Текст
                    А. В. БИЦАДЗЕ
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
механико-математических
и физических специальностей вузов
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ОД
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982


Ш1 Ввв УДК 617 Бицадзе А. В. Уравнения математической физики: Учебник.— 2-е изд., перераб. и дополненное. — М.: Наука, Главная редакция фи- физико-математической литературы, 1982 — 336 с. В предлагаемом новом издании наряду с традиционными раз- разделами теории линейных уравнений в частных производных, изло- изложенными в первом издании, внимание уделено вопросам локальной разрешимости классических задач для некоторых классов нелинейных уравнений в частных производных и построению точных решений в отдельных частных случаях нелинейных уравнений и систем. Книга рассчитана на студентов вузов, преподавателей и спе- специалистов научно-технического профиля, интересующихся математи- математическим моделированием и численным экспериментом. Андрей Васильевич Бицадзе УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Редактор В. В. Абгарян Технический редактор Л. В. Лихачева. Корректор Н. Б. Румянцева ИБ М 11791 Сдано в набор 03.03.82. Подписано к печати 03.09.82. Формат 84x1087». Бума- Бумага тип. J* 2. Литературная гарнитура. Высокая печатб. Условн. печ. л. 17.64. Уч.-изд. л. 16,75. Тираж 14 000экз. Заказ 337. Цена 80 коп. Издательство «Наука» Главная редакпия физико-математической литературы 117071, Москва, В-71. Ленинский проспект, 15 Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ле- Ленинградское производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136. Ленин- Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15. Отпечатано в тип. № 2 изд-ва «Наука», Москва, Шубинский, 10, 3«к«з J» М89 © Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1976 С Издательство «Наука». ._.»».nnnn .„» Главная редакция 1702050000—132 „, „„ физико-математической Б п.п/пт п- 71-83 литературы, 1982. 053@2)-82 С шменеииянн.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию 10 Введение 11 § 1, Вводные понятия и определения 11 1°, Понятия дифференциального уравнения с частными производными и его решения 11 2°. Понятие характеристической формы и классификация линейных уравнений второго порядка 13 3°. Классификация уравнений высшего порядка 15 4°. Системы уравнений с частными производными 16 § 2. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя неза- независимыми переменными 17 1°. Характеристические кривые и характеристические на- направления 17 2°. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными 19 § 3, Простейшие примеры трех основных типов уравнений с частными производными второго порядка 22 1°. Уравнение Лапласа 22 2°, Волновое уравнение 25 3°. Уравнение теплопроводности 28 4°, Постановка некоторых задач для уравнений с частными производными 29 § 4. Понятие интегрального уравнения 30 1°. Основные определения и обозначения 30 2°. Классификация линейных интегральных уравнений . . 31 $ 5. Упрощенные математические модели некоторых явлений, изучаемых в физике и технике 33 1°. Электростатическое поле 33 2°, Колебания мембраны 35 3е. Распространение тепла . ., 37 4°. Движение материальной точки под действием силы тяжести 39 Глава I Уравнения эллиптического типа 41 $ 1. Основные свойства гармонических функций 41 Iе. Определение гармонической функции и некоторые ее элементарные свойства 41 9*. Интегральное представление гармонических функций 44
ОГЛАВЛЕНИЕ 3°. Формулы о среднем арифметическом 45 4°. Принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле 46 § 2. Понятие функции Грива и решение задачи Дирихле для шара и полупространства 47 1°. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лап- Лапласа 47 2°. Решение задачи Дирихле для шара. Формула Пуассона 49 3°. Проверка краевых условий 52 4°. Решение задачи Дирихле для полупространства .... 53 5°. Некоторые важнейшие следствия, вытекающие из фор- формулы Пуассона. Теоремы Лиувилля и Гарнака .... 54 § 3. Потенциал объемных масс 57 1°. Непрерывность потенциала объемных масс и его произ- производных первого порядка 57 2°. Существование производных второго порядка потен- потенциала объемных масс 58 3°, Уравнение Пуассона 60 4°. Формула Гаусса 63 § 4. Потенциалы двойного и простого слоя 64 1°. Определение потенциала двойного слоя 64 2°. Формулы скачка для потенциала двойного слоя и ре- редукция задачи Дирихле к интегральному уравнению 67 3°. Потенциал простого слоя. Задача Неймана 70 4°. Внешние задачи Дирихле и Неймана 72 § 5. Некоторые сведения из общей теории линейных эллипти- эллиптических уравнений второго порядка 74 1°. Сопряженные операторы. Формула Грина 74 2°, Существование решений линейного эллиптического урав- уравнения второго порядка 75 3е. Постановка краевых задач 78 4°. Принцип якстремума. Единственность решения задачи Дирихле 79 5°. Обобщенные потенциалы простого и двойного слоя . . 81 Глава II Система Коши — Рпмаиа. Элементы теории аналитических функций 83 § 1. Понятие аналитической функции комплексного перемен- переменного 83 1°. Система Коши — Римана 83 2°. Понятие аналитической функции 84 3°. Примеры аналитических функций 87 4°, Конформное отображение 90 5°. Конформные отображения, осуществляемые некоторыми элементарными функциями, и обращение этих функ- функций. Понятие римановой поверхности 93 § 2. Комплексное интегрирование 100 1°. Понятие комплексного интегрирования 100 8°. Теорема Коши , , 102
ОГЛАВЛЕНИЕ 3°. Интегральная формула Коши 104 4°. Интеграл типа Коши 107 5°. Сопряженные гармонические функция. Теорема Морера 108 § 3. Важнейшие следствия, вытекающие из интегральной фор- формулы Коши ПО 1 . Принцип максимума модуля аналитической функции ПО 2°. Теоремы Вейерштрасса 111 3°. Ряд Тейлора 113 4°. Единственность аналитической функции. Теорема Лиу- вилля 115 5°. Ряд Лорана 116 6°. Понятия особых точек и вычета аналитической функции 119 7°. Формула Шварца. Решение задачи Дирихле 124 § 4. Аналитическое продолжение . 127 1°. Понятие аналитического продолжения 127 2°. Принцип непрерывности 127 3°. Принцип симметрии Римана — Шварца 128 § 5. Формулы для предельных значений интеграла типа Коши и некоторые их приложения 130 Г. Понятие интеграла в смысле главного значения по Коши 130 2°. Касательная производная потенциала простого слоя 131 3°. Предельные значения интеграла типа Коши 133 4°. Понятие кусочно-аналитической функции 136 5°. Приложения к краевым задачам 137 § 6. Функции нескольких переменных 142 1°. Вводные понятия и обозначения Ц2 2°. Понятие аналитической функции нескольких перемен- переменных 143 3е. Степенной ряд е несколькими переменными 145 4°. Интегральная формула Коши и теорема Тейлора ... 147 5°. Аналитические функции действительных переменных 149 6°. Конформные отображения в евклидовых пространствах 151 Глава III Уравнения гиперболического типа 154 § 1. Волновое уравнение 154 1°. Волновое уравнение с тремя пространственными пере- переменными. Формула Кирхгофа 154 2е. Волновое уравнение с двумя пространственными пере- переменными. Формула Пуассона 156 3°. Уравнение колебаний струны. Формула Даламбера . . 157 4°. Понятия области зависимости, области влияния и обла- области определеиия 158 § 2. Неоднородное волновое уравнение 160 1°, Случай грех пространственных переменных. Запазды- Запаздывающий потенциал 160 2°. Случай двух и одного простраиственных переменных 161 § 3. Задачи, корректно поставленные для гиперболических урав- уравнений . . 162 1°. Единственность решения задачи Коши •...».»♦♦ 162
ОГЛАВЛЕНИЕ 2°. Корректность постановки задачи Коши 164 3°. Общая постановка задачи Коши 166 4°. Задача Гурса (характеристическая задача) 167 5°. Некоторые некорректно поставленные задачи 168 § 4. Общее линейное уравнение второго порядка гиперболиче- гиперболического типа с двумя независимыми переменными 169 1°. Функция Римана 169 2°. Задача Гурса 172 3°. Задача Коши 173 Глава IV Уравнения параболического типа 175 S 1. Уравнение теплопроводности. Первая краевая задача ... 175 1°. Принцип экстремума 175 2°. Первая краевая, задача для уравнения теплопроводно- теплопроводности 177 § 2. Задача Коши —Дирихле 179 1°. Постановка задачи Коши—Дирихле и доказательство существования ее решения 179 2°. Единственность и устойчивость решения задачи Кошн — Дирихле 181 3°. Неоднородное уравнение теплопроводности 182 § 3. О характере гладкости решений уравнений с частными про- производными 183 1°. Случай эллиптических и параболических уравнений . . 183 2°, Случай гиперболических уравнений 183 Глава V Интегральные уравнения 185 § 1. Метод последовательных приближений решения интеграль- интегральных уравнений 185 1°. Общие замечания 185 2°. Построение решения уравнения Фредгольма второго рода при малых значениях параметра методом после- последовательных приближений 186 3°. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода ... 188 § 2. Теоремы Фредгольма 169 1°. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром 189 2°, Понятия итерированного ядра и резольвенты 193 3°. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с непрерывным ядром 194 4°. Понятие спектра 197 5s, Интегральное уравнение Вольтерра второго рода с кратным интегралом 199 6*. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода . . 200 f 3. Применения теории линейных интегральных уравнений вто- второго рода 201
ОГЛАВЛЕНИЕ Is. Применение альтернативы Фредгольма в теории крае- краевых задач для гармонических функций 201 2°. Редукция задачи Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений к интегральному урав- уравнению Вольтерра второго рода 204 3°, Краевая задача для линейных обыкновенных диффе- дифференциальных уравнений второго порядка 206 § 4. Сингулярные интегральные уравнения 209 Iе. Понятие сингулярного интегрального уравнения .... 209 2°. Интегральные уравнения Гильберта 209 3°. Преобразование Гильберта 212 4°. Интегральное уравнение теории крыла самолета . . . 213 5s, Интегральное уравнение с логарифмическим ядром . . 215 Глава VI Методы, наиболее часто применяемые на практике при решении уравнений с частными производными 217 § 1. Метод разделения переменных 217 1°. Решение основной смешанной задачи для уравнения колебаний струны 217 2°. Задача колебаний мембраны 221 3°. Понятие полной ортоиормированной системы функций 224 4е. Случай круговой мембраны 227 5°. Общие замечания относительно метода разделения пе- переменных 230 6е. Шаровые и сферические функции 232 7°. Вынужденные колебания 234 § 2. Метод интегральных преобразований 235 1°. Интегральные представления решений линейных обык- обыкновенных дифференциальных уравнений второго по- порядка 235 2°. Понятия преобразований Лапласа, Фурье и Меллина 241 3е. Применение интегральных преобразований к задачам для дифференциальных уравнений с частными произ- производными 243 4е. Применение преобразования Фурье при построении' глобального решения задачи Коши для уравнения колебаний струны 245 5е. Понятие свертки 248 6°. Понятие б-функции Дирака 251 § 3. Метод конечных разностей 252 1°. Конечно-разиостная замена уравнений с частными про- производными 252 2°. Задача Дирихле для уравнения Лапласа 254 3°. Первая краевая задача для уравнения теплопроводно- теплопроводности 255 4°. Общие замечания относительно метода конечных раз- разностей 256 $ 4. Асимптотическое разложение 256 1°. Асимптотическое разложение функции одного перемен- переменного 256
8 ОГЛАВЛЕНИЕ 2°. Метод Ватсоиа построения асимптотических разложе- разложений 261 3°. Метод перевала 264 § 5. Понятие о вариационных методах 267 1°. Принцип Дирихле 267 2°. Задача о собственных значениях 269 3°. Минимизирующие последовательности 271 4°. Понятие о методе Ритца : 272 5°. Построение приближенного решения задачи о собствен- собственных значениях. Понятие о методе Бубнова —Галеркина 273 § 6. Построение приближенного решения задачи Дирихле для гармонических функций в круге 275 1°. Задача Дирихле для гармонических функций с разрыв- разрывными краевыми условиями 275 2°, Справедливость формулы Пуассона решения задачи Дирихле при наличии разрывов в краевых условиях 276 3е. Построение приближенного решения задачи Дирихле для гармонических функций в круге 278 Глава VII Нелинейные уравнения в частных производных 280 § 1. Уравнения Коши — Ковалевской 280 1°. Определение системы Коши — Ковалевской и поста- постановка задачи Коши для нее 280 2°. Редукция системы C) к системе первого порядка . . . 281 3°. Задача Коши с аналитическими данными. Теорема Коши — Ковалевской 283 4°. Понятие мажоранты аналитической функции 285 5°. Доказательство теоремы Коши — Ковалевской при от- отсутствии в задаче A7), A8) пространственных перемен- переменных 286 6°. Доказательство теоремы Коши — Ковалевской для за- задачи A7), A8) 288 7°. Некоторые другие замечания относительно задачи Коши A8) для системы Коши — Ковалевской A7) ... 291 § 2, Нелинейные гиперболические и эллиптические уравнения второго порядка 292 1°. Нелинейные уравнения гиперболического типа .... 292 ' 2°. О единственности решения задачи Гурса 296 3°. Задача Коши для одной квазилинейной гиперболиче- гиперболической системы 296 4°. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка 299 5°. Достаточное условие единственности решения задачи Дирихле для нелинейного равномерно эллиптического уравнения второго порядка 301 § 3, Некоторые классы нелинейных уравнений в частных про- производных 304 I9. Общее представление решений одного класса квазили- квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка 304
ОГЛАВЛЕНИЕ » 2°. Редукция одного класса квазилинейных уравнений второго порядка к линейному уравнению 307 3°. Некоторые другие примеры уравнений вида (95) . . . 310 4°. Построение точных решений еще одного класса квази- квазилинейных уравнении 312 5°. Система уравнений ферромагнетизма 314 6°. Одномерный случай гамильтониана A19) 317 7°. Варианты уравнений гравитационного поля 318 8°. Уравнение Лиувилля 321 9°. Синус-уравнеиИе Гордона 323 10*. Задача Коши — Дирихле для одного класса нелиней- нелинейных уравнений параболического типа 323 11*. Задача Коши для уравнения (86) ... 327 Предметный указатель 330
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Книга охватывает традиционные разделы теории ли- линейных уравнений в частных производных в основном второго порядка. Отдельные главы посвящены элементам теории аналитических функций и теории линейных инте- интегральных уравнений, поскольку в значительной мере на них основаны изложенные в книге методы исследования структурных и качественных свойств решений уравнений в частных производных и классических задач для этих уравнений. В отличие от предыдущего издания, в книге помещена седьмая глава, посвященная нелинейным уравнениям в частных производных, в частности вопросам существо- существования решений классических задач для них, а также построению точных решений некоторых важных классов нелинейных уравнений. Кроме того, глава VI дополнена новым параграфом (§ 6), в котором рассматривается за- задача Дирихле для гармонических функций с разрывными краевыми условиями и строится вариант приближенного решения этой задачи в круге. И июля 1981 г., Москва—Тбилиси А. Бицадзе
ВВЕДЕНИЕ § 1. Вводные понятия и определения 1°. Понятия дифференциального уравнения с частными производными и его решения. Обозначим через D область «-мерного евклидова пространства Еп точек х с декарто- декартовыми ортогональными координатами х1г ..., хп, п^2. Пусть F(x, ..., piv..in, ...) —заданная действительная функция точек х области D и действительных переменных Piv-in с неотрицательными целочисленными индексами по крайней мере одна из производных которой я дР ■ т, отлична от нуля. Равенство вида называется дифференциальным уравнением с частными производными или уравнением в частных производных по- порядка т относительно неизвестной функции и (х) ■■ = и(хъ ..., х„), а левая часть этого равенства — диф- дифференциальным оператором с частными производными или дифференциальным оператором в частных производных порядка т. Определенная в области D задания уравнения A) действительная функция и (х), непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это урав- уравнение, и обращающая его в тождест"во, называется регу- регулярным решением.
12 ВВЕДЕНИЕ Наряду с регулярными решениями в теории дифферен- дифференциальных уравнений с частными производными важное значение имеют решения, перестающие быть регулярными в изолированных точках или на многообразиях особого вида. К ним относятся так называемые элементарные или фундаментальные решения. Все встречающиеся в приложениях уравнения с част- частными производными имеют целые семейства решений. Однако существуют дифференциальные уравнения с част- частными производными, множества решений которых весьма узки и в некоторых случаях даже пусты. Так, например, множество действительных решений уравнения (=1 исчерпывается функцией и (х) = const, а уравнение вовсе не имеет действительных решений. Говорят, что уравнение A) линейно, если F является линейной функцией относительно всех переменных р( .., ( 2 */ = *. й = 0, .... т. Когда функция F линейна лишь п относительно переменных ptv..in при ^if — m, то урав- i-i нение A) называется квазилинейным. Линейное уравнение Lu = f(x) называется однородным или неоднородным в зависимости от того, будет ли его правая часть /(*) равна нулю для всех xeD или от- отлична от тождественного нуля. Очевидно, что если функции и(х) и v (x) являются решениями неоднородного линейного уравнения Lu = f, то их разность w = и (х) — v (x) будет решением однород- однородного уравнения Lw = 0. Кроме того, если uk(x), k—l, ... ..., /, — решения однородного уравнения, то решением этого уравнения является и функция и = £ ckuk (x), где ck —действительные постоянные.
$ 1. ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ И Линейное уравнение в частными производными второго порядка можно записать в виде где Ац, Bj, С, f — заданные в области D действительные функции точки х. В точках x^D, в которых коэффициенты Л#, i, / = = 1 п, все равны нулю, B) перестает быть уравне- уравнением второго порядка, т. е. в указанных точках порядок уравнения B) вырождается. Ниже всегда будем предпо- предполагать, что порядок уравнения B) в области его задания всюду равен двум. 2°. Понятие характеристической формы и классифи- классификация линейных уравнений второго порядка. В предпо- предположении непрерывности частных производных первого п порядка функции F по переменным Pit...i, ^]1/==т> в теории уравнения A) фундаментальную роль играет форма порядка т: 1"" л /=1 относительно действительных параметров А1, ..., Хп, но- носящая название характеристической формы, соответствую- соответствующей уравнению A). В случае уравнения второго порядка B) характери- характеристическая форма C) является квадратичной: 1,7=1 В каждой точке х е D квадратичная форма Q при помощи неособого аффинного преобразования переменных ^ = M£i In)» ' — 1 я, может быть приведена к каноническому виду где коэффициенты ait i—l,..., n, принимают значения 1,
14 ВВЕДЕНИЕ —1, 0, причем число отрицательных коэффициентов (индекс инерции) и число нулевых коэффициентов (дефект формы) являются аффинными инвариантами. Когда все at—\ или все аг = —1, i=\ п, т. е. когда форма Q соответственно положительно или отрица- отрицательно определена (дефинитна), уравнение B) называется эллиптическим в точке х е D. Если один из коэффициен- коэффициентов <xt отрицателен, а все остальные положительны (или наоборот), то говорят, что уравнение B) в точке х гиперболично. В случае, когда /, 1 </•<«— 1, коэффи- коэффициентов а, положительны, а остальные п — / отрицательны, уравнение B) называется ультрагиперболическим. Если же хотя бы один из этих коэффициентов равен нулю (все а,- не могут равняться нулю, ибо вырождение порядка уравнения исключается), то уравнение B) в точке х называется параболическим. Говорят, что в области D своего задания B) является уравнением эллиптического, гиперболического или парабо- параболического типа, если оно соответственно эллиптично, гиперболично или параболично в каждой точке этой области. Эллиптическое в области D уравнение B) называется равномерно эллиптическим, если существуют отличные от нуля действительные числа ko и kY одинакового знака такие, что для всех xeD. Пример уравнения д*и Х показывает, что эллиптическое в области своего задания уравнение не обязано быть равномерно эллиптическим. Это уравнение эллиптично в каждой точке полупростран- полупространства хп>0, не будучи в нем равномерно эллиптическим. Когда в разных частях области D уравнение B) при- принадлежит к различным типам, то говорят, что оно яв- является уравнением смешанного типа в этой области. Только что рассмотренный пример относится как раз
f 1. ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ W к уравнениям смешанного типа в любой области D про- пространства Е„, пересечение которой с гиперплоскостью *„ = 0 не является пустым. В дальнейшем под определенностью квадратичной формы будем подразумевать ее положительную определен- определенность, ибо отрицательно определенная квадратичная форма умножением на (—1) становится положительно опреде- определенной. Предполагая, без ограничения общности, что форма Q симметрична, т. е. Ац — Ац, i, /=1, ..., п, и используя критерий Сильвестра положительной определенности квад- квадратичных форм, мы можем, не приводя квадратичную форму Q к каноническому виду, утверждать, что для эллиптичности уравнения B) в области D необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы 1Ац ... Аи I Ani ••• Апп\ были положительны. 3°. Классификация уравнений высшего порядка. В случае уравнения с частными производными порядка т: где Li — дифференциальный оператор порядка ниже т, форма C) имеет вид ко* ю=2%-'пК1---Кп> t h=n- E) ■ Если при фиксированном значении x^D можно найти такое аффинное преобразование переменных А,,- = Kt (ць ... ..., ц„), i=l, ..., п, в результате которого полученная из E) форма содержит лишь /, 0 < / < п, переменных \ih то говорят, что уравнение D) в точке х параболически вырождается. При отсутствии параболического вырождения, если коническое многообразие К(К .... К) F) не имеет действительных точек, кроме Я,х = 0, ..., Хп = О, уравнение D) в точке х называется эллиптическим.
16 ВВЕДЕНИЕ Говорят, что уравнение D) в точке * гиперболично, если в пространстве переменных A,x А,„ существует такая прямая, что если принять ее за координатную ось в новых переменных |ilt ..., ц„, полученных преобразованием А1, ..., Хп, то относительно координаты, меняющейся вдоль этой оси, преобразованное уравнение F) имеет ровно т действительных корней (простых или кратных) при любом выборе значений остальных координат ц. Аналогичным образом происходит деление по типам уравнения A) и в нелинейном случае по характеру формы дки п C), в которой piv..i заменены через — Г, 2 '/ = &. " дх*...дх£ ,=i k = 0, ..., т. Поскольку коэффициенты формы C) зависят наряду с точкой х от искомого решения и от его про- производных, классификация по типам в рассматриваемом случае имеет смысл лишь для этого решения. 4°. Системы уравнений с частными производными. Когда F представляет собой W-мерный вектор F = = (Flt .... FN) с компонентами Ft(x, ..., Ptv..in, ...), i=l N, зависящими orxeD и от М-мерных векторов векторное равенство A) называется системой дифферен- дифференциальных уравнений с частными производными относи- относительно неизвестных функций ы1( ..., им или относительно неизвестного вектора и = (ыг, ..., им). Максимальный порядок производных от искомых функ- функций, входящих в данное уравнение системы, называет"ся порядком этого уравнения. В системе уравнений вовсе нет необходимости, чтобы число уравнений iV и число неизвестных функций М были равны или чтобы порядок всех уравнений данной системы был один и тот же. Когда M=N и порядок каждого уравнения системы A) равен т, составим квадратные матрицы ч~- N, 2] ij =
« 2. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 17 Выражение представляющее собой форму порядка Nm относительно действительных скалярных параметров А,ь ..., А,„, назы- называется характеристическим детерминантом системы A). Деление по типам системы A) происходит по харак- характеру формы G) точно так же, как это было сделано при рассмотрении одного уравнения порядка т. Уравнение A), когда входящие в его левую часть величины являются комплексными и под ч— при xk = OXfe = tlk + iZk понимается 2\дп"~ 1дг~)' 0Ч&т№0, равно- равносильно системе уравнений. 0 ^ § 2. Приведение к каноническому виду N^ линейных уравнений с частными производными < второго порядка с двумя независимыми переменными f> Г. Характеристические кривые и характеристические направления. В пункте 2° § 1 было отмечено, что в каж- каждой фиксированной точке х области D задания уравнения B) квадратичная форма Q может быть приведена к кано- каноническому виду. В соответствии с этим в каждой фикси- фиксированной точке heD всегда можно найти неособое пре- преобразование (замену) независимых переменных я,- = — Xi{ylt ..., уп), i = l, .... п, в результате которого уравнение B) в этой точке приводится к каноническому виду где постоянные at, i=\, ..., п, принимают значения 1, -1, О, v(y) = u[x(y)], Ь(у) = Ц а функции рг и у выражаются через коэффициенты урав- уравнения B).
18 ВВЕДЕНИЕ Следует отметить, что не всегда можно найти пре- преобразование независимых переменных, позволяющее при- привести уравнение B) к каноническому виду не только во всей области задания этого уравнения, но даже вблизи данной точки области. В этом отношении исключение представляет случай двух независимых переменных, к рассмотрению которого мы приступаем. Уравнение B) в случае я = 2 в обозначениях *i = х, х2 = у, Аи = а(х, у), А12 = А21 = Ь(х, у), А22 = с(х, у), Bt = d(x, у), В2 = е(х, у), C = g(x, у), f = f(x, у) запишем в виде Кривая ф (х, у) = const, где q> — решение уравнения называется характеристической кривой уравнения G), а направление (dx, dy), определенное из равенства ady*-2bdydx+cdx2 = 0, A0) — характеристическим направлением. Равенство A0) представляет собой обыкновенное диф- дифференциальное уравнение характеристических кривых. Согласно пункту 2° § 1 уравнение (8) эллиптично, гиперболично или параболично в зависимости от того, будет ли квадратичная форма ady*-\- 2bdydx-\-cdx* определена (положительно или отрицательно), знакопере- менна или полуопределена (вырождена). В соответствии с этим уравнение (8) является эллиптическим, гиперболи- гиперболическим или параболическим в зависимости от того, будет ли дискриминант Ь* — ас квадратичной формы a dy2 + + 26 dy dx + с dx2 меньше нуля, больше нуля или равен нулю соответственно. Поэтому в области эллиптичности уравнение (8) действительных характеристических направ- направлений не имеет, в то время как в каждой точке гипер- гиперболичности существуют по два различных действительных характеристических направления, а в каждой точке пара- боличностн имеется одно действительное характеристи-
% 2. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 1» ческое направление. Следовательно, при достаточной гладкости коэффициентов а, Ь, о область гиперболичности уравнения (8) покрыта сетью двух семейств характери- характеристических кривых, а область параболичности — одним семейством характеристических кривых. В случае уравнения -^ = 0, где т — нечетное натуральное число, равенство A0) имеет вид ymdy2 + dx2 = 0, откуда следует, что это уравнение в полуплоскости уу>0 действительных характеристических Рис 1. направлений не имеет, в то время как в каждой точке прямой у = 0 и полуплоскости у<0 оно имеет по одному и по два характеристических направления. Записывая уравнение характеристических кривых в виде dx± — (—У)т/г dy = 0 и интегрируя, заключаем, что полупло- полуплоскость г/<0 покрыта двумя семействами характеристи- характеристических кривых (рис. 1): 2 т+2 х~7^П(—У) 2 = const, = const. 2°. Приведение к каноническому виду уравнения вто- второго порядка с двумя независимыми переменными. В условиях достаточной гладкости коэффициентов а, Ь и о уравнения (8) всегда можно найти такое неособое преобразование | = £ (*, у), q = х\ (х, у) переменных х, у,
20 ВВЕДЕНИЕ при помощи которого это уравнение в данной области приводится к одному из следующих видов: в эллиптическом случае, ИЛИ 920 Я*" l Л да в гиперболическом случае и d*v , А dv , п dv +А+В в параболическом случае. Возможность приведения уравнения (8) к каноническим видам A1), A2), A3) во всей области D его задания (или, как еще принято говорить, «в большом») довольно трудно доказать. Однако рассуждение, приводящее к осуществлению такой возможности, сильно упрощается, если ограничиться рассмотрением достаточно малой окрест- окрестности точки (х, у) области D. В самом деле, в результате замены переменных g = = 5 (*> У), Л = Л (*> У) частные производные первого и второго порядка по х и у преобразуются следующим образом: д — t ? l д i?д1 д дх- + Г] + 1] д* tt^2 ^yydr\' где % и т) с буквенными индексами х, г/ обозначают про- производные, например, |* = J, L* = gji и т. д. В соответ- соответствии с этим уравнение (8) принимает вид и^^ЬЬ м-и, A4)
$ 2. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 21 где A5) уГ\у, A6) A7) v (I, т]) = «[*& Л), </(S, Л)]. а * = .*(!•, л)» У — У{Ъ> л) — преобразование, обратное £ = = 5 (х, у), л = т) (х, #)• Явные выражения остальных коэф- коэффициентов уравнения A4) нас не интересуют, поэтому их здесь не приводим. В случае эллиптичности уравнения (8), т. е. при Ь2 — ас < 0, в качестве !• (х, y)ni\ (x, у) примем решения си- системы уравнений с частными производными первого порядка T % = 0, a^+bxiy-Va^&ly-O • якобианом ЛМ=И=0. A9) д (х, у) ^ v > В силу A5), A6), A7), A8) и A9) имеем После деления всех членов A4) на отличное от нуля выражение получаем A1). Заметим, что система A8) равносильна уравнению (9). В этом легко убедиться, если принять обозначение ф = = 5 + if], где i — мнимая единица. Пусть теперь Ь2 — ас>0 и функции \(х, у) и х\(х, у) являются решениями уравнения (9), удовлетворяющими условию A9). Предположим, что афО (при а = 0 и сФО рассуждение изменится очевидным образом). В этом случае в силу (9) из A5), A6), A7) и A9) получаем а1 = с1==0, l/r^^O и, стало быть, уравнение A4) после bx 2 деления на функцию 2ЪХ примет вид A2). В результате новой замены а = £ + т], P = g — x\ уравнение A2) приво- приводится к виду A2Х). Остается рассмотреть случай № — ас = 0. В качестве функции g (*, у) примем отличное от постоянной решение
22 ВВЕДЕНИЕ уравнения (9), а функцию х](х, у) подберем так, чтобы было соблюдено условие ат^ + ^бт^т^ + ст^^О. В силу равенства all + 2blxly + сЦ = 0 из A5) и A6) имеем аг = = ft1 = O. Следовательно, после деления всех членов A4) на ац1 + 2Ьцхг]у + сгI получаем A3). При Ь2 — ос>0 уравнение (9) равносильно двум линей- линейным уравнениям с частными производными: » 0, аф* + (Ь — ]/ ft2 — ос) фу = О, а при Ь* — ас = 0 — одному: Следовательно, можно считать, что при Ъг — ас>0 функции %(х, у) и г\(х, у) являются решениями уравнений abr + (ft + Vr*r=^)E»-O, аги + ^-УР^Цу-О, B0) а при ft2 — ас = 0 одна из этих функций, например £ (лс, у), является решением уравнения об*+ 66,-0. B1) Вопрос существования решений линейных дифферен-. циальных уравнений с частными производными первого порядка теснейшим образом связан с теорией обыкновен- обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений изве- известно, что при достаточной гладкости функций 'а, Ь, с система линейных уравнений с частными производными A8) и линейные уравнения B0) и B1) в окрестности точки (х, у) области D задания уравнения (8) имеют реше- решения нужного нам вида. Тем самым доказана возможность приведения уравнения (8) к каноническим видам A1), A2), A2i) и A3) в окрестности точки (х, у), т. е. «в малом». § 3. Простейшие примеры трех основных типов уравнений с частными производными второго порядка 1°. Уравнение Лапласа. Обозначим через Д дифферен- дифференциальный оператор с частными производными второго порядка
f 3. ТРИ ОСНОВНЫХ ТИПА УРАВНЕНИИ 23 который записывается еще в виде скалярного квадрата A»VV векторного дифференциального оператора первого порядка (оператора набла) где /|, I =-1, ..., я, — единичные ортогональные координат- координатные векторы (орты). Дифференциальный оператор А назы- называется оператором Лапласа, а уравнение А« = 0 B2) — уравнением Лапласа. Характеристическая квадратичная форма C), соответ- соответствующая уравнению B2), положительно определена во всех точках пространства Е„. Следовательно, это уравнение эллиптично всюду в Е„. Более того, оно, очевидно, равномерно эллиптично в Е„. Функция и(х), обладающая непрерывными частными производными второго порядка и удовлетворяющая урав- уравнению Лапласа (т. е. являющаяся решением этого урав- уравнения), называется гармонической функцией. Непосредственной проверкой легко убеждаемся в том, что функция двух точек х и £: B3) где |5 —jc| —расстояние между х и I, при хФ\ является решением уравнения Лапласа как по х, так и по £. Действительно, при хФ% из B3) имеем Ц^-Ц-х^ + пЦ-х^^Ь-хд*. B4) Подставляя выражения ^у, t = 1 п, из B4) в левую
24 ВВЕДЕНИЕ часть B2), получаем Так как Е(х, £) симметрична относительно х и £, мы можем утверждать, что эта функция удовлетворяет урав- уравнению Лапласа и по £, \Фх. Определенная по формуле B3) функция Е(х, £) назы- называется элементарным или фундаментальным решением уравнения Лапласа. При « = 3 она представляет собой потенциал единичного заряда, помещенного в точке х (или I). Пусть S — гладкая гиперповерхность (замкнутая или разомкнутая) в пространстве Е„ и ц (£) — заданная на ней действительная непрерывная функция. Выражение и (*) = $£(*, Б)|*(Б)<Ц, B5) где dsi — элемент площади гиперповерхности S по перемен- переменному интегрирования I, является гармонической функцией во всех точках х пространства Еп, не лежащих на S. Справедливость этого утверждения следует из того, что, как уже было показано выше, функция Е(х, I) при х Ф \ гармонична относительно х и что при вычислении производных -^-r, i=l, .• •, п, операцию дифференциро- ах{ вания в правой части B5) можно внести под знак интег- интеграла. Выражение вида "w iil *' LB*)' + BT+T)!A*V(* *» B6) где оператор А* = А (А*-1), а т « v — произвольные поли- полиномы относительно переменных xit ..., хп-ъ также явля- является гармонической функцией (гармоническим полиномом) переменных хи ..., хп. Действительно, так как в правой части B6) сумма конечна (под знаком суммы, начиная с определенного
f 3. ТРИ ОСНОВНЫХ ТИПА УРАВНЕНИЙ значения k, все Д*т и A*v равны нулю), то ^ = У п*К a»*4 x"k+i л*34 fljcf Zi *■ ' |BйI a*f + Bft+i)i a*}J* 2 Отсюда следует, что Аналогично доказывается гармоничность суммы и(х) ряда в правой части B6) при требованиях бесконечной дифференцируемости т и v, равномерной сходимости этого ряда и законности его почленного дифференцирования дважды по хь t = l, .... п. 2°. Волновое уравнение. Уравнение с частными про- производными п—1 известно под названием волнового уравнения. Это урав- уравнение часто встречается в приложениях. При п«=4, если единица времени xt = t выбрана соответствующим образом, уравнение описывает явление распространения звука в трехмерном пространстве Е3 переменных xit хг, х3 (см. ниже § 5, 2°). Характеристическая квадратичная форма C) для урав- уравнения B7) имеет канонический вид и, следовательно, по определению, приведенному в пунк- пункте 2° § 1, это уравнение во всем пространстве Еп явля- является гиперболическим.
26 - ВВЕДЕНИЯ Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что функция Bk +1I Л V W. • • • • *»-iJJ. W где г и v — произвольные бесконечно дифференцируемые функции, при равномерной сходимости ряда B9) и рядов, полученных из него дифференцированием почленно дважды по Х{, /=1, ..., п, является решением уравнения B7). В случае полиномиальных т и v ряды в правой части B9) с определенного номера k обрываются и их сумма и(х) представляет собой полиномиальное решение уравне- уравнения B7). Теперь покажем, что функция где \у — х\—расстояние между точками х**(хх, хг, х3) и У—(Уи Уъ, Уз), S —сфера \у — х\*=*Р, а ц — заданная на S произвольная действительная дважды непрерывно диф- дифференцируемая функция, является решением уравнения B8). В самом деле, в результате замены переменных yt — — xi ■= tlh i •= 1» 2, 3, формула C0) принимает вид U{X, 0 "" ' j Р (*1 + &» *!+'£»» *8 + 1в)А»4» C1) где а —единичная сфера |£|«=1, a da^ = -^ = * , — элемент ее площади. Из C1) имеем 3 3 Кроме того, О 1-1
f 3. ТРИ ОСНОВНЫХ ТИПА УРАВНЕНИИ 27 где a v(#)*=(v!, v2, v3) —внешняя нормаль к S в точке у. Дифференцируя равенство C3), находим W= 7» + t at t»l ■+" < a<~ / , i a/ l a/ Из курса математического анализа известно, что действительных функций Л,(л;), »=1, .... «, непрерывных вместе со своими производными первого порядка в замкну- замкнутой области D{JS с гладкой границей S, имеет место формула Гаусса —Остроградского а п 2! шdT где dxx —элемент объема, a v = (vb ..., vn) — внешняя нормаль к S в точке y^S. Правая часть C4) по формуле {GO) преобразуется в интеграл по шару \у — х\2<Р'- где dxu — элемент объема по переменному интегрирова- интегрированию у. Переходя от декартовых координат ух, уг, у3 к сферическим р, О, ф, выражение C6) для / запишем в виде П 2Л р» sin О £*ф„ 0 0 0 где plsшд<iфdдф=»dт^/. Отсюда, так как sin находим
28 ВВЕДЕНИЕ Следовательно, в силу C5) можно написать О 1 = 1 На основании C2) и C7) заключаем, что представлен- представленная формулой C0) функция и(х, t) является решением уравнения B8). 3". Уравнение теплопроводности. Уравнение n —1 1*и ди относится к уравнениям параболического типа, ибо соот- соответствующая ему характеристическая форма C) имеет вид Когда п = 4 при подходящем подборе единицы времени t = xt, уравнение Щ описывает явление передачи тепла в теле, помещенном в пространстве переменных Xi, xit х3. Поэтому C9) назы- называется уравнением теплопроводности (см. ниже § 5, 3°). Непосредственным вычислением убеждаемся, как и в случае уравнений B2), B7), что функция для любой заданной бесконечно дифференцируемой дейст- действительной функции 1 переменных хи ..., xn-i при равно- равномерной сходимости ряда в правой части D0) и рядов, полученных из него дифференцированием почленно один раз по хп и дважды по хи (=1, ..., п— 1, удовлетворяет уравнению C8). Решением этого уравнения является
f 3. ТРИ ОСНОВНЫХ ТИПА УРАВНЕНИИ 29 также функция 1-я Г . "—1 -1 Е(х, I) = (*„-!„) 2 exp _T_i-1-r2 (**-£*)' . D1) где Si, ... Дп — действительные параметры, причем х„ > £„. В самом деле, 1=1, ..., П— 1, я —1 откуда следует, что n—1 \* д%Е дЕ — о Представленная формулой D1) функция называется эле- элементарным (фундаментальным) решением уравнения C8). 4°. Постановка некоторых задач для уравнений с ча- частными производными. При выводе дифференциальных уравнений с частными производными из общих законов, которым подчинены изучаемые явления природы, естест- естественно возникают дополнительные условия, налагаемые на искомые решения. Центральное место в теории урав- уравнений с частными производными занимает доказательство существования и единственности именно таких решений, которые удовлетворяют этим условиям. Если окажется, что малое изменение данных, входящих как в уравнения, так и в дополнительные условия, вызывает малое изме- изменение удовлетворяющего им решения или, как еще при- принято говорить, искомое решение устойчиво, то задача называется правильно (корректно) поставленной. Важно заметить, что условия задач, которым должны удовлетво- удовлетворять искомые решения, существенно зависят от типа рассматриваемого уравнения. Сформулируем некоторые задачи, правильность поста- постановки которых будет показана позже. Пусть граница S области D пространства Е„ представ- представляет собой гладкую (п— 1)-мерную гиперповерхность/
SO ВВЕДЕНИЕ В дальнейшем под поверхностью в пространстве Е„ будем понимать именно («—1)-мерную гиперповерхность. Тре- Требуется определить регулярное в области D решение и(х) уравнения B2), непрерывное в замкнутой области D[)S и удовлетворяющее краевому условию \imu(x) = (p{y), x<=D, j/eS, D2) x-+v где у —заданная на S действительная непрерывная функ- функция. Сформулированная задача носит название первой краевой задачи или задачи Дирихле. Обозначим через G область пространства £„_! перемен- переменных хи ..., х„-1. Задача отыскания регулярного решения и(х) уравнения B7) по условиям и(хъ ..., Хп-1, 0) = ф(*), **)( ъ(х) шС D3) Vх) еи где ф и ty—заданные в G достаточно гладкие действи- действительные функции, называется задачей Коши. Условия D3) известны под названием начальных условий. Пусть D — область пространства Е„, ограниченная цилиндрической поверхностью, образующие которой парал- параллельны оси х„, и двумя плоскостями хп = 0, хп = п, Л>0. Часть границы области D без верхнего основания xn = h обозначим через 5. Требуется найти регулярное в обла- области D решение и(х) уравнения C8) по краевому условию \imu(x) = cp(y), ye=S, *e=D, D4) х-*у где ф — заданная на S достаточно гладкая действительная функция. Эта задача тоже называется первой краевой задачей для уравнения C8). § 4. Понятие интегрального уравнения Iе. Основные определения и обозначения. Предположим, что а (х) и /Со (х, у, г) — заданные действительные функции точек х, у области D пространства Е„ и действительного переменного г. Когда г = <р(у) является функцией точки y&D, то в предположении, что интеграл по области D:
» 4. ПОНЯТИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 31 существует, равенство вида 0[х, у, cp(y)]dxy = O, *€=£>, D5) называется интегральным уравнением относительно неиз- неизвестной функции ф(л;), *eD. Интегральное уравнение D5) называется линейным, если функция Ко {х, у, г) линейно зависит от г, т. е. когда Ко(х, у, г) = К(х, у)г + К°{х, у). Линейное интегральное уравнение можно записать в виде а(х)ф (*) + $/<(*, y)cp(y)dTy = f(x), xe=D, D6) о где /(*) =-$*"(*, У)dxy, jceD, о — заданная функция. Линейное интегральное уравнение D6) называется однородным или неоднородным в зависимости от того, будет ли f(x) = 0 для всех *eD или /(х) отлична от тождественного нуля. Функция К (х, у) носит название ядра интегрального уравнения D6), а интегральный член \К(х, y)q>(y)dxu. D в левой части D6) — интегрального оператора, действую- действующего над классом функций, к которому принадлежит искомая функция ф(дс). 2°. Классификация линейных интегральных уравнении. В случае, когда область D ограничена, а(х) непрерывна и ядро К (х, у) также является непрерывной (или огра- ограниченной интегрируемой в обычном смысле) функцией точек х, у е D U S, где S — граница области D, интеграль- интегральное уравнение D6) называется фредгольмовым. Фредгольмово уравнение D6) называется интегральным уравнением первого, второго или третьего рода в зависи- зависимости от того, будет ли функция а (л;) соответственно всюду равна нулю, всюду равна единице или отлична от тождественного нуля и от тождественной единицы. При а (х) Ф 0 всюду в D {J S интегральное уравнение Фредгольма третьего рода после деления всех его членов
32 ВВЕДЕНИЕ на а(х) приводится к интегральному уравнению Фред- гольма второго рода. Ниже речь будет идти исключительно об интегральных уравнениях Фредгольма второго рода. Доказательства основных утверждений из теории фредгольмовых инте- интегральных уравнений будут даны в том случае, когда D совпадает с интервалом (а, Ъ) действительной числовой оси, ядро К(х, у) является непрерывной функцией по совокупности переменных х, у из квадрата а <: — ^ b, a f(x) непрерывна на сегменте а^х^Ь. В этих предполо- предположениях интегральное уравнение Фредгольма второго рода запишем в виде <?{х)-ЦК(х, y)<p(y)dy=*f{x), а^х^Ь, D7) а где Я, —действительный параметр. Когда при \х — у\-*-0 функция К(х, у) обращается в бесконечность как \х — у\~"; «о < «. где п — размерность области D, интегральное уравнение приводится к эквивалентному интегральному уравнении: Фредгольма второго рода с непрерывным ядром, и поэтому оно также называется фредгольмовым. Частным случаем интегрального уравнения Фредгольмг второго рода D7), когда его ядро К(х, у) тождественнс равно нулю при у>х, является интегральное уравненш Вольтерра второго рода • f(x). D8! Все утверждения относительно интегрального уравне ния D8) остаются в силе и для класса уравнений вид; \dt\K{x, у; t, %)<?{t, x)dx- a ь -/\Ki(x, y; t)<p(t, y)dt- - v$ Кг (х, у, т) ф {х, х) dx = /(х, у) ь
§ 5 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ЯВЛЕНИИ 88 которые также называются интегральными уравнениями Вольтерра второго рода. Под уравнениями математической физики наряду с уравнениями с частными производными понимаются и интегральные уравнения. Интегральные уравнения играют важную роль в раз- различных областях математики. В частности, теория инте- интегральных уравнений широко применяется при исследова- исследовании дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и с частными производными. § 5. Упрощенные математические модели некоторых явлений, изучаемых в физике и технике 1°. Электростатическое поле. Мы здесь ограничимся рассмотрением плоского электростатического поля, т. е. плоской среды, в каждой точке Р которой определен двумерный вектор Е — сила поля. Введем декартовы орто- ортогональные координаты х, у точки Р и для компонент вектора Е примем обозначения Ех, Еу. Будем предпола- предполагать, что функции Ех и Еу непрерывны вместе со своими производными первого порядка во всех точках поля. Пусть D — произвольная область рассматриваемого поля с достаточно гладкой границей 5, | D | — ее площадь, v = (cosvx, cos vy) — внешняя к S нормаль, a s = (cos sat, cos sy) — единичный касательный вектор, направленный в сторону направления обхода S, оставляющего область D слева. Компоненты v и s связаны между собой очевидными равенствами cos vx — cos sy, cos vy = — cos sx. Выражения N = $ Ev ds, A — I Es ds, s ■ s где Ev и Es — скалярные произведения, Ev = Ex cos vje-f- Ey cos vy, Es = Ex cos sx + Eу cos sy = Ey cos vx — Ex cos vy, называются соответственно потоком через контур S и циркуляцией вдоль S вектора Е. 2 А. В. Бицадзе
34 ВВЕДЕНИЕ В силу формулы {GO) имеем с I яр., яр.. \ \dxdy. Z\ дх ^ ду Стягивая область D в точку Р, в пределе получаем N дЕх дЕи ,. Л дЕу дЕх lim -rjr- = -з я— = rot E. d^p \D\ дх ду N Поскольку, по определению, N = 4ne, lim гпт = 4яр, D-*P I U\ где е — суммарный заряд, лежащий в О, а р — поверхно- поверхностная плотность заряда в точке Р, мы можем написать дЕх дЕи Так как А представляет собой работу силы Е на пути S и поле статическое, то в силу закона сохранения энергии имеем /4=0, т. е. дЕх В случае отсутствия зарядов в поле из D9) получаем дЕх дЕи ^ + 0 Равенства E0) и E1) означают, что выражения + Eydy и Eydx — Exdy являются полными дифференциа- дифференциалами. Введем в рассмотрение скалярные функции v (x, у) и и(х, у) по формулам dv = — Exdx — Eydy, du = — Eydx-\-Exdy. Эти равенства означают, что ди dv ди до .-„. Функции и {х, у) и v (х, у) носят названия соответст- соответственно силовой функции и потенциала поля, а система уравнений E2), решением которой они являются, —систе- —системы Коши — Римана.
§ 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ЯВЛЕНИЙ 85 Таким образом, изучение плоского электростатического поля редуцировано к исследованию системы дифференциаль- дифференциальных уравнений с частными производными E2). Как будет показано ниже (см. гл. II, § 2, 5°), функции и (х, у) и v (х, у), представляющие собой регулярные реше ния системы E2), имеют частные производные всех поряд ков. Дифференцируя первое уравнение этой системы по х, а второе по у и складывая их, заключаем, что Аы = ихх-\- -)- иуу = 0, т. е. и (х, у) является гармонической функцией. Аналогично убеждаемся в гармоничности и функции v (x, у) 2°. Колебания мембраны. Мембраной называется упру- упругая материальная поверхность, которая в положении покоя имеет форму плоской области G и потенциальная энергия Ер которой в процессе колебания пропорциональна приращению площади. Предположим, что область G лежит в плоскости пере менных х, у а прогиб мембраны и (х, у, t), т. е. верти- вертикальное смещение точки (х, у) е G, — достаточно гладкая функция. Колебания мембраны будем считать малыми в том смысле, что при вычислениях можно пренебречь степенями величин и, их, иу, и, выше второй. Так как в момент времени t площадь о мембраны дается формулой а в положении покоя ее площадь в то для потенциальной энергии Ер имеем Здесь коэффициент пропорциональности ц носит название натяжения мембраны. Для кинетической энергии Ek мембраны имеем выражение \ о*
Зв ВВЕДЕНИЕ где р — поверхностная плотность массы мембраны, а щ— скорость смещения. В силу принципа Гамильтона интеграл и (£* -£„)#-! [dt [ [pu2t - |i(uj + u£)] d* dy, E3) ,7 2 <? 1 где Bг, /2) — промежуток времени наблюдения, должен быть стационарным. Следовательно, функция и (х, у, t) должна быть решением уравнения Эйлера вариационной задачи для интеграла E3): ^-(РИ/)—й"(|ш,)—|-(|шв)-0 или, считая р и ц, постоянными, 1Ы„-Д" = 0, E4) где аа = —. Постоянная а носит название скорости рас- распространения звука. При исследовании уравнения E4) без ограничения общности можно считать, что а=\, ибо простой заменой переменных %=*at, и(х, у, *) = «(*. y>^)*-v(x, у, %) это уравнение принимает вид Ол-Ло-0. Считая, что и не зависит от t, т. е. полагая, что в положении изгиба, описанном уравнением и — и(х, у), мембрана находится в равновесии, из E4) получаем Д« = 0. На этот раз уравнение Лапласа служит уравнением Эйлера вариационной задачи для интеграла Дирихле представляющего собой потенциальную энергию мембраны в положении равновесия с прогибом и(х, у). Действительно, предположим, что смещение границы (края) <S области G является заданной функцией
S Б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ЯВЛЕНИЙ VI При вариации б« = ev функции и (х, у), где е — произволь- произвольное действительное число, a v — произвольная достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию v{x, у)-0, (х, y)e=S, E6) для вариации 8D = D (ы -f- ev) — D (и) интеграла Дирихле получаем выражение 8D = 2е $ («лул + и/»,) d^ dy + e*\ {v'x + oj) d^r dy. a a Поэтому необходимое условие минимума интеграла Ди- Дирихле имеет вид \ (ВДг + UyVy) dx dy = 0. F7) а Учитывая то обстоятельство, что UXVX + UyVy = (Uxv)x + (UyV)y — О Аы и в силу формулы (GO) и условия E6) имеют место равенства [ из E7) получаем ivAudxdy—0. F8) о Так как v произвольна в G, из равенства E8) заключаем, что Ды = 0. Следовательно, в положении равновесия мембраны ее прогиб и(х, у) является решением задачи Дирихле E5) для уравнения Лапласа. 3°. Распространение тепла. Процесс распространения тепла в среде, заполненной массой с плотностью р при удельной теплоемкости с и коэффициенте теплопровод- теплопроводности k, математически описывается следующим образом. Пусть и(х, t) — температура среды в точке х в момент времени /иО-произвольная область среды, содержащая точку х Обозначим через S границу О. Если ds и v — элемент площади S и внешняя нормаль к S, то при тре- требовании достаточной гладкости функции и(х, t) количе- количество тепла Q, поступающее в D через $ за промежуток
38 ВВЕДЕНИЕ времени (/ь t2) в силу закона Фурье, дается формулой r, s Так как в результате поступления тепла Q прираще- приращение температуры равно и (х, t + dt) — u(x, t)^u,dt, то 'г Q = \ dt\ cpu, dx, U D где dx — элемент объема. Следовательно, h . . '.. dt \ cput dx. п S '7 D Ограничимся рассмотрением случая, когда £, с, р постоянны, т. е. fe V d^ fv ds = cp {d{\ и, dx. E9) t, * I, D В силу формулы (GO) имеем S D Поэтому равенство E9) можно записать в виде jd/$ (cpu, — Л D откуда ввиду того, что промежуток времени (/,, t2) и объем области D произвольны, заключаем, что ери, — * Ды = О или где а.=*—. Без ограничения общности, очевидно, и на этот раз можно считать, что а=1.
§ 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ЯВЛЕНИЙ 89 Задание значений функции и (х, t) в каждой точке х среды в начальный момент t = t0 {начальное условие) и в каждой точке границы среды для всех значений t из промежутка to<lt<LT при постоянном Т (краевое условие) соответствует краевой задаче D4). 4°. Движение материальной точки под действием силы тяжести. Пусть в вертикальной плоскости с декартовыми ортогональными координатами х, у под действием силы тяжести движется материальная точка М(х, у) из поло- положения (I, т)), ti>0, к положению (£0, 0), £0>1, так, что время t в пути является заданной функцией t = t(r\) координаты г], измеряющей высоту. Требуется определить траекторию движения точки М (х, у) (задача о таутохроне). Как известно, для квадрата модуля v вектора скорости \~Ж' ~Ш~) точки М(х, у) имеет место равенство F0) где g —ускорение силы тяжести. Если а(х, у) —угол между вектором скорости и положительным направлением оси х, отсчитываемый против движения часовой стрелки, то для ~г в силу F0) будем иметь ^ y)sina. F1) Поскольку траектория х — х(у) неизвестна, неизвестной является и величина На основании F1) и F2) получаем V2g(r\-y) или Ф^-Jf _*,„ч ^б3) где
40 ВВЕДЕНИИ Следовательно, функция у (у) должна быть решением интегрального уравнения F3), известного под названием интегрального уравнения Абеля. В силу F2) лишь такие решения ф (у) уравнения F3) имеют физический смысл, которые удовлетворяют условию | ф (у) | > 1. Если нам удастся определить решение ф (у) уравнения F3) с указанным свойством, то из геометри- геометрического равенства сразу находим уравнение искомой траектории в квад- квадратурах: o
ГЛАВА I УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Основные свойства гармонических функций 1°. Определение гармонической функции и некоторые ее элементарные свойства. По определению, приведенному в пункте Г § 3 введения, функция и(х) называется гар- гармонической в области D, если она в D обладает непрерыв- непрерывными частными производными до второго порядка включи- включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа. Наряду с гармонической в области D функцией и (х) гармонической является и функция u(kCx + h), где X — скалярная постоянная, С — постоянная действительная ортогональная матрица порядка п, a h = (hlt ..., hn) — постоянный действительный вектор, причем предполагается, что точки х и %Cx-\-h все принадлежат области D. Справедливость этого утверждения следует из очевид- очевидного равенства 2 £«<*£*+*)=» 21^ где y = Поскольку при постоянных cft, k=\, ..., т, имеет место равенство т т а 2 с*ы*(*)= 2 с* дм*). вместе с ик(х), k=\, ..., т, гармонична и конечная сумма Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что если функция и (х) гармонична в области D, то и функция гармонична всюду, где она определена.
42 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Когда область D содержит бесконечно удаленную точку, приведенное выше определение гармонической функ- функции нуждается в уточнении, ибо понятие производной в бесконечно удаленной точке, не имеет смысла. Мы скажем, что функция и (х) гармонична в окрест- окрестности бесконечно удаленной точки (т. е. вне замкнутого шара \x\^R достаточно большого радиуса), если функция доопределенная в точке у = 0 как l\mv(y), гармонична п окрестности точки у — О. В результате замены у = -—^ имеем и (х) = | х f-n v В соответствии с этим под регулярным в окрестности эесконечно удаленной точки решением уравнения Лапласа понимается гармоническая в этой окрестности всюду, кроме бесконечно удаленной точки, функция и (х), которая при |jc|-»-oo остается ограниченной в случае п = 2 и стре- стремится к нулю не медленнее, чем \х\г~п при п>2. Пусть D — область пространства Еп с достаточно глад- гладкой границей S, a и(х) и v(x) — заданные в ней действи- действительные гармонические функции, непрерывные вместе со своими производными первого порядка в D (J S. Интегрируя по области Ь тождества п / п ди\ VI dv ди i = 1 д I ди dv\ дх%\ dxi дх{ \ I "и\ — V ^ ди О и пользуясь формулой (GO) из введения, получаем J Vi" дмy у <U ,) dxidxi *' к >
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 43 соответственно. В формулах A) и B) и всюду ниже под v подразумевается внешняя нормаль к S. Когда область D содержит бесконечно удаленную точку пространства Еп, для того чтобы формулы A), B) оставались в силе, от подынтегральных выражений естест- естественно потребовать абсолютной интегрируемости (или сум- суммируемости, если интегралы понимаются в смысле Лебега). Формулы A), B) позволяют легко установить ряд элементарных свойств гармонических функций. 1) Если гармоническая в области D функция и(х) непрерывна в D \J S вместе со своими производными первого порядка и равна нулю на границе S области D, то и (х) = О для всех х е D \j S (свойство единственности гармонической функции). Это свойство следует из равенства A), если в нем примем и (х) = v (х). Действительно, ввиду того, что и (у) = О при yeS, из A) имеем C. 2 $(£ i \ D *-* Следовательно, зг = 0, i=l, ..., n, х e D, т. е. и(х) = ОХ; = const для всех xeD Отсюда, так как «(*/) = 0, i/eS, в силу непрерывности ы(л;) в замкнутой области D[}S заключаем, что и (х) — 0 для всех х е D U S. 2) £слы нормальная производная -|^ гармонической в области D функции и (х), непрерывной вместе со своими производными первого порядка в D\JS, равна нулю на гра- границе S области D, то и (х) — const для всех xeD. Это свойство гармонических функций обнаруживается точно так же, как и предыдущее, если в равенстве C) учесть, что д ~ О ДЛЯ всех i/^S. 3) Интеграл, взятый по границе S от' нормальной производной " - гармонической в области D функции и(х),
44 , ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА непрерывной вместе со своими частными производными первого порядка в D[)S, равен нулю. В самом деле, положив в A) v(x) — \, xeD, получаем D, 2°. Интегральное представление гармонических функ- функций. Для гармонической в области D функции и (х), непрерывной вместе со своими производными первого порядка в D\jS, имеет место интегральное представление где Е(х, у) — рассмотренное в пункте 1° § 3 введения эле- элементарное решение уравнения Лапласа, con = fr^m ^пП/2 — площадь единичной сферы в Еп, а Г — гамма-функция Эйлера. Для вывода формулы E) выделим точку х из области D вместе с замкнутым шаром \у — х\^е. радиуса е, лежа- лежащим в D, и для оставшейся части De области D, ограни- ограниченной поверхностью S и сферой | у — х | = е, применим формулу B), в которой v (у) — Е(х, у):
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 46 Учитывая то обстоятельство, что на сфере \у—je| = s Е{х, у) = \ (« п>2, - log е, n — 2, дЕ{х,у)_ dv,, ~ lib е —О — х =t 3 ел-1 Ш»» в силу D) из формулы F) в пределе при e-vO получаем интегральное представление E) (рис. 2). 3°. Формулы о среднем арифметическом. Если шар | у — х | «£ R лежит целиком в области D гармоничности функ- функции и(х), то значение этой функции в центре шара равно среднему арифметическому ее значений на сфере | у — х | = R. Действительно, так как на сфере \y-x\~R имеют место равенства П>2' Рис. 2. то в силу D) из формулы E), написанной для шара \y — x\<.R, получаем )у — ж u{y)dsy. Записывая формулу G) для сферы \у — х\ = { и {у) dsy G) в виде I»—*l—
'в ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА и интегрируя по р в промежутке 0^p^.R, получаем u{j,)dxu, (8) R где dtj, — элемент объема по переменному у, а — объем шара \у — x\<.R. Формулы G) и (8) известны под названием формул о среднем арифметическом для гармонических функций по сфере и по шару соответственно. При л = 2 и га = 3, пользуясь полярными координа- координатами, формулу G) можно записать еще в виде u(x!+R cos 6, x2 + tfsin6)de (9) 2л и (хъ х2, ха) = ^ ^ d9 J ы (хх + «/1, *а +1/2, х3 + у3) sin где yi = R sin 6 cos ч|), у2 = R sin 9 sin г|\ ys = R cos 6. 4°. Принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле. Обозначим соответственно через М и /га верхнюю и нижнюю грани значений в области D гармо- гармонической функции и(х). На основании формулы (8) легко, установить следую- следующее свойство гармонических функций, известное под назва- названием принципа экстремума для гармонических функций: отличная от постоянной гармоническая в обла- области D функция и(х) ни в одной точке xeD не может принимать ни значения М, ни значения т. Когда М = + оо или /га = — оо, справедливость этого утверждения очевидна, ибо в каждой точке области D функция и(х) принимает лишь конечное значение. Когда же Мф-\-оо, допустим обратное, т. е. и(хо) = М, ^еД и рассмотрим шар | х — х01 < е, лежащий в D. В каждой точке этого шара и (х) = М. Действительно, если бы в точке у при | у — х01 < е имело место неравенство и (у) < М (неравенство и (у) > М исключено), то в силу непрерывности и (х) это неравенство сохранилось бы всюду в некоторой окрестности |£ — у|<6 точки у и на основа-
§ 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 47 нии формулы (8), примененной в случае шара \х — хо|<е, получилось бы бессмысленное неравенство М<СМ. Следо- Следовательно, и(х) — М всюду в шаре \х — дго|<:е. Пусть теперь х — произвольная фиксированная точка области D и / — непрерывная кривая, соединяющая xcjto и лежащая в D. Пусть число е меньше, чем расстояние между границей S области D и кривой /. Передвигая центр у шара | т) — у | < е из точки х0 в точку х по кри- кривой / и пользуясь уже доказанным фактом, что при любом положении у внутри этого шара и = М, получаем и (х) = М. Следовательно, и (х) — М всюду в области D. Полученное противоречие доказывает справедливость первой части сформулированного утверждения. Аналогично доказы- доказывается и вторая его часть. Если дополнительно известно, что гармоническая в области D функция и (х) непрерывна в D[)S, то она обязательно примет свое максимальное {минимальное) зна- значение в некоторой точке х0 е D \J S. В силу только что доказанного свойства гармонических функций точка экст- экстремума х0 не может быть внутренней для области D и, стало быть, х0 е S. Из принципа экстремума для гармонических функций следует, что сформулированная в пункте 4° § 3 введения задача Дирихле не может иметь более одного решения. В самом деле, если и(х) и v (x) являются решениями этой задачи (см. краевое условие D2) введения), то их разность w (х) = и (х) — v (х) будет равна нулю на границе S области D и поэтому в силу принципа экстремума w (х) = О, т. е. и (х) — v (х) всюду в D [) S. § 2. Понятие функции Грина и решение задачи Дирихле для шара и полупространства 1°. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Функцией Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области D называется функция G(x, l) двух точек х, %^D[)S, обладающая свойствами: 1) она имеет вид G{x, &)«£(*, l) + g[x, I), A0) где Е (х, £,) — элементарное решение уравнения Лапласа, а ё (х> I) ~ гармоническая функция как по x^D, так и
48 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА по JeD, и 2) когда тонка х или | лежит на границе S области D, то G{x, £) = 0. A1) Легко видеть, что G(x, £)SsO всюду в области D В самом деле, обозначим через De часть области D, лежа- лежащую вне шара \у — £|=^6, £eD, достаточно малого радиуса б. Так как lim G(x, £)= + оо, то при достаточно малом 6 имеем G(x, £)>0, когда |д; — ||<б. Следова- Следовательно, на границе области Da имеем G(x, |)>0 и, Рис. 3. стало быть, в силу принципа экстремума, G(x, |)^0 для всех xeDfi. Отсюда заключаем, что G(x, |M?0 всюду bD[)S. Функция Грина G(x, у) симметрична относительно точек х и у. Чтобы обнаружить этот факт, лежащие в области D точки хну удалим из этой области вместе с замкнутыми шарами d: \z — х|^б и d'\ \z — y\^b достаточно малого радиуса б и оставшуюся часть области D обозначим через Da (рис. 3). Функции v(z) = G(z, у) и u(z) = G(z, x) гармоничны в области D вне &' и d соответственно. Применяя фор- формулу B) для области D6, будем иметь
5#2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 49 где v^ — внешняя нормаль в точке г на S и на сферах С: |z —jej = fi, С: \z — y\=b. Эту формулу в силу равенств G(z, x) = G(z, z/) = 0, zsS, можно переписать в виде Отсюда с учетом того, что G{z, x) = E(z, x) + g(z, x), G{z, y) = E(z, y) + g{z, у), где g(z, x) и g(z, у) — гармонические функции, в пределе при Ь-*-0, как и при выводе формулы E), получаем G(jc, y) = G{y, x), что и требовалось доказать. Если в равенстве E) примем, что и (х) — решение задачи Дирихле для уравнения. Лапласа, и вместо Е(х, у) возьмем G(x, £), т0 повторением приведенного выше при выводе формулы E) рассуждения с учетом A0) и A1) получаем где ф —заданная действительная непрерывная функция. Когда функция Грина известна, формула A2) дает решение задачи Дирихле в следующей постановке: ищется гармоническая в области D функция и (х), непрерывная в D U S и удовлетворяющая краевому условию lim u(x) = <p(xo), Xo&S, xaD. A3) Гармоничность представленной формулой A2) функции ы(л;) следует из гармоничности функции Грина G(x, I) по х при хф\,. То, что эта функция удовлетворяет и краевому условию A3), требует особого доказательства. 2°. Решение задачи Дирихле для шара. Формула Пуас- Пуассона. Мы сейчас явно построим функцию Грина, когда D представляет собой шар, и в этом случае покажем, что представленная формулой A2) гармоническая функция действительно удовлетворяет краевому условию A3).
50 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Пусть область D представляет собой шар |х|< 1, ахи £ —внутренние точки этого шара. Точка 6' = Tjhi симмет- симметрична точке % относительно сферы S: | х | = 1. Покажем, что функция Грина G (х, I) задачи Дирихле для шара | х | < 1 имеет вид ,l) = E{x, t)-E(\x\l, ^). A4) Действительно, ввиду того, что =161 J_ II,2 A5) функция §(д;,g) = — е(\хЦ, ^ при |д;|<1, |||<1 является гармонической как по я, так и по |. А при |6| 1 | = 1 имеем A6) Следовательно, представленная формулой A4) функция G(x, l) удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к функции Грина. Так как при |6|=1 в силу A6) (х, I) _ __ J=l \1-х\я \* Е-т то формула A2) в рассматриваемом случае запишется следующим образом: i S f^ A7) Эта формула носит название формулы Пуассона.
$ 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 51 В случае п — Ъ и п — 2 формула Пуассона в поляр ных координатах запишется соответственно в виде Я 2Л ф = ф(|1) |2l |3), |х = sin ■& cos \р, ^2 = sin ■& sin ^J), |3 = cos ■&, | jc | cos y = x\, U (Xi, X%) = = ^ S l-2i«|ij(d-^-t-'«»ф(COS*• sin^<**• (!8) Xi = I д: | cos ■&, xa = |A:|sind, Формула A7) была выведена для единичного шара с центром в точке х = 0. Если и (х) — гармоническая в шаре \x\<R функция, непрерывная в замкнутом шаре | х | «=£ R и удовлетворяющая краевому условию lim и (х) = = ф(У). |*|<#, \У\ = Я, то функция v(z)=*u(Rz) будет гармонической в шаре | г | < 1, непрерывной при | г | < 1 и удовлетворяющей краевому условию lim w (г) = ф (/?/), |г|<1, |<| = 1. Поэтому в силу формулы A7) имеем или, после замены y=R%, Пусть ы (л;) — гармоническая в шаре | х — х01 < /? функ- функция, непрерывная вплоть до границы и удовлетворяющая краевому условию limu(x) = (p(y), !x — xo'<cR, \y — — Xo[ = R. Так как функция w (г) = и (г + Jfo) гармонична
52 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА в шаре | z | < R, непрерывна при | z | sg R и удовлетворяет краевому условию lima>(z) = (p(f + Xo), |z|<#, \t\*=R, то в силу A9) можем написать откуда сразу следует формула Пуассона для шара \х — — xo\<R: IE—x При х = х0 из формулы B0) снова получаем формулу G) о среднем арифметическом. 3°. Проверка краевых условий. Теперь покажем, что определенная по формуле Пуассона функция и (х) удовлет- удовлетворяет краевому условию A3) и, стало быть, эта формула дает решение задачи Дирихле в приведенной выше поста- постановке. Ради наглядности рассуждения ограничимся рассмот- рассмотрением случая п = 2. Так как и(х) = 1 является гармо- гармонической функцией, удовлетворяющей краевому условию \imu(x)=\, |х|<1, где х0 — произвольная фиксирован- ная точка на окружности |х| = 1, то для всех точек х в круге |х|<1 из формулы A7) получаем 2я Йгт^!. Ь = cos ^, 6,-sint. B1) На основании формул A7) и B1) имеем 2л B2) В силу равномерной непрерывности функции ср на окружности |х| = 1 для любого наперед заданного е>-0 существует б (е) > 0 такое, что для всех if и я|з0, ^ = cos of, ga ж= sin -ф, x10 = cosi|3o, *2o = sini|)o, удовлетворяющих ус- условию | if — ifo I < б, имеет место неравенство B3)
* 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 53 Перепишем выражение B2) в виде где Фо+й 2л На основании B1) и B3) заключаем, что |/х|<;е. После выбора 6(е) возьмем х настолько близко к х0, чтобы имело место неравенство max т. е. | /а I < е- Следовательно, | и (х) — ф (х0) К 2в и, стало быть, 4°. Решение задачи Дирихле для полупространства. Рассмотрим теперь случай, когда область D совпадает' с полупространством хп>0, а от искомого решения за- задачи Дирихле потребуем, чтобы оно было ограничено. Пусть х и £ — точки этого полупространства, a £' = (li, ... .... £„_!, — 5п) — точка, симметричная точке £ относитель- относительно плоскости Ъп = 0. Так как функция g(x, £) =— Е (х, £') при хп > 0, In > 0 является гармонической как по х, так и по I и, кроме того, Е(х, £) — Е(х, Ъ') = 0 при £» = (), то G(x, l) = E(x, t)-E(x, V) B4) является функцией Грина для рассматриваемого полу- полупространства. Будем предполагать, что для искомого решения и (х) задачи Дирихле в рассматриваемом случае справедлива формула A2). Это заведомо так, если для всех xsD при |х|-*-оо А ди
54 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА где А и h — положительные постоянные. В соответствии /л—1 v 1/2 с этим при больших б = [ У\ уц и заданная на плос- \ / кости у„ — 0 функция ф(ух, ..., уп-х) должна удовлетво- удовлетворять условию Подставляя выражение G (х, |) из формулы B4) в пра- правую часть формулы A2) и учитывая, что dG (х, I) __ dG(x, %) = %n-xn dln \t-x" il'—x i" при £„ = 0, получаем формулу и , .. = Г (я/2) ^ С фСЬ, .... U-i) я"' J "]п/2 S»=o S ^-! дающая решение задачи Дирихле с краевым условием lim и (х) = ф (ft, ..., !/„_!), х„>0, уя = 0, B6) для полупространства хп>0 и носящую также название формулы Пуассона. Тот факт, что определенная по формуле B5) функция удовлетворяет краевому условию B6), доказывается точно так же, как это было сделано выше в случае задачи Дирихле для круга. Решение задачи Дирихле для полупространства п 2 akxk — b>0 редуцируется к рассмотренному случаю, если учесть, что наряду с и (х) гармонической является и функция u(kCx-{-h), где Х — скалярная постоянная, С — постоянная ортогональная матрица, a h —постоянный вектор (см. пункт 1° § 1 настоящей главы). 5°. Некоторые важнейшие следствия, вытекающие из формулы Пуассона. Теоремы Лиувилля и Гарнака. Из формулы A9) следует справедливость утверждения: если
I 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 55 гармоническая в пространстве Е„ функция и (х) всюду неотрицательна (неположительна), то она постоянна. Действительно, так как при \x\<R, \у|.= R имеют место неравенства R — \х\^\у — x\<R-\-\x\ и по усло- условию и(х)ЗгО, то из формулы A9) в силу G) следует, что £/?^(Я-Тж;уг-1в(°) <27> для любого /?>0. Отсюда, произвольно фиксируя точку хб£л и затем устремляя R к бесконечности, получаем, что в каждой точке х пространства Е„ функция и (х) = — и @). Из формулы B7) также непосредственно вытекает справедливость следующей теоремы Лиувилля: если гармоническая в Еп функция и (х) ограничена сверху (снизу), то она постоянна. В самом деле, пусть и (х) «^ М для всех х е Еп, где М — постоянная. Так как функция М — и(х) гармонична в Еп и неотрицательна, то, как только что было дока- доказано, М — и (х) = М — и @), т. е. и (х) = и @). Теорема Лиувилля позволяет утверждать, что рассмо- рассмотренная в предыдущем пункте задача Дирихле для полу- полупространства хп>0 в классе ограниченных функций не может иметь более одного решения. Действительно, разность v (х) = иг (х) — ы8 (х) любых двух решений иг(х) и иг(х) этой задачи удовлетворяет краевому условию v (х) = 0 при хп = 0. Рассмотрим функ- функцию w (х) ( v(хи .... хп), \ -и(Хи ..., - Хп), которая гармонична как при хл>0, так и при х„<0. Более того, функция w(x) гармонична во всем простран- пространстве Еп, ибо в шаре \x\<R при любом R>0 она сов- совпадает с гармонической функцией w* (x), удовлетворяю- удовлетворяющей краевому условию w* (х) = w (х) при \x\ = R. Так как по условию w (x) ограничена, то в силу теоремы Лиувилля она постоянна. Но w(x) = Q при хп = 0, т. е. w(x) = 0 всюду в Еп и, стало быть, и1(х) = и2(х). Пользуясь принципом экстремума для гармонических функций и формулой Пуассона B0), легко можно полу-
86 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА чить доказательство следующей теоремы Гарнака: 00 если ряд 2 uk{x) гармонических в области D функций uk (х), непрерывных в D \J S, равномерно сходится на гра- границе S области D, то этот ряд равномерно сходится в D [J 5 и его сумма и(х) гармонична в D. Действительно, из равномерной сходимости ряда оо 2 "*(#)> У^8, следует, что для любого е>0 сущест- вует такой номер # (е), что для всех р 3s 1 имеет место р неравенство ^ р Отсюда, ввиду того, что конечная сумма 2 гармонична в D и непрерывна в D U S, в силу принци- р па экстремума заключаем, что <е для всех х из D U 5. Последнее неравенство, как известно из курса математического анализа, является условием, необ- необходимым и достаточным для равномерной сходимости ряда |j uk(x) в D U S. Пусть х0 — произвольная точка области D и шар | у — — x»\<C.R лежит внутри D Каждую гармоническую функцию и/, (х) в этом шаре можно представить форму- формулой Пуассона B0): Следовательно, так как равномерно сходящийся ряд можно интегрировать почленно, имеем .4»
$ 3- ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ МАСС 8? откуда и следует гармоничность и(х) в шаре \х — xu\<.R. Так как х0 — произвольная точка области D, то тем са- самым гармоничность и(х) доказана всюду в D. § 3. Потенциал объемных масс Г. Непрерывность потенциала объемных масс и его производных первого порядка. Функция и (х), определен- определенная по формуле B8) в случае сходимости интеграла в правой части этой фор мулы, называется потенциалом объемных масс, распре- распределенных по области D с плотностью ц. В дальнейшем будем считать, что область D ограни- ограничена. Поскольку Е(х, I) при хф\ является гармонической функцией, потенциал объемных масс и(х) гармоничен, когда точка х лежит вне D [} S, где S —граница обла- области D. Кроме того, при «>^ он стремится к нулю при | | | Докажем справедливость следующего утверждения: если функция ц ограничена и непрерывна в D, то потен- потенциал и (х) объемных масс непрерывен и имеет непрерыв- непрерывные производные первого порядка всюду в Е„, причем /-1 п. B9) Пусть в — наперед заданное достаточно малое положи- положительное число. Рассмотрим функцию ut{x)=\Ee(x, Dvmdxt, C0) D где Ег (х, I) — непрерывно дифференцируемая в Е„ функ- функция, которая вне замкнутого шара || — х\^е. совпадает с Е(х, I). В качестве Ее(х, I) в шаре || —х|<е можно брать при п>2 (мы здесь ограничимся рассмотрением именно этого случая), например, функцию
58 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Очевидно, что так определенная функция ие(х) непре- непрерывно дифференцируема всюду в Еп. Ввиду того, что в силу B8), C0) и C1) имеет место оценка 8 «опМ где M — sup\n(l)\, при е->0 функция ие(х) стремится к и (х) равномерно относительно х. Отсюда следует, что и (х) непрерывна в Е„. Далее, так как Р. (г t\ _. . . t=l п, D и несобственный интеграл в равномерно сходится, то для разности получаем оценку равномерную относительно х. Отсюда, как и выше, учи- учитывая непрерывность функции "! '*', заключаем, что функция и(*) для всех хе£, имеет непрерывные част- частные производные первого порядка, которые могут быть вычислены по формуле B9). 2°. Существование производных второго порядка по- потенциала объемных масс. Теперь нетрудно показать, что если плотность ц имеет непрерывные частные производ- производные первого порядка, ограниченные в D, то потенциал объемных масс B8) имеет частные производные второго порядка в D.
$ 3. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ МАСС 59 Действительно, формулу B9) в силу равенства дЕ (х, Е) дЕ (х, I) —д ' w = \' ь/ перепишем в виде или, после интегрирования по частям, g- = - [ E(x, I) ц(£)со8^,-<Ц+ {щ.Е(*> 6)<*Ч, C2) где V| — внешняя нормаль к S в точке £. При х е D первое слагаемое в правой части C2) имеет непрерывные производные по xit которые могут быть получены внесением операции дифференцирования под знак интеграла. Ввиду непрерывности и ограничен- ограниченности ~ в области D и второе слагаемое в правой части этой формулы имеет непрерывные производные первого порядка D D (=1, ..., п. Тем самым доказано существование непрерывных про- производных второго порядка у функции и{х) при jteD, причем д*и Следовательно, при xeD имеем
вО ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА где De — часть области D вне замкнутого шара || — х| =<е. л Так как ^ ^д*' а==0 и> егало быть' 2dv.dE, _ у д_(дВ dlid%i- Ld^dl при \Фх, в результате интегрирования по частям и применяя формулы (GO) можем написать ^*,. C4) 16-*|-в На основании C3) и C4) при xeD имеем — Иш J ^|^^-ц(х)Нгп f e^°llJ| ^°IS J —*J-e :). C5) Здесь мы пользовались тем, что граница 5 области D является гладкой поверхностью. Это требование ста- станет излишним, если функцию и (х) представить * в виде «(*)= J Е{х, 6I1F)^+ $ Е(х, где шар |g —x|s^-R лежит в области D, a DR — часть D вне шара \\ — x\^R. В правой части этого представле- представления первое слагаемое гармонично внутри шара || — *!</?, а для второго слагаемого, очевидно, годится приведенное выше рассуждение. Аналогично выводится формула Ди = —2щ(х), если предположить, что п=2. 89. Уравнение Пуассона. На основании формулы C5) заключаем, что функция и(х), определенная формулой i36)
$ S. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ МАСС 61 где G(x, I) —функция Грина задачи Дирихле для гармо- гармонических функций в области D, а функция f(x) ограничена и имеет непрерывные первые производные, ограниченные в D, является регулярным решением уравнения Пуассона Au = f(x), xt=D. C7) Покажем, что функция и (х) удовлетворяет краевому условию lim и(х)=0, *€=£>, xoe=S. C8) Мы не вправе переходить к пределу под знаком интеграла в правой части формулы C6), ибо стремление к нулю функции Грина G(x, l) при x-*-xeeS не является равномерным относи- относительно £eZ). Поэтому поступим следующим образом. Представим функцию и(х) в виде S . Рис.4. где de = £>f"|{|x — х0 <е}, а £>е — часть D вне шара |£-Xol=eSe (рис. 4). Очевидно, что lim J G(x, ^ J lim G(x, Если мы покажем, что для всех х е de имеет место оценка где Hm^V(e)=»0, то в силу ограниченности функции f{x) 8-»0 равенство C8) будет доказано. Обозначим через SR сферу | у — I. = R с центром в точке l^D настолько большого радиуса, что при любом \D
62 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА эта сфера содержит внутри себя область D. Пусть Q{x, Ъ) = Е{х, Ъ)-Е(у, I), \y-l\ = R.. Очевидно, что в шаре || — x\<.R функция Q(x, |)SsO, а на границе S б D р области D G(x, S)- Отсюда, учитывая гармоничность G (x, Q — Q (х, |) в обла- области D, в силу принципа экстремума заключаем, что всюду в области D. Из полученного неравенства непосред- непосредственно следует интересующая нас оценка \ $ Q(x, ибо интеграл от Q{x, 5) по области de равномерно сходится. Таким образом, при наличии функции Грина G(x, £) потенциал и(х) объемных масс, определенный по формуле C6) в области D, дает решение однородной задачи Дирихле C8) для уравнения Пуассона (Ъ7\ Подставляя выражение A4) функции Грина G(x, £) в правую часть формулы C6), получаем в квадратурах решение однородной задачи Дирихле C8) для уравнения C7) в случае единичного шара. Пусть теперь вместо однородного краевого условия C8) задано неоднородное краевое условие lim u(x) = q>(x0), леО, JosS. C9) Если v (х) — гармоническая в области D функция, удовлетворяющая краевому условию C9), т. е. lim v(x)-- а и {х) — искомое решение неоднородной задачи Дирихле C9) для уравнения C7), то разность и (х) — v (х) = w (x) будет регулярным решением уравнения Aw = /(x), леО, удовлетворяющим однородному краевому условию limw(x) = 0, x&D, JC0e5. D0) ♦ -►*,
3. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ МАСС вз Тем самым задача отыскания решения и (х) неоднород- неоднородной задачи Дирихле C9) для уравнения C7) приведена (рее! щирована) к отысканию решения w (x) этого же урав- уравнения, удовлетворяющего однородному краевому усло- условию D0). 4°. Формула Гаусса. Ниже придется пользоваться формулой — frt« с f— И . 6)Л,- 1 - 2 w»> о, D1) где d —произвольная конечная область с достаточно глад- гладкой границей а, а С (d U а) — дополнение d(]o до полного пространства £„ (рис. 5). Третье из равенств D1) следует из формулы D) в силу гармоничности Е(х, |) по х при х Ф |. Когда же | е d U о, часть области d вне пересе- пересечения dg замкнутого шара \х — — 5|^8 с d[}a обозначим через de. При достаточно ма- малом е множество de представ- представляет собой область, граница которой состоит: 1) из а при led или из ее части ах вне шара \х — 5|<е при ^еи; 2) из сферы | л: — 51 = e при | е d или из части аа этой сферы, лежащей в d при 5 е а. Опять в силу гармоничности Е (х, 5) при х основании D) имеем Рис. 5. на ел-1 .-о»., led, D2) D3) Последнее равенство написано с учетом того, что форму- формула D) остается в силе и в том случае, когда граница
84 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА области является кусочно-гладкой поверхностью. Равен- Равенство D2) представляет собой первое из равенств D1), а равенство D3) в пределе при е-vO переходит во второе из равенств D1). Для потенциала и(х) объемных масс, распределенных по области D с плотностью ц, на основании D1) непо- непосредственно получается формула Гаусса D4) где d —любая область пространства Еп с достаточно глад- гладкой границей а. Действительно, так как то С ди (х) , С . (' 1 ~з— usx = \ d^jf \ д S%?. D5) a где di — часть D, лежащая вне d|Jo- В силу D1) второе слагаемое в правой части D5) равно нулю, а первое слагаемое совпадает с- правой частью формулы D4). § 4. Потенциалы двойного н простого слоя 1°. Определение потенциала двойного слоя. Пусть D— ограниченная область пространства Еп с достаточно глад- гладкой границей 5, а ц, — заданная на S действительная непрерывная функция. Потенциалом двойного слоя масс, распределенных по поверхности S с плотностью и, называется функция J) -
« 4. ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОЙНОГО И ПРОСТОГО СЛОЯ 65 Так как |eS, Е(х, I) при хФ\ является гармони- гармонической функцией и —Р' ^ стремится к нулю при |дс|-»-оо, то потенциал двойного слоя D6) во всем пространстве Е„, за исключением поверхности S, является гармонической функцией, исчезающей при |дс|-*-оо. Для области D и для дополнения D \J S до всего про- пространства Е„ примем обозначения D+ и D~ соответственно. Подынтегральное выражение в правой части формулы D6) при п = 3 имеет простой физический смысл. Действительно, пусть |' и \" — точки на нормали Vj к поверхности S в точке |, расположенные симметрично относительно |, причем |' е D+, |" e D-. Предположим, что в точках £' и |" сосредоточены соответственно электри- электрические заряды — fi0 и Цо такие, что при ||" —1'|-*-0 все время 1ГП Ш Потенциал поля, созданного этими зарядами в точке хф\, имеет вид Но Но \\"—х\ |£'— х\' Предельное расположение зарядов при ||" —1'|->-0 носит название диполя, а величины \i и v^ — его момента и оси соответственно. По определению производной в данном направлении очевидно, что 1 1 = ц lim >р>_гч[ч'1-х ~^ir) = V--foE{x, I). Выясним характер поведения функции и(х) при пере- переходе точки х из D* в D-. Ограничимся рассмотрением случая двух независимых переменных, т. е. когда D7) причем будем предполагать, что S является простой замкнутой кривой Жордана с непрерывной кривизной, а ц —дважды непрерывно дифференцируемой функцией. 3 А. В. Бицадзе
66 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Дуговые абсциссы точек л;0 и | на S (т. е. длины дуг на S, отсчитываемые от фиксированной точки против часовой стрелки до точек х° и |) обозначим через $и/ соответственно. Покажем, что потенциал двойного слоя D7) имеет смысл и при х = х°. В самом деле, для функции я/С (s, 0 = д— l°g 11 — х° | имеем где d(s, O = Легко видеть, что функция К (s, /) непрерывна по сово- совокупности переменных s, t на S. Действительно, примем обозначения a(s, 0_ц=£Уа., Р(в, o.bw--^w. Очевидно, что Si @ - 4 (s) = (t-s)\y\[t+x(s- О] dt, о где f/i = f/i (г), г/г — параметрическая запись уравнений кривой S, а / — длина ее дуги. В силу D8) имеем откуда следует, что f"'s) AT(s) где /((s) — кривизна кривой S.
4. ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОЙНОГО И ПРОСТОГО СЛОЯ 67 Доопределим К (s, t) при t = s как Учитывая то обстоятельство, что в силу непрерывности кривизны кривой S функции а, р, a't, Р< непрерывны по совокупности переменных, а а2-(-Р2=^0 для всех значе- значений s, t на S, убеждаемся в справедливости сформулиро- сформулированного утверждения. Из непрерывности функции К (s, f) следует, что потен- потенциал двойного слоя D7) при х° е S: 1 f cosq) m Wo ^ илееет сшсл и представляет собой непрерывную функцию. на S. 2°. Формулы скачка для потенциала двойного слоя и редукция задачи Дирихле к интегральному уравнению. Пусть d — круг | х — х° | < е с центром в точке «°eS достаточно малого радиуса е, a S' — часть S, лежащая внутри d. Обозначим через v(x) функцию, непрерывную вместе со своими производны- производными первого и второго порядка в области d' = d(]D+ вплоть до ее границы и удовлетво- удовлетворяющую условиям . . , . dv (x) . Рис. 6. Пусть а — часть окружности в области D+ (рис. 6). Интегрируя тождество *c=S\ E0) | х — х° | ■= в, лежащая 2 по области d' (в случае, когда точка x&d'[)S', эту точку в*
68 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА следует выделить из d' [} S' вместе с замкнутым кругом || — х|ss5 достаточно малого радиуса б, брать интеграл по оставшейся части области d' и устремить б к нулю) и учитывая равенства E0), мы можем написать J log l-x\Aodxlt E1) d' где 2л, х е= d', q(x)= n, xeS', E2) 0, х «ее D~. Записывая потенциал двойного слоя D7) в виде где S" — часть S, лежащая вне круга d, и пользуясь равенством E1), получаем E3) Интегральные члены в правой части E3) непрерывны при переходе точки х из области D+ в область D~ через х°. С учетом этого обстоятельства и равенств E2) для величин lim u(x), иг(х°)= lim u(x), получаем соотношения 5 E4) E5)
§ 4 ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОЙНОГО И ПРОСТОГО СЛОЯ 69 Таким образом, мы пришли к заключению, что потен- потенциал двойного слоя D7) при x->Jt°eS претерпевает разрыв со скачками, выраженными формулами E4) и E5). Ввиду того, что интегральные члены в правой части E3) непрерывно дифференцируемы при переходе точки х из D" в Z> через точку х°, на основании E0) и E2) заключаем, что существуют пределы ,. ди I ди \+ ,. ди I ди \- lim а— = (а . 'ИЛ 3— = isr~ причем „ I6fl- ди \- Установленные выше свойства потенциала двойного слоя остаются в силе и при более слабых предположениях относительно гладкости границы S области D и функции \i, например при требовании одной лишь непрерывности ц.. Решение и(х) задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области D+ с краевым условием u+(xo) = g{Xo), x°eS, E6) в случае непрерывности кривизны кривой S и функции g(x°) будем искать в виде потенциала двойного слоя D7) с неизвестной плотностью \i. Для того чтобы представленная формулой D7) гармо- гармоническая в области D+ функция и (х) удовлетворила крае- краевому условию E6), в силу D8), D9) и E4) мы должны иметь ,ф)+$ К (s, t)ii(t)dt = -2g{s). E7) Равенство E7) представляет собой относительно |i линей- линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Ниже в пункте 1° § 3 главы V будет доказано, что интегральное уравнение E7) имеет единственное решение ц. Следовательно, мы приходим к заключению, что потенциал двойного слоя D7), плотность ц которого удовлетворяет интегральному уравнению E7), представляет собой реше- решение задачи Дирихле с краевым условием E6) и тем самым существование решения этой задачи доказано,
70 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 3°. Потенциал простого слоя. Задача Неймана. Потен- Потенциалом простого слоя масс, распределенных по поверхно- поверхности S с плотностью ц, называется функция _ (х, е) ц (£) ds%, E8) S гармоническая во всех точках х пространства Еп, не ле- лежащих на S, и стремящаяся к нулю, когда |*|->-оо при «>2. В случае же « = 2 имеем 1 С 1 или откуда следует, что lim u(x)==0 лишь при условии, что |Х|->ОО При изучении свойств потенциала простого слоя огра- ограничимся рассмотрением случая п — 2 в предположениях непрерывности кривизны кривой S и дважды непрерывной днфференцнруемости функции ц. Повторяя процедуру, использованную выше при выводе формулы E3), стой лишь разницей, что на этот раз и(х) берется по формуле E9), a v (x) вместо E0) удовлетворяет условиям с(*) = 0' -Я£°(*)=Ф(*). *eS\ F0) получаем
§ 4. ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОЙНОГО И ПРОСТОГО СЛОЯ 71 В силу формулы F1) потенциал простого слоя E9) представим в виде og\l-x\AvdTi. F2) Из формулы F2) в силу непрерывной дифференцируе- мости интегральных членов в правой части всюду в Ег вне дуг S" иос учетом равенств E2) и F0) заключаем, что при переходе точки х из области D+ в область D~ через точку x°eS потенциал простого слоя E9) остается непрерывным, а его нормальная производная -^— претер- претерпевает разрыв, так что В формулах F3) и F4) ди (хР) 1 1 с (Е x°)v где Доопределяя /С* (s, f) при < = s как lim/C*(s, /), как и в t-*s пункте 1° при рассмотрении функции /C(s, t), убеждаемся в непрерывности этой функции по совокупности перемен- переменных s, t. Задача Неймана (или вторая краевая задача) теории гармонических функций заключается в требовании опреде- определения гармонической в области D+ функции и(х), непре- непрерывной вместе со своими производными первого порядка в D+ U S и удовлетворяющей краевому условию *°^S. F7)
72 ГЛ. I УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Если и (х) и у (л:) —два решения задачи Неймана, то для их разности и (х) — v (x) = w (x) в силу F7) будем иметь -g—= 0, ^eS, откуда в силу доказанного в пунк- пункте 1° § 1 настоящей главы свойства 2) гармонических функций заключаем, что w (х) = const, т. е. v(x) = u(x)-\- -f const. Следовательно, если функция и(х) является реше- решением задачи Неймана, то решением этой задачи является и функция v (х) = и (х) + С, где С — произвольная действи- действительная постоянная. Из формулы D), выражающей свойство 3) гармониче- гармонических функций, в силу F7) следует необходимость условия s = 0 F8) для разрешимости задачи Неймана с краевым условием F7). Если решение и (х) задачи Неймана будем искать в виде потенциала простого слоя E9) с неизвестной плотностью ц, то в силу F3), F5) и F7) для определения функции ц получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода VL{s) + lKt(s;t)VL{t)dt = 2g(s), F9) к ядро которого К* (s, t) дается формулой F6). Ниже будет доказано, что выполнение условия F8) является не только необходимым, но и достаточным для существования решений задачи Неймана (см. гл. V, § 3, 1°). 4°. Внешние задачи Дирихле и Неймаиа. Краевые задачи ставятся не только для ограниченных, но и для бесконечных областей. Так, например, задача Дирихле для введенной в пункте 1° § 4 настоящей главы беско- бесконечной области D~ с границей S состоит в определении регулярной гармонической в этой области функции и(х), удовлетворяющей краевому условию и-(у)=*Ч>(У), yeS, G0) где у —заданная действительная непрерывная функция. Краевую задачу в такой постановке, в отличие от задачи Дирихле для конечной области /> (внутренней задачи), естественно называть внешней задачей Дирихле. Как уже было сказано в пункте 1° § 1 настоящей главы, регулярность гармонической в D~ функции и(х)
§ 4. ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОПНОГО И ПРОСТОГО СЛОЯ 73 означает, что при х -»-оо эта функция стремится к нулю не медленнее, чем |х|2~", когда п>2, и стремится к ко- конечному пределу, когда п = 2. В результате инверсии х' = —^- область D~ с грани- границей S переходит в ограниченную область D' с границей S' в пространстве Е'„ переменных х\, ...-, х'„. Без ограни- ограничения общности можем полагать, что точка х = 0 входит в область D+. Рассмотрим функцию v (х') = ! х' \2~пи гармоническую в области D'. В силу G0) функция v(x') должна удовлетворять краевому условию y'^S'. G1) Если v (х') является решением задачи Дирихле в обла- области D', удовлетворяющим краевому условию G1), то функция ) будет решением внешней задачи Дирихле, удовлетворяющим краевому условию G0). Из сказанного следует, что решение внешней задачи Дирихле, когда D~ — внешность замкнутого шара | х \ =^ 1, удовлетворяющее краевому условию G0) на сфере \у\ = \, дается формулой i6ii Очевидно, что в приведенной выше формулировке внешняя задача Дирихле не может иметь более одного решения. Если искать решение внешней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя D7), то для определения плот- плотности \а в силу E5) получится интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Внешняя задача Неймана заключается в отыскании регулярной гармонической в области D~ функции и{х),
74 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА удовлетворяющей краевому условию где V — нормаль к S, а ф— заданная действительная непрерывная функция. Внешнюю задачу Неймана нельзя свести к аналогич- аналогичной задаче для ограниченной области, как это было сделано в случае внешней задачи Дирихле. Однако, если искать решение этой задачи в виде потенциала простого слоя E9), то для определения неизвестной плотности \\, в силу F4) получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода. § 5. Некоторые сведения из общей теории линейных эллиптических уравнений второго порядка 1°. Сопряженные операторы. Формула Грина. Задан- Заданному в области D пространства Еп линейному дифферен- дифференциальному оператору второго порядка = I Ал< при наличии частных производных первого порядка у коэффициентов Ау можно придать вид *-2 ■&{*»■&)+1«тк+с* G2) где 2^r, ;=1,...,л. G3) Когда функции е< (х) имеют частные производные пер- первого порядка, вводится понятие сопряженного оператора Оператор L называется самосопряженным, если равен- равенство Lu = L*u выполняется тождественно.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБШЕИ ТЕОРИИ 75 В силу G2), G3), G4) очевидно, что оператор L будет самосопряженным тогда и только тогда, когда всюду в области D. При требовании равномерной эллиптичности дифферен- дифференциального оператора L и достаточной гладкости границы 5 области D и функций и (х) и v (x) в результате интегри- интегрирования тождества а п vLu-uL*v = 2 4j[A»\UV-^U))+ 2-k{eiUV) по области D в силу формулы (GO) получаем формулу Грина J (vLu - uL*v) й\х =\[av^- uQp) ds5, b h где Qtv = a-M-bv' G5) N — единичный вектор — конормаль в точке ^gS с нап- направляющими косинусами п cos Nli = „ 2 Ai/ cosЯ» t = 1, .... л. v —внешняя нормаль к 5 в точке |, а В силу равномерной эллиптичности оператора L ко- конормаль N ни в одной точке | поверхности S не выходит в касательную плоскость и афО. 2°. Существование решений линейного эллиптического уравнения второго порядка. Обозначим через а^ отношение алгебраического дополнения элемента AtJ матрицы | Ai;-1
76 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА к детерминанту А = det | Ац \ и введем функцию а (х, I) = J] а,, (х) (х, - Ы (х, -$,), где х и £ —точки области D. Без ограничения общности будем считать, что а(х, £);>0. В силу равномерной эллиптичности оператора L суще- существуют положительные постоянные /г0 и kx такие, что Предположим, что в D \J S функции Aih Bt, С имеют непрерывные частные производные третьего и первого порядка соответственно. При х Ф £ для частных производных первого и второго порядка функции ^(х, £), определенной формулой 2—л 'oil)о 2 , п>2. имеем g- = Рг (а:, Е) - а0 (Е) а~ ^ 2 а«/ (х) & ~ Ъ)> " > 2, G7) = 0О(£H * [_агу(х)о(х, 1) + + «2 а» (*) fy (*)(**-£*)(*/-£/)+Л/(*. Е), G8) ft, (=i J где Pt(x, l) и Pij(x, l) при |х —Е|-»-0 являются беско- бесконечно большими, одинакового порядка с \х — £j2~" и \х — El1"" соответственно. Из G8) следует, что, когда л>2 и _ | Ач W dXi эх, ~ А л"{х>F" ^' v- W На основании G6), G7). G8) и G9) заключаем, что при |х — Е]-»-0 функция L^(x, l) обращается в беско- бесконечность как |х — I]1"".
§ 5. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ 7? Когда /1 = 2, считая без ограничения общности, что = О, i Ф /, аи = 1, i, / = 1, 2, при л: Ф \ получаем './=1 Функция где Do — подобласть области D с границей So, называется обобщенным потенциалом объемных масс, распределенных по области Do с плотностью \i. При требовании непрерывной дифференцируемое™ (а(£) в Do U So повторением рассуждения пунктов 1°, 2° § 3 настоящей главы заключаем, что Lw (х) = -V (х) + \ Ltp (x, I) ii (I) d4, (80) где в правой части второе слагаемое является обычным несобственным интегралом. Будем искать решение и(х) уравнения Lu = f(x) (81) в виде и (х) = «(*)+ [$(х, ЕМЕ)Л6, (82) D. где и (х) — произвольная действительная функция, непре- непрерывная в Do U So вместе со своими частными производными до третьего порядка, а ц — неизвестная пока действитель- действительная функция. В силу (80) представленная формулой (82) функция и(х) будет решением уравнения (81) тогда и только тогда, когда ц (х) + J /С (х, I) и (Е) d4 = F (х), (83) Do где К{х, £) = —Ы>(х, I). /?(х) = £(в(х)-ДдС). Равенство (83) относительно неизвестной функции и представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода, которое, как будет показано в главе V,
78 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА по крайней мере в случае области Do достаточно малого диаметра всегда имеет решение. Поскольку ю (х) — произвольная функция, тем самым доказано, что в достаточно малой окрестности каждой точки области своего задания уравнение (81) имеет целое семейство регулярных решений. Когда ю = гр(х, у), правая часть интегрального урав- уравнения (83) при у = х обращается в бесконечность как \у — хI1"", но по замечанию пункта 2° § 2 главы V мы вправе повторить приведенное выше рассуждение и утвер- утверждать, что формула (82) дает элементарное решение урав- уравнения (81): Е(х, у) = Ч(х \ Do 3°. Постановка краевых задач. Пусть /?,-(*), i=l, ... ..., п, q(x) и г(х) — заданные на границе 5 области D действительные функции. Широкий класс задач для урав- уравнения (81) охватывается следующей линейной краевой за- задачей Пуанкаре: найти регулярное в области D решение и(х) решения (81), удовлетворяющее краевому условию pi {x)dJer+?(*)" w=Т (*)• х е s< где под -V^- и и (х) понимаются предельные значения этих функций на S изнутри области D. В случае, когда р,- (х) = О, i = 1, .... п, q (x) Ф О, всюду на S, краевое условие (84) можно переписать в виде u(x) = g(x), (85) где g(x) = r(x)/q(x). Задача (81), (85) называется первой краевой задачей или задачей Дирихле. Частным случаем задачи Пуанкаре, при q (х) = 0 на S, является задача с наклонной производной Pi (X) 5— = ' \*)t JCfcO. \""/
§ 5. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕП ТЕОРИИ 79 Когда в краевом условии (86) всюду на S xh i=l, .... п, задача с наклонной производной называется второй крае- краевой задачей или задачей Неймана. 4°. Принцип экстремума Единственность решения за- задачи Дирихле. В теории эллиптического уравнения (81) важную роль играет следующий принцип экстре- экстремума: если в области D всюду С{х)<0, (87) то регулярное в этой области решение и(х) однородного уравнения 1и = 0 (88) ни в одной точке heD не может достигать ни отри- отрицательного относительного минимума, ни положительного относительного максимума. Допуская, что функция и(х) в точке neD достигает отрицательного относительного минимума, мы можем на- написать £ = 0, i=l, ...,«, (89) U/^0, (90) где ^х, ..., Хп — произвольные действительные параметры. Так как положительно определенную форму в виде в точке всегда можно представить »=1 то для коэффициентов А{/ справедливо представление At, - i=J (91)
80 ГЛ I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА На основании (90) и (91) имеем . 2 *»&;- 2 «Йг**** <э2> «./=1 './. *=1 Учитывая то обстоятельство, что и(х)<.0, в силу (87), (89), (90) и (92) получаем /,ы>0, а это противоречит равенству (88). Полученное противоречие опровергает наше допущение. Аналогично доказывается, что в точке х е D решение и(х) уравнения (88) не может достигать положительного относительного максимума. Из принципа экстремума следует, что задача Дирихле (81), (85) при соблюдении условия (87) не может иметь более одного решения. Действительно, разность иг (х) — иг (х) = и (х) любых двух решений «i(x) и и2(х) задачи (81), (85) удовлетво- удовлетворяет условиям Так как max | и (у) | = 0 на S, то в силу принципа экстремума заключаем, что ы(х) = 0, т. е. иг (х) = и2 (х) всюду в D. Также нетрудно доказать, что задача Дирихле (81), (85) при соблюдении условия всюду в D не может иметь более одного решения. В самом деле, для разности их (х) — и2 (х) = и (х) лю- любых решений «i(x) и иг(х) уравнения (81) имеет место равенство 2 Интегрируя это равенство по области D и применяя фор-
§ 5. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ 81 мулу (GO), в силу равенства и(х) — О, хб5, получаем D Ь, /=1 откуда на основании положительной определенности фор- л мы 2] Aukfy и условия (93) заключаем, что и (х) = О {, / всюду в D\JS, т. е. «i(x) () 5°. Обобщенные потенциалы простого и двойиого слоя. В пункте 2° настоящего параграфа было доказано суще- существование элементарного решения уравнения (81) в обла- области достаточно малого диаметра. Если коэффициенты уравнения (88) являются задан- заданными во всем пространстве Еп достаточно гладкими функ- функциями, то при соблюдении условий: а) С(х)*ёО в обла- области D, в которой ищется решение этого уравнения, и б) С(х)< — k2 вне некоторой ограниченной области, со- содержащей область D, при отличном от нуля постоянном k, доказывается, что уравнение (88) имеет главное элемен- элементарное решение Е* (х, £), определенное для всех точек х, | пространства Еп. В отличие от рассмотренного в пунк- пункте 2° элементарного решения, главное элементарное ре- решение Е* (х, £) обладает еще двумя свойствами: а) Е* (х, £) относительно £ при ? Ф х является решением сопряжен- сопряженного уравнения L*E* (х, I) = 0 и Р) при ] х — 11 -»- оо функ- дЕ* ция Е* (х, I) и ее частные производные-^—, i= 1,..., п, ведут себя как е~ R* — I >, где R — положительное число. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что главным элементарным решением уравнения Гельмгольца Аи - №и = 0, 1 = const Ф 0, является функция Е* (х, I) = Я"-2фл (Кг), где г = Ц — х\, а фл (г) — решение обыкновенного линейного дифференци- дифференциального уравнения гу"п-\-(п — I) у'„ — г(р„ = 0. В частности, при я = 2 и п = 3 получаем —I соответственно.
32 ГЛ. !. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Если Ых (х) — регулярное в области D решение неодно- неоднородного уравнения (81) с достаточно гладкой ограничен- ограниченной правой частью f(x) и ы2(х) — обобщенный потенциал объемных масс с плотностью f(Q: и2(х)=\Е(х, l)f(l)dxb D то в силу (80) для суммы иг (х) + ы2 (х) = и (х) будем иметь Lu = Lui + Lu2 = / (х) - / (х) = 0. Следовательно, в теории уравнения (81) без ограниче- ограничения общности можно полагать, что f(x) = 0 всюду в обла- области задания этого уравнения. Когда коэффициенты уравнения (88) являются доста- достаточно гладкими функциями в области D, причем С(х)^0 всюду в D, то всегда можно доопределить эти коэффи- коэффициенты вне D с сохранением гладкости так, что вне не- некоторой области, содержащей D, будет соблюдено условие С (х)<С — k2. Следовательно, в этом случае мы можем счиь тать, что главное элементарное решение уравнения (88) существует. Функции ] dsl (94) (95) где S —достаточно гладкая поверхность, являющаяся гра- границей области D+, оператор Q5 имеет вид G5), а ц и % — заданные на S достаточно гладкие действительные функ- функции, называются обобщенными потенциалами простого и двойного слоя. Эти потенциалы оба в любой точке х про- пространства Е„, не лежащей на S, являются регулярными решениями уравнения (88), причем при переходе точки х из области D+ в область D~ = C (D+ [} S) через границу S они ведут себя точно так же, как гармонические потен- потенциалы простого и двойного слоя. Обобщенные потенциалы двойного и простого слоя позволяют редуцировать задачи Дирихле и Неймана для уравнения (88) к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
ГЛАВА II СИСТЕМА КОШ И — РИМАНА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ § 1. Понятие аналитической функции комплексного переменного 1°. Система Коши — Римана. Система линейных урав- уравнений с частными производными первого порядка с дву- двумя независимыми переменными ди ди п ди ,dv п как уже было отмечено в пункте 1° § 5 введения, назы- называется системой Коши — Римана. По данной в пункте 4° § 1 введения классификации система „ ди , г, ди п где А = Ап А12 называется эллиптической, если квадратичная форма Г)П 1 \ Ho положительно (или отрицательно) определена. Поскольку в случае системы (CR): и^=иъ v = ut, А и = Aii — — 2 = 1 = 1, £>ц = Ап = Л21 = £>22 = О, квадратичная форма положительно определена, эта система является эллипти- эллиптической. Если со (х, у) — произвольная гармоническая функция переменных х, у, то пара функции и = ^-, v = — д- яв- является решением системы (CR).
84 ГЛ И. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА Действительно, имеем ди dv 5гш . д2в> _ « дх ду ~~ дх2 дуг ' ди . dv д2а д2и> ^ ду ' дх ~~ дх ду дудх~ Последнее равенство написано на основании извест- известного утверждения о перестановке смешанных производ- д2а> дга> НЫХ Ъ~х~ду = ду~дх - 2°. Понятие аналитической функции. Выражение вида и(х, y) + iv{x, y) = f{z), где и(х, у), v(x, у) — действи- действительные функции действительных переменных х, у, a i — мнимая единица, называется функцией комплексного пе- переменного z = x+iy. Рассматривая действительные переменные х, у как де- декартовы ортогональные координаты точки (х, у) на евкли- евклидовой плоскости Е2, эту точку примем за изображение комплексного переменного z — x-\-iy. Следовательно, об- область D задания функций и {х, у) и v (x, у) является об- областью задания функции f(z). Пользуясь изображением комплексных чисел на сфере Римана -и постулируя существование единственной беско- бесконечно удаленной точки оо, комплексную плоскость вместе с точкой оо будем называть расширенной комплексной плоскостью. Функция w = f(z) комплексного переменного каждой точке z из области D ее определения ставит в соответст- соответствие вполне определенную точку w на плоскости значе- значений f(z), т. е. эта функция является однозначной. Мы ниже всегда будем предполагать, если обратное не будет особо оговорено, что рассматриваемые функции однозначны. Говорят, что функция f(z) = u (x, у) + iv (x, у) имеет своим пределом число wo = uo-\-ivo при z-*-zo = xo-{~iyo, гфгй, если lim и(х, у) = и0, lim v(x, y) = v0. Функция / (?) непрерывна в точке геД если функ- функции и {х, у) и v (х, у) непрерывны в точке {х, у) е D.
5 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 85 Так как для модуля разности f(z) — f(z0) имеем вы- выражение НИ*. У)-и{х0. Уо)? + [°(х, y)-v(x0, у»)]2}1'2, то приведенное выше определение непрерывности равно- равносильно определению: функция f(z) называется непрерыв- непрерывной в точке zo^D, если для любого наперед заданного е > 0 существует число б > 0 такое, что выполнение не- неравенства i z — z01 < б влечет за собой выполнение неравен- неравенства \f{z) — f(zo)\<&. Пусть Ада = Ам + i Аи — приращение f(z-\~Az) — f(z), z+Az, zeD, функции f(z), соответствующее прираще- приращению Az = z-)-Az —z независимого переменного z. Если lim -т^ =w'(z)=f (z) существует и не зависит Д2-0 Лг от пути стремления Az к нулю, то функция f(z) назы- называется моногенной в точке z. Приняв сначала Az = Ajc, а потом Az=iAt/, по опре- определению, для моногенной в точке z функции f{z) будем иметь , , . .. Дш ,. Аи + i До ди . . dv w (г)= lim -т- = lim —-. = д- + 1, = ,. Au + i Аи .ди . dv д^о lA^ dy ' dy' т. e. du dv du_ dv ... dx ~ dy' dy~~'fx' "> Выполнение равенства A) является необходимым усло- условием моногенности функции f(z) в точке z = x-\~iy. Эти равенства представляют собой систему (CR). Функция f(z), моногенная в каждой точке z^D, называется ана- аналитической в области D. Вспомним теперь, что пара функций и(х, у), v(x, у) называется регулярным решением системы (CR), если они в области D их задания непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка и удовлетворяют этой системе. Следовательно, если и(х, у), v(x, у) —пара регулярных решений системы (CR), то функция w = f (z) — = и(х, y) + iv(x, у) непрерывна в области D. Более того, из непрерывности и (х, у) и v (x, у) вместе со своими про-
86 ГЛ II СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА изводными первого порядка следует существование пол- полных дифференциалов , ди , , ди , , dv , , dv , йи йх + йу dv dx + dy т. е. B) где о (Az) обозначает бесконечно малую величину порядка выше Az. В силу B) для Aw = Au + iAv имеем выражение ди » , ди . , . ди . , . dv » , , • . ,„. Ax + Ay + iAx + iAy + o(Az). C) На основании C) и A) мы можем написать ди ди .ди . ди. , ,,.. .. д^ + ^1Ах+1 w =f (z)= im Ax + i A(/ ди .ди.о (Аг) 1 ди .ди А это означает, что функция /(z) моногенна в каждой точке z^D. Таким образом, мы пришли к заключению, что функ- функция f (z), действительная и (х, у) и мнимая v {x, у) части которой представляют собой регулярное в области D решение системы {CR), является аналитической в этой области. Резюмир/я все сказанное выше, мы можем утверждать, что выполнение условий (CR) необходимо, а при требова- требовании непрерывности частных производных первого порядка функций и (х, у), v (х, у) и достаточно для аналитичности функции f(z) = u(x, y) + iv(x, у) в области D. Полученное для до' = /' (z) выражение D) называется производной аналитической в области D функции f(z), а главная линейная относительно Ах и Ау часть Aw: — дифференциалом функции f (z) в точке z e D.
5 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 87 Так как /'(г)= lim ~=l в случае f{z) = w = z, то Дг -> 0 дг в силу E) имеем dz = Дг. Пользуясь полученным равен- равенством, дифференциал E) мы можем записать в виде dw = = f'(z)dz, откуда берет свое начало запись £=п*)- F) Вводя обозначения д - ' ( д _ •• д ) д = Ч д Л_ i д \ G) дг 2\дх ду}' dz 2 \дх^~ ду)г V системе (CR) можно придать вид Д»(*> = 0. (8) Следовательно, аналитические функции w = f(z) комп- комплексного переменного z являются решениями уравнения (8). Запись F) производной f (z) аналитической в области D функции f(z) находится в полном соответствии с обозна- обозначениями G), если учесть равенство (8). 3°. Примеры аналитических функций. Класс аналити- аналитических функций обширен. В частности, если со(х, у) — гармоническая в области D функция действительных пере- г да» . да» менных х, у, то функция w = / (z) = ^ t-^- аполитична в области D. Пусть /(г) и ф(z) — заданные в области D аналити- аналитические функции. Так же, как при рассмотрении дейст- действительных дифференцируемых функций одного действи- действительного переменного в курсе математического анализа, доказывается, что наряду с f(z) и ф(г) аналитическими являются и функции /(г)±ф(г), /(г)-ф(г) и f(z)/q>(z), ф(г)=£0, причем Так как =1, то на основании (9) заключаем, что dz полином Pn(z)= 2 akz*
88 ГЛ II СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА и дробно-линейная функция где а, Ь, с, d — постоянные, аполитичны на всей плоскости переменного z и ad—be Покажем теперь, что сумма S (z) степенного ряда (И) в круге | z | < R, R > 0, его сходимости является анали- аналитической функцией. Сначала заметим, что если R — радиус сходимости ряда A1), то радиус сходимости ряда оо Se(z)= 2*0*2*-» A2) тоже равен R. В самом деле, в силу известной из курса математического анализа формулы Коши —Адамара для радиусов R и Rt сходимости рядов A1) и A2) имеем где __ /= limla*!17*. /i = Mm (A-1 ай |)i/f*—D. ft-co Поэтому справедливость нашего утверждения следует из очевидных равенств lim (й|аА|)'/<*-1>= lim й1Л*-»(|^|1/*)*/(*-|)= \[т \ak\1'*. Здесь lim означает верхний предел выражения, перед которым стоит этот знак. Известно, что степенной ряд внутри круга сходимости сходится абсолютно. Из абсо- абсолютной сходимости ряда A2) при \z]<.R следует, что для любого е>>0 существует натуральное число N такое,
5 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ что для всех n^N, если только /■<;/?. Очевидно, что A3) Дг ak [(z + Аг)*-1 +... + г*-1 - kzk~l] + • (И) В предположении, что величина Аг достаточно мала и \z\<.r, |г + Дг|<;г, в силу непрерывности первого слагаемого в правой части A4) и неравенства A3) имеем 3 ' 3 ^ 3 а это означает, что Дг-»О "* Следовательно, степенной ряд A1) внутри его круга сходимости можно почленно продифференцировать, причем сумма продифференцированного ряда равна производной суммы исходного ряда. На основании этого утверждения убеждаемся в анали- аналитичности элементарных функций е*, cosz, sinz, chz и sh z всюду на плоскости комплексного переменного г, причем (cos г)' = (sin z)' = (chz)' = jeu 2 i е'г—е~'г\' 5^- = — Sinz, 2i = cosz, ег—erz 2— = sh z> = chz.
90 ГЛ II СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА 4°. Конформное отображение. Аналитическая в обла- области D функция w — f(z) каждой точке zeD ставит в соот- соответствие вполне определенную точку на плоскости комп- комплексного переменного w. Если при этом функция w = f(z) осуществляет взаимно однозначное соответствие между точками области D ее определения и области D1 ее зна- значений, то говорят, что функция w = f(z) однолистна. Соответствие между точками областей D и Du осущест- осуществляемое функцией w = f(z), называется отображением области D на область Dt. Точка meD] называется образом точки zeD, а точка z — прообразом точки w. В настоящем пункте будут рассмотрены отображения, осуществляемые аналитическими функциями. Пусть w = f(z) = u(x, y)-fiv{x, у) A5) — аналитическая в области D функция, удовлетворяющая в точке г0еО условию Г(го)фО. A6) Это условие равносильно тому, что в точке z0 якобиан д(ц. д(х, У) ди дх dv ¥х ди ду dv ду Следовательно, в силу известной теоремы о неявных функциях в предположении непрерывности первых произ- производных функций и (х, у) и v (х, у) (ниже будет доказано, что действительная и мнимая части аналитической функ- функции имеют производные всех порядков) система равенств и = и(х, у), v = v(x, у) в некоторой окрестности точки z0 e D однозначно обращается. Другими словами, каждая точка zo^D, в которой выполняется условие A6), обла- обладает окрестностью однолистности функции w — f(z), причем обратная функция z — f-x{w) аналитична в некоторой окрестности точки wo = f(zo) и, как легко видеть, Пусть у — проходящая через точку z0 гладкая дуга Жордана с уравнением z = z(t), r. e. x — x(t), y = y(t),
$ 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 91 . В точке zo = z(to) кривая у имеет касатель- касательную, т. е. z'(*o)¥=0. A7) Образом у при отображении A5) является проходящая через точку шо = /(го) дуга T = f(y), уравнение которой имеет вид w = f[z(t)], причем w' (t) — f (z) z' (t) и в силу A6) и A7) 't) f')'(H A8) Условие A8) означает в свою очередь, что дуга Г в точке w0 имеет касательную. На основании A8) заключаем, что с точностью до сла- слагаемого 2kn, & = 0, ±1, .... arg/'(*<>) = arg да'('о)-arg г'('о), A9) т. е. аргумент /' (z0) равен углу поворота дуги у в точке z0 при отображении A5). Пусть теперь уг — отличная от у гладкая дуга Жор- дана: z1 = z1(x), с^г^тг^Рь проходящая через точку z0, a ri = /(vi) —ее образ с уравнением w1=f[zi(x)], z1(x0)=z0. Повторяя приведенное выше рассуждение, получаем arg f (zo) = arg w\ (т„) - arg z\ (т0). B0) Из равенств A9) и B0) имеем arg w' (to) - arg w't (т0) = arg z' (^0) - arg z\ (т0), а это означает, что угол между дугами у и ух в точке г0 равен углу между их образами Г и 1\ в точке wo = f(zo). Другими словами: в каждой точке г0, в которой /'(zo)=£0, при отображении A5) имеет место сохранение (консерватизм) углов (как по величине, так и по направ- направлению их отсчета) (рис. 7). Ввиду того, что являются элементами длин дуг у и Г в точках г0 и да» соответственно и (-г-) =f'(z0), имеем \ OZ /7—*,
92 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА т. е. модуль производной аналитической функции в точке г0 при выполнении условия A6) совпадает с искажением масштаба (элемента длины) при отображении A5) и это искажение одно и то же по всем направлениям, выходящим из точки г0. Взаимно однозначное отображение A5) области D плоскости г на область Dx плоскости w, при котором в каждой точке г0 имеют место консерватизм углов и постоянство искажения масштаба, называется конформным. Ъ х О Рис. 7. На основании приведенного выше рассуждения заклю- заключаем, что отображение, осуществляемое аналитической функцией w = f(z), является конформным в достаточно малой окрестности каждой точки геД в которой ГМФО В теории конформных отображений центральное место занимают следующие четыре утверждения, доказательство которых не предусмотрено в программе, по которой составлен настоящий курс лекций. Теорема о сохранении области: производная f (г) однолистной аналитической в области D функции f(z) нигде в нуль не обращается, причем эта функция область своего задания конформно отображает на опре- определенную область Dx плоскости переменного w, а обратная функция 2 = /-1(w) аналитична в Dx.
§ 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 93 Повторением известного из курса математического анализа рассуждения о дифференцируемое™ сложной функции приходим к заключению, что если аналитическая в области D функция w = f(z) конформно отображает область D на область Dj плоскости w и функция £ = <р (w) аналитична в области Dlt то сложная функция £ = ф \f (z)] аналитична в области D, причем Теорема Рима^на: для каждой односвязной области D плоскости комплексного переменного г, граница которой состоит более чем из одной точки, существует аналити- аналитическая функция w = f(z), отображающая конформно эту область на внутренность единичного, круга Dx плоскости w, причем функция / (z) определяется единственным образом, если потребовать, чтобы она заданную точку г0 е D и выходящее из нее заданное направление переводила в задан- заданную точку ^gD, ив выходящее из нее заданное направ ление. Теорема о соответствии границ: при конформ- конформном отображении w = f(z) друг на друга областей D и Dlt ограниченных замкнутыми жордановыми кривыми Г и Гх, функция w — f(z) осуществляет взаимно однозначное и непрерывное соответствие между D[}T и Dx U 1\ с сохра- сохранением направления обхода на Г и 1\. Теорема о взаимно однозначном соответ- соответствии: если границы Г и 1\ односвязных областей D и Dx являются замкнутыми кусочно-гладкими кривыми Жордана и аналитическая в D функция w = f(z) взаимно однозначно и непрерывно отображает Г на Гх с сохранением направ- направления обхода, то эта функция конформно отображает область D на область Dv 5°. Конформные отображения, осуществляемые неко- некоторыми элементарными функциями, и обращение этих функций. Понятие римановой поверхности. Как уже было отмечено в пункте 3° настоящего параграфа, дробно- линейная функция A0) аналитична на плоскости комп» d лексного переменного г всюду, кроме точки г==- — - . Легко видеть, что необходимое и достаточное условие однолистности отличной от постоянной
94 ГЛ II СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА функции A0) заключается в том, что ad-ЬсфО. B1) В самом деле, при рассмотрении дробно-линейной функции A0) случай одновременного обращения в нуль постоянных cud исключается. Во всех остальных случаях нарушение условия B1) означает, что функция w посто- постоянна, что опять исключается. При отображении A0) точки г= , w = oo и г = оо, w = ~ находятся во взаимно С С однозначном соответствии. При различных же значениях Zj Ф , г2 ф — переменного z для разности между соответствующими значениями wx и w% функции w в силу A0) имеем ... ... И — bc)(z2 — zQ «'-«'= Отсюда следует, что выполнение условия B1) обеспечивает однолистность отображения A0) на расширенной плоскости комплексного переменного г, причем dw—ъ —cw-\-a' В частности, при с = 0, d—\ из B1) получается усло- условие афО, обеспечивающее однолистность линейной функ- функции w = az-\-b, обратной которой является W а В случае действительных а, Ь, с, d, удовлетворяющих условию B1), дробно-линейная функция A0) взаимно однозначно отображает действительную ось Imz = 0 на действительную ось Imo; = 0 с сохранением направления обхода при ad — bc>0 и с противоположным направлением обхода при ad — be < 0, ибо при действительном г в силу формулы иХЯ) CUX —^ UC ~dz = (сг+d)* dw , dw л у~* в первом случае ^->0. а во втором j;<0- Отсюда в силу теоремы о взаимно однозначном соответствии заклю- заключаем, что в рассматриваемом случае дробно-линейная i
§ I. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 95 ция A0) конформно отображает верхнюю полуплоскость z+: Imz>0 (нижнюю полуплоскость тг: Imz<0) на верхнюю полуплоскость w+: Imo;;>0 (нижнюю полупло- полуплоскость wr: Ima/<;0) при ad — bc>0 и верхнюю полу- полуплоскость z+ (нижнюю полуплоскость z~) на нижнюю полу- полуплоскость тг (верхнюю полуплоскость w+) при ad — bc<cO. Дробно-линейная функция ю==е'973Г0. B2) где 6— действительная, а г0 — комплексная постоянные, Imzo>0, обладает тем свойством, что | w | = | е<е г—г„ г —г„ г—г„ при lmz = O и что эта функция точке г = г0 ставит в соот- соответствие точку ш = 0. То есть определенная по формуле B2) функция w действительную ось Imz = 0 взаимно однозначно переводит в окружность | w | = 1 и, следова- следовательно, в силу теоремы о взаимно однозначном соответ- соответствии эта функция конформно отображает верхнюю полуплоскость г+ (нижнюю полуплоскость z~) на внутрен- внутренность круга | w | < 1 (на внешность круга | w | «g 1). Когда же 1тго<0, определенная формулой B2) функция w полу- полуплоскость г+ (z~) отображает конформно на внешность круга | w | г^ 1 (на внутренность круга | а» | < 1). Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что при отображении B2) симметричным относительно действительной оси Imz = 0 точкам гиг соответствуют симметричные относительно окружности \ w | = 1 точки w и w*~ w' Рассмотрим теперь дробно-линейную функцию * w = ^^=^-, |г«|<1. B3) Так как при | г | = 1, 0 sg ф < 2я имеем ! w | = | е"'е | то повторением приведенного выше рассуждения убежда- убеждаемся в том, что функция B3) конформно отображает круг |г|<1 на круг |а>|<1.
ГЛ II. СИСТЕМА КОШИ-РИМАНА Если га! > 1, то B3) дает конформное отображение внешности круга | z |=g: 1 на внутренность круга | w | < 1. Каждая из рассмотренных выше дробно-линейных функций, отображающих конформно соответственно верх- верхнюю полуплоскость 1тг>0-на верхнюю полуплоскость Imo;;>0, верхнюю полуплоскость Imz>0 на круг |а»|<1 и круг | г | <; 1 на круг |о»|<1, содержит по три дейст- действительных параметра, которые единственным образом определяются при соблюдении , одного из следующих условий: 1) три заданные граничные точки гъ z2, z3 пере- переходят в три заданные граничные точки wlt w2, w3, 2) внутренняя zx и граничная z2 точки переходят во внут- внутреннюю a/j и граничную w2 точки и 3) внутренняя точка zx и выходящее из нее направление переходят во внутрен- внутреннюю точку wl и выходящее из нее направление. Областью однолистности степенной функции ' w = zn, ' B4) где п — натуральное число, является любой угол D с верши- вершиной в точке г —О раствора ~. В самом деле, для двух различных значений z1 = rec<fi, z2 = ret<f' независимого пере- переменного z имеем Wi — rneintf\ w2 = rnein<»1. Отсюда получаем wi — wl= тп (ein^ — ein^) = rnetnf* (eln ^'-^ — 1) Ф 0, если только п(щ — щ)ф2пк, & = 0, ±1,..., т. е. при !ф2 — фг< <— имеем тюъФтшх. Внутри угла D функция z=-f~l{w), обратная w, обозначается в виде причем л, i i \ — dz \ 11 _Л-\ dw dw rtzn~^ ti Ж Так как определенная формулой B4) функция w лучи arg z = ф переводит в лучи arg w — щ, в частности луч argz = —, &SsO, — в положительную часть действитель- действительной оси 1тш = 0 и луч argz= „ снова в поло- положительную часть действительной оси lmw = 0, то эта
§ 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 97 функция угол —-<;argz< конформно отобра- отображает на плоскость w, разрезанную вдоль действительной полуоси: 0^ы<оо. В обозначениях z = re'<f, w = pei^ из B4) получаем Ъ гпёп<* или г" = р, /гф = 1|) + 2/гя, т. е. = 0, ±1, ..., 0<г|)<2я. Итак, в каждом из углов Dk: — <argz< <argz< , й = 0, ..., /i—l, для обратной функции B5) имеем г* = р"е " , k = 0, ..., п-1. B6) Рассматривать каждую из величин zk как отдельную функцию переменного w нецелесообразно по той простой причине, что, например, в области D: я< <argz<; — обратная функция z = w" при — <argz<— совпадает с г0, а при -^ < arg г < —— с zv Каждую из гк, k = 0, ..., га—1, принято называть ветвью многозначной функции z=w1'". Следовательно, обратная функция B5) не является однозначной. Когда точка г пробегает плоскость г один раз, функция w пробегает га раз плоскость w. Поэтому говорят, что функция B4) является п-листной, а опреде- определенная формулой B6) обратная функция — п-значной. Отображение, осуществляемое многолистной функцией, можно истолковать как взаимно однозначное отображение области определения этой функции на так называемую риманову поверхность. Проиллюстрируем сказанное на примере функции w = zK B7) G этой целью рассмотрим два экземпляра Е+ и Е~ плоскости w, разрезанной вдоль положительной части действительной оси. Когда г пробегает полуплоскость z+, то w пробегает Е+. Когда г переходит из z+ в sr через отрицательную часть действительной оси Imz = 0, то w из нижнего края разреза £+ на верхний край 4 А, В. Ьицадзе
9» ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА разреза Е~. Склеим нижний край разреза Е+ с верхним краем разреза Е~. Далее, когда z пробегает zr и подходит к положительной части действительной оси, то w пробегает всю Е~ и подходит к нижнему краю разреза Е~. Иденти- Идентифицируя нижний край разреза Е~ с верхним краем разреза Е+ (склеивать их уже не удастся), получим дву- двулистную риманову поверх- поверхность, на которую функ- функция B7) взаимно однознач- однозначно отображает плоскость z (рис. 8). Е*(£~) Соотношение B7) осу- *J ществляет взаимно одно- однозначное соответствие меж- Рис- 8- ду расширенной плоско- плоскостью комплексного пере- переменного z и римановой поверхностью функции г = а/1/2, которое является конформным всюду, кроме точек г = 0 и г = оо. Соответствующие г = 0 и г = оо точки и = 0 и w — co обладают тем свойством, что при обходе вокруг них против часовой стрелки один раз, исходя из фикси- фиксированной точки w, по возвращении к этой же точке происходит переход от одной ветви г0 на другую ветвь гх. По этой причине точки w = 0 и w = со принято называть точками ветвления функции z—wW. Аналогично вводится понятие точек ветвления функции z = w1/n. Ими являются точки w = 0, w = oo. Областью однолистности экспоненциальной функции w = <* B8) является любая полоса D ширины 2л, параллельная дей- действительной оси Imz = 0. Это следует из того, что для точек Zi и z2, Zi^=z2, равенство eZi = e*' возможно лишь при z2 — z1 = 2kni, 6 = 0, ±1, ... Функция z = f^1(w), обратная функции B8) в полосе D, называется логарифмической функцией; она записывается в виде z=loga>, B9) причем dw dw 6я w * ш
5 1- ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 99 Из равенства w = и + iv = ре** = е" = е*еA/ находим, что р = е*, iy=ity-\-2kni, т. е. x=logp, y = ty-\-2kn. Следо- Следовательно, в каждой полосе Dk: 2&я<;1тг<;2 (& + 1)п для функции B9) имеем zk = log I w | + i arg w -\- 2kni, k = 0, ±1, ... Значение z0 = log | w | + i arg ш, 0 =^ arg а; <2я, называется главным значением логарифмической функции B9). Так как функция B8) прямые Imz = const переводит в лучи arg w = const, то эта функция каждую из полос Dk, k = 0, ± 1, ..., конформно отображает на разрезанную вдоль неотрицательной части действительной оси пло- плоскость w. Следовательно, экспоненциальная функция B8) является бесконечнолистной, а логарифмическая функция B9) — бесконечнозначной. Логарифмическая функция позволяет определить сте- степенную функцию w = га при любом показателе а как a; = eiogza_gaiog2) a показательную функцию w = az как w _ gloga* _ gz loga_ Чтобы получить определение функции z = arcsina;, обратной функции запишем это равенство в виде квадратного уравнения относительно ё*\ e*i*-2iweiz-l=0, решением которого является функция Отсюда ввиду того, что log e1' = iz = log (iw ± ]/l — а»*), находим г = arcsin w = у log (iw ± Y^ — а»8)» iz J 1 1 1 J_ = __ = dw ~ cosz ~ У I— sin» г
100 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА § 2. Комплексное интегрирование 1°. Понятие комплексного интегрирования. Пусть S — кусочно-гладкая, замкнутая или разомкнутая конечная кривая Жордана, а/(£) = «(£, T)) + if(i, т]) —заданная на ней непрерывная функция переменного £ = | Так как криволинейные интегралы \ \ d% C0) S S существуют и то выражение вида , \ \t, C1) естественно называть комплексным интегралом по S от функции f{t). Когда кривая S замкнута, направление обхода движе- движения точки £ при интегрировании по 5 называется поло- положительным, если при этом обходе конечная область D, ограниченная контуром S, остается слева. Обратное на- направление обхода называется отрицательным, и при таком обходе пишем C2) s- На разомкнутой кривой 5 положительное направле- направление обхода соответствует возрастанию действительного параметра t в записи £ = £(<) уравнения кривой S. Приведенные ниже основные свойства интеграла C1) являются непосредственными следствиями соответствую- соответствующих свойств действительных криволинейных интегра- интегралов C0). 1) Если fk (£) — заданные на 5 непрерывные функции, а ск — заданные постоянные, то m m
5 2. КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 101 2) Если кривая S состоит из т дуг Si, ..., Sm, то №«=.2 * C4) причем предполагается, что интегрирование по каждой Sft происходит в направлении, сов- совпадающем с направлением ин- ^<rr7777777>v SD тегрирования на S. Когда S представляет собой совокупность попарно непересе- непересекающихся замкнутых кривых So, Sx, ..., Sm, составляющих границу (m + 1)-связной ограни- ограниченной области D, причем Sb ..., Sm лежат внутри ко- конечной области Do с границей So, то (рис. 9) т C5) Рис. 9. 3) Наряду с непрерывной функцией /(£) интегрируема и функция |/(£)|, причем C6) где / — длина S. оо 4) Если ряд 2 /*(S) (последовательность {f/,(£)}) за- данных на S непрерывных функций fk (P равномерно схо- сходится на S, то сумма /(£) этого ряда непрерывна (предел этой последовательности непрерывен) на S и i /lim C7) C8)
102 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА 5) При комплексном интегрировании C1) замена пере- переменного интегрирования производится по обычным пра- правилам замены переменного в действительных криволиней- криволинейных интегралах в левой части формулы C1). 2°. Теорема Кош и. Если функция f(z) = u (х, у) + + iv (х, у) аполитична в ограниченной области D с кусочно- гладким контуром S и функции и (х, у) и v (x, у) непре- непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в D\jS, то O. C9) В самом деле, преобразуя криволинейные ин.тегралы C0) по формуле (GO), получаем откуда ввиду того, что функции ы(£, т)) и о(£, т]).в обла- области D удовлетворяют системе (CR), следует справедли- справедливость равенства C9). Заметим (этим замечанием мы ниже будем пользоваться), что теорема Коши остается в силе и при более общих предположениях относительно S и /(£). В частности, ра- равенство C9) верно и в тех случаях, когда от аналитиче- аналитической в области D функции f (г) требуется, чтобы она была лишь непрерывна в D[}S. Из теоремы Коши непосредственно следует, что если функция f(z) аполитична в односвязной области D и точки z0, z&D, то ( D0) один и тот оке по всем кривым, соединяющим z0 и z и лежащим в D, т. е. интеграл D0) не зависит от пути интегрирования (интеграл D0) берется по направлению движения С от Zo к г). Действительно, пусть S и Sj-две кривые, лежащие в D и соединяющие точки гь и г, Так как в силу
§ 2. КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 103 формул C2) и C9) имеем s s- s s, то S, Если 5 —окружность |£|=/?, то для целых показа- показателей п $ lndt = \ ' пф~, ^ .С1 = я I 2nt, я = —1. В самом яеле, 2л -'Я J ladt, = \ (Re'*)" iRe"» dq, = G?"+1 J cos (« + 1) <p ^ф - 2m', л =—1. Пусть теперь D — ограниченная область с кусочно- гладкой границей 5. и рассмотрим S где п — целое число. Когда п ^ 0 независимо от того, принадлежит или не принадлежит D \j S точка г = 0, и когда п < 0 при усло- условии, что точка г = 0 не принадлежит D|J5, в силу ана- аналитичности функции г" на основании C9) имеем JC"d£=-O. D2) s Если 1<0 и точка ? = 0eD, то, удаляя эту точку из D вместе с замкнутым кругом г \ sge достаточно малого радиуса е, лежащим в D, в силу формул C6), C9) и D1) мы можем написать $С"«= \ £"<€ = ( °'. пф—1' D3) s ici—e I 2m, п = —1.
104 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА Из D2) и D3) следует, что для всех целых показате- показателей п Ф — 1 интеграл \1Я€ D4) один и тот же по всем кривым, соединяющим точки г0 и г и не проходящим через точку г = 0 при п < — 1. Для того чтобы вычислить интеграл D4) при nSsO, выберем в качестве пути интегрирования прямолинейный отрезок £ = zo + B-zo)*, 0<*=ssl. В силу C1) и C3) имеем ( С» « = \ [г0 + (г - г«) t\" (г - О !=0 1 1 1 4J1 П-\- 1 1 ^mi -1 ft=O i \ k (*+ «(* -го)*+1 = 3°. Интегральная формула Коши. Теперь покажем справедливость следующей интегральной формулы Коши: 1 f f(L)dt Г 0, геО-, f(z), z^D^, <46> где D+ — конечная область, ограниченная кусочно-гладким контуром S, D- — дополнение D+U5 до всей комплексной плоскости, а Дг) —аналитическая в D+ функция, непре- непрерывная в D+ U S. Когда г е D~, в силу аналитичности по £ функции •г^- в D+ и непрерывности ее в D+IJS, первое из ра- равенств D6) не что иное, как равенство C9). Если же z e D+, то, удаляя эту точку из области D+ вместе с замк-
§ 2. КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 105 нутым кругом |£ — z |sge, лежащим в D+, и учитывая аналитичность по £ функции -1^ в оставшейся части D8 области D+ и непрерыв- S ность ее вплоть до границы, в силу C9) и C5) получаем (рис. 10) 1 — 1 2ni С—г| 2ш ) \1 \ /(£)-/(») :-« Рис. 10. откуда на основании D1) и очевидного равенства lim im \ —о . J, 1С-«1=е в пределе при в-»-0 следует, что i ■D+. D7) Очевидно, что формула D7) остается в силе и тогда, когда D+ представляет собой (т +1 )-связную ограничен- ограниченную область, контур S которой состоит из замкнутых попарно непересекающихся кусочно-гладких кривых So, Slt... .... Sm. В частности, когда конечная область Do с гра- границей 50 содержит внутри себя Slt..., Sm, то в силу C5) можем написать D8) ;-«• Если /(г) — аналитическая в односвязной области D функция, то, как уже было показано выше, интеграл D0)
106 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ —РИМАНА зависит исключительно от точек г0, ?eD, и, следова- следовательно, функция комплексного переменного г: при фиксированном г0 однозначна в области D. Более того, для отношения -»— имеем /г + Дг г\ z+Az где при достаточно малом ! Дг | можно считать, что инте- интеграл берется вдоль прямолинейного отрезка S, соединяю- соединяющего точки г и г + Дг. Так как в силу формулы D5) имеем z + Az то z + Az Отсюда ввиду того, что max / (£) — f (z) j -*■ 0 при | ^ — z | -vO, получаем ^()() Az—0 аг Совокупность Ф(г) аналитических в области D функ- функций, производные которых Ф' (г) равны f (г), называется неопределенным интегралом от f(z). Таким образом, для разности Ф(г) — F{z) = 4?(z) = =и (х, у) + iv {х, у) имеем ф (г) = Ф' (г) - F' (г) = / (г) — — / (г) = 0 всюду в области D. То есть -£ = ^- = —^ = = -д- =0, а это означает, что и (х, у) = const, v(x, y) = = const и, стало быть. Ф(г) = F(z) + C. Так как Ф(гп) = •= F (го) + С = С, то для вычисления интеграла D0)
$ 2. КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 107 получаем формулу носящую название формулы Лейбница. 4°. Интеграл типа Коши. Пусть 5 —замкнутая или разомкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана, а /(£) — заданная на 5 непрерывная функция. При фиксированном значении г, не лежащем на S, выражение ф(г, t) = f^- как функция £ непрерывна и, следовательно, интеграл [ существует и является однозначной функцией г. Выра- Выражение D9) носит название интеграла типа Коши. Если 5 —замкнутый контур, ограничивающий конеч- конечную область D, и функция f(z) аналитична в D и не- непрерывна в D U S, то правая часть D9) в каждой точке ?eD совпадает с /(г) и в этом случае D9) есть не что иное, как интегральная формула Коши D7). Так как q> (г, £) при £ е 5 как функция г аналитична в каждой точке, не лежащей на 5, т. е. ^ф(г, С) = 0 и д операцию з=- можно внести под знак интеграла в правой части D9), заключаем, что ,1 = 0. Следовательно, функ- функция F (г) аналитична на комплексной плоскости г всюду вне кривой S. Далее, ввиду того, что q>(z, С) при £eS как функция г в каждой точке, не лежащей на S, имеет производные любого порядка и операцию -gj можно внести под знак интеграла в пра- правой части D9), заключаем, что представленная интегра- интегралом типа Коши D9) функция F(z) в точках г, не лежа- лежащих на S, имеет производные всех порядков, причем Г' П=1' 2— E0>
108 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА Из только что установленного свойства интеграла типа Коши вытекает, что аналитическая в области D функ- функция f (z) имеет в этой области производные всех порядков. Действительно, пусть г0 — произвольная точка области D, а круг 12 — г01 ^ е достаточно малого радиуса е лежит в D. В силу интегральной формулы Коши D6) имеем Правая часть E1) является частным случаем интеграла типа Коши. Поэтому функция /(г) в круге \г — го1<е имеет производные всех порядков, и в силу произволь- произвольности точки г0 справедливость сформулированного утвер- утверждения доказана. 5°. Сопряженные гармонические функции. Теорема Морера. Так как функция сама аналитична в области D, то -~- и -к- имеют част- дги д2и д*и ные производные первого порядка -^, -^ -, -х£, причем в силу условия (CR) д^и д*и d*v д^и дхг дх ду ду дх дги д*и div дх ду ду дх дуг дха' Тем самым доказаны существование производных второго порядка у функций и(х, у) и v(x, у) и гармоничность этих функций в области D. Повторением этого рассужде- рассуждения убеждаемся в том, что функции и (х, у) и v (x, у) имеют производные всех порядков в области D аналитич- аналитичности функции f(z). Действительная и мнимая части аналитической в обла- области D функции /(г) называются сопряженными гармони* ческими функциями. Теперь легко восстановить аналитическую в односвяз- ной области D функцию f(z) = u(x, y) + iv(x, у), когда известна ее действительная часть и (х, у). В самом деле,
§ 2. КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИИ 109 имеем , dv , , dv , ди , , ди , ,-ns dv^^dx + ^dy^—^dx + ^dy. E2) Условие _д_(ди\ д_( ди\ ~~Щ;\ду)- дх[дх) того, чтобы полученное для dv выражение E2) было пол- полным дифференциалом, соблюдено из-за гармоничности функции и (а:, у) в области D. Следовательно, где С — произвольная действительная постоянная, а инте- интеграл не зависит от пути, соединяющего точки (х0, у0) и (х, у) и лежащего в области D. Таким образом, приходим к заключению, что по задан- заданной в односвязной области D действительной части и {х, у) аналитическая в этой области функция f(z) определяется с точностью до произвольного мнимого слагаемого iC no формуле {X, У) 5 * ^ f(z) = u(x, y) + i 5 -*Ldx + ^dy + iC. E3) (*о. U,) Имеет место утверждение, обратное теореме Коши и именуемое теоремой Морера: если функция f(x) непрерывна в односвязной области D и интеграл от нее вдоль любой замкнутой кусочно-гладкой кривой Жордана, лежащей в D, равен нулю, то f(z) аполитична в D. Действительно, по условию теоремы интеграл D0) от функции f(t,) зависит исключительно от точек г0, г, но не от пути интегрирования, соединяющего г0 с г. Как мы уже видели, это свойство интеграла D0) вместе с непре- непрерывностью f(t) достаточны для того, чтобы определенная формулой функция была аналитична в D и имело место равенство F' (z) = f(z). Так как производная аналитической функции сама является аналитической функцией, то из равенства F'(z) = f(z) следует аналитичность функции /(г).
ПО ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА § 3. Важнейшие следствия, вытекающие из интегральной формулы Коши 1°. Принцип максимума модуля аналитической функ- функции. Пусть } (г) — аналитическая в области D функция, а М — верхняя грань значений | f (г) | для всех геО. Принцип максимума модуля: модуль анали- аналитической в области D функции f(z), отличной от постоян- постоянной, ни в одной точке этой области не может принимать значения М. Если М*=оо, справедливость этого утверждения оче- очевидна, ибо в каждой точке геО функция f(г) прини- принимает лишь конечное значение. Равенство М = 0 также исключается, так как в этом случае /(г) = 0. Предполо- Предположим теперь, что число М конечно и что в некоторой точке гоеЬ имеет равенство | / (г0) | = М. Рассмотрим замкнутый круг |£ — zo|=s£6, лежащий в D. В силу инте- интегральной формулы Коши D7) имеем |;-г.| = в 0 откуда по принятому допущению получаем 2л M^~^\f(zo + te<>)\dB. F4) о Из E4) следует, что на окружности |£ — го| = б всюду | / (С) | = М. В самом деле, допустим, что в точке Со = бе™» имеет место неравенство | f (to) | < М (обратное неравенство исключено). Тогда в силу непрерывности |/(£)| неравен- неравенство \f(t)\<.M сохранится для некоторого промежутка 90 — е<8<80 + 6 и на основании E4) получим бессмыс- бессмысленное неравенство М<М. Следовательно, \f(£,)\ = M для всех значений б, О^б^б0, т. е. в окрестности |z-Zo|<6o точки 20. Так как log|/(z)| = jW то
§ 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 111 для всех значений г в круге \г — го|<бо, т. е. в этом круге всюду /'(г) = 0 и, стало быть, / (г) = const. Отсюда, повторяя соответствующую часть рассуждения, приведен- приведенного в пункте 4° § 1 главы I при доказательстве прин- принципа экстремума для гармонической функции, заключаем, что f (г) = const всюду в D, а это исключено. Таким обра- образом, допущение \f(za)\ = M неверно, и тем самым прин- принцип максимума модуля доказан. Если f(z)=£O всюду в D и т — нижняя грань |/(г)| для всех геД то, применяя принцип максимума модуля для аналитической области D функции -туу, заключаем, что | f (г) | нигде в области D не может принимать значе- значения т. Следовательно, в рассматриваемом случае модуль аналитической в области D функции /(г) экстремума может достигать лишь на границе области D. 2°. Теоремы Вейерштрасса. Первая теорема Вейерштрасса: если ряд со 2 /* (г) (бб) аналитических в области D функций fk (г) равномерно схо- сходится на любом замкнутом подмножестве области D, то сумма /(г) этого ряда аналитична в D, причем для кож- 00 дого натурального р ряд £ ДР> (г) производных порядка р функций fk (г) равномерно сходится на любом замкнутом подмножестве области D и /(P)(z)= 2 ДР)(г)- E6) Сперва покажем, что f(z) непрерывна в области D. Пусть z0 — произвольная фиксированная точка области D. В силу равномерной сходимости ряда E5) для наперед заданного е>0 существует натуральное число N (е) такое, что | f (г) — SN (z) \ < е/3 для всех г из лежащего в обла- п сти D круга | г — г01 «s Ьх. Здесь SN (г) = £ fk (г)- в силу непрерывности конечной суммы 5^B) существует число 6а(е)>0 такое, что 15^(г) — 5^(г0)|<е/3 для всех г из
112 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА круга \г — 2o|<c62. Следовательно, для всех г из круга \г — го|<Сб, где 6 = 111111F!, б2), на основании полученных неравенств можем написать = | / (г) - f(z0) + SN (г) - SN (г0) + SN (г0) - SN (г) | ^ ^ | Дг) - 5л, (г) | +1 / (г„) - Sjv (г0) | + + | SN (г)-S^ (г0) К § + | + |—в, а это означает, что /(г) непрерывна в точке г0 и, стало быть, она непрерывна всюду в области D. Пусть теперь замкнутый круг | г — z0| «S 6 лежит в области D. Интегрируя равенство 2я( Z—г 2я( t — по окружности | £ — г01 = 6 и пользуясь свойством 4) комп- комплексного интеграла из пункта 1° предыдущего параграфа, выраженным формулой C7), и интегральной формулой Коши D7), получаем It—zol = e ft=l для всех точек г круга | z — г01 <С 6. Отсюда на основании аналитичности интеграла типа Коши заключаем, что /(г) аналитична в круге |г — го|<б и, в частности, в точке г0. Так как г0 — произвольная точка области D, то тем самым аналитичность f(z) доказана всюду в области D. Интегрируя равномерно сходящийся ряд Р\ (S по окружности | £ — г01 = 6, в силу E0) получаем, что 00 2, fkP) (г) = [ш (z) для всех точек круга \г — гО|<8 и, стало быть, последнее равенство имеет место всюду в области D. Из равномерной сходимости ряда E5) на окружности | £ — г01 = б следует, что для наперед заданного е > О
§ 3 СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 113 существует натуральное оо /«+*(£) k=l О для всех число N (е) такое, что '. Поэтому для всех точек г круга | г — г01 < 6/2 имеем оценку it—z.1 = 6/ ;-г)Р+* а это означает, что ряд в правой части E6) равномерно сходится в круге | z — z01 < 6/2. Отсюда, пользуясь изве- известным положением из анализа о возможности выделения конечного покрытия из любого заданного покрытия замк- замкнутого множества открытыми кругами, заключаем, что ряд E6) равномерно сходится на любом замкнутом подмно- подмножестве области D. Вторая теорема Вейерштрасса: если ряд E5) аналитических в области D и непрерывных в D\jS функ- функций fk (г) равномерно сходится на границе S области D, то этот ряд равномерно сходится в D\}S. Эта теорема доказывается точно так же, как теорема Гарнака из пункта 5° § 2 главы I. В самом деле, из рав- равномерной сходимости ряда E5) на S следует, что для любого е >> 0 существует натуральное число W (е) такое, I что I fff+ь (£) <в для любого рэ=1 и для всех £ е S. I Так как модуль конечной суммы ^] /W+* (z) аналитиче- ских в D функций fk (г) максимума достигает на гра- нице S области D, то <е для всех zeD U S, а это означает равномерную сходимость ряда E5) в D\jS. 3°. Ряд Тейлора. Как уже было показано в пункте 3° § 1 настоящей главы, сумма S (г) степенного ряда /(Ф E7) внутри его круга сходимости аналитической функцией. |г —го| <R, R> 0, является
44 ГЛ. И СИСТЕМА КОШИ-РИМАНА Имеет место и обратное утверждение, именуемое тео- теоремой Тейлора: аналитическая в области D функция f (z) в окрестности каждой точки г0 е D представляется в виде суммы степенного ряда f(z)= f>ft(z-z0)*, E8) k = 0 радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние б0 от точки z0 до границы S области D. В самом деле, для каждого значения z из круга | z — z01 < б < б0 на основании интегральной формулы Коши D7) имеем -г 2я< ) 1-г0 г-г0 V *=0 где у —окружность |£ — го! = б, а В силу равномерной сходимости ряда Zj \ Sо / г-г0 относительно £ на окружности у ряд в правой части E9) мы можем интегрировать почленно и переписать это ра- равенство в виде E8), где или, принимая во внимание E0), a 6 = 0, 1, ... F1) Так как ряд E8) сходится в круге \г — го|<6, где б — произвольное число из промежутка O<cfi<;6o, то радиус сходимости ряда E8) не меньше 60. Степенной ряд E7), коэффициенты ак которого выра- выражаются через функцию f(z) по формулам F0) и F1),
§ 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 115 называется рядом Тейлора или тейлоровским разложением функции /(г). Из формулы F1) следует, что тейлоровское разложе- разложение в окрестности данной точки zogD единственно. 4°. Единственность аналитической функции. Теорема Лиувилля. Из теоремы Тейлора в свою очередь вытекает теорема единственности аналитической функции: если аналитическая в области D функция f(z) равна нулю на бесконечном множестве точек Е обла- области D, которое имеет предельную, точку г„, лежащую в D, то f(z) — O всюду в D. В самом деле, пусть d — круг | г — z0| < б, лежащий в D. По теореме Тейлора в d имеет место разложение E8). Обозначим через zk, k= I, 2,..., последовательность точек 00 Е П d, сходящуюся к г0. По условию, f(zk) = 2 а"(г* — го)" = л = 0 = 0, откуда в пределе при zk-+z0, гкфгй, получаем 00 = 0. Точно так же из равенства получаем al = Q и т. д. Следовательно, все а* = 0, k — 0, 1, ..., и, стало быть, f[z) — 0 в круге d. Пусть теперь г* — произвольная точка области D. Соединим точки г0 и г* непрерывной дугой /, лежащей в D, и обозначим расстояние между / и грани- границей S области D через б0. Передвигая центр круга \г — £|<6<6О из точки z0 в точку г* и пользуясь каж- каждый раз тем фактом, что в каждом положении £ имеет место равенство /(£) = 0, заключаем, что /(г*) = 0, т. е. /(г) = 0 всюду в D. Точка г0еО, в которой /(го) = 0, называется нулем или корнем функции /(г). Если г0 является нулем анали- аналитической в области D функции /(г), то в силу E8) будем иметь 00 /(*)= 2 ak{z-zof, n^l, аПф0. k = n , При п=\ нуль г0 называется простым, а при п> 1 — кратным (п-кратным). На основании F1) заключаем,
116 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ —РИМАНА что Zo является п-кратным нулем функции /(г) тогда и только тогда, когда Следствием теоремы Тейлора является также тео- теорема Лиувилля: ограниченная аналитическая на всей плоскости z функция f (г) постоянна. Действительно, в силу F0) имеем 2я и 2л где М — верхняя грань | / (г) | на плоскости г, а б — произ- произвольное положительное число. Из этого неравенства в пре- пределе при б->-оо получаем а* = 0, &=1, 2, ..., т. е. /(г) = = по = const. 5°. Ряд Лорана. Каждый член степенного ряда по отри- отрицательным степеням г0#оо, • F2) — 1 является аналитической функцией переменного- г при О < | г — г01 < со. В результате замены z — z0 = f- ряд F2) записывается в виде степенного ряда S «-*£*. F3) fe=i Приняв ^ = 0 при г = оо, убедимся, что если \%\<гх — круг сходимости ряда F3), то ряд F2) будет сходиться вне замкнутого круга | z — z01 ^ г = —. Так как вне круга \г — го|<р для любого р>г ряд F2) сходится равномерно, то в силу первой теоремы Вейерштрасса сумма этого ряда S1(z) = S!|c( ), где S^) — сумма ряда F3), аналитична во всех точках г, удовлетворяющих условию [г — го|>л
S 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 117 Когда ряд F2) сходится при \z — zo\>r, а степенной оо ряд S2(z)= 2°*(г~г))' сходится в круге \г — zo|<#, где /?>г, то ряд ^] а*(г — zo)k сходится в кольце К: * = —оэ r< z — zo\<R и его сумма S"(г) = St(г) + S2(г) является аналитической функцией в К. Справедливо и обратное утверждение — теорема Лорана: аналитическая в кольце К функция f (г) в каж- каждой точке z e К представ- представляется в виде суммы ряда k=—оо F4) где 2ni й=-0, ±1, .... F5) а у —окружность |£ — Рис. П. — го| = 6, r<8<R. Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим кольцо (рис. 11) Kv r<r1<\z-z0\<R1<R. В произвольной точке г е К\ по формуле D8) имеем 1 С f(Odt 1 Г /<p<g _ I—г 2я» it—г It—* =-г0 F6)
118 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ-РИМАНА Так как ряды F7) 2 A=1)*=_^__ F8) г—гп сходятся равномерно, когда £ лежит на окружностях | £ — г01 = /?i и | £ — г01 = Т\ соответственно, то, внося F7) и F8) в правую часть F6), получим равенство F4), в котором Ho /(£)(£ — го)-*-х является аналитической функцией £ в кольце Д", поэтому в силу теоремы Коши в правых частях F9) и G0) интеграл можно считать распростра- распространенным вдоль окружности | £ — г0 | = б, г < б < R. Ряд в правой части F4) называется рядом Лорана или лорановским разложением функции /(г), а ряды 00 ^ а* (г — zo)fc = f\ (г — г0), G1) «!=0 2(l^) G2) 4=1 — правильной и главной частями лорановского разло- разложения F4). Тейлоровское разложение, очевидно, является частным случаем лорановского разложения. Легко видеть, что лорановское разложение F4) в дан- данном кольце единственно. В самом деле, при наличии двух разложений 00 00 /B)= 2 a* (z-*>)*= 2 bk(z-z0)*, G3) * = — 00 ft = — 00
5 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ П9 умножая обе части равенства G3) на (г —го)"" и интег- интегрируя вдоль окружности у, в силу равенств D3), записан- записанных в виде 0. Ьф-\, 2\ ftl ( ' V получаем ап = Ьп, п — 0, ±1, ..., что и доказывает един ственность разложения F4). 6°. Понятия особых точек и вычета аналитической функции. Если в некоторой окрестности \г — го|<сб точ- точки г0 комплексной плоскости z функция /(г) аналитична всюду, кроме самой точки г0 (в которой она может быть и не задана), то г0 называется изолированной особой тон кой аналитической функции f(z). В силу теоремы Лорана в кольце 0<Сл<|г —го:<;6 функция f(z) разлагается в ряд Лорана F4). Устремляя г к нулю, убеждаемся в том, что полученный для /(г) ряд Лорана F4) сходится для всех г, удовлетворяющих условию 0 < | г — Zo | < 6. В зависимости от того, будет ли множество отличных от нуля коэффициентов ak, k =—1, —2, ..., в лоранов- ском разложении F4) пусто, конечно или бесконечно, изолированная особая точка г0 называется устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой. Точка г0 называется полюсом порядка я>0, если а_„=/=0 и все а_* = 0 при k>n. Из лорановского разложения F4) видно, что, когда изолированная особая точка г0 устранима, lim f(z) = ao, а когда г0 — полюс, lim/(г) = оо. г-»г0 Из определений нуля и полюса следует, что если тачка zo^D является нулем кратности п (полюсом по рядка п) аналитической в области D функции /(г), то эта точка является полюсом порядка п (нулем крат- кратности п) для функции тут. Действительно, в окрестности точки г0 функция /(г) разлагается в ряд f(z)= 2 ak(z-z0)k, атф0, Ь = т где т = п или т = — п в зависимости от того, является
120 ГЛ. П. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА ли г0 нулем или полюсом для /(г). Поэтому ±, Так как —^-г = — Ф 0, то вблизи точки г0 функция -щ является аналитической и ее можно представить в виде суммы степенного ряда 6. fc=0 и, стало быть, т k=0 Отсюда следует, что точка г0 является для функции -щ полюсом порядка п или нулем кратности п в зависимости от того, т — п или /п = — п. Аналогично убеждаемся в том, что если г0 является устранимой особой точкой аналитической функции /(г), то г0 для m является устранимой особой точкой при \\т ?(г)фО и полюсом при lim /(г) = 0. г-» г» г-* го Если г0 — существенно особая точка функции /(г) и в некоторой окрестности этой точки /(г)#0, то для т-т-г точка г0 будет изолированной особой точкой. Более того, поскольку г0 для -щ не может быть ни устранимой особой точкой, ии полюсом (в противном случае г„ была бы устранимой особой точкой или нулем для /(г0)), она является существенно особой точкой. Поведение функции /(г) вблизи существенно особой точки характеризуется следующей теоремой Сохоц- кого — Вейерштрасса: если г0 — существенно особая точка функции /(г), то для любого комплексного числа а можно найти сходящуюся к г0 последовательность точек zk, k=\, 2, ..., такую, что Hm f(zk) = a.
5 3 СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 121 Сначала рассмотрим случай, когда сс = оо. Вблизи точки z0 функцию f(z) представим в виде где fi и /2 даются по формулам G1) и G2). Так как ряд в левой части G2) сходится при | г — г01 > 0, то функция fi{l) = f%\-,—rb S = :—г, как сУмма степенного ряда \г—г0/ г—г0 оо 2 a-ftS*. сходящегося для всех точек плоскости £, не может быть ограниченной. В противном случае в силу теоремы Лиувилля /г(£) была бы постоянной, т. е. глав- главная часть в лорановском разложении отсутствовала бы, а это невозможно, ибо гп является существенно особой точкой для /(г). Таким образом, функция Ы£) = ж ) \г —го/ вблизи точки г0(£ = оо) не может быть ограниченной, и поэтому можно указать последовательность %k, k= 1, 2,..., сходящуюся к оо, такую, что lim /г(£й) = оо. Следова- тельно, существует последовательность zft = z0 + =-, к — = 1, 2, ..., сходящаяся к г0, такая, что lim h\- ) «= = оо. Отсюда, так как lim fi(Zk — г0) = Оо» заключаем, что lim Пусть теперь а —конечное число. Рассмотрим функцию f(z) — a, для которой г0, очевидно, является существенно особой точкой. Если в каждой окрестности |г —2о|<т- точки г0 существует точка zk, в которой f(zk) = a, то бу- будем иметь lim f(zk)—a. Если же точка г0 имеет окрест- гй^го ность, в которой [(г)Фа, то, как уже было отмечено, г0 будет существенно особой точкой и для ..._ . Следо- Следовательно, существует последовательность точек гк, k = = 1, 2, ..., сходящаяся к г0, такая, что Ига L-oo
122 ГЛ. П. СИСТЕМА КОШИ-РИМАНА и, стало быть, lim f(zk) = a. zk~*zo Говорят, что z = oo является изолированной особой точкой аналитической функции /(г), если £ = 0 есть изо- изолированная особая точка для функции ф(£) = Д ^). Так как лорановские разложения q>(£) и /(г), г= £ , в окрест- окрестностях точек £ = 0, г = оо связаны между собой равенством 2 t=—ОО ft= — 00 то изолированная особая точка г = оо классифицируется по характеру множества отличных от нуля коэффициентов Щ, k ——li —2, ..., лорановского разложения f(z) — 00 = 2 а*г~*- В зависимости от того, будет ли это мно- k= — 00 жество пусто, конечно или бесконечно, особая точка г = оо называется устранимой особой точкой, полюсом или суще- существенно особой точкой. Аналитическая на всей плоскости г функция /(г) называется целой. В зависимости от того, является ли бесконечно удаленная точка 2 = оо для целой функции /(г) устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой, целая функция /(г) будет постоянной, полиномом или целой трансцендентной функцией. Функ- Функция /(г), которая на расширенной комплексной плоскости имеет только полюсы, называется рациональной. Отноше- Отношение Шт двух целых функций f(z) и ф(г) называется мероморфной функцией. Мероморфной является, например, , sinz , Функция _=«tgz. Пусть функция f(z) аналитична в области D всюду, кроме изолированной особой точки г0 е D, а у — кусочно- гладкая замкнутая кривая Жордана, которая вместе с областью Dy, границей которой она служит, лежит в D, причем zoeDy. В силу теоремы Коши значение интеграла
$ 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 123 где интегрирование происходит вдоль у по направлению, оставляющему конечную область DY слева, одно и то же для всех у; оно называется вычетом функции f(z) отно- относительно особой точки г0. Для вычета пользуются обозначением J-Д /(z)dz = Res/(г). G5) При вычислении выче- вычета в качестве у, очевидно, можно брать окружность | г — г0-1 == б достаточно ма- малого радиуса (рис. 12). Подставляя в левую Рис. 12. часть G5) лорановское разложение F4) и пользуясь равенствами G4), получаем Когда 2о —полюс порядка п, для нахождения cl.x имеем очевидную формулу G6) Если функция f (г) непрерывна в D (J S и аналитична в D всюду, кроме изолированных особых точек zk^D, &=1, ..., /га, и граница S конечной области D является кусочно-гладкой замкнутой кривой Жордана, то в силу формулы D8) имеем = 2 Res к\г~г G7) Формула G7) позволяет легко вычислить некоторые определенные интегралы. Так, например, если известно, что f(z) непрерывна при Imz^O и аналитична при Imz>0 всюду, кроме конечного числа изолированных особых точек zk, 1тг*>
124 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА >0, &=1, ..., /га, причем для достаточно больших \г\ l/(z)l<TT*> M = const>0, G8) то, пользуясь формулой G7), когда область D — полукруг | г | < R, Im г > 0, содержа- содержащий внутри себя все гк, k=\, ..., /га, получаем (рис. 13) - G9) —R Я а = 2ш Рис. 13. Но второй интеграл в левой части G9) в силу G8) в пределе при /?-»-оо дает нуль. Поэтому из G9) полу- получаем, что \ f(x)dx= Mm \ f{x)dx=*2ni J\ Res f(z). 7°. Формула Шварца. Решение задачи Дирихле. Пусть требуется определить аналитическую в круге | г \ < 1 функцию f(z), если известно, что ее действительная часть и(х, у) непрерывна при |z|s=Sl и на окружности |£| = 1 изнутри принимает заданные непрерывные значения ICI-1. _(80) На окружности |^| = /?, /?<1, имеем f(z) + f(z) = ■ 2u (С). Умножая обе части этого равенства на ^ (£) \z\<R, и интегрируя по окружности |£| = /?, в силу интегральной формулы Коши D7) получаем Я S ¥?"i 00 Из тейлоровского разложения f(z)= ^] а^г* в круге |г|< 1 при i£|«■ /? е записи J — Г>о"в *" — Пл-"° ^
S 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 125 оо оо имеем /(£)='У Д*£* = У д*тг- Поэтому второе слагае- слагаемо 4 = 0 мое в левой части (81) запишется в виде Из формулы G4) имеем £-1. 1*к*. (83) Для вычисления интеграла в правой части (82) при k>0 воспользуемся формулой G7): Вычеты в правой части (84) находим по формуле G6): Следовательно, 55 i jF^rij--i* + ifc--O. (85) |г|</?, й=1, 2, ... В силу (83) и (85) формула (81) принимает вид '«-a S ¥?-*• 1С1Л где до = /(О) = и(О, 0) —to@, 0), а из (86) в пределе при R-+-1 с учетом условия (80) находим i \ Т=?-"@, 0) + to@, 0). (87) it I—» Когда г = 0, из (87) имеем =2Ц(О, о)=Л С
126 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА т. е. (88) Подставляя значение и (О, 0) из (88) в (87), получаем формулу Шварца fw=k \ §=i>(9rfe+tc, (89) 1 = е'\ С =.о@, 0), которая восстанавливает с точностью до произвольного мнимого постоянного слагаемого аналитическую в круге |г|<1 функцию f(z) no краевым значениям на окруж- окружности i £ | = 1 ее действительной части. Ввиду того, что на окружности | £ | = 1 из формулы Шварца (89) получаем формулу Пуассона 2л и (г) = и (х, у) = ^ j ffc^p Ф (е'9) <». (90) о дающую решение задачи Дирихле для гармонических функций в круге |г|<1 (сравните с формулой A7) пункта 2° § 2 гл. I). Пользуясь теоремой Римана, теоремой о соответствии границ и формулой (90), можно доказать существование решения задачи Дирихле в следующей общей постановке: в области D плоскости комплексного переменного £ = £ + iti> ограниченной замкнутой кривой Жордана S, требуется найти гармоническую функцию и* (£) = ит A, л)» непре- непрерывную в D[]S и принимающую на S заданные непре- непрерывные значения £(£)■ В самом деле, искомая гармоническая функция и# (£, ц) должна быть действительной частью аналитической в об- области D функции F (£). Функция и (г) = и (х, у) = = Re FI/-1 (г)], где г = /(£) конформно отображает область D на круг | г | < 1 гармонична в этом круге и непрерывна в замкнутом круге | г \ ^ 1, причем на окружности | г | = 1
f 4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 127 она принимает непрерывные значения <р (г) = g [f-1 (г)]. Функцию и(х, y) = u(z) находим по формуле (90), и через нее искомая гармоническая функция получится в виде § 4. Аналитическое продолжение 1°. Понятие аналитического продолжения. Пусть Dt и D2 — области плоскости комплексного переменного г, пересечение которых d = Dl{\D2 представляет собой область, и рассмотрим аналитическую в Dt функцию /i (г). Если существует аналитическая в D2 функция Мг)> [Рис. !4. Рис. 15. совпадающая с fx (г) в d, то говорят, что /2 (г) является аналитическим продолжением ft(z) из области Dt в об- область Da через общую часть d этих областей. В силу теоремы единственности аналитических функций очевидно, что при существовании аналитического продолжения оно единственно (рис. 14). 2°. Принцип непрерывности. Предположим, что одно- связные области Dx и D2 имеют общий участок границ, представляющий собой гладкую дугу Жордана у, причем пересечение Dt f| D2 пусто. Под принципом непрерывности понимается утверждение: если функции fx(z) и /2(г) аполитичны
128 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА в областях Dx и Dt соответственно, непрерывны вплоть до у и, крот того, то функция /(*) = h(г). [ ze=Dlt геО2, аполитична в области D = D1\}Di\]y (когда дуга у разомкнута, предполагается, что концы к ней не при- причисляются) (рис. 15). Справедливость принцица непрерывности будет дока- доказана в силу теоремы Морера, если мы покажем, что интеграл от f(z) по любой замкнутой кусочно-гладкой кривой Жордана S, лежащей в D, равен нулю. Но в силу теоремы Коши когда S лежит в Dt (J y или в D2 (J y- Пусть теперь S является контуром области Ds, пересечения которой как с Db так и с D2 не являются пустыми. Так как интег- интегралы от /(г), распространенные по контурам Dsf\Di и ~2, равны нулю в силу теоремы Коши, а в сумме этих интегралов участки дуги y. входящие в контуры Ds П Dx и Ds П D2, точка ин- интеграции проходит два раза по противоположным направ- направлениям, то и в этом случае рассматриваемый интеграл равен нулю. 3°. Принцип симметрии Римана — Шварца. Пусть участок y границы односвяз- ной области D, расположен- Рис. 16. ной в верхней или нижней полуплоскости, является от- отрезком действительной оси Imz = 0, а функция /(z) = = и (х, у) + iv (x, у) аналитична в D, непрерывна вплоть до у, а на y ее мнимая часть v {х, 0) = 0. Риману и Шварцу х
$ 4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 129 принадлежит утверждение, что в этих условиях в область D, симметричную области D относительно у, функция f(г) продолжается аналитически, причем, если геД то f(г) = f(г) (принцип симметрии Римана — Швар- Шварца) (рис. 16). Справедливость этого принципа следует из того, что в окрестности каждой точки z0 e D имеем / (г) = 00 00 = 2а*(г —г0)*. Следовательно, ряд 2 uk (Z - lo)k = f (z) также является сходящимся. Под f(z) = f{z) будем пони- понимать аналитическую в области D функцию, представляю- 00 щую собой сумму степенного ряда 2 пь(г — г0)к, z0 e D. *=о Так как при Imz = 0 имеем 1тДг) = 0, тр f(x) = f(x), когда хеу. Функция f(z), z<=D, f(x) = f(x), xz=y, F(z). zezD, в силу принципа непрерывности является аналитической в области D(J/3(Jy> и тем самым принцип симметрии Римана —Шварца доказан. Пусть теперь участок Yo границы области D представ- представляет собой дугу окружности С, a D# — лежащая вне D область, примыкающая к у0 и расположенная симметрично D относительно С. Поскольку в результате дробно-линейного отображения можно добиться того, чтобы образом у0 служил участок у действительной оси, принцип симметрии Римана — Шварца можно сформулировать следующим образом: если функция f(z) аналитична в области D, непрерывна вплоть до у0 и Im^(z) = 0 на уо, то f(z) ана- аналитически продолжается из области D через у0 в область D#, причем при z^D* где г„ — точка, симметричная г относительно С. С А. В. Бнцадзе
1M ГЛ. Н СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА § 5. Формулы для предельных значений интеграла типа Коши и некоторые их приложения 1°. Понятие интеграла в смысле главного значения по Коши. Пусть 5 —замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана, а / (/) — заданная на ней непрерывная функция. В пункте 4е § 2 настоящей главы было показано, что интеграл типа Коши D9) в каждой точке г, не лежащей на S, является аналитической функцией. Когда точка г ег S, интеграл типа Коши в обычном понимании, оче- очевидно, не существует, но при некоторых дополнительных предположениях относительно функции f{t) и кривой S ему можно придать вполне оправданный смысл. Ниже будем предполагать, что кривизна кривой 5 непрерывна. Пусть to&S, у — окружность \t — to\ = e, достаточно малого радиуса, а 58 —часть S, лежащая вне замкнутого круга \t — t\ Интеграл очевидно, имеет смысл в обычном понимании. Когда существует е-»о этот предел называется интегралом в смысле главного значения по Коши или сингулярным интегралом и его принято обозначать обычным символом интеграла: Некоторые авторы правую часть (91) снабжают либо латинскими буквами v. p. спереди, означающими сокра- сокращенную запись французских слов valeur principal (глав- (главное значение), либо звездочкой сверху или снизу знака интеграла. , Покажем, 4T«j если f(t) удовлетворяет условию Гёльдера, т. е. когда существуют постоянные А > 0, 0 < h «^ 1, такие, что для любых tlt tteS dlfx-/,!», (92) интеграл в смысле главного значения (91) существует.
S 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 131 В самом деле, на основании интегральной формулы Коши D6) выражение (91) перепишем в виде '8 J8 - 5 nt}-uta) где Vi~4acTb окружности у, лежащая вне конечной области D с границей S. В силу условия (92) заключаем, что несобственный интеграл с 1<а^л_ни с ш=ш-д сходится равномерно и представляет собой непрерывную функцию tQ. С другой стороны, lira {-т^т-= lira i[ chp = ni, t — го = еЛ 8-^0 J г~~'О 8-^0 J Y» Vi Следовательно, из полученного выше выражения для /8(?о) в пределе при в-»-0 имеем ILm./e <« - j 4?f - «V С) + J ^fe^- Л. (93) Когда кривая S разомкнута в предположении, что io&S не является концевой точкой S, интеграл в смысле глав- главного значения по Коши определяется опять-такн как предел выражения при е-*-0, причем этот предел всегда существует, если f(t) удовлетворяет условию Гёльдера. 2°. Касательная производная потенциала простого слоя. В главе I, § 4, 3" при изучении потенциалов простого слоя E9) мы пользовались представлением F2), в котором функция v(x) удовлетворяет условиям F0). Так как интегральные члены в правой части этого представления являются непрерывно дифференцируемыми функциями при переходе точки х из D+ в ТУ через точку i°eS, то иа основании формул E2) и F0) той же главы заключаем,
132 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА что касательная производная потенциала простого слоя существует и остается непрерывной при переходе течки х из D+ в D-. Записывая потенциал простого слоя в виде покажем, что при где s и So —дуговые абсциссы точек t и t0 на S, t'0 = = -£-, f — \/-£, * (i, t0) = arg (t — i0). В первом слагаемом в правой части (94) интеграл понимается в смысле глав- главного значения по Коши, а во втором слагаемом —в обыч- обычном смысле из-за непрерывности функции -^— О (t, t0) (см. гл. I, § 4, 1°). Обозначим соответственно через tx и tt точки на S с дуговыми абсциссами s0 — e и So + е при достаточно малом е>0, а через Se —часть S вне дуги f^o/j. Очевидно, что равномерно относительно U lim u8 (t0) = и (t0), «-so где M« ± ilog\t-to\ii(t)ds. (95) Дифференцируя обе части (95) по So, получаем 5Г^-/,!. (96) Так как \ log | *i - Ы -|i (<i) log K1-/01 = _»o I'»
$ 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 133 и функция ц имеет непрерывную производную второго порядка, то lira [ц (*,) log | /, -101 - fi (h) log | tx -101] = 0. e->0 С другой стороны, на основании равенства \t-to\ = (t- заключаем, что при / е Sg так что -■g-j Iog|<-/o||i(*)ds = Учитывая то обстоятельство, что функция f'p (t) удов- удовлетворяет во всяком случае условию Гёльдера (92), в силу определения интеграла в смысле главного значения по Коши имеем е-о J г~'о Следовательно, переходя к пределу в равенстве (96) при г-*-0, получаем ^e() ^^i^ + s^nt. to)ds, причем стремление к пределу происхоит равномерно отно- относительно t0. Отсюда на основании известной теоремы анализа заключаем, что для касательной производной потенциала простого слоя имеет место интегральное пред- представление (94). 3°. Предельные значения интеграла типа Коши. Будем предполагать, что в интеграле типа Коши контур S является замкнутой кривой Жордана с непре-
134 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА рывной кривизной, а плотность /(/) однозначна и дважды непрерывно дифференцируема. В этих предположениях (97) можно записать в виде (98) где 1 f Я i, t = t(s) (99) — потенциал двойного слоя с плотностью / (t), a LC \og\t-z\nds A00) — потенциал простого слоя с плотностью -^/J. Как было показано в пунктах 2°, 3° § 4 главы 1 функция v (г) непрерывна на всей плоскости переменного г, а для предельных значений u (z) при z-*-<osS соответ- соответственно из D+ и D- имеют место равенства (см. формулы E4), E5) гл. I) A02) Кроме ) = _ того, 1 f Г из A00) log|/-t Uiir *™ в-» \ в Б имеем j f'sds=> о V , - UI - / (h) log | *! - Ц, где Se —часть S, рассмотренная в предыдущем пункте.
f (. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 136 Ввиду того, что для у (/о) имеет выражение (юз) На основании A01), A02) и A03) заключаем, что существуют предельные значения F+ \t0) и F~ (t0) интеграла типа Коши (97) при z-+to&S соответственно mD+uD~ и -± откуда в силу очевидного равенства имеем A05)
136 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА Из равенств A04) и A05) непосредственно получаем равенства F+{to)-F-{to) = f{to), A06) A07) носящие название формул Сохоцкого — Племеля. 4°. Понятие кусочно-аналитической функции. Выводы пунктов 1°, 2°, 3° настоящего параграфа остаются в силе и при более общих предположениях относительно кривой S и заданных на ней функций f(t) и n(t). В частности, формулы A04), A05), A06) и A07) имеют место и тогда, когда /(/) удовлетворяет условию Гёльдера, aS является кривой Ляпунова, т. е. угол 6 (t), составленный касательной к S в точке t с некоторым постоянным направлением (например, с направлением действительной оси плоскости комплексного переменного г), также удовлетворяет усло- условию Гёльдера. В силу представления (93) интеграла в смысле главного значения по Коши из формул A04) и A05), очевидно, следует, что F+ (t0) и Р~ (t0) являются непрерывными функ- функциями. Более того, если f (t) удовлетворяет условию Гёль- Гёльдера с показателем h, 0 < h < 1, то предельные значения F* (t0) и F~ (t0) также удовлетворяют условию Гёльдера с показателем h. Ниже мы будем пользоваться этим утверждением, но на его доказательстве здесь останавли- останавливаться не будем. Говорят, что заданная в области D функция Ф (г) непрерывно продолжила всюду на границе S этой области, если для любого t e S существует предел НтФ(г), геО. z-*t Из приведенного выше рассуждения следует, что пред- представленная интегралом типа Коши функция при принятых предположениях относительно S uf непрерывно продолжима на S как из D+, так и из D-. Функцию 'ф (г), аналитическую как в D+, так и в D~ и непрерывно продолжимую всюду на границе S этих областей, будем называть кусочно-аналитической (или кусочно-голоморфной) на плоскости комплексного перемен- переменного г. Из выводов предыдущего пункта следует, что
S 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 137 представленная интегралом типа Коши (97) функция F (z), когда плотность f(t) удовлетворяет условию Гёльдера, является кусочно-аналитической. Разность Ф+ (/) -- ф- (t) = g (t) будем называть скачком кусочно-аналитической функции Ф(г). Когда Ф+ (t) и Ф" (t) являются непрерывными функциями и g(t)=*O всюду на S, в силу доказанного в пункте 2° предыдущего параграфа принципа непрерывности заклю- заключаем, что Ф(г) является аналитической функцией на всей плоскости переменного г и, стало быть, в силу пункта 6° § 3 настоящей главы Ф(г) либо постоянна (в частности, нуль), либо полином, либо целая трансцендентная функция. 5°. Приложения к краевым задачам. В приложениях часто встречается следующая краевая задача: тре- требуется определить кусочно-аналитическую, функцию Ф(г) по краевому условию Ф+@-Ф-(')=£@. *eS, A08) где g if) —заданная функция, удовлетворяющая условию Гёльдера. Когда S — замкнутая кривая Ляпунова, одно из реше- решений задачи A08) в силу формулы A06) дается интегралом типа Коши Если обозначить через Ф (г) общее решение этой задачи, то для разности Ф (г) — ФДг) = й (г) в силу A08) будем иметь и, следовательно, Q (г) = Р (г), т. е. где Р (г) — произвольная целая функция. Если в задаче A08) дополнительно требовать, чтобы Ф(г) на бесконечности имела полюс порядка п, я^1, или была ограничена, то в формуле A09) в качестве Р(г) следует писать соответственно произвольный полином сте- степени л или произвольную постоянную С,
188 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА Так как в окрестности бесконечно удаленной точки в силу A09) ft-0 то решение задачи A08), имеющее нуль порядка п на бес- бесконечности, всегда существует при п = 1 и существует лишь при соблюдении условий lg(t)t»dt = O, ft-0, .... n-l, s при п~>\, причем в обоих случаях имеет место единст- единственность решения и это решение дается формулой A09), в которой Р (г) = 0. Решение задачи отыскания кусочно-аналитической функции Y(z), удовлетворяющей краевому условию очевидно, дается формулой -Ф(г), :eD-, где Ф (г) — решение задачи A08). Когда S представляет собой прямую, например дейст- действительную ось, a D+ и D~ обозначают соответственно верхнюю и нижнюю полуплоскости, то решение задачи A08), ограниченное на всей плоскости, дается формулой f * где С—произвольная постоянная. Для того чтобы убедиться в справедливости сформу- сформулированного утверждения, отобразим конформно верхнюю полуплоскость D+ на круг | w | < 1 (см. пункт 5° § 1 настоящей главы). Если Ф (г) —решение задачи A08) в рассматриваемом случае, то функция
f 8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 139 будет решением краевой задачи F+(x)-F-(T) = g1(T), |т|-1, A12) где Ограниченное решение задачи A12) в силу A09) имеет вид где Сх— произвольная постоянная. В силу A11) из A13) получаем где Интеграл в правой части (ПО) понимается как предел выражения \ когда положительные постоянные N' и W независимо друг от друга стремятся к бесконечности. Очевидно, что в этом случае от функции g(t) следует потребовать, чтобы для достаточно больших |{| она имела вид где О (утог)"~бесконечно малая величина того же порядка, что и ту ших 11\ что и тур{ при i-*-oo. Когда же для достаточно боль- боль, Л>0, const Ф 0, в выражении A14) надо считать, что N' = N", т. е.
140 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ-РИМАНА интеграл в правой части A10) следует понимать в смысле главного значения. Пользуясь решением (ПО) задачи A08), легко получить формулу Шварца I'B+K A15) определяющую с точностью до чисто мнимой аддитивной постоянной iC ограниченную, аналитическую в верхней полуплоскости D+ функцию F(z) = u (х, у) -f iv (x, у), непре- непрерывную вплоть до действительной оси у = 0 и удовлетво- удовлетворяющую краевому условию -оо<*<оо, A16) где /@ = 0(-]7|ft)> Л>0> для больших 1<1- Действительно, запишем условие A16) в виде 40 = 2/@, -оо</<оо, A17) и введем функцию Функция G{z) непрерывно продолжима на всю дейст- действительную ось как из D+, так и из D-. Поскольку Р (г) = = и(х, —y) — iv(x, —у) при геО-, условие A17) равно- равносильно условию G+@- О- @ = 2/@, -оо</<оо. Поэтому в силу (ПО) имеем функция F^r)=G(z), очевидно, будет решением задачи A16), когда const = iC, где С — произвольная действительная постоянная. Заметим, что формула A15) дает решение задачи A16) и в тех случаях, когда в конечном числе точек действи- действительной оси функция /@ имеет интегрируемые особен- особенности.
f Б. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 141 Пользуясь этим замечанием, покажем, что формула Шварца A15) позволяет в квадратурах выписать решение следующей краевой задачи: определить аналитическую в верхней полуплоскости D+ функцию Ф(г), непрерывную вплоть до действительной оси всюду, кроме точек г = — а, z = a, в которых она может обращаться в бесконечность интегрируемого порядка, имеющего нуль первого порядка на бесконечности и удовлетворяющую краевым условиям —a<t<a, а>0, A18) -а, a<t<oo, A19) где f (t) — заданная на интервале —a<.t<.a действитель- действительная функция, удовлетворяющая условию Гёльдера. В самом деле, выбирая однозначную ветвь функции j/a2 — г*, действительную при —a<.z<ia, введем новую функцию где Ф (г) — искомое решение задачи A18), A19). Функция F(z) аналитична и ограничена в верхней полуплоскости D+ и удовлетворяет краевым условиям 10, —oo<^< — a, a<t <oo. Решение этой задачи дается формулой A15I откуда находим ф W -i ( V— — w nl J У а»_г» t_z За счет подбора постоянной С можно добиться того, чтобы функция Ф (г) была ограничена на одном из концов интервала (—а, а). Так, например, когда n —а
142 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ ~- РИМАНА формула A20) дает ограниченное при г**а единственное решение задачи A18), A19): _1 С лГШП t-г где под 1/ /д ■'I понимается ветвь этой функции, обра- обращающаяся в i при z-*-co. § 6. Функции нескольких переменных Iе. Вводные понятия и обозначения. Упорядоченную систему z = (гь ..., г„) значений комплексных переменных ** = ** + *Уь & = 1, ...» п, будем называть точкой п-мер- ного комплексного векторного пространства С" этих пере- переменных. Пространство С" можно интерпретировать как 2п-мерное евклидово пространство действительных пере- переменных хъ .... Хп, yt, .... уп- Множество точек г е С, удовлетворяющих условиям \zk — zl\<rk, k=l, ..., л, где г и — положительные числа, называется открытым полицилиндром С (г, z°) радиуса г = (гъ ..., гп) с цент- центром в точке z°, а множество точек г е С", удовлетворяю- удовлетворяющих условиям |£| £ = 1 п, — замкнутым полицилиндром С (г, z°). Точки z e С", для которых имеют место равенства \zk — zl\ = rk, k=\ п, составляют остов полицилиндра С (г, г°). Понятие полицилиндра позволяет ввести понятия окрестности заданной точки, внутренней, предельной и изолированной точек для множества Е точек простран- пространства С", а также понятия открытого, замкнутого и огра- ограниченного множества в С". Пусть Е и Ег — множества из С" и на плоскости комплексного переменного w соответственно. Когда указан закон, по которому каждому значению zg£ поставлено в соответствие вполне определенное значение w e Elt говорят, что w является однозначной функцией перемен-
t в. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ИЗ ного z или функцией нескольких переменных zu ..., гп, и пишут w — fW — ffa г„). Заданная на множестве Е функция /(г) называется непре- непрерывной (или непрерывной по совокупности переменных Zi. • • •» г„) в предельной точке этого множества z° e E, если для любого наперед заданного числа е>0 можно указать систему положительных чисел 6 = Fb ..., б„) такую, что для любых двух точек г' е Е (] С (б, 2°), z" в е Е П С (б, г*) имеет место неравенство | / (г') — / (г") | < е. Понятие равномерной непрерывности заданной на мно- множестве Е функции f(z), а также понятия сходимости и авномерной сходимости последовательности функций () п=1, 2, ..., ге£, вводятся точно таким же образом, как и в случае функций одного комплексного переменного. Конечная сумма I \... ./?'•••*'-''.<* где ак±...кп — заданные комплексные числа с индексами klt...kn, принимающими неотрицательные целые значения, л причем ^к] = т, носит название однородною полинома переменных гг, ..., гп степени т. Очевидно, что Рт(г) является непрерывной функцией для всех конечных зна- значений г. 2". Понятие аналитической функции нескольких пере- переменных. Пусть w = /(г) = и{х, у) + iv(х, у), х = (хъ ..., хп), 0"-G/i> •••> Уп) — заданная в некоторой области D прост- пространства С" функция, действительная и мнимая части которой как функции действительных переменных xi, ... ..., х„, у\ уп непрерывны вместе с производными первого порядка в области их задания. Приращение Ддо функции w = f(z), когда переменные zk принимают приращение Azft, &=1 п, запишем в виде A22)
144 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА где ± дг„ Агк = Ахк + i Аук, Мк = Ахк - i Аук, -Ч±-,-±\ А= 2\dxk 1дук)' дгк л а о (| Аг |) — бесконечно малая величина высшего порядка по сравнению с | Аг | = Если часть приращения A22) функции /(г) в каждой точке z^D является линейной формой лишь относительно Аг*, k = = 1, ..., п, т. е. если в каждой точке zgD имеют место равенства ^ = 0, £=1 п, A23) то функция /(г) называется аналитической в области D. Равенства A23) представляют собой комплексную запись систем действительных равенств д*к дУк ' дУк дхк ' ••••»»■ носящих название условий Коши — Римана для функции нескольких переменных /(г). Выражение и df A, называется полным дифференциалом аналитической функ- функции /(г). Из приведенного выше определения аналитической функции f(z) = f(zlt ..., zn) следует, что эта функция непрерывна по совокупности переменных zb ..., г„ и ана- литична относительно каждого переменного zk в смысле определения аналитической функции одного комплексного переменного (см. пункт 1° § 1 настоящей главы). Имеет
S в. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 145 место и обратное утверждение: если в области D функ- функция f (г) аполитична по каждому из переменных zk, k = = 1, ..., п, то она аналитшна в области D. Содержание этого утверждения известно под названием теоремы Гартогса, которую мы здесь приводим без доказа- доказательства. Коэффициент ■—- при dzk в правой части формулы A24) называется частной производной аналитической функ- функции f(z) по переменному zk и вычисляется по формуле гя)—/fa, ..., tk, ..., zn) _ _ ди_ . . dv_ . ди . dv Непосредственной проверкой легко убедиться в анали- аналитичности полиномов от переменных гъ .... г„. 3°. Степенной ряд с несколькими переменными. Функ- Функциональный ряд вида где ак ...кп~заданные числа, причем суммирование произ- производится по всем индексам kjt /=1, ..., п, от нуля до бесконечности, называется степенным рядом нескольких переменных Z\, ..., г„ или кратным степенным рядом. Известное из курса математического анализа утвержде- утверждение (лемма Абеля), что сходимость степенного ряда одного переменного г* в точке г0ф0 комплексной плоскости г влечет за собой абсолютную сходимость ряда в круге |z|<|zo|, перестает быть справедливым для рядов вида A25). Однако, если коэффициенты ak ...* степенного ряда A25) для всех зна- значений индексов удовлетворяют условиям 1 ' " * П еде g — положительное число, не зависящее от kit ..., kn,
146 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА то этот ряд абсолютно сходится в открытом поли- полицилиндре С {г, 0), г = (/-!, .... гл), причем сходимость равномерная на каждом замкнутом ограниченном подмно- подмножестве точек полицилиндра С (г, 0). Заметим, что при z^C{r, 0) ряд 8 н *„ *х>0 *л>0 представляет собой кратную геометрическую прогрессию, суммой которой является выражение Для каждого члена ряда A25) в силу A26) имеет место оценка г» *" A27) Из наличия оценки A27) следует справедливость сформу- сформулированного утверждения. На основании абсолютной сходимости ряда A25) в полицилиндре С (г, 0) мы можем сгруппировать его члены таким образом, чтобы этому ряду придать вид S Рт(г), - A28) где Рт (г) — однородные полиномы переменных гь ..., г„ степени т. Так как ряд A28) сходится равномерно на каждом замкнутом подмножестве полицилиндра С (г, 0) и Рт являются аналитическими функциями по каждому из пере- переменных zk, k=\, ..., п, в силу первой теоремы Вейер- штрасса (см. пункт 2° § 3 настоящей главы) заключаем, что сумма этого ряда s(z) аналитична по любому из этих переменных, причем каждый член продифференцирован- продифференцированного, например, один раз по переменному zk, ряда A28) не превосходит по модулю соответствующего члена гео- геометрической прогрессии, суммой которой является выра- выражение
S 6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 147 Следовательно, в силу теоремы Гартогса сумма s(z) сте- степенного ряда A25) является аналитической функцией в полицилиндре С (г, 0). Все сказанное выше остается в силе при рассмотрении степенного ряда вида где 2° = (z? г„) — конечная точка пространства С". 4°. Интегральная формула Коши и теорема Тейлора. Пусть функция / (г) аналитична в области DcC и точка г°е£. Для достаточно малых гх, ..., г„ полицилиндр С (г, г0) лежит внутри D. Фиксируя значения перемен- переменных zk в кругах \zk — zl\<.rk, кф\, аналитическую по переменному Zy функцию /(г) в круге \zt — z)\<.rj можно представить по формуле Коши D7): Повторением этого рассуждения заключаем, что для всех zeC(г, 2°) имеет место интегральная фор- формула Коши В правой части формулы A29) интегрирование можно совершить в любом порядке, ибо подынтегральная функ- функция непрерывна по совокупности переменных tu ..., tn. Из формулы A29), как и в пункте 4° § 3, заключаем, что аналитическая функция f (г) имеет производные всех поряд- порядков по переменным гх, ..., г„, которые в силу теоремы Гартогса сами являются аналитическими функциями в полицилиндре С (г, г°). Поскольку точка 2°eD взята произвольно, тем самым доказаны существование и ана- аналитичность всех производных аналитической функции/(г).
148 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА Так как при 1 ■■(tn — 2n) ze=C(r, 1 •■е- I г") ^, г1~г 1 \\ 1 гп~~ гп\ /-» у® причем ряд сходится равномерно относительно положения точки t на остове полицилиндра С (г, г°), то из формулы A29) получаем 2 К~*п <Ь-Ф."(*п-?п)\ A30) где Из формулы A31) имеем I P I * rRl...rRn 1 л где Af = max |/B)| при z<=C(r, z°), откуда следует абсолютная и равномерная сходимость степенного ряда в правой части A30) в полицилиндре С(р, г°), где р = = (Pi pn), Pft<rft, &=1 п. Таким образом, доказана следующая теорема Тей- Тейлора: аналитическая в области D функция /(г) в окрест- окрестности каждой точки sf ^ D представляется в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда A30), коэффици- коэффициенты которого вычисляются по формуле A31). Поскольку в силу формулы A29) I-'i |t»-4| Г
5 6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 149 для коэффициентов pY...* наряду с формулой A31) имеем - <132) На основании изложенных выше свойств степенных рядов и теоремы Тейлора заключаем, что приведенное в пункте 2° настоящего параграфа определение аналити- аналитической функции эквивалентно определению: однозначная в области D функция F(z) называется аналитической, если для каждой точки z° e D существует окрестность, в которой F(z) можно представить в виде сходящегося (абсолютно) степенного ряда Р B) = S Y*i - К («i - Ф ...(Zn-zl )*». A33) Пользуясь интегральной формулой Коши, непосред- непосредственно убеждаемся в том, что коэффициенты у»1#..*я од- однозначно определяются по формулам A31) и A32), в ко- которых функция f заменена через F. В случае действи- действительных гъ ..., г„ это определение аналитической функ- функции совпадает с известным из курса математического анализа определением аналитичности функции многих действительных переменных. 5°. Аналитические функции действительных перемен- переменных. Функция f(x) называется аналитической в области D евклидова пространства Е„, если для каждой точки х° &D существует параллелепипед k=l, .... п, в котором f(x) представляется в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда К*)- 2 ciki...kn{x1-xl)ki...(xn-x<>n)kn. A34)f fejso *„><> Коэффициенты этого ряда, очевидно, выражаются через f (х) по формулам x=*x* Класс аналитических функций обширен. В этот класс входят, в частности, гармонические функции. При дока-
150 ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ —РИМАНА зательстве аналитичности гармонических функций обычно пользуются формулой Пуассона (см. формулу B0) из гл. I). Мы здесь ограничимся рассмотрением гармонических функций в случае п — 2. Итак, пусть хх**х, х% = у и х\ = х0, х\ = у0, a D — область плоскости комплексного переменного z — x-\-iy, в которой задана гармоническая функция и (х, у). В кру- круге | z — Zo | < R, где z0 = х0 + iyo — произвольно фиксиро- фиксированная точка в D, а число R меньше, чем расстояние от Zo до границы области D, функцию и(х, у) предста- представим по формуле Шварца (см. формулу (86) настоящей главы): и(х, у)=Яе(~п j ^^7__+cj> A35) Поскольку при | z — z0 j < 11 — z0 [ oo из формулы A35) имеем 00 и (х, у) = Re 2 Р* (z - Zo)*, A36) где >-ГГ Группируя члены в правой части A36) соответствую- соответствующим образом (такое право мы имеем из-за абсолютной сходимости степенного ряда), получаем ряд по степеням Х — Хо И У~Уо- 00 «(*. 0= 2] Уь/{х-Хо)к(у-уоу, A37) fe, /=0 коэффициенты которого вычисляются по формуле
t в. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 151 Так как ряд в правой части A36) сходится при \z — Zo\<C.R, то степенной ряд A37) сходится абсолютно в параллелепипеде \х — Хо\<.ги \у — уо\<.г%, где г\ + -J- г| < R*, и тем самым аналитичность и (х, у) доказана. Поскольку ряд A37) сходится абсолютно в полици- полицилиндре С (г, г0) комплексных переменных zl = x-\-ix', Zt^y + iy' при rt + rl<cR*, то его сумму 00 и (zi, г%) - £ У» (zi ~ х°)" B« - УоУ» ft,/«-о представляющую аналитическую функцию в С (г, г0) (см. пункт 3Q настоящего параграфа), естественно называть аналитическим продолжением гармонической функции и (х, у) из параллелепипеда [ х — х01 < гь | у — у01 < ri в полицилиндр С (г, z0). 6°. Конформные отображения в евклидовых простран- пространствах. В области D евклидова пространства Е„ точек х = (хх хп) рассмотрим систему действительных функ- функций «л = г/<(*ь .... хп), i = l, ..., п, непрерывных вме- вместе с производными первого порядка, осуществляющую взаимно однозначное отображение области D на некото- некоторую область Did Е„. В векторных обозначениях это отображение запишем в виде у=у{х). A38) Для квадратов \dx\* = dxdx, \dy\*=*dydy расстояний между точками х, x + dx и у, y + dy (элементов длин) примем обозначения ds% и da2 соответственно. Отображение A38) называется конформным по Гауссу, если существует такая скалярная функция к(х), что do* = kds*. A39) Другими словами, конформность отображения A38) озна- означает, что имеет место постоянство искажения масштаба (элемента длины) по всем направлениям, выходящим из точки х. Условие A39) равносильно равенствам ду ду^_. . v ду ду _п ETa*-AW. дчдхь-"' A40) i, ft-1, ..., n,
152 - ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА При отображении A38) векторам dx и 8х, выходящим из точки х, соответствуют векторы dy и Ьу, выходящие из точки у. Так как то в силу A39) будем иметь Следовательно, для конформного отображения харак- характерным является сохранение (консерватизм) углов. Параллельный перенос y — x-\-h, преобразование по- подобия у = цх и ортогональное преобразование у — Сх, где h = (hlt ..., hn) — постоянный вектор, ц — скалярная постоянная, а С — постоянная ортогональная матрица, дают тривиальные примеры конформного отображения в пространстве. В первом и третьем случаях А,= 1, а во втором случае Я, = ц2. Отображение ^ имеет смысл для всех конечных значений х, отличных от х = 0, и оно называется инверсией или зеркальным отображением пространства Е„ относительно сферы 1*1 = 1- Умножая обе части равенства A41) скалярно на х, получаем дсу-1. A42) На основании A41) и A42) заключаем, что |дс||у| = 1, т. е. при инверсии соответствующие друг другу точки х и у лежат на одном луче, выходящем из точки 0, при- причем произведение расстояний этих точек от точки 0 равно единице. Так как -j—^ = | у |8, непосредственно получаем однозначное обращение равенства A41) при хфО, у фО: \У\1'
$ в. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 153 Поскольку при хфО в результате дифференцирования равенства A41) имеем , _ \x\*dx-U(xdx)x для \dy\* получаем выражение т. е. инверсия A41) при хфО является конформным ото- отображением, причем А, = 1—ц. В случае п = 2 система A40) равносильна одной из следующих двух линейных систем: или и, следовательно, в этом случае теория конформных ото-, брожений полностью описывается теорией однолистных аналитических функций одного комплексного переменного z = xx-\-ixt или 2 — Xi — ix^. В случае же п~>2 система уравнений A40) относи- относительно ух, ... , уп является нелинейной, причем в ней число уравнений больше числа искомых функций. Ответ на вопрос, насколько переопределена система A40), дает следующая теорема Лиувилля: в евкли- евклидовом пространстве Еп при п~>2 конформное отображе- отображение исчерпывается конечным числом суперпозиций четы- четырех видов отображений — параллельного переноса, преобра- преобразования подобия, ортогонального преобразования и инвер- инверсии. На доказательстве этого утверждения мы здесь останавливаться не будем.
ГЛАВА III УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Волновое уравнение Г. Волновое уравнение с тремя пространственными переменными. Формула Кирхгофа. Ниже будем предпо- предполагать, что в пространстве Еп+1 точек (х, t) буква х обозначает совокупность пространственных переменных хъ х2, ха, a t — время. В пункте 2° § 3 введения было доказано, что при требовании существования непрерывных производных вто- второго порядка у функции ц(хъ х2, х3), заданной в прост- пространстве Е3 переменных xlt xt, x3, функция и (xlt xt, х3, t) = Ш (ц), где A) представляет собой регулярное решение волнового уравне- уравнения с тремя пространственными переменными д*и д*и д*и д*и п .„. Щ + ~дА + ~Щ ~ W =U- B) Так как элемент площади dsy о})еры \у — х\г = Р ра- равен t'doi, где da| —элемент площади единичной сферы |£|*=1, то выражение \у—д является интегральным' средним функции \х.(хх, xit xa) по сфере \у — х^ = Р. Очевидно, что наряду с Ш(ц) регулярным решением уравнения B) является и функция я-[Ш(ц)], если толь- только n(*i, хг, х3) имеет непрерывные производные третьего порядка в пространстве Е9 ее задания.
i 1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 155 Легко видеть, что функция u(xlt xit x3, 0 = 4^М1(г|>) + ^|-[Ш(ф)] D) является регулярным решением задачи Коши для волно- волнового уравнения B) с начальными условиями и(хъ хъ ха, 0) = ф(хь х„ х3), E) du(xt, xt, xs, t) dt =q{xlt xt, xa), F) где q>(xlt xit x3) и ty(xlt xit x3) — заданные в простран- пространстве E3 переменных хи хг, xa действительные функции, имеющие непрерывные частные производные третьего и второго порядка соответственно. Действительно, как уже было отмечено выше, каждое слагаемое в правой части D) является регулярным ре шением уравнения B) во всех точках (хъ xit x3, t) про- пространства Et переменных хъ хъ х3, t. При t = 0 на осно- основании A) из D) имеем , xit xa, 0) = ~ [ ф (xlt xt, x3) da% = ф (xlt xt, хя). lEI-i Далее, так как ТО igl Xt, ХЯ, 4S igl-i = Ф(*1. X,, X,). Равенство D), дающее решение задачи Коши E), F) для волнового уравнения B) в случае трех пространст- пространственных переменных хъ xt, x3, называется формулой Кирхгофа. Физическое явление, описываемое решением и (х, t) волнового уравнения, называется распространением волны, а само решение и{х, t) — волной. Поскольку в силу формул C3) и C4) введения
156 ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА где V —внешняя нормаль к 5 в точке у, из формулы Кирхгофа следует, что соответствующая задаче Коши E), F) волна в случае трех пространственных переменных в точке (х, t) = (хи л*, x3t t) пространства £4 вполне опре- определяется значениями <р, -^ и if на сфере (уг — ххJ + -Ь (У* — Xif + {ys — ХзI = Р с центром в точке (хх, х2, х3) радиуса 111. Этот факт в теории звука называется прин- принципом Гюйгенса. 2°. Волновое уравнение с двумя пространственными переменными. Формула Пуассона. Решение u(xlt xa, t) задачи Коши для волнового уравнения с двумя простран- пространственными переменными + 0 <7) когда начальные данные и(Хъ Xit 0) = ф(Х!, Х2), (8) %и(хъ хг, t)^ = ^(Xl, xt) (9) имеют непрерывные частные производные третьего и вто- второго порядка соответственно, может быть получено из формулы Кирхгофа D) методом спуска. Сущность этого метода заключается в том, что когда в правой части формулы D) функции ф и ур зависят только от двух переменных хъ хг, то эта формула дает функцию и[хъ хг, t) = -^j J ^(xi + Уъ xt + y2)dsy + \ 4я dt \ A0) \y\* j не зависящую от хь и удовлетворяющую как уравнению G), так и начальным условиям (8) и (9). Как известно, проекция dy\ dy2 элемента площади dsy сферы | у |2 = /8 на круг у\-\-уК t2 выражается через dsy формулой dy± dy2 = dsy cos (/3l v) = ^ ds^,, где i3 — орт оси х3, a v — нормаль сферы \У? = Р в точке {ylt y2, y3). Поэтому, учитывая то обстоятельство, что при вычислении инте- интегралов в правой части формулы D) следует спроектиро- спроектировать на круг yl + yl<.l как верхнюю ув>0, так и ниж-
$ 1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 15? нюю Уа<.0 половины сферы \у\2 = Р, формула A0) запи- запишется в виде ^(Уи У»)fyi 4У2 ■ 2л dt Ф (Уь Уг) dyi dy2 .... где d-круг {y1-x1 Равенство A1) носит название формулы Пуас- Пуассона. Из этой формулы видно, что для определения волны и (хъ х9, t) .в точке (хъ xit t) недостаточно знания значе- значений ф (xltxt) и ур(хи дг2) на окружности (yi — x1f+(y!i—xt)i= =t2. В определении u(xv xt, t) в точке (хъ хъ t) участ- участвуют значения начальных данных у(хъ х2) и i|j(*lt xt) во всех точках круга d. А это означает, что в случае двух пространственных переменных хъ xt в волновых про- процессах принцип Гюйгенса не имеет места. 3s. Уравнение колебаний струны. Формула Даламбера. Когда начальные данные ф и if зависят только от одного пространственного переменного х = хъ из формулы A1) получаем x-Lt
158 ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Формула A2) дающая решение задачи Коши для уравнения колебаний струны = 0 A3) д*и область забисимасти с начальными данными и (х, 0) = ф (х), ~ и (х, i) L = Мр (х), называется формулой Даламбера. 4°. Понятия области зависимости, области влияния и области определения. В рассмотренной в предыдущих пунктах настоящего параграфа задаче Коши носителем начальных данных являет- является все пространство Еп пе- переменных (*!, ..., Хп)=Х. Множество точек прост- пространства Е„, по заданным значениям функций ф (х) и "ф (х), на котором вполне оп- х ределяется значение реше- ния и (х, t) волнового урав- Рис 17. нения в точке (х, t) прост- пространства £„+1, называется областью зависимости для точки (х, f). К области зависи- зависимости, разумеется, не относятся точки, в которых значения ф(х) и ур(х) не участвуют в определении и(х, t) в точке (х, t) (рис. 17). Как уже было отмечено, в зависимости от того, п = 2 или п = \, областью зависимости для точки (х, t) является круг \у — х^<,Р или сегмент \у — х\г^Р простран- пространства Еп, а при п = 3 область зависимости определяется по принципу Гюйгенса. Пусть теперь носителем начальных данных является не все пространство Е„, а некоторая его область G, т. е. 0). ди (х, -5Г A4)
5 1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИИ 169 Как видно из формул D), A1) и A2), значения q>(*) и $(х) на G влияют на значения и(х, t) во всех точках (х, t) пространства Еп+ъ которые обладают тем свойством, что пересечение двух множеств G и {| у — x\*<it2} не является пустым. Множество всех таких точек принято называть областью влияния (рис. 18). Множество точек (х, t) e £„+1, в которых значения и (х, t) вполне определяются по заданным значениям q> (x) Рис. 18. Рис. 19. и ty(x) на G, называется областью определения или обла- областью распространения волны и (х, t) с начальными данными на G (рис. 19). Опять из формул D), A1) и A2) видно, что при на- начальных данных A4) область определения волны и (х, t) составляют исключительно те точки (х, t) пространства Еп+1, которые обладают свойством: при п = Ъ сфера \у — х\г=Р, являющаяся пересечением характеристического конуса \у — х|2 = (т — tf с вершиной в точке {х, t) с гиперпло- гиперплоскостью т = 0, принадлежит G, при п = 2 не только окруж- окружность \у — х\* = Р, являющаяся пересечением характери- характеристического конуса \у — х|* = (т — О2 с вершиной в точке (х, t) с плоскостью т = 0, но весь круг | у — х Is =^ Р при- принадлежит G и, наконец, при п = 1 не только точки х — t и x + t пересечения характеристических прямых у — х — = x — t, y — x=t — x (вырожденного характеристического конуса (у — х)г = (х — t)*), проходящих через точку (х, t), с прямой т = 0, но и весь прямолинейный отрезок между этими точками принадлежит G.
160 ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 2. Неоднородное волновое уравнение 1°. Случай трех пространственных переменных. Запаз- Запаздывающий потенциал. За носителя начальных данных вместо плоскости t = 0 примем плоскость t = т1( где хх — некоторый параметр, и обозначим через ь(хъ хг, х3, t, хг) решение волнового уравнения B), удовлетворяющее началь- начальным условиям »(*!, ХЪ Х3, Хх, ТХ) = О, mV(Xx, *a, X3, t, Tj)! = g(*i, X%, Х3, Ti), где g(xlt xit xs, t,) — заданная действительная функция, имеющая непрерывные частные производные второго по- порядка. Заменой / через t — xt из формулы Кирхгофа D) для v получаем выражение y x3, t, тг) = 5Г^-^ J Покажем, что функция t u(xlt xit x3, t) = \v{xlt xit x3, t, x^dij, A6) 0 является решением задачи Коши и{хъ xt, Xs, 0) = 0, fiU(xlt xt, x3, 0|<-о = 0 A7) для неоднородного волнового уравнения ■^Г + ^Г + ^|-Ж = -^^'^, *,, 0- A8) В самом деле, в силу A5) сразу видно, что функция и(х{, хг, х3, t) удовлетворяет начальным условиям A7). Далее, на основании A5) из A6) получаем |jSf = 8 (*i. х*> хз> 0 + j p v {xi, хг, *8, t, x) dx. A9)
§ J. НЕОДНОРОДНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЯ 161 Из A6) и A9) имеем д*и д>и д*и д* -др--~ё{-Х1' Xi> Хз> it X3, t), что и доказывает справедливость нашего утверждения. В результате замены переменного t — x^x формула A6) запишется в виде f d J ( *)^ и(х, 0 = 4i f dx J g(yu Уг, Уз, *-%)-^-=* ' %=J_ С g(,,y,y3,t-r)dxy) B0)- где r = \y — x\. Определенная по формуле B0) функция ч (х, t), дающая решение задачи A7), A8), совпадает с потенциалом объем- объемных масс, распределенных по шару /-2<B с плотностью ё(Уъ Уъ Уз, t — r)- Ввиду того, что функция g участвует в формуле B0) для значения времени t-r, отстающего от момента наблюдения за волной, этот потенциал назы- называется запаздывающим. 2°. Случай двух и одного пространственных перемен- переменных. Приведенная выше процедура построения решения задачи Коши для уравнения A8) применима и в случаях двух и одного пространственных измерений. Так как функция u xt, t, x)-- J в силу A1) является решением уравнения G), удовлетво- удовлетворяющим условиям V (Х1г Xt, X, X) = 0, щ V (*!, Xt, t, X) ^ = g (Xlt Xt, X), то выражение и (Xl, Xi, t) - - l frfTf ё(Уи У», ^dyjdi 6 А. В. Бицадзс
162 ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА где й — круг (.x1 — y1)i-\-(xi — yif<Z.(t — x)i, представляет собой решение задачи Коши *2, 0) - 0, ~и (х1г дс„ t) Ц = 0 для неоднородного уравнения B2) Аналогично убеждаемся в том, что функция X+t— X v(x, t, т)=^ J g(xb x)dx, x — t + % является решением уравнения колебаний струны A3), удовлетворяющим начальным условиям v(x, %, т) = 0, ^v(x, t, t)|/_t = g(x, т), а функция t t K+t—T и(х, 0 = f о(дг, l,i)A-H(h J g(Tl, т)dx, B3) представляет собой решение неоднородного уравнения S-S —«<*.0. B4) удовлетворяющее начальным условиям д и(х, 0)=-0, ^и(х, 0 t-0 ■■0. В уравнениях B2), B4) и, следовательно, в форму- формулах B1), B3) предполагается, что функции g(xx, x2, t), g(x, t) имеют непрерывные частные производные второго и первого порядка соответственно. § 3. Задачи, корректно поставленные для гиперболических уравнений I9. Единственность решения задачи Коши. Докажем, что задача Коши в приведенной выше постановке для вол- волнового уравнения (как однородного, так и неоднородного) не может иметь более одного решения. Для простоты
I 3. ЗАДАЧИ. КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ 163 рассуждения ограничимся рассмотрением случая одного пространственного измерения дсх = дс. Если ых (х, t) и и2 (х, t) являются решениями задачи Коши для уравнения B4), то их разность мх (х, t) — — ы2 (я, t) = u(x, t) будет решением уравнения колебаний струны A3), удовлетворяющим начальным условиям и(х, 0)-0, ~и(х, 0|м = 0- B5) Итак, нам следует показать, что однородное уравне- уравнение A3) не может иметь отличного от нуля решения, удовлетворяющего однородным начальным условиям B5). Интегрируя очевидное тождество пд(диди\. д fduV , д (ди\* п 2Тх\~ШЖ) + Щ\Ш) +Ы{Ж) =и по треугольной области Д с вершинами в точках А (х — t, 0), B t, 0), С(х, t) и используя формулу (GO), получаем -ВС ЛВ + ВС + СА Вдоль АВ в силу B5) имеют место равенства -~г = О, ■£- = 0. Кроме того, так как уравнения прямолинейных отрезков ВС, С А имеют вид £ = — \-\-x-\-t, £ = т + я — t, то вдоль этих отрезков имеем соответственно d£ = =—d%, d%, = dx. Поэтому равенство B6) можно переписать в виде /ди ди \* Г (ди , ди \» , Л СА или откуда следует, что^-^ = 0наБСи^ + ~ = 0 на 6»
164 ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА АС. Следовательно, в вершине С(х, t) треугольника А ди ди п ди . ди п имеют место равенства -^ — -^ = 0, -щ + -^ = О, т. е. Так как точка С (х, t) выбрана произвольно, то равен- ди г\ ди п ства 2р == 0, -qt = 0 имеют место всюду на плоскости пере- переменных х, t. Это означает, что и(х, t) = const. Но в силу B5) функция и(х, 0) = 0, откуда следует, что и(х, t) = Q всюду. Если иг(х, t) являются решением неоднородного урав- уравнения B4), удовлетворяющим неоднородным начальным условиям д иг(х, 0) = ф(*), д( Щ(х, Г) i-o B7) то, обозначив через м2 {х, t) решение однородного уравне- уравнения A3), удовлетворяющее неоднородным начальным условиям B7) (как известно, это решение строится по фор- формуле Даламбера), разность иг{х, t) — u2(x, t) = u(x, t), очевидно, будет решением неоднородного уравнения B4), удовлетворяющим однородным начальным условиям B5). Аналогичной редукцией часто приходится пользоваться на практике. 2°. Корректность постановки задачи Коши. Из формул Кирхгофа, Пуассона, Даламбера, а также из формул A6), B1) и B3) следует, что малому изменению начальных дан- данных ф и Ир и правой части g волнового уравнения соот- соответствует малое изменение решения задачи Коши. Покажем справедливость этого утверждения на при- примере однородной задачи Коши B5) для неоднородного уравнения B4). Без ограничения общности мы можем считать, что ^>0. Если разность gx(x, t) — g%(x, t) = g{x, t) между пра- правыми частями неоднородных уравнений дх% достаточно мала, т. е. \g(x, 01<е. т0 Для разности «1 (х, 0 — «г (х, t) = u (x, t) между решениями Mt (x, t) н и2(х, t) этих уравнений, удовлетворяющими однородным
S 3. ЗАДАЧИ, КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ НЮ начальным условиям B5), в силу формулы B3) получаем \и{х. С С g (ть т < е j (f - т) dT = I eft Следовательно, малому изменению правой части неод- неоднородного уравнения B4) в области ее задания соответ- соответствует малое изменение решения задачи Коши B4), B5), если область ограничена по переменному t. Отсюда с уче- учетом свойства единственности решения заключаем, что для волновых уравнений задача Коши поставлена корректно. 3°. Общая постановка задачи Коши. До сих пор мы считали, что носителем начальных данных B7) является плоскость t = 0 пространства £л+1 переменных *х хп, t. Мы сейчас на примере уравнения A3) покажем, каким условиям должен удовлетворять носитель L начальных данных, отличный от t = 0, и какой вид должны иметь сами начальные данные для того, чтобы полученная в окончательном итоге задача была поставлена корректно. Обозначим через D область плоскости переменных х, t с кусочно-гладкой жордановой границей S. Пусть и (х, t) — регулярное в области D решение уравнения A3), имею- имеющее непрерывные частные производные в D\jS. Интегрируя тождество по области D и используя формулу (GO), получаем .+£*.=°- да» Пусть L — разомкнутая кривая Жордана с непрерыв- непрерывной кривизной, удовлетворяющая двум требованиям: а) каждая прямая из двух семейств x-\-t = const, x —1=* = const характеристик уравнения A3) пересекается с кри- кривой L не более чем в одной' ее точке и б) направление касательной к кривой ни в одной точке не совпадает с характеристическим направлением, соответствующим уравнению A3). Предположим, что характеристики x1 — x = t1 — t, xx — x = t — tx, выходящие из точки С(х, t), пересекаются с кршой L в точках А и В. Применяя формулу B9) в обла-
1вв ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА сти, ограниченной дугой АВ кривой L и отрезками харак- характеристик СА и СВ, получаем (рис. 20) 1 & £ АВ + ВС + СА Так как вдоль С А и ВС имеем dxx = dtx и &хх = — dtl соответственно, то C0) можно записать в виде §£1 £; АВ откуда находим ^ + Если решение и(х, t) уравнения A3) удовлетворяет условиям ди ■ C2) где Ф и $ — заданные действительные соответственно дважды и один раз непрерывно диффе- ^i ренцируемые функции, а / — за- , -^"""^ /V Данный на L достаточно гладкий -^ ' вектор, нигде не совпадающий с касательной к кривой- L, то, определяя Д,^ нз равенств dxt ds ' dti ds ds ди dx% , ди dti где s — длина дуги L, и подставляя известные значения и> ЪТ~' ~ЪТ в пРавУю часть C1). получим регулярное реше- решение уравнения A3), удовлетворяющее условиям C2). Задача отыскания регулярного решения уравнения A3), удовлетворяющего условиям C2), также называется зада- задачей Коши. Из приведенного рассуждения следует, что задача Коши в только что указанной постановке имеет единственное устойчивое решение.
f 3. ЗАДАЧИ. КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ 167 4е. Задача Гурса. (Характеристическая задача.) Пусть теперь L представляет собой совокупность отрезков О А и ОВ характеристик xt — tfi = 0, *i + fi = 0 соответственно. Характеристики x1 — x=t — t1 и xt—x = tx — t, выходящие из точки С(х, t), пересекаются с О А и ОВ в точках Ix+t ~x+t\ а Ix—t x—t\ , О1Ч Y~ ~Т~) и 1[~2~t 2/ соответственно (рис. 21). C(x,t) Применяя формулу B9) в случае характеристического прямоугольника ОА^СВ^ получаем или С du J ЬТ OAi du i du du du du CBt откуда имеем u(C)^u Если известно, что и|<м-ф(*), то из C3) получаем B,0 du_ — Ay _|_ OH. dt 2u (A x) - 2u @) - 2u (C) + 2« (flx) - 0, C3) C4) C5)
168 ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Из этой формулы следует, что значения и и -щ- вдоль характеристик независимо друг от друга нельзя задавать. Задача определения регулярного решения уравне- уравнения A3) по условиям C4) называется задачей Гурса. Единственное устойчивое решение этой задачи дается формулой C5). Поскольку в задаче Гурса носителями данных являются характеристики уравнения A3), эта задача называется еще характеристической задачей. 5°. Некоторые некорректно поставленные задачи. Так как формула C5) однозначно определяет решение задачи Гурса C4) в характеристическом прямоугольнике OAOtB, построенном по его соседним сторонам ОА и ОВ, то на- наперед произвольно задавать и (х, t) еще и на сторонах 0гА и 0гВ нельзя. Отсюда следует, что задача Дирихле (т. е. задача, в которой носителем данных является замкнутый контур) для уравнения гиперболического типа не является корректно поставленной. На простом примере можно показать, что в свою оче- очередь для уравнения Лапласа д*и , д*и г. некорректно поставлена задача Коши. В самом деле, пусть требуется найти регулярное реше- решение и(х, у) уравнения C6) по начальным условиям и(х 0) = тЫ = 0 ди --'--* sinnx у-о х ' п Так как ^kv(x) = ~v(x) = {—l)kn*k+1^-, то из фор- формулы B6) введения находим 4 sh ny sin nx ,Q_ ^2 • C7) Для достаточно большого п функцию v(x) можно сде- сделать как угодно малой, в то время как соответствующее решение C7) задачи Коши для уравнения C6) неограни- чено, когда п-*~со. Следовательно, полученное решение неустойчиво, и стало быть, рассматриваемая задача не
/' f 4. ОБЩЕЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 169 является корректно поставленной. Приведенный здесь пример принадлежит Адамару. Задача Коши и характеристическая задача корректно поставлены и для общих дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического типа. § 4. Общее линейное уравнение второго порядка гиперболического типа с двумя независимыми переменными 1°. Функция Римана. В пункте 2е § 2 введения было доказано, что линейное уравнение с частными производ- производными второго порядка гиперболического типа при до- довольно общих предположениях относительно его коэффи- коэффициентов с помощью неособого преобразования независимых переменных можно привести к каноническому виду £-*£ +Л(,. „)*£ + *(,. У)% + С(х, у)и = = F1{x, у). C8) В характеристических переменных 1 = х+у, и] = х — у уравнение C8) записывается следующим образом: Ь-щк + *Щ + ь%+«-р- C9> где АЬ = А-В, 4с = С, 4F = Flt Очевидно, что характеристиками уравнения C9) яв- являются прямые | = const, т] = const. В предположении дифференцируемое™ коэффициен- коэффициентов а и b уравнения C9) вводится понятие оператора сопряженного с оператором L. Решение о(£, ц) сопряженного уравнения D0)
17© ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА удовлетворяющее на характеристиках £ =» £х и т| = тц усло- условиям D1) где (|ъ ЛО ~ произвольно фиксированная точка области D задания уравнения C9), называется функцией Римана. При дополнительном требовании непрерывности а, к- и с функция Римана существует. Действительно, в результате интегрирования уравне- уравнения D0) получаем o(g, т])-0(£, f|i)-°Fi. т))- - 5 6 (la, ti) о (Ь, л) dgi ~ J a (S. ib) »(Б. Si Tli I 4 6 Til Ё1 S, th)o(Ei,Tb)dri,-0. D2) Так как в силу D1) имеем $ Si Tl о (li, Л) - $ a Fi, '6 то равенство D2) запишется в виде линейного интеграль- интегрального уравнения Вольтерра второго рода относительно F ) ч 1- Jfl№. ть)оF, \ ]=l. D3) 4»
i 4. ОБЩЕЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1?1 В пункте 4° § 2 главы V будет доказано, что уравне- уравнение D3) имеет единственное решение, и тем самым суще- существование функции Римана можно считать доказанным. Поскольку функция Римана зависит не только от пе- переменных £, Л» но и от £i и т]х, естественно ее обозна- обозначить в виде v = R(l, ц; llt t)i)- Из D1) имеем я (Si, m; Si. л ж) л. 1ъ ^=0, щ. lu T]i) = Of D4) D5) «С6, ч; 6. ч) —1- Для достаточно гладкой в области D функции и (glf tix) имеет место очевидное тождество ^ . лг; I. л)-Л(Si. m; S. л)^«A В результате интегрирования D6) по |х и Tjj в про- промежутках lo^Si^S. Ло<%^т]. гДе Aо, Ло) —произ- —произвольная точка области D, в силу D4) получаем о, Ло'. S. Л) + о; S, [ | «(So. Ль S. 'I. J/?(Si. лх; S, n)^(Si, 4i)d4i- D7) п.
172 ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Когда u(l, т]) = #(Ео, %; I. л), в силу D5) из D7) будем иметь S ч 5 dii $tf(Ei, т]1; I, i\)LRfa, тю; Ei, Tii) drij = 0. D8) S« Ho Из тождества D8) следует, что функция Римана R(l, % Ei, ili) относительно последней пары переменных £i, % является решением однородного уравнения LR(l, ту, Ei, тц) = 0. D9) На основании D5) и D9) непосредственной проверкой убеждаемся в том, что при непрерывной правой части F (Е, т]) уравнения C9) одним из его частных решений яв- является функция ME, т|)= \aXr \R(li, тц; Е, ti)F(Ei, %)<*%. |о По 2°. Задача Гурса. Предполагая в тождестве D7), что "(Е. л) — решение уравнения C9), после интегрирования по частям получаем и (I, т]) = ЯF, тH; Е, Ц)иA, tio) + + #(Ео, л; Е, л)«(So. r\)-R{lo, V, Е, т))"(Ео, т]о) + + j [& (t, ло) /? (*, по; Е, л) -1 /? (*, тю; Е, л)] и (/, т]0) л + [а(Ео, т) /г (So. т; Е, т!)-£я(Ео, т; Е, По + $Л 5я(Л т; Е, t])F(/, т)Л. E0) So Ло Из перечисленных выше свойств функции Римана не- непосредственно следует, что формула E0), когда в ее пра- правой части и(%, т]0) и ы(Ео, ц) заменены произвольными непрерывно дифференцируемыми функциями и и (Ео, Ло) — произвольной постоянной, дает регулярное решение и (Е, т]) уравнения C9). Следовательно, для уравнения C9) задача Гурса "(Е, т|о) = <р(Б), и(Ео, Л) = еде ф (Е) « ф (т]) — заданные непрерывно дифференцируемые
I 4. ОБЩЕЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 173 функции, удовлетворяющие условию ф (io) == ■ф('По)» имеет единственное устойчивое решение и (£, ц), которое дается формулой u(g, п) = /?(£, тю; I, т,)ф(Е) + ь т]0; 6, л) Ф (go) -Ь т; g, л) — д- R (lo, x; g, п. + [dt\R(t, т; g, !• По 3°. Задача Коши. Обозначим через а лежащую в об- области D разомкнутую дугу Жордана с непрерывной кри- кривизной, обладающую тем свойством, что ни в одной своей точке она не имеет касания с характеристиками уравне- уравнения C9). Предположим, что выходящие из точки Р (g, т]) харак- характеристики gi = g и Ц1 = ц пересекаются с дугой а в точ- точках Q' и Q соответственно, и обозначим через G конечную область плоскости переменных g, т), ограниченную участ- участком QQ' дуги а и отрезками характеристик PQ и PQ'. Для произвольных дважды непрерывно дифференци- дифференцируемых в области G функций u(gb гц) и p(gb ц^ имеет место тождество д /ди до , п, \ , д fdu до Интегрируя полученное тождество по области G, на основании формулы (GO) получаем в где S — граница области G. Предполагая в формуле E1), что u(£lt ц1) = и(Р') — решение уравнения C9), a v (glf тI)=и (P')=R (li, Ль I, т])=
174 ГЛ. III. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА = R(P', P), Р = Р(Ъ, i\), из тождества E1) находим u(P)=±u(Q)R(Q, P) + ±u(Q')R(Q', P) + 1 [\*L(ElR(p' P)-U(P') 2 JL dN - \[a{P')d^b{P')d^\R{P', P)u(P')d<,P., E2) где a v —внешняя нормаль дуги а в точке Р\ Обратно, если в правой части формулы E2) будем ди считать, что и и ^ — произвольно заданные на а доста- достаточно гладкие функции, то определенная этой формулой функция и (Р) будет решением уравнения C9). Когда искомое решение и(Р) уравнения C9) и его производная "А ', где / — заданный на а вектор, который нигде не совпадает с касательной к а, известны на а: V(P), Pt=o, ' E3) где Ф и TF — соответственно дважды и один раз непре- непрерывно дифференцируемые функции, то ^ всегда можно определить однозначно. Следовательно, формула E2) дает решение задачи Ко- ши C9), E3). Из процесса получения формулы E2) оче- очевидно, что решение этой задачи единственно и устойчиво. Наряду с рассмотренными в этой главе задачами в при- приложениях важную роль играют также смешанные задачи для гиперболических уравнений, но на них мы здесь останавливаться не будем.
ГЛАВА IV УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Уравнение теплопроводности. Первая краевая задача 1Q. Принцип экстремума. Простейшим примером урав- уравнений параболического типа является уравнение тепло- теплопроводности лл 7 = "• V' / Поскольку дифференциальное уравнение характери- характеристик, соответствующих уравнению A), имеет вид dt2 = 0, это уравнение имеет единственное семейство характери- характеристик £ = const, представляющих собой прямые, параллельные оси х. Рассмотрим область D плос- плоскости переменных х, t, ограни- ограниченную отрезками ОА и BN прямых t = О, t = Т, где Т — по- положительное число, и кривыми О В и AN, каждая из которых пересекается с прямыми t = const в одной точке, причем, если уравнения этих кривых заданы соответственно в виде x=>a(t), y=$(t), то предполагается, что о@<Р@. Oss^T. Обозначим через S часть границы области D, состоя- состоящую из ОА, ОБ и AN, причем считается, что Бе5, Ne=S (рис. 22). Функцию и (х, t), имеющую на множестве D [} BN не- д^и ди прерывные частные производные ^ и -щ и удовлетворяю- удовлетворяющую уравнению A) в области D, будем называть регу- регулярным решением этого уравнения. А х Рис. 22.
176 ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Принцип экстремума: регулярное решение и(х, t) уравнения A), непрерывное в D\JS{] ВN, своего экстремума достигает на S. При доказательстве этого утверждения мы здесь огра- ограничимся рассмотрением случая максимума. Итак, обозначим через М максимум и(х, t) на замк- замкнутом множестве D[]S\JBN. Допустим, что и(х, t) до- достигает максимума М не на S, а в некоторой точке (х0, /0)eD[)BN. Легко показать, что это допущение при- приводит к противоречию. В самом деле, введем в рассмотрение функцию v(x, t) = u[x, t) + a(T-t), B) где а — положительная постоянная. Ввиду того, что 0 ^ sg/sgT, из B) имеем и(х, t)^v(x, t)^u{x, t) + aT C) всюду в D\JS\JBN, Пусть Ми, Mv — максимумы соответственно и(х, t) и v(x, t) на S. По допущению Ми <М. Число а подберем так, чтобы имело место неравенство М-Ml ^ D На основании C) и D) получаем М%^Ми + аТ<Ml + —y^-Т = М=и(х0, t0)^v(х0, t0). Отсюда следует, что функция v(x, t) не может дости- достигать максимума на S. Следовательно, эта функция своего максимума на D \j S \J BN достигает в некоторой точке ( tJDUBN (ь JU Сперва предположим, что (xlt tj) e D. Так как (хъ tt) является точкой максимума функции v (x, t) на D \J S \J BN, то в этой точке ^ = 0, ^ ^ 0, т. е. Пусть теперь (хъ tt)^BN. Ввиду того, что v(x, t) достигает в точке {хг, гг) своего максимума на множестве
$ 1. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 177 в этой точке jr 5= 0. Учитывая то обстоятель- обстоятельство, что (xlt T) является точкой максимума v (x, T) как функции х, мы должны иметь —\~—-«$0. Следова- Следовательно, неравенство E) имеет место и в точке (xlt T). Подставляя в левую часть E) значения £ и ~-j, най- найденные из равенства B), получаем l^-a-g^O, x = xlt t = tlt или, так как и(х, t) является решением уравнения A), — a 5s 0, а это невозможно, ибо а>0. Полученное противоречие доказывает справедливость первой части принципа экстремума. Аналогично доказы- доказывается и вторая его часть. 2°. Первая краевая задача для уравнения теплопро- теплопроводности. Доказанный принцип позволяет установить единственность и устойчивость решения следующей так называемой первой краевой задачи для уравнения тепло- теплопроводности: ищется регулярное в области D решение и(х, t) уравнения A), непрерывное в D\JS[)BN и удов- удовлетворяющее условиям где г]эх, г|J и ф — заданные действительные непрерывные функции. В самом деле, если ux (x, t) и u2 (x, t) — регулярные решения уравнения A), удовлетворяющие краевым усло- условиям F), то функция и (х, t) = их (х, t) — и2 (х, t) будет регулярным решением уравнения A), обращающимся в нуль на 5. Следовательно, в силу принципа экстремума и (х, t) = 0 в D U S U BN, откуда и следует единственность решения первой краевой задачи A), F). Если разность между краевыми значениями на 5 ре- регулярных решений «i(x, /) и и2(х, t) уравнения A) по модулю меньше е, е>0, то в силу принципа экстремума I «I (x, t) — u2 (x, t) | < е всюду в D U S U BN, и тем самым непрерывная зависимость решения первой краевой задачи
178 ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА от краевых данных на 5 (т. е. устойчивость решения этой задачи) доказана. Теперь мы докажем существование решения первой краевой задачи для уравнения A) в предположениях, что 05 и AN — прямолинейные отрезки, соединяющие точки 0@, 0), Б (О, Т) и АA, 0), N(l, T) соответственно, причем и@, 0 = 0, иA, /) = 0, 0«<7, G) и(х, 0) = ф(х), Osssxsss/, (8) где ф (х) — непрерывно дифференцируемая на сегменте O^x^l функция, обращающаяся в нуль прн л; = 0, х = 1. Как известно из курса математического анализа, функ- функцию ф(х) на сегменте O^x^l можно разложить в абсо- абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье ф(*)=2 a*sinT*' р) где i —jcdr, k=\, 2, ... Пользуясь формулой D0) из введения при -я = 2, хг = х, Х2 — I, Tft (х) = sin -r- х, получаем регулярное реше- решение уравнения A): и„(х, 0 = e-It'fc'<//!sin^x, A0) удовлетворяющее краевым условиям ик{0, t) = u(l, 0 = 0, uk(x, O) = sinTJc. Очевидно, что функция и (х, t), представляющая сум- сумму ряда и(х, 02^ '' sin будет искомым решением краевой задачи A), G), (8). При tf>0 абсолютная н равномерная сходимость ряда A1) и рядов, полученных из него дифференцированием
§ 2. ЗАДАЧА КОШИ — ДИРИХЛВ 179 по х и t сколько угодно раз в окрестности точки (х, t), следует из того, что m-0, I,... Когда носителем данных (8) является отрезок прямой t = U и to^t^T в условиях G), то решение первой краевой задачи в прямоугольнике 0 <*<;/, to<.t<.T дается опять формулой A1), в которой вместо t следует писать t —t0. Заметим, что ряд в правой части этой формулы при /<0 может вовсе не иметь смысла. По этой причине не рассматривается первая краевая задача для уравнения A), когда t<t0, где t = t0 — носитель данных в краевых условиях. Все сказанное выше, очевидно, остается в силе и тогда, когда число пространственных переменных больше единицы, лишь с той разницей, что в последнем случае вместо простых рядов (9), A1) следует брать кратные ряды. § 2. Задача Коши—Дирихле 1°. Постановка задачи Коши — Дирихле и доказатель- доказательство существования ее решения. Пусть D представляет собой бесконечную полосу —оо<л;<;оо, O^-t^T, где Т — фиксированное положитель- положительное число, причем случай Т = = оо не исключается (рис. 23). Ограниченную, непрерыв- непрерывную в полосе D функцию и(х, t) с непрерывными внутри _ д2и и частными производными «, ди ■щ, удовлетворяющую уравне- уравнению A), будем называть регуляр- регулярным решением этого уравнения. Под задачей Коши — Дирихле понимается следующая задача: ищется регулярное в полосе D решение и(х, t) уравнения A), удовлетворяющее условию и(х, 0) = ф(х), -оо<х<оо, A2) Рис. 23.
180 ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА где ф(х), — оо<л;<оо, — заданная действительная не- непрерывная ограниченная функция. Как уже было отмечено в пункте 3° § 3 введения, функция Е(х, I, t, 0) = ^=е « , <>0, A3) является решением уравнения A) во всех точках (х, t) полуплоскости £>■(). Докажем, что функция и(х, t), определенная по фор- формуле 00 /В %\2 и(х, 0 = ^= J Ф(Е)« ^"dE. (H) — 00 является решением задачи Коши —Дирихле. Из курса математического анализа известно, что ин- интеграл в правой части A4) сходится равномерно в окрест- окрестности любой внутренней точки (х, t) полосы D. В результате замены переменного интегрирования £ = = х+2т)]/7 формула A4) принимает вид и(х, O = y=.J ф(*+2т]1/7)<г^г). A5) Так как sup | ф (х) | < Л1, где УИ — положитель- — 00< Ж<00 ное число, и интеграл в правой части A5) сходится абсо- абсолютно, то \и(х, ОК^ откуда ввиду того, что оэ 5 <r1'dT| = j/S, A6) — 00 имеем \и(х, t)\^M. Учитывая то обстоятельство, что интегралы, получен- полученные при внесении под знак интеграла в правой части A4) операции дифференцирования по х и t (любое число
§ 2. ЗАДАЧА КОШИ - ДИРИХЛЕ I8' раз), сходятся равномерно вблизи каждой точки (х, t), />0, и функция Е (х, I, t, 0) при />0 удовлетворяет уравнению A), заключаем, что определенная формулой A4) функция и(х, t) в полосе D является решением урав- уравнения A). Предельным переходом при t-^-О (эта операция за конна из-за равномерной сходимости интеграла вблизи каждой точки (х, 0) при ts^O) из A5) в силу A6) по- получаем limu(x, /) = ф(х). 2°. Единственность и устойчивость решения задачи Коши — Дирихле. Единственность и устойчивость реше- решения задачи Коши — Дирихле непосредственно получается из следующего утверждения (принципа экстре- экстремума для полосы): для регулярного в полосе D реше- решения и(х, t) уравнения A) имеют место оценки т^и(х, t) «s M, 0), Af = supu(x, 0), —оо<л;-<оо. ^ ' Чтобы обнаружить справедливость первого неравен- неравенства в A7), рассмотрим функцию v(x, t) = x%-\-2t, являю- являющуюся решением уравнения A). Обозначим через п нижнюю грань и(х, t) при (х, t)eD и введем в рассмотрение функцию w(x, t)~u(xt D ^Л где е — произвольное положительное число, а (х0, t0) — произвольная фиксированная точка внутри полосы D. Представленная формулой A8) функция w(x, t) яв- является решением уравнения A), причем при £ = 0 w(x, 0) = и(х, О)-т + е^^2Го^О A9) B0)
182 ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Из оценок A9), B0) на основании доказанного в пре- предыдущем параграфе принципа экстремума, примененного в прямоугольнике Ы-\Г(т — n)v(x0, tp) ^ — у 1 < содержащем точку (х0, t0), заключаем, что w (x0, t0) = = и(х0, to) — /n + езгО, т. е. и(х0, to)^stn — z. Отсюда в свою очередь в силу произвольности е следует, что и(хо, to)^stn. Таким образом, и(х, t)^m всюду в D. Заменяя и (х, t) на — и (х, t) и повторяя приведенное выше рассуждение, убеждаемся в справедливости и вто- второго неравенства в A7). Название задачи A), A2) задачей Коши —Дирихле оправдано тем, что, приняв переменное t за время, усло- условие A2) можно рассмотреть как начальное условие. Но на это условие можно смотреть и как на краевое усло- условие, заданное на границе / = 0 верхней полуплоскости f>0 изменения переменных х, t. 3°. Неоднородное уравнение теплопроводности.. Пусть теперь g (x, t), — оо<л;<оо, 0«^*<;оо, — заданная действительная ограниченная непрерывная функция. За носителя данных вместо прямой tf = 0 примем прямую / = т, где т — фиксированное положительное число, и вве- введем функцию v Как и в предыдущем пункте, легко видеть, что Я?~~У< = 0' *>т> ^(х, г, T) = g(x, т). На основании этих равенств заключаем, что функция «(*, t) = \v(x, t, о
§ 3. О ХАРАКТЕРЕ ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИИ 183 является решением неоднородного уравнения д*и ди , . ____ = _^(Х( f)t удовлетворяющим условию и(х, 0) = 0. § 3. О характере гладкости решений уравнений с частными производными 1°. Случай эллиптических и параболических уравнений. Как уже было доказано в пункте 5° § 6 главы II, гармо- гармоническая в области D функция и(х, у) является анали- аналитической функцией переменных х, у в этой области. Более того, доказывается, что решения линейных эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами в области их регулярности являются аналитическими функциями. Из формулы Пуассона пункта 2° § 2 главы I следует, что решение и (х, у) задачи Дирихле для уравнения Лап- Лапласа в круге | z | < 1 даже при требовании одной только непрерывности краевых значений g на окружности | г | = 1 (т. е. когда g на окружности | г | = 1 непрерывна, но нигде не дифференцируема) является аналитической функ- функцией действительных переменных х, у при | г | < 1. В пункте 2° § 1 настоящей главы было показано, что решение и (х, t) первой краевой задачи G), (8) для урав- уравнения теплопроводности A) при требовании Непрерывности первой производной функции и (х, 0) = ф (х) имеет в обла- области D: 0<.х<.1, 0<t<lT, частные производные всех порядков по переменным х, t. Точно так же из формулы A4) в пункте 1° предыдущего параграфа был сделан вывод, что ограниченность и непрерывность функции ф (х) = = ы(*, 0), — oo<;*<oo, гарантируют существование частных производных всех порядков решения и (х, t) задачи Коши —Дирихле A2) для уравнения A). 2°. Случай гиперболических уравнений. Утверждения предыдущего пункта перестают быть верными, когда речь идет о задаче Коши и о характеристической задаче Гурса для уравнения колебаний струны. Так, например, из формулы C5) главы III следует, что порядок гладкости решения и (х, t) характеристической задачи A3), C4) совпадает в порядком гладкости данных и ifeWi T- е- Для существования частных произвол-
184 ГЛ. IV. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ных порядка k от искомого решения и(х, t) этой задачи следует требовать существования производных порядка k от функций ф(х) и ty{x). Определенная по этой формуле функция и (х, t) независимо от степени гладкости данных Ф(х) и ty(x) называется обобщенным решением задачи A3), C4) из главы III. При наличии разрыва у ц>{х) или ty(x), когда х = 1, и функция и(х, t) будет иметь разрыв вдоль характеристик x-\-t = 2\ или х —1 — 2%, т. е. разрывы у данных ц>(х) и i|)(x) влекут за собой разрывы у волны и (х, t) вдоль характеристик уравнения колебаний струны.
ГЛАВА V ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Метод последовательных приближений решения интегральных уравнений lq. Общие замечания. В настоящей главе речь будет идти об интегральных уравнениях Фредгольма второго рода Ф(х)-Х \ К(х, y)<p(y)dy = f(x), xeD (xeS), (*) D(S) где интеграл распространен по ограниченной области D евклидова пространства Еп или по ее гладкой границе 5, ядро К (х, у) и правая часть f (x) являются заданными действительными непрерывными функциями точек х, у, Ф (х) — искомая функция, а X —параметр. Интегральное уравнение <Р°(х)-Х \ К(х, y)<p°(y)dy = 0 A) D(S) называется соответствующим (*) однородным уравнением, а однородное уравнение Ч>(*)-Х $ К (у, x)q(y)dy = Q B) £>(S) — союзным о A) однородным уравнением. Ниже основные утверждения теории интегральных уравнений будут сформулированы и доказаны, когда D представляет собой конечный интервал (а, Ь) действитель- действительной оси, т. е. в случае уравнения f(x). C) Попутно будет рассмотрено интегральное уравнение с переменным верхним пределом интегрирования, т. е. интегральное уравнение Вольтерра второго рода Ц , x>a. D)
188 ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Легко видеть, что общее решение Ф(х) интегрального уравнения Фредгольма второго рода, когда оно существует, имеет вид , E) где <р°(х) —общее решение соответствующего C) однород- однородного уравнения A), которое в рассматриваемом случае имеет вид O, F) а у (х) —частное решение однородного уравнения C). Действительно, если Ф(*) и ср (х) — соответственно общее и частное решения неоднородного уравнения C), то их разность <р° (х) = Ф (х) — q> (x) будет решением урав- уравнения F), и тем самым равенство E) доказано. 2°. Построение решения уравнения Фредгольма второго рода при малых значениях параметра методом последова- последовательных приближений. В случае, когда параметр X удов- удовлетворяет условию 1*1< <7> где М — положительное число такое, что ь (х, y)\dy^M, а^х^Ь, (8) Si*(* решение ц>(х) уравнения C) существует и его можно построить методом последовательных приближений. Сущность этого метода заключается в том, что функ- функция ф(*) ищется в виде предела последовательности Фо(*) = /(*), Ф-(*)-/ а (9) /1-1,2,... К> Как известно из курса математического анализа, схо- сходимость последовательности (9) равносильна сходимости ряда О-1
§ 1. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ 187 В силу (8) имеют место оценки |фо(ж) Km, |Ф„(ж)-q>_i(je)|<m|X|«Af«, n=l, 2, .... A1) где m= max i / (jc) |. Таким образом, каждый член ряда A0) по модулю не превышает соответствующего члена положительного число- 00 вого ряда £ т\\\аМ", который в силу неравенства G) сходится. Следовательно, ряд A0) и, стало быть, после- последовательность непрерывных функций (9) сходятся абсо- абсолютно и равномерно к непрерывной функции ф(*): 00 ф (X) = ИГЛ ф„ (х) = фо (X) + 2 [4>п (X) - ф„-1 (X)]. »-°° 1=1 Переходя к пределу при п -> со (все условия для такой операции соблюдены) в равенстве Ф„ (*) = / (X) + X J К {X, у) ф,,-! (у) dy, а получаем Ф(*)-/(*) + *$/С(*, y)<f(y)dy, а а это означает, что ф(л;) ярляется решением интеграль- интегрального уравнения C). Легко видеть, что у уравнения C) других решений нет. Действительно, предположим, что наряду с функцией ф (х) и функция г|)(х) является решением уравнения C). Тогда 9 (х) = ф (х) — ф (х) будет решением однородного уравне- уравнения F), т. е. В(х) = Х\К(х, y)B(y)dy, а откуда находим, что %^\Х\М%, 90= шах }в(*)|. Полученное неравенство противоречит неравенству G), если
'88 ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Следовательно, 90 = О и, стало быть, 8 (х) = 0, т. е. ♦ М () 3°. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Повторяя приведенное выше рассуждение в случае интег- интегрального уравнения Вольтерра второго рода D), будем иметь Фо (х) = f {х), Фя (*) - / (*) + X S /С {х, у) Ф„-1 D0 dy, A2) а | А |л М* (х о)" \(pn(x)~(pn-i(x)\^m *j , n=l, 2, .... A3) т = max I/(x) |, M% =max \K(x, y)\. Так как функциональный ряд в положительными членами £ |Л,|А!(хо) m > !Lj = meiMAi.(x—я) я=О сходится равномерно при любом конечном значении пара- параметра X, то в силу оценок A3) последовательность функ- функции A2) сходится равномерно и, стало быть, функция Ф (х) = lim ф„ (х) п-»оо является решением интегрального уравнения D). Покажем, что для любого фиксированного значения параметра X уравнение D) Не может иметь более одного решения. Пусть у(х) и \|э (х) — непрерывные, решения уравне- уравнения D). Их разность 8 (х) = ф (х) —1|> (x) удовлетворяет однородному уравнению В(х) = х\к(х, y)b{y)dy, A4) а и, следовательно, |в(хI<|Х!Л*,/п,(*-а), A5) где М* = max К (х, у) |, m* = max | 9 (х)!. В силу A5) из A4) следует оценка
f 2. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 189 Продолжая эту процедуру, будем иметь для людого натурального п. Из оценок A6) в пределе, когда п-*-оо, получаем, что 9(х) = 0, т. е. г|) (х) = ф (х). Таким образом, мы пришли к заключению, что интег- интегральное уравнение Вольтерра D) при требовании непре- непрерывности его ядра К(х, у) и правой части f(x) имеет единственное решение для каждого конечного значения параметра X. Этим существенно отличается интегральное уравнение Вольтерра второго рода от интегрального урав- уравнения Фредгольма второго рода, которое, как будет показано ниже, не для каждого % может иметь решения, а при некоторых значениях X оно может иметь даже несколько решений. § 2. Теоремы Фредгольма I9. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Ядро К(х, у) интегрального уравнения C) называется вырожденным, если оно имеет вид К(х, у)= 2 Pi(xLt(y), A7) где pi(x) и qi(y),a^x^b,a^y^b, — заданные действи- действительные непрерывные функции. Без ограничения общности можно считать, что системы {pi(x)\, {</»•(*)}, 1=1, .... N, линейно независимы. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма вто- второго рода N b Ф (х) - X 2 \ Pi (x) qt (у) Ф {у) dy = f(x). A8) 1=1 О Интегральное уравнение A8) можно записать в виде с), A9)
190 ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ где Cf=\qt{y)fp{y)dy, 1=1, .... N, B0) — неизвестные постоянные. Постараемся подобрать постоянные с,-, i = 1, ..., N, так, чтобы определенная формулой A9) функция ц>(х) была решением интегрального уравнения A8). С этой целью внесем выражение A9) для ц>(х) в левую часть A8). После простых вычислений получаем 2 Pi(*) \ci-\qi {У) f(y)dy-\Z \cfli(у) Pi {у) dy] = О, f=l La i=lо . J откуда в силу линейной независимости функций pt (x), i = l, ..., N, следует, что или N где ь ь <Хц = J qt [у) р/ (у) dy, 7« — I f {У) <7« (У) dy. - B2) а а Таким образом, задача отыскания решения ф (х) интег- интегрального уравнения A8) редуцирована к решению системы линейных алгебраических уравнений B1). Соответствующее A8) однородное интегральное урав- уравнение Ф° (*) ~ *- J Ц Р< W ft (У) Ф° (У) 4У - 0 B3) точно так же редуцируется к соответствующей B1) одно- однородной линейной алгебраической системе ' B4)
5 2. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 191 В теории системы B1) фундаментальную роль играет матрица Из линейной алгебры известно, что система B1) всегда (для любых правых частей yt) имеет, и притом единствен- единственное, решение, если det М (X) Ф 0. B5) Но det M (X) относительно X представляет собой поли- полином степени N. Следовательно, условие B5) будет нарушено лишь для конечного числа значений X: Xi, ..., Хщ, m^N, являющихся нулями полинома det М (X). Эти значения называются собственными числами ядра К(х, у). Таким образом, для каждого конечного значения X, отличного от Xk, 6=1, ..., т, система B1) имеет един- единственное решение с1г ..., cN. Подставляя полученное решение системы B1) в правую часть формулы A9), полу- получим решение ц>(х) интегрального уравнения A8). Тем самым доказана следующая теорема: если X не является собственным числом ядра К (х, у), то интегральное урав- уравнение A8) для любой непрерывной правой части f(x) имеет, и притом единственное, решение (первая теорема Фредгольма). Союзное с B3) интегральное уравнение в силу A) имеет вид 0. B6) i = l a Уравнение B6) равносильно союзной в B4) однород- однородной еистеме N d,-X Za/td/^O, B7) где ь di°=\pi(y)ty(y)dy, t = l, .... N. a Если X = Xk, 6 = 1. ..., m, и ранг матрицы М(Х) равен г, то, как известно из линейной алгебры, однородная
192 ГЛ. V ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ система B4) и союзная с ней система B7) имеют по N — г линейно независимых решений d[ d'N, /=1 N-r. Подставляя полученные решения систем B4) и B7) соответственно в правые части формул /=1 N-r, получаем по N — r линейно независимых решений одно- однородных интегральных уравнений B3) и B6). То есть соответствующее A8) однородное интегральное уравнение B3) и союзное с ним однородное интегральное уравнение B6) имеют ровно no N — r линейно независимых решений (вторая теорема Фредгольм а). Функции (f"i(x), 1=1, ..., N — г, называются собствен- собственными функциями ядра К (х, у), соответствующими собст- собственному числу X,ft. Как известно, опять из линейной алгебры, при Х. = Х*, k=l m, система B1) не для любых правых* частей имеет решение. Для разрешимости этой системы необхо- необходимо и достаточно, чтобы числа yit i=l, .... N, удовле- удовлетворяли условиям |>Д = 0, l=\ N-r. B8) Условия B8) в силу B2) равносильны системе равенств /=1 N-r Таким образом, мы пришли к заключению, что при X=Kk, k—\, ..., т, для разрешимости интегрального уравнения A8) необходимо и достаточно, чтобы правая
$ 2. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 193 его часть f (x) была ортогональна ко всем решениям % (х), 1=1, ..., N —г, союзного с B3) однородного интегрального уравнения B6) (третья теорема Фредгольма). 2°. Понятие итерированного ядра и резольвенты. В пункте 2° § 1 настоящей главы при наличии неравен- неравенства G) была доказана сходимость последовательных при- приближений (9) к решению (р(х) интегрального уравнения C), причем предполагалось, что функции К (х, у) и f(x) непрерывны. Функции * Кп(х, у) = \К{х, Ух)Кп-1{Уъ y)dylt га = 2, 3,..., называются итерированными (повторными) ядрами. Пользуясь понятием итерированных ядер, последова- последовательным приближениям (9) можно придать вид <р„ (*w м+М 2 V'1K' (*- у) f (у) ау- <3°) а /=1 Повторяя рассуждение, примененное в пункте 2е § 1 настоящей главы при доказательстве сходимости последо- последовательности (9), убеждаемся в том, что ряд !>/-%(*, у) при выполнении условия G) сходится равномерно, когда asg-Ksgft, a^y^b. Сумма этого ряда R(x, у; X) назы- называется резольвентой ила разрешающим ядром ядра К (х, у) или интегрального уравнения C). Из равенства C0) оче- очевидно, что резольвента позволяет решение <p(*) уравнения C) записать в виде Ф (*)-/(*)+& S Я (ж, У, *)f(y)dy. C1) а Заметим, что функция R(x, у, %) непрерывна относи- относительно переменных х, у в квадрате а^х^Ь, а^у^Ь (и аналитична относительно к для всех как действитель- действительных, так и комплексных значений к из круга 1^|< 7 А. В. Бицадзе -
194 ГЛ V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Поэтому из формулы C1) непосредственно следует, что наряду с f(x) непрерывным является и решение ц>(х) уравнения C). 3°. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с непрерывным ядром. Теперь приступим к изучению интегрального уравнения C) независимо от того, выпол- выполнено или нет условие G). Из курса математического анализа известно, что если функция К(х, у) непрерывна в квадрате а^х^Ь, а^у^Ь, то для любого наперед заданного числа е>»0 можно указать такие линейно независимые системы непре- непрерывных функций {pi(x)}\ a^x^b, {qt(у)}, a^y^b, i= 1, ..., N, что К (*. у) = Z pi (x) qi (у) + Kz (х, у), C2) где Ке (х, у) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию ф — а)| Ке(х, у) <е, a =s£x<b, a^y^b. C3) В силу теоремы Вейерштрасса (из курса математического анализа) в качестве pi(x) и qt(y) могут служить, в част- частности, полиномы. Представляя ядро К (х, у) уравнения C) по формуле C2), запишем это уравнение в виде Ф (х) - Ц Ke (х, у) ф iff) dy = F (x), C4) а где F (х) = / (х) +1 2 S Pi (*) Ъ (У) Ф (У) *У- C5) 1=1 О Для любого конечного фиксированного значения % под- подберем число е, настолько малое, чтобы имело место нера- неравенство 1М<7- C6) Для интегрального уравнения C4) в силу C3) и C6) соблюдено условие G), и, стало быть, это уравнение одно- йначно обращается. Обозначив через Rt(x, у; К) резоль-
f 2. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 195 венту ядра Ке(х, у), уравнение C4) запишем в виде ?,(*, У, l)F(y)dy. (87) а Подставляя выражение C5) $fln-F(x) в правую часть C7), после простых вычислений получаем Ф (*) - К S £ г, (х) д, (у) Ф (у) dy = g (х), C8) о<=1 где ь П (х) = Pi (*) + *$ Re (х, у, X) pi (у) ау, а e(x, y,k)f(y)dy. Таким образом, для любого конечного фиксированного значения X интегральное уравнение C) эквивалентно ин- интегральному уравнению Фредгольма второго рода C8) с вырожденным ядром. Используя доказанные в предыдущем параграфе тео- теоремы Фредгольма для интегрального уравнения с вырож- вырожденным ядром, приходим к так называемой альтерна- альтернативе Фредгольма: для каждого фиксированного зна- значения X либо соответствующее C) однородное уравнение F) не имеет отличного от нуля решения, и тогда уравнение C) всегда имеет, и притом единственное решение для любой правой части f(x), либо однородное уравнение F) имеет отличные от нуля решения, и тогда как однородное урав- уравнение F), так и союзное с ним уравнение имеют одина- одинаковое конечное число линейно независимых решений; в этом случае уравнение C) не для любой f(x) имеет решение, причем для разрешимости неоднородного уравнения C) необходимо и достаточно, чтобы его правая часть f(x) была ортогональна ко всем решениям союзного с F) урав- уравнения, т. е. где %(х), 1=1, ..., р,—все линейно независимые решения союзного с F) однородного уравнения. 7*
196 ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Функция, тождественно равная нулю, очевидно, является решением как однородного уравнения F), так и союзного с ним уравнения. В дальнейшем под решением однородного (или союзного с ним) уравнения будем пони- понимать такое его решение, которое отлично от тождествен- тождественного нуля. Значение X, для которого однородное уравнение F) имеет решения %(х), 1=\, ..., р, будем называть, как и в пункте 1° настоящего параграфа, собственным чис- числом ядра К (х, у), а функции ф, (х) — собственными функ- функциями этого же ядра, соответствующими собственному числу к. Заметим, что если уравнение C) запишем в виде умножим обе его части на КК (х, у) и проинтегрируем, то получаем (x, y)f(y)dy. Продолжая этот процесс, будем иметь b Ф (х) -Ът\Кт {х, у) ф (у) dy = U (х), а где U (X) = fm-X (X) + X I К (X, у) /„,-! (у) dy, ft (Х) = / (*). а Таким образом, мы пришли к заключению, что если Я, и ф (х) — собственное число и соответствующая ему соб- собственная функция ядра К (х, у), то К" и ф (х) будут соб- собственным числом и соответствующей ему собственной функцией итерированного ядра Кт (х, у). Верно и обрат- обратное утверждение, но на его доказательстве мы здесь оста- останавливаться не будем. Все изложенные выше утверждения относительно урав- уравнения C) непосредственно распространяются на случай
f 2. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 197 уравнения (*) с непрерывным ядром К(х, у) и непрерыв- непрерывной правой частью f(x). Более того, на основании приведенного выше замеча- замечания можно заключить, что эти утверждения остаются вер- верными и в случае ядер вида где К* (х, у) — непрерывная функция относительно сово- совокупности переменных х, у, а п0 — размерность области D (или ее границы S). В этом легко убедиться, если учесть то обстоятельство, что ядро интегрального уравнения <р(х)-Хт J Km(x, y)q>(y)dy = fm(x), D(S) полученного m-кратным итерированием ядра К (х, у), при достаточно большом т представляет собой непрерыв- непрерывную функцию переменных х, у. Также очевидно, что, если f(x) непрерывна всюду, кроме конечного числа точек или гладких многообразий размерности меньше «о. и абсолютно интегрируема по области D (или по S), альтернатива Фредгольма остается в силе. Именно к такому виду относятся рассмотренные в пункте 2° § 5 главы I интегральные уравнения, к кото- которым были редуцированы вопросы существования решений (в том числе элементарных) общих эллиптических урав- уравнений второго порядка. Так как в этих случаях для области D достаточно малого диаметра значение интеграла ЦК(х, y)\dy D можно сделать как угодно малым, условие G) "пункта 2° § 1 настоящей главы можно считать выполненным и, стало быть, для таких областей существование решений указан- указанных интегральных уравнений гарантировано. 4°. Понятие спектра. Множество всех собственных чисел ядра К (х, у) называется спектром этого ядра. Изучение спектра занимает значительное место в теории интеграль- интегральных уравнений. Как уже было показано выше, спектр ядра уравнения Вольтерра является п стым (пункт 8° § 1), а в ел чае
198 ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ вырожденного ядра уравнения Фредгольма он состоит из конечного числа элементов (пункт 1° настоящего параграфа). Среди других ядер, спектр которых хорошо изучен, особо следует выделить действительные симметричные ядра. Ядро К (х, у) называется симметричным, если для всех значений х, у из области его задания К(х, у) = = К (у, х). Легко видеть, что если <рх (ж) и ф4 (х) — соб- собственные функции, соответствующие отличным друг от друга собственным числам ^ и Я,, то ь \ Ф1 (*) Фг (*) dx = 0. а В самом деле, в силу симметричности ядра К (х, у) имеем ft Ь Ъ a b Фх(*)dxJ[К(х, у)-К(у, х))<р2{у)dy-0, откуда, так как ^^Xj, следует справедливость сформу- сформулированного утверждения. Из этого утверждения в свою очередь вытекает, что собственные числа действительного симметричного ядра не могут быть комплексными. Действительно, если собственное число Я, и соответ- соответствующая ему собственная функция <р(ж) являются комп- комплексными; то Я ■= Я* — tX, и ф (ж) = <рх (д;) — fcp« (д;) также являются собственным числом и соответствующей ему собственной функцией. Если %%ф_0, то, как уже было доказано, Отсюда заключаем, что ф(*) = 0 тождественно, а это невозможно в силу определения собственной функции. Следовательно, ^ = 0, т. е. X — действительное число.
f 2. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 199 Среди других важнейших свойств симметричных ядер отметим еще одно его свойство: спектр действительного симметричного ядра не является пустым. Поскольку ниже это утверждение не используется, его доказательство опу- опускается. 5°. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода с кратным интегралом. Повторением рассуждения, приве- приведенного в пункте 3° § 1 в случае интегрального уравне- уравнения вида Ф(Б, n)-Xj dt] К(I, л: t, т)Ф(/, т)А = /(Б, л). C9) h ч. где КA, ц\ t, т) и /(£, т)) —заданные действительные непрерывные функции, приходим к заключению, что это уравнение для любого фиксированного значения действи- действительного параметра "К имеет единственное решение. Поэтому интегральное уравнение C9) также называется уравне- уравнением Вольтерра второго рода. Уравнение D3) из главы III в результате однозначно обратимой замены искомой функции 5 IX \ »F, i\) = w(l, л)+ J» С, r\)b(t, n)exp $&(flt 4)dtAdt + Ь Xt I /ч 4i W приводится к интегральному уравнению вида C9): 5 ч w(l, r)) + \ dt\ Ko(l, ц\ t, T)w(t, x)dx=l, Si 4i где /Cod, л*, t, x) = c(t, x)-b{t, r])a(t, T)expfjo(/, -oF, x)b(t, ( + b(t, x)\c(tlf x)exp(\b(tit x)dt2)dt1 П /t, \ + a (t, x) \c(t, ti) exp i J a (f, т2) dx2 i 4 /
200 ГЛ V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 6°. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода. В предположениях, что ядро К(х, у) и правая часть f(x) интегрального уравнения Вольтерра первого рода удовлетворяют условиям: 1) Кх(х, у) и f (x) существуют и являются непрерывными функциями и 2) К (х, х) нигде в нуль не обращается, в результате дифференцирования по х это уравнение приводится к интегральному уравне- уравнению Вольтерра второго рода где р (у) _ К(Х v) р (у) Л (х, у)- К(х ,х) , г W- K{Xi x) • Если перечисленные условия не соблюдены, исследо- исследование интегрального уравнения Вольтерра первого рода становится в общем случае затруднительным. Тем не менее в некоторых частных случаях все же удается ука- указать способы, позволяющие даже в квадратурах выписать решения таких уравнений. Так, например, чтобы найти решение интегрального уравнения с непрерывной правой частью f(x): J (*—У)а носящего название интегрального уравнения Абеля, запи- запишем его в виде (t-y)a ' 1 умножим на ядро . _<,1_a и проинтегрируем по t от нуля до xi _dt f Ф (У) йу _ С !(t)dt
§ 3. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 201 Из этого тождества, учитывая, что С Д. С Ф(У)*У _ (w(uYdu( Ш f Л я J (*-<)^a(< — </)a ~ sin na' имеем . . sin na d ™ * ' n dx или, если функция f(x) непрерывно дифференцируема, Г (О А В частности, когда a= „ » мы получаем решение ин- интегрального уравнения F3) из введения, встречающегося при исследовании задачи о таутохроне: о § 3. Применения теории линейных интегральных уравнений второго рода 1°. Применение альтернативы Фредгольма в теории краевых задач для гармонических функций. В пункте 2° § 4 главы I было доказано, что если искать решение задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя D7), то для плотности ц этого потенциала получим,, интегральное уравнение Фредгольма второго рода E7): H(s) — X$ K(s, t)n(t)dt<=* — 2g(s), X, = — 1. D0) s Если мы покажем, что Я, = —1 не является собствен- собственным числом ядра K{s, t), то в силу альтернативы Фред- Фредгольма интегральное уравнение D0) будет разрешимо при
20Й ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ любой правой части и, стало быть, будет разрешима и задача Дирихле с краевым условием E6) из главы I. Соответствующее D0) однородное уравнение = 0 D1) "при Я = —1 действительно не имеет отличного от нуля решения. В самом деле, пусть \Iq является решением уравнения D1). Потенциал двойного слоя ио(х, у) с плотностью \iq обладает тем свойством, что в силу формул E4) из главы I и D1) ut(s) = O, x?(s)(=S. Так как предел ио(х, у) изнутри области D+ на гра- границе S равен нулю, то в силу свойства единственности гармонической функции заключаем, что ип(х, у) = 0 для всех (я, г/) е Df. Следовательно, для нормальной произ- производной -р- на S имеем 0V Ш D2) В силу свойства -WJ -\-W) нормальной производной потенциала двойного слоя, обна- обнаруженного в пункте 2° § 4 главы I, и равенства D2) заключаем, что ' (*)'-Л D3) Так же, как и в пункте 3° § 4 главы I, очевидно, что гармоническая в D~ функция ио(х, у), представляющая собой потенциал двойного слоя и удовлетворяющая усло- условию D3), является постоянной. Но ио(х, у) на бесконеч- бесконечности равна нулю. Поэтому ио(х, у) = 0 всюду в £>-. Используя опять формулы E4) и E5) главы I, мы можем утверждать, что и тем самым доказано, что Я, = —1 не является собствен- собственным числом ядра K(s, t).
I 3. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 208 Можно показать, что ядро К* (s, t) интегрального урав- уравнения Фредгольма F9) главы I, к которому редуцирована задача Неймана F7), имеет в качестве собственного числа к = —1, но выполнение условия F8) в силу альтернативы Фредгольма гарантирует разрешимость этого уравнения. Однако, чтобы обнаружить достаточность условия F8) для разрешимости задачи Неймана F7), мы поступим на этот раз иначе. Пусть и (х, у) — искомое решение задачи Неймана в области D+. Обозначим через v(x, у) функцию, гармо- гармонически сопряженную с и (х, у). Поскольку -g- и у- счи- считаются непрерывными в D+\J S, для выражения -g- в силу условия (CR) и F7) имеем dv dv dx . dv dy du dx . ди dy ds dx ds ' dy ds dy ds ' dx ds du dy . ди dx ди . . = ~dy~ch ~T"dxlfi ~l^—8\sh откуда где / — длина контура S области D+. Так как v@) = C, v(l) { для непрерывности функции v (s) при s = 0, s = I, т. в. для выполнения равенства v@)=v(l), функция g(t) должна удовлетворять условию что и совпадает с условием F8) из главы I. Существование в области £>+ гармонической функции vix> У)> удовлетворяющей краевому условию
804 ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ доказано выше (задача Дирихле, как только что было доказано, имеет решение). Гармоническая функция и (х, у) (искомое решение задачи Неймана) строится при помощи v(x, у) по спо- способу, указанному в пункте 5° § 2 главы II. 2°. Редукция задачи Кош и для линейных обыкновен- обыкновенных дифференциальных уравнений к интегральному урав- уравнению Вольтерра второго рода. Для обыкновенного линей- линейного дифференциального уравнения порядка п: 2-+ с непрерывной правой частью / (л:) и коэффициентами ак {х), обладающими непрерывными производными ——, k = 0, 1, ..., и—1, при а^х^Ь, рассмотрим задачу Коши — У%, k=*0, ..., п— 1, а<хо<Ь, D5) dx" где yl, k = 0, .... п — 1, — заданные действительные по- постоянные. Так как полином п—1 fe = 0 удовлетворяет условиям D5) и функция и(х) = у(х) — г(х) является решением обыкновенного дифференциального уравнения и—1 п — \ -j~n"T / ak\X) = l{x)— / ukiX) , ^ ■< dx **! dx* удовлетворяющим начальным условиям _ о ь — о i dx* =х. то без ограничения общности можно считать, что в усло- условиях D5) все уЪ = О, т. е.
f 3. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 805 После «-кратного интегрирования равенства D4) в силу D6) получаем ~\d»l\dx%... \ f(t)dt. D7) *о х0 * На основании известного из математического анализа тож- тождества f dxt\F (t)(Xi-ty-i dt = X, X* Ki-l xi-i xi-t J F (t) dt 5 (x, - 0м dXl = J j (xM - 0' F@ Л, -to ' tj справедливого для любой непрерывной функции F(t), равенство D7) можно переписать в виде ft=0 х т^=гпг J (* - 0*-* f @Л- D8) В результате интегрирования по частям в левой части D8) с учетом условий D6) получаем ijr 2 J frrrijr 2 Hl'JifW^ * 0 или $ F(x), D9)
t68 ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ где п — \ Ж*. О—5Г=Ж 2 (-^^- — заданные непрерывные функции. Таким образом, задача D4), D6) сведена к эквивалент- эквивалентному интегральному уравнению ^Волыперра второго рода D9) с непрерывным ядром К(х, t) и непрерывной правей частью F(x). Из установленного в пункте 3° § 1 настоящей главы факта существования и единственности решения интеграль- интегрального уравнения Вольтерра второго рода вытекает суще- существование и единственность решения задачи Коши D4)шD6). 3°. Краевая задача для линейных обыкновенных диф- дифференциальных уравнений второго порядка. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений наряду с задачей Коши значительное внимание уделяется и так называемой первой краевой задаче (задаче Дирихле), кото- которую на примере линейного уравнения •S- + V (*)?-/(*). а<х<Ь, E0) можно сформулировать следующим образом: ищется регу- регулярное в интервале а<х<.Ь решение у(х) уравнения E0), непрерывное при а^х-^b и удовлетворяющее краевым условиям у(а) = А, у(Ь)=*В, E1) где А и В —заданные действительные постоянные. Как и при рассмотрении задачи D4), D5), без огра- ограничения общности можно считать, что А = В — 0, т. е. краевые условия E1) имеют вид у{а) = у(Ь)-0. E2) Предположим, что р(х) и f(x) —заданные непрерыв- непрерывные при а^х^Ь действительные функции, а Я —дей- —действительный параметр.
« 8. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 207 Введем в рассмотрение функцию Грина которая 1) непрерывна в квадрате a^x^b, а 2) в интервалах a<.x<.b, a<t<.b при гфх как по *, так и по х имеет вторые производные, равные нулю, и 3) Й1 После интегрирования очевидного тождества д%0(<- х) - д (a dy ида\ в интервалах a<.t<.x — e, x+e.<.t<.b, где е —доста- —достаточно малое положительное число, сложив полученные результаты, с учетом E0), F2) и свойств 1), 2), 3) функ- функции Q(t, x) получаем (Т + \ ) G С» *) I" t-x+e откуда в пределе при е-*-0 следует, что у(х) x\o(tt x)p(t)y(t)dt + {G(t, x)f{t)dt E3) или 6 у(х)-ЦК(х, t)y(t)dt = F(x), E4) а где К(х, t) G(t, x)p(t), F(x) = \G(t, x)f(t)di. Легко видеть, что решение у(х) интегрального уравне- уравнения E4), когда оно существует, удовлетворяет дифферен- дифференциальному уравнению E0) и краевым условиям E2).
208 ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Действительно, так как у (х) — решение интегрального уравнения E4) или, что то же самое, уравнения E3), то можем написать y(x) = \G{t, x)[—kp(t)y(t) + f(t)]dt E5) а ИЛИ а откуда находим, что х dx ~ с Далее, в силу непрерывности функции G(t, x) из E5) в пределе, когда х-*-а и х-»-Ь, на основании равенств G(t, a) = G(t, &) = 0 получаем, что у (а) = у (Ь) = 0. Тем самым задача E0), E2) редуцирована к эквива- эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода E4). Следовательно, об условной или безусловной разрешимости этой задачи и о числе ее линейно независи- независимых решений можно судить на основании утверждений, доказанных в §§ 1, 2 настоящей главы. Опираясь на теорию интегральных уравнений, изло- изложенную выше, легко усмотреть существенную разницу между задачами Коши и Дирихле для обыкновенных диф- дифференциальных уравнений.
5 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 209 § 4. Сингулярные интегральные уравнения Is. Понятие сингулярного интегрального уравнения. Когда ядро К(х, у) интегрального уравнения при х = у обращается в бесконечность, так что интеграл сущест- существует только в смысле главного значения по Коши, такое уравнение принято называть сингулярным интегральным уравнением. Пусть S — замкнутая или разомкнутая кривая Ляпу- Ляпунова. Говорят, что заданная на S однозначная функция K(t, t0) удовлетворяет условию Гёдьдера, если для любых пар точек t, t0 и t', t'o, лежащих на S, имеет место неравенство \K(t, to)-K(f, Q\^A(\t-t' \^ + \U-t'u\h'), где A, hi, h2 — положительные постоянные, причем /ti^S 1, В приложениях часто встречаются сингулярные инте- интегральные уравнения вида' a (to) Ф (to) + f ^т^ Ф @ dt - f Vo)> *° e S' E6) f где а, К и / — заданные, а ф —искомая функции, удов- удовлетворяющие условию Гёльдера (это условие для функ- функции одного переменного было сформулировано в пункте 1° § 5 главы II). Для сингулярных интегральных уравнений теоремы Фредгольма, вообще говоря, не остаются в силе. При требовании, что функции а(?„) и $(ta) = K(t0, t0) ни в одной точке t0^ S одновременно в нуль не обращаются, теория интегральных уравнений вида E6) построена в книге Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интеграль- интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968. Ниже будут рассмотрены отдельные классы сингуляр- сингулярных интегральных уравнений, решения которых выпи- выписываются в квадратурах. 2°. Интегральные уравнения Гильберта. В пункте 7° § 3 главы II была выведена формула Шварца (89), кото- которая дает интегральное представление аналитической в круге | z J < 1 функции f(z) = u(x, y) + iv(x, у)
210 ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ через краевые значения и (<р) ее действительной части при условии, что и(х, у) непрерывна в замкнутом круге |z|<l. Будем предполагать, что функция u(<p) = u(?0), *„ = «"', 0<;<р«£;2я, удовлетворяет условию Гёльдера. Записывая формулу Шварца в виде формулы (87) главы II: fW = k f T=F-"(°' 0) + fo@, 0), E7) заключаем, что существует Л('о) = и(ф) + Иф). U=-ff*. 0^ф<2я, причем в силу формул A04) и (88) той же главы <Р)- 1 КГ-l @* 1 С U(()<U I f «@ i*i i i*ii CO, 0), E8) где cxg 2 «р=-^_^ t , 1=ч? . На основании отмеченного в пункте 4° § 5 главы II свойства предельных значений интеграла типа Коши с плотностью, удовлетворяющей условию Гёльдера, из фор- формулы E8) заключаем, что наряду с и (t0) = и (ф) и функция /+(*) удовлетворяет условию Гёльдера на окружности 1 Так как в силу теоремы о среднем для гармоничес- гармонических функций имеет место равенство 2я то из E8) получаем 2л 2я I E9) f
I 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 211 где первый интеграл в правой части понимается в смыс- смысле главного значения по Коши. Пользуясь интегральным представлением аналитичес- аналитической в круге | г | < 1 функции — f (г) «■ v (х, у) — iu (х, у) через краевые значения о(ф) ее действительной части v (х, у): T'W-Л f ^-о@,0)-ш@, 0), получаем интегральное представление функции f(z) через краевые значения t>(d) ее мнимой части v (x, у): iv@, 0) + ц@, 0). Отсюда, как и выше, находим 2л 2я 1 ^ f « или 2я 2я . F0) Следовательно, если известно, что функция и (у)удов- (у)удовлетворяет условию Гёльдера, то функция v (ф) тоже удов- удовлетворяет условию Гёльдера и они связаны между собой формулой E9). Обратно, если v (ф) удовлетворяет условию Гёльдера, то и и(ф) удовлетворяет условию Гёльдера и связь между этими функциями дается формулой F0). Это означает, что»формулы E9) и F0), связывающие между собой краевые значения действительной и мнимой частей аналитической в круге |*|<1 функции /(г), удовлетво- удовлетворяющей условию Гёльдера в замкнутом круге jzj^l, Жвивалентны между собой. Когда дополнительно известно, что $ 0, F1)
«I ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ формулы E9) и F0) принимают вид соответственно 2л " Ф F2) F3) Равенство F3) в предположении, что ы(<р) — заданная, а у(ф) — искомая действительные функции, удовлетво- удовлетворяющие условию Гёльдера, для которых выполнено ус- условие F1), представляет собой сингулярное интегральное уравнение первого рода, решение которого дается форму- формулой F2). Уравнение F3) носит название интегрального уравнения Гильберта, а формула F2) — формулы его обра- обращения. Подставляя выражение и(Ф) из формулы F2) в F3), получаем формулу композиции сингулярных интегралов 2я 2я Ядра -.—г и ctg Г4' принято называть ядром Коши и яд- ром Гильберта -соответственно. 3°. Преобразование Гильберта. Рассмотрим сингуляр- сингулярное интегральное уравнение где и {х) — заданная, a, v(x) — искомая действительные функции, удовлетворяющие условию Гёльдера, для кото- которых при больших | х | имеют место оценки А>0, 6>0. Обозначим через F(z) интеграл типа Коши с плот- плотностью v(t): F(z) l я
$ 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 213 В силу формул A06) и A07) главы II имеем -F" (*) = »(*), F5) со I J^, -oo<*<oo. F6) —00 На основании F4) и F6) заключаем, что F (г) должна быть решением краевой задачи В силу формулы (ПО) главы II решение этой задачи, обращающееся в нуль на бесконечности, имеет вид Ф(г)' ImZ>0' -Ф(г), 1тг<0, где —i да —00 Поскольку в силу F7) и F8) искомое решение v(x) уравнения F4) дается формулой F5), т. е. i ]U^ F9) Формула F4), выражающая функцию и (t) через функ- функцию v(x), носит название преобразования Гильберта, а формула F9), дающая решение интегрального уравнения F4), — обратного преобразования Гильберта. 4 . Интегральное уравнение теории крыла самолета. При отыскании профиля тонкого крыла самолета важ- важную роль играет интегральное уравнение 0<а<оо, G0)
214 ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ где v(x) и и (х) — действительные функции, удовлетво- удовлетворяющие условию Гёльдера в интервале — a<Lx<La Для предельных значений /•"+ (х) = lim F (г), 1тг>0, г-*х F-(x) = \\m F(z), 1тг<0, функции в силу формул A06) и A07) главы II имеют место формулы F+(x)-F-(x) = v(x), G1) x)^^v-^±, -a<x<a. G2) —а Из равенств G0) и G2) следует, что функция ^(г) дол- должна быть решением краевой задачи [x)=^fi-, -a<x<a, G3) F+ (x) — F- (x) = 0, — oo<*< — а, a<*<oo. G4) В силу G3) и G4) для функции имеем краевые условия n+/ *-Ln-/ \ f 7 Кяа-**«(*), -а<л:<а, " W + " W= G6) I 0, — оо<*< — а, а<.х<.оо. Как уже было показано в пункте 5° § 5 главы II, решение задачи G6) дается формулой ( Ф(г), Imz>0, где |v?'""+'?. m а Со — произвольная постоянная.
f 4. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 215 Вычислим значения Q+(x) и Q-(*) на основании G7) и G8): Отсюда в силу G5) и G1) непосредственно следует формула обращения интегрального уравнения G0): где C==ReC0. Подбирая достоянную С по формуле —а из G9) получаем ограниченное вблизи конца а решение уравнения G0): Формула (80) называется преобразованием Гильберта в конечном интервале (—а, а).х 5°. Интегральное уравнение с логарифмическим ядром. В механике сплошной среды часто встречается интеграль- интегральное уравнение вида 1J log\t-x\v(t)dt-a(x), -a<x<a, (81) —а где и(х) и w (*) —действительные функции. В предположениях, что и(х) дифференцируема и v{x) и - д*' при —а<х<.а удовлетворяют условию Гёльдера, повторяя рассуждение пункта 2° § 5 главы II, в резуль- результате дифференцирования уравнение (81) можно записать
216 ГЛ. V. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ в виде a где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. В силу формулы G9) общим решением уравнения (82) является функция _х* t_x где С — произвольная действительная постоянная. Как уже было отмечено в предыдущем пункте, огра- ограниченное вблизи конца а решение уравнения (82) дается формулой (o-0(o+*) t-x — a В приложениях порой требуется найти решение v(x) уравнения (82), ограниченное на обоих концах интервала (—а, а). Оно, очевидно, существует лишь при наличии равенства а — а и имеет вид 1 Л?11** «'(АД Условие (83), в частности,, соблюдено, .если функция и(х) является четной.
ГЛАВА VI МЕТОДЫ, НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ПРИМЕНЯЕМЫЕ НА ПРАКТИКЕ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 1. Метод разделения переменных 1°. Решение основной смешанной задачи для уравнения колебаний струны. В теории колебаний струны важную роль играют решения уравнения представимые в виде и(х, t) = v(x)w(t) B) и именуемые стоячими волнами. Подставляя выражение B) для и(х, t) в левую часть уравнения A), получаем v"(x)w(t)-v{x)w"(t) = O или v(x) w(t) " \°> Так как левая часть C) не зависит от t, а правая часть —от х, то Обозначив через — к постоянную в правой части D), перепишем эти равенства в виде = 0 . E) 0, F) представляющие собой обыкновенные линейные дифферен- дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что общее решение v (x) уравнения E) имеет вид G)
218 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ при А, = 0, v = С! cos У\х + с2 sinY^kx (8) при Х,>0 и v = cxevz^ х + с2е- ^ * (9) при А,<0, где сг и с2 — произвольные действительные постоянные. Точно так же в соответствии с тем, А, = 0, Х>0 или Х,<0, общее решение уравнения F) запишется в виде A0) где с3 и с4 — произвольные действительные постоянные. Пусть требуется найти нетривиальное (не равное тожде- тождественно нулю) регулярное в полуполосе 0<.х<Сп, t>0 решение и(х, t) уравнения A), непрерывное при Osg-jts^n, t^O и удовлетворяющее краевым условиям ы@, 0 = 0, и (я, /) = 0, t^0. A1) Будем искать решение задачи A), A1) в виде стоячей волны B). Тогда функции v (x) и w @ должны удовлет- удовлетворять уравнениям E) и F) соответственно и условиям у@)ш@ = у(я)ш@==0 или, что то же самое, у@) = 0, о(я) = 0. • A2) Задача отыскания нетривиального решения v(x) урав- уравнения E), удовлетворяющего условиям A2), является частным случаем так называемой общей спектральной задачи или задачи Штурма — Лиувилля. Значение %, для которого уравнение E) имеет нетри- нетривиальное решение и (х), удовлетворяющее условиям A2), называется собственным числом, а само решение v (x) — соответствующей К собственной функцией. Нетривиальные решения задачи E), A2) вида G) и (9) не существуют, ибо, подставляя выражение G) и (9) для v(x) в A2), получаем ^2 = 0» nCi + Ct = 0 в первом случае и c1-{-ci = 0, e^-k"^ + е-уГ—*% = 0 во втором случае, т. е. в обоих случаях сх = с2 = 0. Теперь, подставляя вы- выражение (8) в A2), будем иметь Ci=*0, ctsin\^%n = 0. Отсюда видно, что задача E), A2) будет иметь нетри-
§ t. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 219 виальное решение вида (8) тогда и только тогда, когда т. е. когда К = п2, где га —отличное от нуля целое число. Ввиду того, что функции sin пх и sin (—п)х = — sinnx линейно зависимы, естественно ограничиться рассмотрением лишь натуральных значений 1, 2, ... для п. Таким образом, мы пришли к заключению, что % = пг, л=1, 2, ..., являются собственными числами задачи E), A2), а функции с„ sin пх, п = 1, 2, .... где с„ — произволь- произвольные действительные постоянные, отличные от нуля, — соответствующими им собственными функциями. Ниже будем предполагать, что постоянные с„ = 1, п=1, 2, ... В соответствии с этим система собственных функций запишется в виде vn(x) = sinnx, /t=l, 2,... Следовательно, однородная задача A), A1) имеет беско- бесконечное множество линейно неаависимых решений ип (х, f)== = sin пх • wn (t), где в еилу A0) wn (t) = а„ cos nt + Ь„ sin nt, a On и bn — произвольные действительные постоянные. Набор решений sin пх (пп cos nt + bn sin nt), n=I, 2, .... A3) уравнения A) позволяет найти решение следующей основ- основной смешанной задачи: ^требуется определить регулярное в полуполосе 0 < я < л, f>0 решение и (х, t) уравнения A), непрерывное при 0sg*sgjc, t^O и удовлетворяющее крае- краевым условиям A1) и начальным условиям и(х, О) = ср(*), A4) где ф(л;) и ^{х)—заданные достаточно гладкие действи- действительные функции. Решение и(х, t) задачи A), A1), A4) будем искать в виде ряда «(*> t)=Zj sin пх (а„ cos nt + ba sin nt). A5) Очевидно, что представленная формулой A5) функция и (х, t), в предположении равномерной сходимости ряда в правой ее части, удовлетворяет краевым условиям A1).
220 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ Для того чтобы она удовлетворяла и начальным условиям A4), мы должны иметь 00 СО 2 ansinnx = q>(x), 2 nbn sin пх = т!р (х), A6) откуда находим л л 2 Г 2 С ап = — \ у (х) sin nxdx, Ьп = — \ гр (я) sin nx dx. Из теории рядов Фурье известно, что непрерывность на сегменте 0 sg x *s я функций ф" (лг) и гр' (я) и выполнение условий ф @) = ф (я) = гр @) = гр (я) = О гарантируют воз- возможность представлений A6) и равномерную сходимость тригонометрического ряда в правой части A5). Кроме того, в этом случае сумма и(х, t) ряда A5) будет непре- непрерывно дифференцируемой функцией при 0 «g х ^ я, t ^ О, удовлетворяющей условиям A1) и A4). Если дополнительно известно, что функции ф(я) и гр(я) непрерывны на сегменте 0 «g x ^ я вместе со своими про- производными до третьего и второго порядка соответственно, причем ф @) = ф" @) = ф (л) = ф" (я) = 0, Ир @) = яр (я) = О, то представленная формулой A5) функция и(х, t) будет обладать частными производными до второго порядка включительно, которые могут быть вычислены дифферен- дифференцированием почленно ряда в правой части A5). Очевидно, что в этих предположениях сумма и(х, t) ряда A5) будет искомым решением основной смешанной задачи A), A1), A4). Каждое из слагаемых sin пх(а„ cos nt-\-bn sin nt), я=1, 2,..., в правой части A5) в теории распространения звука носит название собственного колебания (или гармоники) струны с закрепленными в точках @, 0), (я, 0) концами. Основная смешанная задача A), A1), A4) не может иметь более одного решения. Чтобы убедиться в справед- справедливости этого утверждения, достаточно показать, что при Ф(х) = гр(х)-= 0, Ог^хг^я, задача A), A1), A4) имеет" только тривиальное решение. Как уже было доказано в пункте 1° § 3 главы III, решение однородной задачи Коши и{х, 0)=0, "^ =0,
5 I. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 22! , для уравнения A) тождественно равно нулю в прямоугольном треугольнике с вершинами в точках Л@, 0), В (я, 0), С (я/2, л/2). Легко видеть, что решение и(х, t) уравнения A), равное нулю на прямолинейных отрезках АС и AD, где D = D @, я/2), обращается в нуль всюду в треугольнике ACD. Действительно, интегрируя тождество 9 д (ди ди\ д (ди\*. д по треугольной области ACXDX, где CT=Ct(T, т), Dx = = DT@, т) при любом фиксированном т, 0<т<;я/2, в силу формулы (GO) получаем Отсюда, поскольку « = 0 на отрезках АСХ и DXA, нахо- находим, что °хсх т. е. ди{^ ° = ди£» =0 вдоль DXCX и, стало быть, и (х, t) = 0 в треугольнике /4CD. Аналогично доказывается, что и (х, t) = 0 и в треугольнике BCDU где Di = Dx (я, я/2). Так как функция и (х, t) при t = я/2, 0 sg я sg я, удов- удовлетворяет однородным начальным условиям и (х, t) = = uj*' ' = 0, то последовательным применением приве- приведенного выше рассуждения приходим к заключению, что и(х, t) = 0 в полуполосе О^Жл, f^O всюду. 2°. Задача колебаний мембраны. Колебания упругой мембраны с закрепленными краями вдоль кривой С, лежащей в плоскости t = 0 и ограничивающей конечную область бэтой плоскости, описываются решением волнового уравнения с двумя пространственными переменными х, у: d*u d*u d*"n удовлетворяющим начальным и(х, у, 0) = ф(*, у), ди(х, д, t) I f Л , „\ — п
222 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ и краевому «(*, У, 0 = 0. 'SsO, (x, y)eC, A9) условиям. Как и при рассмотрении стоячих еолн в предыдущем пункте, для того чтобы выражение вида и(х, у, t) = v(x, y)w(t) B0) было решением уравнения A7), функции v (xr у) и w(t) должны удовлетворять соответственно уравнениям Ью{х, y) + to{x, y) = 0 B1) 0, B2) где К~ v(x,y) -~ w(t) -const, а Л —оператор Лапласа -д^г + ^-т- Подставляя значения функции и(х, у, f) из B0) в краевое условие A9), получаем v{x, у)а»@ = 0, (х, у)еС, <^0. Это равенство в свою очередь равносильно краевому условию v(x, t/) = 0, (ж, y)sC, B3) для функции v(x, у). Значение X, для которого однородная задача Дирихле B3) для уравнения Гельмгольца B1) имеет нетривиальное решение v(x, у), называется собственным числом, а v(x, у) — соответствующей % собственной функцией. Предположим, что контур С плоской области G является кусочно-гладкой кривой Жордана, a v (x, у) — собственной функцией задачи B1), B3), соответствующей собственному числу К. Интегрируя очевидное тождество по области Q и пользуясь формулой (GO), в силу B1)
5 1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 223 и B3) получаем [{vl + vl)dxdy= [v~ds- [ vbvdxdy='k\vidxdy. Отсюда заключаем, что собственное число Я,> 0. Поэтому мы вправе принять обозначение A,= /i2, где ц —действи- —действительное число. В соответствии с этим общее решение уравнения B2) в силу A0) имеет вид w (t) = ca cos nt-\-ct sin yd. B4) Из B4) в свою очередь следует, что w (t) — периоди- периодическая функция с периодом 2я/ц. При довольно общих предположениях относительно области G существует счетное множество собственных чисел ць ц», .-.. и соответствующих им собственных функ- функций fi(х, у), vt(x, у), ... Этот факт ниже будет доказан для случая, когда G представляет собой круг. Беря соответствующее цп решение B4) уравнения B2) в виде wa (t) = an cos iint + bn sin \int, где а„ и Ьп — произ- произвольные действительные постоянные, мы можем выписать набор решений уравнения A7) вида ип{х, у, 0 = М* ), п—\ 2 ' ' Если vk и vm —соответствующие Я* и %т собственные функции, то $М*. У)«т(х, y)dxdy = 0, Ифт. B6) в Чтобы обнаружить справедливость равенства B6), доста- достаточно проинтегрировать по области G тождество воспользоваться формулой (GO) и равенствами До*- — Л*оъ Aom = — %mvm, (x, y)<=G, ot(x, y) = vm(x, y) = 0, (х, у)е=С. Получаем J (v k Дит - v m А Ой) dxdy = (Я,* — Я,„) J vkvm dxdy = а а откуда ввиду того, что Хк=/^Хт, следует B6).
224 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Будем искать решение и(х, у, 0 задачи A7), A8), A9) в виде суммы ряда 00 и(х, у, 0=2 0»(*> y)(anCOSnnt-\-bnsinnnt), B7) n—l где ап, Ь„, п= 1, 2, ..., — произвольные действительные постоянные. В предположении равномерной сходимости ряда в пра- правой части B7) и допустимости его почленного дифферен- дифференцирования до второго порядка сумма и (х, у, t) этого ряда будет решением уравнения A7), удовлетворяющим крае- краевому условию A9). Для того чтобы функция и (х, у, t) удовлетворяла и начальным условиям A8), коэффициенты ап и Ь„ должны быть подчинены ограничениям 00 ОО 2 а»М*. У) = у(х, у), £ [inbnvn(x, y) = ty{x, у), B8) л=1 л=1 откуда в силу B6) находим an = Ntlpa) § ф (х, у) vn (x, у) dx dy, B9) >(*, y)vn(x, y)dxdy, где N(vn) = A vl (x, y) dx dy)u*. C0) Число N (vn), определенное по формуле C0), называется нормой функции vn(x, у). 3°. Понятие полной ортонормированной системы функ- функций. Говорят, что заданные в области G действительные функции vk(x, у), k=\,..., п, отличные от тождественного нуля, линейно независимы, если нельзя указать действи- действительных постоянных cft, k = 1,%.., п, среди которых по крайней мере одна отлична от нуля, таких, что л 2 Cftf и (х, у) = 0, (х, у) е G. 4=1
i I. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 225 Бесконечная система функций vk(x, у), *=1, 2 C1) называется линейно независимой, если линейно независима любая конечная система функций vk(x, у) из последова- последовательности C1). Будем предполагать, что функции vk (х, у), k = 1, 2,..., интегрируемы с квадратом в области G. Линейно незави- независимая система C1) называется ортогональной, если . y)dxdy = 0, кфт. C2) Ортогональная система C1) называется нормированной или ортонормированной, если N (vk) = 1, & = 1, 2, ... Очевидно, что в случае надобности ортогональную систему C1) всегда можно сделать ортонормированной делением каждого ее члена vk (x, у) на число N (vk). Пусть <р(х, ^ — произвольная, заданная в области G действительная интегрируемая вместе с квадратом функ- функция, а система C1) ортонормирована. Числа , y)dxdy, k=\, 2, .... C3) называются коэффициентами Фурье функции ц>(х, у) относительно ортонормированной системы C1). п Выражение вида ^ аЛ(*. У)> гДе а* — действительные постоянные, называется линейным агрегатом. Число M*=\U- S <W) dxdy C4) в\ t=i / носит название средней квадратичной ошибки. Так как из C4) в силу C2) и C3) имеем то средняя квадратичная ошибка C4) при фиксированном п будет минимальной, если ak = ak, k=\, ..., п.
«О ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ п Когда линейный агрегат имеет вид 2 ак°ь(х> у), из неравенства Ф— 2 е*1'*' dxdy^Q заключаем, что л 2а1«=г#а(ф) C5) для любого п. Следовательно, ряд, составленный из квад- квадратов коэффициентов Фурье функции ф (х, у), входится и 00 2 al =s£ #а (ф)- C6) Соотношение C6) называется неравенством Бесселя. Ортонормированная система C1) называется полной в пространстве функций, которому принадлежат ф(х, у) и vk{x, у), k=l, 2, ..., если Ф— 2 akvk) dxdy=*O *-i / или, что то же самое, 2 а! = #*(ф). C7) Выполнение условия полноты C7) вовсе не означает, что функцию ф(х, у) можно представить в виде суммы первого из рядов B8): 00 <Р(*. У)= 2 «*М*. У)- C8) Когда функция ф(дс, у) непрерывна вместе со своими производными до второго порядка, представление C8) заведомо имеет место. В случае непрерывности функций ф(х, у) и ty(x, у) вместе с их производными до второго порядка ряд в пра- правой части B7), коэффициенты а„ и Ьп которого определены по формулам B9), будет равномерно сходиться. Для
S 1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 227 обеспечения возможности почленного дифференцирования этого ряда до второго порядка от функций <р (х, у) и •ф (лг, у) дополнительно надо потребовать непрерывность их производных соответственно до четвертого и третьего порядка. В этих предположениях сумма и (х, у, t) ряда B7) будет регулярным решением уравнения A7). Справедливость этого утверждения можно обнаружить применением теории интегральных уравнений Фредгольма, но на этом мы здесь останавливаться не будем. 4°. Случай круговой мембраны. Без ограничения общности мы можем предполагать, что круговая мембрана в положении равновесия занимает круг л:а + г/а^1. Наряду с декартовыми ортогональными координатами х, у мы в этом пункте будем пользоваться и полярными координатами г, 6, определенными из равенств x = rcos О, y=r sin О. Так как при переходе от декартовых ортогональных координат к полярным координатам оператор Лапласа преобразуется по формуле A_-^-j_iL £L _!_ ± A j_ ± iL а~ дх* ~г д? ™ дг* + г дг + то уравнение \2\) в полярных координатах запишется в виде Для того чтобы функция v(r, Ф) вида v{r, d)-/?(/■) в (О) D0) была решением уравнения C9), функции R (г) и 6 (д) должны удовлетворять соответственно уравнениям :0, D1) 0, D2) где се — действительная постоянная, * = const. Из D0) следует, что для однозначности функции v(r, О) однозначной должна быть функция в (д), т. е. в (О) должна быть периодической функцией с периодом 2я. А это в свою
228 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ очередь означает, что в уравнении D2) постоянная ю = и2, где п — произвольное целое число. В соответствии с этим общее решение уравнения D2) примет вид 8 (О) = а„ cos п® -f Рл sin nfl, D3) где а„, р„ — произвольные действительные постоянные. Если R(r) является регулярным при 0^г<1 реше- решением уравнения D1), непрерывным при 0<;г<;1 и удовлетворяющим условию ЯA) = 0, D4) то представленная формулой D0) функция v(r, О) будет решением задачи B1), B3) в рассматриваемом случае. После замены переменных \ir = p, R{r) = R[^) = J(р) уравнение D1) принимает вид |)(р) = 0 D5) В дальнейшем будем считать, что целое число п Рассмотрим степенной ряд 00 k0 D6) Так как (£!)*= fj/(fe —/+1)^А* и, стало быть, при 2***1 (я + *)! ТО lim l/ *-oo V = 0. Отсюда в силу формулы Коши — Адамара заключаем, что радиус сходимости степенного ряда D6) равен беско- бесконечности, т. е. сумма ряда D6) является целой функцией переменного г. На основании этого факта непосредственной проверкой убеждаемся в том, что целые функции
S I. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 229 являются решениями уравнения D5), т. е. функции R(r) = — Jn([ir) являются решениями уравнения D1) при ш = п'. Определенные формулой D7) функции JK (р), п = = О, 1, ..., называются функциями Бесселя, а уравнение D5), которому они удовлетворяют, — уравнением Бесселя. Доказывается, что функции Бесселя с неотрицатель- неотрицательными целочисленными индексами п имеют бесконечное (счетное) множество действительных нулей. Обзначим их через рп.т, т=\, 2, ... Собственные числа ца задачи D1), D4) следует опре- определить из равенства Следовательно, собственными числами задачи D1), D4) являются квадраты нулей бесселевых функций, т. е. В силу D0) и D3) соответствующие им собственные функции имеют вид vn,m(r, d) = /n(pn,mr)(ancosnd + pnsinnd). D8) Подставляя выражение 1>„>(Я(г, *) из D8) в правую часть формулы B5), получаем решения Un,m(X, у, t) = Jn(pn,mr)((XnCOSnf> + finSinnf>)x х (ал, т cos рл> J -f Ьп< т sin р„, J), п = 0, 1, ...; т=\, 2, ..., * * уравнения A7), удовлетворяющие краевому условию A9), т. е. выражающие собственные колебания круговой мем- мембраны, закрепленной по краям. Набор решений D9) уравнения A7) позволяет по указанной в пункте 2° схеме построить решение задачи A7), A8), A9) в рассматриваемом случае. Уравнение B1) называется еще метагармоническим, а его регулярные решения — метагармоническими функ- функциями. Подставляя в правую часть D0) решения Jn№) и cos яд, sinnft, цг = 1, я=*0, 1,..., уравнений D1) и D2), получаем метагармонические функции Jn (fir) cos пб, /„ (jxr) sin пд, первая из которых обращается в нуль на (\! окружностях гш*^~ и на лучах ft=(nk+^\! п, а вто-
230 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ рая —на окружностях r = £b-2L и на лучах ft = 1, 2, ...; k = 0, 1, .... п— 1, носящих название узловых линий. В то время как для уравнения Лапласа задача Дирихле всегда имеет, и притом единственное, решение, для мета- гармонического уравнения B1) аналогичное утверждение может не иметь места, Так, например, как уже было отмечено выше, однородная задача Дирихле B3) для урав- уравнения B1) в круге г<1 при А, = р„, т имеет линейно независимые решения Jn (р„, mr) cos пЬ и /„ (р„, mr) sin nfl, а неоднородная задача Дирихле, оказывается, не всегда имеет решения. 5°. Общие замечания относительно метода разделения переменных. Методом разделения переменных с успехом можно пользоваться при построении решений широкого класса дифференциальных уравнений с частными произ- производными. Пусть задано уравнение Для того чтобы функция и(х, t) вида и(х, Q-»(x)»(Q F1) была решением уравнения E0), функции v{x) и »(*) должны удовлетворять соответственно уравнениям л 2 шк 2&t {x)=° E2) l-\ i-1 а @ w" (t) + р @ w' @ + [Y @ + M »@ - 0, E3) где Я, = const. Когда число пространственных переменных п = 1, т. е. E4)
S 1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 831 уравнение E2) для v(x) запишем в виде A(x)v" + B(x)v' + [C(x) + X\v*=O. E5) Уравнения E3) и E5) оба являются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, решения которых нетрудно построить. Однако построение полного набора решений вида E1) уравнения E4) и доказательство возможности представления решения и(х, t) смешанной задачи A8), A9) для этого уравнения в виде суммы ряда по этим решениям в общем случае без привлечения спектральной теории линейных операторов становятся невозможными. Исследование этой задачи сильно осложняется, когда в отдельных точках интервала изменения независимого переменного х (или t) функция А(х) (или функция <x(t)) обращается в нуль. Именно такие случаи встречаются чаще всего в приложениях. При их исследовании стано- становится необходимым вводить в рассмотрение так называе- называемые специальные функции. Когда А(х) = х2, В(х)=*х, С(х) = х*, Я, = — ц*, урав- уравнение E5) представляет собой уже знакомое нам урав- уравнение Бесселя x2v" + xv' + (*а — Ца) v = 0. Решения этого уравнения называются цилиндрическими или бесселевыми функциями. Бесселевы функции Jn(x) с неотрицательными целочисленными индексами п были введены в предыдущем пункте. При А(х)=\-х\ В(х) = — х, С(х) = 0, Ь=яа из E5) получается уравнение Чебышевй Уравнению Чебышева удовлетворяют функции Чебышева ип (х) - ~ [{х + i VT=x*)a -(x-i УГ^7*У], п = 0, 1, ..., среди которых Тп{х), очевидно, представляют собой полиномы.
232 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Уравнение Лагерра также является частным случаем уравнения E5). 6°. Шаровые и сферические функции. В силу формулы B6) введения однородные полиномы степени т: П>л E6) а = 0, ..., m, v ' у. *) = 2 (-»)" Р = 0 ,71-1, = ^ + ^-з, являются гармоническими функциями, носящими название шаровых функций. Формулы E6) и E7) дают все линейно независимые шаровые функции степени т. Их число равно 2т+1. Из формул E6) и E7) имеем, например, при т=1: а при т = 2: ul = y% — г», и\ = ху, и\ = х* — гг, ul = zy, и\ = гх. В сферических координатах г, ф, О, связанных с декартовыми ортогональными координатами х, у, г соотношениями * = rcos(psind, у = г sin ф sin d, г = г cos О, шаровые функции ы^ (*, у, г) принимают вид К(х, у, г)-г»У»|(ф, О), fe = 0 2m, E8) где Ym (ф, О) носят название сферических функций Лапласа. Как уже было отмечено в пункте 1° § 1 главы I, наряду с функциями E8) гармоническими являются и функции ^^(<P> *). £ = 0 2m. E9) Записывая уравнение Лапласа ихх + uw + игг = 0 в сфе- сферических координатах:
S 1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 233 и требуя, чтобы функция и(х, у, г) вида U(X, У, 2)=К(ф, *)»(/•) была гармонической, в результате разделения перемен- переменных получаем |(£) F0) где % = const. В частности, при A, = m(m+1) уравнения F0) и F1) примут вид i(f) = 0, F2) Множители -р^у и Ykm (ф, *) в выражениях E9) для гармонических функций yUj1 ^, ~, ^Л являются реше- решей F2) F3) ниями уравнений F2) и F3) соответственно. Для того чтобы функция К(ф, Ь) вида была решением уравнения F3), функции Ф и 6 должны быть решениями уравнений ф" ф 0, F4) соответственно, где \i = const. Из условия периодичности с периодом 2я функции К(ф, О) относительно ф следует, что в уравнении F4) постоянная ц — пг, где п — целое число. В соответствии с этим в обозначениях cos О = t, 6 (О) = 6 (arccos t) = v (t) уравнение F5) запишется в виде ^]e0. F6) При л = 0 из уравнения F6) получается уравнение Дежанбра A - *а) v' - W+m (m +1) v - О,
234 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ линейно независимые решения которого называются функ- функциями Лежандра первого и второго рода, и для них приняты обозначения Рт (cos ft) и Qm (cos ft). Линейно независимые же решения Pm(cosft) и Q£,(cosft) уравнения F6) носят название присоединенных функций Лежандра первого и второго рода. 7°. Вынужденные колебания. Уравнением вынужденных колебаний струны называется неоднородное уравнение S-S-/<*.0. F7) где f(x, <) —заданная действительная непрерывная функ- функция. Когда f(x, t) = fn(t)sinnx, решение ип(х, t) уравнения F7) естественно искать в виде ип (х, t) = wn (t) sin nx. Для определения wn (t) из F7) получаем обыкновенное линей- линейное дифференциальное уравнение одним из частных решений которого, очевидно, является функция w\ @ - — 1 J /„ (т) sin n (t - т) Л. о Следовательно, общее решение этого уравнения имеет вид w '„ (i) = с„ cos nt + bn sin nf — - \fn (t) sin n (t — t) dx, где ач и Ья — произвольные действительные постоянные. Набор решений «п (х, 0 = sin яде ся cos nt + Ьл sin nt — л(*-т)<*т , п-1, 2 уравнения F7) позволяет исследовать смешанную задачу (о7), A1), A4). Если функции ф(дс) и ф(х) представляют
i 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 235 оо собой суммы рядов A6), a f(x, 0= .S M0slnn*. то> Д°" пуская возможность почленного дифференцирования и интегрирования этих рядов, решение и(х, t) смешанной задачи F7), A1), A4) можно выписать в виде Г и (х, t) = ^] sin яде а„ cos nf + bn sin nf — «-1 L -i J/n(T)sinn(/-T)dTJ. Заметим, что, когда краевые условия неоднородны, т. е. когда вместо A1) имеем и @, ?) = a(f), и (л, t) = = Р@. гДе а@ и Р @— дважды непрерывно дифферен- дифференцируемые функции, в результате замены и(х, t)=*v(x, t) + + a(O + ^[P @~~a@] искомого решения и{х, t) уравне- уравнения F7), для определения v(x, у) получаем уравнение с однородными краевыми условиями и @, ^)=»и(я, t) = 0 и соответствующим образом измененными начальными условиями. Аналогично исследуются вынужденные колебания мем- мембраны. § 2. Метод интегральных преобразований 1°. Интегральные представления решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго по- порядка. Класс дифференциальных уравнений, решения которых могут быть выписаны в элементарных функциях, весьма узок* В предыдущем параграфе, пользуясь методом разде- разделения переменных, мы старались строить решения диф- дифференциальных уравнений с частными производными в виде суммы бесконечных рядов. Порой удобно иметь решение рассматриваемого диф- дифференциального уравнения в виде интеграла, содержащего
^3б ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ известные функции, а также решения более простых уравнений. Пусть имеется обыкновенное линейное однородное диф- дифференциальное уравнение второго порядка O, F8) коэффициенты которого являются аналитическими функ- функциями комплексного переменного г, заданными на всей комплексной плоскости. Решение у (г) уравнения F8) будем искать в виде интеграла у(г)=\К{г, Е)о(С)«, F9) с где С — кусочно-гладкий контур, v(Z) — пока еще неизвест- неизвестная аналитическая функция, а К (г, £) — аналитическая функция переменных г, £, удовлетворяющая уравнению +чМ + гМкп®+ь®Щ+°т> G0) причем а (С), Ь (£) и с (С) —заданные аналитические функ- функции. Предположим, что все проделанные ниже операции законны. Из F9) имеем с или, приняв во внимание G0), L(y)=\M(K)v^)d^ G1) с где М — дифференциальный оператор, М = а (С) ~* + я £ +с (Q. Интегрируя по частям выражение G1) и допуская, что все проинтегрированные слагаемые равны нулю, будем иметь £@-$*(«, Е)Л!•(»)«, G2) с где
2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 237 — дифференциальный оператор, сопряженный с операто- оператором М по Лагранжу.. Если функция v удовлетворяет уравнению Л1*(о) = 0, G3) то представленная по формуле F9) функция у (г), очевид- очевидно, будет решением дифференциального уравнения F8). В качестве примера рассмотрим уравнение Бесселя D5), записанное в виде n*)y = 0, G4) где число п на этот раз не обязательно целое. Решение у (г) уравнения G4) будем искать по формуле F9), в которой К (г, E)=rpi-<r"slnt. Так как в этом случае L (К) = г*Кгг + гКг + (г* -п')К = - Кк - п*К, то равенства G1) и G2) запишутся в виде L (У) = - г n4()v(Q йХ = ± 1 \ jn Отсюда заключаем, что оператор М* = — -^—п2, т. е. уравнение G3) имеет вид ^ Решениями этого уравнения яв- являются функции e±tnt. Следовательно, функции, опре- определенные по формуле F9), в которой K(z, Q^JLe-'-anl, 0E) = -л 7п$ рис являются решениями уравнения Бесселя G4). Все проделанные выше операции будут оправданы, если предположим, что Rez>0, и в формуле F9) в ка- качестве пути интегрирования С примем, например, ломаные
238 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ (рис. 24) 1 = 0, — oo<T|s£0; ту=°. — «<5<0; £ = —я, 0<т|<оо ( ' или 1 = 0, — оо<т|<:0; ^ = 0, 0<Б<я; Когда путь интегрирования С совпадает с ломаной G5) и К (г, £) = — — Н*51пЕ, для решения уравнения G4), определенного в полуплоскости Rez>0 по формуле F9), примем обозначение о Нгп{г)~-~ J exp(— testa 1ц-пц)с1ц- —оо —я оо — — \ exp (lz sin ii\ — пт] — ят') dt], G7) а когда путь С совпадает с ломаной G6) и К (гк С) я ' о ^ exp(— со + — \ ехр (^г sin ft] — /itj + яп/) dx[. G8) Учитывая то обстоятельство, что , . «-ч—«ч sh n sin it] — —^— — — -j-1,
f 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 239 после простых преобразований формулы G7) и G8) при- примут вид. о Я»(г)=4 S ехр (г sh.ii-*])*,+ —оо 1Г J exp(- — я + ~i \ ехр (— г sh tj — т\ — nni) dr\, G9) о —со л 1 f — ^j \ ехр (— г sh т] — гщ + яш') drj. (80) Определенные по формулам G9) и (80) решения урав- уравнения Бесселя G4) называются функциями Ханкеля, а их комбинации Jn{z)=*\[Wni.z)+Hl(z)l (81) Nn(?) = sWn(*)-m*)\ , (82) — бесселевой функцией и функцией Неймана соответственно. В силу G9), (80) и (81) имеем л Jn{z) =2й ) ехр(—«zsin£+ sinnn \ ехр(— zslnj-nT])dij. (83)
240 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Когда п — целое число, второе слагаемое в правой части (83) отпадает и для Jn(z) получаем выражение л Jniz)^~ J exp(— i (84) Из формулы (84) следует, что Jn(z) tipu целом значе- значении индекса п является целой функцией комплексного переменного z, причем о л — \ cos[zsin(n — t) + n{n — t)]dt = (—О" J \ cos (zsin t - nt) dt = (—1)" Jn (г). Доказывается, что решения G9) и (80) уравнения Бес- Бесселя G4), определенные этими формулами в полуплоскости Rez>0, аналитически продолжаются в полуплоскость Rez<0 при любом индексе п, причем для полученных после аналитического продолжения функций значения z — 0 и г = оо переменного z являются точками ветвления, когда число п — не целое. Кроме того, функции Jn{z) и Nn(z) линейно независимы и их можно представить в виде сумм рядов S *. г(п+*+1)(уГ (85) и Л/ /„л Jn (г) cosnn-J_n(z) соответственно. В том, что представленная по формуле (85) функция Jn (г) является решением уравнения G4), легко убедиться непосредственной проверкой, если учесть известное свой- свойство гамма-функции Эйлера T{f\\) kT^k)
5 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 241 2°. Понятия преобразований Лапласа, Фурье и Мел- лина. Пусть действительная или комплексная функция f(t) действительного переменного t, Q^t<Lco, удовлет- удовлетворяет условиям: 1) f(t) непрерывна всюду, кроме, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, и 2) существуют постоянные М>0 и |о>0 такие, что | / (t) К М&«* для всех t. В этих предположениях интеграл F{t) = \f(t)e-Vdt (86) о существует для всех £ с действительной частью Re£>io и представляет собой аналитическую функцию комплекс- комплексного переменного £ = % + щ в полуплоскости Re £ > до- доопределенная по формуле (86) функция F(£) назы- называется преобразованием, изображением или трансформан- трансформантой Лапласа функции f(t), а сама f (t) — функцией-ориги- функцией-оригиналом. В приложениях часто приходится обращать равенство (86), т. е. выражать функцию-оригинал f(t) через ее лапласово изображение F(£,). Доказывается, что если: 1) F(t,) аполитична в полупло- полуплоскости Re£>£0, 2) при Re £ 2s а для любого а>1о рав- равномерно относительно arg£ и 3) интеграл абсолютно сходится, то преобразование, обратное (86), существует и оно имеет вид со где интеграл понимается в смысле главного значения. В обозначениях
242 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ формулы (86) и (87) записываются следующим образом: (88) (89) Определенная по формуле (88) функция G(r\) носит название преобразования или трансформанты Фурье функции g(t). Если g(t) = O при — оо< <■<(), то в ка- качестве нижнего предела интегрирования в правой части (88), очевидно, можно брать — оо. Когда функция g(t) определена всюду при — со< <<<оо, но она не обязательно равна нулю при — оо < <<<0, преобразование Фурье этой функции называется интеграл оо fe ] (90) Для существования преобразования Фурье (90) дос- достаточно чтобы: а) функция g(t) имела конечное число экстремумов, б) она была непрерывна всюду, кроме, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, и в) интеграл I g(t)dt —оо сходился абсолютно, причем обращение (90) дается формулой (89). Доказательство этого факта хотя и не требует при- привлечения сложного аппарата, но на нем мы здесь оста- останавливаться не будем. Заменой переменного интегрирования и\ на — tj убеж- убеждаемся в том, что формулу (89) можно принять за исход- исходное определение преобразования Фурье, для которого пре- преобразование (90) будет обратным. Преобразованием Меллина функции /(£), заданной при t называется интеграл
i 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 243 где С — комплексное переменное, под fi-1 понимается од- однозначная функция fir-i ж e(Z-i) log t а под log t — главная ветвь этой функции. При £ = а — ix в результате замены переменного инте- интегрирования t=£ формула (91) принимает вид F(a- ix) - J e-V^/ (*) t& (92) В предположении, что функция e?*f(tft) удовлетворяет условиям, достаточным для существования преобразова- преобразования Фурье, из- (92) в силу (89) получаем 00 в/ И = 2S J F (a - ft) «***dT —00 или, возвращаясь снова к переменному f = e*, 00 (93) Следовательно, преобразование, обратное (91), дается формулой (93). Эту формулу иногда записывают в виде т J t (94) Систематическая теория интегральных преобразований Лапласа, Фурье, Меллина и др. составляет содержание одного из разделов прикладной математики, носящего название операционного исчисления. 3°. Применение интегральных преобразований к зада- задачам для дифференциальных уравнений с частными про- производными. Ядро К (г, С) интегрального представления F9) решения у (г) обыкновенного дифференциального уравнения F8) удовлетворяет линейному дифференциаль- дифференциальному уравнению с частными производными G0).
244 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В пункте 1° мы брали вполне определенное решение К (г, £) уравнения G0) и с его помощью строили реше- решения уравнения F8). Попытаемся теперь поступить в не- некотором смысле обратно. Пусть требуется определить регулярное в полуполосе 0 <;*<;/> />0 решение u(x, t) линейного уравнения с частными производными второго порядка, с коэффици- коэффициентами, зависящими только от пространственного пере- переменного х: ^^p % + e{x)u=Q, (95) и удовлетворяющее тЧ=о = ^(*) (96) и краевым "@, 0 = Ы0. "С 0 = М0 (97) условиям. Предположим, что класс решений уравнения (95) и комплексный параметр £ подобраны так, что существуют интегралы непрерывное при 0==^*==^/, начальным и{х, 0) = <р(х), v{x, С) = ?«(*, t)e#dt, о о о и оправданы все проделанные ниже операции: (98) (99) A00) A01) , l)-u{x, 0), A02) . A03)
» 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 245 Умножая обе части уравнения (95) на е~^ и интегри- интегрируя по t от * = 0 до t = oo, в силу (96), (97), (98), (99), A00), A01), A02) и A03) получаем av" + cv' + (e + dt + bt?)v = b4>(x)t + by(x) + dq>(x), A04) о@, С)-МО. v(l, CHF,(C). A05) Таким образом, решение смешанной задачи (95), (96), (97) редуцировано к отысканию решения v(x, £) краевой задачи A05) для обыкновенного дифференциального урав- уравнения A04). Наличие решения задачи A04), A05) не всегда может гарантировать даже возможность обращения преобразо- преобразования Лапласа (98). Когда задача A04), A05) имеет, и притом единствен- единственное, решение v(x, £), допускающее обращение преобра- преобразования Лапласа (98): оо и(х, t) = ~ j v(x, —oo задача (95), (96), (97), очевидно, не может иметь более одного решения. Если представленная по формуле A06) функция и(х, t) непрерывна вместе со своими частными производными до второго порядка, то она будет искомым решением задачи (95), (96), (97). Так как нахождение функции и (х, t) по формуле A06) требует довольно громоздких вычислений, в физике при решении конкретных задач для уравнений с частны- частными производными предпочитают пользоваться преобра- преобразованием Фурье, тем более что выполнение условий, до- достаточных для существования обратного преобразования Фурье, считается вполне естественным. 4°. Применение преобразования Фурье при постро- построении глобального решения задачи Кош и для уравнения колебаний струны. Пусть требуется определить регуляр- регулярное в полуплоскости />0 решение и(х, t) уравнения колебаний струны *и д>и по условиям в (ж, 0)-Ф(х), дЛ&Л[_0 = Ых), A08)
246 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ где ф (х) и if (х) — заданные достаточно гладкие функ- функции. Предположим, что функция и{х, t) и ее частные про- производные до второго порядка непрерывны и стремятся к нулю при х2 +12 -*■ оо, так что имеет смысл преобра- преобразование Фурье 00 v(t, 1) = y~ J и{х, 0 «-"*<!* A09) —оо и законны все нижеследующие операции: l°v{t, i), (ПО) u. (Ill, —Ов 00 v{0, l)-y&l u{x,O)<r**dx CO t—0 OS L J ч (ИЗ) где Ф(£) и Y (£) — преобразования Фурье функций у(х) и -ф (лс) соответственно. Умножая обе части уравнения A07) на е~**Ь и инте- интегрируя по х от — оо до оо, в силу (ПО), A11), A12) и A13) получаем - =0, A14) = T(g). (П5) Общее решение и(<, |) обыкновенного дифференциаль- дифференциального уравнения A14) возьмем в виде
{ 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 247 где сх и с2 — произвольные постоянные (относительно /), зависящие от параметра £. В силу A15) и A16) имеем откуда находим, что Подставляя найденные значения сх и с2 в правую часть A16), получаем решение v(t, l) = l<t>{l)(e*< + ^)+ ^WiD&V-trb) A17) уравнения A14), удовлетворяющее начальным условиям A15). Пользуясь формулой обращения (89), в случае пре- преобразования Фурье A09) получаем 00 —00 или, учитывая A17), 00 и(х, 0 = -у= f —оо 00 + В силу формулы обращения (89) последние из. равенств A12) и A13) принимают вид со
246 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ где ф (х) и if (х) — заданные достаточно гладкие функ- функции. Предположим, что функция и {х, t) и ее частные про- производные до второго порядка непрерывны и стремятся к нулю при х2 +12 -*■ оо, так что имеет смысл преобра- преобразование Фурье со v{t, l) = y= J и(х, t)erf*dx A09) —СО и законны все нижеследующие операции: —Р»С. Е), (НО) . о») —оо оо 00 J A12) 00 A13) где Ф(£) и Y (£) — преобразования Фурье функций <р(х) 4 и -ф (дс) соответственно. Умножая обе части уравнения A07) на е-*** и инте- интегрируя по х от — оо до оо, в силу (ПО), A11), A12) и A13) получаем = 0, A14) «,@, E) = T(g). A15) Общее решение v(t, I) обыкновенного дифференциаль- дифференциального уравнения A14) возьмем в виде (П6)
{ 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 247 где сх и с2 — произвольные постоянные (относительно /), зависящие от параметра £. В силу A15) и A16) имеем откуда находим, что Подставляя найденные значения сх и с, в правую часть A16), получаем решение v(t, 6)-|o(g)(«*+^0+^|YF)(e«-H«0 A17) уравнения A14), удовлетворяющее начальным условиям A15). Пользуясь формулой обращения (89), в случае пре- преобразования Фурье A09) получаем 00 или, учитывая A17), и(х, 0 В силу формулы обращения (89) последние из. равенств A12) и A13) принимают вид
250 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ и законны операции V2n J^ дх* ^2lt_1L 00 |Ч, (f, 1). A32) Умножая уравнение A28) на -pf* и интегрируя по х от -оо до оо, в силу A27), A29), A30), A31) и A32) будем иметь J+Po-O, A33) »'@. Б) = ФF). A34) Записывая уравнение A33) в виде и интегрируя, сразу получаем его общее решение v(t, $ = се-*, A35) где с — произвольная функция от \. Подставляя выражение A35) для v(t, £) в A34), нахо- находим с = Ф(£). Следовательно, решением обыкновенного диф- дифференциального уравнения A33), удовлетворяющим усло- условию A34), является функция v(t, £)-Ф(£)е-«\ После того, как функция v(t, l) найдена, формулу A29) можно записать в виде и J u(x, t)e-**dx. A36) —OS Обращая A36) по формуле (89), будем иметь u{Xt 0
$ 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 251 Из таблиц интегральных преобразований находим, что при О 0 преобразованием Фурье функции е~^н относи- относительно переменного \ является функция Применяя формулы A22) и A25) для свертки /*q>, из A37) получаем что и требовалось доказать. 6°. Понятие 8-функции Дирака. В пункте 2° настоя- настоящего параграфа на функцию g(x) были наложеиы условия, гарантирующие существование преобразования Фурье (90). К сожалению, преобразование Фурье теряет смысл для достаточно обширного класса функций. Так, например, даже когда G (х) = const Ф 0, интеграл в правой части (89) ие сходится. Тем не менее постулируется существование преобразования Фурье от постоянной G==-^=, и оно, по определению, дает так называемую Ь-функцию Дирака со «W-5S- \ **<*• A38) —00 Постулируется также существование преобразования, обратного A38): или, что то же самое, 00 $ —оо Предположим, что функция f(x), — oo«0<oo, удов- удовлетворяет условиям, достаточным для существования
252 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ взаимно обратных преобразований со \ f®<r"i(& {140) — со со ^^dt A41) В силу A22), A25), A39), A40) и A41) для свертки * б будем иметь Таким образом, мы пришли к очень важному выводу о том, что свертка f*8 яает значение функции f в точке х: f*6 = f(x). A42) Формула A42) сильно упрощает громоздкие вычисле- вычисления, встречающиеся особенно в квантовой механике. В частности, когда f(x)=l, — oo<x<oo, из A42) и A22) в результате простой замены переменного интегри- интегрирования получаем со $ 8(t)dt=l. A43) — со Иногда б-функцию Дирака б(/) определяют как функ- функцию, равную нулю для всех отличных от нуля / и рав- равную оо при / = 0, с требованием, чтобы имело место равенство A43). Такое определение б-функции не укладывается в рамки обычных классических понятий математического анализа. Строгое математическое обоснование совершенных выше операций с участием б-функции Дирака дается в совре- современной теории обобщенных функций. | 8. Метод конечных разностей 1*. Конечно-разностная замена уравнений е частными производными. В приложениях часто требуется найти приближенное (в определенном смысле) решение конкрет- конкретных задач математической физики. Ниже дается краткое
§ 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 253 описание одного из методов построения приближенных решений дифференциальных уравнений с частными произ- производными, носящего название метода конечных разностей или сеточного метода. Пусть задано линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с двумя неза- независимыми переменными а(х, у)% ^ £ g + е(х, y)u = f(x. У)- (Н4) Считая х, у декартовыми ортогональными координа- координатами, покроем плоскость переменных х, у квадратной сетью x = m-h, y — n-h, т, п = 0, ±1, .... где Л —заданное положительное число. Вершины каждого квадрата этой сети называются узлами, а число h — шагом. Исходя из определения частных производных, в каж- каждом узле (х, у) при условии, что все пять точек (х, у), (x — h, у), (x + h, у), (х, у —К), (х, y + h) принадлежат области D задания уравнения A44), можно считать, что ди (х, у) _ и (х, у) —и (x—h, у) дх ~ h • ди (х, у) _ и(х, у) —и (х, y—h) ду ~ Л ' u(x-h, у)-2и(х, у) Следовательно, мы вправе в каждом указанном выше узле уравнение с частными производными A44) прибли- приближенно заменить линейным алгебраическим уравнением а(х, y)[u(x + h, y) + u(x-h, y)-2u(x, y)] + + Ь(х, у)[и(х, y + h) + u{x, y-h)-2u(x, y)] + + ch[u(x, y)-u(x-h, y)] + dh[u{x, y)-u{x, y-h)] + + h*e(x, y)u(x, y) = h*f(x, y) A46) относительно и(х, у), и (x — h, у), и (x + h, y), u(x, y — h), u(x, y+h).
254 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Когда точка (х, у) пробегает узлы, принадлежащие области D, в качестве A46) мы будем иметь систему линейных алгебраических уравнений относительно значе- значений и(х, у) в указанных узлах. Некоторые из этих величин либо прямо определяются независимо от системы A46), исходя из начальных и краевых условий, либо эти последние порождают дополнительные к A46) линейные алгебраические уравнения, составляющие вместе с систе- системой A46) приближенную сеточную замену всей исходной Рис. 25. задачи. Решение таким образом полученной системы линей- линейных алгебраических уравнений принимается за прибли- приближенное решение рассматриваемой задачи. 2°. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Пусть требуется построить сеточным методом приближенное реше- решение задачи Дирихле и(х, у) = у(х, у), (х, y)&S, A47) в области D с границей S для уравнения Лапласа ffatl (fill = 0. A48) A49) В этом случае система A46) принимает вид y) + u(x-h, y) + + и(х, y + h) + u(x, y-h)-4u{x, y
§ 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 255 Обозначим через Qe совокупность лежащих в области D квадратов сети, по крайней мере одна вершина которых удалена от S на расстояние не больше, чем наперед заданное число 6>/г (рис. 25). В каждом узле, являющемся вершиной квадрата из Q&, за и(х, у) примем заданное значение A47) искомой гар- гармонической функции в ближайшей от (х, у) точке на S (когда таких точек на S несколько, то произвольно выбирается одно какое-либо из заданных значений q> в этих точках и к нему приравнивается и(х, у)). Доказывается, что система A49) относительно значе- значений и(х, у) в остальных узлах, принадлежащих D, всегда имеет, и притом единственное решение, которое в пре- пределе при 8->-0 совпадает с искомым решением задачи A47), A48). 3°. Первая краевая задача для уравнения теплопро- теплопроводности. Сеточная замена уравнения теплопроводности а-щ-о <160> в силу A46) имеет вид u(x+h, y) + u(x-h, у) — -2и(х, y)-hu(x, y) + hu(x, y-h)=*O. A51) Пусть D — область плоскости переменных х, у, ограни- ограниченная отрезками О А и BN прямых у = 0, у = Н, #>0, и гладкими кривыми ОВ и AN, каждая из которых пере- пересекается с прямыми у = const не более чем в одной точке. Обозначим через S часть границы области D, состоящую из OB, 0A и AN. Для того чтобы учесть краевое условие и(х, y) = f(x, у), (х, y)<=S, при отыскании приближенного решения уравнения A50) в области D, обозначим через Q/, совокупность квадратов сети, не выходящих из замкнутой области В, а через dQh — границу Qh. Пусть ^ — совокупность квадратов из QA, по крайней мере одна вершина которых лежит на dQh, кроме вну-
256 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 9 В тренних квадратов самого верхнего ряда, примыкающего к отрезку BN (рис. 26). В узлах (х, у), являющихся вершинами квадратов из <7д, за и (х, у) примем значение / в ближайшей к этому узлу точке на S. Неизвест- ные значения и (х, у) в осталь- ных узлах, лежащих в D, на- ходим решением линейной ал- гебраической системы A51). 4°. Общие замечания отно- сительно метода конечных раз- ностей. Заменяя частные произ- водные их приближенными зна- чениями A45), любое нелиней- ное ДиФФеРенииальное уравне- j: ние с частными производными 22 л Рис. 26. F(x, у, и, их, ...) = можно заменить нелинейной конечной системой »(*, y)—u(x—h, у) ^ ,...j — и. Однако при сеточной замене краевых и начальных условий, особенно когда в них участвуют частные произ- производные от искомого решения, возникают некоторые слож- сложности, которые далеко не всегда легко преодолимы. Построение решений полученной конечно-разностной системы требует привлечения современной вычислитель- вычислительной техники. Ввиду того, что даже в линейном случае при достаточно малом h число уравнений системы велико, а возможности вычислительных машин ограничены, важ- важное значение приобретает удачная сеточная замена крае- краевых и начальных условий. § 4. Асимптотическое разложение 1°. Асимптотическое разложение функции одного пере- переменного. Пусть в некоторой окрестности точки г0 плоско- плоскости комплексного переменного г заданы функции /(г), 5„(г), п = 0, 1, ..., и множество Е точек этой окрестно- окрестности, для которого г0 является предельной точкой.
$ 4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 257 Если известно поведение функций Sn(z), л = 0, 1, ..., в окрестности точки г0, то наличие равенств 1 im [Sn (г) - SB-! (г)] = 0, Sn Ф Sn-U для каждого фиксированного п позволяет получить опре- определенное представление о поведении функции f(z) вблизи точки г0. В качестве г0 часто берут бесконечно удаленную точку плоскости г, а в качестве Sn (г) — сумму где а* — заданные числа. Если для любого фиксированного п limz"[/(z)-SB'(z)] = 0, ге Е, A52) г-» со говорят, что ряд • ао + ^- + ...+^ + ... A53) независимо от того, сходится он или нет, является асимп- асимптотическим разложением функции f(z) на Е, и пишут * = 0 Когда имеет место соотношение A52), для коэффи- коэффициентов ak ряда A53) из A52) получаем ао= lim f{z), г-» со -S«-i(z)], я=1, 2, ... A54) Отсюда заключаем, что если функция f{z) имеет асимп- асимптотическое разложение, то оно единственно. Это утверждение вовсе не означает, что-один- и тот же ряд вида A53) на одном и том же множестве Е не может служить асимптотическим разложением для раз- разных функций. Так, например, для функции f{z) = e~z на множестве Е: {0</г<оо}, в силу A54), асимптотическим 8 А, В. Бипадзе
258 ГЛ. V!. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ разложением является ряд A53), все коэффициенты кото- которого ak = 0, & — 0, 1, ... Очевидно, что этот же ряд является асимптотическим разложением и для функции Только что рассмотренный пример показывает, что при сходимости асимптотического ряда функции f(z) сумма этого ряда может не совпадать с f(z). Рассмотрим функцию 0<г<оо, A55) где интегрирование происходит вдоль участка г < / < оо действительной оси. После интегрирования по частям из A55) имеем /и-1- - г Повторяя этот процесс, получаем л — 1 оо Ы с м 7Z7- A56) Легко видеть, что асимптотическим разложением заданной по формуле A55) функции /(г), когда множе- множество Е совпадает с положительной действительной осью, является ряд I i^i>L + ... A57) В самом деле, обозначая через Sa (г) сумму первых п членов ряда A57), в силу A56) будем иметь A58)
S 4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 259 Отсюда, учитывая то обстоятельство, что 2+2 ^- П+\ Z«+l' г заключаем, что lim z" [/(z)-Sn (г)] = О г-юо для любого л^1 на множестве Е. Для каждого г, 0<z<co, ряд A57) хотя и расхо- расходится, но в силу A58) при достаточно больших z значе- значения f (z) очень мало отличаются от значений Sn (z) для любого фиксированного п^\. Если бесконечно удаленная точка плоскости z является устранимой особой точкой для-аналитической функции f(z), то, как известно, в окрестности этой точки имеет место разложение Правая часть равенства A59), очевидно, является асимптотическим разложением f{z) на любом множестве Е точек из окрестности точки г — со, для которого эта точка является предельной. Вводя обозначение ф(г) = о(г-") для равенства lim г"ф(г) = 0, легко показать, что если на одном и том г-+ оо же множестве Е f <*>-!?• «<*>~2£- A60) то на этом же множестве оо Пг)±в{г)~2*±Ь-. A61) ОО 4—0 где ck = aol 9«
260 ГЛ. Vt. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Действительно, пусть Очевидно, что S'n(z В силу A60) имеем A63) o(z-n). A64) На основании A63) и A64) заключаем, что и тем самым справедливость асимптотических разложений A61) и A62) доказана. Покажем, что если функция f(z) интегрируема при 0 < г < оо и на множестве Е. {0 <; г < оо}: то на этом множестве гЗе «^ть интегрирования совпадает с участком z^t<Гоо действительной' оси. В силу A65) заключаем, что для любого наперед задан- заданного е>0 существует число го>0 такое, что A66) для всех / > г0.
§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 261 Пользуясь оценкой A6G), при предположении z>z0 получаем т. е. что и требовалось доказать. Наличие асимптотического разложения вообще говоря, не гарантирует существования асимптоти- асимптотического разложения для производной /' (г). В этом сразу убеждаемся на примере функции / (г) = е~г sin ег, асимпто- асимптотическим разложением которой при 0<2-<оо является ряд A53) с коэффициентами aft = 0, & = 0, I в то время как ее производная /'(г) = —e-*sine* + cose*, 0<z<oo, не имеет асимптотического разложения, ибо при,г-»-со она даже не имеет предела. Заметим, что все сказанное выше остается в силе, когда в определении асимптотического разложения вместо ряда A53) берется ряд £ akz~ai>, где ja*} — возрастаю- щая последовательность неотрицательных действительных (не обязательно целых) чисел. Приведенные ниже методы с успехом применяются при построении асимптотических разложений для некоторых классов функций. 2е. Метод Ватсона построения асимптотических разло- разложений. Рассмотрим функцию N F{z) = \tm^{t)e-^dt, A67) о где 0<yVsSoo, a>0, m>—1, г>0, а путь интегри- интегрирования совпадает с отрезком О =S t ^ N.
262 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Имеет место принадлежащее Ватсону утверждение: если в некотором промежутке O^t^hi^N функция q>(t) представляется в виде суммы степенного ряда A68) и для фиксированного значения г~го>О N $ ?»\чЦ)\е-г^аЧ<М, A69) о то при г-»-оо, 0-<г<Соо, " *=0 Действительно, представим функцию F (г), определен- определенную по формуле A67), в виде 0</K/ii. 'Oh/ Так как при 2>г0 и t>h g- (г -г.) ta <- g- (z - г.) haf то в силу A69) будем иметь fa 0 На основании A68) h n Um<p{t)e-*adt='£l ck б fc=0 ( со где фа @ = У, cn+k+1t", N \ I" h i \ tm^e- причем <р(9*- max «adt < a 0 1Ф1 @ f h(f)er« конечен -г1>а. A71) adt, Вводя новое переменное интегрирование x = zta, полу- получаем А 1 "»+»+' С Т о" 1 r~«~\r(-ZL±>LtL\ f а2 а Г( S—)- ) ) • е-Мт • A72)
4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 283 Учитывая то обстоятельство, что со оо \ xP-le-x di = $ (I + zh*)p-l<r*er- **a d\ < гНа ° ha оо гН <х о о <2'<г-*"а при г-»-со стремится к нулю быстрее любой степеии гг", на основании A71) и A72) заключаем, что f J, , ,i.,i, m + k+ll FW- У *-r .«±*±1Л 5—Lo для любого п, откуда следует справедливость асимптоти- асимптотического разложения A70). Рассмотрим теперь функцию F(z)= \ q>(t)e~lZPdt, A>0, N>0, z>0, A73) при предположениях, что в некоторой окрестности —/*i<C <.t<.hlt hi<.N, точки t = 0 имеет место представление A68) и интеграл в правой части A73) абсолютно схо- сходится, когда г = z0 > 0. Представляя функцию Ф(г) = FBz) в виде IN —A\ N А \ 0 0 / 0 0 и учитывяя то обстоятельство, что при O^t^h, Л<сЛ1( h<A ft=0 \ 2 У 2*
264 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ на основании A70) будем иметь 2ft + l 2 _ *=0 откуда находим, что 2ft+ 1 2 1-3... Bй-1)с,*г 2 . A74) ft=i 3°. Метод перевала. Пусть требуется найти асимпто- асимптотическое разложение при г-vco, г>0, для функции /, A75) где ф@ и /(^ — аналитические функции комплексного переменного t = x-\-iy, а путь интегрирования С в обе стороны уходит в бесконечность. Если функция и (t) = Re / (f) свое максимальное значе- значение на С принимает в некоторой точке 10еСи в обе стороны от t0 при t-*-oo она стремится к отрицательной бесконечности, то из-за ограниченности g-zv^t), где v(t) = = Im/(rf), при оценке F (г) для больших значений z глав- главная доля, очевидно, приходится на часть интеграла A75) по небольшому участку С\ пути С, содержащему внутри себя точку t0. Так как функция и (t) не может иметь локального максимума ни в одной точке области ее гармоничности, то путь интегрирования в выражении A75) указанным свой- свойством может и не обладать. Однако в силу теоремы Коши, не изменяя значения F (г), мы вправе деформировать путь С, не выходя из области D аналитичности функций /@ И Ф@. Чтобы отыскать в области D кривую С и точку /0 с этими свойствами, поступим следующим образом. Рас- Рассмотрим проходящую через точку t0 линию уровня и @= =u(t0) гармонической функции u(t). Проходящая через
§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 265 точку U кривая С в точке t0 должна иметь направление 4u = (-J^, -а^-1, ибо именно этот вектор определяет направ- направление наибыстрейшего изменения функции и (t), максимум которой вдоль С достигается в точке t0. о „ т, ,-, ди ди ди ди В силу условии Коши — Римана -з- = -з-, -з- = — -з- скалярное произведение _ _ ди dv . ди ди _ Vu Vu = ■—- -з- + -з- -5- = 0. 5дс дх ' йу 5г/ Но вектор Vv совпадает с нормалью линии уровня v(t)= =v(t0). Отсюда заключаем, что кривая С в точке to должна иметь направление касательной к кривой v (t) = = v (t0). Так как вдоль кривой v (t) = v (t0) всюду dv dv Aк , dv dy n , , ~ds~~dx~ds"^~ir~ds=' ав точке ^° максимума функции ... _ , du ди dx , u(t) на С должно быть выполнено равенство -jr = g- у: + Таким образом, точку t0 и кривую С с нужными нам свойствами следует искать там, где f (t0) = 0 среди кри вых v(t) = v (t0). Предположим, что t0 и С с этими свойствами найдены. Так как в окрестности \t — to\<hi точки t0 на С имеет место неравенство !^ л=г2, A76) то в результате замены переменного интегрирования t = ((%), определенного из равенства f(t)-f(tO) = -jt\ A77) выражение A75) примет вид -"^'|d£. A78) Разлагая аналитические функции ф [t(Q] и щ- = в окрестности точки | = 0 в степенные ряды, искомое асимптотическое разложение функции F (г) получаем непо- непосредственно, используя формулу A74).
266 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Поскольку точка t0, в которой /' (t0) = 0 для поверх- поверхности и = и (х, у), называется точкой перевала, изложенный выше метод получения асимптотической оценки носит название метода перевала. Так как в методе перевала требуется из уравнения A77) определить t как'функцию £, то фактическое использование этого метода сталкивается с большим затруднением, даже после того как уже найдены подходящие точка t0 и путь интегрирования С. Однако в приложениях порой достаточно ограничиться первым членом асимптотического разложения, а его найти легко. Действительно, положим, что ГAо)Ф®- Ограничимся рассмотрением первого члена в разложении A76) и вме-' сто A77) введем переменное &' = -(*-*о)'П'в). A79) Вблизи точки t0 участок пути интегрирования С заме- заменим прямолинейным отрезком t — t(l=se'^, где 2Ф = = n — argf"(t0), с таким расчетом, чтобы вдоль него имело место неравенство Тогда из A79) получаем A80) т. е. Из двух значений д, отличных друг от друга на л, выберем то, для которого при прохождении точки t через fo в процессе интегрирования вдоль С переменное | в A80) становится положительным, т. е. ~ = e~ifs У\ f (f0) i • Следовательно, для первого члена искомого асимптоти- асимптотического разложения в силу A78) и A74) будем иметь выражение Ь^^ ^ A81) УТгЬ ^ В качестве примера рассмотрим ханкелеву функцию ЯА (г) = — М eru s'n {еЫ1 dt, A82) с
$ 5. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДАХ 267 где интеграл берется вдоль рассмотренной в пункте 1 ° § 2 ломаной G5). На этой ломаной лежит единственная точка t0 = — -^, в которой f (to) = — icost0 = 0, причем через эту точку проходят две линии уровня lm f(t) = — sin*chj/=l. Среди них в качестве нового пути С интегрирования в A82) возьмем ту, для которой Ф = ^-л, argf ( — тН = = arg(—i) =—j-, ибо при удалении точки t в бесконеч- бесконечность именно вдоль нее функция u(/) = Re(—isinf) = = cos x sh у стремится к отрицательной бесконечности. е ^ ?' ёг <р( )е Так как е ^ ?' = ёг, <р( — -«-)*= е 2, то из A81) для первого члена асимптотического разложения функции Hn(z) при z-vco, 0<2<оо, получаем выра- выражение Yl § 5. Понятие о вариационных методах 1°. Принцип Дирихле. В целом ряде случаев, встречаю- встречающихся в приложениях, уравнения с частными производ- производными представляют собой уравнение Эйлера для вариа- вариационных задач. Так, например, как уже было отмечено в пункте 2° § 5 введения, уравнение Лапласа Аи(х, у)—О может служить уравнением Эйлера задачи на минимум интеграла Дирихле \ A83) распространенного по области D с границей S. Непрерывные в D \j S функции с кусочно-непрерывными в D первыми производными и конечным интегралом Дирихле, принимающие на S наперед заданные значения Ф (*> У), будем называть допустимыми функциями. Существует тесная связь между задачей Дирихле об определении гармонической в области D функции и (х, у), непрерывной в D \j S и удовлетворяющей краевому условию и{х, у) = <р(х, у), (xty)eS, A84)
268 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ и так называемой первой вариационной задачей об отыска- отыскании среди допустимых функций той функции, для которой интеграл Дирихле A83) минимален. Если заданная на S функция ф (х, у) такова, что класс допустимых функций не является пустым, то задача Дирихле и первая вариационная задача эквивалентны. Справедливость этого утверждения мы покажем при некоторых дополнительных предположениях. Пусть и (х, у) — решение первой вариационной задачи. Класс допустимых функций представим в виде и (х, у) -f -\-&h(x, у), где е — произвольная постоянная, ah(x, у) — произвольная функция из класса допустимых функций, удовлетворяющая условию h(x, */) = 0, (х, y)t=S. A85) Очевидно, что D(u + eh) = D{u) + 2eD(u, Л) + e2D (Л) Ss 0, A86) где D(и, Л) = $ (ujix + uyhy)dxdy. D Так как и(х, #) —минимизирующая функция и е — произвольная постоянная, то из A86) заключаем, что D(u, Л) = 0. A87) Функции и (х, у), h (x, у) и контур S будем "считать настолько гладкими, что для них справедливы тождества uxhx + uyhy = (uji)x + (uyh)u - h Аи, A88) D(u, h)= \ h~ds- [hAudxdy, где v —внешняя к S нормаль. В силу A85) и A87) из A88) имеем hAudxdy = 0, откуда при предположении, что Аи является непрерывной функцией в D, в силу произвольности h(x, у) заключаем, что Аи(х, у) = 0. Следовательно, при принятых допущениях решение первой вариационной задачи является решением задачи Дирихле.
§ 5. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДАХ 26. Пусть теперь и (х, у) — решение задачи Дирихле с гра- граничным условием A84) для уравнения Лапласа, а и(х, y) + H,h(x, у), как и выше, — класс допустимых функ- функций, причем для и (х, у) и h (x, у) имеет место формула A88). Из этой формулы в силу A85) и гармоничности и(х, у) следует равенство A87). Поэтому из A86) имеем а это означает, что функция и (х, у) минимизирует интег- интеграл Дирихле и, стало быть, она является решением первой вариационной задачи. Существуют и другие краевые задачи для уравнения Лапласа, которые имеют эквивалентные им вариационные задачи для интеграла Дирихле. Среди них можно назвать, например, задачу Неймана. Идея сведения краевых задач для уравнения Лапласа к эквивалентным им вариационным задачам для интеграла Дирихле принадлежит Риману. Эту идею принято называть принципом Дирихле. 2°. Задача о собственных значениях. В пункте 2° § 1 настоящей главы была рассмотрена задача о собственных значениях: в ограниченной области D с кусочно-гладкой границей S требуется определить собственные числа и собственные функции уравнения Аи + Хи = 0, (х, y)<=D, A, = const, A89) т. е. найти значения К, при которых это уравнение в области D имеет нетривиальные решения, удовлетворяю- удовлетворяющие однородному краевому условию и(х, у) = 0, (х, y)<=S; A90) и построить их. Наименьшее собственное число задачи A89), A90) полу- получается решением следующей второй вариационной задачи: среди допустимых функций, удовлетворяющих условию A90), найти ту, для которой функционал Н () где Я (и) = $ и2 dx dy D принимает наименьшее значение.
270 ГЛ VI МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Действительно, пусть и (х, у) — решение второй вариа- вариационной задачи, причем наименьшее значение J (и): Для класса допустимых функций и(х, y)-{-eh(x, у), где е — произвольная постоянная, ah(x, ^ — произвольная допустимая функция, удовлетворяющая условию A85), имеем F <Р\ - p(" + e/t) _ Р(Ц) + 2вР(ц, h) + e*D(h) . к ' ~ Н (u + th) ~ Н (и) + 2еЯ (и, А) + е*Я (Л) ^ Л> где Н(и, Л) = 5 uhdxdy. D Так как функция F (&) при в = 0 имеет минимум, то р, т _ „ H(u)D(u, h)-D(u)H(u, h) _ 0 Г (U)-Z щ^ -U откуда в силу A91) получаем H{u)[D(u, h)-W(u, h)] = 0 или, ввиду того, что Н(и)фО, D(u, h)-XH{u, Л) = 0. A92) Допуская, что условия гладкости функций и (х, у), h(x, у) и контура S области D позволяют пользоваться формулой A88), перепишем равенство A92) в виде откуда, как и в предыдущем пункте, заключаем, что U(x, у) удовлетворяет уравнению A89). Если X* — отличное от X собственное число, а и* (х, у) — соответствующая ему собственная функция задачи A89), A90), то в силу A88) будем иметь Из этого равенства следует, что среди собственных чисел задачи A89), A90) число X является минимальным. Все сказанное выше остается в силе, если вместо интеграла Дирихле ввести в рассмотрение квадратичный
§ 5. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДАХ 271 функционал £ («) = S [р («* + ul) + 2аиих + 2Ьииу + си2] dx dy, D р>0, подынтегральное выражение которого щредставляет собой квадратичную форму с достаточно гладкими коэффициен- коэффициентами, удовлетворяющую условию Р Aг + П2) + <& + Ш + 2*>Л? ^ Ц2 & + Л2), где |л. — действительная постоянная. Для функционала Е(и) уравнение Эйлера 2 (рих)х + 2 (рщ)у + 2(аи)х + 2 (Ьи)у - 2аих -2Ьиу- 2си = О можно записать в виде' {рих)х + (риу)у - с* и = О, где с* = с — ах — 3°. Минимизирующие последовательности. Когда класс допустимых функций {и} не является пустым, множество ■значений интеграла Дирихле D (и) имеет нижнюю грань d. Хотя мы и не знаем, достигается ли эта грань допустимой функцией, но очевидно одно: существует последователь- последовательность ип, /1=1, 2, .... допустимых функций такая, что limD(un) = d. A93) Последовательность и„, «=1,2,..., для которой имеет место равенство A93), называется минимизирующей. То же самое можно сказать и о функционале J (и). Существование минимизирующей последовательности еще не означает, что существует решение рассматриваемой вариационной задачи. Объектами дальнейших исследований должны быть следующие вопросы: 1) как строить мини- минимизирующую последовательность, 2) сходится ли она и 3) является ли ее предел и = lim и„ допустимой функцией? Детальное исследование этих вопросов требует введения в рассмотрение определенных функциональных прост- пространств, элементами которых, в частности, являются члены минимизирующей последовательности. Установив сходи- сходимость минимизирующей последовательности в метрике этих
272 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ пространств, желательно либо показать, что полученный предел является решением вариационной задачи в приве- приведенной выше постановке, либо разумно обобщить понятие самого решения. При этом каждый раз следует установить, что решение вариационной задачи является решением краевой задачи либо в обычном, либо в определенном обобщенном смысле. В вариационном исчислении имеются разные методы построения минимизирующих последовательностей. Эти методы применительно к задачам для уравнений с частными производными принято называть вариационными или пря- прямыми методами. Важно то, что некоторые из вариацион- вариационных методов позволяют строить приближенные решения рассматриваемых задач. О двух из этих методов речь пойдет ниже. 4°. Понятие о методе Ритца. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть рассматривается вопрос о минимизации функционала Ф(ы). Обозначим через vn, п=\, 2, ..., полную систему допустимых функций для функционала Ф (и) и составим последовательность м„ = л = 2 ckvk, n=l, 2, ..., где cft —пока произвольные по- *=i стоянные. Определим коэффициенты ck, k=l, ..., п, так, чтобы выражение ф„ = Ф(и„) как функция съ ..., сп было мини- минимальным. Для некоторых классов функционалов Ритцу удалось показать, что {м„} является минимизирующей последова- последовательностью, которая сходится и предел которой и решает рассматриваемую задачу. Рассмотрим, например, вторую вариационную задачу минимизации функционала J (и), когда область D пред- представляет собой квадрат 0<х<я, 0<//<л, причем без ограничения общности будем считать, чю Я(и)=1. A94) В качестве указанной выше полной системы мы можем брать систему функций sin&xsin/t/, k, 1=1, 2, ...
$ 5. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДАХ 273 Пусть "«/.= 2 £сы sin kx sin ly, m, n=\, 2, ... т л Функции ытл (х, у), очевидно, удовлетворяют условию A90). Кроме того, dmn = D (Umn) = -i- 2 2i C|'<*" + /2>' <195> m л я («««)=»-^2 2*- По схеме Ритца в силу A94) нам следует найти ми- минимум выражения A95) при условии, что ь=£- <196> Решая задачу A96), A95) на условный экстремум, находим, что при любых т и п все с« равны нулю, кроме си, причем 2 т. е. 2 Нт итп = и(х, у) =» — sin * sin г/, т-»оо Нт 5°. Построение приближенного решения задачи о соб- собственных значениях. Понятие о методе Бубнова — Галер- кина. Метод Ритца позволяет построить приближенное решение задачи A89), A90) о собственных значениях. В самом деле, за приближенное решение второй ва- вариационной задачи о минимизации функционала J (и) при условии, что Н(и) = 1, можно принять функцию л "л (X, У) = 2 C*U* (*> У) к = \ 10 А! В. Бндадзе -
274 ГЛ. VI МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ из предыдущего пункта, где коэффициенты ck, k— I, ..., п, определяются в результате решения задачи на условный минимум d( ) D() i Таким образом, построенную функцию ип {х, у) есте- естественно принять за приближенное выршкение собственной функции задачи A89), A90), причем формула будет давать приближенное выражение для собственного числа этой же задачи. При построении приближенного решения задачи о соб- собственных значениях также с успехом пользуются мето- методом Бубнова —Галеркин а. В этом методе за при- приближенное выражение собственной функции задачи A89), A90) принимается функция п ип(х, у) = 2 ckvk(x, у), коэффициенты которой ck, k=\ п, на этот раз опре- определяются из равенств 2 W(Ao* + Xo», о«)с*-0, /п«1, ..... п, A97) * = i представляющих собой однородную систему линейных алгебраических уравнений. Как известно из линейной алгебры, эта система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда % удовлетворяет уравнению 1Я(До1+А,о1, Ol)... И (Доя + А.о„, Ul) j =0. A98) Я (Д^ + Ьь vn) ... Н (&vn + \on, vn)\ Определенные из уравнения A98) значения к прини- принимаются за приближенное выражение собственных чисел задачи A89), A90). Соответствующие же им приближен- приближенные выражения для собственных функций, как уже было сказано, даются формулой ип(х, </)= 2 С*М*. У), в которой Ck, k=l, ..., п., — решения системы A97).
§ 6 ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ 275 § 6. Построение приближенного решения задачи Дирихле для гармонических функций в круге Г. Задача Дирихле для гармонических функций с раз- разрывными краевыми условиями. При постановке и иссле- исследовании задачи Дирихле для гармонических функций (см. пункт 4° § 3 введения, §§ 1, 2, 3, 4 гл. I, пункт 7° § 3 гл. II) до сих пор мы считали, что краевые значения искомого решения представляют собой непрерывную функ- функцию точек границы области. Эта задача остается правильно поставленной и при более общих предположениях. Прин- Принцип экстремума для гармонических функций (пункт 4° § 1 гл. I) позволяет доказать справедливость следующего утверждения: если краевые значения гармонической в огра- ограниченной области D плоскости комплексного переменного z = x-\-iy функции и (г) изнутри области D на ее гра- границе S равны нулю всюду, кроме конечного множества точек j^eS), fe=l, ..., iV, и W^ = °' *=1, -.". A99) то и (г) = 0 всюду в D. В самом деле, обозначим через D6 часть области D, лежащую вне замкнутых кругов |г — tk|*gб, k = 1, ..., N, достаточно малого радиуса б, и введем в рассмотрение положительную гармоническую в Ds функцию 2 ^=Щ B0°) где &—диаметр области D, а е — произвольное положи- положительное число. В силу A99), B00) для любого е>0, начиная с опре- определенного значения б>0, краевые значения на границе S6 области D6 гармонических в этой области функций v (г) — — и (г) и v(z)-\-u(z) положительны. Поэтому в силу прин- принципа экстремума заключаем, что в любой точке ге/)й \u(z)\<v(z). B01) 19*
276 ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ Поскольку любая фиксированная точка zeD, начи- начиная с определенного значения 8>0, лежит в Da, в силу произвольности е из B01) следует, что и(г)=*0. Из доказанного утверждения сразу вытекает единст- единственность решения задачи Дирихле для гармонических в огра- ограниченной области D функций, непрерывных в D[)S всюду, кроме точек tk^S, k=l, ..., N, при наличии в этих точках разрыва первого рода у искомого решения или при допущении его обращения в бесконечность слабее, чем log|z-*ft| при z-+tk. Вопрос существования решения задачи Дирихле с раз- разрывными краевыми условиями будет рассмотрен в следую- следующем пункте, когда область D — единичный круг. 2°. Справедливость формулы Пуассона решения задачи Дирихле при наличии разрывов в краевых условиях. В пункте 2° § 2 главы I формула Пуассона, дающая решение задачи Дирихле в (Q =»/(*), t = e*, 0^О^2я, B02) в круге |г|< 1, была выведена в предположении, что ы(г) непрерывна в замкнутом круге |г|«^1. Предположим теперь, что функция /(Ф) в краевом условии B02) непрерывна на окружности | /1 = 1 всюду, кроме точки <o = et0° разрыва первого рода: lim (Ф) = Г, Ит /(Ф)-Г. ГФГ. B03) Обозначим через Uo(z) гармоническую функцию "o(z)=i-(r-r)arg(z-/o), B04) где под arg(z —10) понимается главная ветвь этой функции. Пусть М*) — "о(е**), 0<,д«^2л. Очевидно; что Нт М*)«( Нт М*)-а(Г-П. B05) О-.О. + 0 где ла —угол, составленный положительным направлением касательной к окружности | е** | = 1 в точке е**« с положи- положительным направлением действительной оси у^0. функция (*)/(*)М<>) B06)
§ 6. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ 277 непрерывна всюду, кроме точки /0, а в точке /0 в силу B03), B05) lim Ф(Ф)= Игл ф(Ф) = A+«)/+-а/Ч B07) о -► о,—о о — о.+о После доопределения заданной формулой B06) функ- функции ф(д) в точке t0 как Ф(Ф0) = lim Ф(Ф) О—до она становится непрерывной всюду на окружности |/| = 1. При построении гармонической в круге | г | < 1 функ- функции их (г), непрерывной в замкнутом круге | z | *£ 1 и при- принимающей на окружности 11 \ — 1 значения ф (О), мы вправе пользоваться формулой Пуассона (90) главы II: "i(z)=2^ f =^ФдаО- B08) Гармоническая в круге \ г |< 1 функция и (г), опреде- определенная по формуле u(z) = u1{z) + u0(z), B09) непрерывна в замкнутом круге |г| ^ 1 всюду, кроме точки U, причем lim ц(г) = Когда оке точка z изнутри круга | г | < 1 стремится к точке t0 разрыва функции f (fi) вдоль луча arg (г — to)=n$, где лР — угол, составленный вектором z — t0 с положитель- положительным направлением действительной оси, то в силу B04), B07) и B09) получаем Ити(г)-A-Л)^ + Я/-, B10) где Х = Р— а. Аналогичная картина имеется и тогда, когда функ- функция /(О) имеет конечное множество точек разрыва пер- первого рода. Что же касается единственности решения за- задачи Дирихле B02) в классе ограниченных гармонических функций, она была доказана в предыдущем пункте. При требовании суммируемости функции ф(д) фср- мула B08) дает гармоническую в круге | г \ •< 1 функцию,
278 ГЛ VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ которая при | г | -*■ 1 почти для всех Ь, 0 s£ Ь ^ 2л, стре- стремится к ф (Ф). 3°. Построение приближенного решения задачи Ди- Дирихле для гармонических функций в круге. Пусть V=&*', Г = е™", Ф'<Ф",—точки на окружности |*|=1. Функция при выборе ее главной ветви однозначна и гармонична. Она называется гармонической мерой дуги t'f окружности |*|=1 в точке г, |г|<1, относительно единичного круга Ввиду того, что при г = е** г-t' J^r Г, 1Т= sm функция и(Ъ', О*; С"*) равна единице в каждой точке открытой дуги t'f, 0'<*<0", и равна нулю на допол- дополнении дуги t'f, О' «S * ^ Ф", ^о полной окружности | /1=1. Когда же точка z изнутри круга | г | < 1 стремится к точке еЛ> или elfyi, то предельные значения «(■&', Ь"\ г) даются по формуле B10). Существуют различные методы построения приближен- приближенных решений задачи Дирихле. Среди них в определенном смысле универсальным является рассмотренный в преды- предыдущем параграфе метод конечных разностей. Понятие гармонической меры позволяет построить довольно простую формулу, дающую приближенное реше- решение задачи Дирихле B02) для гармонических функций в круге. Пусть заданная на окружности 111 = 1 функция / (О) непрерывна. Точками е " , k=>l,..., п, разобьем окруж- окружность \t | = 1 на равные дуги. В силу равномерной не- непрерывности функции /(О) для любого наперед заданного 0 существует натуральное число #(е) такое, что.
$ 6. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ 279 для любых Ф* и ■&** из сегмента 2n(k-l) л как только п^ N. Выбирая главные ветви каждого слагаемого в правой части формулы л iinh г—е е .2-е fifit), BП) где Щ — фиксированное значение О из интервала получаем гармоническую в круге |г|< 1 функцию й(г), которая в точках t = eb для всех значений Ь из интер- интервала п я принимает изнутри круга |г|<1 значение /(**), а ее предельные значения в точках t = e " вычисляются по формуле B10). Очевидно, что если и (г) — точное решение задачи B02), то |и(г)-Й(г)|<в, как только n^N. Следовательно, формула B11) дает приближенное решение задачи Дирихле B02) для гармони- ческих функций в круге |г|<1.
ГЛАВА VII НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ § 1. Уравнения Коши — Ковалевской 1°. Определение системы Коши—Ковалевской и по- постановка задачи Коши для нее. Как и в пункте 2° § 1 введения, будем считать, что равенство F(x, .... p4...in, ...) = 0, A) N \ О U V } U P) 2 '* ft —0, ..., /л, представляет собой систему N уравнений в частных про- производных с iV неизвестными функциями (ии ..., ыЛ') = и, причем порядок каждого уравнения равен т, тз=1. Дополнительно будем предполагать, что функции Fi{x, ..., р^..ля, -••), «=1, .... Л^, непрерывны относи- относительно всех своих аргументов в окрестности их фиксиро- л ванных значений х°, р\ ..., , Т\ i, = k, k = 0 m, не- , , ^] прерывно дифференцируемы относительно рто...о = = (Р1то...о> •••» Рто.. о) и Функциональный детерминант Тогда в силу известной теоремы о неявных функциях систему A) можно записать в виде д"и 7 Г i ТГГ / I *» • • • > 7 К \ дх,К..дх где заданный W-мерный вектор f = (/i, .... /лг) уже не дти содержит Систему C) принято называть системой Коши—Кова- Коши—Ковалевской. Очевидно что далеко не каждая система A) от- относится к типу Коши — Ковалевской. Так, например,
$ 1. УРАВНЕНИЯ КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ 281 в случае системы условие B) не выполнено, и, стало быть, она не является системой Коши — Ковалевской. Пусть в некоторой области G гиперплоскости Х\ — 0 заданы достаточно гладкие W-мерные векторы Ф V 2t • • • > %n)f - ■ • » Ф \-^2« • • * » %п)щ Задача отыскания регулярного в некоторой п-мерной окрестности области G решения и = (ы1( .... un) системы C), удовлетворяющего начальным условиям —^ =(р{к)(х2, ..., хп), k = 0 т— 1, D) 1 «1 = 0 называется задачей Коши. 2°. Редукция системы C) к системе первого порядка. Введением новых неизвестных функций система C) может быть приведена к системе Коши — Ковалевской первого порядка с начальными условиями v @, х2, .... хп) = ф (хг хп), F) где/, ф —заданные, а у —искомый Л^-мерные векторы, ^>JV. Более того, можно придать системе E) вид квазили- квазилинейной системы. Мы здесь покажем, как это делается в случае, когда W=l, m = 2 и я = 2, т. е. на примере одного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными ди ди д*и д*и \ ' dxi ' дх% и@, хг) = ф@) (хг), Eai£-Ii ,/• G)
282 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Примем обозначения i. x2) = u(xlt х2), ди1(х1, xi)_li /v, ч a»i (xlt хг) _ . . (9) ^- «2l*l X2) g^- =Ы3(ДГ1 Хг) Тождественное выполнение последних двух равенств (9) означает, что дигfa, хг) _ dus (хъ ъ) 3^ ~ дх] ' В силу G), (9) и A0) заключаем, что функции иъ «2 и и, являются решением системы Коши — Ковалевской d«i (xlt х») . л dua(xlt xt) g^ T[Xi, X2, иг, U2, U3, q^, щ), причем' Теперь введем три новые функции: ^ ч _ ди% (xit х,) Af2)= -T На основании A0), A1) и A3) заключаем, что функции *s). u2(xlt x2), us(xlt xt), х, х%), ub{xlt х%),
S 1. УРАВНЕНИЯ КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ 283 должны составлять решение системы Коши — Ковалевской ди 3 = «4, dut _ ди» диь _ ди* /j^ 5*7 dxt ' dxt dxi' *■ ' 5 dtit dj . VI df du£ dxt dxt £ dui dxj ' где u»(xi, x2) = f(xlt x2, uu «2, «s, «4, u6). A5) В силу A3) и A5) эти же функции следует подчи- подчинять наряду с A2) еще и следующим начальным усло- условиям-: ди% @, дс2) d , X»)^^ 5Ь^^ Об) ы.@, х,)-/@, х,, ф(«, ф1«, ^ф(« ^ФA) Таким образом, задача G), (8) редуцирована к задаче Коши A2), A6) для квазилинейной системы Коиш — Кова- Ковалевской A4). В задаче G), (8) в равной мере, как и в задачах A1), A2) и A4), A2), A6), носителем начальных данных яв- является интервал G прямой Хх = 0. Когда G является интер- интервалом прямой Х! = х%, то заменой независимого перемен- переменного xi = t-\-x\ добьемся того, что носитель данных будет лежать на прямой f = 0. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что в условиях (8) начальные функции ф@) и фA) тождественно равны нулю. 3°. Задача Коши с аналитическими данными. Теоре- Теорема Коши — Ковалевской. Пусть все компоненты Af-мер- Af-мерных векторов ф(ж) = (ф1 Флг) и /«(Д fN) яв- являются аналитическими функциями в некоторых, соответ- соответственно л-мерной £>„ и (я+1)(#+ 1)-мерной £>(п+1)(Лг+1Ь областях переменных х = (xlt..., х„) и х, t, и— (ии..... uN), Pi = (Pu> •••» Pin)< •••» Рпra(Pni, ••-. Рпы)- По данному в пункте 5° § 6 главы II определению это означает, что в некоторых, п-мерной и (n+l)(N+l)- мерной, окрестностях значений x°^Dn, (x°, t°, u°, pi,...
284 ГЛ. VII НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ..., р„) е 1>(л+1)(лг+1) указанные функции могут быть пред- представлены в виде сумм абсолютно сходящихся степенных рядов с неотрицательными целыми показателями f{x, t, и, рх, ..., р„) = = 2 A kmsli... ,п (х - х0)* (t - Пт (и - и°У (Рг - pj)'i... ...{рп—Рп где (дг - х°У = (% - ^ ••./„= ■"*! ... *|,ms1....sAf<11 ... llN ... lnl ... lnN, N N 2 Sj=.S, 2 lV = ll' »=1, .... Л. В этих предположениях задача определения регуляр- регулярного в некоторой (л+1)-мерной области Dn+1 перемен- переменных х, t, содержащей внутри себя область Dn, решения и(х, t) системы Коши — Ковалевской ди tf а ди ди\ ,. _. f[x t uJ A7) удовлетворяющего начальным условиям и(х, О) = ф(дг), xsEDn, A8) называется задачей Коши с аналитическими данными. В приложениях задачи A7), A8) переменное t высту- выступает в роли времени, а хг, .... х„ — в роли пространст- пространственных переменных. Имеет место следующее важное утверждение, извест- известное под названием теоремы Коши — Ковалевской: для каждой точки х°еД, имеется (п+1)-мерная окрест- окрестность изменения переменных х, t, в которой существует, и притом единственное, аналитическое решение и(х, t) задачи Коши A7), A8) с аналитическими данными. Как уже было отмечено в конце предыдущего пункта, можно считать, что вектор ф(х) в условии A8) тождест- тождественно равен нулю. Этого всегда можно добиться заменой и(х, t) через и — <р.
$ 1 УРАВНЕНИЯ КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ 285 4°. Понятие мажоранты аналитической функции. Пусть f(y), у = (Ух Ур), — аналитическая в некоторой р-мер- ной области Dp переменных ylt ..., ур функция. Если y* = (yt, ■■■, Ур), УкФУк, k=\, .... р, является точкой абсолютной сходимости степенного ряда y°)k, A9) V то существует положительное число М такое, что для всех индексов k ■|fl*|<-p—^ , SAy-A. B0) Говорят, что аналитическая в Dp функция у (у) яв- является мажорантой функции f (у), если все коэффициенты разложения <Р(У) = 2Ьк(у-у°)* B1J положительны и для всех значений индекса k. На основании B0) заключаем, что в качестве мажо- мажоранты представленной формулой A9) функции f(y) может служить функция B2) /=Г JLJLV 1*7—«^1 при 1й>—yiKlyf—y'lt /=i,.... р. Наряду с B2) мажорантой f(y) является и функция Фх {У) = —-р , '■4 2 <»/-*» где а= min |г//*-у}|.
286 ГЛ. VII НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Справедливость этого утверждения следует из того, что при имеем П-*!)*'. '-£*« B3) s = l и, кроме того, Очевидно, что функция <pi(y) остается мажорантой f(y), если в выражении B3) вместо ух — у\ написано „(й-Ю. 0<а<1, а = const. 5°. Доказательство теоремы Коши — Ковалевской при отсутствии в задаче A7), A8) пространственных перемен- переменных. В рассматриваемом случае A7) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка ЗГ = /('.«). B4) для которого начальное условие A8) имеет вид ы@) = 0. B5) Будем считать, что f(t, и) является скалярной анали- аналитической в окрестности точки @, 0) функцией перемен- переменных t и и, т. е. в этой окрестности она представляется в виде суммы абсолютно сходящегося двойного степен- степенного ряда /(/, и)= 2 «и'*- B6)
5 1. УРАВНЕНИЯ КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ 287 Для простоты записи будем считать, что радиусы схо- сходимости ряда B6) как по t, так и по и равны единице. Нашей целью является построение аналитической вблизи тонки t — О функции u(t), являющейся решением задачи B4), B5). Допуская ее существование (впоследст- (впоследствии она будет найдена), при помощи последовательного дифференцирования тождества B4) с учетом условия B5) , « dnu мы можем вычислить в точке t = 0 значения всех ^-: (dnu \ ач, ...), B7) 2 где (дп представляет собой полином своих аргументов с по- положительными коэффициентами. Покажем, что радиус сходимости степенного ряда •Ю-2 аи*)." <28> отличен от нуля. Как уже было отмечено в предыдущем пункте, в силу сходимости ряда B6) существует положительное число М такое, что для всех значений индексов k, l имеют место оценки м |вы|<у. B9) Поэтому в качестве мажоранты для f(t, и) можем брать функцию АЛ F«> ")-2(.-0(i-u)- C0) Обозначим через U (t) решение обыкновенного диффе- дифференциального уравнения % = F{t,U), C1) удовлетворяющее начальному условию U @) = 0. C2) Ввиду того, что правая часть уравнения C1) дается формулой C0), применением метода разделения перемен-
288 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ных легко находим его решение log(l-0, C3) удовлетворяющее условию C2), причем оно, очевидно, единственно. Под log A — /) понимается ветвь этой функ- функции, равная нулю при t = 0. Так как выражение 1 + М log (I — t) обращается в нуль прн t-=\—e M и оно по модулю меньше единицы при то представленная по формуле C3) функция является аналитической с радиусом сходимости, равным, по мень- меньшей мере, 1-е м. Функция U (t) является мажорантой для функции и (t), представленной по формуле B8) степенным рядом с ра- радиусом сходимости 1-е м. Очевидно, что и (t) — единст- единственное решение задачи B4), B5). 6°. Доказательство теоремы Коши—Ковалевской для задачи A7), A8). Ради простоты будем считать, что A7) представляет собой одно уравнение с одной неизвестной функцией и(х, t) с аналитической правой частью / в окрестности точки (х = 0, f = 0, и = 0, р1 = |^- = = 0, ..., Pn = gj-==0)- В этой окрестности функцию f(x, t, и, pi рп) можно представить в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда / (х, t, и, Pl рп) = 2 akmsli... ,яЛ«««р{1... р]*, C4) где ди . . Без ограничения общности можно считать, что Ооо...0 = = 0. Этого всегда можно добиться заменой искомой функ- функции по формуле Как и в предыдущем пункте, будем считать, что ра- радиусы сходимости ряда C4) по всем переменным равны
§ 1. УРАВНЕНИЯ КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ 289 единице. В таком предположении в качестве мажоранты / может служить функция C5) где М и а —некоторые положительные числа, причем В результате последовательного дифференцирования тождества A7) с учетом A8) мы можем вычислить в точке (х = 0, t = 0) частные производные всех порядков искомого аналитического решения и(х, t) задачи A7), A8) и соста- составить степенной ряд и(х, t) = ^bklxktl, C6) причем его мажорантой может служить решение U (x, t) уравнения удовлетворяющее начальному условию U(x, 0) = 0. C8) Если нам удастся найти аналитическое вблизи точки (х = 0, * = 0) решение v(x, t) уравнения C7) с положи- положительными коэффициентами в его представлении в виде степенного ряда, то оно будет мажорантой для анали- аналитического решения U(x, t) задачи C7), C8). Функцию v(x, t) будем искать в виде v(x, t) = w(z), C9) где г» - * I X1 „ (ЛС\\ к -"— "~ ■ |— / ль* \^^*^/ Поскольку в силу C9), D0) dv I dw dv dw . , на основании C5), C7) заключаем, что функция w(z) должна быть решением обыкновенного дифференциального
290 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ уравнения [<>-<-)('-5)"']" т. е. /1 .- \dw n /dw\t . М .. .... Мп ]-т- = - -г-) -f- -; М. D1) \а I dz а \ dz / ' 1 — г — w v ' Подберем а так, чтобы число Мп было положи- положительным. Тогда уравнение D1) можно записать в виде Р<*,»). D2) где а0 — положительное число, a P (z, w) — сумма абсо- абсолютно сходящегося степенного ряда с положительными коэффициентами. Из двух значений —, удовлетворяющих равенству D2), выберем то, которое обращается в нуль при 2 = 0, w = 0. Это означает, что w (г) является решением обыкно- обыкновенного дифференциального уравнения % = y{z, w), v@. 0) = 0, ю@) = 0. D3) Как было показано в предыдущем пункте, аналити- аналитическое решение задачи D3) существует и оно представ- представляется в виде суммы степенного ряда w\z) = отли«чым от нуля радиусом сходимости. В положительности коэффициентов степенного ряда D4) легко убеждаемся при помощи последовательного дифференцирования тождества D2) с учетом D3). Поскольку представленная формулой D4) функция w является мажорантой для U (x, t) и, стало быть, для и (х, t), степенной ряд C6) имеет положительные радиусы сходимости как по х, так и по t. Следовательно, сумма этого ряда является аналитическим решением задачи A7), A8) вблизи точки {х = 0, / = 0).
5 !. УРАВНЕНИЯ КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ 291 7°. Некоторые другие замечания относительно задачи Коши A8) для системы Коши — Ковалевской A7). В пре- предыдущем пункте было доказано существование в малом (вблизи данной точки) аналитического решения задачи Коши A8) в случае, когда A7) представляет собой одно уравнение с одной неизвестной функцией и с аналити- аналитической правой частью. Это доказательство непосредственно обобщается на случай системы, причем единственность аналитического решения следует из процесса его построе- построения. При этом не имеет значения, будет ли система A7) эллиптична, гиперболична или параболична, важно лишь то, что она типа Коши — Ковалевской. Следует заметить что носитель начальных данных t = const в случае гипер- гиперболических или параболических систем вида A7) не являет- является характеристикой. Единственность решения задачи A7), A8) с аналити- аналитическими данными имеет место и в классе неаналитичес- неаналитических решений, но на ее доказательстве мы здесь останав- останавливаться не будем. Неаналитические решения задачи A7), A8) не всегда существуют, если система A7) не является гиперболичес- гиперболической. В этом нетрудно убедиться на примере системы Коши—Римана ди dv dv ди , .. ,._. *+*'*. D5) представляющей собой эллиптическую систему Коши — Ко- Ковалевской. В самом деле, допустим, что в области D плоскости переменных х, t, содержащей внутри себя отрезок ab оси / = 0, существует регулярное решение системы D5), удовлетворяющее условиям и(х, 0) = ф(*), v(x, 0) = 0, a<x<b. D6) Принимая во внимание второе из условий D6), на основании принципа симметрии Римана — Шварца (см. пункт 3° § 4 гл. II) заключаем, что функция и (х, t) -f 4- iv (x, t) = F (г) аналитична в области D, включая от- открытый отрезок ab, т. е. функция у(х) в первом из условий D6) должна быть аналитической по перемен- переменному х. Следовательно, если наперед известно, что ф(х) этим свойством не обладает, то задача D5), D6) не будет иметь решения.
292 гл. vii. нелинейные уравнения Легко видеть, что даже аналитические решения задачи A7), A8) могут оказаться неустойчивыми. Действительно, непосредственной проверкой убеждаемся в том, что си- система D5) имеет аналитическое (притом единственное) решение и (х, t) = -j sh nt sin nx, v (x, t) = — -s ch nt cos nx, удовлетворяющее начальным условиям u(x, 0) = 0, v(x, 0) = - но это решение, очевидно, неустойчиво (ср. с пунктом 5° § 3 гл. III). § 2. Нелинейные гиперболические и эллиптические уравнения второго порядка 1°. Нелинейные уравнения гиперболического типа. В главе III было показано, что в случае линейных уравнений второго лорядка с двумя независимыми пере- переменными гиперболического типа наряду с задачей Коши корректно поставлена и задача Гурса нли характеристи- характеристическая задача (см. пункт 4° § 3 и пункт 2° § 4 гл. III). Поскольку в случае общих нелинейных уравнений тип уравнения зависит от решения и, стало быть, "в опре- определении характеристик нелинейного гиперболического уравнения могут участвовать искомые решения, поста- постановка и исследование задачи Гурса для таких уравнений сталкиваются с определенными трудностями. По этой причине здесь в основном ограничимся рассмотрением частного класса квазилинейных гиперболических урав- уравнений. В случае двух независимых переменных широкий класс квазилинейных уравнений можно привести к виду ^| = /(*, у, и, р, q), D7) где / — заданная функция х, у, и, р= £, Я = щ- Характеристиками уравнения D7) являются прямые х = const, у — const. Обозначим через D прямоугольную
5 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 293 область плоскости переменных х, у, ограниченную пря- прямыми х = 0, у — О, х = а, у = Ь. Будем предполагать, что функция / удовлетворяет условиям: 1) она непрерывна относительно всех своих аргументов при (х, y)^D и \u\^Ai, \р\*£А„ \q\*£A» D8) где Alt А2, А3 — определенные положительные числа, и 2) удовлетворяет условию Липшица по и, р, q, т. е. существуют положительные числа kx, k2, k3 такие, что для любых и', р', q' и и", р", q", удовлетворяющих усло- условиям D8), при (х, у) е D имеет место оценка \Пх, У, W, p', q')-f(x, у, и", р\ ОК ^k1\u'-u"\+k2\p'-p"\ + k3\q'-q>'\. D9)- Под задачей Гурса для уравнения D7) понимается требование определить непрерывное в D [} dD и регуляр- регулярное в D его решение и (х, у), когда наперед заданы значе- значения и(х, 0) = q>(x), ы@, у) = ^{у) O 0Ь 0@) ф()ф() При непрерывной дифференцируемости функций и -ф (л:) заменой и(х, у) через и(х, у) — ф(х) — ■() + добьемся того, что в условиях задачи Гурса и(х, 0) = 0, ы@, г/) = 0, О^х^а, О^у^Ь. E0) Решение задачи D7), E0) можно найти с помощью хорошо известного из курса обыкновенных дифференци- дифференциальных уравнений метода последовательных приближений Пикара. За нулевое приближение задачи D7), E0) примем "о (х, У) = 0, а за последующие приближения — ия(х, y)=Ut j f[l, л, и„_ь а-^-, *%±уц, E1) Пусть а, р — положительные числа, не превышающие а, Ь соответственно, причем где М — максимум /, когда ее аргументы удовлетворяют условиям D8). В силу E2) очевидно, что, когда {х, у)
294 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ принадлежит прямоугольнику Z?i = {0<:.*<;a, определенные из формулы E1) значения ,. /„ ,л ди„ (х, у) ди„ (х, у) Un(X, У), gj , Qj , п=1, 2 удовлетворяют условиям D8). Покажем, что сумма и(х, у) ряда Ui(x, y) + [u2(x, y)-u1{x, у)) + ... ... + [ип{х, у)-ил.1(х, у)] + ... E3) является решением задачи D7), E0), если функция / удовлетворяет условиям 1) и 2). Примем обозначения Л = тах(Л1( А2, А3), A = max(fe1( £2, k3), л, А(^)] E4) В силу E1) и первого нз неравенств E2) имеем \ди1 А. Далее, пользуясь неравенством D9), на основании E1) и E4) получаем Продолжая этот процесс, находим, что для любого нату- натурального п | ип - ип.х E5) • kn-lfjn-l На основании оценок E5) заключаем, что ряд E3) сходится абсолютно и равнимерно и что его почленно
§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 295 можно дифференцировать по х и у. Очевидно, что и(х, у) — lim ип{х, у). На основании этого предельным 1-+ОО переходом в E1) убеждаемся, что и(х, у) является реше- решением задачи D7), E0). 2°. О единственности решения задачи Гурса. В при- принятых в предыдущем пункте предположениях относительно правой части / уравнения D7) легко доказать единствен- единственность решения задачи D7), E0). Действительно, пусть и(х, у) и v(x, у) — два решения задачи D7), E0). Из очевидных тождеств и(х, y)= v(x, *)- т,, и, |, | . 4. v, g, *)*, для разности w = и (х, y) — v (x, у) получаем w(x, y) = о о Отсюда в силу D9) имеем w дш Ш dw E6) E7) где k и N — введенные в предыдущем пункте положитель- положительные постоянные. На основании E7) из E6) снова полу- получаем 2! Продолжая этот процесс, приходим к заключению, что для любого натурального п \ш(х, Отсюда следует, что w (х, у) = 0, т. е. и {х, y) = v (x, у).
296 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Единственность решения задачи D7), E0) может не иметь места, если функция f не удовлетворяет условию D9). В этом непосредственно убеждаемся на примере уравнения — = и"* E8> которое имеет регулярные решения и(х, г/) = 0 и v(x, y) = = у~х*у2, удовлетворяющие условиям E0). Правая часть уравнения E8) не удовлетворяет условию Липшица D9). В дополнение к сказанному в начале предыдущего пункта заметим, что уравнение Монжа — Ампера дх*ду* [dxdyj - 1 гиперболично вдоль любого его решения, ибо дискрими- дискриминант соответствующей ему характеристической формы равен 1. В частности, вдоль решений их = ху и и2 = — ых имеем Q = ±2dxdy. Следовательно, прямые х = 0 и у = 0 являются характеристиками уравнения E9), соответствую- соответствующими его решениям ии — иу, которые обращаются в нуль при * = 0, у = 0. Таким образом, для задачи Гурса E0) в случае уравнения E9) не имеет места единственность решения. 3°. Задача Коши для одной квазилинейной гипербо- гиперболической системы. В настоящем пункте речь будет идти о задаче Коши для квазилинейной гиперболической си- системы первого порядка вида где %(х, t) — заданная действительная непрерывно диффе- дифференцируемая диагональная матрица с элементами А,*(х, t), k = 1, ..., N, вектор / = (fi,..., /лг) задан в некоторой одно- связной области изменения переменных х, t » для всех значений искомого вектора и = (ыъ ..., uN). Предполага- Предполагается, что носителем данных Коши является отрезок / пря- прямой * = 0, причем и(х, 0) = 0, *<=/. F1)
§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 29* По данному в § 2 введения определению, характери- характеристики системы F0) составляют N -параметрическое семей- семейство кривых Ck: xk = xk(t), определенных из обыкновен- обыкновенных дифференциальных уравнений ^ = Ы*. 0. *=1 N. F2) Обозначим через Е множество точек (х, t) плоскости переменных х, t, обладающих тем свойством, что все кривые характеристического пучка, выходящие нз точки (х, t) в направлении прямой t = 0, пересекаются с отрез- отрезком /. Пусть G —область, содержащаяся в £ и охваты- охватывающая /. Поскольку в силу F2) вдоль кривой Cft от точки II*(x, t), 0] до (х, <)eG для решения и(х, t) системы F0) имеют место тождества т?-^+м*.о§. *-i м, равенству F0) в силу F1) для решения и(х, f) задачи F0), F1) можно придать вид X, t) 0- \ f(E*. x« "N»-6»w*. F3) ptoo, где [5ft (x, t), 0] —точка пересечения характеристики 5* = 5*(т), выходящей из точки (х, t) с 1. Интегральный оператор Т в правой части формулы F3) каждому непрерывно дифференцируемому в области G вектору и(х, t), удовлетворяющему условию F1), ставит в соответствие непрерывно дифференцируемый в этой же области вектор v(x, t), удовлетворяющий условию F1). Задача F0), F1) будет решена, если нам удастся найти неподвижную точку отображения v = Ти, т. е. функцию и(х, t), удовлетворяющую уравнению и = Ти. F4) Решение уравнения F4) можно построить методом последовательных приближений. Действительно, потребуем дополнительно непрерывность по х, t и непрерывную дифференцируемость по их, .".., uN всех компонент век- вектора / с конечной верхней гранью М для модулей -J-
298 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ k=l, ..., N. За нулевое приближение решения уравне- уравнения F4) примем ы@) = 0, а последующие приближения определим по формулам uw = Tuin-.vt n=it 2) ... Будем считать, что t<h. Для разности ыB) — ыA) в силу теоремы конечных приращений имеем E.0) ,NMh, 1-/F. т, 0)]Л (*. о л ^ A.0) * = 1 где ^Г1 —средние значения функций iprr- Повторением этого рассуждения находим, что для любого натурального п имеет место оценка с,0|. F5) При достаточно малом h можно считать, что число и, стало быть, оценки F5), записанные в виде '. 01. я=1, 2, ..., позволяют заключить, что последовательность {ы(п)}, п = = 1, 2 равномерно сходится и в пределе дает реше- решение и(х, 0 уравнения F4). Можно показать также, что и(х, 0 имеет непрерывные производные по х и /, т. е. и(х, 0 представляет собой решение задачи F0), F1). Единственность решения устанавливается повторением рассуждения предыдущего пункта. Задача Коши и{х, 0)=*0, и,(х, 0) = 0 для квазилинейного уравнения гиперболического типа ~дР ~ №='\Х' ' дх' di
§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 299 л „ ди (х, t) ди (х, /) при помощи обозначении —~-- = v, —-—-^- — w приво- приводится к задаче вида F0), F1). Следовательно, ее решение, по крайней мере в малом, существует и является един- единственным. 4°. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка. В пункте 2° * 2 введения было отмечено, что общее линейное равномерно эллиптическое уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными можно считать приведенным к каноническому виду Lu = Au + a(x, У)д£ + Ь(х, У)щ + с(х, у)u = f{x, у), F6) где Л —оператор Лапласа по переменным х, у. Пусть D — конечная односвязная область плоскости переменных х, у с гладкой границей S = dD. В задаче Дирихле (см. пункт 4° § 4 введения) требуется найти регулярное в области D решение и (х, у) уравнения F6), непрерывное в D [j S и удовлетворяющее условию «(*. У) = <Р(х, У), (х, y)e=S, F7) где ц»{х, «/) —заданная непрерывная функция. В пункте 4° § 5 гл. I было доказано, что, если в об- области D всюду коэффициент с(х, у) уравнения F6) удов- удовлетворяет условию с(х, у)<0, F8) задача F6), F7) не может иметь более одного решения. Легко видеть, что единственность решения задачи F6), F7) имеет место и в том случае, когда в условии F8) знак равенства не исключен. Действительно, для разности и двух решений иъ иг этой задачи мы должны иметь Lu(x, у)-0, (x,y)e=D, u{x, t/) = 0, (*,«/) e=S. F9) В результате замены функции и по формуле и = (А — e~Mx)v, где число М больше верхней грани а(х, у) в области £>, для v в силу F9) получаем + b+CtV^O, (х, y)e=D, О, {х, y)f=S, G0)
300 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ где Ш М(М-а) Подбирая число А настолько большим, чтобы выра- выражение АеМх — 1 было положительным, добьемся выпол- выполнения условия с^х, у)<С.О всюду в области D. Отсюда в силу пункта 4° § 5 гл. I заключаем, что задача G0) имеет только тривиальное решение. Тем самым справед- справедливость сформулированного утверждения доказана. Переходим к рассмотрению вопроса разрешимости задачи F6), F7). Предварительно заметим, что заменой и(х, у) через и(х, у) + ио(х, у), где ио(х, ^ — гармони- гармоническая в области D функция, удовлетворяющая условию F7), можно добиться того, что в условии F7) функция ц>(х, у) тождественно будет равна нулю. При этом оче- очевидным образом изменится правая часть уравнения F6). Запишем уравнение F6) в виде Au = F, G1) где F = f{x, y)-a(x, у)%-Ь(х, у)%-с(х, у)и. G2) Если была бы известна правая часть уравнения G1), в силу формулы C6) главы I получили бы решение и(х, у) этого уравнения в области D: = -^-[G{х, у; I, Л)F(I, ц)<£d4, G3) удовлетворяющее краевому условию и(х, t/) = 0, (х, y)eS. G4) В формуле G3) выражение G(x, у; \, tj) представляет собой функцию Грина задачи Дирихле для гармонических функций. Ее существование можно считать доказанным (см. пункт 7° § 3 гл. II). Когда а(х, у) = Ь(х, у) = 0 всюду в области D, равен- равенство G3) можно записать в виде \ G5)
§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 301 где f*(x, y) = -±^G(x, у; Записанное в виде формулы G5) равенство представ- представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Задача F6), G4) в предположении, что а = Ь = 0, очевидно, эквивалентна интегральному уравнению G5). Когда дополнительно известно, что с (х, у) sg 0, как уже было показано выше, имеет место единственность решения задачи F6), G4) и, стало быть, единственность решения интегрального уравнения G5). Из единственности же ре- решения уравнения G5) на основании теории Фредгольма (см. пункт 3° § 2 гл. V) заключаем, что задача F6), F7) имеет, и притом единственное, решение. Пусть теперь коэффициенты а (х, у) и Ь (х, у) отличны от тождественного нуля, но условие с(х, у)<,0 G6) выполнено всюду в области D. Как уже было отмечено в пункте 5° § 5 гл. I, наличие условия G6) гарантирует существование главного элементарного решения, так что можно построить обобщенные потенциалы, соответствую- соответствующие уравнению F6). Поэтому мы вправе искать решение задачи F6), F7) в виде суммы обобщенного объемного потенциала с плотностью— /(*, у) и обобщенного потен- потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью, которая должна быть решением интегрального уравнения Фред- Фредгольма второго рода, эквивалентного этой задаче. Разре- Разрешимость же полученного интегрального уравнения следует из единственности его решения. Выполнение условия G6) не является необходимым для единственности и существования решения задачи F6), F7). Независимо от этого условия задача F6), F7) всегда однозначно разрешима, если мера области D достаточно мала. В этом можно убедиться, если применить метод последовательных приближений Пикара для построения решения и(х, у) интегро-дифференциального уравне- уравнения G3). 5°. Достаточное условие единственности решения за- задачи Дирихле для нелинейного равномерно эллиптического уравнения второго порядка. Пусть нелинейное уравнение
802 ГЛ VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ в частных производных второго порядка F(x №,...*„,...) = <>, G7) п *=(*! Хп), 2 */ = *. * = °« 1> 2« определено для всех значений независимых переменных хл, ..., х„ из «-мерной области D их изменения и для п всех значений р(] <л, ^] 1/ = *. Л = 0, 1, 2. (=1 Будем считать, что уравнение G7) равномерно эллип- эллиптично, т. е. существуют постоянные k0, кг одинакового знака такие, что для всех £е D и для всех значений Хх, ..., Я,„ имеют место оценки Z •••, КХ.ЬЯЦ, G8) ^=1 1=1 где 2^xS ■••• Кп> j] '/ = 2. G9) Дополнительно потребуем, чтобы функция F дЛя всех значений своих аргументов удовлетворяла условию Ш^° (80) при положительной определенности формы Q (при отри- отрицательной ее определенности для всех аргументов F знак неравенства в оценке (80) повернут, т. е. з-^ Нетрудно видеть, что в этих предположениях задача Дирихле и(х) = у(х), геД (81) в области D для уравнения G7) не может иметь более одного решения. Действительно, для разности и(х) двух решений Ui(x), ц,(дс) задачи G7), (81) щ силу теоремы
§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 303 конечных приращений имеем 22 дки где ft -i — средние значения функций /<,-< =л^~- (82) Следовательно, для ы (л;) тождественно выполняется ра- равенство -"''Ж*я;=0' Kil=k' k=0>1'2- (83) Повторением рассуждения пункта 4° настоящего параг- параграфа в случае тождества (83) с учетом G8), G9), (80), (82) убеждаемся в том, что и (х) = 0, т. е. их (х) — иг (х) всюду в области D. Заметим, что при применении выводов настоящего пункта мы должны быть внимательны. Так, например, уравнение Монжа —Ампера дх*ду* [дхду/ ~ эллиптично вдоль любого его решения, поскольку дискри- дискриминант соответствующей ему характеристической формы равен —4. Вдоль решений иг — хг + уг — 1 и иа = — иг эта форма имеет вид Q(dx, dy) = ^dy> + d£2dx' (84) и, стало быть, она положительно определена вдоль иг и отрицательно определена вдоль ы2. Тем не менее это уравнение в круге х2 + уг<.\ имеет в качестве регуляр- регулярных решений функции их (х, у) и — иг (х, у), которые об- обращаются в нуль на окружности х* 4- у2 = 1. В рассмат- рассматриваемом случае форма (84) (как уже было отмечено) не сохраняет знак вдоль всевозможных и (х, у). В случае уравнения bu = F{x, у, и) (85)
304 ГЛ VII НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ задачу Дирихле G4) при требовании непрерывности функ- функции F (х, у, и) относительно (л;, у) е D [) S и для всех значений и, как и в случае уравнения F6) (см. пункт 4° настоящего параграфа), можно привести к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению и(х, у)Л-~ \G(x, у; I, x\)F(l, ц, Если последовательные приближения определить по фор- формулам tio(x, y) = 0, G(x, у; I, r))F(l, г], ип-г п= 1, 2, ..., и потребовать ограниченность ди , то можно показать, что в случае области D достаточно малой меры предел и (х, у) последовательности {ип\ существует и он дает решение задачи G4), (85). Когда же дополнительно из- известно, что g^2i0, то доказывается, что при требовании лишь ограниченности области D последовательность {«„} равномерно сходится в D и ее предел и (х, у) является искомым решением этой задачи. § 3. Некоторые классы нелинейных уравнений в частных производных 1°. Общее представление решений одного класса квази- квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка. Рассмотрим класс квазилинейных уравнений первого порядка вида aVu = 0, (86) где V —оператор набла по переменным хъ ..., хп% а(и) = = [аг(и), .... а„(и)]фО — заданный «-мерный непрерывно дифференцируемый вектор, определенный для всех значе- значений искомого решения и{х), х = (хъ .... х„). Пусть а(ы) = [сх1(и), ..., ая(и)] — непрерывно диффе- дифференцируемый вектор, ортогональный вектору а (и): а(ы)а(м) = 0. (87)
« 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 305 Легко видеть, что если непрерывно дифференцируемая п функция g (ах) скалярного аргумента ах = ^ a,jc/ удов- i=\ летворяет условию 5<(ах)(а'х)ф\, (88) то функция и (х), определенная из тождества u-g(ax)~0, (89) является наиболее общим решением уравнения (86). Действительно, в силу условия (88) существует неяв- неявная функция и (х), определенная из тождества (89), причем \-g>(ax)(a'x)- Подставляя выражение Vu из (90) в левую часть (86), в силу (87) убеждаемся в справедливости сформулиро- сформулированного утверждения. В частности, общим решением уравнения где а и Ъ — заданные непрерывно дифференцируемые функ- функции, является функция и (х, у), определенная из тождества u-g(ay + bx) = 0, . (91) где g (ц), ц = ау + Ьх, — произвольная непрерывно диффе- дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию На основании этого утверждения можно построить класс точных решений следующей нелинейной системы уравне- уравнений в частных производных: «5 + (ИЛ) + U («г. «.. «s) = 0. (92) (""^ + ("")+ 11 Д. В. Бнцадз* -
806 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ где Li, L8, L3 — линейные операторы второго порядка, / d*"i | ^a"i d*"i дама д2цз ^ " a*» а<* дхх дх% дхг дхя' :» j d*ut . aau, o-us a=>~dxf + ~dxl W~ Считая, что ut, l=\,2, 3, являются функциями только xt и t, будем искать решения системы (92) в виде (и* 0, 0), @, и,, 0), @, 0, иа). Тогда в силу (92) и (93) получаем i=l, 2, 3, (94) где с,-(х() — произвольные непрерывно дифференцируемые функции переменного xt. Предполагая, что все с{(х{) = 0, мы вправе пользоваться формулой (91), в которой а = 2щ, b=l, x = xit y=*t. Следовательно, в качестве точных решений системы (92) могут служить (иь 0, 0), @, иг, 0), @, 0, и3), где щ (х, t) — неявные функции, определенные из равенств ul-gl(xl + 2tul), t = l, 2, 3, а gi — произвольные функции, непрерывные вместе со сво- своими производными первого и второго порядка, удовлет- удовлетворяющие условиям 1-2/^^0, m = Xi + 2tUi, 1=1,2,3. Точными решениями системы (92) являются также выражения где i»i, f8, ^ — произвольные гармонические функции своих аргументов. В этом непосредственно убеждаемся, если будем считать, что каждая из щ, t=l, 2, 3, не зависит от t и xt. В этих предположениях нелинейные члены в левой части (92) отсутствуют, а операторы Lu L^, La в (93) сводятся к оператору Лапласа соответственно по парам переменных (*», хя), {xlt x9), (xlt дс,).
I 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 307 2е. Редукция одного класса квазилинейных уравнений второго порядка к линейному уравнению. Квазилинейное уравнение (95) где а"{х), b(u), с*(х), d(x, и) — заданнные функции, в ре- результате подстановки u = <o(v), (96) где <a(v) и v (*) — новые неизвестные функции, принимает вид V,/-i i-i I где , da „ (Яш Выбирая a) (f) как решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка о)" -Ь (©)©'' = 0, (98) из (97) для определения функции v(x) получаем уравне- уравнение, линейное относительно ее частных производных второго и первого порядка: 2 а'/^+ 2<ъ+? 1 i\ Следовательно, если функции & (и) и v (x) являются соот- соответственно решениями уравнений (98) и (99), то опре- определенная по формуле (96) функция и(х) будет решением уравнения (95).
308 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Решение уравнения (98) выписывается в квадратурах: ( — \b(t)dt dx + p, A00) \ / где а, р — произвольные постоянные. Что же касается уравнения (99), в случае, когда x-,d[x, ©(o)]-di(x) оно является линейным: п п По целому ряду случаев краевые, начальные и другие задачи, поставленные для уравнения (95) в зависимости от его типа, порождают по формуле A00) соответствующие задачи для линейного уравнения A01). Когда последние являются задачами, корректно поставленными для урав- уравнения A01) и, кроме того, из равенства A00) однозначно можно определить и (х) как функцию v (x), то исходная задача, очевидно, будет корректно поставленной. В качестве первого примера уравнения вида (95), поддающегося исследованию по указанному в настоящем пункте способу, рассмотрим уравнение где |i — действительная постоянная, Q — даламбериан, □- 2 в четырехмерном пространстве с линейным элементом п <ka= 2 gt,(x)dx,dx,, а «•(*!, xit ха, xt) — искомая действительная функция про- пространственных переменных xlt x%, ха и времени t = xt.
I 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 309 Поскольку в рассмотренном случае уравнения (98) и A01) принимают вид соответственно A + |Ло2) со" + рАисо'* =0 A03) 0 = 0, A04) наиболее общее решение уравнения A02) в силу формулы A00) можно записать в виде Ф(и, v) = 0, A05) где ф = со у 1 4- |i2coa -|—arcsh пса — o, A06) ы = со (v) — общее решение нелинейного обыкновенного уравнения A03), a v(xlt хг, xs, t) — общее решение линей- линейного уравнения A04). Задаче Коши для уравнения A02) g любыми достаточно гладкими начальными данными и(х, A07) в силу A05), A06) и A07) соответствует задача Коши для уравнения A04) с начальными данными v (х, /о) = т V1 + (А* + - arcsh цт, (Ю8) Записывая уравнение A02) в виде 4 и ди ди и учитывая, что величины ц и и действительны, убежда- убеждаемся в том, что оно типа Коши — Ковалевской. Ссылаясь на пункт 7° § 1 настоящей главы, можно утверждать, что для решения задачи A02), A07) имеет место един- единственность. В конце пункта 5° § 3 главы III было отмечено, что задача Коши A04), A08), в случае гиперболичности оператора Q, в предположении, что гиперплоскость t = t0 не является характеристической, корректно поставлена. Исходя из этого факта и принимая во внимание то обстоя-
•10 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ тельство, что в силу A05) и A06) достаточное условие существования и {х) как неявной функции v (x) соблюдено: приходим к заключению о представимости любого регуляр- регулярного решения и(х) уравнения A02) по формуле A05). Это утверждение остается в силе и в случае эллиптичности оператора Q, ибо, как уже было отмечено в пункте 1° § 3 главы IV, при аналитичности коэффициентов эллип- эллиптического оператора Q регулярные решения уравнения A04) являются аналитическими функциями, а в силу пункта 3° § 1 настоящей главы задача Коши A04), A08) с аналитическими данными всегда' имеет, и притом един- единственное, решение. 3°. Некоторые другие примеры уравнений вида (95). Рассмотрим пример уравнения эллиптического типа вида (95): Ды-ыв(Уы)* = 0, A09) где Л — оператор Лапласа, V — оператор набла, а б — дей- действительная постоянная, принимающая значение —1 или 0. Сперва рассмотрим случай 6 =—1: Au-^(Vu)* = 0. . (ПО) В силу формулы A00) связь между функциями и(х) и v(x) дается формулой ы = е", A11) где о — произвольная, вообще говоря, комплексная гармо- гармоническая функция переменных хъ .... х„. В ограниченной области D с гладкой границей dD = S рассмотрим задачу Дирихле u(x) = f(x), xeS, A12) где f(x) — заданная действительная непрерывная функция. На основании формулы A11) заключаем, что задача (ПО), A12) всегда имеет, и притом единственное, регуляр- регулярное в области D решение, знакопостоянное (без ограничения общности можно считать положительное) и непрерывное « D\JS. Если отказаться от требования знакопостоянства
« 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 311 искомого решения и(х) задачи (ПО), A12), оно может оказаться не единственным. Действительно, рассмотрим случай, когда п = 2, область D представляет собой круг | х | < 1, а / (х) — 1 на окружности S: | х | = 1. Из формулы A11) следует, что наряду с функциями иг[х) и иг(х) решением этого уравнения является и их произведение и1(х)иг(х). Поэтому очевидно, что решением задачи A10), A12) в рассматриваемом случае является семейство функций =+!£\og\F(t)\ds\ где F (г) — произвольная аналитическая в D функция комплексного переменного г = xt + ix2, непрерывная в D U S и отличная от нуля на S. Рассмотрим теперь случай 6 = 0, т. е. Аы-(УыJ = 0. (ИЗ) В силу формулы A00) имеем exp[-u(x)] = v(x), A14) где v (х) — произвольная гармоническая функция. Из формулы A14) следует, что краевое условие A12) для решения и(х) уравнения A13) порождает краевое условие () [ f()] S для гармонической функции v(x). Отсюда на основании пункта 4° § 2 и пункта 2° § 4 главы I заключаем, что задача A12), A13) всегда имеет, и притом единственное, регулярное в области D решение, непрерывное в D[}S. Уравнение гиперболического типа также имеет вид (95). В случае 8 = —1, в силу формулы A00), решения этого уравнения могут быть представлены по формуле где /i и /а — произвольные дважды непрерывно дифферен- дифференцируемые функции.
312 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В треугольнике Л (— 1, 0) ВA, 0) С@, —1) знако- знакопостоянное (и на этот раз можно без ограничения общности считать положительное) решение и (хъ х2) уравнения A15), удовлетворяющее начальным условиям -Kx^l, A17) и{хъ 0) = в силу A16) дается формулой и(хъ х,) = Ух (*, + хг) х (* - *2) exp U \ Ж, — X, / причем оно единственно. При отказе от знакопостоянства искомого решения u(xi, х2) задачи A15), A17), когда 6 = —1, как единст- единственность этого решения, так и его существование могут не иметь места. Когда 6 = 0, в силу формулы A00) связь между функ- функциями и(х1г Хъ) и v(Xi, x2) дается формулой A14), причем на этот раз *l-*2). (П8) где ft и /2 — произвольные дважды непрерывно дифферен- дифференцируемые функции. Поскольку начальные условия A17) в силу формулы A14) порождают начальные условия для ) v (xlt 0) = exp [— т (Xt)], ^ ^ =o = - v (xt) exp [— x (xt)], из формулы A18) находим 1 Хъ)= ~2 -~ \ v(t)exp[-x(t)]dt. Xl—Xt Отсюда на основании формулы A14) убеждаемся в том, что задача Коши A17) для уравнения A15) при 6 = 0 не всегда имеет действительное решение. 4°. Построение точных решений еще одного класса квазилинейных уравнений. В приложениях часто прихо- приходится иметь дело с гамильтонианом Н(иъ .... um) = [L{u)dx A19)
$ 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 313 с лагранжевой плотностью вида m ь •••» um)Vu,Vuh где х = (хг х„) — точка n-мерного пространства, ыь ... ..-, "/в — искомые функции, а ^' — известные функции, причем gJ = g/l, i, /=1, .... т. Уравнения Эйлера вариационной задачи для функцио- функционала A19) при detlg1''1=^0 представляют собой эллипти- эллиптическую систему квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка t=l, .... /п. A20) Способ, указанный в пункте 1Р настоящего параграфа, позволяет построить точные решения системы A20) в виде ui = (oi(v), t=l, .... т, A21) где v — произвольная гармоническая функция переменных Xi, .... хп, а оох (с), .... <от (и) — решения системы квази- квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2 /=■1 + Z la»t 2 / = 1, ..., /и. В справедливости этого утверждения сразу убеждаемся, если учесть, что в результате замены искомых функций A21) система A20) записывается в виде + (VU) L_ \дщ~ 2 j — 1, ...( /П.
8M ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5°. Система уравнений ферромагнетизма. В некоторых, весьма важных случаях система обыкновенных дифферен- дифференциальных уравнений A22) легко интегрируется. Такая ситуация возникает, например, в теории ферромагнетизма при изучении ферромагнетика по модели Гейзенберга. В случае двумерного ферромагнетика я = 2, /и = 2, и если обозначить иг и и2 соответственно через В(хи х%) и <p(*i, x2), то лагранжеву плотность можно задать формулой L(8, ф)=.(У8)» + 8та8Gф)г и, стало быть, система A20) должна иметь вид Л8 — sin 8 cos 8 (УфJ = 0, Дф + 2^8 V8 Уф = 0. A23) Функции 8 и ф выступают в роли географических (сфери- (сферических) координат. Вводя для щ, ю2 обозначения йI = 8(и), юг = ф(и), на этот раз вместо A21) будем иметь 6 = 6(»), ф-ф(о), A24) и система обыкновенных дифференциальных уравнений A22) запишется в виде в*-5твсо5 8ф'' = 0, ф" + 2^ев'ф' = 0. A25) Из второго уравнения системы A25) имеем а из первого с учетом A26) — где с и Ci — произвольные постоянные. Уравнение A27) интегрируется сразу, и для cos 8 получаем cos8=.-i J/pa-lsinfippco + c), где ^ — произвольная постоянная, ac(J = — V~C\- В правой части этой формулы вместо +$cv-\-c2 без ограничения общности можно писать ри, ибо v(xlt ^ — произвольная гармоническая функция. Следовательно, имеем cos 8 = х VW^ sin Po. A28)
8 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 315 В силу A28) из A26) получаем ф = т. е. <p = arctgj tgpt> + cs, A29) где с3 — произвольная постоянная. Формулу A28), очевидно, можно записать в виде Таким образом, формулы A29), A30) дают класс тач- тачных решений системы A23), содержащих произвольную постоянную Р и произвольную гармоническую функцию v(xi, хг). Их можно считать, вообще говоря, комплексными. Решения A29), A30), соответствующие Р=0 и Р = 1, даются формулами Ф = arctg v, 6 = Bs+l)J, s = 0,±l,... При действительном р, р*> 1, и действительной v(xi, х^) формулы A29), A30) дают действительные рпие- ния системы A23). Заметим, что выше при построении решений системы A23) мы исходили из требования параллельности векто- векторов V8 и Vф. Некоторые классы точных решений системы A23), отличные от A29), A30), можно построить, если допустить, что векторы V8 и Vф ортогональны. Если 8 —гармоническая функция, то ф должна быть постоянной. Если же предположить, что <р(хъ *»)— гармоническая функция, то в силу второго уравнения A23) будем иметь Ув7ф = 0,
316 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ На основании A31) и гармоничности функции <р(хъ хъ) заключаем, что ^O. A32) Тождественное выполнение равенства A32) означает, что между функциями 6 и / существует зависимость, не содержащая явно независимых переменных xb x2. Считая, что 6 = е(/), в силу A31) из первого уравне- уравнения A23) получаем sin9cos8d8 т. е. f = ±Vsin4 + cit A33) где ^ — произвольная постоянная. Из равенств A31) и гармоничности функции ф(*1, де*) следует, что выражение является полным дифференциалом. На основании A33) и A34) заключаем, что x*h ■ A35) где функция ю (xlt x2) строится интегрированием полного дифференциала -^-dx1 — -g^-dx2. Из равенства A35) в результате интегрирования имеем е - k \ v * if = (о (xlt Хъ), A36) J У 1— k2cos2t где l+c. Пользуясь функцией Якоби sn с модулем k, из A36) получаем cos8 = sn[-£ <о(xi, x%); k\. A37)
§ 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 317 Когда ф(*1( *2) = argz, z=Xi + ix2, для (о(х1г х2) будем иметь со = log | г | и из A36) получаем, что при с4 = 0 и при с4 ф 0. Приняв за со Ф(*ъ 8 = 2 arctg | z |* s8 = sn[log|z|1/*; хЛ функцию k) A38) A39) (z-zq)«, A40) а где гя = xXq + ixiq, q — ±l, 2, .... — произвольные фикси- фиксированные точки плоскости комплексного переменного г, вместо A38) и A39) будем иметь соответственно | (HI) при с4 = 0 и cos6 = snriogni2-z?|*/*; k] A42) при ct=£0. 6°. Одномерный случай гамильтониана A19). Когда в гамильтониане A19) число и=1 и лагранжева плот- плотность вместо A20) будем иметь квазилинейное уравнение 5=0- A43) Как легко видеть, решение соответствующего A22) обыкновенного дифференциального уравнения выписывается в квадратурах: dt = v, A44) где v(xlt ..., х„) — произвольная гармоническая функция. В частности, когда g(u) = (eu— 1J, уравнение A43) принимает вид £=о
318 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ и его решение в силу A44) дается формулой 7°. Варианты уравнений гравитационного поля. Система уравнении Максвелла — Эйнштейна осесимметрического стационарного гравитационного поля сводится к системе нелинейных уравнений вида A20): (Re Е + ФФ) &Е - (V£ + 2Ф УФ) V£ = 0, (Re E + ФФ) АФ - (VE + 2Ф УФ) Уф = 0 относительно двух неизвестных комплексных функций Е и Ф. Как и в пункте 4° настоящего параграфа, будем искать функции Е и Ф в виде E = E(v), Ф = Ф(и), A46) где v — произвольная гармоническая функция. Тогда вме- вместо системы обыкновенных дифференциальных уравне- уравнений A22) будем иметь (Е + Е + 2ФФ) Е' - 2 (Е' + 2ФФ') Е' = 0, (Е + Е + 2ФФ) Ф' - 2 (Е' + 2ФФ') Ф' =• 0. Когда Ф = const, система A47) сводится к одному урав- уравнению для определения функции Е{и): (£ + £ + 2|с|«)£"-2£'- = 0. • A48) Непосредственной проверкой легко убедимся в том, что семейство функций р. в" — «О | |2 где а, р, е — произвольные действительные постоянные, является решением уравнения A48). Пусть теперь £ = const = c-f-fv. При с = 0 решением системы A47), очевидно, является j_ ' + где Я. и ц — произвольные комплексные постоянные. Если же c = 8i или с = — б2, то системе A47) удовлетворяют соответственно выражения
S 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 319 где а, б, v, о» — произвольные действительные, ар — произ- произвольная комплексная постоянные. Когда Е и Ф обе отличны от постоянных, из A47) заключаем, что эти функции связаны между собой линейно: где е и ц — произвольные комплексные постоянные. В частности, при ер,=*—1/2 из A47) для определения функции Е получаем обыкновенное дифференциальное уравнение Dе2ё*££+ 1) Е" - 8 (еёJ ЕЕ'1 - 0. A49) Поскольку выражение 2ee aeiv — I при произвольных действительных постоянных а, © и произвольной гармонической функции v удовлетворяет уравнению A49), пара функций 2в дает класс точных решений системы A45). Решением этой системы является пара функций, определенных по фор- формулам £= „.„ *,. ., Ф = _ | се где а —произвольная комплексная, а р — произвольная действительная постоянные. В предположении, что'£=»—1+fv, из A47) для опре- определения функции Ф получаем уравнение -vffi+O-infc'fl-o, A50) где х, у— вытянутые сфероидальные координаты. Следуя приему, изложенному в пункте 4° настоящего параграфа, приходим к заключению, что функции Ф (и) и v {x, у)
320 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ должны удовлетворять уравнениям (ФФ-1)Ф"-2ФФ'9 = 0 A51) ШUwh0 <152> соответственно. Уравнение A52) эллиптично при (х2 — 1)A — у2)>0, гиперболично при (х2 — 1)A — у2)<.0, а на линиях х = = ±1, у = ±\ оно параболически вырождается. В областях эллиптичности в результате замены неза- независимых переменных у2)-ixy уравнения A50) и A52) запишутся соответственно в виде A53) dzft* 2(г + г)\3г Зг / ФФ —I Зг Зг и З2» 1 / dv дгдг "т" 2(г + г) \"&" ибо
fi 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 321 Нетрудно показать, что решением уравнения A50) является функция \, A55) где w — решение линейного уравнения первого порядка dw w+m n n_fi. ar-27F+IF = °- A56> Действительно, при предположении, что ww Ф1, в результате замены искомой функции A55) уравнение A53) переходит в уравнение дгса I f dw dw\ 1 Г dw w+m 1 dw » дТШ~ ~~ 2( + ) \di IF/ ~~ w + m \_~dl ~ 2(z+z)\ ~3T~V' ~дТШ~ ~~ 2(z + z) \di IF A57) Если w — решение уравнения A56), то, дифференцируя последнее по г, получаем d%> I (dw dw ( На основании A56) и A58) заключаем, что w(z) удов- удовлетворяет уравнению A57) и, стало быть, определенная по формуле A55) функция Ф(г) является решением урав- уравнения A50). 8°. Уравнение Лиувилля. Квазилинейное уравнение &=-= const, A59) называется уравнением Лиувилля. Из уравнения A59) и выражения 33" .fa-* дх?ду полученного его дифференцированием по х, в результате исключения ke" получаем tJV-'v-* <160) где
322 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Уравнение A60), очевидно, равносильно уравнению Рик- кати -g--!*« = /(*), A62) где /(^ — произвольная непрерывная функция перемен- переменного х. Примем обозначение 1К) Ф' (*) 2 ф'а (х) ' где ф (х) — произвольная трижды непрерывно дифферен- дифференцируемая функция (выражение f(x) называется производ- производной Шварца или дифференциальным инвариантом Шварца функции ф(х)). Легко убеждаемся в том, что выражение 2Ф'(*) где \jj (у) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, является решением уравнения A62). Подставляя z(x, у) из A63) в A61), после интегриро- интегрирования получаем решение уравнения A59): и (х, у) = log Ф' (х) - 2 log [Ф (х) + г|> (у)] + log ф' {у) +log | или 2 Ф'(*Н'(у) Формула A64) впервые была получена Лиувиллем. Рассмотрим теперь уравнение -j£ + |£— to*, k = const. A65) Записывая уравнение A65) в переменных z = x+iy, l = x-iy, v(z, z) = u в виде
S 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 323 на основании A64) приходим к заключению, что его решением является функция, определенная из равенства с = с= * [Ф(г)+Ф(г)]« ' где ф (г) — произвольная аналитическая функция комплекс- комплексного переменного г. 9°. Синус-уравнение Гордона. В физике и технике часто приходится иметь дело с уравнением ^ sinUl A66) известным под названием синус-уравнения Гордона. Выписать в конечном виде сколько-нибудь общее реше- решение уравнения A66) затруднительно. Однако, если искать его решение в виде и (х, у) = ф (ах 4- Р#), а = const фО, р = const Ф О, то для определения функции ф получаем обыкновенное дифференциальное уравнение «P'W—5pSinq>, z = ax + p> A67) Умножая A67) на 2ф' и интегрируя, будем иметь где с —произвольная постоянная. Очевидно, что решением уравнения A68) является функция ф(г), определенная из равенства где Ci — произвольная постоянная. В предположениях, что с^=1, ар>0, полученная таким образом функция н = ф(ах4-Р#) будет действительным решением уравне- уравнения A66). 10°. Задача Коши —Дирихле для одного класса нели- нелинейных уравнений параболического типа. В приложениях часто встречаются нелинейные уравнения параболического типа вида Jj? «, A69)
324 гл. уп. нелинейные уравнения где t — время, Д и V — соответственно операторы Лапласа и набла по пространственным переменным хи ..., хп, а /(ы) —заданная функция, определенная для всех значе- значений искомого решения и(х, t). Непосредственной проверкой легко убеждаемся в том, что в результате замены искомой функции A70) осуществляемой посредством равенства T0 = const, A71) In для определения новой неизвестной функции v(x, f) по- получаем линейное уравнение теплопроводности Поскольку структурные и качественные свойства реше- решений уравнения A72) хорошо известны, при исследовании свойств решений уравнения A69) фундаментальную роль может сыграть равенство A71). В общем случае задания функции /(и) характер зави- зависимости между искомыми функциями и(х, t) и v(x, t), связанными равенством A71), является весьма сложным. Поэтому естественно ограничиться рассмотрением конкрет- конкретных примеров уравнения A69). Будем считать, что f(u) представляет собой сумму ряда Лорана fe=_oo где ak — известные числа. В силу формулы A71) имеем -. Ц ехр (^т^1) dx = v, A73) где Y\ ~~ знак бесконечного произведения, в котором индекс k принимает все целые значения кроме —1.
f 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 325 Из формулы A73), в частности, видно, что краевые условия как первой краевой задачи, так и задачи Коши — Дирихле и (х, 0) = и0 (х), х = (хи ..., х„) <= Еп A74) для уравнения A69) порождают соответствующие крае- краевые условия для решения v(x, t) уравнения A72). При- Причем для обеспечения корректности постановки задачи A69), A74) функция ио(х) и числа ак должны быть подобраны так, чтобы, например, краевое условие задачи Коши — Дирихле v(x, 0)= J т*- Дехр^т^А-Мх), хе=Еп, A75) для уравнения A72) не выводило из класса единственно- единственности решения последней задачи. Если функция vo(x) удовлетворяет условию коррект- корректности задачи A72), A75), то, пользуясь n-мерным анало- аналогом формулы A4) главы IV где \Х-1 *=£ (Х,-Ы, « = <&...£&, дающем решение этой задачи, получаем искомое решение и(х, t) задачи A69), A74) в результате обращения ра- равенства A73). Когда коэффициенты ак при кф—1,0 все равны нулю и а-1 = m — целое число, то решения и (х, /)ио (х, t) уравнений A69) и A72) связаны между собой формулами = v при тф—\, Оо = 0, A76) и expaO" = f, Oo#0, A77) или A78)
326 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ при т = 0 или те—1, Оо = 0, соответственно. В этих случаях в классе знакопостоянных решений уравнения A69) (при сц, = 0 без ограничения общности их, очевидно, можно считать положительными) краевое условие A75) принимает вид v(x, O) = vo(x) = uT + l (х) в силу A76) и v(x, 0) = == v0 (x) = log и0 {х) в силу A78). Класс единственности реше- решения задачи A69), A74) в случае A76) определяется легко. Очевидным образом устанавливается класс един- единственности решения этой задачи при ak = 0, k<z—1, m> 1, в равной мере, как и в случае A77), но уже без требования знакопостоянства решений. Значительно осложняется решение задачи A69), A74), когда по мень- меньшей мере один из коэффициентов ah с индексом k<.—1 не равен нулю, или а~\ = —1. На примере а_х = —1, ak = 0, кф—1, в силу формулы A78) приходим к заклю- заключению, что задача A69), A74) в полупространстве />0 имеет бесконечное множество стремящихся к exp w (x, 0) при t-*-0 решений вида и(х, <) = где с—произвольная действительная постоянная, а w (x, t) — произвольное решение задачи Коши — Дирихле для уравнения A72) из класса единственности. Формулы A70), A71) позволяют строить .решения уравнения A69) с различным характером асимптотики по t. Эти же формулы позволяют значительно упростить изучение структурных и качественных свойств некоторых других классов нелинейных параболических уравнений, содержащих квадрат градиента искомого решения в виде слагаемого с коэффициентом, зависящим от самого реше- решения. Так, например, уравнение в результате замены искомого решения по формуле и — exp v — 1 переходит в уравнение dv d*v
$ 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 327 Пусть теперь заданные га-мерный вектор а = (аь ..., а„) и скаляр Ь зависят соответственно от х и от и, а под aVu понимается скалярное произведение векторов а и V«. Замена A70) позволяет приводить уравнение g = Аи + f(u) (VuJ» + а (х) Vu + Ь («), которое отличается от уравнения A69) двумя последними слагаемыми в правой части, к более удобному для изу- изучения виду где 11е. Задача Коши для уравнения (86). Будем считать, что вектор а(и) в уравнении (86) задан для всевозмож- всевозможных значений искомого решения и (х) и имеет непрерыв- непрерывную производную. Как уже было показано в пункте 1° настоящего параграфа, определенная по формуле (89) функция и для любого непрерывно дифференцируемого вектора a(u) = (otl, ..., а„), ортогонального вектору а (и) при соблюдении условия (88), является решением урав- уравнения (86) В случае двух независимых переменных х, t запишем уравнение (86) в виде J + iMs-O, A79) где а (и) на этот раз скаляр. В силу (89) наиболее общее решение уравнения A79) дается формулой u = F[x-a{u)t], A80) где F — произвольная непрерывно дифференцируемая функ- функция, удовлетворяющая условию Требуя, чтобы определенная по формуле A80) функ- функция и (х, t) удовлетворяла начальному условию и(х, 0) = ио(*), — оо<а:<оо, A81)
328 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ получаем, что для всех значений х, —оо<х<оо, F (х) == Но (*) и, стало быть, и(х, t) = ua(x-at). A82) Формула A82) позволяет особенно прозрачно предста- представить себе картину нарушения единственности и появле- появления особенностей решения задачи A79), A81). В частно- частности, при а(и) = и, Uo(x) = x решением задачи A79), A81) является функция и(х, 0 = ^т~| всюду на плоскости пе- переменных х, t кроме прямой / = —1, вдоль которой она претерпевает разрыв. На нарушении единственности и появлении разрывов решения задачи A79), A81) может сказаться снижение порядка гладкости функций а (и) и и0 (х). Для наглядности остановимся на двух примерах. Сперва будем считать, что а(и) = и, и0 (х) = sgn x, — оо<д;<оо. В силу A80) имеем и0 (ш) = sgn ш. В рас- рассматриваемом случае из обыкновенного дифференциаль- дифференциального уравнения характеристик dx-udt = 0, A83) соответствующих уравнению с частными производными A79), следует, что через каждую точку (лг0, 0) вдоль полученного решения и(х, t) проходит по одной харак- характеристической прямой x+t = x0 при хо<О их — t = x0 при хо>О. Прямые x + t = O, x — t = O любую окрест- окрестность D точки @, 0) делят на четыре части, для которых примем обозначения £^gU('±£j. Очевидно, что в DL и D+ имеется по одному решению и(х, 0=1 и u(xi t) =—I, в D^. решения не существуют, а в D— имеются два реше- решения: Ui(Jt, t)=l, Щ(Х, t) = —1. Пусть теперь а(и) = и, uo(x) = xsgnx, — оо<х<оо. Поскольку в силу A82) и0 ((л) = ш sgn ш, то Ui(X, t) = X-Ui(X, t)t, иг{Х, t) = — X+U2(X, t)t или 0 = <f]. ut(x, O = ^rj. A84)
§ 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 329 Подставляя полученные выражения A84) в левую часть уравнения A83) вместо и(х, t), убеждаемся в том, что решениям Ui(x, t), u2(Jt, t) соответствуют характери- характеристические прямые x = c(t-\-1), x = c(t— 1), c = const>0. Следовательно, в полосе D между прямыми t=l, t*=—1 имеем непрерывную функцию и(х, 0 = t—\ удовлетворяющую условию и (х, 0) = х sgn x и являю- являющуюся решением уравнения A79) как внутри правой полуполосы х>0, так и внутри левой полуполосы х<.0. Через каждую точку правой части Di, x>0 полупло- полуплоскости над прямой t=\ и левой части D2, x<.0 полу- полуплоскости под прямой t — — 1 проходит по одной прямой из обоих семейств характеристических прямых x = c(t-\-1), x = c(t— 1). Ни одна из указанных прямых ие проходит в левую часть DB полуплоскости над прямой t = 1 и в правую часть Dt полуплоскости под прямой t =—1. Таким образом, в областях Dx и D2 имеем по два реше- решения уравнения A79), принесенных из D указанными ха- характеристическими прямыми, в то время как в Da и Dt решение из D не распространяется.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абеля интегральное уравнение 40, 200 — лемма 145 Адамара пример 169 Альтернатива Фредгольма 195 Аналитическая функция действи- действительных переменных 149 нескольких комплексных пе- переменных 142—149 — — одного комплексного пере- переменного 85—142 Аналитическое продолжение 127— 129 Аналитичность гармонических функций 149—151 — дробно-лниейиой функция 88 — интеграла типа Коши 107 — полинома 87—88 с несколькими переменны- переменными 145 — сложной функции 93 — суммы кратного степенного ря- да 147 простого степенного ряда 88 — элементарных функций 89 Асимптотическое разложение 256—267 функции Ханкеля 266—267 Бескоиечиозначиая функция 99 Бесконечнолистная функция 99 Бескоиечноудаленная изолирован- изолированная особая точка 122 Бесселевы функции 229, 231 Бесселя неравенство 226 — уравнение 229 — функция 239 Бубнова—Галёркина метод 273, 274 Вариационная задача вторая 269 первая 268 Вариационные методы 267—274 Ватсона метод 261, 262 Вейерштрасса теорема вторая 113 о приближении непрерыв- непрерывной функции полиномами 194 первая 111 Ветвления точка 98 Внешняя задача Дирихле 72, 73 Неймана 73, 74 Волна 155 — стоячая 217 Волновое уравнение 25, 154—168 неоднородное 160—162 с двумя пространственными переменными 161, 162 с тремя пространственными переменными 160—161 Вольтерра интегральное уравне- уравнение второго рода 32, 33, 188, 189 с кратным интег- интегралом 199 первого рода 200 Восстановление аналитической в круге функции по краевым зна- значениям ее действительной части 126 односвязиой в области функции по ее действительной части 108, 109 Вторая теорема Фредгольма 191 Вынужденные колебания 234, 235 Вырождение параболическое 15 Вытянутые сфероидальные коор- координаты 319 Вычет аналитической функции 119—123 относительно полюса 123 Гамильтона принцип 36 Гамильтониан 312, 317 Гамма-функция Эйлера 44, 240
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 331 Гармоническая функция 23, 41, 74 , регулярная в окрестности бесконечно удаленной точки 42 Гармонический поляиом 24 Гарнака теорема 54, 56 Гартогса теорема 145 Гаусса — Остроградского форму- формула 27 Гаусса формула 63, 64 Гельмгольца уравнение 81, 222 Гёльдера условие для функции двух переменных 209 Географические координаты 81, 222 Гильберта интегральное уравнение 209—212 — преобразование 212—213 — — для конечного интервала 215 — — обратное 213 Гиперболического типа уравнения 14, 16, 154—174 Главная часть ряда Лорана 118 Главное элементарное решение 81 Гладкость решений уравнений с частными производными 183,184 Гравитационного поля уравнения 318 Грина формула 75 — функция 47—50, 53 для полупространства 53 шара 50 Гурса задача 167, 168, 172, 293 Гюйгенса принцип 156 Даламбера формула 158 Даламбериан 308 Движение материальной точки под действием силы тяжести 39 Детерминант характеристический 17 Диполь 65 Дирака функция 251, 252 Дирихле задача для уравнения Лапласа 30, 46—54, 254, 268, 269, 299, 302 в круге 51, 52, 130 с разрывны- разрывными краевыми условиями 275— 278 полупростран- полупространстве 53—54 Дирихле задача для уравнения Лапласа в круге шаре 19—51 с разрывными кра- краевыми условиями 275 эллиптического типа второго порядка 78—82 — интеграл 36, 267—269 — принцип 269 Дифференциал полный 144 — функции 86 Дифференциальное уравнение с частными производными (опре- (определение) 11 Допустимая функция 267 Достаточные условия аналитич- аналитичности функции комплексного переменного 86 существования преобразо- преобразования Фурье 242 Дробно-линейная функция 10 Единичной сферы площадь 44 Единственность аналитического продолжения 127 — аналитической функции 115 — асимптотического разложения 257 — гармонической функции 43 — лорановского разложения 118 — решения задачи Дирихле 46, 47, 79, 80 Коши 162 Коши — Дирихле 181 основной смешанной задачи 220 первой краевой задачи для уравнения теплопроводности — тейлоровского разложения 115 Задача Дирихле (см. Дирихле задача) — колебаний мембраны 221—230 — корректно поставленная 29 — Коши 30, 155, 165, 173 — Коши — Дирихле 179—180 — Коши для уравнения Лапласа 168 — Неймаиа 70, 72, 79 — некорректно поставленная 168 — о собственных значениях 269 — 9 таутохроне 39
332 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Задача о наклонной производной 78 — смешанная основная 217—235 — Штурма — Лиувилля 218 Закон Фурье 38 Запаздывающий потенциал 160, 161 Заряд суммарный 34 Изолированная особая точка 119 бесконечно удаленная 192 Инверсия 73, 153 Интеграл в смысле главного зна- значения по Коши 130—133 — типа Коши 107, 108 Интегральная формула Коши 104 для многосвязной об- области 105 функции нескольких переменных 147 Интегральное представление гар- гармонических функций 44 — уравнение 30—33 Абеля (см. Абеля интег- интегральное уравнение) Вольтерра (см. Вольтерра интегральное уравнение) второго рода 31, 32 Гильберта (см. Гильберта интегральное уравнение) крыла самолета 213 — — линейное 31 неоднородное 31 однородное 31 первого рода 31 с вырожденным ядром 189— 193 с логарифмическим ядром 215 сингулярное (см. Сингуляр- Сингулярное интегральное уравнение) третьего рода 31 Фредгольма31,32, 185—208 Интегральный оператор 31 Интегрирование комплексное 100—110 — степенной функции 103, 104 Интегро-дифференциальное урав- уравнение 301 Искажение масштаба в евклидовом пространстве 151 Искажение масштаба в комплекс- комплексной плоскости 92 Канонический вид линейных урав- уравнений с частными производны- производными второго порядка 17 Квазилинейное уравнение с част- частными производными 12, 292,296, 307, 312 Кирхгофа формула 154, 155 Классификация систем уравнений с частными производными 16, 17 — уравнений второго порядка 13—15 — — высшего порядка 15, 16 Колебания круговой мембраны 227—230 — мембраны 221—224 — — малые 35 — струны 217—221 Комплексная плоскость 84 расширенная 84 Конормаль 75 Консерватизм углов в евклидовом пространстве 152 комплексной плоскости 92 Конформное отображение 90—99 в евклидовых пространствах 151-153 круга на круг 95, 96 по Гауссу 151 — — полуплоскости иа круг 95 полуплоскость 94, 95 Корректность постановки задачи Коши 164, 165 Коши — Адамара формула 88 Коши — Ковалевской система 280—283, 291—292 уравнение 288 теорема 283—290 Коши — Римана система для урав- уравнений нескольких переменных 144 одного перемен- переменного 34, 83 комплексная запись 87, 144 Коши теорема 102 Коэффициент теплопроводности 37
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 333 Краевая задача 30 для обыкновенных диффе- дифференциальных уравнений 206— 208 Краевое условие 30, 39 Краевые задачи для аналитиче- аналитических функций 137—142 Кратность нуля 115 Кривая Жордана 65 — Ляпунова 136 Кривые характеристические 18, 19 Круг сходимости 88 Кусочная аналитичность интегра- интеграла типа Коши 137 Кусочно-аналитическая функция 136 Кусочно-гладкая кривая Жордана 100 Лагерра уравнение 232 Лагранжева плотность 313, 314, 317 Лапласа оператор 23 — преобразование 241 обратное 241 — уравнение 23 Лежандра уравнение 233 — функция второго рода 234 присоединенная второго ро- рода 234 первого рода 234 Лейбница формула 107 Липшица условие 293 Лиувилля теорема для аналитиче- аналитических функций 115, 116 гармонических функций 54, 55 — уравнение 321 Логарифмическая функция 98 Лорана ряд 116—118 — теорема 117 Лорановское разложение 118 Мажоранта аналитической функ- функции 285 Максвелла — Эйнштейна уравне- уравнения 318 Максимума модуля принцип ПО, 111 Меллина преобразование 242 Мера гармоническая 278 Мероморфная функция 122 Метагармоническая функция 224 Метод интегральных преобразова- преобразований 235—252 — конечных разностей 252—255 — перевала 264—267 — разделения переменных 217— 235 Методы вариационные (см. Ва- Вариационные методы) Минимизирующая последователь- последовательность 271—272 Монжа — Ампера уравнение 296, 303 Моногенная функция 95 Морера теорема Направление обхода отрицатель- отрицательное 100 положительное 100 Направления характеристические 17, 18, 19 Натяжение мембраны 35 Начальные условия 30, 39 Независимость от пути интеграла аналитической функции 102 Неймана задача (см. Задача Ней- Неймана) — функция 239 Некорректность задачи Дирихле для уравнения гиперболическо- гиперболического типа 168 Нелинейное гиперболическое урав- уравнение 292—296 — эллиптическое уравнение 292, 301—304 Неоднородное уравнение с част- частными производными линейное 12 Неопределенный интеграл 106 Непрерывная функция 84 нескольких переменных 143 Непрерывно продолжимая функ- функция 136 Непрерывность нормальной про- производной потенциала двойного слоя 69 — потенциала объемных масс 57 простого слоя 71 — функции комплексного пере- переменного 85 Норма 224
334 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Нормальная производная гармо- гармонической функции 43 потенциала двойного слоя 69 простого слоя 71 Нуль аналитической функции 115 кратный 115 простой 115 Область влияния 159 — зависимости 158 — однолистности степенной функ- функции 96 экспоненциальной функции 98 — определение (распространения) 159 Обобщенное решение уравнения колебаний струны 184 Обобщенный потенциал двойного слоя 82 объемных мааз 82 простого слоя 82 Образ точки 90 Обратная функция 90, 97, 98 Обращение функции 90 Общая постановка задачи Коши 165 — спектральная задача 218 Общее решение интегрального уравнения 186 Однозначная функция 84 Однолистная функция 90 Однолистность дробио-линейиой функции 93 Однородное уравнение интеграль- интегральное линейное 31 с частными производными линейное 12 Оператор иабла 265, 304, 310 — самосопряженный 74 — сопряженный 74 Операционное исчисление 243 Ортогональное преобразование 152 Ортогональность собственных функций действительного сим- симметрического ядра 198 Особая точка аналитической функ- функции 119—124 Параболического типа уравнение 14, 175—184 Параболическое уравнение 14, 175—184 Параллельный перенос 152 Первая краевая задача (см. За- Задача Дирихле) для уравнения тепло- теплопроводности 177—179 — теорема Фредгольма 191 Пикара метод последовательных приближений 293 Плотность потенциала двойного слоя 64 объемных масс 57 простого слоя 70 Поведение аналитической функ- функции вблизи пояса 119, 120 существенно особой точки 120—122 устранимой особой точки 120 Поверхностная плотность 36 Поле электростатическое 33—35 Полицилиндр замкнутый 142 — открытый 142 Полная ортогональная система функций 225 — ортонормированная система функции 224 Положение равновесия мембраны 35 Полюс аналитической функции 119 Порядок полюса 119 • Потенциал двойного слоя 64—70 — объемных масс 57—64 — поля 34 — простого слоя 70—72 Поток через контур 33 Правильная часть лораиовского разложения 118 Правильно (корректно) постав- поставленная задача 29 Предел функции 84 Предельные значения интеграла типа Коши 133—136 Преобразование подобия 152 Приближенное решение задачи Дирихле для гармонических функций в круге с разрывными краевыми условиями 275—279 Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частиы- ии производными второго по-
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ S35 рядка с двумя независимыми переменными 19—22 Принцип непрерывности анали- аналитического продолжения 127, 128 — симметрии Римана — Шварца 128, 129 — экстремума для гармонических функций 40—47 уравнений эллиптиче- эллиптического типа второго порядка 79— 50 уравнения теплопровод- теплопроводности 175—179 в полосе 181—182 Проверка краевых условий 52, 53 Прогиб мембраны 35 Производная аналитической функ- функции нескольких переменных 145 одного переменного 86 — касательная потенциала про- простого слоя 131—132 — нормальная потенциала двой- двойного слоя 69 — простого слоя 71 — потенциала объемных масс 57, 58 Прообраз точки 90 Пуанкаре задача 78 Пуассона уравнение 60, 61 — формула решения задачи Ди- Дирихле для круга 51, 52, 126 полупростран- полупространства 54 шара 49—51 Коши 156, 157 Равномерно эллиптическое урав- уравнение 14 Радиус сходимости 88 Распространение волны 155 — тепла 37, 38 Регулярное решение 11 Редукция задачи Дирихле к ин- интегральному уравнению 67—69 Неймана к интегральному уравнению 71, 72 Резольвента ядра 193 Решение регулярное уравнений с частными производными 11 — элементарное (уравнения Лап- Лапласа) 24 Решение элементарное (уравнения теплопроводности) 29 Риккати уравнение 322 Рнмана теоремы о конформной отображении 93 — функция 169—172 Риманова поверхность 93, 97, 98 Ритца метод 272, 273 Свертка 248—251 Свойство гармонических функций, знакопостоянных во всем про- пространстве 55 Сила поля 33 Силовая функция 34 Симметричность функции Грина 48, 49 Сингулярное интегральное урав- уравнение 209—216 Сингулярный интеграл 130 Синус-уравнение Гордона 323 Системы уравнений с частными производными 16, 17, 280—292 ферромагнетизма 314—317 Скорость распространения звука 36 — смещения 36 Сложная функция 93 Смешанного типа уравнение 14 Собственное число ядра 191, 222 Собственные функции 222, 196, 198 — числа 196—199, 222 Соответствующее однородное ин- интегральное уравнение 185 Сопряженные гармонические фун- функции 108 Сохоцкого — Вейрштрасса теоре- теорема 120 Сохоцкого — Племеля формулы 136 Союзное однородное интегральное уравнение 185 Спектр действительного симмет- симметричного ядра 199 — ядра 197 Специальные функции 231 Средняя квадратичная ошибка 225 Степенная функция 96, 99 Степенной ряд 88 с несколькими переменными 145
336 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Суммарный заряд 34 Существенно особая точка 119 Существование конформно отобра- отображающей функции 93 — производных всех порядков у аналитической функции 108 гармонической функции 108 второго порядка потенциа- потенциала объемных масс 58—60 — решения задачи Дирихле 126, 202 первой краевой задачи для уравнения теплопроводности 177—179 Сферические функции Лапласа 232 Тейлора ряд 113—115 — теорема 114 для аналитических функций нескольких переменных 147, 148 Тейлоровское разложение 115 Теорема о взаимно однозначном соответствии 93 соответствии границ 93 сохранении области 92 Теплоемкость удельная 37 Теплопроводности уравнение 28, 175—183 неоднородное 182, 183 Третья теорема Фредгольма 193 Узловые линии 230 Узлы сети 253 Уравнение колебаний струны 157—159, 217—221 — линейное 12 — неоднородное 12 — однородное 12 Ускорение силы тяжести 39 Условие разрешимости задачи Неймана 72, 203 Устойчивость решения 29 задачи Коши — Дирихле 181, 182 Устранимая особая точка 119 Форма характеристическая 13 Формула композиции сингуляр- сингулярных интегралов 212 — о среднем арифметическом для гармонических функций по сфе- сфере 45, 46 Формула о среднем арифметиче ском для гармонических функ ций по шару 45—46 — обращения интегральногоурав нения Гильберта 212 крыла самолета 213— 215 Формулы скачка для потенциал; двойного слоя 69 Фредгольма теоремы 189—199 Функция Грина для обыкновеи ного дифференциального урав нения 207 Фурье коэффициенты 225 — преобразование 241, 242 обратное 242 Ханкеля функции 239 Характеристическая задача 167 168 Целая трансцендентная функцш 122 — функция 122 Циркуляция 33 Частное решение неоднородной интегрального уравнения 186, Чебышева уравнение 231 — функция 231 Шаг сети 253 Шаровые функции 232 Шварца формула 124—126 — дифференциальный инвариаи' (производная) 322 Эйлера уравнение 36, 267, 271 313 Экспоненциальная функция 98 99 Электростатическое поле 33—35 Элементарные свойства гармони ческих функций 41—47 Эллиптического типа уравнение 14, 41—84, 299—304 Ядро интегрального уравнения 3 — Гильберта 212 — Коши 212 — итерированное (повторное) — разрешающее (см. Резольвент! ядра) — симметричное 198 Якоби функция 316