2)2.
2 ос у
Подкоренное выражение можно разложить
на множители следующим образом:
(2Ьс + Ь2 + с2 -а2) (2Ьс -Ь2-с2 + а2) =
= (Ь + с + а) (Ь + с - а) (а - b + с) (а + b - с) =
= 2р • 2 (р - а) • 2 (р - Ь) • 2 (р - с).
Подставляя полученное выражение для
sin А в формулу (7), приходим к формуле Герона.
Замечание
Пусть ha, hb и hc — высоты треугольника,
проведенные к сторонам а, b и с, S — его площадь,
R и г — радиусы описанной и вписанной окружностей.
Поскольку
Ла = —, hb =	hc = —, R = г = —
а ° b с 4S а + Ь+с
(см. п. 92), то формула Герона позволяет выразить ве-
личины Ла, hc, R и г через стороны треугольника.
94 Задача Эйлера
В этом пункте мы приведем решение одной
из красивейших задач геометрии, получившей название
задача Эйлера. Начнем, однако, с такого определения:
центральным подобием с центром О и коэффициентом
k * 0 называется отображение плоскости на себя, при
котором каждая точка М переходит в такую точку Ми
что ОМ{ = kOM.
Нетрудно доказать, что если при централь-
ном подобии с коэффициентом k точки А и В перехо-
дят в точки А, и Вр то АХВ = feAB.
В самом деле,
А& =ОВХ-ОА} = kOB- kOA = k (ОВ-ОА) = kAB.
Из этого следует, что при центральном по-
добии прямая, проходящая через точку О, переходит
в себя, не проходящая через точку О — в параллель-
ную ей прямую, отрезок переходит в отрезок, треуголь-
ник — в подобный ему треугольник, а окружность
Некоторые сведения
uj планиметрии
с центром С радиуса г — в окружность с центром Сх ра-
диуса | k | г, где ОС. = kOC. Докажите эти утверждения
самостоятельно.
Перейдем теперь к задаче Эйлера.
Задача Эйлера
Доказать, что в произвольном треугольнике:
1) точки, симметричные точке Н пересе-
чения высот (или их продолжений) относительно
сторон треугольника и их середин, лежат на описан-
ной окружности;
2)	середины сторон, основания высот и се-
редины отрезков, соединяющих точку Н с вершинами,
лежат на одной окружности, центром которой являет-
ся середина отрезка, соединяющего точку Н с центром
описанной окружности, а ее радиус в два раза меньше
радиуса описанной окружности (эта окружность назы-
вается окружностью Эйлера);
3)	точка пересечения медиан лежит на отрез-
ке, соединяющем точку Н с центром описанной окружно-
сти, и делит этот отрезок в отношении 1 : 2, считая от
центра описанной окружности (прямая, на которой лежат
четыре точки — точка Н, точка пересечения медиан,
центр описанной окружности и центр окружности Эйле-
ра, называется прямой Эйлера);
4)	точки, симметричные центру описанной
окружности относительно прямых, содержащих сред-
ние линии треугольника, лежат на окружности Эйлера.
Решение
Пусть АВС — данный треугольник (рис. 217).
Условимся о следующих обозначениях: G — точка пе-
ресечения медиан, О — центр описанной окружности,
R — ее радиус, Bj и — середины сторон ВС, СА
и АВ, А2, В2 и С2 — основания высот, проведенных
к этим сторонам, А3, В3 и С3 — середины отрезков АН,
ВН и СН, А4, В4 и С4 — точки, симметричные точке Н
относительно сторон треугольника, А5, В5 и С5 — точ-
ки, симметричные точке Н относительно середин этих
сторон, А6, В6 и С6 — точки, симметричные точке О от-
носительно прямых В.С.9 С.А. и А.В. (на рисунке они
не отмечены). Приступим теперь к решению задачи.
1)	Если один из углов треугольника АВС,
например угол А, — прямой, то точки Н, В4 и С4
совпадают с точкой А, точка В5 — с точкой С, а точ-
ка С5 — с точкой В. Поскольку ZBA4C = ZBA5C =
Некоторые снедения
из планиметрии
в
Рис. 217
= ZA = 90°, то точки А, А4 и А5 лежат на окружности
с диаметром ВС (см. п. 88). Таким образом, точки А4,
А5, В4, В5, С4, С5 лежат на окружности, описанной
около треугольника АВС.
Допустим, что треугольник АВС не является
прямоугольным. Поскольку ЛАВ2Н = Z.AC2H = 90°, то
точки В2 и С2 лежат на окружности с диаметром АН
(см. п. 88). Следовательно, вписанные по отношению
к этой окружности углы В2АС2 и В2НС2, а значит, и
углы ВАС и ВНС, либо равны, либо составляют в сумме
180°. И в том, и в другом случае sin Z.BHC = sin ZBAC.
202
Некоторые сведения
из планиметрии
Пусть Bj — радиус окружности, описанной
около треугольника НВС. В соответствии с теоремой 2 из
п. 92 ВС = 2RX sin ZBHC = 2R sin Z В AC. Ho sin ZBHC =
= sin /.ВАС. Значит, Rx = R. Из этого следует, что
окружности, описанные около треугольников АВС и
НВС, симметричны относительно прямой ВС и относи-
тельно середины отрезка ВС. Точка Н лежит на окруж-
ности, описанной около треугольника НВС. Следова-
тельно, симметричные ей точки А4 и А5 лежат на
окружности, описанной около треугольника АВС. Ана-
логично доказывается, что точки В4, В5, С4 и С5 также
лежат на этой окружности.
2)	Рассмотрим центральное подобие с цент-
ром Н и коэффициентом 1. При этом подобии описан-
ная окружность переходит в окружность радиуса у,
центр О9 которой является серединой отрезка ОН (см.
рис. 217), а точки А5, В5, С5, А4, В4, С4, А, В, С описан-
ной окружности переходят соответственно в точки Аи
Ви Cj (середины сторон), А2, В2 и С2 (основания вы-
сот), А3, В3 и С3 (середины отрезков АН, ВН, СН). Сле-
довательно, точки Ар Вр Ср А2, В2, С2, А3, В3, С3 лежат
на окружности с центром О9 радиуса у. Утверж-
дение доказано.
3)	Рассмотрим теперь центральное подобие
с центром G и коэффициентом - 1. Медианы треуголь-
ника АВС делятся точкой G в отношении 1 : 2, поэтому
при рассматриваемом центральном подобии вершины
А, В и С перейдут в середины Ар Вх и Сх противопо-
ложных сторон. Следовательно, прямые, содержащие
высоты треугольника, перейдут в прямые, перпендику-
лярные к его сторонам и проходящие через их середи-
ны, т. е. в серединные перпендикуляры к сторонам.
Поэтому точка Н перейдет в центр О описанной окруж-
ности. Это означает, что точка G лежит на отрезке ОН
и делит его в отношении 1 : 2, считая от точки О, что
и требовалось доказать.
4)	Как только что отмечалось, при цент-
ральном подобии с центром G и коэффициентом - т>
вершины А, В и С переходят в середины Аи Вх и Сх
противоположных сторон, а точка Н переходит в точ-
ку О. Из этого следует, что: а) окружность, описан-
ная около треугольника АВС, переходит в окружность
Эйлера; б) точки А4, В4 и С4 описанной окружности,
203
Некоторые сведения
из планиметрии
симметричные точке Н относительно прямых ВС, СА
и АВ, переходят в точки А6, В6 и С6 окружности Эйле-
ра, симметричные точке О относительно прямых ВХСХ,
и АХВХ. Таким образом, точки А6, В6 и С6 лежат на
окружности Эйлера.
Задачи
836 На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка D так, что
BD : АВ = DC : АС, Докажите, что отрезок AD — биссектриса тре-
угольника АВС,
837 Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пе-
ресекает прямую ВС в точке D, Докажите, что BD : АВ = DC : АС,
838 Биссектрисы ААХ, ВВХ и ССХ треугольника АВС со сторонами
АВ = с, ВС = а и СА = b пересекаются в точке О. а) Найдите отно-
шения	б) Докажите, что	= 2,
ОАХ ОВХ ОСХ	ААХ ВВХ ССХ
ОАХ ОВХ ОСХ л . ..	л	_
—— + —Л + —Л = 1. в) Может ли хотя бы одна из биссектрис тре-
ААХ ВВХ ССХ
угольника делиться точкой О пополам? г) Докажите, что одна из
биссектрис делится точкой О в отношении 2:1, считая от верши-
ны, тогда и только тогда, когда одна из сторон треугольника равна
полусумме двух других сторон.
839 Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно про-
изведению высоты, проведенной к третьей стороне, на диаметр
описанной окружности.
840 Внутри треугольника АВС взята точка М, Докажите, что площади
треугольников ВАМ и ВСМ равны тогда и только тогда, когда точ-
ка М лежит на медиане треугольника АВС, проведенной из вер-
шины В.
841 Докажите, что из медиан данного треугольника можно построить
треугольник, и найдите отношение его площади к площади данно-
го треугольника.
842 Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 3 см, 4 см
и 6 см.
843 Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 9 см,
12 см и 15 см.
844 Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон
в точках L, М и N. Докажите, что отношение площади треуголь-
ника LMN к площади треугольника АВС равно отношению радиу-
са окружности, вписанной в треугольник АВС, к диаметру окруж-
ности, описанной около этого треугольника.
845 Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений
двух других сторон, называется вневписанной. Докажите, что:
а) площадь S треугольника АВС выражается формулой 8 =
= га (р - а), гд,е га — радиус вневписанной окружности, касающейся
Некоторые сведения
из планиметрии
стороны ВС = а.р — полупериметр треуголь- /	I
ника; б) S = 7rw7. zr + 7-+ ;г = р гДе /	|
г — радиус окружности, вписанной в тре- /	/	\
угольник, ra9 гь, гс — радиусы вневписанных / Гс \
окружностей.	г——I
846 Докажите, что площадь S выпуклого четы- / с *
рехугольника со сторонами a, d, с, d и по- Ь/
лупериметром р выражается формулой /	\
S = га (р - а) + гс (р - с), где га и гс — радиу-	\	\
сы вневписанных окружностей, касающих-	/	Va	\
ся сторон, равных а и с (рис. 218).	\	\	\
847 Докажите, что: а) квадрат площади S	\
выпуклого четырехугольника со сторонами /	\
а, Ьу с, d и полупериметром р выражается '	I
формулой S2 = (р - а) (р - b) (р - с) (р - d) -
- abed cos2 б) площадь S вписанного Рис 218
четырехугольника выражается формулой
исходя из этой формулы, получите
формулу Герона для площади треугольника.
848 Докажите, что: а) площадь S четырехугольника со сторонами а,
by Су dy описанного около окружности, выражается формулой S =
= у!abed sin ; б) если четырехугольник со сторонами а у by с, d
является одновременно описанным и вписанным, то его площадь S
выражается формулой S = \abcd.
849 Отрезки AD, АН и AM — биссектриса, высота и медиана треуголь-
ника АВС у вписанная в треугольник окружность касается стороны
ВС в точке К. Докажите, что МК2 = MD • МН.
850 В треугольнике АВС со сторонами АВ = с, ВС = а и СА = b г и R —
радиусы вписанной и описанной окружностей, S — площадь, точ-
ка О — центр описанной окружности, Н — точка пересечения вы-
сот, отрезки АО и AM — высота и медиана. Докажите, что:
а) а + b = 4Я sin cos	б) | а - b | = 4R cos sin '
2	2	7 1	1	2	2
в)	= —£------; г) -2-~—2- = a cos В - b cos А;
a+b tgl(A+B)
д)	а + b + с = 8R cos у cos cos
е)	cos2 А = sin2 В + cos2 С - 2 sin A sin В cos С;
205
Некоторые сведения
из планиметрии
в с
a9in98in9
ж) r=4R sin 4- sin sin £; з) r =--------------=———;
2	2	2	’	„„„A
c°s-
и) AH = -!“L (b2 + с2 - а2); к) OH2 = 9R2 - a2 - b2 - с2; л) DM =
4 S	2 a
3
Теоремы Менелая и Чевы
95 Теорема Менелая
Рассмотрим треугольник АВС и отметим на
прямых АВ, ВС и СА точки Ср Аи Вр не совпадающие
с его вершинами (рис. 219). Пусть А(\ = рСхВ, ВАХ =
= qAfi, cS\ = гВ^А. Поскольку точки Ср Ар Вх не совпа-
дают с вершинами треугольника АВС, то числа р, q, г
отличны от нуля. Кроме того, каждое из этих чисел от-
лично от -1. В самом деле, если, например, р = -1, то
АС, = -СХВ, откуда АСХ + СХВ = АВ = б, т. е. вершины А
и В совпадают, а это противоречит условию.
Поставим теперь такой вопрос: при каком
соотношении между числами р, q, г точки Ср Ах, В}
лежат на одной прямой? Ответ на этот вопрос дает тео-
рема, связанная с именем Менелая Александрийского,
древнегреческого математика и астронома, жившего
в I в. н. э.
Теорема
ивоиямгантмпмашвмнншв
Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и
С А треугольника АВС отмечены точки Ср Аг, Ви не
—►	—►
совпадающие с его вершинами, причем АСХ = рСхВ,
BAi = qAjC, CBj = гВхА. Тогда если точки Ср Ар В} ле-
жат на одной прямой, то pqr = -l; обратно: если
pqr = -l, то точки Ср Ап В, лежат на одной прямой.
Доказательство
1) Допустим сначала, что точки Ср Ар В}
лежат на одной прямой, и докажем, что pqr--l.
Введем прямоугольную систему координат Оху так,
чтобы точки Ср Ар Вх лежали на оси Оу (рис. 220).
Некоторые сведения
из планиметрии
Пусть а, Ь и с — абсциссы точек А, В и С. Из ра-
»	—►
венства АСХ = рСхВ следует, что 0 - а = р (Ь - 0), т. е.
а = -pb. Аналогичным образом из равенств ВА} =
= qA}C и CBj = гВхА получаем: b = -qc и с = -га.
Таким образом, а = -pb = pqc = -pqra, или a (pqr + 1) = 0,
поэтому либо а = 0, либо pqr = -1. Если а = 0, то
с = -га = 0 и b = -qc = 0, т. е. точки А, В и С лежат
на одной прямой (оси Оу), а это противоречит
условию. Следовательно, pqr = -l, что и требова-
лось доказать.
2) Допустим теперь, что pqr = -l, и дока-
жем, что точки С1? Аи В} лежат на одной прямой. Вве-
дем прямоугольную систему координат Оху так, что-
бы точки Ci и Ai лежали на оси Оу (см. рис. 220).
Пусть, как и прежде, а, b и с — абсциссы точек А, В
и С, х — абсцисса точки Ви Из равенств АСг = рСхВ
—►	►
и ВАХ = qAxC, как мы видели, следует, что а = -pb
и b = -qc. Таким образом, а = pqc. Из равенства СВХ =
' >*
= гВ,А следует, что х - с = г (а - х). Умножая обе час-
ти этого равенства на pq и учитывая, что pqr = -l,
pqc = а, получаем: pqx - а = -а + х, или (pq - 1 )х = 0.
Если рд=1, то из равенства pqr =-1 следует, что
г = -1, а этого, как отмечалось в начале пункта, не
может быть. Таким образом, pq * 1, а значит, х = 0.
Следовательно, точки Сг, Аи Вх лежат на одной пря-
мой (оси Оу). Теорема доказана.
Рис. 220
96 Теорема Чевы
Вновь рассмотрим треугольник АВС и от-
метим на прямых АВ, ВС и СА точки Си Аи Вп не сов-
падающие с его вершинами (см. рис. 219). Пусть
АСХ = рСхВ, ВА} = qA^C, СВХ = гВхА. При этом р, q,
г * 0 и р, q, г * -1 (см. п. 95). Поставим такой вопрос:
при каком соотношении между числами р, q и г пря-
мые ААИ BBj и CCj пересекаются в одной точке? Ответ
на этот вопрос дает теорема, связанная с именем ита-
льянского математика и инженера Джованни Чевы
(1648—1734).
207
Некоторые сведения
из планиметрии
Теорема
Пусть на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС
и СА треугольника АВС отмечены точки Ср Аи Ви не
—>•	—►
совпадающие с его вершинами, причем АСХ = рСхВ,
ВАХ = qAxC, СВХ = гВхА. Тогда если прямые ААР ВВи
ССХ пересекаются в одной точке или попарно парал-
лельны, то pqr=l; обратно: если pgr=l, то прямые
ААХ, BBt, CCj пересекаются в одной точке или попар-
но параллельны.
Доказательство
1) Допустим сначала, что прямые ААр ВВХ
и ССХ пересекаются в некоторой точке О (рис. 221, а, б).
Условимся обозначать через S (L, Af, N) площадь тре-
угольника LMN, взятую со знаком «+», если обход вер-
шин L, М, N осуществляется против часовой стрелки, и
со знаком ♦-» — в противоположном случае. Поскольку
S(A,B, Aj ) S(O,B, А, )	. л	ч
о, . .—77Т = Q и —г -—= q (обоснуйте эти равенства),
Л I А| I V J	л I , С )
то S (А, В, AJ = qS (А, Ар С) и 8 (О, В,АХ) = qS (О, Ар С).
Следовательно,
S (А, В, О) S (А, В, А!) - S (О, В, А^
В (А, О, С) ~ S(A.AX,C)-S(O,AX, С)
S (A, ApC)-S(O, Alt С)
S (А, Ар C)-S(O, Ар С)
т-	S(A,B,O) А	S(B,C,O)
Итак, q =  л . Аналогично г =	-
ч S(A,O,C)	S(B,O,A)
S(C,A,O)
S(C,O, В)’
ир =
Перемножая эти равенства и замечая, что
S (А, В, О) = 8 (В, О, А), 8 (А, О, С) =
= 8 (С, А, О), 8 (В, С, О) = S (С, О, В),
получаем:
_S(C,A,O) S(B,O,A) S(C,O,B)_^
Pqr “ S(C,O, В) * S(C, A, О) ’ S{B,O,A) ”
что и требовалось доказать.
Допустим теперь, что прямые ААП ВВХ и ССХ
попарно параллельны. Введем прямоугольную систему
координат Оху так, чтобы ось Оу была параллельна
прямой ААр Пусть а — абсцисса точек А и Ар b — абс-
цисса точек В и Вр с — абсцисса точек С и Сх (рис. 222).
б)
Некоторые сведения
ил планиметрии
208
Из равенств АСХ = рСхВ, ВАХ = qAxC и СВХ = гВхА следу-
ет, что (с - а) = р (b - с), (а - b) = q (с - а) и (Ь - с) =
= г (а - Ь). Учитывая, что с * Ь, с * а и а * b (иначе
точки А, В и С оказались бы лежащими на прямой,
м	ч	с-а а- b
параллельной оси Оу), получаем: р = -—, q =-------,
о - с	с - а
Ь-с	с - а а -b Ь-с
г =---и, следовательно, pqr = ------------- = 1, что
а-Ь	b-с с-а а-Ь
и требовалось доказать.
2) Допустим теперь, что pqr = 1, и докажем,
что прямые AAlt ВВХ и ССХ пересекаются в одной точке,
или попарно параллельны.
Если никакие две из трех указанных прямых
не имеют общих точек, то они попарно параллельны.
Если же какие-нибудь две из них, например
прямые ААХ и ВВХ, пересекаются в некоторой точке О,
то поступим так. Проведем прямую СО (см. рис. 221).
Поскольку pqr = 1 и р * -1, то, согласно доказанному
в пункте 1,
_ S(A,B, О) S(B, С, О) __ S(B, С, О) _ S(B, С, О)
qr ~ S(A,OtC) * S(B,O, А) = S(A,O,C) " S(A,C,O) *	’
поэтому S (В, С, О) * S (А, С, О). Из этого следует, что
прямые СО и АВ не параллельны (объясните почему).
>	—►
Пусть С2 — точка их пересечения, АС2 = tC2B. Так как
прямые ААХ, ВВХ и СС2 пересекаются в одной точке, то,
по доказанному в 1), tqr = 1, откуда t =	= р. Таким
образом, АСХ = рСхВ и АС2 = рС2В. Вычитая одно равен-
—► —►	—►	*
ство из другого, получаем: АС2 - АСХ = р (С2В - СХВ),
—►	—►	—►	-♦
или СХС2 = -рСхС2, т. е. (р + 1) СХС2 = 0. Учитывая, что
>	—♦
р -1, приходим к равенству СХС2 - 0. Следовательно,
точки Сх и С2 совпадают. Но это и означает, что пря-
мые ААХ, ВВХ и ССХ пересекаются в одной точке (в точ-
ке О). Теорема доказана.
Задачи
851 Отрезки ААХ и ВВХ — биссектрисы треугольника АВС, луч
СС| — биссектриса его внешнего угла, причем точка С! лежит на
прямой АВ. Докажите, что точки Ах, Вх и Сх лежат на одной
прямой.
852 Биссектрисы внешних углов А, В и С треугольника АВС пересека-
ют продолжения противоположных сторон в точках Ах, Вх и Сх.
Докажите, что точки Ах, Вх и Ci лежат на одной прямой.
ОЛЮ Некоторые сведения
u.i планиметрии
853 На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС или их продолжениях
отмечены соответственно точки Alf Вх и Си лежащие на одной пря-
мой. Докажите, что точки А2, В2 и С2, симметричные соответствен-
но точкам Аи Вх и Сх относительно середин сторон ВС, СА и АВ,
также лежат на одной прямой.
854 Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения
ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон
лежат на одной прямой.
855 На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены
соответственно точки К, L, М и N, не совпадающие с вершинами
четырехугольника. Докажите, что: а) прямые KL, MN и АС пере-
секаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и толь-
ко тогда, когда	= 1; б) прямые KL, MN и АС пере-
секаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и толь-
ко тогда, когда это же верно в отношении прямых KN, LM и BD.
856 Окружность, вписанная в четырехугольник ABCD, касается сто-
рон АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и 8. Дока-
жите, что прямые PQ, RS и АС пересекаются в одной точке или
параллельны друг другу.
857 Окружность с центром О касается двух неравных окружностей
с центрами Ох и О2 в точках А, и А2 соответственно. Докажите, что
прямая АХА2 проходит через точку пересечения прямой ОХО2 и об-
щей касательной (внешней или внутренней) к окружностям с цент-
рами О) и О2.
858 Треугольники АВС и АХВХСХ расположены так, что прямые АВ и
AjB,, ВС и ВХСХ, СА и СХАХ пересекаются в точках Р, Q, R. Докажи-
те, что прямые ААИ ВВ, и ССХ пересекаются в одной точке или по-
парно параллельны тогда и только тогда, когда точки Р, Q и R ле-
жат на одной прямой (теорема Дезарга).
859 На стороне ВС треугольника АВС отмечены точки Ах и А2, симмет-
ричные относительно середины ВС, а на сторонах АС и АВ отмече-
ны соответственно точки Blf В2 и Си С2, симметричные относитель-
но середин этих сторон. Докажите, что отрезки ААи ВВХ и ССХ
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки
АА2, ВВ2 и СС2 пересекаются в одной точке.
860 Окружность пересекает сторону ВС треугольника АВС в точках Ах
и А2, сторону АС — в точках Вх и В2, сторону АВ — в точках Сх
и С2. Докажите, что отрезки ААХ, ВВХ и ССХ пересекаются в одной
точке тогда и только тогда, когда отрезки АА2, ВВ2 и СС2 пересека-
ются в одной точке.
861 На стороне АС треугольника АВС отмечены точки Р и Е, а на сто-
роне ВС — точки М и К, причем АР : РЕ : ЕС = СК : КМ : МВ.
Отрезки АМ и ВР пересекаются в точке О, а отрезки АК и BE —
в точке Т. Докажите, что точки О, Г и С лежат на одной прямой.
q Y л Некоторые сведения
£ 1 uj планиметрии
862
На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС (либо на одной из сто-
рон и продолжениях двух других сторон) отмечены соответственно
точки Сп Ах и ВР Докажите, что прямые ААИ ВВ, и ССХ пересека-
ются в одной точке тогда и только тогда, когда:
х sinZACCi sin ZBAA, sin ZCBB, ,
a)		-------------------------- = 1:
sin ZCjCB sin ZAjAC sin BA
б)	для любой точки О, не лежащей на прямых АВ, ВС и СА, вы-
sin ZAOCi
полняется равенство-----—
sin ZCiOB
sin ZBOA i
sin ZAiOC
sin ZCOB! _
sin ZBX OA
.4
Эллипс, гипербола и парабола
97 Эллипс
Эллипс, по-видимому, был известен еще
в глубокой древности, когда облик геометрии соответ-
ствовал дословному переводу ее названия. В те времена
основными инструментами для выполнения построе-
ний на местности были колья и веревки, позволявшие
проводить прямые и окружности, а значит, и выпол-
нять все те построения, которые теперь называют по-
строениями с помощью циркуля и линейки.
Ясно, как с помощью указанных инстру-
ментов построить окружность: нужно закрепить один
из концов веревки и в натянутом состоянии прочертить
вторым концом линию. Напрашивается вопрос: а что
получится, если закрепить оба конца ненатянутой ве-
ревки, а затем в натянутом состоянии прочертить ли-
нию? Получится эллипс. Таким образом, мы приходим
к следующему определению.
Определение
Эллипсом называется множество всех таких точек плоскости, для
которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна.
Фиксированные точки называются фокуса-
ми эллипса.
Пусть 2с — расстояние между фокусами,
2а — сумма расстояний от точки эллипса до фокусов.
Введем прямоугольную систему координат Оху так,
чтобы фокусы Fx и F2 имели координаты Fx (-с; 0)
и F2 (с; 0) (рис. 223), и выведем уравнение эллипса
в этой системе координат. Стоящую перед нами задачу
можно сформулировать так: найти множество всех та-
ких точек М (х; у), для которых
MF{ + MF2 = 2а.
211
Некоторые сведения
из планиметрии
Из неравенства треугольника следует, что
MF} 4- MF2 > F}F2, т. е. а > с. При а = с эллипс вырож-
дается в отрезок FxF2, поэтому будем считать, что а > с.
Поскольку MFX = ^(х + с)2 + у2, MF2 = yj(x-c)2 + у2, то
уравнение эллипса имеет вид
7(х + с)2 +у2 + 7(х-с)2 + у2 = 2а.	(1)
Умножим обе части этого равенства на раз-
ность фигурирующих в нем корней, а затем разделим на
2а. В результате получим:
7(х + с)2 + у2-7(*-<О2 + jf2 = ^((*+с)2 -(х-с)2) =
Пользуясь этим уравнением и уравнением
(1), можно выразить каждый из корней:
у/(х + с)2 + у2 = а +	(2)
yj(x-c)2 + у2 = а-^-.	(3)
Возведя обе части равенства (2) в квадрат
и приведя подобные члены, получим:
х2 + с2 + у2 = а2 + -Ц- х2.
а2
Возведение в квадрат обеих частей равенст-
ва (3) дает тот же результат.
Запишем уравнение (4) в виде
2-^-х2 + у2 = а2 - с2.
а2
Поскольку а * с, то полученное равенство
можно переписать так:
X2 х У2 , -I	(5)
а2 а2-с2
или, с учетом условия а > с, так:
+ = 1 (6)
а2 Ь2
где Ь2 = а2 - с2 < а2.
При возведении в квадрат обеих частей ра-
венств (2) и (3) могли появиться лишние корни, соот-
ветствующие случаю а ± — < 0. Но этого не происхо-
Некоторые сведения
ил планиметрии
дит: как видно из уравнения (6), | х | < а, поэтому
I —' < с < а, и значит, а± — > 0. Таким образом, урав-
I а I	а
нение (6) эквивалентно уравнению (1). Оно называется
каноническим уравнением эллипса.
Уравнение (6) позволяет обнаружить следу-
ющие свойства эллипса.
1.	Эллипс имеет центр симметрии (начало
координат О) и две взаимно перпендикулярные оси сим-
метрии (оси Ох и Оу). Эти оси называются осями эл-
липса: та из них, на которой лежат фокусы, называется
большой осью, а другая — малой осью; величины а и b
называются большой и малой полуосями.
Л тт	х2 у2 у2 х2
2.	Поскольку = j -Ь-d иЬ- = 1- £»<1,
то эллипс целиком содержится в прямоугольнике (| х | < а,
| у | < Ь), стороны которого параллельны его осям.
3.	При х > 0, у > 0 уравнение (6) может быть
записано в виде:
I Т2~
y = b
V а2
Функция у (х) монотонно убывает от значе-
ния у - Ь при х = 0 до значения у = 0 при х = а. С уче-
том установленных нами симметрий это позволяет изоб-
разить эллипс (рис. 224, а).
Замечания
1.	Обратимся к уравнению (2):
Чь
О
х
7(х + с)2 + у2
Из него, как мы помним, получается урав-
нение (6). С другой стороны, из уравнения (6) следует
равенство (4) и неравенство а + — > 0. Записывая урав-
а
нение (4) в виде
( А 2
(х + с)2 4- у2 = а + —
а
а)
М(х;у)
б)
Рис. 224
и учитывая неравенство а 4- — > 0, приходим к уравне-
а
нию (2). Таким образом, уравнение (2) равносильно
уравнению (6). Перепишем его так:
f(x + c)2 + y2
а 2
х +---
с
Некоторые сведения
ил планиметрии
213
Числитель левой части этого уравнения ра-
вен MFX, а ее знаменатель равен расстоянию от точки М
до прямой, заданной уравнением х= (рис. 224, б),
с
Эта прямая называется директрисой эллипса, соответ-
ствующей фокусу FP Отметим также, что левая часть
равенства не зависит от точки М и меньше 1. Таким
образом, эллипс является множеством всех таких
точек плоскости, для которых отношение расстояния
до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до
фиксированной прямой (директрисы) постоянно
и меньше единицы.
Указанное отношение равное	называет-
ся эксцентриситетом эллипса.
Рассуждения, примененные к уравнению
(2), можно применить и к уравнению (3). Следователь-
но, уравнение (3) также равносильно уравнению (6).
Его можно записать так:
yl(x-c)2+y2 _ с
а2	а ‘
----х
с
Таким образом, фокусу F2 соответствует ДИ-
fl 2
ректриса, задаваемая уравнением х —
2.	Рассмотрим произвольную прямую, за-
данную в нашей системе координат уравнением рх +
+ qy + г = 0, где р2 + д2 * 0. Пусть, например, р * 0.
Выражая из уравнения прямой х через у и подставляя
его в уравнение (6), получим для у квадратное уравне-
ние, которому удовлетворяют ординаты всех общих то-
чек прямой и эллипса. Квадратное уравнение не может
иметь больше двух решений. Следовательно, любая
прямая имеет с эллипсом не более двух общих точек.
98 Гипербола
Возникает естественный вопрос: что полу-
чится, если в определении эллипса сумму расстояний
заменить модулем их разности? Получится линия, на-
зываемая гиперболой. Таким образом, мы приходим
к следующему определению.
Определение
Гиперболой называется множество всех таких точек плоскости,
для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных
точек есть постоянная положительная величина.
Некоторые сведения
uj планиметрии
Фиксированные точки называются фокуса-
ми гиперболы.
Пусть 2с — расстояние между фокусами,
2а — модуль разности расстояний от точки гиперболы
до фокусов. Введем прямоугольную систему координат
Оху так, чтобы фокусы Fx и F2 имели координаты
F} (—с; 0) и F2 (с; 0) (см. рис. 223), и выведем уравне-
ние гиперболы в этой системе координат. Стоящую пе-
ред нами задачу можно сформулировать так: найти
множество всех таких точек М (х; у), для которых раз-
ность MFX - MF2 равна либо 2а, либо -2а, т. е.
MFX - MF2 = ± 2а.
Из неравенства треугольника следует, что
| MF} - MF2 I < FXF2, t. e. a < с. При a = с гипербола
вырождается в два луча прямой FXF2, поэтому будем
считать, что а < с.
В координатах уравнение гиперболы при-
нимает вид: y/(x + c)2 + у2 - yj(x-c)2 -ь у2 = ±2а.
Умножим обе части этого равенства на сум-
му фигурирующих в нем корней, а затем разделим на
±2а. В результате получим:
7(х + с)2 + у2 + yj(x-c)2 + у2 = ±
причем в правой части будет такой же знак (плюс или
минус), как и в первом уравнении. Теперь можно вы-
разить каждый из корней:
^/(х + с)2 + у2 =|а + ^|, yl(x-c)2 + i/2 =
Возведем обе части любого из этих равенств
в квадрат (докажите, что при этом лишних корней не
появится) и преобразуем его к виду:
х2 + У2 =	~с2-
а 2
Поскольку а * с, то полученное равенство
можно переписать так:
х2 У2 1
— + —  = 1.
а2 а2-с2
Это и есть искомое уравнение гиперболы.
Сравнивая полученный результат с уравнением (5), мы
приходим к весьма неожиданному выводу: гипербола
имеет точно такое же уравнение, как и эллипс! Однако
существенное различие состоит в том, что для эллипса
Некоторые сведения
из планиметрии
a > с, а для гиперболы а < с. С учетом этого условия
уравнение гиперболы можно переписать так:
= l	(8)
а2 Ь2
где Ь2 = с2 - а2.
Уравнение (8) называется каноническим
уравнением гиперболы. Оно позволяет обнаружить
следующие свойства гиперболы.
1.	Гипербола имеет центр симметрии (на-
чало координат О) и две взаимно перпендикулярные
оси симметрии (оси Ох и Ог/). Эти оси называются ося-
ми гиперболы: та из них, на которой лежат фокусы,
называется вещественной осью, а другая — мнимой
осью; величины а и b называются вещественной и мни-
мой полуосями.
„ 2	у 2
2.	Поскольку ^-- = 1 + ^— > 1, то в полосе
а2	Ь2
(| х | < а), содержащей мнимую ось гиперболы, точек
гиперболы нет.
и2	г2	г2
3.	Поскольку = =— - 1 <	, то в области
Ь2 а2	а2 ,	к
между двумя пересекающимися прямыми 1у1^-1х1
точек гиперболы также нет.
4.	При х > а, у > 0 уравнение (8) может
ГТг
быть записано в виде у = b - 1.
у а2
Функция у (х) монотонно и неограниченно
возрастает от значения у = 0 при х = а.
5.	Ясно, что при х —► + оо функция у (х)
становится приближенно равной х. Уточним это
свойство. Имеем: 0 < — х - - у/ х2 - а2 = - • х ~х-	=
а а	а x+vx2-a2
=---ab	< — —► 0 при х —* + оо. Таким образом,
х+ х2-а2 х
-	1*1
гипербола имеет асимптоту \у = -х .
I а I
Теперь изобразим гиперболу (рис. 225, а).
Мы видим, в частности, что гипербола имеет две ветви.
Замечания
1.	Уравнения (7) можно записать так:
с с
Х-С)2+02

£
а ’
б)
Рис. 225
Некоторые сведения
из планиметрии
216
Каждое из этих уравнений равносильно
уравнению (8) (докажите это) и, следовательно, также
является уравнением гиперболы. Рассуждения, анало-
гичные проведенным в замечании 1 п. 97, приводят
нас к выводу: гипербола является множеством всех та-
ких точек плоскости, для которых отношение расстоя-
ния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до
фиксированной прямой (директрисы) постоянно и
больше единицы (поскольку для гиперболы с > а).
Указанное отношение называется эксцентри-
ситетом гиперболы. Фокусу Fx соответствует директри-
п2	„
са, задаваемая уравнением х = _—, а фокусу г2 — ди-
с
а 2
ректриса, задаваемая уравнением х = — (рис. 225, б).
с
2.	Нетрудно доказать (сделайте это само-
стоятельно), что любая прямая имеет с гиперболой не
более двух общих точек.
3.	В курсе алгебры гиперболой называлась
кривая, заданная в прямоугольной системе координат
Оху уравнением у = * (k * 0). В системе координат
Ох'у’, которая получается поворотом осей Ох и Оу во-
круг точки О на 45° против часовой стрелки, уравне-
ние этой гиперболы при k > 0 (рис. 226) имеет канони-
ческий вид
X'2	У'2	_ £
(<2l)2 (<2Т)2
Докажите это самостоятельно.
Рис. 226
99 Парабола
Мы знаем, что эллипс (гипербола) является
множеством всех таких точек плоскости, для которых
отношение расстояния до фиксированной точки к рас-
стоянию до фиксированной прямой постоянно и мень-
ше (больше) единицы.
Сам собой напрашивается вопрос: какая
кривая соответствует отношению, равному 1? Эта кри-
вая называется параболой. Таким образом, мы прихо-
дим к следующему определению.
Определение
Параболой называется множество всех таких точек плоскости, для
которых расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до
фиксированной прямой, не проходящей через эту точку.
Некоторые сведения
uj планиметрии
Фиксированная точка называется фокусом,
а фиксированная прямая — директрисой параболы.
Пусть р — расстояние от фокуса F до дирек-
трисы. Введем прямоугольную систему координат так,
чтобы фокус имел координаты F |; 0 j, а директриса
задавалась уравнением х =- ~ (рис. 227, а). В этой сис-
теме координат уравнение параболы имеет вид
J7	V
+va =|*+||’
Возводя обе части этого равенства в квадрат
(докажите, что при этом лишних корней не появится),
приходим к уравнению
у2 = 2рх.	(9)
Это уравнение называется каноническим
уравнением параболы. Оно позволяет обнаружить сле-
дующие свойства параболы.
1.	Парабола имеет одну ось симметрии
(ось Ох). Эта ось называется осью параболы, а точка ее
пересечения с параболой — вершиной параболы.
и2
2.	Поскольку х = £- > О, то парабола цели-
2р
ком содержится в полуплоскости (х > 0), граница кото-
рой перпендикулярна к оси параболы.
3.	При х > 0 уравнение (9) может быть за-
писано в виде у = 2 рх .
Функция у(х) монотонно и неограниченно
возрастает от значения у = 0 при х = 0. С учетом сим-
метрии это позволяет изобразить параболу (рис. 227, б).
Нетрудно доказать (сделайте это самостоя-
тельно), что любая прямая имеет с параболой не более
двух общих точек.
Эллипс, гипербола и парабола встречаются
в самых разнообразных ситуациях. Так, тень футболь-
ного мяча ограничена эллипсом, брошенный камень
движется по параболе, а движение небесных тел (пла-
нет, комет, метеоритов и т. д.) под действием притяже-
ния Солнца происходит по эллипсу или гиперболе. Ко-
нечно, небесные тела испытывают воздействие не
только Солнца, но и других тел, поэтому их истинные
траектории не являются в точности эллипсами или ги-
перболами, но весьма близки к этим линиям. Так, каж-
218
М(х;у)
_Р_
2
F({;0)x
из планиметрии
Некоторые сведения
дая планета Солнечной системы, в том числе наша Зем-
ля, движется по орбите, близкой к эллиптической,
причем Солнце находится в одном из фокусов эллипса.
Задачи
863 Расстояние между двумя фокусами эллипса равно 4<2, а отноше-
ние большой и малой полуосей равно 3. а) Напишите уравнение
этого эллипса в системе координат Оху, где О — середина отрез-
ка, соединяющего фокусы, лежащие на оси Ох. б) Найдите экс-
центриситет эллипса, в) Напишите уравнение директрис эллипса
в системе координат Оху.
у 2 U2
864 Исследуйте взаимное расположение эллипса у + у = 1 и прямой,
проходящей через точки с координатами (1; -1) и (3; 1).
865 Исследуйте взаимное расположение эллипса + ^- = 1 и: а) окруж-
16	4
ности радиуса % 7 с центром в начале координат; б) окружности ра-
диуса 2 с центром в точке (2; 0).
866 Асимптоты гиперболы проходят через начало координат и состав-
ляют с осью Ох углы в 60°. Расстояние между фокусами, лежащи-
ми на оси Ох, равно 4. а) Напишите уравнение этой гиперболы
в системе координат Оху. б) Найдите эксцентриситет гиперболы,
в) Напишите уравнения директрис гиперболы в системе коорди-
нат Оху.
„ 2
867 Исследуйте взаимное расположение эллипса 4- у- = 1 и гипербо-
2у[2
лы у = —.
X
868 Найдите эксцентриситет и напишите уравнения директрис гипер-
болы у = (k > 0).
869 Парабола задана уравнением у = ах2 + by + с. Напишите уравнение
директрисы этой параболы и найдите координаты ее фокуса.
870 Исследуйте взаимное расположение параболы у = х2 и окружности
радиуса R с центром в точке (0; R) в зависимости от R.
Некоторые сведения
из планиметрии
Приложения
Изображение
пространственных фигур
При изучении стереометрии важное значе-
ние имеет изображение пространственных фигур на
чертеже. Мы познакомимся здесь с некоторыми прави-
лами построения изображений. С этой целью введем
сначала понятие параллельной проекции фигуры, а за-
тем с его помощью понятие изображения фигуры и рас-
смотрим примеры изображений плоских и простран-
ственных фигур.
1	Параллельная проекция фигуры
Пусть л — некоторая плоскость, а I — пе-
ресекающая эту плоскость прямая. Отметим произ-
вольную точку Aq пространства. Если точка Aq не ле-
жит на прямой /, то проведем через Aq прямую,
параллельную прямой /, и обозначим через А точку пе-
ресечения этой прямой с плоскостью л (рис. 228). Если
же А^ — точка прямой Z, то обозначим через А точку
пересечения прямой I с плоскостью л. Точка А называ-
ется проекцией точки Ао на плоскость л при проекти-
ровании параллельно прямой I. Обычно предполагает-
ся, что плоскость л и прямая I заданы, поэтому точку А
кратко называют параллельной проекцией точки А().
Пусть Fo — плоская или пространственная
фигура. Параллельные проекции всех точек фигуры Fo
образуют некоторую фигуру F на плоскости л (см.
рис. 228). Фигура F называется параллельной проек-
цией фигуры Fo. Говорят также, что фигура F получе-
на из фигуры Fq параллельным проектированием.
Сформулируем основные свойства парал-
лельного проектирования при условии, что проектиру-
емые отрезки и прямые не параллельны прямой /.
1°. Проекция прямой есть прямая
(рис. 229).
Рис. 228
Проекция прямой mQ есть
прямая т
Рис. 229
220
При л иже мил
Проекция отрезка AqB0
есть отрезок АВ
Рис. 230
Проекции параллельных
отрезков AqB1} и CqDq есть
параллельные отрезки АВ
и CD
Рис. 231
АС _ СВ
AqCq CqBq
АВ _ РЕ
AqBq DqEq
Рис. 232
2°. Проекция отрезка есть отрезок (рис. 230).
3°. Проекции параллельных отрезков —
параллельные отрезки (рис. 231) или отрезки, принад-
лежащие одной прямой.
4°. Проекции параллельных отрезков, а так-
же проекции отрезков, лежащих на одной прямой,
пропорциональны самим отрезкам (рис. 232).
Из свойства 4° следует, что проекция сере-
дины отрезка есть середина проекции отрезка.
2	Изображение фигуры
Выберем некоторую плоскость я и назовем
ее плоскостью изображений. Затем возьмем прямую /,
пересекающую плоскость л, и спроектируем данную
фигуру Fo на плоскость п параллельно прямой /. Полу-
ченную плоскую фигуру F' или любую ей подобную фи-
гуру F на плоскости к будем называть изображением
фигуры Fo (рис. 233). Построенное таким образом изоб-
ражение фигуры соответствует зрительному восприя-
тию фигуры при рассмотрении ее из точки, располо-
женной далеко от нее.
Выбирая различные плоскости изображе-
ний и различные направления проектирования (т. е.
различные прямые /), будем получать различные
изображения данной фигуры. Обычно берется такое
изображение фигуры, которое является наиболее на-
глядным и удобным для выполнения на нем дополни-
тельных построений. Это изображение и воспроизво-
дится на чертеже.
данная
фигура
фигуры Fq
Рис. 233
221
Приложения
3	Изображение плоских фигур
Построение изображений фигур основано
на свойствах параллельного проектирования, сформу-
лированных в п. 1. Рассмотрим некоторые примеры
изображений плоских фигур.
Отрезок
По свойству 2° проекция отрезка есть отре-
зок, поэтому изображением отрезка является отрезок.
Ясно, что произвольный отрезок на чертеже можно
считать изображением данного отрезка.
При рассмотрении изображений треуголь-
ника, параллелограмма и т. д. будем считать, что плос-
кости этих фигур не параллельны направлению проек-
тирования (прямой /).
Треугольник
Пусть AqB0Cq — треугольник, расположен-
ный в пространстве, А', В' и С' — проекции точек Ао,
Во и Со на плоскость п (рис. 234, а). Так как проекция
отрезка есть отрезок, то треугольник А'В'С' (а также
любой треугольник АВС, подобный треугольнику
А'В'С') является изображением треугольника A^BqCo.
Можно доказать, что в качестве изображения данного
треугольника на чертеже можно брать произвольный
треугольник. Например, на рисунке 234, б изображе-
нием прямоугольного равнобедренного треугольни-
ка AqBqCq служит разносторонний треугольник АВС.
Параллелограмм
Так как проекциями равных параллельных
отрезков являются равные параллельные отрезки
(свойства 3° и 4° п. 1), то изображением параллело-
грамма является параллелограмм. Можно доказать,
что произвольный параллелограмм на чертеже можно
считать изображением данного параллелограмма, в ча-
стности изображением данного прямоугольника, ром-
ба, квадрата (рис. 235).
Трапеция
Нетрудно видеть, что изображением трапе-
ции A^BqCqDq с основаниями А^В^ и С0£>0 является тра-
пеция ABCD, причем по свойству 4° п. 1
АВ _ CD	/
AqBq CqDq
т. е. основания изображения трапеции пропорциональ-
ны основаниям самой трапеции. Поэтому не любую тра-
пецию можно считать изображением данной трапеции.
AqBqCqDq — прямоуголь-
ник. ABCD — параллело-
грамм
Рис. 235
222
Приложения
Укажем способ построения изображения данной тра-
пеции AqB0CqDq. С этой целью рассмотрим вспомога-
тельный отрезок Cq£0, параллельный отрезку AqDq
и разбивающий трапецию на параллелограмм A^DqCqEq
и треугольник B0CqEq (рис. 236, а). В качестве изобра-
жения параллелограмма A^DqCqEq возьмем произволь-
ный параллелограмм ADCE (рис. 236, 0). Так как
АЕ = DC, то пропорцию (1) можно записать так:
АВ _ АЕ	zg\
AqB0 CqD0
Используя пропорцию (2), нетрудно постро-
ить теперь точку В — изображение точки Во. Это по-
строение выполнено на рисунке 236, б, где АА2 = СоВо»
ААХ = AqBq. Построенная трапеция ABCD является
изображением трапеции AqBqCqDq (для нее выполнена
пропорция (1)).
Отметим, что изображением равнобедрен-
ной трапеции AqB0CqDq может быть и неравнобедренная
трапеция ABCD. При этом изображением оси симмет-
рии равнобедренной трапеции является прямая EF,
проходящая через середины оснований AD и ВС, и,
следовательно, отрезок EF является изображением вы-
соты равнобедренной трапеции (рис. 237).
Окружность
Как следует из п. 72, параллельной проек-
цией окружности является эллипс (рис. 238). Окруж-
ность — частный случай эллипса, поскольку ее про-
екция на плоскость, параллельную плоскости
окружности, есть окружность, равная данной (объяс-
ните почему). Из свойств параллельного проектирова-
ния следует, что проекция центра О данной окружно-
сти является центром симметрии эллипса (точка О' на
рисунке 238). Эту точку называют центром эллипса.
Таким образом, изображением окружности
является эллипс, причем изображением центра окруж-
ности является центр эллипса.
Эллипс используется при изображении на
плоскости цилиндров, конусов, усеченных конусов
и сфер (см. главы VI и VII). Понятие эллипса часто
встречается и в различных вопросах естествознания.
Например, движение планет вокруг Солнца происхо-
дит по орбитам, близким к эллипсам.
б)
Рис. 236
окружность
Рис. 238
223
Приложения
4 Изображение пространственных фигур
Рассмотрим теперь изображения на плоско-
сти некоторых многогранников при условии, что ни од-
на из плоскостей граней не параллельна направлению
проектирования. При этом под изображением много-
гранника будем понимать фигуру, состоящую из про-
екций всех его ребер.
Тетраэдр
Пусть AqBqC1}Dq — произвольный тетраэдр,
А, В, С и D — параллельные проекции его вершин на
плоскость изображений (рис. 239). Отрезки АВ, ВС,
СА, AD, BD, CD служат сторонами и диагоналями че-
тырехугольника ABCD. Фигура, образованная из этих
отрезков (или любая другая фигура, подобная ей), яв-
ляется изображением тетраэдра А0В0С0Р0.
Можно доказать, что фигура, состоящая из
сторон и диагоналей любого (выпуклого или невыпукло-
го) четырехугольника, является изображением тетраэд-
ра при соответствующем выборе плоскости изображений
и направления проектирования (рис. 240, а, б, в). (На
этих рисунках невидимые ребра изображены штрихо-
выми линиями.)
Параллелепипед
Для построения изображения произвольно-
го параллелепипеда AqBqCqDqAqB^CqDq заметим, что
точки Ао, Во, Во и Ао являются вершинами тетраэд-
ра A^BqDqAq (рис. 241). Поэтому в качестве их
изображения можно взять вершины произвольного
четырехугольника ABDA'. Другими словами, любые
три отрезка АВ, AD и АА' плоскости изображения с об-
щим концом А, никакие два из которых не лежат на
одной прямой, можно считать изображением ребер
АоВ0, A^Dq и А0А(') параллелепипеда. Но тогда изобра-
жения остальных ребер строятся однозначно, так как
все грани параллелепипеда являются параллелограм-
мами, и, следовательно, их изображения также будут
параллелограммами. На рисунке 241 параллелепипед
ABCDA'B'C'D' является изображением параллелепипе-
да AqBqCqDqAqBqCqDq.
Пирамида
Изображение основания пирамиды строят
по описанным в п. 3 правилам, а за изображение вер-
шины можно принять любую точку, не принадлежа-
щую сторонам изображения основания. На рисунке 242
дано изображение правильной пирамиды S^A^B^C^Dq,
основанием которой служит квадрат А()В0С0В0. Изобра-
жением основания является параллелограмм ABCD.
Рис. 239
Рис. 240
224
Приложения
Замечание
Частным случаем параллельной проекции
фигуры является прямоугольная проекция (см. п. 21).
Прямоугольные проекции широко используются в тех-
ническом черчении. Какая-либо деталь обычно проек-
тируется на две плоскости — горизонтальную и верти-
кальную, и обе проекции изображаются в плоскости
чертежа. На рисунке 243 изображены две проекции
цилиндрической втулки.
2
Об аксиомах геометрии
Аксиомы геометрии представляют собой ис-
ходные положения, на основе которых строится вся
геометрия, т. е. путем логических рассуждений уста-
навливаются свойства геометрических фигур. В аксио-
мах выражены свойства основных геометрических
понятий. К таковым в нашем курсе относятся понятия
точки, прямой и плоскости, понятие «лежать между»
для точек прямой и понятие наложения. Кроме того,
в аксиомах геометрии и вытекающих из них утвержде-
ниях используются такие общематематические поня-
тия, как «принадлежать» (или «лежать на»), «множе-
ство», «число» и т. д.
Здесь мы приведем все аксиомы геометрии,
включая и те три аксиомы о взаимном расположении
точек, прямых и плоскостей, которые были сформули-
рованы во введении, а также дадим доказательства на
основе аксиом некоторых наглядно очевидных утверж-
дений, которые использовались в курсе стереометрии.
Первая группа аксиом характеризует вза-
имное расположение точек, прямых и плоскостей.
I
L-I—
Рис. 243
8— Л. С. Атанасян
225
Приложения
1.	На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней
мере две точки.
2.	Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной
прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной
плоскости.
3.	Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
4.	Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, прохо-
дит плоскость, и притом только одна.
5.	Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки пря-
мой лежат в этой плоскости.
6.	Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
7.	Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя
другими.
Иногда вместо слов ♦ точка В лежит между
точками А и С» говорят, что точки А и С лежат по раз-
ные стороны от точки В, или точки А и В лежат по од-
ну сторону от точки С (аналогично точки В и С лежат
по одну сторону от точки А).
8.	Каждая точка О прямой разделяет ее на две части — два лу-
ча — так, что любые две точки одного и того же луча лежат по
одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей ле-
жат по разные стороны от точки О. При этом точка О не при-
надлежит ни одному из указанных лучей.
Напомним, что отрезком АВ называется
геометрическая фигура, состоящая из точек А и В и
всех точек прямой АВ, лежащих между ними. Если от-
резок АВ и прямая а лежат в одной плоскости и не
имеют общих точек, то говорят, что точки А и В лежат
по одну сторону от прямой а; если же отрезок АВ пере-
секается с прямой а в некоторой точке, лежащей меж-
ду А и В, то говорят, что точки А и В лежат по разные
стороны от прямой а.
9.	Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плос-
кость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точ-
ки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от
прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по
разные стороны от прямой а. При этом точки прямой а не при-
надлежат ни одной из этих полуплоскостей.
Прямая а называется границей каждой из
полуплоскостей.
Приложения
Если отрезок не имеет общих точек с дан-
ной плоскостью, то говорят, что концы отрезка лежат
по одну сторону от плоскости; если же отрезок пересе-
кается с плоскостью в некоторой своей внутренней точ-
ке, то говорят, что концы отрезка лежат по разные сто-
роны от плоскости.
10.	Каждая плоскость а разделяет пространство на две части (два
полупространства) так, что любые две точки одного и того же
полупространства лежат по одну сторону от плоскости а,
а любые две точки разных полупространств лежат по разные
стороны от плоскости а. При этом точки плоскости а не при-
надлежат ни одному из указанных полупространств.
Плоскость а называется границей каждого
из полупространств.
Следующая группа аксиом относится к по-
нятиям наложения и равенства фигур.
Под наложением мы понимаем отображе-
ние пространства на себя. Однако не всякое отображе-
ние пространства на себя называется наложением. На-
ложения — это такие отображения пространства на
себя, которые обладают свойствами, выраженными
в аксиомах 11 —17. В формулировках этих аксиом
используется понятие равенства фигур, которое опре-
деляется так: пусть Ф и Oj — две фигуры; если сущест-
вует наложение, при котором фигура Ф отображается
на фигуру Фр то мы говорим, что фигуру Ф можно со-
вместить наложением с фигурой Ф] или что фигура Ф
равна фигуре Фи
11.	Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то
совмещаются и сами отрезки.
12.	На любом луче от его начала можно отложить отрезок, рав-
ный данному, и притом только один.
13.	От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол,
равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
14.	Два равных утла hk и Л^р лежащие в плоскостях, являющихся
границами полупространств Р и Рр можно совместить наложе-
нием так, что при этом совместятся полупространства Р и Рр
причем это можно сделать двумя способами: в одном случае со-
вместятся лучи h и fcp k и а в другом — лучи h и kv k и hv
15.	Любая фигура равна самой себе.
16.	Если фигура Ф равна фигуре Фр то фигура Ф, равна фигуре Ф.
17.	Если фигура Ф, равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре
Ф3, то фигура Ф, равна фигуре Ф3.
8*
Приложения
Следующие две аксиомы связаны с измере-
нием отрезков. Прежде чем их сформулировать, напом-
ним, как измеряются отрезки. Пусть АВ — измеряемый
отрезок, PQ — выбранная единица измерения отрезков.
На луче АВ отложим отрезок ААХ = PQ, на луче АХВ — от-
резок AjA2 = PQ и т. д. до тех пор, пока точка Ап не сов-
падет с точкой В либо точка В не окажется лежащей
между Ап иАп + 1. В первом случае говорят, что длина
отрезка АВ при единице измерения PQ выражается чис-
лом п (или что отрезок PQ укладывается в отрезке АВ
п раз). Во втором случае можно сказать, что длина от-
резка АВ при единице измерения PQ приближенно вы-
ражается числом п. Для более точного измерения отре-
зок PQ делят на равные части, обычно на 10 равных ча-
стей, и с помощью одной из этих частей измеряют
описанным способом остаток АпВ. Если при этом деся-
тая часть отрезка PQ не укладывается целое число раз
в измеряемом остатке, то ее также делят на 10 равных
частей и продолжают процесс измерения. Мы утвержда-
ем, что таким способом можно измерить любой отрезок,
т. е. выразить его длину при данной единице измерения
конечной или бесконечной десятичной дробью. Это
утверждение кратко сформулируем так:
18.	При выбранной единице измерения отрезков длина каждого
отрезка выражается положительным числом.
Кроме того, мы принимаем аксиому суще-
ствования отрезка данной длины.
19.	При выбранной единице измерения отрезков для любого
положительного числа существует отрезок, длина которого
выражается этим числом.
И наконец, последняя аксиома в стерео-
метрии, как и в планиметрии, есть аксиома парал-
лельных прямых.
20.	В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой
этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная
данной.
В IX классе (Геометрия, 7—9, приложе-
ние 1) мы уже говорили о том, что, опираясь на аксио-
мы, можно решать задачи и доказывать теоремы без
привлечения каких-либо интуитивных представлений
о свойствах геометрических фигур. В качестве примера
приводилось доказательство теоремы, выражающей
Приложения
первый признак равенства треугольников, основанное
на аксиомах. Приведем еще несколько примеров.
Задача 1
Доказать, что на каждом луче есть хотя бы
одна точка.
Решение
Рассмотрим луч с началом А, являющийся
частью прямой а. На прямой а есть хотя бы одна точ-
ка В, отличная от точки А (аксиома 1). Если точка В
лежит на луче (рис. 244, а), то она и является той точ-
кой, существование которой мы доказываем. Если же
точка В лежит на продолжении луча (рис. 244, б), то
поступим так: на луче от его начала отложим отрезок
АС - АВ (аксиома 12). Тогда точка С будет лежать на
луче. Утверждение доказано.
Задача 2
Доказать, что если точка А лежит на пря-
мой а, а точка В не лежит на этой прямой, то все точки
луча АВ лежат в одной полуплоскости с границей а.
Решение
Пусть С — произвольная точка луча АВ,
отличная от В (а есть ли такая точка? Ответ на этот во-
прос найдите самостоятельно). Докажем, что точка С
лежит в той же полуплоскости с границей а, что и точ-
ка В. Поскольку точки В и С лежат по одну сторону от
точки А, то по аксиоме 7 точка А не лежит на отрез-
ке ВС, Поэтому если предположить, что точки В и С
лежат в разных полуплоскостях с границей а, то полу-
чится, что прямая а пересекает отрезок ВС в точке D,
отличной от А. Иными словами, окажется, что через
точки А и D проходят две прямые: а и АВ. Но это про-
тиворечит аксиоме 3. Следовательно, наше предполо-
жение ошибочно — точки В и С лежат в одной полу-
плоскости с границей а, что и требовалось доказать.
При изучении геометрии мы неоднократно
использовали понятие внутренней области неразвернуто-
го угла, опираясь при этом на наглядные представления
об углах. Приведем теперь определение этого понятия.
Внутренней областью неразвернутого угла
АОВ называется общая часть двух полуплоскостей:
полуплоскости с границей ОА, содержащей точку В,
и полуплоскости с границей ОВ, содержащей точку А.
Задача 3
Доказать, что если луч исходит из вершины
неразвернутого угла и проходит через точку внутрен-
ней области этого угла, то все точки луча лежат во
внутренней области угла.
229
-------4-4-S
а
а)
? , 4 , ?
а
б)
Рис. 244
Приложения
Решение
Рассмотрим угол АОВ и луч ОС, проходя-
щий через точку С внутренней области этого угла
(рис. 245). Поскольку точка С принадлежит полуплос-
кости с границей ОА, содержащей точку В, то все точки
луча ОС также принадлежат этой полуплоскости (см.
задачу 2). По аналогичной причине все точки луча ОС
принадлежат полуплоскости с границей ОВ, содержа-
щей точку А. Следовательно, все точки луча ОС принад-
лежат общей части указанных полуплоскостей, т. е.
внутренней области угла АОВ. Утверждение доказано.
Задача 4
Доказать, что если прямая пересекает сторо-
ну АВ треугольника АВС и не проходит через вершину
этого треугольника, то она пересекает либо сторону ВС,
либо сторону АС.
Решение
Данная прямая разделяет плоскость на две
полуплоскости (аксиома 9), причем точки А и В лежат
в разных полуплоскостях. Поэтому если точка С лежит
в одной полуплоскости с точкой А, то точки В и С ле-
жат в разных полуплоскостях, а значит, данная пря-
мая пересекает отрезок ВС. Если же точка С лежит
в одной полуплоскости с точкой В, то точки А и С ле-
жат в разных полуплоскостях, а значит, данная пря-
мая пересекает отрезок АС. Утверждение доказано.
Задача 5
Доказать, что если луч исходит из вершины
неразвернутого угла и проходит через точку внутренней
области этого угла, то он делит этот угол на два угла.
Решение
Рассмотрим угол АОВ, через точку С внут-
ренней области которого проведен луч ОС (рис. 246).
Требуется доказать, что внутренние области углов АОС
и ВОС лежат по разные стороны от прямой ОС.
Пусть D — произвольная точка луча с нача-
лом О, являющегося продолжением луча ОА. Точки А,
В и D не лежат на прямой ОС, и эта прямая пересекает
сторону AD треугольника ABD. Следовательно, она пе-
ресекает либо сторону АВ, либо сторону BD (см. зада-
чу 4). Но точка D не лежит во внутренней области уг-
ла АОВ — она лежит в полуплоскости с границей ОВ,
не содержащей точку А. Поэтому все точки луча BD не
принадлежат внутренней области угла АОВ (см. зада-
чу 2), а значит, луч ОС не может пересечь сторо-
ну BD — все точки этого луча принадлежат внутренней
области угла АОВ (см. задачу 3). Следовательно, он пе-
230
Приложения
ресекает сторону АВ. Это означает, что точки А и В,
а значит, и лучи ОА и ОВ (см. задачу 2), лежат по
разные стороны от прямой ОС. Но тогда и внутренние
области углов АОС и ВОС лежат по разные стороны от
прямой ОС. Утверждение доказано.
Как уже отмечалось во введении, из аксиом
геометрии следует, что признаки равенства и подобия
треугольников, известные из курса планиметрии, спра-
ведливы и для треугольников, расположенных в раз-
ных плоскостях. Докажем, например, теорему, выра-
жающую первый признак равенства треугольников.
Теорема
Если две стороны и угол между ними одного треуголь-
ника соответственно равны двум сторонам и углу меж-
ду ними другого треугольника, то такие треугольники
равны.
Доказательство
Пусть треугольник АВС расположен в плос-
кости а, а треугольник АХВХСХ — в плоскости ах и АВ =
= А1В1, АС=А1С1, ZA = ZAP Докажем, что ЛАВС =
= AAjBxCn имея в виду, что под треугольником в сте-
реометрии обычно понимают фигуру, содержащую не
только три стороны, но и соответствующую внутрен-
нюю область. Рассмотрим наложение, при котором
угол А совмещается с углом Ах так, что луч АВ совме-
щается с лучом AjBp а луч АС — с лучом AjCp Такое
наложение существует в силу аксиомы 14. Так как по
аксиоме 12 на луче АХВХ можно отложить от его начала
только один отрезок, равный отрезку АВ, то точка В
совместится с точкой Вр Аналогично точка С совме-
стится с точкой Ср Следовательно, по аксиоме 11 со-
вместятся отрезки АВ и АХВХ, АС и АХСХ, ВС и ВХСХ,
т. е. совместятся стороны треугольников АВС и АХВХСХ.
Докажем теперь, что при указанном нало-
жении внутренняя область треугольника АВС совме-
стится с внутренней областью треугольника АХВХСХ.
Для этого нужно доказать, что любая точка внутрен-
ней области треугольника АВС совместится с некото-
рой точкой внутренней области треугольника AjBjCp и
обратно: на любую точку внутренней области треуголь-
ника АХВХСХ наложится некоторая точка внутренней
области треугольника АВС. Пусть М — произвольная
точка внутренней области треугольника АВС. Прове-
Приложения
дем через точку М какой-нибудь отрезок PQ с концами
на сторонах АВ и АС треугольника АВС. Так как сторо-
на АВ совмещается со стороной АХВХ, то точка Р совме-
стится с некоторой точкой Рх на стороне АХВХ. Анало-
гично точка Q совместится с некоторой точкой Qx на
стороне АХСГ. Поэтому по аксиоме 11 отрезок PQ совме-
стится с отрезком PxQxt а значит, точка М отрезка PQ
совместится с некоторой точкой Мх отрезка PiQi, т. е.
наложится на точку Мх внутренней области треуголь-
ника АХВХСХ. Таким же образом можно доказать и об-
ратное: на любую точку внутренней области треуголь-
ника АХВХСХ наложится некоторая точка внутренней
области треугольника АВС. Итак, при указанном нало-
жении треугольники АВС и АХВХСХ полностью совме-
стятся, т. е. они равны. Теорема доказана.
Задача 6
Доказать, что если основание и высота од-
ной прямой треугольной призмы соответственно равны
основанию и высоте другой прямой треугольной приз-
мы, то такие призмы равны.
Решение
Пусть прямые призмы ABCDEF и
AXBXCXDXEXFX имеют равные основания АВС и АХВХСХ
и равные высоты AD и AXDX, причем АВ=АХВХ,
АС =АХСХ и ZA = Полупространство, границей ко-
торого является плоскость АВС, содержащее точки D,
Е и F, обозначим буквой Н, а полупространство, грани-
цей которого является плоскость АХВХСХ, содержащее
точки Dx, Ех и обозначим Нх.
Рассмотрим наложение, при котором угол
А совмещается с углом Ах так, что луч АВ совмеща-
ется с лучом АХВХ, луч АС — с лучом АХСХ,
а полупространство Н совмещается с полупространст-
вом Яр Такое наложение существует в силу аксио-
мы 14. При этом наложении треугольник АВС (т. е.
его стороны и внутренняя область) совместится с рав-
ным ему треугольником АХВХСХ. Далее, луч AD совме-
стится с некоторым лучом AXD2, расположенным
в полупространстве Яр поэтому углы DAB и DAC
совместятся соответственно с углами D2AXBX и
D2AxCx. Но так как углы DAB и DAC прямые, то углы
D2AxBx и D2AxCx также прямые, а, значит, луч AXD2
перпендикулярен к плоскости АХВХСХ и, следователь-
но, совпадает с лучом AXDX. Итак, при указанном на-
ложении луч AD совместится с лучом AXDX, а так как
232
Приложения
AD = AXDU то точка D совместится с точкой Dx. Ана-
логично точки E и F совместятся соответственно
с точками Ej и Следовательно, основание DEF
и боковые ребра одной призмы совместятся соответ-
ственно с основанием DXEXFX и боковыми ребрами
другой призмы. Нетрудно доказать теперь, что при
этом совместятся и соответствующие боковые грани,
а также внутренние точки призмы. Это можно сде-
лать подобно тому, как при доказательстве теоремы
о первом признаке равенства треугольников было
доказано совмещение внутренних областей треуголь-
ников АВС и	Таким образом, призмы
ABCDEF и AXBXCXDXEXFX полностью совместятся,
т. е. они равны.
Аналогично можно доказать равенство
двух прямоугольных параллелепипедов с соответст-
венно равными измерениями и равенство двух пра-
вильных пирамид с равными основаниями и равны-
ми высотами.
В IX классе (Геометрия, 7—9, приложе-
ние 1) мы уже говорили о том, что некоторые из при-
нятых нами аксиом могут быть доказаны на основе
остальных аксиом, т. е. фактически эти утвержде-
ния являются теоремами, а не аксиомами. Так, тео-
ремами являются утверждения аксиом 5, 8 и 10.
Убедитесь в этом самостоятельно.
Если стремиться к тому, чтобы свести ко-
личество аксиом к минимуму, то аксиому 17 следует
сформулировать иначе:
Если фигура Ф2 равна фигуре Ф3 и фигура Ф2 равна фигу-
ре Ф3, то фигура Ф| равна фигуре Ф2.
При такой формулировке можно будет от-
казаться от аксиомы 16 — она превратится в теорему.
В самом деле, допустим, что фигура Ф равна фигуре Фп
и докажем, что тогда и фигура Ф! равна фигуре Ф.
Имеем: Ф1 = Ф! (аксиома 15), Ф = Ф! по условию.
Следовательно, Ф! = Ф, что и требовалось доказать.
Таким образом, для построения курса гео-
метрии было бы достаточно сформулировать 16, а не
20 аксиом.
Приложения
Ответы и указания
Введение
3. а) Да; б) нет; в) нет; г) нет. 5. Бесконечное множество. 7. Нет. Ука-
зание. Воспользоваться аксиомой А2. 8. а) Нет; б) да. 9. Да.
10. а) Да; б) нет. 12. Да. 13. а) Нет; б) нет; в) да. 14. Три плоскости,
если прямые не лежат в одной плоскости, и одна плоскость, если прямые
лежат в одной плоскости.
Глава I
17. 26 см. 18. а) 3,5 см; б) 12 см. 20. Нет. 27. 48 см. 28. 8^ см.
3
29. 6 см. 33. Указание. Пусть а, р и у — данные плоскости, а а — ли-
ния пересечения плоскостей аир. Рассмотреть взаимное расположение
прямой а и плоскости у. 34. а), б) Пересекаются; в), г) параллельны;
д), е) скрещивающиеся. 37. а) Пересекаются; б) скрещивающиеся.
40. а) Нет; б) да, прямая MN. 41. Нет. 42. а) Параллельны; б) 100 см.
44. а) 40°; б) 45°; в) 90°. 45. а) 50°; б) 59°. 46. а) 90°; б) 64°. 49. Нет.
54. б) 12 см2. 56. Указание. Воспользоваться задачей 55. 57. Указа-
ние. Воспользоваться задачей 56. 60. Указание. Воспользоваться за-
дачей 58. 63. а) АА2 = 18 см, АВ2 = 15 см; б) А2В2 = 54 см, АА2 = 72 см.
65. а) Параллелограммы. 66. Три пары ребер. 67. а) -17 см, -23 см,
-29 см; б) -146 см2, -210 см2, -180 см2. 72. Указание, а) Учесть, что
секущая плоскость проходит через середины ребер DB и DC тетраэдра;
б) учесть, что секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра
по отрезкам, параллельным сторонам треугольника АВС. 73. 22 см.
74. б) |. 75. б) 6 см2. 77. 8 см, 10 см, 12 см. 79. а) Параллелограмм
ABCXDX; б) параллелограмм АССХАХ. 81. Точка пересечения прямых:
a) MN и ВС; б) AM и АХВХ. 82. Указание. Задача решается аналогично
задаче 2, п. 14. 83. Указание. Сначала построить отрезок, по которому
секущая плоскость пересекает грань: а) АА}DXD\ б) ABCD. 84. Указание.
Сначала построить отрезок, по которому секущая плоскость пересекает
грань ABCD. 85. Параллелограмм BKDXL. 86. Указание. Сначала по-
строить точку пересечения секущей плоскости с ребром DDX. 87. Указа-
ние. Сначала построить отрезок, по которому секущая плоскость пересе-
кает: а) грань ВССХВХ\ б) грань AAXDXD. 88. б) 12 см. 90. Прямая CD:
а) параллельна плоскости а; б) пересекает плоскость а. 92. Указание.
Использовать свойство 2°, п. 6. 93. MN и b — скрещивающиеся прямые.
94. Да. 95. Указание. Использовать задачу 55. 98. Существует только
одна плоскость. 100. Указание. Использовать вторую теорему п. 7 и за-
дачу 59. 102. 10 (2>/3 + 1) см и 25>/11 см2. 103. 4|см2. 108. Указание.
234 Ответы и указания
Предварительно доказать, что плоскости BDB} и CDCX пересекают-
ся по прямой. 112. Указание. Учесть, что сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 113. Прямая BD{.
Глава II
118. ZAOB, Z.MOC и ZDOA. 120.	121. 13 См. 122. КА =
= КВ = 20 см, DA = DB = 32 см. 125. 9 см. 126. Прямоугольный.
130. а) МА = ^т2 + п2, МВ = m, MC = wn2 +n2, MD = y/m2 +2па;
б) ^тп2+|п2, т, 136. Указание. Воспользоваться задачей 134.
138. а) —- d tg ф; б) т cos ф, т sin ф. 140. 3 см. 141. 3 см.
COS ф
142. 2,5см или 1,5см. 143. 2см. 145. б) ха2+Ь2. 146. Указание.
Воспользоваться теоремой о трех перпендикулярах и обратной к ней.
149. 4 см и 4<Т0 см. 150. а) 2 см; б) 4>/2 см. 152. 8 дм, 8 дм,
4х 5 дм, 4<5 дм, 8 дм, 6\2 дм. 154. а) 15 см; б) 75 см2. 155. 6 см.
156. yin2 + m2 sin2 ф. 157. б) 5,1 дм. 158. 12,5 см, 12,5 см, 25 см, 25 см.
160. 12 см. 161. Указание. Использовать перпендикуляры, проведен-
ные из точки А к прямым ВС и BD и к плоскости CBD. 163. а) ~J
6) #; в) 164. 60°. 165. 3d. 168.	170. 1 см и см. 171. 45°.
2	2	sin (р	2
172. 6x3 см. 173. 90°, 45° и 60°. 174. 60°. 175. cos а = |, а 70°32'.
176. 8V2. 179. Указание. Воспользоваться задачей 178. 180. Указа-
ние. Воспользоваться задачей 179. 182. б) \1т2 + п2. 184. а) 5x6 см;
v тх2 z-ч dx 3
а) —5 б) —
193. a) <d2 -m2;
б) 5x 2 см. 187. а) х 6; б) 17; в) 13. 188. а>[3. 189.
190. а) 90°; б) 45°; в) tg ф = |, ф =* 26°34'. 192.
б) 7m2 -п2; в) ftVw ~п_.	194. а) б) 195. 6 см, 6 см
т	2	6
и 6x2 см. 198. 4 см. 199. Указание. Пусть точка О — проекция точ-
ки S на плоскость треугольника. Доказать, что точка О совпадает с
точкой М. 201. 90°. 202. 5^3 см. Указание. Воспользоваться зада-
чей 199. 203. 5 см. 204. а)	Jl + 4tg2 <р; б) 2™.- в) 3.^1?.2.
sin ф 2tg<pv	tg9 41в2ф
205. 3,5 дм2. 206. 25 см. 207. 8 см. 208. 9x6 см. 209. Расстояние от
точки В до плоскости а меньше расстояния от точки С до этой плоско-
ста. 211. а 42. 213. cos <р = |, <р « 70°33'. 214.60°. 215. |Т217см.
216. 2а. 217. 2-/122 дм.
Ответы и указания
Глава III
219. 13 см. 220. 26 см. 221. 8721 см2. 222. 45°, 135°. 45°, 135°.
223. 8 см и 8л/3 см. 224. 1бТ7 см2. 225. 45°. 226. 2Тз см2. 228. 8072 см2.
229. а) 450 см2 и =536 см2; б) 384 дм2 и 672 дм2; в) 69 дм2
и =97 дм2; г) 0.2 м2 и =0,8 м2. 230. 75 см2. 231. 20 (23 + бТЗ) см2.
232. 2d2 sin <р (Vcos2 <р - sin2 а + sin а).	233. 180 см2. 234. 580 см2.
272 cos(^- — )sin0
235. ---------—------. 236. Указание. Учесть, что боковые грани
. Ф
sin х
2
наклонной призмы являются параллелограммами. 237. 240 см2. Ука-
зание. Воспользоваться задачей 236. 238. 2016 см2. 239. <58 см,
758 см, 765 см, 765 см. 240. 768 см2. 241. (27 34 + 22) м2. 242. а) 473 см;
б) 48(72 + 1)см2. 243. 192 см2. 244. 790 см2. 245. 8(3 + ЗТЗ + Тб)см2.
246. б) 189 см2. 248. 4872 см2. 250. 6473 см2. 251. 13 см.
252. 12 см. 253. 12 см. 254. а) ^9Н* + За2	2arcsin—=3а	;
3	2<9Нг + За2
в) arctg^^; г) arctg2—д) 2 arctg —** * **—. 255. -^-<l-|tg2 х-
а	а	оп	<р V о Z
256.	а)	б) —; в) arccosltg^
2 sin £	2 sin £	V 2
2	2
257.	3<3 (1 4-<2) А2. 258. 72 (1 4-\ 7) см2. 259. 3^5 см. 263. а) Трапеция.
264.	За2. 265. 54 см2. 266. 13 дм2. 268. ^7 дм. 269. |>/бдм, 7з дм.
о
270.	16 см2. 276. а) Один; б) не имеет; в) не имеет; г) один.
277. а) Бесконечное множество; б) три; в) девять. 278. а) Пять; б) че-
тыре; в) три или шесть. 279. 60°. 280. Площадь сечения, проходящего
а2 \3	„
через диагонали смежных граней, равна —-—. Площадь сечения,
проходящего через диагонали противоположных граней, равна а2 <2.
281. 73. 282. 90°. 283. а) ЦД; б) ДД. 284. Правильный октаэдр.
286. а)т = Дй; б)п = |т.	287. а) а72; б) Да; в)
2 у	v	3	о	3
cos	)
290. 2^2 I2------Д— Jsin (0 4- <р) sin (0 -ф).	291. 2d2 sin ф (cos 0 4-
cos 0 v
4-^/sin (0 4- ф) sin (0 -ф)).	292. 4,8 см. 294. 4yjS2-a4 или 2y/2S0.
V2
2 cos
2 7
г) 2arcsin
236
Ответы и указания
296. - cos_9 указание< Учесть, что искомое сечение является тра-
sin2 ф
пецией. 298. 2а2 + 2а\4Ь2 - а 2 .	299. 0,5m.	300. Прямоугольник,
S = —. 301. 4V6 см. 302. 5 см, 5 см, 6 см, 6 см. 303. 288 (3 + >/3) см2.
4
305. 2Л2 tg а. 306. 4h2 tg2 <p I1 + -4— |. 307. а) — ab. 308. 4 см, 4 см,
\	sin ф)	4
4 см, 4 см. 309. дм2. 310. 540 см2. 311. а) 315 см2; б) 7,2 см.
3
312. tg ф cos *8.0.. 313. 54 дМ2. 314. 56 См, 24 см. 319. Три.
п
Глава IV
320. а) 3 см, 4 см, 5 см, 1,5 см, 2 см, 2,5 см; б) 4 см, 3 см, 5 см, 2 см,
2,5 см. 321. а) 12 см, 8 см, 9 см; б) 15 см, <145 см, 17 см. 323. a) MN =
= QP, QM=PN, DP = PC; б) квадрат. 324. а) Да; б) да; в) нет.
325. а) Параллельны или совпадают; б) прямая параллельна плоско-
сти или лежит в ней; в) плоскости параллельны, пересекаются или сов-
падают. 326. а) ССХ; б) DK; в) АХСХ; г) СХВХ; д) МВХ. 327. а) АС;
б) ACt; в) С^В; г) DBX; д) DCX. 329. а) ВС, AD, AJ)X ,В£Х; б) ABX,DCX;
в) CD, ВА, В^АХ, C^DX; г) в[лх, С^Ьх, CD, ВА. 333. а) 0; б) DB.
335. a) PQ; б) АК; в) СР; г) б. 336. а) АС - DC - BD; б) DC + СВ - DA;
в) -(DA + CD + ВС). 337. a) AD 4- ОЕ; б) АК; в) б. 338. Указание.
Учесть, что ОА -ОАХ = ОС -ОСХ. 339. а) С[В; б) АС. 340. а) АС;
б) СВ; в) ВС. 344. а) -1; б) 2; в) 345. a) -2EF; б) -^DC-
346. -1 (AD+ ВС). 347. a) 5n-9m; б) 2р -13т-3п.	355. а), в).
356. Да. 358. a) ACt; б) DB,; в) DB,; г) А^С; д) BDX. 359. a) BDX = ВА +
+ ВС + ВВ,; б) ВТО. = аТа-AtB + A^i- 360. a) ~^AClt ^^АС^,
б) -^-719 + 473,	-*L719 + 4V3,	^-7105,	361. CD =
За2	За2 У	9а2	За2
= 0 • AAi -АВ + О• AD, D^O = -1 ААХ + * АВ - | AD. 363. OD = а -Ь + с,
ОМ =	+05 + 1?.364.АК = а + И + с, | АК\= |т.365.^а +	+ 0с,
2	2	2	2	2	2
ij-ift+l?. 367.	0.7РА+ 0.15РВ + 0.15DC. 368. a) АС = АВ + AD;
4	4	2
б) СМ =	AD; в) C^N = -АВ - ± AD; д) A^N = О-АВ + | AD;
237 Ответы и указания
ж) MD = -\лв + AD. 369. ОА = ЗОМ-ОВ-ОС. 370. a)ZW = |J +
2	о
+ 1& + |с;б)П? = 1а+|5 + |с; в) AM = -а +	+ |с; г)МК = \а-
6	6	444	33	4
371. Указание. Воспользоваться задачами 350 и 366.
373. Нет. Указание. Сначала доказать, что М, — точка пересечения
медиан треугольника AJ^Cp а затем воспользоваться задачей 366.
379. а) АС; б) АВ; в) б. 380. a) ADX\ б) АС,; в) DB. 381. Указание.
Сначала доказать, что АВ = АХВХ, ВС = ВХСХ, СА = Сх Ах. 382. a) k — лю-
бое; б) k > 0; в) k < 0; г) k = -1. 386. Указание. Сначала доказать, что
МО = ±(МА + МВ + МС + MD). 387. a)3ON-2ОМ; б)2ОМ-ON; в) kON +
4
— ** —  ♦
+ (1 -k)-OM. 389. Сначала доказать компланарность векторов АХВХ,
А^Вг и Д7В3. 390. a) ^kq; б) ^43И0Л0 kq. в) 4 kq; г) ^^-kq.
2а2	9а2	27а2
391. АК = |а+-^6+|с. 392. АСХ = р + q + г; СА} = -р - q + г; BDX = q -
-р + г; DBX = -q + р + г. 393. а) АК = АВ + AD + | АА,; б) DAX = АВ, -
-ВС, + CD,. 394. AM = | АВ + AD + | АА,. 395. Указание. Сначала до-
казать компланарность векторов АА,, ВВ, и СС,. 396. ВС = с - b,
CD = d -с, DB =b-d, DM =	+ |c-d. 397. |. 398. Указание. Вос-
2	2	3
пользоваться задачей 366. 399. Указание. Воспользоваться задачей 397.
Глава V
400. а) С; б) Е; в) В; г) А, С, Е, Н; д) В, Е, G; е) В, С, D. 402. В] (1; 0; 1),
С (0; 1; 1), С, (1; 1; 1), D^ (1; 1; 0). 403. а {3; 2; -5}, b {-5; 3; -1},
с (1; -1; 0}, d {0; 1; 1}, in {-1; 0; 1}, п {0; 0; 0,7). 409. а) {7; -2; 1};
б){-7;2;-1}; в) {5;-1,2; 1}; г) |-б|; з|; -1||; д) (-2,2;
е) {7; -1,8;	1); ж)	{7;	-2,2; 1}; з) {10;	-2; 2}; и) {6; -3; 0};	к) {0; -1,2; 0};
м)	{-0,4; 0,2; 0}.	410. р {4; -18; -9},	q	{5; 15;	-5}.
411.	а)	{0;	5; -1};	б) {-3; 2; 1};	в) {7,8; 2,5; 4,1};	г)	{-3; 9;	-3}.
412.	-i	{-1; 0; 0},	-]	(0; -1; 0}, -k {0;	0; -1}, -а {-2; 0; 0},	-Ь	{3; -5;	7),
Ответы и указания
-с {0,3; 0;-1,75}. 413. в) Нет; г) да; д) нет. 414. а) т = 10, п=1±;
О
е) нет.
I -3/-ЗЛ,
б) т = 0,1, п = -2. 415. а) Да; б) нет; в) да; д) нет;
418. а) {-1;0;2}; б) {5;-7; 2}; в){-1;-|
ВС = -б7 + 7 + б£, СА = 4? + 2/ - 3/?. 420. Да. 421. б) Да; в) нет. 422. а) Да;
б)	нет; в) да. 423. Указание. Воспользоваться задачей 366.
424. а) М (-1; 2,5; -2); б) В (-8; 4; -19); в) А (-24; 8; 28). 425. а) т = 2,
п = -5; б) т = -0,5, л = 2; в) т = 1, п = -1; г) т = 2, п = -1. 426. а) 3;
в) 0; г) 5>/2; д) 3-/14; е) 14; ж) <326. 429. V14. 430. а) 3 + 2^2; б) 0,5;
431. а) Правильный; б)
4	4
в) прямоугольный разносторонний; г)
432. а) 4, 4, 3; б) 4 <2, 5, 5.	433.
прямоугольный разносторонний;
прямоугольный равнобедренный.
(0; 2; -3), (-1; 2; 0), (-1; 0; -3).
434.	(3; 0; 0), (0;-4; 0), (0; 0; Л). 435. 3,75; 2; 4; 1-2V2 и 1 + 2^2.
436. Указание. Доказать, что: а) точки А, В и С не лежат на одной
прямой; б) АВ и DC — неравные сонаправленные векторы; в) | AD|= |СВ |.
437. а) (-1,6; 0; 0); б) (0; 8; 0); в) (0; 0; 1). 438. а) (|
в)	439. а) (2; 3; 0), <13; б) (2; 3;-1). 440. J?+^- + m2.
( 3	6 )	V 4	4
441. а) 45°; б) 135°; в) 60°; г) 45°; д) 90°; е) 90°; ж) 0°; з) 180°.
1;^;0
’ 8 ’
442. ВА DC = <р, ВА CD = АВ DC = 180° - ф. 443. а) а2; б) -2а2; в) 0; г) а2;
д) а2; е) ж) -^а2. 444. ас = 3, а 6 =О,Ьс = 3,аа = 6, -Jbb = л/З.
445. а) -10; б) 3; в) 1; г) -4; д) 28. 446. а) Тупой; б) острый; в) пря-
мой. 448. а) 5,5; б) 3,5; в) 4. 449. т = 4. 450. Указание. Доказать,
что АВ = 5С, ABAD = 0, |AB| = |AD|. 451. а) 60°; б) 135°; в) 150°;
г)	45°; д) 90°. 452. a i « 50°46', a j * 63°26', a k * 50°46'. 453. 60°.
454. ZA= 120°, ZB = ZC = 30°, Р = 2>/2(2 + V3), S = 2-Тз. 455. а)
3
б) -1; в) 0. 456. 90°. 457. 3. 459. а) 1,1; б) V3, <2. 461. Указание.
3	2
Выразить векторы MN и ВС через векторы а = DA, b = DB, с - DC.
462. а) -1; б) -1,5; в) 4; г) Л; д) 2; е) -1; ж) 464. а) 30°; б) 60°;
4	4
в) 0°; г) 45°. 466. а) -Д=; б) -Д=; в) -1=; г) 467. а) »7Г34';
239 Ответы и указания
б) =59=44'. 468. а) -Д=; б) -Д=; в) -Д=. 469. а) б) -Д=;
v 70	7130	'182	<134	7134
в) 470. а) б) |; в) 471. У к а з а н и е. Пусть ABCDAiBxClD1 —
х 134	3	3	3
данный куб. Требуется, например, доказать, что АСХ 1 АХВ, Разложить
векторы АСХ и АХВ по векторам а -АВ, b = AD, с = ААХ и доказать, что
ACi • А^В = 0. 473. 60°. 475. |^70+15^2. 476. 45°. 477. Указание.
О
Доказать, что А К • BD = 0. 479. Указание. Рассмотреть плоскость, про-
ходящую через центр симметрии и данную прямую, и свести задачу к за-
даче 1149 из учебника «Геометрия, 7—9». 481. Указание. Воспользо-
ваться следующими свойствами движений: при движении прямая отобра-
жается на прямую, параллельные прямые — на параллельные прямые,
а угол — на равный ему угол. 484. Указание. Учесть, что параллель-
ный перенос есть движение, поэтому при параллельном переносе прямая
отображается на прямую. 485. Указание. Доказать, что
—► —* -*
MMj = ААХ = р. 487. Указание. Утверждения доказываются точно
так же, как в теореме п. 114 и в задаче 1150 из учебника «Геометрия,
7—9». 488. Указание, а), б) Доказательство провести методом от про-
тивного. 490. а) {3; 9; -24}; б) {-1,6; -2,3; 4,3}. 491. а) Нет; б) да;
в) да; г) нет. 492. а) (-1; 0; 0); б) (0; -2; 0), (0; 0; 2). 493. а) Да; б) да;
в) нет. 494. Указание. Доказать, что: а) точки А, В и С не лежат на
одной прямой; б) середины отрезков АС и BD совпадают. 495. (1;	3 |.
496. С (6; 5; 5), Dx (9; 4; 1), Вх (4; 7; 4), Cj (8; 8; 4). 497. а) 1; б) -2; в) 0.
498.	J-L; -X;0l. 499. 4 или-4. 500. 1.501. 2W, V7, V29.
1 3 3	3 J <10 J
502. (0; 42,4; 0). 503. (1; 1,5; 1,5). Указание. Учесть, что Z.ACB = 90°.
504. 6 дм. 505. Указание. Ввести систему координат и обозначить ко-
ординаты вершин данного тетраэдра ABCD так: А (Хр ух, zx), В (х2; у2, <г2),
С (*3: Уз* гз)» & (xv Уа'> 2аУ Учесть, что точка пересечения медиан
имеет координаты
*! + х2 + х3+ х4 Ух + У2 + Уз + Уа , *1 + *2* *з + z4
4	’	4	’	4
506. а) 3; б) -3,5; в) 5; г) 7; д) -10. 507. а) 135°; б) 60°; в) 67°30'.
508. а) Да; б) да; в) да; г) нет. 509. а) -Х=; б) |. 510. а) 90°;
\ 114	9
б) =114°06'. 511. а) Тб; б) 72.	512. а) б) в)
ОЭ	1о
г> й-
513. а) -4=; б) 515. 45°. 516. sin 0 cos <р. 517. Jn2 + m2 + р2 + ~рп.
\ 38	% 38
518. Указание, а) Доказать методом от противного; б) пусть М— точка
Ответы и указания
пересечения прямой а с плоскостью а, А — точка на прямой а,
В и С — точки в плоскости а, отличные от точки М. К треугольникам
АМВ и АМС применить теорему Пифагора. 519. Указание. Рассмот-
реть линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями аир,
а и рг 520. Указание. Взять на плоскости а две пересекающиеся пря-
мые и воспользоваться задачей 484.
Глава VI
521. 5 м. 522. а) 24 см; б) 12>/3 см; в) 432л см2. 523. а) 10 <2 см;
б) 50л см2. 524. Нет. 525. <5л м. 526. а) 30°; б) 60°. 527. а) 5 дм;
б) 3 см. 529. 64 см2. 530. 8 см. 531. 15 дм. 532. -1—. 533. VS2 -4ft2d2.
COS Ф
534. 2V3dA. 535. 40 см2. 536. Sv2. 537. л2 м2. 538. -. 539. 1,125л кг.
л
540. 6 см, 18 см. 541. 0,82 л == 2,58 м2. 542. 4S • cig ф. 543. S6oH = |d2 sin ф,
Зцил =|d2sinq>+J-d2sin2^ или 8ЦИЛ = p2 sin <p + ^-d2 cos2
544.	545. a) 2a2; б) 2ла2;
8 л
548. а) 108п см2; б) 72л см2; в)
550. 25 см2. 551. а) г2; б) г2 V2;
Г\4/2-Г2	г<2/2-г2
□□4. а) ----------; б) ------------.
4	2
в) 4ла2.	546. б) -.	547. 17 см.
а
36л см2. 549. а) 4x2 дм; б) 4 дм.
в) г2 х 3.
552. 2А2.
ДМ.
555. а) 200 см2; б) Ц^х/бсм2;
з
в) 20?-±3См2. 558. а = 216°. 559. 180°. 560. а) 60°; б) 2 arcsin 1;
в) 2 arcsin i. 561. 9л см2, 6<2 см. 562. 169 л-» 2 см2. 553, 0,9л см2.
6	8
ла2 соз2^
564. ----------—. 565.	= 80л см2. SKO = 144л см2. 566. 2лт2 sin ф.
2 sin2 а cos <р	60,1
567. 5 см. 568. а) 8 см; б) 128 см2. 569. R2 - г2.	570. 60 см2.
571. 33>/2л см2, (ЗЗуГ2 + 65) л см2. 572. 2,55л « 8,011 кг. 574. а) ЮЛ! см;
б) 12 мм; в) 16 дм; г) 7а2 -б2.575. ^4Д"~тг.576. а) (х - 2)2 + (у + 4)2 +
+ (2 - 7)2 = 9; б) х2 + у2 + г2 = 2; в)	(х - 2)2 + у2 + г2 = 16.	577.	а) (х + 2)2 +
+ (у - 2)2 + г2 = 54; б) (х + 2)2 +	(у - 2)2 + г2 = 8; в)	х2 +	у2 + г2 = 35.
578. а) (0; 0; 0), 7; б) (3; -2; 0), Л. 579. а) (2; 0; 0),	2; б)	(0; 1; 0), 5;
в) (-1; 0; 0), 2; г) (|; - |; 1), Тб.	580. 1600л дм2. 581.	12 см. 582. 6 см.
583. 4 см. 584. 3 см. 585. 8 см. 586. а) Плоскость является касательной
Ответы и указания
к сфере; б), в) плоскость пересекает сферу; г) плоскость и сфера не име-
ют общих точек. 587. а) 80л см2; б) — + 4 см. 588. а) R;
ул	2
б) ^Дя2. 589. а) 2x3 л см; б) 5^2 п м. 590. лЯ2 sin2 ф. 591.
z	2	2
592. 1 см. 593. а) 144л см2; б) 16л дм2; в) 8л м2; г) 48л см2. 594. 36 м2.
595. 4= см. 597. 10 м. 598. 900л см2. 599. 4л (г.2 + г22). 601.	.
у/п	2
602.	604. j s>* *s* -♦ 605- а> I? б) 2 или 7- 606- -
3	pn(S, + S2)	2	4	2
s2 _s2
607. £ или 608. 414л см2. 610.	611. —?-----. 612. arccos i
2	4	3	л	7
613. 4\ 6см2.	614. arcsin 615. KQ^Q *	616. 40\ 3 л cm2.
4	,a2+b2
617. a) ^(V73 + 3)см2; 6) (18+6x41 )cm2; b) |( V91 + 3-/3) cm2.
618. 12% 10 л дм2, 4 (3% 10 + 5) л дм2. 620. а) Указание. Доказать, что
диаметр сферы равен гипотенузе треугольника; б) 2% 16 см. 621. а) 30°;
б) 622. (3; 0; 0), (0; 0; -9), (0; 0; -1). 623. 4x2. 625. б) 0,6Я.
144
626. a) 2R. -——-, 4Я sin (pJ3 4 sin_<p. yj sin2 ф (3 _ 4 ^2 ф)
V 3	УЗ	9
627. л см. 630. 4^° + 4^7+8	631. а) ^(29 +7^73) см2;
13	15л	4
б)	(58 + 14^41)см2; в) 21^^87^ см2 634 а) 24Я2; б) 12>/ЗЯ2; в)24х/ЗЯ2.
635. а) ———С08-—; б) 100V3(2+73)см2. 636. Указание. Рассмот-
(1-sina) tg
реть сечение данной пирамиды плоскостью, проходящей через середину
стороны основания перпендикулярно к ней. 639. а) 8Я2; б) R2;
4
в)	^-Я2. 640. 3- а, а. 641. 4<3 см, 6 см или 4x2 см, 8 см.
3	4^33 И
/ m\	/	_\	2лг2сов2^
642. 4. 643. а) Я tg 4 + 7 К б) г tg 4 - т : в) 60°- 644- -------~-
3	[4 4J	4J	tg2|cosa
645. |. 646. а) Я sin ф; б) ; в) 30° или 150°.
4	8Шф
242 Ответы
и указания
Глава VII
647. a) V=Vi+V2; б) ^ = |	+V2. 648. а) 1980; б) 300; в) 1170-/3;
г)	3,2>/5. 649. a) 432V2 см3; б) 6ч 6 м3; в) 0,32ч/5 см3. 650. 12 см.
/— Q	г- ,	Л3 sin a Jсов2 В - sin2 а
651.	3,51 кг. 652. 240V2 см3. 653. 729ч 2 см3. 654. --2—------------.
sin2 р
655.	абч/За2 -Ь2. 656. 432^3 см3. 657. а) |-ч/2м8; б) 1728ч 2 см3.
О
658. 2310 см3. 659. а) см3; б) 1,5ч/2.	660. 0,5/п3 sin <р cos
4	2
661.	662 Q2 8in2p 663	а,
4tg|	2а	4
г) ——------. 664. -V?*»3.665. 72 см3. 666. а) 24л см3; б) Д2= см; в) 2 см.
tg 22°30'	8	<3л
667. «208 м. 668. -1513 т. 669. ^Sy[nQ. 670. «61кг. 671. а) Зч/З : 4л;
б) 2 : л; в) Зч/З : 2л; г) 2ч/2 : л; д) (|п • sin	: л. 672.	.
V 2	п )	4 cos2 а
_	_	I- .	а&ч 12 а2-ЗЬ2
673. 0,5.	674.	675. i. 676. 192ч/3 см3. 677.	----------.
2	5	8
678. l/n3tg <р. 679. 1050 см3. 680. абс^-соз 2<р. 681-	= 18ч/39 см3.
683. 1080 см3. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
684. а) 6 м3; б) 4950 см3. 685. 169>/3 см3. 686. a) ^-l3 sin 2<р cos <р;
О
R I--------а3. 3-4 sin2
б) if3 cos2 ах'3-4 cos2 а; в) ±-l3 sin2 £. 3 -4 sin2 687. -----------.
3	3	2 ’	2	9A oin ф
24 81П —
2
688. a) 4^3 ; 6) —	—. 689. m3 cos2 <p • sin <p. 690. 6 ч 471 см3,
2tg2P 6sin —	3
2
6 <498 см2.	691. 84Ув см3. 692. ^ab^a3 Tb~2 tg<p. 694.9 см3.
6	12
695. a) i c3 sin 2<p tg 0; 6) 48 cm3; b) 1 abc. 696. 1400ч/3 см3. 697.
698.	(m3 - n3) tg <p. 699. 1260 дм3. 700. 38ч2 см3. 701. а) 2,25л см3;
б) 9 см; в) J&. 702. 375 см3. 703.	. 704. ^пН3.
У пт	Зл	12
705. 240л см3 или 100л см3. 706. 216°. 707. дм3. 708. 84л м3.
243
Ответы и указания
709. JLxhfi2-ft2+^4-1. 710. а) 64л см2, л см3; б) =3 см,
nl 12 V	л212 )	3	’
~36л см2; в) 4 см, к см3. 711. Объем Земли в 64 раза больше объема
о
Луны. 712. Н = ^R, где Н — высота цилиндра, R — радиус шара,
о
32	942 а
713. Нет. 714. Уровень воды повысится на — см. 715. ^-^лм.
716. 5 : 16.	717. 58 500л см3
719. 252л см3 и 720л см3.
722. 63752л = 1,28 • 108 км2 = 128
725.	• S2 • S3 ,	36 дм3.
728. 105 см3. 729. 1бЛ1 см3. 730.
или 504 000л см3. 718. 5?лЯ3.
81
720. 112 500л см3. 721. Ц^лЯ3.
• 106 км2. 723. 432л = 1357 см2.
726. 48Л1 см3. 727. a yjQ2 -Qa2.
„з	г-
731. 1 м, 2 м, <5 м, 3 м, 3 м, 3 м.
4
732. id3 sin2 <pv3 cos2 ф - sin2 ф или ^d3 sin2 фх 3 - 4 sin2 ф. 733. Ука-
о	з
з а н и е. Достроить треугольную призму до параллелепипеда. 734. Указа-
ние. Воспользоваться задачей 733. 735. 6,12 дм3. Указание. Воспользо-
ваться задачей 682. 736.--------------. 737. 16w,3 . 738. ^ft3(3 tg2 ф - 1).
27 sin2 ф cos ф 3 tg2 ф 4
739	a3» I 1	1	740 2ft3ain Ф1-sinya-sinCyi-Kpa)
' 24tgl80r\ tg2|'tg2180L’	’	3 tg2 <Рз
n I	п
741.	.	742. | a3 sin2 <p tg 0.	743. a) ^<4a2ft2 - a4 -ft4;
744. 31:73. 745. «) f6) iii; )
747. «7065 л. 748. -------—	.	749. sin3 ф tg 9.	750. |.
, ф| Ф1	24	2
24 sin2 tg Y
-	I - r	r + ГГ] + r‘
751. 96л дм3. 752. 2кг——. 753. -------—!---J-. 754.
Z	2ггх
755. J a3 sin3 a tg3	756. jlR3 sin 2a cos a.
6	2
tg a ctg3 | • V.
4 П	2
757. _—.
6 cos3 —
2
758. -5-(H2+r2)2, -Л-(Н2+г2)3. 759.	4” см2,
И2	6Н3	sin2 2a
4” см3.
3 sin3 2a
760. —см2, —-Q0*— см3. 761. ~ 6,56 м. 762. Наибольший объем име-
sin22p 3 sin3 2Р
ет шар, наименьший объем имеет конус. 763. а) Нет; б) да. Указание.
Сравнить плотность шара, считая его однородным, с плотностью воды.
244 Ответы
и указание
.Задачи для повторения
764. а)9\ 3 см2; в) arctg 0,5; г) arctg «у-; д) 6 см; е) 27<3 см2. 765. а) 72х 7 см2;
б) 144<3 см3; в) arctg х 6; г) 60°; д) 72; е) 192л см2. 766. а) 6% 3(2 + х 13)см2;
б) 12\ 3 см3; в) arcsin 0,6; г) arctg 1,5; д) 12; е) (12 -- 6x 3) см. 767. а) 32^7 см2;
б) - см3; в) arctg Тб; г) 2 arctg д) 48; е) см.
3	6	3
Задачи повышенной трудности
768. 3(1 + 2\2)см2. 769. Указание. Допустим, что вершина тетраэдра
проектируется в точку пересечения высот основания. Тогда любое ребро
тетраэдра перпендикулярно к противоположному ребру. Затем применить
обратную теорему о трех перпендикулярах. 770. Указание. Учесть, что
Ох — точка пересечения высот треугольника АВС. 771. Указание. Вос-
пользоваться формулой объема тетраэдра. 772. Семь. 773. Указание.
Через биссектрису линейного угла данного двугранного угла и его
ребро провести плоскость и спроектировать точку пересечения данной
прямой с этой плоскостью на грани. Затем воспользоваться равенством
полученных треугольников. 775. Указание. Пусть А — произвольная
вершина, О — центр куба, А, — проекция точки А на данную прямую.
Тогда АА} = ОА • sin ф, где ф — угол между ОА и ОАР Записать сумму
квадратов расстояний от прямой ОАХ др вершин куба и воспользоваться
теоремой косинусов. 776. Указание. Указанные тетраэдры имеют об-
щую вершину, а их основания — равнобедренные прямоугольные треуго-
льники, катеты которых равны ребру куба. 777. Указание. Рассмотреть
развертку куба. 778. Указание. Взять в качестве оси отверстия диаго-
наль куба. 779. ~~ S. 780. <2 см. Указание. Воспользоваться тем, что
тетраэдр должен находиться внутри сферы, описанной около куба.
781. Указание. Доказать, что все вершины полученного многогранни-
ка — середины граней куба. 782. Указание. Взять какую-нибудь грань
параллелепипеда, выбрать наименьший куб, примыкающий к этой грани,
и выяснить, как к нему могут быть приставлены остальные кубы.
783. Указание. Спроектировать вершины ломаной на три ребра куба с
общей вершиной и воспользоваться соотношениями между сторонами
треугольника. 784. Указание. Сначала доказать, что объем тетраэдра
не изменится, если отрезок АВ неподвижен, а отрезок CD перемещается.
785. Указание. Воспользоваться симметрией. 786. Указание. Вос-
пользоваться симметрией. 787. a, arccos 788. arccos ^5.
789. Указание. Выразить векторы, задающие диагонали, через векто-
ры, задающие ребра. 790. Указание. Рассмотреть векторы, определяю-
щие направления падающего и отраженного лучей. 791. Два решения:
45° и 135°. 792. Указание. Исходя из условия задачи, записать соотно-
шения для векторов, задающих три ребра тетраэдра с общим концом.
793. Указание. Рассмотреть вектор, образующий равные углы с боко-
Ответы и указания
выми ребрами, и доказать, что он перпендикулярен к векторам, задаю-
щим два ребра основания. 794. Указание. Пусть — проекция О
на плоскость АВС. Доказать, что ОХА • ВС = ВОХ • АС = СОХ • АВ = 0.
795. Указание. Доказать, что эта величина равна квадрату диаметра
шара. 796. Дуга окружности, расположенная внутри шара, диаметр ко-
торой равен расстоянию от центра шара до данной прямой, а плос-
кость окружности перпендикулярна к данной прямой. 797. Сфера,
центр которой совпадает с центром данной сферы, а радиус равен Я,
£
где R — радиус данной сферы. 799. г3 > ,__1	, где г3 — радиус
(уг1 +Vr2 )
V3	2^3 (Х-1)-<9Х2-18А. + 12
меньшего из шаров. 800. г = —— R. 801. ----------——г——----------R
н	3	3 (Х-2)
при X # 2 и R при А. = 2. 802. i V, 1V, | V и А У, где V — объем
призмы. 803. У к а з ан и е. Достроить тетраэдр до треугольной призмы и
воспользоваться задачей 733. 804. Указание. Доказать, что получен-
ные тетраэдры имеют общее основание и равные высоты. 805. 5 : 3.
806. Указание. Взяв за основание какую-нибудь грань с ребром АВ,
заметить, что ни ее площадь, ни высота тетраэдра не зависят от положе-
ния точек С и D. 807. см . Указание. Воспользоваться задачей
24
803. 808. Указание. Взять точку А внутри сечения и разбить
многогранник на пирамиды с общей вершиной А. 809. см3. У к а-
з
зание. Рассмотреть сечение фигуры плоскостями, параллельными
2 a	cos а
2	 2 ot
Sin —
2
осям цилиндров. 810. 2 arcsin 812. —— 3 ctg
3	12
814. Указание. Рассмотреть плоскость, в которой лежат вершина тет-
раэдра и прямая Эйлера противоположной грани (см. п. 94). 815. Ука-
зание. Рассмотреть центральное подобие с центром G (см. задачу 814)
и коэффициентом а также центральное подобие с центром Н и коэф-
3
фициентом —.
3
Глава VIII
817. Указание. Использовать общую касательную к окружностям
в точке М. 818. Указание. Сначала доказать, что &АВС ™ &BAD.
820. Указание. Воспользоваться теоремой 2 из п. 86. 821. Указа-
ние. Рассмотреть два случая: точка пересечения прямых лежит внутри
круга и вне круга и воспользоваться теоремами 1 и 2 из п. 86. 822. Ука-
зание. Сначала доказать, что Z.NMK = Z.MKN. 823. Указание. Сна-
чала доказать, что Z.AMN = Z.ANM. 825. Указание. Рассмотреть два
случая: прямая АЕ — секущая и прямая АЕ — касательная к окружности.
Ответы и указания
826. Указание. Воспользоваться признаком вписанного четырехуголь-
ника. 827. Указание. Пусть ABCD — данный четырехугольник. Про-
вести диаметр ВВ, и сначала доказать, что АВХ = CD. 828. Указание.
Через точку пересечения указанных биссектрис провести прямую, парал-
лельную АВ и пересекающую прямые AD и ВС в точках Е и F, и дока-
зать, что EF = CD. 829. Указание. В четырехугольнике ABCD на диаго-
нали АС отметить такую точку К, что ZABK = Z.CBD, и далее использо-
вать подобие треугольников АВК и DBC, ВСК и ABD. 830. Указание.
Найти сумму углов С и К четырехугольника CDKE. 831. Указание.
Выразить угол между указанными биссектрисами через два противопо-
ложных угла четырехугольника. 833. Указание. Пусть основания тра-
пеции равны а и Ь. Сначала доказать, что радиус вписанной окружности
равен —аЬ~. 834. °—* a^d——	835. Указание. Воспользоваться ра-
а + о	а - о
венством отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точ-
ки, а также равенством отрезков внешних касательных к двум окружно-
стям. 836. Указание. Воспользоваться теоремой о биссектрисе треуго-
льника (п. 91). 837. Указание. Воспользоваться тем, что отношение
площадей треугольников ABD и ACD равно, с одной стороны, отношению
отрезков BD и CD, а с другой стороны, отношению высот, проведенных из
вершин В и С. 838. а)	CQ_ = ИЛ. Указание.
OAy а ОВХ Ъ ОСХ с
Для нахождения отношения провести отрезок AjD, параллельный ВВ,
(точка D лежит на стороне АС), и далее использовать подобие получив-
шихся треугольников и теорему о биссектрисе треугольника (п. 91).
в) Нет. Указание. В пунктах б), в), г) использовать формулы пункта а).
839. Указание. Воспользоваться формулой (6) из п. 92. 840. Указа-
ние. Пусть прямая ВМ пересекает сторону АС в точке D. Воспользовать-
ся тем, что треугольники AMD и CMD имеют общую высоту. 841. 3:4.
Указание. Достроить данный треугольник до параллелограмма.
842. см2. 843. 72 см2. Указание. Воспользоваться результатом
5
задачи 841. 844. Указание. Пусть точка L лежит на стороне АВ,
М — на стороне АС, О — точка пересечения биссектрис треугольника АВС,
S	V 2 • sin ZLOM	2
OL = ОМ = г. Воспользоваться равенством	f-----------= —-—-,
S*bc lAB.AC.sinA
2
м S MON
аналогичными равенствами для отношении —---
5 АВС
&NOL
и —--- и формулами
S АВС
(5) и (6) из п. 92. 845. б) Указание. Воспользоваться формулой из
пункта а), а также формулой (5) из п. 92. 846. Указание. Продолжить
стороны b и d до пересечения и воспользоваться результатом зада-
чи 845 а). Если же стороны bud параллельны, то воспользоваться фор-
мулой площади трапеции. 847. Указание, а) Воспользоваться тем, что
Ответы и указания
S = &авс + Sadc?; б) воспользоваться формулой из п. а). 848. Указание,
а) Воспользоваться результатом задачи 847 а) и свойством сторон опи-
санного четырехугольника (п. 89); б) воспользоваться формулой из пунк-
та а). 849. Указание. Сначала выразить отрезки BD, ВН, DM и ВК
через стороны треугольника АВС. 851. Указание. Воспользоваться те-
оремой о биссектрисе треугольника (п. 91), результатом задачи 837 и тео-
ремой Менелая. 852. Указание. Воспользоваться результатом задачи
837 и теоремой Менелая. 853. Указание. Воспользоваться теоремой
Менелая. 854. Указание. Дважды используя теорему Менелая, дока-
зать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапе-
ции и точку пересечения продолжений боковых сторон, проходит через
середины оснований. 855. Указание. Воспользоваться теоремой Мене-
лая применительно к треугольникам АВС и A DC. 856. Указание. Вос-
пользоваться свойством сторон описанного четырехугольника (п. 89)
и результатом задачи 855 а). 857. Указание. Воспользоваться теоремой
Менелая применительно к треугольнику ООХО2. 858. Указание. Воспо-
льзоваться теоремой Менелая. 859. Указание. Воспользоваться теоре-
мой Чевы. 860. Указание. Воспользоваться теоремой Чевы. 861. Ука-
зание. Пусть луч СТ пересекает сторону АВ в точке Ср а луч СО пересе-
кает сторону АВ в точке С2. Используя теорему Чевы, доказать, что точ-
ки и С2 делят отрезок АВ в одном и том же отношении и, следователь-
но, совпадают. 862. Указание. а) Сначала доказать, что
sinZACCi	sinZBAA,	sin ZCBB,	ACi	BAX	CBX
-----	   -4-	=	—4	4	• —4,	а затем воспользовать-
sinZCjCB	sin ZAj AC	sin ZBj BA-CtB-АгС	ВгА
ся теоремой Чевы. б) Задача решается аналогично задаче из пункта а).
863. а) + у2 = 1; б) ~^2-; в) х = и х =	864. Пересекаются
36. io)
13 ’ 13 J
в точках (0; -2) и
865. а) Пересекаются в четырех точках:
(-2; -УЗ), (-2; <3), (2; -V3), (2; х З); б) касаются в точке (4; 0), пересека-
ются в точках I	и [	1 866. а) х 2 -	= 1; б) 2; в) х = -|
\33/\33/	о	z
и х =	867. Пересекаются в четырех точках:


868. Эксцентриситет равен <2, уравнения директрис:
у + х - 42k = 0иу + х + х2Л = 0. Указание. Воспользоваться замечани-
4 ас — b 2 — 1
ем 3 п. 98. 869. Уравнение директрисы у =--------; координаты фоку-
4а
(а 4ас-62 + 1>| __	_
- —;--------- . У к а з ан и е. Сначала сделать параллельный перенос
2а 4а ]
осей координат так, чтобы начало координат совпало с вершиной параболы.
870. При R =i касаются в точке (0; 0), при R > | касаются в точке (0; 0)
и пересекаются в точках (-<2Я-1; 2R - 1) и G/2H -1; 2R - 1).
Ответы и указания
Предметный указатель
Абсцисса точки 102
Аксиомы стереометрии 4
Апофема правильной пирамиды 70
—	— усеченной пирамиды 71
Аппликата точки 103
Боковая грань параллелепипеда 25
—	— пирамиды 69
—	— призмы 64
—	— усеченной пирамиды 71
—	поверхность конуса 135
—	— усеченного конуса 137
—	— цилиндра 131
Боковые ребра параллелепипеда 25
—	— пирамиды 69
—	— призмы 64
—	— усеченной пирамиды 71
Большой круг шара 142
Вектор 84
—	единичный 103
—	нулевой 84
—	противоположный данному 87
Вершина конуса 135
—	конической поверхности 135
—	пирамиды 62
Вершины многогранника 60
Взаимное расположение сферы и
плоскости 141
—	— — и прямой 144
Внутренняя точка фигуры 61
Высота конуса 135
—	пирамиды 69
—	призмы 64
—	усеченного конуса 137
—	усеченной пирамиды 71
—	цилиндра 131
—	шарового сегмента 175
—	— слоя 175
Вычисление длины вектора по его
координатам 106
— координат середины отрез-
ка 106
— объемов тел с помощью опре-
деленного интеграла 165
— расстояния между двумя точ-
ками 107
— углов между прямыми и плос-
костями 113
Вычитание векторов 88
Геометрическое тело 61
Гипербола 214
Градусная мера двугранного угла 48
Граница геометрической фигуры 61
Граничная точка фигуры 61
Грань двугранного угла 47
—	многогранника 60
Движения 121
Двугранный угол 47
Диагональ многогранника 60
—	параллелепипеда 25
Диаметр сферы (шара) 141
Длина вектора 84
Додекаэдр правильный 78
Единица измерения объемов 157
Измерения прямоугольного парал-
лелепипеда 50
Изображение плоских фигур 222
Изображение пространственных
фигур 224
Икосаэдр правильный 77
Касательная к сфере 145
—	плоскость к сфере 143
Коллинеарность векторов 84
Компланарность векторов 92
Коническая поверхность 135
Конические сечения 150
Конус 135
Координатные векторы 103
—	плоскости 102
Координаты вектора 103
—	точки 102
Куб 51, 78
Кубический метр, миллиметр, сан-
тиметр 157
Линейный угол двугранного угла 48
Многогранник 60
—	вписанный в сферу 155
—	выпуклый (невыпуклый) 60
—	описанный около сферы 144,
155
—	правильный 76
Многогранный угол 52
Наклонная, проведенная из точки
к плоскости 40
Наложение фигур 227
Предметный указатель
Наложения и движения 123, 124
Направляющий вектор прямой 114
Начало координат 102
Образующая конуса 135
—	конической поверхности 135
—	усеченного конуса 137
—	цилиндра 131
—	цилиндрической поверхности
130
Объем конуса 170
—	наклонной призмы 167
—	пирамиды 168
—	прямой призмы 162
— прямоугольного параллелепипе-
да 159
—	усеченного конуса 170
—	усеченной пирамиды 169
—	цилиндра 163
Объем тела, основные свойст-
ва 157, 158
—	шара 174
—	шарового сегмента 175
—	— сектора 175
—	— слоя 175
Октаэдр 60
—	правильный 77
Ордината точки 102
Ортогональная проекция 42
Осевое сечение конуса 136
—	— цилиндра 131
Оси координат 102
Основание конуса 135
—	наклонной 40
—	перпендикуляра 40
—	пирамиды 69
—	шарового сегмента 174
Основания параллелепипеда 25
—	призмы 64
—	усеченного конуса 137
—	усеченной пирамиды 71
—	цилиндра 131
Ось конуса 135
—	конической поверхности 135
—	симметрии фигуры 75
—	цилиндра 131
—	цилиндрической поверхности
130
Откладывание вектора от точки 85
Парабола 217
Параллелепипед 25
—	прямоугольный 50
Параллельная проекция точки 220
— — фигуры 220
Параллельность плоскостей 20
— прямой и плоскости 11
— прямых 9
Параллельный перенос 123
Переместительный закон скаляр-
ного произведения векторов 113
— — сложения векторов 87
Пересекающиеся плоскости 6
Перпендикуляр, проведенный из
точки к плоскости 40
Перпендикулярность векторов 112
— плоскостей 48
— прямой и плоскости 34
— прямых 34
Пирамида 69
—	правильная 69
Плоскость 3
—	симметрии фигуры 75
Площадь боковой поверхности ко-
нуса 136
—	—	—	пирамиды 69
—	—	—	призмы 64
—	—	—	усеченного конуса	137
—	—	—	усеченной пирамиды	71
—	—	—	цилиндра 132
Площадь полной поверхности ко-
нуса 136
— — — пирамиды 69
— — — призмы 64
— — — цилиндра 133
— сферы 144, 176
Поверхность геометрического те-
ла 62
Подобные тела 125
Правило многоугольника 88
—	параллелепипеда 93
—	параллелограмма 87
—	треугольника 87
Преобразование подобия 124
Призма 63
—	наклонная 64
—	правильная 64
—	прямая 64
Признак параллельности двух
плоскостей 20
— — прямой и плоскости 12
— перпендикулярности двух
плоскостей 49
— — прямой и плоскости 36
— скрещивающихся прямых 15
Предметный указатель
Проекция наклонной на плос-
кость 40
— точки на плоскость 42
— фигуры на плоскость 43
Противоположно направленные
векторы 84
Прямая 3
Прямоугольная проекция 42
— система координат в простран-
стве 102
Равенство векторов 85
— фигур в пространстве 227
Радиус сферы (шара) 140, 141
— цилиндра 131
Развертка боковой поверхности
конуса 136
— — — цилиндра 132
Разложение вектора по трем не-
компланарным векторам 94
Разность векторов 88
Распределительный закон скаляр-
ного умножения векторов 113
Распределительные законы умно-
жения вектора на число 89
Расстояние между двумя парал-
лельными плоскостями 41
— — прямой и плоскостью 41
— — скрещивающимися прямы-
ми 41
— от точки до плоскости 41, 116
Ребро двугранного угла 47
— многогранника 60
Секущая плоскость 27, 60
Сечение конуса 135, 149
— параллелепипеда 27
— тела 62
— тетраэдра 27
— цилиндра 131, 147
— шара 142
Симметрия зеркальная осевая,
центральная 75, 121, 122
Скалярное произведение векто-
ров 112
Скалярный квадрат вектора 113
Скрещивающиеся прямые 15
Сложение векторов 87
Сонаправленные векторы 84
— лучи 17
Сочетательный закон скалярного
произведения векторов 113
— — сложения векторов 87
— — умножения вектора на чис-
ло 89
Стереометрия 3
Сумма векторов 87
Сфера 140
— вписанная в коническую по-
верхность 146
— — в многогранник 144, 155
— — в цилиндрическую поверх-
ность 145
— описанная около многогранни-
ка 155
Тетраэдр 24
— правильный 77
Точка 3
Точки, симметричные относительно
плоскости (прямой, точки) 75
Трехгранный угол 51
Угол между векторами 112
— — пересекающимися плоско-
стями 49
—	— прямой и плоскостью 43
— — скрещивающимися прямы-
ми 18
Умножение вектора на число 89
Уравнение плоскости 115
—	поверхности 115
—	сферы 141
Усеченная пирамида 71
—	— правильная 71
Усеченный конус 137
Фигура ограниченная 61
— связная 61
Центр симметрии фигуры 75
—	сферы (шара) 140
Центральная проекция 44
Центральное подобие 200
Цилиндр 131
Цилиндрическая поверхность 130
Шар 141
Шаровой сегмент 174
—	сектор 175
—	слой 175
Элементы симметрии многогран-
ника 76
—	— правильных многогранни-
ков 79
Эллипс 211
Предметный указатель
Оглавление
Введение........................................................ 3
1.	Предмет стереометрии..................................... —
2.	Аксиомы стереометрии..................................... 4
3.	Некоторые следствия из аксиом............................ 6
Вопросы и задачи............................................ 7
Глава 1
Параллельность прямых и плоскостей
§ 1.	Параллельность прямых, прямой и плоскости.................. 9
4.	Параллельные прямые в пространстве....................
5.	Параллельность трех прямых.............................. 10
6.	Параллельность прямой и плоскости....................... 11
Во	просы и задачи......................................... 13
§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя
прямыми.................................................... 15
7.	Скрещивающиеся прямые.................................
8.	Углы с сонаправленными сторонами........................ 17
9.	Угол между прямыми...................................... 18
Вопросы и задачи.........................................
§ 3.	Параллельность плоскостей................................. 20
10.	Параллельные плоскости...............................
11.	Свойства параллельных плоскостей....................... 21
Вопросы и задачи........................................... 22
§ 4.	Тетраэдр и параллелепипед................................. 24
12.	Тетраэдр.............................................
13.	Параллелепипед......................................... 25
14.	Задачи на построение сечений........................... 27
Задачи....................................................  29
Вопросы к главе I.......................................... 31
Дополнительные задачи...................................... 32
Глава II
Перпендикулярность прямых и плоскостей
§ 1.	Перпендикулярность прямой и плоскости..................... 34
15.	Перпендикулярные прямые в пространстве...............
16.	Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости . .
17.	Признак перпендикулярности прямой и плоскости ....	36
18.	Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости ....	38
Задачи...................................................
§ 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью 40
19. Расстояние от точки до плоскости..........................
20.	Теорема о трех перпендикулярах......................... 42
21.	Угол между прямой и плоскостью.......................
Задачи..................................................... 44
§ 3.	Двугранный угол. Перпендикулярность	плоскостей............ 47
22.	Двугранный угол......................................
23.	Признак перпендикулярности двух	плоскостей............ 49
24.	Прямоугольный параллелепипед	................. 50
25*. Трехгранный угол...................................... 51
26*. Многогранный угол..................................... 52
Задачи..................................................... 54
Вопросы к главе II......................................... 57
Дополнительные задачи....................................... —
Оглавление
Глава III
М ногогранпики
§ 1.	Понятие многогранника. Призма............................. 60
27. Понятие многогранника................................... —
28*. Геометрическое тело................................... 61
29*. Теорема Эйлера........................................ 62
30. Призма................................................. 63
31*. Пространственная теорема Пифагора..................... 65
Задачи..................................................... 67
§ 2.	Пирамида.................................................. 69
32.	Пирамида................................................ —
33.	Правильная пирамида..................................... —
34.	Усеченная пирамида..................................... 71
Зад	ачи................................................... 72
§ 3.	Правильные многогранники.................................. 75
35.	Симметрия в пространстве................................ —
36.	Понятие правильного многогранника...................... 76
37.	Элементы симметрии правильных многогранников ....	79
Практические задания........................................ —
Воп	росы и задачи......................................... 80
Воп	росы к главе III...................................... 81
Дополнительные задачи.....................................
Глава IV
Векторы в пространстве
§ 1.	Понятие вектора в пространстве............................ 84
38.	Понятие вектора......................................... —
39.	Равенство векторов..................................... 85
Воп	росы и задачи......................................... 86
§ 2.	Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число	87
40.	Сложение и вычитание векторов........................... —
41.	Сумма нескольких векторов.............................. 88
42.	Умножение вектора на число............................. 89
Зад	ачи................................................... 90
§ 3.	Компланарные векторы...................................... 92
43.	Компланарные векторы.................................... —
44.	Правило параллелепипеда................................ 93
45.	Разложение вектора по трем некомпланарным векторам . .	94
Воп	росы и задачи......................................... 95
Воп	росы к главе IV....................................... 98
Доп	олнительные задачи.................................... 99
Глава V
Метод координат в пространстве. Движения
§ 1.	Координаты точки и координаты вектора.................... 102
46.	Прямоугольная система координат в пространстве.......... —
47.	Координаты вектора.................................... 103
48.	Связь между координатами векторов и координатами точек .	105
49.	Простейшие задачи в координатах....................... 106
Вопросы и задачи.......................................... 107
Оглавление
§ 2.	Скалярное произведение векторов.......................... 112
50.	Угол между векторами................................... —
51.	Скалярное произведение векторов........................ —
52.	Вычисление углов между прямыми и плоскостями ....	113
53*. Уравнение плоскости.................................. 115
Задачи.................................................... 116
§ 3.	Движения................................................. 121
54.	Центральная симметрия................................
55.	Осевая симметрия..................................... 122
56.	Зеркальная симметрия................................... —
57.	Параллельный перенос................................. 123
58*. Преобразование подобия............................... 124
Задачи.................................................... 125
Вопросы к главе V......................................... 126
Дополнительные задачи..................................... 127
Глава VI
Цилиндр, конус, шар
§ 1.	Цилиндр.................................................. 130
59.	Понятие цилиндра....................................... —
60.	Площадь поверхности цилиндра......................... 132
Задачи.................................................... 133
§ 2.	Конус.................................................... 135
61.	Понятие конуса.......................................
62.	Площадь поверхности конуса............................ 136
63.	Усеченный конус....................................... 137
Задачи.................................................... 138
§ 3.	Сфера.................................................... 140
64.	Сфера и шар............................................. —
65.	Уравнение сферы....................................... 141
66.	Взаимное расположение сферы и плоскости................. —
67.	Касательная плоскость к сфере......................... 143
68.	Площадь сферы......................................... 144
69*. Взаимное расположение сферы и прямой................... —
70*. Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность ....	145
71*. Сфера, вписанная в коническую поверхность............ 146
72*. Сечения цилиндрической поверхности................... 147
73*. Сечения конической поверхности....................... 149
Задачи.................................................... 150
Вопросы к главе VI........................................ 152
Дополнительные задачи..................................... 153
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар . . .	155
Глава VII
Объемы тел
§ 1.	Объем прямоугольного параллелепипеда..................... 157
74.	Понятие объема........................................
75.	Объем прямоугольного параллелепипеда.................. 159
Задачи.................................................... 161
Оглавление
§ 2.	Объемы прямой призмы и цилиндра............................ 162
76.	Объем прямой призмы.................................
77.	Объем цилиндра......................................... 163
Вопросы и задачи............................................ 164
§ 3.	Объемы наклонной призмы, пирамиды	и	конуса............... 165
78.	Вычисление объемов тел с помощью	интеграла............... —
79.	Объем наклонной призмы................................. 167
80.	Объем пирамиды......................................... 168
81.	Объем конуса........................................... 170
Задачи...................................................... 171
§ 4.	Объем шара и площадь сферы................................. 174
82.	Объем шара............................................... —
83.	Объемы шарового сегмента, шарового	слоя	и	шарового сектора —
84*. Площадь сферы.......................................... 176
Вопросы и задачи............................................ 177
Вопросы к главе VII......................................... 178
Дополнительные задачи....................................... 179
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар . . .	180
Задачи для повторения....................................... 181
Задачи повышенной трудности................................. 182
Глава VIII*
Некоторые сведения из планиметрии
§ 1.	Углы и отрезки, связанные с окружностью.................... 187
85.	Угол между касательной и хордой.......................... —
86.	Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью. . . .	188
87.	Углы с вершинами внутри и вне круга.................... 189
88.	Вписанный четырехугольник.............................. 190
89.	Описанный четырехугольник.............................. 192
Задачи...................................................... 193
§ 2.	Решение треугольников...................................... 195
90.	Теорема о медиане........................................ —
91.	Теорема о биссектрисе треугольника..................... 196
92.	Формулы площади треугольника........................... 198
93.	Формула Герона......................................... 199
94.	Задача Эйлера.......................................... 200
Задачи...................................................... 204
§ 3.	Теоремы Менелая и Чевы..................................... 206
95.	Теорема Менелая.......................................... —
96.	Теорема Чевы........................................... 207
Задачи...................................................... 209
§ 4.	Эллипс, гипербола и парабола............................... 211
97.	Эллипс................................................... —
98.	Гипербола.............................................. 214
99.	Парабола............................................... 217
Задачи...................................................... 219
Приложения
I .	Иэ(	  220
1.	Параллельная проекция фигуры.........................
2.	Изображение фигуры...................................... 221
3.	Изображение плоских фигур............................... 222
4.	Изображение пространственных фигур...................... 224
2.	Об аксиомах геометрии........................................ 225
Ответы и указания........................................... 234
Предметный указатель........................................ 249
Оглавление
Учебное издание
Серия «МГУ — школе»
Атанасян Левон Сергеевич
Бутузов Валентин Федорович
Кадомцев Сергей Борисович
Киселева Людмила Сергеевна
Позняк Эдуард Генрихович
ГЕОМЕТРИЯ
10—11 классы
Учебник для общеобразовательных учреждений
Базовый и профильный уровни
Зав. редакцией
Т. А. Бурмистрова
Редактор
Л. В. Кузнецова
Младший редактор
Н. В. Ноговицина
Художники
О. М. Шмелев, В. А. Сайчук, О. В. Корытов,
Т. В. Делягина. О. П. Богомолова
Художественный редактор
О. П. Богомолова
Технический редактор
И. Н. Петухова
Корректор
М. А. Терентьева
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000.
Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 19.02.13. Формат
70 х ОО1/^. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л.
15,75 + 0,63 форз. Тираж 70 000 экз. Заказ №34270 (п гз).
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат»
ОАО «Издательство «Высшая школа»
214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1.
Тел.: +7 (4812)31-11-96. Факс: 4-7 (4812)31-31-70
E-mail: spk@smolpk.ru http;//wwwtsmolok.ru
ВЕКТОРЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Сложение векторов
Правило многоугольника
Скалярное произведение векторов
а b = |а| |b|cosa = х^х2 + уху2 + 2i22
Координаты вектора
а {х; у; z} = хТ+ yf+ zk
,2
•;s
। h
V=~Sh
О
ОБЪЕМЫ
МНОГОГРАННИКОВ
Призма
V = Sh
Пирамида

Прямоугольный
параллелепипед
V = abc
Усеченная пирамида