МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
А.И.КОМЕН
ПРАКТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебно-методическое пособие
для студентов университетов
Москва 1993
Рекомендовано
кафедрой дифференциальных уравнений
механико-математического факультета
Московского университета
Рецензенты:
Т.Д.Вентцель, доцеит
М.И.Вишяк, профессор
А.Ф.Филиппов, профессор
М.А.Шубин, доктор физико-математических наук
Комен А.И. Практическое решение уравнений математической
фи.зики: Учеб.-метод.пособие. — Механнко-математическяя факультет
МГУ. 1993. 155 с.
Пособие предназначено для студентов, начинающих изучать уравнения
с частными производными и уравнения математической физики. Ойо можел
быть использовано также для самообразования.
К 1702050000
ЗШ7(ОЗ) —93
без объявления
ISBN 5-87597-004-9
(С) Комеч А.И. 199
Предисловие.
Цель данного учебного пособия — научить студентов решать основные
задачи дисциплины “Уравнения математической физики”.*
В пособии излагаются три основные метода решения уравнений ма-
тематической физики: метод характеристик Даламбера, метод разделения
переменных, метод функции Грина; вводятся и разъясняются понятия ха-
рактеристик и плоских воли, обобщенных функций и их производных.
Для усвоения материала достаточно владеть математическим анализом в
объеме первых двух курсов университетов и уметь решать простейшие
обыкновенные дифференциальные уравнения.
Решение задач сопровождается разъяснением применяемых методов и
понятий. Однако мы не ставили своей целью систематическое изложение
теории. Теоретические вопросы рассматриваются на конкретных примерах.
Методы решения задач излагаются скорее в виде рецептов, чем в виде
теорем, и иллюстрируются решением конкретных задач. Такой характер
изложения выбран в связи с тем, что при формулировке теорем суть
метода часто теряется за множеством мелких подробностей. Кроме того,
обычно метод не исчерпывается формулировкой одной теоремы или даже
нескольких. *1Ъкой способ изложения оправдан еще и тем, что точные
формулировки студенты получают в курсе лекций, параллельно которому
ведутся практические занятия. В начале каждого раздела даются ссылки
иа литературу с указанием страниц.
С другой стороны, данное пособие не является также обычным за-
дачником, поскольку число задач здесь невелико. Оно является учебным
пособием промежуточного характера между учебником, излагающим теорию,
и задачником.
Курс практических упражнений, послуживший основой для данного
пособия, сложился под влиянием курсов лекций, читаемых сотрудниками
кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факул!
тета МГУ. Автор выражает глубокую признательность всему коллективу
кафедры и в особенности рецензентам и заведующей кафедрой академику
РАН Олейиик О.А. за все замечания и обсуждения и помощь в подготовке
данного пособия.
5 мая 1992 г.	А.И.Комеч
3
ГЛАВА I. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК.
[3, с.43-47, 59-61, 71-73, 190-260]; [9, с.292 310]; [11, с.60-70, 80-131].
[12, с.11-13, 52-62, 193-207]; [14, с.23-81,403-413].
§1. Вывод уравнения Даламбера.
Уравнение Даламбера
=	*е[о,/], t>o. (i.i)
описывает малые поперечные колебания натянутой струны и продольны*
колебания упругого стержня. Приведем краткий вывод этого уравнении
(более строгий вывод см. в [3, 12, 14].
1 Поперечные колебания струны.
“	Пусть струна длиной I натянута
с силой Т. Направим ось Ох вдолг
и(х, t)	струны, находящейся в положении
,равновесия, и пусть х = 0 — левый
—д —--£-----------—	конец струны. Тогда х = I — правый
конец струны. Возьмем ось Ои
рис ]	перпендикулярную к Ох, и будем
рассматривать лишь поперечные
колебания струны, когда каждая точка х смещается только вдоль оси Ои. Для
создания таких колебаний можно, например, концы струны закрепить непо
движно илн прикрепить их к колечкам, которые движутся по вертикальны?
стержням, как на рис. 3.
Обозначим через u(r,t) смешение точки х струны в момент времени *
Предположим, что углы, образуемые струной с осью х, малы: |<эг|, |Д| С i
(см рис. 2). Докажем, что u(x,t) удовлетворяет уравнению (1. 1). Дл-
этого запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Ои для участк
струны от х до х + Дх:
а„тп = Fu.	(1С
Рис. 2
4
Здесь au ~ ^y(x.t); ™ Р где р — плотность (линейная) струны,
т. е. масса единицы длины (для однородной струны), а
Fu ~ (FJU + (Fn)u + /(х,()Дх.
Через F„(F,>) обозначена сила, действующая на участок [х, х + Лх] со стороны
левого (правого куска струны, a (F„)u((Fn)u) — ее проекция на ось Ои.
— плотность поперечных внешних сил. Например, в поле тяжести
Земли если струна горизонтальна, а ось Ои направлена вертикально вверх,
то f(x,t) = ~91‘> гце д « 9,8ж/с2.
Подставляя au,m и fu в (1. 2), получаем
Э2и
^-рДх«(Гл)и + (Кп)и4-/(х,<)Дх.	(1.3)
Далее, для гибкой струны сила натяжения Т направлена в каждой точке
по касательной к струне. Примем, что Т постоянна по величине (см. [3]).
ТЪгда
(Гл)„ = -Tsin/?; (F„)u = Tsina	(1.3')
и (1-3) принимает вид
д2и
& —Тsin+ Тsin a + f(x, 1)Дх.	(1.4)
otJ
Поскольку мы рассматриваем “малые” колебания струны, при которых |о |
к |0| «1, то с точностью до бесконечно малых высшего порядка по а и 0
sin/? я tg/? = ^(x,t); sin а Я tga = ~(x + Дх,1)	(14')
Ox	Ox
Подставляя эти выражения в (1.4), имеем с той же точностью
^рДг я т(^-{х + Дх,?) - ^(х,/)') + /(гЛ)Д-г.	(15)
ЦТ	\ох	ox J
Отсюда, деля на Дх, при Дх —<• 0 получаем с указанной точностью уравнение
(1.1), в котором
Дх,<) = ^^.	(1-5')
V f	f
Замечание 1.1. Из нашего предположения о силе натяжения вытекает,
что проекции на ось Ох сил ?’л и Fn равны — Т cos 0 и Т cos а соответственно.
Поэтому их сумма (Тcos а — Тcos/?) есть величина порядка О(а2 + ;?2) и.
следовательно, проекция на ось Ох равнодействующей сил, действующих на
Участок струны от х до х + Дх, есть малая величина в рассматриваемом
приближении. Следовательно, при таком предположении о силе натяжения
малые колебания струны с такой точностью являются поперечными.
Замечание 1.2. Из (1.3') н (1.4') вытекает, что
Т^(т,1)	(1.6)
ах
есть вертикальная проекция силы натяжения струны в точке х в момент
времени I.
Рассмотрим граничные условия для струны.
А.	Если левый конец струны х = 0 закреплен, то его смещение равно
нулю:
u(0,0 = 0, t > 0.	(1.6')
Б. Предположим, что левый конец струны прикреплен к кольцу прене-
брежимо малой массы, которое может свободно, без трения двигаться по
вертикальному стержню (такой конец можно назвать свободным). Тогда
вертикальная составляющая силы действия стержня на левый конец струны
равна нулю. Следовательно, по третьему закону Ньютона, вертикальная
составляющая (1.6) силы натяжения струны при х — 0 также равна нулю:
^(0,0 = 0, / > о.	(1.6")
ох
В.	В более общем случае, когда на левом конце к струне прикреплен
груз массой гп, выполняется краевое условие
,>0 <17>
Если, кроме того, груз прикреплен к пружине (см. рис.З) жесткости к.
то в правой части (1.7) нужно доба-
	вить силу упругости —iu(0, t). Если
И __________ же на груз действует еще и сила
q----------------------у	трения, пропорциональная скорости.
||	то в правой части (1.7) добавля-
ется сила трения —^^(OJ). Та-
ким образом получается физически
осмысленное линейное краевое усло-
вие. 3	вие внДа
">^(0,1) = Г^((М) ~	+ /(<)’	(18
Здесь f(t) — некоторая внешняя сила, приложенная к левому концу струиь
и параллельная оси Ои.
6
Рис.4
2. Продольные колебание упругого стержне.
Пусть имеется однородный ненапряженный стержень длиной I. Направим
ось Ох вдоль стержня так, чтобы его левый конец находился в точке х = О,
тогда х = I — его правый конец. Будем рассматривать лишь продольные
колебания стержня. Через u(z,t) будем обозначать смещение точки х в
момент времени t вдоль оси Ох.
Докажем, что u(z,t) удовлетворяет уравнению (1.1). Для этого запишем
второй закон Ньютона в проекции на ось Ох для участка стержня от z до
z + Дг:
exm = Fx; ах rs-z-r-(z, t); п» = рДя.	(1.9)
от7
Сила Ft имеет вид
Ft = Гл + Г„ + /(к,«)Дх.	(1.9*)
где^л(Рп) — сила вдоль оси Ох, действующая на участок (z,z + Az] со
стороны левого (правого) куска стержня, a /(z,t) — плотность внешних сил,
направленных вдоль оси Ох. Например, если стержень висит вертикально
в поле тяжести Земли так, что ось Ох направлена вниз, то /(z,t) = дц.
Подставляя F* в (1-9), получаем
—(х,1)р&хя1Ря + Рп + /(х,г)&х.	(1.10)
(Л*
Чтобы найти величины F„ и Fn , воспользуемся законом Гука
a(z,t) = Ee(x;t).	(Ill)
Здесь <r(z, t) — напряжение стержня в точке z , т.е. <r(z,t) = T(z,t)/S, где
T(x,i) — сила натяжения стержня в точке г, a S — площадь поперечного
сечения; Е — модуль Юнга материала стержня, a е(г,1) — относительная
деформация в точке х. Для участка стержня [z, х + Л] его длина в
ненапряженном состоянии равна />, а в напряженном h + и(х + h,t) — u(x,t).
Поэтому его абсолютное удлинение равно u(z + /i,l)—u(z,t), а относительное
Удлинение равно
9 _^(м), л-о.
п	ох
7
Итак,
f(T,t)=— (x,t)	(112)
Отсюда по закону Гука (1.11)
T(x,i) = $<r(z,t) = SEe(x,t) = SE^(x,t)	(113)
ox
Отметим, что закон ГУка (1.11) — это линейное приближение для
зависимости cr(x,t) от £(x,t) и он применим лишь при малых деформациях,
т.е. малых e(z,t).
Учитывая направление сил Ел и Fn, получаем
( F, =
lu	<114>
Fn = -Т(х + Дг,<) = — SE~(х + Дх, t).
ох
Действительно, если, например, u(z,t) монотонно возрастает по х, то
стержень растянут, значит Ел < 0 , a Fn > 0. В то же время > 0. это
ооначает, что знаки в (1.14) выбраны верно.
Подставляя (1.14) в (1.10), получаем
^(«,1)рДг я SE~(x + Дг,<) - SE^-(x.t) + f(x,t)Sx. (1.15)
(71х	UX	UX
Отсюда, деля на Дг, при Д« —» 0, получаем (1.1) с
где р = p/S — (объемная) плотность стержня.
Рассмотрим граничные условия для стержня.
А.	для закрепленного конца стержня при х = 0 получается краевое
условие (1.6').
Б. Для свободного конца стержня при х — 0 натяжение (1.13) равно
нулю. Поэтому выполняется (1.6").
В.	В более общем случае предположим, что к левому концу х = 0 стержня
прикреплен груз массой т, закрепленный на пружине с жесткостью k > 0.
причем пружина находится в иеиапряжеииом состоянии, когда смещение
левого конца равно нулю.
Рис.5
8
Пусть груз движется с линейным трением: /•„,г — — r)v, где г/ > 0. г
скорость груза. Тогда прн х = 0 выполняется краевое условие
m^(0,t) =-U(0,t) + SE^(0,t)-^(0.t) + /(t).	(1 17)
(Jl	(J £	CzC
где /(0 — внешняя сила, действующая на левый конец стержня вдоль оси
Ох.
$2. Бесконечная струна.
1.	Задача Коши для уравнения Даламбера.
Рассмотрим уравнение Даламбера (1.1) на всей числовой оси:
д2и _ 2 д2и
dt2 ~а д^2’
—оо < х < оо, i > 0.
(2-1)
Это соответствует физической задаче о струне относительно больших
размеров. Для простоты мы считаем, что /(x,t) = O, т.е.внешних сил нет.
Ниже мы увидим, что решений у уравиения(2.1) бесконечно много, и
для однозначного задания движения струны достаточно задать начальные
положения и скорости всех точек струны (как обычно в механике):
и(х,0) = у?(х), ~(х,0) = ф(х), хеЕ	(2.2)
Здесь и ф — заданные функции, у?(х) — начальное отклонение, v(x) -•
начальная скорость точки х струны.
Задача (2.1) — (2.2) называется задачей Коши (или начальной задачей)
для уравнения Даламбера (2.1). Равенства (2.2) называются начальными
условиями, а функции у>(х), 4>(х) — начальными данными.
2.	Метод Даламбера.
Метод Даламбера основан на том, что общее решение уравнения (2.1)
имеет вид
u(z, i) = f(x - at) + g(x + at),	(2.3)
где fug — произвольные функции одной переменной.
Замечание 2.1. Если fug класса C2(1R), то u(r,t) также дважды
непрерывно дифференцируемая функция. Однако, оказывается, fug можно
брать недифференцируемыми и даже разрывными. Тогда u(r,t) также будет
разрывной функцией.
Как будет показано в §6 гл.IV, такая разрывная функция удовлетворяет
уравнению (2.1) в смысле теории обобщенных функций.
Чтобы доказать (2.3), сделаем замену переменных в дифференциальном
уравнении (2.1)
f = z — at, t) — х + at	(2.4)
9
3.	Замена переменных в дифференциальном уравнении.
Выразим функцию и(х,1) в новых координатах г/:
= t’(f.’l).
(2.5 ।
где £,i) связаны с x,t соотношениями (2.4). Например:
u(x,t) - х => V«,!j) =	+
Сделать замену переменных в дифференциальном уравнении (2.1)
значит найти дифференциальное уравнение для функции v(£, г)), эквивалентно-
(21).
Для этого нужно выразить и через производные функции
v(£,r?) по переменным г) и подставить эти выражения в (2.1). Нужны-
выражения получаются при помощи теоремы о дифференцировании сложной
функции из тождества
ц(х,0 = v(^(x,t), r)(x,t))
(2.6
А именно, дифференцируя (2.6) по t и по х, получаем по теореме с
дифференцировании сложной функции
ди ______ dv  ду дг)
dt “* at "г dri dt ’
ди _ ди &£ । ди дг)
dt ~ д(, ’St "5^ dt
(2.7
Аналогично можно выразить и любые другие производные. Диффереициру
первое тождество в (2.7) по t, получаем:
д~и _ / д <ДА d£ dv d*£ / d dv\ dr) dv d*r)
di* _	d{) dt + d£ di* + \ dt di)) dt+di)dt*
Входящий сюда оператор
Д выражаем из того же уравнения (2.7):
d _ d£ d di) d
dt ~ dt d^ + dt dij
Используя это выражение в (2.8), получаем
d*u	_	id£	d*v	dr)	d*v \	df,	dv	d*£
di*	=	\ dF	d£* +	di di)d(, )	di	+	d£	di* +
/d£	d2v dr)	д2ц\	dr)	dv	d*r)
+	d£dr)	+ di	dip)	di	+	di)	di*	=
/d*v d£ dr) d*v /d*v dv d*£ dv d*r)
\di) дё+2di di Wdij+ \di) dip + d{ di* + di) di*'
10
Здесь мы использовали тождество
Э21 _ <92г
di)d£ d£di)
Действуя аналогично, можно получить (заменяя в (2.10) t па а) формулу
дх2 \<Эх/ д£2 +' дх дх д£дц +	di)2^
dv д2£	dv d2i)
д£ дх2	di) дх2
Упражнение. Вывести формулу
d2u _ д£	д£	d2v	(д£	di)	dt) д£\	d2v
dtdx	dt	дх	д£2	дх	dt дхJ	d(,di)^
di)	di)	d2v	d2£	dv	d2i) dv
dt	dx	di)2	dtdx	d£	dtdx di)
Замечание 2.2. Обычно формулы (2.7) и (2.10)-(2.12) записывают.
заменяя v на и. Например, (2.7) записывают в виде
ди ___ ди д£ . flu fl г?
flt “ fl( flt ' di) flt ’	/о ] «> \
an _ Вч , au	‘
dr d( dr di} dr'
Однако при этом символ ^( и |^) в правой части нужно понимать как
производную ВДОЛЬ ЛИНИИ 1) — const (или £ = const)-.
ди
(2.14)
т.е. фактически как ||( или а не как "частную производную u(x.t)
чо ( (или 1]) " — это выражение лишено смысла, пока не выбрана вторая
координата г; (или £).
Действительно, из (2.14) видно, что зависит не только от выбора
деременной но и от переменной t), хотя это и не отражено в обозначении
Таким образом, использование буквы и в правой части (2.7) вместо с.
как в (2.13), может приводить к недоразумениям.
^1ражнение. Найти если u(x,t) = t. $ = т, а т/ — I + х.
Решение./ = i) - х = i) -	=>	-1.
Упражнение. Найти . если u(x,t) = t, = х. a i] - I — х.
I I
Решение / = т/ + г = т/ + £	=>	= 1.
Тем не мене'', в прикладных задачах используют формулы типа (2.13),
чтобы не вводить новых букв. Например, давление обычно обозначается
буквой р. сила тока — буквой j, плотность — буквой р и т.д.
Мы также всюду ниже будем пользоваться формулами вида (2.13).
4. Доказательство представления Даламбера (2.3)
Из общих формул (2.13) для замены (2.4) получаем
д д д
dt~ ад(.+адт1''
д__ д_	д_
дх д£	д>/ ’
(215)
Отсюда получаем:
а3 — „2 а3 _ О„2 а3 . „2 а3
ST* - а la Тфбп + а ’
а3 _ а3 , о а3 , а3
аха ае э(ап • а^31
(2.16)
Подставляя (2.16) в (2.1), получаем
2 <92	„ 2 д2 2 д2 \	2 ( д2 о д2 д2 \
а д? ~ а д(дч +а dr/2) u~a V^2 + 2д(дт/ + д^)и
(2.17)
После приведения подобных членов и сокращений получаем
d2u
= О-
о(дг/
(2.18)
Это есть канонический вид уравнения Даламбера (2.1), т.е. его простей-
ший вид, в котором оно легко решается. Чтобы решить (2.18), обозначим
(2.19
Тогда (2.18) запишется в виде
(2.2м
fjscontt
Отсюда следует, что v
ие зависит от т.е.
п) = п)
dv d (
= v

v((, rf) = c(rj),
12
или ввиду (2.19)
d
dj)
(2.22)
- <4»?).
Интегрируя это обыкновенное уравнение, получаем
и
c(i])dr] + cj«)-
(2.23)
Таким образом,
“ = !»(’?) + /«).	(2 24)
где д и / — некоторые функции от одной переменной. С другой стороны,
функция вида (2.24) удовлетворяет уравнению (2.18) при произвольных
функциях / и д. Наконец, производя в (2.24) замены (2.4), мы получаем
представление Даламбера (2.3).
Замечание 2.3. Гфафик функции /(х — at) в (2.4) представляет собой
волну, бегущую вправо вдоль оси Ох со скоростью а, а д(х + at) * волну,
бегуцую влево с той же скоростью. Это означает, что график функции
f(x—at) (g(x + at)^ при любом t > 0 как функции от -г получается из графика
функции f(x) (д(х)^ с помощью параллельного переноса вправо (влево) вдоль
оси Ох на at. ТЬким образом, форма графика функции f(x — at) как функции
от х при разных фиксированных t одна и та же. Такие функции в физике
называются бегущими волнами. Таким образом, разложение Даламбера (2.3)
означает, что любое решение уравнения Даломбера есть сумма (физики
говорят суперпозиция, интерференция, наложение) двух бегущих воли.
5. Решение задачи Коши (2.1), (2.2) для уравнения Даламбера.
Формула Даламбера
Применим метод Даламбера к задаче (2.1), (2.2). Для этого заменим
уравнение (2.1) эквивалентным ему представлением (2.3). Таким образом,
остается лишь учесть начальные условия (2.2). Иэ них мы и найдем
неизвестные функции / и д по заданным и у’>.
А именно, подставим (2.3) в (2.2):
/(z) + д(х) = ^(х).
/'(•>•)(-<») + /(-г)" = V(z),
тек
(2.25)
Замечание 2.4. Во втором уравнении (2.25) использована формула
Дифференцирования сложной функции:
')	= (f'(^-at)^-(x-at)]	= f'(x)(-a)	(2 26)
/ 1=0	\	т	/ 1=0
13
Здесь f'(x) обыкновенная производная (а не частная). В этом заключает
достоинство метода Даламбера, который позволяет совершить переход <
уравнений (2.1). (2.2) с частными производными к уравнениям (2.25)
обыкновенными производными.
Далее, интегрируя второе уравнение (2.25), получаем после деления i-
а:
-f(x)+g(x)-^j^(s)ds+^	(2.2
О
Складывая это уравнение с первым уравнением в (2.25) и деля иа 2, получас-
9(*) = 5¥>(®)+ Л [ 4>(»)ds + 7-,	(2.2?
I la J	la
о
а вычитая, получаем
/(*) -	~	- ^- = ^(z) +	[ 4>(s)ds -	(2.2S
I la J	la I la Jz	la
о
Подставляя эти выражения в разложение Даламбера (2.3), получав
формулу Даламбера
х+а!
—И СС-К-11 7
I	la J
г —at
Замечание 2.5. Как видно из (2.28) - (2.29), волны f(x — at) и д(х + i
определяются по начальным данным <р и V ие однозначно, а с точиост ь
до константы, а решение u(z,Z) задачи Коши — одиозиачно.
§3. Анализ формулы Даламбера.
1.	Распространение волн.
Упражнение.
Возьмем следующие начальные данные в (2.2) (см. замечание 2.1):
14
Нарисуем форму струны при 4 = 1, 2, 3, 4, 5, считая а = 1. (Можно
считать, что ^>(z) — кусочно-линейная функция. Тогда решение получится
также кусочно-линейной функцией, и оио является решением уравнения
(2.1) в смысле теории обобщенных функций (см. замечание 2.1). Однако
можно считать, что график в угловых точках немного закруглен, так что
y?(z) € C2(IR). Тогда решение также будет класса С2 и на всех рисунках
ниже также нужно считать, что все углы немного закруглены.)
Решение. По формуле Даламбера (2.30)
“(*. О =	“ <) +	+ 4)
Это значит, что график f(x) нужно сжать к оси Ох в 2 раза, сдвинуть
вправо на 4, влево на 4 и результаты сложить:
Дальше эти горбики высотой | и шириной 2 разъезжаются влево и
вправо со скоростью 1 каждый.
Задача. Нарисовать форму струны при 4 = *, | в условиях предыдущего
упражнения.
Упражнение (удар по струне молоточком). Возьмем в (2.2) следующие
начальные данные:
15
Нарисуем форму струны при 1=1, 2, 3, 4, 5, считая а = 1.
Решение. По формуле Даламбера (2.30)
u(r,<) =
г + 1
У i/>(s)ds - ф(х + t) - ф(х - I),
г-1
где
Эта формула означает, что график функции ф(х) нужно сдвигать вле»
и вправо на t и результаты вычитать:
Дальше эта трапеция раздиигается влево и вправо со скоростью
Задача. В условиях предыдущего упражнения нарисовать форму струны
‘Ч и 1=1.
2.	Характеристики.
При решении двух предыдущих упражнений мы видели, что прямь
х ± I = const играют особую роль. Например, угловые точки графи-
решений u(z, t) лежат на прямых z ± 1 = 0 и г ± 1 = 2.
16
Для уравнения (11) с коэффициентом а аналогичную роль играют прямые
х ± af — const. Они называются характеристиками уравнения (1.1). Таким
образом, характеристики уравнения Даламбера это два семейства прямых
(см. рис.И).
Рис.11
Будем называть прямые х — at = const характеристиками, бегущими
вправо (со скоростью а). Они, очевидно, являются линиями уровня волны
/(х — at). Чем больше скорость а, тем меньше угол наклона характеристики
к оси Ох (при равных масштабах по осям Ох н Ot):
1
tga = -.
«
Аналогично, прямые х 4- at = const называются характеристиками, бе-
гущими влево. Они являются линиями уровня волны jp+a/).
3.	Разрывы решения.
Возьмем в качестве f(x) разрывную функцию:

( 0.
I *
х < 2.
х > 2.
Рис
2 -
Тогда функция
u(z, 1) = f(x — at)	(3.11
является разрывной вдоль характеристики х — at — 2 (см. рис. 13).
На рис. 13 изображены профили функции u(x,t) при 1 = 1, 3, 5.
Функция (3.1) удовлетворяет уравнению Даламбера (2.1) в смысле теории
обобщенных функций (см. замечание 2.1).
Итак:
Решения уравнения Даламбера могут иметь разрывы;
Разрывы распространяются по характеристикам.
•Замечание 3.1. Можно взять гладкую функцию ft(x), быстро меняющуюся
от 0 до 1 на отрезке от х = 2 до х = 2 + с, где г > 0:
PltC.lj
Тогда функции ft(x — at) будет обычным (гладким) решением уравнени
Даламбера. сколь угодно быстро меняющимся от 0 до 1 вблизи точ> •
характеристики х — at — '2. При f — 0+ решения fc(x — at) сходится
разрывной функции f(x-eit). Именно в атом смысле естественно счита:
такую разрывную функцию обобщенным решением уравнения Даламбе^
(см. также замечание 2.1)
IS
Замечание 3.2. Разрывные решения u(z,t) уравнения Даламбера для
струны и стержня лишены физического смысла. Однако такому же уравнению
Даламбера удовлетворяет, например, давление p(x,t) газа в длинной узкой
трубке (например, во флейте или органной трубе). Функция р(х,1) может
быть разрывной.
fE
Рис. 15
Разрывные решения волнового уравнения в газовой динамике называются
ударными волнами. При полете самолета со сверхзвуковой скоростью (см.
$ 8) от передних кромок крыльев распространяется такая ударная волна, за
фронтом котрой давление больше, чем перед фронтом. Мы слышим хлопок
в тот момент, когда фронт волны проходит через наше ухо (см. рис. 62).
4.	Область зависимости решения и ее графическое построение.
Вопрос. Что нужно знать, чтобы вычислить решение и задачи (2.1)
— (2.2) в точке (ze,te)?
Ответ. Из формулы Даламбера (2.30) видно, что нужно знать начальные
отклонения <р(х) в Двух точках: х — xe+att и х = xt— ate, а также начальные
скорости Ф(х) на отрезке [ze — at„, хв + at0] между этими точками. Знать
<р(х) и ф(х) вне отрезка [z0 — ate, z, + ate] не нужно. Поэтому отрезок
[z0 — at«, яв + ate] называется областью зависимости решения задачи Коши
(2.1) — (2.2) и точке (z,,t0).
Замечание 3.3. Теперь мы можем точно сказать, когда струну можно
считать бесконечной: когда рассматриваемая точка z0 находится на рас-
стоянии, большем чем at0 от концов струны, где t0 — рассматриваемый
момент времени.
Для графического построения области зависимости решения из точки
(z,,t.) выпускаются две характеристики уравнения Даламбера до пересечения
с осью Ох:
Рис. 16
19
Пересечение этих характеристик с осью Ох суть точки х0 - а/0 а
+ и/0. а отрезок оси Ох между этими точками — это и есть область
зависимости решения и в точке (г0./0). Проверим это. Уравнения иаши\
характеристик
х - at — п; х + at -	(3.2
Поскольку точка (j0./0) лежит на этих характеристиках, то х0 — и(0 — <
и x_+ata = с->. Чтобы найти пересечение характеристик с осью Ох. нужн
в (3 2) положить t — 0, тогда получится
X — С\ - Го - <йо и х = со = х0 + al0.
5 Распространение волн
Упражнение Известно, что <р{х) = ti'(x) — 0 при х £ [2; 5].
Найти область, в которой решение u(x,t} задачи (2.1) — (2.2) равн
путч, при t > 0.
Рис.17
,'ешение. Из точек 2 и 5 осп Ох выпускаем харак 1ерпс гики влево и вира,
соответственно. В области под этими характеристиками решение равно ну;н
Действительно, для точки (г0,/0), лежашей под этими характеристиками
область зависимости не пересекается с отрезком [2.5] Поэтому в эт :
области зависимости y?(r) = t(r) = 0. Следовательно. и(г1,,/о) = 0.
§4. Метод характеристик для гиперболических уравнений ВТ'И
роге порядка с двумя иеоависимыми переменными. Задача Коши
1 Разложение оператора Даламбера на множители.
Приведем уравнение Даламбера к каноническому виду (2.18) друге'
способом Для этого запишем его в Виде
( I)2 о С)2 \
□(и) =	— - О-— U = 0.	(•! .
\ (It- (lx- J
20
Разложим этот оператор на миожители:
(4.2)
(43)
Coo I -
(4.4)
(4.5)
(4.6J
Как известно.	_ Q д	&
L^=di~a^ L'a"=Ft+adi
______ операторы дифференцирования вдоль векторов (-«.!) и («. 1)
встствеиио. Эти векторы направлены вдоль характерне гик
х 4- at = coast п г — at = const.
Если взять характерце । пки за координаты липни, те. положить
£ = х — at; if = х + at.
то в силу (2.15) оператор Даламбера принимает вид
<Э2	2 д2 _	д ()	. 2 д2
° ~ dt2 “ tlx2 " L'~a1) Lia" “ 2<1^2<1<9>/ ~ 4а <Э£Зт/
Вывод: характеристики уравнения (4.1) - это^такие линии, операторы
дифференцирования и вдоль которых входят в качестве множителей в
оператор Даламбера.
Замечание 4.1. Поскольку операторы дифференцирования вдоль харак-
теристик входят миожителем в оператор Даламбера. то ои обращает в нуль
любую функцию, постоянную вдоль характеристик какою-либо семейства, в
частности, любую такую разрывную функцию (гм. замечание 2 1). Этим и
объясняется, почему решения уравнения Даламбера moi у г имен, разрывы
вдоль характеристик.
2. Гиперболическое уравнение второго порядка с постоянными коэффии.,
унтами на плоскости
Рассмотрим уравнение вида
, rJ-’ll . ()2II it-1.1
.4 и — а —— + '2Ь —-(- с —	= (I. х g IK .	. I > 0.	(-l.il
<)t- J/ib- iu-
1 данном Пункте бу дем считать ЧЮ Коэффициенты а. 1> И < ЦОС I I .ЯННЫ,
шела.
11ощ.| | немец При Mi ни I I. М--111 I И у ик I а I к у равнению (I 7 ) нмг. i - j I I .
I 1 обы получить раздож’H1B- ни ia (12). нужно разложип. пл .ihib inn.:.
пюжителп "харак I . pill ГИЧ> < ку К. К B.Clpa I пчную форму
Для этого решим характеристическое уравнение
аХ? + 26А + с = О
Его корни
6 ± Уб- — ас
А1,= ------------	(4.1ь
а
вещественны и различны, если дискриминант положителен:
D = Ь~ — ас > О
(4.11
Это и есть условие строгой гиперболичности дифференциального уравнения
(4.7).
По теореме Виета
аХ2 + 26А + с = а(А — Aj)(А — А_>)
(4.12;
Поэтому характеристическая квадратичная форма принимает вид
4(С т) = е-а - A, j (J-Aj = а(т-Х1£)(т-Х^).	(4.13
Соответственно, дифференциальное уравнение приобретает вид
Ди =
-	) u = о
дх J
(4.11
Обозначим
д \ д
dt~X^x И
А-аЛ
di - дх
Положим, аналогично (4.5)
— х + АД.
(4.17
Тогда
1)^0:
(4.С
Следовательно,	ij — оператор дифференцирования
£ — const, a L(_a3 |) — вдоль линий >/= const. Поэтому
вдоль
линю
д
С' д’1
(4.17
Г) = СОП»1
L,

д
22
(4.18)
Отсюда вытекает, что (4.14) эквивалентно уравнению
() 0
— — и = 0.
д>)д£
Поэтому, аналогично (2.24), общее решение уравнения (4.7) имеет вид
и = /(() + g(>]) = fir + А, t) + д(х + Л2<)	(4.19)
Волна /(х + А|1) бежит по оси х со скоростью А|, а д^ + Х-Л) — со скоростью
Аг (влево, если At >0, Аг > 0).
В частности, для уравнения Даламбера (4.1), характеристическое урав-
нение (4.9) принимает вид А2 - а2 = 0, откуда At = -а, А2 = а и (4.15)
переходит в (2.4), а (4.19) — в (2.24).
При помощи представления (4.19) все выводы §3 относительно разрывов
решения, распространения волн и области зависимости легко переносятся
на уравнение (4.7) (см. замечание 2.1).
Решения уравнения (4.7) могут иметь особенности вдоль характеристик,
определяемых уравнениями
£ = х + А ] t — const или г/ = х + Xit = const	(4.20)
Это видно из (4.19), если взять f или д негладкими функциями (см. также
замечание 4.1).
Задача Коши (4.7) с начальными условиями (2.2) имеет решение
«(«.„_	+ >,)->,,,(. +A,.) + I	(42))
-*2 - -'1	А2 - Al Jr+A,i
Задача. Вывести формулу (4.21).
Заметим, что для уравнения Даламбера Ai = —а, А2 = а и (4.21)
превращается в формулу Даламбера (2.30).
Как видно из (4.21), область зависимости решения и в точке (х0,10) есть
отрезок (х, + Aite,z0 + А2*о]) оси Ох. Его концы получаются пересечением
оси Ох с характеристиками (4.20), выпущенными назад по времени из точки
(х0Дв):
23
Отметим, что корни А, и А2 могут иметь одинаковых знак; тогда волнг
f(x + А|<) и д(х + А2() бегут в одну и ту же сторону
Пример. Для уравнения
( —
с д'2	& \
+ 5	+ 6^—2 1
max дх2)
и = О
(4.22
характеристическое уравнение
А2 + 5А + 6 = О	(4.23
имеет корни А1 = —2, А2 = —3, и общее решение
и = f(x-2t) + g(x-3t)	(4.24;
— обе волны бегут вправо.
Найдем дифференциальное уравнение характеристик уравнения (4.7).
Заметим, что в силу (4.20) касательный вектор (dx,dt) к характеристике
удовлетворяет уравнению
dx + А । dt — 0, или dx + X?dt — 0	(4.25)
Поэтому = — А|, или jL = —А2. т.е. А = —удовлетворяет характери-
стическому уравнению (4.9):
(dx\ *	dx
~ 2657 + с = °	(4.26)
at )	at
• ):о и есть дифференциальное уравнение характеристик. В симметрическом
форме оно выглядит так:
adz2 — 2bdxdt + cdt2 = 0	(4.27)
3 Гиперболические уравнения второго порядка с переменными коэффици
ентами на плоскости.
Пусть теперь коэффициенты а.Ь и с в (4.7) переменные, т.е. зависят
от z и t:
«2	д2
.4u(z J) = «(-Г.Отту +26(z, t)+ c(z,0^4 = 0; х € IR, t > 0 (4.28’
ел2	atox	ox*
Попытаемся обобщить построения пункта 2. чтобы привести (4.28) к
каноническому виду (4.18) или близкому к нему (см. [13])
21
Рис. 19
Заменим в малой окрестности каждой точки (г, 4) уравнение (4.26)
уравнением (4.7) с постоянными коэффициентами, равными значению коэф-
фициентов уравнения (4.28) в этой точке (z.t). Это процедура называется
“замораживанием коэффициентов".
При этом характеристики “замороженного” в точке (x.t) уравнения
будут иметь направления, зависящие от (г,4), касательный вектор (dx.dt)
к которым удовлетворяет уравнению (4.27) (см. рис. 19)
Интегральные кривые уравнения (4.27) называются характеристиками
уравнения (4.28) (см. [13]). Итак, в виду (4.27) дифференциальное уравнение
характеристик уравнения (4.28) имеет вид
п(х. t)dx~ — '2b(x, t)dxdt + с(х, t)dt~ — 0.	(4.29)
Уравнение характеристик (4.29) получается формальной заменой
"	(4.29')
Предположим, что в рассматриваемой области плоскости (г.<). где
решается уравнение (4.28), выполняется строгое условие гиперболичности
(4.11):
b\x.t) - n(x,t)c(r,() > 0.	(4.30)
Гогда, деля уравнение (4.29) на dt~ п решая полученное квадратное уравнение,
получаем два различных дифференциальных уравнения:
dr b± у/Ь2 - ас
-77 - ---------- (4 31)
dt	а
Если функции а, b и с - гладкие, то уравнения (4.31) имеют соответствующие
им два семейства интегральных кривых. Будем обозначать эти семейства
характеристик соответственно знаками “+" Выберем на плоскости
новые координаты £. р так. чтобы (, — const па характеристиках
семейства а т) - const па характеристиках семейства “—" Эго значит.
что мы выбираем характеристики в качестве новых координатных кривых
а £,т] — это первые интегралы уравнений (4.31) соответственно
Отметим, что замена переменных (x.t) >— (£.’/) невырожденна в каждой
точке, в которой выполняется условие (4.30). Действительно, из (4.31) видно
что в каждой точке характеристики имеют разные направления, а поскольку
grad£ и gradrj ортогональны соответствующим характеристикам, то grad^
и gradi) также имеют разные направления. Поэтому, кстати, искомые
координаты £, г) существуют в достаточно малой окрестности каждой точки
Отметим, что во всей рассматриваемой области плоскости (z.l) искомые
координаты могут не существовать.
Проверим, что в координатах Г} уравнение (4.28) приводится к ка-
ноническому виду (4.18) с точностью до членов, содержащих производные
первого порядка. Для этого выведем дифференциальное уравнение для
функций £(z, 1), t)(x, I), так называемое характеристическое уравнение.
Поскольку ^(z, I) = const на любой характеристике из семейства “+".
те. эта характеристика является линией уровня функции то gradf*
ортогонален этой характеристике (см. рис. 19):
grad£.L(dx, dt).	(4.32)
Следовательно, <7га</^||(Л, — dx), откуда f|/ff = —Зг 1 1,71,1
dt = —kdx, где k —	(4.33)
дх	dt	'
Подставляя (4.33) в (4.29), получаем искомое дифференциальное урав-
нение:
\ot /	ot ox	\ox J
(4.34)
Точно так же выводится дифференциальное уравнение для t)(x,t) и оно
совпадает с (4.34):
\ ос /	at ох	\&х /
(4.35)
В этом нет ничего удивительного, поскольку (4.29) совмещает в себе два
разных уравнения (4.31).
Теперь вспомним формулы (2.10) — (2.12) замены переменных в диф-
ференциальном уравнении. Подставляя выражения (2.10) — (2.12) в (4.28).
мы получаем для функции r(£, rf) = u(r, t) дифференциальное уравнение
«(С	+ 2Д«.	+ 7(«.П)^ +	= 0,	(4.36)
26
где ...заменяет члены, содержащие лишь производные первого порядка от
v При этом для коэффициентов о, 3 и 7 получаем выражения:
1 = <1
dt /
ей J
+-л^+
Gt ОТ
4.‘)hd’,d,} 4.
+ 2bdi^ +
dx /
dt dt	\ dt dx dt dx J dx dx
(4.37)
(4.38)
(4.39)
а = а
От )
Обозначим через А так называемый характеристический многочлен оператора
А из (4.28), соответствующий точке (x,t):
Л(6.6) = Л(т,/;^,^) =a(r,t)^ + 2b(i,t)$2$i + c(x,t){2.	(4.40)
Тогда (4.34) и (4.35) равносильны тому, что
о — A(grad^) — 0; 7 = A(gradi/) = 0.
(4.41)
Окончательно (4.28) принимает вид, похожий на (4.18):
Ж’/)^-+.=°.
d(dt)
(4.42)
Задача. Докажите, что	0 при ( = £(x,t), 9 = 4(x,t)- если
выполняется условие (4.30). (Используйте (4.37) — (4.41)).
Уравнение (4.42) можно решать приближенно. В ряде случаев, когда
уравнение (4.42) оказывается достаточно простым, удается иайти его общее
решение н таким образом найти общее решение уравнения (4.28).
Упражнение (§18 [13]). Найти общее решение уравнения
d2u . d'u , d2u du
~2sinz»~^ ~ cos ~ cosx^~ = Q	4.43)
dx-	dxdy dy2 dy
Решение. Уравнение характеристик (4.29) получается из (4.43) при
помощи замен >— dy, -dx (см.(4.29')):
dy2 + 2sin xdydx — cos2 xdx2 = 0	(4.44)
или
 dy 2
— I + 2 sin x —---cos x = 0.
dx)	dx
27
Отсюда
= — sin х ± \/sin2 х + cos2 х — — sin х ± 1.	(4.45)
ах
Интегрируя, получаем
у — cos х ± х = с.
Отсюда функции
с(х,у) = у - COST т X
постоянны вдоль интегральных кривых, те. они и являются первыми
интегралами уравнений (4.45). Следовательно,
fi = J,-COSZ-Z,
[ Т) — у — COS X + х.
Мы уже знаем, что уравнение (4.43) в переменных £, г} имеет вид (4.42)
Однако нам интересен и вид членов, содержащих	обоаиачеииых
многоточием в (4.42). Можно было бы воспользоваться готовыми форму-
лами (2.10) — (2.12), но мы сделаем замену переменных (4.46) в (4.43)
непосредственно. Вместо г мы всюду будем писать и:
( 37 =	+	- D + ^(si“ 1 + D- ,4 47»
V ~ду	дт) '
Отс юда
д~и	д'-и . ,	ди ди
— = . . , 4- ЫН" -г - 1) + ... +	+ — cosz.	4.48)
di2	d£di}	di)
Здесь многоточием обозначены члены, содержащие и 2^. которые, как
мы уже знаем (см. (4.42)). упнч южаются при пересчете всех членов (4.43)
Поэтому их и не нужно писан.! Аналогично, <)-ч	д2 и , . = - •- + 7^— (ян ()х()у	C>S.(hf Након. и. з2 II <)у; " ' Н<>1< 1ав.гян (1.17)	(4 50) в (41; ди 	(2(мп 7' — 1) —2 мп 7--2 мп г - со 28	i J- - 1) + / ,l/.(sin J- + 1) + . .	(4.49) /)- и + 2	-f .	(1.50) 3). получаем .,	Он ди	ди ди s’ 7- 2) + cos 7'(	COS 7.'( — + —) = 0 д£ дц	д£ (И]
1осле приведения подобных членов н сокращений
д2 и
= 0
сЭ^г,
H = /(О У('/)
Ответ: и(т, у) = /(у - cost - г) 4- у(у - cos х 4- т).
Для закрепления материала рекомендуем решить задачи:
Задачи Найти общее решение для следующих уравнений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
д2и	д2и	,,д2и	ди	ди
дх-	дхду ду-	дх	ду
д2и	д2и	I (ди	ди\
дх-	ду-	2 \дх	ду j
>д2и од2и п ди
1Г7"«’П-2«Г=0-
дх- ду1 ду
д / 23u\ id2и
дх \ дх)	1 ду2
. д1и ди ди
U - У)л~л“ -	+ т- - 0
дхду дх ду
д2и	ди	ди
я~я~ +	+ •с^~ + £уи ~ °-
дхсу	дх	ду
у > 0.
Задачи Решите следующие -задачи Коши:
1.
—+2—-3—-0
дх2 + дхду ду2~
I о 2 ди
и = Зх* ,	—
1у=о	ду
2.
XX 0.
у =0
а ->д2и	, д2и	д2и
4у т—j 4- 2( I - у )——----——
дх1	дхду ду-
2у f.,— -
4- У2 \ дх
=с
ду)
3.
д2и
дх-
4.
uL=n
а2 и
дх'-
= •e’i(-r)
9 = 0
д2и	ди
') J я~
ду-	дх
)•	= ^т(-г)
I у=0
<>2н
дхду
ди
~У^~ =0.
<Zv
д2и
ду2
ди
sinz— = 0,
ду
- г"о(т).
5.
6.
д2и д2и ^д2и
дг- + дхду ду2
^-2,,/^-3^=0.
дх* дхду
ди
ду
»=i
ди ди _
fa~d^
= Г(х).
9=0
.. д2и
ду2
= ¥>1(г)-
»=i
4. Негиперболические уравнения.
Рассмотрим случай, когда вместо условия строгой гиперболично! г,
(4.30) выполняется противоположное неравенство
b2(z,t) — a(z,t)c(x,t) < 0.
(4 51
Тогда уравнение (4.28) называется эллиптическим в точке (z,t). При эт<л
правые части уравнений (4.31) - комплексно сопряженные функции, и при и:
интегрировании получаются комплексно сопряженные “первые интегралы
f и г/ = £. Оказывается, если взять zt = Re£ — и г? = Im£ =	:
качестве новых координат, то уравнение (4.28) принимает вид
д2и д2и
дг2 + дД +
0,
(4.51
т.е. его главная часть совпадает с оператором Лапласа (см. задачи
9 и 12-17 из [13]). Это позволяет решать такие уравнения точно ил
приближенно.
Упражнение (N 14 [13]). Приведем к каноническому виду уравнение
д2и д2и
yw+lw=0' у>0' I>0-	(4f’
Решение Уравнение характеристик ydy2 + xdx2 = 0 приводится
у/ydy = Hy/xdx, т.е. уравнение (4.53) — эллиптическое. Интегриру
получаем t/3/2 q: ix3^2 = с. Выбираем за новые координаты = Rec ;
t/3^2, z? = 1тс = х3!2. Тогда
ди _ ди 3 |^2 ди _ ди 3 (^2
дх дг22* ' ду dzi 2У
Отсюда дифференцированием получаем (ие выписывая члены с “
соответствии с (4.52)):
д2и д2и$ ди 3 _1/2	д2и д2и9	ди 3 _1/2
Th2 ~ д^4Г + д^4Г +	ду2 ~ д^4У+ д^4У	+'
30
f
Подставляя в (4.53), находим
/ д2 и
<)2iA 9	3 ди
dz^ /4	4 ОС]
3 ди _х/.,
ZZj—yr 1 =0.
4 дгз
Отсюда получаем
канонический вид:
д2и
 ch?
д2и 1 ди 1
dz2_ + з?7 dz
Зс2 д.
^ = 0.
случай, когда в (4.30) вместо знака > стоит =.
называется вырожденным или параболическим в
— параболическое уравнение в
Теперь рассмотрим
ТЪгда уравнение (4.28)
щдроком смысле в точке (т,1). Если (4.28)
невоторой области, то уравнения (4 31) совпадают и соответственно имеется
только один независимый первый интеграл {(х,1). Для приведения (4.28) к
(Ионическому виду в этом случае в качестве можно взять любую функцию
чтобы замена x,t — (,’) была невырожденной. Оказывается, (4.28)
пц|вимает вид
д2 и
^ + ... = о.
дц-
Упражнение (N 10 [13]) Приведем к каноническому виду уравнение
(4 .54)
. , д2и	, д2и	.,д2и
s»n-=r— - 2j/sinz—— + y-^-i; - 0,
дх-	дхду	ду-
у > 0.
(4.55)
Решение Уравнение характеристик sin2 xdy2 + 2,ysin xdydi + y2dx2 = 0
ПЦВВОдится к виду (sin xdy+ydx)2 — 0, т е. уравнение (4 55) - параболическое.
После разделения переменных т/т/sin т — -dy/y, откуда ln tg (т/2) = - In у + с.
идр j/tg(x/2) = Г). Возьмем f = j/tg(z/2), тогда, принимая
находим
ди	ди	х	ди
z~ -	X +	V"
ду	д£	1	ду
Отсюда дифференцированием получаем.
В соответствии с (4.54):
Н<‘
выписывая
ч.ьчни
8*и
д( ,V2 cos3(x/2)
ди sin(x/2)
д’- и
du-
o,f-
д' и
дхду
<К 2cos-'(r/2)
ди _ ди 1
дх д^Уусоя
и
Подставляя в (4.55), находим
(ди sm(r/2) \	ди 1
snr х -г— У-----т;—	— 2usin х-г— ---------—
\ <)£ ‘ 2 cos3(x/2) )	'	д(. 2 cos-(j/2)
d2 и
+ .У—^7 = 0.
ду-
31
откуда получаем капонпческип вид
д2а ди (	£ site л	sin г \ д2и ди ( 2f
-— + — -— ------------——----------:------	= —г + —-----------
ch/-’ д£ \ у2'2 cos2(i-/2)	</cos'-’(±72)7 ду- 3£ \ ц2 + £-
Задачи Привести к каноническому виду следующие уравнения:
1.
2.
-3
д2и	д2и	ди
т; л" +	+ п я~ + ‘?я—* си ~ О’
дхду	ду-	дх	ду
, д2и , д2и 2д2и ., ди
tg'-r - 2У^хя~ТГ + у + 18 •гГ = 0
дх-	дхду ду-	дх
, 1 д2и , д2и пд2и ди
cth 'х—^ - 21/clli j + у' -j-v + 2.V— = 0.
дх-	дхду ду- ду
ди
дх
ди
ду

§5. Полубесконечная струна.
1	Смешанная задача для уравнения Даламбера
Рассмотрим уравнение Даламбера (2.1) на полупрямой х > 0. Фпзнческ
это соответствует струне, у которой один конец находи |ся в начале коорднна
а другой на очень большом расстоянии от начала (на расстоянии at)
д2и 2д2и
дР=а дх2
х > 0.
t > 0.
(5
Начальные условия (2.2) здесь также необходимы.
н(т,0) = у>(т);
^-(.г,0) = V’k), х > 0.
(5.
Кроме того, физически очевидно, что нужно задать краевое условие -
левом конце струны при х = 0. Например, если этот конец закреплен, i
его смещение равно пулю:
u(0,O = 0.	<>0	С'
Возможны также другие физически содержательные краевые усло1;
(см (1.8) п (1.17))
Задача (5.1)	(5 3) наэывае гея сме шанной, поскольку в неп прпсутствх
как начальные (5 2). так и краевые условия (5 3).
2	Решение смешанной задачи (5.1) — (5 3) Метод падающий и отражен
волн
Применим метод Даламбера, i.e. будем пека1Ь решение в виде
н(т. () = f(x - at) + g(x + <if)
32
Подставляя эго разложение в начальные условия (5.2), получаем, как и
в. §2, уравнения (2.25)	(2 .30), т.е формулу Даламбера для u(z,/).
Вопрос Зачем нужно краевое условие (5.3). если мы. как нам кажется,
И так уже иашли решение, используя только начальные условия’’
Ответ. Уравнения (2.25)	(2.29) справедливы лишь при х > 0.
поскольку начальные условия (5.2). в отличне от (2.2), заданы только при
g > 0. соответственно, формула Даламбера (2.30) справедлива при x — at > 0,
а ие при всех х > 0, t > 0.
Вывод. Решение смешанной
Двламбсра (2.30) при х - at > 0.
Р«с. 20
(129) в области z — at > 0, т е. под
время волна д(х 4- at) найдена по формуле (2.28) всюду.
остается найти f(x — at) над главной характеристикой, т.е.
Найдем f(x — at) при х — at < 0.
задачи (5.1) — (5.3) дается формулой
Это область под “главной” характе-
ристикой х—at = 0. Характеристика
z — at = 0 называется главной, по-
скольку она выходит из особой (угло-
вой) точки области х > 0, t > 0, где
решается уравнение (5.1). Найдем
теперь решение над главной харак-
теристикой (в области х — at < 0).
Разложение (5.4) справедливо всюду
в области х > 0, t > 0. Однако,
волна f(x — at) найдена по формуле
главной характеристикой. В то же
Таким образом,
при х - at < 0.
Воспользуемся краевым условием (5.3):
f(-at) + g(at) = 0, t > 0.	(5.5)
Это и есть формула, связывающая неизвестные значения / при от-
рицательных значениях аргумента с известными (2.28) значениями д при
положительных значениях аргумента.
Сделаем замену переменных: положим
—at —
Тогда (5.5) примет вид
/(-') =-а(--).	--<о
Ввиду (2,28), получаем отсюда, что при х — at < 0
,,	,	,	^(at — х)
f(x - at) = -g(at - x) =------------
2a
(5 6)
о
?(at-x)
2
2 a
Подставлял (5.7) и (2.28) в (5.4), находим: при х > at — формула
Даламбера (2.30); при 0 < х < at:
r+af
2	ла J
at-x
(5.8,
Итак, решение смешанной задачи (5.1) — (5.3) дается двумя раз-
ными формулами: формулой Даламбера (2.30) при х > at (под главной
характеристикой) и (5.8) при 0 < х < at (над главной характеристикой).
Определение. В области 0 < х < at волна g(x + at) называется падающей
(на левый конец х = 0), a f(x — at) — отраженной (от этого конца).
Дадим графическую интерпретацию построения решения задачи (5.1)
- (5.3).
Решение этой задачи состоит из двух этапов:
А. Подставляем разложение Даламбера (5.4) в начальные условия (5.2)
которые заданы в точках оси Ох (г > 0, t = 0). Решая систему (2.25)
Рис. £1
при х > 0, находим волны f(x — at,
и д(х + at) в этих же точках х >
0, 1 = 0. Теперь f(x — at) известна
на всех характеристиках, бегущих
вправо из этих точек (рис. 21), по
скольку f(x — at) постоянна вдоль
таких характеристик. Эти харак-
теристики заполняют всю область
х — at > 0. С другой стороны, волна
д(х + at) известна всюду. Действи
тельио, она постоянна на характе-
ристиках, бегущих влево, а такие характеристики, выпущенные из точек луча
Ох, заполняют всю область х > 0, t > 0. Таким образом, начальные данные
позволяют определить решение там, где на рис. 21 проходят характеристик»
обоих семейств, т.е. под главной характеристикой.
Видно (см. рис.21), что над главной характеристикой волна f(x — at1
(отраженная) пока не известна, а
падающая д(х + at) — известна.
Б. Подставляем разложение Да-
ламбера (5.4) в краевое условие (5.3),
которое задано в точках оси Ot (t >
0, х = 0). Волна д{х + at)) в этих
точках уже найдена из начальных
условий в пункте А. Поэтому кра-
евое условие (5.5) связывает неиз-
вестное в этих точках значение вол-
ны f(x — at) с известным значением
Рис. 22
34
g(x + ot), что позволяет определить волну /(х — at). Но тогда f(x — at) (и
,»уовательно u(x,t)) известна на характеристиках, бегущих вправо из всех
fttx точек (пуиктир на рис. 22), т.е. во всей области х < at над главной
характеристикой.
3. Другие краевые условия.
Вместо (5.3) можио рассмотреть краевое условие (1.6"):
(0,*) = 0, t > 0.
ох
(5.9)
Упражнение. Решим смешанную задачу (5.1) — (5.2), (5.9).
Решение:
1). Под главной характеристикой, т.е. при х > at, справедлива формула
Даламбера (2.30), н формулы (2.28) — (2.29) справедливы при х > 0;
2). над главной характеристикой, т.е. при х < at, вместо (5.5) получаем,
подставляя (5.4) в (5.9):
f'(-at) + g'(at) = 0,	,t>0.
После подстановки —at — z
Г(г) + д'(-г) = о, z < о.
Интегрируя, получаем
f(z) ~ ff(~z) = С1 = const, z < 0.
(5.10)
(5.11)
(5.12)
Отсюда ввиду (2.28) получаем при х < at:
f(x - at) = g(at - x) + C1 = -p(at - x) + —
z	za
at-r
У 4>(s)ds +	+ C|
0
(5.13)
Беря g(x + at) из той же формулы (2.28), получаем при х < at
at-z	»+al
i f ' I +	(5.14)
z	la J	la J
о	о
Константу Cj, как мы сейчас покажем, можио определить из условия
•рврывиостн решения u(x,t) на характеристике х = at, если задача (5.1)
~ (5 2), (5.9) решается для струны или для стержня.
35
4 Разрывы решения вдоль главной характеристики Условия непрерывное
Из сказанного выше следует, что решение задачи (5.1)	(5.2) виража-
разными формулами при х — at > 0 и x-at < 0, поэтому вдоль линии х — at
оно может быть разрывным. Оказывается, разрыв любого решения уравнен,.
(5.1) вдоль липни х - at = 0 есть величина постоянная
Действительно, это видно из (5.4):
I) волна g(x + at) непрерывна при переходе через главную характерно! Ик.
так как ее линии уравня х + at = const пересекают прямую х = at;
2) волна /(z— at) снизу от главной характеристики х - at = 0 им>.
предел, равный /(0+), так как там х - at > 0; аналогично, предел сверх
равен /(0-). Итак,
в	-и = /(0-)-/(0+)
1г — al —11-	!r — at = 0+
Поэтому условие непрерывности решения u(zj) на главной характеристик
имеет вид
/(0-) = /(0+).	(5 з
Упражнение. Найти условие непрерывности решения задачи (5.1)
(5.3) па главной характеристике.
Решение Из (2.29) вытекает, что
w(0) с
/(0+) = V"9-’	(5Г
2 La
а из (5.7) следует
Следовательно, условие (5.16) дает
^(0) _ *>(0)
V’(O) = 0.
2	2
Замечание 5.1. Рассмотрим область х > 0, t > 0, где решается зад
(5.1) - (5.3).
На ее границе на оси Ot р«-т.1-
ние равно нулю ввиду (5 3). а на -
Ох решение равно ^г(г) . Поэт '
условие (5 .19) есть просто уел-"-
непрерывности граничных энач- ы
u(x.t) в точке (0.0). Как мы
дели, оно необходимо и достаю
для непрерывности решения на i
главной харак герцетике

Упражнение Найти условие непрерывности решения задачи (5.1) —
(5 2), (5-9) на главной характеристике.
Решение. Формула (5.17) здесь также верна, а вместо (5.18) получаем
из (513):
/(0-) = y + О	(5.20)
1 1а
Поэтому (5.16) принимает вид (см. (5.14)):
^(0) х £ хг -	_ —
2 + 2а + 1	2 2а
С| + - = с2 = 0.
а
(5.21)
Замечание 5.2. Разрывное решение задачи (5.1) - (5.2), (5.9) (при
с2 / 0) не имеет физического смысла для струны или стержня, поскольку
оно означает их разрыв. Однако в акустике или газовой динамике разрывное
решение имеет физический смысл и называется ударной волной. При этом
величину разрыва, равную с2, нельзя найти вз уравнений (5.1) - (5.2), (5.9).
Она определяется из дополнительных физических или химических сообра-
жении и таким образом неоднозначность в решении задачи ликвидируется.
Например, при распространении детонациониой волны в парах бензина
величина скачка давления на фронте зависит от марки бензина, давления,
температуры, состава смесн и т.д
Смешанная задача (5.1) - (5.2) при более общих краевых условиях (1.8)
или (1-17) решается так же, как при условии (5.9), однако краевое уравнение
типа (5.10) на отраженную волну будет уравнением второго порядка, и
его решение содержит две произвольные постоянные. Они определяются
а каждой конкретной задаче из дополнительных условий. Например, ниже
условие (5.34) означает, что груз при t — 0 прилип к левому концу струны
н его скорость равна 7.
5^1ражнение Найти непрерывное решение задачи
52u	<92и
~di*=9d^' х>0’/>0; u(l>0) = e’ ;
^•(х,0) = cos5x; ^£(0,1) = u(0,<) + t.
at	ox
Решение. При х > 3/ справедлива формула Даламбера
,	_ е-(г-3<) + e_(I+3‘>	1 sin (5(т + 3t)) - sin (5(х — 31))
и(х, ) -	-	+ -	-
Псетому при х < 3/ нужно искать решение в виде
€-(»+зо	[
u(zj) = f(x - 31) + --------+ — sill (5(j~ + 31))
x	oil
37
Подставляя это выражение в краевое условие, находим:
з«
/'(-30- V4 - cos( 15() =/(-3/) 4
2 n
-з<	)
у- + 35s,,1(15z> + '•
t > 0.
2
Иог.и замены у — — 'At получаем.
,, е* i	1	у
f (У) - - 4 р cos(5y) - /(у) + — - — sin(5y) - у < 0.
ИЛИ
1	1	V
/ (у) - /(.У) = eV - -соь(5у) - — sin(5y) - у < 0.
О	JU	о
Отсюда
У 1
/(У) = С'еу + yev + .4cos(5y) 4 В sin(5y) 4	4 -. у < 0.
Конопаты А и В находим, подставляя /(у) в (5 21')
-5.4 sin(5y) - 4c.os(5y) 4 5Bcos(5y) — В sin(5y) = --cos(5y)-----sin(5y).
6	30
Поэтому -5.4 — H - — - .4 + 5 В = -1, откуда -26.4 = — 1 А — А--, В
\	о	J	<в
-5/1 “* зо “ _ те + Наконец. С находим иа условия непрерывности (5.16
Г- 4 I 4 1 = 1'	^>('’-l_a = i_i=2.
3	2	б ' 1	6	78	13
Ответ при 2- < 3/
u(z./) = -ie'"3' 4 (т -3Z)r"-3‘ + lcos5(z-30 4
1.)	(О
Z - 3/	1	e-'J+3"	1
+	-l~ + 3 + -^- + 30sl,,D(J+3')
5 \
78/
sin 5(z — 3/)4
5	Распространение волн
Упражнение. Натянутая полубесконечпая веревка покоится, а начиная
момента t — 0 ее левый конец z = 0 движется вверх и вниз с заданным
смешением sin при этом а = 1 Нарисуем форму веревки при /=1,2. 3,.
Решение Нужно решить смешанную задачу (5.1) — (5 2), где <р(х) i
<.’(z) =0, с краевым условием
и(0, /) = sin nt. t>0	(5 22
) Z > t => ll(x.t) = 0. поскольку r-(z) = l(z) = 0 no условию b
частности. y(z 4 t) = 0.
38

2) x < t- поскольку y(r + /) = (! h-
HlZ. n = fix - t)
Подставляя (5.23) в (5 22) имеем
fl -1) - sin т/. t > I)
После замены — t = г
f( =) - 'in	U
(5 23 I
(•> 21)
(.< 23
Поэтому
u(z, t) — f(x — li = sin ti I - x) = - sin xl j' - t).
(5 23)
Ответ см pur 24
Упражнение Натянутая веревка вначале покоится, а начиная с момента
t = 0 ее левый конец х — 0 перемещают вверх и вниз с заданной силой
sinrt. При этом а — 1. натяжение Т = I Нарисуем форму веревки при
t= 1, 2. 3___
Решение Нужно найти непрерывное решение смешанной задачи (5 1 )
— (5.2) при ^(z) = v(z) = 0 с краевым условием
——(0J) = - sin тгС t > (J.
дх
(5.27)
(см. (18)).
1) х > 0	=> u(z. /) = 0. в час гности, д(х + t) = 0.
2)z < t.
и(х, t) = /(z - /)	(5.281
Подставляя (5.28) в (5.27). имеем
f (-1) — — sin nt, t > 0.
(5.29)
После замены -t — z
,,,	„	,	cos n z
/(z)^sniTr. c<0	=> f(z) =---------x- c,
n
(5 30)
39
0
Поэтому
.	,	,,	>	COSJTX-П
u(x,t) - f(x - t) — ---------—- + c, x<t
ТГ
Условие непрерывности при x = t требует, чтобы
1	1
u(t, t) — 0 —---hr <=> c — —.
<T	<T
Окончательно.
u(j,f) — — ( — cos ir(x — Z) + 1), x < t.
ТГ
Ответ: см. рис 25.
(5.31
(5.32
(5.33
Упражнение К левому свободному концу полубесконечного покоящегося
стержня прилипает груз массой т — 2, летящий со скоростью v = 7. Найгн
смещения стержня при t > 0, считая в уравнении (5.1) коэффициент а = 3
и SE = 5 в (117).
Решение. Математическая постановка задачи выглядит так:
д2и	д2и	ди	д2и	ди
— =9—, ц(х,0)= — (т,0) = 0; 2—(0,0 = 5—(0,< .
д1г	дх-	dt	di-	dx
Прилипание груза к левому концу стержня дает такие условия.
du
u(0,0+) = 0; —(0,0+)= 7	(5.31
Последнее равенство связано с тем. что на левом конце стержня нет другой
сосредоточенной массы, кроме прилипшего груза. При х > 3Z справедлив!
формула Даламбера. так что u(z,Z) = 0, поскольку начальные данные равш
нулю. При х < 3Z решение имеет вид u(z, t) = f(x — 3<), поскольку ,v(z + 3<) = ('
Подставляя в краевые условия, находим
2  9/"(—3Z) = 5/'(-3(), t > 0; /(0-) = 0; -3/'(0-) = 7.
Отсюда
18/"(-/)-5/'(р) = 0;
5	_
— of?— = i;
18
У < о => f(y) = C| + с2е — у; а + с2 - 0;
1 о
42
Сч =------.
5
Ответ: п = 0 при т > 3Z и и =	(1 - cirIJ 3,|1 при х < 3t
40
6	. Отражение волн.
К задаче (5.1) - (5.2) при краевых условиях (5.3) или (5.9) кроме общего
метода, описанного выше, удобно применять также методы нечетного и
четного продолжения соответственно.
Рассмотрим метод нечетного продолжения.
Следующая задача описывает колебания струны при щипке.
Упражнение. Решим смешанную задачу (5.1)	(5.3) с « = 1 и такими
начальными данными:
Нарисуем форму струны при 1 = 1, 2, 3, 4, 5.
Решение. Рассмотрим решение й(т,<) задачи Коши (2.1)	(2.2) на
всей оси с ^й(т,0) = 4>(х) = 0 и нечетно продолженной р(х):
Рис. 27
Положим
и(х, t) = й(х,t)	(5.36)
г>0
Очевидно, и удовлетворяет уравнению (5.1) и начальным условиям (5.2).
Ниже мы увидим, что краевое условие (5.3) также выполняется, поскольку
— нечетная функция по х. Область х < 0 будем называть фиктивной.
«ЛИ нефизической.
Построение й(т,1). По формуле Даламбера (2.30)

(5 36')
11
те нужно r'U') разделить пополам, сдвинуть на t вправо и влево
результат ы сложит».
1 < — 1 ри<’ 2S
левый горбит в физической области т > 0 подошел к гвозди
4.	< = 3, 5 гвоздь перетягивает горбик
42
5.	t — рис. 32. Оклоаение яри г €[-1.1] равно тождественно нулю,
стрелками показаны скорости точек струны
б.	t = 5. рис. 33. Горбики разъехались (стрелками показаны направления
движения горбиков)
И так далее: в физической области х > 0 бегут два горбика вправо (а
в нефизической х < 0 — влево).
Замечание 5.3 Видно, что краевое условие (5.3) при х — 0 выполняется
при всех t > 0 потому, что u(x,t) — нечетная функция по г
Задача Нарисуйте форму струны при t = 3 25.
Рассмотрим колебания рояльной струны при ударе молоточком
Упражнение. Решим смешанную задачу (5.1) — (5.3) с а — 1 и такими
начальными данными:
<Р(х ) = О,
4>(х)
а
Рис. 94
43
Нарисуем форму струны при 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Решение. Положим ^>(г) = 0, х € IR, a v(z) продолжим по нечетно
Рис. 35
Рассмотрим решение й задачи Коши (2.1) — (2.2) с начальными данным.
ф и ф. Как и иа с.19
Рис. 36
Положим u(x,t) = й(г,/)	. Очевидно, u(x,t) удовлетворяет (5.1) i
1г>0
(5.2). Ниже будет видно, что краевое условие (5.3) также выполняется.
Построение й(г,<) по формуле (5.37): рис. 37-42.
44
I.'»
И так далее: в физической области х > 0 бежит трапеция вправо (а в
нефизической — влево). Краевое условие (5.3), очевидно, выполняется.
Задача. Нарисуйте форму струны при t = 3.5 и t =4.5.
Рассмотрим теперь метод четного продолжения.
Задача. Решите смешанную задачу (5.1) - (5.2), (5.9) с а = 1 и начальными
данными (5.34). Нарисуйте форму струны при 1=1; 2; 3; 3.5; 4; 4.5.
Указание. Применить четное продолжение <р(х) и ф(х). Тогда краевое
условие (5.9) будет выполняться, поскольку й(х, 1) будет четной по х.
Задача. Решите смешанную задачу (5.1) — (5.2), (5.9) с а = 1 и началь-
ными данными (5.37). Нарисуйте форму струны при I = 1,2,3; 3,5; 4; 4,5; 6
Упражнение. По упругому полубескоиечному стержню при t < 0 рас-
пространяется волна деформации, бегущая влево:
и(х П - I S‘n(* + 3ei' x>~3t’	<5 381
|0,	0 < г < —31, 1 < 0.	(5'38)
Леный конец стержня при г = 0 упруго закреплен (см. (1.17)):
0 =-2и(0,1) + з|^(0,1), 1>0.	(5.39)
Найдем u(z,t) при 1 > 0.
Решение. Из условия вытекает, что
д^и	д2и	ди
S7T = 9—г, х > 0, 1 > 0;	и(г,0) = sin х; -^-(г.О) = Зсовх, х > 0.
ОТ	Ох*	от
Отсюда при х > 31 по формуле Даламбера u(z,t) = sin(x + 31), как и в (5.38)
При х < 31 ищем решение в виде u = f(x - 31) + sin(x + 31). Подставляя в
краевое условие (5.39), получаем
0 = -2Д-31) - 2sin(31) + 3/'(-31) + 3сов(31).
Замена у = — 31 дает
ЗГ(у) - 2/(у) =-2siny - Зсову.	(5.40)
Поэтому /(у) = Се(2/3>* + Л сов у + В sin у. Константы А и В находим,
подставляя /(у) в (5.40):
—ЗЛ sin у — 2Л сову + ЗВ сову — 2Л sin у = — 2 sin у - 3 сову.
Поэтому —ЗЛ — 2В = —2; — 2Л + ЗВ = —3, откуда
-9Л —4Л = —12; Л =12/13; В = -1 + ?Л = -1 + 4 = - —
3	13	13
46
Наконец, С находим из условия непрерывности (5.16): С+А = 0; С = —1|.
Ответ: при х < 31
12	12	5
и(х,<) =	+ т^«>8(г - 31) - 77sin(r - 31) + sin(x + 31).
Id	IO	IO
§6. Ограниченная струна.
1.	Метод Даламбера.
Поперечные колебания струны длиной I в отсутствие внешних сил
описываются уравнением (5.1):
52ц(х, 1) ,d2u „	,	„	,
= 0<1</’ <>0- (61)
Для однозначного определения движения струны нужно задать начальные
условия
и(х, 0) = <j?(r); u(z, 0) = V'(z), 0<х<1	(6.2)
и краевые условия на концах. Например, если концы закреплены, то
и(0,1) —0; u(/,l) = 0,	1>0.	(6.3)
Решение смешанной задачи (6.1) — (6.3) можно найти методом Даламбера
ио схеме $5, а именно:
1)	подставляя (5.4) в начальные условия (6.2). которые заданы в точках
t = 0, 0 < х < 1, находим по формулам (2.28) — (2.29) волны f(x — at)
И д(х + at) в этих же точках. Это дает решение u(x,t) в области 1
(треугольнике ОАВ):
Рис. 43
47
2)	поде гавлня (5.4) в краевое условие (6.3) при т = 0, находим отражение •
волну fir — о/) по известной падающей волне д(х + al) в точках отрезк ,
ОС. Ото даег решение u(x,t) в области II (треугольнике О ВС) ,
3)	подставляя (5 4) в краевое условие (6.3) при z = I, находим отражение к.
волну д(х + at) по известной падающей волне f(x — at) в точках отрезк.,
АЕ.
II так далее. Так можно найти решение u(x,t) во всей полуполоо
О < х < I, t > 0, последовательно разбивая ее па области, ограниченны-
характеристиками, подобными характеристикам OD, .-К.', СЕ. Таким ж-
образом можно решить смешанную задачу (6.1) — (6 2) с другими, бол< •
сложными чем (6.3) краевыми условиями на концах струны.
Замечание 6.1. Асимптотические свойства решений задачи (6.1) — (6.3,
при t —> -ос, в частности, собственные частоты колебаний, более удобш
исследовать методом Фурье, изложенным в главе 11.
2 Метод "четного" и "нечетного" продолжения
Упражнение. Решим задачу (6.1) - (6.3) при а = 1, I = 6 и начальных
данных из рис. 26. Нарисуем форму струны при t — 1,2, . .. и найдем перво.1
Т колебаний струны.
Решение.
(пускаем справа фик
тнвный горбик)
(пускаем слева фпк
гивпып горбик)
I ~ 4:
(пускаем слева фик-
тивный горбик)
(пускаем справа фик-
тивный горбик)
•19
Итак, цикл замкнулся, период Г — 12=	.
Задача (рояльная струна) Решите задачу (6.1)	(6.3) при ч
и начальных условиях на рис. 34, I = 6. Нарисуйте форму струны г:
t = 1.2. ... и найдите период колебаний.
Задача Решите задачу (6.1) - (6.2) с краевыми условиями
^(0.1) = 0, ^(/.1) = 0. / > 0.	(I
От	di-
Указание Нужно применять метод “четных' отражений, т.е. пуск
отраженные фиктивные горбики (см. рис 41) с тон же "поляризацией
что и падающие, а не с противоположной.
§7. Волновое уравнение со многими независимыми переменными
1 Плоские волны, характеристики, разрывы
Многомерным аналогом уравнения Даламбера (1.1) является но.нт
уравнение, где а > О:
Такому уравнению удовлетворяет давление воздуха р( л-. /) (звуковая i
на в акустике), потенциалы у?(т,1) и .4(т./) эл< к 1 ро.магни гпого по,-
электродинамике п г.д.
Будем искать решения уравнения (7.1) вила
«(*,<) ~ ЛЫ + £1*1 +£2*2 +£з*з) ~ / (£+ + 6£т))
где £ = (£i-&.£3) ± 0; (£•*) S £1*1 +£2*2 +£3*3
Замечание 7.1. Такая функция называется илоскоп волной .')то спя
с тем, что
50
а)	при фиксированном t = /с поверх nori и уровня I/( j- . / 0) - eoii't являю i си
ПЛОСКОСТЯМИ
G* + (Ст) = с	(7 3)
перпендикулярными век юру £.
б)	при разных значениях t — t0,ii функция u(t i. г) отличается от </(/„, j)
сдвигом на вектор
Действительно,
(7.5)
г)
Итак, (7.2) есть волна, бегущая вдоль направления вектора со скоростью
I
Обозначим единичный вектор направления через J = - 4г. Тогда
4, = в|£|; 4 = — J|4| и. следовал••льно, (7.2) можно записать в виде
u(rJ) = /(r|£|'-^ -014|) = /((С-^.т))|4’|) = 9(rt - (eJ.z)),	(7.7)
где g(z) = f (r|£|) . p| = l.
После этих предварительных замечаний приступим к разысканию ре-
шевия уравнения (7.1) в виде (7 2). Подставим (7.2) в (7.1), по теореме <>
Дифференцировании сложной функции получим:
Г(с* + (ёг)и; =	+ (ёхш;-+ £; + £-;>	(7«>
Считая, что /"(;)	0. получаем
отсюда харак герпетическое уравне-
ние
= о2|€|?.	(7.9)
Решения этого уравнения - век-
торы 4 =(£«.£)€ й<4, лежащие на
(трехмерном) конусе Q в IR, осно-
вание которого — двумерная сфера
141 = j. fo = 1 (рис. 45).
51
Обратно, для любого { 6 IR4, удовлетворяющего (7.9), плоская волна
(7.2) является решением уравнения (7.1) при любой функции /(г).
В частности. /(;) можно взять разрывной (или быстро меняющейся)
какой-нибудь точке, например при z — 2 (см. рис. 14.). Тогда решение (7.2
будет иметь такой же разрыв (или быстрый скачок) вдоль всей гиперплоскости
в IR4 ( (если £ / 0):
«<,' + (£*) = 2.	(7.10',
При фиксированном t этот разрыв расположен на плоскости в Ш.2 <
уравнением (7.10'). Эта плоскость движется с увеличением t в направлении
перпендикулярного ей вектора —{ со скоростью v =	= а (см. (7.9)).
Определение. Вектор ( = ({0,£i, £2.£з) € К4. £ / 0 удовлетворяющий
(7.9), называется характеристической нормалью волнового уравнения (7.1)
Гиперплоскость = |(1,г) € ПГ4 :	+ (£,г) = conelj, перпендикуляр
ная некоторой характеристической нормали называется характернстиче
ской гиперплоскостью (или просто характеристикой) волнового уравнения
(7.1).
Гиперповерхность в IR4 называется характеристикой, если в каждои
точке ее касательная гиперплоскость является характеристической.
Замечание 7.2. В силу характеристического уравнения (7.6) скорость
распространения всех плоских воли, удовлетворяющих волновому уравнении,
(7.1), равна а:
v2 = 4j-=a2.	(7.10,
1£|2
Вывод. Любая характеристическая гиперплоскость может быть поверх-
ностью разрыва решения уравнения (7.1) (см. замечание 2.1).
Все плоские волны и разрывы этих вон, удовлетворяющих уравнении
(7.1), распространяются со скоростью а.
С формулой (7.10) связано открытие электромагнитной природы свели:
И специальной теории относительности.
Из уравнений электродинамики Максвелл вывел, что потенциалы электро
магнитного поля удовлетворяют волновому уравнению (7.1) с коэффициентом
а2 = —.	(7.10"
£оРо
Здесь £0 и ро — диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуум 1
соответственно — находятся экспериментально из чисто электромагнитных
измерений. Когда Максвелл вычислил скорость распространения элек грома, •
нитных волн, то оказалось, что она с большой степенью точности сонпадае,
со скоростью света:
1	, КЛ1
а = —= % 299976 —
52
Это навело Максвелла на мысль, что свет имеет электромагнитную
природу!
Другим великим открытием, связанным с формулами (7.10), (7 10").
является специальная теория относительности.
Естественно возникает вопрос: если
В какой системе отсчета? Известно, что
В любой инерциальной системе отсчета.
.	- скорость света, го
законы механики справедливы
Поэтому можно предположить,
что и законы электродинамики также справедливы в любой инерциальной
системе. Но тогда, согласно (7.10"), и скорость света также одинакова
во всех этих системах! Однако токое свойство скорости противоречит
механике Ньютона. Следовательно, либо уравнения Максвелла справедливы
ЛИШЬ в некоторой выделенной системе отсчета, связанной с "неподвижным
эфиром”, либо неточны законы механики Ньютона. Именно для выяснения
этого вопроса Майкельсон и Морли поставили свой знаменитый эксперимент
 таким образом подтвердили тождественность скорости света в различных
иерцнальных системах отсчета, а следовательно, отсутствие “неподвижного
•фира” и неточность ньютоновской механики (при больших скоростях).
Необходимое уточнение законов механики было затем дано А.Эйнштейном.
2. Область зависимости Формула Кирхгофа.
Рис.
Попытаемся найти область зависимости для уравнения (7.1) при помощи
Характеристик, как в §1 (рис. 18). а именно рассмотрим задачу Коши для
53
уравнения (7.1) г начальными условиями при t — 0:
Э I
«	= ^(т),	= к(г). тек3.	(7.
1г=0	<7< |( = о
Проведем через какую-либо точку (z0,/0) € IR4, 10 > 0 все характер
стики (гиперплоскости) уравнения (7.1) (рис. 46). На рис. 46 и
характеристические нормали, а £х и — ортогональные нм характе| ,
слические гиперплоскости, проходящие через (z0,Z0). Эти характерней:
пересекают “начальную" гиперплоскость t = 0 по плоскостям Р/ и Рц
Гипотеза: предположим (по аналогии с рис. 18), что область зависимо'
решения и в точке (х0,<0) есть область гиперплоскости t — 0, заключен!
“между" всеми плоскостями Pj, Рп, 
Эта область есть шар радиусом at с центром в т0. Чтобы ;
увидеть, нужно заметить следующее: нормали £[. принадлежат кон.
Q с уравнением (7.9). а все гиперплоскости £х, касаются конуса
с образующими, “ортогональными” образующим конуса Q (см. рис. ;
поэтому плоскости Р/, Рц, . .. касаются основания конуса Л'(х о 1о), т.е с<]"
5(Тф 1о), которая лежит “между" всеми этими плоскостями.
Залгечание 7 3. Конус	называется характеристическим кону
уравнения (7.1) в точке (х0.(0) •• является характеристической гиперпову
постью. Из рис. 46 видно, что а + В = *. Из (7.9) вытекает, что
tg«= i77 = - =>	tg^-«	(7 .
Koi а
Поэтому уравнение конуса Л'(Го 1о)
|т - r0| = a|i - «0|.	(7
Отсюда при t = 0 получается уравнение сферы
~ {* 6 IR3 : |т —х0] = сг/0}	(7
Итак, наша гипотеза заключается в том, чю облаегь зависимост.
в точке (х0,(с) есть шар радиуса at„ с цензом
Такая гипотеза равносильна тому, что все решения уравнения '
распространяются со скоростью а. Отметим, что для плоских воли мы
уже доказали.
Оказывается, предложенная гипотеза верна lecne юго. oKa.ii.u;.'
чю область зависимое hi меньше чем in-'ip. и i вп i;be г о сферон 5
Это. очевидно, вытекает нз формулы Кирхгофа u i р-ш чпя з; дачи К
(7.1), (71!) 1,0 Доказа I е.тьс | В’’ :>1ОИ форМу||.| о. |'1о
Ь4
3. Распространение волн. Принцип Гюйгенса
^гражнение. Дано: а — 1, <^(z) = ^'(х) = 0 при |х| > 1: найти где
(□«ведомо) и(х,1) = 0 при t — 1,2, 3,4?
Решение: Пусть сначала а произвольно. Тогда и(х,1) = 0 , если в (7.15)
область интегрирования — сфера |у —r| = at — не пересекается с областью
|«| < 1, где сосредоточены р(у) и 4>(у):
Рис. 47
Видно, что это условие эквивалентно тому, что (см.рис. 47)
1+а1<|г|,	(7.16)
или, другая возможность,
at > 1 = |г|.	(7.17)
когда сфера |j/— z| = at охватывает
шаР Is/I < 1 снаружи (см. рис. 48).
Условие (7.16) при о = 1 дает
тождество и(г,1) = 0 в областях:
t = 1	|г| > 2;
1 = 3 => |.г| > 4;
1 = 2 => |г| > 3;
1=4 => |г| > 5;
(7.18)
Условие (7.17) при а — 1 дает тождество u(r.l) —0 в областях:
t = 1 => г € 0; t = 2 => |г| < 1; t = 3 => |г| < 2; 1 = 4 => |г| < 3.
(719)
Гкким образом, u(r,t) имеет вид сферической вс ны, сосредоточенной
• Жаровом слое толщиной 2:
1 = 1 => |г| < 2;	1 = 2	1 < |г| < 3,
1 = 3 => 2 < |г| < 4;	t = 4 => 3 < |х| < 5
(7.20)
55
Рис. 49
Ответ: u(z,l) заведомо = 0 вне слоев (7.20) (но, разумеется, може,
обращаться в нуль и где-нибудь внутри этих слоев).
Вывод. Из (7.20) видно, что фронт шаровой волны распространяется
со скоростью 1. В общем случае произвольного а из (7.16) и (7.17) видно
'по решение u(z,l)^0 в шаровом слое
а/ - 1 < |х| < at + 1	(7.21 ।
толщиной 2. Эта волна имеет два фронта: передний |z| — at + 1 и задним
|z| = at — 1, оба распространяющиеся со скоростью а.
Упражнение Дано: а = 1, <^(z) = V’(t) = 0 при |z| < 2 или |z| > 4 (как
на рис. 49 для t = 3). Где u(x.t) = 0 при t — 1,2,3,4,5?
Решение Здесь и(т,/) = 0 при трех возможных расположениях 1, II, III
сферы |у - г| = I (см. рис. 50).
Для расположения I, аналогично (7.16), в случае произвольного а, 4 + а/ <
|z|. Для расположения II. аналогично (7.17), at > 4 + |z|.
Наконец, для расположения III, |г| +
at < 2.
Поскольку в иашем условии а —
1, то получаем следующее. 1) при
t = 1 сфера |с/ — х| = I имеет радиус
1 и для нее возможны расположения
I и HI. а II — не г. В результате
получаем, ч го te(j-.l) сосредоточена
в слое 1 < |г| <5 (см. рис. 51).
Отметим, что этот результат
сильно отличается от рис 49 при
t = 4; 2) далее, при t - 2 радиус
сферы интегрирования равен 2, сле-
довательно, возможно лишь распо-
ложение I. Поэтому волна занимает
шар |х| < 6;
3) при t = 3 также возможно лишь
расположение I (сфера интегрирова-
иия имеет радиус 3), поэтому волна
эаиимает шар |г| < 7;
4) то же происходит при t — 4:
шар |г| < 8:
5) наконец, при t = 5, кроме I,
появляется возможность расноложе-
Пя II (сфера интегрирования имеет
радиус 5) и т.д.
Теперь видно, что u(z,t) при t > 4 есть сферическая волна, занимающая
Шаровой слой толщиной 8.
Принцип Гюйгенса — это правило, позволяющее строить передний
фронт Ft волны в момент времени t. если он известен при t = 0. Ито
Правило вытекает из формулы Кирхгофа (7.15) и заключается и следующем
Пусть н|(_0 и ч|(_0 равны нулю вне области, оащтрнховапноп на
рис. 56, с гладкой границей Fo. Тогда u(i.f) = 0 вне области, ограниченно!!
Поверхностью Ft Фронт Ft строится так: Vr0. € F„ рассма i рпвае i < я
Рис. 56
сфера .SOI(r0) радиусом at с центром в .г0 и берется поверхность Ft '
огибающая этих сфер
Обозначим через г, точку касания фронта F, со сферой 5'а((т0)
предположим, чю такая точка единственная. Лето видеть, что отрезок
[т0,-ге] -L F,. если F, - гладкая поверхность. Можно проверить также
что [д’о.Те] _L Fo (задача). Следовательно фронт 1\ можно строить еще
и так: из каждой точки т<, 6 F„ выпустить отрезок [z0,xt] X /•'<, длиной
at. Множество всех таких точек н будет фронтом F,. Отрезки [т0,т'г
называются лучами. Таким образом, принцип Гюйгенса означает, что волнь
"распространяются но лучам"
4 Диффузия волн в двумерном случае. Формула Пуассона.
Двумерное волновое уравнение
д~ tl	о	•> ( <)~11	()~и\	„ •,
——-(jJ) = д-Дти = а~ ( —, 1- € П<‘, t > 0	(< .‘2'21
dt-	‘	(Лг, /
получается из (7 1), когда u(Z|, т;>. тз, () не зависит от тд. Это бывает ।
том случае, когда от Гд не зависят начальные условия п внешние источники
ток, заряды в электродинамике или источники звука в акустике. Например
уравнению (7.22) удовлетворяют потенциалы маеипиюго поля постоянно!'
прямолинейного юка в проводе, параллельном земной поверхности, акусти
ческое поле длинной прямолинейной шоссейной дорш и и т.д. Такие волиг
ll(r ,, 1 •_>. t ), Не зависящие ОТ -Гд. называются ЦНЛПН IpII leCKUMH.
Начальные данные и г в эюм случае также п< завшяк • >! а'д:
и11=0 - т(-г); и|1=0 - Тб И-	(7 2?
Решение задачи (7.22)	(7.23) дается форму.юе Пуассона
Н(Х л - _L [	_____v_(yply__ 1 £ | f _______________2(y)6y
2™ J	- гр 2t<icX I J ytuO7- |iz - fp
|{у-г|<аг
Здесь интегралы берутся по кругу |_у - х| < <//. . не по 'н> i ранние,
в отличие от формулы Кирхгофа (7.15). ('оотиетсгвсшк . p.i 1	1 рл„<-ни-•
цилиндрических волн (пли "воли па плоскости") не таке, як ,| . । п о . ки\
Упражнение Дано, а = I и ^(х) = i (х)	0 при |j > i. j  ИГ 1 i
u(z, t) = 0 при t = 1.2.3. 1.5 ?
Ответ, t — 1 => |z| > 2; t = 2 => jz-| >3: t — 3 => |j-| > I. t I
H > 5.
Замечание 7.4. В атом упражнении цилиндрическая волна HMeei передний
фронт, но не имеет заднего фронта в отличш- of сферических цели •<
двух предыдущих упражнениях. Ото явление называется диффузией io.hi
Оказывается. что при всех нечетных п > 3 в волновом уравнении с i
пространственными переменными х,.....г„ есть передний и задний фрои t
при всех четных п > 2 (и при п = 1 !) есть передний, ио пег заднею
фронта.
Замечание 7.5. Если в последнем упражнении функции Ч с . входящие
В (7.23) ограничены, 1 о решение и(х. () —- 0 при t — эс. Vx g IK'. как bii.iih
ИЗ (7 24) (Докажите :>то!)
Замечание 7.6 ('Метод спуска" от п = 3 к п = 2 ) Можно получить <|,”Р
мулу Пуассона (7 24) па формулы Кирхгофа (7.15). используя независимое 11.
<р и V от х3 (см. [11])
§8. Общие гиперболические уравнения. Примеры
негиперболических уравнений.
1. Общие гиперболические уравнения с постоянными коэффициентами
Сначала рассмотрим однородный дифференциальный оператор, те
такой, в котором все производные имеют одни п гот же порядок т.
.4н(х) = £ о-г9“в(х) = 0; х = (х,........r„)	£ 1Н”.	(8.1)
|,.|=П1
Здесь ।	|о| = си +    + atl; r>t = 0. 1,2.. ..
Будем искать решения гппа плоских воли:
„(X) = /((f.x)) - /(f,X, +	eC„.r,.): Z РЦГ‘.	(,Ч.З|
ГДе / - некоторая функция О1 ошой Пер( Melilloil. Поде I .тиля' : s 3 >  I' Г
Получаем. анало|цчп<’ 17 8),
) ~ ч,‘-‘/'”',((СхП = 0: с -есо С'-
Ие,.,
Отсюда, считая /(т,(г)	0, получаем, аналогично (7.9), алгебраически
уравнение характеристик (сравните с (4.41)):
Л(£) = 52 ааГ = 0.
Н = '»
Оно определяет конус Q в IR", т.е.
(8.3
£ е Q ==>	vz е IR.
(8.6
Итак, из (8.4) вытекает, что плоская волна (8.3) удовлетворяет диффе
ренциальному уравнению (8.1) при произвольной функции / тогда и толью
тогда, когда "волновой " вектор £ удовлетворяет алгебраическому уравнениг
(8 5).
Определение:
1)	вектор ( € К.п, £ / 0, удовлетворяющий (8.5), называется хоракте-
ристической нормалью дифференциального уравнения (8.1);
2)	гиперплоскость = {ж € ВТ* : (С1) — const}, перпендикулярная
некоторой характеристической нормали, называется характеристикой диф-
ференциального уравнения (8.1);
3)	гиперповерхность в IR" называется характеристикой уравнения (8.1)
если в каждой ее точке касательная гиперплоскость является характеристикой
Определение. Уравнение (8.1) называется (строго) гиперболическим в
направлении оси Ori, если уравнение (8.5) относительно (| при любом
фиксированном
£'= (G, • • ,£n) € IR"*1 \ 0	(8.7;
имеет ровно т различных вещественных корней = Аь(£'), k— 1,. .., ni
А.(£')< ...<Am«').	(8.8.
Геометрически условие (8.8) означает, что конус Q имеет т различных no.i
Пример Для волнового уравне-
ния (7.1) порядок т = 2 и уравнени-'
(8.5), эквивалентное (7.9), имеет '!
корня (° = ±а|£|, и значит
А, = -аК| < а2 =а|<|; <епг3\(|
(8 1"
Соответственно, конус Q имев г
2 полы. Поэтому волновое уран
нение гиперболично в направлении
оси Ot
60
Пример Для уравнения
~~ aW^-9A^u(x,/) = 0; zGIR3, i > 0	(8.10)
at£ /	/
порядок тп = 4, характеристическое уравнение (8.5) имеет вид
(€» - 1€12)(€о - 9|€12) = о	(8.11)
Ойо имеет 4 корня: £0 - ±|£| и	= ±3|( |, и значит
>1 =-ЗИ1 < А2 =-KI < Аз = ICI < Лч = 3KI, eeiR3\o. (8 12)
Поэтому конус Q имеет 4 полы (см.рис 58).
Вопрос. Как связано определение строгой гиперболичности с условием
(4.П)?
Ответ. Для уравнений второго порядка с двумя независимыми пере-
менными оии эквивалентны. Действительно, для уравнения (4.7) уравнение
(8.5) имеет вид
.4(£o.G) = «4; +2б£о£| +<•<? = о	(8.13)
Его решения
6± Уо
---------£)
а
(8.14)
Вещественны н различны при условии (1.11)
ill
Беря в (8.3) функцию /(:) разрывной. мы видим, чю решение ураиш
ния (8.1) молл имен, разрыв вдоль любой заданно)! характеристической
) ппернлоскости (см. замечание 2.1).
За.м< ч.тние 8.1. Возьмем направление характеристической нормали у
за новую оо, координат, так чтобы плоскость у, — 0 совпадала с f1. л
опальные координаты у->.....уп выберем произвольным образом, лишь бы
;>го была линейная невырожденная замена переменных. Тогда, оказывается
(задача!), в новых координатах уравнение (81) содержит член 6,„, п.
с коэффициентом (сравните (4.37)	(4.38), (4.40).
о .0) - A(siradyi) - f'.4(£)
Но ввиду (8.5) итог коэффициент равен нулю. Поэгому уравнение (8 1
приобретает вид
52 Ьад‘у‘и(у) = 0.	(8.Г)
|о| = п» .a j <п> — J
Обычно пто свойство вектора £ п принимают за определение характер)!
стпческоп нормали (см.[4. 10, 11, 14]). Из (8.1') хорошо видно, почему
решения уравнения (8.1) могут иметь разрывы на гиперплоскости £±. Лея-
в том, что в каждом слагаемом в уравнении (8.1') есть хотя бы одна
производная ио переменным у>........у„. Поэтому уравнениям (8 1') и (8.1
удовлетворяет любая функция от т/|, в частности, любая такая разрывна.1
функция (сравните < замечанием 4.1).
Теперь расою 1рпм общий не однородный оператор
52	>‘(х) — 1): х £ 1R"	(8.15
Решения :>|ого уравнения вида плоских воли мы уже не найдем. Одпаю
принимав ) । я. иго. ио определению, характерце i пческое уравнение для (8.13
есть (8.5). т.е. оно составляется без учета производных младшего порядка
И пк. решения уравнения (8.1) могут иметь разрывы на любой заданной
характер;н 1 пч; скоп гиперплоскости Оказывается, ч го для уравнения (8.15
:Цо |акже верно, если оно с । рого гиперболическое, Следующий прим, I
показыцае | . Ч1О без условия IПИербоЛНЧНОСТИ ЭТО МОЖе I быт ь не гак!
2 Примеры негилерболических уравнений
Уравнение К-ЧЬТопроВоднос гп - вырожденное или параболическое (см
Приложение).
Ин
— - и’ An(zJ): г £ IR . />0	(«.ПБ
<)t
(ля НПО уравнение харак 1 ерис । нк (8.5) имеет вид
И = <г|£Г-’	<=> i = 0.	(8.17:
Следовательно. корней £<>(£) ттртт $ / 0 характеристическое уравнен те
не имеет. Г.е. уравнение теплопроводное IИ Tie т тнтерболическое По /. а ак
называемое параболическое. Конус Q состоит из векторов, паратые.,i,н, i\
осн ()1-
Q = {(С.0.0.1))}.	(* IN
г /. 0.0. О)
Рис 59
где (о произвольно, (.'ооГВСТСТцен-
но. характеристические гпперттло,
кости имеют уравнения / — const и
перпендикулярны осн Ot (рис. •’>!<)
Вопрос Верно ли. что уравне-
ние (8.16) имеет решения, разрыв-
ные на плоскостях / — const?
Ответ Нет, неверно Это свя-
зано с тем, что уравнение (8.16) не
гиперболическое н тем, что мы
Пренебрегли членом при составлении характеристического уравнения
(8.17).
Оказывается, все решения уравнения теплопроводности бесконечно диф-
ференцируемы. Однако у пето есть решения, которые на характеристических
Плоскостях / = const являются бесконечно дифференцируемыми, но не ана-
литическими
Пример Функция
С(т. /) = < i2777V7f	,1Х>. z е jr3
I о, t < о
(8.19)
1)	удовлетворяет уравнению теплопроводное т н (8.16) всюду в [R4, кроме
точки t = 0. т — 0:
2)	при /	0 или 1-	0 она является бесконечно дифференцируемой:
3)	при I = 0. г / О она не является аналитической.
Задача До кажите сформулированные выше утверждения 1), 2). 3).
Отметим, чгтт т ели убрагь из уравнения (8.16) член то получающееся
Уравнение 0 = Ат/. очевидно, имеет решения, разрывные на любой задан-
ной характеристической гиперплоскости t = const, например, произвольные
фупкпнн вида <т(т /) = /(/), где f(t) --- кусочно-непрерывная функция. Та-
ким обра том, свойства решений вырожденных уравнений сильно зависят от
Младших членов, в отличие от невырожденных уравнений.
Вопрос Можно .нт находить область зависимости для общего уравнения
(8.15) три помощи характеристик. как в §4. т.е. верна ли для нею гипотеза
Из §7'
ИЗ
Ответ. Для строгого гиперболического уравнения — верна (как и для
волнового в §7) (см. [1])
Замечание 8.2. Для уравнения тепдлопроводиости (8.16) эта гипотеза
также в некотором смысле выполняется. А именно, рассмотрим для (8.16
задачу Коши с начальным условием
и1<=о = *’(1)-	(8-2(|
Для любой точки (io,!»), х0 € К3, 1<> > 0 характеристическая гипер
плоскость, проходящая через иее, едииствеииа: t = t0. Оиа ие пересекае:
гиперплоскость t — 0 совсе^ или, можно считать, пересекает ее в бесконеч-
ности. Тогда область, заключенная “внутри” пересечений характеристик
с t = 0, есть вся гиперплоскость t = 0. Оказывается, действительно тако-
ва область зависимости для уравнения теплопроводности. Это видно иэ
формулы Пуассона для решения задачи Коши (8.16), (8.20) (см. [3, 11, 14])
(2^)57*/е~^Ж№-	<821)
R5
Поэтому скорость распространения возмущений для уравнения тепло-
проводности бесконечна.
Пример. Уравнение Лапласа (эллиптическое — см. Приложение):
52u	52и	<)2и	о
+ + (8'221
Ойо получается из волнового уравнения (7.1) и из уравнения теплопро-
водности (8.16), если и ие зависит от t. Это так называемые стационарные
решения. Физически они описывают положения равновесия для (7.1) или пре-
дельные режимы при t —> +оо для решений уравнения (8.16) и представляют
особый интерес в приложениях.
Найдем для (8.22) решения типа плоских воли:
“(*) ==/(6*1+6*2+&*з), х е R3.	(8.23)
Подставляя в (8.22), получим, как и выше,
/"«С	+ /"(«,	+ /"(<€. ^> Из = 0,	(8.24)
Откуда вытекает характеристическое уравнение
tf + G2+G2 = 0.	(8.251
Отсюда
6 = G = «з = 0.
(8.261
64
Вывод. Уравнение (8.22) ие является гиперболическим (ии по какой
переменной).
Вопрос. Значит ли это, что уравнение Лапласа ие имеет решений типа
плоских воли?
Ответ. Нет, ие значит. Возьмем комплексные решения уравнения (8.25),
например,
6 = V<22 + <32; (6,6) €1R2.	(8.27)
Однако, тогда в (8.23) функция f{z) должна быть определена при комплексных
значениях z. Кроме того, в (8.24) в первом слагоемом /"(((, х)) есть
Производная / по направлению мнимой оси, а во втором и третьем —
вдоль вещественной оси! Поэтому для того, чтобы сократить (8.24) иа f"
Н получить (8.25) нужно, чтобы /(z) в каждой точке имела одинаковые
производные по вещественным и мнимым направлениям. Но это означает, как
известно из ТФКП, что /(z) аналитична! Соответственно и u(z) = /(((,*))
ПВалитическая функция от вещественных переменных Т], хг, хз и ие может
вить разрывной. Например, u(z) = ({, х)3 = (ziiy^3 + £з +	+ Сзгз)3-
4 Следствие. Все решения уравнения Лапласа (8.22) типа плоских воли
дввяются аналитическими и, следовательно, бесконечно дифференцируемыми,
фометим. одиако, что это комплексные решения, и их поверхности уровня
комплексные гиперплоскости в С3.
Оказывается, все решения уравиеиия Лапласа аналитичны [10, 11].
3. Ударные звуковые волны и излучение Вавилова-Черенкова.
Рассмотрим электромагнитное поле равномерно движущегося в некотором
веществе точечного заряда. Если скорость заряда равна v и ои движется
В; положительном направлении оси Оц, то его электромагнитное поле
Описывается четырьмя потенциалами, каждый из которых имеет вид
<р(х ,t) - u(n - vt,X2,X3)	(8.28)
Вале точки (zI — vl,0,0) = 0, где находится заряд, удовлетворяет волновому
Уравнению (7.1) с коэффициентом а = с», где с» — скорость света в данном
Мцестве. Отметим, что с» < с, где с — скорость света в вакууме, а е
«кет быть меньше с» или больше с» (ио меньше с).
Подставляя (8.28) в (7.1), получаем уравнение
1 od2u	, ( д2и д2и д2и\ ,
v2^^! - l’t,X2,Z3) = с2	, X # x(t),	(8.29)
®п'УДа, обозначая z, — vt — у,, получаем для и(у,, х?, хз) уравнение
(С6 _	(»1*2,*з) # 0.	(8 30)
65
Характеристическое уравнение (8 5). соответствующее (КЗО), имеет вид
(cf - Кг +	4-^5) = О

Отсюда видно, что 1) при г < сь уравнение (8.30) не п.мее г (вещее! вешп.1
характеристик, как уравнение Лапласа. Оно эллиптического типа ( 
Приложение). Оказывается, все его решения гладкие, т.е элек iромагпитп
поле ие имеет особенностей при х / x(t); 2) при и > сь уравнение (8.3
гиперболическое по j/i и, следовательно, имеет разрывные решения rir
плоских воли. Характеристическому конусу Q с уравнением (8.31), как м.,
знаем из §7, соответствует “ортогональный ему" характеристический кои,
А' с уравнением
с1у1 + (ск ~ t'2)(d + 4) = 0	(*-3j
Рис. 60
Оказывается, рассматриваем
решение и будет бесконечным па и,
поле конуса (8.32). где j/i < 0. И
(8.32) получаем уравнение поверхно-
сти особенностей потенциала (8.2>
<ч'(*| - V/)2 = (v2 - С»)(Г2 + *з); Г| -	< 0.	(8.3.5
При каждом фиксированном t эта
поверхность в IR3 есть конус с вер-
шиной в точке т(/), в которой на-
ходится заряд (см. рис. 61). Вдоль
этой поверхности потенциалы и на-
пряженность поля бесконечны, и мо-
лекулы вещества в точках этого ко-
нуса, возбуждаясь, испускают свет.
Это и есть знаменитое излучение
Вавилова-Черенкова.
Точно такая же ситуация возникает при нахождении звукового ш '
движущегося тела в воздухе: при v < сэаук<1 иет разрывов давления, а и; -
v > сзаука — есть. Поэтому самолет, летящий со сверхзвуковой скороетм
несет за собой на конусе (8.33) ударную волну, т.е. давление — разрывна
функция в точках этого конуса (рис. 62)
Когда фронт этой волны проходит через наше ухо, мы слышим “хлопе*
Конический фронт этой ударной волны называется в газовой динами*'
конусом Маха.
66
Риг. 62
ГЛАВА II. МЕТОД ФУРЬЕ.
[3. с.17 19,327 315. 388 39-1. 16 I 179]; [9.<10 12]; [1 I. с 132 208. 213 218];
12, «*19 23. 338-351. 397 102], [II. с.82 121. 1-17 152. 180 185. 309 318]
§1. Вывод уравнении теплопроводности.
Пуги, имеется прямолинейны!! однородны!! ме।аллнческнп ciepAeiii,
липой l Направим ось j- вдо.п. си-ржня. пути, j- = 0 левый конец
ГГержня. a г — 1 и раны и Обозначим через »(«'./) гемнерачуру стержня
точке j- в момент врем* нн t > 0. Оказывается. и(т.О удовлетворяет
дифференциальному уравп* ник* i* п.юнроводносд и
(h<	i)~ и
стт = " -^(r.t) + hf(r.t)	(1.1)
ill	llj -
Где /(J'.t) плотное 11> внешних источников тепла в точке .<• в момент
времени 1 Hio значит, чю на участок [j-.j + Aj-j за время oi I до 1 + А/
Поступает извне Количество 1> !1ЛоВ<>1| >11> р| III!
f(r.l)±rAl.	(12)
Выведем (11) Для вило запишем у равнение теплового баланса для
участка счержня [-r.-r + Aj-j >.ч время oi 1 до t + А/
< in АТ — Q	(13)
1де<ь < удельная i* !ы* мкосiь в<чц<-С1ва.
uitai.i) _ рАг. А/ ~ Н( j-. t -у At) — и( j'. t).	(I I)
Q — Q»hou + Q.i + Qn.	(15)
где Q полученное учас|ком i eii.io; Q.t тепло, полученное слева ( i e
Че .ej точку i. a Q„ - справа (i e. через ючку T + Arj (см. риг 63).
По закону Теплопроводное тп Фурье
Q_, = - \5-*-(z-,t)At; Qn = XS(^-(r + AT.tlAt	(1.6)
dr	dr
67
где А — коэффициент теплопроводности вещества, aS — площадь поперечное.,
сечеиия стержня. Закон (1.4), грубо говоря, означает, что скорость передачи
тепла через поперечное сечение стержня в точке х пропорциональна “перепада
температур” |^(х,t). Знаки в (1.6) выбраны так, чтобы тепло передавалось
от нагретых тел к холодным (2-е начало термодинамики). Например, для
и(х,1) иа рис. 63 Qa < 0; Qn > 0, а |~ > 0 всюду, поэтому знаки левых и
правых частей в (1.6) совпадают. Для других случаев (других и(х,1)) знаки
в (1.6) проверяются аналогично.
Подставляя (1.6) и (1.2) в (1.5), а затем (1.5) и (1.4) в (1.3), получаем
(ди	ди	\
срДх (u(x, / + Д/) — u(x, 1)) » f(x, t)SxSt + AS I —— (x + Дх, t) — —— (x, t)) Д/
\ dx	dx	)
(1.7)
Отсюда делением иа ДхД1 при Дх —> 0 и Д1 —> 0 получаем
ди	д^и
+ f(x,t).	(18)
т	ох*
Отсюда получается (1.1).
$2. Смешанная задача для уравнения теплопроводности.
Операторная форма задачи. Идея метода Фурье.
Для однозначного определения температуры стержня, кроме уравнения
(1.1), иужио задать начальную температуру
и(х, 0) = ^>(х), 0<х</	(2.1)
и краевые условия. Например, если концы опустить в тающий лед, то их
температура будет равна нулю:
и(0,1) = 0, ц(/,1) = 0, 1>0.	(2.2)
Задача (1.1), (2.1) - (2.2) называется смешанной задачей для уравнения
теплопроводности.
Запишем ее в операторной форме:
f =а2Яи(Г) + /(Г). />0,	,23,
1	«(О) = ф.	1 ’
68
дось А —	/(<) =	“(0 = Ф = Ио краевых условий
|.2) следует, что й(<) € С’[0,/] при каждом t > 0, где
С?[0,/] = {u(z) € С’[0,/] : u(0) = и(/) = 0}.	(2.4)
Итак, оператор А это есть — jjy на области определения D(A) = cJ[O,/].
Идея метода Фурье состоит в том. что при / S 0 решение задачи (2.3)
Мется в виде суммы частных решений первого уравнения этой задачи,
реющих вид Г(<) • Х(х).
Поясним эту идею на примере системы п обыкновенных дифферен-
раяьных уравнений с п неизвестными функциями, имеющей в векторной
ВПИСИ вид (2.3) (с / = 0 ):
f^ = A«(t), «(/) = («!(<)........М0)€	Нп, 1>о,	z25)
1	«(0) = ф = (*,.. .,£n) € R",	' ’ '
Де Л — матрица размера п х п.
Пусть для А существует базис ио собственных векторов ei,...,en:
Aet = А*е*, i=l,...,n.	(2.6)
Ьгда искомое решение u(t) и начальный вектор ф можно представить в
де
й(О = £Т*(0е*. ф =	(2.7)
1
одст&вляя * (2.5) получаем
£	= f>T*(<)<*. £>(0)е* =	(2.8)
«УД*
= A*T*(t), «>0. Т*(0) = ?*.	(2.8')
04
тсюда T*(t) = y>keA‘‘ и, следовательно,
й(0 = Е*’*<А“-в‘-	(2-9)
Ниже мы получим аналоги формуя (2.6) - (2.9) для оператора А = -
69
$3. Задача Штурма-Лнувилля и ее решение.
1. Задача Штурма-Лиувилла.
Найдем в D(A) = Сд[0, /] собственные векторы Xi(z),..., Xt(z),.
оператора А:
{АХк = At-At;	,, .
Xk<=D(A), xt#o.
Подробнее (3.1) означает,что
( Х'^х) = ХкХк(х), 0<х<1,
t Х*(0) = Хк(1) = О, Xt(*)£0.	'
Замечание 3.1. Как будет показано ниже в $5, в базисе A'i,..., Хк,..
из собственных векторов оператора А решение задачи (2.3) при f{x,t) = О
имеет вид, аналогичный (2.9):
00
(3.3)

где <рк - координаты <р в базисе {X*}.
Отметим, что каждое слагаемое ряда (3.3) в силу (3.1) удовлетворяет
операторному уравнению в (2.3). Поэтому любая конечная (частичная)
сумма этого ряда также удовлетворяет (2.3). Весь ряд (3.3) удовлетворяет
уравнению (2.3), если ои допускает почленное дифференцирование no t и
дважды - по х, т. е. если он достаточно быстро сходится.
Введем обозначение
(u,v) = / u(x)v(x)dx для Vu, v 6 £з[0,/].
Jo
Лемма. Оператор на D(A) = Сд [0, /] симметричен и отрицателен,
т. е.
(ут>уч). Vu, vED(A),	(3.4)
az*	az-
(^,u)u<0, Vue£>(A), u(r) £ 0.	(3.5)
az2
Доказательство
1) равенство (3.4) означает, что
l	l
f u"(x)v(x)dx = f u(x) v"(x)dx.	(3.6)
0
70
о
]тобы его доказать, проинтегрируем по частям:
I	I
Г	|1 Г
J u"(x) v(x) dz = и' v| —J 0	0 1	1	u'(x) v'(z)dz,	(3.7)
j u(z) v"(z) dz = u t/|	— У 0	0	u'(x) v'(x) dz.	(3.8)
[одстановка в (3.7) равна нулю, поскольку	v(0) = v(Z) = 0,	а в (3.8) -
оскольку u(0) = u(Z) = 0. Поэтому равенство (3.6) доказано;
2)при и = v из (3.7) вытекает, что
(^,«) = У u"(z)u(z)dz = -	(u'(x))2dx < 0.
Отсюда следует (3.5). Действительно, если
/
У (u'(z))2dx = 0,	(3.9)
о
to u'(x) = 0 => u(x) — const. Но
u(0) = u(Z) = 0 => u(x) = 0,	(3.10)
«то противоречит условию u(z) 0 в (3.5).
Смдствие:
1	Собственные числа оператора А = (P/dz7 все отрицательны. Действи-
тельно, из (3.5)следует, что
0>(^,Х*) = А*(Х*,Х*);	(3.11)
аХл
2)собственные векторы А*, Хп с разными собственными числами At / Ап
зртогоиальиы:
[ Xt(x)X„(x)dz = 0.	(3.12)
Jo
Действительно, из (3.4) следует, что
(ЛА'*,Х„) = (Х*,АХ„) => А*(ХЬХ„) = АП(ХЬХП) =>
(А* - А„) (A't,Х„) = 0 => (А\,Х„) = 0.
71
2	.Решение задачи Штурма-Лнувилля (3.1).
Из уравнения (3.2) имеем
Хк(г) = Ак е'/Кт + Вке~^*
Подставляя в краевые условия (3.2), получаем
А* + Л = О,
А* е™' + В*е-'/х*' = 0.
(3.13)
(3-14)
Матрица этой системы должна быть вырожденной, иначе А* = Вк = 0 и
Хк{х) = 0, что противоречит (3.2). Итак,Ад удовлетворяют так называемому
характеристическому уравнению
1 1
Отсюда
= е-^' _ e'tt = 0.
(3.15)

(3.16)
Следовательно, 2у/ХЦ1 = 2kri, к € Z =>
ГТ~	»	/*’Гч2
А* = — =► At = -(—) ;
(3-17)
Здесь можно считать k > 0. Как и следовало ожидать, А* < 0.
Итак, собственные числа At мы нашли. Найдем теперь собственные
функции Хк(х). Для этого учтем, что система (3.14) вырожденная. Следова-
тельно, уравнения в ней пропорциональны и достаточно учитывать только
первое из них: Вк = —Ак. Поэтому из (3.13) получаем ввиду (317)
A't(r) = А^е4^* - e~*rLx) = At2«sin —— •
(3.18)
Здесь мы применили формулу Эйлера
е** — е”,,₽ — 2i sin </>.
Поскольку собственные функции Хк определены с точностью до числового
множителя, то можно положить окончательно
Хк(х) — sin —j—; к = 1,2,....
(319)
Здесь можно считать к > 0, поскольку при к = 0 имеем Ло(х) = 0.
72
Ответ;
ктгж
At = -(—). Xt(r) = sin^, *=1,2.......................... (3.20)
Свойства решений задачи Штурма-Лиувилла.
l	.A't(i) образуют полную систему в Lj(0,/) (это свойство известно из
теории рядов Фурье).
2	. Ортогональность:
I
(A’t,Xr,) = J Xk(x)Xn(x)dx = 0 при * ф. п.
о
(3-21)
3	.Асимптотика: А* ~ —*2 при * —♦ оо т. е. существует
lim —гт > 0.
t-eo -*2
Упражнение Проверим непосредственно свойство ортогональности (3.21)
дя X*.
Решение; поскольку * п, то
*тг . nrz ,	1 t. ,kxx птх, ,kxx nzz , ,
sin — sin —- dx = - J [coe(—------— ) - coe(— + —)] dx =
о	0
1 pin '	8inli+^I£'1
~2l	0	J’0’
Упражнение. Найти норму Ха в Lj(0,l).
Решение.
I	I
||Xt||2 = Jx2k(x)dx = Jsin2^-dx =
Упражнение. Нарисуем график Xt(z).
Решение.
Рве. 64
73
Задача. Решить задачу Штурма-Лнувилля, т. е. найти собственны,
функции оператора А = на отрезке [0, /] при других краевых условиях
Л'НО) = XJ(O	= 0,	(3.23
Х[(0) = Хк(Г)	=0,	(3.24
Х;(0) = X'k(l)	= 0.	(3.25
Задача. Для каждого краевого условия (3.23)-(3.25) проделать последнн,
три упражнения.
Ответы:
Для (3.23): см. рис. 65,
Л'ь(х) = sin------j
к = 0,1,2
Для (3.24): см. рис. 66,
к = 0,1,2....
Для (3.25): см. рис. 67,
А* = -(у)2.
„	ких
Лк(х) = сов -у-,
к = 0,1,2.........
Можно также рассмотреть произвольные краевые условия вида
«oA'i(O) + tfo.\'j(0) = 0; apVUO + faXk(l) = 0.	(3 25 
где Oq +	/ 0 н o? + ф. 0. oo.i н iSb.i— вещественные числа
74
Задача. Докажите, что при краевых условиях (3.26) оператор
[Мметрнчен.
Замечание 3.2. Собственные функции и собственные числа задач
Х23)-(3.25) обладают всеми свойствами 1, 2, 3 задачи (3.1) (полнота,
фтогональность. асимптотика собственных чисел) (см. [3, 9. 11, 12, 14]).
3 Многомерная задача на собственные числа.
Рассмотрим любую ограниченную область (1С R с гладкой границей
£1 и задачу нахождения собственных функций для оператора Лапласа в Q
ри краевых условиях Дирихле:
A.Vk(z) = AtA't(z), *€П,	(3.27)
ри краевых условиях Дирихле:
А\ =0	(3.28)
ап
Оказывается, ее собственные функции при разных А4. также ортого-
кльны в £д(£2). а собственные числа At — отрицательны.
Задача. Докажите, что: 1) при краевых условиях (3.28) оператор Лапласа
гмметрпчный и отрицательный и 2) при краевых условиях Неймана вместо
1.28):
д V
= о	(3.29)
дп '°
(где п — нормаль к dQ), оператор Лапласа снмметрнчен и неположителен;
= 0 является собственным числом, А'о(х)=1.
Разложение по собственным функциям задачи Штурма- Лиубилля.
Собственные функции sin^j^, к = 1,2,... образуют полную систему
1,2(0,1), как указано выше. Поэтому они образуют ортогональный базис
£.2(0,0 н, следовательно, любую функцию у>(х) € £г(0,0 можно разложить
1 этому базису:
ОО
(4.1)
1
Найдем формулу для коэффициентов <pk- Это делается при помощи соот-
зшеннй ортогональности (3.21): умножим (4.1) на A't(z) и проинтегрируем
T 0 до I. Тогда получим
У ^(x)Xn(r)di - j A'k(x)A'„(x)dx = J X-(r)djr. (4.2)
о	1=1 о	о
^скольку все слагаемые в сумме (4.2) с номерами к / п равны нулю!
(очленное интегрирование ряда в (4.2) законно, поскольку ряд (4.1) сходится
в пространстве £г(0,/), а скалярное произведение элементов из £2(0,/)
непрерывно по каждому из сомножителей.
Наконец, учтем (3.22). Тогда нз (4.2) получаем искомую формулу:
/^(x)Xn(r)rfr /
fn =	----------= у J fit)Xn(x)<ix.	(4.3)
fX?(x)dx 0
0
Упражнение. Найдем условия на функцию ^>(г), при которых: 1) ряд
(4.1) сходится равномерно на отрезке [0, /]; 2) ряд (4.1) можно два раза
почленно дифференцировать.
Решение:
1 Достаточно (хотя и не необходимо), чтобы
22|^t|<oo.	(4.4)
1
Чтобы это условие выполнилось, потребуем:
^(г)еС‘М; ^(0) = у(1) = 0.	(4.5)
Выведем (4.4) иэ (4.5). Интегрируя по частям, получаем:

о
Подстановка здесь р^вна нулю в силу краевых условий в (4.5). Поэтому
i
tpk = где	= f tpf(x)co&	dx. Но {сое — ортогональная система
о
I
в £2(0,/), и Jcoe2^y£rfx= следовательно, по неравенству Бесселя
о
<»	2 }
$2 l^l2 - 7 /	(4-6)
1	о
Поэтому нз неравенства Кошн-Буняковского получаем:
)* (£|*41г)* <	И-6')
76
-1для двукратной дифференцируемости ряда (4.1) достаточно, чтобы ряд
чя ^>"(z) равномерно сходился. Это, в свою очередь, выполняется, если
52	< ос.
(4.7)
Потребуем для этого в дополнение к (4.5), чтобы
?(х) 6С3[О,/], и /'(0) = /'(/) = 0.	(4.8)
Выведем (4.7) из (4.8), (4.5). Для этого заметим, что в силу (4.5), (4.5')
(4.9)
Подстановка здесь равна нулю в силу краевых условии (4.8). Поэтому
। =	где <р'[' = / cos dx Но <р"' 6 L2(0,/), следовательно
о
м. (4.6)):
EW"l2<7/l/'W^<oc,
1	о
отсюда аналогично (4.6'):
00	9>2 00 .
< -^3 У2 < ос	(4-9')
Задача. Для функции <р(х) 6 <7^(0, (] оценки
Ы<-^, * = 1.2,...	(4.10)
1*1
лполияются тогда н только тогда, когда
¥>(0) = <р{1) = 0; ^"(0) = ^"(/) = 0,...;^п(0) = ^п(/) = 0	(4.10')
И всех 2п < /V - 2, п = 0,1,2,... (докажите).
Отметим, что краевым условиям (4.10') удовлетворяют, в частности, все
явственные функции sin С другой стороны, при условии (4.10) ряд (4.1)
77
сходится на отрезке [О,/] равномерно вместе с производными до порядк :
V -2. Потному из справедливости однородных краевых у.ювпй (4.10') дл.:
собственных фуНКЦИН sill вытекает Выполнение lex Же краевых условие
и для суммы ряда (4.1). :>1о доказывает необходимое i в условии (-1 10') i.i
(4 10)
Замечание -11 /Хналогпчно. для справедливое 1 п оценки |1 1(1) д.ь,
колффициеи 1 ов «I’ypi.e г~т разложения функции rlj) 11,1 дру! им системам
соб<1 венных функции Л'т(д ). соотнеси | нуЮН1НХ кр В'ВЫМ условиям (3 23)
(3.25), необходимо, ’нобы ^(т) удоп.те 1 воряла 1<м же однородным краевым
условиям, что и функции Д’д(т) и их производные до порядка .V - 2 Ие|рудц,
проверн и., что з ги условия также и дос 1 а точны для ( 1.10). .ели / 6 ( 4 ' *[(), /
Задача ('делать последнее упражнение для случая разложений п
собе । в, иным функциям задачи Штурма-Лиувилли при краевых условии
(3.23) (3.25).
Упражнения Разложи гь по систем!' sin . к — 1.2. .. следе кипи
функции
I )/(д ) = 1.	0 < j- < I. Решение
2 - cos Г
(4.1 I
= -[-cosX-ir+l] = ^[1 -( 1)‘].
Отметим. Ч1О здесь условие (4.4)	/ <г'/л>
и< выполняй |ся О1о связано с гем,	I
'Но C?(r) “ 1 не обращается в нуль__________________________I__________
,,	•	о	I	.с
на концах нн1ервала( рис бх)
2)	у (л-) = J-. О < j- < /
Решен,,е	Рис. 68
2 f kirj- 2 [ (-совЦ-^)	2 т
<l' = ih—ir-Ldj-= 	(4J
1.	1	I
Рис. 69
Здесь |г"т.| -- j ио-за того, чо
r-J) / 0 (см. (4 10) (4.10') н рис
69).
I
3)/,^) - J'll- j). Верно .hl чю
одесь yl - OQ ). ii.ni (>( ^7). или
0( p) •	’	0
l‘u<. 7(1
Задача Разложи ie функции ^s(j') = 1. j . z '. z(/— j') но собе гнгниым
функциям задач III турма-Лнувилля (3.23)- (3.25). В каждом ни :»чих случаев
угадать асимн i о тику:
=О(|), 0(1) ...?
Указание Воспользунтесь замечанием 4.1.
§5. Метод Фурье решения смешенной задачи (2.3)
для уравнения теплопроводности.
Итак, решим задачу (2.3) Для простоты, пусть сначала f(x.t) = I)
Тогда задача принимает вид
Эи > д~ и
=	u(0,O = u(/J) = 0, f>0,	(5.1)
(Л ax-
u(r. 0) - f(x), 0 < г < I.	(5 2)
Общий случаи f(x.t)^O рассматривается ниже, в §7
Будем искать решение задачи (5.1)—(5.2) в виде ряда
«(T.0 = ^Tt(<).\Hz); .¥,.(,) = sin	(5 3)
1
В таком виде можно записать вообще любую функцию u(x.t). если н(.г.()е
£<2(0,1) 1>|>н каждом фиксированном t. Здесь сущее тценно снопе то полно ня
собственных функции sin в £2(0./). Выбор базиса {sin Ц21} определяется
Граничными условиями, входящими в (5 1) Л именно, каждое слагаемо, ряда
(5.3) удовлетворяет чтим краевым условиям, поскольку sin уловит торяюг
краевым условиям нз (3.2).
Чтобы найти решение n(j.f) остается лишь определить 7’{(() так
называемые 'временные' функции (sin Ц2 "ирострапственные" функции).
Tir(t) находятся под< Iаиовкон ряда (5 3) в уравнения (5 I) и (5 2)
Замечание 5.1 Равенства (5.1) для функции п(т.() из (5 3) форты и н..
ВЫПОЛНЯЮ ГСЯ. поскольку ОНИ ВЫПОЛНЯЮТСЯ ДЛЯ каждою <ла| ,н М"1 ‘' pil 1 1
(5.3) Структура (5 3) решения объяснят! название хичода ' рл о. л. ни .1
переменных (а также собственных функции")
1. Нахождение временных функций.
А. Подставляем ряд (5.3) в уравнение (5.1): для t >0
^Tt(0sin = а2^Т4(0(-(-г) )si110<х<1	(5.1
1 1
Здесь мы переставили операторы дифференцирования Д и с сумм и
рованнем ряда. Законность такой перестановки мы еще будем обсуждатг
ниже. В этом и заключается обоснование метода Фурье.
Кроме того, в (5.4) использовано равенство
д2 ктгх ,*я- 2 . kirx
— s.n - = -(-) s.n —
(5.5)
для собственных функций задачи Штурма-Лнувилля (3.1)—(3.2). Заметим
что краевые условия задачи Штурма-Лнувилля уже использованы выше (см
замечание 5.1).
Далее, если ряды в (5.4) сходятся в	то в силу ортогональности
базнсв {sin^y5} получаем равенство коэффициентов этих рядов:
, ктг 2	актг 2
7l(t) = -n2( —)Tt(t)=-(—)Л(0, t>0, *=1,2.............. (5.6)
Это — линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффи-
циентами, однородное. Составляем характеристическое уравнение:
А = -(Ц^)2	(5.7)
Отсюда общее решение
Tt(t) =	(5.8)
Подставляя в (5.3), получаем
ч(г, 1) =	1 sin ^-j—	(5.9)
Б. Неизвестные константы С\ в (5.9) находятся нз начальных условий
(5.2). А именно, подставляя ряд (5.3) в (5.2), находнм:
£2 7;(0)siii ^ = </>(!), 0<т</.
1
(5.10)
80
ведовател ьно, 7*.(0) совпадаю! с коэффициентами Фурье функции ^(т) ио
;теме sill (см. ( 1.3)):
I
7'т(0) = уч = j У <(j )sin dr	(5.11)
()
Подставляя сюда (5.8). находим
= <Т.	(5.12)
Итак, из (5.9) получаем
Е,	..	1 /Т J
t>i-f l-r~’ sin ——	(5.13)
2.Проверка решения (5 13)
Действительно ли ряд (5 13) — решение -задачи (5.1) - (5.2)?
А.	При t > 0 ряд (5.13) сходится при каждом j g [0, /]. Пусть, например,
^(.с)€/.-.(О,/),	(5.1-1)
гда ряд (5.10) сходится в этом же пространстве /.-ДО, (). В самом деле,
> неравенству Koiuii-Ьуияковското
i	i	I
kt I < |у k(-r)l </-r) < j<y У <(х)</т)^ < const. (5.15)
0	(I	<1
Следовательно, ряд (5 13) при фиксированном t > 0 мажорируется
кловым рядом
const •	е-1	1 1 = const i~ck .	(5 16)
। ।
Де г — (” )2t > 0. который быс тро сходится. Отсюда, по теореме Вейер-
трасса, функциональный ряд (5.13) сходится равномерно на [0,/] при V/ > О
непрерывной по х функции.
Следствие. Ряд (5.13) удовлетворят! краевым условиям (2.2).
В Ряд (5 13) — дифференцируемая функция от * € [0./] при VI > 0.
Действительно, по теореме о Д||фф<.'ренц||ропаппн ряда, при V/ > 0
если ряд в правой части сходится равномерно по х на [0,/]. Но последи.,.
условие выполнено, поскольку ряд (5.17) мажорируется сходящимся числовым
рядом
ОО
const  у У te~rt < оо.	(5.1м
В.	Ряд (5.13) имеет производные по х н по t всех порядков при t > ।
Это доказывается аналогично Б.
Следствие. Все почленные дифференцирования рядов в (5.4) законны, и
поэтому ряд (5.13) удовлетворяет уравнению теплопроводности (1.1).
Наконец, прн t =0 ряд (5.13) удовлетворяет начальному условию (2 I,
ввиду (5.10), (5.11) в следующем смысле (докажите!)
||u(t,r)-y?(r)||£j(o,/) —» 0 при 1-.0+.
Замечание 5.2. Условие (5.14) позволяет функции ^>(г) иметь разрыва
например, пусть ^>(х) = 0 при х < |, u(z) = 1 при х < |. Таким образом
функция u(z,0) = ^>(r) будет разрывной. В то же время решение u(r,/|
при Vt > 0 будет гладкой функцией на [0,/]! Как говорят, уравнение
теплопроводности (1.1) “сглаживает” начальные данные.
Упражнение. Найти решение смешанной задачи
^=90(r,t), 0 < х < 5, ОО,
' u(0,t) = u(5,t) = 0,
, u(z, 0) = 1.
Решение. По формуле (5.13)
u(r,t) = У y>te~l 1 ‘sin ~т~«	(5.191
I	5
где рк находятся по формуле (5.11):
5
2	[ . kn .	2 ,	, г,
Рк - £ J sin — dr - — [1 - (-1) ].	(5.2( '
о
Упражнение. Найти предел решения (5.19) прн t —«ос.
Решение.
ОО	,
Гни u(r,t)= lim У	1 1 sin —У =
t — + OQ	t —» + OQ	5
1	ec
- У pk f lini e-’	' sin У- = У Q — Q.
!	— tv	°	]
S2
Задача. Обоснуйте перстановку предела с суммированием ряда и (5.21).
Упражнение. Найти решение смешанной задачи
ut(x,t) — 4urr(z.l). О < х < 3, t > 0.
 u(0,<) = 0, u,(3.f) = 0.	(3 22)
u(r, 0) = x.
Решение. Здесь решение надо разлагать по собственным функциям
дачи Штурма-Лнувилля (3.23) (см. рис.65):
^2, (к 4- |)тх
u(x.t) =	71(t) sin --------.	(5.23)
о
эдставляя этот ряд в (5.22), получаем
V"' I (А: 4-i)xx v-'' , (к 4-	•>	(A-4-^)tj-
52Tt(<)sin------71(()sin -—---------------------------------.	(5.24)
о	о
Отсюда при Vt = 0.1,2,...
.	,2(£ 4-|)т,->	/e>+4i-
^(0 = -( —=	(5.25)
О
Подставляя (5.23) в начальное условие задачи (5.22), получаем
оо
y^Tt(0)sin
о
(к 4- |)тх
3
з
2 f	(fc4-|)rx
71(0) = - xsin-----------^—dx =
J J	«5
0
2 - cos----3- 2 ( cos--------4-- ,	„	2 sm---*-
“ 3 *	+ 3 J (M>*	+ 3	2
з о о з	(—)
_ § sin(*r +	_ 2 (-1)* 9 _ 6(-l)*
(Щ111)2 “ 3(<-+l)2T2 " (t+l)V
Поскольку в (5.25) С* = 71(0), то, подставляя 71(1) в (5.23), находим
u(r.f)=
6(~1)*
Г (t+D2^2
Задача. Наитие решение смешанной задачи
u((x. t) ~ 16urr(z, t), 0 < х < 3. 1 > 0,
Ur(0,() = кг(3,t) = 0,
u(z,0) = х.
(<3
Задача, Найдите предел при / — -к решении предыдущей эадачп
л
Ответ lim к = г11 = 5 j J <li' =	= л
<— х.	(1
•|6. Смешанна! .задача дли уравнения Даламбера.
Решим смешанную задачу
Un(i-.t) —	О < j- < I. I > 0.	(6.1
<<((),/) = (>. ii(l-t)- 0.	(6.2
0) = r-(j ). in(j'. 0) - c(j-).
В опера горнов форме она записывается. подобно (2.3). в виде
'>0.
I МО) =	^(0)=г.
1. Решение задачи (6 1) —(6.3).
Будем искать peuieiuu в виде ряда (5.3):
Е1* Т J'
Zk(/)sin ——	(6.)
А. Подставляй (6.5) и (6 1). получаем формально:
.. I'/TJ* п \ х 1с /Г	I'/TJ*	,
Т„. (*)sin — = а- 2^ ~( —) 7I-U)sil>—.	(6 6.
I	i
Отсюда, если эти ряды сходятся в /.^(О./). находим уравнения для
временных функций (сравните (5.6)):
= -(Ц^) Tk(t), VI--1,2. ..	(6 7
Его общее решение (сравните (5.8)):
Tk(t) ~ .1ц cos —— I + /Л sin —— 1.	(6 ч
Б. Неизвестные константы At и /Л находятся ни начЪ.п.ных u.i. hh.
(6.3):
’ u(z.0) = УЗ? 71(0) sin = ^(т) =: 7t.(0) -	. (. м Г> 11 i)
н,(т. 0) = УЗ? 7’(' (0) sin — с ( j- ) —- / 7 ((11 — i. ; = j [ i. if.i । si: '’”</•
84
Подставляя сюда (6.8). находим:
/т(О) = Л = г!
/;<о) = /^ = <(. => ih =
(6 9)
Поэтому ио формуле (6.8).
и к т
/ИО = г'Г cos ——I +
аконец ПОДСТаВЛЯЯ (6 9) В (6.5). Получаем
\ s	tik'if	<ik‘K . . Xtj
«(г J) = 2_,(rT cos — t + pF7js“’ —')» —'
(6.10)
При получении формул (6.7) мы опять Ш’ресгавлясм дифференцирования
it и f с суммированием ряда. Законно лп зло'.'
2 Проверка решения (6 10).
А. Сходится ли ряд (6.10)? Он мажорируется числовым рядом
const 5? (It*I +	) •	(611)
I
Для сходимости этого ряда достаточно, чтобы
( г-(т) € С(0Д]. г-(0) = „-(/) = 0;	.......
buierfo./].	1	’
Это доказывается аналогично выводу (4-1) на (-1.5).
Б. Пам нужно, чтобы ряд (6.5) МОЖНО было бы два раза ДНф|и'реЦ||||-
УВать почленно ио z н /. Для окно .тоста точна сходимость ряда
£(РЫ + »Ь1) < х
(61.1)
Для CXO1HMOCIII >1ОГО ряда (ос I ат ОЧНО. Ч|обы
r-(z) € C’[o./j	r-((l) = r-(/) =L (I.
< (J ) e C-[i)./j. i (ll) = c (/) =r и
r-»|l»J	= (i
• )!<» 1)«'о.,ипнин;нчся ;i!!.i;kh пчно iu4iu»t\ (17) П > ilsi
Вывод Ряд (6.10) является решением задачи (6.1)—(6.3), если функции
г- и <. удовлетворяют условиям (6.14).
Замечание 6.1. Более точные (менее ограничительные) условия па <
(лютея в терминах соболевскпх пространств (см. [9], [10] и ниже §8 :пои
:. <вы).
Упражнение Найти решение смешанной задачи
н( = 9нгг(г, I), 0 < г < 4, t > 0.	(6.1Й.
ur(0,l) = 0, w(4,l) = 0,	(6.16
u(x,0) = 0, ut(i, 0) = 16 - r2.
(6.17
Решение Нужно решение разлагать по собственным функциям задаче
Штурма-Лнувилля (3.24) (см. рис. 66):
(Jt4-i)jrj-
u(r.t) = } Ti(f)cos------=----.	(6.18,
о	4
Подстановка в (6.15) дает, аналогично (6.7):
= -9((<'^)!Г)-П(г).	(6.19)
4
Начальные условия (6.17) дают
Тк(0) = ч>к =0,
2 Г •>	(^ + ^)<гх	1	3	<.	(6.20
Tt(0) = ib = - / (16- x-)cos------*--dx =	।	(-1)
* J	*	(* । ~ ) JT
Отметим, что здесь pt = 0, а для l'(r) выполняются условия, аналогичны'
(6.14): tf’(r) = 16 — г2 6 С2[0, 4]. i'-'(0) = i (4) = 0. т е. с (г) удовлетворяй i
тем же однородным краевым условиям, что и собственные функции -Vj(-r) -
cos	u < С/к3. согласно замечанию 4.1. Поэтому оценка (6.13'
имеет место.
Поэтому из (6.19) — (6.20) находим аналогично (6.8)	(6.9). чго
Ответ
256(-1)1	3(A-+i)z/	(А- + 1)тт
"(J-. /) = >	------;---т SHI --------с,,ч------=---
1 3((4-+^)т)'	1	1
J7. Распространение метода Фурье на неоднородные уравнения.
1.	Уравнение теплопроводности.
А. Рассмотрим смешанную задачу для неоднородного уравнения те-
плопроводности с однородными краевыми условиями (неоднородные краевые
"условия — это следующий этап в развитии метода Фурье):
( 37= в20<г</,
< «(0.t) = 0, u(/,t) = 0,	(7.1)
I «(*-0) =
Решение этой задачи ищется также в виде (5.3). (6.5):
u(z’<) =	—•	(72)
Новым шагом будет разложение в такой же ряд по собственным функциям
мдачи Штурма-Лнувилля:
/(*.<) = ^/*(0«п^; М) = j У /(r.l)sin^rfx. (7.3)
1	о
ТЬкое разложение возможно в силу полноты семейства собственных функций
im if* в пространстве £г(0,/), если /(r,t)€ £г(0,/) при каждом фиксиро-
ванном i > 0.
Б. Для нахождения временных функций Tt(t) подставим разложения
(7.2), (7.3) в (7.1):
^T;(t)sin^ = а,£-(у-) ГИ0««^р- + £Л<*)“п“р-	<74>
Отсюда, в силу ортогональности семейства собственных функций, получаем
TL(t) = -(^)\(<)+ /*(«). «>0. *=1,2,....	(7.5)
Итак, дифференциальное уравнение для временны:; функций получено.
Чтобы определить эти функции однозначно, нужно учесть начальное условие
» (7 1)
ос	1
У 7fc(0)ein	=* 71(0) = у У ^(r)sin dx (7.6)
о
н7
О I.Mei нм. чю краевые условия в (7.1) выполняются ан тематически ,.
силу рао.ЮЖеиПИ (7.2) (поскольку ОНП выполняются для собственных фуикши
В Применим ;»ту схему ;ыя решения задач
Упражнение. Решим смешанную задачу
«I = Ibiij-j. + 2. О <
uJU.O = н(7. О = (I.
н(т,0) - (I.
0.
Решение Из вида краевых условий
раскладывать по собственным функциям
(см. рис. (>(>):
вытекае|. что решение
задачи 1Нтурма-.'1нувп.тля
пужн..
(3.2 1
На
||(Д'. () - 5? G(/)cos
о
НоДГТ аВЛЯЯ :>ТОТ ряд II (7.7), НОЛУЧаеМ Уравнение вида (7.5)
7i(0 = -(
Z- = 1.2
(I- + l)irj- 4
»iu
(-1)‘
(4- + Л)ж
начального условия задачи очевидно следует.
/;.(()) = 0.
(7.11
Решим задачу (7.9). (7.11). Общее решение уравнения (7.9) НМПЧ ВИЧ
7i(/) = 72’(О + 7’Г(/).
/']’ общее решение однородного уравнения:
Частное решение - констан та. 7'^(0 = h Поде i аиляя п (7.9), получа, '
4(7-+ 7)^1-
19Л
l(i((<-+ ']т)'	1((А-
Подставляя (7.13) п (7.14) в (7.12). получаем
4( к ♦ '
19( -1f
l(«+i)T)3
(7.15)
Теперь нужно учесть (7.11)
о-г ж
О = ( (•+ --------7 => ( х =----------7
4(« •+ i)T)‘	4((i•+ Ьт)-
Наконец, подставляя (7.15) в (7.8), получаем
(7.16)
U(ZJ) = £(-l)*------з
Т •!((*•+ |Н)
(к + |)srz
cos------~-----
. Упражнение. Найти предел решения задачи (7.7) при t — +х.
Решение. Переходя к пределу при t — ос. в каждом члене ряда (7 17).
получаем (обосновать законность!)
49( —if	(А+|)дт
> ---------г cos--±=--
r-HU + l)*)
Вычислим сумму этою ряда. Для этого заметим, что
о
о
7 (-If . (k + 4
-------------;; sin---
4 ((* + !)*)• ‘
(-I)1'	(Ar+i)!TJ-
-------   c OS 	s----
4(А- + |)д	7
8
где последнее равенство вытекает из разложения (см. (7.10))
4(-if (t + i)TX
  —- cos ——.
Интегрируя два раза тождество (7.20), получаем
'ТО (т) = 77(~J" +	+ (ТО).
1 о
Чтобы нантн С, и ('?. заметим, что в силу (7.18) и (7.19)
(7 18)
(7.19)
(7.20)
(7.21)
(7 22)
<ТО(7) - 0. iz'-JU) = 0
(7 23)
IL >д, и аилня сюда (7 22), находим б', = О, б’з = 49 :
н^(х)= 1(49-х2).	(7.24.
1о
Замечание 7.1. Можно было бы получить без использовании
нес । ацноиариого решения (7.17) непосредственно из (7.7). заменяя и( на L
кая решение задачи
/0= 16и^(х) + 2, 0 < х < 7,
|н'ое(0) = 0, .^(7) = 0.	(
Замечание 7.2. Общее свойство уравнения теплопроводности состон i
в том, что если внешние условия стационарны, т. е. неоднородные члены
уравнения и краевые условия ие зависят от t явно, то н(х. t) стабилизируется
при t — + ос :
u(x, t) —• н^(х), t — +ос.	(7.25'।
При этом предельная функция Uoo(x) является решением соответствующей
стационарной задачи.
Упражнение. Найдем предел при t — +ос решения смешанной задачи
(и, = 25u„(x, 1) + Зхг, О < а- < 6,
«(0.0 = 0, «'(6,0=1.	(7.26)
u(x,0) = sin х.
Решение. Как скапано выше, получаем из (7.26), (7.25') краевую задач*
для иО0(х) = linit—nj и(т,0
(0 = 25и'^(х) + 3хг, 0 < г < 6,
|В>;(0) = 0; <(в)=1
Интегрируя уравнение, получаем «^(х) = --^д + Cti + Cj. Из краевых
условий имеем Ct = 0, — jg +	= 1.
Ответ: «„(г) =
2.	Волновое уравнение.
Рассмотрим задачу для неоднородного волнового уравнения.
Упражнение. Решим смешанную задачу > 0).
(utI(z, t) = 25ffrj + sii((^l)x(3 — x), 0 < x < 3, />0,
«(()./) = «(3./) = 0.	(7.27'
k(x. ())-(). ri,(x.U) = O.
90
Решение
А. Соответственно ввиду краевых условий в (7.27), ищем решение н в
аде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувплля (3.1):
u(z.1) =	7^(0 sin 	(7.28)
Для этого функцию sin(u/l)*(3 — х) в уравнении (7.27) также разложим
ряд по системе sin :
sin(wl )х(3 — г) = sin(wt) gk sin ——,	(7.29)
3 ,.
где = j f z(3 - z)^in dr = т^(1 - (-Ц )•
Б. Нахождение временных функций.7*(1). Подставляя, разложения (7.28)
$ (7.29) в уравнение (7.27) н пользуясь ортогональностью семейства sin
аолучаем, аналогично (6.7)
и,. •>
W) = -(— )-Tt(t)+ SisinM).	(7.30)
О
(одставляя ряд (7.28) в начальные условия (7.27), получаем, очевидно,
Tt(0) - 0, 7^(0) = 0.	(7.31)
Задача Коши (7.30) —(7.31) однозначно определяет временные функции
Гк(/).
Как известно, общее решение уравнения (7.30) имеет вид
7fc(0 = Tf(0 4-77(0,	(7.32)
где 7°(1) общее решение соответствующего однородного уравнения:
7*°(С - -4k cos(—~t) + Вк sin(^f),	(7.33)
О	о
— частное решение неоднородного уравнения (7.30).
При нахождении частного решения нужно различать два случая: нер<-
Оопанстный и резонансный.
1. Hepf зонансный’. ни для какого k £ Л'
Тогда нужно искать в виде
/;*(/) = .4 ЧН|(^Г)	(7.35)
Подстановка в (7.30) дает
—ш2 A siii(a-t) = — (siii(wf) + gi siii(u't),
О
откуда ввиду(7.34)
(7.38)
(7.39)
(7.40)
(7.41)
Тогда (7.32) принимает вид
_ , ,	, ,Мтг .	„ . .5kir . qi siii(u4)
71(0 = Л4соя( — t) 4- Ptsin(—t) 4- - ъ---------	(< 36)
3	3	(511)-
Наконец, начальные условия (7.31) дают
Л>=0. Bt^+~J^-	=	,»•	(7.37)
’	(*з~)	1
Итак, в случае, если условие (7.34) выполняется для всех к = 1,2..
имеем
91-	. и> . ,Ькк .	. ктгх
7й7Л-----;(-7gT7sin<—О 4-siu(-,/))iMn -у-.
I \ “'э"” ) ~~ и/ “	' 3 '
2. /’(зокаксиыв : при некотором натуральном ш € !N.
5triTT
“ "Т"
В этом случае
77,(0 = <(Л coswl 4- Вsinuit)
Подстановка в (7.30) дает (при к = >п)
2( — 4- я)п(иЛ) + Ви.’ cos(u;/)) + /( — Ли.’гоя(и,7) — Ви>~ sin(u.4)) =
= -(-“)’0.1cos(^Z) +//sin(u.f))+у,„ sin(^'O
Зд< < i. в .в-вон 'i.u iii прим«ч1я<-:сн формчла Лейбница для вычисления
Учи 1 ывая(7 39). после нрпв< д< пня подобных членов в (' II) iio.ij ч.н м
'2(~. 1^ ын(~7)+//-.со>(-7)) + </,„ sin(u.7)	(7 12)
Приравниваем ко '<[и[|ННШ || гы нрн cos(u,7) в sin(~7) <;i< ва н справа:
>/С = I).
-2 1^' —	.
ОСКОЛЬКУ -v > 0. |О
Н = I).
Нт
2 л'
Таким образом.
О') - -/^cos(^7)
(7.13)
(7 И)
(о-этому
'l'm(t) - 1,„	+ Н„ sill(^j-f) - Cos(-ef)-
|одставляя в начальные условия (7 31). получаем
	=0:	= 0:	=> в,„ =	З'/ь,
			Юинг*
Отсюда	3,/,,,	\k'ir % = in	111 -р' Ю/пт-;	3	, Н"1	(-О.
Итак, если для иеко|ор<>|о in g |.\ выполняв । ся условие
юлу чаем (сравните (7.3*)):
(7 Г.)
(7.39). то
EHk . -е . '~ук1Т .	. А'эг.с
,5Ьг12_ ,l. (- ДЩ *"( -т-') + Ы1Ц-О) sill — +
//„*.	3	~	3	(7*6)
/ 3</,„	. ЗпЫГ	А . >№
+ ( ттг—-МП -—/) - r — cos(^7)) МП —
\ luiHTu; 3	2л	>	.
•За.мечание 7 3 В пере н шаисном случае все r.iai а<хн.н ряда (7.3Х)
ЛГраппченные iJiyiiKiinii in г. I. а в резонансном случае (7 39) одно из
слагаемых в i7 l(>) неограннчено нрн t---------------Ьх . Позюму при больших I
решение будс | оппсыва гься в основном последним c iaiaeMbi.M в (7 16) Нрн
ЭЧеНЬ больших I pi incline i I alle 1 весьма большим. 1\?ЛН ио струна, то
опа in ipiii  л с я. Обычно на npaxiiiKe. koi да | ><• uiei i in  < laiioniii ся большим.
Система ||ер< < ас г оппсыва I ься .пшенным волновым уравнением и формула
(7 -1(>) переела! I бын. 1Т1р.1Ведлннон.
Задача Нанди и репк нпс смешанной задачи
{!!(,( .Г. / I — I l)Hj r 4- bill .	0 < Г < 5. t > <).
н(()./)-1).	10(3,1) = О,
и(1). J-) - О. 11,(0. г) = 0
§8. Распространение метода Фурье на неоднородные
краевые условия.
До сих пор мы решали методом Фурье задачи лишь с однородным^
краевыми условиями. Оказывается, задача с неоднородными краевым!
условиями легко сводится к аналогичной задаче с однородными краевым;
условиями.
1 Уравнение теплопроводности
Упражнение. Найдите решение смешанной задачи
и( = 9игт, 0 < х < 4, t > О,
и(ОД) = f(t), н(4, *) = </(/).
u(r.O) = 0.
(8.1
Решение.
Найдем вспомогательную функцию г'(т. t), которая удовлетворяет нужным
краевым условиям:
'(0J) = /(0. v(4,() = </(0, />0.	(8.2
Такую функцию легко найти, например, линейной интерполяцией:
>(*/) =
4	4
(8.3
Обозначим и = и — и Тогда w удовлетворяет однородным краевым
условиям
u’(0j) = 0, w(4,Z) = 0, ( > 0.	(8.1
Вопрос. Какому уравнению и начальному условию удовлетворяет функции
и'
Ответ. П одставляем и = ш + v в (8.1). тогда
f ie( + f; = 9(urr + trr).	.
\ u'(z.O) + r(r.O) = 0	1
Отсюда
( ид = 9uxr + 9(crr - и).	.
}ф,0)=-г(/,«).	1
Итак, u удовлетворяет неоднородному уравнению теплопроводност!'
в огличие от и' По зато краевые условия (8.4) однородные, поэтому
можно narttii но методу §7; тогда и = и + г - решение задачи (8.1). Ит^т
мы "nepei пали" нее цюродность из краевых условии в дифференпналыи
уравнен!;. (s. 1 । и в начальное условие
о 1
2.Волновое уравнение.
Упражнение. Решим смешанную задачу
и(( = 16игг,
и(0, О - О,
и(х,0) = О
0 <	< 5, t > 0.
ur(5. f) = siii(uJ),
и(( j. 0) = 0.
(8-7)
Решение.
Л. Вспомогательная функция
v(x, t) = г si и (uit)
(8.8)
|гдовлетворяет нужным краевым условиям. Для ш = и — г имеем
и„ = 16итг + ^2zsin(u.l), 0 < х < 5, t > 0,
w(0,f) = 0, «>,(5,Г) = 0,
u'(z, 0) = — i-(z, 0) = 0 wt(x, 0) = —v((z, 0) = —
(8.9)
Б. По методу §7 ищем w в виде
V-'	(к + А)тд
U'(x,t) = ^Tt(t)sin---g.
о
(8.10)
Для этого раскладываем правую часть уравнения (8.9):
w2z sin(^Z)
= ш2 sin(wf)  хь sin
о
(к + |)1TZ
5
где
ik
2 Г . (t + l)irr 2	5	7	, (fc + |)>rr
-lx sin------*--ах = - - —----г—	Ьх a cos----г---=
5 J	5	5(l- +	l)irJ	5
(* + |k
(fc+lk-r.s Г (fc+l)irr
т cos---------10- у COS---------
о
(8.11)
2 -5	. (к + |)irz s _	10
((А-+ |)я)2	&	'° " ((1-+|к)2
В. Под.  гавляя (<s.10)	(8.11) в уравнение (8.9). находим у равнения для
временных функции 7;.,/):
(!• □. 1) п-
/?(/)= I<»(--	)?7Н0 +^2sin(^) xt. к = 0.1.2.
•>
(^12)
Ой
Из начальных условий (8.9) находим 7к(0) = 0 и. учитывая (8.11
iio;i\ чаем:
.	2 [	(Г + Г) л-т
7j.(0) = -ш- J zsin--------------------<6 =
	0 .	J V . 1. >
(М’ + | )тг)
Задача (8.12)	(8.13) реш .«тся iак же. как в §7 Здесь тоже возможны
два случая резонансный и перезонанспын.
Доведите решение задачи (8 1) до конца и запишите отпет.
Замечание H.I. Для задачи (8 !>) условно аналогичное (6.14) не выполни
ется. Гем не менее, построенная функция «>(г,() удовлетворяет начальные
и кривым условиям в обычном смысле Лишь первое уравнение (8.Р
выполняется в смысле теории обобщенных функции (см. ниже §8 aio.;
главы).
Задача. Найдите условие резонанса в задаче (8 7).
Ответ При некотором ш = 0.1.2..
4( oi + | )тт
1)9. Метод Фурье для уравнения Лапласа.
1 Краевые задачи в прямоугольнике
/\. Рассмотрим краевую задачу и прямоугольнике Q = [0, а] х [0,6]:
' Д«(т. у) =	= 0 0 < z < а. 0 < у < 6;
’ н(0,</) = 0. «(,</)=():	(9.Ь
. "(-Г 0) = /( j)	«(J . А) = у{т>.
Эго краевая задача Дирихле.
koi да ф. цьция и задана на границ'
области
Решение Задача (9.1) решается
методом §7. причем роль 1|<Ч емеинои
I сейчас nt рае-г переменная у, как
видно нз сравнения задач (9.1) и
(7.1). Ищем решение в виде:
V-' . к хх
и(х,у)=У >1()/)я111---------------
. а
(9.21
Тогда краевьь условия при z = 0 и z — <1 в (9 1) выполняются авго-
ктнчески Подстав.in м (9.2) в уравнение (9.1). Ото дает уравнения для
*(у):
-( —) >'*=(!/) + Ук'(У) = 0. О < у < 6.	(9.3)
а
Подстановка в краевые условия (9.1) при у = 0 н у = b дает
Y'i(O) - Л = ff /(z)sin i^di.
<	а	(9.4)
>*(*) = !/i = I Jy(z)sin ^(/z
О
*бщее решение уравнения (9.3) имеет вид:
Yk(y) = Ак(^ + Вке~^.	(9.5)
лктанты .4* и Вк находятся из краевых условий (9.4):
Ak + Bk = fk, Аке*ь + Вке-*1’ = дк	(9.6)
гшая эту систему, находим
_и-Л9Ь
В* ~ -!)/> )
(9 7)
(так, решение задачи (9.1) дается формулами (9.2). (9.5), (9.7).
Проверка решения (9.2). Нужно обосновать возможность почленного
дифференцирования ряда (9.2). Если /(z) н </(z) суммируемые функции.
О /(z) и y(z) ограничены:
а
1Л1 < ‘2- f
о
а
Itfrl - ~ У 1»< J )l</j'-
о
По тогда но (9.7) видно, hjo
I--U-I <
| Вк | < const.
Яозтому из (9 5) вытекает
Следовательно, при 0<f<y<6— е

и ряд (9.2) при этих у мажорируется сходящимся рядом

Легко видеть, что производные второго порядка по х и у от ряда (9 у
мажорируются рядом
£<-*
который также сходится Аналогично и для производных любою норядг
по х п у.
Вывод. Решение задачи Дирихле (9.1) — бесконечно дифференцируем,
функция внутри прямоугольника Q. Предположим, что. как н в (4.3
f(x), у(х) € C(j[0,a]. Тогда аналогично (4.4) Д, <д. = 0(р) и. следователь!!
|П(У)| < р, У € [0,6]. Поэтому ряд (9.2) сходится равномерно вврям
угольнике Q — [0. о] х [0,6] н его сумма - непрерывная функция в :>1о-
прямоугольнике, удовлетворяющая краевым условия в (9 1).
Б. Более общая краевая задача Даунз.к в ирямоу, одышке
Ли(г, у) — 0. 0 < х < а. 0 < у < 6;
< и(0.у) = у(у).	и(<!. у) - У (у):	(9-
."(•'• 0) = f(x).	u(r. 6) = y(j).
решается разложением и на два слагаемых:
U — И| + и ;>	(9 ''
Здесь п| решение задачи (9 I). а и2 задачи
!Ли? — 0	() < л- и. б < у < 6;
и-Л 0. у) = у( у ।	'i?( <: у у(' 1
и-.,| j . ()) = 0.	h\ - <i
;.) га задача le от ан чае | ся ио ВИД} > • I i9 i • <*.!!’ .. II у 11. ’мюI и i t. М'  I е.’
По-'ЮМу И? IBAIIC искан, в виде (сравним с (' JIJ
Т 7
,\ ,. j ян —~	С1 .
98
Если f, д g C(j’[O.a], а t" 6 f'o[0,fr], то по сказанному выше. »]
Я tr>. а следовательно, и и - непрерывные функции в Q. удовлетворяющие
соответствующим краевым условиям.
В общем же случае для непрерывности п(т. у) в Q очевидно необходимы
следующие условия согласования:
7(0) = ^(0). у-(6) = </(0). д(а) = v(fr), t(0) = f(a).	(9 11')
Задача Докажите, что задача (9.8) имеет решение, непрерывное в Q.
если f. д € С2[0, a], а v 6 С2[0.6], и выполняются условия согласования
(9.11').
Указание. Подберите решение уравнения Дг — 0 в Q. совпадающее с
краевыми функциями f,g,<p и V’ в угловых точках области 0. Тогда разность
I — V можно найти методом (9.9), как указано выше.
В. Рассмотрим неоднородное уравнение Лапласа (уравнение Пуассона).
Упражнение. Решим краевую задачу
Лв(т,у) = хгу, 0 < х < а, 0 < у < Ь;
< u(O.j/) = O. н(«.у) = 0.	(9.12)
н(г.0) = 0. ^(z,6) = 0.
Отметим, что здесь при j = 0. х = а и у — 0 задано краевое условие
Дирихле, а при у — Ь условие Неймана (т. е. нормальная производная or
решения).
Решение. Однородные краевые условия при х — 0, к х = а позволяют
искать решение в виде ряда по собственным функциям соответствующей
эадачи Штума Лиувилля:
и(*,у) - 5Z ^(•r)sin	(9.13)
I
Правую часть также разложим по этим функциям:
03	I	о “г	1
2	**У	2 /	. kiry ,
•г У = У 2 . 9t stn-,	= - / л-sin----dx.	(914)
“a	a J	а
1	о
Подставляя эти разложения в уравнения (9.12), получаем для Vk = 1,2,...
fcr 2
-( — ) Yt(y)+ Yt(y) - ygt. 0 < у < b: У*(0) - 5 ДО - )	(9.15)
Отсюда
Yt(y) = Ate* +	4	.	(9.16)
99
Константы Л*. н Wj находятся при подстановке этого решения в краев,
условия в (9.15):
Л* + Bj =0.
Лг^е^6 + /Л(-^)е-^6 + 7Г^? = 0.	(1'И
Решая эту алгебраическую систему, находим Ад н Bt.
Ответ решение дается формулами (9.13). (9.16).
2 Краевые задачи в кольце и круге
А Решим краевую задачу Дирихле в кольце между окружности’
радиусов Г| и Го:
Ди(г, у) = 0. г2 < л - + (/ < 14:
ulr2 + u’=r’ = /i(’r')’ 0 < у < 2т:
’‘1г-'+у>=г* = Л(>"). 0 < у < 2т.
(9.Ь
Здесь /1 " fa - заданные функции от угловой переменной у?.
Решение Перейдем к полярным координатам г. у:
х/л-2 + У2’,
tgr = у/*-
(9 Г
Задача Докажите, чго в этих координатах задача (9.18) принимает в,:
Дн =	+	+Л^ = о.
“|г=г, = Л(у).	0<у<2т;
1’1 < г < г2;
(9.21
н|г=г2 - fab?)-
Ото задача в прямоугольнике
[0. 2т] х [?-,, >•_,] (рис. 72).
Краевые условия заданы на ниж-
ней и верхней сторонах прямоуголь-
ника
Вопрос Имеются ли здесь кра-
евые условия па боковых сторонах
прямоугольника?
Ответ Да. эго условия периодичности но у?:
и((). г) = п(2т, г).
fr(O.r) = ^(2т.г).
(9.21
вы । екающие из совпадения ючек плоскости (г. у) с полярными координатам.,
(().>) и । 2 т. г) Аналогичные условия периодичное г и но у выполняю гея так ж
ТЛЯ “.	. ТТЛ.	всех Производных ОТ II НО Г II у.
1()||
Задача Покажите, что условия (9.21) вместе с уравнением (9.20)
гарантируют также периодичность по у? всех производных от и н<> г и
если	бесконечно дифференцируемая функция в прямоугольнике
[0,2л-] х [г). г2].
Задача Штурма-Лпувнлля. соответствующая однородным краевым усло-
виям (9.21), имеет вид
Г^ = Аф(^. 0<г.<2^.
[ Ф(0) = Ф(2гг), Ф'(0) - Ф'(2д).
Решая эту задачу, находим:
Хк = — А2, А* = 0,1,2,... Фд.(<у?) = ,41- cos(l-y) + Нк sin(ty>). (9 23)
Таким образом, для каждого 1-^0 имеются две лннейно-пезавпсимые
собственные функции: cos(l-^) и siii(Ar^). а при к = 0 только одна: Фц(^) = 1
Эти собственные функции образуют полную систем} в 7.2(0,2л-). как
известно из теории рядов Фурье, и ортогональны между собой:
j = J d^ = 2*.
 2т	" 2т	(9'21)
f cos2(ly>) r/y> = ~f snr(Av) = л-, k 0.
о	0
Метод Фурье для задачи (9.20) в кольце состоит в том. что решение
мы ищем в пиде ряда по собственным функциям задачи (9.22)
«(Л г) - У? /Л-(г) cos(iv) + У2	(’’) S1H2(<v).	(9.25)
и	]
Подставляя этот ряд в уравнение (9.20), получаем Для -радиальных" функции
/?*.(»-) уравнения
+ -4 Кк (-<•-’) = 0, »-,<>•<»-.,. А- = 0.1.2,.	(9.26)
г г-
И такие же уравнения ДЛЯ S;.:
*к +	+ 4-s’j(~1-21 - 16 >!</<>•-, А = ( ’2...	(9.27)
г г-
Решим радиа.и.ньи уравнения (9 26) (9 27). Это уравнения Эй.крч (см
').'>]) Подставляя в (9.26) Нк — >''. получаем
А( А — 1): х~- + Аг л“- - I- ’»-'--' = 0.	(9
101
откуда вытекает характеристическое уравнение
А2 - к2 - 0 <=> А = ±<-.	(9 •2'.-
Если к -ф 0, то корни простые, и общее решение (9.26) имеет вид:
Я* = Л4г‘+ «и-1. <•= 1.2,3, ...	(9.30
Аналогично, для (9.27):
= Ckrk + Dkr~k. к = 1,2,3,. .	(9.31
При к = 0 корень уравнения А = 0 имеет кратность 2 =>
=> Ко = ,4о + Во 1п г.	(9.321
Подставляя (9.30) (9.32) в (9 25). получаем общее решение однородною
уравнения Лапласа в кольце:
u(ys, г) = ,10 + Во In г + Ак г1' + Вк v~k) cos(<v)
'	(9.33;
+ ^(Ci-r1 + Dti"*)sin(<v)
1
Замечание 9.1. Это общин вид гармонической функции в кольце,
подобный ряду Лорана для аналитических функций в кольце.
Произвольные постоянные в (9.33) находятся из краевых условий (9.20):
' Ло + Во 1и ci +	+ й*гГ4)cos(^v)+
,	+ Dj-r’^sn^v) = /1(^).О < ^ < 21г;
Лп + Во 111 г2 4- ЕГ('4‘г2 + ВкГ2 *) cos(^) +
 +E?(^P'J +	I'?1)sin(fc^) = /2('е).О < V < 21Г.
Отсюда с учетом ортогональности собственных функций задачи Штурма-
Лиувнлля (9.22) и соотношений (9.24) получаем
Ли + Во Ini'i = 57 7
-	’ 2т	(9.35)
Ли + Во In 1’2 = 27 7 /г( ^) d-p.
О
и аналогично, при VI* — 1,2,3,...,
+ Btr~k = | 7 /1 (‘Z’) cos(
•	",	(9.36)
 h-1’2 + ВкГ?к = i f
102
G-r}’ + £),.», 1 = f fi (y?) sin(A’r~)
<	!’w	(9.37)
C'j.ri + Dii^ = 7 J h(^)s»'(*-v)dr
<>
Из системы (9.35) находим Ло и Йо. из (9.36) —Ад и йд. из (9.37)
Р* и Di,, и задача (9.18) решена
Задача. Докажите, что решение (9.33) задачи (9.18) -• бесконечно
дифференцируемая функция внутри кольца.
Упражнение. Решим задачу Дирихле в кольце
6>u{jc,y) - 0. 4 < х2 + № < 9;
«Ь+,-<=х. u|r>+,>=9 = У	11
Решение Здесь г, = 2. го = 3, так что
/i('P) = 2cosy?. f2M = 3siti т>.	(9.39)
Поэтому правые части в (9.35) равны нулю и -40 = Йо — 0. Аналогично,
равые части систем (9.36) н (9.37) равны нулю при всех k 1. Следовательно.
Ат- = В;. = 0. Ск = Dt — 0 при k I
Гак им образом, ряд (9 33) содержит всего два слагаемых:
и = (А, г + Й| >"1) cos + (С, г + О, 1)sin
Оставшиеся коэффициент находятся из систем уравнений
A,2+fl,i = 2.	rC,2 + Dii = 0.
.4,3 + й, i = o.	]5'.3 + g| = з.
Которые получаются непосредственно па (9.39). /\ именно, (9.42) получае|ся
Подстановкой (9.39) в (9 34) п сравнением коэффициентов Фурье н левой
 правой! часлях получившихся равенств, а не вычислением интегралов в
(9.36)	(9.37). Из (9 42) находим
(9 40)
(9.И)
(9.12)
Окончательно, па (9.11). (9.13) получаем ответ
 > > > •>
19:;
Г> Тверь рассмотрим задачу Дирихле в круге радиуса R-:
Ди(г. j/) = 0. j - + у2 <
'|г-’+ю' = я-' = /(г)- О < г" < 2*
(9.45
Решение этой задачи также имеет вид (9.33), поскольку круг л~ + у < R
содержи! в себе кольцо 0 < J” + у < R". Однако круг еще содержит точку
(0.0). в которой решение должно быть конечным:
|u(0, 0)| < IX-.
(9.46;
Можно показать [14], что для этого необходимо и достаточно отсутствие
в (9 33) слагаемых, имеющих особенности в точке (0.0) типа In г и г-*
Это означает, что Bq — Bt - Dk = 0. k — 1,2.3..Таким образом, (9.331
принимает вид
и(х, у) = Ло + 5? гк(Аь cos(Ar^) + Ck sin(J-v)).	(9.47)
1
Это есть аналог ряда Тейлора для гармонических функций в круге.
Коэффициенты ряда (9.47) находятся из краевого условия задачи (9.45)
Упражнение. Решим задачу Дирихле в круге
М“М = 0, *2 + 1г’<4;
( и|г>+,»=4 = Г •
Решение. Ищем решение и в виде (9 47). Подстановка этого ряда в
краевое условие дает:
Ло +	2*(Лг cos(k.<p) + С к sin( k^>)) = 2 + 2cos(2^),	(9.49)
।
поскольку
r2|r_Q = (2 cos — 4 cos2 — 4—±— ( -- =2 + 2 cos(2^>)
Из (9.49) сравнением коэффициентов Фурье левой и правой частей получаем,
что все ,4г и С\ при 1/0 и k 2 равны нулю,
Ло — 2
4Л2 = 2.
(9 50)
<0
Отсюда Л? = | и по формуле (9.47) |е .;,у час : гя о1вет:
ПН
Задача Решите задачу Дирихле в кольце
f Дп(/. у) = s'.	9 < J-- + у- < 16;	(!1Г2)
I "|^ + !н=& = 0. "L •>+,>=!.; = 0.	’
Указание. Здесь искомое решение и правую часть уравнения нужно
разложить в ряд вида (9 25). Уравнения для радиальных функций Rk и
|удут неоднородными уравнениями Эйлера.
Задача Решите задачу Неймана в круге
( Аи(т, у) = 0, т2 + у2 < 9;
1 ди I	___
I	- У-
Указание. Решение нужно искать в виде ряда (9.47); кроме того, в
юляриых координатах
Заключение. Уравнения теплопроводности, волновое и уравнение Лапласа
бладают различными свойствами. Как следует из резельтатов главы II,
«шеиия однородного уравнения Лапласа и теплопроводности бесконечно
^ффереицируемы внутри области, даже если граничные функции разрывны.
) то же время решения однородного волнового уравнения могут быть
взрывными, если, например, начальные данные являются разрывными
Эункциями.
ГЛАВА III. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОТ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ НА ОТРЕЗКЕ.
[3, с.82-125, 198, 336-345]; [9, с. 120-130]; [11]; [12, с.274-300]; [14,
г.267-275].
§1. Различные способы заданна функций.
Непрерывные функции u(x) € C(1R) можно задавать следующими тремя
Способами
1.	Непрерывная функция обнозиачно задается своими значениями
{ц(х)}, гей-	(11)
2.	Можно задать ее коэффициентами Фурье (если она 21г-периодическая):
«(г) = ^2	(1-2)
rez
Здесь
|Ц. = У Г ’,l -' u(j I UJ-.	(1.3)
105
Последовательность
однозначно определяет непрерывную
(периодическую) функцию по формуле
(1-2).	Рис. 73
3.	Введем сначала пространство так называемых пробных, или основны.'
функций: C“(IR) — пространство гладких, финитных функций, т. е.
1) 5₽(х) е f-*~(IR)
2)¥>(г) = 0 при |т| > .4., где А > 0 зависит от (рис. 73).
Для любой непрерывной функции и(т) определим скалярное произведение
и с у? € COJ(1R):
(и(х),^(г)) = У u(x)p(x)dx.	(1.5)
— 00
Этот интеграл сходится, поскольку 2 0 при |т| > Л:
А
(и(х),^(х)) = У u(x)^(x}dx.	(1.6)
-А
Для фиксированной непрерывной функции и(х) рассмотрим набор чисел
{(u,^),^e C(?(iR.)}.	(1.7)
Вопрос Определяется ли непрерывная функция u(z) атнм набором
однозначно?
Ответ Да (докажите зто!).
Вопрос Можно ли написать формулу для восстановления непрерывной
функции н(г) по набору чисел (1.7)?
Ответ. Да:
1 [ х — ц
<<(г) = litu - / ^(---)u(y)dx = litn(^(!/). н(у)).	(1.8)
с—о £ j е	t—o
Здесь r’f(y) =	€ CJ'(IK):	G C^(Ul) -• функция, удовлетво-
ряющая условиям:
1 M.v) = о при l.vl > 1.
2) J г(у) <1У = 1 (Pin- "*)•
-1
Докажем формулу (18).	( делаем
замену переменной интегрирования
Тогда (18) принимает вид
Рис. 74
I
и(т) = lini У y?(-*)u(x - tzjdz.	(I .9)
-i
В таком виде нта формула очевидно вытекает из непрерывности функции
Ч в точке х:
। 1
liin J<p(z)u(x - tz)dz = у <^(с) lira и(х - с':) dz -
-1	-1
1	I
= У	j тР(-М- = М-И-
-1	-1
Вопрос В чем состоит существенное различие между тремя описанными
»ыше способами задания функции и(г)?
Ответ.
1.	Набор чисел {н(х), х € IR.} может быть более или менее произвольным:
. любом конечном множестве точек г* € IR значения u(rj) могут быть
произвольными.
2.	Набор чисел {m.t € Z} может быть любым, если только |щ.| убывают
рн Ц1 — ос так, что, например,
f>|oc.	(1.10)
3.	Числа {(п,^),^ € ( '0~(IR)} не произвольны: они связаны алгебраи-
ческими соотношениями
(1.11)
Так видно из (1.5). при . у?г £ С~(IR)
Вывод. Чтобы некоторому абстрактном) набору чисел {/../£ С^(1К)).
'оответствовала хотя бы одна функция «(j ) 6 ( (1R) такая, ч i о
г = (».^,v^- е („'-(И).
(I 12)
1(17
необходим.?. чтобы итог набор удовлетворял условиям согласования (1.1.
/у,	= /.- +	V/!..-, е с,; (IK)	(I 
Определен!!!’. Сходимость у,. —— у: означает следующее 1) y„(z) равиомед
Ч — с-
но J' g 111 сходится к уГ(л-) и то же верно для производных любою порн о
VA-= 0. 1,2...
^'/'(z)—z g 1К при I’ — х	(1.1.
2) все у„ "имею] общий носитель" lj : J .1 > 0. Vn = 1.2.3,
-	у,, (z) = 0 При I j-1 > . 1.	( 1. ;
Вопрос достаточны .нт условия согласования (1.13) для сущеетвовани
функции тт(г) g ( (И1). соответствующей набору {/у} в смысле тождеств
(1.12)"
Ответ. Нет, недостаточны. Нужны еще условия тина непрерывное'!и
с,'
(и./,,) —-(«.ус). если ------у? при п — х	(1.1'
•> — ч.
При условиях (111) (115) сходимость (1.16) следует ио теоремы
пределт.ном переходе под знаком (собственного) интеграла:
л	д
(н,уо,)= У u(x)^n(x)dx-—^j u(z)y;(z)<fz = (н.у>).	(1.Г
-А	-Д
поскольку n(z)y?„(z)—.(т(т)ус(т) при zg 1], тт — х.
Итак, для существования функции it(z) g C'(IR), соответствующей набор;
{/у.} в смысле (1.12), необходимо (кроме (1.13) условие:
/у,	- .’у,
при
(1.1-
Вопрос Достаточно лн условий (1.13) И (1.18) ДЛЯ сущее г вовань.
н(z) g ( '(1Н ). дающей представление (1 12)"
Ответ Пет.
Задача Привести пример набора удовтетворякнцего условиям (1 : 1
и (1.18), которому ие < оо гнетствует никакая функции <т(z j t (’(IK} (см ' ;
< .97).
Ответ
/е = . (./) v. Е <?<!>• Т	(i
108
Вывод. Набор чисел {!,-} однозначно определяет функцию и(х) €
J(IR). удовлетворяющую тождеству (1 12). если только такая функция п(х)
существует, одиако для набора {/^) она может не существовать. Условия
1.13), (1 18) необходимы для существования непрерывной функции Г(х), ио
зе достаточны.
§2. Обобщенные функции.
Определение. Обобщенной функцией называется любой набор I —
€ <T(IR)}, удовлетворяющий условиям (1 13) н (1.18).
Для краткости обозначим
D= ZJ(IR) = C^(IR).	(2.1)
Замечание 2.1. Набор {/,,}, удовлетворяющий условиям (1.13), (1.18)
(т. е. обобщенная функция) с точки зрения функционального анализа есть
Линейный непрерывный функционал на £)(IR), т. е. элемент сопряженного
Пространства P'(1R):
1= {/J е D'(IR), l(^) = l^ V^eP(lR)	(2.2)
Итак. D'(IR)— пространство всех обобщенных функций.
Обозначение. Для обобщенной функции {/^} значение {/^ функционала
I иа пробной функции / будем обозначать /(^?). а также (/(х). >?(т)) и будем
называть его скалярным произведением обобщенной функции /(х) с пробной
функцией 'г’(т).
^ = /(>5) = (/,^) = (/(х).^(х))	(2.3)
Отметим, что при этом /(х) не значение функции I в точке х. а
просто символ.
Пример. Обобщенная функция (1.19) называется «^-функцией Дирака.
6(ч₽) = (б(х).^(х)) = sp(O). V^eO(IR).	(2.4)
Замечание 2.2. Каждой непрерывной функции и(г) 6 C(IR) формула
(1.5) сопоставляет обобщенную функцию:
п(х) {(и(х), ^(z). ^eD(IR)).	(2.5)
Это отображение является вложением согласно (1.8):
< (1К) се /У(1Н).	(2 6)
Однако не каждая обобщенная функция получается но формуле (1.5) пз
некоторой непрерывной функции (например. <‘,(х)).
Рассмотрим примеры обобщенных функций.
1. (Mz).^(x)) = r-in(0). V^-eO(IR)	(2.7)
l)lxl	Проверьте, что 1>(.(т) £ O'(IR) ('
'	е проверьте условия (1.13), (1.16|
 2. Функция Хевисайда (рис. 75)
.г
0(г)= {!^<0:	(2>
Рис. 7-5
(0(т).т?(т)) = У e(r).^(r)dz = У^(г)</г.	(2
--XJ	О
Проверьте, что 0(z) € D'(IR).
§3. Действия над обобщенными функциями.
1	Сложение обобщенных функций
Заметим сначала, что для непрерывных функций и,(г), ti2(r) и их суммы
Ui(t) + te_>(r) имеем в силу (1.15)
(н,(т) + u-j(J-). yj(j-)) = (и,. ^) -г (и-,.,?). V»? е jO(IR)	(3.1
Определение. Для I1./~ £ O'(IR) положим
(/’+ /-Х = С +	°(1К>-	(;J2'
’Замечание 3.1 При таком определении сложение непрерывных функ
цин Н|(т), ie_>(r) совпадает со сложением соответствующих нм обобщенных
функций, как видно ни (3.1) и (3.2).
Упражнение. Провер ьте, что Р 4-1~ € О'(П<)
2	Умножение обобщенных функций на число
Заметим, что для н(т) £(.’(Ш) и а £ IR в силу (1.5) имеем
(nn(i).,?) = <i (и, *?),	£ 0(1К)	(3.3,
Определение Для 1(т) € I)'(IR) н о £ Ц{ положим
(<>/(д-).^) = о(/. p),Vp £ D(IR).	(3 1
3	Умножение обобщенных функций на гладкую функцис
Возьмем </(z) € O'V’(IR). Если и(т) £ С(111), то. как видно н:> (1.5),
(g(r)n(jj.^) = (и.7(т)^(т)',. Vp£D(iFi	(3.5)
110
Определение Для /(л-) 6 /?'(1Н) положим
(</(х)/(л ).ХД =	vr-eO(H<)	(3(Д
Замечание .3.2. Правая часть (3.6) имеет смысл, поскольку
9(ФИ G ZJ(1R)’
Задачи.
1.	Проверьте, что </(л )/(х) 6 D'(IR)
2.	Вычислите xb(x).
3.	Докажите, что
ff(x)6(x) = д(0)#(х).	(3.7)
4.	“Сдвиг" обобщенных функций.
Для и(х) 6 С( 1R) и а G (К)
У u(x - a)^(x)dx = j u(y)i>(y + a)dy. V^eD(lR)
Определение Для Z(x) 6 D'(IR) положим
(/(г - а). у-(х)) = (1(у).?(у + а)).	(3.8)
{6(х - а).-р(г)) - (б(у).^(у + «)) - у(«).	(3.9)
5.	"Замена масштаба" в аргументе обобщенных функций
Для п(х) 6 С{ IR) и к О
У u(k-x)^(x)dx = щ У uiyM^dy.	(3.10)
Определение Для /(х) G O(IR) положим при к -ф. О
(/(Л-л-). ^-(х)> - J_(/(j/).^(^)).	(3 И)
Задача Докажите, что
^(кх) = —8(х), к 0	13 1’21
I
В частности. д - функция чешая
d(-j') = А(г).
(3.1::
Замечание 3 3. Из определения (3.9) получаем:
(>(.V - -г). >?(.У)) = r(-i')
(3.1;
Это означает, что i'(y-J') — ilirrei ралыюе ядро единичного оператор.
7-^ = ^ В линейной а.цебре матрица единичного оператора есть 6-снмвол
Кронекера bt]. Именно ввиду такой аналогии Дирак назвал функционал (2 1
6-функцией.
Задача Напниште формулу для общей -заметы переменной J= </(,</) в
обобщенной функции, где д : IR —> 1R — гладкий диффеоморфизм.
6.	Сходимость обобщенных функций.
Определение. Обобщенные функции ип(т) € D'(IK) сходятся (слабо) к
u(z) € D'(1R) при п — х, если для У^(д-) € C'o'(lR) = D<IK)
(un.	— (и, ^) при н — ос	(3.15-
Обозначают :>1 о так: a,1(r)°-^,H(z) при н — х
Примеры сходящихся последовательное теп обобщенных функций:
---	D' I И >
I.	Если И„(т) 6 ('(IR) и I „(д)---и(д) при II — X ГО Н„ — И при
н — х (/(оказать!)
2.	Если h„(j) € Z.-j(IR) и u„ — ив £2(IR) при н — х, ю м,/—• К
(Доказать!)
3.	sin кд- — 0 при * — х. Действительно, пн Iегрируя по час i ям
получаем, что
/cos кч- .
—j—-^> (г) th- — 0 прик- — х
4.	АналогичпоД-2 sin	0 при к х
-Замсчаыи- . Последовательности функций sin ( д- и (--’sinAr не сходятся
пи в прос I рапстне <'(IR). ии в ирос i раистве /,Д1Г{) , по сходя гея в D'i IR )
й 'д-образиые'' последовательности. Рассмотрим "ступеньки ( тек.юва'
п.
0. Г i [0.1]. и e IN.
(3 161
О-в в и in. ’. I 'I. । .1 1 J.i ~ 1. tfn = 1.2. 3. .
I I 2
Задача Доказать, что
u„(x)° — 'л(х) при п — х	(3.17)
Указание Применить к интегралу f tin(x)^(х)dx теорему о среднем.
Аналогично, слабо сходятся гауссовские распределения
O'{R)
___	0(Х) при <7—0+
У2т<7
,оказать!).
7. Дифференцирование обобщенных функций.
Для и(х) € C’(IR), интегрируя по частям, получаем (<,г(х) = 0 при
!>Л):
+ ос	Д	+Ощ
j u'(x)>p(x)dx =	j u(x)?'(x)dx - - j u(x)/(x)</x,	(3.18)
-oo	-Д	-cv
поскольку <p(A) = <p(— .4) — 0, так что подстановка равна нулю.
Определение. Для u(x) € D'(1R) положим
(u'(x),<p(x)) = -(u(x), /(х)), V^eD(IR)	(3.19)
Задача. Докажите, что u'(x) £ O'(IR)-
Таким образом, любая обобщенная функция имеет производную, а
ледовательно и производные всех порядков!
Рассмотрим примеры дифференцирования обобщенных функций.
1	(sin х)' = cos х.
2	.Найдем 0'(х) (см. (2.8)—(2.9)): по определению (3.19)
(0(х),у?(х)) = -(0(х),</(х)) = i ?'(x)dx =
{	(3 20)
= -¥’(х)|о°°= ^t0) = (*(х)-|<с’(а:))-
> ч->да аидио, что 0'(х) = 6(х) .
ИЗ
8.Непрерывность оператора дифференцирования относительно сходимос ,
обобщенных функций
Лемма 3.1 Оператор : D'(1R) —	непрерывен.
Доказательство. Пусть ц„(x)D-^'u(x). Тогда для Уу? 6 D(IR)
(<(*). у-’(-г)) = -<«/„(х)./(х)) —1 - (“(-г)./(-г)) = -(«'(») V’(-r))
П —ОО
Следовательно, u^(x) — )w'(jc) по определению (3.15), ч. т д.
Задача. Доказать, что для Vu(x) € D'(IR)
и(х + f) - u(z)d'(R)	„
-------------- — и (х) при £ — 0.
§4. Дифференцирование кусочно-гладких функций н
дифференцирование произведения.
1. Дифференцирование кусочно-гладких функций.
Лемма. Пусть функция и(х) € С* при х < а и при х > а, а в точк
х = а имеет разрыв первого рода, т. е. существуют односторонние пределы
и(а ± 0) (и и'(п±0) для простоты также пусть существуют):
Тогда справедлива формула
н'(х) = {п'(х)} + й  6(х - a); h = и(а + 0) — и(а — 0).	(4.1
Здесь в левой части и'(х) — обобщенная производная обобщенной фуикцн и
и(х), а в правой части {и'(х)} - непрерывная при х / а функция, равная
обычной производной функции и(х) в тех точках, где эта производная
сущес гвуе 1. Соответствующая функции {и'(х)} по формуле (1.5) обобщенная
функция называется регулярной частью обобщенной производной и'(х).
114
Пример Для u(z) = 0(z) имеем: а — 0, {0'(z)J = О, поскольку 0'(z) - О
|ри х / 0, h = 0(0+) - 0(0-) = 1. Поэтому формула (4.1) даег
©'(z) - (5(х),	(4.2)
гго согласуется с (.3.20).
Упражнение Вычислим |z| .
Решение По формуле (4.1)
И' = {|z|'} + 0  6(z) = Sgn(z) = {	1 > ° 0	(4.3)
Опять по той же формуле
|z|" = (Sgn г)' = {Sgn'z} + 2  <5(z) = 2A(z).	(4.4)
Ответ: |z|" — 2A(z).
Упражнение. Докажем формулу (4.1).
Решение Для р €	(IK)
а	+ -<-
(«'.у) - -(к,/) = - У u/c/z- У up'dj- - -»ёГ\°-» + С+о +
- "Xi	а
+ I u'^rfz =-п(«)^(« - 0) + !<(«)>?(« +0) + ({ w'}, г),
что эквивалентно (4.1).
2.Дифференцирование произведения
Для д(х) € С°“(1Л) и u(z) 6 /У(К) определено произведение </(z)h(j ) (см.
определение (3.G)). Оказывается, справедлива обычная по виду формула
(s(z)n(z))' = /(z)u(z) + </(z)i/(z).	(1.5)
Задача. Докажите формулу (4.5).
Упражнение При помощи формулы (4.5) вычислим
(^- + А)(0(х)с-Лг).	(4.6)
QJ-
Решение. Но формулам (4.5) и (3 7)
^-(с-Лт0(г)) = -Ac-At0(z) + (-a'-0'(z/ -
ах	(1. । ♦
= — Ас"Aj 0( z) + А(х).
Прибавляя сюда A0(z)e Лт, получаем, что (4.6) равняется <5(т):
(4 + А)(0(т)е-Лг) = 6(т).	(4 -
ах
Упражнение. Вычислим (при ш / 0):
(^j+ ш2)(0(х)^^)=?	(4 .
ах£	л
Решение. По формулам (4.5) и (3.7)
d sin шт	sin и;х ,	„
— (------  0(z)) = COS WZ  0(z) + -  0 (z) = COSu-'X  0(z)	(4 1 I
dx lu	lu
Пользуясь опять теми же формулами, получаем
-Т~5(------  0(z)) = -р-(ссвшх  0(z)) - -cusinwz  0(x) +	. . ,
dx- lu	dx	(4 1.
+ cos cuz  0'(z) — -w siii-xx - O(x) 4- d(x)
Прибавляя сюда u>20(z)*'nJ^r, получаем 6(z):
(4? + w2)(6(z)^^) = 6(z).	(4.12)
ax-	lu
Упражнение. Докажем (4.8) и
(4.12) при помощи формулы (4 1
вместо (4.5).
Докажем (4.8). Нарисуем г| ...
фик 0(х)е-Лг (рис. 77).
По формуле (4.1) (и = 0 и /> = 1
4(е(.т)€-Лг) = 0(т)( - А)<+ А(х)
ах
(4.1 -
Прибавляя сюда А©(д-)е "Лт, по-
лучаем (4.8). Докажем (4.Г2) Нари-
суем график (-)(х)5|п	:
По формуле ( 1.1) (« = 0 и h = 0)
d мн ~х
— (0(х)-----) - 0(t)«ISuIJ.
dx -
График 0(г) cosCMoipu на рис 79 17 форму.u- (1.1) (<i — 0 и h - 1'
</	sin-j-	d „	z .
(HIJI------) - — (0(j- I COS - .. I 21 (->( J )(slll - J- )i	<^(.r).	(4
dx-	u	dx
lid
Прибавляя сюда и/20(ж)*|Пи,г), получаем (4.12).
Замечание 4.1. Равенство (4.8) обусловлено тем, что функция 0(х)е~Л
При х / 0 удовлетворяет однородному уравнению

О при х О,
(4.16)
а ее скачок h — 1. Аналогично.
(4.12) получается из-за того, что
функция y(z) = 6(г )5"'^г при х / О
удовлетворяет однородному уравне-
нию
Рис. 79
+ u>2)e(j)sinul1 = о при х/о.
dX*	UJ
(4.17)
Кроме того, сама функция у(х) непрерывна при х — 0, а ее первая
производная j/(z) = 0(z) coswz имеет скачок, равный 1:
У(О-) = у(0+),
!/(0+) = !/(0-)+1.
(4.18)
Итак, регулярные части в (4.8) и (4.12) уничтожаются в силу тождеств
(4.16), (4.17) соответственно.
Фундаментальные решения обыкновенных дифференциальных уравнен
1 Фундаментальные решения обыкновенных уравнений.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор порядка m с посто-
1ИНЫМИ коэффициентами:
j	m	ilc
А = A(di) = ^akd^' ат^°'	(51)
4=0
По формуле дифференцирования сложной функции для у 6 IR
^4
^p-(u(z - у)) = u(t)(z - у), х е IR.	(5.2)
Следовательно,
d
А( □-)(“(•'•- У)) = (Ли)(г - у), х е 1R
ах
С5 3)
117
Определение. Фундаментальным решением оператора А называв < _
такая (обобщенная) Функция е(х) х € £У(1Н). для которой (производи!
понимаются в смысле теории обобщенных функций)
А(-^-)е(т) = 6(г), х € IR	(5 1
ах
Замечание 5.1. Из (5.3) следует, что
>l(^-)e(z - у) = 6(z - у), х € 1R.	(5 .
ах
Примеры
•л=£: е(т) = 0(т) {см. (4.2)).
2	.А =	: е(т) = ||т| (см. (4.4)).
З	.Л=£ + Л: е(х) = 0(т)е-Л' (см. (4.8))
4	.4 = £, +^2: е(х) = 0(т)я^ (сж. (4.12)).
Отметим, что для фиксированного оператора А фундаментальных ре-
шений может быть бесконечное множество.
Вопрос. Зачем нужны фундаментальные решения9
Ответ. Чтобы решать неоднородные уравнения
A(-r-)u(x) = f(x), х & 1R	(5’11
ах
Частное решение можно найти но формуле
и(-г)= У - y)f(y)dy = (е * f)(x) - J e(y)f(x-y)dy, (5 7
— ОО	—оо
если f(x) = 0 прн |т| > rincons!,, и /(г) 6 C'(IR) (операция * в (5 7
называется сверткой с с /).
Проверка для случая f(x) G ('"‘(IR) для функции (5 7) получаем из (5 
при х € IR
d V d
= J <{y)A( — )f(x - y)dy =
= (f(y).-'l(-j-)f(x-y)) = (A(-^-)f(y), f(x-y)) = (fi(y). f(x-y)) = f(x). (5 4
dy	dy
Примеры
1. Для уравнения
d
— u(x) = f(x). TGIR	(5-
dx
118
формула (5.7) дает час гное решение
'<(>•)= У ©(J' - y)f(ll) <ly - У f(y)dy, т € IR (5.10)
что хорошо известно из анализа
2. Для уравнения
><(>•) - /(*) т € 1R	(5.11)
ах-
формула (5 7) дает частное решение
+ со
u(r) = у - y\f(y)dy, X 6 IR	(5 12)
— ОС
что аналогично известной формуле Коши.
2. Метод построения фундаментальных решений для произвольного опе-
ратора Л(^) вида (5.1).
Рассмотрим функцию uq(z) при х > 0. решение задачи Коши
.4(£)н0(х) = 0, т > 0.
ио(0) - 0,
. .	(513)
н‘”,-’(0) = 0,
Ь4"-1|(0)= Д-.
Тогда функция
Г.^)	z>0,	(5.11)
(0, г < 0.
является фундаментальным решением оператора А.
Задача Докажите (5.4) для функции (5.14), используя формулу (II)
Упражнение Найдите решение уравнения
3u"(r) — u'(r) = 6(г). х 6 1R	(5 15)
Решение ЗА2 — А = 0 <=> Aj = 0, Aj = j =>
uo(-r) = <j + c2e$.	(5 I(.)
Начальные условия (5.13) дают
Ответ:
(5.1b
= 6(j')(f’ - I).
Упражнение Найдем формулу для частного решения уравнения
i/"(z) - 3u'(z) + 2t/(z) = /(z). z G IR	(5.19 ।
где /(z) € G’(IR), /(z) - 0 при |z| = const.
Решение Найдем фундаментальное решение:
e"(z) - 3e'(z) + 2e(z) = <5(z).	(5.20)
Для этого найдем корни характеристического уравнения
АI 2 - 2А + 2 = 0 <=> А, = 1. Аг = 2 =>
c(z) = 0(z)(c!er + с2е3т).	(5.211
Начальные условия (5.13) дают
( а + с2 = О,	Г с2 = I,
[ ci + 2с? = 1,	[ cj = -1,	'
Ответ: По формуле (5.7)
+ ое
u(z) = е * /(z) = у 0(z - y)(e-{z~v} - tz~* )f(y)dy =
x	(5.23)
= / (^'-"-e'-^Wdy.
§6. Функция Грина для краевых .задач на отрезке.
1.	Функция Грина
Найдем решение краевой задачи (о/ / 0)
Г u"(z) - ш2и(т) =/(г), 0 < z < ’
\ u(0) =,,(/) = 0	14
Функция Гфнна этой краевой задачи это функция (7(.с,у) на [0,/] х j0, Л
гладкая при z / у и удовлетворяющая уравнениям
I	Л(Г-у), 0<z<l.	62)
I (j\0. у) = G(l у) - 0.
120
Здесь у играет роль параметра, у € (0./) Можно скачать, чго функция
Гфина есть фундаментальное решение, удовлетворяющее краевым условиям
Имея функцию Грина, легко найти решение краевой задачи (6.1) по
формуле
I
u(-r) = j G(-r,y)f(y)<ly	(6.3)
О
Проверка Краевые условия (6.1) вытекают из краевых условий ((5.2):
при г = 0
i
u(0) = j G(0.l)f(y)dy = 0	(6 1)
О
и аналогично при z =/, Уравнение (6.1) формально проверяется так:
I	I
d“	Г d~	[
-Ш2)и(х) = J - ^)G(x,y)f(y)dy = j 6(х - у) f (у) dy = f(i). (6.5)
(1	о
Замечание 6.1. Формула (6.3) означает, что функция Грина G(x.y)
является интегральным ядром оператора G, обратного к оператору .1 =
^7 - ш" краевой задачи (6.1):
/1 = ^-ш2: Со2[0,/] - С[0./]	(6 6)
Здесь C'q[O,/] — пространство функций н(д) € C2[U./] с краевыми
условиями и(0) = >/(/) - 0.
Замечание 6.2. Оператор (6.6) - симметрический в /.2(0,/). как показано
в 11.3.6. Следовательно, оператор G — .4_| также симметрический в L-j(O.l).
Отсюда вытекает важное свойство симметрии функции Грина:
G(x,y) = G(y. г). Vx.y 6 [0,/].	(6.7)
? Метод построения функции Грина для краевых задач на отрезке
Дифференциальное уравнение (6.2) -- однородное при х у. поскольку
6(г — у) = 0 при х — у / 0 . Поэтому аналогично (4.17)
rf2
(-Гт; --‘)G(z,y) = 0 прих / у	(6 S)
(1х-
Следовательно,
п -- 'V'
[ С е + ZJe , i > у.
121
Для определения констант А.
В. ( ' п I) мы имеем два краевых
условия (6 2) п два условия склейки
при j- - у (см рис.80). Аналогично
(-1 1«)
Рис. 80
( G(y — 0. у) = G(y + 0. у).
1 G'AH + 0. у) = Г,;(У-().у)+ I.	1	'
Эти четыре уравнения однозначно определяют А. В, (..' н D.
Задача Выведите (6.2) из (6.8) и (6.10).
Указание Примените формулу (4.1) (два рала) для вычисления атт6'(х, у)
Заметим, ч то можно сразу учесы, краевые условия (6 2). разыскивая функции
Грина в виде
, Г -3 shг < у.	, . , ,
G(x. у) = < „ , ,	((>. 11 >
' у	[ В sh г - /). X > у.	'
При этом (6.9) также выполняется. Отлается учесть условия склепки
(6.10):
Г Asli^-y = Ssli~(y -/),	с 2
[ ch -.( у - /) = Au; cii ^у + I.
Решая ну систему, находим
( j _ .«b.-JJL-.!.1
'	(613)
I " - ~ sb » г
Окончательно, из (6.1 1) находим функцию Грина задачи (6.1):
{sh^(y-l)»hu г X < U
Z > У
Полеганиям в (Н.З). находим реннлии1 краевой п^дчн (6 1)
J"	1
[ sh^ysh~(J- -/)	f sh^(y - .').sh-.z
И -Г - / —------i—------Ji.'/Нут / ---------—-----f(y)dy (6.Гн
‘Никни* 1рина P.i 1 I) симм’чрн’ип в полн-’М гоо г ь- । вин с оамечатк '*
Упражнение. Нант» решение краевой задачи (и/ / 0)
и"(х) + <j2u(z) — /(х),	0 < г < /.
н(0) - »(/) - 0.
Решение. Находим функцию Грнна G(x.y) при Vy g [0./]:
(£т + ^)G(x,y) - 6(х - у),
G(0,y) = G(l,y) = 0.
0 < х < I,
Заменяя в (6.8) знак ” —на ” + ” получаем, аналогично (6.11):
A sin лх, х < у,
Bsinu(x — /), х > у.
(6 16)
(6 17)
(6.18)
Подставляя G в условиях склейки (6.10), получаем,,аналогично (6.13), что
при sin w/ / 0
(л - «"“(у-О
> Л Vlinul ’	(6.19)
| q _ sin u>y	' f
u> sin u>l
Отсюда, подобно (6.14),
f 51п>ln шт r
G(*,!/) = S	*	(6.20)
1 --- —)------ ,	x	>	y.
k u'Sinu't	’	a
Наконец, получаем решение задачи (6.16):
Г	I
/sin шу sin ш(х — I) „ ,,	[	sin ш(у	- I) sin шх „	,	,Л
-----	-f(y)dy+ / --------Л.У)<1у	(6-21
uJSHiu/'/------------------------------------------------J	u'SHiu'l
0	r
Отметим, что функция Цжиа (6.20) также симметрична.
Задана. Найдите решение
Г н"(х) - ш2ц(х) = f(x), 0 < X < /,
I и(х) = и'(1) = 0.	1	'
Задача Найдите решение
Г и''(х) + ш2и(х) = f(x),	0<х<1,
\н'(Н = »(<) = 0	(	'
Задачи Построить функции Г)энна н написать формулы для решений
следующих крайних задач;
123
1.	t/"(z) = /(z).	0<z<l;	u'(0) = u(0),	u'(l) = -u(l).
2.	i/"(z) + //( j) = /(z). 0 < z < 1; i/'(0) = i/(0), u'( 1) = 3u( 1).
3.	z2i/"(z) + 2zu'(z) = f(r). 1 < z < 2; «'(])= 0. //(2) + 5//'(2) = 0.
4.	(3 + z2)u"(z) + 2zu'(z) = /(z). 0 < z < 1; //'(0) - //(0),	//(1) = 0
§7. Нормальная разрешимость краевых задач.
Заметим, что формула (6.21) для решения задачи (6.16) и функция
Грина (6.20) теряют смысл при = fcx. k € Z. поскольку тогда sin = 0
Вопрос. Можно ли было это предвидеть, не решая задачу (6.16)?
Ответ Да. Дело в том, что при ы1 = kir задача (6.16) имеет ненулевое
решение u0(z) при /(z) = 0 : i/n(z) = sin ,
/ (37т+^2)uo(*) = 0,	0 < z </.	(7 .
I uo(O) = uo(/) = 0.
Следовательно, оператор А = jp- + ы2 : Cq[0,/]	С[0, /] необратим!
Поэтому (левый) обратный оператор G не существует, и его интегральное
ядро G(x,y) также не существует.
Отметим, однако, что отсутствие обратного оператора к А не означает,
что задача (6.16) не имеет решения ни при какой функции /(z)!
Вопрос. При каких условиях на /(z) задача (6 16) имеет решение t/(z).
и как это решение найти?
Чтобы найти ответ на этот вопрос, сделаем отступление в линейную
алгебру. Дело в том, что аналогичный вопрос во:гннкает при решении
системы
Au - /,	(7.2)
где А --п х п матрица, а / € IR”. Система (7.2) имеет решение и = A~'f,
если det .4 / 0 . Если же det ,4	0, то система (7.2) может не иметь
решения.
Необходимое и достаточное условие на Г, при котором система (7 2)
имеет решение, это следующее условие ортогональности (см [8]):
/ X Кег.4*	(7 3)
Здесь Кег.4" -- подпространство в IR”. состоящее из решений с пря-
женной однородной системы:
h ё Кег.4* .4"Л = 0	(7.4)
Таким образом, (7 3) означает, что
</. Л) = г’_ veK/rt
(7.51
124
Докажем необходимость условия (7.3), (7.5). Если для данного вектора
/ € Ш." существует решение и системы (7.2), то для каждого вектора
h g КегЛ*
(/, А) = (Ли, А) = (и, Л’А) = (и, 0) = 0.	(7.6)
Задача. Докажите достаточность условия (7.3), (7.5) для разрешимости
системы (7.2).
В связи с видом условия (7.3) говорят, что система (7.2) является
“нормально” разрешимой.
Оказывается, для разрешимости задачи (6.16) необходимо и достаточно
условие вида (7.3)! Это мы докажем ниже.
Найдем КегЛ* для оператора задачи (6.16). Поскольку Л* = Л (см.
лемму §3 гл.II), то
КегЛ’ = КегЛ.	(7.7)
Это значит, что КегЛ* совпадает с пространством решений задачи (7.1),
т. е.
ктт
КегЛ’ = {Сsin —j—, С € IR}.	(7 8)
Ткким образом, условие ортогональности (7.6) принимает вид:
I
ктх f	ктх
(/(z),sin — ) = у /(z)sin — dx = 0.	(7.9)
о
Упражнение. Докажем необходимость условия (7.9) для разрешимости
задачи (6.16) при и> =
Решение. Аналогично (7.6), в силу (II. 3.6) имеем:
, . kxx. ,, d1	, . kxx.
(/(x),sm —) = ((—+ll>2)u(z),sin—) =
<U(X)’(;^2 +‘*'2)sin~7“)=	- °-	(710)
Упражнение.Докажем достаточность условия (7.9).
Решение. Возьмем и> —»	ио и> / Ар. Тогда задача (6.16) имеет
решение (6.21). Оказывается, во-первых, функция (6.21) при условии (7.9)
имеет предел при и> —< и, во-вторых, этот предел есть решение задачи
(6.16).
Докажем первое утверждение. По формуле (6.21)
г	I
и(х) = —:----sin^j/sincj(r - l)f(y) dy + / sincj(y - I) sin^r/(y) dy] (7 11)
cJ sin 7	J
0
125
При	подыи I<ч ральные выражения в обоих интегралах имею:
одинаковый вид: ио формулам приведения
Г sin-у Kin -(J - /) - sin-// • siit(—ы - к тг) = ( - 1 / sin -у sut-JJ.
(. sin - (// - /)  sin - j- = sin(-y - k-7t ) stn - j- — ( — I )* sin - y  sin - j
llooioMy выражение в квадратных скобках в (7.1!) принимает вид
(- 1)‘ sin-j- У siti-y/(y) dy	(7.13>
О
Но при - = — натирал (7.13) ранец нулю согласно условию ортогональное i ti
(7'•)' Таким обратом, нрн - — ~ числи гель и знамена гель выражении
(7 11) стремя 1ся к I) . и мы имеем неопределенность вида
Задача Найдите предел выражения (7.11) при - — у-. (Примените
правило .'loiiit । ал я.)
Ответ
J
и( г) = ———-— ( / [у cos - у sin - (а- - /) + sin _-у (г - /) cos -'(г - /)] х (7.1-1)
/ S111 А’ 7Г J
' Лу) dy + у"[(1/ - /) cos--(у - /)  sill -J- + sin- (у - /) • a-cos-u']/(y) dy).
Задача Докажите, что функция (7.14) является решением задачи (6.16)
(при - = и при условии (7.9)’).
Вопрос Решение задачи (6.16) при - = у- определено неоднозначно, т.
t к нему можно прибавим, (’ sin с любым коэффициентом (’. Какое
же из :>1нх решений дается формулой (7.14). чем что решение выделяется
ИЗ всех опальных’'
Ответ Формула (7 14) Дае ( решение задачи (6.16). удовлетворяющее
УСЛОВИЮ
(u(j-).siu = О
Задача Найдите условие разрешимое ги и формулу для решения задачи
(6.23) при - = '	. А = 0. 1.2... .
1)8. Соболевские функциональные пространства.
Нус it. S1 нскоюрая облаем, u !Н' . л s = 0. 1.2.
( Ъгре.и л< и не II рос 1 рапс 1 во //., (11) - nriuiii из в< е.\ <|>у- и к t hi и и) л-) t /.-_( 11)
ДЛЯ К"|орЫХ
£ /.-.ч'!.11. при р|1 < s	(S 1 :
I 26
где производные понимаются в смысле обобщенных функций
Норма Соболева ||н||л в пространстве H,(Q) определяется так:
"(j )iil,((1) = 52 /	(h'
ы<.<	|о|<>л
•Замечание. Яо(^) = £;(Q). 11 очевидно. C^"(Q) С
Определение	- замыкание C^fQ) в пространстве H,(Q) Пере
числим важнейшие свойства Соболевских пространств.
I H,(Q) полное гильбертово пространство. Далее будем нредпола! a i ь,
что Q — ограниченная область в ПС (с компактным замыканием) и гладкой
границей ЭЛ. Сформулируем важнейшие теоремы вложения Соболева
II. Я,(9) С C(Q) прн s >
III. При S| > so вложение Я,Д9) С Я,ДЯ) является компактным ото-
бражением.
Доказательства свойств I III имеются в [9-12]. Рассмотрим примеры
Соболевских пространств. Пусть n = I и Q = (0,/). где I > 0. Тогда
1.	Яо((0./)) = /.о(0,/). и. раскладывая u(r) € £Д0./) в ряд Фурье
п(т) — £2^ нь sin . имеем по равенству Бесселя
Н«11о -	(8 3)
I
2.	Пространство Я^О. /) состоит из функции и(х) G Ло(0< О, ДЛЙ которых
i	i
||н||, = y"ti2(j:)dz + У |и'(т)|2 dx < ос	(8.4)
о	о
3.	Пространство Я{’((0,/)) состоит пз функций h(j-) 6 С’[(М]. для
которых конечна норма (8.4) и, кроме того, и(0) — н(/) = 0 (Доказать!)
Задача Доказать, что аналогично (8.3) для и£ Я°((0,/))
н "Hi = д 52 iu‘iJ + ду 52 *21и*12-	5)
Указание. Сначала доказать (8.5) для и(х) е	(0./).
Следствие. Для ug Я”((0./)) норма ||u||J эквивалентна норме
'ii"iiii = 52 <"’i"i'i
127
Задача. Доказать, что для u(r) G #i((0,/)) \	((0,/)) формула (8.5)
неверна.
Задача. Доказать неравенство Фридрихса: для u(r) G Я°((0,/))
/	i
У u2(z) dz <СУ |u'(*)|2 <**,	(8.7)
о	о
где с > 0 не зависит от и.
Указание. Выразить интегралы в (8.7) через коэффициенты Фурье ut
по системе {ein^y^}.
Задача. Доказать, что ни для какой константы С > 0 неравенство (8.7)
ие может выполняться при всех и 6 Я|((0, /)).
Упражнение. Доказать, что Я°((0,/)) С С[0,/], используя конечность
нормы (8.5) и разложение u(z) в ряд Фурье.
Упражнение. Доказать компактность вложения Я°(0,1) С Яо((0,/)),
используя (8.5) и (8.3).
Задача. Пусть Q— шар |х| < 1 в IR”. При каких а € IR
Ивея,(П)? (тпИ)’ея,(П)? (in |х|)° е zz,(Q)?
§9. Разрешимость смешанной задачи для волнового уравнения
в Соболевских пространствах.
Рассмотрим задачу (6.1)-(6.3) из главы II и формулу (II.6.10) для ее
решения. Предположим, что
у>(х)еЯ?((0,/)) и ^(г)еЯо((1,/)) = £2(0,/)	(9.1)
Проверим, что формула (II.6.10) дает решение задачи (II.6.1)—(II.6.3)
при условиях (9.1).
Задача 1. Доказать, что уравнение (II.в.1) выполняется в смысле
D'ifOJ) х IR).
Задача 2. Доказать, что при Vt € IR
u(r,t) е Н° = Я,°((0,/)) и u(z,t)eH* = Но((0,1))	(9.2)
Задача 3. Доказать, что отображение t u(z,t) непрерывно из IR в
Я|°((0,/)), а <н->и(г,<) — непрерывно из IR в Я,((0,/)), причем
и(-,()-^-><^() и й(-, <)-^»^( ) при t —> 0.
128
Задача 4*. Доказать единственность решения задачи (11.6.1)(11.6.3)
в классе функций u(z,t), обладающих свойствами, сформулированными в
задачах 1-3.
Обозначим для Vt € IR через St отображение
V» •— (и(,«),«(', <))
по формуле (II.6.10). Согласно утверждению задачи 2, отображение St
переводит пространство Е =	х Яо((0, /)) в себя.
Задача 5. Доказать, что для Vt € IR отображение St : Е Е непрерывно.
Задача 6. Доказать, что построенные отображения St образуют группу:
StST=St+T, Vt.relR.
Задача 7. Доказать для построенного решения (II.6.10) закон сохранения
энергии: Н = J[|ii(z,t)|2 + |u'(z, t)|J]dx = const, t € №...
Замечание. Построенные решения (II.б.10) при предположениях (9.1)
это в точности решения с конечной энергией. Именно для обоснования
разрешимости задач типа (И.6.1)-(И.6.3) в классе решений с конечной
энергией С. Л. Соболев ввел функциональные пространства типа Н,.
ГЛАВА IV. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ И ФУНКЦИЯ
ГРИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ.
[3, с.198-202, 394-411, 423-430]; [10,с.255-259]; [14, с. 136-158, 171-175,
185-192, 208-228, 235-243, 301-310]; [16, с.329-364].
§1. Фундаментальные решения оператора Лапласа в IR".
Обобщенные функции от нескольких переменных z^-.^Zn и операции
над ними определяются аналогично случаю n = 1 (см. §2 и 3 гл. III)
Например,
0(п)(г)^(г)) = ^(О), W>€C0~(IRn);	(1.1)
для каждой обобщенной функции u(z) € //(№")
ди	дф
(^-,^(т)) = -(и,^), VVeCT(IR")	(1.2)
Обозначим
л	32 Дп — 0^2 + •  • +	а2	(13)
Обычно Д„ обозначают просто через Д.		
Упражнение. Найдем фундаментальное функцию e(z) € Z/(IR3), для которой	решение оператора Дз,	т. е.
Д3е(т) = з)(х), а	г 6 IR3	(1.4) 129
Для этого аппроксимируем £(;1)-функцню ступенчатыми функциями
аналогичными ступенькам Стеклова (3.16):
(3- при |х| < р,
О при |т| > р.
где = ^/Гр'1 - обьем шара радиуса р > 0.
Задача. Докапать, что (аналогично (III.3.17))
М1)*—"Р" р — ° + -	(,г
Решение уравнения (1.4) найдем как предел при р — 0+ решении р
уравнения
ДзМх) = Мх)> * € IR3	(17
Естественно решение этого уравнения искать в виде е^Дх) = £\,(г), г.е
г — |х|. Для этого перейдем в (1.7) к сферическим координатам.
Задача Доказать, что
r.
<7r2 + г дг ~ гдг^ ”	'
Следствие. Из уравнения (1.7) следует, что
при г > О,
(I 7
ГД<-
6(р)(г) = (тНл -ри 0<,<р.
[ 0 при Г > р.
Эю уравнение легко решается двукратным интегрированием
Е,
+ (. эГ Пр»
при г > р
Остается найти константы С’[....С4
Учтем, что из (1.9) вытекает непрерывное гь г Ег, и (г Е(.)' при р — /
Это следует из формулы (4.1)):
t п; + c'i + с?р -
п; = сА
С'з + С\р.
(1 Н
Константа С\ произвольна, поскольку очевидно к решению уравнеии
'1 7> (и (1 •!)) можио прибавить любую постоянную. Потом» положи
С.-0.
130
Тогда из (1.11) получаем, что С 2 = —	н
Выберем Ci так, чтобы Ер(0) < ос, т. е. С( = 0. Тогда (?з = — Т- и по
формулам (1.11) получаем
Е,(г) = (£-* лр" 0<Г<Л	(113)
l-ifc »Р" г>'’
Замечание. Условие Ер(0) < оо привело к тому, что ер(х) = £Д|.с|) —
бесконечно дифференцируемая функция в шаре |z| < р:
| »?+*х+*а _ А
l-ofr ПР"
при И < р,
(114)
Поэтому она удовлетворяет уравнению (1.7) не только при rg]R3\0, что
вытекает из (1.9), но и в окрестности точки х — 0, а стало быть, и при
всех х € IR3.
Задача. Доказать, что в смысле (слабой) сходимости в О'(Ш.3)
М®)
D'(R3)
1
4ф|
при р —' 04-,
(1.15)
— см. рис. 81.
Следствие Из (115) вытекает,
что
A("4^|) = 6(3)(i)’ "6IR3
(1.16)
Действительно, из (1.15) в си-
лу непрерывности оператора Д в
E>'(IR.3) (см. лемму 3.1)
дедг)^’>д(__1_
Но с другой стороны, из
(1.7) и (1.6) мы получаем также, что
Де(,(т) = 6p(x)D — \з>(-г) при р — 0 4-.
(118;
13i
Из (117) и (1.18) вытекает (1.16).
Итак, для Дз фундаментальным решением является т. н. “кулоновский"
(или “ньютоновский”) потенциал
= (119'
Отит:
е(х) = ^-1п |х|, х € R2.	(120)
2 т
Задача. Доказать, что если в (1.10) С\ £ 0, то функция £,(|х|) не
является решением уравнения (1.7).
Указание Использовать (1.16).
Задача. Найти фундаментальные решения для оператора Д2.
Задача. Найти фундаментальные решения для операторов Дп, п >
3; для Дз±Р, где к > 0.
$2. Потенциалы и их свойства.
1. Объемные потенциалы.
Зная фундаментальные решения оператора Лапласа (1.19) и (1.203).
можно находить решения неоднородного уравнения Лапласа в Rn прн п = 2
и п = 3. Например, решением уравнения
Д2и(х) = /(х), xgR2	(2.1)
является функция
«(«) =	У In к - У |/(У) dV>	(2 2)
R’
если /(х) € C(R2), /(х) = 0 при |х| > const. Аналогично, решением
уравнения
Дзи(х) = /(х), X е R3	(2.3)
является функция
= (24)
R’
Замечание 2.1. Интегралы вида (2.4) называют куломовскамк (или мью-
токовсккмк) о^ъежкыжа потенциалами. Дело в том, что в электростатике
интеграл (2.4) с точностью до множителя (зависящего от выбора единиц) и
знака является потенциалом электрического поля объемного распределения
зарядов с плотностью /(х). Уравнение (2.3) для электростатического по-
тенциала называется уравнением Пуассона. Оно принимает вид (2.1) в том
132
частном случае, когда плотность зарядов /(х) не зависит от одной коорди-
наты хз. Например, уравнению (2.1) удовлетворяет потенциал равномерно
заряженного прямого бесконечного провода.
Из сказанного следует, что фундаментальное решение	из (1.19)
есть потенциал точечного заряда +1 в точке 0, поскольку для него /(х) = 6(х).
Упражнение. Вычислим потенциал равномерного распределения зарядов
с плотностью р в шаровом слое Я1 < |х| < Яд.
Решение. Искомый потенциал можно преобразовать к виду
я3
Rt<|y|<R3	Я,
Здесь ur(x)— потенциал вида (2.12), находится по формуле (2.14) (см.
ниже):
1 Г pdS(y) u,r~~4r ]	= 1»1=Г Рассмотрим три случая: я, 1) 1*1 <Я1=>- и(х) = У(-pr)dr = Ri kl 2)«! < |x| < Яз => u(x) = J(-f- ~ |*| 3	3 ’ я3 3)1*1 > Я3 ==> u(x) = [ (-~)dr J 1*1 Я! График потенциала (2.5) изображен иа рис. 82. Замечание 2.2. При |z| > R? потенциал (2.9) равен кулоновскому потенциалу точечного заряда вели- чины, равной заряду всего шарового	( —ОТ, III < г, и>”.	(26) = -р(у-у);	(27) 2 -7)^’4- [(-pr)dr = *1	J (2..) = _Л(^1_^1)	(2 9) |х|( 3	3 ''	1 и _ _ О 1				 1
слоя;
Рас. 82
133
2 Поверхностные потенциалы
А. Потенциал простого слоя - это потенциал поверхностного распре-
деления зарядов:
“(•г) = -7- [ 7—^~7^(y)dS{y).	(2.11)
4» J - 1/1
5
Здесь S- гладкая компактная поверхность в IR3, <r(t/) поверхностная
плотность зарядов.
Упражнение. Вычислим потенциал равномерного распределения зарядов
на сфере |z| = R с плотностью <т.
Решение: , . _ 1 [ <rdS _ U 1	4т J |r - j/| |»|=Я	г 2< 1 f Г	<rR2 sinQdOd^ 4Т 0 0 'fR-+ И"* -2ft|z|cos0
Здесь в, у? — сферические координаты	/6\ точки j/, отсчитываемые от вектора / х х :	— долгота, О— шпрота. Но \ч>-о[ теореме косинусов	\ 1 |г - у\~ = |г|2 + |j/|2 - 2|z|  11/1  COS0 =	/ — |r|" + R2 — 2|z|ftcos0. Интеграл (2 12) легко вычисляется:	/х Рис. 83
2/?| Z I cos
aR2 [	-dt	_ 2 / /R2 + И2 - 2/ф-|/ = - ^(7/?2 + И3 + 2ЯИ- = -^(Ф + И|-|/?-И|) = J ’	аФ. у//?- + И2-27ф|< 2 2	-2/ф| у//?2 4- |т|2 - 2Я|г|) = -^((Я+И-(Я-И)). R>|z|. -^((«+|г| + Л-|х|)). /?<|т|. (2.1.31
1.31
Ответ : (с.м. график на рис. 84)
-ст/?, ,
оН
Отметим, что
циал (2.14) совпадает с кулоновским
потенциалом uq точечного заряда ве-
личины Q = 4тг R'tr. равной заряду сферы:
1 Q - 1 4kR~<t
= -
(2.14)
при |г| > R потен-
Рис. 84
2|z|
<rR
ад'
(2 15)
Замечание 2.3. Потенциал простого слоя (2.14) непрерывен на сфере
|т| — R. а его производная по нормали разрывна, причем
()и
дп
ди
И = Я+0 &п
<т/?2
г| = Я-0
= <т.
И = Я
(2.1С)
Кроме того, из (2.14) легко видеть, что
Ди(г) — 0 при |г| R.	(2.17)
Оказывается, что эти свойства поверхностного потенциала являются
общими для интегралов вида (2.11).
Свойства потенциала простого слоя:
1)	если <т(у) — непрерывная функция, то и u(z) —непрерывная функция
при всех х € IR3, в том числе при х 6 S;
2)	если <т(</) непрерывно дифференцируема, то (п — направление нормали
к S в точке х g .8')
д и	ди
-(x + 0n)--(z-0n) = <r(J;);
3)	при х S потенциал — гармоническая функция:
Дзи(г) — 0 при х € IR3 \ S
(2.18)
(2.19)
Б. Потенциал двойного с.юл это
потенциал поверхностного распреде-
ления duno.it и. Сначала вычислим
потенциал одно, о диполя. Диполем
в электростатике называется пара
точечных зарядов (di-pole) величи-
ны + И —е из "бесконечно малом"
расстоянии с Друг от друга
1
Величина р (вектор рё, см. рис. 85) называется моментом диполя .
Потенциал диполя равен
1	Е
и(г) - lim(—— (-£—: + j---5---=)) -
'	с—о 4т'|х —хо| |х — хо — сё]
Р 1/	1	1 х
=-----hm - ( -------;---------) —
4т«—ое |х- х0 — её] |х-х0|
р d	1	р 1	,-----
—-----—	;--------- =----------ч cos(x — х0. е)
4r<i£ «=о11-Хо-Е«1 4т |х- ХО|2
(2.20)
Итак,
и(1) = “Г’|-----------------i—jcoe(x-x0,e).	(2.21)
4т|х-х0|
Знак выражения (2.20) устанавли-
вается рассмотрением случая, когда
направления векторов х — хц и ё со-
впадают.
Теперь найдем потенциал двой-
ного слоя иа поверхности S в И.3 с
плотностью диполей р(у) и с момен-
тами, направленными по нормали пу
к поверхности в каждой точке у € S:
f Р(у) есв,(х - y,nv)dS(y)
4т/ к - »12
Замечание 2.4. Потенциал (2.22)
можно представить как производ-
ную по е при е — 0 потенциала
простого слоя иа поверхности St с
плотностью р(х)  Здесь S,—
поверхность 5, “сдвинутая” иа е
вдоль поля нормалей (см. рис. 87).
Упражнение. Вычислим потенциал двойного слоя иа сфере с постоянной
плотностью р.
Решение. Рассмотрим потенциал простого слоя иа сферах радиусов
R + е и R с плотностью и —соответственно (рис. 88).
Плотность рс найдем из того соображения, что суммарный заряд сфер
равен нулю:
136
у-4т(Я + с)2 - ^4тЯ2 = О, (2.23)
юскольку в каждом диполе сумма
нарядов равна нулю!
Отсюда
р2
(2 и>
Рис. 88
Пользуясь формулой (2.14), получаем искомый потенциал двойного слоя:
[-^(Я + £) + ?Я,
«(*) * )	р.(н+«)3 , рЯ3
~г ----------1- Ttjr-
|х| < R,
|х| > R + е.
(2.25)
При £ —♦ 0 получаем точную формулу
	d	(R + e)p,, |x| < R,
u(z) = <	1	1=0	(2.26) £ Р,(Я + £)2, |z| > R. »=0
Ответ. :
/ \ Г Р» 1^1 < R*	/ г. ,,7,
U(l)=to, |z| > Я.	(2-27)
Свойства потенциала двойного слоя:
1) двойной потенциал вида (2.22) — разрывная функция в точках
поверхности S:
и(х + 0 • nr) — и(х — 0 • пг) = —р(х), х €. S	(2.28)
(если функция и(х) дифференцируема в точке z);
2) вне поверхности S потенциал u(z) — гармоническая функция:
Д3и(х) = 0, при х € К3 \ S.	(2.29)
Пример. Потенциал (2.27) подтверждает (2.28), (2.29).
$3. Вычисление потенциалов при помощи формулы
Остроградского-Гаусса.
Поскольку Au = div grad и, то уравнение Пуассона (2.3) можно записать
в виде
div grad u(x) = /(z).	(3.1)
137
Ии гегрируя эго равенство по произвольной облает Я С 1R3. получ.т
по н'ором, OcTpoi ра.текого- Гаусса
J grad u(j-) • nrd.S'(x) = j div grad t<(x) dx = j	(3 .
an	n	n
В электростатике gradt<(x) = Е(г) (с точностью до знака) есть векиj
напряженности электрического поля в точке х. a Q(Q) = / f(x)dx - зари
п
области Q Поэтому (3.2) можно записать в виде
У E(z) nTdS(x) = Q(Q).	(3:5,
ап
Э1о тождество верно для каждой области О С IR3.
Вычислим потенциал (2.12) методом Остроградского-Гаусса. Плотное и
зарядов в (2.12) сферически симметрична, поэтому потенциал и(г) такж.
обладает этим свойством. Следовательно.
“(*••) = “1(И)	(3 1
Поэтому поле Е(х) — grad u(x) - радиальное:
Е(г) = -^-u'i(|r|).	(3.5:
I1!
Применяя к этому полю тождество (3.3) для шара {|т| < г) — Q
получаем'
|вд| = {",№/£>«	<«•
Поскольку |£(х)| — |к'|(|х|)| согласно (3.5), то нз (3.6) получаем
,, , , з / 0, г < R,
U‘(r) 4ТГ = \^R^. r>R	(3н
Отсюда
f 0. г < R.
"ЛИ = 1	, > R	(3>1
Интегрируя, получаем
J" Ci. г < R.
«Д’’) = | _як	w	(3 
Задача Получите нз (3 9) формулу (2 I I).
I3S
Указание Константы ( 'i п	определяю ich из условия непрерывное i и
ри г = R и равенства
lim u(j) = U.	(3 III)
второе очевидно вытекает ио (2.12).
Задача При помощи метода Осгроградскспо-Гаусса вычислите потенциал
2.5)
§4. Решение краевых задач для уравнения Лапласа
в трехмерных областях. Построение функций
Грина методом отражений.
Задача Дирихле с нулевыми условиями иа границе решается методом
1ечетиого отражения, а задача Неймана — методом четного отражения
Это аналогично ситуации для волнового уравнения Даламбера (см. гл. I).
1.	Решение задачи Дирихле в полупространстве IR3 = {т € К3 . т3 > 0}
Ази(т) =	•Г2.*з), z3 > О,
ufrj.Tj.O) — О, —СЮ < Z1. -Г2 < +'Х'. и(-) — 0.	(4.1)
|г|—Ои
3	т “ з
Здесь f(z) заданная функция в 1Н+. /(т) е C(lR+)./(r) = о при
|т1 > const.
Найдем функцию Грина G(z,y) для задачи (4.1). Ио определению (ср
(III.6.2)), G есть ре пение задачи
6>rG(x.y) = <‘>(2.- - у). £з > 0:	,
G((ti. £2, 0), у) = 0: G(z, у) — 0 • при|д|—х.
-ладкое при т у.
Здесь у произвольная фиксированная точка по IR3. Обозначим черт;*
у = (У1 У'2-~Уз) точку, симметричную у относительно границы ж3 = I)
полупространства
Тогда решением задачи (4.2) является функция
х	1	1	1	1
G(x,y) = ~ — ।1 + — j--------ст-	(4,.i
4т |x —	4t|x-j/|
Согласно (1.16), ArG(x, y) = 6(z - у) - 6(z - у). Отсюда вытекает nepв*-
уравнение (4.2), поскольку
6(х — у) = 0 при хз > 0.
(4.4,
Действительно, 6(х — у) — распределение, сосредоточенное в твчке у
нижнего полупространства!
Проверим краевое условие в (4.2): если хз = 0, то расстояния |х — у
и |(х — у)| равны, как видно из рис. 89. Поэтому из (4.3) видно, чю
G(x,y) = 0. Наконец, очевидно, G(x,y) —> 0.
1*1—00
Решение (обобщенное) краевой задачи (4.1) дается интегралом
и(х)=У G(x,y)f(y)dy = -
«1
/ (i^i ’ irbiw,)dy
Ю>0
(4.5)
Действительна, формально
> - у)/(у)^у = /(*)•
(4.6)
Краевое условие проверяется просто:
и
f(y)dy = 0 и u(z) —- 0.
(4.7)
2.	Электростатическая интерпретация задач (4.1), (4.2). Метод отражен-
ных зарядов.
В электростатике решение и(х) краевой задачи (4.1) с точностью де
знака и множителя, зависящего от выбора единиц, есть потенциал электро
статического поля зарядов с плотностью /(х) в верхнем полупространстве
R3, расположенных над проводящей поверхностью х3 = 0 (например, земной
поверхностью или плоской крышей, сделанной из жести). Электростатиче-
ский смысл функции Гфииа G(x,y) из (4.2)— это потенциал поля точечного
заряда +1, находящегося в точке у над проводящей плоскостью х3 = 0. Поле
точечного источника перераспределяет заряды в плоскости хз = 0:
140
отрицательные притягивает, а положительные отталкивает (и они уходят
в бесконечность):
Рис. 90
При этом, как известно, силовые (интегральные) кривые поля Е(х) =
gradu(z) (см. рис. 90) ортогональны к поверхности проводника (Земли),
так как иначе свободные заряды в проводнике пришли бы в движение
вдоль поверхности. Отсюда следует, что поверхность проводника является
поверхностью уровня потенциала и(х)— эквипотенциальной поверхностью,
I как говорят в электростатике.
Исходя из этого свойства сило-
вых линий поля Е(г). его и можно
найти. Для этого нужно вспомнить
рисунок силовых линий поля двух то-
чечных разноименных зарядов оди-
наковой величины (см. рис. 91). Ио
симметрии силовых линий относи-
тельно плоскости симметрии зарядов
следует, что силовые линии перпен-
дикулярны этой плоскости Поэто-
му поле над плоскостью симметрии
совпадает с искомым. Отсюда и
получается формула (4 3).
Рис. 91
3.	Задача Дирихле в четверти пространства
Рис. 92
Четверть пространства fR'
— это двугранный угол величиной
90° (см. рис. 92). Пусть /(г)
C(IR^+), f(x) = 0 при х > coil-
Рассмотрим задачу Дирихле в IR|_
К
Au(xi, x?, x3) = /(«i, i2, хз), i| > 0, i2 > 0, хз 6 IR;
u = 0;
*,=0
*3=0
u(x) —> 0 при |r| —♦ oo.
(4.8,
Функция Грина G(x,y) задачи (4.8) по определению, есть решение
краевой задачи
AzG(x,y) = 6(х - у), reIR++;
G — 0, G =0; G(x,y) —♦О при
*1=0	*з=0
|z| —• оо.
(4.9)
Здесь параметр у 6 П<++
Такая функция Гфина также находится методом (нечетных) отражений
(Рис 93).
Пусть у — (1/|, —у?,уз) — отражение точки у в плоскости х2 = 0, у =
(~У1,У2,Уз) — в плоскости £, = 0, а у = (-j/i , -у3, уз) — композиция этих
отражений. Поместим в точки у и у заряды +1, а в у и в у — заряды
— 1. Тогда их электростатическое поле имеет потенциал
4т |г - 1/| + 4т |г - у| + 4т \х - у| 4т |z - у| (410>
Проверим, что эта функция действительно удовлетворяет уравнениям
(4.9). Во-первых, при х 6 IR++
A*G(x> у) = &(х - у) - Ь(х — у) — 6(х - у) + 6(х - у) = 6(х - у),	(4.11)
поскольку Ь(х-у), 6(х — у) и 6(х - у) равны нулю при х € IR4.4.! Поэтому
первое уравнение в (4.9) выполняется.
Далее, проверим краевые условия из (4.9): а) при xt = 0 точка х
равноудалена от у и у, а также от у и у (см. рис. 93). Поэтому в правой
части (4.10) первое слагаемое взаимно уничтожается с третьим, а второе
— с четвертым; б) при = 0 точка х равноудалена от у и у. а также от й
142
и у (см. рис. 93). Поэтому в правой части (4.10) первое слагаемое взаимно
уничтожается со вторым, а третье — с четвертым. Очевидно так*е, чю
G(x,y) —»0 при |х| — ос.
Таким образом, краевые условия в (4.9) также выполняются
Следовательно, G(x, у) из (4.10) является функцией Грина задачи Дирихле
(4.8). Поэтому решение последней можно записать в виде
u(r)= J G(x,y)f(y)dy =
R++
Задача. Найдите функцию Грииа и напишите формулу для решения
краевой задачи в четверти пространства (при тех же условиях на /(х), чю
в (4.8»:
Au(t) = /(l),	X] >0, Х2 > 0,	-ОС' < Хз <
u ~ О’ = 0’ и(х) 0 ПРИ W —* °0-
(I 13)
Указание. По переменной Х] следует применить метод нечетного oipa-
ження, а по xj— четного отражения.
Задача. Найдите функцию Грина и напишите формулу для реннпня
задачи Дирихле в следующих областях:
1)	в двугранном угле раствора о = н = 3,4,5,... (для н = 1,2 эю
сделано выше);
2)	в октанте трехмерного пространства: X] > 0, х-> > 0. хз > 0;
3)	в слое: 0 < хз < а, —ос < хь х3 < +ос (исследуйте сходимость
полученного ряда);
4)в “половине" слоя. 0 < х3 < а, — ос < X! < ос. х-_> > 0;
5)	в “четверти’’ слоя: 0 < х3 < а, х, > 0, х3 > 0.
Замечание 4.1. В предыдущей задаче можно вместо условия Дирихле
н|г — 0 на различных участках границы рассмотреть условие Неймана
— 0, как в задаче (4.13). Для решения таких задач нужно применять
метод четного отражения в этих участках границ.
Задача Найти функцию Грина задачи Дирихле в следующих областях:
1)	в шаре |х| < ПГ. Указание: искать ее в виде суммы фундамен-
тального решения —	и потенциала "отраженного" заряда — .т
некоторой величины q > 0. находящегося в точке у", "симметричной" точке
у относительно сферы:
I 13
2)	в полушаре |т| < R, тд > 0. .'казанке: применить метод нечетно!'
отражения в плоскости т.з и свести задачу к шару.
3)	в четверти шара |z| < R. -г? >0, Лз > 0.
$5. Решение краевых задач методом функции Гарина
в двумерных областях. Применение конформных
преобразований.
1 Задача Дирихле в полуплоскости IR}. = {т € IR" : т2 > 0}.
' Ди(Т|,Т2) - f(xi,r2),
и = О,
т3 = 0
u(z) — О
Х2 > о, -ОС' < Т! < оо;
при 1X1 — 30,
(5.1)
где f(x) € C(IRq.), f(x) = 0 при |r| > const.	(5.1')
Функция Грина G(r,y) этой задачи удовлетворяет уравнениям
ArG(i, у) - б(г - у), г € П1:
G
= 0, G(z,y)—»0 при |г| ос,
(5.2)
где у 6 IR? . Находится эта функция методом нечетного отражения, подобно
(1.3), исходя из фундаментального решения (1.20) оператора Лапласа на
плоскости:
G(z.y)= —(1и|т-у|-1и|т-у|). где у = (У1,-у2).	(5.3)
Поэтому решение задачи (5.1) имеет вид
и(т) = / G(x,y)f(y)dy = — / In-----тт/(у)</у
J	2* J к - у|
К+
(5.1)
144
2 Функция Грина для двумерных областей.
В отличие от трехмерных краевых задач функцию Грина для mhoiiix
двумерных одиосвязных областей можно найти при помощи конформных
отображений. Это связано стем. что функция Грина G'(r.y) являй н я
гармонической по х при х / у, а конформные отображения переводя i
гармонические функции снова в гармонические.
Проиллюстрируем связь функций Грина с конформными отображениями
на частном примере краевой задачи (5.1). Для этого преобразуем формулу
(5.3) к виду
1 , 1
R| '•“> = Й ln<iT^) = й
х ~ У
1 ~ У
•Замечание 5.1. Последнее равенство в (5.5) справедливо при условии,
что TTj понимается как деление комплексных чисел:
X - у _	+ 1X2 - У1 - iy,
X - у Т! + ix-г - У! + 1у2
При этом у = У\ — ij/2 оказывается комплексно-сопряженным числом к у.
Отметим, что
1) при каждом фиксированном у g IR^ отображение
г г - Фу(х) =----------
х - У
переводит конформно верхнюю полуплоскость г_> > 0 в едшш'ин.ш кр\;
2) точка у при отображении (5.7) переходи 1 в 0:
у^ФУ(у) = 0.
Рис. У.5
Теперь рассмотрим общий случай задачи Дирихле в плоской односвязной
области Я С IR2 с кусочно-гладкой границей 5Я, содержащей не менее двух
точек:
' Ди(г) = /(г), х е Я;
‘ u = Ou(z) — 0 |и(т)| —< ос, х € Я.	(-> 9)
где /(г) 6 С(Я), f(x) = 0	> const(y).
Функция Г^>ина этой задачи по определению удовлетворяет условиям
Дг(7(г,у) = 6(х - у), хе Я;
u =0G(r,y) —0 |u(r)| —> ос, г € Я.
(5.10)
Здесь у— параметр, у е Я. Известно из ТФКП (теорема Римана,' сМ. [16J).
что для любой одно с вяз нон области Я С К2 с границей с)Я, содержащей
не менее двух точек, существует конформное отображение Яна единичнйй
круг. При этом любая наперед заданная точка у может быть переведена в
нуль. Пусть Фу(х) такое отображение (см. рис. 96).
Рис. 96
Оказывается [8], функция Г^ина (5.10) имеет вид (5.5):
G(x,y) = Л1п|Ф»(х)|.	(5.11)
Отсюда получаем решение задачи Дирихле (5.9):
“(г) =	^п\Фу(х)\/(у)<1у.	(5.12)
п
Задача Проверьте, ч го функция (5 11) является решением задачи (5.10)
Указания .
а)1н |Фу(л-)| - Ke 1иФу(л-)	гармоническая функция при 4>v(z) / 0. г е
при х / у:
146
б)1п|Ф!/(х)| при x = у допускает разложение
In |Ф!/(х)| = In lx - у| + ()(1). X — у.
(5.13)
в) примените теорему об устранимой особенности для доказательства
того, что 0(1) в (5.13) — гармоническая при х = у функция;
г)
краевое условие
очевидно, поскольку
г€$П
|Фу(х) I = 1
Упражнение. Найдем функцию Г(>ина и формулу для общего решения
задачи Дирихле в полосе Q (для /(г) 6 С(П), /(х) = 0 при |х| > const):
Ди(х) = /(х),
и =0,
ха=0,а
О < «г < а, —оо < X] < оо;
ц(х) —► 0 при |х| — оо.
(5.14)
Решение. Конформно отобразим полосу иа круг (см. рис. 97).
Рис. 97
= О
При этом точку у переведем в нуль: w = е • ,
(5.15)
Теперь по формуле (5.11)
G(x,y) = 1п
(5.16)
и по формуле (5.12) решение задачи (5.14) имеет вид

•К» л
-ос О
€ •
— е •
f(y)dy?<iyi-
— е
(5-17)
147
Отметим, что
е • (cos —z-> + i sin —т->).
а	л
(5 18)
Задача Найдите функцию Грина и
напишите формулу для решения задачи
Дирихле в следующих областях:
1)	угол величины а (см. рис. 98);
2)	круг: |r| < 1 (получается клас-
сическая формула Пуассона);
3)полукруг: |r| < 1, г? > О
(примените метод нечетного отра-
жения по г-> для сведения к задаче
4)	сектор круга: |х| <1, 0 <
argx < о(см. рис. 99).
Замечание 5.2.
можно, оказывается
Зная функцию Грина задачи Дирихле в области Q.
решать однородные уравнения Д«(х) = 0 в S2 при
неоднородных краевых условиях и = /(х): если <99 класса С~ и / € С2(сД7).
ап
io (подробности см. в [3. с.429]; [10.С.48]):
и(т)
дб'(-г.у)

| де	оператор дифференцирования вдоль внешней нормали к границе
в точке у £ 311 Это справедливо для области Q любой размерности:
<> С IR’. Q С №3 в т д.
Упражнение Найдем формулу для решения задачи Дирихле в полуплос-
КОС 1 и
ДМ-'-Ь-’-з) = 0.	> 0; и(г,.0) = /(л); М-г) ---- 0.
И—
где	‘(IR).	/(Х|) = 0 при const.
Решение фкнкцпя Грина для полк плоское 1 и пмеед вид (5.3):
- — III 11. J-. — »/г) - (J з - .Г ) -	((J':	* (J-J - Уз ))
1 I
Учитывая, что внешняя нормаль к полуплоскости г > > 0 есть вектор
(О,-1),получаем:
ЭСЦх.у)
дпу
= -(-£-G(r,y))
so=0 дУ?
v.=o
Ответ
1	2l2	1	'^2
4т (*1 - У1 )2 + *2	4,Г(*1 - У1)2 + г2
1	•Г'2
* (Il ~ У|)2 +*2
"Сб.*’) -
(*1 - J/1)2 + *2
§6. Обобщенные решения гиперболических уравнений.
Напомним (см.
Даламбера
§2 гл. I). что общее решение однородного уравнения
d7u(r,t) 302u(x,/)
dt7 ~ °' дх7
(6.1)
имеет вид (П.2.3):
u(j-.l) - f(jt - (it) + g(x + at).
(6.2)
Если функции /(j) и y(x) дважды непрерывно дифференцируемы, то
u(x.t) пп (6.2) также обладает этим свойством. Если же f(j-) пли </(z)
разрывные функции, то u(r,t) также будет разрывной. Покажем, что в
этом случае u(x,t) из (6.2) также будет решением уравнения (6.1), если
Только производные в обеих частях (6.1) понимать в смысле обобщенных
функции (см замечание 2.1 гл. I). Это значит, что
д7и	д7и	.,
= «(tj-7,v?(^J)), Vyr £ < о (1R-).	(6.3)
(И“	их*
Чтобы доказать тождество (6.3), напомним, чю по определению обоб-
щенных производных
(6 Г|
Долгому тождество (6.3) зквпва.кчгию
или
) = 0.
(6 5)
к; <; 
о
1 19
В координатах £ = х — at, т) = х + at тождество (6.6) запишется в виде
(см. (I. 2.8))
+°°
/ f u^’’^^f^d^d,,~ 0	(6-7)
J J
Разложение (6.2) означает, что
«(С ’?) = /«) + g(j)Y
Подставляя (6.8) в (6.7), получаем
+©о +ос	+©о +ос
//(<)( / ^dr№+ J9М( J ik®dit=0
(6.8)
(6.9)
Но это тождество очевидно, поскольку
d£drj дт)
J д^дг^ d£^,rt)
(6.10)
в силу финитности ^(С*?)- Таким образом, равенство (6.3) доказано.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Классификации линейных уравнений в частных производных второго порядка.
1.	Уравнения с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение в IR" вида
• 4=1
Приведем его к каноническому виду, в котором а,у = 0 при « / j. Для
этого рассмотрим линейную замену переменных
»1 = Сп-П + ... + cinx„,
(2)
Уп —	+ ..._f_Cnn2'n,
или в векторном виде
y-C’z.	(3)
150
^- + Ё0-£ + аои^ = 0-	av=*><-	(*)
’ J в
В координатах ук имеем = Е*=1	и так же
5^57 = Et,<=i	Подставляя в (1), получаем
V—>	с)2 и
,5,,a°Ct<c'Jw^+ =0,	(4)
где многоточием обозначены члены, содержащие младшие производные
функции и. Можно записать (4) в внде
Ё»нЛ- + - =»	W
47^1 дУЬ°У'
где	•
- • .	ij
В матричной форме fr = СвС*, где а есть матрица (ву), а С* — транс-
понированная матрица к С. Эта формула напоминает закон преобразования
матрицы квадратичной формы
(«со =Ё аосс	(о
ij=i
А именно, если сделать замену
£ = dr), d = (dij)i,j=i(7)
то получим, если взять d’ — С, что
(“СО = (adi).di)) = (<Гadrj.rj) - (CaC’i),rf) = (67,7).
Таким образом, если замена (7) приводит квадратичную форму к главным
осям (такая замена существует, как известно из линейной алгебры) (а£,£) =
то замена (3) с матрицей С = d" приводит дифференциальное
уравнение (1) к виду (5) с той же диагональной матрицей Ь:
А д2и
+ ..._0. (8)
При этом возможны следующие варианты:
I det а / 0. Тогда уравнение(1) называется невырожденным, п все Ьк в
(8) можно сделать равными ±1. Если
151
a)	nee fcj. одного знака (все +1 или все -1), ю уравнение (К) имеет вид
+ . . . + ^-7 + . . = 0 и называется эллиптическим. Пример уравнение
Лапласа (1> 22);
б)	все 6 одного знака, кроме одного, то (8) принимает вид
д-и	д~ и
+ • • + —й—
дУ1	()Уп-1
д'и
ё>У'
(9)
+ .. . = О
н называется гиперболическим. Пример — волновое уравнение (1.7.1);
в) некоторые /ц. (более одного) положительны, а остальные (также
более одною) -- отрицательны, то (8) имеет вид
д- и	д~ и	д~«	д~ и
трг + трг   - тр----+ ... = ()
"У!	с>У':	"Уй-i	f,y;t
и называется ультра! пнерболическим. Это возможно при п > 1.
11.det а = 0. Тогда уравнение (1) называется вырожденным, или па-
раболическим в широком смысле. Пример уравнение теплопроводности
(1.8.16).
Упражнение Найдем канонический вид и замену переменных (2) для
уравнения
д' и ди	д ' и
трг+1—р-------3—,=().	(10)
от;	dJ'idr-j	<7т.-(
Решение. Составляем форму (6) н приводим ее к i данным осям.
е + 46 G - ЗЙ = (f, +2(2)2- 1^-3^ = 7?-^-3^.	(11)
Таким образом, тип уравнения (10) гиперболический, как в (9К
Замена (7). 1 очное, обратная к ней, пмее! вид
Й1 =6 +‘26-
'12 = 26.	(I2i
'1.4 = 6
Ч ! обы Ирнвес I И ЭТИ СОо I 11ОП1СНПЯ к виду ( 7 ). нужно обратит Ь у равнения
(12)
!6 - '/.!•
б = 'Л - 26 = ')! -
Окюда получаем матрицу Ф
/1 -1 0\
d - 0 I 0
\ 0 б I /
152
п, следовательно.
/ 1	0	0\
С = <Г = I -1 k О
\ о 6 1/
Таким образом, замена (2) имеет вид
Уг =
У2 =
Уз = *з
Канонический вид уравнения (10), в соответствии с (11), такой:
d2u	д2и сРи _
<?У?	^У?	' ^Уз
Задача Найдите канонический вид и замены переменных (2) тля
уравнений
<?2и д2и д2и
—-----+----------р--------о
dlldx?	OxoOxj	dx3dxi
— - д2" + fi—^2ц - о
дх2 дху.дх.
2.Уравнения с переменными коэффициентами.
Теперь пусть в (1). коэффициенты переменные:
+ - =0
IJ = 1	J
Тогда для каждого фиксированного i-g € ВТ1 можно рассмотреть уравнение
с "замороженными” а точке Тд постоянными коэффициентами
д2и(х)
V	,, ' + •  - 0.
,7^i	dxidx.j
Гни этою уравнения называется типом уравнения (13) в точке j-i>.
Пример - уравнение Трнкомп
- эллиптическое в полуплоскости у > 0,гиперболическое в полуплоскости
у < 0 и вырожденное на прямой у = 0.
153
Список использованной литературы.
1.	Берс Л., Джои Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными.
М.: Мир, 1966. 351 с.
2.	Будак Б.М.,Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по матема-
тической физике. М.: Наука, 1980. 686 с.
3.	* Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.
512 с.
4.	Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.:
Наука, 1982. 318 с.
5.	Владимиров В.С. и др.Сборник задач по уравнениям математической
физики. М.: Наука, 1982. 256 с.
6.	Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними.
М.: Физматгиз, 1958.. 470 с.
7.	Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных
физики. М.: Изд-во иностр.лит., И50. 470 с.
8.	Курант Р., Гйльберт Д. Методы математической физики: в 2-х т. М.:
Гостехиздат, 1951. T.I.
9*. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.
М.:Наука, 1983. 424 с.
10*. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными. 4.1.
М.; Изд-во Моск.ун-та, 1976. ПО с.
11*. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.:
Физматгиз, 1961. 400 с.
12*. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 443
с.
13*. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. М.: Наука.
1975. 127 с.
14*. Тихонов А.Н., Самарским А.А. Уравнения математической физики. М.:
Наука, 1977. 735 с.
15*. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.:
Наука. 1979. 128 с.
16.	Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М :Наука,1985. 207с.
17.	Шварц Л. Математические методы для математических наук. М.: Мир.
1965. 412 с.
18.	Ш илов Г.Е Математический анализ: Второй специальный курс. М.:
Изд-во Моск.ун-та. 1984. 207 с.
* Рекомендуемая лнтера|ура помечена звездочками
151
Оглавление
Предисловие.	.3
Глава I. Гиперболические уравнения.	Метод характеристик.	4
Глава II. Метод Фурье.	67
Глава III. Обобщенные функции от одной переменной.Метод
функции Г^нна	для	краевых	задач	на отрезке.	105
Глава IV. Фундаментальные решения и функция Гфииа для
уравнений	с	частными	производными.	129
Приложение.	150
Литература.	154