I СТРУКТУРНАЯ
ИДЕНТИФИКАЦИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
I МОДЕЛИ
ДВИЖЕНИЯ
САМОЛЕТОВ
СТРУКТУРНАЯ
ИДЕНТИФИКАЦИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ
ДВИЖЕНИЯ
САМОЛЕТОВ
Москва
Машиностроение
1993
УДК 629.7:519.22
Федеральная целевая программа книгоиздания России
Авторы: К.К. Васильченко, Ю.А. Кочетков,
В.А. Леонов, Б.К. Поплавский
Структурная идентификация математической модели
движения самолета / К.К. Васильченко, Ю.А. Кочетков,
В.А. Леонов, Б.К. Поплавский. — М.: Машиностроение,
1993. - 352 с. ISBN 5-217-02532-8.
Рассмотрены различные математические модели движения самолета в
полете, представлены практические методы выбора адекватной структуры
математической модели движения. Изложены принципы построения мате-
матической модели на основании автоматизированного анализа частных видов
движения самолета. Приведены методы и алгоритмы выбора структуры и
параметров математической модели во временнбй и частотной областях. Даны
примеры практического применения различных методов идентификации для
линейных и нелинейных систем.
Для научных работников авиационной промышленности, а также специа-
листов, занимающихся автоматизированной обработкой экспериментальных
данных.
Библиогр.: 30. Ил. 49. Табл. 17.
С 3206010000—439	© к .К. Васильченко, Ю.А.Кочетков,
038(01>-93
В.А. Леонов, Б.К. Поплавский, 1993
ISBN 5-217-02532-8
ПРЕДИСЛОВИЕ
В авиационных науках и технике широко используются матема-
тические модели (ММ) для описания аэрофизических явлений, дви-
жения летательных аппаратов (ЛА), функционирования их систем и
т.д. Применение ММ позволяет максимально использовать информа-
цию каждого летного эксперимента, оценивать точность и достовер-
ность испытаний, проводить сопровождающее и полунатурное моде-
лирования, получать необходимые данные для стендов, тренажеров,
проводить рациональный выбор параметров систем управления,
представлять информацию о динамике самолета в концентрирован-
ном, ’’сжатом” виде.
В книге рассмотрены важные вопросы структурно-параметричес-
кой идентификации, недостаточно полно изложенные в существую-
щей литературе, систематизированы и по возможности полно освеще-
ны практические аспекты определения структуры ММ движения
самолета, адекватно описывающих рассматриваемые процессы. Даны
теоретические основы и численные алгоритмы идентификации. При-
веденные алгоритмы представлены в форме, удобной для исполь-
зования в математическом обеспечении современных ЭВМ.
Большое внимание уделено системному подходу к решению
задачи идентификации ММ, включая вопросы создания баз данных,
планирования эксперимента, анализа адекватности, разработки
математического обеспечения для интерактивного решения задачи.
В книге приведены примеры структурной и параметрической
идентификации, основанные на материалах летных испытаний само-
летов и численном моделировании на ЭВМ. Большую помощь в
подготовке и проведении расчетов оказали научные сотрудники А.В.
Чернышев, Г.Н. Сироткин, В.Н. Овчаренко, В.Ф. Шевченко, за что
авторы выражают им свою признательность.
Книга будет полезна широкому кругу специалистов по обработке
и анализу экспериментальных данных, специалистам в области
испытаний и доводки авиационной техники. Изложенные теоретичес-
кие основы и алгоритмы достаточно универсальны и могут использо-
ваться специалистами, занимающимися построением математических
моделей систем в технологических процессах, медицине, физике,
химии и других областях, в которых решаются задачи диагностики,
безопасности функционирования.
3
ВВЕДЕНИЕ
Решению проблемы идентификации ММ посвящено множество
теоретических и экспериментальных исследований. Идентификация
сложных технических систем является важным этапом при синтезе
систем автоматического управления, интерпретации полученной в
эксперименте информации, проектировании новых систем, совер-
шенствовании методов испытаний, сертификации самолетов и т.д.
Построение моделей поведения самолета в полете и протекания
различных процессов представляет удобный способ обобщения полу-
чаемых в эксперименте наблюдений, вычисления количественных
оценок его характеристик. При испытаниях и доводке сложных
систем ММ позволяют от решения отдельных частных задач перейти
к изучению системы в целом. Систематическое изложение общих
вопросов теории идентификации, вопросов применения методов
идентификации к исследованию динамических систем, систем связи
и систем управления дано в монографиях [26, 28, 30] и др.
Применение методов теории идентификации в авиации носит
существенно прикладной характер. Разработка и совершенствование
методов практической идентификации направлены на учет специфи-
ческих факторов, действующих на самолет в полете; расширение
областей их применения [1, 18, 20]; оптимизацию методики, алгорит-
мов и программного обеспечения [12, 6].
На точность решения задачи идентификации влияют: оптимальное
планирование летных экспериментов; рациональное управление в
процессе выполнения испытательных маневров; комплексное исполь-
зование априорной расчетной информации и данных аэродинамичес-
ких испытаний; использование избыточности информации; включение
в процесс идентификации ММ информационно-измерительных систем
(ИИС); оптимизация обработки информации, создание интерактив-
ных систем идентификации; применение статистических критериев
достоверности; автоматизированный анализ результатов оценивания,
проверка адекватности ММ.
Аэродинамические производные самолета могут быть получены
путем расчетов [4, 5], с помощью испытаний в аэродинамических
трубах [5] и в результате летных испытаний [6, 23]. Определение
производных по материалам летных испытаний основано на приме-
нении различных критериев, например на минимизации невязок
уравнений или ошибок выходных переменных, критерия максимума
4
правдоподобия [18, 20, 23] и его модификаций, использующих
фильтр Калмана и др. Указанные методы применяются в сочетании
с методами, основанными на анализе статических установившихся
режимов полета и балансировочных зависимостей самолета [23].
Процесс идентификации состоит из решения трех основных задач:
выбора структуры модели движения самолета, оценки параметров
модели и состояния, подтверждения и проверки модели. Для решения
задачи идентификации может быть использована либо информация,
получаемая непосредственно в эксперименте, либо результаты преоб-
разования этой информации к заданному исследователем виду. Одним
из способов преобразования информации, применяемых при решении
задачи идентификации, является переход к спектральному представ-
лению входных и выходных сигналов с последующей оценкой частот-
ных характеристик самолета с целью использования их в качестве
исходной информации для решения задачи идентификации [6].
Методы частотного анализа позволяют оценивать как передаточные
функции, используемые при синтезе систем управления, так и коэф-
фициенты аэродинамических сил и моментов.
Особенностями задачи идентификации ММ самолета являются
сложность полной ММ вследствие наличия систем автоматического
управления, различных систем улучшения устойчивости и управляе-
мости, повышения безопасности, уменьшения нагрузок на конструк-
цию и т.д.; статистический характер измерений (бортовые, телемет-
рические (ТМИ), внешнетраекторные (ВТИ) и пр.), содержащих
случайные ошибки; действие на самолет в полете различного рода
неконтролируемых возмущений.
Решение задачи идентификации современных самолетов выпо-
лняется в широких диапазонах высот и скоростей полета; при раз-
личных эксплуатационных условиях, позволяющих выявить законо-
мерности изменения динамических и аэродинамических характерис-
тик (АДХ) и способных заметно повлиять на процессы пилотиро-
вания [23]; при большом числе управляющих и регулируемых пара-
метров.
Указанные особенности приводят к необходимости применения
системного подхода к решению задачи идентификации; разработки
методов, ориентированных на массовую обработку испытательных ре-
жимов, позволяющих автоматизировать анализ результатов иденти-
фикации; создания систем интерактивной идентификации, дающих
возможность инженеру-испытателю оперативно вмешиваться в про-
цесс идентификации, корректировать ход вычислений, оперативно
выбирать наиболее подходящие методы и алгоритмы обработки и т.д.
(рис. 1.1).
5
Отобра-
жение и
дакумен-
пиробание
дыдор и
макатление
Эксперт-
ная оценка материа-
результа-	лад для "
mod	полной
хи
\\tn\
Расчет
парамет-
ра* ПО	UUfJUUUfUfM.
косвенным	полюкоб
иамеремо-
ям
Оператибкая
обработка
информации
Расчет
значений
мых пара-
метроб
8
измерения
Декомму-
аюаия,сим- ция<
Летающие
модели
Стенды
банк
моделей
Сопровож-
дающее
робание
информации
Фильтра-
ция ошибок
!рнка
______\и-
он-юсюи
измерений
койдищ
Чяродяение
летным
экспери-
ментом
Контроль
безопос-
мости
палета
Кжкалрика
Численный
экспери-
мент
редамие
палета
мод и форм
Летающие
лабора-
тории
дробление
ислыяю-
тельным
мамедром
Отработка
метойод
принятия
решения
Материалы после первичной одродотки
									
	Проверка адекват- ности модели и объекта			Определе- ние точ- ностных характе- ристик результа- тов одра- дотки			Расчет коэффи- циентов аэродина- мических сил и моментов	/ /	♦ 1 Поль odpadi инфор* пр опреде АД гтг
								/	7
									
	Формиро- вание и накопление данных по режимам полета			баланси- ровочные зависи- мости			Расчет нормируе- мых пока- зателей и ододщен- ных харак- теристик динамики		
1									
f t									
мая 1отки 1мации W елении цх		Оценка производ- ных КОЭф- фициен- тоо аэро- динамичес- ких сил и моментов			Статис- тические характе- ристики информа- ции			Оценка качества пилоти- рования	
	с								
									
									
									
		Оценка ЛТХ и приведе- ние их к стандар- тным условиям			Частот ные ха- ракте- ристики			Уточ- нение ванна АЛ*	
									
Рис. 1.1
Применяемые методы идентификации самолета можно разделить
на группы в зависимости от принятого критерия качества оценок,
степени использования априорной информации, принятой формы
описания ММ, наличия или отсутствия предварительного преобразо-
вания информации, способа реализации алгоритмов оценивания. В
качестве критериев оценивания вектора параметров а ММ по резуль-
татам измерений вектора состояния Уизм(/у) и вектора управле-
ния ^изм(Гу), j = 1,..., aV для моделей вида У} s F[(Yif и, a), i = 1,..., п
наиболее часто применяются:
критерий минимума взвешенной суммы квадратов невязок урав-
нений
п	N
minima) =	min	£	{У(.	- Fj),	a]}2;
а	а	/=1	/=1
критерий минимума взвешенной суммы квадратов рассогласования
измеренных и расчетных переходных процессов
п	N
minJ2(a) = min W( £ [Y^tj, a) - Уизм /f/]2;
а	a j=i	/=1
минимаксный критерий
minJ3(a) = min £ И^[тах| Y^tp а) — Уизм
а	а |.i j
критерий максимума правдоподобия, основанный на оценивании
условной плотности вероятности результатов измерений
maxpfyap,...,/^)^]
а
или
max In p{Y(ix)....,Y(tN) |а];
а
критерий Байеса, основанный на оценивании апостериорного
распределения,
,	рЫр[У(^),...,У(^)|а]
тахр[а|УЦ) У(^>] = max----------— -------——-------,
а	а Р мир >•••> Y(tjq) ]
10
где р[а\ — априорное распределение вектора параметров а\
оо
—00
Возможн’ < и другие критерии.
Априорная информация используется при выборе структуры моде-
ли; формировании функционала, минимизация которого обеспечивает
вычисление оценок па'/аметров; при определении области возможных
значений идентифицируемых параметров; в качестве начальных
приближений ( денок в итерационных методах оценивания. Умень-
шение размех тости модели и увеличение точности оценок можно
также получить путем задания априорных значений части параметров
и исключения их на определенных этапах решения задачи из процес-
са идентификации.
ММ может быть представлена в различных эквивалентных фор-
мах. Например, в виде системы дифференциальных уравнений,
передаточных функций, интегродифференциальных уравнений [4, 5].
Часто ММ представляется в виде совокупности системы дифферен-
циальных уравнений в форме Коши и системы алгебраических соот-
ношений. Для упрощения вычислений систему дифференциальных
уравнений иногда приводят к канонической форме. Оцениваемые
параметры могут быть включены в состав вектора состояния системы
(метод инвариантного погружения, расширенный фильтр Калмана),
что приводит задачу идентификации параметров ММ к двухточечной
краевой задаче. При нелинейной ММ с известной структурой нели-
нейностей можно в ряде случаев свести задачу к линейной путем
увеличения размерности модели, заменяя нелинейные члены новыми
переменными.
В целях уменьшения влияния погрешностей измерений на точ-
ность идентификации измерительная информация, служащая основой
для решения задачи, может быть подвергнута различным преобразо-
ваниям, как не изменяющим форму представления данных, так и
приводящим к существенно новым формам. В частности, для умень-
шения эффекта смещения оценок в методе наименьших квадратов
применяют предварительное сглаживание элементов вектора состоя-
ния самолета. Устранение влияния постоянных составляющих ошибок
обеспечивается предварительным ’’взвешенным” интегрированием
измеренных в эксперименте параметров (метод модулирующих функ-
ций [23]). В целях разделения частотного диапазона полезного сиг-
нала и помехи выполняют идентификацию ММ в частотной области,
разлагая экспериментальные зависимости на гармонические состав-
ляющие с помощью применения преобразования Фурье [6]. В час-
тотной области применяют наряду с аналитическими методами гео-
11
метрические методы идентификации (например, метод круговых
диаграмм).
В работах [6, 10, 12, 18, 20] обсуждаются вопросы и методы пара-
метрической идентификации объектов при заданной структуре ММ,
описывающей движение. При этом на основании априорного матема-
тического моделирования выбирается наиболее достоверная ММ
движения объекта с неизвестными или случайными параметрами и
определяются оценки этих параметров.
Более сложной задачей, содержащей традиционно принятую
постановку, является задача структурно-параметрической иденти-
фикации, когда определяется структура ММ движения объекта и ее
параметры. Еще более сложный случай, когда предполагается, что
одновременно определяются и различные ММ, применяемые для
описания получения результатов измерений.
Структурно-параметрическая идентификация представляет собой
обратную задачу динамики полета. Систематические исследования в
этом направлении находятся в начальной стадии. Наибольших успе-
хов удалось достигнуть у нас в стране и за рубежом в области диаг-
ностики радиосигналов и траекторий космических аппаратов.
Решения задач структурно-параметрической идентификации
описаны в отечественных работах [10, 11, 22, 24]. Интересные ре-
зультаты приведены в зарубежных работах [14, 26]. Большие иссле-
дования в области построения ММ в аэродинамике и динамике на
основании численного эксперимента на ЭВМ проводились под руко-
водством С.М. Белоцерковского [4, 5]. Проблемы создания и провер-
ки ММ самолета и его систем решаются аналитическими методами и
с помощью летного эксперимента. В результате этой работы, по
существу, выделяется набор наиболее вероятных гипотез ММ объек-
тов, на основании которых можно производить исследования для
конкретного реального испытательного режима самолета.
Применение методов структурно-параметрической идентификации
при определении аэродинамических характеристик самолета помогает
разрешить проблему регуляризации некорректной по отношению к
ММ движения задачи идентификации характеристик, позволяет
повысить точность определения характеристик самолета и помочь в
выявлении неизвестных физических явлений в динамике полета. С
помощью структурно-параметрической идентификации удается
проверить, когда определение аэродинамических характеристик
самолета, его показателей устойчивости, управляемости при заданной
фиксированной ММ может привести к неправильным результатам. С
помощью структурной идентификации можно уточнить ММ самолета
и создать унифицированную методику автоматизированной обработки
материалов испытаний в достаточно общей форме.
12
1.	ПРИНЦИПЫ ВЫБОРА СТРУКТУРЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
КАК СЛОЖНОЙ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
1.1.	ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Основой для построения ММ движения самолета служат законы
механики и аэродинамики, из которых следуют определенные соот-
ношения между рассматриваемыми переменными, характеризующими
движение. Будем рассматривать два случая построения структур ММ.
В первом структура ММ выбирается на основе изучения априорной
информации о конкретном самолете с учетом задач, решаемых при
летных испытаниях. Во втором — определяется порядок дифференци-
альных уравнений и их структура для описания конкретного экспе-
риментального режима. Движение может быть описано системой
обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнениями в час-
тных производных, системой интегродифференциальных уравнений,
алгебраическими уравнениями.
Можно сформулировать ряд общих требований к ММ, применяе-
мым для исследования динамики. Модели должны соответствовать
целям конкретных экспериментов; иметь наименьший уровень слож-
ности; отражать основные свойства и особенности динамики самолета;
допускать ясную физическую интерпретацию; быть приемлемыми не
только для одного эксперимента, а для совокупности экспериментов,
выполненных в идентичных условиях (свойство обобщаемости);
обеспечивать количественное совпадение наблюдаемых и рассчитыва-
емых с помощью моделей процессов движения; обладать свойствами
ассоциативности; удовлетворять необходимым критериям адекватнос-
ти (характеристики самолета, найденные с помощью модели, должны
находиться в хорошем количественном соответствии с аналогичными
характеристиками, определенными прямыми методами), иерархичес-
кой системе критериев адекватности [6].
Для современного скоростного самолета характерны многообразие
форм движения, нелинейность аэродинамических характеристик,
наличие большого числа факторов, влияющих на его поведение в
полете, сложная аэродинамическая компоновка, большое число
управляющих и регулируемых параметров, резкое изменение условий
полета, широкие диапазоны применения и соответственно целей и
задач испытаний, насыщение самолета различного рода сложными
системами (системами навигации, управления, улучшения характе-
13
ристик устойчивости, управляемости и т.д.). В последнее время все
чаще возникает необходимость учета влияния на аэродинамические
характеристики нестационарности обтекания, упругости конструкции.
Полные ММ современных самолетов имеют сложную многомерную
структуру, содержащую как детерминированную, так и стохастичес-
кую части. Задача идентификации таких многомерных моделей
является некорректной. Важной и актуальной становится задача
создания эффективных и достоверных ММ как самого самолета, так
и среды, в которой он движется. С одной стороны, модели должны
быть достаточно точными и полными, с другой — достаточно эффек-
тивными и простыми.
Чрезмерное усложнение модели, попытка учесть большое число
влияющих факторов могут привести к неоправданному увеличению
экономических затрат на оценивание параметров модели и невоз-
можности решения задачи идентификации.
В задачах летных исследований динамики полета целесообразно
создавать целую иерархию моделей, обеспечивающих описание
различных форм движения при разных уровнях точности и сложнос-
ти. Причем часть параметров модели (неидентифицируемая или
плохо идентифицируемая) может задаваться априорно на основании
продувок, аэродинамических расчетов или ранее проведенных ис-
пытаний.
При построении структуры ММ можно предположить, что движе-
ние самолета описывается системой обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений с неизвестными правой частью и порядком этих урав-
нений. Такая постановка задачи оказывается полезной и может в
ряде случаев помочь в выявлении неизвестных в динамике и аэроди-
намике явлений и повысить точность решения задачи определения
аэродинамических характеристик.
1.2.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
В зависимости от уровня сложности и структуры можно предло-
жить следующую классификацию ММ.
На верхнем уровне иерархии принимается нелинейная ММ движе-
ния самолета, рассматриваемого как система материальных точек.
Эта ММ обычно основывается на нелинейных ММ продольного и
бокового движений самолета как системы материальных точек и
нелинейной ММ движения самолета как материальной точки (часто
раздельно для пространственного движения и движений в горизон-
тальной и вертикальной плоскостях).
С помощью линеаризации нелинейных ММ относительно опорного
режима получаются упрощенные линеаризованные ММ: продольного,
14
бокового, короткопериодического, длиннопериодического движений,
движений тангажа, крена, рыскания и других параметров. На базе
нелинейных и линейных ММ движения строятся балансировочные
зависимости в продольном и боковом движениях (по скорости, пе-
регрузке, крену, по углу отклонения руля направления и т.д.). Оп-
ределяются статические и динамические характеристики устойчи-
вости и управляемости. Иногда на базе линейных ММ строятся час-
тотные характеристики параметров продольного и бокового движений.
Выбор ММ и ее исследование на основании экспериментальных
данных выполняется в соответствии с иерархическим принципом,
начиная с наиболее простых ММ. Путем идентификации параметров
различных ММ, их сравнительного анализа строится полная ММ
движения самолета.
Выбор ММ конкретного самолета и конкретного испытательного
маневра следует осуществлять на основании известной априорной
информации, к которой в первую очередь относятся сведения:
о типе и конструктивных особенностях исследуемого летательного
аппарата (его конструктивная схема, массовая категория, особенности
и алгоритмы системы управления, наличие или отсутствие силовой
установки и т.д.);
об аэродинамических силах и моментах, действующих на ЛА,
полученные на основании продувок в аэродинамических трубах или
путем теоретических расчетов;
о материалах испытаний на прототипах ЛА и на летающих лабо-
раториях.
Анализ этих данных дает предварительное представление о допус-
тимых способах упрощения ММ на исследуемых режимах полета.
Дополнительную информацию о возможном упрощении модели
получают из анализа выбранного для обработки режима полета. К
такой информации, в частности, относятся результаты анализа:
отклонений органов управления на испытательном режиме (число
входных сигналов и их форма);
переходных процессов, позволяющие установить тип движения
(продольное, боковое, пространственное движения), определить
диапазоны изменения параметров на режиме, тем самым оценить
необходимость применения линейной или нелинейной модели, воз-
можность исключить из ММ отдельные элементы вектора состояния,
считая их постоянными на режиме, и т.д.;
балансировочных зависимостей самолета в фактическом диапазоне
изменения элементов вектора состояния, позволяющие уточнить
допустимость линейной или нелинейной модели движения;
частотных характеристик на исследуемых режимах полета, позво-
ляющие установить, соответствуют или не соответствуют частотные
15
характеристики принятой модели движения, и оценить необходимую
степень усложнения модели (например, за счет учета упругих коле-
баний конструкции самолета в случае близости частот собственных
колебаний самолета как твердого тела и частот первых тонов упру-
гих колебаний его конструкции, совместного рассмотрения модели
движения, модели системы управления, силовой установки, пилота,
ИИС и т.д.).
Общие уравнения движения самолета хорошо известны [8]. Часто
ограничиваются рассмотрением статических моделей, в которых
аэродинамические силы и моменты являются функциями текущих
переменных состояния и управления, а также условий проведения
эксперимента. Предполагается, что аэродинамические силы и мо-
менты при изменении параметров движения самолета отслеживают
эти изменения без запаздывания. Такие модели могут неудовлетво-
рительно описывать поведение самолета в широких диапазонах
изменения углов атаки и скольжения. Анализ результатов физичес-
ких экспериментов показывает, что для современных компоновок
самолетов характерно наличие сложной вихревой системы, значи-
тельных зон отрыва потока, большого числа свободных простран-
ственных вихрей. При эволюции самолета его вихревая система
отслеживает изменение параметров полета, например углов атаки и
скольжения, с заметным запаздыванием. В связи с этим возникает
необходимость разработки динамической модели для описания быс-
трых энергичных маневров, в том числе в случае, когда качественная
картина обтекания зависит от предыстории движения самолета.
Влияние запаздывания вихревой системы при выполнении дина-
мических маневров на аэродинамические силы и моменты можно
учесть, описывая их зависимость от переменных состояния и управ-
ления самолета не алгебраическими соотношениями, а дифференци-
альными уравнениями, например, для продольного движения урав-
нениями вида
ёуа =	суа’ а’
mz = F2(mz, mz, а, а, с^, ф,...).
Зависимости Amz от mz, mv а, а, g^, ф, где tonz — прираще-
ние коэффициента mz, обусловленное запаздыванием вихревой
системы, показаны на рис. 1.2 (точками обозначены эксперименталь-
ные данные).
16
Рис. 1.2
Задачей идентификации ММ самолета является создание его
математического ’’портрета”, в высокой степени сходного с оригина-
лом. Такое эвристическое определение предусматривает необходи-
мость строгой количественной оценки степени соответствия модели
и самолета. Естественный путь создания полной ММ — это путь от
простого к сложному, путь формирования полной ММ на основание
частных ММ, соответствующих различным формам движения само-
лета. Причем включение в модель новых параметров в ряде случаев
может быть выполнено при фиксированных значениях ранее оценен-
ных параметров. Примерная иерархическая схема формирования
полной ММ приведена на рис. 1.3, она отражает общий принцип
построения полной ММ.
Решение этой важной научно-технической проблемы связано с
созданием и применением методов структурно-параметрической
идентификации; разработкой эффективной, требующей минимальных
затрат машинного времени технологии идентификации ММ, описы-
вающих движение самолета во всем диапазоне изменения параметров
состояния и управления, основанной на организации баз данных
материалов испытаний [21], баз данных оцениваемых параметров и
характеристик каждого испытуемого самолета. Сложность проблемы
существенно возрастает при построении полной ММ замкнутых
эргатических систем управления, включающих модели самолета,
системы управления, пилота и т.д.
17
18
1.3.	ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ
В процессе натурных испытаний сложных технических объектов
необходимо получать информацию о параметрах, имеющих различ-
ную физическую природу. Например, при испытаниях самолетов
измеряются линейные и угловые перемещения, угловые скорости,
давления, температуры, линейные и угловые ускорения, расходы
топлива, число оборотов двигателей. Измерения выполняются с
помощью первичных преобразователей (датчиков). Результаты из-
мерений, преобразованные в электрические сигналы, регистриру-
ются на различных носителях информации либо передаются по
телеметрическим каналам связи в системы обработки результатов
испытаний.
Совокупность измеряемых в каждый момент времени параметров
образует поле измерений. Поток информации, возникающий при
измерениях, организуется с помощью ИИС. Основные функции ИИС
состоят в получении информации об объекте, упорядочивании потока
данных, регистрации, передаче, синхронизации, хранении информа-
ции, автоматизированной обработке и отображении ее результатов в
виде, удобном для анализа характеристик и свойств объекта испыта-
ний. ИИС обеспечивает управление измерительными цепями и
датчиками. Современные ИИС имеют модульную структуру, позво-
ляющую учитывать особенности конкретного натурного эксперимен-
та, частотный диапазон параметров, ограниченную продолжитель-
ность эксперимента, необходимость надежного измерения и регистра-
ции параметров в условиях помех, возможность оперативною измене-
ния целей эксперимента и управления испытаниями и т.д. (рис. 1.4).
В зависимости от требуемой точности измерений, физической приро-
ды измеряемых параметров и условий измерения применяются раз-
личные типы датчиков. Наиболее распространены потенциометричес-
кие, емкостные, индукционные, пьезорезисторные, тензорезисторные,
термоанемометрические, оптические, вибрационно-частотные и
первичные преобразователи информации.
При автоматизированной обработке результатов отдельных видов
летных испытаний из общего потока измерительной информации,
получаемой в процессе эксперимента, выделяется относительно не-
большая часть параметров, необходимая для решения конкретной
задачи. Например, при исследовании устойчивости и управляемости
самолетов, оценке их аэродинамических характеристик, взлетно-
посадочных характеристик и т.д. выполняется совокупный анализ
30...50 регистрируемых в эксперименте параметров.
19
Рис. 1.4
20
Для сокращения загрузки систем автоматизированной обработки
выделение из общего потока информации параметров, анализируемых
специалистами по конкретным видам летных испытаний, выполняется
с помощью устройств ввода данных в ЭВМ программными методами
с помощью задания в память систем обработки специальных-кросси-
ровочных таблиц, в которых указываются номера каналов магнитной
записи, по которым регистрируется интересующая информация. В
соответствии с кроссировочной таблицей в память ЭВМ вводятся (или
выбираются из банка) коэффициенты соответствующих градуировоч-
ных зависимостей датчиков, используемых при расшифровке кодиро-
ванных значений параметров.
Состав измерительной и регистрирующей аппаратуры, выбор
средств накопления и передачи данных определяются конкретным
видом летных испытаний, типом исследуемого ЛА, диапазонами
изменения параметров в эксперименте и т.д. При подготовке к прове-
дению испытаний возникают задачи согласования диапазонов и точ-
ностных характеристик датчиков, применяемых для измерения пара-
метров, рационального распределения параметров по каналам нако-
пителей информации, выбора частот регистрации и определения
параметров, обрабатываемых непосредственно на борту самолета,
параметров, измеряемых внешнетраекторными средствами и переда-
ваемых по телеметрическим каналам связи и т.д. При решении
задачи определения поля измерений следует иметь в виду требования,
предъявляемые к точности результатов обработки, учитывать необхо-
димость избыточности измерений в условиях действия различных
помех и искажений (измерять параметры различными методами;
предусматривать дублирование основных измерительных средств;
выбирать достаточную для решения задач фильтрации помех частоту
дискретизации и т.д.); использовать функциональные связи между ре-
гистрируемыми параметрами; обеспечивать возможность синхро-
низации результатов обработки.
Рассмотрим одну из задач, связанную с повышением точности
обработки материалов испытаний, — выбор частоты дискретизации
измеряемых параметров.
Дискретизации сигналов по уровню и частоте посвящено большое
число теоретических и прикладных работ [9]. Интерес к этой задаче
обусловлен широким применением цифровых систем передачи, регис-
трации и обработки информации. Применяемые при летных испыта-
ниях ИИС собирают, регистрируют и передают измерительную
информацию, поступающую от первичных преобразователей инфор-
мации (датчиков) или непосредственно от различных бортовых
систем. Эта информация поступает на системы автоматизированной
обработки цифровой информации. Информация, получаемая в анало-
21
говом виде, преобразуется в дискретную форму при се регистрации
на бортовых магнитных накопителях, при передаче ее по телеметри-
ческим каналам связи или непосредственно при вводе данных в
системы обработки. Современные магнитные накопители дискретной
информации допускают выбор частоты дискретизации из известного
заранее дискретного ряда частот.
Для магнитных накопителей эти частоты обычно могут принимать
Д	J_ 1	1	1
Т Т 8’ Тб’ 32’ 64
значения f е
Гц. Общее количество
информации, регистрируемой на заданный момент времени, при этом
фиксировано (212...21^ измерений). Поэтому увеличение частоты
дискретизации приводит к уменьшению числа параметров, регистри-
руемых в кадре записи. Решение инженерных задач связано с необхо-
димостью определения допустимого компромисса между сложностью
ИИС, необходимым числом измеряемых параметров, продолжитель-
ностью эксперимента (общим объемом получаемой информации),
сложностью алгоритмов обработки, с одной стороны, и необходимыми
точностью, достоверностью и временем получения результатов анали-
за материалов эксперимента, с другой стороны. Частота дискретиза -
ции измеряемых параметров выбирается в зависимости от их спек-
трального состава, вида и целей эксперимента и последующей обра-
ботки, наличия априорной информации об объекте исследований,
допустимых погрешностей результатов обработки, способов представ-
ления результатов и ряда других факторов. Например, для функцио-
нального контроля и технической диагностики самолетных систем
частота регистрации параметров выбирается в 5..Л0 раз ниже, чем
для решения задач оценивания динамических характеристик. В
случае оценивания поведения самолета на установившихся режимах
полета частота дискретизации может быть выбрана существенно
меньше, чем для анализа переходных процессов. Параметры траек-
торного движения (высота, скорость и т.д.) обычно регистрируют в
2...4 раза реже, чем параметры, характеризующие короткопериоди-
ческое движение (отклонения органов управления, составляющие
вектора перегрузок и угловых скоростей, параметры углового положе-
ния самолета в пространстве и т.д.), которые регистрируют с частотой
16...32 раза в секунду. Необходимая частота регистрации параметров
движения для маневренных самолетов выше, чем для тяжелых само-
летов. Частоту дискретизации следует увеличивать при увеличении
уровня шумов в измерениях с учетом спектрального состава шумов,
так как вследствие наложения частот [6] высокочастотная помеха
после дискретизации может восприниматься как низкочастотная, что
затрудняет решение задачи выделения полезного сигнала из шума.
При построении графиков изменения по времени измеряемых пара-
22
метров частота дискретизации выбирается из условия надежного
восприятия графической информации оператором и обычно соответ-
ствует 8... 10 измерениям на период наиболее высокочастотной состав-
ляющей в спектре анализируемого сигнала.
Априорная информация, влияющая на выбор частоты дискретиза-
ции, может быть представлена в различной форме. По результатам
продувок в аэродинамических трубах, аналитического расчета и
моделирования может быть оценен частотный диапазон спектров
измеряемых параметров, выбрана конкретная структура ММ, форма
тестового входного сигнала, подаваемого на органы управления
самолета при оценивании его динамических характеристик. На основе
опыта проведения летных испытаний может быть оценен спектраль-
ный состав помех, влияющих на измерения и уровень этих помех.
Приведем пример. Пусть известно, что амплитудный спектр полез-
ного сигнала ограничен полосой частот со е [0,...,Qc], а спектральный
состав помех ограничен полосой частот сое [0,...,Qn]. Вследствие
периодичности спектра дискретного сигнала должны выполняться
следующие условия, накладываемые на шаг дискретизации А/:
А/ 2л/(Qc + Qn) — чтобы при дискретизации помеха не искажа-
ла полезный сигнал;
А/ £ л/ Qc — чтобы сам полезный сигнал не искажал себя при дис-
кретизации;
А/ л/Оп — чтобы не искажались при дискретизации и полезный
сигнал, и помеха.
Если помеха имеет спектр в диапазоне 0...10 Гц, то из последнего
условия следует, что
Д/ <; " = 2_ = 0,05 с.
2tf 2/
1.4.	ФОРМИРОВАНИЕ ПОЛНОЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
При построении полной ММ движения самолета на основании
частных ММ, описывающих конкретные формы движения, следует
учитывать возможность проявления некорректности задачи иденти-
фикации, в первую очередь, из-за появления близкой к линейной
зависимости между изменениями по времени параметров состояния
и управления на отдельных режимах полета. При этом идентифици-
руются некоторые комбинации параметров ММ, подлежащих оцени-
23
ванию с целью построения полной ММ. Задача идентификации ММ
самолета состоит в определении структуры модели и ее параметров
по результатам наблюдения в эксперименте пары векторных функций
(и(0, х(х0, и(£>, 0), определяющих управление и состояние в каждый
момент времени.
Различным формам движения самолета соответствуют различные
ММ. В линейной области зависимостей аэродинамических сил и
моментов от параметров полета в качестве ММ используют системы
линейных дифференциальных уравнений вида х - Ах + Ви. При этом
различным формам движения будут соответствовать различные
системы дифференциальных уравнений. Каждой ;-й форме движения
можно поставить в соответствие подпространство Q; пар функций
Xj(xjfr t)). Для общей линейной ММ подпространство всех
возможных пар функций Xj(Xj0, и jit). t)) является объединени-
ем подпространств Qy:
Q[uit). xixQ. uit). 0] =UQy.
При этом каждой частной модели движения вследствие единствен-
ности решения системы линейных дифференциальных уравнений для
заданного uit) соответствует единственная пара функций (uit). xix0.
uit). t)). Но паре функций (uit). х(х0, uit). t)) могут, вообще говоря,
соответствовать различные ММ.
1.5.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ,
ЛИНЕЙНЫЕ ПО ПАРАМЕТРАМ
При обработке материалов летных испытаний важный класс ММ
составляют ММ движения самолета в виде системы линейных диффе-
ренциальных уравнений с неизвестными параметрами. В этом случае
ММ будем задавать либо в виде системы линейных дифференциаль-
ных уравнений
х = Ах + Ви; х(0) « х0,	(Ы)
где А « 1а^] пхп — матрица коэффициентов при параметрах состоя-
ния; В « [ftf. ’ пхт — матрица коэффициентов при управляющих воз-
действиях; хт в [хр..хл] — вектор состояния; иТ e [iq...^] — вектор
управления; xj e	— вектор начальных условий, либо в
виде линейного дифференциального уравнения р-го порядка для
одной из компонент вектора х
24
(р)	(р-1)	,	(I)	,	(1)	,	(1 9)
Xi + ап_хх( +...+ аххх = btuk +...+ bxuk + bouk,
где i = 1,..., n; к - 1,..., m; xz<₽-1) (0) = x^~l)x((0) = xi0 — на-
чальные условия.
При выборе ММ необходимо определить для каждого из рассмат-
риваемых режимов функционирования системы, которым отвечают
определенные интервалы наблюдения состояния и управления
[Ту...TJ, составы векторов состояния и управления, порядок системы
уравнений (1.1), составы параметров xz, и порядок левой и правой
частей для модели (1.2).
Для модели (1.1) могут иметь место следующие ошибки в выборе
структуры:
не учтены существенные составляющие вектора состояния или
управления;
в состав вектора состояния или управления введены не сущес-
твенные для конкретного режима переменные.
Для модели (1.2) могут иметь место ошибки, связанные с неоп-
равданным увеличением или занижением порядков левой и правой
частей уравнения.
Указанные ошибки могут быть связаны с наличием неконтроли-
руемых возмущений; неблагоприятным сочетанием начальных усло-
вий и формы возмущающего сигнала на рассматриваемом режиме,
приводящим к возникновению линейной или почти линейной зави-
симости между переменными состояния и управления; несоблюдением
на конкретном режиме принятых при выводе моделей допущений,
определяющих возможность ее применения и т.д.
1.5.1. ОШИБКИ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ
НЕПОЛНОТОЙ МОДЕЛИ
Пусть истинная модель объекта (1.1) представлена в виде
х(1) =X(1J)x(1) +Л(1’2)х(2) +В(Ь1)й(1) + В(1’2)и(2)*	(1’3)
X (2) =Л(2,1)Х(1) +Л(2,2)Х(2) +B(2,1)W(1) +в(2Л)и(2)9
где
х(1) = [xP..xJT; х(2) = [хл+1...х„]т;
25
u(1) = [Up.-Upf; и<2) = [ир+1...ит]т;
~	~	/=!,...,k\ s*kA,...,tv
^(1,1) = 1*/ЛхР; в°’2) = адм,...лм,.,т;
д (2,1) = fn 1	• Л<2>2> = Гл 1
л	*aqj' q=k+\y...,rv,	q=k+\,...,n\ s=k^l,„.,n^
B(2,1) = I^rl^+1	r=i„..>p; B <2,2) ~ 1^/19=A+1/=P+1,.-.m'
В качестве модели для идентификации выберем модель меньшего
порядка
Х(1) =Л(1,1)Х(1) +Б(1.ПМ<П;ХШ(О) =Х0\	<L4>
Для сокращения записей модели (1.3) и (1.4) запишем с помощью
блочных матриц
xJ U»’1» л0-» я1’2 в<1.2>1
^2 ~ л(2,1) в(2’п А2'2 В(2>2)
	х(1)				
X	w(i) х(2)	=	с(1,1) с (1.2)' С (2,1) с (2,2)	z(1)' 7<2).	>
	w(2)				
где С	(1,1)	= [	А^В^];	С(1-2) = [Л(1’2)В(1-2)1;	
С	Л2,1)	=	[А(2Л)В(2Л)}.	С (2	,2) = [Л (2,2) д (2,2)]
Z	U) =	[X	(1)«(1)]т; z(2)	= [х	(2)И(2)]Т
л (1) _ Г (1,1)_(1)
Л| — Lz Z
(1.5)
(1.6}
Предположим, что в эксперименте получены дискретные измере-
ния элементов вектора состояния и управления объекта. Введем в
рассмотрение матрицы, элементами которых являются результаты
измерений:
26
Xj (Zp ...Xj (Zjp
W'P-W^)
xn(zp...xa(Zjy)
Xj (?i) ...Xj (Z	; z2 =	
xk(ty)...xk(tN)		xn(ty)...xn(tN)
Uy	(tN)		ир+\	—ир+\ЧN>
Up(ty)...Up(tN)		
(1.7)

Для определения коэффициентов модели воспользуемся методом
наименьших квадратов. Рассмотрим первые к уравнений системы
(1.3). Для полной модели справедливо соотношение
V, = С(1’% + C(1’2)z2 +eb2	(1.8)
и для упрощенной модели —
Vy = C(1,1)z1 + е1д,	d-9)
где Cj 2 и ci,i — матрицы невязок соотношений. Оценка коэффици-
ентов упрощенной модели может быть найдена по формуле
С’  ‘'I’lW-1.	<1Л01
а оценка коэффициентов первых к уравнений полной модели — по
формулам
= ^[z^]"1 - V.Wz^Wz^z^lz^]-1,
= V.Wz^Wz^]-1,
(1.11)
где Ж = Ек — z^[z{z^] lzr
Из (1.10) и (1.11) следует, что ошибка в оценках коэффициентов
С*1’”, вызванная упрощением модели, определяется по формуле
27
ЛГ(1,1) = /4(1.1) _ и (1,1) =_и(1,2) Tf т,_1 =
сполн упр сполн Z2Z1 lzlzl J	(1.12)
= - vl Жг2 [zjW'zJ] -1Z2Z1T [zjzf] -1.
Формула (1.12) позволяет оценить ошибку, вызванную упрощени-
ем модели, по априорным значениям вектора С(1,2), полученным,
например, при продувках объекта в аэродинамических трубах.
1.5.2. ВЛИЯНИЕ ИЗБЫТОЧНОСТИ МОДЕЛИ
НА ОШИБКИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Пусть истинная модель определяется по формуле (1.4), а для
идентификации принята модель (1.3), т.е. выбрана модель большей,
чем требуется, размерности.
Оценка параметров истинной модели вычисляется по формуле
(1.10), а оценка тех же параметров по избыточной модели вычисля-
ется по формулам (1.11). Рассмотрим матрицу невязок уравнений для
истинной модели
Д^1 ист =	- Л ИСТ = FJE- z^Ziz/)-1^] = V.W. (1-13)
Из формулы (1.13) следует, что при более точном определении
оценок будут уменьшаться элементы матрицы W и возрастать
элементы матрицы (z2Wz2 )~1, что приведет к увеличению дисперсии
коэффициентов Сизб и Сизб :
= ^[(zjZj1)-1 + (z1z1T)“1z1z2(z2iyz2)_1z2z1T(z1z1T)_1] ;
^•(иэб1 =^[z2Wz^]-\	(1Л4)
где Dи D	— дисперсионные матрицы для i-х строк
матриц и
В предельном случае, при отсутствии погрешностей измерений, из
формул (1.3) и (1.4) следует, что в случае решения задачи по избы-
точной модели имеет место соотношение
л(1,2)х(2) +B(1,2)W(2) =0	(1.15)
т.е. часть переменных состояния и управления связаны между собой
линейной зависимостью, что приводит к невозможности оценки всех
коэффициентов модели.
28
1.5.3. СОВПАДЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЯХ ДВИЖЕНИЯ
ПРИ ЗАДАННОМ УПРАВЛЕНИИ
Успешное решение задачи идентификации ММ связано с правиль-
ным согласованием структуры модели и наблюдаемыми в эксперимен-
те элементами векторов состояния и управления объекта. Существен-
ным является выявление условий, при которых результаты измерений
могут удовлетворять различным ММ.
Любое состояние объекта, описываемого системой уравнений (1.1),
при известных значениях элементов матриц Л и В и начальных
условиях х0 описывается парой вектор-функций
t
х(х0, u(t), 0) = (w(0, eAtxQ +	(1.16)
0
Задача идентификации ММ, как уже указывалось выше, состоит
в определении структуры модели и параметров модели по результа-
там наблюдения пары вектор-функций («(/), х(х0, и(0, 0).
Рассмотрим несколько частных случаев. Предположим, что поря-
док системы дифференциальных уравнений, представляющей ММ
движения объекта, выбран. Задача состоит в оценке параметров
модели (коэффициентов системы дифференциальных уравнений).
Приведенные ниже примеры показывают возможность неединствен-
ного решения задачи.
Пример 1. Пара вектор-функций [(ООО 0)т; (ef + te* ef 0)т] удо-
влетворяет системе уравнений
и системе уравнений
* ~ ^3x3X3xl + ^3x£w£xp С
О
0
Пример 2. Пара вектор-функций [(0 0)т; е^Хд] удовлетворяет
системе уравнений
29
х = Ах + Ви; А =
Я11
«12
«21
«22
; х0 = [х10 х20]т; и = [О ОГ
и системе уравнений
а11
х = Сх + Du; С =
л . Х10 ,
«12 + — «
х20
„	Х1° А
«21 — —— ъ
*10
а22
- b
х0 = [х10 х20]т; и = [О О]т,
'^10
где Ъ — произвольное действительное число; х2о = ------- t^22 ““
2«12
— 6zH) ± (Aj — Л2)], Aq и Л2 —• различные действительные корни
характеристического уравнения А2 — А,(<2И + я22) + (<2ц«22
^10
— я12я21) = 0. (В случае кратных корней х20 = ---(я22 — #ц)-)
2«12
Например, системе уравнений
2
6 ’
х = Ах + Ви; А =
1
-3
г 3	,
; хо = 1-^ю 2хю1
и системе уравнений
6
х = Сх + Du; С =
—5
-12 12]’
удовлетворяет пара функций
г 3	.
; х0 = t*io 5лю।
[(О О)т, (х10е4' 2x10e4f)l.
= Ах + Ви; А =
Пара функций [(0 0)т, (х10е3? х10Л] удовлетворяет системе х =
] 2
-3 6
; х0 = [х10 х101т и системе х = Сх + Du; С =
_ —5 8
“ -9 12 ’
; х0 = [х10 х10]т.
30
t
Пример 3. Пара вектор-функций [(w10, w20) т; (И%+ [ел<г х) *
О
х Butfl't )], где м/0 = const, удовлетворяет системе уравнений х =
= Л2х2^ + ^2х2М’ х0 = [-*10 Х20^Т и системс уравнений х - С2х2х +
+ Z>2x2w0’ х0 = tx10 х2о1Т> если =
D = [(Р! + Р2)Е - TAT~l] + р2)£ - A}R’
х0 = [ТАТ~1 - Л] (В - [£(Pi + Р2) -
- ТЛТ-1] -1[£(Р1 +Р2)-Л]В}и0,
где Т2х2 — любая унитарная матрица (det Т = 1); Е — единичная
матрица; Р2 собственные числа матрицы А.
1.5.4.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРАВЛЕНИЯ,
ПРИ КОТОРОМ ПОВЕДЕНИЕ ОБЪЕКТА
МОЖЕТ БЫТЬ ОПИСАНО РАЗЛИЧНЫМИ ММ
ОДНОГО ПОРЯДКА ЗАДАННОЙ СТРУКТУРЫ
Рассмотрим две математические модели, заданные в виде систем
линейных дифференциальных уравнений:
х = Ах + Ви; х = Сх + Du; х(0) = х0;	(117)
Ап*п * Сп*п' Bnxtn *
Найдем необходимые условия, при которых пара функций (л/(/), х(х0,
w(0, /)) удовлетворяет уравнениям (1.17). Применяя к системам
уравнений (1.17) преобразование Лапласа, получим
W(p) [z] = fx0T x0T]T,	(1Л8)
где
W(p)
pE—A
pE-C
Пусть пара функций (w(r), x(x0, u(t), 0) удовлетворяет обеим
системам уравнений (1.17), тогда система уравнений (1.18) относи-
тельно преобразований Лапласа элементов вектора состояния и
управления должна быть совместной. Условия совместности системы
линейных алгебраических уравнений (1.18) являются необходимыми
31
условиями существования различных ММ, которым удовлетворяют
одни и те же векторы x(f) и u(f). В зависимости от числа различных
входов объекта могут иметь место случаи т < п, т = п, т > п.
При т < п выполняется неравенство п + т < 2п, т.е. размерность
вектора £f [ z ] меньше числа уравнений (1.18) и система (1.18) может
быть совместной, например, если п — т уравнений системы линейно
зависимы и их можно исключить из рассмотрения.
Пусть линейно зависимыми будут последние п — т уравнений
системы (1.18). Исключая их из системы (1.18), получим
W(n+m)*(n+m) (n+m)xl “ fx0 ^х0 ) 1 ’
(1.19)
где
® ~	0] т*п>
С11— С1п
dm\"'dmn
хо = хшо1т-
Если ранг матрицы 101) равен п + tn, то
2£ [z]
(Ж(1))~1
(1.20)
При п = tn, если ранг матрицы W равен 2п, получим
Sf [z]
(1.21)
хо
При т > п, если ранг матрицы W равен 2и, можно записать, что
a [z(1)]
= (И^)-1 [ХОТ ХОТ]Т
в(3)
п(3)
Л[и(2)
(1.22)
где
32
z(,) = [xT(u (1))T]T; u(1) = [«!•..«,JT; и <2) = [un+l...um]T;
в<3> =		; D(3) =	(и+1),е,^1 т
	bn(n+V)*"*bntn		dn(n+\)**'diun
Причем элементы вектора w(2) задаются произвольно. Формулы
(1.20), (1.21), (1.22) позволяют определить управление и(1) и пары
функций (а(/), х(х0, u(t), /)), удовлетворяющие одновременно обеим
системам дифференциальных уравнений (1.17), коэффициенты кото-
рых выбраны так, чтобы выполнялись принятые выше допущения.
1.5.5.	КРИТЕРИЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТА
Пусть структура ММ объекта имеет вид
х = Ах + Ви; х(0) = х0; А = [ац] пхп; В =	<1-23)
Задача определения элементов Ли В имеет единственное решение,
если полученные в эксперименте п. + т пары всктор-функций (Л),
(/), х0(г))), г = 1,..., п + т при различных линейно независи-
мых невырожденных (т.е. u(t) * кх(1)) функциях (I) и различных
(г)
начальных условиях удовлетворяют системе уравнений (1.23).
Предположим, что существует другая система уравнений той же
структуры
х = Сх + Du; х(0) = х0; С * A; D * В.	(1-24)
Тогда система уравнений, полученных в результате применения к
уравнениям (1.23) и (1.24) преобразования Лапласа
33
рЕ—А -В fz.[x(1)] L[x(2)]...L[x(,t+m)]
рЕ-С -£>] L[u(1)] L[M(2)]...£[M(n+w)]
(1.25)
(1)	(2)	(n+m)
л0	л0 —*0
(1)	(2)	Gi+w)
ХО	ХО ...ХО
должна быть совместной.
Из линейной независимости векторов следует линейная неза-
висимость векторов х(г). Пусть линейно независимы, но х(1) =
= кх(2\ тогда имеет место соотношение х(1) = кх (2) и, следователь-
но,
х^-Лх*1* =Ш(2)-Их<2>] =*>W<2> =
т.е. и w(2) линейно зависимы, что противоречит предположению
о линейной независимости функций w(r)(/). Из линейной независи-
мости функций (/) и х(,)(/) следует, что ранг матрицы
S£ [2] =	Lfx(1)]	LU^l.-Llx0'*"0]	(1.26)
	М«(1)]	L [и <2) ] ...L [и	(п+т)х(п+1п)
равен п + т. Поэтому
рЕ-А -В
рЕ-С —D
(1)	ОН+П)
ХО ...х0
(1)	(п+т)
х0 ...х0
ST1 [z].
(1.27)
Формулу (1.27) перепишем в виде
[РЕ-А-В] = [.v0(1)...x001+",)]Gf-1[zJ;
[рЕ-С-D] = [лг0П)...х00’*"’>] ST1 [z].
(1.28)
Правые части обоих уравнений одинаковы, поэтому равны и их левые
части
[рЕ-А В] = [рЕ-С -D].	(1-29)
34
Из равенства блочных матриц следует равенство их элементов: А =
= С и В = D, т.е. существует единственный набор коэффициентов
матрицы состояния и матрицы управления, при котором система пар
функций и (О, х(х0, iz(Z), t) удовлетворяет выбранной ММ.
Если значения коэффициентов выбранной для идентификации
модели, полученные для каждого из п + т различных режимов поле-
та, совпадают между собой, то принятая для идентификации модель
является единственной в классе линейных дифференциальных урав-
нений заданного порядка. При наличии ошибок измерений элементов
вектора состояния и управления и действии на самолет различных
неконтролируемых возмущений оценки параметров ММ будут слу-
чайными. Поэтому необходимо статистическое моделирование с
целью оценки области применения критерия.
1.5.6. УСЛОВИЯ СОВПАДЕНИЯ
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ
Рассмотрим две ММ, заданные в виде линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами:
п	т
j-Q
N	M
<L3°)
/=0	/=0
где W > n; Af > m; x(0) = x(Z); и(0) = u(Z); xl(t) = ——=
dt1
d (J) ll(t)
= -----; u(t) — непрерывная, M раз дифференцируемая функция;
dt*
(0 |^) = ^o/=O м-l “* начальные условия для первого уравнения;
х(,) 1ю = хо l}=0 N—1 начальные условия для второго уравнения.
Пусть пара функций (u(0, x(u(t), х0, х0(1) ,...,xjn“"l), 0) удовлет-
воряет как первому, так и второму уравнениям (1.30). Применим к
уравнениям (1.30) преобразование Лапласа
35
п	in	п п—к
L [х ] £ ар ‘ - L(u) £ bjP j = £ a kY Xq~1p 'l~‘-k -
i=0	/=0	A = 1	/ = 1
in m—k
»оЛ':
k=\	/=1
Л'	MN N—k
L [x]£ c^p ‘ - L{u) £ dp > = £ XQ~'pN-'~k -
i=0	j=O	k=l i=l
N M—k
- E 'Л E
A=1	/=1
Полученные соотношения (1.31) будем рассматривать как систему
<вух линейных алгебраических уравнений относительно L[.v] и L|/z],
)пределитель которой
п	in
£ aiP 1 -£ biP 1
i=0	j=0
Д = det
. M
£ ciP ‘ -£ djP j
i=0	j=0
Если Д * 0, то
t m ( W iV-k
Llxl  ‘	l-
A /=0	= 1	1=1
M	M-k	\	M	( Il
- E . £ «''-“p- E ' E ч -
£=0	/=1	J	/=0	Ц = 1
(1.32)
n—k	in	in—к
x E'оw>p
/=1	k=\	/=1
36
L[u] = 1
A
n (N N—k
Ea n 1 V' c V' г (,-1)_
alP LckL x0 P
l=o Lt-1 1=1
M	M-k	\	N	( 11
- E <** E
k~\	j=\	J	/=0	Ц-1
n—к	m	m—k
- E - E »<- E
/=1	Л-1	/-1	)
(1.32)
Функции x(t) и uit) могут быть найдены с помощью обратного преоб-
разования Лапласа функций (1.32).
Приведем несколько примеров.
Пример 1. Пусть х = и, х(0) = 1 — первая модель; х = и, х(0) =
= х (0) = 1 — вторая модель.
Найдем управление «(/), при котором наблюдаемый отклик удовлет-
воряет как первой, так и второй модели.
Применяя преобразование Лапласа, найдем систему уравнений
относительно искомых L[x] и L [//]:
pL[x\ — A[w] = х0;
p2L[x] — L[u] = х0 + рх0; х(0) = х(0) = 1.
Решая се, получим
Lfx] = _L; Ци] = _L.
/>—I	р—1
С помощью обратного преобразования Лапласа найдем
x(Z) = е r; uit) = е 1,
т.с. пара функций (ez, е{) удовлетворяет обеим моделям.
Пример 2. Пусть х(/) = uit), х(0) = 2 — первая модель; x(t) =
= й it), х(0) = 2 — вторая модель.
Пара функций it2 + 2r, 2t + 2) удовлетворяет обеим моделям. При
изменении начального условия на х(0) = 0 пара функций (/2 + 2/, 2/)
удовлетворяет первому уравнению, но не удовлетворяет второму.
37
Пример 3. Пусть х + Зх + 2х = е at, х(0) = х(0) = 0 — первая
модель (заметим, что из этого уравнения следует х(0) = 1; х*+ (а +
+ 4)х + (За + 5)х + 2(а + 1)х =	х(0) = х(0) = 0, х(0) = 1 —
вторая модель.
Пара функций
е“аГ, ---i--- [(а — 2)e~r + (1 — а)е“2г + е-аГ] ‘
а2—За+2
удовлетворяет обеим ММ, причем коэффициенты второй модели
зависят от параметра а, определяющего форму входного сигнала.
Пример 4. Пара функций
{О, с{е^ + с2е^ +
удовлетворяет дифференциальному уравнению
х' + а2х + а{х + а$х = 0, х(0) = х0, х(0) = х0, х(0) = х0.
Здесь Лр А.2, А,3 — корни характеристического уравнения
А.3 + а2Х2 + агХ + я0 = О,
а постоянные q, с2, с3 определяются по формулам
С1 = -г <Лз "" fxo ““ хо^2 +	+	’
Д
с2 — — (Aj — А3) [х0 — Xq(A| + Х3) + х0(А1Л3) ] ;
Д
с3 = — (Л2 — Aq) [Xq — Xq(Xj + А.2) + х0(А1А.2) ] j
Д
2
Д = (Л2 •“ Aq) [А3 - (Aq + Л2) Х3 + AqA<2] .
Если начальные условия удовлетворяют соотношению
•^0 ""	+	+ хо^1^2 = О,
38
то
х0^2“х0 . хо~"х(Л1 . п
с» — --------- ; с9 — .	j Со — и
Л2—А1
и решение дифференциального уравнения принимает вид
//\	^2^	*
Х(/) = CjC + с2с z.
Пара функций {0, сге^ + с2е*2*} удовлетворяет как исходному
уравнению третьего порядка, так и уравнению х + bx х + bQx = 0 с
начальными условиями х(0) = х0, х(0) = х0 (при этом х(0) = х0),
где Ь{ ~ “"(Л.| + А»2); b^ = A|A2j
../Пч ХО^2““ХО ,2 хО~хо\ .2
х(0) = -------- Xi + ---------- Л9.
Уравнение второго порядка можно рассматривать как линейную
связь между х, х, х, входящими в уравнение третьего порядка, кото-
рую можно исключить, подставляя в уравнение третьего порядка
выражение для х из уравнения второго порядка
х + (flj — а2Ь{)х + (а0 — я2й0)х = О,
где
х(0) = х0; х(0) = х0; х(0) = XqCA^ + А,2) — x0AqA,2.
Это уравнение можно привести к виду
2	2
х — (A.j + Aq А,2 + А,2)х + A.jA»2(Xj + А«2)х = 0.
Пример 5. Пара функций
<0 хо^2“"хо e-Pxt + xo~xqPi e~p2t .
Р1-Р\	Р1-Р1
удовлетворяет дифференциальному уравнению
х + (tfj — р3)х + (а0 — а{р3)х — а^р^х = 0
с начальными условиями
39
х(0) = х0; х(0) = х0; х(0) = — а{х0 — аохо,
где р3 — корень характеристического уравнения
Р3 + («1 - Рз>Р2 + («о - а\Рз>Р ~ аоРз = °’
Рр р2 ~ корни уравнения р2 + агр + а0 = 0, и дифференциальному
уравнению
х +	+ aQx = О
с начальными условиями х(0) = х0;	= х0.
Из приведенных примеров следует, что при определенных соот-
ношениях между входными сигналами и начальными условиями
наблюдаемый ’’выход” объекта может удовлетворять различным ММ.
Изменение начальных условий позволяет выделить математические
модели, не зависящие от начальных условий (см. пример 2).
Параметры ММ, которой удовлетворяет наблюдаемая пара функ-
ций (w(Z), х(0), могут зависеть от формы входного сигнала и(1) (см.
пример 3).
Для ММ при нулевом ’’входе” начальные условия могут быть та-
кими, что некоторые из составляющих свободного движения объекта
не возбуждаются. При этом оценка коэффициента модели становится
невозможной. Оцениваются только комбинации коэффициентов этой
модели или коэффициентов ММ меньшего порядка (примеры 4, 5).
При выборе структуры ММ для идентификации реального объекта
задача осложняется вследствие действия на объект различных некон-
тролируемых возмущений, наличия помех и искажений в результатах
измерения вектора состояния и управления. В этих условиях необос-
нованное увеличение порядка ММ может привести к тому, что оцени-
ваемые параметры модели будут принимать различные значения при
различных входных сигналах и различных интервалах наблюдения
вектора состояния объекта. При этом может обеспечиваться хорошее
совпадение измеренных и рассчитанных с помощью ММ переходных
процессов. Возможность существования дифференциальных уравне-
ний различных порядков, которым удовлетворяют одни и те же
результаты наблюдений, приводит к появлению линейной зависимос-
ти между переменными состояния и управления для модели большего
порядка и, следовательно, к невозможности оценивания всех парамет-
ров такой модели. Указанные выше особенности задачи структурнб-
параметрической идентификации подтверждают необходимость
выбора математических моделей в первую очередь на основе физики
процессов, характеризующих полет самолета, максимально допусти-
мого упрощения структуры модели, а также оценки адекватности
40
выбранной модели изучаемым режимам полета. Линейная или близ-
кая к линейной зависимость между элементами вектора состояния и
управления самолета при применении регрессионного метода наи-
меньших квадратов (МНК) проявляется в плохой обусловленности
?4атрицы системы нормальных уравнений. В методах, основанных на
численном поиске минимума выбранного критерия оценивания пара-
метров ММ, наличие линейной связи приводит к зависимости получа-
емых результатов от начальных приближений оцениваемых парамет-
ров. В методах, основанных на построении оценок плотностей распре-
деления параметров модели, наличие линейной или почти линейной
связи приводит к отсутствию или слабой выраженности экстремума
плотности распределения отдельных параметров.
1.5.7. ПРИМЕРЫ УПРАВЛЯЮЩИХ СИГНАЛОВ,
ИЗМЕНЯЮЩИХ СТРУКТУРУ
ИДЕНТИФИЦИРУЕМОЙ АДЕКВАТНОЙ ММ
Наиболее достоверная идентифицируемая ММ, строящаяся под
заданный конкретный маневр самолета в эксперименте, будет зави-
сеть от управляющего воздействия на рули самолета. Существуют
такие законы управления, которые коренным образом меняют струк-
туру адекватной ММ, описывающей движение самолета, и которые
могут не позволить оценить желаемые неизвестные коэффициенты.
В настоящее время можно выделить два случая вырожденных
управляющих воздействий, изменяющих структуру ММ движения
самолета. В первом из них управляющие воздействия непосредственно
влияют на структуру ММ и не зависят от метода оценивания неизвес-
тных параметров. Во втором — управляющие воздействия приводят к
вырожденным решениям вследствие использования конкретного
метода оценивания неизвестных параметров. В данной работе приво-
дятся примеры этих двух вырожденных решений для частных случаев
линейных систем.
Рассмотрим сначала пример, когда вырожденные решения не
зависят от метода оценивания неизвестных параметров.
Пусть движение самолета описывается линейным дифференци-
альным уравнением второго порядка
х = а{х + а2х + Ьи.	(1.33)
В качестве переменной х могут быть параметры а, пуу &zy со* и
т.д. Полагаем, что в эксперименте имеется возможность точно изме-
рить переменные u(t) и x(t) как функции времени. Функция u(t)
непрерывная и дважды дифференцируемая.
Ставится задача об оценивании неизвестных параметров а{у а2у Ъ
по результатам измерений на отрезке времени [/0, Т] переменных
41
u(f) и x(t) при заданной структуре ММ (1.33). В табл. 1.1 приведены
вырожденные законы управления u(t) относительно оценивания
неизвестных параметров и их различных сочетаний.
Рассмотрим другой пример построения вырожденных управляю-
щих воздействий, в котором используется метод наименьших квад-
ратов для оценивания параметров. При известных допущениях о
нормальности распределений случайных погрешностей и соответ-
ствующем выборе весовых матриц решения по методу наименьших
квадратов и методу максимального правдоподобия совпадают. Поэто-
му вырожденное решение будет обладать достаточной общностью,
чтобы его принимать во внимание в прикладных задачах.
Пусть движение самолета описывается системой линейных диффе-
ренциальных уравнений вида
х = Ах + Ви; x(1q) = х0 # 0.	(1.34)
Вектор неизвестных коэффициентов а = (Л, В) состоит из эле-
ментов матриц А и В. На практике часто закон управления выбира-
ется линейным, в частности, при работе систем автоматического
управления и  Сх. Можно показать, что такой закон управления
является вырожденным при допущении о невырожденности произ-
ведения СТС. Действительно, в соответствии с методом наименьших
квадратов из уравнения и = Сх найдем
х = (CTC)-1CTu.	(L35)
В этом случае система (1.34), связывающая x(t) и u(t), вырожда-
ется и приводится к более простой модели (1.35). Дифференциальное
уравнение для вырожденного закона управления можно найти, если
продифференцировать левую и правую части (1.35) и подставить
выражения для х и х в (1.34). Получим
[СтС]-1Стй = [Л(СТС)-1СТ + В]и
с начальным условием = Сх0 * 0- Введем новое обозначение
С = [СТС]-1СТ.
Тогда
Си = [АС + В] и.
Умножим обе части этого соотношения слева на матрицу С\ После
преобразования получим
й = (СТС)-1СТ(ЛС + В)и = Du.
42
Решение этого уравнения имеет вид
Z)(r—Го)
и = UqC
Следовательно,
х = CuQe и ,
где и0 = Сх0; D = (СТС)-1СТ(ЛС + В),
откуда видно, что на вырожденном режиме можно вычислить только
линейную комбинацию неизвестных коэффициентов (АС + В) и
структура ММ движения самолета преобразуется к более простой.
Рассмотрим пример, в котором на вырожденный закон управления
накладываются условия только в одной точке, т.е. только в началь-
ный момент времени. Это случай, когда исходную систему можно
преобразовать к системе наименьшего порядка. Данный пример носит
несколько формальный характер. Однако с его помощью можно выя-
вить еще один случай редукции ММ движения объекта и вырожден-
ности параметрической идентификации.
Пусть уравнение объекта имеет вид
(1.36)
х + а{х + а2х = й + Ьи.
Начальные условия:
х(/0) = х(/0) = 0; w(/0) = 0.
Кроме того, положим, что ах = а + b; а2 = ab.
При таких допущениях уравнение (1.36) преобразуется к виду
х + ах = w.	(1.37)
Действительно, воспользуемся преобразованием Лапласа для
уравнения (1.36) с учетом начальных условий и ограничений на
коэффициенты ах и я2:
р2х(р) + (а + Ь)рх(р) + аЪх(р) = (р + Ь)и(р).
Отсюда
(р + я)х(р) = м(р)
и с помощью обратного преобразования Лапласа приходим к (1.37).
В этом примере параметры av а2, b не идентифицируются и
можно вычислить только коэффициент а для регулированной струк-
туры ММ движения объекта (1.37).
43
Условия вырожденности задач оценивания коэффициентов ММ вида
с начальными условиями Х^д) = Хд, ^(/д) = Хд, иЩ) = Ug, u(Zg) = Uq
Известные параметры	Оценива- емые параметры	Условия вырожденности задачи			Управления, приводящие к вырожденной задаче
Мг	b	u(0 = 0			u(t) = 0
ар b	a2	X{t) = 0			u(t) * 0
аг, b		x(t) » 0			о * । 3
b	a2, d\	det	X X x i	-0	u(t) - Х0 ( *0 У f 1 т 7 -а1 7 -*2 х ДХ0/ 7 х \ X exp — (t - to) 1хо/
«2	0|, b	det	X и X u	-0	Ил u(t) = -2. x(t) *0
44
Таблица 1.1
х = atx + а2х + bu
на интервале t € [/q, Т]
Эквивалентная идентифицируемая модель	Переходный процесс для вырожденной задачи
х = atx + а^х	x(t) =	е₽1‘ + Pi~Р\	Pi~P\ при pt # Р2 x(t) = [х0 + (Л,, - plx^fiePi' при pt - p2
x(t) = 0	x(t) = 0
а2х + Ьи-0	x(t) - x0
*• 1о*- ✓ II .—25	ч * L*- О | О + к? + г	x(t) =xoex“
£ 1 •к 		ч ио|к° + <Г и	x(0 =	e«i' + при qY * q2‘
45
Известные параметры	Оценива- емые параметры	Условия вырожденности задачи	Управления, приводящие к вырожденной задаче
а\	^2» Ь	X и! det	- 0 х и	U(f) = -2 x(t) хо
—	в„ аг, Ь	х х и det х х й - 0 X X й|	й + с{й + с2и = 0, й0
* Рр Рг “ К°РНИ характеристического уравнения р2 — а{р — - 0;
q2 — корни характеристического уравнения q2 —
*0
*0
Q -а2
- 0;
46
Продолжение табл. 1.1
Эквивалентная идентифицируемая модель	Переходный процесс для вырожденной задачи
х = atx + |а2 + b — |х \	хо)	х(г) = [х0 + (х0 — при <?, - <?2; х(0 = 'г°Го~^0 ev + ^»~У1 е'1‘ Г2~Г1	Г2~Г1 при Г| * г2; x(t) = [х0 + (х0 - г1х0)г]е‘”’1' При Г| - г2***
(Cj — at)x — (с2 — а2)х = Ьи	х(р)		 + р^с^а^-^-с^ + 	Ь[«о + (Р~ ct)“0]	 (р2-с1р-с2)[р(с1-а1)-(а2-с2)] где и0 — (С| — а,) х0 + (а2 — c2>'Yo “ °’ £й0 -	+ (а2 - с2)х0 - [c/Oj - Cj)- ^i)]Xq ~ 0
*** гр г2 ~ КОРНИ характеристического уравнения г2 — я/ —
♦*** с,, с2 — произвольные постоянные; uQ, Xq, Xq — произвольные начальные
значения параметров.
47
2.	СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
ММ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
ММ, описывающие движение самолета в полете, определяются
для решения следующих задач:
проведения моделирования и расчетов с целью получения досто-
верных данных для оценки эффективности самолета и его систем,
обеспечения безопасности полетов, сокращения объема летных испы-
таний, отработки систем управления, систем навигации и т.д.;
выявления причины появления нежелательных особенностей
самолета в процессе проведения летных испытаний и принятия мер
по их устранению;
определения по коэффициентам ММ нормируемых критериев,
характеризующих устойчивость и управляемость самолета;
настройки систем адаптивного автоматического управления,
оценки соответствия характеристик летающих лабораторий какому-
либо самолету при моделировании в полете его динамики;
определения исходных данных, необходимых при использовании
самолета в качестве измерительного эталонного средства для иссле-
дования атмосферной турбулентности, оценки статистических харак-
теристик неровностей аэродромов;
определения причин летных происшествий, установления причин
отказов самолетных систем, наличия разрушений конструкции;
оценки сходимости результатов летных испытаний продувок в
аэродинамических трубах и аэродинамических расчетов с целью
совершенствования расчетных методов и т.д.
Для успешного решения задачи идентификации необходимо пра-
вильно выбрать структуру ММ, соответствующую предполагаемой
области применения модели, выбранным начальным условиям и
принятым ограничениям на область изменения параметров движения.
Следует оценить необходимость учета различных факторов, дей-
ствующих на ЛА в полете; обоснованность принятых допущений о
линейности, стационарности, о влиянии упругости конструкции,
динамики систем управления, колебаний топлива в баках, влиянии
характеристик силовой установки на исследуемых режимах полета.
Для идентификации необходимо выбрать модель наиболее про-
стой структуры. Необоснованное усложнение модели приводит к
плохо обусловленной задаче идентификации, и оценка значений
коэффициентов модели будет определяться в основном уровнем и
48
свойствами ошибок, а не характеристиками самолета. Структуру ММ
в значительной степени определяет априорная информация о типе и
конструктивных особенностях исследуемого самолета (кон-
структивной схеме, схеме системы управления и т.д.), данные о силах
и моментах, действующих на самолет, полученные на основании
продувок в аэродинамических трубах, аэродинамических расчетов,
испытаний прототипов самолетов. К факторам, влияющим на процесс
идентификации, помимо указанных выше относятся:
объем, форма и степень достоверности априорной информации об
объекте испытаний и информационно-измерительной системе;
зависимость структуры ММ от диапазона изменения параметров
на каждом из исследуемых режимов полета (на интервале наблюде-
ния состояния);
кажущееся изменение структуры модели при определенных
формах входных сигналов, подаваемых на органы управления при
выполнении испытательных маневров;
искажения, вносимые в выбранный входной сигнал системой
автоматического управления;
наличие неконтролируемых возмущений, действующих на само-
лет в полете (ветровых возмущений, температурных возмущений,
попадания в спутный след, дождя и т.д.);
особенности измерений и регистрации параметров состояния
самолета и его системы управления (состав и структура поля изме-
рений; погрешности измерительных приборов; динамические иска-
жения, вносимые датчиками; погрешности измерений; ошибки кван-
тования, связанные с частотой дискретизации, разрядностью кодов
параметров и синхронизацией измерений; ошибки регистрации;
грубые промахи) ;
невозможность измерения некоторых параметров и необходи-
мость расчета их по результатам косвенных измерений и т.д.
В силу указанных причин надежное оценивание ММ в широком
диапазоне изменений параметров движения и внешних условий
может быть выполнено на основе системного подхода к этой проблеме
при рациональном использовании летного эксперимента, продувок в
аэродинамических трубах, расчетных методов, имитационного моде-
лирования, обобщения опыта летных испытаний прототипов исследу-
емого самолета, планирования летного эксперимента. На всех этапах
идентификации ММ необходима проверка адекватности ММ реально-
му самолету. Реализация системного подхода связана с созданием
банка данных аэродинамических характеристик каждого самолета;
разработкой пакетов программ и диалоговых систем идентификации,
систем имитационного моделирования; управлением процессом иден-
тификации.
49
2.1.	СТРУКТУРНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ИДЕНТИФИКАЦИИ ММ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
Процесс идентификации параметров ММ движения самолета
состоит из ряда последовательных этапов, включающих:
планирование летного эксперимента по идентификации;
получение измерительной информации в летном эксперименте;
подготовку априорных данных и задание их в системы автомати-
зированной обработки;
подготовку измерительной информации к решению задачи иден-
тификации, выбор режимов полета;
определение структуры ММ для конкретных испытательных
режимов полета;
выбор критерия и метода оценивания параметров модели;
вычисление оценок параметров модели и точности их определе-
ния, доверительных интервалов оценок;
проверку адекватности полученной ММ конкурентному самолету
и оценку области применения модели;
накопление результатов идентификации в банке данных систем
обработки;
определение зависимостей коэффициентов ММ от параметров
состояния и внешних условий;
отображение и документирование результатов идентификации.
На основании опыта определения аэродинамических характеристик
самолета по результатам летного эксперимента можно предложить
структурную схему решения задачи идентификации ММ, показанную
на рис. 2.1.
При подготовке измерительной информации решаются следую-
щие основные задачи:
получение значений параметров;
устранение сбоев и динамических погрешностей измерений;
подавление помех (сглаживание, фильтрация);
согласование параметров на основе избыточности измерений;
устранение систематических ошибок;
расчет параметров по результатам косвенных измерений;
оценка погрешностей измерений.
Данные о параметрах состояния и управления отображаются на
экранах дисплеев или на графиках с последующей проверкой этой
информации, удалением ошибочных записей или исправлением оши-
бок. Проверка данных на системах автоматизированной обработки
осуществляется путем контроля выполнения кинематических соот-
ношений между регистрируемыми параметрами. Для уточнения по-
стоянных составляющих ошибок и динамических искажений, вно-
50
51
симых измерительными приборами, используется метод настраи-
ваемой модели (для тех же целей возможно применение расширен-
ного фильтра Калмана). Кинематические соотношения интегрируются
при выбранном наборе начальных условий. Результаты сопостав-
ляются с непосредственными измерениями тех же параметров. С
целью количественной оценки ошибок применяют модели ошибок,
свои для различных типов измерительной аппаратуры. Если рас-
хождение вычисленных и измеренных параметров находится в
хорошем согласии с оценками погрешностей датчиков, найденными
при статистическом анализе измерительной информации, то мате-
риалы режима полета могут быть использованы для определения
параметров ММ самолета. Применение метода настраиваемой моде-
ли (при выбранной модели ошибок) позволяет уточнить ошибки
смещения параметров (углов крена, тангажа, рыскания, угла ата-
ки, угловых скоростей, проекций на связанные оси координат
линейных ускорений). На основании анализа отредактированной
информации, имеющейся априорной информации о характеристиках
самолета (продувок в аэродинамических трубах, результатов
расчетов, материалов испытаний прототипов и т.д.) осуществляет-
ся выбор структуры ММ. На этом этапе идентификации решаются
следующие задачи:
проверка линейной независимости переменных состояния и управ-
ления объекта для модели на интервале наблюдения (по известным
критериям или непосредственно по графикам);
проверка значимости коэффициентов модели по статистическим
критериям;
исключение линейно зависимых переменных моделей и малозна-
чащих коэффициентов модели;
оценка необходимости включения в модель параметров, харак-
теризующих упругость конструкции, нестационарность атмосфе-
ры и т.п.;
оценка возможности применения линеаризованной модели;
учет влияния параметров, не подлежащих идентификации в
выбранной модели (введение поправок на наличие бокового движения
в задаче идентификации моделей продольного движения, введение
поправок на наличие продольного движения в задаче идентификации
ММ бокового движения и т.д.).
Обычно процесс идентификации начинается с применения наибо-
лее простых регрессионных методов, позволяющих получать хорошие
оценки параметров при большом значении отношения сигнал/шум и
нулевом среднем значении погрешностей измерений. Полученные
результаты используют в качестве начального приближения для
других более сложных методов.
52
Выбор метода идентификации для анализа конкретного режима
полета зависит от ряда факторов, среди которых можно выделить:
уровень сложности ММ;
предполагаемую область использования модели;
требования к точности результатов;
наличие априорной информации, ее форму, объем, точность;
уровень помех при измерениях;
наличие или отсутствие грубых промахов в измерениях;
располагаемую вычислительную мощность системы обработки;
требования к оперативности получения результата идентифи-
кации;
результаты анализа полученной модели.
Например, если ММ применяется в адаптивных системах управ-
ления, одним из основных требований, которому должен удовлетво-
рять метод идентификации, является его быстродействие. При этом
используют наиболее простые ММ. Если идентификация ММ выпол-
няется с целью определения банка характеристик самолета и оценки
зависимостей аэродинамических характеристик от параметров
состояния и условий проведения эксперимента, наряду с определе-
нием частной ММ решается задача идентификации параметрических
зависимостей, например, путем представления их в виде среднеквад-
ратических сплайнов. Можно привести несколько общих рекоменда-
ций по выбору критерия и метода идентификации ММ ЛА.
При низких уровнях шумов в результатах измерений можно
применять наиболее простые и ’’быстрые” методы идентификации,
основанные на минимизации суммы квадратов невязок уравнений,
позволяющие получать аналитические формулы для оценок парамет-
ров модели и точности их определения. При наличии сбойных изме-
рений и низком общем уровне помех целесообразно применять метод
наименьших модулей. При низких уровнях помех и наличии
постоянных смещений в показаниях датчиков можно применять метод
модулирующих функций. При среднем уровне помех в измерениях
хорошие результаты дает метод настраиваемой модели, позволяющий
минимизировать взвешенную сумму квадратов невязок переходных
процессов. При больших уровнях помех эффективным является метод
максимума правдоподобия в сочетании с калмановской фильтрацией
и оценок функций чувствительности [20]. По мере возрастания
сложности метода оценивания существенно увеличивается машинное
время, затрачиваемое на идентификацию.
Большинство методов идентификации связано с необходимостью
применения численных методов минимизации выбранного критерия,
т.е. решения задачи определения минимума функций многих пере-
менных. Выбор метода минимизации существенно зависит от вида
53
поверхности минимизируемого критерия. Рациональная стратегия
поиска минимума основана на последовательном применении раз-
личных частных методов минимизации. В случае, когда текущие
значения оценок параметров существенно отличаются от оценок,
соответствующих минимуму выбранного функционала качества
идентификации, целесообразно применять более простые ’’грубые”
методы поиска минимума. По мере приближения оценок параметров
к оптимальным целесообразно изменить методы поиска на более
точные, но требующие бблыпих затрат машинного времени. Такая
стратегия поиска минимума функционала, в частности, реализована
в диалоговой системе идентификации на системе ’’Темп”. Среди
хорошо зарекомендовавших себя методов можно выделить метод
деформируемого многогранника и модифицированный метод покоор-
динатного спуска [3]. Следует отметить, что эффективность методов
численной минимизации определяется априорной оценкой допустимой
области поиска минимума и априорно задаваемыми начальными
приближениями оценок параметров.
2.2.	АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ
И ДОСТОВЕРНОСТИ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Оценка точности результатов идентификации может выполняться
либо непосредственно, путем анализа разброса оценок параметров
модели, найденных при обработке ансамбля испытательных режимов,
выполненных в одинаковых условиях, и сопоставления полученных
результатов с априорными данными, либо расчетами, основанными
на проведении имитационного моделирования. В случае единичных
экспериментов расчетные методы являются практически единствен-
ным способом оценки ошибок идентификации. Для линейных по
параметрам ММ расчетная оценка точности идентификации может
быть получена на основании оценок ошибок в исходной информации
с помощью метода переноса ошибок и оценок смещения
определяемых параметров модели [25]. При применении метода
максимума правдоподобия ориентировочные оценки ошибок
параметров модели вычисляются с помощью расчета нижней границы
дисперсии ошибок в соответствии с неравенством Крамера — Рао
[20]. Достоверность оценок определяется путем построения дове-
рительных интервалов для оцениваемых значений параметров. Алго-
ритмы оценок ошибок идентификации для некоторых конкретных ме-
тодов оценивания приведены в соответствующих разделах данной
работы.
54
2.3.	АНАЛИЗ АДЕКВАТНОСТИ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Оценка параметров ММ движения самолета может преследовать
различные цели. В общем случае цель идентификации — определение
структуры и параметров ММ, позволяющей предсказать динамику
исследуемого типа самолета с требуемой точностью. Степень соответ-
ствия ’’поведения” ММ и поведения самолета характеризует адекват-
ность получаемой модели реальному аппарату.
Следует иметь в виду, что помимо общей ММ, которая должна
отражать основные динамические свойства объекта во всей области
его существования [14], применяют частные ММ, создаваемые для
описания отдельных видов движения в определенных внешних усло-
виях (модель бокового движения, модель продольного движения, ли-
нейная ММ, нелинейная модель, модель жесткого самолета, модель
упругого самолета, модель, учитывающая нестационарность атмосфе-
ры и т.д.). Для каждой частной модели необходимо указывать область
ее возможного применения (область адекватности). С оценкой
адекватности ММ движению ЛА приходится встречаться при любых
задачах, связанных с использованием моделей.
Необходимым условием адекватности модели реальному самолету
является требуемая для целей применения точность оценивания
параметров модели. Ясно, что это условие не является достаточным.
Модель, параметры которой оценены с малыми ошибками, может ока-
заться применимой только для описания единственного конкретного
режима полета, по материалам которого была выполнена иден-
тификация. Для оценки степени адекватности моделей применяются
следующие критерии, полученные на основании практического опыта
[17].
1.	Переходные процессы, наблюдаемые в эксперименте, и процес-
сы, полученные при моделировании с использованием найденной в
результате идентификации модели из ранее выполненных в экспе-
рименте режимов, должны соответствовать друг другу при одних и
тех же входных сигналах в эксперименте и при моделировании, если
наблюдаемые режимы имеют одну и ту же область изменения пара-
метров состояния и управления и аналогичные внешние условия.
2.	Невязки дифференциальных уравнений движения в моменты
времени измерения элементов вектора состояния и управления до-
лжны быть достаточно малы и находиться в статистическом согласии
с погрешностями измерений отдельных параметров.
3.	Полученные с помощью ММ характеристики самолета должны
соответствовать аналогичным характеристикам, найденным непо-
средственно по измерительной информации без предположений о виде
55
и структуре ММ. Например, балансировочные зависимости, рассчи-
танные с помощью модели, должны соответствовать балансировочным
зависимостям, полученным непосредственно в летном эксперименте;
обобщенные критерии устойчивости и управляемости (период и
декремент затухания свободных колебаний, отношение амплитуд
свободных колебаний крена и рыскания к, время достижения пара-
метров уровня установившегося значения при ступенчатом входном
сигнале, расходы рулей на создание единичной перегрузки и т.п.),
полученные с помощью ММ, должны соответствовать аналогичным
критериям, найденным из анализа зарегистрированных в полете пере-
ходных процессов.
4.	Для линейных по параметрам ММ частотные характеристики,
рассчитанные по ММ, должны соответствовать частотным характе-
ристикам, полученным непосредственно из полетных записей путем
гармонического анализа переходных процессов.
5.	Векторные диаграммы для каждого уравнения системы диффе-
ренциальных уравнений, описывающих ММ, построенные на основа-
нии совместного использования параметров ММ и экспериментальных
частотных характеристик, должны быть замкнуты. Они строятся для
выбранной последовательности частот [6].
Оценку адекватности необходимо выполнять как для каждой
частной ММ, так и для полной ММ движения. Такая проверка стро-
ится по иерархическому принципу. Для каждой частной ММ должна
быть оценена область ее применения, т.е. допустимая область измене-
ния элементов векторов состояния, управления и внешних условий,
в которой частная модель адекватно описывает поведение самолета.
Оценку адекватности целесообразно начинать с рассмотрения отдель-
ных коэффициентов системы дифференциальных уравнений движе-
ния. (Для линейной ММ эти коэффициенты совпадают с производны-
ми коэффициентов аэродинамических сил и моментов, действующих
на самолет в полете.) Одним из возможных подходов к оценке адек-
ватности аэродинамических коэффициентов является рассмотрение
точности выполнения алгебраических соотношений между коэффици-
ентами, получаемых путем проектирования векторной диаграммы для
каждого уравнения при различных частотах со на ряд направлений,
каждое из которых ортогонально векторам, образующим векторную
диаграмму. Тем самым, последовательно исключается влияние каждо-
го коэффициента модели на векторные диаграммы, что позволяет
выявить коэффициенты, определенные с большими погрешностями.
Другим способом контроля правильности оценки отдельных коэффи-
циентов модели или совокупности коэффициентов является способ,
основанный на сопоставлении рассчитанных по коэффициентам
модели и непосредственно оцененных по переходным процессам ха-
56
рактсристик самолета. Например, при рассмотрении бокового движе-
ния можно приближенно записать, что параметр к = /Ао, пред-
ставляющий собой отношение амплитуд свободных колебаний пара-
метров и су может быть оценен по формуле [8]
у
N	л	J
Если расчетное значение к сильно отличается от экспериментального,
— 0	— 0	— G)t
можно сделать вывод, что некоторые из параметров М*, М?, Мх
оценены неверно [17].
Следующим этапом оценки адекватности является проверка адек-
ватности каждого уравнения движения самолета в отдельности,
например с помощью сопоставления расчетных и экспериментальных
балансировочных зависимостей или с помощью векторных диаграмм.
Затем оценивается адекватность всей частной ММ, например путем
интегрирования системы дифференциальных уравнений и сопоставле-
ния расчетных и наблюдаемых процессов на тестовых входных сигна-
лах. Адекватность полной ММ может быть оценена с помощью имита-
ционного моделирования.
2.4.	ПРИМЕНЕНИЕ БАЗ ДАННЫХ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Опыт исследования в летных испытаниях характеристик устойчи-
вости и управляемости самолета показывает, что построение полной
ММ движения в достаточно широкой области изменения параметров
состояния и управления связано с необходимостью совместной обра-
ботки материалов различных летных экспериментов. Например, без
совместной обработки последовательности испытательных режимов
невозможно экспериментально оценить частотные характеристики
самолета в случае одновременного действия возмущающих сигналов
на различные органы управления. Совместная обработка последова-
тельностей испытательных маневров необходима для определения
зависимостей аэродинамических коэффициентов от параметров поле-
та. Применение баз данных позволяет выбирать из серии эксперимен-
тов участки записей, относящихся к заданному диапазону изменения
параметров, влияющих на численные значения аэродинамических
характеристик, что обеспечивает возможность применения для иден-
57
тификации более простых частных моделей (не связанных с конкрет-
ным режимом) и соответственно более простых и быстродействующих
методов идентификации. На ряде специализированных систем обра-
ботки материалов летного эксперимента разработано математическое
обеспечение, позволяющее накапливать информацию об отдельных
испытательных маневрах, редактировать ее, дополнять или изменять
содержание базы данных, осуществлять выборку информации из базы
данных по специальным признакам.
2.5.	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ММ
ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
Идентификация ММ движения самолета основана на разработке
диалоговых систем идентификации и имитационного моделирования,
позволяющих реализовать системный подход к решению этой пробле-
мы. В процессе идентификации ММ исследователю приходится ре-
шать большое число частных задач, указанных ранее: выполнять
подготовку измерительной информации к решению задач идентифи-
кации, априорных данных, осуществлять выбор ММ, планирование
летного эксперимента, организовывать базы данных и результатов
идентификации, выполнять проверку точности получаемых оценок и
адекватности полученной модели реальному объекту, оценивать
область применимости модели, документировать и отображать ре-
зультаты идентификации и др. Решение этих задач основано на
разработке программных модулей, с помощью которых осущест-
вляется создание пакетов прикладных программ, включаемых в
систему идентификации, позволяющую свести к минимуму этап
программирования и подготовки задач идентификации ММ
конкретного самолета для счета.
2.6.	ПЛАНИРОВАНИЕ ЛЕТНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
ПО ОЦЕНИВАНИЮ ПАРАМЕТРОВ ММ САМОЛЕТА
Оптимальное планирование летных испытаний по идентификации
ММ движения становится актуальной задачей в связи с возросшими
требованиями к полноте, точности, оперативности определения
характеристик современных самолетов и их систем, необходимостью
сокращения сроков их испытаний и доводки. Необходимость опти-
мального планирования летных испытаний обусловлена существен-
ным усложнением авиационной техники, расширением диапазонов
58
высот и скоростей полета, быстрой сменой внешних условий при
проведении летного эксперимента, невозможностью выполнения в
отдельном полете достаточного числа испытательных маневров,
нелинейным характером зависимостей аэродинамических характе-
ристик от параметров состояния и управления, применением сложных
цифровых систем управления и рядом других факторов, характеризу-
ющих возросшую сложность задач идентификации характеристик
самолета. Надежное оценивание параметров ММ движения требуется
для настройки систем автоматического управления, проведения
сопровождающего моделирования, обеспечения успешного выпол-
нения полетных заданий, повышения уровня безопасности проведения
летных испытаний, а в ряде случаев и для обеспечения возможности
проведения летного эксперимента.
Современный подход к решению задачи идентификации ММ
движения основан на рациональном сочетании методов расчетной
аэродинамики [4], результатов продувок в аэродинамических трубах,
математического и полунатурного имитационного моделирования и
летного эксперимента. Актуальной становится задача планирования
летного эксперимента по идентификации как задача подтверждения
в летных испытаниях априорных данных о характеристиках самолета
и его систем при минимальном объеме полетов и наличии ограни-
чений по безопасности эксперимента, требуемой точности и достовер-
ности результатов.
В общей постановке задача оптимального планирования летного
эксперимента по идентификации является многокритериальной.
Выбор критерия оптимальности эксперимента представляет собой
достаточно сложную техническую задачу. Поэтому практическую
реализацию оптимального планирования следует осуществлять поэ-
тапно, исходя из иерархического принципа оптимизации. Критерием
оптимальности плана эксперимента может служить некоторый функ-
ционал, зависящий от априорных данных, их достоверности, класса
моделей движения, вектора наблюдений, уровня шумов, действующих
на самолет в полете, требуемой точности оценок зависимостей
аэродинамических характеристик от параметров состояния и
управления, условий эксперимента, вида управляющих сигналов,
длительности интервала наблюдения, затрат на эксперимент и
обработку его результатов и т.д.
Сложность такого критерия не позволяет в настоящее время
реализовать задачу оптимального планирования в общей постановке.
Квазиоптимальный план эксперимента по идентификации ММ
самолета строится на основании разбиения задачи планирования на
ряд последовательных этапов. Для каждого из этапов вводится свой
критерий оптимальности. Последовательная оптимизация отдельных
этапов планирования выполняется с целью сокращения времени
испытаний и затрат на оценивание характеристик самолета при
59
60
условии обеспечения безопасности эксперимента, требуемой точ-
ностей достоверности результатов оценивания, полноты набора опре-
деляемых характеристик. На рис. 2.2 приведена структурная схема
последовательного решения задачи составления плана летного
эксперимента. По мере накопления экспериментальных данных план
эксперимента уточняется. На первом уровне планирования летного
эксперимента по идентификации ММ решается задача оптимального
выбора условий полета, при которых следует оценивать коэффици-
енты ММ движения с целью наиболее точного определения зависи-
мостей характеристик самолета [27] от параметров состояния и
условий эксперимента (подтверждения характеристик при наличии
априорных данных), выявления особенностей поведения, оценки
характеристик устойчивости и управляемости в наиболее важных об-
ластях эксплуатации. Указанные задачи решаются на основе теории
аппроксимации функций многих переменных (оптимальный выбор
аргументов функции для ее аппроксимации при наличии ограни-
чений), опыта проведения летных испытаний [23], сравнения раз-
личных вариантов эксперимента при имитационном моделировании.
На втором уровне планирования летного эксперимента проводится
оптимальный выбор частных испытательных маневров, выполняется
оценка допустимой сложности ММ, соответствующих частным
испытательным маневрам. Производится синтез оптимальных вход-
ных сигналов, подаваемых на органы управления при выполнении
испытательных режимов для идентификации. Оценивается
необходимое число повторений каждого маневра для обеспечения
требуемой точности оценок параметров моделей. Уточняется
оптимальная последовательность выполнения испытательных манев-
ров в полете, исходя из минимума времени, затрачиваемого на
подготовку к выполнению каждого маневра, и требуемых условий его
выполнения.
При выборе ММ необходимо учитывать:
наличие достоверных априорных данных о значениях отдельных
параметров ММ (что позволяет упростить процесс идентификации за
счет уменьшения числа одновременно оцениваемых параметров);
перечень характеристик самолета, подлежащих оцениванию в
летном эксперименте;
требуемую точность результатов оценивания параметров модели;
ограничения, накладываемые на выполнение испытательных
маневров (условия устойчивости и управляемости, условия безопас-
ности эксперимента, ограничение по прочности и т.д.);
состав измеряемых параметров и особенности ИИС (разрядность
кодов параметров, частоту дискретизации, уровень помех, динами-
ческие погрешности датчиков или модели ИИС и т.д.);
61
располагаемые вычислительные мощности и уровень математи-
ческого обеспечения (пакеты программ редактирования, имитацион-
ного моделирования, идентификации, отображения и документиро-
вания, статистического анализа и т.д.);
возможность проявления нежесткости конструкции, нестацио-
нарное™ обтекания;
особенности работы автоматических систем стабилизации и
управления;
нелинейную зависимость коэффициентов модели от параметров
состояния.
Следует иметь в виду, что более подробная ММ полнее отражает
особенности поведения самолета, однако усложнение модели, как
правило, приводит к увеличению ошибок оценивания отдельных
параметров модели, увеличению затрат машинного времени на
идентификацию. Возрастает вероятность проявления некорректности
задачи идентификации вследствие несоответствия модели и реального
самолета [23].
Синтез оптимальных по структуре или спектральному составу
входных сигналов выполняется обычно по критерию ”Л-оптималь-
ности” или на основании анализа функций чувствительности [25].
При этом необходимо учитывать допустимые диапазоны изменения
параметров на каждом испытательном режиме, наличие ограничений
на значения углов отклонений и скорости отклонений органов
управления и ряд других ограничений, зависимость структуры модели
от уровня и формы входных сигналов и т.д. Для линейной по
параметрам модели оптимальный входной сигнал может быть постро-
ен на основе записей отклика самолета на импульсный входной
сигнал, подаваемый на один из органов управления.
На третьем уровне планирования выполняется планирование об-
работки результатов экспериментов, выбор критериев и методов
оценивания параметров частных ММ, накопление базы испытатель-
ных маневров и организация их совместной обработки, определе-
ние последовательности применения различных методов иденти-
фикации и т.д.
Четвертый уровень планирования связан с решением задачи
построения полной ММ самолета на основании идентификации
частных ММ, накопления в базе данных результатов идентификации.
На этом этапе оценивается достаточность полученных данных для по-
строения полной ММ, проводится оценка адекватности полной модели
реальному самолету, вычисляются затраты на идентификацию и
принимается решение об окончании работы, продолжении испытаний
или изменении плана эксперимента.
62
3.	СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ
3.1.	ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ
АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК САМОЛЕТА
И ММ ДВИЖЕНИЯ ПО ДАННЫМ
ОДНОГО ИСПЫТАТЕЛЬНОГО РЕЖИМА
Рассмотрим задачу определения производных аэродинамических
сил и моментов самолета и их статистических характеристик по
результатам полетных записей переходных процессов и углов откло-
нения органов управления в одном конкретном режиме. Предполо-
жим, что перед испытанием проведен выбор рациональных (опти-
мальных) режимов полета (Мо, Но, ...) и законов управления (бв(/),
бэ(0, дн(/), ...) для выполнения контрольного маневра с целью опре-
деления заданного перечня производных аэродинамических сил и
моментов. На основании предварительных априорных исследований
и численного моделирования выделен класс допустимых структур
ММ, описывающих движение самолета и работу ИКС. По возмож-
ности использовано полунатурное моделирование по уточнению
набора гипотез о ММ и определены условия, при которых эти модели
справедливы. Выделено минимальное множество гипотез о ММ дви-
жения и работы ИИС. Для множества возможных ММ проверена их
непротиворечивость и соответствие выбранному для анализа экспери-
ментальному режиму.
Для каждой ММ, описывающей движение самолета, выделяется
идентифицируемая часть модели. Для линейных систем это можно
сделать с помощью анализа передаточных функций, а для нелиней-
ных систем — с помощью непосредственного анализа правых частей
уравнений, описывающих движение самолета. Для каждой ММ прово-
дится проверка наблюдаемости системы.
При проведении натурных испытаний самолета с помощью ИИС
на магнитном накопителе в дискретные моменты времени регистри-
руются коды параметров движения и коды углов отклонений органов
управления. Затем в автоматизированной системе производится
первичная обработка данных, пересчет кодов параметров и приведе-
ние их к истинным физическим размерностям; выполняется статис-
тический анализ реализаций параметров траектории. Определяются
оценки статистических характеристик этих реализаций и погреш-
ностей измерений.
После предварительных замечаний техническую задачу можно
поставить следующим образом.
63
Даны результаты первичной обработки параметров движения и
углы отклонения органов управления в дискретные моменты времени
в одном контрольном режиме при испытаниях V, Н, пх, пу, nz, <ох,
со2, Ф, 0, Y> бв, и т-д* Частично или полностью известны инер-
ционно-массовые и геометрические характеристики самолета т, /х,
Iy, Iz, Ixy, Ixz, S, I, b„ и т.д. Определены минимально возможные
варианты структур ММ, описывающих движение самолета в заданном
контрольном режиме с учетом нелинейности аэродинамических
характеристик, упругости конструкции, внешних возмущений, обус-
ловленных турбулентностью атмосферы и другими факторами. Извес-
тны возможные ММ работы информационно-измерительных уст-
ройств и получения результатов измерений. После первичной обра-
ботки определены оценки статистических характеристик случайных
погрешностей измерений и других случайных параметров и процес-
сов, входящих в ММ движения.
Требуется определить наиболее достоверные оценки производных
z а а В Че	ч.
аэродинамических сил и моментов (су , mz , ту, тх , ... и т.д.) и
ММ, описывающую движение самолета и результаты измерений.
Специфика обобщенной постановки задачи состоит в том, что для
описания результатов измерений и движения самолета допускаются
нелинейные стохастические дифференциальные уравнения в дис-
кретной и непрерывной формах. Кроме того, возможны различные
варианты частных задач. Например, известна ММ ИИС, а неизвест-
ными остаются только ММ движения самолета. Могут рассматри-
ваться частные случаи форм движения, в каждой из которых изме-
няются свои перечни определяемых аэродинамических и моментных
характеристик. В качестве неизвестных помимо аэродинамических
сил и моментов допускаются инерционно-массовые и другие харак-
теристики самолета. Эти неизвестные параметры могут быть вклю-
чены в общий перечень идентифицируемых коэффициентов.
3.2.	ОБОБЩЕННАЯ НЕКОРРЕКТНОСТЬ
ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА
И МЕТОДЫ ЕЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
Задача идентификации неизвестных параметров относится к
категории обратных задач динамики полета, когда эксперименталь-
ную зависимость аппроксимируют с помощью дифференциальных
уравнений или системы дифференциальных уравнений с неизвес-
тными коэффициентами. Обратной задачей динамики полета рас-
сматриваемая задача считается в том смысле, что для заданного
64
экспериментального переходного процесса строится в общем случае
модель инерционно-массовых, конструктивных и аэродинамических
характеристик самолета при известном управляющем воздействии на
рули.
Некорректность этой задачи состоит в том, что малым изменениям
в переходных экспериментальных процессах, априорных данных о
ММ, описывающей движение самолета и результаты измерений,
соответствуют большие отклонения решения, т.е. оцениваемых неиз-
вестных коэффициентов. Это подтверждается различными примерами
численного моделирования и обработкой материалов натурных испы-
таний.
Исследования показывают, что некорректность проявляется нс
только по отношению к исходной информации в постановке, но и к
методам численного решения.
На различных этапах решения задачи некорректность проявляется
в разной степени. Это касается простейших операций, таких как
дифференцирование, интегрирование, и более сложных, таких как,
например, максимизация функций нескольких переменных при
наличии связей, оценивание переменных состояния и др.
Будем считать, что задача является обобщенно некорректно
поставленной, если она поставлена некорректно в классическом
смысле по определению, данному А.Н. Тихоновым [29], и является
некорректной по отношению к методам решения.
Решение задачи может быть успешным, если предпринимаются
меры по ее регуляризации на всех этапах последовательного решения.
Первым способом регуляризации решения является исследование
различных видов ММ, описывающих движение самолета в экспери-
менте.
Вторым способом регуляризации является проверка решений
относительно малых отклонений в измеряемых переходных процес-
сах.
Третьим способом регуляризации является использование по мере
необходимости формул оптимальной оценки линейных преобразова-
ний измерительной информации [23] для различных операций,
особенно на этапе экспресс-анализа. Это в первую очередь касается
операций дифференцирования, сглаживания измерительной информа-
ции.
Четвертым способом регуляризации является выбор управляющих
воздействий на самолет. Это делается приближенно перебором воз-
можных видов управляющих воздействий или методами теории
оптимальных систем.
В п. 1.5.7 показано, что существует целый класс управляющих
воздействий, для которых вырождается структура ММ движения и
65
задача становится некорректной. Для регуляризации предлагается
использовать режимы вне области запрещенных управляющих воз-
действий и такие, которые возбуждают частоты колебаний самолета,
на которых соответствующие неизвестные аэродинамические силы и
моменты проявляют себя максимальным образом.
Дополнительно к перечисленным можно привести следующие
способы регуляризации задачи:
масштабирование координат для выравнивания порядков значений
их дисперсий при использовании фильтра Калмана;
определение начального приближения для оценивания неизвес-
тных коэффициентов методом наименьших квадратов с дальнейшим
применением метода максимального правдоподобия;
использование матричных регуляризующих преобразований, когда
собственные числа матриц, участвующих в вычислительном процессе,
существенно отличаются друг от друга;
предварительная ликвидация сбоев измерительной информации;
сглаживание случайной реализации на этапе экспресс-анализа;
оценивание внешних возмущающих факторов на этапе фильт-
рации;
вычисление уточненных оценок характеристик самолета путем
многократного сглаживания на каждом дискретном шаге;
вычисление сглаженной оценки начального состояния;
вычисление и уточнение дисперсионной матрицы начального
состояния. Существенно помогает регуляризации поэтапная проверка
достоверности полученных решений по возможности различными
способами (с помощью критерия %2, Фишера, доверительных интер-
валов, сравнения частотных характеристик, полученных на основе
эксперимента и ММ, сравнения переходных процессов в эксперименте
и при численном моделировании и т.п.).
3.3.	МЕТОДОЛОГИЯ
СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ
Методология структурно-параметрической идентификации ММ
движения самолета по результатам натурного эксперимента, пред-
ставленная на рис. 3.1, предусматривает многоэтапное определение
структуры уравнений движения и неизвестных параметров. На пер-
вом этапе на основании логико-аналитического исследования форми-
руется класс возможных структур уравнений движения. Затем с
помощью численного и полунатурного моделирования осуществляется
сужение набора возможных ММ движения самолета, работы ИИС,
66
Рис.3.1
67
внешних условий и т.д. Производятся лабораторные и наземные
испытания по уточнению параметров трактов ИИС, градуировочных
зависимостей. Параллельно с этим с помощью ЭЦВМ выбираются
рациональные параметры опорных траекторий непосредственно перед
выполнением контрольных маневров и получаются рекомендации по
оптимальным законам управления в летном эксперименте для макси-
мально точного (или с заданной точностью) определения оценок
неизвестных характеристик самолета. В качестве минимизируемого
функционала можно выбрать, например, взвешенную сумму диспер-
сий оцениваемых коэффициентов. Оптимальные законы управления
при идентификации ММ будут зависеть от ММ движения самолета,
описывающих каждый режим в отдельности. Поэтому определять их
можно только итерационным путем.
Здесь рассматривается случай послеполетной обработки материа-
лов испытаний, когда реализованы рациональные законы управления
и выполненные в полете режимы оказались зачетными, т.е. удовлет-
воряющими априорным условиям и допущениям в постановке задачи.
Проверку зачетности режима можно произвести после первичной
обработки материалов испытаний. При этом полагается, что кроме
вычисления значений измеренных параметров и функционально
связанных с ними определяются статистические численные характе-
ристики регистрируемых процессов, в частности их спектральные
характеристики. Проверка достоверности возможных ММ начинается
с установления непротиворечивости ММ движения самолета и моде-
лей результатов измерений полученным материалам испытаний.
Проводится сравнение:
результатов измерений и переходных процессов при численном
(или, если возможно, полунатурном) моделировании;
уровней погрешности ИИС по паспортным данным и их оценок,
полученных по результатам первичной обработки (производится
статистический анализ характеристик);
экспериментальных частотных характеристик с аналогичными ха-
рактеристиками, полученными при математическом моделировании.
Если множество принятых структур не является достоверным, то
его следует расширить на основании логико-аналитического иссле-
дования.
Вторым этапом уточнения структуры ММ движения самолета
является экспресс-анализ порядков ’’входа” и ’’выхода” систем для
случая возможного описания движения самолета линейными диффе-
ренциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Это
важно сделать для специально организованного летного эксперимента
68
с соблюдением допущений о малости возмущений и возможности
применения гипотезы ’’замороженных коэффициентов”. Экспресс-
анализ представляет собой относительно быстрое приближенное
определение на ЭЦВМ порядка аппроксимирующей движение самоле-
та эквивалентной линейной системы. При этом нс дается окончатель-
ного решения задачи, но имеется возможность проверить выдвигае-
мые гипотезы об уравнениях движения и, в частности, уточнить
структуру линейных уравнений.
Затем производится логико-аналитическое исследование полу-
ченных решений, при котором уточняется структура ММ движения
самолета. Устанавливается, какие из систем уравнений (линейные
или нелинейные, с постоянными или с переменными коэффициента-
ми) наиболее предпочтительны для дальнейших исследований. По
существу, сужается множество гипотез об уравнениях движения для
окончательного и более точного определения наиболее достоверной
гипотезы.
На третьем этапе рассматривается ограниченный перечень урав-
нений на базе традиционно используемых при исследовании дина-
мики самолета, описанных в подразд. 1.2. Основой для вывода этих
уравнений являются известные допущения, используемые при разде-
лении движения самолета на изолированные продольное и боковое,
короткопериодическое и длиннопериодическое. Если такие допущения
не удовлетворяются, необходимо использовать полные уравнения
пространственного движения самолета. За основу принимаются
известные в динамике полета уравнения, описывающие его возму-
щенное движение. При этом учитываются существенные отличитель-
ные особенности, характеризующие различные физические явления
при движении самолета.
Структура уравнений движения и вид правых частей зависят от
степени допущений при линеаризации уравнений, учета нестацио-
нарности и нелинейности аэродинамических характеристик, учета
упругости конструкций частей самолета, внешних возмущений,
действующих на самолет. Каждый из перечисленных факторов —
существенный при окончательном выборе наиболее достоверной
гипотезы уравнений и, что очень важно, при определении показате-
лей устойчивости, управляемости и аэродинамических характеристик
самолета по результатам измерений параметров движения.
Например, для учета упругости конструкции самолета в строгой
постановке следовало бы использовать уравнения в частных произ-
водных для описания каждого из видов колебаний: изгиба фюзеляжа,
изгиба крыла, закрутки консолей крыла и др. Однако такие матема-
69
тические модели в силу своей сложности практически не используют-
ся в инженерных расчетах. От уравнений в частных производных
целесообразно перейти, например с помощью метода характеристик,
к эквивалентным обыкновенным дифференциальным уравнениям.
При этом известно, что каждый тон колебаний описывается системой
из двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Это один из
подходов к учету упругости конструкции в динамике полета.
Более грубую ММ можно получить, если считать самолет абсо-
лютно жестким телом, а эффект упругости элементов конструкции
учесть за счет поправок к производным аэродинамических сил и
моментов.
Проверку, для каких режимов полета различных самолетов при-
годны те или иные подходы, и ММ учета упругости можно произвести
только с помощью натурных испытаний.
Для учета нестационарности аэродинамических характеристик
можно использовать различные гипотезы и допущения. В частности,
если принять гипотезу гармоничности, нестационарность аэродина-
мических сил можно учесть с помощью дополнительных составляю-
щих, например, для коэффициента подъемной силы с помощьюсуа
и су*. В случае более точной аппроксимации аэродинамических сил
и моментов необходимо для учета нестационарного обтекания добав-
лять дифференциальные уравнения, описывающие это явление. В
этом случае размерность суммарной ММ движения самолета фор-
мально становится большей. Проблема выбора наиболее достоверной
модели с точки зрения более точного решения обратной задачи дина-
мики полета не является тривиальной,
Рассмотрим пример, когда движение самолета происходит в турбу-
лентной атмосфере. В настоящее время построены модели статисти-
ческих характеристик параметров турбулентной атмосферы. Часто
остается нерешенной задача, в каких случаях необходимо учитывать
одну из этих моделей, в каких — нет. В случае, если параметры ветра
входят в правую часть традиционных уравнений движения самолета,
это, как правило, составляющие стационарного процесса [16]. Для
того чтобы систему уравнений движения привести к виду, удобному
для исследований, необходимо ввести уравнения формирующих
фильтров. В данном случае эти уравнения добавляются к обычным
уравнениям движения, и происходит увеличение порядка исследуемой
системы уравнений, описывающей движение самолета в неспокойной
атмосфере.
При учете нелинейности в зависимостях аэродинамических харак-
теристик от параметров движения в общем случае даже для исходных
линейных уравнений движения задача усложняется. Нелинейная
70
зависимость от параметров приводит к нелинейному виду уравнений
движения. Необходимы дополнительные преобразования и линеариза-
ция, чтобы привести систему к виду, удобному для исследования.
Таким образом, структура уравнений движения и вид правых
частей существенно зависят от вышеперечисленных факторов, приня-
тых допущений, различных ММ.
Задача при этом оказывается настолько сложной, что корректно
решить ее в настоящее время очень трудно. Это связано, в первую
очередь, с тем, что выявленная оптимальная структура часто оказы-
вается необъяснимой с физической точки зрения и становится неяс-
ной физическая сущность явлений и значений оцениваемых парамет-
ров и характеристик.
На практике часто принимается принцип модификации и уточне-
ния известных в механике и динамике полета структур уравнений
движения самолета применительно к различным режимам полета,
компоновкам самолета и другом факторам. Решение задачи приведет
к выбору наиболее достоверной ММ движения самолета из заданного
набора гипотез об этих уравнениях. Естественно, что в этом случае
необходима проверка достоверности выбора гипотезы. Для этой цели
производится вычисление апостериорных вероятностей, характеризу-
ющих достоверность принятия и отклонения гипотез об уравнениях
движения.
Если достоверность принятия решений низкая, целесообразно
уточнить множество гипотез и повторить вычисления.
3.4.	АДЕКВАТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Будем полагать, что уравнения движения самолета и кинемати-
ческие уравнения представляют собой систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений в линейной или нелинейной форме в
зависимости от принятых в задаче допущений.
Исследования показывают, что с точки зрения повышения точнос-
ти параметрической идентификации целесообразно принять уравне-
ния, описывающие движение самолета для непрерывно изменяюще-
гося времени. Результаты измерений параметров в полете поступают
в современных измерительных системах дискретно, в отдельные
моменты времени, и соответственно используются уравнения, опи-
сывающие процесс получения результатов измерений, в дискретной
форме. ММ получения результатов измерений также может быть
различной в зависимости от принятых г опущений. Путем численного
моделирования можно показать, что в i де случаев пренебрежение
71
динамикой переходных процессов в датчиках и измерительных прибо-
рах приводит к существенным ошибкам при идентификации. К этому
выводу следует добавить, что, очевидно, чем точнее ММ работы всего
тракта и всех составляющих ИИС и КЗА, а также процесса первич-
ной обработки, тем точнее будет решение задачи идентификации.
Однако сложность состоит в построении этих ММ, проверке их досто-
верности в связи с каждым конкретным экспериментальным режи-
мом, выбранным законом управления в этом режиме и различными
возмущающими факторами.
В этой книге предполагается, что проведена первичная обработка
материалов испытаний. Получены результаты измерений в реальных
физических размерностях с учетом градуировочных зависимостей.
Введены аэродинамические и другие поправки в результаты измере-
ний. Проведен анализ статистических и численных характеристик
случайных реализаций параметров траектории движения. По воз-
можности ликвидированы систематические ошибки, обусловленные
дрейфом нулей приборов, неточностью установки датчиков и другими
причинами. Однако структура уравнений, описывающих результаты
измерений, считается неизвестной. Полагается, что на показания
приборов могут оказывать влияние различные факторы, такие как
упругость конструкции самолета, внешние турбулентные возмущения
и др. В этом случае необходимо решить, нужно ли учитывать (напри-
мер, при идентификации) на практике в конкретном контрольном
режиме влияние упругости конструкции на показания прибора или
нет. Возможны и другие примеры.
В общем случае будем считать, что уравнения для результатов
измерений являются алгебраическими соотношениями, связывающи-
ми в соответствующие моменты времени вектор состояния, параметры
переходных процессов самолета и измерения после первичной обра-
ботки. Полагаем, что возможны различные гипотезы об уравнениях
для результатов измерений в зависимости от действующих в полете
факторов.
Такая ММ результатов измерений является весьма общей, и к ней
может быть приведено достаточно большое число прикладных задач
обработки материалов эксперимента и исследования динамики само-
лета в полете.
Реализация задачи структурно-параметрической идентификации
на заключительном более точном этапе может приниматься в двух
вариантах: в непрерывно-дискретной и дискретно-дискретной формах.
В первом случае решаются уравнения на ЭЦВМ без перехода к
дискретным аналогам и фильтрация результатов измерений должна
осуществляться в непрерывно-дискретной форме. Этот вариант в
общем случае точнее метода решения в дискретно-дискретной форме.
72
Однако вывод всех соотношений в алгоритмах структурно-параметри-
ческой идентификации и их доказательство проще и нагляднее произ-
водить для дискретно-дискретного варианта уравнений, описывающих
движение самолета и результаты измерений. Поэтому в книге в
дальнейшем принимается дискретно-дискретный вариант решения
задачи.
Будем считать, что движение самолета и работа его систем автома-
тизированного управления описываются следующими уравнениями:
*Л1 -fk<*k>“k’ah> +s >vk’ г = 1,2,
(3.1)
где хк+х — -мерный вектор значений координат движения самолета
в момент ^+1, х '(/q) =Xq — гауссовские случайные векторы с числен-
ными характеристиками
хо = (то’; то‘ =л/1хо'1; ко =М[(х0'—mJ) (х0'—ди0')т]
(индексом ”т” обозначена операция транспонирования); /^(-) — в
общем случае нелинейная вектор-функция размерности ni при воз-
можных различных вариантах зависимостей от входящих аргумен-
тов; vk gR — гауссовские векторы случайных возмущении с числен-
ными характеристиками
М[(5>/) (5^)4 =
SV'(SV‘)T при v=p,
О при v * ц,
Л/[у^1 = 0 при всех z, v;
ukeR r—г-мерный вектор управляющих воздействий на самолет;
a 'gRPi—^--мерный вектор неизвестных параметров, подлежащих
определению.
Результаты измерений удовлетворяют уравнениям
zk=hk(xk.uk,a l) +<JkWlk, / = 1,2,...,и,
(3.2)
где zk — /n-мерный вектор в момент tk(m^n^ ; Wk — гауссовские
векторы случайных погрешностей с численными характеристиками
73
M[(aXv') (о'^)т] = °v(°v)
при V = ц,
при V * р,
M[W^\ = 0 при всех /, v.
Случайные векторы Xq , v^, при всех значениях индекса к
некоррелированы между собой. Система (3.1), (3.2) предполагается
стохастически наблюдаемой.
На основе логико-аналитического исследования определен класс
возможных случаев (гипотез) Я'’, / = 1, 2, ..., п с вероятностями
п
= 1. Известен г-мерный вектор управления системой w0,	...,
м
uN в моменты времени /0, /р ..., tN. В эксперименте получена случай-
ная последовательность z0, zp ..., zv /n-мерного вектора результатов
наблюдений параметров движения самолета в соответствующие
моменты времени.
Постановка задачи. Полагается, что заданы ’’вход” системы (3.1),
(3.2)	(w0, мр ..., uN) и ’’выход” системы — случайная последова-
тельность zN = (z0, zp ..., Zyy). Требуется определить наиболее досто-
верную гипотезу Н1 о порядке и структуре уравнений движения
самолета из заданного класса уравнений и оценку вектора неизвес-
тных параметров а 1.
3.5.	БАЙЕСОВСКИЙ МЕТОД ПРОВЕРКИ
НЕСКОЛЬКИХ СЛОЖНЫХ ГИПОТЕЗ.
ВЫВОД РЕШАЮЩИХ ПРАВИЛ
Воспользуемся методом максимального правдоподобия (ММП) для
построения оценок а 1 и байесовским правилом выбора гипотез [23,
26]. Введем в рассмотрение байесовский риск — среднее значение
потерь
В =52 52 C^[niaxp(z л|а к,Н k)dz N.	(3.3)
/=1 k-\	ак
Здесь интегрирование производится по действительному простран-
ству	с — неотрицательные потери при принятии гипотезы
74
HJ\ когда на самом деле справедлива Нк. Будем полагать, что
потери от неправильного принятия решения больше,т.е.	(J *
* к) \ Рк — априорные вероятности гипотез Нк\ p(z^\aky Нк) — услов-
ная плотность вероятности выборки zN при фиксированных Нк,
при этом структура плотности предполагается известной; ££у — выбо-
рочное пространство при гипотезе Н-.
Поскольку гипотезы Нк составляют полную группу событий, то
п
U 9k =S£ — все [(N + Dm] -мерное действительное пространство. Бу-
Ъ=1
дем пользоваться решающим правилом, по которому гипотеза Н1 при-
нимается, если z N е^. Задача сводится к определению множества S£z
и нахождению условия, минимизирующего байесовский риск при
а к
вычисленных оценках <2ММП по методу максимального правдопо-
добия.
Теорема 1. Решающее правило. Для того чтобы достигался мини-
мум байесовского риска (3.3) при фиксированных векторах ^мп и
z требуется соблюдение слабого условия проверки гипотез
п	кт Ь !	п
^cikPkmfdxp(z N\a{ Н к)< £ £ с-к*
&=1 ак /=1
(3.4)
х Pkmaxp(z N\ak,H к),
а к
где в первой сумме справа предел n(—i) означает, что суммирование
производится по всем элементам, за исключением i.
Доказательство. Пусть z NбЦ. Множества (к - 1, 2, ..., п) не-
пересекающиеся. Введем в рассмотрение дополнение Ц- до ££, тог-
да Ц- разно объединению всех множеств ££v, за исключением $£у, т.е.
_ ni—/)
= U Ц,. Воспользуемся свойством суммирования, чтобы выделить
V=1
элемент ;, и свойством интегралов от плотностей вероятностей
р.) .](.>-/<)-1-[ <•>
Ч я ч
75
для представления байесовского риска (3.3) в следующем виде:
n(-Z) п	I
В = 52 Е CjkP^ptz	Н к) dz N +
/=1 *=1
+ ^cikPk\p(zN\&^,Hk)dzN =
*=1 Ц
= E E суЛ (1-Jp(z 7V|^Mn, Hk)dzN) +
J=1 k=l
+ 52 cikPk^p (z	H k)dzN .
k=x
Здрсь каждое из дополнений Ц. (исключая Ц) содержит множес-
тво $£f. по условию задачи и может быть представлено в виде =
= Ц11 Ц- — Ц), где (Ц. - Ц) — дополнение Ц- без элементов S£z. Учи-
тывая сделанные замечания, потребуем, чтобы байесовский риск стал
независимым от ££z, приравнивая подынтегральное выражение нулю.
В этом случае будем иметь условие для ’’пороговых” значений
п	n(—i)	,
Ыс*- ^)Р^(27"1йммп’яА)=0-	(3-5)
к-1	/=1
Слагаемые этого выражения положительные, поэтому для дости-
жения минимума (3.3) при z N должно удовлетворяться нера-
венство (3.4).
Выведенные решающие правила для нескольких сложных гипотез
являются условиями для выбора гипотез об уравнениях движения
самолета при достаточно общих предположениях о ММ движения
самолета. Если сделать дополнительные допущения о моделях движе-
ния, то условия становятся более простыми.
Рассмотрим возможные допущения о моделях движения самоле-
та и статистических свойствах случайных элементов в постановке
задачи.
Допущение 1. Примем, что условные математические ожи-
дания потерь от принятия частных гипотез в выражении (3.4)
п	к
^cjiJ\p(z	независимые при каждом значении индекса
М
j, В этом случае условие (3.4) можно преобразовать к системе нсра-
76
венств для каждой пары z, /, за исключением z, z. При этом
байесовский риск рассматривается попарно для альтернативных
гипотез, и условие для выбора гипотезы Н1 приводится к виду (см.
правило (3.4))
cikPkP N Мммп < р cjkPkP(zN\ ^ММП ’Н
М	Л=1
для всех j # z.
Это правило аналогично (3.4), в котором следует принять индекс
j фиксированным для каждой альтернативной гипотезы.
Допущение 2. В некоторых случаях естественно предположить,
что потери при принятии правильных гипотез отсутствуют, т.е.
czy = 0 при z = у, а для остальных случаев принять их симметричными
и равными между собой. Тогда условие для принятия гипотезы Н1
(3.6) упрощается и приводится к следующему виду:
р^	>ркР	(3-7)
для всех к * z,
или с учетом формулы Байеса
Р(Я '|^мп,z N»P(H k\^Mn,zN)	(3'8)
для всех к * z.
Допущение 3. В случае, когда до результатов эксперимента за-
труднительно отдать предпочтение той или иной ММ движения
самолета, можно предположить их гипотезы равновероятными, т.е.
Pi = 1/n = const. В этом случае из неравенства (3.7) получаем
P(z	1>>>P(Z
для всех к * i.
При использовании правила (3.9) как одного из простейших
множество Ц. определяется условием

(3.10)
для всех к # z.
Для того чтобы воспользоваться выведенными решающими прави-
лами, необходимо знать функцию правдоподобия p(z N\d к,Н .
77
Оценивание функции правдоподобия является в общем случае труд-
ной задачей, поскольку в каждом классе ММ содержится множество
моделей с различными плотностями вероятностей.
3.6.	РЕШАЮЩИЕ ПРАВИЛА
ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ГИПОТЕЗ
О ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ
При исследовании характеристик устойчивости и управляемости
и аэродинамических характеристик самолета по результатам изме-
рений параметров в специально организованном летном эксперименте
часто возможна линеаризация исходных нелинейных дифференциаль-
ных уравнений, описывающих движение самолета как жесткого тела
с шестью степенями свободы.
Будем полагать, что возможные линеаризованные системы уравне-
ний движения самолета могут быть представлены в общем виде
х 1 =А lx l(t) lu(t) +с lv *(/); z=l,2,...,n.	(3.11)
Преобразуем эти уравнения к дискретной форме с помощью
фундаментальной матрицы решений
xk+i=<b‘xk+Sk.i,k+6k^ г=1,2,...,п; *=0,1,...,АГ-1,	(ЗЛ2)
где Ф1 — матрица, удовлетворяющая уравнению
Ф*=ел‘А = [const], Д=^+1—Z^=const (fc=0,1,...,JV—1);
^«I	^+1
lu = <^ 1 f d*'
v^(t) — белый шум с единичной матрицей интенсивностей и нулевым
средним значением;
с‘+1 к = [ Ф'с '.v	 = Ф‘с ' Г
*v Т л } AC J	I	1	1	J	—
*к	fk №
В предположении существования интегралов и, используя теорему
о среднем для вычисления интегралов на отрезке [^, ^+1], получаем
78

(3.13)
где В 1 = Ф'Ь *Д; S 1 = Ф'с
Считаем, что результаты измерений удовлетворяют уравнениям
zk = h lx£ + 0lW^	(3.14)
В уравнениях (3.13), (3.14) приняты следующие обозначе-
ния: x^+1—n--мерный вектор значений координат движения само-
лета в момент времени при i-м варианте правой части уравне-
ния (3.13), х *(Z0) = Xq —гауссовские случайные векторы с числен-
ными характеристиками Xq = N(m^ К^),	= Л/[х0*]; К° =
= М[(х0* — т^) (х01 — т01)Т] ; Ф', В*, Sl, hl, о1 — матрицы постоянных
коэффициентов соответственно размерностей п*п^ п*г, nxni9
т*п^ т*т\ ик — r-мерный вектор управляющих воздействий на
самолет, известный по результатам измерений в полете в моменты
времени случайные последовательности	обладают
следующими свойствами:
Л/[($%') (5^)4 =
S'(S')T npnv=p,
О при v# |л;
M[vJ] = 0 при всех z,v;
Af[(azWv,')(0,Vl/)T] =
0l(ol)T npnv=p,
О при v# ц;
М [JKV*] = 0 при всех z,v;
случайные векторы Xq,	при всех значениях индексов ky i
/некоррелированы между собой.
Предполагаем, что система (3.13), (3.14) стохастически наблюдае-
мая. Обозначим идентифицируемую неизвестную часть элементов
матриц Ф1, В1, S', hl, о1, moz, Kq через а1.
79
Условную плотность вероятностей p(zN\al,H 1) представим в виде
p(zN\al,H l) =p(zQ,...,zN\a \Н1) =
=p(zQ\a l,H l) Hp(zk\zk~\al,H 1).
к=1
Достаточными статистиками в этом случае для исходной линейной
стационарной системы с гауссовским начальным условием и гауссов-
скими возмущениями в правых частях (3.13), (3.14) будут являться
первый и второй моменты
M\zk\zk'x,a ‘,H '] =h 'lM\xk\zk~\a ',H'] =	(3.15)
M\(zk- h ‘хк^к_х (а (zk - h	x x(fl '))T|z*—lH '] = h 1*к\к_х(а ') (h ')T +	(3.16)
+ O'(0')T = Q‘(a M[z0|a ‘,H '] =/1(/м[.г0'|а ‘,H ']	(3.17)
M [(z0—h0'm0') (z0-/i0'ni0')Tla ',//'] = = Ao'Ko'(Ao')T+o'(0')T = Qo'\	(3.18)
Оценка j (а1) и условный корреляционный момент
К£|£_1(я ')при фиксированном векторе а1 могут быть вычислены с
помощью фильтра Калмана [20] для различных вариантов ги-
потез Н1:
*к\к = *к\к-\ + Lk (Qk> ^(zk~ h l*k\k-\>'
80
К1|Л = <|Л-1 “ Lk ^Qk) X('Lk)1'
•*Щ-1 =	+ B 'uk'
*U-1 =фЧ-1|*-1(фг)Т *S'(S‘)T;	(3.19)
Lk = КЛ|Л-1(Л ,)T5
Q ‘ = h lA\k-^h ,)T + °' (o')T = \|z*-'
с начальными условиями
*0*|0=m0 +^0 (^Mo (Ao)T + <’o<<’o)Tl 1(z0—^0m0^’	(3 2|)
Полагаем, что с пемещью метода максимального правдоподобия
определяется оценка неизвестных параметров ^мп • ® соответствии
с методом максимального правдоподобия оценка ^мп выбирается из
условия
ЙММП = argmaxlnp(z ЛГ|а 1,Н ').	(3.21)
а1
Решающие правила. По условию задачи p(z N\a l,H ') — гауссов-
ская, и условия (3.4), (3.6) приводятся соответственно к виду
п	n(-i)
Е (cik- Е сд)РЛтах
Л=1	/=1	а к
N
П((2л)п,х
1=0
(3.22)
хdetQ/r^expT- 1|Z/-h	Р * Jl<0;
Z	'‘V/ ) JJ
81
п
Е <cik-cjk>pkma*
С = 1	а к
N	L
П ((2n)wdetQz )”1/2 х
/=о
(3.23)
xexp-l|Z/-A
<0 для всех /*/,
гдс Иед‘>-'
— квадрат нормы с весом
/	— 1 л к к к к
(Qi) , ^о|-1 =wo ’ ко|-1 =Ко •
Эти два неравенства представляют собой условия выбора гипотезы
Н1 об уравнениях движения самолета при вычисленных оценках
^ммп по мет°ДУ максимального правдоподобия и вычисленных
оценках (к = 0, 1, ..., N) параметров траектории движения по
результатам эксперимента.
3.6.1. РЕШАЮЩИЕ ПРАВИЛА
ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ГИПОТЕЗ
В РЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМЕ
Для случая, когда p(z N\a 1,Н 1) являются экспоненциальными
зависимостями (например, гауссовскими), целесообразно в вычисли-
тельном отношении вместо условий (3.22) и (3.23) при некоторых
допущениях использовать их аналоги в логарифмическом виде.
Рассмотрим такие условия на примере решающего правила (3.7) для
принятия гипотезы Я*
PiP^z ^1аММП’Я	для всех k*L (3‘24)
Условие не изменится, если прологарифмировать его правую и
левую части:
1ПР(. +lnp (z Л|^мп,я ') >ln/\ +lnp (z Л|^мп,я к)
для всех k*i,
или
82
lnp(z *|<?ММП,Я _lnP<z ^ИмМП’^ k^>
„	(3.25)
>ln— для всех k*i.
pi
Представим p(z ^^ммп’^ при BCex 1 в виде
P(z	bP(zn\zN	^ммп’^1)-
После логарифмирования обеих частей равенства получим
lnp(z N|dMMn,tf ') =lnp(zN 1|^ммп’^ +
+lnp(zyv|zAr ^^ММП’"^^’
или в новых обозначениях
Q l(N) -q '(Я-1) +1пр(гл|гЛ?-1,^мп,Я
где
p(zjV|zjV ^ММП’^ '
1
[(2n)'ndetQ^]1/2
(3.26)
(3.27)
xexp— —{zN—h ,^/V|jV_1)t(QjV) ’x
(3.28)
x (z№a 4v|n-P
— плотность вероятностей результатов измерений zN в момент време-
ни tN при фиксированной последовательности z^1 и оценках я^ми’
вычисленных по методу максимального правдоподобия при заданной
ММ движения самолета» Выражение для плотности вероятностей
получено с учетом соотношений (3.15) и (3.16). Величины x^N_{,
QlN (при всех /) можно вычислить с помощью уравнений фильтра
Калмана (3.19) при начальных условиях (3.20).
83
Подставив (3.28) в (3.27), получим
q '(N) =q 'W-l)-lln((2ir)"'detQJJ)-
(3.29)
Уравнение для q'(N) может решаться совместно с уравнениями
фильтра Калмана при известных параметрах а1 последовательно для
каждого вновь поступающего измерения при обработке. При этом
начальным условием является
q '(0) =-lln((2it)mdet<20'’)-
(3.30)
- |(z0—h	(.zQ—h ‘mJ)
в соответствии с начальными условиями (3.17), (3.18).
Решающее правило для выбора гипотезы Н1 с учетом полученных
соотношений преобразуется к следующему виду:
q l(N)—q *(?v) >ln_- =1пт для всех k*i.	(3.31)
Решающее правило (3.31) в вычислительном отношении может
оказаться более выгодным для решения задач динамики полета,
например, с помощью БЦВМ. Основная трудность при этом состоит
в определении оценок параметров а^МГ1. Одним из способов упроще-
ния решения может служить итерационное определение оценок
^ммп* При использовании рекуррентного решающего правила на и-й
итерации необходимо использовать значения оценок
полученные на (п —• 1)-й итерации по методу максимального правдо-
подобия.
Значительный выигрыш можег быть получен при использова-
нии решающих правил для простых гипотез о моделях движения
самолета.
84
3.7.	РЕШАЮЩИЕ ПРАВИЛА
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Условия (3.4), (3.6)...(3.9) выведены в предположении воз-
можности определения апостериорных плотностей вероятностей
p(zN\ak, Н к) и их максимизации по неизвестным параметрам ак.
Эта задача для систем, описываемых нелинейными дифференциаль-
ными или разностными уравнениями, является нелинейной задачей
фильтрации и идентификации одновременно.
Поскольку задача фильтрации является неопределенной при
неизвестных параметрах а*, то сложность совместной фильтрации и
идентификации одновременно для различных моделей движения
самолета существенно увеличивается и приходится принять итера-
ционные методы решения. В связи с тем что одновременное оценива-
ние переменных состояния и неизвестных параметров практически
невозможно, предлагается следующий алгоритм.
1.	Задаются идентифицируемые параметры ак(<г* в первом при-
ближении. При этом целесообразно использовать данные предва-
рительных приближенных вычислений, продувок моделей самолета
в аэродинамических трубах, аналитических и статистических иссле-
дований.
2.	При известных ак(<^ следует применить нелинейный алгоритм
обработки информации с целью определения оценок переменных
состояния. Параллельно с решением задачи фильтрации необходимо
провести вспомогательные вычисления функциональных зависимостей
для дальнейшего использования метода максимального правдопо-
добия. Например, вычислить текущее значение функции и градиента
функции правдоподобия по неизвестным параметрам, определить
функции влияния, характеризующие степень изменения оценок
переменных состояния в зависимости от изменения неизвестных
параметров.
3.	По методу максимального правдоподобия вычисляются парамет-
ры во втором приближении.
4.	Во втором приближении оцениваются переменные состояния и
производится вычисление вспомогательных функциональных и мат-
ричных зависимостей с целью дальнейшего применения метода
максимального правдоподобия.
Процесс вычислений повторяется до тех пор, пока разность значе-
ний функционала правдоподобия не достигнет малой величины и
значения идентифицируемых параметров не будут изменяться сущес-
твенно.
В этом алгоритме численный метод нелинейной идентификации
определен и базируется на методе максимального правдоподобия.
85
Значительные трудности вызывает метод нелинейной обработки
информации.
Алгоритмы оценивания переменных параметров состояния и
идентификации неизвестных коэффициентов в уравнениях движения
самолета взаимосвязаны. Было проведено предварительное исследова-
ние влияния неточностей оценивания переменных параметров движе-
ния самолета на решение задачи идентификации и наоборот. Анализ
показал, что с точки зрения удовлетворительной для практики точ-
ности идентификации аэродинамических производных и показателей
устойчивости и управляемости самолета по результатам эксперимента
допустимо использование алгоритмов, основанных на линеаризации
исходных уравнений относительно опорной траектории. При этом в
качестве параметров опорной траектории целесообразно выбирать
оценки, вычисленные с помощью фильтра Калмана.
Оценивание переменных состояния с помощью линеаризованного
алгоритма приводит к смещению оценок состояния тем выше, чем вы-
ше нелинейность системы и уровень шумов и помех в уравнениях
движения самолета и уравнениях, описывающих результаты изме-
рений.
В настоящее время накоплен значительный опыт по нелинейным
алгоритмам оценивания. Большинство из этих методов достаточно
громоздки, сложны и требуют специальных алгоритмов вычислений,
а также в значительной степени требуют от инженеров-исследовате-
лей искусства при решении задач.
В подразд. 3.8 предлагается метод, успешно прошедший проверку
многолетней практикой решения задач определения аэродинамичес-
ких производных и показателей устойчивости и управляемости мно-
гих самолетов.
Метод представляет собой модификацию алгоритма, основанного
на линеаризации относительно опорной траектории, и оценивание
помех и возмущений, которые входят в уравнения движения само-
лета.
Таким образом, вводятся два дополнительных вычислительных
приема. Один из них предназначен для итеративного уменьшения
смещенности оценок, другой — для оптимального оценивания внеш-
них возмущающих факторов, которые входят в уравнения движения
самолета. При этом следует отметить, что физических и других
причин этих возмущений много. К их числу можно отнести:
возмущения, обусловленные турбулентностью атмосферы;
неточности задания аэродинамических и моментных характерис-
тик (нелинейность, нестационарность, обледенение);
86
неточности задания параметров атмосферы, тяги двигате-
лей и др.;
возмущения, обусловленные упругостью элементов конструкции
самолета, поломками конструкции;
неточности линеаризации уравнений движения самолета и их
разделения на отдельные группы уравнений.
3.8.	ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ
ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Рассмотрим случай фиксированной ММ движения самолета и
модели получения результатов измерений соответственно в форме
(3.1), (3.2). Идентифицируемые параметры d считаются известными.
Для простоты в дальнейшем индексы, указывающие номера ММ, в
этом подразделе не будут указываться.
Ставится задача следующим образом. Найти оптимальные оценки
переменных состояния и внешних возмущений v(Zz) (z = 0, 1, ...,
АО при известных численных характеристиках начального состояния
zn0, Хо; априорных статистических характеристиках возмущений
у(^), погрешностей ЖЦ) и известных последовательностях резуль-
татов измерений г? = (z0, zp ..., zN), zz^”1 = (zz0, zzp ...,
Под оптимальными оценками будем понимать сглаженные оценки,
равные условному математическому ожиданию М[х(1^ |z a z],
М[v(Zz) |z N, a *] (z = О, ..м AO при фиксированных идентифицируе-
мых параметрах а1, заданной модели движения, последовательности
измерений г?, сглаженных начальных условиях.
Рассмотрим процедуру построения оценок на интервале времени
(^_р Пусть на этом интервале известна опорная траектория при
заданном начальном значении х^ и отсутствии возмущений vz, т.е.
в соответствии с (3.1)
4 =fk-^xk-v Uk-V а^-	(3’32)
Линеаризуем исходную систему (3.1) относительно опорной траек-
тории:
87
хк = 4-i<<-p “Лр а*> +
+ ФЫ-1Ч-РМ**-Р	~<1> +5Л-1^-Р
где Ф^£_1 — фундаментальная матрица перехода системы из состоя-
ния в момент в состояние в момент /^, для которой определяется
уравнение
ф(о =	. ф«)
dxk-i хк-\
с начальным условием
ф<^-1> = Е.
Заметим, что если отрезок (^_р tk) малый и постоянный, то
матрица df *(•)/дхк_х в задачах динамики полета меняется незначи-
тельно и ее можно считать иногда постоянной, тогда
(’) =е Эх*~‘	=е дХк~' = [const] ,
или приближенно
Ф*А*_!(•) » Е + Э/*(,) At = [const].
’	дхк-\
Определим условное математическое ожидание состояния системы
хк в момент tk, используя уравнение (3.33):
M[xk\zk 1,и^,а*] =.^|Л_1=4_1<-) +
+ фМ-1	|Л-1— хк-\)-
(3.34)
Аналогично для результатов измерений (3.2) после линеаризации
около опорной траектории получим
88
или
zk = hk^xi uk’ a"> +
(3.35)
+ Hk(xk,uk, a*')(xk — xk) + <JkWk.
Условное математическое ожидание результатов измерений
ик, a'] = £kfk_t = Л*(-) +	(3 36)
+ Нк(‘)	хк^'
Образуем разности с помощью соотношений (3.33), (3.34) и (3.35),
(3.36):
хк~ •fyjt-i =фы-1(')(Л*-1—+5^_1^_1;	(3-37)
zk ~	= нк('‘^хк ~	+ akWk =
= Нк(-)\Ф кк_х(->(хк_х — ^_1|jt_1) +	+
+ akWk = Нк^9к,к-1^'^хк-1 ~ ^-1|Л-Р +
+ Нк5к_^к_{ + akWk.
С учетом этих разностей определим корреляционный момент:
*xkzk\zk~' = ^^хк	\)^zk
— zj(.|jt_1)T|z/: ч = кк_1(хк —	+
+ fy-1 ^-1И Я* (')ФАд_1 (’)(**_! —	+	(3.39)
+ + =
+ kJc-l^Kk-l\k-l® kjc-l^ +
*	Sk_{S^)H^ = кЛ|Л_,я;(-),
89
Нк{‘) =Нк{хк,ик
(3.40)
K*|*-l =<b к,к-\^Кк-\\к-\^к,к-\^ +Sk-\Sk-V
Аналогично
Kzt|z*_| = М^к “ *к\к-№к~ fJt|Jt-l>T|z*-1l =
= М[(Я,(.) (Хк -	♦ okwk) (Нк(-) (Хк - 4|A_t) ♦	(3.41)
*	«ЛИ**-1] = нк^к_хн^> ♦ Ок<?к.
Так же как в фильтре Калмана (см. (3.19)), с учетом (3.36) и
(3.39) получим
*к\к =^|Л-1 +*Ч|*-1Я£Т (ЯЛ|Л-1 Х
х нк +	^k-hk^xk ,ик,а^-Нк( •)	|А_! -хк)).
Введем обозначение
-LkQk\	(3-42)
тогда
^k\k =	1 +	““ ^к^хк^ ик'а
- Н^Шк\к_х - х/)).
Аналогично
К^|Л = к&|£—1	к£|£— к №к*
ХЧ\к-1Нк + °к°Ъ~'НкЧ\к-1 =	(3’44)
= (F —	$Кк\к—1 ~ КЩ—1 ““ LfcQk
90
В качестве значения на опорной траектории в момент
целесообразно принять значение	, вычисленное с помощью
обобщенного фильтра Кал мана:
4|*-i = 4-1 pt-р
$к\к = 4|£— 1 + ^k^zk ” ^к^к\к— Р ик ’ а
^к ~ Кк\к—1^к (НкКк\к— \^к + акак) ’
Ч|£-1 = Ф/:^-1кЛ~1|Л-1фТМ-1 + SkSk'
Кк\к ~	к^Кк\к—1*
(3.45)
Для повышения точности задания опорной траектории и вычисле-
ния оценки в момент целесообразно ввести сглаженную оценку
4-1 \к = 4-l|*-lKxA_1zJz*-,X
(3.46)
XK7lz*-'(z* “
zk\z
где
K^_|Zt|z*-' = М^хк-1 "4-1|Л-1)Х
X<ZA " £k\k-l^\zk~^ = M^xk-l ”
—	tffk^k,k-l^xk-l —	+	(3-47)
= *k-i\k-l^k ,k-\Hk'
Подставив (3.41), (3.47) в (3.46), получаем
91
+ кк-\\к-1^к,к-1ИкХ
*(HkKk\k-lHk + 0A°I)-1fz£ —
— hk(xk, uk, a") - Hk(xk, uk, a')x
(3.48)
x Ц(|Л-1 ~ xk = *k-l |Jt-l + KA-11*-1 x
хф\л:-1к4*-1^[2£ —	“
-x*)].
Аналогично корреляционный момент
4-1 |jt =A/[ (x^-j — Як_х |P (xA_j — X;..., |pT\z 7’ 
= к*_1^_1— Кк-\\к-\ф\,к-\ик*
x ^НкКк\к-1Ик +akak) кфk,k-lKk-l |*-1*
Последовательность вычислений при этом следующая.
1.	Вычисляется	в первом приближении при как
решение уравнений (3.45) на предыдущем шаге.
2.	Вычисляется в первом приближении по первому уравнению
(3.45)
л(П _ f /-(1)	*
~	Uk-V а h
3.	Из системы (3.45) определяются в первом приближении
*к\к =	+ ^zk ~ hk(xk\k-V ик'
92
(о _(D ,,(1)	*
к*|Л-1 -	4t-l> a )x
v О)	С О T
K4-l |jt-l фМ-1 + SkS к ;
(1)	_ zc	<!>	. 7 i -» kt
КЛ|А	^k )КА|Л— 1’ k~\,2, ...,N
с начальными условиями
Ko|o ~	~	(^o^o^o + °oao^ 1ВД;
dh(x0,u0,a),
H° =-----a?-----	’
8xo x0=w0
•^OIO^O+VOWOVO +o0°0) 1 (ZO~'^O^O^’
io= /оЦ)|О’ uo ’ ° *);
к1|0 = ф1,оЦ)|(РкО|Оф1,(/'> + ЗД-
4.	Полагается, что = -£щ_1, и по формуле (3.48) вычисляется
сглаженная оценка в первом приближении
О(1)	.	(1> лт<П „
•^-щ- =^-1|Л-1 + КЛ-1|Л-1ФЫ-1Х
5.	Далее во втором приближении принимается, что х^__{
и, следовательно, (по 3.34) можно вычислить новое значение оценки
= Л-1<4-1|л-1’ ик> а'"> +
+ Ф к,к-1 ^к-1 | V ик—1 ’а ^к-11pt-1 ~*к-1 |Р ’
где |£—! принято окончательным после нескольких итераций на
предыдущем шаге и обозначено без верхнего индекса.
6.	Вычисляются во втором приближении
.(2)	Л2)	г/)(2) г и
^к\к = *к\к-1 + ^к lzk ~ hk(*k\k' ик'а )~
дг(2)/л(1)	* Л*Ч/л(2)	Л1)ч1
~Нк (*к\к> ик' а
J2)	(2)	rrT(2)/Lr(2) (2)	„т(2)	тч_1
= ^Цк-\Нк	(Нк *к\к-\Нк +	’
(2)	.(2)	,4(1)	_т(2) , ч с с т
КЩ-1 к,к-№к-\\к' ик-\'а |£-1ф£,£-!<•) *SkSk ’’
(2)	г/2)„(2)ч (2)
к£|£	^к ^к )КЩ—Г
7.	Сглаженная оценка во втором приближении с учетом (3.48)
^(2)	Фт(2) v"1(2)x
хЛ-1 \к “х^-1 |Л—1 +к*-1 \к-19к,к-Л*к\к~Л
гг<2)/Ч/л<2) -(Dm
*^к \zk“~hk ^—Нк ^(*к\к-Л
Итерационный процесс продолжается далее, начиная с п. 5. Закан-
чивается, когда норма разности соответствующих оценок на двух
последующих итерациях меньше наперед заданной малой величины.
Итерационный процесс должен осуществляться на каждом отрезке
(^—1, Исследования, аналитические и численные, на ЭЦВМ
показывают, что таким способом можно уменьшить смещенность
оценок, обусловленную нелинейностью исходных уравнений, описы-
вающих движение самолета и результаты измерений.
94
Рассмотрим свойства оценок 1, хк\к в первом и втором при-
ближениях и доказательство уменьшения смещенности оценок при
итерациях. Для этого разложим сначала в ряд Тейлора функции
fk—\^ и Л^О) и ограничимся квадратичными членами:
хк-fk-\ (хк_х, ик-1, а *) +<$*_!	=4-1 <4-11*-1,	, а *> +
+y/XXJt_1(’) • К**-!
(3.50)
—^-1|Л-Р(хЛ-1—хЛ-1|Л-рТ1 +Sk-lvk-l +— ’
2А=ЛА(хЛ,гг^1,аЛ*) +(>к^к=Ьк(*к\к-1’ик'а *) +
+Л^(-)(хл-^|А_1)+1лахЛ(-> : [(хА-	<3.51)
хк\к— \)^хк ~%к\к— Р 1
где (при n-мерном векторе х)
fххк— 1	• Г ^хк—1 ^—1 \к— Р (хк— 1 $к— 1 \к— Р 1
п п d2f:
=52 52	i*~l)	i^-PTb\/*
Все выведенные ранее формулы основаны на том, что произво-
дится аппроксимация нелинейных функций линейными. Это соот-
ветствует тому, что в выражениях (3.50), (3.51) квадратичные члены
и члены более высокого порядка считаются малыми. Следовательно,
если взять условное математическое ожидание при фиксированной
последовательности измерений от левой и правой частей (3.50),
(3.51) и подставить значения аргументов в первом приближении,
получим
MIxJz*-1] =4_!(-)	+
(3.52)
1 z	( v	(1)
+ ’2^ххк-\^) ’ к£-1|£-1’
95
Mlzjz*-1] = Л*(-) ♦ hxk<S)tfk\k_x -
t	t	(3.53)
"" #k\k— P + "yhxxk^ • K£|£—1*
Откуда видно, что смещение, обусловленное нелинейностями и
шумами в уравнениях движения самолета и результатах измерений,
будет пропорционально соответственно величинам
^ххк-1^к^1\к-\^ ик-\> а"> : К^1|Л-Р
1.	. (1)
2Пххк'хк\к-У ик’ а ) • к*|*-1‘
(3.54)
Использование второго приближения эквивалентно тому, что
(1) (1)
вместо 1|&—1 и к£|£— 1 принимаются оолсе точные значения корре-
ляционных моментов, а именно и и, кроме того, уточня-
ются значения производных в матрицах Лх0) и Лхх(-). Поэтому в
результате сглаживания измерительной информации смещение оце-
нок уменьшается.
В задачах динамики полета, особенно при обработке материалов
испытаний, в большинстве случаев достаточно ввести аппроксимацию
нелинейностей квадратическими зависимостями. В этом случае
приведенный алгоритм уменьшения смещенности оценок оказывается
весьма эффективным и относительно простым для реализации его на
практике. При этом достаточно двух или трех приближений для
повышения точности вычислений.
3.8.1.	УТОЧНЕННАЯ ОЦЕНКА
НАЧАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ
Вычисления оценок переменных состояния основаны на априорных
сведениях о начальном состоянии. Поэтому целесообразно определить
оценку начального состояния на основе результатов измерений с тем,
чтобы в дальнейшем уточнить оценки переменных состояния и вычис-
лить оценки возмущений в уравнениях движения самолета.
Для определения оценок начального состояния воспользуемся
формулами
96
Af[*olz 1 ” A)|fc ~ A)|A— 1 + Kxoz*|z‘-|X
(3.55)
X\|z*-|(Z* ”
K(XO|ZA) =K |z*-l -KX))2 |Z*-IX
(3.56)
XKzt|z*-'KXo2*lz‘_l’
Выберем в качестве параметров опорной траектории значения
(A) Gt)
оценок, полученных на конечной итерации	, тогда
фМ-1<*> ~ ф к,к-1^к-1\к’ ик-\' а*>;
ЯЛ(-) = ЯЛЦ$, нД а*).
Найдем kv . о, учитывая (3.38):
X0Z| |Z
Kxozt|z° = М^х0 ~ A)|O)(zl - zl|0)T|z°l =
= М{(х0 — ^0|0>1Я1Ф1,0(х0 " А)|0> + Я1^0у0 +	(3.57)
+ Oi^l^z0) = к0|0Ф;0Я!Т.
Здесь и далее матрицы Нк(*) и	приняты при значениях
аргументов для конечной итерации.
Аналогично по определению
Kx0z2|z' = Mf(x0 ~ x0|l)(z2 z2|l)T|zll »
где
(%0 - ^оц) = Фцо(*о ” А)|(Р + 50v0»
97
<z2 “ ^2|P = ^ф2,1 1ф1,оЦ) “ A)|(? +
+ ‘-'0V0 “ ^H21 “ zl|0>] +	+ °2^2 =
= я2(Ф21 [Ф1>0(х0 — ^o|o^ + 5ovo —
— Sf i#i [Ф 1,0^0 ~ A)|0> + “W ~
- sf 1О0Ж0] + S1V1) + a2w2,
и, следовательно, после подстановки
Чг2|г1=КО|ОФ1о^-^1^1>Тф2,1^2Т-	(358)
Принимая во внимание (3.57), (3.41), определим произведение
Kxozl|zoKzlzo = к0|0фТ1 |0Я1Т(Я1 Х
Xv нт + л лТ,>—1 - v <ът V-1	-	(3.59)
к1|0й1 + °1°Г	~ к0|0ф1,0к1|0а!1 _
= к0|0Ф{ 0(Е -	= ВхН^охо\)-\
где
®1 = ко|оф1,о^ ~
$£! = К^оЯ/^КцоЯ/ + о, о])-1.
Аналогично с учетом (3.58) и (3.41)
kx0z2|z'kZ2|zi = к0|0Ф!,0<£ — ^)^рТф2,1Я2 ^2К2|1^2Т +
+ 02а2)~х = ^Фг.Л^ - ££2Я2)Тя2Тх	<3'60)
х(о2о2)-1 = В2Н2 (о202Г1,
98
где
Б2 = В{Ф^(Е - %Н2)\
Процесс вычислений может быть продолжен, и таким образом с
помощью (3.55)...(3.60), а также (3.36) оценка начального состояния
определяется по рекуррентным формулам
А)|* =А)|Л-1 +BkHk^akak)~l('Zk~
^к^к\к^ик'а ^к^^к\к—1	/Я 61\
• U 1 /
Bk=Bk-l^Tk,k-l('E~^kffk)T‘> B0=K0\Q'
^Ч\к-1Ек^кЧ\к-^к+^~1-, k = l,2,...,N.
3.8.2.	ОЦЕНКА ВОЗМУЩЕНИЙ В ПРАВОЙ ЧАСТИ
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
Оценка вычисляется с помощью и kk,N. По формуле
(3.48)
хКк|Л-1 к ^zk~hk('> ~Нк(|*-1 ~хк> 1 ’
где
= Кк\к—1^к №кКк\к—1Ек + акак^
=	- ^к^к^к^-1 =	(3'62)
Преобразуем выражение для ^_i|^ с учетом (3.43):
*к-1 |Л =Хк-\ |А-1 +кА-1	(хк\к~-fyt-P-
99
Аналогично
*к-2|Л = *к-2|Л—2 + кА-2|Л-2ф1-1Л-2 Х
(3.64)
или в обобщенном виде
*к-\ |W =^-11<-1 +к*-1 р: • 1 ^М-1кА-|*-1 ^|№^|Л-Р-
По формуле (3.1), опуская индексы различных моделей уравнений
движения самолета, получим
хк = 4-1 <**-!>	+ Sk-lvk-V
Линеаризуем правую часть относительно (х^-щ, «Др а) и
вычислим оценку с помощью условного осреднения:
xk\N = А-1 Цк-1 |V ик-1'а*^ +	(3 66)
+ Ф к,k-l (хк-\ |.V " Л*-1|Р + Sk$k\N-
Отсюда с учетом (3.65), (3.49), (3.40)
$k$k\N $k\N =	— fk-}^ —
~ Фk,k-l(*k-l\N ~ ^-1|Р = xk\N ~
— 4_1<9 — ф£,*-11^-1 |Л-1 + к*-1|А-1 х
Х Ф1,А-1к4*-1Ц(:|# — А-1|Р	=
= (Е — Фк,к-1Кк-1 \k-l®к,к-1Кк\к-1^ Х
Х (*k\N ~	= (5АТ)кЩ-1 Х
х (*k\N ~ Хк\к-О-
100
Выразим из (3.66) и подставим в полученное выражение:
^k\N = (5Л5/)кЩ-1 14-1+
+ ф М-1 <-4-1^ " -4-1 |Р +	— *к\к-11 >
откуда после приведения подобных членов
$k\N = <Е ~ SkSkKk\k-l^~lSkSk Х
х кЩ-1 14<’> “ -4|*-1 +фМ-1^*-1|ЛГ “
“ -4-1 |Р1 = Fk^k-l\N ~ -4-llt-P’
где
Fk =(£,—5*5^к4*-1)-15 *5*Тк4*-1 ФМ-Г
Уравнения решаются в ’’прямом ходе” после вычисления сглажен-
ных оценок J?O|1 и т-д-:
^ipv3^-"5!5! к1|0) *5151 к1|Оф1,оЦ)|№А)|(р;
А|№/()Ц)|1>и0 'а +ф1,0^0|№^0|Р +<?1|№
^21№ (~Е~ S2S2K2	1 S2S2Ck2 |1 1 11№ А11
•*2|№/1С*1|2>ы1 >а*> +Ф2,1(А|№‘А|2) +<?2|У
И Т.Д.
101
3.9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АПРИОРНОЙ
ИНФОРМАЦИИ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИЯ
И ИДЕНТИФИКАЦИИ
3.9.1. ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПОЛИНОМА
Нередки ситуации, когда информация, получаемая в летном
эксперименте, недостаточна для идентификации характеристик
самолета. Данные летных испытаний в этих случаях должны быть
дополнены априорной информацией. Априорная информация — это
данные расчетов аэродинамики самолета и модели его силовой уста-
новки, результаты трубного эксперимента, стендовых испытаний
двигателя самолета, лабораторных испытаний приводов рулей и т.д.
Здесь излагается один из способов учета априорной информации,
дополняющий метод наименьших квадратов [23].
Предполагается, что вектор измерений z = [zp ..., zA,]T, где N —
число измерений, линейно зависит от оцениваемых характеристик А
= [Ар ..., Ап]т самолета:
z = НА + А,	(3-68)
где Н — заданная числовая матрица порядка (А, и), и — число пара-
метров; Д = [Др ..., ДдЛ1 — вектор погрешностей измерений.
Априорная информация характеризуется плотностью вероятности
h(a) = Л(ар ..., ап) случайных величин Ар ..., Ап. Случайные векторы
А и Д принимаются независимыми нормальными случайными векто-
рами; вектор Д полагается центрированным; априорное математичес-
кое ожидание та вектора А задано. Заметим, что в процессе экспери-
мента вектор А остается неизменным.
Обозначим P(N, N), Q(n, п) — матрицы, обратные корреляционым
матрицам векторов Д и А. В дальнейшем принимается, что матрицы
Р и Q положительные. Это означает, в частности, что дисперсия
каждого параметра Az конечна, т.е. априорная информация о всех
оцениваемых величинах Ai принимается содержательной. Допущение
Q > 0 обеспечивает регуляризацию задачи идентификации.
В соответствии с принятыми допущениями имеют место ра-
венства
й(а) =[|Q|(2it)-”]1/2
exp — _L(a—ma)TQ(a—та) ,
(3.69)
102
да) = [|p|(27t)“JV]1/2expf-laTpa],	<з.70>
I	J
где /(б) = /(бр ..., tN) — плотность вероятности вектора Д; |Q|, |Р|
— определители матриц Q и Р; б = [бр б^т, а - [ар ..., яд]т,
та = [МрЦ], ..., М[Ап] ]т — матрицы-столбцы.
Оценка rf(zp...,zAr) = t)*(z) величины т) = ц(Лр...,ЛЛ) заданной
функции аргументов Лр Ап есть ее приближенное значение,
определенное как функция результатов наблюдений. Качество
оценки r|*(z) будем характеризовать средним квадратом ошибки
т] — q* в пространстве случайных величин ЛхД
Af[(T) - if)2] = J (N + п)/[т)(а) - if(z)l2x	(3.71)
х h(a)fWdQadQl>,
где dQa = dax...dan; dCl6 = d&{...dtiN. Подставив (3.69), (3.70) в
(3.71), получаем
М[(т] - п*)2] = [|Q|-|P|(2n)-°t+M]1/2 [ (N +
Д	(3.72)
+ n)|[i)(a) - n*<z)]2exp^—
р = (а — m^Q(a — та) + бтРб.
Заменим в (3.72) переменные бр ..., переменными zp ..., zN,
связанными с др ..., соотношением
<3-73>
Якобиан этого преобразования равен единице. Из (3.72) с учетом
(3.73) следует
р = {а - ma)TQU — та) + (z — Hd^Ptz — На),
или
р =а ТС *а—2а T(Qma +Н JPz) +fnjQma +z TPz,
103
где
С * = Q + Н 'PH.	(3-74)
Здесь С и Q — положительно определенные матрицы. Переменная р
представляет собой форму второго порядка относительно переменной.
Она может быть представлена в виде
р = (а—а *)ТС *(а—а *) — (а *)ТС *а * ^m^Qma+z TPz, (3.75)
где
а * = (С *)~1 (Qma + Н JPz).	<3.76)
Величина а — это линейная векторная функция векторной пере-
менной z, т.е. результатов измерений. Подставим в (3.76) вместо
матрицы Q тождественное выражение Q + РГРН — Н*РН. Принимая
во внимание (3.74), получаем
а * = та + (С *)’1Я TP(z - Нта).
Подставим (3.75) в (3.72). Обозначим/(z) внутренний интеграл в
(3.72) по переменной а:
Цг) = [ |С * | (2п)-"]1/2 J nJ [т](а) -
—°0 —«	(3.78)
—T)*(z)]2exp—А(а — а*)тС*(а - a*) dQa.
С учетом этого обозначения формула (3.72) преобразуется к виду
ОО 00
Л/[(т) - т)*)2] = —IQI 1^*1— (Я f exp —A(zTPz +
5] (2я)*|С*| Л Л 2	(3.79)
+ maQma - a*C*a)]/(z)<ZQz.
Вернемся к равенству (3.78). Обозначим
Да)
(У
(2 л)п
ехр-1(а
-аУСЧа - а*)
(3.80)
104
Функция f(a) — плотность вероятности нормального случайного
вектора с математическим ожиданием а и корреляционной матрицей
(С*)-1. Можно показать, что функция /(а) — это плотность вероят-
ности вектора А, найденная при условии [2], что известен вектор
наблюдений z; вектор а — условное математическое ожидание,
а * = M[A\z]; С* — матрица, обратная по отношению к корреляцион-
ной матрице вектора ошибки оценивания:
С* =Л/{((Л - а*)(А - a*)T]|z}~1.
Ошибка оценивания а — А — разность оценки и ее истинного значе-
ния. С учетом обозначения (3.80) равенство (3.78) принимает вид
00 оо
/(z) = JnJ ln(a) - n*(z)]2/(a)6ZQa,
—-ОО —00
или
00
/(z) = [tj*(z)]2 - 2i]*(z)	x
—00
(3.81)
x f(a)dQa +
oo
J n^2(a)f(a)dQa.
Функция Hz) и подынтегральная функция в уравнении (3.79) поло-
жительны. Поэтому оптимальная оценка, реализующая минимум
среднего квадрата ошибки, определяется, как следует из (3.81),
равенством
ОО 00
t^(z) = J п f r\(d)f(a)dQa = М(т)(у1) |z] ,
или
По<г> =	,
(2п)"_<
С
J дг J t)(a)cxp—.1(а—а *)ТС *(а—а *) dQa. (3.82)
105
В случае оценки полинома
Ч(л)=£ X ait...iAl'"An’ I^0’ s = 1-n
А=1
(3.83)
можно получить достаточно простое аналитическое выражение для
оптимальной оценки. Интеграл (3.82) легко вычисляется с помощью
характеристической функции
ф(0 =ф(Гр.. .,/„) = J nJ ej(fra)f(a)dQa; t =	(3.84)
В случае нормальной плотности (3.80)
(3.85)
<p(Zp tn) = е 2
где j — мнимая единица.
Из (3.84) с учетом (3.80) следует
дф(О
Э(//р /=о
= Jn J аЛ/(а)
(3.86)
т.е. оптимальная оценка вектора А равна а. Далее из (3.84) следует,
что вторая производная
а2<₽(о	ею = Г nfai.a f(a)dQ =М\АьА Izl:
a (/zp а (//,„)	q J J к	а 1 1г т 1 ' ’
к, т = 1 ... п
есть оптимальная оценка произведения
В общем случае справедливо равенство
106
По<2) = Е Е х
к-1 ii+...-H„=k
dk<p(tv..t )	।
х-----------------	; tsiO, s =
Формально это выражение эквивалентно формуле
/
Tb(z) =Т) —-——-— фОр—Ли)| >
10 pc/q) aOQj 1	/=0
а а
d(jt{) ’ ’’ d(Jtn)
<р(/) — дифференциальный оператор,
где = П
определяемый выражением (3^83).
Из формулы (3.82) следует, что
in
no(z) = Af[T)U) |z] = 52 £ x
k=\ ii+...+in=k
x M[a.-	.	LiO, s=l,...,n,
т.е. оптимальная оценка полинома т|(Л) переменных Лр ..., Ап
находится как сумма оптимальных оценок его слагаемых.
Вычисление производных характеристической функции — доста-
точно трудоемкая операция. Для ее упрощения рекомендуется разло-
жить эту функцию в степенной ряд (3.85):
ф(Гр ..., tn) =1 + jtTa* + 1(/7)T(C *)~1;У +
+ Х|?7Та + 4у7Т(с*)"17712
(3.88)
+ J_f;7Ta* + 2./7т(С	3 + - •
Э.	Xi
107
При вычислении производной Э*<р|Э(/71)/,...д(/?п) (3.88) выделить слагаемые Л-го порядка так обращались в нуль при дифференцировании	необходимо в ие, которые бы не и при подстановке
t = 0.
Пусть п ni = Е 1	(3.89)
где а- — заданные числа. На основании (3.87) и	(3.88) оптимальная
оценка г)* величины определяется формулой
п	п	п ’ll = £ а/4"Е	= £ aiai- /=1 dtik=\	1	(3.90)
Рассмотрим далее квадратичную форму П2(а) = £	(3.91)
где [ PZ J — вещественная симметричная матриц; зависит от членов второй степени ряда (3.88)	1. Желаемая оценка
Ф2^1> •••>(,? = i Е [/Vе Хр/'р + Za,p=l	(3.92)
+ /'e<vVp] •
Из (3.87) следует, что оптимальная оценка i^te) ведений коэффициентов на соответствующие	равна сумме произ- г производные:
2	,£ Р,‘ Э</<,)а</((> Uo,
откуда с учетом (3.92)
108
n2<z> = Ё Prtl<c*>rt + a/*ad’
i,k-l
ИЛИ
П>) = т\2(а') + Sp[[0zJ (С*)’1]-
(3.93)
Объединяя многочлены (3.89) и (3.91) первой и второй степеней:
п	п
п(й) = £ afii + £
1	i,k=l
и принимая во внимание (3.90), (3.93), получим следующую опти-
мальную оценку полинома q(a):
tf(z) = П(а’) + Sp [ [ Р,.А] (С ’) -1 ],
или
rj*(z)
Е aiai'
1
+ Е P/J^/X +
/,*-1 J
Sp[[0,J (С
(3.94)
Оптимальная оценка (3.94) равна сумме двух слагаемых. Первое
слагаемое равно значению оцениваемой функции т1(ах, ...,ап) в точке
dj*, ..., а*. Второе слагаемое — это поправка на нелинейность оцени-
ваемой функции.
Примем, что
т| (Л) =
Совокупность слагаемых третьей степени ряда (3.88) можно предста-
вить суммой
Фз(Г1,...,Г„) = 1/7 та *[/7 Т(С *)-’Л1 +АQ7 та *)3,
О •
или
109
+ ftтат
Индексы суммирования i, к, т независимо друг от друга принимают
значения от 1 до и. Оптимальная оценка функции т](Л) в рассматри-
ваемом примере записывается в виде
.(г). ..........'.> ,
ac/zpa^pay^)
откуда
t)*(z) =л1*а2*а3* + [^!*(C *)2,з+а2*(С *)7j +^3*(C *)7гЬ
Первое слагаемое этой формулы есть v)(tz *), второе слагаемое —
поправка на нелинейность оцениваемой функции. Величина (С
означает элемент матрицы (С*)”1, принадлежащий z-й строке и /-му
столбцу.
3.9.2. НЕСМЕЩЕННОСТЬ ОПТИМАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ
В ПРОСТРАНСТВЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН АхД
В условиях одного опыта, когда осуществляются W измерений
вектора НА (см. (3.68)), вектор А (а вместе с ним и искомая величи-
на •••, Д,)) принимает единственное значение а(а{, ..., ап)
(^(йр апУ). От опыта к опыту величины а и л изменяются. Мате-
матическое ожидание случайной величины т) определяется известной
формулой
ПО 00
= J п J x\(.a)h(a)dQa.
—00 —оо
(3.95)
Сравним эту величину с математическим ожиданием оптимальной
оценки (3.82). Величина t)q(z) представляет собой функцию п перс-
110
мснных — составляющих вектора а: t]q(z) =	*) • Д° опыта величи-
на (3.77), записываемая в виде
А * = та + (С ’)-1Я TP(z - Нта),	<3-96>
случайна вместе с вектором измерений. Поэтому
Af[r^(z)] = Jn (а *)/(<*’)</О	(3-97)
—-оо — оо
где /(а*) — плотность вероятности вектора а.
Определим функцию f(a). Так как Л* есть линейное преобразова-
ние нормального вектора z, то А — нормальный случайный вектор.
Его характеристики
М[А'] ~та + (C*)'lH'P[M[z] - Нта];
Ка. = (С *)-1Я 'РК_РН(С *)“’,
где Ка •, Kz — дисперсионные матрицы векторов А и z. На осно-
вании (3.68)
M[z] = Нта; К. = HQ~XH' + Р~{,
откуда
М[Л *] = та,	(3-98)
Ка, = (С*)-1ЯТР(Я£)_1ЯТ + Р-1)РЯ(С’)-1.	<3">
Преобразуем (3.99):
Ка. = (С *)-1Я 'PHQ~XH ГРН(С *)-1 +(С У~ХН 'PH(С *)-1,
или с учетом (3.74), имеем
Ка. = (С *)“l (С	*)-1 + (С *)"’1С(С *)“1, (зло°)
где
г = //	(3.101)
111
Принимая во внимание (3.74), из формулы (3.100) получим
ка. = Q^CCC*)-1 = Q-1 - (С’)-1.	(3.102)
Учитывая выражения (3.98) и (3.102), плотность вероятности
вектора Л* запишем в виде
IQHC‘|
*-таУС *C~xQ(a *-та)
/(а ’) =
Подставим функцию /(а*) в формулы (3.97) и (3.82)
математическое ожидание оптимальной оценки
ехр—— (а
|С|(2к)я	?
и найдем
М[По<2)1 = f nJ
IQk|c*l
|С|(2л)”
1 .
схр ——(а
2
- m^C*C~xQ{a* - та)]
ОО 00
И
J£1 х
(2 л)”
(3.103)
х Л (а) ехр
-1(а -й’)тС’(а - а*)
2

Изменим в (3.103) порядок интегрирования. Получим
М[i^(z)] = _!£_L J4| J п [ п(й) х
(2л)">1 Iе I Д Л
X = a*rRa* - 2(а*)т(С’а + C'C-'QmJ +
+ waTC’C lQma,
где с учетом (3.74)
R = C’C-1Q + С* = С’С-1(С + Q) = С*С-1С’.
(3.104)*
(3.105)
112
Переходя к вычислению внутреннего интеграла I в (3.104), введем
обозначение
b = С*а + C*C~lQma	(3.106)
и представим показатель экспоненты в виде
ф(а *) = (a *)TRa * — 2(а *)тй + mJ х
х С *C~'Qma - (а* - Л-1г>)тЛ(а ’ -
- R~xb) + mjc *C~xQma - brR ~xb.
Так как
(2л)"
1 /
exp--(a
*-R ~lb)rR(a*-R~Xb)
dQa = l
|я| = |c*|2|c-1|,
TO
/=Vlcl<2”>"
|c*|
exp— —(m^C *C xQma—b1R xb) .
2	**
Заменим в (3.104) внутренний интеграл найденной выше величиной
I. Получим
M[tu(z)J = _!
М (2л) п1.
-^2- [ п [ т)(<з)ехр— Аф(а) JQa;
т_\п J >	2
(3.107)
ф(а) -a *а+т^С *С xQma-bJR~ib.
На основании (3.106)
ф(а) = а ТС *а + т^С *С ~lQma —
-(.С *a+C*C~lQmaT)R-1 (С ra-i-C *C-lQma),
или
113
<р(а) = ar(C” - C*R~xC*)a - 2aJC*R~' x
x C *C~lQma + mjc *C~xQma -	(3.108)
- m^QC-xC*R-{C*C-xQma.
Принимая во внимание (3.105) и равенство (3.74), получим
С* = С + Q.
Преобразуем (3.108) к виду
<р(а) = (а — ma)rQ(a — та),
откуда
M[n*(z)]= _
(2n)nt
О— f n f x\(.a)exp[—l-(a—in )yQ(a—ma)\dQ
) н J J	2
а'
(3.109)
Правые части (3.109) и (3.95) совпадают, что и подтверждает
несмещенность оптимальной оценки.
3.9.3. ТОЧНОСТЬ ОПТИМАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ
Точность оценки t)0(z) характеризуется средним квадратом ошиб-
ки М[ (т}(Л) — t)q(z))2] . По теореме Пифагора
JW[(T)U) - t^(z))2] = Л/[П2(Л)] - M[(rfo(z))2].	<ЗЛ10>
Определим средний квадрат ошибки в случае
п	п
П(Л) = $3а,л(. +	Р(/М7-	(3.111)
1	/,/=1
Если нормальный вектор А центрированный, то
114
М [Т12(Л) ] = М
Е а<аАЛ-
л/=1
п
+ У? ^iJ^knt^iAj^k^m ’
i,j\k,m=\
откуда
п	п	1 -1
М[г)2(Л)1 = £ ^(Q-by + £ ₽,7WQj Q'km +
/,/=1	ij,k,tn=}
+ Qik Qjm + QimQjn )•
Так как матрицы Q”1 и р = [ Р/у1 симметричны, то
М[ц2(Л)] =aTQ~ 1a+Sp2(PQ’1] +2Sp[(PQ-1)2],	(ЗЛ12)
где ат = (ар ..., а„] .	*
Вместе с вектором А (,та = 0) будет центрирован и вектор А (см.
(3.98)). Поэтому с учетом (3.94) справедливо следующее равенство:
M((n’(z))2] = ^Ка.а + Sp 2[РКД.] +
+ 2Sp[(p/Te.)2] + SpbpGS*)"1] +
+ 2Sp[p(C ’r’jSptp^.L
ИЛИ
M[(t^(z))2] = агКа.ч +{Sp[pKa.] +
+ Spip^*)’1])2 + 2Sp[(p^a.)2],
откуда
M[(t)q(z))2] = a7Ka.a + Sp2(PQ "*] + 2Sp [ ($Ka.)2].	(ЗЛ13)
115
Средний квадрат ошибки оценивания равен разности (3.112) и
(3.113):
М[(ц(Л) - t^(z))2] = aT(Q-1 - Ка.)а +
+ 2Sp[(PQ-1)2] - 2Sp[(p^a.)2],
или, принимая во внимание (3.102):
M[(t)U) - i^(z))2] = аЧС*)-^ +
+ [2Sp(PQ-1)2 - (Р/Са.)2].
Учет априорного математического ожидания вектора А иллюстри-
руется следующим примером (см. (3.94)):
ц(Л) =а41+рл2; n*(z) =аА/ч-рЫ/)2+ р(С *)[\,
где а и р — заданные вещественные числа; (С *) j * — элемент матри-
цы (С*)"”1, принадлежащий ее первой строке и первому столбцу.
Обозначим a* = М[(Л^)2] ; т = M[At] ; к = Р(С *)]"11;
о2 = M[Uj)2].
Так как
ц2(Л) = а2(А1+т)2 + 2аР(Я1+т)3 + р2(Л1+т)4;
(tj*(z))2 = а2^* + ли)2 + 2аР(Л1* +
+ /и)3 + P2G4j* + т)4 + 2ак(Л1* + т) +
+ 2рк(у{!* + /и)2 + к2,
то средний квадрат ошибки
116
М(П(Л) - n*(z))2 = а2(о2 - о*) +
+ 6аРт(а2 - а*) + Зр2(о4 — о*) +
+ 6m 2(а2—а*) — 2 акт — 2рк(а*+т2) - к2.
3.9.4. МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА
Требуется найти т оценок (т £ тр П1<2)» •••» nz*n(z) величин
41 (Л), ..., т]ш(Л), чтобы среднее значение функции риска/(тц —
— Пр •••> Пт “ П,*п) было минимальным. Пусть
/<П1 - П1’, •••> П„! - П,п> = ДптС4, z) X
х ВЩА, z) + 2Дг)т(Л, z)p,
(3.114)
где ДцС4,г) “[^(Л) — i)i’(z).(Л) — ц„,(г)]т; В — числовая положи-
тельная матрица (т, т)\ р = [р1...р„1]т — матрица-столбец. Матрицы
В и р заданы.
По аналогии с и. 3.9.1 получим, что среднее значение функции
риска определяется формулой (3.79), в которой /г следует вычислять
по формуле (3.78)
/г = J п J/0)1 (Л)—П1(г),...,цш(Л)— T]*n(z))g(A)dQa,
(3.115)
где
g(A) =
1
। ехр —А(а — а *)ТС *(а - а *)
(2 л)" L 2
2
и в соответствии с формулой (3.114)
117
/<mU) — т*(2),...,1]„((Л) —	=
= ^*(z)tBt)*(z) — 2|)*(г)тВт1(Л) +
(3.116)
+ л(Л)тВг|(Л) — 2t)*(z)Tp + 2т)(Л)тр.
Из (3.115) и (3.116) следует выражение
/(z) = q*(z)TBt)’(z) - 2tj*(z) х
(3.117)
X
Bfn j T](A)g(A)d^ + p + p(z),
где p(z) — функция, не зависящая от оценки T)*(z). Искомая опти-
мальная оценка находится из условия минимума (3.117) по перемен-
ной r)*(z). Дифференцируя функцию (3.117) по вектору t)*(z) и
приравнивая нулю результат дифференцирования, найдем:
ОО 00
n*(z) = f п j t](A)g(A)c/Qa + Б-’р.
----------ОО —ОО
Первое слагаемое этой формулы есть вектор оптимальных скаляр-
ных оценок величин (Л),...»т1т(Л), второе слагаемой представ-
ляет собой поправку на линейный (неквадратичный) член функ-
ции риска.
3.9.5. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Точность априорных данных — один из основных факторов, опре-
деляющих точность идентификации. Особенно значителен этот фак-
тор при оценивании параметров самолета. Априорная информация
определяется плотностью вероятности оцениваемых величин или, в
случае их нормального распределения, математическим ожиданием
и дисперсионной матрицей. Часто инженеры-испытатели нс распола-
гают надежной информацией о точности априорных данных. Поэтому
назначаются большие дисперсии оцениваемых параметров, что сни-
жает роль априорных данных как рсгуляризующего фактора иденти-
118
фикации. В этом подразделе излагается общий подход к задаче оцен-
ки точности априорной информации, основанный на теории статисти-
ческих решений.
Предполагается, что вектор у = (ур..ур)т состояния системы удо-
влетворяет нелинейному стохастическому уравнению
У = Лу, a, D + ^(0,
(3.118)
где/(у, а, /) = [/^(у, я,	а, 0]т — векторная функция пере-
менных Ур..ур,	I; а =	— вектор оцениваемых пара-
метров; = [5у1(0...?ур(/)] — векторный аналоговый белый шум,
имеющий матрицу интенсивности Sy. Вектор а принимается посто-
янным.
Для простоты изложения принимаем линейной информационную
систему
z(rp = Hky(tk) + e(tk),
(3.119)
где z(rp = [z( (/p...zr(/p]T — вектор измерений; tk — момент выдачи
измерений;
Нп(к) ... Н{р(к)
Нг[(к) ... Нгр(к)
— прямоугольная матрица; e(tk) =	(/^)...er(zp]T, к =0,1 — дис-
кретный белый шум датчиков, имеющий дисперсионную матрицу R.
Матрицы Sy, R, и Функция/(у, а, I) заданы.
Если характеристики датчиков нелинейны, например
2i (/р = h{(y(tk)) + ej(tp,
то переход к линейной системе (3.119) осуществляется линеаризацией
функции hx (у) или расширением вектора состояния за счет перемен-
ных вида ур + 1 =	(у). Производная новой координаты вектора
состояния имеет вид, аналогичный (3.118),
р aAj(y)
а, 1) + £//)].
Объединяя векторы у и а в один вектор
119
X = [Х,...Х„]Т = b-р..Ур aP..ae]T,
получим следующие уравнения объекта и информационной системы:
х = <р(х, /) + $х(0;	(3.120)
z(tk) = Hkx(tk) +e(tk),	(3.121)
где ф(х, t) = [Г(у, a, I) 0(1,?)], Нк = [Нк0(г, #)]; (1, q), (г, q) —
переменные, указывающие числа строк и столбцов нулевых матриц.
Параметры самолета, определенные расчетом или трубным экспе-
риментом, принимаются за математическое ожидание та вектора а.
Задаваясь точностью этих данных (дисперсионной матрицей Р ) и
нормальным законом их распределения, сформируем плотность
вероятности априорного распределения вектора а. Если требуется
сравнить точности аэродинамических расчетов и продувок, следует
принять два варианта математических ожиданий та[ и гпа2- Ниже
сравниваются s вариантов (гипотез) о характеристиках априорного
распределения вектора а. Гипотеза Hi определяется дисперсионной
матрицей Pai и математическим ожиданием та{.
Вектор х состояния системы (3.120) включает в себя векторы у и
а. Принимая эти векторы в их априорном распределении независи-
мыми и вектор у нормальным, найдем, что для z-й гипотезы
Pzo(x) = [(2it)"/|Pz|]-1/2
— m^Pt \х —
Г 1 /
ехр —— (х —
2
(3.122)
где Рю(х) — плотность вероятности априорного распределения векто-
pa х; Р;- =_diag [Ру Pai]; |PZ| =	"’z "	i =
= l...s; my, Py — математическое ожидание и дисперсионная матрица
вектора у(/0); Ру — математическое ожидание и дисперсионная
матрица вектора х(/0) (до опыта).
Пусть в процессе эксперимента получены измерения z(/0),
..., z(/JV). Эти векторы в соответствии с (3.121) зависят от век-
120
торов ,v(z0), x(tN) состояния системы. Поэтому плотность вероят-
ности вектора
ZN = [z(/0)T...z(^)T]T
зависит от гипотезы Н-е Обзначим эту функцию P^z^. Допустим
далее, что функции Pfa^) известны. Тогда оценка точности априор-
ной информации о параметрах объекта управления сводится к задаче
о выборе одной из s гипотез.
Напомним правило выбора гипотезы (принятия статистического
решения). В соответствии с формулой Байеса вероятность гипотезы
Hi после наблюдения вектора z.v определяется равенством
qPAzN)
Р(Я(. ZV) = —; 1 = 1, s.
1	S
Е
1
(3.123)
где ^. — априорная вероятность гипотезы Нг Из (3.123) следует, что
средний риск принятия гипотезы Hj (после наблюдения вектора zA0
будет	*
Ср~-------
Е
1
где Сд — стоимость ошибочного решения в пользу /-й гипотезы, ког-
да верна z-я гипотеза. Оптимальная гипотеза Нк находится из усло-
вия минимума среднего риска Bj как функции целочисленного ар-
гумента j
s	s
min £
(j) /=1, i*j	/=1, i*k
(3.124)
Если величина Сд (i * j) не зависит от индексов i и /, то приведенное
выше условие можно сформулировать так: в случае наблюдения
вектора zN следует принять гипотезу Нк, где к q [l...s] и удовлетво-
ряет 5 — 1 неравенствам
QkPk^N^ 2 ViP^N*’ 1 * k’ i 6 [l-sl-
(3.125)
121
Эти неравенства определяют в пространстве zN область Rk принятия
гипотезы Нк, Вероятность отбрасывания правильной гипотезыНк
находится из равенства
= qk\ pk{zN)dzN,
Rk
где Rfr — дополнение области Rk до полного пространства zN. Вероят-
ность Р(Нк\Н0 характеризует точность принятого решения. Величи-
на Р{Нк\Нр зависит от объема выборки .V, точности датчиков,
шумов объекта управления, его динамических характеристик и
оператора информационной системы.
В случае попарного сравнения гипотезы (s = 2) величина
пропорциональна	а Риск ^2 пропорционален
С21<71Р1(г^). Условие принятия гипотезы Н\ выражается неравенством
которое обычно представляется в виде
UzN) =	2 П,	(3.126)
pl(zN)
где
п = С12?2
С21?1
Функция L (zN) называется отношением правдоподобия, а величина
П — порогом принятия решения.
Для принятия правильного решения необходимо знать вероятности
гипотез и стоимости ошибочных решений. Вероятности выбира-
ются на основании накопленного опыта расчетов, продувок и летных
испытаний. В некоторых случаях эти вероятности принимаются
равными. Тогда они не влияют на принятие решения. Если вероятнос-
ти qi до опыта определить нельзя, используется минимаксный метод
принятия решения.
Пусть заданы стоимости Су, а вероятности q. неизвестны. Зафик-
сируем процедуру решения, выбрав непересекающиеся области R< (i -
« 1, ..., s), объединение которых дает пространство векторов zN. В
122
случае zN е Ri принимается гипотеза Если справедлива гипотеза
Яр то риск принятого решения оценивается выражением
В/Лр Лт) £ Cai J PiMdx, i = 1, .... s.
a = l, a*/	r*
Оптимальное правило определяется условием
min max В-(Л{...Вт).
R,...Rm ie[l...s]
Минимаксный метод выбора одной из двух гипотез [2] заключает-
ся в определении области R{ как функции порога П:
zN 6 если [pi(zN)/p2(zN)] > П.
Далее для фиксированного П находятся условные вероятности оши-
бочных решений:
Р(Я2|Я1) = P(ZN 6 Я21Я1>; Р(<Н11Я2> = P^N 6 *11Я2>-
Оптимальное значение П выбирается из условия равенства стоимос-
тей ошибочных решений
С21Р(Я2|Я1) =С12(Я!|Я2).
Точный выбор коэффициентов риска С- должен опираться на
анализ последствий неправильного выбора гипотезы. Ее ошибочный
выбор сопровождается снижением точности идентификации и, следо-
вательно, понижением эффективности системы. Точный выбор вели-
чин связанный с оценкой влияния ошибок идентификации на
интегральные характеристики автоматической системы, представляет
собой самостоятельную сложную проблему. В первом приближении
величины Сц принимаются равными.
В соответствии с вышесказанным задача оценки априорной инфор-
мации может быть решена, если будут определены плотности вероят-
ности Pi^zJ) вектора z?7, когда верна гипотеза Так как zN =
= [zT(/0)...z^(rJV)]T, то
N
Pi{zN) = P(z(t0) \Hi) П p(z(Zy) |zy_p Я(),	(3.127)
где Zj = [z(f0)T...z(/y)T]T, j = 0, ..., N — 1.
123
С помощью (3.121) можно определить условные математические
ожидания результатов измерений и их дисперсионные матрицы:
M[z(t0) \HS] = H0M[x(t0)	= Я0/й(- = z(O,z);	(3.128)
M[z(Zy)|zy_1( Я,] =ЯуЛ/[х(Гу)|гу_1, Я;] = = Яу^((у|2у_1, Я,.) = z(j - 0,i); j = 1, ...» N, i = 1, s;	(3.129)
P[z(Z0) |Я,] = ЯР,Я т + R = Pz(-O,z);	(3.130)
P[z(Zy)|zy_i, ЯД =	H-^H1 * * * S + /? = = Pz(j - 0,z); j = 1, N, i = 1, s.	(1.131)
Здесь буква Р обозначает операцию вычисления дисперсионной
матрицы, в частности, выражение P[z(tj)\zj_^ НJ = Pz(j — 0,0 есть
дисперсионная матрица вектора измерений z(/y), найденная при
условии, что справедлива гипотеза и что известны все предшеству-
ющие измерения z(/0), ..., z(jj_i).
Принимая вектор zN нормальным, получим следующую формулу
для плотности вероятности p^zN) вектора zN (см. (3.127)):
1 (	1 1
= п -7.... 	exp - -S ,	(3.132)
/=о / ~	\	)
у(2лг)|Р2(/- 0,0|
где в соответствии с формулами (3.128)...(3.131) обозначено
N
S = £	- z(j - O,z)TPz-1 (j - 0,0 [z(Zy) -
j _ 0
— z(j — 0,0].
Заметим, что влияние априорных данных (гипотез) на плотности
вероятностей Pi(zN) проявляется на начальной стадии алгоритма и
осуществляется через математические ожидания и дисперсионные
матрицы Р-.
124
Математические ожидания z(j — 0,z) и дисперсионные матрицы
Pz(j — O,i) вектора z(Zy) определяются по формулам (3.128)...(3.131).
В этих выражениях имеем
x(/y|zy_1( Я,) = M[x(Zy)|zy_j, Я,1 = *(/-0,0;
Px(j - 0,z) = P[xUj) |zy_1( Hj\.
Эти характеристики находятся с помощью алгоритмов экстраполяции
и регрессии 115].
Алгоритм регрессии реализует переход от оценки x(j — 0,z) =
= M[x(tj) | Zy.p Hj\ к оценке = M[x(tj) | Zy, Я,] и от дисперси-
онной матрицы Px(j — 0,z) к дисперсионной матрице Р[х(/ ) | z-, Я(] =
Рx(j,i). В результате получаем уравнения для оценок и7 дисперси-
онных матриц
*(/,z) = *(/ - 0,z) + [z(Jj> - HX(j - 0,z)];
(3.134)
(3.135)
(3.136)
= Px(j - 0,i)HT[HPx(j - 0,ОЯ T + Я]-1;
Px(j,i)Px(j - 0,i) - K(j,i)HPx(j - 0,z), j = 0, ..., N.
Приближенная экстраполяция оценок координат х(/у) осущес-
твляется разложением первого слагаемого правой части уравнения
(3.120) в ряд Тейлора в окрестности искомых оценок (ниже для
простоты обозначений опущен номер гипотезы):
Д ЭФ/(х(0)
Ф/(х) « Ф/«(/)) + £ - 4--.— (хк	+
дхкк
п
2 *,/=!
'a2<pz«(0)'
(хк — £k(f))(.Xi — x^t)),
(3.137)
где Ф/(х) — z-я составляющая векторной функции Ф(х). Подставляя
эти выражения в уравнение (3.120) и применяя к полученному урав-
нению операцию математического ожидания, получим
Х(/) = ф(Х) +1	Px(t).
(3.138)
Уравнение для дисперсионной матрицы Рх(/) найдем, пользуясь
линеаризованным уравнением объекта управления
125
Л = <₽«(/)) ч-	(х - Л(0) + F (t).	(3.139)
ЭХ	x
Уравнение (3.139) — это линейное стохастическое уравнение. Дис-
персионная матрица его координат удовлетворяет уравнению
р _ з<р«) р + а<р«)т р + s	(3.140)
х эл х эл х х’
где Sx — матрица интенсивности белого шума £x(t).
Система (3.138), (3.140) — система связанных между собой урав-
нений — интегрируется на интервале дискретности [tj, . Началь-
ные условия для этой системы в момент tj формируются с помощью
алгоритма регрессии: t = tj, X = X(j,i), Р = P(j,i). На интервале
дискретности в систему не поступают новые измерения. Поэтому
оценка X (/) и дисперсионная матрица Px(t) — это условные матема-
тические ожидания следующего вида:
X(t) = X(t,i) = M[x<t)\zp Я.];
Px(t) = Px(t,i) = M[(x(t) - X(t,i)> (x(t) -
- X(tJ))T\Zj, Я,.].
Заканчивая интегрирование системы (3.138), (3.140) в момент
получим результаты экстраполяции объекта в виде x^{_q d и
^у+1-О,/)-
Уравнения (3.138) и (3.140) представляют собой алгоритм экстра-
поляции. Последовательная реализация алгоритмов регрессии и
экспраполяции, осуществляемая для каждой гипотезы Hi отдельно,
позволяет определить искомые плотности вероятности P^zN).
3.9.6.	ОЦЕНИВАЕМЫЕ ДИСПЕРСИИ ШУМОВ
ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Рассматриваются нелинейный дискретный объект и линеаризо-
ванная информационная система
у (к +1) + <₽(>-(*)) + $у(к),	(3.141)
z(« = Ну (к) +	(3.142)
где
126
у(к) =	z(k) = [21(Л)...гг(Л)]т;
!у(к) = [^/(А)...^Р(Л)]Т;	= {^k)...^nW\
к = 0, 1, ....
— векторы координат состояния объекта, измерений, шумов объекта
и датчиков в момент 1к. Векторная функция <р(у) = [ф1(у)...фр(у)1т и
матрица
Яц...Я1Р
яг]...ягр
заданы. Последовательности векторов £у(к), £Лк) принимаются
дискретными стационарными белыми шумами, независимыми между
собой и независимыми от вектора состояния системы у (Zo) е
е N(my, Ру) в начальный момент Го. Математическое ожидание ту,
дисперсионные матрицы Р и R векторов у (/0) и £z(k) также заданы.
Предполагается справедливым следующее представление век-
торов £у(к):
$у1(Л) =	...; £ (£) = йЛ(Л);
(3.143)
tyi(k) = w^k), i = q + l...p,
где 1	<7 p;	wQ{k) — нормированные случайные величи-
ны; av ..., aQ — неизвестные положительные числа.
Из (3.143) следует, что
С/Л) = Г(й)НЛ),	(ЗЛ44>
где Г(й) = diag(a]...ap 1...1], wik) = [и'1(Л')...и'р(Л)]т.
Дисперсионная матрица (5 вектора w(k) принимается известной.
Этот пункт посвящен оцениванию величин ар ..., aQ, представ-
ляющих собой неизвестные средние квадратические отклонения шу-
мов £yJ(k)f ...» ZyQ(k) объекта управления.
Решение задачи основано на расширении вектора координат
состояния:
127
x(k) = [У1(к)...уЛк) а^к)...аЛк)Г = (x.a)...x,,(*)];
9	(3.145)
ф(х) = Iq>!<pp(j) aj...a^]T; ^x(k) = V(a)w(ky,
Г(а)
Г(я)
0(<?,p)
0<r,q>],
; H = [H
x(0) e N(fnx P ); m = [znvT m„T]T; Pr =
А А	Л	у	U.	Л
(3.146)
= diag[Py PJ,
x(k + 1) = ф(х(Л)) + Г(а)и^(Л); z(k) - Hx(k) +	(3.147)
где rna, Pa — математическое ожидание и дисперсионная матрица
вектора а, найденные до опыта. Выше было принято естественное
допущение о независимости векторов у(0) и а в их априорном распре-
делении.
Уравнения (3.147) — это новые уравнения объекта и датчиков,
полученные после включения в вектор состояния неизвестных сред-
них квадратических отклонений а-. Особенность этих уравнений
заключается в том, что р + l...n-я строки матрицы Г (а) и пер-
вые р функций векторной функции <р(х) не зависят от вектора а и
р + 1...и-й столбцы матрицы Н — нулевые.
Решение задачи оценивания векторов х (к) определяется следую-
щими известными уравнениями:
х(к + 1|Л) = <p(.fGt)),	(3.148)
х(к + 1) = х(к + 1 |Л) + Р(к + 1)Я т7?-) lz(k + 1) -
(3.1 ЧУ)
- нха +11*)],
Р(к + 1|Л) = Г(а(Л-))<2Гт(а(Л)) + Э(р^а)) х
дх
(3.150)
» э^м» :
Эх
Р(к + 1) = Р(к + 1 |Л) - Р(к + 1 \к)Н'[НР(к +	(3 151)
+ 1 \к)Н т + R]~lHP(k + 1|£),
где £(к + 1 |Л), Х(к), Р(к + 1|£), РШ — математические ожидания
векторов х(к + 1), х (к) и дисперсионные матрицы векторов х (к +
+ 1) — к(к + 1 \к), х (к) — £<к), полученные при наблюдении вектора
z(k) = [z T(0)...z Т(Л)1Т.
Выделим из уравнений (3.148)...(3.151) уравнения, определяющие
оценку вектора а. Из (3.148) следует соотношение d(k + 11£) =
= й(Л).
Нижний блок матрицы Р (к + 1), относящийся к р + l...n-й стро-
кам, имеет вид
^ау ’
где Рау и Р^ — матрицы порядков (q, Р) и (q, q):
Рау(к) = М[(а - d(k))(y(k) - ^(k))T\z(k)];
Раа(к} = М[(а -d(k))(a - <5(*))Т|2(Л)].
Элементы матрицы Рау — это корреляционные моменты ошиоок
оценивания координат а(- и jy (z = 1, ..., q, j= 1, ..., р). Так как
р + l...n-я строки матрицы /Л нулевые (см. (3.145)), то из (3.149)
следует
d(k + 1) = d(k) + Рау(к + 1)ЯтР-1[га + 1) -	(3.152)
- НЖк + 11£)].
Второе слагаемое в (3.152) представляет собой поправку к оценке
d(k + 1), которая соответствует последнему измерению z(k+ 1). Эта
поправка пропорциональна элементам матрицы Рау(к + 1). Матрицы
Рау(к + 1) определяются уравнениями (3.150), (3.151). В матрицах
Р(к + 1 | к) и Р(к + 1) матрицы Рау(к +1 | к) и Рау(к + 1) располага-
ются в р + 1...П строках и /...р столбцах. Элементы матрицы Г (а)
(см. (3.145)), принадлежащие р = 1...И строкам, равны нулю. Поэтому
при определении матрицы Рау(к + 1 | к) можно пренебречь первым
слагаемым в (3.150). Матрицы Э<р/Эх и Р имеют блочную структуру:
Эф _ Зф/Эу 0(р,<?) р = РУ РУ'а
дх 0(q,p) Е ' Рау Ра
(3.153)
129
128
(3.154)
из уравнения
(3.155)
(3.156)
На основании этих равнеств из уравнения (3.150) получим
V + 1|Л) =Рву(Л) Э.УТ^(Л)) ;
Ра(к + 1|Л) = Ра{к).
Аналогично с помощью равенств (3.153) и (3.145)
(3.151) получим
Рау<к + 1) = Рау(к +1|« - Рау(к + 1|*)ЯТ х
х Р~1(к + 1\к)ЙРу(к + 1 |jt),
Ра(к + 1) = Ра(к + 11£) - Рау(к + 1 \к)Н т х
х Р~\к + 1|Л)НРуа(к + 1|Л),
где с учетом (3.147) обозначено
Pz(k + 11« = ИР (к + 1 \к)Н т + R.
Система уравнений (3.154), (3.155) относительно матриц Рау(к +
+ 1 | к, Рау(к + 1) не имеет свободных слагаемых. Начальное условие
для этой системы (3.146) нулевое:
Рйу(0) = 0.
Поэтому матрицы Рау(к + 11£), Рау(к + 1) равны нулю, и, принимая
во внимание (3.152), (3.154), (3.156), получаем
а(к) = Ра(к) = Ра, к =1, 2, ... .
Следовательно, в условиях поставленной задачи среднее кадрати-
ческос отклонение вектора а не оценивается. Ее решение становится
возможным, если так преобразовать уравнение (3.141), чтобы функ-
ции ф зависели бы нс только от у, но и от вектора а, В частности,
можно воспользоваться преобразованием
х^к) = у^кУ/а^ / = 1,..., q\
х^кУ = yz(£), i = q + 1, ..., р;	(3.157)
xp+/U) = az, i = 1, ..., q.
130
Результат преобразования уравнений (3.147), основанного на равен-
ствах (3.157), представляется уравнением
х(к + 1) = Y(xGt)) + Гн-(Л),
где
Т(х) = [^(х)...’^)]7, ^(х) =
= Ф((*1-*Р + 1> -> ХдХр^д, Х9 + 1, ..., Хр)х"+р
i = 1,	Q',
^(Х) = ф/XjX^p ..., ХдХр^, х?+1, ..., хр),
1=9 + 1, ..., р\
4J (х) = xz, i = р + 1, п; Г7 = [Е(р,р) 0(р,9)].
Аналогично преобразуются уравнения датчиков:
z(k) = h(x(k)) + v(£); h(x) = [Л1(х)...Лш(х)]т;
Q	P
hi^ = £ HijXp.jXj + £ HijXj.
7=1	/=$ + 1
(3.158)
(3.159)
Применение линеаризованного фильтра Калмана (3.148) (3.151)
к системе (3.158), (3.159) позволяет получить оценки вектора х (к)
и, в частности, d(k) — оценки средних квадратических отклонений
шумов объекта. Координаты jq, ..., xq отличны от переменных ...,
yq. Оценки координат у15 ..., yq определяются приближенными равен-
ствами
у^к) =
(к)
d^k).
Если точность этих равенств недостаточна, следует вернуться к
исходной системе (3.141), (3.142), считая величины av ..., aq извес-
тными.
131
Скалярный вариант рассмотренной выше задачи (оценивается одна
цисперсия скалярного шума объекта) изложен в книге Э.П. Сейджа
и Дж. Мелса [26].
3.9.7.	ИДЕНТИФИКАЦИЯ
КОЭФФИЦИЕНТА ЗАТУХАНИЯ
Рассматривается динамическая система второго порядка
х + 2Q$X + Q2x = О2и,	(3.160)
где х — выходной, и — входной сигналы; D — собственная частота;
5 — коэффициент затухания. Величина Q задана, коэффициент $
подлежит идентификации. Обозначим х = и преобразуем (3.160)
к форме Коши. Получим
%1 = х2; х2 = —Q2Xj — 2Q$x2 + Q2w.
Дополним вектор состояния системы координатной х3 = £. Новая,
расширенная система уравнений принимает вид
Xj = х2; х2 = — Q2Xj — 2Qx2x3 + Q2w; х3 = 0.
Для оценивания коэффициента $ используется выходной сигнал
датчика
z(tk) = Xj(rp + e(tk),
где к = 0, 1, ..., N; = кТ, Т — период выдачи результатов из-
мерений.
Здесь сравниваются две гипотезы Н{ и Н2. Характеристики апри-
орного распределения координат хр х2, х3, соответствующие этим
гипотезам, определяются равенствами
nil = т2 = [0,1	0,1	0,56];
Pi=diag[0,2 0,2 840-2];
P2=diag[0,2 0,2 2,6740~2].
132
Рис.3.2
Для решения задачи приняты следующие исходные данные: Q =
= 2402 с-1; Т = 10-3 с; R = М[е2 (tk)] = IO-2; W = 30; и (t) - 1, если
t > 0; и (/) = 0, если t <, 0; истинное значение параметра равно 0,8.
В результате расчетов на ЭВМ получено
Р,(2Л0 =7-7-1013; Р2(2Л0 =5-4-108,
т.е. плотность вероятности, найденная для фактических результатов
измерений, относящихся к первой гипотезе, на несколько порядков
больше величины Р2(2Я). Поэтому в случае равновероятных гипотез
и равных стоимостей с12 и с21 ошибочных решений следует отдать
предпочтение первой гипотезе. На рис. 3.2 приведены графики опти-
мальной оценки х3 как функции числа наблюдений N. Рис. 3.2, а
получен при условии, что справедлива гипотеза Я2; рис. 3.2, б отно-
сится к гипотезе Яр На этих графиках отмечены истинная величина
Л'з = 0,8 и кривые л’3 ± 3 aY , где ох — среднее квадратическое откло-
нение ошибки в оценивании координаты Ху Последняя величина
зависит от принятой гипотезы и числа наблюдений.
Из графиков следует, что только правильный выбор гипотезы (в
расматриваемом примере) об априорном распределении координат
состояния обеспечивает идентификацию искомой величины.
133
3.10. АЛГОРИТМ ОЦЕНИВАНИЯ
ХАРАКТЕРИСТИК САМОЛЕТА
МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
3.10.1. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Применимость методов идентификации производных аэродина-
мических сил и моментов и других неизвестных коэффициентов
обусловлена возможностью построения условной плотности распре-
деления результатов измерений параметров движения. Решение
задачи для линейной системы, описывающей движение самолета и
результаты эксперимента, значительно упрощается при известных
гауссовских входных возмущениях. При этом совместная условная
плотность распределения дискретной последовательности результатов
измерений p(z N\a \ Н 1) является гауссовской, и все исследования
можно производить, используя только два первых статистических
момента.
В соответствии с методом максимального правдоподобия рассмот-
рим функцию правдоподобия при фиксированной ММ движения
самолета в виде
'ммп =1пр(г"|а'', Я1).	(3.161)
Преобразуем это выражение (опуская индекс i и Н1)\
/ммп =lnp(z7V|a) = In [p(z ^z7^1, a)p(zN~*\a)] =
= In [pCzjJz7^1, a)p(zN_{ \zN~\ d)p(zN~2\a)] =
N
= ... =ln[p(z0|tf) П p(zk\zk~[, a)] = lnp(z0|a) +
* = 1
N
+ In (zjz^~l, a).
* = 1
Введя условное обозначение
p(z0|a) = p(z°|z~l, a),
можно функционал правдоподобия /ММГ1 представить в виде
134
7ммп = E InpCzJz*-1, a).	<3-162>
k=0
Предполагается, что плотность распределения вероятностей
p(zk\zk~\ а) для исходной нелинейной системы можно аппрокси-
мировать гауссовской с численными характеристиками, вычисляе-
мыми по методу, рассмотренному в пп. 3.8.1, 3.8.2. Тогда можно
записать
p(zk\zk~\ а) =	*	х
(3.163)
Х ехр(” I v*\|z*-'v4
где
»к = zk - M[zk\zk~\ а] = Zk- zk]k_r(a)-,
Si^-' =	al =4i*-i-
С учетом (3.163) функционал правдоподобия (3.162) представим
в виде
1 N
'ммп • 4 S [,Kd»-lv‘ *	<3164)
Для центрированного вектора v* в соответствии с формулами
(3.38), (3.35), (3.36) можно записать
'к = Hk^xi или = zk - hk(xi х	— xk^	(ЗЛ65) , и/, а) — НЛхк, Ul, а*) х (3.166) = zk ~ hk ~ Нк Ц(|£-1 “ хк>'
135
где х*, а* — параметры, соответствующие опорной траектории.
При этом (к = 0, 1, N — 1) заданы в эксперименте и не
варьируются. Заметим, что при заданной последовательности^*
значения х£ на могут выбираться различными способами.
Корреляционная: матрица к,* вычисляется в соответствии с фор-
мулой (3.41)
KzJ£— 1 ~ ^к^хк9 ик> а ^Кк\к-Л Х	(3
X Нк(хк, ик , а*) + <!кок.
Принимая во внимание выражения (3.166), (3.167), функционал
правдоподобия (3.164) преобразуем к следующему виду:
1	N
AlMll = “ у 53	- ЛЛ(,) ~ Нк^ Ць|А-1 —
2	Л=0
-	♦ о^)-1 (zk -	(3.168)
+ 1п[(2к)т|ЯЛ(-)кЛИ_1ЯАт(-) ♦ о^|]}.
Здесь параметры опорной траектории для заданных а*, (к =
= 0, 1, ..., jV — 1) и характеристики	вычисляются в
соответствии с методом, описанным в пп. 3.8.1, 3.8.2.
В соответствии с методом максимального правдоподобия необхо-
димо максимизировать выражение (3.168) по а при фиксированной
гипотезе Н1 и наличии связей в виде уравнений для вычисления
Л'£|£_ 1 и К£|£—1 с Учетом всех необходимых итераций.
3.10.2. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ
Для решения поставленной задачи максимизации функции многих
переменных (или минимизации функции, обратной по знаку) при
наличии нелинейных связей воспользуемся необходимым условием
экстремума функционала
136
э/ммп = 0	(3.169)
да
Решение этого уравнения должно производиться с учетом связей
в виде уравнений фильтрации.
Корни уравнения (3.169) будем определять по методу Ньюто-
на—Рафсона, в котором, если известно Л-е приближение вектора а,
то (Л + 1)-е приближение вычисляется по формуле (для задан-
ной Н1)
а«'"
= а^-М^
а/ммп
(3.170)
а«\.
где Ма — информационная матрица, определяющая шаг изме-
нения вектора а в итерационном процессе, вычисляется по
формуле

(3.171)
и иногда называется матрицей Гессэ критерия оптимальности. В силу
того, что функционал представляет собой логарифм от условной
плотности распределения результатов измерений при фиксированном
векторе а^к\ величина — М”1 на каждой итерации представляет
собой приближенное значение для нижней границы Крамера—Рао
корреляционной матрицы оценок d и может служить дополнитель-
ной информацией о точности решения.
Рассмотрим вывод рабочих формул для вычисления первой и
второй производных функционала Уммп 110 неизвестным параметрам.
Первая производная по а от /ммп, представленного в форме (3.164),
имеет вид
д^ММП
да
1 N
1	т 
- 9 Е vk\
2 *=о L
Т.
дУь
2	—
да
(3.172)
да
*zk\k-lvk + S₽
dKzk\k-l
да
кг*|Л-1 *
137
Матрица вторых частных производных /ммп по а с точностью до
производных первого порядка запишется в виде
а2^ммп
да2
д»к	д*ч\к-х
ч да да

dv* _ ЭЧ|к-1
k да да
(3.173)
х - 4 Sp
Экгл|Л-1
да
<a*zJ£-l
да zk 1^—1
Частные производные, входящие в выражения (3.172) и (3.173),
вычисляются с учетом (3.166) и (3.167) по формулам
ду>к	dhk	dHk
да	da	~ da ^k\k-i ~ *к) ~ Нк *
	(3.174)
/	
х ^Щ-1 _	dx*
ч da	da t'
^KA|A-1 _ dHk	rr*T За ' ‘ da ‘I*’1 1		GA15)
+ H*	zz*T да	1	^;т	
	da	
Производные dh*/da, dHk/da можно определить с помощью
выражений
138
= hk(x^ a *);
"'k =
ЭЛ*(х*,	a*)
&xk
После дифференцирования получим
™к_ __	dhk(-) dhk	dx^ =		, dxt + H —k-,	(3.176)
da	да	дхк	da	da	k da	
dH^_	=	+ dH^			+ ЭЧ* d_4	(3.177)
da	дй	da	да	^•2 ia'	
Для вычисления производных оценок переменных состояния по
неизвестному вектору необходимо воспользоваться уравнениями
фильтрации, в которых значения параметров должны приниматься на
предыдущей итерации. Кроме того, будем полагать, что начальные
условия уравнений движения задаются и не зависят от вектора неиз-
вестных параметров а. В этом случае просто определяются начальные
условия для соответствующих производных оценок переменных
состояния и их корреляционных матриц. Используя обобщенные
уравнения фильтра Калмана для линеаризованной системы, получим
производные
д*к\к-1 =	ик-У .
да	да
. ^1 ,	(2 _ 4 «	_
да да да к к К]К к
(3.178)
ик, а )
Ць	За	’
139
IT^ (II v A/T + n rJl-1 +
k^ kKk\k— I™ к	akak' +
дИк	т т -1
+ ^l*-1 ~да~	к*к\к~уН k + °kQk> +
* Ч|ьЛ ±
—= 2фМ-1к*-Щ-1 -...........* фЫ-1 x
(3.178)
X Эк*-П*-1 ФТ + 3(S*S*T) .
da k,k 1 da
дкк\к x 9кЩ-1	д^к „
TC ~	i>J-' ~
dHj.	дкл.л i
- -аг	-F ;
к = 1, 2, ..., N.
При независимости параметров системы (3.178) в явной форме от
вектора неизвестных коэффициентов а начальные условия для урав-
нений (3.178) будут нулевыми.
Здесь же следует сделать одно замечание. При решении различных
задач динамики полета самолетов, особенно для случая, когда система
движения близка к линейной, корреляционные моменты кщ и
к^|А-_ 1 через некоторое время после начала измерений и соответ-
ственно обработки результатов измерений становятся независимыми
от времени, причем это установившееся значение весьма слабо зави-
сит от значения вектора а. В этом случае часть производных по
параметрам можно принять нулевыми, и все предыдущие формулы,
включая выражения для градиента функционала и информационной
матрицы, существенно упрощаются. Однако это допустимо делать
только при предварительной проверке численным моделированием
140
поведения соответствующих функций или на начальном этапе итера-
ционных решений для ускорения вычислений.
Рассмотрим теперь последовательность вычислении. Предвари-
тельно должны быть подготовлены следующие данные.
1. Результаты измерений параметра движения или функций от
них, а также управляющих воздействий в дискретные моменты
времени к = 0, 1, N.
Статистические характеристики дискретных шумов в объекте и
измерителе как функции времени.
3.	Начальные значения математического ожидания и корре-
ляционного момента для каждой из возможных моделей движения
самолета.
4.	Класс структур ММ движения самолета и получения измерен-
ных данных.
5.	Частично или полностью известные априорные данные об оце-
ниваемых параметрах, например на основании аэродинамических
испытаний моделей самолета, статистических данных и расчетов.
Для ускорения вычислений в алгоритме предусмотрено определе-
ние начального приближения неизвестного вектора параметров а
методом наименьших квадратов. .Это несложно сделать, так как
функционал метода максимального правдоподобия (3.164) трансфор-
мируется в функционал метода наименьших квадратов, а в качестве
матрицы к I л-1 можно принять корреляционный момент ошибок
измерений, вычисленный на основании измерений, либо как
(см. (3.41))
Kzjk|zA"1	° к0 к1
а вместо оптимальных оценок принять приближенно вычисленные
значения по нелинейному уравнению (3.32) без учета случайных
элементов в системе.
В этом случае вычислительный алгоритм значительно упрощается,
и методом Ньютона—Рафсона можно определить вектор а(0) в нуле-
вом приближении. Для начальных значений в итерационном процессе
целесообразно использовать априорные данные о неизвестных пара-
метрах.
Для вектора а(0) каждой из ММ решается задача оптимального
оценивания переменных состояния с учетом операций сглаживания
оценок на каждом шаге вычислений и затем для начального момента
времени. Одновременно вычисляются оценки внешних возмущений.
141
В каждый момент времени на основании вычисленных оценок
параметров траектории (в данном случае ее можно считать опорной
траекторией) определяются текущие значения функционала правдо-
подобия, частные производные оценок переменных состояния и их
коореляционных моментов по неизвестным параметрам, градиент
функционала (3.172) и информационная матрица (3.173).
В конечный момент времени tN рассчитывается новое прибли-
(1)
женное значение а> ' неизвестного вектора параметров, и последова-
тельность вычислений повторяется. Окончание вычислений контро-
лируется по разности значений функционала и разности значений
компонент вектора а на двух соседних итерациях.
При решении прикладных задач имели место случаи неединствен-
ности решений и вычислительной неустойчивости процесса максими-
зации функционала. Неустойчивость решений проявлялась при плохо
обусловленной информационной матрице М. Для регуляризации
решений и уменьшения вычислительных ошибок, допускаемых при
обращении матрицы А/, использовалась модификация метода Ньюто-
на—Рафсона [20]. Вместо исходной информационной матрицы М
применялось ее приближенное выражение
м~- y
где Xj и 5/ — соответственно собственные числа и собственные векто-
ры матрицы а2/ммп/Эа2; & —величина, определяющая допустимое
отношение минимального и максимального собственных чисел матри-
цы М. Отбрасывание малых собственных чисел помогает регуляриза-
ции решений. Значение коэффициента устанавливается эксперимен-
тальным путем. Для продольного и бокового возмущенных движений
с помощью моделирования установлено, что значение коэффициента
к лежт в пределах ЫО^-.Л-Ю""5.
3.10.3.	АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Вычисление аэродинамических и моментых характеристик само-
лета, показателей устойчивости и управляемости для ММ движения
самолета, принятой в форме (3.13), осуществляется по алгоритму,
представленному на рис. 3.3.
Рассмотрим более подробно составные части алгоритма.
1.	Необходимыми данными для решения задачи идентификации
методом максимального правдоподобия, вводимыми в ЦВМ, являются
142
Рис.3.3.
массовые и геометрические характеристики самолета, аэродинами-
ческие и моментные характеристики в аналитической или таблич-
ной форме, значения параметров атмосферы, параметры опорной
траектории самолета и соответствующие ей значения управляющих
воздействий, результаты измерений параметров траектории возму-
щенного движения и управляющих воздействий после первичной об-
работки.
143
2.	Вычисление производных ЭФ'.гА'_1 \к_х/да ‘ и дВ ‘/да ' в общем
случае в матричной форме затруднено. Решение задачи значительно
упрощается, если матрицы Ф1 и В 1 выразить через матрицы, содер-
жащие неизвестные коэффициенты, следующим образом:
Ф* = Е + Л *Д = [const]; В i = b 'к = [const]; Д = Д/,
тогда
= акд +	.
да1	да1
дВ 1 = 8(6 ZA)
да i да i
3.	Рабочий отрезок времени для идентификации выбирается из
следующих соображений:
при обработке материалов специально организованных контроль-
ных маневров в летных испытаниях в продольном возмущенном
движении параметры бокового движения выбираются близкими к
нулевым;
этот отрезок должен быть таким, чтобы параметры опорной траек-
тории не изменялись значительно;
число точек в измерительной информации должно быть достаточ-
ным для оценивания неизвестных коэффициентов с удовлетвори-
тельной точностью;
отрезок времени для идентификации можно во многих случаях
приблизительно принять равным или чуть меньшим времени пере-
ходного процесса, т.е. (0,9...0,95) /пср. При этом если используется
больший отрезок, то будет изменяться ММ движения и задача может
стать вырожденной. При использовании отрезка, меньшего указанно-
го, не полностью используется измерительная информация при
обработке материалов испытаний.
4.	Для выбора начальных значений неизвестных параметров
целесообразно использовать данные, полученные при аэродинами-
ческих испытаниях, аналитических и численных расчетах, а также
оценки, полученные решением поставленной задачи более простым
методом, например методом наименьших квадратов.
5.	В связи с тем, что корреляционная матрица ошибок измерений
не известна заранее, используют приближенные способы для оценки
ее элементов, например численные методы оценки параметров коррс-
ляционного момента непосредственно по результатам эксперимента,
применяя приближенную формулу для оценки корреляционного
момента
N N
Kzij = v + Т	““	"" z?;
N + 1 £-0 /=0
i = 1, 2,	j = 1, 2, ...,
где
1	N
z; - ------ V4 z.(f), z = l,2, ..., т.
1 N + 1 fa ‘ 1
При i = j оценивается выборочная дисперсия компонет вектора z,
при i * j оцениваются выборочные корреляционные моменты. На
практике измерительный шум обычно аппроксимируется дискретным
белым шумом или стационарным процессом. В обоих случаях можно
использовать предлагаемые формулы в первом приближении для
оценивания дисперсий и корреляционных моментов.
С целью уточнения численных характеристик измерительного
шума в ряде случаев целесообразно использовать паспортные данные
приборов и информационно-измерительных устройств. Например,
используя понятие доверительных интервалов, можно принять, что
результаты измерений реализовались в диапазоне
z((0 ± 3oz(Z) = zf(0 ± 0,02 |zmax |.
Откуда
. _ 0,02|zmax|
°z<	3
Здесь принято, что точность приборов составляет 2 % от макси-
мального значения zmax.
Можно использовать для оценки корреляционных моментов изме-
рительных шумов и другие методы, такие как метод наименьших
квадратов, оценивание с помощью спектральных плотностей.
В силу приближенности и неточности рассмотренных вариантов
вычислений численных характеристик целесообразно ввести ’’гаран-
тирующие” оценки дисперсий и корреляционных моментов, например
145
144
путем выбора максимальных цз рассчитанных различными способами
численных характеристик и в случае необходимости увеличения их
в несколько раз.
Следует отметить, что в случае коррелированных ошибок измере-
ний, негауссовских случайных погрешностей применяются известные
приемы теории вероятностей и случайных процессов для предвари-
тельных их преобразований.
6.	При исследовании динамики и аэродинамических характеристик
в специально организованном летном эксперименте, как правило,
можно принять гипотезы малых возмущений и замороженных коэф-
фициентов.
7.	Оценки параметров траектории вычисляются в момент каждого
измерения (£ = О, 1, ..., N) по рекуррентным формулам (3.19) с
соответствующими начальными условиями (3.20).
Одновременно вычисляется текущее значение функционала прав-
доподобия (3.164)
•^ммп---”2 52 ((v^)T(k^_1) lvl + lnlKzJ£-l Р’
где vj,, к* |*_ 1 определяются соотношениями (3.166), (3.167).
Для вычисления градиента функционала необходимы значения
производных
дХк\к-1 _ d®‘*k-i\k-l дВ '
-------— ----------- +----_ и г;
да1	да1 да1
	^=i • /у и-Ле/гЧ - *	1 •
да 1 да1 да1
вычисления которых начинаются при заданных
Если в число неизвестных составляющих вектора а1 не входят т®
и Kq , то начальные условия становятся нулевыми:
146
. |0|;	. |0|.
да1	да'
Вычисляются текущее значение градиента функционала:
	- Е <vbT<x' )-
да1 £=0	да1
и текущее значение информационной матрицы:
. dvlk
ЬО За	да 1
8.	Новое значение вектора а1 в n-м приближении, если известно
его значение в (п—1)-м приближении, вычисляется по формуле
or Vto—1)
dJMMII
да 1

где соответствующие матрицы также вычисляются при значениях
входящих в них параметров при (п—1)-м приближении.
9.	Вычислительный процесс заканчивается, когда разность между
последующими значениями функционала меньше наперед заданной
малой величины е, определяемой в каждом случае эксперименталь-
ным путем, т.е. если соблюдается неравенство
\^п ~	1 <
В противном случае весь вычислительный процесс повторя-
ется с п.6.
10.	На основании вычисленных оценок d 1 определяются произ-
водные аэродинамических сил и моментов и по ним показатели
статической устойчивости и управляемости самолета. С помощью
оценок можно определить показатели динамической устойчи-
вости и управляемости и их доверительные интервалы.
Проводилось статистическое моделирование возмущенного движе-
ния ряда самолетов, описываемого нелинейными дифференциальными
уравнениями. Анализ показал, что из различных факторов, влияю-
щих на решение задачи идентификации, наиболее существенным при
заданной фиксированной ММ движения является смещение оценивае-
147
мых переменных параметров с течением времени. Ошибки идентифи-
кации, например аэродинамических производных самолета в коротко-
периодическом движении, обусловленные смещением оценок состоя-
ния, могут достигать 10...15 %.
При идентификации очевидно также оказывают влияние внешние
возмущающие факторы, которые входят обычно аддитивно в правую
часть уравнений движения. Это могут быть возмущающие факторы,
обусловленные турбулентностью атмосферы, неточностью задания
ММ аэродинамических характеристик, упругостью элементов кон-
струкции, неточностью задания параметров атмосферы, тяги двигате-
лей и других характеристик. При заданной структуре линейных
уравнений движения роль таких добавочных возмущающих факторов
могут играть ошибки, обусловленные линеаризацией нелинейных
уравнений движения самолета.
В разделе с помощью статистического моделирования определялось
влияние таких ’’возмущений” на точность идентификации. Рассмат-
ривались случаи, когда возмущения отсутствовали, а при идентифи-
кации предполагалось их наличие, и, наоборот, не рассматривались
возмущения, когда они на самом деле присутствовали. Анализ такого
рода ошибок показал, что в обоих рассмотренных случаях возникают
примерно одинаковые ошибки, пропорциональные уровню шума в
объекте.
При наличии шумов в объекте целесообразно строить оценки с их
учетом и определять их апостериорные характеристики.
3.11. ПРОВЕРКА ДОСТОВЕРНОСТИ
РЕШАЮЩИХ ПРАВИЛ
И ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ
Проверка достоверности структурно-параметрической идентифи-
кации должна производиться на всех этапах исследования и носить
комплексный характер. В этом подразделе рассмотрим один из основ-
ных способов проверки достоверности принятия гипотезы об уравне-
ниях движения самолета и отбрасывания других альтернатив по
результатам эксперимента.
Определим ошибку принятия гипотезы как вероятнось принятия
заданной гипотезы, когда на самом деле справедлива одна из конку-
рирующих. Введем в рассмотрение случай, когда имеет место выборка
z N 6 и соответственно принимается гипотеза т.е. отклоняются
все гипотезы, кроме Н1. Это будет происходить всегда, если выборка
гУ будет находиться в любой точке множества S£z. Тогда вероятность
148
принятия гипотезы Н\ когда на самом деле справедлива гипотеза
может быть выражена формулой
Р(прин. Н 1, справ. Н к) = J Р(Н к) х
«pJp(z^Mn, х (ЗЛ79)
х dz N; i = 1, 2, n.
Для линейных стационарных систем (3.13), (3.14) р(^ | Нк)
гауссовская и формула (3.179) может быть преобразована к виду
N
Р(прин. Н \ справ. Н к) = Рк Г П ((2л)ш х
Л 1/7 Г 1	k к 2	(3.180)
X detQzS-l/2exp - 1 |zz - h	к ;
i, к = 1, 2, ..., л,
где ^Z|/_p Qi вычисляются с помощью уравнений (3.19). Множес-
тво задается, в частности, условием, вытекающим из (3.7):
= {zN-.piP(zN)\a^Mn,
(3.181)
2 Pkp(z ЛГ|^мМП, Н к)} для всех к * /.
После подстановки соответствующих плотностей вероятностей
получим
149
N
zN:Pl П
z=o
(detQ/(4Mn)) 1/2exp - 1| |zz -
— Л Wmmfi 11 i . i
(Qi (аммп
xn (detQ/(^Mn))-I/2<
Z»0
* pk x
.))-1
-	1 II
exp - - | |zz -
(3.182)
— h <dMMn)||2 к..i .._i
<41 <йммп»
Построение множества значений выборок S£* можно производить
в рекуррентной форме при фиксированных значениях а*, ак. Для
получения неравенств в рекуррентной форме преобразуем условие
(3.181) с помощью лагарифмирования его обеих частей:
3?' = (z N:\nPip(z ^^Иммп’ н’') *1пРк *
х p(z Л|ймМП> н Для вссх к * I.
С учетом (3.26) преобразуем предыдущее выражение к виду
S£' = (z ^ilnp ' + q ‘(N) > Inp к + q k(N)}	~ .2,
для всех к * i,
где q^N) и 7^ GV) должны вычисляться по рекуррентным формулам
(3.29) совместно с уравнениями фильтра Калмана (3.19) с соответ-
ствующими начальными условиями (3.20), (3.30) для различных
гипотез.
Наиболее простые соотношения при вычислениях ошибок получа-
ются, если воспользоваться достаточными статистиками для вынесе-
ния решения о гипотезах.
Рассмотрим решающее правило для одного частного случая линей-
ных стационарных систем. При этом удобнее последовательно попар-
но проверять гипотезы и выбирать наиболее достоверную. В этом
случае решающее правило для двух гипотез Я1 и Н2 о линейных
150
стационарных системах с помощью (3.23), (3.25) и (3.31) при-
водится к виду
S(zN) % ts,
где
N
S(.zN) = 1
z / = 0
-	- <zt- - a/4-i)T(2/)_1(z/ - a/4-i)1;
1/2
(2)
i
7T7
QiJ = А/к{|г-1А/Т + °W)T’ / = t 2;
N [detQ;(
= Inx — In П ----------
'•° detQ,*
т = (c12 “ C22)P2
<c21 C1PP1
Гипотеза Я1 принимается, если S(zN) < xs, в противном случае
принимается гипотеза Я2. Случайная достаточная статистика 5(z^)
является скалярной и поэтому ее целесообразно использовать при
вычислении ошибок. При этом нахождении ошибок от принятия той
или иной гипотезы в случае нескольких гипотез определяется тем,
что необходимо для каждой гипотезы Н1 выделять множество значе-
ний ££* для выборки z\ при которых эта гипотеза предпочтительнее
других. Решение значительно упрощается, если воспользоваться
приближенным определением ошибок, в качестве которых принять
ошибки первого и второго родов, традиционно принимаемые при
сравнении только двух гипотез [26]. Для этого определим закон
распределения достаточной статистики 5(гЛ) и ее статистические
численные характеристики.
Достаточная статистика представляет собой сумму N + 1 квадратов
гауссовских случайных величин и имеет %2-распределение, которое
при N > 5 приближенно аппроксимируется гауссовским.
Определим математическое ожидание S(z^) при условии, что
имела место гипотеза Я1 об уравнениях движения самолета:
151
1 N
M[S(zN)\zN, Я1] =MU $2 [(h-x- + a] wf -
2 ;.n
/=0
,2.2	4T/r,(2)._l1	1 l„.l ,2.2	.
A’|f— P ^2/	(^f xi	xf|f—P
- <*;\' ♦	- Л,1^,_1>’<е'1’)-1<Л,\‘ ♦ o'w,1 -
После некоторых преобразований получаем
1	N
M\S(zN)\zN, Я1] =М[5|Я1] = 4 Г ((А1Ч|/-1 "
2	/=0
-	- Л2^) ♦
+ SpQ,.(1)(Q/2))"1 - т] = _L £ [Ay^q/2’)-1^,. +
2 / = 0
+ SpQ/(1)(Qz(2))-1 - т].
Аналогично
1	N
M[S(z N) \z N, H2\ = 2. £ [m -	-
2	i=0
- SpQ/21^/0)-1].
В соответствии с определением условная дисперсия
Disa^iz^, я1] = м
1 Л th1 1
7 Е (hixi
2 i = o
+ о>/ - Л24_рт х
zz^24_iz,l 1	1Тт/1 л (2)-2 v /ill /1ГЛ1
X (Q.) (hiXi + az W( -h.	- (Й,.Х(. +О;.Ж(. -
152

-	~ *24-i)]2H-
С точностью до моментов третьего порядка получаем
N
D[S(zN)\zN, Я1] = £ Ч^б/(2))-1б/(1) х
2=0
х <е<2,)-'де, -о1|я..
Аналогично
N
D[S(zn)\zn, И2] = £ ^(Qil)rlQi2) х
х (Q/0)-1^ = Dslff2.
Зная пороговое значение xs и численные характеристики S(z^),
вычислим ошибки первого и второго рода по формулам
а = J p(S\Hl)dS = J 1 х
т,	г, у2яР5|Я1
х ехр — (^-^!Я.1)2 JS;
р = J p(S\H2)dS = J
— 00	—00
1
у2кО5|Я2
X
х ехр
(S - М[5|Я2])2
2-°$|Я2
dS.
С некоторой погрешностью их можно принять за вероятности приня-
тия ложной гипотезы и отклонения истинной гипотезы.
153
3.12. ИНФОРМАЦИОННЫЙ КРИТЕРИЙ АКАИКЕ
И ЕГО ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В последние годы все чаще для построения стохастических ММ
движения объекта используются информационные критерии. В час-
тности, одним из наиболее распространенных является информа-
ционый критерий Акаике (ИКА) [14, 28]. В работах [14, 28] было
установлено, что классический метод максимального правдоподобия
можно рассматривать как метод идентификации стохастической
модели, который реализуется путем максимизации оценки обобщен-
ной энтропии или среднего логарифма функции правдоподобия для
подбираемой модели. Определено, что логарифм максимального
правдоподобия является смещенной оценкой среднего логарифма
функции правдоподобия для модели, параметры которой определя-
ются ММП. Корректировка этого смещения была произведена Акаике
и привела к определению нового ИКА. Этот критерий сформулирован
и доказан для построения регрессионных стохастических ММ по
экспериментальным данным.
Здесь можно показать, что ИКА справедлив при некоторых допу-
щениях и для динамических стохастических ММ более широкого
класса. Для доказательства и вывода ИКА рассмотрим сначала основ-
ные сведения из теории информации [19].
Обозначим, как и ранее, z7^ — выборку результатов измерений z0,
Z|, ..., zN /n-мерного вектора параметров (выходных сигналов), удо-
влетворяющих уравнению (3.2). Полагаем, что в эксперименте извес-
тен вектор Gz0, ..., uN) управляемых переменных (входных сигна-
лов). Требуется по заданным входным и выходным переменным
построить наиболее достоверную стохастическую ММ, описывающую
экспериментальные данные.
Рассмотрим сначала случай двух гипотез Я0 и Н[, из которых Н®
является истинной, а Н[ — альтернативной. Воспользуемся мерой
Кульбака [19]
/*40:1) = IKL(a, а) = jp0(zN\a, Н°) х
Я°)
Р^г Н'1
для определения количества информации при различении гипотез в
пользу Я0 против Я1. Здесь zN с R , где R W+Dm _ (дг+ 1)
щ-мерное действительное пространство. Векторы параметров а и
а, характеризующие две ММ, являются соответственно истинными
154
и альтернативными; pQ(zN\a, Я0) и p1(zjV|J, Я1) — плотности
вероятностей результатов измерений при фиксированных векторах
аи а для истинной Я0 и альтернативной Я1 гипотез. Интегрирование
производится по всему (N + 1) т-мерному пространству. Размерности
векторов а и а одинаковы и равны Ра.
Отрицательное значение (—7XL(0:D) иногда называют энтропией.
В связи с этим негоэнтропия (отрицательная энтропия) является
мерой Кульбака. Величина 7^(0:!) почти всюду неотрицательная,
т.е. (7 ^(0:1))	0, и равенство имеет место тогда и только тогда,
когда pQ(zN\a, Я0) = p{(zN\a, Я1) с точностью до значений zjV,
представляющих множества меры (вероятности) нуль. I KL(0:1)
можно трактовать как меру различающей информации между Я0 и
Я1 (в пользу Я0).
Естественно построить критерий проверки гипотез, т.е. критерий
сравнения гипотез и, следовательно, их различения по количеству
1KL(-) информации. Причем, если гипотез несколько, то можно
последовательно сравнивать альтернативные гипотезы с нулевой
(истинной). В результате та гипотеза, которой будет по этому крите-
рию соответствовать наименьшая различающая информация, будет
обладать определенными преимуществами. В этом случае для ряда
гипотез Я0, Я1, ..., Нк определяются
/^(0:1), 7*^ (0:2), ..., 7хл(0:£).
Предпочтительная гипотеза выбирается с помощью минимизации
этого ряда чисел.
Рассмотрим сначала выражение 7*^(0:1) и преобразуем его к более
простому виду. Представим 7^(0:!) в следующей форме:
7^(0:1) = [po^la, Я°)1пр0(2^|а, H^dz" -
J	(3.184)
— |p0(z N\a, HQ)\np{(z N\a l, Я x)dz N.
Здесь а1 представляет собой оценку а в гипотезе 7fl ММ движе-
ния объекта. От величины я1 зависит p(zN\ax, Я1) и соответствен©
мера различения гипотез. Естественно а 1 выбрать такой, чтобы эта
мера была минимальной. В выражении (3.184) первое слагаемое в
правой части является постоянной величиной и на операцию мини-
155
мизации (0:1) не влияет, поэтому min IKL (0:1) достигается тогда,
когда интеграл
|р0(г^|а, Я°)1пр1(г N\a \ Hx)dzN	(3.185)
максимален, при этом имеется в виду, что его значение положитель-
но. Причем в качестве оценки а1 следует принять оценку макси-
мального правдоподобия а1 = а^мл» для КОТОРОЙ lnPj (2 ^^ммп’
Я1) принимает максимальное значение.
Среднее значение (3.185) вычислить невозможно, так как
pQ(zN\a, Я0) является неизвестной при неопределенных а, Я0.
Поэтому делается допущение, что в каждой из альтернативных пар
гипотез (0:1), (0:2), ..., (0:Л) вместо плотности вероятности
Pq(z лг|а, Я0) принимается ее оценка с помощью плотности для
альтернативной гипотезы, т.е. для первой пары (0:1):
p0(zN\a, я°) =р1(2л^|й(;МП) яь.	(ЗЛ86)
С учетом (3.186) выражение (3.185) преобразуется к виду
Jp,(z jV|^MMn, Я1) Inpj(z	Я1) =	(3 187)
= M1[lnp1(zJV|4Mn> Я1)].
Это средний логарифм функции правдоподобия, являющийся при-
ближенной мерой отличия Я1 от Я0 с точностью до соотношения
(3.186).
Для вычисления (3.187) воспользуемся свойствами информацион-
ных мер, доказанными Уилксом (1938 г.), Фишером (1956 г.), Купер-
маном (1957 г.) [19]. В работе [19] показано, что когда последова-
тельность (zq, Zp ..., zN) является статистически независимой по
вермени, сходится по вероятности к а при N - <», при этом
величина
21ПР1(2Л|^МП(2Л), Я1) - 21np0(z JV|a, Я0)	(3J88)
имеет %2-распределение с ра степенями свободы и векторы я1, а
имеют одинаковые размерности, равные ра. Аналогично Куперман
[19] показал, что 21KL (0:1) также имеет ^-распределение с ра
степенями свободы при следующих условиях регулярности:
156
1)	вектор а = (а1? а2, ...» ар ) — точка в параметрическом про-
странстве, которое является открытым выпуклым множеством в
ра-мерном евклидовом пространстве;
2)	семейство плотностей pjCz'^d1, Я1) при различных допус-
тимых 51 однородно;
3)	Я1) имеет по всем компонентам вектора а1 (из
допустимого множества) непрерывные частные производные первого
и второго порядков при фиксированных z\ за исключением отдель-
ных точек 2Л меры нуль;
4)	для всех а 1 из допустимого множества
J аа/
= , = 1........р.
да-да*
5)	интегралы
.	, dlnp,(z N\а1, Я1)
c«ta‘> -J------!—т----------
а»/
х p{(z Яl)dz N, i, j = 1,
31npj(z N\a \ Я1)
0a1
J
-> Pa
X
конечны для всех допустимых а1;
6)	для всех а1 матрица С(а1) = [С^а1)] положительно опреде-
лена.
Кроме того, предполагается, что оценка а1 многомерно асимпто-
тически нормальная, эффективная, состоятельная.
При этих допущениях имеем, что
27*40:1) = 2lKL(a-.&^n) = 2jp0(z*|a, Я0) х
х lnp0(z^|a, H^)dzN — 2^p^{zN\a, Я0) х
х lnpj(z 4^ММП’ Hx)dzN
(3.189)
157
имеет распределение х2 с ра степенями свободы. Обозначив мате-
матические ожидания, соответствующие плотностям р-(*), запи-
шем (3.189) в другой форме:
2Л/0[1пр0(г"|а, Я0) - lnP1(z"ИмМП, Я1)].	(3.190)
Проделаем операции осреднения для (3.188) с плотностью р0 х
х (г^|а, Я0) и для (3.190) с плотностью pt (z ЛГИмМП, Я1).
С учетом свойств %2-распределения получаем
2M0[lnP1(z"|^Mn, Я1)] — 2М0 [lnp0(z jV|a, Я0)] =ра;
2Af0[lnp0(z"|a, Я0)] -2Л/0Ц [lnP1(z	Я1))} = ра.
После суммирования
-2М1[1пр1(2л^|^мп> Я1)] = —21npj (z	Я Ь] + 2ра,
ИЛИ
MJlnp^z^l^n, Я1)] = 1пР1(гл|яммП’ Я1)] - Ра. <ЗЛ91)
Правую часть (3.190) можно интерпретировать как оценку сред-
него логарифма функции правдоподобия. Следовательно, с учетом
сделанных ранее замечаний оценку предпочтительной гипотезы
можно производить в соответствии с правилом
Й' = arg max [lnpz(z	Я ') - ра]
при условии, что размерности d и а одинаковы (ра), причем эта
величина неизвестная.
Если воспользуемся таким же приемом, как и при оценке неиз-
вестной плотности /50(*), т.е. в качестве ра принять оценку этого
значения в каждой из гипотез р^, то приходим к приближенному
критерию сравнения гипотез ИКА
Я ' = arg max [lnp. (z	Я ') - pfl'].	(3.192)
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКОВ ’’ВХОДА”
И ’’ВЫХОДА” И НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ,
ОПИСЫВАЮЩИХ ДВИЖЕНИЕ САМОЛЕТА
(ЭКСПРЕСС-АНАЛИЗ)
4.1. БАЙЕСОВСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.
ВЫВОД РЕШАЮЩИХ ПРАВИЛ
Здесь рассмотрены методы определения порядков производных
переменных состояния и управляющих параметров, входящих в
дифференциальные уравнения, описывающие движение самолета.
4.1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть один из параметров траектории движения самолета опи-
сывается возможными дифференциальными уравнениями
п .
y(t) = 52 а(у0) (о + 52 (о +
»-1	/-0	(4.1)
тг
. J2 <>/«««>
/=о	/=о
где п и ди/ — старшие порядки производных по времени ’’выхода” y(f)
и различных ’’входов” и/ (/) (7=1,2, ..., г) линейного стационарного
дифференциального уравнения; предполагается, что пи mi могут
h
быть различными, причем /п/ < и ( Z = 1, 2, ..., г);	— неизвес-
тные коэффициенты.
На практике в результате измерений ur(t) и у (Г) известны с
ошибками в дискретные моменты времени tk (Z: = 0, 1, ..., N). Будем
полагать, что результаты измерений удовлетворяют уравнениям
<<2)
ф» - "« *	(43)
где I = 1, 2, ..., г; k = 0, 1,...., Я; — гауссовские, некоррелирован-
2
ные равноточные ошибки измерений с дисперсией = const и
159
158
нулевыми средними значениями; — случайные погрешности
измерений с нулевыми средними значениями.
Ставится задача следующим образом. Определить наиболее досто-
верные порядки Я, лй/ (Z« 1, 2,	г), а также оценки неизвестных
коэффициентов	b/ (i = 1, 2,	n; Z= 1, 2, ..., г; у = 0, 1,
дифференциального уравнения (4.1), описывающего случайные
последовательности z0, zp ..., zN**zr\ ф^, ..., ф^ = <pz (Z = 1, 2,
..., г), полученные измерением соответствующих параметров траек-
тории полета самолета.
Для решения поставленной задачи могут применяться различные
методы в различных вариантах реализации вычислительных алго-
ритмов. Рассмотрим как один из наиболее точных и универсальных
методов байесовский метод проверки гипотез, теория которого описа-
на в общем виде в разд. 3.
Перед решением поставленной задачи целесообразно провести
преобразование исходных уравнений (4.1) к виду, удобному для
исследования. Остановимся на двух способах преобразования урав-
нения (4.1) с возможным использованием свойства суперпозиции
решения.
В первом случае для вычисления производных в правой части (4.1)
используем метод оптимального их оценивания на скользящем базо-
вом интервале из условия минимума дисперсий производных. Во
втором — для вычисления производных в правой части (4.1) будем
использовать конечно-разностное их представление без оптимального
оценивания. Оба этих метода обладают своими преимуществами и
недостатками, которые будут отмечены при их описании.
4.1.2. МЕТОД С ОПТИМАЛЬНЫМ
ОЦЕНИВАНИЕМ ПРОИЗВОДНЫХ
Будем предполагать, что по результатам измерений, т.е. случай-
ным последовательностям z0, zp ..., zN = и <pz, = ф/
(Iя 1, 2,	г), можно вычислить оптимальные оценки производных
^zk±p^ ^l,k±p^ U e	г) на скользящем базовом интер-
вале (^_р, Z£-p+-P —»	^+1’ —» *к+р> для срЗДией точки tk при (2р +
+ 1) значениях входных и выходных параметров. Полагаем, что
вычисления можно произвести по методу Б.К. Поплавского [23] до
порядков i = 1, ..., п и j = 0, 1, ..., /П/. Следует здесь же указать, что
точность вычисления производных существенно зависит от их порядка
160
и такой прием без усовершенствования обладает слишком большой
погрешностью при степенях производных выше трех-четырех. Тем не
менее этот метод заслуживает внимания, так как при небольших
порядках производных удается повысить точность оценивания неиз-
вестных коэффициентов	что может оказаться важным при
одновременном оценивании порядка производных, неизвестных
коэффициентов уравнения и функционально связанных с ними
аэродинамических характеристик и показателей устойчивости и
управляемости самолета.
После сделанных замечаний преобразуем уравнение (4.1) к виду
у к = Е а1Л0)(^±р) + £ (.Vktp) +
m2' = 1	7=0 т,	(4.4)
+ 52 Ь2й? ^к±р} + - + Е й/йФ(<Ра±? +
/=0	/=0
к = 0, 1, ..., N,
где zk — результат измерения скалярного параметра траектории в
момент 1^	(z^±p),	(ф£±р) (/=1,2, ..., г) — оптимальные оцен-
ки i-й и ;-й производных у (/) и ьц (/) в момент t в зависимости от ре-
зультатов измерений zk±p и ф^±р на скользящем базовом интервале
(tk_p, ..., fy, ...,	— ошибки преобразования. Коэффициенты а-, й/
(I = 1, 2, ..., г) и порядки производных и, (Z = 1, 2, ..., г) подлежат
определению.
Подставляя (4.4) в (4.2), получаем в матричной форме
z N = У0 + W,	(4-5)
где обозначено:
Z - [Zo Z1 ... ZN\ (jV+])Xp
0 = ax a2—an bY ... bx ...brbr...br
+ mr+r)xl’
(n + ZTlj
W=
161
	.(1)	.(2)	(и)	.(0)	, (I)	
	Л)	Уо	- $0	н10	«ю ...	
У =						
	.(1)	А (2)		. (0)	. (1)	
	[$N		-	U\N	«1JV ...	
А		. (0)	А (1)	А		
w10	...	wr0	иг0 -			
л (Ш|)		л (0)	a(D	А		
U1N	...	urN	urN	urN	(W+l) X (n+nii +..	.. +mr+r),
. (0)
— сглаженные оценки входных измеренных величин в соответ-
ствующие моменты времени; ошибки модели W (невязки) с корреля-
2
ционным моментом Kw = vwE.
Вычислим оценку неизвестных векторов	при различных
порядках л, тг методом наименьших квадратов:
в(п,т,) = <YrY)-lYTzN.	(4.6)
Формула справедлива при допущении, что матрица Y является фик-
сированной числовой неслучайной матрицей.
Определим оценку погрешностей измерений (вектора невязок) как
условное математическое ожидание при фиксированных векторе z и
матрице У, принимая во внимание (4.5), (4.6):
W = M[W\zN, У] = zN - уё =
(4.7)
= (Е - Y Y)~x Yy) z N = (Е - P)w+l)zN.
Матрицы Р и (Е - Р) обладают свойствами Рт = Р; РР = Р; Sp Р =
= п + т1 + ... + ml + r, (Е - Р)т = (Е-Р); (Е-РМЕ-Р) = (Е-Р);
Sp (Е —Р) = (N —п-ml - ,.. — mr — r+ 1); (Е — Р)У=0.
Эти свойства проверяются непосредственной подстановкой:
Р = У(УТУ)-1УТ; Рт = У(УТУ)-1УТ;
РР = У(УТУ)-1 УТУ(УТУ)-1 Ут = У(УТУ)-1УТ;
162
SpP = 5р(У(УтУ)’’Ут) = Sp (Ут У(УТ У)'1) =
= SpE = п + т{ + ... + тг + г,
(Е - РГ = (Е - Р); (Е - Р)(Е - Р) =
= Е- Р- Р+РР=Е-Р;
(Е - Р) У = У - PY = У - У(УТУ)-1 УТУ = 0;
Sp(E - Р) = SpE - SpP = N + 1 - п -	- ... - тг - г =
= W - п - тх - ... - тг - г + 1.
Определим теперь математическое ожидание квадрата оценок оши-
бок, принимая во внимание (4.7) и свойства матриц Р и (Е - Р):
М[И>ТЙ>] = MHzNyr(E - Р)(Е - P)zN] =
= M[(zN)t(E - P)zN].
Примем, что
M[zN] = mz = У0 = У0ИСТ>	(49)
где 0ИСТ — истинное значение вектора параметров.
Выражение для среднего значения квадрата оценок ошибок (4.8)
с учетом (4.9) можно преобразовать следующим образом:
M[WTW] = M[(zN - mz)r(E - Р) (zN - mz)\ +
+ M[mz(E - P)zN] + M[(zn)t(E - P)mz] -
-	mz(E - P)mz = M[(zN -	- P)(zN -	..
-	mz)] + mz (E - P)mz = Sp{(E - P) x
x M\(z N - mz) (zN - mz)T]} + m.T(E - P) У0ИСТ =
2
=	- n -	- ... - mr - r + 1),
откуда можно приближенно найти
163
.2	=	М[Й>ТЖ]
(я,"',) N - п - т, - ... - пг. - г +	.. ...
1	г	И.И)
я_____________WTW______________
N - п - т{ - ... - тг - г + 1
По свойству переноса ошибок корреляционный момент вектора
заданного уравнения (4.6) может быть представлен следую-
щим образом:
Кё = (УтУ)_1Ут/Гглгу(уТу)'1 = ^(УТУ)''
и, следовательно, принимая во внимание (4.11), получим
кй = ______________________(Y т У) -1.	(4.12)
° N - п - /м, - ... - тг - г + 1
4.1.3. ВЫВОД РЕШАЮЩИХ ПРАВИЛ
Для определения неизвестных порядков i, j (/ = 1, ..., и; j = 0, ...,
mf, /= 1, ..., г) производных параметров в уравнении (4.4) или (4.5)
воспользуемся байесовским правилом проверки гипотез.
Введем в рассмотрение байесовский риск — среднее значение
потерь (3.3):
_	п,р	п,р
Л- Е	£	(4.13)
v,p = l k,q = l	v akq
В отличие от принятых в разд. 3 обозначений здесь будем пола-
гать, что п соответствует различным гипотезам о порядках старших
производных скалярного выходного параметра у(0. Индекс р соот-
ветствует различным вариантам комбинаций старших производных
составляющих вектора входного воздействия u^l= 1, 2, ..., г). Роль
вектора akq играет 0(n, mr), соответствующий уравнению (4.4) или
(4.5), при n-м порядке старшей производной скалярного параметра у
и /и^-м порядке старшей производной векторного входного воздей-
ствия mz(0 (Z= 1, 2, ..., г).
В связи с тем, что в постановке задачи заданы конкретные виды
уравнений, решающие правила целесообразно вывести в более опре-
деленной форме. Используем те же условия в постановке задачи
относительно априорных вероятностей потерь и выборочных мно-
жеств, которые были приняты при доказательстве теоремы 1 (см.
164
подразд. 3.5). Воспользуемся решающим правилом, по которому
гипотеза н! (гипотеза о том, что порядок старшей производной у (/)
равен Пр а порядок старших производных компонент вектора
щ (О — (Z = 1, 2, ..., г)) принимается, если zN е Задача сво-
дится к определению множества Sfj и условия, минимизирующего
байесовский риск. Проводя рассуждения, аналогичные доказательству
теоремы 1 (см. формулу (3.6)), при допущении о независимости
потерь при принятии отдельных гипотез получим
£ <СЙ - с7>	" I Сп. "Л <0	(4 14)
k,q = \	’
для всех v # /, р # /.
Определим плотность вероятностей pC^I^MMrv Hq^ дая системы
(4.5). Плотность вероятности вектора г? при порядках производных
к, q и векторах 6(и^, mrQ) по условию является гауссовской:
p(z7V|0(,.	>, Нок) = ---------L------ х
к 9 (ZitdetK*^)172
Z
х ехр -
(zN - mky^kz9NY4zN - mkq)
-
(4.15)
Преобразуем (4.15) с учетом (4.5), (4.8), а также полагая, что для
выбранной ММ измерений z^:	= olgEkt) и а2? вычисляется по
приближенной формуле (4.11). В результате получим
P(z
1
((2яб^)"+1|^(?|)1/2
(4.16)
x exp - —\_.(zN - YkgQkq)T (z N
-
где zN - Ykqbkq = W.
Среди всех оценок 6 необходимо выбрать такую, которая достав-
ляет максимум выражению (4.16). Необходимым условием является
165
аРил,|ёя<м„, я,*> _о
aSj,
ИЛИ
^-уЛп’т(-у =0,
откуда
емп-^’у-чх.	<4Л7)
т.е. совпадает при принятых допущениях с оценкой по методу наи-
меньших квадратов (4.6). Подставим (4.17) в (4.16) ив соответствии
с (4.10), введя новые обозначения, получим
p(2N\^kQ, Hqk)
(2кд^)<лг*”/2
(4.18)
х exp
- 4(ЛГ  nk - mlQ - •••
- Г + 1)

Теорема 2 может быть сформулирована следующим образом. Для
того чтобы достигался минимум байесовского риска (4.13) при фикси-
рованных векторах б^мп’ удовлетворяющих (4.17), и 2^ е Sfj, требу-
ется соблюдение неравенства
п'Р
к£1 (ckQ"Ск9 }рк9 (dt>w’l,/2 х
х exp -A (N - пк - mlQ - ... - mrq - г + 1) < 0
(4.19)
для всех v # р * /,
которое получается после подстановки (4.18) в (4.14).
Это наиболее универсальное условие для принятия гипотезы яу
по выборке . Здесь же отметим возможные допущения, принимае-
мые на практике.
Допущение 1. Примем, что потери Ckq = 0 при i’ = к, j = q и в
остальных случаях равны между собой. Гипотеза Hj принимается,
когда
166
Рп —------------ exp -2. (N-fij-mX!-...-mri,-r+l)
‘J (f2 vW+i)/2	[2	'	11 ri
> Pka —----1------ -l.(N-nk-ni, -m-r+1)
Q ГА2 \W+l)/2	2 к \q rq
^nkm^
для всех к * i, q * j.
Поделив обе части на правую часть неравенства и прологарифми-
ровав, получим критерий для выбора гипотезы н! , т.е. вектора (nz,
/йц, rh2p ...» в следующей форме:
о2
(N + 1) In...	> nk - ni + miq -
d2
(4.20)
’ m\j + m2q " m2j + - + mrq “ mrj +
P к a
+ 21n—- для всех к * i, q * j.
pii
Введя векторы mq = mXq, m2q, mrq и mj = m2j, ..., mrp запишем
(4.20) в более компактной форме:
д2
(N + 1)1п—1 > пк - п, + т -
7	л 1 ч
dnimj	(4.21)
^ка
- nij + 21п—2 для всех к * i, q * j\
Piq
Допущение 2. Если в условиях допущения 1 рассмотреть случай
скалярного ’’входа” (г = 1) и предположить равновероятными гипо-
тезы Pjq = const при всех к, д, т.е. = —1—, то решающее правило
приводится к критерию, аналогичному критерию Акаике [14]:
т
(N + l)lnJ22£ > пк - ni + mQ- mj	(4 22)
°n/m/
для всех к * z, q * /.
167
Этот критерий отличается от критерия Акаике коэффициентом ”2”
в правой части неравенства и является в связи с этим более ”жес-
тким” в выборе гипотез.
4.1.4. МЕТОД С КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ
АППРОКСИМАЦИЕЙ ПРОИЗВОДНЫХ
При описании метода с оптимальным оцениванием производных
указывалось, что при степенях производных выше трех-четырех
целесообразно их конечно-разностное представление. При этом в
общем случае возможен некоторый проигрыш в точности оценивания
неизвестных коэффициентов, но повышается регулярность решения
задачи с ростом порядков входных и выходных величин.
Будем предполагать, что уравнение, связывающее ’’входы” и
’’выход”, представлено в конечно-разностной форме:
П
Ук = Е а1Ук-1+ Е b\ui,k-i-j+
/=1	/=0
m2	тг	(4.23)
+ Е b2u2,k-l-j + - + Е brur,k-l-f’
/-0	/»о
к = п, п + 1, ..., N.
Результаты измерений описываются уравнениями
ч = у к+	(4-24)
= ulk + Vlk; I = 1,2,..., г, к = 0, 1, ..., N,	(4.25)
где индексом к обозначен соответствующий момент времени; zzp zz2,
..., иг — компоненты входного воздействия; а-, д/, ..., д/ — неизвес-
тные коэффициенты; Wk, Vlk — гауссовские некоррелированные
равноточные ошибки с дисперсией ow = const и нулевыми средними
значениями.
Заметим, что переход от конечно-разностного уравнения (4.23) к
эквивалентному непрерывному является не единственным и обратный
переход также не единственный. Такой переход зависит от способа
аппроксимации производных в конечно-разностном виде. В связи с
этим могут быть некоторые вариации в коэффициентах az, b/ (1=1,
2, ..., г) в зависимости от методов представления производных. Неза-
висимо от способа представления производных существует взаимно
168
однозначное соответствие порядков старших производных уравнений
в непрерывной форме и порядков суммирования в разностных уравне-
ниях. Это является важным фактором при приближенном оценивании
порядков производных.
Имеются некоторые сложности при априорном задании ММ по-
грешностей измерений. Перед обработкой информации с целью
определения структуры уравнений целесообразно оценить статисти-
ческие характеристики шумов и погрешностей и их использовать при
анализе. Кроме того, необходимо произвести сглаживание измеренной
информации для уменьшения случайных составляющих в результатах
измерений. В противном случае будет завышение оцениваемых
порядков производных при построении ММ.
Перед постановкой задачи преобразуем исходные уравнения.
Подставив (4.23) и (4.25) в (4.24), запишем уравнение (4.24) в
матричной форме
zN = re + w,
(4.26)
где
zN ~ lzn zn + l —ZN^ (У-л + 1)хр
0 = [<7j a2...an bf bf
tn\ 0	1 ,tlr T
.^1 br ...br J
zn-l	zn-2 — z0	Ф1,м-1	•••	Фм-ш,-!	•••
zn	zn-\'”z\	Ф1.и	•••	Ф1,/i-m,
ZN-A	zN-2 — zN-n	Ф1Л-1	—	—
Фг,П-1 ••• Фг,И-Л1г-1
Фг, n ••• Фг.н-ш.
ФгЛ-1
Wr,N-ni ,-1 ...	, . .	.
r i(N-n + 1) x +	+ ...</мг+г)
I Wn Wn+l ... WN]\
169
и приняты условия (N — п + 1) > (п + ту + ... + mr + г); N > п; N >
>	(1 = 1» 2, ...» г), и, кроме того, делается допущение, что
kw = m\(W - м - м [И^])т] =о2£(лг.„И);	(4-27)
M[W] = о.
Постановка задачи. Требуется определить наиболее достоверные
порядки л, rhi (/=1,2, г) уравнения (4.26), оценки неизвестных
коэффициентов (z = 1, 2, n; j = 0, 1, I = 1, 2, г)
при фиксированных г? и Y.
Уравнение (4.26) по форме записи совпадает с уравнением (4.5),
и поэтому может быть использован метод исследования, приведенный
в пп. 4.1.2, 4.1.3.
Оценки неизвестных параметров 0 по методу максимального
правдоподобия и методу наименьших квадратов совпадают при сде-
ланных допущениях:
_ /ут у, ч-1ут 7N	(4.28)
иММП " °МНК " {rkqYkq) Ykqz *
Оценка погрешностей измерений (вектора невязок) может быть
вычислена по формуле (4.7):
Ж = (Е - Р) z N,	(4-29)
где — (N — л + 1) х 1-мерный вектор; (Е - Р) — матрица размер-
ности (N - п + 1) х (дг - п + 1).
В соответствии со свойствами матриц Р и (Е — Р) получим
SpP = Sp [Ут У(УТ У)-1] = п +	+ ... + тг + г;
Sp [Е - Р] = N - 2л -	- ... - тг - г + 1,
2
и оценка дисперсии т для фиксированного уравнения (4.26)
приближенно определится выражением
а2	Й>тЙ>
N ~2п - т{ - ... - т
(4.30)
Корреляционный момент вектора	заданного уравнением
(4.28) с учетом (4.30):
170
«6 = <m/yTy)'1 =
._________________________(уТу)-1.
jV - 2n - дгц - ... - mr - г + 1
(4.31)
Решающие правила для определения оценок порядков /, ] (i = = 1,
..., п; j = 0, ..., Ze 1, 2, ..., г) параметров в уравнении (4.23) или
(4.26) выводятся аналогично тому, как сделано в п. 4.1.3, и в обоб-
щенной форме могут быть сформулированы следующим образом.
Гипотеза Н- о соответствующих порядках nz, гпц (I = 1, 2, ..., г)
суммирования в уравнении (4.23) принимается, если
ЪР *•	[г
Е - Ф ркцРЬ N । °ММП> <) < 0	(4.32)
£,^ = 1
для всех v * ц р * /.
При некоррелированной гауссовской полученной при равноточных
измерениях последовательности z0, zp ..., zN = плотность распреде-
ления выражается формулой

(2ndetK^)1/<2
Z
(4.33)
х ехр -
N w ( kq . -i ( jq kq.
{z - m	) (к v) (z - m )
2
Здесь
„^*7 — A^ 17 • »*. — V kq,
KZN ~ ° Ekq’ mz ~ ^kq^ »
zN - YkgQkq = \VkQ.
(4.34)
Подставив в (4.33) выражение для оценки (4.28) с учетом (4.30),
(4.34), получим
х ехр
Нк)
У + 1
(2пд^)-^
(4.35)
-4W
" 2«Jt - m\q ~ -
- mrq
- Г + 1)
171
Подставив (4.35) в (4.32), получим следующее решающее пра-
вило.
Теорема 3. Для того чтобы достигался минимум байесовского
риска (4.13) при фиксированном векторе 0Ммгр удовлетворяющем
уравнению (4.28), и / 6 ££*., требуется соблюдение неравенства
п>Р
’’	Ф'
X exp -L(N - 2пк - т,. -
2	Л-	1 2 Ч
для всех v # /, р * у.
(4.36)
- г + 1) < О
“ mrq
Это решающее правило для принятия гипотезы Н  по выборке zF
в достаточно общей форме. На практике возможны частные случаи
этого правила при различных допущениях.
Допущение 1. Примем, что потери Ckq = 0 при i‘ - kf j = q, а в
остальных случаях равны между собой, тогда гипотеза н! принима-
ется, если
1
N+ \
^ntm^ 2
ехр -2. (N - 2п, - т
2	‘
. - mrj -r + 1) >
exp -1 (N - 2пк -
m\q ~ - - mrq - r +
для всех к # z, q # у,
2
где дЛ w при всех z, у удовлетворяют условию (4.30).
Поделив обе части на правую часть неравенства и прологарифми-
ровав, получим решающее правило для выбора гипотезы Н?, т.е.
вектора zfz, ..., гЯгу-, в следующей форме:
172
.2
(N + Din > 2(nk - rij) +	-
°n‘mj	(4.37)
" mlj + mlq ~ m2j + - + mrq - mrj +
P ьа
+ 2 In—_ для всех k * z, q * /,
Pij
или в векторной форме при mj - mly-, m2y, mrj
d2
(N + 1) In > 2 (nt - n{) + mn -
7	л i	у
^nlm/	(4.38)
Pka
- m{ + 21n—— для всех к # z, q # /
' pu
Допущение 2. Если рассмотреть случай скалярного ’’входа” (г =
= 1) и предположить равновероятными гипотезы pkq = const при всех
k, q, т.е. pkn = ... L-, то решающее правило для выбора гипотезыЯ/
п+т	J
приводится к критерию, аналогичному критерию Акаике [14],
Л
(N + 1)1п—к— > 2(пк - nz) +	(4.39)
%"1/
+ mq - nij для всех к * i, q * /.
Здесь отличие от критерия Акаике состоит в том, что отсутству-
ет коэффициент ”2” при выражении mq — в правой части нера-
венства.
4.1.5. СВОЙСТВА ОЦЕНОК
НЕИЗВЕСТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Рассмотрим, как изменяются численные характеристики оценки б
в зависимости от ошибок измерений и ошибок вычислений матри-
цы У(г^). Для простоты ограничимся случаем скалярного ’’входа”
системы (4.1), т.е. г = 1. Пусть матрица У вычислена с ошибкой А по
отношению к истинному значению Уист:
173
У = Уист + Д’
где
А = [Ао Aj ... Ajy] W4.i)x(n+m+i)5
д} - [by}" ... Д^Ди/» ... Д^],
и А обладает свойствами
М [А] =0;
(4.40)
M[AZ/AZJ =
2	•	7
oik при j = к,
0 при j * к,
или в матричной форме
М[А^Д0] =ХДо; ...; MfAjAJ = Хд.
Примем	= Кд = const, /s 0, 1, ..., N.
Матрицы Az и W некоррелированы, и по условию задачи резуль-
таты измерений зависят только от ошибок W, а произведение Уист0ист
содержит истинные значения параметров:
z N = у а + w
z 7ист°ист •
Подставим выражения (4.41) и (4.40) в (4.6) (опуская индексы):
(4.41)
6 - (у'уг'уЦУ"^**) =
= (УТУ)’1УТ((У - Д)0ИСТ + Ж) = оист -
- <уту)-1утдеист + (уту)-’ути< = оист + е.
Смещение оценки б определяется равенством
0 = (УТУ)-1УТ(Ж - Д0ИСТ).	(4-42)
Умножим это выражение слева на У*/и найдем математическое
ожидание
174
м[(УтУ)ё] = м[ут(17 - деист)] =
= М [(Уитст + Дт) (W - деист)] = -м [Дт Д] 0ИСТ.
Здесь
М [ДТД] =
А-(п)	А,1(0)
АЛ>	Ди0
АЛ (W)
Ди0
АЛ(п) А.(0)
Д^лг	...
а	0	0 W*l)oJ(2)
	0	0
где D^(i) 0 =		0
	0	0
А *
\uN
...	0	
...	0	= (ЛГ + 1)Хд,
		
... (N + 1) Ogfm)	
(m)
О
О
С учетом полученных выражений
М [<УтУ)0] = -Ш + 1)*Д0ИСТ.	(4-43)
С другой стороны,
М [(УтУ)б] =М[(УтУ)]Л/[0] +*(уту)б •
« М[(УИСТ + Д)Т(УИСТ + Д)]М[б] = УитстУистМ[б] <•	<4-44>
+ (N + 1)К^М [б] = [(Уист^ист) + W * 1)*д]Л* [б].
175
Приравнивая (4.43) и (4.44), получим
М[§] = -(N + 1) [(УИТСТУИСТ) + (N +	<4-45>
Смещение в среднем будет пропорционально числу измерений и
дисперсиям оценок производных в матрице У.
Повторяя аналогичные рассуждения, нетрудно показать, что, если
имеется смещение только в шумах измерений W(t), т.е. М [И<] =
= Wj * 0, j = 0, 1, ..., М W = [Жо ... Й^]т, и матрица У = Уист
известна без ошибок, то смещение 0, обусловленное только смеще-
нием W, выразится формулой
М [в] = (УТУ)-1 Yxw.	(4-46)
4.2. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД
УТОЧНЕНИЯ СТРУКТУРЫ ММ
И ПРОВЕРКИ ЕЕ ДОСТОВЕРНОСТИ
Математическую модель, построенную на этапе экспресс-анализа,
необходимо проверить с помощью частотных методов.
Частотный метод проверки структуры ММ движения самолета
основан на сравнительном анализе частотных характеристик, по-
строенных по регистрируемым в эксперименте переходным процессам
и переходным процессам, полученным по заданной ММ.
Необходимость сравнительного анализа в частотной области экспе-
риментальных данных и расчетных ММ обусловлена двумя причина-
ми. Во-первых, имеется возможность организовать дополнительный
способ проверки достоверности полученных решений во временной
области. Во-вторых, с помощью частотного анализа можно уточнять
ММ движения самолета, рассматривать модели движения в интересу-
ющем диапазоне частот.
Необходимость проверки достоверности с помощью частотного
анализа вызвана тем, что переходные процессы, полученные в экспе-
рименте и рассчитанные по различным моделям во временной облас-
ти, бывают близки друг другу из-за слабой обусловленности обрат-
ной задачи динамики полета. Анализ этих процессов в частотной
области является более содержательным и наглядным и в ряде случа-
ев может непосредственно и быстро выявить правильную структуру
ММ движения.
Определение амплитудной и фазовой частотной характеристик по
экспериментальным дискретным переходным процессам для заданных
176
скалярных входных и выходных параметров можно производить
методами, представленными в работе [6].
Обычно выделяются три области частот: низкие, средние и высокие
так, как это предлагается в работе [6]. Для того чтобы максимально
исключить из рассмотрения ММ датчиков и измерительных трактов,
основное внимание уделяется областям низких и средних частот.
Кроме того, целесообразно сравнивать частотные характеристики и
передаточные функции для параметров, измеряемых датчиками с
различными физическими принципами действия. Например, в продо-
льном возмущенном движении целесообразно сравнить рассчитанные
по модели и полученные методами гармонического анализа переход-
ных процессов частотные характеристики для угла атаки а, угловой
скорости тангажа gdz, нормальной перегрузки пу при одном и том же
входном воздействии — отклонении руля высоты. Если частотные
характеристики по перегрузке, полученные на основе эксперимен-
тальных данных, соответствуют частотным характеристикам по углу
атаки в областях низких и средних частот, то ММ эксперименталь-
ных данных можно считать независимой от ММ датчиков, так как
они получены различными датчиками (акселерометром и датчиком
угла атаки), основанными на различных физических принципах и
работающими в различных физических условиях (акселерометр —
внутри самолета, в районе центра масс, а датчик угла атаки — в
набегающем воздушном потоке, обычно в носовой части самолета).
Проверку достоверности частотных характеристик, вычисленных по
экспериментальным данным, можно провести, используя свойство
равенства знаменателей параметров соответствующих передаточных
функций.
При существенном отличии экспериментальных частотных харак-
теристик от рассчитанных по ММ можно использовать известный
способ исправления ММ движения самолета с помощью введения
корректирующих устройств. При этом, как известно, возможны
различные способы аппроксимации экспериментальных частотных
характеристик в зависимости от различных требований. В качестве
основного требования необходимо использовать максимальную про-
стоту передаточной функции корректирующего звена, т.е. чтобы
числитель и знаменатель передаточной функции были возможно
более низкого порядка.
В этой работе не проводятся широкие исследования по возмож-
ным приемам построения корректирующих звеньев. Численное мо-
делирование различных случаев получения экспериментальных
данных и анализ ряда материалов натурных испытаний самоле-
тов показали, что часто можно обойтись простейшим качествен-
ным анализом амплитудных и фазовых частотных характеристик.
177
Однако в общем случае, по-видимому, целесообразно использовать
более точные методы и решать задачу построения корректирую-
щих звеньев.
Методы и решение задач структурно-параметрической иденти-
фикации в частотной области, несомненно, могут дать положительные
результаты. Однако здесь частотные методы используются только для
уточнения конкурирующих гипотез о ММ движения и проверки
достоверности решений в основном на этапе предварительных иссле-
дований (экспресс-анализа).
Следует отметить, что при построении частотных характеристик
по экспериментальным случайным реализациям процессов необходи-
мо учитывать степень их достоверности в зависимости от уровня
шумов и погрешностей на всех этапах решения задачи, в том числе
от ошибок первичной обработки экспериментальных данных. Много-
численные расчеты показали, что очень часто в экспериментальной
амплитудной частотной характеристике появляются пики. Основной
их причиной являются малые значения спектров входных сигналов на
отдельных частотах, сопоставимые с уровнем шумов. Эти отклонения
в амплитудной характеристике можно в значительной степени устра-
нить, если предположить, что частотная характеристика является
гладкой. Кроме того, эксперименты позволяют выявить такие законы
управления, которые дают возможность избежать появления пиков в
амплитудной характеристике. Например, приемлемым с этой точки
зрения в продольном возмущенном движении самолета является
"импульс” руля высоты. Для устранения ошибок в частотных харак-
теристиках целесообразно их определять по совокупности испытатель-
ных маневров, выполняемых в одинаковых условиях, но при различ-
ных линейно независимых входных сигналах.
Таким образом, можно предложить следующую методику проверки
структуры ММ движения самолета с помощью амплитудных и фазо-
вых частотных характеристик.
1.	На этапе предварительных исследований до эксперимента
желательно выбирать рациональные законы управления самолетом,
при которых амплитудные спектры входных сигналов существенно
выше уровня помех на интересующих частотах.
2.	После проведения эксперимента с выбранным законом управ-
ления, который должен быть компромиссным с точки зрения удо-
влетворительного определения частотных характеристик и хорошей
идентификации параметров, строятся экспериментальные амплитуд-
ная и фазовая частотные характеристики для нескольких выходных
параметров.
3.	Идентифицируются параметры выбранной ММ и определяются
рассчитанные по модели и экспериментальные частотные характе-
ристики.
178
4.	Сравниваются рассчитанные по ММ частотные характеристики
между собой и с экспериментальными частотными характеристиками.
Проверяется достоверность частотных характеристик с учетом воз-
можных случайных отклонений значений амплитуд и фаз, обуслов-
ленных случайными погрешностями измерений и возмущениями в
системе.
Строится доверительная область изменения частотных характе-
ристик с заданным уровнем значимости. При удовлетворительной
сходимости характеристик можно ограничиться классом линейных
ММ движения самолета для дальнейших исследований.
При незначительном отличии характеристик целесообразно уточ-
нить ММ с помощью корректирующих звеньев и повторить вычисле-
ния для новой модели.
При существенном различии характеристик рассматриваются
другие, в том числе нелинейные, ММ движения самолета. В этом
случае должны быть проведены дополнительные исследования по
определению новых ММ движения.
5.	ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ
5.1.	РЕГРЕССИОННЫЙ МЕТОД
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
5.1.1.	СЛУЧАЙНЫЕ И СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ
ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ММ ДВИЖЕНИЯ
Пусть ММ движения самолета представлена в виде системы линей-
ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
х = Ах + Ви	(5.1)
и начальными условиями х(0) = х0,
где А — [^y]nxn, В — [Ьц] пхт, х — l-Kflflxi, w
В результате эксперимента получена последовательность значений
переменных состояния и управления для N различных моментов
времени. Параметры ММ (элементы матриц А и В) будем оценивать
из условия обращения в минимум критерия J, представляющего
сумму квадратов невязок уравнений, вычисленных для последова-
тельности N точек измерения элементов векторов состояния и управ-
ления:
# п
' = Е Е «№>
к = 1 i = 1
(5.2)
где индексом М обозначены параметры, полученные на основании
модели (5.1):
п	т
xMi^k) = УЗ aijxj^k) + УЗ ^ijuj^k)*
/ = 1	/=1
Введем матричные обозначения
180
Xj (/[)	...
Xj (tN) ... xn (tN)
Xj(rj) ... xn(tx) ux(t) ... и,п(ф
[* «];
xx(tN) ... xn(tN) ux(tN) ... wm^]Arx(,l+m)
all ......... anl
al2 ......... an2
b\m ..... ^nm
Используя эти соотношения и уравнение (5.1), можно записать для
измеренных в эксперименте значений х((/у); xf((y); ик<4]) (/= 1, ..., N;
i- 1, ..., и; k = 1, ..., tn) следующее матричное соотношение:
X = ZCM + e,	<5.3)
где e = [«/у]~ матрица невязок уравнений; См — матрица, со-
ставленная из коэффициентов модели; X и Z — матрицы, состав-
ленные из результатов измерений.
В соответствии с принятым критерием (5.2) оценка коэффициен-
тов матрицы С определится по формуле
С = arg min Sp [(X - ZC)r (X - ZC)J,	<5-4)
C
где Sp — след матрицы.
Так как различные переменные векторов состояния и управления
измеряются различными измерительными приборами, имеющими
свои погрешности, и, кроме того, диапазоны изменения этих пере-
менных на интервале наблюдения также различны, то в критерий
5 81
оценивания иногда вводят весовую матрицу WN*N. В этом случае
можно записать, что
С = arg min Sp [(X - ZC)TW(X - ZC)].	(5-5)
C
Формулу для оценки элементов матрицы С преобразуем к виду
d = arg min Sp [X TWX - X rWZC -
C
- CTZTWX + CTZT WZC].
(5.6)
(5.7)
Элементы матрицы С определяются из решения системы уравнений
asp[(x - готж(х - zo] =0
ас
Воспользуемся правилами дифференцирования следа матрицы
aSp [XT1KZC] = ^tWZjt =
д С
0Sp[CTZTl7X]	[dSpZTWXCT] _7TUZy.
	  	n .	=		. .. = Z-i n A,
ас........................ac
asP[c TzTiyzc] = [(zTpKZ) +
+ (ZTIFZ)T]C - [Z'WZ +ZrW^Z}C,
получим
-ZTWTX - ZJWX + [ZrWZ + ZTWTZ]C = 0.
Это уравнение можно записать в виде
-ZT(WT + W)X + ZT[W + Wr]ZC = 0.
(5.8)
(5.9)
(5.10)
Заметим, что матрица (Ж + Жт) = (Ж + Жт)т, т.е. матрица Wi =
= W + WT, симметричная. Если матрица [ZTW\Z] (П^т)х(п+т) имеет
ранг п + т, то оценка матрицы С
С(п+т^п = (Z^W^^^Z^W.X.	<5.11)
182
Для /-го уравнения системы (5.1)
xj = ajlxl + aj2x2 + - * ajnxn + bjlul + - + bjmum * с/
можно записать
Cj = (Z т Ж, Z)-1Z т	хр	<5Л2>
где
Су = [Су| ... Су(п+Ш)1 = [<7у]...вуп Z>yj...iym] ,
Xj = [.^.(ф...^.^)]1.
Рассмотрим некоторые свойства оценки d. Для определения этих
свойств сделаем дополнительные предположения:
элементы матрицы Z ошибок не содержат;
математическое ожидание матрицы X равно ее истинному значе-
нию: М[Х] = М[ХИСТ + nJ = Хист;
при отсутствии ошибок справедливо уравнение
^ист ” ^СИСТ’
т.е. выбранная модель соответствует объекту.
Найдем математическое ожидание оценки d:
М[С] = M[(ZT171Z)"1ZTVP1X] =
- [ZTir1Z]'iZTP/1M[X] =	<5ЛЗ)
= [Z'W^Z]'1	-Сист,
т.е. оценка d при сделанных допущениях является несмещенной.
Оценим дисперсионные матрицы оценок столбцов dy матрицы С
(заметим, что j -й столбец матрицы С соответствует /-му уравнению
системы (5.1)):
D[Cj] = Л/{[бу - M[dy]] [бу - ллбу]]т} =
= М [ (Z т W{Z)-iZrWl Г|уТ!;т	Z (Z т Ж, Z) "l] =
= (Z T Wi Z)-1Z T	lny nJ] Wi (Z т Ж) Z)-1,
183
При некоррелированных погрешностях (ЛНл/Ч/1 w 0, i * j) и равноточ-
2	2
ных измерениях (М[ ] s получим
ЛГ[ed/edyl = aJSpX = c?Sp[(ZT WtZ)-1 X	(523)
X ZTWlWlZ(ZrWl^-1].
При - E
n+m
M [«(?/«(?/] = ojspiz^]-1 = o* £ a;1,	(5-24)
/=1
где — собственные числа матрицы (ZTZ).
Формула (5.23) может быть использована для выбора оптимальных
весовых матриц W\ при заданных измерениях Zp минимизирующих
сумму квадратов ошибок оценки вектора коэффициентов Ср а фор-
мула (5.24) может служить основой для оптимального выбора измере-
ний Z из условия обращения в минимум суммы квадратов ошибок
п+т
элементов вектора dy, т.е. из условия min •
/=1
Рассмотрим остаточную сумму квадратов невязок для /-го урав-
нения системы sjey.. Вектор определяется по формуле
. х, - х, . i, - zC, . х, -
- ztz'w^-'z'w^ = \En*n - РТУ,] Jfy,
(5.25)
где P “ Z (Z* W\Z)AZ?\ P - PT, = W^. Математическое ожидание
остаточной суммы квадратов определяется по формуле
мRjgyl = М[XjT(E - PWflE - PW^Xj] =
= М (Х/ - М[ХуТ1) (Е - PWi>T(E - PWJ (Xj. -
- M[Ху])] + М[М[Хут] (Е - PW\)r(E - PW\)Xj] +	(5,26)
+ М [ХуТ(Е - PW^iE - Р )] М [Ху] -
- М[Х?] (Е - PWflE -
Заметим, что
186
(E -PW)MVlj] = [E-Z(ZTWlZ)~1ZTWl] x
x ZCMCT = ZCMCT - Z(Z TWiZ)~i (Z T x
x	= ZCHCT “ ZCHCT = О И Xy - M [Xy] = T]y.
Поэтому
M[fyj] = M[x\j(E - PW^IE - PW{)x\j] =
Pll ”•	11N	141
= М
[П/i - nyWl
Г№
N N
= E E
Л-1 1-1
где lki — элементы матрицы
матрицу
Inn


N
(5.27)
[Е — PW]r IE — PWJ “ L. Рассмотрим
N
E hl^JN^Jl
/ = 1
N
E ^Ni^JN^ii
i-1
След матрицы L(qztjJ)
N N
Sp[L(nynJ)l =E E 4/П//Л/*.
i-1 Jt=l
(5.28)
Поэтому можно записать, что
M[ejey] =Sp[L MfnynJ] .
(5.29)
Матрица Af[т]у tjJ] — дисперсионная матрица ошибок вектора Ху.
Обозначим ее , тогда
187
Mlfyj] = Sp [GE - ^PT - PWt + W\PT -PWt)D ]. <5-30>
Заметим, что Sp [И^Р1^] - Sp [D^(W\P)T] - Sp [(H^P)1/)^] -
= Sp [РИ^].
Поэтому
MRjey] = Sp [ОЛ/] - 2Sp [РИ^] + Sp [(^P2^) Z>n J ,<5.31)
2
В частном случае, при = о^Е и W\ = Е, можно записать, что
Р = Z(ZTZ)-1ZT; Р2 = Z(ZTZ)-1ZT х
х Z(Z TZ)-1Z т = Z(Z TZ)4Z т = P
и, следовательно,
М [ejey] = o*N - 2o^SpP + o^SpP = «^(-V - (n + m)).	(5.32)
Из формулы (5.32) получим известное [23] выражение
2 Al[ej£y]
о„ =--------—------
” N - (п + т)
(5.33)
j =
Следует иметь в виду, что-на практике погрешности измерений
присутствуют как в элементах матрицы X, так и в элементах мат-
рицы Z:
X = М [X] + т>; Z = Af[Z] + Д.
Относительно погрешностей q и Д предположим, что
Л/[1)1 = 0; М[Д] =0;Л/[1)Дт] = 0;
A/[i)i)T] = Af [ДДТ] =ВД.
Если систематические ошибки отсутствуют, т.е. Л/[Х] “ Хисг, М[Z] =
= ZHCT, и выполнено условие Хист = 2истСист, то можно записать, что
188
(2 = [z^iZi^z^^ = [z^zr^'w^ + n) =
= [Z T WXZ] -lzT w\ (гистсист ♦ n) - [Z T WXZ\ -1 X (5 34)
хгтф - Д)Сист +n) =Сист - [Z^Z^Z^x
X сист +	-Сист + p.
За систематическую ошибку примем
в = м [р] = л/[ [z Tw\z] -1z ’wq (я - дсист)].	(5-35)
Из формулы (5.35) следует, что
Z TW\Zp = Z Twr1(i) - ДСист).	(5-36)
Применяя формулу для математического ожидания произведения
случайных величин к обеим частям выражения (5.36), можно запи-
сать	j
Mfz^zp] =M[Z ТЖ1(1) - А-Сист)],
или
+Af{[zTIT1Z-
т 1 г Л	(5.37)
- Miz^zjjlp - M[p]]J =
= М [Z X Т] ] - М [Z	Д] сист.
Заметим, что
MlZTWin] = Л/[(2ИТСТ + ДЪ^Ц] = х
х м[т|]	= м[ДТЖ1П];
AflZ^iA] = M[(ZHTCT + AWjA] =	x
ХМ[Д] +М[ДТ1У1Д] -MlA’W'jA];
м [Zт wx Z] = м [ (гитст + Дт) wx (ZHCT +
+	Д)1 -zJct^Zhct+z^mw ♦
+	М [ДТЖХ Д] + М [Дт1 ^гист = ZjCTWlZltCT + M[AtWx Д];
189
MRZ^Z - AffZ^iZJXP -Af[p])] ^Kz.wz p.
Рассмотрим подробнее выражения для М [ДтИЛ1т|] и М [Д1^ Д]:
М [АТИ^1Л] =
Жц ... WXN
= М
... WNN
Пи -
41W ••• Пплг
N N
Е Е ^[Дп-пц]
i-1 /«1
N
...	£ ^./И[Д1А1/]
= 0;
N N	N N
52 52	••• 52 52
1=1 /=1	/=1 /=1
190
ЛЛД^Д] =
Дц ...	&!N Г Жп
\п+т)1	— \n+m)N ^ЛН
^1ЛГ
*NN
= м
\п+т) 1
^N
\n+m)N
NN	NN
E E WAjl - E E ^A«An+m)/l
2 = 1 / = 1	1=1 / = 1
NN	NN
52 52 ^ij^[\n + m)iAyl •••	52 52 ^Hy^fAAi + m)/An + m)/l
/=1 /=1 /=1 /«1
Spl^A/lA^l}

Spf^M^^^]} ...	Sp(^M[^+mA;i+m]}
где — погрешности измерения £-й переменной состояния и управ-
ления объекта.
Используя формулу (5.37), получим
Af[₽] =В = -[Z^WxZ^{M[^Wx^Cw^ Kz,w^}.
191

Для упрощения формул предположим, что погрешности измерений
различных переменных некоррелированы между собой: М [А^ Aj] =
О (Z # к). Погрешности измерений одной и той же переменной, выпо-
лненных в различные моменты времени, также некоррелированы
между собой:

О при i*jy
2	. .
aki при i=].
Тогда можно записать
N 2
Е WiA - о
z = 1
АПА’^Д] =
о
52 ^7°(n+m)z
i = 1
Если дополнительно предположить, что измерения каждого параметра
в отдельности равноточны, т.е.
2	2
aki = ак>
то
= sPwqz>A,
где Da =
192
Формулу (5.37) перепишем с учетом сделанных допущений в виде
=	(5.38)
= -Шд(8рИ9Сист + KZ,W^}.
Следовательно, смещение В определяется формулой
В = - [ZjCT ZMCT + Пд5р W. ] -1 x	(5 39)
x [DA(SpVF,)CHCT ^zTiy|Z,pJ.
В частном случае при W\ = Е, т.е. при Sp Ж1 = N, получим
В = - [ZHTCTZHCT + NDJ -1 [ЛШдСист ♦ Kz TZ1 р].	(5.40)
Формулу (5.40) можно переписать в виде
В = -[ZHTCTZMCT ♦ ND^ND^C^ ♦
* (ND^KZ,Z^ = - [В <• In;1 х	(5.41)
х (ZJ^Z^)]-1!^ + l^^^p],
или
-e^Ld'^z^z^
-1
с
^ист*
Переходя к пределу при ?/ - <» в случае, когда корреляционная
матрица Kz т2 и матрица ZTZ ограничены, получим
lim В “Сист.
jV-OO
Формула (5.41) позволяет оценивать систематическую ошибку,
вызванную случайной составляющей ошибки в элементах матрицы Z.
Уменьшить ее можно за счет предварительной фильтрации помех
измерений. К другим причинам возникновения систематической
ошибки относятся наличие систематической ошибки в измерениях
элементов матриц X и Z и неправильный выбор ММ (учет не всех
’’регрессоров”).
193
Из рассмотренных выше формул следует, что в систему нормаль-
ных уравнений, решением которой является матрица С -
= [ZT	входят измерения переменных состояния, управле-
ния и производные переменных состояния %, а не их зависимости от
времени. Поэтому такие измерения могут относиться к различным
режимам полета и различным моментам времени. Существенным
является только то, что совокупность измерений, относящихся к
какому-либо моменту времени, удовлетворяет выбранной для иденти-
фикации модели. Это обстоятельство позволяет накапливать для
совместной обработки информацию, относящуюся к идентичным
режимам полета самолета, и выбирать для обработки из полученных
данных наиболее информативные для заданной модели измерений.
Конкретные реализации откликов самолета на заданные возмущения
используются в регрессионном методе наименьших квадратов для
оценки качества идентификации путем сравнения измеренных в
эксперименте процессов и процессов, полученных расчетом с по-
мощью построенной ММ. Используя данные, относящиеся к различ-
ным режимам полета, можно уменьшить смещение оценок парамет-
ров модели за счет уменьшения влияния корреляционной связи помех
измерений, определяя оценки из условия
d = arg min Sp(X - ZC)T(X’ - Z'C) =
C
= (ZTZ* + Z*TZ)-1(ZTX* + Z*TX),
где X^Z * — матрицы той же размерности, что и XjZ, но состоящие
из измерений, относящихся к другим режимам полета.
Решение задачи идентификации с помощью регрессионного метода
наименьших квадратов состоит из следующих основных этапов:
выбора структуры ММ соответствующей заданной области измене-
ния параметров управления и состояния;
накопления в базе данных материалов экспериментов, их первич-
ной обработки, сглаживания, введения поправок, согласования изме-
нений, устранения сбойных измерений и т.д.;
выбора из базы данных отдельных измерений, принадлежащих
исследуемой области изменения переменных состояния и управления;
составления систем нормальных уравнений МНК, выбора ве-
совых матриц, решения системы линейных алгебраических урав-
нений;
194
оценки случайных и систематических ошибок идентификации;
проверки адекватности модели и объекта.
Заметим, что обычно в регрессионном методе наименьших квад-
ратов используется критерий (5.2), т.е. минимизируются суммы
квадратов отклонений производных переменных состояния и модели.
Однако регрессионный метод можно применять и в случае минимиза-
ции суммы квадратов отклонений переменных состояния и модели
N п
Л = Е Е -W*p)2
L _ 1	.♦	1
к=1 /=1
и получить при этом аналитическое решение задачи. Для этого
систему (5.1) можно преобразовать следующим образом:
х = А -1 х - А Ви.
(5.42)
Идентифицируемыми параметрами будут элементы матриц Л”1
и А~[В. В дополнение к принятым ранее обозначениям для х, х, и
введем в рассмотрение матрицу Y - [х и] и матрицу коэффициентов
уравнения (5.42)
а1 п ••• апп
••• Рат
Используя их, можно записать, что для измеренных в эксперименте
параметров
х = А -1х - А -1 Ви - Л "1 е =
(5.43)
где — матрица, составленная из коэффициентов модели.
195
В соответствии с МНК оценка J определяется по формуле
d = arg min Sp [Ос - Уе/)т(х - YJ)],	(5.44)
d
или
3 = (УтУ)-1Утх.	(5-45)
Оценки элементов матриц А и В определяются по формулам
А = [(<?(1))-1 ]т; J3 = - [(<?(<?(2))т].
(5.46)
5.1.2. ВЫБОР ВЕСОВЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ
В РЕГРЕССИОННОМ МЕТОДЕ
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Введение весовых матриц в регрессионный метод наименьших
квадратов может преследовать различные цели. Например, с по-
мощью весовых матриц можно ’’шкалировать” переменные с целью
избежать вычислений с существенно различными по порядку вели-
чины числами; учитывать априорную информацию о точностных
характеристиках различных измерительных средств; уменьшать
влияние погрешностей измерений на точность оценивания параметров
мидели. Ниже рассмотрим подробнее один из известных способов
^ведения весовой матрицы, позволяющий отсеивать грубые промахи
в результатах измерений.
Рассмотрим z-e уравнение системы (5.1)
Х(. = алхх + ... + ainxn + bilUl + ... + bimum.
Для полученных в эксперименте ..., хп. .... um предста-
вим это уравнение в форме
п	п
*i - Е anxj - Е bijuj = Ei-
;=i
Запишем это соотношение для каждого из к = 1, ..., N моментов
времени:
196
Xi (/p ...X„ (/])	«! (/j) ...«w((j)
Xj (Zjy) ... X„ (tN) ut (t#) ... um (tN)
	ап		
			
X	ain bn ^im		8 .•(///)
(5.47)
или в матричной форме записи
Я, - ZCj = ez.
(5.48)
Решение этой системы, найденное из условия минимума J ef (ф,
Л-1
имеет вид
С,- = [Z TZ]-I Z1xi.
(5.49)
Найдем вектор
е.0)
= xz Z(?f.

X
Каждое из уравнений (5.48) умножим на весовой множитель,
обратно пропорциональный соответствующему значению ёу1)(1к),
уменьшающий вклад в решение задачи. В случае уравнений,
для которых невязки большие (в случае |ezl)(/p| < еаапаннпР
положим 1е,Ш (1J I = е,апа„нпр). С этой целью введем весовую мат-
рицу
197
(5.50)
и преобразуем систему уравнений (5.48) к виду
^1*/ - V.ZC, = Vi4.
Обозначим
17 а -	• 17	= 7 (1). 17 е „ е )
1 xi xi ’	’ М с/
Тогда
Это уравнение аналогично (5.48), поэтому по формуле (5.49) опре-
делим оценку
_ г 7 (1) т 7 (1) 1-1 7(1)т .(В .
С'  lZ z j z х. -	(551)
= |ZTK1TV!Z]’1ZTV1Ty1.v,
матрицу v/ V{ обозначим через W\. Тогда можно записать, что
с.(1) = [Z TW}Zi~lZ т1Г1х/,	(5-52)
т.е. решение системы соответствует взвешенному методу наименьших
квадратов.
Полученную оценку можно снова использовать для расчета
невязок уравнений
Повторяя действия в указанном выше порядке, получим
198
= Z T W[Z -1Z T	(5-53)
Такой способ задания весовой матрицы приводит к нахождению
оценок по критерию наименьших модулей [20]. Его применение
позволяет автоматически снижать влияние грубых промахов в изме-
рениях на точность оценивания параметров модели.
5.2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.
МЕТОД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Одним из способов улучшения качества оценок параметров ММ
самолета является применение различного рода преобразований к
измерительной информации. Такие преобразования могут быть
разбиты на два основных класса: преобразования, нс изменяющие
структуру ММ, и преобразования, требующие соответствующего
изменения структуры модели, выбранной для идентификации. К
первому типу преобразований относятся линейные преобразования,
применяемые к линейным ММ (например, преобразования Фурье,
интегрирование исходных данных со специально выбранной весовой
функцией и т.д.). Ко второму типу относятся, например, преобразо-
вания, основанные на использовании априорной информации с целью
устранения из измерений составляющих, нс относящихся к выбран-
ной для идентификации ММ.
Рассмотрим подробнее метод линейных преобразований (МЛП) и
один его частный случай — метод модулирующих функций (ММФ) с
целью устранения влияния динамических искажений в измеритель-
ной информации на оценивание параметров ММ.
5.2.1. МЕТОД ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Описание ММ. Пусть движение объекта описывается уравнением,
представленным для общности записи в операторной форме
£/[х] = AUp[x] + Вив) + SV(t).	(5.54)
Здесь х (/), м(/) и V(t) — соответственно л, т и л-мерные всктор-
функции времени на отрезке t е [f0,	£/[*],	~ матрицы
линейных непрерывных операторов в пространстве непрерывных
функций х(0 на t 6 [/0, tN], представленные в виде
199
17 И = [t/fxj [х2] ... U [х„] ]Т :
L 1 х	п 1
(5.55)
Up [х] = [t/, (xj] t/j [х2]... U{ [х„]... Up [X! ] Up [x2]... Up [xj ?
Матрицы коэффициентов А, В и S соответственно размерностей
(п*пр)у (п*т) и (п*п) считаются неизвестными, причем элементы А
и В подлежат оцениванию; SV(t) является неизвестной погрешностью
ММ (5.54) известной структуры. Полагаем, что матрица V(t) известна
точно.
Примерами линейных операторов (5.55) могут быть следующие:
tZJx] = x(Z); tZ[x] = ^2;
1	1 dt
dn	f
t/Jx] = — x(/); U: [x] = |x(t)Jt.
dtn	о
В частности, для системы и обыкновенных дифференциальных урав-
нений второго порядка имеем
d2	d
±—x(t) = Л,_х(/) + Л2х(7) + Butt) + SV(t).
dt2	dt
В принятых обозначениях получаем
d2
t/[x]/iX1 = Д-х(Г); 6/р(х]2,1Х1 =
dt
dx(t) vZyJT. л ~ . А л 1
—x(Z) , А ~ ^2bix2/r
В эксперименте х (0 и и (/) измеряются в дискретные моменты
времени Го, ..., tN, и результаты измерений х(0 и u(t) удовлетво-
ряют уравнениям
x(/z) = x(/z) + t0(/z) + $0(/.);
(5.56)
й(^) = w(/z) +	i = О, М
200
где ^(Z,), 5/^) — случайные последовательности п и т-мерных
векторов, некоррелированных по времени и между собой, с нулевыми
средними значениями; ф0(^), ф^) — неизвестные значения вектор-
функций ф0(/) и (Z), являющихся систематическими ошибками
(динамическими искажениями) известной структуры. Зададим ф^)
в виде
tyO) =	<р(/); f=0, 1,	(5.57)
где
ф(0 = [ф/(0]2х1> ^0 ”
Матрицы параметров dQ и rfj считаются неизвестными, а элементы
Ф (/) — заданными функциями времени.
Линейные преобразования ММ движения. Перед постановкой и
решением задачи предварительно преобразуем уравнение (5.55).
Выразим хОу) и w(/y) из уравнений (5.56) и подставим эти величины
в (5.55), получим
U[x(tj) - фо <9 ~ =AUp^j} ’ *0<9 “
- ?0(/у)1 + B[w(Zy) - ф^/у) - ^(/у)] + SV(tj).
Здесь и далее под U [х(/у>], Up[x (tj)] и другими аналогичными
выражениями понимаются значения при t = tj матриц операторов,
выполненных над непрерывными функциями x(Z), т.с. Z/[.v(Z)l,
Up[x(lY\. Преобразуем это уравнение к виду
I/J = AUp[x(tj)] + Bu(tj) + е(.;); j = 0, 1, .... hk, (5.58)
где e(Zy) — вектор-столбец ошибок (невязок), определяемый уравне-
нием
e(Zy) = L/[i|t)(Zy) + 50(Zy)] - yl£Zp[%(Zy) +
+ 50('у)] “ ЯГФ^у) + ^(Zy)] + SF(Zy),
(5.59)
в котором первые три составляющие в правой части обусловлены
динамическими искажениями в измерениях, последняя — представ-
ляет собой погрешность исходной ММ (5.55).
Будем считать, что в моменты времени Zo = 0, Zj = А, ..., Z^ = hk с
равным шагом = h (к <. АО получены результаты измерений х (tj),
201
й (t-), удовлетворяющие уравнениям (5.56), которые представим в
матричной форме
X = [хОЛ)]„ха+1); U = [ад]тх(Л+1); j = 0, 1, к. (5.60)
Вектор-столбец ошибок (5.59) для этих моментов времени также
будет принимать соответствующие значения, которые представим в
виде
	61(0) ...	е^ЛЛ)		т' «1	
Е =	е2(0) ...	е2(ЛЛ)	=	т е2	,	(5.61)
	е„(0) ...	еп(Лк)		т	
где eJ (i = 1, 2, ri) — соответствующие матрицы-строки.
При этом предполагается, что операторы <7 [•], Up [•] таковы, что
векторы ошибок ez, е • некоррелированы между собой при всех z, /,
а компоненты каждого вектора некоррелированы по времени. Для
векторов ez известны матрицы ковариаций
/Ск,]	=ТГл,	(5.62)
где — единичная матрица размерности (k + 1) * (к + 1), £>z =
= const.
Проведем по результатам измерений (5.60) с учетом ошибок (5.61)
М = пр + т различных линейных преобразований Lj левой и правой
частей (5.58). При этом рассмотрим один наиболее простой частный
случай — матричное преобразование. Представим уравнение (5.58) в
матричной форме для всей последовательности результатов измере-
ний и умножим справа левую и правую части на матрицу Р;- я I Ру1
- Р/аГ;
(7[Х1(0)]	... tZ[xi(W]l Г ру0
£/[Х„(0)] ...	[ pjk
202
l/J^CO)] ...
t/JXj/O)] ...
P/0
(5.63)
t/plxjO))] ...	г/р|х,(ЛЛ)]
t/pt^/O)] ...	C7P[X„(W]
i7t(0) ...
u1 (hk)
um(0) ...
um(hk)
i{(0) ... i{(hk)
cn(0) ... tn(hk)
Предполагается, что M линейных преобразований являются линей-
но независимыми и элементы матриц Ру могут иметь различные
произвольные значения, которые подлежат в дальнейшем определе-
нию по условиям задачи. Обозначим в (5.63)
Щх| = ирМ =	...	=
	t/[x„(0)] ...	[Z[x„(AA')] i/i[X](O)J ...	
	t/p[x„(O)J ... C/p[x„(AW]	
Получаем
U[x] Ру = Хру = AUp[x\ ру + В[й] ру + ёРу; j = ТГ37,
203

или совместно для М линейных преобразований Lj
U[x] р = ХР = AUp[x] р + Яир + ер.
(5.64)
Если обозначить совместные М линейных преобразований в виде
то (5.64) можно представить в новой форме
= C2f[Z] * ££(е],
где
(5.65)
££{Щх]} =	[Л В]пхМ
&ШМхМ = Zp; S£|g] = gp.
= C; Z =
л/хоы)
(5.66)
u
Постановка и решение задачи. Дана ММ движения объекта (5.54),
приведенная с помощью линейных преобразований Zy к виду (5.65).
Известны матрицы (5.60) результатов измерений х, и, элементы
которых удовлетворяют уравнениям (5.56), (5.57). Требуется опре-
делить оптимальные оценки элементов матрицы С неизвестных
параметров Л/Л/, инвариантные относительно (независимые от)
ошибок V(f) в (5.54) и погрешностей измерений i|ro(0, 4^(0 в (5.56)
и доставляющие минимум критерию
п т	п т
1 - £ £/>(/.,а,>1 - £ £О|«'И;1
/=1 /=1	/=1 /=1
(5.67)
по элементам матрицы Ру. В (5.67) D [•) обозначена дисперсия.
Минимизация критерия (5.67) эквивалентна при некоторых допуще-
ниях минимизации суммы дисперсий ошибок оценки (5.69) элементов
матрицы С при ограничениях на значения элементов матрицы р
(5.70)...(5.72).
Определим оценку элементов матрицы С из соотношения (5.65).
При этом будем предполагать, что элементы матриц х, и, р таковы,
что ££[Z] является неособенной. Умножая справа левую и правую
части уравнения (5.65) на обратную матрицу ST1 [Z] и полагая££[е]
малой, получаем оценку С
d = SP(t/[x])srl[Z].	(5-68)
204
При этом ошибка оценки
ДС - С - С = ££[ё] ST1 [Z],
(5.69)
или с учетом (5.57), (5.59), (5.61), (5.66)
ДС -- $£{Щс/0ф + ^ijsT'lZ] "
- С££
где
ST1 [Z] + Sf[S V] ST1 [Z] ,
tfpkoV * U
6/1Ф + <1
(0) ...	Ф! (hk)	; So =	Coi(O) ...	Coi <A*> 
Фг(0) ...	<pr(hk)		So„<O) ...	$О„(ЛЛ)
<1 =
CH(0) ...	luthk) ‘	; v =	^(0) ...	V^hk)'
. Slm(0) ...	$im(U)		y„(0) ...	Vn(hk)
Откуда можно получить условие ’’инвариантности” ошибки оценки
ДС от погрешностей V(t) в ММ движения объекта и динамических
искажений в результатах измерений фо(О, i|q(O. Для этой цели с
учетом свойств линейных преобразований приравняем нулевым
матрицам составляющие в ДС, которые содержат указанные ошибки:
££{£/[<₽]} ST1 [Z] = [0]; 9?
= [0]; SfiyjSTHz] = [0].
^l[Z] =
(5.70)
В частности, из (5.70) следуют более сильные условия
205
с£Щф] = С7[ф] р = [0]; <Шр[ф] =
= ир[ф] р = [0]; фр = [0]; Ур = [0].
(5.71)
Для упрощения вычислений оценки d и уменьшения ошибки оценки
линейные преобразования, т.е. матрицу р, выберем такой, чтобы
выполнялось соотношение
S£[Z] « ZP = Ем,	(5.72)
которое назовем условием ”нормировки”. Теперь решение свелось к
задаче на условный экстремум критерия (5.67) по элементам матри-
цы р при наличии связей (5.70), (5.72) или (5.71), (5.72). Для реше-
ния задачи преобразуем сначала исходные выражения. Критерий
(5.67) с учетом (5.62) приводится к виду
п м	п м
J-X	=Е Е^М>Л =
'"1 Л1	/=1 7=1	(5.73)
п М	п
= X	= £/)zsP(pTp).
/»1 /=1	/=1
Здесь М[•] — операция математического ожидания; cz — центри-
рованные случайные векторы.
Учитывая, что Z)z = const, вместо (5.73) можно принять эквива-
лентный критерий J » Sp (РТР).
Запишем условие инвариантности (5.71) в форме
фр = [0],	<5-74>
где Фт = [1/г[ф] (7рт[ф1 фт Ут] и Ф имеет размерность (и + 2г +
+ гр) х (к + 1).
Для решения воспользуемся методом множителей Лагранжа.
Введем матрицы множителей Лагранжа р. и X соответственно раз-
мерностей (п + 2г + гр) х м и МхМ и вспомогательный критерий
/* =Sp(pTp) -5р(цтфр) -Sp[XT(Zp -£а/)].
Необходимые условия оптимальности имеют вид
2рт - цтФ - XTZ = [0]; ФР = [0]; zp - Ем = [01.
206
Откуда оценка
= RZT(ZRZT)~l,	(5,75)
где R = [Е^ — ФТ(ФФТ)‘1Ф], и с учетом (5.68), (5.72), (5.75) оценка
С запишется в виде
d = 1/[Л Р = U[x]RZT(ZRZ'T)~l = XRZT(ZRZT\l
Пример 1. Движение динамической системы описывается обык-
новенными линейными дифференциальными уравнениями п-го
порядка в форме Коши
х = Лх + Ви + SV.	(5-1Т>
Результаты измерений х (1) и и (/) удовлетворяют (5.56), (5.57). В
(5.1Т) х и и — соответственно п и m-мерные векторы; А и В — матри-
цы размерностей п*п и п*т; матрица 5 размерности п*п является
неизвестной; V(j) — n-мерная известная вектор-функция. Требуется
оценить неизвестные элементы матриц Л и В по последовательности
измерений х0,	..., xk\ uQ, ..., uk. Операторы (5.55) U [х] =
= [х (/)], t7p[x] = х(/),	1. Оценка (? = [А В] удовлетворяет усло-
вию (5.76), где обозначено
X =	[л-(0)	х(Л) ..	 ^hk)]nx(k+l);	
	ф(0)	ф(Л) .	.. ф(ЛЛ)	
ф =	ф(0)	<р(Л) .	.. ф(ЛА:)	>
	. ИО)	V(h) .	.. V(hk)	(2г + н)х(/: + 1)
	х(0)	х(М ..	.. x(hk)	
Z =	н(0)	tith) ..	.. iiihk)	(/1+/Н) х (^ + 1)
Пример 2. Рассматривается возмущенное короткопериодическое
движение самолета, описываемое уравнениями
Да = а)_ - У*Да - УаЛ(р;
<bz ~ Z(jDz + ^z*aAa + Л/.фД(р;
(5.78)
207
г	г
уй = 8 уа . уф = 8 уа .
а V с ’ а V с ’
\уаг.п	jtzr.n
Af,*“ = м“ + У“л7.“; л7‘“' = м“г + м“;
Z	L	U	А,	At
(5.78)
М'9 = М? +	M? = К,т*',
Z	Z	Ц, At	лш	At А.
— W,	Ч — л	Ьк „
М/ = К*т*; М* = К*т?;
z	z у z z Z у <.
М? = Kzmz; Кг =

В качестве опорного режима принят полет в горизонтальной
плоскости на высоте Н = 9000 м с числом М = 1,4. Путем модели-
рования на ЭВМ определялись балансировочные значения параметров
абал’ ^бал и затем задавалось отклонение цельноповоротного горизон-
тального оперения (р в градусах в виде импульса относительно балан-
сировочного значения
Ф = Фбал - 10' ПРИ 0 t Z, = ----------- —
<р = -23 + 10 (Z - Zj) при Zj < z < Z2;
Ф = Фбал при f t2-
ММ результатов измерений:
АОидм = Aa + 0,5 + 0,12z + OjC
"гизм = “z + °>5 + °’12z + °2^;
Фйзм = Ф + 0,5 + 0,12z + o3C
208
где
_ 0,05 «„j ах	^ах _ ^zmax ,
1	3	60	2	60
_ Фтах.
°3 ”	60 ’ amax’ ^zmax’ Фтах
— соответствующие максимальные значения на исследуемом участке
переходного процесса (I <, /пер » 5 с). Для обработки данных прини-
мался отрезок времени, равный 0,9 /пер. Неизвестными являлись
коэффициенты Суа, Суа, которые определялись из первого уравнения
(5.73), а производная а определялась методом, предложенным в
работе [23]. Для сравнения оценивания производились МЛП и МНК
без весовых коэффициентов. Принимались различные числа обраба-
тываемых точек к (к z N) при трех частотах дискретизации измере-
ний параметров по времени А / = А = 0,02; 0,03; 0,04 с. В результате
численного моделирования для маневренного самолета (истинные
значения с}“ист = 3,6 рад'1; с^ист = 0,6 рад'1) определено, что
устойчивое решение получается при к z 80. Относительные погреш-
ности оценок
*а	л<р „ ф
_ суа"суаист. Т ф = суа~су а ист
У а	~	’ 0Суа "
с	с
у а ист	у аист
представлены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Относительные погрешности оценок по МЛП и МНК
h, с	МЛП		МНК	
	• %	«у осуц’ /о	%	ХЛФ о/ осуа' /о
0,02	1,9	6,2	16	43
0,03	3	11	26	52,8
0,04	2,1	7	9,5	26
В заключение отмстим, что МЛП для оценки параметров динами-
ческих систем дает возможность устранить влияние динамических
искажений в измерительной информации. С помощью МЛП удается
с единых позиций сравнить ряд известных методов: МНК, ММФ и их
209
модификации. В вычислительном отношении МЛП по трудоемкости
соизмерим с МНК. При незначительном усложнении алгоритма по
сравнению с МНК удается существенно выиграть в точности решения.
МЛП позволяет оценивать последовательно каждый из параметров
ММ в отдельности.
МЛП можно рекомендовать для случая, когда известен характер
переходных процессов в датчиках и измерительных трактах, но
точные значения параметров этих переходных процессов не известны.
При этом достаточно задать только зависимости переходных процес-
сов от времени и учесть их при идентификации.
5.2.2. МЕТОД МОДУЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ
Этот метод чаще используется с целью устранения влияния посто-
янных составляющих ошибок измерений параметров на результаты
идентификации.
Рассмотрим ММ движения самолета в виде системы уравнений
х = Ах + Ви; х(0) = х0.
Применяя к обеим частям этого уравнения некоторое линейное
преобразование L, получим
L[x] =Ь[Лх] + L[Bu].
Используя свойство линейности, получим
J£l[x] = Л£[х] + ВЬ[и].
dt
Оценка элементов матрицы может быть получена по формуле
d = [l[Z]tWLIZ]] ^HZl^WLlx],
где
[Z] = ЦхНф] ...	L[xn(Zj)]	...	
L	•••		Iй ni
210
W =	 ^11 -		; МЛ =	Z[X1(Z1)] ...	£[ЛП«1>]'
	HOvi -	^NN.		^l^l(^)] •••	
а\1
а\п
ъ\\
ап1
••• апп
•••
^1т	••• ^пт
Рассмотрим подробнее один из видов линейных преобразований,
состоящий в интегрировании результатов измерений, умноженных
предварительно на специально выбранные весовые функции:
L[xz(Zy)] = |xz-(Z) d)dt.
0
Функции фу (/, ay) выберем так, чтобы получить желательные свой-
ства оценок элементов матрицы С.
Заметим, что если функция xz(0 имеет постоянную составляющую
xz-(Z) = *z(Z) + ср	(5.79)
то
ь
L[Xi(t)] = J (*,(/) +с,)ф7(Л a)dt =
о
=	фу (Z, a) J / +	d)dt.
О	О
Если xz(Z) представлены в виде
x-(Z) = j?z(Z) + с- + d^,	(5.80)
т.е. из функции Xj(Z) можно выделить линейно меняющуюся по
времени составляющую, то
211
L[xz(O] = JWZ(Z) + cz + Jz/)<py(/, d)dt =
0
= J (/) фу (/, a)dt + czJ<py U, a) + rfzJ/<py(x, a)dt.
0	0	0
На выбор весовой функции можно наложить условия, например,
Ь
|фу(/, a)dt = 0; у = 1, ..., N,	(5.81)
о
или
j Фу (t, a) dt = 0; рфу(/, а) dt - 0.	(5.82)
О	О
При выполнении условия (5.81) постоянная составляющая функции
xz(/) не влияет на элементы матрицы L [Z], а при выполнении усло-
вия (5.82) линейная часть функции xz(/) нс влияет на элементы
матрицы L [Z]. Из приведенного выше примера следует, что за счет
выбора весовой функции фу(/, а) можно исключить влияние состав-
ляющей любого вида в функции xz(/) на элементы матрицы L [Z],
т.е. за счет выбора весовой функции можно получить условия инвари-
антности L [Z] по отношению к функциям заданного вида.
Например, если представить функцию xz(Z) в виде
xz(0 = Xz(0 + i|r(Z),
где ф(0 — функция заданного вида, или в более общем случае
xz(r) = ^z(0 +	(5.83)
r = l
применить к xz(0 преобразование вида
L[xz(ry)] = Jxz(Z) фу (^, d)dt =
0	(5.84)
т h
= ^i^t) ^{t, d)dt + cr\
0	'• = 1	0
212
и выбрать фу (Л а) так, чтобы выполнялось условие
h
|фг(Офу(Г, a) dt = 0; г = 1, т,	(5>85)
О
ТО
L [х(- (Гу) ] = L (Гу)1 = J Xt (Г) фу (f, a) d t.	(5'86)
О
Рассмотрим применение преобразования интегрирования с весовой
функцией к производным Х[".
L[Xi(tj)] = ]\ (Г) фу(Г, a) dt =Xi(.t^ фу (Гу, а) -
о	(5.87)
Ь
- Xj(O) фу (0, а) - |X/ (О <pj (t, a) dt.
О
Если на функции фу(Г, а) наложить еще дополнительные условия фу(0,
а) = 0 и фу((у, а) = 0, то формула (5.87) примет вид
L [х,- (Гу) ] = - jXi (Г) фу (Г, ос) dt.	(5,88)
О
При выборе весовых функций следует учитывать влияние опера-
ции интегрирования на погрешности результатов. При применении
численных методов интегрирования необходимо оценивать случайную
и систематическую ошибки интегрирования. Эти ошибки зависят от
выбора весовых функций, метода численного интегрирования, случай-
ных погрешностей в исходных данных.
Оценим случайную составляющую ошибки вычисления интеграла
L[x] = |х(Г)фу(Г, a)dt.	(5-89)
О
Предположим, что
х(0 = М[х(0] + 5(0.	(5,90)
213
Для определенности предположим, что измерения параметра выпо-
лнены в дискретные, равноотстоящие моменты времени, а интегри-
рование выполняется по одной из известных квадратурных формул
(прямоугольников, трапеций, Ньютона и т.д.). В соответствии с
принятыми допущениями значение интеграла может быть оценено по
формуле
Ь	"j
[x(O<Py(t, a) dt *	5/*Ц)ф/(^-, а),	(5.91)
О	/-о
где весовые коэффициенты — свои для каждого конкретного способа
интегрирования. Дисперсию оценки интеграла найдем по формуле
PLM =Af[(£[x] -ML[x])2] =
= М
NJ	N<
У M (*?<₽/(*/’ а) у} bk^tk)^{tk, а)
|=о	А=0
(5.92)
nj
= Е bib^di, a)<pj(tk, а)М[^1^ак)].
и-о
Относительно погрешности измерений предположим, что
М К»? 5 (zpj -
2
сх при tt = tk;
О при tj * tk.
Тогда
Ni
2^4 ь2 2,	.
= °хЕ bi Vj^i’ aj>-
(5.93)
^L[x]
Коэффициенты зависят от способа численного интегрирования.
Например, для формулы прямоугольников
NJ
214
N,	tj
и ^L[x] =	® о2Д(/ф2((> d)dt.
i’O	0
Для формулы интегрирования Симпсона, при jV;- = 2т, имеем
О
Их) = [х(0ф(/, a)dt =	[х(0) *
О	3
х Фу.(0, а) + 4 £ x(t2i-\)	®> +
т
+ 2	*<*2рФ^2/’	+ Л(9Ф/^У’	•
/ = 1
Можно записать, что
2	т
&L[x} = °?-4-1ф2<0> а) + 16 Е а> *
* /=1
т э	э
+ 4 52 Ф/<z2p а> + Ф/а)1-
/=1
(5.95)
Систематическая ошибка квадратурных формул [23] порядка к
может быть оценена с помощью соотношения
*Цх] ^k^V	(5’96)
где М^+1 — максимум модуля (Л+1)-й производной интегральной
функции на интервале интегрирования; с^+1 — константа, зависящая
от интервала интегрирования, шага интегрирования А/ и порядка
квадратурной формулы к.
В частных случаях можно записать:
для формулы прямоугольников (к = 0)
,,	27V + 1 Ау.
К т г Yi	А/1 и ...	, А/,
£W ‘6W+W
для формулы трапеций (к = 1)
Л/Гу1 <; M2_^L
Мх] 2 12уу
(5.97)
(5.98)
215
5.3.	ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ
И СОГЛАСОВАНИЕ С НЕЙ
РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Априорная информация может иметь различную природу и содер-
жать сведения об объекте испытаний и его характеристиках, условиях
проведения эксперимента, об информационно-измерительных систе-
мах и др. Априорная информация служит основой для создания на
ЭВМ банка характеристик, организации базы знаний и т.д., использу-
ется при выборе структуры модели, формировании функционала
качества оценок, определении области возможных значений оценива-
емых параметров, в качестве начальных значений оценок в итераци-
онных методах, при планировании летного эксперимента. Задание
априорных значений отдельных коэффициентов модели дает возмож-
ность уменьшить число одновременно оцениваемых величин. Инфор-
мация о частотных диапазонах измеряемых сигналов позволяет
рассматривать ММ физических процессов, относящихся к различным
диапазонам частот [6]. Данные о структуре помех и их статистичес-
ких характеристиках позволяют повысить точность результатов за
счет формирования весовых матриц, учитывающих степень доверия
к результатам измерений, и матриц, обеспечивающих инвариантность
оценок к помехам известной структуры. В регрессионных методах
идентификации априорные данные о погрешностях измерений исполь-
зуются при формировании весовой матрицы. Ранее полученные
оценки сапр применяются для согласования с ними новых оценок с
помощью минимизации функционала
J = Sp [(х - Zc)TPK« - Ze)] + а(с - сапр)т(с - сапр). <5-">
Решение задачи определяется формулой
6а = [ZTWZ + aE]~l[ZTWx + асапр].	(5.100)
Используя формулу (5.100), можно записать, что
[Z JWZ + аЕ] ёа = Z TWx + асапр,
или
[ZTWZ]6a + *Еёа = ZTWx + асапр,
откуда
« [zTwz]~lata = г + afz^z]-1^
(5.101)
216
и
<	?e = [Е + a(ZTWZ)-1]-1^ + а[Е +
+ a(Z тWZ)4J'1 [Z тWZ] 1 сапр =	(5-102)
= [Е + a(Z TWfZ)-1]-1^ + a[ZTWZ + аЕ]-1сапр.
При а - 0 оценка <5а - Параметр а можно рассматривать как меру
доверия априорной информации. Можно показать, что величина
смещения оценки вследствие введения параметра а определяется
выражением
в =	- сист = [Е + «(Z’lFZ)-1]"1 х
хСист + а[гтжг + аЕ]-,еапр-сист =
= [аЕ + Z TWZ]~lZ rWZcltct + а[аЕ +	(5.103)
+ Z т WZ]-1 сапр - еист = [аЕ +
♦	ZrWZ]~l[ZTWZCliCr ♦ асапр] - сист.
Из полученной формулы следует, что если сапр » сист, то при любых
а смещение оценки равно нулю:
В = [аЕ + ZTWZ]-l[ZyWZ + аЕ] сист - сист = 0.
г! V 1	rlV 1
Если сяпп - си_ + Дсяпп, то смещение запишется в виде
alip F1C1	cliip
В = а [Z т WZ + аЕ]-1 Дсапр.	<5-104>
Оценим дисперсию /-го столбца матрицы ёа<;
D[6aj] = м[(<?в/ - л/[гв/])т«?в/ -
-	Af[<5e/J)] =m[((ZtH^Z) + аЕ)-1 х
х ZrWr\j^WZaZTWZ) + аЕ)-1 =	(5.105)
= (ZrWZ + aE)’1(ZT)FAf[n/nJl x
x WZ)(ZTWZ + aE)'1 = [(ZrWZ +
+ aE) (Z TWDr, WZ)~l (ZrWZ + aE)]-1.
В частном случае, когда погрешности измерений некоррелированы,
измерения Xj равноточны:
217
а в качестве весовой матрицы выбрана идемпотентная матрица W2 -
= W, дисперсия оценки D [<5у“] определяется как
B[<?ey] =	«• a[ZTWZ]-1) (<r£ + Z'WZ)]'1 =
= a2 [(ZrWZ) + 2a£ + a2(Z rWZ)'1]-1.
За меру ошибки оценки da можно принять сумму квадратов
смещения и дисперсии оценки каждого элемента матрицы са.
5.4.	МЕТОД НАСТРАИВАЕМОЙ МОДЕЛИ
Для ММ (5.1) оценки элементов матриц А и В найдем из условия
минимума суммы квадратов разности параметров, наблюдаемого в
эксперименте х/у- и рассчитанного с помощью модели *умод:
п
J - Е	<5.107)
/«1
Значения параметров *умод модели будем находить путем чис-
ленного интегрирования системы дифференциальных уравнений (5.1).
Минимум функционала J определяется с помощью численных мето-
дов поиска экстремума функции многих переменных. В используемых
на практике методах хорошо зарекомендовала себя процедура Ньюто-
на—Рафсона. Ускорение сходимости метода обеспечивалось специаль-
ными вычислительными приемами, основанными на последователь-
ном ’’замораживании” ряда переменных и аппроксимации направле-
ния спуска к минимуму на основании результатов минимизации,
полученных на выбранной последовательности шагов алгоритма
минимизации. В число оцениваемых параметров включались также
начальные условия для системы уравнений (5.1). В разработанной
системе программ минимизации предусмотрена возможность опера-
тивного изменения хода вычислительного процесса путем смены
метода поиска минимума функции многих переменных в зависимости
от степени приближения к искомому результату. Следует отметить,
что решение задачи по критерию J требует больших затрат машинно-
го времени, существенно зависящих от выбора начального приближе-
ния к решению задачи. Преимуществом метода настраиваемой модели
является простота учета априорных значений отдельных параметров
218
модели, динамики измерительных приборов и ряда других факторов,
влияющих на точность идентификации. Метод может быть применен
для идентификации нелинейных ММ известной структуры, задавае-
мых совокупностью дифференциальных и алгебраических уравнений.
В качестве начального приближения могут использоваться значе-
ния параметров модели, оцененные с помощью регрессионного метода
наименьших квадратов. В качестве возможного способа оценки на-
чального приближения значений параметров модели можно, напри-
мер, предложить следующий способ.
Рассмотрим интервал наблюдения [О, Г]- На этом интервале
переменные состояния представим в виде разложения по выбранной
системе базисных функций ф^О) (к = 1 ... М), выполненного на основе
аппроксимации зависимостей х (t) по среднеквадратическому крите-
рию. В результате можно записать
м
xt(.t> = J2 cikVk^ + «/<*> = <7ф +
к-1
м
- 52 ^ikfk^ + с/^ ~ di ф +
к-1
м
UjW = 52 Sjk^k^ + е/(/) =	+ е/’
Л=1
Подставляя эти выражения в систему
(5.108)
х = Ах + Ви,
получим
Яф = ЛСф + БСф + с	(5.109)
где
	</п ...	diM		cu	...	C1M		£ii -	Sim
D =	dll ...	dlM	; c =		. . .		; G =		
	...	dlM		c«i	...	cnM		•••	^mM
219
Пренебрегая ошибками аппроксимации и приравнивая выражения
при ф в левой и правой частях формулы, получим
D = АС + BG.	(5.110)
Используя блочные матрицы, эту систему уравнений можно записать
в виде
D = [Л В]
ап ... а1п
ап1 ”• апп
Ъц ••• Ь1т
х
^«1 ••• ^пт пЖ(^п+ту
С11	— С1М
Сп1 •"	спМ
£ц —	£1м
Sm\ ••• £mMj(n+m)xA/
Пусть М > (л + т). Умножим обе части равенства на матрицу
С
G
= [Ст GTJ:
= [Л В]
[С т G т] = [Л В]
ССТ CGT
GC GG ,(ц+т)»(п+т)
Если ранг матрицы
равен п + т, то
[Л В]
ССТ
GCT
cgH'1
GGT
(5.111)
ИЛИ
220
[Л 2?]т
ССТ
GCT
CGT
GGT
(5.112)
Матрица [С Ст] записывается в виде
[CCT] =	M 2	M	M 52 С1 к 52 clkc2k ••• 52 clkcnk k-1	= l	Jt = l
	M	M	M	2 cnkc\k	52	cn\c2k •"	52	cnk k-l	*=1
Аналогичные формулы можно записать и для матриц CGF, GCT, GG^.
Предположим, что xz- (/ = 1 ... п) линейно независимы, тогда
линейно независимы векторы аппроксимирующих коэффициентов
[сп ... сш], ..., [сп1 ... спМ] и строки матрицы С. При М > п ранг
матрицы С равен п. Если ранг матрицы равен п, то матрица
[ССТ] является положительно определенной [25] и, следовательно,
существует матрица [ССТ]~1. Аналогичный результат получается и
для матрицы [GG^] при М > т.
Если линейно независимыми являются все функции х/5 Uj (i = 1,...,
и, j = 1, ..., m), то линейно независимыми будут и векторы аппрокси-
мирующих коэффициентов [сп...сш],..., [сп1...сп/п1, [£ц...£ш],...»
[gznl...gwlA/], представляющие собой строки матрицы
При М > и + т ранг матрицы К =
равен п*т. В соответствии
с известной теоремой из теории матриц [25] матрица [АХ7] является
положительно определенной и существует матрица [АХ7]-1.
Действительно, матрица [АХ7] будет положительно определена,
если Z'KlCZ > 0 для всех Z, Z # 0. Можно записать, что
n+m
ZTXXTZ = VTV = Y, Vj * °’
221
причем равенство достигается только при V = K?Z = 0. В силу линей-
ной независимости столбцов матрицы X7 условие K?Z = 0 выполняется
только при Z = 0.
Из изложенного выше следует, что решение задачи дается фор-
мулой (5.111) или (5Л12), причем матрица [КХ7] не особая.
Заметим, что приведенные выше формулы могут быть использо-
ваны для идентификации ММ самолета в частотной области. В этом
случае роль коэффициентов cz, gj играют коэффициенты представле-
ния функций xz(0, Uj(t) интегралом Фурье. С целью сведения задачи
обращения матрицы [КХ7] размерности (n+m)x(n+m) к обращению
матриц меньшей размерности можно воспользоваться известным
правилом обращения блочных матриц
сс„тх„ ССТ
GCT GG^
(ССТ)-1 + (CCT)-1CGTy'1GCT(CCT)“1
- V~l GC т (СС
(5.112)
- (CCT)’lCGTy-1
у-1
где
Vmxm = GGT - GCT(CCT)_1CGT.
Как уже отмечалось выше, существенным фактором, влияющим на
практическую целесообразность применения метода настраиваемой
модели, является скорость сходимости итерационного процесса поиска
экстремума функции многих переменных (процесса минимизации
критерия качества оценок). Необходимое число итераций для дости-
жения приемлемого качества идентификации и число вычислитель-
ных операций на каждой итерации существенно зависят от сложности
и размерности модели, структуры поверхностей уровня минимизируе-
мого функционала, выбранного начального приближения и выбранной
стратегии поиска минимума функционала, длительности интервала
наблюдения процессов. Опыт проведения практических расчетов
показывает, что необходимое машинное время может изменяться в
широких пределах: от нескольких секунд до нескольких часов.
222
5.5.	ИДЕНТИФИКАЦИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ ММ
Полная ММ движения самолета имеет существенно нелинейный
характер в первую очередь вследствие нелинейной зависимости
аэродинамических сил и моментов от параметров полета или эле-
ментов вектора состояния. Линеаризация модели существенно упро-
щает решение задачи идентификации при одновременном уменьше-
нии области применимости каждой линеаризованной модели. Значи-
тельно сокращается допустимый для модели диапазон изменения
переменных, характеризующих состояние и управление самолета, тем
самым сокращается объем экспериментальной информации, соответ-
ствующий каждой линеаризованной модели. В ряде важных практи-
ческих случаев при выполнении испытательных маневров, например
с выводом самолета на большие углы атаки, параметры движения
изменяются в достаточно широких пределах. Применение для таких
режимов одной линеаризованной модели, соответствующей линеари-
зации уравнений движения относительно некоторого исходного уста-
новившегося режима полета, является недостаточным, поскольку
такой модели удовлетворяют только отдельные участки изменения
параметров на интервале наблюдения. Применение совокупности
линеаризованных моделей, полученных с помощью линеаризации
модели относительно различных опорных траекторий, в рассматривае-
мом случае может привести к невозможности получения в одном
эксперименте достаточного для идентификации каждой из таких
моделей числа измерений параметров состояния и управления.
Решение задачи идентификации нелинейных по параметрам
моделей может быть выполнено в ряде случаев путем аппроксимации
нелинейных зависимостей выбранной системой базисных функций. В
качестве системы базисных функций будем применять степенные или
тригонометрические полиномы, сплайны и другие функции. Структу-
ра аппроксимирующей зависимости выбирается на основании анализа
априорных данных в виде нелинейных зависимостей, полученных при
продувках моделей самолета в аэродинамических трубах; обобщения
опыта ранее проведенных испытаний аналогичных самолетов; анализа
балансировочных зависимостей [27] или оценок нелинейных зависи-
мостей, найденных расчетными методами [4].
Рассмотрим в качестве примера модель продольного короткопе-
риодического движения, учитывающую нелинейный характер
зависимости продольного момента от угла атаки Mz=(p(a):
223
Да = Да + a12<oz + а13 Двв;	(5 П3)
со2 = ф*(Аа) + a22G>z + а23^в*
Зависимость ф*(Аа), полагая ф* (0) = 0, представим в виде
ф(Аа) = й21Аа + 522Аа2 + 623Аа3.	(5.114)
Систему уравнений (5.113) запишем следующим образом:
Аа = апДа + а12с^ + а13Абв;	(5.115)
Ч = 621Аа + а22^ + а23	+ ^22х1 + ^23х2’
где Xj = Да2; х2 = А а3.
Переменные х{ и х2 можно рассматривать как некоторые допо-
лнительные входные сигналы, действующие на линейную по пара-
метрам модель движения ЛА. Далее решение задачи идентификации
может выполняться любым из изложенных ранее методов идентифи-
кации линейной ММ. Предложенный подход существенно упрощает
задачу идентификации нелинейных моделей в случае, когда такое
представление нелинейностей допустимо. Следует, однако, отметить,
что при этом необходимо так организовать вычислительный процесс,
чтобы избежать случаев, когда решение задачи становится некоррек-
тным вследствие появления линейной зависимости между переменны-
ми состояния и управления. Такая зависимость возникает, например,
если действительная ’’истинная” модель, адекватно описывающая
поведение ЛА на интервале наблюдения, является линейной, т.е.
Ч = />21 Аа + а22<^ + а23Абв.	(5.116)
Линейная модель (5.116) является дополнительной линейной
зависимостью между переменными модели (5.115). Детально этот
случай был рассмотрен в разд. 1.
Рассмотрим подробнее представление нелинейной зависимости в
виде среднеквадратичного сплайна. В качестве модели движения ЛА
рассмотрим уравнения продольного короткопериодического движения
Да = -У“Да ♦ ч - Уд Д<₽;	(5 Ш)
gl = М®(Аа) Аа +	+ Л/./ах + А/фАф,
где М“(Аа) — нелинейная зависимость продольного момента от
приращения угла атаки Да = а — агп.
224
На основании анализа априорной информации весь диапазон
изменения А а разобьем, например, на два участка. На первом участке
эту зависимость будем считать линейной, на втором — представим в
виде полинома третьей степени по Да. Граничную точку, соответству-
ющую переходу от одного участка к другому, обозначим А а*. В
соответствии с методами сплайн-аппроксимации введем в рассмотрен-
ные условия сопряжения зависимостей в граничной точке. Такими
условиями могут быть, например, условие непрерывности зависимос-
ти в граничной точке, условия непрерывности зависимости и ее
первой производной в граничной точке, условия непрерывности
зависимости, ее первой производной и второй производной по t в
граничной точке. В соответствии с указанными случаями аналитичес-
кая запись аппроксимирующей зависимости принимает одну из
следующих форм:
1Й“(Да) = д10 + ЛпАа + Хп(Да - Да*) +
+ ^2 (Да - Да*)2 + Л"13(Да - Да*)3;
Мг (Да) = Z>2o * ^21	* ^22	“	(5.118)
- Да*)2 + ЯГ23 (Да - Да*)3;
Л/®(Да) = 530 + 531Да + ^(Да - Да*)3,
где
О при Да <. Да*,
кн =
Кц при Да > Аа*.
Рассмотрим случай, соответствующий третьему соотношению
(5 118). Для него ММ может быть записана в виде
Ла = -У® Да +	- УфД(р;
сд, = йзоАа + М*а +	+
+ Л/фД(р + й31Аа2 + *зз (Да - Да*)3Да.
225
Представим эту систему уравнений в нормальной форме Коши:
Да = -У® Да + (й, - УфА<р;
4 = <*30 " Y'M?) Да + (М? + J//) аи +
+ (Л?ф - У’М*) Дф + й31Да2 + К33(Да - Да*)3 Да.
Обозначим Да2 - (Да — Да*)3Да = х2. Параметры Xj(O и x2(t),
рассчитанные по результатам измерения угла атаки, можно рассмат-
ривать как дополнительные возмущения, действующие на линейную
систему уравнений движения. Предположим, что для решения задачи
идентификации выбран метод наименьших квадратов, при котором
параметры модели определяются из условия минимума суммы квадра-
тов невязок каждого из уравнений движения в отдельности. В этом
случае влияние нелинейности учитывается только во втором уравне-
нии системы. Запишем это уравнение в виде
Ч = а21Да + °22Ч + °23 ДФ + ^31Л1 + ^ззх2*	(5.119)
Составим матрицу системы уравнений метода наименьших квадратов
для этого соотношения по результатам А измерений, выполненных в
эксперименте, включающем измерение Да на обоих рассматриваемых
участках. Заметим, что последовательность моментов времени, для
которых записывается каждое из уравнений в методе наименьших
квадратов, может быть произвольной. Поэтому для простоты вначале
запишем все уравнения, относящиеся к первому участку изменения
a, а затем ко второму участку:
Да!	41	ДФ1	Х11	0
Дай	4»	дФп	Х1 п	0
Дап+1	4<л+1)	дФп+1	Х1 (п+1)	х2(п+1)
. *aN	4w	дФу	X1N	X2N
Система уравнений для определения коэффициентов модели
принимает вид
Q = Уа.
тде Q =	... d^]T; а = [a21 а22 й23 Й31 ^зз!Т- Формальное решение
задачи записывается в виде
& = [уту]-1гтй
Данный пример позволяет наглядно продемонстрировать некоторые
причины некорректности задачи идентификации, связанные с ошиб-
кой в выборе ММ. Пусть в эксперименте выполнен режим, для кото-
рого справедливо условие Да < Да* и, кроме того, М* = const. В силу
первого условия х2 « 0 и, следовательно, последний столбец матрицы
У равен нулю, т.е. матрица У* У вырожденная. Для этого случая
следует предварительно изменить модель, положив Х33 = 0, и исклю-
чить последний столбец матрицы У, т.е. принять, что матрица У
имеет вид
Да! 41	Дф!^!!
&aN 4N ДФпх1у
Второе условие М “ = const означает, что истинная модель имеет вид
Ч = а21Да + а22 Ч + а23 ДФ
и, следовательно, матрица У* У вырожденная. Для решения задачи в
рассматриваемом случае необходимо исключить из рассмотрения
последний столбец матрицы У, т.е. принять, что
Aat	ч 1 ДФ1
Дау 4# дФм
Аналогичная ситуация возникает и в случае применения других
методов идентификации, так как при наличии линейной связи между
переменными модели изменение одного из параметров модели может
быть скомпенсировано изменением других параметров.
227
226
5.6.	ИДЕНТИФИКАЦИЯ ММ
НА СКОЛЬЗЯЩЕМ
БАЗОВОМ ИНТЕРВАЛЕ
Определение параметров ММ может выполняться с различными
целями. Например, с целью моделирования объекта, для использова-
ния текущих значений параметров модели в системах управления,
подтверждения априорных данных об особенностях движения самоле-
та, их причинах и т.д. Во всех практически важных случаях конкрет-
ная ММ составляется на основании данных наблюдений, выполнен-
ных на конечном интервале времени. При переходе от одного интер-
вала наблюдения к другому принятая модель может корректировать-
ся, усложняться или упрощаться в зависимости от диапазона измене-
ния параметров движения на интервале наблюдения, вида возмущаю-
щих сигналов, изменения условий проведения эксперимента и т.д.
Поскольку задача идентификации параметров ММ движения
является по существу задачей аппроксимации переходных процессов
системой функций, являющихся решениями выбранной для иденти-
фикации системы дифференциальных уравнений, ясно, что на не-
больших интервалах времени наблюдения переходных процессов
часто можно рассматривать более простые линейные по параметрам
модели. Полученные в результате частные модели могут быть либо
непосредственно использованы в задачах исследования динамики и
системы управления, либо служить исходным материалом для постро-
ения более полных ММ, относящихся к более широкому изменению
параметров полета самолета.
Пусть поведение самолета описывается системой уравнений
х = Ф(х, и, t),	(5.120)
где х — вектор состояния; и — вектор управления; t — время.
Рассмотрим изменение состояния на некотором интервале времени
Т е бч-ml» содержащем 2m + 1 измерения каждого параметра.
Предположим, что величина интервала Т выбрана так, что систему
уравнений (5.120) можно представить в линеаризованном виде
Ху = [А у В у]
Ху
Uy
+ Т|у .
(5.121)
Здесь Ат и Вт — матрицы коэффициентов линеаризованной системы
уравнений; т)у — вектор ошибок. Элементы матриц Ат и Вт будем
считать постоянными для каждого интервала Т и относить их к
моменту времени /г, соответствующему средней точке интервала Т.
228
В качестве метода идентификации выберем МНК, при котором пара-
метры модели оцениваются из условия минимума суммы квадратов
невязок каждого из уравнений системы (5.121) для наблюдений,
выполненных на интервале Т. Для z-ro уравнения можно записать
2m + 1 соотношений
STt = утрт^г^ +
(5.122)
где STi « [jfz(rr.m) ... #i(tr¥m)]'T — вектор оценок производных;
Ст (Гг) s [tfzl(*r) ... ^Zn(rr)Jn(zp ... Ан(Гг)]т — вектор коэффициентов
z-го уравнения, отнесенный к моменту времени tr:
х\^г-т> ••• хп^г-т) и1^г-т) ••• икРг-т>
х1^г+т) ••• хп^г+т> и1^г+т^ ••• ик^г+т>
— матрица измерений параметров состояния и параметров управления
на интервале наблюдения 7;	= [£z(fr.w) ... 5/<^ч-т^Т вектор
ошибок уравнения, обусловленный погрешностями измерений и
неточностью модели.
В качестве критерия оценивания выберем
СТ (tr) = arg min
1	cTi
где « ST — YTCT(tr) — вектор невязок уравнений; WT = V? VT —
весовая матрица.
Введем в рассмотрение новые переменные
ZT = V'pYj'j = Y'pS'p,
Для сокращения записи индекс z, обозначающий номер уравнения
системы (5.121), будем опускать, а использовать его для обозначения
первой точки интервала наблюдения. Индекс j условимся в дальней-
шем использовать для обозначения последней точки интервала на-
блюдения. При принятых обозначениях число измерений на интерва-
ле наблюдения N - j — i + 1, а индекс средней точки интервала г =
229
e (i + j)/2. В случае необходимости число точек на интервале наблю-
дения условимся обозначать верхним индексом N.
Используя принятые обозначения и известное решение для оцени-
вания параметров методом наименьших квадратов, можно записать
CrN -	(5.123)
Формулу (5.123) положим в основу построения алгоритма оценивания
при увеличении, уменьшении или сдвиге по времени интервала
наблюдения, т.е. рассмотрим задачу оценивания параметров фикси-
рованной математической модели на скользящем базовом интервале
переменной длины. С целью упрощения алгоритмов воспользуемся
методом вычисления обратной матрицы при изменении интервала
наблюдения, использующим результат обращения матрицы на исход-
ном интервале наблюдения.
При увеличении интервала наблюдения на одно измерение к
элементам матрицы Ztj добавляется строка
аг+т+1 = ^1	+ P •••	+	•
К вектору Pt j добавляется элемент = Р(^т+1). При этом
интервал наблюдения увеличивается на величину Дг, а средняя точка
интервала сдвигается на Дг/2.
Оценка коэффициентов может быть представлена в виде
- rz т z 1”^ZT Р	(5.124)
cr + l/2	zi,/+14/+r
Для случая сдвига интервала наблюдения на одно измерение можно
записать
N _ гут у ,-1уТ р	(5.125)
Применяя лемму об обращении матриц [21], получим
Q. г~т „	1-1	Qi,j°r +m + l ar+m + l Qi,j
W+l = IZi,/+1Zm + 1j = Of,/ ~	»
230
Q/+1./+1 = fZiIl,/+lZi+l,/+ll 1 = б/J+l “
Qi J+1 ®r -m ar - m Qi J+1
—  ", ......... ....... ,
ar-mQi,j+lar-m ~
где
QiJ ~	*» “r+m+l ~ lZl^r+m+P,,,Zn+Jp*r+m+pl
— строка, добавляемая к матрице Z при увеличении интервала на Д?
справа; <£_т = [Z1(tr.m) ... Zre+jfe(fr_m)] — строка, исключаемая из
матрицы Z при уменьшении интервала на Af слева.
Таким образом, при последовательном увеличении интервала
наблюдения оценки параметров модели определяются по формулам
- Qij^Ap
aN+1
cr + l
Q, j
+ 1 _ n* + lzT	. nN+l _
1/2 “ Ц*,/+1Л\/+1< ij+1’	“
T nN
2/,/+ l ar+m+i2/,/ #
аг+т+1бм«г+т+1 + 1
Vf,7+2Zi,/+2^,/+2’ ^i,/+2 “
т	+ 1
ar+m+2ar+m+2*^i,/+l
cr + l “
- ON + i
^U+l
т
ar+m + 2*4,/ + l Of+m+l
При последовательном исключении наиболее ранних измерений
параметры модели оцениваются по формулам
Сг-1/2 -	Ц- + 1,7 ““
N т N
0N QiJ ^r-m^r-mQiJ .
~ ~	7’
^r-mQiJ “r-m " 1
231
При увеличении, уменьшении или сдвиге интервала наблюдения для
идентификации параметров выбранной ММ следует иметь в виду, что
изменение интервала может привести к увеличению ошибок оценива-
ния параметров или к вырожденности задачи. Поэтому необходимо
определять степень обусловленности матриц Q/y., дисперсию и смеще-
ние оценок коэффициентов, например с помощью известных соотно-
шений [23, 25].
5.7.	ИДЕНТИФИКАЦИЯ ММ
В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
Основой для построения ММ движения самолета могут являться
как наблюдаемые в полете изменения по времени параметров состо-
яния и параметров управления, так и результаты преобразований,
выполненных над полученными в эксперименте зависимостями пара-
метров от времени. Одним из видов преобразований, применяемых к
экспериментальным данным, является преобразование Фурье, с
помощью которого можно перейти к рассмотрению комплексных
спектров измеренных зависимостей и частотных характеристик
самолета, связывающих изменение входных и выходных сигналов в
заданном диапазоне частотного спектра сигналов. Частотные харак-
теристики могут служить основой для построения ММ самолета и
оценивания параметров выбранных моделей. Одним из преимуществ
частотных методов является возможность рассмотрения выбранной
ММ для заданного диапазона частот (т.е. разделение ММ по частотам
входных сигналов). В случае, когда полезный сигнал и помеха разне-
сены по частотам, разделение ММ по частотам позволяет уменьшить
влияние помех на результаты оценивания.
Следует заметить, что частотные характеристики сами являются
хорошим описанием линейных динамических систем в обобщенной
форме и могут использоваться для исследования в полете динамики,
систем управления, поведения пилота как элемента замкнутой систе-
мы управления и т.д. При рассмотрении частотных методов иденти-
фикации ММ будем задавать либо в виде системы линейных диффе-
ренциальных уравнений, либо в виде передаточных функций, связы-
вающих каждый ’’вход” объекта с каждым ’’выходом”.
Пусть ММ самолета имеет вид
х = Ах + Ви; х(0) « х01;
- х(Л) при t £ Т,	(5.126)
x(t) =
х(Т) при t > Т;
А =	& =
Применим к обеим частям системы уравнений (5.126) преобразо-
вание Лапласа
Z[x] = Л£[х] + BL[u].
Полученную систему уравнений преобразуем к виду
[рЕ - A]L [х] = BL [и] + х0.
Полагая р s /со, получим
(/ cojE - А) х (i со) = Bu(ito) + х0,	(5.127)
тде х (/со) и и (/со) — комплексный спектр откликов ЛА х (/) и входных
сигналов и (/). Систему уравнений (5.127) можно положить в основу
оценивания элементов матриц А и В. Для каждого из уравнений
системы (5.127) составим свою систему уравнений, задавая последо-
вательность значений частоты coz (Z = 1, ..., М) и вычисляя для этой
последовательности частот комплексные спектры сигналов х;(/) (/= 1,
..., и) и ur(t) (r = I, ..., М).
В качестве примера рассмотрим систему уравнений, соответству-
ющую /-му уравнению системы (5.127):
(/coz - aj^Xjd^^ - ЯдХ^/сор - ... -
"	- а/(/ + 1)д7+1- 	(5Л28)
- aynx,t(icop = bjlul (г со,) + ... +
+ йутиш(1(|>/) + Xy(0), I = 1, ..., M,
которую можно представить в виде
/ЦТ. (<*>,)	Z Фж <<•>/>
+ - + ajnAx„^e "
+ ... + bjmA (Ш[)е Vum( + х.(0) +
/(ф„.(й)7) -тс/2
+ cozAx (<oz)e 1	= О, I = 1, ..., М.
(5.129)
233
Слагаемые в системе уравнений (5.129) представляют собой векто-
о	тт	л (<>/) 'Флх,
ры в комплексной плоскости. Например, слагаемое а^Ах^ е *	—
есть вектор, длина которого равна ajkAx а направление харак-
теризуется углом <рх* (<>/), отсчитанным от действительной координат-
ной оси. Уравнение (5.129) допускает простую геометрическую
интерпретацию. Векторы, входящие в уравнение (5.129), образуют
векторный многоугольник. Каждому векторному уравнению системы
(5.129) соответствуют два скалярных уравнения, представляющие
проекции векторного уравнения на оси координат или на какие-либо
два направления, выбранные в комплексной плоскости. Выбор рацио-
нальных направлений проектирования может быть осуществлен на
основании рассмотрения векторного многоугольника. Если ограни-
читься рассмотрением проекций уравнений на ортогональные направ-
ления, то изменение направлений, на которые проектируется вектор-
ное уравнение, может быть выполнено умножением каждого слагае-
мого уравнения (5.129) на , что соответствует повороту осей
координат на угол фу((0/).
При наличии ошибок в оценках комплексных спектров сигналов
соотношения (5.129) выполняются приближенно:
т z ч ИФХ (<>/) +♦/(*/)]
адЛХ1(Ш/)е	+... +
X < ч	+♦/»/)]
+ аупЛХл(Ш/)е	+
+ Mu,(“z)e	+- +
_	♦♦/«,)]	(5.130)
+ Xj(0)	(coz) х
1[фЛ (о,)+<(«,)-к/2]
х е 7	7	= Ае (coz) х
х	. !, .... м.
234
Проектируя эти уравнения на оси координат, получим систему из
двух уравнений
а;1ЛХ((й>/)со5[фХ|(<о/) + ify(coz)] + ... +
+ a/n^(<o2)cos ($^((oz) + ity(coz)] +
+ bjXAu (coz)cos [ф^ (coz) + ty(wz)] + ... +
+ A/m^um(“/)cos[VUm(“/> + */<“/>] +
+ Xy(0)cos [i|y(coz)J + wzA^(wz) x
x cos[$^(<oz) + ity(cop - it/2] =
= A^ (cop cos [ф^ (coz) + ф,(<oz)];
ayl/x(<oz)sin[^x(cop + i|ry(coz)] + ... +
+ ajnAx^(.u>l)sin [$X/i(coz) + i|^(<op] +
+ b^A (<£>[) sin [фИ| (cop + ify(coz)] + ... +
+ bjmAum sin l$um <“Z> +	(wZ>] +	(5Л31)
+ Xj(0)Ax (<oz)sin [l|Ty(G)Z)] + (^lAx ((Jil) X
x sin [фх (gjz) + i|^(g)Z) - k/2] = A^ x
x sin [ф£ (wz) + ^.(toz)]; I = 1, M.
Множитель , определяющий направления, на которые проек-
тируются векторы, входящие в уравнение (5.130), может быть выбран
так, чтобы один или несколько векторов, связанных соотношением
(5.131), были ортогональны направлению проектирования. При этом
уменьшается число одновременно оцениваемых параметров системы
уравнений (5.130). Если число уравнений (5.130) М больше т + п,
т.е. числа коэффициентов Ьд, то решение задачи может быть
выполнено методом наименьших квадратов. Например, для М уравне-
ний (5.130) можно записать решение в виде
Су = [Л ТЛ]ЧЛ TZ,	(5.132)
где
Су = [flyi ••• а]пР]\ ... bjm] ;
235
Z = -|xy(0)COSlty(<op + (OjA^ (top COS [фх (wp +
+ ty(o>p - it/2], ..., x^O) cos +
+ “a/A/“a/)cos[<Px/“m> +	~ T-
A =
/^(upcos [фХ|<(>>1)+^(а>1>] ... /^(copcos [<pX|(<op+i^(<i>p]
/^(o^COS [ф^ШдР+^ЫдР] ... X^(G)M)cos [<p^(wM)+^.(wM)]
Ли (o>p cos [<pn (top+i|t((i>p] ... Au (copcos[<pu (cop+i|r (<op]
I	1	*	m	mJ
^U1<“A/>C0Sl<PU<“A/)+t7(“A/)] - Л <WM>COSI^
Если предварительно оценена матрица частотных характеристик
самолета, то для каждого из элементов вектора управления для /-го
уравнения системы (5.128) можно записать свою систему уравнений.
Например, для управления по £-му ’’входу” система уравнений
принимает вид
а711^1/*<“/> |е'ф,/*<<‘)') + ... + ajn\ Wn/k^i> | х
х е'<₽я/*<“/) + b_k + Ш/1	(Ш/) | х	(5.133)
х	= E.k(u>i)f t в b
ИЛИ
ajn I	Iе	(5 134)
bj/.e^ + Ш/|1К/д(а5/)|в'‘[^(“')+^(“')'гс/2] =
= е^(ы7)ег*7<<0/), I = 1, ..., M,
где | Й<д (о>р I — оценка амплитудной частотной характеристики ЛА
от £-го ’’входа” к /-му ’’выходу”; фу^(сор — оценка фазовой частотной
характеристики от Л-го ’’входа” к /-му ’’выходу”.
236
Проектируя векторные уравнения (5.134) на координатные оси,
получим систему уравнений для оценки коэффициентов ау1,
a/7i’ ^jk'
Решение системы может быть выполнено методом наименьших
квадратов по формуле, аналогичной (5.132). Системы уравнений
могут быть составлены для различных к (различных ’’входов”). В
результате их решения получаем набор решений для /-го уравнения
исходной системы
L (к) п Ш , I , _ j
р/1 ••• ajn > °jk] ’ *	т'
Оценки коэффициентов ау1 ... ajn могут быть осреднены по к:
aji
1 V я™
— Е ал *
тк-Л
i = 1, ...» п
с целью уменьшения их дисперсии.
Аналогичные расчеты выполняются для каждого /-го уравнения
исходной системы уравнений (5.128). При определении частотных
характеристик самолета оцениваются дисперсии амплитудной и
фазовой характеристик. Оценки дисперсии частотных характеристик
могут быть использованы для определения расчетных значений
дисперсий оценок коэффициентов ау /.
Частотные характеристики могут быть использованы для оценки
коэффициентов передаточной функции. В этом случае ММ, связыва-
ющая изменение /-й переменной с воздействием по £-му ’’входу”,
записывается в виде
лу<и)(0 + ln-ixjn'iy^ + - + loxj^ =
= стиктУ^ + - + с0ик^‘
Передаточная функция выразится формулой
W (г* = cmpm<...+ciP+c0
j/k рп+1п_1Рп~1+...+llp+l0
(5.135)
(5.136)
237
При р = йь получим
w ч cm(ico)m+...+q(ico)+c0
^//zt^co) = --------------------------------
(zco)”+Zn_1 (zco)”"1 +...+Zj (zgo) +Zq
(5.137)
Отделяя действительную и мнимую части в формуле (5.137), получим
два соотношения, каждое из которых зависит от параметра <о. Задавая
последовательность значений 6 {«j ... со^}, составим систему 2М
уравнений относительно вектора коэффициентов модели передаточ-
ной функции q  [cw ... Cq 1пЛ ... Zq]t. В качестве примера запишем
эту систему для частного случая, когда п — четное число, а т —
нечетно число:
со - й?с2 + СО4 С4 + ... (-1) (n,-1^2Cw_ j cJ”'1 =
= l0 I Wjlk <®> 1005 ф//*:<®> - l\ “I Wjlk <“> I x
x sin<py/jfc(<o) - Z2Gl?| И^/л(<о) |cos<py/jt(w) +
+ Z>3 a»3 | (co) | sin (to) + Z4co4 x	(5.138)
X I И'уд(со) |cos<py/jfc(w) - Z5c/| Wj/k(to) I X
X Sin<fj/k(co) + ... + (-l)"/2Zn_1cJt'1 I Wj/k(to) I X
x sincpyy^(co) + (-l)n/2c№ | Wj/k(to) |cosq>y/£(co);
Cj - C3CO3 + C5<^ - C-jJ + ... + (-l)(m-1)/2 X
x	|sin<py/jt(co) +
+ Zj co| Wj/k(to) |cos<py/^(co) - Z2tt? x
x I Wj/k<®> Isin Ф//Л <“> " l3 I ™Цк(to) I x
X cos <py/jfc (co) + Z4 co4 I Wj/k (co) I sin ^j/k (co) +
+ Z5c/1 Wj/k(to) |cos<py/^(co) + ... + (-I)”''2 x
x ln-\ to"-1 I wj/k <w) Icos Ф//Л <“> *
+ (-Dr,/2cJt|lF//jfc(w) |sin<py/jt(co).
Введем обозначения: Cj/k(to) = |Иу/Л(со) |cos <py/^(co) =Re Wj/k(ito) —
действительная часть частотной характеристики; Sy^(co) =
= |Жу/^((|)) |sin фуд(со) = Im	— мнимая часть частотной ха-
рактеристики. Записывая уравнения (5.138) для последовательности
238
Рис. 5.1
значений юг е [wj ... gom] и подставляя в них оценки суд(сог) и
Sy/^(G)r), получим систему 2т уравнений относительно элементов
вектора q. Решение системы может быть найдено методом наимень-
ших квадратов. Другой способ определения элементов вектора q
основан на аппроксимации амплитудной частотной характеристики
|Ж/Д (со) |, полученной в эксперименте, ее аналитическим выражени-
ем (рис. 5.1). Расчетные схемы оценки коэффициентов передаточных
функций подробно изложены в работе [6]. На рис. 5.1 приведены
зависимости расчетных 1 и экспериментальных 2 амплитудных и
фазовых частотных характеристик самолета Ту-154 на режиме Н =
= 560 м, М = 0,3; хт = 30,2 % САХ; реверс тяги.
5.8.	ОСОБЕННОСТИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
ЭРГАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.
ПРИМЕРЫ ВЫРОЖДЕННЫХ ЗАДАЧ
Идентификация ММ замкнутых эргатических систем управления
по сравнению с идентификацией ММ движения самолета представ-
ляет собой более сложную задачу. Отклонение управляющих повер-
хностей самолета системой автоматического управления при выпо-
239
лнении летчиком испытательных маневров приводит к усложнению
ММ, используемых для идентификации. Наблюдается более сильное
влияние погрешностей измерений и неконтролируемых возмущений,
действующих на самолет, на точность получаемых оценок параметров
ММ. Усложнение ММ увеличивает вероятность появления ошибок в
выборе структуры упрощенной модели. Может возникать кажущееся
изменение структуры модели, вызываемое видом входных возмуще-
ний, подаваемых летчиком на органы управления при выполнении
испытательных маневров. На определенных участках интервала
наблюдения движения самолета при выполнении испытательных
маневров может возникать линейная или близкая к линейной зависи-
мость между параметрами состояния и управления.
Приведем несколько простых примеров.
Пример 1. Рассмотрим ММ продольного движения самолета
V = A U?P„cosa - 2?pvsina];
т	у
Н = y(sin(> cosa - cosO sina);
(5.139)
a = Ч ’ Ursina + Rz
mV	y
cos a],
6 = coz; wz = Mz/Iv
где R^y — проекции главного вектора сил, действующих на
самолет в полете.
Полагая изменения параметров малыми и линеаризуя уравнения,
получим систему уравнений
Aa = an Aa + coz + a13AO + a14AP + а15АЯ + a16A6B;
<bz = a21Aa + a22<oz + a23AO + a24AV + а25ДЯ + a26A6B;
6 = coz;
(5.140)
ДР = a41Aa + a43A0 + a44AV + a45 AH + a46AdB;
кН = Aa + tZj3 AO + tZj4 AV.
Преобразуем эту систему к виду, соответствующему определению
передаточных функций. В результате получим уравнения вида
240
+ qx/0 + cQXj = />4Дв<4) +	+
+ ь2ы™ + b^" + M«B> j = 1> •••> 5-
(5.141)
Предположим теперь, что при выполнении режима продольного
движения в полете изменения ДЯ и ДУ были пренебрежимо малы и
а
исходным режимом являлся горизонтальный полет (а13 » — _ х
^0
х sin 0О - 0, а23 9 М*— sin 0О = 0) и, следовательно, система урав-
VQ
нений приводится к виду
Да = лиДа + <oz + а16Ддв;
&>z = а21 А® + a22^z + a26^B-
Выполняя аналогичные преобразования, получим
х/2) +	с^х™	+	с0*Х!	=	+ й01Двв;
„ (2) +	с *х(1)	+	с ’х	-	b	* ДЛ(1)	+ b * Д5	(5.142)
Л2 +	Cj Х2	+	Сф Х2	-	012ДОВ	+ 002ДОВ,
где Xj = Да; х2 =	g>2.
Пусть для идентификации выбрана модель (5.141), тогда соотно-
шения (5.142) можно рассматривать как линейную связь между
переменными, входящими в уравнение (5.141) (т.е. х/2), х/1\ хр
Д6ВП, Дбв, а также х2(2), х2 °, х2, Дбв° , Ддв — линейно зависимые
функции времени). Поэтому модель (5.141) является особой. Коэф-
фициенты модели (5.141) не идентифицируются.
Пример 2. Пусть линеаризованная модель движения самолета
имеет вид
х = Ах + Ьи\ х = [x.]„xi;
1 п 1	(5.143)
=	~ №ir]n*nr
241
Предположим, что система управления функционирует так, что
выполняются соотношения
х - Gu, G -
(5.144)
т.е. органы управления отклоняются пропорционально изменению
вектора состояния. Тогда можно записать
х = (AG + В) и,
(5.145)
т.е. идентифицируются не коэффициенты уравнений (5.143), а эле-
менты матрицы (AG + В).
Дифференцируя (5.144) по времени и подставляя результат в
(5.145),	получим
Gu = (AG + В) и.
(5.146)
Таким образом, вектор управления и удовлетворяет системе линей-
ных дифференциальных уравнений с начальными условиями
хо = Guo-
Справедливо и обратное утверждение. Если управление ЛА удовлет-
воряет системе уравнений
Gu = (AG + В) и; х = Guq,
(5.147)
где G — произвольная матрица из постоянных элементов, то имеет
место линейная зависимость
х = Gu.
(5.148)
Из приведенных примеров следует, что перед тем, как выполнять
расчеты по оцениванию коэффициентов принятой ММ, необходимо
убедиться, что на интервале обработки наблюдаемые в эксперимен-
те переменные состояния и управления являются линейно незави-
симыми.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что если неко-
торая система функций Xj(Z), x2(t),..., xn(f), u{(t), u2(t),..., uni(t) яв-
ляется линейно зависимой на интервале t € [70, tN], то определитель
Вронского для этой системы функций тождественно равен нулю:
242
W(x, и) =
Х1	••• хп	и1	... ит	
(1)		(1)	, (1)	
•Х1	хп	"1	... ит	J5.149)
(n+m-1)	(n+m-1)	(n+m-1)	(n+m-1)
*1	... Xn	... Um
S 0.
Управление и (0, для которого выполняется условие (5.149),
будем называть в дальнейшем особым управлением. Например,
для системы уравнений (5.143) особым будет управление и =
« [Xj sincoZK^ sincoZ	При таком сигнале W (х, и) будет
иметь два линейно зависимых столбца, и, следовательно, W (х, и) =0.
Из вида определителя W следует, что если для первой строки
определителя выполнено условие
<V1 + с2х2 + ... + спхп + с„+1Ы1 + ... + сп+тит = 0,. • (5.150)
то выполняются и соотношения
сх(1)+сх(1) +	+сх(1)+с	п(1) +	+ с и(1)=(У
+ С2Х2 +	+ спхп + сп + 1и1	+ ••• + сп+тит и’
_ „(п+т-1)	(n+m-1)	(n+m-1)	(5.151)
С1Х	+ С2Х2	— спхп
(n + m-1)	(n+m-1) А
+ cn + l"l	+ ••• + cn + mMm	=о-
Из (5.151) следует, что элементы любого столбца определителя W в
рассматриваемом случае могут быть выражены в виде линейной
комбинации других столбцов W.
Из вышеизложенного можно сделать вывод, что управление и (Г)
будет особым, если выполняются соотношения
х = Ах + Ви; х (0) = х0;
[хт иТ]С =0; С = [cP..cn+m]T.
(5.152)
Соотношения (5.152) можно рассматривать как систему уравнений
относительно функций хим. Если на заданном интервале t е [Zo, tN]
существует решение этой системы, то управление и (/), найденное из
ее решения, будет особым.
243
Для решения системы применим преобразования Лапласа к обоим
уравнениям:
(р -	(р) - а12х2(р) - ... - а]пхп(р) “
-bllUl(p) - blmum(p) =Xj(O);
"	- an2x2<P> + <P "	“
- bnlux(p) - ... - bnmum(p) = x„(0);
(5.153)
CjXj(p) + c2x2(p) + ... + cnxn(p) +
+ C„ + iMl<P) + - + cn+A<P> “ °-
Систему уравнений перепишем в виде
(р - вц^ф) - а12х2(р? - ... - аХпхп(р) -
- Ьххих(р) = х^О) + й12и2(р) + ... + ЬХтит(р):.
~ ап1х1^ ~ ап2х2^ + - +	- ann)xt№ ~
~ Ьп\и\^ = хп<°> + Ъпг1^ + - + Ьптит(Р^
(5.154)
qX^p) + с2х2(р) + ... + спхп(р) +
+ сп + 1«1(р) = - сп^2и2(р) - ... - С,^тит(р).
Рассмотрим (5.154) как систему уравнений относительно
(р), х2(р), xfl(p), uY(p).
Если найдутся одновременно не равные нулю коэффициенты
такие, что определитель системы отличен от нуля, то решение
системы существует.
Определитель системы уравнений (5.154)
(рЕ - А) 5(1)
р (1) Т	р
с	сп + 1
(5.155)
где С(1)т= [<?! ... с„]; 5(1)т = [— />н ... — Z>nIJ.
244
где
Д1 =
Решая систему уравнений (5.154), получим
q(p) =	х2(р) =	Х«(р) =	“1(р) ° —Т-’ (5Л56)
д	д	д	д
•	т		
Xj (0)	+ Е b\ju№ j-2	-<212	—	~aln
	tn		
х„(0)	+ £ bnjuj^ j~2	~an2 —	^P~ann) ~bnl
т			
. Л2	"n+ju№	c2	cn	cn + l
	(р-Лц) -a12 ••		*1 (0) + £ bijUj(p) j-2	Ai
&n =	~anl	~an2 -	M  xn(.O)bnjuj(p)	"bnl
	cl	c2	’	“53 cn+juj^p} J=2	cn + l
	(р-Яц) -я12 ...	~ain q<°>	+£ hjUjip) j = 2
Ад + 1	~anl	~an2 q	c2	<P-“nn) xn^ m cn	' j^2	+ £ bnjuj^ / = 2
245
Выражения (5.156) полностью описывают особые управления uY(t) на
интервале [Zo, ^]. Аналогично решается задача и для управлений по
другим ’’входам” объекта. Характерной особенностью является их
зависимость от начальных условий х (0). Полагая в выражениях
(5.156) коэффициенты Cj (кроме сн+1) равными нулю, получим раз-
личные особые управления Wj(/), соответствующие линейным зависи-
мостям между различными переменными состояния объекта.
В качестве примера рассмотрим объект, поведение которого описы-
вается системой из двух дифференциальных уравнений. Причем на
"вход" системы действуют два управляющих сигнала. Условия
существования особого управления могут быть записаны в виде
•й = ЙЦ.Г! + а12х2 + ц + 612«2;
*2 = «21 **1 + а22х2 + ^21 «1 + ^22 «2’
«1*1 + С2Х2 + сЗи1 + с4и2 = °-
Применяя преобразование Лапласа, получим систему уравнений
Р~а\\ ~а\.
"«21	Р-«22
«1 с2
“^11		*1	
_^21			i = 1
«3		«1	1 1
л'1 (0) +6l2u2
X'y(0) + 22и2
~с4и2
относительно хр х2, и}.
Если существуют с- такие, что
А = det
Р~а\\ ‘«12	-^11
-«21	р~а22 ~Ь2\
* о,
«1 с2 с3
то существует особое управление М|(/). Ему соответствуют x{(t) и
х2(1)- Преобразование Лапласа для этих сигналов может быть опре-
делено по формуле
246
хг(р)		Р'ап
х2(р)	г:	
и^р)		С1
’а12	~й11
Р~а22 ~^21
с2 с3
-1
х^О) +bi2u2(p)
*2<0) +Ь22и2(р)
-с4и2(р)
Рассмотрим частные случаи особых управлений. Пусть u2(f) = О,
тогда
-1
Х1(р)		Р~а\\ ~а12	"^11		Xj (0)
Л-2(р)	=	-а21	р~а22 ~t>2i		х2(0)
«1(р)		С1	с2	с3		0
и
-р [c2x2(0) +clx1(0)] +с2- [a^XjCO) +
^(р) = --------------------------------------
сър ~Р [с3 («!! +а22) -с2 b2l -q b{ j ] +
+a11x2(0)] +q [-а12х2(0) +а22х1(0)]
+с3(а{{а22-а12а2{) +с2(а21йи -ац&21> +С1 ^12^21 "а22^п^
т.е. особое управление должно быть согласовано с начальными усло-
виями.
Пусть Xj(O) = л'2(0) = 0, тогда
Xi<p)		р-ац -aj2 -Z»n	-1	^12	
х2(р)	=	-й21	Р~а22 “^21		^22	М2(р).
их(р)		С1	с2	с3		. "С4	
Не нарушая общности, можно положить с4 = — 1. Особое управление
Mj(p) в этом случае определяется по формуле
247
Р2~Р [<2ц+а22+^2^22+с1^121 +	й22“а12а2р +
и{(р)=-------------------------------------------- ... -
с3р +р [с3 (а{ i +а22) ~с2b2i -q ^} ] + [с3 j а22 -
+c2^flll ^22"а21 ^\1) +сНй22^12“а12^22^ z ч
*- ... -----------------------------------------и2(р).
~а12а2р +С2^21И1 ~а11 ^2р +СЛЙ12^21 ”a22^iPl
Наряду с моделями движения самолета в виде систем дифферен-
циальных уравнений часто применяются модели в виде одного диффе-
ренциального уравнения, связывающего изменение интересующего
параметра с изменением входного сигнала, например уравнения вида
x(t) + a{x(t) + Oqx(Z) = bu(t).
Для рассматриваемого уравнения можно показать, что особое управ-
ление, приводящее к линейной зависимости между переменными
x(t), х (t) и и (/), должно удовлетворять дифференциальному уравне-
нию
й(1) + ^m(Z) + %и(1) = 0
с начальными условиями
и	й = ^0’
где 8^ и &q — произвольные постоянные коэффициенты, а начальные
условия на управление и йц должны быть согласованы с начальны-
ми условиями х0 и х0:
«о = Т	+ хо(ао -^>1;
о
«о =	”^0 + а0> ”	•
Для дифференциального уравнения л-го порядка
248
x(n)(f) = £	+ 52 an+/w^)^*
(5.157)
Определитель Вронского для переменных состояния и управления
принимает вид
x(t)
х(1)(0
х (и-1)(0
W(t) =
u(t)

uin+m\f> ...	u(n+2m4t)
Равенство его нулю является условием существования особого управ-
ления. Управление и (Z) будет особым, если выполняются соотноше-
ния
x(n)(0 =	+ £ an+ju^(t)-,
° = 52	+ Е
(5.159)
х (0)(0 = х(0; с0 = 1.
Можно показать [23], что особое управление для уравнения (5.159)
должно удовлетворять дифференциальному уравнению
u(n+m)d)	+ ... +У0и(О =0	<5Л60>
с начальными условиями, согласованными с начальными условиями
для х\
249
n + m-l
xo - 2^, bi uo >
/o
(n-i)
x0
n+m-1
«0м.
(5.161)
, (0)	, (n-l)	1.
где bj , ..., b.	— некоторые постоянные коэффициенты.
Уравнения (5.161) накладывают п связей на выбор начальных
условий для управления. Всего начальных условий (и + т — 1).
Особое управление и отвечающее ему состояние самолета опре-
деляются из совместного решения системы уравнений (5.159). Ее
удобно представить в операторной форме
х	52	aiP1	+	52	ап^рJ	=	pi
i=0	у-0
*(р) $2	cip	‘+	52	сп^р‘	=	Qi(p>>	(5.162)
2 = 1	/=0
где
п	i-1	т	J-1
Р,(р> - £ «,£
1 = 1	/=0	/-1	/=0
n-l i-1
aw  Е е,Е *
i = 1 р = 0
М	j"1
* Е ««./Е 4	 -1-
/=1	2=0
Подробный анализ частных, практически важных случаев появления
особых управлений при анализе материалов эксперимента рассмотрен
в работе [23].
При решении задачи идентификации ММ замкнутых систем уп-
равления следует иметь в виду, что при наличии погрешностей
измерений ошибки идентификации будут возрастать при приближе-
нии управляющих сигналов к особым вследствие плохой обусловлен-
ности задачи. Поэтому необходимо проводить оценку обусловлен-
ности задачи для каждого испытательного маневра.
250
6. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ мм
ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА НА ТОЧНОСТЬ
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Оценивание параметров является составной частью общей задачи
структурно-параметрической идентификации, и выбор структуры ММ
и определение параметров взаимосвязаны. К числу наиболее сущес-
твенных факторов, влияющих на точность оценивания параметров,
можно отнести:
неточность задания структуры ММ движения самолета;
вид управляющего воздействия в испытательном режиме;
число и перечень измеряемых параметров; частоту регистрации;
точностные характеристики информационно-измерительных систем;
длительность выборки, принятой для обработки;
ММ возмущающих факторов; турбулентность атмосферы; измене-
ние аэродинамических характеристик, обусловленное нестационар-
ностью обтекания воздушным потоком, нелинейностью характеристик
при полете на больших углах атаки, обледенением частей самолета,
упругостью элементов конструкции.
Влияние этих факторов на точность параметрической идентифи-
кации целесообразно определить с помощью численного моделирова-
ния условий проведения эксперимента и этапов обработки результа-
тов эксперимента. Движение самолета можно моделировать решением
уравнений возмущенного движения на ЭЦВМ, а результаты измере-
ний и действие случайных элементов в системе — с помощью подпро-
грамм реализации случайных чисел с заданным законом распределе-
ния и известными численными характеристиками. В качестве ММ,
описывающих движение самолета, традиционно применяются системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, вид которых выбирает-
ся в зависимости от вида моделируемого движения, наличия и отсут-
ствия внешних возмущений, а также цели выполняемого численного
эксперимента. Так, например, при исследовании зависимости точнос-
ти идентификации характеристик самолета от точности измерений
используются уравнения короткопериодического движения вида
а = со - —1— [Psin(a + ср») + cvaqS - mgcos(0 - a)];
mV	y
(6.1)
“>z = 4- <mz<7Si>A " РУр) ’	* = “z’
•* т
251
где
V = const; Р = const; Н - const; т = const;
суа “ суа^ + суа + суа +
mz = mz(a) + mz бв + mz oi + mz а;
зависимости суа(а) и mz(a) заданы; коэффициенты с су‘, суа,
б.	“х 5
mz , mz , mz заданы и постоянны.
Для моделирования бокового возмущенного движения использу-
ются уравнения
Р = corsina + со,, cos a + _L_[-Pcos(a + (pn)sinP +
л y mV	r
+ <?S (c^sin p + czacosp) + mg(sinOcosasinp -
-	cos Osin acosysinp + cost) cos p sin y)];
co„ =--cos a - /„sin a) +
j	2 Л ЛУ	л
^x^y " ^xy	(6.2)
+ Anv(/ycosa + /YVsina)];
У	л	ЛУ
qSl	r ,T
co, =--------[/n„(/„cosa	-
л	7 л у
II ~I
лхлу лху
-	/^„sina) + mv(/rvcosa + Asina) ];
у *	- c^tgOcosy,
где
V	= const; P = const; a = const; m - const; H = const;
252
cza = cza₽ + cza*H + c2^y + cz<j>
ft	<*>x — w	A~
mY = mY(x +	+ mY coy + mY cov + m; P +
Л	Л xz	а	А А	A У	A
<3X4- -	\ .	5э.
+ mY covcdv + mY o„ + mY o'
Л	Л у	AH	Л О
On 5л-	°y-	6z
my = myO + my> P + my + my &y + my P +
(*)(*)	б	6
+ my x J’wxwy + my Йн + my йэ;
коэффициенты в выражениях для cza, тх, ту заданы и постоянны.
В некоторых случаях, например при исследовании статистических
свойств оценок, для моделирования и в процессе идентификации для
короткопериодического движения в вертикальной плоскости использу-
ются линейные дифференциальные уравнения вида
Л“ ° “z ’ ^7 Гс^л“ + сА‘двв1 ’
QSbK
“z = —г-
а а	а
тг Да + — (/п_
Z	у Z
iz + mz Дов
z
и нелинейные дифференциальные уравнения вида
..	qS z а д а2 а 2\ wz
Да = “z - -^у (суаДа + суа^а ) + суа -y^z + ^аДЗв;
(6.3)
d>z = ——- [т “Да + т“ Да2 +
^Z
b A	(a>	Z*	б_
+ (mz + mz ) az + mz Айв1 ’
а для бокового возмущенного движения-уравнения вида
253
ДР = Aoycosa + Ac^sina + А Ду cos й +
+ -££.(cP Др + с&нДб );
my za H za н7 ’
Д“х = ---Q-^~2 [ {1Утх + 7xyMy₽> Д₽ + -^у{1утхХ +
’ ^xy
+ 1ХуТПу ) <ox + _-(Zymx + IXy^y ) u>y + Uymx +
+ IХуГПу") Дбн + (Jymx3 + IXymyЭ) д*э1»
Д“у = ---^~~Т [(7xwy₽ + Ixymx>> A0 + 4v{IxmyX +
Ix^у ~ ^xy
+ IXytnx ) Д(ол + —_ <Jxniy + Ixymx ) До1у + UxMy +
бн	бэ	5
+ IXyinx ) Дбн + {IхШу + IXy^x ) А6Э],
(6.5)
Ду = Дсо* - Ac^tga.
Рассмотрим влияние различных отклонений структуры ММ от
истинной на точность параметрической идентификации путем мате-
матического моделирования на ЭЦВМ. Моделирование уравнений с
заданным управляющим воздействием на рули выполнялось числен-
ным интегрированием на ЭЦВМ по методу Рунге—Кутты четвертого
порядка. Начальные условия принимались случайными в близи
значений на опорной траектории, соответствующей балансировочному
режиму движения на заданных постоянных высоте и скорости полета.
Когда использовались уравнения вида (6.4), производился расчет
начальных условий из условий балансировки самолета в горизонталь-
ном прямолинейном полете.
В качестве программного управления при моделировании движе-
ния использовались типовые законы отклонения органов управления,
применяемые при летных испытаниях самолета с целью определения
его аэродинамических характеристик. Моделирование результатов
измерений осуществлялось с шагом 0,03125 с в предположении, что
измеряются все параметры траектории.
254
Рассматривались также некоторые другие модели результатов
измерений, в частности, с использованием датчиков местных углов
атаки и скольжения
₽м = -^(₽-Ро>
где а0, Ро, АГа, — постоянные коэффициенты.
Часто для датчика нормальной перегрузки можно использовать
нелинейную ММ результатов измерений в зависимости от входящих
аргументов (р = 0)
пу = - nxasina + Пуacosa,
где
пха = — [Pcos(a + фр) - X ] ,
mg
пуа = — [Psin(a + фР) + У].
у mg
Случайные погрешности измерений наблюдаемых параметров
моделировались на ЭЦВМ в виде последовательности независимых
нормально распределенных случайных величин с помощью програм-
мы — генератора случайных чисел. Значения их среднеквадратичес-
ких отклонений принимались равными одной трети от максимальных
погрешностей датчиков, используемых при летных испытаниях
самолетов.
По результатам численного моделирования измерительной ин-
формации в случае необходимости проводилась идентификация
структуры и параметров ММ движения самолета и исследовалось
влияние различных факторов на точность идентификации. Проводи-
лась проверка итерационных алгоритмов; варьировались задаваемые
значения систематических и среднеквадратических погрешностей
измерений, интенсивность действующих на самолет в полете слу-
чайных внешних возмущений, вид управляющего воздействия на
рули. Исследовалось влияние погрешностей априорной информации,
неточности структуры ММ движения и ряда других факторов.
Численные эксперименты проводились для двух различных само-
летов: легкого маневренного — типа МиГ-21 и тяжелого — типа
Ту-154. Полученные результаты приведены в следующих подраз-
делах.
255
6.1.	СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ОЦЕНОК МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Точность оценивания обычно определяется с помощью вычисления
трех характеристик: смещения оценок Ь, т.е. математического ожида-
ния ошибки оценки; дисперсии D « а2 и полной погрешности оцени-
вания
Д = ^D~Tb^.
Математическое ожидание и дисперсия вычисляются как соответ-
ствующие оценки по выборочным данным:
1 N
1 N
? £ (aik - i = 1, 2, ...» m,
л ~ 4=i
где N — общее число выполненных экспериментов; — точечная
оценка параметра (i = 1, 2, ..., m), построенная по результатам А-го
эксперимента (Л e 1, 2, ..., 7V).
Исследование показало, что применение метода статистического
моделирования для исследования точности идентификации приводит
к большим затратам машинного времени. В связи с этим статистичес-
кие испытания использовались в данной работе не для анализа точ-
ности вычисляемых оценок, а для проверки свойств оценок, вычис-
ленных предлагаемым методом, в частности асимптотической несме-
щенности и эффективности. Одновременно исследовалась возмож-
ность применения матрицы Гессэ критерия оптимальности в методе
максимального правдоподобия для приближенного определения
дисперсий оценок. Обоснованием этого является то, что она отличает-
ся от информационной матрицы Фишера по существу только тем, что
вычисляется не при истинных значениях искомых параметров, а при
их найденных оценках. В свою очередь, согласно неравенству Краме-
ра—Рао матрица, обратная матрице Фишера, является нижней грани-
цей корреляционной матрицы оценок.
Таким образом, оказывается необходимым проверить, во-первых,
являются ли вычисляемые предложенным способом оценки характе-
ристик самолета несмещенными и эффективными и, во-вторых,
можно ли воспользоваться вычисляемой матрицей Гессэ целевой
функции (как аппроксимацией матрицы Фишера) для определения
256
Рис. 6.1
нижней границы дисперсий оценок. Для получения ответов на эти
вопросы был проведен рад численных экспериментов. Прежде всего
был определен объем статистического моделирования, необходимый
для вычисления математических ожиданий и дисперсий оценок с
достаточной точностью. В качестве примера на рис. 6.1 показаны
статистические характеристики оценок некоторых аэродинамических
производных самолета МиГ-21 в боковом возмущенном движении,
257
Рис. 6.2
вычисленные при различных
числах проведенных числен-
ных экспериментов. После
этого путем статистических
испытаний была проверена
гипотеза о несмещенности и
эффективности вычисляемых
оценок. В табл. 6.1 приведены
точечные оценки и найден-
ные с использованием мат-
рицы Гессэ значения их сред-
неквадратических отклонений
для 50 численных экспери-
ментов, имитирующих корот-
копериодическое движение
самолета Ту-154 при полете
на больших углах атаки. Для
моделирования движения
использовалась система нелинейных дифференциальных уравнений
(6Л), составленная с учетом нелинейных зависимостей коэффициен-
тов суа и mz от угла атаки (рис. 6.2). Были приняты следующие
истинные значения коэффициентов при квадратичных членах:
1
а12 ~
±Lc“2= 0.029852—1_
mV у	град-с
1 tjSbt —2	1
022 = -—-т “ = 0,058456---------£--
Л	град2 -с
В результате проведенною сытистичсского моделирования было
получено, что
математические ожидания вычисленных по предложенному методу
оценок практически совпадают с истинными значениями соответству-
ющих параметров модели движения. Смещения оценок исчисляются
не более, чем десятыми долями процента от истинных значений;
среднеквадратические отклонения (с.к.о.) оценок превышают
определяемые с помощью информационной матрицы Фишера мини-
мальные значения не больше чем на 12...15 %;
разброс вычисляемых с помощью матрицы Гессэ приближенных
значений а оценок определяется величиной среднеквадратического
отклонения, не превышающей 4...5 % от среднего значения.
258
Результаты статистического моделирования
Таблица 6.1
Номер экспе- римента	й12	6^/2]		0 [ «221
1	0,03290	0,00161	0,05569	0,00147
2	0,03064	0,00155	0,05810	0,00135
3	0,03093	0,00162	0,05804	0,00144
4	0,03017	0,00161	0,05842	0.00135
5	0,03168	0,00157	0,05709	0,00139
6	0,02862	0,00174	0,05898	0,00142
7	0,02797	0,00174	0,05954	0,00144
8	0,03058	0,00160	0,05758	0,00148
9	0,02906	0,00161	0,05978	0,00148
10	0,02616	0,00168	0,06246	0,00145
11	0,03171	0,00165	0,05807	0,00132
12	0,03053	0,001 58	0,05674	0,00135
13	0,03240	0,00163	0,05637	0,00144
14	0,03286	0,00,65	0,55730	0,00136
15	0,02874	0,%Ч60	0,06015	0,00130
16	0,02971	0,00166	0,05915	0,00144
17	0,02971	0,00168	0,05915	0,001-14
18	0,02729	0,00176	0,05919	0,00151
19	0,03177	0,00153	0,05774	0,00133
20	0,02979	0,00168	0,05885	0,00140
21	0,02891	0,00160	0,05851	0,00143
22	0,02893	0,00169	0,05825	0,00145
23	0,03337	0,00166	0,05722	0,00145
24	0,02951	0,00166	0,05893	0,00147
25	0,02894	0,00189	0,06039	0,00165
26	0,02781	0,00154	0,06136	0,00136
27	0,03060	0,00150	0,05782	0,00130
28	0,02999	0,00166	0,05878	0,00142
29	0,03052	0,00164	0,05758	0,00134
259
Номер экспе- римента	^12	д[й/2]	й22	SM221
30	0,02696	0,00160	0,06085	0,00145
31	0,02634	0,00169	0,06158	0,00145
32	0,02795	0,00162	0,06177	0,00132
33	0,03115	0,00157	0,05788	0,00136
34	0,03129	0,00164	0,05682	0,00146
35	0,02751	0,00155	0,06031	0,00138
36	0,03091	0,00159	0,05738	0,00135
37	0,03030	0,00163	0,05922	0,00146
38	0,03163	0,00159	0,05767	0,00136
39	0,02852	0,00167	0,05926	0,00143
40	0,03139	0,00165	0,05773	0,00142
41	0,03326	0,00155	0,05587	0,00133
42	0,02993	0,00151	0,05838	0,00133
43	0,03224	0,00174	0,05660	0,00157
44	0,03027	0,00168	0,05706	0,00141
45	0,02915	0,00174	0,05877	0,00157
46	0,02836	0,00164	0,06038	0,00134
47	0,02713	0,00159	0,06078	0,00139
48	0,02971	0,00161	0,05741	0,00138
49	0,03033	0,00158	0,05747	0,00135
50	0,02857	0,00165	0,05888	0,00140
Среднее	0,02991	0,00168	0,05850	0,00149
с.к.о.	0,00185	0,00167	0,00163	0,00019
Таким образом, по результатам выполненных численных экспери-
ментов можно сделать вывод о том, что предложенный метод иден-
тификации обеспечивает получение практически несмещенных и
близких к эффективным оценок параметров нелинейных моделей
движения самолета, а также о том, что для приближенного оцени-
вания точности идентификации по результатам единственного экспе-
римента может быть использована вычисляемая в ходе решения
задачи матрица Гессэ целевой функции метода максимального прав-
доподобия.
260
6.2.	ВЛИЯНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
НА ТОЧНОСТЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ
МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Одним из наиболее существенных факторов, влияющих на точ-
ность определения аэродинамических характеристик самолета по
результатам летных испытаний, является точность измерении наблю-
даемых параметров движения. Здесь под результатами измерений
будем понимать значения регистрируемых параметров, полученные
после первичной обработки экспериментальных данных. Таким
образом, погрешности измеренных данных складываются из погреш-
ностей собственно измерения, регистрации, расшифровки и первичной
обработки записей. Эти суммарные погрешности можно разделить на
систематические и случайные.
При проведении численных экспериментов погрешности измерений
моделировались так, как это описано в подразд. 6.1. Средне-квадрати-
ческие отклонения погрешностей варьировались в окрестности значе-
ний, соответствующих максимальным погрешностям датчиков. Пред-
ставленные ниже результаты получены при моделировании коротко-
периодического движения самолета типа Ту-154 с учетом нелинейнос-
ти аэродинамических характеристик. Закон отклонения руля высоты
был задан в виде
ДЙВ(О =
-5sin_t, 0 < t <. 2 с;
2
О, t > 2 с.
Длительность моделируемого движения составляла 5 с. Во всех приве-
денных численных экспериментах ’’вход” в подпрограмму — датчик
случайных чисел — оставался неизменным, что дало возможность
выявить в явном виде влияние с.к.о. случайных погрешностей измере-
ний на точность оценивания искомых характеристик самолета. В
табл. 6.2 в качестве примера приведены оценки коэффициентов при
нелинейных членах уравнений короткопериодического движения (6.4)
и их с.к.о. Зависимости относительных с.к.о. оценок аэродинамичес-
ких характеристик самолета типа Ту-154 в короткопериодическом
движении от ск.о. случайных погрешностей измерений угла атаки <гж
и угловой скорости тангажа ао приведены на рис. 6.3 и 6.4. При
решении задачи предполагалось, что геометрические и инерциенно-
массовыс характеристики самолета, а также параметры опорного
движения точно известны. В связи с этим по результатам численных
261
экспериментов оценивались коэффициенты уравнений движения,
после чего оценки аэродинамических производных определялись
расчетным путем.
Таблица 6.2
Оценки коэффициентов, характеризующих нелинейности
%’ ’/с	°				
	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25
0,2	0,0328	Оценки коэф<! 0,0331	1 рициента 0.^2 0,0329	0,0325	0,0321
0,4	0,0335	0,0356	0,0361	0,0361	0,0358
0,6	0,0333	0,0367	0,0382	0,0388	0,0389
0,8	0,0329	0,0368	0,0393	0,0406	0,0412
1,0	0,0326	0,0366	0,0398	0,0417	0,0428
0,2	0,0016	С.к.о. ошибкр 0,0020	Л fоценки а^2 0,0024	0,0028	0,0032
0,4	0,0022	0,0031	0,0036	0,0039	1	0,0043
0,6	0,0025	0,0039	0,0046	0,0051	0,0054
0,8	0,0026	0,0044	0,0054	0,0060	0,0065
1,0	0,0027	0,0047	0,0060	0,0068	0,0074
0,2	0,0557	Оценки коэф(] 0,0553	рициента 0,0553	0,0553	0,0554
0,4	0,0550	0,0530	0,0523	0,0521	0,0521
0,6	0,0552	0,0520	0,0504	0,0496	0,0492
0,8	0,0555	0,0518	0,0493	0,0479	0,0470
1,0	0,0558	0,0520	0,0489	0,0469	0,0455
0,2	0,0014	С.к.о. ошибкр 0,0017	। оценки &22 0,0019	0,0022	0,0025
0,4	0,0020	0,0027	0,0031	0,0033	0,0036
0,6	0,0022	0,0034	0,0040	0,0044	0,0047
0,8	0,0023	0,0038	0,0047	0,0053	0,0057
1,0	0,0024	0,0041	0,0053	0,0060	0,0066
262
Рис. 6.3
Полученные результаты, во-первых, подтверждают достаточно
высокую точность идентификации характеристик самолета ММП и,
во-вторых, могут быть использованы для 4юрмирования требований
к точностным характеристикам информационно-измерительных
систем и первичной обработке в зависимости от требуемой точности
определения аэродинамических характеристик самолета.
Помимо уже рассмотренного случая короткопериодического движе-
ния был проведен ряд численных экспериментов по исследованию
точности идентификации аэродинамических производных самолета в
боковом возмущенном движении. Однако в связи с необходимостью
крайне больших затрат машинного времени задаваемые при модели-
ровании значения с.к.о. случайных погрешностей измерений варьиро-
вались не раздельно по каждому из наблюдаемых параметров движе-
263
6	%
Рис. 6.4
ния, а синхронно. На рис. 6.5 показаны зависимости с.к.о. оценок
аэродинамических производных самолета типа Миг-21 в боковом
движении от среднеквадратических погрешностей измерений наблю-
даемых параметров. Приведенные результаты получены при модели-
ровании полета с числом М = 0,7, длительностью 5 с и специально
выбранным законом отклонения руля направления бн(0 и элеронов
6Э(/) как функции времени, обеспечивающим высокую точность
идентификации (рис. 6.6). На рис. 6.5 точка <т0 на оси абсцисс соот-
ветствует значениям с.к.о. погрешностей измерений. В ходе экспери-
ментов эти значения уменьшались и увеличивались в четыре раза.
Приведенные выше результаты были получены при моделировании
случайных погрешностей измерений наблюдаемых параметров в виде
последовательностей значений гауссовских случайных величин с
264
плотностью вероятностей рг(х). С целью исследования влияния вида
закона распределения случайных погрешностей измерений на точ-
ность идентификации характеристик самолета был выполнен ряд
численных экспериментов, в которых погрешности измерений моде-
лировались не гауссовскими, а равномерно распределенными величи-
нами с плотностью вероятностей Рр. (*). При этом были рассмотрены
следующие два случая: а) ар = /з"ог; б) ар = аг, где аг — с.к.о.
гауссовских погрешностей; ар — с.к.о. равномерно распределенных
погрешностей (рис. 6.7). Поскольку при выполнении данных числен-
ных экспериментов не выполнялись предположения, положенные в
основу используемою метода идентификации, для определения
265
Рис.6.6
статистических характеристик оценок
искомых параметров использовался
метод статистического моделирования.
В табл. 6.3 представлены математи-
ческие ожидания и с.к.о. оценок ли-
нейных ’ аэродинамических характе-
ристик самолета типа Ту-154 в корот-
копериодическом движении, получен-
ные при следующих условиях: число
М = 0,55; управление — импульс ру-
лем высоты на 10° в течение одной се-
кунды; с.к.о. гауссовских погрешнос-
тей измерений угла атаки и угловой
скорости тангажа равны .соответствен-
но =0,267°, ао^‘= 0,75 °/с.
Полученные результаты свиде-
тельствуют о том, что закон рас-
пределения случайных погрешностей
измерений наблюдаемых параметров
Рис. 6.8
266
движения не оказывает существенного влияния на точность иден-
тификации аэродинамических характеристик самолета.
Помимо случайной составляющей погрешности измерений могут
содержать и постоянную, систематическую составляющую. Был выпо-
лнен ряд численных экспериментов по исследованию влияния неиз-
вестной систематической погрешности измерения параметров движе-
ния на точность определения аэродинамических характеристик само-
лета. Полученные в этих экспериментах результаты показывают, что
наличие в результатах измерений неизвестной систематической по-
грешности не влияет на значения с.к.о. оценок искомых характе-
ристик самолета, но приводит к появлению смещения, которое прак-
тически линейно зависит от значения систематической погрешности.
В качестве примера на рис. 6.8 показаны зависимости смещений Ъ
оценок линейных аэродинамических характеристик самолета типа
Ту-154 в короткопериодическом движении от неизвестной система-
тической погрешности измерения угловой скорости тангажа .
Приведенные результаты получены в численных экспериментах,
выполненных при тех же условиях, что и эксперименты по исследо-
ванию влияния на точность идентификации случайных погрешностей
измерений.
Таблица 6.3
Статистические характеристики аэродинамических производных
Характе- ристика	Гауссовские ошибки		Равномерные ошибки			
			° ₽	“аг		
	м [ •]	а []	м [•]	« []	м [•]	а []
а Суа	0,106	0,004	0,104	0,005	0,103	0,009
	0,007	0,0036	0,007	0,002	0,007	0,003
а mz	—0,028	0,001	-0,027	0,001	-0,027	0,001
<*)	Z z	tt	-10,04	0,990	-10,60	0,99	-10,87	1,71
mz +mz mz	-0,012	0,0015	-0,012	0,0003	-0,0121	0,0004
267
6.3.	ВЛИЯНИЕ ОШИБОК
В СТРУКТУРЕ ММ ДВИЖЕНИЯ
НА ТОЧНОСТЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ
При решении задачи определения аэродинамических характерис-
тик самолета по результатам летных испытаний необходимо иметь в
виду, что искомые характеристики, с одной стороны, присущи самому
самолету в его реальном движении и, с другой стороны, являются
параметрами математических моделей движения, используемых в
процессе решения задачи. В связи с этим данная задача ставится и
решается как задача структурно-параметрической идентификации.
Поскольку к настоящему времени в динамике полета, аэродинамике,
аэроавтоупругости разработаны многочисленные математические
модели, весьма точно описывающие различные виды движения само-
лета с учетом всевозможных реально действующих факторов, задача
структурной идентификации в принципе может быть решена нефор-
мальным способом, т.е. математическая модель движения самолета
может быть задана заранее из теоретических соображений. Однако
при этом, как правило, необходимо выбрать одну из нескольких
различных моделей, описывающих рассматриваемое движение само-
лета. В качестве примера подобной ситуации можно привести различ-
ные ММ короткопериодического возмущенного движения. Если при
решении прямой задачи динамики, т.е. при анализе характера движе-
ния самолета в зависимости от вызывающих его управляющих воз-
действий, в качестве оптимальной модели движения целесообразно
принимать простейшую модель, обеспечивающую требуемую точность
описания движения, то при решении задачи идентификации характе-
ристик, являющейся обратной задачей динамики, такой подход к
выбору модели движения может оказаться неверным. Вследствие того,
что задача идентификации является, как известно, некорректной,
даже небольшое отличие структуры используемой ММ движения от
истинной может привести к существенному отличию найденных
оценок искомых характеристик самолета от их истинных значений.
В связи с этим кажется целесообразным использовать при идентифи-
кации характеристик наиболее полные модели движения, учитываю-
щие наибольшее число действующих факторов. Однако чрезмерная
сложность таких моделей и весьма большое число неизвестных пара-
метров могут привести не только к необходимости крайне больших
затрат времени на решение задачи, но и к снижению точности иден-
тификации как за счет роста вычислительных ошибок, так и вслед-
ствие уменьшения объема измерительной информации, приходящего-
ся на каждый неизвестный параметр. В этой ситуации вполне естес-
твенно стремление использовать для идентификации характеристик
более простые модели при условии, естественно, обеспечения требуе-
мой точности определения искомых характеристик.
268
ь, 6, а
		/	"Т	4^	
		20		\<б	
VJ	г	...	- т			
/ 4_		?	9 		\ I	!	<7Д»’
/ 1		7U			V
4/4
Рис. 6.9
Ь, 6, л
269
Таким образом, оказывается необходимым исследовать, как влияет
то или иное упрощение истинной ММ движения самолета на точность
идентификации его аэродинамических характеристик. Поскольку
одним из наиболее употребительных приемов, используемых для
упрощения моделей движения, является их линеаризация, был выпо-
лнен ряд численных экспериментов с целью исследования влияния
линеаризации возмущенного движения самолета на точность опреде-
ления его аэродинамических характеристик по результатам измере-
ний параметров полета. В ходе этих экспериментов для моделирова-
ния движения самолета использовались нелинейные модели, а при
идентификации характеристик — модели, полученные из исходных
путем линеаризации. Так, в частности, короткопериодическое движе-
ние самолета Ту-154 моделировалось путем интегрирования нелиней-
ных уравнений (6.4), учитывающих нелинейность зависимостей
коэффициентов подъемной силы и момента тангажа от угла атаки, а
для идентификации использовались линеаризованные уравнения
(6.3), в которых зависимости суа(а) и mz(a) в окрестности значения
угла атаки горизонтального полета аг п аппроксимируются линейными
функциями. Уравнения короткопериодического движения (6.4) интег-
рировались при законе отклонения руля высоты, заданном в виде
А6в(0 =
AdBmaxsin^ t, 0<Zs2c;
DllldX	Q 1	’
t > 2 с.
При этом в различных экспериментах угол максимального отклоне-
ния руля высоты А6втах варьировался в пределах от —5 до +5°, где в
соответствии с правилом знаков знак ” соответствует отклонению
руля высоты ”на себя”, а знак ”+” — отклонению ”от себя”.
Результаты проведенных экспериментов представлены в табл. 6.4
и на рис. 6.9 в виде зависимостей относительных смещений й, с.к.о.
а и полных погрешностей А оценок линейных аэродинамических
характеристик от угла максимального отклонения руля высоты.
Полученные результаты показывают, что с увеличением интенсив-
ности управления с.к.о. оценок уменьшаются примерно обратно
пропорционально величине Адвтах. В то же время смещения оценок,
как правило, существенно возрастают с ростом Адвтах. В итоге мини-
мальные значения полных ошибок оценок линейных характеристик
в большинстве случаев составляют 10...20 % от истинных значений.
Следует также отметить, что зависимости смещений оценок от макси-
мального угла отклонения руля высоты имеют существенно нелиней-
ный и несимметричный характер.
270
Зависимость ошибок оценок от интенсивности управления
Таблица 6.4
А ®вшах’	Относительные смещения оценок, %				
	а Суа	а тг	d +mz	Cya	mz
—5	-29,51	88,90	-18,07	-0,77	-4,54
—4	-21,87	60,82	-3,17	-7,82	-5,28
-3	-15,36	40,23	3,05	-8,62	-4,65
-2	-9,66	24,19	4,50	-6,80	-3,37
-1	-4,59	11,11	3,07	-3,60	-1,75
1	4,21	-9,72	-4,03	3,51	1,79
2	8,13	-18,43	-8,59	6,73	3,56
3	11,81	-26,40	-13,41	9,51	5,27
4	15,30	-33,79	-33,79	11,93	6,91
5	18,63	-40,74	-23,23	13,71	8,45
		Относительные с.к.о. оценок, %			
					
А О вшах’	а	а		6B	5.
	Суа	mz	d	Cya	mz
			m, +tn		
			z	z		
—5	2,15	4,40	8,48	19,77	2,53
—4	2,87	4,92	10,08	24,64	3,0
-3	4,05	5,92	13,00	32,87	3,90
-2	6,40	7,91	19,03	49,49	5,79
-1	13,44	12,91	36,92	100,00	11,63
1	14,51	22,19	39,41	96,37	11,19
2	7,55	9,20	19,44	48,90	5,70
3	5,22	5,64	12,94	32,81	3,85
2	4,05	4,01	9,73	24,73	2,92
1	3,35	3,09	7,83	19,86	2,36
271
Лв.тах< °	Относительные полные ошибки оценок, %				
	а Суа	а mz	а mz *mz	4-	mz‘
—5	29,59	89,01	19,96	19,78	5,20
—4	22,06	61,02	10,57	25,85	6,07
-3	15,88	40,66	13,35	33,98	6,07
-2	11,59	25,45	19,55	49,95	6,70
-1	14,20	17,03	37,05	100,06	11,76
1	15,11	24,23	39,62	96,43	11,33
2	11,10	20,60	21,25	49,36	6,72
3	12,91	27,00	18,64	34,16	6,53
4	15,83	34,03	20,78	27,46	7,50
5 ’	18,93	40,86	24,51	24,13	8,77
Таким образом, представленные результаты свидетельствуют о
том, что линеаризация уравнений движения самолета приводит, по
крайней мере в некоторых случаях, к практической невозможности
определения аэродинамических характеристик самолета с приемлемой
точностью из-за возникновения весьма больших смещений оценок,
вычисляемых на основании линеаризованной модели.
В связи с этим необходимо отметить, что построенная по резуль-
татам измерений линеаризованная модель вида (6.3) описывает
наблюдаемое движение самолета практически с такой же точностью,
что и истинная нелинейная модель (6.4). Однако вследствие наличия
зависящего от закона управления смещения оценок коэффициентов
уравнений (6.4) построенная линейная модель оказывается справед-
ливой только для данного зарегистрированного движения и не может
быть использована для предсказания движения самолета при другом
законе управления.
272
6.4.	ВЛИЯНИЕ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ
НА ТОЧНОСТЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Как уже отмечалось, одним из путей повышения точности иден-
тификации аэродинамических характеристик самолета по результа-
там измерений параметров движения является выбор оптимального
закона управления самолетом в летном эксперименте. Эксперимен-
тальным путем была исследована только точность определения аэро-
динамических характеристик самолета при некоторых из типовых
законов упрагле1С1Я (импульсе, перекладке, ступенчатом или синусо-
идальном отклонениях руля высоты, руля направления и элеронов).
Влияние интенсивности управления на точность оценивания
аэродинамических характеристик исследовалось путем моделирования
короткопериодического движения тяжелого самолета типа Ту-154 при
импульсном отклонении руля высоты длительностью в одну секунду
на различные углы от 1 до 8°. Полученные результаты показывают,
что при идентификации аэродинамических характеристик на основе
линейной модели движения с.к.о. их оценок практически обратно
пропорциональны амплитуде отклонения руля высоты, а дисперсии
т
оценок обратно пропорциональны ’’затратам” на управление f и2 (Z) dt
о
при сохранении закона управления неизменным. Конкретные зависи-
мости с.к.о. оценок линейных аэродинамических характеристик от
273
амплитуды импульсного отклонения руля высоты приведены на
рис. 6.10. Естественное практическое ограничение на отклонение
органов управления в реальном летном эксперименте при использова-
нии линейных моделей связано с условиями, при которых допустима
линеаризация уравнений движения. Как было уже показано в под-
разд. 6.3, в тех случаях, когда истинная модель движения нелинейна,
увеличение интенсивности управления приводит к росту смещения
оценок характеристик самолета, вычисляемых по линеаризованной
модели.
Таблица 6.5
С.к.0. оценок аэродинамических производных
Характеристика	С.к.о. оценок при управлении в виде				
	импульса длительностью, с			перекладки длитель- ностью, с	
	1	2	4	2	4
а Суа	3,19	7,51	7,23	3,79	4,10
	36,67	35,24	44,29	24,29	21,43
а mz	2,06	1,45	2,67	3,03	2,42
«z а +mz	9,86	12,75	21,81	9,30	11,22
в. mz	3,89	3,06	5,28	2,50	4,44
При исследовании точности идентификации характеристик в
зависимости от вида закона управления движение самолета модели-
ровалось при отклонении руля высоты в виде импульсов и перекладок
различных длительностей. Затраты на управление и общая продолжи-
тельность моделируемого движения во всех численных экспериментах
оставались неизменными. Относительные с.к.о. оценок, полученные
при различных законах отклонения руля высоты, представлены в
табл. 6.5 в процентах от истинных значений искомых характеристик.
274
В результате проведенных параметрических исследований не был
найден приближенный оптимальный закон управления, обеспечиваю-
щий повышение точности определения одновременно всех линейных
аэродинамических характеристик самолета. Так, например, если
максимальная точность идентификации аэродинамических производ-
ных суа и т z достигается при управлении в виде короткого, но
интенсивного импульса, то для наиболее точного определения эффск-
В	1
тивности руля высоты mz и коэффициента демпфирующего момента
mzz + целесообразно использовать закон управления в виде
быстрой перекладки. И, наконец, для обеспечения приемлемой точ-
ности определения производной суа необходимо выполнять медлен-
ную перекладку руля высоты.
Дальнейшие исследования показали, что при идентификации
характеристик самолета в полете на больших углах атаки с учетом
нелинейности зависимостей суа(а) и mz(a) вид закона управления
оказывает существенно большее влияние на точность решения задачи,
чем в ранее рассмотренном случае линейных моделей движения. В
табл. 6.6 показаны выраженные в процентах от истинных значений
относительные с.к.о. оценок аэродинамических характеристик, по-
лученные при импульсном отклонении руля высоты на величину
Д5втах. Знак ”+” или ” при Дбвтах указывает направление от-
клонения руля высоты в соответствии с общепринятым правилом
знаков. Приведенные результаты показывают, что, во-первых, точ-
ность идентификации всех характеристик, за исключением mz ,
неудовлетворительна, во-вторых, в отличие от случая линейной
модели, значения с.к.о. оценок зависят не только от величины, но и
от направления отклонения руля высоты, и, в-третьих, для двух
характеристик: mz и mzz + mz при больших отклонениях руля
высоты ”на себя” наблюдается не уменьшение, а, наоборот, увеличе-
ние с.к.о. оценок.
Сравнение предыдущих результатов с результатами, полученными
при обработке данных тех же численных экспериментов с исполь-
зованием линейной модели короткопсриодического движения, пока-
зывает, что во многих случаях, несмотря на наличие смещенности,
оценки, построенные по линеаризованной модели, оказываются
точнее, чем найденные в тех же условиях по нелинейной модели.
Основная причина неудовлетворительной точности идентификации
нелинейных аэродинамических характеристик заключаются, скорее
всего, в неудачном выборе закона управления самолетом. Вслсд-
275
ко
кО
ей
Д
X
ч
ко
<s
Точность оценивания аэродинамических коэффициентов при импульсе руля высоты
	•° N 5	—<00Ок»ООГЧкООГЧ00 СО	Ок^	04	—	ГЧ	ГЧ	Г*	Ок	00 СО	СО	»Н Ок"	Ок	ГЧ	~	гГ	КГ?	Tfr — ГЧ —
	Ч а ^z	TfrTfrKosO(4	—	O00	00Tfr 00 »о сч 04 о	ГЧ	00 к©	О» Ок ОО ГЧ" t< ГЧ" кО	Tfr	н-7	—"	к© СО тз-согчсококвсогч —	—
* о X о	g	ТГ ГЧ 00 —<QQU0r*KOO ооооспооооспооок оки-ГоТкооооооотгеч ОкГЧОккОООоО—«СЧОО -ИСЧСЧКОООЧ-ГЧ—
ельные с.к.о. оц	а mz	(чспттокоочконнечиг t>	Ок	тг	\О	Ок	СЧ	0(4	Г*	тГ СО	О	оГ	сч"	04	СП	1>	00	Ок	ок Г-ТГСЧКОКООЧОКОТГСО _	ГЧ	(Ч	нН
н X 8 Е о	«о 2. и	Г^Г'ОоО'О-нКО'ОКПнн СО	КО	О	КО	КО	Kn	Tf	КО	СО	ГЧ СО	СЧ*	Tfr	0-7	ОК	со	—7	o'	О	тг ГЧСПтГкООЧСЧкОтГсООЧ
	г”	00	Г-	КО	—1 Q О (Ч нн	г*	Г* ОО’КГСПООТГОКТГКО тг	—Г	со	ГЧ О О тг тг	о	Г-7 ко — (ЧСООфОккОКООк —	ГЧ	КОООКОГЧ	— нН	нН
	а Суа	ОкОГЧОЧ-кОКокОкОСО ’“lu"io^,'^^G>‘O00r4 ГЧ ко ЧГ ’ИГ ГЧ Q Ко" о ГЧ Tfr о7 — (ЧСОКОООКОСОСЧ —
«С < 1		X я г « > J	Uji	Tj- СО ГЧ	—	—	ГЧ СО	Tfr KQ
276
ствие того, что при полете на больших углах атаки производные сД
и т z по своей абсолютной величине становятся существенно меньше,
чем в зоне линейных зависимостей с},д(а) и mz(a), изменение угла
атаки в возмущенном движении приводит к очень малому изменению
коэффициентов подъемной силы и момента тангажа. Поэтому пере-
ходные процессы, вызванные импульсным отклонением руля высо-
ты, протекают крайне замедленно, с малой скоростью изменения
угла атаки. Из-за этого в модели короткопериодического движе-
ния появляются почти постоянные на довольно длительном отрез-
ке времени линейные комбинации параметров сД + 2с^Да(/) и
а	а2
mz + ^mz • Естественно, что в таких условиях попытка раз-
ве tt2 ol сс2
дельного определения коэффициентов суа и суа, mz и mz оказы-
вается безуспешной. Проведенный анализ причин низкой точности
идентификации нелинейных аэродинамических характеристик позво-
ляет надеяться, что точность решения задачи может быть повышена
за счет надлежащего выбора закона управления самолетом в летном
эксперименте, обеспечивающего достаточно быстрое изменение
параметров возмущенного движения. Выполненные численные экспе-
рименты подтверждают это предположение. В табл. 6.7 представлены
относительные среднеквадратические отклонения оценок аэродинами-
ческих характеристик, полученные при тех же условиях, что и ранее,
но при управлении в виде перекладки руля высоты на угол ± Д6втах.
Знак ”+” или ” при Дбвтах указывает на порядок выполнения
перекладки (при знаке ”+” выполняется перекладка ”от себя” — ”на
себя”, при знаке — наоборот). Сравнение результатов, представ-
ленных в табл. 6.6 и 6.7, показывает, что в подавляющем большин-
стве случаев использование перекладки руля высоты вместо импульса
приводит, при прочих равных условиях, к повышению точности
идентификации искомых характеристик. Более того, при использова-
нии закона управления в виде перекладки появляется возможность
отклонять руль высоты на углы, большие, чем при импульсном
отклонении, не нарушая при этом ограничения по углу атаки и не
попадая в зону линейных зависимостей суа(а) и mz(a). За счет более
интенсивного управления достигается дальнейшее повышение точнос-
ти идентификации аэродинамических характеристик самолета, и
относительные с.к.о. их оценок, включая и нелинейные характеристи-
ки, могут быть снижены до значений, не превышающих 10 %.
277
Следует также отметить, что в то время как при использовании
линеаризованной модели короткопериодического движения переход
от закона управления в виде импульса к закону управления в виде
перекладки руля высоты не обязательно приводит к повышению
точности оценивания той или иной аэродинамической производной,
в случае модели, учитывающей нелинейность аэродинамических
характеристик, аналогичное изменение закона управления позволяет
понизить ошибки всех без исключения искомых характеристик.
278
Рис.б.И
Влияние интенсивности на точность идентификации аэродинами-
ческих характеристик самолета в короткопериодическом движении на
больших углах атаки для двух законов отклонения руля высоты
импульса (штриховая линия) и перекладки (сплошная линия) пока-
зано на рис. 6.11.
279
Точность оценивания аэродинамических коэффициентов при перекладке руля высоты
280
6.5.	ВЛИЯНИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
НА ТОЧНОСТЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Одним из факторов, влияющих на результаты летного эксперимен-
та, является воздействие на самолет в полете случайных внешних
возмущений, обусловленных наличием атмосферной турбулентности,
отличием значений параметров атмосферы от стандартных и другими
причинами. С точки зрения математического описания движения
самолета эти возмущения представляют собой некоторые дополни-
тельные силы и моменты, не учитываемые в правых частях урав-
нений и приводящие к отличию реальной траектории самолета от
теоретической, описываемой детерминированной моделью движения.
При определении аэродинамических характеристик самолета действие
внешних возмущений приводит к смещенности оценок параметров
детерминированной модели движения, так как реально наблюдаемое
движение на самом деле не описывается используемой ММ.
Поскольку основным источником действующих на самолет в
полете внешних возмущений является атмосферная турбулентность,
исследование влияния внешних возмущений на точность идентифи-
кации проводилось на примере задачи определения аэродинамичес-
ких характеристик самолета при полете в турбулентной атмос-
фере. Для моделирования короткопериодического движения исполь-
зовались уравнения (6.1). Задача идентификации характеристик
решалась с использованием как детерминированной модели (6.3),
описывающей короткопериодическое движение в спокойной атмосфе-
ре, так и стохастической модели, предложенной Драйденом и приве-
денной к виду
Да = Да + а>2
- £aol - -£да, + Z».A6d + — о F;
у “т у 1	1 в vl 1
“z = <а21 + а22а11)Да + (а22 + a22)wz “ ^а22Даг ’
3	1 ,
ТГ а22М?
" -ра22Да1 + ^2 + а22МДЙв + и yL
281
А«г = - уДОр " •рД®!
3 t
— «Л;
\| VL т
Л«1
= - —Да.
V 1
Уз - 1
>JVL
%
где ат — с.к.о. скорости ветра; L — масштаб турбулентности; $ —
гауссовский белый шум с нулевым средним значением и единичной
интенсивностью;
qS z а	ч ,	qS &в	а,
аи = 	 с*г"); 1 = " ~mvCya' *21 = —mz;
2	2
qSbA <32	1 _	j	бв
а22 - f у mz ’ а22 - j у т2 ’ b2 = —-----mz ’
а = ак + Дат, ак — кинематический угол атаки, ак = 0 — 0; Дат —
изменение угла атаки, обусловленное ветровыми воздействиями; Дат =
= — Уу — поперечная составляющая скорости ветра.
При решении задачи предполагается, что параметры турбулен-
тности и составляющая коэффициента демпфирующего момента
известны с необходимой степенью точности. В ходе исследований
величина среднеквадратической скорости ветровых порывов варьи-
ровалась от 0 до 2,5 м/с. Полученные результаты сведены в табл. 6.8
и 6.9, где показаны оценки коэффициентов уравнений короткоперио-
дического движения самолета типа Ту-154, найденные при различных
интенсивностях турбулентности по детерминированной и стохастичес-
кой моделям, т.е. без учета и с учетом воздействия внешних возму-
щений. Те же результаты представлены на рис. 6.12.
Результаты исследований показывают, что вследствие случайного
характера действующих на самолет в полете внешних возмущений их
учет не обязательно приводит к уменьшению ошибок точечных
оценок, построенных по результатам единственного эксперимента. В
некоторых случаях точечные оценки, вычисленные по детермини-
рованной модели, т.е. без учета внешних возмущений, оказываются
точнее оценок, найденных по стохастической модели. Однако при
использовании детерминированной модели приближенные значения
дисперсий оценок, определенные на основе информационной матрицы
282
Фишера, оказываются значительно заниженными. В результате этого
построенные вокруг найденных оценок трехсигмовые доверительные
интервалы, как правило, не включают в себя истинные значения
искомых параметров. Следовательно, пренебрежение действующими
возмущениями приводит к невозможности правильно оценить точ-
ность идентификации по результатам единственного экспери-
мента. В то же время оценки, построенные по стохастической модели,
283
оо
чб
S3
Д’
X
ч
\©
ез
Н
Зависимость оценок коэффициентов уравнений детерминированной модели
от интенсивности турбулентности
е>	2,5	(N	О'	£	ОО	Г?	Г* «	ОО	5	N М	О	w-Ч	О	ф О	О	О	О	О	О н	-Н	♦<	-н	*	-н СМ	00	Г*	«Л	£	О' OoQt^^OSTt Tf	ОО	СП	xf 7	7	~	7	°	7	Таблица 6.9 Зависимость оценок коэффициентов уравнений стохастической модели от интенсивности турбулентности	ь	2,5	-0,25911,043 -2,945±0,216 1,79611,076 -0,99710,209 0,36010,487 -1,24410,102
	2,0	—0,46810,091 —2,85510,152 1,13510,073 —1,22210,096 0,14610,047 —1,39210,022			2,0	-0,35710,962 -2,90810,191 1,62910,978 -0,96010,181 0,28110,447 -1,22710,087
		—0,53510,070 —2,82610,115 1,1010,053 —1,12610,073 0,098 ±0,034 —1,33410,016				-0,45610,857 -2,87410,161 1,46510,860 -0,92410,151 0,20110,397 -1,20910,072
	1,0	—0,60210,047 —2,80610,078 1,066±0,034 -1,027±0,050 0,05010,022 -1,27510,011			1,0	-0,55510,719 -2,84410,126 1,30510,713 -0,88810,118 0,12010,332 -1,19110,055
	0,5	-0,67210,024 —2,79610,040 1,03310,017 -0,92410,026 0,00510,011 -1,21510,06			0,5	—0,65210,521 -2,81810,083 1,14910,511 —0,85210,078 0,03910,241 -1,17310,037
	о	8	8	8	8	8	8 О	О	О	О	О*	О еч	v©	сь	>©	о	хг -и хг ю Г*	Г*	00	о 7	7	°	7	7	7			о	8	8	§	g	§	§ °	°	<3	°	®	° (N	'О	СЬ	so	О	о xt	О'	Ch	tJ-	и-j Г-	Г*	00	О 7	7	°	7	7	7
Коэффициент		091‘1--г<? 6£0‘0- - 608*0- - 0*1 -г1» 9t>6‘Z- - 1г» HL‘0- - "»		Коэффициент		--0,734 а21 - -2,946 Ц|2 - 1,0 0-22 “ —0,809 />! - -0,039 д2--1,160
284
имеют значительно, иногда на порядок, большие с.к.о. и соответству-
ющие доверительные интервалы во всех рассмотренных случаях
охватывают истинные значения параметров. Здесь следует отметить,
что для выявления в чистом виде влияния внешних возмущений при
проведении численных экспериментов измерения наблюдаемых
параметров движения моделировались как абсолютно точные. Попар-
ное совпадение оценок всех параметров, построенных при отсутствии
возмущений по двум различным моделям, в определенной степени
подтверждает правильность работы алгоритма идентификации, а
некоторые отличия этих оценок от истинных значений параметров
объясняются использованием различных численных методов интегри-
рования уравнений движения на этапе моделирования и этапе обра-
ботки данных.
В целях более правильного анализа полученных результатов
необходимо также отметить, что при обработке результатов всех
проведенных численных экспериментов дисперсии погрешностей
измерений параметров движения считались неизвестными и оцени-
вались путем анализа невязок между измеренными и сглаженными
по методу, предложенному в [23], значениями наблюдаемых пара-
метров. Такой подход часто бывает необходимо использовать на
практике, поскольку реальные статистические характеристики по-
грешностей измерений могут быть неизвестными. Однако при нали-
чии внешних возмущений определяемые таким способом значения
дисперсий погрешностей измерений оказываются завышенными, так
как в этом случае невязки между измеренными и сглаженными
данными обусловливаются не только наличием погрешностей изме-
рений, но и действием возмущений. Если же точностные характе-
ристики измерительной аппаратуры известны и задаются, а не опре-
деляются, то это приводит к еще большему уменьшению доверитель-
ных интервалов для оценок, построенных по детерминированной
модели. При идентификации характеристик самолета на основе
стохастической модели движения дисперсии оценок искомых пара-
метров определяются главным образом интенсивностью внешних
возмущений, а не точностью измерений. Поэтому значения дисперсий
погрешностей измерений в значительно меньшей степени влияют на
размер доверительного интервала оценок.
В целом результаты проведенных исследований показывают, что
учет наличия внешних возмущений при идентификации характерис-
тик позволяет повысить достоверность решения задачи за счет более
полного и правильного учета условий проведения летного экспери-
мента.
285
6.6.	АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ
ММ ДВИЖЕНИЯ ПРИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
В ходе решения практических задач, т.е. при идентификации
аэродинамических характеристик самолетов по результатам натурных
летных экспериментов, было выявлено, что во многих случаях извес-
тные из теории ММ возмущенного движения самолета неадекватно
описывают полученные в полете данные. В связи с этим возникла
необходимость исследовать влияние различных ММ на точность
параметрической идентификации. При этом в заданный перечень
могут входить не только модели, действительно различные по своей
структуре, но и, например, различные формы записи одних и тех же
уравнений движения, математически эквивалентные между собой.
Так, например, уравнения короткопериодического движения (6.3),
записанные в виде
Ad = Аа + coz + br Ддв;
d)z = а21Аа + a22<*z + *2Айв’
преобразуются к другой форме:
х = %!;
2
jq = - 2hx{ - G)ox + /Q А6В + К2Ддв,
(6.6)
где в качестве переменной х могут быть либо приращение угла атаки
Аа, либо перегрузки Апу, либо угловая скорость тангажа coz. Послед-
няя запись уравнений движения эквивалентна модели в форме пере-
даточных функций
К]Р + Kn	KqP + К л
И'а./Д». 	«\/A., - - —------—
р2 + 2hp + coq	р2 + 2hp + cog
При математической эквивалентности уравнений (6.3) и (6.6) эти две
модели отличаются друг от друга составом наблюдаемых параметров
движения и числом идентифицируемых коэффициентов. При исполь-
зовании модели (6.6) существует возможность найти оценки коэффи-
циентов знаменателя передаточных функций самолета независимо по
измерениям различных параметров. Сравнение полученных оценок
286
друг с другом позволяет в определенной мере судить об адекватности
используемой ММ короткопериодического движения. Этот подход
может быть проиллюстрирован некоторыми результатами, получен-
ными при обработке данных летных испытаний самолета МиГ-21 и
приведенными в табл. 6.10.
Оценки коэффициентов уравнения (6.6)
по данным испытаний
Таблица 6.10
Режим	Коэффициент	Оценка по измерениям	
		Да	
1	2h	1,568 ± 0,012	1,560 ± 0,030
	2 %	31,03 ± 0,08	31,49 ± 0,14
2	2Л	1,707 ± 0,013	1,701 ± 0,032
	2 Ч)	32,05 ± 0,09	34,44 ± 0,14
Как видно из таблицы, для самолета МиГ-21 оценки коэффици-
ентов знаменателя передаточных функций, построенные по измере-
ниям различных параметров движения, весьма близки друг к другу,
и это не дает оснований для отвержения линейной модели коротко-
периодического движения вида (6.3) или (6.6).
В тех случаях, когда адекватность линейной модели не опровер-
гается результатами раздельной обработки измерений параметров
движения, для непосредственного оценивания аэродинамических
характеристик самолета может использоваться модель вида (6.3),
описывающая совместное изменение двух параметров. При этом
необходимым условием возможности определения аэродинамических
производных является, естественно, наличие достоверной априорной
информации о геометрических и инерционно-массовых характерис-
тиках самолета, а также о параметрах опорного движения. В про-
тивном случае возможно только построение оценок коэффициентов
уравнений. Для определения значений параметров движения и управ-
ляющих воздействий, соответствующих опорной траектории, при
обработке материалов летных испытаний обычно используется учас-
ток полетной записи, относящийся к горизонтальному установивше-
муся полету. Конкретные значения параметров находятся осреднени-
ем по выбранному участку. При обработке материалов летных испы-
таний было обнаружено, что точность идентификации существенно
287
зависит от правильного определения оценок параметров опорной
траектории. Ошибки, допускаемые при их определении, приводят к
ошибкам в оценках искомых характеристик самолета. Для исключе-
ния этих ошибок целесообразно проводить идентификацию на основе
модели движения, записанной не в отклонениях от опорной траекто-
рии, а в абсолютных значениях параметров движения и управляющих
воздействий. Такая модель, например для случая короткопериодичес-
кого движения, может быть с учетом (6.3) представлена в виде
а = йпа + wz + b^B + q;	(6 7)
“z = а21а + a22“z + Мв + с2>
где
“ = “т.п + Да; «в = вв.бал + дав;
С1 _ ~ (й11®г.п + ^1^в.бал^’ с2 ~ ~ (°21 о^г.п + ^2^в.бал^
— коэффициенты, зависящие от параметров опорного движения.
Использование для идентификации аэродинамических характеристик
самолета модели (6.7) вместо (6.3) позволяет одновременно с искомы-
ми характеристиками оценить и параметры горизонтального устано-
вившегося полета агп и бв и тем самым исключить ошибки оцени-
вания, возникающие из-за неточного выбора опорной траектории. На
практике целесообразно переписать уравнения (6.7) относительно
измеряемого в полете местного угла атаки ам, связанного с истинным
а соотношением
а = “0 + ^а[аМ + ^“z}>	(6-8)
где а0 — систематическая ошибка датчика угла атаки; Ка — коэффи-
циент пропорциональности; I — расстояние от датчика угла атаки до
центра масс самолета.
Преобразованные уравнения имеют вид
®м = аиам + a12Qz + йв + С1 ’
6z = а2*1аМ + a22^z + й2*дв + с2*
(6.9)
Здесь коэффициенты <2-*, Ъ*, с* связаны с аэродинамическими
производными самолета следующими соотношениями, справедливыми
при большой скорости полета, т.е. при малости члена A g>z в (6.8)
288
и при отсутствии влияния нестационарности обтекания на коэффи-
циент Су:
а11
- - pVSca- а'
’ ~2т~Суа’ °12
pvs
2^К~а уа'
♦	♦	*	Ч и
С1 = " а11аМг.п “ Ь1 ^в.бал’ а21 = Ка—7—
^SbA. z “2	<	.
а22 = -j-y- (mz + mz)',b2
qSbK б,
=------m, ;
T z
Z
C2 = “ «21 аМг.п “ ^в.бал’
где aM r n — местный угол атаки в горизонтальном полете.
Преимущества использования модели вида (6.9) по сравнению с
(6.3) могут быть продемонстрированы на примере идентификации
характеристик самолета МиГ-21. Обработка результатов ряда летных
экспериментов показала, что использование уравнений движения,
записанных в абсолютных значениях параметров, позволяет умень-
шить разброс оценок характеристик, вычисляемых на различных
участках полетной записи, и заметно улучшить соответствие между
результатами измерений и переходными процессами, построенными
по ММ. В табл. 6.11 показаны оценки аэродинамических производ-
ных, вычисленные с использованием двух рассматриваемых моделей
на двух различных участках одной полетной записи. При идентифи-
кации на основе модели в отклонениях параметров от опорной траек-
тории путем усреднения на начальном отрезке полетной записи были
найдены значения параметров на опорной траектории бм г п » 1,2°,
б в бал =	При идентификации по модели в абсолютных значени-
ях параметров были определены оценки местного угла атаки в гори-
зонтальном полете и балансировочного угла отклонения цельнопово-
ротного горизонтального оперения (ЦПГО):
на режиме 1 ам г п = 2,78’; «в бал = - 7,52°;
на режиме 2 ам г п = 3,03°; «в бал = - 7,48°.
В обоих рассмотренных случаях модель (6.9) обеспечивает полу-
чение минимального значения критерия оптимальности, характери-
зующего степень близости измеренных и расчетных переходных
процессов, примерно на 30 % меньшего, чем модель (6.3).
289
Оценки аэродинамических производных по двум ММ
Таблица 6.11
Режим	Характеристика	Оценки по модели	
		в отклонениях	в абсолютных значениях
	Су“, I/’	0,022	0,028
	бв с 1/° Lya' 7	-0,005	-0,006
1	m“, 1/°	-0,015	-0,015
	m2 +mz	-3,71	-3,45
	m2 , l/°	-0,006	-0,005
	1/-	0,059	0,052
	l/°	-0,002	0,004
2	m“, i/’	-0,014	-0,014
	a "12	+ Wz	-1,88	-2,39
	m*“, 1/’	-0,005	-0,006
Во многих из рассмотренных случаев было обнаружено, что линей-
ные модели продольного и бокового возмущенных движений не
обеспечивают удовлетворительного соответствия между результатами
измерений и расчетными переходными процессами. Так, например,
при обработке параметров короткопериодического движения самолета
МиГ-21 для малых углов атаки (местный угол атаки изменяется в
пределах от —6 до 10°) линейные модели движения часто оказывались
неадекватными экспериментальным данным. Более того, была обна-
ружена устойчивая связь между направлением отклонения ЦПГО и
оценками аэродинамических производных самолета. При отклонении
ЦПГО в положительную сторону от балансировочного положения
290
оценка производной с?а постоянно оказывалась больше, а оценки
производных т* и т^г +т“ по абсолютной величине меньше, чем
при отклонении ЦПГО в отрицательную сторону. При определении
характеристик на отрезке полетной записи большей длины, содержа-
щем отклонения ЦПГО как в одну, так и в другую сторону, точность
описания измеренных данных линейной моделью оказывалась несрав-
ненно хуже, чем на коротких отрезках записи.
В силу неадекватности линейных моделей была сделана попытка
оценить аэродинамические характеристики самолета на основе нели-
нейной модели движения. При этом на основании того, что аэродина-
мические производные зависят от знака отклонения ЦПГО, а следо-
вательно, от того, происходит ли полет на углах атаки, больших или
меньших, чем угол атаки в горизонтальном полете, было сделано
предположение о нелинейности зависимостей суб2(а) и znz(a). При
аппроксимации этих зависимостей квадратичными функциями модель
короткопериодического движения (6.4) приводится к виду
®М = allaM + й12аМ + a13°°z + $в + с1’
(6.10)
= а21аМ + а22 аМ + a23wz + ^2&в + с2’
где коэффициенты ci связаны с аэродинамическими производ-
ными самолета следующими зависимостями:
р У 5 z а п ~ а2 ч	pVS „ а2 е
Л11 = ” ^СУа	ЯМг п) , Й|2 = “  ~ ' Касуа >
X /71	X* ПТ
а13 “	bl~~'2^K~Cya’ Cl~ allttMrn " а12аМг.п *1°в.бал>
а	а
в’^А „ , а „ в2 ч	^^А г^2 а2
«21 = -у-- 2Kamz аМг.п>; а22 = —j—Kamz >
*z	1z
«23 ~
2
qSbi. <5 г	qSbi. 6
___-(т7 2 + т“); Ь2 = ------т’-,
IZV 1	2	2 Iz z
291
Оценки аэродинамических производных по линейной и нелинейной ММ движения
S
ч
VO
сз
Режим 3	Нелинейная модель	а 2	s	з	8	si	В	8	n ” 7	°	7	7	7 7	7	7	*
	Линейная модель	ч 5	©	©S	8 « ** °f °	।	°	?	1	7	7 ~
Режим 2	Нелинейная модель	тг	© 2 5	©	8	8 о 3 S 8 о СО гр	О	CjT	о	qf	СО
	Линейная модель	(N	ч© со	ф © ©	©	о	о	о	© " «у °	1	1 'у ^'2
Режим 1	Нелинейная модель	.	Tf	ОО ч	Я	о	8	8	о	8	55	8	s 04	7	°	°	?’	7	7	7	7	«
	Линейная модель	о s о	Я S	S 8 ° °	1	°	=j>	1 Y ^*5
Параметр		и?н,у» VI -.вгш ziu+ ziu ?	zo r/I ‘г> JI ‘Ju/ VI VI о ‘vv?9’h9 о
292
2	, >
c2 ~ “ а21аМг.п “ а22аМг.п " ^2бв.бал*
Некоторые результаты идентификации аэродинамических произ-
водных самолета МиГ-21 с использованием как линейной, так и
нелинейной модели движения приведены в табл. 6.12. На режиме 1
ЦПГО отклонялось в положительную сторону, и полет происходил на
углах атаки, меньших аг п, а на режиме 2 — наоборот, Адв < < 0 и
А а (0 > 0. Режим 3 представляет собой объединение непосредственно
следующих друг за другом режимов 1 и 2. Поэтому управление на
нем представляет собой перекладку ЦПГО и полет происходит на
углах атаки, как больших, так и меньших агп.
Хотя полученные результаты и не позволяют утверждать, что в
данном конкретном случае имела место именно нелинейность зави-
симостей суа(а) и т2(а), тем не менее введение подобной нелиней-
ности в уравнения короткопериодического движения позволило
существенно повысить точность описания измеренных данных. Следу-
ет также отметить следующее обстоятельство. В то время как точ-
ность отслеживания измерений линейной моделью существенно
293
снижается при увеличении длительности полетной записи, нелиней-
ная модель описывает движение на всем интервале наблюдений
практически с такой же точностью, как и на одной (худшей по точ-
ности) его половине.
Найденные оценки аэродинамических производных позволяют
восстановить зависимости суа(а) и mz(a) в окрестности угла атаки
горизонтального полета так, как это сделано на рис. 6.13. Штрихо-
выми линиями показаны зависимости, построенные по результатам
раздельной обработки режимов 1 и 2 с использованием линейных
моделей аэродинамических характеристик; сплошными линиями —
зависимости, построенные по результатам обработки режима 3 с ис-
пользованием нелинейной модели. Таким образом, учет возможной
нелинейности зависимостей суа(а) и mz(u) позволяет построить по
результатам натурного эксперимента единые модели аэродинамичес-
ких характеристик для всего диапазона изменения угла атаки.
При идентификации характеристик самолета в боковом движении
вопрос о выборе структуры ММ приобретает даже большее значение,
чем в случае короткопериодического продольного движения. Нели-
нейность уравнений здесь может возникать не только вследствие
нелинейного характера зависимостей коэффициентов боковой силы
и моментов крена и рыскания от угла скольжения, но и в случае
движения с большими углами крена, а также при наличии зависи-
мостей mzx(toy) или туу(ых). Более того, даже при рассмотрении
только линейных моделей бокового движения оказываются возмож-
ными многочисленные варианты записи уравнений, отличающиеся
друг от друга числом и перечнем неизвестных параметров. В их число
могут входить характеризующие опорный режим полета углы атаки
и тангажа, если они не измеряются с достаточной точностью; обус-
ловленные возможной несимметричностью самолета постоянные
составляющие моментов крена и рыскания; коэффициенты градуиро-
вочной зависимости между измеряемым в полете местным и истин-
ным углами скольжения; обычно не учитываемые составляющие
коэффициентов боковой силы и момента рыскания от отклонения
элеронов и т.д. Следует отметить также и то обстоятельство, что даже
порядок ММ бокового движения может изменяться, например, в
зависимости от точности измерений угла крена. При достаточно
точных измерениях последнее уравнение системы (6.2) может быть
отброшено, а в уравнении для угла скольжения угол крена можно
рассматривать как известное дополнительное управление. Тем самым
порядок модели понижается на единицу. В противном случае необхо-
димо использовать полную модель четвертого порядка и определять
в процессе решения задачи оценки текущих значений угла крена.
294
При решении практических задач простейшие модели бокового
движения, содержащие минимальное число характеристик, часто
оказываются неадекватными, и поэтому не могут быть использованы.
И наоборот, попытка учесть в мддели все без исключения харак-
теристики самолета приводит к чрезмерному усложнению задачи,
вследствие чего не только многократно возрастают затраты машин-
ного времени на ее решение, но и может возникать вычислительная
неустойчивость процесса идентификации. В связи с этим оказывается
необходимым выбирать структуру модели бокового движения самоле-
та в каждом конкретном случае на основе тщательного анализа
данных летного эксперимента и с учетом всей имеющейся априорной
информации.
Для определения характеристик самолетов в боковом движении
целесообразно использовать линейную модель (6.5), но записанную
относительно местного угла скольжения рм и учитывающую возмож-
ное наличие постоянных составляющих моментов крена и рыскания,
а также влияние отклонения элеронов на момент рыскания. Угол
крена рассматривается как известное дополнительное управление в
уравнении для угла скольжения. Преобразованные уравнения (6.5)
имеют вид
Рм =	а11Рм	+	aY2®y +	а13шх	+ ^11 *н	+ й12^э	+ ^13Y	+ с\ 5
S =	Й21 Рм	+	а22^у +	а23^х	+ й21Йн	+ Ь22&э	+ с2»	(6.11)
=	а31Рм	+	а32шу +	а33^х	+ й31*н	+ й32бэ	+ с3’
где коэффициенты а^., связаны с аэродинамическими производ-
ными соотношениями
pSV 0 L	cosa L, L
tZi i = -----C_ ~ — ZZni ; ZZi 7 = ------ + — (ZZi i + — ZZni “ ^77) ,
11 Im 1 V 21	12 JCp V 11 V 21	22
sin a	L	,	pSV	Lk .
=	 Ь	/Ср	 у-23’411 ' 2mKtC- ' Ybl"
L,	,	_ gcosO. „ _ all ft
cz “ ~yb22' b13 ~	> C1 “ Xp'Po "
b - pSV
21 2mKp
psviL .
2/	У°’
295
а21	У	а22=-^ 22	4/у	2	L ^у + у*21!
а23	. pSVl2 Я. 4/ тУ ’ п У	Ь21 ~ ~т—ту ’ *У	
*22	qSl ®, = 1гту; ъ У	ЙО! = п^-Ро * Лр	— У
а31	_ qSI % р . 1 X	а - ?SVl 32 “ 4/	2 Ч L ~тх +Т«ЗР
~f—тх ’
*Х
pSVl2 «ж .
а33 = —ду—тх ’ *31
Л - ‘?5/ж8э.
*32 ~ -Г- тх ’
а31 0	qSl
с3 = “ТГ-Ро + -j— тхО-
Ар	1Х
Измеряемый в полете местный угол скольжения рм связан с истин-
ным углом р градуировочным соотношением
р-ро+Хр[рм + |<^.	<6.12)
Опыт решения практических задач показал, что учет в модели
градуировочной зависимости и наличия постоянных составляющих
моментов крена и рыскания позволяет не только существенно улуч-
шить соответствие между измеренными и расчетными переходными
процессами, но и повысить точность определения характеристик
самолета в боковом возмущенном движении.
296
7. ПРИМЕРЫ
СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ ММ
ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
7.1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ММ,
ОПИСЫВАЮЩЕЙ ПРОДОЛЬНОЕ
ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
УПРУГОГО САМОЛЕТА
При анализе динамики тяжелых самолетов с большими размера-
ми и подвергающихся заметным упругим колебаниям элементов
конструкции часто возникают трудности с выбором ММ движения
самолета.
Задача построения ММ, описывающей движение самолета с учетом
упругих колебаний конструкции, является весьма сложной и в данной
работе не рассматривается. К настоящему моменту разработаны
несколько ММ для описания динамики упругого самолета. При этом
принимаются различные упруго-массовые схематизации самолета.
Деформации конструкции рассматриваются под действием статичес-
ких либо динамических нагрузок. Одной из важных составных частей
обшей ММ является описание аэродинамических характеристик
самолета с учетом неустановившегося движения самолета.
Для численного моделирования и исследования возможностей
структурно-параметрической идентификации в данной работе принят
вариант описания динамики упругого самолета, подтвержденный на
практике при испытаниях.
Будем полагать, что упругий самолет можно представить как
систему с дискретно распределенными параметрами, а упругие дефор-
мации могут быть описаны по методу собственных форм. В соответ-
ствии с методом форм априори задаются конечным числом тонов
колебаний, и прогиб конструкции может быть приближенно представ-
лен как конечная сумма составляющих, характеризующих каждый z-й
собственный тон изгибных либо изгибно-крутильных колебаний
частей самолета. Каждому тону колебаний упругого самолета, оче-
видно, будет соответствовать определенная частота и совокупность
форм колебаний его отдельных элементов (крыла, фюзеляжа, опере-
ния и т.д.). Например, вертикальное смещение любой точки самолета
относительно системы OATZ, связанной с центром масс самолета,
может быть представлено в виде конечной суммы
297
п
у(х, z, t) = 52 rt(x,
где rz(x, z) — z-я нормальная форма колебаний; q^t) — обобщенная
координата z-й степени свободы.
В работах [3, 12, 14] выведены различные варианты уравнений
движения упругого самолета. Приведем здесь только один случай для
продольного возмущенного движения при принятых выше допущени-
ях, при этом будем полагать, что аэродинамические характеристики
самолета соответствуют параметрам квазиустановившсгося движения
и влиянием нестационарности можно пренебречь [12]:
п
« = dua +	+ £ <dj\Qj +	+	+ £1^;
/=3
п
О = rf12a + d22tf +52 42^/ + й/2?/> + "б/в + S2W2’	(7,1)
/ = 3
и
9,- = dlza + d2ih + 52 <<М/ + b^j) + п ‘ SB + SfW^
где а — угол атаки корневого сечения поверхности; 0 — угол тангажа;
7Z- — обобщенные координаты z-й степени; Jzy-, b- — постоянные коэф-
фициенты, характеризующие динамические и конструктивные данные
самолета; — показатели эффективности руля высоты. В данном
случае принят только один тип рулей, полагается, что элевоны и
компенсаторы отсутствуют. В противном случае учет воздействия
этих рулей может быть произведен аналогичным образом.
Будем рассматривать уравнения (6.3) в отклонениях от опорных
параметров движения, в качестве которого примем горизонтальный
установившийся полет. В матричной форме и новых обозначениях эти
уравнения могут быть представлены в виде
х = Ах + Ви + SK,
где
хт = [Да(0гр1?1Р2?2...рп_2?и_2];
298
и =	Д«в; Pt = t	= 1, 2, ..., п - 2;
	а11	а12	a13 a14	а1п
	а21	а22	а23 а24 —	а2п
А =	а31	а32	а33 а34 —	а3п
	0	0	1 0 ...	0
	...		
	an-l,l an-l,2		 an-ltn-l	ап-1,п
Вг -	= [*! ьг... йи]	
	$1 0 ... 0	
	0 S2 ... 0	
S =		•
			
	0 0 ... sn	
Коэффициенты Лу и Щ примем такими, как они определяются для
жесткого самолета:
1
mV
дс
Pcos(a + фр) + —— qS
да
qSbk	qSbk л
а22 = —7—mz » a21 = —7—mz » a12 =
1z	2z
Остальные коэффициенты зависят от характера упругих колеба-
ний и являются неизвестными. В общем случае на движение самолета
могут оказывать воздействие случайные возмущения V(t). Матрица
S характеризует значимость этих случайных возмущений в конкрет-
ном полете самолета.
299
В экспериментальном режиме обычно измеряются только два
первых параметра А а (0 и o)z(0, поэтому
zj (О = Да (О +
z2(0 = wz(0 + o2W2(t),
или в матричной форме
z = hx + oW;
Z т = [Zj Z2];
1 о о ... О
й =	;
О 1 0 ... О
Жт = [ИЛ! W2 0 ... 0];
х т = [Аа <oz Pi qx ...] ;
□j 0	...	О
О а2 ... О
•а =
О 0 ... О
При испытаниях неизвестно заранее, сколько тонов колебаний
могут проявить себя в полете, поэтому структура и порядок уравне-
ний (7.2), описывающих движение упругого самолета, являются в
общем случае неизвестными. Представляет интерес исследовать
возможность определения структуры уравнений и неизвестных пара-
метров их правых частей по результатам измерений.
Для решения задачи матрица наблюдаемости (в предположении,
что случайные элементы отсутствуют) должна иметь ранг и:
300
rangN = rang
h
hA
h
hA
= rang
(7.4)
hAn~r
hAn~2
где r = rang h = 2.
Проверка наблюдаемости в общем случае усложняется тем, что
матрица N содержит неизвестные параметры. Здесь она производи
лась для частных случаев тонов упругих колебаний и конкретною
самолета.
7.1.1.	ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
С целью исследования влияния различных факторов на точность
структурно-параметрической идентификации предлагаемым байе-
совским методом совместно с ММП проводилось численное модели
рование возмущенного движения сверхзвукового тяжелого самолета
(СТС) и сверхзвукового легкого самолета (СЛС) для ММ продольного
возмущенного движения при различных числах тонов упругих коле-
баний. Основной вклад в упругие деформации конструкции даст
первый тон колебаний. Поэтому сначала была рассмотрена ММ для
описания возмущенного движения самолета с учетом только одною
первого тона колебаний
х ~ Ах + Ви; x(tQ) = х0	(7.5)
и для результатов измерений в моменты времени
zk = hxk + aWk; к = 0, 1, ..., TV.
(7.6)
Для СТС и СЛС были приняты следующие исходные данные:
х 1 = [Да coz ; z т = [Да o>z] ; и = Дбв;
10 0 0
h =
0 10 0
ин
Матрицы Aw В для СТС [13]:
-1,44 1	0,02	0,62
-15,6 -2,1	0,59	12,0
-4,6 4,84	-2,92	-531
0	0	1	0
(7.7)
Вт = [-0,37 -5,6 -35 0].
Матрицы Aw В для СЛС [13]:
-3,50	1,03	0,14	9,8
-38,3	-4,3	7,5	495
-135	2,44	-17,5	-1957 ’
0	0	10
(7.8)
Вт = [-0,27 -45 -80 0].
Матрица наблюдаемости АГ имеет вид
	1	0	0	0
	0	1	0	0
h	ап	а12	*13	*14
N = hA =				
	а21	а22	а23	*24
ЙЛ2				
	511	512	*13	й14
	а21	^22	323	*24
где — элементы первых двух строк матриц А для СЛС и СТС;
йц — элементы первых двух строк произведения Л2 для СЛС и СТС.
Анализ этих матриц показывает, что исходная система наблю-
даема.
Перед проведением структурно-параметрической идентификации
было исследовано влияние законов управления на точность построе-
ния ММ. Для этой цели моделировалось возмущенное движение СТС
с тремя тонами упругих колебаний и экспериментальным путем на
ЭЦВМ подбирался закон управления, возбуждающий все тона упру-
302
гих колебаний. Контроль проводился с помощью сравнительного
анализа амплитудных и фазовых частотных характеристик процессов
по Аа(0 и c»)z(0 при входном воздействии Дбв(/), построенных в дис-
кретные моменты времени и вычисленных с помощью соответствую-
щих ММ. В результате в качестве управляющего воздействия был
выбран импульс с максимальной амплитудой 14°, длительностью
около 1,50 с и продолжительностью записи для обработки 4,68 с (150
измерений с шагом 1/32 с).
7.1.2.	ВЛИЯНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
НА ТОЧНОСТЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Предложенная методология и методы структурно параметрической
идентификации с предварительным экспресс-анализим и дальнейшим
уточнением и проверкой ММ более точным методом с использованием
фильтрации параметров состояния переходных процессов проверялись
при различных уровнях погрешностей в измерительных системах.
Численное моделирование для проверки приводилось для двух гипотез
о ММ движения. В первом случае рассматривались уравнения движе-
ния для жесткого самолета. Принимались линеаризованные уравне-
ния второго порядка в виде первых двух уравнений системы (7.5).
Для второй гипотезы уравнения движения самолета принимались с
учетом одного тона упругих колебаний и рассматривались четыре
дифференциальных уравнения системы (7.5) для случая сверхзвуко-
вых тяжелого и легкого самолетов.
В случае жесткого и упругого самолетов идентификации методом
максимального правдоподобия подлежали соответственно пять и
четырнадцать коэффициентов матриц А и В для СТС и СЛС, т.е. все
элементы матриц, за исключением равных нулю и единице. Резуль-
тирующие зависимости представлены на рис. 7.1...7.4. С целью срав-4
нитсльного анализа результатов графики на рис. 7.2, 7.3 и 7.5, 7.6
представлены в относительных величинах по отношению к истинным
значениям параметров, принятым при моделировании и равным их
значениям в матрицах А и В (7.7), (7.8). Расчеты выполнялись для
следующих среднеквадратических погрешностей измерений угла
атаки a(t) и угловой скорости тангажа g)2(0:
а = 0,0002327 °, а = 0,0033335 7с;
а	7	7	и>2	'	7
о - 0,0004654 ’, а - 0,0066670 7с;
а	7	7	(i^	7	7
а - 0,0009308 °, аы = 0,013334 7с,
а 7	7	и>2	7	7
303
которые соответственно обозначили как а = 0,5; о = 1; 3 = 2, приняв
средние значения за истинные.
На рис. 7.1,а представлены зависимости функционала метода
максимального правдоподобия от относительных среднеквадратичес-
ких погрешностей измерений для гипотез Ж0|0), Ж1|0), когда
результаты измерений моделировались для жесткого самолета и
проверялись гипотезы соответственно жесткого и упругого само-
летов.
На рис. 7.1,6 показаны аналогичные зависимости для случая, когда
результаты измерений моделировались для упругого самолета с одним
тоном колебаний, а проверка гипотез проводилась для жесткого и
упругого самолетов, т.е. соответственно введены обозначения гипотез:
Ж0|1), Ж1|1). Все расчеты проводились для сверхзвукового тяже-
лого самолета с помощью уравнений (7.5), (7.6) и матриц А, В (7.7).
В случае гипотез о жестком самолете: Ж0|1), Ж0|0) методом
максимального правдоподобия строились оценки пяти элементов
матриц А и В (7.7), которые условно обозначены как функции произ-
водных аэродинамических коэффициентов
W	jw
а11 Sa>; °21 <OTZ >; «22 (mz‘ + mz); (су‘); b2(mz *).
В случае гипотез об упругом самолете: Я(1|0), Ж1|1) методом
максимального правдоподобия строились оценки четырнадцати эле-
ментов матриц А и В (7.7)
«11 (су“); й21 (mz); а22(т^‘ + т“);
304
^1 (Суа ’ ^2 ^mz > «31	’ «32	!
«is <Qf >; «2з <q£>; «зз <е/ >; «и <е/>;
«24(Qj,); «34(Q/>; b3(Q-‘).
Расчеты проводились с помощью решающих правил, полученных
в разд. 3 (формулы (3.7) и (3.9)), и с введением поправок на класс
рассматриваемых гипотез (формула (3.192)).
Сравнительный анализ зависимостей функционала правдоподобия
/ммп от случайных погрешностей 5, представленный на рис. 7.1,
показывает, что гипотеза об упругом самолете, когда на самом деле
имело место движение упругого самолета, справедлива, т.е. истинная
модель движения самолета выбирается достаточно хорошо. Если не
производить поправку на порядок неизвестных коэффициентов при
вычислении функции правдоподобия (формула (3.9)), оценивание
ММ жесткого самолета производится хуже, т.е. производится по-
существу аппроксимация простой модели более сложной. Этот недо-
статок исправляется, если воспользоваться для вычисления функции
правдоподобия формулой (3.192) и считать функцию правдоподобия
осредненной для целого класса гипотез с заданным фиксированным
вектором неизвестных параметров размерности ра\ = 14. Из формул
(3.192) и (3.9) видно, что поправка ра\ обладает регулирующим
свойством и не позволяет аппроксимировать простую ММ более
сложной.
В исходной постановке численного моделирования гипотезы о ММ
движения самолета были приняты равновероятными. Проверка пока-
зала, что при отношении вероятностей Рн\ : Риг = 0,502 : 0,498
соответственно для вероятностей ММ о жестком и упругом самоле-
те решающие правила можно использовать без поправок на класс
гипотез.
Относительные значения оценок элементов матриц А и В для
различных гипотез о жестком и упругом СТС с трехсигмовым от-
клонением, обозначенным штриховыми и штрихпунктирными лини$[-
ми, представлены на рис. 7.2, 7.3. В случае, когда моделирова-
лось движение жесткого самолета (рис. 7.1,л, 7.2,а), отмечается
значительное смещение оцениваемых коэффициентов для гипотезы
Я(1 ’0). При этом доверительные интервалы больше, чем при приня-
305
Рис.7.2
WC,1
той гипотезе о математической модели жесткого самолета Ж0|0).
-	5
Наихудшее оценивание производится для коэффициентов Ь{ (с *),
/>2<), характеризующих эффективность органов управления. В
этом случае истинные оценки не попадают в соответствующие дове-
рительные интервалы.
В большинстве из приведенных зависимостей оценки несущес-
твенно изменяются с ростом относительных среднеквадратических
погрешностей измерений о. Доверительные интервалы увеличива-
ются пропорционально росту о. На рис. 7.3 показаны зависимости
коэффициентов, характеризующих степень упругих колебаний. При
этом звездочкой обозначены значения соответствующих коэффици-
ентов, принятые при численном моделировании.
На рис. 7.2,6 приведены аналогичные 7.2,а зависимости для случая
ММ движения упругого самолета. Видно, что смещения оцениваемых
коэффициентов существенно меньше, однако доверительные интерва-
лы несколько больше. Это обусловлено тем, что число идентифициру-
емых коэффициентов в этом случае четырнадцать, в то время как для
жесткого самолета их пять. Естественно, что одно и то же количество
информации, полученной в результате эксперимента, должно в
среднем распределяться на все определяемые неизвестные коэффици-
енты, которых в случае упругого самолета больше почти в три раза,
чем в случае жесткого.
Следует отметить, что в данном случае сходимость решений по
методу максимального правдоподобия зависит от точности задания
начального приближения для коэффициентов, определяющих упру-
гость конструкции. Отмечались случаи, когда сходимость по методу
максимального правдоподобия нарушалась при значениях этих коэф-
фициентов, достаточно далеких от истинных. Исследования показали,
что практически все коэффициенты определяются с удовлетворитель-
ной для практики точностью, за исключением величин а13 (Q& ) и
а23	• Доверительные интервалы при а = 1 не превышают для
всех величин оценок 3...5 % от номинальных значений. При этом
смещения оценок достигают в некоторых случаях 15...20 %, за ис-
ключением величины а14 (Q Ъ •
Результаты численного моделирования, аналогичного предыду-
щему, для сверхзвукового легкого самолета представлены на
рис. 7.4...7.6. Сравнительный анализ зависимостей функционала
правдоподобия ^ммп на Рис- 7-4 показывает, что гипотеза о движении
сверхзвукового легкого самолета может быть распознана с большей
308
долей предпочтения, чем для
СТС. Это обусловлено более ин-
тенсивными переходными про-
цессами для СЛС по сравнению с
СТС. Так же, как и для СТС,
гипотеза о жестком сверхзвуко-
вом легком самолете лучше опре-
деляется, если использовать регу-
ляризирующую поправку в выра-
жении для функции правдоподо-
бия по формуле (3.192).
На рис. 7.5 представлены от-
носительные значения оценок
элементов матриц А и В для раз-
личных гипотез о жестком (рис.
7.5,а) и упругом (рис. 7.5,6) СЛС
с трехсигмовым отклонением от
оценок. Для неправильных гипо-
тез Я (110), Я (011) отмечается
значительное смещение оценок коэффициентов, а также некоторое
увеличение доверительных интервалов. Наихудшее оценивание
производится для коэффициентов bx (с al3 (Q& ).
В результате существенного смещения оценок при неправильных
гипотезах для коэффициентов, за исключением ^22(mz2 + m“),
истинные значения оценок не попадают в области, ограниченные
доверительными интервалами, и этот факт можно использовать при
дополнительной проверке достоверности решений.
Анализ численного моделирования для двух СТС и СЛС показал,
что структурно-параметрическая идентификация ММ движения
самолета, когда каждая из моделей уравнений движения получается
как частный случай более сложной, должна производиться последо-
вательно. При этом следует обязательно начинать исследования с
более простых моделей и последовательно добавлять неизвестные
параметры для более сложных уравнений. В соответствии с предла-
гаемой методологией исследований на каждом этапе наращивания
сложности моделей необходимо производить проверку значимости
оцениваемых коэффициентов, особенно тех, которые обусловлены
новой ММ движения самолета. Следует также учитывать разницу
между /ммп для двух последующих гипотез. При незначительном их
отличии по модулю проверку достоверности оцениваемых коэффици-
ентов, а также доверительных интервалов и возможных смсще-
309
Рис.7.5
ний оценок необходимо производить с повышенной точностью. В
качестве дополнительных средств проверки достоверности можно
рекомендовать проверку чувствительности функционала правдопо-
добия /ммп к оцениваемым параметрам. Целесообразно также ис-
пользовать частотный метод сравнительного анализа переходных
процессов, обусловленных ММ, и экспериментальных данных в
случае, если имеется возможность описания движения системой
уравнений с постоянными коэффициентами. В некоторых случаях,
особенно когда известны статистические данные об описании дви-
жения самолета и можно вычислить априорные вероятности гипотез
о моделях движения, целесообразно использовать сравнительный
анализ гипотез с учетом их различных вероятностей. Вычисление
апостериорных вероятностей гипотез предлагаемым ранее способом
способствует повышению точности решения.
При идентификации методом максимального правдоподобия боль-
шого числа неизвестных коэффициентов (более 10) важно правильно
выбирать их начальные приближения для удовлетворительной сходи-
мости решений. Большую роль играет априорное задание части
неизвестных коэффициентов с целью сокращения числа идентифици-
руемых коэффициентов. Результаты таких исследований приведены
на примере, представленном ниже.
7.1.3.	ВЛИЯНИЕ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ
О НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРАХ
НА СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКУЮ ИДЕНТИФИКАЦИЮ
Исследование задачи проводится с помощью математического
численного моделирования движения упругого СТС с учетом двух
тонов упругих колебаний с последующим определением ММ движе-
ния. Уравнения, описывающие движение сверхзвукового тяжелого
самолета, моделируются в форме (5.2) со следующими значениями
элементов матриц А = [а^ и В = [Ау], [13]:
	-1,44 1,0 '	0,02	0,62	-0,02	-0,87	0,04	0,54
	j-15^6 -2Д|	0,59	12,0	-0,74	-22,7	0,26	13,74
л =	-4,6 ~4,84	-2,92	-531	4,4	106	-162	-48
	0	0	1,0	0	0	0	0	0
	-319 -21,3	7,54	201,8	-18,16	-1389	2,83	-2108
	0	0	0	0	0	0	1,0	0
312
В т = [-0,37 -5,6 ; -35 0 -50 0 85,0 0].
Вектор идентифицируемых параметров формируется из части
коэффициентов, которые непосредственно зависят от аэродинами-
ческих и моментных характеристик, т.е.
а =	а21<тг“>’ a22(m/‘+m“),	i2(mz8’)),
и в матрице А представляют собой четыре элемента в верхнем левом
углу, выделенные пунктирной линией, а также первые два элемента
матрицы Вт. Оставшиеся элементы матриц Ли В, характеризующие
упругие колебания самолета, задаются известными. Причем прини-
мается следующая методика. Сначала моделируется движение упру-
гого самолета с номинальными значениями параметров, приведенных
в матрицах Л и Б, и проводится параметрическая идентификация.
Затем последовательно рассматриваются случаи численного моделиро-
вания и идентификации, когда параметры, характеризующие упру-
гость самолета, случайным образом отклоняются от номинальных
значений на 25, 50 % и т.д. Таким образом, моделируются ошибки
в априорной информации, касающейся только части матриц А и В,
связанной с влиянием упругости конструкции на динамику самолета.
При численном моделировании проверяется точность идентифи-
кации оставшихся неизвестных элементов матриц А и В, непосред-
ственно определяющих аэродинамические и моментные производные
самолета, а также сходимость решений в зависимости от степени
ошибок задания априорной информации. Затем производится выбор
структуры ММ движения самолета, наиболее точно описывающей
результаты численного эксперимента.
Результаты идентификации приведены в табл. 7.1 для двух случа-
ев ошибок в априорной информации: 0 и 25 % от номинальных
значений.
Для сравнения значения функционалов правдоподобия для случая
моделирования без ошибок и с 25 %-ными ошибками соответственно
равны:
^ммп|0о/о =0,43698; /ммп)^ = 0,52684.
Откуда видно, что структура ММ по предложенному алгоритму
определяется правильно. Однако следует отметить, что с увеличением
ошибок в значениях априорных данных появляется значительное
смещение оцениваемых коэффициентов и рост их доверительных
интервалов. При моделировании отклонений в задании параметров,
313
Точность оценивания коэффициентов ММ движения при различных априорных данных
•o“ N 5 гч	о O>	T1	SO r?	00 M5	5	°	“	§ 7	7	7	S
б *1 <S«>	г-	В	?	s ^22 CO	CO	_	XT	Q 7	7	7	<
g 1 3 н £ СЧ СЧ	r	®	40	о g:	fj	S	g 7	7*	о	7"	о II	-H	|	-н
«с, £ гч	□О оо	-	-	2 6ч	00	(Л 'о	тг	S	22 »О	о*	140	о 7	7	41	7	44
« £ s-z <3*	г* Г*	О	— _	СП	т1	гч	к X S	°	£ X	7	со	’-t	о 7	7	®	*Т	® II	-н	1	-н
Элементы матриц А и В	Номинальные значения пара- метров Оценки параметров при отсут- ствии ошибок априорных дан- ных Значения доверительных ин- тервалов параметров ± За Оценки параметров при слу- чайных ошибках в априорных данных, равных 25 % от номи- нальных значений Значения доверительных ин- тервалов параметров при ошибке в априорных данных 25 % от номинальных значений
314
характеризующих упругость конструкции, равными 50 % от номи-
нальных, процесс оценивания параметров становится расходящимся,
а идентификация неудовлетворительной.
Дальнейшие исследования показали, что при идентификации
большого числа параметров, отражающих различную физическую
природу, такие случаи могут появляться часто и целесообразно
принимать дополнительные меры по регуляризации решений. Так,
например, авторам представляется нецелесообразной, а в ряде случа-
ев неправильной одновременная идентификация аэродинамических
и моментных производных самолета, параметров ММ датчиков и
калибровочных и градуировочных зависимостей, характеристик
упругости конструкции, параметров системы управления и систем,
улучшающих устойчивость и управляемость и т.п. Все эти разнород-
ные по значимости параметры в различной степени влияют на харак-
теристики переходных процессов, регистрируемых в полете. Кроме
того, эти параметры обычно сильно отличаются по модулю друг от
друга и часто определение некоторых из них становится соизмеримым
с определением ложных параметров, обусловленных уровнем помех
и погрешностей в реальных условиях эксперимента.
Существует еще один важный фактор, влияющий на точность
решения задачи. Полученный в эксперименте объем информации
приближенно распределяется поровну для всех определяемых неиз-
вестных коэффициентов. Погрешность их определения возрастает с
увеличением числа неизвестных коэффициентов, и наступает случай
критического числа, при котором оценивание становится некоррек-
тным. В первую очередь, это касается тех параметров, величина
которых по модулю мала независимо от их роли в физической модели
эксперимента. При появлении некорректностей определения хотя бы
одного из идентифицируемых коэффициентов автоматически про-
изойдет смещение оценивания остальных вследствие ’’подстройки”
ММ под результаты эксперимента в соответствии с выбранным кри-
терием.
В силу того, что различные по физической природе параметры по-
разному влияют на показатели переходных процессов в эксперименте,
а при решении обратной задачи динамики полета их ранжировать не
всегда удается, целесообразно их последовательное оценивание с
максимальным использованием априорной информации в вычисли-
тельном процессе.
Можно привести еще один пример некорректной идентификации
при обработке данных эксперимента и построения ММ. Пусть для
описания переходных процессов строится дифференциальное урав-
нение с неизвестными параметрами в правой части такое по струк-
туре, что достаточно точно в среднем описывает результаты экспе-
315
римента, т.е. ММ в целом является правильной. Полет самолета
рассматривается в слабой турбулентной атмосфере, так что в правую
часть уравнения целесообразно ввести случайный процесс. Пусть для
простоты это аддитивный белый шум с нулевыми средними значения-
ми. Ставится задача определения разнородных по своей значимости
и природе неизвестных аэродинамических и моментных характерис-
тик и оценивания значения внешних возмущающих воздействий,
обусловленных турбулентностью (например, в дискретные моменты
времени оценить значения дискретного белого шума). Ясно, что при
идентификации в каждый момент времени добавляется еще один
неизвестный параметр, который на уровне измерительных шумов
может быть оценен, и его значение в общем случае будет ненулевым.
В связи с этим будет производиться ’’подстройка” ММ под результаты
эксперимента не только за счет коэффициентов аэродинамических
сил и моментов, но и с помощью дополнительных поправок к правой
части уравнений за счет белого шума. Также очевидно, что чем
больше таких поправок, тем хуже будут определяться истинные
коэффициенты аэродинамических сил и моментов. Может наступить
момент, когда практически вся измерительная информация спишется
на определение значений белого шума, а коэффициенты аэродинами-
ческих сил и моментов будут идентифицироваться неудовлетвори-
тельно. Численное моделирование на ЭВМ подтверждает такой вывод.
В дополнение следует отметить, что к относительно большой роли
априорной информации при идентификации к настоящему моменту
пришли ряд исследователей. Аналогичные исследования, но только в
области построения ММ, описывающих нестационарную и нелиней-
ную аэродинамику различных летательных аппаратов, проводились
в работах сотрудников ВВИА им. Н.Е. Жуковского и др. Как отмеча-
лось, при построении ММ в аэродинамике также иногда допустимы
ошибки в части априорных данных до 50 % от номинальных значе-
ний и при этом идентификация в целом получается точнее, чем в
случае определения всех неизвестных коэффициентов одновременно.
7.2.	ПРИМЕР ИДЕНТИФИКАЦИИ ММ
БОКОВОГО ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
При решении прямой задачи динамики полета для получения
качественных решений и упрощения исследований часто пользуются
принципом малых возмущений и иногда методом ’’замороженных”
коэффициентов. Такие допущения полезны и необходимы для быс-
трого анализа характера переходных процессов, траекторий и дина-
мических свойств самолета.
316
Решение задач обычно сопровождается упрощающими допущени-
ями о малой значимости некоторых из коэффициентов, и эта, как
правило, несущественно влияет на конечные решения.
В качестве примера ставилась задача проверить, как влияют
традиционно используемые в динамике полета допущения на решение
обратной задачи, т.е. когда известны в результате измерений переход-
ные процессы самолета при заданном управляющем воздействии и
требуется построить ММ движения самолета и определить аэродина-
мические и мвментные характеристики.
Для этого рассматривалось боковое возмущенное движение самоле-
та с заданными инерционными, массовыми, геометрическими и
аэродинамическими характеристиками. В качестве опорного режима
принимался полет на постоянной высоте Но = 4000 м при числе Мо =
= 0,7 без крена и скольжения.
Законы отклонения руля направления и элеронов в отклонениях
от балансировочных значений были приняты следующими:
Абн =
Д5Э =
0,0873 рад при 0 £ t < 2,344 с,
-0,0873 рад при t > 2,344 с;
0 0175sin_z при 0 <. t <. 4,5 с,
32
при t > 4,5 с.
Параметры траектории измерялись в дискретные моменты времени
tk (к = 0, 1, ..., N) с погрешностями, и уравнения измерителей пред-
ставлялись в виде
А0изм£	+	^<**ук +
^измк ^к +	А<«\изм£ ^*хк +
где Пр = 0,053°, oQ = 0,013 рад/с; = 0,01 рад, = 0,01 рад/с —
среднеквадратические погрешности измерений 0, у» <«>х; И =
= 1...4: к = 0, 1, ..., N) — независимые между собой случайные гаус-
совские величины с нулевыми средними значениями.
317
Для численного моделирования параметров бокового возмущенного
движения самолета относительно принятого опорного режима исполь-
зовались уравнения
п 1	Р^2 С	 S а
Р = ——	czaS + eicosa + G^sina + -±.ycosO;
1
II -I2
лхлу xy
[mY(7vcosa - 7YVsina)
Л у	A у
+ mv(7YVcosa + 7Ysina)
у А У	A
txLsi
2
1
= --------2
II -I
хлу лху
[mx (Jxycosa - 7xsina) +
+ mJI Ycosa + 7YVsina)]
ул	A у
Y = - a^tgO +
Здесь
cza = cza(a) P + cza (a) 5h + cza (a)	+
+ сД(а)^ + сг8аэ(а)«э;
mY = mYM +	(a) p + mY (a) gl. + mY (a) g)v + mY (a) P +
*	v	Л \z	Л	* V	•A'	v	j	Л
+	+ m8"(a)5H + т/'(а)бэ + Дтхподв(а);
318
В	Чс —	<•)	— в “
ту = myQ(a) + ту (а) р + ту (а) шх + ту (а) ыу + ту (а) Р +
+ т“х^5хБу + т*н(а)бн + т’э(а)бэ + Дт?подв(а),
где Атхподв, АгПуп^ — составляющие коэффициентов моментов
подвесок на самолете.
В качестве сравниваемых ММ принимались линеаризованные
уравнения относительно параметров прямолинейной горизонтальной
траектории полета самолета при различных традиционно принимае-
мых в динамике полета допущениях. В качестве первой ММ была
принята следующая:
cza	g
Др = -----Др + Д eicosa + AyJLcosft +
т т
+ Aci^sina + ^Дбн +^Дд3;
Д<\ = ----—-------— [(iyrn* + ixyrny) J^AP + (iyrnxy +
хт^х^у ~ ^ху^	т
+ ixymyy)^ + Uym^x + ixymyx) Дсо* +	+
хт
+ 1хуту ) Дбн + — (fyiTiх + 1^ушу ) Ддд ] у
хт
Д<^ = --------1---—[(ixmy + ixymx) -Ь.др + (ixrhyy +
_ Х,п
+ ixym^)^ + (ixrfiyx+ ixymxx)^ + _У-(гхт/ +
хт
+ гХЛ,гЯу")Дбн + JL(i m 9 + i т°) Дб,] ;
•	Ar jr »А	Г*	V	«Аг у »А	С?
~т
Ду = - Aaytgft + Дса*.,
где
319
Т = т • |< = 2w • i = 47jc • i - ^xy. i - А1*У .
" ' psv’ p ’ psF ’	y~^' xy ' 7^’
7x = 7xocos2*K + 7yosin2<Pn Jy = 7yocos2<PE + 7xosin2<PE;
7xy = (/yo ~ <V0)sin2<pK/2; фи = qy + a - qyp;
-	P	P	1	P P /zn
mx = mx + 2Vmx<a/(2Tm>;
*	P	P	1	fl fl //П	4
my = my + 2Vwy cZa/(2bn>;
“>x fl . z~	»x fl
mY = mY + mAsina; rn = mv + wA,cosa;
л	л	л	У	У	У
~ Ч Ч р .	- Ч s- А
тх = тх + wvsnla’ Му = "у + ту;coset;
«.у8" = тх" + ^ymxcza/(2xrn^y
ту" - ту" + J_mJc®(;7(2T„[).
Полагалось, что в приведенных линеаризованных уравнениях
тх = ту = cza = cza = °! a = О; Пу’ = 0; <ри = 0.
Структурно-параметрическая идентификация проводилась по
решающему правилу (3.9) с использованием оценок неизвестных
аэродинамических производных методом максимального правдоподо-
бия, описанным в подразд. 3.10. Вычислялись следующие оценки
характеристик самолета:
ft П (*) (О G) G) б б б
^ММП = ^Х’ ^у ’ ^х ’ ^у > ^хУ’ ,flv ' ^х"' ^у" ’ *”x^
320
для каждой из перечисленных ММ, описывающих возмущенное
движение самолета. При этом производился сравнительный анализ
этих оценок с заданными при численном моделировании.
Результаты расчетов приведены в табл. 7.2.
Таблица 7.2
Ошибки оценивания аэродинамических производных
Характе- ристика	Априорное значение	Относительное смешение оценок аэродинамических характеристик в %		
		Модель 1 ^ммп " -- 1,836042	Модель 2 •^ммп “ -- 1,961605	Модель 3 Лимп “ --2,213313
тх	-0,0641839	16,61	29,44	34,63
ту	-0,1389993	3,22	30,32	25,65
Ч тх	-0,2350117	4,93	6,25	3,50
to ту	-0,0644599	4,63	18,23	61,04
ч тх	-0,1219966	73,67	162,1	200,49
Ч ту	-0,5980086	21,44	30,62	76,53
mx"	-0,0156271	35,47	44,59	44,49
ГПу"	-0,0739765	2,73	4,72	8,15
S И о ш	-0,0935563	2,07	2,45	2,00
Проверка статистических гипотез в данном случае приводит к
выделению первой ММ движения самолета. При этом параметричес-
кая идентификация по методу максимального правдоподобия дает
наиболее точные и менее смещенные оценки относительно тех же
оценок, вычисленных для других моделей. Для сравнения в табл. 7.3
приведены нижние границы оценок дисперсий, вычисленных с по-
мощью неравенства Крамера—Рао.
321
Таблица 7.3
Нижние границы Крамера—Рао оценок дисперсий
Характеристика	Оценки дисперсий аэродинамических характеристик		
	Модель 1	Модель 2	Модель 3
тх	0,042340	0,055711	0,056654
т У	0,108435	0,091505	0,215350
<3Х тх	0,270545	0,226395	0,655411
ю	0,183310	0,254611	0,429923
тх>	0,001817	0,008721	0,009255
т“у	0,001911	0,003296	0,006122
5н тх	0,001422	0,001562	0,001567
Шу”	0,007262	0,007248	0,008722
тх3	0,005863	0,006278	0,007150
Анализ приведенных результатов показывает, что даже несущест-
венные на первый взгляд изменения в ММ движения приводят к зна-
чительным изменениям в оценке аэродинамических производных, С
помощью решающих правил и предлагаемого метода оценивания
можно выбрать наиболее точную модель и снизить смещенность неко-
торых оцениваемых коэффициентов и их дисперсий в несколько раз.
7.3.	ПРИМЕРЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ
СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ
Рассмотрим использование экспресс-анализа, а затем более точно-
го метода структурно-параметрической идентификации на примерах
обработки материалов летных испытаний самолета МиГ-21.
Первый режим. Параметры опорной траектории: Но = 11000 м,
Мо = 0,85; характеристики самолета: G = 74000 Н, Iz =
322
= 5459 Н-м-с2, хт = 0,33. Параметры регистрируются с частотой
1/32 с, выборка — 124 точки (~ 4 с). На этапе экспресс-анализа
исследовались раздельно записи переходных процессов по углу атаки
и угловой скорости тангажа при одном и том же управляющем воз-
действии на стабилизатор в виде ’’импульса”, когда летчик управляет
ручкой ”от себя”. Для решения используем метод с конечно-разнос-
тной аппроксимацией производных, описанный в п. 4.1.4. При обра-
ботке переходного процесса по углу атаки с заданным законом откло-
нения стабилизатора (рис. 7.7), последовательно перебирая порядки
производных входных и выходных переменных, по формуле (4.39)
получаем, что и = 2 и т = 0. Оценка среднеквадратического отклоне-
ния погрешностей измерений угла атаки составила да = 0,053° (см.
(4.30)).
Для удобства дальнейшего анализа структуры ММ, описывающей
движение самолета в летном эксперименте, целесообразно после
первого этапа решения ММ представить в виде передаточной функ-
ции дискретной динамической системы. Передаточная функция по
углу атаки на отклонение стабилизатора получилась в следующем
виде:
0
Жа/ф (z) = ---------!-----
Фст z2 + 0“z ♦ 6“
где оценки 0“ по формуле (4.28) следующие:
323
ё* = 1,95; dj = -0,95; 6“ = -0,09.
Ковариационная матрица в соответствии с (4.31) запишется в виде
	0,0034	-0,0033	0,17-Ю'3
	-0,0033	0,0033	-0,167 -10’3 0,17-10"3 -0,167-Ю’3 0,34-10’4
Здесь следует отметить, что получена очень высокая взаимная
корреляция оценок параметров 0® и 6®-
Передаточная функция соответствующей непрерывной динамичес-
кой системы по углу атаки на отклонение стабилизатора имеет вид
*3
жа/ф (р) =	----!-----
р2 + Ф®р + Ъ*
где оценки параметров i® в результате пересчета равны:
6® = 1,68 1/с; fl* = <45 1/с2; *з = ~9’16 1/с2
с ковариационной матрицей
3,44 0,6 -5,57
0,6 10,07 -2,87
-5,57 -2,87 36,0
Отсюда видно, что среднеквадратические отклонения ошибок
оценивания параметров передаточной функции сравнимы со значе-
ниями оценок этих параметров, т.е. мера неопределенности оценок
параметров неприемлемо велика.
Полученный в летном эксперименте и вычисленный по ММ в
первом приближении при одном и том же импульсном отклонении
стабилизатора переходные процессы по углу атаки показаны на
324
А<*№ст
									
/	1	\\		ot					
Л		\\ \\					эксперт мм	чмент	
7—			\						
			ч						
									
									
									
Рис.7.8
рис. 7.7. Амплитудно-фазовые частотные характеристики по углу
атаки по данным летных испытаний и полученной ММ, вычисленные
путем гармонического анализа входных и выходных параметров,
показаны на рис. 7.8. Видно, что амплитудные частотные характе-
ристики существенно различны, хотя переходные процессы и близки
между собой.
325
<Pcr.°i
Рис.7.9
При обработке переходного процесса по угловой скорости тангажа
(рис. 7.9) с помощью экспресс-анализа, последовательно сравнивая
различные порядки производных входных и выходных переменных,
по формуле (4.39) получаем, что п = 2, т = 1. Оценка средне-квад-
ратического отклонения погрешностей измерений угловой скорости
=0,28, 7с.
ч
Таким образом, структура передаточной функции дискретной
динамической системы по угловой скорости тангажа на отклонение
стабилизатора имеет вид
ч ч
03 z + о/
^/Фст(г> = —-----------—
*ст	2 лЧ />Ч
z2 + z + о2
д(|),
где оценки параметров 0. равны:
А (Д.	A W.	A G)	A G)
6/ = 1,93; 62z = -0,94; 03г = -0,24 1/с; 04г = 0,23 1/с
с ковариационной матрицей
326
0,0247 -0,0237 0,0043 0,0017
-0,0237 0,0228 -0,0049 -0,0007
0,0043 -0,0049 0,0277 -0,0273
-0,0017 -0,0007 -0,0273 0,0293
Следует отметить очень высокую взаимную корреляцию между
оценками параметров числителя и параметров знаменателя переда-
точной функции, достигающей 0,9998.
Передаточная функция непрерывной динамической системы по
угловой скорости тангажа на отклонение стабилизатора имеет вид
*3% -
w^(p) - 2 \ \
р2 + *> +
где оценки параметров v- в результате пересчета получились равны-
ми:
= 2,16 1/с, «21 = 5,28 1/с2,
= -7,54 1/с2, Ь? = -5,68 1/с3
с ковариационной матрицей
25,35	34,97 -4,43 -197,86
34,97	193,49	18,63 -466,29
-4,43	18,63	28,4	13,61
-197,86 -466,29	13,61 2550,16
Здесь, как и в предыдущем случае, мера неопределенности оценок
параметров неприемлемо велика.
Полученный в летном эксперименте вычисленный по ММ в первом
приближении при одном и том же импульсном отклонении стабилиза-
тора переходные процессы по угловой скорости тангажа показаны на
рис. 7.9. С помощью гармонического анализа входных и выходных
параметров вычислены амплитудно-фазовые частотные характеристи-
ки по угловой скорости тангажа по данным летных испытаний и
327
A^z/Vcr
	/				си2				
	/ /	\				-.	эксперт ММ	ичент	
	/ / /								
	// //								
1									
									
/ > /									
									
	у								
	Г	5		1		F	1		r	t	г	i	
									
									
		\	ч X						
									
									
Рис.7.10
полученной математической модели. Результаты показаны на рис.
7.10. Видно, что переходные процессы и частотные характеристики,
вычисленные по ММ в первом приближении, и соответствующие
переходные процессы и частотные характеристики эксперименталь-
ных данных существенно отличаются друг от друга.
Частично это рассогласование можно объяснить ошибками пере-
счета оценок параметров дискретной динамической системы в оценки
328
параметров эквивалентной непрерывной динамической системы.
Действительно, сравнивая оценки параметров знаменателей дискрет-
ной системы по углу атаки и угловой скорости тангажа, видим, что
они практически совпадают, тогда как соответствующие оценки
параметров непрерывной системы существенно различны.
В соответствии с принятой методологией структурно-параметри-
ческой идентификации следует перейти ко второму уровню исследо-
ваний с вычислением оценок переменных состояния и более точным
оцениванием неизвестных параметров новой ММ. На первом этапе
исследований ограничивается область поиска ММ среди бесконечного
множества возможных вариантов структур. Далее продолжается
сравнение различных ММ. Для этой цели используется калмановская
фильтрация и соответственно точнее оценивание параметров.
На втором уровне исследований были получены следующие ре-
зультаты.
Оценки параметров 6“ передаточной функции по углу атаки
Ила/ф получились равными:
= 1,34 1/с; 6* = 4,38 1/с2;	= -7,985 1/с2
с ковариационной матрицей
	0,016 -0,001 -0,05	
	-0,001 0,029 0,003	
	-0,05	0,003 0,27	
а(*)2 Оценки параметров 0- передаточной функции по угловой ско-		
роста тангажа (р) получились равными:
б“2 = 1,41 1/с;	= 4,42 1/с2;
«з2 = -8,0 1/с2; 6? = -4,29 1/с3
с ковариационной матрицей
329
Рис.7.11
^Ь)г((р 9 * Ufa
		\\							
	II If	\ \ \\	^W2/jP I				— —.	эн спери ММ	мент
	It		А						
л		\л	\Х\						
jy		4“/F		\\		ХГ-Х.			
							'**^^э*	^•-—>	
									
О 1	2	3	4	5	6	7	8	9 ы, 1/с
Рис.7.12
330
О 1 Z J 4	5 б 7 в 9 ы,1/с
					а				
							—— ——	экспрри мм	мент
									
									
							——	jt			т-
									
Рис.7.13

i/"									
f	\							эксперимент 	ММ		
1Г									
	1	'	1	7		Г	i		7	I	У	J	r t^7/r
		\							
									
									
									
					X	.>*		—		X-	
Рис.7.14
331
	0,06	0,024	-0,086 -0,295
	0,024	0,43	0,165 -1,13
Kz =			
и	-0,086	0,165	0,52 -0,064
	-0,295	-1,13	-0,064 6,21
Переходные процессы и амплитудно-фазовые частотные характе-
ристики по углу атаки и угловой скорости тангажа, полученные в
эксперименте и вычисленные по принятой ММ, описывающей дви-
жение самолета в эксперименте, приведены на рис. 7.11...7.14 и видно
их хорошее совпадение. При этом оценки соответствующих парамет-
ров знаменателей передаточных функций по углу атаки и угловой
скорости тангажа отличаются не более чем на значение среднеквадра-
тическоге втклонения (а) и с практической точки зрения совпадают.
Выражая теперь оценки параметров 6. через физические пара-
метры возмущенного движения самолета и учитывая, что соответ-
ствующие параметры передаточных функций по углу атаки и угловой
скорости тангажа можно принять равными, получим
= 2h =	- (М2Ч + М“);
tr“ = $ = 4 = - мг“ - |п;м24;
о3‘ =
Выбирая в качестве основных оценки параметров, полученные при
обработке переходного процесса по угловой скорости тангажа, вычис-
лим оценки аэродинамических производных самолета МиГ-21 на
рассматриваемом режиме полета:
Суа = 3,78 1/рад; тф = -1,62 1/рад;
+ т* = -0,17; (p”T = -0,04 рад; п“ = 13,74 1/рад.
332
При этом степень статической устойчивости по перегрузке =
= - 0,06.
ММ короткопериодического движения самолета на рассматривае-
мом режиме имеет вид
Да(?) = -0,54Да(О + Дсо2(0;
Дс^(Х) = -3,97 Да(О - 0,84Дсо2(0 - 8 cpCT (Z).
Зная передаточные функции короткопериодического движения,
можно найти показатели качества переходного процесса по пере-
грузке:
а)	частоту и период собственных колебаний
соск = 2,6 1/с; Тск = 3,17 с;
б)	время переходного процесса
Giep “ ^>3 с’
в)	время срабатывания
tc = 0,96 с;
г)	относительный ’’заброс” по перегрузке
5 = 0,33.
Следуя принятой методологии структурно-параметрической иден-
тификации, в которой одним из основных принципов является обяза-
тельный последовательный переход от максимально простых ММ к
более сложным, можно при исследовании данного контрольного
режима ограничиться полученными результатами и не переходить к
очередным уровням анализа ММ, описывающих этот контрольный
маневр самолета.
Второй режим полета самолета МиГ-21. Параметры опорной
траектории: Но = 10700 м, Мо = 0,92; характеристики самолета G =
« 6830 Н, xj м = 0,319, Л = 5459 Н-м. Параметры регистрируются с
частотой 1/32 с, выборка — 120 точек (~ 4 с).
В соответствии с принятой методологией структурно-параметри-
ческой идентификации исследования начинаются с простейших
линейных ММ, описывающих движение самолета. При этом сначала
используется экспресс-анализ для относительно быстрого определения
наиболее достоверных порядков производных входных и выходных
параметров в уравнениях и неизвестных коэффициентов. На этапе
ззз
Рис.7.15
экспресс-анализа, последовательно сравнивая различные линейные
математические модели, описывающие переходные процессы по углу
атаки и отклонению стабилизатора (рис. 7.15), получаем, что порядок
’’входа” т » 0 и порядок ’’выхода” п = 2. Для решения использовался
метод с конечно-разностной аппроксимацией производных, описан-
ный в п. 4.1.4. Оценка среднеквадратического отклонения погрешнос-
тей датчика угла атаки находится по формуле (4.30): 5а = 0,059°.
Таким образом, структура передаточной функции дискретной
динамической системы по углу атаки на отклонение стабилизатора
имеет вид
03
W> (z) = --------------i--------
/фст	7 2 + А® 7 + А®
Z + Uj Z +
где по формуле (4.28) получены следующие оценки параметров ё®:
ё® = 1,93; ё® = -0,094; ё£ = -0,012.
334
В соответствии с (4,31) ковариационная матрица
	0,0028	-0,0027	0,1940‘3
	-0,027	0,0027	-0,18-Ю"3
	0,19-10'3	-0,18-Ю-3	0,37-Ю-4
Оценки параметров 0® и 0^ имеют очень высокую взаимную
корреляцию, равную —0,982.
Передаточная функция соответствующей непрерывной динами-
ческой системы по углу атаки на отклонение стабилизатора имеет вид
^«/<₽ст<р>
Ла
________
2 к® ха
Р +	+ t>2
где в результате пересчета получились оценки параметров 0*, рав-
ные:
6“ = 2,32 1/с;	= Ю,24 1/с2; 6“ = -12,35 1/с2
с ковариационной матрицей
2,82	1,2
1,2	16,28
-6,12 -6,22
-6,12
-6,22
38,95
Отсюда видно, что мера неопределенности оценок неприемлемо
велика.
Полученный в летном эксперименте и вычисленный по ММ в
первом приближении при одном и том же импульсном отклонении
стабилизатора переходные процессы по углу атаки показаны на
рис. 7.15. С помошью гармонического анализа входных и выходных
параметров вычислены амплитудно-фазовые частотные характерис-
тики по углу атаки по данным летных испытаний и полученной ММ.
Результаты показаны на рис. 7.16. Видно, что переходные процессы
и частотные характеристики, вычисленные по ММ в первом прибли-
жении, и соответствующие переходные процессы и частотные харак-
теристики экспериментальных данных существенно отличаются друг
335
от друга. Особенно сильное отличие частотных характеристик наблю-
дается в области низких частот.
При использовании приближенного экспресс-анализа для обра-
ботки переходного процесса по угловой скорости тангажа (рис. 7.17),
последовательно сравнивая различные порядки производных входных
А<*/Ч>ст
					а				
				\		— — эксперимент 	 ММ			
				\					
				\ L \					
				V \ \ \					
				\ \					
									
									
									
									
О 1	2^	3	4	5	6	7	8	9 и,1/с
Рис. 7.16
336
wz.°/C </>er<
Рис.7.17
и выходных переменных, по формуле (4.39) получаем, что порядок
’’выхода” п » 2, порядок ’’входа” пг = 2. Получена оценка среднеквад-
ратического отклонения погрешностей измерений угловой скорости
тангажа ды = 0,27 ° /с.
Таким образом, структура передаточной функции дискретной
системы по угловой скорости тангажа на отклонение стабилизатора
имеет вид
=
G)	(*)
е3‘2 ♦ о/
z2 ♦ 0?z ♦ 6?
равны:
6* = 1,92;	= -0,92;
ё^ = 0,32 1/с; ё^ = 0,32 1/с
с ковариационной матрицей
337
0,0054 -0,0051 0,0030 -0,0014
-0,0051 0,0049 -0,0035 0,0021
0,0030 -0,0035 0,0240 -0,0230
-0,0014 0,0021 -0,0230 0,0250.
Оценки параметров числителя и знаменателя передаточной функ-
ции имеют высокую взаимную корреляцию, достигающую —0,991.
Передаточная функция эквивалентной непрерывной динамической
системы по угловой скорости тангажа на отклонение стабилизатора
имеет вид
<0	<>
63 р + ьл
w , (р) = —3------------------L_
Ч' VcT	<а. <jl
р2 * ъ?р *
*4
где оценки параметров и. в результате пересчета получились
равными:
= 2,46 1/с; $ = 11,18 1/с2;
= -10,38 1/с2; 6^ = 7,54 1/с3
с ковариационной матрицей
	5,50	8,68	-3,09 -52,33
ч	8,68	107,27	15,77 -244,90
X/ =			
и	-3,09	15,77	24,10	1,53
-52,33 -244,90 1,53 1291,40.
Переходные процессы и частотные характеристики по угловой
скорости тангажа, полученные по данным натурных испытаний и
вычисленные по ММ движения самолета, приведены на рис. 7.17,
7.18. Видно, что они существенно отличаются друг от друга.
На втором уровне обработки производились фильтрация перемен-
ных состояния и более точное оценивание неизвестных парамет-
ров ММ.
338
Рис.7.17
339
Оценки параметров 6“ передаточной функции по углу атаки
получились равными:
6“ = 1,65 1/с; 6“ = 10,7 1/с2; 6“ = -11,61 1/с2
с ковариационной матрицей
	0,0093	-0,38-10"3 -0,037
	-0,38-10"3 0,039	0,246-Ю-3 . -0,037	0,246-Ю-3 0,244
Оценки параметров и(- передаточной функции по угловой ско-
рости тангажа И'ц/ф^О’) получились равными:
= 1,63 1/с; б"' = 12,13 1/с2;
= -9,55 1/с2;	= -12,26 1/с3
Ver,"
											
		Г									
				ft							
				\							
	» г	/	0 "4	•Л		^—7		0	9	0	11		
											
		Чет				Л-	-число измерений измеренные значения • оценки значений				
											
											
											
Рис.7.19
340
Аа./рет
?Л|-----
Рис.7.20
341
Рис.7.21
с ковариационной матрицей
0,023 0,028 -0,044 -0,27
0,028	0,47	0,146 -1,81
-0,044	0,146	0,322 -0,15
-0,27 -1,81 -0,15 10,72
Переходные процессы и частотные характеристики по углу атаки
и угловой скорости тангажа, полученные по данным натурных испы-
таний и вычисленные по ММ движения самолета, приведены на рис.
7.19...7.22. Видно, что переходные процессы и частотные характерис-
тики по угловой скорости тангажа имеют удовлетворительное совпа-
дение, тогда как по углу атаки соответствующие характеристики раз-
личны, особенно в области низких частот.
В соответствии с принятой методологией необходимо исследовать
более сложную математическую модель, описывающую экспери-
ментальные данные. Для этой цели можно для простоты воспользо-
ваться увеличением порядка производных входного и выходного
параметров (в нашем случае угла атаки и угла отклонения стабили-
затора) на единицу. Используя параметрическую идентификацию с
оцениванием переменной а(0 по времени и постоянных неизвестных
параметров, получаем, что передаточная функция имеет вид
342
fy * *5
TF_/_ (р) = ------2----------,
р3 + $‘р2 + 6“р ♦ «3“
где
6“ = 2,79 1/с; « = 14,44 1/с2; 6? = 14,5 1/с3;
1	X»	w
6“ = -10,27 1/с2; 6“ = -23,75 1/с3.
Рис.7.22
343
Анализ этой передаточной функции показывает, что знаменатель
имеет один вещественный и два комплексно-сопряженных корня, а
числитель можно преобразовать таким образом, чтобы привести в
соответствие с передаточной функцией по угловой скорости тангажа.
После преобразований и операции выделения корней получаем
uz , ч 1,075р + 2,48	-9,55
р + 1,16 р2 + 164р + 12>55
Сравнивая параметры колебательного звена с аналогичными
параметрами передаточной функции по угловой скорости тангажа,
видим, что они хорошо согласуются друг с другом и, следовательно,
колебательное звено может быть отождествлено с передаточной
функцией непосредственно самолета по углу атаки на отклонение
стабилизатора.
Переходные процессы и частотные характеристики по углу атаки
для найденной передаточной функции приведены на рис. 7.23, 7.24.
Видно хорошее совпадение экспериментальных данных с результа-
тами вычислений по полученной ММ.
Для проверки достоверности дополнительного динамического звена
и выяснения точности работы датчика угла атаки была проведена
обработка переходного процесса по нормальной перегрузке.
На основе экспериментальных данных построены частотные харак-
теристики переходного процесса нормальной перегрузки при заданном
отклонении стабилизатора. Результаты представлены на рис. 7.25,
Рис.7.23
344
Рис.7.24
7.26. Ввиду того, что аналогичные результаты получены различными
датчиками (акселерометром и датчиком угла атаки), работающими
на различных физических принципах и в различных физических
условиях, можно сделать вывод о достоверной работе обоих датчиков,
и, следовательно, о реально существующем явлении или процессе,
искажающем классическую ММ возмущенного короткопериодического
движения самолета.
345
Полагая пу в ~ 0, структуру передаточной функции по нормальной
перегрузке на отклонение стабилизатора выберем аналогично тому,
как это делалось для угла атаки. В результате параметрической
идентификации получены следующие результаты:
w _ 6-10’3р + 0,02	36,68(-9,55)
 р + 1,4 р ^ + 1,6р + 12,97 "
Как и в предыдущем случае, колебательное звено можно отождес-
твлять с передаточной функцией собственно самолета по нормальной
перегрузке на отклонение стабилизатора.
По вычисленным оценкам параметров уравнений и соответствую-
щих передаточных функций получены оценки аэродинамических
характеристик самолета МиГ-21 на рассматриваемом режиме полета
Пуа = 13,68 1/рад; с“в = 3,76 1/рад;
т? = -1,61 1/рад; ж* + т? = -0,159 1/°; <р"т = -0,036°;
степень статической устойчивости по перегрузке а п = — 0,07.
ММ короткопериодического движения самолета на рассматрива-
емом режиме в результате структурно-параметрической идентифи-
кации имеет вид
346
bait) = -1,32Да(7) + Дс^Ю;
Д(^а) = -12,09Да(0 -0,35Дс^(/) - 9,55<рст(/);
Да, (О = -1,16 Да, (Г) + 1,075 АД (Г) + 2,48Да(/),
где Д а * (0 — угол атаки, измеряемый датчиком угла атаки.
При обработке экспериментальных данных по перегрузке и в
результате структурно-параметрической идентификации получены
следующие показатели:
347
а)	частота и период собственных колебаний
с^к = 3,5 1/с, Тс к = 1,79 с;
б)	время переходного процесса
*пер ~ 3,75 с’
в)	время срабатывания
^ср = с»
г)	относительный "заброс” по перегрузке
5 = 0,49.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Августинович В.Г., Акиндинов В.А^ Боев Б.В. Идентификация систем управле-
ния авиационных газотурбинных двигателей. / Под ред. В.Т. Дедеша. М.: Машиностро-
ение, 1984. 200 с.
2.	Андерсен Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз.
1963. 500 с.
3.	Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.М. Методы и алгоритмы решения задач
оптимизации. Киев: Вища шк., 1983. 512 с.
4.	Белоцерковский С.М., Качанов Б.О., Кулифеев Ю.Б., Морозов В.И. Создание
и применение математических моделей самолетов. М.: Наука, 1984. 140 с.
5.	Белоцерковский С.М., Кочетков Ю.А., Красовский А.А., Новицкий В.В.
Введение в аэроавтоупругость. М.: Наука, 1971. 383 с.
6.	Берестов Л.М., Поплавский Б.К., Мирошниченко Л.Я. Частотные методы
идентификации летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1985. 184 с.
7.	Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана—Бьюси: Детерминированные
наблюдения и стохастическая фильтрация / Пер. с нем. М.: Наука, 1982. 199 с.
8.	Бюшгенс Г.С., Студнев Д.В. Аэродинамика самолета. Динамика продольного и
бокового движения. М.: Машиностроение, 1979. 349 с.
9.	Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения / Пер. с англ.
М.: Мир, 1971. Т. 1.316 с.
10.	Жандаров А.М. Идентификация и фильтрация измерений состояния стохасти-
ческих систем // Обзор 351. М.: Наука, 1979. 112 с.
И. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М.:
Радио и связь, 1978. 384 с.
12.	Касьянов В.А., Ударцев Е.П. Определение характеристик воздушных судов
методами идентификации. М.: Машиностроение, 1988. 170 с.
13.	Кашин Г.М., Федоренко Г.И. Автоматическое управление продольным движе-
нием упругого самолета. М.: Машиностроение, 1974. 312 с.
14.	Кашьяп Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по
экспериментальным данным / Пер. с англ. М.: Наука, 1983. 384 с.
348
15.	Кочетков Ю.А. Использование априорной информации в методе наименьших
квадратов. Техническая кибернетика // Изв. АН СССР, № 2, 1967. С. 17—29.
16.	Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналити-
ческое конструирование. М.: Наука, 1973. 558 с.
17.	Летные испытания ракет и космических аппаратов / Под ред. Е.И. Кринецкого.
М.: Машиностроение, 1979. 461 с.
18.	Кулифеев Ю.Б. Дискретно-непрерывный метод идентификации непрерывных
систем. ДАН СССР. Механика твердого тела. 1981. № 5. С. 47—55.
19.	Кульбак С. Теория информации и статистика / Пер. с англ. М.: Наука, 1967.
407 с.
20.	Леонов В. А. Математическая обработка экспериментальных данных. М.: изд-е
МАИ, 1975. 104 с.
21.	Махонькин Ю.Е., Павлова З.А., Фальков А.И., Корачков В.И. Автоматизиро-
ванная обработка результатов измерений при летных испытаниях (Справочная библио-
тека авиационного инженера-испытателя). М.: Машиностроение, 1983. 112 с.
22.	Овчаренко В.Н. Проверка достоверности оценок параметров и структуры
математической модели по экспериментальным данным // Сб. науч. тр. / МАИ, 1990:
Оптимизационные задачи динамики полета. С. 72—80.
23.	Пашковский И.МЦ Леонов В.А., Поплавский Б.К. Летные испытания самолета
и обработка результатов испытаний. М.: Машиностроение, 1985. 416 с.
24.	Петров А.ИМ Минин В.В. Анализ качества больших адаптивных стохастических
систем. М.: МАИ, 1991. С. 54.
25.	Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980. 456 с.
26.	Сейдж Э.П., Мелса Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управ-
лении. М.: Связь, 1976. 396 с.
27.	Снешко Ю.И. Исследования в полете устойчивости и управляемости самолета.
М.: Машиностроение, 1971. 328 с.
28.	Современные методы идентификации систем: Пер. с англ. / Под ред. П. Эйк-
хоффа. М.: Мир, 1986. 398 с.
29.	Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука,
1974. 244 с.
30.	Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.
536 с.
349
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .......................................................... 3
Введение ............................................................. 4
1.	Принципы выбора структуры математической модели движения
самолета как сложной технической системы............................. 13
1.1.	Основные положения........................................... 13
1.2.	Математические модели движения самолета...................... 14
1.3.	Информационно-измерительные системы для испытаний ........... 19
1.4.	Формирование полной математической модели ................... 23
1.5.	Математические модели, линейные по параметрам................ 24
2.	Системный подход к решению задачи идентификации ММ
движения самолета.................................................... 48
2.1.	Структурная схема решения задачи идентификации ММ
движения самолета................................................. 50
2.2.	Анализ точности и достоверности результатов иден-
тификации ........................................................ 54
2.3.	Анализ адекватности	результатов идентификации................ 55
2.4.	Применение баз данных для решения задач иденти-
фикации .......................................................... 57
2.5.	Математическое обеспечение решения задачи иденти-
фикации ММ движения самолета...................................... 58
2.6.	Планирование летного эксперимента по оцениванию
параметров ММ самолета........................................     58
3.	Статистические методы структурно-параметрической иден-
тификации ........................................................... 63
3.1.	Задача определения аэродинамических характеристик
самолета и ММ движения по данным одного испытатель-
ного режима................................................. 63
3.2.	Обобщенная некорректность обратной задачи динамики
полета и методы ее регуляризации............................ 64
3.3.	Методология структурно-параметрической идентификации........	66
3.4.	Адекватная математическая постановка задачи.................. 71
3.5.	Байесовский метод проверки нескольких сложных гипотез.
Вывод решающих правил....................................... 74
3.6.	Решающие правила для нескольких гипотез о линейных
стационарных системах....................................... 78
3.7.	Решающие правила для нелинейных систем....................... 85
3.8.	Итерационный метод оценивания переменных состояния в
нелинейных системах ........................................ 87
3.9.	Использование априорной информации в задачах оценива-
ния и идентификации.............................................. 102
3.10.	Алгоритм оценивания характеристик самолета методом
максимального правдоподобия................................ 134
3.11.	Проверка достоверности решающих правил и оценивания
параметров................................................. 148
3.12.	Информационный критерий Акаике и его обобщение для
динамических стохастических систем............................... 154
350
4.	Определение порядков "входа” и ’’выхода” и неизвестных пара-
метров линейных стационарных систем, описывающих движение
самолета (экспресс-анализ).......................................... 159
4.1.	Байесовский метод решения задачи. Вывод решающих
правил .................................................... 159
4.2.	Частотный метод уточнения структуры ММ и проверки ее
достоверности.................................................... 176
5.	Детерминированные методы структурно-параметрической
идентификации ...................................................... 180
5.1.	Регрессионный метод наименьших квадратов................... 180
5.2.	Предварительные преобразования результатов измерений.
Метод линейных преобразований.............................. 199
5.3.	Использование априорной информации и согласование с ней
результатов эксперимента ........................................ 216
5.4.	Метод настраиваемой модели................................. 218
5.5.	Идентификация	нелинейных ММ............................... 223
5.6.	Идентификация	ММ на скользящем	базовом интервале.......... 228
5.7.	Идентификация	ММ в частотной области...................... 232
5.8.	Особенности идентификации эргатических систем управ-
ления. Примеры вырожденных задач................................. 239
6.	Влияние структуры ММ движения самолета на точность парамет-
рической идентификации ............................................. 251
6.1.	Статистические свойства оценок максимального правдо-
подобия ................................................... 256
6.2.	Влияние погрешностей измерений на точность идентифи-
кации методом максимального правдоподобия ....................... 261
6.3.	Влияние ошибок в структуре ММ движения на точность
идентификации.................................................... 268
6.4.	Влияние закона управления на точность идентификации ....... 273
6.5.	Влияние случайных внешних возмущений на точность
идентификации.............................................. 281
6.6.	Анализ различных ММ движения при идентификации аэро-
динамических характеристик....................................... 286
7.	Примеры структурно-параметрической идентификации ММ движения
самолета............................................................ 297
7.1.	Идентификация ММ, описывающей продольное возмущенное
движение упругого самолета ................................ 297
7.2.	Пример идентификации ММ бокового возмущенного движения
самолета......................................................... 316
7.3.	Примеры последовательной структурно-параметрической
идентификации.................................................... 322
Список литературы................................................... 348
351