Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружении. Расчетно-теоретический - Уманский А.А.

РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА. Чл.-корр. АН УССР д-р физ.-мат. наук проф. И. Я. Штаерман
1.1.2. Логарифмы
1.1.3. Прогрессии
1.1.4. Факториал
1.1.5. Соединения
1.1.6. Бином Ньютона
1.3.3. Функции суммы и разности углов, кратных углов и половинного угла
1.3.4. Степени функций
1.3.5. Приведение к виду, удобному для логарифмирования
1.3.6. Зависимости между функциями трех углов, сумма которых равна 180°
1.3.7. Зависимости между обратными тригонометрическими функциями
1.3.8. Формулы, применяемые при решении треугольников
1.3.9. Гиперболические функции
1.4. Аналитическая геометрия
1.4.2. Прямая линия
1.4.3. Окружность
1.4.4 Парабола
1.4.6. Построение конических сечений
1.4.7. Цепная линия. Циклоида. Спираль
1.4.8. Точка в пространстве
1.4.9. Плоскость
1.4.10. Прямая в пространстве
1.4.11. Поверхности второго порядка
1.5.3. Поверхности
1.6. Дифференциальное исчисление
1.6.3. Раскрытие неопределенностей
1.6.4. Исследование функций
1.6.5. Функция двух переменных
1.7.2. Интегрирование рациональных функций
1.7.3. Интегрирование иррациональных функций
1.7.4. Интегрирование трансцендентных функций
1.7.7. Криволинейные интегралы
1.8. Ряды
1.9. Дифференциальные уравнения
1.9.2. Уравнения первого порядка
1.9.3. Уравнения второго порядка
1.9.4. Линейные уравнения второго порядка
1.9.5. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
1.9.6. Метод начальных параметров
1.10. Функции комплексной переменной
1.10.2. Комплексные функции
1.10.3. Конформные отображения
1.11. Вариационное исчисление
1.11.3. Прямые методы
1.12. Разностное исчисление
1.12.2. Разностные уравнения
1.13.2. Уравнения Вольтерра второго рода
1.13.3. Уравнения Абеля
1.13.4. Сингулярные уравнения
1.14. Специальные функции
1.14.2. Полиномы Чебышева
1.14.3. Гамма-функция
1.14.4 Функции Бесселя
1.15.2. Применение операционного исчисления
1.16. Векторное и тензорное исчисления
1.16.2. Векторный анализ
1.16.3. Тензоры
1.17.2. Приближенные формулы
1.18. Номография
1.18.2. Номограммы из выравненных точек
1.18.3. Сетчатые номограммы
1.18.4. Номограммы для уравнений с числом переменных более трех
1.19. Приближенное представление функций
1.19.2. Интерполяционные формулы
1.19.3. Приближение функций по методу наименьших квадратов
1.19.4. Приближенное вычисление определенных интегралов
1.20.3. Приближенный гармонический анализ
1.21.2. Случайные величины
1.21.3. Обработка наблюдений
1.22.2. Тригонометрические функции. Синусы и косинусы
1.22.3 Круговые, показательные и гиперболические функции
1.22.4. Некоторые постоянные
1.22.5. Соотношение между английскими и метрическими мерами
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Д-р техн. наук проф. А. Н. Обморшев.
2.1.2. Сложение и разложение сил
2.1.3. Моменты сил и пар
2.1.4. Параллельные силы
2.1.5. Произвольная система сил
2.1.6. Правила прикрепления твердого тела
2.1.7. Системы с трением
2.2.2. Применение веревочного многоугольника к определению опорных реакций
2.2.3. Определение усилий в стержнях плоских статически определимых ферм
2.2.4. Разложение силы по трем прямым, пересекающимся в одной точке и не лежащим в одной плоскости
2.2.5. Разложение силы по шести произвольно расположенным прямым
2.3.3. Принцип возможных перемещений
КИНЕМАТИКА
2.4.3. Относительное движение точки
2.5. Кинематика твердого тела
2.5.2. Вращение вокруг неподвижной оси
2.5.3. Винтовое движение
2.5.4. Плоско-параллельное движение
2.5.5. Движение тела около неподвижной точки
2.5.6. Сложение скоростей или бесконечно малых перемещений при сложном движении твердого тела. Статико-кинематическая аналогия
2.5.7. Элементы кинематики механизмов
2.5.8. Кинематические пары, входящие в расчетные схемы сооружений
2.7. Динамика точки
2.7.2. Прямолинейное движение точки
2.7.3. Криволинейное движение точки
2.7.4. Кинетостатика точки. Относительное движение
2.8. Динамика системы
2.9. Динамика твердого тела
2.9.2. Физический маятник
2.9.3. Давление вращающегося тела на опоры
2.9.4. Плоско-параллельное движение
2.10. Удар
2.10.2. Удар двух тел
2.10.3. Действие удара на вращающееся твердое тело
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ. Д-р техн. наук И. И. Трапезин
3.1.2. Одноосное напряженное состояние
3.1.3. Плоское напряженное состояние
3.1.4. Объемное напряженное состояние
3.1.5. Преобразование компонентов напряжения к новым осям координат
3.1.6. Интенсивность напряжений в данной точке
3.2.2. Определение угловой деформации и величин главных удлинений по удлинениям в трех направлениях в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния
3.2.3. Интенсивность деформаций
3.3. Зависимости между напряжениями и деформациями в пределах упругости
3.3.2. Закон Гука для анизотропного тела
3.3.3. Плоскость симметрии в отношении упругих свойств
3.3.4. Ортотропное упругое тело
3.3.5. Потенциальная энергия упругого тела
3.4. Связь между напряжениями и деформациями за пределами упругости
3.4.2 Напряжения и деформации при простом нагружении и при разгрузке
3.4.3 Диаграммы растяжения
3.4.4 Схематизация истинных диаграмм растяжения
Автор: Уманский А.А.
Теги: строительство проектирование сооружение зданий
Год: 1960
Похожие
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Книга 1
Справочник проектировщика промышленных жилых и общественных зданий и сооружений. Книга 2
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Книга 2
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Металлические конструкции промышленных зданий и сооружений
Текст
                    ПЕРЕЧЕНЬ ТОМОВ,ВХОДЯЩИХ В СЕРИЮ СПРАВОЧНИКОВ ПРОЕКТИРОВЩИКА ПРОМЫШЛЕННЫХ, ЖИЛЫХ И ОБЩЕСТВЕННЫХ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙВышли в светРасчетно-теоретическийСборные железобетонные конструкцииПромышленный транспортОрганизация строительства и производство строительно-монтажных ра¬ бот. Промышленное строительствоПодготавливаются к изданиюПромышленные здания и сооружения Жилые и общественные здания ГрадостроительствоМеталлические конструкции промышленных зданий и сооружений Каменные и армокаменные конструкции зданий и сооружений Основания и фундаментыОтопление, водопровод и канализация (внутренние санитарно-техниче¬ ские устройства)Вентиляция и кондиционирование. Автоматика санитарно-технических системВодоснабжение промышленных предприятий и населенных мест Канализация промышленных предприятий и населенных мест Организация строительства и производство строительно-монтажных работ.Строительство жилых и общественных зданий Проектирование предприятий материально-технической базы строительства Справочник архитектора, т. II, полутом I «Озеленение городов» изд. 2-ое.
СПРАВОЧНИК ПРОЕКТИРОВЩИКАПРОМЫШЛЕННЫХ, ЖИЛЫХ И ОБЩЕСТВЕННЫХ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙРАСЧЕТНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙПОД РЕДАКЦИЕЙ доктора техн. наук, профессораА.	А. УМЛНСКОГОРассмотрено и одобрено Центральным научно-исследовательским институтом строительных конструкций Академии строительства и архитектуры СССРГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ, АРХИТЕКТУРЕ И СТРОИТЕЛЬНЫМ МАТЕРИАЛАМ Москва—I960
АВТОРЫ ТОМААгамиров В. Л., канд. техн. наук Архангельский В. Я., дои.Бернштейн М. С., канд. техн. наук доц. Быковский В. Я., д-р техн. наук проф. Вишневский К. Я., ннж.Волчегорский М. С., ннж.Вольмир А. С., д-р техн. наук проф.Газарян А. Я., инж.Геммерлинг А. В., д-р техн. наук Глухарев А. Я., инж.Гольденблат И. Я., д-р техн. наук проф. Григорьев Ю. Я., канд. техн. наук доц. Губенко А. £., д-р техн. наук Дзержкович Б. А., канд. техн. наук доц. Жемочкин Б. Я., действ, чл. АСиА СССР д-р техн. наук проф.Иммерман А. Г., канд. техн. наук- Кан С. Я., д-р техн. наук проф.Кананов Я. /(., инж.Китовер К. Л., канд. техн. наук доц. Клейн Г. К., д-р техн. наук проф. Клепиков J1. В.у канд. техн. наук доц« Коданев А. Я., канд. техн. наук доц. Коренев Б. Г., д-р техн. наук проф. Лукаш /7. Л., канд. техн. наук доц.Львин Я. Б., канд. техн. наук доц. Малышев М. В., канд. техн. наукМарьин В. А., канд. техн. наук доц. Мацелинский Р. Я., канд. техн. наук Милейковский И. Е., канд. техн. наук Новицкий В. В., канд. техн. наук доц. Обморшев А. Я., д-р техн. наук проф. Отставное В. А., канд. техн. наук Пиковский А. Л., д-р техн. наук проф. Пицкель Л. Я., канд. техн. наук.Ратновская Г. Юинж.Семенцов С. А., чл.-корр. АСиА СССР ка»^.техн. наук Сизов А. Мканд. техн. наук Синицын А. Я., д-р техн. наук проф,Сосис Я. М., канд. техн. наук Сысоев В. Я., канд. техн. наук. Тарнопольский Б. Л., инж.Трапезин И. Я., д-р техн. наук Трепененков Р. Я., канд. техн. наук доц. Тюленев А. Я., канд. техн. наук Уманский Л. Л., д-р техн. наук проф. Чернашкин В. Г., канд. техн. наук доц, Чувикин Г. М., канд. техн. наук.Шапиро Д. Л., инж.Школьный Я. Л., канд. техн. наук доц. Штаерман И. Я., чл.-корр. АН УССР д-р ‘ физ.-мат наук проф.НАУЧНЫЕ РЕДАКТОРЫ:Афанасьев А. М. канд. техн. наук доц. (разделы 2, 3, 10, 11, 12); Вайсфельд Н. Иканд. техн. наук доц. (раздел 1); Киселева И. В., канд. техн. наук (раздел 22Коданев А. И., канд. техн. наук доц. (раздел 4); Малышев М. В.9 канд. техн. наук (разделы 19—21); Марьин В. Лм канд. техн. наук доц. (разделы 15, 16); Рудоминер М. С., инж. (разделы 5—8, 14, 17, 18); Шрайбер М. Нканд. техн. наук (раздел 13).Редактор по унификации — инж. М. С. Рудоминер
ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие 	РАЗДЕЛ 1МАТЕМАТИКАЧл.-корр. АН УССР д-р физ.-мат. наук проф. и. Я. Штаерман1.1.	Алгебра1.1.1.	Степени и корни	1.1.2.	Логарифмы 	^ J.I.3. Прогрессии		 . -1.1.4.	Факториал	1.1.5.	Соединения : :			1.1.6.	Бином Ньютона1.1.7.	Определители (детерминанты) 	1.1.8.	Линейные уравнения 	„ * * *1.1.9.	Матрицы (канд. техн. наук В. В. Новицкий) . .1.1.10.	Уравнения высших степеней 	1.1.11.	Приближенное решение уравнений .	•1.2.	Геометрия1.2.1.	Плоские фигуры		 . .Многоугольники (Й). Круг и его части (23). Пло¬ щади, ограниченные кривыми второго порядка (23)1.2.2.	Тела 	Тела, ограниченные плоскостями (24). Цилиндр и конус (24). Шар и его части (24). Некоторые дру¬ гие тела (25). Тела вращения (теоремы Гюльдена) (25). Призматоид (25). Рампа (25)1.3.	Тригонометрия1.3.1.	Измерение углов	т :1.3.2.	Тригонометрические (круговые) функции . . .1.3.3.	Функции суммы и разности углов, кратных углов и половинного угла 	1.3.4.	Степени функций 	1.3.5.	Приведение к виду, удобному для логарифми¬ рования 	1.3.6.	Зависимости между функциями трех углов, сум¬ ма которых равна 180°	1.3.7.	Зависимости между обратными тригонометриче¬ скими функциями 	1.3.8.	Формулы, применяемые при решении треуголь¬ ников 	1.3.9.	Гиперболические функции •••••>...1.4.	Аналитическая геометрия1.4.1.	Точка на плоскости	7 . • .1.4.2.	Прямая линия		1.4.3.	Окружность			1.4.4	Парабола 		 ... .....1.4.5.	Эллипс и гипербола 	1.4.6.	Построение конических сечений 	1.4.7.	Цепная линия. Циклоида. Спирчль	1.4.8.	Точка в пространстве	1.4.9.	Плоскость . . 	1.4.10.	Прямая в пространстве 	1.4.11.	Поверхности второго порядка	1.5.	Дифференциальная геометрия1.5.1.	Плоские кривые 	: . : :1.5.2.	Пространственные кривые ...»	1.5.3.	Поверхности		1.6.	Дифференциальное исчисление1.6.1.	Функция, предел, непрерывность1.6.2.	Производная и дифференциал 		Стр.	Стр.15 1-6.3. Раскрытие неопределенностей 		391.6.4.	Исследование функций 		—1.6.5.	Функция двух переменных 		—1.7.	Интегральное исчисление1.7.1.	Неопределенный интеграл 		401.7.2.	Интегрирование рациональных функций ...	411.7.3.	Интегрирование иррациональных функций ...	421.7.4.	Интегрирование трансцендентных функций . .	—1.7.5.	Определенный интеграл		441.7.6.	Кратные интегралы 		4517	1.7.7. Криволинейные интегралы		4618	1.8. Ряды—	1.8.1. Числовые ряды • . • т . . 		46—	1.8.2. Степенные 'ряды		4719	1.9. Дифференциальные уравнения21	1.9.1. Основные понятия 		 г	4922	I-9-2- Уравнения первого порядка 		—1.9.3.	Уравнения второго порядка		—1.9.4.	Линейные уравнения второго порядка ....	501.9.5.	Линейные уравнения высших порядков с по-23	стоянными коэффициентами		511.9.6.	Метод начальных параметров 		—1.9.7.	Общие решения дифференциального уравнения24	четвертого порядка с биквадратным характери¬ стическим уравнением (канд. техн. наук А. И. Тю- ленев) 		 .	521.9.8.	Приближенные методы 		—1.9.9.	Уравнения математической физики 		561.9.10.	Квазилинейные уравнения		571.10.	Функции комплексной переменной25	1.10.1. Комплексные числа 	,	58—	1.10.2. Комплексные функции 		—1.10.3.	Конформные отображения 	„	59—	1.11. Вариационное исчисление—	1.11.1. Постановка задачи 			5Э1.11.2.	Основные случаи 			60—	1.11.3. Прямые методы 		6128	1.12. Разностное исчисление—	1.12.1 Определение разностей	: .... я	6129	1.12.2. Разностные уравнения 			—1.13.	Интегральные уравнения293Q 1.13.1. Уравнения Фредгольма		62		Методы решения однородного уравнения (62). Ме-_	тоды решения неоднородного уравнения (62)31 1.13.2. Уравнения Вольтерра второго рода	63до 1.13.3. Уравнения Абеля				—__ 1.13.4. Сингулярные уравнения 		—^ 1.14. Специальные функции—	1.14.1. Полиномы Лежандра 		641.14.2.	Полиномы Чебышева 		—1.14.3.	Гамма-функция 		—1.14.4	Функции Бесселя		—3436	1.15. Операционное исчисление371.15.1.	Преобразование Лапласа 	.	651.15.2.	Применение операционного исчисления ...	660_ 1.16. Векторное и тензорное исчисленияо/38	1.16.1. Векторная алгебра 	* г *	66
4СОДЕРЖАНИЕ1.16.2.	Векторный анализ1.16.3.	Тензоры . . .1.17.	Приближенные вычисления1.17.1.	Общие положения 	1.17.2.	Приближенные формулы *	1.18.	Номография1.18.1.	Функциональная шкала3.18.2.	Номограммы из выравненных точек . . .J.18.3. Сетчатые номограммы ... ....2.18.4.	Номограммы для уравнений с числом перемных более трех 		1.19.	Приближенное представление функций1.19.1.	Постановка задачи		1.19.2.	Интерполяционные формулы 	1.19.3.	Приближение функций по методу наименьших квадратов	...	...1.19.4.	Приближенное вычисление определенных интег¬ ралов 	1.20.	Ряды Фурье1.20.1.	Разложение функций в ряд Фурье . . . . :1.20.2.	Интеграл Фурье ....		1.20.3.	Приближенный гармонический анализ ....1.21.	Теория вероятностей1.21.1.	Понятие вероятности : . 		1.21.2.	Случайные величины 		1.21.3.	Обработка наблюдений 	1.21.4.	Основы теории корреляции	1.22.	Математические таблицы1.22.1.	Степени, корни, натуральные логарифмы . . .1.22.2.	Тригонометрические функции. Синусы и коси¬ нусы . .		1.22.3	Круговые, показательные и гиперболические функции . .	.	. . . . .1.22.4.	Некоторые постоянные ... . . . .1.22.5.	Соотношение между английскими и метрически¬ ми мерами .... » 	ЛитератураРАЗДЕЛ 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАД-р техн. наук проф. Л. Н. Ооморшев СТАТИКА2.1.	Геометрическая статика2.1.1.	Основные положения	2.1.2.	Сложение и разложение сил 	2.1.3.	Моменты сил и пар 	2.1.4.	Параллельные силы . 	2.1.5.	Произвольная система сил .		2.1.6.	Правила прикрепления твердого гела ....2.1.7.	Системы с трением 	2.1.8.	Центр тяжести . « . * :	2.2.	Графостатика2.2.1.	Веревочный многоугольник 		 . .2.2.2.	Применение веревочного многоугольника к оп¬ ределению опорных реакций 	2.2.3.	Определение усилий в стержнях плоских стати¬ чески определимых ферм 		2.2.4.	Разложение силы по трем прямым, пересекаю¬ щимся в одной точке и не лежащим в одной плоскости		•	...2.2.5.	Разложение силы по шес1и произвольно распо¬ ложенным прямым 	-	2.3.	Ана читическя статика2.3.1. Работа. Мощность 2.3.2 Потенциальная энергия2.3.3. Принцип возможных перемещений .......Стр.67686969707С7273747778798082909295979899 102103104 106107108109110 111КИНЕМАТИКА2.4.	Кинематика точки2.4.1	Прямолинейное движение точки2.4.2.	Криволинейное движение точки 	2.4.3.	Относительное движение точки 	2.5.	Кинематика твердого тела2.5.1.	Поступательное движение 	2.5.2.	Вращение вокруг неподвижной оси	2.5.3.	Винтовое движение . .		2.5.4.	Плоско-параллельное движение 	2.5.5.	Движение тела около неподвижной точки2.5.6.	Сложение скоростей или бесконечно малых пе¬ ремещений при сложном движении твердого пм i Статико-кннематнческая аналогия . . .2.5.7.	Элементы кинематики механизмов2.5.8.	Кинематические пары, входящие в расчетные схемы сооружении 	ДИНАМИКА2.6.	Механические единицы2.6.1.	Правило размерностей2.7.	Динамика точки2.7.1.	Основные законы 	: . . . .2.7.2.	Прямолинейное движение точки 	2.7.3.	Криволинейное движение точки 	2.7.4.	Кинетостатика точки. Относительное движение .2.8	Динамика системы2.8.1.	Общие теоремы динамики 	2.8.2.	Общие принципы динамики системы . . !2.8.3.	Моменты инерции	2.9.	Динамика твердого тела2.9.1.	Вращение тела вокруг неподвижной оси ....2.9.2.	Физический маятник 	2-9.3. Давление вращающегося тела на опоры ! . ]2.9.4.	Плоско-параллельное движение 	12.10.	Удар2.10.1.	Основные положения :	2.10.2.	Удар, двух тел		2.10.3.	Действие удара па вращающееся твердое телоЛитератураРАЗДЕЛ з НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ Д-р техн. наук И. И. Трапезин3.1.	Напряжения3.1.1.	Основные понятия 	; . . : .3.1.2.	Одноосное напряженное состояние	3.1.3.	Плоское напряженное состояние 	3.1.4.	Объемное напряженное состояние 	3.1.5.	Преобразование компонентов напряжения к но¬ вым осям координат ....		3.1.6.	Интенсивность напряжений в данной точке . .3.1.7.	Круги Мора		3.2.	Деформации3.2.1.	Компоненты деформаций	3.2.2.	Определение угловой деформации и величин главных удлинений по удлинениям в трех на¬ правлениях в случае плоской деформации и плос¬ кого напряженного состояния 	3.2.3.	Интенсивность деформаций 	3.3.	Зависимости между напряжениями и дефор¬мациями в пределах упругости3.3.1.	Закон Гука для изотропного тела . ,3.3.2.	Закон Гука для анизотропного тела3.3.3.	Плоскость симметрии в отношении свойств ... 	3.3.4.	Ортотропное упругое тело . . .3.3.5.	Потенциальная энергия упругого телаупругихСтр.111112113113114115116118Ш120120121122123124124125127128130131132133134135136
СОДЕРЖАНИЕСтр.2.4.	Связь между напряжениями и деформация¬ ми за пределами упругости3 4 I Условия пластичности 		1363 4 2 Напряжения и деформации при простом нагру¬ жении и при разгрузке 	 ...	—3 4 < Диаграммы растяжения 		1373 4 4 Схематизация истинных диаграмм растяжения	—3 4 5. Построение кривой зависимости от £/	*38Л итератураРАЗДЕЛ 4ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙКандидаты техн. наук доценты А. И. Коданев, В. Г.Чернашкан, \Б. А. Дзержкович\, чл.-корр.АСиА СССР канд. техн. наук С А. Семенцов, канд. техн. наук Л. Н. Пицкель, д-р техн. наук проф. В Н. Быковский, д-р техн. наук А. Б Губенко, кандидаты техн. наук А. Г. Иммерман, Л В. Клепиков,В.	А. Отставное4.1.	Прочность материалов (А. И. Коданев)4.1.1.	Упругость, пластичность и разрушение . .	1394.1.2.	Влияние характера напряженного состояния . .	—4.1.3.	Влиянио температуры	/	1424.1.4.	Влияние длительности нагружения		—4.1.5.	Влияние переменности нагрузки		1434.1.6.	Влияние концентрации напряжений		1454.1.7.	Влия'ние скорости приложения нагрузки ....	—4.2.	Строительные стали (В. Г. Чернашкин}4.2.1.	Основные понятия и обозначения ....	1464.2.2.	Физические свойства углеродистой стали ...	—4.2.3.	Химический сост?в и механические свойства уг¬ леродистой стали 		147Сталь углеродистая горячекатаная обыкновенного качества пс ГОСТ 380-50 (147) Сталь углеродистая для мостостроения (151). Сталь углеродистая для армирования железобетонных конструкций (153).^4.2.4.	Химический состав и механические свойства низ¬ колегированной сталч	 154Сталь низколегированная 10ХНДП (СХЛФ) с повы¬ шенным содержанием фосфора (157). Сталь низколе¬ гированная марки 10Г2СД (МК) (158). Сталь низко¬ легированная марок 14ХГС и 19Г (159). Сталь низко¬ легированная марки 15ГС (159).4.3.	Сплавы алюминия для строительства(Б/ А. Дзержкович)	1604.4.	Бетон (С. А. Семенцов)4.4.1.	Прочность 	1624.4.2	Деформация 	* . .	1644.5.	Каменные материалы (С. А. Семенцов)4.5.1.	Прочность 	 	;	1694.5.2	Деформации 	 		1714.6.	Армированные материалы (Л. Н. Пицкель)4.6.1.	Общие сведения 	: :	1724.6.2.	Железобетон . 		1734.6.3.	Армоцемент . . 		1774.6.4.	Армироранные каменные конструкции		—4.6.5.	Армированный асбестоцемент		1784.7.	Древесина (В. Н. Быковский)4.7.1.	Общие сведения 		1794.7.2.	Механические свойства 		—4.8	Пластмассы в строительных конструкциях(А. Б. Губенко)4.8.1.	Конструктивные пластмассы 		1814.8.2.	Конструкции с применением пластмасс ...	1834.8.3.	Клеи и склеивание конструкций с применением пластмасс 		1844.9.	Методы расчета конструкций4.9.1.	Метод расчета по расчетным предельным состоя¬ ниям (Л. В Клепиков, В. А. Отставное) ....4.9.2.	Метод расчета по разрушающим нагрузкам (А. Г. Иммерман)		4.9.3.	Метод расчета по допускаемым напряжениям (А. Г. Иммерман) 	ЛитератураРАЗДЕЛ Г-СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВД-р техн. наук проф. А. А. Уманский5.1.	Основные положения технической теориибруса5.1.1.	Определения 	5.1.2.	Основные факторы работы бруса. Статико-кинема- тическая аналогия 			Нагрузки и усилив (193) Деформации и перемеще¬ ния (194). Статико-кинематическая аналогия (194)5.1.3.	Интегральные соотношения между напряжениями и усилиями в поперечных сечениях 	5.1.4.	Соответствующие силы и перемещения, усилия и дислокации		5.1.5.	Начальная, температурная и упругая распреде¬ ленные деформации . . 	5.1.6.	Две системы координатных осей упругого бруса с несимметричным сечением 	5.1.7.	Упругое основание 	5.1.8.	Плоский неразветвленный упругий брус. Обоб¬ щенная статико-кинематическая аналогия . . .5.2.	Определение нормальных напряжений5.2.1.	Геометрические характеристики поперечных се¬ чений брусьев 	5.2.2.	Определение моментов ииерции относительно ис¬ ходных осей 	 	5.2.3.	Редуцирование площадей при вычислении момен¬ тов инерции 	 	5.2.4.	Общая формула нормального напряжения при растяжении-сжатии и изгибе. Нейтральная линия . . 	5*2.5. Максимальные нормальные напряжения . . .5.2.6.	Ядро сечения ...			 •5.2.7.	Случай переменного модуля Е	5.2.8.	Пользование центральными неглавными осями .5.3.	Определение касательных напряжений и де¬ формаций в брусьях! Особенности тонкостенных сечений5.3.1.	Расчет на срез (сдвиг) 	5.3.2.	Расчет на направленный срез (сдвиг) .... Формулы для погонных касательных усилий и на¬ пряжений (208)5.3.3.	Касательные напряжения при изгибе. Центр изгиба		5.3.4.	Деформация сдвига при изгибе брусьев с мас¬ сивным сечением и двутавровых балок . . .5.3.5.	Касательные напряжения при изгибе и центр изгиба открытых тонкостенных сечений . . .5.3.6.	Касательные напряжения при изгибе и центр из¬ гиба замкнутых тонкостенных сечений	5.3.7.	Касательные напряжения и относительный угол закручивания при свободном крученги. Геометри¬ ческие характеристики	. 	5.3.8.	Депланацин при свободном кручении	Эпюры единичной депланаций при свободном кру¬ чении для тонкостенных сечении (217)5.3.9.	Стесненное кручение . .		5.3.10.	Сложное сопротивление тонкостенных брусьев.Приведение нагрузок к типам усилий5.4.	Классификация систем брусьев и общие методы строительной механики5.4.1.	Основные определения		5.4.2.	Виды систем 	Балки (221). А^кп (221). Рамы (222). Фермы (222). Комбинированные системы (223). Спареш: лр плоские системы (биконструкции) (223)5.4.3.	Статический метод определения перемещений и кинематический метод определения усилий на примере балки. Инфлюенты (линии и поверхно¬ сти влияния)	5Стр.184189190 1Л19319519719820Э201203204205206208210213215216217219220 221224
6СОДЕРЖАНИЕСтр.-Статический метод определения перемещения в ста¬ тически определимой системе (224). Кинематический метод определения усилия в статически определи¬ мой системе (224). Обобщенная теорема о взаимно- «сти paf-от активных факторов. действующих на упругую синему (225) Формулы для перемещения в упругой с. н. системе (225). Формулы для усилия в с. н. системе (225). Теоремы о взаимности единич¬ ных перемещений и усилий (226)'.5.4.4 Метол потенциальной энергии	 227Выражение энергии деформации через обобщенные1	силы и обобщенные перемещения (227). Выражение энергии деформации через силы и единичные пере¬ мещения (227). Выражение энергии деформации систе¬ мы брусьев через усилия (227). Теорема Кастильяно (227). Теорема о минимуме энергии деформации (228).Случай заданных (температурных или начальных) де¬ формаций (228). Выражение энергии деформации через перемещения или дислокации (228). Теорема об экст¬ ремуме полной энергии (228). Случай нелинейно-дефор- мируемой системы, когда энергия деформации не есть функция второй степени от нагрузок (229)5.5.	Балки5.5.1.	Определение усилий и перемещений и построе¬ ние эпюр в балках по методу начальных параметров . . 	 229Общие положения (229). Обыкновенная балка посто¬ янного сечения (230) Обыкновенная балка перемен¬ ного сечения (232). «Графоаналитический» метод определения перемещений в обыкновенных балках (234). Концевые углы поворота сечений простой балки как фиктивные ре?кции (235).5.5.2.	Абсолютно жесткая балка на упругом основаниии обыкновенная балка с защемленными концчми 236 Уравнения эпюр (236). Абсолютно жесткие балки со свободными концами на упругом основании (236). Обыкновенные балки с защемленными концами (237)5.5.3.	Приемы, упрощающие построение эпюр и ин- флюент статически определимых балок .... 2386.5.4.	Равнопролетные неразрезные балки на жестких опорах. Метод бесконечной основной системы. 239Полубескоьечная балка (239). Бесконечная балка (240). Построение инфлюент (240) Конечная равно- пролетная балка (241)6.5.5.	Равнопрольтны** неразрезные балки постоянного сечения на упруго оседающих опорах .... 241Метод чачальнкх параметров (241). Бесконечная и полубесконечнал балки (245). Расчет конечных рав¬ нопролетных балок по таблицам для бесконечных балок (246)55.6.	Балка на упругом (винклеровском) основании . 246 Общие данные (246). Уравнения эпюр (246). Однопро- легная балка (248). Бесконечная двусторонняя бал¬ ка (250). Полубссконечная балка (251) Использова¬ ние бесконечной балки для расчета конечных балок (Метод компенсирующих нагрузок) (251). Практические указания (251). Дополнительная литература (251)5.5.7.	Общий метод расчета неразрезных балок на жестких опорах^ Уравнение трех опорных моментов °515.5.8.	Решение системы уравнений трех моментов н общих трехчленных уравнений 	 253Аналитический способ (253). Графический способ (253) Определение чисел влияния (254). Построение ин¬ флюент усилий 0Ц и Ми в промежуточных сечениях неразрезной балки и Енфлюент реакций Уп (255)5.5.9.	Неразрезная балка на упруго оседающих опорах. Уравнение пяти опорных моментов • . * . ; 2605.6.	Арки и простые рамы5.6.1.	Общие положения . г г ; , , в г s , : - 2616.6.2.	Трехшарнирная арка . . :	Г — Реакции и усилия при постоянной нагрузке (261).' Инфлюенты (линии влияния) (262). Эпюры углов поворота и прогьбов арки (263)6.6.3.	Статически неопределимые арки ...	. 264 Универсальные формулы для усилий (264). Характе¬ ристики фиктнгнэго профиля (264). Определениефакторов Рф. L$, 1_Ф (265). Определение опорных* Умоментов и опорных реакций (265). Инфлюенты уси¬ лий в бесщарнирной арке (266), Использование об¬ щих формул для расчета одно- и двухшарнирной арок (267) Упруго защемленная арка (267).6.6.4.	Двухшарнирная арка , . ..	 2676.6.5i Упрощенный расчет двухшарнирных и бесшар-нирных параболических арок 		 ; 268Учет обжатия (269)6.6.6.	Одноконтурные (простые) рамы	270 Статически определимые рамы (270). Статически ае-Стр.определимые рамы (272). Упрощения в расчете гео¬ метрических характеристик гибкостии фиктивных нагрузок (272)5.6.7.	Бесшарнирные арки и рамы под нагрузкой, пер¬ пендикулярной их плоскости 		 2735.7.	Сложные рамы5.7.1.	Классификация методов	2745.7.2.	Расчет рам по способу трех и четырех моментов 275 Закрепленная эстакада (275).Свободная эстакада(276).	Простат балка переменного сечения как эле¬ мент основной системы (277). Ступенчатая стойка(277).	Ломаная чли криволинейная балка (277). Урав¬ нение трех моментов для неразрезной балки с проле¬ тами в виде параболических арок с затяжками (278). Зависимости между перемещениями и уравнения равновесия в сложных случаях (278)5.7.3.	Метод перемещений 	 279Общие положения (279). Формулы для усилий (ре¬ акций) защемлений от местной нагрузки или задан¬ ной деформации и перемещений торцов (280) Со¬ ставление уравнений из условий равновесия (282) 280 Стандартные формулы для составления уравнений метода перемещений (283). Канонические уравнения метода перемещений для свободной рамной эстака¬ ды (284)6.7.4.	Метод сил 		 285Общие положения (285). Выбор основной системы, составление и решение канонических уравнений(285). Специальные приемы упрощения и контроля расчета по методу сил (287). Дополнительная литера¬ тура (289)5.8V Расчет рам методом последовательных при¬ ближений5.8.1.	Способ распределения моментов (инженерыА. Н. Газарян и Я. К. Канонов)	 289Несвободные ремы (289). Свободные рамы (291). Многоярусные рамы (292). Дополнительная литерату¬ ра (294)5.8.2.	Способ распределения углов поворота (канд. техн.наук П. М. Сосис) 	 2945.8.3.	Расчет многоэтажных рам на горизонтальную на¬ грузку (канд. техн наук доц. Я. Б. Львин) .... 296 Одноиролетная рама (296). Применение однопролет¬ ной схемы к расчету многопролетных рам (298)5.8.4.	Метод фокусов (фокусных отношений) .... 298 Общие положения (298). Формулы и приемы метода моментных фокусор (299). Формулы метода угловых фокусов (301). Область применения метода фокусов х (302)	N5.9.	Расчет пространственных рам с взаимно-пер- пендикулярными брусьями по методу перемещений5.9.1.	Основные' зависимости и формулы	3025.9.2.	Пример	 3045.10.	Тонкостенные брусья6.10.1.	Прямые тонкостенные брусья с жестким по¬ перечным сечением и пренебрежимо малой жест¬ костью свободного кручения . 		 3055.10.2.	Тонкостенные брусья с жестким поперечным се¬ чением и конечной жесткостью свободного круче¬ ния : :	 3075.10.3.	Кривые тонкостенные брусья и арки с жестким поперечным сечением	 3095.10.4.	Рамы из тонкостенных брусьев и бирамы . . . 3105.10.5.	Поперечные изгибающие моменты и учет дефор¬ мации контура поперечного сечения в тонко¬ стенных брусьях 	 —5.10.6.	Приближенный расчет тонкостенных брусьев и цилиндрических оболочек с открытым деформи¬ руемым поперечным сечением (д-р техн. наук проф. С. Н. Кан и канд. техн. наук доц./7Ь А% Школьнь й) 	 3115.11.	Специальные вопросы5.11.1.	Конструкции типа составных брусьев . • ; . . 314 Многоэтажные рамы под горизонтальной нагрузкой(314). Каркагно панельные стены (315). Составная балка с пенсами, работающими на иагиб, и стенкой, работающей на сдвиг (316). Многопоясные составные брусья (316>5.11.2.	Комбинированные и предварительно напряженные конструкции		 319Комбинированные конструкции (319). Предварительно напряженные металлические балки (320).
СОДЕРЖАНИЕСтр.5.11.3.	Гибкие нити	 321Общие положения (321). Провисание непологой нитипод действием собственного веса (322). Пологая нить (323) (канд. техн. наук Р. Н. Мацелинский). Примеры расчета (326) (Р. Н. Мацелинский). Стальные канаты (327). Дополнительная литература (327)5.11.4.	Пневматические конструкции (доц. В, Н. Архан¬ гельский и инж А. Н Глухарев)	 327Определения и основные сведения (327). Особенности расчета ПК (328). Расчет оболочки, работающей на избыточное давление (328). Расчет аэробалки (329). Определение деформаций ПК (329). Материалы для ПК (330)Литература	332РАЗДЕЛ 6РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙДейств, член АСиА СССР д-р техн. наук проф.Б. Н. Жемочкин, д-р техн. наук проф.А.	А. У майский6.1.	Способ Гаусса6.1.1.	Схемы вычислений * 		^ г	3376.1.2.	Примеры		3396.1.3.	Решение трехчленных уравнений 		3426.1.4.	Числа влияния и их определение по способу Гаусса	—6.2.	Способ последовательных приближений (спо¬ соб итерации) : : :		3436.3.	Решение уравнений с помощью настольных вычислительных машин (инженеры К. П. Виш¬ невский и Б. JI. Тарнопольский)6.3.1.	Компактные схемы способа Гаусса ; . ... 3466.3.2.	Метод квадратных корней	 3496.4.	Механизация решений уравнений . . . . ■ —Литература	350РАЗДЕЛ 7ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВКанд. техн. наук доц. В. В. Новицкий7.1.	Геометрические характеристики при растяже¬ нии-сжатии и изгибе	 3517.2.	Приближенные значения радиусов инерции 3607.3.	Положение центра изгиба некоторых сечений 3617.4.	Геометрические характеристики при свобод¬ ном кручении		 3637.5.	Положение центра изгиба и бимоменты инер¬ ции сечений составных профилей	 3657.6.	Геометрические характеристики двутавров и швеллеров при свободном и стесненном кручении 366Литература	_РАЗДЕЛ 8ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМИнж.Л!. С. Волчегорский, инж. Д. Л. Шапиро, д-р техн. наук проф. Л. А. Уманский8.1.	Балки8.1.1.	Эпюры изгибающих моментов и поперечных силот различных нагручок	 36-78.1.2.	Консоль. Опорные реакции, моменты, прогибыи углы поворота концевого сечения 	 3708.1.3.	Простая балка. Опорные реакции, изгибающие моменты, прогибы, углы поворота опорных сече¬ ний, грузовые члены 	8.1.4.	Однопролетные балки с одним защемленным и другим шарнирно опертым концом и с обои¬ ми защемленными концами. Опорные реакции и опорные моменты	8.1.5.	Прогибы однопролетных балок с одним за¬ щемленным и другим шарнирно опертым кон¬ цом и с обоими защемленными концами ....8.1.6.	Прогибы в сечениях с простой балки от сосре¬ доточенного груза Р в сечении х 	8.1.7.	Коэффициенты приведения нагрузки к эквива¬ лентной равномерно распределенной интенсив¬ ностью р9К для определения опорных моментов в неразрезных балках	8.1.8.	Неразрезные равнопролетные балки. Изгибающие моменты, поперечные силы и опорные реакции от различных нагрузок	а) Двух-, трех-, четырех- и пятипролетные балки (392). б) Бесконечная балка с равными пролетами(397).	в) Определение абсциссы (лг0) максималь¬ ных пролетных моментов в неразрезных балках(398)8.1.9.	Неразрезные равнопролетные балки. Моменты, по¬перечные силы в сечениях (через 0.1 / ) и опорные реакции от равномерно распределенной нагрузки: постоянной g и временной р (таблицы Винклера)8.1.10.	Неразрезные равнопролетные балки. Моменты, поперечные силы а различных сечениях и опорныереакции от сосредоточенных грузов: постоянных G и временных Р	8.1.11.	Опорные моменты в неразрезных равнопролет¬ ных балках с одним защемленным концом . .8.1.12.	Опорные моменты в неразрезных равнопролет¬ ных балках с обоими защемленными концами8.1.13.	Прогибы в равнопролетных неразрезных балках (в середине пролета) 	8.1.14.	Опорные моменты в неразрезных равнопролет¬ ных балках при осадке опор 	а)	Двух-, трех-, четырех- ч пятипролетные балки (408).б)	Полубесконечная балка (408). в) Бесконечная бал¬ ка (408)8.1.15.	Ординаты инфлюент (линий влияния) изгибаю¬ щих моментов и поперечных сил для неразрез¬ ных равнопролетных балок 	8.1.16.	Данные для расчета однопролетных подкрано¬ вых балок под один кран 	8.1.17.	Данные для расчета неразрезных пятипролет¬ ных балок с равными пролетами под два оди¬ наковых крана. Огибающие эпюры М и Q . . .8.1.18.	Данные для расчета балок и ригелей рам с вутами	 	а) Симметричная шарнирно опертая по концам балка с вутами (415). б) Симметричная с защемленными концами белка с вутами (416). в) Балка с левым одно¬ сторонним вутом, шарнирно опертая по концам (418).г)	Балка с левым односторонним вутом, защемленная левым концом и шарнирно опертая правым (419).д)	Балка с левым односторонним вутом и обоими за¬ щемленными концами (419). е) Неразрезные равнопро¬ летные балки с симметричными вутами (420)8.1.19.	Ординаты инфлюент опорного момента беско¬ нечной балки на упруго оседающих опорах8.1.20.	Ординаты инфлюент опорного момента Мг по- лубесконечной балки _ на упруго оседающих опорах 	*	8.1.21.	Данные для расчета перекрытий с перекрестны¬ ми балками (кессонные перекрытия) ....а) Схемы распределения нагрузки в перекрестных балках (422)л б) Нагрузки и изгибающие моменты в перекрестных балках при квадратных в плане пере¬ крытиях (423)8.1.22.	Усилия в элементах шпренгельной балки . .а)	Статически определимый шпренгель (423). б) Ста¬ тически неопределимый шпренгель (424)8.1.23.	Данные для расчета балок с защемленными концами, с ломаной в плане осью . . . . .8.2.	Арки8.2.1.	Геометрические данные осей параболической и круговой арок 	8.2.2.	Симметричные трехшарнирные арки любвго очер¬ тания. Распоры, опорные реакции и изгибаю¬ щие моменты от различных нагрузвк	8.2.3.	Трехшарнирные круговые и парабвлические ар¬ ки.. Опорные реакции, изгибающие моменты, поперечные и продольные силы от равномерно распределенной нагрузки 	8.2.4.	Трехшарнирная параболическая арка. Ивгибаю- щие моменты в различных сечениях, опорные реакции и распоры от сосредоточенного груза7Стр.372382387388391392399401404406408409411412 415421422423 425428429431433
СОДЕРЖАНИЙИзгибаю- распоры и частичнойИзгибаю-8.2.5.	Трехшарнирная параболическая арка. Изгибаю¬ щие моменты в различных сечениях, оЕюрныереакции и распоры от односторонней частичной равномерно распределенной нагрузки 	8.2.6.	Трехшарнирная параболическая арка. Изгибаю¬ щие моменты в различных сечениях, опорные реакции и распоры от односторонней частичной равномерно распределенной нагрузки 	8.2.7.	Двухшарнирная параболическая арка. Изгибаю¬ щие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок	8.2.8.	Двухшарнирная параболическая арка. Изгибаю¬ щие моменты в различны* сечениях, распоры и опорные реакции от действия вертикальной сосредоточенной силы 	 ...8.2.9.	Двухшарнирная параболическая арка, щие моменты в различных сечениях, опорные реакции от симметричной равномерно распределенной нагрузки .8.2.10.	Двухшарнирная параболическая арка, щие моменты в различных сечениях, распоры иопорные реакции от симметричной частичной равномерно распределенной нагрузки ....8.2.11.	Бесшарнирные параболические арки ....а)	Изгибающие моменты, распоры и опорные ре¬ акции от различных нагрузок (441). б) Инфлюенты распора, опорной реакции, опорного момента и мо¬ мента р середине пролета (444)8 2.12. Дополнительные геометрические данные для пара¬ болических, кругорых и эллиптических арок . .8	2.13. Бесшарнирная параболическая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опор¬ ные реакции ст различных нагрузок 	8.2.14.	Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной параболической арке пе¬ ременной толщины .		8.2.15.	Опорные моменты от собственного веса бесшар- нирных параболических арок переменной толщины8.2.16.	Бесшарнирная круговая арка постоянной толщи¬ ны. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок 	8.2.17.	Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной круговой' арке перемен¬ ной толщины	. 	8.2.18.	Опорные моменты и распоры от собственного веса бесшарнирных круговых арок переменнойтолщины		8.2.19.	Бесшарнирная эллиптическая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опор¬ ные реакции от различных нагрузок 	8.2.20.	Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной эллиптической арке пере¬ менной толщины 		8.3.	Рамы8.3.1.	Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным ригелем 	а) Ригель и стойка шарнирно оперты (453). б) Ригель шарнирно оперт, стойка защемлена (453)8.3.2.	Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным защемленным ригелем и защем¬ ленной стойкой 	 	8.3.3.	Моменты в Т-образной раме с шарнирно опер¬ тым ригелем и защемленной стойкой ....8.3.4.	Моменты в Т-образной раме с защемленными ри¬ гелем и стойкой 	 ....8.3.5.	Моменты и реакции П-образной рамы с шарнир¬ но прикрепленным ригелем 	а) Стоики постоянного сечения (461). б) Стойки сту¬ пенчатого сечелия (461)8.3.6.	Моменты и реакции П-образной рамы .... а) С шарнирно прикрепленными стойками (463). б) С защемленными стойками (463)8.3.7.	Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным шарнирно опертым ригелем и ступенчатой защемленной стойкой	8.3.8.	Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным защемленным ригелем и ступен¬ чатой защемленной стойкой 	8.3.9.	Моменты в Т-образной раме с шарнирно опер¬ тым ригелем и ступенчатой защемленной стойкой8.3.10.	Моменты в Т-образной раме с защемленным ригелем и ступенчатой защемленной стойкой . .8.3.11.	Простые симметричные рамы. Вспомогательные форму яы к 5 6.С		а) Характеристики гибкости рамы, увеличенные в Е1Сраз (472). б) Эпюры /И0 и фиктивные нагрузки лома¬ ного ригеля приведенные к точкам А, С, В (474).в)	Эпюры М т. фик.ивные нагрузки левой ступенча¬ той стойки, увеличенные в Е1С раз (475)Стр.433434435438439440441445447448450451452453455457459461463465466 468 470 4728.3.12.	Моменты и реакции ступенчатой стойки, защем¬ ленной на одном конце и шарнирно опертой на другом конце	. 	8.3.13.	Коэффициенты ко для определения в ступенчатых стойках: а) перемещения верха защемленной вни¬ зу стойки от силы Х—\; б) реакции Н^ в случае стойки, защемленной внизу и шарнирно опертой наверху, от взаимного горизонтального смещения опор на 4=1; в) реакции Н^ от поворота ниж¬ него сечения на угол<р = 1	8.3.14.	Ступенчатая стойка с защемленным нижним и шарнирно опертым верхним концом 	а)	Реакции Н^ от действия момента Мв = Ра( (478).б)	Реакции И^ от действия момента Ми=Ран (479).в)	Реакции Hfr от действия горизонтальной силы Р (480). г) Реакции Н^ от действия горизонтальной силы Ян (481) д) Реакции Н^ от действия горизон¬ тальной равномерно распределенной нагрузки рв (482). е) Реакции Н^ от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки рн (483). ж) Реакции Н^ от действия горизонтальной равномер¬ но распределенной нагрузки по всей высоте стойки (484). з) Реакции Н^ от действия горизонтальной треугольной нагрузки (484)8.3.15 Момеьты и реакции ступенчатой стойки с защем¬ ленными концами	8.3.16.	Ступенчатая стойка с защемленными концами. Моменты защемления при различных п и А: а) от поворота верхнего сечения на угол <р = 1; б) от поворота нижнего сечения на угол <р =1; в) от взаимного смещения опорных сечений на Д =1; г) от равномерно распределенной нагрузки; д) от сосредоточенной силы'; е) от внешнего момента . .8.3.17.	Расчет одноэтажных многопролетных рам с шарнирно опертыми ригелями и ступенчатыми защемленными стойками	а)	Горизонтальная сосредоточенная нагрузка (489).б)	Горизонтальная равномерно распределенная на¬ грузка (490). в) Действие внешнего момента на стойку рамы (491). г) Примеры (492)8.3.18.	Изгибающие моменты в одноэтажных много¬ пролетных рамах 	а) Двухпролетные рамы (494). б) Трехпролетные рамы (494) в) Четырехпролетные рамы (496).г)	Примеры (498)8.3.19.	Изгибающие моменты в ригелях многоэтажных рам с равными пролетами 	8.3.20.	Формулы для подсчета интегралов Мора ....8.4.	Балки на упругомНИИ(винклеровском) основа-8.4.1.	Гиперболо-круговые функции для расчета балок на упругом основании и цилиндрических резер¬ вуаров	.	. 	8.4.2.	Начальные параметры балок на упругом осно¬ вании 	 	8.4.3.	Затухающие функции для расчета балок на упругом основании и цилиндрических резервуаров8.4.4.	Перемещения и усилия полубесконечной балки от сосредоточенной силы Р= 1 (инфлюенты) . .8.4.5.	Перемещения и усилия полубесконечной балки от сосредоточенного момента L= 1 (инфлюенты)ЛитератураРАЗДЕЛ 9БРУСЬЯ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАКанд. техн. наук доц. Ю. П. Григорьев9.1.	Нагрузка в плоскости кривизны9.1.1.	Круговые брусья	Основные обозначения и общие указания (517). Фор¬ мулы для уенпий и перемещений при простейших нагрузках (517). Общие формулы для усилий и пере¬ мещений (517) Усилия в ключевом сечении бруса, за¬ щемленного двумя концами (521)Стр.475477478485486489493501504506511512514515516517
СОДЕРЖАНИЕ9	1 2. Круговые кольца	Формулы для усилий и перемещений при простейших нагрузках (522). Расчет круговых шпангоутов (526). Формулы для расчета круговых колец, нагруженных ппоизиольным числом сосредоточенных сил и момен¬ тов (520.9 2. Нагрузка, перпендикулярная плоскости кри¬ визны9.2.1.	Круговые брусья 	Основные обозначения и общие указания (529). Фор¬ мулы для усилий и перемещений кругового бруса при простейших нагрузках (530). Общие формулы для рас¬ чета 6pvca, нагруженного сосредоточенными силами и моментами (530). Усилия в ключевом сечении тонко¬ стенного бруса, защемленного двумя концами (534). Монорельс на трех и на четырех равноотстоящих опо¬ рах (537)9.2.2.	Расчет массивных и тонкостенных круговых колец при статически определимом опирании	9.2.3.	Расчет кр\говых колец на равноотстоящих опорах9.3.	Брусья большой кривизныНапряжение при изгибе (546). Перемещения при из¬ гибе в плоскости кривизны (549)	^ЛитератураРаздел 10 ФЕРМЫКанд. техн. наук А. Г. Иммерман10.1.	Плоские фермы10.1.1.	Элементы и классификация плоских ферм г •10.1.2.	Основные положения расчета 	10.1.3.	Определение усилий в статически определимых фермах при неподвижной нагрузке ...Установление неработающих стержней и стержней, уси¬ лия в которых определяются местной нагрузкой (552). Аналитическое определение усилий (552). Графическое определение усилий (553). Определение усилий по го¬ товым формулам, таблицам и графикам (555). Расчет ферм на внеузловую нагрузку (555). Расчет состав¬ ных ферм (555) Фермы с гибкими пересекающимися раскосами (555). Фермы с «окном» (555) Способ за¬ мены стержней (557). Тонкостенные фермы (557). Распорные и комбинированные фермы (558)10.1.4.	Перемещения узлов статически определимых ферм Исходные данные для определения перемещений (558). Аналитическое определение перемещений (558). Графическое определение перемещений (559). Построе¬ ние эпюры прогибов гюяса фермы по способу фик¬ тивных грузов (561)10.1.5.	Инфлюенты усилив и перемещений в статически определимых фермах		Статический способ построения инфлюент усилий (562). Кинематический способ построения инфлюент усилий (562). Инфлюенга перемещения (564). Невы¬ годная установка грузов на инфлюенте (564)10.1	6. Определение усилий в статически неопределимыхфермах при неподвижной нагрузке	Приближенные способы расчета (564). Метод сил (565). Метод заданных напряжений (565). Фермы с нецент- рированными узлами (565). Учет жесткости узлов (566). Учет защемления ферм, жестко связанных с колоннами (566). Работ? нулевых стержней (566). Проверка расче¬ та ферм (567).10.1.7.	Определение перемещений в статически неопре¬ делимых фермах 	10.1.8.	Инфлюенты усилий в статически неопределимых фермах				10.2.	Плоские фермы, соединенные связями (би¬ конструкции)10.2.1.	Определение и классификация	10.2.2.	Основные положения расчета	10.2.3.	Определение усилий в биконструкциях ....10.2.4.	Статически неопределимые и многорядные би¬ конструкции	• • - 	10.3.	Пространственные фермы10.3.1.	Классификация и основные положения вания и расчета . .		10.3.2.	Общие методы определения усилий .10.3.3.	Расчет куполов		;10.3.4.	Расчет башен и мачт	Стр.522I529539544549551552образо-553561564567568569570571572 57410.4.	Предварительно напряженные фермы10.4.1.	Определение. Основные положения расчета и кон струирования		10.4.2.	Фермы с предварительно напряженными отдель ными стержнями	10.4.3.	Предварительно напряженные фермы с затяж ками 		Л итератураРАЗДЕЛ 11 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИД-р техн. наук проф. И. И. Гольденблат11.1.	Основные уравнения теории упругости11.1.1.	Уравнения равновесия . .			11.1.2.	Уравнения совместности деформаций ....11.1.3.	Определение перемещений по заданным состав ляющим тензора деформаций	11.1.4.	Схемы решения задач теории упругости^ Урав нения Лйме	11.1.5.	Потенциальная энергия деформации. Начало наи меньшей работы	11.1.6.	Некоторые частные решения		 •11.2.	Плоская задача11.2.1.	Плоское напряженное состояние * • 7 « « .11.2.2.	Плоская деформация	11.2.3.	Функция напряжений для плоской задачи . . .11.2.4.	Плоская задача в полярных координатах11.2.5.	Сведение плоской задачи к задаче об изгибе пластинки 	11.3.	Вариационные методы решения задач теории упругости11.3.1.	Метод Ритца .11.3.2.	Метод Галеркина		11.3.3.	Метод Треффца (метод смягчения граничных условий) 	11.4.	Метод сеток11.4.1.	Тринадцатичленное уравнение .11.4.2.	Применение метода конечных разностей к расче¬ ту балки-стенки . 	11.5.	Сводка некоторых решений теории упруго¬ сти11.5.1.	Чистый изгиб		 i11.5.2.	Поперечный изгиб консоли		11.5.3.	Поперечный из1иб балки	* . . .11.5.4.	Изгиб кривого бруса (задача X. С. Головина) .11.5.0.	Клин, сжатый сосредоточенной силой . . . „115.6.	Толстостенные цилиндры и сферический сосуд .11.5.7.	Упругая полуплоскость и упругое полупростран¬ ство 		 . * а11.6.	Концентрация напряжений11.6.1.	Концентрация напряжений при растяжении . .11.6.2.	Концентрация напряжений при изгибе (инж. Г. Ю. Ратновгкая)			Балка с круглым отверстием (596). стием квадратной Формы (596)Балка с отвер-11.7.	Кручение стержня прямоугольного попереч¬ ного сечения11.8.	Балки-стенки11.8.1.Однопролетная балка-стенка	. ; г s11.8.2.	Многопролетная балка-стенка		11.9.	Панели крупнопанельных и каркасно-па¬ нельных зданийЛитератураРАЗДЕЛ 12ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИД-D техн. наук проф. В Н Быковский12.1.	Общие уравнения теории малых упруго-пла¬ стических деформаций12.1.1.	Основные предпосылки12	1.2. Соотношения между напряжениями и деформа¬ циями^ изотропном упруго-пластическом теле .12.1.3.	Идеальное упруго-пластическое тело . . • • •9Стр.575576577579580581582583583584585586583589590592593594595595596597598603605606
1JСОДЕРЖАНИЕ12.2.	Плоская задача теории пластичности12.2.1.	Общие уравнения		 • •12.2.2.	Плоская деформация и метод характеристик12.2.3.	Напряженая под жестким штампом ....12.2.4.	Плоское напряженное состояние	12.2.5.	Пластические деформации вблизи круглого от верстия в пластине . . .12.3.	Кручение12.3.1.	Упруго-пластическое кручение . : • * • • * »12.3.2.^	Пластическое кручение стержня с растяжением12.4.	Ползучесть и релаксация в упруго-вязкихматериалах12.4.1.	Зависимости между напряжениями и деформа¬ циями с учетом времени 	12.4.2.	Общий интегральный линейный закон деформи¬ рования материалов		12.4.3.	Деформации за пределами применимости ли¬ нейных законов 	 .........ЛитератураСтр.606607608609610610611612614615616РАЗДЕЛ 13УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ , И МЕМБРАНЫКанд. техн. наук доц. К. А. Китовер13.1.	Общие термины, обозначения, гипотезы13.1.1.	Основные обозначения . 			 « г 61913.1.2.	Правило знаков	; ■ . . 62013.2.	Прямоугольные изотропные плиты13.2.1.	Таблицы для прогибов и усилий	 620Равномерно распределенная нагрузка (621). Нагрузка, распределенная по гидростатическому закону (622). Нагрузка,, распределенная по части площади плиты(622). Нагрузка в виде трехгранной призмы (624). На¬ грузка, равномерт распределенная по линии (624).Сила, сосредоточенная в центре плиты (625). Квад¬ ратная плита на упругих опорах под равномерно рас¬ пределенной нагрузкой (625). Некоторые типы ребри¬ стых плит (625)13.2.2.	Методы определения деформаций и усилий в плитах .		 626Применение гиперболо-тригонометрических рядов (626). Суммирование тригонометрических, рядов (628). Энер- 1,г?Т,ические мет°ДЫ (629). Численные методы (630)13	2.3. Формулы и приемы для определения прогибов иусилий прямоугольных плит	 631Плиты в виде бесконечной полосы (631)■* Плиты в виде полубесконечной полосы (633). Плиты, у которых две противолежащие кромки свободно оперты на жесткие опоры (634). Плиты, опертые по периметру с частично или полностью защемленным^ кромками (635). Не¬ разрезные плиты (636) Плиты, у которых две парал¬ лельные кромки жестко защемлены (637). Ребристые прямоугольные плиты (638) Прямоугольные плиты с разными опорами (639)13.3.	Круглые и кольцевые изотропные плиты13^3.1 Формулы и графики для прогибов и усилий . . 639 Осесимметричные задачи (639). Сосредоточенные на¬ грузки (643)13.3.2.	Метод начальных параметров для осесимметрич¬ ных задач		... 646Выбор начальных параметров дляа>н (646). Выбор со¬ прягающих функций wc (648)13.3.3.	Круглые ребристые плиты ...	64913.4.	Изотропные плиты разной формы13.4.1.	Эллиптические плиты . . 		 . 650Плита, жестко ващемленная по контуру (650), Плита, свободно опертая по контуру (650)13.4.2.	Плиты в виде кругового сектора 		 65113.4.3.	Треугольные плиты			65213.5.	Анизотропные плиты13.5.1.	Упругие характеристики ортотропной плиты • .	65313.5.2.	Прямоугольные плиты . . . . . « .	65413.5.3.	Бесконечная и полубесконечная полоса . . * .	—13.5.4.	Эллиптическая плита . . . ........	о 5513.5.5.	Круглые плиты	•	—13.6.	Плиты на упругом основании13.6.1.	Постановка задачи . .	.13.6.2.	Плиты бесконечных размеров и бесконечная по¬ лоса с сосредоточенными силами	13.6.3.	Прямоугольные плиты		13.6.4.	Бесконечная плита с нагрузкой, имеющей ось круговой симметрии	 	13.6.5	Круглые и кольцевые плиты под осесимметрич¬ ной нагрузкой 	 :13.7.	Температурные напряжения в плитах13.8.	Обзор таблиц по расчету плит13.9.	Гибкие пластинки и мембраны (д-р техн. наук проф. А. С. Вольмир и канд. техн. наукВ.	J1. Агамиров)13.9.1.	Гибкие пластинки	13.9.2.	Мембраны .Л итератураРАЗДЕЛ 14ОБОЛОЧКИКанд. техн. наук доц. П. А. Лукаш, кандидаты техн. наук А. Г Иммерман и И. Е. Милейковский14.1.	Классификация оболочек и качественная ха¬ рактеристика их работы (77. А. Лукаш)14.1.1.	Общие положения		 .14.1.2.	Тонкостенные оболочки .... ......14.1.3.	Общая характеристика работы оболочки . . .14.1.4.	Пределы применимости моментных и безмомент- ных теорий . 	14.2.	Замкнутые круговые цилиндрические оболоч¬ ки (А. Г. Иммерман)14.2.1.	Основные условные обозначения	14.2.2.	Общие дифференциальные зависимости теории цилиндрических оболочек . 	14.2.3.	Оболочка под действием осесимметричной на¬ грузки. Безмоментная теория 	14.2.4.	Оболочка под действием осесимметричной на¬ грузки. Моментная теория	14.2.5.	Сопряжения оболочек. Осесимметричная на¬ грузка 	14.2.6.	Оболочка под действием нагрузки, не обладаю¬ щей осевой симметрией	14.3.	Оболочки вращения (П. А. Лукаш)14.3.1.	Определения и основные обозначения	14.3.2.	Усилия и перемещения в оболочках по безмо- ментной теории . . . . 	14.3.3.	Формулы для некоторых случаев загружения сфе¬ рических оболочек 	14.3.4.	Эллиптическая оболочка		14.3.5.	Оболочки вращения под действием равномерно распределенного нормального давления ....14.3.6.	Расчет оболочек вращения на несимметричную (ветровую) нагрузку 	14.3.7.	Графический способ расчета	14.3.8.	Учет изгибающих моментов	14.4.	Пологие оболочки (П. А. Лукаш)14.4.1.	Дифференциальные уравнения пологой оболочки в прямоугольной системе координат 	14.4.2.	Область применения различных теорий для рас¬ чета пологих оболочек 	14.4.3.	Безмоментная линейная теория пологих оболочек14.4.4	Моментная линейная теория пологих оболочек .14.4.5	Применение моментной линейной теории к расчетукруговых цилиндрических оболочек открытого профиля	14.4.6.	Нелинейные теории. Некоторые частные решения14.4.7.	Дифференциальные уравнения пологих сфериче¬ ских оболочек в полярных координатах ....Стр.656659661661662662665667669670671671673674 677684685 688689690691692696697 700703715718
СОДЕРЖАНИЕ14.5.	Своды-оболочки и призматические складки(И. Е. Милейковский)14.5.1.	Основные обозначения и классификация сво¬ дов-оболочек 	14.5.2.	Расчет оболочек и складок средней длины. До¬ пущения и гипотезы	14.5.3.	Смешанный метод расчета. Восьмичленные урав¬ нения ... 	14.5.4.	Решение уравнений смешанного метода расчета14.5.5.	Таблицы восьмичленных алгебраических урав¬ нений и их коэффициентов для некоторых типов одноволновых складок и оболочек	....14.5.6	Расчет цилиндрических оболочек и складок сред¬ ней длины методом перемещений (вариационный метод)	14.5.7.	Пример расчета цилиндрической оболочки мето¬ дом перемещений ... 	14.5.8.	Расчет коротких оболочек		14.5.9.	Расчет диафрагм оболочек и складок средней длины				Л итератураРАЗДЕЛ 15УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВД-р техн. наук Л. В. Геммерлинг, кандидаты техн. наук А М. Сизов и Г. М Чувикин15.1.	Общие положения15.2.	Устойчивость центрально сжатых стержней(А. В. Геммерлинг)15.2.1.	Расчет по нормам	15.2.2.	Критические (эйлеровы) силы центрально сжатых стержней {А. М. Сизов)		15.2.3.	Методы расчета сжатых стержней в упруго-пла¬ стической стадии 	15.3.	Устойчивость внецентренно сжатых стержней15.3.1.	Расчет по нормам	15.3.2.	Проверка устойчивости внецентренно сжатых стержней в плоскости изгиба в упруго-пластичен ской стадии по методу двух расчетных сечений .-15.3.3.	Косой изгиб со сжатием	. . .15.4.	Устойчивость тонкостенных стержней15.4.1.	Упругий стержень	, .15.4.2.	Стержень в упруго-пластической стадии . . .15.4.3.	Дополнительные указаний	; . .15.5.	Устойчивость сквозных стержней15.5.1.	Расчет по нормам		15.5.2.	Уточненные формулы . . .' .15.5.3.	Внецентренно сжатые сквозныестержни15.6.	Устойчивость плоской формы(Г. М. Чувикин)изгиба балокСтр.72272372572773073674374574615.6.1.	Устойчивость двутавровых балок	Учет прогиба балки в плоскости изгиба (769). Крити¬ ческие напряжения (770). Балки с продольными связя¬ ми (770). Влияние перехода критических напряжений за предел пропорциональности (771)15.6.2	Устойчивость стальных двутавровых балок . . Балки с сечением, имеющим две оси симметрии (771). Переходные коэффициенты для сталей разных марок (772). Балки с усиленным сжатым поясом, симметрич¬ но расположенным относительно оси стенки (772)15.6.3.	Устойчивость балок прямоугольного сечения . . Формулы для вычисления критических нагрузок (773). Влияние прогиба балки в плоскости изгиба (774)747747748758759761764764765765766767767771773РАЗДЕЛ 16УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМД-р техн. наук проф. А. А. Пиковский16.1.	Формулы и таблицы для критических нагру¬ зок (канд. техн. наук доц. В. А. Марьин)16.1.1.	Многопролетные брусья на жестких опорах .16.1.2.	Многопролетные брусья на упругих опорах „16.1.3.	Брусья на упругом основании		16.1.4.	Кольца и арки	Устойчивость арки при сжимающем напряжении, пре восходящем предел пропорциональности (783)16.1.5.	Рамы	16.2.	Устойчивость сжатого пояса открытого моста или крана16.2.1.	Случай постоянней продольной силы	16.2.2.	Случай продольной силы, изменяющейся по закону квадратной параболы 	16.2.3.	Учет податливости опорных полурам » . . . .16.2.4.	Расчет напряжений		16.3.	Деформационный расчет балок16.3.1.	Закон сложения действий поперечных нагрузок для сжато-изогнутых балок	16.3.2.	Приближенные формулы для прогибов и изги бающих моментов сжато-изогнутых и растянуто изогнутых балок 	16.3.3.	Уравнения эпюр усилий и перемещений для ежа то-изогнутой балки (д-р техн. наук проф А. А. У минский) 	16.3.4.	Уравнения эпюр усилий и перемещений для рас тянуто-изогнутой балки {А. А. Уманский) . .16.3.5.	Уравнения эпюр усилий и перемещений для сжато-изогнутой балки на упругом основании (А. А. Уманский)	16.3.6.	Расчетные уравнения	16.3.7.	Коэффициенты, учитывающие пластическую де¬ формацию 	 	16.3.8.	Деформационный расчет тонкостенных стержней открытого профиля	16.4.	Изгиб и кручение балок16.5.	Деформационный расчет и устойчивость рам16.5.1.	Уравнения четырех и трех моментов .16.5.2.	Метод перемещений	16.5.3.	Определение критических нагрузок рам16.{у4. Расчет сжатых рам до погиби ....16.5.5.	Расчет симметричных рам	16.5.6.	Указания к выбору метода расчета рам16.6.	Расчет стоек многоэтажных рам16.6.1.	Пластический расчет стойки каркаса с несме- щающимися узлами . . 	16.6.2.	Расчетные формулы для деформационного рас¬ чета двутавровой стойки. Критические нагрузки.16.6.3.	Деформационный расчет стойки, изгибаемой в двух направлениях 	16.6.4.	Деформационный расчет стойки, изгибаемой только в плоскости каркаса		 .Литература к разделам 15 и 16РАЗДЕЛ 17УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕКД-р техн. наук проф. А. С Вольмир, канд. техн. наук В. JI. Агамиров17.1.	Определения и основные обозначения17.2.	Устойчивость пластинок в пределах упру-17.2.1.	Прямоугольные пластинки .17.2.2.	Прямоугольные и квадратные крепленные ребрами . .пластинки, под-11Стр.777778779780784787789790791795796797800802803805806806807803811811816
12СОДЕРЖАНИЕСтр.Сжатие усилиями, равномерно распределенными по краям (816). Действие касательных усилий, равномер¬ но распределенных по всем кромкам (817). Чистый из¬ гиб (818).17.2.3.	Несущая способность подкрепленных ребрами прямоугольных пластинок после потери устойчи¬ вости при сжатии, сдвиге и чистом изгибе. Ре¬дукционные коэффициенты			81817.2.4.	Непрямоугольные пластинки		81917.3.	Устойчивость незамкнутых оболочек (пане¬ лей) в пределах упругости17.3.1.	Цилиндрические панели . . 			82017.3.2.	Конические панели . 			82217.3.3.	Сферические панели		—17.4.	Устойчивость замкнутых оболочек в преде¬ лах упругости17.4.1.	Цилиндрические круговые оболочки		82317.4.2.	Цилиндрические эллиптические оболочки . . .	82617.4.3.	Усеченные конические круговые оболочки . . .	82/17.4.4.	Усеченные конические круговые подкрепленные оболочки		82817.4.5.	Усеченные конические эллиптические оболочки .	—17.4.6.	Сферические оболочки		82917.5.	Устойчивость пластинок и оболочек за пре¬ делами упругости17.5.1.	Общие положения . . . . ;		82917.5.2.	Прямоугольные пластинки		83017.5.3.	Цилиндрические оболочки		831Литература	832РАЗДЕЛ 18РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИД-ра техн. наук проф. В. Н Быковский и А. а. Пиковский18.1.	Основные положения18.1.1.	Особенности работы сооружений в пластической стадии	 83318.1.2.	Типы нагрузок	г., —18.1.3	Предельная йагрузка и предельное состояние . —18.1.4.	Классификация задач	 —18.1.5.	Статический и кинематический принципы опре¬ деления предельной нагрузки в упруго-пластиче¬ ских системах	 83418.2.	Предельное состояние (несущая способность) сечения18.2.1.	Изгиб бруса в плоскости симметрии попереч¬ ного сечения		 83418.2.2.	Косой изгиб бруса	 83618.2.3.	Внецентренное сжатие и растяжение бруса прямо¬ угольного сечения .... 	 83818.2.4.	Косое внецентренное сжатие или растяжение . . —18.3.	Предельное состояние (несущая способность) стержневых систем18.3.1.	Предварительные замечания		83918.3.2.	Пластические шарниры . 		—18.3.3	Отыскание предельного состояния. Общие ука¬ зания 	 . ....	84018.3.4.	Расчет статически неопределимых балок ... —18.3.5.	Расчет стгтически неопределимых рам .... 84218.3.6	Предельное состояние упруго-пластических арок 84518.3.7.	Обласш несущей способности рамы	. . . 84618.3.8.	Проектирование систем наименьшего веса . . . 84718.4.	Расчет плит по методу предельного равно¬ весия18.4.1.	Плиты, шарнирно опертые по контуру и нагру¬ женные сосредоточенной силой 	18.4.2.	Плиты, шарнирно опертые не по периметру или только по его части, под сосредоточенной на¬ грузкой		18.4.3.	Плиты со свободным (односторонним) опиранием и сосредоточенной нагрузкой 	18.4.4.	Плиты, защемленные по контуру, с сосредоточен¬ ной силой 	18.4.5.	Плиты, нагруженные сосредоточенной силой вблизи шарнирно опертого края 	18.4.6.	Плиты под равномерно распределенной нагрузкой18.5.	Учет ползучести материалов при расчете конструкций18.5.1.	Общие понятия о ползучести и релаксации . .18.5.2.	Ползучесть и релаксация в железобетонных кон¬ струкциях .		18.5.3.	Ползучесть в деревянных конструкциях ....18.5.4.	Ползучесть и релаксация в металлических кон¬ струкциях 	18.5.5.	Расчет на ползучесть и релаксацию металличес¬ ких конструкций . . . . ^	Л итератураРАЗДЕЛ 19СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ Канд. техн. наук доц. М. С Бернштейн19.1.	Сыпучая среда и сыпучее тело	19.2.	Характеристики сыпучих тел 	19.3.	Предельное равновесие сыпучей среды . ш19.4.	Точные и приближенные методы решения плоской задачи 	19.5.	Давление сыпучего тела на подпорную стенку. Теория Кулона	19.6.	Формулы и таблицы для определения ак¬ тивного давления 	19.7.	Графические методы определения активного давления на подпорную стенку 	19.8.	Графические методы определения пассивно¬ го давления на подпорную стенку 	19.9.	Графический метод определения активного и пассивного давлений при неплоских поверхног стях скольжения		19.10.	Несущая способность массива, нагружен¬ ного горизонтальной силой и защемленного в сыпучем теле 	19.11.	Давление в бункерах и силосах ....19.12.	Проверка несущей способности сыпучего основания ш\о устойчивости (канд. техн. наук М. В. МаЩ&шев)	*	Л итератураРАЗДЕЛ 20МЕХАНИКА ГРУНТОВД-р техн. наук проф. Г К. Клейн20.1.	Физико-механические свойства и характе¬ ристики грунтов20.1.1.	Виды и свойства грунтов 	20.1.2.	Характеристики физических свойств и физиче¬ ского состояния грунтов 	20.1.3.	Сопротивление грунтов сдвигу 	20.1.4.	Сопротивление грунтов разрыву	20.1.5.	Виды деформаций грунта	20. 1.6. Зависимость между давлением и коэффициентомпористости			....20.1.7.	Зависимость между давлением на грунт и его осадкой 	 	20.1.8.	Механические модели грунта	20.1.9.	Зависимость между напряжениями и деформа¬ циями грунта 	Стр.848849850851852853 .854855856857 859 861 862 868£6*)872873875877879880 881 882884885886
СОДЕРЖАНИЕСтр.20.2.	Расчет осадок оснований зданий и соору¬ жений 	20.2.1.	Принципы расчета	 88720.2.2.	Напряжения и осадки поверхности однородного изотропного полупространства при действии раз¬ личных нагрузок	 889Сосредоточенная сила, нормальная к поверхности (889). Линейная (погонная) равномерная нагрузка, нормальная к поверхности (889). Нагрузка, равно¬ мерно распределенная по полосе шириной с беско¬ нечной длины (889). Нагрузка, распределенная по закону треугольника по полосе шириной с бесконеч¬ ной длины (890). Нагрузка, равномерно распреде¬ ленная по прямоугольной площади (890). Нагруз¬ ка, равномерно распределенная по площади круга ра¬ диусом а (892). Нагрузка, распределенная произволь¬ но по площади произвольного очертания (892)20.2.3.	Напряжения и осадки поверхности анизотропно¬ го полупространства . . . 	 89320.2.4.	Напряжения и осадки поверхности полупростран¬ ства непрерывно неоднородного по глубине . . 894Сосредоточенная сила, нормальная к поверхности (894). Линейная (погонная) равномерная нагрузка, нормальная к поверхности (895). Равномерно распре¬ деленная нагрузка (895)20.2.5.	Напряжения и осадки сжимаемого слоя, под¬ стилаемого абсолютно жестким основанием . . 895Сосредоточенная сила, нормальная к поверхно¬ сти (895). Равномерно распределенная нагрузка (895)20.2	6. Расчет затухания осадок во времени	 89620.2.7.	Расчет оснований по сопротивлению грунта . . 89720.3.	Давление грунта на подземные сооруже¬ ния20.3.1.	Основные понятия		 . 89820.3.2.	Давление грунта на сооружение в насыпи ... 89920.3.3.	Давление грунта на сооружение в траншее . . 90020.3.4.	Давление грунта на сооружение при подземной проходке 	 _20.4.	Расчет откосов	 90120.5.	Расчет шпунтовых стен	 903Литература	904РАЗДЕЛ 21БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕД-р техн. наук проф. А. П. Синицын21.1.	Методы расчета21.1.1.	Выбор расчетной схемы		90521.1.2.	Выбор способа расчета		—21.1.3.	Смешанный способ	\ \ \ \	90621.1.4.	Способ сил	90821.1.5.	Использование симметрии	*. .! *.	90921.1.6.	Применение групповых эпюр 		91021.1.7.	Способ последовательных приближений . . . ,	91121.2.	Бесконечно жесткая балка21.2.1.	Выбор расчетной схемы	; . : . .	91221.2.2.	Расчет бесконечно жесткой балки		—21.3.	Гибкая короткая балка	91521.4.	Балка ломаного очертания в плане21.4.1.	Расчетная схема	:	91521.4.2.	Вычисление единичных перемещений балки . .	—21.4.3.	Вычисление единичных перемещений упругого полупространства . . 		91621.4.4.	Построение результирующих эпюр		—21.4	5. Криволинейная в плане балка		—21.4.6.	Расчет гибких балок и полос по таблицам (канд.техн. наук М. В. Малышев)		91721.5.	Бесконечно жесткая плита		91921.6.	Бесконечно протяженная плита		92021.7.	Гибкая плита . . . . 				—21.8.	Примеры расчета21.8.1.	Силосный корпус элеватора . . .21.8.2.	Построение инфлюент для балки21.8.3.	Плита высотного здания . .21.8.4.	Плотина треугольного профиля21.8.5.	Два здания, расположенные рядом21.8.6.	Двухслойное основание . . .ЛитератураРАЗДЕЛ 22ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙД-р техн. наук проф. Б. Г. Коренев, канд. техн. наук В. И. Сысоев22.1.	Элементы теории колебаний22.1.1.	Кинематика колебательного движения ....22.1.2.	Колебания системы с одной степенью свободы . Свободные колебания при отсутствии сил сопротивле¬ ния (931). Свободные колебания при наличии сил со¬ противления (932). Вынужденные колебания при от¬ сутствии сил сопротивления. Резонанс (932). Вынуж¬ денные колебания при наличии сил сопротивления, пропорциональных скорости колебаний. Биения (933).22.1.3.	Колебания системы с несколькими степенями свобода				Свободные колебания при отсутствии сил сопротив¬ ления (934). Свободные колебания при наличии сил сопротивления (935). Вынужденные колебания при от¬ сутствии сил сопротивления (935)22.1.4.	Колебания систем с непрерывно распределен¬ ной массой 	Продольные свободные колебания стержней (936). Поперечные свободные колебания балок (936). Изгиб- ные колебания пластинки постоянной толщины (937). Вынужденные поперечные колебания стержней (938). Влияние кратковременной и импульсивной нагруз¬ ки (939)22.1.5.	Квазигармонические колебания. Параметриче¬ ский резонанс .		22.1.6.	Приближенные методы определения частот и форм свободных колебаний	Метод Рэлея (940). Метод последовательных прибли¬ жений (940)v Метод Ритца (941)22.2.	Собственные колебания22.2.1.	Балки на жестких опорах	22.2.2.	Балки на упругих опорах	22.2.3	Балки с распределенными и сосредоточеннымимассами	22.2.4.	Балки, нагруженные продольными силами . .22.2.5.	Рамы ... ... 	22.2.6.	Арки, длинные своды, кольца	Круговые арки и своды постоянного сечения (952). Параболические симметричные арки переменного се¬ чения (953). Круговые кольца (954)22.2.7.	Плиты			22.2.8.	Брусья переменного сечения	22.2.9.	Крутильные и продольные колебания брусьев. Поперечные и продольные колебания струн . .22.2.10.	Колебания	маятников и грузов, связанных с пружинами 	22.2.11.	Колебания	прямоугольного сосуда с жидкостью22.2.12.	Колебания	жидкости в резервуарах	22.2.13.	Колебания трубопровода во время движения жидкости ... 	22.2.14.	Колебания балки под действием движущихся с постоянной скоростью нагрузок 	22.2.15.	Колебания стойки, защемленной в ynpyrQ сме¬ щаемое перекрытие 	22.2.16.	Колебания висячих мостов	22.3.	Динамические характеристики строительных материалов и конструкций22.3.1.	Динамическая жесткость	22.3.2.	Внутреннее поглощение энергии колебаний (за¬ тухание) в конструкциях и материалах соору¬ жений ... 	22.3.3.	Выносливость строительных материалов . . . .22.4.	Определение динамических нагрузок, и рас¬ чет сооружений22.4.1.	Динамические нагрузки от машин 	22.4.2.	Динамическое действие ветровой нагрузки на гибкие сооружения	13Стр.922923 927 923929930931934936940942943946949952955957958965970971972973974975979
СОДЕРЖАНИЕСтр.Проверка на ветровой резонанс (979). Учет порыви¬ стости ветра (980)22.4.3.	О динамическом расчете перекрытий и карка¬ сов зданий	 98122.5.	Виброизоляция и другие способы борьбы с вибрациями22.5.1.	Виброизоляция	 98222.5.2.	Принципиальная схема работы виброизолирован- ной установки. Конструктивные схемы виброизо¬ ляции и виброизоляторов. Содержание и задачи расчета . 	 —22.5.3.	Расчет виброизоляции ... 	 983Активная виброизоляция, периодические нагруз¬ ки (983). Виброизоляция кузнечных молотов (984). Пассивная виброизоляция (985)22.5.4.	Другие способы борьбы с вибрациями строи* тельных конструкций	 985Мероприятия по уменьшению вынужденных колеба¬ ний, передаваемых машинами (985). Мероприятия по уменьшению колебаний при прохождении через ре¬ зонанс (986). Мероприятия по уменьшению колебаний гибких сооружений под действием ветрового пото« ка (987)Литература	887РАЗДЕЛ 23НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫКанд. техн. наук доц. Я. И. Трепененков23.1.	Основные определения. Виды и сочетания нагрузок. Коэффициенты перегрузки	98923.2.	Неподвижные статические нагрузки23.2.1.	Собственный вев			99023.2.2.	Нагрузки на перекрытиях23.2.3.	Ветровые нагрузки 		 . .Обычные сооружения (992). Высокие сооружения (993)23.2.4.	Снеговая нагрузка		 .23.2.5.	Воздействие температуры и усадки бетона . • i23.3.	Динамические нагрузки23.3.1.	Нагрузки от технологического оборудования (ма¬ шин) 	23.3.2.	Сейсмические нагрузки		 . . . .23.4.	Подвижные нагрузки и габариты23.4.1.	Подъемнс-транспортпые механизмы	Кошки и тали (1001). Кран-балки подвесные ручные (1001). Краны подвесные электрические (1001). Пути для однорельсовых механизмов (кошек и талей) и подвесных кран-балок и кранов (1004). Краны мосто¬ вые (1005). Рельсы для мостовых кранов (1021). Лиф¬ ты (1022). Автопогрузчики (1023)23.4.2.	Безрельсовые механизмы горизонтального транс¬ порта ... 	Электрокары (1024). Автомобили (1024).23.4.3.	Железнодорожный транспорт	Габариты приближения строений для железных дорог нормальной колеи (1 524 мм) (1027). Вагоны товар¬ ные железных дорог нормальной колеи (1027). Габари¬ ты приближения строений для железных дорог колеи 750 мм (1027). Вагоны товарные колеи 750 мм (1028).Л итератураПредметный указатель (канд. техн. наукА.	Г. Иммерман) „ . . 			 . .Стр.99099299610001000100110011024102710281029
ПРЕДИСЛОВИЕРасчетно-теоретический том «Справочника проектировщика» содер¬ жит результативные формулы современных методов расчета конструк¬ ций на прочность, жесткость и устойчивость, а также необходимые све¬ дения по элементарной и высшей математике, теоретической механике и числовые таблицы функций, входящих в более сложные расчетные фор¬ мулы, нормы нагрузок и габариты. Данные, связанные с подбором сече¬ ний элементов из конкретных материалов, за некоторыми исключениями, отнесены к конструктивным томам «Справочника проектировщика» и в данный том не включены. Наряду с этим в настоящем томе справочника помещен раздел, посвященный механическим свойствам важнейших строительных материалов; это должно дать возможность проектировщи¬ ку, пользующемуся схематизированными расчетными методами, скор¬ ректировать в случае надобности свои расчеты на основе учета действи¬ тельных свойств материалов, исходя из работы конструкции в упругой или в упруго-пластической стадии.По характеру изложения данный справочник близок к Расчетное теоретическому тому «Справочника инженера-проектировщика»1, издан¬ ному в 1934 г. и до сих пор пользующемуся заслуженной популярно¬ стью у проектировщиков.Перед коллективом авторов нового справочника была поставлена задача отразить результаты быстрого поступательного движения совет¬ ской строительной техники и науки о прочности, содействовать внедре¬ нию новых прогрессивных методов расчета, разработанных за последние десятилетия в научно-исследовательских институтах, вузах и проект¬ ных организациях, привлекая также результаты, полученные в других отраслях промышленности — машиностроении, авиастроении, судострое¬ нии. Решение этой задачи привело к полной перестройке и расширению программы справочника по сравнению с предшествующим, к устранению нескольких, редко используемых, разделов и к более широкому примене¬1 Промстрой проект. Справочник инженера-проектировщика промсооруже- ний, т. II. Расчетно-теоретический. Гл. редактор тома проф. И. М, Рабинович, Гос- стройиздат, 1934.
ПРЕДИСЛОВИЕнию метода ссылок-рекомендаций взамен изложения деталей вопроса. При этом большую помощь авторам оказал вышедший в 1957 г. обзор¬ ный труд «Строительная механика в СССР»1, содержащий исчерпываю¬ щие библиографические данные по методам расчета сооружений.При распределении объема учтены важнейшие новые направления и тенденции строительной техники. Значительное внимание уделено тон¬ костенным конструкциям, плитам и оболочкам. Индустриализация строи¬ тельства, широкое применение сборного железобетона потребовали бо¬ лее подробных данных по расчету равнопролетных конструкций, брусьев и арок, очерченных по \ дуге круга. Важное значение, которое приобрели в настоящее время предварительно напряжен¬ ные конструкции, получило отражение в более широкой разработке рас¬ чета стержневых систем на действие наперед заданных деформаций. Про¬ грессирующее применение легких сплавов в строительстве привело к не¬ обходимости расширить разделы, посвященные устойчивости и расчету конструкций по деформированной схеме. Большое внимание уделено практическим вопросам теории пластичности и ползучести, позволяющим более обоснованно применять принятые в СССР методы расчета конст¬ рукций по расчетным предельным состояниям.Основное назначение данного справочника — помочь в работе инже- нерам-строителям, проектирующим промышленные и гражданские здания и сооружения. Наряду с этим справочник может быть использо¬ ван инженерами-конструкторами и расчетчиками другого профиля, а так¬ же студентами, аспирантами и преподавателями вузов.Все замечания и пожелания относительно содержания справочника просим направлять в адрес издательства: Москва, Рыбный пер., 3, Гос- стройиздат.А. А. Уманский1	Строительная механика в СССР. 1917—1957, под редакцией чл.-корр. АН СССР, действ, чл. АСиА СССР И. М. Рабиновича, М., Госстройиздат, 1957.
РАЗДЕЛ 1МАТЕМАТИКА1.1.	АЛГЕБРА1.1.1.	Степени и корни1.1.2. ЛогарифмыСтепень числа а определяется при п натуральном равенством ап—аа...а^ где число множителей в правой части равенства равно п. Корень степени п определяет- пся равенством (^~а )п=а. Далее принимается:2	Л п 	а~п = — ; а0 = 1, а Ф 0 ; а п = л/ а*п , аПри любых показателях справедливы следующие формулы:ат • оп = ат+п; ат:ап = ат~п; (ат)п = атп;(аЬУт птьт •тп	 п	 п	п ^ п	 -лГ~~ п у	Vam = Va; Va-Vb = V*b- — = л/ —Уь V b'/ п \т п	т	тп[Va) =Vam; j/~ _ = V а.Формулы сокращенного умножения и деления:(а ± Ь)* = я2 ± 2аЬ + 62 ;(а ± b)3 = а8 ± За*Ь + ЗаЬ2 ± 63;(а + 6)(а —6) = аа—62;(а ± 6) (а2 Т аЬ + 62) = а3 ± 65;ап — Ьп а — b= ап_1+ а"-2 Ь + ая_36-+	;-2л + 1 I tiin+l		= а2л — а272”1 6 4* а2п~2 b2		 -f-62n ;аа« _ai-6„2/7—1 2/2—2 » » _2а—з «,2	1,2п—1= а —а о + я о —•••—0Примечание. В приведенных формулах предполагается, что знаменатели отличны от нуля, а иррациональные величины являют, ся действительными числами.2	Зак. 2098Если an=Nt где а>0 и а ф 1, тэ показатель я на¬ зывается логарифмом числа N при основании а\ обоз¬ начение: п = logaW, или п = \gaN. Всякое положитель¬ ное число имеет логарифм.Основные формулы:lga 1=0; lga Я = 1 ;lga Nz) = ка Nt + lge Nt;N,lgaN,= lga iVi — lgo w,;lga(/V*) = * lgeW; lgaVN = —lg a w.Употребительны две систе¬ мы логарифмов: десятичные, для них основанием является число 10 (обозначение IgN); натуральные, для них основа¬ нием является число е (обоз¬ начение In N),■_ |,ш Л+-!.)’П-+ оо \	И }= 2,71828...При основании а> 1 имеют место следующие свой¬ ства:большему числу соответствует больший легарифм;логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательны; логарифмы чисел, больших единицы, положительны;+ 00 При N + оо ; lga N -*• — 00 при N -+ 0.График логарифмической фуакцчи при в>1 дан на рис. 1.1.Десятичный логарифм числа состоит из целой части, называемой характеристикой, и дробной части, назы¬ ваемой мантиссой. Характеристика числа, большего единицы, на единицу меньше числа его цифр, стоящих левее запятой; характеристика числа, меньшего едини¬ цы, отрицателяте и равт ее медудее чмелу мулам сто¬ ящих левее перввй	нуль це¬ лых. Например ха^кте&исги&а .лоцаошЬма аисла 25,3 равна 1, а Ч1|сля О.ООгзЗ* равна *3.^с(йЬгигссвг,Т1е<1ятич-
18РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАных логарифмов см. «Справочник по математике» И. Н. Бронштейна и К. А. Семендяева (лит-ра [1.22,6]). Натуральные логарифмы даны в табл. 1.22.1.Логарифмы числа при двух различных основаниях связаны соотношением1 gbN =\gqN1	gabв частности1число-lg*a.lga6 = 1;■называется модулем перехода от основанияа к основанию Ь. Между десятичными и натуральными логарифмами соотношение таково:1	gN1 gabIn iV =1	gW = -\ge In N In 10: 2,30259 lg N; ; 0,43429 IniV,1.1.3.	ПрогрессииАрифметической прогрессией называется ряд чисел, и котором каждое последующее число получается при¬ бавлением к предыдущему одного и того же числа, на¬ зываемого разностью прогрессии. Геометрической про- грессией называется ряд чисел, в котором каждое по¬ следующее число получается умножением предыдуще¬ го на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.Формулы для n-го члена прогрессии арифметической: ап = аг + d(n — 1) ;п—1геометрической: ап = aAq.Формулы для суммы п членов прогрессии арифметической:$п = (^i + ап) = [2а, + d (п — 1)] — ;геометрической:Sn —anq — fli fli (Яп — 1)q—lq— 1Если модуль знаменателя геометрической прогрес¬ сии менее единицы, \q\ <1, то прогрессия называется убывающей. Если при этом число членов безгранично возрастает, п-> то имеем:S=\\mSn = —1—. п-+ оо	1 — q1.1.4.	ФакториалФакториал натурального числа п обозначается п\ и определяется равенством n!=1 • 2... п. Основное свой¬ ство факториала: (гс+1)1=(п+1)я! Понятие фактори¬ ала распространяется на число 0, а именно: принимают 0!=1; при этом остается в силе основное свойство: (0+1)!= (0+1)0!. При больших п приближенные зна¬ чения факториалов могут быть найдены с практически достаточной точностью по формуле Стирлинга:п\ « Уъп1.1.5.	СоединенияГруппы элементов, отличающиеся одна от другой или порядком этих элементов, или самими элементами, называются соединениями.Если, например, из 10 различных цифр составлять группы по нескольку цифр в каждой, например такие: 123, 312, 8 056, 5 630, 42 и т. д., то будем получать раз¬ личные соединения из этих цифр.Размещениями из п элементов по m, m<n, назы¬ ваются соединения, из которых каждое содержит пг элементов из заданных п и которые различаются или самими элементами, или их порядком. Число размеще¬ ний из п элементов по пг:Ап = п(п — 1) (ft — 2)... [ft — (m — 1)] = -■ nl .(п— m)\Перестановками из п элементов называются соеди¬ нения, из которых каждое содержит все п элементов и которые различаются только порядком элементов. Чис¬ ло перестановок из п элементов:Рп = К = п'Сочетаниями из п элементов по пг, т < пу называ¬ ются соединения, из которых каждое содержит m эле¬ ментов из заданных п и которые различаются, по край¬ ней мере, одним элементом. Число сочетаний из п эле¬ ментов по пг:п (п — . .[п — (m — \)]	п\т\f>m	—т\ (п — т)\Свойство сочетаний: С™ =СП"'П. С™ = С ™_1+С'£. Число сочетаний обозначается также знаком (”,)■1.1.6. Бином НьютонаПри п натуральном имеет место формула (а + Ь)п = а" + С* а""1 Ь + С2 ал~2 Ь2 +•. • ++ Ckn an~k bk Ч	h bn .Свойства биномиальных коэффициентов:коэффициенты членов, равноотстоящих от концов,, равны между собой;сумма всех коэффициентов равна 2п ;сумма коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах, равна сумме коэффициентов членов, стоящих на четных местах.Формула бинома может быть распространена на от¬ рицательные и дробные показатели; при этом получается в правой части равенства бесконечный ряд (см. 1.8.2),1.1.7.	Определители (детерминанты)Определителем второго порядка называется число D, образованное из четырех чисел, расположенных в квад¬ ратную таблицу, и вычисляемое по формуле|Оц #12= йц #22 — ^12 ^21 •а2\ а%2Вообще определителем п-то порядка называется число, образованное из л2 чисел, расположенных в квадратную таблицуа11 а12* • *а1П а21 а22’ • • а2ПII аП2 • • • аППи равное оумме п\ членов, каждый из которых являет¬ ся произведением п элементов, взятых по одному (и только одному) из каждой строки и каждого столбца:.
\ 1. АЛГЕБРА.19*нак каждого произведения равен (—1/, где t — число инверсий в перестановке, составленной из вторых ин¬ дексов, если первые индексы расположены в возраста¬ ющем порядке. (В данной перестановке числа i и / со¬ ставляют инверсию, если />/, но / стоит в этой пере¬ становке после i). Например, для определителя треть¬ его порядка имеем«11 «12 «13 #21 «22 «23 «Я1#22«32= #ц #22 #33	«11 «23 «32 “Ь «12 «23 «31	#12 «21 «33 «13 «21 «32	«13 «22 «31 Iчисло слагаемых равно 31, т. е. 6; первые индексы сле¬ дуют в порядке 1, 2, 3; во вторых индексах имеется шесть перестановок; в первом слагаемом нет инверсий, во втором — одна инверсия (32), в третьем — две инвер¬ сии (21 и 31) и т. д.Свойства определителей:1)	при замене строк столбцами величина определи¬ теля не меняется;2)	при перестановке двух столбцов или строк опреде¬ литель меняет знак;3)	определитель с двумя одинаковыми столбцами (или строками) равен нулю;4)	множитель, общий для элементов некоторого столбца или строки, можно вынести за знак определи¬ теля;5)	величина определителя не изменится, если к элементам некоторого столбца или строки прибавить элементы параллельного столбца или строки, предвари¬ тельно (умножив эти последние на один и тот же произ¬ вольный множитель /.Вычисление определителя можно свести к вычисле¬ нию определителей порядка на единицу ниже. Назовем минором элемента	определитель, получаемый вы¬черкиванием /-й строки и k-ro столбца данного опре¬ делителя. Назовем адъюнктой (или алгебраическим дополнением) элемента его минор, умноженный на i+k(—1) ; обозначим адъюнкту элемента ед черезРазложив определитель по элементам i-й строки, имеемD = #/И/1 + #/2^/2 + • • #/n^/rt •Пример 1.1.Оц #12 #13#21 а22 а23 #31 #32 «33= #п Ац + #12 А12 + #13 Л13 =#22а23#21а23+ «13а21#22— #12Я 32а33«3Jазза31«32Определитель может быть разложен по элементам любой строки и любого столбца.Вычисление определителя п-го порядка требует вы¬ числения п определителей порядка п— 1. Можно, одна¬ ко, пользуясь свойствами определителей, свести задачу к вычислению лишь одного определителя порядка п—1; с этой целью преобразуют данный определитель так, чтобы в какой-либо строке (или столбце) обрати¬ лись в нуль все элементы, кроме одного.Пример 1.2.3-215642-1—3014—2—372Обратим в нули элементы «второго столбца, для чего умножим элементы первой строки на 2 и приба¬ вим их ко второй етроке; i-атем умножим элементы 2*первой строки на —1,5 и прибавим их к четвертой строке (от этих операций определитель не изменит своей величины) :3—21512049—3.014-6,505,5-5,5Теперь разложим определитель по элементам второго столбца:9 4124D = (— 1)1+2-(— 2) •—31—6,55,5остается вычислить определитель третьегоОпределитель Вандермонда1У2 уП1 *2 ;Y ^ у.1Тv 2...*2=1 Хпх2 хп *П‘*'хп= (*2 — * l) Оз — *i). . . (Х„ — ХХ) (Х3 — -*2)---(хп-х2)...(хп-хп_1)'Необходимым и достаточным условием неравенства этого определителя нулю является отсутствие одинако¬ вых чисел в ряду *1, *2,.. хп. Этот определитель при¬ меняется в теории линейных дифференциальных уравне¬ ний с постоянными коэффициентами.1.1.8. Линейные уравнения1Дана система трех линейных уравнений:#п* + #12у + al3z = bi ;#21* 4“ #22У + «23г — Ь2 \#31* + #32У + a33Z = b3 .Обозначим определитель, составленный из коэффи¬ циентов ^при неизвестных, через Z), а определитель, по¬ лученный заменой i-го столбца определителя D столб¬ цом свободных членов, через Z>/, i= 1, 2, 3:«11а12а13bi«12«13D =#21°22«23D,=b2«22«23«31а32аззЬз«32«33«11Ьга\з«п«12biDz —#21ь2а23;D3 =#21#22b2«31Ьз«зз«31«32ЬзЕсли Dj= 0, тоимеетсяединственноерешение:d2D3XD; У =D ’z = -D•Если D=0, но хотя бы один из определителей DuD3 отличен от нуля, то корней нет, система несо¬ вместна.Если D == 0 и D\ = D2 = D3 = 0, то система имеет бесчисленное множество корней; в этом случае либо одно из уравнений является следствием двух других, либо два уравнения являются следствием одного,1 См. также раздел б.
20РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАЕсли свободные члены равны нулю, Ь\ = Ь2 = &з = 0, то система уравнений называется однородной. В этом случае Di=D2=Ds=0, несовместность невозможна, по¬ скольку система имеет нулевые корни x=y=z=0, ка¬ ковы бы ни были коэффициенты уравнения. Если D ф0, то имеются только нулевые корни; если D = 0, то имеет¬ ся бесчисленное множество корней.Приведенные рассуждения распространяются на си¬ стемы линейных уравнений с числом неизвестных, от¬ личным от трех.Определители применяются для исследования линей¬ ных уравнений. Что касается вычисления корней, то при большом числе неизвестных пользуются прибли¬ женными методами (см. раздел 6). В настоящее время применение счетных машин дает возможность решать (и притом достаточно быстро) системы линейных урав¬ нений с большим числом неизвестных.1.1.9.	МатрицыИспользование современных вычислительных мето¬ дов широко опирается на матричное исчисление.Матрицей А называется система чисел (или эле¬ ментов более общей природы), расположенных в виде прямоугольной таблицы.Л =|| zik [I =•а2 ПЧисла &ik называются элементами матрицы, причем первый индекс есть номер строки, второй—номер столбца. Если tn Ф п, то матрица А называется прямоугольной с размером тхп. Если т=п, то матрица называется квадратной, а число т ее порядком. При п= 1 получа¬ ем матрицу-столбец, а при т=1 — матрицу-строку.Сложение, умножение и транспонирование матриц. Суммой двух прямоугольных матриц Л=||а/^|| и В— =11 Э/л II одинаковых размеров my(ri называется матри¬ ца С=Л+£=|| Xik II тех же размеров, элементы кото¬ рой равны суммам соответствующих элементов данной матрицы:/ i = 1, 2, 3,..., т \7/* —	U = 1. 2, 3	п ) #Операция нахождения суммы данных матриц назы¬ вается сложением матриц. Из определения сложения матриц непосредственно следует, что эта операция обла¬ дает переместительным свойством А+В=В+А, а также сочетательным (А + В) + С = А + (В + С).Произведением матрицы Л=|1«Ы1 на число ^ на¬ зывается матрица С— ^Л=|| 7II, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число ^ :// = 1,2,3	т\ 7,4 U= 1, 2, 3	п)"Произведением двух прямоугольных матриц А — =11 «/fell и В=|1(Ы1 с размерами соответственно тУ^п и называется прямоугольная матрица С=АВ= = 11 T/fe II с размером тХ<7. У которой элемент стоя¬ щий на пересечении /-й строки и fc-го столбца, равен «произведению» i-й строки первой матрицы А на &-й столбец второй матр-шы В:Vk = ai\ $ik + ai2 ?2k +	f~ ain $nk//=1, 2, 3, ... ,/72 \U= 1, 2, 3)'Операция нахождения произведения данных матриц* называется умножением матриц. Умножение двух прямо¬ угольных матриц выполнимо лишь в том случае, когда число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором. Умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка. В общем случае операция умножения свойством переместительности не обладает: АВ ф ВА. Если же АВ=ВА, то матрицы А к В называются пере¬ становочными. Имеет место сочетательное свойство ум¬ ножения матриц (АВ)С=А(ВС), а также распредели- тельное свойство умножения относительно сложения А (В-\-С)=АВ+АС. Если воспользоваться произведе¬ нием прямоугольных матриц, то линейное преобразо¬ ваниеУ\ = Дц + «и *2 Н	Ь а1п хпУ2 = а21 Х1 + fl22*2 Н	Г а2п ХПУт — Я/711 xi + ат2 x2~h * * * 4" атп хпможно записать матричным равенством у=Ах, где х= (хи х2, ..., хп), у=(уи У2,-*;Ут ) — матрицы-столб¬ цы, a A=\\aik II — прямоугольная матрица с размером тХл.Матрица Л'=||а^|| называется транспонированной по отношению к матрице А=\\а-1к || в том случае, если выполняется равенство а££-=а/&. Транспонированная матрица А' образуется из матрицы А заменой строк на столбцы, а столбцов на строки. Если матрица А имеет размеры тхп, то транспонированная матрица А' имеет размеры пХт. Имеют место следующие свойства: (А + В)' = А' + В'; (ХЛ)' = ХЛ'; (АВ)' = —А'В'.Квадратные матрицы являются частным случаем прямоугольных (т—п). Определитель, составленный из п2 элементов квадратной матрицы А—1| ед || порядка п, называется модулем матрицы А и обозначается \А\. Если определитель |Л| не равен (равен) нулю, то мат¬ рица А называется неособенной (особенной). Следом матрицы А называется сумма всех ее диагональных элементов; обозначается SpА. Если квадратная матри¬ ца А совпадает со своей транспонированной Л'=Л, то такая матрица называется симметричной. В симметрич¬ ной матрице элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны между собой. Симметричная матрица, у которой все элементы = = 0 при 1ф k, называется диагональной. Если все эле¬ менты диагональной матрицы равны единице, то она называется единичной и обозначается Е. Для любой прямоугольной матрицы Л=|| aik\\ имеет место равен¬ ство ЕА=АЕ=А.Матрица Л-1 =|| 1| называется обратной по от¬ ношению к матрице Л=11 a-ik II, если—1= \А\ ’где А и —алгебраическое дополнение элемента «и в определителе \А\. Алгебраическое дополнение Aki рав¬ но определителю, составленному из элементов* матрицы Л путем вычеркивания из нее &-й строки и /-го столбца. Обратная матрица обладает свойством: АА~1 = =Л-1 Л = Е. Элементы обратной матрицы называются также числами влияния (см. 5.5.8; 6.2.1 и 6.4.3).Если Л — квадратная матрица n-го порядка, то мат¬ рица С — (А—Х£) называется ее характеристической матрицей, а уравнение |Л — ХЕ| = 0 (вековое уравне¬ ние п-го порядка относительно М, т. е.
1.1. АЛГЕБРА21®и—X *12*1 п2	X . . .= 0называется характеристическим уравнением матрицы А. Корни этого уравнения X; (j = 1, 2, 3, ..., п) называются характеристическими числами (или собственными значе¬ ниями). Имеют место равенствап	пЕ Xt- = Sp А и П X/ = | А | , i=i i=iт. е. сумма характеристических чисел равна следу, а их произведение — определителю матрицы.1.1.10.	Уравнения высших степенейУравнение второй степени x^-\-px-\-q—0. Корни вы¬ числяются по формулеVi~'Выражение D=*-^--q называется дискриминантомуравнения. Если D>0, то .корни действительные, раз¬ личные; если D = 0, то корни равны; если D < 0, то корни сопряженные, комплексные. Свойства корней: x1-j-x2=—р; xix2=q. Квадратный трехчлен x2-{-px-{-q раскладывается на множители: x2-\-px-\-q=(x—*i) (х— —х2).Уравнение третьей степених3 + ах2 + Ьх + с = 0 приводится к видуУ3 + РУ + Я = оподстановкойр3 q2Дискриминант уравнения D = + -j-. При D>0уравнение имеет один действительный и два сопряжен¬ ных комплексных корня:>‘-V—f+V ш +(f)+V-T + ]/ (f)' + (f)‘-—V -f-VWW^гдеw1 — ■-1 + <Уз— 1 — i V 3При D=0 уравнение имеет три действительных кор¬ ня, из которых два — равные:У\ — |/ —4<7; у2 :=|/ -Aq- у2 = у3=у^-5- .При D<0 уравнение имеет действительные корни, но формула Кардано дает их в комплексном виде, по¬ этому предпочтительно тригонометрическое решение:2 	 	У! = — У 3 У \ р I cos <Р;2		 	У2 = ^^3 V\P I cos (<f + 120°);2		 	y3 = —У 3 У \ p I cos (9 — 120°) ,где1P= arccos-— зУЗс2 V>Возвратное уравнение третьего порядка х3 + ах2 + ах + 1 = 0 решается разложением на множители:х3 + ах2 + ах + 1 = (х + 1) [х2 + (а — 1) х + 1] ;1	—а1 .Биквадратное уравнениех4 + рх2 + q = 0приводится к квадратному уравнению подстановкой x2=z. Корни биквадратного уравнения:*1,2 = ± ]/^ — 2 +	4 - ? ;*3,4= ± |/^—F-]/"Возвратное уравнение четвертой степени + ах3 + + + а* + 1 = 0 приводится к квадратному уравне¬ нию у2 + ay + (b — 2) =0 подстановкой х + — =у.х
22РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАДругие уравнения четвертой степени, хотя и могут быть решены в общем виде, в практических приложе¬ ниях при численных коэффициентах решаются прибли¬ женными методами. Корни уравнений общего вида бо¬ лее высоких степеней отыскиваются также приближен¬ ными методами.1.1.11.	Приближенное решение уравненийДля отыскания действительных корней уравнения f(x) = 0 (как алгебраического, так и трансцендентного) прежде всего находят корни приближенно^ либо графически, либо посредством отделения корней. Для графического решения уравне¬ ния f(*)=0 строят график функции y=f (х). Абсциссы то¬ чек пересечения и точек каса¬ ния графика с осью Ох явля¬ ются корнями уравнения. Метод отделения корней состоит в том, что указывают два числа а и Ь, между которыми заклю¬ чен искомый корень. При этом проверяют знак функции у= =f(x): если f(x) — непрерывная функция и имеет раз¬ личные знаки при х—а и х=Ь, то между а и b заклю¬ чен, по крайней мере, один корень. Этот корень — един¬ ственный, если f'(x) сохраняет знак в интервале от а до Ъ (рис. 1.2).Для уточнения значения корня применяют различ¬ ные способы.По способу ложного положения (или способу хорд) вычисляют первое приближение по формуле(6 — a) f(a) f (b) —/(а)либо хг = b -(b-a)f(b) " / (b) —f (а)Обе формулы дают одинаковый результат (рис. 1.3). Затем рассматривают тот из двух интервалов (а\ х\)у либо (х\\ 6), на концах которого f(x) имеет различные знаки, и, применив ту же формулу, находят второе при¬ ближение и т. д.По способу Ньютона (или способу касательных) вычисления проводят для того конца интервала (а; Ь), где f(x) и f"(x) имеют одинаковые знаки, что обеспе¬ чивает сходимость приближений к искомому корню (рис. 1.4.), и находят первое приближение по формуле, fib) „	f(a)Xi = b— ■ -, либо X! = а —	,/ (Ь)	/ (а)в зависимости от того, какое из двух чисел, а или b, удовлетворяет поставленному условию. Затем по той же формуле находят второе приближение и т. д.Совместное применение способа хорд и способа ка¬ сательных заключается в следующем. Устанавливают,на каком конце интервала (я; b) f(x) и f"(x) имеют одинаковые знаки. Для этого конца интервала приме¬ няют соответственно одну из формул способа касатель¬ ных, получая значение х\. Применяя формулу по спосо¬бу ложного положения, получают значение х2. Затем таким же образом проводят вычисления для интервала (х\; х2).Пример 1.3. y=f(x)=x:3+2*—6=0. Путем проб на¬ ходим: 1,4<*<1,5. Уточняем корень по способу хорд:*, = 1,4; Уг = —0,456*; х2 = 1,5; у2 = 0,375.Первое приближение:, , 0,1 (-0,456)Х~ ’ “ 0,375 + 0,456 ~ 1,4549 • Повторяем операцию, приняв новые значения для х: Х\ = 1,455 ; у1 = —0,010 ; х2 = 1,457; у2 = 0,007.Второе приближение:Р 0,002 (—0,010) х = 1,455 — ■■■	= 1,4562и т. д.0,007 + 0,010Пример 1.4. х—1,5 cos дг = 0. Первое приближение находим с помощью табл. 1.22.3: если задаться *1=0,92, то cos xi = 0,60528 и 0,92 » 1,5* 0,61. Уточняем корень по способу касательных: у' = 1 + 1,5 sin х\ у" = 1,5 cos х.По той же таблице имеем:sin 0,92 = 0,79560;У! = 0,92— 1,5-0,60528 = 0,0113 >0;у\ = 1 + 1,5-0,79560 = 2,1934; у2 = 1,5-0,7956 > 0 .Окончательно0,0113х2 = 0,92 — ”2~~нГ = 0,92 — 0,0052 = 0,9148.К приближенным приемам решения уравнений отно¬ сится также способ итерацийК Он состоит в том, что каким-либо способом уравнение приводится к виду х= 9 (х). Найдя приближенно хи подставляют найден¬ ное значение в уравнение и находят уточненные при¬ ближенные значения х2 = <р (*i) , х3 = <р (х2) и т. д.; х2% хз, ... приближаются к искомому корню (процесс сходится), если | <р'(х) | < 1.	%Пример 1.5. Найти корни уравнения х = tg х по спо¬ собу последовательных приближений.Для нахождения первых приближений к корням по-Рис. 1.5строим графики двух кривых y = xny = tgx (рис. 1.5); точки пересечения этих кривых дадут значения х, удов¬ летворяющие заданному уравнению. Как видим, грубо приближенные значения корней будутЗтс	Зтс 5тс 2 п — 10; Т:	2 т"Учтя, что (tg х)' = sec2* > 1, перепишем в следующем виде: х = arctg х.уравнение1	См. раздел 6.3.
1.2. ГЕОМЕТРИЯ23ЗтсПоложим хо =~, тогда Зкх1 = arctg — = 4,5033 (см. табл. 1.22.4);х2 = arctg х! = arctg 4,5033 = 4,4938 ;х3 = arctgх2 = arctg 4,4938 = 4,4935 .Нетрудно убедиться, что подстановка значения х= = 4,4935 в заданное уравнение х = tg х обращает его в тождество (в пределах заданной точности).1.2.	ГЕОМЕТРИЯВ этом разделе даются формулы для вычисления площадей плоских фигур и объемов тел и некоторыедругие формулы. Обозначения: F, f — площади фигур и поверхностей, / — периметр, V — объемы.1.2.1.	Плоские фигурыПравильный п-угольник (R — радиус описанной ок¬ ружности, г — радиус вписанной окружности).Сторона а—2 R2—г2 .Угол, под которым сторона видна из центра:360°<? = 'п 1	ср	1F = — па2 ctg — = — nR* sin<p = nr21 4	2 2I	= па = 2nR sin = 2nr tg — .МногоугольникиТаблица 1.1РомбПараллелограммТрапецияЧетырехугольник произвольного видаaQ0 ‘У\а/ 7aA<fi /Ъ/m ^/\У/\)7.°ОabРис. 1.6Рис.1.7Рис. 1.8Рис. 1.9Рис. 1.10F = a2 sin cp“4II§•IIab sin <pF = 4j-(a + b)hF = (hx + h2) DF = Dx D2 sinКруг и его частиТаблица 1.2KoyrСекторСегментКонцентрическое кольцоO’-<z -AaРис. 1.11Рис. 1.12Рис. 1.13Рис. 1.14Tid2F = 7СГ2 = — 4F — —— br = -JL иг3 2 360F. =2 V 180 /r (b—a)+ah 2F = ic(^2-r^) = — (D-—dJ) =2т:рб; 4JS D ^5 - /? — r; p = ——Площади, ограниченные кривыми второго пор я д к аТаблица 1.3ЭллипсЭллиптический сегментГиперболический сегментПараболический сегмента*— = 1 Ъ2— — — = 1 а2 Ь2 ~X = су2Рис. 1.15Рис. 1.17F — тсab ;I**— abj;I	= (значения £ см. табл. 1.4)_ . а—h 1 , ,. F — аЪ а гс с os	с (а — п)а	2F — 	с (а + h) -2—	ab archа + hF = —— ah 3
24РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАТаблица 1.4Значения € в зависимости от а и ЪЫа0,10,20,30,40,50,60,70.80,9е /4,0640 J4.2O2O 14.3860 ,4,6016 | 4,84425,1054 |б,3824 |б,6723 |б,9732Примечание. Для параболы по формуле Чебышева при-is*-. — , nc_h/~T77.ближенно:	\ точно: / = 0,5а~ In (с + yf 1 + с, ) J. где с = 4-J-.1.2.2. Тела Тела, ограниченные плоскостямиТаблица 1.5Прямая призмаТреугольная усеченная призма^РгтРис. 1.19(ПирамидаУсеченная пирамидаРис. 1.22■ FhV	(а + b + с) F3V =■FhЦилиндр и конусТаблица 1.6Цилиндр с параллельными основаниями{прямойкруговой цилиндрУсеченный прямой круговой _ ^ Прямой круговой усеченный цилиндр 		 Прямой круговой конус	 юнус	Рис. 1.23Рис. 1.24Рис. 1.25Рис. 1.26Рис. 1.27h — кратчайшее расстояние между основанияминаибольшее расстояния между контурами оснований/ = V Г2 + Л2р =	(R + г);2I = V (R - г)'2 + h2V =FhV = я г'2 h\Fх = 2 ТС гН ;Fa = 2тс г (г + К)V = 	 тс г'2 (hi + h.2);2Fj = тс г (hi + ho)V = 	тс г2Л;3V =тс hС R2 + г2 + Rry,Ft = тс rl= тсг -yf r2 + h2F, = 2 тср IШар и его частиТаблица 1.7ШарШаровой сегментШаровой поясШаровой секторс /УVРис. 1.29сРис. 1.30Рис. 1.31Рис. 1.28(NII■Ча2 — h (2г — Л)(гт=г)‘а2 = h (2г — Л)V = — тс г3 = 4,189г3 =3= — тс d* = 0,5236d3 6У = — (За2 + Л3) == — (Зг - Л)3V = — (3aJ + 36а + ft2) 6V = — тс г2 Л 3F = 4кг2 = тсба | F = 2 тсгЛ = тс (а2 + h~) | F = 2тс/ггF = тс r(2h + а)
3. ТРИГОНОМЕТРИЯ25Некоторые другие телаТаблица 1.8Тела вращения (теоремы Гюльдена)Поверхность тела, полненного вращением плоокой линии вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и ее не пересекающей, равна длине этой линии, умножен¬ ной на длину дуги, описанной ее центром тяжести.Объем тела, полученного вращением плоской замк¬ нутой фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры на длину дуги, описанной ее центром тяжести.ПризматоидПризматоид — тело, основания которого параллель¬ ны, а боковые поверхности представляют собой плоско¬сти или поверхности второго порядка (рис. 1.35). Объем призматоида:V — ~~г ft (F + 4F0 + f).Огде F и f—площади основания;Fq — площадь среднего сечения; h — высота.Рис. 1.36Примеры призматоида: насыпь дороги (рис. 1.36) и бочонок (рис. 1.37).Рампа (рис. 1.38)—j(m — п)1 /	т —V = — /*2 за + 2nh 	6 V	пггде\:т = tg а .. 1-ПРис. 1.381.3.	ТРИГОНОМЕТРИЯ1.3.1.	Измерение угловЗа единицу измерения угла принимается 1° и 1 ра¬ диан. Центральный угол, дуга которого равна 7збо дли¬ ны окружности, называется градусом и обозначается 1°. Центральный угол, дуга которого равна радиусу, на¬ зывается радианом и обозначается 1 рад. Угол в 1°тсравен в радианной мере——, приближенно 0,017453;1о0180еугол в 1 рад. равен в градусной мере	.приближен¬ но 57° 17' 44,8".Перевод градусной меры угла в радианную и об¬ ратно см. в табл. 1.22.3.1.3.2.	Тригонометрические (круговые) функцииКаждому углу соответствует шесть чисел, рас¬ сматриваемых как отношения отрезков, связанных с углом (рис. 1.39) и определяемых следующим образом:ВС	СВ	ADsin а = —— ; COS а = ; tg а =	 ;R	R * R
26РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАEF	OD	OFctg а ав —— ; sec а == —; cosec a = —— .Этим числам присваивается анак, как указано в табл.1.9.Таблица 1.9Конец дугиsin аCOS аtgactg аsec acosec a1 четверть++++++II .+----+III--++--IV .—+-—+—С изменением угла изменяются значения рассматри¬ ваемых отношений, так что эти отношения являютсяфункциями угла; графики этих функций даны на рис. 1.40 и 1.41. В табл. 1.10 приведены значения круго¬ вых функций для некоторых значений аргумента.Тригонометрические фун¬ кции — функции периодиче¬ ские; период синуса и коси¬ нуса равен 271, период тан¬ генса и котангенса равен п:sin (а + 27zm) = sin а ; cos (а + 2пт) = cos а;tg (а тг m) = tg а ; ctg (а + Tim) = ctg а ; m — целое число.Таблицы тригонометрических функций углов от 0 до 90° см. 1.22.2, а углов в радианной мере см.1.22.3.	Тригонометрические функции углов, больших 90°, а также отрицательных равны соответственно по¬ добранным функциям острых углов согласно формулам приведения (табл. 1.11),PtfРис. 1.41Между шестью функциями' любого угла существует пять основных соотношений.	^sin a	COS аsin2 а + cos2 а = 1; tg а =	 ; ctg а = -sec а -чcos аCOS а cosec а =sin а1sin аИз этих соотношений выводятся дополнительные соот¬ ношения:tg а ctg а = 1 ; tg2 а + 1 = sec2 а ; ctg2 а Ц- 1 = cosec2 а.При операциях над тригонометрическими функция¬ ми находят применение формулы, данные в 1.3.3—1.3.7.* Знак ±ов означает, что tga (или ctga) стремится к » при стремлении угла к соответствующему значению, указанному в таблице; верхний знак относится к углам, меньшим рассматриваемого, нижний знак—к углам, большим рассматриваемого.
1.3. ТРИГОНОМЕТРИЯТаблица 1.11990°±a180° ± a270° ±*360°—asin 9—Sin a+ COS aT sin a—COS a— sin acos f+ COS asin a— COS a | ± sin a+ COS atg<f>— tga=F Ctga± tga=F Ctga— tgactg?-—Ctga=F tga± Ctga=F tga— Ctg a1.3.3.	Функции суммы и разности углов, кратных углов и половинного углаsin (а ± р) = sin а cos (3 ± COS а sin Р; cos (а ± р) = cos а cos р qF sin at sin p;tga ± tgptg (a ± P) =ctg (a ± P) = -1 =F tg a tg P ’ ctg a Ctg Э + 1Ctg p ± Ctg asin 2a = 2sin a COS a ; cos 2a = cos2 a — s in2 a ;2	tg a	Ctg2 a — 1tgfr —g	Ctg 2a =	■;1 — tg2 a	2 Ctg asin 3a -= 3 sin a — 4 sin3 a ; Cos 3a == 4 cos3 a — 3 COS a ;tg3a = 3iilZctg3a = ctg3g~3ctga •1	— 3tg2 а	3 Ctg2 а — 1 ’i=±j/rcos аCOSSin a2	1 + COS a+ cos а, a	sin а	1 + COS а	/ 1 + COS аctg —	—	= ± 1/ 		.J 1 — COS a	Sin а	у 1 — COS аЗнаки перед радикалами берутся в зависимости отатого, к какой четверти относится угол — в1.3.4.	Степени функций1	— cos 2а	1 -f- COS 2аsin2 а =			; COS2 а ==			2	23	sin а — sin За з COS а + COS Заsin3 а = *		 cos8 а=	1.3.5.	Приведение к виду, удобному для логарифмированияа + р а — р sin а + sin р = 2 sin —-— cos —-— ;Л	а + ? а 	 Рsin а — sin р = 2 cos —-— sin —-— ;а -J- Р а — В cos а -f- cos Р = 2 cos —-— cos —-— ;а + Р Р — аCOS а — cos Р = 2 sin —-— s in	;r 2 2 *tg « ± tg P =Ctg a ± ctg P =sin (a ± p) ^ COS a cos PSin (P ± a)sin a sin psin2 a — sin2 P = COS2 P — COS2 a = Sin (a 4- P) sin (a — COS2 a — sin2 P = COS2 P — sin2 a = COS (a + P) COS (a — j1—	[cos (a — p) — COS (a + P)] = sin a sin p ;—	[cos (a — P) + cos (a -f p)] = cos a cos p ;[sin (a + P) -f- sin (a — P)] = sin a cos p ;cos a -f sin a = У2 sin (45° + a);COS a — sin a = У2 COS (45° + a) .1.3.6.	Зависимости между функциями трех углов, сумма которых равна 180°a~2~cosэ2cos7 2 ’a~2sinJL2COS7 2 ’a~2sinJL2sin ■T + >a~2cosP2sinJL2sin2 a + sin2 р + sin2 7 = 2 cos a cos p cos 7 + 2 ; sin2 a -f sin2 p — sin2 7 = 2 sin a sin p cos 7; sin 2a -f sin 2p + sin 2y = 4 sin a sin p sin 7 ; sin 2a + sin 2p — sin 27 = 4 cos a cos p sin 7 ; tg « + tg P + tg 7 = tg a tg p tg 7 ;ctg Y + Ctg -|-+ ctg -i-= ctg -J- ctg Ycts~t' Ctg a ctg P -J- Ctg a Ctg J -f ctg P ctg f = 1 .
28РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА1.3.7.	Зависимости между обратными тригонометрическими функциямиТаблица 1. 12КруговыефункцииОбратные круговые функцииГлавные значенияк = sin у x = cos у x = igy *=ct gyу = arcsin* у = arccos х у = arctg х у = arcctg хTZ TZ .—Y<y<+~0 < у < TZ 7t TZ~Y<y<+T0 < *y < TZarcsin и = arccos У1 — и2 = arctg — U =Kl-я*= — — arccos и ; 2arccos и = arcsin "|/"l — и2 = arctg1Л — и*= — — arcsin и;arctg и = arcsinУ i + u2= arcctg■ = arccos -Vl + u2arcsin и ± arcsin v = arcsin («У 1 —1>2 ±v VI — «2) , = arccos(l/l—	v2 =F uv) ;arccos и ± arccos у = arcsin (v У1 — и2 ± и 1^1 — p2) ; = arccos {uv T У1 — и2 1^1 —и2) ;arctg и ± arctg v = arctgи + v 1 uv1.3.8.	Формулы, применяемые при решении треугольников(рис. 1.42)а + р + т= 180°;sin (а + Р) = sin 7 ; cos (а -f Р) = — cos 7;. « + Рsin= cos —— ; cos 2 2а + Р . T			 = sin —2	2ha = b sin 7 = csinp = (R — ради.ус описанного круга).be~2R"Теорема синусов: asin 7= 2 R.sin a sin [Теорема косинусов:a2 = b2 + с2 — 26c cos a = (6 + c)3 ——	46c cos2 = (b — c)2 + 4be sin2 Теорема тангенсов:a + btga + pa —btg'Формулы Мольвейде:P —7, ,	COS		—b + с	2ab — сasinP — Tsincos2 2 Выражение углов треугольника через его стороны:аtg--/(р — Ь) (р — с) р(р— а)где!ina = — V р(р — а)(р- Ь)(р-с) ,Ьс1	а	В	7р = — (а + b + с) =4R cos — cos — cos — .Формулы для площади:1	1	a2 sin р sin 7F = —aha = —ab sin 7 =	—	=»2	2	2 sin aabc= = 2R2 sin a sin p sin 7 == V P (P — a) (p — b) (p — c) =pr(r—радиус вписанного круга).Соотношения в прямоугольном треугольнике:а = с sin a ; b = с cos а: а = b tg a; b = a ctg a;с b + с — a a2 + b2 = c2\R = — \ r =			;с — гипотенуза; а и b — катеты; a—угол, противолежа¬ щий катету а.Между элементами треугольника можно установить также дифференциальные зависимости, вытекающие из приведенных выше формул.В прямоугольном треугольникеada + bdb = cdc ;2	а- da.da dc—	= — + cigada\ da=tgadb-l . a с	sin 2aВ косоугольном треугольникеfifa + fifp + fi?7 = 0;da	db	dc—	— ctg a d a— — — ctg- p d p = — — ctg 7 d 7 : abcada = (b — с cos a) db + (c — b cos a) dc + be sina da.;с cos p d a + a dy = — sin 7 db + sin p dc .
1.4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ29Эти формулы можно считать практически точными, если дифференциалы сторон da, db, dc, а также |угловda, d%t dy будут соответст- ***	венно заменены малымиприращениями Да, &Ь, Дс, и Да, Др, Д^.1.3.9.	Гиперболические функцииНекоторую аналогию тригонометрическим * (круго¬ вым) функциям представля¬ ют гиперболические функ¬ ции. Круговые функции имеют аргументом угол; можно было бы, однако, считать аргументом пло¬ щадь кругового сектора с центральным углом, равным 2х. Аналогично этому мож¬ но рассмотреть гиперболический сектор и, приняв его площадь за аргумент, дать геометрическое определение гиперболических функций. Можно также определить эти функции аналитически следующими равенствами:Рис. 1.43е* + е~хsh дс= ■; ch х =■; thx —ех + е~х 9ех , е-хcth х = —		, х ф 0.Между четырьмя функциями имеются три основных соотношения:shx chx ch2 х*— sh2 x = 1; th x = —		; cthx =ch xshxГрафики гиперболических функций даны на рис.1.43, а таблицы — в 1.22.3. При действительных значе¬ ниях аргумента ch х>1, | th *|< 1; | cth х\ >1.Между гиперболическими функциями имеют место •соотношения, многие из которых аналогичны соответ¬ ствующим соотношениям между круговыми функциями:chx-\-shx = ех\ ch* — shx=e~x; th x cth x = 1; sh (— x) = — sh x\ ch (— x) = chx ; th (— x) = — th x\ cth (—*) = — cth x ; sh (a ± P) = sh a ch P ± ch a sh p ; ch (a ± P) = ch a ch p ± sh a sh P ;th a ± th Pth (a ± P) = Cth (a ± P) =1 ± th a th p 1 ± cth a cth Icth a ± cth P sh 2a — 2 sh a ch a ;Ch 2a = ch2 a -f- sh2 a = 2 sh2 a -J- 1 = 2ch2 a — 1;2	th ath 2a =cth 2a1 + th2 a ’1 + cth2 a2	cth ashch a — 1знак плюс при a > 0, знак минус при a < 0; ch-a , , f cha+ 1' 2 = + ]/ 2 1a ± В a sh a ± sh P = 2 sh —-— ch ——a + P ch a + ch p = 2 ch —-— ch ■ a + Вch a — ch p = 2 sh —~— sh2	2 sh (a ± P)th a ± th P =	,ch a ch p(ch a ± sha)n — chn a ± sh n a .Обратные гиперболические функции обозначаются следующим образом: если х = sh у, то у = Arsh х (чи¬ тается: ареасинус), аналогично имеем: Arch х, Arth х, Arcth х.Эти функции определяются аналитически формула-Arsh и = In (и + У и2 + 1) ;Arch и = In (и ± У и2 — l) ; и > 1 ;Arth и = In | “ ; | и | < 1 ;1	и + \Arcth и = — In •2	и— 1 *,«1 > 1.О	зависимостях между круговыми, гиперболически¬ ми и показательными функциями в комплексной об¬ ласти см. 1.10.1.1.4.	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ1.4.1.	Точка на плоскостиПоложение точки на плоскости определяется двумя числами: в декартовых координатах—абсциссой х и ординатой у\ в полярных координатах — радиусом-век¬ тором р и полярным углом ^ • Между декартовыми и полярными координатами существуют следующие зави¬ симости (полюс совпадает с началом координат, а полярная ось с осью абсцисс):X = р COS ср ; р = Ух2+ у2 ;уу = psin<p; tg<p = —(четверть, к которой относится угол <р , определяется знаками х и у).Расстояние между точками (хху\) и (х2у2):d = V(Xi - *2)2 + (Л — у2 f .Координаты точки, делящей отрезок А\А2 в отношении X: 1 (А. > 0 — внутреннее, ^<0—внешнее деление):Х\ + л. х2	У\ + ^ УгХ = ~77Г-:У = ~7ТГ"*
30РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАПлощадь треугольника с вершинами в точках (х2у2), (хзУг) равна половине абсолютной величины определителя*1 Уг 1 *2 Уг 1 *з Уз 1Формулы преобразования координат: при параллельном переносе осейх = х'+а, у = у' + Ь; при повороте осей на утол а против часовой стрелкиX = х' COS а — у' sin а ;X = х' sin а -f- yf cos а ,где ху у — прежние координаты!х\ у'—новые координаты.1.4.2.	Прямая линияВсякая прямая на плоскости выражается уравнени¬ ем первой степени относительно координат; обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными выражает на плоскости прямую линию. Общее уравне¬ ние прямой: Ах + By + С = 0.Частные случаи общего уравнения в зависимости от тех геометрических элементов, которыми прямая задана:1)	уравнение прямой с угловым коэффициентом (если прямая не параллельна оси у):у = kx+b ,где k —■ tga,a — угол наклона прямой к оси х, 0 < a < тс,b — ордината точки пересечения прямой с осью у\2);	уравнение прямой, параллельной оси у:х = а\3)	уравнение прямой по точке и направлению:У—У ! = £(* —*1);4)	уравнение прямой по двум течкам:У —У \ * — *iУ 2 —У1где5)*2 фхх и у2фу1; равнение прямой в отрезках:ха+i 1аф 0 , Ьф 0;6} нормальное уравнение прямой:х cos ср + у sin ср — р = 0 ,где р — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую; ср — угол между этим перпендикуляром и осью Х\0	< <р < 27с.Общее уравнение прямой может быть приведено к нормальному виду умножением на нормирующий мно¬ житель т =~причем знак перед корнем дол-± VА*+В*жен быть противоположен знаку С.Расстояние точки (хи У\) от прямой Ах+Ву-\-С=0:, , , . ■ л> . Ахг + *У1 + £ d=\x1 cos <р + уг sin <р — р |, либо d= 	± У А* + S2Угол между двумя прямыми определяется из ра¬ венствtg<p, либо tg ср=Л, Л2 — А2 Вг Ах Аг + Вх В2*1Признак параллельности прямых: k\ = k2, либо 	=в,=—; признак перпендикулярности прямых: k\k2 ——1, #2либо AjA2 ~4" В\В2 = 0.Точка пересечения двух прямых отыскивается сов¬ местным решением их уравнений; возможны следующие три случая:Ах В,-~г~ ф ~т- — есть единственная общая точка;А 2	2Ах Вх Сх—	= — Ф —— общих точек нет, прямые параллельны; л2 t>2 С2 Аа Вх С,~~г~ = ~ = — общих точек бесчисленное множество,а2 в2 с2прямые совпадают.Условие расположения трех точек на одной прямой:х1 Уг 1 *2 У2 1 Хз Уз 1= 0.Условие прохождения трех прямых через одну точку: Ах Вх СхА 2 В2 С2 Аз Вя Со= 01.4.3.	ОкружностьУравнение окружности с центром в точке (а, Ь) и радиусом R:(x — a)* + (y — b)* = R*',частный случай (центр окружности в начале коорди¬ нат):*2 +у2 = #2.Окружность выражается уравнением второй степе¬ ни и, значит, является линией второго порядка. Урав¬ нение второй степени относительно координат выражает окружность лишь в том случае, если равны коэффици¬ енты при квадратах переменных и отсутствует произве¬ дение переменных.Уравнение касательной к окружности в точке (*о, Уо):(х0 — а)(х — а) + (у0 — b)(y — b) = R2.Окружность может быть задана также параметри¬ чески:x = a + Rcost, y = 6 + #sinf.1.4.4.	ПараболаПарабола есть геометрическое место точек плос¬ кости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой. Уравнение параболы, симметричной относительно оси х, с вершиной в начале координат (каноническое уравне¬
1.4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ31ние): у2 = 2рх (р— параметр), О — вершина, F — фо-ркус, LL — директриса, LO = OF = ордината FF'з	фокусе равна р (рис. 1.44).Полярное уравнение (F—полюс, FO — полярная ось):1 4- cos срУравнение касательной в точке Мо(*о, уо):УУо = Р(*+ х0).Прямая, параллельная оси х, является диаметром параболы; диаметр параболы делит пополам хорды, параллельные касательной, проведенной в точке пере¬ сечения параболы с диаметром. Если угловой коэффи¬ циент хорд равен k, то уравнение соответствующего Рдиаметра есть у •Уравнение нормали <в точке (х0, уо)\Уо ,У —У0 = — — (х — х0) .PРадиус кривизны в точке (х0, Уо}:где р — полярный радиус.Эволюта параболы (геометрическое место центров кривизны параболы) — полукубическая парабола:827 р-(х — р)*.Уравнение параболы с осью симметрии, параллель¬ ной оси у:у = ах2 4- Ьх 4- с\ пример: 4 уравнение параболической арки (рис, 1.45): 4/Вершина параболы у = ах2 -f Ьх 4- с находится а точ- / b 4ас — b2 \	^ке1 — —; 	—	1 ; если а>0, парабола направленавогнутостью вверх, если а <3 0, то вогнутостью вниз.1.4.5.	Эллипс и гиперболаЭллипс (гипербола); есть геометрическое место то¬ чек плоскости, сумма (разность) расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная.В приведенных ниже формулах и равенствах верх¬ ние знаки относятся к эллипсу (рис. 1.46), нижние — кгиперболе (рис. 1.47); оси симметрии совпадают с ося¬ ми координат.Каноническое уравнение:а2 Ь*а и Ь — полуоси.Фокусные расстояния и эксцентрицитет:OFt = OF2 = с = У а2 Т 62 ; £ =	;адля эллипса е <1, для гиперболы е > 1.Уравнения касательной и нормали в точке (х0, уо}:хх0 уу± _о ^ to	1 »Ь2 хк-УоУравнение равнобочной гиперболы относительно осей симметрии: х2 — у2 => а2; относительно асимптот: а*^=т-Радиус кривизны в точке (xq, у0):J2	2( хо Уо XйПолярное уравнение (полюс в левом фокусе): РР =где14-е cos <j р- —Геометрическим местом середин параллельных хорд конического сечения служит прямая линия, назы¬ ваемая диаметром. Два диаметра называются сопря¬ женными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому. Угловые коэффициенты сопря¬ женных диаметров удовлетворяют соотношению Ь2ш-*- .Приближенная длина дуги эллипса:I, а + 6 лГ~\S = 71 3 •’= * (3" ~2~—
32РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАУравнения в параметрической форме: эллипса:x = acost, y = 6sin£;гиперболы:х — a sec t , у = Ъ tg t.Пользуясь этими равенствами, можно получить при¬ водимое ниже построение этих линий по точкам.1.4.6. Построение конических сеченийПостроение эллипса по полуосям а п b (рис. 1.48)* Из центра О описывают окружности радиусами а и Ь. Из точек пересечения А и В произвольного луча с ок¬ ружностями проводят прямые, параллельные координатным осям; точка пересечения этих параллелей есть точка эл¬ липса. Имеется другой прием построения эллипса (этот при¬ ем дает возможность сконст^ руировать эллиптический цир¬ куль) : если отрезок длиной а-\-Ь движется так, что его концы скользят по осям декар¬ товых координат, то точка D опишет эллипс с центром в начале координат (рис. 1.49). Построение параболы второго порядка по вершине О, оси Ох и точке М. Проводят ОА±Ох, АМ\\Ох\ делят ОА и AM на одно и то же число равных частей (рис. 1.50); полученные точки нумеруют, как указанона чертеже. Из точек на ОА проводят параллели оси Ох, каждую точку на AM соединяют с О прямыми, — пересечение этих прямых с соответствующими парал¬ лелями даст точки параболы.Построение параболы второго порядка по вершине О, оси Ох и точкам М\ и М2. Проводят ОуА_Ох\ О А и ОВ— произвольные прямые (рис. 1.51); через Мi и М2 проводят параллели к Ох и Оу, причем между Ох и ОЛ, а также между Оу и ОВ образуются трапеции, в ко¬ торых CD и EF — диагонали.. Параллельно последним в каждом из углов АОх и ВОу проводят зигзагообраз¬ ную линию; полученные точки на Ох и Оу являются абсциссами и ординатами параболы.Построение гиперболы по полуосям а и b (рис. 1.52). Из центра О описывают окружности радиусами а и Ь.Проводят произвольный луч, а также касательные к ок¬ ружностям в точках С и D; находят пересечение К и b первой касательной с лучом и второй касательной с осью х. Из найденных точек проводят прямые, парал¬ лельные осям, — точка их пересечения М является точ¬ кой гиперболы.1.4.7. Цепная линия.. Циклоида. СпиральЦепная линия (рис. 1.53) является формой прови¬ сания гибкой нерастяжимой нити, закрепленной на концах; ее уравнение:'=-у(*а+е а)= a ch — а•	У	. *Радиус кривизны р = —; длина дуги s=a sh— .Рис. 1.54Циклоида — кривая, описываемая точкой окружно¬ сти, катящейся без скольжения по прямой (рис. 1.54); ее уравнение:X = а( а — sin а) ; у = а (1 — COS а).Рис. 1.55Длина одной арки циклоиды; / = 8г; плошадь, ограни¬ ченная одной аркой и осью х, F = Зтсг2.Спирали и их уравне¬ ния: архимедова г=а? (рис. 1.55); гиперболическая аг=— (эис. 1.56); логариф-?мическая г =а? (рис. 1.57).1.4.8. Точка в пространствеРис. 1.57Положение точки в про¬ странстве определяется тремя прямоугольными декартовыми координатами: абсциссой х, ординатой у, аппликатой z (рис. 1.58)*.* Цилиндрические и сферические координаты см. 1.7.6.
1.4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ33Расстояние между двумя точками (xit уи Z\) и (*2, У2, z2) (рис. 1.&9) определяется по формулеd = V(x!—х2)2+(У1 — y2)2 + (Zi— Z2)2 .1.4.9.	ПлоскостьВсякая плоскость задается уравнением первой сте¬ пени относительно координат; обратно, всякое уравне¬ ние первой степени с тремя переменными определяет плоскость. Общее уравнение плоскости:Ах + By + Cz 4- D = О.Применяются различные частные случаи общего уравнения в зависимости от тех геометрических эле¬ ментов, которыми плоскость задана.Уравнение плоскости, проходящей через данные три точки:*	—*1 У — Уг г — гг *2—*i У2 — У1 Ч — =0 . *3 —*1 Уз — У\ г3 —Уравнение плоскости в отрезках на осях координат:X	У	Z—+ -Т-+—= 1. abcНормальное уравнение плоскости:х cos а + у cos р + г cos 7 — р = 0(*, Р, 7 —направляющие углы перпендикуляра, опу¬ щенного из начала координат на плоскость, так что cos2 a +cos2 P+cos2 7 =1; р — длина этого перпенди¬ куляра).Расстояние точки (х0, */о, *о) от плоскости Ах +By+Cz+D=0:Ах о + Вуп -4- Cz0 + Dd =± Va* + B* + C*знак перед корнем противоположен знаку D.Угол <р между двумя плоскостями определяется из равенстваА\ А2 + В\ В2 4- Ci С2cos <р = ±]/"А\ +в\ 4- с\ А\ + в\ 4- С;Условие параллельности двух плоскостей: А\ __ Вг _ С± ^А2 В2 С2 условие перпендикулярности:А\ А2 4- Bi В2 4" Ci С2 = 0 •з	Зак. 20981.4.10.	Прямая в пространствеПрямая в пространстве задается как линия пере¬ сечения двух плоскостейА\ х 4- В±у 4“ z 4- 1?х = 0; А2х 4~ В2 у -f- С2 z 4- D2 = 0.Если выбрать плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости, то получим канонические уравнения прямой:х — а у — b z — с I	т	пгде (а, 6, с) —данная на прямой точка,1,т,п — числа, пропорциональные направляю¬ щим косинусам прямой.Косинусы определяются из равенств /cos а = 		 	 , COS Р =± |Л2 + т* + «ат	п, cos 7 =± Vl2 + m* +± VР + «2 + я2причем знак перед корнями любой, но один и тот же во всех трех равенствах.Угол <р между двумя прямыми отыскивается из равенстваcos <р = cos ах cos а2 + cos cos (32 + cos 7х cos 72 .Условие параллельности двух прямых:1Х	т1 пг12 Ш2Условие перпендикулярности:к к + mi т2 + ni п2 = 0.Условие параллельности прямой и плоскости:А1 + Вт 4- Сп = 0.Условие перпендикулярности:_л	!L_JLI ~~ т ~ п1.4.11.	Поверхности второго порядкаУравнение сферы с центром в точке (а, Ь, с) и радиусом R:(х - о?) 4- (У - 6)2 4- (г — с)2 = R*.Канонические уравнения поверхностей второго по¬ рядка.Рис. 1.60Рис. 1.61
34РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАЭллипсоид (рис. 1.60):*_ + Л+*. = 1',а2 Ь2 с2 Однополостной гиперболоид (рис. 1.61):X2	у2~*+~Р- —= 1 С2Двухполостной гиперболоид (рис. 1.62): х2 у2 г2 ^ а* Ь2 ~ с3 ~Рис. 1.67Рис. 1.68Эллиптический параболоид (рис. 1.63):z=	Ь— .а2 Ъ2Гиперболический параболоид (рис. 1.64):х2 у2 Z==	Ь2Конус второго порядка (рис. 1.65):*2 JL 22 па2 Ь2 с2Эллиптический цилиндр (рис. 1.66):X2 V2 — + —= 1 а2 Ъ2Гиперболический цилиндр (рис. 1.67):_Л + Л_!аа 6»Параболический цилиндр (рис. 1.68): у = сх2.Рис. 1.64гх х aj—:1.5.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ1.5.1.	Плоские кривыеТочка М(х, £/) описывает кривую на плоскости xyt если х, у являются непрерывными (в некотором интер¬ вале) функциями переменного параметра т. е.y=y(t)- Если исключить t, то получается уравнение плоской кривой в декартовых координатах в форме F(xty)= 0. Аналогично получим уравнение и для кривой, заданной в полярной системе координат. В качестве параметра можно выбрать также дугу s,Рис. 1.69где s ^ыражает длину дуги между текущей точкой и фиксированной точкой, принятой за начальную: *=jc(s), y=y(s). В этом случае для угла а, образуе¬ мого касательной к кривой с положительным направ¬ лением оси х (рис. 1.69), имеем:dx	dy	dyCOS a =	 , sin a =	 tg a =	' ds ’	ds 9 * dx■У'-Дифференциал дуги дается формулой, верной при любом параметре:dt = Vdx*+dyг* = V 1+у'2 dx=*-l/tfMSf--Для угла между касательной и полярным ра¬ диусом (рис. 1.70) имеем:. <*Р . , fd<f	d<fcos ф = — ; sin ф = ——; tg ф = p —— . ds	ds	upДля касательной, нормали н круга кривизны имеем уравнения и формулы, приведенные в табл. 1.13, где х и у—.координаты фиксированной точки М; 6 и — текущие координаты.Эволюта кривой — геометрическое место ее центров кривизны (рис. 1.72); исходная кривая по отношению к своса эволюте называется эвольвентой (инволютой,
1.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ35разверткой). Касательные к эволюте являются норма¬ лями к эвольвенте; длина дуги межпу двумя точками эволюты равна разности радиусов кривизны в соответ¬ ствующих точках эвольвенты. Эти свойства позволяют считать эвольвенту «развертывающей» кривой, полу¬ чающейся из эволюты разматыванием натянутой нити. Если координаты любой точки эволюты заданы как функции дуги s эволюты, то уравнение эвольвенты находится из соотношенийX = g — (S — s0)dsdr\y = t\ — (S — s0)— ;dsздесь so — значение параметра s для точки эволюты, где начинается развертывание кривой.Кривая обращена вогнутостью в сторону положи¬ тельного направления оси у, если у" > 0, и выпук¬ лостью, ' если у"<0\ точка перегиба—точка, где кривая меняет выпуклость на вогнутость (или наобо¬ рот). Чтобы найти координаты точек перегиба, нужно решить уравнение у"=0; при этом если корни уравне¬ ния удовлетворяют условиямУп = 0;y1V = 0	уп~1 = 0;Jn)Ф о,то только в случае п нечетного эта точка является точкой перегиба.Огибающей (в общем случае — характеристикой) семейства кривых называется геометрическое место точек пересечения бесконечно близких кривых се¬ мейства F(x,y,p) = 0, зависящего от одного параметра р\ огибающая задается в параметрической форме уравнениямидР (х, У, р)	=0 ; F(xty,p)=0.opОгибающая в каждой своей точке касается какой- либо из линий семейства, и все линии семейства касаются огибающей.Таблица 1.13Уравнения линийГеометрическиеэлементыВ основной форме у = F (х)В параметрической форме х = х (f); у = у (0Уравнение касательнойdy .dy dxУравнение нормали•’-'’■гг—ч dx / dyДлина подкасательной РТ (рис. 1.71)\У'У'\dx ^ dy У dt dtДлина поднормали PN\УУ'\dy dx У dt ‘ dtКоординаты 6, т] центра и радиус р круга кривизны в точке (х, у) кривой(1 + /VZ — Л у, ,, 1 + /2 ч - у + у» ■;(1 + у'2 )3/зР — у"у’ (*'* + у'2) х х'у"—х”у' ’, Х’(х’2+у’2)1)^У+ х'у»	 Х"у’ •Г • + уЛ )Ч.Р— х'уП 	хПу!Длина дугиaJ]V \+y'*dx *1S=\V~A~ dt, h-Ч*Н-£Г3*
36РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАОртогональной траекторией семейства кривых F(xty,p)=z0 называется кривая, пересекающая все кри¬ вые этого семейства под прямым углом. Для получе¬ ния дифференциального уравнения траектории исключа¬ ют р из уравненийdt\ dF dF— = —	F(6,i),p) = o.dri dc1.5.2.	Пространственные кривыеТочка M(x,y,z) описывает пространственную кри¬ вую, если x=x(t), y=y(t)t z=z(t)—непрерывные функции параметра t (в некотором интервале). Кривая может быть задана также пересечением двух поверх¬ ностей Fi(xt y,z)=0 и F2(x, у, z)=0. Если параметром .является дуга s, т. е. если имеем уравненияx = x(s), y = y(s), z = z(s),то для углов а, Р, 7 между касательной к кривой в точке (х, у, z) и осями координат X, У, Z имеют ме¬ сто соотношенияdx	л dy	dzcos о = ;— , cos Р = — , cos 7 =ПродолжениеdsdsdsПри любом параметре дифференциал дуги дается формулой		ds = V dx* + dy2 + dz2 =Ym'+m+m*-Элементы	сопровождающего трехгранника (рис« 1.73) даны в	табл. 1.14. В этой таблице х, у, z — ко¬ ординаты М’%	5, if], С—текущие координаты элемента трехгранника;у' г'z' х'х' уг=; m =; п =у гг гггz" х"х" у"производные берутся по параметру t и вычисляются в точке {х, у, z).Таблица 1.14Элементы трех¬ гранникаУравненияНормальнаяплоскостьх' (% — х) + у' — у) + zr (С —z) = 0Соприкасаю¬ щаяся пло¬ скость£ — х -г) — у С — z xf yf z' = 0 х" у" z"Элементы трех¬ гранникаУравненияСпрямляю¬ щая плоскостьКасательная£ — х ц — у С—г х'	у'	Z'I	m	п= 0% — X Ч) — У С — zГлавная нор¬ мальV — УС —г.Бинормальу' Z*\zr х' \1 х' У'пг п\п 1\1 1 m£ — х>ч111С -гу' 2'1z' х' 1\х' у'у" г"1 Z" х” 11 х" у"Координаты центра кривизны и радиус кривизны!d2yd*?Z = z+p-d2x ,,	d-yx~*+tsr-r->+>- -d2zds211r-Центр кривизны лежит на глазной нормали. Круг в соприкасающейся плоскости, описанный радиусом р из центра кривизны, называется кругом кривизны или соприкасающимся кругом.Вторая кривизна (кручение) кривой при произ<» вольном параметре:х у г х у zX у Z-/я + /я* + л* ’где /, т, п имеют то же значение, которое указано дыше. При Т > 0 кручение называется правым, при Т< 0 — левым; для плоских кривых 7=0.Пример 1.6. Винтовая линия:х = а coscp, <y = asin<p, z = с у,где а — радиус цилиндра;<р — угол поворота прямой; с — коэффициент пропорциональности.Шаг винта h=2nc; подъем винтаtga =2	7i агде a — угол между касательной к кривой и плос¬ костью XY.Длина дуги$= Уа2+ с2 <р =длина дуги одного витка равна 2л У а2 + с2.
1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ37Кривизна в произвольной точке аk =а2 + с2кручениеТ =а2+с21.5.3. ПоверхностиТочка М(х, у, z) описывает’ поверхность, если х, у, z — непрерывные функции двух переменных пара¬ метров, т. е. x=x(u,v); y=y(u,v)\ z=z(u,v). Кривые w=const, t>=const образуют на поверхности сеть криволинейных координат. Уравнение поверхно¬ сти в общем виде F(x, у, г) = 0 получается исключе¬ нием и и V. Предполагая, что все встречающиеся ниже функции дифференцируемы достаточное число раз, обозначим:дх	дх	д2 хХц. = -ч > Ху —ди	dvда2и т. д.;дгдгд2гд2гдхдудг г'д2гду2дх ' " ’ ду Квадрат элемента линии (перваяформа поверхности): ds2 = dx2 + dy2 + dz2гдеквадратичная Edu* + 2Fdudv + Gdv*,dx dx dy__ dy_ dz ^ ~ du dv ^ du dv dudz'&r;— коэффициенты Гаусса.Уравнение касательной плоскости (х, у, г — коор¬ динаты точки касания; 6, С —текущие координа¬ ты плоскости):е — х т\—у £ —глибоХуУаyv= 0,гдеFx (S — х) + Fy {r\ — у) + Fz (g — z) = 0 . Уравнение нормали к поверхности: g— X -Ц — У С — zF х FyПлощадь элемента поверхности	dz — Tdudv = Wdxdy:Fz = У р2 + Я2 + 1 dxdy ,Г= V EG — F* = VfP + q*+ 1 >0,W--■--/ F\ + F\ + F\ > 0Кривизна нормального сечения (сечения плоско¬ стью, проходящей через нормаль к поверхности):LdtP -f 2Mdudv -f Ndv2tdu2 -f 2Fdudi> -f Gdv2 где	L = — ixuXa -f- yu Ya + zuZu);M = — (xvXu -j- yyYa 4- zvZu) === (ХцХ^ -f" У и Yу 4" 2ц^у) *N *= (ХуХу ~|~ у у Y у ZyZy) *иначе L = Ххии + Yyau + Zzau = r:T;_ M = Xxav + Yyuv + Zzuv = s:T\N = Xxyy -f- Yyw “b ZzyV = t\T ;здесь X = —p : T\ Y = —q\ T\ z = -f-1 : T — направляю¬ щие косинусы нормали.Среди множества плоскостей, проходящих через одну и ту же нормаль к поверхности, есть одна, дл5Г которой кривизна соответствующего нормального се¬ чения наибольшая, и другая, нормальная к первой, для которой она наименьшая. Эти сечения называются главными нормальными сечениями в данной точке М. поверхности. Кривизны этих сечений называются главными нормальными кривизнами К\ и /С2; они под¬ чинены соотношениямКг + К2 = (GL — 2FM + EN)\T* = [(1+ q2) г —— 2р</3 + (1 + р2) t]:T3 ;KiK2 = (LN — Л!2): Г2 = (rt — s2): T\ где, как и ранее,Т2 = EG — F2 = р2 + q2-\-\ .К\К2 называется гауссовой кривизной; 0,5 (/С1+/С2) называется средней кривизной.1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ1.6.1. Функция, предел, непрерывностьЕсли каждому рассматриваемому значению одной переменной соответствует определенное значение другой •переменной, то вторая переменная есть функция первой. Совокупность рассматриваемых значений аргумента на¬ зывается областью определения (или областью сущест¬ вования) функции.Если существует такое число Л, ог которого функция отличается сколь угодно мало в достаточно малой окрестности точки а, т. е. если | /(*)—А | < £ при \х — а \<Ь , где е —как угодно малое произволь¬ ное положительное число, а Ь — положительное число, зависящее от е , то говорят, что функция имеет в точке а предел, равный А. Обозначение: \\mf(x)=At Точках -+аа из рассмотрения исключается, так что хф а. Понятие предела вводится и для случая, когда |/(?) —А | < е при достаточно больших по абсолютной величине зна¬ чениях аргумента. Обозначение: lim f(x)=A, илиХ-+0О\imf(x)=A; к этому случаю относится понятие пре-Х-*’ — Оодела последовательности, т. е. функции, определенной лишь для натуральных значений аргумента,При вычислении пределов применяются теоремы0	пределах.1.	Предел постоянной величины: lima = a.2.	Предел алгебраической суммы нескольких функ¬ ций и (х), v (*),..., ® (х), каждая йз которых имеет предел в рассматриваемой точке:1	im (а ± v ±... ± w) = lim и ± lim v ±... ± lim w .х~*а	х-+а х -+а	х-+а3.	Предел произведения нескольких функций, каж¬ дая из которых имеет предел в рассматриваемой точке:lim {и v... w) = lim и lim t>... lim w.х-+а	х-+а х-+а х-+а4.	Предел отношения двух функций, каждая из ко¬ торых имеет предел в рассматриваемой точке, причем предел знаменателя отличен от нуля:lim их-+аlim — x~+a Vlim vх-а
38РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАS. Если/! \х) < а < /4 (х) и lim А (дг) = lim/2 (*) ■= А .я-*-a	*-*-аТОlim и = Л .х-+аНекоторые яредельиa" sin х , lim— =0; lim	= 1;ft-* оо n\	X-+Q Xlim (l + ~) = lim (1 -j- a) a — e;X—- ± оо \	X J o-*-0lim A + —'j =\ x)Фумшия f (x) называется непрерывной в точкв a, если она определена в этой точке в в некоторой ее окрестности и еслв lim f (дг) = f(a), т. е. если значениех -афункции в точке является пределом тех значений, кото¬ рые функция принимает в окрестности этой гочки. Из этого определения следует, что если функция непрерыв¬ на, то бесконечно малому приращению аргумента соот¬ ветствует бесконечно малое приращение функции: lim by = 0. Элементарные функции непрерывны в каж¬ дой точке, где они суще¬ ствуют. Точки, в которых функция не является не¬ прерывной, носят назва¬ ние точек разрыва. На рис. 1.74 даны некоторые часто встречающиеся ти¬ пы разрывов.1.6.2. Производная и дифференциалПроизводной функции У я f (*) называется функция f' (х), равная при каждом, значении ж пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю;Таблица 1.15Рис. 1.74у (х) = lim д*-*и/(* +Дх> — fix) Дхгде Дх — приращение аргумента х.Если функция г/=/ (х) изображается кривой в де- «арговых координатах, то у' при рассматриваемом значении аргумента выражает угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, т. е. #'=tg7, где т- —угол наклона касательной к оси X. Производная имеет не только геометрическое толкова¬ ние, но и многие другие: она выражает скорость изме¬ нения функции относятельно аргумен.а, например ско¬ рость движения, интенсивность нагрузки, силу тока, теплоемкость и т. п.Если функция имеет »в рассматриваемой точке произ¬ водную, то она в этой точке непрерывна; таким обра¬ зом, непрерывность является необ\одимым условием существования производной. Но это условие не являет¬ ся достаточным, так как непрерывность не гарантирует существования производной.Общие правила дифференцирсваячя (а— константа, и и v — функции от х) см. в табл. 1.15.Уу'Vу'auau'и—,Vvu' — uv'VAU1 + U2 +u\ + u2 +F (и), где и «= и (X)dF du du dxuvu& -j- vu‘——Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента. Формула для дифференциала: dy =* y'dx, причем dx =» Д х. Дифференциал эквивалентен прира¬ щению при Д ^ — 0, так что при малых приращениях пользуются приближенным равенством Ду « dy.Производные основных элементарных функций при¬ ведены в табл. 1.16.Габлииа 1.16.х"ах + Ьпхп—1VTпУ~пУ X"-1ал In ае*In хIх in acosxctgxarccos xarcctgxch x— sinx1sin2 xУ 1 - X*sin Xcosxtg*arcsin x1COS2 XУ i-arctg xI +x21 -f-x2shxchxshxcth xsh* xth xch2xArsh xУ 7ArchxArcth xУх3 — 1Arth x1 — x21 — x*. M<1
1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ39Производная от производной называется второй производной от данной функции; вообще производной порядка п называется производная от производной по-d2xрядка п—1. Обозначения: *Д у	 у^п) либо-— ,d3y dny—	* • • •» —7, • Аналогично определяются дифферен- dx3 dxnциалы высших порядков. Обозначения: d2y, d3y,...t dny. Формула для дифференциала порядка п: dny = y(n)dxn лВ та&л. 1.17 приведены производные порядка п для* некоторых функций, а также для алгебраической суммы и произведения двух функций.Таблица 1.17In XCOS Xu±vuvcos ( x +-71Пgkxsin Xknekx/	71 n \sinr+~jm(m — 1 )• • •(m—n+ \)xm~nu(n) ±v(n)u^v-f- ( 1 ) u^n ^ v' + ( 2 ) u^n 2) v* H	1-+ ( i ) ti'v+uvWВ последней формуле табл. 1.17 правая часть полу¬ чается, если разложить (u-\-v)n по правилу бинома Ньютона и заменить степени производными соответ¬ ствующих порядков, причем и°=и, v°=v.1.6.3. Раскрытие неопределенностейМожет случиться, что вычисление пределов приводит к «неопределенностям» вида:0	00	по о 100— ; 	 ; О.оо ; оо — оо;0 ; оо°; 1 .О	оофункции все же может иметь предел, но его надо отыс¬ кать каким-либо иным способом.Если f (х) = <р (х) ф (*), причем при х -*• а (или при х-► ± оо ) один из множителей стремится к нулю, а другой к бесконечности (неолределейность вида 0 • оо ), то задача сводится к предыдущему случаю посредством преобразования произведения в частное:Ч> (*Ж*) = ¥(*):■1Если 'f (х) = f(x) — '{'М. причем при х -*■ а (или при х -► ± оо ) обе функции стремятся к бесконечности одного и того же знака (неопределенность вида с»— оо) то полагают?(*) =1и(х)1о(х)после чего получается снова отношение v(x) — и (х) и (х) v (х)/(*)=-Если f (к)У (*)Если f (х) =• ^(х)9^ при х-+а (или при х -► ±oo)i принимает одну из форм О9, оо°, 1°°, то логарифмируют функцию и определяют сначала lim Гп f(x) по выше-х^-ауказанным правилам, а затем lim f(x).х -+а1.6.4. Исследование функцийФункция называется возрастающей в некоторой точке, если ее значение в этой точке больше, чем >в ле¬ вой части некоторой окрестности этой точки, и меньше, чем в правой части Аналогично определяется убывание функции в точке. Достаточные признаки возрастания и убывания: если производная в испытуемой точке поло¬ жительна, то функция возрастает; если производная отрицательна, то функция убывает.Функция имеет максимум (минимум) е точке, если ее значение в этой точке больше (меньше), чем в не¬ которой окрестности этой точки. Функция может иметь экстремум (т. е. максимум или минимум) лишь в такой точке, где производная либо равна нулю, либо не су¬ ществует (необходимое условие). Функция действитель¬ но имеет в такой точке экстремум, если при переходе через испытуемое значение производная меняет знак (достаточное условие), а именно: если переходит от по¬ ложительного значения к отрицательному, то функция имеет максимум, если от отрицательного к положитель¬ ному, то функция имеет минимум.В точке, в которой у' = 0 и существуют производные высших порядков, можно применить другое достаточное условие, а именно: еслипричем числитель и знаменатель	/г(а) = 0, f (а) = 0,..,	(а) = 0, fn) (а) Ф 0 ,то, если п — четное число, функция имеет максимум при (а) <0 и минимум при f^n\a) >0; если п — не¬ четное число, то экстремума нет в испытуемой точке, — функция возрастает при /^(а)>0 и убывает при f[n)(a)< 0.<И*) ’стремятся при х -► а (или при х ± оо) оба к нулюОили оба к бесконечности (неопределенность <вида —ооили —), то при некоторых ограничениях, налагаемыхоона обе функции, неопределенность может быть раскры¬ та по правилу Лопиталя:11га 4<£>х+а ф (*) х^а №если отношение производных имеет предел. Если отно¬ шение производных не имеет предела, то отношение1.6.5.	Функция двух переменныхПонятие функции двух переменных, а также понятия ее предела и непрерывности устанавливаются аналогич¬ но тому, как это делается для функции одного перемен¬ ного. Частные производные функции z — f (х, у) опре¬ деляются равенствами
40РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАdz	А хг dz	Av г— = lim -j—; — = lim у— ,дх Ьх-+0	ду	byгде Ал г и Ауг — частные приращения функции, полу¬ чаемые ею, когда изменяется лишь один из аргументов. Частные производные по каждому переменному отыс¬ киваются по правилам, известным для функции одного аргумента, поскольку другой аргумент остается по¬ стоянным. Частные дифференциалы выражаются фор¬ муламиdz	дгдхdxZ = — dx\ dvz— — dy , где dx = Аде , dy = Ay •y dyПолное приращение функции:Az=/(* + A*; у + Ay)— f(x, у) .Полным дифференциалом функции называется глав¬ ная часть полного приращения функции, линейная от¬ носительно приращений независимых переменны** Достаточным условием сушествизания полного диффе¬ ренциала является существование и непрерывность частных производных в рассматриваемой точке. Полный дифференциал выражается формулойdz	dzdz = — dx + — dy .дх	дуПолный дифференциал эквивалентен при А х -► 0 и Ду -*0 полному приращению, так что в приближенных вычислениях принимают Az^dz. Функция, имеющая в данной точке полный дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.Производные высших порядков определяются, как для функции одного переменного. Производных второго порядка имеется четыре:дЧ дч	d2z дЧдх2 ’ дхду * дудх * оу2 ’но если смешанные производные непрерывны, то онидЧне зависят от порядка дифференцирования, т. е. —- =дхдудЧв дудх ’ ТЗК ЧТ° ост?ется лишь ТРИ различных произ¬ водных. Различных производных третьего порядка оказывается четыре.дЧд*гдЧдЧдх8 * дхгду ’ дхду'* ’ ду3Вообще производных яорядка п имеется п+ 1,Если z=f (и, v), где w= ср (х, у), v=ty(xt y)f т. е. если z есть сложная функция от ху у, причем все эти функции дифференцируемы в рассматриваемой точке, то частные производные отыскиваются по формуламдгdz да		дг	dvдх	ди	dx~^~ dv	дх 9dz	дг	ди dz	диду	ди	dy ^ dv	дуЕсли z=f (и, у), где ы=<р(*),	(t), т. е. еслиг есть сложная функция одного аргумента /, то произ¬ водная от z по t отыскивается по формулеdz dz du dz dv dt da dt dv dtИз формулы для полного дифференциала видно, что dz=P(xty)dx + Q (я,у) dy ,гдеdz л	дгОднако не «сякое выражение такого вида является полным дифференциалом некоторой функции, но лишьdP dQтакое, в котором выполняется условие — =*	.dy ОхФункция f (х, у) имеет наибольшее или наименьшее значение в точке (х\, ^i), если в этой точке выпол¬ няются условияд/(х У) дх= 0;д/ (х, у) ду= 0;ГдУ(х.у) 1»L бхдУ J«*/(*.» &f(x у)дх*дхдуПри этом частные производные<0.ду*аз/ d*f— и — имеютdx2 dy*одинаковые знаки; если обе оня отрицательны, функция имеет максимум; если обе они положительны, функция имеет минимум. Функция двух переменных может иметь экстремум и в такой точке, где час1ные производные не существуют.Если требуется найти максимум или минимум функции f(x, у), причем х и у связаны соотношением ? (*» У) “Of то вводится неопределенный множитель А и рассматривается экстремум функции F (х, у, X ) =» = / (*» У)	У), так что для определения экст¬ремальных точек и X имеются три уравнения:dF	dF— = 0; — = 0; ср = 0, дх	дупричем эти равенства выражают лишь необходимые условия максимума или минимума.Аналогично устанавливается понятие функции трех и более переменных, а также понятия частных производ¬ ных и дифференциалов таких функций. Полный диф¬ ференциал функции трех переменных выражается фор¬ мулойди	диdu = Т~ dx + Т" дх	дудиdy + — dz. огВыражение вида Р (х~% у, z) dx + Q (jc, у, z) dy +' '+/?(*, у, z) dz лишь в том случае является полным дифференциалом некоторой функции, если выполняются условияdP_dQ, #Q_dR Ж___дРду дх дг ду дх дг1.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ1.7.1. Неопределенный интегралПервообразной от данной функции называется функция, производная которой равна этой функции, т. е. F (х) есть первообразная от / (х), если Р( х) = =/ (х). Если функция непрерывна в замкнутом интер¬ вале, то она имеет первообразную в каждой точке этого интервала и притом не одну, а бесчисленное множество, но все они отличаются одна от другой лишь произволь¬ ной постоянной Общее выражение первообразной функ¬ ции от /(*), т. е. функция вида F(x)-\-С, где С — произ¬ вольная постоянная, называется неопределенным ин*
1.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ41тегралом и обозначается так: jf (*) dx. Таким обра- зом, J f(x) dx = F(x)+C, если F'(x)=f(x).Свойства неопределенного интеграла выражены следующими равенствами, в которых и и v — функции от xt а — постоянная:J a da = a j du ;J (и + и) ,/х — j a dx + J v dx ;J udv = uv — j vdu (интегрирование по частям):It(x) dx = ^ f [<t (у)] у'(у) dy-, х = ч(у) (способ подстановки);д С	С д/(*. «)(дифференцирование под знаком интеграла).Ниже приводятся основные формулы интегрирования функций, получаемые обращением формул дифференци¬ рования функций, а также некоторые обобщения ос¬ новных формул.Основные формулы интегрирования:'dxхп dx —n-t-l■ -f- С, ti ф. — 1 •dx	= Jn [x|+C;ex dx = ex + С;axdx =■C;In asin xdx = — cos x + С;cos xdx = sin x + С ;dx—— = _ ctg X + C; tgx + C;sin2 x dxcos52* sh x dx = ch X + С;ch xdx ** sh x + С ;dxch2 x dx= — cth x + С ; = th x + С ;1+X2dxУ 1 —X*= arctg x + С = — arcctg x + C1;= arcsin x + С = — arccos x + ;б/х = — emx 4- С; msin mx dx = — — cos mx + C; mcos mxrfjc = — sin mx + С ; mdx 1	x	1— arctg — + С 		arcctg x+Cx;,a2+ x* ax . ^ x —	= arcsin — + С = — arccos — 4- C, ./«•-*• a e1.7.2. Интегрирование рациональных функцийИнтегрирование дробно-рациональных функций вы¬ полняется посредством предварительного разложения подынтегральной функции на сумму многочлена и эле¬ ментарных дробей, после чего интегрирование всегда выполнимо в элементарных функциях. Ниже приводят¬ ся интегралы от некоторых дробно-рациональных функций*5~-Гdx	1= — In I а + Ьх 14- С;ОIа-\- Ьх dx (а + Ьх)2dx+ 6х*dx а — Ьх*	1_~Умdx1b (а + Ьх): —zz-агсЦ х V ab+С, если ab> 0;, У аЪ 4 6* , „In —zz:	+ С -2 У ab 1f ab — Ьхj + С, если ab > 0;■ Arth х1 , \а + х |	1	х* =^-,п 	\+С = — Arth — + С.аг — х2 2а I а — х |	а	аВ последующих формулах введено обозначение: а + 26х+сх2 = Х; Д = ас — 62.Г dx	J X ~1Ь + схarctg —— +С при Д > 0;У Ь У L12 У — ДInУ—л—ь—<1К-Д+64<Ь -|- сх-ArthЬ + схУт Д С при Д = 0.+ С- С при Д < 0;1dxХР 2Д (р — 1) ХрЬ + СХ , (2р — 3) с —1 -г ---(а + р х) rfxР2с (р — 1) Л* ас — Р 62Д (Р ас—-р 6 сW +-	3) с Г* dx—	i)J а:/’-1 ;Г* rfxJ хр-1 ;
42РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАm_ 1 „ *m_1 (а + bx)n+l хт (а + bx)n dx —	(m-^n)-b	xm (a + bx)n(m— 1) a С m 0■	-—		- I xm~~\a -f bx)n dx = ■(m + n) b J	m + n-	Г xm~l (a + bx)n-1 dx + C. nJna m + -K7.3. Интегрирование иррациональных функцийИнтегралы от иррациональных функций в общем случае не выражаются в элементарных функциях. Ниже приводятся интегралы от некоторых иррациональных функций:^\^а-{-Ьх dx= (V^a + bx ) +С;J Y а + ЬхJ х у а + Ъх dx = (bx — j (У а + bxf + С(подстановка: y=a-\-bx); х dx	2VJTTx = VbiГ —хах ■ = — (6* — 2а) Va+bx + C JVa-(подстановка: у=а~\~Ьх);fa + bxdx, j* —^2dxУa + bx(указание: применить подстановку y—a+bx); dxI;(a + px)Va + bx (указание: применить подстановку i/= Уa + bx)',Ii^%-^r,,csln(i/^)+c:C/^x, У a + bx) ^<f{x,Va + bx)где f а у— целые функции (указание: применить под- пстановку у=>Уа + Ьх)-В последующих формулах введено обозначение:]/a-\-2bx-\-cx2 = X; ас — Ь2 = А;L		у — 1п | Ь + сх +У с X |+ С при с>0,1 . b + схArsh —г=г+ С при А > О,У лУс1 , , Ь + сх —- Arch		+ С при А < О,Ус У- д1	Ь + сх ^arcsin —	 + С при с < 0;У-с У- АС (« -Ь Ра:) rfAT ^ р ас—Р6 Р J*fJ	с	с J XГ л:т dx xm~l X (m — 1) а Г xm~2 dx J X ~ me ~ me J Xj4 4~ gime	me(2m — 1)6meX —j—	’ * ’ "l-XP xm~1 dxJ A ;dx =rdx~x~'Для определения постоянных <4o, Л2	 Лл_1,Лдифференцируем обе части равенства и сравниваем коэффициенты;dx= In I * + VX2 ± а2 | + с;*2±а2J )^а2 — х2 dx = l^a2 — х2 + arcsin + С ; JУ* х2 ± a2 dx =	*a — я2 ±I"*- I±Yln(* + ^2±a2) + C:6 + « х+ас-£_^ + С'2с	2 с(а + Р дс) dx (a ft — b a) -f (6 ft — с о) х(Ь2 — ас) X+ С.1.7.4. Интегрирование трансцендентных функцийИнтегралы от трансцендентных функций о общем случае не выражаются в элементарных функциях. Ниже приводятся интегралы от некоторых трансцендентных функций:j* хп ех dx = ех \хп — пхп~1 + п (п — 1) хп~2—	+(-1)п«!] +С;j* In xdx =х In* — лс+С;j* (In x)"dx = n (In x)n — ft j*(^n x)n 1 dx + С, пф—1;In xdx =xn+' n+ 11In X(П+ I)2
1.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ43\пх	1	dx = — (In *)2 + С;х	1	Ц-Спй-М+С. »*-1;X	-»1dxX In Xп + 1 = In [ In л: | Ч- С;sin2 xdx= — sin 2х + х + С ; cos2xdx о. -j-sin 2jc + jc + С;4	лsin mjcdx ■ cos mx dx:cos mxm sin mx+ C;sin mx cos nx dx *+ C; cos (m + n) x2(m + n) cos (m— я) xsin /ях sin nx$■I I I I 1 1 II 1I I f f I1^Г'|п|,г(т + т)| + С:I Iс, тф ±n;+2(m —n)sin (m — rc)x sin (/я + n) x2(m—n)	2{m +n)+ С, m Ф ±n; sin (m — n) x sin (m + n) xcos mx cos *r = ~"2(m_n)' + "2(m + «i + + Ct ±«; tg x dx = — In | cos x\ + С;ctg x dx = In | sin x\ + С; dxsinxdxshxdxchxxtg ~2~+ С;= — 2Arth (e*) + C\ = 2arctg(ejr) + C;dx t_ | r- —	= tg ^r + L,1 + cos x	2—^	= -ct g-y+C;1 — cosx	2sin x cos xdx = — sin2 x + С;ьdxsin x cos X^sinnx dx=—■ = In | tg JC | + С;cos jc sin” 1x■ +xdx +C;f sin * cos'1 1 x n — 1 Г „ 9 J cos xdx=			+ —-— J cos л“2 xdx+C;Jtgnxrfx = ■ ^^ * — j*tgn~2xdx + C, пф 1;^cignxdx = —	t~ —jctgn~2xdx, пф 1;Г rf-c J sin^jccosx(n— 1) sin/I~lx dxn — 2 f*«-1 J ‘Isin tdxcos X (Л— 1) cos'1""1 X7^TT +n —2 rn- 1 J 'dx-f- С, л 1 jIsisin^x cosv xdx =sinp+1 x cos'7 !x+Р+Я1	L Г -:-D .. cosq—2xdx =Р + ЯJ* Ь\ПР Xsin^ 1 ^:cos<7+1 x P— ^jsin -P + яpx cos*7xdx = — p — q — 2Jsinp 2л: cos'7 xdx+C +Р + Я sin~p+1 x cosq+1xISisinp-*r cos qxdx=p— 1q ^ ■■ J sin“p+2JC cos*7xdx+ C\ sin^-1"1 jccos_<7+1 jc ,Я- 14- 			—- Г sinp x cos_<7+2 xdx + C;Я —1 JJ xm sin x dx = —xm cos x + m ^ xm~l cos л: dx+C\J xm cos xdx = Arcsin jc — m j* *m_1 sin д: dx + C;=«“(l/rft,ef)+c-I;dxa+b cos л:Viесли aa > b2;1	ft+a cos x+V b2—fl2sin л:]/ ft2—a2+ C=■ In -ал+ b cos xУ b2—a2Arth(j/r^XxtgTj + c.если a2 < 62;
44РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАС cos xdx J а+6 cos л:dxa + b cos xC;sin x dx	1	= — — In a + 6 cos x\-\- С;a -Ь 6 cos x	b	if»+ В cos x -I- С sin x -j- b cos x + с sin xdxdy+ P COS cp~	P COS cp flfy-j- (В cos a -f- С sin e) \ jJ a + p cos cp—	(B sin a — С COS a)1-sin cp d cpa + p cos cpCtесли принять6 = p Cos a , c = psina;x — a = cp ;asinbx — bcosbx , _eaxsmbxdx =	——	eax + C;a* + bla cos bx 4- b sin bxeax cos b x dx —	r——>	e*x + C;a2 -f- b1J arcsin x dx = x arcsin x~\~ 1 — x2 + C; j* arccos xdx=± x arccos x — У1 — x2 + C;j* arctg x dx=x arctg x	In (1 + x2) + C;j* arcctg xdx = x arcctg x + In (1 + x2) + С ; J sin xshx <*л: = (sin xohx — cos x sh*) + C; j* sin x ch x dx =	sh jc cos x ch x) -f C;j* cos xchxdx = (cos x sh x + sin x ch x) + C; j* cos x sh л: dx = -j-- (cosxchx + sin x sh л:) + С;sin ax sh 6л: = 1= a*+ 62sin ax ch 6x dx ==1(b sin ax ch bx—a cos ax sh bx) + С;j*sia*4- b2(6 sin ax sh bx — a cos ax sh bx) + C;Jcos ax sh bx dx = 1“ a2+ 6a cos ax ch bx dx 1в a*+ bа(6 cos ax ch 6.x + e sin ojc sh 6л:) + С;(b cos ax sh 6л: + a sin ax ch 6л:) + С .1.7.5.	Определенный интегралОпределенным интегралом функции f (х) на отрезке [а, 6] называется предел интегральной суммы видап2	f(xi)&xi при условии, что длина наибольшего из частичных интервалов стремится к нулю, т. е.ь	п\f(x) dx = lim S /(? ) д x • x < Z .< x,,vа	шах Дл^-*0 i=1 v *' 11 1xx = a; xn — b.Если ф|ункпия непрерывна и интервал замкнут, а< <х<Ь, то определенный интеграл существует* Имеет место формула Ньютона — Лейбница:ь$f(x)dx-F(b) — F(a), где F' (х) = f(x)..Под средним значением функции разумеется такое аначение ее £(£), которое получается из равенстваAQj/(x)dxb — aОпределенный интеграл применяется к вычислению величин, обладающих свойством аддитивности. Свойст¬ во аддитивности выражается в том, что величина, соот¬ ветствующая рассматриваемому интервалу, равна сум¬ ме величин, соответствующих частям, на которые интер¬ вал разбит. Таким образом, определенным интегралом могут быть выражены плошадь плоской фигуры, длина плоской кривой, объем тела вращения и площадь по¬ верхности вращения вокруг одной из осей координат, равнодействующая нагрузки, действующей на балку, мо¬ мент этой нагрузки, работа силы, длина пути, количест¬ во тепла и т. п.Понятие определенного интеграла можно распрост¬ ранить на случай бесконечного интервала, а также на случай разрыва непрерывности подынтегральной функ¬ ции. Такие интегралы называются несобственными. Если функция непрерывна в дана при а<х<«>, тосо	иf / (х) dx = lim \f (х) dx ,если этот предел существует; в этом случае говорят: несобственный интеграл существует (сходится). Если предела нет, то несобственный интеграл не существует (расходится).
1.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ45Если функция дана на конечном отрезке и имеетьразрыв в точке с, то несобственный интеграл J f (х) dxадается определениемь	г с—я	ъ§f(x)dx = lim §f(x)dx+ J f(x)d a	ГГп L *	*+PЕсли оба предела существуют при аир, стремящихся к нулю независимо друг от друга, то интеграл сходится. Если один из пределов (или оба) не существует, то интеграл расходится. Если предела правой части не существует, но существует пределlim [ Г f(x)dx+ Г f(x)dx\ , Li	da Jто этот предел называется главным значением интег* рала.Значения некоторых определенных и нтеграло в1С dx С dx	тс_J а2 + jc2 J а2 + х2 4соIdxа + Ьх%оalb fV7ITГ2 Vabdxdxa + bx% J	 a + bx2Ifaib4 У abЗЗГ-;dxУ a — bx2 2 У bJ00ICO1000 f 0 001000IdxXcos bxbtg bxdx= oo (интеграл расходится) ;2 *e bxdx = — , b > 0 ; be~a'x'dx=YL2 aOOI-0eoJ-00010eo1n\x e dx = ~"n+l' » Д > 0, я— натуральное число;.* + 1 sin me, 0 < n < 1;*	sin bxdx :a2+ b2a2 + 62, a > 0 ;Jsin xdx = J cos xdx = 1;J sin2 x dx = j cos2 xdx = —;1-3-5— (2m—1) я _ 2-4-6...2m ‘ 2 Ц2-4-6.. .2mjsin**+'xdx = j cos^+'xdx = 3 5 7> (2m+1), 0 0oo	*o		J* sin (л:2) dx~ j cos (л:2) dx=	'»— eo	— 0000J e~~x*dx = Уn .Встречаются определенные интегралы, подынтеграль¬ ная функция которых, а также пределы интеграла за¬ висят от параметра.Если f (х, a), b (а) и а (а)— непрерывные функ¬ ции от параметра а в некотором интервале (a0, ах), то производная от интеграла по параметру а в этом интервале выражается формулойЬ( а)	Ь( а)£ |7<*,.)Л- jд(а)	а(а)д/(*. ») даdb .. dadx+ «) — .aa	daЕсли a и ft не зависят от параметра а, то последние два слагаемых обращаются т нуль.1.7.6. Кратные интегралыАналогично определенному интегралу двойные и тройные интегралы определяются как пределы интег¬ ральных сумм:
46РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАпf f / (■*, У) ds = lim S f(xi yi) b$i,где f(x, у)—функция, заданная в плоской области F; Xmax — наибольший из диаметров частичных об¬ ластей, на которые разбита область F.f{xtytz)dv = lim 2 /(*/у/г/)Ар/; i=lгде | (х, у у г) — функпия, заданная в шространственной области G.Если функция непрерывна и область замкнута, то интеграл существует.Вычисление двойного (тройного) интеграла при не¬ которых ограничениях, налагаемых на границу области, сводится к вычислению двух (трех) определенных ин¬ тегралов:* <р2(*)\f(x.y)d$ — [dx\ f(x,y)dy; а ?,(*)Ь	Т2<*) Ьг(*,У)Ш/(*. у. *)do =r J dx J dy J f(x, у, г)dz.CL	а ?г(х) Ф^дт.у)Вычисление интегралов во многих случаях упро¬ щается посредством замены переменных. Если х и у .связаны с новыми переменными и и v соотношениями х— <р (и, V), */=ф(и, с/), тоFгдеf(x, у) dxdy = JJР), ф (в,Р(*. У)£> (и, у)Лдхдхдиdvду_ду_дидиD (и, а)(определитель Якоби) .Геометрически замена переменных может быть ис¬ толкована как преобразование координат; тогда опреде¬ литель Якоби выражает коэффициент искажения эле¬ мента площади при переходе от системы (х, у) к си¬ стеме (м, v). Например, при переходе к полярным ко¬ ординатам (х— р cos ср, у = р sin ср) имеем:Р(Х, у)COS ср — Р Sin ср sin ср р COS Ср:р ;0(р. ?)/ (х, у) dx dy=j$f [р cos ср, р sin ср] р rfp rfcp.АналЪгично поступаем при замене переменных в тройном интеграле. Например, прм переходе от декар¬ товых координат к сферическим(х = р sin 0 cos ср, у = р sin 8 sin ср, z == р cos 0) имеем:D(xt у, z) ^D (Р. 0, <р) sinOcoscp р cos 0 cos ср —р sin 0 sin срsin 0 sin ср р cos 0 sin ср р sin 0 cos <р = ра sin 0.cos 0 — р sin 0	ОДвойные (тройные) интегралы применяются при вы¬ числении различных количеств, обладающих свойством аддитивности и отнесенных к плоской (пространствен¬ ной) области.1.7.7.	Криволинейные интегралыКриволинейный интеграл также определяется как предел интегральной суммы, причем функция предпо¬ лагается заданной на отрезке линии, плоской или про¬ странственной. Различают криволинейные интегралы по дуге, по координатам и составной: по дугеJ/С*. У. z)ds= Пт п 2 /(xiyiZf) As/; АВпо координатамmax♦о М/(*, у, г) dx= lim S / (xt yt zt) ;Адг„0;=AB*аналогично}j f(x, У, Z)dy и ]f(x, y, z)dz\AB	ABсоставнойJ [P(x,y, Z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz] .ABВычисление криволинейных интегралов сводится к вычислению определенных интегралов.Составной интеграл не зависит от формы кривой, а только от положения точек А и В при том и только том условии, если подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, т. е. еслидР dQ dQ dR dR дРду дх дг ду дх дгВ случае плоской кривой имеется лишь одно равенство:ду дхМожно, наконец, установить понятие поверхностного интеграла для функции, данной на куске некоторой по¬ верхности. Между интегралами различных видов (опре¬ деленный, двойной, тройной, криволинейный, поверх¬ ностный) имеются зависимости, выраженные теоремами Грина, Остроградского — Гаусса, Стокса.1.8.	РЯДЫ1.8.1.	Числовые рядыВыражение а\+а2+...+ап+..., где числа аи аьап,— образуют бесконечную последовательность, на¬ зывается числовым рядом. Частичной суммой ряда на¬ зывается сумма его первых п членов: sn=ai+a2-{-...-\-an. Ряд называется сходящимся, если lim sn существует;П-+ О*этот предел называют суммой ряда и обозначают: s = аг + а2 + • • • + ап + • • •Если lim $п не существует, то ряд называется расходя-ГС-* в*щимся. Исследование ряда на сходимость путем непо¬ средственного исследования sa удается далеко не всег¬ да, так что требуются косвенные признаки, называемые признаками сходимости.Необходимый признак: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю. Этот признак недостато¬ чен, т. е. если обший член стремится к нулю, то сходи¬ мость ряда еще не установлена.
1.8,. РЯДЫ47Для рядов, члены которых положительны, имеется несколько достаточных признаков; здесь даются неко¬ торые из них.Признак, основанный на сравнении рядов: если а1+а2+... + ап+... и Ь{ + Ь2+... + Ьп + числовые ряды с положительными членами и начиная с некоторого значения п выполняется условие ап<Ьп, то сходимость второго ряда влечет за собой сходимость первого, а расходимость первого влечет за собой рас¬ ходимость второго.Признак сходимости Даламбера: еслиlimП-+ООип+\-k, то ряд сходится при &<1 и расхо¬ дится при £>1, при 1 вопрос остается открытым.Признак сходимости Коши: еслип, lim	k, то ряд сходится при К1 и расходитсяТи+оопри £>1, при £=*1 вопрос остается открытым.Интегральный признак сходимости: ряд с общим членом an=f(n) сходится, если несобст¬ венный интеграл J f(x)dx сходится, и расходится, еслиаэтот интеграл расходится. Нижний предел а выбирает¬ ся произвольно, но так, чтобы в промежутке от а до о© функция f(x) была непрерывна, положительна и убы¬ вала бы.Ряд называется знакопеременным, если в нем беско¬ нечно велико число членов того и другого знака- Знако¬ переменный ряд называется знакочередующимся, если за каждым положительным членом следует отрицатель¬ ный и за каждым отрицательным следует положитель¬ ный. Для знакопеременных рядов имеется достаточный признак сходимости Лейбница: если в знакочередующем¬ ся ряду члены убывают по абсолютной величине и об¬ щий член стремится к нулю, то ряд сходится. Для обще¬ го случая знакопеременных рядов имеется следующий достаточный признак: если сходится ряд из абсолют¬ ных величин членов данного ряда, то сходится и дан¬ ный ряд. В этом случае сходимость называют абсолют¬ ной. Приведенный признак не является необходимым, т. е. из сходимости знакопеременного ряда не следует сходимость ряда, из абсолютных величин. Сходимость знакопеременного ряда называется условной, если этот ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных ве¬ личин его членов, расходится. Различие между рядами, сходящимися абсолютно и условно, существенно по¬ тому, что над первыми можно установить операции, аналогичные операциям над многочленами.1.8.2.	Степенные рядыВыражение f\(x)+f2(x)+\..+fn(x)-\-...t где функции Ых)ч f2(x)t fn(x), ... образуют бесконечную последо¬ вательность функций, называется функциональным ря¬ дом. Ряд сходится в точке х=х0, если сходится число¬ вой ряд fi(x0)+f2(xo) + ...+fn(x0) + ... Совокупность точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда. Так как каждой точке области сходимости соответствует определенное число (сумма соответствующего числового ряда), то функциональный ряд выражает некоторую функцию в области сходимо¬ сти; эта функция называется суммой ряда. Обозначе¬ ния:s (х) — fi (х) + /з (*М	Ь /п ООН— * Isn W = h (х) + /2 (*Н	bfn (х) .Если'для любого 0 может быть найдено такое целоечисло N, общее для всех х, лежащих в области сходи¬ мости, что |s(X)—sn (*)!< е при n>N, то ряд 2fi(x)l= 1называется равномерно сходящимися в данной области. Если такого числа N не существует, то ряд сходится в области неравномерно.Сумма ряда из непрерывных функций, равномерно сходящегося в некоторой области, есть функция, непре¬ рывная в этой области. Равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать, и сумма ряда инте¬ гралов равна интегралу от суммы ряда. Равномерно схо¬ дящиеся ряды можно почленно дифференцировать, и сумма ряда производных равна производной от суммы ряда, если ряд, полученный в результате дифференци¬ рования, сходится равномерно.Одним из видов функциональных рядов является степенной рядво + а\х + ахх2 Н	f- апхп-\	,где а0, аи ап... — заданная последовательность чисел. Всякий степенной ряд сходится в некотором интервале (конечном или бесконечном), симметричном относитель¬ но ^нуля. Степенной ряд обладает свойством равномер¬ ной сходимости, так что его сумма есть непрерывная функция, и он допускает почленное интегрирование и дифференцирование в любом интервале, внутреннем по отношению к интервалу сходимости; выражаемая им функция имеет производные любых порядков в области сходимости.Разложение функций в степенные рядыЕсли функция f(x) обладает тем свойством, что в интервале (a, a+h) непрерывна сама и первые ее п производных, то имеет место формула Тейлора/(а + А) -/(а) + (а) + ...+ип—1I нп 	/(п-1) (а) + — /п) (а + 6А), (0 < в < 1) .(я—1)!	п\Если положить а=0, то получается фомула Макло- рена. Если функция f(x) непрерывна и имеет при х=а непрерывные производные любых порядков, то ее мож¬ но представить в виде ряда Тейлорах — а (х — а)2 fix) =f{a) + —77— f (а) +	TT-fl?) +• • •++1!(х *■	а)пп\2!/(л) (а) +•причем этот ряд действительно сходится к f(x) в интервале (0, х) в том и только в том случае, если оста- /х	а)п+1точный член Rn = —;——7—— ^п+ ) (£) # а < £ < х (/1+1)1стремится к нулю при п-> оо.Степенные ряды дают возможность заменить дан¬ ную функцию приближенной равной ей суммой некото¬ рого числа членов ряда, т. е. многочленом; для прило¬ жений важны ряды, сходящиеся быстро, т. е. такие, в которых сумма небольшого числа членов дает прибли¬ жение с желаемой точностью.Ниже приводятся некоторые из употребительных степенных рядов,
48 =РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКАБиномиальный ряд:_	т т (т— 1)(\+х)т=\ + — х + 		 *2 +т (т—1) (т—2)+ —*8+-‘—1< *< 1.При т натуральном ряд превращается в многочлен сте¬ пени т (разложение бинома Ньютона). При т>О ряд сходится также на границах, т. е. при х=±1; при —1<т<0 ряд сходится только на правой границе; при т<—1 ряд расходится на обеих границах.Частные случаи биномиального ряда:—* lT% + x2:Fx8+««* (убывающая геометрическая i±*прогрессия);1.1.3*52-4-6-811 1.3 1-3.5УйГ, —Т'.+ П—+	— - т т (т—п)у (1 + х)т °1 + — *+ - я-2в *2 +т(т—п) (га—2п)+ 	1		—х» -I	;^	п.2п.3п	^т т(т-\~п)= 1 — —х+ —~0 'х* — п	п.2пV(l+X)mт (т 4- п) (т + 2п)п.2п-3п*8+-Ряды для некоторых трансцендентных функций: х In а (.х In а)2 1! + 21(х In а)3ах= 1 +3!» , —ОО < X < оо;X X2 X3	*«*-! + — + —+ — +...,‘-<*,<*<00,‘-;1т.(1+т) -1+т+т+зг +4" • • • ^ 2,71828; JC2 .х3 ln(l+jc) = Х-— + — -—	—’ 4е • • • # — 1 < .х < 1;4х2 х3 i„(i jc)—-f-x*_41	< x < 1.Последние два ряда сходятся медленно, а потому непригодны для вычисления логарифмов; вычитание об¬ разует новый ряд-[х+^Г + ^Г 	). — 1 < jc < 1;14-л: / л* jfi	\T=i-2(x+T+T+--)--]1+* »-1обозначим 		= N; .отсюда х==--—г» и мы имеем ряд1—х	N 4- 1для вычисления логарифмов, сходящийся быстро:Л ГАГ— 1 1 (N — 1 \>[i*TT+ т(лГ+т)+1	IN — 1 \s 1+ тОпт)Н- ">0;Х3	jc 5	jf7sinх=х	+ - — Н , оо <л:< оо;Х2cosх = 1 — -77-4" тг — Т7 + ■ »—00 < х< °°;2!4!6! 17x7х3 , 2л:5 tgx=.* + 3	32.5.7+32*5-7«97С	ТС~т<х<т:arcsin х=х4-2-31-3 , 1-3-5X5 4- ■■ "■■ ■- Х7 +.л:3' 2.4-5 —1 < л:<1;X5 X?2-4.6.7arctg* = * — — 4- — — — -(	; — 1 < х < 1;1	„ „	х3 , х5 х7sbx = T(e*-e-*)=x+ — + — + — +•••;—	00 < X < 00;X2X6ch* = — (e*+e *>-1 + 2| + 4| +%■+•••:—	00 < x < OO.Некоторые специальные ряды, встречающиеся в тео¬ рии балок на упругом основании (интервал сходимости —оо <х< оо):X8г12ch*cos*=l-2° — +2‘ — -2в — +...;*2	уб	И°	jrl4sh,sin,=2--2»- + 2s--27-+...;v*3	у*5	v*7	v*9сЬх81пдг-дс+2 — -22— -23 — + 2‘ — +...;х3 X® х7 х® shxcos^-2 — -22- + 2з-+24 —1	X5	X9—	(ch л: sin *4-sh * cos х)=х — 22 — +24 —		2	51 9! л:13—26 — +-•;131 ^ *
1.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ491 ,	л JC7	Хп—	(ch л: sin л:—sh х cos х) = — —22— + 24 — — 4	3! 7! 11!—26— + ...;15! ^оо пТе* sin2	2 пт. yf1	X2 л X*2 sinT*^=j;+2lГ+2~п=1JC5	Л*	*7-21 F-2,-5r-2^r + '";„	л л:2 лг* л х5е *sin™-2— +2 — -2» — ++23 — —2» — +6! 7!во ПV	2* Пъ хп Ч X X3^созд: = ^2 cos Т* “пГ + 1Г "зГ ~п=0X4	JC5	JC7	JC8—22 — — 22—+ 23 — + 24— +..-;4! 5! 7! 81V"	v3	у*«-х cos * = 1 — —+2— —22 —+1! 3!4!+ 2»—-2»—+2* — -..-5! V. 8!«~*(cosx-|-sin х) = 1— 2-|j- + 22	22-^7 —_И>	y7	jr8—	23 — — 2з— + 24—	;6!	7!	8!% e-x(cosx — sin*) = 1-2-yj- +2^—22-^- +X7*	xb	X8+ 23 — + 23 — + 24 —	5! ^ 6! ^ 8!1.9.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ1.9.1.	Основные понятияДифференциальным называется уравнение, устанав¬ ливающее зависимость между независимыми перемен¬ ными, неизвестными функциями и их производными. В случае одного аргумента уравнение называется обыкно¬ венныме; в случае нескольких аргументов — уравнением в частных производных. Порядком уравнения называет¬ ся наивысший порядок производной, входящей в урав¬ нение. Функция, подстановка которой в уравнение об¬ ращает его в тождество, называется решением этого уравнения. Если уравнение имеет решение, то не одно, а бесчисленное множество; решение может зависеть не только от аргумента, но также от одной или нескольких произвольных постоянных, произвольных функций. В за¬ дачах, приводящих к дифференциальным уравнениям, на искомую функцию накладываются дополнительные условия, называемые начальными и граничными усло¬ виями. При этих условиях искомое решение может ока¬ заться единственным. Решение уравнения, зависящее от произвольных постоянных, число которых равно порядку уравнения и которые могут быть подобраны так, чтобы удовлетворить любым начальным и граничным усло¬ виям, допускающим единственное решение, называется общим решением. Если решение уравнения получено в форме неявной функции, то его называют интегралом уравнения.4	Зак. 20981.9.2.	Уравнения первого порядкаУравнения с разделяющимися переменными.	Еслидифференциальное уравнение приводится к	виду<?(x)dx='\>(y)dyt то общее решение в явном или	неяв¬ ном виде найдется из уравненияJ ? (х) Ле = J 4’(y)dy+C.Уравнение в полных дифференциалах. Если уравне¬ ние приводится к виду Р (х, y)dx-\-Q (х, y)dy—0, при- дР ' dQчем ~— = —-. то общее решение имеет вид ду дхJ Р(х, у) dx+ j* j^o (* . у)— J дР^у У) dx^dy = ciилиj о (*. у) dx+ j |/> (*, у)- j - (~~у- rf</j dx = С2.Однородное дифференциальное уравнение у■о-Подстановка y=xt приводит это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.Линейное дифференциальное уравнение у'-\-р(х)у+ +<7(дс)=0 имеет общим решением функциюy = e-SPlx)dX[c-$q(x)JPix)dx dx]. Дифференциальное уравнение БернуллиZ + pWy + ^Wy^o. п ф 1подстановкой z=y1~n приводится к линейному.Дифференциальное уравнение Клеро y=xy'+f(y') имеет обшим решением функцию t/=C*+f(C), выра¬ жающую семейство прямых. Особый интеграл уравнения Клеро выражает огибающую этого семейства и прлу- чается исключением постоянной С из уравненийу = Cx-\-f (С), =■*+/' (С) = 0,что приводит к уравнениям огибающей в параметра ческой формеХ	= —/'(«); y = —uf'(u)+f(u),где и — переменный параметр.1.9.3.	Уравнения второго порядкаУравнение вида y"=f(x).Общий интеграл:у= j dx J f(x) dx + Cx л: + C2; отсюда интегрированием по частям получаем: y=zx §f(x)dx—§x f(x)dx + Cx+C l „илиy=^(x-l)f(t)dt + Cx + Cl.
50РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАЭта формула, в частности, выражает зависимость меж¬ ду изгибающим моментом М и нагрузкой р на балку:dmdx2= —р\ М= QqX+Mt)p(t)dt,где М0 — изгибающий момент,Qo — поперечная сила в сечении балки х=0.Для случая дифференциального уравнения п-го по¬ рядка yW=f(x) результат обобщается следующим обра¬ зом:х•у= 7Я-Ц1 j	dt + С, + С,х +о+.--+сп_1хп-\Уравнение вида y" = f(y').Общий интеграл:х =Г»	dyJ V C!+2j/(y)dy-С*.Уравнение вида y°=f(y')- Полагаем у'=2, у"=2^\ тогдаС dz	С zdzх — I *4— Cj и у =— \	—I— Со.J/U) 7 J/(z) Т 4Эти равенства дают решение в параметрической форме (от параметра г); исключив из этих уравнений г, полу¬ чим решение в форме F(x, у, C\t С2)=0.Уравнение вида y"=f(x, у').Положив у'=г, получаем дифференциальное уравне¬ ние первого порядка: z'=f(zt х), интегрирование кото¬ рого дает г как функцию от х и С\\ затем получиму = J г (ж) dx+C2.Уравнение вида у"=/(у, у')• dzПолагаем y'=z; у" =z ; получаем дифференциаль- dyное уравнение первого порядка, интегрирование кото¬ рого дает 2 как функцию от у и С\\ затем получим1.9.4. Линейные уравнения второго порядкау" + р(х)у+ Ч(Х)У = F (х).Это уравнение — неоднородное линейное; если F(x)= 0, то уравнение называется однородным линейным.Общее решение неоднородного уравнения равно сум¬ ме общего решения иднородного уравнения и какого- либо частного решения неоднородного уравнения. Об¬ щее решение однородного уравнения имеет видУ = Ci У\ + С2у2 где Ci, С2 — постоянные;Уи У2—линейно независимые решения уравнения, их определитель Вронского отличен от нуля:У1 У 2 Ух У 2Ф0.Такие решения у\ и yz образуют фундаментальную си¬ стему решений.Если известно только одно частное решение однород¬ ного уравнения у\% то другое находится по формулеУ 2-O.J-,-jpdxу\' dx,где С — постоянная.Если коэффициенты р(х), д(х) и F(x) раскладыва¬ ются в сходящиеся ряды по степеням х—хо в некоторой окрестности точки хо, то решения ищут также в форме рядов по степеням х—jco, сходящихся в той же окрест¬ ности. Коэффициенты разложения находятся приравни¬ ванием коэффициентов при одинаковых степенях разно¬ сти X—Хо.Задача отыскания решений однородного уравнения значительно упрощается, если коэффициенты дифферен¬ циального уравнения постоянны:“ъУ" + аху' + а0у = F (х),До, Дь Дг — данные числа. Решения уравнения зависят от корней характеристического уравнения a2k2-\-aik~\-a0=^ =0. В табл. 1.18 даны результаты в зависимости от дискриминанта D=d[ — 4аоД2.Таблица 1.18D > 0D = 0D <fi— + У~Ь"2а, :. -а,-1/1) 2а, •0-|i1IIр	Р 2а,’V— D 4 2а, ’k*=p ±qtу = Ci e^ix -J-у = (Cl ++ Сгх)екх + + ?(*)у = ерх(Сх sin qx •+- С, cobqx) 4 + Ч(х) == D1ePx cos {qx + ■4* + <f ( л:)Функция <р(л) есть частное решение неоднородного уравнения; оно может быть найдено по способу неопре¬ деленных коэффициентов, если правая часть дифферен¬ циального уравнения имеет следующую структуру:F (х) = еах [Рг (х) cos $х-^-Р2 (х) sin $х\,где Р\(х) и Рг(*) —многочлены.В общем же случае применяют вариацию произволь¬ ных постоянных, а именно: заменяют постоянные С\ и Сг функциями Сi(x) и С2(х); производные этих функций удовлетворяют системе алгебраических линейных урав¬ нений
1.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯCl У\ + ^2 У 2 — Ф С\ У\+ С2 У2 = р (*>•9	$Найдя С1 и С2, получают:С,	[х) = J с; (x)dx + Dl-, С2(х) = $C'2(x)dx + D2,где D{ и D2 — произвольные постоянные.Уравнение вида х2у"+хр(х)у'+д(х)у=0 в том слу¬ чае, если р(х) и q(x) раскладываются в сходящиеся ряды по степеням х> имеет решение видау = х* (а0 + at л: н	),где k определяется из уравненияk(k— 1) + р(0) k + 9(0) =0,а коэффициенты а0, ai... — методом неопределенных коэффициентов.Пример 1.7. Уравнение Эйлера:а2 х2 у" + а, ху' + а0 у = 0.В этом случае имеем:<*2 Ь — 1) + а\ k + ао = и решение имеет виду = ClXk' +С, JC*1 .Пример 1.8. Уравнение Бесселя:х2 у" + ху' + (х2 — V*) у = 0.Для k получается:k(k— \)+k — va = 0,откудаДва решения имеют видоо	<»ЧрХр\ у2=х~'> 2 а„хР.0=0	р=оОпределение ар с помощью метода неопределенных коэффициентов приводит к функциям Бесселя (см. 1.14.4).1.9.5.	Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентамиа„ /п> +ал_! Ч	Ьа0У =F(x).Общее решение имеет видУ	=»Ci yi Н	}- Сп уп + [у];здесь Ci	 Сп—произвольные постоянные;ух	 уп — решения однородного уравнения, об¬ разующие фундаментальную систему (т. е. их определи¬ тель Вронского отличен ог нуля^;[у] = [у(х)]—частное решение неоднородного урав¬ нения.Для нахождения уп следует найти корни гь г2, гп характеристического уравненияапгп	гп~1 Н	Ь а0=^*Если уравнение имеет только простые действительные rix ^корни ri, то yt=e 1 . Если п — комплексный корень, rt= а+/ р, то найдется сопряженный ему корень гр = = а — /р; в этом случаеyi = еах cos fix; ур = еах sin $х.4*Если г/ — действительный корень кратности k, то со¬ ответствующая часть общего решения имеет видerix(Ct + С,+1 *+ С,+2 *+■ ■ •+ С,+А_! /-1).Если г/ =а ± ip —комплексные корни кратности k, то соответствующая часть общего решения имеет виде*Х [{Di +D1+1X+ Di+2*4--+Di+k_i	COS $x +4- (£,+ El+lx+ £,+2*4	\-EiJrk_l a*"1) sin Э*],где Di, Ei—произвольные постоянные.Пример 1.9. Уравнения изгиба балки на упругом ос¬ нованииylv+64y = 0.Характеристическое уравнение k*-\-bA=0 имеет корни Г1=—/-2=а-{-/р; г3=—г4 = а — /р; а = р = —.V 2Отсюда получаем:У\=е** cos a*; y2=eax sin a*; Уз~е~ах cos ajt; уi=e a* sin а*.Общее решение:y=Ci У1+С2	Уз+С4 ух-Для нахождения частного решения [у] неоднород¬ ного уравнения либо применяют способ неопределенных коэффициентов, если правая часть имеет структуру, указанную выше (см. 1.9.4), либо пользуются вариацией произвольных постоянных, отыскивая общее решение в формеy=Ci{x) yi Н	ЬСп(х)у„.Функции Cj (дс) определяют из системы алгебраиче- ских линейных уравнений, определитель которой есть определитель Вронского, отличный от нуля в силу фун¬ даментальности решений у и У2	 Уп:Ух Сх +у2С2 +' *■+ Уп сп =У\ С1+У2 с2 н—f* Упсп — о; у[п-2) С[+/Г2) С2 +• • • +У{Г2) с’п = 0:у'"-1» cj+yf-1» с; + • •. + yf-" Сп = F (.х);имея (х), находят интегрированием С/ (х).Наряду с методом вариации произвольных постоян¬ ных применяется «символический метод» (см.В.	И. Смирнов, «Курс высшей математики», т. II).1.9.6.	Метод начальных параметровТехника преобразования общего интеграла. Пустьдано, например, обыкновенное линейное дифференциаль¬ ное уравнение второго порядка без правой части L (у”> У'> У) — 0 и найден его общий интеграл, содержа¬ щий две произвольные постоянные:У(х) = С1У1 (х) + С2 Y2 (х);здесь Yj (jc) и У2 (*) — линейно независимые частные решения уравнения, образующие фундаментальную систему.
52РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАДифференцируя общий интеграл, находим /(л:) = С1 У; (x) + CtY'2 (х).При *=0 имеему(0) = С1У1(0) + Сг У2 (0);у'(0)=С! У;(0)+С2У;(0).Эти два уравнения решаются относительно С\ и С2:= С\\У (0) ci2у' (0)‘*С2 = с21у(0) + с22у'(0).Подставляем эти значения в общий интеграл У (х) = у (0) Zx (х) + у ' (0) Z2 (х).Функции влияния Z представляют собой линейные комбинации частных решений:Zx (X) = Сц YJ {X} + ^12^2 (■*)'•Z2 (х) = c21Y1 (х) + C22Y 2 (х).Аналвгично для уравнения четвертого порядкау {х)= у (0) 1Х (х) + у' (0) Z2 (X) + у" (0) Z3 (X) ++ Ут{0) ^4 (х).Частное решение неоднородного уравнения может быть получено методом развертывания общего решения (см. 5.5.6).1.9.7.	Общие решения дифференциального уравнения четвертого порядка с биквадратным характеристическим уравнениемБольшое число задач строительной механики, относя¬ щихся к прямым упругим брусьям постоянного сечения, приводится к дифференциальным уравнениям указан¬ ного вида с постоянными коэффициентами. Имея общий интеграл однородного уравнения, содержащий четыре произвольные постоянные, можно получить частные решения, отвечающие произвольной правой части, ис¬ пользуя метод -вариации постоянных или метод началь¬ ных параметров.В табл. 1.19 для частных случаев уравненияyIV ± 2а,2у" ±Ь*у = 0даны формы линейно независимых частных решений, образующих общий интеграл однородного уравнения. Эти частные решения даны в трех вариантах «в виде функций аргументов ах и |3х, где аир — коэффициен¬ ты действительной и мнимой части корней характерис¬ тических (биквадратных) уравнений.Уравнения табл. 1.19 соответствуют: 1 — простой балке постоянного сечения; 2—балке на упругом^ ос¬ новании; 3 — колебаниям балки; 4 — сжато-изогнутой балке и колебаниям упругой системы с одной степенью свободы; 5 — растянуто-изогнутой балке, стесненному кручению тонкостенного бруса, составной балке из двух брусьев; 6—13—статическим и динамическим задачам для балок с двумя упругими характеристиками тела балки и ее основания и т. д. Эти же уравнения находят применение в теории цилиндрических оболочек.1.9.8.	Приближенные методы1Метод последовательных приближений. Пусть тре¬ буется найти решение уравнения y'=f (х, у), удовлет¬ воряющее условию у—уо при х=хо. Если f {х, у) не¬ прерывна при \х—*о|<я. IУ—Уо\<Ь и удовлетворяет условиямl/(x, yi) —) (х, у2)| « JV| У! — Уа|.\х — *0|<а, |у» — Уо1 < Ь, \у2 — Уо\<Ь, то, записав данное уравнение в виде: хУ=Уо + J /(•*. У) dx,*0определяют последовательность функцийX	XУ1	= Уо + j /(•*> Уо)аУг=Уо + j /(*. У1 )dx,...х0	х0X•••• Л,+ 1 = :Уо+ J <х,Уп)dx,*0сходящуюся к некоторому пределу у (х), который явля¬ ется решением, удовлетворяющим начальным данным. Применив этот метод несколько раз, находят прибли¬ женное решение с требуемой точностью.Метод рядов. Последовательным дифференцирова¬ нием уравнения y'=f (ху у) определяют у0, у0, у0 ,.., ytf при х=хо и представляют решение в виде ряда Тейлора (см. 1.8.2). Если указанное дифференцирование возможно неограниченное число раз, то полученный ряд будет сходящимся в некоторой окрестности хо. Решение удовлетворяет начальным данным (х=хо, у=уо) • Этот метод применим к уравнениям любого порядка.Численное интегрирование. Требуется найти решение уравнения y"=j (*, у, у'), удовлетворяющее начальным данным у—У о, У'=Уо при *=*э. Берут ряд последова¬ тельных значений аргумента х: х\у х2, х3,..., хп, так что А х=хп^1— хи вычисляют значения функции у: уи У2	уп и ее производной у^, у2. Уз	Уп> соответствую¬ щие этим значениям аргумента, следующим образом.Сначала вычисляютУо =f(xo> Уо> Уо) • ( У1) =Уо+Уо*х>( у[)=Уо+Уо д*:(>1) -/[■*»• Ы> (у!)];л + (у'г)затемУ\=Уо■ Ахи заходят более точно первое приближение:Уо+УгУ\ = УоАх.Затем все действия с уже найденными величинами по¬ вторяют до получения требуемой точности в следующем порядке:Ул =/(*«- Уп’ Уп)’(Уп+\)=Уп + Уп^1	В настоящее время, с появлением электронных счетных машин, развиваются специальные методы приближенного инте грирования дифференциальных уравнений.
Виды общего решения однородного дифференциального уравнения у[У±2а%уп ± Ь4у — 0	Таблица 1.191> У = СхХх{х) + С2Х2 (х) + С3Х3(х) + С4Х4 (х); 2) у = DlYl {х) + D2Y2 (х) + D3Y3 [X)+D,Y,3) у — y{b)Z^(x)-\-y'{b)Z 2(x)-\-y"(0)Z3(x)-\-y'f/(0)Zi( v) (метод начальных параметров)сл001.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПродолжениеСЛ№п/п10111213Вид уравненияон>>•о+%<я+>+Корни характеристического уравненияr, = r3=— rt = —rt = i$; 8 = ах,X)г,r1=‘-r2=ih-r3=—l’4=^tР,=1' a*+ Vа1—Ь*;, = V а2 — V а* — Ь*Г1 = — Гг = а + «Р;Г„ = — г4 = а — /Р;•=)/S; Р=|/^Гг = г, = — г* = = — Г4 = а; а = аа:,АУ« 4-— РУ.Угcos рх • I sin $х2рcos.p,jrр2_ ( Pi Yl-fl У»)й- й'X(А у,-А г.)V Pi h	'Lf§- Pi(Ki- Уз)^4дг sin px: I x cos В*2P2\ p Y<2~~cos p2.rsin p2rP2 PiXXXiZiВид функций Xt. Yi. Z{ такой же, как в строке 6YiZiYiZiXir*~YaY*yw + 2a?y - - b*y =0ylv — 2агу * — — b*y = 0ri=—rt = °ili, = v a2 —V°* — fr*; t, = К + — b*Xi/•i = — r* = a; r3 = — ri =/p;a* + 64 — a2;i = l^Va* + 6* -f a2r, - - r2 = a; r3 = — r4 = iP;a = K]7 a4 + ft‘ +02;P = Vv a< •+ 6< - a2A*A,2a(ЗУ2 — аУ4)Chav	Shctr1	rxal— “2х(“?у,- <4ух)»J+PS(рП^+а’У,)al “2XI a\	a2Ch fljA I sh aiXГ Ch ax \Yi2a2(y‘--\	aZ/Ch а2л 1 Sh a2x 1 Y jcos pxsin Pjc ch axSh a t«Я+Р:(*4 + -?.12 W 8 pa»+p*■(Vi-у.)«2	/т2al~ ®2X— y2-— y.)a,	a2 )COS pjc	sin P t1a2+p«2-1YiВид функций X{, Yi, Zi такой же, как в строке 12РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
1.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ55(y'n+i) = y'n + ynд*;()Си) =/[*„+!. (y„+i). (^+i)]; . y*+(y«+i)Уп+1=Уп +	5	1ЛДл:;. Уя + Уя+1 .Vn+i = У„ +	2	Вариационные методы приближенного решения диф¬ ференциальных уравнений. Дано дифференциальное уравнение с обыкновенными или частными производ¬ нымиL (w) = М,где L (w) — любой линейный дифференциальный опе¬ ратор искомой функции w\М — функция независимых переменных.Приближенное решение этого уравнения wn ищем в виде суммыwn — А\ ?i + Л2 ?2 Н	Ь Ап .где	—линейно независимая система функций,удовлетворяющих граничным условиям.Коэффициенты Л/, вообще говоря, могут быть неко¬ торыми функциями от независимых переменных и под¬ бираются так, чтобы приближенное решение достаточно хорошо аппроксимировало точное решение.Для их определения задаемся другой произвольной линейно независимой системой функций <К* Фг »•» Фл и составляем следующие равенства1:[L(wn) — M)tyfdp = 0, /=1.2	яилипJ[L ( Si4,w)-Af] ф/ДГр = 0, /=1,2	п.i-lИнтегрирование распространяется на все значения не¬ зависимых переменных, для которых ищут интеграл уравнения, a dp есть элемент объема пространства, мера которого равна числу независимых переменных.Если коэффициенты Ai считать постоянными, то вследствие линейности оператора L последнее уравне¬ ние может быть представлено в виде2	Ai J L (уд ^jdp — J Mtyjdp, /=1,2	n.Эта система уравнений линейна относительно п иско¬ мых коэффициентов А\, А2	Ап. Таким образом,решение дифференциального уравнения сводится к ре¬ шению системы алгебраических уравнений относительно коэффициентов Ль Л2, ..Ап.Из этого метода как частные случаи выводятся дру¬ гие вариационные методы приближенного решения диф¬ ференциальных уравнений.Полагаем At постоянными величинами:а) при Фу = <р/ получается метод Бубнова — Галер- кина:пЕ Atj L(!fi)fjdp=: j Mydp, /=1,2	л;б) в случае консервативных систем, если положить= получается метод Ритца (см. 1.11.3);в) если tyi= L(<Pi), тй получается метод наимень¬ ших квадратов; коэффициенты Ai в этом случае опре¬деляются из условия, что они обращают в минимум ин¬ теграл /:J = J [L ( 2 At <ft) —м]2 dp,так что Ai определяются из системы уравнений 6J—	= 0, / = 1,2,..., п.dAiВ случае двухмерной задачи, положив ф/= <р/ и считая их известными функциями от одной независимой переменной, а «коэффициенты Л/—неизвестными функ¬ циями от другой независимой переменной, получим вариационный метод В. 3. Власова.В этом случае для определения п не¬ известных функций А( получим си¬ стему п обыкновенных дифференци¬ альных уравнений.Пример 1.10. Рассмотрим прямо¬ угольную пластинку (рис. 1.75), за¬ щемленную по всему контуру, под действием равномерной нагрузки q т/м.Уравнение прогиба пластинки: д*ои	d*w а—	4-2 	+ — = —,дх1, дх2 ду2 ду4 Dгде w — вертикальные прогибы пла--—2а—-Рис. 1.75жесткость пластинки пристинки;D — цилиндрическая изгибе.Граничные условия задачи: при х=±а и y—dzb dw dw gдхдуДля приближенного решения задачи задаемся ли¬ нейно независимой системой функций, удовлетворяющих граничным условиям:?1 = (х2 — Д2)2 (у2 _ £2)2; ъ = (JC2 _ а2)2(>,2 __ £2)8;<р3 =* (X2 — а2)3 (у2 — 62)2 и т. д;так чтоwn = Аг (х2—а2)2 (у2—62)2 + А2 (х2—а2)2 (у2—62)Ч	Для первого приближения ограничимся первым сла¬ гаемым п\ положив <р1 = фь получим ъ(д* \(х2 — а2)2 (у2 — 62)2] дх*—а —Ьа оIII-+д* \(х2 — а2)2 (у2 — Ь2)3] дх2 ду2д* f (х2—а2) 2(у2—62)2]1+ —	| (л:2—а2)2 (у2—Ь2)2 dxdy=ду*	)а »= j J ^(x2-a2)2(y2-b2)dxdy, 7?	—а —ЬАл —w=A1wl=128 (b* + -у а2»2+а«| D 7?1	И. Я. Штаерман, Обобщение формул ортогвнализиро-вания, ВИСТИ КПИ, 1928.(х2—а2)2 (у2—б2)2.
56РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАМаксимальный прогиб квадратной пластинки (Ь=а)аа*,0213 ^ .По точному решению получаетсяааАOW = 0,0202—.1.9.9.	Уравнения математической физикиВ большом количестве приложений приходится иметь дело с дифференциальным уравнением, которое в случае двух независимых переменных имеет ©идd2w	d2w	d2wдх2dw dw \—,— 1 = 0, dx dy Jгде А, В и С зависят от х и у. Особенно важен случай,dw dw-—; — ; в этом слу- дх дукогда f линейно относительно w,чае уравнение называется линейным.Характеристиками «уравнения называются интег¬ ральные кривые обыкновенного дифференциального уравненияdy В ±У В* — АС dx	АМогут иметь место три случая:В2—АС>0—уравнение имеет два семейства дейст¬ вительных характеристик и называется уравнением гиперболического типа;В2—АС=0—уравнение имеет одно семейство дей¬ ствительных характеристик и называется уравнением параболического типа;В2—ЛС<0—уравнение не имеет действительных характеристик и называется уравнением эллиптического типа.Если общие интегралы дифференциального уравне¬ ния характеристик имеют вид <р (х,у)=и. <\> (x,y)=Vi то, приняв и и у за новые независимые переменные, приведем уравнение к каноническому виду.Для гиперболического уравненияd2w ди dvI	dw dw\+FST' ^J-0;dля параболического уравненияv, w,dw du 'dw\dv )= :d2w /—	-f F H, : du2 \глиптическогоd2w d2w (	dw dw \—	4- — + F IS, , w, —, — I = 0; ae2 arj2^ V dt’ ду/для эллиптического уравнения£ = и + v\ у е= i (и — у) .Особенно часто встречаются следующие частные случаи рассматриваемого адесь дифференциального уравнения второго порядка.Уравнение распространения колебаний в однородной средеd2w d2wdF = a ёх*'Уравнение теплопроводности: dw d2w ~dt = °2 dx**Уравнение распространения электрического тока по проводу:d2w dw	d2wа -— -j- 2b +cw= ~—. dt2	dt	dx2Уравнение теории потенциала:а2 а»дш=4*Р (x,y); A = ^ + ^(уравнение Пуассона). При р=0 это уравнение назы¬ вается уравнением Лапласа или гармоническим уравне¬ нием.Часто приходится встречаться также с уравнениями более высоких порядков:уравнение поперечных колебаний балкиd2w а2 Г d2wl а(х) — + — Е I (х)— =0,4	dt2 дх2 L дх2]где q(x) — масса балки на единицу длины;/ (jc) —момент инерции балки.Уравнение изгиба пластинокч(х-У). дд = ^1+2^_+^1(дх* dx2 dy2 dy4.AAw = •Dгде q(x,y) — поверхностная нагрузка;D — цилиндрическая жесткость пластинки.Уравнение плоской задачи теории упругости (бигар- моническое уравнение):= 0.Определяемая дифференциальным уравнением мате¬ матической физики функция w должна удовлетворять заданным условиям на границе области интегрирования и в начальный момент времени; эти условия называются граничными и начальными условиями. Им должно удов¬ летворять решение уравнения. Наиболее часто встре¬ чаются следующие начальные и граничные условия:в начальный момент времени [^=0] даны значения искомой функции и ее производнойdw= 4>(х);на контуре тела [*=jc(.s), y=y(s)] дана искомая функцияw = (s);на контуре тела дана производная искомой функции по направлению нормали к контуруdwTn^(s)-При интегрировании линейных уравнений применя¬ ются следующие приемы.Метод разделения переменных. Частное решение ищем в форме w=X(x) Y (у). Тогда при подстановке в уравне¬ ние может оказаться, что для каждой из двух функций получается обыкновенное дифференциальное уравнение. Например, уравнение колебаний струны с закрепленны¬ ми концами имеет вид:d2w d2w—	= л2 — dt? дх2
1.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ57при начальных условияхdw (х, 0)w{xt0)=f(x)\	—	= у (х) при *=0,где f(x), у (х) —заданные функции, и при граничных условиях w(0,t)=w(l,t) =0. Ищут решение в виде w= —X(x)T(t). При подстановке в уравнение переменные разделяются:a*F X где k2 — постоянная.X" + = 0; X = Сх sin kx + С2 cos kx. Граничные условия дают7ItlС2=0; k= — , я=1, 2,...Проинтегрировав . уравнение 7'"+а2^2Т=0 и умножив найденные Т на X, получаем частные решения уравнения, а по ним функции/	/гая	патт \ ляw='Z ап cos — *+&/i sin — t sin — х. п\	I	1)1Коэффициенты ап и Ьп определяем из начальных ус¬ ловий (/=0), используя разложение функций f(x) и у(х) в тригонометрические ряды по синусам:2	С	пкхап = —\ f(x) sin — dx;2	С	пкхbn = — \ у (x) sin — dx. пат. J	lоМетод Римана. Применяется для нахождения ре¬ шения линейного гиперболического уравнения (в частно¬ сти, в теории пластичности), если на кривой L, не яв¬ ляющейся характеристикой, заданы значения функции и ее производной по нормали к кривой (задачи Коши). Для заданного уравненияd2u , du du—	+Я — +6 — + си = О dxdy dx dyнаходится вспомогательная функция от четырех пере¬ менных v(x, у, хо, уо), удовлетворяющая уравнениюdzv d(av)	d (bv)—	— —	—	—— + cv = 0dxdy dx	dyи условиямJ b (*o,y0) dx*v(x, Уъ> x0, y0) = eJ a{x0,y0)dy0v(x0t у,х0,у0)=еУо Решение имеет вид:Vp +VqU(X0, Уо) -++г)'dx —Я, 1 (да dv' bav + — v — —и —2 \ dx dxГ , 1 / ди do\lгде vp и Vq — значения функции в начале и в конце кривой.Метод Грина. Если требуется найти в некоторой об¬ ласти функцию иу удовлетворяющую эллиптическому уравнениюd2u д2и du duи + i^+a^;+b ^+сы=0и принимающую на границе области заданные значе¬ ния, то ищут функцию G(x, у\ хо, уо), удовлетворяющую уравнениюd2G d2G daG dbG	+ 	— 	— 	+ cG = 0dx2 dy2	dx	dyи притом такую, что G(x, у\ х0, t/0)+Inr непрерывна всю¬ ду в области вместе со своими производными до второ¬ го порядка включительно и G(x,y\ *о,1/о)=0 на границе области.Решение имеет вид:1 С	dGЧ(хо, у0)= — J u(x,y) — ds,Sгде s — граница области:п — «внутренняя нормаль к границе,1.9.10.	Квазилинейные уравненияНа практике часто встречаются системы нелинейных уравнений следующего вида:du du	dv	dvai — + 02 — + Дз ~Г~ + ai ~Г~ = dx	dy	dx	dyda	du	dv	dvbi — + 62 “ + bz — + 6* "T" = dx	dy	dx	dyздесь u,v — неизвестные функции;я*, bi» А,В —заданные функции or x, у, и, v.Системы такого типа называются квазилинейными. Примеры квазилинейных систем:уравнения пластического течения в условиях плос¬ кой деформации:да л /	дЬ	дЬ\—	— 2k I cos 20 — + sin20 — = 0; dx	[ dx	dy Jdz ( ae	d$ \—— — 2k I sin 20 —- — cos 20 — ) = 0; dy \	dx	dy jуравнения статики сыпучей среды:dy	d'l(1 +sin p cos 2y) —- -f sin p sin 2c — — dx	dy. _ dy	dy—cos p sin2<p ——cos2<p — M	dx	dyиdysin p sin 2y — + (1 ■dy■ sin p cos2<p) ——f- dy(dy	dy \cos 2y — + sin2cp — =* 0.T dx	dy)Характеристики системы квазилинейных уравннений определяются углами наклона 7 к осям ^ и F, Угол '( вычисляется по формуле^14 + °23 ± Е>tgT= -2а 1гдеQik — aibk — akbi\ D2 = (^14 + 02з)2 — 4а13д2 4.Если D2>0, то имеется два действительных семейсгва характеристик с углами 71 и ?2; в этом случае систе¬ ма уравнений называется гиперболической.Пусть уравнения первого и втирогэ семейств харак¬ теристик будут соответственно 6 =const, т)= const; тогда на кривой £=const (или Tj=const) должны выпол¬ няться соотношения (s — длина дуги на кривой)
58РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА(dv du\	Ав . At— — <7i — I =	sin Tj 4	cos 71;\ as	as /E—const	^34	fl34I dv du \	A3	Л4I “ — <72 I	—	sin ^2 -f- cos T2I\ as	as J t]**const	Д34	a34гдегдеAt = Abt — Bait i = 1,2,3,4;<7i =Д13 tg Tl — All<72 =»tgf2 —^14 a34Основной задачей, связанной с квазилинейной ги¬ перболической системой, является задача Коши. Она формулируется следующим образом. Пусть на дуге АВ, которая нигде не касается характеристик, заданы функ¬ ции и и v. Требуется найти и и v в пределах криволи¬ нейного треугольника ABC, ограниченного дугой АВ и двумя характеристиками разных семейств, проходящими через концы А и В и пересекающимися в точке С. За¬ дача решается численно. Возьмем на кривой АВ две близкие точки Р\ и Р2. Так как в Pi и Р2 известны и\, v\ и u2, v2, то можно найти 71 и 72. Проводим через Р1 и Р2 прямые под углами 7i и ?2 к осям X и Y\ в точке их пересечения Рз значения из, v3 находятся из уравненийSi(v3 _ Vl) _ qx (и3 — «!) = — — (Л3 sin 7! — Л4 cos тх);Д34(из — ^2) — <72 («3 — “2) = — “ (Лз sin 72 — ^4 cos 72);Д34здесь su s2 — длины отрезков Р1Р3 и Р2Р3.Таким способом можно вычислить значения неиз¬ вестных функций в большом числе точек, определив тем самым приближенное значение решения.1.10. ФУНКЦИИ комплексной ПЕРЕМЕННОЙ 1.10.1. Комплексные чйслаВеличина a-\-bi, где а и b — действительные числа, называется комплексным числом; число i удовлетворяет условию i2=—1. Операции над числом i:i = V^\\ i* = — 1; i3 = — i; i4 = 1; “x = —i4n = 1:;4rt+l= i; j4n+2 = —1; i4n+3 = —i1 f~ 1 + * n Г.	I * 2*r.V'~±VT'' ^‘"с“Ы+Т] +2kn\Sin ( 2n ~n ) ^ = 	n— 1).Операции над комплексными числами определяются равенствами:аг + bii = а2+ b2i, если ах = а2 и Ьг = Ь2\(fli -+- b\i) ± (Д2 “Ь b2i) = (ai ± {Ь\ ± 62)(ai + 6x0 (fl2 ~f~ b2i) = (aia2 — bib2) + (a1b2 + a2b\) i\a\ b\i a^a2 -\-b\b2 , ачЬ\ — й\Ь2^Д2 H- b2i al +b?a2 +*2u2 * 2Комплексные числа a-\-bi и- a—bi называются сопря¬ женными;(a + bi) (a-bi) = a* + b2. Тригонометрическая и показательная формы комп¬ лексного числа:a + bi = г (cos 9 + i sin ср) == re*9 ,г = Уа2+62 , cos ср = —Число г называется модулем комплексного числа, г2 — нормой, ср — аргументом.Основные формулыcos ср + i sin ср = el<?; cos ср — i sin ср « е~~*9 (формулы Эйлера);cos ср =ei9 + e-t9sin ср= .2 7 2/' 1: (cos ср + / sin ср) = cos ср — i sin ср;Ti (cos <р ± / sin ср) г2 (cos ф ± i sin ф) == г^2 [cos (ср + Ф) ± isin (ср + Ф)]; r\ (cos ср ± i sin ср): г2 (cos ср ± / sin ф) == — [cos (ср — ф) ± i sin (ср — ф)];'’г(cos ф ± i sin ср)" = cos л ср ± i sin лср (формула Моавра); (a -\-bi)n = [г (cos ср ± / sin ср)]л = rn (cos яср ± i sin пу)\у а + bi—п/Т/ ср 4- 2Ь:	. ср+2^тс\cos 	 +*sin 	V	п	п )(ср — в радианах, /г = 0,1,2	п—1);sin ix = / sh х; cos ix = ch x; tg ix = i th *; ct4g /x = — i cth x;ch ix = cos x; sh ix = i sin x\ th ix = / tg x\ cth ix = — i ctg x.2kn_ /——	2kiz . 2kn	nV 1 = cos — + i sin — = e n	n■ I(2fc+l)tt .—7	(2fc+l)rc . . (2k-\-\)n	nУ —1 = cos	+ i sin 	 =e	,r	n -	rt1.2,3	л — 1.1.10.2. Комплексные функцииЕсли в комплексной плоскости задана область G, каждой точке которой z=x-\-iy соответствует комплекс¬ ное число w=u-\-iv, то w называют функцией от z: w=f(z). Для функций комплексного переменного вво¬ дят понятие дифференцируемости: функция f(z) диф¬ ференцируема в точке z, если существует.. f(z + h)—f(z)lim	;	h-o	hнезависимо от того, по какому пути комплексная величина h стремится к нулю; этот предел называется производной и обозначается f'(z). Определение диффе¬ ренцируемости приводит к необходимым и достаточным условиям Коши—Римана дифференцируемости функ¬ ции комплексной переменной:ди dv ди	dvдхдхду ’ дуФункция f(z) называется регулярной аналитической в области G, если она дифференцируема в каждой точ¬ ке этой области. Действительная и мнимая части регу-
1.11. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ59лярной аналитической фушщии удовлетворяют уравне¬ ны ф*и	d2v d2v ник, Лапласа, т. е. — + — = 0 и — + —- 0 .В окрестности точки z0 регулярная аналитическая в области G функция f(z) может быть представлена рядомоо/(г)= Е сп (г — г0)п,л«0сходящимся в наибольшем круге с в области G с цент¬ ром в г0. Взяв вместо z0 другую точку ги лежащую внутри с, найдем для f(z) другой ряд:ооЛ г) =Еб„(г—го" ,п-Осходящийся в .круге сь Если С\ выходит за пределы с, то этот ряд дает аналитическое продолжечие f(z) за пределы с. Совокупность степенных рядов, получаемых из одного из них посредством аналитического продол¬ жения, называется полной аналитической функцией. Интеграл вдоль дуги с определяется так:j/(z)dz =limS/K*)Вычисление интеграла производится при помощи фор¬ мулыjf (z)dz = ^udx — v dy -j- i J и dy + v dx.с	С	сЕсли «внутри области, ограниченной зам.кнутым конту-?ом с, функция f(z) однозначна и регулярна, то f(z)dz—0 (теорема Коши). Если С лежит на конту-сре ci, а 2 — внутри области, то/(г) = —г Г ■ dl (интеграл Коши).Формула для п-й производной:-2)п+1л.Пример 1.11. Найти гармоническую (удовлетворяю¬ щую уравнению Лапласа) в круге радиуса R функцию по ее значениям на окружности.Считая в интеграле Коши контур с кругом и перейдя к полярным координатам, найдем/(г)-йг(0) +2*1 Г _|_ г + ~ \ л	и(«.в)Л (формула Шварца).2%Re0—гОтделяя вещественную часть, получим2тс1	Г	Я* — га“(/’,(р)’= 2и j R* — 2Rr cos(0 —u(R,6)dd.1.10.3.	Конформные отображенияРегулярная аналитическая функция при отображе¬ нии сохраняет углы, переводит бесконечно малый тре¬ угольник в подобный ему с коэффициентом подобия I(г)Приводим некоторые конформные отображения.az -f- bПробно-линейная функция w = ^ преобразует совокупность кругов а прямых плоскости г в совокуп¬ность кругов и прямых плоскости w. Две точки, удов-az -J- Ьлетворяющие условию 2=	—- , остаются неподвиж¬ ен -}- “ными.Линейная функция w=az+by где а=ге*9 дает сдвиг,.на 6, поворот на угол <р и растяжение в г раз.Точки 		 и <х> неподвижны.1	—а1Инверсия w= —. Точка 2 с полярными координата-гми (г.<р) переходит в точку с координатами , <pj.Точки 2=+1 и 2=—1 — неподвижны. а8w=z+ — , где а — действительное число, отображаеткруги |2|=const плоскости г на конфокальные эллипсы плоскости w, если г ф а, а круг |г| =а — на участок | и | < 2 а.Функция w—znt где я>0—целое вещественное число, отображает всю плоскость z на л-кратную плос¬ кость Римана, состоящую *з л частей; точка ш=0 есть л-кратная точка разветвления.Функция w=zl!a , где а — действительное число, отображает область угла па, вершина которого лежит в точке 2=0 и одна из сторон которого лежит на поло¬ жительной оси X, на верхнюю полуплоскость >0), а соответствующий сектор единичного круга — на верх¬ ний полукруг до=+ 1^1 —и? .Функция ш=1п(г2—1). Прямые H=const, u=const плоскости w, параллельные осям, являются отображе¬ ниями конфокальных лемнискат с фокусами *=±1 и равнобочных гипербол, проходящих через те же точки.Функциягw = С J (t-dj-v-i	. .(t—an)-*ndt+Cx*0(формула Кристоффеля — Шварца), где	—величины углов между векторами— сто¬ронами многоугольника, взятые с надлежащими знака¬ ми (ai, аг, аз...• точки действительной оси), отобра¬ жает на верхнюю полуплоскость внутреннюю область произвольного многоугольника.Функцияв>- с Готображает на верхнюю полуплоскость внешнюю об¬ ласть многоугольника (лит-ра [1.10,5]).1.11.	ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ1.11.1.	Постановка задачиЗадача вариационного исчисления в довольно об¬ щем виде формулируется так: дан определенный интег¬ рал, подынтегральное выражение которого содержит не¬ известные функции и производные от них; требуется определить эти функции так, чтобы интеграл получил стационарное значение, в частности, максимальное или минимальное.Большое количество задач строительной механики и теории упругости можно привести к задачам вариа¬ ционного исчисления, а эти последние решить точно
60РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА(классический пример: решение Эйлера об устойчиво¬ сти прямолинейного стержня, к концам которого прило¬ жены сжимающие силы) или приближенно (так назы¬ ваемые прямые методы вариационного исчисления и их обобщения, в частности энергетический метод, метод Бубнова—Галеркикэ и др.).Вариационное исчисление используется при решении многих инженерных задач; в механике на нем основан принцип наименьшего действия и т. д.1.11.2.	Основные случаиДля основных случаев вариационных проблем ре¬ шения путем приведения к дифференциальным уравне¬ ниям даны в табл. 1.20.Пример 1.12. Найти критическую силу Р для стерж¬ ня длиной /, шарнирно опертого по концам.Потенциальную энергию стержня можно выразить так:о х	7Требование минимума V дает уравнениед ( Ру* у2\ * J_(py* _у'*)_ о ду \2EI 2 ) dx dyf \2El 2 )При £/=const имеем:y" + jfy = о; У<0) — У(/)—0.*2 EIоткуда находим Ркр — • При EI переменной урав¬ нение получается сложнее и решение его затруднитель¬ но. В этом случае применяют метод Ритца (см. 1.11.3.).Таблица 1.20Основной случай/= § F(x,y,y')dx,У (*i) = а,У (х2) = ЬdFv — — /v =0 — дифференциальное урав- у dx унение второго порядка относительно у при ус¬ ловиях;У Ш = а,У (*2) = ъСлучай, когда под интегра¬ лом содержится вторая про¬ изводная у"х»J= J F (х ,у,у' ,y")dx, xiу(х1) = а, у(хг) = Ь, у'(Х!)=с, y'(x2) = dd d*Fv — — Fv> -f-	Fv* =0—дифференциальноеdx y dx2 y уравнение четвертого порядка относительно у при условиях:У (*i) = а, у (х2) = Ь,/(*,) = с, y'(x2) = dСлучай двух искомых функ¬ ций *X,У= § F (х,у,у' ,z,z')dx, xiy(Xl)=a, у(Хг)=Ь, г(*\) = с. г(хг) =dd ci Fy — — Fv, = 0, Fz F r = 0 — система y dx y dx двух дифференциальных уравнений второго по¬ рядка относительно у и z при условиях:у (х^ = а, у (х2) = Ъ,г(хх)=с, z (х2) = dСлучай искомой функции, зависящей от двух пере¬ менных х,уJ= J § F (x,y,u,ux,uy)dxdySпри условии прохождения поверх¬ ности и = и(х,у) через заданную кривуюд дFu — — Fu— — Fu = 0 — уравнение в част- дх х ду У ных производных второго порядка относитель¬ но и при условии: и должно проходить через заданную кривуюУсловный экстремумх2J= (х,у ,z,y' ,z') dx xiпри условии н (x,y,z) = 0=0.гдеФ = F + АЯ, dх ^Fy'~Fx ф
1.12. РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ611.11.3.	Прямые методыВ тех случаях, когда интегрирование дифференци¬ альных уравнений затруднительно, прибегают к прямым методам вариационного исчисления Сущность их зак¬ лючается в следующем. Задаются видом искомой функ¬ ции так, чтобы она удовлетворяла граничным условиям и содержала некоторое количество постоянных пара¬ метров. Последние подбирают так, чтобы обратить в минимум искомый функционал. Чаще всего применяют метод Ритца.Пусть требуется найти функцию у% сообщающую ми- ьнимум интегралу Ф=| F(x,y,y\y")dx и удовлетворяю- ащую заданным граничным условиям. Искомой функ¬ цией задаемся в виде у = а\их (х) + а2и2(х) + ... + +апип (х), где и\(jc), и2(х)	 ип(х) — последователь¬ ность непрерывных в интервале (а, Ь) линейно незави¬ симых функций. Подставив это выражение в интеграл Ф , потребуем, чтобы получившаяся после интегрирова¬ ния функция Ф = Ф (ai, а2	ап) приняла экстремаль¬ ное значение. Это дает систему уравненийdaiиз которых определяются все at.Пример 1.13. Найти прогиб консольной балки дли¬ ной I под равномерной нагрузкой д. Задача сводится к отысканию функции, обращающей в минимум потен¬ циальную энергию балки:V= J Ely”2 - qy^dx.О/	ъх\Задаемся упругой линией в виде у = а 11 — cos*2/~) ’ отсюда находиму-ГdVУсловие "7“ =0 дает да<7/4 32 / 2 \Максимальное значение прогиба при х = I:Утп = °-1194 £7" -1 ql«что отличается от точного значения • тт" на 4,5°/«.о hiЗаметим, что в методе Ритца можно не удовлетворять силовым граничным условиям.1.12.	РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ1.12.1.	Определение разностейКонечные разности в инженерно-строительных рас¬ четах встречаются при приближенном интегрирова¬ нии дифференциальных уравнений (например, при расчете балок-стенок), при вычислении интерполяцион¬ ных формул, при расчете статически неопределямых систем (в частности, уравнение трех моментов есть уравнение в конечных разностях) и в ряде других случаев. Дифференциалы заменяют приближенно конечными разностями.Разность двух значений функции f(x), т. е. f{x+ Ах)—f(x), называется конечной разностью пер¬ вого порядка или просто разностью и обозначается через A f(x):Точно так жеAf(x + Ах) = f(x + 2Ах) — fix + Ах).Если А х — бесконечно малая величина, то Ах и Af(x) переходят в дифференциалы dx и df(x).Разностью второго порядка называется разность от разности первого порядка:А */(*) * А [*/(*)] = Afix + Ах) - Afix) -= /(* + 2Ал:) — 2f(x + Ах) +f(x).Аналогичную формулу можно составить для раз¬ ности n-го порядка:A7W =/(* + пАх) — у / [х + in — 1) Ах] ++	/[х+(в-2)Ах]	+(-1 )»/(*).Формула для приращенного значения функции: f (х + пЬх) — f (Х) + Д/(х) + п in — 1)+	^m+-.■+ ^/(х).Приложение конечных разностей в теории интерпо¬ лирования см. 1.19.2.1.12.2.	Разностные уравненияУравнения строительной механики часто преобра¬ зуют так, что А лг= 1; обозначим еще для краткости ((*)=«/*; /(->Н-1)=«/ж+1 и т. д.УравнениеFix yx,yx+l	Ух+щ)= 0называется уравнением в конечных разностях или разностным уравнением. УравнениеАх Ух+ m + Вх Ух+т-1 ^	Н %х Ух ~ Lxназывается линейным разностным уравнением порядка т. Известное уравнение трех моментовмх_ 1 1х-1+2Мх(1х_1+1х) + Мх+1 1х =относится к этому типу.Общее решение линейного разностного уравнения складывается из общего решения этого уравнения в предположении, что Lx=0t и частного решения этого уравнения при заданном Lx. В случае, когда урав¬ нение имеет постоянные коэффициенты и правая часть его есть также постоянная величина,Ах = А, BX=:B,...>KX = K, Lx = L, его решение имеет вид= €?+•••+Ст£ + С0. где £ j,..., £т — корни характеристического уравнения Alm + fi5m-1+---+/C=0.Корни этого уравнения (как это обычно встречает¬ ся в строительной механике) предполагаются различ¬ ными. Постоянная Со равна —	—	;—”. Постоян-А -j- £5 -j— •+ Лные Си С2у...уСт определяются из дополнительных условий (начальных и др.).
62РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА1.13.	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯИнтегральные уравнения применяются при реше¬ нии задач, в которых значение переменной величины в одной точке зависит от совокупности значений этой переменной в других точках некоторой области. Влия¬ ние эгой совок>пьоси1 обычно выражается в виде определенного интеграла, что находит свое отражение в структуре интегральных уравнений, которые мы приводим ниже.В качестве примера укажем, что перемещение одной точки соприкосновения балки с упругим основа¬ нием, на котор>м она находится, зависит от совокуп¬ ности перемещений всех других точек ее соприкосно¬ вения, вследствие чего определение этих перемещений сводится к решению некоторого интегрального урав¬ нения.В строительных задачах интегральные уравнения исполыуются в различных вопросах теории упруго¬ сти, теории колебаний и ар.1.13.1.	Уравнения ФредгольмаИнтегральным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная функция находится пид знаком интеграла; оно называется линейным, если неизвест-* ная функция входит в уравнение линейно. Различают линейные уравнения первого рода ьаи второго родаь/(*)=?(*)—агде ср (х) — искомая функция;К (х, t) — ядро уравнения — конечная и непрерывная функция в прямоугольнике а b, а < t <Ь\А — постоянный параметр;а,	Ь — постоянные пределы интегрирования. Значения \ при которых однородное уравнение Ь'f(x)=X$K(x,t)t(t)dtаимеет решения, отличные ог нуля, называются соб¬ ственными значениями ядра К(х, t), а соответствующие решения <р (*) — собственными функциями ядра. При этих значениях X неоднородное уравнение имеет реше¬ ние, еслиьj / (*) Ь (X) dx = О, агде ф* (х) — решения уравнения Ьty(x)=\b^K(t,x)ty(t)dt-,аэто уравнение, отличающееся от данного тем, что в ядре переменная интегрирования и параметр поменя¬ лись местами, называется сопряженным.При других значениях А неоднородное уравнение всегда имеет решение.Методы решения однородного уравненияЕсли ядро симметрично, т. е. К (s, t) = К (t, s) иbJ \K2(S, t)ldt<oo, то собственное значение и собст¬венную функцию, удовлетворяющую условию ьJ y2(x)dx=\, можно найти методом последователь- аных приближений (итераций):Уп (*) = спПп (х); Ух(х)=1V	Ъ— агде-Пп(х) + ]K(x,t) (Ол. а1Сп = •|/ $T\2n(x)dxпри п — оо уп -V 0 (х) сп-+\.Если А0—наименьшее собственное значение ядра, а <р(х)—соответствующая собственная функция, то величинаььU J/C(x,s)<p(x)'p(s) dx ds\при условии	достигает максимума, рав*а1ногоМетоды решения неоднородного уравненияВ общем случае решение имеет вид:оо	b?(*)=/(*) +2U*\Km(x,t)f(t)dt, m=1 а ЬKm(x.t) = \ Km_x(*,.s) К(a.t) ds-,ФункцияK0 (x,t) = К (x.t).T(x,t.b)= 2m—1называется резольвентой неоднородного уравнения. С помощью резольвенты решение представляется в видеь?(*) = \§f(t)T(x,t,\)dt+f(x).аЕсли ядро вырождено, т. е.пК (хЛ) = Иа/(х) М0>;=1то решение имеет вид:	^<р(*) :=/(*) +A Swoo; i=ici определяется из системы алгебраических уравнений пCi—'k%aikCk=fi *=1,2	я,k=\
1.13 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ63гдеЬ	Ья» = J bt (t) ah (0 dt- ft = J bt (t) / (I) dj.a	aЗаменяя приближенно непрерывное ядро вырожден¬ ным, получим приближенное решение интегрального уравнения.Если K(x,t) симметрично и известны все собст¬ венные значения X/ и собственные функции <рi (х) ядра, то решение имеет вид:<р {х) = f (х) + ^	“ ?/ 0^) •hi — кt=iгдеfi= J w(0 /(*¥<•а1.13.2.	Уравнения Вольтерра второго родаXU(x) =/(х) + \ J К (х ,t) и it) dt\аздесь заданы: нижний предел а = const; параметр ядро К(х,	действительное и непрерывное впрямоугольнике a<x<b, a <t<b\ функция 1(х)фО действительная и непрерывная в интервале а<х<Ь.Решение выражается равномерно и абсолютно сходящимся для всех X рядомоо«(*)= Е Xmum (X),ш—ОгдеXы0<*> = /(*): «1 (л) = J К (x,t)u0(t)dt;ах“m+l (*> = J K (x ■ um (0 dt.aЭто уравнение не обладает собственными значениями.1.13.3.	Уравнение АбеляXКб)/(*) =■di, 0 < ц < 1.Неизвестная функция и(х) определяется по формулеXSinjLL7t d Р f{t)dtи (х) =	• — \ 	;— ," dx J (х—t)l~*1.13.4.	Сингулярные уравненияЕсли ядро интегрального уравнения /((дг, t) не огра¬ ничено при a<ix<bf но главное значение интеграла ъJ К(х, t) ср (t) dt (см. 1.7.5) в правой части этого урав-анения существует, то уравнение называется сингуляр• ным.Некоторые сингулярные уравнения имеют решение в замкнутой форме.Уравнение вида1 Г	sv (О - ^ J и (s) ctg —-— d$—жимеет общее решениеп1 С г —5и (S) = — I V (0 ctg —-— dt + const. Уравнение видаb Г У (°)a,p(s)+^J1^7d0=/(s)(где, а, b — постоянные, Ь — замкнутый контур) имеет решение?(«)== “Г-ТГ/(5) .а2—Ь2	(а2_Ь	 Г /(О:2—b2)iu J С — sЕсли контур L незамкнутый, то общее решение урав¬ нения имеет вид:<? (О ъ(a2—b2)*i {t—a)1	а + Ь Здесь С — постоянная, т = - In 		 , причемZ71/	а	 ОU < Re {т} < 1, а и Р — начало и конец контура L, Уравнение1ар (0 In • *- - dt вж/(х) (—а<х<а)а также«(*)sinjut/(0) Г* fJX)dt_Xl~V- J (Л—01_|1» К этому уравнению приводит задача о вдавливании в упру¬ гую полуплоскость жесткого штампа длиной 2 а; / (х) — функция, характеризующая очертание штампа и зависящая от упругих по¬ стоянных основания (см. С. П. Тимошенко, Теория упруго¬ сти, Л —М., ОНТИ 1937; И. Я. Штаерман, Контактная зада¬ ча теории упругости, М.—Л , Гос. изд. техн -теор. лит. 1949).
64РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАимеет решениеР(х) =[Р~_ J_ Г f (*> v* J t-ic У a* — хгVa2—t2 1 dt I ,где P = § p (t)dt.—aЕсли f(x) —постоянная величина, тоPp(x) =тс Y~ a2—x1.14.	СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ1.14.1.	Полиномы ЛежандраОпределение:Рп(X) —2	Пп\dxnОсновные свойства:Рп (х) — удовлетворяют уравнению(\ — х2)у" — 2ху' -f п(п + 1)У = 0;(п + 1) Рп+1 = (2л + 1) хРп— прп-1;(x*-i) р; = „иял_рл_1):0,т Ф пJ Р/tг (X) Рп (х) dx =+ 1 J —12m+lт=п.1.14.2.	Полиномы ЧебышеваОпределение:Тп(х)= — — cos (п arccos х).Основные свойства:Тп(х) удовлетворяют уравнению(1 —х2) у" —ху' + п2у = 0.та+1-*га + ±- Гл_,«0^прил<2 Г2 — xTt+ Г0 = — - j- и 71! —хТ0 = 0 j;ГО, тфп1I—1Тп (х) Тт (х) -dx1 — JC2 1 22п~1 ’ т~П #Из всех полиномов степени я с коэффициентом при старшем члене, равном единице, Тп(х) наименее ук¬ лоняется от нуля в интервале—1 <х< 1.1.14.3.	Гамма-функцияОпределение:ооГ(х+ 1) = ^txe-‘dl.Основные свойства: при х=п, где п — натуральное число,Т(п+ 1)= 1-2-3...л = л!Г (х + 1) = хТ (х), Г (х) Г (1 — х) =График функции Г (х) дан на рис. 1.76,Пх)sin пх1.14.4.	Функции Бесселя1Функции первого рода порядка г.И+2Л-,*(f)'k=0k\T (1 + v /г) ’функции второго рода порядка, v:p.-*■ v	sin {xjcФункции Бесселя удовлетворяют уравнению Бесселя х2у" + ху' + (х2 — v2) у = 0.Общее решение имеет вид (если v не целое число) J = C1J, (x) + C2J_^ (ху,ИрИ ч= п, п — целое,J = C,Jn (х) 4“ G2Yn (х)•1 Эти функции называются также цилиндрическими функция¬ ми; отдельным видам их присвоены другие наименования (см. литературу П.14,31 и Г1.14.51). В этих обширных монографиях изложены свойства Бесселевых функций и методы их вычисления.
1.15. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ65Основные свойства:2v1.15. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ1.15.1. Преобразование ЛапласаПреобразованием Лапласа F(p) функции f(x) назы¬ вается соответствиеF (Р) = Г e~pxf(x)dx. оТаблица 1.21ОригиналИзображение/(*>/dxf(x)dxn■/<*)ebtf(at)F(p)F(ap)P[F(p)-f( 0)]F(p)1 ^-(0)1 к=0 pK J-e-F[£=±\>-b \ a )Ftp)P— F\ (p) F* (p)PОбратное преобразование дается формулой Меллинаc+i*>Ax) = j epxF(p)dp.c—i-Функция f(x) называется оригиналомt функция F(p) ее изображением. В табл. 1.21 приведены основ¬ ные свойства преобразования Лапласа.При применении операционного исчисления к зада¬ чам техники приходится находить оригинал по изоб¬ ражению. Основные изображения и оригиналы даны в табл. 1.22.5 Зак, 2098ИзображениеРП\рпР+аР + *1Р (Р + а)р2 + а2арр2 + а2р а — а2арр2 — а2Р(Р + Ь)(р + ьу + а2ра(р + Ь)2 + я2(Р + «)“(Р* + «2)ар1 + 4а*Таблица 1.2SОригиналГ(1 -п)1 — ех 1 еа а2 а2cos ахsin ахch ахsh ахе Ьх cos ахе Ьх sin ах(л— 1)!— sin at 2 аУ4 (ах)=(ch ах sin'ax г— sh ах cos ах)
66РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАПродолжениеИзображениеОригиналП*р4 4а41у3 (ах)= — sh ах sin ахР3У2 (ах) = (ch ах sin ах+р* -f- 4 я44- shax cos ах)РА р4 -f 4 а4Yx (ах) == ch ах cos ахре~аР_li / ±2 V ху СР)=Уо'Уг"Я(Р)1.15.2.	Применение операционного исчисленияПрименение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений сводит интегрирование к алгебраическим преобразованиям. Пусть требуется найти решение уравненияdnydxn+---+any=f(x).Применив преобразование Лапласа, получим(рп + ахрп~' + • • + ап)У(р) = F (р) + Ф (р),где F(p)—изображение функции f(x), аФ (Р) = (РУп-\ Н	КРЛУ0) ++ ах (РУп-2 Н	Ь Рп~1 У0) + •' ’ + ап-1Р (Уо) •где yk—значение fc-й производной от f(x) при х — 0. Полагая Ln (р) = рп + ... + ау?, получимУ(Р) =F(p) -f Ф (р) Ln (Р)Раскладывая дробь на простейшие и пользуясь таблицей оригиналов, найцем решение, зависящее отп постоянных, уо, у\	уп_г . Применение методаудобно, если все у {= 0 и Ф (р)=0.Пример 1.14. Расчет балки на упругом основании. Исходное уравнение:уп (х) + 4а*у (х) = .Применяем преобразование Лапласа:Z.(p) = p4 + 4a*; F(p) =д(р)EIq(p) —изображение функции q(x)\ф (р) = у о р*+ yi р3 + у s р2 + Узр;' р4 + 4 а4 ' 'ip44-4a4 ' ' EI (р44-4я4)Пользуясь второй и седьмой строками табл. 1.21 и табл. 1.22, получаем оригинал:У = Уо^1 (ах) + Угу2 (ах) Н	Ь1£/азX■JYt (ах — а\) q (?) di.1.16.	ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ1.16.1.	Векторная алгебраВеличина/ которая задается числом, измеряющим ее в выбранных единицах, называется скалярной; ве¬ личина, которая задается числом и направлением, называется векторной. Какова бы ни была физическая природа векторной величины, можно изобразить эту величину направленным отрезком. Назовем направлен¬ ный отрезок вектором; длина отрезка называется модулем вектора.Векторы бывают: свободные, т. е. не связанные с линией действия и с точкой приложения (например, момент пары сил); скользящие вдоль прямой и не свя¬ занные с точкой приложения (например, сила, прило¬ женная к точке твердого тела); неподвижные или приложенные, связанные с линией действия и с точкой приложения (например, сила, приложенная к материаль¬ ной точке, или момент силы относительно полюса). Способ обозначения векторов см. 2.1.1.Рис. 1.77*	b~ct а+Ь аРис. 1.78Сумма нескольких векторов определяется вектором, замыкающим ломаную, составленную из векторов^сла- гаемых. Частные случаи: сумма трех векторов изобра¬ жается диагональю параллелепипеда (рис. 1.77), сумма двух векторов изображается диагональю^парал¬ лелограмма (рис. 1.78bРазность векторов а и b определяется как вектор с, который, будучи сложен с вектором Ь дает век¬ тор аа — Ъ = с, если с b —а.Произведением скаляра <* и вектора а называется вектор с =*= «а, направление которого совпадает с а при а>0 и противоположно ему при « <0, а модуль равен произведению модуля вектора а на абсолютную вели¬ чину числа а.	_ __Скалярным произведением векторов а и Ь [обозна¬ чается *а-Т или (ab)] называется скаляр, определен¬ ный по формуле 		а-b = |а|-|Ь| cos ср,где ср — угол между направлениями векторов а< и ^ Векторным произведением векторов а и Ь (обозна¬
1.16. ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ67чается а X Ь или [ab]) называется вектор с, модуль которого равен W\'W sin ср, где ср—.угол между век¬ торами, а^направление перпендикулярно плоскости векторов а и b и притом_так, чтобы после совмещения начал векторов а, b и с кратчайший поворот от а к Ъ, если смотреть с конца с, казался совершаемым против часовой стрелки (рис. 1.79).Свойства .произведений векторов:ab = ba\ а(а&) = (аа) b; а{Ьс)ф(аЪ)с\ а (Ь + с) = ab 4- йс\ с X Ъ =* — Ь X а\ а (а х Ъ) = (а а) X 6;Ъх(Ьх'с) Ф (axb) X с: ах(Ъ + с) = а X Ь 4- а X с.Вектор а может быть задан тремя скалярными величинами: ах, av, az — его проекциями на коорди¬ натные оси. Координатными ортами осей х, у, z назы- вяются векторы с модулем, равным единице, направленные вдоль положительных направ¬ лений осей х, у, 2; они обозна¬ чаются соответственно г, /, k. Вектор а может быть пред¬ ставлен в виде	^а = axi -f dyj -f- azkгде aXy ay, az — проекции век¬ тора на оси координат.Скалярное и векторное про¬ изведения могут быть пред¬ ставлены в координатной форме следующим образом: еслиа = axi+ayj-f- azk.тоb = bxi+ by]+ Ъг k,ab = axb x + ciyby -}- uzbz* i j kaXb«ax ay1.16.2. Векторный анализЕсли каждому значению скалярного аргумента t в некоторой области соответствует определенный век¬ тор, то имеем векторную функцию a(t) скалярного аргумента t. Такая функция определена, если заданы три скалярные функции ax(t), ay(t), az(t). Произ-— daводная векторной функции а = — определяется какatДаlim — и является Af-0 At da<векторомпроекциямиdOx_dtdaz	»dt ' ИГ'Правила дифференцирования векторов: d — — da dbd _ du ^ da -Ш- — a+u —(и — скалярная функция аргумента I); d — da — __dbd /- . ~(axb)=d I-	da — - db" -jrxb+axir-Вектор v, зависящий от попожения точки Q в про¬ странстве, называемся векторной функцией точки v~v(Q) Функция v определяется заданием векторно¬ го ^аргумента г, определяющего положение точки Q; v=v(r) есть векторная функция векторного аргумента.Линейный интеграл от функции v(r) вдоль пути АВ определяется формулойАВЕслитоv = vxi + vyj + vzk,Jy (r) dr = j vxdx + Vydy 4- v^dz.ABAB^ Интеграл в правой части есть обычный криволиней¬ ный интеграл вдоль пути АВ. Линейный интеграл, взятый по замкнутому контуру, называется циркуля¬ цией вектора.Градиентом скалярной функции и(х, уу г) называ¬ ется вектор, направленный по нормали к поверхности и(х> У, 2)=const (поверхности уровня) в сторону возрастания и и модуль которого равен производной от и по направлению нормали; обозначение: grad и,Правила вычисления градиента:ди _ ди — ди г- grad и ***—/+ — j+—k; дх ду дгgrad с = 0; grad (ых -М2) = grad их -f grad я2; grad (иА • и2) = их grad и2 -+- и2 grad и,.Дивергенция векторной функции v является скаля¬ ром, вычисляемым по формулеdiv v— dvx dvy, dvz■ч + -т— + . •дх ду дгПравила вычисления дивергенции:div с в 0; div (vx -f и2) = div vx + div div(uv) = и <jjv y + o grad u.Ротор (вихрь) векторной функции v есть вектор, вычисляемый по формуле_ (doz dvy\- (дах а>г\-/дУу	do*\_1 дх ду )Правила вычисления ротора:rot с = 0; rot (иг -h v2) = rot + rot rot(wti) = и rot и -f- grad и xv.1.16.3. ТензорыПусть задана координатная система хи х2, х3 и тре¬ буется перейть к новой координатной системе Х'и JC'j,
68 _РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАПереход производятся по формулам 8х\ lkxk% i«* 1,2,3,к=\гдеart-cos(*'< **)•Аффинным ортогональным тензором второго ранга называется совокупность девяти величин а«я,i,	*=*1, 2, 3, которые при преобразовании координат переходят в новые девять величин aik, определяемые формуламиза^ =* 2	i,k = 1,2,3.f,/=iТензор называется симметричным, если	икососиммгтричнын, если аи.*=—а#.Всякий тензор второго ранга может быть пред¬ ставлен в виде суммы симметричного в кососиммет¬ ричного тензоров по формуле1	1аи « “ (aif -f л/i) + — (а,/ — л/i).Тензор второго равг* можно представить в форме (аи я1? а,а ацJ а21 ам а23j aSl aSi ажзСовокупность девяти компонентов напряжения •jr Оу 4y = V*•Хлв‘с« Tv* — образует сим¬ метричный тензор второго ранга — тензор напряже¬ ний Т |rjrхху•yjr°Ухуг:*JCХ*У°У1.17.	ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ1.17.1.	Общие положенияДля вычислений применяют логарифмические ли- яейки, таблицы логарифмов, степеней, корней и спе¬ циальных функций, арифмометры, номограммы. В последнее время получают распространение многочис¬ ленные приборы для машинизированных расчетов: приборы для решения систем линейных алгебраиче¬ ских уравнений с большим числом неизвестных, для* решения уравнений высоких степеней, приборы для янтегрирования дифференциальных уравнений обык¬ новенных и е частными производными. Особое значение для инженерных исследований приобретают быстро¬ действующие электронные счетные машины, позволяю¬ щие производить чрезвычайно трудоемкие и сложные4 расчеты.При выполнении инженерных вычислений надо отдавать себе отчет в необходимой для каждого от¬ дельного случая точности и сообразно этому состав¬ лять расчетные схемы и выбирать вспомогательные средства.•Если некоторая величина А имеет своим прибли¬ женным аначением число и, то абсолютной погреш¬ностью Д числа а называется абсолютная величина разности чисел А и а, Д»|А—а\. Так как абсолютная погрешность неизвестна, то вводят «предельную абсо¬ лютную погрешность» а — число, меньше которого остается абсолютная погрешность рассматриваемого приближенного числа.Неточность вычислений ила измерений лучше ха-Драктеризуется относительной погрешностью v =—.аЗдесь также целесообразнее перейти к понятию пре¬ дельной относительной погрешности &, т. е. такой, меньше которой остается относительная погрешность. Следует заметить, что в обычных инженерных расче¬ тах приходится иметь дело с относительной точностью порядка не более нескольких процентов, вследствие чего можно пользоваться логарифмической линейкой.Влияние относительной погрешности исходных чи¬ сел таково:относительная погрешность алгебраической суммы заключена между наименьшей и наибольшей относи¬ тельными погрешностями слагаемых;относительная погрешность произведения и частного равна сумме относительных погрешностей сомножи¬ телей или соответственно делимого и делителя;относительная погрешность степени равна произве¬ дению показателя степени на относительную погреш¬ ность основанияЕсли Дх. Д у — малые погрешности, соответствую¬ щие величинам х, у, то погрешность Д/ при вычислении функции f(x, у) определяется по формулеД/«1НА*+| ауДу;в частном случае суммы, произведения я частного имеем:д (х + у) — Ах -f Ду; Д (ху) * \y\bx + |*|Ду;|у[ Ал + \х\ Дуi-тУЕсли в десятичной дроби желают освободиться от лишних знаков, то пользуются правилом дополнения: последнюю из остающихся цифр оставляют без изме¬ нения, если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти; если же она больше или равна пяти, то послед¬ нюю из остающихся цифр увеличивают на единицу.При выполнении действий с приближенными числа¬ ми придерживаются следующих правил:при сложении (или вычитании) сохраняют в сла¬ гаемых столько десятичных знаков, сколько их имеется в слагаемом с наименьшим числом знаков, а в результате одним знаком меньше;при умножении (или делении) число значащих цифр в множителях должно быть такое, как у сомно¬ жителя с наименьшим числом значащих цифр, а в результате одной цифрой меньше;при возведении во вторую и третью степени или извлечении корня число значащих цифр результата должно быть на единицу меньше, чем у числа, над которым производится соответствующее действие;результаты промежуточных вычислений должны содержать одной верной цифрой больше, чем оконча¬ тельный результат; в окончательном результате пос¬ ледняя цифра отбрасывается;если имеется возможность, то в исходных данных надо давать одной верной цифрой больше, чем тре¬ буется в результате;следует избегать вычитания близких друг к другу чисел; следует по возможности преобразовать формулы так, чтобы в них отсутствовали разности близких чисел.
1.18. НОМОГРАФИЯ691.17.2.	Приближенные формулыПри очень малых значениях х применимы прибли« женные формулы, приведенные в табл. 1.23.Таблица 1.23Приближенные формулы (х в рад.)Предельные значения x в град, при ошибке0.1%1%sin X — X±4,4±14COS X = 1±2,6±8,1tg х= X±3,1±10,5X9sin х — х —	6±35±59х2cos X = 1 ——- 2±22±31,2X*tg*=*+T±22±30,5Применяются также следующие приближенные фор¬ мулы:е*=1+х;1 ,	г	 , . X	1	X=>—•*; V 1+* =l+~p —==i—1+ХV 1+*2 ’(1 ± х)т (1 ± у)" (1 ± if = 1 ± тх ± пу ± рг;2ху <	при х > у > 0;это неравенство дает возможность оценить, в каких случаях можно приближенно положить У ху	•У х*-\-у% « 0,960* + 0,398у при х > у; ошибка меньше 4% истинной величины1.У х*+уа « 0,9938 + 0,0708у + 0,3567 ; ошибка меньше 2% истинной величины1;ух2 + у* + ~ 0,939л: + 0,389у + 0,297* при х> у> 2;ошибка меньше 6% истинной величины1.Приближенное значение корня второй и третьей степеней из положительного числа N можно найти, пользуясь логарифмической линейкой; корень любой степени можно извлечь с помощью таблиц десятичныхлогарифмов, руководствуясь формулойЕсли необходимо на^ти более точное значение кор< ня, то хорошие результаты дает формулау— = (« + 11N + (П — 1) ап;л — 1) N + (п + 1) ап2	(N — ап)(n — \)N +(n+ 1 )апгде а — приближенное значение корня. Например,V~2 = 1.4 fl + Ц2~~ = 1 -414- L 2 + 3-1, 96 J1.18.	НОМОГРАФИЯ1.18.1.	Функциональная шкалаЗадачей номографии является графическое пред* ставление уравнений с несколькими переменными* позволяющее для данных значений независимых пе¬ременных найтн соответствующее значение зависимого переменного с точностью, достаточной для обычных инженерных задач.Основным понятием в номографии является функ- циональная шкала, т. е. шкала, на которой отклады¬ ваются значения функции, а пометки делаются соот¬ ветствующими значениями аргумента. Примером может служить логарифмическая шкала счетной ли¬ нейки. Шкалы могут быть прямолинейные и криво¬ линейные. Для уравнения с двумя переменными F(xy) = 0 применяются номограммы со сдвоенной шкалой (рис. 1.80).1.18.2.	Номограммы из выравненных точек1 Формулы получаются из теории Чебышева о функциях, наименее уклоняющихся от нуля.Применяются для решения уравнений с тремя переменны¬ ми типаb<t(x)+aty (у) =(а + Ь)х(г).Три параллельные прямые шкалы отстоят друг от друга на расстояниях аиЬ (рис. 1.81)#Начало отсчета — на прямой, перпендикулярной шкалам. Нашкалах х, у и 2 откладываются <р (я), ф (у) их (г) в одинаковом равномерном масштабе.Если уравнение имеет вид?(•*) + =х(*)
70РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАя если <р (х) откладывается в масштабе тх» а ф (у) в масштабе ту, то \{z) откладывается в масштабе, определяемом формулойГПуГПт7 =тх+туПоложение средней шкалы получается из соотношения тх arriy	bЗная xi и у I, соединяют точки, которые им соот¬ ветствуют на шкалах х и у, прямой, называемой индексом; точка пересечения этой прямой со шкалой2	дает искомое значение г*.Посредством такой номограммы можно решать также уравнения вида[<?(*)]'№ (у)]т =- [х(г)]п;для этого нужно прологарифмировать уравнение и представить его в видеi ig? W + т lg (у) = п lg г (г)-1.18.3.	Сетчатые номограммыПрименимы для любого уравнения типа f(x, у)=г. Они строятся в виде сетки взаимно-перпендикуляр¬ ных прямых (рис. 1.82); по одному направлению влюбом масштабе откла¬ дываются значения х, по другому у. Давая z по¬ очередно значения zlf z2% 23,..., zn, строят необхо¬ димое количество кри¬ вых, соответствующих уравнению f(x, y)—zi. Зная xk и yk , строим точку А, по которой ищем Zk. Если А не по¬ пала ни на одну из кри¬ вых. z 1, z2, z3t..., zn, то значение Zk берется по интерполяции. Если из¬ вестны zm и Хщ, то, оче¬ видно, не представляет труда найти ут.1.18.4.	Номограммы для уравнений с числом переменных более трехРассмотрим простейший случай с четырьмя пере¬ менными: F(x 1, х2, х3, х4) = 0.<Р(х,х2)б)*1 *Для построения номограммы вводят новое пере¬ менное ср = <р (х\, х2) и строят одну номограмму для уравнения F( <р, х3, х4)=0 и вторую номограмму для уравнения ср = ср (х\, х2).Шкала ср является общей для обеих номограмм и служит шкалой связи.Подобным образом можно составлять разнообраз¬ ные номограммы с большим числом переменных (рис. 1.83).1.19.	ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ1.19.1.	Постановка задачиВопрос о приближенном представлении функций (аппроксимации) имеет большое значение. Приведем примеры.При обработке наблюдений мы можем получить значения некоторой функции для соответствующих значений аргумента —y-flx)Рис. 1.84надо построить функцию по этим значениям. Да¬ на функция, которая имеет сложный вид,—на¬ до представить ее приб¬ лиженно в более простом виде. Дано дифферен¬ циальное уравнение — надо найти приближен¬ ное выражение его ин¬ теграла.С приближенным представлением функ¬ ции связаны другие мно¬ гочисленные задачи, на¬ пример: вычислить приближенно площадь, ограничен¬ ную данной кривой, двумя ординатами и осью абсцисс; дана сложная периодическая функция — представить ее приближенно посредством тригонометрических функ¬ ций (разложить на гармоники).Приведенные примеры отнюдь не исчерпывают ог¬ ромной области приложения теории ^ приближенного представления функций, разработанной в замечатель¬ ных исследованиях отечественных математиков. В дальнейшем мы приведем некоторые приемы прибли¬ жения функций и простые формулы, используя глав¬ ным образом в очень упрощенной форме труды П. Л. Чебышева.Если произвольную функцию */=/(*) желают выра¬ зить посредством заданной функции y\=F(x, а, р, 7 ,...), которая зависит от параметров а, р, у то задач* сводится к определению этих параметров причем на¬ до задать и пределы аппроксимирования.Кривой ошибок называется кривая, заданная урав- нением у= Д(д), где Д (x)=f(x)— F(x) (рис.1.84.)Если абсолютные величины максимумов и миниму¬ мов этой кривой равны между собой, то кривая^ оши¬ бок называется, согласно Чебышеву, функцией, наи¬ менее уклоняющейся от нуля. Однако обычно приме¬ няют нижеописанные приемы, так как они приводят к более простым вычислениям.l.lrf.2. Интерполяционные формулыЕсли требуется найти функцию y=F(x), график которой должен пройти через заданные точки (хо, */о); (*i У\)\ •••; (*». Уп), то можно пользоваться интерпо¬ ляционной формулой Лагранжа:
1.19. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ71F (х) = у0 + У\■ (х — д:х) (х — х2)■ ■ -(х — хп) (.х0-х1)(ха — хг)---(х0 — хп) (х — хп) (х~х2)---(х — хп)+Н	1~Уп(Xi — x0)(x1—x2)---(x1 — xn) .(X — Х0)(х — Xj)- • •(* — хп_х) (хп — х0)(хп — х1 )---(хп — хп_1)Для этой же цели применяется интерполяционная формула+ (*i) ++ (х — я0) (х — хг) F2 (х2) + • —Ь + (х - х0) (х — хг) • • • (X - хп_х) Fn_x (хп_г),гдеF(x)-F(x0) Fl(x)-F(xi) Fi(x) =	 . F2(x) = 		X — XiПри равных разностях аргумента пользуются формулой Ньютона, А^о х—хп Д2у0 (Х — ХОХХ — Х!) , y=F(x)=yo+—+ _.—_— +&пу„ (X — X0)(x — Xj)~ • . (X — *„_!>Ал	л!Разности Дув. Дг£/о, — вычисляются по формуламАУо = У1 — Уо’ Д.У1= Уг — У1‘>----;Д2у0= Д^ —Ду0 ...В табл. 1.24 приведена разностная схема.Таблица 1.24Интерполяционная формула Ньютона дает точный результат только в том случае, если в одном из столб¬ цов таблиц разностей всюду получается нуль (это имеет место, если заданная функция — полином). Если значения разностей в каком-либо столбце отлич¬ ны от нуля, но достаточно малы, то формула дает приближенный результат.Обозначив тона в виде--и, представляют формулу Нью-У = Уа + 17 Д;Уо + ' (~2!' 1 ~ ^Уа ++ "<и-"{и-2) *Уо+---++ ДПуо Практически сохраняют в правой части формул столько членов, чтобы при добавлении новых членов оставались неизменными те десятичные знаки, которые обеспечивают нужную точность результата.При вычислении значений, относящихся к послед¬ ним строкам разностной схемы, применяется вторая интерполяционная формула НьютонаV	v(v+\) АУ = Уп+~у Ьп-\ + 	2!	 :Ул-2 +, o(v + 1) (v + 2) А„+ 	^	Д8Уп-3 + • • •.3!гдеФормула Стирлинга:и Ду0 + Ду_1У - У о + •1!+(и + 1) и(и-21)н2+Дзу_1 + дзу_23!(и + 1) и2 (и -+1)4!А 4У_2-Ь--- +U2(U2	[^/2—(/г—1)2] д2л(2л)! 4где и=-и разности соответствуют случаю, когдау2' '1 =x0-h;заданы значения функций•	• "У—2, У-1, У одля значений аргумента•. --Х	2 = -^о — хх0\ х 1=x0 + h\ х2 = х0 + 2 h...В формулу входят значения функции у, примыкающие с обеих сторон к уо\ поэтому эта формула приме¬ няется, когда аппроксимирующая функция должна давать достаточно точные результаты для значения х, близкого к значению х0, лежащему в средней части разностной схемы.Между разностями и производными имеются при¬ водимые здесь зависимости.Из формулы Ньютона получаем:f (*о) - (дУо — -у Д2Уо + Г(Хо)=±(а*Уо-+ -уДзУо—-|-Д4Уо4-АЗУо + ^ Д4Уо —
72РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА5	137	VГио) = -^(дзУо--^-дЧ +7	15	\+ — Д5у0 + — &%+■■■]•Из формулы Стирлинга получаем:У w Л \ 2	3!	2О', . Д5У-з + -2 , + 4-	^	+Г (*0) = -£■ (ь-у-1 —jj Д4у_2 + Д6У-з +•••); _ 1 (д,У-2 + д*У-1 _ “1*4 2Г (■*„)30~ "5 ГД5У_з + Л5У-2+ •1.19.3.	Приближение функций по методу наименьших квадратовИдея этого метода заключается в том, что пара¬ метры а, р , в функции F(x, а, р, ...) подбирают¬ ся так, чтобы интеграл ь	ьJ =J [&(x))*dx = $[f (x) — F(.x,а,$,...)]* dxполучил минимальное значение. Это приводит к таким уравнениям для определения коэффициентов <*, Р, .«£~*.г\f(x) — F( Jf.e.p,...)]dF(x,a,$	)dadx=0;ab~ = — 2 J {(/(x) —	)]	dx=0.dpКаждому методу аппроксимации соответствует свой метод строительной механики. Аппроксимации по методу функций, наименее уклоняющихся от нуля, соответствует расчет брусьев по предельному состоя¬ нию (выравнивание моментов); методу наименьших квадратов — расчет по началу наименьшей работы; методу интерполяции — способ превращения много¬ пролетной статически неопределимой балки в стати¬ чески определимую введением дополнительных шарни¬ ров (фиксирование точек с нулевыми моментами1). Различные методы аппроксимации дают различную точность.Пример 1.15. Дана функция Дх) = sin х. Требуется представить ее приближенно в интервале (0, я ) по¬ средством полиномаF (х ,а,Р) = ах — рх3.Раскладываем sin х в ряд Маклорена и ограничи¬ ваемся первыми двумя членами разложения, — получа¬ ем приближенно:хзsin х = х — — = х — 0,167х*.Подбираем а и (3 так, чтобы кривая у=*ах—f3x8 имела с кривой у = sin х общие точки (0,	^и (тс, 0):; (-у) — Р (-тг) =1; ая 'Pit* = о.Найдя а и р и подставив в искомую функцию, полу¬ чимF (*) = 0,846* — 0,086х*.•А0,8\ 0.7± 0.6т 0.5} 0£\ о А оА«7\. оиг1—1и/7^ч/у. V-Nл\1 /Уу И/ Д Лг\\ ‘у =т -0,856x-0.0934s\\ \y-'f(x) --0ДШ-0,086х3 V]\\, ут-х-£	*\\л \Ч\L—:—\ \\к/и71/2Рис. 1.85Зя/ЬПодбираем а и (3 по методу наименьших квадратов* itJ = | (sin х — ах + рл?)* dx;ЛdJ	Г— = — 2 \ (sin х — ах + р*8) xdx = 0; да	Jо1C= 2 j* (sin х — ах + $x*)x*dx *= 0,dJ_1 См. И. Я. Ш т а е р м а н, Современные методы аппроксима¬ ции, Известия ОТН АН СССР, № 1, 1939.Вычислив интегралы и найдя аир, получим:F (х) = 0,856* — 0,0934jc3.На рис. 1.85 показаны- синусоида я все три приб¬ лиженные кривые. Нетрудно убедиться, что разложе¬ ние по Маклорену очень точно аппроксимирует функ¬ цию вблизи одного значения аргумента (в данном случае — начала координат), но по мере удаления от этого значения быстро теряет в точности. Что же касается интерполяционного метода и метода наимень¬ ших квадратов, то они дают хорошую аппроксимацию во всем интервале разложения; по методу наимень¬ ших квадрата пол> чаются кривые, которые лучше приближаются к данной кривой, чем по методу интер¬ поляции, но зато вычисления получаются несколько сложнее.
Т.19. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ731.19.4.	Приближенное вычисление определенных интеграловПравило П. JI. Чебышева для приближенного вычис¬ ления длины дуги выпуклой симметричной кривой (рис. 1.86):Таблица 1.25_ Г 16A D + DB= Л/ /* + —*7-г2 .пX2хг = — jc? =* 0,57743*1==_ *3 = 0,7071,4хх =—х4 = 0,7947, х2 = — лг8 = 0,1876ЬXj — — .х6=0,8325, х2=—лг4=0,3745^#я-0Рис. 1.86здесь, например, при п*=3 имеем: ±±5 + 0.7071Это правило дает приемлемые результаты при ^ <0^5.hДля малых значений ~у это правило приводит к приб¬ лиженному равенству/ 8 Л* \Приближенное вычисление интегралов можно про¬ вести по одной из следующих формул:/(a) + /(й)/ (дс) dx — (Ь — а)			(правило трапеции);j/(*) dx= --б-а~ |/(«)+а(а + ь\ 1 «4- 4/ I —-— ) + /(6) (правило параболы).J/(x)d *= —|/(а) + 3/а+ 3/ [а + 2j + / Wj (правило стрех восьмых»); +1J /(x)dx-^|/Ui)+/(*2) +... + /(*„) j —1(формула Чебышева).Значения х\, х% хп в зависимости от п даны в табл. 1.25.При применении формул Чебышева надо по оси х принять такой масштаб, при котором можно положить 6=1, а——1, причем начало координат надо поместить посередине интервала идтегрирования. Если не вводить такого масштаба, то формулу Чебышева надо запи¬ сать так:Vf(x)dx>}*3 —b + aЬ —а	b + а•	0,7071 —г—; *,=Для других п надо вводить аналогичные изменения. Особенность формул Чебышева заключается в про-*	'о —астом виде их коэффициентов; все они равны —”—.Формулы И. Я. Штаермана, построенные по иде^ Чебышева, имеют почти такие же простые коэффици¬ енты; их следует применять, когда требуется получить высокую точность:+1ip-1/(*) dx = -J- [/ (-0,8689) +о+ 2/(—0,3500) + 2/(0,3500) +/(0,8689)];+ 1У j /(X) dx = -jj [2/ (-0,9053) + 4/ (- 0,5464) +-1+ 5/ (0) + 4/ (0^5464) + 2/ (0,9053)].Если непосредственное применение правил параболе!, трапеций и стрех восьмых» не дает достаточно точных результатов, то надо поделить интервал интегрировав ния на несколько равных частей, к каждой из них при* менить соответствующую формулу и взять сумму от* дельных площадей. Формулы трапеций ■ парабол примут вид:j*/(*)dx » ~— ( Уп \ Уп ‘ +Л+Л+* • *+yn_i);аftj /(jt)dx«	[у„ + Уг„ + 4(У1 + у3+ • ••+y2rt_1j+а+ 2 (у2 + Уп +•■• • + Угл—г)] •
74РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА1.20.	РЯДЫ ФУРЬЕ1.20.1.	Разложение функций в ряд ФурьеОдним из видов функциональных рядов является тригонометрический ряд:+ ах cos х -Ь Ъг sin х + #2 cos 2х ++ b2 sin 2x +*подо-ряда• + an cos nx + bn sin nx + • • • Ставится задача брать коэффициенты так, чтобы он сходился к заданной функции, иначе творя, требуется разло¬ жить данную функцию в тригонометрический ряд. До¬ статочное условие разреши¬ мости этой задачи состоит в том, чтобы функция была на отрезке длиной 2гс ку¬ сочно-непрерывна и кусоч¬ но-дифференцируема, т. е. чтобы отрезок длиной 2гс мог быть разбит на конеч¬ ное число частей, в каж¬ дой из которых функция и ее первая производная не¬ прерывны.(х-О)ypt-ObffxtQ)	|f(x+0)! IРис. 1.87Рис. 1.88Коэффициенты ряда вычисляются по формуламДо= — j*/(x)dx; ak= ^ f (х) cos kx dx\—к	—%1C1 рbk=—\ / (х) sin kx dx\ £=1,2,3... rc JПри таких коэффициентах тригонометрический ряд называется рядом Фурье. Этот ряд сходится к f(x) в каждой точке ее непрерывности; в тачках разрыва он сходится к среднему арифметическому левого и право¬ го предельных значений, т. е. к—0)+/(*+0)], если х есть точка разрыва (рис. 1.87); на границах от¬ резка ряд сходится к -у Г/ (— гс + 0) + / (те — 0)].Функция, выражаемая рядом Фурье, есть функция периодическая, а потому ряд, составленный для функ¬ ции, заданной на отрезке [— гс, тт], сходится вне этого отрезка к периодическому продолжению этой функции (рис. 1.88).Ряд Фурье может быть использован для прибли¬ женного представления функции, а имение: функция f(x) заменяется приближенно равной ей суммой sn некоторого числа членов ряда/(*)+ а2 cos 2х + b2 sin 2х +$п (х) = +ах cosx +b\ sin х+При такой замене оказывается минимальным среднее квадратичное отклонение sn (х) от f(x)t выражаемое формулойTZ-яВ зависимости от рода симметрии функции возмож- ны некоторые упрощения. Если функция четная, т е. f(—x)=f(x), то«о = “ j*/(*) dx,о1C	*= “ j*/(х) cos kx dx. bk = 0, £ = 1,2,3...0и функция раскладывается в ряд по косинусам. Если функция нечетная, т. е. f(—х)=—f(x), тоа0 = 0, ak = 0,bk2 Г= — I f(x) sin kx dx , k = 1,2. 3... о. и функция раскладывается в ряд по синусам. Если функция удовлетворяет условию /(*+гс) =—f(x), т. е. кривая, относящаяся к половине отрезка длиной2	гс, является зеркальным отражением другой поло¬ вины кривой, то1Ca2k+i = ~ j*/(*) cos &k + 1 )xdx\оVlk+l= —- j*/(x) sin (2k + 1) xdx;оa2k — b<2k = 0 •Функция может быть задана не только на отрезке длиной 2гс, но также на отрезке любой длины 21. Если она на этом отрезке удовлетворяет приведенным выше условиям, то она разложима в ряд Фурье следующего вида:ап	т.х	пх	2кх/(*)= — ”f“ cos ~ + bjsin —+ ^2cos —+2tsxknx+ b2 sin — +	b ak cos — + bk sin -knxI•	+ an cos nx + bn sin nx.I	' ' '	Iпричем коэффициенты ряда вычисляются по формуламl	I1 f	If	k~xа0 = — \ / (х) dx, ak = — ] /(*') cos ~j~ dx,-1 -i i1 f	knxbk = — j f(x) sin — dx.- I ’В табл. 1.26 даны разложения некоторых функций. Тригонометрический ряд можно записать и в таком виде:/м = я<> +S/?*sin ’k = l
1.20. РЯДЫ ФУРЬЕ75гдеЯо = -у; Rk = V al + bl = tS9k==^'Ряд Фурье функции f(x) сходится тем скорее, чем более гладкой является функция. Если k-я производ¬ ная f(x) терпит разрыв, то характер убывания коэф¬ фициентов Фурье дается формулами k-\ап —Ъп —(-»! £+®(>гг)- jr-K>(Jrr) Iздесь А и В — постоянные; верхние строчки каждой из формул соответствуют нечетным k. нижние — чет¬ ным. Символ о(—\ означает, что lim рО (—\ огра-V	Р 1	\ Р /ничен.Разложение в тригонометрический ряд называют гармоническим анализом, а тригонометрические функ¬ ции, входящие в этот ряд, — гармониками. Вычисление по составляющим гармоникам называется гармониче¬ ским синтезом.При расчетах конструкций часто приходится разла¬ гать в ряд Фурье различные функции, заданные графи¬ ками, и прежде всего изображающие нагрузку. В табл. 1.27 и 1.28 даны разложения для некоторых функций, характерных для нагрузок, в том числе и со¬ средоточенных сил.Таблица 1.26/(X) = Ь при 0 < X < ТС; f(x) = —Ь при п < х < 2тс;4b /sin jc sin 3jc sin 5x \ '“’"Til + —+ 5 +-)Л1Iff"'] ■ 1 1Р^~7] Го \ir !'Liic. 1.89f(x) — x при 0 < x < 2тт;isinx sin 2* sin3x , \ f(x)я. л 2 ( ^ + 2+3 +-)УУ1Л10 27Г Рис. 1.902 bx т. f (*)= — при 0 < jc < — ;71 Z2 b(n — x) , n f(x)— при < x < я; тс Z /(*) = -/(-*>=-/(*+*);8 / sin* sin За: sin5jc \ 1. ? + 5* "■)'АjАо it/г А. Рис. 1.91f(x)=x при 0 < x < тс;/(*)= 2тс — x при тт < х < 2тс; тс 4 / cos х cos Зх cos Ьх X/(*>= 2~ Л 1* + 3* + +-)л0 Jf 2% Рис. 1.92Ьх/(*)=	 при 0 < х < а\аf(x) = b при а < х < iz — а;Ъ (тс — х)/(х)— при тт — а < х < тс; а/(*) = —/(—*) = —/(* +я);/(*)= —— (—— sin a sin х + —— sin За sin Здс + -— sin 5а sin 5* + • • • )тса \ I2 З2 52 г1IУмЩ \а\тг 0 \>ис. 1/3f(x) = х (тс — х) при 0 < х < тс;/(— х) = — f(x) при — тг < х < 0;8 у sinx sin3x sin5x , \ ,( 1. + 3. + 5. +-)piУpf-'1C. 1.94
76РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАТ а б л ■ ц а 1.27910 11 121314151617График функции-I-~12с h- пшН?.\ищр ! щщр.ЫсЧжз±\-2с-\IMMIiwwummmКС12сННИНТОИНИЙА-с с *штппптм1iiJLLI/>»*/> А1НтИИВ!ННИИИЯ1ИИИИЯНИИН1'р'грх\р ■дяШТПМПЬвтт,JttfcfclnrTTfXia— Ш0ХТffil TUTuWF?rryn—|—■^гуттт?^[ТП‘р Кв. параболаК0. параболаР(х)sin а„ С COS ап (х — €)2рс 4 п iT+T2j~sina"С COS ап е COS ап Лf+т2—А X ■" а„ рс 2рsin ап С COS ап Xрс 2р УГ1 J~+ ~ 2j~ ])ПЫПап с C0Sa„*2р V 1 ,—		 7,	sin а„ с COS хВ	пi£с2 т-Sin ал (X— с) COS ал х* ал_Р jL V2Х + X ^л±]2COS ая ДГCOS «я (*—*)Р 2Р Y»~ + ~ cos а„ £ cos ап хР 2Р, + лр Л у 2Х + X Ь Р . Рj COS ап XР Р V*2х" + ~ 2j ('“1 >" со* ап * — 2р 2 cos ап х— 2р 2 (— 1 )л cos ап хР , 4Р у 1 T+U2j-7cos“"'2 х. -Р 4р V 1X*COS а- *-32PV ’ iCT -TrZj-Tt-1) cosa»xл	a1.2,3 .1.2.3.1.2.3.1.2.3.1.2.3.1.2.3.1.3.5.1.2.3.1. 2,3.1.2.3.1.2.3.1.2.3.1.2.3.1.3.5.1.3.5.1.2.3.1.3.5.
1.80. РЯДЫ ФУРЬЕ- 77Т я б л « ц а 1.29График функцииItrillI Iad• .2с I—-Jriri	1№рш£!~\гсЬ Г12с^2сПшда ™ ™ г"ШТ|ЩТОШШШЩЖкннншншнI1Л n*'2cр‘*р~2сfWflHW1|—е — -г —-щцщщnnufuifoIIкИННШЕШг»и д У\|'# tlfllf" ^ншлтг4Р V 1 .*£ V х ^8 Р у J_X ^ а.■ sin а„ с sin a„ е sin ап X■ sin а„ с sin а„ е sin а„ дср 2р V 1— + — 2j	sin а„ ** А апр -р V 12 ~ а. ^1 —зшя»i£. V JL2s.£Sin ап X2 1 2G 	(COSa„C-f — — 1)!к “a„1	2с2Р— 2j Sin ая в *in а„ *_2p_yj_ .Sin Сл Xsin ап х1.2.3.	.1.3.5.	. 1,3,5 .	.1.3.5.	.1.3.5.	. I, 3, 5 •	• 1ЛЗ .	.1ДЗ.	.1.2.3.	.1.20.2.	Интеграл ФурьеЕсли функция f(x) на любом конечном интервале удовлетворяет условиям, указанным в 1,20.1, и если при этом сходится, интеграл.j \f(x)\dx,—	ООто справедлива формула (интеграл Фурье) аа»	•»/<*)--£■ j e^du	dt =•гдем	ООтиО	-«•/(О cos u{t — х) dt.Если /(*) — четная функция, то справедливы соот« ношения002	С/(*) * — \ g (u) cos их dx,о^г(ц) =* J*/(?) cos utdt(косинус - преобразование Фурье). Если f(x) —нечетная функция, то/(*) “ J g (и) sin их dx,огдеg (и) = J / (?) sin £?f dt (синус - преобразование Фурье).оВ табл. 1.29 по аналогии с табл. 1.27 и 1.28 пред* ставлены в виде интеграла Фурье некоторые функции, характерные для нагрузок1.1 Табл. 1.27, 1.28 м 1.29 взяты из книги Beton—Kalender, 1958»ч.	II, Verl. W. Ernst.
78РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАТаблица 1.291.20.3.	Приближенный гармонический анализФормулы Чебышева. Во многих случаях (например, если вычисление коэффициентов разложения представ¬ ляет трудности, когда функции заданы графически вли в табличной форме) применяют другие приемы раз¬ложения в тригонометрический ряд. Один из них за¬ ключается в замене интегралов суммами.Пусть период 2 тс разделен на т равных частей точ¬ камих0=0; хх. 		 хт = 2тс\Xk = — для £ = 0,1,2,...,m
1.21. ТЕОРИЯи значения функции f(xk) = fk заданы или могут быть измерены. Тогпа для вычисления коэффициентов суммы/(*) —а0 + аг cos х + а2 cos 2х + • ■ * + cos (п— \)х + ап cos пх + bx sin х ++ 62 sin 2х 4-* •/+ bn__i sin (п — 1)х ,содержащего 2п коэффициентов, при т=2п можно поль¬ зоваться следующими формулами: т	тта0 —2 Е /*; тап = Е (— \)k fk.*=i *=1ттар = 2 2 fk cos pxk, р = 1,2,..., л — 1,	fk-\ тmbp — 2 2 fk sin pxk, p= 1,2. - -., л—1,k—\(формулы Чебышева—Бесселя)Формулы по методу наименьших квадратов. При т > 2/г, т. е. когда число измерений превышает число коэффициентов, следующие формулы дают наилучшее приближение по методу наименьших квадратов:та0 = 2 2 fk\ тпар = Е fk cos pxk\ k kmbp = 2 fk sin pxk; £=1,2,..., m\ kp = 1,2,... Л; m > 2n.Если ограничиться перьыми тремя гармониками и если не требуется большая точность, можно вычислить коэффициенты разложения по следующей схеме:f(x) = а0 + ах cos х + а2 cos 2х -4- % cos Зх ++ bi sin х + b2 sin 2x + b3 sin 3*;ao= ‘^■(/о+Л+ЛН	h/ю +/n);az = ~(/o —/2 + /4 — /e + /в — /io)J Ьз = — (/1 —/3 +/5 —/7 + /9 —/11);= " 2	^3*1ai— 2 —ft) — a3»1fl2 = ^ (/о “ /з + /б	Л) .где/2те\	/ 2 • 2rc \	/11-2тт\Л-ЛО);/,=/Для вычисления 62 разделим период 2 тс не на 12 ча¬ стей, как для вычисления других коэффициентов, а наВЕРОЯТНОСТЕЙ8	равных частей, допуская, что соответствующие зна-—	/2 тс \ — /2тг.3\ _ /2тс-5 \чения /,-=/(—у; /з=/(—];•/.-/ (—);-1 /2тс.7\/7 = / I—“—1можно снять с графика. ТогдаПример '1.16. Найти приближенную формулу для тригонометрического ряда, представляющего наблюде¬ ния, приведенные в табл. 1.30.Таблица 1.30fn/,Л/,Ли2,7143,0422,1341.2730,7880,495/в/тЛf,finfn0,3700.5400,191-0.357—0.4370.767Пользуясь приведенными выше формулами, находим: и«о = -^ 2 Л - Н-500 ± = 0,960; k=0с3 = 0,271; &з = 0,100; Ьг = 0,915;X.аг = 0,901; а2 = 0,542.Построив график функции f(x) и сняв с него орди¬ наты /1, /з, /5, /V, получим:4^=Л-/з+Л-/7 = 2,36.откуда £>2=0,59 (приближенно).Таким образом, приближенная формула для искомого ряда Фурье будет/(*)=0,96 + 0,90 cos х + 0,54 cos 2х -f 0,27 cos Зх ++ 0,92 sin х -f 0,59 sin 2x -j- 0,10 sin 3x.Гармонический анализ и синтез можно призводить посредством приборов (гармонических анализаторов и синтезаторов).1.21.	ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ1.21.1.	Понятие вероятностиТеория вероятностей издавна применялась в инже¬ нерных вычислениях при обработке экспериментальных данных. В последние годы ряд советских ученых (акад.Н.	С. Стрелецкий и др.) разрабатывают новые методы расчета сооружений на прочность и устойчивость с уче¬ том вероятностных факторов.Вероятностью w данного события называется отно¬ шение числа m случаев, благоприятствующих появлению
80РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАсобытия, к числу п всех равновозможных и несовмести- тмых случаев: w= —. Например, если в сосуде содер- пжится т белых шаров и п—т черных, отличающихся друг от друга только цветом, то вероятность w вынуть тбелый шар равна “. Вероятность заключена между0	и 1, 0 <w< 1, причем если событие невозможно, то ве¬ роятность равна нулю, а если событие достоверно, то вероятность равна единице.Вероятность w того, что из нескольких несовмести¬ мых событий, вероятности которых wi, w2i ..., Wk> про¬ изойдет какое-либо одно, безразлично какое именно, равна сумме вероятностей этих событий w=W\-\-w2+ ...+Wk (теорема сложения вероятностей). Если o>i, w2t ..., Wk—вероятности независимых между собой событий, то вероятность того, что произойдут все эти события, равна произведению вероятностей этих событийw=wiw2...wk (теорема умножения вероятностей).При п опытах, в каждом из которых вероятность появления события равна р, а вероятность непоявления равна q, р+<7=1, вероятность топДчто событие появит¬ ся k раз и не появится п—k раз, дается формулойР (л; k) =С* pkqn~k.Вероятности в этом случае подчинены биномиальному распределению.1.21.2.	Случайные величиныОсновым средством изучения случайных величин яв¬ ляется их функция распределения. Пусть z — случайная величина, ах — произвольное действительное число. Вероятность F(x) того^чго z примет значение, меньшее ху носит название функции распределения вероятностей:F (х) = вер. {г < х).Для вычисления дисперсии можно пользоваться фор¬ мулойD(z) = М(г*) — {М(г)}2.Величина а=|f D носит название среднего квадратично¬ го отклонения или стандарта (см. 1.21.3).Если случайная величина обладает тем свойством, что малые отклонения менее вероятны, чем большие, и отклонения в обе стороны равновероятны, то обычно она определяется нормальным законом распределения вероятностей:р (*)= ■1VЭта функция представлена на рис. 1.95. Для нормаль¬ ного законаM(z)= 0, D(z) = a2.Вероятность того, что величина z находится в пределах (— оо, д-), дается функциейZ2dz.Функция у(х) 1У 2*е *н функция ЛапласаФ (х) — —\ £ 2 dt.V* Jтабулированы; таблицы даются в курсах теории веро¬ ятностей и математической статистики, а также в мате¬ матических справочниках.Функция распределения есть неубывающая функция; она удовлетворяет неравенствам 0 < F(x) <1.dF (х)Если существует р{х) = —, то р(х) носит назва¬ ние плотности распределения вероятностей. Основные ^	свойства плотности распределе¬ния: р(х) >0;v»/•*6*1Я -2-1 0 1 2 д Рис. 1.95Авер. {хг < г < х2} «= J р (х) dx;xiJ p(x)dx = 1.Введем следующие число¬ вые характеристики случайных величин: математическое ожидание1.21.3. Обработка наблюденийНаивероятнейшее значение величины, для которой при наблюдениях одинаковой точности получены значе¬ ния хи х2, хз, хп, равно среднему арифметическому:л:= ■Х\ 4- х2 -4-*п2 х%1=1Упричем оЕсли наблюдения не равноточны, то одно наблюдение «веса» р равноценно р наблюдениям единичного веса. Если наблюдения xi, х2, хп имеют веса рь Р2,Рп, тов дисперсияМ (г) = J хр (х) dxD(z) = M [г —М(2)]з.'Хщ —Pi*i+/w4--' -+РпХп Pl+Pi-i	\-Рп2 pixi 1=12Pti=i
1.21. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ^ 81причем средняя квадратичная ошибка с дается фор¬ мулойгдегде-V/2 их* Jihr~2 РА?i=l(Л-1) Sp/ i=lсредняя ошибка наблюденияединичного веса;Xi = Х\ — Хт\ ^2 == ^2 — • • •» = Xm являются отклонениями от среднего.Если f (*, у, г) — функция, в которой значения аргу¬ мента найдены путем наблюдений со средними ошибка¬ ми тх, ту, mZr то среднее значение ошибки функции mf дается формулойт9В частности, если f=ax-\-by+cz, то772/ = а2т2х + b2m2y -f c2n^z .1.21.4.	Основы теории корреляцииЕсли на характеристику изучаемой величины влияет несколько факторов, причем влияние одного из факто¬ ров является преобладающим, то часто изучают его влияние, применяя метод корреляции. Так, например, в технике ищут статистическим методом пределы изме¬ нения механических свойств стали данной марки в за¬ висимости от колебаний химического состава.Сущность теории корреляции заключается в следую¬ щем. Если между случайными величинами хну имеет¬ ся не функциональная зависимость, а более слабая за¬ висимость, то эта зависимость называется корреляцион¬ ной. Например, снеговая нагрузка на сооружение зави¬ сит от средней зимней температуры, но эта зависимость не функциональная* а корреляционная. Задача теории корреляции состоит в установлении этой зависимости и тесноты связи между обеими величинами. Эта связь может быть прямолинейной и криволинейной.Ниже рассматривается наиболее распространенный случай прямолинейной корреляции двух переменных. Теснота связи определяется коэффициентом корреляции вычисляемым для данного случая по формулеЕ (Xi — X0)(yi—y0)/^1У £ (XI — х0)* 1/ 2 (yi— Уь)% f t= 1 v 1=1п£ XI/= 1пУ о —п2 уii= 1пВеличина коэффициента корреляции колеблется от О до +1. При г—С связи нет, при г=±1 получаем функ¬ циональную зависимость.Вероятная ошибка коэффициента корреляции опре¬ деляется по формуле1 — г*£„=± 0.674-—,V пгде Е50 — вероятная ошибка, характеризующаяся тем, что в 50% случаев ошибка получится меньшей, чем эта величина, п — число точек.Прямая, проведенная так, чтобы сумма квадратов от¬ клонения от нес ординат у отдельных точек была наи¬ меньшей, называется прямой регрессии у по х. Уравне¬ ние этой прямой имеет вид:У У о = Ry/x (■* *о) •Величина Rylx , называемая коэффициентом регрессии определяется по формулеауУ'* “ Г а ’Qxгде и сх—квадратичные отклонения значений у и ж от их средних значений Xq и уо:Степень отклонения ординат у от прямой регрессии ха¬ рактеризуется условным средним квадратичным откло¬ нением:= °у У\ — г2.Аналогично прямой регрессии у по х можно найти прямую регрессии х по у.гдеX Xq 	 ^Xly (У УО) »**/у г а *УУсловное среднее квадратичное отклонение: вХ = ff* Vl—r*.Корреляция будет хорошей, если г > 4Ец0. В црак- тике принято считать, что признаки связаны, если г>0,6. Однако во всех случаях зависимость должна быть обя¬ зательно объяснена физическими причинами (последние могут убедить, что и при /"<0,6 существует связь).6 За к. 2098
82 	РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА1.22.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ1.22.1.	Степени, корни, натуральные логарифмыпп*л3V п3У пIn п1111,00001.00000,000002481,41421,25990,6931539271,73211,44221,09861416642,00001.58741,38629б251252,23611,71001.609446362162,44951,81711.791767493432,64581,91291,945918645122.82842,00002,079449817293,00002,08012,197221010010003,16232,15442,30259И12113313,31662,22402,397901214417283,46412.28942,48491131692 1973,60562,35132,56495141962 7443,74172,41012,63906152253 3753,87302,46622,7080516- 2564 0964,00002,51982.77259172894 9134.12312,57132,83321183245 8324,24262,62072,89037193616 8594,35892,66842,^4444204008 0004,47212,71442,99573214419 2614,58262,75893,044522248410 6484,69042.80203 091042352912 1674,79582,84393,135492457613 8244,89902,88453,17{к)52562515 6255,00002,92403,218882667617 5765,09902,96253,258102772919 6835,19623,00003*295842878421 9525,29153,03663,332202984124 3895,38523,07233,307303090027 0005,47723,10723,401203196129 7915,56783,14143,4339932102432 7685,65693.17483,46574331 08935 9375,74463,20753,496.51341 15639 3045,83103,23963,5263635122542 8755,91613,27113^5553536129646 6566,00003,30193,58352371 36950 6536,08283.33223,6109238144454 8726,16443,36203,6375939152159 3196,24503,39123|6635640160064 0006,32463,420036888841168168 9216,40313,44823,7135742176474 0886,48073,47603* 7376743184979 5076.55743.50343,7612044193685 1846,63323,53033*78419462 02591 1256,70823,55693,80666462 11697 3366,78233,58303,82864472 209103 8236,85573,60883[85015482 304110 5926,92823,63423 * 87120492 401117 6497.00003,65933,89182502 500125 0007,07113,6840З’, 91202512 601132 6517,14143,70843,93183522 704140 6087,21113,73253.95124' 532 809148 8777,28013,75633,97029542 916157 4647,34853,7798з!98898553 025166 3757,41623,80304,’00733563136175 6167,48333,82594,02535573 249185 1937,54983,84854!04305583 364195 1127,61583,87094*01044593 481205 3797,68113,89304^07754603600216 0007,74603,91494^09434613 721226 9817,81023,93^54.11087623 844238 3287.87403,95794*. 12713633 969250 0477,93733.9791а\14313644 096262 1448,00004,00004 15888654225274 6258,06234,02074 Л 7439664 356287 4968,12404,04124,18965674 489300 7638,18544,0615А*20469684 624314 4328,24624,08174!21951694 761328 5098,30664.10164,23411704900343 0008,36664,12134,24850плап23УТIn п715 041357 9118,42614,14034,26268725 184373 2488,48534,16024,27667735 329389 0178 54404,17934,29046745 476405 2248,60234,19834.30407755 625421 8758,66034,21724,31749765 776438 9768,71784,23584,33073775 929456 5338,77504,25434,34381786 084474 5528,83184,27274.35671796 241493 0398,88824,29084.36945,806 400512 ООО8,94434,30894.38203'816 561531 4419,00004,32674,39445826 724551 3639,05544,34454,40672836 889571 7879,11044,36214,41884847 056592 7049,16524,37954,43082857 225614 1259,21964,39684,44265867 396636 0569,27364.41404,45435877 569658 5039,32744.43104,46591887 744681 4729,38034,44804,47734897 921704 9699,43404,46474.48864908 100729 0009,48684,48144,49981918 281753 5719,53944,49794,51086928 464778 68 S9,59174,51444,52179938 649804 3579,64374,53074,53260948 836830 5849,69544,54684,54329959 025857 3759,74684,56294,55388969 216884 7369,79804,57894,56435979 409912 6739,84894,59474,57471989 604941 1929,89954,61044,58497999 801970 2999,94994,62614,5951210010 0001 000 00010.00004,64164,6051710110 2011 030 30110,04994,65704,6161210210 4041 061 20810,09954,67234,6249710310 6091 092 72710,14894,68754,6347310410 8161 124 86410,19804,70274,6443910511 0251 157 62510,24704,71774.6639610611 2361 191 01610,29564,73264,6634410711 4491 225 04310,34414,74754,6728310811 6641 259 71210,39234,76224,6821310911 8811 295 02910,44034,77694,6913511012 1001 331 00010,48814,79144,7004811112 3211 367 63110,53574,80594,7095311212 5441 404 92310,58304,82034,7185011312 7691 442 8;)710,63014,83464.7273911412 9961 481 54410,67714,84884,7362011513 2251 520 87510,72384,86294,7449311613 4561 560 89610,77034,87704,7535911713 6891 601 61310,81674,82104,7621711813 9241 643 03210,86284,90494,7706811914 1611 685 15910,90874,91874,7791213014 4001 728 00010,95454,93244,7874912114 6411 771 56111,00004,94614,7957912214 8841 815 84811.04544,95974,8040212315 1291 860 8о711,09054,97324.8121812415 3761 906 62411,13554. <8664,8202812515 6251 953 12511,18036,00004,8283112615 8762 000 37611,22506,01334,8362812716 1292 048 38311,26946,02654,8441912816 3842 097 15211,31376,03974,8520312916 ш2 146 68Э11,35786,05284,8598113016 9002 197 00011,40186,06584,8675313117 1612 248 09111,44556,07884,8752013217 4242 299 96811,48915,09164,8828013317 6892 352 63711,53265,10454,8903513417 9562 406 10411,57586,11724,8978418518 2252 460 37511,61906,12994,9052713618 4962 515 45611,66196,14264,9126513718 7692 571 35311,70476,1644,9199813819 0442 628 07211,74736,16764,9272513919 3212 685 61911,78986,18014,9344714019 6002 744 00011,83226,19254,94164
1.22. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ83Продолжениеплап3/ п3|/ л”In пп/I3V п3|/ /ГIn п14119 8812 803 22111,87435,20484,9487621345 3699 663 59714,59455,97215,3612914220 1642 863 28811,91645,21714,9558321445 7969 800 34414,62875,98145,3659814320 4492 924 20711,95835,22934,9628421546 2259 938 37514,66295,99075,3706414420 7362 985 98412.00005,24154.96J8121646 65610 077 69614,69696,00005,3752814521 0253 048 62512.04165,25364,9767321747 08910 218 31314,73096,00925,3799014621 3163 112 13612,08305,26564,9836121847 52410 360 23214.76486,01855,3845014721 6093 176 52312,12445,27764,9904321947 96110 503 45914,79866,02775.3890714821 9043 241 79212,16555,28964,9972122048 40010 648 ООО14,83246,03685,3936314922 2013 307 94912,20665,30155,00395221 ,48 84110 793 86114,86616,04595,3981615022 5003 375 00012,24745,31335,0106422249 28410 941 04814.89976,05505,4026815122 8013 442 95112,28825,32515,0172822349 72911 089 56714,93326,06415,4071715223 1043 511 80812,32885,33685,0238822450 17611 239 42414,96666,07325,4116515323 4093 581 57712,36935,34855,0304422550 62511390 62515,00006,08225 41о1015423 7163 652 26412.40975,36015,0369522651 07611 543 17615,03336,09125,4205315524 0253 723 87512,44995,37175,0434322751 52911 697 08315,06656.10025,4249515624 3363 796 41612,49005,38325,0498622851 98411 852 35215.09976,10915,4293515724 6493 869 89312,53005,39475,0562522952 44112 008 98915,13276,11805,4337215824 9643 944 31212.56985,40615,0626023052 90012 167 00015,16586,12695,4380815925 2814 019 67912;60955,41755,0689023153 36112 326 39115,19876,13585,4424216025 6004 096 00012,64915,42885,0751723253 82412 487 16815,23156,14465,4467416125 9214 173 28112,68865,44015,0814023354 28912 649 33715,26436,15345,4510416226 2444 251 52812.72795,45145,0876023454 75612 812 90415,29716,16225,4553216326 5694 330 74712,76715,46265,0937523555 22512 977 87515,32576,17105,4595У16426 8964 410 94412,80625,47375,0998723655 69613 144 25615,36236,17975,4638316527 2254 492 12512,84525,48485,1059523756 16913 312 05315,39486,18855,4680616627 5564 574 29612,88415,49595,1119923856 64413 481 27215,42726,19725,4722716727 8894 657 46312.92285,50695,1179923957 12113 65 1 91915,45966,20585,4764616828 2244 741 63212,96155,51785,1239624057 60013 824 00015,49196,21455,4806416928 5614 826 80913.00005,52885,1299024158 08113 997 52115,52426,22315,4848017028 9004 913 00013,03845,53975,1358024258 56414 172 48815.55§36,23175.488У4171'29 2415 000 21113,07675,55055,1416624359 04914 348 90715,58856,24035,4930617229 5845 088 44813,11495,56135,1474924459 53614 526 78415,62056,24885,4971717329 9295 177 71713,15295,57215.1532924560 02514 706 12515,65256,25735,5012617430 2765 268 02413,19095,58285,1590624660 51614 886 93615,68446,26585,5053317530 6255 359 37513,22885,59345,1647924761 00915 069 22315,71626,27435.5093917630 9765 451 77613,26655,60415,1704824861 50415 252 99215,74806,28285,5134317731 3295 545 23313,30415,61475,1761524962 00115 438 24915,77976,29125,5174517831 6845 639 75213,34175,62525,1817825062 50015 625 00015,81146,29965,5214617932 0415 735 33913,37915,63575,1873925163 00115 813 25115,84306,30805,5254518032 4005 832 00013,41645,64625,1929625263 50416 003 00815,87456,31645,5294318132 7615 929 74113,45365,656715,1985025364 00916 194 27715,90606,32475,5339018233 1246 028 56813.49075,667115,2040125464 51616 387 06415,93746,33305,5373318333 4896 128 48713,52775,6774|5,2094925565 02516 581 37515,96876,34135,5412618433 8566 229 50413,56475,68775,2149425665 53616 777 21616,00006,34965,о4о1818534 2256 331 62513,60155,69805,2203625766 04916 974 59316,03126,35795,5490818634 5966 434 85613,63825,70835,2257525866 56417 173 51216,06246,36615,5529618734 96^6 539 20313,67485,71855,2311125967 08117 373 97916,09356,37435,5568318835 3446 644 67213,71135,72875,2364426067 60017 576 00016,12456,38255,5606818935 7216 751 26913,74775,73885 2417526168 12117 779 58116,15556,39075,5645219036 1006 859 00013,78405,74895,2470226268 64417 984 72816.18646,30885,5683419136 481*6 967 87113,82035,75905,2522726369 16918 191 44716,21736,40705,5721519236 8647 077 88813,85645,76905,2575026469 69618 399 74416,24815,41515,5769519337 2497 189 05713,89245,77905,2626926570 22518 609 62516,27886,4232£>,5797319437 6367 301 38413,92845,78905,2678626670 75618 821 09616,30956,43125,5835019538 0257 414 87513,96425,79895,273002677128919 034 16316,34016.43935,5872519638 4167 529 53614,00005,80885,2781126871 82419 248 83216,37076,44735,5909919738 8097 645 37314,0-3575,81865,2832026972 36119 465 10916,40126,45535,5947119839 2047 762 39214,07125,82855,2882727072 9001у 683 00016,43176,46335,5984219939 6017 880 59914,10675,83835,2933027173 44119 902 51116,46216,47135,6021220040 0008 000 00014,14215,84804,2983227273^98420 123 64816,49246,47925,6058020140 4018 120 60114,17745,85785,3033027374 52920 346 41716,52276.48725,6094720240 8048 242 40814,21275,86755,3082727475 07620 570 82416.55296,49515,6131320341 2098 365 42714,24785,87715,3132127575 62520 796 87516,58316,50305,6167720441 6168 489 66414,28295,88685,3181227676 17621 024 57616,61326,51085,6204020542 0258 615 12514,31785,89645,3230127776 72921 253 93316,64336,51875,6240220642 4368 741 81614,35275,90595,3278827877 28421 484 95216,67336,52655,6276220742 8498 869 74314,38755,91555.3327227977 84121 717 63916,70336,53435,6312120843 2648 998 91214,42225,92505,3375428078 40021 952 00016,73326,54215,6347920943 6819 129 32914,45685,93455,3423328178 96122 188 04116,76316,5499' 5,6383521044 1009 261 00014,49145,94395,3471128279 52422 425 76816,79296,55775,6419121144 5219 393 93114,52585,95335,3518628380 08922 665 18716,82266,56545,6454521244 9449 528 12814,56025,96275,3565928480 65622 906 30416,85236,57316,648976*
84РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАПродолжениеV285286290291292293294295296297298299300 3D1302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350 36135235335481225 81 796 82 36982	94483	52184	10084	68185	26485	84986	43687	02587	61688	20988	80489	40190	00090	601 9120491	80992	41693	025 9363694	24994	86495	48196	10096	72197	34497	96998	59699	22599	856100	489101	124101	761102	400103	041103	684104	329 Ю4 976Ю5 625 106 276106	929107	584108	241108 900109	561110	224 110 889 111556112	225 112 896113	569114	244114	921115	600116	281116	964117	649118	336119	025 11J716120	409121	104 121 801122	500123	201123	904124	609125	31623 149 125 23 393 656 23 639 уОЗ23	887 87224	137 56924 389 ООО 24 642 17124	897 08825	153 757 25 412 18425 672 37525	934 33626	198 073 26 463 59226	730 89S27	000 000 27 270 901 27 543 60827	818 12728	094 46428 372 625 28 652 61628	934 44329	218 112 29 503 62929	791 00030	080 231 30 37 1 328 30.664 29730	959 14431	255 875 31 554 49631	855 01332	157 432 32 461 75932	768 00033	076 161 33 386 24833	698 26734	012 22434 328 125 34 645 97634	965 78335	287 552 35 611 28935	937 00036	264 691 36 594 36836	926 03737	259 70437 595 37537	933 05638	272 753 38 614 47238	958 21939	304 00039	651 82140	001 688 40 353 60740	707 58441	063 625 41 421 73641	781 92342	144 192 42 508 54942	875 00043	243 551 43 614 20ь43	986 97744	361 86416,881916,911516.941116.970617.000017,029417,058717.088017.117217,146417,175617.204717,233717.262717,291617.320517.349417.378117.406917,435617,464217.492917.521417,54^917.578417,606817,635217,663517,691817,720017,748217	7764 17,8045 17,8326 17.860617,888517.916517,944417.972218,000и18.027818,055518.083118,110818,138418.1659 18,1934 18,220918,248318.275718,303018,330318,357618,384818,412018,439118.466218	4932 18 5203 18,547218,574218.601118.627918.654818,681518,708318.735018,761718.788318,814936,58086,58856.59626,60396,61156,61916,62676,63436.64196,64946,65696.66446,67196,67946.68696,69436,70186.70926,71666,72406,73136,73876,74606 7533 6,76066,76796,77526.78246,78*76.79696.80416,81136,81856,82566,83286,8399 6,8470 6,8541 6,86126,86836,87536,88246.88946,89646.90346,91046,91746.92446,93136,93826,94516,95216.95896.96586,97276,97956,98646,99327.00007.00687.01367,02037.02717.03387,04067,0473 7 0540 7.0607 7,0674 7,07405,652495.655995,659485,662965,666435,669885,673325,676755,680175.683585,6869» 5,69036 5,69373 5,69709 5,700445,703785.707115,710435,713735,717035.720316,723595,726855,730105.733345,736575,739795,743005,746205,7493ь5,75257 5,75574 5,75890 j.76205 5,765195,76832 5,77144 5,77455 5,77765 5.780745,78.3835,786905.789965,793015,796065,79909 5,80212 5,80513 5 80814 5,811145,814135,817115.8ЛЮ85,823055,8261/05,828955.831885,834815,837735.840645,843545.846445.849325,852205.855075,85793 5,8607v 5,8636а 5,86647 5.86930пп2л»3 	In п355126 02544 738 87518,84147,08075,87212356126 73645 118 01618 86807,08735.87493357127 44945 499 29318.89447,09405.87774358128 16445 882 71218.92097,10065,88053359128 88146 268 27918.94737,10725,88332360129 60046 656 ООО18.97377,11385,88610361130 32147 045 88119,00007.12045.88888362131 04447 437 92819.02637.12695.891Ы363131 76947 832 14719.05267,13355,8*440364132 49648 228 54419.07887.1400-5.8*715365133 2254а 627 12519,10507,14665,89990366133 9564* 027 89619.13117.15315,90263367134 68949 430 863' 19 15727,15965,90o3t>368135 42449 836 03219.18337,16)15,90808369136 16150 243 40919,20947,17265.91080370136 900оО 653 ООО19,23547,17915.91350371137 64151 064 81119.26147,18555,91620372138 38451 478 84019.28737.19205.91889373139 12951 895 11719,31327,19845,92158374139 87652 313 62419.33917,20485,92426375140 62552 734 375Ь,36497,21125,926*3376141 37653 157 376. 19,3*077,21775,92959377142 12*53 582 63319,41657,22405,93225378142 88454 ОЬ 15219,44227.23045.93489379143 64154 43Ь 93919.46797,23685,93754380144 40064 872 ОоО19,49367,24325,94017381145 16155 306 34119.519*7,24955,94280382145 92455 742 96*Ь.54487,25585.94542383146 68956 181 88719.57047,26225,94803384147 45656 623 10419.59597,26855,950о4385148 22557 066 62519,62147,27485.95324386148 99657 512 45619.64697,28115.9558438714L 76957 960 60319.67237,28745,95842388150 54458 411 07219.6У777,29365,96101389151 32158 863 86919.72317,29995,96358390152 10059 319 ООи19.74847,30615,96615391152 88159 776 47119.77377,31245,96871392153 664ЬО 236 28819.79907,318о5,97126393154 44960 6*8 45719,82427,32485,97381394155 23661 162 98419.84947,33105.97635395156 02561 629 87519,87467,33725.97889396156 81662 099 13b19.89977,34 J45.98141397157 60962 570 77319.92497.34965.98394398158 404оЗ 044 79219,94997,35585,98645399159 20163 521 19919.97507,36195,эвоьб4001S0 00064 000 00020,00007,36810,99146401160 8014 481 20120.02507,37425,9939а402161 60464 964 80820.04997,3803о,99о45403162 40965 450 82720.07497,38645,9ь894404163 21665 939 26420,09987,39256,00141405164 02566 430 12520.12467,39866,00389406164 83666 923 41о20.14947,40476,00о35407165 64967 419 14320,17427,41086,00881408166 46467 917 31220,19907,41696,01127409167 28168 417 92920,22377,42296.01372410168 10068 921 ООО20.24857,42906,01616411168 92169 426 53120.27.U7,43506.0185У412169 74469 934 52820,29787,44106.02102413170 56970 444 99720.32247,44706,02345414171 39670 957 94420,34707,45306.0258/415172 22571 473 37520,37157,45906,0282841617.3 05671 991 29620.39617,46506,03069417173 88J72 511 71320.42067,47106,0330.)418174 72473 034 63220,44507,47706,03548419175 56173 560 05920,46957,48296,03787420176 40074 088 00020,49397,48896,04025421177 24174 618 46120,51837.4Р486,04263422178 08175 151 44820,54267,50076,04501423178 92975 686 96720*51707,50676,04737424179 77676 225 02420,59137,51260,04973
1.22. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ					. 		 „гг,	gsПродолжениеппап3/V3гтIn ллл*л»У п3VIn п425180 62576 765 62520,61557,51856,05209495245 025121 287 37522,24867,91056,20456426181 47677 308 77620,63987,52446,05444496246 016122 023 93622,27117,91586,20658427182 32977 854 48320,66407,53026,05678497247 009122 763 47<322.29357,92116,20859428183 18478 402 75220,68827,53616,05!-12498248 004123 505 99222,31597,92646.21060429184 04178 953 58920,71237,54206,06146499249 001124 251 49922,33837,93176,21261430184 90079 507 ООО20.73647,54786,06379500250 000125 000 00022,36077,93706,21461431185 76180 062 99120.76057,55376.06611501251 001125 751 50122,38307,94236,216614321S6 62480 621 56820,78467,55956,06843502252 004126 506 00822.40547,94766,21860433187 48981 182 73720,80877,56546.07074503253 009127 263 52722.42777,95286,22059434188 35681 746 50420,83277,57126,07304504254 016128 024 06422,44997,95816,22258435189 22582 312 87520.85677,57706,07535505255 025128 787 62522,47227.96346.22456436190 09682 881 85620,88067,58286,07764506256 036129 554 21622,49447,96866,22654437190 96983 453 45320,90457.58866,07^93507257 0 49130 323 84322,51677,97396,22851438191 84484 027 67220.92847,59446,08222508258 064131 096 51222,53897,97916,23048430192 72184 604 51920,95237,60016,08450509259 081131 872 22922,56107.98436,23245440193 60085 184 00020.97627,60596,08677510260 100132 651 00022,58327,98966,23441441194 48185 766 12121.00007,61176,08904511261 121133 432 83122,60537,99486,23637' 442195 36486 350 88821,01387,61746,09131512262 144134 217 72822.62748,00006,23832443196 24986 938 30721,04767,62326,09357513263 169135 005 69722,64958,00526,24028444197 13687 528 38421,07137,62896,09582514264 196135 796 74422.67168,01046.24222445198 02588 121 42521.09507,63466,09807515265 225136 590 87522,69368,01566,24417446198 91688 716 53621 11877,64036,10032516266 256137 388 09622,71568,02086,24611447199 80989 314 62321,14247,64606,10256517267 239138 188 41322,73768,02606,24804448200 70489 915 39221,16607 65176,10479518268 324138 991 83222,75968,03116,24998449201 60190 518 84921,18967,65746,10702519269 361139 798 35922,78168,03636,25190450202 50091 125 00021,21327,66316,10925520270 400140 608 00022,80358,04156,25383451203 40191 733 85121,23687,66386,11147521271 441141 420 7о122,82548,04666,25575452204 30492 345 40821,26037,67446,11368522272 484142 236 64822,84738,05176,25767453205 20Э92 959 67721,28387,68016,11589523273 529143 055 66722,86928,05696,25958454206 11693 576 66421,30737,68576,11810524274 576143 877 82422,89108,06206,26149455207 02594 196 37521,33077.69146,12030525275 625144 703 12522,91298,06716,26340456207 93694 818 81621,35427,6970 '6,12249526276 676145 531 57622,93478,07236,26530457208 84995 443 99321,37767,70266.12468527277 729146 363 18322,95658,07746,26720458209 76496 071 ь1221,40097,70826,12687528278 784147 197 95222,97838,08256,26910459210 68196 702 57921,42437,71386,12905529279 841148 035 88923,00008,08766,27099460211 60097 336 00021,44767.71946 13123530280 900148 877 00023,02178,09276,27288461212 52197 972 18121,47097,72506,13340531281 961149 721 29123.04348,09786,27476462213 44498 611 12821,49427,73066,13556532283 024150 568 76823,06518,10286,27664463214 36999 252 84721,51747,73626,13773533284 089151 419 43723,08688,10796,27852464215 29699 897 34421,54077,74186,13988534285 156152 273 30423,10848,11306,28040465216 225100 544 62521,56397,74736.14204535286 225153 130 37523,13018,11806,28227466217 156101 194 69621,58707,75296,14419536287 296153 990 65623,15178,12316,28413467218 039101 847 56321.61027,75846,14633537288 369154 854 15323,17338,12816,28600468219 024102 503 23221.63337,76396,14847538289 444155 720 87223,19488,13326,28786469219 961103 161 70921,65647,76956,15060539290 521156 590 81923,21648,13826,28972470220 900103 823 00021,67957,77506,15273540291 600157 464 00023,23798,14336,29157471221 841104 487 11121,70257,78056,15486541292 681158 340 42123,25948,14836,29342472222 784105 154 04821,72567 78606,15698542293 764159 220 08823,28098,15336,29527473223 729105 823 81721,74867,79156,15910543294 849160 103 00723,30-248,15836.29711474224 676106 496 42421,77157.79706,16121544295 936160 989 18423,32388,16336,29895475225 625107 171 87521,79457,80256,16331545297 025161 878 62523,34528,16836,30079476226 576107 850 17621.81747,80796,16542546298 116162 771 33623,36668,17336,30262477227 529108 531 33321,84037,81346,16752547299 209163 667 32323,38808,17836,30445478228 484109 215 35221,86327,81886,16961548300 304164 566 59223,40948,18336,30628479229 441109 902 23921,88617,82436,17170549301 401165 469 14923,43078,18826,30810480230 400110 592 00021,90897,82976,17379550302 500166 375 00023,45218,19326,30992481231 361111 284 64121,93177,83526,17587551303 601167 284 15123,47348,19826,31173482232 324111 980 16821.95457,84066,17794552304 704168 196 60823,49478,20316,31355483233 289112 678 58721,97737,84606,18002553305 809169 112 37723,51608,20816.315Э6484234 256113 379 90422,00007,85146,18208554306 916170 031 46423,53728.21306,31716485235 225114 084 12522,02277.85686,18415555308 025170 953 87523,55848,21806,31897486236 196114 791 25622,04547.86226,18621556309 136171 879 61623,57978,22296.32077487237 169115 501 30322,06817,86766,18826557310 249172 808 69323,60088,22786,32257488238 144116 214 27222,09077*87306,19032558311 364173 741 11223,62208.23276,32436489239 121116 930 16922,11337,87846,19236559312 481174 676 87923,64328,23776,32615490240 100117 649 00022.13597,88376,19441560313 600175 61600023,66438.24266,32794491241 081118 370 77122,15857,88916,19644561314 721176 558 48123,68548,24756,32972492242 064119 095 48822.18117,89446,19848562315 844177 504 32823,70658,25246,33150493243 049119 823 15722,20367,89986,20051563316 969178 453 54723,72768,25736,33328494244 036120 553 78422,22617,90516,20254564318 096179 406 14423,74878,26216.33505
86 -РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАПродолжениеплал3/ л3/* пIn лпп2л®V л"3У~7In п566тж110 362 12623,76978.26706,38683635403 225256 047 87525,19928,59526.453625061Ы 331 46623,79088,27196,33859636404 496257 259 45625,21908,59976.45520367«I486182 264 26323,81188,27686.34036637405 769258 474 85325,23898.60436.45677Ш692184183 260 43236,83288,28166,34212638407 044259 694 07225,25878,60886.45934600Ж7Ы164 220 00926,85378,28656,34388639408 321260 917 11925.27848,61326.459906708М900116 193 00023,87478,26136,34564640409 600262 144 00025,29828,61776,46147671166 041116 109 41123,89668,29626.34/39641410 881263 374 72125.31808.62226,46303672627 184167 149 24626,91658,30106,34914642412 164264 60^ 28825 33778,62676.46459673666 320166 132 51733.93748,30696,3508»643413 449265 847 70725.35748,63126.46614674Ж 476169 119 224$6,95838,31076.35263644414 736267 089 98425.М7/.8.63576.46770576880 628190 109 37623,97928,31556,35437645416 025268 336 12525.39698.64016,46925676661776191 102 97624,00008.32036.35611646417 316269 586 13625 41658.Н466.47080677632 929192 100 03324,02068.32516.3578ч647418 609270 840 02325.43628.64906.47235678634 064193 100 65224,04168.33006,35^57648419 904272 097 79225.45588,65356.4738.)579866 241194 104 63624,06248.33486.36130649421 201273 359 44925,47558.65796.47543580636 400196 112 00024.08328.33966.36303680422 500274 625 00025.49518.66246.47697581337 561196 122 94124,10398,34436.30475651423 801275 894 45125.51478.66686.47851582838 724197 137 36824,12478.34916.36647652425 104277 167 80825.52438,67136,48004583339 889198 155 28724,14548.15 *9Ь,3681У653426 409278 445 07725.55398.67576,48158584341066196 176 70424,16618,3587О,Зь9У0654427 716279 726 26425,57348,68016 48311585342 226200 201 02524.18668,3634о 37161655429 026281 011 37525,59308,68451>, 48464586343 396201 2Э0 06624,20748.36S26,37331656430 336282 300 41625.61258.68906.48616587844 569202 262 00324,22818 3/306 ,о750‘2657431 649283 593 39325.63208 69346.48768588646 744ЗОв 297 47224,24878.37776,37о73658432 964284 890 31225,65158,69786,48920889646 921204 336 46324,26938.38250.37843659434 281286 191 17926,67108.70226.4L072590648 100205 379 00024,28998,38726,38012600435 000287 496 00025,09058.70666,49224591349 281206 425 07124,31066,39196,38182001436 921288 801 78125.70998,71106,49375592350 464207 474 68824.33118,39676,36351662438 244290 117 52825,72948,71546,49527593361 649208 527 85724,35168.40146,38519003439 509291 434 24725.74888.71986.49()77594362 636206 664 58424.37218,40616,38688664440 836292 754 94426,76828.72416.49828595364 026210 644 87524,3026■ 8,41086.38856065442 225294 079 62525,78768,72856,4997959(3355 216211 708 73634.41318,41556.39024666443 556295 408 29Ь25.80708,73296,50129597366 409212 776 17324,43368,42026,39192667444 889296 740 96325,82638.73736,50279698367 604213 847 19224,45408,42496,36359068446 224298 077 63225.84578,74166,50429599358 801214 921 79024,47458,42966,39526669447 561299 418 30925.86508.74606,50578600300 000216 000 00024,49496,43436,39693070448 900300 763 00025,88448,75036.50728601361 201217 081 80134,51538,43906,39859671450 241302 111 71125,90378,75476.50877602362 404218 167 20624,53678,44376,40026672451 584303 464 44825,92308.75906.51026003363 609219 256 22724,55618.44846,40192673452 929304 821 21725,94228.76346.51175604364 816220 348 66424,57648,45306,40357674454 276306 182 02425.96158.76776.51323606306 026231 446 12624,59676,45776,40523675455 625307 546 87525.98088.77216.51471606367 236222 645 01624,61718.40236,40688676456 976308 915 77626.00008.77646.51619007306 449223 648 54324.63748,46706,406536Л458 329310 288 73326.01928.78076.51767608366 664224 755 71^24,65778,47166,410176784Б9 684311 665 75226.03848.78506.5М5вое370 6612)6 866 66924,67798,47636,41182679401 041313 046 83926,05768.78936.52062ею372 ГОО296 961 00024,69828,48096.41346660562 400314 432 00026.07668,79376,52209«и373 321228 099 13124,71848,46566,41510681463 761315 82 1 24126.09608,7-806.52356612374 6442S9 220 92824.73868,49026,41673082466 124317 214 56826,11518.80236,525036133TS769230 346 39724,75886,49486,41836663486 489318 611 98726,13438.80666.52649614Гб 906231 475 84424,77908,46646,41999664467 866320 013 50426.15348.81096.52796616376 966232 608 37524,79928,60406,42162685409 225321 419 12526,17258,81526,52942616379 466233 744 80624,81938,50866,42325686470 596322 828 85626.19168,81446.530886173*0 «в234 886 11324,83958,51826,42487687471 909324 242 70326,21078.82376.53233618361 924236 029 03224,85968,51786,42649086473 344325 660 67226.22988,82806,53379619363 161237 17 6 65924,87978.62246,42811686474 721327 082 76926.24888.83236.53524610^64 400236 326 00024.86666,62706,42672ООО476 100328 509 00026.26798,8:1666.53669621366 641239 483 06124,91998,53166,43133661477 481329 939 37126 28698.84086,53814622366 664240 641 64824.93998,53626,43294862478 864331 373 88826,30598.84516,53959т386 126241 804 36724,90008.54086,43455068480 246332 812 55726.32498.84936.54103624366 37634S 670 62424,98008.54636,43615664481 636334 255 38436,34398.85366.54247626360 626244 140 02625.00008,54996,43775665483 025335 702 37526,36298.85786.54391626361 676245 314 37626,02008,55440,43935690484 416337 153 53626.38188.86216.54535627363 129246 491 66336.04008.55906,44095097485 809338 о08 87326.40088,86636.5467ч628364 364247 673 16226.066*8,56356,44254698487 204340 068 39226,41978.87066.54822629306 641248 668 18625,07998,56816,44413699486 001341532 09926,43868.87486.54965630366 600280 047 00025.09968.57266,44572700490 000343 000 00026,45758.87906.55108. 631368 161251 239 59128.11978,57726,44731701491 401344 472 10126.47648.88336,55251632309 424252 435 96826.13668,58176.44889702492 804345 948 40826.49538.88756,55343633400 669253 636 13725,15958,58626,45047703494 209347 428 92726.51418,89176.55536634401 956254 840 104.25,1794 ■8,59076,45205704465 616348 913 66426,53308,89596.55678
1.22. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ	 87ПродолжениеплаП»3/“In п705497 025350 402 62526,55188,90016,55820706498 436351 895 81626,57078,90436,55962707499 849353 393 24326,58958.90856,5о103708501 264354 894 91226.60838,91276,56244709502 681356 400 82926,62718,91696,56386710504 100357 911 ООО26.64588,92116,56526711505 521359 425 43126.66468.92536,5666771250(3 944360 944 12826,68338.92956,56808713508 369362 467 09726,70218,93376,56948714509 796363 994 34426,72088.93786,57088715511 225365 525 87526 73958,94206,57228716512 656367 061 69626.75828,94626,57368717514 089368 601 81326,77698,95036,57508718515 524370 146 23226,79558.95456,57647719516 961371 694 95926,81428,95876,57786720518 400373 248 00026.83288,96286,57925721519 841374 805 36126.85148,96706,58064722521 284376 367 04826.87018,97116,58203723522 729377 933 06726.88878,97526,58341724524 176379 503 42426,90728,97946,58479725525 625381 078 12526.92588,98356.58Ы7726527 076382 657 17626,94448,98766,58755727528 529384 240 58326,96298,99186,58893728529 984385 828 35226.*8158,99596,59030729531 441387 420 48927,00009,0000,г,59167730532 900389 017 00027,01859,00416,59304731534 361390 617 89127,03709,00826,59441732535 824392 223 16827,05559,01236,59578733537 28)393 832 83727.07409,01646,59715734538 756395 446 90427.09249,02053,59851735540 225397 065 37527,11099,0246Ь,59987736541 696398 688 25627,12939,02876,60123737543 169400 315 55327,14779,03286,60259738544 644401 947 27227,16629,03696,60394739546 121403 583 41927,18469,04106,60530740547 600405 224 00027,20299,04506,60665741549 081406 869 02127,22139,04916,60800742550 564408 518 48827,23979,05326,60935743552 049410 172 40727,25809,05726,61070744553 536411 830 78427,27649,0о136,61204745' 555 025413 493 62527,29479,06546,61338746556 516415 160 93627.31309,06946,61473747558 00941-) 832 72327,33139,07356,61607748559 504418 508 99227.34969,07756,61740749561 001420 189 74927,36799,08166,61874750562 500421 875 00027.38619,0856о,62007751564 001423 564 75127,40449,08966,62141752565 504425 259 00827.42269,09376,62274753567 009426 957 77727.44089,09776,62407754568 516428 661 06427,45919,10176,62539755570 025430 368 87527.47739,10576,62672756571 536432 081 21627.49559,10986,62804757573 049433 798 09327.5136•9,11386,62936758574 564435 519 51227.53189,11786,63068759576 081437 245 47927.55009,12186,63200760577 600238 976 00027,56819,12586,63332761579 121440 711 08127,58о29,12986,63463762580 644442 450 72827.60439.13386,63595763582 169444 194 94727.62259,13786,63726764583 696445 943 74427.64059,14186,63857765585 225447 696 12527 65869.14586,63988766586 756449 455 09627.67679,14986,64118767588 289451 217 66327.69489,15376.64249768589 824452 984 83227.71289,15776,64379769591 361454 756 60927.73089,16176,64509770592 900456 533 00027,74899,16576,64639771594 441458 314 01127,76699.16966,64769772595 984460 099 64827,78499,17396,64898773597 529461 889 91727.80299,17756,65028774599 076463 684 82427.82099,18156,65157плап3Y п3V пin п775600 625465 484 37527,83889,18556,65286776602 176467 288 57627,85689,18946,65415777603 729469 097 43327,87479,1гШ6,65544778605 284470 у 10 95227,89279,19736,65673779(503 841472 729 13927,91069,20126.65801780608 400474 552 00027,92859,20525,65929781609 9J1476 379 54127,94649,20916,66058782611 524478 211 7J827,96439,21306,66185783613 089480 048 68727.98219,21706,66313784614 656481 890 30428,00009,22096,66441785616 225483 736 62528,0179У,22486,66568786617 796485 587 65628,03579,22876,66696787619 369487 443 40328,05359,23266,66823788620 944489 303 87228,07139,23656,66950789622 521491 169 06928.08919,24046,67077790624 100493 039 00028.10699.24436,67203791625 681494 913 57128,12479,24826,67330792627 264496 793 08828.14259,25216,67456793628 849493 677 25728.16039,25606,67582794630 436500 566 18428,17809,25996,67708795632 025.502 459 87528,19579,26386,67834796633 61b504 358 33628.21359.26776,67960797635 20950(5 261 57328.23129.27166,68035798636 804508 169 5у228.24899,27546,68211799638 401510 082 39928,26669,27936,68336800640 000512 000 00028.28439,28326,68461801641 601513 922 40128,30199,28706,68586802643 204515 849 60828 31969,29096,68711803644 80j517 781 ('2728,33739,29485,6883о804646 416519 718 46428,35499.2У866,68960805648 025521 660 12528,37259,30256.69084^ £ПОГ\с1806649 63d523 606 61628.3^019,30636,оУД)о1807«51 249525 557 94328.40779.31026.69332808652 864527 514 11228,42539,31406,69456809654 481529 475 12928,44299,31796,69580810656 100551 441 00028,46059,32176,69703811657 721333 411 73128,47819,32556,6982781265У 344535 387 32828,49569,32946,69950813660 969537 367 79728,51329,33326,70073814662 596539 353 14428,53079,33706,70196815664 225541 343 37528.54829,34086,70319816665 85о543 338 49628.56579,34476,70441817667 48у545 338 51328.58329,34856,70564818669 124547 343 43228.60079,35236,70686819670 761549 353 25928,6182У,35616,70808820672 400551 368 00028,63569,35996,70930821674 041553 387 66128,65319,36376,71052822675 684555 412 24828,67059,36756,71174823677 329557 441 76728,68809,37136,71296824678 976559 476 22428.70549,37516,71417825680 625561 515 62528,72289,37896,71538826682 276563 55у 97628,74029,38276,71659827683 929565 609 28328,75769,38656,71780828685 584567 663 55228.77509,39026,71901829687 241569 722 78928,79249.39406,72022830688 900571 787 00028,80979,39786,72143831690 561573 856 19128,82719,40166,72263832692 224575 УЗО 36828,84449.40536,723338336*3 889578 009 53728 86179,40916.725ЙЗ,> чл/'Л о834695 556580 093 70428.87919.41290* 72623835697 225582 182 87528.8964У,41666.72743836698 896584 277 05628,91379.42046,72863837700 569586 376 25328,93109.42416,72982838702 244588 480 47228,94829,42796,73102839703 921590 589 71928,96559,43166,73221840705 600592 704 00028,98289,43546,73340841707 281594 823 32129.00009,43916,73459842708 964596 947 68829.11729,44296,73578843710 649599 077 10729.03459,44666,73697844712 336601 21158429,05179,45036,73815
88РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАпп1п*V п3/ пIn п845714 0256U3 351 12529,06899,45416,73934846715 716605 495 73ъ29 08619,45786,74052847717 409607 045 42329.10339,40156,741708487IJ 104С09 800 19229,12049,46526,74288849720 801611 У60 04929,13769,46906,74406850722 500614 125 ООО29.15489,47276,74524851724 201616 295 05129,17199,47646,74(41852726 904618 470 20Ь29.18909,48016,74759853727 109020 (>50 47729.20629,48386,74876854729 316022 835 80429,22339,48756.74993855731 025(>25 026 37529,24049,4*126.75110856732 730027 222 01{29,25759,49496,75227857734 449029 422 79329,27469,49866,75344858736 164031 о28 71229,29169,50236.75460859737 881033 83929,30879,50606.75577860739 600636 056 00(29.32589.50076,75693861741 321G38 27/ 38129,34289,51346,75809862743 044040 503 92829,35989,51716.75920863744 769042 735 64729.37699,52076,70041864746 496о44 972 54429.39399,62446,76157 -865748 225047 214 0252*.4109&52816,76273866749 956049 461 89.29,4279£.53176,76388867751 689651 714 36329.44499,53546,76504868753 424653 972 03229,46189,53916,76619869755 161656 234 90929,47889.64276,76734870756 900>58 503 00(29,49589,54646,76849871758 641660 776 31129,51279,55016,76964872760 38463 054 84829,52%9,55376,77079873762 129065 338 61729,54669.55746,77194874763 876667 627 62429,56359,5610• 6,77308875765 625669 921 87529,58049,56476,77422876767 37оо72 221 37(29,59739,56836,77537877769 129м74 520 13329 61429,57196,77651878770 884676 830 15229,63119,57566,77765879772 641679 151 4392у,64799,57926,77878880774 400081 472 ООО29.66489,58286,7799288177Ь 161(83 797 84129,68169,58656,78106882777 924(8о 128 90829.69859,59016,78219 '883779 68о1)88 405 38729.71539,59376,78333884781 456690 807 10429,73219,5ь736,78443885783 22693 154 12529,74899,60106,78559886784 990о95 506 45о2*,76589.60466,78672887786 7696У7 864 10329,78259,00826,78784888788 544700 227 07229,7^939,(1186,78897889790 321702 595 Ж29,81619,61546.79010890792 100704 969 ООО29,83299,61906,79122891793 881707 347 97129.84969,62266,79234892795 66470* 732 28829.86649,62626,79347893797 449712 121 15729.88319,62986,79459894799 236714 516 9842*.89989,63346,79571895801 025716 917 37529,91669,63706.79682 .896802 816719 323 13о2У.93339,64066,79794897804 609721 734 27329,95009,64426,799068S8806 404724 150 79229,»6669,64776,80017899808 201726 572 C9l29,98339,65136,80128900810 000729 ООО ООО30.00009,65496,80239eoi811 801731 432 7С130,01679,65850,80351902813 004733 870 80830.0333у,66206,80461903815 409736 314 32730,05009,66566,80572904817 216738 763 26430,06669,66926,80683905819 025741 217 62530,08329,67276,80793906820 836743 677 41J30,09989,67636.80904907822 64974f 142 64330,11649,67996,81014908824 464748 613 31230,13309,69346,81124909826 281751 089 42930,14969,68706,81235910828 100753 571 ООО30,16629,69056,81344911829 921756 058 03130,18289,69416.81454912831 744758 550 52830.19939.69766.81564913833 569761 048 49780,215b9,70126,81674914835 396763 661 94430,23249.70476,81783Продолжениеплая*| V п3V ~In п915837 225766 060 87530,24909,70826,81892916839 056768 575 29030.26559,71186,82002917840 889771 095 21330,28209,71536.82111918842 724773 620 03230,29859,71886,82220919844 561776 151 55930,31509,72246,82329920846 400778 688 ООО30.33159,72596,82437921848 241781 229 96130,34809,72946,82546922850 084783 777 44830,36459,73296,82055923851 929786 330 46730.38099,73646.82763924853 776788 889 02430,39749,74006,82871925855 625791 453 12530.41389,74356,82979926857 476794 022 77030.43029,74706.83087927859 329796 597 98330.44679,75056,83195928861 184799 178 75230.46319,75406.83303929863 041801 766 08930,47*59,75756.83411У30‘864 900804 357 00030,49599,76106,83518931866 761806 954 49130,51239,76456,83626932868 624809 557 56830.52879.76806,83733933870 489812 166 23730,54509,77156,83811934872 356814 780 50430,56149,77506,83948935874 225817 400 37530,57789,77856,84055936876 09о820 025 85030,59419,78196,84162937877 969822 660 95330,61059,78546,84268938879 844825 293 67230.62689,78896,84375939881 721827 936 01930,64319,79246,84482940883 600830 584 00030,65949,79596,84588941885 481833 237 62130,67579,79936,84694942887 364835 8% 88830,69209,80286,84801943889 249838 561 80730,70839,80636,84907944891 136841 232 38430,72469,80976.85013945893 025843 908 62530,74099,81326,85118946894 916846 590 53<30.75719,81676,85224947896 809849 278 12330,77349,82016,85330 1948898 704851 971 39230,78969,82366,85435949900 601854 670 34930,80589,82706,85541950902 500857 375 ООО30,82219,83056,85646951904 401860 085 35130,83839,83396,85751952906 304862 801 40830,85459,83746,85857953908 209865 523 17730,87079,84086,85961954910 116868 250 66430,88699,84436,86060955912 025870 983 87530,90319,8477 *6,86171956913 936873 722 81'30.91929,85116,86270957915 84981 о 407 49330,93549 85466,86380958917 764879 217 91230,95169,85806,86485959919 681881 974 07930.96779 86146.86589960921 600884 736 ООО30,98399,86486,86693961923 521887 503 68131,00009,80836,86797962925 444890 277 12831.0101Ь,87176,86901963927 369893 056 34731,03229,87516,87005964929 296895 841 34431,04839,87856,87109 .965931 225898 632 12531,06449,88196,87213966933 156901 428 69031,08059,88546,87316967935 089904 231 06331.09669,88886,87420968937 024907 039 23231,11279,89226,87523969938 961909 853 20931.12889,89566.87626970940 900912 673 ООО31.14489,89906,87730971942 841915 498 oil31.16099,90246,87833972944 784918 330 04831.17699,90586,87936973946 729921 167 31731 19299,90926,88038974948 676924 010 42431,20909,91266,88141975950 625926 859 37531,22509,91606,88244976952 576929 714 17031,24109,91946.88346977954 529932 574 83331,25709,92276,88449978956 484935 441 35231,27309,92616,88551979958 441938 313 73931,28909.92956,88653980960 400941 192 ООО31,30509,93296,88755981962 361944 076 14131,32099,93636,88857982964 324946 966 16831.33699.93966,88959983966 289^49 862 08731,35289,94306,89061984968 256952 763 90431.36889.94646.89163
1.22. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ	 89Продолжениелл5»п9V п3У~ГIn п10451 092 0251 141 166 12532,326510.14786,9517710461 094 1161 144 445 33-,32.341910,15106,9527310471 09о 2091 147 730 82332.357410.15436.9536810481 098 3041 151 022 59232,372810.15756,9546410491 100 4011 154 320 о4932,388310,16076,9555910501 102 5001 157 625 ООО32,403/10,16406,9565510511 104 о011 160 935 о5132 419110,16726,9575010521 КЪ 7041 164 252 о0832.434510.17043,9584510531 108 8091 167 575 87732,450010.17366,9594010541 НО 9161 170 905 46432.4654Ю,176>6,^603510551 113 0251 174 241 37532.480810,18016,9613010561 115 1361 177 583 61';32,496210 18336.9. 22410571 117 2491 180 932 19332.511510.18656,9631910581 119 3641 184 287 11232,52b910,18976,9641410591 121 4811 187 648 37932,542310,19296,9650810601 123 6001 191 016 00032,557610,19616,9660210611 125 7211 194 389 98132,5/3010,19936,*669710621 127 8441 197 7/0 32b32.588310,202о6,9679110631 129 9691 201 157 04732,603710,20576,9Ъ88510641 132 0961 204 550 14432,619010,20896,9697910651 134 2251 207 949 62532,634310.21216,9707310661 136 3561 211 355 49ь32,649710,21536,9716710671 138 4891 214 767 76332,665010,21856,9726110681 140 6241 218 186 43232,680310,22176,9735410691 142 7611 221 611 50ь32,695610,22496,9744810701 144 9001 225 043 ООО32,710910,22816,9754110711 147 0411 228 480 91132.726110.23136,9763510721 149 1841 231 925 24832,714110,23456,о772810731 151 3291 235 370 01732,756710.23760,9782110741 153 4761 238 833 22432,771910,24086,9791510751 154 6251 242 296 87532.787210.24406,9800810761 157 7761 245 7об 97(32.802410.24726,9810110771 159 9291 249 243 53332.817/10.25036,9819310781 162 0841 252 72, 55232,632910,25356,9828610791 1G4 2411 256 21о 03932,848110,2567j.9837910801 166 4001 259 712 ООО32,863410,25996,9847210811 168 5611 263 214 44132.878610.26300,9856410821 170 7241 2оо 723 Зон32.893810,2662и,98о5710831 172 8891 270 238 78732.909010.2t.936,9874910841 175 056i 273 760 70432,924210.27256,9884110851 177 2251 277 289 12532,939310,27576.9893410861 179 3961 280 824 05о32.954510.27886,9902610871 181 5691 284 Зо5 50332 969710.28206,9911810881 183 7441 287 913 47232,984810.28516,9921010891 185 9211 291 467 96933,000010,28836,9930210901188 1001 295 029 ООО33,015110,29146,9939310911 190 2811 298 596 57133,030310.29466,9948510921 192 4641 302 170 08833,045410.29776,9957710931 194 6491 305 751 357ЗЗ.ОбОо10,30096,9966810941 196 8361 309 338 58433,075710,30406,9976010951 199 0251 312 932 37533,090810.30716.9985110961 201 2161 ЗИ 532 73633,105910,31036,99942 «10971 203 4091 320 139 67333,121010,31347,0003310981 205 6041 323 753 1у233.136110,31657,0012о10991 207 8011 327 373 29933,151210,31987,0021611001210 0001331 000 00033.156210.32287,00307плал*V~3	/л_In л985970 225955 671 62531,38479,94976,89264986972 196958 585 25031,40069.95316,89366987. 974 169ЪЬ\ 504 80331.41669,у5656,89467988976 144964 430 27231.43259,95986,89568989978 121967 361 66931,44849,96326,89669990980 100970 299 ООО31,46439,96666,89770991982 081973 242 27131,48029,96996,89871992984 064976 191 48831.49609,97336,89972993986 04^979 14Г 65731,51199,97оо6,^0073994988 036982 107 78431,5278i*, 98006,90174995990 025985 074 87531,54369,98336,90274996992 016988 047 93С31,55959,98666,90375997994 009991 026 97331,57539,99006,90475998996 004994 Л1 99231,59119,99336,90575999998 001997 002 99931,60709,99676,9067510001000 0001 ООО ООО ООО31,622810,00006,9077610011 002 0011 003 003 00131.638610,00336.9087510021 004 0041 001-012 00831,654410.00676,9097510031 ООо 0091 009 027 02731,070210.01006,9107510041 008 0161 012 048 00431,686010,01336 9117510051 010 0251 015 075 12531,701710,01666,9127410061 012 0361 018 108 21631,717510.02006,9137410071 014 0491 021 147 34331,733310.02336.9147310081 016 0641 024 192 51231.749010.02666,9157210091 018 0811 027 243 72931,764810,02996,9167210101020 1001 030 301 ООО31,780510.03326,9177110111 022 1211 033 364 33131,796210.03656,9187010121 024 1441 036 433 72831,811910.03986,9196810131 026 1691 039 50?) 19731,827710,04315,9206710141 028 1961 042 590 74431,843410,04656,9216610151 030 2251 045 678 37531 859110,04986,9226410161 032 2561 048 772 0.631,874810,05316,9236310171 034 2891 051 871 91331,890410.05636 9246110181 036 3241 054 у77 83231,90о110,05966.9256010191038 3611 058 089 85931,921810,06296,9205810201040 4001 061 208 ООО31,937410,06626,9275610211 042 4411 064 332 21131,953110 06956.9285410221 044 4841 067 462 64831,968710.07286.9295210231 04о 5291 070 599 1о731.9844 ,10,07616,9304910241048 57о1 073 741 82432,000010,07946,9314710251 050 6251 076 890 ( 2532,015610,08266,9324510261 052 6761 080 045 57632,031210,06596,9334210271 054 7291 083 20о 08332.046810,08926,9344010281 05(' 7841 086 373 95232,062410,09256.9353710291058 8411 089 547 38932,078010.09576,9363410301060 9001 092 727 ООО32,093610,09906,9373110311 062 9611 095 912 79132.109210,10236,9382810321 065 0241 0У9 104 76832.124310,10556,9302510331 067 0891 102 302 93732,140310.10886,9402210341 059 1561 105 507 30432,155910,11216,9411910351 071 2251 108 717 87532,161410,11536,9421*10361 073 2961 111 934 65632.187010.1186 .6,^431210371 075 3691 115 157 65332.202510.12186,9440910381077 4441 118 386 87232,218010.12516,9450510391 079 5211 121 622 31932,233510.12836,9460110401081 6001 124 864 ООО32,249010,13166,9469810411083 6811 128 111 92132,264510.13486,9479410421085 7641 131 366 08832.280010.13816,9489010431 087 8491 134 626 50732,295510,14136,9498610441089 9361 137 893 18432,311010,14466.95081
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА1.22.2.	Тригонометрические функции. Синусы и косинусы (аргумент — в градусах)Синусо0'10'20'30'40''50' *60'1 ‘00,000000,002910,005820,008730,011640,014540,017458910,017450,020360,023270,026130,029080,031990,034908820,034900,037810,040710,043620,046530,049430,052348730,052340,055240,058140,061050,063950,066850,069768740,069760,072660,075560,078460,081360,084260,087168550,087160,090050,092950,095850,098740,101610,1045385б0.104530.107420,110310,113200,116090,118980,191878370,121870,124760,127640,130530,133410,136290,139178280,139170,142050,144930,147810,150690,153560,116438190.156430,159310,162180,165050,167920,170780,1736580100,173650,176510,179370,182240,185090,187950,1908179И0,190310,193660,196520,199370,202220,205070,2079178120,207910,210760,213600,216410.219280,222120,2249577130,224950,227780,230620,233450,236270,239100,2419276140,241920,244740,247560,250380,253200,256010,2588275150,258820,261630,264430,267240,270040,272340,2756474160,275640,278430,281230,284020,286800,289590,2923773170,292370,295150,297930,300710,303480,306250,3090272180,309020.311780,314540,317300,320060,322320,3255771190,325570,328320.331060,333810,336550,339290,3420270200,342020,344750,347480,350210,352930.355650,3583769210,358370,361080,363790,366500,369210,371910,3746168220,374610,377300.379990,332630,385370,388050,3907367230,390730,393410,396080,398750,401410.404080,4067466240.406740,409390,412010,414690,417340,419980,4226265250,422620,425250,427880,430510,433130,435750,4383764260,438370,440980,443590,446200,448800,451400,4539963270,453990,456580,459170,461750,464330,466900,4694762280,469470,472040,474600,477160,479710,482260,4848161290,484810,487350,489890,492420,494950,497480,5000060300,5000010,5025210,505030,507540,510040,512540,5150459310,515040,517530,520020,522500,524980,527450,5299258320,529920,532380,534840,537300,539750,542200,5446457330,544640,547080,549510,551940,554360,556780,5591956340,559190,561600,564010,566410,568800,571190,5735855350,573580,575960,578330,580700,583070,585430.5877954860,587790,590140,592480,594820,597160,599490,601825337 '0,601820,604140,606450,608760,611070,613370,6156652380,615660.617950,620240.622510,624790,627060.6293251390,629320,631580,633830,636080,638320.640560,6427950400,642790,645010,647230,649450,651660,653860,6560649410,656060,658250,660440,662620,664800,666970,6691348 •420,669130,671290,673440,675590,677730,679870,6320047430,682000,684120,686240,688350,690460,692560,6946646440,694660,696750,698830,700910,702980,705050,7071145о60'50'40'30'20'10'0'оКосинус
1.22. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ91КосинусПродолжениео0'10'20'30'40'50'60'101,000001,000000,999980,999960,999930,999890,999858910,999850,990790,909730,999660,999580,999490,999398820,9993д0,999290,999170,999050.998920,998780,998638730,996630,998470.998310,998180.997950,997760,997568640,997560,997360,997140,996920,996680,996440,996198550,996190.995940,995670,995400,995110,994820,994528460,994520,904210,993000,993570,993240.992900,992558370,902550,902190,991820.991440,991030,990670,990278280,990270,989860,989440.989020,968580,988140,987698190,967690,987230,986760,986290,985800,985310,9848180100,964810,984300,083780,963250,982720,982180.9816379110,981630,981070,980500,979920,979340,978750.97*1578120,978150,977540,976920,976300,975660.97.VJ20.9743777130Л74370,973710,973040,972370,971690.У71000.970,3076140,970300,969590,968870,968150,967420,9%670.9659375150.965930.965170,964400,973630,962850,962050,9^12674160,9bl260,9*0460.959640,958820.967990,957150.95-о3073170,956300,955450,964690,953720,952840,951950,9510672180.951060,950150,949240,948320,947400,946460,9465271190,945520,944570,943610,942640,941670,940680,9396970200,939690,986690,»7б90,936670,935650,934620,9335869210,933580,032530,931480.930420,929350,928270,92718.68220,927180,921.-090,924990,923880,922760,921640,9205067230,920500,919360,918220.917060,915900,914720,9135566240.913560,912360,911160,909960,908750,907530,9063166250,90631 *0.905070,903830,902590,901330,900070,8987964260,898790,897520,806230,894980,893630,892320,8910163270,801010,889680,888300,887010,885660,884310.8829562280,882960.881580,880200,878820,877430,876030,8746261290.874620,873210,871780,870360.868920,867480.866036030 |0,866030,864570.863100.861630,860150,858660,8571759310,857170,856670,864160,862640,851120,849690,8480658320,848050,846500,844960,843390,841820,840250,8386757330,838670.837080,836490.833890,832280,830660,8290456340.829040,82741.0,826770,824130,822480,820820,8191555350,819150,817480,815800,814120,812420,810720,8090254360,809020,807300,806680,803860,802120,800380.7986453370,796640,796860.795120,793360,751580,789800,7880152380,780010,786220,784420,782610,780790,778970,7771551390,777150,775310,773470,771620.769770,767910.7660450400,766040,764170,762290,760410.758610,756610,7547149410,754710,752800,750880,748060,747030,745090,7431448420,743140,741300,739240,737280.735310,733330,7313547430,731360,729370,72737. 0,725370,723370,721360.7193446440,719340,717320,715290,713250,711210,799160,7071145о60'50'40'30'20'10'0'оСинус
! л	РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА92 ■ ■■■■■ ■■ '■ ■ 		 ■	———- -1.22.3.	Круговые, показательные и гиперболические функции (аргумент в радианах и градусах)Xsin XCOS Xtg *e*e xsh xch xth jrx в град.0,000,000001,000000,000001,000001,000000,000001,000000,000000,000,010,010000,999950,010001,010050,990050,010001,000050,010000,570,020,020000,999800,020001,020200,980200,020001,000200,020001,150,030,030000,999550,030011,030450,970450,030001,000450,029991,720,040,039990,999200,040921,040810,960790,040011,000800,039982,290,050,049980,998750,050041,051270,951230,050021,001250,049992,860,060,059960,998200,060071,061840,941760,060041,001800,059933,440,070,069940,997550,060111,072510,932390,060041,001800,069894,010,080,079910,996800,080171,083290-923120,080091,003200,079834,580,090,089880,995950,090241,094170,913930,090121,004050,089765,160,100,099830,995000,100331,105170,904840,100171,005000,099675,730,110,109780,993960,110451,116280,895830,110221,006060,109566,300,120,119710,992810,120581,127500,886920,120291,007210,119436,880,130,129630,991560,130741,138830,878100,130371,008460,129277,450,140,139540,990220,140921,150270,869360,140461,009820,139098,020,150,149440,988770,151141,161830,860710,150561,01127. 0,148898,590,160,159320,987230,161381,173510,852140,160681,012830,158659,170,170,169180,985580,171661,185300,843660,170821,014480,168389,740.180,179030,983840,181971,197220,835270,180971,016240,1780810,310,190,188860,982000,192321,209250,826960,191151,018100,1877510,890,200,198670,980070,202711,221400,818730,201341,020070,1973811,450,210,208460,978030,213141,233680,810580,21 Г551,022130,2069712,030,220,218230,975900,223621,246080,802520.221781,024300,2165212,610,230,227980,973670,234141,258600,794530,23^031,026570,2260313,180,240,237700,971340,244721,271250,786630,242311,028940,2355013,750,25'0,247400,968910,255341,284030,778800,252611,031410,2449214,320,260,257080,966390,266021,296930,771050,262941,033990,2543014,900.270,266730,963770,276761,309960,763380,273291,036670,2636215,470,280,276360,961060,287551,322130,755780,283671,039460,2729116,040,290,285950,958240,298411,336430,748260,294081,042350,2821316,620,300,295520,955340,309341,349860,740820,304521,045340,2913117,190,310,305060,952330,320331,363430,733450,314991,048440,3004417,760,320,314570,949240,331391,37/130,726150,325491,051640,3095118,330,330,324040,946040.342521,390970,718920,336021,054950,3185218,910,340,333490,942750,353741,404950,711770,346591,058350,3274819,480,350,342900,939370,355031,419070,704690,357191,061880,3363820,050,360,352270,935900,376401,433330,697680,367831,065500,3452120,630,370,361620,932330,387861,447730,690730,373501,069230,3539921,200,380,370920,928660,399411,462280,683860,389211,073070,3627121,770,390,380190,924910,411051,476980,677060,399961,077020,3713622,350,400,389420,921060,422791,491820,670320,410751,081070,3799522,920,410,398610,917120,434631 ,£06820,663650,421581,085230,2884723,490,420,407760,913090,446571,521960,657050,432461,089500,3969324,060,430,416870,906970,458621,537260,650510,443371,093880,4053224,640,440,425940,904750,470781,552710,644040,454341,098370,4136425,210,450,434970,900450,483061,568310,637630,465341,102970,4219025,780,460,443950,896050,495451*584070,631280,476401,107680,4300826,360,470,452890,891570,507971',599990,625000,487501,112500,4382026,930,480,461780,886990,520611,616070,618780,498651,117430,4462427,500,490,470630,882330,533991,632320,612630.509841,122470,4542228,070,500,479430,877580,546301,648720,606530,521101,127630,4621228,650,510,488180,872740,559361,665290,600500,532401,132890,4699529,220,520,496880,867820,572561^682030,594520,543751,138270,4777029,790t530,505530,862810,58592l',688930,588600,555161,143770,4853830,370,540,514140,857710,599431,716010,582750,566631,14938 .0,4929930,940,550,522690,852520,613111,733250,576950,578151,155100,5005231,510,560,531190,847260,626951,750670,571210,589731,H0940,5079832,090,570,539630,841900,640971,768270,565530,601371,166900,5153632,660,580,548020,836460,65517l’,786040,559900,613071,172970,5226733,230,590,556360,830940,669561,803990,554330,624831,179160,5299033,800,600,56464• 0,825340,684141,822120,548810,636651,185470,5370534,380,610,572870,819650,698921,840430,543350,648541,191890,5441334,950,620,581040,813880,713911^858930,537940,660491,198440,5511335,520,630,589140,808030,729111 877610,532590,672511,205100,5580536,100,640,597200,802100,744541^896480,527290,684591,211890,5649036,670,650,605190,796080,760201,915540,522050,696751,218790,5716737,240,660,613120,789990,776101^934790,516850,708971,225820,5783637,820,670,620990,783820,792251^954240,511710,721261,232970,5849838,390,680,628790,777570,808661*973880,506620,733631 240250,5915238,960,690,636540,771250,82534I1^993720,501580,746071,247650,5979839,53
1.22. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ93ПродолжениеXsin Xcos жtg *ехе~~хsh хch дгth хх в град.0,700,644220,764840,842292,013750,496590,758581,255170,6043740,110,710,651830,758360,859532,033990,491640,771171,262820,6106840,680,720,659380,751810,87/072,054430,486750,783841,270590,6169141,250,730,666870,745170,894922,075080 481910,796591,278490,6230741,830.740,674290,738470,913092,095940^477110,809411,280520,6291542,400,750,681640,731690,931602,117000,472370,822321,294680,6351542,970,760,6889^0,724840,950452,138280*467670,835301,302970,6410843,540,770,6% 140,717910,j69o72,159770,463010,848381,^11390,64о9344,120,780,703280,710910,989262,181470,458410,861531,3199*10,6527144,690.790J10350,703851,009252,203400,453840,874781,426620,6584145,260,800,717360,696711,029642,225540,449330,888111,337430,6640445,840,810,724290,68^501,050462,247910,444860,901521,340380,6695946,410.820,731150,662221,071712,270500,440430,*13031,355470,6750746,980,830J37930,674881,093432,293320,43(3050,928631.304680,6804847,560,840,744640,667461,115632,316370,431710,942331,374040,6858148,130,850,751280,659981,138332,33*650,427410,956121,383530,6910748,700,860,757840,65244l,llil562,363160,423160,970001,3931о0,6962049,270,870,7b4330,044631.165322,366910,418950,983981,402930,7013749,850,880.770740,637151,209662,410*00,414780,996061,412840,7064250,420,890,777070,о2*411,234602,435130,410661,012241,422890,7113950,990,900,783330,621611,260162,459600,41)6571,026521,43309 '0,7163051,570,910,739500,013751,286372.464320,402521,010901,443420,7211352,140,920,745600,6Ооб21,313262,50*290,398521,055391,45390С,7259052,710,930,801620,0*7631.340872,534510,394551,069931,464530,7305953,290,940,807560,569791,369232,559980,390631,084681,475300,7352263,860,950,81.3420,581681.398382,585710,386741,099481,486230,7397854,430,960,8191а0,573521,428362,611700,382891,114401,49729• 0,7442855,000,970,824890,^оо J01,459202,637940,379081,129431,508510,7487055,580,980,830500,5о7021,490968,664460,375311,144571,519880,7530756,150,990,836030,540691,523682,591230,371581,159831,531410,7573666,721,000,841470,540301*557412,718230,367881,175201,543080,7615957,301.010,846830,531861,592Л2,745600,364221,190691,554910,7657657,871,02J, 852110,523371,6-28132,773190,3ь0591,206301,566890,7о98758,441,030,857.300,514621,665242,801070,357011,22203 •1,57*040,7739159,011,040,862400,506221,703612,829220,353451,237881,591340,7778959,591,050,867420,497571,743322,857650,349941,253861,603790,7818160,161,060,872360,488871,784422,8 *>370,34(3461,269961,616410,7856660,731,070,877200,480121,827032,913380.343011,286191,629190,7ч94661,311,080,881960,471.331,871222,944630.339601,302541,642140,7 >32061,881,090,8МбоЗ0,462491,917092,974270,336221,319031,655250,7 Ь'68862,451,100,891210,453601,964768,004170,3:52871,335651,628520,8005063,031,110,895700,444(362,014348,044360,329561,352401,681960,8040663,601,120,900100,435682,065968,064850,326281,369291,695570,8075764,171,130,904410,426662,119753,095660,323031,386311,709340,8110264,741*140,908630,417592,175888,126770,319821,403471,723290,8144165,321,150,912760,408492,234503,158190,316641,420781,737410,8177565,89. 1.160,916800,399342,295808.189930,313491,433221,751710,8210466,461.170,920750,390152,35*988,221990,310371,455811,7ьо160,8242767,041,180,924610,380922,427273,254370,307281,4735551,760630,8274567,611,190,928370,371662,497908,287080,304221,491431,795650,8305368,181,20 1 010,932040,362362,572158,320120,301191,509451,810660,8336568.751.210,935620,353022,650333,353480,298201,527641,825840,8366869,331,220,939100,343652,732758,387190,295231,545981,841210,8396569,901,230,942490,334242,819828,421230,292291,5о4471,856760,8425870,471,240,945780,324801,911938,455610,289381,583111,872500,8454671,051,251 ОД0,948980,315328,009573,490340,286501,601921,888420,8482871.62if Л 1 о?0,952090.305828,113273,525420,283651,620881,904540,8510672,191,270,95о 100,290288,22.5638,560850,2^0331,640011,920840,8538072,771.280,95п020,28с723,341353,596640,276041,659301,937340,8564873,341,290,960840,277128,467213.632790,275271,678761,954030,85*1373,911,300,963560,267508,602103,669600,272531,698331,970910,8617274.481.310,966180,257853,747033,706170,26*821,718181,988000,8642875,061,320,968720,2 48183,903358,743420,267141,733142,005280,8067875,631,330,971150.238484,072318,781040,264481.758282,022760,8692576,201.340,973480,228754,255623,819040,261751,778602,040440,8716776,781,350,975720,219014,455228,857430,259241.799092,058330,8740577,351,360,977860,209244,673448,8% 160,256661,819772,07643J,8763977,921,370,^79910,199454,913068,935350,254111,840622,0*4730,8786978,501,380,981850,189645,177448,974900,251581,861662,113240,8809579,071,390,983700,179815,470694,014850,249081,882892,131960,8831779,64
94РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКАПродолжениеXsin хcos Xt g Xe*sh xch xth xx в град.1,400,985450,169975,797894,055200,246600,904302,150900,8853580,211.410,987100,160106,165364,095960,244141,925912,170050,8874980,791,420,988650,150236,581124,137120,241711,947702,189420,8896081,361,430,990100,140337,055474,178700,239311,969702,209000,8916781,931,440,991460,130427,601834,220700,236931,991882,228810,8937082,511,450,992710,120508,238104,263110,234572,014272,248840,8956983,081,460,993870,110578,988614,305960,232242,036862,269100,8976583,651.470,994920,100639,915504,34У240,229932,059652,289580,8995884,221.480,995880,0906710,983384,392950,227642,082652,310290,9014784,801,490,996740,0807112,349864,437100,225372,105862,331230,9033285,371,500,997490,07074 .14,101424.481090,223132,129282,352410,9051585,941,600,99957—0.02920—34,232544,953030,201902,375572,577460,9216791,671,700,99166—0,12884— 7,696605,473950,1«2682,645632,828320,9354197,401,800,97385—0,22720— 4,28626*6,049650,165302,942173,107470,94681103,131,900,94630—0,32329— 2,927106,685890,149573.268163,417730,95624108,862,000,90930—0.41615—2,185047,380060,135343,626863,762200,96403114,592,100,86321—0,50485—1.7C9858,166179,122464,021864,141310,97045120,322,200,80850—0,58850—1,373829,025010,110804,457114,567910,97574126,052,300,74571-0,66625-1,119219,971180,100264,936965,037220,98010131,782,400,67546—0,73739—0,9160111,023180,090725.466235.556950,98367137,512,500,59847-0,80114-0,7470212,182490,082086,050206,132290,98661143,242,600,51550—0,85689—0,6016013,463740,074276,694/36,769010,98903148,972,700,42738—0,90407—0,4727314,879730,067217,406267,473470,99101154,702,800,33199—0,94222—0,3555316,414650,060818,191929,252730,99263160,432,900.23925-0,97096—0,2464118,174150,055029,059569,114580,99396166,16- 3,000,14112-0,98999—0,1425520,085540,0497910,0178710.067660,99505171,893,10+0,04158—0,99914—0,0416222,197930,0450511,0764511,121500,99595177,623,20—0,05837—0,99829+0,0584724,532530,0407612,2458812,286650,99668183,353,30—0,15775—0,987480,1597527,112640,0368813,5378813,574760,99728189,083,40—0,25554—0,966800,2644229,96410 .0,0333714,9653614,9^8740,99777194,813,50—0,35078-0,936460,3747033,115450,0302016,5426316,572820,99818200,543,60—0,44252—0,896760,4934736,598230,0273218,2854618,312780,99851206,263,70—0,52984—0,848100,6247340,447300,0247230,2112920,236010,99878211,993,80—0,61186—0,790970,7735644,701180,0223722,3394122,361780,99900217,723,90-0,68777—0,725930,9474249,502450,0202474,6911024,711350,99918223,454,00—0,75680—0,653641,1578254,598150,0183222,2899227,308230,999332*9,184,10-0,81828—0,574821,4235360,340290,0165730,1618630,178430,99945234,914,20—0,87158—0,490261,7777866.686330,0150033,3356733,350660,9995524u,644,30—0,91617—0,400802,2858573,699790,0135736,8431136,856680,99963246,374.40-0.95160—0,307333,0963281,450870,0122840,7193040,731570,99970252,104,50—0,977530.210804,6373390,017130,0111145,0030145,014120,99975257,834,60—0,99369—0,112158 8601899,484310,0100549,7371349,747180,99980263,564,70-0,99992—0,01239+80,71280109,94720,0091054,9690454,978130,99983269,294,80—0,99616—0.08750—11,38487121,51040,0082360,7510960,759320,99986275,024,90-0,98245+0,18651— 5,26749134,28980,0074567,1411767,148610,99989280,755,00—0,958920,28366—3,38052148,41320,0067474,2032174,209650,99991286,485,10-0,925810,37798—2,44939164,02190,0061082,0079182,014000,99993292,215,20—0,883450.46852—1,88564181,27220,0055290.6333690,638880,99994297,945,30—0,832270,55437—1,50128200,33680,00499100,1659100,17090,99996303,675,40—0,772760,63469—1,21754221,40640,00452110,7009110.70550,99996309,405,50—0,705540,70867—0,99558244,69190,00409122,3439122,34800,99997315,135,60—0,631270,77557—0,81394270,42640,00370135,2114135,21500,99997320,865,70-0,550690,83471—0,65973298,86740,00335149.4320149,43540,99998326,595,80—0,464600,88552—0,52467330,29960,00303165,1483165,15130,99998332,325,90—0,373880,92748—0,40311365,03750,00274182,5174182.52010,99999338,056,00—0,279420,96017-0,29101403,42880,00248201,7132201.71560,99999343,776,30+0,016810,99986+0,01681544,57190,00184272,2850272,28690,99999360,96Примечание. При значениях х>2к будет: 1) sh *o*ch ^=»Va ех не менее чем до трех десятичных знаков; 2) th х** 1,00000 ; 3) sin х, cos х, tg х равны соответственным значениям функций аргументов х—2ic, х—4ic, х—бте ...» лежащих между 0,0 и 2 ж. Следует считаться с условием eh х ± sh jrs= е±х.
1.22. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ95Добавочная таблица к табл. 1.22.3Значения функций для аргументов тс/б, тг/4, тс/З, я/2, 2тс/3, Зтс/4, 5тс/б, it, 7я/6. 5я/4, 4гс/3, Зя/2, 5тс/3, 7я/4, llic/б 2тсср в град.Xsin хсое Xе~хsh хch хth х000+11101030*/6*0,5236+ 0,50000+ 0,866031,68810,692380,54791,14020,4804745*/4=0.7854+0,70711+ 0,707112,19330,455940,86871,32460,6557960*/3= 1,0472+0,86603+ 0,500002,84970,350921,24941,60030.7807190тс/2 = 1,5708+104,81060,207882,30132,50920,917171202тс/3=2,0944+0,86603— 0,500008,12060,123143,99874.12180,97012135Зя/4 = 2,3562+0,70711— 0,7071110,5510,094785,22805,32280,982191505тс/6 = 2,6180+0,50000— 0,8660313,7080,072956,81766,89060,98941180* х=3,14160—123,1410,0432111,54911,5920,99^272107те/6 = 3,6662—0,50000— 0,8660339,0640,0256019,51919,5450,998 >92255тс/4 = 3,9270—0,70711— 0,7071150,7540,0197025,36725,3870,999222404к/3=4,1888—0,86603— 0,5000065,9430,0151632,96432,9790,999542703^/2 = 4,7124— 10111,320,0089855,65455,6630,999843006^/3 = 5,2360—0,86603+ 0,50000187,910,0053293,95593.9600,999943157^/4 = 5,4978—0,70711+ 0,70711244,150,00410122,07122,080,9999733011*/6=5.7596—0,50000+ 0,86603317,220,00318158,61158,61а, 999983602* *=6,28320+ 1535,490,00187267,74267,750,999991.22.4.	Некоторые постоянныеВеличинапlg пВеличина* 11 gnВеличинаnlg n1C3,14159270,49715■кУ~2,2214420,34663g*,810,99167*/21,5707963. 0,19612У 2*2,5066280,39909t96,23611,98334*/31,04719760,02003У к:2 '1,2533140,09806УТ3,13209190,49683*/40,78539820,89509—1УТГГ0,7978»0,90194—11/2*0,050968\ 0,70830—2*а9,86960440,99430УТТГ0,9772060,98996—1У ig4,4294470,6463531,0062770,401453У~ЯГ1,8452610,26606-гг9,8397570,992981/те0,31830990,50286—13У те;21,1624470,06537*V~2g13,915361,143501/те*0,10132120,00570—13У *:40,9256350,96608—11,0030330,001321/тс»0,03225150,50856—23УП70,8602640,98463—1KtV~5g ,0.7092520,85080—1у—з1,77245390,248673/ 3:*0,9647450,90332—1e2,7182820,43429т1,46459190,10572M=lge0,4342940,63778—1e37,3890660,86859it V х*з5,56832800,74572liAf2,3025860,36222Ve0,3678790,56571—1* У к4,60115110,66267Ife*0,1353350,13141—14и*39,4784181,59636YT1,6487210,21715**/42,46740110,992248^	1,3956120,14476те У~2~4,44288290,64767Таблица 1.22.5Соотношение между английскими и метрическими мерамифуит1 мил я = 1,6093 кл	1 Ау1 ярд=3 фута = 0,914383 л /	ФуНТ1	=4,8825 /сг/JM*- = 1,4882 кг/*1 фута=0,304794 л 1 фут* = 0,092900 л/1 фут* = 0,028316 л»1 ои=2,5400 см 1 д*а = 6,4514 с*а 1 дм3= 16.386 ел*1 *=3,2809 фу та=30,3708 дм 1 жа= 10.7643 фута= 1550.06 дл*1 **=35,3166 фут*=61027,1 дм3 1 англ. фунт = 0,453593 кг 1 англ. т длинная = 1016,0475 кг 1 англ. т коротка!=907,1853 кгфут*1 ilI5L.ci6.0iiH кг!# фут81 ФуНТ = 0,0708 K8/CJ*дм?1 длинная =157,49 кг!е& дм11 длинная——— = 10,937 т/маЛИТЕРАТУРА1.1. Алгебрафут"1.	Смирно* В. И., Курс высшей математики, т. III, ч. I, М., Физматгиз, 1958.2.	О к у и е в Л. Я., Высшая алгебра, Гостехиздат, 1949.1.4. Аналитическая геометрия1.	Привалов И. И., Аналитическая геометрия, изд. 23-е, М., Физматгиз, 1958.2.	Мусхелишвили Н. И., Курс аналитической гео¬ метрии, М.—Л., Гостехиздат, 1947.1.5.	Дифференциальная геометрия1.	С м и р н о в В И., Курс высшей математики, т. II, изд. 16-е, М., Физматгиз, 1958.2.	Рашевский П. К-, Курс дифференциальной геометрии, изд. 4-е, М., Гостехиздат, 1956.
96 *РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА1.6.	и 1.7. Дифференциальное и интегральное исчисление1.	С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, т. I, изд. 18-е, М., Физматгиз, 1958.2.	Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и ин¬ тегрального исчисления, т. I, М.—Л., Физматгиз, 1958; т. II, М.—Л., Гос. изд. техн.-теор. лит., 1948.3.	Бермант А. Ф., Курс математического анализа, ч. I,II,	Гос. изд. техн.-теор. лит., М., 1955, 1956.1. 8. Ряды1.	См. 1.6 и 1.7.	„2.	Б а р и Н. К., Теория рядов, М., Учпедгиз, 1938.1.9. Дифференциальные уравнения1.	С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, т. II, IV, М., Физматгиз, 1958.2.	Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, изд. 7-е, М., Физматгиз, 1958:3.	Т и х о н о в А. Н., Самарский А. А., Уравнения ма¬ тематической физики, изд. 2-е, М., Гос. изд. техн.-теор. лит., 1953.4.	К р ы л о в А Н., О некоторых дифференциальных урав¬ нениях математической физики, имеющих применение в техни¬ ческих вопросах, изд. 5-е, М.—Л., Гостехиздат, 1950.5.	К о ш л я к о в Н. С., Основные дифференциальные урав¬ нения математической физики, изд. 4-е, Л.—М., Объедин. науч- но-техн. изд-во, 1936.6.	Карман Т. иБио М., Математические методы в ин¬ женерном деле, М.—Л., Гос. изд. техн.-теор. лит. 1946.7.	Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференци¬ альным уравнениям, М , Изд иностр. лит., 1951.8.	Колпатц Л., Численные методы решения дифференци¬ альных уравнений. М., Изд. иностр. лит., 1953.1.10. Функции комплексной переменной1.	С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, т. III, ч. 2, изд. 7-е, М., Физмзтгиз, 1958.2.	Привалов И. И., Введение в теорию функций ком¬ плексного переменного, изд. 9-е, Гостехиздат, 1954.3.	Лаврентьев М. А., Конформные отображения, Гос¬ техиздат, 1946.4.	Ф у к с Б. А. и Ш а б а т Б. В., Функции комплексного пе¬ ременного и некоторые их приложения, изд. 2-е, М., Физматгиз, 1959.5.	Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы тео¬ рии функции комплексного переменного, изд. 2-е, Физматгиз, М., 1958.1.11. Вариационное исчисление1.	С м и р н о в В И., Курс высшей математики, т. IV, изд. б-е, М., Физматгиз, 1958.2.	Эльсгольц Л. Э., Вариационное исчисление, изд. 2-е, М., Гостехиздат, 1958.1.12. Разностное исчисление1.	Марков А А., Исчисление конечных разностей, Ма- тезис, Одесса, 1911.2.	Ф. Б л е й х и Е. М е л а н. Уравнения в конечных раз¬ ностях статики сооружений, ОНТИ, НКТП, Харьков, 1936.3.	Б е з и к о в и ч Я- С., Приближенные вычисления, Гостех¬ издат, 1949.4.	Д. Ю. Панов, Справочник по численному решению диф¬ ференциальных уравнений в частных производных, М.—Л., Гос. изд. техн.-теор. лит 1950.1.13.	Интегральные уравнения1.	С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, т. IV, изд. б-е, М., Физматгиз, 1958.2.	Привалов И. И., Интегральные уравнения, изд. 2-е, М.—Л.. ОНТИ, 19373.	Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, М.—Л., Гостехиздат, 1946.4.	М и х л и н С. Г., Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники, М.—Л., Гос. изд. техн.-теор. лит., 1947.5.	Михлин С Г., Лекции по линейным интегральным уравнениям, М., Физматгиз, 1959.1.14.	Специальные функции1.	Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. III, ч. 2, изд. 7-е. М , Физматгиз, 1958.2.	Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, М., Гос. изд. техн.-теор. лит., 1953.3.	Ватсон Д. Н., Теория бесселевых функций, ч. 1 и 2, М., Изд. иностр. лит., 1949.4.	Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, ГТТИ, 1935.5.	Грей, Эндрью и Мэтьюз Г. Б., Функции Бесселя и их приложение к физике и механике. М., Изд. иностр. лит., 1953.6.	Артин Эмиль, Введение в теорию гамма-функции, Гос. техн.-теор. изд., 1934.7.	Н е м ч и н о в В С.. Полиномы Чебышева и математи¬ ческая статистика, М., Изд. «Красное знамя», 1946.1.15.	Операционное исчисление1.	Л у р ь е А- И., Операционное исчисление и его приложе¬ ния к задачам механики. Изд. техн.-теор лит., 1950.2.	И. Снеддон, Преобразования Фурье, Изд. иностр. лит., М., 1955.3.	Д и т к и н В. А. и Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению. Основы теории и таблицы формул, М.—Л., Гос. изд. техн.-теор. лит., 1951.4.	Д и т к и и В. А. и ПрудвикоьА. П., Операционноеисчисление по двум переменным и его приложения, М., Физ- матгиз, 1958.5.	Карелоу Г. и Егер Д., Операционные методы в прикладной математике. Гос изд. иностр. лит., 1948.6.	Вандер Поль Б. иБреммер X., Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа, М., Изд. иностр. лит. 1952.7.	Дбч Г , Руководство к практическому применению пре¬ образования Лапласа, М., Физматгиз, 1958.1.16.	Векторное и тензорное исчисление.1.	Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. II, изд. 16-е, М., Физматгиз, 1958.2.	К о ч и н Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорно¬ го исчисления, изд. 7-е, М , изд. АН СССР, 1951.3.	Д у б н в Я. С.. Основы векторного исчисления, изд. 4-е, ч. 1, 2, М —Л., Гос. изд техн.-теор лит., 1950 1952.4.	К и л ь ч е в с к и й Н. А.. Элементы тензопного исчисле¬ ния и его приложения к механике, М., Гостехиздат, 1954.5.	В у л и х Б 3., Векторный анализ и начала тензорного ис¬ числения, Л., 1956, Воен.-мор акад. имени А. Н. Крылова.1.17. Приближенные вычисления1.	Б р а д и с В. М., Средства и способы элементарных вы¬ числений, М.—Л., изд. Акад: пед. наук РСФСР, 1948.2.	См. 1.19.1.18. Номография1.	Герсеванов Н. М., Основы номографии. Теория и по¬ строение инженерных номограмм, ОНТИ, Главн. ред. техн.-теор. лит., 1937.2.	Глаголев Н. А., Курс номографии, М.—Л., Гостех¬ издат. 1943.3.	Мелечтьев П. В., Номография, М.—Л., Гос. техн.- теор. ичд 1933.4.	Н е в с к и й Б. А., Справочная книга по номографии, М.—Л., Гос. изд. техн.-теор. лит., 1953.5.	П е н т к о в с к и й М. В., Считающие чертежи (номо¬ граммы), М., Гос. изд. техн -теор. лит., 19536.	Справочник по номографии под ред. проф. Н. А. Глаго¬ лева, М.—Л., ОНТИ, 1937.7.	Ф р а н к М. Л., Номографический справочник по мате¬ матике, механике, физике и сопротивлению материалов, Л.—М., Гос. техл -трог* изд.. 1933.1.19. Приближенное представление функций1.	Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, изд. АН СССР, 1933.2.	Канторович А. и Крылов В., Приближенные ме¬ тоды высшего анализа, ГИТТЛ, 1949.3.	М и л н В. Э. Численный анализ. М., Изд. иностр. лит., 1951.4.	Окарборо Дж., Численные методы математического анализа, ГТТИ. 1934.5.	Яковлев К. П., Математическая обпаботка резуль¬ татов измерений, изд. 2-е. М.. Гостехиздат, 1953.1.20. Ряды Фурье1.	Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. II, изд. 16-е, М., Физматгиз, 1958.2.	Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и ин¬ тегрального исчисления, т. III, М.—Л., Гос. изд. техн.-теор. лит., 1949.3.	Привалов И. И., Ряды Фурье. М.—Л., Гос. изд. 1930.4.	Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, М., Гос. изд. иностр. лит . 1918.1.21. Теория вероятностей1.	Г н е д е н к о Б. В., Курс теории вероятностей, М.—Л., Гос. изд. техн.-теор. лит., 1950.2.	Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4-е изд., М. Гос. изд., 1924.3	Романовский В. И., Математическая статистика, М.—Л., ГОНТИ, 1938.4	Боев Г. П. Теория вероятностей, М.—Л., Гостехиздат, 1950.5.	В е н т ц е л ь Е. С., Теория вероятностей, М., Физматгиз, 1958.6.	Д у н и н-Б а р к о в с к и й И В. и Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика в технике, М., Гос. изд. техн.-теор. лит., 19"51.22. Таблицы1.	Р ы ж и к И. М. и Г р а д ш т е й н, Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений, изд. 2-е, М.—Л., Гос. изд. техн.- теор. лит., 1952.2.	Я н к е Е. и Э м д е Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми. М.—Л., Гостехиздат, 19583.	Лебедев А. В. и Федорова Р. М., Справочник по математическим таблицам, М., изд АН СССР. 1956.4.	Двайт, Герберт Бристоль, Таблицы интегралов и другие математические формулы, М., Гос. изд. иностр. лит., 1948.5.	С е г а л Б. И. и Семендяев К. А., Пятизначные ма¬ тематические таблицы, М.—Л., 19486.	Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А., Справоч¬ ник по математике для инженеров и учащихся втузов, изд. 7-е, М., Гостехиздат, 1957.7.	В ы г о д с к и й М. Я., Справочник по элементарной ма¬ тематике, М., Физматгиз, 1958.8.	Андреев П. П., Математические таблицы, изд. 3-е, Госстатиздат, 1958.
*РАЗДЕЛ 2ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СТА ТИКА2.1.	ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА2.1.1. Основные положенияМеханической (или материальной) системой назы¬ вается совокупность материальных частиц, в которой движение каждой частицы зависит от положения и дви¬ жения остальных. Система называется неизменяемой (или абсолютно твердым телом), если расстояние меж¬ ду каждыми дзумя ее точками постоянно; в противном случае система называется изменяемой или деформируе¬ мой.Сила. Взаимодействие тел проявляется в виде сил, приложенных к этим телам. Сила изображается векто¬ ром, равным по величине данной силе и направленным в сторону ее действия.Векторы в тексте отмечаются черточкой сверху; чер¬ точка не ставится, если ясно, что речь идет о векторе, например, пишется: «вектор Р», «сила Р» и т. п. На чертеже черточка нал обозначением вектора не ставится. В проекции, перпендикулярной вектору, он изображается кружком с точхой (если он направлен в сторону чита¬ теля) или кружком с крестиком (если направлен от читателя).Силы взаимодействия между частицами (или тела¬ ми) данной системы называются внутренними; силы, дей¬ ствующие со стороны тел, не принадлежащих к системе, называются внешними. Системы сил, производящие на тело одно и то же действие, называются эквивалентны¬ ми. Сила, эквивалентная системе сил, называется ее рав¬ нодействующей, а ей противоположная — уравновеши¬ вающей. Система сил, не производящая никакого дей¬ ствия на тело, называется системой, эквивалентной нулю.В абсолютно твердом теле силу можно переносить, не нарушая ее действия, в любую точку, лежащую на линии ее действия, т, е. сила есть вектор скользящий. Сила может быть сосредоточенной (если она прило¬ жена в одной точке) или распределенной (по длине, поверхности или объему данного тела).В месте контакта двух тел силы взаимодействия этих тел равны по величине и противоположны по на¬ правлению или действие равно противодействию (част¬ ный случай динамического закона действия и противо¬ действия см. 2.7.1).Если изменяемая материальная система (например, гибкая нить или жидкость) находится под действием - ваданных сил в равновесии, то равновесие не нарушает¬ ся при отвердевании системы (принцип отвердевания).Связи. Условия, стесняющие свободу движения ме¬ ханической системы, называются связями. Сила, заме¬ няющая действие связи, называется реакцией связи;реакции — силы пассивные; прочие силы (обычно зада* ваемые) называются активными. Связи реализуются в виде каких-то тел, не входящих в изучаемую систему, но иногда условно включаемых в нее.е)ж) 3) и) {Mf/ушм)	с)	П)Рис. 2.1Основные типы связей.1.	Гладкая опорная поверхность (рис. 2.1,а, б)\ реак¬ ция направлена по нормали к опорной поверхности. Частные случаи: катки (рис. 2.1, в), плоско-подвижная шаровая опора (рис. 2.1, г), линейно-подвижная шаро¬ вая опора (рчс. 2.1, (5). Схематическое изображение — опорный жесткий стержень (рис. 2.1,е).2.	Опорная точка при опирающейся гладкой поверх¬ ности (рис. 2.1,ас); реакция направлена по нормали к опирающейся поверхности.У Зал 2098
98РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА3.	Линейно-подвижная цилиндрическая шарнирная .шора, например скользящая муфта, подшипник (рис. 2.1, з); реакция располагается в плоскости, нормальной к направляющей оси.4.	Линейно-подвижная плоская опора, например ползун (рис. 2.1, и)\ помимо реакции в нормальной плоскости, возникает момент вокруг направляющей оси (о моментах см. 2.1.3),5.	Неподвижная точка, например цилиндрический шарнир (рис. 2.1, /с), шаровой шарнир (рис. 2.1, л), под¬ пятник (рис. 2.1, м). Схематическое изображение—два или три опорных стержня (рис. 2.1, н, о). Реакция про¬ ходит через неподвижную точку, но ее направление за¬ ранее неизвесто.6.	Заделка или жесткий узел (рис. 2.1, л). Помимо неизвестной реактивной силы, возникает момент. Этот случай эквивалентен трем (на плоскости) или пяти (в пространстве) опорным стержням (рис. 2.1, р, с).7.	Гибкая нить (рис. 2.1, т); реакция (натяжение) направлена по нити.2.1.2.	Сложение и разложение силПравило параллелограмма сил. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, выражается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 2.2):Р\•2 + pI + 2P1P2cos(P1P) Л	Ргsin[рг, Яг) sin (~Рг.я) sin (Pi.r)(2.1)Рис. 2.2Рис. 2.3Правило параллелепипеда сил. Равнодействующая трех сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости, выражается диагональю параллелепипеда, построенного ва этих силах (рис. 2.3).Всякую силу можно разложить по двум направлени¬ ям, лежащим с силой в одной плоскости, или по трем направлениям, из которых никакие два не лежат с аей в одной плоскости. Для этого следует построить на этих направлениях соответственно параллелограмм или па¬ раллелепипед, диагональю которого является данная сила. Искомые силы называются составляющими или компонентами.Правило многоугольника сил. Равнодействующая произвольного числа сходящихся сил выражается замы¬ кающей стороной силового многоугольника (рис. 2.4). Она называется геометрической суммой составляющих ил и не зависит от порядка слагаемых:R = Sp(l7=1(2.2)При равновесии R=0.Если все силы действуют вдоль одной и той же прямой, то геометрическое сложение вырождается в ал¬ гебраическое.Разложение по осям координат. В прямоугольной системе координат (рис. 2.5) имеет место разложениеР = Х + y + Z = XT+ Yf+ Zk,где X,Y,Z — компоненты (составляющие) силы по осям координат;X, У* Z — проекции силы на оси; h ]» k — единичные векторы (орты), определяю* щие направления осей.гРис. 2.4Рис. 2.5Проекции (обозначаемые также через Рх, Ру, Р2) вычисляются либо через углы а, 3» 7 , образуемые силой с осями координат, либо через два угла: угол 7 с одной из осей и угол<р, определяющий положение плоскости, в которой действует сила:Рх = X = Р cos а = Р sin 7 cos <j>;Ру = У = Р cos (4 = Р sin 7 sin <р ;Рг — Z = Р cos 7 .(2.3)Если сила лежит в плоскости хОу, то 7 =90°,р =90°—а.Х—Р COS а ; У = Psina .	(2.4)Кроме указанного расположения осей, образующих правую систему, применяется также расположение, по* лучаемое перестановкой осей х и у (левая система).Равновесие. Для равновесия трех непараллельных сил в плоскости необходимо и достаточно, чтобы их ли¬ нии действия пересекались в одной точке, а силы обра¬ зовали замкнутый силовой треугольник.2.1.3.	Моменты сил и парМоменты силы относительно центра. Моментом силы Р относительно некоторого центра О (центра момента) называется произведение величины силы Р на ее плечо h относительно центра, т. е. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Численно момент ра¬ венМ0 (Р) = Ph .(2.5)Момент силы относительно центра (полюса) йзобра- жается вектором, перпендикулярным плоскости, прохо¬ дящей через силу и^ центр момента, и направленным, так, чтобы из его конца вращение силы вокруг центра пред¬ ставлялось против часовой стрелки (в правой системе, в левой — наоборот). Момент может быть представлен в виде векторного произведения радиуса-вектора точки приложения силы на силу (рис. 2.6)./Й„(Р) = г X Р.Момент силы связан с полюсом О, т. е. это есть век¬ тор приложенный.В плоских системах сил все векторы-моменты парал¬ лельны и геометрические операции заменяются алгебраи¬ ческими, причем момент считается положительным при вращении силы против часовой стрелки, и наоборот.
2.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА= 99Момент силы относительно оси. Моментом силы Р относительно оси А называется алгебраическая вели¬ чина, равная проекции на эту ось момента силы отно¬ сительно какой-либо точки О оси (рис. 2.7). Иначе го¬ воря, это есть момент проекции PN силы Р на плоскость N, перпендикулярную оси, относительно точки О пере¬ сечения оси с плоскостью:\Р) = М0{Р) cosy = M0(PN) . (2.6)М0(Р)Рис. 2.6Если X, У, Z — проекции силы Р, а уу z — коор¬ динаты точки ее приложения, то момешты силы отно¬ сительно осей координат соответственно равныМх (?) = Zy-Yz; Му (Р) = Хг— Zx\ Mz (?) = Yx — Xy ш(2.7)Момент силы отчосительно оси рав/ен нулю, если сила пересекает ось или параллельна осиРис. 2.9Сложение пар. При сложении нескольких пар по* лучается новая ^(результирующая) пара, момент кото¬ рой равен геометрической (в плоскости — алгебраиче¬ ской) сумме моментов пар составляющих (рис. 2.9):пМ = Е М].	(2.9)1=1При равновесии М=0.2.1.4. Параллельные силыСложение сил. Равнодействующая системы парал¬ лельных сил (рис. 2.10) равна их алгебраической сумме (если условно считать силы какого-либо одного направ¬ ления положительными):АЯ = £ Pi.г—1(2.10)Рис. 2.10Если #=0, то система либо на¬ ходится в равновесии, либо приво¬ дится к паре.Центр параллельных сил. Цен¬ тром параллельных сил называет¬ ся точка С, через которую прохо¬ дит равнодействующая системы параллельных сил (рис. 2.10) независимо от их направления.Координаты центра параллельных сил:хг =ZPjXjSP,Ус =s Pjyizpi2 Pfll SP/(2.11)где xi ,yi ,z/ — координаты точки приложения отдель¬ ной силы.Равновесие системы параллельных сил. При равно¬ весии R=0; кроме того, должны удовлетворяться одно (на плоскости) или дьа (в пространстве) уравнения мо-, ментов (см. табл. 2.1).Если одновременно2Р,= 0; X Р/х,- = 2 Piyt = 2 Ppi = 0 , (2.12)то равновесие называется астатическим; оно имеет ме¬ сто при любом повороте сил на один и тот же угол.численно п*!тЗ'р0Й СИЛ называется совокупность двух численно равьыу-v параллельных сил. направленных в раз¬ ные стороны l> Расстояния А между линиями действия “ “аэ^вает^я ее плечом (рис. 2.8). Пару нельзя лой	следовательно, и уравновесить) одной си-Момеуит парЫ> Моментом пары называется произве¬ дение о^ЛдН0й из ее сил на плечоМ = РЛ.	(2.8)Момент пары изображается вектором, перпендику¬ лярным плоскости действия пары и приложенным в лю¬ бой точке, т. е. момент пары есть вектор свободный.Свободный вектор (вектор-момент) на чертеже изо¬ бражается волнистой стрелкой или дуговой стрелкой, а иногда, если недоразумение исключено, — простой стрел¬ кой. Направление этого вектора, а также алгебраиче¬ ское представление момента пары для случая плоской задачи подчиняются тем же правилам, что и момент силы. Пары с равными моментами эквивалентны. Мо¬ мент пары может быть разложен по осям координатМ = Мх i + Му ] + М2 k .2.1.5.	Произвольная система силПараллельное перемещение силы. Всякую силу Р, не нарушая ее действия, можно перенести парал¬ лельно самой себе в любую точку О (рис. 2.11), присое¬ динив при этом пару с моментом, равным моменту силы Р относительно точки О:м = м0 (?) .Рис. 2.11Рис. 2.12Приведение системы сил и пар к заданному по¬ люсу. В результате указанной операции, применяемой ко всем силам системы, получается силовой мотор (рис. 2.12), т. е. совокупность результирующей силы—глав-
tooРАЗДЕЛ 3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА«г® вектора * — ж результирующей пары от задав *** 1 «Р«ввса au — главного момента М0, причемЛ0 =2М.+ £Л10 (/>,)(2.13)В раыерау i о# форме компоненты сыового мбтом аюот видRs-VPisJ R,-lPly; Rg-XPu; Af* «■ X Alj, +2 (Z{fji — У д); My-iMtr +г(х1г1-г1х1у, *A,-‘'UAtt+X(Yix,-Xlyi).(2.14)*VJPee. 113В выражениях моментов на первые места поставлены моменты заданных пар.Различные случаи приведения:1)	#*=0, М0*= 0—равновесие;с) #=0, Мо^0 — пара;3)	R^Qt М0 *=0 — равнодействующая;4)	R ф 0, М0 ^0: у =90°; переменой центра приве¬ дения сводится к предыдущему;о)	R ^0; М0 *^0; ср =0 или 180° — динама, силовой яли динамический вчнт;6) R=£Q\ Л10 ^=0; <р—произвольный угол; переменой центра приводятся к предыдущему.Приведение системы сил к двум скрещивающимся силам. С помощью представления М 0 в виде пары сил, одна из которых приложена к точке О, силовой мбтор приводится к двум скрещивающимся силам или к силовому кресту, который эквивалентен данной системе сил (рис. 2.13).Силовой крест может быть сделан ортогональным. Например, можно потребовать, чтобы одна из сил кре¬ ста U лежала в плоскости yz, а другая — К — была па¬ раллельна оси х (ряс, 2.14). Имеем уравнения*х ■“ У »	Мх = Uh;Ry U cos а; Му == Vzv;Rg** U sin а ; Mz = — Vyv t(2.15)sn которых определяется U, V,at h, zVf yv . Здесь V есть результат приведения /?*, Му, Мг к одной силе а (/ — результат приведения Ry,Rz, Мх . Аналогично мо’ж- но предстаъить еще два варианта приведения.Равнодействующая и равновесие. Если система при¬ водится к равнодействующей, то имеют место следую¬ щие две теоремы Вариньона:1.	Момент равнодействующей относительно какого- либо центра равен геометрической (в плоскости — ал¬ гебраической) сумме моментов всех составляющих от¬ носительно того же центра.2.	Момент равнодействующей относительно какой* ссн равен алгебраической сумме моментов всех со¬ ставляющих относительно той же оси.Приведение системы сил к центру и к плоскостКаждую силу Р* переносим в точку Ал’ пересечения • заданной плоскостью Я, разлагаем на силу Pk% прохо¬ дящую через заданный центр О, и силу Pk, лежащую в плоскости Я (рис. 2.15). Если какая-либо сила парал¬ лельна плоскости Я. ее предварительно можно заменить двумя силами, пересекающими Я. В результате полу¬ чаем систему сил, сходящихся в точке О, и систему скл в плоскости Я.Равновесие сочлененных систем. Систему делят ва части, прикладывая р местах разделения попарно проти¬ воположные и равьдые силы. Если всего п частей, то можно либо составлять уравнения равновесия для всей системы и п — 1 ча^гги, либо же только для я частей.Если число уравнений достаточно для от 1ределеня» иеизвестных сил система называется статический опре¬ делимой, в противзом случае — статически неоПь мой.	\Пример 2.1. Определение опорных реакций в lS?41*0- вых шарнирах Л и В и усилия в ключевом шарк^Р* С трехшарнирной арки (рис. 2.16, а) под действием сйЧ* Рj и Р2 (см. также ниже 2.2.2 и рис. 2.28),	АБерем сперва всю систему. Так как в шарнираж* направления реакций заранее неизвестны, мы вводим^ их составляющие — горизонтальную Н щ вертикаль» ную V:ZXt-HA-hB=0;2	ми шш VB41 — Р23/ — /у -0;ZMiB — -VA4l + PlZl +Р21ттО.
а.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА101Отсюда|/^-i-(3P1 + P2); 1/b = ^-(P1 + 3P2).Разрезаем систему по шарниру С, отбрасываем пра¬ вую часть и вводим силы Vc , Не (левая часть представ¬ лена отдельно, рис. 2.16,5):ZX = HA+HC = 0;Продолжение табл. 2.1.ОтсюдаБУ = Ул + ^с-Я!=0;Е Мс =НА h~VA2l + P1l=0.^с —-Ра): НА = -НС~НВ =-Я(Р'+Р*‘Если бы мы составляли уравнения равновесия также а для правой части, то в точке С ввели бы силы Vс , Н с, направленные противоположно соответствующим силам, действующим на левую часть.Условия равновесия сил, приложенных к твердому телу, приведены в табл. 2.1.Таблица 2.1 Схемы расположения и условия равновесия силСилы на одной прямойАлгебраическая сумма: ЕР* = 0Сходящиеся силы на плоскостиДве формы условий:1)	суммы проекций%ХЬ = 0; 2Уг = 0;2)	суммы мрментовЕ/ИЛ(Р,.)=°; 2УИа(^)=0.точки А, В и О не должны лежать на одной прямойПараллельные силы на плоскостиА/Дв£ формы условий (силы параллельны оси Оу):1)	ЕУг = 0; ЕЖо(Р.)=0;2)2Мо(Р.)=0;	2МЛ(Р,)= 0, прямая О А не должна быть параллельна силамПары сил на плоскости Алгебраическая сумма: 2Л4* = 0О)Произвольная плоская система силТри формы условий:1)2*,-0;	2Уг=0; ЕЛ1о(Р()=0;2)ЕЛ1о(Рг)=0;	2МА(Р.)~0;• 2^ = 0,ось проекций не должна быть перпендикулярна пря¬ мой О А;3)SMo(P.)	= 0; S^(?<)=0;2МВ(Р.)=0, точки О, А, В не должны лежать на одной прямой.Сходящиеся силы в пространствеДве формы условий:1)	суммы проекций2^ = 0, HYi = 0 , 22/-0; ♦2)	суммы моментов2"i(^)-0; SAfm(PJ)=0; 2 Мп(Р,)^0,/, т, п — произвольные оси, подчиненные лишь усло¬ вию: невозможно через начало О провести прямую пересекающую все оси I, т пПараллельные силы в пространствеДве формы условий:1)EZ,. = 0; 2Л1,(75,)=0;2МУ (/>,•)= 0 (если силы параллельны оси г);2)'ZM1(P.)=Q- Емт(Р,)=0;= 0,ltm,n—произвольные оси, не пересекающиеся все в одной точке (и не все параллельные между собой).Пары сил в пространствеСуммы моментов	ZMix = О; Ш1у = 0; Ши — 0Произвольная система сил пространстве
102РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАПродолжение табл. 2.1Четыре формы условий:1)2Z*=0;	ЕУг = 0; SZ* = 0;ЪМХ (Pi) = 0; 2Му (Р;) = 0_^ %мг jpt) = 0 ;2)SXi	= 0; £У| = 0;_2Мд.(Рг)=0; _2Му(Р,) = 0; mz(Pi)=* 0; 2Мд(Рг)=0,где Д—произвольная ось, не проходящая через начало О	и не параллельная оси г;3)	Шх (Pi) = 0 ; 2Му (Лг) = 0 ;SMt(£.)«=0; 2М,,(Рг)= 0; ЕЛ«,.(Р,)-0;2Z,- = 0;4)	SAfi (Л) = 0 ; ИМт (Pi) = 0 ;2Ж„(Р1) = 0; ШР(>;)_=0;(/>*)= 0; mr(Pi) = 0, оси моментов l,mtn,ptqtr должны удовлетворять тем же требованиям, что и оси стержней, прикреп¬ ляющих твердое тело. В частности, они могут быть ребрами тетраэдра.Примечание. Для пространственных систем указаны наибо¬ лее употребительные формы уравнений равновесия. Они могут быть модифицированы, но так, чтобы удовлетворение всех уравнений обе¬ спечивало выполнение геометрических условий равновесия (см.2.1.6. Правила прикрепления твердого телаСвободное твердое тело обладает шестью степе¬ нями свободы перемещения (о степенях свободы см. 2.3.2). Для прикрепления его к другому твердому те¬ лу (например, к земле) необходимо и достаточно шести связей, каждая из которых устраняет одно перемеще¬ ние, в частности 6 стержней.При правильном расположении стержней одновре¬ менно обеспечивается геометрическая неизменяемость (жесткость, неподвижность) прикрепления и его стати¬ ческая определимость. Неправильное расположение стержней характеризуется тем, что некоторые из стерж¬ ней устраняют те перемещения, которые уже устранены другими стержнями, причем оставшиеся перемещения остаются неустраненными.Например, если тело опирается на два рядом постав¬ ленных треножника, то, с одной стороны, не устранено вращение тела вокруг оси, проходящей через вершины треножников, с другой,— имеется лишний стержень для устранения перемещения вдоль этой оси; система полу¬ чается одновременно статически неопределимой и гео¬ метрически изменяемой.2.1.7.	Системы с трениемТрение скольжения. Если силы, приложенные к те¬ лу, стремятся его сдвинуть по опорной поверхности В (рис. 2.17), то в месте соприкосновения, кроме нормальной составляющей реак¬ ции N, возникает касательная состав¬ ляющая, направленная против действи¬ тельного или возможного движения, обусловленная шероховатостью сопри¬ касающихся поверхностей. Эта состав¬ ляющая называется силой трения.В первом приближении силы сухого трения подчиняются законам Кулона:1)	наибольшая величина силы трения пропорциональна нормальному давлению трущихся поверхностей друг на друга:Tmax =fN или Г < /N ,	(2.16)где f — коэффициент трения скольжения (безразмерная величина) (табл. 2.2);2)	сила трения не зависит от величины трущихся поверхностей;Рис. 2.173)	величина / зависит от материала и качества обра¬ ботки (а также и от температуры) трущихся поверх¬ ностей.В момент начала движения f (статический коэффи¬ циент трения или коэффициент трения при покое) имеет наибольшее значение, после чего сразу несколько умень¬ шается, изменяясь в дальнейшем, с увеличением скоро¬ сти, сравнительно мало. При этом для большинства материалов f при увеличении скорости сперва уменьшает¬ ся, а в дальнейшем обнаруживает тенденцию к росту.Таблица 2.2Коэффициенты трения скольжения f для некоторых телТрущиеся тела/Трущиеся тела/Мягкая сталь по мяг¬ кой стали 	Чугун по чугуну Бронза по бронзе . . Мягкая сталь по брон¬ зе 	Чугун по бронзе . ., дубу . .0,140,160,200,180,210,49Дерево по дереву . . Дуб по дубу вдольволокон 	То же, поперек воло¬ кон одного и вдоль волокон другого те¬ ла 	Кожа по чугуну . . .„ дубу .... Сталь по льду . . .л0,32—0,60 0,480,340,560,37-0,570,02-0,03Углом трения ср называется угол меж4^ полной реак¬ цией и нормальной реакцией при 7’=Гтах (рис. 2.17); <р =arctg f.Конус с углом раствора 2<р, описанный вокруг общей нормали к соприкасающимся поверхностям, называет¬ ся конусом трения (рис. 2.18). Его свойство: для равно-Рис. 2.18весия тела на шероховатой поверхности равнодействую¬ щая приложенных к нему сил должна проходить внутри конуса трения (например, сила Pi, но не Рг).Таким образом, при наличии трения получается не¬ которая область равновесия.Трение качения. При качении тела по поверхности (рис. 2.19) к его оси должна быть приложена сила Р для преодоления сопротивления, выражаемого моментом сопротивления при качении (моментом пары тления качения):M = kN ,	(2М7)где N — нормальное давление (в случае на рис. 2.19 равно весу G); k — коэффициент трения качения (выражается в единипах длины), называемый также плечом пгуэы _трения.Пара (N\ N") с моментом М смещает нормальную реакцию N в сторону движения на расстояние fe. Если Q есть касательная, составляющая реакции (вследствие вмятия), то при равномерном качении'имеет место рав¬ новесие двух пар: (Р, Q) и (G, N').Качение без скольжения имеет место, если fr>k.
2.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА1032.1.8. Центр тяжестиЦентрам тяжестя с материальной системы (или те¬ ла) называется центр параллельных сил, приложенных ко всем частицам системы и пропорциональных весам этих частиц. Эта точка, называемая также центром масс, имеет координатыЪтм	Ът1У1	Яшм уЛ <оч	 ‘ zc = —— ,(2.18)хс = -МУс =ММгде	mi — массы частиц с координатами х\ч У и *i\М = 1пц—масса всей системы (тела);ЪпцхьЪпцуц 2/л ^ — статические моменты массы тела относительно координатных плоскостей О у г, Ozx, Оху.Центры тяжести однородных тел (см. также 5.2.1)Основные положения.1.	Если тело симметрично относительно некоторой точки, его центр тяжести совпадает с этой точкой.2.	Если тело симметрично относительно некоторой оси, его центр тяжести лежит на этой оси.3.	Если тело симметрично относительно некоторой плоскости, его центр тяжести лежит в этой плоскости.4.	Если тело имеет полости, то можно пользоваться общими формулами, приписывая знак минус воображае¬ мым массам, заполняющим пустоты.Центры тяжести однородных линий:*е*2А LiXiгс —ус =2 A LiZi(2.19)где АЦ — элементы длины линии;L — 2АЦ — полная длина линии.Центры тяжести однородных поверхностей:Хс:H&FjXj2А FiziSA Fiyi(2.20)где A Ft — элементы площади поверхности; F='£ AFi — полная площадь поверхности. Центры тяжести однородных объемов:SA VjXi	Ш/1У1Хс	» Ус	17гс = '(2.21)где A Vi — элементы объема тела;К = ЕА Vi—полный объем тела.В случае плоских фигур г\= 0, zc=0. Тогда для пло¬ щадей в числителях стоят суммыS, = 2АFiyi J = 2АFiXi ,	(2.22)называемые статическими моментами площади соответ¬ ственно относительно осей х и у.Положение центра тяжести некоторых однородных фигур и тел дано в табл. 2.3.Таблица 2.3 Центры тяжести некоторых однородных фигур и телФигура или телоКоординаты центра тяжестиДуга окружностиrbХс = — = гSin а= 57,296 гsin агде /—длина дуги; а— угол в рад.; при а=90° (полуокруж¬ ность)2 гхс = — = 0,6366 гДуга параболыТреугольник*= ТАЦентр тяжести пло¬ щади находится в точке пересечения медиан, отсекая откаждой из них —•	3(считая от сторо¬ ны); его расстоя¬ ние от стороны ВС=аye = Th*ТрапецияДля площади_ h a -f- 2 ЪНа~ 3 а + Ь 1h 2 а + Ъhb = ~' а + Ь 'Графическое построе¬ ние: откладывают CF = а, АЕ = Ь и проводят прямую EF, которая пере¬ секает медиану MN в центре тяжести с
104РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАПродолжениеПродолжениеФигура или телоКоординаты центра тяжестиКруговой секторДля площади2 гЬ 2 3/ 3 хХ ^^- = 38,197хаГ Sin а Г26Х Т~ = 3F ’где / — длина дуги;F—площадь; а— угол в рад.; при а = 90° (полукруг)*с=41-=о>4244го тсЭллиптический квадрант (че¬ твертая часть эллипса)Для площади 4 ахс = £— = 0,4244 а ; Зтс4 ЪУс= — =0,4244 6 3 тсДля площади: параболического полусегмента ОАВ 3Ч“Тв;з^ = т6:параболического треугольника ОСВVloa;3Ус =~ь9.	^Треугольная пирамидаЦентр тяжести объе¬ ма всякой треуголь¬ ной пирамиды ле¬ жит в точке пере¬ сечения прямых, со¬ единяющих какие- либо две ее вер¬ шины с центрами тяжести противопо¬ ложных граней, от¬ секая от каждой из 1них — (считая от 4грани).Если h— высота пира- 1миды, то гс = — hФигура или телоКоординаты центра тяжестиПирамида и конусШаровой секторДля объема 1= —А;с лежит на прямой SO, где О —центр тяжести площади основанияДля объемаз ,— Л)=—(1+COS а)г== — г cos*—.Для полушара (<х=90#)3*=тг2|а\1Для объема1*“ТПараболоид вращенияТела вращения (теоремы Гюльдена см, 1.2.2)*1. Площадь поверхности, полученной вращением плос¬ кой кривой около оси, лежащей в ее плоскости, но ее не пересекающей:^пов = L2Tzrc'	(2.23)2. Объем тела, полученного вращением плоской фигуры около оси, лежащей в ее плоскости, но ее непересекающей:V = F фиг^ тсг с •	(2.24)Здесь L — длина кривой; ^фИГ—площадь фигуры; тс — расстояние от ц. т. кривой или фигуры до оси враще¬ ния.2.2. ГРАФОСТАТИКА2.2.1. Веревочный многоугольникСложение сил. Дана плоская система сил Pi, Рг, Р% (рис. 2.20,а). Начиная из произвольной точки А (рис. 2.20,6), строят силовой многоугольник ABCD, опреде¬ ляющий величину и направление (но не линию действия) равнодействующей, иначе говоря, главный вектор R. Из произвольней точки О, называемой полюсом, прово¬ дят к вершинам А, В, С, D лучи ОА, ОВ, ОС, OD, полу¬ чают силовой план OABCD. Обозначая лучи через а, 12, 23, <о, проводят (рис. 20, а), начиная из произвольной точки т, прямые, параллельные соответствующим лу-
2.2. ГРАФОСТАТИКА105чам: «—до пересечения с линией действия Рi в неко¬ торой точке а, 12 — до пересечения с линией действия Р2 в тачке Ь и т. д. Фигура mabcn называется вере¬ вочным многоугольником. Продолжая до взаимного пе¬ ресечения его крайние стороны а и а>, находим точку К,Рис. 2.20лежащую на линии действия равнодействующей. Длины лучей представляют величины составляющих заданных сил вдоль соответствующих сторон многоугольника mabcn (т. е. натяжения участков веревочного много¬ угольника). Если полюс взять в другой точке Оь то стороны нового веревочного многоугольника будут пе-Рис. 2.21ресекаться с соответственными сторонами прежнего в точках т, 1, /У, 111 на прямой 5, параллельной OOt.Частные случаи. 1. Силовой многоугольник замкнут, а веревочный разомкнут (рис. 2.21, а, б). Система при¬ водится к паре, составляющие силы которой равны сов¬ павшим лучам а и (о, а плечо равно Л.2.	Силовой и веревочный многоугольники сами собой вамыкаются (рис. 2.22, а, б). Система сил находится в равновесии.3.	Если точка пересечения сил находится за преде¬ лами чертежа, то равнодействующая сходящихся и па¬ раллельных сил может быть найдена без помощи ве¬ ревочного многоугольника перекрестным соединением начал и концов сил [13] и построением параллельных прямых (рис. 2.23, я, б).Сложение пространственной системы параллельных сил. Силы Р\% Р2, Ръ заданы вертикальными проекциямии следами на горизонтальной плоскости (рис. 2.24), Построением первого веревочного многоугольника нахо¬ дится проекция равнодействующей R на вертикальную плоскость (рис. 2.24, а). Затем, поворачивая силы на 90°, строим второй веревочный многоугольник, стороны ко*Рис. 2.23зторого перпендикулярны сторонам первого (рис. 2.24, б)% и определяем след равнодействующей R' на горизон¬ тальной плоскости.Разложение силы на три параллельные силы. Еслилинии действия искомых составляющих Pi, Р2, Р\ силы R известны (рис. 2.24, а, б), то их величины находятся попарным соединением следов Рг и Р2, Р3 и R' и пост¬ роением пропорциональных линий. На рис. 2.24,6 дано (в измененном масштабе) построение Рз: через точкуО	пересечения прямых Pi Р2, Р3/?' и через конец от¬ резка R в Р з проведена прямая, отсекающая искомый отрезок Р3.Разложение силы по трем прямым в одной плоскос¬ ти. Способ Кульмана, Вместо разложения силы Р рас¬ смотрим уравновешивание силы So=—Р тремя силами, действующими по прямым //, 22, 33 (рис. 2.25,а). Нахо*
106 	РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАдим точку М пересечения силы Р (с одной из прямых) и точку N пересечения двух других прямых. Затем (рис. 2.25,6) из произвольной точки О строим силу So, пря¬ мую OK\\MN и силовой четырехугольник Кульмана, по¬ строение которого очевидно. Тем самым находим иско¬ мые силы 5Ь S3.2.2.2.	Применение веревочного многоугольника к определению опорных реакцийОбщее положение. Так как реакции совместно с за¬ даваемыми нагрузками составляют систему сил, находя¬ щуюся в равновесии, то оба многоугольника замыка¬ ются,а)	б)Случай произвольно направленных сил (рис. 2.26,а},. При построении силового многоугольника (рис. 2.26,6) заданные силы можно обходить в любом порядке/ но тот же порядок следует соблюдать и при построенииверевочного многоугольника (рис. 2.26,а). Его первая сторона А1 должна быть проведена через неподвижную опору, в которой направление реакции заранее неизвест¬ но. Сторона ЗВ доводится до пересечения с линией дей¬ ствия реакции, известной по направлению. Параллельнозамыкающей В А строится луч ВА (рис. 2.26,6), приво¬ дящий к определению обеих реакций (RB — по величине, Ra — по величине и направлению).Случай параллельных сил (рис. 2.27,а). Направления обеих реакций очевидны; следовательно, построение ве¬ ревочного многоугольника можно начинать с любой точ¬ ки, лежащей на линии действия реакции. Отрезки верти¬ кальной прямой, проходящей через какую-либо точку С балки (рис. 2.27,в), заключенные между двумя смеж¬ ными сторонами веревочного многоугольника (или их продолжениями), будучи умножены на полюсное рас-й	ВРис. 2.28стояние Н силового плана (рис. 2.27,6) дают моменты соответствующих сил относительно% точки С. Например, отрезок между сторонами А1 и 12 определит момент силы Р1. Отрезок ус между сторонами, называемый ординатой веревочного многоугольника, умноженный на Я, дает алгебраическую сумму моментов сил, лежащих слева от точки С относительно этой точки, или изгибаю¬ щий момент в сечении С:Мс = усЯ.	(2.25)Эпюра изгибающих моментов, которой является ве¬ ревочный многоугольник, строится часто от осевой линии балки (рис. 221,г) у где стороны ВА и 4В совмещены с осевой линией, а излом дан стороне 34 под опорой В, Выполняя развернутое по осевой линии балки построе¬ ние силового многоугольника, получаем эпюру попереч¬ ных сил (рис. 2.27,д). Эти две эпюры позволяют опреде¬ лить по числовой величине и по знаку (в соответствии с принятым заранее условием) изгибающий момент и по¬ перечную силу в любом сечении балки.Случай трехшарнирной арки (рис. 2.28). Для опре¬ деления реакций в шарнирах под действием сил Р\ и Р% следует построить веревочный многоугольник, проходя¬ щий через три точки А, В, С (рис. 2.28,а). Проводя из точки А в произвольном направлении сторону а' до точ¬ ки а' и сторону 72' через точку С до точки Ь', можем построить силовой план (рис. 2.28,6) с полюсом О', оп¬ ределяющий сторону о)', которая вообще не пройдет через точку В. На основании рис. 2.20 при перемещении по¬ люса О' на некоторой прямой О'О соответственные стороны веревочного многоугольника будут пересекаться на прямой 5, параллельной О'О. Точка 2 пересечения to' с прямой 5 (проведенной через шарниры А и С) оп¬ ределяет новый веревочный многоугольник ВЬаА, для которого лучи а, 12 к на силовом плане дадут реакции шарниров А, С, В.Применение веревочного многоугольника к опреде¬ лению центра тяжести плоской фигуры. Делят фигуру на части, центр тяжести каждой из которых известен (хотя бы приближенно). В этих центрах тяжести строят
2.2. ГРАФОСТАТИКА107систему параллельных сил (рис. 2,29, а и б), пропор¬ циональных площадям частей. При помощи веревочного многоугольника а —12—23—а> находят точку Slf лежа¬ щую на линии действия равнодействующей. Поворачи¬ вая направление сил на 90°, строят веревочный много¬ угольник а'—1'2'—2'3'— стороны которого перпенди-Рис. 2.29кулярны сторонам предыдущего, и находят точку 5г. Центр тяжести с лежит на пересечении двух взаимно¬ перпендикулярных прямых, проходящих через S\ и 5а.Веревочная кривая. Если дана распределенная по не¬ которому закону нагрузка интенсивностью р (рассчи¬ танной на единицу длины), то заштрихованную на чер¬ теже (рис. 2.30,а) грузовую площадь делят на несколь¬ ко частей. В центрах тяже¬ сти этих частей (которые, например, можно прибли¬ женно принять за трапеции) помещают соответствующие силы и строят веревочный многоугольник. При увели¬ чении числа делений новые веревочные многоугольники стремиться к веревочной кривой, вписанной во все эти многоугольники. Дифференциальное уравнение веревоч¬ ной кривой:d*y dx2_р_н(2.26)В частности, если p=const, веревочная кривая пред¬ ставляет параболу:У = *2 + Схх + С2 .2.2.3. Определение усилий в стержнях плоских статически определимых ферм1мечаем внутренние области фермы (/, /,..., п), соответ¬ ственно которым на многоугольнике внешних сил строим силовые многоугольники, стороны которых соединяют точки, соответствующие областям фермы. Получаем диаграмму усилий (рис. 2.31,6). Обходя последователь¬ но узлы фермы и силовые многоугольники в направле¬ нии известных сил, получаем знаки усилий. Растяги-Диаграмма усилий. (Метод Максвелла — Кремоны), Прежде всего определяются, например с помощью вере¬ вочного многоугольника, опорные реакции. Обходя кон¬ тур фермы в одном избранном направлении, размечаем области, ограниченные внешними силами (нагрузками и реакциями) и стержнями фермы (области а, Ь, с,h на рис. 2.31,а), соответственно которым обозначаем вер¬ шины силового многоугольника (рис, 2.31,6). Далее раз-1	См. также 10.1.3*вающие (положительные) усилия обозначены на диа¬ грамме усилий одной тонкой линией, сжимающие (отри¬ цательные) — двойной линией. Построение диаграммы становится невозможным, если встречается узел, в кото¬ ром оказывается более трех неизвестных усилий.Метод сечений. Разрезаем исследуемую ферму (рис. 2.32,а) по линии тп на две части, отбрасываем одну из них (например, правую), заменяем ее соответ¬ ствующими усилиями в стержнях /, 2, 3 так, чтобы они уравновешивались с остающимися силами Р\,
108 —РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАР2. Далее можно воспользоваться одним из следую¬ щих способов.1.	Способ моментов и проекций (Риттера)1. Состав¬ ляем три уравнения моментов относительно точек по¬ парного пересечения разрезанных стержней; в случае параллельности двух стержней вместо одного из уравне¬ ний моментов составляется уравнение проекций на ось, перпендикулярную параллельным стержням.В нашем призереЕ мс = мс (ra) + мс (я,) + мс ( Р2) ++ Мс(Й1)=0;S MD = MD ( Ял) + MD ( Р,) + MD (W3)= 0; HY = RA-P1-P2 + npy(N2)^0.(2.27)Находя по чертежу плечи сил и углы, определяем из каждого уравнения по одному неизвестному усилию.2.	Способ равнодействующей (Кульмана). Равнодей¬ ствующую R сил, приложенных к левой части, уравно¬ вешиваем тремя силами, направленными по стержням1,	2, 3, что выполняется графически известным способом (см. 2.2.1). Силовой четырехугольник Кульмана построен на рис. 2.32,а при вершине С.3.	Если равнодействующая оказывается за предела¬ ми чертежа, то многоугольник Кульмана можно постро¬ ить около одной из точек пересечения разрезаемых стержней [11]. Для этого надо найти момент Мс всех приложенных к оставшейся части сил, откуда сейчас жеМснаходится Ni=—-, после чего можно построить четы- 21рехугольник Кульмана. Это особенно просто выполняет¬ ся при параллельных силах, когда дело сводится к по¬ строению четвертой пропорциональной на веревочном многоугольнике (рис. 2.32,6):Мл = Нуе.Метод сечений становится неприменимым, если при разрезании фермы приходится пересекать более трех стержней с неизвестными усилиями, не сходящимися в одной точке.2.2.4.	Разложение силы по трем прямым, пересекающимся в одной точке и не лежащим в одной плоскостиРешение в ортсгональных проекциях [1, 17, 20]. Дана сила R своими проекциями Н к V соответственно на горизонтальную и вертикальную плоскости проекций и направления /, 2, 3 (рис. 2.33). Через конец V проводим прямую, параллельную направлению являющуюся следом плоскости, перпендикулярной вертикальной плоскости проекций. Отмечаем точки (а, а') и (6, &') на направлениях"(2, 2') и (5, 3') и точку (^ с')^ лежа¬ щую на прямой, проходящей через конец R (Я, V) и параллельной (/, /'). Дальнейшее построение паралле¬ лограммов очевидно из чертежа. Таким образов!, при¬ ходим^ к _двукратному разложению силы: R=Py+P2з; /?2з=1/)2+Рз, выполняемому в проекциях Я, V.Величины сил находятся по теореме Пифагора, на¬ пример:Pi = V H\ + Z\v\ + x{ .Графоаналитический способ [17]. Дана сила R свои*ми проекциями Н и К на горизонтальную и вертикаль» ную плоскости (рис. 2.34, а, б). Определение вертикаль¬ ных составляющих (вертикалов) Zu Z* Z% искомых сил эквивалентно определению усилий в трех вертикальных стержнях, поддерживающих плиту (рис. 2.34,в), нагру¬ женную вертикальной силой Z, равной вертикалу силы R и приложенной в ее сле¬ де на горизонтальной плос¬ кости (рис. 2.34, б). Zx на¬ ходится из уравнения мо¬ ментов относительно оси2—5,	Z2 — из уравнения мо¬ ментов относительно оси3—U	Z% — из уравнения мо¬ ментов относительно оси1—2. По вертикалу &-й силы Zk определяется графически проекция Vь на вертикаль¬ ную плоскость, а по ней — проекция Н% на горизонталь¬ ную плоскость. Величины сил вычисляются по тем же формулам, что и выше:1+4(2.28)* См. 10.1.3, пример 10.2.2.2.5.	Разложение силы по шести произвольно расположенным прямымВ самом общем виде эта задача имеет определенное решение тогда, когда определитель соответствующей системы шести уравнений статики отличен от нуля [14]. В случае возможности, решение может быть выполне¬ но несколькими методами [1, 19]. Решение упрощается в ряде распространенных частных случаев, например в симметричных системах [17, 18, 19, 20].Общий случай. Если заданная сила_Р имеет искомые составляющие Si, S2,.<., Se, то сила Se=*—Р уравнове-
2.3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА109гиивается этими силами. Обозначим проекцию силы Si на горизонтальную плоскость проекций (план) через Я/, за вертикальную плоскость — через Vj, на вертикаль¬ ную ось (вертикал) — через Z*. Задаваясь силой S0 =* «So и произвольными значениями трех сил Si=Sx 9S,*«S2,	в находим в горизонтальной плоскостипостроением многоугольников Кульмана составляющие ^4f* *«,. Mylm /-*0, 1, 2, 3), уравновешивающие со¬ ответственно Hq, Н\, Н\, Н\ . Для удобства полагаем U\= 1,	Н\ = 1 .Конкретный случай рассмотрен на рис. 2.35, где опирающаяся на шесть стержней плита загружена со¬ средоточенной силой. На рис. 2.35, а, б даны две про¬ екции системы, а на рис. 2.35, в, г, д представлено по* строение многоугольников Кульмана (здесь также равно 1), Вс* эти многоугольники можно построить на одной диаграмме; на рис. 2.35, в совмещены два много¬ угольника.По проекциям Я*; строят V*H и Z], (на рис. 2.35,а,9	это сделано для Н*41 ). Далее находят равнодействую¬ щую каждой группы сил [20]:б£/— 2 4,	(2.29)2-0где /«=0, I, 2, 1} при этом Z*if *=0, если / и К4. Это может быть сделано графически построением веревоч¬ ного многоуготшка (см. 2.2.1). Вертикал Zq должен быть уравновешен тремя вертикалами, линии действиякоторых известны (вертикалы, проходящие через точки прикрепления саержней /. 2, 3 ц. плите). Обозначим ис¬ комые силы через Z^ , Z*02 , Z03. Эта задача решается также с помощью веревочного многоугольника.Истинные значения (при t=l, 2, 3; £=4, 5, 6):Zk-(2.30)Задача может быть решена и аналитически путем составления трех уразнений равновесия вертикальных сил, приложенных в точках крепления плиты, для опре¬ деления истиньых. значений Яь Я2, Яа [Ц.Симметричный слу¬ чай. Пусть произвольную силу требуется разло¬ жить по направлениям /, 2,..., 6, попарно сим¬ метричным относительно вертикальной плоскости, заданной своим горизон¬ тальным следом гпп (рис.2.36). Для общности Вместо одной силы взят ортогональный силовой крест (U, V, U\ V'); в случае одной силы крест вырождается в прямо¬ угольник.Задача легко решает¬ ся разложением (V, IJ') на три параллельные силы, про¬ ходящие через точки (a, а')» (b% Ь')у (с, с'), и разложе¬ нием V' по трем прямым в плоскостях: /', 2\ 3\ 4\ 5', 6' (см. 2.2.1). После этого остается разложить полу¬ ченные составляющие по двум направлениям соответст¬ венно в точках (а, а'), (6, b')t (с% if).2.3.	АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА2.3.1.	Работа. МощностьЭлементарная работа. Элементарной работой силы Р на бесконечно малом пути ds называется произзеде-Рис. 2.39яие проекции силы на направление пути на величину пути (рис. 2.37)d’A = Pds cos у = Pdsds •	(2.31)Здесь знак 9 поставлен вследствие того, что эле¬ ментарная работа вообще не есть дифференциал, В век-
ноРАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАгорной форме работа выражается скалярным произве¬ дением силы на перемещениеd'A = ~Р dr ,где | dT\ —ds. При «р <90° <*'Л>0; при <р >90° d'A<0t Элементарную работу записывают также в видеЪА = РЪг,	(2.32)причем такая символика применяется всегда, если речь идет о работе на возможном перемещении (см. 2.3.3). Тогда вместо (2,31) можно написать5suВ аналитической форме выражение работыЬА = ХЬх + Убу + Zbz ,	(2.33)где X, У, Z — проекции силы на оси координат;х* Уг z — координаты точки приложения си¬ лы;Ьх, by, bz — проекции ее перемещения на оси координат.Элементарная работа силы при вращении тела, на которое сила действует (рис. 2.38), равна произведению момента силы относительно оси вращения на угол по¬ ворота:РЬА = Мл(Р)Ъ<р./77Рис. 2.39Элементарная мотора равна(2.34) работа силовогоЬА = Я lF+ М0ЬЬ .где $0— элементарный угол поворота, представлен¬ ный в виде вектора,'отложенного по оси поворота.ИначеЬА = RXbx -f- Ryby -j- R^z -f- MjfitL -j-+ УИу8Р + Мг87,	(2.35)где	ba, SfJ, 57— элементарные углы поворота вок-pyi осей координат, проходящих через центр приведения О (или проекции на оси координат век¬ тора й0).Работа на конечном пути. При движении точки при¬ ложения силы по траектории MN (рис. 2.39) работа выражается посредством криволинейного интеграла, взятого по пути MN:А = [ ' Pvds = f w (Xdx + Ydy + Zdz) , (2.36)J MN	J MNгде Pv — проекция силы P на скорость (которая на¬ правлена по касательной).Мощность. Мощностью N в момент времени t назы¬ вается предел отношения элементарной работы к соот¬ ветствующему промежутку времени:N =	(2.37)atЕсли известна функциональная зависимость совер¬ шаемой работы от времени, то мощность является про¬ изводной работы по времени. Мощность может быть представлена так:#	= pvv кГм/сек = — Pvv л. с. =75= — pvV кет .	(2.38)Для случая вращательного движенияN = МА (р)а) кГм/сек= МА (Р) ш л. с. *»7оМА~Р)?	м,(р)п= 716,2 ’ Л‘ Сф ~ т - **». (2.39)где <о— угловая скорость в сек.—1; п — число оборотов в 1 мин,2.3.2.	Потенциальная энергияЕсли работа силы, приложенной к точке, не зави¬ сит от формы траектории, то величина работы при пе¬ ремещении точки из некоторого фик¬ сированного нулевого положения в заданное называется силовой функ¬ цией силы U, являющейся функцией координат точки. Работа, соверша¬ емая при перемещении точки из дан¬ ного положения в нулевое, называет¬ ся потенциалом силы V или потен- рис 2.40 циальной энергией точки Ц*П = У = -и. (2.40)Область действия сил, имеющих потенциал, назы¬ вается потенциальным силовым полем. В таком поле элементарная работа является полным дифференциа¬ лом силовой функции, а проекции силы на оси коор¬ динат — частными производными ее по соответствую¬ щим координатам:d'A = dU = — dV = —dII;*-f: Y-%-; Z.f-ox	dy	dz(2.41)Все сказанное для точки обобщается и на случай системы.Сила тяжести. Если за нулевое положение принять произвольную горизонтальную плоскость хОу (рис. 2.40) и направить ось г вверх, тоU = — mgz = — Gz;IL = Gz ,где m — масса тела;G — его вес;z— координата центра тяжести, Работа на пути MNА *= G (hx — h2).(2.42)Обобщенные координаты и силы. Если положение системы можно полностью определить посредством не¬ которого числа k независимых величин qh q2,...,qk, кото¬ рыми, в частности, могут быть декартовы координаты, то эти величины называются обобщенными координата¬ ми, k — числом степеней свободы, а коэффициенты Qu Q2,...yQk при приращениях координат в выражении эле¬ ментарной работы&Л = Qibqt -f- Qbq2 +• • *+0л^л (2.43)называются обобщенными силами.В потенциальном силовом полеdU	дПQi — -s — лdqt	dqi(2.44)где f=l, 2,..., k,
2.4. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ2.3.3.	Принцип возможных перемещенийВозможным, или виртуальным, перемещением сис¬ темы (обозначается символом Ь) называется всякое элементарное (бесконечно малое) перемещение ее, до¬ пускаемое в данной момент связями. Перемещение, при котором система не покидает связи, называется неосво¬ бождающим, в противном случае — освобождающим. Связь, не допускающая освобождающих перемещений, называется удерживающей, неосвобождающей или дву¬ сторонней; если же связь допускает освобождающие перемещения, она называется неудерживающей, освобож¬ дающей или односторонней. Связь называется идеаль¬ ной, если сумма работ ее реакций на всяком возмож¬ ном перемещении равна нулю.Сущность принципа возможных перемещений заклю¬ чается в следующем. Для того чтобы система, подчи¬ ненная идеальным удерживающим связям, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на любой совокупности возможных перемещений равня¬ лась нулю:2	Pfi s/ cos (P^bsi) = О, или в аналитической форме2	(Xfixt + Yfiyi + Zfizt) = 0.	(2.45)В обобщенных координатахQ1 = Q2 =...=£*= 0.	(2.46)В потенциальном силовом поле<Ш дП	дТ1—	= — =*••= — = °.	(2.47) dgt dq2 dqkЭто — условия, необходимые для экстремума функ¬ ции II.Если в материальную систему входят деформируе¬ мые связи между жесткими элементами (например, уп¬ ругие стержни, пружины и т* д.), а также между эле¬ ментами системы и жесткими опорами, то вообщеЕ PflSl COS ( Pi~bS[) ——	Ер* 5s* cos [p*it 8s*) =0.	(2.48)Знак минус поставлен по той причине, что внутрен¬ нее усилие и возможное перемещение, имея по приня¬ тому правилу знаков одинаковые знаки, направлены в противоположные стороны. 'Устойчивость равновесия. Равновесие материальной системы называется устойчивым, если при ее достаточ¬ но малом отклонении из этого положения она стремит¬ ся в него возвратиться (рис. 2.41,а). Если же при от¬ клонении система стремится удалиться от положения равновесия, равновесие называется неустойчивым (рис. 2.41,6). Если, наконец, система не проявляет тен¬ денции ни к возвращению в положение равновесия, ни к удалению от него, равновесие называется безразлич¬ ным (рис. 2.41,в).Теорема Лагранжа—Дирихле. Если в данном поло¬ жении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум, равновесие устойчиво.Частным случаем этой теоремы является принцип Торичелли:если при малом отклонении опертого твердого тела или системы от положения равновесия центр тяжести повышается, равновесие устойчиво, если понижается — неустойчиво, наконец, если остается на прежнем уров¬ не — безразлично.Устойчивость **а опрокидывание. Отношение момен¬ та удерживающего (или момента устойчивости) к мо¬ менту опрокидывающему называется коэффициентом устойчивости на опрокидывание.Рис. 2.41Рис. 2. 42Пример 2.2, Пусть плотина (рис. 2.42} подвергается действию давления воды Рв на высоте Нв и земли Р3 на высоте h3; ве^ плотины G действует на расстоянии b от ребра О. Коэффициент устойчивости на опроки¬ дывание вокруг ребра О:GbP^h в + Pji$КИНЕМАТИКА2.4.	КИНЕМАТИКА ТОЧКИ2.4.1.	Прямолинейное движение точкиЗакон движения. Положение точки М на прямой (рис. 2.43) определяется ее расстоянием s—OM от не¬ которой фиксированной точки О — начала отсчета рас¬ стояний. Расстояние считается в -пх м МММ °диу сторону положительным, вZH	Л—г-Ь-+ другую — отрицательным. Еслиточка, выйдя в некоторый началь¬ ный момент времени £=0 из на- Рис. 2.43	чального положения Afo, переме¬стилась сначала в положение М\% а затем в Мг, то расстояние MoAfj называется перемещением точки, а арифметическая сумма М0М1+М1М2 — ее путем. Закон движения дается либо уравнениемs = f(t)	(2.49)либо таблицей соответствующих друг другу значений s и /, либо графически.ГСкоростью точки в момент времени t называется производнаяdsР=-=5.(2.50)где точка над буквой обозначает дифференцирование по времени.длинаРазмерность скорости:	 .времяУскорением точки в момент времени t называется dv d2s dt dt* длинаa = ’(2.51)гРазмерность ускорения:время2Если знаки s и s одинаковы, то скорость по абсо* лютной величине возрастает, и движение называется ускоренным, в противном случае — замедленным.
П2 		РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАЧастные случаи1.	Равномерное движение (»=const)iа*=0.	(2.52)2.	Равномерно переменное движение (a=const):p = t»0 + a<; e = ^ + o0i+-i-ai8. (2.53)3.	Свободное падение тел в безвоздушном простран¬ стве у поверхности вемли:А —	v = gt~~\f2gh, (2.54)где А ~ высота падения;Ц*— ускорение силы тяжести, в среднем, принимае¬ мое равьым 9,81 м/сек;2.4.	Гармоническое колебательное движение. Такое на¬ звание носит движение, происходящее по закону сину¬ са (или косинуса):s = A sin {kt -f- (3),	(2.55)ел* А — амплитуда колебания;k — круговая, угловая или циклическая частотаколебания (размерность: время “ ); угол <р =kt+ р—фаза колебания;Р—начальная фаза.2тсНаименьший промежуток времени Т'=*—‘ » через ко¬ торый движение воспроизводится, называется периодом колебания, а число колебаний в единицу времени — частотой колебанияТk: 2л *(2.56)2.4.2.	Криволинейное движение точкиТраектория. Закон движения. Кривая С, которую описывает точка М при своем движении (рис. 2.44), на¬ зывается ее траекторией. На траектории устанавливает¬ ся начало отсчета Of, расстояние от которого по кри¬ вой в любой момент времени определяется законом движения по заданной траектории: s=f(t).Положение точки М определяется также либо ра¬ диусом-вектором г относительно некоторой точки О, либо координатами х, у, г по отношению к системе от¬ счета Oxyz. Тогда закон движения может быть задан тремя уравнениями:*“Л(9; у —Л(9; *=/*«); (2.57)если исключить из них время, то получим уравнения траектории. Скорость точки М в данный момент вре¬ мени t выражается в векторной форме-	dr V== dtя в алгебраическойVs =dsdt(2.58)Вектор скорости направлен по касательной к траек¬ тории* Его проекции на оси координат	\vx*=x'; vy=y\ vz = z.	(2.59)Величина скорости (модуль)ds‘1*5dtУскорение точки М в данный момент времени t вьь—	dvражается в векторной форме а = .Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плое» кости к траектории в данной точке и направлен в сто» рону вогнутости. Его проекции на «си координатах = х\ а, —у; о, 1‘Z.(2.61)Рис. 2.45Величина (модуль) ускоренияdv~dt■■ }/ ах + ау + а.(2.82)Ускорение может быть разложено на касательно» кли тангенциальное at (по касательной к траектории) н нормальное ап (по главной нормали траектории) уо- хорения (рис. 2.45):d2s	р®с =	; о*-	, (2.63)dt2 ргде р—радиус кривизны траек¬ тории.Полное ускорениеДвижение точки в плоскости, отнесенное к полярным коорди¬ натам. Закон движения точки (рис. 2.46) определяется двумя уравнениями:г = А (?); ?=/*(*).	(2.65)где угол , называемый полярным углом, принято на¬ мерять в радианах.Угловая скорость радиуса-вектора точки М в мо¬ мент времени t«• = “•=?. (2.66)Угловое ускорение радиуса-вектора точки М в мо¬ мент времени tda> сРуdtdt2(2.67)Размерность угловой скорости—(время)-1; углово* го ускорения—(время)—2.Проекции скорости и ускорения точки на направле¬ ние радиуса-вектора называются соответственно ради» альными скоростью vr и ускорением аг , а на направ¬ ление, перпендикулярное радиусу-вектору, — траке*
2.5. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА- 113нереальными скоростью и ускорением а9 . Формулы для вычисления скорости и ускорения:«V = » ; vv = r!f ; v = У o*r+v* ; ar = г—г <р*; а9 = 2r<p + г ?' ;0	= /" fljl + fl* •(2.68)Движение точки по окружности (рис. 2.471. В этом случае(2.69)Рис. 2.47Здесь радиальное ускорение прямо противоположно нормальному, а трансверсальное совпадает с касатель¬ ным.2.4.3.	Относительное движение точкиОсновные определения. Если точка М (рис. 2.48)движется по отношению к системе отсчета GfrqC. которая в свою очередь движется по отношению к си¬ стеме Oxyz, принятой за неподвижную, то движение точки М по отношению к системе Oxyz условно на¬ зывается абсолютным, по отношению к системе—	относительным, а движение системы	по от¬ношению к системе Oxyz — переносным.Рис. 2.49Скорость и ускорение точки М по отношению к си¬ стеме	называются соответственно относитель¬ ной скоростью УотнИ относительным ускорением а0тн. а по отношению к системе Oxyz — абсолютной скоростью Рабе и абсолютным ускорением аабс . Скорость, а также ускорение точки, неизменно связанной с системойч	совпадающей в данный момент с движущей¬ ся точкой М, по отношению к системе Oxyz называются соответственно переносной скоростью уПер и перенос¬ ным ускорением апер-Сложение скоростей. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме скоростей переносной и от¬ носительной:	_^абс = упер уотн •	(2.70)Сложение ускорений. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: перенос¬ ного, относительного и поворотного (или ускорения Кориолиса):	_Яабс — °пер + Яотн ~Ь апов •	(2.71)$ Зак. 2098В общем случае переносное и относительное уско¬ рения разлагаются на тангенциальное и нормальное* Поворотное ускорение(2.72), = 2<Jnepилиапов—	2 о)пер 0ОТН Sin (^пер. уотн) •Для построения ускорения аПОв удобно пользоваться правилом Ж} конского (рис. 2.49). Вектор относитель¬ ной скорости проектируется на плоскость, перпендику¬ лярную оси переносного вращения; полученная проекция поворачивается на 90° в сторону вращения относитель¬ ной траектории и умножается на удвоенную угловую скорость.Поворотное ускорение обращается в нуль в следую¬ щих случаях:1)	если переносное движение поступательное (о>Пер“ -0);2)	мгновенной остановки точки в относительном движении (ротн =0);3)	если, относительная скорость параллельна оси вращения (В =0 или я).2.5.	КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА2.5.1.	Поступательное движениеПоступательным движением твердого тела назы¬ вается такое его движение, при котором всякая прямая, неизменно связанная с телом, пе¬ ремешается параллельно самой себе (рис. 2.50). При поступатель¬ ном движении тела траектории всех его точек представляют собой конгруэнтные кривые (СА СД), т. е. кривые, совмещающиеся при наложении, имеют в любой мо¬ мент времени геометрически рав¬ ные скорости (vA=ve)u геоме¬ трически равные ускорения (аА =■с ав).Рис. 2.502.5.2.	Вращение вокруг неподвижной осиЕсли тело имеет неподвижную ось АВ (рис. 2.51), то его положение в произвольный момент времени t оп¬ ределяется углом <р между начальным положением AMqB некоторой плоскости, проходящей через ось враще¬ ния, и ее положением АМВ в данный момент.Закон вращательного дви¬ жения твердого тела вокруг неподвижной оси:ср =/(*). (2.73)Любая точка М описывает круговую траекторию в плос¬ кости М0ОМ, перпендикуляр¬ ной оси вращения.Угловая скорость опреде¬ ляется равенством(2.74)
114РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАи изображается вектором, приложенным в любой точ¬ ке оси и направленным вдопь нее так, чтобы, смотря из его конца в сторону начала, видеть вращение про¬ исходящим против часовой стрелки (в правой системе).Угловое ускорение определяется равенствомd2yt~dtS! ~ 9'Угловая скорость <о сек. -* связана с числом оборо¬ тив п в 1 мин. зависимостями30 о)(2.75)<1> = —- = 0,10472 п: п = ■ 30= 9,549((2.76)Скорости и ускорения произвольных точек вычис¬ ляются по формулам (2.69) кругового движения. Частные случаи1)	Равномерное вращение (o>=const)¥ = ?о + е=0.	(2.77)2)	Равномерно-переменное вращение (e=const)о) = о)0 + еЛ <р = <р0 + °>0t + et2. (2.78)3)	Гармоническое колебание<р = a sin (kt -f- р) ,	(2.79)где а — угловая амплитуда колебания; остальные ве¬ личины имеют те же наименования, что и в прямоли¬ нейном колебании.2.5.3. Винтовое движениеДвижение твердого тела, состоящее из вращатель¬ ного и поступательного, направленного вдоль оси вра¬ щения, называется винтовым (рис. 2.52,0,6). Различа¬ ют движения правовинтовое (Рис- 2.52,а) и левовинто¬ вое (рис. 2.52,6). Расстоя¬ ние А, пройденное проекцией какой-либо точки тела на ось винта при одном оборо¬ те, называется шагом винта.Подъем винтовой линии (траектории произвольной точки М на расстоянии г от оси винта) равенРис. 2.52Скорость точки М равна/ = tg а = г . (2.80) 2 тег— "|/"Ф -f- Г2(о2 .Первые два определяют поступательную часть дви¬ жения, зависящую от выбора полюса, последнее — вра¬ щательную чаегь. от этого выбора не зависящую.Распределение скоростей. Скорость vм любой точки фигуры равна геометрической сумме скорости полюса v0 и скорости вращения vш вокруг полюса (рис. 2.54)Я, =Ч + "ЛЮ.	<2-82>где	vMQ = оЮМ.	(2.83)Рис. 2.53Рис. 2.54Та точка Р фяггуры, скорость которой в данный мо¬ мент равна нулю, называется мгновенным центром скоростей, а совпадающая с ней точка неподвижной плоскости — мгновенным центром вращения. Во вся-ФРис. 2.55кий момент времени скорости точек фигуры распре¬ деляются так, как если бы фигура вращалась вокруг мгновенного центра скоростей (рис. 2.55 а, 6):v А = оо РА , v в = оъРВ.(2.84)Для нахождения Р по vA и о> находим отрезок ЛЯ=» = VA и откладываем его перпендикулярно и Л Сообраз-ОЗно знаку Для нахождения Я по скоростям двух то¬ чек следует восставить перпендикуляры к этим скоро¬ стям, а в случае их слияния провести еще прямую через концы скоростей.<$2.5.4.	Плоско-параллельное движениеПлоско-параллельным или просто плоским движени¬ ем твердого тела называется движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Это движение оп¬ ределяется движением плоской фигуры — проекции тела на плоскость, параллельно которой происходит движение (рис. 2 53). Положение фигуры определяется координатами хо, г/и произвольно выбранной точки — полюса — и углом поворота <р вокруг полюса. Урав¬ нения движения:*о =/i (0 : Jo=/*(0; ?=Л(0- (2.81)Рис. 2.56	Рис. 2.57Точка Р может оказаться в бесконечности. Тогда имеет место мгновенно поступательное движение, при котором скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны между собой, т. е. скорости распреде¬ ляются так, как если бы фигура совершала поступатель¬ ное движение.Проекции скоростей любых двух точек абсолютно, жесткой фигуры на прямую, их соединяющую (рис. 2.56), равны между* собой: vA—vB •Геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости (рис. 2.57) называется не-
2.5. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА115подвижной центроидои, а геометрическое место мгно¬ венных центров скоростей на движущейся фигуре — подвижной центроидой. При движении фигуры подвиж¬ ная центроида II катится по неподвижной /, имея точ¬ кой касания мгновенный центр скоростей.Элементарные перемещения. Все положения, касаю¬ щиеся скоростей точек плоской фигуры, относятся так¬ же к элементарным перемещениям, принимаемым обыч¬ но бесконечно малыми, когда эти перемещения изобра¬ жаются элементарными векторами, направленными по скоростям. Тогда все приведенные чертежи и формулы остаются в силе; следует лишь вместо скоростей v то¬ чек поставить перемещения Ь г, а вместо угловой ско¬ рости w— угол поворота &0.2.5.5.	Движение тела около неподвижной точкиВ случае движения твердого тела около неподвиж¬ ной точки, называемого также сферическим движени¬ ем, положение те,ча определяется углами Эйлера (рис.Рис. 2.592.58): углом прецессии ф , углом нутации 0 и углом собственного вращения <р . Эти углы характеризуют по¬ ложение координатного трехгранника Oxyz, связан¬ ного с телом, по отноше¬ нию к неподвижному трех¬ граннику OfrqC.Линия ON пересечения двух координатных плос¬ костей, принятых за основ¬ ные, называется линией уз¬ лов.Уравнения движения:?=Л«; ф=/2(0; 0=/з(О. (2.85)Распределение скоростей.Во всякий момент времени существует проходящая че¬ рез неподвижную точку прямая 0 2 (рис. 2.59), ско¬ рости всех точек которой равны нулю. Это мгновенная ось вращения тела.Скорость любсй точки М равна моменту вектора уг¬ ловой скорости относительно этой точки. В векторной форме vM=&X>ri в координатной — через координа¬ ты точки (формулы Эйлера):vx = (муг — о>2у ;Vy = (ozx	;	(2.86)V2 — ыху — wyX .Общий случай движения твердого тела. Беря в теле произвольную течку С (обычно центр масс), разлагают движение на поступательное вместе с точкой С и вра¬ щательное вокруг этой точки (рис. 2.60). Скорости (а также ускорения) точек тела находятся, как для слож¬ ного движения.8*2.5.6.	Сложение скоростей или бесконечно малых перемещений при сложном движении твердого тела. Статико-кинематическая аналогияСложение поступательных движений. Результирую¬ щая скорость V (рис 2.61) равна геометрической сум¬ ме составляющих скоростей:У = 2^.	(2.87)Рис. 2.62Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.Результирующая мгновенная угловая скорость 2 (рис. 2.62) равна геометрической сумме составляющих угловых скоростей:5 = 2^.	(2.88)Ф Ф'ф У и,2UРис. 2.63Рис. 2.64Сложение вращений вокруг параллельных осей.При сложении вращений вокруг параллельных осей (рис. 2.63) результирующая угловая скорость Q равна алгебраической сумме составляющих угловых скоро¬ стей, т. е. вместо (2.88) имеем2	=	(2.89)QОРис. 2.66Положение оси 2 определяется по правилу сложе¬ ния параллельных сил.Если Q =0, то тело либо остается в покое, либо со¬ вершает мгновенное поступательное движение.Пара угловых скоростей. Совокупность двух числен¬ но равных, но противоположно направленных угловых скоростей назыгается парой угловых скоростей (рис. 2.64). 3ia пара в смысле распределения линей¬ ных скоростей эквивалентна мгновенному поступатель¬ ному движению с поступательной скоростью, равной мо¬ менту пары: vM—о) АВ. Обратно: всякую поступатель¬ ную скорость можно представить как пару угловых ско¬ ростей.
116РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАСложение вращений вокруг скрещивающихся осей.Параллельным пероносом в точку приложения о>2 (рис. 2.65) с присоединением пары, эквивалентной по¬ ступательной скорости v, задача сводится к сложению поступательного и вращательного движения.Сложение поступательного и вращательного движе¬ ний. В результате приведения поступательных и угло¬ вых скоростей в данный момент времени к данному центру О (рис. 2.66) получается мотор скоростей, т. е. совокупность Уо и 2 , причемQ = Ij <jo;,V0 = £ ШОШ0 (cof) .(2.90)(2.91)Формулы (2.90) аналогичны формулам (2.13). В этом выражается статико-кинематическая аналогия (см. 5.1.2 и 5.1.8). В развернутой форме компоненты мотора ско¬ ростей имеют вид, аналогичный компонентам мотора сил [см. формулы (2.14)]:Qx = Xo)ijc 2у = So)iyVх = lujjp + I ((OjyZj — ЩгУ1)\Vy = Zviy + 2 (щ2Х1 — aixZi);Vz = 2	•В последних трех формулах на первых местах по¬ ставлены поступательные скорости.Различные случаи приведения:1)	2 =0; Vo=0 — пской или мгновенная остановка;2)	2=0; VQ ф 0—мгновенное поступательное дви¬ жение (только по отношению к скорости);3)	2=^ 0; Vo=0 — вращение вокруг мгновенной оси;4)	2=^= 0; V0--£0. 9 =90° — мгновенное плоско-па¬ раллельное движение;5)	2=£0; УоФ®\ 9=0 или 180° — мгновенное винтовое движение (кинематический винт);,6)	2Ф 0; Vo ф0\ 9 — произвольный угол — переме¬ ной центра приводится к предыдущему.Все сказанное о скоростях относится также к бес¬ конечно малым перемещениям. Тогда только вместо ли¬ нейных скоростей следует брать линейные перемещения, а вместо угловых скоростей — угловые перемещения.2.5.7.	Элементы кинематики механизмовОсновные понятия и определения [2]. Подвижное со¬ единение нескольких твердых тел называется кинемати¬ ческой цепью. Тела, образующие цепь, называются звень¬ ями цепи. Простейшая цепь, состоящая из двух звеньев, называется кинематической парой. Кинематическая цепь с одним неподвижным звеном, предназначенная совер¬ шать вполне определенные движения, называется меха¬ низмом. Если все точки кинематической цепи в их отно¬ сительном движении могут перемещаться только парал¬ лельно одной плоскости, цепь называется плоской; в про¬ тивном случае она называется пространственной.Классификация кинематических пар. Кинематическая пара называемся низшей, если соприкосновение ее эле¬ ментов происходит но поверхности, и высшей, если со¬ прикосновение происходит по линии или в точке.Кинематические пары делятся на классы в зависимо¬ сти от числа условий связи, налагаемых на относительное движение звеььеЕь Номер класса S определяется фор¬ мулойS = 6 — И,	(2.92)где Н — число степеней свободы одного звена пары от¬ носительно другого. В зависимости от характера свя¬ зей пгры в пределах класса подразделяются на виды (табл. 2.4).Наиболее часто встречающиеся пары имеют специ¬ альные наименования и условные изображения (рис. 2.67).Пара II класса 1-го вида называется сферической (сферический шарнир) (рис. 2.67,а); IV класса 2-го вида — цилиндрической (рис. 2.67,6); V класса 1-го ви-а),Лг)9) X е)'Ш'Рис. 2.67да — вращательной (плоский шарнир) (рис. 2.67,в,г),2-го вида — поступательной (рис. 2.67,д), 3-го вида — винтовой (рис. 2.67,е).2.5.8.	Кинематические пары, входящие в расчетные схемы сооруженийЭлементами расчетных схем являются брусья (пря¬ мые или кривые) и узлы. Узлы различаются по числу накладываемых ими связей. Важнейшими типами уз¬ лов являются:а)Рис. 2.681)	жесткий узел (6 связей) — всякие перемещения исключаются (рис. 2.1,я);2)	цилиндрический шарнир (5 связей) — кинемати¬ ческая пара V класса 1-го вида (рис. 2.1,/с);3)	линейно-подвижная цилиндрическая шарнирная опора (4 связи) — кинематическая пара IV класса 2-го вида (рис. 2.1,з);4)	шаровой шарнир (3 связи) — кинематическая пара III класса 1-го вида (рис. 2.1,л);5)	линейно-подвижная шаровая опора (2 связи) — кинематическая пара II класса 1-го вида (рис. 2.1,д);6)	плоско-подвижная шаровая опора (1 связь) — кинематическая пара I класса 1-го вида (рис. 2.1, г).Кинематическая цепь Кинематическая цепь назы¬ вается простой, если каждое звено входит не более чем в две кинематические пары (рис. 2.68,а,в); она на-
2.5. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА117Примечание. Буквами К, L, М обозначены соответственно числа перемещений: поступательных, вращательных, винтовых; индекс ,д“ относится к допускаемым перемещениям, индекс *о“ — к ограниченным.
118РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАзывается сложной, если имеется хотя бы одно звено, вхо¬ дящее более чем в две кинематические пары (рис. 2.68,б,г). Кинематическая цепь называется замкнутой, если каждое звено входит по крайней мере в две кинемати¬ ческие пары (рис. 2.68,в,2); она называется незамкну¬ той, если имеются ззенья, «входящие только в одну ки¬ нематическую пару (рис. 2.68,а,б).Если одно звено кинематической цепи принято за неподвижное, то число w степеней свободы относитель¬ но этого эвена называется степенью подвижности или степенью изменяемости цепи (механизма).Рис. 2.69Стр»уктурная формула механизма имеет видw = б/г — 5 рг> — 4/?4 —Зр3 — 2рг—р1% (2.93)тле п — число подвижных звеньев; pi—число пар i-то класса. Эта формула имеет место, если на все звенья не наложены ка^ие-либо общие условия; в про¬ тивном случае уменьшаются все члены правой части (2.93).Так, для плоских цепей имеем формулу Чебышева w = 3 п — 2 д-( — рА.	(2.94)Мгновенные центры относительного вращения звень¬ ев плоской кинематической цепи. При всяком бесконеч¬ но малом перемещении произвольных трех звеньев плоской кинематической цепи /, пг, п центры их взаим¬ ного «ращения Pmu Рпт, Pni лежат на одной пря¬ мой (рис. 2.69) (теорема Аронгольда — Кеннеди).Планы скоростей. Зная скорость v А точки А звена АВ цепи и направление скорости точки В (рис. 2.70,а),откладываем из произвольного полюса О (рис. 2.70,6Щ отрезок Оа, равный и параллельный vА , из конца а ко¬ торого проводим прямую аЬА-АВ, г_ из полюса О — пря¬ мую ОЬ, параллельную скорости vB Фипура ОаЬ пред¬ ставляет собой полярный план скоростей звена АВ. Здесь ОЬ представит собой_скорость vB точки В, a ab— ее относительную скорость vBA. Скорость любой третьейРис. 2.70точки С звена получаем построением треугольника авс, подобного треугольнику ABC, но повернутого относи¬ тельно него на 90° в сторону вращения. Откладывая ско¬ рости точек А, В, С от этих точек перпендикулярно их действительным скоростям, получим также подобную фигуру А'В'С', определяющую собой неполярный план повернутых или нормальных скоростей (рис. 2.70,а). Очевидно, что поворотом скоростей на 90° можно полу¬ чить неполярный план действительных скоростей, а так¬ же полярный план нормальных скоростей.Планы скоростей звеньев кинематической цепи строят последовательно, переходя от звена к звену.Приведенное построение сохраняет силу и для бес¬ конечно малых перемещений.ДИНАМИКА2.6.	МЕХАНИЧЕСКИЕ ЕДИНИЦЫ2.6.1.	Правило размерностейВ основе измерения всех механических величин ле¬ жат три единицы, называемые основными, через кото¬ рые могут быть выражены все прочие единицы, называ¬ емые прои?водными. По роду основных единиц разли¬ чаются системы (табл. 2.5):метр — килограмм — секунда (МКС); сантиметр — грамм — секунда (СГС); метр — килограмм — сила — секунда (МКГСС) *.В первых двух системах в качестве основных еди¬ ниц приняты единицы длины (L), массы (М), времени (Т)\ в третьей системе — единицы длины (L), силы (F), времени (Г). Каждая единица «в любой системе имеет свой размер, под которым разумеется формула, выражающая данную единицу через основные единицы (табл. 2.5), составленная на основании ГОСТ 7664-55. Способ получения производной единицы [Q] из основ¬ ных единиц для измерения некоторой величины Q запи¬ сывается в виде формулы, называемой формулой раз¬ мерности.Формулы размерности имеют вид [3, 5, 16]: в системах МКС и СГС		| Q\=L'MT1\	(2.95)*■ Система МКГСС называется также технической системой?161.© системе МКГСС[Q]=LXf'1t\	(2.96)Показатели степени a, (J . . . n называются раз¬ мерностями измеряемой величины. Все члены уравнения, выражающего какой угодно механический процесс, должны быть однородны относительно каждой из трех основных единиц.Внесистемные единицы и главнейшие соотношения между единицами различных системМасса: 1 тонна (т) = 103 кг = 106 г = 101,972 кГсек2/м\1	кГсек2!м = 9,80665 кг = 9806,65 г.Сила: 1 тонна-сила (тс) = 103 кГ=9,80665* 103 я;1	« = 0,101972 кГ.Работа и энергия: 1 дж= 107 эрг=0,101972 кГм;1	ватт-час (em-ч) = 3,6* 103 дж\1	кГм = 9,80665 дж.Мощность: 1 лошадиная сила (л.с)=75 кГм!сек=* =735,499 вт;1	ет = 0,101972 кГм/сек.
2.7. ДИНАМИКА ТОЧКИ—	119*Таблица 2.5Системы механических единицНазваниевеличиныНаименование системыметр—килограмм—секунда (МКС)размерность*сантиметр—грамм—секунда (СГС)метр—килограмм—сила—се¬ кунда (МК1СС)*размерностьединица и ее размерединица и ее размерединица и ее размерДлинаМассаВремяСкоростьУскорениеЧастотаУгловая скорость Угловое ускорение СилаРабота и энергияМощностьДавлениеметр (-и) килограмм (кг) секунда (сек.) м/секм/сек*1герц (гц) = 1рад/сек рад/се к2 ньютон (н) = квм/сека джоуль (дж) = 1 нм ватт (вт) = 1 дж/ее к н/м1L1 М1 Г LT-1ит~2т~1г-1г-2С‘М1Т~2/ЛИТ-3сантиметр (см) грамм (г) секунда (сек.) см/сек см/се к2 герц(гц) рад/сек рад/сек3 дина (дин) = 1 г см/сек- эрг (эре) = 1 дин см эрг/ се к dun/cM*метр (м) кГ сек21м секунда (секЛ м/сек м/сек1 герц («ц = 1-^- рад/сек рад/сек2 килограмм-сила (кге или кГ)** кгем или кГ м кге м/сек или кГм/сек кге/м* или кГ/м*L1Т1L'f~lLir~~2г-*1г"*1FLL'F1LlFlT~lL”2/:1♦ Относится к системам МКС ■ СГС.** В последующих разделах килограмм-сила обозначается кг.Давление'. 1 миллиметр ртутного столба (мм рт. ст.) = =133,322 н/м2;1	миллиметр водяного столба (мм вод. ст.) = «=9,806651	техническая атмосфера (ат млн кГ/см2)**=9,80665 • 104 н!м\Примечание. При расчетах с точностью не выше 0,1% вместо чисел 0,101972 ш 0,980665, умноженных на стдеенн 10. берут соответственно 0.102 и 0,98.2.7.	ДИНАМИКА ТОЧКИ2.7.1.	Основные законыЗакон инерции (1-й закон НьютонаJ. Всякое тело, находящееся в состояния покоя или равномерного пря¬ молинейного движения, будет всегда находиться в этом состоянии, пока какая нибудь приложенная сила не вы¬ ведет его из этого состояния. Системы отсчета, в кото¬ рых этот закон выполняется, вазываются инерциальны- ми; в первом приближении иверциальной системой яв¬ ляется всякая система, связанная с землей.Закон изменения движения (2-й закон Ньютона}. Из¬ менение количества движ?аия пропорционально прило¬ женной силе и направлено в т,у же сторону. Иная фор¬ мулировка этого закона, более удобная для приложе¬ ний: ускорение материальной точки пропорционально приложенной сипе и направлено в сторону силы. Отсю¬ да следует основное уравнение динамики:(2.97)где т — масса точки;£ —ее ускорение;Р — сила (рис. 2.71).Если вес тела — G, ускорение силы тяжести — g,тоG_£(2.98)Для средней широты £=9,80665 лс/се/е2«9,8 м/сек2; 1/£=0,102 сек2/м.Закон дейсаия и противодействия (3-й закон Нью¬ тона). Действию всегда есть равное и противоположное противодейстрие, или взаимодействия двух тел друг на друга всегда равны между собой и направлены в проти¬ воположные стороны.Этот закон имеет место как при	\ротносительном покое тел, так и при их движении.	рЗакон независимости действия сил.Под действием нескольких сил мате¬ риальная точка получает ускорение, равное геометрической сумме ускорений, получаемых под действием каждой силы в отдельности.2.7.2.	Прямолинейное движение точкиЕсли отнести точку с мчссой т, находящуюся под действием силы Р, к координате s (рис. 2.72), диф¬ ференциальное уравнение движения имеет видт рачт	= Р.at*(2.99)Рис. 2.72При задании^ закона движения s=f(t) (примая* или первая зада¬ ча динамики) сила Hixjflnrcfl двукратным дифференцированием. При задании силыP—P(t, s, s) (обратная или вторая задача динамики) закон движении находится HHiei ририванием дифферен¬ циального уравнения движения. Две посюинные ин(ег- рирования С1 и Сг определиклся из начальныл условий: при t = *оS = s0; s=v0.
120РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2.7.3.	Криволинейное движение точкиВ декартовых координатах уравнения движения сво¬ бодной материальной точки имеют видт х ~ X ту = Y , m z — Z,	(2.100)где т — масса точки;х,	у, г — ее координаты;X, Y, Z — проекции действующей силы, являющиеся вообще функциями от t\ х, у. Z; *, у, г.Шесть постоянных интегрирования определяются по начальным условиям при t—t0 (обычно /о=0);*	=*0; У = Уо>	х = х0 ; у = у0 ; г = г0.В случае несвободной точки к X, Y, Z добавляются реакции связи: N г, Л/у, Nz,В естественной форме (т. е. в проекциях на каса¬ тельную, главную нормаль и бинормаль) уравнения движения свободной материальной точки имеют вид dv	v2т — =рх; т—=Рп; 0 = РЬ, (2.101)0	где р — радиус кривизнытраектории;Ят, Рп, Рь — проекции действую¬ щей силы.Если точка не свободна, то добавляются реакции связей Nx (А/х =0 при идеальной связи), Nnt Nb.Математический маятник. Плос¬ ким круговым математическим маятником называется мате¬ риальная точка, движущаяся по дуге окружности в вертикальной плоскости под дейст¬ вием силы тяжести (рис. 2.73).Уравнение движенияS	. ср =— -у- Sin <р(2.102)где I — длина маятника;ср — угол отклонения от вертикали.Для малых углов период колебания (полного)-2*/т •(2.103)При амплитуде < 8° погрешность этой формулы меньше или равна 0,1%, приа< 22° погрешность мень¬ ше или равна 1%.На рис. 2 74 R=mG — деятельная сила, Q — поте¬ рянная сила (уравновешивает N).Разложение сил инерции. В общем случае (рис. 2.75) Ф разлагается на тангенциальную или касательную си¬ лу инерции Фт и нормальную или центробежную силу инерции Фп:^	dv	v2Фт= — т— ; Ф =— т	, (2.106)dt ргде р— радиус кривизны траектории.В случае кругового движения (ра¬ диус окружности г).Фт = —тгг\ Фл = —mu>2r. (2.107)Рис. 2.74Относительное движение точки. Система О '£ ?)£— инерциальная, Oxyz — неинерциальная, т. е. движущаяся по отношению к первой зообще неравномерно и непря¬ молинейно (рис. 2.76). Чтобы составить уравнения дви¬жения точки массы т в этой подвижной системе, сле¬ дует к заданным силам и реакциям связи прибавить силы инерции_— переносную ФПер и кориолисоаую или поворотную ФПОв.гдета = Р + N+Фпер + Фпов •ФпеР = т апер » Фпов = тапов< В координатной форметх = Рх “Ь Nx ФпеР х ”Ь Фпов х‘ ту = Ру + Ny + ФпеР у + Фпор У ; mz = Pz + М2 + ФПер г + Фповг*2.8.	ДИНАМИКА СИСТЕМЫ(2.108)(2.109)2.7.4.	Кинетостатика точки. Относительное движениеСила инерции. Силой инерции Ф материальной точ- ки называется сила, равная произведению массы точки ва ее ускорение и'направленная противоположно уско¬ рению:Ф= — та.	(2.104)Принцип Далрмбера. Если к материальной точке Приложить силу инерции, то активная сила Р (точнее — равнодействующая всех активных сил), реакция связи N и сила инерции Ф будут в равновесии (рис. 2.74)Р + АЧ-Ф=0.	(2.105)2.8.1.	Общие теоремы динамикиКоличество движения. Количество^ движения мате¬ риальной точки называется вектор mv.Количеством движения системы, или, точнее, глав¬ ным вектором количеств движения системы, называется геометрическая сумма количеств движения всех точек системыК = 2 ты.	(2.110)В проекциях:Кх = £ mivix : Ку = Ътр1у; Кг = Ъ mjviz. (2. Ill)Если М — полная масса системы, vc — скорость центра масс (или центра инерции), тоK = Mvc.	(2.112>
2.8. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ121Теорема количеств движения (в дифференциальной форме). Производная по времени от главного вектора количеств движения системы равна главному вектору внешних сил:dKdt= R = lPhВ координатной форме:dK,dt= RXdKУ n dt ~R>dKzdt(2.113)(2.114)Импульсом силы за промежуток времени t называ¬ ется вектор_ t5 =	(2.115)с проекциямиt t t Sx = § Xdt; 5y = J У dt; S2 = $Zdt- (2.116)Размерность 5 и К — одинаковая, равная в системе МКГСС — F'T', в системах СГС и МКС — LlMxT-'.Теорема импульсов (теорема количеств движения в конечной форме). Геометрическое приращение главного вектора -количеств движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил за тот же промежуток:К-Кй = Ъ~5.	(2.117)В координатной форме:Kx Kqx = ^ Six ' Ку Kfty = £ SiyKz-Koz = lSiz.■}(2.118)В случае уравновешивания внешних сил К=Ко.Все сказанное остается в силе для случая одной материальной точки, когда вн.-»к 2 и индекс i опу¬ скаютсяТеорема о движении центра масс (также центра инерции, центра тяжести). Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние си¬ лы, действующие на систему.Если хс, Ус» *с — координаты центра масс, ас—его ускорение; М — масса системы; R — главный вектор внешних сил, тоМас = R .(2.119)В координатной форме дифференциальные уравне- вия движения центра масс:Мхс = Rx ; Мус = Ry ; Mzc = Rz.(2.120)Кинетический момент. Моментом количества дви¬ жения материальной точки относительно некоторого центра О (напоимер, начала координат) называется вектор, равный ry^mv, где г— радиус-вектор частицы т относительно О; это определение аналогично определе¬ нию момента силы. Главным моментом количеств дви¬ жения системы или кинетическим моментом системы относительно некоторого центра (например, начала ко¬ ординат) называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно •того центра:L0 = £ mum0 {mpt) = £ riXtriiVi. (2.121)Проекции Lo на оси координат, проходящие через Ог называются главными моментами количеств движения системы (или кинетическими моментами) относительно осей:Lx = 2 тотx(mi v{) = 2 mi(ytvlz — ztviy); Ly = 2 тоту(тр1) = 2 mi (z{Oix — */&/*); Lz = l momz(miVi) = '2ml (хму — yiVix) .(2.122>Теорема моментов количеств движения идя теорема о кинетическом моменте. Производная по времени откинетического момента системы относительно мекото- рого центра (неподвижного, а также относительно цент¬ ра масс) равна главному моменту внешних сил относи¬ тельно того же центра:dL() — — _— =Л40 = 2Л*0 (Pi)- dtВ координатной форме: dLv= Мх;dtdLy~~dT• = Afv(2.123)(2.124)dLzdt= M2Если M0=0, to Lo=const по величине и направлении^ Кинетическая энергия. Кинетической энергией (ил* живой силой) материальной точки называется положи¬ те2тельная величина . Кинетической энергией матери¬ альной системы называется сумма кинетических энер¬ гий всех ее точек:■-S-(2.125)Теорема кинетической энергии для системы. Прира¬ щение кинетической энергии системы на некотором пе¬ ремещена. (элементарном или конечном) равно сумме работ всех приложенных сил: внешних, внутренних и реакций связей (если связи не идеальные, например упругие опоры):Т - Т0 = 2 Лвнеш + 2 ЛВНУТ + 2 ЛРеак. (2.126)Если система неизменяемая, то 2ЛвНУт = 0; если связи идеальные, то 2Лреак = 0.При движении в потенциальном поле имеет место закон сохранения механической энергииТ + II = Т0 4- П0 = const.(2.127)где П — потенциальная энергия системы. В этом слу¬ чае система называется консервативной.2.8.2.	Общие принципы динамики системыПринцип Даламбера. Если ко всем точкам системы приложить силы инерции, то активные силы, реакции связей и силы инерции будут уравновешиваться.Уравнения равновесия 'оставляются таким же обра¬ зом, как в статике, и носят название уравнений кине¬ тостатикиОбщее уравнение кинетостатики. Объединение прин¬ ципа возможных перемещений и принципа Даламбера гласит: сумма элементарных pafVrr всех активных сил, приложенных ь материальний cucieMe, подчиненной
122 -РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКАидеальным неоовобождагощим связям, и сил инерции на всяком возможном перемещении разна нулю, т. е.X [(Xi — mi Xi) bxi + (У (— mt у *) By* + + (Zl-mizi)bzi) =0,	(2.128)где X i, Yi, Zi—проекции активных сил, а также упру- гих реакций;xi,	yi ,?i —координаты точек их приложения.Принцип Остроградского—Гамильтона. Если сравнить действительное движение консервативной системы («прямой путь») с любым кинематически возможным, бесконечно близким к нему («окольный путь»), происхо¬ дящим в течение одного и того, же промежутка времени и между одними и теми же положениями («конфигура¬ циями»), то вариация «действия» при переходе с прямо¬ го пути к окольному равна нулю*|СГ — П)Л = 0,(2.129)где интеграл представляет собой действие.Уравнения Лагранжа 2-го рода. При отнесении дви¬ жения системы к обобщенным координатам qu <72,..., Цк уравнения движения имеют видdt\dqf j dQf(2.130)где Т —кинетическая энергия системы;<7ь—, qk—обобщенные скорости;Qi,.... Qk—обобщенные силы.Эти уравнения являются обыкновенными дифферен¬ циальными уравнениями второго порллка относительно обобщенных координат.2.8.3.	Моменты инерцииМоментом инерции I массы тела относительно точки, оси или плоскости называется сумма произведений эле¬ ментов массы тела на квадраты их расстояний до точки, оси или плоскости:(2.131)Размерность момента инерции: ® системах МКС и СГС — L2M (гсм2 или кем2); в системе МКГСС — LlF]T2 (кГ мсек2).Если М — полная масса тела, G — его вес; — радиус инерции геля относительно оси Д , то момент инерции относительно оси А/д = Mil ,Если R — проазв'ольная длина, то(2.132)(2.133)где — масся, приведенная к радиусу R.Теорема о параллельных осях (теорема Штейнера). Момент инерции гела относительно какой-либо оси ра¬ вен сумме момента инерции относительно оси, парал¬ лельной первой и прочодяшей через ею центр масс — центральной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:Таблица 2.6 Моменты инерции некоторых телФигура или телоМомент инерцииг.. о£-1/2-Идеально тонкий стер¬ жень/,=М/а12Прямоугольный парал¬ лелепипед (оси х, у, г про¬ ходят через центр тяже¬ сти и параллельны соот¬ ветственно сторонам а,Ь,	с)Мх~~\2(b% + ci)‘Му= "ПГ(с2 + аг): м1г = (а* + Ь2).При с->0 получаем пря¬ моугольную пластинкуПрямой круглый ци¬ линдр, О —- центр тяже¬ стиМ= /у = — (3 Г* + ;Mr*2	' При h-+0 получаем круг лый дискПрямой круглый ко¬ нус, О—центр тяжестиJ = 1С + МК>.(2.134)e,'=¥M(f!+ т):3МО
2.9. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА123Продолжение табл. 2.6Фигура или телоМомент инерцииZ */z = 4- Mr35Шар0'Шаровой секторMh п 1г= —(3r — k) =Мгг= —- (1 — COS a)(2-f COS a).5В случае полушара а =2= 90°, /2 = — Mr2 521Т'и,‘Параболоид вращенияОсь z называется главней осью инерции, если /«г33 = I zx = 0.Если тело симметрично относительно оси, то эта ось главная. Если тело симметрично относительно плоско¬ сти, то всякая прямяя, перпендикулярная этой плоско¬ сти, есть главная ось.При повороте осей координат вокруг одной из осей, например оси г (С) (рис. 2.78):= 1Ху cos 2 а 4- (1Х — /у) sin 2 а. (2.138)Моменты инерции некоторых однородных тел бтно- сительно главных центральных осей приведены в табл. 2.6.2.9.	ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА2.9.1.	Вращение тела вокруг неподвижной осиВ дальнейшем за ось вращения принята ось 2; вра¬ щающий момент (сумма моментов всех сил относитель¬ но оси вращения) обозначен через М2\ остальные обо¬ значения уже применялись.Кинетический момент относительно оси вращения1г = 12 со.	(2.139)Кинетическая энергияТ=-^-1го>*.	(2.140)Дифференциальное уравнение вращенияI# = MZ.	(2.141)Момент инерции тела относительно оси А, проходя¬ щей через начале координат и образующей углы Р, 7 с осями (рис. 2.77), равен/д = Iх cos2 а + cos2 Р + lz cos2 Т—	2 1у2 cos р cos 7 — 2 lzx cos 7 cos a ——	21xy cos acos p,	(2.135)где Ix, Iy, 12— моменты инерции относительно осей коор¬ динат;iу2,I2X, Iху— центробежные моменты инерции или про¬ изведения инерции:\х (у2 .j. Z2) dm ; Iy = ]“ (z2 + х2) dm ;lz = J (x2 + у2) dm ; Iyz = J yz dm; i^\zx dm; Ixy = J xy dm.(2.136)m,,/CccРис. 2.77Рис. 2.78Если оси 6, т), С параллельны осям х, у, z и про¬ ходят через центр тяжести тела, тоIyZ — Мус2с -f- 7^ И т. д.(2.137)2.9.2.	Физический маятникФизическим маятником называется твердое тело, колеблющееся около неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести (рис.2.79).Точка О — пересечения оси под¬ веса с плоскостью, ей перпендику¬ лярной и проходящей через центр тя¬ жести маятника, называется точкой подвеса.Дифференциальное уравнение ко¬ лебаний физического маятника тож¬ дественно с уравнением колебаний математического маятника, имеюще¬ го длинуmh(2.142)называемую приведенной длиной физического маятника.Здесь: т—масса маятника; h — расстояние его центра тяжегти с от течки подвеса; /о — момент инер¬ ции относительно оси подвеса.Конец К отрезка I (рис. 2 79) [взывается центром качания маятника.Приближенная формула для периода колебаний(2.143)Зная из вычислений и опыта h, G, ?, можно най¬ ти г0.
124РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2.9.3. Давление вращающегося тела на опорыА, В — течки опоры (подшипники или подпятники); О — произвольная точка на оси вращения (рис. 2.80). Полные реакции опор слагаются из статических, опреде¬ ляемых по правилам статики, и добавочных динамиче¬ ских, перпендикулярных оси и вращающихся вокруг нее вместе с телом.; а)n\b°\6)N',МЖРис. 2.81Последние в свою очередь распадаются на реакции Nx , N2 , обусловленные главным вектором R^ сил инерции, и N\, N2 , обусловленные глявным моментом сил инерции (рис. 2.81 ,а,б) [8, 12]:R* = тгс У о>4 + е* ;(2.144)гдет—полная масса тела; гс — расстояние центра тяжести от оси враще¬ ния.Если h == h\ -f Л2, тоN[ = /?ф — ; Л?2==У?Ф—; А	Л(2.145)Условия свободной оси (добавочные давления от¬ сутствуют): ось вращения должна быть главной (/ yz= в / г* = 0) и центральной (хс = ус= 0) осью инерции. В этом случае имеет место динамическая уравновешен¬ ность; если же «выполняется только второе условие (хс = Ус = 0), уравновешенность называется статиче¬ ской.2.9.4.	Плоско-параллельное движениеПусть К — сечение тела неподвижной плоскостью, лроходящей через центр тяжести с; R — главный век¬ тор всех сил; Мс — их главный момент относительно оси, проходящей через с, перпендикулярной плоскости (рис. 2.82); /с момент инерции тела относительно этой оси. Дифференциальные уравнения плоско-парал¬ лельного движения:тхс = Rx\ т ус — Ry ;1су = Мс. (2.146) Кинетическая энергия(2.147)2.10. УДАР2.10.1. Основные положенияУдаром называется явление, происходящее в механи¬ ческой системе, характеризуемое резким изменением скоростей ее точек за весьма малый промежуток време¬ ни и обусловленное кратковременным действием весьма больших сил. Этими силами, называемыми мгновенными, могут быть как силы активные, так и реакции мгновенно на¬ лагаемых связей. В последнем случае удар называется неупру¬ гим, если наложенные связи сохраняются при дальнейшем дви¬ жении системы; удар называется упругим (вполне или невполне), если за мгновенным наложением связей следует мгновенное снятие связей. Действие мгновенной силы Р измеряется ее импульсом:S=lPdt,0(2.148)где т — время удара. Импульс S называется ударным импульсом или просто ударом. Импульсами конечных сил (неударных) при ударе пренебрегают.Удар точки о поверхность. Скорость падения (до удара) v и скорость отражения и (после удара) разла¬ гаются на нормальные и тангенциальные составляющие:vn = v COS а ; vx = V sin a ;u„ = u cosS; u4. = u sinS,(2.149)где а и p — углы падения и отражения (рис. 2.83).Для проекций скоростей имеют место соотноше¬ ния [9]= £; 	= 1— X,	(2.150)где k — коэффициент восстановления;X—коэффициент мгновенного трения*•Эти физические константы определяются экспери¬ ментально для каждой пары соударяющихся тел (здесь — частица и поверхность). Предельные случаи:k = 0 — тела абсолютно неупруги;k= 1—тела абсолютно упруги;Х=0— тела абсолютно гладки;X = 1 — тела абсолютно шероховаты.Вообще 0<&<1, 0<Х<1; при этом часто полагают X =0.Основные уравнения удара. В общем случае для каж¬ дой оси координат имеют место уравнения:а)	количества движенияА КХ = Ъ Six;	(2.151)б)	движения центра массМ Ьл>сх = 2 Six;в)	моментов количеств движенияД£*= £* mom* (Si).(2.152)(2.153)
2.10. УДАР125Аналогичные уравнения могут быть написаны для осей у и z. Здесь всюду входят импульсы только мгно¬ венных сил.2.10.2.	Удар двух телОпределения. Прямая, проходящая через точку сопри¬ косновения тел при ударе, направленная параллельно относительной окорости их центров тяжести в начале улара, называется линией удара. Удар называется цент¬ ральным, если линия удара проходит через центры тяжести тел, в противном случае — эксцентричным, или внецентренным. Удар называется прямым, если ли¬ ния удара перпендикулярна элементарной площадке соприкосновения тел при ударе, в противном случае он называется косым.Прямой центральный удар. Пусть т\ и т2 — массы тел; vx и v2— окорости до удара (берутся со знаком плюс или минус в зависимости от и* направления вдоль линии удара); и\ и и2 — скорости после удара; w — об¬ щая скорость тел в момент наибольшего сближения. Тогдаm1vl А- т2и2 т1 + т2и2 = w + k (t/j — v2)ТП\ -j-ml 4- m2(2.154)(2.155)Полный импульс за время удараmxm2 (vx —v2) (1 -f k)S =ml + m2(2.156)Потерянная кинетическая энергия1—k	m1m2 (Vi—v2)2 (1 — k1)т°-т=тп;т =' "~2k+^—(2157)где T* — кинетическая энергия потерянных скоростей;тл	mоТ* = -у (у1 - “l)2 + Y (** ■- и2)2 =__ mlm2(vl —v2)2( 1 4- &)22	(т1 4- т2)(2.158)Частные случаи:k == 0 ; Т0 — Т = Т* (теорема Карно) ;k = \; Т0 — Т = 0 .2.10.3.	Действие удара на вращающееся твердое телоДля твердого тела, вращающегося вокруг оси г и подвергающегося действию ударов, имеет место урав¬ нение12Аа> = £momz (Si),(2.159)где Ди есть изменение угловой скорости за время х действия импульсов Si. S2t...Условия, при которых ось вра¬ щения АВ тела (рис. 2.84) не испыты¬ вает действия удара 5, приложенного в точке К тела (ось z — ось враще¬ ния, ось х проходит через точку К):1)	удар S должен быть направ¬ лен перпендикулярно оси вращения;2)	удар должен быть направлен пер¬ пендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и центр тяжести с (следовательно, точки К и с долж¬ ны лежать в одной плоскости с осью г); 3) ось вращения должна бытьглавной осью инерций в 10чке пересечения ее с плос¬ костью хОу, проходящей через /С; 4) точки с и К должны лежать по одну сторону оси вращения, причем должно иметь место равенствоРис. 2.84hi = I;2(2.160)где iz — радиус инерции тела относительно оси г.Эта формула определяет приведенную длину физи¬ ческого маятника [см. формулу (2.142)]. Точка К в этом случае называется центром удара.Если тело имеет плоскость материальной симметрии, перпендикулярную оси вращения (например, плоскость хОу), то точки Кис лежат в этой плоскости.ЛИТЕРАТУРА1.	Ананов Г. Д., Метод ортогональных проекций в задачах механики, Гостехиздат, 1948.2.	Артоболевский И. И., Теория механизмов, Гостех¬ издат, 1952.3.	Беклемишев А. В., Меры и единицы физических величин, Гостехиздат, 1954.4.	В о р о н к о в И. М., Курс теоретической механики, Гос¬ техиздат, 1954.5.	ГОСТ 7664-55.6.	Ж у к о в с к и й Н. Е., Полное собрание сочинений; лек¬ ции. вып. 3-$, НКАП СССР, ГИОП, 1939.7.	Кирпичев В. Л., Основания графической статики, ГТТИ. 1933.8.	Лойцянский Л. Г. и Лурье А. И., Курс теорети¬ ческой механики, ч. I, II, Гостехиздат, 1954.9.	Некрасов А И., Курс теоретической механики, ч. I, II, Гостехиздат, 1950—1953.10.	Н и к о л a v Е. Л., Теоретическая механика, ч. I, II, .Гостехиздат, 1950.11.	Обморшев А. Н., О видоизменении способа Ритте¬ ра расчета ферм; Труды Моск. механико-машиностроительного института имени Баумана, вып. 31, 1935.
126РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА12.	О б м о р ш е в А. Н., Вычисление опорных реакций вра¬ щающегося твердого тела, Труды кафедры теоретической меха¬ ники МВТУ имени Баумана; изд. МВТУ, 1949.13.	Попов А. А., Метод ортогональных фокусов в строи¬ тельной механике, Гос. изд. литературы по строительству и ар¬ хитектуре, 1953.14.	Рабинович И М, Строительная механика стержне¬ вых систем, ч. I, Стройиздат, 195015.	Седов Л. И., Методы подобия и размерности в меха¬ нике, Гостехиздат, 1957.16.	С е н а Л. А., Единицы измерения физических величин, Гостехиздат, 1949.17.	Справочник машиностроителя, т. II, III, Машгиз, 1955.18.	Терминология общей механики. Серия «Сборники реко¬ мендуемых терминов», Изд. АН СССР, 1955.19.	У м а н с к и й А. А., Пространственные системы, Строй¬ издат, 1948.20 У м а н с к и й А. А., Статика и кинематика ферм, Гостех¬ издат, 1957.21. Энциклопедический справочник «Машиностроение», т. L кн. 2, Машгиз, 1947.
РАЗДЕЛ 3НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ3.1.	НАПРЯЖЕНИЯто отношение “гг будет стре- Дг3.1.1.	Основные понятияТвердое тело, находящееся под воздействием систе¬ мы внешних сил, мысленно разделяется какой-либо по¬ верхностью, например плоскостью, на две части / и // (рис. 3.1). Эти части тела действуют друг на друга с силами, распределенными по разделяющей их поверх¬ ности. Обозначим через АР равнодействующую тойччети усилий, распределен¬ ных по поверхности сечения, которая приходится на пло¬ щадку A F. Если стяги¬ вать контур, ограничиваю¬ щий площадку A F, к точке —I—j—^ ^	а, т. е. стремить AF к нулю,А Рмиться к некоторому преде- рис з j	лу, который называется на¬пряжением в точке А на площадке A р Напряжение определяет интенсивность сил, действующих на площад¬ ку ДР в точке А. На разных плсшадках, проходящих через одну и ту же точку, напряжения различны.Вектор полного напряжения в точке А на площадке ДР с нормалью п (рис, 31).АРРп= Ит — ,	(3.1)af-*o AFгде рп— величина полного напряжения в точке А на площадке A F. Размерность напряжения: сила	 (кг/см2, кг!мм2).площадьНормальное напряжение есть проекция вектора пол¬ ного напряжения на нормаль п.ап = Рп cos (рп,п).(3.2)* Касательное напряжение есть проекция рп на плос¬ кость площадки A F:—	P/tSin (Рп> п).(3.3)Главные напряжения. Площадки, л а которых каса¬ тельное напряжение равно нулю, называются глав¬ ными. Нормальные напряжения, действующие на глав¬ ных площадках, называются главными напряжениями. В общем случае через любую точку проходят три вза¬ имно-перпендикулярные главные площадки. Главные напряжения обозначаются через аь с2, o3f при этом с, ^ о2 >о3. Нормальные напряжения в точке на глав¬ ные площадках достигают экстремальных значений.Свойство парности касательных напряжений. Если на площадку 1 действует касательное напряжение х ь то на площадку 2, перпендикулярную вектору ть ^дейст¬ вует касательное напряжение т2 = ть Векторы х, и xt перпендикулярны линии пересечения плоскостей, в ко¬ торых расположены площадки 1 и 2.3.1.2.	Одноосное напряженное состояниеНапряженное состояние называется одноосным, если вектор полного напряжения рп (рис. 3.2) на любой пло¬ щадке параллелен одной и той же оси. Иначе: напря-Рис. 3.2женное состояние является одноосным, если только' одно из трех главных напряжений отлично от нуля. Примеры — растяжение прямого бруса, чистый изгиб. Напряжения на площадке с нормалью п (рис. 3.2).Полное напряжение рп = °.v cos а \нормальное напряжение = ах cos2 а ;1касательное напряжение тп ==	sin 2 а,(3.4)где а*— напряжение на площадке, перпендикулярной векторам полных напряжений, т. е. главное напряжение оь отличное от нуля.Напряжение считается положительным, если век- тор внешней нормали п к рассматриваемой площадке для совмещения по направлению с ректором ъп должен быть повер«\ i на 90° по часовой стрелке (рис. 3.2).Наибольшее и наименьшее касательные напряжения(3.5)шах, шт ‘2Напряжения Tniax,min которых а =45°, 135°.действуют на площадках, для
128РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ3.1.3.	Плоское напряженное состояниеЕсли напряжения на любой площадке параллельны одной и той же плоскости, напряженное состояние на¬ зывается плооким (рис. 3.3). Иначе: напряженное со¬ стояние является плоским, если одно из трех главных напряжений равно нулю,*тах, min ° ^	°1 > ° " ^ 5Тт«, т(п = * -ГГ -если °» <° и 32<0(l<»ll < I I )•■6, '-* иРис. 3.4Направления напряжений на рис. 3.3 приняты за по¬ ложительные. Угол а положителен, если он откладыва¬ ется от оси х к оси у. На площадке с нормалью п: нормальное напряжение1(3.6)сл = — (о* + оу) -I- — (ах — Оу) cos 2 а +Н- zxy sin 2 я ; касательное напряжениехп = - j- (ах — Оу) sin 2 а — zxy cos 2 а,При а = О хп = — %ху.Положительное направление т„дано на рис. 3.3. Правило знаков для по формуле (3.6) то же самое’, что для напряжений по формуле (3.4).Главные напряжения на площадках, перпендикуляр¬ ных плоскости напряжений:о = ■ 1.2°х + ауWT,)Ч 4-(3.7){Поскольку здесь рассматриваются только два главных напряжения, они обозначены через и а2, хотя может оказаться, что <*2<0, т. е. а2 не будет средним из трех главных напряжений.) Углы и а2, составляемые нормалями к главным площадкам с осью х:ихуq2	 q.tzxy(3.8)Наибольшее и наименьшее касательные напряжения4 тху(3.9)Эти напряжения действуют на площадках, располо¬ женных под углом 45е к гласным площадкам / и 2.Если главные напряжения а, и а2 имеют одинако¬ вый знак, то наибольшее касательное напряжение дей¬ ствует на площадке, расположенной под углом 45° к плоскости напряжений (плоскость ху). В этом случаеРастяжение по двум направлениям (рис. 3.4)= а1 I ау — а2 •1 1 о„ = — (в, + о2) — (в! — Oj) cos 2 а ;т„=	— o4)sin2a.1При а, > 0 и а5 < О Tmax> mln = ± — (а, — а2) ; при Oj > 0 и о2 > 0; tmai ml0 = ± ;при ох < 0 и о2 < 0 xfflax_ min = Т ф2| > |oJ )Чистый сдвиг (рис, 3.5 Jох — Оу :— 0 \ Qfi = tjfy sin 2 я j тpi —■ ~“ х^у COS 2 аel,2 = i Trv » Tmax, min = ^ хд:у * (3.11)j (3 10)3.1.4. Объемное напряженное состояниеКомпоненты напряжений в точке. Проекции векторов напряжений рх, ру* рг. действующих на площадках, перпендикулярных осям координат х, у, 2, на эти оси называются компонентами напряжений.	щКомпоненты напряжений на площадках, перпенди¬ кулярных сям х, у, 2, обозначаются соответственно(рис. 3.6): a*. zxy, тГ2; Туг, dy, TyZ ; тгл., т2у. o2.Первый индекс показывает, какой оси перпендику¬ лярна площадка действия напряжения, второй — какой оси параллельно напряжение.Правило знаков для компонентов напряжения. Если направления внешней (по отношению к рассматриваемой части тела) нормали к площадке и параллельной ей оси совпадают, то положительными направлениями компо¬ нентов напряжений на этой площадке считаются на¬ правления осей координат. Согласно этому правилу
3.1. НАПРЯЖЕНИЯ129нормальное напряжение положительно, если оно растя¬ гивающее. На рис, 3.6 все компоненты напряжений положительны,В силу парности касательных напряженийzxy **= хух ’* xyz = Tzy I хгх = zxz •Нормальное напряжение на площадке с нормалью п:оп = ах cos2 (п, х) + ау cos2 (п, у) + cos2 (п, 2) ++ 2 cos (л ,х) cos (fitу) Н” 2 xyz cos (я,у) cos (/г,г) ++ 2 т2Д: cos (/г,г) cos (я,.*).	(3.12)Проекции вектора полного напряжения, действующе*' го на площадку с нормалью л, на оси координат:Хп = <5х cos(/i,JC) +туА. cos (л,у) ++ zzx cos (ti z) ;Yn = T^-y cos (я,x) + <jy cos(n,y) +-j- xzy cos (rt,z);zn = cos (n,x) + XyZcos (n,y) ++ a2 cos (n,z).(3.13)Полное напряжение на площадке с нормалью п:(3.14)Pn = V Хl+Yl + Zl •Угол ф между вектором и нормалью п опреде-Iляется равенством cos у = — .РпГлавные напряжения в рассматриваемой точке яв^ ляются корнями уравненияCV— ( а* + °у + аг) °V+ ( °у+ °у аг + °г °* —- х*у - ~ 4) ~ ( а* % °z + 2 V туг —(3.15)Все три корня этого уравнения всегда действительны.Коэффициенты и свободный член уравнения (3.15) являются инвариантами напряженного состояния [см, ниже формулы (3.20)].Косинусы углов, которые составляет нормаль /zv к главной площадке номера v (v = l, 2, 3) с осяхми х, 9 Зак. 2098-а X2 - х уг• а х2 - у ZX■ °z zly) = 0 •у, z (направляющие косинусы нормали л), определяют¬ ся из системы уравнений:( °х- °v) cos («»>*) + V cos ( У ) + + x„cos( nv, г) =0;zxy cos ( «v. *) + ( °y — ®v) cos ( «v. У ) + + тгу cos ( nv, г ) = 0;T*z cos ( nv> x ) + хуг cos ( n,, y) + ( <sz — — ov) cos ( nv> г ) = 0 ; cos2 ( nv, x ) + cos2 ( nv> у) ++ cos2 ^ rtv, г ) = 1.(3.16)Из первых трех уравнений этой системы независи¬ мыми являются только два.Октаэдрические напряжения — напряжения, действу- ющие на площадке, равнонаклоненной к трем главным площадкам (октаэдрической площадке) (рис. 3.7),°окт — 'С1 + а2 Ч~ q3токтУ 2 1 f 2 , 2 I 2= 	~	V °1+с2+аЗ—'а1 а2~а2 а3—а3 а1 *(3.17)Экстремальные значения касательных напряжений:а1 — с(3.18)Наибольшее напряжение *i действует на площадке, перпендикулярной второй главной площадке и наклонен¬ ной к первой и третьей главным площадкам под углами в 45°.
130РАЗДЕЛ Я НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ3.1.5. Преобразование компонентов напряжения к новым осям координатКосинусы углов, которые составляют новые оси координат х\ у', zf с осями х, у, г, заданы таблицей:Оси |1 *1 уZк'л 'I'm, 1П\/ I12т2Пъг'!з 1|щКомпоненты напряжения в осях х\ t/, zf: а*', *х'х>связаны с компонентами напряжения в осях соотношениями:V	= °х 1\ + аут1 + °г «1 + 2 *ху limJ ++ 2 т	+ 2 xZJC /Zj /j;Cy,=°xlt+ °ym2 + cz Л2 + 2 X*y Z2m2 ++ 2 T yzm2rt2 + 2 т2ЛГл2/2 ;V	= a* ll + aym3 + °2 nl + 2 TJcy ^3 +“Ь 2 Ху2/Из/2з -}- 2	3/3 JVy' = ajc ^1 ^2 + aymlm2 + a2 Л1 n2 ++ ZXy 0lm2 + ^2ml) + zyZ (^1^2 ++ m2rti) + (/1 n2 + l2nl) *»Ty' 2' = ^2 ^3 “b ayW2m3 + °2 ^2 л3 ++ **y (*2^3 + ^3^2) + *У2 (m2«3 ++ ^3^2) + Z2X (hn-Z + hnl) *»V*' = *1 ^3 + aymlm3 + °2П1 П3 ++ Zxy (hmB + Umi) + Ty2	++ ^3Wl) + тгдг (V*3 + W-®y' 	x, у, г(3.19)a* 3V Qz + 2 TJcy у 2 г*ДС угу г*- Зг T*v =• V °у- V +2 Vv' Vг дсу _2дт'у' ху'г' Tz'*'' 2у'г' V Т*'*' аг' Vy' ” а1 а2 а3(3.20)сохраняют при переходе от одной системы декартовых координат (х, г/, г) к другой (*' ^ г') неизменное значение; они инвариантны по отношению к преобразо¬ ванию прямоугольных прямолинейных координат.Шаровой тензор и девиатор напряжений. Напряжен¬ ное состояние, заданное компонентами напряжения (тензора напряжений).iyz I(тензор напряжений),*хzxyzxгхухayХУ2ЪхТ 2уможет быть разложено на два напряженных состояния.Первое из них характеризуется компонентами так называемого шарового тензорагдеВторое напряженное состояние характеризуется ком¬ понентами девиатора напряжений, представляющими собой разность между компонентами заданного напря¬ женного состояния и -компонентами шарового тензора:а0 0\i0a 01 (шаровойтензор),,00 a J1113(Qx + ay+ ’г)=Т‘ (^i + e2 + 03)^ухZ2XLxy	ьхгGy СТ Ту22У(девиатор 	 j напряжений).3.1.6. Интенсивность напряжений в данной точкеВеличина°/=—Y~V ( Qx~~ ay)2 + (у — °г)2 + ( аг~ ®*)2+6( т1у + •'у* + TL) =V	(®i — ®г)2 + (®г — °з)2 + (®* — °i)2 = —-— т0кт2	yj(3.21)Инварианты напряженного состояния. Пусть ах Су.,., t-гх— компоненты напряжений в рассматриваемой точкев осях х, уу z и одг',су' z2,x' —компоненты напряже¬ ний в той же точке в осях jcV у\ zf.Величины+ °у + °г = вх’ + V + аг’ = ®1 + °2 + °3 ;Xах °у + °У ®г + °г	— туг — == ах, ау, + оу, V + ог, ях, — z\,y, - х\,г, — х\'х' = а1 а2 + а2 а3 + °3 а1 »(3.20)носит название интенсивности напряжений.Эллипсоид напряжений. Концы векторов полных на¬ пряжений, действующих на площадках, проходящих через рассматриваемую точку, располагаются на по¬ верхности эллипсоида [12]. Уравнение эллипсоида напря¬ жений:4= 1.(3.22)Здесь Хп, Yn,Zn — проекции вектора полного напряже¬ ния, действующего на площадке с нормалью /г, на оси х, г/, г;
3.1 НАПРЯЖЕНИЯci> а2> аз —главные напряжения о рассматривае¬ мой точке.3.1.7.	Круги МораОбщий случай напряженного состояния. Заданы глав¬ ные напряжения а2, а3 (рис. 3.8).На оси а от точки О откладываются отрезки О А— аь ОВ = а2 и ОС — а3. (Если напряжение отрица¬тельно, то соответствующий отрезок откладывается вле¬ во от точки О.) На отрезках СВУ ВА и СЛ, как на диа¬ метрах, строятся полуокружности. Координаты точек полуокружности CEFA дают величины <зп и т„ для площадок, перпендикулярных второй главной площад¬ ке; полуокружности СВ — для площадок, перпендику¬ лярных первой главной площадке; полуокружности ВА — для площадок, перпендикулярных третьей глав¬ ной площадке. Координаты точек, заключенных между этими тремя полуокружностями, дают величины и тп для всех остальных площадок, проходящих через рассматриваемую точку. Точка М диаграммы, соответ¬ ствующая площадке, нормаль к которой составляет углы а, Р и у с осями *, у и г, находится при помо¬ щи следующего построения. От параллелей оси т , про¬ веденных через точки Л и С, откладываются углы а и у, как показано на рис. 3.8. Через точки Е и F пересече¬ ния наклонных сторон этих углов с внешней окруж¬ ностью проводят дуги радиуссм DE и D{F. Точка пе¬ ресечения этих дуг М и соответствует рассматриваемой площадке. Абсцисса точки М дает величину ап , а ор¬ дината—для этой площадки.Плоское напряженное состояние. Заданы главные на¬ пряжения вх и а2 (рис. 3*9, а).На оси а (рис. 3.9, б) от тотаи О откладываются отрезки ОЛ= cj и ОВ=а2. (Если напряжение отрица¬ тельно, то соответствующий отрезок откладывается влево от точки О). На отрезке АВ как на диаметре строится полуокружность. Координаты точки N этой полуокружности дают величины ап и тп для площад¬ ки, перпендикулярной плоскости напряжений, нормаль к которой составляет угол а с направлением а1рЗаданы напряжения а*, ау, хХу (рис. 3.10, а). На¬ травим ось х по большему из двух заданных нормаль¬ ных напряжений. Вдоль оси а (рис. 3.10,6) отложим от точки О отрезки ODx= ах и OD2= ау. По перпенди¬ куляру к оси а, проведенному через точку Du откла¬ дываем отрезок D\E=iXy Этот отрезок откладывается кверху, если х*у>0, и книзу, если ^у<0. Из точки С, делящей пополам отрезок DiD2t как из центра, описы¬ ваем радиусом СЕ окружность. Эта окружность пере- 9*Рис. 3.10
132РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИсекает ось а в точках Л и В. Отрезок ОЛ=о1( отрезок ОВ= а2 Угол ECDi=2 а , где а— угол между осью х и нормалью к первой главной площадке. Положитель¬ ное направление отсчета этого угла — против часовой стрелки,Рис. 3.11Для напряжений <*х>, су,, чх,у, на площадках, пер¬ пендикулярных осям х\ у', повернутых на угол р по отношению к осям х, у, нужно угол 2р отложить от радиуса СЕ по часовой стрелке (рис. 3.10, б). Отрезок OF] даст <v * отрезок OF2—ayf и отрезок MFX—%х,у, Угол Р между осями х и х' положителен, если он на¬ правлен от оси х к оси х' против часовой стрелки; при этом условии угол 2Р откладывается от радиуса СЕ по часовой стрелке.Пример. Дано: ах =300 кг/см2, ау =—200 кг/см2, тдгу =300 кг/см2 (рис. 3.11, а). Найти величины и на¬ правления главных напряжений. Строим круг Мора (рис. 3.11,6). Отрезок OD2, изображающий напряжениесу, отложен влево от точки О, так как<*у <0. Почертежу находим: а,=430 кг/см2, а3 =—330 кг/см2, угол а «25°.Дополнительно находим компоненты напряжения axiV	* Vy' в осях х'» У' ПРИ Р=60°. Для этого от радиу¬ са СЕ откладываем по часовой стрелке угол 2?= 120° (рис. 3.11,6). Получаем по чертежу (рис. 3.11, б) = -=185 кг/см2 (отрезок OFx)-, су =—80 кг/см2 (отрезок OF2)\iX'y,=—368 кг!см2 (отрезок MFX).3.2. ДЕФОРМАЦИИПриведенные ниже соотношения справедливы при условии малых перемещений и деформаций.3.2.1. Компоненты деформацийВ рассматриваемой точке £у и гг — относитель¬ ные удлинения (укорочения) линеиных элементов, па¬ раллельных до деформации соответственно осям х, у и г; 1ху * Луг и Лгх — угловые деформации (относительныеРис. 3.12сдвиги). Например, величина tyz равна изменению пря¬ мого угла между элементами dy и dz, параллельными до деформации осям у и z (рис. 3.12). Величины т,у, Туг * Ьх считаются положительными при уменьшении прямых углов в результате деформации.Компоненты деформации связаны с перемещениями ы, v, w рассматриваемой точки по осям координат х% У> 2 соотношениямиди	dv	dw' =^; гдх "Тлгу ■dv ди dx ^ дуdzdw dv Ту 2 = — +ду Oiди dw(3.23)Относительное удлинение в направлении элемента dr, составляющего с осями х, у, z углы a, р, -у:tr = бд. COS2 а + £у cos2 Р + е2 COS2 7 + уху cos а cos Р -f + Туг cos Р cos 7 + 7ZJC cos 7 cos а. (3.24)Изменение (в результате деформации) угла между двумя взаимно-перпендикулярными направлениями гх и г2:га = 2 cos *i cos ag + 2 £y cos Pj cos P2 ++ 2 e* cos cos 73 + (cos ax cos p2 + COS Pj cos a2) 7,^ + + (COS Pj COS 72 + COS Yi cos p2) yz ++ (COS 7! COS a2 + COS аг cos 72) y2x>. • (3.25)Здесь и a2, p, и p2, 7т и y2 — углы направле¬ ний r\ и г2 соответственно с осями х, у и г.Главные направления деформаций в рассматриваемой точке—три таких взаимно-перпендикулярных направ¬ ления, углы между которыми в результате деформации не изменяются. Линейные деформации по главным на¬
3.2. ДЕФОРМАЦИИ133правлениям называются главными деформациями или главными удлинениями. Главные деформации обознача¬ ются через еь е2, е3; при ЭТОМ е1>е2>ез-Величины главных удлинений ( n =1, 2, 3) суть корни уравненияе* —( £*+*у + ег)е* + [ ** *у + ‘у ег + ег Ех —— ( Т*у + Tfyz + Тг*)] S— [еж еу е/ +, _L	J_f 2 ,+ л ?*У Туг	4 ( Е* Туг +4 игу iyz «Z* 4 + *у + *z l^y)] = °-(3.26)Коэффициенты и свободный член уравнения (3.26) являются инвариантами деформированного состоя* ния.Инварианты деформированного состояния при преоб¬ разовании координат можно получить по формулам(3.20), если в эти формулы вместо а*, <ту, аг поста¬ вить *jr, sy, ав, а вместо	ZyZ% z2X поставить1	1 1— 7*у. “7)kv~W [см. 11.1.2 выражение (11.6)].Та<к же как и напряженное состояние, деформиро¬ ванное состояние в точке можно представить при по¬ мощи .кругов Мора. При этом вместо о*, оу, az бу¬ дут фигурировать величины £*> еу; £г» а вместо тхуш111Tyz. хгх — велнчивы'Тлгу.’Ту*.На рис. 3.13 дан круг Мора плоской деформации, для которой заданы компоненты ег, еу, ^ху • Дефор¬ мация называется плоской, если перемещения точек в каком-либо одном направлении, например в направле¬ нии оси я, равны нулю, а перемещения по осям х и у не зависят от координаты г,3,2.2.	Определение угловой деформации и величин главных удлинений по удлинениям в трех направлениях в случае плоской деформации и плоского напряженного состоянияОси ху у расположены в плоскости деформаций ш в плоскости напряжений.а)	Заданы величины е*, еу, е45 (е45 — удлинение в направлении под углом 45° к оси х) (рис, 3.14):Уху = 2 е45 — (гх + еу) ;.	-е* + 6У ,2	(st — гх)ЪуЪ = <Pi + — <Углы наклона уi и <р2 главных направлений удли¬ нений к оси х положительны, если они отсчитываются от оси х против часгнвой стрелки.Рис. 3.14б)	Заданы в*, ебо. ®120 (рис. 3.15):2	1 ву — о (6во “Ь eiio) - е*У (ех— еео)2 + (*Х — гиъ)'£ + (£60 — ет>® ;32	(ет ег)	, яtg?i = —	; ?2 = ?i + — •Тху	z3.2.3.	Интенсивность деформацийИнтенсивностью деформаций называется величина.
134РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ( ^_еу)2+ ( сУ_ег)2+( ег-еж)2 + ^-( T^y + 7y2 + TfL) =-•l)'(3.27)Относительное нз<менение объемав = *Х + еу + Ч = *1 + е2 “1“ ез-(3.28)3.3. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ3.3.1. Закон Гука для изотропного телаУпругость — свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры и форму после удаления внешних нагрузок. Тело остается упругим, пока напря¬ жения в нем не превысили некоторых определенных значений. Тело называется иэотроп-ным упругим телом, если его упругие свойства по всем направлениям оди¬ наковы.Рис. 3.16Модули упругости для изотровшого материала и связь ме&ду ними.Е — модуль продольной упругости;G — модуль сдвига.силаРазмерность модулей Е и G: 	;площадь—коэффициент Пуассона (число отвлеченное);К — объемный модуль;к_ В _ 2 J+i 3(1—2 (л) 3 1 — 2рх 'G = — .2	(1 + Н-)Одноосное растяжение (рис. 3.16)стг	ах** = — ; еу = е2 = — = — р —;(3.29)Плоское напряженное состояние а2 == т2ЛГ = т2у = и (рис. 3.17).Компоненты деформаций1 1 £jr = — («* — №у) ; *у = — («у — Н*х);ч = — (*х + ау); Уху = -jf- • Ошошешше изменение объема § = — ,Кгде+ ауКомпоненты напряжений:Е / ^^ ; = 73^ <еу -+	= G 1ху .Плоская деформация е2 =?гд: == f2y = О (рис. 3.18).Компоненты деформаций 1 + *Е 1 -f м*[(1 — р.)ах — |1ЛУ] ; [(1 — fx) ау — fxa^-] ;'-хуТ*у= — • Относительное изменение объема0	(l + n)(®jr + «y)0 =	; 		—— .К	3Компоненты напряженийЕ[(.1 — (а) гх + fiey] ;(l + (i) (1-2,1)	ЕЬ~ (l+n)(1-2(1)®г = (* К + ®у) ;^ху О fxy.(3.30)(3.31)(3.32)(3.33)(3.34)(3.35)
3.3. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ135Объемное напряженное состояние (рис. 3.19])Рис. 3.19Компоненты деформации 1*х = — [°Х — f* (°у + °г)] ; 16У = — [°у — f* («*+ °г)] ;£г = — К — И- (°х + ®у)] ; TUy = ;ХУ27у, = ^:О'(3.36)Относительное изменение объемаа	11	= &х + еу +	■ где а = — (<зх+Оу+аг). (3.37)Ком-повеяты напряжений а^. = Х0 + 2 G tx ; ау = ДО + 2 <5еу= -j- 2 *,= Glxy :'•лгу3леСЬ ^ (l+(t) (l—2|i)Иная форма выражений для нормальных компонен¬ тов напряжений:вх — в=2 G(ex—e);Оу — с = 2 (7 (£у — е) ; аг-а = 2(/(ег — е) .(3.39)1	1Здесь а =— (<5Х + ау -f az) ; £ = — (е* + еу + tz).Зависимость между интенсивностью напряжений а* и интенсивностью деформаций £/*.а/ = 3 G е/ ;	(3.40)а/ и е/ — см. формулы (3.21) и (3.27).3.3.2.	Закон Гука доя анизотропного телаАнизотропное унругое тело обладает различным упругими свойствами по различным направленном.В общем случае анизотропии закон Гука в декартовой системе координат имеет видгх = аиадс: + Qi2ay + ai3az “1“ auzxy “1“ а15zyz ++ aitFzx ;ey = d2\^x “1“ ^22ay H	* +^26 Tzx *(3.41)yZx — a61cx -j- ^62ay ”b * * * ~ha66zzx•При этом ац = a/t .Уравнения (3.41) содержат 36 коэффициентов дефор¬ мации a/y, из которых только 21 различны [13]. Компо¬ ненты напряжений, выраженные через деформации:= Axltx -f- Л12ву -j- А19е2 -j- АцеХу + А1Ь£yz-j- + Ai&zx'i(3.42)оу — А21гх -J- Л22£у Н	\~A26tzx *>ZZX = А&1ех'~}~ А^Ъу -(-•	\-Aq££zx.При этом Ау = Ар.3.3.3.	Плоскость симметрии в отношении упругих свойствЕсли через каждую точку тела можно провести плоскость, обладающую тем свойством, что любые два направления, симметричные относительно этой плоско¬ сти, эквивалентны в отношении упругих свойств, уравне¬ ния (3.41) и (3.42) упрощяются. В частности, когда ось z перпендикулярна плоскости симметрии:гх — anQx ~1~ a12ay -j- alzQz -J- a14zxy ;£y =S аг1<5х -f- ^22ау "Ь a23aZ "Ь а24тлгу '»ez = aziQx + <3з2ау + assaz “1“ aMzxy *»Чху — a41CJT 4- ^42ay + a43aZ “1“ a44TJCy‘*Tyz = e55TyZ ab6ZXZ iTz.r = a65TyZ ”Ь °66TZJC •(3.43)Коэффициентыfl16 — al6 = a25 = fl26 = a35 = a36 = fl45 = a46 =3.3.4.	Ортотропное упругое телоЧерез каждую точку проходят три взаимно-перпен¬ дикулярные плоскости упругой симметрии. Направив оси координат перпендикулярно плоскостям симметрии, получимtX — а11аХ "Ь a12ay + a13aZ** ty = а2i<Jjr -f- ci22Py -f- &2zqz \£Z = a31GX “1“ a32ay ~h fl33aZ *Уху — a44zxy i Tyz = a55xyz *1ZX *= fl66TZJT*При этом, ках и ранее, =(3.44)
136РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИВыражая упругие постоянные через так называемые технические постоянные, можно соотношениям (3.44) придать иной вид:М-21Н-31р-12	Т ах + Т-	7^ "г;(-*•13	1Х2Я . °гЧша-К'х-Т'>+Т,V — хху Чху — —Gj2iyz ■У 2. О 23Ъг =О,(3.45)Здесь Е1, Е2, £з— модули продольной упругости:0\2, G23, Gia — модули сдвига; f*12> .а21 М-13. М-31 ^23.^32— коэффициенты Пуяссо При этом £ifx2i = £2fx12 ; £2fx3a = £3^3 ; £3fx13 == EiPsi-Преобразование упругих постоянных при повороте координатных осей и другие виды анизотропии см. [5].3.3.5.	Потенциальная энергия упругого телаПриведенные ниже соотношения имеют место только для изотропных тел.Удельная энергия деформации," т. е. энергия, рассчи¬ танная на единицу объема и выраженная через компо¬ ненты напряжений:U = ^ [ а1 + °у + °г — 2 ( ях °у + °у	ах) ++ 2 (1 + Ц) ( *ху + туг + тгх)] • (3.46)Удельная энергия деформации, выраженная через компоненты деформации:U-а[4	+ ev + et + Т^~7Г ®2 +■х* У-r «Л ,_2(1-~Ь ~2~ ( Тхч Туг "Ь Tzjr)] •	(3.47>Удельная энергия, выраженная через главные на¬ пряжения и главные деформации:У=^[°1 + 02 + ,13 —2f»( 51°2+ .+ °5ea + ®3«i)] :(3.48)М -г «2 -г ез т j _2(Jl "'j ' (3.49) Здесь в = *х + ev + ег = е, + ег + е3.Величина V может быть разбита на два слагаемых: одно — энергия, обусловленная изменением объема, а другое — энергия формоизменения.Энергия изменения объема:1 — 2fx</°- g g (ai + а2 + *з)*.	(3.50)Энергия формоизменения:11	1 м-= ~6£ М«1 — °s)2 ++ (°2 — °»)S + (33 — 3l)8l •(3.51)3.4.	СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ3.4.1.	Условия пластичностиПластичность — способность материала сохранять полностью или частично деформацию после устранения сил, ее вызвавших.Закон Гука теряет свою силу, ках только начинают возникать остаточные (пластические) деформации. Ус¬ ловие, которому должны удовлетворять напряжения в рассматриваемой точке тела, для того чтобы в ней по¬ явились первые пластические деформации, называется условием пластичности.При п-ростом растяжении условие пластичности°лг = °т,	(3.52)где ат — предел текучести.В общем случае напряженного состояния условие пластичности:по Сен-Венану°i — °з = <тт;	(3.53)по Мизесу®/ = «т;	(3.54)«г —интенсивность напряжений fc»*. формулу (3.21)].3.4.2.	Напряжения и деформации при простом нагружении и при разгрузке•Приводимые ниже формулы, связывающие напря¬ жения и деформации, справедливы при условии, что де¬ формация является активной, т. е. величина интенсив¬ ности напряжения а{ в каждый последующий момент нагружения не меньше величины з,- во все предыду¬ щие моменты. Величина с,- монотонно возрастает во всех точках деформируемого тела в том случае, если нагружение является простым, т. е. если все внешние нагрузки возрастают пропорционально одному общему napaMeipv, например времени.В этом случае для малых деформаций имеют место соотношения:2	С*ах— а= — (е* — е); av — а = — (еу — £) ;Зе/3-<Зе,2 а,Зе/'Зе,-(3.55)Здесь1	1а — £ (ах 4- 4- °z) > £ = ^ (еЛ- + £утД~ ez)lQi и е, — величины интенсивности напряжений и де¬ формаций, определяемые соответственно формулами(3.21)	и (3.27),
3.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ137В случае разгрузки (рис. 3.20) зависимость между исчезнувшими частями величин и е* лилейная:°i разгр * Нразгр*Рис. 3.20Рис. 3:213.4.4. Схематизация истинных диаграмм растяженияС целью упрощения расчетов истинные диаграммы растяжения иногда схематизируются.а) Диаграмма при отсутствии упрочнения (рис.атЭ.22). В этом случае ах — Е ех ПРИ 0 < ех < ет = —-)(«т — предел текучести; Е — модуль упругости мате¬ риала).3.4.3. Диаграммы растяженияРис. 3.22Рис. 3.23Диаграммы растяжения дают зависимость напряже¬ ния от относительного удлинения при простом одноосном растяжении и получаются из опыта.Истинная и условная диаграммы растяжения (рис. 3.21). По оси абсцисс откладывается истинное удли¬ нениегде /о и /и — начальная длина образца и длина образ¬ ца на данной стадии деформирования* По оси ординат откладывается истинное напряжениеFИ ’где Р—«величина растягивающей силы на данной стадии деформирования;FH — плошадь сечения образца на этой стадии (с начала образования местного сужения — шейки — это площадь сечения в месте наи- болыиого сужения).Иногда вместо еи по оси абсцисс откладывается илиF—F иотносительное сужение в шейке ф =—-— 100%, иливеличина о =Здесь F—первоначальная пло-1 — фщадь поперечного сечения.Для малых удлинений вместо еи откладывают ве- Мличину е* = ~ , где А/ — приращение длины образца,а I — его первоначальная длина.Если по оси ординат отложить условное напряжение р ,ах=—, где F — первоначальная плошадь поперечно- FД/го сечения, а по оси абсцисс удлинение £* = — , то по¬ лучим условную диаграмму растяжения.б)	Диаграмма растяжения с линейным упрочнением (рнс. 3.23)ах = Е гх при 0 < гх < ет =£ '°х — ат ПРИ ет < Ех ^ Н >°х = ат + £i (6jr — ч) ПРИ *х> Ч-Здесь Е\ — модуль упрочнения* равный tg Р (в вы¬ бранном масштабе). В случае отсутствия на диаграмме площадки текучести (рис. 3.24)<зх = Е ьх при 0 < ех <: ет ; ах = от -f- Ei(zx — ет) при £х > ет.в)	Диаграмма растяжения со степенным упрочнени¬ ем (рис. 3.25)	—*ах == Е £х при е х < ет;ах — ат при ех ^ гх < ео » а* = ат | — 1 при е* > е0.
138РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИВеличина показателя степени т изменяется в преде¬ лах 0 < т < 1; она зависит от материала.Если площадка текучести отсутствует (рис. 3.26), то <зх = Е гх при 0 < гх < етпри 6jp ^ Sf #В случае сжатия пользу¬ ются такими же диаграмма¬ ми.3.4.5.	Построение кривой зависимостиТакая кривая может быть построена по диаграмме растяжения. При одноосном растяжении = од,=dr[2(1+^+3^b>где £пл — остаточное относительное удлинение (пласти¬ ческая часть деформации);evn — упругая часть де¬ формации.Для того чтобы разде¬ лить полное удлинение *х на пластическое и упругое удлинение, следует из рас¬ сматриваемой точки М диа¬ граммы провести прямую, параллельную прямой ОЛ, до пересечения с осью е*(рис. 3.27).При упрочнении по ли¬ нейному закону (рис. 3.23).= Dei йри е/<£^т =2	(1 + м*)“ ^ ет;1 —2 fx°i = °T при	о=£# 3£о, = ох + 0, (zt — tlfi) при > e,fi »Г£Здесь D — —— = 30 (G—модуль сдвига) ;^12(1 +f*)1 —3£7 (1-2,1)ЛИТЕРАТУРА1.	Безухо в Н. И., Теория упругости и пластичности, Гос- техтеорет издат, I95.H2.	Б е л я е в Н. М., Сопротивление материалов, ОГИЗ, 1955.3.	И л ь ю ш и н А. А., Пластичность, Гостехиздат, 1948.4.	Лейбенэвн Л С., Курс теории упругости, ОГИЗ, 1947. б. Л е х н и ц к и й С. Г., Теория упругости анизотропноготела, Гостехиздат, 1950.6.	Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, изд. АН СССР, 1940.7.	П а п к о в и ч П. Ф., Теория упругости, Оборонгиз, 1939.8.	Пономарев С. Д., Бидерман В. Л. и др., Расчеты на прочность в машиностроении, Машгиз, т. I, 1956; т. II, 1958.9.	Р а б о т н о в Ю. Н., Сопротивление материалов, изд. МГУ, 1950.10.	Соколовский В. В., Теория пластичности, Гостех- теоретиздат, 1950.11.	Справочник машиностроителя, т. 3, Машгиз, 1955.1S.	Тимошенко С. П., Теория упругости, ОНТИ—ГТТИ, 1934.13.	Филоневк о-Б о р о д и ч М. М., Теория упругости. Г остехиздат, 1947.
РАЗДЕЛ 4ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ4.1.	ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ4.1.1.	Упругость, пластичность и разрушениеВсе материалы под воздействием внешней нагрузки деформируются. При действии возрастающей нагрузки наблюдаются три условно различающиеся стадии рабо¬ ты материала: упругая, пластическая и стадия разру¬ шения.В упругой стадии материал получает преимущест¬ венно упругие деформации (см. разтелы 3 и 11). В этой стадии все материалы с тем или иным приближением рассматриваются при расчетах как идеально упругие. Различие между материалами проявляется главным образом в величинах предельных напряжений, до ко¬ торых материал может рассматриваться как упругий, в величине упругих постоянных (£, G, н-)» степени их изменчивости, степени проявления анизотропии и т. п. Наряду с упругой различают высокоэластическую де¬ формацию, свойственную высокополимерам. В отличие от упругой последняя может достигать сотен процентов (упругая деформация для сталей не превышает 0,2%). Она возникает под действием нагрузки и исчезает пос¬ ле ее снятия не со скоростью распространения упругой волны (скорость звука в материале), а гораздо медлен¬ нее. Скорость возникновения и исчезновения высоко- эластической деформации сильно зависит от темпера¬ туры: увеличивается с ее повышением и уменьшается при ее понижении.После увеличения нагрузки выше некоторого преде¬ ла наряду с упр|угими начинают появляться пластиче¬ ские (остаточные) деформации. У одних материалов (например, металлов) пластическая деформация может достигать значительной величины (пластичные мате¬ риалы), у других же (например, камни) она является весьма малой (хрупкие материалы). У строительных сталей наблюдается так называемое явление текуче¬ сти— рост пластической деформации при примерно по¬ стоянной нагрузке; после текучести наступает период уп¬ рочнения, когда для дальнейшего рос^а пластической деформации требуется увеличенная нагрузка. Для стро¬ ительных металлов стадия пластических деформаций может быть выделена в самостоятельную стадию со своими специфическими законами (см. раздел 12). Если упругая деформация (при однократном нагружении) практически не влияет на механические свойства ма¬ териалов, то пластическая деформация приводит к зна¬ чительному изменению их. Например, у строительных металлов происходит упрочнение (увеличение <*т ) и снижение пластичности (уменьшение 5). Хрупкие мате¬ риалы не имеют выраженной стадии пластических де¬ формаций: она практически сливается со стадией раз¬ рушения.Разрушение не является мгновенным процессом и, начиная от появления ранних трещин и до окончатель¬ ного распада тела на части, всегда протекает во вре¬мени. Процесс разрушения при испытании образцов за¬ висит от податливости нагружающей системы. Чем больше запас упругой энергии системы, тем отно¬ сительно медленнее падает внешняя сила за период разрушения. Разрушение носит локальный характер и зависит от микронапряжений, определяемых характе¬ ром зерен и кристаллической решетки. Поэтому макро¬ скопические методы теории упругости и пластичности изотропного и анизотропного тела, основанные на гипо¬ тезе сплошной среды, не позволяют изучать явление разрушения достаточно глубоко.Для того чтобы к сложному явлению разрушения можно было подойти с позиции механики сплошной среды, его схематизируют, принимая, что разрушение определяется макронапряженичми (которые являются осредненными величинами микронапряжений) и сво¬ дится к двум основным типам: разрушение путем отры¬ ва (от действия нормальных растягивающих напряже¬ ний или удлинений) и разрушение путем сдвига (от действия касательных напряжений). Разрушение путем отрыва связывается не только с действием напряжений, но и удлинений, так как при сжатии каменных мате¬ риалов часто наблюдается разрушение путем расслое¬ ния по поверхностям, параллельным направлению сжи¬ мающей силы, по которым нет макронапряжений, но, безусловно, есть микронапряжения. Удлинения (учиты¬ вается упругая часть) позволяют косвенным путем учи¬ тывать действие этих микронапряжений.У металлов хрупкое разрушение обычно связано с отрьгвом, пластическое — со сдвигом. Отрыв может быть осуществлен без предварительной пластической деформации, так как значительные растягивающие на¬ пряжения могут возникать при очень малых одновре¬ менно действующих касательных напряжениях, недоста¬ точных для возникновения пластических деформаций. Для разрушения путем сдвига необходимы значительные касательные напряжения, которые до разрушения могут вызвать развитие пластических деформаций. В камне оба типа разрушения происходят, как правило, хрупко.4.1.2.	Влияние характера напряженного состоянияХарактер напряженного состояния оказывает суще¬ ственное влияние на поведение материала г82а].Например, при всестороннем равномерном растяже¬ нии (а1=а2= а3>0) даже пластичные материалы раз¬ рушаются хрупко, а при напряженном состоянии, близком к всестороннему равномерному сжатию (<*3 < о2 < аг < 0 и мало отличаются друг от друга по величине), даже такой хрупкий материал, как мрамор, способен получить значительные пластические деформации [60].
140РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙИсследование влияния напряженного состояния тре¬ бует проведения достаточно большого числа опытов при различных соотношениях между crlf а2 а3,, Фиксируя при опытах величины нгпряжений в момент наступле¬ ния текучести (считая, например, что текучесть насту¬ пает тогда, когда остаточная часть интенсивности де¬ формаций (см. 3.2.3) достигает определенной величи¬ ны), а также разрушающие напряжения, можно по¬ строить в координатах cL, о2, о3 предельные поверхности текучести и разрушения. Вид этих поверхностей и их взаимное расположение будут зависеть от типа мате¬ риала. На рис. 4.1 показан схематически вид предельных поверхностей для стали.ствомзэк =от. Для материалов с ограниченной пластич¬ ностью используется теория прочности Мора, по кото¬ рой условие наступления текучести определяется оги¬ бающей больших кругов нашряжений (влияние среднего напряжения не учитывается) для предельных на¬ пряженных состояний (рис. 4.2); текучесть наступает тогда, когда большой круг напряжений для рассмат¬ риваемого напряженного состояния коснется угой оги¬ бающей. В табл. 4.1 даны формулы для эквивалентного растягивающего и эквивалентного сжимающего напря¬ жений, получающиеся при замене части огибающей прямой линией. Условие текучести выражается равен¬ ствами: сэк= от или ®эк.сж= ат-сж. Имеется видоизме¬ ненная теория Мора, в которой вместо а и т исполь¬ зуются октаэдрические напряжения [10а]. По теориям Баландина и Миролюбова условие наступления текучести имеет такой же вид: <*эк = ат .Рис. 4.1. Предельные поверхностиРис. 4.2. Огибающая предельных кругов текучести - ^	по МоруИмея предельные поверхности, легко определять на¬ пряжения, вызывающие наступление текучести или раз¬ рушение материала при любом напряженном состоянии. Для этого достаточно провести линию ОС (рис. 4.1), изображающую закон роста напряжений при нагруже¬ нии тела, и определить координаты точек В и С пересе¬ чения этой линии с предельными поверхностями. Если нагружение является простым (все внешние силы растут пропорционально одному параметру) и нет начальных напряжений, то линия нагружения будет прямой, выхо¬ дящей из начала координат. Координаты точки В да¬ дут значения напряжений, вызывающих начало текуче¬ сти материала, а координаты точки С — значения раз¬ рушающих напряжений.В одних случаях нагружения (например, по линии ОС) разрушению будет предшествовать пластическая деформация. В других (линия нагружения близка к пря¬ мой ОЛ, равнонаклоненной к осям координат) будет хрупкое разрушение.Однако построение таких предельных поверхностей требует проведения для каждого материала большого количества довольно сложных экспериментов. Поэтому на практике используются теории прочности — упрощен¬ ные гипотезы наступления текучести или разрушения при сложном напряженном состоянии. Они позволяют определить условия наступления текучести или разру¬ шения при сложном напряженном состоянии на осно¬ вании результатов испытания образцов при некоторых простейших напряженных состояниях (обычно растяже¬ ние, сжатие, кручение).Любое сложное напряженное состояние olf а2, а3 получается эквивалентным одноосному с напряжением <зЭк- Сводка основных теорий прочности в виде формул для эквивалентных напряжений дана в табл. 4.1.Условие наступления текучести определяется для ма¬ териалов с выраженной пластичностью (сталь» дюраль) по теории наибольших касательных напряжений и тео¬ рии октаэдрических напряжений и выражается равен-Рис. 4.3. Огибающая предельных кругов разру¬ шения по МоруУсловие разрушения (хрупкого) определяется по тео¬ рии наибольших нормальных напряжений и теории наи¬ больших относительных удлинений и выражается равен¬ ством: <*эк =='ав- Для хрупких материалов с различным сопротивлением растяжению и сжатию (чугун, камень) условие разрушения определяется по теории Мора оги¬ бающей предельных кругов напряжений, соответствую¬ щих разрушению (рис. 4 3), и выражается равенствами: аэк ” ав или аЭк.сж = ав.сж • По теориям Баландина и Миролюбова, условия разрушения имеют вид: аэк = ав.Условие вязкого разрушения определяется прибли¬ женно пс теории наибольших касательных напряжений.Ожидаемый тип разрушения материала можно опре¬ делить с помощью диаграммы механического состоя¬ ния (рис. 4.4) [108J. На левой части диаграммы нано¬ сятся предельные линий ( аак определяется по 1 или II теории прочности). Там же изображается напряженное
	4.1. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ	Формулы эквивалентных напряжений по различным теориям прочности—— 141Таблица 4.1ТеориипрочностиОбъемное напряженное состояниеЧастный случай плоского напря¬ женного состоянияДКПримечанияТеория наи¬ больших нор¬ мальных на¬ пряжений (I теория проч¬ ности)Теория наи¬ больших отно¬ сительных удлинений (II теория прочно¬ сти)с 1 		°эк = — + -у У о* + 4т*«»к = «1— («I + в,), 1+Л.1/	"Ь . у <за + 4т*Отображают разру¬ шение путем отрыва Jt разрушение связы¬ вается с действием нормальных растя!и вающих напряжений или удлинений)Теория наи¬ больших каса¬ тельных на¬ пряжений (HI теория проч¬ ности)аЭК — а1 	 а8аэк = V а* +Отображает наступ¬ ление текучести, а так¬ же рагрушение путем сдвига для материалов, одинаково сопротив¬ ляющихся растяжению и сжатиюТеория окта¬ эдрических ка¬ сательных на¬ пряжений (IV теория проч¬ ности). — ]/ аа -f- Зт2Отображает наступ¬ ление текучести. При¬ меняется для пластич¬ ных материалов, имею¬ щих одинаковый пре¬ дел текучести при растяжении и сжатииТеория Мора: приведение к эквивалентно, му растяже¬ ниюОтображает наступ¬ ление текучести <*тпри	, илиаТ‘СЖат—тт *■ =	и раз-тто*рушение при х=_Теория Мора приведение к эквивалент, ному сжатиюAcjj — сX— 1а9К.СЖ =	а “ЬX 4- 1 у-	+ 2—У а* + 4т2Отображает наступле¬ ние текучести при А = = ат.сж/ат и РазРУше ime при *=ав-сж/ав.Применяется для ма¬ териалов, имеющих разное сопротивление растяжению и сжатиюТеория П. П. Баланди-Теория И. Н. Миролю- бова1 — ■■(о, -f о2 -j- оа>+ 2	7')5г(°1 + 02+0з)5: + 2х((о1-о2)2+(а2--аз/<:+(о1--а3^:1 —х°ЭК — „ О ++ “£“ДЛ 1 4- *)2°2 4-+ °2"Ь а3‘ "Ь+1+*|/ ?и-о2)24-< а2—o3)24-^t—а3)2I - х аэк =4—— 4-14-х г	Н	а»4-3т2Отображают наступ¬ ление текучести при х=а71<зт ,.ж и разру- шеииепри *=0||/0в.сж.При х=1 совпадают с теорией октаэдриче ских касательных на¬ пряжений.Применяются для материалов, имеющих различное сопротивле¬ ние растяжению и сжа¬ тиюПримечание. Нормальные напряжения должны подставляться в формулы со своими знаками: растягивающие мающие — отрицательные.— положительные, ежи-
142РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙсостояние тела в виде выходящих из начала коорди¬ нат лучей.Рис. 4.4. Диаграмма механического состояния Я. Б. ФридманаВ правой части диаграммы даются обобщенные кри¬ вые деформации. В зависимости от того, какую предель¬ ную линию пересечет луч, устанавливается характер нарушения прочности (текучесть, разрушение путем отрыва или сдвига) при данном напряженном состоя¬ нии, что. дает возможность выбрать наиболее подходя¬ щую для данного случая теорию прочности.4.1.3.	Влияние температурыТемпература сильно влияет на все механические свойства материалов. Как правило, повышение темпе¬ ратуры приводит к уменьшению прочности и повышению пластичности. Значительное изменение температуры мо¬ жет коренным образом изменить свойства материала: пластичный становится хрупким (при низкой температу¬ ре), а хрупкий — пластичным (при высокой температу¬ ре), изменяются прочность и деформативные свойства. При этом некоторые изменения приобретают необрати¬ мый характер (не восстанавливаются первоначальные свойства после возвращения к обычной температуре). Это связано с тем, что при изменении температуры часто происходят весьма сложные физико-химические процес¬ сы: дисперсионные выделения, оплавление легкоплавких составляющих, растворение структурно свободных вы¬ делений, полиморфные превращения, диссоциация хими¬ ческих соединений, окисление и др.Большое влияние на механические свойства деформи¬ рованных строительных металлов (например, холодно¬ тянутая проволока) оказывают возникающие в них при высоких температурах процессы разупрочнения—«от¬ дых» (возврат) и рекристаллизация. «Отдых» связан с частичным снятием искажений кристаллической решетки вследствие деформации в холодном состоянии. Он про¬ является в том, что свойства деформированного металла приближаются к первоначальным. Рекристаллизация представляет собой появление в холоднодеформирован- ном металле вновь зародившихся кристаллов, отличаю¬ щихся от старых отсутствием упрочнения. Рекристалли¬ зация протекает с практически ощутимой скоростью лишь при температуре, превышающей определенный уровень (для углеродистой стали выше 400—450°).. «Отдых» проявляется при более низкой температуре (выше 200°). В результате этих процессов происходит снижение прочности наклепанной стали.Изменение прочности металлов при повышении тем¬ пературы в значительной степени связано с процессами, происходящими на границе зерен. Граница зерен яв¬ ляется наиболее активной зоной различных превращенийпри повышенных температурах. С повышением темпера¬ туры прочность межзеренного вещества падает быстрее прочности самого зерна, что приводит обычно к измене¬ нию характера разрушения: внутрикристаллическое (по телу зерна) сменяется междукристаллическим (по гра¬ нице зерна).У углеродистой стали при повышении температуры на¬ блюдаются следующие изменения механических свойств. Модули упругости уменьшаются. Предел текучести снижается. Временное сопротивление вначале несколько повышается, а затем резко падает. В интервале 200— 300° отмечается наибольшее увеличение <зь. и уменьше¬ ние 6, сталь становится хрупкой (синеломкость); при дальнейшем повышении температуры происходит^ловы- шение пластичности. Ударная вязкость вначале возрас¬ тает (в интервале 100—400°), а затем уменьшается (см. 4.2.3). Кроме того, начинают проявляться новые свойства — ползучесть и релаксация (см. 4.1.4), которые при комнатной температуре обычно не наблюдаются.При низких температурах (ниже 0°) отмечается не¬ которое повышение статической прочности и резкое уменьшение пластичности. Особенно сильно уменьшает¬ ся ударная вязкость, сталь становится ударнохрупкой.Прочность бетона при повышении температуры также уменьшается, что становится заметным уже в интервале 200—300°. Нагрев до 400° уменьшает прочность пример¬ но в 2 раза, а до 500° — почти в 3 раза. Первоначальная прочность бетона после нагрева выше 200° уже не вос¬ станавливается при охлаждении. Нагрев вызывает так¬ же увеличение деформативности бетона. Модуль упру¬ гости уменьшается. При температуре 55СР модуль упругости при сжатии уменьшается почти в 17 раз.4.1.4.	Влияние длительности нагруженияДействие длительной нагрузки в ряде случаев суще¬ ственным образом отличается от действия кратковремен¬ ной нагрузки такой же величины. Достаточно большое напряжение, которое при кратковременном действии вы-Рис. 4.5. Кривая ползучестизывает только упругие деформации, при длительном действии может вызвать растущие со временем пласти¬ ческие деформации (ползучесть) и даже разрушение. Ползучесть в бетоне и древесине проявляется при ком¬ натной температуре, в строительных металлах — при по¬ вышенных температурах (например, у стали выше 350°). При высоких напряжениях, превышающих предел теку¬ чести, ползучесть стали проявляется и при 2&.Различают три периода ползучести (рис. 4.5) (см. раздел 12):1)	неустановившейся ползучести, когда скорость на¬ растания пластической деформации с течением времени уменьшается (участок ab)\2)	установившейся ползучести, когда скорость нара¬ стания деформации постоянна (участок Ьс)\
4.1. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ1433)	прогрессирующей ползучести, когда скорость пол¬ зучести возрастает (участок cd). Этот период ползуче¬ сти заканчивается разрушением.Если при кратковременном испытании пластическая деформация металла происходит по всему телу зерен, то при длительном испытании (при ползучести) пласти¬ ческая деформация происходит в пограничной зоне зе¬ рен. Третий период ползучести (в некоторых случаях и второй) сопровождается процессами возникновения и развития микротрещин. Особенности проявления ползу¬ чести для различных строительных материалов (бетон, железобетон, древесина) рассмотрены ниже.Ползучесть может проявиться не только при постоян¬ ных, но и при убывающих напряжениях. Например, в затянутом болте часть его упругой деформации при вы¬ сокой температуре с течением времени переходит в пла¬ стическую, а напряжение постепенно снижается (релак¬ сация). В этом случае процесс ползучести зависит от податливости стягиваемых элементов конструкции и носят затухающий характер.Методы расчета на прочность в условиях ползучести даны в разделе 12.4.1.5.	Влияние переменности нагрузкиДействие многократно изменяющейся во времени на¬ грузки (рис 4.6) может привести к внезапному разруше¬ нию материала, носящему хрупкий характер (усталост-Рис. 4.6. Закон изменения напряже¬ ний во времениное разрушение). Окончательному излому предшествует образование трещины усталости, достаточное развитие которой и является причиной окончательного разруше¬ ния. Излом имеет две зоны: гладкую (зона развития трещины) и грубозернистую (зона окончательного из¬ лома).Для исследования сопротивляемости материала действию переменных напряжений строится по данным экспериментов кривая усталости (рис. 4.7). По оси ор¬ динат откладывается наибольшее значение периодиче¬ ски изменяющегося напряжения а, а по оси абсцисс — количество циклов перемен напряжений N, при котором произошло ра?рушение. С уменьшением а увеличивается число циклов W до разрушения. Кривая усталости ста¬ли имеет горизонтальный участок, начинающийся с5	10 млн. циклов. Напряжение, соответствующее гори¬ зонтальному участку, называется пределом выносливо¬ сти. Для материалов, не имеющих горизонтального уча¬ стка (например, дюраль), определяется ограниченный предел выносливости, соответствующий определенному числу циклов (например 106, 107).Рис. 4.8. Диаграммы предельных напряжений при асимметричных циклахНа величину предела выносливости оказывает влия¬ ние целый ряд факторов. Прежде всего сильно влияет концентрация напряжений (см. 4.1.6), размеры сечения элементов конструкций, состояние поверхности и окру¬ жающая среда. С увеличением размера сечения предел выносливости снижается. Поверхностные дефекты (сле¬ ды механической обработки, царапины, следы коррозии и др.), являясь концентраторами напряжений, также снижают предел выносливости. Химически активная сре¬ да (например, морская вода) вызывает резкое сниже¬ ние предела выносливости.Величина предела выносливости зависит и от закона изменения напряжений цикла, характеристиками которо¬ го являются: наибольшее ^ и наименьшее omin напря¬ жения, среднее напряжение	(omax+0mIn) и ам-1плитуда цикла <Ja= (ашах—amin). коэффициент асим- °т>п .. _метрии цикла г= 	. Наиболее опасным являетсяашахсимметричный цикл (amin =— атах, г =*—1): предел выносливости при симметричном цикле a_i является наименьшим. С увеличением асимметрии цикла (с ро¬ стом от, г) предел выносливости увеличивается.Для изображения зависимости предела выносливо¬ сти от асимметрии цикла используются диаграммы двух типов. На диаграмме первого типа (рис. 4.8,а) пределы выносливости равны ординатам кривой АВ\ на диаграм¬ ме второго типа (рис. 4.8,6) — сумме абсциссы и орди¬ наты точек кривой АВ.Развитие трещин усталости представляет собой дли¬ тельный процесс, начинающийся с резко локализирован¬ ных изменений (сдвиг, микроскопические трещины), ко¬ торые приводят к образованию макротрешины. Иссле¬ дования показывают, что значительная часть «жизни» образца при действии переменных напряжений протека¬ ет уже с развитой макротрещиной. Например, у гладкого металлического образца при испытании на воздухе тре¬ щина выявляется после 70—90% общего числа циклов до разрушения. При наличии концентратора напряже¬ ний трещина выявляется уже после 30% общего числа циклов до разрушения, а в коррозийной среде (3% NaCI)—после 10% циклов.
144РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИИПри действии сложного переменного напряженного состояния расчет на прочность ведется на основании теорий прочности, которые являются обобщением стати¬ ческих теорий прочности.Для пластичных материалов при симметричном цик¬ ле эквивалентные напряжения определяются по теории наибольших касательных напряжений или по теории октаэдрических касательных напряжений:аэк = °ia аза ^«эк = ■—■ V (°1а — °2а)2~На2а — °за)2+(а1а — аза)2 ./2Е'Де ^la* °2а* °за—амплитуды главных напряжений.Запас прочности определяется по формулеа-1При совместном растяжении ^ кручении или изгибе и крученииа2 . 'а2+ — х2 a • о az~iгде — предел выносливости при кручении;°а » та — амплитуды напряжений.Запас прочности в этом случае определяется по фор¬ мулеа0 , тв — пределы выносливости при пульсирующих цик¬ лах (напряжения цикла меняются от нуля до макси¬ мума)*NРис. 4.11. Схематизированная кривая усталостигдеПа =и-1Для малопластичных и хрупких материалов эквива¬ лентные напряжения определяются по теории прочности Мора:сэк = °ia — хаза *гдеи-1При несимметричном цикле частные запасы прочно¬ сти па и пх определяются на основании схематизирован¬ ной диаграммы (рис. 4.9):Рис. 4.9. Схематизированная диаграмма пре¬ дельных напряженийп = -‘'-lат + °а	%т + хагде ат, тт—средние напряжения цикла;2 а—1 — ®02 т-1 — ■'оРасчеты на прочность прн переменных напряжениях развивались применительно к машиностроению и поэто¬ му отражают специфику принятых в машиностроении методов (расчет по допускаемым напряжениям, опреде¬ ление запаса прочности и др.).Расчет на прочность с учетом концентрации напря¬ жений, масштабного фактора и состояния поверхности дан в [93, стр. 451].При действии на конструкцию переменных напряже¬ ний с изменяющейся во времени амплитудой условие разрушения от усталости определяется на основе сум¬ мирования повреждений, которое записывается следую¬ щим образом [91]:Щ	= а,Niгде ni — число циклов с амплитудой а/;Ni— число циклов, необходимое для разрушения при напряжении о/ (рис. 4.10); а — число, зависящее от материала и режима из¬ менения нагрузки (определяется на основании экспериментов; при отсутствии данных прини¬ мают а=1).Кривая усталости в логарифмических координатах схематизируется (рис. 4.11) В обычных координатах а, N ей соответствует аналитическая зависимость
4.1. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ145где’^^ /-предел выносливости;No — число циклов, соответствующее перелому кривой усталости либо базе испытаний (тог¬ да <*_! будет ограниченным пределом вынос¬ ливости, соответствующим базе No).При изгибе стальных образцов без концентрации напряжений т=9 18, Лго=(1 н- 4) Ю6, с концентрацией напряжений т=6 -г- 10, No—(l -ь4)106.Используя эту зависимость, условие разрушения можно представить в ином виде:1 ■£ «,■?-«КоилиVTПри суммировании принимаются во внимание только напряжения о/ > о_1#Методы определения запаса прочности при различ¬ ных режимах изменения нагрузки даны в [93, стр. 472]«4.1.6.	Влияние концентрации напряженийБольшие местные напряжения, возникающие в ме¬ стах резкого изменения формы или размеров тела, около выточек, отверстий, вырезов и т. д. (концентрация на-TTTrtTrrrРис. 4.12. Распределение напряжений в пластинке с отверстием при растя¬ жении за пределом упругостипряжений), оказывают существенное влияние на проч¬ ность. Особенно чувствительны к концентрации напря¬ жений хрупкие материалы, прочность которых при на¬ личии концентраторов напряжений резко снижается. С повышением пластичности чувствительность к концент¬ рации напряжений обычно снижается. Пластичные ма¬ териалы (малоуглеродистая сталь) мало чувствитель¬ ны, так как возникающие под действием высоких мест¬ ных напряжений пластические деформации смягчают эффект концентрации напряжений. На рис. 4.12 показано распределение напряжений в пластинке с отверстием при растяжении зз пределом упругости [39]. Однако возникающее в зоне концентрации напряжений объем¬ ное -напряженное состояние может затруднить развитие пластических деформаций и вызвать в некоторых случа¬ ях хрупкое разрушение (в растянутой зоне).Особенно сильно концентрация напряжений сказы¬ вается при переменных напряжениях. Для количествен- Ю Зак. 2098ной оценки ее влияния используется эффективный коэф¬ фициент кониенграции Ка равный отношению предела выносливости гладкого образца 	j к пределу выносли¬ вости образца с концентрацией напряженийКа=а-1КРис. 4.13. Диаграмма Н. Н. Давиденкова для объ¬ яснения хрупкого разруше¬ ния при ударных нагрузкахВеличины коэффициентов KQ для различных случаев даны в [93]. О концентрации напряжений см. также 11.6.4.1.7,	Влияние скорости приложения нагрузкиСопротивление пластическим деформациям и разру¬ шению зависит от скорости деформации. Особенно резко меняется сопротивляемость материала при действии им¬ пульсивных (ударных) нагрузок, когда дефор¬ мация протекает при больших скоростях.Сопротивля е м о с т ь ударным нагрузкам опре¬ деляется энергоемкостью материала, равной рабо¬ те, затрачиваемой на раз¬ рушение образца из дан¬ ного материала.Хрупкие материалы, обладая малой энергоем¬ костью, плохо сопротив¬ ляются ударным нагруз¬ кам.Хорошо сопротивля¬ ются ударным нагрузкам вязкие материалы, спо¬ собные поглотить боль¬ шую механическую энергию при пластическом деформи¬ ровании.Вязкость материала зависит от скорости деформиро¬ вания. Испытания на растяжение при ударных нагруз¬ ках (на копрах) образцов с постоянным сечением из ма¬ лоуглеродистой стали показывают увеличение вязкости по сравнению с испытаниями при обычных скоростях. При этом заметно увеличивается предел текучести (до двух раз) и до некоторой степени временное сопротив¬ ление. Закаленные стали получают при ударных нагруз¬ ках значительно меньшее упрочнение.У некоторых сталей с увеличением скорости дефор¬ мации наблюдается склонность к хрупкому разруше¬ нию. Переход к хрупкому разрушению поясняется диа¬ граммой (рис. 4.13), на которой проведены линия хруп¬ ких разрушений АВ и линия вязких разрушений CD [29J. При увеличении скорости деформирования кривая де¬ формации ОК поднимается выше. Если подъем кривой будет таким, что она пересечет линию АВ, то произойдет хрупкое разрушение.Для практической оценки материала с точки зрения его способности воспринимать ударные нагрузки произ¬ водят испытания на копрах надрезанных образцов с определением ударной вязкости (см. 4.2.1). С пониже¬ нием температуры ударная вязкость падает, причем при некоторой температуре, называемой критической темпе¬ ратурой хрупкости, наблюдается резкое падение ударной вязкости. Критическая температура хрупкости служит косвенным показателем склонности материала к хрупко¬ му разрушению: чем ниже эта температура, тем меньше склонность к хрупкому разрушению.
тРАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙ4.2.	СТРОИТЕЛЬНЫЕ СТАЛИДля металлических и железобетонных конструкций применяются углеродистые и низколегированные стали.Строительные стали классифицируются: по способу получения (мартеновская основная и конвертерная); химическому составу, 'качеству и назначению.Мартеновская и конвертерная стали по способу рас¬ кисления делятся на спокойную, полуспокойную и ки¬ пящую.Сталь по назначению подразделяется: на сталь обще¬ го назначения—углеродистая горячекатаная обыкно¬ венного качества и сталь разных назначений—угле¬ родистая горячекатаная повышенного качества и низко^ легированная.4.2.1,	Основные понятия и обозначенияПредел пропорциональности спц— напряжение, при котором отступление от линейной зависимости между напряжениями и удлинениями достигает некоторой уста¬ навливаемой техническими условиями величины (напри¬ мер, уменьшение тангенса угла наклона касательной к диаграмме растяжения по отношению к оси дефор¬ маций на 20; 33% своего первоначального значения).Предел упругости ауп — напряжение, при котором остаточные удлинения достигают некоторой малой ве¬ личины, устанавливаемой техническими условиями (на¬ пример, 0,001; 0,01% и т. д.). Иногда предел упругости обозначается соответственно допуску e0t001; °o,oiH т* Д*Предел текучести (условный предел текучести) а02— напряжение, при котором остаточное удлинение образ¬ ца достигает 0,2%. Для материалов, имеющих площадку текучести (малоуглеродистая сталь), предел текучести определяется как напряжение, соответствующее нижней точке площади текучести; обозначается ох.Временное сопротивление (предел прочности) <тв — напряжение, равное отношению наибольшей нагрузки, предшествовавшей разрушению образца, к первоначаль¬ ной площади сечения образца. Временное сопротивление можно отождествлять с пределом прочности только для хрупких материалов, разрушающихся без образования шейки. Для пластичных материалов это — характеристи¬ ка своеобразной потери устойчивости при растяжении, т. е. характеристика сопротивления значительным пла¬ стическим деформациям.Относительное удлинение при разрыве 5—отноше¬ ние приращения расчетной длины образца после разры¬ ва к ее исходной величине. Для длинного круглого об¬ разца (/pac4 = 10<i)—Ь10; для короткого образца(/ расч —5 d) — &5.Относительное сужение при разрыве, ф—отношение уменьшения площади наименьшего поперечного сечения образца (после разрыва) к исходной площади попереч¬ ного сечения образца.Условный предел текучести при изгибе ат.и — нор¬ мальное напряжение, вычисленное условно по формулам для упругого изгиба, при котором остаточное удлинение наиболее напряженного крайнего волокна достигает 0,2% или другой величины того же порядка соответст¬ венно требованиям технических условий.Временное сопротивление (предел прочности) при из¬ гибе ов.и—нормальное напряжение, вычисленное услов¬ но по формулам для упругого изгиба и отвечающее наи¬ большей нагрузке, предшествовавшей излому образца.Условный предел текучести при кручении т02, тт —касательное напряжение, вычисленное условно по фор¬мулам для упругого кручения, при котором остаточные деформации удлинения или сдвига по поверхности об¬ разца достигают 0,2% или другой величины того же по¬ рядка соответственно требованиям технических условий.Временное сопротивление (предел прочности) при кру¬ чении'Св—касательное напряжение, вычисленное услов¬ но по формулам для упругого кручения и отвечающее наибольшему скручивающему моменту, предшествовав¬ шему разрушению образца.Твердость по Бринеллю Нв—твердость материала, определяемая путем вдавливания в него стального ша¬ рика и вычисляемая как частное от деления нагрузки на поверхность полученного отпечатка при стандартных условиях испытания. Для некоторых материалов суще¬ ствует приблизительно прямая пропорциональность меж¬ ду твердостью Нв и временным сопротивлением; напри¬ мер, для углеродистых сталейf св « 0,36Нв .Твердость по Роквеллу H#Ct НRB — твердость ма¬ териала, определяемая путем вдавливания стального шарика или алмазного конуса стандартных размеров и измеряемая в условных единицах с помощью разных шкал по приращению оставшейся глубины погружения при переходе от малого стандартного груза к большо¬ му.Твердость по Виккерсу Ну — твердость материала, определяемая путем вдавливания алмазной четырехгран¬ ной пирамиды стандартных размеров и вычисляемая как частное от деления стандартной нагрузки на боковую поверхность полученного отпечатка.Предел ползучести — наибольшее напряжение, при котором скорость или деформация ползучести за опреде¬ ленный промежуток времени при постоянной темпера¬ туре не превышает величины, установленной технически¬ ми условиями.'Предел длительной прочности — напряжение, вызы¬ вающее разрушение образца после заданного срока его непрерывного действия при определенной температуре.П-редел выносливости — наибольшее периодически изменяющееся напряжение, которое может выдержать материал без разрушения при большом числе циклов, заданном техническими условиями (например, 106, 107, 108). Обозначается при симметричном цикле «^(изгиб), а_1р (растяжение—сжатие),^ (кручение), при пульси¬ рующем цикле (напряжения меняются от нуля до мак¬ симума | соответственно <з0, аор и т0#Ударная вязкость ak — работа, затраченная на раз¬ рушение образца при ударном изгибе, отнесенная к ра¬ бочему поперечному сечению образца.4.2.2.	Физические свойства углеродистой сталиУдельный вес стали в жидком состоянии при 1600°:чистое железо		 , 7,158сталь с содержанием 0,1 % С ... . 7,061 0,5 % С ... . 6,920Для расчетов удельный вес стали при 20° принимают равным 7,85.
4.2. СТРОИТЕЛЬНЫЕ СТАЛИ147Рис. 4.14. Удельный вес углеродистых сталей в зависимости от содержания углерода (Левин и Дорнхеккер) [94]Рис. 4.15. Теплопроводность углероди¬ стых сталей при комнатной темпера¬ туре в зависимости от содержания углерода (Г. Незер) [42]Таблица 4. 2Теплопроводность железа и углеродистых сталей при повышенных температурах [50]Состав в %Теплопроводность в кая/см град сек при температуре в град.С 1Мп100 |200300400500Электролити¬ ческое железо0,2080,1840,1570,1340,1200,0650,400*1930,1650,1400,1230.1090,290,840,1800,1540Л250,1050,09070,520,630.1620,1320,1090,08520.07500,850,650,1600,1220,1020,08750.0695Таблица 4.3 Коэффициент линейного расширения углеродистой ^ стали [94]Содержание элементов в %Темпе¬а-10®С 1SiМпРSратура в град.вмм!мм град0,060,050,13——0—10011,00,120,290,55--Г 20—450 ( 20—53013,814,50,310,460,71.--| 100 \ 50012,615,50,590,250,920,0240,033f 25—100 \ 25—60011,114,6Модуль нормальной упругости (модуль Юнга)= (1,9 -т- 2,17) 106 кг/см**. Для расчетов принимают £=* = 2 - 106 кг/см2. Модуль упругости при сдвиге G =* = (7,8 8,2)105 кг/см^.Для прокатной стали, литья, горячекатаной армату¬ ры из сталей марок Ст. 5 и Ст. 3 £=2,1 • 106 кг/см2; для сталей 30ХГ2С и 25Г2С Е=2 • 106 кг/см2. Для хо¬ лоднотянутой круглой и периодического профиля про¬ волоки и пучков, а также для холодносплющенной арма¬ туры £=1,8- 106 кг)см^.	'Таблица 4.4Модуль нормальной упругости и модуль сдвига углеродистой стали в зависимости от содержания углерода [94, 46]Среднее содержание углерода в %Е в кг/см*G в кг/см'10,102,06-10*0,202,00-10®8,01 -1050,302.01-10®	0,402,18-10®8,40-Ю50,502.10-1РКоэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации) /х =0,25-Ю,28.4.2.3.	Химический состав и механические свойства углеродистой стали1Сталь углеродистая горячекатаная' обыкновенного качества по ГОСТ 380-50В зависимости от предъявляемых требований сталь разделяется на следующие группы:группа А — сталь, поставляемая по механическим свойствам;группа Б — сталь, поставляемая по химическому составу.Из механических свойств, указанных в табл. 4.5, га¬ рантируются временное сопротивление при растяжении и относительное удлинение; по требованию потребителя гарантируются 1гкже предел текучести, удовлетвори¬ тельные результаты испытания на загиб в холодном со¬ стоянии; з стали для ответственных конструкций гаран¬ тируется ударная вязкость, нормы которой установлены следующие:для стали марки Ст. 3 толщиной от 12—25 мм удар¬ ная вязкость каждого из образцов: для сортовой и фа¬ сонной стали (продольные образцы) — не менееРасчетные сопротивления даны в 4.9.110*
148РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙТаблица 4.5Механические свойства углеродистой стали обыкновенного качества, поставляемой по группе А (ГОСТ 380-50)Маркастали®в в кг/мм3Отнудлпри ов вкг1мм*осительн лнение вбю;ое%*5°т в Kd мм"2, ье мс.:ееДиаметр оп¬ равки d в за¬ висимости от толщины об¬ разца при ис¬ пытании на загиб в холод¬ ном состоянии на 180°не менееСт. 032—4732—471822192аСт. 132—4032—402833—0Ст. 234—4234-422631220Ст. 338-4738—40232741—432226} 240,5а44—4721251Ст. 442—5242—44212545-482024} 262а49—5219231Ст. 550-6250—531721154-571620} 28За58-6215191Ст. 660—7260-S31315164-671214> 31—68—721113)Ст. 770 и70—749Иболее75—79810> ——80 и;более7910 кг/см2, для листовой и широкополосной для продельных образцов — не менее 8 кгм/см2 и для поперечных образцов — яе менее 7 кгм/см*. Нормы ударной вязкости для стали марки Ст. 3 толщиной выше 25 мм, а также для стали других марок устанавливаются в соответствующих стандартах или ведомственных технических условиях.Химический состав стали группы А не гарантирует¬ ся, однако в необходимых случаях для сварных конст¬ рукций по требованию потребителя может ограничи¬ ваться содержание фосфора, серы, хрома, никеля и уг¬ лерода. При этом содержание фосфора, серы и углерода не должно превышать норм, указанных в табл. 4.6.Содержание хрома, никеля и меди не должно превы¬ шать 0,30% (каждого элемента).Сталь группы Б. Химический состав является гаран¬ тируемой характеристикой этой группы стали. Нормы химического состава приведены в табл. 4.6.Углерод является одним из основных элементов, опре¬ деляющих структуру и свойства углеродистой стали. Поэтому содержание углерода в стали обыкновенного качества определяет ее механические свойства, способ¬ ность принимать закалку и свариваемость. Как прави¬ ло, для ответственных сварных конструкций содержание углерода в стали ограничивается 0,20%.Марганец вводится в сталь при выплавке в качестве раскислителя и для уменьшения вредного влияния серы. Марганец повышает прочностные характеристики (пре¬ дел текучести и временное сопротивление) и несколько понижает пластичность и вязкость, влияет на рост зер¬ на при высоком и длительном нагреве и увеличивает прокаливаемость стали.Кремний является раскислителем, несколько более энергичным, чем марганец. Вводится при выплавке спо¬ койной стали в виде ферросилиция. Кремний повышает прочность стали, одновременно понижая пластичность.Сера и фосфор являются вредными примесями, по¬ этому содержание их в стали строго лимитируется.Нормы химического состава для стали обыкновенного качества, поставляемой по группе Б (ГОСТ 380.50)ЗМарка сталиСодержание элементов в%СМпSis 1Рв ки¬ пящей сталив спокой¬ ной и по- луспокой- ной сталине болееСталь мартеновскаяСт. 0Не более			0,0600,0700,23Ст. 10,07—0,120,35—0,50Следы	0,0550,050Ст. 20,09—0,150,35—0,50ш	0,0550,050Ст. 30,14—0,220,35—0,65т0,12—0,300,0550,050Ст. 40,18—0,270,40—0,7090,12—0.300,0550,050Ст. 50,28—0,370,50—0,800,17—0,350,0550,050Ст. 60.38—0,500,50—0,80	0,17—0,350,0550,050Ст. 70,50—0,630,55—0,85	0,17-0,350,0550,050Сталь бессемеровская (конвертерная)Ст. 0Не более			0,0700,0900,14Ст. 3Не более0,25—0,55Следы0,10—0,350,0650,0850,12Ст. 40,12—0,200,35—0,550,10—0,350,0650,085Ст. 50,17—0,300,50—0,80Л0,10—0,350,0650,085Ст. 60,26—0,400,60—0,90—0,10—0,350,0650.085Рис. 4.16. Изменение механических свойств углеро¬ дистой стали в зависимости от содержания углеро¬ да (Девес) [94]
4.2. СТРОИТЕЛЬНЫЕ СТАЛИШТаблица 4.7Механические свойства углеродистой стали при температурах от —60 до +600° [14]'емперату- ра испы¬ таний в град.ат вкг!мм2ав вкг! мм585в %ib в %ak в кгм/см*Е в кг/мм3Состав стали:: 0.10% С;0,27% Мп; 0,02%S1; 0,037% S;0,052% Р-60			0,97	-50—	——1,04—-30		——1,57—-10			—2.19—2013,631,834,776,96.0920 70010020,430,618,074,014,92100020020,940,316,365,214,318 60030010,638,524,067,813,215 6004009,628,031,476,912,414 4004509,524,333,077,69,2413 6005008,320,133,377,99,27—5506,114,6 '41,385,28,26—6004,810,848,5 .90,19,70Состав стали: 0,18% С; 0,24% Мп: 0,12% Si; 0,011% S; 0,011% Р-60-50-30-102010020030040045050055060023.8 21,7 25,114.912.9 12,610.9 8,0 5,640.337.848.544.335.9 30,821.518.6 14,232.721.3 16,2 26,0 31,029.829.934.3 42,268,664,655,562.471.4 71,975.0 79,387.11,011,092,279,0210,6212,9913,4912.199,067,056,736,658,1520 200 18 700 17 900 17 000 16 100 13 700Состав стали: 0,28% С; 0,64% Мп; 0,25% Si; 0,024% S; 0,019% Р-601,01-50————1,09	-30————2,27	-10		——9,02	2032,550,227,858,48,4720 20010033,750,818,556,79,5220 00020032,957,312,544,29,8819 50030020,255,022,057,19,8518 90040016,847,624,865,77,1016 70045016,540,424,166,85,4215 20050015,433,728,269,94,88	 .55010,925,433,077,44,81	6007,415,844,191,98,11С о с т а е* стали:: 0,36% Со,о:; 0,53% М 19% Рп; 0,19% Si; 0,018% S;-60___1,18___-50————1,44—-30———	4,66—-10	—	—4,75—2033,154,524,852,46,3920 10010031,351,619,853,87,3320 10020031,359,019,539,18,4319 ООО30020,759,221,351,77,2117 90040018,751,223,164,06,0517 10045017,842,924,066,95,0615 70050015,436,524,070,34,40—55011,829,726,569,84,19—6008,319,734,882,87,57Таблица 4.8Изменение механических свойств стали марки МСт. 3 спокойной, содержащей мышьяк,при различных температурах [111]Темпе¬ ратура испытаний в град.ат в кг ,'мм2ав вкг! мм**5в %Ф в %ak в кгм!см*Состав стали: 0,18% С; 0,56% Мп; 0.21% Si; 0,026% S; Q.032% Р; 0,153% As—4029,751,932,660,29,5—2029,851,237,459,910,3029,349,334,260,011,42028,648,036,060,013,710026,545,725,863,218,220026,053,918,154,020,730024,756,022,061,920,440020,448,824,061,813,550018,430,025,859,2J 9,3С о с т ав стали:0,21% С; 0, 0,026% Р; 0,38% Мп; 0 28932 4Si,20% Si: 0,036% S;—4031,446,561,110,8—2029,345,834 J62,513,0027,442,640,463,519,22026,143,040,167,720,110024,342,928,560,521,820023,052,921,253,525,030018,550,924,860,523,040016,646,326,962,915,950015,025,930,671,910,2Рис. 4.17. Ударная вязкость строи¬ тельных сталей марки Ст. 3 1 — мартеновская сталь спокойная; 2 — то же, кипящая; 3 — бессемеровская сталь спокойная;4 — то же, кипящая [104]Т а б л и ц а 4.9Чувствительность углеродистой стали к старению [46akв кгм!см2Химический состав в %в исходном со¬ стояниипосле нагрева при 250° в течение 2 час.после деформиро¬ вания, но без нагревапосле деформиро¬ вания и нагрева при 250° в тече¬ ние 2,5 часачувствительность к старению в %СМпSiSР5,096,592,081,3179,00,070,270,100,0220,0294,142,602,521,1871,00,120,47Следы0,0450,61910,6211,883,131,4286,00,180,450,120,0110,0118,479,249,547,2514,00,280,640,250,0190,0246,396,054,262,6459,00,360,530,190,0180,019Примечание. Чувствительность к старению определяется по формуле (	-( а*)поеле стар- 1(Ю%( ak)ncx
150РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИИТаблица 4.11-бО-ЧО-ЯО 0 20ЮО 200 300 Температура в град,Рис. 4.18. Изменение ударной вязкости стали марки МСт. 3 (спокойная) с различным содержанием мышья¬ ка в зависимости от температуры испытания [111]Предел выносливости углеродистой стали в различной коррозийной среде [5]Содержание уг¬ лерода в %*§CDАЪПредел выносливо¬ сти в кг/мм3Отношение пре¬ дела выносливо¬ сти (в воздухе) к временному со¬ противлениюОтношение пре¬ дела выносливо¬ сти в воде к пре¬ делу выносливо¬ сти в воздухев воз¬ духев водеЖелезо30,916,814,00,550,83Катаное„Армко"30,215,410,50,510,68Отожжен¬ное0.1544,923,914,00,530,59Катаная36,517,511.20,480,64Отожжен¬ная0,2659,025,310,50,430,42Катаная41А16,810,50,410,63Отожжен¬ная0,3573,136,513,30,500,37Катаная55,523,216,10,420,70Отожжен¬наяБаза 20-10® цикловПримечания. 1.1	800 цикл./мин.2.	Жесткая водопроводная вода, содержащая на 1 млн. частей:11,7 ч. SiOa: 200 ч. СаС03; 1,89 ч. CaSO<; 17,3 ч. MgCl; 140 ч. NaCl.при скорости частей:Рис. 4.19. Изменение ударной вязкости углероди¬ стой стали в зависимости от процента наклепа при различных температурах [45]1 — вытяжка 2%; 2 — вытяжка 6%; 3 — вытяжка 10%; 4 — исход¬ ное состояниеТаблица 4.10Предел выносливости углеродистой стали марок Ст. 1 — Ст. 6 [82]Марка стали по ГОСТ*а?*шАьО4*Ао«о25ш->*£АНО***АXно*л»*АЕ-на?S'А<хооа?5!**АООа?а?л»*Аон*л»АOL7о*а?2iА7е>*л»*А7еСт. 132—40285518221117191011147Ст. 234-42265521241218211113158Ст. 338—47225522261321241314179Ст. 442—522050242914222614151810Ст. 550—621645273417273117192211Ст. 660—721245303618303418202413№ол\ 0,1210,10I| 0,06I10,06т№\1 \'vУ//	/ />^/''Уs'/?\s'sss'4/ '■ ~/iг1/234| Продолжительность испытания в годалРис. 4.20. Потери от коррозии углеродистых ста¬ лей в атмосфере промышленного города (крышная станция) [111]/ — БСт. 3; 2 — Ст. 3 спокойная; 3 — Ст. 3 кипящая; 4 — Ст. 5 (шпунт); 5 — Ст. 3 кипящая (шпунт)
4.2. СТРОИТЕЛЬНЫЕ СТАЛИ151Рис. 4.21. Потери от коррозии углеродистых сталей в водопроводной воде [111]1 — БСт. 3; 2 — Ст. 3 спокойная; 3 — Ст. 3 кипящая;4 — Ст. 5 (шпунт); 5 — Ст. 3 кипящая (шпунт)Сталь углеродистая для мостостроенияОсобые условия работы мостовых конструкций, под¬ верженных вибрационным нагрузкам, требуют примене-Химический состав и механические свойства углеродистойния стали, мало чувствительной к концентрации напря¬ жений, не склонной к старению после наклепа и имею¬ щей достаточно низкую температуру перехода в хрупкое состояние. При выборе стали для сварных мостов к этим условиям добавляется требование хорошей свариваемо¬ сти и достаточной вязкости металла около сварного шва.Материалом для изготовления сварных и клепаных мостовых конструкций служит спокойная углеродистая строительная сталь с гарантированными химическим со¬ ставом и механическими свойствами (по ГОСТ 6713-53). Для сварных мостовых конструкций применяется сталь марки М16С, для клепаных — марки Ст. 3 мост. Хими¬ ческий состав и нормы механических свойств сталей этих марок см. табл. 4.12.Сталь испытывается на загиб в холодном состоянии на 180° при толщине до 25 мм— до соприкосновения сторон, при большей толщине—вокруг оправки диамет¬ ром, равным толщине стали.Для стали марки Ст. 3 мост, определяется ударная вязкость при комнатной температуре и при температу¬ ре —20°.В стали марки М16С определяется ударная вязкость при температуре —20° и при комнатной после старе¬ ния.Сталь для заклепок. Заклепочная сталь должна об¬ ладать прочностью и пластичностью, необходимыми для образования головки без трещин и надрывов. Сталь для заклепок практически не должна закаливаться. Приме¬ няется мягкая сталь марок Ст. 2 и Ст. 3 с пониженным против обычного содержанием фосфора и серы.Наружные дефекты особенно опасны, поэтому сталь для заклепок должна выплавляться и разливаться с осо¬ бой тщательностью. Требования к химическому составу,Т а 6 л и ц а 4.12 стали для мостовых конструкций (ГОСТ 6713-53)МаркасталиХимический состав в %Механические характеристикиСМпSiSРа Вткг/мм-ав в кг/м ас-6ю в %«5 в %Ф в % не менеене болеене менеесортоваяифасоннаялистовая и широко¬ полоснаясортовая и фасоннаялистовая и широко¬ полоснаяке менееМ16С Ст. 3. мост.0,12—0,200,14—0,220,40—0,700,40—0,650,12—0,250,15—0,300,0450,0500,0400,0452324383824242222282826265050Примечания. 1. Величина относительного сужения площади поперечного сечения является факультативной.2.	В стали М16С содержание хрома, никеля и меди не должно превышать 0,3% (каждого элемента).	ФПП11Ши.й й оп3.	Нормы относительного удлинения, указанные в таблице, распространяются на листовую и широкополосную сталь толщиной от 8 до 20 мм и на сортовую и фасонную сталь толщиной от 8 до 40 мм.Таблица 4.13Ударная вязкость углеродистой стали для мостовых конструкцийа£ в кгм/смЛ не менееПрофиль проката и располо¬ жение образцовпри комнат¬ ной темпе¬ ратурепри—20°послестаренияМостовая и широкополосная: а) на продольных образцах844б) на поперечных образ¬ цах 	73,53,5Сортовая и фасонная на про¬ дольных образцах .....1045	Вдоль проката	Поперек лронпгпаО 20 ЧО ВО вО 100 120140 160 ISO 200 Температура в градРис. 4.22. Ударная вязкость углеродистой мостовой стали при температурах от—70 до 200° [115] Состав 0,25%С; 0,52% Мп; 0,12% Si; 0,28% Р; 0.058% S;0,03% Си; 0,005% Ni
152РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙмеханическим и технологическим свойствам таких ста¬ лей определяются ГОСТ 499-41 (Сталь для заклепок уг¬ леродистая общего назначения), ОСТ 12535-38 (Сталь для заклепок углеродистая для мостостроения). Основ¬ ные требования приводятся в табл. 4.15.Сталь для шпунтовых свай. Для шпунтовых свай поставляется горячекатаная мартеновская и бессемеров¬ ская сталь по ГОСТ 4781-55.В зависимости от назначения профилей стальной шпунт подразделяется на:а)	сталь шпунтовая плоского профиля (ШП-1 и ШП-2); основное назначение — ячеистые конструкции;б)	сталь шпунтовая корытного профиля (LIIK-1 и ШК-2); основное назначение—противофильтрационные завесы;в)	сталь шпунтовая зетового профиля (1ПД-3 и ШД-5); основное назначение — подпорные стенки и при¬ чальные соор>жения.Шпунтовые сваи изготовляются из углеродистой ста¬ ли марок Ст< 3, Ст. 4 и Ст. 5 по группе А ГОСТ 380-50, с гарантированными верхними пределами содержания уг¬ лерода, серы и фосфора согласно п. 14 и из низколе¬ гированной стали марки 15ХСНД (HJ12) и 12ХГ (БНЛ2) по ГОСТ 5058-57.На наружной поверхности свай, в торцах и в зам¬ ковой части не должно быть трещин, закатов, плен и расслоений.Для шпунговых свай плоских профилей ШП-1 и ШП-2 должно производиться испытание замков на прочность; разрывное усилие в замке в кг/пог. см тол¬ щины образца (1емплета) приведено в табл. 4.16.Таблица 4.14Механические свойства и ударная вязкость стали марки Ст. 3 для мостов в зависимости от толщины 	(по данным завода имени Дзержинского)ХарактеристикиТолщина ]5 ммПримечание10—1в| 2021—301 31—40)41—50<гт в кг!мм*29,225,525,626,125,29в 9 944,742,444,643,443,65510 в %а£ (при—20°) в кгм/сма26,811,325,07,9824,17,8723,53,2922,93,03Сталь раскис¬ лена в ковше 1 кг/т алюми¬ нияafc (после старе¬ ния) в кгм/см310,068,98,266,96,2ат в кг/мм230,6828,626,7326,627,06*в ■ •45,3244,244,7244,943,87610 в %(при —20°) в кгм/см229,918,4525,277,823,77,3622,526,021,34,03Сталь раскис¬ лена в ковше 1 кг/т алюми¬ ния и 1 кг/т ферротитанаak (после старе- ния> в кгм/см-8,948,27,797,05,8Таблица 4.15Механические и технологические свойства углеродистой заклепочной сталиТип стали№ ГОСТаМаркасталиТробования к химическому составуМеханические свойстваТехнологические свойстваав в кг/мм2бЮ в%*5 В %<>kв кгм/см-проба на осадку в холодном сестоянии поОСТ 1686проба на осадку в горячем состоянии поОСТ 1686проба на обра¬ зование голов¬ ки и расплющи¬ вание в холод¬ ном состоянии по ОСТ 1693Углероди¬ стая общего назначения499-41Ст. 2 Ст. 3Содержание серы и,фосфо¬ ра не более 0,05% (каждого элемента)34—422631Отношение высоты об ле осадки к перво*—	1 0,4—	| 0.5•разца пос- тачальной 1/3 1/3До диамет¬ ра, равного 2,5 диаметра пруткаУглероди¬ стая для мо¬ стостроения12535-38Ст. 2Содержание серы в готовом прокате должно быть не более 0,05%, фосфора — не более 0,04%34—4226310.41/3То жеПр имечания. 1. Допускается повышение временного сопротивления на 2 кг/мм2 против указанного в ГОСТе при условии соответст¬ вия ГОСТу относительного удлинения и технологических проб.2.	По требованию заказчика для стали марки Ст. 3 относительное удлинение должно быть не менее 24% при осадке в холодном состоянии иа 0,4 первоначальной высоты образца.3.	Проба на незакаливаемость загибом производится по требованию заказчика.4.	Для заклепочной стали диаметром менее 8 мм допускается понижение относительного удлинения на 1% (абсолютный) на каждый милли¬ метр уменьшения диаметра.5.	Сталь подвергается испытанию на незакаливаемость загибом на 180° при толщине оправки, равной толщине образца, по ОСТ 1684.Т а б л и ц а 4.16Разрывное усилие в замке в кг/пог. смМарка сталиДля замка профиля ШП-1Для замка профиля ШП-2Ст. 32 5001 200Ст. 43 0001 300Ст. 53 5001 650НЛ23 5001 650Проверка качества, отбор проб и приемка стали производятся по ГОСТ 7564-55, 7565-55, 7566-55.Сталь листовая кровельная. Сталь прокатная ли¬ стовая кровельная по ГОСТ 1393-47 (железо кровельное) представляет собой тонколистовую отожженную сталь толщиной листов от 0,38 до 0,82 мм. Отличается от тон¬ колистовой горячекатаной меньшей толщиной листов и термической обработкой (отжигом). Применяется для покрытия крыш и для производства поделок.Кровельные листы изготовляются из мягкой углеро¬ дистой стали путем горячей прокатки, а также с допол¬ нительной пробивкой на молотах (уральский способ)
4.2. СТРОИТЕЛЬНЫЕ СТАЛИ153и поставляются в отожженном состоянии. Листы долж¬ ны быть ровно обрезаны и иметь прямоугольную фор¬ му. Поверхность листов должна быть ровной, гладкой, с плотной пленкой окалины. На поверхности не должно быть трещин, плен и ржавых пятен.В зависимости от состояния поверхности сталь ли¬ стовая кровельная разделяется на три сорта: I, II и III.Листы должны выдерживать без появления отслое¬ ния, трещин, надрывов и излома испытание на двойной кровельный замск.Сталь углеродистая для армирования железобетонных конструкцийСталь арматурная (стержневая). Сталь периодиче¬ ского профиля по ГОСТ 5781-58 представляет собой круглые стержни с выступами, идущими по трехзаход- ной винтовой линии, с двумя продольными ребрами, и предназначена для изготовления арматуры, применяе¬ мой в железобетонных конструкциях.Стержни периодического профиля изготовляются из стали марки Ст. 5 по ГОСТ 380-50 с гарантированным пределом текучести и испытанием на загиб в холодном состоянии.Для стержней № 40—90: временное сопротивление — не менее 50 кг/мм?\ предел ' текучести — не менее 27 /сг/лш2; относительное удлинение (В10) — не менее 14%.Высокопрочная проволока. Для армирования пред¬ варительно напряженных железобетонных конструкций применяется высокопрочная проволока круглая и пери¬ одического профиля по ГОСТ 7348-55, 8480-57.Таблица 4.17Механические свойства круглой проволоки по ГОСТ 7348-55Диаметр в ммвв кг!мм* не менееПерегиб| на 180°б на расчетной длине 100 мм в % не менеедиаметр валиков в ммчисло пере¬ гибов не менее2,520020102319020824180206351702043616030337150302481403024101003024Т а б л и ц а 4.18Механические свойства проволоки периодического профиля по ГОСТ 8480-57Номинальный диаметр в ммив в кг!мм1а0,2 в кг 'мм*Число пере¬ гибов на 180° при диаметре валиков 30 мм5 на расчет¬ ной длине 100 мм в %не менее2,51801444317013644416012835150120356140112211Испытание7130104на перегиб812096заменяется6пробой назагиб50 100 ZQO 300 7емперетурв испытания б град.Рис. 4.23. Изменение временного сопротивления предварительно напряженной высокопрочной проволоки в зависимости от температуры испы¬ тания (пробы № 1, 3, 4 табл. 4.19)Марки стали, как указано в стандартах, устанавли¬ ваются заводом-изготовителем; требования к про¬ волоке предъявляются лишь по механическим свой¬ ствам.Высокопрочная проволока изготовляется из катанки диаметром 6—8 мм. Проволоку патентируют, т. е. на-Рис. 4.24. Ползучесть высокопроч¬ ной проволоки при температуре 18°(проба № 1 табл. 4.19)гревакл до температуры 910—930°, затем охлаждают в соляной ванне до температуры 440—460° и потом под¬ вергают волочению. Целью патентироваиия проволоки является получение однородной высокодисперсной сор- битовой структуры.Механические свойства высокопрочной проволоки см. в табл. 4.19.
154РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙТаблица 4.19Механические свойства высокопрочной проволоки в исходном состоянии№пробВид проволокиДиаметр в мм*0,2 в кг/мм-авв кг/мм*8 в %Ф в %а0,2°ВЧислоперегибовЕ в кг! см21Периодического профиля5130157—1603,17—3,730,8251 940 0001593,52То же5134163—165,54,53—4,960,823—42 000 0001644,83Круглая5138169—171,55,2—6,52• 36-42,3п Q18—92 050 0001706,039U,Ol4598111—111,43,98—4,4647,2—53,70,889-141 880 0009111,24,350,55з190174—2060,9—2,736,0—55,50,96171 860 00091981,6246,0Примечание. В числителе указаны минимальные и максимальные значения, в знаменателе—средние значения.Рис. 4.25. Релаксация высокопрочной про¬ волоки при температуре 18° (проба № 1 табл. 4.19)Таблица 4.20Химический состав высокопрочной проволоки(приведенной в табл. 4.19)№пробВидпроволокиДиа¬ метр в ммМаркасталиСодержание элементов в %С *МпSiS | Р1Периоди¬ческогопрофиля5Ст. 700,700,480,160.0360,022Продолжение табл. 4.20№ВидДиа¬МаркасталиСодержание элементов в %пробпроволокиметр в ммСМпSi |1 s1 Р2То же5У80,770,270,250,0200,0073Круглая5У80,800,270,200,0210,0074т5Ст. 450,430,590,200,0280,0215*3VI0,720,310,200.0200,0054.2.4.	Химический состав и механические свойства низколегированной сталиМарки и общие технические требования к низколе¬ гированным сталям предусмотрены ГОСТ 5058-57. Этот ГОСТ распространяется на листовую широкополосную (универсальную), сортовую и фасонную низколегирован¬ ную сталь, применяемую в строительстве и машиностро¬ ении.В сталях всех марок, выплавляемых в мартенов¬ ских печах или основных конвертерах, допускается со¬ держание серы и фосфора не более 0,040% (каждого элемента).В стали марок 18Г2С, 25Г2С и 30ХГ2С (применяе¬ мых для арматуры железобетонных конструкций) и мар¬ ки 12ХГ (для шпунтовых свай) допускается содержание серы и фосфора не более 0,050% (каждого элемента), В сталях этих марок, выплавленных в кислых конвер¬ терах, допускается содержание серы не более 0,055%; фосфора не более 0,075%. В стали марки 10ХНДП со¬ держание фосфора должно быть в пределах 0,08— 0,15%. Сталь, предназначенная для сварных конструк¬ ций, должна дополнительно раскисляться алюминием и титаном.Механические свойства стали в состоянии поставки приведены в табл. 4.22.
4.2. СТРОИТЕЛЬНЫЕ СТАЛИ= 155Таблица 4.21Нормы химического состава для низколегированной стали (по ГОСТ 5058-57)№п/пМарка сталиХимическийсостав в %СSi |Мп| Сг1 Ni |I Си115ГС . . .0,12—0,180,70—1,000,90-1,30<0,30<0,30<0,30218Г2С . . .0,14—0,230,60—0,901,20—1,60<0,30<0,30<0,30323Г2С125ГС• • *•••**•«•• •0,20—0,29, 0,60-0,901,20—1,60<0,30<0,30<0,30410Г2СД (МК<0,12* 0,80—1,101,30—1,65<0,30<0,300,15—0,30514ХГС . .0,11—0,170,40—0,700,90—1,300,50—0,80<0,30<0,30630ХГ2С . .0,26—0,350,60—0,901,20—1,600,60—0,90<0,30<о[зо714ХГСН .0,11—0,170,40—0,700,90—1,300,20—0,600,80—1,30<0,30810ХГ2СН .<0,120,50—0,801,20—1,600,20—0,600,80—1,30<0,30910ХГСНД (МС-1)	<0,120,80—1,100,80—1,200,30—0,501,00—1,300,30—0,501010ХГСНД (СХЛ 4)	<0,120,80—1,100,50—0,800,60—0,900,50—0,800,40—0,651115хснд (С:ХЛ1, НЛ2)	0,12-0,180,40—0,700,40—0,700,60—0,900,30—0,600,20—0,401212ХГ (БНЛ2<0,140,25-0,500,40—0,800,40—0,70<0,30<0,301312ХГН . .• • •• •• • • .<0,140,20—0,400,90—1,300,20—0,600,80-1,30<0,301410ХС2Н . .<0,120,20—0,401,20—1,600,20—0,600,80-1,30<0,301515ХГН . .0,12-0,180,20-0,400,90—1,300,20—0,600,80—1,30<0,301614ХГ2Н . .0,11—0,170,20—0,401,30—1,700,20—0,600,80—1.30<0,301714Г . ...0,12—0,180,20—0,400,70-1,0<0,30<0,30<0,301819Г ....0,16-0,220,20—0,400,70—1,0<0,30<0,30<0,301924Г . , . 40,21—0,280,20—0,400,70—1,00<0,30<0,30<0,302009Г2 . . .• Ф • • #•••#••#•<0,120,20—0,401,40-1,80<0,30<0,30<0,302114Г2 . . .• •*•••• • • • • • •0,12-0,180,20—0,401,20—1,60<0,30<0,30—0,3022ЮГНД ..<0,120,20—0,400,90—1,300,20—0,600,80—1,300,50—0,802314ГНД . .«••»••• * * * * * *0,11-0,170,20—0,400,90-1,300,20—0,600,80—1,300,50—0,802410ХГНДП<0.120,20—0,400,30—0,600,50—0,800,30—0,600,30—0,50Примечание. В обозначении марок стали двузначные цифры слева указывают среднее содержание углерода в сотых долях процента. Буквы справа от этих цифр обозначают: Г—марганец; С—кремний; X—хром; Н—никель; Д—медь; П—фосфор. Цифры после букв указывают (приблизительно) процентное содержание соответствующего элемента в целых единицах. Сталь«выплавленная в конвертерах с кислой футеров¬ кой, дополнительно маркируется буквой „Б“, в конвертерах с основной футеровкой—буквой .К".Таблица 4.22Механические свойства низколегированной стали 	(ГОСТ 5058-57)	№п/иМаркасталиТолщина про¬ ката в ммав вкг! мм2ат в кг/мм2610 в %Загиб в холодном состоянии с — толщина оправки, а — толщина проката, d — диаметр стержняне менее115ГС4—10503518180°, с=2а.11—20483418218Г2С |6-860 |40 |1 14 190% с=Ы325Г2С6—4060401490°, c=Sd4—105035410Г2СД4—20483418<3II<s>О *О00(МК)4—324833514ХГС4—10503518180°, с=2а11—205034186 | 30ХГ2С| 10—32I 90| 601 645°, с=Ы7|| 14ХГСН 1| 4—1052 || 371 18—8 I| 10ХГ2СН |4—1050 |1 37 |1 18—9юхгснд4—32544016180°, с=2а(MCI)33—4051371510юхснд4-32544016180°, с-2а(СХЛ4)33—40513715И15ХСНД4-32523518180°, с—2а(СХЛ1)(НЛ2)1212ХГ8—20463315	(БНЛ2)1312ХГН4—10503518180°, с=2а11-2050331821—3048311814| 10ХГ2Н4—10501 361 18 |115I 15ХГН4—101 52I 361 18I -111-20| 49| 351 181Продолжение табл. 4.22№п/пМаркасталиТолщина про¬ ката в ммав вкг, мм* -ат в кг! мма-*10 в %Загиб в холодном состоянии с — толщина оправки а — толщина проката d — диаметр стержняне менее16 || 14ХГ2Н |4—1053 |3716—17 || 14Г 14—10 |46 |2918»CSIIоо0018 |I 19Г |1 4-10 | 47 || 3018180°. с=2а1924Г4—10493318180°, с=2а11—20473018.2009Г24—10463118180°, с=2а11-2445301825—304430182114Г24—10483418<3IIэООО11—2047331822ЮГНД4—10523815—11-205038152314ГНД4—10544015—11-2052401524 ||ЮХНДП |4-12 |48 |35 |18 |180°, с=2аНормы механических свойств, указанные *в табл. 4.22 для сортовой, фасонной и широкополосной стали, отно¬ сятся к продольным образцам, а для листовой — к поперечным образцам.По требованию заказчика сталь испытывается на ударную вязкость после механического старения или при температуре —40°. При этом минимальное значе¬ ние ударной вязкости должно быть не менее3	кгм/см2 (при толщине проката 10—20 мм). При тол¬ щине проката более 20 мм нормы ударной вязкости ус¬ танавливаются соглашением сторон. Для стали марок 10ХСНД (СХЛ4) и 10ХГСНД (MCI) при толщине ли¬ ста 10—15 мм ударная вязкость при температуре —40е должна быть не менее 4 кгм/см2, при толщине 16-^ 32 мм — не менее 5 кгм/см2.
156РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙТаблица 4.23Механические свойства листовой стали 15ХСНД (HJI2) в зависимости от толщины (по данным заводов А и Б) [46]Толщина листа в мм°тв кг!мм~°вв кг/мм38 в %akв кгм'см-А. |1 БАБА1 БСр.АБ5—838,438,453,356,324,621,423,8		10-1236,240,354,657,922,320,221,816,018,314-1636,139,254,759,322,520,421,814,812,718-2035,737,753,356,322,819,421,116,711,221-2236,538,055,763,521,818,921,513,011,0N!<£> ,SII£\•\ 9#: •ч •••••••••► •36 357U,	600 650 900 350 1000 10501100 Температура конца прокатки & граЗ,гРис. 4.26. Влияние температуры кон¬ ца прокатки на предел текучести стали 15ХСНД (НЛ2) [46]Таблица 4.25Механические свойства тонкостенной стали 15ХСНД (HJI2) при разных температурах [46]аНормализация+отжигНормализацияot£ в кгм'см*Температур испытания в град.3;"со*ь- mае2;воь m23;as5Са?и -to fflvPо'О ffiнормали¬зацияотжиг50024,635,221,930,437,016,640030,051,1•18,038,460,113,7		30029,860,117,536,762,411,2	—20030,452,716,737,959,815,3		2037,756,123,638,063,519,515,017,30————	—15,716 9—5039,463,825,040,071,223,010,510,8-75——————10,310,5—120	—————2,35,2—19370,09226,5Разорватьне удалось1,00,8Примечание. Данные приведены для термически обрабо¬ танной тонколистовой стали толщиной 1—2 мм; данные по ударной вязкости — для термически (Обработанной листовой стали толщи¬ ной 10 ммТаблица 4.26Влияние температуры испытаний на ударную вязкость стали 15ХСНД (НЛ2)Направление отбора образцаct£ в кгм см'1 при температуре испытания в град.+ 100+ 200—101ю0101сло-60Вдоль проката . . Поперек „16,79,715,38,113,67,114,05,611,34.59,34,18,84,76,83,170Степень обтатия в %Рис. 4.27. Изменение механических свойств стали 15ХСНД (НЛ2) в зависимости от процента обжатия при прокатке [46]Таблиц! 4.24Механические свойства листовой стали 15ХСНД (НЛ2) при повышенных и пониженных температурах [46]Направление отбора образцовТемперату¬ ра испыта¬ ния в град.Механические свойстваатв кг!ммхавв кг/мм-510 в %Ф» %Вдоль проката ....30038,865,019,740,0Поперек „30040,072,622,041,3Вдоль 	20038,757,019,345,0в » • • .10040,757,819,445,0039,164,221,057,0Поперек „ . I . !041,766,426,868,7Таблица 4.27Чувствительность к старению стали 15ХСНД (НЛ2) [46]Профильв кгм!см1Чувствитель¬ ность к ста¬ рению в %до старения| после старенияОбразцы вдскпь прокатаЛист 20 мм6,64,630,0. ю .9,37,618,0„ 10 .10,56,547,5. 12 „11,97,834,4. 12 .7,04,240,0Образцы попе]зек прокатаЛист 20 мм12,67,540,5. 20 .17,49,843,7Уголок9,88,414,3ш20,415,723,0Балка N* 5518,89,947,4Таблица 4.28Предел выносливости стали 15ХСНД (НЛ2)Содержа¬ ние угле¬ родав %Состояние образцаОбразцы без надрезаОбразцы с надрезома-1 в кг!мм7х-1 в кг/мм2с-1 в кг!мм20,15Исходное ....3116И0,20» ....311690,15Наклеп 3% истарение . . .31—0,20То же ....33		0,15Наклеп 6% истарение . . .32——0,20То же .34,5——
4.2. СТРОИТЕЛЬНЫЕ СТАЛИ157Таблица 4.29Механические свойства стали 15ХСНД (HJI2 с титаном) в зависимости от температуры отпуска после закалки [46]Температура закалки в град.Температура отпуска в град.Образцы поперек прокатаОбразцы вдоль проката-а?Sан»1ааово«овое-5Jв ю*,аг$йЛS'а2*ао«о0sа•0-а*Jo*8в вСырой-37,957,323,853,714,0 | 35*853,928.865,912,291060063067061.3 59,652.468,568,461,017,917,322,256.158.160.16,59,28,857.653.7 45,969,064,860,222,3 24,1 27,в63,668,272,112,616,118,687060063067063,561,954,071,069,862,416,616,620,656,956.258.36,49,38,259,453.743.86»,8 62,8 56,421,124,527,867,765.371.412,615.118.1Т а б л и ц а 4.30Влияние температуры отпуска и режима охлаждения на ударную вязкость и твердость стали 15ХСНД (HJ12) [114]Темпера¬ тура в град.Охлаждение с печьюak »кгм/см2250400500600_ 9,5 8,5 14,3 26,9335336 288 215Охлаждение на воздухеак \ кгм/см2Я.10.5 8,714.526,8381340304203Охлаждение в водеaki кгм!см"110,79,714,525,3370325304208Таблица 4.31 Механические свойства стали 12ХГ (БНЛ2) [114]Профильатв кг/мм*авв кг/мм2510 в %Ф в %ат/ав”вШвеллер № 2242,654,623,У57,90,78165Уголок 100Х75Х X1238,552,725,164,20,72166Шпунт 0,07%С34,947,322,5—0,73—„ 0,08—0,09%С36,951,220,5—0,72—„ 0,10—0,14%С37,652,521,10,71Таблица 4.32Механические свойства стали 12ХГ (БНЛ2) в состоянии поставки и после наклепа и старения [114]Состояниеметалла5;1-Г ^ С * е> оа*Ле> оаа*оа * е> оаа*Sоа* * е> оаб в %Ф в %яоИсходное25,738,650,5103,825,961,10,76После наклепа истарения—60,260,2595,17,450,01,0Таблица 4.33Ударная вязкость стали 12ХГ (БНЛ2) при низких температурах [114]Профильа£ в кгм,'см~ при температуре в град.Послестаре¬ния+ 20 | -20—40-60Швеллер № 22 ... Уголок 100x75x12 . . Уголок, бессемеров¬ ская углеродистая БСт. 3 . 	20.918.91818,514,37,415,811,30,78,315,613,4Предел выносливости стали 12ХГ (БНЛ2): образец без надреза—28 кг!мм2; образец с надрезом—16 кг!мм2I1ЮЗсъ1II£-/- 1-/1-/21-///X—:(, /г-1У/*11	У/1	i_,1	460-IW-W0 -Б0 -200 20 JO 100 Температура в град.Рис. 4.28. Изменение ударной вязкости бессемеровской низколегированной ста¬ ли 12ХГ (БНЛ2) в зависимости от темпе¬ ратуры1 — исходное состояние; 2 — после наклепа и ста¬ рения [114]Сталь низколегированная 10ХНДП (СХЛФ) с повышенным содержанием фосфораТаблица 4.34Механические свойства стали 10ХНДП (СХЛФ) (средние данные) [46]Толщина листа в ммОбразцы вдоль прокатаОбразы поперек прокатаа*а*л»*но ОЭа*оао оаО®4vPО''а88а оаа**еН аа;£а0х*СОtoа-э-5а о340,851,818,8440,659,822,6649,458,020,261,8—50,659,018,344,0—744,655,024,564,3—44,557,021,350,0—1040,153,323,760,017,842,854,522,259,27,51236,052,323,1—19,836,952,222.0—11,11836,252,825,256,010,535,251,223,259,25,5Примечание. Сталь дополнительно минием (5 кг!т) и ферротитаном (1,3 кг/т)раскислялась алю-
158РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИИТаблица 4.35Ударная вязкость стали ЮХНДП (СХЛФ) при пониженных температурах [46]Толщина листа в ммdfc в кгм/см2Образцы вдоль проката j Образцы поперек проката+20° —20° —40° —60° +20° —20° —40° —60°181011,510,48,012,38,68,38,25,66,34,85,44,65,14.34.4Таблица 4.36Механические свойства стали ЮХНДП (СХЛФ) с титаном (образцы гагаринские, подвергнутые нагреву)[46]Состав стали: 0,10% С; 0,51% Мп; 0,37% Si; 0,127% Р; 0,023% S; 0,71% Сг; 0,40% Ni; 0,34% Си; 0,02% Ti.Температура испытания в град.атв кг 1мм*аВв кг!мм'15в в %Ф в %V *в2040050060070080039,540.0 40,339.1 38,836.251,555,355.254.254.051.021,5*31,930,032.233.3 33,550,870.170.271.470.4 70,00,770,710,720,720,710,71* Образцы нормальныеТ а б л и ц а 4.37Ударная вязкость стали ЮХНДП (СХЛФ) до и после старения [46]Толщина листов в ммОбразцы вдоль прокатаОбразцы поперек прокатаak в кгм/см*уменьше¬ ние ak в %ak в кгм/см'1уменьше¬ ние ak в %до ста¬ ренияпослестаре¬ниядо ста¬ ренияпослестаре¬ния18109,714,98,710,810,327.55,45,64,53,816,632,1Сталь низколегированная марки 10Г2СД (МК)Таблица 4.38Средние значения механических свойств листовой стали 10Г2СД (МК) (данные ЦНИИЧМ)Толщина листа в ммад в кг/мм2в кг!мм*\ в %81053,76 + 2,04* 53,91±2,8639,34± 1,80 39,71±1,9629,95±1,45 31,44±1,41* Квадратичное отклонение (вероятное отклонение от среднего значения).0JZ 0,11 I цо45$ 0,07 1| 0№ 0,03 O.OZ, 0,0/✓АУ‘-#гПродолжительность испытания Q zodajL- Рис. 4.20. Потери от коррозии низколегированных сталейа —в условиях атмосферы промышленного города (крышная станция) [111]; б — в водопроводной воде Г1111; / — сталь 15ХСНД (НЛ2); 2 — сталь ЮХНДП (СХЛФ); 3 — сталь 12ХГ (БНЛ2); 4 — сталь медефосфористая
4.2. СТРОИТЕЛЬНЫЕ СТАЛИ				159Таблица 4.39Влияние температуры испытания на механические свойства нормализованной стали10Г2СД (МК)Состав стали: 0,10%С; 1,39% Мп; 0,60% S; 0,30% Ni; 0,50% Си; 0,01% S;0,02% Р		 	Темпера¬ тура испы¬ тания в град.авв кг1 мм*атв кг/мм35м в %лТемпера¬ тура испы¬ тания в град.авв кг/мм1атв кг!мм*§10 в %Фв %—7064,849,623,373,72052,939,025,562,6—5062,748,224,568,710048,336,724,564,0—2060,847,120,575,820048,234,119,056,5059,144,420,475.830052,126,418,559,535052,123,523,568,0Таблица 4.40Влияние температуры испытания на ударную вязкость нормализованнойТаблица 4.41 Влияние степени деформации на ударную вязкость нормализованной сталиТемпература испытания в град.dfr в кгм/см*+201-3—16,2—209,5-13,2—407,4— 8,2—655,7— 8,6—755,5- 8,7ak в кгм/см*Температурапосле старенияиспытания в град.до ста¬ рениядеформация в%2 I51 »+2014,313,610,55,6-508,07,86,04,6Сталь низколегированная марок 14ХГС и 19Г	Таблица 4.42Механические свойства листовой стали 14ХГС и 19Га?« ЦХимический состав в %Механические свойстваУдарная вязкость а£ в кгм/см2* SЯ®3 с*МпSiСга_8 в %+20°—20°—40°—60°после старенияОнЧ со «о£5Н кСвв кг!мм*тв кг/мм?+20°—20°14ХГС920300,120,970,560,4951,049.548.538.0 35,736.022,518,17,48,08,06,45,86,34,94,71.63,9--19Г920300,191,060,27-52.7 50,247.737,834,733,226,620,022,05.5 6,06.65,04,23,94,92,52,23,23,74,54,92.5 2,42.6Таблица 4.43	Сталь низколегированная марки 15ГСМеханические свойства стали 14ХГС и 19Г	„(лист 20 мм) при повышенных и пониженных	Таблица 4.44температурах	Механические свойства и химический состав стали 15ГСМаркасталиХарактери¬стикиТемпература в град.500400300200*20—20—40-60ов в кг/мм*31.547,651,548,4**51,957,458,761,4ат в кг/мм*22,025,633,626,2**33,536,136,439,214ХГС* в %37,230,226,928,7**32,032,133,433,8Ф в %76,671,964,667,7**74,066,965,964,8в кгм/см210,115,416,116,314,6—6,72,1ав в кг/мм232,444,050,949,754,155,457,158,7от в кг/мм225,230,432,732,833,434,535,938,819Г8 в %36,681,927,626,428,933,933,433,6Ф в %86,584,066,668,865,805,964,565,1в кгм'см210,113,516,115,616,3—5,84,6***Толщи¬ВСГ в86Ф в %«£ в кгм/смана лис¬ та в ммВкг/мм*ткг/мм*в %—40°послестаренияСостав стали: 0,17% С; 1,42% Мп; 0,59% Si, 0,025% S; 0,037% Р. Плавка № 3177663,747,124,9____1061,143,923,750,7——1262,642,920,950,95,73,82062,639,820,543,85,12,33059,535,724,257,413,67,5Состав стали: 0,12% С; 1,22% Мп; 0,55% Si; 0,018% S;Плавка № 31840,032% Р.654,642,131,9_		1052,938,433,059,4——1255,936,725,059,78.04,82053,634,3' 27,961,08,85,83053,833,723,142,512,27,2* Образцы продольные.	_	_** Температура испытаний 250°.	Примечание. Сталь раскислялась в ковше алюминием*** Температура испытания —50°.	(0,5 кг/т)и ферротитаном (0,6 кг/т).
РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙоО	■ 				-	~Таблица 4. 45Химический состав и механические свойства низколегированных сталей, применяемых в строительстве за границейХимический состав в %Механические свойстваНаименование сталиСМпSiРСг| NiСиДругиеэлемен¬ты<з_ в ткг/мм2ав в кг/мм3толщи¬ на лис¬ та в ммСостояниепоставкиКортен<0,120,2—0,50,25—0,750,07—0,150,5—1,250,650,25—0,55->35>4912 шахПосле прокаткиМантен		USS Три-Тен. .........Иолой EHS	<0,25<0,22<0.161,1—1,6 <1,25 <0,9<0,30 0,1—0,3 <0,3<0,45<0,045<0,10,2—0,350,5—1 0,3—0,6>0,2 0,3—0,6 0,25— 0,5=>35>35>35>49>49>4912 шах 12 max 12То жешшAW 70—90 	<0,250,120,25<1,60,60,5<0,30,25<0,040,080,10,250,25>0,20,40,5->3540,5354950,463121919Горячекатаная*РMn-Ti	0,150,090,151,30,71,10,240,40,70,020,10,250,50,350,6Ti—0,0163735—38,5 35—38,553,812—1912—1912После прокатки Не оговариваетсяДукол W 210,23<1,70,350,8	<0,25<0,5_	36,15812—19	Британская сталь. 		Хромадор 	0,150,220,950,1-0,80,90,3—35—38,535,857,6—67,75-Нет данныхМп—Cr—Ni—Си	BS 548 	St. 52	Cu-Ni 52	0,30,250,180,20,91,48<1,50,90,30,05<0,50,40,040,60,50^60,450,50,9—38.838.438.535.859.764.559.5 51,6—61.7<30<58После прокатки Не оговариваетсяSt. 52	0,21,50,50,05----34,851,7— 61,7-То жеHSB 50	0,20,950,450,05----35,849,6—59,7—9St. 52T	0,21,40,450,04--0,35-39,757,6—67,7-тAC 54	0,20,60,3-0,45-0,45-35,853,8—63,6—тИтальянская 'сталь •	0,14—0,171—1,2^>,8—1-0,8—11—1,2---79,1— 99,5-После нормали¬ зацииИтальянская сталь ......0,14— 0,17_0,8—10,5—0,80,8—10,8—10,4-0,7——59,5—79,1—То же4.3.	СПЛАВЫ АЛЮМИНИЯ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬСТВАОбщие сведения. С развитием производства алюми¬ ния его сплавы находят все большее применение >в строительной промышленности, заменяя главным обра¬ зом сталь. По сравнению с последней сплавы алюми¬ ния выгодно отличаются высоким сопротивлением кор¬ розии (кроме сплавов с медью), малым удельным ве¬ сом (около 2,7 г/см?) и простотой получения самых сложных профилей.Основные недостатки алюминиевых сплавов: высо¬ кая стоимость (примерно в 10 раз дороже стали), от¬ сутствие абсолютного предела выносливости и отчасти пониженный модуль упругости. Экономически выгодно применять алюминиевые сплавы в несущих конструкци¬ ях больших пролетов, где собственный вес составляет существенную часть всей нагрузки, а также в случаях, когда эксплуатационные расходы могут быть значитель¬ но снижены (замена стальной кровли, обшивки стен, оконных и фонарных переплетов, а также несущих кон¬ струкций, работающих в условиях коррозийной среды).Чистый алюминий, являясь весьма пластичным ма¬ териалом (удлинение при разрыве до 50%), вследствиенизкой прочности (5—7 кг/мм2) в конструкциях не при¬ меняется. Для повышения прочности алюминий леги¬ руется медью, магнием, кремнием или марганцем; хи¬ мическая стойкость повышается добавкой магния или марганца.По .нормам, принятым в Германии, для достижения высокого сопротивления коррозии содержание меди не должно превышать 0,05%, а железа — 0,4%.По способу изготовления изделий алюминиевые сплавы делятся на деформируемые (прокатка, прессов¬ ка, волочение, ковка и т. п.) и литейные.Временное сопротивление и предел текучести алю¬ миниевых сплавов могут быть значительно повышены нагартовкой, т. е. холодной деформацией (прокаткой, вытяжкой) или термообработкой, т. е. закалкой с по¬ следующим старением. Старение применяется либо ес¬ тественное, продолжающееся при комнатной темпера¬ туре несколько суток, либо искусственное т. е. при на¬ греве до 150—200° в течение нескольких часов. В про¬ цессе упрочнения пластичность сплава понижается; уп¬ рочнение может быть снято нагреванием (отжигам), a затем снова восстановлено повторением процесса уп¬ рочнения. Диаграммы растяжения и сжатия практиче¬ ски одинаковы и не имеют площадки текучести. Предел текучести определяется условно по допуску для остаточ¬ ной деформации 0,2%.
4.3. СПЛАВЫ АЛЮМИНИЯ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬСТВА161Таблица 4.46Алюминиевые сплавы для строительства, принятые НиТУ для проектированияКомпоненты сплава и механические характеристикиЕдиницаизмеренияДеформируемыеАМгП | АМгМ | АМгбТМ | АМг5п | АВТ1 | АВМ | Д16Т	Д18ТВ55ЛитейныйАЛ8Медь . . . Магний . . Марганец . Кремний . Титан. . .0,2k * ■ в-ГИв%%%%% кг! мл?к гм! см кг/мм2кг/см2—2,80,15-0,425152113,5601912,582312,8456—70,6—0,750,03—0,12321615кучести определяется условно по допуску для остаточ¬ ной деформации 0,2°/о.Механические свойства. Центральный научно-иссле¬ довательский институт строительных конструкций АСиА СССР рекомендует для опытного строительства сле¬ дующие сплавы.Сплав АМгП — полунагартованный. Хорошо сопро¬ тивляется коррозии. Предназначается для кровельных настилов, обшивки стен и оконных и фонарных пере¬ плетов. Хорошо сваривается.Сплав АМгМ — отожженный. Предназначается для электродов, идущих на сварку сплавов АМгП и АМгМ. Механические показатели относятся также к сплаву АМгП в зоне сварного шва.Сплав АМгбТМ — отожженный. Предназначается для несущих сварных конструкций. В агрессивных ус¬ ловиях плохо сопротивляется коррозии и требует защит¬ ного покрытия. Механические показатели даны для око- лошовной зоны.Сплав АМг5п — прутки и проволока в исходном со¬ стоянии. Предназначается для электродов, идущих на сварку сплава АМгбТМ, и для болтов в соединениях сплавов группы АМг.Сплав АВТ1 (авиаль) — термообработанный с ис¬ кусственным старением. Хирошо сопротивляется корро¬ зии. Допускает клепку и сварку. Предназначается для несущих конструкций, заклепок и болтов.Сплав АВМ — отожженный. Предназначается для электродов, идущих на сварку сплава АВТ1. Механиче¬ ские показатели относятся также к сплаву АВТ1 в зоне сварного шва.Сплав Д16Т (дюралюминий)—термообработанный с естественным старением. Для защиты от коррозии требуется покрытие. Предназначается для клепаных не¬ сущих конструкций и болтов для них.Сплавы Д18Т и В65 — термообработанные с естест¬ венным старением. Предназначаются для заклепок и болтов в конструкциях из сплава Д16Т.Сплав AJI8—литейный сплав. Отливается в земля¬ ные формы и подвергается термообработке с закалкой без искусственного старения.Химический состав и механические характеристики перечисленных сплавов приведены в табл. 4.46.Нагрев алюминиевых конструкций до 100° можно считать практически безопасным. Огнестойкость их ниже стальных, для которых безопасным является нагрев до 200° и более. Понижение температуры, приводящее11	Зак. 20985-6 0,2—0,62716152314700,2—0,0 0,45—0,9 0,15—0.35 0,5—1,23019»23109,894128246,3303,8—4,9 1,2—1,8 0,3—0,944273113311,51052 2—3 0,2-0,5301917249,5703.9—4,5 0.15—0,3 0,3—0,525209,5—11,52860Для всех сплавов близок к 700 000иногда к внезапному разрушению стальных конструк¬ ций на морозе вследствие перехода стали в хрупкое со¬ стояние, для алюминиевых конструкций, в том числе и сварных, безопасно, так как материал сохраняет свою пластичность даже при сильном охлаждении.Обычные эксплуатационные перепады температуры вызывают в алюминиевых конструкциях значительно большие деформации, чем в стальных конструкциях, так как коэффициент температурного расширения алю¬ миниевых сплавов равен а =(24^-27) 106 мм/мм град и примерно вдвое больше, чем для стали. Однако воз¬ никающие при этом температурные напряжения из-за меньшей жесткости конструкций (модуль упругости в 3 раза меньше, чем у стали) ниже, чем в стальных.В отличие от стали сплавы алюминия не имеют аб¬ солютного предела выносливости. Ординаты кривой ус¬ талости продолжают убывать с ростом числа циклов даже при весьма большом числе циклов. За условный предел выносливости принимают максимальное напря¬ жение симметричного цикла, вызывающее разрушение при 500 • 106 циклов. При переменных напряжениях осо¬ бенно сильно снижается прочность высокопрочных спла¬ вов (см. табл. 4.46).Применение алюминиевых сплавов. Расчеты конст¬ рукций из алюминиевых сплавов на прочность аналогич¬ ны расчетам стальных конструкций, так как исходят из предположения изотропности материала. Пониженный модуль упругости требует для алюминиевых сплавов выбора систем несущих конструкций, обеспечивающих возможно малые прогибы (неразрезные балки, арки и т. д.), а также развитие сечений элементов, подби¬ раемых по деформациям или рассчитываемых на ус¬ тойчивость. Сечения при этом получаются тонкостенны¬ ми, требующими большего внимания к вопросам обеспе¬ чения местной устойчивости, чем компактные сечения стальных конструкций.Профили для конструкций. Алюминиевые сплавы поставляются в виде листа и полосы, профилей различ¬ ного сечения, прутков, проволоки, труб и поковок. Ли¬ сты изготовляются методом прокатки, (горячей и холод¬ ной). Некоторые профили могут быть изготовлены из листа или полосы холодной вальцовкой. Наиболее рас¬ пространенным способом получения профилей является горячая прессовка, при которой нагретую до 500° бол¬ ванку сплава закладывают в стальной цилиндр и выдав¬ ливают из него поршнем через мундштук с отверстием, соответствующим форме профиля. При горячей прессов-
162РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙке могут быть получены профили любой конфигурации, в том числе и замкнутые. Размеры профиля определя¬ ются диаметром цилиндра пресса, достигающим 300— 350 мм и более.Коррозия и защита от нее. Сплавы, не содержащие меди, как правило, хорошо сопротивляются коррозии даже в морских и индустриальных условиях эксплуата¬ ции. Сплав АВТ1, содержащий лишь небольшое коли¬ чество меди, хорошо сопротивляется коррозии в обычных условиях. Сплавы типа дюралюминия разрушаются под действием влаги в силу интеркристаллической коррозии алюминия в присутствии вкрапленных в него частиц меди. Защита от коррозии этих сплавов достигается грунтовкой, не содержащей щелочи (хромат цинка, по¬ крытие на битумной основе), и покраской по грунту 1—2	раза. Особо тщательно должны быть загрунтованы и покрашены места будущих соединений со сталью или иными материалами. Листы дюралюминия Д16Т выпус¬ каются из прокатки плакированными, т. е. покрытыми слоем чистого алюминия, составляющим 3—5% от тол¬ щины с каждой стороны, что создает весьма надежную защиту от коррозии. Наличие в поперечном сечении ли¬ ста некоторого количества чистого алюминия низкой прочности несколько снижает его общую прочность, что должно быть учтено в расчетах прочности.Клепка и сварка. Высокопрочный сплав Д16Т не допускает сварки и потому применяется только в кле¬ паных конструкциях. Сплав АВТ1 может применяться как в клепаных, так и в сварных конструкциях. В кон¬ струкциях из этих сплавов во избежание местного от¬ жига рекомендуется постановка холодных заклепок. В конструкциях из сплава АВТ1 заклепки из этого же сплава ставятся в состоянии поставки. В конструкциях из сплава Д16Т ппименяются заклепки из более пластич¬ ных сплавов Д18Т и В65, близких по химическому со¬ ставу к Д16Т.Заклепки могут ставиться в отожженном и свеже¬ закаленном состоянии, когда их прочность понижена, а пластичность особенно высока. При этом из-за ухудше¬ ния условий естественного старения, вызванного холод¬ ной деформацией в процессе клепки, временное сопро¬ тивление для этих сплавов следует считать пониженным на 2 кг/мм2 против приведенного в табл. 4.46.Сварка, алюминиевых сплавов ведется электриче¬ ской дугой в струе инертного газа, препятствующего образованию оксидной пленки, или с присадкой флюса, химически разрушающего оксидную пленку, остатки которого должны быть затем тщательно удалены. Свар¬ ка ведется электродами того же химического состава, что и свариваемый сплав. Упрочнение сплава в зоне шириной 150—200 мм вдоль сварного шва снимается из-за нагрева в процессе сварки. Прочность сплава должна приниматься как для отожженного.4.4.	БЕТОНБетон — искусственный каменный материал, образу¬ ющийся в результате затвердения смеси из вяжущего вещества, камневидных заполнителей (щебня, гравия, песка) и воды. Затвердевший бетон, изготовленный на портландцементе и цементах других видов, состоит из залолнителей, цементного камня, пор и капилляров, за¬ полненных водой в жидкой и газообразной фазе и воз¬ духом.По объемному весу бетоны подразделяются на:а)	обыкновенные (тяжелые)—с объемным весом 1 800 кг/мг и более; изготовляются обычно на гравии и щебне тяжелых горных пород;б)	легкие — с объемным весом от 600 до 1 800 кг/м3. К ним относятся бетоны на легких заполнителях (ке¬ рамзите, шлаке, пемзе), крупнопористые (беспесча- ные) бетоны на различных заполнителях (щебне, гра¬ вии, шлаке), ячеистые бетоны.Кроме указанных, существуют теплоизоляционные бетоны, имеющие объемный вес менее 600 кг/мъ, ме¬ ханические характеристики которых здесь не приводим.Согласно ГОСТ 6901-54 [26], испытаниями контро¬ лируется кубиковая прочность при сжатии (предел прочности при сжатии куба) и прочность бетона при изгибе (по которой определяется также сопротивление бетона растяжению). Призменная прочность бетона (см. ниже), а также модули упругости установлены нормами в функции только от кубиковой прочности (марки) бетона.Прочность, деформация и другие свойства в значи¬ тельной степени зависят от свойств и соотношений вхо¬ дящих в состав бетона материалов (цемента, заполни¬ телей), методов укладки и обработки бетона, его возра¬ ста к моменту загружения, размеров бетонного эле¬ мента, температуры и влажности среды, в которой на¬ ходится бетон, и др. Поэтому зависимости между раз¬ ными видами сопротивлений и деформаций и маркой бетона, установленные нормами или формулами, сле¬ дует рассматривать как приближенные.Обобщающие данные о прочности и деформациях бетона в зависимости от различных факторов приве¬ дены в [40, 62, 96].4.4.1.	ПрочностьСжатие. Прочность бетона при сжатии зависит от абсолютных и относительных (отношение высоты об¬ разца h к его толщине d) размеров образца. Это объ¬ ясняется действием возникающих при сжатии сил трения между поверхностями образца и плит пресса. Эти силы препятствуют поперечным деформациям и увеличивают разрушающую нагрузку. Влияние сил тре¬ ния тем больше, чем меньше отношение высоты образ¬ ца к его размерам в плане h: d. Например, для образ¬ цов, имеющих одинаковые размеры в плане, но раз¬ ную высоту, при h : d=0,5 разрушающая нагрузка со¬ ставляет от 1,5 Якуб до 2,5 Ркуб, а при h:d = 4—от 0,65 Ркуб до 0,9 Ркуб, где Ркуб — разрушающая на¬ грузка для куба (h:d= 1). Влияние сил трения изме¬ няется также с изменением абсолютных размеров образ¬ цов-кубов бетона.Прочность бетона в конструкциях близка к проч¬ ности бетона, получаемой при испытании призмы, име¬ ющей отношение h : d=4 -г- 8.Предел прочности при сжатии такой призмы назы¬ вается призменной прочностью /?пр- Однако для удоб¬ ства испытаний, согласно ГОСТ 5901-54 [26], прочность бетона определяется испытанием кубов, размеры ко¬ торых установлены в зависимости от крупности за¬ полнителя (табл. 4.48),Таблица 4.47Физико-механические свойства некоторых материаловМатериалМаркаСосто¬ яние ма¬ териалаПлот¬ностьв8/СМ3Коэффици¬ ент линей¬ ного рас¬ ширенияа • 10’аввкг!мм3а0.2вкг/мм?в-1вкг/мм2Stoи х % * ГГ 4JI2Мягкий2476,750X о;Твердый8,9416*540-503811t« я Н хЛитой18—22		18Л96Мягкий8,8517246.3	52Твердый4039—2J0Л90Мягкий8,8017261312,644S>>Л 8598,7518,726101048иЛ 808,6518,8311210,552е;Л 6898,601933101256Л 62,8.502036111249
4.4. БЕТОН163Таблица 4.48Размеры кубов для испытания на сжатие и коэффициенты приведения к прочности кубов с ребром 200 ммНаибольшая крупность заполнителей в ммРазмеры ребра куба в ммКоэффициент приведе¬ ния к прочности кубов с ребром 200 мм3040601001001502003000,850,901,00 1,10Правила отбора проб бетона, а также изготовления, условий и сроков хранения образцов см. в ГОСТ 6901-54I20]-	*	/В практике некоторых зарубежных стран (в част¬ ности, США) в качестве стандартных образцов приня¬ ты цилиндры высотой 30 см и диаметром 15 см, пре¬ дел прочности которых составляет 80—85% от пре¬ дела прочности кубиков с размерами ребра в 20 см.Марка бетона характеризует предел прочности в кг!см2 при сжатии бетонного кубика с ребром в 20 см. Нормами установлены следующие марки бетонов: 10, 15, 25, 35, 50, 75, 100, 150, 200, 300, 400, 500, 600. Марки 10* и15 относятся только к легким, а марки 400, 500 и 600— только к тяжелым бетонам.При определении марки бетона по результатам ис¬ пытаний бетон относят к марке, ближайшей (меньшей по величине) к полученному среднему пределу проч¬ ности при сжатии.Призменная прочность бетона Rnp устанавливается СНиПом и «Техническими условиями проектирования бетонных и железобетонных конструкций» [69] в зависи- мости от кубиковой прочности бетона и вычисляется по формуле-RKy6 Л3°°+Лкуб >0JRKy6.пр1 450 + 3 RKy6Предел выносливости бетона. Предел выносливости бетона при сжатии в зависимости от соотношения меж¬ ду переменной и постоянной составляющей цикла на¬ грузки и марки бетона примерно равен J),5 -г- 0,7 от призменной прочности бетона, определяемой при крат¬ ковременном нагружении [40, 96].Изгиб. При изгибе бетон всегда разрушается в рас¬ тянутой зоне, так как лучше сопротивляется сжатию, чем растяжению.Вид ПО Л-Лf ■1 Jлf'г/г г ’1200V~~-Л±Рис. 4.30. Схема испытаний образца бетона на из¬ гиб (простая балка)На основании испытаний бетонных балок и плит [110] установлено, что предел прочности при изгибе за¬ висит от высоты образца h. Так, например, при оди¬ наковом отношении hjl (/ — пролет балки) образец с11*высотой сечения 10 см имеет предел прочности при из* гибе на 30% больший, а при высоте 50 см на 17% мень¬ ший, чем при высоте сечения 20 см.По ГОСТ 6901-54 [26] определение сопротивления изгибу производят по испытанию образцов балок про¬ летом 100 см и сечением 20X20 см или же образцов укороченных балок пролетом 55 см и сечением 15Х Х15 см. Балка нормальной длины испытывается двумя, а укороченная балка — одним сосредоточенным грузом. Схема испытания по ГОСТу показана на рис. 4.30.Предел прочности на растяжение при изгибе бе¬ тона, являющегося упруго-пластическим телом, услов¬ но определяется по формуле для идеально упругих тел	IR -У- Р-и — ц/ '(4.1) .ГРис. 4.31.Образец для испытания на осевое растяжениеПри испытании укороченных ба¬ лок полученное значение /?р.и умно¬ жается на коэффициент 0,9 для при¬ ведения к пределу прочности нор¬ мальной балки.Сопротивление бетона в растяну¬ той зоне при изгибе (растяжение при изгибе) СНиПом не устанавливается.Испытания же на изгиб по ГОСТу имеют целью определить по величи¬ не сопротивления изгибу величину сопротивления осевому растяжению, используя переходные коэффици¬ енты.Сопротивление бетона в сжатой зоне при изгибе нельзя определить путем испытания бетонных балок на изгиб, так как они разрушаются в растянутой зоне- Разрушение бетона в сжатой зоне при изгибе возможно только в железобетонных балках. При этом предел прочности бетона в, сжатой зоне при изгибе принимает¬ ся равным #и = 1,25 RnPаРастяжение. На осевое растяжение испытывают об¬ разцы, имеющие форму «восьмерок» (рис. 4.31). Опреде¬ ление по результатам таких испытаний действительной величины предела прочности бетона при осевом растя¬ жении Rp представляет большие трудности главным образом вследствие возникновения внешних и внутрен¬ них (связанных с неоднородностью бетона) эксцентри¬ цитетов.На получаемую при испытаниях величину Rp вли¬ яют также размеры образцов. Например, по опытам [110] образцы сечением 7X7 см разрушались при на¬ пряжении на 17% большем, а образцы сечением 20X Х20 см — на 20% меньшем, чем образцы сечением 10Х ХЮ см.Различные факторы, определяющие прочность бе¬ тона, по-разному влияют на прочность при сжатии и растяжении, поэтому отношение /?Куб : Rр может из¬ меняться в очень широких пределах. По данным раз¬ личных исследователей, для разных бетонов это отно¬ шение может находиться в пределах от 6 до 24, причем обычно (но не обязательно) это отношение увеличивает¬ ся с увеличением марки бетона. По нормам это отноше¬ ние принимается в пределах от 7 (при низких мар¬ ках бетона) до 20 (при высоких марках).Если прочность конструкции зависит от сопротив¬ ления бетона растяжению, прочность бетона при растя¬ жении должна контролироваться испытанием образцов бетонных балок на изгиб по ГОСТу [26], так как от¬ ношение Rp.H £ Rp является более определенным, чем отношение /?Куб * Яр- Величина Rр.и условно вычис¬ ляется по формуле (4.1) для идеально упругих ма¬ териалов. Поэтому Др.и не совпадает с величиной Rр и всегда значительно больше последней. Отношение
164 *РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙk=Rр.и: Rр, по данным различных исследований, ко¬ леблется в пределах от 1,5 до 3. Это объясняется, с -одной стороны, неточностью испытаний на осевое ра¬ стяжение, а с другой — различием в размерах образ¬ цов, испытанных на изгиб и на растяжение различными исследователями, что в свою очередь влияло и на от¬ ношение Rр.и : Rp•Испытания на изгиб и на осевое растяжение соизме¬ римых по величине образцов [110] дают отношения k, находящиеся в сравнительно узких пределах — от 1,8 до 2,2; при /?р.и>20 кг/см2 /?р =0,6 #р.и—3, гдеи /?р.и в кг/см2.Вследствие неизбежности эксцентрицитетов при ис¬ пытаниях на осевое растяжение экспериментальная величина Rp всегда несколько преуменьшена, и, следо¬ вательно, отношение k, получаемое в результате испы¬ таний, соответственно преувеличено. Для перехода от предела прочности Rр.и , определяемого испытанием образца балки сечением 20X20 см и пролетом 100 см на изгиб, к пределу прочности при осевом растяжении Rp в ГОСТе принято отношениеДр.„ —1,7 Rp.Срез. Тппы образцов, испытанных на срез, приведе¬ ны на рис. 4.32; в наиболее чистом виде разрушение от среза может быть получено только при испытаниях образцов, показанных на рис. 4.32,6. По данным С. А. Семенцова, при испытаниях образцов (см. рис. 4.32,6) предельное сопротивление срезу изменялось с 23,6 кг/см2 при длине площадки среза 10 см до 12,6 кг/см2 при длине площадки среза 50 см, что объяс¬ няется неравномерным распределением сдвигающих усилий по длине сечения; эта неравномерность увеличи¬ вается с увеличением длины сечения.Количество экспериментальных данных о сопротив¬ лении срезу сравнительно невелико, так как проведение таких испытаний сложно. При длине площадок среза порядка 15—20 см предел прочности образцов на срез для бетонов марок от 100 до 300 составляет Rcрез = =0,18 -г- 0,27 /?пр.В среднем Ясрез=0,22 Rnp.Нормативные сопротивления (наиболее вероятные пределы прочности) бетона (табл. 4.49) равны средним, полученным из многочисленных испытаний пределам прочности бетона, соответствующим данной марке.Однородность бетона зависит от качества применяе¬ мых материалов и тщательности его изготовления и ха¬ рактеризуется коэффициентами однородности.Таблица 4.49Нормативные сопротивления бетонав кг!см2Вид напряженногоМарка6 ет он асостояния355075ioo|1502003004005С0600Сжатие осевое (призменная прочность) ....28406080115145210280350420Сжатие при изгибе .3550751001401£0260350440520Растяжение	5б8110131621253830Степень однородности показателей прочности бето¬ на при сжатии выше, чем при растяжении.Для бетонов марок 35—200, изготовляемых на за¬ водах с автоматическим дозированием составляющих (при систематическом контроле прочности и однород¬ности бетона), нормы устанавливают коэффициент од¬ нородности при сжатии 0,60 и при растяжении — 0,45; при изготовлении бетона в других условиях эти коэф¬ фициенты принимаются соответственно равными 0,55 и 0,40.АрматураРасчетные сопротивления бетона соответствуют наи¬ меньшей практически вероятной прочности бетона и определяются умножением значений нормативных со¬ противлений на соответствующие коэффициенты одно¬ родности.4.4.2.	ДеформацияПри стандартных испытаниях бетон ведет себя как упруго-пластический материал. Пластические деформа¬ ции в бетоне при напряженном состоянии происходят в результате сдвигов в гелевой структуре цементного камня, в кристаллах заполнителя и цементного камня и на контактах между заполнителем и цементным кам¬ нем. Величина пластических деформаций в значительной степени зависит от скорости и длительности приложения нагрузки.Бетон деформируется также при изменении его влажности и температуры (усадочные и температур¬ ные деформации).Сжатие. На рис. 4.33 показаны кривые деформации бетона при сжатии при различных скоростях нагруже¬Рис. 4.33. Зависимость между деформациями и напряжениями бетона 'при сжатии при раз¬ ных скоростях нагружения1 — при мгновенном нагружении; 2—через 5 сек.; 3—че¬ рез 15 сек.; 4 — через 30 сек.; 5 — через 60 сек. после каждой ступени нагружения
4.4. БЕТОН165ния Г62]. Для построения этих кривых деформации из¬ мерялись через определенные промежутки времени пос¬ ле каждой ступени нагрузки (5, 10, 15, 30 и 60 сек.). С увеличением скорости нагружения пластическая часть деформаций уменьшается, и при очень быстром на¬ гружении зависимость между напряжениями и дефор¬ мациями приближается к линейной.На рис. 4.34 показана .диаграмма сжатия бетона при прерывной (ступенчатой) нагрузке и одинаковой длительности выдерживания каждой ступени нагрузки. После каждой ступени нагрузки на диаграмме отмече¬ на горизонтальная площадка, длина которой зависит от длительности и величины нагрузки. С течением вре-гРис. 4.34. Зависимость между деформаци¬ ями и напряжениями при прерывной наг¬ рузке и одинаковой длительности выдер¬ живания каждой ступени нагрузкимени развитие деформаций прекращается тем быстрее, чем меньше напряжение а. При очень больших напря¬ жениях, близких к /?лр, деформация развивается не¬ прерывно, сначала при постоянной, а затем и при уменьшающейся нагрузке. Так как бетон является не¬ однородным материалом, при нагружении в нем воз¬ никают местные концентрации напряжений и микро¬ трещины, постепенно развивающиеся с ростом нагруз¬ ки. При этом на каждой ступени нагрузки происходит перераспределение напряжений, которое является по¬ степенным процессом, связанным со временем; это одна из причин развития пластических деформаций, особен¬ но при больших напряжениях.Полная деформация £ состоит из двух частей — упругой еуп и пластической еПл: е = ЕуП -f- епл .При повторных нагружениях и разгрузках остаточ¬ ные деформации постепенно увеличиваются, а кривая разгрузки и нагрузки выпрямляется, если напряжения не превышают предела выносливости бетона. После нескольких циклов нагрузки и разгрузки бетон начи¬ нает работать, как идеально упругое тело (рис. 4.35,а). Если же напряжения превышают предел выносливости, то кривые нагрузки после ряда циклов нагружения остаются искривленными, и при продолжении таких испытаний происходит разрушение бетона.На рис. 4 35, б (первый цикл загрузки и разгрузки) видно, что в процессе разгрузки до нулевых напря¬ жений исчезает упругая часть деформаций еуп. С тече¬ нием времени после разгрузки постепенно исчезает еще небольшая часть деформации еуп (деформация упру- гогд последействия). Остальная часть деформации е0ст является необратимой (остаточной). Так как величина деформации упругого последействия мала, то ее обыч¬ но вместе с остаточной деформацией включают в со¬ став пластической деформации:епл = еост £уП •Вследствие разнообразия свойств, бетонов, влияния размеров образцов, зависимости деформаций от ско¬ рости нагружения и условности измерения предельной деформации, предшествующей разрушению, резуль-Рис. 4.35. Диаграмма деформаций бетона при повторных нагруженияха — при напряжении, меньшем предела выносли¬ вости; 6 — при первом цикле загружениятаты обобщений экспериментальных данных, выполнен¬ ных разными исследователями, различны, особенно в части определения предельной величины деформации.Приводим данные о деформациях сжатия по мате¬ риалам нескольких авторов.Рис. 4.36.К определению Е0у Ес и Екмодулей
166РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИИДля установления связи между напряжениями и де¬ формациями вводят следующие величины (рис. 4.36): £0=tga —модуль упругости;Ес = tgaj — секущий модуль (модуль деформаций); £к= tga2—касательный модуль.J1. И. Онищиком предложена [74] следующая зави¬ симость между касательным модулем и модулем уп¬ ругости:	k£-£‘l‘-(w)]' (4-2)где k—параметр, принимаемый для различных видов бетона в пределах от 0,8 до 1,4.При соответствующем подборе параметров Eq и k эта. формула хорошо выражает любую эксперименталь¬ ную кривую, определяющую зависимость между Ек и а. Для практических целей вместо формулы (4.2) с до¬ статочной точностью можно применить следующие фор¬ мулы:Ек = Еп 11 ■5к = £„1.1 /гпР1.1 я.прIn(! 1,1Я„р)Секущий модуль может приближенно определяться по формулам:aприйриa <2-r3«"Рa ^ 2 ЯпрЕс = Еп 1 -2 R,£с = 1.2 EJ1о(!пр■У1.5 ^?прИз этих формул следует, что при напряжениях в бетоне, соответствующих эксплуатационным нагрузкам (з = 0,3 /?пр 0»5/?пр) у Eq ~ 0,8 Е0.Г. Д. Цискрели [110] предлагает определять модули упругости бетона в зависимости от его призменной прочности и объемного веса по следующим формулам (a=0,4 R пр-^- 0,5 Я„р):3 		3 	Е0 = 23 7 ~\f Rnp * Ес = 20 "j/"-^np » где 7 — в кг/мг, Rnp— в кг/см2.Для напряжений, соответствующих эксплуатацион¬ ным нагрузкам, применяются также формулы:Графа1 ООО ООО £= —1,7 +и Уокера:для тяжелых бетоновдля легких бетонов360R(4.3)Е = 20 000 }/# Е = 11 000 У~%где R — кубиковая прочность бетона в кг/см2.Предельная деформация бетона при сжатии епр, со¬ ответствующая напряжению Япр, при котором происхо¬ дит разрушение, в значительной степени зависит от дли¬ тельности испытаний. При обычных лабораторных ис¬ пытаниях, когда нагрузка увеличивается непрерывно или ступенями (в сроки от нескольких минут до, при¬ мерно, одного часа), предельные деформации при одно¬ осном сжатии обычно составляют от 0,8 до 2,2 мм/м для разных видов бетона. При длительном приложении промежуточных ступеней нагрузки или же нагрузки, близкой к разрушающей, эти деформации могут быть значительно большими. При всестороннем сжатии бе¬ тона можно получить очень большие предельные де¬ формации (порядка 10 мм/м и более). Модуль деформа¬ций бетона при разгрузке, установленный после неко¬ торого числа циклов нагрузки и разгрузки (если на¬ пряжение не превосходит предела выносливости), при¬ мерно равен модулю упругости.Доля упругой части полной деформации уменьшает¬ ся с ростом напряжений. При напряжениях <*< 0,5 R пр упругая деформация составляет обычно не менее 0,8 от полной деформации.Коэффициенты поперечного расширения тяжелого бетона при напряжениях а<(0,5 -т- 0,6)/?пр обычно на¬ ходятся в пределах fx=0,l-^-0,2. При напряжениях более 0,6 R пр коэффициент fx быстро возрастает, и при напряжениях (0,9 -т- 0,95) Rnp Р = 0,5. При одноосном сжатии объем бетона при высоких напряжениях начи¬ нает постепенно увеличиваться по сравнению с объе¬ мом, соответствующим более низким напряжениям, и к моменту разрушения превышает его первоначальный объем. Это объясняется постепенным развитием микро¬ трещин внутри массы бетона.НиТУ 123-55 устанавливают секущие (средние) мо¬ дули упругости бетона Я, соответствующие эксплуата¬ ционным нагрузкам. При этом различается норматив¬ ная величина Ену соответствующая бетонам, имеющим прочность, равную нормативным сопротивлениям, и расчетная величина Еу соответствующая бетонам с прочностью, равной, расчетным сопротивлениям бето на. Значения Еи и Е приведены в табл. 4.50. Норматив ные величины Ен вычислены для тяжелого бетона по формулам (4.3).Таблиц! 4.50Нормативные £н и расчетные Е модули упругости бе гонаМаркабетонаНормативные модули упругости в кг)см*Расчетные модули упругости в кг!см?тяжелыйбетонлегкийбетонтяжелыйбетонлегкийСетон3560 00040 00050110 00070 00065 00050 00075155 00095 00090 00060 000100190 000110 000120 00075 000150240 000130 000165 000100 000200290 000150 000200 000115 000300340 000	270 000	400380 000	310 000—500410 000	340 000	600430 000—360 000—Деформации при растяжении бетона мало исследо¬ ваны. При длительном приложении нагрузки обнару¬ живаются пластические деформации растяжения, пРе"Рис. 4.37. Деформации бетона при растяженииимущественно при высоких напряжениях в бетоне. Характер деформаций бетона при растяжении показан на рис. 4.37 [40].
4.4 БЕТОН167Г. Д. Цискрели [110] рекомендует следующие форму¬ лы для определения Ер — секущего модуля бетона при растяжении (в кг/см2).При напряжении <*р =0,25/? р: для тяжелых бетоновз		Ер = 41 ООО у/' R2p.для легких бетонов£р = 2 ООО (Яр+ 35) .При напряжениях ар = 0,8 /?р: для тяжелых бетоновз		£р = 33000 V 4 ;для легких бетонов£р = 2 000 (Яр+ 20) .Предельная деформация бетона при растяжении примерно в 10 раз меньше, чем при сжатии, и состав¬ ляет от 0,07 до 0,2 мм/м. Растяжимость бетона в боль¬ шой степени зависит от вида заполнителя. Для легких бетонов на щебне из туфа Г. Д. Цискрели получил вели¬ чину предельной деформации при растяжении от 0,16 до 0,3 мм/м.Деформация ползучести бетона наблюдается даже при сравнительно небольших напряжениях; если на¬ пряжения не чрезмерно велики, эти деформации с те¬ чением времени затухают. Затухание деформаций объ¬ ясняется, с одной стороны, постепеН'Ным перераспреде¬ лением напряжений в бетоне от высокопластичной ге¬ левой составляющей на значительно более жесткие за¬ полнитель и цементный сросток, а с другой — уменьше¬ нием по мере твердения бетона количества геля в по¬ следнем.Деформации ползучести, в том числе и предельная (соответствующая t -► оо ), зависят от многих факто¬ ров. Возраст бетона в момент нагружения влияет особен¬ но сильно в первый период времени после нагружения и в меньшей степени — в дальнейшем. С течением време¬ ни устанавливается одинаковая скорость деформациибетона, нагруженного в разных возрастах. При относи¬ тельно небольших напряжениях, не превышающих 0,5#пр, деформации ползучести за определенный про¬ межуток времени действия нагрузки, а также и пре¬ дельные приблизительно пропорциональны величине действующего постоянного напряжения.При напряжениях более 0,5/?пр зависимость между предельной деформацией ползучести и напряжением нелинейна: предельная деформация растет быстрее на¬ пряжения. Так, например, при а =0,6#пр предельная деформация может быть в 2 раза больше, чем при а =0,5/?лр .Все приведенные ниже формулы относятся к дефор¬ мациям ползучести, соответствующим напряжениямз	^ 0,5Япр.Существенно влияют и размеры сечения испытыва¬ емых образцов. По опытам Дэвиса [119], деформация ползучести через 500 дней для образцов диаметром15	см была на 60% больше, чем для образцов диамет¬ ром 25 см. Влияют на деформации ползучести также вид применяемого цемента, состав бетона, вид запол¬ нителя, влажность бетона и среда, в которой он нахо¬ дится.Ползучесть при напряжениях, не превышающих 0,5/?пр, характеризуют так называемой мерой ползу¬ чести с (в см2/кг), равной относительной деформации ползучести при напряжении в 1 кг/см2. Мера ползуче¬ сти является функцией времени и увеличивается с дли¬ тельностью приложения нагрузки.Иногда ползучесть определяют не мерой ползу¬ чести, а так называемой характеристикой равной отношению деформации ползучести еп к упругой де¬ формации еуп:епЗависимость между мерой и характеристикой пол¬ зучести определяется формулой1с = —?t,Еогде Ео—модуль упругости бетона.И. И. Улицким [105] разработа¬ на номограмма для определения предельной характеристики ползу¬ чести <?t=ao в зависимости от ви¬ да цемента и заполнителей, соста¬ ва и возраста бетона к моменту нагружения (рис. 4.38).Деформация ползучести равна:еп = а СПред (l п	—	е ~mj/ ‘~т),	(4-4)где t — время, отсчитываемое от момента изготовления бе¬ тона;z — возраст бетона в момент нагружения.	1_спред — г,	оо •"ОФормула (4.4) дает хорошие результаты для тяжелых бетонов при коэффициентах т=1,5 и п = 2;еп — а СПред\1 £	/»где а— в кг/см2 и t—в годах.Рис. 4.38. Номограмма И. И. Улицкого для определения предельной характери¬ стики ползучести
168РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙПо экспериментальным данным [120], при длитель¬ ности нагружения бетонных образцов до 7—10 лет предельная мера ползучести составляла в зависимости от вида применяемого цемента от 0,007 до 0,018 мм/м. Согласно опытам Дэвиса [118, 119], предельная мера ползучести составляла для образцов из тяжелого бе¬ тона на портландцементе при нагрузке в возрасте 28 дней 0,017 -г- j0,0 18 мм/м и при нагрузке в возрасте 90 дней 0,015-^0,016 мм/м.Деформация ползучести развивается в основном в течение первых 2 лет после нагрузки бетона; через год достигает 65-г-75%, а через 2 года — 80 н- 90 % от величины предельной деформации.На рис. 4.39 показаны деформации ползучести бетона по опытам Дэвиса.Усадка бетона происходит вслед¬ ствие изменений объема гелевой структуры, вызванных постепенным испарением избыточной воды и погло¬ щением ее зернами цемента при гид¬ ратации. При обезвоживании гель уплотняется, причем остающаяся в гелевой структуре вода стягивает частицы геля [113].В первые дни твердения бетона при быстром процессе кристаллообра¬ зования и вследствие влияния экзо- термии возможно некоторое увеличе¬ ние объема бегона. В последующем происходят описанные выше процес- сы, вызывающие усадку бетона. Ско¬ рость усадки уменьшается с течением времени, но прекращение ее иногда наблюдается только через несколько лет.Исследования С. В. Александров¬ ского [2, 3] показали, что при доста¬ точно высокой влажности бетона вы¬ сыхание его, связанное с удалением свободной воды из крупных пор, не вызывает усадку. По достижении не¬ которой «критической» влажности бе¬ тона начинается удаление влаги из гелевой структуры и происходит усадка.Величина критической влажности в значительной степени зависит от количества цемента в бетоне и воз¬ растает с увеличением этого количества. После того как влажность становится меньше критической, наблюдает¬ ся приближенно линейная зависимость между величи¬ ной усадки и потерей влагибус ^ Р (^КрИТ U) или же, если начальная влажность ыНач<икрит»■ ~ ° (инач и) *та и возраста бетона. Опыты, проведенные над неболь¬ шими образцами затвердевшего бетона, пока^ызают, что его усадка составляет обычно от 0,2 до 0,4 мм/м, дости¬ гая в некоторых случаях 0,7 мм/м (для бегонов, имев¬ ших в начале измерений возраст несколько дней).Нормами принята величина усадки, эквивалентная линейному температурному сокращению при изменении температуры на 15°, т. е. 0,15 мм/м. Эту величину при¬ нимают для крупных бетонных элементов, усадка кото¬ рых происходит медленнее, чем лабораторных образцов, имеющих малые сечения. Если деформации бетона стеснены, развивающиеся в нем вследствие усадочных- —г- Нагружен 64 иг/см2в возрастеНагружен БЗнг/см2 6 Возрасте 28дн,1Тпргйпнрн 63кз/см2 В возрасте Змее.Нигр умен 42 кг/см2 в возрасте 2вдн.'Нагрцмен 42 кг/смгВ Возрасте Змес._Нагружен 21кг/с^м2в Возрасте 2вдн-ДнейЮпетЬус 'где £мм/ммг/г—	коэффициент пропорциональности меж¬ду усадкой и разностью между началь¬ ной и рассматриваемой относительными влажностями; и — относительная влажность бетона к мо¬ менту времени, для которого определяет¬ ся усадка.Относительная влажность определяется как отноше¬ ние веса воды к весу сухого вещества. Величина «критической» влажности в опытах [2] для тяжелого бетона находилась в пределах 1—2%, а коэффициент Р = 0,03 оказался достаточно постоянным, мало за¬ висящим от водоцементного отношения, расхода цемен¬Рис. 4.39. Деформации ползучести бетона по опытам Дэвиса Образцы-цилиндры d=l0 см; h-35 см. Состав бетона 1:5 по весу. ВЩ-0,69деформаций напряжения при медленном их нарастании частично уменьшаются в результате деформаций пол¬ зучести бетона; это дает основание условно принимать при расчете меньшую величину усадки, чем получаемая из испытаний небольших образцов.При увлажнении происходит увеличение объема бе¬ тона (набухание). В начальный период увлажнения достаточно сухого бетона, пока происходит заполнение водой крупных пор, набухание бетона не наблюдается. Оно начинается после достижения некоторой «критиче¬ ской» влажности. Деформации набухания (отнесенные к 1°/о влажности бетона) значительно меньше деформаций усадки. Установлено [2], что коэффициент пропорцио¬ нальности у) между величиной относительной деформа¬ ции набухания и увеличением количества влаги равент) = 0,005 -0,010мм/ммг/гПри повторных циклах высушивания и увлажнения как усадка, так и набухание бетона постепенно умень¬ шаются, что, возможно, связано с изменением физиче¬ ских свойств бетона с возрастом в связи с его тверде¬ нием.Коэффициент линейного температурного расширенияа, по данным Мейера, изменяется в зависимости от состава бетона следующим образом [96]:
4.5. КАМЕННЫЕ МАТЕРИАЛЫ169Состав1:11:31:61,3-10 1,1 10 1,0-10'-5-5—5При составе бетона 1 :4 коэффициент а, по опытам Дэвиса и Трокселла, в зависимости от вида заполнителя был равен:Вид заполнителяаКварц 	1,19-10 5. . 1,17 -10~°Базальт	0,86-10 5 . . 0,68-10 °Известняк 	Нормами установлено, что коэффициент линейного рас¬ ширения для бетона при температурах до 100° равен МО-5.4.5. КАМЕННЫЕ МАТЕРИАЛЫКаменные материалы подразделяются по своему происхождению на искусственные и природные. К искус¬ ственным камням относится обыкновенный, пустотелый и пористый (обожженный) крипич, пустотелые керами¬ ческие камни, силикатный кирпич, крупные и обыкновен¬ ные сплошные и пустотелые бетонные и легкобетонные камни, камни из ячеистых бетонов, сырцовые каменные материалы (сырцовый кирпич, саман) и др. Наиболее распространенные типы современных искусственных ка¬ менных материалов показаны на рис. 4.40.а) __1 6)	ф,-е 9)\штktf-материалова — кирпич сплошной; б — кирпич пустотелый пластического прессования; в — кирпич пустотелый сухого прессования; г—пу¬ стотелые керамические камни; д — бетонные камни сплошные; е __ бетонные камни пустотелые с щелевидн.^ми пустотами; ж — крупные блоки легкобетонные сплошныеПриродные камни подразделяются на камни пра¬ вильной и неправильной формы. Камни правильной формы применяются для кладки стен и облицовки. Камни для кладки стен выпиливают из мягких горных пород (прочностью	от 4до 100-М50 кг/см2)—вулканических туфоя, мягких известняков (типа инкерманското з Крыму), известня¬ ков-ракушечников. Плиты и камни для облицовки из¬ готовляют распиловкой или раскалыванием с последу¬ ющей обработкой поверхностей из гранита, диорита, ба¬ зальта, лабродорита, известняка, песчаника, мрамора и других изверженных, метаморфических и осадочных пород. Камень неправильной формы (бут рваный, бут постелистый, плитняковый бут) изготовляют из мест¬ ных горных пород всех видов, но преимущественно из известняка.4.5.1. ПрочностьМетодика испытаний! ГОСТ 8462-57 [25] устанавли¬ вает размеры и число испытываемых образцов с учетом особенностей каждого вида камня. Основной вид испы¬ тания— испытание на сжатие, на основании которогоРис. 4.41. Схема испытаний кирпича на изгибРис. 4.42. Схема испы¬ таний на осевое рас¬ тяжениеустанавливается марка камня. Число испытываемых образцов, их размеры , и форма определены в ГОСТ 8462-57. Максимальные размеры партии камня, раз¬ личные для разных видов камней, приведены в соответ¬ ствующих ГОСТ и Технических условиях [17—24, 102].Прочность на изгиб, согласно ГОСТу, определяется только для кирпича, имеющего высоту 65 или 88 мм (рис. 4.41).Испытания на осевое растяжение и на срез ГОСТом не предусматриваются. Испытания кирпича на осевое растяжение можно проводить по схеме рис. 4.42. Схемы испытаний кирпича на срез (раскалывание) — см. рис. 4.43.°)	L<r)k'УУ/////Л Кирпич _—25 -’Т.а—Г"—/7^ТтЩ Кирпич25КирпичТ\Рис. 4.43. Схемы испытаний на срез (раскалывание)а — срез по двум плоскостям; б — срез по одной плоскости; в — раскалывание
170РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИИПредел прочности при сжатии определяется путем деления разрушающей нагрузки на площадь попереч¬ ного сечения образца брутто (для пустотелых образ¬ цов— без вычета пустот).При испытании образцов-кубов бетонных, легкобе¬ тонных, силикатных и из известняка-ракушечника полу¬ ченное значение прочности приводят к значению преде¬ ла прочности куба с ребром 200 мм путем умножения на следующие коэффициенты0,85 для кубов с ребром	 100 мм0,90	 150При испытании образцов плотного природного кам¬ ня в виде кубиков или цилиндров с размерами, уста¬ новленными ГОСТ 8462-57, поправочные коэффициенты к результатам испытаний для определения предела прочности не применяются.Предел прочности крупных бетонных, легкобетонных и силикатных блоков определяют по формулеЯбл = ЯПр ~7. f1 *Ftpгде Rnp — призменная прочность, определяемая по нормам проектирования бетонных и желе¬ зобетонных конструкций;Frt — площадь сечения блока нетто (за вычетом пустот);^бр — площадь сечения блока брутто (без вычета пустот).Значение коэффициента f*, зависящего от техноло¬ гии изготовления блоков, формы и размеров пустот, устанавливается испытанием блоков, а при отсутствии опытных данных определяется по формулеF НТ	'Марки камня, характеризующие предел прочности камня при сжатии в кг/см2, установлены следующие: 4, 7, 10, 15, 25, 35, 50, 75, 100, 125, 150, 200, 300, 400, 500, 600, 800 и 1000.Природные камни одной и той же горной породы отличаются большим разнообразием механических свойств, различных не только для разных карьеров или для разных участков одного и того же карьера, но да¬ же в пределах одного и того же пласта породы. Осо¬ бенно неоднородны осадочные породы.В табл. 4.51 приведены пределы прочности при сжа¬ тии камня из различных наиболее распространенных или же чаще применяемых горных пород [41, 83, 88, 90, 99, 100].При увлажнении осадочные породы теряют насть своей прочности. Так, коэффициент потери прочности при увлажнении плотных известняков составляет обыч¬ но от 0,85 до 0,65, а мягких известняков — от 0,70 до 0,50. Песчаники в зависимости от содержания в них глины могут терять еще большую часть прочности (до 70°/о).Допускается применение камней, имеющих коэффи¬ циент потери прочности не ниже 0,6.Увлажнение изверженных пород практически не снижает их прочности.Сопротивление природных камней осевому растяже¬ нию Rp составляет от УеЯкуб до */50 Якуб, а сопротив¬ ление при изгибе Rp.n — от Якуб ДО Vis Якуб- Бо¬ лее высокие отношения Rp : Якуб и Я р.и : Якуб полу¬ чаются для менее прочных камней (ракушечников, ту¬ фов, мягких известняков) и более низкие — для высо¬ копрочных камней.Искусственные камни. В табл. 4.52 приведены зна¬ чения пределов прочности при сжатии кирпича, полу¬ чаемые при испытаниях образцов различного типа [74].Таблица 4.51Пределы прочности природных камней из различных горных пород.сс-Наименование камняОбъемный вес вАС2/Л3Пределы проч¬ ности в кг!см-Наиболее рас¬ пространенные пределы проч¬ ности в кг!см*и %2 £ «* !О» й) 2(О Я 2 в Й * О а.хя“|д О йотдоотдоX с 2123456781Известняк плотный, прочный 	2 000—2 6001502 000200600200,300,2Известняк малой прочности (мягкий, пильный) типа ин- керманского ....1 800—2 0003015050100400,60035,50.3Мрамор	2 500—2 8001 0003 000_	75,10010004Песчаник	2 100—2 8001002 0004001 000300,400,5Гранит 	2 500—2 8001 0003 2001 5002 000500,600,8001000бСиенит 	2 500—2 9001 5002 000——100073 0002 0004 000——10008Базальт	2 700—3 3001 0004 000——10009Вулканические туфы:а) артикский (Армянская ССР) . . .900—1 5003515035,75,б) тедзамский (Грузинская ССР) ....12005015010050,75,10Известняки-раку¬шечники:а) крымский жел¬ тый (евпато¬ рийский)900—1 2004154101004,7,10б) крымский бе¬ лый (керчен¬ ский) 	1 200—1 4007257157,10,15в) одесский . . .1 100—1 300715		7,10,15г) молдавский . .1 400—1 6001550——15,25,351fд) бакинский: пористый . . .1 300—1 40017[15		7,10,15более плотный1 500—2 00025150	_35,50,75,100,150Таблица 4.52Соотношения между пределами прочности образцов кирпича различных типов [74]и/иТип образцаПределы коле¬ баний относи¬ тельной проч¬ ностиСредняя от¬ носительная прочность1Выпиленный из кирпича ку¬ бик 6 X 6 X 6 см	12Кирпич плашмя	0,7 —1,61,153, на ребро 	0,38—0,750,544. по стандарту ....0,42—0,840,5550.47—0,580,52Установленные ГОСТами марки различных видов кирпича, керамических и бетонных камней приведены в табл. 4.53.Средняя прочность испытанных образцов должна быть не меньше установленной для данной партии мар-
4.5. КАМЕННЫЕ МАТЕРИАЛЫ171Таблица 4.53 Марки искусственных каменных материалов№п/пНаименование материалаМарки, установленные ГОСТом и нормамиКирпич глиняный обыыновенньсиликатный	Кирпич глиняный пустотелый стического прессования . . .Кирпич глиняный пустотелый полу'сухого прессования 	Кирпич шлаковый	Камни керамические пустотелые пластического прессования ....Камни бетонные, легкобетонные и из ячеистого бетона (включая круп ные блоки):а)	сплошные из обыкновенных тяжелых бетонов .б)	то же, пустотелые .в)	сплошные из легких бетонов и силикатные автоклавныег)	то же, пустотелые ....д)	сплошные из особо легких бетонов 	Сырцовый кирпич, саман и т. п150.125.100,	75,50 200.150,125,100,75150.125.100,	75,50100,75,5075,50,25150,125,100,75,50200,150,125,100.75,50100.75.50.35100.75.50.35 75,50,35100.75.50.35 4^7,10,15ки; кроме того, ГОСТы устанавливают минимальную прочность отдельных образцов для каждого вида ма¬ териалов.Прочность кладки из кирпича, имеющего высоту 65 или 88 мм, в значительной степени зависит не только от его сопротивления сжатию, но и от других показателей прочности, в частности от сопротивления растяжению и изгибу. Поэтому ГОСТом установлены для каждой мар¬ ки кирпича также и требования к прочности при изги¬ бе, приведенные для основных видов кирпича в табл. 4.54.Таблица 4.54 Средние и минимальные значения пределаМаркаКирпич обыкновен¬ ный пластического прессованияКирпич обыкновен¬ ный полусухого прессованияКирпич силикатныйкирпи¬часреднеемини¬мальноесреднеемини¬мальноесреднеемини¬мальное200341715028142010281412525121892512100221116822117518914718950168—Для пустотелых видов кирпича требования к проч¬ ности при изгибе см. в соответствующих ГОСТах.В табл. 4.55 приведены данные о соотношениях пре¬ делов прочности кирпича при сжатии, изгибе, растя¬ жении и срезе [74].Таблица 4.55 Пределы прочности образцов кирпича при изгибе, растяжении и срезе по сравнению с прочностью при сжатии по ГОСТу№п/пВид испытанийПределы коле¬ баний относи¬ тельной проч¬ ностиСредняя отно¬ сительная прочность1Сжатие кирпича по стандарту112Изгиб	0,09—0,360,23Растяжение	0,02—0,10,064Срез	0,13—0,330.2Пределы прочности при изгибе, растяжении и срезе бетонных камьсй определяются прочностью бетона, из которого они изготовлены.4.5.2.	ДеформацииДеформации природных камней исследованы срав¬ нительно мало. По испытаниям [58] гранит достаточно близок по своим механическим свойствам к идеально уп¬ ругим материалам. При напряжении 0,8 от разрушаю¬ щего упругие деформации гранита составляли 85% от6 к г/см 2 \600о Ц д 12 16 20гЮ~и об)6 кг/см2 420Ot1 0t3 0,5jjL , 6 кг/см 22^345 Е-10~*нг/смгIt0 5 IS 25 35 «5 5Se 10 кг/смг1—I—I—I	l__|	'OJ 0,3 OfyРис. 4.44. Деформации образцов гранита (а) и песча¬ ника (б) по данным 3. С. Моховав — полные деформации после ряда циклов нагрузки и разгрузки; вуП—упругие деформации; EQ — секущий модуль; Е—модуль упруго¬ сти; е'— полные поперечные деформации; jx—коэффициент поперечных деформацийобщей деформации. Испытания производились с много¬ кратными нагрузкой и разгрузкой на каждой ступени загружения. Остаточные деформации в основном проис¬ ходили уже при сравнительно низких ступенях загру¬ жения. Поэтому скорость увеличения полных деформа¬ ций с ростом нагрузки замедлялась, а секущий модульаполных деформаций Ес =	увеличивался (рис. 4.44).Для гранита прочностью 1 100 кг/см2 модуль упру¬ гости оказался при а=0,8Я равным £=450 000 кг/см2, секущий модуль (модуль полных деформаций) Ес = =375 000 кг/см2, полная деформация сжатия — 0,2 мм/м, коэффициент поперечного расширения fx = =0,08 -ь 0,15 (рис. 4.44,а).
172РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИИДля сухого песчаника прочностью 490 кг/см2 (рис. 4.44,6) секущий модуль увеличивается с ростом нагруз¬ ки от 25 ООО до 60 ООО кг/см2 к моменту разрушения. Максимальная деформация равна 0,9 мм/м. Коэффици¬ ент поперечного расширения =0,050,12.По данным Н. В. Мельниковой [52], для известняков с пределом прочности от 500 до 1 000 кг/см.2 получены предельные деформации сжатия от 1,4 до 3,4 мм/м при максимальной упругой деформации — от 0,7 до 2;4 мм/м. Секущий модуль находился в пределах от 180 000 до 315 000 кг/см2. Коэффициент поперечного расширения составлял при напряжениях до с= 0,6/? fx= =0,2 -т- 0,3, а п«ри больших напряжениях р. =0,3 0,4.Предельные деформации при растяжении для плот¬ ного коробчевского известняка равны от 0,15 до 0,5 мм/м (при пределе прочности на растяжение 35 кг/см2), а для инкерманского известняка — от 0,13 до 0,27 мм/м (при пределе прочности на растяжение 13 кг/ем?). Секущий модуль при растяжении составлял 0,5 ^-0,6 от секущего модуля при сжатии.Деформации кирпича обожженного примерно про¬ порциональны напряжениям. Модуль упругости кирпича пластического прессования, определяемый по деформа¬ циям кубиков или призм, вырезанных из кирпича, на¬ ходится в пределах от 200 Ri до 1 200 /?ь где Ri — пре¬ дел прочности образца. Более низкие модули упругести получаются для образцов меиьшей плотности (мень¬ шего объемного веса), имеющих трещины и слабо обожженных.Модуль упругости кирпича полусухого прессования при сжатии в направлении прессования равен 300/?i— 400/? 1, а в направлении, перпендикулярном направле¬ нию прессования, 8OR1—120А|.Зависимость между деформациями и напряжениями для силикатного кирпича криволинейна. Его упругие свойства зависят в значительной степени от плотности кирпича. По экспериментальным данным, при напряже¬ нии 0,4/? средни# модуль упругости силикатного кир¬ пича находится в пределах от 350 R] до 1 200/?ьКоэффициент поперечного расширения кирпича со¬ ставляет от 0,08 до 0,12.Исследования деформации керамических камней [85] показали, что при пределе прочности керамики по¬ рядка 150—300 кг/см2 предельная деформация сжатия составляет от 1,1 до 3 мм/м, а предельная деформация растяжения соответственно от 0,12 до 0,20 мм/м. Отно¬ шение предельной деформации сжатия к предельной деформации растяжения изменяется от 9 до 15 (боль¬ шая цифра — для более прочной керамики). Пластиче¬ ские деформации составляли от 10 до 25% от полной величины деформации.Секущий модуль при пределе прочности керамики от 200 до 330 кг/см2 получен равным от 50 000 до 80 000 кг/см^ при соотношении Ес : R = 210 -т- 290. Мо¬ дуль упругости больше секущего модуля примерно на 20°/о, т. е. Е : /?=250 ч- 350.Коэффициент поперечного расширения при напря¬ жениях а =0,5/? равен ц «0,1; с ростом напряжений Iл увеличивается, достигая к моменту разрушения ц = =0,25.Деформации раствора при кратковременных нагруз¬ ках определены испытанием призм, имевших размеры 10X10X30 см. Согласно этим испытаниям зависи¬ мость между касательным модулем деформаций и на¬ пряжениями может быть выражена формулой проф. Онищика\k-\= Я0/г=0,33 — для смешанных растворов марок <50; а — упругая характеристика растворе, на¬ ходящаяся в пределах от 3 500 до 5 000 для цементно-известково-песчаных рас¬ творов и от 1 700 до 2 500 для цемент¬ но-известково-шлаковых.Деформации ползучести кирпича и раствора. Поданным С. В. Полякова, деформации ползучести обож¬ женного кирпича пластического прессования незначи¬ тельны и составляют в возрасте 180 дней при a =0,55/?i около 0,12 мм/м. Деформации ползучести глликатного кирпича в том же возрасте при а =0,3/?j были равны 0,59 мм/м. Деформации ползучести растворов в боль¬ шой степени зависят от их составов, водовяжущего от¬ ношения, возраста образцов к моменту загрузки и т. д. и могут приниматься по аналогии с деформациями пол¬ зучести бетонов.Усадка. Деформации глиняного обожженного кир¬ пича при увлажнении и сушке незначительны и в зави¬ симости от степени обжига и пористости кирпича нахо¬ дятся в пределах от 0,01 до 0,06 мм/м.Усадка силикатного кирпича, согласно требованиям, установленным английским стандартом, может состав¬ лять 0,25—0,35 мм/м.Коэффициенты линейного расширения каменных материалов [96]:гранит	•	0,8 10Известняк		0,9-10сланцы		1,0-10кирпич	0,45-10Коэффициенты линейного расширения кладок из различных материалов, установленные СНиПом, мо¬ гут быть приняты и длй материалов, из которых выпол¬ нена кладка:кирпич обыкновенный глиняный	_5и пустотелая керамика	 0,5-10кирпич силикатный	 1,0-10камни бетонные1,0-10'-5—5—5где Eq = а /?2 — начальный модуль упругости; /?2 — предел прочности раствора;, природные	 0,8-104.6.	АРМИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ4.6.1.	Общие сведенияРациональное сочетание двух различных по своим физико-механическим свойствам материалов — бетона и стали, каменной кладки и стали, асбестоцемента и стали — позволяет получить новые строительные мате¬ риалы: железобетон различных видов, армокаменную кладку, армированный асбестоцемент.Свойства новых материалов зависят от свойств ис¬ ходных составляющих (бетона, стали, камня и т. п.), но в них появляется ряд ценных свойств, которыми не об¬ ладали составляющие материалы.Бетон и каменная кладка имеют предел прочности при сжатии, превышающий предел прочности при растя¬ жении в 10—15 и более раз, асбестоцемент — в 4—5 раз. Использование высокой прочности при сжатии этих ма¬ териалов в элементах конструкций, работающих на изгиб, возможно только при усилении растянутой зоны сечения арматурой.Если обычная бетонная или каменная балка при по¬ явлении трещин в растянутой зоне разрушается, то при армировании растянутой зоны, несмотря на наличие трещин в бетоне или кладке, несущая способность бал¬ ки такого же сечения не исчерпана и нагрузка может возрасти во много раз.
4.6. АРМИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ173В железобетонной или армокаменной сжатой колонне достижение предела текучести в арматуре еще не озна¬ чает исчерпания ее несущей способности. Армированные конструкции, таким образом, обеспечивают более рацио¬ нальное использование прочности стали.Соединение бетона, кладки или асбестоцемента со стальной арматурой обеспечивается силами сцепления между этими материалами; малая разница в величине коэффициентов линейного расширения этих материалов практически исключает внутренние напряжения при из¬ менении температуры; бетон, раствор или асбестоцемент надежно защищают тонкую стальную арматуру от кор¬ розии. Широкое распространение армированные мате¬ риалы, особенно железобетон, получили также благодаря простой технологии производства.Работа конструкций из армированных материалов является более сложной, чем работа конструкций из неармированных материалов. Этим обусловлен более сложный метод расчета армированных элементов.В процессе нагружения армированного (железобе¬ тонного) элемента напряженно-деформированное со¬ стояние его составляющих изменяется непропорциональ¬ но и потому, строго говоря, не может быть принято каких-либо постоянных модулей зависимости «напряже¬ ния-деформация» для железобетона.В зависимости от назначения конструкции и вели¬ чины нагрузки для различных напряженно-деформиро¬ ванных состояний принимаются соответствующие пред¬ посылки для расчета, установленные в основном эмпирическим путем.Стандартных методов испытаний армированных ма¬ териалов не установлено. Оценка их прочности произво¬ дится на основании оценки свойств исходных материа¬ лов: бетона, стали, каменной кладки, раствора, асбесто¬ цемента.4.6.2.	ЖелезобетонПодробные данные о железобетоне см. в «Справоч¬ нике проектировщика. Сборные железобетонные кон¬ струкции» [95]. Данные об арматуре и бетоне см. 4.2 и 4.4.Железобетонные конструкции, в которых отсутствуют искусственнр созданные начальные напряжения, назы¬ ваются обычными. Если в процессе изготовления желе¬ зобетонных конструкций в них искусственно создаются начальные напряжения, то они называются предвари¬ тельно напряженными.Начальные напряжения создаются предварительно растянутой арматурой. Арматура подвергается растя¬ жению либо до укладки бетона в опалубку, либо при пропуске ее в каналах отвердевшего бетона после сбор¬ ки конструкции.Стадии напряженно-деформированного состояния. В процессе нагружения железобетонный элемент прохо¬ дит последовательно различные состояния, которые условно разделяются на три стадии.На рис. 4.45 показаны примерные кривые прогибов середины железобетонной и бетонной балок. В начале нагружения напряжения в сжатой и растянутой зонах сечения балки находятся в линейной зависимости от деформаций. Эпюры напряжений являются линейными (стадия I на рис. 4.46). Деформации носят упругий ха¬ рактер.По этой стадии проводится расчет жесткости бетон¬ ных или слабоармированных элементов, в которых при эксплуатационной нагрузке нет трещин в растянутой зоне. Напряжения в растянутой арматуре не превышают 200—300 кг/см2. При дальнейшем увеличении нагрузки эпюра напряжений становится криволинейной. Когда напряжения в растянутой зоне достигают предела проч¬ности, наступает стадия 1а. Бетонная балка в этой ста¬ дии разрушается.По стадии 1а ведут проверку на образование трещин в изгибаемых элементах и определяют их жесткость до момента появления трещин.В стадии II в растянутой зоне образуются трещины, и все усилия растянутой зоны воспринимаются армату-СтадиаС/подияйСтадияIРис. 4.45. Схема прогибов балок7 — бетонной; 2 — железобетонной Стадия ТРис. 4.46. Эпюры напряжений для трех стадий напряженно - деформирован¬ ного состояниярой. На участках между трещинами сцепление бетона с арматурой не нарушается, и бетон здесь продолжает работать на растяжение. Наибольшие напряжения в арматуре возникают в местах образования трещин, наименьшие — в средней части участка между трещи¬ нами.По стадии II ведут расчет на раскрытие трещин; определяют жесткость 'сечений при расчете статически неопределимых систем.Между нагрузкой на балку и прогибами (рис. 4.45) на участке стадии II существует криволинейная зависи¬ мость— прогибы растут быстрее нагрузки. При стадии Па напряжения в растянутой арматуре достигают пре¬ дела текучести. Напряжения в сжатой зоне бетона еще не достигают предела прочности бетона на сжатие при изгибе.
174РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙПо стадии II и Па определяют усилия в статически неопределимых системах с учетом перераспределения усилий, вызванных пластическими деформациями.По стадии На производят расчет сечений на проч¬ ность. Вследствие текучести арматуры и увеличения плеча внутренней пары нагрузка в стадии Па может несколько возрастать — до достижения в сжатой зоне бетона предела прочности бетона на сжатие при изгибе, что характеризует уже стадию III — разрушение.В этой стадии деформации ползучести распростра¬ няются на значительную часть сжатой зоны сечения, эпюра нормальных напряжений резко искривляется. На¬ пряжения сжатой арматуры достигают значения пре¬ дельного сопротивления, напряжения растянутой арма¬ туры равны или менее величины предельного сопротив¬ ления. По стадии III рассчитывается несущая способ¬ ность железобетонных элементов.Полностью сжатые или растянутые сечения состав¬ ляют частные случаи рассмотренного выше напряженно- деформированного состояния. В полностью сжатых се¬ чениях может быть лишь I и III стадии, в полностью растянутых — все три стадии. Если растянутую армату¬ ру балки натянуть и создать в бетоне предварительные напряжения сжатия, то при изгибе такой балки трещи¬ ны в растянутой зоне будут наступать только после исчерпания предварительного напряжения сжатия и до¬ стижения бетоном предельного удлинения. Следователь¬ но, до этого момента, если в сжатом бетоне не появились пластические деформации, конструкция будет работать по стадии I, т. е. балка будет деформироваться упруго. После появления трещин эффект предварительного на¬ пряжения не сказывается.Сцепление стальной арматуры с бетоном обеспечи¬ вает совместную работу арматуры и бетона. Сцепление определяется: 1) трением . стержня о бетон под воз¬ действием давления от усадки и механическим зацепле¬ нием неровностей на поверхности арматуры за бетонную массу; 2) собственно сцеплением или «склеиванием» по¬ верхности стержня с бетоном.Установлено (особенно при применении арматуры периодического профиля или другой арматуры с не¬ гладкой поверхностью), что решающее значение имеет первый из указанных факторов, хотя многие исследова¬ тели и считали (основываясь на испытаниях гладкой арматуры), что собственно сцепление имеет не меньшее значение.Предел прочности сцепления зависит от вида поверх¬ ности арматуры, состава и свойств бетона, способа хра¬ нения бетонных конструкций в рандем возрасте, распо¬ ложения арматуры в сечении, длительности и характера прилагаемой нагрузки и некоторых других причин. Предел прочности сцепления относительно вуше у ар¬ матуры меньшего диаметра, на 20—25% больше у круг¬ лой стали, чем у стали квадратного сечения, наимень¬ ший — у полосовой стали. Сцепление значительно повы¬ шается при поперечных хомутах и сварных каркасах. Предел прочности сцепления в конструкциях при стати¬ ческой нагрузке колеблется от 5 до 100 кг на 1 см2 поверхности, а при пульсирующей нагрузке нижний пре¬ дел составляет иногда 2—3 кг!см2. Предел прочности сцепления круглых стальных стержней обычно колеблет¬ ся от 25 до 40 кг}см2 для марки бетона 100 и более. Стандартных испытаний на сцепление нет.При испытании на выдергивание напряжение сцепле¬ ния распределяется неравномерно по длине стержня (рис. 4.47).Приведенные численные значения предела прочности сцепления выражают не максимальное значение сцепле¬ ния (#Сц на рис. 4.47), а средние величины в предпо¬ ложении равномерности распределения напряжений сцепления по длине стержня. Усилие, требующееся длявыдергивания стержня, почти не возрастает при увели¬ чении длины заделки I сверх 25—30 диаметров d.Предел прочности сцепления стальной арматуры с бетоном близок по величине к пределу прочности бето¬ на при сдвиге, который равен примерно !/б от предела прочности при сжатии (это отношение уменьшается сРис. 4.47. Распределение напря¬ жений сцепления по длине стержняповышением марки бетона). Сцепление растет с возра¬ стом бетона.Усадка в железобетонных конструкциях протекает несколько иначе, чем в бетонных, вследствие влияния арматуры, которая при усадке бетона часть усилий, имеющихся в бетоне, принимает на себя. НапряженияРис. 4.48. Усадка в бетонных и железобетон¬ ных элементахверхняя цифра—нарастание усадки для бетонного образца (1:2:4); нижняя—то же, для армированного образца (сталь¬ ной стержень d=3/4". сечение бетона 15x15 см [12])в арматуре от усадки бетона могут достигать 600— 700 кг/см* и более. По длине стержня напряжение от усадки распределяется неравномерно — в середине стержня оно примерно в 2 раза выше, чем у концов.Усадка в железобетоне зависит не только от состава бетона, но и от количества и расположения арматур¬ ных стержней, а также от условий начального хранения. Усадка принимается равной е =0,00015 для обычного железобетона, е =0,00020 — для легкого.На рис. 4.48 и 4.49 приведены примерные данные о нарастании усадки со временем для бетонного и желе¬ зобетонного образцов при их хранении в воздухе и в воде. Усадка железобетонных образцов почти в 2 раза меньше бетонных.	а
4.6. АРМИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ175В армированном сечении напряжение от усадки в бетоне концентрируется вблизи стержней арматуры. Радиус взаимодействия арматуры с бетонным сечением условно определяется по формуле [96]^ = 1+«9 й V Лр ’где г0—радиус взаимодействия; d — диаметр стержня арматуры.мм/мч-ад26дн /г ЗмРис. 4.49. Усадка и разбухание бетона в бетонных и железобетонных элементахРадиус взаимодействия принимается не менее 3—4 диаметров арматуры.В элементах железобетонных конструкций усадка приводит к появлению напряжений: 1) возникающих вследствие сокращения бетонного сечения; 2) возникаю¬ щих в элементах статически неопределимых конструкций вследствие изменения длины элементов (а следователь¬ но, и углов). Первые возникают лишь после появления сцепления бетона с арматурой, т. е. после затвердения, а вторые определяются полными величинами усадок (для монолитных конструкций).Имеющиеся формулы для определения усилий в ар¬ матуре и бетоне от усадки основаны на гипотезе плос¬ ких сечений, предположении о равномерности усадки бетона по длине элемента и независимости усадки от времени. Эти упрощения различно сказываются на сте¬ пени точности определяемых величин усадки для раз¬ личных железобетонных элементов. Искривление по¬ перечного сечения не сказывается на величине усадки для средних и больших сечений. Небольшое влияние на усадку оказывает неравномерность распределения на¬ пряжений по длине.Допущение, что усадка сразу принимает конечное значение, идет в запас прочности.Следует учитывать отрицательное действие усадки при изгибе и растяжении, так как она ускоряет появле¬ ние трещин в бетоне, увеличивая в нем растягивающие напряжения. В сжатых элементах усадка разгружает бетон и нагружает арматуру, обычно недогружен¬ ную.Ползучесть железобетона. Армирование бетона приводит к уменьшению ползучести вследствие того, что арматура деформируется только упруго и тем за¬ держивает деформации ползучести бетона. Ползучесть стали проявляется лишь при длительно действующих напряжениях, превышающих технический предел теку¬ чести. Таких напряжений в арматуре при эксплуатации обычных железобетонных конструкций не наблюдается, но в предварительно напряженных конструкциях на¬ пряжения в арматуре могут достигать и при эксплуата¬ционных нагрузках величин, при которых проявляется ползучесть сталей. Конечная деформация ползучести в железобетонных конструкциях может достигать значи¬ тельных величин, и в некоторых случаях ее надо учи¬ тывать.Рассмотрим прогиб во времени середины моста в Гельброне [47]. Мост балочной конструкции со средним пролетом 96 м, с двумя боковыми пролетами 19 м Се¬ чение моста коробчатое, вертикальные стенки имеют толщину 50 см. Напряжения сжатия от постоянной на¬ грузки составили вверху бетонного сечения 80 кг/см2, внизу — 60 кг/см2. По истечении 3 лет деформация пол¬ зучести превысила упругую деформацию в 2 раза. При повышенной влажности и пониженной температуре пол¬ зучесть прекращается.6 кг/смгРис. 4.50. Примерный график изменения напряжений в бетоне и арматуре колонны вследствие ползучестиНа рис. 4.50 приведены примерные графики изменения напряжений в бетоне и арматуре колонн и балок вслед¬ ствие ползучести. Напряжения в бетоне снизились в 1,5—2 раза и примерно во столько же раз возросли в арматуре. Ползучесть зависит от возраста бетона к моменту нагружения. Раннее нагружение резко увеличи¬ вает ползучесть (рис. 4.51). Влияние на ползучесть мар¬ ки бетона видно из рис. 4.52.Приближенный расчет на ползучесть основан на том, что вместо характеристики ползучести бетона (см. 4.4.2) в расчете принимается характеристика ползу¬ чести армированного бетона [106]:=-(i -<*").поА )- 6где£ — (1In■Ьfaр = ~т~ — коэффициент армирования;ср/ — характеристика ползучести неармирован- __ ного бетона к моменту времени t\ сpt— характеристика __ползучести армированного бетона арки ( ср/с ) или балки (ср/и ) при работе этих элементов_на _изгиб.Значения величин ср/; сptc; ср/и к моменту времени t при различных характеристике ползучести бетона <р/, армировании и значениях по и £0/ приведены в табл. 4.56.Рост во времени модуля упругости Е0 незначительно влияет на изменение характеристики ползучести арми¬ рованного бетона, и потому Ео можно принимать посто¬ янным во времени. Значения ср/ даны в 4.4.2.Уменьшение ползучести достигается не только при¬ менением специальных цементов и соответствующим под-
176РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙЗначения <р/, ytc и <ргиТаблица 4.56Ео tПо*1 =илиEoF6'аП0*~ р гЕ9 7б0.000,050,100,150,200,250,300,400,500,600,700,801,0000,000,000.000,000,000,00о,ро0,000,000,000,000,000,001.01,000,930,860,810,770,730,690,620,560,520,480,450,39Ео3.02,001,821,661.631,421,321,231,090,970,880,800,740,633,03,002,672,402,161,971,801,671,441,261,121,010,920,784,04,003.46'3.0^2.712,442.202,011,701.471.291.151,040.8600,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,001,01,000,940,880,830,790,750,720,640,600,550,510,480,431,5 J?o2.02,001.831.691,571,461,361,281,131,010,920,840,760,673,03.002, «О2 422,302,011,851,721,491,311.171,050,950,814,04,00Я. 493,092,762.492,262,061.731.521,331,181.050.8900,000,о00,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,001,01,000.&40,890,850,800,770,740,670,630,580,540,500,452,OJ?02,02,0l1,в41.П1,591,491,891,311,161,050,960,870,780,703,03,002,702,442,282,051,891,751,531,351,201,080,980,844.04 /гЯ .523.122.802,532,30*>.101.751.551,361.211,090,91Примечания. 1.2.	£0, F^ и /^— модуль упругой деформации, площадь и момент инерции поперечного сечения бетона арки (балки).3.	Для затяжки вместо F& подстаалвется ^а.3< а вместо4.	Для ширенгеля вместо F подставляется FРис. 4.51. Ползучесть одинаковых опытных железобе¬ тонных балок в зависимости от возраста бетонабором составов бетона, но н конструктивными мерами.Для предваритетьно напряженных железобетонных конструкций ползучесть может быть значительно умень¬ шена [47], если арматуре предварительно даются напря¬ жения в течение короткого срока (несколько дней) на 10% больше, чем требующиеся при отпуске.Предельная деформация. Предельное удлинение бетона при растяжении (предельная растяжимость) со¬ ставляет примерно £р= 1 • 10—4 и не зависит от количе¬ ства арматуры и характера армирования. Однако мно¬ гочисленными опытами установлено, что такая оценка предельной растяжимости является неточной, так как размеры и расголожение трещин в бетоне зависят от величины и характера армирования.Установлено [59. 63], что в подавляющем .большин¬ стве случаев раскрытие трещин до 0,2 мм не является опасным и не приводит к коррозии арматуры. Такую величину раскрытия трещин можно принять за пре¬ дельно допускаемую, и если предельную растяжимость бетона оценивать этим условием раскрытия трещин, то можно считать, что она зависит от армирования.Арматура выравнивает напряжения в бетоне, ликви¬ дирует отдельные местные перенапряжения, препятст¬Рис. 4. 52. Ползучесть опытных железобетонных балок в зависимости от марки бетона в момент нагружениявует раскрытию появившихся местных трещин сверх 0,2 мм и тем самым увеличивает деформируемость (предельную растяжимость) участка конструкции. Чем больше арматуры и чем равномернее она распределена в бетоне, тем больше ее эффективность [110].Трещиностойкость конструкции повышается с уве¬ личением предела прочности сцепления и при применении арматуры периодического профиля. По трещиностойко- сти арматура периодического профиля примерно в2	раза эффективнее гладкой.Предельная сжимаемость железобетона зависит от характера армирования. Арматура способствует равно¬ мерному распределению напряжений в бетоне и пре¬ дупреждает появление местных перенапряжений. Поперечная арматура сокращает поперечные деформа¬ ции бетона и в несколько раз увеличивает предельную деформацию сжатия (предельную сжимаемость), что видно из следующего примера [96, 12]:предельная сжимаемость бетоннойпризмы	 89 10 (100%)то же, при расстоянии между хомутами: _5 20 см . *	 124-10 (139%)10 см	 194-10 5 (184%)Б см	 300-КГ5 (337%)
4.6. АРМИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ1774.6.3.	АрмоцементАрмоцемент [61] — особый вид железобетона, отли¬ чающийся от обычного большей насыщенностью очень тонкой арматурой (диаметром 0,5 -т- 3 мм) и примене¬ нием цементно-песчаного, безгравийного бетона. РасходРис. 4.53. Деформируемость различных кладокарматурной сетки на 1 мъ армоцементного изделия колеб¬ лется от 300 до 600 кг, а иногда и больше, но благодаря высокой прочности (кубиковая прочность до 600— 800 кг!см2), небольшим толщинам (10—30 мм) и воз¬ можности безопалубочного изготовления армоцемент во многих случаях экономичнее обычного железобетона.В настоящее время армоцемент только начинает при¬ меняться, и пока не существует норм расчета и стан¬ дартных методов испытаний изделий и конструкций из этого материала. Определение прочности армоцемента производится, как однородного упругого материала, ис¬ ходя из установленных опытным путем характеристик прочности.Имеющиеся экспериментальные данные касаются испытания ограниченного числа образцов, главным об¬разом на поперечный изгиб. Линейная зависимость меж¬ ду деформациями и напряжениями сохраняется до зна¬ чений напряжений, составляющих примерно 0,3 от пре¬ дельных. Остаточные деформации при этих напряжениях не превышают 5—7°/о. При напряжениях в растянутой зоне 90—100 кг!см2 раскрытие трещин не превышает 0,01 мм при деформациях растянутой зоны в 0,3— 0,5 mmJm. Лучшие результаты дает применение большего числа сеток из проволоки малого диа¬ метра.В связи с применением в армоцементе очень тонкой проволоки и тонкого защитного слоя пре¬ дельно допустимое раскрытие трещин, по-видимо¬ му, не должно превышать 0,05 мм. При таком раскрытии отдельных трещин деформации состав¬ ляют примерно 1,8 мм/м или 18 • 10—4 - Объем¬ ный вес армоцемента—от 2,4 до 2,8 т[м3.4.6.4.	Армированные каменные конструкцииАрмирование каменной кладки стальной арма¬ турой в виде сеток, стержней или профильного проката приводит к увеличению несущей способ¬ ности и к изменению упругих свойств кладки.Для армокаменных конструкций применяются каменные материалы (см. 4.5). Обязательных ис¬ пытаний конструкций или их частей нет. Испыты¬ ваются отдельно каменные материалы, растворы и арматура.Для армирования применяются, как правило, стали низких марок. Однако при применении кир¬ пичных кладок повышенной (сравнительно с обычными кладками) деформируемости (рис. 4.53)—«механизиро¬ ванные кладки»1 — могут быть, вероятно, использованы и стали высоких марок, но пока примеров применения такого армирования нет. Применяются два вида арми¬ рования: поперечное (сетчатое) [116] и продольное (стержневое).Арматура в армокаменных конструкциях устанавли¬ вается в растворные швы и покрывается слоем раство¬ ра, обеспечивающим соединение ее с кладкой. Величина сцепления арматуры с раствором меньше, чем в желе-1 Такие кладки отличаются от обычных способами образования растворяых швов. В станках для кладки раствор подается бункером. Применяется раствор повышенной подвижностие 10Рис. 4.54. Характер зависимости деформаций от напряжений для армированных каменных столбов1 — неармированные столбы; 2 — продольное армирование 0,26%; 3 — продольное армирование из уголков с поперечными план¬ ками; 4 — армирование из уголков 0,92%; 5 — армирование сетками через шов 0,25%; 6 — армирование сетками 0,82%12	Зак. 2098
178РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙзобетоне. Сцепление нарушается при достижении на¬ пряжений в кладке окило 80—85% от предельных. При поперечном армирование сцепление улучшается за счет давления вышележащей кладки. Однако, если учитывать небольшие напряжения в кладке, то увели¬ чение сцепления за счет этого фактора незначительно. Сцепление увеличивается с увеличением марки раствора.Обычно для армированных кладок применяется рас¬ твор марки 25 и выше, что диктуется также и необхо¬ димостью обеспечение антикоррозийной защиты.Разница в коэффициентах линейного расширения стали и кладки такова, что увеличение напряжений в арматуре при обычных температурах составляет не бо¬ лее 200—300 кг/см2Предельная сжимаемость армокаменных столбов (для обычной кладки) больше, чем неармированных, и достигает величины е= (20—30)10-4[37]. Однако общий вид диаграммы сжатия не меняется (рис. 4.54) и остает¬ ся близким к логарифмической зависимости. В связи с относительно небольшим содержанием стали в армока¬ менных конструкциях ползучесть последних может при¬ ниматься такой же, как и неармированных.4.6.5.	Армированный асбестоцементАсбестоцемент имеет ряд положительных свойств [81]: небольшой объемный вес (1,55-М,75 т/м3), огне¬ стойкость, простую технологию изготовления. Предел прочности при сжатии ~ 400 кг/см2, при растяжении 110—130 кг/см2, при изгибе 160—200 кг/см2. Для прессо¬ ванного асбестоцемента объемный вес повышается до 1,9—2,1 т/м3, предел прочности при изгибе — до 250— 300 кг/см2.Основными недостатками являются повышенная хруп¬ кость и низкая ударная прочность (2—3 кг см/см2). Кро¬ ме того, предел прочности асбестоцемента при растя¬ жении в 3—4 раза меньше, чем при сжатии, что приводит к неполному использованию прочности сжатой зоны в изделиях, работающих на поперечный изгиб.Резкое улучшение качеств изделий из асбестоцемента может быть достигнуто армированием их стальной сет¬ кой или отдельными стержнями (рис. 4.55).Внесение сетки или отдельных стержней осущест¬ вляется в СССР по способу так называемого «наклад¬ ного армирования» [80]. Арматура закладывается в из¬ делие при формовке. Для обеспечения хорошего сцепления арматуры с асбестоцементом она заклады¬ вается в слое цементно-асбестового раствора между двумя слоями свежестформованного асбестоцемента* Затем «пакет» подвергается прессованию или уплотняется катком. Наименьшая тол¬ щина армированного листа 10 мм. Пре¬ дельная толщина не ограничена технологи¬ ей изготовления. Армирование по наклад¬ ному способу может производиться также укладкой арматуры, покрытой слоем це¬ ментно-асбестового раствора, в специально отформованные в изделии борозды.Армированию может подвергаться асбе¬ стоцемент обычного качества. Совместная работа арматуры с асбестоцементом обес¬ печивается сцеплением (может принимать¬ ся на 15—25% меньше, чем в обычном же¬ лезобетоне) .Предельная сжимаемость армированно¬ го асбестоцемента составляет не менее (35 40) 10—— предельная растяжимость (30-^ 35) 10—4. . При этих деформациях в асбестоцементе нет трещин, и, следова¬ тельно, одновременно с полным использо¬ванием несущей способности асбестоцемента достигают ся напряжения, порядка б 000—8 000 кг/см2 в стальной арматуре, если в ней не превзойден предел текучести. В этом состоит одно из важнейших отличий армирован¬ ного асбестоцемента от железобетона. Если арматура имеет более низкий предел текучести, то при достиже-о)Рис. 4.55. Примеры расположения армату¬ ры в асбестоцементеа — армированная стеновая панель; б — армированная асбестоцементная лотковая плита для перекрытия пролетом до 3 м; в — армирование ребра жесткости плоских плит для перекрытия больших пролетовРазрыв асбесто - ирментп пои -Прогиб 8 середине пролетаПрогиб в середине пропетаРис. 4.56. Общие характерные диаграммы прогибов образцов балок,армированныха — низкоуглеродистой сталью, имеющей площадку текучести; б — высокопроч¬ ной сталью, не имеющей площадки текучести
4.6. АРМИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ- 179нии этого предела произойдет разрыв асбестоцемента, но разрушения конструкции не произойдет.На рис. 4.56 приведены диаграммы прогибов образ¬ цов армированных асбестоцементных балок в том случае, когда разрушение этих образцов происходит в растянутой зоне (расчетный случай), однако не исклю¬ чается возможность и таких случаев, когда при боль¬ шом армировании несущая способность армированного элемента будет лимитироваться сжатой зоной сече¬ ния.Армирование растянутой зоны изгибаемых асбесто¬ цементных конструкций позволяет увеличить несу¬ щую способность изделия в несколько раз и полно¬ стью использовать прочность асбестоцемента на сжа¬ тие.Ползучесть армированных асбестоцементных конст¬ рукций проявляется примерно в 2 раза меньше, чем не- армированных [811.4.7 ДРЕВЕСИНА 4.7.1.	Общие сведенияДревесина является натуральным орган-ическим ма¬ териалом растительного происхождения. Ее микрострук¬ тура характеризуется клеточным строением, основу ко¬ торого составляют преимущественно длинные клетки- волокна, расположенные концентрическими слегка ко¬ ническими слоями вдоль оси ствола. Каждый такой слой представляет ежегодное нарастание древесины и состоит из клеток двух видов: весенних, образующихся в начале вегетационного периода и имеющих относи¬ тельно тонкие стенки, и летних, образующихся в пос¬ ледующее время и обладающих более толстыми стен¬ ками. В зависимости от соотношения толщин весенней и летней частей годичных слоев прочность древесины может изменяться в довольно значительных пределах.Клетки древесины подразделяются, кроме того, еще на различные анатомические группы, связанные с опре¬ деленными, выполняемыми ими в сложном организме дерева, физиологическими или механическими функци¬ ями. Клетки этих групп определяют специфику физико¬ механических свойств древесины каждой породы.В поперечном сечении ствола древесина состоит из сердцевины, ядра и заболони. Сердцевина, диаметром 2—5 мм, расположена вблизи оси ствола, имеет мягкую рыхлую ткань и слабую прочность. Сердцевину окру¬ жает древесина более темного цвета — ядро. Перифе¬ рийную часть поперечного сечения ствола образует за¬ болонь. Ядровая часть древесины обычно содержит меньше воды, чем заболонь Если ядро не отличается от заболони окраской, а только содержанием воды, оно носит название не ядра, а спелой древесины. По своим механическим свойствам ядро или спелая древесина и заболонь не отличаются существенно друг от друга/ Сучки, представляющие собой заросшие остатки ветвей, нарушают расположение годичных слоев и соз¬ дают узловатость ствола и местные уплотнения древе¬ сины; нарушают правильность строения древесины я ухудшают ее механические свойства также косослой, свилеватость (волнистость слоев) и другие образова¬ ния, относимые, как и сучки, к порокам древесины. В связи с этим различно оцениваются прочность чистой древесины (прочность малых образцов без пороков) и прочность древесины в крупных элементах^Деформации и прочность древесины зависят от на¬ правления действия усилия по отношению к располо¬ жению волокон и годичных слоев. Учитывая последнее, древесину относят к телам, обладающим цилиндриче¬ской анизотропией. Роль оси анизотропии играет в дан¬ ном случае ось ствола дерева. Если же рассматривать отдельные, вырезанные из ствола элементы, то можно представлять их как тела ортотропные, главными на¬ правлениями в которых являются: направление вдоль волокон, тангентальное (касательное к поверхности го¬ дичного слоя) и радиальное (нормальное к поверхности годичного слоя).В отдельных случаях схему анизотропии древесины еще более упрощают, пренебрегая небольшим различием в прочностных и деформативных свойствах древесины в таигентальном и радиальном направлениях, т. е. древе¬ сина рассматривается как транстропная среда [55, 56, 57, 87J.Применительно к ортотропной схеме различают сле¬ дующие основные виды сопротивления древесины: сжа-Рис. 4.57. Схема смятия поверхности древесинытие и растяжение вдоль волокон; сжатие и растяжение поперек волокон в радиальном и таигентальном направ¬ лениях; сдвиг вдоль и поперек волокон по радиальной и тангентальной плоскостям; перерезывание волокон в таигентальном и радиальном направлениях; смятие тор¬ ца по всей и на части поверхности образца; смятие по¬ верхности поперек волокон в таигентальном и радиаль¬ ном направлениях по всей и на части поверхности об¬ разца. Последний- случай подразделяется на два: смятие на части длины и смятие на части длины и ши¬ рины образца (рис. 4.57). Возможно также приложение усилий под углом к указанным плоскостям и направле¬ ниям.4.7#2. Механические свойстваВ конструкциях деревянные элементы подвергаются поперечному изгибу в тангентальной и радиальной пло¬ скостях, продольному изгибу, центральному и внецент- ренному сжатию и растяжению.При одной и той же величине напряжения в древе¬ сине могут возникнуть различные по величине дефор¬ мации в зависимости от времени приложения нагрузки, что обусловлено сложной природой деформации древе¬ сины. Наряду с упругой деформацией, в древесине наблюдается деформация последействия, которая при снятии нагрузки постепенно почти полностью исчезает.При переменном темг^ературно-влажностном режиме под постоянной нагрузкой в древесине возникает еще один вид деформации — необратимая деформация пол¬ зучести.Таким образом, по механическим свойствам древеси¬ на весьма близка к твердым высокополимерным веще¬ ствам, что позволяет относить ее к разряду упруго¬ вязких тел, линейно деформирующихся под действием нагрузки. Деформативные свойства древесины харак¬ теризуются: модулем упругости, модулем длительной (равновесной) деформации, коэффициентом эффектив¬ ной вязкости последействия и коэффициентом эффек¬ тивной вязкости деформации ползучести.12*
180РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙ1)	Модуль упругости определяется по начальной деформации, измеренной в момент приложения нагрузки.2)	Модуль длительной (равновесной) деформации определяется по максимальной деформации, устанавли¬ вающейся при длительном выдерживании образца под постоянной нагрузкой до полного затухания роста де¬ формаций. •3)	Коэффициенты вязкости могут быть вычислены по данным наблюдений за скоростью нарастания дефор¬ маций под постоянной нагрузкой как коэффициенты пропорционалыюсти зависимости скоростей деформаций от напряжений (см. раздел 12).Перечисленные характеристики механических свойств древесины достаточны для вычисления деформаций древесины лишь в пределах напряжений, при которых деформации от постоянной нагрузки в постоянных ус¬ ловиях затухают. При выходе за эти пределы напряже¬ ний деформации в ней в тех же условиях приобретают незатухающий >арактер и процесс их развития завер¬ шается пластическим разрушением нагруженного эле¬ мента, если раньше не происходит хрупкого разрушения.Скорость развития пластических деформаций харак¬ теризуется коэффициентом эффективной вязкости, вели¬ чина которого меньше величины коэффициента вязкости ползучести на первой стадии работы древесины. Период развития незатухающей деформации зависит от вели¬ чины приложенного напряжения. Пластические дефор¬ мации древесины несколько отличаются от пластических деформаций других материалов, приближаясь к дефор¬ мациям эластического типа.Благодаря деформации последействия зависимость деформаций древесины от напряжений при возрастаю¬ щей нагрузке с самого начала загружения приобретает нелинейный характер и оказывается связанной со ско¬ ростью нагружения.При нагрузке, возрастающей с постоянной скоростью, перед разрушением древесины рост деформации проис¬ ходит более интенсивно. Напряжение, соответствующее перелому в росте деформаций и зависящее от скорости нагружения, получило наименование предела пластиче¬ ского течения. Превышение этого предела сопровож¬ дается снижением модуля упругости древесины, прояв¬ ляющемся при последующих нагружениях.Помимо модулей упругости и коэффициентов вязкости, для полной характеристики механических свойств дре¬ весины необходимо знание прочностных свойств—пре¬ дела прочности и предела долговременного сопротивле¬ ния. Предел прочности определяется при машинных испытаниях и зависит от скорости нагружения. Предел долговременн >го сопротивления характеризуется дли¬ тельно действующим напряжением, которое может нео¬ граниченно долго выдержать древесина в постоянных условиях без разрушения.Предел долговременного сопротивления древесины определяется кривой длительного сопротивления. Нано¬ ся на' график величины разрушающих нагрузок и время нагружения каждого образца, получают убывающую кривую, асимптота которой характеризует величину предела долговременного сопротивления (рис. 4.58), составляющую примерно половину величины предела прочности, определенного при машинных испытаниях.При оценке механических свойств древесины для практических цел^й в настоящее время ограничиваются кратковременными испытаниями при строгом соблюде¬ нии стандартных скоростей нагружения.Модуль упругости, найденный при кратковременных испытаниях, характеризует не только собственно упру¬ гие деформации, но и частично деформации последейст¬ вия, что позволяет судить о полных деформациях дере¬ вянных элементов при кратковременных нагружениях. Полагают, что при длительном нагружении деформациибудут примерно вдвое больше, чем при кратковремен¬ ных машинных испытаниях.Прочность древесины характеризуют пределом проч¬ ности, найденным также из кратковременных машин¬ ных испытаний; величину долговременного сопротивле¬ ния определяют умножением на осредненный коэффи¬ циент 0,5. В СНиП величина долговременного сопротив¬ ления находится умножением на коэффициент 2/з* ха¬ рактеризующий сопротивление древесины mJhh* при обычной продолжительности нагруже¬ ния (эта величина равна как раз пределу пластического течения, определяемому из машинных испытаний), а затем на 0,8—для76S3(.92S7U- Ж./,»Т82f 1 I I " Ч" т Ч ч I 1 > I I 1-1 ■ ^О 20 40 60 80 WO № 140 дней Рис. 4.58. Длительная прочность древесины1 — крив** длительного сопротивления; 2 — асимптота кривой длительного сопротивленияперехода к постоянно действующей нагрузке.На практике (при выводе расчетных формул) огра¬ ничиваются двумя модулями упругости и двумя харак¬ теристиками прочности, исходя из представления работы древесины под нагрузкой в виде двух диаграмм (Прандтля), одна из которых соответствует условиям кратковременного, а другая — длительного нагружения.Деформативные и прочностные свойства древесины зависят от влажности. Поэтому все стандартные испы¬ тания древесины, ведутся при влажности ее около 15%. В случае отклонения влажности образцов от 15% (в пре¬ делах от 8 до 22%) результаты испытаний приводятся к стандартной влажностиБолее подробные сведения по стандартным испыта¬ ниям древесины см. ГОСТ 6336-52 127].В табл. 4.57 приводятся средние значения основных механических характеристик главнейших отечественных пород чистой (без пороков) древесины (по ГОСТ 4631-49) [28].Местное смятие характеризуется условным пределом пропорциональности, составляющим в среднем для сос¬ ны 30—45, для лиственницы 44—63 н для дуба 56—76 кг/см2.По данным одного вида испытаний можно приблизи¬ тельно оценить предельные сопротивления при других видах испытаний (табл. 4.58).Для расчетов строительных конструкций1 пользуются нормативными показателями прочности древесины, вы¬ численными по данным массовых испытаний (с учетом изменчивости свойств древесины) и представляющими вероятные минимальные значения прочности.Расчетные напряжения в СНиП даны с учетом вли¬ яния влажности, пороков древесины, режима нагруже¬ ния и т. п (см. 4.9.1).При определении деформаций конструкций, защи¬ щенных от увлажнения и нагрева, модуль упругости1 Подробнее о расчетах деревянных конструкций см. Г95а].
4.8. ПЛАСТМАССЫ В СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ181древесины вдоль волокон независимо от породы древе¬ сины принимается равным £=100 000 кг/см2 при воз^- действии постоянной и временной нагрузок обычной продолжительности; при иных условиях модуль упруго¬ сти снижается.Таблица 4.57Прочностные и деформативные характеристики основных пород древесины (влажность 15%)Предел прочности в кг см'2jQприска-Xо.,ЧолываниисVffiлчсоS•=<юSвдоль во¬ локонSи№п/пПородаи0Jр§вЯоXтО)XXО)**оXXАСя °= 8>5Яа.кА XН о3н0Jч н* од ®XS11 Я Чои X СО ОX °S3ч «и хю •=( Xо Ь0J«вX О0-2XOSН *юОо. о с соа, к с иCU Ос ич ю сО ю X« я1Береза обыкновенная(Европейская часть СССР). .......64044799785110124 0002Бук кавказский ....G504619381 29199131—3Граб (кавказский) . .8005581 290———131 0004Дуб	7205209351 2888510473 0005Ель обычная (северЕвропейской части СССР)	4604237741 2235352—6Кедр сибирский . . .430376603—5960—7Лиственница сибир¬130 000ская (Урал)	680511973	83728Ольха черная	6606159781 2058578132 0009Осина (Европейская часть СССР) ....5003747661 3125777107 00010Пихта кавказская . .4403917221 118778291 00011Сосна обыкновенная (Центральные райо¬ны Европейской ча¬ сти СССР)	5304397931 1506973145 00012Тополь белый	420308533860547171000Таблица 4.58Соотношение пределов прочности древесины для различных видов сопротивления (по данным Е. М. Савкова)РастяжениеСжатиеПопереч¬ ный изгибСкалы¬ваниеСрезвдольволоконпоперекволоконвдольволоконпоперекволокон11/9—1/301/2—1/31/6—1/203/41/14—1/201/3—1/4Таблица 4.59Объемный вес древесиныПороды древесиныОбъемный вес древесины в конструкциях в кг/м3защищенных от увлажненияне защищенных от увлажненияХвойныеЛиственница	Сосна, ель, кедр, пихта	650500800600Твердые лиственные «Дуб, бук, береза, ясень, клеи, граб, вяз, ильм	700800Мягкие лиственныеОсина, тополь, ольха, липа . . .500600При определении объемного веса деревянных конст¬ рукций объемный вес древесины принимается по табл. 4.59.Помимо натуральной древесины, в строительстве при¬ меняются такие материалы, как фанера, сверхтвердые древесно-волокнистые и древесно-стружечные плиты, дре¬ весные пластики на основе облагороженной древесины (прессованная древесина, лигнофоль и др.).Механические свойства этих материалов подробно освещены в отечественной и зарубежной литературе.4.8.	ПЛАСТМАССЫ В СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ4.8.1.	Конструктивные пластмассыИз пластмасс, применяемых в строительных конст¬ рукциях, наибольший интерес представляют стеклопла¬ стики, сотопласты, пенопласты, конструктивные клеи, винидур (винипласт) и оргстекло.Стеклопластики являются хорошим конструктивным материалом. Они обладают легкостью ( 7=1,3—1,9), долговечностью, прочностью, стабильностью размеров, не подвержены коррозии или загниванию, не требуют окраски. Некоторые виды стеклопластиков пропускают до 90% солнечных лучей. Стеклопластики изготовляют¬ ся из стекловолокна и пластмасс. Механические свойст¬ ва их зависят от содержания и свойств стекловолокна. В наиболее прочном стеклопластике — СВАМе волокно является ориентированным, а содержание его достигает 65% и более. Предел прочности СВАМа при растяже¬ нии составляет 4500—9500 кг!см2у а модуль упругости равен 350—570 тыс. кг/см2 Такими же свойствами об¬ ладает стеклопластик АГ-4 (А. С. Гуляев).Применение стекломатов для изготовления стекло¬ пластиков позволяет получить менее прочные, во более дешевые стеклопластики. Предел прочности и модуль упругости стеклопластиков из стекломатов сравнитель¬ но невысоки (£ = 60 000—90 000 кг/см2, ов =600—1	000 кг/см2) и ниже, чем стеклотекстолита, в 2—3 раза. Для использования в строительной промышленности можно широко применять щелочное стекловолокно, хо¬ тя и уступающее по свойствам бесщелочному, но более доступное и достаточно прочное.По данным лаборатории анизотропных структур АН СССР, наибольшая прочность стеклопластиков типа СВАМ достигается при диаметре стекловолокна 14—16	мк и при содержании стекловолокна в стеклопласти¬ ке около 65%.Оптимальное количество стекловолокна (по прочно¬ сти) при армировании стекломатами составляет при¬ мерно 55% (рис. 4.59).Обычно стеклопластики содержат меньше стеклово¬ локна, так как содержание такого количества стек¬ ловолокна трудно получить вследствие хаотическою расположения его в матах.Атмосферосгойкость и долговечность стеклопласти¬ ков, а также технологический процесс их изготовления зависят в первую очередь от вида применяемых смол. Оптимальными свойствами обладают стеклопластики на полиэфирных смолах, которые чрезвычайно удобны в технологическом отношении: при их запрессовке тре¬ буется небольшое давление, допускается и холодный способ твердения; они не дают усадки, обладают свето¬ проницаемостью, высокой атмосферостойкостью и дру¬ гими ценными свойствами.Нашедшие широкое применение в промышлен¬ ности и строи 1ельсгве стеклопластики на фенолформаль- дегидных смолах значительно уступают по своим свой¬
182РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЯствам стеклопластикам на полиэфирных смолах. Они обладают меньшей адгезией к стекловолокну, требуют большего давления и температуры при запрессовке (р=30 кг/см2, /=150—160г). давая при этом усадку, со¬ провождающуюся выделением летучих веществ (паров .воды, свободных фенола и формальдегида и др.).Рис. 4.59. Зависимость прочно¬ сти стеклопластиков (на осно¬ ве стекломатов) от содержания стекловолокнаЯч '_Г?')ulК;ЗиЧ’ V6ЦБ?4/ГГо??еньл с' п с1годВремяРис. 4.60. Длительная прочность стекло¬ пластиков при изгибе. Сплошные кривые относятся к стеклопластикам на основе стекломатов, пунктирные—к стеклопласти¬ кам типа СВАМ1 и 2 — испытания при относительной влажности воз¬ духа 50%; 3 и 4 — испытания после вымачивания в водеПри испытании в сухом виде стеклопластики на фенолформальдегидных смолах имеют примерно ту же прочность, что и на полиэфирных, но при длительном воздействии атмосферных условий прочность их, по предварительным данным, значительно уменьшается, хотя и является достаточной для применения в строи¬ тельных конструкциях. Термостойкость фенолформаль- дегидных смол выше, чем полиэфирных. Длительная прочность стеклопластиков зависит от способа нагруже¬ ния, вида применяемого для их изготовления стеклово¬ локна и характера внешних условий при испытаниях. Попредварительным данным, коэффициенты длительного сопротивления после года выдерживания образца под изгибающей нагрузкой составляют: для стеклопласти¬ ков типа СВАМ—0,72; для стеклопластиков на основе стекломатов — 0,66 (рис. 4.60). При длительно действу¬ ющем растягивающем усилии эти величины снижаются соответственно до 0,65 и 0,60. Выдерживание стекло¬ пластиков под длительной нагрузкой (около 1 года) во . влажных условиях вызывает снижение коэффициентов длительного сопротивления до 0,5 при изгибе и 0,4— 0,44 — при растяжении (данные предварительные).Особый интерес представляют испытания стеклопла¬ стиков на атмосферостойкостьРезультаты этих испытаний показывают, что, как правило, после длительных атмосферных воздействий показатели прочности снижаются незначительно, а в ря¬ де случаев даже повышаютсяОргстекло и винидур являются термопластами и поэтому применяются для менее напряженных конст¬ руктивных элементов, а также для временных соору¬ женийОсновным преимуществом оргстекла, получаемого на основе акриловой смолы, по сравнению с обычным стек¬ лом, является его высокая ударная прочность. Оргстек¬ ло применяется в строительстве в виде прозрачных вол¬ нистых или плоских панелей; имеет высокую стоимость, поэтому не получило широкого распространения.Основным сырьем для изготовления винидура (вини-* пласта) служит поливинилхлоридная смола.Достоинства вьнидура (винипласта)—его низкая стоимость (9 пуб. 1 кг) и высокая (по сравнению с другими неармированными пластмассами) прочность 'при температурах от —10 до +60°. За пределами ука¬ занных температур, а также при длительном воздейст¬ вии нагрузок прочность его значительно снижается и возрастает деформативность (рис. 4.61). Применяется в конструкциях, несущих незначительные нагрузки, на¬ пример профилях для карнизов, желобах, водосточных трубах и др.Пенопласт состоит из совокупности мелких газовых пузырьков, изолированных друг от друга тонкой плен¬ кой смолы, что обеспечивает его теплоизоляционные свойства. В так называемых поропластах, применяемых в качестве звукопоглощающего материала, ячейки сое¬ динены между собой.В СССР выпускаются два основных вида пенопла- стов — пенополистирол и пенополивинилхлорид.Существенный недостаток пенополистирола — легкая возгораемость, поэтому его рекомендуется применять преимущественно в сочетании с несгораемыми материа¬ лами — асбестоцементом, алюминием или бетонной об¬ лицовкой. Пенополивинилхлориды не горят (пламя пос¬ ле удаления источника огня затухает), но имеют боль¬ ший удельный вес.Описанные пенопласты являются термопластами; прочность их снижается при температурах значительно более низких (рис. 4.62), чем установленные рабочие температуры (60—70°).Поэтому для применения в сильно напряженных не¬ сущих конструкциях (например, кровельных панелях) представляют интерес пенопласты на термореактивных смолах (фенольных и их композициях с хлорвинилом и каучуком), но они пока еще очень дороги.Рационально применение слоистых строительных конструкций, средний слой которых состоит из сотопла- стов — сот, изготовленных из бумаги или ткани и про¬ питанных огнезащитными составами и искусственными смолами. Сотопласты заполняют легкой изоляцией типа мипоры. Для наиболее ответственных конструкций (оболочек и т. п.) следует применять преимущественно сотопласты из ткани. Предварительные испытания по¬ казали, что тканевые сотопласты имеют высокую проч-
4.8. ПЛАСТМАССЫ В СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ *183Температурная off пасть винидуратшшлжш*200 ' 100п(ШШП^\ 1 п-2Doww6B8ommmТемпература в град.200 20 k Температура в град.-вменит о го иоТемпература 8 град.Рис. 4.61. Зависимость механических свойств винипласта от температуры/ — предел прочности при растяжении; 2 — относительное удлинение при разрыве; 3 — предел ползучестиность на сдвиг — более 14 кг на 1 см2 поверхности. При пересчете на поверхность склейки эта величина повышается примерно в 12 раз, т. е. достигает 175 кг/см2. Высокие напряжения сдвига позволяют5 т| 160а)1201006060Vк\\п• - —с/\ч,5Nб)-ВО'40-20 0 20 W fO Температура в градРис. 4.62. Изменение свойств пенопласта под воздействием различных физико-механических факторова — зависимость механических свойств пенопласта ПС-1 с 7=0,2 кг/см3 от температуры (по И. Т. Швецову): /—проч¬ ность при растяжении; 2—проч¬ ность при сжатии; 3 — упру¬ гость при растяжении; 4—упру¬ гость при сжатии; 5 — ударная вязкостьо — линейная усадка пенопла- ;тов ПС-4 (7=0,06 г*см*) и ПХВ-1 (7=0,1 г/см3) при 60°: / — пенопласт ПС-4; 2 — пено¬ пласт ПХВ-1в — водо-бензо-маслопоглоще- ние пенопластами ПХВ-1 (7=0,2 г/см3) и ПС-1 (7=0,2 г/см3): / — ПХВ-1 в воде;2 — ПХВ-1 в бензцне;3 — ПХВ-1 в масле; 4 — ПС-1 в воде; 5 — ПС-1 в масле; ПС-1 в бензине растворяетсяВремя выдерживания в суткахприменять панели с сотопластами без несущего кар¬ каса. Более доступными и высокопрочными являются сотопласты на основе твердых древесно-волокнистых плит.4.8.2.	Конструкции с применением пластмассСветопроницаемые панели. Одной из наиболее эф¬ фективных областей применения пластмасс в строи¬ тельстве являются светопроницаемые листы из стекло¬пластиков. В связи с большой стоимостью они приме¬ няются в сочетании с другими материалами для устройства отдельных светопроницаемых участков кровли или стен, а также при необходимости устройства усиленного верхнего света, что имело, например, место при расширении производственных помещений завода Рено (Франция) за счет использования проходов меж¬ ду цехами.Для повышения несущей способности светопро¬ ницаемых ограждений из стеклопластиков они приме¬ няются слоистыми в виде легких алюминиевых каркасов или бумажных сотопластов, оклеенных с двух сторон плоскими листами из стеклопластиков.Теплые панели кровли и стен. Несущие кровельные щиты пролетом б—15 м могут быть выполнены в виде сотопласта, заполненного мипорой и оклеенного с двух сторон прочными листами (стеклопластиком, алюми¬ нием или асбестоцементом), или в виде сотопласта (пе¬ нопласта), оклеенного с двух сторон теми же прочными листами и усиленного снизу ребрами из этих же мате¬ риалов (такое решение принято для экономии пенопла¬ ста и сотопласта). Кровельные панели больших проле¬ тов (порядка 12—15 м) целесообразнее устраи¬ вать не плоскими, а цилиндрическими и ребристыми или такими же сферическими, причем для повышения их несущей способности могут применяться легкие фер- мочки, например из алюминия.Стеновые навесные панели можно устраивать ана¬ логично панелям кровли, но с внутренней облицовкой из более дешевого материала, например древесно-стру¬ жечной плиты.Оболочки. Высокое сопротивление стеклопласти¬ ков внешним воздействиям при высоких механических свойствах делает наиболее рациональным применение их в совмещенных несущих и ограждающих конструк¬ циях типа оболочек и складок в виде сотопластов, оклеенных с двух сторон стеклопластиком или алю¬ минием.Клееные несущие конструкции. Развитие произ¬ водства синтетических клеев создает большие перспек¬ тивы для применения в строительстве клееных конст¬ рукций различных видов, в том числе из легких сплавов, асбестоцемента, дерева и др.Пневматические конструкции. Известные перспек¬ тивы имеют надувные конструкции на основе воздухо¬ непроницаемых синтетических тканей.Простейшая пневматическая конструкция устраива¬ ется в виде тонкой ткани, поддерживаемой избыточным давлением порядка 0,02—0,07 атм. Это давление не ощущается находящимися в помещении людьми и, как показал опыт, обеспечивает устойчивость и неизменяе¬ мость оболочки. Так, испытания, проведенные в Кор- нельском университете (США), показали, что избыточ¬ ное давление 0,05—0,07 атм обеспечивает восприятие ветровой нагрузки скоростью 130 м/сек.
184РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙПневматические конструкции нашли применение для временных сборно-разборных зданий и сооружений (складов, домов для полярников, опалубки и др.). В последнее время стали применяться светопроницаемые сооружения из прозрачной ткани (плавательный бас¬ сейн в Буффало — США). Надувной склад на 500 т зерна испытывается в ЦНИИ строительных конструкций АСиА СССР.4.8.3.	Клеи и склеивание конструкций с применением пластмассТермопласты (винидур, полиэтилен, оргстекло и др.) соединяются между собой путем сварки, которая осно¬ вана на свойстве термопластов переходить при опре¬ деленной температуре (около 200°) в вязко-текучее состояние.В ряде случаев более целесообразно склеивание термопластов, например в целях обеспечения прозрач¬ ности конструкций из оргстекла.Соединение между собой элементов из термореак¬ тивных пластма-сс (стеклопластиков, сотопластов и т. п.), а также соединение их и термопластиков с дру¬ гими материалами (металлом, деревом и т. п.) осуще¬ ствляется лишь склеиванием.Прочность клеевого соединения определяется пра¬ вильным подбором клеевого состава, толщиной клеевой пленки, точностью соблюдения режимов склеивания, конструкцией соединения. Чем тоньше клеевой шов, тем прочнее соединение.4.9.	МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙЗадачей расчета является обеспечение эксплуата¬ ционной надежности сооружений при минимальных затратах материалов.Известны следующие основные методы расчета: по допускаемым напряжениям, по разрушающим нагруз¬ кам, по предельным состояниям.Первый метод, основанный на представлении об уп¬ ругой работе материалов и конструкций, был предло¬ жен в начале прошлого столетия; в Советском Союзе был принят для расчета железобетонных конструк¬ ций— до 1938 г., каменных—до 1943 г., металлических и деревянных — до 1955 г.Основные недостатки этого метода:а)	не учитываются пластические свойства материа¬ лов, что приводит к занижению расчетной несущей способности конструкций1;б)	коэффициент запаса, принимаемый в большинст¬ ве случаев одинаковым для конструкций из одного ма¬ териала, не позволяет учесть фактическую изменчи¬ вость нагрузок, механических свойств материала и особенности работы отдельных сооружений и их эле¬ ментов.Для железобетонных и каменных конструкций ука¬ занные недостатки были частично устранены при пере¬ ходе к методу расчета по разрушающим нагрузкам. Этот метод был разработан советскими специалистами и основывался на учете пластической стадии работы материалов для определенных схем разрушения эле¬ ментов, установленных непосредственными их испыта¬ ниями до исчерпания несущей способности; приме¬ нялся в Советском Союзе для расчета железобетонных конструкций с 1938 по 1955 г., каменных — с 1943 по 1955 г.Коэффициент запаса при расчете по разрушающим1 Ь отдельных случаях расчета по допускаемым напряжениям шластическая стадия работы материала учитывается, олнако пр «ме¬ няемые при атом формулы не отражают действительного состояния онструкди* ■ н« наглядны.нагрузкам принимался различным в зависимости от соотношения временных и постоянных нагрузок и со¬ четаний воздействий (основных, дополнительных или особых). Однако эта дифференциация коэффициента запаса была недостаточной и не учитывала многих особенностей работы конструкций.Несовершенство методов расчета по допускаемым напряжениям и по разрушающим нагрузкам явилось причиной перехода в 1955 г. к единому для всех строи¬ тельных конструкций методу расчета по предельным состояниям, разработанному также советскими специа¬ листами.В этом методе получили дальнейшее развитие про¬ грессивные идеи расчета по разрушающим нагрузкам (учет пластических свойств материалов) и вместе с тем установлен более общий и универсальный критерий предельного состояния конструкций — прекращение эксплуатации сооружения.Особенностью метода является также замена еди¬ ного коэффициента запаса системой расчетных коэф¬ фициентов (коэффициентов перегрузки, однородности материалов и условий работы), учитывающих конкрет¬ ные условия возведения и эксплуатации конструкций и характер внешних воздействий. Это позволяет более правильно оценивать несущую способность конструкций и обеспечивает проектирование более равнопрочных и в целом более экономичных сооружений.4.9.1.	Метод расчета по расчетным предельным состояниямПредельными являются состояния, при которых кон¬ струкция или основание перестают удовлетворять предъявляемым к ним эксплуатационным требованиям, т. е. теряют способность сопротивляться внешним воз¬ действиям или получают недопустимые деформации или местные повреждения.Расчет несущих конструкций и оснований произво¬ дится по расчетным предельным состояниям, при этом основные расчетные параметры (нагрузки, сопротивле¬ ния материалов и т. п.) и показатели их изменчивости устанавливаются нормами таким образом, чтобы со¬ оружение было обеспечено с практически необходимой гарантией от возникновения предельных состояний.Различаются следующие расчетные предельные со¬ стояния:а)	первое предельное состояние — по несущей спо¬ собности (прочности, устойчивости, выносливости);б)	второе предельное состояние — по деформациям;в)	третье предельное состояние — по трещиностой- кости (образованию или раскрытию трещин).Основное требование расчета по предельным состоя¬ ниям заключается в том, чтобы усилия (напряжения), деформации или размеры трещин от внешних воздей¬ ствий не превосходили предельных значений, характе¬ ризующих несущую способность, жесткость или трещи- ностойкость конструкций или оснований в соответст¬ вующих расчетных предельных состояниях; в против¬ ном случае возникает опасность снижения эксплуата¬ ционной надежности сооружения.Важнейшими факторами, от правильности учета которых зависит эксплуатационная надежность со¬ оружения, являются:а)	нагрузки и другие внешние воздействия,б)	качество и механические свойства материалов,в)	условия изготовления и работы конструкций и их элементов.Для расчета конструкций и оснований по предель¬ ным состояниям нормами устанавливаются для каждого вида нагрузки два значения: нормативная нагрузка и расчетная нагрузка.
4.9. МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИИ185Нормативные нагрузки принимаются:а)	нагрузки от собственного веса конструкций — по проектным и справочным данным, в соответствии с принятыми условиями изготовления конструкций;б)	полезные и монтажные нагрузки (крановые на¬ грузки, нагрузки от веси материалов, температурные воздействия технологического оборудования и т. п.) — как максимальные г воздействия, соответствующие при¬ нятым условиям нормального технологического про¬ цесса;в)	снеговые и ветровые нагрузки — как средние из максимальных ежегодных значений, устанавливаемые нормами на основании метеорологических данных за многолетний период.Расчетные нагрузки устанавливаются как наиболь¬ шие внешние воздействия с учетом возможной изменчи¬ вости нагрузок и случайных отклонений от принятых условий нормальной эксплуатации оборудования и определяются путем умножения нормативных нагрузок на соответствующие коэффициенты перегрузки п.При определении коэффициентов перегрузки снего¬ вых и ветровых нагрузок использовались результаты многолетних метеорологических наблюдений за весом снегового покрова на земле и скоростью ветра.Коэффициенты перегрузки для нагрузок от веса кон¬ струкций и полезных нагрузок определялись на основе данных о возможных отклонениях фактического веса конструкций и оборудования от нормативного (вследст¬ вие неточностей подсчета нормативного веса и влияния допусков, принятых при изготовлении конструкций и оборудования) и наблюдаемых нарушений условий нор¬ мальной эксплуатации оборудования (например, подъем груза, вес которого превышает номийальную грузоподъ¬ емность крана).Для оценки возможной изменчивости нагрузок при¬ менялся статистический анализ результатов наблюде¬ ний, на основе которого для получаемых из опыта кри¬ вых распределения были подобраны соответствующие теоретические кривые (рис. 4.63,а, б).При условии применимости к опытным кривым нор¬ мального распределения Гаусса коэффициент перегруз¬ ки определяется в первом приближении по формулеап = 1 + S-,Рсргде рср—среднее значение нагрузки, Sn — стандарт кри¬ вой распределения (среднее квадратическое отклонение).Числу а соответствует определенная вероятность превышения расчетной нагрузки (при а =3 указанная вероятность около 0,001). Для атмосферных нагрузок эту вероятность удобнее выражать в зависимости от среднего числа лет, при котором наблюдается однократ¬ ное превышение принятой расчетной нагрузки.Однако при нормировании коэффициентов перегруз¬ ки статистические методы имеют лишь вспомогательное значение. Решающими являются результаты конкретно¬ го анализа условий возникновения той или иной на¬ грузки и опыт строительства и эксплуатации сооруже¬ ний. Например, при нормировании коэффициента пере¬ грузки снеговой нагрузки учитывалось, что вес снего¬ вого покрова на покрытиях (в среднем на всей площади покрытия) меньше, чем на земле, вследствие сдувания снега ветром, подтаивания снега на отапливаемых зда¬ ниях и влияния других факторов; принималось также во внимание, что в случае превышения расчетной снеговой нагрузки в отдельные годы (напрямер, для Новосибирска один раз в 20 лет) возможна очистка покрытия от снега, и по экономическим соображениям нецелесообразно принимать более высокие значения коэффициентов перегрузки.Нормированные коэффициенты перегрузки больше единицы, но для постоянной нагрузки, когда она может быть разгружающей, предусматривается я< 1. Численные значения нагрузок и коэффициентов перегрузки см. раздел 23.Высота снегового пои род а в смРис. 4.63. Статистические кривые распределенияа — максимальных ежегодных высот снегового покрова на земле (на защищенном от воздействия ветра участке) по ме¬ теорологическим данным за 40 лет; б — скорости ветра на открытой равнинной местности по метеорологическим данным за 20 лет (при четырех наблюдениях в сутки)Нагрузки при расчете конструкций и оснований рас¬ сматриваются в сочетаниях, учитывающих реально возможное одновременное действие нагрузок. При со¬ четании постоянной нагрузки с двумя и более времен¬ ными нагрузками, из которых хотя бы одна возникает при эксплуатаьии сооружения нерегулярно или исклю¬ чительно редко, расчетные значения всех временных нагрузок умножаются на понижающие коэффициенты (0,9 или 0,8).Указанные коэффициенты учитывают, что в этом случае вероятность совпадения расчетных максимумов временных нагрузок значительно меньше, чем в основ¬ ном сочетании, состоящем из постоянной и регулярно действующих временных нагрузок.Качество и механические свойства материалов ха¬ рактеризуются при расчете по предельным состояниям двумя показателями: нормативным и расчетным со¬ противлениями.Нормативное сопротивление материала является основным показателем его механических свойств, кон-
186РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙ?ролируемым в соответствии с установленными в ГОСТах правилами приемки и испытаний материалов.В качестве нормативных сопротивлений устанавли¬ ваются: для прокатной стали и горячекатаной (так на¬ зываемой «мягкой») арматуры — браковочный минимум предела текучести, для холоднотянутой высоко¬ прочной арматуры — браковочный минимум предела прочности, для алюминиевых сплавов — меньшая из двух величин — условный предел текучести или 0,7 предела прочности; для бетона — средняя прочность для данной марки при осевом сжатии, изгибе и растяжении (при условии, что отклонения от средней прочности яе превосходят предельных значений, зави¬ сящих от количества контрольных образцов); для ка¬ менной кладки — средняя прочность столба кладки нормированных размеров для данных марок камня и раствора.Вследствие изменчивости механических свойств ма¬ териалов и проведения при их приемке только выбороч¬ ных испытаний не исключена возможность изготовления конструкций из материалов с пониженными сопротив¬ лениями (по отношению к нормативным).Поэтому в целях обеспечения необходимой эксплуа¬ тационной надежности сооружения расчетная несущая способность конструкций и их элементов определяется в зависимости от расчетных сопротивлений.Расчетные сопротивления R устанавливаются как наименьшие (предельные) / сопротивления материалов силовым воздействиям с учетом возможной изменчи¬ вости механических свойств материалов и определяютсяпутем умножения нормативных сопротивлений на коэф¬ фициенты однородности k. Расчетные и условные рас¬ четные (определенные с учетом коэффициентов условий работы) сопротивления для некоторых основных мате¬ риалов приведены в табл. 4.60—4.64.Коэффициенты однородности определяются на осно¬ ве статистического анализа результатов испытаний со¬ противления различных материалов; при этом опытное распределение показателей прочности по их повторяе¬ мости заменяется обычно кривой нормального распреде¬ ления Гаусса (рис. 4.64,а,о). В соответствии с этим коэффициенты однородности вычислены в первом при¬ ближении по формулеRepгде Rcp — среднее значение показателя прочности; sm —стандарт кривой распределения.Нормированные значения коэффициентов однород¬ ности несколько отличны от определенных по приведен¬ ной формуле. Так, коэффициенты однородности для стали учитывают влияние изменчивости размеров фак¬ тических сечений элементов в соответствии с установ¬ ленными допусками, для кладки — уровень качества кладки, зависящий от навыков каменщика, возможное уменьшение несущей способности элементов вследствие отклонений столбов и стен от вертикали и т. п. При нормировании коэффициента однородности учтено так¬ та б л и ц а 4.60Расчетные сопротивления металла в кг/см2Вид напряженного состоянияСтальАлюминиевые сплавыПрокат толщиной 4—40 мм маркиСварные швы из элек¬ тродов Э42, Э42А в конструкциях из Ст. 3Сварные швы из элек¬ тродов Э50А, Э55А, в конструкциях из ста¬ ли НЛ2Заклепки из Ст. 2 и Ст. 3 в конструкциях из Ст. 3Заклепки из Ст. 2 и Ст. 3 в конструкциях из Ст. БЗаклепки из Ст. 2 и Ст. 3 в конструкциях из стали НЛ2сплав маркиЗаклепки из сплава АВ-Т1 в конструкциях из сплава АВ-Т1Заклепки из сплава Д18-Т в конструкциях из сплава Д-loTСт. 3Ст. 5НЛ2АВ-Т1Д16-ТСжатие осевое и сварного шва в стык2100240029002100290018002650Растяжение осевое и сварного шва в стык2100240029001800250018002650Изгиб	21002400290018002650Срез основного металла, швов в стык и заклепок 	130014001700130017501800180018001050160010501050Смятие торцовой поверхности металла и в заклепочных соединениях 	3200360043004200430058002700390027003900Смятие местное при плотном касании160018002200Диаметральное сжатие катков при плот¬ ном касании 	80ьО110Сжатие, растяжение, срез в сварных угловых швах	*15002000Примечание. Расчетные сопротивления для заклепок даны по группе В (постановка в сверленые отверстия).
4.9. МЕТОДЫ РАСЧЕТАТаблица 4.61Условные расчетные сопротивления бетонаВид напряженного состоянияМарки бетона100 | 150ю8ёоСжатие осевое (призменная проч¬ ность) . . . . . .....487090140Сжатие при изгибе ....60 | 85 1110170Растяжение	6,581015Примечание. Условные расчетные сопротивления бето¬ на даны для случая изготовления его на заводах при автомати¬ ческой дозировке и систематическом контр jjio.Таблица 4.62Расчетные сопротивления каменных кладокВид напряженного состоянияКирпич марки | Бут марки75 | 100 | 200Растворы марок2550toслоtoсл50Сжатие осевое	1113131568Растяжение осевое по швам по неперевязанному сечению кладки ...0,50,80,50,80.50,8Растяжение осевое по швам по перевязанному сечению кладки 	1,11.61.11.60,81.2Растяжение осевое по швам и целому камню .......1.31,31.81,8--Растяжение при изгибе по швам по неперевязанному се¬ чению кладки .0,81.20,81,20.81.2Растяжение при изгибе по швам по перевязанному сече¬ нию кладки		 .1,62,51.62,51.21,8Растяжение при изгибе по швам и целому камню2,02.02,52,5--Главные растягивающие на¬ пряжения по швам и целому камню2,02.02.52.5Главные растягивающие на¬ пряжения по косой штрабе0.81.20,81.20,81,2Срез по швам и целому камню .....5,55,56.56,5--Срез по швам по непере¬ вязанному сечению1.11.61,11.61.11,6Срез по швам по перевязан¬ ному сечению ... ...----1.62.4Примечания. 1. Расчетные сопротивления каменной кладки даны по классу работы Б; расчетное сопротивление бу¬ товой кладки на сжатие указано для возраста 3 мес., осталь¬ ные — на 28-й день.2.	При цементных растворах расчетные сопротивления кладки на растяжение и срез по швам снижаются на 250/».3.	Расчетное сопротивление кладки на срез по шву и целому камню дано для сечения за вычетом вертикальных швов.КОНСТРУКЦИЙ						—== 187Таблица 4.63Условные расчетные сопротивления арматурыа.О) 1о ой) 1 О юМатериал* зН Н И «и о а> V т сих £Материалн Н _ о> О <i>X O.S ^я 3% с к«о о <U X и ч£ Вя О О) О) i и с;Горячекатаная периодиче¬Высокопрочная проволокаского профиляСталь 30ХГ2С . . . .I 5100Круглая горя¬ чекатаная2,531120010300Сталь 25Г2С	То же, упрочненная вытяжкой до 5 500 кг!смй, но при3400(ГОСТ 7348-55)4101009500900056удлинении не более •3.5% ...• . . . .45007884007800Сталь марки Ст. 5 . . То же, упрочненная вы¬ тяжкой до2400Периодическо¬2,5101004 500 кг/см2, но приго профиля,39500удлинении не болееуглеродистая489505,5% ... .3700(ГОСТ 8480-57)58400Сталь 25Г2С, подвер¬67800гнутая вытяжке на772503,5% без контроля400086700напряжения . . . Сталь марки Ст. 5, под¬ вергнутая вытяжкена 5,5% без контро¬3250ля напряжения . . .Примечание. Условные расчетные сопротивления данытолько для ра^янУтоЧ арматуры.Таблица 4.64Расчетные сопротивления древесины в кг/см2Вид напряженного состоянияДревесина сосны и елиОжатие осевое и смятие вдоль волокон . .130Растяжение осевое вдоль волокон при от¬ сутствии ослаблений в расчетном сечении . .100130Сжатие и смятие поперек волокон по всей поверхности и в щековых врубках 		18Скалывание вдоль волокон (максимальное) .24Скалывание поперек волокон (максимальное)12Примечание. Расчетные сопротивления древесины даны для защищенных от увлажнения и нагрева конструкций постоян¬ ного назначения, изготовляемых на постройке, для случая одно¬ временного действия постоянных и временных нагрузок.же, что нормативное сопротивление некоторых мате¬ риалов принимается как браковочный минимум, а не средний показатель прочности.Для расчета деревянных конструкций устанавлива¬ ются нормативное временное сопротивление и длитель¬ ное сопротивление, соответствующее воздействию сум¬ марных расчетных нагрузок в течение нескольких ме¬ сяцев. Нормативное временное сопротивление принято как вероятное минимальное значение предела прочности, полученное на основе статистического анализа резуль¬
188РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙтатов стандартных испытаний малых образцов чистой (без пороков) древесины. Нормативное длительное со¬ противление составляет 2/3 от нормативного временного.Коэффициент однородности древесины учитывает главным образом неоднородность ее в элементах круп¬ ных размеров (масштабный фактор) и влияние пороков.Рис. 4.64. Статистические кривые распределенияа — предела текучести для стали марки Ст. 3. Число испы¬ танных образцов—6 ООО; б — прочности бетонных кубов марки 200. Число испытанных образцов—3 700Различия и особенности условий работы конструк¬ ций и элементов характеризуются коэффициентами условий работы т. Коэффициенты условий работы установлены на основе анализа условий эксплуатации сооружений и изучения действительной работы кон¬ струкций под нагрузкой. Различается несколько катего¬ рий коэффициентов условий работы:а)	коэффициенты условий работы материала и эле¬ ментов при учете усталости, потери устойчивости и т. п.;б)	коэффициенты условий работы соединений, ха¬ рактеризующие работу разного рода врубок, заклепоч¬ ных и сварных соединений и т. д.;в)	коэффициенты условий работы, характеризующие особые условия производства работ и эксплуатации конструкций (например, коэффициент условий работы каменной кладки, выполненной методом заморажива¬ ния).Основное условие расчета по первому предельному состоянию заключается в том, чтобы наибольшие воз¬можные за время эксплуатации сооружения усилия или напряжения в конструкции или основании от воздей¬ ствия нагрузок в наиболее невыгодном сочетании не превосходили предельного усилия (наименьшей расчет¬ ной несущей способности) или, соответственно, расчет¬ ного сопротивленияN < rn.FR,или, что более удобно для .расчета стальных и деревян¬ ных конструкцийN— < mR.Здесь N — усилие от наиболее невыгодного сочетания расчетных нагрузок (при проверке вынос¬ ливости — нормативных);F— геометрический фактор сечения (площадь, момент сопротивления и т. п.).Предельные усилия (mFR) и напряжения в сечении/ N \в функции различных силовых воздействий I I опре¬ деляются в соответствии с указаниями ТУ с учетом в необходимых случаях свойств пластичности и ползуче¬ сти. Учет пластических деформаций при подборе сече¬ ний наиболее полно предусматривается в НиТУ проек¬ тирования железобетонных и каменных конструкций.В стальных конструкциях пластическая стадия работы материала учитывается при расчете на устойчивость и — с определенными ограничениями — при подборе сечений балок и проверке прочности стержней в некоторых случаях сложного сопротивления (изгиб с растяжением или сжатием).Усилия в конструкциях от внешних воздействий определяются, как правило, в предположении упругой работы материалов. Такой подход вполне приемлем для статически определимых и равнопрочных статически не¬ определимых конструкций, для которых расчетные уси¬ лия хорошо согласуются со значениями усилий, опреде¬ ляемыми в натуре вплоть до исчерпания несущей спо¬ собности.Для неравнопрочных статически неопределимых си¬ стем определение усилий по упругой стадии работы конструкций приводит к известному запасу при оценке их несущей способности. Некоторые из таких систем, имеющие большое количество лишних связей и облада¬ ющие малой деформативностью при работе в упруго¬ пластической стадии, рекомендуется рассчитывать на внешние воздействия с учетом образования пластиче¬ ских шарниров (например, неразрезные балки постоян¬ ного сечения, закрепленные от потери общей устойчи¬ вости и несущие статическую нагрузку).Основной задачей расчета по второму предельному состоянию является ограничение деформаций или пере¬ мещений (колебаний) конструкций и оснований от нор¬ мативных нагрузок, обеспечивающее достаточную же¬ сткость сооружения в условиях его нормальной эксплуа¬ тации.Условие расчета по второму предельному состоянию записывается в видеА </.Здесь А — деформация или перемещение, определяемое в функции нормативных нагрузок при из¬ вестных механических свойствах материала и геометрических размерах конструкции; f—предельное значение деформации или пере¬ мещения, устанавливаемое в соответствии с ТУ в зависимости от назначения конструк¬ ции (элемента).
4.9 МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ189Целью расчета по третьему предельному состоя¬ нию является ограничение появления или чрезмерного раскрытия трещин в достаточно прочной, устойчивой и жесткой конструкции с тем, чтобы эксплуатация со¬ оружения не была затруднена вследствие потери водо¬ непроницаемости, коррозии арматуры, местных повреж¬ дений и т. п.Расчет по третьему предельному состоянию произ- водится для каменных и железобетонных конструкций и сводится по существу к сравнению расчетной величи¬ ны раскрытия трещин с предельной величиной возмож¬ ного раскрытия. В отдельных случаях, ввиду сложности теоретического определения величины раскрытия тре¬ щин, трещиностойкость конструкций обеспечивается условным расчетом.При расчете по третьему предельному состоянию используются нормативные или расчетные нагрузки (в зависимости от характера влияния трещин на условия эксплуатации конструкций).4.9.2.	Метод расчета по разрушающим нагрузкамУсловие расчета — усилие в конструкции от эксплуа¬ тационной нагрузки N (или сама нагрузка Р) не долж¬ но быть более вероятного разрушающего усилия Мразр (или разрушающей нагрузки Рразр). деленного на коэф¬ фициент запаса прочности конструкции k:Разрушающее усилие (несущая способность) опре¬ деляется по установленным нормам пределам проч¬ ности материалов; геометрические характеристики се¬чения при этом принимаются в соответствии с фактиче¬ ским характером разрушения. Пределы прочности не¬ которых основных материалов даны в табл. 4.65.Усилия от эксплуатационной нагрузки в статически определимых конструкциях и в статически неопредели¬ мых хрупко разрушающихся конструкциях устанавли¬ ваются по общим правилам строительной механики однородных упругих систем; в статически неопредели¬ мых пластически работающих конструкциях усилия . от эксплуатационной нагрузки устанавливаются с учетом их возможного перераспределения. Нормами, однако, перераспределение допускалось лишь для некоторых железобетонных балок и плит, каменные конструкции рассчитывались только как упругие.Коэффициент запаса прочности конструкций (но не материала как в методе допускаемых напряжений) наз¬ начается нормами и учитывает все факторы — некото¬ рую условность расчетов, снижение предельной проч¬ ности при повторных нагрузках, возможность отклоне¬ ния качества материала от стандарта и размеров элементов от проектных, превышение нагрузок при эксплуатации против принятых в расчете, естественный износ сооружения со временем.Величина коэффициента запаса зависит от условий возведения и эксплуатации конструкции, срока службы сооружения, вида усилия, рассматриваемого сочетания нагрузок; для железобетона вводилось различие также в зависимости от соотношения между усилиями от постоянной и временной нагрузок с целью учета боль¬ шей изменчивости последней. В конструкциях, для ко¬ торых опасно появление трещин (резервуары, трубы и т. п.), кроме расчета по приводимому выше условию предусматривается дополнительный расчет против по¬ явления волосяных трещин при эксплуатационной на¬ грузке с принятием коэффициента трещиностойкости k\.Коэффициенты запаса прочности некоторых кон¬ струкций при основных воздействиях даны в табл. 4.66.Пределы прочности некоторых материалов в кг!см*Таблица 4.65Род усилияЖелезобетонныеконструкцииАрма¬ тура нз про¬ ката Ст. 3Каменные конструкциибетоны мароккирпич маркн6vr марки11014017020025075 |1002(Х/Растворы марок25 .50 |255025 |50Сжатие осевое (призменная прочность длябетона) 	881081251451752500202525301416110135155180220Растяжение осевое	И131517202500, , по швам по неперевя-занному сечению кладки 	1.21.81.21.81.21.8Растяжение осевое по швам по перевязан *ному сечению кладки 	2,53,52.53,51.52.5Растяжение осевое по швам и целомукамню	3,0з.о4.04.0Растяжение при изгибе по швам по не-перевязанному сечению кладки	1.52.51.52.51.52.5Растяжение при изгибе по швам по пе¬ревязанному сечению кладки	3.56.03.56,03.04.0Растяжение при изгибе по швам и цело¬му камню 	4,54.56.06.0Главные растягивающие напряжения . .1113151720Главные растягивающие напряжения пошвам по косой штрабе	1.52.51.52.51.52.5Главные растягивающие напряжения пошвам и целому камню	4.54,56,06,0Срез по швам по неперевязанномусечению2.53,52.53,52,53,5Срез по швам по перевязанному сечениюt3,56.0Срез по швам и по целому камню ....112121414Примечания. 1. Прочность бутовой кладки на сжатие дана в возрасте 3 мес., остальные данные—для возраста бетона и кладки 28 дней.2.	Прочность на срез по швам и целому камню дана для сечения за вычетом вертикальных швов.3.	При продольном армировании предел прочности собственно каменной кладки снижается на 30%.
190РАЗДЕЛ 4. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СООРУЖЕНИИТаблица 4.6Коэффициенты запаса прочности некоторых конструкцийСлучаи расчетаКоэффициенты запаса при ос¬ новных воз¬ действияхПри расчете прочности железобетонных колонн, опор, арок с гибкой арматурой в случае разру¬ шения вследствие достижения бетоном предела прочности на сжатие или арматурой предела те¬ кучести при А^вsА^п<2 	• NB-Nu>2	То же, при расчете прочности остальных желе¬ зобетонных элементовпри NB:Nn<2	- V"n>a-	При расчете прочности железобетонных элемен¬ тов в случае разрушения вследствие достижения бетоном предела прочности на растяжениепри 7VB:7Vn<2 	NB:Nn>~	• ....При расчете трещиностойкости железобетонных резервуаров, труб и т. д. (при давлении до1 ат)		• . .При расчете на прочность неармированной клад¬ ки стен, столбов, арок и сводов из кирпича ибута сечением более 0,3 м2	То же, армированной кладки из кирпича присетчатом армировании . . .'	То же, армированной кладки из кирпича и про¬ дольном армировании 	При расчете трещиностойкости каменной кладки При расчете каменной кладки на опрокидывание и скольжение	 	22.21.82.02.22.42.52.5 2.01.51.31.2Примечания. 1. Л^в и Л^—усилия от временной и постоян¬ ной нагрузок, при внецентренном сжатии—моменты.2.	Усилие от веса и гидростатического давления жидкостей вклю¬ чаются в величину Л’п.3.	Для железобетонных центрально сжатых сечений размером менее 30x30 см или диаметром менее 30 см и для внецентренно- сжатых сечений с большей стороной менее 30 см коэффициенты за¬ паса повышаются на 25%. Для элементов из каменной кладки сече¬ нием менее 0,3 ма коэффициенты запаса повышаются на 20%.При сложных статически неопределимых пластически разрушающихся конструкциях (рамах, арках и т. д.) удобнее расчет вести не по усилиям, а по нагрузкам.Расчет деформаций и перемещений производится по упругой стадии работы на эксплуатационные нагрузки.4.9.3. Метод расчета по допускаемым напряжениямУсловие расчета — наибольшее напряжение от экс¬ плуатационных нагрузок в материале конструкции а ие должно превышать допускаемого напряжения [о], со¬ ставляющего часть от предела прочности (для бетона, кладки, древесины) или предела текучести (для ме¬ талла):женность расчета, незнание истинных величии усилий* В отличие от метода расчета по разрушающим нагруз¬ кам коэффициент безопасности относится не к конструк¬ ции, а к материалу; расчетчик непосредственно с ним не сталкивается, так как нормы дают готовые значения допускаемых напряжений.При расчете сжатых элементов большой и средней гибкости допускаемое напряжение определяется исходя из критического напряжения. В отдельных случаях определяющим является расчет по допускаемым дефор¬ мациям, а расчет на прочностьч носит проверочный характер.С улучшением качества материала и углублением теории расчета сооружений значения допускаемых на¬ пряжений повышались; за пятьдесят лет допускаемые напряжения для стали повысились почти вдвое (а с 1929 до 1942 г. — с 1 200 до 1 600 кг/см2)у для бетона — в полтора раза. В табл. 4.67 даны допускаемые напряже¬ ния для ряда материалов (при основных воздействиях) по данным действовавших ранее норм.Таблица 4.6?Допускаемые напряжения для некоторых материалов в кг/см2■ < м •Род усилияСталь марки Ст. 3Сжатие осевое (для железобетона при /,7i<l4, для дерева также смятие вдольволокон) 	Сжатие при изгибеРастят.f':.к? осевое (для дерева— вдолаволокон) 	 .Изгиб 	Главные растягиваю¬ щие напряжения . . Срез (для бетона—не¬ посредственный) . . Сжатие и смятие поперек волокон по всей поверхности и в щековых врубках. Смятие торцовой по¬ верхности металла . Смятие местное (для металла при плотномкасании) 	Диаметральное сжатие катков при свобод¬ ном касании . . . Скалывание при изги¬ бе вдоль волокон . . Сцепление бетона с круглой арматурой .1600160016001000240013006014501300110012501250100701001520Бетон(в железобетоне)0.40 У?* 0.450.100,10 0.07 R„0.410ПД.0.045Усилия, напряжения, деформации и перемещения определяются методами строительной механики и со¬ противления материалов как для однородного и упру¬ гого тела.Отношение предела прочности (текучести) к допу¬ скаемому напряжению материала называют коэффици¬ ентом безопасности (или коэффициентом запаса проч¬ ности); он учитывает: неизбежные колебания качества материала, не принятые во внимание нагрузки, прибли-Примечания. 1. Для стальных элементов, прикреплен¬ ных к фасонке с одной стороны, допускаемые напряжения сни¬ жаются на 25%.2.	Допускаемые напряжения для сварного шва даны при применении толстообмазанных электродов и при автоматической сварке под слоем флюса.3.	. I — расчетная длина элемента; h — меньшая сторона прямо¬ угольного сечения; Fn и У7 — полная площадь сечения и площадь давления.
ЛИТЕРАТУРА191ЛИТЕРАТУРА1.	А к и и о в Г. В. Единая спецификация металлических ма¬ териалов, изд. АН СССР, 1945.2.	Александровский С. В., О гистерезисе деформаций усадки и набухания бетона при его попеременных высушиваниях и увлажнениях, «Бетон и железобетон» № 9, 195S.3.	Александровский С. В., Некоторые особенности усадки бетона, «Бетон и железобетон» № 4, 1959.4.	Б а л д и н В. А., Расчет стальных конструкций по рас¬ четным предельным состояниям, Госстройиздат, 1956.5.	Батраков В. П., Коррозия конструкционных материа¬ лов в агрессивных средах, Оборонгиз, 1952.6.	Беляев Н. М и др.. Прочность, упругость и ползучесть бетона. Гос. изд. строит, лит., 1941.7.	Белянкин Ф. П., Длительное сопротивление дерева, ОНТИ, Гос. изд. строит, лит., 1934.8.	Белянкин Ф. Н., Современные методы расчета иа проч¬ ность элементов деревянных конструкций, изд. АН УССР, 1951.9.	Белянкин Ф Н., Прочность древесины при скалы¬ вании вдоль волокон, изд. АН УССР, 1955.10.	Б е л я и к и н Ф. Н. и Я ценко В. Ф., Деформатив- ность и сопротивляемость древесины, н£а. АН УССР, 1957.10а. Бернштейн С. А., Сопротивление материалов, изд. Академии им. Сталина, 1955.11.	Буданов Н. А., Расчет железобетонных конструкций с учетом ползучести бетона, Стройиздат, 1949.12.	Бушков В. А., Железобетонные конструкции. Гос. над. строит, лит., 1941.13.	Б ы к о в с к и й В. Н., Сопротивление материалов во вре¬ мени с учетом статистических факторов, Госстройиздат, 1958.14.	В о л ь ф с о н С. Н. и Мягков М. Н., Свойства стан¬ дартного углеродистого проката при повышенных температурах, «Вестник металлопромышленности» № 8, 1937.15.	Г о л ь д е н б л а т И. И., Введение в теорию ползуче¬ сти строительных материалов, Стройиздат, 1952.16.	Г о л ь д е н б л а т И. И., Основные положения метода расчета строительных конструкций по расчетным предельным состояниям, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.17.	ГОСТ 6133-52 «Камни бетонные со щелевидными пусто¬ тами».18.	ГОСТ 6328-55 «Камни керамические пустотелые стеновые пластического прессования».19.	ГОСТ 6928-54 «Камни шлакобетонные и бетонные обык¬ новенные».20.	ГОСТ 530-54 «Кирпич глиняный обыкновенный».21 ГОСТ 6316-55 «Кирпич глиняный пустотелый пластическо¬ го прессования».22.	ГОСТ 6248-52 «Кирпич глиняный пустотелый полусухого прессования».23.	ГОСТ 379-53 «Кирпич силикатный».24.	ГОСТ 1148-41 «Кирпич шлаковый».25.	ГОСТ 8462-57 «Материалы стеновые и облицовочные. Ме¬ тоды определения пределов прочности при сжатии и изгибе».26.	ГОСТ 6901-54 «Методы определения удобоукладываемости бетонной смеси и прочности бетона».27.	ГОСТ 6336-52 «Методы физико-механических испытаний древесины», Стандартгиз.28.	ГОСТ 4631-49 «Показатели физико-механических свойств древесины», ВКС при Совете Министров СССР.29.	Давиденков Н. Н., Динамические испытания ме¬ таллов, ОНТИ, 1936.30.	И в а н о в Ю. М., Предел пластического течения древе¬ сины, Стройиздат, 1948.31.	Иванов Ю. М., Эластическая деформация древесины, Колл ж., т. XIX, вып. 3, 1957.32.	Инструкция по методам испытания на прочность н жест¬ кость железобетонных деталей сборных конструкций. Техни¬ ческие условия по контролю прочности и жесткости железобе¬ тонных деталей сборных конструкций, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 195633.	Инструкция по проектированию и расчету несущих кон¬ струкций зданий под машины с динамической нагрузкой (Н 200-54), Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.34.	Инструкция по проектированию предварительно напря¬ женных железобетонных конструкций (СН 10-57), Гос. изд. лит. по стр. и арх.. 1958.35.	Инструкция по расчету и проектированию фундаментов доменных печей (И 201-55), Гос. изд. лит. по стр. и арх.. 1956.36.	Инструкция по расчету сечений элементов железобетон¬ ных конструкций (И 123-55), Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1956.37.	Исследование каменных конструкций, сборник ЦНИПСа, Стройиздат, 1950.38.	Исследование обычных и предварительно напряженных конструкций, сборник статей, Стройиздат, 1949.39.	Коданев А И., Концентрация напряжений в пласти¬ ческой области Труды ВВИА имени Жуковского, вып. 316, 1949.40 Келдыш В. М. и др. Физико-механические свойства бетона и железобетона. ВИА, 1952.41.	Кин д Б. А и Окороков С. Д., Строительные ма¬ териалы, ОНТИ, 193442.	Конструкционные -стали, справочник, Металлургиздат, 1947.43.	Кочен о в В. М., Несущая способность элементов и соединений деревянных конструкций, Госстройиздат, 1953.44.	Кочено в В. М., Расчет деревянных конструкций по расчетным предельным состояниям. Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.45.	Кураев В. В. и Чернашкин В. Г., Строительные стали, Стройиздат, 1941.46.	Лейкин И. М. и Чернашкин В. Г., Низколегиро¬ ванные строительные стали, Металлургиздат, 1952.47.	Л е о н г а р д т Ф., Напряженно армированный железо¬ бетон, Госстройиздат, 1957.48.	Леонтьев Н. Л., Длительное сопротивление древе¬ сины, Гослесбумиздат, 1957.49.	Леонтьев Н. Л., Упругие деформации древесины, Гослесбумиздат, 1952.50.	Лившиц В. Г., Физические свойства металлов, Метал¬ лургиздат, 1946.51.	М а л м е й с т е р А. К., Упругость и неупругость бетона, изд. АН Латвийской ССР, Рига. 1957.52.	Мельникова Н. В., Основные строительные свой¬ ства подмосковных известняков, изд. отдела технической ин¬ формации НИИ по строительству Минстроя РСФСР, М., 1958.53.	Металловедение и термическая обработка, справочник, Металлургиздат, 1956.54.	Методы механических испытаний металлов, изд. офи¬ циальное, 1958.55.	Митинский А. Н., Модели кручения и модели сдви¬ га древесины как анизотропного материала, Труды ЛГА № 67, 1941.56.	Митинский А. Н., Упругие постоянные древесины как ортотропного материала. Труды ЛГА JSfe 63 1948.5/. М и т и н с к и й А. Н., Упругие постоянные древесины как трансверсально анизотропного материала. Труды ЛГА № 67,58. М о х о в 3. С., Упругие свойства некоторых видов гор¬ ных каменных пород, сборник «Исследования строительных материалов и вопросы строительной механики», Гострансиздат, 1965.69. М у р а ш е в В. И., Трещиноустойчивость, жесткость и прочность железобетонных конструкций, Машстройиздат, 1950.60.	Н а д а и А., Пластичность и разрушение твердых тел, Изд. иностр. лит., 1954.61.	Нерви Л., Строить правильно, Госстройиздат, 1956.62.	Нилендер Ю. А., Механические свойства бетона и железобетона, Справочник проектировщика промышленных соо¬ ружений, т. IV, ОНТИ, 1935.63.	НИИ пути и строительства НИПС, Опытно-теоретические исследования железобетонных конструкций, Трансжелдориздат, 1940.64.	Нормы и правила строительства в сейсмических районах (СН 8-57). Гос. изд. лит. по стр. и арх. 1958.65.	Нормы и технические условия проектирования автомо¬ бильных дорог (НиТУ 128-55), Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.66.	Нормы и технические условия проектирования автомо¬ бильных дорог промышленных предприятий (НиТУ 101-56), Гос. изд. лит. по стр. н арх., 1956.67.	Нормы и технические условия проектирования деревян¬ ных конструкций (НиТУ 122-65), Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1965.68.	Нормы и технические условия проектирования естествен¬ ных оснований зданий и промышленных сооружений (НиТУ 127-55), Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.69.	Нормы и технические условия проектирования бетонных железобетонных конструкций (НиТУ 123-55), Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.70.	Нормы и технические условия проектирования железных дорог нормальной колеи (1 524 мм) промышленных предприятий (НиТУ 119-55), Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.71.	Нормы и технические условия проектирования каменных и армокаменных конструкций (НиТУ 120-55), Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.72.	Нормы и технические условия проектирования и строи¬ тельства зданий и промышленных сооружений на макропористых просадочных грунтах (НиТУ 137-56), Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1956.73.	Нормы и технические условия проектирования стальных конструкций (НиТУ 121-55), Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.74.	О н и щ и к Л. И.. Прочность и устойчивость каменных конструкций, ОНТИ, 1937.75.	Опытно-теоретические исследования железобетонных кон¬ струкций, НИИ пути и строительства НИПС, Трансжелдориздат, 1940.76 П а с т е р н а к П. Л., Комплексные конструкции, Строй¬ издат, 1940.77.	Перелы гин Л. М., Влияние пороков иа механические свойства древесины, Гослесбумиздат, 1948.78.	Перелы гин Л. М., Древесиноведение, Гослесбумиз¬ дат, 1949.79.	Пррелыгин А. М и Певцов А. X., Механические свойства и испытания древесины, Гослесбумиздат, 1934.80.	Пицкель Л. Н., Армированный асбестоцемент, сбор¬ ник «Исследования. Каменные конструкции», НИИ по строитель¬ ству., Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.
192ЛИТЕРАТУРА81.	Пицкель Л. Н., Асбестоцементные лотковые плиты, Гос. изд. лит. по стр и арх., 1952.82.	Подзолов И. В., Допускаемые напряжения для ста¬ лей, Оборонгиз, 1940.82а. Пономарев С. Д. и др., Расчеты на прочность в машиностроении, Машгиз, 1956.83.	П о п о в Н. А и др.. Строительные материалы и изде¬ лия, Госстройиздат, 1941.84.	Рид В. Т., Дислокация в кристаллах, Металлургиздат, 1957.85 Рохлин И. А., Расчет керамических конструкций, Госстройиздат. Киев, 1956.86.	Самуйлло В. О., Поперечная деформация древесины. Сборник трудов кафедры строительной механики и кафедры древесиноведения, Л ГА, 1940.87.	Самуйлло В. О. и Соболев В. С., К вопросу о постоянных упругости древесины, Труды МЛТИ, вып. 8, 1958.88.	Скрамтаев Б. Г. и др.. Строительные материалы, Гос. изд. лит по строит, материалам, 1953.89.	Семенцов С. А., Расчет каменных и армокаменных конструкций по расчетным предельным состояниям, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.90.	Семенцов С. А., Строительные свойства подмосковных облицовочных известняков, сборник «Исследования. Каменные конструкции», Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.91.	Сервисен С. В. и др., Несущая способность и расчеты деталей машин, Машгиз. 1954.91а. С м и т М. К.. Основы физики металлов, Металлургиздат, 1959.92.	Соболев Ю. С., Исследование постоянных упругости древесины, 195893.	Справочник машиностроителя, т. 3, Машгиз, 1955.94.	Справочник по черным металлам, Киев, 1934.95.	Справочник проектировщика. Сборные железобетонные конструкции, Госстройиздат, 195995а Справочник проектировщика. Деревянные конструкции. Гос. изд. лит по стр. и аох., 1957.96.	Столяров Я. Б., Введение в теорию железобетона, Стройиздат, 1941.97.	Стрелецкий Н. С., Основа статистического учета ко¬ эффициента запаса прочности сооружений, Стройиздат, 1947.98.	Строительные нормы и правила, ч. I, И, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 195499.	Строительство из естественных каменных материалов, Сборник ВНИТО строителей. Гос. изд архитектуры и градо¬ строительства, 1951.100.	Субботкин М. И., Строительные свойства крымско¬ го известняка-ракушечника, сборник «Исследования. Каменные конструкции». Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.101 Таль К. Е., Расчет бетонных и железобетонных кон¬ струкций по расчетным предельным состояниям, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.102.	Технические условия МПСМ (ТУ 159-53) и Минстроя (ТУ 35-53) на бутовый камень, 1953.103.	Технические условия проектирования строительных кон¬ струкций из алюминиевых сплавов для опытного проектирова¬ ния, 1958.104.	Труды Научно-технического общества черной металлур¬ гии, т. VI, Металлургиздат, 1955.105.	У л и ц к е й И. И., Ползучесть бетона, Гостехиздат УССР, 1948.106.	Улицкий И. И., Расчет бетонных и железобетонных арочных и комбинированных конструкций с учетом длительных процессов, Гостехиздат УССР, 1950.107.	Фрейсиие, Переворот в технике бетона, ОНТИ, 1938.108.	Фридман Я. Б.. Механические свойства металлов, Оборонгиз, 1952.109.	Хухрянский П. Н., Изменение физико-механиче¬ ских свойств древесины, «Советская наука» JSfg 1, 1939.110.	Цискрелн Г. Д., Сопротивление растяжению неар¬ мированных и армированных бетонов. Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1954111.	Черн а ш к и>н- В. Г. и др.. Исследования по стальным конструкциям, 1957.112.	Шапошников Н. А., Механические испытания ме¬ таллов, Машгиз, 1951. 4*113.	Ш е й к и н А. Лк, К вопросу прочности, упругости и пла¬ стичности бетона. ТруН МИИТ, вып., 69, 1946.114.	Щапов Н. П^и ВолохвянскаяЭ. С., Проблемы металлургии, изд. АН СССР, 1953.115.	Щапов Н. П. и Иньшаков Н. Н., Низколегирован¬ ные стали повышенной прочности для металлических конструк¬ ций, вып. 48, Трансжелдориздат, 1951.116.	Экспериментальное исследование каменных конструкций, сборник ЦНИПС, Стройиздат, 1939.117.	Якобсон К. H., Трещины в железобетоне и проекти¬ рование мостов, Трансжелдориздат, 1948.118.	Davis R., D a v i s Н. and Brown. E. Plastic Flow and Volume Change of Concrete, ASTM, Proceedings, vol.37, p. II, 1937.119.	Davis R. Davis H. and Hamilton I„ Plastic Flow and Volume Change of Concrete under Sustained stress, ASTM. Proceedings, vol. 34, p. II, 1934.120.	Glanville W. H. and Thomas F. G., Studies in Reinforced Concrete, Departament of Scientific and Industrial Research. Technical paper M21, London, 1939.121.	The Welding Journal, May, 1954.122.	Departament of Scientific and Industrial Research, Building Research. Technical paper M 21. Studies in ReinforcedJConcrete. W. H. Glanville and r. G. Thomas, London, 1939.123.	American Society for Testing Materials. Proceedings, vol 34,p.Il, 1934. ’’Plastic Flow and Volume Change of Concrete under Sustained, stress-. R. D a v i s, H. Davis, and I. Hamilton.124.	American Society for Testing Materials. Proceedings, vol. 37,& II, 1937. Plastic Flow and Volume Change of Concrete. R. Davis, .Davis and E. Brown.
РАЗДЕЛ 5СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ5.1.	ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ БРУСА5.1.1.	ОпределенияБрусом называется тело удлиненной формы, дваразмера которого (высота и ширина поперечного сече¬ ния) малы по сравнению с третьим размером (дли¬ ной бруса). Брус условно представляется в виде совокупности параллельных или почти параллельныхРис. 5.1продольных волокон. Сечения бруса, нормальные волокнам, называются поперечными сечениями. По форме волокон различают прямые, ломаные и кривые брусья. Последние подразделяют на брусья малой и большой кривизны. В брусьях малой кривизны попе¬ речные сечения, отстоящие друг от друга на расстоя¬ нии, примерно равном высоте сечения, рассматриваются как параллельные, деформации и напряжения вычис¬ ляются по формулам для прямых брусьев. Сюда отно¬ сится большинство строительных кривых брусьев — арки, арочные перемычки и ригели рамных конструк¬ ций, эркеры, кольцевые фундаменты, кольца жесткости и шпангоуты оболочек. Переходные участки (углы) ломаных брусьев иногда рассматриваются как брусья большой кривизны. Брусья, у которых смеж¬ ные поперечные сечения повернуты в своих плоскостях одно относительно другого, называются завитыми брусьями или брусьями с естественно закрученной осью. Практическое значение их в строительных кон¬ струкциях невелико. Брусья большой кривизны и завитые часто встречаются в машиностроении и авиа¬ строении.По относительным размерам в поперечном сечении различают брусья массивные и тонкостенные. Послед¬ ние подразделяются на брусья с открытым и с зам¬ кнутым поперечным сечением. По абсолютным разме¬ рам и форме поперечных сечений различают брусья постоянного и переменного поперечного сечения. Ло¬ маный брус обычно рассматривают как систему жест¬ ко связанных прямых или кривых брусьев, давая характеристику отдельных элементов.Осью бруса называется линия, соединяющая нача¬ ла координат, связанные с отдельными сечениями (геометрическое место начал координат). Течение оси бруса, определяющее дуговую координату s сечения, совпадает с направлением обхода бруса наблюдате¬ лем; оно противоположно координатной оси z в дан¬ ном сечении, которое идет навстречу наблюдателю, обходящему брус (рис. 5.1).Прямой брус, работающий на растяжение — сжатие, будем называть стержнем.5.1.2.	Основные факторы работы бруса. Статико-кинематическая аналогия [181, 25, 151, 154, 178, 49а]Основными факторами работы бруса являются:1)	нагрузки; 2) усилия в сечениях; 3) деформации; 4) перемещения сечений.Весьма существенна аналогия между нагрузками и деформациями, усилиями и перемещениями. Нагруз¬ ки и деформации рассматриваются по отношению к усилиям и перемещениям как активные факторы (при¬ чины). Задача определения усилий по нагрузкам ана¬ логична задаче определения перемещений по дефор¬ мациям. При этом заданные перемещения (например, осадку опоры балки) целесообразно рассматривать так же, как деформации (сосредоточенное укорочение опорного стерженька).Нагрузки и усилияРассматриваются сосредоточенные и распределен¬ ные (погонные) нагрузки и соответственно сосредото¬ ченные и распределенные (погонные) деформации. Нагрузки могут быть силовые и момент ные, а дефор¬ мации— вращательные (угловые) и поступательные (линейные).Пусть из всех нагрузок бруса по одну сторону от исследуемого сечения действуют сила, изображаемая скользящим вектором Р/, и пара, изображаемая сво¬ бодным вектором-моментом К/ (рис. 5.2,а). Усилия в сечении (две поперечные силы и продольная сила, два изгибающих момента и крутящий момент) опреде-13 Зак. 2098
194РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВляются из условий равновесия отсеченной части бруса или из условий эквивалентности системы на¬ грузок отсеченной части и усилий в поперечном сече¬ нии оставшейся части по формулам приведения системы сил к полюсу и координатным осям (см.У фу в)МЭ/) фу-" в)Г ОАУ\Qy* (\N-гЛ л*Рис. 5.22.1.5). Предполагается, что сил Pi и моментов Kj имеет¬ ся несколько. Формулы приведения:X =Е Xi; L = S Lj + S (Ziyi - YiZt); У = 2У/; A* = 2 My + S (Ха — ZiXi) ; Z = E Z/; N = j+'2t(Yixi-Xiyi).(5.1)Здесь Xi, Yi, Z£ — проекции сил Pi на координат¬ ные оси; Lj, Mjy Nj, — проекции векторов-моментов Kj на те же оси; xi, yi, —координаты какой-либо точки, взятой на линии действия силы Pi (на рис. 5.2 показано кружком).Формулы пригодны и для правой, и для левой си¬ стем координат. Векторы усилий (X, У, Z) и векторы- моменты (L, М, N) в соответствии с правой системой показаны на рис. 5.2,6. На рис. 5.2,8 векторы-моменты заменены соответствующими им в правой системе ду¬ говыми стрелками. На рис. 5.2,г показаны принятые в строительной механике обозначения усилий и их по¬ ложительные направления, отличающиеся от выше¬ указанных правил механики. Под Pi и Kj можно под¬ разумевать не только сосредоточенные силы и моменты, но и равнодействующие некоторых сосредоточенных или распределенных нагрузок. Кроме того, заменяя Pi через pds, а суммирование — интегрированием, на¬ ходят усилия от распределенной нагрузки с погонной интенсивностью р. То же относится к распределенной моментной нагрузке.Общими формулами (5.1) для вычисления моментов пользуются при расчете пространственных систем. В строительной механике плоских систем моменты вычисляют обычно так: все силы проектируются на плоскость, перпендикулярную оси моментов, и в этой плоскости определяют моменты проекций сил относи¬ тельно точки, именно — следа оси моментов. Алгеб¬ раическая сумма полученных моментов и равна иско¬ мому моменту.Деформации и перемещенияПусть между некоторыми сечениями бруса возника¬ ют малые сосредоточенные деформации двух типов, иначе дислокации — относительные вращения, изобра¬ жаемые скользящими векторами Pi, и относительные поступательные смещения, изображаемые свободными векторами Kj. Подразумеваются дислокации, дей¬ ствующие по одну сторону от исследуемого сечения. Тогда перемещения сечения выразятся теми же фор¬ мулами (5.1), причем X, У, Z дадут малые углы по¬ ворота сечения <fy, <f2 вокруг осей х, у, г, а L, М, N — поступательные перемещения сечения в направлении осей х, у, г, или, что то же, полные пе¬ ремещения начала координат 0, обозначаемые А*, Ау, Д2 или Uq, v0y w0.Стати к о - к инематичес к ая аналогияСовпадение формул, определяющих усилия по на¬ грузкам, и формул, определяющих перемещения по деформациям, коротко называют статико-кинематиче- ской аналогией (см. 2.5.6). При использовании этой ана¬ логии относительные вращения часто называют фиктив¬ ными нагрузками, а относительные перемещения — фик¬ тивными моментами и отмечают верхним индексом «ф»«Пользуясь формулами (5.1) для определения уси¬ лий или перемещений, следует учитывать граничные условия в сечении, принятом за начальное, которое не обязательно должно совпадать с концом бруса, как на рис. 5.2. В первом случае к нагрузкам надо присое¬ динить усилия в начальном сечении, а во втором случае к дислокациям надо присоединить переме¬ щения начального сечения. Поэтому свободный ко¬ нец при определении усилий эквивалентен полностью защемленному концу при определении перемеще¬ ний.Под дислокациями Pf и Kf можно подразуме¬ вать не только сосредоточенные относительные враще¬ ния и смещения между сечениями, но и равнодейст¬ вующие некоторых групп дислокаций или распреде¬ ленных деформаций. Общеизвестный графоаналитиче¬ ский метод определения перемещений (прогибов и углов поворота) балок является простейшей иллюстра¬ цией аналогии. Здесь фиктивной нагрузкой является площадь эпюры изгибающих моментов с ординатами, уменьшенными в EI раз, или, что то же, площадь эпюры упругой распределенной угловой деформа¬ ции.В приложениях статико-кинематической аналогии к различным задачам по расчету систем брусьев исполь¬ зуется теорема замкнутости, выражающая условие не¬ разрывности деформации.Если неразветвленный стержневой контур (в ча¬ стности, плоская или пространственная арка, рама, балка вместе с опорным телом — «землей»), испыты¬ вающий малые деформации, остается замкнутым, то совокупность векторов деформации (иначе — фиктивная нагрузка) подчинена условиям равновесия твердогоЕ *Ф = 0 , Е УФ = 0 , 2Z4> = 0; Е/.ф = о, Емф = о, Е#ф = о.(5.1')Условия равновесия фиктивной нагрузки постоянно применяются при проверке окончательных эпюр момен¬ тов рамных конструкций.
5.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ БРУСА1955.1.3.	Интегральные соотношения между напряжениями и усилиями в поперечных сеченияхПродольное усилие Z (рис. 5.1) представляет собой равнодействующую элементарных нормальных усилий в сечения (коротко — равнодействующую нормальных напряжений):Z =J QdF.	(5.2;Поперечные усилия X н Y дают равнодействующие касательных напряжений в сечении:X = JtjdF; У = J ту dF .	(5.3)F	FПолная равнодействующая касательных напряжений: Q = У X'* + Y2 .	(5.4)Положение силы Z определяется моменГами L и М нормальных напряжений относительно осей х, у:L — J a ydF ; М — — J а х dF .	(5.5)Координаты следа силы ZМ	Lxz =-	Уг =~Y'	(5,6)Положение силы Q определяется моментом N каса¬ тельных напряжений т относительно оси г:N = I (ХУХ “ ххУ)dF •	(5-7)Плечо силы QN<5-8>Усилия Z, L, М (иначе N,MXt Му ) дают по величи¬ не и по положению равнодействующую напряжений а-, усилия X, Y, N (иначе Q*, Qy, Мк) — равнодействующую напряжений т. В технической теории брусьев основны¬ ми усилиями определяются не только равнодействующие, но и детальное распределение основных напряжений по сечению, причем от Каждого усилия в отдельности.5.1.4.	Соответствующие силы и перемещения, усилия и дислокации [153, 154]Работа силы равна произведению силы на переме¬ щение точки приложения силы и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения (ска¬ лярное произведение силы и перемещения):to*	Л = РД cos (Р, Д).Сила и перемещение называются соответствующими, если их произведение дает непосредственно работу (без умножения на косинус угла):А = РДр .При этом знак зависит от направления стрелок векторов силы и перемещения. При одинаковом на¬ правлении работа имеет знак плюс (+), при раз¬ личном направлении — знак минус (—). Соответствую¬ щие силы и перемещения следует понимать в обобщен¬ ном смысле как два множителя, из которых один характеризует группу сил, а другой — совокупность перемещений, на которых работают силы, причем про¬ изведение выражает работу сил на перемещениях.Усилия в брусе также представляют собой группы равных и противоположно направленных сил и мо¬ ментов, приложенных к смежным торцам, отделеннымТаблица 5.1Усилия (•-)-)Наименование, обозначение, размерностьСхемаПродольная сила N в кг	vПоперечная сила Qy в кгФасад 1У|су -•* 1Поперечная сила Qx в кгfl/шя ZLny{ Оя Тх *Изгибающий момент Мх в кгсмФШд м Цх-¥г-Изгибающий момент Му в кгсмПлан и |уМу\*Крутящий момент Мк в кгсм
196РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВТаблица 5.2Дислокации (-(-}Наименование, обозначение, размерностьСхемаУсловное изображениеВекторное представлениеУдлинение А в см	.л-эАЛСдвиг Гу в смФасадФасадГуСдвиг Тх в смПланfxПпанГх\Излом в* (безразмерная величина)ФасадФасбдФасад оо* IПрав, *я0«« 1 *Лев. =&=*Излом 9у (безразмерная величина)План*Плану*АПлан дь Прав.эдЛев.	<2Ъ-^Скруч'ивание 9К (безразмерная величина)“00ГYПрав. { _JeHЮев.разрезом. Эти группы совершают возможную работу при условии, что торцы, отделенные разрезом, полу¬ чают относительные перемещения, т е. имеет место дислокация.В табл. 5.1. показаны усилия, которым приписывается знак ( + ), а в табл. 5.2—соответствующие возмож¬ ные дислокации, которым приписывается знак (-{-). Для принятого правила знаков работа положительно¬ го усилия на положительной дислокации получается отрицательной. Вместе с тем если дислокация является действительной и вызвана изменением размера дефор¬ мируемой вставки между сечениями под .действием соответствующего усилия, то она получается того же знака, что и усилие. Например, растягивающее уси¬ лие вызывает увеличение расстояния между сечения¬ми, т. е. положительную дислокацию. В первом столб¬ це рисунков табл. 5.2 дислокации показаны наглядно, а во втором столбце даны условные изображения дисло¬ каций на недеформированной схеме бруса. Отрица¬ тельные дислокации обозначаются аналогично, но с изменением направления черточек на обратное. По¬ казаны также векторные представления дислокаций, необходимые при пользовании формулами (5.1) для определения перемещений. Эти представления соответ¬ ствуют положительным дислокациям, обходу бруса слева направо. Направление векторов 0 зависит от принимаемой при расчете правой или левой системы винта. Направление векторов Л и Г однозначно опре¬ деляется направлением обхода и характером дисло¬ кации.
5.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ БРУСА197ДеформацииТаблица 5 3Наименование,обозначение,размерностьСхемаТемпературныедеформацииУпругие деформации j ПрЯ“е0,^“оеОтносительное уд¬ линение dAX = — (безраз- dsмерная величина)1А = — EFF — bh смгОтносительныйсдвигdTyyv= —-(безраз- * dsмерная величина)Сж—Оу= GFy~ds~'аFy = 0,83f сл*Относительныйсдвиг<Ях * Ь=— (безраз¬ мерная величина)—Q.rT v — г(jFxFx = О.вЗ/7 см2Кривизнаd&x —1& - =	 смdsA dBАСV/ а(*Н— *в) * hМхь*=тгхмего, bh»Кривизнаd&y -1&v = —— см у dsу aUn — ^з)ьу Ely, bh3 7*-irсл4Кручениеd%K _i к = см ds—G/кVC/к см. табл. 7.1.4.5.1.5.	Начальная, температурная и упругая распределенные деформацииРаспределенную деформацию можно представить как бесконечно большое число бесконечно малых (элементарных) дислокаций, подобно тому как распре¬ деленная нагрузка представляется бесконечным числом бесконечно малых сил. Погонная интенсивность распре¬ деленной деформации удлинения равна производнойалА. = 	 и геометрически представляет собой относи-dsтельное удлинение; погонная интенсивность распре¬ деленной деформации сдвига ? = —— представляетdsсобой средний относительный сдвиг; то же, в случаеизлома — кривизна & = —' и т. д. В табл. 5.3 пред¬ авставлены шесть видов распределенных деформаций,которые могут быть: 1) начальными (наперед задан¬ ными), 2) температурными и 3) силовыми (упругими, а также пластическими).Из температурных деформаций рассматривается только случай линейного изменения температуры по высоте и по ширине сечения, что вызывает удлинение ^ и кривизны 0^. и . Коэффициент линейного рас¬ ширения обозначен а , изменение температуры оси цент¬ ров тяжести сечений — через /ср , изменения темпера¬ тур соответственно нижней, верхней, передней и задней по-верхности бруса — через /н , tB,tn ,t3 ; размер по оси у равен h, размер по оси х равен Ь.Упругие деформации пропорциональны соответств»у- ющим усилиям. Все они равны усилиям, деленным На соответствующую жесткость бруса в дачном сечении. Жесткость бруса из однородного материала равна произведению модуля упругости на геометрическую характеристику сечения, которая имеет размерность см2 для линейных деформаций и смА — для угловых де¬ формаций. Характеристики обозначены для линейных
198РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВдеформаций буквой F (для сдвига с индексом), для угловых деформаций буквой / (с индексом). В послед¬ нем столбце таблицы приведены геометрические ха¬ рактеристики для случая прямоугольного сечения (h — размер по оси у\ b — размер по оси х).Величины, обратные жесткостям, называются гибко¬ стями. Чаще всего речь идет о жесткости или о гибко¬ сти при изгибе (соответственно EI или 1 /£/). Если гиб¬ кость при изгибе встречается с гибкостью при продоль¬ ном изгибе X =//г, то рекомендуются термины «обрат* дая жесткость», «изгибная податливость».Жесткостью или гибкостью можно охарактеризовать также особенности бруса в отдельных сечениях. Напри¬ мер, шарниру соответствует малый участок с нулевой жесткостью или бесконечной гибкостью на изгиб. Упругий шарнир характеризуется заданной величиной—	произведения жесткости на длину малого участка или заданной величиной е — произведения гибкости на длину малого участка.5.1.6.	Две системы координатных осей упругого бруса с несимметричным сечениемФормулы для упр»угих деформаций, приведенные в табл. 5.3, справедливы при условии, что координатные оси в сечении, к которым приводятся усилия и переме¬ щения, совпадают с двумя, осями симметрии сечения.Рис. 5.3При отсутствии симметрии приходится пользоваться двумя системами осей Охуг и Oxyz. К первой приво¬ дятся усилия Ny МХУ Му и соответствующие деформа¬ ции X, йдг.&у, ко второй—усилия Qx, Оу,Мки соответ¬ ствующие деформации ту, &к . Начало первых осей О совпадает (при однородном материале) с цент¬ ром тяжести поперечного сечения (ц. т.) а наклон осей Ох и Оу в сечении соответствует главным направлениям в центре тяжести (/*y = 0). Оси Оху О у, а также Oz называют «нормальными» главными центральными ося¬ ми сечения. Начало О вторых осей совпадает с так называемым центром изгиба сечения (ц. и.), а сами оси Ох и Оу параллельны осям Ох, Оуу за исключением особого случая — очень короткого защемленного бруса. Вторые оси называют «касательными» главными цент¬ ральными осями.Соо’пвётственшэ двум системам .координатных осей получаются и две продольные оси бруса — ось центров тяжести и ось центров изгиба. Общее название «ось бруса»^ обычно сохраняется за осью центров тяжести сечений. На рис. 5.3 представлено несколько характер¬ ных случаев расположения осей: а — две оси симмет¬ рии, координатные системы совпадают; б—одна ось симметрии, оси х и х совпадают, оси у и yt z и г несовпадают; в — отсутствие симметрии, оси не совпада¬ ют; г—антисимметричный профиль, оси совпадают. Наибольшее практическое значение имеют сечения с одной и с двумя осями симметрии.5.1.7.	Упругое основаниеУпругим основанием бруса называется такое осно¬ вание, которое реализует распределенную вдоль оси бруса реакцию с погонной интенсивностью, пропорцио¬ нальной перемещению (прогибу или углу поворота се¬ чения). Коэффициент пропорциональности на¬ зывается отпорностью основания. В общем случае упругое основание развивает шесть реактивных нагру¬ зок на брус и характеризуется шестью отпорностя- ми. Интенсивности реактивных нагрузок равныРх = —Ьхи\ mx = —cx<fx; |py = —kyv; my = —Су<ру; |	(5.9)Рг = — kz w ; mz = — с г Ъ ■ )Знак минус показывает, что реактивная нагрузка направлена противоположно перемещению. Отпорно- сти k имеют размерность кг/см •см=кг/см2, отпорности с—размерность кгсм/см — кг (см. 5.5.6).Величины, обратные отпорностям основания, называ¬ ются податливостями основания.Упругие опоры можно рассматривать как бесконечно малые участки упругого основания, обладающие, одна¬ ко, конечными отпорностями и податливостями. Отпор- ность силовой упругой опоры обозначается М и имеет размерность кг/сму отпорность моментной упругой опо¬ ры обозначается и имеет размерность кгсм. Упругое основание очень часто целесообразно рассматривать как совокупность большого числа сосредоточенных упругих опор.5.1.8.	Плоский неразветвленный упругий брус. Обобщенная статико-кинематическая аналогия [151, 153, 154]Наибольшее практическое значение имеют брусья, обладающие плоскостью симметрии, совпадающей, с плоскостью кривизны оси. Такие брусья называются плоскими. Оси у, z, связанные с сечением, располага¬ ются в плоскости бруса, ось. х — перпендикулярно плоскости бруса. Факторы, характеризующие работу плоского бруса, разбиваются на две группы — симме¬ тричную (в плоскости бруса) и антисимметричную (пер¬ пендикулярную плоскости бруса). Эти факторы молут быть изучены отдельно и независимо, причем расчет разбивается на два независимых расчета. Между кине¬ матикой и статикой бруса в своей плоскости и статикой и кинематикой бруса из своей плоскости существует определенная аналогия, которая используется для упро¬ щения расчетов.В табл. 5.4 дан полный перечень факторов, харак¬ теризующих работу бруса с упругим основанием общего вида, охватывающим также различные упругие или жесткие опоры. В левой половине таблицы перечисле¬ ны факторы, относящиеся к работе бруса в своей плос¬ кости, в правой (в другом порядке)—к работе бруса из своей плоскости. Считается, что о'с.и центров тяжести и центров изгиба практически совпадают.Для статически неопределимого бруса усилия, де¬ формации и перемещения складываются из двух частей — из факторов, относящихся к основной системе (отмечены нуликом), и факторов, зависящих от лишних неизвестных (отмечены звездочкой). Благодаря упру-
5.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ БРУСА199Таблица 5.4Плоский упругий брусРабота бруса в его плоскости (гОу)Размер¬ностьРабота бруса из его плоскостиРазмер¬ностьУпругие характеристики брусаГибкость на изгиб11кгсм2Упругие характеристики основанияОтпорность при попереч¬ ном перемещении (про¬ гибе)ЬхкгЕ1хсм-смГибкость на сдвиг1GFy1кгОтпорность при повороте сеченияСукгсмсмГибкость на растяжение — сжатие1EF1кгОтпорность при вращении сеченияскгсмсмУпругие характеристи¬ ки основанияОтпорность при попереч¬ ном перемещении (про¬ гибе)kyкгУпругие характеристи¬ ки брусаГибкость на изгиб11см • смElyкгсмаОтпорность при повороте сеченияСхкгсмГибкость на сдвиг11смGFXкгОтпорность при продоль¬ ном перемещенииkzкгГибкость на кручение11см2GlkкгсмаПогонные нагрузкиПоперечнаяРу =P°y — kу VкгX§соSOiО•в*о>пКривизнао Му & =9°4- —-* у + Ely1смсмМоментнаятх ~ тх Сх УхкгсмсмОтносительный сдвиго £ ъ = ъг + gfx1ПродольнаяPz =Pz-kz wкгКручениеп М*г1смсмУсилияИзгибающий моментмх = м°х + мхкгсмечS1«ЯО)о,о>сПоперечное перемещение (прогиб)и = ф 4- и *смПоперечная силаQy = Q°y + О*кгУгол поворота0 1 * Чу = Чу + Чу1Продольная силаN=N° + N*кгУгол вращения0 , * Чг = Чг + Чг1XКааSао■&V1=1КривизнаК1Погонная нагрузкаПоперечная1Px=P°x — kxu1кгсмсмОтносительный сдвигт + &'У ^ GFy1Моментная (изгибающая)тУ = т°у — су <fyкгсмсмОтносительное удлинениеN*1 = \о +	EF1Моментная (крутящая)тг = т\— сг <ргкгсмсмсмПеремещения. .Поперечное перемещение (прогиб)v =■- _|_ v*см№S45и>>Изгибающий моментМу = М°у + М*укгсмУгол поворота0 1 * Чх = Чх + Чх1Поперечная силаOx = Q°x + Q*xкгПродольное перемещениеw = w° -J- W*смКрутящий моментмг =м°г+м*кгсм
200РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВгому основанию нагрузки также складываются из двух частей — заданных нагрузок (отмечены нуликом) и реактивных нагрузок, зависящих от неизвестных пере¬ мещений1.Обобщенная (в смысле учета упругих свойств и ста¬ тической неопределимости) статико-кинематическая аналогия состоит в следующем. Два плоских неразвет- вленных бруса называются взаимными, если имеют одинаковые оси и гибкости одного бруса построчно численно совпадают с отпорностями сснования другого. Если при этом активные факторы (нагрузки и дефор¬ мации, отмеченные куликом) одного бруса будут по¬ строчно совпадать с активными факторами (деформа¬ циями и нагрузками) другого бруса, то и пассивные факторы (усилия и перемещения) также будут по¬ строчно совпадать.В случае однопролетных и неразрезных прямых ба¬ лок -взаимные брусья и их нагрузки условно можно считать лежащими >в одной плоскости (см. рис. 5.30). При криволинейной и ломаной оси важно учитывать соотношение пространственного расположения взаимных брусьев. (В отдельных случаях путем вращения фик¬ тивных нагрузок на 90° удается оперировать с взаим¬ ными брусьями в одной плоскости.) На основании аналогии и теоремы замкнутости (см. 5.1.2) расчет из¬ гибающих моментов одноконтурной плоской рамы без упругого основания приводится к расчету осадок или напряжений по подошве абсолютно жесткого бруса на упругом основании, нагруженного перпендикулярно своей плоскости фиктивной нагрузкой, равной деформа¬ ции заданной рамы.Статико-кинематическая аналогия имеет место и для пространственного бруса. Все положения табл. 5.4 остаются в силе применительно к элементу длиной ds и к брусу в целом.5.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙНормальньте напряжения в поперечных сечениях од¬ нородного упругого бруса (а*) определяются на основе закона Гука, гипотезы плоских сечений и гипотезы о ненадавливании волокон в поперечном направлении (Од. = ау =0). При этих условиях нормальные напряже¬ ния пропорциональны относительным удлинениям и подчинены закону плоскости.Расчет начинается с определения «нормальных» гео¬ метрических характеристик и усилий JV, Мх, Му в сече¬ ниях. (При тонкостенном профиле иногда определяют дополнительные нормальные напряжения — см. ниже 5.10).5.2.1.	Геометрические характеристики поперечных сечений брусьевГеометрическими характеристиками фигуры попе¬ речного сечения бруса называются следующие интегра¬ лы (рис. 5.4,а):площадь:F = f dF = S Fi см*\Fстатические моменты относительно осей х. у\Sx=j^ydF = 'ZSix; Sy = fxdF=2Sjy см*;моменты инерции относительно осей х, у:1Х= Су»dF =Б Iix; Iy = Г jc*dF = 2 liy см*;F	Fцентробежный момент инерции относительно осей х, у:Ixy = f ху dF = Е hxy см*.FРис. 5.4Буквами с индексом i обозначены характеристики отдельных частей фигуры, на которые разбивается в случае необходимости сложная фигура сечения, отно¬ сительно тех же осей х, у.Черея каждую точку можно провести пару осей х, у так, чтобы /.vy=0. Такие оси называются главными осями для данной точки. Оси, имеющие начало в цент¬ ре тяжести фигуры сечения, называются центральными осями. Для центральных осей 5^=5у=0. Практическое значение имеют главные центральные оси, для которых Sx=sy=lxy=0. Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей. Достаточно определить лишь положение центра тяже¬ сти на этой оси. Другая главная центральная ось прохо¬ дит через ц. т. перпендикулярно первой.Для определения центра тяжести и главных цент¬ ральных осей выбирают произвольные исходные оси х, у. Координаты центра тяжести в исходных осях вычисляют по формулам (см. 2.1.8 и 2.2.2).= —- =1 Основная система обычно является статически определимой, а взаимна* с ней—кинематически определимой. Пример: простая балка и взаимная с ней абсолютно жесткая балка на упругом ос¬ новании м концевых опорах в плоскости свободных торцов,Здесь хи УЧ—координаты центров тяжести отдель¬ ных фигур.Центр тяжести принимают за начало произвольных центральных осей и ищут угол поворота осей, превра¬ щающий произвольные центральные оси в главные центральные оси. Обычно определяют сперва 1Х»^у* Лгу для исходных осей, а затем находя i lxUtt /уЦ, IxJX дляцентральных осей, параллельных исходным, пользуясь формуламиV =!х — Fyl; /уя = Iy — Fx2,;= !ху — Fx0 уо .	(5.11)
6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ201Далее вычисляют полусумму и полуразность цент¬ ральных моментов инерции:^пс = ( ^Jt-ц ^уц ) • ^пр = ~2~~ ( ^лгЦ ^уЦ ) •Наибольший и наименьший из центральных момен¬ тов инерции, одновременно являющиеся главными центральными моментами инерции, вычисляются по формуле7ш?п = 7ПС ± V 11р +1ху*(5.12)Остается узнать угол а0 поворота осей хп, уц, изо¬ бразить оси *г’ц, */г'ц и установить, какой из осей отве¬ чает /тах и какой /min -Если Iхц > /уц , то^inax	/У«Если же /,ц </vu , тоtg’o ='хи у'1(5.13)(5.13')В первом случае /шах отвечает оси *г‘ц>во втором— оси уг'и . Угол а0 отсчитывается от оси х или у против часовой стрелки. Расположение осей х, у должно соот¬ ветствовать правой системе.Вместо угла <*0 иногда определяют угол 2<*о, поль¬ зуясь формулой2/*vtg2a0=	£-Z—,(5.13")Графический метод (круг Мора)1. Формулы (5.12) — (5.13") реализуются графически (рис. 5.4,6). На осиабсцисс I откладываются в выбранном масштабе 1 см*=«т» см отрезки ОА=1х11 , ОВ=1уц и по ординатам АМ=—1хЦуЦ и	уц определяются точки М иN. Прямая MN пересекает ось / в точке С, являющейся центром круга, абсцисса которого равна /пс. Радиускруга равен у /„р + /*ц уц . ОтрезкиОА' = / т = /г-ц ; ОВ' =/. =/г.ц .шах	min уУгол МВ'А'=а0, угол Л4СЛ=2 о0.Случай, когда главные оси несимметричного сечения определяются сразу. 1) Если сечение состоит из двух одинаковых фигур, повернутых друг относительно друга на 90° (рис. 5.4,в), то одна из главных осей соединяет центры тяжести 0\ и 02 фигур, а другая перпендику¬ лярна ей в центре тяжести О, очевидно, делящем от¬ резок 0\02 пополам:Лшп = -Гг “Ь /у = Ip \ /шах = %Fa2 -|- Ip ,где F, 1Х и Iу — площадь и главные центральные мо¬ менты инерции одной фигуры, 1Р — полярный момент инерции одной фигуры. 2) Если сечение состоит из двух (неравных) фигур, каждая из которых имеет одинако¬ вые по величине моменты инерции Iл =/у(например, из квадрата и круга, причем меньшая площадь может быть отрицательной), то одна из главных осей соеди¬ няет центры тяжести фигур,5.2.2.	Определение моментов инерции относительно исходных осейОбычно сечение удается разбить на отдельные фи¬ гуры, для которых положение главных центральных осей и величины геометрических характеристик зара¬ нее известны из таблиц или легко определяются. Ис¬ пользуются формулы перехода от главных центральных осей х, у к произвольным х', у/^=^0+ Iх COS2 a + Iу sin2 a ly,=Fxl+ /^Sin2 a -f- Iycos2 a^x'y'= ^0	n sin2*— /xy sin 2a; + Ixy sin 2a;-f Ixy COS 2a;(5.14)» Сравни 3.1.7.Здесь xq, уо — координаты нового начала © старых осях или старого начала © новых осях; a — угол между осями х и хг. Слагаемые правее вертикальной черты относятся к случаю, когда оси х, у — центральные, но не главные и, следовательно, /*у¥=0. Включение этих слагаемых дает общие формулы перехода от централь¬ ных осей к произвольным. При a =0 получаются формулы перехода к параллельным осям.В общем случае сечения с криволинейным контуром пользуются приемами точного или приближенного вы¬ числения двойных интегралов. Разбив сечение на узкие полоски, параллельные оси х (рис. 5.4,г), имеемIx = §bytdy; /у =	(4-^)rfy = -^J ЪЫу +У	У	у+ j*bx2cdy ; Ixy = Jbxcycdy .У	УЗдесь b, хА ,хв , Xq должны быть выражены в функ¬ ции от у либо должны задаваться численно (ори при¬ ближенном вычислении интегралов). Применяется так¬ же графический метод веревочного многоугольника [170].Круг Мора (рис. 5.4,6) дает возможность определить моменты инерции относительно произвольно наклоненных осей по главным моментам инерции. Откладывают OA'=Ix, OB'=Iv и проводят окружность с центром вВ'А'середине отрезка В'А' и с радиусом ~ ^ . Проведя В'Мпод заданным углом «, определяют точку М и диамет¬ рально противоположную ей N. Абсциссы ОА и ОВ точек М и N дают 1Х> и /у>, ординаты AM и BN соот¬ ветственно +/*'У» и —1 x’y'- Напоминается, что в 5.2.1 отрезок AM был равен не +/^ц уЦ , а —1хП уЦ-5.2.3.	Редуцирование площадей при вычислении моментов инерции [161]Редуцированием (приведением) называется замена площади г фигуры несколькими сосредоточенными пло¬ щадками. При вычислении статических моментов заме¬ няют площадь одной площадкой, равной F, сосредото¬ ченной в центре тяжести фигуры. При вычислении осевых и центробежных моментов инерции заменяют площадь F четырьмя площадками, Fравными каждая и расположенными в вер¬ шинах прямоугольника инерции. Оси симметрии прямоугольника инерции совпадают с главными цент¬
202РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВральными осями х, у фигуры; координаты вершин его равны радиусам инерции:гх= 1^/"см; гу= р/"lz. см , (5.15)причем ординаты вершин равны i/’jr.a абсциссы вер¬ шин равны +гу (рис. 5.5. а)Рис. 5.5Приблизительные значения радиусов инерции для некоторых сечений см. табл. 7.2.Эллипсом инерции называется эллипс с полуосями Гу и гх, вписанный в прямоугольник инерции.Моменты инерции относительно любых осей х‘\ у' вычисляются по координатам вершин прямоугольника xi> У1 (*’='1. 2, 3, 4) по формулам_Лу\л. / _JLV '2*' 4 Zj У г» у' — 4 2j »*=i(5.16)7*r у,: •1=1Радиусы инерции прямоугольника с основанием b и высотой h соответственно равныh:j^=*0,29 h; ry ^ 0,29 6 .Прямоугольник инерции показан на рис. 5.5, б.В случае очень узкого прямоугольника s"Xt (t• < s) (сечение пластинки, тонкой стенки и т. п.) вершины прямоугольника инерции можно считать попарно объе¬ диненными, что эквивалентно пренебрежению собствен¬ным моментом инерции относительно продольной глав¬ ной оси. В этом случае сосредоточенные площадки F stравны “g- = — (рис. 5.5, б). Заменяя отдельные узкиепрямоугольники парами площадок, упрощают расчет моментов инерции тонкостенных профилей. При этом бульбы целесообразно заменять одной площадкой.В качестве прямоугольника инерции можно исполь¬ зовать любой подобный ему и подобно расположенный прямоугольник при условии соответствующего подбораРис. 5.6четырех площадок в вершинах я пятой площадки в центре. Прямоугольное сечение как подобное своему прямоугольнику инерции редуцируется к четырем пло- F	2 „щадкам по углам и к центральной площадкес^-/7(рис. 5.5,г).Площадь (узкого прямоугольника редуцируется к F	2двум площадкам”Т~ по концам и одной площадке “Fо	3посередине (рис. 5.5,д). Этот способ удобен при мно¬ гоугольном тонкостенном сечении, состоящем из про¬ филей и листов.Моменты инерции узкой искривленной полосы (по¬ перечного сечения тонкой цилиндрической оболочки) вычисляются как интегралы вдоль линии по формулам (рис. 5.6, а)Icos2a ds\(5.17)-J »■•«*+s	sIyt —J* x'2 tds + J* sin2ads; s	sIX'y' = ds + J ^ sin2a ds.Здесь a — угол наклона элемента ds к оси xf. При постоянной толщине полосы множители tut3 выносят¬ ся за знаки интеграла.Вместо вычисления вторых слагаемых в формулах(5.17)	рекомендуется редуцировать сечение к двум линиям, отстоящим от оси на 0,29^, и ввести в первые слагаемые формул величину t/2 вместо t. Другой ва¬ риант состоит в редуцировании площади к трем лини¬ ям— верхнему краю (*/6 вместо t), оси (2/3^ вместо t) и нижнему краю (t/6 вместо /).
5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ203При наличии густо расположенных ребер (рис. 5.6,б,в)	вводятся на единицу длины средней линии величиныпогонной площади f——и погонных собственных мо- аментов инерции is = “ и in = — (рис. 5.6,г).п	п,sin2a ds ;= jV2/rfs + j* is cos2a + J ‘ns	s	s= jV2/rfs + J /^sin2ads+ J ins	s	s= Jx'y'fds + ~ j* ( is — in) sin 2« ds .COS2a ds ;(5.18)Обычно ребра имеют вид, показанный на рис. 5.6,6, и достаточно ввести / и is, полагая in =0. В этом случаеможно редуцировать f по --- на двух линиях, отстоящих-/•7-от оси на расстояния радиуса инерции rsи пользоваться только первыми слагаемыми формул(5.18), производя вычисление дважды с координатами х, у точек первой и «второй линий.5.2.4.	Общая формула нормального напряжения при растяжении — сжатии и изгибе. Нейтральная линияОбщая формула нормального напряжения а в гочке х, у в главных центральных осях:X =(5.19)Здесь Xfj, у и координаты следа равнодействующей продольной силы^М (иначе Z) или координаты следа про¬ дольной внешней силы, если речь идет о внецентренном растяжении — сжатии;Мх N 'х _ Щ xN — -N(5.20)Правило знако© для N (Z)t МХл Л4*. соответствует рис. 5.2,г.	у	уУравнение нейтральной линии (геометрического места точек с нулевыми напряжениями) в отрезках на осях имеет вид:х у	+ — = 1a bОтрезки на осяхb = —УмУклон нейтральной линии к оси хtgfi = _ — = — а	Ум Г1Му АП(5.21)(5.22)Графическое построение нейтральной линии АВ, соот¬ ветствующей силовой точке N (следу продольной силы N на поперечном сечении), при помощи прямоугольника инерции показано на рис. 5.7,а. Порядок построения показан цифрами /, 2, 3, А и 2\ 3\ В. Это построе¬ ние реализует соотношения (5.21).(5.23)Косой изгиб (случай N=0)Мк М, с = --рУ+ -f-x.1х	1уНейтральная линия проходит через начало коорди¬ нат (ц. т.). Уклон к оси х определяется формулой (5.22). Если плоскость действия нагрузки задана сле¬ дом CD (грузовой линией), то уклон нейтральной линии АВ к оси х (рис. 5.7,6)tgp=-v-*g*.	<5-24)гдес ф —,уГол наклона грузовой линии к оси у.Если Ix >Iу* то р > ф. При косом изгибе грузовая и нейтральная линии неперпендикулярны. Они стано¬ вятся перпендикулярными при ф =0 или 90° и когдаГрафическое построение нейтральной линии по гру¬ зовой при помощи прямоугольника инерции показано на рис. 5.7,6. Через точку С', симметричную точке С от¬ носительно оси у, проводится прямая, параллельная диагонали прямоугольника, до пересечения со стороной его в точке А. Прямая АО дает нейтральную линию. Если продолжить прямую АО до пересечения с другой стороной прямоугольника в точке В, то прямая С'В окажется параллельной другой диагонали. Построение основано: 1) на том, что если грузовая линия совпа¬ дает с одной диагональю, то нейтральная линия совпа¬ дает с другой и 2) на разложении нагрузки по диа¬ гоналям.Практическое значение нейтральной линии обуслов¬ лено тем, что она представляет собой ось поворота плоскости сечения при деформации. Плоскость изгиба и направление перемещения сечения от действия Hopj мальных напряжений перпендикулярны нейтральной линии. Кроме того, если известна нейтральная линия, то упрощается определение опасных точек сечения и вычисление наибольших напряжений.Прямой «гиб (случай N=МУ=0 или N=Mx~0). Нормальные напряжения определяются по формуламМхMvх .(5.25)
204РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВНейтральная линия совпадает соответственно либо' с главной осью *, либо с главной осью у. Напряжения следуют линейному закону.Центральное растяжение — сжатие (Мх = М у=0}При прямом изгибе в плоскости xOzNо	= — = const . F(5.26)Множитель в скобках в формуле (5.19) отражает неравномерность распределения нормальных напряже¬ ний в общем случае по сравнению со случаем централь¬ ного сжатия.Определение погонных нормальных усилий. Притонкостенном сечении часто приходится иметь дело с усилиями на единицу длины средней линии стенки в по¬ перечном сечении — погонной нормальной силой п кг/см, погонным моментом, изгибающим стенку отно¬ сительно средней линии, рг3 кгсм/см, реже — погонным моментом, изгибающим стейку относительно нормали к средней линии, тп кгсм/см. Векторы моментов ms на¬ правлены вдоль ds, векторы моментов тп— вдоль нор¬ мали к ds.IN Мх Му \fm у Sin а \Т~)Му COS а My sin а '/ Мх sin а My COS а \"n= I ~ + ~ТГ)1а’(5.27)Здесь xs,ys —координаты средней линии в главных центральных осях Ох, Оу. Обозначения /, is, in—см. 5.2.3; а — уго;; элемента ds средней линии с осью Ох.5.2.5.	Максимальные нормальные напряженияНапряжение стах имеет место в одной из точек на¬ ружного контура (чаще всего в угловой точке), наибо¬ лее удаленных одновременно от оси х и от оси у. Среди этих точек надо выбрать такую, для которой напряже¬ ния от Мх и Му имеют одинаковый знак с напряжением от N. Если известна нейтральная линия, то опасная точ¬ ка определяется сразу, как точка, наиболее удаленная от нейтральной линии, т. е. имеющая наибольшее плечо (длину перпендикуляра) относительно нейтральной ли¬ нии. В общем случае атах вычисляют по общей трех¬ членной формуле (5.19), подставляя координаты опас¬ ной точки.Общая одночленная формула имеет видМашах — ± дог,*»	(5.28)М — изгибающий момент; W — момент сопротивления.Формула (5.28) применяется во всех случаях одно¬ типно, для чего достаточно под изгибающим моментом подразумевать момент, подсчитанный относительно ней¬ тральной линии, а под моментом сопротивления вели¬ чинуW= --— ,	(5.29)г шахгде 1 — момент инерции относительно нейтральной линии;fmax — плечо опасной точки относительно нейтраль¬ ной линии.При прямом изгибе в плоскости yOzМ = Мх , W= Wx= смз .УтлхМ=Му. W=Wy =Is,■ см3.Величины Wх и Wy приводятся в таблицах сорта* мента и справочной таблице 7.1.Для прямоугольникадля кругаГ,-*w=71 г3При косом изгибе (N = 0) ив общем случае прихо¬ дится определять нейтральную линию и момент сопро¬ тивления относительно нейтральной линии, что, как правило, сложнее, чем пользование общей формулой(5.19).Однако если приходится исследовать влияние боль¬ шого числа нагрузок на напряжение в определенной опасной точке, то целесообразно пользоваться одночлен¬ ной формулой (5.28). При этом строится одна специ¬ альная нейтральная линия; считается, что в опасной точке действует сила, нормальная к сечению [см. фор¬ мулы (5.21)], Момент сопротивления вычисляется по формулеW=FrH^l±L	(5.29')У'Здесь гн — плечо специальной нейтральной линии от¬ носительно центра тяжести сечения; I^— момент инер¬ ции относительно центральной оси х/ параллельной спе¬ циальной нейтральной линии; у' — ордината исследуе¬ мой точки в осях х\ у'. При пользовании этим спосо¬ бом нет необходимости вычислять усилия N, Мх Му. Достаточно найти момент односторонних сил относи¬ тельно специальной нейтральной линии. По существу дела мы пользуемся здесь инфлюентой (поверхностью влияния) для нормального напряжения.5.2.6.	Ядро сеченияЯдром сечения называется замкнутый контур, из ко¬ торого не должен выходить след продольной силы (си¬ ловая точка), чтобы в сечении не возникали напряжения разного знака. Ядро сечения используется для оценки рациональности проектирования каменных столбов и стен, сложенных на слабом растворе.Построение ядра упрощается применением теоремы: если силовая точка перемещается вдоль прямой (силовой прямой), то соответствующие нейтральные линии вра¬ щаются вокруг точки; эта точка совпадает с силовой точкой, для которой нейтральной линией является преж¬ няя силовая прямая.Поэтому ядро можно строить как систему силовых точек, для которых стороны сечения являются нейтраль¬ ными линиями, либо как систему нейтральных линий для силовых точек, совпадающих с вершинами сечения. В обоих случаях используются формулы (5.21).Фигура сечения должна быть выпуклой. В противном случае выбираются вершины, принадлежащие выпукло¬ му наружному многоугольнику, и ядро строится для него.Пользуясь сторонами ядра, упрощают определение напряжений в вершинах сечения (см. 5.2.5). Моменты М, вычисляемые относительно нейтральных линий, на¬ зывают ядровыми моментами.
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В БРУСЬЯХ205На рис. 5.8,а показано прямоугольное сечение bxh и его ядро, имеющее форму ромба с диагоналями b h—	(шириной) и—(высотой). Вершины сечения и сто-о	3роны ядра отмечены большими и малыми буквами. Сто¬ рона а совпадает с нейтральной линией для вершины А. Момент сопротивления для точки А равен1	bh b2h2 W = FrH = bh — .6 1/&Ч-Л2 6 VЬ2+Л2CM3.bh	■; так как прямоугольник инерции в дан-Уьг+н*ном случае подобен контуру сечения (его стороны рав- ЬVь- И -М,т Vs)„ F 1х-=2 —2	bh,/тГ2^'Ь2+№ 6(62 + Л2)Подставив значения / и у* в формулу (5.29), по¬ лучаем прежнее значение W. На рис. 5.8, б даны при¬ меры ядер сечения.5.2.7.	Случай переменного модуля ЕОбщая формула нормального напряжения вместо(5.19)	имеет видNМуУ +МчJEdF J y*EdF \x*EdF(5.30)Здесь модуль Е = Е (*, у) соответствует площадке (волокну) в точке с координатами xt у. Выражение в скобках равно относительному удлинению исследуемого волокна.Обычно вместо Е вводят редукционные коэффициен¬ ты площадок, равные относительному модулю:, ч Е(х,у)Ч	(Х’У) = —ё—.Рсгде Ес = const.Если модуль остается постоянным в пределах конеч ных частей сечения, тоN	Мх	М■У +j (5.30')E<fiFt E<filxl' ' EfilyiЗдесь yi (/=1, 2, 3, ...) — редукционные коэффици¬ енты отдельных частей с постоянным модулем; <р — ре¬ дукционный коэффициент части, которой принадлежит исследуемое волокно х, у.При определении центра тяжести и главных осей се¬ чения переменность модуля также должна быть учтена, аналогично знаменателям в формулах (5.30'). Редуциро¬ ванные статические моменты и центробежный момент инерции определяются по формулам=	Sj« = S9lS,f; /£* = 2 / xyi.В случае бруса большой кривизны отдельные волок¬ на имеют различную длину. Изменение длин волокон эквивалентно изменению их модуля Е. На этом основа¬ ны расчетные формулы для брусьев большой кривизны (см. раздел 9).5.2.8.	Пользование центральными неглавными осямиОбщая формула нормальных напряжений (5.19) остается в силе в центральных неглавных осях х, у при условии замены Мх на Мх и Му на Му по формулам — Мх-\- Myky — My -f- Mxhx1	kXky1 kXkyЗдесьkx =Jxy1xь = hl. Ry —1 VПользование неглавными осями удобно, когда сече¬ ние разбивается на фигуры с взаимно-параллельными главными центральными осями (пример такого сечения см. рис. 5.10).5.3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В БРУСЬЯХ. ОСОБЕННОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ СЕЧЕНИЙОпределение касательных напряжений начинается нахождения усилий Qy, Qx, Mk.Касательные напряжения в очень коротких брусьях определяются по формулам расчета на срез (см. 5.3.1). При этом если сечение тонкостенное, то пользуются формулами направленного среза (см. 5.3.2). Касатель¬ ные напряжения, сопровождающие поперечный изгиб более длинных брусьев и балок, определяются в зависи¬ мости от поперечных сил по формулам касательных на¬ пряжений при изгибе (см. 5.3.3). Для определения кру¬ тящего момента приходится найти центр изгиба, кото¬ рый в случае массивного профиля часто считают совпа¬ дающим с центром тяжести. Если брус нагружен кру¬ тящими парами (Qy = Qx= 0). т0 центр изгиба опре¬ делять не нужно. Касатсльяые напряжения от кручения чаще всего определяют по формулам свободного круче¬ ния (см. 5.3/7 и табл. 7.4). Учет стеснения при кручения * и дополнительных нормальных напряжений желателен в первую очередь ири открытом тонкостенном профиле (двутавр, швеллер). Геометрические характеристики по¬ перечных сечений при стесненном кручении см. 5.3.9. и табл. 7.5, определение усилий (бимоментов) см. 5.10.
206РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ5.3.1.	Расчет на срез (сдвиг)Касательные напряжения в поперечном сечении очень коротких брусьев и соединительных элементов (болты, заклепки), а также в сварных швах рассчитываются по условным формулам* основанным: 1) на гипотезе пло¬ ских сечений и 2) на гипотезе неизменяемости сечения в сзоей плоскости.Геометрическими характеристиками являются пло¬ щадь сечения F и полярный момент инерции сечения от¬ носительно его центра тяжести (рис. 5.9):Ip=\ f*dF=$y*dF+$x*dF=Ix+1у.F	F	F(5.32)Рис. 5.9Оси х, у — любые ортогональные центральные оси (величина 1Р есть инвариант относительно поворота осей вокруг фиксированного полюса).Относительный угол закручивания Мк»К= 77Г-	(5.33)GIpОтносительный сдвиг в направлении силы Q, прило¬ женной в ц. т. сечения:7<? = 5f'	(5'34)Касательное напряжение в точке х, у складывается из двух векторов: параллельного силе Q и перпендику¬ лярного радиусу-вектору р :-	О , мк'-Т+1Г'(5.35)Удобнее пользоваться составляющими вектора т по координатным осям:	 Qx Мк	Qy МкF ~ 1р Г’	1р Х’ <5-36)(5.37)При небольшом числе вариантов нагрузки, а также для выяснения наиболее напряженных точек сложного ♦сечения следует определить нейтральную точку н. т, (центр вращения) сечения, соответствующую исследуе¬ мой нагрузке. Координаты нейтральной точкиOr Ip _ Оу Ун — м ’ к ' Х Н	Тямк F	Мк(5.38)Радиус-вектор нейтральной точки относительно цен¬ тра тяжести О перпендикулярен силе Q и равенРн =_0Мк(5.39)Вектор т полного касательного напряжения в точ¬ ке х, у перпендикулярен ее радиусу-вектору р' относи¬ тельно н. т. Модуль вектора т равент = р' .	(5.40)*рттах имеет место при ртах, т. е. в точках, наиболее удаленных от я. т.При расчете групп заклепок на срез по формулам(5.37)	и (5.40) площади отдельных заклепок считаются сосредоточенными в их центрах. При расчете сварных швов на срез их площади считаются сосредоточенными на осевых линиях швов. Неравномерностью распределе¬ ния т по сечению заклепки или по ширине шва прене¬ брегают.5.3.2.	Расчет на направленный срез (сдвиг) [1, 162, 83]Касательные напряжения и деформации тонкостен¬ ных брусьев в плоскости жесткого защемления и на не¬ большом расстоянии от нее, в том числе и коробок зда¬ ний, часто определяют на основе гипотезы плоских се¬ чений. При очень тонких стенках векторы касательных напряжений считают направленными вдоль средней ли¬ нии стенки, а сами напряжения — распределенными равномерно по толщине стенки. При стенках значитель¬ ной толщины и ребристых учитывают также напряже¬ ния, нормальные к средней линии стенки, а иногда и крутящие моменты в стенке, причем считаются с различ¬ ной деформативностью стенки в срединной поверхности и нормально к ней.Обозначения:<7$. <7л» тк — погонные касательные усилия и погон¬ ный крутящий момент в стенке;/у» /л» ip — погонные площади и погонный поляр¬ ный момент инерции сечения стенки;GSt Gn, Gp — модули сдвига, соответствующие усили¬ ям qs, Qn>При однослойной стенке без ребер толщиной t по¬ гонные площади и момент инерции равныАip ~ |2 'Чтобы не иметь дела с различными модулями сдви¬ га, целесообразно вводить редуцированные погонные геометрические характеристики:/Г = Л =fs ъ; /Г =/» =/» ?»;■ — 1рЧп(5.41)Здесь G — постоянный модуль;<Ps* ¥л* — редукционные коэффициенты.В дальнейшем верхний индекс «ред» опускается. Относительные сдвиги бруса и относительный угол за¬ кручивания в главных центральных осях Oxyz (см. 5.1.6)Ох _	Оу . аGFV(5.42)Редуцированные геометрическиеМкGlcхарактеристикиFx и Fy называются направленными площадями
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ В БРУСЬЯХ207направленным полярным моментам инерции сечения. При Gs= Gn = Gp — const имеем Fx = Fy=F\ Ic=Ip- Если брус образован взаимно-перпендикулярными стенками или плитами, то сечение состоит из прямо* угольников с взаимно-параллельными или перпендику¬ лярными средними линиями. Главные оси сдвига х, у имеют тот же наклон — на рис. 5.10 одна из них гори¬ зонтальна, другая вертикальна. Изображая направлен¬ ные площади Fs =fss и Fn = fns горизонтальными иF,InРис. 5.10вертикальными векторами, получаем Fx как равнодей¬ ствующую горизонтальных векторов, a Fy—как равно¬ действующую вертикальных:Fx — F is + F2п + F35 + F 4n ; Fy — F ln -f- F 25+ F 3n + F 45 .Точка пересечения равнодействующих дает центр сдви¬ га О и положение главных центральных осей сдвига х, у. Направленный полярный момент инерции вычис¬ ляется как сумма моментов инерции направленных пло¬ щадей относительно осей х и у:Й + -£)+Цй+А) ++ F» (3 + •£) + (* +>)+ f..( 3 + 4) + +f„(?J+Aj + F„(*5 + A)+F„ (ч+4)-В общем случае берут произвольные ортогональные оси х\ у' и вычисляют величинуUfs-fn) sin 2а' dstg2a0 =Ufs-fn) cos 2a' ds(5.43)откуда определяют угол a0 (проще всего графически). На этот угол поворачивают исходные оси. В получен¬ ных главных осях сдвига х, у вычисляют направленные площадиFx — j cos2a fs ds + j sin2a fn ds; s	sFy = j sin2a /5 ds + J cos2a/rt ds(5.44)и направленные статические моменты'Sx= j* ysfs ds J Уп fn ds ;s	s^ J x$fs “1“ J xnfn ds .(5.45)Здесь через xSi ys и xnt yn обозначены координаты точек, возле которых на рис. 5.11, а надписаны величи¬ ны элементарных площадок fsds и fnds. __Координаты центра сдвига (ц. с. или О):FvУо='(5.46)Рис. 5.11Перенеся параллельно главные оси так, чтобы нача¬ ло их совпадало с центром сдвига^ получают систему главных центральных осей сдвига Оху. Ось z нор¬ мальна к площади сечения.После этого определяют плечи rs и гп и вычисляют направленный полярный момент инерции:h =1о =]■ 4 /, * + J г* fnds + J ipds. (5.47,s	s	sЕсли сечение состоит из ряда прямоугольников (пло¬ ские стенки), интегрирование заменяется суммировани¬ ем (рис. 5.11,6). Обозначив fss = Fs; fnSs=sFn; lp= = ip s, находимЕ(/\у— Fn) sin 2a tg2*0=-	;S	(Fs — Fn) COS 2aFx=^Fs cos2 a + E Fn sin2 a ;Fy = 2 Fs sin2a + S Fn COS2a ;Sx — S Fsys + 2 Fnyn ISy = ]£ Fsxs -f- 21 FnXn »/,= 2^г2 + е(^г2„ + ^) + 2/р.Формулами (5.48) пользуются и при криволинейной средней линии стенки, заменяя ее ломаной с достаточно короткими участками.Расчет упрощается при наличии оси симметрии, яв¬ ляющейся одной из главных центральных осей сдвига; другая ось ей перпендикулярна.Пример 5.1 (рис. 5.12)). Дано: fs— 1 c^=const; fn = =0,8 c>i=const; ip = 0;Fx= 2(1-20.12 + 1-28,2.0,7072 + + 0,8-28,2-0,7072 + 0,8* 10-12) = 106,8 cm*;(5.48)
208РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВFy = 2(1-28,2-0,7072 + 1-10-12 + 0,8-20.12 + + 0,8-28,2-0,7072) = 102,7 ли2 ; 5Ж = 2(1-20-30 + 1-28,2-25 — 0,8-28,2-5 ++ 0,8-10-5) =2462 сл»; 2462,6У0 = '= 23,1 см; h—у—= 6,9 см; 106,8	*о/с= 2(1-20-6,92+1-28,2-19,012 + 1 -10-402-0,8-20»0,8-28,2» + 0,8-28,2-23,352 Н—1^— + 0,8-10-18,12 +12+0,8-10»12)-91 300 см*.Рис. 5.13Ниже даны касательные геометрические характери¬ стики сечения, очерченного по дуге круга с центральным углом 2 а при постоянных погонных характеристиках (рис. 5.13):у о = 2rti(<i + <2) а + (h — Уsin 2а(h + h) а ~Ь Pi — *2)sin 2аГ	sin2a ]Fy = г	;/с = 2tir [ ^2+ уЩ а — 2o-osin «].Формулы для погонных касательных усилий и напряжений/О*	Qy . Мк \qs= I ± — cosa ± — sma ± — rs Jfs;I Qx . Qy	MK \Яп = ^ sina ± -J- cosa ± —rnjfn ;± —- COS сFy MK .mP = ~r ‘p *c(5.49)Для каждой стенки выбирается положительное на* правление qs и qn. Углы а считаются острыми, cosa>0, sin a >0. Знаки определяются по смыслу, учиты¬ вая направление общего сдвига от сил Q* и Цу, направ¬ ление вращения Мк, а также направление плеч. На¬ правление тр считается совпадающим с положительным направлением Мк(4- против часовой стрелки). fs, fn и ip берутся редуцированные, как и при вычислении Fx,Средние напряжения / Qx	Qy . Мк \^ = I ± — COS a ± -JL Sin a ± —rsj4s ;t Qx . Qy	MK \± — Sin a ± — COS a ± — rnJ . (5.50)Краевые напряжения от кручения стенкиМк t5.3.3. Касательные напряжения при изгибе.Центр изгибаПри прямоугольном сечении бруса и поперечном из¬ гибе в главной плоскости у касательные напряжения в продольном и в поперечном сечениях на уровне у* (рис. 5.14, а) определяются по формуле ЖуравскогоQy^x1ХЬ= ^L(u— Jl у* \b2h» ^ 2*4	2 /126/г»\ 4)■(5.51)dMЗдесь Оу = 	— поперечная сила в главной плоско-dxсти Оу\ Sx—статический момент части поперечного се¬ чения, лежащего по одну сторону от следа продольного сечения, относительно нейтральной линии — главной цен¬ тральной оси х. Эпюра 1 по высоте сечения имеет вид параболы с максимальной ординатой на уровне ней¬ тральной линии (рис. 5.14, а справа):__3_ J?, , _0 W 2 * bh	FФормула Журавского применяется и в случае непря¬ моугольного, удлиненного вдоль оси у сечения (рис. 5.14, б). Постоянная ширина b в этом случае за¬
6.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИИ В БРУСЬЯХ209меняется через 6* — ширину на уровне продольного се¬ чения:QySl/.V&*Брус с поперечным сечением, удлиненным вдоль оси х, мысленно разрезается на вертикальные пластинкиречная сила, чтобы изгиб не сопровождался закручива¬ нием. Абсцисса центра изгиба:J* texdx ъ_	j h*dx(5.53)Положения центра изгиба некоторых сечений см. табл. 7.5.Центр изгиба получается как центр тяжести приве¬ денного сечения с высотами, равными кубам высот за¬ данного сечения.Более точная формула теории упругости:i+2|* 1х0 — Хп1+и1+3J №h'*dx ь	J Шхгде h' — тангенс угля наклона контурной линии коси Х\—	коэффициент Пуассона.Приближенная формула теории упругости для удли¬ ненного сечения:_ п 1 ~f~ За*0 <хд< 1+{1 хо ■Общая формула теории упругости для координат центра изгиба в главных центральных осях х, у:хо = |/(*.У> ydF ; Уо=— у- j/(x,y)xdF .Здесь f (х, у) — функция депланации при изгибе.а2 — Ь2Например, для эллипса/(*,у) = 	ху .аг + Ь2 *В табл. 7.5 даны ординаты центра изгиба некоторых сечений с одной осью симметрии.толщиной 1 см и высотой h(x) (рис. 5.14,в). Касатель¬ ное напряжение на уровне у* изменяется по ширине бруса:t.2=£(т~4(5.52)уровнеМаксимальное касательное напряжение нейтральной линии^ 	 Оу ^тахТтах	*8 1ХПоперечная сила, отнесенная к 1 см ширины сечения, равнаh+—2оеуд-С	h*	IfО,: 1,-й)НМх .Поперечная сила делится между отдельными пла¬ стинками пропорционально их моментам инерции отно¬ сительно оси х.Равнодействующая касательных усилий в сечениях отдельных пластинок определяет положение центра из¬ гиба О — точки, через которую должна проходить попе- 14 Зак. 2098Рис. 5.15Составное сечение с общей осью симметрии х_ отдельных сечений (рис. 5.15). Общий центр изгиба О лежит на оси симметрии и определяется как центр тя¬ жести моментов инерции l\x, UXt...t приложенных в
210РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВсобственных центрах изгиба. На рис. 5.15, а собственные центры изгиба совпадают с центрами тяжести:Хо I1 2ХIX + ^2.Так как hx^^ix* точка О лежит близко от 02.На рис. 5.15, б предварительно определен центр из¬ гиба <5, тавра I. Уравнение моментов для нахождения плеча точки О составляется относительно любой из то¬ чек О и О2 илй 03.У' У4-IEи о'-1-Г-ХЯ	iк*Рис. 5.16Для .сечений типа швеллера способ центра тяжести моментов инерции может быть использован только пос¬ ле предварительной трансформации сечения (рис. 5.16). Полки смещаются в положение, указанное пунктиром,— зеркальное по отношению к средней линии стенки:xi = — ( I + 1со6\ Ь ~1~ <сJ \ лпх г лпх ) 2Здесь:1с.Х =h -/» + /« +с?;*С (h + ?п)3 12h2*nx — 0 ;гСОб= 2ЬА12Правило: центр изгиба швеллера совпадает с зеркаль¬ ным отражением от оси стёнки центра тяжести момен¬ тов инерции.5.3.4. Деформация сдвига при изгибе брусьев с массивным сечением и двутавровых балокКасательные геометрические характеристики сдвига при изгибе Fy и Fx определяются путем осреднения сдвига по всему сечению, исходя из приравнивания по¬ гонных потенциальных энергий:<?vdF(5.54)Аналогично определяется Fх. Для прямоугольника Py — Fx =0,83F (см. табл. 5.3), для круга Fy = Fx = ■= 0,84 F. Иногда Fy определятся, исходя из относи¬ тельного сдвига на уровне нейтральной линииFy =Irb(5.55)случае для прямоугольникаFy=Fx =В этом <= 0,67 F.Для двутавровых балок обычно принимается Fv ■=■ = Fс (площадь сечения стенки), rV= 0,67-4-0,83/^, где Fu — площадь полок.5.3.5. Касательные напряжения при изгибе и центр изгиба открытых тонкостенных сечений [156, 20, 164, 162 ч. II]Принимается, что касательные напряжения в попе¬ речном сечении тонкой стенки направлены параллельно средней линии стенки и распределены равномерно по толщине стенки. Удобно оперировать с погонным (по дуге средней линии стечки) касательным усилием q = =т/ кг!см. Траектория касательного усилия совпадает со средней линией стенки1. При одновременном дей-dMx	dMyствии поперечных сил С?у= 	и Qx = 	парал-ds	ds лельных главным осям г/, х, усилие q равно алгебраиче¬ ской сумме2:Ov *	Qx *Я = Яу + qx = ± — Sx	± — Sy . (5.56)*х	*уДва знака указывают на необходимость определить течение усилий qy и qx.Течение определяется по направлению усилия в про¬ дольном сечении из условия равновесия отрезка бруса длиной dz, лежащего по одну сторону от продольного сечения. Это усилие уравновешивает приращение нор¬ мальных сил, зависящее от направления силы Q. На рис. 5.17 усилие q в продольном сечении направлено сле¬ ва направо, поэтому в поперечном сечении (по закону парности) оно направлено вверх. Течение q в стенке та¬ ких профилей, как двутавр или швеллер, сразу выясняет¬ ся по направлению силы Q, а в полках — исходя из непрерывности «потока» усилий q. Например, на рис. 5.17 стрелки усилий q направлены вверх, а в нижней полке от ее свободных краев, где <?=0,—к стенке.QyЭпюры qy и qх строят единичные, принимая —=+1 л х Qxи —— =+1, а затем умножают ординаты на значения ' vQ у Qx „— и —. Ординаты единичных эпюр равны величинам*х * уS*x и 5* — статическим моментам части поперечного се¬ чения, лежащей по одну сторону от следа продольного сечения относительно главных центральных осей х, у.s*x = у dF= j yt ds ; 5* = j xdF = j xtds . (5.57)s*F*S*Построение эпюр состоит в последовательном вы¬ числении их ординат, начиная от свободного края, исхо¬ дя из определения этих ординат как статических момен¬ тов. По другому способу строятся вспомогательные эпюры у и затем yt, соответственно х и xt. Ординаты эпюр Sx и Sy равны площадям односторонних частей1 Если брус представляет собой полосу, положенную плашмя, то эти допущения заменяются другими, учитывающими наличие на¬пряжений т, перпендикулярных средней линииа В обозначениях q " “ касательного усилия от Qx или Qv.х и qy индексы указывают на происхождение
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ В БРУСЬЯХ211эпюр yt и xi (считая от свободного края). Знаки на эпюрах S* и S не ставятся, но стрелками указывается л у течение единичных усилии.Равнодействующая единичных усилий Sx равна 1Х а равнодействующая единичных усилий 5* равна 1у. Они получаются как геометрические суммы частных равно¬ действующих, равных площадям эпюр Sx и 5у,или по правилам вычисления моментов инерции при условии пренебрежения собственными моментами инерции стенок относительно средней линии. Кроме того, Iх и 1у опре¬ деляются как статические моменты эпюр yt и xtt повер¬ нутых нормально к плоскости сечения, относительно осейУ-/*• = j yty ds ; Iy = ^xtxds.	(5.58)Центр изгиба. Так называется точка в оечени'и, че¬ рез которую проходит ноперечная сила Q, вызывающая изгиб без закручивания. При двоякосимметричном сече¬ нии ц. и. совпадает с ц. т. При одной оси симметрии ц. и. лежит на ней, но не совпадает с ц. т. Центр изгиба является началом координат О второй системы коорди¬ натных осей бруса Оху\\ Оху. Центр изгиба определяет¬ ся как точка пересечения равнодействующих касатель¬ ных усилий изгиба, соответствующих поперечным силам Qy и Qx либо двум другим случаям изгиба. Положение равнодействующих Qy=Ix и QX=Iу определяется их пле¬ чами относительно произвольного полюса О'. Плечи рав¬ нодействующих одновременно являются координатами центра изгиба в системе координат 0'х'у'\\0ху. Иско¬ мые плечи-координаты равны моментам касательных и Sv относительно полюса 0\ деленнымусилий S хи 1у\модули равнодействующих /наSyrds . (5.59)Отдельные произведения Sxds и S*yds умножаются на их плечи г и суммируются.Другой способ вычисления моментов осно¬ ван на использовании эпюры секториальных пло¬щадей. Каждый элементарный статический момент ydF, где dF — площадка в точке Л, порождает постоян¬ ное погонное усилие dq—ydF, момент которого, соби¬ раемый с дуги Я'Л, равен ydF а/, где а/— удвоенная площадь сектора с полюсом О' и дугой Н'А (рис. 5.18). Полный статический момент получается интегрировани¬ ем элементарных моментов, что дает координаты центра изгиба:F	sIf	Ifу - = — — I <*'xdF = — —\ u'xtds .'у J	h J(5.60)Интегралы выражают статические моменты эпюр о/ с ординатами, увеличенными в t раз и повернутыми нор¬ мально к плоскости сечения, относительно главных цен¬ тральных осей хг у. Их можно истолковать также как интегралы Мора — произведения эпюр <*>7 на у и на х или соответственно эпюр о/ на yt, о>' на xt.Построение эпюры <Ь' . Берутся произвольные по- люс О' и начальная точка Я'. Ординаты эпюры равны удвоенным площадям секторов, ометаемых подвижным радиусом-вектором, конец которого движется вдоль средней линии тонкостенного сечения. Приращения орди¬ нат считаются положительными, если радиус-вектор вращается против часовой стрелки, отрицательными — при вращении по часовой стрелке. Если точка Я' взята не на краю стенки, то средняя линия должна быть пройде¬ на, начиная от точки Я' путем двух движений конца радиуса-вектора — один раз от точки Я' влево, другой раз вправо, что дает не менее чем два участка разного знака. При наличии разветвлений каждая ветвь должна быть пройдена особо. В точках разветвления значение <•»' для всех ветвей одно и то же.14*
212РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВИспользование центральных неглавных осей. Зада¬ ваясь осями Ох и Оу и считая их нейтральными линиями изгиба, строят эпюры Sx и Sy и определяют величину и положение равнодействующих касательных усилий, ко¬ торые в этом случае не равны I Ху 1у и не параллельны осям х, у. Точка пересечения равнодействующих дает центр изгиба. Оси х, у могут быть неортогональными, но обязательно должны быть центральными осями.ytРис. 5.19^ Двутавр. На рис. 5.19 построены эпюры yt и Sx , xt и Sу' Ординаты эпюры Sx в точках тип равны заштрихованным площадям эпюры yt. Ордината эпюры Sy в точке т равна заштрихованной площади эпюры xt. Знаки ординат эпюр S не используются; направление касательных усилий показывается стрелками. Для полу¬ чения фактических погонных усилий qy и qx ординатыэпюр 5* и 5*умножаются соответственно на—-и — .гт	^УДля получения касательных напряжении величины q делятся на толщину стенки t в исследуемом месте. Моменты инерциит(у>,, = w*+ <**!.х	2 12_ Qy fbhtb №h \ 1Л [ 2 + 8Iy =TU) =tbb36Q*IytbЬЧЪ(5.61)Ввиду наличия двух осей симметрии центр изгиба совпадает с центром тяжести.Швеллер. На рис. 5.20 построены эпюры S* и S*для швеллера. Для определения центра изгиба О, лежа¬ щего на оси симметрии х, определена его абсцисса (плечо равнодействующей 1Х) в координатных осях 0'х\ О'у. Для подсчета момента М^найдены частичные равнодействующие касательных усилий в полках и в стенке, равные площадям соответствующих участков эпюры Sx. Они выписаны около фигурных скобок. Здесь стенка берет на себя всю вертикальную поперечную силу1л:ЬШьхо3 Ьthh* 12 ^ 12btb6 +hthbtbДругая форма (см. 5.3.3 в конце):Ъ , Ъ—	1г(5.62)(5.62')На рис, 5.20 выписаны также максимальные значе¬ ния 5* и S* для определения	и т^х .Числовой пример с использованием эпюры о>'(рис. 5.21). Эпюра <*>' построена при полюсе О' и сов¬ падающей с ним начальной точке Я'. Угловые ординаты эпюры о/ слева от оси симметрии у равны: 0; 50 . 29= = 1 ООО; 1 000+50 . 55=3 750 см\Вычисляем статический момент эпюры (*>' с орди¬ натами, умноженными на t=2 см, повернутыми нор¬ мально к плоскости сечения, относительно оси у:50-1 0003 750+ 1000 rr + 50 			55]-— -30 + 25 3 065 000 см*.+Вычисляем момент инерции сечения:/у = 2-2 [у- + Y (552 + 55 25 + 252 ) + 50‘552] == 96 100 см* .2 1ХРис. 5.21
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИЙ В БРУСЬЯХ213Ордината центра изгиба—3 065 ОООуо =96100= 31,9 см .Учет неравномерного распределения напряжений по толщине стенки. Массивные стенки заменяются густыми тонкостенными «гребенками», зубья которых имеют на¬ правление вероятных траекторий касательных напря¬ жений, обычно параллельных и перпендикулярных средним линиям (рис. 5.22,а, б). При конечном числе зубьев применяются общие формулы (5.62). Для учета бесконечного числа бесконечно тонких зубьев в случае, показанном на рис» 5.22,а, достаточно редуцировать площадь полки к двум линиям с погонной площадью t/2 или к трем линиям с погонной площадью соответст- t 2 tвенно —, — (рис. 5.22,в) и оперировать соответст¬ венно с двумя или тремя продольными зубьями. Об¬ щие формулы для координат центра изгиба в осах 0'х\ О'упараллельных главным центральным осям, имеют видхд = ~г{$ш'УЫ!;ч: $‘*х’па&)>s	sу'о = - 7~(Iш'хЫв * J ‘«у»-МУ s(5.63)о)Здесь is = ~ погонный момент инерции стенки.Эпюра строится для средней линии стенки. Коор¬ динаты хп, уп относятся к течкам, около которых на рис. 5.22,г надписан элементарный собственный момент инерции стенки isds. Моменты инерции Iх, /у подсчи¬ тываются с учетом собственных моментов инерции is. Верхний знак в формулах (5.63) относится к непре¬ рывным зубьям по типу рис 5.22,а, нижний — к типу по1 А. С. Б о ж е н к о, Изгиб (по Сен-Венану) стержней с попе¬ речным сечением из прямоугольных областей при действии попереч¬ ной силы в плоскости симметрии, .Инженерный сборник АН СССР*, т. V, вып. 1, 1948.рис. 5.22.6. Таким образом, выбор расчетной модели от¬ ражается на положении центра изгиба.Точные решения для распределения касательных на¬ пряжений при изгибе известны для небольшого числа случаев1. Исследование показывает, что практически .важные касательные напряжения в тонких стенках при изгибе хорошо оцениваются приближенными методами. Наряду с этим во входящих углах имеет место кон¬ центрация напряжений, не учитываемая приближенны¬ ми решениями.5.3.6. Касательные напряжения при изгибе и центр изгиба замкнутых тонкостенных сечений [156, 162 ч. II, 164]Для построения эпюры q необходимо знать q=qK в какой-либо точке средней линии или знать положение точки, в которой <7=0. Если сечение имеет ось симмет-Рис. 5.23рии (у) и сила Qy лежит ча этой оси, то в точках средней линии, лежащих на оси у, касательное усилие равно нулю. Построение эпюры qy в случае прямоуголь¬ ного симметричного замкнутого сечения выполняетсядля двух полусечений от действия—Qy как для швел¬ леров (рис. 5.23,а). Центр изгиба лежит на оси сим¬ метрии.В общем случае q=qK	где qK— погонноеусилие в воображаемом разрезе, qy и q х определяются по формуле (5.56). Для нахождения qK используется уравнение моментов относительно центра изгиба D се¬ чения с разрезом Так как усилия qy и qx относительно D момента не дают, то крутящий момент поперечных сил относительно D приравнивается моменту постоян¬ ных усилий, равных усилию в разрезе qK:(f) qKr ds — AfK ; qK <oK = MK ;J	MKqK= —•	(5,64)01 кЗдесь <ок — удвоенная площадь фигуры, ограничен¬ ной замкнутой средней линией сечения. Величина wK не зависит от положения точки моментов. При Qy^Qx—0 формула (5.64) дает величину усилия при кру¬ чении qK (рис. 5 2:3,6).Касательное напряжение при кручении определяется по формуле Бредта, вытекающей из (5.64),Мк<7к_t	Шк tМаксимальное касательное напряжениеЯк	Мк Мктшах — • —	= w ;lm\n wk %iin ™ к(5.65)(5.66)
214РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ(5.67)— момент сопротивления замкнутого тонкостенного се¬ чения при кручении.Относительный угол закручивания при замкнутом сечении выражается общей формулой1 Г	1 Г	1 Г ds= я= ^—(DtfT-о,к у	... -	....Go),К JG<oK j t(5.68)вол в выборе О и Я отмечается штрихом при<о и <о.Этот штрих не следует смешивать с обозначением при- tcведения дуги ds' = ds -у.Координаты центра изгиба в осях О'х'упараллель¬ ных главным центральным осям Оху, выражаются ана¬ логично (5.60):При кручении, когда *7=const,к оих’» - Ь¥’yi ds; У~ = -1 Г -77 Гxtds. (5.72)где/к =Г ds(5.69)Здесь t спроизвольно взятая постоянная толщи-ли-на; sK = ф “ ds— приведенный периметр среднейнии сечения; при /=const tc —t\ sK=sK — периметрсредней линии.Центр изгиба. По первому способу замкнутое сечение разрезается в произвольной точке и определяется центр и4згйба D разрезанного сечения. В случае замкнутого сечения силы Qy и QXf приложенные в D, вызывают закручивание. Их переносят параллельно, так, чтобы дополнительные крутящие моменты аннулировали за¬ кручивание. Это дает следующие плечи переноса (рис. 5.23,в):Наглядное построение эпюры со' (рис. 5.24). Строит¬ ся эпюра <*>' при совмещенных полюсе О', начальной точке Я' и разрезе (рис. 5.24,а). Вдоль оси абсцисс от¬ кладывается развертка приведенного периметра, в со¬ ответствующих точках которой откладываются ордина¬ ты со' (рис. 5.24,в). Конец последней ординаты Я" сое¬ диняется прямой с исходной начальной точкой Я'. Ук-(оклон прямой Я'Я" к оси абсцисс равен р = -7-. Ордина-SKты эпюры (o', отсчитанные от наклонной прямой Я'Я",равны искомым ординатам <о'« Эпюра <*>' показана на рис. 5.24,6. В этом примере принято /с=1 см.а =сЬJ t(Ьт-= Ус (j)£f as-.I s J tX Кr s*0-I2-* “к J tО = ~~— •/»f dsTt/с J*ySKs*_Lds. t(5.70)20 aТочка пересечения сил Qy и Qx в их новом положе¬ нии дает центр изгиба /С, который, как правило, рас¬ положен внутри контура (если он выпуклый), что избав¬ ляет от выбора знаков. Интегралы в формулах (5.70) вычисляются как площади эпюр Sx и Sy с ордината¬ ми, уменьшенными в t раз.Второй способ основан на использовании эпюры со', связанной с эпюрой	относящейся к разрезанномуконтуру. Переход от эпюры <*>' к эпюре со' выражает¬ ся формулойш' = а>' —р S'.	(5.71)Ординаты эпюры со' получаются путем вычитания из ординат эпюры <о' произведения постоянной длины(t>Kр = — , называемой средним радиусом, на приведен-ную длину дуги средней линии 5', Эпюра со' строится при произвольном полюсе О' и произвольной началь¬ ной точке Я', которая совмещается с разрезом. Произ-В 20 С$Z»15Qcm , соы*ЬвЧ0см*: р=32>27смРис. 5.24Многосвязное сечение (рис. 5.25}. Расчет ведется при помощи стандартной системы п+1 уравнений, где п ~- число ячеек. В случае четырех ячеек система имеет вид:1)	Sj q2 s122)	—qx s12 + q2	s2 — q% $233)	— q2 s23 + qz	s3 — <74 s^4)	<73 5з4 4~Х<лг + Qly -f Qlx ==0 — X co2 + Q2y -f Q2x =0 X(oz + Q3y + Q3x =0 X co4 -f- Q4 v + Q*x =05^ ql сог 4- q2 о2 + q3 co3 + ^4co4 == Qy{xQ — xD) + Qx{yQ—yD)+MK. (5.73)Здесь <7i, q2, <73, ?4 — неизвестные погонные каса¬ тельные усилия в разрезах ячеек; X=Gtc — увели¬ ченный в Gtc раз (*с — произвольная, вводимая для
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В БРУСЬЯХ215удобства расчета толщина) относительный угол закру¬ чивания; Sj, s2 ,s3, s4 —приведенные периметры яче- Г tcек: s, = 0 — ds (t=l, 2, 3, 4); <olf ы2, ш3, о>4 — уд-j *si , военные площади ячеек; s12, s23, s34—приведенные ши¬ рины промежуточных стенок.Свободные члены первых четырех уравнений рав¬ ны площадям эпюр q°y и q°x в пределах отдельных яче¬ ек, причем ординаты эпюр разделены на соответствую¬ щее значение t и умножены на tc—const:Qiy + Qix = (р 4 -J- ds + (j) flp ds (/= 1,2,3,4).i iЭпюры q^y и q°x строят для разрезанного профиля (основной системы) от поперечных сил Qy и Q*. При вычислении площадей эпюр их ординатам приписы¬ вается знак плюс (+), если погонное усилие имеет то же направление, что -\-qiy т. е. вращает данную ячей¬ ку против часовой стрелки. Поэтому в пределах проме¬ жуточных стенок одна и та же величина q° входит в смежные свободные члены с различными знаками. Qy и Qx — поперечные силы, параллельные главным цент¬ ральным осям Оху\ xD, Ур — координаты центра из¬ гиба D разрезанного сечения (основной системы)); Xq—	плечи сил Qy и Q* (рис. 5.25); Мк — крутящий момент, не связанный с поперечными силами QyuQx.Первые четыре уравнения выражают условия нераз¬ рывности деформаций — отсутствие взаимных смеще¬ ний вдоль продольных краев ячеек в разрезах; послед¬ нее уравнение — условие равновесия или условие эк¬ вивалентности крутящих моментов усилий и нагрузок.а)	Общий случай. Заданы Qy, 0Х, Мк. Составляя и решая уравнения, определяют неизвестные усилия qi (£=1, 2, 3, 4) и величину X=Gtc$к - Строят окончатель¬ ную эпюру q, суммируя эпюры q°y и q°x с постоянными в пределах своих ячеек эпюрами q\, q2, <7з,б)	Расчет на кручение. Задан момент AfK. В уравне¬ ниях полагают Qv =QAr=0; Qiy=Qix=0 (i=l, 2, 3, 4). Единственный не равный нулю свободный член — в пя¬ том уравнении (Мк). Принимая сначала Х=\, решают первые четыре трехчленных уравнения (они отделены чертами) и получают значения qu Q2, Яз, q4, обозначен¬ ные для этого случая pi р2> Рз» р4 (размерность их — см). Действительные значения неизвестных уси¬ лийЯ1 = ХН (i = 1.2,3,4).	(5.74)Подставляя qi в пятое уравнение, определяют МкХ =откудаЕ р/ <»>/ i=lМкк Gtc Е Р/ <0/ Значения неизвестных усилийМкGlKqi = ■мк4Е р/<1=1(/=1,2.3,4)(5.75)(5.75')При одной ячейке формула (5.75) совпадает с фор- (1)кмулой (5.64), р = ——SKПромежуточными стенками при расчете на кручение часто пренебрегают.в)	Определение центра изгиба. Уравнения решают дважды — один раз, полагая X—MK=Qx=0; Qt\r=0 (i=l, 2, 3, 4), Qy=l, и другой раз, полагая Х—Мк= =Qy=0; Qiy— 0 (i= 1, 2, 3, 4); Q* = l. Значения неизве¬ стных усилий из системы трехчленных уравнений в пер¬ вом случае обозначаются qiy (/=1, 2, 3, 4), во втором случае qix (i= 1, 2, 3, 4).Подставляя эти значения в пятое уравнение, полу¬ чают плечи сил Qy и Qx, соответствующие аннулиро¬ ванию угла закручивания &к, или, что то же, коорди¬ наты центра изгиба К многосвязного сечения:4	4*К = хо+ 2 tf.y'"»; Ук =Уо~ S Яix <■>£. (5.76)1=1i=lПопутно получается распределение усилий, соответ¬ ствующее силам Qy и Qx, проходящим через центр из¬ гиба.г)	Другой способ определения центра изгиба основанна использовании эпюры многосвязного сечения в формулах (5.72). Особенность построения эпюры для наружных стенок состоит в том, что вместо постоян¬ ной величины р в формуле (5.71) берутся значения Pi» р2» рз> Р4» определенные выше, в п. «б». На про¬ тяжении промежуточных прямых стенок эпюра w по¬ лучается в виде трапеций, которые строятся по конце¬ вым ординатам, равным ординатам в соответствующих узловых точках ранее построенной эпюры для наруж¬ ного контура.5.3.7.	Касательные напряжения и относительный угол закручивания при свободном кручении. Геометрические характеристикиДля кручения характерна система замкнутых тра¬ екторий касательных напряжений в поперечном сече¬ нии, причем крайняя траектория совпадает с конту¬ ром сечения. Форма траекторий отвечает горизонталям мыльной пленки (мембраны), натянутой на контур сече¬ ния и провисающей под действием собственного веса (мембранная аналогия Прандтля). В выступающих углах касательные напряжения равны нулю, во входящих уг¬ лах — теоретически равны бесконечности. Поэтому вхо¬ дящие углы обязательно закругляются. Аппликаты по¬ верхности мембраны дают значения функции напряже¬ ний при кручении.
216РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВМодуль вектора касательного напряжения в данной точке равен уклону мембраны к горизонтальной плос¬ кости. Там, где уклон мембраны круче, напряжения больше. Максимального значения напряжения достига¬ ют на наружном контуре. Если контур удлиненный, то опасные точки лежат на длинных сторонах наружного контура. Узкое кольцо между двумя смежными тра¬ екториями аналогично замкнутому тонкостенному се¬ чению. Погонное касательное усилие в кольце явля^- ется постоянным, а крутящий момент, создаваемый этим усилием, пропорционален удвоенной площади, охватываемой средней линией кольца. Момент, создавае¬ мый касательными напряжениями, распределенными по всему сечению, пропорционален удвоенному объе¬ му, ограниченному провисающей мембраной, иначе — удвоенному объему «холма напряжений».Основные формулы:W = -^T:	(5-77)здесь Wк смг — момент сопротивления при круче¬ нии;/i/i(5.78)или в градусахМк _!к = ГГ- СМ *,G/K180 м* А,»к =	• — град см;к я GIK(5.78')здесь 7к см4 — момент инерции при кручении.В отличие от геометрических характеристик при изгибе, значения WK и 7К лишь в отдельных случаях определяются элементарно и, как правило, получаются в результате применения точных или приближенных, а также экспериментальных методов теории упруго¬ сти.Справочные данные о величинах WK и /к и поло¬ жении опасных точек (ттах) см. в табл. 7.4.Составное сечение. Момент инерции при кручении приблизительно равен сумме моментов инерции от¬ дельных сечений (например, полок и стенки двутавра):7К = 71к + 72к Ч		 2 //к.(5.79)Крутящий момент распределяется пропорционально моментам инерцииШЛ ^2К	.. .. Ьк. ** М2к — Мк т , • • •, М[к— Мк '/кМаксимальное касательное напряжение/ к_ мк / //к у _ Мк[ 7К Ык)твх WKгде момент сопротивления при кручении/кWK =(wjr.(5.80)опреде-Целесообразно заранее, путем сравнения,7/клить максимальное значение	•5.3.8.	Депланация при свободном крученииОсновные положения. При свободном кручений плос¬ кие поперечные сечения коробятся, депланируют. От¬ дельные точки получают перемещения вдоль оси г, дополнительные к перемещениям от изгиба. Деплана¬ ция (искажение плоскости) пропорциональна относи¬тельному углу закручивания &к и зависит от формы сечения. Для данной точки сечения депланация выра¬ жается произведением—	&к/(*,.У) •	(5.81)Здесь f(х, у)—функция положения точки в сече¬ нии, называемая функцией депланации. Размерность — см2. Функции депланации одного и того же сечения при различных центрах закручивания отличается ли¬ нейной функцией координат Ах-\-Ву-\-С: при измене¬ нии оси закручивания изменяется плоскость отсчета депла-нации w. Если центр закручивания лежит на оси симметрии сечения, то на этой оси депланации равны нулю. Каждая точка круглого сплошного или кольце¬ вого сечения лежит на оси симметрии, поэтому функ¬ ции депланации для круга, если начало координат сов¬ падает с центром, тождественно равны нулю. Квадрата)Цт— а —7—— а——6)а2-Ь*г01Ли^рао г)VЯ-4г.0аЬ-abРис. 5.26имеет четыре оси симметрии и соответственно четыре оси нулевой депланации. В треугольных областях между осями симметрии депланации попеременно пред¬ ставляют собой выпуклости и вогнутости. В продол¬ говатом прямоугольнике или эллипсе две накрест ле¬ жащие области — выпуклые, две — вогнутые. Функция депланации носит ярко выраженный антисимметричный характер.Сечения с двумя осями симметрии (рис. 5,26). При закручивании относительно центра симметрии функции депланации выражаются однотипными формулами:f(x,y) = pxy.	(5.82)Эллипс с полуосями а (вдоль х) и Ь (вдоль и) (рис. 5.26, а, б,):—	Ь2I6-83'Прямоугольник (рис. 5.26,в). Принимается то же зна¬ чение Р в качестве приближенного. Результат тем точ¬ нее, чем более вытянут прямоугольник.Вытянутые вдоль оси х эллипс, прямоугольник и дру¬ гие фигуры, симметричные относительно х. Прибли¬
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В БРУСЬЯХ■ 217женно Р =1. Если фигура вытянута вдоль оси у, то точно так же Р =1.Прямоугольное тонкостенное (коробчатое) сечение (рис. 5.26,г). Коэффициент р, относящийся к функции депланации средней линии стенки:я' — Ь'	/еЗдесь а' = а — ,Ь' = Ъ — приведенные длины по- ^а	*Ьлусторон, tc— постоянная толщина, вводимая для удобства расчета.При а'= 6' средняя линия сечения не депланирует.При а'<Ь' имеем р <0, функция депланации меня¬ ет знак, сохраняя прежний характер эпюры.На рис. 5.26,г следует поменять местами знаки + , —, относящиеся к нижней стенке.Тонкостенный двутавр (рис. 5.26,д). Коэффициент Р =1 (для средней линии). Деформация двутавра состоит во взаимном вращении плоскостей торцов и во взаимном вращении плоскостей полок, что и вызы¬ вает депланацию торцовых и всех остальных сечений.Толстостенный двутавр (рис. 5.26,е). Расчет депла¬ нации производится либо путем непосредственного применения формулы (5.82), полагая Р= 1 (на рисун¬ ке справа), либо сначала рассматривается тонкостенный двутавр, образованный средними линиями стенки и полок, после чего к ординатам эпюры депланации средних линий, распространенных на всю толщину, добавляются ординаты эпюр стенки и полок, построен¬ ные как для удлиненных прямоугольников (на рисун¬ ке слева). На рис. 5.26,е вместо (a+“j&) следует читатьЭпюры единичной депланации при свободном кручении для тонкостенных сеченийФункция депланации для средней линии тонкостен¬ ного сечения изображается в виде эпюры, называемой эпюрой единичной депланации. Для перехода к фак¬ тической депланации ординаты эпюры умножаются на ( ^к) •В случае открытого (односвязного) сечения эпюра единичной депланации совпадает с эпюрой секториа- льных площадей <»>, построенной при полюсе в центре закручивания и начальной точке, в которой продольное перемещение равно нулю.В случае замкнутого (двухсвязного или многосвяз¬ ного) сечения эпюра единичной дэпланации совпадаетс эпюрой также построенной при полюсе в центре закручивания и начальной точке, в которой продольное перемещение равно нулю.Эпюры (о и со, использованные при определении центра изгиба тонкостенного сечения, имеют четкий механический смысл — в качестве эпюр единичной деп¬ ланации при свободном кручении.Среди открытых сечений недепланирующими явля¬ ются сечения типа пучка, состоящие из прямых стенок, пересекающихся в одной точке, которая совпадает с центром изгиба (уголок, тавр, крест).Среди замкнутых сечений не депланируют сечения в форме многоугольника, описанного около окружности при постоянной толщине стенок, треугольные сечения при произвольной толщине стенок, прямоугольное сече¬ ние при одинаковой приведенной длине стенок (см. выше) и др.По толщине стенок незначительная депланация имеет место во всех случаях.5.3.9.	Стесненное кручениеОсновные положения. Понятие стесненного кручения относится к брусьям с депланирующим сечением (см,5.3.8). Различают несколько видов стеснения. Депла¬ нация при свободном кручении пропорциональна отно¬ сительному углу закручивания &к. Изменение этого угла вследствие изменения крутящего момента по длине бруса вызывает приращение длины одних и сок¬ ращение длины других продольных волокон и одновре¬ менно появление нормальных напряжений в попереч¬ ных сечениях (внутреннее стеснение). Заделка торца или приварка планки, препятствующей взаимному продольному смещению продольных краев разрезанной трубы или взаимному вращению полок швеллера или двутавра при кручении, создает местное стеснение, влияние которого затухает с удалением от места стес¬ нения. Устройство решетки или часто расположенных планок, соединяющих ветви или полки, создает непре¬ рывное стеснение, в известной степени изменяющее характер поперечного сечения бруса, превращающее брус с открытым сечением как бы в брус с трубчатым сечением.Всякое стеснение повышает крутильную жесткость бруса: со сплошным или с замкнутым сечением — в малой степени, с открытым сечением — в большой степени. Несущая способность открытых сечений при учете стеснения возрастает.Практически стеснение учитывается лишь при кру¬ чении брусьев с открытым сечением и сильно разви¬ тыми полками (двутавр, швеллер, зетовый профиль), реже — при расчете брусьев с замкнутым, сильно вы¬ тянутым в одном направлении сечением.Основная гипотеза: нормальные напряжения стеснен¬ ного кручения в различных точках сечения пропорцио¬ нальны значениям функции депланации f(x, у)ч в слу¬ чае тонкостенного сечения — ординатам эпюры единич¬ ной депланации <*> или <о. В дальнейшем формулы записываются для .Совокупность нормальных усилий стесненного круче¬ ния в каждом сечении эквивалентна нулю, т. е. моменты усилий Мх, Му и продольная сила N равны нулю, откудаJ <оу dF = 0 ; J <ах dF = 0; J* <о dF = 0. (5.85) F	f	fЗакручивание происходит вокруг центра изгиба, так как первые две зависимости совпадают с условия¬ ми аннулирования крутящих моментов касательных усилий изгиба относительно центра изгиба гсм. фор* мулы (5.60) и 5.72)]. Третья зависимость дает началь¬ ную точку эпюры w.Эпюра о», удовлетворяющая требованиям (5.85), называется главной эпюрой единичной депланации иобозначается <•> или w без штрихов. Она дает закон распределений нормальных напряжений по сечению.На рис. 5.26 функции депланации и эпюры «и <■> — главные.Касательные напряжения или погонные усилия оп¬ ределяются из условий равновесия аналогично попе¬ речному изгибу. Совокупность касательных усилий эквивалентна крутящему моменту стесненного крученияМк (другое обозначение ). Последний составляет часть полного крутящего момента Л4К, другая часть которого равна крутящему моменту свободного круче¬ ния Мк (другое обозначение Ма ). Если жесткость свободного кручения очень мала (открытый _профильиз тонкого листового материала), то Мк-^О и Мк—Мк. Этот случай для расчета является наиболее простым,
218РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВгак как эпюры усилий строятся элементарно (см. 5.10.1).Напряжения	и усилия qm определяются поформулам, аналогичным формулам напряжений изги¬ ба от М х и Q у:в	м -“; Яш=± — 5ш •(5.86)В кгсм2—бимомент, специальное самоуравнове- шенное усилие, л которого зависят нормальные напряжения1. Производная от бимомента при наличии только крутящих пар равна крутящему моменту стес¬ ненного кручения. Аналогично зависимости М'х = eQy здесьВ' = ЙК.	(5.87)Элюра В_ представляет собой интегральную кривуюот эпюры Мк . Ординаты эпюрыравны площадямпозади лежащих частей эпюры Мк плюс начальное значение В. В случае двутавра (рис. 5.27) бимомент —не что иное, как момент уравновешенной пары момен¬ тов, изгибающих полки в разные стороны в их плос¬ костях:B = Mnh.	(5.88)Бимомент считается положительным, если в точке с положительной ординатой о> он вызывает отрица¬ тельное (сжимающее) напряжение. Если смотреть на верхнюю полку двутавра сверху (рис. 5.27,а) или на переднюю полку двутавра спереди (рис. 5.30,6), то правило знаков для бимомента совпадает с правилом знаков момента, изгибающего полку.Вычисление усилий В,МК, Мк в различных случаях см. 5.10.Геометрическая характеристика сечения при стес¬ ненном кручении/ш = j <*>2dF = j (o2t ds смe	(5.89)F	sназывается бимоментом инерции сечения, иначе — секто- риальным моментом инерции сечения. Для двутавра /ш равен моменту инерции моментов полок: h2 h2•	(5.90)для массивных сеченийL=$jU(x<y)Yidxdy-	(5-91)Для тонкостенных сече::ий /ш вычисляется гутем«перемножения» эпюры на эпюру w. В случаеломаной средней линии эпюра <»> (или <«>) состоит из трапеций:L =	St ( "л + ША ШВ + “!)• (5-92)Здесь (й^и (ой —концевые ординаты трапеции, s — длина, t — толщина участка стенки.Максимальное нормальное на-пряжениеВ	IWИРщ называется бимоментом сопротивления, иначе секто¬ рным мi	форму.риальным моментом сопротивления.В формуле (5.86) величина единичного усилия qпри/а1 Распространен также термин .мзги&нэ-крутящий бим.оментв.£l = l<*dF*=l<*tds смк (5.94) р*	S*называется статическим бимоментом, иначе — секто- риальным статическим моментом. Он равен пло¬ щади части эпюры t, лежащей по одну сторону от исследуемой точки средней линии; в случае замкнуто¬ го сечения — от точки, где q=0, до исследуемой точки средней линии.Рекомендуется построить эпюру & t и, вычисляя последовательные площади этой эпюры, построить эпюру 5^. Знаков на этой эпюре не ставят. Стрелки единичных погонных усилий	направляют к краю,если эпюра <•> имеет на крае знак (+), и от края, если эпюра <•> имеет знак (—). В этом случае в фор¬ муле (5.86) для qш берется знак (+).Указания к построению главной эпюры <» или <о.О	нахождении центра изгиба О при помощи эпюр <*>' или для произвольного полюса О' и произвольной начальной точки Я' см. 5.3.5 и 5.3.6. Взяв полюс О, снова строят эпюру о»" при прежней или новой про¬ извольной начальной точке Я". Ординаты эпюры ум¬ ножают на t и подсчитывают площадь 5всей эпюры <*>'7. Чтобы аннулировать	и тем превра¬тить эпюру о)" в главную, из всех ординат *>" вычи¬ тают постоянную величину %. Окончательно:сff	Ц	И	(JQ ^(0=0) 	 (Он ,	00н = —-р	 .	(5 .95)Ординаты полученной главной эпюры ^ снова ум¬ ножаются на t. Элюра <*> t используется для нахож¬ дения 1Ш и для построения эпюры .При наличии оси симметрии начальную точку берут на этой оси, что обеспечивает соблюдение условия = =0. Две оси симметрии сразу дают и центр изгиба, и несколько начальных точек (рис. 5.26).На рис. 5.28, а, б даны эпюры «>, S* для дву¬ таврового и швеллерного сечений, на рис. 5.28,в —(о для симметричного прямоугольного коробчатого сечения и приведены формулы для геометрических ха¬ рактеристик, используемых в 5.10.В табл. 7.5 приведены данные для распространен¬ ных типов составных сеченийВ табл. 7-6 приведены геометрические характери¬ стики стесненного и свободного кручения для двутавров и швеллеров.
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИЙ В БРУСЬЯХ- 219Г*5N•О© ©из^чГРd = '3 Ъ6 +Ми'» = if [hth+ ™ь+2 (b—dfРис. 5.285.3.10. Сложное сопротивление тонкостенных брусьев. Приведение нагрузок к типам усилийНормальное напряжение в сечении вычисляется по четырехчленной формулеNМхВМуу Н	—/У к(5.96)Погонное касательное усилие, сопутствующее нор¬ мальным напряжениям, определяется по формулеЯ = Я о ±Qy о* . Q.Кsx±I- sry±(5.97)Здесь Яо — погонное усилие в точке средней линии сечения, принятой за начальную при вычислении каса¬ тельных усилий. При открытом сечении начальная точка берется на свободном крае и до — 0. Остальные обозначения см. 5.3.9.Кроме касательных усилий, сопутствующих нор¬ мальным, в сечении действуют касательные напряже¬ ния свободного кручения, зависящие от крутящего момента свободного кручения Мк.Построение эпюр N, МХУ Му, Q^Qx^n эпюры сум¬ марных крутящих моментов Мк—Мк-\-Мк делается по общим правилам. Построение эпюр Мк, Мк и В ом. 5.10.Построению эпюр предшествует приведение негру- - зок к семи типам усилий (/V, Мх, My, Qv, Qx , В). Со¬ средоточенная сила, приложенная к сечению, раскладыва¬ ется на два компонента: Р — ь плоскости сечения и— bt\ см*. з Ь1	4 \ Ь' + h’ )	48[ bth - htH \аF ~ 2 (btb + hth) CMi ;V- = (-"--У ) *\ bth + htb Ib lhcm* ;GE192Fs*u-2.ык + htbк(P{h + htb) CM' ' s*m (Я) = -^(&*+3bh A +2ft*) ;6s„ \	h Js =2(— + —V \(b 'ft jРис. 5.29P2 —перпендикулярно плоскости сечения (рис. 5.29). Сила Р переносится параллельно в центр изгиба О с добавлением сосредоточенного крутящего момента LK = Pd. Затем Р раскладывается на компоненты Ру и Рх параллельно главным центральным осям у, х. Положительное направление компонентов LKf Ру,Рх соответствует отрицательным скачкам в эпюрах MKf Qy, Qx. Сила Р2 переносится в центр тяжести сечения О с добавлением сосредоточенных моментов • Lx=—Р2у и Ly=Pzx. Кроме того, сила Р2 вызы¬ вает сосредоточенный би момент С——Р2ы, где <*> — ордината главной эпюры w в точке средней линии, где приложена сила Р2. Следует иметь в виду, что при нескольких силах Р2 их нельзя заменить одной
220РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВравнодействующей. Сила Pz может быть приложена и к отростку стенки и тогда эпюра ш должна быть продолжена на отросток. Сосредоточенные компонен¬ ты Pz>Lx,Lyy С считаются положительными, когда их направление соответствует положительным скачкам (приращениям) величин N, Мх,Му, В при движении вдоль оси бруса.Сосредоточенная растягивающая сила Рz на торце тонкостенного бруса вызывает на этом торце усилияN — Pz\ Мх = — Ргу\ Му = Ргх ; В = — Pz'».Пользуясь правилами для сосредоточенной силы, приводят и распределенные нагрузки к типам усилий. Так, пошнная растягивающая нагрузка Pz(s)> распре¬ деленная вдоль средней линии свободного торца, дает усилия на торце:N=§ptds; Мх = — j pyt ds; My=fpxtds; s	sВ = — j putds.В случае замкнутого профиля со заменяется че¬ рез со.Закручивание вызывают только нагрузки, сводящие¬ ся к Lk и С или к аналогичным распределенным нагруз¬ кам.5.4.	КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ БРУСЬЕВ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ5.4.1.	Основные определенияСтержневой системой называется неизменяемая (неподвижная) система брусьев, предназначенная для восприятия нагрузки и передачи ее на опоры, распо¬ ложенные на большем или меньшем расстоянии друг от друга. Стержневые системы являются расчетными схемами многочисленных и разнообразных типов ин¬ женерных сооружений. В большинстве сооружений можно выделить главные и вспомогательные, преиму¬ щественно плоские несущие конструкции, соединяемые в одно пространственное целое при помощи специаль¬ ных связей, а также вспомогательных балок, прогонов и плит. Расстояние между опорами плоской несущей конструкции называется ее пролетом. Длина консоли называется ее вылетом.Система называется статически определимой (с. о.), если усилия в сечениях брусьев могут быть однозначно определены путем решения уравнений равновесия ча¬ стей системы, отделенных мысленно разрезами. К усилиям здесь причисляются также реакции опор, ко¬ торые в зависимости от числа и характера осуществ¬ ляемых ими связей всегда могут быть представлены в виде одного или нескольких стерженьков, одной или нескольких моментных связей. С. о. система является неподвижной системой с минимальным (необходимым и достаточным) числом связей: уменьшение числа свя¬ зей превращает систему в механизм или кинематиче¬ скую цепь, увеличение числа связей, введение так на¬ зываемых лишних связей, делает систему статически неопределимой (с. н.).Усилия в с. н. системе не могут быть определены из одних только уравнений равновесия, так как число независимых усилий превышает число независимых уравнений равновесия на число лишних связей. Напри¬ мер, если неизменяемый плоский диск прикреплен к другому диску четырьмя стержнями, то усилия в стерж¬ нях не могут быть определены из трех уравнений .равновесия диска — одного уравнения не хватает. Если хотя бы одним из усилий системы можно задать¬ся произвольно и получить конечные значения осталь¬ ных усилий из уравнений равновесия, то система яв¬ ляется статически неопределимой. Возможность напря¬ женного состояния при отсутствии нагрузки служит признаком статической неопределимости системы. Если в системе с минимальным числом свя¬ зей, которая должна быть статически определимой, также обнаруживается возможность самонапряженно- го состояния, то системд является мгновенно изменяе¬ мой и практически непригодной. Примеры: вырожден¬ ная трехшарнирная арка с шарнирами на одном уров¬ не, соединение трех дисков тремя парами параллель¬ ных стержней или стержней, взаимно-пересекающихся в трех точках, лежащих на одной прямой, и т. п. В мгновенно изменяемой системе возможны перемещения при практически нулевых деформациях, при некоторых нагрузках возникают огромные усилия.Основное отличие с. о. системы от с. н. системы со¬ стоит в том, что в первой любые малые деформации брусьев являются возможными, нестесненными и неза¬ висимыми. С. о. ферму можно собрать при любых малых ошибках в длинах стержней, но дать стержням предварительное натяжение невозможно. Усилия в с. о. системе при заданной схеме и нагрузке не зави¬ сят ни от размеров сечений, ни от деформативных свойств материала. В с. н. системе, наоборот, малые деформации (например, температурные) вызывают усилия, на чем, в частности, основана возможность использования предварительного натяжения для регу¬ лирования напряжений. Малые заданные деформации с. н. системы возможны только совместно с некоторыми дополнительными (в частности, упругими) деформаци¬ ями: если считать брусья не деформирующимися от уси¬ лий, то дать с. н. системе местные деформации невоз¬ можно. При ошибках в длинах стержней собрать с. н. ферму можно только при условии обжатия или вытяжки всех или некоторых стержней. Усилия в с. н. системе в общем случае зависят от размеров сечений и свойств материала.Здесь имеются в виду температурные деформации, при которых сечения остаются плоскими, что соответ¬ ствует плоскому закону распределения температуры по сечению. При другом законе возникают температурные напряжения, не учитываемые технической теорией брусьев.Основной системой называется система, положенная в основу расчета заданной системы. Это понятие при¬ меняется как при с. о., так и при с. н. системе. В пер¬ вом случае основная система отличается от заданной расположением связей: преобразованная с. о. система рассматривается как простейшая основная система с переставленными связями. Пример: трехшарнирную арку заменяют балкой путем выключения ключевого шарнира и перерезания одного из горизонтальных опорных стерженьков. Усилие в этом стерженьке под¬ бирается из условия аннулирования изгибающего мо¬ мента в ключе (метод замены связей). В случае с. н. конструкции основная система может быть: а) стати¬ чески определимой, получаемой путем устранения (пе¬ ререзания) всех лишних связей; неизвестные усилия в лишних связях определяются из условий аннулирова¬ ния перемещений по направлениям лишних связей (метод сил); б) статически неопределимой с меньшим числом лишних связей, чем заданная система; метод тот же, но с меньшим числом неизвестных усилий;в)	статически неопределимой с большим числом свя¬ зей; неизвестными являются перемещения по направле¬ нию дополнительных связей (метод перемещений);г)	смешанной — полученной из заданной системы путем устранения одних и введения других связей; пример: свободная рамная эстакада превращается в «ферму» путем включения шарниров во всех узлах и введения
5.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ БРУСЬЕВ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ221горизонтального опорного стерженька на уровне ригеля, препятствующего смещению ригеля (смешанный метод).Основная гипотеза расчета достаточно жестких стержневых систем — принцип сложения действия сил и малых деформаций. Так как система предполагается жесткой, геометрическая конфигурация меняется незна¬ чительно, то усилия и перемещения определяются как суммы усилий и перемещений, найденных в результате рассмотрения раздельного действия факторов на основ¬ ную систему. В случае более гибкой системы иногда приходится вести расчет по деформированной схеме (см. раздел 16), когда принцип сложения действия сил частично или полностью нарушается (последнее при очень гибких конструкциях типа пружин, см. [105]).При расчете с. н. упругих систем на основе принци¬ па сложения действий 'нахождение лишних неизвест¬ ных (усилий, перемещений) приводит к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу неизвестных, иначе — сте¬ пени неопределимости системы. Если неизвестными являются усилия или реакции (метод сил) и выбира¬ ется с. о. основная система, то говорят о степени статической неопределимости. Если неизвестными яв¬ ляются перемещения или деформации связей, то го¬ ворят о степени кинематической неопределимости.5.4.2.	Виды систем [37, 109, 119, 120, 158, 160]БалкиБалкой называется брус, работающий преимущест¬ венно на изгиб.На рис. 5.30,а показаны однопролетные с. о. бал¬ ки—простая балка, консоль и балка с одним шар-а1 д£-—к 8	&—8^	IПIП1111111ттйs) i	£ I	0 I	1^ 1тгггт шш^ hi пп шип ill МпгшшпгЯ^ 41 .4 ь	х";' JJn 1111 > 11111 i^i 111111 mrn^i 11111 и 111 i^tti r r rim 11 i**i 111 i4	X*—HZ	IT	г/^|]|||П|Г||М||||||у,П1||1М1|Ш1ПГММ11П11||нГПГр31 i % Z. X JT^ И1111111H1111' ТП Г1 rn 111111"111111J111111 l"l 11111111111 ir“T 1 IРис. 5.301ирно опертым и другим защемленным в отношении шворота и свободным в отношении поступательного ■ремещения концом. Последний тип опирания харак- физует работу полови.ны простой балки двой-ного юлета при симметричной нагрузке. Первая и третья 1лки на рис. 5.30, а могут иметь консоли.На рис. 5.30, б показаны с. н. балки: однократно н. балка с одним защемленным и другим шарнирно- (ертым концом, однократно с. н. балка с одним полно¬стью защемленным и другим защемленным в отношении поворота и свободным в отношении поступательного пе¬ ремещения концом и дважды с. н. балка с обоими за¬ щемленными концами (один из концов сохраняет про¬ дольную подвижность).На рис. 5.30, в, г, д, показаны многопролетные бал¬ ки. Все опоры за исключением одной — продольно подвижные. Это делает балку статически определимой для продольных сил и освобождает ее от температур¬ ных напряжений при равномерном нагреве независи¬ мо от того, является ли балка в целом статически определимой или статически неопределимой.На рис. 5.30,в — с. о. система простых балок; на рис. 5.30,г — с. о. многопролетная шарнирно-консоль¬ ная балка; на рис. 5.30,д — с. н. неразрезная балка. Обычно в качестве основной системы принимается с. о. балка по рис. 5.30,в. Лишние неизвестные — опорные моменты. Число их равно числу включаемых шарни¬ ров. Цель применения шарнирно-консольных и неразрез¬ ных балок взамен простых — уменьшение расчетных мо¬ ментов главным образом от постоянной нагрузки, упро¬ щение конструкции опор.На рис. 5,30, а\ б\ в\ гд' показаны взаимные (иначе — фиктивные, моделирующие) абсолютно же¬ сткие балки на упругом основании, делающие более наглядным определение перемещений с. о. балок и усилий с. н. балок на основе статико-кинематической аналогии. Опоре соответствует шарнир взаимной бал¬ ки, шарниру — опора, защемлению при повороте — опора, допускающая свободное вертикальное смеще¬ ние, и, наоборот, полному защемлению конца соответст¬ вует свободный конец, свободному концу—полностью защемленный. Гибкости балки при изгибе соответству¬ ет отпорность упругого основания 1 /£/ = £. Степени ста¬ тической неопределимости балки соответствует сте¬ пень кинематической неопределимости балки взаимной, и наоборот. При пользовании взаимной балкой для оп¬ ределения прогибов с. о. балки по так называемому графоаналитическому методу упругое основание можно не изображать, так как реакция его не возникает. При определении опорных моментов с. н. балок необходимо учесть упругое основание взаимной балки.Кроме жестких опор и защемлений и идеальных шарниров, встречаются упруго оседающие и упруго по¬ ворачивающиеся опоры. Во взаимных балках им со¬ ответствуют взаимные опоры соответствующей отпорно- сти (см. 5.1.8 табл. 5.4). Для перекрестных балок и ба¬ лочных клеток (ростверков) статико-кинематическая аналогия имеет меньшее практическое значение. Здесь важнее аналогия с работой ортотропных пластинок.АркиАркой называется кривой брус, обращенный выпук¬ лостью кверху, имеющий по концам неподвижные опо¬ ры, обычно расположенные на одном уровне. Для арок характерны наклонные, обращенные внутрь реакции при вертикальной нагрузке. Горизонтальная составляющая опорной реакции называется распором. Иногда одну из опор устраивают продольно подвижной, а ра-спор вос¬ принимают затяжкой. Основными усилиями в арке яв¬ ляются сжимающие нормальные силы, приложенные с большим или меньшим эксцентрицитетом. При рацио¬ нально выбранном очертании оси арки эксцентрицитеты имеют минимальное значение и арка работает в более выгодных условиях.Рациональная ось арки в первом приближении, ког¬ да изменение формы оси от действия нагрузки не учи¬ тывается, совпадает с эпюрой моментов балки того же пролета—с ординатами, умноженными на произвольное число. При нагрузке, равномерно распределенной вдоль
222РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВгоризонтальной проекции арки, рациональная ось пред¬ ставляет собой параболу второй степени. Распор арки обратно пропорционален ее высоте (стреле подъема).Арки конструируются статически определимые и статически неопределимые. С. о. трехшарнирные арки требуют устройства специальных шарниров. Бесшарнир- ная арка (трижды статически неопределимая при на¬ грузке в плоскости кривизны) весьма чувствительна к изменению температуры. Промежуточное место зани¬ мает однажды статически неопределимая двухшарнир¬ ная арка. Одношарнирная арка (дважды статически неопределимая) применяется редко. В процессе произ¬ водства работ возможны различные типы напряженного состояния арки, отличные от ее работы в законченном виде. Иногда одиночная арка работает на нагрузку, перпендикулярную плоскости кривизны. Подобная на¬ грузка для эркерных балок является основной нагруз¬ кой. Степень статической неопределимости арки под такой нагрузкой зависит от числа шарниров, оси кото¬ рых лежат в плоскости кривизны. При трех шарнирах арка статически определима.На рис. 5.31 в левом столбце показаны схемы арок и расположение шарниров при работе арки в плоскости кривизны. Степень статической неопределимости поме¬ чена числами в кружках. Нижние шарниры А и Вобычно совпадают с торцами тела арки и называются пятовыми шарнирами, верхний шарнир С — ключевым шарниром. Шарниры At В, С не должны лежать на од¬ ной прямой. При пострвении схем взаимных абсолютно жестких брусьев на упругом основании (см. 5.1.8) за¬ щемления пят отбрасываются, а шарниры заменяются опорными стержнями вдоль осей шарниров. Трехшар¬ нирной арке соответствует брус на трех опорах Л, В, С; бесшарнирной арке — брус, опертый только на упру¬ гое основание.В правом столбце рис. 5.31 показаны варианты распо¬ ложения шарниров при работе арки перпендикулярно ее плоскости. Оси шарниров а, 6, с не должны пересе¬ каться в одной точке, оси шарниров а, b не двлжны сли¬ ваться. Здесь взаимные брусья оперты на упругое ос¬ нование и опорные стержни а, Ъу с — в своей плоскости.РамыРамой называется система брусьев, жестко соеди¬ ненных в узлах. Обычно рамы состоят из горизонталь¬ ных ригелей (балок или пологих арок, иногда ломано¬ го очертания) и вертикальных стоек (колонн) и могут перекрывать один или несколько пролетов, иметь один или несколько этажей.Многопролетные и многоэтажные рамы, как прави¬ ло, многократно статически неопределимы. С. о. схемы используются для предварительных расчетов, а также в качестве основных систем при расчете с. н. рам по методу сил. Для превращения плоской и нагруженной в своей плоскости рамы в статически определимую в каждый замкнутый контур включают три шарнира. Сквозные узловые шарниры эквивалентны стольким простым шарнирам, сколько брусьев сходится в узле, минус единица. Кроме того, основные системы образу¬ ют путем проведения сквозных разрезов, что рассмат¬ ривается как ликвидация трех связей в плоскости, или шести связей в пространстве путем замены шарнирно неподвижных опор шарнирно подвижными и т. п.На рис. 5.32,а,б,в показаны простые рамы, эстака¬ ды и многоэтажные («этажерочные») рамы как стати¬ чески определимые, так и статически неопределимые. Степень статической неопределимости отмечена цифрами в кружках. Она равна утроенному числу кон¬ туров минус число простых шарниров.На рис. 5.32,г—многопролетная многоэтажная ра¬ ма. Как правило, расчет таких рам ведется методом@перемещений, эффективность которого обусловлена пренебрежением упругими деформациями удлинения и сдвига. Число неизвестных углов поворота жестких узлов равно числу узлов (20), число неизвестных ли-» нейных перемещений равно числу ригелей (5), общая степень кинематической неопределимости, равная 25 (отмечена цифрой в квадратике), меньше степени ста¬ тической неопределимости (45). Для анализа много¬ клеточных рам полезной оказывается аналогия с рабо¬ той ортотропных балок-стенок.При расчете рам большую роль играет учет симмет¬ рии, позволяющий разделить систему уравнений дефор¬ мации или равновесия на независимые группы и тем облегчить трудоемкий процесс решения большого числа совместных уравнений.ФермыФермой называется стержневая система, остающая¬ ся неизменяемой, если все стержни считать шарнирно соединенными в узлах. При узловой нагрузке в стерж¬ нях фермы возникают только продольные (осевы-е) уси¬ лия. Для фермы характерны треугольные поля. Неизме¬ няемость фермы носит геометрический характер, связан¬ ный с неизменяемостью плоской сети треугольников при сохранении длин их стврон и с неизменяемостью вы¬ пуклых многогранников с плоскими гранями при сохра¬ нении фигур граней в своих плоскостях (теорема Коши).
5.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ БРУСЬЕВ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ223Простейшие с, о. фермы образуются последователь¬ ным присоединением узлов двумя стержнями (плоские фермы) и последовательным присоединением узлов тремя стержнями (пространственные фермы).Преобразованные с. о. фермы (в том числе и пред¬ ставляющие жесткое целое, прикрепленные стержнями к земле) получаются путем замены (перестановки) стер¬ жней простейших ферм. Таким способом, например, легко преобразовать ферму-консоль в балочную ферму (одна перестановка) и в трехшарнирную арочную ферму (две перестановки).Работа плоской фермы имеет много общих черт с работой тонкостенной балки двутаврового профиля. Для удлиненных пространственных трех- и четырех¬ гранных ферм пролетных строений, башен и стрел кра¬ нов и мачт электропередач существенна аналогия с тонкостенными брусьями открытого или замкнутого профиля. Более сложные пространственные фермы ти¬ па купольных и цилиндрических покрытий имеют сво¬ им аналогом безмоментные оболочки. Анализ ферм ча¬ сто упрощается при замене раскосов решетки тонкой сте’нкой в предположении, что между стенкой и окайм¬ ляющими стержнями (пояса и стойки) возникают толь¬ ко сдвигающие усилия. В отдельных случаях тонкостен¬ ные фермы имеют самостоятельное значение, помимо использования их как расчетной модели (см. [10,158, 167]).С. н. фермы с лишними опорными связями подраз¬ деляются на те же типы, что и балки, арки и рамы. Внутренне с. н. фермы (например, с перекрестными раскосами) в настоящее время встречаются редко. Под¬ робно о расчете ферм см. раздел 10.Комбинированные системы(рис. 5.33)Содержат брусья, работающие на все виды усилий, и стержни, работающие только на продольную силу. Сюда же относятся вантовые системы со стержнями изтросов, работающих только на растяжение. К простым комбинированным системам относятся балки со шпрен- гелями и подкосами (рис. 5,33,а), рамы с подкосами, заменяющими жесткие узлы, рамы с решетчатым риге¬ лем (рис. 5.33,в) и сплошными стойками и, наоборот, со сплошным ригелем и решетчатыми стойками и т. п. Для более сложных комбинированных систем характерно на¬ личие жесткой балки и шарнирно-стержневого полиго¬ на (цепи или гибкой арки), соединенного с балкой стержнями (рис. 5.33,г) (см. 5.11.2). Цепь или арка имеет самостоятельные опоры, воспринимающие распор, либо передает свой распор балке (рис. 5.33,6). В обоих случаях стержневой полигон вызывает в балке отрица¬ тельные моменты, пропорциональные ординатам поли¬ гона, уменьшающие моменты от нагрузки. В случае цепи распор, передающийся балке, сжимает ее, в слу¬ чае арки — растягивает. Если балка не имеет шарниров (с. н. комбинированная система), то цепи можно дать предварительное натяжение и подобрать наиболее вы¬ годное распределение моментов.В последнее время для перекрытия стадионов пред¬ ложены вантовые системы с передачей распора на кон¬ струкции трибун (рис. 5.33,д). Для перекрытия выста¬ вочных павильонов проектируются комбинированные арки, состоящие из дуги-ригеля и четырех стоек (рис. 5.33,ж). Точки пересечения стоек играют роль пятовых шарниров двухшарнирной арки.Спаренные плоские системы (биконстру.кции)Спаривание при помощи решетки продольных и по¬ перечных связей преследует задачи: 1) превращение двух плоских, жестких только в своих плоскостях си¬ стем в одно пространственно неизменяемое целое; 2) приспособление двух опертых плоских несущих кон¬ струкций при помощи связей и дополнительных опор¬ ных стержней к восприятию нагрузки, не лежащей в их плоскостях.На рис. 5.34 показаны передние плоские системы и раскосы связей в виде линий, параллельных поясам. Черточками отмечен узел примыкания раскоса связей к передней системе. Предполагается, что распорки свя¬ зей имеются во всех узлах. В боковых проекциях по¬ казан левьгй торцовый раскос связей. При другом на¬ правлении раскосов связей положение черточек соот¬ ветствующим образом изменяется.<од)~т- —гг-тт-тI I	Г-71ГТТТ!Рис. 5.34На рис. 5.34,а показана трехгранная пространствен¬ ная ферма с тремя поясами и тремя решетками из рас¬ косов и распорок (стоек) в трех гранях. Ферму можно также считать составленной из двух боковых плоских ферм со слитыми верхними поясами и решетки нижних связей. На рис. 5.34,6 — две плоские фермы соединены верхними, нижними и поперечными торцовыми связями. Неизменяемость торцов может быть вместо раскосов обеспечена также жесткими рамами. На рис. 5.34,в — две плоские фермы соединены верхними продольными и поперечными связями во всех узлах. Система аналогич¬ на тонкостенному швеллеру с нулевой жесткостью сво¬ бодного кручения, обладающему одной степенью свобо¬ ды деформации в виде скручивания. Для неизменяе¬ мости добавлен раскос связей, отмеченный буквой m, эквивалентный планке, препятствующей депланации, а значит, и скручиванию. Эти жесткие системы требуют для с. о. прикрепления шести стержней, причем не бо¬ лее трех стержней могут быть вертикальными (и вооб¬ ще параллельными). Наличие четырех вертикальных стержней при трех горизонтальных делает систему од¬ нократно статически неопределимой.Практически пролетные строения имеют восемь опор¬ ных стержней — по три на каждую плоскую ферму в ее
224РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВплоскости и два упорных стержня, перпендикулярных плоскости ферм. При наличии верхних и нижних про¬ дольных и торцовых поперечных связей для статической определимости следует прервать связи в двух местах (удалить два раскоса), обеспечив передачу поперечной силы в связях на упорные стержни G и Я (рис. 5.34,г). При наличии только верхних (или нижних) продольных связей и поперечных связей во всех узлах достаточно сделать один разрыв в связях (рис. 5.34,д).На рис. 5.34,е, ж показаны статически определимая и 7 раз статически неопределимая биарки. Неизвестны¬ ми во втором случае являются шесть изгибающих моментов в местах шарниров основной системы и горизонтальная поперечная сила в месте разрыва связей. Подробно о расчете биконструкций см. [158].5.4.3.	Статический метод определения перемещений и кинематический метод определения усилий на примере балки. Инфлюенты (линии и поверхности влияния)[19, 119, 120, 153, 154]Методы основаны на использовании начала воз¬ можных перемещений (см. 2.3.3). Рассматриваются два не связанных между собой состояния стержневой системы: одно, удовлетворяющее условиям равновесия (статически возможное состояние), и другое, удовлет¬ воряющее условиям совместности деформаций (геомет¬ рически возможное состояние)1. Так, например, для балки, нагруженной в своей плоскости (продольные силы отсутствуют), первое состояние характеризуется нагрузками Р, L, р, т и усилиями Q, М, а второе — деформациями Г, 0, .7, & и перемещениями vy 0 (см. 5.1.4) В применении к находящейся в равновесии деформируемой системе начало возможных перемеще¬ ний (уравнение работ) формулируется так: работа на¬ грузок первого состояния на перемещениях второго со¬ стояния, сложенная с работой усилий первого состоя¬ ния на деформациях второго состояния, равна нулю.Уравнение работ для балки или балочной системы после переноса работы усилий в правую часть и изме¬ нения порядка множителей имеет видЕ Р1 vu -f Е L1 ср11 -f- j р1 и11 ds -f- j* /721 ср11 ds =S	S= Е ©"М1 + 2 г" Q1 + ]■ 9nM' ds + J 7й О1 ds. (5.98)SПорядок сомножителей в правой части взят соот¬ ветствующим статико-кинематической аналогии с левой частью.В случае системы общего вида добавляются слагае¬ мые, выражающие работу продольных и крутящих уси¬ лий на соответствующих деформациях.Статический метод определения перемещения в статически определимой системеДеформации предполагаются известными или зара¬ нее определенными по усилиям, если речь идет о си¬ ловых деформациях. Например, для произвольно на¬ груженной упругой балки должны быть построеныМ	Оэпюры 9 = -—-и 7=	. Деформированное состоя-EI	GFy1 Речь идет о любых весьма малых деформациях, а не толь¬ко упругих.ние балки принимается за второе состояние. Первое со¬ стояние, вспомогательное, подбирается так, чтобы ле¬ вая часть уравнения (5.98) была равна искомому пере¬ мещению. Если требуется найти прогиб v в определен¬ ном сечении, то система нагружается приложенной в этом сечении единственной силой Р, равной безразмер¬ ной единице. Усилия от этой воображаемой вспомога¬ тельной нагрузки (так называемые единичные усилия) обозначаются М и Q. Тогдау = Еел?+Ег<э + ]‘&лГ* + Jfyrfs. (5 99)5	SЕсли дислокации отсутствуют (6 = Г=0) и опреде¬ ляется упругий прогиб, тоV = J ~еГ J ~GF~^ds' (5' 10°)S	S	УЭто частный случай формулы Максвелла — Мора для балки.Этими же формулами определяется угол поворота сечения <р, но во вспомогательном состоянии вместо Р= 1 берется L= 1 (сосредоточенный момент, численно равный безразмерной единице). Размерность усилий определяется размерностью вспомогательной нагрузки. Для фермы формула Максвелла — Мора принимает вид (см. 10.1.4):др=Е^-- <5лоо,>Кинематический метод определенияусилия в статически определимой системеИзвестные нагрузки и неизвестное усилие относят к первому состоянию. Во втором, вспомогательном, со¬ стоянии задаются единственной дислокацией, равной безразмерной единице, соответствующей искомому уси¬ лию. Если требуется найти изгибающий момент М, то берут 0 = 1 в исследуемом сечении; если ищут Q, то берут Г =1 (единичный безразмерный сдвиг). Из гео¬ метрических (кинематических) соображений определя¬ ют перемещения во вспомогательном состоянии по на¬ правлениям нагрузок действительного состояния. Эти «единичные» перемещения обозначают v, <р ,.. Искомое усилиеМ = ЕРу + Е/лр4-|Pvds + j rriyds. (5.101)5	SУсилие равно работе нагрузок на перемещениях, вы¬ званных единичной дислокацией, соответствующей ис¬ комому усилию.На кинематическом методе основано построение так называемых инфлюент в широком смысле слова — обобщенных перемещений, позволяющих найти некото¬ рое усилие (или другой фактор) для определенного класса нагрузок. Например, инфлюентой усилия в ка¬ ком-нибудь стержне фермы для узловых нагрузок произвольного направления является совокупность век¬ торов — полных перемещений узлов от единичного без¬ размерного удлинения Л = 1 того стержня, усилие в котором разыскивается. При вертикальных нагрузках инфлюентой усилия является совокупность векторов •вертикальных перемещений. В обоих случаях задача решается построением диаграммы перемещений, или плана скоростей.Статический метод определения перемещений и ки¬ нематический метод определения усилий применимы и
6.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ БРУСЬЕВ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ225для упругих с. н. 'систем, поскольку перемещения яв¬ ляются достаточно малыми, а значит, системы подчи¬ нены принципу сложения действия сил и малых дефор¬ маций.	_ _Здесь единичные усилия М, Q,... не могут быть определены из одних только условий равновесия, так же как и единичные перемещения о, <р ,... не могут быть найдены только из геометрических соображений, поскольку дислокации вызывают упругие деформации всей системы. Для с. н. систем целесообразно пользо¬ ваться обобщенной теоремой о взаимности работ, охва¬ тывающей все особенности напряженного и деформи¬ рованного состояния произвольной упругой системы.Обобщенная теорема о взаимности работ активных факторов, действующих на упругую системуАктивными факторами называются нагрузки (сосре¬ доточенные и распределенные) и наперед заданные де¬ формации (сосредоточенные — дислокации и распреде¬ ленные, например, температурные). Силовые упругие распределенные деформации также могут быть отнесе¬ ны к активным факторам, если они подсчитаны для си¬ стемы с меньшим числом связей, например для с. о. основной системы. При введении упругих деформаций в качестве активных факторов породившие их нагрузки в уравнение не включаются.Рассматриваются два состояния упругой системы. Активные факторы, усилия и перемещения (пассивные факторы) первого состояния отмечаются индексом I, то же второго состояния — индексом II. Для балочной системы2	Р1 у11 + 2 Ll <рп + j* р1 и11 ds + | т1 <рп ds +S	S+ 2 e'jM11 + 2 r’Qu + J ^м" ds + j1 y'q" ds == 2 Я11 о1 + 2 Ltt <fl + J p11 P1 ds -f- J m"91 ds +S	S+ 2 611 Ml + 2 Гп Q'+J ds+ J i'lQlds . (5.102)S	SПри наличии продольных и крутящих усилий и де¬ формаций соответствующие слагаемые добавляются по аналогии. Для фермы теорема записывается так:2	Р1 д" + 2 Л1 Nn = 2 Р11 Д1 + 2л11 N1 . (5.103)Здесь А — перемещение узла, к которому прило¬ жена сила Р.Формулы для перемещения в упругой с. н. системеВторое состояние — действительное, первое состоя¬ ние — вспомогательное, Р1 =1 (безразмерная). Опуская индекс 11 для активных факторов действительного со¬ стояния и вводя черту для единичных пассивных фак¬ торов вспомогательного состояния, записываемv = YiPv + Е L <р + j* р vds -f Jm сpds -f- s	s+ 2e M + £rQ + j‘&Mrfs + JfQrfs. (5.104)s	SПеремещение равно сумме «произведений» активных факторов действительного состояния на соответствую¬ щие пассивные факторы (ординаты эпюр) единичного15	Зак. 2098вспомогательного состояния. Вычисление по этой фор¬ муле оправдано при массовых расчетах или при усло¬ вии, что значения и, ? (эпюры единичных прогибов и углов поворота) известны из таблиц или определяются другим способом, например путем интегрирования урав¬ нения изгиба балки, методом аналогий.В общем случае упругая деформация от нагрузок Р, L, р, т, подсчитанная для основной системы, рас¬ сматривается как активный фактор, первая строка в (5.104) отпадает:i/= 2елГ+ SrQ + j1» Mds+]“ fQds + s	s, с м° — г о° _+ J-JT^+j — <#,.	(5.105)S	SЗдесь Л4° и Q0—усилия в с. о. основной системе от заданных нагрузок либо с. н. системе с меньшим чис¬ лом связей, чем исследуемая. & и 7 — температурная и начальная деформации. Если в = Г = $ = 7 =0, тоС М° — ГО0 —0 = )-ErMds+}^rQds- (5Л05,)S	SПодчеркивается, что эпюры М, Q берутся для дейст¬ вительной системы со всеми лишними неизвестными.При определении упругого перемещения в с. н. си¬ стеме из (5.98) с учетом того, что первое (вспомогатель¬ ное) состояние должно удовлетворять только условиям равновесия, получается другая весьма важная формула:Г MM°ds Г QQ°ds	„(5106)S	SЗдесь Mt Q — усилия в действительной системе со всеми лишними связями, М°, Q0 — усилия в основной системе от единичной силы по направлению искомого перемеще¬ ния.Вообше перемещение может быть получено путем «перемножения» действительной и вспомогательной эпюр, построенных для двух систем, при условии, что в совокупности в обеих системах содержатся все связи заданной с* н. системы. Отдельные связи могут и повто¬ ряться. Обе эпюры могут быть построены для заданной системы.Формулы для усилия в с. н. системеПервое состояние — действительное, второе состоя¬ ние— вспомогательное, в11 *=1. Опуская индекс I для активных факторов действительного состояния и вводя двойную черту для пассивных факторов вспомогатель¬ ного, записываемM = SPtT+S^9+| pvds -j- j m~y ds +s	s+ 20Ж + 2Г5 + J + J-ф/s. (5.107)s	sПервая строка может быть опущена, но тогда в ка¬ честве активного фактора должна быть учтена упругая деформация основной системы:• jW = 2e^ + 2rQ+J‘&iWrfs + j7Q:Ss +-У	SС м° = С 0° =+ j—Ш! + j—(5.107')S	S
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ226 - ■ 		Если дислокации, а также температурные и началь¬ ные распределенные деформации отсутствуют, тоГ М° = Г 0° =M = J — AMs+ J	(5• 107")s	s УПрактическое использование формул (5.105)— (5.107"), даюших перемещения и усилия от произволь¬ ных нагрузок, требует_ предварительного определения единичных усилий М, Q или М, Q в с. н. системе, что представляет собой более простую задачу, чем опреде¬ ление усилий от сложной нагрузки.Теоремы о взаимности единичных перемещений и усилийОставляя по одному единичному активному фактору в I и II состояниях упругой системы, из (5.102) полу¬ чают ряд равенств, связывающих пассивные факторы и являющихся основой построения инфлюент как эпюр.а)Для балок (два перемещения и два усилия в сечении) число таких равенств равно 16. В общем случае стерж¬ невой системы с массивными брусьями (шесть переме¬ щений и шесть усилий в сечении) — 144.Абсцисса неподвижного сечения балки обозначается а, абсцисса произвольного сечения х; Q^x означает ве¬ личину Q в сечении а от действия активного .фактора Р= 1 в сечении х; Q^a означает Q в сечении х от дей¬ ствия активного фактора Р= 1 в сечении а. Инфлюента (линия влияния) имеет нижние индексы ах, эпюра име¬ ет нижние индексы ха.На рис. 5.35, а, б показан вид инфлюент-эпюр для простой балки и балки с защемленными концами и вы¬ писаны теоремы взаимности, дающие связь между ин- флюентами и эпюрами. Все скачки и все приращения тангенсов углов наклона численно равны единице. Для простой балки характерно прямолинейное очертание ветвей инфлюент усилий от действия сил и моментов и нулевые ординаты тех же инфлюент от действия дви¬ жущихся дислокаций.5)у--- - -iQa x=vxaQax = Ч’хаn 6 =M f uaxllxa&ax~Q-xaMax "11 ха- 11 + Max=<PxaM&-M&Max °@xaГ>ч 		1		 ■ 1<fax‘viaУах-Гы^\ f?x‘Mxafax *@xai- 1hM1?1 + VarxГ 	1+^<	nP -7 iruax ~ vXaQ-ax = fxaQ-ax'MxaQjx'Qxa1	~	11	+	1M£r-VxaMax*<pxaMax “MxaMax ~@xas<\ ^<1P I* (fax e UxaV<fax-fxa?ax=MxaPax^xap P4x-Vxa- iVax = fxaI +VaxII
5.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ БРУСЬЕВ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ227На рис. 5.35, в, 2, д даны инфлюенты краевых фак¬ торов простой балки, балки с одним защемленным и другим шарнирно опертым концами и балки с обоими защемленными концами от действия движущегося гру¬ за Р= 1. Надписанные на инфлюентах ординаты через 0,1/ попользуются для построения инфлюент неразрез¬ ных балок и рам.5.4.4. Метод потенциальной энергии1Работа, совершаемая нагрузкой упругой системы на ею же вызванных перемещениях (так называемая дей¬ ствительная работа), накапливается в системе в виде потенциальной энергии деформации и может быть ре¬ ализована в процессе разгрузки.Если система является достаточно жесткой, упругие перемещения малы по сравнению с геометрическими раз¬ мерами системы, то при условии подчинения элементар¬ ных деформаций закону Гука система оказывается линейно деформируемой: для системы в целом как бы действителен закон Гука о пропорциональности нагру¬ зок и вызванных ими перемещений. Для таких систем действителен принцип сложения. Потенциальная энер¬ гия деформации линейно деформируемой системы мо¬ жет быть выражена однородной функцией второй сте¬ пени от сосредоточенных нагрузок, погонная энергия брусьев выражается функцией второй степени от усилий или деформаций. Для гибких систем принцип сложе¬ ния частично или полностью недействителен: ^потенци¬ альная деформация перестает быть функцией второй степени. Ниже имеются в виду жесткие системы, если не сделано огоьорки.Обобщенными силами и перемещениями называются такие функции нагрузок и перемещений, произведение которых числеьно равно работе. Простейшие примеры сосредоточенная сила и прогиб по направлению силы, сосредоточенный момент и угол поворота сечения, ин¬ тенсивность равномерно распределенной нагрузки и площадь эпюры прогибов балки на протяжении нагруз- 1и и т. п.Выражение энергии деформации через обобщенные силы и обобщенные перемещенияУсловно рассматривается Салка, нагруженная тремя силами (рис. 5.36, а). При большем числе сил, а также при распределенной нагрузке формулы развертываются по аналогии.u = yp^' + ~Yp^ + Y Рз^ • (5 ■ 108>Выражение энергии деформации через силы и единичные перемещения (подат¬ ливости системы см. рис. 5.36, б, в, г)1R)1/°331S22 + 2в &2I» ^23 ~ &32 > $3 " ^3/Рис. 5.365зз ++ РХР2 512 + Р2Р3 $23 ++ Рз^181з- (5 • 109) При этом'12 = ^21» ^23 — ^32* °13=^31«1 См. также 2.3.2.Практически значения & заранее не известны, поэто¬ му и выражают через усилия.Выражение энергии деформации системы брусьев через усилияM2xdsEIи_±[*±+±[$±+±[2 J EF 2 J GF, 2 J^	S	S1	С Mlds ! f M2yds 1 CQ2xds2	J G/K 2 J £/y + 2 J QFX110)Интегрирование распространяется на все брусья си¬ стемы.Если отдельные брусья имеют упругое основание с силовой отпорностью к и моментной отпорностью с, то к энергии добавляются члены вида1 п «реакт	j ртреакт-)^j-ds+T) — ds+- (5ЛИГ)s	sВ случае расчета статически неопределимой системы (или при определении перемещений) усилия выражают¬ ся суммами усилий в основной системе от заданных на¬ грузок и от неизвестных (или воображаемых) сил, на¬ пример:	_	_М = Мр + Хг Мг + Х2 М2 + • • •Здесь Mi есть усилие М от Xi=l, М2— усилие М от Х2=\ и т. д.Теорема КастильяноЧастная производная от энергии деформации, выра¬ женной через независимые силы, взятия по силе, равна перемещению по направлению этой силы:dU . dU А dU А /с 111Ч	= Д1 • 		 До: 	= Дя- (5.Ill)дРг 1 дР2 2’ <ЭР3Силы являются независимыми, если каждую из них можно варьировать, сохраняя величины остальных не¬ изменными.Пример:r\T Т—— = Р2Ь22 + Р 1^21 + Р3^23 = ^2* дР2Формула для упругого перемещения, вытекающая из теоремы КастильяноА /Р =dU(r,OXiNpдЫ. /1EFИdXiСМХРдМх) Е1хdXt! +(5.112)Пр-актическое J использование теоремы Кастильяно для определения перемещений приводит к операциям, тождественным с операциями при использовании фор-15*
228РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ<мулы Максвелла — Мора [см. (5.100) и 5.7.4 формула <5.312) ]. Здесь также приходится рассмотреть действи¬ тельное и воображаемое (вспомогательное) состояния системы от нагрузки обобщенной силой Xi = 1 по на¬ правлению искомого перемещения и т. д.Теорема о минимуме энергии деформацииДана статически неопределимая система. Выбирает¬ ся неизменяемая с. о. или с. н. основная система. Пос¬ ледняя нагружается заданными нагрузками и лишними неизвестными Х\, Х2, Хз, ...Теорема утверждает, что, если лишние связи не по¬ лучают наперед заданных деформаций, то неизвестные Х\, Х2, Х3,... имеют величину, обращающую потенциаль¬ ную энергию деформации в минимум.Реализуя условия экстремума, получают канони¬ ческие уравнения метода сил:дУ (Р%ХиХ2,Х8)дХг-	0, или X^u + Х2Ь12 +dU(P,XltX2>X3)0;дХ2= 0 , ИЛИ ^1^21 ~\~ -^2^22 ++ ^3^23 ^2р — 0 ; dU(P,XltX2,X3)дХ3= 0, или ХгЬЯ1 -f- ХуЪ32 + ^з^зз ~Ь = 0.(5.113)Обычно сразу пишут уравнения в развернутом виде, а затем вычисляют коэффициенты и свободные члены.Случай заданных (температурных или начальных) деформацийТеорема Кастильяно и теорема о минимуме потен¬ циальной энергии деформации формально остаются в силе, если заменить U через U* = u—7\ где Т—работа усилий на заданных деформациях 7У,Т = — J Nlds — j Qy iyds — j Mxbxds	s	s	sНаперед заданные деформации могут быть также сосредоточенными (т. е. являться дислокациями).В случае осадок опор неразрезной балкиГ= — 2 VA.Здесь Vi — реакция опоры; А/ — осадка опоры.Выражение энергии деформации через перемещения или дислокацииЭнергия выражается через силы и вызванные ими перемещения по формуле (5.108). Здесь же перемещения Д рассматриваются как заданные осадки опор или дис¬ локации в опорных стерженьках, а силы — как реакции опор или усилия опорных стерженьков (рис. 5.37,а).Непосредственно через перемещения энергия выра¬ жается в видеU = — Aj Рц + А2 ^22 + ~2 ^33 * (5.114)Здесь Р\\ представляет собой реакцию опоры I от ее осадки Ai = l, когда осадки опор 2 и 3 равны нулю (рис. 5.37,6). Соответственно Р2ч и Р33 равны реакциям опор 2 и 3 при А, =0, Дг =1 * Дз=0 и Af = =0, Д3 =1 (рис. 5.37, виг). Расчет эквивалентен нахождению об¬ ратной матрицы канонических уравнений трехкратно с. н. неразрезной балки с неизвестными реакциями Р1=Хи Р?=Х2, Рз = Хз.Величины Рп, Р22, Рзз — главные коэффициенты об¬ ратной матрицы. С механической точки зрения, они представляют собой отпорности трижды с. н. системы по отношению к осадкам опор. Следует заметить, что осадка опоры / вы-Af A? Ajр>Т йг! lps =2^5/ P2l Р31р,г	Ъг ^Ра Pag Pl2~Pzi »Ргз=Рз2 * Ра-РяРис. 5.37зывает не только реак¬ цию опоры 1 (Рп), но и реакции опор 2 и 3 (со¬ ответственно Р21 и P3i).Имеют место соотно¬ шения: Р12 = Р2Г, Ргз==Рз2\ 7>13=Р31 (теорема взаимности реакций).Групповые обобщен¬ ные силы. Как указано, силы Р\у Р2, Рз рассма¬ триваются как обобщен¬ ные силы, частным слу¬ чаем которых являются сосредоточенные силы.Групповой силой называется совокупность обобщенных сил, связанных определенным соотношением компонен¬ тов; она характеризуется одним параметром, напри¬ мер величиной одной из сил группы.Групповые силы (Рп, Р21, Р31), (Р22, Р12, Р32), (Рзз. Р13, Р2з) обладают важным свойством ортогональности. Это значит, что работа одной из групповых сил на упругих перемещениях, вызванных другой групповой си¬ лой, равна нулю. При нагрузке системы подобными груп¬ повыми силами энергия деформации выражается в ви¬ де суммы квадратов (так как &i2=&23=&3i=0, члены, со¬ держащие произведения сил в выражении (5.109), пропадают). Если принять неизвестные с. н. системы в виде ортогональных групповых сил, канонические урав¬ нения получаются с разделенными неизвестными, и сов¬ местного решения уравнений не требуется. В общем' случае, однако, определение ортогональных групповых сил по сложности не отличается от решения системы канонических уравнений. В частных случаях (наличие симметрии, система, содержащая один замкнутый кон¬ тур) ортогонализация упрощается.Общий прием определения ортогональных групповых сил состоит в обращении матрицы коэффициентовТеорема о частных производных энергии деформации по дислокациям. Частная производная от энергии де¬ формации по осадке опоры (дислокации) равна опор¬ ной реакции (усилию)dU (AjAo, • . •)—4i—-*■ (5Л14'>Случай, когда, помимо дислокаций, действуют на¬ грузки. Теорема о частных производных остается в си¬ ле, если заменить энергию деформации так называемой полной энергией:Э = и — 7,где Т — работа нагрузок на перемещениях, вызванных дислокациями.Теорема об экстремуме полной энергииДана упругая система, например простая балка, не¬ сущая нагрузку р (рис. 5.38,а). Система дополнена во-
5.5. БАЛКИ229ображаемыми лишними связями, в данном случае — промежуточными опорами /, 2, 3, которым даны прину¬ дительные перемещения Д,, Д2,А3, не зависящие от на¬ грузки р. Действительные значения перемещений А», А2, А3, которые реализуются в отсутствии лишних опор, отвечают экстремуму полной энергии.Разумеется, величины Аь Д2, Д3, могут быть найде¬ ны непосредственно из рассмотрения системы без до¬ полнительно введенных связей. Однако теорема играет важнейшую роль в приближенных (вариационных) ме¬ тодах расчета, являясь основой вариационного принципа Лагранжа, метода Ритца—Тимошенко и др.Пример балки при сложном изгибе. Рассматривается балка на упругом основании с отпорностью нагружен¬ ная поперечной нагрузкой р и расгягивающеи силой Ne Потенциальная энергия деформации:u--?f£/(S-)!"+т1*ли-о	оРабота нагрузок:Полная потенциальная энергия системы равна\йхЧ\dx ]Ь'”)dx.(5.115)Здесь v = v(x)—прогиб, удовлетворяющий гранич¬ ным условиям, но не зависящий от р.Этот прогиб становится действительным прогибом, если Э приобретает экстремальное значение, т. е. вариа¬ ция^ при любых вариациях прогиба v обращается в нуль.Рассматривая Э как функционал 1Э = J F (x,v,vf ,v") dx,составляем уравнение Эйлера: dF d dF d2dFdv dx dv' dx% ov"Это дает дифференциальное уравнение сложного из¬ гиба балки в видеd*v	db)Ы	N-— + to-p.dx* dx*	rИнтегрирование уравнения с удовлетворением гра¬ ничным условием ба 1ки дает уравнение изепут®й леи (эпюры прогибов) балки.Приближенный метод Ритца — Тимошенко состоит в том, что прогиб аппроксимируется в виде ряда, каждый член которого удовлетворяет граничным условиям и про¬ порционален неизвестному параметру А$0/1«Л1<р1+Л2<р2-Ь'4з<рз+« • я-}-Апуп. (5.116)сpi= (х) — так называемые координаты функции,Подставляя этот ряд в выражение полной энергии (5.115), варьируя энер¬ гию отдельно по каждому параметру и приравнивая вариации нулю, получаем систему уравнений:dU dU	dU—=°;—=°;	(5.116')дА1 дА2	дАпРешая эти уравнения, находим Ах. Л2, ..., Ап*Случай нелинейно деформируемойсистемы, когда энергия деформации ие есть функция второй степени от нагрузокПри криволинейном законе деформирования, напри¬ мер показанном на рис. 5.38,6, соответствующем связи между нагрузкой Р и перемещением узла, прикреплен¬ ного почти вытянутыми з одну прямую стержнями (рис. 5.38, в), следует уточнить понятие энергии деформации.Обычно под U понимают вертикально заштрихован¬ ную площадь АОЛ (рис. 5.38,6):дU=[Pd£i.	(5.117)оОднако, если выразить эту площадь через Р и взять dUпроизводную , то она не окажется равной Д. Как по¬ казал Энгессер, в этом случае следует взять площадь РОА, заштрихованную горизонтально. «Дополнитель¬ ная» энергия, выражаемая этой площадью,р/? = j" AdP = РД — U	(5.117')Опри дифференцировании дает соответствующее переме¬ щениеdR— =Д.	(5.117">При прямолинейной диаграмме деформирования U — R и применение теоремы Кастильяно осложнения не вызывает.5.5. БАЛКИ5.5.1. Определение усилий и перемещений и построение эпюр в балках по методу начальных параметров [153, 27]Общие положенияУсилия Q и М определяют с целью расчета балки ва прочность, э эпюры Q и М строят с целью выяонемия опасных сечений Перемещения v (обычно только »тах> определяют с целью расчета балки на жесткость, а эпюры к и f строят гчавным обрядом от действия едк ничных факторов — в качестве инфлюент усилий.
230РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВВ практической работе целесообразно пользоваться в первую очередь готовыми табличными данными (см. 8.1.1) или универсальными формулами усилий и переме¬ щении (уравнениями эпюр), полученными путем инте¬ грирования системы дифференциальных уравнений рав¬ новесия и совместности деформаций по методу началь¬ ных параметров.Уравнения совместности' dy	Мdx	ElУравнения равновесия dQ dx <dM dx= — p + kv;■ = m + Q — c<f.dvrf7 = 7 + <p'QGFV(5.118)Уравнения (5.118) (дифференциальные зависимости изгиба) написаны с учетом силовой и моментной ре¬ акций упругого основания, моментной нагрузки и дефор¬ мации сдвига. Обозначения и правила знаков см. 5.1.4, 5.1.5, 5.1.7. Балка называется обыкновенной, если упру¬ гое основание отсутствует, k=c=0.Следует подчеркнуть, что <р — угол (малый) поворота сечения. Угол наклона касательной к изогнутой оси к го¬ ризонту равен dv/dx. Эти два угла равны, когда дефор¬ мация сдвига не учитывается, что практически всегда имеет место.Начальными параметрами Qо, Мо ^о» ио называются ординаты эпюр Q, М, <р, v в сечении балки О, приня¬ том за начальное. Уравнения эпюр, написанные в функ¬ ции абсциссы исследуемого сечения, характеризуют влияние начальных параметров и активных факторов (нагрузок и наперед заданных деформаций), действую¬ щих на участке О—xt т. е. от начального до исследуе¬ мого сечения с абсциссой х. Никакие факторы, дейст¬ вующие левее начала О и правее сечения в уравне¬ ния не входят. Множители при начальных параметрах и активных факторах называются функциями влияния: они выражают влияние активного фактора в сечении и (0<w<x) на пассивный фактор (ординату эпюры) в сече¬ нии х. Важнейшая особенность метода состоит в том, что влияние начальных параметров и однотипных с ними со¬ средоточенных факторов выражается одними и тени же функциями влияния, но с изменением аргумента: вместо «плеча» х вводится плечо х—и, где и—абсцисса фактора.В случае однопролетной балки начало О следует выбирать в сечении, где два из четырех параметров за¬ ранее известны. Два других определяются из условий з другом сечении, где снова два параметра известны. Обычно начало совмещают с левым концом балки. Тогда:при свободном конце: 1) Qo=0; 2) Мо=0; при шарнирно опертом конце: 1) Мо=0; 2) t’o—0; при защемленном конце: 1) <Ро =0; 2) Уо=0; при свободно смещающемся, но неповорачивающемся конце: 1) Q0=0; 2) <р0=0.Уравнение эпюры Q Qx = QoX-SP-о— Р(х — С)—, (X — Сх)2— р— \p(u)du. о(5.119)Аналогично в зависимости от конструкции выража¬ ются условия на другом конце балки.Совмещение начала с левым концом и использова¬ ние граничных условий на правом конце не являются обязательными. В случае симметрии балки и нагрузки начало выбирают посередине пролета. Для многопро¬ летных с. о. балок используются условия в сечениях опор и шарниров; для с. н. балок — условия над про¬ межуточными опорами и т. д.Уравнение каждой из эпюр выписывается в виде че¬ тырех столбцов соответственно числу начальных пара¬ метров. Первая строка содержит влияние начальных параметров, вторая — сосредоточенных факторов, третья и последующие — распределенных факторов. Учитывая свойства функций влияния и принцип суммирования дей¬ ствия сил и малых деформаций по первой строке, всегда можно получить вторую и третью. В некоторых случаях числс столбцов сокращается.Обыкновенная балка постоянного сеченияУравнения эпюр Q, М, <р содержат сокращенное чис¬ ло столбцов. Влияние факторов, распределенных равно¬ мерно и по линейному закону (эпюра нагрузки — тре¬ угольник), дается в развернутом виде, причем предпо¬ лагается, что сечение х лежит в пределах нагрузки или иного распределенного фактора (на рис. 5.39 под р и р' следует подразумевать также и факторы m и т', 7 и 7', &и &'). Уравнения эпюр Q и М выражают общеиз¬ вестный порядок определения поперечной силы и изги¬ бающего момента от нагрузок, действующих левее сече¬ ния х.Уравнение эпюры М МХ=М0	+Qo* +—2Р(Х-ир) ++ 2Lо(х — с)2+ш(х—с) -р			+, , (x—Ci)2 , (х — с,)» , + « —		-Р 	— ++ j m (и) du ор .и) (х — и) du.(5.120)
t5.5. БАЛКИ231Уравнение эпюры?х = ?о-s«— »(лг — с)_ri£z=£i>I2— J Ь (и) duоУравнение эпюры v 9x = vi+Srо+ <faxX+ t(x—с) —»С*—c)2+r,, (X— ci)a	(-* — Cl)3лО— mm(x-c)*2 El. (х — СгУ6 ElX2м>ш,)2 El6 El(x-c)*24 EI(x — Cj)*®°2EI+2 ElYiP(x—u„+r- + p(x — c)» 6 El(x — Ci)4 24 £/— j* р(и)(х — и)Ыи. О_0"(б§г_57:)++Hi£=£il_!£=£)!.|24 £/ 2 0Fy | ++ Р.Г(£^£!2._Я=^)!1 +I 120 El GGF j +XX	X	x+ ji(u)du — j b(u)(x—u)du — J-j^m(u)(x — uYdu +Jp(M)j^(x — u)t 6 El(x—*)GFvdu.Если исследуемое сечение x лежит правее конца d нагрузки р (рис. 5.40), то сначала определяют величины Qj. Ма, <?d> vd> а затем, приняв сечение d за начальное, выражают Q*, МХх <рх, vx (принцип переноса начала).Другой способ состоит в продолжении нагрузки до сечения х и в вычитании той нагрузки, которая при этом оказалась добавленной на участке (х—d) . При исполь-хзовании последней строки уравнений эпюр величина J0разбивается на ряд интегралов по числу участков с од¬ ним и тем же законом изменения нагрузки.Как правило, влиянием деформации сдвига на про¬ гиб можно пренебречь по сравнению с влиянием кри¬ визны [это сделано в формуле (5 123)]. Исключение со¬ ставляют сравнительно короткие балки с тонкой стенкой— <5ч-б|р В этом случае принимается Fy*=Fсх (пло¬ щадь стенки).Для случая, показанного ва рис. 5.40: Q„-P«*-c>-P'-~Ci)2 ;мх - М0 + QqX - -у [U — С)2— (X—d)*l— pf0" [(•*—ci)3—(x—di)8—3(di—сг)(х—^x)2];P*Г=<Ро — c)s— {x — c08] -f-лл X	X*Mr, —- — Qn	0 EI Wo2 El[(*-P6 EI|i* — cO4 — (X-24 El— dг)* — 4 (rf, — cY) (x — dx)з]; fx = o0 + - Ч - Qo ^77 ++2 El[(x—сУ-ix—rf)‘] +ШP'[(*-24 El 		 " ' 120Ы— сг)5 — (x — drf —5(dy — сг) (x — rf,)*l.(5.121)(5.122)(5.123)
232РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВПример использования уравнений эпюр. Найти на¬ чальные параметры Qo и Af0 и опорные реакции Х\ и Х2 (+вверх) трехпролетной неразрезной балки постоянного сечения с защемленными концами, находящейся под дей¬ствием сплошной нагрузки, распределенной по закону треугольника с уклоном р' (рис. 5.41,а).Для определения неизвестных составляем четыре уравнения, даваемые условиями закрепления:прогиб в сечении 1 равен нулю [формула (5.122)]-МлЧЕ1EI +Р 120 £/= 0;(1)прогиб в сечении 2 равен нулю-М,(h + /•)*(l\ + h)32 ElГУ Л- I . ^ ^ + /а)'*6 Е1 Р 120 EI6 EI5= 0;(2)прогиб в концевом сечении 3 равен нулю /* ~ I* .. (U + I*)3-м,°2 EI -X,-QoаI»6EI■Хг-Р+ р’	6 EI 120 Е16 EI = 0;(3)угол поворота в концевом сечении 3 равен нулю, [формула (5.121)]м 1 п 1* у (*• + '»>* -Mn——Q0——XrEl -Xt'2 EI/22 EI24 EI2 EI = 0.(4)Все уравнения можно сократить на EI. Решив по¬ лученную систему уравнений, найдем Q0 и М0, Х\ и Х2, а следовательно, будем иметь все необходимые данные для построения эпюр Q, М, <р, v по формулам (5.119)—(5.122).Инфлюента (линия влияния) изгибающего момента строится как эпюра прогибов от единичной дисло- кациивг=1 в сечении i (рис. 5.41,6). Для использования формулы (5.122) надо определить Qo, М0, Х\, Х% для чего решить систему уравнений (1) — (4), заменив в них грузовые члены соответственно величинами: нуль; — (h + h—ui)\—(/—ufj; (—1). Это следует‘из вторых строк уравнений (5.122) и (5.121), в которых содержит¬ ся слагаемое, выражающее влияние В на ^ и <р^„ При построении эпюры учитываются начальные параметры Qo, Мо, нагрузки Х\ и Х2 и дислокация в;=1.Инфлюента (линия влияния) реакции Хх (рис. 5.41,в) строится на основании следующих соображений. Поло¬ жительная реакция эквивалентна сжимающему усилию в опорном стержне. Следовательно, инфлюента совпа¬ дает с эпюрой прогибов от действия единичной дисло¬ кации укорочения в опорном стержне (А1=—1). При этом прогиб балки в сечении I будет положительным (направлен вниз), vi= 1. Для построения эпюры про¬ гибов следует найти Qo, М0, Хи Х2 для чего в уравне¬ ниях (1) — (4) отбрасывают все грузовые члены, одно¬ временно заменив нуль в правой части уравнения (2) на единицу. Затем эпюра строится по общим правилам от найденных начальных параметров и нагрузок Х\ и А'о.Обыкновенная балка переменногосеченияУравнения эпюр Q и М остаются, изменения такими же, как для балкиестественно, без постоянного се-чения.Уравнение э п ю р ы(5.124)?х = сРо-M0F*-QoS?X— Ее00+ 2 ps*_a0— Ь (х — с)~mSx-ev (х — сд2 2__2El /Ф 2 ж“с1X— J Ь (и) du ь— fm (u)F*_adu 00Для вычисления функций влияния строят эпюругибкости балки — (рис. 5.42). Функции влияния пред- EIставляют собой моменты n-го порядка участка эпюры с основанием х—и относительно оси, совпадающей с на-
5.5. БАЛКИ233чальной ординатой участка. Для первой строки (5.124) и=О и моменты вычисляются относительно оси у, про¬ ходящей через начало.Для моментов первых пяти порядков приняты обоз¬ начения отдельными буквами, подчеркивающими (для первых трех) геометрический смысл этих интегралов, известный из теории моментов инерции площадей:X	X^х-и = J = J dF^= Fx—u \кг~~Х см-1] —площадьи	иепюры гибкостей на участке х—а;Рис. 5.42XML = J	dF* = Sx-u И-1]- статический мо-имент этой площади относительно вертикальной оси, совпадающей с сечением и;XМ®_и = j (s—u)2 dFФ = [кг~1см] — момент инер- иции той же- площади относительно прежней оси; Уравнение эпюры и»о+ Его+ f (* — с), (* — С!)8+ 90*— 2 0(дс — ив) о2, (X — Ct)3 6мх-а = J (s—и)3 dF* = К*_а [кг~1см*\ — момент треть¬его порядка при тех же условиях;лМ^]_и = J (s—и)4 dF* = [кг~1см2 см3] — моментчетвертого порядка.Здесь s — вспомогательная переменная абсцисса; ds""-ITЗначок «ф» отмечает, что геометрические элементы являются фиктивными, их размерность отличается от размерности площади, статического момента и т. д.В уравнении (5.121) опущены индексы абсцисс сосре¬ доточенных факторов, как очевидные. Например, вместо LF^_ написано LFх__и .* UL1При £/=const участок эпюры — прямоугольник:_ j-l. еФ = (х-и)\-• * ^х—и/ф =X—иEI[X — ц)з 3 Е12Е1(х — и)* 4 EI~M0s*— а-	2 Lsi-aО-т1х-с—	^ к*2 Л*~сгподстановка этих значений в выражение (5.124) дает формулу (5.121).Для сечения х правее распределенной нагрузки (см. рис. 5.40)= + f-( /£-„) ++ -f	П-a}- (5-125)-Qo(rj—»t) ++ 2 p	— dc-u) +0+ Pc (y Xt-c-sU ) ++ o'(t lU - T '«,) +XX	X	X	л■f- J i(u)du — $(и)(.* u) du J m(u) «Sx—udu “I" J* P (u) ( 1x—u -^x—(5.126)Обозначенные жирными буквами моменты -У, 8, 1 от-1носятся к эпюре гибкостей при сдвиге тгг- .utvОтмеченные «шапкой» величины представляют так 1	называемые комоменты п-го порядка участка эпгёрыс •снованием х—и, легко выражаемые через моменты:
234РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВм[п1а =“(■*-«) К-l, - мх-и;м(х4а =(x-u) F*_„ - S*_B = S Ф_а ; MfLa = (*-«) - /f_0= / t-u i Mf_u = <*-«) I*_u - K*_a = K?-u ■Mf_a =(X-U) K*_u - L$_a = £*_.При £/=const(5.127)/	чЛ+1MM ^ (*-“)	x~u Eln (n + 1){X-U)l Ф _ Л x—u(x-uy -6 El/(Ф =i4Jt—и (X-U)i20 EI(x-u)* 12 EIДля нагрузки на рис. 5.40 (*>di)= vo +?ox—MoSf — Qo't ++ P-J	+—3(d\—Cj) ATjc—djj»	(5.128)Пример 5.2 (рис. 5.43). Найти прогиб посередине пролета клепаной балки, нагруженной равномерной на¬ грузкой р = 1 т/м на левом полупролете. Моменты инерции сечений /с =1,5 • 10—:2 л*4, / = 1,2 10—2л*4.Начало поместим на левом конце. Тогда Л4о=0; £>о=0; Оо=Ул определится из условия Mi— 0; отсюда Qo33	pi = T--f-=3.75«.-5,0ПИттЬг)±"I 7 АI 77777771	L_г'ГЭпнзра-j —6,0	*2.0*Рис. 5.43Неизвестный начальный параметр ?о определяется из условия 0j= 0;Р/ = fo ‘-Qo ^ + -£*(*?-	=0. (•)Для вычисления комоментов построена эпюра гибко-/ 1с \сти с ординатами, увеличенными в Е1С раз, — эпюра! ~ J • Jf =*sfi — /f=-^(i ,25-ю2 —о,25-8а +0,25-2*) — 	(1,25-Юз — 0,25-8» + 0,25-2з) =Ое= 550 — 374,7 = 175,3 м9;Kf = Ifl—Kf = 374,7-10 — (1,25-10* ——	0,25-8*+ 0,25-2*) = 877 м*;Х?-о.51 = -J- О25-5* -0,25-3») —(1.25• 5*--0,25-3*) = 66 м*.Подстановка в уравнение (*) дает25,2Е1еVo. Ю — 3,75-175,3 + 1 • -у (877 — 66) = 0; ц Искомый прогибEIC vo.si = 25,2-5-3,75 J-|- (1-52 + 0,25-22)--	- j- (1 -5s + 0,25.2*)j +1	(1-53 + 0,25-2») -—	-j-(1.5* + 0,25-2*)j =68./?Q= 21,5-10-5 m — 2, 15 mm.po.5i —2,1-107-1,5-10i-2«Графоаналитический» метод определения перемещений в обыкновенных балкахЭтим методом, являющимся следствием статико- кинемэтической аналогии, следует пользоваться, ког¬ да под рукой нет справочных таблиц или развернутых формул метода начальных параметров.Уравнения эпюр Q и М для случая распределенных нагрузок переменной интенсивности р=р(и) и m=m(u)\Qx ~ Qq J Pda ;оx	xМх = М0 + Qox + J mdu — J P (x “ u) du.о	0Уравнения эпюр <p и v:CM^ = ^-)ТГаи'оС Q	СМРх = v0+'(0x+ J du- j-Jj- (х —и)da.(5.129)(5.130)Эти эпюры тождественны эпюрам фиктивных попе¬ речных сил О^и фиктивных изгибающих моментов М$, если под интенсивностями фиктивных нагрузок понимать приведенные ординаты действительных эпюр М и Q:РФ=:МEI:GFu
5.5. БАЛКИ235а начальные перемещения заменить начальными фиктив¬ ными усилиямиУравнения эпюр ? и v записываются в видеQx = Qo —ОX	хМ* = М§ + Q^+ J‘ m<bdu — j‘рФ (x—u) du.(5.130')Фиктивная нагрузка считается приложенной к фик¬ тивной балке. В случае простой балки действительная и фиктивная балки совпадают. Вообще же свободному концу одной балки соответствует жесткое защемление другой, шарниру одной балки—опора другой. Фиктивная балка является частным случаем взаимной балки, имею¬ щей упругое основание (см. 5.4.3). После определения фиктивной нагрузки и установления опор и шарниров фиктивной балки задача построения эпюр <р и v сводит¬ ся к построению эпюр и МФ.Отметим, что эпюра прогибов простой балки от сдви¬ га имеет форму действительной эпюры моментов балки в измененном масштабе.Обычно влиянием деформации сдвига пренебрегают (Y=m^=0). Если при этом £/=const, то принимают рФ =М (фиктивная нагрузка совпадает с эпюрой М). Перемещения и v получаются увеличенными в EI раз. Если задана не нагрузка действительной балки, а погон¬ ная интенсивность угловой деформации от неравномер¬ ного нагрева й/. то рФ = 8*.Концевые углы поворота сечений простой балки как фиктивные реакции(рис. 5.44)Для этих углов принимается специальное правило знаков и специальные обозначения. Углы поворота сече¬ ний у считаются положительными при повороте по часо-а)б)Рис. 5.44вой стрелке. Левый концевой угол поворота обозна¬ чается (или т-а) и также считается положительным при повороте по часовой стрелке, а правый обозначает¬ ся (или ч) и считается положительным при пово¬роте против часовой стрелки. Углы ^А и равны фик¬ тивным реакциям (рис. 5.44,а):м% ифь'B = -vB = -Qt=v %(5.131)Здесь /?Ф равнодействующая фиктивной нагрузки; а, о — плечи равнодействующей относительно опор.При £/=const ^ф=— , где Q— площадь эпюры М.Концевые углы поворота от опорных моментов (рис. 5.44,6):ААмА i%/2Мд Jab12ZBBХВА —мв1%/2^АВГ*(5.132)Здесь 1%, — моменты инерции площади эпюры гибкости относительно опорных вертикалей. Величина I%B—комомент, аналог центрвбежногв момента инерции; для параллельных осей, совпадающих с концевыми вер¬ тикалями:!%в = ( - It) = ( -1%) . (5.133)Здесь 5$, — статические моменты площади эпюры гибкосхи относительно опорных вертикалей.При £/=const\4Л ;МАГ"DQ113 £/ ’вв 3EI ’МВ1МА16 EI ’%ВА 6 Е1(5.132')Очень часто под ^АА, тввихав== хвл понимают кон¬ цевые углы поворота от единичных моментов Ма ~ 1 или Аф = 1. Первый индекс отмечает место перемещения, второй — вызвавшую его причину.Концевые углы поворота вызываются также переко¬ сом оси балки вследствие неодинаковых осадок опор на иА и ?В •Угол перекоса обозначается ф и считается положи¬ тельным при повороте оси балки по часовой стрелке. Этот угол равен постоянному по длине балки углу пово¬ рота сечений <р:■=9д=<?в = const: тл = 4': тв = —Формулы концевых углов используются при расче¬ те неразрезных балок и рам. Если рассматривать осадки опор как фиктивные опорные моменты vA	,то угол перекоса совпадает с фиктивной поперечной си*_ м%-м%ЛОЙ Q* =	~	•
236РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ5.5.2.	Абсолютно жесткая балка на упругом основании и обыкновенная балка с защемленными концами [153] Уравнения эпюрЕсли прогибы упруго опертой балки от ее упругого искривления весьма малы по сравнению с осадками, то тело балки можно рассматривать как абсолютно жест¬ кое. К расчету таких балок сводится расчет общей прочности понтонов, паромов и дебаркадеров и других прямостенных плавучих сооружений, а также коротких и жестких ленточных фундаментов, опертых на грунт, рассматриваемый как винклеровское упругое основание. Использование статико-кинематической аналогии с аб¬ солютно жесткой балкой упрощает расчет обыкновенных балок с защемленными концами.Уравнение эпюры <р <Рдг = <Ро —X_Ев_оУравнение эпюры М (5.137)—	й (х — с) —— Ь—• Г Ь (и) du. о(5.134)Уравнение эпюры v (осадок)Vx = VQ + ?0Х +X	X+ S г — Е в(х—ив)+о	о(х — с)а+ ?(* — с)— ь—-— +, (х - с,)2	(х — с,)»-4- у 	 —с 	^ 1 2 бJl (и) du — (и) (х — и) du.о	о(5.135)У р а в нение эпюрыQ (5.136)С>IIС>+ »о Fx+ <?oSx —X-ЕР0+STF,_00— р(х—с,)a— 21 x~e~(X — с,)1 Р 2Y+ “2" Ar— 2X ’XX—f р (и) (х— u)du+ Jf (и) Sx_u da— | a (e) Sx_uda. b	oomx=m,XX+ sL-200c)—p -+m' -	1)22+1,оЪ<+ ,po[7 x~Fx) ++ S l - E p (дг-up) + 2 rS x_a -E« (? t_u -^_u) +1	0 0-Ht■)2	6 2 \ 6 2 XX	X	X+ ^m{u)du — Jp(u)(*—u)du+	х^ц—Fx__ j du.В последних двух формулах величины F, S, /, К — моменты площади погонной отпорности оснований приосадке k=ky кг/см2 [см. 5.1.7, формулы (5.9)]. S, /, /(,L — соответственно комоменты этой площади. F,S,I — моменты площади отпорности при повороте с.Сопоставление формул (5.134) — (5.137) с (5.119), (5.120), (5.124), (5.126) показывает, что вторая группа формул непосредственно следует из первой на основе обобщенной статико-кинематической аналогии (см.5.1.8). Обыкновенная упругая балка и абсолютно жест¬ кая балка на упругом основании представляют собой взаимные брусья. Примеры см. на рис. 5.30,а, а', б, б'\ в, в' и т. д.Абсолютно жесткие балки со свободными концами на упругом основанииОтпорность основания (погонная) пропорциональна некоторому коэффициенту, характеризующему упругие свойства основания, и ширине подошвы балки в дан¬ ном сечении. Отпорности выражаются произведениямиk — Izqb , с — Cqb •(5.138)Здесь ko кг/снЪ—коэффициент отпорности при осадке; с0 кг/см — коэффициент отпорности при повороте.Обычно принимают Со = 0. Значения k0 см. ниже — 5.5.6, табл. 5.5. В,случае плавающей балки (понтон) по закону Архимеда &о равно удельному весу воды: £о=Т -= = 1 т/мЪ—0,001 кг/см?. Для песчаного основания £о=» =0,5 -г- 5 кг/см$.Если рассматривается практически наиболее важ¬ ный случай силовой нагрузки, наперед заданные дефор¬ мации отсутствуют, то напряжения по подошве балки а и одновременно осадки v определяются по формуле вне- центренного сжатияR М а х = -j- х ;*	F I°х=-~Г- (5.139)Здесь F, I — геомегрические характеристики подош- вы балки, рассматриваемой как симметричное сечение некотором бруса. При постоянной ширине 6=constЫ*
5.5. БАЛКИ237При желании учесть отпорность при повороте к ве-с0личине 1 добавляется величина +Т“^*Угол поворота балки вычисляется по формуле Му =	= const.	(5.140)k0lЭтими же формулами можно воспользоваться при произвольно заданных законах изменения погонных отпорностей k и с, положив £о=1, сп=1. В этом слу¬ чае под F и / следует понимать геометрические характе¬ ристики плошади эпюры к. Добавка к I для учета от- порности с равна +F (площади эпюры ).Обыкновенные балки с защемленными концамиНа основе статико-кинематической аналогии построе¬ ние эпюры М балки с защемленными концами сводится к построению эпюры сг вдоль подошвы взаимной абсолютно жесткой балки со свободными концами.Уравнение эпюры М записывается в виде+ !?-*)■ <*Л41>Первое слагаемое—изгибающий момент от задан¬ ных нагрузок в основной системе, в данном случае про¬ стой балке. Второе слагаемое—изгибающий момент от лишних неизвестных (опорных моментов или иных двух лишних неизвестных, например Q и М в любом сечении). Второе слагаемое определяется как напряже¬ ние от внецентрепного сжатия подошвы взаимной бал¬ ки фиктивной нагрузкой. Подошва имеет в каждом се- * 1 1чении ширину Ь$= —, где — — гибкость деиствитель-1ной балки. На рис. 5.45, а эпюра гибкости — для на¬ глядности изображена симметричной относительно оси х.Для векторов фиктивных нагрузок используется ле¬ вая система координат.Опорные моменты для случая, когда основная си¬ стема взята в виде простой балки:' ДФ Мфм=-(•мв =/гф /Ф / /?ф Мф = ~~ \ F* /фА);(5.142)При построении инфлюенты изгибающего момента нагрузкой взаимной балки явится дислокация 0= 1 или, что то же, фиктивный груз Р Ф = 1 в исследуемом се¬ чении.На рис. 5.45,6 показано определение спорных мо¬ ментов от принужденных поворотов защемлений на уг¬ лы уА й ув и осадок опор на ^ио^ Соответствующая взаимная балка дана внизу. Угол уА соответствует отри¬ цательной дислокации 0Л , угол ув— положительной, по¬ этому вектор уА должен быть направлен вверх, вектор <р£— вниз (на рис. 5.45 направление этих векторов сле¬ дует изменить на противоположное). Осадки вниз соот¬ ветствуют отрицательным опорным моментам:МI = 9А (■1/Ф /Гф(Сл °в __ 1\ - \ /Ф FФ // ФС Д Спмв—fA—■Ф / fB \ уф ^>Ф /++/Ф(5.143)Поперечная сила МВ-МА<? =чАуф °А'Чвуф •'Всв +1Ф(5.144)Для защемленной балки постоянного сеченияFt-W(5-145>Предыдущие формулы имеют вид 2° Л 12МЗдесь 2° — площадь эпюры М°; xQ — абсцисса ее центра тяжести относительно середины пролета. При симметричной нагрузке х<> =0.Опорные моменты от действия нагрузкиQ° 16xQ—1—	/ 1k ' ,Q°( 6*2II(5.142')Формулы (5.143) и (5.144) переходят в 2 ElMJ= — (2 f А + Чв - 3 +): 2 ElМв = - —j~ (2Чв + Ча~3Ф) ;6Е1 ,	„ .Q = — -jr ( ча + чв - 2 Ф) •(5.143')(5.144)
238РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВЭти формулы используются при расчете рам по ме¬ тоду перемещений.5.5.3.	Приемы, упрощающие построение эпюр и инфлюент статически определимых балокВведение подбалок (рис. 5.46). Если нагрузку, при¬ ложенную непосредственно к балке (рис. 5.46,а), пере¬ дать через подбалку (рис. 5.46,6), то опорные реакции и эпюры за пределами подбалки остаются без измене*а), R-pdния. а в пределах подбалки эпюры для балки могут быть получены суммированием эпюр балки и подбалки.На рис. 5.46 введена подбалка на участке равномер¬ но распределенной нагрузки. Эпюры М и Q на участкахRbАС и DB строят от силы R—pd по реакциям VА — — Raи Vв = -у- . Учитывая наличие подбалки, эпюру Мспрямляют на участке CD (см. прямую C'D'). Далее строят- параболическую эпюру для подбалки с макси-pd2мальной ординатой МЕ = —— Параболу пристраиваюток прямой C'D', перенося ее ординаты по вертикали. pd2При этом Е"п=пЕ'=——. На протяжении CD эпюра Qопрямолинейная. Нулевая точка т определяет абсциссу сечения Мщах-db	daе=т: /=т:При построении эпюры М учесть, что касательные к параболе в точках С' и D' сливаются с прямыми С'А и D'B (в этих точках нет перелома эпюры М).Замена связей (рис. 5.47,а, в). Статически определи¬ мая консольно-балочная система (рис. 5.47,а) путем перестановки шарниров из сечений в пролетах в сече¬ ния над опорами превращается в систему простых ба¬ лок (рис. 5.47,6). Крайняя левая балка имеет консоль, которая сначала в расчет не принимается. Для про¬ стых балок строят эпюры М. На рис. 5.47,6 эти эпюры имеют вид параболы, треугольника, трапеции и несим¬ метричной криволинейной фигуры. Действительная эпюра отличается наличием опорных моментов, даю¬ щих в каждом пролете дополнительную прямолинейную (трапецеидальную) эпюру. Окончательные моменты в сечениях действительного расположения шарниров рав¬ ны нулю. Опорный момент М0 = —Рс известен. Прочер¬ чивая, начиная от М0, ломаную через проекции шарни¬ ров (переломы над опорами), получаем дополнительную, в данном случае отрицательную, эпюру. Алгебраическое суммирование (вычитание) ординат происходит авто¬ матически.Эпюру Q строят сначала для всех простых балок (сплошные эпюры на рис. 5.47,в).Дополнительные эпюры представляют собой прямо¬ угольники с высотами, равными уклонам дополнитель¬ ных эпюр М к горизонту:Одоп —МВ-МАх=М°-+ еУДля автоматического суммирования дополнительные прямоугольники (показанные пунктиром на рис. 5.47, в) пристраиваются в направлении, противоположном их знаку. Окончательные ординаты отсчитываются от пунк¬ тирных горизонталей. Опорные реакции равны скачкам над опорами в эпюре Q.Построение инфлюент кинематическим методом осу¬ ществляется без применения или с применением взаим¬ ной (фиктивной) балки.На рис. 5.47,г показана инфлюента опорной реак¬ ции Vu совпадающая с эпюрой вертикальных переме¬ щений v от действия укорочения опорного стержня № 1 на А =1. Отложена ордината V] — \, далее через ее конец прочерчена прямая /—//, затем /—0 и II—III. Нулевые точки ломаной 0 и 2 соответствуют опорам, точки перелома /—II—шарнирам. Во взаимной балке опорам заданной балки соответствуют шарниры, шар¬ нирам — опоры, свободному концу — заделка, задел¬ ке— свободный конец. Взаимная балка — абсолютно жесткая, опертая на упругое основание (рис. 5.47,д). Нагрузкой взаимной балки р$ является погонная угло¬ вая деформация (&) заданной балки. Для статически определимых балок упругое основание взаимной балки никакой роли не играет и может быть от¬ брошено. При этом взаимная балка называется обычно фиктивной балкой. Эпюра вертикальных перемещений заданной балки строится как эпюра изгибающих мо¬ ментов фиктивной балки от фиктивной нагрузки. Для построения инфлюенты М в исследуемом сечении при¬ кладывается груз в г- 1 (рис. 5 47,е). Для постро¬ ения инфлюенты Q прикладывается момент Г =£Ф= 1 (рис. 5.47,яе). Для построения инфлюенты V\ в шарни¬ ре прикладываются два равных и противоположно на¬ правленных момента или изгибающий момент у=МФ= 1 (рис. 5.47,з). При этом учтено, что опорная реакция равна разности поперечных сил справа и слева от опо¬ ры.
5.5. БАЛКИ239а) Балкат9=П(р	д) Взаимная (сриктибная)н	б'алка2 П Ш 3	_W77	В=Р(*?=1	ПпТГ*	ЯцТП	WVPе)инфл. М/ т)инфл.О.—■—гт9т /V„.лX 4» ' X/3) инфл. Vj/*-/1niYnРис. 5.47 '5.5.4.	Равнопролетные неразрезные балки на жестких опорах. Метод бесконечной основной системы [154, 157, 183, 137, 120]Пол убес к онечная балкаБалка, нагруженная на левом конце моментом, не несущая другой нагрузки и простирающаяся вправо до бесконечности, находится в напряженном состоянии, изменяющемся от пролета к пролету по закону гео¬ метрической прогрессии с отрицательным показателем (рис. 5.48,а).Показатель прогрессии с = —\/k является общим для всех одноименных факторов (например, изгибающих моментов или углов поворота) сходственных сечений в последовательных пролетах:Мп = М{•HI-<г п = <Ро —1Отложив опорные факторы в виде ординат и сое¬ динив концы их ломаной, получают эпюру опорных факторов (рис. 5.48,6). Эпюра опорных изгибающих моментов в отличие от других эпюр, например углов непосредственно дает эпюру изгибающих моментов на
240РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВвсем протяжении балки. Точки нулевого момента Ф' называются правыми моментными фокусами при на¬ грузке слева. Для правой полубесконечной балки при нагрузке слева они совпадают, как указано, с фокуса¬ ми эпюр других факторов. Для конечных равнопролет¬ ных балок и неравнопролетных балок это равенство не имеет места (за некоторыми исключениями).Аналогичными свойствами обладает левая полубеско- нечная балка при нагоузке моментом на правом конце.Бесконечная балкаБалка, нагруженная в пределах конечного числа пролетов, рассматривается слева от нагрузки как ле¬ вая полубесконечная балка, а справа—как правая по- лубесконечная балка, причем концевые моменты этих балок заранее не известны. В каждом пролете беско¬ нечной балки отмечаются два фокуса—левый и пра¬ вый, соответствующие левой и правой полубесконечным балкам.Положение фокусов Ф и Ф' (рис. 5.48,6) совпадает с положением точек редукции площади эпюры гибко¬ сти пролета. Расстояние фокусов от середины пролета равно радиусу инерции эпюры гибкости.ГФ-л/--У /гф *(5.146)при El = const /-Ф =	= 0,289/« 0,29 / .2 V" 3Меньший и больший фокусные отрезки (расстояния от концов пролета)-гФ; /=—+ гФ;(5.147)при EI = const £ = 0,211 /, / = 0,789/.Фокусное отношение (отношение концевых ординат эпюры данного пролета, взятое по абсолютной величи¬ не)f I + 2 гФ(5.148)/ — 2гФ ’ k = 2 + = 3,732 .при El = constПоложение фокусов через фокусные отрезки*= 17+7: '"'ITT* (5Л49)Вместо фокусного отношения k иногда вво¬ дят числа влияния одного опорного фактора на следующий1 меньший:1	/ —2гФ	г чглс = — — = —	— ;	(5.150)k	/ + 2гФпри EI = const с = — (2 — У з) =—0,268.Построение инфлюентНа рис. 5.49,а и 5.49,6 даны эпюры М от единичных активных опорных факторов L0= 1 и в0=1. Кроме то¬ го, показаны эпюры v от тех же факторов. При этомтлл--^-|;	(5.151)fobonnjjJDi у ui 1 сл	4jdn.11если EI = const?00 =lV 312 El= °-14V'
5.5. БАЛКИесли EI = const,A*S> —< =-14?ob ’YT ei= — 1,73(5.152)EII •'Эпюры моментов одновременно являются инфлюен- тами <ро и Мо от подвижной фиктивной нагрузки: для получения <ро и М0 достаточно «загрузить» эти эпюры фиктивными реакциями ?А и отдельных пролетов, рассматриваемых как простые балки под действием заданной нагрузки. Располагать временную нагрузку следует на участках одного знака.Эпюры прогибов дают инфлюенты ^ и iMo для под¬ вижной действительной нагрузки. Для двух пролетов, смежных с опорой 0, эти инфлюенты приведены на рис. 5.49,6.Уравнения инфлюент:ъ- [(5'(2-1/ 3 )(е — е*)] - м0 = - [(£'-£'* )-(2-/Т) (£-53)]/212 L1 *VT ,На других пролетах ординаты получают последова¬ тельным делением на k с переменой знака. Для дру¬ гих опорных моментов инфлюенты получают сдвижкой на 1, 2, 3,... пролета влево и вправо. Определив прип пролетов241помощи инфлюент от фиктивной или действительной нагрузки все опорные моменты, строят эпюру опорных моментов в виде ломаной, которую затем продолжают за пределы нагрузки через левые и правые фокусы (рис. 5.50,а).16	Зак. 2098равнопролетная балкаКонечнаяПусть балка имеет п пролетов и шарнирно опертые концы А,В (рис. 5.50, вверху). Рассматривая балку как бесконечную, определяют опорные моменты МА и Mg. Над опорами прикладывают неизвест¬ ные сосредоточенные моменты ХА и Хв и строят в про¬ извольном масштабе эпюры М°° от этих моментов (рис. 5.50Дв), причем находят дополнительные опор¬ ные моменты в сечениях А и В. Неизвестные X А и Xв определяют* из условия обращения изгибающих момен¬ тов МЛ и Мв в нуль. Получают два уравнения:ОтсюдаX—у) +Л4л=0;+ м?= 0.где■+Ъ(-тГ-кг-(5.153)Другие граничные условия удовлетворяются ана¬ логично. Окончательную эпюру получают путем сум¬ мирования эпюры от нагрузок с эпюрами о? найден¬ ных значений ХА и Хв .5.5.5.	Равнопролетные неразрезные балки постоянного сечения на упруго оседающих опорах [35, 154, 155]Метод начальных параметровКонцевые опоры могут быть любыми, в том числе упруго оседающими, упруго поворачивающимися, жест¬ ко защемляющими. Промежуточные опоры — упруго оседающие одинаковой отпорности.Отпорностью опоры * кг/см называется реакция в кг, возникающая при осадке опоры на 1 см. Пролет между смежными опорами /; жесткость балки £/=У./3=const; с-6 EI(отвлеченное число). Опорные сечениянумеруются, начиная от левого конца: 0, 1, 2	 /—1,/, Н-1,..., п—1, и, и+1,..., s—1, s.Реакция опоры (положительная направлена вверх) Vn= — Р„ = *о„,	(5.154)где vn — прогиб опорного сечения, численно равный осадке опоры.Эпюра Q имеет над опорами скачки, определяемые величиной и направлением Vn. Решение по методу на¬ чальных параметров дается в виде формул для опор¬ ных ординат четырех эпюр.Опорные ординаты эпюры прогибов (осадок опор)Vn = voAn + 9оВп — М0Сп — Q0Dn + {ч„}.Опорные ординаты эпюры углов поворотаA'n-M0B’n-Q0C'n-v0D'n+ {<(„}. f (5-155)Опорные' ординаты эпюры изгибающих моментовМп= М0 Ап + Q0 Вп+ vQ Сп + y0Dn+ [Мп].
242РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВЛевые и правые опорные ординаты эпюры поперечных силQo лп + vo вп +?ос п~ MoDn + {;Qnp = Q*n + *Vn-(5.155)Штрихи введены, чтобы отличать функции влияния.Развертывание грузовых членов, взятых в фигурные скобки. В случае сосредоточенных воздействий Г*, 0;, Ц, Pi	приложенных в опорных сечениях(сила Pi считается приложенной непосредственно опра¬ ва от опоры /), развертывание делается по известным правилам при помощи функций влияния, стоящих при соответствующих начальных параметрах. Например:{ М = Гг Ап_{- 0f Вп_{- LiCn_t + ррп_,.Знаки определяются тем, что Г и L эквивалентны по¬ ложительным скачкам соответственно в эюрах v и М, а0	и Р эквивалентны отрицательным скачкам в эпюрах <Р и Q.Функции влияния для прогибовВ случае нагрузок и других воздействий между опо¬ рами развертывание требует предварительного подсче¬ та грузовых членов для балки без упругих опор. Эти гру¬ зовые члены обозначаются \Vi], [в,-], [М/], [.QJ, и вы¬ числяются при помощи вторых и последующих строк формул (5.119) —(5.122). ^К} = Ы-% Ё [*г]1	= 1Л—1(5.156)W = [fn]-11 s [yi]c'n-i; i=1{Mn)=[Mn}+"t[v?[B’n_l ; i=l{Qn}. - [Qn] + [ ®f] An-i •Функции влияния даются в зависимости от аргумента п—i= 1, 2, 6. Справа подсчитаны функции влияния при с=0,1.Аг — 1 (отвлеченные числа);Аг = 1 — с;А3— 1 — 9 с + с® ;Л4=1 — 36с+17с2 — сз';Л5 = 1 — 100 с + 135 с2 — 25 с» + с4:Д,= 1 — 225 с+ 965 с2 — 298 с*+ 33 с4 — с*;Вг = 1 (размерность см);В2 = 1 (2 — с);Ва = I (3 — 10 с + с2);В* = / (4 — 46 с + 18 с2 — с3);Вь = I (5 - 146 с + 153 с2 — 26 сз + с*);Ве = / (6 — 371 с + 848 с2 —324 Сз + 34 с* — с5);Дto'bi» tT]2 EI/22 EI/22£//22£//22 £76 Е//*5 —6 EI1*t =6 EI/з6 EI(размерность кг );(4 — с);(9-12 с + с2);(16 —68 с+ 20 с2 —с»);(25 — 260 с + 191 с2 — 28 с3 + с«);(36 — 777с + 1192 са — 378c» + 36c* — 0>);(размерность см кг *);Ai — 1;Л2 = 0,90;Л3 = 0,11;Л4 = —2,431 ;Л5 = —7,6749;Л6 = — 12,14471 ; Bi = I;Я2= 1.9/;jB3 = 2,01 /;В4 = —0,421/ ;В5 = —8,0959/; В6 = —22,94061 /; /2С3 =2 Е1С2 = 3,9 ■ С3 = 7,81С4 = 9,399- С5 = 0,88212 EI /2 2 EI /22 EJ /2 2 EJ(8— с);(27 — 16 с + с2);(64 — 118 с + 24 с2 — с»);6£/£>2 = 7,9/зД, = 25,41 - £>*= 52,4396£/ /»6 Я/ /36 EI
5.5. БАЛКИДб =Dr = ‘6 EI/3б EI■ (125 — 560 с + 273 с2 — 32 с8 + с4) ;	Ц> = 71,6981 ■(216 — 2 003 с + 2 ООО с2—492 с* + 40 с4 — &); D6 = 35,21199/з6 £7 /з 6 EI/зПри вычислениях можно произвести замену ^ ^сФункции влияния для углов поворотаЛ'2 = 1 (отвлеченные числа);Л2 = 1 — 3 с;Лз= 1— 18с + 3с2;Л4 = 1 — 60 с + 42 с2 — 3 с3 ;Л' = 1 — 150 с + 285с2 — 66 с3 + 3 с4;А3= 1 — 315 с + 1308 с2 — 702с3 + 90 с4 — 3 с5 ;В'. — —— (размерность см—1 кг~~');1 EIB2=~JT (2_1>5С) :i4,= 1;^2 = 0,7; л; = -0,77;А'4 = —4,583;Л5 = — 11 2157; Лё = — 18,11303;В[ =, — ;1 ElВ2 = 1,85Iы :Во = —— (3 — 12 с + 1,5 с2);Е1В1= -V (4 —51с + 24с2— 1,5с3);£7— (5— 156с + 187,5с2—36с3 + 1,5с4) ; 5 EIВя = 1,815 —- ; з	Е1В4= 0,8615— ;В5= —8,76085£/В' = — (6 — 388,5 с + 984 с2 — 420 с3 + 48с4 — 1,5с5) ; В'6 = — 23,425215 16 EIФункции Ся_г совпадают с функциями Сл_^ D\ = 0 (размерность сж -1);3 сI3 с _D3 = -у (5 — с);D4=y-(14- 13 с + с2) ;d'5=y- (30 — 81 с+ 21 с2 —с3) ;(55 — 341 с + 212 с2 — 29 в3 + с4);Функции влияния для изгибающих моментов An-l = ^/i-i» Бп-1= Вп-1 С[ = 0 (размерность кг);С2 = %/;Сд = х/ (3 —с);C4 = */(6—llc + c2);С’ = (10 - 57 с + 19с2 — с»);Cg — ~*-1 (15 — 203 с + 172 с2 —27 с3 + е4) ;EI *Dt=0;D' =0,3 —;Z>3=1,4711Da = 3,813—; D's = 6.6327-p Dg = 6,89757 -j-,Ci = 0;cj = %/;C3 =» 2,9 xl;Ci = 4,91xZ;C' = 4,489 x/; C'= —3,6069 x/;16*
244РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ= о (размерность кг см);D2 = *l2;D3 = х/2 (4 — с);d; = %/2(10-12c + C2);D5 = х/2 (20 — 69 с + 20 с2 — с3) ;D6 = х/2 (35 — 272 с + 192 с2 — 28с3 + с4);Г>1=0;D2 = х/2 ;Z?3 = 3,9 х/2;©4 = 8,81 */2 ;£»5 = 13,299х/2 ;Do = 9,6921 х/2 .Функции влияния для поперечных сил А", = Аn—i ‘ ‘n—iВтг = 0 ;В2 = %;Я3 = % (2 с);в" = У. ( 3 — 10 с + с2) ; В" = х (4 —46 с + 18 с2 —с3) ; В” =х(б— 146с + 153с2 — 26 с3+с4);В, =0;В"г =х;В3 = 1,9%;В^ =2,014;B5ff =-0,421%; в£ = — 8,0959%;1^л—г ~ ^л—i кг> ^>п_1 — смПример 5.3. Четырехпролетная балка с пролетами /=4 л* оперта на промежуточные равноупругие опоры %=30 т/м\ отпорность концевых опор %0 = х4 = 50 т/м. Построить эпюру моментов от нагрузки р (рис. 5.51), £=2 • 107 г/ж2; /=16 • 10—5 м4.Н— о =6 	°\ 		’	/7=//77/МЦ-т3—^г	—-—■		<«ST	/У/+Вычисляем*%/зРис. 5.5130-4зС 6 EI 6-2-107.16-10—5• = 0,1.Начальные параметры: Afo = 0; Qo='X'O0o; ^о; То* Уравнения для определения неизвестных начальных параметров: 1) М4 = 0; 2) Q* = —1) *о vo в4 + г'о С4 + %D\ + {^4} = °>илио„ [50 (— 1,684) + 589,2] + <р0 4228,8 + {М4} = 0;2)	%0 vQ Л4 + v0 В4 + <р0 С4 + {Q4} —= — %4 (у0Л4 + ср0В4 — %0у(А) — *4 К},илиро [50 (—2,431) + 60,3 + 50 (—2,431) — 50-50.0,1748] + + То [589,2 + 50 (— 1,684)] + {Q4} +50 {у4} = 0, откудар0 = — 0;0001753 {М4} +0,00147 {Q4} +0,00147.50{t>4}; ср0 = —0, 0002154 {М4} —0,0001753 {Q4} ++ 0,0001753-50 {у4} .В данном случае	« 1з)M4j = [M4]+x2[t'i]fiLi =/=1(4/-202 , „ (31-21)*= -Р	j		24£/	•1=-31-6^{(?4}=[(?4]+хЕ[,(.]л;_г =1=1— р.2/ + 30Р*4 24 EIз• 1=—7,9/?;( и4) = Ы	[ °г] °4-; =1=1__ (4 / — 2 /)4 ~Р 24 Е1 2 44р/4 с - 30 —— . — = 24 EI %= Р44 0,13 32-102 24.32053 р.
5.5. БАЛКИ245Подставляя, находим:v0 = 0,002178 р ; <р0 = 0,005886 р; Q0 = — 0,2089 р, М0 = 0;отсюдаМг = — 0,1089 р-4 = — 0,4356 р;М2 = — 0,1089 р-1,9-4 —0,002178 р-30.4 ++ 0,005886 р-30-42 = 2,616 р; м3 = —0,1089 р. 2,01-4 — 0,002178 р. 2,9-30-4 +42+ 0,005886р-3,9-30-4 — р— = 4,83р; УИ4 == 0 ,Этими ординатами определяется ломаная эпюра, яв¬ ляющихся окончательной в пролетах 0—1 и 1—2. В про¬ летах 2—3 и 3—4 к сторонам ломаной прибавляются параболические эпюры от местной равномерно распре¬ деленной нагрузки. Имея эпюру моментов, можно полу¬ чить эпюру Q и реакции, а по ним и прогибы (осадки) опорных сечений. На рис. 5.51 показана также инфлю¬ ента м£х = Vxa> построенная как эпюра прогибов от % = 1.Подробные таблицы для расчета по методу началь¬ ных параметров см. [93]. Случай упруго оседающих и упруго вращающихся опор см. [157]. Балки переменного сечения на упругих опорах различных типов см. [154].Бесконечная и по л у бес к онечна я балкиНа рис. 5.52, а—г показаны обе балки, нумерация опор и соответственно две эпюры изгибающих моментов М%1 от дислокации 0=1 в сечении 1 (рис. 5.52, б, д) и две эпюры прогибов v^x от того же фактора (рис. 5.52, в, е). Эпюры моментов совпадают с инфлюентами изгибающего момента в сечении 1 для подвижной дис¬ локации 0=1. Опорные ординаты этих эпюр получа¬ ются путем умножения чисел Р из левой части табл.6 EI8.1.19 и 8.1.20 на постоянный множитель —j~ • Эпюрыпрогибов совпадают с инфлюентами М\ для подвижной действительной нагрузки Р— 1. Опорные ординаты полу¬ чаются путем умножения чисел у (из правой части таб¬ лиц) на пролет I.Входными данными таблиц являются безразмерный %/» 1 параметр с= (см. выше начало 5.5.5) или « = — ЬЕ1	си номер опоры.В табл. 8.1.19 приведены также значения главной ординаты Уц инфлюенты опорной реакции (давления .на опору).При определенной балке большие значения с соответ¬ ствуют жестким опорам, малые — более податливым опорам. Соответственно при жестких опорах возрастает величина Vn, приближаясь к единице. При 1 вели¬ чина Vn«0,5. Это означает, что только 50°/о груза, уста¬ новленного над опорой, передается ей, остальные 50% воспринимаются другими опорами. Увеличение податли¬ вости опор ведет к увеличению изгибающих моментов в балке. Такой же эффект получается при усилении балки и неизменной отпорности опор.Определение междуопорных ординат. Опорные орди¬ наты дают ломаную инфлюенту, которая является окончательной только в случае узловой передачи нагруз¬ ки через второстепенные балки. При прямой передаче нагрузки стороны ломаной заменяются криволинейными эпюрами прогибов отдельных пролетов. Дополнительные ординаты равны прогибам простой балки, нагруженной опорными моментами:уДОП __МА1‘ 6 EIЛ(С') +Мв I' 6 EI/х (С). (5.157)В данном случае на пролете i— 1, IК* = [ Л (О + h Л (с)] '• <5-158>Здесь	Л (С)=С — Р;/, (С') -= С — С'3.Обычно можно ограничиться определением средней дополнительной ординаты для каждого пролета (см. рис. 5.52, бу в на пролете /—2) и начертить кривые по ле¬ калу, учитывая непрерывность уклона над всеми опора¬ ми, юроме первой (где действует дислокация в i = 1), и характер кривизны.Способ, позволяющий обойтись без замены ломаной инфлюенты криволинейной. Все пролеты рассматривают¬ ся как простые балки, и определяются действительныеа)Бесконечная балкаПолубесконечная балкаРис. 5.52
246РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВи фиктивные реакции по концам каждого пролета. Дей¬ ствительные реакции устанавливаются на инфлюенту М\п, а фиктивные — на v инфлюенту	, результатысуммируются. При определении фиктивных реакций (VJS-Ч vb = Тд) могут быть широко использованы таблицы деформаций простых балок.Расчет конечных равнопролетных балок по таблицам для бесконечных балокБыстрое затухание величич рл и Уп по мере воз¬ растания номера показывает, что влияние нагрузки удаленных пролетов на моменты Af 1 незначительно. Рассчитывая конечную балку на нагрузку в средней части, можно рассматривать ее как бесконечную в обе стороны, а на нагрузку у конца — как одностороннюю бесконечную балку. При сплошной равномерной на¬ грузке работа балок на упругих опорах одинаковой отпорности приближается к работе неразрезных балок на жестких опорах.Уточнение расчета г-пролетной балки, выполненного по таблицам для бесконечной балки, достигается вве¬ дением четырех компенсирующих факторов Ф—1, ^о» и0г+1. Величина их подбирается так, чтобы удовлетво¬ рить действительным граничным условиям над опорами О и г. Это дает четыре уравнения, выражающих аннули¬ рование изгибающих моментов над опорами 0 и П Пре¬ небрегая взаимным влиянием левых и правых компенси¬ рующих факторов, приближенно получаюте_1 =— Z^AT, — D2 Mq ;% = DlMZ1 + D2Mq ;er = DlM™+l + D2M? ;br+\= — — D-2M?' Коэффициенты(5.159)(5.160)D, =PiP2приведены в табл. 8.1.19. Значения М получаются из расчета бесконечной балки. Найдя в—1, 0О, вг, вг+1 и пользуясь инфлюентой М\п , определяют дополнитель¬ ные моменты, учитывающие конечность балки.5.5.6. Балка на упругом (винклеровском) основании [110, 45, 70, 71, 153, 184]Общие данныеПредполагается, что сплошное основание развивает погонную реакцию, пропорциональную прогибу (осадке) и направленную противоположно прогибу:Рреакт= kv.	(5.161)Здесь k кг/см2 — отпорность основания при осадке. Вели¬ чина k зависит от характера основания.Отпорность песчаного или грунтового основания в первом приближении принимается равной произведе¬ нию коэффициента отпорности (коэффициента постели) ko на ширину подошвы балки b:k = k0b.	(5.162)В настоящее время интенсивно развивается также представление о грунте как основании с двумя коэффи¬ циентами отпорности, лучше представляющем физиче*ские свойства грунта, и соответствующая теория балки [99 и 100]. Расчет балок, опертых на грунт, представляе¬ мый в виде упругой полуплоскости или полупростран¬ ства, см. раздел 21.Таблица 5.5 Ориентировочные значения koМатериал основанияПлывун, песок свеженасыпанный, глина мокрая, размягченная Песок слежавшийся, балластный, гравий на¬ сыпной, глина влажная . . Песок, гравий, плотно слежавшийся, щебень, хрящ, глина малой влажности . . . Песчано-глинистый грунт, искусственно уп¬ лотненный, глина твердая		Мягкая скала, известняк, песчаник . . . . .кг/см30.1+0,50,5+55+1010+2020+100В случае плавающей балки коэффициент отпорно¬ сти равен удельному весу воды: &0=к=1 т/ж3 или 0,001 кг/см3.Если основанием служит большое число сближенных поперечных балок или поперечин, опертых на грунт, тоk =-—, где Ь— податливость (перемещение от единичнойЬанагрузки) поперечины, а — расстояние между осями по¬ перечин.	'Вырезанная вдоль образующей из цилиндрической оболочки при осесимметричной нагрузке элементарная балка-полоска по характеру работы является балкой на упругом основании. Как расчетная схема балка на упру¬ гом основании часто встречается в элементах конструк¬ ции.Если £7=const, &=const, отпорность при поворотес=0, — = 0, система уравнений равновесия и совмест¬ ен Fyности деформаций (5.118) принимает вид	3_ мdx	EIdQ . ь- = — p + kv ; dxdM	dv— = Q + m ; — =<p+7 dx	dx(5.163)(5.164)и приводится к одному дифференциальному уравнению-, четвертого порядка для прогиба или к аналогичному уравнению для изгибающего момента:EIvlv + kv = p; -T^IV+rf = —(5-165)k " ' EI Характеристикой балки называется длина1Y4EI =У —см-(5.166)Отношение 1/1 называется приведенной длиной бал- КИ, х[Ь =5 называется приведенной абсциссой.Уравнения эпюрОбщее решение по методу начальных параметров в виде уравнений четырех эпюр дается в гиперболо-круго- вых функциях:Ах = А (5) = ch £ cos £ ;1	\ (5.167)Вх = В (£) = — (ch £ sin £ + sh i cos 8).
5.5. БАЛКИ247Сх = С (£) = - sh 8 sin g ;Dx= D (£) = — (ch £ sin 8 — sh 6 cos 6). 4Формулы дифференцирования функций: dAx	4dx	X' Bx;(5.168)dCx 1■	S7 	dx X Таблицы этих функций см. 8.4.1.Уравнение эпюры прогибов (эпюры напряжений по подошве, уменьшенной в ko раз): Обозначения нагрузок и дислокаций в формулах (5.170)—(5.173) соответствуют рис. 5.39dBx\	= — Axdxi. xdDx1	ndx— ^ X •A.X2XsXQ0DX +EI ■	LIS Lc*-u +тгЦр»х-и+0dEl+ j tAx_adu-l j *Bx_adu- mcx_u du+-^ j pDx_udu.Уравнение эпюры .углов поворота (эпюры тангенсов углов наклона эпюры напряжений, уменьшенной в<fx = Ч<Ах — М0ВХ-2 м*-.	+тг!Х_и --fSrD-«-X2- ш QcPxX2Elоd- J *Ax-u dU--JT \mBx-u dU + ~JT^ PCx-u du - T j '‘Dx-U dU-Уравнение эпюры изгибающих моментов:Mx = M0AX+ *Q(A+ №vaCx+ Dx ++S lax_u 0X— ^hPB" x—u 0+ kl2 Ztcx_ 0,B -kk>ieDx_u + 0d+ J mA*-u duСd-l \ PBx-u daс+ *X* J ТС„Сd_adu — m\bDx_a da.СУравнение эпюры поперечных сил;Qx = QcH* + kiv0Bx+ kl\0Cx— — MnDx--I]РАх-и +**!>*-* -№%есх_а -^~YiLD*-u-j* PAx-a du+kl j* iBx_u da- kX2 j* »CX_U du — mDx_u du.(5.169)(5.170)ko раз):(5.171)(5.172)(5.173)
248РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВИнтегралы третьих строк раскрываются следующим образам. Функции внешних воздействий р, т,Ь, 7 обоз¬ начим в общем виде через f(u) и ее производную—че¬ рез f'(u).Интегралы берутся по частям;и	иj / (и) Ах_а du — к ]/(«)-£• вх_и du =С	Сd= — X {[/(И) вх_а ус - j/' (И) вх_и du] .СТочно так же получим dj/ (и) Вх_и du == -Ч [/ <«> Сх-и ]с- )г (“> Сх_в du } ;С]/(u)Cx_adu =С=- X {[/ (в) Dx_uyc - J f> (и) Dx_a du } ;f (“) Dx~u du -■(5.174)U= T { [/ («) Ax-u ] i- V (“> A*-u du ) •Для случая прямоугольной эпюры воздействий const, f'(u) = 0 (налримео. равномерно распре-Л(рисН5.40Н):ГРУЗКа) ИНТеГРЗЛ В СК0бКЗХ °ТПадает йJ §Ах-и du = -gX[Вх_аус = gX ( вх_с -Bx_d) ;dUBK_a du=-gl[cx_u ]dc=gX(Cx_c-Cx_d) ; dJ ^_u = - gX[Dx_a ]i = ^	D,_d);IС4	^ i^x-c d) •(5.175)Если воздействие распределено по закону треуголь¬ ника с основанием (d—с) и уклоном g 1, то /(и) = *=gi (ы—с), /'(**) = &i = const, и формулы будут:(5.176)иJ gi(*-c)Ax-udu =С: ^1 * [* (Сх—с	d )—	Де-J’d(и c)Bx_u du =с=	-(<*-«> Cx_d];dJ gi(u-c)Cx_adu =С- Si X[t( A*-c-Ax-d) + (d-‘) Dx_d\ ; dj g\ (и — c)Dx_a du =С	~= —[ X ( Вж-с—	)— W — С)	] .Однопролетная балка(см. табл. 8.4.2)Начало при произвольной нагрузке помещают, как правило, на левом конце. При симметричной нагрузке и симметричных опорных условиях — посередине пролета. Два из четырех начальных параметров заранее известны. Два других определяются из условий на другом конце:1)	при свободном конце Q=0; Af=0;2)	при шарнирно опертом М — 0; и=0;3)	при жестко заделанном <р =0; у=0;4)	при неповорачивающемся, но допускающем смеще¬ ние <р =0; Q=0.Начальные параметры однопролетной балки всегда получаются путем решения двух уравнений с двумя неизвестными- Для балки с обоими свободными концами эти уравнения имеют видkl2CtvQ-\-klWm+[Mi]=0\С/сро + k\Biv0-j- [Q/] = 0 ,откуда<Ро =1	в Ш/ IQd--cf [млkk2	' С] — BlDl1	Bi [Ml] - XCi тa3	c) — BlDl(5.177)Пример 5.4 (рис. 5.53). Пролет балки / = 20 м. Ши¬ рина постели Ъ = 1,25 м. Модуль упругости балки (бе¬ тон) Е = 10е mjM2. Момент инерции сечения балки / =—	0.256 мА. Коэффициент отпорности основания к0 = = 3,2 кг/см3=3 200 т/м3. Нагрузки: Pi = 10 m, Я2= 15 ту р = 2 т/пог. м. Абсциссы и\ — 5 м, и2 — 12 м, с = 6 мг d= 16 м
5.5. БАЛКИ249Вычисляем:£/ = 0,256-106 тм2\ k = kQb =3 200-l/25=4000m/^2. Характеристика*f 4 EI _ 4-0,256.106 l7 V к	4000= 4 м.кр *дел#*сзгркофнг/см3^M тмQ т$ к4	к* <сГ ЬГИЫ*vРис. 5.53Составляем выражения свободных членов в форму¬ лах (5.177):[Mj] = — \Pl Bl_u^ — 1Р2 Bi-u2 — ^ Р j Bi-u du ~с= -X Pi Вг_и> - ХР2 В;_„2 - XV ( Сг_с - С,_„) ;[ 4l\ — Р\ Aa—uJ ~ РЧ Al-a2	( *l-c Bl—d) •Выписываем нужные значения функций, входящих в формулы (5.177), и свободные члены (см. 8.4.1):ОтрезокДлина в мПриведен¬ ная абсцисса £B(Z)ОДD(t)1205—25,05645—35,57745-23,05251-ил153,75-17,4552-14,79715—	1~а282—1,56560,95575		1—С143,5——10,^4.'-2,9014	1—d41—0,9667.^0,49445—Вычисляем:[М20] = — 4- Ю(— 14,79715) -4-15(0,95575) —-	42.2(— 2,9014 — 0,49445) - 643,2 тм ; [<?20] = - Ю(—17,4552) — 15 (— 1,5656) ——	4-2(— 10,65245 — 0,96675) = 291 т\^20 В20^20 = ^$8»15 •То5По формулам (5.177)1	4 (—23,0525)291,0—(—35,57745)643,2 ~ 4000-4а ‘	688,15= — 0,00008973 м;1	(—25,05645)643,2-4(—35,57745)291,04000-4’3688,15 = 0,0001436.По формуле (5.172) выражаем момент в сечении сIабсциссой х = •'^0,5/ = ^2vfjPot5l "Ь	,51 ^-Рг-В 0,5 l—ui0,5/—Pl CB0,5L-uda>причем по формуле (5.174)0,5/J B0,5l—u da = Ц С0,5l-с Со) = ^0,51—с • сНапряжение грунта, равное прогибу, умноженному на коэффициент отпорности основания:°0,5/ = ^0У0,5/ = К (:ЛИ 0,5/ + ^0^0,5/ +0,5/С г,	\+ ^1D0.5/-Bl+ JfP) D0M-u du j*С0,5/J^o,5i-и du= ~^0,5/—с lj-Отыскиваем значения функций:Отре¬зокДлина в мПриве¬ денная абсписса %АЦ)Вфт0,5/102,5-4,9128—0,58851,810452,129250,5/—ui51,25-1,1486-0,321750,51—с410,8337-0,49445-Подставляем найденные выше величины Vq и <ро и зна¬ чения функций:М0 5l = 4000-42 (—0,00008973) 1,81045 ++ 4 000 • 4з • 0,0001436 • 2,12925 -4-10.1,1486 ——	2-42-0,49445 = 6,11 тм ; с0 5/ =3200[—0,00008973(—4,9128) +4 • 0,0001436(—0,5885) +43+0,256-10610-0,32175-44	2	—(0,8337—1 ] =0,256-106 4=- 3, \6т'/м2 — 0,316 кг/см2.
250РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВДля определения опасных сечений следует построить эпюру напряжений грунта и эпюру поперечных сил. Нулевые точки эпюры Q указывают сечение с относи¬ тельно наибольшими и наименьшими моментами. На рис. 5.53 даны эпюры k^v, ko <р, М и Q.Свойства балки со свободными концами. Балка, на¬ груженная сплошной нагрузкой, распределенной по за¬ кону прямой линии рх=ро+р'х, ведет себя как абсо¬ лютно жесткая: эпюра осадок представляет собой пря¬ мую Ч*г—“7"(ро+//*), а напряжение по подошве равно k1алг="Т“ (Ро+Р'х). Усилия во всех сечениях равны нулю. bБалка, нагруженная на конце силой или парой, де¬ формируется в/зависимости от ее приведенной длины. На рис. 5.54 показаны эпюры осадок от L=1 и Р= 1, одновременно являющиеся инфлюентами начального угла поворота То и начальной осадки (прогиба) vo. При~Y~ >3 ч- 4 балка практически не отличается от полу--бесконечной.-к\г(р*;хUj(Q -fiWg;,ГЕсли расстояние от края нагрузки до края балки пре¬ восходит (3-^-4)Х, то балку в направлении этого края можно рассматривать как бесконечную. Если расстояния от краев нагрузки до ближайших краев балки превос¬ ходят с каждой стороны (3-^4) Х? то балка рассматри¬ вается как бесконечная в обе стороны.Бесконечная двусторонняя балка[67, 70, 76, 153]Балка имеет свою систему функций, выражающих влияние сосредоточенных факторов Р, L, 0, Г на усилия и перемещения сечений, расположенных вправо и влево от фактора.На рис. 5.55 показаны эпюры v, ср , М, Q от факто¬ ра Р, действующего в нулевом сечении.Функции влияния (затухающие) даны в табл. 8.4.3. -6Тх = Т (8) = е cos £ ;■ sin 8);(jx=U(i)=-e (cose- vx = V (?) = e* sin 5 ;Wx = W (5) = e* (sin £ + cos 5).(5.178)Значения функций при дс=$=0:Т0 = Щ = W0 = 1;Vo = 0.Рис. 5.55Формулы дифференцирования:dx	X x' dx	X xdx XdWxdx= --v„(5.179)Пусть балка загружена сосредоточенными факторами Р, L, в, Г, равномерной р и треугольной jf нагрузка¬ ми на участках от х=с до x=d. Для сечений правее всех нагрузок получаем следующие уравнения эпюр. Уравнение эпюры прогибов:1	X	X2	X»v =Г—Т +0—U 4- L	V -ЬР	 W 4-vx L 2 х~и^ 4 х~и 4 EI х-и 8 EI+ P^I(TX_C- Tx_d )+Р'^7 (Ux_c - U^d ) — (d —с) Тх_^ .(5.180)
5.5. БАЛКИ251Уравнение эпюры углов поворота:Ъ 0 2	+L4 EI Ux~a P4EIVx~u Г 2X Wx~“~Wx-*)-P' Ш [X ( T*—e 'I’x—d)~{<i c) Wx_d)(5.181)Уравнение эпюры изгибающих моментов:IX	EI	EITx-«+pTu*-u~TIFv*-“~e ~2% W*~*~-p^{Vx_c-Vx_d)	- Wx_d )-{d-e) Vx_d ] .Уравнение эпюры поперечных сил:1	EI	EI	1Qx--P— Tx-u -r — Ux-u + 9 “ V*-« ~L~ W*-* ■X22X-p T~ (ux-e - Ux-a) + p' T* [I (V*-c- v*-a) +(d - c)Ux-a] ■(5.182)(5.183)Если нагрузка расположена правее сечения, то ее действие также необходимо учесть. Действие сосредо¬ точенных факторов выражается теми же формулами, но с переменой знака, когда симметричный фактор (Р, в) влияет на антисимметричный [Q(*), <р (*)] или антисим¬ метричный фактор (L, Г) влияет на симметричный \М(х), 0(*)].Полубесконечная балка [153, 70]Формулы для правой полубесконечной балки при раз¬ личных граничных условиях на левом конце см. в табл. 8.4.4 и 8.4.5.Использование бесконечной балки для расчету конечных балок (Метод компенсирующих нагрузок) [67, 69, 153]Рассчитывают балку, предполагая, что слева и справа от фактических концов А и В она простирается до бес¬ конечности. При этоу получают МА, QA и Мв , Q в ( пользуясь табл. 8.4.3 и формулами (5Л82) и (5.183). Вво¬дят неизвестные силымоменты ZA И Z-В(рис. 5.56), подбираемые так, чтобы удовлетворить дей¬ ствительным граничным условиям в А и В. При свобод¬ ных концах усилия М и Q непосредственно справа от А и слева от В должны быть равны нулю. Это дает четы¬ ре уравнения для определения четырех неизвестных. Це¬ лесообразно преобразовать нагрузку в симметричную и7777 Г77Т /7777777/7пАвРис. 5.56антисимметричную. Уравнения образуют две независи¬ мые группы по два уравнения с двумя неизвестными, со¬ ответственно У А В'Z А =—^В И У Метод целесообразно применять в том случае, когда ре¬шение в начальных параметрах приводит к операциям с большими значениями функций Л, В, С, D и результаты получаются как малые разности больших величин.Практические указанияВсе приведенные выше формулы даны в предполо¬ жении, что связь подошвы балки с основанием двусто¬ ронняя. Если сопротивление отрыву не обеспечено, тоъХпри расстоянии ближайшего груза от конца более —происходит поднятие конца. Если балка нагружена дву¬ мя равными грузами по концам, то длина балки должна быть менее тсХ. Если балка нагружена равными грузами на расстояниях /, то необходимо выполнить условие I < 4,73К в противном случае произойдет отрыв подош¬ вы от основания и изменение работы балки.Балка на упругом основании принадлежит к конст¬ рукциям, для которых увеличение сечения не всегда при¬ водит к уменьшению напряжений. Поэтому рациональ¬ ный подбор сечения балки связан с рядом проб.Дополнительная литератураСжатая или растянутая балка на упругом основании см. 16.1.3, а также [129].Балка переменного сечения на упругом основании см. [71, 81, 94].5.5.7.	Общий метод расчета неразрезных балок на жестких опорах. Уравнение трех опорных моментов [120, 137, 153, 154, 168, 170]Равнопролетные неразрезные балки на жестких опо¬ рах, как правило, рассчитывают при помощи таблиц 8.1.8—8.1.17. При весьма большом числе пролетов и пере¬ менном сечении в пределах пролета рекомендуется метод бесконечной основной системы 5.5.4.В общем случае опорные моменты получаются путем решения системы уравнений трех опорных моментов.Уравнение выражает условие неразрывности дефор¬ мации неразрезной балки над п-й опорой или равенст¬ во нулю угла взаимного поворота смежных торцов п-го
252РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВи (л+1)-го пролетов (рис. 5.57,а). Оно дает n-е канони¬ ческое уравнение при расчете неразрезной балки по ме¬ тоду сил (в качестве основной системы взят ряд про¬ стых балок, шарнирно соединенных над опарами, неиз¬ вестными являются опорные моменты).Угол поворота правого торца п-то пролета^В=Мп-1^ВА + МпгВВ — +л + [4] *Угол поворота левого торца л-Н-го пролета Ф1 = Мп х«+! + Мп+1 х«+! +^„+1 + [ .Здесь ъпвд, тпвв,	т"*1—углы поворота от еди¬ничных моментов. Первый нижний индекс отмечает, как всегда, «место» поворота, второй — его «причину» (место приложения единичных воздействий). Верхние индексы—номера пролетов; =“ип—1bn+l—vn + l-vn__п+1углы перекоса, обусловленные осадкой опор; [т^] , [тл+1] —углы поворота торца В п-й простой балки и торца А (л+1)-й простой балки от заданной местной нагрузки этих балок, а также от температурного или начального искривления.Уравнение трех опорных моментов выражает равен¬ ство4+^+1=оилиМп-1 *ВА + Мп ( + Ла1) + Мп+1 *АВ1 ++4W1 -ф» + [ 4] + [ 3+1] = °- (5-184)Таких уравнений составляется столько, сколько имеет¬ ся неизвестных опорных моментов. Опоры и включае¬ мые над ними шарниры рекомендуется нумеровать так, чтобы № 1 имела опора, над которой действует первый статически неопределимый опорный момент (рис. 5.57, б, в, г). Поэтому над левой шарнирной опорой или опо¬ рой консоли ставится № 0, момент Afo, входящий в урав¬ нение № 1, равен нучю или заранее известной величине (опорному моменту консоли).При защемленном левом конце балки (рис. 5.57, г) первое уравнение получается из (5.184), если положитьП=1. t^ = ^=[T«)] = 0:Щ	+Ф(2) + [ tg>] = 0. (5.184')Если правый конец защемлен, то и последнее урав¬ нение записывается аналогично.Уравнения, связывающие опорные моменты неразрез¬ ной балки, являются трехчленными, за исключением пер¬ вого и последнего, которые содержат по два неизвестных момента. При этом предполагается, что углы перекоса Ф равны нулю или наперед заданным величинам, т. е. бал¬ ка покоится на опорах, осадки которых, если и имеют место, то от неизвестных моментов не зависят. См. при¬ мер 5.5.Если изгибная жесткость в пределах отдельных про¬ летов постоянная, то уравнение трех моментов имеет видМл—16 Е1„■2 МпLП +16 Е1„6 Ы,л+1+I,Л+1Лп+1+ьл=°(5.184а)Обычно пользуются уравнением, умноженным на 6Е1С, где I с — произвольно взятый, постоянный для всех урав¬ нений момент инерции.Длины ln = ln —, ln+1 = 1п+1—-— и т. д. называ- ^ п	^п+1ют приведенными длинами, или приведенными проле¬ тами. Тогдаi/;+2M„( ln+l'n+l)+Mn+l l'n+1+6EIc( 4»я+1—Фя)+ + 6Ele {f -4] + [ ^+1]} = 0. (5.1846)Отсюда автоматически получается первое и последнее уравнения в случае концевых защемлений. Достаточно положить соответствующее /' = 0.Если £7=const на всем протяжении неразрезной бал¬ ки, штрихи опускаются. Есл* моменты инерции сечений вотдельных пролетах пропорциональны пролетам,-~j~==const, то уравнение будет6 EIМп-1 + 4Мп + Мп+1 + —~ ( ^л+Х —Фя) ++ Т_/{[4] + [^+1]}=0. (5.184В)Другие обозначения свободных членов:1)	[ ХЙ ] = тя,л-1 ; [ ХЛ+1] = тл,л+1 ■*2)	6 Е1е [ т» ] = Ln ; 6 EIC [ х^1] =Rn; . (5.185)3)	6Е/С[х»] =г»0 ; 6£/Jx"+1] =х^Р.Величины т , L и R берутся из табл. 8.1.3.Для балок с вутами уравнение трех моментов запи¬ сывается в видеМа1'п*аЬ + 2Ма{1'я tbb + l'n+1taa) ++ Mn+l in+i tab + б Е1С (Фл) + 2 Рп in in tbu +“Ь ~~Т "Ь S Pn+1 ^п+1 ^п+1 *аи~^~л+1 ln+1 — 0.(5.186)
5.5. БАЛКИ253Здесь Рп, Р/2+1—сосредоточенные нагрузки в n-м и (я+1)-м пролетах; рп, Рп+1—интенсивности сплошных равномерно распределенных нагрузок в тех же пролетах.Таблицы коэффициентов t в зависимости от размеров вутов см. табл. 8.1.18а, в и более подробно [153].Коэффициенты t для балок, высота прямоугольного сечения которых изменяется по линейному закону, а также для стоек ступенчатого сечения см. табл. 8.3.5, 8.3.7—8.3.10 и 8.3.12—8.3.16.В общем случае балок переменного сечения для вы¬ числения коэффициентов т в уравнении (5.184) исполь¬ зуются формулы (5.131) — (5.133) или метод начальных параметров.Система уравнений 1)	^i«n + Х2а12 + «1 р = 0;(5.187)2)	Хгй21 + Х2а22 “Ь -^3«23 + «2/? = 0 >3)	Х2Яз2 + X3«33 4“ ^4«34 + а3р = 0 »4)	^3^43 + Х^а^ + ^5045 + dtp — 0;5) + Х5а5,“Ь аър — 0 •Цепные зависимости для величин с, А, с', А' Сверху вниз(5.189)С12 = 	 ‘«11с23 —С34 :а23«22 + «21^12 а34«33 + «32^23 «45«44 + «43С34(5.190)Ai = а,\р ;А 2 = а2Р + ALcl2;А3 = azp + А2с23 ; Л4= а^р + Л3с34.5.5.8.	Решение системы уравнений трех моментов и общих трехчленных уравнений [153, 168, 183]Аналитический способТрехчленные уравнения являются важной катего¬ рией канонических (т. е. обладающих взаимностью коэф¬ фициентов aik =««) уравнений строительной механики. Здесь даются расчетные формулы, основанные на встреч¬ ном исключении неизвестных, в развернутом виде для случая пяти уравнений с пятью неизвестными. При дру¬ г-ом числе уравнений и неизвестных решение записы¬ вается по аналогии.*1 ==-*4 = -Решени еа1р +* А2С2\«И + а12С21л,с\2+ «2р + ^3С32«21сп! + «22 + «23 с32А2со+«3/7 + Л4С43«32С23+ «33 +«34с43^3С34+«4р + ^5С54а43 с34 +«44 +«45 с54 AjCje, + CL^p«54645 + «55(5.188)С21 — ■32«21Снизу вверхЖ«22 +«23 с;32С43	°54-а33 +«34 С43«43	«44 +«45 С54(5.189')Л2 = «2р + А3 с32 J ^3 = а3р + А4 с43 I А4 = а4р + ^5 с54 *Л5 — «5р •(5.190')Штрихи при коэффициентах с введены с целью под¬ черкнуть неравенство	п ^ сп> п—1*Коэффициенты с связаны с так называемыми фокус¬ ными отношениями £'*(ср. 5.8.4): ^ 'kn—\,п ~'сп—1,п1кп%п-\ '•ип,п—1(5.191)Графический способНа рис. 5.58, а дано графическое определение знаме¬ нателей общего решения (5.188) (утолщенные отрезкиВп С/i) и на Рис* 5 58, б — числителей (утолщенные отрез¬ ки M'N') по так называемому методу делителей или методу перекрестных фокусов [153].Для построения эпюры знаменателей на вертикалях /, //,..., V в порядке непрерывного зигзага откладыва¬ ют коэффициенты уравнений:1)	В\С\=а\\\ C\D\ = й\2\ 2) ^2J^2==«21==«12» В2С2 — а22\С2^2=7а2з; 3) 4з,Вз=аз2=#2з; ВзСз=«зз и т. д. Проведя прямую £1^2, находят точку Gl2t проведя прямые D\Gи и В2А3, находят точку G23 и аналогично — точки С?34 и G45. Идя обратно от точки С5, определяют точки G54, G43, (?32, G2i. Точки G называют делителями или не-
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВДля получения главных чисел влия¬ ния системы трехчленных уравнений(5.187)	достаточно в общем решении(5.188)	заменить все числители едини¬ цей:(5.192)	!	-•ai,i-1 Ci-l,i+aii+ai,i+l Ci+1,£Одновременно с общим решением для заданных значений свободных членов получаются и все главные числа влия¬ ния.Подсчитав главные числа влияния, определяют все побочные числа, поль¬ зуясь табл. 5.6.Контрольные равенства:(5.193)W'bik—bklfrll C12f f 1°22 21- ЪрЬцC23• = —7“ и Т. Д'Чb33c32Ьп_	 .c12c23c3icib11*55c2l c32 C43 c54Рис. 5.58рекрестными фокусами. Последний термин обусловлен следующим: если расстояния между вертикалями взять равными пролетам неразрезной балки, то перекрестные фокусы Сбудут совпадать с зеркальными отображениями действительных фокусов F.Построение эпюры числителей. Откладываются сво¬ бодные члены M\N\=a\p, M2N2—a2p и т. д., затем про¬ водятся диагонали N\M2, N2M3 и т. д. На эти диаго¬ нали проектируются делители G. Через делители^ прово¬ дятся ломаные М\М2 М3 М4М5 и А^А^А^А^А^. Утол¬ щенные отрезки между ломаными равны искомым чис¬ лителям в дробях (5.188).При достаточно большом размере чертежа (например, равного по размеру писчему листу) графический способ дает хорошую точность.(5.194)Механический смысл воздействия, со¬ ответствующего единичному свободному члену aip=l при остальных нулевых сво¬ бодных членах, состоит в приложении надi-й опорой неразрезной балки дислокации 0/=1. Числа влияния равны опорным моментам от этой дислокации. Эпюра моментов от в; =1 совпадает с инфлюентой опор¬ ного момента Mi для фиктивной нагрузки. Эпюра про¬ гибов от ®*=1 совпадает с инфлюентой Mi для дей¬ ствительной нагрузки. Имеются в виду натуральные числа влияния, полученные для исходной системы уравне¬ ний. Если же операции производятся с системой урав¬ нений, полученной из исходной путем умножения на не¬ который множитель, например 6EIс, то числа влияния должны быть подсчитаны не от aip = l, а от aip=z6EIc.Таблица 5.6Определение чисел влияния системы трехчленных уравненийОпределение чисел влиянияДля построения инфлюент и обследования влияния различных нагрузок используются числа влияния (см. 5.7.4, 6.1.4).Числом (коэффициентом) влияния btk на¬ зывается значение неизвестной Xi, получаемое в предположении, что свободный член а&р ра¬ вен единице, а все остальные свободные члены равны нулю. Матрица чисел влияния системы п уравнений содержит п2 членов и называется обратной матрицей по отношению к матрице л2 коэффициентов a ik. Числа влияния вида Ъ а (при i=k), расположенные на главной диаго¬ нали, подобно главным коэффициентам ац> на¬ зываются главными числами влияния, все ос¬ тальные числа вида Ъцг(1фк)—побочными. При канонических уравнениях	по¬бочные числа влияния также обладают свойст¬ вом взаимности: bik=bkit№l23451bnЬ12 ~ Ь22С12Ь13 = &23C12614 = 624^12Ь\ъ~ ^24C122^21 = ЬцС21Ь%2Ь 23 = £>33^23£>24 = ^34C23Ь25 = bzbC2Z3b 31 — £>21c32&32 = b22CB2bzz^34 = ^44^34bz5 — *45C344^41 — &31C43Ь 42 = Ь 32^43^43 = ^33^43*44*45 = *35C455bbl = ^4lC54b*>2 == ^43C54653 ” 643^-4(?54 = *44^54Ььь* См. 1.1.9.
5.5. БАЛКИ*	255Построение инфлюент усилий Qu и Ма в промежуточных сечениях неразрезной балки и инфлюент реакций VпИнфлюенты строят либо на основании принципа сложения — путем суммирования инфлюент, построенных для простых балок (основной системы), с инфлюентами опорных моментов, предварительно умноженных на коэффициенты, выражающие влияние этих моментов на исследуемое усилие или реакцию, либо непосредственно как эпюры прогибов от дислокации.Усилия Qw и в пролете п—1, п зависят от опор¬ ных моментов Мп-i и Мп- Реакция (давления на опору) зависит от моментов Мп_ 19 Мп и Мл+1:1Qa=Ql+-r{Mn-Mn-l)>Lrtл In	tL	UМи = К + —,	М„_1 + —Мп;1П	1ПУп=К + -т—(мп+1-мп)-Л+1(5.195)(5.196)(5.197)Здесь первые слагаемые, отмеченные нуликом, вы¬ ражают инфлюенты для основной системы.По способу непосредственного построения эпюры про¬ гибов сначала вычисляются опорные моменты от соот¬ ветствующих дислокаций Гц, 6Ц (см. 5.4.3). Затем строится эпюра моментов, а по ней — эпюра прогибов.Первый способ удобен при серийном построении ин¬ флюент, второй — при построении небольшого числа ин¬ флюент.Пример 5.5. Схема пятипролетной неразрезной балки и ее нагрузки показана на рис. 5.59. Построить эпюру М от действия постоянной нагрузки и определить опорные моменты для двух случаев расположения временной на¬ грузки, дающих наибольшие положительные моменты соответственно в нечетных и четных пролетах балки. Соотношение моментов инерции 1\ : /2: /3: U : h = =3 : 4 : 2 : 1 : 4.Таблица нагрузокПролетПостояннаяВременнаяраспределеннаясосредоточен¬наяраспределеннаясосредоточен¬наяg в 7*/пог. мG в тv в тшог.мР в т1*1 = 2Ол= 8Рл = 2,8Я1 = 122*2 = 1.202 = 6,5Р2= 2,1IIо3*3 = 3G3 = 9р3= 4рг = 134= 0,3 *4 = 8-/>4 = 12-5*5 = 3>2-£IItfbСЛ-Приведенные длины пролетов	(принимается 1С — 4)/4	4/' = /!— =6,5— =8,67 м;	4 =8 — = 8м;Jj о	41^ — Юм; /4=16м \	/5 =10 м.Система уравнений трех опорных моментов согласно (5.1846) с учетом обозначений (5.185) (вторая строка) имеет вид33,33 M±+SM2 +Z.! -f /?i = 0;8 Мх + 36 М2 4- 10 Мг + L2 + R2 = 010 Мг + 52 М3 + 16 М4 + L3 + *3 = 0 ;16 М& + 52 М&	+ Lg + = 0 .Попролетное вычислениз компонентов свободных (грузовых) членов для постоянной и двух вариантов временной нагрузки дано в таблице на стр. 257.Полученная в численном виде система трехчленных уравнений сопоставляется с (5.187). Решение для каж¬ дой группы свободных членов разыскивается в виде(5.188).	С этой целыо при помощи цепных зависимостей(5.189)	и (5.1897) определяются величины с и с1233,33= —0,24;с2310с34 —36 — 8.0,24 1652- 10-0,294= —0,294; =-—0,326;16с43 “ ~^2 = ^ >С32 — '°211052- 16-0,308 8= —0,213;36—10.0,213•0,236.По величинам с определяются величины Л [формулы (5.190)], по величинам с'—величины А' [формулы (5.190')] для каждой группы грузовых членов.Для постоянной нагрузкиАг = 1 027 ;А2 = 901,3— 1027-0,24 = 654,3;Л3 = 696,7 — 654,3-0,294 = 504,7 ;Л'= 1139,2;Л' = 696,7 — 1139,2-0,308 = 345,7 ;Л' = 901,3 — 345,7-0,213 = 827 ,8.Значения неизвестных для постоянной нагрузки:_ 1027 + 827,8 (—0,236) _Ml = ~ 33,33 — 8.0,236 ~831= — 26,46 тм ;М2 = —М* = —31,45— 10 27.0,24 + 901,3 — 345,7.0,213—	8.0,24 + 36— 10-0,213580,8= — о-, =—18,2 тм ;31,96-654,3-0,294 + 696,7— 1139,2-0,308—	10-0,294 + 52 — 16-0,308 153,744,13-3,48 тм;
\ . ч111! isrflKlarcarS'S.ts*&§io&5К1lCiCa4<5s*Ca«5»*Ca<arCiС2Гc=T5cacs©0l§li^!|§ |^3|Й§■ с-,' ^ *5? Cb*	^5» СЪСЪ Ci Ci ^ Cb- ~ ^rTTTTT^wy'z © ' j" @ ' <ca c>gfI©i IlllliSlI sillS*a cv ^ ^ ^ сэГ ог?_>- ^ГТТГГг^-^^'^-yi & j^5caCiIС2Гг © J. ® *Инфлюэнта Vt Рис. 5.59©
5.5. БАЛКИ	— 504,7-0,326 + 1139,2 _ -	16-0,326 + 52 - 975,7= -Жп=~20Мтм-На рис. 5.59 эпюра Mg получена путем алгебраиче¬ ского суммирования эпюр М° для основной системы про-♦стых балок с эпюрой Mg от лишних неизвестных — опорных моментов.Аналогично определяются опорные моменты для вариантов временной нагрузки. При этом пересчета зна¬ чений с и с', а также знаменателей выражений для не¬ известных не требуется. Пересчитываются только вели¬ чины Л и Л', а также числители выражений для неиз¬ вестных. Этим путем определено:I	вариант: М\=—19,0 тм; М2——9,18 тм; М3——1,18 тм; М4 = —21,3 тм;II	вариант: М i=—21,65 тм; М2=—18,5 тм; М3= =—3,14 тм; Af4=—8,29 тм.Пример 5.6. Для той же балки определить числа влияния и построить инфлюенты опорных моментов М\ и M2t усилий Af0,4/2 и Qo,4/2 и опорной реакции V\.Числа влияния определяют по формуле (5.192) и табл. 5.6. Главные числа влияния равны величинам, об¬			... 	 257ратным знаменателям общих выражений для неизвест¬ ных. Например:6п = ~'зГ45 = —°.°318=- 318- 10 4;622 = = 10_4 ИТ'Д-Таблица (матрица) чисел влияния, увеличенных в 104 раз№11 2 11 341—31875,1—16,04,92275,1| —31366,6| —20,553 1—16,066,6 |—22769,8« 14,92—20,55 |69,8| —214Числа влияния дают значение неизвестной непосред¬ ственно по грузовым членам, минуя определение величи¬ ны Л и Л'. Например:М2 = а.\р b2\ + а2р b22 + азр biz + а4р Ь2\ ==(—1 027-75,1 +901,3-313 — 696,7.66,6 ++ 1139,2-20,55) 10“4= —18,2 тм.Таблица грузовых членов (к примеру 5.5)Постоянная нагрузкаВременная нагрузкаo> <uI вариант11 вариантнО)чоформулаffi До со h.грузовыечленыВ ТМ2формулачисловоегрузовыечисловоегрузовыесзначениечленызначение1йА , 2Li— 4 + з G\hl\483,2Li + Ri=pA - 2Li = —4— h + — PJil\707,0£i+#r-~0^1+^1=2gA 15Ki = — ^ + ^GsV2543,8= 1 027pA - 15*1*7 i2 + -fiPM20= 707,0868,5= 868,5gA * 15 L2= 4 l2 + ^G2l2l2543,8^2 + #2= = 901,32P2I2 » 15 L2 = ^ l2 + — P 2^2*20L2~{-R2 = = 494.0868,5L2+/?2= = 868,53„ gA , з#2= 4 + 7 G3l3l3 gA 3 ,з = 4 *3 + 7 3^3357.5357.5psll , 3 » ^2 = P^hhPsll , 3 L3 = — /3 + ^ Я3/3/3494.0494.0L3 + R3= = 696,7^з+#з= = 494,0^3+^3= = 480,0А„ sA , 5 'o' b- — U + -&s4%i4339,2Rs = -^P4 l\ h0480,0*gA - 5 , ' Lt = 4 h + gihl4339,2^4+^?4 =0L4+7? 4 =480,0^4+#4 =5800,0= 1139,2- 4 51125,0= 1125,0= 480,0Примечание. Попарное равенство грузовых членов от временной нагрузки связано с симметрией нагрузки в пролетах.17 Зак. 2098
258РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВЭпюра М с опорными ординатами, равными числам влияния, дает инфлюенту для подвижной фиктивной на¬ грузки (см. пунктирную эпюру на рис. 5.59, совмещенную с инфлюентой М2). Если фиктивная нагрузка приведе¬ на к опорным сечениям, то вычисление ее действия (уста¬ новка на инфлюенту) совпадает с вычислением М2 по грузовым членам и числам влияния (см. выше).Инфлюенту М2 для подвижной действительной на¬ грузки строят как эпюру прогибов от пунктирной эпюры моментов. Общее выражение прогиба от опорных момен¬ тов простой балки в сечении с относительной абсциссойt и	с/ *—и6= — или £ = —— имеет видМв I*Для отдельных пролетов при построении инфлюенты М2 это дает пролет 1^1)= -53) - = 75, ЫО-4.6,5-8,67 (?—£3);пролет 2Ц2>=75.1 • Ю-4- 8- 8 (£'—S'3)—313-10~4-8-8 (5—£8); пролет 3t,<3>= —313-10~4.5-10(5'—£'3)+ 66,6-КГ4-5-10 (£ — £*); пролет 4р<4>=66,6-10-4-4-16(5'—S'3)—20,55• ИГ4-4-16 (£ - S3);пролет 5 Ц5>=—20,55.Ю-4-10.10 (5'—£'3).На рис. 5.59 показаны построенные таким образом инфлюенты М\ и М2.Инфлюенты усилий в промежуточном сечении я, = = 0,4/2, £' = 0,6/2 построены по формулам^0,4 /2 = M0qa + 0,6 М1 + 0,4 М2;@0,4 I, ~ Фо.4 г +М2 — М1 8.0Инфлюенты М° и Q0 для простой балки пролетом h показаны на рис. 5.59 пунктиром; главные ординаты их даны в скобках.Инфлюента V\ построена по формуле— Мх{— + —) + —.1	\6,5 8.0/ 8.0Инфлюента Kj для пары простых балок 0—1 и 1—2 показана пунктиром.Пример 5.7. Найти грузовые члены для деформаци¬ онных воздействий на балку: 1) при построении инфлю¬ ент Мо,4/а И Qo,4l, как эпюр прогибов от дислокаций в=рФ=1 и Г=/,Ф=1; 2) при осадках опор № 0, 1, 2, 3,4,	5 соответственно на р0, vu v2, ^з, ^4, v5\ 3) при нерав¬ номерном нагреве балки на tH (нижние волокна) и t° (верхние волокна).	вСвободные члены во всех случаях определяются как опорные давления смежных пролетов от фиктивных на¬ грузок:anp = 6EIc(^+^>)=Ln + Rn.1)	Дислокация 0 =1 рассматривается как фиктив¬ ный груз РФ= 1, дислокация Г=1 — как фиктивный момент £Ф = 1. Увеличенные в 6Е1С раз опорные давле¬ ния соответственно равныL1== 0;	= 6EIC'Q,S\ L2 = 6£7c-0,4;6 EIC r 6 EICz,,=o: R,.	8 0 • ^-8i0’ R2=q:Это дает грузовые члены«1/;=^1+/?1=6£,/с*0,6; а2р=L2+R2=6Е1С-0,4.Аналогично6Е1С	6 Е1Са1р~~ 8,0 : а*р— 8,0 ‘Остальные грузовые члены равны нулю. Определив неизвестные моменты Ми..., М4, строим эпюру проги¬ бов по указанным в примере 5.6 правилам. При. пост¬ роении эпюры v в пролете 1—2 необходимо учесть дис¬ локации в сечении 0,4/2. Практически это эквивалентно наложению инфлюент М° и Q0 для простой балки.2)	Осадка п-й опоры на vn рассматривается как фиктивный изгибающий момент =vn. Этот момент вызывает в основной системе опорные давленияV*.^+1= *Vftл+1Это дает свободные члены уравнений 6 EIcvn‘ ипРun-l,p- , 1п' апо— 6EIcvnan+l,p — I6 EICЯ +1Влияние осадок каждой из шести опор приведено в таблице к примеру 5.7.3)	Кривизна от неравномерного нагрева рассматри¬ вается как погонная фиктивная нагрузка:/ 0\о ф а ( Н _ ОV; = = 	 см 1.hОпорные давления4	InСвободные члены«пр= 6 Е1СРп 1ггРп+1 ^п+1^Влияние нагрева всех пролетов см. в таблице к при¬ меру 5.7. Для расчета на случаи 2 и 3 необходимо иметь фактическую величину модуля упругости » моментов инерции, а не только соотношение жесткостей отдель¬ ных пролетов.
Таблица грузовых членов (к примеру 5.7)СлучайСхема фиктивной нагрузкиa)pa2pa3pa4p1Инфлюента ^0,4 /2 (дислока¬ ция 0=1)6EIc*0t66EIC-0,400Инфлюента(дислока¬ ция Г = 1)f:r" i-l9=B - —6 Elc 86 EIe8002Осадка опо¬ ры 0■Tg* 1-еш‘й000Осадка опоры 10 2 X	w	“3-k— ir^js _-6ЕЦ^+т)6EIc~t00Осадка опоры 2£		2,•4		ГС^г9=5—o’6EIC^-6ei^(t + t)6 Bl.f0Осадка опоры 3i	06EI‘f~6E'-(i+i)6EI‘fОсадка опоры 4l	^Vif 5006£,‘T-6E/c,4(j+^)Осадка опоры 5	1 M^V54'. t—10006 EIC — c 103Неравно¬мерныйнагревгг T ^ T6E/c-y( tfb+Pp*)6EIcj(pp2 + p$/^6£/^p34+ pfh'j6EIe j(pf U+pfh'j
260РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ5.5.9.	Неразрезная балка на упруго оседающих опорах. Уравнение пяти опорных моментов [120, 157, 142]Если неразрезная балка (рис. 5.60) покоится на уп¬ руго оседающих опорах, например упругих поперечи¬ нах, понтонах (наплавной мост) и т. п., то углы пере¬ коса пролетов ф непосредственно зависят от нагрузки балки.Рис. 5.60Податливость п-й опоры (осадка от единичного гру¬ за, приложенного к опоре) обозначается еп см/кг. По¬ датливость есть величина, обратная отпорности,1гп =	.Осадка п-й опоры (прогиб над п-й опорой)1*/2+1~(Мп-Мп_ i)(5.198)Здесь V°n — давление на п-ю опору в предположе¬ нии шарниров над опорами.Углы перекоса:<Ь,+1 =	( vn+1—vn );	— v„_j)./2+1	InРазность углов перекоса или дополнительный угол перелома (дислокация) над п-й опорой0Г - 4W1 - Фя -(v»+i~ vn) -1Ln(5.199)Пользуясь уравнениями (5.184а), (5.198') и (5.199), можно определить опорные моменты последовательны¬ ми приближениями. При весьма податливых опорах в первом приближении приравнивают нулю опорные мо¬ менты и из (5.199) находят, ф/2+1—tyn, которые подстав¬ ляют в (5.184а). При более жестких опорах сначала по¬ лагают равными нулю осадки и из (5.184а) находят опор¬ ные моменты, которые и подставляются в (5.198) и(5.199). В последующих приближениях пользуются дан¬ ными предыдущего приближения, каждый раз определяя прогибы из (5.198) и моменты из системы (5.184а), при¬ чем выражения для моментов представляются в развер¬ нутом виде по формулам (5.188). Можно вводить в уравнения только поправки (см. раздел 6). Процесспродолжается до тех пор, пока последовательные вели¬ чины М или v не будут отличаться незначительно.Уравнение пяти опорных моментов получается путем подстановки (5.199) в (5.184) и имеет видМп-2 *п.п-2 +	*п.п-1 + К е„>л ++ М/1+1 ^Я,Я+1 “I" ^/1 + 2^/I,/2 + 2 + ® пр в 0* (5.200)Значения коэффициентов в:1Л,/2—21п 1 1 /2—1 п6 Е1п+/[_tL(^7+i) +^(— + —'11-In \ In ^п+1 / J3 Е1„1п+х > Г.!^1 +3^л+1 [l\+ е„ (-i- + TJ_y+ JS±I_1 .\ I,г /2+1 / ln+l Jа 	 ^л+1 • Г /JL ,	,/2./2+1- б£/л + 1 [ /д+1 ^ ln + ln+i J ++ 7^(7"^— + —)]:1П +1 \ П+1	П +2 /J^/2./2 + 2&/2 +1^/2+1 ^/2 + 2(5.201)в„-[4] + К+,]+<-,тт-- _и"" (лГ + т^г)+1'",^ТГ'В случае равнопролетной балки постоянной жестко¬ сти уравнение (5.200) имеет видМп_2а-}-Мп_1(]—4а)+Мп (4+6а)+Жл+1(1—4а) +62п ап+Мп+1а=^я+1 *л+1lUi-* — 2Vj + V®+1) /. (5.201a)6 Е1г 6 ElЗдесь а=-^— = ; Qn , 2л+1— площади эпюр мо¬ ментов от нагрузок, подсчитанные для простых балок с* пролетами п—1, п и л, /г+1. Уравнение (5.20U) отли-6 EIчается от «естественного» (5.200) множителем—~, Этоследует учитывать при определении чисел влияния.В системе пятичленных уравнений первое и послед¬ нее уравнения содержат по три неизвестных, второе и предпоследнее — по четыре, все промежуточные — по пять. Для решения обычно применяется метод Гаусса. Другие приемы см. [142].
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ2615.6.	АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ[10, 37, 109, 120, 142, 143, 154]5.6.1.	Общие положенияОсновное назначение арок и простых (одноконтур¬ ных) рам — служить несущей конструкцией покрытий и мостов. Для арок характерно криволинейное, а для рам ломаное очертание оси. Полигональные арки могут быть отнесены как к аркам, так и к рамам. Для арок и рам существенно возникновение наклонных реакций опор при вертикальной нагрузке (распора). Это выдвигает до¬ полнительные требования к грунту и устройству осно¬ ваний. Для мостовых сооружений, несущих большую постоянную и временную нагрузки, важное значение имеет выбор рациональной оси арки, позволяющий свести к минимуму изгибающие моменты в сечениях . арки [50, 53, 64]. Первостепенное значение выбор рацио¬ нальной оси имеет для каменных и бетонных мостов. В гражданских и промышленных сооружениях очертание металлических и железобетонных арок обычно выбирает¬ ся по архитектурным или производственным соображе¬ ниям с соблюдением общих, принципов рациональности формы оси, сводящихся к тому, чтобы изгибающие мо¬ менты были как можно меньше, иначе говоря, чтобы ось арки была по возможности близка к кривой давления. Последняя является огибающей равнодействующих усилий в сечениях арки и имеет форму веревочного многоугольника для нагрузок арки.Бесшарнирная арка или рама 3 раза статически не¬ определима. Добавление каждого шарнира снижает сте¬ пень статической неопределимости на единицу. Чем выше степень статической неопределимости, тем меньше гиб¬ кость арки, тем больше температурные напряжения. Трехшарнирная статически определимая арка свободна от температурных и усадочных напряжений, если пред¬ положить, что по толщине арки температура или усадка распределена по линейному закону. В ней не возникают также напряжения в случае осадки опор.Расчет арки начинается с вычерчивания оси, опре¬ деления нагрузок, реакций и усилий. Далее следует под¬ бор сечений и проверка прочности. В конце уточняют собственный вес и производят окончательный расчет.5.6.2.	Трехшарнирная аркаРеакции и усилия при постоянной нагрузкеНа рис. 5.61, а показана симметричная, а на рис. 5.61, б — ползучая арка. Под Ру,Рх, L со значками «л» и «пр» подразумеваются сосредоточенные нагрузки или равнодействующие нагрузок левой и правой полуарок. Реакции пятовых шарниров А и В представлены верти¬ кальными компонентами и компонентами, направленны¬ ми по прямой АВ. При этих условиях каждый из ком¬ понентов определяется самостоятельно из одного урав¬ нения равновесия всей арки или полуарки: VA или VA —9из уравнения £ Мв= 0; VB или VB—из уравнения2	МА=0. Эти уравнения составляются для всей арки; определение реакций V или V' ничем не отличается от определения реакций простой балки. Я^или Нв опре¬ деляются из уравнения	=0 для правой полуарки; НА или НА — из уравнения 2 М£ =0 для левой полуарки. Проверкой служат уравнения 2 Х=0 и 2 Y = 0, состав¬ ленные для арки в целом.Для ползучей арки по компонентам реакций V' и Н' (рис. 61, б) находят полные вертикальные и горизонталь¬ ные составляющие реакций:VA = VA + НА sin Г> Vb= Vb~ HB siin; HA = HA C0S r. HB =HB COS If.Усилия в любом сечении т с координатами центра тяжести Хт, Ут\изгибающий моментMm = VA хт~НА Ут+[Мт]ш>поперечная силаQm = VA C°Sam — HA sinam + продольная сила Nm = ~VA sin ат ~ ИА cos ат + [Wm] .(5.202)Здесь [Мп,\ [Qm], [Nm]—значения усилий для криво¬ линейной консоли Ат со свободным левым и защемлен¬ ным правым концом; ат—угол наклона оси арки к оси х в сечении т.При вертикальной нагрузкеаЛVa = V°A ; VB = V°B ; HA=HB=H = — ■Mm =M°m - Hym • Qm = Q°mcos am~H sin ^ (5‘203) Nm=-QLsinam-Hcos am-Здесь V^, V%, M° и Q°—реакции и усилия, подсчи¬ танные для простой балки; М°с—изгибающий момент в простой балке в сечении ключевого шарнира С; / — стрелка арки — плечо ключевого шарнира С по отноше¬ нию к прямой АВ.Имея уравнение оси арки у=у (*), получают значе¬ ния tg <*=*/', а затем1	У'COS а= 	 		, Sin а =-/1 + :Vl + :
262РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВЭпюра М получается как линейная комбинация эпюр М° и Ну, эпюра Q — как комбинация эпюр Q°cosa и Н sin а, эпюра N — как комбинация эпюр Q° sin а и Н cosa. Эпюру М целесообразно строить в масштабе =/. Тогда эпюра Ну превращается в эпюру у с ор¬ динатами, отложенными от прямой АВ, совпадающую с осью арки. Ординаты эпюры М получаются как раз¬ ность между ординатами эпюры М° и ординатами оси I лрки (рис. 5.62,0).Рис. 5.62В случае параболической арки с уравнением оси У=^х(1-х) = 4/66'; / = tg a = ~~{l—2*); (5.204)при равномерно распределенной нагрузке получается параболическая эпюра М° ц прямолинейная эпюра Q0:м° = -£-х(1~х)= 66'; Q° = Y (/ — 2х). (5.205)Х I	ХЗдесь с= —; с' = °РДинаты эпюр М и Q обра¬ щаются в нуль. Арка работает во всех сечениях на цент¬ ральное сжатие. При этомpi pi2 рРN = — Н cos а = —		—. (5.206)8//l + tg»aДля пологой арки приближенно можно принять —Н. Фактически в параболической арке при равно¬ мерной нагрузке возникают небольшие моменты вслед¬ ствие изменения формы арки в связи с обжатием оси.При равномерном и нормальном к оси арки давлении р кг/пог. см длины оси изгибающий момент Мт и рав-Rn=Y Qнодеиствующее усилие по формуламМт=-%- (Ро ~9„) I Rm = Р?+N вычисляются т тЗдесь Ро — радиус так называемого узлового круга [951. В случае трехшарнирной арки узловой круг про¬ ходит через три шарнира арки; рт— радиус-вектор ис¬ следуемого сечения т (рис. 5.62,6). Усилие Rm перпен¬ дикулярно Pm- Путем разложения Rm по направлениям сечения и нормали к нему определяют QwhMw. В случае круговой арки моменты и поперечные силы равны нулю.Графическое определение реакций арки см. 2.1.5 и2.2.2.	Построение кривой давления (многоугольника рав¬ нодействующих усилий) см. [119, 120].Данные для построения эпюр в различных случаях нагружения см. табл. 8.2.2—8.2.6. Данные для вычис¬ ления ординат оси см. табл. 8.2.1.Инфлюенты (линии влияния)Инфлюенты Vд и VH не отличаются от инфлюент для простой балки (рис. 5.63). Инфлюента Н совпадает с инфлюентой Мс. но с ординатами, уменьшеннымин£ н +I lLМножитель ут(5.207)в / раз (средняя ордината надписана на рис. 5.63). Ин¬ флюенты усилий строят на основе формул (5.203), пре¬ образованных к виду м-Qm = sinam(Qmc{g ат~ Н) ;tfm = —COSо-т (0^tgam + W).(5.208)
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ263Сначала строят инфлюенту Я, которая без измене¬ ний входит в другие инфлюенты. С ней алгебраически суммируют балочные инфлюенты М^т и Qm, умножен¬ ные на соответствующие коэффициенты. Затем все ординаты умножают на множитель, стоящий перед скобками. Этот же способ применяется в случае двух¬ шарнирной арки.Кинематический метод (рис. 5.64). Инфлюенты Мт Qm, Nm усилий в сечении т строят как эпюры верти¬ кальных перемещений соответственно от единичных дислокаций ©т =1, Тт =1, Ат *=1. На основе статико- кинематической аналогии арка моделируется кривым брусом со свободными торцами и тремя опорными стержнями в местах шарниров, перпендикулярными плоскости кривизны. Так как моделирующий брус и опорные стержни абсолютно жесткие и обеспечивают неподвижность (кинематическую определимость бруса), упругого основания можно не вводить. На рис. 5.64, а, б, в в точках Л, £, С вместо шарниров теперь подразумеваются опоры. Используется система левого винта. От дислокации 6т =1 (фиктивного груза, перпен¬ дикулярного плоскости чертежа) возникают фиктивные реакции опорных стержней	тс , уравновешива¬ющие 0m=1 (рис. 5.64, а)- Из уравнений моментов относительно прямой АВЪтУт 1 ‘Ут =	= 	.С / /Реакции ъл и тв теперь определяются из уравне¬ ний Е М% =0 и 2 М% =0 относительно вертикальных осей (в плоскости оси арки), проходящих через *в и Тд. Найдя и имея тс, строят эпюру односторонних (типа изгибающих1) моментов относительно вертикаль¬ ных осей (т. е. осей, параллельных подвижной силе Р). Практически задача сводится к построению эпюры из¬ гибающих моментов для горизонтальной балки-проек¬ ции по рис. 5.64, а' от фиктивных сил Р^ = 9т =1(вниз) и	(вверх). Инфлюента MpmyCt совпадаю¬щая с эпюрой Vxm.' имеет ВИД ДвУх треугольников. Ана¬ логично строят инфлюенты Qm и Nm% прикладывая к моделирующему брусу дислокации Гт=1 и А=1 (рис. 5.64, б, в). В этом случае из ЕЛЯАв =0 в С полу¬чаются реакции тс =COS сiffisin°m/и соответственно =. Балка-проекция нагружается в первом случаесосредоточенным фиктивным моментом L% =cos am и sin am, во втором случае — моментомсилой = L±=~,sin am и силой =cos am /1 Их нельзя просто назвать изгибающими, так как вертикальные оси не лежат в плоскостях сечений бруса.(рис. 5.64,б',в').Эпюры моментов балки-проекции дают искомые инфлю¬ енты Qm и Nm.Указания об использовании инфлюент. Инфлюенты используются наиболее широко при расчете мостовых арок. Помимо усилий, отнесенных к центрам тяжести сечений, здесь применяются также ядровые моменты и инфлюенты ядровых моментов. Момент относительно нижней ядровой точки дает величину нормального на¬ пряжения в крайнем верхнем волокне, момент относи¬ тельно верхней ядровой точки — в крайнем нижнем волокне (см. 5.2.6), Инфлюенты ядровых моментов строят по тем же правилам, что и инфлюенты изгибаю¬ щих моментов, вводя вместо хт, Ут соответствующие координаты ядровых точек.Указания о невыгодном загружении трехшарнирных арок временной нагрузкой см. табл. 8.2.3.Эпюры углов поворота и прогибов аркиЭти эпюры для любой арки строят как эпюры фик¬ тивных поперечных сил и изгибающих моментов балки- проекции, нагруженной соответствующими сосредоточен¬ ными и распределенными фиктивными нагрузками. По сравнению с построением инфлюент трехшарнирной арки здесь в общем случае добавляются фиктивные распределенные нагрузки: силовая (рФ) и моментная (тФ).Уравнение эпюры углов поворота:•г	х?*=<#=<# — Црф - j Рфda. (5.209)о оУравнение эпюры прогибов:X	XРх=м* = Л$+<#* + S L* - 1>ф (Я-ВР) +О	ох	х+ J nfidu — ^ (х—и) du. (5.210)
264РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВСосредоточенные фиктивные нагрузки выражаются через дислокации арки:рФ = 0; = Г cos а — Asina;	(5.211)распределенные фиктивные нагрузки — через деформа¬ ции и усилия арки:ft	МпФ =EI COS аQ NGFVEFtga. (5.212)Построение эпюр пермещений для арки сводится к тем же операциям, что и для балки. Если /cosa=/0= =const и положить tga =tg acP =const, то речь идет о балке постоянного сечения.В случае трехшарнирной арки угол взаимного пово¬ рота сечений в ключевом шарнире (фиктивная реакция ^с=^? = -0с) вводится в уравнение прогибов (5.210) как сила рФ = — тс. Как и выше при построении ин¬ флюент, определяется из уравнения моментов фик¬ тивных нагрузок арки относительно оси АВ.Общее выражение угла относительно поворота в клкь че трехшарнирной аркитс = —	0у + 2 Г sin a -f J] Л COS a ++j »y dis с M + j£/у ds+ J f sin ads-\- fx cos ads~{-c Nin a ds + 1 — cos ads(5.213)Из этой суммы выбираются нужные слагаемые. Например, в случае воздействия температуры вводятсятолько члены, содержащие а (£н £р)и X, причем Остальные члены полагают; h = *tCp.к сечравными нулю.Эпюры прогибов арок строят для -назначения строи¬ тельного подъема, для уточнения расчета путем введе¬ ния деформированной оси, при построении инфлюенты прогиба ключевого шарнира трехшарнирной арки и глав¬ ным образом при построении инфлюент усилий в стати¬ чески неопределимых арках. Каждая из этих инфлюент получается как эпюра прогибов некоторой балки или, что то же, как эпюра моментов некоторой фиктивной балки.	'5.6.3.	Статически неопределимые арки Универсальные формулы для усилий[154]Расчет арок обычно ведется методом сил с исполь¬ зованием упругого центра (вынесения неизвестных при помощи абсолютно жестких консолей). Пользуясь этим решением, получают приводимые ниже формулы, позво¬ ляющие представить результат в компактной и нагляд¬ ной форме. Эти формулы получаются также непосред¬ ственно на основе статико-кинематической аналогии.Формулы охватывают определение изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в любом сече¬ нии бесшарнирной (трижды статически неопределимой), одношарнирной (дважды статически неопределимой) и двухшарнирной (однажды статически неопределимой)упругих арок от действия силовых и деформационных факторов (температуры, дислокаций) с учетом деформа¬ ции от изгиба, поперечных и продольных сил.Обычно расчет ведется на действие сил (нагрузок). Предварительно выбирается основная статически опре¬ делимая система, например в виде криволинейной балки, трехшарнирной арки или в случае бесшарнирной арки — в виде двух консолей, отделенных сквозным разрезом в каком-либо сечении арки (чаще всего в ключе). Уси¬ лия в основной системе обозначаются М°, Q0, №. Усилия от действия лишних связей (статически неопределимые усилия) обозначаются М*, Q*, М*. Если расчет ведется только на действие сосредоточенных или распределен¬ ных деформаций (например, для построения инфлюент или на воздействие температуры), то устанавливать ос¬ новную систему нет необходимости, так как усилия по¬ лучаются независимо от основной системы.Усилия в сечении бесшарнирной арки произвольного очертания (х, у — координаты центра тяжести сечения в глазных центральных осях эпюры гибкости арки):мх,у =Мх,у+Мх,у ==МЛ,урФ -1 — +У—Щ/*Qx.y — Qx.y + Qx.y —= Q°*.y-[^cosa-^Sin aN = N -4- N = lsx,y iyx,y г x,yI [ф	[Ф	\(5.214)(5.215)(5.216)” Здесь a — угол наклона касательной оси арки в сече¬ нии к оси х угол отсчитывается против часовой стрелки от положительного направления оси х к касательной.Статически неопределимая часть усилия М (взятая в скобки) выражается как фиктивное нормальное напря¬ жение при сжатии с изгибом (внецентренном сжатии), а статически неопределимые части усилий Q и N—как уклоны плоскости фиктивных нормальных напряжений вдоль осей у их (или как повороты этой плоскости из горизонтального положения относительно осей хну).Характеристики фиктивного профиляФиктивный профиль может быть представлен как по¬ перечное сечение тонкостенного бруса или как план подошвы ленточного фундамента. Средняя линия про¬ филя совпадает с осью арки. Профиль характеризуется погонной (вдоль средней линии) площадью (шириной)^Ф =——, погонным собственным моментом инерции отно- EIсительно средней линии = ^"и погонным собствен¬ ным моментом инерции относительно нормали к сред- ;Фнеи линииФиктивная площадь (гибкость),*-ЛМ'Фл-(5.217)
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ265Фиктивные осевые моменты инерции = j* у2 /Ф ds + | cos2 ads +j* i% sin2 a tfs;s	s	s/Ф = Jjc2	J /Jsin2arfs+J /Jcos2atfs.(5.218)Центр тяжести площади фиктивного профиля (центр гибкости) определяется по общим правилам нахождения центра тяжести площади:У о рфJ У fids	ф J xt$dsS	V S	Х0 ^фр фрф(5.219)Наклон главных центральных осей (в случае отсут¬ ствия симметрии, что является редким исключением) также определяется по общим правилам:tg 2a0 =2/Ф^1 ху/Ф 	 /Фу 1X(5.220)Здесь фиктивный центробежный момент инерции lfy=	j* (*л ~ '?) Sineads. (5.221)или случая лен-s4Если пренебречь деформацией сдвига и удлинения, то it =	и определение характеристик /£ /yf /fyничем не отличается от случая тонкостенного профиляс толщиной стенки ft = (см. рамы)точного фундамента на чисто винклеровском упругом основании (без учета отпорности при повороте и круче¬ нии) .Определение факторов Я*, Lf ,На рис. 5.65,а показана (в левой системе) дислока¬ ция + 0 (излом оси) в виде скользящего вектора, на¬ правленного за чертеж, а также дислокации + Г (сдвиг) и + Л (удлинение) — в виде свободных векторов-момен¬тов. На рис. 5.65,6 даны соответствующие фиктивная сила рФ=6и фиктивные моменты L^ и • Моменты в формулах (5.214) — (5.216) считаются положительными при вращении вокруг оси по часовой стрелке. При пе¬ реносе вектора 0 в центр ОФ добавляются моменты ^х У в и	Проектируя векторы-моментыА и Г на оси х, у, получаем в соответствии с правилом левого винта моменты, вращающие как показано на рис. 5.65,6:L% = A cos a+Г sin a, = A sin a —Г cos a.При наличии нескольких дислокаций, а также рас¬ пределенной деформации, в^том числе и упругойрФ = £ в + j‘ Ь ds+ j М° ds;s	s= 2	A cos a + Г Sin a ++ J &У ds + ^ X cos ads -f- J if sin a ds +s	s	9ГМ0+ Ji7yrfs + Ji7c0sads + J5ksinads:s	S	S. f_2L J OFiS-Sr,(5.222)Ly •= — 2 0^0 + ^ A sin a— j* $ jc cfs 4“ j* X sin a ds — J* if cos ads —^	^	sCM0 Г№	Г Q°~ )JTxds + )lFsinads-)^Fvcosads-Выбирая отсюда нужные слагаемые, получают зна¬ чения Рф , Lj , для любого случая. Например, для построения инфлюент Af, Q, как эпюр прогибов, берут соответственно 0=1, Г =1 или А =1, все остальные члены полагают равными нулю. В случае равномерного нагрева берут слагаемое, содержащее X, полагают X = = at (а—коэффициент линейного расширения), все остальные члены отбрасывают. При расчете на действие нагрузки предварительно определяют усилия Л1°, Q0, № в основной системе и вычисляют соответствующие ин¬ тегралы, содержащие эти усилия. Остальные слагаемые отбрасывают.Определение опорных моментов и опорных реакцийКоординаты центров тяжести левого и правого опор¬ ных сечений в главных центральных осях эпюры гибко¬ сти по абсолютной величине обозначаются через сл , hAи СВ,hB .Опорные моменты равны= Л4°-Рис. 5.65(5.223)
266РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВОпорные реакции, параллельные осям х, у и направ¬ ленные одинаково с ними:/Ф	[ФvA=v°A+-^-. = -±;I*У	УLi с Lt и	rjO I 		 . T-f	ZjO 	—ha=Ha+ /ф > нв=нв— /ф<(5.224)Здесь р — радиус-вектор точки оси р =у х2+у2; р0 равен полярному радиусу инерции площади гибкости рамы. Центр узлового круга лежит на оси симметрии арки. При выводе этих формул деформация сдвига и удлинения не учтена. См. [95].В случае круговой арки центр узлового круга совпа¬ дает с центров осевого круга.Данные для расчета двухшарнирных и бесшарнир- ных параболических арок см. таблицы 8.2.7—8.2.11.Если за основную систему принята шарнирно опер¬ тая по концам криволинейная балка с пролетом, парал¬ лельным оси х, то М°А = М°В= Н°в=0. При наличии сим- /метрии сл = св =-£-. При вертикальной нагрузкенА = -нв=н.Равномерно распределенная вертикальная нагрузка.При очертании оси по параболе второй степени в пред¬ положении недеформируемости арки от действия про¬ дольной силы изгибающие моменты и поперечные силы равны нулю так же, как и в случае трехшарнирной ар¬ ки. Учет обжатия арки дает дополнительные моменты, которые иногда приходится учитывать.Равномерное нормальное давление. Так же как и в случае трехшарнирной арки, изгибающие моменты полу¬ чаются при помощи узлового круга по формуле (5.207).Радиус узлового круга и координаты его центра в главных центральных осях гибкости арки вычисляются по формуламРоJV <ф *рф ’ * - jyp2 t^ds2/ФуУ =2/ФX(5.225)Инфлюенты усилий в бесшарнирной аркеИнфлюенты усилий М, Q, N в любом сечении аркн строят как эпюры прогибов от дислокаций в =1, Г =1, А =1 в том же сечении. Этим способом можно пост¬ роить все необходимые для расчета прочности инфлюен¬ ты. Достаточно построить инфлюенты для лишних неиз¬ вестных, число которых равно степени статической неопределимости системы, остальные инфлюенты можно получить как линейные комбинации инфлюенты, постро¬ енной для статически определимой (основной) системы и основных инфлюент лишних неизвестных.Бесшарнирная арка трижды статически неопреде¬ лима. Достаточно построить три инфлюенты. На рис. 5.66, а, б, в под номерами 1, 2, 3 даны инфлюенты:а)	изгибающих моментов	Мс (основная систе¬ма— трехшарнирная арка); б) усилий М0, Qo, No в сече¬ нии О абсолютно жесткой петли, мысленно присоеди¬ ненной к двум торцам, отделенным разрезом по оси симметрии (основная система — две консоли); в) уси¬ лий Mo, Qo, No в сечении О мысленно введенной абсо¬ лютно жесткой балки, заменяющей пятовые защемления (устои) арки (основная система — криволинейная балка на двух опорах).Инфлюенты строят по уравнению (5.210) исходя изграничных условий QA= МА =0,Q^ = Мв= 0 (свобод¬ ные концы фиктивной балки). Дислокации задаются, аРис. 5.66
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ267распределенные фиктивные нагрузки определяют по усилиям М, Q, N от дислокаций, пользуясь формулами (5.214)—(5.216). Эти усилия наиболее просто опреде¬ ляются для вариантов б) ив), так как координаты хэ у У& и угол а обращаются в нуль. Преимущество ва¬ рианта а) состоит в том, что все инфлюенты МА , Мв, Мс непосредственно используются для расчетов прочно¬ сти.На рис. 5.66, а, б, в под номером 4 показан также вид инфлюент Afm, Qm» Nm- Инфлюенту Va cm. табл. 8.2.11 в конце.Данные для построения инфлюент параболических бесшарнирных арок см. табл. 8.2.11.Использование общих формул длярасчета одно- и двухшарнирной арокОдношарнирная арка двукратно, а двухшарнирная арка однократно статически неопределимы. На рис. 5.67 показаны три арки и надписана степень их статической^Ап> ?%п учитываются в качестве сосредоточенных ха¬ рактеристик гибкости при вычислении FФ, /Ф , /Ф . В остальном метод определения усилий М, Q, N остает¬ ся без изменений.5.6.4.	Двухшарнирная аркаОтличают двухшарнирные арки без затяжки (рис. 5.68, а) и с затяжкой, которая может лежать на уровне пятовых шарниров или быть повышенной (рис. 5.68,6). Согласно 5.6.3, общее решение для трех¬ кратно статически неопределимой арки с защемленными пятами пригодно и для однократно статически неопре¬ делимой двухшарнирной арки. Достаточно считать осью х прямую АВ и принять F^ = /Ф = оо ,На основании (5.214)/Ф*0Мху Мху ^ у.(5.226)/J определяется по формуле (5.218), причем интегриро¬ вание ведется по дуге АВ\ определяется по форму¬ ле (5.222). При наличии затяжки к величине /J следуетприбавить податливость затяжки£з I' 3относящиеся к затяжке слагаемые:а к величиненеопределимости. Шарнир рассматривается как элемент арки с бесконечной большой гибкостью на изгиб. Шар¬ ниру арки отвечает жесткая опора взаимного бруса.Центр гибкости совпадает с шарниром, гибкость арки РР = ОО.При наличии двух шарниров не только F Ф=оо, но также /J = оо, поскольку ось х соединяет шарниры.Формулы (5.214) — (5.216) для бесшарнирлой арки (рис. 5.67, а) справедливы и для одношарнирной арки, если принять РФ=оо, и для двухшарнирной, если при¬ нять F$= /Ф=оо. В первом случае главные центральные оси имеют началом шарнир (рис. 5.67,6), во втором случае практически существенна только ось xt пересе¬ кающая оба шарнира (рис. 5.67,в), Формулы для опре¬ деления усилий и реакций соответственно упрощаются. Характеристики гибкости бесшарнирной арки F$, /J,Iy используются при расчете одно- и двухшарнирной арки путем пересчета к новым осям.Упруго защемленная аркаУпруго податливые опоры рассматриваются как ко¬ роткие вертикальные продолжения тела арки с сосредо¬ точенными характеристиками гибкости.Податливостью опоры называется ее перемещение соответствующее единичной силе. Податливость опо¬ ры А при действии момента обозначается F% —— , При действии опорного давления 1%3 см/кг, при действии распора I %псм/кг. Аналогично — для опоры В с переме¬ ной индекса А на В. Предполагается, что податливости опор заранее определены. Величины F% F% /^, /ФРис. 5.68Обычно в качестве основной системы выбирают криволинейную балку, получаемую путем перерезания опорного стерженька В (рис. 5.68, а) или самой затяжки (рис. 5.68,6). При этом Н°В=Н=0. Усилие Нв или Н называется распором и считается положительным при направлении, указанном на рис. 5.68 (сжатие для опор¬ ного стерженька, растяжение для затяжки). Общая формула для распораL!?(5.227)В обозначениях метода сил эта формула имеет видХх = — . Очевидно, Aiр = —; /J =Ьп.snРасчет начинается с определения распора Н. Даль¬ нейший расчет не отличается от расчета трехшарнирной арки. О расчете на равномерную вертикальную и гидро¬ статическую нагрузки см. 5.6.2. Данные для расчета усилий в параболических двухшарнирных арках см. табл. 8.2.7—8.2.10.
268РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВИнфлюента распора Н получается как эпюра вер¬ тикальных прогибов арки от действия единичной дисло¬ кации А2 =1. При этомН=—^~.	(5.228)Эпюра М от Н совпадает по форме с осью арки, эпюры Q и N совпадают с эпюрами sin а и cos а. Соот¬ ветствующая эпюра упругих прогибов, получаемая по уравнению (5.210), в отличие от треугольной инфлюенты распора трехшарнирной арки имеет вид плавной кривой.Инфлюенты усилий М , Qm, Nm получаются путем комбинирования инфлюенты Н с инфлюентами М °т, Q°m, при помощи формул (5.208). На рис. 5.69 показаны две инфлюенты (Ср. с рис. 5.63).Непосредственное построение инфлюент усилий Мт, Qm. Мт кинематическим методом сводится к построению эпюр прогибов от действия единичных дислокаций0т = 1, Гт=1, Ат= 1 в сечении т. Для этого также используется уравнение (5.210).Данные для построения инфлюент параболических двухшарнирных арок см. табл. 8.2.8.5.6.5.	Упрощенный расчет двухшарнирных и бесшарнирных параболических арок*Расчет параболической арки упрощается и сводится к использованию готовых формул, если момент инерции сечения следует закону/ = —,	(5.229)COS агде 1с—момент инерции в ключе.Уравнение оси арки в осях х'у' (рис. 5.70):У'= ^-*'(/-*')= 4/Ее\	(5.230)Тангенс наклона касательной к оси х4/ ( 2х’\ tg« = (1—— )•	(5-231)Тангенс и косинус угла наклона в пятовом сечении tg аА — 4(*.	(5.232)cos ал =	1	 .	(5.233)(5.334)где |л =£_IТолщина арки в пяте при прямоугольном сечении 6(5.235)hA = К	+ 16 И2 ,где hc—толщина в ключе.Для указанных законов гибкость получается равнойiРФ= Г — =	,5J EI J El с El c’ K •236)что соответствует гибкости балки пролетом I с постоян¬ ным моментом инерции сечений, равным 1С-Статический момент гибкости относительно	оси х' ирасстояние центра гибкости относительно этой	осисф _ {уЛ _ Г	JL. ,523лS*' - J El ~ ) Elc~ 3 £/,’ <5-237), _ S%Уо рф-/•(5.238)Дальнейшие упрощения получаются, если наряду с • допущением / cos а= 1С пренебречь деформациями удли¬ нения и сдвига, положив EF=GFy = оо.Моменты инерции гибкости:8	If2	4 If2(5*239) (5*240); (5.241)/Ф:У/®12	Е1С ’уфХ'У' 3 Е1С(5.242)(5.243)Фиктивные грузы Р^ и фиктивные моменты L J , а следовательно, и фиктивные реакции iA и и абсцис¬ сы фиктивных грузов вычисляются как для простой бал¬ ки пролетом I и жесткостью £/с. Таблицы 8.1.3 пригод¬ ны и для параболической арки. Фиктивные моменты от¬ носительно горизонтальных осей вычисляются по фор¬ мулам' J £/ ei,iS	II= (5,244)
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ2694fEl * 120,5 iJ M°(l^	х2)Л- (5.245)-0,51Входящие сюда интегралы вычисляются как неслож¬ ные комбинации статических моментов и моментов инер¬ ции эпюр М° относительно вертикальных осей if или у. Эпюры М° строят как для простой балки, откладывая ординаты по вертикали.Вместо величин фиктивных моментов и Ly удоб¬ но пользоваться координатами фиктивного груза Рф» ординатой 2/0 и абсциссой л0. Имея их, определяют /Ф _ /эФ ув . /,Ф = _ РФ хйЧастные случаи нагрузок. 1) Вертикальная си¬ ла Р на расстоянии и= 8 / и /—u=t' I от опор. Мтцх=Р1 & (рис. 5.70).Фиктивный грузрФ=—.	(5.246)2 Е1САбсцисса фиктивного груза *0 =где хр—абсцис¬ саса силы Р. Ордината фиктивного грузаie=Y [52 (1+35') + 5'* <1+35)1; (5.247) Ув = Ув~ \t-	(5.248)Если сила Р приложена вдоль оси у, тоЛ1,_ £L. рФ _max — ^ > г —Pi-8 Е1С2) Равномерно распределенная сплош¬ ная вертикальная нагрузка р кг на 1 пог. мр££' р/2 проекции арки. Me = —- ; Мщах = “ГГ*.2	орф =рр\2Е1С;	Ув = ~^У.(5.249»3) Нагрузка, равномерно распреде¬ ленная на части пролетав — от х'=с до xf=d.рф=2Е1еSf,=pal ££' (1+S) pa* /£(5.250)6£/c5Ф= Ж-\5(*’ 30Elc [ V I* I2 I/d* cM /d* c5\1'~^(тг—^r)J;уУв =-ву* . рФ '£li. рФ *У в У©'/2 *’23(5.251)Частный случай — нагрузка занимает левый полу-пролет;С-0, d= —; £ =рФ __I4 1 р/3 24 EI IТб(5.252)4) Равномерный нагрев или охлаж¬ дение на ±t°.Результирующий фиктивный груз равен нулю. По¬ этому фиктивные моменты при помощи координат фиктивного груза выразить нельзя. В данном случае1Л = alt°\ L^= 0.*5.253»Равномерный нагрев эквивалентен перемещению опоры внутрь по горизонтали на величину ид = a lt° или ив = — alt°Учет обжатияВлиянием деформации сдвига пренебрегают во всех случаях, за исключением каменных и бетонных мостов большого пролета. Учет деформации удлинения (ко¬ ротко— обжатия) приводит к уменьшению распора и увеличению изгибающих моментов. Для пологих арок обжатие учитывается при вычислении величины и не учитывается гри вычислении и грузовых членов /-J, Lfb . На величинырФ и рФни сдвиг, ни обжатиевообще не влияют.С учетом обжатияcos2 a ds(5.254)/f=7?+ J-EFЗдесь через /J обозначено значение /$ без учета обжатия [см. формулу (5.240)].ргДля упрощения выкладок принимается F — где Fc — площадь сечения арки в ключе.С cos2 a ds 1 J EF = eFccos аJ cos*cos‘z a dx=/24f ШЗначения величины п(5.255)Таблица 5.7///%V.7el/r1/.*/g1,19l/15l/2«п0,7850.8430,8810,9110,9310,9420,9520.9710.999Для пологих арок (5.254) придают видпринимают п= 1. ШEFcl*Формуле(5.256)
270РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВДля бесшарнирной арки7* = JL.V!* 45 Е1е’ 6 Для двухшарнирной арки45 Jc 4Р ' Fсп. (5.257)7Ф _ JL !£L. _ — Ll„х' 15 ' Е1С' Уа 8 ' Fc 'Для двухшарнирной арки с втяжкой,3=jwAn+^a8\f*\Fc т E3F3)(5.258)(5.259)Здесь Е3 , F3 — модуль упругости материала и площадь сечения затяжки.Готовые формулы для различных случаев нагру¬ жения и построения инфлюент параболических арок см, таблицы раздела 8.2.5.6.6. Одноконтурные (простые) рамы [154]П-образные и замкнутые рамы рассчитываются на основе общих приемов расчета арок с теми упроще¬ ниями, которые вытекают 'из ломаного очертания оси. В первую очередь эти упрощения связаны с возмож¬ ностью во всех случаях пренебречь упругими пере¬ мещениями от >длинения и сдвига по сравнению с перемещениями от изгиба.Статически определимые рамыСтатически определимые рамы чаще всего встре¬ чаются в качестве основных систем при расчете ста¬ тически неопределимых рам. Статически определимые рамы могут быть типа ломаной консоли, ломаной бал¬ ки на двух опорах или трехшарнирной рамы. Опре¬ деление усилий (построение эпюр) консоли начинается от свободного конца; определение перемещений — от защемленного конца, который в фиктивной конструк¬ ции выступает как свободный конец. В случае лома¬ ной балки сперва необходимо определить реакцию хо¬ тя бы одной из опор. При определении перемещений — соответственно фиктивную реакцию (угол поворота). На рис. 5.71 даны эпюры М для ломаной балки ст действия горизонтальной силы.Трехшарнирная рама рассчитывается по правилам, указанным ь 5.6.2. Расчет по методу замены связей показан на рис. 5.72. Сначала рама заменяется другой статически определимой (основной) системой, более удобной в смысле простоты построения эпюры Af, в данном случае — двумя стойками, защемленными нижним концом, и шарнирно опертым на их верхние кошш ригелем. Строят эпюру моментов Af° для ос¬ новной системы (рис, 5.72,а). Затем вводят неизвест¬ ные дополнительные реакции (или другие усилия) MAf^А и На> которые подбирают так, чтобы окончатель¬ ные изгибающие моменты в трех шарнирах Л, В, С бы¬ли равнынулю.40Момент МА определяется сразу:1)	МА=—МА; реакции VA и НА найдутся из условий:2)	VА хс— "л Ус +	3) VА хв — НАУв-\~ 4-Af^ =0.Дополнительные моменты от MA>VA,HA подчинены закону плоскости. Это дает возможность построить окончательную эпюру М графически (рис. 5.72,6). Про¬ должают ось ригеля до пересечения с прямой А'В' в точке D. Проводят прямую DC\ что дает трапецеи¬ дальную эпюру от опорных моментов ригеля. Точки Е и F соединяют с точками А' и В'. Окончательная эпюра заштрихована. Общее правило: строят стати- чески возможную эпюру Af°, откладывая ее апплика¬ ты перпендикулярно плоскости рамы, затем срезают аппликаты новой начальной плоскостью так, чтобы окончательные моменты в шарнирах были равны нулю (известны три точки, через которые проходит эта плос¬ кость). Аппликаты, отсчитанные от новой начальной плоскости, откладывают в плоскости рамы в виде орди¬ нат от осей брусьев и получают окончательную эпюру моментовПример 5.8 (рис. 5.73,а). Плоская ломаная консоль нагружена в своей плоскости равномерно распределен¬ ной нагрузкой. Построена эпюра Af, ординаты которойРис. 5.71
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ271отложены от растянутого волокна. Интенсивность фик-Мтивнои нагрузки в каждом сечении равнаEIНе прибегая к изображению фиктивной конструкции (консоли, защемленной правым концом и нагруженной фиктивной нагрузкой перпендикулярно своей плоскости), определяем результирующие фиктивные грузы. Они равныплощадям эпюр моментов, разделенным на Е/, и распо¬ ложены в точках оси, соответствующих центрам тяже- pl2nсти эпюр. Груз 01 = ггГ действует посередине стойки2	Elhpl2S	S'h, груз 02= —у действует на расстоянии — от жест-Z • О til ^	*кого узла. Векторы фиктивных грузов направляют в соответствии с правилом левого винта: если М — по¬ ложительный при обходе контура по часовой стрелке, то груз направляется от наблюдателя, если отрицатель¬ ный,— то к наблюдателю. В данном случае моменты от¬ рицательные на всем протяжении консоли, поэтому гру¬ зы 0! и 02 направлены к наблюдателю. Прогиб в направлении оси у равен моменту фиктивной нагрузки относительно этой оси. Вектор момента (а значит, и прогиб) откладывается в такую сторону, глядя с кото¬ рой, увидим вращение по часовой стрелке:3Л 3 pl2h pl2sv = 0Х/ + 02 — I =	 /+	1	2 4 . 2Elh ^ msУгол поворота правого конца pl2h pi2 s—	I (вниз).(2EIh+ ■6 EIS(по часовой стрелке).Пример 5.9 (рис. 5.73, б). Ломаная балка несет на левой половине равномерно распределенную нагрузку. Ординаты эпюры М здесь отложены от сжатого волок¬ на. Так как изгибающие моменты всюду положительные,фиктивные грузы направлены от наблюдателя (за чер¬ теж) и изображены кружками с крестиками.Активные фиктивные грузы равны0	= — . — s — - р1Н1	Е1 ‘ 3 S 32 48£/Pl*s й _ft Р143	2 32 ЕГEI 2 16 32 L1 Для определения горизонтального перемещения пра¬ вой опоры можно фиктивных реакций в шарнирах А и В не определять. Перемещение ив равно моменту фик¬ тивных грузов относительно оси АВ:pl2sh	(вправо).h	2	2 5«В-e, 2 +в2— А+в,— Л=— Е1Прогиб в коньке определяется после нахождения Так как вертикальное перемещение шарнира В равно нулю, то момент фиктивных грузов относительно вер¬ тикальной оси, проведенной через В, равен нулю;64 EI/77рI)PhF77тIPi 6%A—*-u „ I? ,±fh+£L ■/| ' го,'?1 /V £Fh '/I ?i('Лрь ,6Fht„ Elh ,+Elh ih¥£!f.LuH+£LJ~67K 2EJ/,'3 ZOt ZFhl SFUРис. 574Вертикальный прогиб конька равен моменту одно¬ сторонних фиктивных грузов относительно вертикаль¬ ной оси, проведенной через конек:/	I	I 5 pl2sр^ Т “01 Т~вг Т “384 • 7Г<вниз)-•	Прогиб конька равен фиктивному изгибающему мо¬ менту посередине пролета горизонтальной балки про¬ екции от действия фиктивной нагрузки, определенной для ломаной балки.Пример 5.10. На рис. 5.74, а показана Г-образная консоль, нагруженная в своей плоскости силой Рш по-
272РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВстроены эпюры М, N, Q и найдены фиктивные нагруз¬ ки, равные площадям соответствующих эпюр, деленным на жесткости; на рис. 5.74,6 — та же консоль, нагру¬ женная перпендикулярно своей плоскости (см. ниже 5.6.7). В обоих случаях даны величины прогиба конца консоли по направлению силы Р с учетом всех дефор¬ маций.Статически неопределимые рамыКак и в случае арки, изгибающие моменты от дей¬ ствия лишних неизвестных получаются по формуле сжатия с изгибом или, что то же, по формуле внецент- ренного сжатия фиктивного профиля фиктивной нагруз¬ кой. Формула для полного изгибающего момента в точке х, у по варианту внецентренного сжатия имеет видЗдесьЕерФS 0у9 £ 0*0 ^ 'У+	—X/ф/флу(5.260)Мх^ у — изгибающий момент в основнойсистеме;Мх у—изгибающий момент от лиш¬ них неизвестных;Ff I^J у —геометрические характеристики гибкости рамы;0 — фиктивные грузы, получаемые, как площади эпюр М° с орди¬ натами, уменьшенными в EI раз; л:0, у9 — координаты фиктивных грузов.Для перехода к формуле (5.214) достаточно под¬ ставить£в=Рф; £еУв = Л*; £в*е=-^-Определив изгибающие моменты в трех сечениях (обычно пятовые моменты и момент в коньке), находят усилия N и Q в этих сечениях, пользуясь уравнениями равновесия рамы в целом и одной из полурам анало¬ гично определению реакций в трехшарнирной арке.При расчетах следует пользоваться табл. 8.3.11.Последовательность расчета выясняется на примере.Пример рамы с параболическим ригелем (рис. 5.75). За единичную жесткость принимается величина Е1С в ключевом сечении.Гибкость рамы складывается из гибкости ригеля, гибкости двух стоек и податливостей оснований стоек при повороте. Находим эти величины, увеличенные в Е1С раз:Рф = /+2/г'+2е.h	Е1СЗдесь hf = h-— ; е = j—,—,Ih	*олагде ko — коэффициент отпорности основания; /А— мо¬ мент инерции подошвы фундамента.Обычно поворотом фундамента пренебрегают, стой¬ ка считается жестко защемленной, е =0.Положение центра гибкостиS*. = / - J-/- — - 2еЛ = -j- //—h’h—2sЛ;Уо =S%_рфМоменты инерции гибкости /з+ 2 (Л' + t)/ф =- * 12/ I у	/з_\ 2 / = 12+/$= — h" №+<lth\Основная система получается путем включения шар¬ нира в левом опорном узле ригеля и горизонтально под¬ вижной шарнирной опоры в правом опорном узле ригеля.Эпюру ригеля при вертикальной нагрузке ригеля строят как для простой балки. Эпюра показана наРис. 5.75рис. 5.75, внизу. Фиктивный груз и его координаты опре¬ деляются по формулам (5.252)в -Р—-х -в'- 24 ’I	4(здесь у$ берется с учетом его знака).Эпюра^Л*2 стойки получается в виде кубическойпараболы с максимальной ординатой	Фиктив¬ный груз и его координаты:1	I	3в2 = —Л'Л2; *2 = — -J-; Уг = — — h+Уо •Третий фиктивный груз приложен к левой пяте:М2	I	, . '03 = е; Х3 = ~ » Уз = — h+Уо •Подстановка этих данных в формулу (5.260) дает величины Мху во всех сечениях. Расчет ничем не от¬ личается от определения напряжений в колонне, на¬ груженной несколькими эксцентрично приложенными продольными силами.Упрощения в расчете геометрических характеристик гибкости	/ф ,и фиктивных нагрузокВычисление указанных характеристик тождественно с вычислением действительных характеристик F, /*, /у
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ273тонкостенного профиля с толщинами стенок /Ф =—ElЦелесообразно использовать метод редуцирования пло¬ щадей (см. 5.2.3), который переходит в метод редуци-Рис. 5.76рования гибкостей отдельных брусьев и рамы в целом. Гибкость каждого бруса -zrr~ редуцируется к трем то- чечным гибкостям — посередине длины стержня* U	h U— • — , по концам —т и —— . Эти гибкости бе- о Eli	bEI'i 6£//рутся увеличенными в 6Е1с раз и получаются равными 4 /. , /! и l\ .На рис. 5.76,а показана рама с нагрузками, на рис. 5.76,6 — ось рамы с нанесенными на ней черными 18 Зак. 2098точками и надписанными около них величинами реду¬ цированных гибкостей1. Пользуясь точечными гибко¬ стями, определяют положение фиктивного центра тяже¬ сти Оф и главных осей гибкости Оф, Оф и характери¬ стики:=б£/#, /ф =	и /ф =Увеличенные в 6Е!С раз фиктивные грузы равны про¬ изведениям изгибающих моментов М° в сечениях, сов¬ падающих с точечными гибкостями, на величины точеч¬ ных гибкостей. При этом моменты, растягивающие внут¬ реннее волокно (положительные), дают фиктивные гру¬ зы, направленные от наблюдателя, а моменты, сжима¬ ющие внутреннее волокно, — к наблюдателю. Способ является совершенно точным при соблюдении следую¬ щих условий: 1) брусья должны иметь постоянное се¬ чение, 2) эпюры М° в пределах отдельного бруса долж¬ ны быть прямолинейные или параболические второй степени, без скачков и переломов. Поэтому границы брусьев следует брать совпадающими с точками при¬ ложения сосредоточенных сил и моментов или с гра¬ ницами равномерно распределенных нагрузок, как это сделано в отношении ригеля на рис. 5.76,6. Точность спо¬ соба при несоблюдении этих условий, например при нагрузках по треугольнику, эквивалентна точности при¬ ближенного вычисления определенных интегралов по формуле Симпсона с тремя ординатами. Для повышения точности достаточно заменить брус двумя брусьями. Брусья переменной жесткости заменяются несколькими брусьями постоянной жесткости.Числовые примеры расчета симметричных и несим¬ метричных Одноконтурных рам при неподвижной на¬ грузке и построение инфлюент см. 454, гл. III].5.6.7. Бесшарнирные арки и рамы под нагрузкой, перпендикулярной их плоскостиУсилиями являются крутящие моменты AfK, изгиба¬ ющие моменты М и поперечные силы Q. Бесшарнирная арка (рама) 3 раза статически неопределима. Освобож¬ дая один конец, превращают систему в статически оп¬ ределимую ломаную консоль, строят эпюры М®, А/0 и Q0 и находят фиктивную нагрузку, которая в данном случае лежит в плоскости системы. Пример для Г-образ- ной консоли показан на рис. 5.74,6. Фиктивными момен¬ тами, зависящими от Q (третья эпюра), как правило, пренебрегают. При нагрузке в плоскости изгибающие моменты от лишних неизвестных определяются как фиктивные нормальные напряжения по формуле вне- центренного растяжения — сжатия. Подобно этому здесь крутящие и изгибающие моменты от лишних не¬ известных определяются как фиктивные касательные на¬ пряжения и по формулам направленного сдвига (см. 5.3.2).Общие формулы для AfK, Af, Q в любом сечении арки имеют видМк = М1+Мк =рФЛ XF*J) I Г х	L*c=Агк—\ ± —7“ COS а±——- sin а± ——F*rsМ = М° +М* == М°— ±рФ	рФ—sin а± ——рФ	гФ1 X	1 уCOS а±Lj_(5.261)1 Ригель представлен в виде двух брусьев длиной s по причине^ указанной ниже.
274РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВLtQ= Q°+ <?* = <? ± —.If(5.261')Нуликом отмечены усилия в основной системе от за¬ данных нагрузок, звездочкой — от лишних неизвестных. Геометрические характеристики — фиктивные направ¬ ленные площади t и направленный полярный мо¬ мент инерции if вычисляются по формулам раздела6.3.2,	причем погонные величины соответственно рав¬ ны/ф = — . /ф = —; |Ф = —. (5.262) Js OIK п EI	GFZПроекции равнодействующей фиктивной нагрузки на глазные оси сдвига обозначены Рф, Рф ; момент от¬ носительно центра сдвига Сф обозначен bf. Знаки + в формулах (5.261) показывают, что направления век¬ торов и при вычислении скобок должны быть взяты по смыслу. Переход к усилиям (моментам М*к и М*) делается затем в соответствии с правилом ле¬ вого винта, поскольку и для нахождения фиктивных грузов используется это правило.5.7.	СЛОЖНЫЕ РАМЫ [26, 30, 49, 73, 80, 116, 120, 131, 133, 139, 154, 174, 176, 183]5.7.1.	Классификация методовРасчет простой или сложной статически неопреде¬ лимой системы брусьев, для которой нет готовых фор¬ мул, начинается с расчета другой системы, отличаю¬ щейся от заданной числом связей и называемой основной системой. Связей в основной системе может быть меньше, чем в заданной, больше, чем в задан¬ ной, одни связи могут быть отброшены, а другие до¬ полнительно введены. Важно, чтобы основную систе¬ му можни было рассчитать, пользуясь известными ме¬ тодами или справочными данными. Рассчитав основ¬ ную систему от заданных силовых или деформацион¬ ных воздействий (температуры), учитывают дополни¬ тельные воздействия, связанные с различием между ваданной и основной системами.Всякая отброшенная связь должна быть возмещена усилием в ней, некоторой силой или группой сил (та¬ кие силы называются групповыми, иногда — обобщен¬ ными), приложенной к основной системе, пропорцио¬ нальной одному параметру, подобранной так, чтобы действительное (полное) перемещение по направле¬ нию отброшенной связи было равно нулю. Всякая до¬ полнительно введенная связь должна быть возмещена принудительным перемещением по направлению этой связи (иначе — дислокацией связи), подобранным так, чтобы действительная реакция дополнительной связи была равна нулю. Этот подбор осуществляется в обоих случаях путем решения линейных алгебраи¬ ческих уравнений, составленных на основе принципа сложения действия сил и малых деформаций, верного для достаточно жестких упругих систем, перемещения в которых существенно малы по сравнению с геомет¬ рическими элементами.В соответствии с тремя методами выбора основ¬ ной системы и факторов, согласующих основную си¬ стему с действительной, или основных неизвестных различают три метода расчета:а)	метод сил, когда основные неизвестные являют¬ ся усилиями;б)	метод перемещений, когда основные неизвестные являются перемещениями;в)	смешанный метод, когда одни неизвестные — усилия, другие — перемещения. Все шире внедряемый в расчет рам метод начальных параметров также от¬ носится к смешанному методу.Система уравнений метода сил выражает условия совместимости деформаций частей действительной си¬ стемы в местах устраненных связей. Система уравнений метода перемещений выражает условия равновесия частей действительной системы в местах введенных связей. Система уравнений смешанного метода состоит из двух групп уравнений, из которых одни выражают условия совместности деформаций, другие — условия равновесия.Наиболее общим и распространенным методом яв¬ ляется метод сил в его классическом аналитическом варианте, когда выбирается статически определимая основная система.Метод перемещений и смешанный метод применяют¬ ся чаще всего для расчета многоконтурных рам при ус¬ ловии пренебрежения упругой деформацией от действия продольных и поперечных сил. Основными системами соответственно является совокупность жестко защем¬ ленных по концам балок или совокупность шарнирно соединенных простых балок (балочный метод).Выбор метода диктуется стремлением по возмож¬ ности уменьшить число совместно решаемых уравнений и этим снизить неизбежное накопление ошибок. Из двух балочных методов метод перемещений всегда требует решения меньшего числа уравнений. Однако уравнения смешанного балочного метода составляются проще, и, решая их, непосредственно получают усилия, необхо¬ димые для расчета на прочность. В табл. 5.8 даны ре¬ комендуемые методы для некоторых типов сложных ста¬ тически неопределимых систем.Таблица 5.8Рекомендуемые методы для некоторых статически неопределимых системСистемаНеразрезная балка на жестких или упру¬ гих опорах Рамная эстакада (за¬ крепленная)Рамная эстакада (свободная) Однопролетная мно¬ гоэтажная симметрич¬ ная рама: симметричная на¬ грузка антисимметричная нагрузка Многопролетная мно¬ гоэтажная рамаАрочно-рамная систе¬ ма без затяжки или с затяжкойКомбинированная система с большим чи¬ слом стержней ФермаОсновной методМетод сил (метод уравнений трех или пяти моментов)Метод перемещенийТо жеТо жеМетод силМетод перемещений с применением после¬ довательных прибли¬ жений Метод силТо жеТо жеКонкурирующийметодМетод сил (метод уравнений четырех моментов) Смешанный ба¬ лочный методМетод силТочное решение при помощи вычис¬ лительных машинМетод переме¬ щений, смешанный методПостроение инфлюент. Независимо от метода рас¬ чета инфлюента любого статического фактора, как всег-
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ275да* может быть получена двумя способами: 1) как сум¬ ма инфлюенты, построенной для основной системы, и инфлюент основных неизвестных, умноженных на неко¬ торые коэффициенты влияния; 2) как эпюра прогибов заданной сиыемы от действия соответствующих дисло¬ каций.Первый способ применяется для серийного построе¬ ния инфлюент, второй — для построения небольшого числа отдельных инфлюент.5.7.2.	Расчет рам по способу трех и четырех моментов [183, 97, 154]Этот способ представляет собой применение метода сил и смешанного метода при основной системе в виде совокупности простых балок. Он близок к расчету мно¬ гопролетной неразрезной балки. Порядок расчета и основные зависимости, ис¬ пользуемые при составлении уравнений, выясняются на примере четырехпролетной эстакады с консолью (рис.5,77,а). Все узлы предпола¬ гаются жесткими. О — шар¬ нирно неподвижная либо шарнирно подвижная опора.В первом случае эстакада называется закрепленной, во втором случае — свободной.В закрепленной эстакаде сила торможения передает¬ ся на опору, что облегчает стойки, зато изгибные тем¬ пературные напряжения в стойках (от удлинения ри¬ геля) возрастают.Закрепленная эстакадаОсновная система обра¬ зуется путем постановки шарниров по концам от-	\дельных брусьев (исключая консоль). Если в узле жест¬ ко соединено п брусьев, тошарниров берется п—1. В данном случае целесообразно включить шарниры в ригель, непосредственно слева и справа от узлов. Шарниры включены также в нижнем за¬ щемлении стоек. Во всех шарнирах приложены неизве¬ стные усилия в виде групп равных и противоположно направленных моментов (так называемые угловые мо¬ менты), отмеченные двумя индексами. Момент в шарни¬ ре 4 и вниз) всс>: стоек отмечен одним индексом. Изги¬ бающие моменты считаются положительными, если вы¬ зывают растяжение нижнего волокна ригеля и правого волокна стойки. Моменты вверху стоек получаются из условий равновесия моментов, действующих на жест¬ кий узел:делимой. Эпюры моментов от заданных нагрузок строят как для системы простых балок.Типовое уравнение, связывающее угловые моменты, выражает условие неразрывности деформаций для же¬ сткого «угла», состоящего из двух брусьев, например брусьев ik и km (рис. 5.77,6). Оно содержит в общем случае четыре момента, а в частных случаях — три и два момента; k-e уравнение имеет вид*) Ма l'lk + Шы 4+ 2Мкт lkm + Mmk t'km == ~ (Lki + Rkm) 6EIC (\>km ‘^ik) • (5.264)Все обозначения соответствуют 5.5.7. Вторым индек¬ сом отмечается противоположный конец бруса.При закрепленной раме углы перекоса ф равны ну¬ лю или наперед заданным величинам, вычисленным по осадкам опор или температурному удлинению ригеляМ,п,п’' Мп,п +1 МП'П—1М1Л' = М12(5.263)М10; М2'2, = М23-Мп;М3 3, = ми — М32 ; М4>4. = — м4 + М% .Здесь М\ — опорный момент консоли. В данном слу¬ чае =-Рс,Поскольку имеется опорный стержень О—О", основ¬ ная система является неизменяемой и статически опре- 18*Рис. 5.77или стоек. Поэтому число уравнений равно числу неиз¬ вестных усилий и весь расчет отвечает методу сил.Обозначая длины стоек через	и углы переко¬са стоек через ,..., ф4, получаем следующие уравне¬ ния.Нижние защемления стоек (наблюдатель правее стойки):угол Г: 4MV h\ + (Ж,2 — М10) h\ ■■ — Дг-бЕ/,*,; угол 2': 2м2, h2 + — М21) h2 = = — R2, — 6EIc^2: угол 3’: 2М3. h3 + (М34 — М32) h3 ■■ = -R3,-6EIc^3; угол 4': 2М4, h\ + (М4 + Рс) h\ = = -Я4,-6£/^4.(5.265)
.276РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВЕсли стойки ье нагружены и не перекашиваются, то ■моменты внизу стоек равны половине моментов вверху стоек с обратным знаком.Ригель слева и справа or стоек (наблюдатель внутри угла):угол 0—1 — 1': 2М10 l'n —2	2 ^ю) hi Afji Aj =угол 1' — 1 — 2: Mv h[ ++ 2	h[ + 2Ml2 l\2 + M21 l[2 == -luv-r12- 6£/#12 “ +1);угол 1 — 2 — 2': Ml2 l\2 + 2M21 l\2 —2	(M23 — M21) h2 — M2, h2 == — LH — R2.2- ~GEIc угол 2' — 2 — 3:	(5 • 266)Щ' h2 + 2 (^23 — ^2l) ^2 + ^23 ^23 ++ ^32 ^23 = ^2,2' ^23—	6 El с (ф2з — Ф2) \угол 2—3 — 3' — аналогично 1—2 — 2' с увеличением всех индексов на еди¬ ницу;угол 3'—3 — 4 — аналогично 2'—2—3; угол 3 — 4 — 4': Ми /д4 + 2М4 /д4 ++ 2(УИ4 + Pc)h4-M4,h'4 == “ L43 — *4.4' — &Е1С (Ф4 ~ +34).Решение проводится в следующем порядке. При по¬ мощи (5.265) выражают моменты внизу стоек через моменты вверху стоек, например1	Ry+ШЪ-Му—— (М12— А110)—	, — ;г hi1М2,	^ (УИ2з — М21)и т. д.,(5.267)и подставляют эти значения в (5.266). Уравнения для углов между элементами ригеля и стойками превра¬ щаются в трехчленные, содержащие только моменты ригеля. Эти >равнения решаются по правилам, указан¬ ным в 5.5.8 Обратной подстановкой в (5.267) находят моменты внизу стоек.При незагруженных и неперекашивающихся стойках трехчленные уравнения получаются сразу из (5.266): достаточно зачеркнуть слагаемые, содержащие момен¬ ты внизу стоек, а прч моментах вверху стоек [вида (М12—Мю)] заменить множители h через 3ДЛ.Имея моменты в ригеле, определяют поперечные си¬ лы в нем, а также продольные силы в стойках, напри¬ мерВеличина равна сумме давлений простых балок2—3 и 3—4 от местной нагрузки на опору 3.Вертикальные реакции в нижних защемлениях сто¬ ек равны продольным усилиям в стойках с добавле¬ нием собственного веса стоек.Горизонтальные реакцииМ — М —М3,= нг + —		Г	 и т. д. (5.269)"зИмея эти реакции, определяют поперечные силы внизу и вверху стоек, например*<?з'.з = Я3; <?з.з' = <2з'.з-V (5-270)Усилие в опорном стержне 0—0" получается из урав¬ нения проекции на ось стержня сил, действующих па отрезанный ригель (рис. 5.77, б):Н = Ql.r + ^2.2' "Юз.з'"*" Q4.4' + ^34 cos а * (5.271)Определив И, находят продольные силы на всех уча¬ стках ригеля. НапримерА^2з = Н Qlr Q2,2f	(5.272)Свободная эстакадаСтержень 0—0" отсутствует, но мысленно вводится для образования геометрически неизменяемой основной системы. Дополнительной неизвестной является горизон¬ тальное перемещение узла 0, обозначаемое иу или, что то же, воображаемое удлинение стержня 0—0". Допол¬ нительное уравнение выражает условие равновесия го¬ ризонтальных сил, действующих на ригель без участия силы //, или, что то же, условие аннулирования усилия в стержне 0—0".Система уравнений (5.265) — (5.266) остается без из¬ менений, но в углы перекоса стоек вносятся добавки, зависящие от перемещения и:'r'l — 'I'l + h '• +2 = 4-2 +иho4'3 = 4'3 + -Г= 4^4 = Ф4 Н- -7— •Л3	«4(5.273)дг 	 д^О I М43			 М32 — Mg3(5.268)Здесь ф° — наперед заданные значения углов пере¬ коса стоек, подсчитанные для основной системы.Окончательные уравнения получаются трехчленными относительно моментов М, но каждое из них содержит также неизвестную и. Чтобы использовать простоту ре¬ шения чисто трехчленных уравнений, рекомендуется сначала найти усилия от заданных нагрузок и темпера¬ туры в предположении и=0, т. е. для закрепленной эстакады, и получить из уравнения (5.271) величину Н. Затем те же уравнения решаются в предположении, что все нагрузки и нагрев (охлаждение) отсутствуют, но и=1. Это значит, что отличными от нуля свободными членами являются только углы перекоса стоек и они равны•К =	= -т-; Фз = ~7~ > ~7~ • (5.274)г1\	И 2	А23	Л4Имея усилия от и=1, определяют величину Н. Значение и равнои = —	.	(5.275)НОстается просуммировать усилия первого расчета с усилиями второго, предварительно умноженными на най¬ денную величину и.
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ277Аналогично ведется расчет при наличии двух (и большего числа) дополнительных неизвестных. При этом значения и\, «2 получаются из совместного решения уравнений, выражающих аннулирование усилий в допол¬ нительных связях:(5.276)Простая балка переменного сечения как элемент основной системыКонцевые углы поворота выражаются формуламиItZB = Х8 + МА '/21 АВ /2Мк/Ф1АВ+ МЕ/2/ф1В/2(5.277)Здесь *°А= V% ч°в = — фиктивные реакции — концевые углы поворота от заданной местной нагрузки или неравномерного нагрева. /ф» Iф моменты инерции эпюры гибкости относительно концевых осей уАк Ув , перпендикулярных оси балки. 1АВ — 1%А — ^ ^А = = $Ф / —/Ф —так называемый комомент инерции ^ гибкости, выражаемый через статические моменты и мо¬ менты инерции эпюры гибкости относительно оси у А ли¬ бо относительно оси у в . При EI = const 1А = 1% =/3 ж	Is		 /?о= 	и получаем обычные формулы:3 Е1 АВ 6£/МА1 3 EI МА* 6 Е1Мв 1 6 EI Мв1 3 EIУравнение четырех моментов в случае брусьев пере¬ менного сечения. Вместо (5.264) имеем/Ф	/Ф	/ф	/£Mik —^“ + Mki — + Mkm ~7Г + Mmk'Akfz i lik	LkmLkm= 4 *« + 4,+ **»-*«)• ^.278)В случае балок с вутами используются формулы (5.264) с коэффициентами из табл. 8.1.18.Ступенчатая стойка(рис. 5.78)Мысленно вводятся подбалки пролетом hH и hQ. Концевые углы поворота подбалок от местных нагрузок в пределах их пролетов определяются как для балок постоянного сечения и обозначаются т" , и т^, хъв .Определяется опорное давление подбалок в точ¬ ке С, равное V£ +Изгибающий момент в стойке в сечении С< = (UI + ивс)	.	(5.279)Прогиб стойки в сечечии С: + ^С +	С_ I hn . *.\] hH hn3£ ' 1Я Jb/J "Рн4г-'~Рис. 5.78Концевые углы поворота стойки Мс h ис_0 _н I ^ н , еШ. + *, •Mr h_ игО	R I ^+" 6£/в ' hL Моменты инерции эпюры гибкости стойки/* = — л 3EI.hi , 1Е1„£)■13 ЪЕ1Я 3 \Е1В Е1„ ) ’/_Л___±_)]А_/Ф2Е1В 2 \Е1е ElJl А'4/Ф 	АВ(5.280)(5.281)(5.282)Ломаная или криволинейная балкаОтдельные балки, составляющие основную систему* необязательно должны быть прямыми, они могут быть ломаными (рис. 5.79) и криволинейными. Их рассматри¬вают как прямые балки, но с учетом влияния «продоль¬ ной силы» (по существу—распора) на концевые углы поворота. Кроме того, учитывается влияние «удлине-
278РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВний» (упругого изменения пролета ломаной балки) на углы перекоса. При этом дополнительные уравнения бу¬ дут зависеть не только от усилий, но и от линейных пе¬ ремещений.Формулы д;.я концевых углов поворота и изменения гпролета имеют вид/Ф= + М а-% + МВ/Ф1АВ/2/ФАВI'*ЛнMr "ГГ Н" Н/ф1ВН/Фм/*/2Д *ЛВ = иВ = “п + Ж+ Л1В/ф 1 иHR+/Ф(5.283)Здесьх°в = vt = 0 -J: “в = 00 Уе:моменты инерции эпюры гибкости бруса относительно осей уА и ув;/Ф^ комомент инерции эпюры гибкости бруса; вычисляется по формуле= = = 1%’1%А и — центробежные моменты гибкости относи¬ тельно осей Xff и yA либо ув(по абсолютной величине);инерции гибкости относительно оси х н.При несимметричной форме оси ломаной балки для вычисления моментов и комоментов /инерции гибкости следует применять метод редуцирования гибкЬсти (см. 5.2.3). При симметричной форме можно получи™» все величины пересчетом исходя из значений 1Х 1у для главных осей (см. табл. 8.3.11). Формулы для вы¬ числения величины и положения в0 см. также табл. 8.3.11. Для параболической балки см. также 5.6.5.Использование формул ломаной балки для расчета рамы с защемленными пятами. Приравнивая ^в и ив нулю, получают три уравнения, содержащих неиз¬ вестные опорные моменты МАкМв и распор Н рамы с защемленными концами. Этот способ, отвечающий ме¬ тоду сил, избавляет от нахождения центра и главных осей гибкости, но требует решения трех уравнений с •.тремя неизвестными.Уравнение четырех моментов с учетом распоровMikIФ 4k/2ik+ Hik1%,hk■ Mkn+ Hkrtkm/Ф1 km,m/Ф1 kmLkm=— ( zki + zkm + ^km — <Wa) •(5.284)Здесь обозначения f-, l%m% m соответствуют центро¬ бежным моментам инерции 1%л, 1%в для пролетов ik, km.Уравнение трех моментов для нераз¬ резной балки с пролетами в виде пара¬ болических арок с затяжкамиУравнение имеет вид (рис. 5.80)л*„-1 /; (i ■—f *я)+шя [ /; (i - -f *.)++ /n+l(1 — “£“*я+1)] ++ Mn+l l„+j	*(5.286)Рис. 5.80Здесь коэффициенты k зависят от жесткостных ха¬ рактеристик арок и затяжек (см. 5.6.5 и табл. 8.2.7). Грузовые члены определяются по формулам4=1л-2яя/л/;:n+\ fn+\ Ifl+l *Таблицы для расчета трехпролетных рам см. [143].Зависимости между перемещениями и уравнения равновесия в сложных случаяхПри параллельных стойках установление соотноше¬ ний между зависимыми и независимыми линейными пе¬ ремещениями узлов или, что то же, между углами перекоса брусьев, достигается весьма просто. Точно так же просто составляются уравнения равновесия ригелей горизонтальных и наклонных: достаточно взять ось про¬ екций нормальной к стойкам. При непараллельных стойках решение этих задач осложняется. Рекомендует¬ ся определять соотношения между углами ф исходя из условий замкнутости отдельных контуров скелета рамы, а уравнения равновесия составлять на основании начала возможных перемещений (кинематическим методом).а) Для каждого замкнутого шарнирного контура, прикрепленного к земле, углы перекоса нерастяжимых стержней подчинены двум уравнениям:S ф / cos (/, х) = 0, S ф / cos (/, у) = 0 . (5.287)Оси х, у могут быть взяты произвольно.Если стержни получают заданные удлинения то в уравнения входят дополнительные членыS 4< / cos (/, *) + 2 A sin (/, х) = 0 ; j	^2 <]/ / cos (/, у) + 2 A sin (/, у) = 0. JУглы (/, х) и (/, у) отсчитываются от оси к стержню против часовой стрелки.Углы ф считаются положительными при вращении по часовой стрелке.
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ279Для четырехугольного скелета (рис. 5.81, я) имеем два уравнения для трех углов. Это позволяет выразить два угла, например ф2з> Фз4» через третий Ф12. Целе¬ сообразно взять ось х перпендикулярной стержню 23, ось у — перпендикулярной стержню 34. Тогда в урав¬нениях пропадают соответственно ф2з и Фз4 и сразу по¬ лучаются выражения фз4 и Фгз через Ф12.Другой способ: в вершинах /, 2, 3, 4 прикладывают четыре фиктивных груза (нормально к плоскости кон¬ тура):^1 = Ф12’» = ^23	4^12* ез == Фз4 — ^23 I ^4 = — Фз4 •Эти фиктивные грузы должны быть в равновесии. Условие 20 =0 удовлетворено. Остаются два уравне¬ ния моментов. Беря ось 23у находим зависимость Фз4 = h\= — Ф12 “г и т. д. При наличии удлинений равновесиесоблюдается с учетом векторов-моментов А в плоскости контура.Скелет на рис. 5.81,6 (без пунктирных опорных стержней) имеет три степени свободы при девяти стерж¬ нях и трех независимых замкнутых контурах. Выбирая произвольно три контура (другие варианты новых за¬ висимостей не дадут), например 123 45, 5 4 39867,5	4 6 7 составляют, как указано, 3*2=6 уравнений свя¬ зывающих 9 углов перекоса. За независимые параметры принимают Ф12, ^54* фзэ- При этом оказывается, что +46 и Фб7 зависят только от ф54; ф2з и Фз4 зависят от фг2 и ф45; Фб8 И ^89 зависят ОТ Ф12, Фо4» Фз9-б)	Для получения дополнительного уравнения рав¬ новесия, связывающего моменты с нагрузкой, выбирают в случае рис. 5.81, а состояние возможных перемещений,задаваясь углом Ф12 (или перемещением узла 2) и счи¬ тая стержни недеформируемыми. Уравнение работ на-* грузок и моментов, также рассматриваемых как на¬ грузки, имеет вид2	Р Др + 2	Мв), ф = 0 . (5.289)конкретно:Р (Ф12 г\ + Ф23 '’г) + (^12 “* М21) Ф12 +4“ (Л^23 Л^зг) Ф23 "Ь (^34 ^43^ Ф34 “ 0 • (о. 290)Выражая ф2з и ф34 через фх2, как указано выше, и сокращая на Ф12 (иначе говоря, принимая =1)« получают искомое уравнение равновесия.В случае, показанном на рис. 5.81,6, таких уравне¬ ний составляют три, принимая в качестве возможных состояния:!) Фи Ф 0, ф54 = Фзэ = 0; 2) ф54 ф 0, <|/м = = 0; 3)	Фз9 Ф 0* Ф12 = ^54 = 0 *Этот способ применяется также при расчете рам по методу перемещений.5.7.3.	Метод перемещенийОбщие положенияОсновная система метода перемещений образуется путем неподвижного закрепления всех или некоторых жестких узлов рамы. Для закрепления узла (бесконеч¬ но малого плоского узлового диска) достаточно трех связей: одной (моментной) связи, препятствующей пово¬ роту, и двух (силовых) связей, препятствующих линей¬ ным перемещениям. Когда пренебрегают упругими де¬ формациями удлинения и сдвига прямых брусьев, боль¬ шое число линейных связей осуществлено заранее. Это уменьшает число вводимых связей и вместе с тем число неизвестных перемещений. Для обычных рам характерно большое число неизвестных углов поворота узлов и не¬ большое число линейных перемещений. Чем меньше число линейных перемещений, тем эффективнее метод перемещенийОсновная система представляется совокупностью прямых, ломаных или криволинейных брусьев (в от¬ дельных случаях), защемленных двумя концами либо защемленных одним концом и шарнирно опертых на другом. Предпосылкой применения метода является наличие или предварительная подготовка формул для усилий в защемлениях указанных брусьев, причем как от местных нагрузок или других деформирующих факто¬ ров, так и от перемещений самих защемлений; эти уси¬ лия равны, очевидно, силам, передаваемым от брусьев на узловые диски. Имея указанные формулы, состав¬ ляют систему уравнений для основных неизвестных (перемещений), выражающую условия равновесия узло¬ вых дисков, или, что то же, условия аннулирования усилий во введенных связях. Решив систему уравнений, возвращаются к формулам усилий в защемлениях и по¬ лучают окончательные значения этих усилий, после чего производится проверка прочности брусьев.•	Обозначения и правила знаков. Концы бруса произ¬ вольно отмечаштся буквами А и В. Наблюдатель зани¬ мает положение, при котором конец А левее к«тада В. Если не сделано специальных оговорок, принимаются обычные правила знаков как Для балок. На рис. 5.82, а, б показаны положительные перемещения торцов <рА, VА ,
280РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВиА и Чв* ив* ив* положительные моменты защемления МА и Мв, положительные поперечные силы QA и и положительные реакции VА, НАи Vв, Нв~ Вспомога¬ тельные величины — фиктивные опорные реакции t , и в простой балке на двух опорах и фиктивный груза)1Ь 	h-ТЯКйг--—*L&/ • v6~v* V,.- IРис. 5.820°, направленный за чертеж (при левой системе коорди¬ нат), отвечают положительным изгибающим моментам М° соответственно нагрузке, направленной сверху вниз.Формулы для усилий (реакций) защемлений от местной нагрузки или заданной деформации и перемещений торцов1. Прямой брус постоянного сечения с обоими за¬ щемленными концами:4 EI	2 EIМА=МУ + <Рл —+ ?£Vn — VI ''А 6Е1Iмв = - Чв4EI2 EI+6 Е1I6 Е16 FI+'-Ув 12 Ei /*/2/2 EF/ (wb — "л )>'=ЯН*3*+EFI(ив ~~ил)(5.291)‘ вЗдесь МАЭ и Мв3— опорные моменты балки с обо¬ ими неподвижно защемленными концами; берутся из табл. 8.1.4 в зависимости от местной нагрузки балки или вычисляются по формулам [см. 5.5.2 формулы (5.142')]:	 6*нМ\—	(2т°	т° \.—	— t \ZzA — zb) >МГ—	+ =(5.292)в0 — фиктивный груз (приведенная площадь эпю¬ ры М°), концевые углы поворота ^ и х£ —фиктивные реакции:*°л =е°б/е°д/Q”’3—поперечная сила в сечении х балки с обоиминеподвижно защемленными концами: 12£7в° *йQHX3 = 		=	= о0--6£//2«=<£ +мв3 — МТ(5.293)НУ, Н™— реакции защемлений, равные продольным силам в защемлениях (по абсолютной величине);(5.294)Здесь х — абсцисса сечения, в котором приложена продольная нагрузка 7\ если она имеется.Обычно упругой деформацией удлинения пренебре¬ гают, силы Т переносятся в узлы, и формулы для НА и Ив не используют, за исключением случая, когда речь идет о затяжке,
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ2. Прямой брус постоянного сечения с левым (А) шарнирно опертым и правым (В) защемленным концом:3EI vB - vA зei■в i + i ' i '3 El0 1 чл-'л- 2(5.295)Здесь3£/ t°AC3To же, при правом (В) шарнирно опертом и левом за¬ щемленном конце:МА = М*/ + <?АQx = Qhx-3-u3Z! Ьв — Уа ЗЕ!I3 EII	IvB-vA 3 El/2IIт -т° XB~ZBv Wo , J- ’Д-ТВ +T*-)-(5.295')Здесь M*A3 =ЗЕ/; 0"'3 = 0“^•3// ’ ^ / ’= <p— угол перекоса бруса (+по часовойстрелке).3.	Прямые брусья с вутами. Формулы и коэффици¬ енты к ним см. табл. 8.1.18.4.	Общий случай прямого бруса переменного сече¬ ния. Ось х совпадает с осью бруса. Индекс у при 1у опущен.Моменты защемления1с'9 САрфуф )СА СВ+/ФрфV о — V //Ф— СА *£)-СА СВ/4 , 1 \ . VB~VA \ /Ф РФ / ^ /Ф ^Поперечная сила в любом сечении:(5.296)Qx=Qlмв-мА= Q* — уф	““ + va) • (5.296')281Здесь Ff — гибкость и центральный момент инер¬ ции гибкости балки; cAt св — расстояния центра гибко¬ сти Оф от концов А и В\ 0° результирующий фик¬ тивный груз; х^ — его абсцисса относительно ОФ (экс¬ центрицитет).Формулы (5.296) обнимают и случай одного шарнир¬ но опертого конца, например А. Тогда ОФ совпадает с А; ЕФ=оо; члены, содержащие^, отпадают. Если шар¬ нирно оперт конец В, то ОФ совпадает с В; FФ=оо; отпа¬ дают члены, содержащие ув. Если один конец балки жестко защемлен, а другой вертикально подвижный, но не поворачивающийся, то в (5.296) следует положить /Ф_-= оо. Такой случай встречается при расчете симмет¬ ричных рам под симметричной^ нагрузкой.Пример 5Л1. Определить фиктивную нагрузку от за¬ данных воздействий и найти характеристики гибкости для ступенчатой стойки, показанной на рис. 5.78.Фиктивная нагрузка представляется в виде двух грузов, по абсолютной величине равных фиктивным реак¬ циям и приложенным в тех же сечениях А и В:й° — т° •®А — хл >0°s = x°B.Величины тА и даны формулами (5.281). Приводить фиктивные грузы &А и &°в к результирую¬ щему в0 нет необходимости, следует учесть действие каждого в отдельности.Гибкость стойкирф _Координатавверх:£/„ EI центра гибкости,hi h\считая от точки2Е1п 2 Е1пК К •Е1„ Е1пРасстояние ОФ от концов А и ВСА = К + С0; CB=hв“Со- Центральный момент инерции гибкости/Ф = /Ф _ рф с-Величина 1% дана формулой (5.282).5. Общий случай ломаного бруса переменного се¬ чения (рис. 5.82, б). Моменты в защемленияхМА = - е°— УвУ» hAх9 САрфпп1#Ас\\рф+ •/Ф +1 XАлhAСА СВ \+1ФуIФ/ФУMi—0о(41ФЛХ’ + ■иА »хО СЕ/ФУ(5.297): +
282РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ+ <Рл(5.297')Координаты xS' ys фиктивного груза 0°, подсчитан¬ ного для шарнирно опертой балки, берутся в соответст¬ вии с их знаком.Координаты защемлений сА, св, hA, hB берутся поабсолютной величине.В случае симметрии используется табл. 8.3.11* содер¬ жащая геометрические характеристики гибкости для ряда простых рам и параболического ригеля.Реакции защемленийVA = Л— -z; (e°*e + Ча сА+ Ч’В св —у—	VB + VA) ■>ys = v°s+-^(eo*e + ?,4<u + ?B св~1У(5.298)VB + VA ) *^ = «л + -Х(еоУв + ?л hA-tB hB- *x-ub + ua);Яв=Яв — “Х(0О^в + ?л hA — <PS hB —*	X-ub'+ua)-Частные случаи. Если одна из опор, например Л, яв¬ ляется не защемляющей, а шарнирно неподвижной, то ГФ=оо, центр гибкости ОФ переходит в Л, слагаемые, содержащие^, отпадают, МА=0. В остальном формулы(5.297)—(5.298) остаются в силе. Об использовании ана¬ логичных формул см. 5.6.3. Особенность состоит здесь в учете перемещений опор, эквивалентных сосредоточен¬ ным дислокациям в концевых сечениях.Формулы (5.297) — (5.297') получены путем разверты¬ вания их первых строк. При этом учитывалось, что влияние концевых углов поворота и прогибов эквива¬ лентно действию угловых и линейных дислокаций в опор¬ ных сечениях, в свою очередь приводящихся к фиктив¬ ным грузам и фиктивным моментам.Составление уравнений из условий равновесияЧисло неизвестных углов ср равно числу жестких уз¬ лов рамы (не считая опорных, для которых углы ср рав¬ ны нулю или рассматриваются как заданные, иногда буквенные, величины). Число неизвестных линейных пе¬ ремещений узлов (обозначаемых и, v или А ) при усло¬ вии пренебрежения упругой деформацией удлинения рав¬ но числу степеней свободы шарнирного скелета рамы. Наличие непрямого бруса (ломаного или криволинейно¬ го ригеля), для которого удлинением хорды пренебречьнельзя, увеличивает число неизвестных линейных пере¬ мещений на единицу.Каждое уравнение выражает условие равновесия в перемещениях и «соответствует» определенному неиз¬ вестному. Неизвестным углам <р соответствуют уравне¬ ния равновесия моментов, действующих на узлы. Неиз¬ вестным линейным перемещениям соответствуют урав¬ нения равновесия проекций сил, действующих на узлы по направлению перемещений. Вместо уравнений равновесия- узлов часто целесообразно пользоваться уравнением рав¬ новесия брусьсв или групп брусьев. В особенности это относится к уравнениям проекций при нерастяжимых брусьях.Чтобы использовать формулы для усилий в защемле¬ ниях А и В, каждый брус рамы отмечается с одной стороны пунктиром, который рассматривается как ниж¬ няя сторона бруса (балки), если его привести в горизон¬ тальное положение. Левому концу мысленно приписы¬ вается обозначение Л, правому — В.Угол поворота узла <р и внешний (заданный) момент L, действующий на узел, считают положительными при вращении по часовой стрелке. При составлении уравне¬ ния равновесия как внешних, так и внутренних (со сто¬ роны брусьев) моментов, действующих на узел, целесо¬ образно (но не обязательно) писать со знаком плюс мо¬ менты, вращающие против часовой стрелки.Уравнение равновесия моментов имеет вид ЪМА — ЪМВ — L = 0 .(5.299)В раме в виде сростка п брусьев (рис. 5.83, а) един¬ ственной неизвестной является угол поворота узла <р&. При нанесенных пунктирах моменты А^ь	яв¬ляются моментами типа Мв. Моменты М^2» Mkst Mki— типа МА. Соответственно ?ти группы моментов (при по¬ ложительных знаках) врящают узел в разные сто¬ роны (рис. 5.83, а, внизу).Подстановка в (5.299) значений Mki (/=1, 2, 4) и Му (/=2, 5) в зависимости от характера опирания конца даетЧ4(Ь+& + Й-)+3(&+5г)] ++ S муи - Е М™, - Lk = 0. (5.300)Скобка с множителем 4 относится к брусьям с защем¬ ленным концом i, с множителем 3—к брусьям с шар¬ нирно опертым концом /. При подсчете моментов непод-
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ283вижного защемления Мн-3 необходимо учитывать харак¬ тер опирания другого конца.Общая формула для£<?*=L — h М"-3 + S му,33	ш£-£лу + Цуи%3(5.301)(5.30Г)Здесь /' = / -у (индексы iy /— прежние).В раме на рис. 5.83, б три неизвестных: углы поворо¬ та узлов <рзи и горизонтальное перемещение узла ыз (равное поступательному перемещению ригеля). Состав¬ ляются уравнения моментов для узлов 3 и 4 и уравне¬ ние проекций для ригеля 3—4:1)	ЕМ3 = 0; Е М4 = 0; ЕХ3_4 = 0.Соответствующие схемы действия положительных усилий на узлы и ригель показаны на рис. 5.83, б внизу.1) _Af3 + Af3.4 = 0; 2) — М42 — Af43 + М4б = 0.Перемещение а3 и силы, действующие на ригель, счи¬ таются положительными, если направлены слева напра¬ во.При составлении уравнения равновесия ригеля (так называемого дополнительного уравнения) целесообразно вводить со знаком 4* силы, действующие на ригель справа налево:3)	Q31 ~Ь Q42 — O46 — 7' = 0.В уравнения 1), 2), 3) поставляются значения М и Q по формулам (5.291) — (5.295).При этом неизвестная и3 входит в усилия брусьев 13, 24 и 45 соответственно в виде t>i3 — vB, v24 = vB ,»45=0>| •Приведение подобных членов даег искомые уравненияДЛЯ Y3. <?4. «3.Осадка опоры 1 на заданную величину Vi получает отражение в величине М34, куда вводится £>34=01. Равно¬ мерный нагрев стоек дает ^34=043 и потому на усилия не влияет. Равномерный нагрев ригеля дает «4=и3 + +а t°l34, что отражается на усилиях брусьев 24 и 45.Рама на рис. 5.84 при симметричной нагрузке содер¬ жит пять неизвестных и требует решения пяти уравне¬ний. В общем виде эти уравнения и относящиеся к ним схемы нагружения узлов и ригеля показаны на рисунке. Усилия защемлений, выраженные через перемещения получаются по формулам (5.291) и (5.297) с привлече нием геометрических характеристик гибкости параболи ческого ригеля. Подробный числовой пример см. [154] При непараллельных стойках осложняется установле ние соотношений между зависимыми и независимыми пе ремещениями. Этот вопрос решается точно так же, как и при расчете рам по методу сил или смешанному, когда основной системой является совокупность шарнирно соединенных балок (см. 5.7.2).Стандартные формулы для составления уравнений метода перемещенийОбщий вид уравнения моментов в перемещениях для узла k при прямых брусьях постоянного сечения (рис. 5.83, а):+ 2Е1С V-т- — 6£/с 'У'Щ- - /•	- 3Elc V ^ - Lk+ £ M*k=Ati +/ lkj+ S Mk=zA,i — ^ Mk=B'j — S м ?=Bf[= 0(5.302)Здесь k — индекс уравновешиваемого жесткого узла;i—индекс смежного жесткого узла (/=1, 2, 3, ...);/—индекс смежного шарнирного узла (/=1, 2, /3. ...);/ = L	Где Iс — произвольный, общий для*l hiвсего расчета рамы момент инерции; срд> ср/—углы поворота исследуемого и смежных жестких узлов рамы (+ по часовой стрелке);Vb	— —угол перекоса бруса (+ по часовойhiстрелке);Lk— внешний момент, нагружающий узел k (+ по часовой стрелке);—момент защемления бруса в узел k\М*k=A, i* ^k=A, j — момент защемления в узел k конца бруса А, соответственно при защемлении и при шарнирном опирании конца В;Mk=Bt 1» Mk=B, / — момент защемления конца бруса В, соответственно при защемлении и при шар¬ нирном опирании конца А.Рекомендуется оперировать с величинами перемеще¬ ний, увеличенными в Е1С раз, т. е. Я/г?» 4-Общий вид уравнения проекций для части рамы, ле¬ жащей выше разреза, проведенного на произвольном уровне в пределах этажа, при вертикальных стойках (рис. 5.85):(5.303)
284РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВЗдесь «н», «в» — индексы жестких узлов, лежащих непосредственно ниже и выше разреза. Суммирование распространяется на узлы всех стоек разрезанного эта¬ жа;Канонические ура внени я метода перемещений для свободной рамной эстакады (рис. 5.86)Неизвестными являются углы поворота узлов <рл (я=1,2,...) и горизонтальное перемещение первого узла ригеля и, В качестве примера выписана система шести77-7n+tРис. 5.86уравнений для случая четырехпролетной (пятистоечной) эстакады. Уравнения имеют вид трехчленных для углов ср с дополнительной неизвестной и во всех уравнениях:стоек раз-W — приведенные длины резанного этажа; ф—углы перекоса стоек; при отсутст¬ вии температурного нагрева все ф одного этажа равны и выносятся за знак суммы;Q* в—значение поперечной силы в стой¬ ке, неподвижно защемленной дву¬ мя концами, в месте разреза; знак определяется правилом, установ¬ ленным для балок, причем считается: низ бал¬ ки— концом Ау верх — концом В\ обычно на¬ грузки стоек (например, давление ветра на крайнюю стойку) разносят на нижний и верх¬ ний ригели, что дает QHpB= 0, и с местной на¬ грузкой стойки в общем расчете рамы не счи¬ таются;2 Т — сумма проекций нагрузок, приложенных выше разреза на горизонталь (нормаль к стой¬ кам).При стойках, шарнирно прикрепленных на одном кон¬ це и защемленных на другом, уравнение проекций имеет вид1»	?1 Гп + <р2 ^12 + Urlи + Г1р = О2)	<Pi Г21 + ъ Г22 4" ¥з ^23	4" Ur2U + Г 2р = О3)	?2 Г32 4" ?3 Г33 4" ^4 Г34	+ UrZU 4" гZp = О4)	срз г43 + ср4 r44 -f <р5 г45 + игш + гАр = О5)	<р4 г54 + ъ Гьь + иГъи + ГЪр = О6)	Г at 4- <?2 ги2 4 ТЗ Газ + <р4 Гц4 + <р5 Гиь 4" иГии + Гир = 0		(rik ~ rki) •(5.305)Типовое п-е уравнение имеет вид«) fn-1 гп.п-1 + ?„ гпп + Тл+1 ГЯ.Л+1+ , = 0 .(5.306)4- игпа 4~ гпР -Коэффициенты типового уравнения для случая брусь¬ ев постоянного сечения: главные коэффициентыI 1	1Гпп = 4£7с (— + —	+ ■Г па = 12 EI,побочные коэффициентыья + 1V	1-сК■ hn’(5.307)П, /2-1 :Г П—1,П(5.304)гп,п+1 гп+1,пИндекс ср опущен, так как безразлично, какой из двух узлов стойки прикреплен шарнирно, какой жестко. QHtB вычисляется для одношарнирной стойки.Если одни стойки защемленные, а другие одношар¬ нирные, то уравнение записывается в виде суммы урав¬ нений (5.303) и (5.304).?пи — гип — ■2Е1С1п2Е!С1п+\QEIe(5.308)Свободные члены гпр =	Кп-1 + Кп+1 -	;гвр=-2 + 2 г.(5.309)(5.310)
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ285Решение уравнений с дополнительной неизвестной проводится способом, указанным в 6.3.2 (см. также [153]). Подробные числовые примеры расчета эстакад с брусья¬ ми произвольного переменного сечения и с прямыми вутами, построение инфлюент см. [154].5.7.4. Метод силОбщие положенияМетод применяется для расчета полигональных рам, шарнирный скелет которых обладает большим числом степеней свободы. Практически при двух степенях свобо¬ ды метод сил уже заслуживает предпочтения перед другими методами. Кроме того, метод сил применяется во всех тех случаях, когда желательно учесть упругую деформацию от действия продольных и поперечных сил. Для комбинированных систем и ферм метод сил незаме¬ ним. Классическая форма метода сил сводит расчет к ряду закономерных операций, которые описываются не¬ зависимо от характера системы.Из заданной конструкции устраняется столько связей, сколько необходимо для превращения ее в неизменяе¬ мую статически определимую основную систему. Дейст¬ вие устраненных связей заменяется соответствующими связям усилиями, иначе — лишними неизвестными. Число лишних неизвестных, равное числу устраненных связей, называется степенью статической неопределимо¬ сти системы.В случае плоской бесшарнирной рамы степень ста¬ тической неопределимости равна утроенному числу замкнутых контуров. Каждый шарнир в замкнутом кон¬ туре вносит одну степень свободы и, следовательно, уменьшает степень статической неопределимости на единицу. Иногда шарнир с общей цапфой относится од¬ новременно к двум, трем или четырем контурам. В этом случае он играет роль соответственно двух, трех, че¬ тырех, ... отдельных шарниров. При большом числе шарниров, когда имеются отдельные контуры, содер¬ жащие больше трех шарниров, необходим структурный анализ для установления геометрической неизменяемости системы.Каждый сквозной разрез, нарушающий связность одного контура, уменьшает степень статической неопре¬ делимости на три.Каждый стержень (затяжка, брус с шарнирами по концам) увеличивает степень статической неопределимо¬ сти на единицу, так как добавляет один контур (три связи) и два шарнира (две степени свободы).Выбор основной системы, составлениеи решение канонических уравненийНа рис. 5.87. а показана двухконтурная 6 раз ста¬ тически неопределимая рама покрытия промышленного здания. Основная система (рис. 5.87, б) выбрана так, чтобы сохранить нижнее защемление стоек (колонн). Это облегчает построение эпюр от нагрузки стоек. Вме¬ сте с тем ломаные ригели в основной системе выступа¬ ют в виде балок, нагруженных заданной нагрузкой, опорными моментами и распором.Составляется система канонических уравнений мето¬ да сил, каждое из которых выражает мысль, что перемещение по направлению одной из устраненных свя¬ зей от совместного действия на основную систему заданных нагрузок и лишних неизвестных равно нулю. Перемещение от заданной нагрузки (грузовой, или сво¬ бодный член) ставится в конец.Для частного случая четырех неизвестных система уравнений имеет вид1)	Xi Ь1г -f- Х2 &12 + Х3 ^i3~h Х4 &i4+ Aip = 0 ;2)	Xi 52i + Х2 ^22 "Ь Х8 ^2з4~ Х& ?>24+ ^2р = 0 >3)	Xi Ь31 j(- Х2 Ь32 + Х3 S33+ Х^ b34-f- Азр = 0;4)	Хх Ь41 + Х2 342 + Х3 543+ Ь44+ Д4Р = 0. При этом(5.311)Для вычисления свободных членов и коэффициентов строят эпюры усилий от заданной нагрузки Мр, Np, QpРис. 5.87и от единичных неизвестных, например от Xi=l — эпюры Ми Nь Q1, от Х2=\—эпюры М2, N2l_Q2 и т. д.На рис. 5.87, б показачы эпюры Mi и М6. Практиче¬ ски каждая эпюра строится на отдельной схеме рамы.Помимо заданной нагрузки, могут быть даны также распределенные деформации — начальная погибь, тем¬ пературные удлинения и кривизна, а также сосредото¬ ченные деформации (дислокации).Для плоских систем свободные члены вычисляются по формуле Максвелла—Мора(* MpMfds , Г N0Nhds t f QpQjds ,EI +J EF	EFV++ W Mi + SANi + XT Qt- Коэффициенты вычисляются по формулеCMiMkds Г N,Nkds . lk a J El J EF(5.312)+IEIQiQkdsGFV(5.313)' Как правило, при расчете сложных рам упругой де¬ формацией сдвига при определении усилий пренебрегают всегда, упругой деформацией удлинения — во всех слу¬ чаях, когда рама не имеет характера вытянутой в одном направлении балки (типа безраскосной фермы или башни).
286РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВПри прямолинейных брусьях рамы эпюры М, Nt Q — на протяжении одного бруса всегда прямолинейные, без переломов. Для этого случая интегралы выража¬ ются произведением результирующей деформации на ординату единичной эпюры, напримерMpb^ds = вр(5.314)^ С Mpds —Здесь 0р = j	— ордината эпюры М/ в се¬чении 0р (рис. 5.88, а).Формула (5.314) выражает так 'Называемое правило Верещагина.Если результирующая деформация приводится к па¬ ре, то вместо 0^ берется момент пары, а вместо М£в—тангенс угла наклона прямолинейной эпюры Mi к оси абсцисс.При прямолинейной единичной эпюре деформация может быть приведена к концевым сечениям. Вместо (5.314) получаем формулу Мюллер — БреслауС Mr, Mi ds	—		J £у ~ zAp + zBp MiB . (5.315)Интеграл равен сумме произведений концевых углов поворота, подсчитанных как для простой балки (иначе— фиктивных реакций) на концевые ординаты эпюры Mi (рис. 5.88, б).При £/=const, что является практически наиболее важным случаем, используется таблица формул для интегралов 8.3.20.Кроме того, при вычислении по формуле (5.315) мож¬ но воспользоваться табл. 8.1.3, дающей концевые углы поворота ъД и хв простой балки в зависимости от на¬ грузки. Преимущество этого способа состоит в том, что нет необходимости строить эпюру МР, а достаточно знать местную нагрузку бруса и опорные моменты МЛр и МВр.Найденные коэффициенты и свободные члены выпи¬ сываются в матрицу:N*1*2*3*4Варианты нагрузкиLip*itдф1811512*13*14Д1РД1 /д102*21*22823д2рд21д203631х32*33°34А3Рд3/д3044142°43644д4рд4*д40(5.316)Коэффициенты, симметричные относительно главной диагонали, в силу закона взаимности друг другу равны: %ik = ?>ki- Главные коэффициенты всегда положительные.Решение уравнений чаще всего выполняется по схеме Гаусса (см. 6.1), что приводит к преобразованию матри¬ цы (5.316) к треугольному виду:NVVVVВарианты нагрузких\Л2хгХ4Чод£01234611000^1200&13*(П235(2)°330*145(П24*(2>345(3)44Al р45AirдО)а21А (2)д(3) а41Аш41>41»43н»(5.317)При помощи треугольной матрицы неизвестные оп¬ ределяются в порядке, обратном их нумерации:’44д(2)	*(2)V _ hi-	у -34-.3“"~ б<2)	4 В<2> ’°33	°33(5.318)д<1>А2р*а>22V — Z12. V 12 Ai—— — а2 . .®11 SliV 111 V -_ii — 3 я Л* % • «и	6ПКоэффициенты треугольной матрицы, отмеченные верхним индексом, имеют четкий статический смысл: это перемещения однажды, дважды, трижды статически неопределимых основных систем, которые могут быть получены, если устранить не все лишние связи системы, а последовательно одну связь, затем две, затем три.Решение производится столько раз, сколько задано вариантов нагрузки. При этом часть вычислений, приво¬ дящая к нахождению коэффициентов о, ^, не повторяется, наново вычисляются лишь значения Х\9 Хт Хз, Х4 по формулам (5.318).Для построения небольшого числа инфлюент усилий или перемещений также проводится решение уравнений. Например, для построения инфлюенты изгибающего мо¬ мента в сечении пг рамы следует «нагрузить» систему дислокацией 0т=1. определить неизвестные ХиХ2, Х3, Ха и затем: а) построить эпюру изгибающих моментов того пояса системы, по которому перемещается нагрузка (это будет инфлюента от действия фиктивной нагрузки), иб)	по этой эпюре моментов построить эпюру прогибов пояса (это будет инфлюента от действия груза Р= 1).Пример см. 5.5.8.Если число вариантов нагрузки превосходит число неизвестных, а также при серийном построении инфлю¬ ент, когда целесообразно сначала построить инфлюенты всех неизвестных, следует определить так называемые числа или коэффициенты влияния. Числа влияния ($ш) равны значениям неизвестных №), найденных при ус¬ ловии, что один из грузовых членов (А*) равен единице, а остальные равны нулю. Матрица чисел влияния сов¬ падает с так называемой обратной матрицей уравнений (см. 6.1.4).
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ287Имея числа влияния, можно определить любое неиз¬ вестное при помощи зависимостей вида^1 = Р ?11 ^2р Pl2 4~ ^3Р Pl3 4“ Д4р Pl4 I ~ ^1 р Р21 4* &2р Р22 4" &3р ?23 4“ &ip Р24и т. д.Вычисление матрицы р/л значительно упрощается благодаря тому, что при условии	имеет местотакже взаимность чисел влияния:hk = hi •	(5.320)Обычно при вычислениях этим свойством не поль¬ зуются, но оно служит для контроля.Имея числа влияния, строят инфлюенты неизвестных, руководствуясь следующим простым правилом: инфлю¬ ента неизвестной Xi совпадает с эпюрой основной си¬ стемы, нагруженной неизвестными, равными числам влия¬ ния соответствующей i-й строки.При этом инфлюента от действия фиктивной нагруз¬ ки совпадает с эпюрой изгибаюрцих моментов, а инфлю¬ ента от действительной нагрузки совпадает с эпюрой прогибов.Определив неизвестные, строят окончательные эпюры усилий, что дает возможность произвести проверку проч¬ ности.Специ альные приемы упрощения и контроля расчета по методу силПринцип изменения основной системы [115]. Одну из трудоемких операций составляет построение грузовых эпюр и определение грузовых членов. Принцип изме¬ нения основной системы позволяет строить эпюры гру¬ зового состояния для основной системы, отличной от той, для которой строят эпюры единичных неизвестных (так называемые единичные эпюры). Например, для од¬ ноконтурной рамы в качестве основной системы можно взять трехшарнирную раму, неизвестными будут изги¬ бающие моменты в шарнирах. Грузовую эпюру можно построить для основной системы в виде ломаной консо¬ ли. Мало того: для различных нагрузок можно пользо¬ ваться различными основными системами, важно лишь, чтобы грузовое состояние в целом было статически воз¬ можным (уравновешенным) при наличных связях.Хотя величины лишних неизвестных при этом из¬ меняются, но окончательные эпюры от совместного дей¬ ствия нагрузки и неизвестных остаются инвариантны¬ ми и отвечают действительному состоянию системы.Принцип равновесия фиктивной нагрузки замкнутого контура. После определения лишних неизвестных сле¬ дует проконтролировать точность решения, воспользо¬ вавшись каким-либо условием совместности деформа¬ ций, отличным от выраженных в канонических уравне¬ ниях. Обычно этот контроль осуществляется после по¬ строения окончательной эпюры изгибающих моментов М.Фиктивная нагризка с погонной интенсивностью , М—	вдоль каждого бесшарнирного контура должнабыть в состоянии ра&новесия. Это дает три уравнения — одно уравнение проекций на ось, перпендикулярнуюплоскости рамы, и двз уравнения моментов относитель¬ но осей, лежащих в плоскости рамы:(|)/>Ф^5 = 0; (j)/Aytfs = 0; (|)рФ;с^5 = 0. (5.321) k k kЗначительные отступления от условий равновесия фиктивной нагрузки можно обнаружить на глаз. Напри¬ мер, из первого уравнения следует, что суммарная пло¬ щадь приведенной эпюры М на протяжении каждого бесшарнирного контура должна быть равна нулю — по¬ ложительные и отрицательные площади должны быть одинаковы.Если контур имеет шарнир, первое равенство отпа¬ дает. Остаются уравнения моментов относительно двух произвольных осей, пересекающих шарнир. При двух шарнирах остается одно уравнение, которое с точно¬ стью до постоянного множителя совпадает с уравнением метода сил.Графоаналитическая модификация метода сил. Усло¬ вия равновесия фиктивной нагрузки замкнутого контура используются не только для контроля, но и как основа специального расчетного приема.Сущность этого приема состоит в следующем. От за¬ данной нагрузки и от единичных лишних неизвестных строят эпюры моментов и определяют результирующие фиктивные грузы. От нагрузки фиктивные грузы полу¬ чаются как по величине, так и по положению, от неиз¬ вестных — только по положению, величина же опреде¬ ляется с точностью до множителя Хи Лг,... Для каждого замкнутого контура составляют три уравнения замкну¬ тости—уравнения равновесия фиктивной нагрузки, используя для этого наиболее подходящие моментные оси. Из получаемых этим путем уравнений (в общем случае неканонических,	ф Ъы ) находят все неиз¬вестные. Проведение моментных осей через результиру¬ ющие фиктивные грузы дает широкие возможности для частичной, а иногда и полной ортогонализации (см. ниже).Подробное изложение графоаналитического метода сил см. [154].Принципы ортогонализации неизвестных в уравне¬ ниях метода сил. Оргогонализация заключается в том, что все или некоторые побочные коэффициенты bik(i ф k) в системе канонических уравнений обра¬ щаются в нуль. Это достигается специальным выбором устраняемых связей и неизвестных усилий или подбо¬ ром групповых неизвестных, или особым способом со¬ ставления уравнений деформации [116].Важнейший способ частичной ортогонализации связан с использованием симметрии и рассмотрен ниже.Способ полной ортогонализации для одноконтурных арок и рам (так называемый метод вынесения неизвест¬ ных при помощи абсолютно жестких отростков — метод упругого центра) идентичен с вытекающим из статико¬ кинематической аналогии способом расчета при помощи формул внецентренного растяжения-сжатия для фиктив¬ ной нагрузки (см. 5.6.3).Решение уравнений по методу Гаусса (см. 6.1) мож¬ но рассматривать как последовательную ортогонализа- цию с введением групповых неизвестных и соответствую¬ щих им перемещений, тождественных с перемещениями статически неопределимых основных систем с возраста¬ ющим числом лишних связей.Если устранением некоторых связей заданная система превращается в другую статически неопределимую си¬ стему, изученную ранее, то использование статически неопределимой основной системы представляет один из эффективных методов ортогонализации.На рис. 5.89, а показана пятикратно статически не¬ определимая рама. Предполагается, что усилия в П-об-
288РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВразной трехкратно статически неопределимой раме от местной нагрунки, момента и горизонтальной силы, приложенных к узлу, могут быть взяты из таблиц; за¬ дача сводится к определению только двух неизвестных Xi и Х2 (рис. 5.89, б) из уравненийlWff + A'j-SgJ + Ag-O;2) ^ = 0 .6) \Р>	\рг 6} | Р,	\р2X,~~К~приемы полной и неполной ортогонализации вытекают из графоаналитического метода и носят ярко выражен¬ ный геометрический характер [154].2JLРис. 5.89Здесь значком (3) отмечено, что основная система трехкратно статически неопределимая.Задача еще более упрощается, если заранее известны формулы для перемещений узла П-образной рамы от местной нагрузки и единичных сил Хх и Х2. В ряде слу чаев таблицы для простых рам могут быть использо ваны не только по своему прямому назначению, но и как вспомогательное средство при расчете сложных рам Эта идея положена в основу таблиц [3] — см. литер разд. 8.^Для систем с каноническими уравнениями трехчлен ной структуры существует наглядный метод ортогонали зации, носящий название метода фокусов (см. 5.8.4). Для одноконтурных и многоконтурных рам отдельныеРис. 5.91Практический недостаток большинства методов орто¬ гонализации (по сравнению с последовательным выпол¬ нением операций метода сил в его классической форме) состоит в по¬ вышенных требованиях, предъявляе¬ мых к расчетчику в связи с более сложной и индивидуализированной программой расчетных операций.Упрощение расчета симметричных рам. Основную систему симметрич¬ ной рамы выбирают симметричной. На рис. 5.90, а показана двухконтур¬ ная рама. Основная система получе¬ на путем включения шести шарни¬ ров: четырех—внизу и вверху крайних стоек и двух—между левым и правым ригелями и средней стойкой (рис.5.90,	б).На рис. 5.90, в, г показана замена неизвестных Хи Х6 симметричны¬ ми и антисимметричными группами, обозначенными соответственно YК2. Уз и Zu Z2, Z%. Все коэффициенты вида ^y.zk	2, 3, 6=1, 2, 3) рав¬ны нулю. Поэтому система шести ка¬ нонических уравнений независимо от характера нагрузки распадается на две независимые группы по три урав¬ нения: одна содержит неизвестные Y, другая—неизвестные Z. Целесообраз¬ но сгруппировать не только неизве¬ стные, но и нагрузку, как показано на рис. 5.90, в, г. Тогда расчет на симметричную и антисимметричную нагрузки сводится к расчету двух простых рам, показанных на рис.5.90,	д, е. Эти рамы отличаются свои¬ ми правыми стоиками, соответствую¬ щими средней стойке заданной рамы.
5.8. РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ- 289На рис. 5.90, д эта стойка является бесконечно жесткой при изгибе и при сдвиге, жесткость же на продольную деформацию уменьшена вдвое. На рис. 5.90, е жесткость на изгиб и на сдвиг составляет половину жесткости фактической средней стойки, жесткость на растяжение- сжатие равна бесконечности.Многоэтажная рама при антисимметричной нагрузке (рис. 5.91,а). Симметричные многоэтажные рамы при симметричной нагрузке рекомендуется рассчитывать методом перемещений, учитывая, что линейные переме¬ щения узлов равны нулю, а углы поворота узлов по концам ригелей равны по величине и обратны по знаку. Получается система трехчленных уравнений для углов поворота (см. Ь.5.8).При антисимметричной нагрузке рама приводится к системе половинной ширины (рис. 5.91,6). Вдоль оси симметрии исходной рамы располагается нерастяжимая стержневая цепь, так что система приобретает характер комбинированной многошпренгельной вертикальной кон¬ соли.Количество лишних неизвестных равно числу этажей. За лишние неизвестные могут быть приняты либо уси¬ лия в шпренгелях X (рис. 5.91,в), либо изгибающие моменты Z посередине панелей стоек (поясов) (рис. 5.91, в). Эпюры миментов от Хп=1 и от Z^=l показаны внизу рис. 5.91, в, г. В обоих случаях уравне¬ ния трехчленные, вида1 ьп п 1 + X Ъ + Хп,Л Ь„ ,Л + А = 0,П—1 пп— 1 1 ппп Л+1 л,л + 1 прпричем побочные коэффициенты получаются отрицатель¬ ными. При вычислении коэффициентов рекомендуется учитывать упругую деформацию удлинения-стоек (поя¬ сов).При вычислении грузовых членов независимо от того, какой вариант основной системы выбран, можно пользоваться более простой основной системой по рис.5.91,в, представляющей собой консоль с горизонтальны¬ ми отростками. Это вытекает из принципа изменения основной системы (см. выше).Для предварительных расчетов берут систему по рис. 5.91,г и полагают моменты Z равными нулю, что дает возможность определить усилия во всех шпренге¬ лях из уравнений равновесия моментов относительно шарниров. Практически указанным приближенным рас¬ четом часто пользуются в качестве окончательного.Для статически определимой этажерочной рамы с параллельными стойками при горизонтальных нагрузках эпюра моментов имеет характерный «пилообразный» вид (рис. 5.91,д). Для построения эпюры достаточно найти поперечные силы в шарнирах, что пояснено на рис. 5.91,6.Поперечные силы в шарнирах стоек определяются из условий равновесия части рамы, расположенной выше разреза проведенного через два шарнира. Например:Qs = y (Pi + Р2 + Рз) •Имея Qa и Qз, строят треугольные эпюры на стойках (рис. 5.91,е, внизу). Алгебраическая разность моментов в узле стойки дает момент в узле ригеля.Дополнительная литератураМетод заданных напряжений см. [118, 120]; обширная библиография содержится в [121].19 Зак. 20S85.8 РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ5.8.1.	Способ распределения моментов [8, 179, 131]Способ основан на методе перемещений, и его можно рассматривать как наглядный приближенный прием ре¬ шения уравнений этого метода, допускающий достиже¬ ние достаточной точности путем последовательных при¬ ближений.Несвободные рамыОсновные понятия и определения. На все внеопорные узлы рамы (кроме шарнирных) накладываются связи, препятствующие их повороту. Тогда все брусья превра¬ щаются в балки, защемленные на обоих концах или на одном конне, а на другом шарнирно опертые. Мест¬ ные нагрузки вызовут соответствующие моменты за¬ щемления на защемленных концах. Так как в каждом узле сумма моментов защемления в общем случае не равна нулю, все узлы находятся под воздействием не¬ уравновешенных моментов.Если устранить введенную связь в каком-нибудь уз¬ ле, то неуравновешенный момент распределится между брусьями этого узла пропорционально их сопротивлению повороту, в частности, при брусьях постоянного сече¬ ния— пропорционально их относительным жесткостям £///.Отношение части момента, приходящейся на каждый брус, ко всему неуравновешенному моменту называется коэффициентом распределения. Для каждого бруса этот коэффициент равен его относительной жесткости, деленной на сумму относительных жесткостей всех брусьев, сходящихся в узле.На противоположные (защемленные) концы элемен¬ тов передадутся части распределенных моментов. Для бруса постоянного сечения момент, приложенный к кон¬ цу, вызывает на противоположном защемленном конце момент, равный по абсолютной величине половине при¬ ложенного момента. Отношение перенесенного момента к приложенному называется коэффициентом переноса и равно для брусьев постоянного сечения 7г.Если теперь вновь защемить этот узел, но поочеред¬ но освобождать от защемления смежные узлы, описан¬ ный процесс повторится, причем половины распределен¬ ных моментов в смежных узлах, передаваясь на защем¬ ление в первом узле, образуют новые — 'вторичные моменты защемления в этом узле. Их сумма дает новый неуравновешенный момент, который после снятия вре¬ менного защемления опять распределяется, • переносится и т. д.При последовательном защемлении и освобождении узлов неуравновешенные моменты быстро убывают по абсолютной величине. После нескольких (обычно трех) циклов такиу операций эти моменты становятся на¬ столько малыми, что практически можно ими пренебречь и считать раму уравновешенной. Алгебраические суммы первичных моментов защемления со всеми распреде¬ ленными и перенесенными дают истинные моменты в концевых сечениях брусьев рамы.Все моменты записываются в виде цифр на концах брусьев (без эпюр).Правило знаков. Положительными считаются мо¬ менты, действующие по часовой стрелке. Это правило относится как к активным, так и к реактивным момен¬ там (рис. 5.92, а).На схему рамы записываются всегда моменты, дей¬ ствующие от узла на брус. После снятия временной
290РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВсвязи на узел будет действовать алгебраическая сумма «узловых» моментов, т. е. неуравновешенный момент равен сумме моментов защемления брусьев (написан¬ ных на схеме), взятой с обратным знаком. При таком правиле знаков коэффициент переноса равен +7г (рис. 5.92,6).Вместо переноса моментов после каждого распреде¬ ления удобнее сначала проделать распределения во всеха)■zK-г-ЗС-Рис. 5.92узлах, а потом переносить все распределенные моменты на противоположные концы (ниже все примеры ре¬ шаются так).Таким образом, расчет состоит из следующих опера¬ ций (шагов).1. Определяются коэффициенты распределения в каждом узле:E,hh(5.322)Если противоположный конец бруса шарнирный, его относительная жесткость берется равной 0,75.2.	Вычисляются моменты защемления каждого бруса и наносятся на схему с соответствующими знаками над брусом вблизи узла.3.	Определяются неуравновешенные моменты в уз¬ лах, равные алгебраической сумме моментов защемле¬ ния в каждом узле, взятой с обратным знаком. Неурав¬ новешенные моменты, подлежащие распределению, за¬ писываются на схеме близ соответствующих узлов.4.	Распределяются неуравновешенные моменты меж¬ ду брусьями, сходящимися в узле, пропорционально их коэффициентам распределения. Распределенные (урав¬ новешивающие) моменты записываются также над бру¬ сом вблизи узла.После этого шага проводится черта, означающая, что узел уравновешен.5.	Моменты, полученные в шаге 4 (перед чертой), умножаются на коэффициент переноса (+V2) и перено¬ сятся на противоположные концы брусьев.Перенесенные моменты записываются на схеме, как моменты зашемления (вторичные).Цикл, состоящий из шагов 3, 4 и 5, повторяется до тех пор. пока величины моментов станут такими, что ими можно пренебречь..6.	Складываются алгебраически все моменты, запи¬ санные на концах брусьев, и получаются истинные мо¬ менты, которые записываются у узлов под брусьями.Пример 5.12. Требуется рассчитать раму, показанную на рис. 5.93.(Лр*5000кг/м<ь*0,572 EJ-* 0,51ВЕ>2-6,00 ■Sищи 1>з.Р=10000кг 1 сЕ>1-S.OO-Рис. 5.931. Определение коэффициентов распределенияУзлыСтержниElIЕЦIE-fkА ■AD24,00,5001,1670,428АВ46.00.6670,572ВА46,00,6670,516ВВС36,00.5x0,75 = =0,3751,2920,290BE14.00,250,194Коэффициенты распределения нанесены на схему (рис. 5.93).ISSS4-6ft M 110Э (5)m(5)m277-800♦553 M me 15)(4) - IS) +22184295-ms0♦8590 (*) ISQOQJV%+19371500011085112507300 16)I£ +15000(3) + + 968 (3) «• Л 09 (3)+ 15274(6)Иio Vo- 13660 (6)^ - 3750 (3)-	ms (3)-	277(3)I 1 I 1Рис. 5.94 моментовзащемления(см.2. Определение табл. 8.1.4): брус АВмав = мва = 0 ’0833 *5 000 ’6,02 = 15 ООО кгм\ брус ВСМвс = 0,1875-10 000-6,0 = 11 250 кгм.Полученные значения моментов защемления нанесе¬ ны с соответствующими знаками на схему рамы (рис. 5.94), на которой и произведено распределение моментов (шаги 3, 4 и 5). Шаги занумерованы цифрами в скобках.
5.8. РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ291Неуравновешенные моменты в узлах (первичные, вто¬ ричные и т. д.) написаны близ соответствующих узлов и занумерованы цифрой 3 в скобках. Окончательные —тоРис. 5.95суммарные — моменты записаны у узлов под брусьями и занумерованы цифрой 6.На рис. 5.95 дана эпюра моментов.Свободные рамыДля расчета одноярусной рамы (рис. 5.96, а) на го¬ ризонтальную силу, приложенную к ригелю, вводятся в верхние узлы связи («ползуны»), позволяющие этим узлам смещаться, но препятствующие повороту. Сме¬ щаем ригель на произвольную величину А в ту же сто-6)°)O’f7=/t	 Iв)EJ=3В 3500кг4,00 -юоо200010002000 Рис. 5.96рону, куда его стремится сместить приложенная сила (рис. 5.96,6). При этом в каждой стойке точка перегиба находится в середине высоты, а моменты защемления в вершине и пяте равны между собой. Так как все верши¬ ны смещаются одинаково, величины моментов в разных стойках пропорциональны £7//z3, а при равных высотах — EL Принимают в вершинах и пятах произвольные пер¬ вичные моменты защемления, связанные между собой этими условиями. Затем вводят временно горизонталь¬ ную связь, препятствующую обратному смещению ри¬ геля. Рама превращается в несвободную, и можно про¬ извести обычное распределение моментов.После этого вычисляют сумму горизонтальных поперечных сил в стойках, соответствующую реакции временной опоры. Если заменить временную опору си¬ лой, равной этой реакции, равновесие не нарушится и полученные моменты будут истинными моментами от этой горизонтальной силы. Умножая их на коэффици- 19*ент, равный отношению заданной силы к реакции вре¬ менной опоры, получают искомые моменты.Последовательность расчета рамы показана на при¬ мере.Пример 5» 13. Рассчитать раму, показанную на рис. 5.96, а.Первый шаг. Находят коэффициенты распреде¬ ления в узлах А и В (приводятся без вычислений):k ас = 0 «25; kAB =0,75; ^ = 0,60; £ло=0,40.-ЮОО ♦600 -113/Г *-0,75ТГЖеооо4+11-(77?225 225\375-1~Ш072-7000 + 37Sо ь*0£0л a-0,40260Dvr?.Рис. 5.97Второй шаг. В узлы А я В вводят «ползуны» и смещают ригель влево (рис. 5.96,6). Задаются первич¬ ными моментами защемления +1 ООО кгм в стойке АС и соответственно +2 000 кгм в стойке BD (рис. 5. 96, в, г).Помещают в точке В временную опору и производят распределение моментов (рис. 5.97).Третий шаг. Определяют поперечные силы в стойках:936 + 872Г*-,52«1 630 + 1 260 Qbd— 4 00 —722 кг2Q = 1 174 кгПолученные моменты соответствуют горизонтальной силе 1 174 кг (рис. 5.98, а); на рис. 5.98,6 показаны мо¬ менты при горизонтальной силе 3 600 кг.а)6)Четвертый шаг. Умножаем все моменты на ^ 3 600л = "i"i74~ =3»06 и получаем искомые моменты.
292РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНА^ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВМногоярусные рамыДля расчета многоярусных рам смещения ярусов производятся поочередно. При смещении каждого яруса (аналогично описанному для одноярусных рам) в стой¬ ках этого яруса возникают условные первичные момен¬ ты защемления (рис. 5.99),«Ползуны» в вершинах к пятах, допускающие только поступательные перемещения узлов, препятствуют пере-ЧТПТ,	*777771Рис. 5.99даче этих моментов на другие ярусы, и все вышераспо- ложенные ярусы смещаются поступательно, не изги¬ баясь.Затем вводятся временные горизонтальные связи на уровне всех ригелей, и рама превращается таким обра¬ зом в несвободную, а «ползуны» — в обычные времен¬ ные защемления. Производят обычное распределение моментов и получают моменты во всех узлах.После этого для каждого смещения вычисляют сум¬ мы горизонтальных поперечных сил в стойках каждогояруса, равные реакции временных опор. Суммарная реакция каждой временной опоры от моментов при сме¬ щении всех ярусов должна равняться нагрузке, прило¬ женной в этом узле, т. е. для каждого яруса должно соблюдаться условиеPn~\~ aQm “Ь bQn2 cQnz + **• — 0. (5.323)а§>2*$йОПЯ2?&7s0,625Й*•5«а-£7-20,625О»£3*t£>/$^66%0,241?*D 0,233Ж£7*30,366EHS£7-3ат§Q61B £&67-158<1'W*5,00Рис. 5.100Здесь Рп — горизонтальная нагрузка в n-м ярусе; Qnlt Qn2. Qns у... — опорные реакции в п-м ярусе от услов¬ ных изгибающих моментов при смещении соответственно1,	2 и 3-го ярусов; а, b, с—коэффициенты, равные от¬ ношению искомых истинных моментов (и соответствую¬ щих им поперечных сил) к условным.Число таких уравнений и число неизвестных равно количеству ярусов рамы.Решив эту систему линейных уравнений, получают значения коэффициентов а, &, с,..., после чего искомые узловые моменты от заданных сил определяют в каж¬ дом сечении по формулеМ = аМг + ЬМ2 + сМ3 + •(5.324)где Mi, М2, М3... — моменты в одном и том же сечении, получившиеся ранее при приложении условных моментов со¬ ответственно к стойкам 1, 2, 3-го ярусов.Таким образом, расчет многоярусных рам состоит из следующих шагов.1.	Определяют коэффициенты рас- * пределения.2.	Прикладывают по ярусам услов¬ ные моменты защемления к стойкам*В пределах каждого яруса моменты дол¬ жны быть пропорциональны жесткостям стоек.3.	Закрепляют все узлы производят распределение моментов и находят ус¬ ловные узловые моменты.4.	Определяют для всех ярусов по¬ перечные силы и опорные реакции от ус¬ ловных моментов каждого яруса.5.	Составляют уравнения равновесия [типа (5.323)], приравнивая для каждо¬ го яруса суммы условных реакций (с со¬ ответствующими коэффициентами) на¬ грузке в этом ярусе6.	Решают систему уравнений и опре¬ деляют коэффициенты пропорциональ¬ ности а, b, с.1.	Находят истинные моменты по
5.8. РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ293уравнению (5.324), пользуясь коэф¬ фициентами пропорциональности и эпюрами от условных моментов, по¬ лученными в шаге 3.Пример 5.14. Требуется рассчитать раму, показанную на рис. 5.100. Же¬ сткости брусьев и вычисленные по ним коэффициенты распределения по¬ казаны на схеме.Дается перемещение А 2-му ярусу путем приложения к стойкам услов¬ ных моментов — 1 ООО кгм. Эти мо¬ менты распределяются между всеми стержнями рамы, как это показано на рис. 5.101.Определяются поперечные силы в стойках при смещении 2-го яруса:Неуравновешенныемоменты+1000 - 293 + 60стойка АС:660 + 7372-й ярус <. 5.0стойка BD: Q = 677 + 8050 == —279 кг5.0== — 296 „1-й ярусстойка CF: стойка DG: стойка ЕН:Е Q = —575 кг285 + 1434.0 279 + 1404.032 + 164f0= 107 кг = 105 . = -12 .2 У = 200 кгПосле этого дается перемещение 1-му ярусу путем приложения условных моментов к стойкам. Эти моменты распределяют между всеми стержнями рамы обычным способом (рис. 5.102).Определяются поперечные силы в стойках при сме¬ щении 1-го яруса:л 56 + 139	‘Q = ——	 = 39 кг2-й ярусстойка АС: стойка BD:5.0 56 + 140 5 0= 39 .1-й ярусстойка CF: Q =—£ Q = 78 кг70S 4- 8534.0-390 кг„ л 1405 + 1 703 стоика DG: Q=—	—	= —777 кгстойка EH: Q=-4.0 697 + 8494.0= — 387 кг£ Q = — 1 554 кгСоставляем уравнение типа (5.323) для определения коэффициентов пропорциональности:—	575а -}- 78b + 1 000 = 0;200а— 15546 + 3000 = 0.Рис. 5.102Решая эти уравнения, находим: а = 2,04, 6 = 2,19 Окончательные изгибающие моменты:МАС = _ 660.2,04 + 56-2,19 = - 1 223 кгм-,МАВ = +660-2,04 — 56-2,19 = + 1 223 кгм;МВА = + 677-2,04 — 56-2,19 = + 1 260кгм;MBD = -677-2,04 + 56-Ж 19 = - 1 260 кгм;МСА = -737-2,04 + 139-2,19 = - 1 200 кгм;MCD = + 452-2,04 + 569-2,19 = + 2 170 кгм;MCF = + 285 -2,04 — 708 -2,19 = — 970 кгм; Мив= — 805-2,04+ 140-2,19 = — 1335 кгм; MDC = + 348-2,04 + 572-2,19 = + 1 965 кгм; MDE = + 178-2,04 + 693-2,19 = + 1 880 кгм;
294РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВMDQ = +279-2,04 — 1 405-2,19 = — 2510 кгм;MED = + 32-2,04 + 697-2,19= +1595 кгм;МЕН = — 32-2,04 — 697-2,19 = — 1 595 кгм;МРС = + 143 -2,04 — 853 -2,19 = — 1 575 кгм.MQD = + 140-2,04 — 1 703-2,19 = — 3 447 кгм;МНЕ = — 16-2,04 — 849-2,19 = — 1 892 кгм.Построенная по этим значениям эпюра моментов по¬ казана на рис. 5.103.Аналогично производится расчет на смещение при несимметричной вертикальной нагрузке или раме.Дополнительная литератураСм. [33, 34, 66, 147, 174, 138]5.8.2.	Способ распределения углов поворота[140, 180]Данный способ, так же как и способ распреде¬ ления моментов, основан на методе перемещений. Осо¬ бенность его состоит в возможности использовать в ка¬ честве первого приближения результаты точных реше¬ ний для целых частей рамы.'	Р=Чтшдати]JL1-.mrjanbj.JL...JUU11 f*4'UL.L,,..JUL.11 f* » ч• -ч> n—40—уO* '■ 7 —**-!Х<ш I ш/ I I ЦМ IYI т I т рт I -Л I1 т! fl TillРис. 5.104Рис. 5.105Ниже дан числовой пример, иллюстрирующий при¬ менение способа для расчета многоэтажных рам.Пример 5.15. Условия задачи даны на рис. 5.104.Относительные значения узловых жесткостей брусьев4	EIрамы Т= -у- следующие: для ригелей Т—4; для стоек1-го и 2-го этажей Т—2; для стоек 3-го этажа T=UРасчет многоэтажной рамы производится посред¬ ством разложения ее на ряд двухэтажных рам, не имеющих замкнутых контуров (рис. 5.105). Каждая двухэтажная рама рассчитывается точным способом, связь между двухэтажными рамами устанавливается последовательными приближениями.Решение. 1. На стержнях схемы рамы (рис. 5.106) записывают в скобках узловые жесткости брусьев Т, а в узловых кружках — их удвоенные суммы R°==2^T. Например:R°6 = 2 (2 + 4 + 2) = 16;R°7 = 2 (2 + 2 + 4 + 4) = 24 и т. д.Величины R0 являются начальными значениями жест¬ костей узлов.2.	Определяют для каждого горизонтального уровня коэффициенты передачи углов поворота, пользуясь сле¬ дующей цепной зависимостью:he = Jbc ■; Дb = -kabTab. (5.325)Ав—представляет собой поправку к жесткости узла 6, учитывающую упругие свойства предыдущего узла а.Определение k и А удобно производить на схеме рамы в следующем порядке (рис. 5.106).Прямой ход:Д7 = — kmTm = -0,25-4 = — 1,0;&7Я 	r°7+ д724 — 1= 0,174;Д8 — — &78^78 — — 0,174*4 	0,7;Тл о	4«8 +Д324—0,7= 0,172 и т. д.Обратный ход производится независимо от прямого в том же порядке:Ти10.9Е>010--£-0.25;Тю о = -0,25-4 = — 1,0;10,9 1 10,9Т PR= 0,174;*°9+д; 24-1д; = - ЛиГ* = -0,174-4 = -0,7;Г,,	424 — 0,7= 0,172 и т. д.Рис. 5.106*8+Д8Значения коэффициента Не записывают на схеме рамы (рис. 5.106), над брусьями у узлов, а значения поправок Аь и А& — в узловых кружках, соответственно над и под значениями R°b.1ак как рама симметрична относительно погонных жесткостей, то обратного хода мо¬ жно было не производить, а сразу написать
5.8. РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ295левые коэффициенты k и А' симметрично правым коэф¬ фициентам. Суммируя числа в узловых кружках, опре¬ деляют конечные значения жесткостей узлов R. На-* пример:Я6= 16 — 0,69= 15,31;Я7 = 24— 1 —0,69 =-22,31 и т. д.Аналогично определяются коэффициенты k и R для второй и третьей горизонтали.Проверка вычисления коэффициентов k может быть произведена для первой горизонтали по формуле7Г” ^76 ^87 ^98 ^10.9 = 7Г“ ^9,10 ^89 ^78 ^67 ^6 *<10и аналогично для остальных горизонталей.3.	Определяют коэффициенты передачи kt связываю¬ щие деформации узлов рамы по вертикали. Для этого надо жесткости Т стоек разделить на R соответствую¬ щих узлов. Так, например:ь — в’*3 _8,13			22,6= 0,07;1 8.13Ris20,46= 0,098 и т.д.Значения k записывают в заглавных строках табл. 5.9.4.	Определяют реактивные моменты, рассматривая каждый брус как балку, защемленную двумя концами.1-62-мЬ =м?« =_МР9=Л*Р8 =121	-82■ 0,222-4-6 = 8,3 тм\12-0,313-4-8 = 15,3 тм.Обратный ход производится независимо от прямого в том же порядке.Передают углы поворота (строка 3): с узла 10 на узел 9<р9 = —<pjo &9tl0 = 2,00*0,172 = 0,35;с узла 9 на узел 8ТВ - - (?9 +Тй) *89 = -0.35-0,172 = -0,06;с узла 8 на узел 7?7 = - (?8 +?в) *78 = - (° •62 - 0 • 06> 0'174 = “ ° ’10; с узла 7 на узел 6<Рб = — (*Р? +97) *67 = 0,10-0,25 = 0,02.Складывая строки 1, 2 и 3, в строке 4 получают пер¬ вое приближение для углов поворота узлов 6—10. Ана¬ логично, перераспределяя начальные углы поворота, по¬ лучают первые приближения для углов поворота узлов11—15 и 16—20.Для рам без замкнутых контуров полученное таким образом решение является вполне точным.7.	Передают найденные углы поворота по вертикали, умножая их на соответствующие коэффициенты k, и за¬ писывают полученные величины в строку 6 табл. 5.9.Например, угол поворота ср6=1,11 передают на узел 11:«Р1Ж	ЧРв*н.в	1.11-0.151угол поворота <ри =1,28 передают на узлы 6 и 16’.'Ре	'Рц *6.11 = — 1.28-0,131 = 0,17;?1б= ?11 ^16,11 = 1,28 -0,11 = 0,14;Значения МР записывают на новой схеме ра¬ мы (рис. 5.107) у узлов.5. Находят начальные углы поворота узлов по формуле2 2 МР(5.326)-аз в.З	*-6.3 б[3 -15.3 15.3 45.3 ts.3 /с/W h -12,4t°n7jНапример:о 2-8.3Rn= 1 09; $ = 0;= 0,62 н т.д.Ж3,7 Sr10 15,31о	 2(8,3—15,3)22,6Значения <f° записывают в табл. 5.9, в стро¬ ке 2.6. Производят перераспределение началь¬ ных углов поворота по первой горизонтали.Прямой ход. Передаем углы поворота (строкя 1):с узла 6 на узел 7 —<р°676 = — 1,09-0,172 = — 0,19; с узла 7 на узел 8 = — (?° +<р') ki7 = 0,19-0,172 = 0,03;с узла 8 на узел 9Ь = - (?08 +%) *98 = - (0 • 62 + о ,03)0,174=—0,11;с узла 9 на узел 10 <Рю = — ( Тэ “Ь'Рэ) ^ю,9 =0,11-0,25=—0,03.*1о>-&3 6.33.0 4,1 ^ 10,2 %4.0-ОА-0,9 ^ш J9.4 3I2*0i^6 -8,30,9 1.1i112,3 -0.5 10,145.3 15.3«К т2.3 0 7SlSwt? nj з|SJ-tS-wЩззк£-ff	■ '’oH§0^3,9QM-us9.4 %JL -6,1-0.510,01:-Ж -7271,11713*777/.Рис. 5.107-3,5-idj¥< 5V/7?,угол поворота <р1б =1,91 передают на узел //:cpn = ср16 kn l6 = 1,91 -0,076 = 0.14.Аналогично перераспределяются углы поворота по другим вертикалям. Далее таким же образом проделан в табл. 5.9 второй цикл расчета (начальными данными являются углы поворота, записанные в строке 6).
296РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВТаблица 5.9№строки*169п*18*19*200.40,110,234 0,244 0.0650.235 0.235 0,0620.244 0.234 0.0650.40,111--0,430,10-0.240,1021,84	0.88——3,3930,07—0,17-0.190,79<—41.Ы-0,600,790,55-3,295	у0,03—0.010,01—6-0,140,02-0,04—0,020,257-0.01—0,02—0,06-4	8-0,150,05-0,03-0,070,2590,04-0,010,010,01-0,0621,80—0,560,770.49-3.10№строки• *i,*12*13*14*15и,07р0,050,0490,050,0760,2860.188 0,1920,137 0,1870,192 0,1880,2860,1510,10,0980,10 1511—0,240,04—0,140,042Г25—0,69	-2,3130,03-0,11—0,080,43^	41,28-0,350,650,29-2,275	у0.06—0.020,020,01—0,140 03-0,04-0,030,256—0.170,03-0.06—0,020,307—0.020,010,03—0,108-0.330,13-0,09-0,130^5690.04-0,010,010,01—0,0620,99-0.230.570,17-1.77<Ре<f>79,9 ю№строки0,1310,090,070,090,1310,250,172 0.1740.172 0.1720 174 0.1720,251-0,190,03-0,110,032П09—0,62——2,0030,02-0,10—0,060.35	41,11—0,290,590,24-1,975	у0,03—0,010,01—6-0,170,03-0,04-0,030,307—0,010,010,01-0,05ч	8-0,180,07—0,04—0,070,3090,04—0,010,010,01-0,0720,97-0,230,560,18-1,74однако вполне можно ограничиться одним — первым цик¬ лом расчета, ши обеспечивает точность в пределах 5°/в. Добиваться большей точности при решении практических задач не имеет смысла.Складывая первое приближение и последующие по¬ правки (в рассматриваемом примере строки 4, 8 и 9), получают искомые значения углов поворота и записы¬ вают их в узловые кружки схемы рамы на рис. 5.107. 8. Определяют значения моментов на схеме рамы, а) Умножая каждый угол поворота на жесткости Т брусьев, сходящихся в узле, определяют М'. Например, для узла 8/И89 =М87 = 0,56*4 = 2,2 тм\Мо= Моо = 0.56 • 2 — 1,1 тм*8.13 —/VJ83 •(моменты окр\тляют до 0,1 ти).б) Передавая полученные моменты М' на противо¬ положные концы стержней с коэффициентом определяют значения М". Так, например:М78 :2’2 1 1 —— = 1 1 тм;к 11М138= —-0,5/?ш.в) Суммируя моменты МР, М' и М", определяют действительные значения моментов на концах брусьев.Проверка — сумма моментов в узлах равна нулю.Если ограничиться одним циклом расчета, то невяз¬ ки для рассматриваемого примера составят не более 2-3%.Расчет многоэтажных рам на горизонтальную нагруз¬ ку также рекомендуется производить посредством раз¬ ложения исходной рамы на элементарные двухэтажные рамы без замкнутых контуров. Расчет каждой двух¬ этажной рамы производится, с учетом смещений ярусов, для чего составляются два дополнительных уравнения. Связь между двухэтажными рамами устанавливается последовательными приближениями.Еще проще задача решается при выборе смешанной основной системы с защемлениями в узлах и шарнирами внизу стоек. В этом случае многоэтажная рама раз¬ лагается на ряд одноэтажных рам, для расчета которых на горизонтальную нагрузку необходимо составить одно дополнительное уравнение В обоих указанных спосо¬ бах второе приближение дает практически точные ре¬ зультаты.5.8.3. Расчет многоэтажных рам на горизонтальную нагрузкуОднопролегная рамаОсновные обозначения (рис. 5.108). Этажи нумеруют¬ ся сверху вниз: 1, 2, 3,..., a,..., s. Жесткость стойки, ригеля и типового стержня: Е1сп, £/£, £/0. Длины стойки и ригеля (в осях): hn и /, соответственно их при¬ веденные длины: h„lo :	Но : = 1п \ коэффи¬ циенты жесткости: Elzn\hn—iw Е1^:1=1ПтРаздельно рассматривают¬ ся (рис. 5.109) действие анти¬ симметричной составляющей нагрузки (АСН) и симметрич¬ ной составляющей нагрузки (ССН). Если нагрузка узловая или приближенно приведена к узловой, то ССН вызывает только продольные силы в ри¬ гелях и достаточно рассмотреть АСН. При сплошной нагрузке (ветровое давление и отсос) влияние АСН также является решающим; поэтому некоторые второстепенные факторы рас¬ сматриваются ниже только для АСН.При расчете на АСН преж¬ де всего следует определить значения попереччых сил для середины каждой стойки Qn из условия равновесия вы¬ шележащей части рамы (рис. 5.109).Компоненты эпюры М; ос¬ новные неизвестные. Изгибаю¬ щие моменты определяются по выражениям.?Г7> •, Jf1СtуСtIеJn4J пс:t1еJn пр-W♦t,7/ *+fРис. 5.108М'АСН = 2 MQ + 2 + 2 тпХп + 2 ttiynYn\ Mccw = 2 + Е mnzn (2 = "s ).п=1(5.327)
5.8. РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ297Здесь Хп, Yn, Ъп — основные неизвестные: Хп — изги¬ бающий момент в середине п-й стойки (для АСН);РпССНpi[?-Рп/'XЙСНQnа»OnлРис. 5.109Yn (для АСН) и Zn (для ССН) —угол поворота л-го узла (рис. 5.109). Они определяются из уравнений (5.328) — (5.332), в которых индекс п принимает все зна¬ чения от 1 до s. Для первого и последнего уравнения каждой группыi0 = Qo = = Ро — Х0 — 0 и^+1 = Ys+i = Zs+1 ==0-Эпюры Mq% Mnq и М” (эт нагрузки) и тхп, туп, mzn (от единичных пар и единичных поворотов) показаны на рис. 5.110.Расчет на АСН смешанным методом. Основная си¬ стема образуется путем введения шарниров в серединах всех стоек и наложением на все узлы защемляюших свя¬ зей (на рис. 5 109 обозначены □). Канонические урав¬ нения смешанного метода имеют вид:6/ У	+ Я =°; (5.328)>п п п~1 п прУ — У „+1+ “ Хп + ДП/7=0, (5.329)I пгдеRnp —Q/i-i К-\ + Qn hn22	2Яп—1 hn—1 — Qn “пЯп#п24 inУравнения (5.328)	при заданных	Хп и уравнения(5.329)	при заданных	Y п приводятся	к виду рабочих формул:=	(5.328')хп = - lk(Апр +Yn~ K«+i) . (5.329')удобных для решения способом последовательных при¬ ближений (I, II, III... — номера приближений). Поло¬ жив все Ххп = 0 (что соответствует случаю ригелей —дисков), определяют все Y'n из (5.328'). Подставляя УХп в (5.329'), находят все Хх„ ; подставляя Xв (5.328'), находят Уп . Процесс продолжается до получе¬ ния повторяющихся результатов с необходимым числом знаков. Он сходится тем быстрее, чем больше отноше¬ ния jn : in- Если jn <^’л. сходимость замедляется или нарушается; следует перейти к уравнениям (5.330) или (5.331).Расчет на АСН методом сил. Исключением Yn из(5.329)	и (5.328') получаются уравнения «трех момен¬ тов»:— 1п Хп-1 + (6Ал + 1п + ^л+l) Хп — 1п+1 Хп+1 —ЯпК К0. (5.330)Определи? \п из системы (5.330), далее находят Yn по (5.328') либо строят эпюру М на стойках, а ордина¬ ты М для ригелей определяют из условий равновесия узлов.Расчет на АСН методом перемещений Исключением Хп из (5.328) и (5.329') получают уравнения «трех углов»:— ‘n-l Yn-1 + (6/'л + ‘л-1 + ln) Yп ~ *nY»+l +Яп — \^П — \ Уп^п	оо1\+ Rnp +	^	= 0- (5.331)Определив Уп из системы (5.331), далее находят Хп по (5.329').Расчет на ССН методом перемещений. Уравнения «трех углов»:*л_1 + ( jn + 2in_l + 2in) Zn + in Zn+i++Pn ^n Pn-\ ^n- 1 240.(5.332)Регулярная система. При постоянных для всех эта¬ жей значениях ir,=i. >n=ti и при узловой АСН, состоя¬ щей из сил	в ДВУХ верхних узлах и сил Рп==Р (пф 1) во всех остальных узлах, значения Хп опре¬ деляются по формулеХ„ ~ ——	V—liidljll — s	,5.333,
298РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВгде		ft = 1 + 3< + К(1 + 302 —1.Формула справедлива при достаточно большом числе этажей s, когда второй член в скобках становится пре¬ небрежимо малым для нижних этажей (при n->s), а третий член — для верхних (при п-+ 1). Yn определяет¬ ся по (5.328').Влияние узловых дисков. Считая длины жестких уча¬ стков у обоих концов стойки одинаковыми, обозначим длину деформируемой части стойки («в свету») ап hn> а ригеля—рп LТогда при расчете на АСИ вместо hn, ln^ in, }п по¬ всюду вводятся соответственно: ал hn, ln » *п *ап ». В свободных членах hn заменяется через ал hn повсюду, кроме выражения для Rnp, которое остается без изменения.При расчете на ССН уравнения (5.332) заменяются следующими:‘я-1 2 л-1 + ( in + 2'л-1 + 2in ) Zn + ‘п Zn+1 +Рп hl t 'n -Рп-1 hl-\ *п-1 =+	24	“ ’где,_3+al . 3-al п	,	*я — _, 1п;Влияние продольных деформаций стоек Cq и дефор¬ маций сдвига ригеля 7Р (при расчете на АСН). Рассчи¬ тав раму без учета > определяют продольные силы, а по ним все Д/*£—удлинения наветренных и равные им укорочения подветренных стоек k-ro этажа. Вызван¬ ные этим фактором приращения Д Хп и ДУПу опреде¬ ляют по уравнениям (5.328') — (5.329'), заменив в них#пр k=s 'in vчерезД#л/7=—12—и приравняв нулю. Ониk-nмогут быть определены также по уравнениям (5.330) и (5.331) с заменой свободных членов соответственно че- Д hnрез 12£/0 — и ДRnp.Учет 7Р сводится к умножению 1п или делению jn24 (1 + ^на коэффициент, равный 1Н	, где —гиб-1пкость л-го ригеля, v—коэффициент Пуассона, ц— коэффициент формы сечения в формуле Мора—Мак¬ свелла.Применение однопролетной схемы к расчету многопролетных рамОсновное расчетное состояние. На первом этапе рас¬ чета вся горизонтальная нагрузка приближенно приво¬ дится к узловой. Вводится допущение, что углы поворо¬ та всех узлов, расположенных в одном уровне, равны между собой. Их расчетное (осредненное) значение мо¬ жет служить групповым неизвестным; соответствующая обобщенная реакция определяется как сумма реактив¬ных пар, развивающихся во всех защемляющих связях, наложенных на узлы данного яруса.Теперь расчет многопролетной рамы совпадает с расчетом однопролетной «эквивалентной» рамы, у кото- рой isn равно полусумме in всех стоек, a j3n равно сум¬ ме jn всех ригелей данного яруса многопролетной рамы. Моменты, вычисленные для стоек и ригелей эквивалент¬ ной рамы, следует распределить между стойками и ри¬ гелями многопролетной рамы, пропорционально значе¬ ниям in и \п.Очертания всех искривленных стоек будут совпадать между собой, а все искривленные ригели будут иметь точки перегиба посередине.Оценка погрешности и уточнения. В основном расчет¬ ном состоянии узлы могуг оказаться неуравновешенны¬ ми, т. е. для поддержания этого состояния к узлам должны быть приложены некоторые фиктивные пары ДМ; для каждого яруса 2 Д М=0. Доля ДМ в общей сумме ординат М данного узла является мерой погреш¬ ности расчета, внесенной осреднением углов поворота узлов.Если Д М существенны, то для устранения невязки следует дополнительно рассмотреть раму под действием пар — ДМ (состояние «а») и решение просуммировать с полученным для основного расчетного состояния.Благодаря уравновешенности нагрузок каждого яру¬ са в состоянии «а» все узлы можно считать закреплен¬ ными от горизонтальных смещений фиктивными стерж¬ нями. Давления на эти стержни, ничтожные в сравнении с расчетной узловой нагрузкой, будут теперь мерой по¬ грешности расчета.Другая погрешность основного расчетного состояния образуется в случае внеузлового приложения к стойкам ветрового давления и отсоса, учитываемых в этом со¬ стоянии в виде приведенной узловой нагрузки. Для ее оценки или устранения определяются дополнительные изгибающие моменты от действия заданной внеузловой нагрузки на раму с закрепленными от горизонтальных перемещений узлами (состояние «б»). Кроме того, определив для состояния «б» давление на фиктивные стержни, можно: либо оценить точность элементарного приведения заданной нагрузки к узловой, либо заменить элементарное приведение точным (для чего расчет состо¬ яния «б» должен предшествовать основному расчету) „5.8.4.	Метод фокусов (фокусных отношений)Общие положенияВ основе метода лежит рассмотрение рамы с непо¬ движным скелетом при нулевых или наперед задан¬ ных линейных перемещениях узлов. Каждый из брусь¬ ев рамы считается балкой с упруго поворачивающими¬ ся концами. Отличают метод моментных фокусов, свя¬ занный с расчетом рамы по методу сил, когда неизвест¬ ными являются концевые моменты брусьев, и метод угловых фокусов, связанный с методом перемещений, когда неизвестными являются углы поворота узлов. Оба метода тесно соприкасаются между собой, и на разных стадиях расчета возможен переход от одного метода к другому.На рис. 5.1 И, а показана эстакада с двухъярусными стойками, упруго защемленными по концам. Это значит, что концевые момьнты стоек и углы поворота их кон¬ цов пропорциональны друг другу В частном случае концы стоек могут быть жестко защемлены и шарнирно оперты. Если нагрузить раму в узле ? внешним мо¬ ментом L3, то деформированное и напряженное состоя¬ ние будет обладать следующими свойствами. Углы по¬ ворота узлов будут убывать по абсолютной величине по
5 8. РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ299мере удаления от нагруженного узла Зу чередуясь по знаку. В связи с этим изогнутые оси всех пролетов бу¬ дут иметь точки перегиба, удаленные от нагруженного конца. В этих точках изгибающие моменты при данной нагрузке равны нулю.Важное свойство рамы состоит в том, что если пере¬ нести момент L в узел 2, то положение всех точек пере¬ гиба, за исключением F2з, останется неизменным. Вместо точки F2:i в пролете 2—3 появится новая точка пере-9	10	V	№<а)$Рис. 5.111гиба F32, расположенная ближе к узлу 3. При переносе момента L в узел 4 все точки перегиба остаются на ме¬ сте, за исключением точки F43, которая заменяется точ¬ кой F34, близкой к узлу В.Точки Р называются моментными фокусами. Пользу¬ ясь ими, упрошают построение эпюры моментов слева и справа от нагрузки.На протяжении каждого пролета эпюра моментов представляет собой прямую, проходящую через фокус, следовательно, достаточно знать еще одну ординату эпюры в каждом пролете. На рис. 5.111,6 показана эпю¬ ра от внешнего момента Ь3. Первый шаг построения — распределение внешнего момента между опорными мо¬ ментами Мз2, М34, М37, М3.11 • Имея эти моменты, путем прочерчивания прямых через фокусы F23, F73, Fn 3 и F43 получают опорные моменты М2з, М73, Щ.\\ и М4з- В узле 2 момент М 2з надо распределить между момен¬ тами М2ь М2б, №2.ю * после чего прочерчиванием прямых через фокусы определяют моменты на противоположных концах брусьев и т. д.' Практичесьи эпюру строят после вычисления опорных ординат при помощи коэффициентов распределения ц и фокусных отношений к. В каждом пролете должны быть определены два моментных фокуса — левый фокус при нагрузке справа и правый фокус при нагрузке слева. На рис. 5.111, в точки F23 и Fl2 — левые фокусы, точки Fas и F32 — правые фокусы; для стоек определения «ле¬ вый» и «правый» являются условными. Обозначение фо- куса буквой F l двумя индексами показывает, для какой нагрузки в фокусе получается М=0: нагрузка должна быть расположена со стороны узла, соответствующего второму индексу.Эпюра прогибов от / з=1 представляет собой инфлю¬ енту угла поворота узла 3 от вертикальной силы Р= 1. Эпюра на рис. 5.111,а, построенная от момента, вращаю¬щего против часовой стрелки, представляет собой ин¬ флюенту для >чла (—ср3). Эпюра моментов рис. 5.111,6 представляет собой инфлюенту для того же угла от дей¬ ствия фиктивной нагрузки. Для построения инфлюент изгибающего момента, например непосредственно слева от узла 3, следует приложить в этом сечении единичную дислокацию в =1 (.см. 5.4 3, рис. 5.35).Если пс концам каждого из брусьев рамы отложить в виде ординат нормально к оси бруса концевые углы поворота, равные по величине и по знаку углам поворо¬ та узлов <р, и соединить эти концевые ординаты прямой линией, то получим гак называемую эпюру углов пово¬ рота узлов. Эта эпюра не дает углов поворота сечений брусьев (действительная эпюра, как правило, криволи¬ нейная), но сообщает наглядность процессу затухания этих углов по мере удаления от нагрузки и конкретизи¬ рует величины постоянных отношений между углами в виде угловых фокусов Ф, аналогичных моментным фо¬ кусам F. Эпюра для случая нагрузки узла 3 моментом Lz показана ни рис. 5.111,в пунктиром. Концевые орди¬ наты эпюры для всех брусьев, сходящихся в узле, име¬ ют одну и ту же величину <р. Для метода угловых фо¬ кусов характерно то, что надобность в коэффициентах распределения отпадает. Определив угол <р3 и имея уг¬ ловые фокусы Ф, путем прочерчивания ломаной влево и вправо от узла 3 получают эпюру. Практически вопрос связан с использованием угловых фокусных отноше¬ ний К.Формулы и приемы метода моментных фокусовВ каждом пролете (например, 2—3 на рис. 5.111,6) фокусные отрезки а23 и Ь32 до левого фокуса (F23) и правого фокуса (F32) связаны с фокусными отношения¬ ми &2з и /г32:&2Я —/23	а23°23 ?23 1 + ^23^32 —^23 — &32(5.334)Если нагружен только пролет 2—$, то, имея фокус¬ ные отношения k23 и k32, можно определить опорные мо¬ менты М2з и М?2:Мо з — •6 EL23^236£/2;1*>r°k — т°2	32 т3^23^32 — 1т° k — т°т3 23 2^23^32 	 1(5.335)Здесь т® и Т3 — концевые углы поворота от мест¬ ной нагрузки, подсчитанные для шарнирно опертой бал¬ ки 2—3. Множитель EI23 можно не писать, а углы т23и ^32 брать увеличенными в Е123 раз. Формулы(5.335)	охватывают также случай осадки опор (переко-Достаточно поло¬са бруса 2—3 на угол ^23= ^—L\ /2з Гжитьт23 =4^23> Т32 = "" Фз2» ( 'Ьз “ ^32 ) •Следует иметь в виду, что осадка опор 2 и 3 вызы¬ вает угол перекоса не только в пролете 2—3, но и в пролетах I—2 и 3—4У и по краям этих пролетов долж¬ ны быть определены соответственные опорные моменты.
300РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВФормулы (5.335) охватывают также нагрузки узла 3 внешним моментом Ц: достаточно отнести этот момент немного влево и считать его нагрузкой пролета 2—3. При неравномерном нагреве углы xij и Х3 подсчиты¬ ваются к?:к фиктивные реакции от наперед заданной Кривизны $/.Момент Мгз нагружает сросток брусьев 2—/, 2—6,2—10. Доля момента Мгз- передаваемая каждому из этих брусьев, называется коэффициентом распределения и обозначается буквой |х с тремя индексами: первый и второй означают брус, от которого передается мо¬ мент, второй и третий — брус, которому передается мо¬ мент При этом второй индекс характеризует общий узел брусьев.Следовательно:М21 = ^23^321» М2в — М23ц32в;М2.10— Щз ^32.10 '(5.336)Коэффициенты ^ зависят от угловой отпорности каждого из брусьев сростка и суммарной угловой от¬ порности сростка брусьев в целом.Отпорности выражаются через узловые податливо¬ сти брусьев е:/12 1Л3 Е12 I1?6 £/12(2 — - \ к6 ы2012_1_^022.192.10 —Ш2.102 —1ПО. 2(5.337)Отпорности отдельных брусьев равны величинам, об¬ ратным податливостям:Ti2i =7 i Ti2Q = 5 ^2.10 = “7 • (5.338) е21 е2б 2 10Суммарная отпорность сростка трех брусьев, являю¬ щегося упруго поворачивающейся опорой бруса 2—3 в узле 2:^2(23) — Ч» + ^26 + Tl2.10*	(5 -339)Искомые коэффициенты распределения момента М23 по брусьям 2—I, 2—6. 2—10^21 Т<26 1*321 = ~	* ^326 =М-32.10 —^23)(5.340)Коэффициенты распределения, очевидно, удовлетво¬ ряют равенству<*321 + ^326 + ^32.10 =Для определения моментных фокусных	отношенийважна также величина суммарной угловой	податливо¬ сти сростка:Е2(23) = г|2(23) •	(5.341)Аналогично выражаются величины е, **], fx для от¬ дельных брусьев и сростка трех брусьев, являющегося упруго поворачивающейся опорой бруса 2—3 на конце 3.Левое и правое фок)с?ные отношения для бруса 2—3 выражаются формуламиь _	62(23)К 23 —	+ 2;^гз+2.^23(5.342)Если пользоваться приведенными длинамигде 1С — постоянный для всей рамы (масштабный) мо¬ мент инерции, то формулы (5.342) принимают вид_ б£/ге2(2з) , 9.	23 6 Е1се3(23)2.(5.342')23Таким образом, 62з зависит от суммарной угловой податливости е2(23) » которая в свою очередь зависит от k\2, &62. ^ю.2 Соответственно, k& зависит от ез(23)» а последняя зависит от &43» &73, ^113< Этим устанавли-6	7SI-FstО/гь-?г*\*FZ3///ОРис. 5.112вается определенный порядок последовательного опре¬ деления левых и правых фокусных отношений, начиная от брусьев, для которых фокусные отношения заранее известны.Так, если 6 — шарнирная опора, то F62 совпадает с6,	фокусное отношение kb2— 00 .Если 6 — жеси-.ое защемление, то F62 делит /2б в от¬ ношении 1 • 2, фокусное отношение k62=2.При расчете симметричных рам на симметричную на¬ грузку можно ограничиться расчетом юловинной рамы, если по оси симмегрии (посередине среднего ригеля) во¬ образить опору, препятствующую повороту сечения, допускаюшую свободное вертикальное перемещение. В случае такой опоры k——\ (фокус удаляется на бес¬ конечность). Если по оси симметрии имеется стойка, то при симметричной нагрузке имеем полное защемле¬ ние. При расчете ьа обратносимметричную нагрузку ось симметрии эквивалентна шарнирной опоре полуригеля независимо от гою, имеется ли стойка, или нет.Правило. Ч>обы найти фокус, близкий к некоторому узлу, надо знать удаленные oi узла фикусы всех осталь¬ ных брусьев, сходящихся в узле. Последовательное од¬ нозначное определение фокусов возможно только в ра¬ мах, не имеющих 1зн\тренних замкнутых контуров, ина¬ че говоря, обладающих оцносвязной осьн» Сюда как частный случай относятся неразрезные балки на жест-
5.8. РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ301ких опорах и эстакады со стойками, расположенными в одном или двух ярусах при обязательном заранее изве¬ стном характере закрепления концов стоек.При наличии внутреннего замкнутого контура (У, 2,3	на рис. 5.112) пользуются методом последовательных приближений: задаваясь значением fci2=3-^4 (или, что то же, положением фокуса F\2), определяют последова¬ тельно &2з> &34, &4i и снова &12. Затем, принимая новое значение kn за исходное, определяют &2з, &34, kA\ вторич¬ но. Обычно получаемое во втором, приближении значе¬ ние k\2 весьма мало отличается от предыдущего, и по¬ ложение фокусов может считаться окончательным.W'Ш'232	t1 2 I“ТРис. 5.113Сложные (многоконтурные) рамы. Основное свой¬ ство таких рам, к которым принадлежат каркасы мно¬ гоэтажных промышленных и гражданских зданий, — быстрое затухание моментов по мере удаления от загру¬ женного пролета. Другое свойство — малое влияние на фокусные отношения какого-либо пролета фокусных от¬ ношений удаленных пролетов. Эти свойства позволяют упростить расчет сложных рам с несмещаемымн узла¬ ми, любых симметричных рам при симметричной нагруз¬ ке и практически всех многопролетных многоэтажных рам при вертикальной нагрузке.Фокусные отношения и положение фокусов устанав¬ ливаются по методу последовательных приближений. Сначала (рис. 5.113) определяют фокусные отношения и положение фокусов стоек нижнего этажа исходя из фактических условий опирания стоек на фундамент. Эти фокусы показаны светлыми кружками. Далее мысленно выделяют эстакаду с двухъярусными стойками, отмечен¬ ную цифрой /, причем задаются отмеченными крестика¬ ми и цифрой 1 фокусами вверху стоек. Для этой эста¬ кады определяют отмеченные черной точкой и цифрой / фокусы и фокусные отношения. Переходя к эстакаде //, задаются фокусами (фокусными отношениями), отме¬ ченными крестиками с цифрой 2, и определяют все фо¬ кусы, отмеченные черными точками и цифрой 2 (эти точ¬ ки показаны на всех стойках и на втором ригеле). Ана¬ логично поступают с эстакадами III и IV. Проделав этот расчет, возвращаются к фокусам, отмеченным точ¬ ками, и находят уточненные значения фокусных отно¬ шений, которыми предварительно задавались. Пользу¬ ясь уточненными значениями, пересчитывают остальные фокусные отношения, которые обычно и принимают за окончательные.Контроль вычислений выполняется при помощи кон¬ трольных равенств [117]. На рис. 5.114 показана выделен¬ ная из рамы произвольная непрерывная цепь брусьев abcdef. Для любых двух смежных пролетов, например Ьс и cdy имеет место равенство(5.343)Для всей цепи a...f^de ^cd ^ЬС ^ab ^abc ^bed ^cde ^dc f i^fe ^ef ^ ^ef~~~kcb kdc ked kfe ^fed ^edc ^deb ^cba^ab kba~~ ^Ub'^'344)Для замкнутой цепи (узел f совпадает с узлом а) ра¬ венство (5.344) заменяется следующим:& abk-bekedk dekea\LabcV‘bcd\**cdeV'dea\*'cab —= kcbkde.kedkaekbaV-aed\ledcV-dcb\i‘CbaV'bae • (5.345)Опорные моменты определяют по формулам (5.335), причем отдельно рассматривают нагрузку каждого из брусьев, разгоьяя моменты по другим брусьям при помо-Рис. 5.114щи фокусных отношений и коэффициентов распределе¬ ния. Суммируя эпюры опорных моментов от отдельных нагрузок, получают полную эпюру опорных моментов для всей системы нагрузок. Алгебраически суммируя затем все эпюры М° с полной эпюрой опорных момен¬ тов, получают окончательную эпюру моментов.Невыгодное зэгружение отдельных пролетов ригеля для получения максимальных значений тех или иных усилий пропое всего анализируется при помощи мыслен¬ ного построения инфлюенты исследуемого усилия для фиктивной нагрузки: эта инфлюента совпадает с эпюрой опорных моментов от единичной дислокации, соответ¬ ствующей исследуемому усилию.Формулы метода угловых фокусовУгловые фокусы обозначаются Ф, фокусные отноше¬ ния КВ общем виде формула для фокусного отношения в пролете АВ записывается так:^АВ —'■= —(2 — 77—1 • (5.346)'1АВ^АП\ К па)EIЗдесь i,аАВЕЛАп1АВ — , » Ап — ,АВ	Апп—1, 2, 3	 В — номер узла, противоположного узлуА\ сюда также входит у^ег В. Величины КпА — фо¬ кусные отношения брусьев Ап, характеризующие поло¬ жение фокусов, удаленных от узла А и близких к уз¬ лам п. При этом следует положить КВА = оо.Другая форма: .Здесь первая сумма распространяется на все брусья, сходящиеся в узле Л, включая брус АВУ вторая сумма—	на все брусья, кроме бруса АВ.В применении к пролету 2—3 (рис. 5.111) подста¬ новка имеет вид1(5.346')2	(121+ *26+ ‘2,10 + г2з)—I hi *“ (*Г,+26К+'62^)1:^10.2 / J
302РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВК32= ~~ [ 2 (/34+г'з7+'з.11+г2з) —*23 L(*34 *37	*3,11 \ I*Гз+ к73+ к1из jj ‘Если п — шарнирно неподвижная опора, то F пА ле¬ жит на одной трети 1пА; КпА =2; если п — жесткое за¬ щемление, то FпА совпадает с п\ КпА = оо , Соответ¬ ствующие значения моментных фокусных отношений противоположны, т. е. в первом случае knA = оо, во вто- ром knA =2.Между моментными и угловыми фокусными отноше¬ ниями существует простая зависимость:ЬАВ		 —мАУвАВ * К АП 2<?Амв2kAB * ^АВ 2(5.347)Угловые фокусы определяются в той же последова¬ тельности, что и моментные, но расчет содержит мень¬ ше отдельных операций. Иногда выгодно сначала найти угловые фокусы, а затем по первой формуле (5.347) пе¬ рейти к моментным.Все сказанное выше о замкнутых контурах и слож¬ ных рамах относится и к методу угловых фокусов.Из контрольных равенств [117] наиболее важным яв¬ ляется соотношение для замкнутой цепи. Пусть abcdea— замкнутая жесткая цепь брусьев, выделенная в раме. ТогдаKabKbcKcdKdeKea = KbaKcbKdcKedKae» (5.348)т. е. произведение левых угловых фокусных отноше¬ ний замкнутой цепи, равно произведению правых угло¬ вых фокусных отношений.Имея фокусные отношения, определяют углы пово¬ рота по концам единственно загруженного пролета по формулам=	 МаКВа + Мв	А	ав (Xав Ква 1)М*вКав+ А£ 2iAB(KABKBA-\) • (5.349)Здесь МА , Мв — опорные моменты пролета, рассмат¬ риваемого как балка с абсолютно защемленными кон¬ цами от действия местной нагрузки или перекоса дан¬ ного пролета.Имея <оа и ув и пользуясь угловыми фокусными отношениями, определяют углы поворота всех остальных углов. Расчет повторяют для всех нагруженных пролетов и находят суммарные углы поворота всех узлов.Для перехода от углов поворота <р к опорным момен¬ там используются формулы метода перемещений (5.7.3).Область применения метода фокусовМетод фокусов является важным дополнением к ме¬ тоду трех и четырех моментов (см. 5.7.2) и методу пере¬ мещений (5.7.3). Он особенно эффективен при расчете рам с несмещающимися узлами в случае необходимости обследовать действие большого числа вариантов нагру¬ зок. Для учета смещений узлов применяются способы, изложенные в 5.7.2. При небольшом числе вариантов нагружения сложной рамы затрата труда на определе¬ ние фокусов (фокусных отношений) себя не оправдыва¬ ет. Подробные числовые примеры расчета рам по методу ■фокусов см. [119].Вычисления по методу угловых фокусов проще и за¬ кономернее, однако необходимость перехода от углов поворота узлов к моментам часто побуждает отдать предпочтение методу моментных фокусов.5.9.	1РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ С ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ БРУСЬЯМИ ПО МЕТОДУ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ5.9.1.	Основные зависимости и формулы[30, 154]Выбирается левая координатная система хуг с не¬ изменным направлением осей. Начало координат после¬ довательно совмещается с центрами узлов. Силы и мо¬ менты, действующие на конец бруса со стороны узла,обозначаются соответственно X, У, Z и L, М, М. Силы и моменты, действующие на узел со стороны бруса, обоз¬ начаются так же и вводятся в уравнение равновесия узла с обратным знаком. Кроме сил и моментов, пере¬ дающихся на узел со стороны брусьев, сходящихся в узле, он может быть нагружен также активными сила¬ ми и моментами Х°, У0, Z°t L°, М°, №.Для каждого жесткого узла (k) может быть состав¬ лено шесть уравнений равновесия:4)	L°k — 2, Lkl - 0-5)М\	-ЪМЫ = 0;6)	Nl-Ъ Nkl = 0.1)Aj-	S Хы — 0;2)	Yl- E Yki = 0;3)	Z°- S Zhl = 0;
5.9. РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ С ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ БРУСЬЯМИ303Если нагрузка узла отсутствует, то эти уравнения принимают вид1)	Е Хы = 0; 2) S Ykl = 0; 3) £ Z« = 0;4)	2 Lhl = 0; 5) 2 Мы = 0; 6)ЕЛГ« = 0.Для бруса, ось которого совпадает с осью х (рис. 5.115,а), жесткости изгиба и кручения обозначаются так:Е1у = Ву- Е1г — Bz\ GIK — Вх.Крутильная жесткость имеет индекс, совпадающий с осью бруса.Неизвестными при расчете по методу перемещений являются три угла поворота каждого из узлов вокруг осей х, у, z и три поступательных перемещения узлаEF » /	*1) Х= — ( Lk— L. ) +ЛГ* или 5*г;Брус 12)	У= ^(2м'к-2м[ -Z'kl - Z\ I )+У*;3)	Z= ^ (2/v;-2/v: + Y'kl+Y\l) +Z*;4)	L=B-jL(x'k-x'l)+L*-,5)	M— у (3N'k- 3N\ + 2Ykl+ Y\ I )+M*;6)	N= 7Г (3M'i ~3M'k + ^4 + z\l )+AT*.1) X- ^ (2L'k - 2L;- Y'k I- Y'q I ) + X*;Брус 3/з6B2)	У= 7Г (2^-24 +	l ) + У*;/33)	2= — — N'q ) +Z* или2B4)7Г	(з^;-зм;+2x;/+ *;/)+l*;5)	m= ^ (3 L'q -3i;+2 y;/+y;/ )+m -6)iv=-^-(z;-z;)+AP.Брус 51)	*= 7Г K~2^ - Zkl~Z'sl ) + X*;2)	Y— -j- (Mk—Ms) + Y* или —Sks-3)	2= 6jf- (2Nk~2N's+ X'kl+X’sl ) + Z*; 4> L= 7Г (3^-3^;+ 2л£/+ # ) + L*\5)M=^f-{Yk-Y's)	+ M*;6)	N= {3L'-3L'k+ 2Z\ + Z> ) +JV*.(5.350)(5.352)(5.354)по направлениям осей x, У, 2. Углы поворота (угловые перемещения) обозначаются Х\ YZ', поступательные (линейные) перемещения соответственно L', М', ЛГ. Не¬ известные определяются из уравнений равновесия узлов, причем силы и моменты, передаваемые со стороны от¬ дельных брусьев на узел, предварительно выражаются через перемещения. Для общего случая шести взаимно¬ перпендикулярных брусьев (рис. 5.115,6) эти выражения выписаны ниже.Независимо от сил и моментов, зависящих от пере¬ мещений, на узлы передаются силы и моменты от на¬ грузок брусьев в предположении полного защемления их концов. Их величины определяются по правилам для прямых балок с защемленными концами, но знаки при¬ нимаются в соответствии с рис. 5.115,а. Силы и момен¬ ты защемления отмечаются верхней звездочкой.EFБрус 21) *= — ( L'k ~Lp ) +** или - Skp;2)	У= 7Г {2M'k-2MP + Z'kl + Z'p 1 )+У*=3)	2= ~у (2N'k- 2Np - Ykl— Y'p I) +Z*;4)	L=^(x'k~x'p)+L*-,5)	M= 7f (3NP -3 4+ 2Kl+ Y'p 12bVм = 77 {3M'k-3Mp + 2Z'kl+ Z'p I)+ N*.6 B,Брус 4!) *= [K-K + V'kl+ YU )+X*-./36	В2) y== if (2K-2K- Kl- K*) +/3EF3)	Z= — (Nk — Nr) + Z* или — Skr;2 В4) L= -f- (m'r-3M'k+ 2X’kl+X'rl ) + L*\2 В5) л*= -f (3/.;-3l;+2 yft + у;/ ) +m*;6)jv=-^(z;-z^ + jv.Брус 66B.i) —2 (21; -21; + z;/ + z;/)+a-I»EF2)	У=— (M'b—M't) + Y* или3)	i2N'k- 2N't~ 4 ~ X'tl ) +Z*-4)	L= y- (3^_ 3A^; + 2Xkl + X'tL) + L*; 5 )M=^-[Y'k-Y't) + M*;6) n= ^ (3l;-3l;+ 2z;/ + z'ti )+n*.(5.351)(5.353)(5.355)
304РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВЗдесь 5 — продольное усилие в элементе; оно счи¬ тается положительным, если брус растянут. Длины вво¬ дятся в соответствии с номером бруса.5.9.2.	ПримерРассчитаем моменты и продольные усилия в элемен¬ тах пространственной рамы, изображенной на рис. 5.116, На ригель рамы 1—2 действует горизонтальная равно¬мерно распределенная нагрузка интенсивностью р кг!см.Длины всех брусеьв одинаковы и равны /, а все три жесткости сечения каждого элемента В также одина¬ ковы. Неизвестные перемещения X' У', Z', Z/, М\ N' от¬ мечены индексами, показывающими номер узла, к ко¬ торому относятся эти перемещения. Защемление стоек t рамы в узлах 5,6,7 и 8 дает зависимостиХ\ = y\	L\ - м[ ^-N\ =0 (/=5,6,7.8).Благодаря симметрии рамы и нагрузки имеемх;=*;: у;=-у;;4	= *3; у*—у* Lj = L2 ; Lz = L4 ;Кроме того, пренебрегая упругим удлинением брусь- ев, получаемLi = L*2 = L3 = Z,4 = 0;Nx = N2 = N'z = N4 = 0;M[ = Щ = М3 = M4.Таблица неизвестныхZ4 — — Z3;Щ =m[ .УзелX'Y'Z'L'M'M'1X2Y2Z'l002X2~Y2-z[003X3Y3h004X3~уз-2300Благодаря симметрии имеем всего 7 неизвестных. Эти неизвестные перемещения относятся каждый раз к новой системе координат, начало которой совпадает срассматриваемым узлом, а оси параллельны направле¬ ниям, показанным на рис. 5.116.Рассмотрим узел 1. В нем сходятся брусья /—5, 1—2 и 1—3. Этим брусьям соответствуют брусья kq (или 3), kp (или 2) и kt (или 6) на рис. 5.115,6. Поэто¬ му при составлении уравнений равновесия узла 1 сле¬ дует воспользоваться формулами (5.350), (5.351) и (5.353). Суммируем первые строки этих формул и по¬ лученную сумму приравниваем нулю, положив Х*=0, так как брусья не передают узлу / никакой внешней на¬ грузки в виде сил, параллельных оси х. Подставляя зависимости между неизвестными, после приведения мы получаем уравнение 1), выписанное дальше. Затем сум¬ мируем вторые строки формул (5.351), (5.352) иpi(5.355) и полученную сумму приравниваем — — , т. е.силе, передающейся в узел 1 с горизонтального стерж-plня 1—2. Знак минус взят потому, что сила направ¬ лена против течения оси у. После подстановки зависи¬ мостей между неизвестными и после приведения полу¬ чаем уравнение 2). Следующие уравнения — 3), 4), 5) и 6) — получены суммированием строк 3, 4, 5 и 6 фор¬ мул (5.351), (5.352) и (5.350). Для составления урав¬ нений 7) до 12) мы расслйтриваем узел 3 и пользуем¬ ся формулами (5.351), (5.352) и (5.350). Всего мы по¬ лучаем 12 уравнений (5.344), в то время как число неизвестных равно семи. Лишние уравнения могут слу¬ жить для нахождения продольных усилий в стержнях рамы. При расчетах обычно приходится пользоваться столькими уравнениями моментов [строки 4, 5 и 6 фор¬ мул (5.350) — (5.355)], сколько есть неизвестных углов поворота узлов, и столькими уравнениями проекций [первые три строки формул (5.350) — (5.355)], сколько имеется неизвестных линейных перемещений узлов. Что¬ бы исключить из уравнений продольные усилия стерж¬ ней 5, приходится комбинировать уравнения последнего типа, что эквивалентно вырезанию бруса, а не одного узла.1) —У\ +	^2 = 0;3)-X[-X,3	+ £-Sl5 = 0;4)	ЗМ[ + 4Xj/ + Х31 = 0;5)	7у;~у;=о;, . pi26)	7Z1+M,~ — j7)	у г + zi + 2з + s3i — 0;8)	2Л< + *з'-^-5з7 = 0;9)	X' + A-; + g|-537=0;10)	3Ai; + X[l-\- 4X3l = 0;11)	7Уз — Kj = 0;12)	2Z' + 7Z'3^0.(5.356)
5.10. ТОНКОСТЕННЫЕ БРУСЬЯ305Складывая уравнения 2) и 8), получим4м;+^+х;;=-^-.Решая совместно это уравнение с уравнениями мо¬ ментов 4), 5), 6), 10), И) и 12), получим следующие значения перемещений:JL e!L.540* В 11	р/з , 5 р/4 В ; ^1 ~ 168 * Ву>	3_ РР_3 168 ' ВУ,=У3=0;Z,=—3	270Пользуясь этими перемещениями, определим некото- рые действующие в брусьях моменты и продольные силы. Момент, изгибающий брус 1—2 в вертикальной плоскости и действующий на левый конец 1У найдем со¬ гласно строке 5 формул (5.351):2	ВMi2 = — (3-0-3-0 + 2-0 + 0) = 0.11Момент, изгибающий брус 1—2 в горизонтальной плоскости и действующий на левый конец 1, вычисляется по строке 6 формул (5.351):дг	pJL 3^14 /2 \ 168 В 168 В7	о/* 7 р/« \ р/2 31-2	—1-\	—I + — = — — pi*.540 В 540 В / 12 540Этот момент вращает конец бруса / против часовой стрелки вокруг оси г.Поперечная сила, параллельная оси у и действующая на конец бруса /—2, равьа сумме силы У12, вычисляемойpiпо строке 2 формул (5.351), и реакции	В данномслучае Ki2 = 0 вследствие симметрии.Момеы посередине бруса 1—2 равен моменту всех сил, лежащих между воображаемым разрезом в узле 1 и серединой бруса 1—2:pi /31	pi I	73-- —+—,-рГ'' + V •—= -^Г”Л^Ср — ■540540'Продольную силу в брусе 1—2 можно найти из урав¬ нения 1) группы формул (5.356):6 ВSh = -jr (— У1 + zi + z3) = 6В /	7_	_1_/» V 540 ’ В 270 ‘ В /pl_18 *моменты,Аналогично определяются все остальные продольные и поперечпые силы.Расче! пространственных рам с наклонными стойка¬ ми см. [30]. Сложные рамные каркасы и рамные куполы см. [19]. Способ распределения моментов см. [66, 68, 130].5.10.	ТОНКОСТЕННЫЕ БРУСЬЯ5.10.1.	Прямые тонкостенные брусья с жестким поперечным сечением и пренебрежимо малой жесткостью свободного кручения [20]К этой категории относятся открытые профили, со¬ гнутые из тонкого листового металла, при отношении ширины стенки (полки) к толщине, превышающем 20н-30; они обладают незначительным сопротивлением свободному (нестесненному) скручиванию и в то же 20 Зак. 2098время достаточно большой поперечной жесткостью. Сю¬ да же относят открытые цилиндрические оболочки, уси¬ ленные часто поставленными поперечными диафрагмами или ребрами. Неподкрепленные открытые цилиндриче¬ ские оболочки в первом приближении также рассматри¬ ваются часто как тонкостенные брусья с жестким по¬ перечным сечением с последующим учетом в случае не¬обходимости деформации контура поперечного сечения (см. ниже 5.10.5, 5.10.6).При недепланирующем сечении (угольник, тавр, крест) подобный брус близок к кинематической цепи с бесконечным числом степеней свободы и крутящих мо¬ ментов восприьять не может. При депланирующем по¬ перечном сечении брус является системой с одной сте¬ пенью свободы деформации, так как может свободно скручиваться вокруг оси центров изгиба с малым отно¬ сительным углом закручивания &к = <рк и одинаковой депланацией всех сечений w(s) = — <о (s). Здесь <о (s) —ординаты главной эпюры секториальных площа¬ дей, подсчитанной при полюсе в центре изгиба и нуле¬ вой начальной точке (см. 5.3.8—5.3.10).Для неподвижного прикрепления такого бруса необ¬ ходимо и достаточно семи связей. Пример прикрепле¬ ния на рис. 5 117,а эквивалентен полному защемлению одного торца, создающему препятствие трем линейным и трем угловым перемещениям, а также депланации тор¬ ца. Один из опорных стержней может быть заменен прикрепленной к брусу планкой, препятствующей депла¬ нации.Пример на рис. 5.117,6 типичен для статически опре¬ делимого прикрепления открытых цилиндрических обо¬ лочек и открытых пролетных строений. Обычно в плос¬ костях вертикальных опор ставят усиленные диафрагмы.Напряженное состояние в поперечном сечении харак¬ теризуется семью усилиями, из них три связаны с каса¬ тельными напряжениями (Qy, Qx> Мк) и четыре — с нормальными напряжениями (N, Мг,Му, В).Реакции в статически определимой системе опреде¬ ляются из шести условий равновесия твердого тела и седьмого условия, выражающего равенстве нулю, или наперед заданной величине, бимомента на одном из тор¬ цов или в одном из поперечных сечений.Эпюры для усилий Qл, Qy, Мк, N, Мх, Му строят по обычным правилам для брусьев с массивным профи¬ лем, пользуясь для пе£вых трех усилий осями с нача¬ лом в центре изгиба О, а для других трех — осями с началом d центре тяжести О (см. 5.1.6).Эпюра В строи[ся как интегральная эпюра от эпюры МК=МК, причем рекомендуется пользоваться аналоги- ей между стесненным кручением и изгибом, которая от¬ ражена в формулах для напряжений (5.86) и распро* страняется на эпюры.
306 =РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВСущность аналогии. В результате приведения на-	Таблица 5.10грузок к типам усилий (см. 5.3.10) получают крутящую и бимоментную нагрузки. На рис. 5.118, а, б показаны два варианта условного изображения сосредоточенных крутящих моментов LK и бимоментов С. Аналогично изображаются распределенные нагрузки (сосредоточен¬ ный бимомент от продольной нагрузки или при наличии планки, препятствующей депланации). Выясняются на¬ перед заданные перемещения и деформации, куда вклю¬ чаются опоры, препятствующие закручиванию (<рк =0), и опоры, препятствующие депланации ( &к = ^=0), а в редких случаях также дислокации или начальные де¬ формации.В табл. 5.10 слева перечислены активные факторы и эпюры, относящиеся к стесненному кручению, а спра¬ ва — соответствующие активные факторы и эпюры, относящиеся к изгибу.На рис. 5.118,в показана балка, моделирующая тон¬ костенный брус по рис. 5.118,6; левой опоре, препятст¬ вующей закручиванию и депланации, отвечает защем¬ ляющая и вертикально неподвижная опора; второй опо¬ ре, препятствующей только закручиванию, но не пре-Таблица 5.11Эпюры бнмоментов [18]Таблица аналогий нагрузок и эпюр при стесненном кручеиии и изгибе прямых брусьевСтесненное кручениеИ зги оЖесткость £1шЖесткость EIхФакторыКрутящая моментная нагрузка Бимоментная нагрузкаПоперечная силовая нагрузка Моментная нагрузкаЭпюры усилий и перемещенийЭпюра крутящих моментов стесненного кручения Эпюра бимоментов Эпюра углов закручивания Эпюра относительных углов закручивания (меры депла¬ нации)Эпюра поперечных силЭпюра изгибающих моментов Эпюра прогибов Эпюра углов поворота сече¬ нийСхема бруса и моде¬ лирующей балкиЭпюра бимоментовУравнение эпюры бнмоментовшах ВПримечаниеI—46(0ffjjf|jiimuninmti)В(г) *=B (I) B(z) = — LK B(z) =ch kzс hkl ’ sh k(l — z)пк Гch kllk ch kl kl shk(l—zyk2 ch —ch kl + ch kzshk(l — z) B(z) = b(0) - ; - + sh kl+B(l)sh kz sh kl ’1 7 2k kl 1 chTm кch k1-(Mch*kl2kp. . #711/chAz—ch* (у-г)i. kl shT1-2sh-^-max/? = C; £J(0) ■* Сац B{ 0) = LKla£mKl* B(t) — ^ a.B(0) или B(l)\ L«l~~ГаЛmK I* 8LKl	I— og при г=-рmKl* / I \1 24Пунктиром показана эпюра В при GIK = 0. Ординаты эпю¬ ры изгибающих моментов, мо¬ делирующей эпюру бимо¬ ментов, отло¬ жены от сжа¬ того волокна
Б.10. ТОНКОСТЕННЫЕ БРУСЬЯК табл. 5.11Коэффициенты <zb..., а3 для вычисления шах В*а \а2^3а*а*а»Сга90,01,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00000,10,99600,99720,99760,99920,99840,99960.99990,99950,20,98030,93690,99020,99660,99520,99840,99940/&380,30,95(560,97100,97820.99260,99120,99800,99860,99740,40,92500,94990,96240,98680,98320,99680.99750,99520.50.83680,92420,94300,97960,97440,99480,99600,99360.60,84350,89510,92100,97100.96400,99280.9ЗД10,98940,70,79670,80340,89700,96100,95120,99000.99200,98580,80,74770,83010,87160,94980,93760,98680.98960,98150,90,69770,79590,84560,9376. 0,92240,98360.98680,97671,00,64800,76160 81940.92420,90560,97960.98380,97141.20,55220,69470,76760,89500.8696 .0,97120.97680.95941,40,46490,63240,71880,86340.82960,96120,96880.94551.60,38800,57600,67400,83000,78800,95000,95990,92991.80,32180,52600,63340,79580,74640,93760.94980,91292,00.2О580,48200,59700.76160,70400,92440,93900,89442,60,16310,39460,52140,67860,60240,88720,90930,84353.00.09930,33170,46320,60340,51120,84680,87640,78813.50,06030,28520,41700,53800,43280,80440.84150,73054.00,03660,24980 37920,48200.36720,76160,80610,67275,00,01350,20000,32100,39460,26800.67880.73630,56326.00,496-Ю“20,16670,27800,33160,20000,60360.67170.46707.00,18210“20,14290,24500,28520,15360.53800,61380,38618.00,671 • 10—30,12510 21880,24980,12080.48200,56310,31999.00,247 • 10—30,11110,19760,22220Л0Э680,43480,51870,266610,0' 0,908-10 ~40,10000,18000,20000*07900.39480,48010,223911,00,334-10-40,09090,16520,18180^06560.36080,44630,189312,00,123-10—40,08330,15280,16660,05530,33160,41700,161713,00,452.10—50,07690,14200,15380,04720,30680,39050,139214,00,166-10—50,07140,13260,14280,04070,28520.36730,120915,00,612-10—60,06670,12440,13340,03550,26640.34670,1058При расчете на стесненное кручение брусьев с пре¬ небрежимо малой жесткостью свободного кручения ис¬ пользуется весь аппарат расчета балок.Данные для суждения о возможности пренебречь жесткостью свободного кручения GIK см. 5.10.2.5.10.2.	Тонкостенные брусья с жестким поперечным сечением и конечной жесткостью свободного кручения [20, 18, 156, 2]К этой категории относятся строительные прокат¬ ные профили. При ОУк-► 0 полный крутящий момент воспринимается касательными напряжениями стеснен¬ ного кручения, раЕшомерно распределенными по толщи¬ не стенок (МК=МК). При G1 к ф 0 полный крутящий момент воспринимается как напряжениями свободного кручения_ (Мк), так и напряжениями стесненного кру¬ чения (AfK). Момент Мк является производной от бимо¬ мента В. Поэтому бимоменты при GIКФ 0 получаются меньшими, чем при GIK-+ 0. Это уменьшение зависит от величины klt гдесм~1'	(5.357)Для суждения о влиянии величин k и kl на эпюру биомоментов и значение шах В служит табл. 5.11.В последовательном порядке даны схемы брусьев и моделирующих балок, эпюры В=Мм0Д, причем пунк¬ тиром показана эпюра В = ММ0Л при G/к + О, уравне¬ ние эпюры В, выраженное через гиперболические функ¬ ции sh kz и ch kz, значение шах В, равное значению шах В при G!к-> 0, умноженному на коэффициент о.пятствующей депланации, отвечает вертикально непо¬ движная опора. Крутящему моменту отвечает сила, со- средоточенному бимоменту — сосредоточенный изги- ■ бающий момент.Четыре эпюры, перечисленные в таблице аналогийе)£Г1-tРис. 5.118ва, причем для эпюр перемещений вместо EIх берут 'ЕЫ, Обычно достаточно построить только эпюры Мк м "Й, которые строятся как эпюры Q и М моделирую¬ щей балки.Аналогия распространяется и на расчет статически неопределимых балок. На рис, 5.118,ш система один раз статически неопределима.20*
308РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВЗначения коэффициентов ai,...,ag приведены в той же таблице. Пользуясь данными для шах В, можно произ¬ вести предварительную оценку влияния GlK на работу бруса.Расчет при произвольной крутящей нагрузке выпол¬ няется путем инте1рирования дифференциального урав¬ нения стесненного кручения:В" — k2B=-- — mK	(5.358)или в формеJ*L.	(5.359)СОЗдесь я — -р]—; тк— интенсивность распределения^ шкрутящей моментной нагрузки; <р — угол закручивания.Общее решение дифференциального уравнения(5.358)	или (5.359J по методу начальных параметров имеет вид (значок к опущен)1Мг = М0 ch kz + В0 k sh kz + [Mz\ ;m;_	= sh kzBz = Bq ch kz -f- Mq ■kMz = Mz—Mz — GIK <p' =M0— BQ kshkz + mo (1 — ch kz) + [~MZ] ; BnVz = <Po + +■ Z 4-aiK ^ gikM0 kz — sh kzGi к(1 — ch kz)++ Ы •(5.360)При развертывании грузовых членов учитывается, что сосредоточенный момент L/ в сечении x=ui дает скачок, равный L/, только в эпюре М, в эпюре же М скачка нет (возникает только излом эпюры);при г>ы/[Ж*] = Ltchk(z — и(у.Ы =[Дг] = Ц sh А (г — U[) ; к[м2\ = Lt [1 — chkiz — Ui)]\1kGIKLt [k (z —и{) — sh k (z — u{)].(5.361)Равномерно распределенная крутящая моментная нагрузка m на участке от z—c до z—d. Общие формулы выписаны для случая z>d; при c<z<Cd полагают d=z\ при 0<г<с полагают добавочные члены в квадратных скобках равными нулю:[М2] = —^-[sh£(e — d) — shk(z — с)] ;[Bz] = — [ch k (г — d) — ch k(z — c)] ; k2[л?г] =-~Y \k(d-c) ++ sh k {z — d) — sh k (z — c)] ;m Г	/ d + с \Ы—	“)++ ch k (z — d) — ch k (z-4(5.362)Начальные параметры определяются из граничных ус¬ ловий (табл. 5.12).Таблица 5.12Граничные условия№Граничные условия (для торца)Математическоевыражение12Отсутствие стеснения для депланацииОтсутствие стеснения для закручива¬ ния . -	В = 0мк + Мк - о34Полное стеснение депланации .... Полное стеснение закручивания . . .■Рк “ мк = 0 ?к = °Пример 5.16. Стальная швеллерная балка № 16а длиной /=150 см полностью защемлена левым концом, правый конец свободен. По всей длине балка нагру¬ жена крутящей моментной нагрузкой постоянной ин¬ тенсивности пг—2 ООО кгсм/см. Определить усилия в за¬ щемлении.Выбрав начало отсчета_на левом конце из гранич- ного_условия (3), имеем М0=0. Из условия равновесия М=М-{-М имеемМ0 = М0 = mKl = 2 ООО • 150 = 300 000 кгсм.Полагая с=0 и d=/, получаем уравнение эпюры би¬ моментов:ml	mВг — В0 ch kz + — shkz-\- — [ch k (z — /) — ch kz] . k k2Из граничного условия (1) на свободном конце &1—0 находим бимомент в заделке:В =mk4hkl{kl sh kl — chfc/ + 1)Принимаем £'=2,1 . 106 кг/см2, G=0,8 . 106 кг/см2. По табл. 7.6 геометрических характеристик прокатных про¬ филей для швеллера № 16а имеем 6=0,0295 1 /см. Нахо¬ димkl = 4,425 ; ch kl = 41,802 ; sh£Z = 41,790;2	000Bn =	(4,425.41,790—0 О,02952.41,802—	41,802 + 1) = 78 600 кгсм2 .Напряжения определяются по правилам, изложенным в 5.3.9 и 5.3.10.Многочисленные примеры см. [18, 20]. Неразрезные тонкостенные брусья см. [17].Замкнутые (трубчатые или коробчатые) депланирую¬ щие профили с жестким поперечным сечением обладают значительной жесткостью свободного кручения, вследст¬ вие чего нормальными напряжениями стесненного круче¬ ния обычно можно пренебречь. Однако для вытянутых сечений учет эффекта стеснения иногда бывает необхо¬ дим. Для полной реализации этого эффекта необходимо принимать меры к обеспечению поперечной жесткости профиля.Дифференциальные уравнения стесненного кручений для замкнутых профилей имеют тот же вид (5.358) и(5.359)	с той разницей, что—	(jl ; mK = |i тк .	(5.363)
5.10. ТОНКОСТЕННЫЕ БРУСЬЯ309Здесь (х — так называемый коэффициент деплана- ции;‘li= 1/к(5.364)где /к— момент инерции замкнутого профиля при сво¬ бодном кручении; 1С — направленный полярный момент инерции (см. 5.3.2).С указанными изменениями в отношении k2 и нагру¬ зок решения (5.360) — (5.362) остаются в силе. Для не- депланирующих замкнутых • профилей /К=Л?»Н'= 0, и эффекта стеснения не возникает.Многочисленные числовые примеры см. [2,165].Аналогия с растянуто-изогнутой балкой [57]. В слу¬ чае GIK-+ 0 для расчета бруса на стесненное кручение вводится моделирующая балка, при GIк=^0 моделирую¬ щая балка является растянуто-изогнутой, причем рас¬ тягивающая сила N равна GIK, Для бруса на двух опо¬ рах, препятствующих закручиванию и не стесняющих де¬ планации торцов, моделирующей является простая бал¬ ка на двух опорах. Используя приближенную формулу для прогиба посередине пролета, основанную на заменеэпюры прогибов синусоидой vcp =срн-£для случая стесненного крученияо о *Рср Тср <Рср = ■	1GIк /*1/2ъ2Е1 ю " * *2 Бимомент посередине пролета^ср = ^ср	^ср •,получаем(5.365)(5.366)Здесь нуликом отмечены величины, получаемые в предположении G/K-*- 0.Приемы расчета тонкостенных брусьев, основанные на использовании тригонометрических рядов, см. [37, 57].5.10.3.	Кривые тонкостенные брусья и арки с жестким поперечным сечением [158]На рис. 5.119 показан плоский кривой разветвленный тонкостенный брус с пренебрежимо малой жесткостью свободного кручения, полностью защемленный на одном конце (7 связей) и свободный на другом конце (а) и на конце тонкостенного отростка. Работа этой статически определимой криволинейной консоли от нагрузки в плоскости кривизны никаких особенностей не представ¬ ляет. На рис. 5.119,а показаны сосредоточенные нагруз¬ ки, вызывающие изгиб перпендикулярно плоскости кри¬ визны и кручение: изгибающий момент 1И> крутящий мо¬ мент LK} бимомент С и сила, перпендикулярная плоско¬ сти кривизны Т. Определение усилий (построение эпюр) Q* AfK, Му делается по общим правилам.Бимомент в произвольном сечении т от нагрузок, действующих между свободным концом и сечением, определяется по следующим правилам. Изображается ось центров изгиба бруса (рис. 5.119,6). Моменты LH и LK изображаются по правилу левого винта в виде век¬ торов-моментов волнистыми стрелками, бимомент С изображается дуговой стрелкой, сила Т — кружком с крестиком (при обратном направлении силы Т кружок с крестиком заменяется кружком с точкой). Векторы-мо¬ менты 1и и 1к поворачиваются на 90° против часовой стрелки. В повернутом положении они изображены пунктирными волнистыми стрелками. Сила Г, направ¬ленная от наблюдателя (как в данном случае), рас¬ сматривается как сток равномерно распределенной кру¬ тящей моментной нагрузки интенсивностью Т кг см/см, действующей от точки приложения Т до защемления е* На усилия в сечении m действует «цепочка» Tdm. Бимо- мент в сечении m вычисляется как изгибающий момент:1) от сосредоточенного момента, численно равного внеш¬ нему бимоменту С, 2) от сил, равных повернутым век¬ торам-моментам LH и 1к, и 3) от силовой цепочки Tdm. Последний момент равен произведению TQT , где QT — удвоенная площадь сегмента с хордой пгТ и дугой mdT;Bm-C~L, ru~LK rK~TQT'(5.367)При наличии нескольких сосредоточенных факторов вводятся суммы факторов, а распределенная моментная или силовая нагрузка дает соответствующие интегралы.Расчет тонкостенного бруса с обоими свободными концами, прикрепленного четырьмя параллельными стержнями и тремя стержнями, лежащими в одной плоскости, а также кольцевых брусьев см. [158].Бесшарнирная арка. Расчет тонкостенной арки на нагрузку в плоскости кривизны (3 лишние неизвестные) делается по общим правилам расчета арок (см. 5.6.3). Расчет на нагрузку, вызывающую изгиб из плоскости кривизны и кручение (4 лишние неизвестные), может быть выполнен на основании статико-кинематической аналогии, развитой применительно к тонкостенным бру¬ сьям [158]. Подобно тому как статически неопредели¬ мые изгибающие моменты арки, нагруженной в своей плоскости, получаются по трехчленной формуле вне- центренного растяжения-сжатия [5.6.3, формула (5.214)], так и здесь статически неопределимые бимоменты полу¬ чаются по четырехчленной формуле внецентренного рас¬ тяжения-сжатия бруса с открытым тонкостенным профи-* лем и толщиной стенки•	(5.368)СОНа рис. 5.120,а показана арка с сосредоточенными нагрузками С, LH, LK , Т (аналогично рис. 5.119), на рис. 5.120,6 — соответствующий фиктивный тонкостен¬ ный профиль, который предполагается нагруженным фиктивной нагрузкой интенсивностьюЯ0рф = ——— ,	(5.360)
810РАЗДЕЛ б. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВгде В0 — бимоменты в основной системе.Бимомент в любом сечении арки (т) определяется по формуле^ /рФ Lf L*	\= - |£l__£-y + _2L,_.£-Q . (5.370)т I	/Ф^Т уф	;ф IЕсли пренебречь деформацией от. изгибающих и крутящих моментов по сравнению с деформацией отбимоментов1, то характеристики фиктивного профиля вычисляются по формулам'•-Ь^ч-Ис-s	S-ь Р Jx2ds	Г Q2ds1а~)~Ё1Г' (5 371)Этот метод применительно к спаренной арке под¬ робно рассмотрен в [158]; там же см. некоторые при¬ меры по расчету рам.Брусья и кольца с круговой осью и конечной же¬ сткостью свободного кручения подробно рассмотрены в разделе 9.Б ЛОЛ. Рамы из тонкостенных брусьев и бирамыПлоские рамы, сваренные из строительных профи¬ лей и нагруженные перпендикулярно своей плоскости, испытывают в узлах значительные напряжения от стес¬ ненного кручения. Методы расчета таких рам подроб¬ но изложены в [29, 31, 32, 16].Плоские рамы больших габаритов, жесткие только в своей плоскости, спариваются при помощи продоль¬ ных и поперечных связей, образуя так называемые бирамы, являющиеся вцшой из категорий биконструк¬ ций [158]. Расчет каждой из плоских систем, входя¬ щих в бикоьструкпшс, начинается с определения уси¬ лий в связях (см. 10.2).5.10.5.	Поперечные изгибающие моменты и учет деформации контура поперечного сечения в тонкостенных брусьяхДвумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на 1 см, из бруса выделяется элемент, на» груженный внешней нагрузкой, которая уравновеше¬ на напряжениями, распределенными по торцам эле-Рис. 5.121мента. На рис. 5.121 показан элемент швеллера, несу¬ щего в плоскости симметрии распределенную нагруа- ку с погонной интенсивностью р кг/см. Равнодейству» юшая нагрузки в пределах элемента равна р • 1 кг. Она уравновешивается разностью касательных усилий, приложенных к торцам элемента. Изгибающие момен¬ ты в балке-полоске, иначе поперечные изгибающие мо¬ менты, обозначаются G и вычисляются как для про¬ стой балки шириной 1 см и цролетом h:I 	 ^max _ JL l!}1	w 2 t* mphmax G *= — ; 4Если стенка швеллера несет нагрузку, равномерно распределенную по площади р* кг/см2, то макСималь-’ ный момент равенmax G =4 Л*8При более сложной конфигурации сечения следует учесть, что разность касательных усилий A q распре¬ делена вдоль средней линии стенки по тому же закону, что и погонное усилие q. При изгибе и при стесненном кручении соответственноpsx	mKAqu = JLr~: Д<7*=		• (5.372)I*L1	Это эквивалентно ппенебрежению деформацией от продоль¬ных н поие.>еч,шх сил в а.г.о::,’ иагр/же.шых в своей плоскости.Задача сводится к построению эпюры моментов бруса-полоски, нагруженного поперечной нагрузкой р или /??*, уравчовешенной продольной нагрузкой интен¬ сивностью Aq. В случае замкнутого сечения моменты G определяются из расчета элементарной замкнутой рамы-полоски.Неравномерное стеснение поперечного изгиба (на¬ пример, к о 1! и с в ы м и диафрагмами) вызывает дополни* тельные напряжения п поперечных сечениях, влияние которых в замкнутых профилях, открытых и замкну*
5.10. ТОНКОСТЕННЫЕ БРУСЬЯ311тых неподкрепленных оболочках может быть значи¬ тельным. Для случая кручения тонкостенных брусьев с замкнутым прямоугольным сечением в [105] приве¬ дены данные, позволяющие судить о необходимости учета поперечного изгиба в зависимости от расстоя¬ ния между диафрагмами. В общем случае следует пользоваться методами расчета складок и оболочек (см. 5.10.6, 14.5).5.10.6.	Приближенный расчет тонкостенных брусьев и цилиндрических оболочек с открытым деформируемым поперечным сечением [55]Нагрузка предполагается распределенной в попе¬ речном сечении по произвольному закону, но по дли¬ не бруса — равномерно распределенной. В случае оболочки обычно имеется продольная плоскость сим¬метрии. Нагрузка заменяется симметричной и антисим¬ метричной составляющими. Первая вызывает изгиб, вторая — стесненное кручение.Расчет распадается на два этапа,1.	Система рассчитывается как тонкостенный брус с исчезающе малой жесткостью свободного кручения в предположении абсолютно жесткого контура попереч¬ ного сечения. Определяются как усилия и напряжения в поперечном сечении, так и поперечные изгибающие моменты G(s) (рис. 5.122) для бруса-полоски шири¬ ной 1 см. Правила расчета см. 5.10.1 и 5.10.5.2.	Второй этап начинается с разложения попереч¬ ных изгибаюших моментов G(s) в тригонометрический ряд. Эпюра G(s) строится на развертке контура попе¬ речного сечения:-G ($) — X Anf q .л=1	п(5.373)Если бортовой элемент не работает на кручение, тов качестве функций fQ (s) принимаются синусоиды: пП 7С SfQ (s) = sin	,	(5.374)п	5ПОЛНгде s — текущее значение дуги;%)лн— периметр средней линии сечения оболочки.Коэффициенты разложения определяются по фор¬ мулам2 ^ПОЛнАп =■ — I — G (5) sin ” * 5 ds (/2=1,2,3,...). (5.375)1	$полнЕсли контур сечения очерчен по дуге круга (рис. 5.123), тоfn (s) = sinПка2алДополнительные поперечные изгибающие моменты выражаются бесконечным рядом с теми же коэффи¬ циентами Ап и функциями fQ (s), но каждый член рядаумножается еще на функцию, зависящую от номеоа члена и от положения сечения по длине оболочки:ао°Д0П= 2 Ап?ап (*) (г) •л=1 " °п(5.376)Вместо дополнительных напряжений в поперечном сечении аД0П здесь пользуются дополнительным по¬ гонным нормальным усилием Гдоп = адоп t (другие обозначения N или п).Усилия Гдоп приближенно выражаются рядом с те¬ ми же коэффицисйтами Ап:'допФункции fT^(s) не являютсяi синусоидами и связаны(5.377)с функциями /0 (s) :п/г (s) = — Etvn (S) ds+ wm+ wyn y+ wxn x .(5.378)Здесь vn(s) — прогиб бруса-полоски вдоль каса¬ тельной к его оси, т. е. к контуру сечения оболочки, от действия аоперечных моментов, распределенных по закону fQ иначе говоря, по закону п-й синусоиды;Won > Wyn* Wхп — постоянные, которые обеспечива¬ ют самоуравновешенность нормальных сил Гдоп, рас¬ пределенных по поперечному сечению оболочки. Эти постоянные определяются для каждого члена разложе¬ ния и потому снабжаются индексом гг.Функции 4JGnW и ^тп(г) зависят от харак¬ тера по длине нагрузки и граничных условий.Для случая однопролетной оболочки, опертой по концам на жесткие в своей плоскости диафрагмы, при равномерно распределенной нагрузке на всем пролете эти функции даются графиками на рис. 5.124 и 5.125. Другие случаи см. [55]. Графики построены в относи¬ тельных величинах для различных значений безразмер¬ ного параметра knl, где / — длина пролета:
312РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ100,5>, yiЛиафраг'МЫZ(ОД\Nч1 \лл1 ш 1\\|у\\-\\1,91)\\\л\\(Л ПС\\ЦУО}\1Масштаб пунктир ной кривой указан 6 скобкахч\\L010Рис. 5.1243,0 К1№.О <s>dsI tl(5.379)Здесь /= — погонный момент инерции продольногосечения оболочки.Пример 5.17. Круговая цилиндрическая оболочка с бортовыми элементами рассчитывается на равномер¬ ную нагрузку р т/м2 плана и погонную нагрузку Р т/м вдоль бордовых элементов (рис. 5.126).Первый этап расчета. Геометрические характеристи¬ ки поперечного сечения оболочки: координата центра тяжести сечения #о=7,56 м. момент инерции сечения /* =2,8 м4.Текущее значение статического момента относитель¬ но оси х:для бортового элементаSxM = -у о*-у2):$г<“> = 4-(у2 —«£) +для дуги+ t2 R2 [cos (а + «!> + а sin а2 — COS 04] .В плоскости симметрии- оболочки (z=0) нормаль¬ ные напряжения, эпюра которых изображена на рис. 5.127:(2Р + pR 2а0) ■М-у =8t 1Х* /,Приращение касательных усилийАО1г■Sx,где Sx — текущий с этический момент [Sx (#)] или[$х (“)] •
5.10. ТОНКОСТЕННЫЕ БРУСЬЯ313Эпюра изгибающих моментов G представлена на рис. 5.127.Второй этап расчета. Изгибающие моменты G эле-где р — угол между левым бортовым элементом и нижней частью вертикали, отсчитываемый от послед¬ ней по часовой стрелке;для бортового элемента, направленного вертикаль-Полученные значения коэффициентов разложения Ап в тм/м приведены в следующей таблице (так как функ¬ ция G — симметричная, то в разложении участвуют лишь нечетные гармоники):/llАп^70,685—0,251—0,039—0,0164—0,0084Для каждой функцииfa (s) =sin2*0используя мегод Мора, определяем касательные пере¬ мещения отдельных точек поперечного сечения, считая плоскость симметрии оболочки ваделкой: для цилиндрической части оболочкиVn(a) = [± sin(a0 — а) —R22	а0	ПК 1—	cos —— —«« 2 а0 Jдля бортового элемента, имеющего произвольное направление,2*пно вниз (как в нашем случае), р =0 и приведенное выше общее выражение принимает вид1	^ао •± 1 —— sina„, v	пк	R*Vn (у) = 	.	./ fiiz \2	El\ 2a(В выражениях vn(a), vn (у) и ниже для f vn (5) dsоверхние знаки относятся к п== 1, 5, 9,..., а нижние — к п-3, 7, И,...Для определения fT (s) находим значение JtVi(s) ds.оЕсли за начало интегрирования принять точку сопря¬ жения оболочки с бортовым элементом, то для цилиндрической части оболочки| vn (s^ds = £4®0 fin 1—	sin——a In2 *2 2a0 J± COS (a0 — a) q: cos a0 —R3. для бортового элемента*	. 2a0“ШЧ'
314РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВгде координата $ принимается положительной при на¬ правлении обхода контура от свободного края борто¬ вого элемента к точке сопряжения его с оболочкой.На рис. Б.128 представлены кривые /^(s) и f г3 с учетом постоянных, которые определяются из условия £амоуравиовешенности fT (s):ТГв1- 0,00349R8 Ei«Уж	0.0938-g-iWXl— оw§R*= 0,000947— ;btR*^vs= 0.0232 —^3=°-Для определения значений коэффициентов kn по формуле (5379) вычисляем следующие интегралы:Следовательно: ■Ri9,12= 2,19-10 6 —г ;кланалогично:0,0385 — ; = 0,0385-25 = 0,964 ; м0,0376= 5,32-10 —-; kl =0,0231—;и*	лл*.--=0,152 — ; ksl = 0,152.25 =3,8. мДля соответствующих значений knl в плоскости сим¬ метрии оболочки находим (г) и (2) по рис> 5,124и 5.125:<Ц(г = 0) = 0,96; (г = 0) = —0,0973;ijT (г = 0) = 0,000663 -V v фГ (г = 0) = 0,0128 —щ.м*	мгВ результате по формулам (5.376 и 5.377) получаем бдоп =• 0,685 sin г— а0,96 + 0,251 sin а 0,0973;2 а,ГсГ,.™=0,685/т (s) 0,000663 — 0,251 /т (s) 0,0128.ДОП	1j	/gСуммарные значения Gcум и ссум изображены на ис. 5.127 в виде кривых, отдельно с учетом одного всущ и ocyMl ) И двух (С?сум2 и acyMj5 ) членов раз¬ ложения. Как следует из рис. 5.127, с достаточной для практических целей точностью здесь можно при опре¬ делении GcyM ограничиться первым членом разложения /о, («)•5.11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 5.11.1. Конструкции типа составных брусьевСоставным брусом называется система параллельных брусьев, соединенных связями того или иного вида. Под это понятие подходят как пакеты деревянных брусьев, соединенных продольными и поперечными связями, так и многоэтажные рамы, а также двух- и многопояс¬ ные фермы с параллельными поясами. Представление о работе составного бруса облегчает приближенный рас¬ чет многих сложных сооружений.Многоэтажныегоризонтальнойрамы под нагрузкой1Ср'*Vа®'ГР(t-tfp,9)(1-?)мгрр7Р/ь. лГ*/Iр %ТЕ1^ гги ^/ 7(1-7)4р7 fjf-mLр?psJ, // 1 и-фЭ / rр mVк ^/ Г7s? } У SS7 / /?}? / 712 3 1Утгг *-гг ? Jf /S Sz>7 -r 3На рис. 5.129,а показана рама, нагруженная силами вдоль-ригелей. Когда жесткость ригелей весьма велика по сравнению с жесткостью стоек, то ригели обычно считают абсолютно жесткими, рассматривая раму как вертикальный трехпоясной брус с абсолютно жесткими планками (рис. 5.129,6). Если пренебречь удлинениями стоек, то точки перегиба стоек (нулевые гочки момен¬ тов) лежат посередине высоты каждого этажа. Попе¬ речная сила каждого этажа, равная сумме вышележа¬ щих нагрузок, распределяется между стойками этажа пропорционально их жесткостям EI, что дает возмож¬ ность построить эпюру моментов каждой стойки. Рассматривая да¬ лее каждый ригель как упругую неразрезную балку, нагруженную над опорами заданными внешни¬ ми сосредоточенными моментами от стоек, получают эпюры момен¬ тов ригелей.Если, наоборот, ригели слабы по сравнению со стойками, то в запас прочности для стоек прене¬ брегают изгибной жесткостью ри¬ гелей, рассматривая их как шар¬ нирно прикрепленные распорки составного бруса, обычно нера¬ стяжимые (рис. 5.129, в). В пред¬ положении, что жесткости стоек всех этажей для каждого '>тажа пропорциональны одним и тем же числам, напримерРнс. 5.1291 См. ыкже з.й.З.
6.11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ315Blit :EIt{:EIBt =*= ^j:/z2:/zg (/= 1, 2, 3,.. .6),устанавливают, что нагрузки рамы распределяются между стойками пропорционально их жесткостям. ТакР	Р/3	Р/3 . Р/3А* 3/2б)VD3/24Lд/2В3/2 3/2С3/2 3/2D3/2Ч.А_ВСР А.АВСв3/2 3/2 Рис. 5.130ке и эпюры моментов в стойках имеют ординаты, пропорциональные жестко¬ стям стоек. В действительности ригели не являются ни абсолютно жесткими, ни шарнирно присоединенными к стойкам. Можно получить уточнение первого при¬ ближения, сочетая оба решения и исхо¬ дя из принципа минимума потенциаль¬ ной энергии. Обозначим изгибающие мо¬ менты от сил Р по первому варианту расчета через М\р , по второму вариан¬ ту — через Мгр. Уточненные моменты берем в виде суммы:Мр = **] Afjр “Ь 0 ^l) р * (5.380)где т] — неизвестное число, которое оп¬ ределяется из условия миниму¬ ма энергии.Энергия равна:U-Р3/2 3/2М2Р dxМногоэтажная многопролетная рама с равными про¬ летами. При соблюдении следующих условий: 1) все промежуточные стойки в пределах этажа имеют одина¬ ковую жесткость, а крайние стойки — половинную жест¬ кость; 2) каждый ригель имеет постоянную жесткость; 3) ригели считаются нерагтяжимыми,— расчет на дей¬ ствие горизонтальной узловой нагрузки выполняется точ¬ но и сводится к расчету одной симметричной много¬ этажной рамы, у которой жесткость левой и правой сто¬ ек составляет половину жесткости промежуточных сто¬ ек заданной рамы. Схема замены трехпролетной рамы тремя однопролегньтми, нагруженными одной третью общей нагрузки, показана на рис. 5.130, а. Если постав¬ ленные условия полностью не удовлетворены, например крайние стойки имеют такую же жесткость, как проме¬ жуточные (рис. 5.130, б), то сначала заданная рама представляется в виде рамы, удовлетворяющей требо¬ ваниям, и двух отдельных стоек. Заданные нагрузки при¬ ближенно распределяются между этой рамой и стойка¬ ми, исходя из принципа минимума энергии, как указано( выше: из каждой силы Р часть “*] Р передается на раму, часть (1—*г|) Р — на две стойки. Если обозначить через М^р моменты от сил Р в раме (они определяются в со¬ ответствии с рис. 5.130, а), через М2Р — моменты от сил Р в стойках (определяются элементарно, как для консоли), то величина ^ найдется по формуле (5.381).Каркасно-панельные стены [52, 40, 158]В первом приближении элементы каркаса считаются работающими только на продольные усилия, а силы вза-Npui0) Р,\Р/ !i-iO iУО11 p и:йки t—	— b 	—JJа,.г>‘) Bi♦'k-SГ у"|К л« ЛIll'sL JLjГ'*♦1ElПодставляя сюда (5.380), дифферен- оируя по 1 й приравнивая производную нулю, находим (5.381)’! = •М1Р м7,dxElVf-^p-ElV-2jjbft. j p hA r\ p d xMdxElВходящие сюда интегралы относятся в данном случае только к стойкам и вычисляются по правилам «перемно¬ жения эпюр» (см. 5.7.4).Дальнейшее уточнение может быть выполнено одним нз известных методов (см., например, 5.8.1).Рис. 5.131имодействия между каркасом и отдельными панелями считаются сдвигающими (касательными). Каждая пря¬ моугольная панель в сечениях, параллельных краям, работает только на одинаковые по величине касатель¬ ные усилия, которые распределены вдоль сечения рав¬ номерно, т. е. как бесконечно малый элемент в условиях чистого сдвига. Это представление о работе панельной стены отвечает схеме тонкостенной фермы (см. 10.1.5) при условии, что сосредоточенные нагрузки передаются только р узлах.Степень статической неопределимости стены равна степени статической неопределимости фермы, у которой каждая панель заменен раскосом. Стена на
316РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВрис. 5.131, а — статически определима. Ее можно рас¬ сматривать как вертикальную консоль, защемленную нижним концом. Касательные усилия в панелях равны:Ql—2	^2—з	Фз-4; <72—з —?4—5 —ЬQa-Ъ; ?з_4 —Ь 'Продольные усилия в стойках пропорциональны изги¬ бающему моменту в консолиМ ЪNCT = ■(5.383)Первая сумма распространяется на все стержни, вторая на все панели. П— площадь панели, t — толщина па¬ нелиnp Ni dx = — [NpA (2 N!A + NiB) + + NpB (2NiB+ljiA)}.Составная балка с поясами, работающими на изгиб, и стенкой, работающей н а с д в и г (рис. 5.132)Расчет основан на следующих допущениях: 1) за¬ кон плоскости не имеет места для всего сечения, но остается в силе для поясов, 2) средняя стенка передает равномерные касательные усилия и создает снязь между поясами по вертикали, обеспечивающую их одинаковый прогиб. Нормальных напряжений в поперечном сечении стенка не передает.Расчет па поперечную нагрузку. Полные изгибающие моменты М° необходимо распределить между одинако¬выми моментами М\ обоих поясов и моментом M2=N2h продольных сил поясов:M° = 2Mi + М2.Эпюра моментов М2 получается в результате интегри¬ рования дифференциального уравнения:II.IМ2 — \2М2 = — —г\2М°,(5.384)Имея моменты M2t межно получить моменты Ми продольные усилия в поясах, а также поперечные силыПродольные усилия в ригелях следуют закону тре¬ угольника с максимальным усилием, равным нагрузке Р.Вообще интенсивность роста продольного усилия вдоль стержня каркаса равна разности погонных каса- * тельных усилий в панелях, примыкающих к стержню. Зная усилие N А на одном конце стержня и касательные усилия в примыкающих панелях qm и qn. можно сразу определить усилие на другом конце стержня NB (рис. 5.131,6):nb =na +(Чп—Ят)1'	(5.382)На рис. 5.131,0 показана четырехкратно статически неопределимая стена. В качестве лишних связей выб¬ раны четыре панели и соответственно в качестве лиш¬ них неизвестных приняты четыре погонных касательных усилия Хи Х2> ХгУ Х4 (рис. 5.131, г). Неизвестные опре¬ деляются из четырех канонических уравнений метода сил. Свободные члены и коэффициенты уравнений вы¬ числяются по формулам:Ов стенке Q2=M2, погонные касательные усилия в стен¬ ке q=Q2/h, а также* прогибы балки v. Кроме того, про¬ гибы могут быть получены путем интегрирования диф¬ ференциального уравнения.„IV— l2vEIМ° +2 EI(5.385)В этих уравнениях приняты обозначения:Е — модуль упругости поясов;1\ — собственный момент инерции одного пояса-; Fih2/2 = —”——момент инерции составного бруса безучета собственных моментов инерции поясов. Здесь h — расстояние между центрами тяжести сече¬ ний поясов;/=/2+2/i — полный момент инерции сечения составно¬ го бруса;G — модуль сдвига материала стенки;Fy—эффективная площадь стенки при вычислении ее деформации сдвига. В данном случае Fу = he Iq%х=1/ _2_V 2 £ /,/.’(5.386)Балка является частным случаем многопоясного со¬ ставного бруса с упруго деформируемыми связями сдви¬ га и недеформируемыми поперечными связями. Решение таких брусьев охватывает и случай составной балки.Многопоясные составные брусья [125, 101]На рис. 5.133 показан фасад четырехпоясного бруса (деревянного). Связи сдвига осуществляются гвоздями, шпонками, нагелями, которые предполагаются распреде¬ ленными непрерывно по длине швов. Предполагается также наличие поперечных связей (болтов, хомутов), уравнивающих прогибы поясов и бруса в целом. Такой
Б.11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ317брус представляет собой многократно статически неоп¬ ределимую систему с функциональными неизвестными. В качестве основной системы принимается пакет брусь¬ ев-поясов, лишенный связей сдвига. Особенность основ¬ ной системы состоит в том, что поперечная нагрузка рас¬ правляется между отдельными поясами пропорциональ¬но их изгибным жесткостям Е\1и £2/2, £3/3. Это отно¬ сится также к моменту, приложенному к одному из поя¬ сов. Неизвестными являются сдвигающие (касательные) усилия в швах Целесообразно принять за неизвестные не погонные касательные усилия q, а интегральные или полные касательные усилия Т:XТ{ (X) - ТI (0) + Г qt (6) da .	(5.387)оПогонные усилия получаются как производные от пол¬ ных усилий:ql{x) = T'i (х).	(5.387')Полное усилие Т{ равно площади части эпюры погонных усилий qh лежащей левее исследуемого сече¬ ния х.Жесткость (отпорность) связей сдвига характеризует¬ ся величиной (кг/см2), равной отношению погонного касательного усилия q (кг/см) к вызванному им линей¬ ному «относительному» сдвигу в шве Г/ (см) (иначе — дислокации сдвига). Схема взаимосвязи Гi и q< пока-вана на рис. 5.133, б: Г{ — .Понятие о жесткости связей может быть использо¬ вано также при вертикальной стенке, работающей насдвиг. В этом случае: * = ■GFy(кг/см2).Предполагается, что на протяжении каждого отдельного шва =const. Каждый пояс также предполагается имеющим постоянное сечение Е/ //=const.Условия совместности деформаций удлинения волокон поясов, примыкающих к i-му шву, и деформаций сдви¬ га в швах, выраженные в усилиях Г, лаются в виде дифференциальных уравнений. Для четырехпоясного бруса по рис. 5.133,а получается три уравнения:1)	Тх — *1(7'i &п+ Т2 Ь12+ Тг 513) = ^ Д1р2)	Т2 — *2(^1 &21+ ^2 ^22+ Т3 &23) — У.2 &2р2)	Т3	х3 (Ti 531-|- Т2 ^32 + ^3 ^зз^ = *з ^Зр(5.388)Правые части (грузовые или свободные члены) этих уравнений представляют собой комбинации эпюр уси¬ лий от нагрузки основной системы — пакета брусьев без связей сдвига, но с недеформируемыми поперечными связями:^ =	+	(5.388',EtFiIE IЗдесь 2 EI — сумма собственных изгибных жесткостей всех составляющих брусьев. Нуликом отмечены продоль¬ ные силы в поясах и общий изгибающий момент в основ¬ ной системе.Коэффициенты уравнений — постоянные числа:. 1 , 1 . hiEtFi^i+i ?i+1 1 h.hi-1uu-i:EiFtIE Ibu+1 = —h,hi+1-/+1 Fi+1ZEIhi hk £ EIпри | i — k j >1 .(5.388")Для балки, составленной из двух составных брусьев» имеем одно уравнение:Т" — ъТЪ = ъД .Здесь& = : Д = Д,(5.389)11Общее решение уравнения (5.389) при произвольном виде функции Д=Д(дс):Т (л)= 1(0) ch А. х-q{ Q)+Д (6) Sh X. (X — £) d£ ;(5.390)q (х) = Т' (х) = X Т (0) sh I х + q(0) ch X х +X+ -X. J Д (£) ch X (х — £) d s .оЗдесь X = |/" х5 .Граничные условия: Т=0 на торце со свободным сдвигом, q=0 на торце с устраненным сдвигом. Анало¬ гично Г=0 по оси симметрии при антисимметричной нагрузке, ^=0 на оси симметрии при симметричной на¬ грузке. Готовые уравнения для Т=Т(х) и q=q(x) для однопролетной балки см. в табл. 5.13.Индексом «м» на эпюрах отмечены усилия для моно¬ литного бруса или балки.Получив значение Т в интересующем сечении, нахо¬ дят суммарные продольные силы в поясах и суммарный изгибающий момент состэзного бруса:дгО + Г; м = Af — Th; (5.391) опасных точ-N1 = — Г ; TV-после- чего определяются напряжения в ках (крайних волокнах) обоих поясов:TV, МЕХ zY	N2 МЕ2 г2+ -гтгг; =гFi2£/F2££/(5.391 ■)
318РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВТаблица 5.13Уравнения Т = Т(х) и q*=q(x) для составной балки из двух брусьевЧЩЦЦ!Т = — (С-^- — 1 j; XEI - EJi +£*/*.* \chX/ ДХ sh Xjc		_1_ 1 + h*» ch W' ’“E1FlJrEtFt ZEIЛ? W} _M«h ExFi EzFt I£/J5>г!ШШТТгт^ГГХГ7'"ЧЩЦ!Зпюра	fГ =ph/* — x* ch X/ — ch \xЫЕ1 \ 2 phX* chJU>Q ='6S£// ch X.t \(* XchX/J11111ШЧШШЦШШ■№)k2l_jЗпюра £3/W0/7Q vjr=pft //2 —*« ^ 1	ch lx\&Ш \ 2 ~X* + X ' shX/ j’ph</ =IXEI( shXjt \9 Кtrn^L-L-U -Эпюра fy1 йТГГЗЩЦШШПШ) Зшра. JMPh ГL — aГ-rsh X(L— u)sh Хл:]<7 =bIFI I L	X shXLPh [ L — и sh X(L — u)ЫЕ1L LshXLchX.tr—~<i «-I-	L—U 	4rЗпюра fyМНИПЦШИЗпюра *7=-P/zchX(L— w)chXjtЫ.Е1 L	XshXLuchXjr L — и<7 =XLshXL Ph Г chX(L — u)shX*irx}X££/ L	shXLL — и sh X(I — x)L	shXLи shXt L — ц~1 + LshXL + L IЗдесь Z\ и 22 — расстояния исследу¬ емых точек от центров тяжести со* ответственно первого и второго по¬ ясов.Трехпоясной брус. Практически важный случай — сечекие, симмет¬ ричное относительно горизонтальной оси. Система двух дифференциаль¬ ных уравнений приводится к двум независимым уравнениям симметрич¬ ной (индекс «с») и аитисемметрич- нон (индекс «а») составляющих сдвигающих усилий в первом и вто« ром .швах:1) Т\ — у.ои «=. хА^;2) г!-»7.^-хА,а р.(5.392)Ьсс — Йи — &2i I &аа—^ii ~t” ЦТ» ДсР= “7Г (Д1Р — *2р) IДаР— 2 (Д1Р	*Многопоясной брус. Приведение системы уравнений в общем случае к независимым уравнениям см, [125].Практические указания. Учет де¬ формации связей сдвига тем более желателен, чем сильнее развиты поя¬ са составной балки по вертикали, чем больше их собственный момент инерции. При незначительной высо¬ те поясов двухпоясной балки закон плоских сечений дает достаточно точную картину распределения на¬ пряжений, а для учета влияния де¬ формации сдвига на прогибы следует пользоваться формулами и указания¬ ми 5.3.4. и 5.5.3. Следует помнить, что эпюра прогибов совпадает с эпюрой моментов, ординаты которой уменьшены в GFу раз.Напряженное состояние каждой составной балки может быть пред¬ ставлено как промежуточное между состоянием монолитной балки и балки, лишенной связей сдвига (па¬ кет поясов). Для двухпоясной балки напряжение в любой точке может быть определено по формуле:о = ам (1 — ф) + ®л Ф » (5.393)гдеТЗдесь Т — касательное усилие, опре¬ деленное из решения дифференци¬ ального уравнения; 7М — касатель¬ ное усилие в том же сеченни моно¬ литной балки, определяемое по фор¬ мулеM*S'Ти = J ,где 5' — статический момент выше¬ лежащей части севдння.
5.11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ319Для предварительной оценки величины ф в случае шарнирно опертой балки можно пользоваться формулой♦-Л7Т5-Здесь L—пролет балки, Ха = %5.Полная теория двух- и многопоясных составных брусьев, включая вопросы устойчивости с многочислен¬ ными примерами, изложена в [125].5.11.2.	Комбинированные и предварительно напряженные конструкцииКомбинированные конструкцииКомбинированными называются конструкции, состоя¬ щие из элементов, обладающих различными свойствами, а первую очередь из брусьев и стержней. Простейшимии^имсниюгся оалки, усиленные стержневой цепью (ломаной затяжкой), которая может ванимать как нижнее, так и верхнее положение. Другое название последней системы — цепь, усиленная балкой жесткости. Применяются также балки, усилённые стерж¬ невой аркой, и комбинации арки и цепи. Во всех этих случаях речь идет о комбинации некоторого бруса и стержневого полигона (см. [119, 160]).Усилия во всех элементах стержневого полигона (его поясе и стойках или подвесках) пропорциональны одно¬ му параметру, например усилию в одном из стержней. Обычно в качестве этого параметра выбирают усилие в горизонтальном элементе пояса или, что то же, общую горизонтальную проекцию усилий во всех поясных эле¬ ментах (горизонтальный распор Я).Два важных статических свойства стержневого поли¬ гона: 1) диаграмма усилий в элементах стержневого по¬ лигона в некотором масштабе является тем силовым мно¬ гоугольником, для которого? данный полигон служит веревочным многоугольником (см. 2.2); 2) эпюра изгибающих моментов в балке от сил, передаваемых стойками и крайними элементами поясов, в некотором масштабе совпадает с самим стержневым полигоном. Эти свойства иллюстрируются на рис. 5.134, а, б, где для общности ^показана балка, усиленная несимметричной стержневой цепью с передачей усилий крайних поясных стержней через жесткие отростки.Комбинированные системы бывают распорные и без- распорные, или системы с воспринятым распором. У первых распор цепи передается анкерными опорами нагрунт, у вторых он уравновешивается на брусе (балке). Расчет статически определимой комбинированной системы выполняется методом замены связей, что облег¬ чается отмеченными :татическими свойствами стержне¬ вого полигона. На рис. 5.135 дано’построение эпюры мо¬ ментов для банки, усиленной стержневой цепью (лома¬ ной затяжкой). Сначала шарнир С предполагается выключенным. Эпюра М от неизвестного распора цепи совпадает по форме со схемой цепи. Далее строится эпюра М° от нагрузки, причем в таком масштабе, чтобы суммарный момент в сечении С был равен нулю. В за-Рис. 5.135ключение устанавливается масштаб окончательной (за¬ штрихованной) эпюры из условия Af® »h. Одновремен¬ но определяется распор:Mi(5.395)Продольное сжимающее усилие в балке равно рас¬ пору Н.Инфлюента распора, а также инфлюенты усилий во всех элементах цепч имеют форму треугольника с вер¬ шиной под шарниром С и высотой, равной усилию от си¬ лы Р= 1, установленной над шарниром. Для инфлюенты распора имеем:не = ~ТГ~ •4	НДля инфлюенты усилия в одном из стержней цепа (ломаной затяжки):= ”77	 «	(5.396)4h cos агде®—угол, наклона стержня к горизонту.Следует помнить, что инфлюента усилия совпадает с эпюрой вертикальных перемещений от безразмерного удлинения стержня на Л=, 1. Отсюда видно, что для придания шарниру С строительного подъема (вверх), равного vc (сл*), надо укоротить стержень на:. . , 4h cos а|А|“	1	ve.Расчет статически неопределимых комбинированных конструкций ведется методом сил, причем основная си¬ стема получается путем разрезания стержневого по¬ лигона в произвольном месте. Основная система может быть как статически определимой, так и статически неоп¬ ределимой. При наличии двух замкнутых полигонов про¬
320РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВводят два разреза и система получается двукратно ста¬ тически неопределимой, по отношению к основной систе¬ ме, которая сама может обладать той или иной степенью статической неопределимости.а)—j*/77W77	1	/77&77■ <б)§Рис. 5.136/7777777IЛишняя неизвестная однократно статически неопре¬ делимой комбинированной системы получается по фор¬ муле*\РМр Mlds ЫС М[ ds yr\N] I J El(5.397)В случае балки, усиленной цепью (затяжкой) (рис. 5.136,а).Мру-dsГEIХг = Н=1-EI/я(5.397')EF^ Ел Fa cos2 аЗдесь индексом «а» отмечены характеристики, относя¬ щиеся к цепи; без индекса—относящиеся к балке.Если балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой р кг/см и цепь (затяжка) очерчена по пара¬ боле второй степени со стрелкой f (рис. 5.136, б), то распор вычисляется по формуле (5.398).Х1 = Н =8Л1° (— + —\ СР115 ^ 12 /Е18	4	1-р+-/с+,,+ т + .е^Р12Здесь Мср=——изгибающий момент по середине пролета;с—расстояние между хордой цепи (затяж¬ ки) и осью балки; f+c — расстояние между осью затяжки по се¬ редине пролета1 и осью балки.Предварительно напряженные металлические балкиВ подавляющем большинстве случаев эти конструк¬ ции по существу представляют собой статически неопре¬ делимые комбинированные системы со стержневым по¬ лигоном (прямолинейной или ломаной затяжкой) из высокопрочного материала. Предварительное напряже¬ние (коротко — преднапряжение) достигается принуди¬ тельным укорочением затяжки. Прототипом преднапря- женных балок является вагонный швеллер со шпренге- лем, снабженным стяжной муфтой. Цель предваритель¬ ного напряжения состоит в получении более выгодного распределения напряжений в конструкции, в первую оче¬ редь путем разгрузки частей из менее прочного мате¬ риала за счет соответствующей перегрузки высокопроч-Wiu'urmnttiTTU nh-■с: lev0)г)AT— аРис. 5.137ных элементов. Преднапряжение играет особенно боль¬ шую роль в железобетонных конструкциях, позволяя зна¬ чительно полнее использовать сопротивление бетона сжатию, а арматуры — растяжению. Роль стержневого полигона здесь играет арматура. Преднапряженные кон¬ струкции можно также рассматривать как статически определимые (основные) системы, снабженные натяж¬ ным приспособлением в виде стержневого полигона (за¬ тяжки или арматуры). Преднапряжение всей конструк¬ ции достигается натяжением затяжки. Первая точка зрения подчеркивает важность определения усилий в затяжке не только от натяжения, но и от эксплуата¬ ционной нагрузки конструкции. Вторая — напоминает, что натяжение затяжки является наперед заданным! контролируемым специальными динамометрами. Отме¬ тим, что при отсутствии динамометров контроль натя¬ жения затяжки может быть осуществлен измерением перемещения натягиваемого конца затяжки или иной де¬ формации, величина которой предварительно определяет¬ ся расчетом. В этом случае в качестве динамометра вы¬ ступает сама конструкция.Преднапряжение принадлежит к числу основных рас¬ четных нагрузок и конструкция должна удовлетворять условиям прочности как при натяжении, так и в соче¬ тании натяжения с эксплуатационной нагрузкой.В отдельных случаях может быть достигнута эконо¬ мия путем последовательного иатяжеиия и приложения части постоянной нагрузки, чго дает возможность умень¬ шить величину расчетных усилий.Для схем расположения затяжки по рис. 5.137 усилие в затяжке от равномерно распределенной нагрузки на
5.11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ321всем пролете определяется по приближенным форму¬ лам проекта «Инструкции по проектированию предвари¬ тельно напряженных стальных конструкций», разрабо¬ танной ЦНИИ строительных конструкций АСиА СССР.а) Х =б) Х =17 „ ei Г, , 8 / h \*Y'+з(< )J15 hM°18 о EI— h2-(-	60 E> F,КШТe)X =I I EI \Т+т+1Л)25 0 EI60	EnF яг) X — m( „ 1 EI \ (C + F+£aFa) p/2В этих формулах M0 =- —.о/8—6/д2+4д3 /2 (/ — 2а)(5.399)Рис. 5.138В неразрезных балках (рис. 5.138,а) затяжка рас¬ полагается в зоне наибольших отрицательных момен¬ тов (показана пунктиром). Другой способ преднапря- жения неразрезной балки — регулирование высоты промежуточной опоры (рис. 5.138,6).Для создания преднапряжения в металлических и деревянных составных балках применяется метод пред¬ варительного изгиба нагрузкой с последующей поста¬ новкой связей сдвига. Расчет см. [125]. Создание и рас¬ чет преднапряжения в металлических фермах см. 10.4.2.Нормативами по расчету преднапряженных конст¬ рукций в ряде случаев предусматривается учет релак¬ сации напряжений (см. разделы 12 и 18), а также учет сил трения между натяжной арматурой и телом желе¬ зобетонных преднапряженных брусьев.5,11.3.	Гибкие нити Общие положенияГибкая нить представляет собой геометрически из¬ меняемую систему с бесконечно большим числом сте¬ пеней свободы, работающую только на растяжение,21	Зак. 2098но способную воспринимать нагрузку при надлежащем закреплении концов. Форма равновесия нити зависит от характера нагрузки. Практически наиболее важен случай нагружения нити вертикальной нагрузкой (соб¬ ственным весом и полезной нагрузкой — распределен¬ ной илй сосредоточенной).(5.400)Дифференциальное уравнение линии провисания ни¬ ти (рис. 5.139) имеет вид:d2y	Рdx2	Н ’Здесь: у — ордината линии провисания нити; р=р(х)—значение нагрузки в рассматриваемом сече¬ нии; И—распор или горизонтальная составляющая продольных усилий N во всех сечениях нити и вместе с тем — горизонтальная составляющая реакций в точках подвеса. Распор равен продольному усилию в наиниз- шей точке нити.Уравнение (5.400) аналогично дифференциальному уравнению эпюры изгибающих моментов балки при вертикальной нагрузке:	<-<*2М—	, .	(5.400')а также дифференциальному уравнению изогнутой оси балки:d2 v dx2МEI(5.400")На этих аналогиях основано построение эпюр М и v для балки как веревочных кривых. Для построения линии провисания гибкой нити используются правила построения эпюры моментов для балки.Линия провисания гибкой нити под действием вер¬ тикальной нагрузки р=р(х) совпадает с эпюрой из¬ гибающих моментов горизонтальной балки-проекции под действием той же нагрузки р, но ординаты эпюры уменьшены в Н раз, где Н — распор нити. (На рис. 5.139 распор Я= 1 кг).В результате ординаты у линии равновесия нити определяются следующим образом:У = ~ ^ .	(5.401)где М — изгибающий момент в шарнирно опертой балке пролетом /, нагруженной нагрузкой р{х).Ординаты эпюры тангенсов углов наклона нити к горизонту совпадают с уменьшенными в Я раз ордина-
322РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВ—г		 ■■ ■ ■ ■	-г-	г ....J. -U'%4тами эпюры поперечных сил балки-проекции, находя¬ щейся под действием нагрузки р, т. е.dy Qtg® =dxН ’(5.401')где Q — поперечная сила в балке-проекции.Величина продольных усилий N (другое распростра¬ ненное обозначение Т) в гибкой нити определяется по формулеN = V H* + Q2 ,	(5.401")где Q — балочная поперечная сила от вертикальной нагрузки.Если известна величина распора Я, то ординаты линии равновесия и усилия, действующие в нити, оп¬ ределяются по формулам (5.401) н (5.401").Если, кроме концевых, известна хотя бы одна из промежуточных ординат Ус , то;МсН =	— t	(5.40 Г")Усгде Мс—балочный момент в сечении С; ус—ордината кривой равновесия нити в сечении С.Если нагрузка равномерно распределена по проек¬ ции нити (p=const) и известна стрелка f провеса нити в середине пролета, то в этом простейшем случаеpi2н =	<5-402>Этой же формулой определяется распор пологой нити (Iff > 8) от действия собственного веса.Провисание непологой нити под действием собственного весаПогонный вес нити обозначается через £[кг/м].Дифференциальное уравнение линии провисания нити (рис. 5.140):У"	8Vi+уАн(5.403)Уравнение цепной линии, определяющей форму провисания:х	Ну = а ch — ; a=	.	(5.403')a	gЗдесь а — параметр цепной линии, выражающий ее ординату в наинизшей точке (вершине).Тангенс угла наклона в точке с абсциссой хtg ах = У' = sh — .	(5.403")аДлина цепной линии, считая от вершины до точки с абсциссой jc,Полное усилие в сечении хNx = ga ch — = gy .aЕго вертикальная составляющаядсvx= Ssx= ёа sh— .aЕго горизонтальная составляющая» Н = ga= const .(5.403"')(5.404)(5.404')(5.404")Определение параметра а в частных случаях, когда распор заранее не известен. Назовем хВ=Ь — заложени¬ ем, yB—a—h — высотой провисания, длину &в от С до В назовем s (рис. 5.140). Чтобы найти а, необходимо знать две из трех величин bf h, s; третья не является независимой и находится наряду с а. Вводится обозна¬ чение н- = bla тогдаch pL — 1h Ь sh jx И-2sh2 “2"(5.405У (5.405')следовательно, и уравнению (5.405')1)	Заданы bus. Величина fx а, определяется подбором по при помощи таблицы chx (см. 1.22.3).2)	Заданы b и Л; аналогично 1) используется урав нение (5.405).3)	Заданы s и Л. Из (5.405) и (5.405') имеемs —|— hfJL = 1Пha	fx	rx— = th— . откуда — = arth —s — hПолучив (x из (5.405), находим b и затем, имея /х и bt величину а.4) Заданы а и Л; тогда| = а Inа ■+■ Л 2ah — h-5) Заданы а и s;-‘"(-r+j/ (v),+1 )■Формы провисания, когда положение осей заранее не известно. Известны две точки подвеса Вх и В2.6) Заданы заложение 6, высота провисания h и длина s между точками Ви В2. Положение осей х, у определится, если будут известны координаты точек хв1~с> Увх—йЛ необходим также параметр а. Сначала подбором определяется [х из уравнения’У s* — h2shJL2, откуда а=&/(х.
5.11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ/1 S + h ц \Далее с «(у In—- yj .СИмея с и а, находим d — a ch ~ •7)	Заданы а, К s. Прежде всего определяетсяb = 2aln~^(V ?3 — Л2 + |Л2 — Л2 + 4а2) .а затем р=Ь/а. Далее находится с, как указано выше.8)	Заданы а, Ь, 5. Сначала определяется4ach2 	 • затем end.2а«9)	Заданы а, 6, A; s==l/ Л2 + 4a2sh2—2аУчет упругих и температурных деформаций и жест¬ кости нити см. [60].Пологая нить [86, 871Нить считается пологой при ///> 8.Если ни одна из промежуточных ординат заранее не известна, что, как правило, бывает при нагружении нити временными нагрузками, то в этом случае зада¬ ча ставится обычно следующим образом: задается кон¬ кретная схема нагружения и величина / — стрелки провеса при постоянной равномерно распределенной нагрузке (без учета упругих деформаций нити), либо задается первоначальная длина нити L (т. е. длина за¬ готовки) .Ниже приводятся основные рабочие формулы для определения распора при такой постановке задачи. Рассматривается пологая нить, нагруженная произволь¬ ной вертикальной нагрузкой; точки подвеса расположе¬ ны на одном уровне.III11 fl m 11ГПТПIПП m III11111111111I II Ги н н 11 мтг| p*C0nstКОадратнаяпараболаРис. 5.141Определение распора без учета упругих деформаций нити. Если гибкая нить подвешена в точках А и В и на¬ гружена произвольной нагрузкой р, заданной в виде непрерывной или прерывной функции от координаты х, то величина распора без учета упругих деформаций нити определяется одной из следующих формул:Уъю4/(5.406)где D — характеристика нагрузки, определяемая сле¬ дующим образом:i	ID-— pdx = | Q'2dx .	(5.406')21*323Здесь /—величина пролета,-/—стрелка провеса нити при равномерно распределенной нагрузке (рис. 5.141)-М и О —Дсог.тиРНгТИ П° ДУГ6 междУ точками А и В- “ответственно изгибающий момент и по¬ перечная сила в однопролетной балке Интегралы ^5 408^ наП>уженной нагрузкой р(х).Верещагина или ' непосреГственным^интр1^ МеТ°Д°М если обе эпюры (« н л ш й интегрированием. Например, при p=const	криволинейные*D = f М pdx = — . -BlL i _г!	з 8 i2Подстановка этого зиачения в (5.40б) дает формулустики нагрузки 0ФппРоМУЛЫ ДЛЯ ВЫчислени* характера с ики нагрузки D для некоторых распоостоанрннмгслучаев нагружения помещены в табл. 5.14Для вычисления длины нити s по заданным гтп'клету и стрелке провеса / рекомендуется формула:-\Г-(5.407)нитиТ/Г'Т расп°Ра с Учего" упругих деформаций нити. Если гибкая упругая нить с поперечным сечением F и модулем упругости Е нагружена произвольней вертикальной нагрузкой р(х), то величина распой Я ручетом упругих деформаций нити определяется из kv бического уравнения	наделяется из ку-U* . 8 ... Оы+ "3^Я='^Г-	(5-408)Тп-Ш Гт^1с^/'^0ПреДеляется по формулам (5.406'), i f и m—sfl. Величины лит вычисляются здесь безгРо»1гпПРУГИХ Деформаций НИТИ- т- е. по ее исходным геометрическим размерам — до нагружения. Кубиче¬ ское уравнение решается методом подбора.Расчет струны. Если первоначальная длина нити (т. е. длина заготовки) равна длине пролета /, то в этом случае решение уравнения (5.408) будет"-V Т"(5.409)что при равномерно распределенной нагрузке (о— = const) дает-V-р2 /2 EF 24(5.409')Расчет предварительно напряженной струны. Если первоначальная длина нити меньше расстояния между точками подвеса, то в этом случае нить должна быть подвергнута предварительному натяжению силой N„ (рис. 5.142).. ■пипигттТТТТТТШТТПТТгтттптТГ^^р-р(х)-—1_—
324РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВТаблица 5.14Формулы для определения характеристик нагрузки D
5.11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ325Зависимость между величинами распора Я и силы предварительного натяжения Nlx при произвольной вертикальной нагрузке выражается уравнением:DenЯ3 - NnH2 «* — 2/Nn = H-21Н2(5.410)(5.410')Определение распора при расположении точек подве¬ са нити на разных уровнях. Если точки подвеса нити расположены на разных уровнях (рис. 5.143), то при-гТТТТПТПттптттт^ШШ^^	Р*Р(х)ближенно для пологих нитей (при n=//fH>8) задача решается следующим образом:а) Величина распора без учета упругих деформа¬ ций:Я =Уъю4/н(5.411)Здесь fH —стрелка провеса нити при равномерно рас¬ пределенной нагрузке (рис. 5.144), измеренная в сере¬ дине пролета от наклонной хорды АВ по направлению оси у.б) Длина нити по дуге между точками А и В:s = d^+d2 ,где. “| / d2 2/i/H 4' = У -т+ут+тЛV 4 / з 3 /н(5.412)(5.412')в) Величина распора с учетом упругих деформаций нити определяется из уравнения„ . 8 <о	DН* +	Я* =где я=»///н;3 n2k k =2 Ik= 4( A +/»(5.413)a di и d2 определяются из (5.412').г) Величина распора для струны (когда длина заго¬ товки равна длине хорды d):н= [V 1г)С05?’(5.414)где <р — угол наклона хорды.д) Решение задачи о расчете предварительно напря¬ женной струны (рис. 5.145)илиD а)Я8 — Яп Я1 cos <р = cosacpН . D соNn 				cos5*© ,cos? 2/Я» Y(5.415)(5.415')направ-где А^п —сила предварительного натяжения ленная по хорде АВ, ср — угол наклона хорды, е) Ординаты линии равновесия, углы наклона и продольные усилия при расположении точек подвеса нити на разных уровнях (рис. 5.143 и 5.145) определя¬ ются следующим образом: ординаты линии провисанияЛ1у = 77 + *1 в?:(5.416)тангенсы углов наклонаjtga=“7T+,g<p;продольные усилияN = УH* + (Q + Hig'?)* •Здесь, как и ранее, М и Q соответственно изгибающий момент и поперечная сила в однопролетной шарнирно опертой балке пролетом I, нагруженной нагрузкой р(х), вычисляемые для рассматриваемого сечения, располо¬ женного на расстоянии х от левой опоры. При этом поперечная сила Q подставляется в формулы со своим знаком и на опоре А считается положительной.Область применимости метода. Точность решения за¬ дачи характеризуется степенью точности определения
326РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВпродольных усилий и ординат нити по формулам (5.401") и (5.401), когда в эти формулы подставляются приближенные значения распора Н. Метод обладает наибольшей степенью точности при расположении точек подвеса нити на одном уровне. В этом случае погреш¬ ность в определении усилий при п > 8 не превышает0,7% в сторону преуменьшения и 4,9% в сторону пре¬ увеличения результата.Погрешность определения ординат, когда угол нак¬ лона нити на опоре не превышает 40°, составляет не более 5,5%, что удовлетворяет большинству практи¬ ческих задач. Для контроля рекомендуется определять максимальное значение угла наклона нити, пользуясь формулой (5.40Г), подставляя в нее максимальное зна¬ чение поперечной силы на опоре. Максимальные значения погрешностей определены при нагружении не¬ весомой нити одной сосредоточенной силой, располо¬ женной вблизи опоры. Существенного практического значения такая схема нагружения не имеет. В осталь¬ ных случаях точность решения значительно повышается. Например, при расположении сосредоточенного груза в центре пролета погрешность определения усилий и ординат не превышает 0,7%, а при учете собственного веса нити эта погрешность еще уменьшается. Величи¬ на погрешности метода при расположении точек подвеса нити на разных уровнях пока детально не исследована. Чем меньше угол <р наклона хорды АВ, тем выше точ¬ ность решения. При значениях угла <р до 20° эта точность для практических целей вполне достаточна.Примеры расчетаПример 5.18. Стальной канат закреплен в точках А и В и несет нагрузку от собственного веса и сосре¬ доточенного груза Р= 1 г, приложенного посередине пролета (рис. 5.146). Величина пролета /=100 м; вес каната g=10 кг/м-, модуль упругости каната £ = = 16. 106 т/м2\ площадь поперечного сечения F= 12 см2.Определим жесткость каната на растяжение:Ш = £F= 16-100-12-10-4 = 19 200 m .Пользуясь выражением (5.406') и эпюрой поперечных сил, представленной на рис. 5.146, вычислим характери¬ стику нагрузки D:D= -f- {Ql + Ql + Qa	= '^4-(1 +0,25 + 0,5)50 = 58,3тгм .иЭтот же результат можно получить, пользуясь стро¬ кой 9 из табл. 5.14.Пример 5.19. Определить максимальное усилие в ка¬ нате и провес каната в середине пролета для случая, когда п = 20, т. е. когда величина исходной стрелки про¬ веса / (заданная без учета упругих деформаций при рав¬ номерно распределенной нагрузке) составляет 1/2о /, т. е. / = 5 м.Найдем по формуле (5.407) первоначальную длину каната (т. е. длину заготовки):s = ЮО2 -f .52 = 100,665 м ;отсюда Ьг = s/l = 1,00665; m3 = 1,02.Подставим полученные данные в уравнение (5.408):8-19 20058,3-19 2003-202-1,02 ” 2-100.1,02или: Нг-\-125,49 Н2—5 487, откуда Н=6,45 т.По формуле (5.401") определим максимальное уси¬ лие в канате:Мпах = |/б,452+1,002 = 6.53 т.Найдем величину изгибающего момента в середине пролета:Мтах ~ 0,125-0,01 • ЮО2 +0,25-1-100 =37,5 тм.По формуле (5.401) определим ординату линии про¬ висания каната в середине пролета:37 5.Углах =	=5,81 м.6,45Пример 5.20. Определить величину распора для слу¬ чая, когда первоначальная длина каната равна длине пролета, т. е. при т=1, п = оо и f=0.Воспользуемся для этого решением (5.409) задачи о расчете струны:При этом-V-58,3-19 200.Углах —2-10037,5= 17,75 т,17,75= 2,11 м .Пример 5.21. Определить, какую силу предваритель¬ ного натяжения нужно сообщить канату, нагруженному силой Р, чтобы его провес в середине пролета был ра¬ вен 1 м.Так как значение г/тах задано, то, пользуясь найдем величину распора по формуле (5.401"'):И Мтах 37,5 Н = 	= —:— = 37,5 т .им,i/max1Пользуясь формулой (5.410'), определим силу пред¬ варительного натяжения:58,3-19 200 _ л Д,--37'5~ 2-100-37,5*~ ” 1 т 'Пример 5.22. Определить максимальное усилие в ка¬ нате, нагруженном силой Р, если он, имея первона¬ чальную длину, равную длине пролета, подвергся воз¬ действию уменьшения температуры на 40°.Найдем соответствующую силу предварительного натяжения:Nt = a-i & t и* = 0,000012• 40• 19 200 = 9,22 т .Подставим Nt и остальные данные в уравнение (5.410):Hi —9,22 Н2 = 58’3192-- .или Н3—9,22#2=5596,8.2-100
5.11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ327Отсюда .Н =21,42 т, Nmix = V21,424-1 .ОО2 = 21,44 т.При этом37>51/шах — 21 42 ~ ’ М'Стальные канаты (технические требования ГОСТ 3241-55)Таблица 5.15Канат спиральный закрытый с одним слоем клиновидной и одним слоем зетообразной проволоки (ГОСТ 7675-55)Диаметр каната в ммВес 100 пог. м каната в кгРасчетный предел прочности проволоки каната в кг/мма110120130140Суммарное разрывное усилие всех проволок каната в кг, не менее38.540.542.5 45 47 51855 960 1030 1356 1 460 1 725110 000 125 000 133 000 150 000 161 000 190 000120 000 136 000 145 000 162 000 175 000 207 000130 000 147 500 157 300 176 200 189 800 224 200140 000 158 900 169 400 189 800 204 400 241 500Таблица 5.16 Канат спиральный закрытый с двумя слоями клиновидной и одним слоем зетообразной проволоки (ГОСТ 7676-55)Диаметр каната в ммВес 100 пог. м каната в кгРасчетный предел прочности проволоки каната в кг!мм2110 | 120Суммарное разрывное усилие всех проволок каната в /сг, не менее501495196 900214 800521635215 600235 200541 730228 000248 000551770228 250249 000601 980263 000287 000652 370313 000342 000702 720362 000395 000По стальным канатам спирального типа с жесткой сердцевиной имеются также ГОСТ 3063-50, 3064-55, 3067-55.Расчетное сопротивление витых светлых стальных канатов принимается равным 0,65 от предела проч¬ ности, оцинкованных — 0,60. Предел прочности опре¬ деляется по разрывному усилию.Дополнительная литература См. [12, 13, 43, 44, 82, 172]5.11.4. Пневматические конструкции [22, 58, 104]Определения и основные сведенияПневматическими конструкциями (ПК) называют¬ ся сооружения, изготовленные из мягких (матерчатых или пленочных) воздухонепроницаемых материалов, способные противостоять действию внешних нагрузок за счет избыточного давления наполняющего их возду¬ ха или газа. Пневматические конструкции обладают свойством воспринимать нормальные сжимающие по¬ гонные усилия от сжимающих или изгибающих сил и касательные погонные усилия сдвига или кручения засчет предварительных погонных усилий растяжения, создаваемых избыточным давлением внутри конструк¬ ции. Таким образом, пневматические конструкции явля¬ ются разновидностью предварительно напряженных конструкций.Избыточное давление в ПК создается воздуходув¬ ной машиной (компрессором, вентилятором) или с по¬ мощью баллона с сжатым воздухом.Избыточное давление воздуха или газа зависит от его температуры и давления окружающей среды. Во избежание разрушения ПК при превышении давления сверх допустимого, в ней предусматривается приспо¬ собление для стравливания части газа (клапан).Основные положительные свойства, определяющие широкое применение ПК в различных областях техни¬ ки: 1) возможность создания сравнительно дешевых и легких сооружений больших размеров, имеющих в сложенном (демонтированном) большие габариты, что обес¬ печивает транспортабель¬ ность ПК; 2) возможность быстрого монтажа и де¬ монтажа ПК; 3) простота изготовления и эксплуата¬ ции.По силовой схеме ПК разделяются на: 1) некарка- сированные (оболочки) (рис.5.147), 2) каркасирован- ные (с пневматическим кар¬ касом1, рис. 5.148), 3) ком¬ бинированные (оболочка с избыточным давлением, опи¬ рающаяся на пневматический каркас) (рис. 5.149),*Р?состоянии очень не-Рис. 5.147У777777777777777Рис. 5.148Основные элементы ПК: 1) оболочки (одинарные и с двойной стенкой, цилиндрические и двоякой кривиз¬ ны — чаще всего сферические); 2) цилиндрические аэро¬ балки2 (прямые и изогнутые); 3) диафрагмы (перего¬ родки), делящие полный объем ПК или ее элементов на отсеки. Применение диафрагм позволяет в случае повреждения одного отсека сохранить избыточное дав¬ ление в остальных частях ПК; 4) расчалки; 5) прочие детали (крепежные лапы и параболические пояса, срост¬ ки. коуши, тандеры и т. п.).Примером ПК общестроительного типа являются со¬ оружения, используемые для временных складов, под-1 Матерчатые конструкции с жестким каркасом здесь не рассмат¬ риваются.а Аэробалка, строго говоря, является цилиндрической оболочкой большого удлинения.
328РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВвижных мастерских, проведения зрелищных мероприя¬ тий и др. (рис. 5.150)*. Наиболее распространенной схемой таких ПК является купол или полуцилиндриче- ский свод со сфероидальными окончаниями.Рис. 5.150Особенности расчета ПКРасчет на прочность ПК ведется по нормальным и касательным погонным усилиям, измеряемым в кг/м.Т= at; S = zt.	(5.417)Здесь t — толщина материи или пленки.Другие обозначения для и5 соответственно Nи N2 и //12. Нормальное погонное усилие в специальной ли¬ тературе называется натяжением.Характеристики прочности материалов для ПК даны в таблицах 5.17—5.19.Расчету подлежат обтяжка (оболочка) и каркас. Кар¬ кас обычно представляет собой стержневую систему, со¬ стоящую из надувных брусьев — аэробалок.Оболочка рассчитывается по безмоментной теории (см. 14.3.2); каркас — по правилам расчета стерж¬ невых систем с учетом дополнительных усилий от избы¬ точного давления.Поскольку материалы ПК имеют, как правило, очень большие удлинения, при расчете ПК, кроме по¬ гонных усилий при исходных линейных размерах конст¬ рукции, необходимо определять ее деформации с после¬ дующим уточнением действующих погонных усилий.В оболочке вращения (осесимметричной) под дей¬ ствием внутреннего давления возникают растягивающие меридиональные (продольные) погонные усилия Тх и растягивающие поперечные погонные усилия Т2.От внешней нагрузки, которая рассматривается как распределенная, могут возникнуть усилия Т\и Т2 любо¬ го знака и касательные усилия Si=*S2^S.Нормальные погонные усилия Тх и Т2 связаны соот¬ ношением1 , г* |-	+ — = АР- I Р2	)(5.418)Сюда присоединяют уравнение равновесия отсечен¬ ной части тела вращения.В формуле (5.418) Ар — избыточное давление в кг/м2;Pi и рг — главные радиусы кривизны в м для тела вращения с меридиональным обводом у(х), определяемые по формулам:Р1 = —[d2y~dx*(5.419)Здесьу=у(х) — уравнение кривой меридиана.Поскольку ПК всех типов, кроме закрепления на поверхности за каркас или оболочку, еще, как правило, дополнительно расчаливаются, необходимо определять и усилия в расчалках. Определение последних произво¬ дится с учетом деформаций конструкции.Расчет оболочки, работающей на избыточное давлениеНормальные погонные усилия от избыточного дав¬ ления в оболочках различной формы определяются сле¬ дующими формулами.Шар диаметром dTi = 7\s = Ар•	(5.420)Цилиндр с диаметром поперечного сечения dТг = Ар~(5.421)Конус с углом 2р (нормальные погонные усилия в сечении диаметром d)<54ss>Тело вращения с произвольным меридиональным об¬ водом у = у(х). Нормальные погонные усилия в сече¬ нии диаметром dd7i= АрТ2=Д р —2pi cos В(5.423)1 Из журнала .Техника молодежи" № 9, 1958.Здесь Ь — угол наклона касательной к меридиональ¬ ному обводу в рассматриваемом сечении!5	= arctg у' (х),Расчет аэробалкиРасчет аэробалок ПК основан на следующих допу¬ щениях: 1) применяется принцип независимости дейст¬ вия сил; 2) применяется гипотеза плоских сечений;3)	при расчете в первом приближении не учитываются деформации, возникающие от действия внешних на¬ грузок (деформации поперечных сечений в их плоско¬ сти, прогибы продольной оси, деформации материала);4)	не учитывается собственный вес ПК; 5) аэробалки рассматриваются как тела вращения, образованные вращением кривой вокруг продольной оси балки.В' общем случае для аэробалки, наполненной возду¬ хом под избыточным давлением Ар, с меридиональным обводом, заданным кривой у(х), в случае действия на нее изгибающего момента М(х) и перерезывающей си¬ лы Q(*), погонные усилия могут быть определены по следующим формулам.Меридиональные погонные усилия (угол а см. на рис. 5.151):м (X) . , Ар Fix) /е.Т^х, о)= —;	 sino+ -——	—. (5.424)ny2(*)cos 52ny(*)cos В
5.11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ329Здесь F(x) — площадь рассматриваемого поперечного сечения.Поперечные погонные усилияАру(х)Тг (х,а)=-Суммарное нормальное продольное погонное усилиеcost-7\( х,а)у(х)у" (x)cos25. (5.425) Касательные погонные усилия:QU) М(х)S(х, а)=f-L■ tg Ь\ cosa.(5.426)ку(х) пу2(х)При расчете аэробалки необходимо выдерживать два условия:1)	суммарное погонное усилие (от внешних нагрузок и избыточного давления) не должно превосходить допу¬ скаемого.Поскольку обычно Т2>Ти имеем:г2 < — .ПЗдесь Ть —разрушающее погонное усилие (в табл. 5.17—5.18 величина Ть в соответствии с ГОСТ названа «прочность»);п — коэффициент запаса прочности1;2)	в аэробалке не должно возникать складок, следо¬ вательно, минимальное нормальное погонное усилие не должно быть отрицательным.При расчете только по нормальным погонным усили¬ ям это условие может быть записано так:Ti(x, a)>ОилиA pF(x) ^ М(х)—	^	sin a.2jty(x)cos Ь jry2(x)cos 5При 5=^0 возможны случаи, когда 7’min<0 при Г^О и 7’2>0.Для того чтобы было Тmiib> 0, необходимо соблю¬ дение условия:|5| < 1f Тг-Тъ , 	 (5.427)В предельном случае, когда |5| = VVi-7’2 имеем:^шах = Т\ + Т2] Тmin = 0 .В частном случае круговой цилиндрический аэробал¬ ки диаметром d для расчета можно пользоваться следу¬ ющими формулами.1) Расчет на избыточное давлениеd	2ThТ2 = Ьр— , Т„ > яГ2; Дртах < ■ (5.428)23 с, Ар^ п\ -2) Расчет на сдавливание 4 Р nd2 ’А р2 Ть nd(5.429)Здесь: Р — сжимающая сила, л —запас прочности ма¬ териала, пх — запас прочности конструкции, работаю¬ щей на сжатие.3) Расчет на растяжениеТ\ = А р 4) Расчет на изгиб4 cos Ьnd cos 8 8M„yM„d' шах	nrи		11min= ±nd3 nd2(5.430)(5.431)1 Примерное значение коэффициента запаса прочности иэ практики воздухоплавания п=2—4.Л = Ар ~ ±4МИ4 я d2Минимально необходимое избыточное давление 16 МиАр-nd*Из условия прочности материала 4ГА 	ь_ 1ЬА1ИАр < —nd ndA(5.432>(5.433)*(5.434)*Рис. 5.1515) Расчет на сдвиг (рис. 5.151)с Qd2 . 2 Q .S = —— sin а —	sin а47*	ndQd21 zYT(5.435)*(5.436)Максимальное касательное погонное усилие в дав- ном сечениио^шах — , • ndОпределение деформаций ПКПосле расчета действующих погонных усилий про¬ изводится определение деформаций, необходимость ко¬ торого вызывается неоднородностью и большими удли¬ нениями материалов ПК.Ткани и пленки имеют, как правило, неодинаковые удлинения по различным направлениям, поэтому де¬ формация ПК зависит от соотношения погонных уси¬ лий, действующих по взаимно-перпендикулярным на¬ правлениям. Значения удлинений содержатся в так называемых нормальных и касательных характеристи¬ ках, определяемых экспериментальным методом двух¬ осного нагружения образца.Нормальная характеристика (рис. 5.152) представ¬ ляет собой семейство кривых, снятых в координатах погонные усилия — удлинения для различного сочета¬ ния усилий, действующих по двум взаимно-перпенди¬ кулярным направлениям. Нормальная характеристика всякой материи выражается двумя диаграммами, от¬ дельные кривые которых дают относительные удлине¬ ния материи е по одному из направлений, при изме¬ няющемся погонном усилии Т по этому направлению и постоянном усилии по другому направлению. Имея нормальную характеристику выбранного материала, для каждого значения нормального погонного усилия легко определить деформацию в требуемом направлении. Полученные величины деформаций позволяют опреде- , лить измененные размеры конструкции и в случае необ-
330РАЗДЕЛ 5 СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВходимости уточнения действующих погонных усилий рассчитать их значения.Нормальная характеристика служит также для оп¬ ределения модуля упругости материи Е, который яв¬ ляется переменной величиной и определяется как уголОсноваOJk 0,12 0,10 0,080,06 00 0,02 0 0,02 OOk 0fl6 0,08 Ojti -	е укорочение	+ е удлинениеУток0,100080,06Ор<* OJJ2 0 0t02 OOk 0,06 0080,1 Q12 0ЛЛ-	е укорочение	+ е удлинениеРис. 5.152Т2=Э00470,100,05о0.05У' ^г J*•/// ///s L/ уГ У’ /&укг/мРис. 5.153наклона касательной к кривой растяжения о точке, со¬ ответствующей заданному погонному усилию. Модуль упругости, как и погонное усилие, имеет размерность кг/м.	'*Для определения деформаций от касательных погон¬ ных усилий служат касательные характеристики (рис. 5.153), отображающие зависимость тангенса угла сдвига от касательных погонных усилий по двум вза¬ имно-перпендикулярным направлениям при постоянных значениях нормальных погонных усилий по этим же направлениям. Касательные характеристики позволяютопределить модуль сдвига G (кг/м), который находится так же как и модуль упругости Е.Имея значение модуля упругости Е и модуля сдвига G, тем же путем, что и при расчете обычных балок (см. 5.5), можно получить форму упругой линии при изгибе и при сдвиге и определить прогибы аэробалки.Для определения полного значения прогиба величи- чгы прогибов от изгиба и от сдвига алгебраически скла¬ дываются.Следует помнить, что в соответствии с принципом расчета ПК по погонным усилиям, а не по напряжени¬ ям, размерность модулей и моментов инерции понижает¬ ся на степень.*	При расчете аэробалки, наполненной газом, следует учитывать, что поперечные сечения не сохраняют круго¬ вую форму, а вытягиваются. Поэтому в расчетные фор¬ мулы необходимо вводить значения моментов инерции и статического момента, вычисленные для деформиро¬ ванного сеченияМатериалы для ПКОсновными материалами, применяемыми для из¬ готовления ПК, являются ткани или пластмассовые пленки. Применяются ткани на основе естественных волокон (хлопчатобумажные и шелковые) и на основе искусственных волокон — капроновые. Структура тка¬ ни, представляющей собой переплетение нитей (в свою очередь составленных из волокон), и обусловливает ее анизотропность.Тканям для ПК придается свойство воздухоне¬ проницаемости путем изготовления их из одного или нескольких слоев материи с покрытием одним или несколькими воздухонепроницаемыми слоями резины, пластмассы, лака.В зависимости от характера работы ткани в кон¬ струкции составляющие ее слои материи накладыва¬ ются так, чтобы главные их направления (основа и уток) располагались параллельно друг другу или под углом. Материя первого типа («параллельно-дублиро- ванная») способна воспринимать только нормальные погонные усилия, материя второго типа («диагонально- дублированная») воспринимает и касательные погон¬ ные усилия, а, кроме того, хорошо сопротивляется раз¬ диранию.Основными характеристиками материй являются их прочность на разрыв, удлинение, вес и воздухонепрони¬ цаемость. Данные для некоторых типов материй, при¬ меняемых при изготовлении ПК, приведены в табл. 5.17.В настоящее время широкое применение в ПК на¬ ходят пластмассовые пленки, прежде всего полиэтиле¬ новые и полиэтилентерефталатные, представляющие со¬ бой продукт полимеризации этилена. Основными поло¬ жительными качествами этих пленок являются очень малый вес, прозрачность, малая толщина и высокая прочность (особенно полиэтилентерефталата). Некото¬ рые данные для этих пленок приведены в табл. 5.18.Поскольку указанные пленки обладают некоторой анизотропией, методика их расчета аналогична расчету тканей.В качестве крепежных и усилительных элементов в ПК используются хлопчатобумажные, льняные, капроновые и стальные тросы. Любые тросы способны восприни¬ мать только растягивающие нагрузки, поэтому основ¬ ными их характеристиками являются разрывное усилие, измеряемое в кг, и относительное удлинение при раз¬ рыве. Данные по отдельным видам тросов приведены в табл. 5.19.Для соединения отдельных элементов ПК применя¬ ются нитки и клеи различных марок. Нитки характе-
5.11. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ	Основные характеристики материй для ПК	 331Таблица 5.17Прочность в ке/мУдлинение в %Г азопроницаемость в л/jk2НаименованиеГОСТВесТолщиназа 24 часасилиТУв г!мв ммПримечаниес"макси¬мини¬%основаутокосноваутоксредняямальнаямальная1Ткань хлопчатобумажнаяГОСТ+ 10ACT-100	2328-431950,34—0,41 8001 8001515—1 500750	2Полотно льняное АЛВК . . .СМТУ220 +102400,34—0,381 8001 8001111				3Полотно плащевое гладко¬ГОСТл +15—160—160крашеное арт. 610 ....7297-54301 —0,521 740 1DU162022,714,4—			4Парусина льняная арт. 383 . .ГОСТ+320,76—0,80—360—2005683-51475“3 5201 70014—165—7				5Перкаль Б-1 арт. 820 ....ГОСТ65—70—801102-43ГОСТ520 ' —40520	4058380—700800280Газопроница¬ емость по воз¬ духу6Майя арт. 272П	1102-4390—500—60360—60322500—9501 150400То же7Миткаль арт. 581П 	110—6404203,522200—7008501508Ткань капроновая арт. 1520 .ВТУ108-531160.221 9001 9002,62,695—350		9Баллонная материя однослой¬ТУная 590 	3819-541500,18—0,20480460Не лимитиру¬ ется—750—Газопрони¬цаемость10Баллонная двухслойная диаго¬по водородунально-дублированная ма¬терия № 500 	250—2700,30—0,35530500Тоже12——То же11Полотно из натурального шелка арт. 14196/1524 . . .ВТУ1009-5550-7407201314365600300Газопрони¬ цаемость по воздухуОсновные характеристики пластмассовых пленок	Таблица 5.18№п/пСтрана-изготовительНаименованиеТолщина в мкВес в г/м7Прочность при разру¬ шении в кг!м.Удлинение е при разру¬ шении в %Удельная прочность в кг/см*продольноенаправ¬лениепоперечноенаправ¬лениепродольноенаправ¬лениепоперечноенаправ¬лениепродольноенаправ¬лениепоперечноенаправ¬ление1СССРПолиэтилен 	30 ±52855484185501671452ФРГ• 	зо±102885682757842662133СССР,40±103775693335251781644б0±5541001035606181651725СШАМайлар1	16±215170.118545410589856ФРГХостафан1	2328550320501022 4001 4007*Хостафан	4056100090066812 50019201 Принятые в США и ФРГ названия полиэтилентерефталата.	Основные характеристики тросов и канатов для ПК№п/пНаименованиеДиаметр в ммВес в г/мКрепость при разрыве в кгУдлинение в %Примечание1Трос стальной простого переплетения ....218325—Из 7 проволок и металличе¬40640ского сердечника2Трос стальной с мягким сердечником ....3—Из 6 прядей по 7 проволок3То же	4,5871 470—То же4	61482 400—Из 7 прядей по 19 проволок5Трос стальной гибкий 		340760—Из 7 прядей по 7 проволок6То же . 	5,51362 200—То же79382* 5 850—84751270—Из 6 прядей по 19 проволок2 440и металлического сердечника9То же	6144—То же109,53466 400—11Канат льняной ГОСТ 1765-42 	8415001812То же	1060720181312859502014141201 2202215Шнур хлопчатобумажный ШХБ-36 ТУ 25-49 .553614—2516Шнур шелковый ТУ 296-51 ....—7,51302217Шнур капроновый кольцевого сечения плете¬70035ный ШКК18-700 ВТУ 1534-51 	1833
332РАЗДЕЛ 5 СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВризуются прежде всего их крепостью — величиной сопротивления разрыву и номером, представляющим отношение длины L нитки в километрах к весу нитки длиной L в килограммах:Качество клея определяется его сопротивлением раздиру. При изготовлении ПК требуется, чтобы проч¬ ность склеенного места была выше прочности целого материала.Элементы ПК, изготовленные из материй, соединя¬ ют склейкой их краев в стык или внахлест с последую¬ щей прошивкой шва нитками в один или два ряда и заделкой шва лентами, обеспечивающими его воздухо¬ непроницаемость.Элементы ПК, изготовленные из пленок, соединяют¬ ся склейкой краев специальными клеями или сваркой краев (расплавлением соединяемых поверхностей).ЛИТЕРАТУРА (см. также [121])1.	Ад а Дуров Р. А., Определение касательных напряжений в тонкостенных конструкциях вблизи за¬ делки. Труды ЦАГИ, вып. 615, 1947.2.	Афанасьев А. М., Байков В. Г., Г е м- мерлингА. В. и др., Сборник задач по расчету тон¬ костенных конструкций, под ред. А. А. Уманского, Обо- ронгиз, 1941.3.	А ф а н а с ь е в А. М., К а л и н и н Н. Г., М а р ь- и н В. А., Основы строительной механики, Оборонгиз,1951.4.	Балабух Л. И. Расчет на прочность кониче¬ ских кессонов. Труды ЦАГИ, вып. 640, 1947.5.	Безухов Н. И., Гольденблат И. И. и др., Теория сопротивления материалов, изд. академии им. Ф. Э. Дзержинского, 1959.6.	Безухов Н. И., Рамные конструкции. Расчет и конструирование, М., Гостехиздат, 1931.7.	Беляев Н. М., Сопротивление материалов, Гос¬ техиздат, 1953.8.	Вернадский Н. М., Символический расчет жестких стержневых систем. Труды Среднеазиатского опытно-исследовательского института водного хозяй¬ ства, Ташкент, 1929.9.	Бернштейн С. А., О расчете гибкого кольца. Сборник «Исследования по теории сооружений», ОНТИ, 1936.10.	Бернштейн С. А., Основы расчета статически неопределимых систем, Главн. ред. строительной лите¬ ратуры, 1936,И. Бернштейн С. А., Сопротивление материа¬ лов, изд. академии им. И. В. Сталина, 1946.12.	Б о г о л ю б с к и й В. И., Голубев И. М., А м и т и н И. И., Проволочные канаты, Металлургиз¬ дат, 1953.13.	Боковой Н. В., Расчет подвесок проводов электротяговой сети, издание ЛИИЖГ, 1956.14.	Бондарь Н. Г., Формулы и таблицы для рас¬ чета бесшарнирных сводов железнодорожных массив¬ ных мостов на горизонтальные поперечные нагрузки. Труды Днепропетровского института инженеров ж.-д. транспорта, вып. 23, 1953.15.	Бро>де Б. М., Распределение сосредоточенного давления в металлических балках, Стройиздат, 1950.16.	Бычков Д. В., Формулы и графики для рас¬ чета рам, Госстройиздат, 1957.17.	Бычков Д. В., Расчет балочных и рамных си¬ стем из тонкостенных элементов, Стройиздат, 1948.18.	Б ы ч к о в Д. В., М р о ш и н с к и й А. К., Кру¬ чение металлических балок. Теоретические и экспери¬ ментальные исследования и практические приемы рас¬ чета, Стройиздат, 1944.19.	Вайнберг Д. В., Чудновский В. Ги Про¬странственные рамные каркасы инженерных сооруже¬ ний, Киев, Гостехиздат Украины, 1948.20.	Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни, Стройиздат, 1940; Физматгиз, 1959.21.	Власов В. 3., Строительная механика тонко¬ стенных пространственных систем, Стройиздат, 1949 и 1958.22.	Г а а с Р., Д и т ц и у с А., Растяжение материи и деформации оболочек мягких воздушных кораблей, Гостехиздат, 1931.23.	Галеркин Б. Г., К расчету безраскосных ферм и жестких рам, Гостехиздат, 1926.24.	Гастев В. А., Краткий курс сопротивления ма¬ териалов, Физматгиз, 1959.25.	Гвоздев А. А., Обобщенный графоаналитиче¬ ский метод, «Строительная промышленной», 1924, Ко 5, 6.26.	Гвоздев А. А., Общий метод расчета сложных статических неопрепелимых систем, изд. МИИТ, 1927,26а. Геммерлинг А. В., Трофимов В. И., М и л е й к о в с к и й И. Е., К о ч е р г о в а Е. Ем Иссле¬ дование работы рамных конструкций. Научное сообще¬ ние ЦНИПС, вып 21, Госстройиздат, 1955.27.	Г л у ш к о в Г. С., Инженерные методы расчетов на прочность и жесткость, Машгиз, 1949.28.	Г олушкевич С. С., К вопросу о расчете рам. Труды Ленингр. института инженеров промышленного строительства, вып. 1, 1943.29.	Г о р б у н о в Б. Н., Расчет пространственных рам из тонкостенных стержней, «Прикладная матема¬ тика и механика», т. 7, вып. 1, 1943.30.	Горбунов Б. Н., Кротов Ю. В., Основы расчета пространственных рам, Главн. ред. строитель¬ ной литературы, 1936.31.	Горбунов Б. Н. и С т р е л ь б и ц к а я А. И., Теория рам из тонкостенных стержней, Гостехиздат,1948.32.	Горбунов Б. Н. и Стрельбицкая А. И., Расчет прочности тонкостенных стержневых систем. Сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. I, Машстройиздат, 1950.33.	Г о ф м а н Ш. М, Новый способ расчета же¬ стких рам. Трупы Ташкентского института инженеровж.-д. транспорта, 19.17.34.	Гофман 111. М., Расчет плоских и простран¬ ственных рам способом группового последовательного уравновешивания. «Труды института сооружений АН Узб. ССР», вып. I, 1950.35.	Григорьев В. В., Расчет неразрезных наплав¬ ных мостов. «Вестник ВИА», Сборник по строительной механике № 3, 1934.
ЛИТЕРАТУРА33336.	Д а в ы д о в С. С., Расчет и проектирование под¬ земных конструкций, Госстройиздат, 1950.37.	Дар ков А. В., Кузнецов В. И., Статика со¬ оружений, Трансжелдориздат, 4-е изд., 1951.38.	Джанелидзе Г. Ю., Па но в ко Я. Г., Ста¬ тика упругих тонкостенных стержней, Гостехиздат, 1948.39.	Д з е р ж к о в и ч Б. А., К вопросу о расчете мно¬ гоэтажных и многопролетных рам на горизонтальную на¬ грузку. Сборник трудов НИИ по строительству, вып. I, Стройиздат, 1949.40.	Д з е р ж к о в и ч Б. А., Работа заполнения стен каркасного многоэтажного здания при ветровой нагруз¬ ке. Сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. IV, Госстройиздат, 1958.41.	Длугач М. И., О расчете тонкостенных стерж¬ ней, усиленных решеткой или планками. Сборник «Рас¬ чет пространственных конструкций», вып. I, Машстрой- издат, 1942.42.	Д л у г а ч М. И., Крутильная жесткость тонко¬ стенного стержня, усиленного решеткой. Сборник тру¬ дов Института строительной механики АН УССР № 11,1949.43.	Д у к е л ь с к и й А. И., Расчет канатов и мощ¬ ности лебедки кабельных кранов, ГНТИ, 1932.44.	Дукельский А. И., Подвесные канатные до¬ роги и кабельные краны, Машгиз, 1951.45.	Дутов Г. Д., Расчет балок на упругом основа¬ нии, Л., «Кубуч», 1929.46.	Е г е р е в К. Е., Теория и практика расчета рам по способу угловых деформаций, Ашхабад, изд. АН Туркменской ССР, 1953.47.	Ж е м о ч к и н Б. Н., Расчет статически неопреде¬ лимых рамных систем. Способ угловых деформаций, Госиздат, 1927.48.	Ж е м о ч к и н Б. Н., Расчет статически неопре¬ делимых рамных систем. Способ угловых фокусов, Гос¬ стройиздат, 1932.49.	Же мочки н Б Н., Расчет рам, Госстройиздат, 1933.49а. Ж е м о ч к и н Б. Н., Некоторые гидростатиче¬ ские аналогии, Труды МИИТ, вып. 5, 1927.50.	3 а в р и е в К. С., Расчет арочных мостов, Гос- трансжелдориздат, 1956.51.	Ильюшин А. А., Л е н с к и й В. С., Сопротивле¬ ние материалов, Физматгиз, 1959.52.	К а л м а н о к А. С., Пространственная работа сборных многоэтажных зданий, Стройиздат, 1956.53.	К а м е н ц е в П. Я., Д учи некий Б. Н., Бес- шарнирные арочные мосты. Расчет по методу Штрассне- ра и данные для проектирования, Транспечать, 1928.54.	К а н С. Н., П а н о в к о Я. Г., Элементы строи¬ тельной механики тонкостенных конструкций, Оборонгиз,1952.55.	К а н С. Н., Школьный П. А., Расчет откры¬ тых оболочек, Изд. ХВАИВУ, 1958.56.	К а р т а ш о в К. Н., Построение инфлюентных линий, «Проект и стандарт» № 9, 1935.57.	К а р я к и н Н. И., Основы расчета тонкостен¬ ных конструкций, Минск, изд. Белорусского института инженеров ж.-д. транспорта, 1955.58.	К а т а н с к и й В. В., Проектирование баллонно¬ такелажных конструкций и оборудования оболочек воз¬ душных судов, ОНТИ, 1936.59.	Ка чур ин В. К., Расчет бесшарнирных симме¬ тричных сводов, изд. «Советская наука», 1942.60.	К а ч у р и н В. К., Гибкие нити с малыми стрел¬ ками, Гостехтеоретиздат, 1956.61.	Кирпичев В. А., Основания графической ста¬ тики, Гостехиздат, 1933.62.	Кирпичев В. А., Лишние неизвестные в стро¬ ительной механике, Гостехиздат, 1934.63.	Киселев В. А., Балки и рамы на упругом ос¬ новании, Стройиздат, 1936.64.	Киселев В. А., Рациональные формы арок и подвесных систем, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1953.65.	Киселев В. А., Строительная механика, Гос¬ стройиздат, 1960.66.	К л е й н Г. К., Применение способа распределе¬ ния моментов к расчету пространственных рам. Сбор¬ ник трудов Института Моссовета, вып. 1, 1940.67.	Клишевич Г. В., Расчет балок на упругом основании и применение его к расчету фундаментов ги¬ дротехнических сооружений, Госэнергоиздат, 1932.68.	Коган Л. А., Расчет пространственных рам по методу распределения моментов защемления. Сборник «Исследования по теории сооружений», вып. VI, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1954.69.	Коренев Б. Г., Вопросы расчета балок и пЛ'ит на упругом основании, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1953.70.	Ко рн ев иц Э. Ф. и Эн дер Г. В., Формулы для расчета балок на упругом основании, Госстройиз¬ дат, 1932.¥1. Крылов А. Н., О расчете балок, лежащих на упругом основании, изд. АН СССР, 1930.72.	Кузнецов В. И., Упругое основание, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1952.73.	К у т у к о в Б. Н., Расчет регулярных плоских си¬ стем и биконструкций методом бесконечной основной системы. Сборник «Расчет пространственных конструк¬ ций», вып. II, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1951.74.	К у ш е л е в Ю. И., О расчете составных балок с учетом упругой и пластической деформации связей, Тру¬ ды ЛПИ № 5, 1949.75.	Лауль X. X., Расчет цилиндрических оболо¬ чек с криволинейными частями, очерченными по окруж¬ ности. Труды Таллинского политехи, института, № 50, 1953.76.	Л у н и н Б. С., Балки постоянного сечения на упругом основании, Л., «Кубуч», 1933.77.	Л я п и н М. В., Расчет ветровой коробки высот¬ ного здания. Сборник «Расчет пространственных кон¬ струкций», вып. III, Стройиздат, 1955.78.	Л ь в и н Я. Б., Применение обобщенных фокус¬ ных отношений к решению трехчленных уравнений стро¬ ительной механики. Сборник «Исследования по теории сооружения», вып. 8, Госстройиздат, 1959.79.	Л ь в и н Я. Б., Рациональные методы расчета многоэтажных рам на горизонтальную нагрузку. Там же.80.	М а л а м с к т Л. И., Расчет балочно-рамных си¬ стем без решения совместных уравнений (метод на¬ чальных параметров). «Труды Высшего военно-морско¬ го училища» № 8, Л., 1955.81.	Мали ев А. С., Балки на упругом основании с переменным по их длине коэффициентом постели. «Тру¬ ды Ленинградского института инженеров промышленно¬ го строительства», вып. 6, 1938.82.	М а р к в а р д т К. Г. и М а р к в а р д т Г. Г., Контактная сеть городских электрических дорог, Изд. Министерства коммунального хозяйства РСФСР, 1948.83.	Марьин В. А., Приближенный расчет коротких открытых цилиндрических оболочек. Сборник «Расчет
334РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА БРУСА И СИСТЕМ БРУСЬЕВпространственых конструкций», вып. 1, Машстройиздат, 1950.84.	Мат те с Н. В., Влияние общего изгиба на ме¬ стную прочность и вибрацию речных судов, Изд. МРФ,1950.85.	Мацелинский Р. Н., Расчет жесткости гиб¬ ких висячих мостов. Сборник трудов МИСИ «Строи¬ тельные конструкции» № 4, Стройиздат, 1940.. 86. Мацелинский Р. Н., Статический расчет гибких висячих конструкций, Стройиздат, 1950.87.	Мацелинский Р. Н., Статический расчет упру¬ гих нитей. «Строительная механика и расчет сооруже¬ ний» № 4, 1959.88.	Микеладзе Ш. Е., Некоторые задачи строи¬ тельной механики. Гостехтеоретиздат, 1948.89.	Никифоров С. Н., Сопротивление материа¬ лов, Стройиздат, 3-е изд., 1944.90.	Никольский Е. Н., Деформации и напряже¬ ния в цилиндрических оболочках и тонкостенных стерж¬ нях с неизгибаемым контуром поперечного сечения, «Известия АН СССР» ОТН № 6, 1956.91.	Новиков А. М., Таблицы для расчета труб, сводов и арок, Госстройиздат, 1942.92.	Новиикий В. В., Приближенные методы рас¬ чета на прочность замкнутых цилиндрических оболочек с неизменяемым контуром поперечного сечения. Сбор¬ ник «Расчет пространственных конструкций», вып. IV, Госстройиздат, 1958.	*93.	Осипов В. П., Расчет балок на упругих опорах, Госстройиздат, 1957.94.	П а п к о в и ч П. Ф., К вопросу о применимости процесса последовательных приближений к изгибу ба¬ лок, лежащих на упругом основании. «Прикладная ма¬ тематика и механика», т. I, вып. 2, 1937.95.	П а п к о в и ч П. Ф., Строительная механика ко¬ рабля, ч. I, II, Судпромгиз, 1941—1947.96 П а п к о в и ч П. Ф., Труды по прочности кораб¬ ля, Судпромгиз, 1950.97.	Пастернак П. Л., Графический расчет нераз¬ резных балок на свободно и упруго вращающихся опо¬ рах по методу центров тяжести масс, Гостехиздат, 1950.98.	П а с т е р н а к П. Л., Исследование простран¬ ственной работы монолитных железобетонных конструк¬ ций. Сборник трудов МИСИ «Строительные конструк¬ ции» № 4, Стройиздат, 1940.99.	П а с т е р н а к П. Л., Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помо¬ щи двух коэффициентов постели. Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1954.100.	Пастернак П. Л., Основы нового метода расчета жестких и гибких фундаментов на упругом ос¬ новании. Сборник трудов МИСИ № 14, Госстройиздат, 1956.101.	П леш ко в П. Ф., Теория расчета деревянных составных стержней, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1952.102.	Перельштейн Н. Л., Таблицы для расчета статически неопределимых систем, Гостехиздат, 1931.103.	П е р е л ь ш т е й н Н. Л., Приближенные мето¬ ды расчета рам. Промсгройпроект. Справочник инжене- ра-проектировшика промсооружений, т. II, Госстройиз¬ дат, 1934.104.	Полозов Н. П., Баллонные материи и таке¬ лаж, ОНТИ, 1934.105.	Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Ли- харевК. К., Малинин Н. Н., МакушинВ. М.,Феодосьев В. И., Расчеты на прочность в машино¬ строении, ч. I, II, III, 1956—1959, Машгиз.106.	Попов А. А., Метод ортогональных фокусов в строительной механике, Гос. изд. лит. по стр. и арх.,1953.107. Попов А. А., Сопротивление материалов, Маш¬ гиз, 1958.108.	Пратусевич Я. Л., Вариационные методы в строительной механике, Гостехиздат, 1948.109.	Прокофьев И. П., Теория сооружений, Трансжелдориздат, 4-е изд. ч. I и II, 1947, ч. III, И. П. Прокофьев и А. Ф. Смирнов, 1948.110.	П узы ре век и й Н. П., Основания и фунда¬ менты, 1923 (литографское изд.).111.	Рабинович И. М., Кинематический метод в строительной механике, изд. МВТУ, 1928.112.	Рабинович И. М., К расчету многоярусных рам. Труды Высшего инж.-строит, училища (ВИСУ), Гостехиздат, 1931.113. Рабинович И. М., К теории статически не¬ определимых ферм. Законы распределения усилий; ме¬ тод заданных напряжений; начальные усилия в стати¬ чески неопределимых фермах. Центральный научно-ис- след. . институт транспортного строительства НКПС, Трансжелдориздат, 1933.114.	Рабинович И. М., Некоторые упрощения ме¬ тода фокусов. Сборник «Рамы и фермы пространствен¬ ные и плоские», Госстройиздат, 1933.115.	Рабинович И. М., Обобщения метода сил. Там же.116.	Р а б и н о в и ч И. М., Методы расчета рам, т. I, II, III, Госстройиздат, 1931—1937.117.	Рабинович И. М., Контрольные равенства для фокусных отношений, вытекающие из принципа взаимности. Сборник «Исследования по теории соору¬ жений», вып. 2, Главн. ред. строительной литературы, 1936.118.	Рабинович И. М., Расчет неразрезных ба¬ лок на жестких и упругих опорах методом заданных моментов и напряжений. Там же.119.	Рабинович И. М., Курс строительной меха¬ ники стержневых систем, ч. I, Статически определимые системы, Стройиздат, 1950.120.	Рабинович И. М., Курс строительной меха¬ ники стержневых систем, ч. II, Статически неопредели¬ мые системы, Госстройиздат, 1954.121.	Рабинович И. М. (ред.), Строительная ме¬ ханика в СССР. 1917—1957, Госстройиздат, 1957.122.	Рабинович И. М., Основы строительной механики стержневых систем, изд. 2-е, 1956.123.	Ра бот нов Ю. Н., Сопротивление материалов, изд. Московского университета, 1950.124.	Раппопорт Р. М., Статика тонкостенных стержней, составленных из ветвей, соединенных план¬ ками. Сборник ;Расчет пространственных конструкций», вып. IV, Госстройиздат, 1958.125.	Р ж а н и ц ы н А. Р., Теория составных стерж¬ ней строительных конструкций, Стройиздат, 1948.126.	Р ж а н и ц ы и А. Р., Расчет тонкостенных стер¬ жней ступенчато-переменного сечения. Сборник «Иссле-. дования по теории сооружений», вып. V. Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1951.127.	Ржаницын А. Р., К вопросу о теоретическом весе стержневых конструкций. Сборник «Исследования по теории сооружений», вып. 4, Стройиздат, 1949.128.	Риппенбейн Я. М., К расчету плоских и
ЛИТЕРАТУРА335пространственных статически неопределимых систем. Сборник «Рамы и фермы пространственные и плоские», Госстройиздат, 1933.129.	Риппенбейн Я. М., Исследование сжатых и растянутых стержней на упругом основании. Сбор¬ ник «Исследования по теории сооружений», вып. IV, Стройиздат, 1949.130.	Рогицкий С. А., Расчет плоских и простран¬ ственных рам методом последовательных приближений способ (Харди Кросса), Свердловск — Москва, 1939.131.	Рогицкий С. А., Расчет рам, Машгиз, 1948.132.	Савицкий Г. А., Основы расчета радиомачт, Связьиздат, 1953.132а. Сборник «Исследование прочности и устойчи¬ вости деревянных стержней», ЦНИПС, 1940.133.	Сегаль А. И., Высотные сооружения. Расчет на прочность, жесткость и устойчивость, Стройиздат,1949.134.	Сегаль А. И., Прочность и устойчивость судо¬ вых перекрытий. Изд. «Речной транспорт», 1955.135.	Сегаль А. И., О расчете несимметричной цик¬ лической системы. Сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. II, Госстройиздат, 1951.136.	Симинский К. К., Строительная механика. Системы с лишними стержнями, Киев, «Кубуч», 1927.137.	С и м и н с к и й К. Км Строительная механика. Неразрезные балки, изд. Киевского политехнического института, 1930.138.	Смирнов П. С., Расчет рам методом Кросса, «Вестник инженеров и техников» № 2, 1934.139.	Сое и с П. М., Расчет рам методом разгонки узловых деформаций, «Доклады АН УССР» № 5, 1950 (на укр. яз.).140.	С о с и с П. М., Расчет рам способом перерас¬ пределения начальных значений неизвестных, Киев, Гостехиздат УССР, 1952.141.	Сое и с П. М., О методах расчета статически неопределимых стержневых систем. Сборник «Исследо¬ вания по теории сооружений», вып. VI, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1954.142.	С о си с П. М., Ха ка лов Б. П., Расчет не- разоезных и перекрестных балок, Стройиздат УССР, 1958.143.	Справочник инженера-проектировщика промсо- оружений, т. II — расчетно-теоретический. Промстрой- проект, Госстройиздат, 1934.144.	С т а в р а к и Л. Н., Расчет прочности простран¬ ственных каркасов из тонкостенных стержней открыто¬ го симметричного профиля. Сборник «Расчет простран¬ ственных конструкций», вып. II, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1951.145.	Ста в раки Л. Н., Пространственные прямо¬ угольные рамы из тонкостенных стержней, гл. V кни¬ ги [191.146.	Суханов С. М., Расчет рам и неразрезных балок методом распределения моментов заделки. Таш¬ кент, 1936.147.	Тимошенко С. П., Статика сооружений, Гос¬ стройиздат, 1934.148.	Т и м о ш е и к о С. П., Сопротивление материа¬ лов, Гостехиздат, т. I, изд. 4-е, 1945, т. II, изд. 2-е, 1946.149.	Тимошенко С. П., История науки о сопро¬ тивлении материалов с краткими сведениями из теории упругости и теории сооружений, Гостехтеоретиздат, 1957.150.	Т у р к и н К. Д., Расчет цилиндрической оболоч¬ ки при стесненном кручении на основе новой гипотезы.Сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. III, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.151.	Уманский А. А., Статика и кинематика рам¬ ных конструкций» Киев. изд. АН УССР, 1932.152.	Уманский А. А., О расчете балок на упругом основании, Дориздат, 1933.153.	Уманский А. А., Специальный курс строи¬ тельной механики, ч. I, Балки переменного сечения. Балки на упругом основании. Решение уравнений. Спра¬ вочные таблицы, ОНТИ, 1935.154.	Уманский А. А., Специальный курс строи¬ тельной механнки, ч. II. Многопролетные балки на упру¬ гих опорах. Плоские и пространственные рамы. Строй* издат, 1940.155.	Уманский А. А., Расчет брусьев по методу начальных параметров. Справочное пособие. Изд. ака¬ демии им. Н. Е. Жуковского, 1956.156.	Уманский А. А., Кручение и изгиб тонко¬ стенных авиаконструкций, Оборонгиз, 1939.157.	Уманский А. А., Наплавные мосты, Транс¬ желдориздат, 1939.158.	Уманский А. А., Пространственные системы, Стройиздат, 1948.159.	Уманский А. А., Тонкостенные трубы и стер¬ жни с замкнутым профилем. Энциклопедический спра¬ вочник «Машиностроение», т. I, кн. 2, Машгиз, 1948.160.	Уманский А. А., Схемы инженерных соору¬ жений, Киев, изд. КПИ, 1930.161.	Уманский А. А., О редуцировании площадей при вычислении моментов инерции, «Строительная ме¬ ханика и расчет сооружений» JVe 1, 1959.162.	Уманский А. А., Вольмир А. С., Кода- нев А. И., Курс сопротивления материалов, под ред. А. А. Уманского, ч. I и II, Изд. академии им. Н. Е. Жу¬ ковского, 1953—1954.163.	Уманский А А., К у т у к о в Б. Н., Расчет неразрезных наплавных мостов. Сборник «Расчет про¬ странственных конструкций», вып. Ill, Гос. изд. лит. ПО' стр. и арх., 1955.164.	Урбан И. В., Теория расчета статически не¬ определимых конструкций, Трансжелдориздат, 1937.165.	Урбан И. В., Теория расчета тонкостенных конструкций, Трансжелдориздат, 1955.166.	Феодосьев В. И., Избранные задачи и во** просы по сопротивлению материалов, Гостехтеоретиздат,1950.167.	Феофанов А. Ф., Расчеты тонкостенных кон¬ струкций, Оборонгиз, 1958.168.	Ф и л о н е н к о-Б о р о д и ч М. М., Основы те¬ ории работы упругих сил в плоских системах, Гостехиз¬ дат, изд. 2-е, 1932.169.	Ф и л о н е н к с-Б о р о д и ч М. М., Некоторые приближенные теории упругого основания, «Ученые за¬ писки МГУ», вып. 46, 1940.170.	Ф и л с и е н к о-Б о р о д и ч М. М., И з ю- мов С. М., О лисов Б. А., Кудрявцев И. Н., М а л ь г и н о в А. И., Курс сопротивления материалов, под общей редакцией Филоненко-Бородича М. М., Гос¬ техтеоретиздат, ч. I и II, 1956.171.	Хаяси Кейити, Теория расчета балки на упругом основании в применении к фундаментострое- нию, Гостехиздат, 1930.172.	Цаплин С. А., Висячие мосты, Дориздат, 1949.173.	Цибуля Б. П., Изгиб и кручение тонкостен¬ ных конических оболочек. Сборник «Расчет простран¬ ственных конструкций», вып. I, Машстройиздат, 1950.
336ЛИТЕРАТУРА174.	Шагин П. П., Расчет многоярусных рам спо¬ собом последовательного сопряжения, Л.—М., Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1954.175.	Шагин П. П., Расчет сборных каркасно-па¬ нельных зданий, Госстройиздат, 1959.176.	Шайкевич В. Д., Матричный метод расчета регулярных стержневых систем, Сборник «Расчет про¬ странственных конструкций», вып. IV, Госстройиздат, 1958.177.	Ягн Ю. И., Изгибно-крутильные деформации тонкостенных стержней открытого профиля, М., Гостех- издат, 1952.	t178.	Ягн Ю. И., Расчет стержней и стержневых си¬ стем по методу аналогий, «Прикладная математика и механика», т. III, вып. 1, 1936.179.	Cross Н., Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed—End Moments. Proceedings of the American Society of Civil Engineers, vol. 56, № 5, 1930;Transactions of the American Society of Civil Engineers, vol. 96, 1932, p. 1—10.Discussion — Transactions ASCE, vol. 96, 1932, p. 11—156.180.	Kloucek С. V., Distribution of Deformation, III изд., Прага, 1955.181.	Mohr О., Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik, изд. 3-e, W. Ernst, Berlin, 1928.182.	M u 1 1 e г-В г e s 1 a u H., Die graphische Statik der Baukonstruktionen, т. I, т. II 1-я и 2-я часть, А. Кбгпег, Leipzig, 1922—1927.183.	Pasternak P., Berechnung vielfach statisch unbestimmter biegefester Stab- und Flachentragwerke, Zurich, 1927.184.	Pasternak P., Baustatische Theorie biegefester Balken und Platten auf elastischer Unterlage, «Beton u. Eisen», 1926, H.9.
РАЗДЕЛ 6РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙРешение системы уравнений с небольшим числом неизвестных (до трех) выполняется по правилам, ука¬ занным в 1.1.8, либо на основании правил элементарной алгебры.При расчетах сложных статически неопределимых си¬ стем всегда приходится решать большие системы линей¬ ных уравнений. Для удобства решения, для уменьшения вероятности ошибок и для ускорения работы необходимо придерживаться определенного порядка — вести вычис¬ ления по определенной схеме. На практике применяются два способа решения уравнений: способ подстановки, на¬ зываемый способом Гаусса, и способ последователь¬ ных приближений. При машинном счете применяются и другие способы (см. 6.3, 6.4).6.1.	СПОСОБ ГАУССА[15, 1, 2, 10]6.1.1.	Схемы вычисленийКаждый из коэффициентов системы s уравнений с s неизвестными обозначается буквой а с двумя индексами: первый соответствует номеру уравнения, второй — номеру неизвестной, при которой стоит ко¬ эффициент. В свободных членах второй индекс за¬ меняется буквой р. Система четырех уравнений, на¬ пример, имеет вид1)	Хг ап + Х2 а12 + Х3 а13 + Х4 а14 + а1р = 0;2)	Х± й21 “Ь *^2 а22 “Ь *3 а23 “Ъ X4	а2р = 0»3)	Хх а31 + Х2 as2 + Х3 а33 + ХА а34 + азр = 0;4)	Хг а41 + Х2 а42 + Хг а43 + X4 а44 + а^р = 0.(6.1)Взамен записи в форме (6.1) можно ограничиться матрицей коэффициентов и свободных членов (табл. 6.1).Таблица 6.1 Матрица коэффициентов и свободных членов№1234Р1All<*12а13<*14а1р2#21<*22^23<*24а2р3а31а32азза34азР4Д41а42а43а44а\рКоэффициенты с двумя одинаковыми индексами называются главными, с разными индексами — по¬ бочными. Два коэффициента с одинаковыми, но пере¬ ставленными индексами называются сопряженными. Сопряженные коэффициенты расположены симметрич¬ но относительно диагонали, образованной главными коэффициентами, или главной диагонали. Если сопря¬ женные коэффициенты между собой равныaik — akbто уравнения называются каноническими. Любая система уравнений может быть приведена к канонической форме1.Линейные уравнения строительной механики обыч¬ но автоматически получаются в канонической форме. Строки и столбцы матрицы коэффициентов канонической системы состоят из одинаковых элементов.Способ Гаусса основан на последовательном ис¬ ключении неизвестных, что приводит матрицу (табл. 6.1) к треугольному виду (табл. 6.2).Таблица 6.2Треугольная матрица№| 123 11 4р1аи<*12013«Иа1р2d)04г°24з<2>00“зз■84>4(3)000434>Общая формула для коэффициентов и свободных (грузовых) членов треугольной матрицы имеет видeV’-e»—an7(Р .ai-l,kм-ъ ai.i-1(6.2)Вычисление коэффициентов и свободных членов выполняется в таблице суммированием по вертикаль¬ ным столбцам, причем величины исходной матрицы (табл. 6.1) вписываются в процессе работы строка за строкой. Процесс нахождения коэффициентов и сво-1	Для этого умножаем каждое уравнение на первый коэффи¬ циент. данного уравнения и складываем все уравнения; получаем первое уравнение канонической системы. Затем умножаем все уравнения на второй коэффициент каждого отдельного уравнения и складываем все уравнения; это будет второе каноническое уравнение; таким же образом получаем третье и четвертое урав¬ нения и т. д.22 Зак. 2098
338РАЗДЕЛ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙТаблица 6.3Полная схема (для неканонических уравнений)№*2*3*4PКонтрольJ1«па\ч«13aualpS1I•«12«11«13fln«14«11__a\r>dll	_£i_fln2«21«22«23«24a2p*2I • а21«21а12	 «21«п«13	 «21«11«u — «21 analPa2l«11Si	 «21«11мIIN0^Я*1*“22a<x)234V4У41»IIА<z(1)234V4}41»fl(1>2222*&a(1)“223«31#82^33«34a3p«31'«31012 „ «31«11«13 — «31flu«14 — «31 «11алР«siflnSi«31«11п.в$a(1>4? ,a(l) °32a22^Le0)a(1)2p a(Ds(1)2 я<1>32~ ad) °3222aU> 32“22a(l> 32“222 = 3®“33fl(2)34a(2)“3/742)III•a(2)34fl<2)a33a(2)“3/7a<2)“3342>4з4йц«42«43«44aipSt1-041«12 — «41 fln«13 	«41flll «g? __2L ed0d) 4222«11a\P«41«11*1«41All«41«11II -ega(1)a42_-^L„ra_<10U>422 42—"III. ega(2>43«йfl(2) 43a33egai 4342)„(2) 43 “33мIIa(3)44■ss(3)4IV•«8
6.1. СПОСОБ ГАУССА339бодных членов треугольной матрицы называется пря¬ мым ходом. Для случая четырех уравнений вычисле¬ ния располагаются, как указано в схеме — табл. 6.3.Для контроля вычислений служит столбец s, в ко¬ тором одновременно все последовательные операции производятся с суммой (или иной линейной комбина¬ цией) коэффициентов каждого из уравнений. Каждая из сумм s,	S&) ,... должна быть равна суммекоэффициентов той же горизонтальной строки. Если желательно контролировать не только указанные сум¬ мы, но и каждую горизонтальную строку, то в строке I столбца Х\ следует дописать (—1) на месте точки, точ¬ но так же в строке II столбца Х2 и т. д.Ход вычислений при большем числе уравнений и не¬ известных остается такой же. Если одну и ту же си¬ стему уравнений приходится решать при различных значениях свободных членов, то изменяется лишь стол¬ бец р; все же вычисления, относящиеся к коэффициен¬ там, являются инвариантными. Таблицу дополняют несколькими вертикальными столбцами р соответствен¬ но числу заданных групп свободных членов.Имея треугольную матрицу, вычисляют неизвестные в последовательном порядке снизу вверх по фор¬ муламт у	у °12 Y Chl. у (hL а'Р;I.	Л1 = —Л2	Л3 — Л4 —0ц	Яц	а1\ а\\II. Х« =III. Х3 =IV. х4 =-X:а{1)23	_24 	 ОърМ)~ 4 „(1) д(1)’а22 22 224 «8&«8*■яг(6.3)Иногда процесс нахождения неизвестных, называе¬ мый обратным ходом, выполняют в таблице суммиро¬ ванием по вертикальным столбцам. Для случая четырех неизвестных — см. табл. 6.4.Таблица 6.4Запись обратного ходаXI*1 1 11*2* III*3*4Х2ал2_0цV 12~ 2 г,011—————*3Q13011v а13 —Лз011022I С4ФX1———Х4g14011<*пfl(1)24fl22°24Xt 240220330(34—x4_J~033—-—йц—022а{2) _ g3р0330442 =X,х3*4Таблица заполняется снизу вверх.Если уравнения составлены в канонической форме, задача упрощается и вычисления производятся по так называемой сокращенной схеме (табл. 6.5 см. стр. 340).Тут не требуется вычисления множителей при дро¬ бях, помещенных под горизонтальной чертой в табл. 6.3. Величина а2\ заменяется непосредственно че¬ рез 012, коэффициент a3i — через ai3, а ^ — через ранее вычисленный *4з i точно так же и —через а24и а:Запись прямого хода для канонических уравнений по сокращенной схеме для случая четырех уравнений производится по табл. 6.5.6.1.2.	Примеры[ Пример 6.1. Дана система четырех уравнений: 2Хх+ 8Х2 — 4Х3 + 2Х4— 4 = 0;5Х1 + 21Х2—12Х3+ 8Х4— 3=0;—4Xi — 1IX2 —* 7Х3 -f- З6Х4 -j- 23 = 0;SXx + 15X2 - ЮХ3 + 4X4 + 17 = 0.Определяем коэффициенты и свободные члены тре¬ угольной матрицы (см. табл. 6.6).Таблица 6.6 К примеру- 6.1. Запись прямого ходаПримечание. Вертикальные столбцы I, II, III табл.. 6.4 совпадают с горизонтальными строками I, II, III табл. 6.3 пря¬ ного хода.№*1*2*3Х\РКонтроль1+ 2+ 8—4+ 2—4+4I (-1:2)<§—4+ 2—1+2—22+ 5+21—12+ 8—3+ 19И + 5)—20+ 10—5+ 10—10Е = 2d)•+ 1 1—2+ 3 |1 +7+9И (—2(1> si)<§+2-3—7—93—4-11—7+36+ 23+ 371 • (—4)+ 16—8+4—8+8II.(+5)+5+ 10—15—35—45£ = 3(2)-5+ 25| —201 0III (_3<2> :5)•+ 5—404+3+ 15—10+4+ 17+29Ь(+3)—12+6—3+6—6Н-(+3)+ 3+6—9—21—27Ш-(+2)+2 •+ 10—80Е = 4(3>+ 2—6—4IV1•+ 3
840РАЗДЕЛ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИТаблица 6JСокращенная схема (для канонических уравнений)м*1*2*8*4РКонтроль JIа12а13Л14а1 рSiI•а\2а\Лg13д14ап#11_ Sj fln2а%\a2S<*24а2Рs2I • altФа12 — — *1*аи«13 — fl«ап°14 	 Л12#11dlP	 а11Л11Si— flia flu1=2(1>а(1)22д(1)2324Я(1)2/74!)II•а(1)23д(1)2224~ д(1)22д<1)а2р~~ fl(l)22Jl.д(1)223<*81а32агга34азрssI-fli*•Фа\зп а13 fll]а14 — а18 а1101/?	 а18а иSi—	а 18Allн. 4>fl$л™а*1*— я'1»а(1)" л!1'Ф ^д0) 322“в») 2322а(1) “224S!е*соIIа(2)“33а34а<2)агрc(2>s3III•Л34а(2)аззд(2>3/7д(2)аззЛ2)saд,2)a334<*41#42<*43#44а4/>S4\»аи•••а14 „		а14аиахр—	аи°иSi— fll4Allп. 4VА•а(1)^ -Г1)£<*>2 аП)- в(1) *2422аола*1)22fl(‘) 24“22ш-«<2>•д(2)34 424} 42з> 34я(2>_ _i2_ а(2)а(-) аз4азз,(2)_ A. a(2) 34a33I = 4<3)«Яfli3)4/7c(3)4IV<«8
При составлении табл. 6.6, в которой встречаются и положительные и отрицательные числа, во избежание ошибок у положительных чисел поставлен знак плюс* Это правило должно обязательно соблюдаться при со¬ ставлении всех таблиц.Для получения неизвестных составлена табл. 6.7 — обратного хода, согласно схеме, данной в табл. 6.4.Таблица 6.7 К примеру 6.1. Запись обратного ходаПример 6.2. Дана система пяти канонических уравнений:1)	0,832*i+0,467*2+ 0,0155*5=0;2)	0,467*, + 1,516*2+0,467X3+0,0294*5+0.303=0;3)	0,467*2+1,785*3+0,512*4+0,0561*5+1,16=0;4)	0,512*3+1,472*4+0,0561*5+1,98=0;5)	0,0155*,+0,0294*2+0,0561*3+0,0283*4+0,636=0.Решение ее выполнено в табл. 6.8.В процессе решения контролировались строки 2^. 3(2>, 4^3\ причем свободные члены в контрольные сум¬ мы не включались. Например41}= 1,254 + 0,467 + 0,0207 = 1,7417 » 1,742.Таблица 6.§К примеру 6.2. Запись обратного хода№ХхРКонтроль S1+ 0,832+ 0,46700+ 0,01550+ 1.314I— 0,56000— 0,018630-1,5792I • 0,467+ 0,467+ 1,516 — 0,262+ 0,467 000+ 0,0294 —0,0087+ 0,303 0+ 2,479 — 0,737Е = 2(!)+ 1,254| + 0,4670+0,0207| 0,303+ 1,742II— 0,3720— 0,0165— 0,241— 1,3893 I • 0II • 0,467 Е = з(2)0+ 0,467+ 1,785 0— 0,174+ 0,512 0 0+ 0,0561 0— 0,0077+ 1,160 0— 0,113+ 2,820 0— 0.R9 '+ 1.611+ 0,512+ 0,0484+ 1,047j+2,171 |III— 0,3175— 0,030— 0,650— 1,347 '4I • 0II	. 0III	• 0,512 Е = 4(3)00+ 0,512+ 1,472 0 0— 0,162+ 0,0561 0 0— 0,0153+ 1,980 0 0— 0,333+ 2,040 0 0— 0,689+ 1,310+ 0,04081 + 1.647 |+ 1.351IV— 0,0312— 1,257— 1,0315I	.0,0155II	• 0,0207III	• 0,0484IV	• 0,0408 2 = 5(4)+ 0,0155+ 0,0294+ 0,0561+ 0,0561+ 0,0283—	0,00027—	0,00034—	0,00145—	0.00127+ 0,636 0—	0,0050—	0,0314—	0,0513+ 0,1854—	0,0244—	0,0288—	0,0651—	0,0421+ 0.0250+ 0,5483+0,0250V- 21,70,5483ot0250 	 21,7; " —0.0312 (—21,7) — 1,257 - —0,580; Ха-— 0,3175 (—0,58) — 0,03 (—2,17) — 0,650 - 0,184; Ха-^скойЛинейке) ~0,0165 (—21,7) —°»241 — 0,0485; Xt + '-0,561 • 0,0485 — 0,01863(—21,7) — 0,378. (Вычисления производились на логарифми-
342РАЗДЕЛ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ6.1.3.	Решение трехчленных уравненийРешение системы уравнений трех моментов (кано¬ нических уравнений) и общих трехчленных уравнений дано в 5.5.8. Там же даны и числа влияния для трех¬ членных уравнений. Другие приемы см. [10].6.1.4.	Числа влияния и их определение по способу Гаусса [10]При большом числе различных комбинаций свобод¬ ных (грузовых) членов, превосходящем число неизвест¬ ных, пользуются числами (коэффициентами) влияния, играющими также первостепенную роль при построении инфлюент.Числом влияния bik называется численное значение неизвестной Xi, полученное из системы линейных урав¬ нений в предположении, что свободный член а&р = 1, все же остальные свободные члены равны нулю.Общее количество чисел влияния равно квадрату числа неизвестных.Матрица чисел влияния при четырех уравнениях представлена в табл. 6.9.Таблица 6.9Матрица чисел влиянияСледовательно:Кз, 12341£>11£>12£>13*142£>21£>22£>23£>243£>31£>32Ьзз£>344Ъ 41£>42£>43£>44Эта матрица называется обратной по отношению к матрице коэффициентов системы (6.1).Имея обратную матрицу, можно вычислить неиз¬ вестные при заданных свободных членах по формуле^7= 2j <*kpbik. k=l(6.4)Например, при четырех уравненияхА2 = flip Ь2\ “Н а2р ^22 4~ азр Ь2з + &\р Ь24»Для вычисления обратной матрицы четырех уравне¬ ний (см. табл. 6.1) следует решить уравнения 4 раза, полагая1)	агр = 1, а2р = агр = а1р = 0;2)	flip = 0, а2р = 1, азр — аАР = 0;3)	flip = а2р = 0, Азр = 1, р — 0;4)	flip = Агр ~ азр ~ 0, а^р = 1.При этом операции с коэффициентами выполняются только один раз.Для уравнений, составленных в канонической форме, расчет значительно упрощается, так как имеет место взаимность чисел влияния: bik = hki» Используются формулы (6.3).Определение чисел влияния, как и неизвестных, на¬ чинают с последнего столбца, снизу вверх. Числа влия¬ ния четвертого столбца находят, положива*р = чР =1 4о = 4n = ai„ = °-(2)1	“3441 = “ а*3»’’ 631 = 44 а<2’ ’’«44	«ззЬъа — '23Я(1)22п{24а(1) ’22(6.5), , g12 , Al3 g14 014 =	*>24 	&34 	 044Ди	аи	апПри определении чисел влияния третьего столбца при¬ нимают:азР = азр = а2р = а\р — 0; °% ^Последний свободный член нужен для нахождения Xi=&43; но в данном случае &4з=6з4, которое определе¬ но выше. ПоэтомуЬяз	ЬзЬ23 — — 63з(2)341а<2)а33пИ)а*®'Ззза®23	24flU) 634 fl(l) ;22 226,з = -628 —-баз —-/ All	АцАиАц(6.5а)Аналогично находят числа влияния второго столбца, приняв во внимание, что Ь*2=Ь24\ b32=b23:а{1)	а{1)23	24622- -623 (1)	-&42 (1)22	22я(1)’22(6.56), а12 , £lB. и 14012 — &12	&23 — &24Ац	ап	ДпНаконец, число влияния первого столбцаи и °12 » А13 «14 1 011 = 	©12“ 	&13 	014 	 .аиAllПример 6.3. Найдем числа влияния для системы пя¬ ти уравнений, решенной в табл. 6.8.аИ>V. *5 =0.0250*IV.	х4 = — 0,0312Х5л(3)%1,310	’III.	Х3 = — 0,3175^4— 0,030Х5 —1.611 ’и.	Х2 = — 0,372 Лз — 0.0165Л,5	1,254'I. Xi~ —0,560 X, —0,01863Пятый столбец матрицы чисел влияния:1655 == —40,00;Зр0,0250645 = — 0,0312(—40,00) = 1,248;
6.2. СПОСОБ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ343635 = —0,3175*1,248 — 0,030 (—40,00) = 0,801; Ь2Ъ = —0,372-0,801 —0,0165 (—40,00) =0,364; Ь15 = - 0,560-0,364 — 0,01863 (—40,00) = 0,553. Четвертый столбец:1Ьи = — 0,0312-1,248 —1,310= —0,803;b3i -—0,3175 (—0,803) — 0,030-1,248 = 0,218;624 = — 0,372-0,218 — 0,0165-1,248 = —0,102;Ьм = — 0,560 (—0,102) -0,01863-1,248 = 0,034. Третий столбец:&зз = —0,3175-0,218-0,030.0,801— —4—=—0,713;1,611ь23 = — 0,372 (—0,713)—0_, 0165• 0,801 = 0,252;613 = — 0,560-0,252 — 0,01863-0,801 = —0,155. Второй столбец:1Ь22 = — 0,372-0,252-0,0165-0,364—1,254bi2 = -0,560-0,898—0,01863-0,364 = 0,497. Первый столбец:=—0,898;Ьц = — 0,560-0,497—0,01863-0,553 ■10,832=—1,515.Таблица 6.10 К примеру 6.3. Матрица чисел влияния№123451-1,5150,497—0,1550.0340,55320,497—0,8980,252-0,1020,3643-0,1550,252-0,7130,2180,80140,034-0,1020,218-0,8031,24850,5530,3640,8011,248—40,00Определим значение Х2 для тех значений свободных членов, которые были заданы в числовом примере 6.2.*2 = 0,497 • а1Р — 0,898 • а2Р + 0,252. азр — 0,102. a iP++ 0,364-а5Р = 0,497-0-0,898-0,303+0,252.1,16——0,102 • 1,98+0,364•0,636=0—0,272+0,292 ——0,202+0,232=0,048 и 0,0485.Контрольные поверки чисел влияния. Для поверок имеются следующие равенства, вытекающие непосред¬ ственно из определения чисел влияния:1.	Результат подстановки i-и строки чисел влияния (или i-ro столбца, если уравнения даны в канонической форме) в £-е уравнение равен (—1).2.	Результат подстановки i-й строки чисел влияния в k-e уравнение равен нулю.3.	Сумма всех чисел влияния i-Pi строки равна, оче¬ видно, значению неизвестной А/ при условии, что все свободные члены равны единице. Образовав суммы чи¬ сел влияния всех строк, мы в результате постановки в любое уравнение должны получить (—1).Не следует жалеть труда на контроль. Получив сначала последний столбец чисел влияния, следует егопроконтролировать путем постановки в последнее урав¬ нение. Для решенного выше примера:0,553.0,0155+0,364.0,0294+0,801-0,0561 ++ 1,248.0,0561 — 40,00-0,0283 = 0,0085 ++ 0,0106+0,045 +0,0703—1,144=—1,01.Ошибка 1,01 — 1,00 = 1%.6.2.	СПОСОБ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ (СПОСОБ ИТЕРАЦИИ)[1, 14, 10]Способ применим тогда, когда каждое неизвестное в одном из уравнений имеет коэффициент, по абсолют¬ ной, величине больший суммы абсолютных величин дру¬ гих коэффициентов в этом же уравнении.Так обычно получается при расчете рам методом деформаций.Предположим, что в системе уравненийС1ц Xi + й\2 Х2 + #13 Х$ + • • • + dip = 0#21 Xl + а22 Х2 + #23 ^3 “Ь • * * "Ь а2р — 0#31 ^i “Ь #32 -^2 ^зз Хз + * • • + а3р = 0,коэффициенты по нисходящей диагонали |#лл| > Kill + \апч\ Jr |#лз1 +• **Преобразуем уравнения, выразив каждое неизвестное через остальные неизвестные:#*2	#13 ,,	#1РX- v	*’ V	—-I = 	 А 2 — _ л3 '#11#1#21 v £23_ у Л2 = — A j— А3 -#22 ^22#31_	#32_ уA3 = — Ai — Л2 ~ #33	а33#:i#2 Р #22 #ЗР #33В 1-м приближении примем все неизвестные, входя¬ щие в правые части равенства, равными нулю. Тогда *; = -^ апу'	а2РЛ2 —#22г _ #3Р А з — —#33Подставив значения первых приближений неизвест¬ ных в уравнения, найдем вторые приближения:V*	у' 512- у'*1=— а2— А3 #п	“иv" _ -ZL vr2	Л1 #22#23#22I* _ #3]_ ' #32_ л3 — — Al — А2 #33	#33#1Р.»а11#2 РI#22 #3 р #33
34 4РАЗДЕЛ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙУдобнее находить не приближения, а только по¬ правки. Для этого не надо учитывать свободных чле¬ нов. Следовательно, поправки 2-го приближения:ап	аи^ #22 #22 д/	^§1_ у'	£32^ у'дл3 = — Aj — л2 ,#33	#33Поправки 3-го приближения:дхГ = - — дх" — ^ ДХд —1	«и 2 #н 3ДХ2' = — — ДХ[ — — ДХз —#22	#22 иА "	#31 А	#32 АДХ3 = — — AXj — 	ДХ2 —#33	g33Вычисления ведутся до тех пор, пока в каком-либо приближении поправки станут равными нулю или будут соответствовать желательной точности расчета.После этого вычисляют неизвестные, просуммировав поправки:Х,=-^+ДХ; +ДХ," +...;#11х2 = — — + ДХ2 + ДХ2 +•••;#22Хз = -^ + ДХ;+ДХ3"+...;#33Вычисления следует вести в табличной форме. Пример 6.4. Дана система уравнений:\0Х1+ЗХ2— 2Х3+ Х4 — 5 = 0;2Xi + 8Х2 + Х3 — 2Х4 + 15 = 0;—	2Xi + Х2 + 10Х3 — 2Х4 + 30 = 0;ЗХг + 5Х2 — 2Х3 + 20Х4 — 8 = 0.Преобразуем уравнения. Из 1-го уравнения найдем Хи выразив его через остальные неизвестные; из 2-го уравнения найдем Хг и т. д.Выпишем полученные данные в таблицу (табл. 6.11).Таблица 6.11XIXэХзX<Р1-еприб¬лижениеXI =— 0,300+ 0,200— 0,100+ 0,500+ 0,500X,-— 0.250— 0,125+ 0,250— 1,875— 1,875Хз =+ 0,200— 0,100+ 0,200— 3,000— 3,000— 0,150— 0,250+ 0,100+ 0,400+ 0,400Все коэффициенты во избежание ошибок надо за¬ писывать с одинаковым числом десятичных знаков. Рааным образом и дальше в процессе вычислений сле¬ дует записывать получающиеся числа с одинаковым числом десятичных знаков.Неизвестные в 1-м приближении равны свободным членам.Перейдем к вычислению поправок во 2-м приближе¬ нии^ Очевидно:Д XJ = — 0,300 (— 1,875) + 0,200 (— 3,000)——0,100 - 0,400 = — 0,077.Для удобства можно применить следующий простой прием, оправдавший себя на практике.Разграфим полоску бумаги соответственно столбцам таблицы и выпишем в нее значения неизвестных в 1-м приближении. Поместим эту полоску под первым урав¬ нением (табл. 6.11а).Непосредственно видим, что —0,300 надо умножить на —1,875; +0,200 — на —3,000 и т. д.Очень удобно вести работу с арифмометром, так как можно сразу получать суммы произведений (см. 6.3).Найдя поправку 2-го приближения для Хь выпишем ее в таблицу (табл. 6.12), опустим полоску бумаги ни¬ же на одну строчку и найдем так же поправку для Ха и т. д.Таблица 6.11аXi^3*4Р1-еприб¬лижениеXiх.3Хз X,— 0,300+ 0,200— 0,100+ 0,500+ 0.500— 1,875+ 0,500- 1.875— 3,000+ 0,400+ 0,200 | —0,100 | | + 0,200— 3,000 | —3,000— 0,150 | —0,250 | + 0,100+ 0,400 | + 0,400К примеру 6.4. Окончательная таблицаТаблица 6.12*1Хз1-еПоправки8-е9-еХ7^4Рприбли¬жение2345• 178приб¬лижениеприб¬лижение*1-— 0,300+ 0,200— 0,100+ 0,500+ 0,500— 77— 41— 2— 5— 1— 10+ 0.373+ 0,373Х2=— 0,250— 0,125+ 0,250— 1,875— 1,875+ 350— 3+ 4+ з+ 1+ 1• \01— 1.519— 1,519Хз-+ 0,200— 0,100+ 0,200— 3,000— 3,000+ 367— 32— 160— 200— 2,683— 2,682Xi =— 0.150— 0.250+ 0,100+ 0.400+ 0,400+ 94-39+ 4— 2000+ 0.457+ 0,456
Таблица 6.13Компактная схема для неканонической системы№ строк*1*4Свободные членыКонтроль1«и«12«13«14aip«122«21«22«23«24«2p«223«31«32«33«34&Zp«324«42«43«44a*P«425£ц—1«111, «12 «12 —^11, «13 «13 —C11w -?i±-c,d - aip lp~ cn. «1212 = 	C11Прямой ХОД61 = «21C22— «22 	d\ 2^211«23	^13C2ldi3 -C2 2«24	^14C21rf24 =C22«2/7 — dipC2idtp- ,C22«22 — ^12^2122 =^227С31 = «31Сзз=«зз—^lS^l-— ^ 23C321«34— ^14^31	^24C32«3^ — dipC3\ — d?pC$2«3S — 2C31 — ^22C32—^12C31^34-C33«3P —633«32 —C338С41 = «41^42 — «42 — ^12c4l^43 — «43 — ^13C41 — ^23c42C44 = «44 — ^14^41 — 	^24C42 — ^34C431j «4/? — dipCAi — d2pc 42 — ^згАз«4Е — dn CAX — ^2 C42— ^32 c43C44«42 — " "■ .....C44\9Значения неизвестных XiОбратныйходX^dlp- -duX 4-—</,3*3—d\t>XoII -If *1 1X3 = d3p ““ ^34^4X* = d4p10Контрольные значения X* = 1контроль об¬ ратного холаI 1 1 .XIII“IIIX2 — ^22 —	^24^4 —— d<2zXzX3 = ^за — ^34^4^4 = dm6.2. СПОСОБ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ
346РАЗДЕЛ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙПосле того как будут найдены все поправки 2-го приближения, выпишем их на новую полоску бумаги и тем же способом вычислим поправки 3-го прибли¬ жения, затем 4-го и т. д.Вычисленные поправки лучше записывать целыми числами, умножив их на 1 ООО или на 10 ООО.Поправки 8-го приближения оказываются равными нулю; вычисляем 8-е приближение, суммируя поправки и добавляя к ним 1-е приближение.Ограничиться 8-м приближением нельзя, необходимо для контроля вычислить следующее приближение, вы¬ писав на полоску бумаги значения неизвестных в 8-м приближении.Улучшение сходимости. Существуют приемы, при по¬ мощи которых можно улучшить сходимость процесса. Однако в применении таких приемов особенной надоб¬ ности нет, так как обычно поправки очень быстро убы¬ вают по абсолютной величине.Но следует обратить внимание на один случай.При расчете рам со смещающимися узлами методом перемещений (см. 5.7.3) в качестве неизвестных прини¬ маются углы поворота и линейные перемещения (смеще¬ ния) узлов.Прежде всего следует преобразовать уравнения, выражающие условия равновесия поперечных сил (сум¬ марные реактивные усилия по направлению смещений равны нулю), так, чтобы в каждое из этих уравнений входило только одно смещение.Далее, при вычислении 1-го приближения следует принять равными свободным членам только неизвест¬ ные углы поворота. Вычисляя же первые приближения для смещений следует принять упы поворота равными не нулю, а первым приближениям.Получив в 1-м приближении смещения, необходимо их учесть при вычислении поправок 2-го приближения для углов поворота. Эти поправки следует затем учесть при вычислении поправок 2-го приближения для сме¬ щений и т. д.6.3.	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ НАСТОЛЬНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНПрименение вычислительных машин может значи¬ тельно облегчить работу по решению уравнений. Для вычислений наиболее удобны полноклавишные автома¬ тические и полуавтоматические машины. Также воз¬ можно, но менее эффективно использование обыкно¬ венных арифмометров и других вычислительных машин с ручной установкой данных., При вычислениях на машинах целесообразно приме¬ нять специальные методы решения уравнений.На вычислительных машинах удобно выполнять не¬ которые комбинации арифметических действий без за¬ писи промежуточных результатов, в частности выра¬ жение видаЬ\-\-а2 &2+* ’ *4" ап bn)*	(6.6)сОсобенно просто вычисляются такие выражения на полноклавишных вычислительных машинах. Выражения такого вида многократно используются при решении уравнений.Изложенные ниже методы позволяют значительно сократить число записей при решении и, кроме того, сократить число арифметических операций, так как при вычислениях на машине по формуле (6.6) фактически не приходится выполнять многочисленные операции сложения (суммы накапливаются в счетчике машины).Особенно выгодно решение по этим способам при большом числе неизвестных.6.3.1.	Компактные схемы способа Гаусса [4, 5,9]а)	Неканонические системы. Система уравнений, за¬ писанная в виде матрицы в табл. 6.1, приводится по способу Гаусса к треугольной системе (см. табл. 6.2). Для вычисления коэффициентов треугольной системы (прямой ход) нужно было проделать несколько этапов вычислений. Эти коэффициенты могут быть вычислены без записи промежуточных результатов по рекуррентным формулам:/-1ctj — ciij с ik dkj\dij—	2 cikdm 1 <T>здесь dif — коэффициенты треугольной матрицы; с if — вспомогательные коэффициенты.В табл. 6.13 эти формулы даются в развернутом виде на примере системы из четырех уравнений.Порядок вычислений следующийСначала заполняется первый столбец коэффициен¬ тов Cij, являющихся вспомогательными величинами: Си, с2и сзь с41. Далее вычисляется первая стро¬ ка коэффициентов di/: dl2t dls, rf14, dlp, dn\ затем О'пять вычисляется столбец (второй) коэффицентов су\ затем вторая строка коэффициентов dif и т. д.—пооче¬ редно вычисляются столбцы и строки коэффициентов с if и dy.В последнем столбце таблицы записаны значения контрольных сумм at-s , с которыми выполняются те же операции, что и с остальными коэффициентами строки.Таблица 6.14К примеру 6.5. Компактная схема№ • строк*1хаХгСвобод¬ныечленыКонтроль12,008,00— 4,002,00• 4,0012,0025,.002ЫЮ—12,008,003,0025,003 |—4,00—11,00— 7,0036,00.—23,00—9,0043.0015,00-10.004,00—17.0 | —5,0052,0014,00—2,001.002,006,006,0065,001.001—2.003,00—7,00—5,005,007-4,005,00—5,001—5,00-4,00—8,00—8,0083,003.002,002,0013,009—3,006,0011,003.0010—2,007,0012.004,00
Таблица 6.15Компактная схема для канонической системы№ строк1234 4661ап2#12#223#13#23#334#14a24#34#445#ip#2paZp#4p6а\ъ<*2E<*3E#4E7сп ~ аи 1, C12 «12 —C11, ^13 #13 =C11. C1414 = г 41d — ^1/7 #10	Си ■IE =	C11Прямой ход8с12 = ^12C22 = #22 — d12Ci2 1, ^23 #23 —C22» C24 #24 =С 22— °2р a2p- —C 22и С<1ъ 2E =	C229С13 — #13С 23 — #23 — <*12^13C33==#33—<*13^13	<*23^23 ^. C34 #34 —C33d —Cs/> йзр — — .c33d C3S3E =	C3310с14 = #14C24 = #24 — d\2Cn^34 = #34	<*13C14 <*23C24C44 = #44	<*14^41	 J	<*24^24	<*34^34<v=^-сыrf C4S4E 		C4411С1р = а1рC2p = ^2p d\2C\pСзр= #3/7— diZCip — d2zc2pcip = #4p d\^C\p — <*24C2p — d3AC3p12С1Е = а\ъC2S = a2E **12C1EC3E = fl3E — <*13C1E <*23C22C4E = <*4E ““ <*14C1E — <^24C2E — <*34C3E13Значения неизвестных XiОбратный ходХ\ — dip — d\±X 4 — — <^13X3 — d 12^2X2 = d2p— d 24X4 — d2ZXzx3 = dZp — */34X4X4 — dAp14Контрольные значения Xi = Xi + 1Контроль обратного хода*1 “ — d\$X% — d\2X2X2 - ^2E—<*24*4 —<*23*3.x3 —dw—<^34^4*4=4.6.3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАШИН
Таблица б.1в СдЭМетод квадратных корней		00Xоа.ни**1*4Свободные членыКонтроль1«И#12#13#14aipflia2«22«23«24a2p°2B3#33«34#a\pаза4#44a4p«4555Sn = V «и«12S12 =«11«13S13 —S11«14- _ sip — —«11alE512 =	«11Прямой ход6522 = V fl22“512«23 — $12513S23 —S22«24	 s12«14«24 “s22a2p sl2slpS*P022^2B — 51251E*23 —SlJ7SZZ=V fl33 «13 «23«34 — S13«14 — «23«24«3p—S13«1J5—«23«2/7#3E “ 51351S *23®22^34 —S33S*P — я «333E —		«338SU=}^ ^44—s14 ^24 S340 _ a*p — susip—sAp - -*«44	«24«2p %4«3p544a4S~S1451E—524S2S_53452E«4Е— ' —S44 *9Значения неизвестных XiОбратный ходSip — suX4 —Ai = 		—sn—S13X3— S12X2 S11S2p S2*Xi X2 ' *22 ^ — ^23X3 S22v S3p «34^4X, —- -«33*11til*101Контрольные значения Xt = Xt + 1»Контроль обрат¬ ного хода_ «ie 4 X&Xl= i« Г— S13X3 — «12^2 sn_ S2S ""X2 = ' "> «22	S24X4—S23X3■S 22-r; «ЗЕ «34^4 A3 ““ - ■ «33x = —«44РАЗДЕЛ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
6.4. МЕХАНИЗАЦИЯ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ349В обратном ходе последовательно вычисляются не¬ известные, начиная с последнего, по формуле пXt = dip — ^ dik Xfi, i = п, ti—1, • • •, 1. k=l+iДля контроля обратного хода служит строка 10. Значения в этой строке должны на единицу отличаться от соответствующего значения неизвестного.Пример 6.5. В качестве примера в табл. 6.14 решена система, приведенная в примере 6.1 (см. 6.1.2). Свобод¬ ные члены считаются перенесенными в правую часть.б)	Канонические системы. В этом случае вычисле¬ ния могут быть упрощены, так как коэффициенты dy вычисляются по простой формулеСи(6.8)В табл. 6.15 (для системы из четырех уравнений) коэффициенты системы уравнений записаны не в стро¬ ках, а в столбцах, симметричные коэффициенты выше главной диагонали не записаны. При составлении конт¬ рольных сумм учитываются все коэффициенты системы.6.3.2.	Метод квадратных корней [11]Метод применим для симметричных систем уравнений и является одним из наиболее эффективных, так как число записей в нем наименьшее.Коэффициенты треугольной матрицы (здесь они обозначены sy) вычисляются по формулам* — ?!L. с »Ю =Вц — "j/" ац 5ц s2j • • • 1, 	5U Sl/ S2t s2j —г1\•— Sie4—1,15t-l/su(6.9)Коэффициенты системы уравнений ниже главной диа¬ гонали не записываются (см. табл. 6.16), строки коэф¬ фициентов заполняются последовательно.Если подкоренные выражения получаются отрица¬ тельными, то с корнями нужно оперировать каксмнимы- ми числами по известным в алгебре правилам. Обратный ход' выполняется по формулеtip— £ $ik Xk k=i+1	Hii=nyn — !,•••,!. (6.10)Пример 6.6. В табл. 6.17 по методу квадратных кор¬ ней решена каноническая система, выписанная в первых четырех строках.Значение квадратных корней наиболее целесообразно брать из таблиц (Барлоу и др.) и производить линейную интерполяцию табличных значений. При отсутствии таб¬ лиц или в случае, когда таблицы не дают требуемого числа значащих цифр, для уточнения значения корня можно пользоваться следующим выражением:^Т-т(н-т)'	(6.П)где А — заданное подкоренное выражение;£—приближенное значение корня.Т я б .л и ц а 6.17 К примеру 6.6. Метод квадратных корней№строкХ\X,X,х<Свобод¬ныечленыКонтроль12.004,00—6,002,00-6,00—4,00211,00—3,00—2,00-18,00-8,00343,00—20,00-2,0012,0043,004,00—13,0051,414212,82843—4,242651,41422—4,24265—2,82843-2,8284461,732055,19618—3,46412—3,464080,000010,0000371,41434/—2,82834/1,41415/0,00006/0,00015/81,73224/3,46352/5,19565/5,19576/936.00—13,005,002,001037,00—12,006,003,00КонтрольЗдесь i= V-i.Все приведенные методы позволяют решать системы с любым числом вариантов свободных членов (схему решения см. табл. 6.18).В контрольном столбце в этом случае записываются суммы всех коэффициентов и свободных членов, а обрат¬ ный ход контролируется по формуле+ xf>4	hxf’+l /=1,2...-.л, (6.12)k — число вариантов свободных членов.Пример 6.7. В табл. 6.18 вычислена обратная матри¬ ца для системы, приведенной в примере 6.6. Решение проведено методом квадратных корней.6.4.	МЕХАНИЗАЦИЯ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ [6—9, 13]Современная машинная вычислительная техника поз¬ воляет механизировать процесс решения больших систем уравнений, ограничив участие квалифицированного пер¬ сонала только стадией программирования, самый же процесс решения выполняется машиной. Здесь в первую очередь находят применение электронные цифровые ма¬ шины. В настоящее время эти машины с успехом при¬ меняются для разнообразных расчетов в крупных проектных организациях (Промстройпроект, Проект- стальконструкция, Стальпроект и др.). Для ознакомле¬ ния с состоянием вопроса отсылаем к литературе [6—9].Следует отметить также быстрое развитие техники 9лектромоделирования. Здесь сооружение заменяется эквивалентной электрической схемой (моделью) и реше¬ ние уравнений заменяется измерением тех или иных электрических величин.
350РАЗДЕЛ 6. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙТаблица 6.18К примеру 6.7. Вычисление коэффициентов обратной матрицы№строкXiXtx9XtСвободные члены (единичная матрица)Контроль12,004,00—6,002,0010003,00211,00-3,00—2,00010011,00343,00—20,00001015,0043,000001—16,0051,414212,82843—4,242651,414220,707110002.121322.1213261,732055,19618-3,46412-1,154710,5Г78в002.886752.8867571,41434*—2,82834/—6,36346/2,12114/—6,70704/0—6,36336/—6,36336/81,73224/-7,50356/2,30874/—1,15443/—0,57729/—5,19430/—5,19430/9-94,963430,1549—13,1616| -4,331710. 30,1549-9,4962| 4.16501,3328ев 3 X X н а,11—13,16164.1650—1.8326-0,66642 н Oi ев12-4,33171,3328| -0,6664| -0,333313-81,301827,1566—10,4956—2.9986Контроль Х.=xU>+^2)+J^)+Aw+1ЛИТЕРАТУРА1.	Жем.очкин Б. Н., О решении системы линейных урав¬ нений, изд. Академии им. В. В. Куйбышева, 1957.2.	Ж е м о ч к и н Б. Н., Расчет рам, Госстройиздат, 1933.3.	Литвинов Н. В., Матричная дробь и ее применение при решении уравнений, Сборник трудов Ин-та строит, механики АН УССР, вып. 15, Киев. 1951.4.	Н а р е ц Л. К., Расчет статически неопределимых систем машинными методами, Труды Таллинского политехнич. ин-та, № 54, Эст. гос. издательство, Таллин, 1954.5.	Н а р е ц Л К.. Решение канонических уравнений по ГМ-методу, Сб. «Исследования по теории сооружений», вып. VI, Госстройиздат, 19546.	П а с с Л. Г. и Светлов а Е. Ф., Механизация расчетов при проектировании, «Промышленное строительство» № 1, 1959.7.	П а с с Л. Г., Современная вычислительная техника для решения инж.-техн. задач, Сб. «Механизация инженерно-техниче¬ ских расчетов при проектировании сооружений», Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1959.8.	Резников Р. А., Об автоматизации расчетов строитель¬ ных конструкций. Тот же сборник.9.	Тарнопольский Б. Л., Статические расчеты много¬ пролетных и многоэтажных рам. Тот же сборник.10.	У м а н с к и й А. А., Специальный курс строительной ме¬ ханики, ч. I, ОНТИ-Стоойиздат, 1935.11.	Фадеева В. Н., Вычислительные методы линейной ал¬ гебры, ГТТИ, 1950.12.	Фрезер, Дункан, Коллар, Теория матриц и ее приложения. Изд. иностр. лит., 1950.13.	Шапиро И Л., Механические и эксплуатационные ка¬ чества счетных машин, Госстатиздат, 1955.14.	Штаерман И. Я., О методе последовательных прибли¬ жений в строительной механике, Киев, 1929.15.	Р a s t е гп a k P., Berechnung vielfach statisch-unbestiramter biegefester Stab - und Flachentragwerke, Zurich, 1927.
РАЗДЕЛ 7ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВТаблица 7.17.1.	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ И ИЗГИБЕ1.	Квадратa4a2FД4F =a2; /* =" /y “ 12 “= 12 1l*'~ 3 :я4a2Ffl2aVo- 6“ 6 ;Wx = ; 6Г* =rv — 	12a2F 3 '2. Квадрат. Балка поставлена на реброд* a2F 12 “ 12.. /		q?FF = a2; h = а у 2 = 1,42 а; 1х=1у = — = — ; Wx=0.ll8h*.При срезке верхнего и нижнего углов можно достигнуть увеличения Wx. Максимальное значение при срезке угловГгср = 0,124/13; b = —h3. Прямоугольникbh3 FA* ^ .	W_Fh*F = bh; Ix = 12 - i2 ; h - i2 12 ; *' “ з “ з ;b*h Fb2	__b2h2__F2	d* sin a Fd?2sin2aЛ»' ^ О == O » ^x'v,== A	л »24bh 1262Л F6Fd212bh2 Fh 6 = 6Wv = —- = — \ rx = 0,289 Л; ry = 0,2896 ^66 '4. Прямоугольник повернутый1 bh F = bh\ yB = Ун = “Г“ (Л cos a+6 sin a); /* = — (h2 cos2 а + Ьг sin8 a);^ 6/z h2 COS2 a+b2 sin2 a	, 		— . •IF* = — •	; rx=0,289 у hi2 cos2 a+62sin2 a6 Acosa+^sina
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ БРУСЬЕВ 352 ■- ■		ц				, .Продолжение табл. 7.1tжБ. Узкая прямоугольная полоска„ а+Ь r im FH■ F-tl; yd- 2 ; 1Х- 12 - 12;1Х, = -j- (а2+а6 + Ь*) = (а^+йб+б2)F_36.	Симметричный двутавр, составленный из прямоугольников ah3 b	, «3/i , b3F-ah+btH-h)-, l„ ■= — + — (Я1 —	—JJ- + -JJ <Я — й»:ah?6я;7.	Несимметричный двутавр, составленный из прямоугольников F — bcQ + а (/гн -Ь ^в) “Ь ^н*> bi—b а\ В± = В — а\ аН2+В14+Ь! св (2Я—с„)Ун = '; Ув = н — У*'!x=-f (Byl -Вг h\ + Ьу\ -Ьф1)8.	Двутавр F=a//-f26 М-сЛ; 6 = -j- (В — а);Ix=~k [внз~ (h<~ h$ ]: !у==~п [№ {Н~Н)+hia3 ++ JL . Wx = JL [в1Р-± (**-*<)];Wy = бв [вз {H~h) + м*+ Т{В* ~ а4)]‘h-hx( 1\ х=——— (для стандартных двутавров а« — IНаклон скосов а=9. Равнобокий уголок \F=t(2h-t); Уз =h*+ht+t*2(2h — t) cos 45° *Уш = 'h + l — 2cVT :Ix =2c*-2(c-t)*+t (h-2c+ yJ, где c=yB cos 45°
Продолжение таОл. 7.1XdЬ,-\10.	Неравнобокий уголокF—t	— t (h -j- bj)\ Xd =2(6+ fn)9№+bxt 1 r yd = ' 2(h+b1) ; Ix = T l^-У^+ЬУа ~ bi tid-tf] ;7y =■ [t (b-xd)s+hx3d — h, (xd-t)*\ ; lxy =bbx hhx t 4 (b-\-hi)bbihfht~4h+bl)Wb-)ZW %-b-\o\—B-~11. Сечение, составленное из прямоугольниковг_ о I ,	1 аН2 + Ьс2F-aH+bc; Ун=_._^+^ ; ув = Н-уя;= Y ~ ш+°у1УWXh=- (для нижних волокон) ;Ун	71хWXb= (для верхних волокон) {WXB<WXH) У в} !RУ—	 ■ и**30W1—ft fl) —-X-дг12. Симметричный тавр, составленный из прямоугольниковF—(B—b) d+bh; = (В-6) Y +6 Т:dz №	S г',-<*-*) т+*т: ув=^;«S2Ун = h -л; /, = /,, - = /х, _Bh3Кроме того, /*■ = Р —J2 > где р берется из графикаО,IS 0£0 Значения d- Л23	Зак. 2098
354РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ БРУСЬЕВПродолжение табл. 7.f
7.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ И ИЗГИБЕ355Продолжение табл. 7.115.	Трапеция/7 _ -1 <и \ им,- _9	ун — о 1и \и\2-	3 (6н + W/.=36 (6н~|“6в)36 (Ьп+Ьь)гI	_ № фИ + 36В) _ Fh2 (6н+3йв). _ А(3&н+&в) _ Fh* (3Ьн+Ьв) *' 12 6(6„+6в) ’ 12 ~ 6tf>H+fcB) ’№л-н=~~ (для нижних волокон); Ун1Wxв= — (для верхних волокон); У вГ*h2 ( + 4&и ^в+^в6	(fc„+6B)16.	Правильный шестиугольникF=0, 866 rf2=2,598 Я2; Ix=Iy=0,541 tf4=0,06rf*; Wx=0 ,625 /?з=0,12^3; Ц7у=о,541 R3;Гдг = гу = 0,456# = 0,263d17.	Правильный восьмиугольникF=0,828 d2; /*=0,638 tf4=0,0547 rf*; 1Р*=0,690 R3=0,1095 rfs; rx=0,257 rf18.	Правильный многоугольник с л сторонами1	„	^ а	аF = —па* ctg a; R = —	; т = ■4	2 Sin а	2 tg аяд/- *	F	F1Х = ‘,'=>12г2+аг) = ^ (12г*+а*) = — (6R*-a*)23*
.356РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВПродолжение табл. 7Д19.	Полый ромбF = ~~ (ab—aj bi); lx = (ab3 — a,bj);ly = 48	6l) ;	Ш {ab'-ajly,24 b20.	КругTldf2	TCflf4F=— « 0,785 d2; Ix=Iy=Ix, = — ^0,05tf4;64mi*tuP32 ; ^=^у=^'= 3221.	КольцоtiD2	d	7cD4F= —— (1—a2); a = — ; 1=1 = —— (1—a4) « 0,05 D4 (1— a4); 4	D	64t:D3	D , r-		^ — (1-a4) » 0,1 D3 (1 —a4); r*=ry = _ V 1 + a222.	Тонкое кольцо (t<^D) tzDHF=nDt; Ix=	ж 0,3926 D4\X	87iD4Wx = — « 0,7853 D2/; />=0,353 D23.	ПолукругF = ^ « 0,392d2; yH=0,2122d; yB=0,2878rf;tM*r.d2/^=0,00686rf4; /y=/*r = — =0,025 rf4;128= 0,2587 г3 (для НАЖИМ волокон); WXB = 0,1908 г3 (для верхних волокон)
7.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ И ИЗГИБЕ357Продолжение табл. 7.124. Четверть «ругатс г2	4 гF =—« 0,7854 г\ ун = —• — ~ 0,4244 г,4	3 тсу в а; 0,5756 г; = 0,07135 г4; /у = 0,03843 г4;/Л, = /у, =0,05489 г4; 1х.у, = —0,01646 г4;V = V = ^* 0,19635 г4; =-f1—1*Ъ|м25. Сечение бревна, отесанного сверху и снизу /*=0,866 d; /*=0,039 d4; 1^=0,088 d«; /-*=0,223*26. Сечение бревма, отесанного с четырех сторон h=0,866 d\ /*=0,038 d4; №*=0,087 rf»; r*=0,234d180(27. Круговой сектор s=2ra (длина дуги AB)\b— 2rsina (длина хорды ЛЯ);sr 2 7ir20t°F ~ 2 ~r a — 180“’2rb2r sin 13s ~3aT^_Я?r488a2 ’7* = TГ4/г2ф8oo ItoГ /JP_ .Гг2 V2a ’r, = -32 sin2 a 9a\ F2 /. 32 si^i2 a--9a1 JCГ sin aФ 16 sin2 a2a	9a2cp = 2a — Sin 2a; ф = 2a + sin 2a28.	Круговой сегмент s=2ra (длина дуги AB); b = 2r sin a (длина хорды AB);r*y	4rsin3a3cpг4ф	о Fr2Ix = — (1 ■+- 3k cos a — 4/f) = —— (1 -f- 3fc cos a — 4fc*);Г4Ф	Fr2/v = —— (1 — k COS a) = —;— (1 — k COS a); y 8	4jr4®	Fr2	4 siiAiIpo = —(l + 4fccosa)== — (1+4& cos a); <p=2a—sin 2a; k=—	4	2	09
358РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВПродолжение табл. 7.129. Половина кольца я	.	2 D2+Dd + d2= 0,00686 (Z>* —0,0177 D2 d2 (D—d)_ xD4 / dM Iy ~ 128 1 ~ D* JD+d30. Часть тонкого кольца (t<^2r)F—2art\ yH = :2 r — t j sin a/sin a	\{—-cosa}/* =t (2r — t)»t COS a + —2~;1 t (2r — 08/ 4sin2a\	*(2r—08(Ф——); =16 VT a J' -y 16<p -■= 2я — sin 2a; <|/ = 2a -j- sin 2a31.	Сектор кольца2	/?3—г3 sin a3	tf2-r2-t(*“16 sin2 a \	ФI	= — (R*—r4); <p=2a—sin 2a; ^=2a+sin2a32.	Полое сечение в виде чечевицы F = a (l+ctg* -yj 60fc °о = Ь0 Ctg -у;r= -J- (l+ctg2 -J-): !*=гЧ (А + В);/у = r»< (C+D);А=а (2+COS 2а)—2 sin — ^4 COS а — COS — j;в = a (2+COS 2а) + 2 sin^4 Cos а — cos -j-j — 3 sin 2a;C=b—sin a; D—a-{-s\n a—sin 2a33.	Элли.пс7zab3 Fb2ly =W =4ab\Ix~ 6416 ;7i a3bFa2; wx =nab2Fb~64~~ =16~32~ ^8 ’%a2bFaba328rii-; ry =:T
7.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ И ИЗГИБЕ359Продолжение табл. 7.1У1• <5*аг:InI-1Ы&J	аа,		34.	Полый ЭЛЛИПС F = + (ab — ajft,); /г = (вб*—7У = ^ {*3Ъ-а\ Ьг)-. Wx = ^-b (ab*-aib\)-,Wy =^-(a3b-a3i *i)У'УУ''Гш11Ys/s/sSlЖ—Xd ——	а-35. Параболический сегмент4 ab	3 a „ 4a6* Fb*F=—; Xd= .Ix =/,=316a36175512 Fa*17532 д36 8Fa2 105 ~ 3515 ь 4a3fr 3/w2 = 7 ’\У^ Ц-т^ /f-twiv0 Щщ\—Ь,—ь35.	Сечение волнистой стали. Волны составлены из параболических дугF ~ (26 + 5,2/г); 6г =(6+2,60;3	462 = (6-2,6 0; кг =-- -у (Л+0;1	64 , о оч	2/г■ht = — (h-f)- /,= й£(М?-6.а£);1—<H<N*37.	Сечение волнистой стали. Волна имеет форму дуги -кр^га F — (пб+2/г,) А,=А —й;тсбА?/яб»	*6 А? 1 \V7И г =2/,Л+£I— *38. Сечение железнодорожного рельса (формулы приближенные)F и 0,238/г2; у„я0,5А; /* и 0,032 А4;0,064 Аз; г* = 0,37 Аj j i.Двутавр:Швеллер:39. Сечения стандартных прокатных балок (А+2)»Г,51 ’(А+5)381
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВТаблица 7.27.2.	ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 1РАДИУСОВ ИНЕРЦИИГ^ОЛОН\—6\irx*0,3/hГу-О&Ьх ru*0J97h3U''rx-0.29hТ увзгъ Зг*гъ*0у1вh+b&лrx-0,31h дг Гу*0,215Ь\г-ЬJ	 rx*0,32h-IrirfWbу r vA29h 		11тr.-030h8 уb	I r„-0J7b_±rx*0,25h|Г~~1. хЪ<т//	П\—b-rx=0,2JhГу-0,21 b•< ru=0,S3h10ГLГ?rz~0,42h11ШinТан же\ как 5*1,5,612_зr^OfiZh •x ry так же*	ii	как В 4,5,6[—i—I13У rx-0,39h14-У—11	Г ru=0,21b*C: - •*1 fJ. V11	r 1rx*0,41h15-b ——b-rx=0,36h ..xry-0,4Sb16¥У	 rx-0,36bZpXr^ewi17Уrx*Q.39h18УIS у- 1<5—bM —\rx*0#1h r^-0,32 b19С_±rx*0y40h20r-УГТ-X—b—rg?0,3fh21Z-brx-0,31h22tprx-0,38h Д ry<22b=-jr23rx=0,Wh_xry4,21b24IСьI— ■ ■■ b ——12rxrQJt3Sh ■x гу? 0,25b25Э+БM-rx=0,37h Гу* 0,56b26rx-0.37h27HI[ЛПЦrx.0,36hru-0.S3b28II4J-PPrxi0,39h ■* r^O.SSb29"Lrx-0,31hГ1 _Try=gm30iEPг_rP~b_	 rx-0,35hSi yWObЛЛ31Уr*nг_пi ii i 7гх=0,ЦЦЬJ rx=0,50h ~y*Q,28b	H- '•car
7.3. ПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ИЗГИБА НЕКОТОРЫХ СЕЧЕНИИ7.3.	ПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ИЗГИБА НЕКОТОРЫХ СЕЧЕНИЙ Таблица 73Форма сеченияПоложение центра изгиба (точка О)*1.	Сектор кругах—оу л-л При fJL = О% при fx = 0,250,1290,1680,1944,5120.1250,1580,1800,0140,1390,1550,0940,1091822,50,0670,0480,0750,0530,1190,1800,0562. Равнобедренный треугольникУ Ух о2	h 9 — 11 ц.135 Ц- а ’при малом а2	2h 1 + 3 fx15 <Хо < 15 ‘ 1 ’fx — коэффициент Пуассона3. Прямоугольный треугольник У Ух	о —2	h 1 + 3 fx	2 b 1 + 3 [х15 1 + fx * ^ о 15 1 + fx4.	Полукруг5. Сегмент квадратной параболы4	3 + 4 fx tх— —	 • 	dо 15л 1+fxУдлиненный4	4А 1 + 3 fx35 k<Xo < 35 ‘ 1 + (x ' Укороченный Ah 1 4-4fx	^ 4h_ 1 + 3fx35' ’ 1 + ft > Xo > 35 ' 1 + (x
362РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ БРУСЬЕВПродолжение табл. 7.3Форма сеченияПоложение центра изгиба (точка О)*б.	Сектор тонкого кругового трубча того сеченияX—о2 г(т: — a)cos a -j- sin a(к — a) -t-sin a COS a Для трубы с разрезом (a = 0)xo = 2r7.	Уголок (при h>t)X- —О -hx+hx*2УIly 4~^2уЛл-» Ay — главные центральные моменты инерции прямо¬ угольника с размерами Нл X^2дг» ^2у — то же, для прямоугольника с размерами h2 X8. Швеллер (при /t>5 t)hlrх	0 “ I ’1 XIxy — центробежный момент инерции половины сечения по отношению к осям х и у\1Х — момент инерции полной площади по отношению к оси jc.hViHПри t=h X- = —!	° 4/*	Положение центра тяжести некоторых фигур (точка О) см. 2.1.8 табл. 2.3.
7.4.	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ СВОБОДНОМ КРУЧЕНИИ~ ■ - ч	3637.4.	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ СВОБОДНОМ КРУЧЕНИИ6™ ™Форма сечения— «ММомент сопротивления в см-Положение точек тМомент инерции в см4Во всех точках пери¬ метра/к “ 32 d<~Ip*tг-*-da 	 &duwt16dHВо всех точках наруж¬ ной окружностиПо концам малой оси МкTmjx" WK'По концам большой оси“ 32/к 16 ’ Я* + I6 " F*4Д„W,hyi	ho— = —=«> 1; bn bhh-в bn— = — = a <1;И H	t?HWK = 0,208 a*По концам малой осиМкТтах_ wKuПо концам большой оси^	 ТтахП711к = Тг1t316 /i2 +1«НПосередине сторон/к = 0,1404 а1-6-— =п> 1;ОWK = 6 ь»Посередине длинных сторон tmax=MJWK.Посередине коротких сторон т = Сттах.В углах Т =0/к =1,5100,2080,3460,4930,8011,1501,7892,4563,1230,14040,29360,45720,78991,123217892,4563,1231.00,85880,79520,75330,74470,74260,74250,7425
364РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВПродолжение табл. 7.4.Форма сеченияМомент сопротивления в смлПоложение точек т_Момент инерции в см*ПТ	= п > 4;ЪwK = 4“ (п— 0, бз) ь*= —WK =0,0563 =/г3/г312,99" 7,5^32/кbВ точках длинных сторон, за исключением концов ттах*Посередине коротких сторон т = 0,7425 ттах.В углах х = 0Посередине сторонттах*В углах т= 0!к-±(п-0&) Ь■/г4	/г4/к_ 15f/3 25,981_3_801/3"Ь446,188— hb2 —0,105 Ь3 = 12В точках длинных сторон вблизи основания ттах.В углах т = 0/к = — Л63—0,10512-0,105b\ b\ — 62b\ 4- b\ Iv b1 =В точках боков вблизи большего основания трапеции ттах.В углах т =01I к	• 	12 Ь\ — 62—0.105 Ь‘b\ +лwK = —L. л^1 —12 b^—h)-0,2.1=-^ ft, feiПосередине длинной стороны ттах/к=— •12h{ Ь\-Ь§Ь\ — ь2— 0,21Гк =0,436 FrПосередине стороны тгаах/к = 0,533 Fr2^ = 0,447 FrПосередине стороны/к = 0,520 Fr2
7.5.	ПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ИЗГИБА И БИМОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЙ СОСТАВНЫХ ПРОФИЛЕЙ	0 _- - ■ - 		 — — ■ — -	—=* ■-■■ ■	-	Зэ5Таблица 7.57.5 Положение центра изгиба и бимоменты инерции сечений составных профилей**	В таблице введены следующие обозначения: 11х, /2х, 1^, ... — осевые моменты инерции частей 1, 2, . . . относительно осей х, у;L , , • •• —бимоменты инерции частей 1, 2, . . . относительно собственных центров изгиба.loo 2о>
866РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЙ БРУСЬЕВ7.6.	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУТАВ1РОВ И ШВЕЛЛЕРОВ ПРИ СВОБОДНОМ И СТЕСНЕННОМ КРУЧЕНИИТаблица 7.6G)^пхгтИЛСо1.	Двутавры (по ОСТ 10016-39)—Чл?\a>f71Ч‘ЧЦ||^0i111 /V\il . *2. Швеллеры (по ОСТ 10017-397№профиляБимомент инерции /ц) в см6Ордината эпюры со для край¬ ней точки профиля в см?Бимомент сопротивле¬ ния Wcо =/со=	 в СМ4соМомент инер¬ ции при сво¬ бодном круче - НИИ / в СМ*Характери¬ стика k —-Кй-1в см10644,315,2542,262,8730,04122121 35320,1067,334,2430,03457142 56025,54100,235,9110.02966 •164 87932,25151,308,4060,02562188 21938,90211,2311,370,02295a13 12146,15284,3114,810,0207420 {b13 85747,05294,5017,850,02215ta22 77355,91407,3320,320,0184422 jb23 93056,90420,5524,080,019580 * fa33 79964,48524,1525,570,0169824 |b35 42665,57540,2530,120,0180007 \a52 98776,68690,9931,930,0151527 (b55 41477,92711,2137,600,01608ca76 70488,38867,9338,830,0138930 1b80.11489,75892.6045,780,01475с83,61291,13917,5055,230,01587(a107 160100,691064,346,190,0128133 jb111 780102,211093,654,490,01363с116 520103,731123,365,740,01466(a154 820115,191344,056,850,0118336 |b161 210116,851379,666,720,01256с167 760118,511415,679,990,01348(a228 900134, Л1705,668,750,0107040 чb237 950136,001749,680,680,01137Iс247 210137,851793,396,550,01220Примечание. При вычислении £ приняты G= 800 000 кг/см2; Е= 2 100 000 кг/см\к<=:sИ<U ffiа «Бимомент инерции /ш в см»Ординаты эпюры (О для край¬ них точек профиляЕимоментысопротивления! *=* S о СХ о О<у К v;soOS~1з-СЗ ^* в Н I 1О К экгCL О ц,<и1а. ‘ л II X•е-оо*с21?2.2 о - Я « -х. о.401 в см2со2 в см2W“l в см*W0)а в см4н о s и во X <и о а>Ц!<• Е *56,5810121,08 1,15 1 22 1,34 1,4824,9164,88141.8354.8 768,32,703,865,157,199,544,266,368,7512,7117,319,2216,8027,5749,3580,515,8510,2116,2027,9244,391,3501,4971,9402,7273,6340,14370,093750,072190,054110,0424514 Ц1,581,391 512 171112,0311,4622,6323,85125,74149,3266,8571,754,8156,2480,034830,0373016 U1,681,482	7603	09914,7414,0328,6330,09187,23220,8796,40103,006,3068,2270,029500,0318018 Ц1,831,574	7455	29217,6816,8355,3237,02268,41314,50134,34142,958,12310,500,025550,0274920 к1,941,737	6988	56021,2720,2442,4644,45361,95422,87181,28192.579,8412,500,022070,0235922 ц2,071,8611	59312	86324,8423,6349,6051,88466,69544,42233,73247,9511,6614,600,019580,0207924{с2,101,881,6715 32617	00718	64027,4826,1024,9155,2157,7560,09557,74 651,5Г 748.35277,59294,50310,2113,2116,4721,310,018120,019210,02087я1г2,141,911,7024 337 26 883 29 35531,8530,2328,8266,4669,3972,10764,11889,341018,6366,19387,42407,1416,2520.3426.340,015950,016980,01848»{:2,262,031,8036 645 40 436 44 10437,2135,2335,5976,5479,9883,06984,871147,81313,0478,78505,61530,9720,3925,0131,750,014560,015350,01656ЛИТЕРАТУРА1. Бычков Д. В. иМрощинскийА. К., Кручение ме¬ таллических балок, Стройиздат, 1944.2., Гебель В. Г., Трубообразные балки большой полезной ширины и высокой экономики, Изд. Гос. научно-мелиоративного ин-та , Л., 1930.3.	ГОСТ ы: Сортамент балок двутавровых ГОСТ 8239-56; то же — облегченных 6184-52, то же — широкополочных 6183-52; Сортамент швеллеров 10017-39, то же — облегченных 6185-52, то же — широкополочных 8240-56; Сортамент угловой равнобокой стали 8509-57, то же — неравнобокой 8510-57.4.	Д и н н и к А. Н. (ред.), Справочник по технической меха¬ нике, Гостехтеоретиздат, 1949.5.	Справочник машиностроителя, т. III, Машгиз, 1949.6.	Энциклопедический справочник «Машиностроение», т. 1, кн. 2, Машгиз, 1947.7.	D г е у е г, Feztigkeltslehre und Elastizitatslehre, Leipzig, 1950.8.	Roark, Formulas for Stress and Strain, New York, 1943.
РАЗДЕЛ 8ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ8.1.	БАЛКИТаблица 8.1.18.1.1.	Эпюры изгибающих моментов (М) и поперечных сил (0) от различных нагрузокКонсольI-рР1д.	^Ulllllir¥«3«s»pb2Af£.pb•jlQPi2p1,||1ШШТШПТгтв-мP-Jpjl3Ш1ШМnг-^ггтгггТПТ!Т£Ь2CVjfUfinmlIliLrQ-0П
368РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.1.1Балка на двух опорахEh.Л3 Ра~тftmax^УЦЛ11;1||||ГТТПШ^ V/na*	мчщрир^.р рРаттттп-РМтахМ^ггтПТШТ	TTlrwflyп—^пг?тпШТШТШТ1 Ц¥ [ЕПИГТГггь,ftfnп■10,4231*ГЧ|«П-4^ц'-6,(4 ■Наклонная балкаБалка на двух опорах с консольюItiitHMliiiihllitJРза^ггтттттгтШТТПТ11к. J?пГ!!:":::!^!1:ттттл■■■ L ■—ie-^< Q г j—• *аар(1*-а2)*Примечание. Значения Л^тах и Q, не проставленные на схемах, см. табл. 8.1.3.
8.1. БАЛКИ369Продолжение табл. 8.1.1Однопролетная балка с одним защемленным и другим шарнирно опертым концомПоборот опоры ноШ\IIfcinL».,Е5н-«ш|1йtr£-2-dVmpL^пнг"1МшТПттттт^_&[553Uпри Ь<0,5771при Ь*0,5771 ^■ггттТТТГQпри Ь>0,5771 ■Осадка лебой опоры на 1• VtcfhiIKФма*Юсадка пробой опоры на *» - д»"ST^2? ТТ1ТПШШШтт~^. мТШШШ <7ъОднопролетная балка с обоими защемленными концами Рs-г-20pl\ I	fIlk. Q .■чцщ№521 ^Шк ЛЩЦяг^'/Шз'л гтттттт &я1 1К jQм.* 1 I 1 ♦ 11МА^ИП?1Zпри a =j 4Lпри a*-jЩ		 -^1 «грдр6'Поборот опоры на д>=1 13&1И!1!111111|||:1111ш1!ШОсадка опоры ьо 1ш—ИQ12ЕЗПримечание. Значения опорных моментов и опорных реакций, не проставленные на схемах, см. табл. 8.1.4. 24 Зак. 2098
370РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМТаблица 8.1.28.1.2.	Консоль. Опорные реакции, моменты, прогибы и углы поворота концевого сеченияСхема нагрузкиОпорнаяреакцияОпорный моментМаксимальный прогиб на конце консолиУгол поворота концевого сеченияI1_Е— а— PiPL* 3 El— РаРа2 6 EI(31 — а)Р1* 2 EIРа1 2 EIplEl2pl4 8 Elpl3 6 El—KA-	ПТПТТШpbPb(I -f- a)pl4 24 EI( a3 я4'(3-v+r/?/3 ^ a3 N 6EIШИППpaparpa32Ш(4/ — a)pa3 6 Elnpl2pP_6p'4 30 Elpl3 24£7IL2PJI311 p/4120 £7p/3~8eTРг\VPi(P1+P2) * 2/2• (2pi + P2) „ о(llpi + 4p2)/4120£/3pi + P2 24= EI
8.1. БАЛКИ371Продолжение табл. 8.1.2Схема нагрузкиОпорнаяреакцияОпорный моментМаксимальный прогиб на конце консолиУгол поворота ьонцевого сечения-^ттПГТТ(111Тrg-l--Ь -■—I —рЬ_2- (2/ + а)О120£/ \	/ ^ /зРЪгТ1ТГПТПтттт»^1 п —й ~-— £ —рь2pb-^(1+ 2 а)Оpl3b 30 EI/	Ъ Ь3(5-5Т+24£/(б:'2 — 8lb -f 3621I._р/_2411 pH192 £/7 р/з 96 ' £/а— LLI2 2EI\LIEI\га5-4-1— LLg (/ + b) 2EILa~ЁГПроизвольная распреде¬ ленная нагрузка&ХЛ ■*■ II ТПШТШтт-^1ЯЭпюра lit$pdx— § рх dxМ dx : о~£Г- £/ - *в)Q — площадь эпюры М\xq — абсцисса центра тяжести площади эпюры М24*
372РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ8.1.3.	Простая балка. Опорные реакции, изгибающие моменты,Грузовые члены уравнений трех моментов: от нагрузки в левом пролете L=6E/r^; от нагрузки в правом пролете R=bEIc^a- гдета и ть—углы поворота опорных сечений.Схема нагрузкиОпорные реакцииИзгибающие моментыI	а = (1 	-*\	1 "hiz—НйЛ = Р— = Р£'; 1B = P-j=Kл аЪ^тах ~ i при х = а1&	1	Ъ.яи	i 	ч*IICQIIР1Мщах = ^ при X--J-п-1 одинаковых грузовррРрРгГа^\Га~1*па-А = В:ELз1	2 7при х = от — д° — IМгпах —^тах —Р/2Я/® 20,22 Е1\~а 1'(1 Д—А = В — РМтах — Р& при х = а
		3.1. БАЛКИ	прогибы, углы поворота опорных сечений, грузовые члены=—- 373Таблица 8.1.3Г — I -у- , где 1С— произвольный момент инерции. Для балок постоянного сечения V =1.Прогибы в пролетеУглы поворота опорных сеченийГрузовые членыПри х = ар/3 С2 с/2 ра2Ь2 V = 	с2 с = 	3 EI	Ш1См. также табл. 8.1.6Р/з 48 Е1при X = ■р/2Ч =№ Р1* 6 EI(£-£3)РРТбеГPabVL> = (I + «):PablR	Z~(l + b)■PIVymax —Pl328.17Е/Pl3= 0,0355 — ElIпри X = —xa = 4 =P/2 9 ElL-s-Tm-Pl1,67P/з15,73£7Pl1,33Pl313,05£/Pl1,17Pl3 11,15 £/Я/2 Л2 _ j—24£/ nп'л — 1L = R — —	PW4 nPmax —Pl3 24 EI(38-4&3)при a =■pi 2Te = Ti = 2i7(e-$S)=Pa2Е/-(/-a)л 3Pa/'L — R =		— (/ — a)
374РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ
8.1. БАЛКИ375Продолжение табл 8.1.3
376	-РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ
8.1. БАЛКИ377Прогибы в пролетеПродолжение табл. 8.1.3Углы поворота опорных сеченийГрузовые членырс6 EJт(2а1-2а*~ т) ++ -7Г при х = а 64— [4а (/ + 6)— с2];Ч *24 El I р ас24 EI IL = -^-[4^(/ + a)-c2];4/24/2[4а (/ + »—в1]/>/4 ; 384£/(86 — 463 + 64)/ПРИ *= “р/548£/(36 —6»)pl'VL = /? = -^r— (36-WW= 0,00662p/4‘'max 		£/при д» = 0*519/4 =_7	pP_360*8EIpi*360 EIL-~.«Ч-.При * = a paH45EI(5 — 9S 4- 45*)'■-3-SF(,2s‘-45s + «liPaH ,r or,.4_ w(6_*‘L-m	(5 —3“);15pa2 /' 60(1262 — 456 + 40)и =При jc — a pa2bl360£/(206 — 1362)p/»360£/6* (362 — 156 + 20);p/2 ГL =	62 (10 — 362);4 =pi* 360EI6r( 10 — 362)R =60 pi2 Г 6062 (362 — 156 + 20)Pi* 120 EIпри д: = —za — ~b —5 p/3 192£/L = R-.= — pi2 /' 32
378РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ
8.1. БАЛКИ379Продолжение табл. 8.1.3Прогибы в пролетеУглы поворота опорных сеченийГрузовые члены„ _А	+max 384 EI\ 5 25 ,при * = —24£/(1 — 282 + 83)р/2 /'L = R = -^——( 1-2е2 + ез)р/*1024 EIЧ ■17768р/з£/Ртах —19	р[!_3 072 ’ £//■Ч =при а: = ■5 р/3 256 ‘ £/_15128гL = R=Ртах — с лс\Pl4640 £//при * = —=р/364£/L.R.-^r0,6р* /29,930,5200,7Рь I2,9,360,5140,8Pbl28,870,5080,91,0Pb I28,410,504Pb I28,000,500при r = 0,5 до 0,519/%a ~ ШЕ1^Ра^1Рь^хь=Ш1ара+Ърь)l2 ГR =60 I2 I' 60' (7Pa +‘ (%Pa + 7Pb)61 pb5 760 ’ EIпри * = —za — zb —pl*, 30£/L = R =plH'
380РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМСхема нагрузкиОпорные реакцииИзгибающие моментыА = В - *piМглях —Pi2при X = —/7,-I		а=£1^--ггтггтгПТТШШПШ—ьч'1— $ '	— гJPIP^В = — АА =Б =/L°/л =LbВ = —АМа = La при х — 0; Мь — 0 при х = /Afli = — £• g; М2 = L° g'Мл: = “7“ ^ ~ГА = ■в =L>b Ч~ILb + La IMa = при л: = 0 ; Мь = — Ц при х = I•2ГаIа + 1А = — Р —;В = РIМь=- Раfi\-^Н1Л11И1И| |JА =вра*21=р(й+1г)' iл^ = -ра** На схеме, кроме нагрувки, показана зпюра М (см. также табл. 8.1.
8.1. БАЛКИ381Продолжение табл. 8.1.3| Прогибы в пролетеУглы поворота опорных сеченийГрузовые члены	р/4Ртах- п,Е/1при X = —,In — т О —° я3Е/l-r-^14;n*Lnl2 Lal2у = 	2	= 0,0642 —-—ах 15,59£/ EIL I2 1 при х=0,423/; v~ —-— при х= — 16Е/ У 2_ JV . Т° 3£/ '_ ы %Ь 6 £/L = LJ'■ R=2LJ'L°ab / а — Ь\ V~ 3Е/ \ 1 ) при х = аL«l— да»-*'L°l'•-ггг"-даL = LPl' (1 — 352); /?= — L°/' (1 — 3S'*)(La + Lb) /2 16£/1при х = —	 1 .Т° _ 3£/ 6£/ ’ _ LJ_ Lbj_ Xb 6 EI ЪЕ1L = LJ' + 2LJ'\ R = 2 LJ' + LbV(La - Lb) /2 ° 1б£//при JC = —_ Lai М..x° 3El 6£/ ’ _Lsl_ Lbi 4 6 £/ ЪЕ!L = LJ'-2Lbl'; R = 2LJ'-Lbl'| На конце консоли1Ра2 fу =	(/ -f а).3EIВ пролете А ВPal2Ртах == 0,0542 —на расстояние 0,577/ от опоры АНа конце консоли PT =	(2/a -f 3a2);6 ElPal Za 6£/ ’Pal4 3£/Для опоры A R = — Pal'На конце консолира2Р= -h- (4/ +За).24В пролете Л5ра212Ртах = 0,0321 на расстоянии 0,577/ от опоры АНа конце консоли pa2v=w(a+l);pa21 T“ = ~ 12£V ’ pa214 = — ei/-Для опоры AраЧ’R-~ 2
382РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМТаблица 8.1.48.1.4. Однопролетные балки с одним защемленным и другим шарнирно опертым концом и с обоими защемленными концами. Опорные реакции и опорные моменты	Схема нагрузкиСхема балки'	гXОпорные реакцииОпорный момент MQОпорные реакции | Опорные моментыр—a*l	-j-H'Z-j ,-j1 « 7 Аа = -^-6' (з—5'2);б = 5* (3-5)_^(5'-5'=) =РаЪ- 2/■ (' + МА р.$а + Ь)Ь2.. Рг (а + 36) а2РаЬ2Ма = — —=—Ра¥2; Ра2Ьмъ = ———— = — PbZ2 1*к* 1В — Р/з>	г	4Л=1^Р; в = Тьр■— -Р1 1б\{Ма=Мь=-Ц-1 , f, 1 А1-	г	4Л“ТР;в=трР1.~~ 3А = В = Р2Ма = Мь = — — Р1LT	 Д„ 63 пА ="^тр;3233	лВ —	Р32~ 32 1л-в-^рМа = Мь = —Р1 1оп-1 одинаковых грузов Р\ 1 V \р Iя tН— 1 -па Н5^2 — 4п — 1А — Р\ tinЗп2 — Ап -|- 1 В= 8* Р;п2 — \—	Р18 пл-."*;*Ai2 — 1ма = Мь = — ——— Р1 12/2Р ,РИ- М? 1 h	1	-1Л = Р-^;Мав = р+~г3 / а \-т^тт)^А = В = РМа = Мь =—О-т)
8.1. БАЛКИ383Продолжение табл. 8.1.4
384РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМПродолжение табл. 8.1.4
8.1. БАЛКИ385Продолжение табл 8.1.4Схема нагрузкиСхема балкиВ-■г07't-ftОпорные реакции | Опорный ионент Ма	Опорные реакции |	Опорные моменты■нмрЬ2 МаА = ~зТ~Т’В--=-£(31-2ь) + ы+ :Маpb2А =pb2 Ма 	 Mb '*з/~"~ IВ=л7 (31 — 26) +О/, Ма—МьIМа = —^-(5 _46).20/Мь =pb2= ~ 30 (1 15£+6£2)а-{£А =77(3/ -а) - ы_МаI ’’ ра2 Ale В= 6/ + /pl'1— 155+20)Л = (3/ — а) —6/Ма —Af*/„ ра* , Ма — МьD = 	 -4- 	6/	Ipa2Mb	^-6(5-3?)-a*(lI-A = —(3/ — 2a)- 61Ma I ' pa2 Ma B= 31 + I— — (12£2 — 120— 45 £+40)A =^-(31-2a) -Ma—Mb I ; pa2 A4fl —-B =3//pa-3^ттгТТЛШШШ. L. pb2 Mg ~ 61 I ’ pbB=43l-b)+Ы+Mapb2 Ma — MbA~W	r~'B-§<*-»+Mg- Mb IMa = -^i(5- 35); Mb =Кв. параболаЧ1/iiiiii	liiKСинусоида\^*~\px=PsLn^''A = 0,433 pl; В = 0,233р/_p£ Л^аЛ =	. »Л	/B = £L + ^те IplI 103p/2,7^3A = B=TP/A-B-&-TZMg = Mb = -^rrPOL15Мд = Мь = —2p№7C325 Зак. 2098
386РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ	Продолжение табл. 8.1.4Схема нагрузкиСхема балкиА'-хОпорные реакции | Опорный момент Ма1>л 3 L&А=ТТ'3 L„в = —2 I!±2iVОпорные реакцииОпорные моменты%_ ЗЦ1*-Ь*)_2/зВ = — А-y(l-3J'2);Ма = 0 при g' =0,577.См. эпюру М в табл. 8.1.1А = —б LabВ =/з б LabLbMa= — (2a-b);LaMb=—(a-2b)\/2Iпри а = —- Ма = 0 ;от-См. эпюру М в табл. 8.1.1Поворот опоры А на = 1<Ра*1А = В =3£1 /2 ;3£7~ /23EIА =_бEI /2 ;в—5?/24EIМЪ =2EIОсадка опоры Б на 1л = -3EI/3В =3£//з3£//2Л =В = ■12£//з ;\2Е1Ма = - Мь =6£//26EI/2£VеЛ = -Я = 1,5£/а А ГЫ°1,5£/а	,а — коэффициент линейного расши¬ ренияЛ = В = 0= EI аА ГЛюбая нагрузкаМаА = Л0 — —;IВ-£о+у;Л°, £° — опорные реакции про¬ стой балки-у-£/;— угол пово¬ рота простой бал ки на опоре Л (см. табл. 8.1.3)Л = Л°-Ма — МьВ= В°IМд-МьI 'Л°, £° — опорные реакции простой балки2EIМа = “	'ty);2EIЩ = ——(2ib — %а);тд. — углы поворота простой балки (см. табл. 8.1.3)
8.1. БАЛКИ—	387Таблица 8.1.58.1.5. Прогибы однопролетных балок с одним защемленным и другим шарнирно опертым концоми с обоими защемленными концами25*
388РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.1.5Pl* I X СПрог“б " ~ШЁ1 F'Значения F(f-f)*11с!100,020,040,060,080,100,120,140,160,180,200,000,020,040,060,080000000,0770,1500,2180,28200,1500,2950,4320,57200,2180,4320,63)0,82800,2820,5720,8281,08400,3410,6781,0071,32200,3980,7891,1721,54300,4470,8901,3251,64700,4940,9841,4661,83500,5371,0691,5941,90700,5751,1471,7112,2631,000,980,950,940,920,10 ‘ 0,12 0,14 0,16 0,18000000,3410,3960,4470,4940,5370,678 0,789 . 0,890 0,984 1,0691,0071,1721,3251,4661,5941,3221,5431,6471,8351,9071,6201,8972,1532,3892,6041,8972,2302,5392,8223,0822,1532,5392,8993,2323,5362,3892,8223,2323,6133,9622,6043,0823,5363,9624,3572,8003,3183,8124,2804,7170,900,880,860,840,820,200,220,240,260,28000000,5750,6100,6420,6690,6931,1471,2171,2791,3341,3821,7111,8161,9101,9932,0652,2632,4042,5292,6402,7372,8002,9773,1343,2733,3963,3183,5313,7213,8894,0373,8124,0624,2864,4844,6574,2804,5684,8255,0935,2534,7175,0436,3355,5945,8225,1205,4855,8126,1046.3590,800,780,760,740,720,300,320,340,360.38000000,7140,7310,7450,7550,7631,4241,4581,4861,5081,5232,1272,1792,2212,2532,2772,8202,8902,9462,9933,0223,5003,5903,6623,7153,7584,1634,2694,3564,4244,4734,8064,9315,0345,1155,1735,4255,5715,6905,7845,8236,0186,1846,3206,4286.5096,5806,7676,9227,0457,1370,700,680,660,640,620,400,420,440,460,480,500000000,7680,7690,7680,7650,7580,7501,5321,5361,5341,5271,5141,4972,2912,2972,2942,2842,2652,2393,0413,0493,0473,0333,0092,9743,7803,7913,7883,7713,7743,7004,5044,5194,5164,4974,4634,4145,2115,22^5,2285.2075,1695,1135.8985.9215.9215.899 5,857 5,7956,5626,5906,5926,5716,5266,4587,2007,2347,2407,2197,1727,1000,600,580,560,540,520,501,000,980,960,940,920,900,880,860,840,820,80с\1* См.[13]. Там же аналогичные таблицы для двухопорных балок с одним и обоими защемленными концами.
8.1. БАЛКИ		 389Продолжение табл. 8.1.6х/1ell0,200,220,240,260,280,300,320,340,360,380,400,0000000000О001,000,020,5750,6100,6420,6690,6930,7140,7310,7450,7550,7630,7680,980,041,1471,2171,2791,3341,3821,4241,4581,4861,5081,5231,5320,950,061,7111,8161,9101,9932,0652,1272,1792,2212,2532,2772,2910,940,082,2632,4042,5292,6402,7372,8202,8902,9462,9933,0223,0410,920,102,8002,9773,1343,2733,3963,5003,5903,6623,7153,7533,7800,900,123,3183,5313,7213,8894,0374,1634,2694,3564,4244,4734,5050,880,143,8124,0624,2864,4844,6574,8064,9315,0345,1155,1735,2110.860,164,2804,5684,8255,0985,2535,4255,5715,6905,7845,8585,8980,840,184,7675,0435,3355,5945,8226,0186,1846,3206,4286,5096,5620,820,205,1205,4855,8126,1046,3596,5806,7676,9227,0457,1377,2000,800,225,4855,8896,2536,5776,8627,1097,3187,4927,6317,7377,8090,780,245,8126,2536,6547,0127,3277,6007,8348,0288,1848,3038,3870,760,266,1046,5777,0127,4047,7508,0528,3108,5258,6998,8348,9290,740,286,3596,8627,3277,7508,1298,4598,7438,9819,1759,3269,4350,720,306,5807,1097,6008,0528,4598,8209,1319,3939,6089,7769,9000,700,326,7677,3187,8348,3108,7439,1319,4709,7579,99410,18210,3220,680,346,9227,4928,0288,5258,9819,3939,75710,07110,33210,54010,6980,660,367,0457,6318,1848,6999,1759,6089,99410,33210,61710,84811,0250,640,387,1377,7378,3038,8349,3269,77610,18210,54010,848‘ 11,10211,3000,620,407,2007,8098,3878,9299,4359,90010,32210,69811,02511,30011,5200,600,427,2347,8508,4368.9879.5049,98110,41610,80711,15011,44311,6840,580,447,2407,8608,4519,0109,53410,02010,46510,86811,22511,53411,7910,560,467,2197,8418,4349,0069,52610,01810,47210,88411,25211,57311,8450,540,487,1727,7938,3878,9509,4819,97810,43710,85611,23211,56411,8480,520,507,1007,7188,3098,8719,4029,90010,362>10,78511,16711,50611,8000,500,800,780,760,740,720,700,680,660,640,620,60Чччс//Продолжение табл. 8.1.61сП0,400,420,440,460,480,500,520,540,560,580,600,000,020,040,060,0800,7681,5322,2913,04100,7691,5362,2973,04900,7681,5342,2943,04600,7651,5272,2843,03300,7581,5142,2653,00800,7501,4972,2392,У7400,7381,4752,2062,93100,7251,4482,1662,87800,7091,4162,1202,8160 ^ 0,692 1,381 2,066 2,74600,6721,3412,0072,6681,000,980,960,940,92'0,100,120,140,160,183,7804,5055,2115,8976,5623,7914,5185,2295,9216,5903,7884,5165,2285,9216,5923,7714,4975,2075,8996,5713,7444,4635,1695,8576,5263,7004,4145,1135,7956,4583,646 ‘ 4,350 5,040 5,714 6,3693,5814,2724,9515,6206,2593,5044,1824,8475,4976,1303,4174,0784,7275,3635,9813,320 3 963 4,594 5,212 5,8150,900,880,860,840,820,200,220,240,260,287,2007,8098,3878,9299,4357,2347,8508,4368,9879,5047,2407,8608,4519,0109,5347,2197,8418,4349,0069,5267,1727,7938,3878,9509,4817,1007,7188,3098,8719,4027,0047,6168,2028,7619,2906,8857,4898,0688,6219,1456,7447,3387,9078,4528,9696,582 7,163 7,721 8,256 - 8,7646,4006,9667,5118,0338,5300,800,780,760,740,720,300,320,340,360,389,90010,32210,69811,02511,3009,98110,41610,80711,15011,44310,02010,46510,86811,22511,53410,01810,47210,88411,25211,5739,97810,43610,85611,23211,5649,90010,36210,78511,16711,5069,78610,24810,67311,05911,4049,63810,09810.52310,91011,2579,4569,91210,33410,72111,0699,2439.69310,11010,49310,8409,0009,4419,85210,23010,5730,700,680,660,640,620,400,420,440,460,480,5011,52011,68411,79111,84511,84811,80011,68411,86811,99512,06612,08212,04611,79111,99512,14212,23112,26312,24111,84512,06612,23112,34012,39112,38311,84812,08212,26312,39112,46012,47011,80012,04612,24112,38312,47012,50011,704 11,959 12,165 12,321 • 12,423 12,47011,56311,82412,03912,20512,32112,38311,37711,64211,86412,03912,16512,24111,14811,41711,64211,82411,95912,04610,88011,14811,37711,56311,70411,8000,600,580,560,540,520,500,600,580,560,540,520,500,480,460,440,420,40хЦ ^
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ 390 =—		■—	-Продолжение табл. 8.1.6хЦell0,600,620^640,660,680,700,720,740,760,780,800,00000000000001.000,020,6720,6500,6260,6010,5740,5460,5160,4850,4520,4180,3840,980,041,3411,2981,2511,2011,1471,0901,0310,9680,9030,8360,7670,960,062,0071,9431,8721,7971,7161,6321,5421,4481,3521,2511,1480,940,082,6682,5822,4882,3882,2822,1692,0501,9261,7971,6641,5260,920,103,3203,2133.0972,9732.8402,7402.5522,3982,2382.0721,9000,900,123,9633,8363,6963,5483,3913,2243.0482,8642,6732.4742,2690,880,144,5944,4504,2884,1163,9333,7403,5363,3233,1012.8702,6330,860,165,2125,0464,8664.6714,4654.2454,0143,7723,5203,2602,9900,840,185,8155,6315,4305,2144,9844,7394,4814,2123,9313,6403,3390,820,206,4006,1995,9795,7425,4895,2204,9374,6404,3324,0113.6800,800,226,9666,7486,5106,2535,9785,6875,3795,0564,7204,3724,0110,780,247,5117,2787,0226,7476,4516,1375,8065,4595,0964,7204,3320,760,268,0337,7467,5147,2216,9066,5716,2175,8465,4595,0564,6400,740,288,5308,2697,9837,6737,3406,9856,6116,2175,8065,37b4,9370,720,309,0008,7288,4288,1037,7537,3806,9856,5716,1375,6875,2200,700,329,4419,1598,8488.5088,1437,7537,3406,5066,4515,9785,4890,680,349,8529,5619,2398,8878,5088,1037,6737,2216,7476,2535,7420,660,3610,2309,9329,6019,2398,8488,4287,9837,5147,0226,5105,9790,640,3810,57310,270f9.9329,5619,1598,7288,2697,7417,2786,7486,1990,620,4010,88010.57310,2309,8529,4419,0008,5308,0337,5116,9666,4000,600,4211,14810,84010,49310,1109,6939,2438,7648,2567,7217,1636,5820.580,4411,37711,06910,72110,3349,9129,4568,9698,4527,9077,3386,7440.560,4611,56311.25710,91010,52310,0989,6389,1458,6218,0687,4896,8850,540,4811,70411,40411,05910,67310,2489,7869,2908,7618,2027,6167,0040,520,5011,80011.50611,16710,78510,3629,9009,4028,8718,3097,7187,1000,500,400,380,360,340,320,300,280,260,240,220,204S. сиПродолжение табл. 8.1.6х!1сП0,800,820,840.860,880,90-0.920.940.9(50,981,000,00000000000001,000,020,3840,3480,312\ 0,2740,2350,1980.1590,1190,0800,04000,980,040,7670,6960,6230.5480,4720.3950.3180.23Э'0,1600,08000,960,061,1481,0410,932 .0,8200,7070.5920,4750,3570,2390,11900,940.081,5261,3841,2391,0910,9400,7870,6320,4750,3180,15900,920,101,9001,7241,543.1,3591,1710,9800,7870.5920,3950,19800,900,122,2692,0591,8431,6231,3981,1710,9400,7070,4720,23600.880,142,6332,3892,1391,8831,6231,3591,0910,8200,5480,27400,860,162,^902,7132,4292,1391,8431,5431,2390,9320,6230,31200,840,183,3393,0302,7132,3892,0591,7241,3841,0410,6960,34800,820,203,6803,3392,9902,6332,2691.S001,5261,1480,7670,38400,800,224,0113,6403,2602,8712,4742,0721,6641,2510,8360,41800,780,244,3323,9313,5203,1012,6732,2381,7971,3520,9030.45200,760,264,6404,2123,7723,3232,8642,3981,9261,4480,9680,48500,740,284,9374,4814,0143,5363,0482,5522,0501,5421,0310,51600,720,305,2204.7394,2453,7403,2242,7002,1691,6321,0900,54600,700,325.4894,8844,4653,9333,3912,8402,2821,7161,1470,57400,680,345.7425.2144,6714,1163,5482,9732,3881,7971,2010.60100,660.365,у795,4304,8664,2883,6963,0972,4881,8721,2510,62600.640,386,1995.6305.0464,4503,8363,2132,5821.9431,2980,65000,620,406.4005,8155,2124,5943,9633,3202,6682,0071,3410,67200,600,426,5825,9815,3634,7274,0783,4172,7462,0661,3810,69200,580,446,7446,1305,4974,8474,1823,5042,8162,1201,4160,70900,560,466.8856,2595,6204,9514,2723,581.2.8782,1661,4480,725о.0,540,487,0046,3695,7145,0404,3503,6462,9312,2061,4750,73800,520,507,1006,4585,7955,1134,4143.7002,9742.2391,4970.75000,500,200,18. 0,160,140,120,100,080,060,040,020,00N. с/1 я//4^
8.1. БАЛКИТаблица 8.1.78.1.7.	Коэффициенты приведения нагрузки к эквивалентной равномерно распределенной интенсивностью рвк для определения опорных моментов в неразрезных балкахМ0Ц = &рэк /2 >где k — коэффициенты при pi2 из табл. 8.1.8; 8.1.9; 8.1.11 и 8.1.12 для равномерно распределенной нагрузкиСхема нагрузкиРэкСхема нагрузки'’эк1р3 P 2 * If-eзг —R—1№1—0“‘t-ь2 Р. l! ... I"8 P 3 ’ It L t —i \ - 		i —I т Г11прb"J j"**?р р р 1 1 i15 JL4 ’ /	„ p p ^	JptoimflHj	^ЙШППМ26* (3 — 2 ?)рЯ--Ч-Ч-Ч-*-Jf a I— —j a J— ?•*р р р р Mil24 P 5 ’ IIjJIlilliliilliiii	ШИШДШШ1427 Р1- '-I. M.tT|. i .1, i Л5 5 7^-Ч7 hH ТP P P'PPP«) . | . | ..l« |a|an*—\ P n I5 8 Рt	, P Pi-i-i—r-t-H£ &9 P 4 ‘ I1732 Р£	1	1		~b19 P_ 6 ’ IP P P P■jfctf+fH+i]-33 P 8 ' IТ-	-1	■(1—2£2 + 63)рP P P P P—jf-f*-" 4* °T	—		$2n2 + 1 P 2 n I— ‘—Примечание. При определении пролетных моментов, поперечных сил и опорных реакций расчет следует вести на действительную нагрузку с учетом найденных для рэк опорных моментов,
392РАЗДЕЛ 8 ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМТаблица 8.1.8,8.1.8.	Неразрезные равнопролетные балки. Изгибающие моменты, поперечные силы и опорные реакции от различных нагрузокТаблицы позволяют определить максимальные и минимальные значения пролетных и опорных моментов в одно-, двух-, трех-, че¬ тырех- и пятипролетных неразрезных балках, а также в балках бес¬ конечной длины, постоянного сечения от воздействия наиболее рас¬ пространенных видов нагрузок. При действии сосредоточенных грузов даются значения моментов под каждым грузом.Индекс „шах“ обозначает наибольший по абсолютной величине положительный момент (поперечную силу) или наименьший по абсо¬ лютной величине отрицательный момент (поперечную силу).Соответственно „min“ — наибольший по абсолютной величи¬ не отрицательный момент (поперечную силу) или наименьший по абсолютной величине положительный момент (поперечную силу).В подстрочных индексах моментов первая цифра обозначает пролет, вторая—место приложения груза, например Af*,—момент в пролете 2 под грузом 1. ,При равномерно распределенной и треугольной на¬ грузке вторая цифра (1) обозначает максимальный пролетный момент.В обозначениях поперечных сил цифровой индекс обозначает про¬ лет, а буквенный—опору, например обозначает: поперечная сила в пролете 2 вблизи опоры В.При нагрузках, симметричных относительно середины всей балки, вначения моментов, поперечных сил и опорных реакций в правойполовине балки равны соответственно значениям этих усилий в ле¬ вой половине, при этом поперечные силы меняют свои знаки.На схемах расположения нагрузок в крайнем левом столбце по¬ казано только, в каких пролетах расположена нагрузка; в верхней, горизонтальной графе показано пять вариантов нагрузок. Точка 1 в верхней горизонтальной графе для случая равномерно распреде¬ ленной нагрузки соответствует наибольшему пролетному моменту. Для крайних пролетов точка 1 расположена примерно на расстоянии 0,4 I от крайней опоры, а для средних пролетов д:=0,5 / от опоры.Если на балку действует нагрузка, отличная от приведенных в таблице, ее следует заменить эквивалентной равномерно распреде¬ ленной рэк, пользуясь данными табл. 8.1.7. Опорные моменты для рэк определяются по коэффициентам таблицы для равномерно рас¬ пределенной нагрузки. Пролетные моменты, поперечные силы и опор¬ ные реакции определяются в этом случае как в простой балке от действительной нагрузки с учетом найденных опорных моментов.При одновременном действии на балку равномерно распределенной нагрузки и сосредоточенных грузов наибольшие значения пролетных моментов суммируются (хотя месторасположение наибольших момен¬ тов от этих нагрузок не всегда совпадает). Точное расположение сечений с наибольшими пролетными моментами дано в пункте ,в‘ настоящей таблицы.ам„ япМь »г, МггвQ,>Пролет 1 	I>*еС »2СПролет 2 I —QxПролет 3 — I(условное обозначение моментов дано для нагрузки от двух сосредоточенных сил в пролетах)а)	Двух-, трех-, четырех- и пятипролетные балкиСхематическое обозначение загруженных пролетовМоменты, поперечные силы и опор¬ ные реакцииx*0,h'0t5\Вид нагрузки в загруженных пролетахI —Двухпролетная балка+ 12 ARв' СI—I-L* 1&TM2 *вСд ;A2 дДeС136(mln)A = Q,lalb(min)^ll(max)12(max)13(max)мьЛ = ola(max)0,070 pl*0,156 Pl0,222 Pl0,258 Pl0,048 pl*——0,111 Pl0,265 Pl_-——0,023 Pl—-0,125 pP-0,188 Pl—0,333 Pl-0,469 Pl—0,078 pP*"0,37S pl0,313 P0,667 P1,031 P0,172 pl1,250 pl1,375 P2,667 P3,938 P0,656 pl-0,625 pi,—0,688 P—1,333 P—1,969 P-0,328 pl0,096 pl*-0,063 pP 0,438 pl0,203 Pl—0,094 Pl 0,406 P0,278 Pl 0,222 Pl-0,167 Pl 0,833 P0,316 PL 0,383 Pl 0,200 Pl -0,234 Pl 1,266 P0,065 pla-0,039 pP 0,211 pl^ll(mio) ^12(min) 13(min)a = a , .la(min\—0,063 pl—0,047 Pl-0,094 P-0,056 Pl -0,111 Pl-0,167 P—0,059 Pl —0,117 Pl —0,176 Pl —0,234 P—0,018 pl2—0,039 pl
8.1. БАЛКИ393Продолжение табл. 8.1.8Схематическое обозначение загруженных пролетовМоменты, поперечные силы и опор¬ ные реакцииВид нагрузки в загруженных пролетахЁЙ/ 2 - I 	12 3 I	«и22М(чА =<?В%Q2 Ъ ~ Q2 с1 аТрехпролетнаябалка"/ ,0,080 рР.0,175 Р10,244 Р10,281 Р1——0,156 Р10,313 Р1———0,094 Р10,025 рР0,100 Р10,067 Р10,000 v——0,067 р:0,125 PI—0,100 рР—0,150 Р1—0,267 Р1—0,375 PI0,400 pi0,350 Р0,733 Р1,125 Р1,100 pi1,150 Р2,267 Р3,375 Р—0,600 pi—0,650 Р-1,267 Р—1,875 Р0,500 pi0,500 Р1,000 Р1,500 Р0,101 рР0,213 Р10,289 PL0,328 Р1——0,244 Р10,406 Р1———0,234 Р1—0,050 рР-0,075 Р 1—0,133 PL-0,188 Р1——-0,133 Р1—0,188 Р1—0,050 рР—0,075 Р1—0,133 Р1—0,188 Р10,450 pi0,425 Р0,867 Рl*,3i3 Р0,054 рР0,021 рр—0,063 рР 0,188 pi 0,563 pi —0,313 pi 0,250 pi11(шах) ^12(шах) 13(шах) ч21(mm) ^22(пз1п)мьА = Оla(max)tГЛутгуа С D0,068 рр-0,032 рР—0,032 рр 0,219 pi11(шт)^12(min)^13(min)^21(max)Af22(тах)мьА ~~ ^la(min)0,075 pi*-0,050 рР —0,050 pi-0,038 PL0,175 Р1 .—0,075 PL —0,075 Р—0,044 PL —0,089 Р10,200 Р1 0,200 Р1 —0,133 Р1 -0,133 Р—0,047 Р1 —0,094 Р1 —0,141 Р1 0,188 Р1 0,313 Р1 —0,188 Р1 -0,188 Р—0,014 рР0,052 рр—0,032 рР -0,032 pit(mm)—0,117 рР-0,175 PL-0,311 PL-0,438 PL-0,073 рРМс—0,033 рР-0,050 Р1—0,089 Р1-0,125 Р1—0,022 ррВmax1,200 pi1,300 Р2,533 Р3,750 Р0,626 pi^lb(min)-0,617 pi-0,675 Р—1,311 Р-1,937 Р-0,323 piО2Ь(тах)0,583 pi0,625 Р1,222 Р1,813 Р0,303 piьгйм,Ь( шах)lb(max)02Ь(тш)0,017 рР —0,067 рР 0,017 pi —0,083 pi0,025 Р1 —0,100 Р1 0,025 Р -0,125 Р0,044 Р1 -0,178 PL 0,044 Р —0,222 Р0,063 Р1 —0,250 Р1 0,063 Р -0,313 Р0,011 рР —0,042 рР 0,011 pi —0,053 pi
394РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.1.8Вид нагрузки в загруженных пролетахЧетырехпролетная балкам0,077 pP0,170 Pl0,238 Pl0,275 Pl0,052 pP*12——0,143 Pl0,299 Pl—«13———0,074 Pl—"2!0,037 pP0,116 Pl0,079 Pl0,007 Pl0,028 pP"22——0,111 Pl0,165 Pl—4 1 ф 2 f 3 ?4 t"23мь-0,107 pP—0,161 Pl-0,286 Pl0,074 Pl -0,402 Pl-0,067 pPЯ В С НЕ•4 г ^ 1J 1 1-мс-0,071 pP—0,107 Pl-0,190 Pl—0,268 Pl—0,045 pPА = «1 а0,393 pl0,339 P0,714 P1,098 P0,183 plВ1,143 pl1,214 P2,381 P3,536 P0,590 plс0,929 pl0,892 P1,810 P2,732 P0,455 plQlb-0,607 pl-0,661 P-1,286 P-1,902 P-0,317 plQ2b0,536 pl0,554 P1,095 P1,634 P0,273 plQ2c—0,464 pl-0,445 P-0,905 P-1,366 P—0,228 pl^ll(max)0,100 pP0,210 Pl0,285 Pl0,325 Pl0,067 pP^12(тах)--0,238 Pl0,400 Pl-13(тах)———0,224 Pl-^21 (rain)—-0,067 PL—0,127 Pl—0,184 Pl—0,028 pPй 1 Л 2 Q j Л ^ Д^22(min)---0,111 Pl-0,167 Pl-Я в С 0-Е\i23(min)—-——0,151 Pl-"b-0,054 pP—0,C80 Pl-0,143 Pl—0,201 Pl—0,034 pPMс—0,036 pP—0,054 Pl-0,095 Pl—0,134 Pl-0,023 pPA-Q.tla(max)0,446 pl0,420 P0,857 P1,299 P0,217 pl^ll(min)	—0,040 Pi-0,048 PL—0,050 Pl-0,015 pP^12(т1п)---0,095 Pl-0,100 Pl-^(min)-—--0,151 Pl-iiiAiAiA'1 й^21(max)0,080 pP0,183 Pl0,206 Pl0,191 Pl0,056 pPА >В С д Е<W22(max)——0,222 Pl0,333 Pl—^23(max)——0,224 Pl—*6-0,054 pP—0,080 Pl—0,143 Pl—0,201 Pl—0,034 pPMс-0,036 pP-0,054 Pl-0,095 Pl-0,134 Pl—0,023 pP^ ^la(min)-0,054 pl—0,080 P—0,143 P-0,201 P-0,034 pl
8.1. БАЛКИ395Продолжение табл. 8.1.8.Схематическое обозначение загруженных пролетозМоменты, поперечные силы и опор¬ ные ре акт иВид нагрузки в загруженных пролетахpTln.jC гЖ~Н~] t—1	_J ‘!Z?7±2$ 1 2 3 Ф — I	Mfc(min)мlb(min)^2 6 (max)—0,121 pP —0,018 pP —0,058 pP 1,223 pl —0,621 pl 0,603 pl—0,181 Pl -0,027 Pl -0,087 Pl 1,335 P —0,681 P 0,654 P—0,321 Pl —0,048 Pl -0,155 Pl 2,595 P —1,321 P 1,274 P—0,452 Pl —0,067 Pl —0,218 Pl 3,837 P -1,952 P 1,885 P-0,076 pi1 -0,012 pP —0,036 pP 0,639 pP —0,326 pl 0,314 plмb( max)AfAf .minlfc(max)^2fc(min)0,013 pP —0,054 pP —0,049 pP —0,080 pl 0,013 pl —0,067 pl0,020 Pl —0,080 Pl -0,074 Pl -0,121 P 0,020 P —0,100 P0,036 Pl —0,143 Pl -0,131 Pl —0,214 P 0,036 P -0,178 P0,050 Pl —0,201 Pl —0,181 Pl —0,301 P 0,050 P —0,251 PMuc(min)2c(min)—0,036 pP —0,107 pP 1,143 pl — 0,571 pj,—0,054 PL -0,161 Pl 1,214 P —0,607 P—0,095 Pl —0,286 Pl 2,381 P —1,191 P—0,134 Pl -0,402 Pl 3,536 P —1,768 P0,009 pP —0,033 pP -0,031 pP —0,050 pl 0,009 pl —0,042 pl—0,023 pP -0,067 pP 0,589 pl -0,295 pl^ТТТТзТРГГ*Я В cn. f| Fi-0,071 рР—0,107 Р1—0,190 Pl—0,268 Pl-0,045 pPM , c(max)0,036 рР0,054 Р10,095 Pl0,134 Pl0,023 pPС . min-0,214 pl—0,321 Р—0,571 P—0,804 P—0,134 plQ 2c(max)0,107 pl0,161 Р Пятипролетная ба0,286 Pлка0,402 P0,067 plMu0,078 рР0,171 Pl0,240 Pl0,276 Pl0,053 p PM12——0,146 Pl0,303 Pl—^13-—-0,079 Pl—M210,033 рР0,112 Pl0,076 Pl ^0,005 Pl0,026 pPM22——0,099 Pl0,155 Pl-M23		—0,054 Pl—M310,046 рР0,132 Pl0,123 Pl0,079 Pl0,034 pPм л		0,123 Pl0,204 Pl	32Mb—0,105 рР—0,158 Pl—0,281 Pl-0,395 Pl—0,066 pPM£—0,079 рР—0,118 Pl—0,211 Pl—0,296 Pl—0,050 pP1Ли«1 a0,395 pl0,342 P0,719 P1,105 P0,185 plВ1,132 pl1,198 P2,351 P3,494 P0,582 plс0,974 pl0,960 P1,930 P2,901 P0,484 plо—0,605 pl-0,658 P—1,281 P-1,895 P-0,316 plW\b°Ч2 b0,526 pl0,540 P1,070 P1,599 P0,266 pl*2сО-0,474 pl—0,460 P-0,930 P— 1,401 P-0,234 pl0,500 pl0,500 P1,000 P1,500 P0,250 plV3 с
393РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ	*	Продолжение тябл. 8.1 8Схематическое обозначение загруженных пролетовВид нагрузки в загруженных пролетахпоперечные силы и опор¬ ные реакцииZ'Qf-OySl Р9 РР Р <?й®i i КЧНт t*а \ ‘ 1 л	h—ьа‘ГН> •I-	 (.	JА В С D £ Fм.ммll(max)12(шах)13(шах)М.М,М.м.м21(min)22(min)23(min)31(гаах)32(гаах)мьМсА = Qla(max)0,100 рР0,086 рР—0,053 рР —0,039 рР 0,447 pi0,211 Р1 —0,069 Р10,191 Р1—0,079 Р1 -0,059 Р1 0,42L Р0,287 PI0,326 PI0,068 pi*0,240 PI0,401 PI-—0,227 PI-—0,129 PI—0,185 PI—0,029 pP—0,117 PI-0,173 Pi-—-0,160 PI-0,228 PI0,227 PI0,059 p P0,228 PI0,352 PI-—0,140 PI—0,197 PI—0,033 pP—0,105 PI—0,148 PI—0,025 pp0,860 P>1,303 P0,217 piЛ В С D Е FмммMtll(min)12(rain)13(min)21(max)22(шах)M,М.М,23(шах)31(min)32(min)мьМсA =Q.la(min)0,079 рР—0,053 р Р —0,039 рР —0,053 pi—0,039 Р10,181 Р1-0,059 Р1—0,079 Р1 —0,059 Р1 —0,079 Р—0,047 PI—0,050 PI-0,015 pP—0,094 PI—0,099 PI-——0,148 PI-0,205 PI0,190 PI0,055 pP0,216 PI0,327 PI-—0,215 PI--0,105 PI-0,148 PI—0,025—0,105 PI—0,148 PI-—0,140 PI—0,198 PI—0,033 pp—0,105 PI—0,148 PI—0,025 pP—0,140 P—0,198 P—0,033 piд, д2дуд^А'5Л Д 8 С D £ ffc(min)—0,120 pP-0,179 PI—0,319 PI—0,449 PI—0,075 ppMс—0,022 pP—0,032 PI-0,057 PI-0,081 PI—0,014 pPMd—0,044 pP—0,066 PI-0,118 PI—0,166 PI—0,027 pPMe-0,051 pP-0,077 PI—0,137 PI—0,193 PI—0,032 p PВmax1,218 pi1,327 P2,581 P3,816 P0,636 pi^lb(min)—0,620 pi—0,679 P.—1,319 P-1,949 P—0,325 pi^26(max)0,598 pi0,647 P1,262 P1,867 P0,311 pi
8.1. БАЛКИПродолжение табл Я 1.8Схематическое обозначение загруженных пролетовМоменты, поперечные силы и опор¬ ные реакцииВид нагрузки в загруженных пролетах-0,51ййм.,&(тах)МсMd0,014 /?/а —0,057 рР —0,085 рР0,022 Р1 —0,083 Р1 —0,052 Р10,038 Р1 —0,153 Р1 —0,093 Р10,053 Р1 —0,215 Р1 —0,130 Р10,009 рР —0,036 рР —0,022 рРЯ В С J) £ FМе—0,054 /?/а—0,081 Р1—0,144 Р1—0,202 Р1—0,034 рРВmin—0,086 pl—0,129 Р—0,230 Р—0,323 Р—0,054 pl^lfc(max)0,014 pl0,022 Р0,038 Р0,053 Р0,009 pl^2£(min)—0,072 pl—0,108 Р—0,191 Р—0,269 Р—0,045 pl—0,035 рР—0,052 Р1—0,093 Р1—0,130 Р1—0,022 рРм , . чс(тт)—0,111 рР—0,167 Р1—0,297 Р1—0,417 Р1—0,070 рР—0,020 рР—0,031 Р1—0,054 Р1—0,076 Р1—0,013 рр-0,057 рР-0,086 Р1—0,153 Р1—0,215 Р1\-0,036 рРл В С 0 £ Р^тах1,167 pl1,251 Р2,447 Р3,628 Р0,605 pl^2c(min)—0,576 pl-0,615 Р—1,204 Р—1,787 Р—0,298 pl^Зс(тах)0,591 pl0,636 Р1,242 Р1,841 Р0,307 pl"ft—0,071 рР—0,106 Р1—0,188 PL—0,265 Р1—0,044 ррм ,с(тах)0,032 рР0,048 Р10,086 Р10,121 Р10,020 рРтя^штMd—0,059 рР—0,088 Р1—0,156 Р1—0,220 Р1—0,037 рРс 1 а 7 “J аЬ а5 Л Я В С V Е *Мес ,min—0,048 рР -0,194/7/—0,072 Р1 —0,291 Р—0,128 Р1 —0,517 Р—0,180 Р1 —0,726 Р—0,030 рР —0,121 pl^2с(тах)0,103 pl0,154 Р0,274 Р0,385 Р0,064 pl^3c(min)—0,091 pl—0,136 Р—0,242 Р—0,341 Р-0,057 plб) Бесконечная балка с равными пролетами3 К L М NОпорные мо¬ ментыMj=мк= = ML = ммПролетные—0,083 рРГ0,042 pl3—0,125 Р1 0,125 Р1-0,222 Р1 0,111 Р1-0,312 Р1 0,188 Р1—0,052 рР 0,031 рР"Я-Д- Д- Д Д"моментыПоперечные силы Q0,5 pl0,5 Р1,0 Р1,5 Р0,25 plОпорныереакции1,0 pl1,0 Р2 Р3 Р0,5 pl
3S8РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.1.8Схематическое обозначение загруженных пролетовМоменты, поперечные силы и опор¬ ные реакцииВид нагрузки в загруженных пролетахс¥ЁЛЗЙЙР Р РОпорные мо¬ менты Mj == мк == ML =Пролетныемоментыщ =мтОпорныереакции—0,042 рР0,083 рр 0,5 pi—0,063 Р10,188 Р1 0,5 Р—0,111 Р10,222 Р11,0 Р—0,156 Р10,344 Р1 1,5 Р-0,026 рР0,057 рр 0,25 piОпорный мо¬ мент Опорные моментыМ% = ММОпорная реакция L—0,114 рР —0,022 рР1,184 pi—0,171 Р1 —0,034 Р11,274 Р—0,304 Р1 —0,060 Р12,488 Р—0,427 Р1 —0,083 Р13,688 Р—0,071 рР -0,014 рр0,615 pi3 К__С М N ък	д;Опорные мо¬ менты МК = ML Пролетный момент MiОпорные моменты MJ = ММ—0,053 рР0,072 рр 0,014 рР—0,079 Р10,171 Р1 0,021 Р1—0,141 Р10,192 Р1 0,037 Р1—0,198 Р10,302 Р1 0,053 Р1—0,033 рр0,050 рР 0,009 ррв) Определение абсциссы (х0) максимальных пролетных моментов в неразрезных балкахСхема нагрузки*0Схема нагрузкиХоНа рисунках показаны левый крайний и промежуточный пролеты 5^/1 неразрезной балки1) ха -— при<0;(*-'т)>2)*о=-£~при Р> (a—p~yJ>0;Д 	 р	[	I3)*0=—-—при —р ) >Рc*JLU*1)	х0 =	 при (А — ра) < 0;Р2)	х0 — а при Р > (А — ра) > 0А — Р3) х0 =	Рпри (Р + ра) > (А — ра) > Р!) *о = —при Р > — р > 0;2) *0 = :А — Р>р^гттТПТТА1при*0 < —
8.1. БАЛКИ399Таблица 8.1.98.1.9. Неразрезные равнопролетные балки.Моменты, поперечные силы в сечениях (через 0,1/) и опорные реакции от равномерно распределенной нагрузки: постоянной gи временной р (таблицы Винклера)В конце таблицы дана сводка максимальных пролетных и минимальных (наибольших отрицательных)опорных моментовМоментыПоперечные силыX~твлияниевлияни*^:X~1~влияниевлияние pgшах (+)min (—)gmax ( + )min (—)Два пролета00,10,20,30,40,50,60,70,750,80,850,90,951.00+0,0325+0,0550+0,0675+0,0700+0,0625+0,0450+0,01750—0,0200-0,042500.03880,06750,08630,09500,09370,08250,06130,04690,03000,015200,00620,01250,01880,02500,03120,03750,04380,04690,05000,057700,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0+0,375 +0,275 +0,175 +0,075 —0,025 —0,125 —0,225 —0,325 —0,425 —0,525 —0,6250,43750,34370,26240,19320,13590,08980,05440,02870,01190,002700,06250,06870,08740,11820,160*0,21480,27940.35370,43690,52770,6250—0,0950—0,12500.001400,09640,1250МножительglPlPlМножительg?рРpPОпорные реакции: Лтах=0,375 g‘t +0,4375 pl; Bmax= 1,25 {g+p)lТри пролета1-Йпролет0,10,20,30.40,50,60,70,80,850,90,95+0,035+0,060+0,075+0,080+0,075+0,060+0,0350—0,0212—0,0450—0,0712П 1ППП0,О40 0,070 0,090 0,100 0,100 0,090 0,070 0,0402 4 0.0277 0,0204 0,0171С\ П1Я70,0050,0100,0150,0200,0250,0300,0350,04020,04900,06540,08831-йпролет00.10,20,30,40.50,60,70,80,91,0+0,4+0,3+0.2+0,10-0,1 -0,2 , -0,3 —0,4 -0,5 —0,60,45000,35600,27520,20650.14У60,10420,06940,04430,02800,01930,01670,05000,05630,07520,10650,14960,20420,26940,34430,42800,51910,61671,0—Uf1UUU0,11672-й0,050,10,150,20,30.40,5—0,0762—0,0550—0,0363—0,0200+0,0050,01410,01510,02050,0300,0550,09030,07010,05680,0500,0500,0500,0502-йпролет00,10,20,30,40,5+0,5+0,4+0,3+0,2+0,1+00,58330,48700,39910,32100,25370,19790,0833 0,0870 0,0991 0,1210 0,1537 0,1979пролст(UfUZlf /+С.020(0.0367*)+0.025(0,0417*)0,0700.075 jМножительgIPlPlМножительgl3р Рpi3Опорные реакции: ,4max=°-40^+°*45^fimax=1'\gl+\,2plЧетыре пролета1-йпролет0,10,20,30,40,50,60,70,80,850,90,951,0+0,0343+0,0586+0,0729+0.0771+0,0714+0,0557+0,0300—0,0057-0,0273—0,0514-0,0780-0,10710,03960,06930,08890,09860,09820,08790,06750,03740,02480.01630,01390,01340,0054'0,01070,01610,02140,02680,03210,03750,04310,05220,06770,09200,12051-йпролет0 0,1 0.2 \ 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0+ 0,3929 +0,2929 « +0.1929 +0.092Э —0,0071 —0 1071 —0,2071 —0.3071 —0,4071 —0,5071 -0,60710.44640,35280,27170,20290.14610,10070,06600,04100,02470,01600,01340,05350,05990,07880,11010,15330,20790,27310..34810,43190,52310,62052-йпролет0,050,10,150,20,30,40,50.6-0,0816—0,0586—0,0380—0,0200+0,0086(0,0217*)+0,0271(0,0367*)+0,0357(0,0417*)+0,0343(0,0367*)0,01160,01450,01980,03000,05680,07360,08040,07720,09320,07310,05780,05000,0482 0,0464 0,0446 0 04292-йпролет0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 - 0,6 0.7 0.8+0,5357+0,4357+0,3357+0,2357+0.1357+0,0357-0.0643—0,1643-0.26430,60270,50640,41870,34100,27420,21900,17550,14350,12220,06700,07070,08300,10530,13850,18330,23980,30780,3865
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ400 ' '	■■■■-■-■----г			■	-■	■■■■	=Продолжение табл. 8.1.9МоментыМПоперечные силыX1влияниевлияние рXвлияниевлияние рgшах ( + )min (—) уgmax ( + )min (—)2-йпролет0,70,80,850,90,95+0,0229 +0,0014 —0,0130 —0,0300 —0,04950,06390,04170,03450,03110,03170,04110,04030,04750,06110,08122-йпролет0,91.0—0,3643-0,46430,11060,10710,47490,57141,00—0,0714 (—0,0833*)0,03570,1071 1МножительglplPlМножительgl2РРрр 1Опорные реакции: Лшах~ 0,3929g7 +0,4464р/ ; Втах=1*1428^ + 1.2232/>/; Стах=0,9286^/ +1.1428/?/Пять пролетовN1-йпролет0,10,20,30,40,50,60,70,80,91.0+0,0345+0,0589+0,0734+0,0779+0,0/24+0,0568+0,0313+0,0042—0,0497—0,10530,03970,06950,08920,09890,09870,08840,06820,03810,01830,01440,00530,01050,01580,02110,02630,03160,03680,04230,06800,11960 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 ' 0,7 0,8 0,9 1,0+0,3947+0,2947+0,1947+0,0947-0,0053—0,1053-0.2053—0,3053—0,4053—0,5053—0.60530,44740,35370,27260,20390,14710,10170,06690,04190,02570,01690,0144l0,05260,05900,07790,10910,15240,20690,27220,34720,43090,52220,61962-йпролет0,10,20,30,40.50,60,70,80,91,0—0,0576—0,0200+0,0076(0,0217*)+0,0253(0,0367*)+0,0329(0,0417*)+0,0305(0,0367*)+0,0182(0,0217*)-0,0042-0,0366-0,0789(-0,0833*)0 ,0140 0,03 000,05630,07260,07890,07530,06160,03890,02800,03230,07170,05000,04870,04740,04610,04470,04340,04320,06460.111200,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0+0,5263 +0,4263 +0,3263 +0,2263 +0,1263 + 0,0263 —0,0737 -0,1737 —0,2737 —0,3737 -0,47370,5981 0,5018 0,4141 0,3364 0,2697 0,2146 0,1711 0,1391 0,1179 0,1063 0,10290,0718 0,0755 0,0878 0,1101 0,1434 0,1882 0,2448 0,3128 0,3916 0,4800 0,576600,10,20,30,4+0,5000+0,4000+0,3000+0,2000+0,10000,59090,49440,40630,32790,26040,09090,09440,10630,12790,16040,1—0,03390,02930,06330,500,20450,20453-йпролет0,20,30,40,5+0,0011+0,0261+0,0411+0,04610,04160,06550,08050,08550,04050,03950,03950,0395МножительglPlplМножительgl2рРрРОпорные реакции: Лтах=0,3947^ +0,4474pl\ Втах=1’1316^ +1.2177Р1\ Сщах=0*9737^ +1.1675р/* Значение момента, если в этом пролете балку считать с защемленными концами.Сводка максимальных пролетных и минимальных (наибольших отрицательных) опорных моментов в равнопролетных балках, загруженных равномерно распределенной нагрузкойВ8 8& 1 * i A fAT А л h,i 2 1M ^ i p/2 Af (2+p)l21 (®«> ~ 14,3 ^ 10,5 ’ b (min) ~ 8M gP _l_ pl2 Af Rl* . P12Umax) 12,5 10’ (max) 4fl 1 ,33-u slt pl2I b (min) 10 g 6в с вв e с в .Л 1 а г а г “ 1 ъ•		—_					*	& а а Д Д ^ 1 2 3 2 1Г/1 pl* g /2 pl* l(max) 12,9 10,2 ’ 2 (max) 28 12.4’м g/a pl* м pl2b (min) 9 3 g3'> с (min) j4 93gl2 pl* £/2 p[2 l(max) 12,8 10,1 ’ Al2<malt)—30,4 12,7’ Л1з(шах)_*1ш ,pl2 Pl2 ,, Si2 Pl2 21,6 11,7’ 6(min) 9,5 8,4 c<min> 12,7 8.9
8.1. БАЛКИ401Таблица 8.1.108.1.10. Неразрезные равнопролетные балки. Моменты, поперечные силы в различных сечениях и опорные реакции от сосредоточенных грузов: постоянных G и временных РИзгибающие моментыПоперечные силы jСхема нагрузкиX1влия¬влияние РУчасткивлия¬влияние Рние Gmax ( + )min (—)ние Gmax ( + )|min (—)Двухпролетная балка0,00,50,8421,00,00,1563—0,0789-0,18750,00,20310,00,0Множи¬тельGIР10,0 0,0469 0,0739 0,1875Р1/II0,3125—0,68750,40630,00,09380,6875Множи¬тельGРРОпорные реакции:Лшах= °’8125 G + °’9063 Р’ *max = 2’3750 (С +/IIIII0,7186—0,2813—1,28130,8594 0,1679 0,00,14070,44921,2813Множи¬тельGРРОпорные реакции: Лпах= °’9686 G + 1Л°94 Р; *тах = 2'5625 + Р>0,00,250,750,8771,00,0 0,1795 0,0390 -0,1230 -0,28120,00,21480,14450,00,0Множи¬тельGIР10,00,03520,10550,12300,2812Р1UшшIIllljк45.—/ N0,00,3330,6670,85721,0Множи¬тель0,0 0,2222 0,1111 —0,1430 -0,33330,00,27780,22220,00,00,00,05560,11110,14300,3333GIР1Р1/IIIII0,6667-0,3333—1,33330,83330,24070,00,16670,57411,3333Множи¬тельGРРОпорные реакции: Лтах = 1Л667 G + !’333 Р; *тах = 3’6667 + р)/IIIIIIV1,03060,0306—0,9694—1,96941,26530,57490,16790,00,23470,54431,13731,9694Множи¬тельGРР(А — шахD _max "/IIIIIЭпорные 1,5306 С - 4,9388 10,3500—0,65000,5000реакции ? + 1.76Е (G + Р)0,42500,02500,6250i3 Р;0,07500,67500,1250Множи¬тельGРРОпорные реакции: Лтах= 0,8500 G + 0,9250 Р; £тах = 2,1500 G + 2.300 Р0,00,250,500,750,86481,0Множи¬тель0.0 0,2576 0.2653 0.0230 0,2025 —0,46880,00,31640,38260,19900,00,00,00,05870,11740,17600,20250,4688GIТрехпролетная балка1	11—1	1.1 1—1* /11Уч7//1F	-1/2 А0,0 0.5 0,833 1,0 1,15 1,20 . 1,500,00.1750-0,0416—0,1500-0,0750-0,05000,1000Р10,00,21250,02080,02500,00630,02500,1750Множи¬тельGIР1Р10,00,03750,06250,17500,08130,07500,0750Р126 За к. 2098
402 _РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.1.10Схема нагрузкиX1влияниевлияние РGmax (+)min (—0,00,00,00,00,250,19380,22190,02810,750,08130,16560,08440,87-0,06550,03250,09801,00—0,22500,03750,26251,1125-0,11250,01640,12901,20-0,02500,08750,11251,250,02500,13750,11251,500,02500,13750,1125Изгибающие моментыУчаст¬киПоперечные силывлияние Овлияние 'Р'max ( + ) min (—)Множи¬тельGIPIPIIII IIIrvVМножи¬тель0,7750—0,2250-1,22501,0000,00,88750,20000,03751,18750,40500,11250,42501,26250,18750,4050Опорные реакции:= 1,0250 G + 1,1375 P;'У0,00,3330,6670,8491,001,1331,201,3331,500,00,24440,1555—0,0750-0,2667—0,1333-0,06670,06670,06670,00,28890,24440,03770,04440,01330,06670,20000,20000,00,04440,08890,11270,31110,14670,13330,13330,1333/IIIIIIV V0,7333 -0,2667 —1,2667 1,0000 0,0Множи¬тель0,86670,27900,04441,22220,53330,13330,54571,31110,22220,5333Множи¬тельGIPIPIОпорные реакции:= 1,2333 О + 1,3667 P\-1/4 Wr0,00,00,00,00,250,28130,32810,04690,500,31250,40620,09380,750,09380,23440,14060,837-0,10700,05350,16051,00-0,37500,06250,43751,125—0,18750,02320,21071,20—0,07500,11250,18751,250,00,18750,18751,500,12500,31250,1875Множи¬тельGIPIPII1,12501,31250,1875II0,12500,62500,5000III—0,87500,22501,1000IV-1,87500,06251,9375V1,50001,81250,3125VI0,50001,03250,5300Множи¬тельОпорные реакции:А = 1,6250 О + 1,8125 Р;Четырехпролетная балка! 1j 111 XmIV j40,00,00,00,00,50,16970,20980,04C20,833-0,05030,01680,06701,00-0,16070,02010,18081,147—0,07810,00480,08301,20—0,05000,02500,07501,500,11610,18300,06701,790,01340,04580,05921,835—0,0362.0,02320,06442,00'—0,10720,05360,1607/0,33930,41960,0804II-0,66070,02010,6808III0,55360,65400,1004IV-0,44640,16070,6071Множи¬тельGPPМножи¬тельGIР1Р1Опорные реакции:= 0,8393 G + 0,9196Bmax = 2’2143 G + 2,3348 Р; Стах = 1,8928 G + 2,2142 Р
8.1. БАЛКИ403Продолжение табл. 8.1.1UСхема нагрузкиИзгибающие моментывлияние Овлияние Ршах (+)|min (—)Участ-Поперечные силывлияниеGвлияние Ршах ( + ) min (—)0,0 0,25 0,75 0,869 1,00 1,112 1,20 ‘ 1,25 1,50 1,75 1;79 1,882 2,000,0 0,1897 0,0692 —0,0785 —0,2411 —0,1200 -0.0250 0,0290 0,0491 0,0692 0,0325 —0,0515 —0,16070,0 0,2199 0,1596 0,0261 0,0301 0,0133 0,0880 0,1395 0,1495 0,1596 0,1213 0,0510 0,0804Множи¬тельGIР10,00,0301 0,0904 0,1045 0,2712 0,1333 0,1130 0,1105 0,1005 0,0904 0,0887 0,1025 0.2410Р1IIIIIIIV VVIМножи¬тель0,7589—0,2411—1,24111,08040,0304—0,91960.8795 О,1922 0,0301 1,2310 0,4851 0,24110,1205 0,4333 1,2712 О,1507 0,4047 1,1607Опорные реакции:, = 1,0089 О + 1,1295 Р;11£ ”1 111УуЛMrа1/3-X.V0,00,3330,6670,8481,001,1331,201,3331,6671,791,8582,000,00,23810,1429-0,0907 —0,2857 —0,1400 —0,0667 0,0794 0,1111 0,0 —0,0623 -0,1905Множи¬тельGI0,00 0,2857 0,2381 0,0303 0,0357 0,0127 0,0667 0,2063 0,2222 0,1053 0,0547 0,09520,00,04760,09520,12110,32140,15280,13330,12700,11110,10530,11700,2857PiPlI^0,71430,85710,1428II-0,^70,26980,5555III—1,28520,0357-1,3214IV1,09531,27380,1785V0,09530,58740,4921VI-0,90470,2858-1,1905Множи¬тельОпорные реакции: Лтах = 1.2143 О + 1,3571 Р\Bmax = 3'3810 G + 3‘5952 р’ "max :LLUл—j11111фS	YLVI1vjL‘ —11/4'.чПримечание к табл. 8.1.10. Значения опорных реакций Апахданы для	когда непосредственно на крайние опорыдействует 0,5 P(G) — при одинаковом расстоянии между всеми грузами или 0,25 P(G)— при вдвое меньшем расстоянии между грузом на крайней опоре и смежным грузом.0,00,250,500,750,85671,001,1241,201,251,501,751,791,86752,00Множи¬тель0,0 0,2746 0,2991 0,0736 —0,1295 —0,4018 -0,1988 -0,0750 0,0067 0,1651 0,0736 0,0195 —0,0870 -0,26790,00,3248 0,3996 0,2243 0,0431 0,0503 0,0192 0,1125 0,1908 0,3325 0,2243 0,1670 0,0805 0,13390,00,0503 0,1004 0,1506 0,1726 0,4520 0,2180 0,1375 0,1842 0,1675 0,1507 0,1475 0,1675 0,4018GIР1.Р1IIIIIIIVVVI VIIVIII1,0982 0,0982 -0,9018 —1,9018 1,6339 0,6339 —0,3661 —1,36611,29910,61180,21230,05021,88511,13920,64580,40170,20090,51371,11421,95200,25110,50531,01201,7678Множи¬тельОпорные реакции:Лтах = 1,5982 0 + 1,7991 Р; £тах = 4,5357 G + 4,8371 Р\С nv - 3,7322 G + 4,5356 Р шах	26*
404РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМТаблица 8.1.118.1.11. Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках с одним защемленным концомМножитель р/2Схема балки и нагрузки-тАГ+ 0,0357Ми—0,0715	"ik—0,1072—0,0357—0,0715—0,1072—0,1058—0,0385+0,0096|	з4“‘'1,иьА	ъ+ 0,0289—0,0577—0,0096+ 0,0193—0,0481—0,0673^ашшп^	£щшш^—0,1154—0,0193—0,0577f—Knnu'"k—a-0,0769—0,0962—0,0385|	^птдишиид+0,0192—0,0385-0,1154—0,0865-0,0769-0,1058Продолжение табл. 8.1.11МножительСхема балки и нагрузкил д а,А & С D-0,1057МиЖ,-0,0387+0,0103—zr+ 0,0283—0,0567-0,0516—0,0026+0.0129—0,0077+ 0,0154"ZS	тг-п+0,0026—0,0052-0,0541-0,0490+ 0,0181-0,0670|	2?™%	25°“^+0,0309—0,0619—0,0335—0,0541-0,01134-0,0232-0,0438-0,0516—0,0748—0,1005К	"К	ь+0,0206—0,0413-0,0232—0,0567—0,1057-0,0361—0,1108-0,0284-0,0258—0,1186*ГТТ1—0,0824—0,0851—0,0773—0,1057Примечание. Значения моментов даны для равномерно распределенной нагрузки. При других нагрузках—заменить на эквивалентную равномерно распределенную нагрузкурэк , поль¬ зуясь табл. 8.1.7.Таблица 8.1.128.1.12. Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках с обоими защемленными концамиМножитель р/2Схема балки и нагрузки—0,1042—0,0417+0,0208-0,0833—0,0833—0,0833
8.1. БАЛКИ Продолжение табл. 8.1.12——— 405Продолжение табл. 8.1.12Схема балки и нагрузки**р—&	з	1Д в CD—0,1056-0,0389+ 0,0111—0,00561\+0,0278—0,0555—0,0555+ 0,0278—0,1111—0,0278-0,0278—0,1111Схема балки и нагрузкиМаМЬмсMd, i“	t	ч.—iг—0,0778-0,0945—0.0445+ 0,0222j—т	тт	"4—0,0833—0,0833—0.0833—0,0833Продолжение табл. 8.1.12Множитель р/2Схема балки и нагрузким„-0,1057.—0,0387+0,0104-0,0030+ 0,0015%	Jrnmnnj	2рШпш5^	1+ 0,0283—0,0566-0,0521+0,0149—0,0075-0,1131—0,0595—0,0417*“0,0595+ 0,0297—0,0759—0,0982-0,0313—0,0268-0,1116+0,0208-0,0417—0,1042—0,0417+ 0,0208I1111		4-0,0833—0,0833-0,0833—0.0833—0,0833Продолжение табл. 8.1.12Множитель р/2Схема нагрузкиМ.„MhМп—0,1057-0,0387+0,0103-0,0028+ 0,0008—0,0004f	5™%	S	Е	1+0,0283—0,0076-0,0566+ 0,0151—0,0518—0,0531+0.0139—0,0531—0,0040+0,0151+0,0020—0,0076
406РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.1.12Схема нагрузкимаМЬМсмамеМ/\ П Д—1'+0,0303—0,0606—0,0379—0,0379—0,0606+0,0303-0,1137-0,0228—0,0455—0,0455—0,0228—0,1137	к —§—0,0754—0,0993—0,0276—0,0407—0,0598+0,0299+0,0203—0,0407—0,1077—0,0287—0,0275-0,1113^ШПКДППЩД II! ^Illll.^l-i-lg—0,0833—0,0833—0,0833—0,0833—0,0833—0,0833Примечание. Значения моментов даны для равномерно распределенной нагрузки. При других нагрузках—заменить на экви¬ валентную равномерно распределенную нагрузку pBKf пользуясь табл. 8.1.7.Таблица 8.1.138.1.13.	Прогибы в равнопролетных неразрезных балках (в середине пролета)Множитель для случая распределенных нагрузок 	, то же—для сосредоточенных сил	.Два пролетаI Три пролетаЧетыре пролетасхема нагрузкипрогис в про¬ лете 1схема нагрузкипрогибсхема] нагрузкипрогибв про- .лете 1в про¬ лете 2в про¬ лете 1в про¬ лете 2в про¬ лете 3шппннршшш10,00520!!L! II1 МП 11Ш1ПТТ11П1ГП im ГДД^0,006750,00052/Р0,006300,00190т~0,00987-D Р0,00962-0,00738в в с - в.■ а^llJILLl^ ---Л1 А ' Д А В С D ВПГТТПТЙП0,00906ггттттттттпг-0,0675Рнтптп0.00882--7S" -Д '"-Ъ0,00882-о-0.00657-& & А дд—	3	ъ{ /.0,00915р р р ' А' ». Д-*. Л 1 Л0,011520,00213р р р р ( 1. 1: . К0,010850,00410-& / Li 2 Ь з &1л ; ■■■&-}-■&-j-s-J1 &р » 1 10,01621-9 Р - 1 t.0,01590- •0,01251г Л 8 с DZT^TS	Ь
8.1. БАЛКИ407Продолжение табл. 8.1.13Два пролетаТри пролетаЧетыре пролетасхема нагрузкипрогибсхема нагрузкипрогибпрогиблете 1в Дро- лбТе 1в про¬ лете 2схема нагрузкив про¬ лете 1в про¬ лете 2в про¬ лете 3Р_А 10.011521Р0 01465А 7^ 'Д Дf0,01502A Ск ЛСД О ^4—Jр^ А А Д0,01465-PД Д Д £ь Д10,01127-Р Р Р РjuL.\ гА ■? , 9 г ?0,01470Р Р р р р р0,018800,002101j р р рр рр р р р ' AJiJCUl0,017660,00570-L—1 —4—-1—Jр р р р JJ. н-0,02718р р р р ii 110,026550,02057л & &д в с вд-1 'д д д	г,Р Р0,01880р р ±\.0,02436l*Y0,02505д л д лк А Д Д Д■ 1р P 1 * ~л0,02436р р д . 110,01835Сь А ДД О £i £ьррр ррр П1 1П0,02030РРР РРР ррр.Ш'lll.,UL.Сь 1 £Ь 2 ^ 30,026150,00270,РРР РРР РРР РРР .ilUIUIMR0,024450,00760-старрр ррр Д В с , V0,03787-! ррр рррj ДП‘Д, дщд ,0,03705-0,02870РРРл JIU -Л0,02615РРРU10,03300р<рр ■Л а £> Аi1 Д-^А "Л Д Т>0,03498рррт1[ К0,03300■зj /РРР'. „ Ц| , ....0,02550& & д д\ & Д А^ -д
__	РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ	Таблица 8.1.148.1.14.	Опорные моменты в неразрезных равнопролетных балках при осадке опорEIОпорные моменты вычисляются по формуле М = k	 Д , где k — коэффициенты из таблицы; А — осадка опоры.а)	Двух-, трех-, четырех- и пятипролетные балкиСхема балкиОпорныеПри осадке опорымоментыА 11 5С 11 DЕFQB0м„ =—1,50003,0000—1,5000---м„ =—1,60003,6000—2,4000,4000--П В С 0Мс =0,4000—2,40003,6000—1,6000--ШТГГД В С д ЕМ„ =—1,60723,6429—2,57140,6429—0,1072-110,4286—2,57144,2857—2,57140,4286-Md =—0,10720,6429—2,57143,6429—1,6072-1МЬ-—1,60753,6453—2,58260,6882—0,17210,0287НМ! |Ч М' h0,4306—2,58364,3346—2,75580,6890—0,1148AAA А А АДВС d Е Fма =—0,11480,6890—2,75584,3346—2,58360,4306Ме =0,0287—0,17210,6882—2,58263,6453—1,6075б)	Полубесконечная балка в) Бесконечная балка-		 . 		и т.д.‘Я -С ~В Д В С д и т.д.~Т^ААААА~"ОпорныемоментыПри осадке опорыАВСDЕмь =—1,60783,6462—2,58480,6926—0,1856Мс=0,4308—2,58484,3388—2,77040,7423Md =—0,11540,6926—2,77044,3885—2,7837ме=0,0309—0,18560,7423—2,78374,3921II—0,00830,0497—0,19890,7459—2,78460,0022—0,01330,0533—0,19980,7462Mh=—0,00060,0036—0,01430,0536-0,1999м,=0,0001—0,00100,0038—0,01430,0536При осадке опоры АОпорные моментыМ4,3924М , = 0,7462 с {-с)М , = 0,0536 е (-<?)М ч = —0,0143 g(-g)М., = 0,0038 h (—h)М. , = —0,0010I i—l)
8.1. БАЛКИ409Пример. Определить моменты от осадки опор в же¬ лезобетонной четырехпролетной балке. Пролеты / = 6 м. Сечение балки 0,4X0,9 м.Модуль упругости (нормативный) балки, согласно НиТУ 123-55, для бетона марки 150 £=240 000 кг/см2,0,4 • 0,93Момент инерции балки / = 	—	 « 0,025 ж4. Возможная осадка любой опоры А = 0,004 м.M—k —— Д; -^Д = 6,67./2 /2Опорные моменты, возникающие в балке под влияни¬ ем осадки опор:мм,= м =При осадке опоры-10,72 2,86 - 0.72В24,30-17,154,29D-17,1528,59-17,154,29—17,1524,30— 0,72 2,86 -10.72Эпюры М СгЯГягЕ55"|со«чГ,, ,„^1Т¥3Тгтггт^..^|)Г .вЧ К- осГIfYvT ^а&1ТПТТптгт^■При осадке опоры яПри осадке опоры ВПри осадке опоры сТаблица 8.1.158.1.15.	Ординаты инфлюент (линий влияния) изгибающих моментов и поперечных сил для неразрезных равнопролетных балокДвухпролетная балка0	1$3*5В789Ю 11 12^ 1 4Г-1—'—1 " " А•	1 —-		 1 	*№ орди¬ натОрдинаты инфлюент М е1 сечениях (множитель 1)Ординаты инфлюен¬ ты Q012345600000001,000010,13230,09760,06320,0285—0,0060—0,04050,792820,09880,19760,12980,0619—0,0061—0,07400.592730,06770,13540,20310,10410,0051-0,09380,406240,04020,08030,12050,16060,0340—0,09260,240750,01720,03430,05160,06870,0860—0,06360,1031600000007—0,0106—0,0212—0,0318—0,0424—0,0530-0,0636—0,06368—0,0154—0,0309—0,0463-0,0617—0,0772—0,0926—0,09269—0,0156—0,0313—0,0469,—0,0626-0,0782-0,0938—0,093810—0,0123—0,0247—0,0370—0,0494—0,0617—0,0740—0,0740и—0,0068—0,0135—0,0203—0,0270—0,0338—0,0405-0,0405120000000 .Трехпролетная балка0	1 2 3 4 5 Б 1 6 9 10 11 12 13 П 15 16 17 18А	1	1			1	*—4	• • ■&Ординаты инфлюент М в сечениях (множитель 1)*Ординаты инфлюент Q№ординат123456789Qo^справа00000000001,0000010,13180,09670,06180,0267—0,0083—0,0432-0,0342—0,0252—0,01620,79010,054020,09800,19600,12730,0585—0,0102-0,0790-0,0625—0,0461—0,029-i0,58770,098730,06670,13330,20000,10000—0,1000'-0,0792—0,0583—0,03750 40000,125040,03910,07820,11740,15650,0289—0,0987—0,0782—0,0576—0,03700,23460,123450,01650,03290,04950,06590,0826—0,0677-0,0536-0,0395-0,02540,09900,08460,0000600000000001,00007—0,0095-0,0190—0,0285—0,0379—0,0474—0,05690,08720,06440,0418—0,05690,86398—0,0132—0,0263—0,0395—0,0526—0,0658—0,07890,03640,15160,1002—0,07890,69139—0,0125—0,0250—0,0375—0,0500—0,0625—0,07500,00830,09170,1750—0,07500,500010—0,0090—0,0181—0,0271—0,0362—0,0452—0,0543—0,00280,04870,1002—0,05430,3087и—0,0044—0,0088-0,0131—0,0175—0,0219—0,0263—0,00360,01910,0418—0,02630,13611200000000000130,00280,0057'0,00850,01130,01410,01690,0023—0,0113—0,02540,0169—0,0846140,00410,00820,01230,01650,02060,02470,0041—0,0165—0,03700,0247—0,1234150,00420,00830,01250,01670,02080,02500,0042—0,0167—0,03750,0250—0,1250160,00330,00660,00990,01320,01650,01970,0033—0,0132—0,02960,0197—0,0987170,00180,00360,00540,00720,00900,01080,0018—0,0072—0,01620,0108—0,05401800000000000
410РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.1.15Четырехпролетная балка0	1 2 3 ♦ 5 6 7 в 9 10 11 12 13 П 15 16 17 18 19 20 21 22 23£	1> "ф	Л—— / 	-U	i —-		1	4-	i		№Ординаты инфлюент Мв сечениях (множитель 1)Ординаты инфлюент Qординат123456789101112Qo^справа00000000000001,0000V 010,13180,09660,06170,0266—0,0084—0,0434—0,0343—0,0251—0,0159—0,00680,00240,01160,7899ф, 055020,09790,19580,12710,0582-0,0106—0,0793—0,0626—0,0459—0,0291-0,01240.00440,02120,5874Т, 100530,06660,13320,19980,0997—0,0004—0,1004-0,0792—0,0580—0,0368—0,01560,00560,02680,39960,127240,03910,07810,11720,15620,0285—0,0992—0,0782—0,0573—0,0364—0,01540,00550,02650,23410,125750.01640,03280,04940,06570,0823-0,0681—0,0537—0,0393—0,0249—0,01060,00380,01820,09860,0863600000000000000,00007—0,0094—0,0188—0,0283—0,0377-0,0471-0,05650,03720,06400,04110,0179—0,0051—0,0281—0,05651,00000,86178—0,0130—0,0260—0,0390—0,0520—0,0650—0,07800,03650,15090,09870,0464—0,0059—0,0582—0,07800,68659-0,0123—0,024J—0,0369—0,0491—0,0614—0,07370,00850,09070,17300,08850,0041—0,0804—0,07370,493310-0,0088—0,0176—0,0265—0,0353—0,0441-0,0529—0,00260,04770,09810,14830,0318—0,0846—0,05290,3016и—0,0042—0,0084-0,0127—0,0169—0,0211—0,0253—0,00350,01830,04030,06200,0340—0,0610—0,02530,13101200000000000000130,00260,00510,00770,01020,01280,01530,0026—0,0101—0,0229—0,0356—0,0483—0,06100,0153—0,0763140,00350,00710.01030,01410,01770,02120,0036—0,0141—0,0317—0,0493—0,0670—0,08460,0212—0,1058150,00340,00670,01010,01340,01680,02010,0034-0,0134—0,0302—0,0469—0,0630—0,08040,0201—0,1005160,00240,00490,00730,00970,01210,01450,0024—0,0097—0,0218—0,0339—0,0461—0,05820,0145—0,0727170,00120,00240,00350,00470,00590,00700,0012—0,0047—0,0106—0,0164—0,0223—0,02810,0070—0,0351180000000000000019—0,0008-0,0015—0,0023—0,0030—0,0038—0,0045—0,00080,00300,00680,01060,01440,0182—0,00450,022720-0,0011-0,0022—0,0033—0,0044—0,0055—0,0066—0,00110,00440,00990,01540,02090,0265-0,00660,033121—0,0011—0,0022—0,0034—0,0045—0,0056—0,0067—0,00110,00450,01010,01560,02120,0268—0,00670,033522—0,0009—0,0018—6,0026—0,0035-0,0044—0,0053—0,00090,00350,00790,01230,01680,0212—0,00580,0265230,0005-0,0010—0,0015—0,0019—0,0024—0,0029—0,00050 00190,00430,00680,00920,0116—0,00290,01452400000000000000123456789101112Бесконечная балка (средний пролет)Для крайнего пролета и второй опоры можно применить инфлюенты в сечениях 1—6 четырехпролетной балки. Для второго пролета и третьей опоры—инфлюенты в сечениях 7—12 той же балки (ошибка около 1,5%).Вид инфлюенты М в сечении 8 б 9 10 11 12 -		—I—I	1В 19 20 21 22 23 24 и т.д.>5ординатОрдинаты инфлюент М в сечениях (множитель 1)Ординатыинфлюенты^справау6№ординатОрдинаты инф/.юент М в сечениях (множитель 1)Ординаты инфлюенты ^споава 6 ^Ь78967890000012000001—0,0271—0,0214—0,01570,0343130,01630,0034—0,0094—0,0223—0,07722—0,0568—0,0448—0,03280,0720140,02250,0047—0,0130—0,0308-0,10653—0,0793—0,0626—0,04580,1005150,02120,0044—0,0123—0,0291—0,10054—0,0840—0,0663—0,04850,1065160,01520,0032—0,0088—0,0208—0,07205—0,0Ш9—0,0480—0,03520,0772170,00720,0015—0,0042—0,0100—0,03430,00001800000600019—0,0044—0,00100,00250,00600,02071,000020—0,0060—0,00130,00350,00830,028521—0,0057—0,00120,00330,00780,02697—0,06090,08370,06150,867122—0,0041—0,00090,00230,00560,01938—0,08400,03170,14740,693923—0,0019—0,00040,00110,00270,00919—0,07930,00400,08740,17070,5000-10—0,0568—0,00570,04530,09640,3061240000011—0,0271—0,00500,01720,03940,1329
8.1.	БАЛКИ	ллл—	■ ■		 ■ 		4118.1.16.	Данные для расчета однопролетных подкрановых балок под один кранТаблица 8.1.16Опорные реакции: на крайней опоре /?кр =. 0,5gl + kRP\ на средней опоре RcV = 1,0g/ + kRPЭпюра М от равномерно распределенной нагрузки (множитель gl2)^	^ Vs '■ч V »ч ^ ^ ^СЗ4 ^	е^гЭпюра Q от равномерно распределенной нагрузки (множитель gl)Огибающая эпюра М от крановой нагрузки (множи¬ тель kx Р1)*.**.*8 8*88 88^ ^ ^ <аГ кг	«аГ ojT ^Огибающая эпюра Q от крановой нагрузки (множи¬ тель Р)&10 = V> ^4 = ^6Коэффициенты klt k0, k6 и kRКоэффи¬циентыall0,0м |0,20,30,40,5 |0,60,70,80,9>1,0kx0,5000,4500,4000,3600,3200,2800,2500,2500,2500,2500,250Ло1,0001,9001,8001,7001,6001,5091,4001,3001.2001,1001,000к0,8000,7000,6000,5000,4000,4000,4000,4000,4000,4000,400kR1,0001,9001,8001,7001,6001,5001,4001,3001,2001,1001,000
412РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМТаблица 8.1.178.1.17.	Данные для расчета неразрезных пятипролетных балок с равными пролетами под два одинаковых крана. Огибающие эпюры М и QРасчетная схемаЭпюры М и Q от собственного веса gЭпюра М (множитель gl2)^	25	С?Ci «v-ч^	^	^_<=£■	С5Г	«5»*Эпюра Q (множитель gl)16- - Ov	<3* ^ ^^	саcap	ОТОгибающие эпюры М и Q от крановой нагрузкиМ min261к1516Пунктир относится к случаю, когда возможен сход крана с данной балки-	^ ^*.	Q max1620///////11//а ., Q min26В таблице даны ординаты огибающих эпюр М и Q от крановой нагрузки через 0,1 пролетав зависимости от величины базы крана а и минимального буферного расстояния Ь.Расчетные огибающие эпюры М и Q получаются сложением ординат эпюр от крановой нагрузки с ордина¬ тами от собственного веса подкрановой балки и подкранового пути.Для случаев, когда возможен сход крана с данной балки (балка у температурного шва), ординаты эпюр да¬ ны в таблицах в скобках. Вертикальной прямой со стрелками j в таблицах заменены ординаты сечений, в ко¬ торых эпюра изменяется по прямой между ближайшими, данными в таблице, ординатами.
8.1. БАЛКИ- -	413Продолжение табл. 8.1.17Ординаты огибающих эпюр М и Q0,31a = 0,4 IСечениеЪ = 0,1сb =0,2 Ib =0,1 Ib = 0,21м5МQMQMQminmaxminmaxmin| maxminmaxmin| maxminmaxminmaxmin| max0э02 383002 148001 964 (2 273)001 807 (2 046)1А191 (202)А19180AA157 (192)AA144 (171)12300 (334)39293242 (316)221 (276)340258345289 (378)260 (324)446275578394755386 (404)740323 (353)6165453><Y97377A385A>r320 (341)><Y64003881173413883423312843317290136247f248>r2088>г148156148140133120133920054>г19450>f17342>r17339>r10325602 8712 653324522 6472 443309472 6252 546295402 4452 3361126354>к23254jk.21046J<180 (192)46j12J149198133180121144 (164)117131277165233149234121 (136)19414Y35365413129865413130356011725356015124372А>f124309A>r113321Ar113265кY16А349684119295689A300590108251590171269131226r23010419118ч{1501561501411361201361920962>г18269Y16156>f16156>r20303902 6532 648300912 4472 440274822 5402 535274822 3342 3272120972)<18672j<16761к16352A22А15615915714214212214223I268132224Jк22810119524г345111292>(29710124825110366Y111303уf101317Y101195Y26—648——t>48—557—557Множи¬PlРPlPPlPPlPтель1000■1 0001 000100010001 00010001 000
414РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.1.17а — 0,6 IСечениеЬ =0,1 /МЪ - 0,2 /мгш л	maxmin	maxb =0,3 IMmin	maxmin	max012345678 91011121314151617181920 21 22232425260ЖY87 184 280 188 (204) 96(127)Ф85Ф8717025317087Ф760112 (175) 17* (286)212	(341) 214 (355)213	(336) 255 (280)198117362845104186240256240188119506257124187239254^584 (863)Y2 382546ЖY2 2881 426 (2 078) Ж4262 302 ЖY5392 283AY547Y71.84 161 272 175 109938985 82 7883 158 239 15884 76 76 760111 (156) 179 (252) 212 (296) 214 (303) 194 (294) 205 (246) 173 117 36 28 45 104 152 198 211 .198 162 119 50 62 57 124 166 198 20У1 441 (1 871)584 (742) Ж2 1915181Y2	083IY3412 105IY5402 087ЖY5130Ж81156 (172) 230 (263) 163 (180) 96 Ж Y8583153222153ЖY760110 (138) 179 (222) 212 (258) 214 (255)193	(255)194	(216) 173 117362845104152172 175 177 162 119 50 62 57124166179173617ЖY1984511Ж1 896278 (1 681) AY3221910A5311892Ж508Множи¬тельPI10001000PI1 0001000PI1 0001 000Продолжение табл. 8.1.17a = 0,7 /Сечениеb = 0,2 IMMb = 0,4 IM0001 226 (1 803)001 226 (1 627)0\01 226 (1 471)18102 (150)—jк>102 (134)VкJ<102(121)Ж217165 (244)165 (217)165 (194)3• 25194 (289)194 (254)194 (226)433197 (292)605 (780)197 (254)655197 (224)585542179 (282)ЖY179 (242)AY179 (210)ЖY650145 (238)242 (346)145 (209)318145 (191)318759158 (168)1r158Y1588861147811468114A “915941Y151 (171)41Y137 (158)41><10275232 0511994224 (264)231 8431 816206 (248)231 462(1 656)1 6501118950j<151 (186)50>142 (174)50Ж1210910277 (108)10277 (100)1021375144A144Jк1441472186544Y1614051r1613741570198Ж>f69165ЖY69156JY1667187550S.164418Xк1644571764152Y152152188611577115681151915453Y14653Y13353Y2022950197919762145117991798197511 6341 6312115459Ж14658Ж13358jк228611977118681182363155>155Ж1552463188166Y1662563198Y63165>f63156i26——540—I22—386Множи¬тельPIPPLPPIP1 0001 0001 0001 0001 0001 00U
8.1. БАЛКИ415Продолжение табл. 8.1.1700о”IIвСече¬ь= 0/21ь• = 0,3 /b = 0,4 1ниемQМQмQminmaxmin| maxminmaxminmaxminmaxmin j| max0С01 140 (1 749)001 140 (1 588)()01 140 (1 446)1У<95 (146)ЖЖ94 (132)>Ж94 (130)ж2153 (239)153 (214)153 (193)II3182 (285)182 (254)182 (227)4186 (291)615 (805)186 1256)680186 (228)5955171 (275)Ж>г1171 (236)ЖY171 (209)ЖЖ6Y142 (237)236 (357)г141 (207)316>1f141 (189)|266749104 (172)49104 (156)49104 (156)892112А112Jк112915751YY51Y51Yю230 (272)191 400 (1 900)1894218 (260)361 317 (1 826)1737204 (242)191 313 (1 734)1 589и122 (195)55jкА55JJк55Ж1258 (122)102г102Nг1021358 (73)14357 (73)13857 (73)1381458 (68)17255956 (69)15354856 (59)1535311558 (64)193Jклг55 (64)1631155 (64)149Ж■ч<1658 (60)18455254 (60)15549756 (60)155433175614953 (56)144561441892113Ж113Xк1131915159YY59Лк59>г202204618801 8792054617231 72219246156715742114967jЖ67а—ЖJк67Ж2291119т119—Iг119—23521505615056150' 24521855415954159	2552195>г52164>Г5215126—559—539——522Множи¬Р1Р>Р1РР1Ртель1 ООО1 0001 0001 0001 0001 000Т а б л н ц а 8.1.188.1.18. Данные для расчета балок и ригелей рам с вутами*а) Симметричная шарнирно опертая по концам балка с вутами\/о7 9 111 —— СУглы поворота опорных сечений (та и т&) от опорных моментов (Ма и Мь), от равномерной нагрузки (р) и сосредоточенной силы (Ри):А= —Iп =/«_ Ма1 3£Лмь1 pla-с=-^-(аа+-7^(аЬ+ ‘ ~Mbl f Х6= 3 BJ0 аа +	UКоэффициенты taa> tab = ta6 El0 MJ 6EI024 Ela Pi' 24 ELPgl2 6 Ein РдГ* 6 EL1attrtbw0,600,300,200,150,120,100,080,060,050,040,030.020.350,8130,9060,6350,8030,5600,7530,5160,7230,4860,7010,4650,6840,4410,6650,4140,6430,4000,6300,3830,6160,3650,5980,3430,577*аа1аЪ ~ га0,300,8350,9280,6780,8500,6110,8130,5720,7890,5450,7730,5260,7600,5050,7450,4810,7280.4680,7190,4530,7070,4360,6940,4170,677II0,250,8580,9490,7230,8930,6650,8650,6310,8490» 608 0,8360,5910,8280,5730,8170,5520,8050,5400,7980,5270,7890,5130,7800,4960,768taa t„h - tab a* В таблице приведены данные только для расчета балок с большими вутами. Более полные данные см. Г7. 17 в 241.
416РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.1.18Коэффициенты t аи И tbgАпТочки приложения сосредоточенного грузаt; | 23 1 45678 | 9 | 10иБалка постоянной жесткости0,1460,0830,2550,1620,3280,2340,3700,2960,3850,3440,3750,3750,3440,3850,2960,3700,2340,3280,1620,2550,0830,146tautbu0,350,200,0890,0620,1670,1240,2310.1830,2780,2360,3000,2760,2990,2990,2760.3000,2360,2780,1830,2810,124 0,1670,0620,089tautbu0,100,0750,0570,1440,1140,2050,1680,2520,2180,2760,2560,2760,2760,2560,2760,2180,2520,1680,2050,1140,1440,0570,075tautbu0,050 066 0.0520,1270,1050,1850,1550,2310,2030,2570,2390,2590,2590,2390,2570,2030,2310,1560,1850,1050,1270,0520,066tautbu0,030,0600,0500,1180,0990,1720,1480,2180,1940,2460,2300,2480,2480,2300,2460,1940,2180,1480,1720,0990,1180,0500,060tautbu0,300,200,0970,0670,1830,1340,2540,1980,302•0,2530,3230,2950,3200,3200,2950,3230,2530,3020,1980,2540,1340,1830,0670,097tautbu0,100,0850,0680,1640,1260,2330,1860,2820,2400,3050,280•0,3020,3020,2800,3050,2400,2820,186 0,2330,1260,1640,0630,085tautbu0,050,0770,0600,1500.1190,2160,1780,2670,2290,2900,2680,2900,2900.2680,2900,2290,2670,1780,2160,1190,1500,0600,077tautbu0,030,0720,0580,1420,1150,2060,1720,2570,2230,2820,2620,2820,2820,2620,2820,2230,2570,1720,2060,1150,1420,0580,072tautbu0,250,200,1070,0720,2000,1430,2750,2100,3220,2670,3410,3100,3360,3360,3100,3410,2670,3220,2100,2750,1430,2000,0720,107tautbu0,100,0960,0690,1850.1370,2600,2020,3080,2580,3290,3010,3250,3250,3010,3290,2580,3080,2020,2600,137 ‘ 0,1850,0690,096tautbu0,050,0890,0660,1730,1320,2480,1960,2980,2510,3190,2920,3160,3160,2920,2190,2510,2980,1960,2480,1320,1730,0660,089tautbu0,030,0850,0650,1670,1290,2410,1930,2910,2470,313 0 2880,3100,3100,2880,3130,2470,2910,1930,2410,1290,1670,0650,085tauthnб)	Симметричная с защемленными концами балка с вутами Опорные моменты от поворота опорных сечений (<ра, <р&) и перекоса (ф), от равномерной нагрузки (р) и сосре¬ доточенной силы (Ра):2 El	pi2Ма = ~ (2сраРаа 4" ^?ь^аЬ	~^а ^u^aut2EI	pi2 Mb = — -у-2 (2f ьРаа + ЧЬРаЬ — )~ Ра ~ Р^Ни-Коэффициенты txaa> (-W.IVv 1ха0,600,300,200.150,120,100,080,060,050,040,030,02V-0.350,3381,4911,3891,9682,4882,1412,4443,2872,7282,8554,0003,2363,2214,6473,6903,513 5, 168 4,0653.9415.942 4,6544,5647,0895,4054,9367,7745,8825,5428,9146,6676,24610,2337,5767,47512,7919.174*аа*abV-eA
8.1. БАЛКИ417Продолжение табл. 8.1.18°’600,300,200,150,120,100.080,060,050,040,030,02Р-0,301,2991,4441,3481,8222,2311,9762,2)22,9702,4452,5013,4502,8172,7693,9273,1552,9824,3093,4253,2584,8063,7743,6415,5294,2743,9096,0074,6084,2346,6175,0254,6927,4695,6185,2738,5616,369**ааHb0,231,2591,3931,3041,6772,0711,8031,9582.5502,1552,1712,9212,4212,3393,2162,6322,4923,4912,8252,6623.7953,0732,9014,2323,3453,0594,5203,5463,2374,8773,7743,4655,2684.0653,7745,8444,464**ааHbН^0,351,0721,1611,2071,2361,2591,2711,2891,3121,3211,3361.3501,371Н0,301,0721,1561,1991,2251,2451,2581,2741,2931,3031.3141.3301,343Н0,251,0801,1451,1831,2061,2221,2361,2491,2661,2751,2851,2961,310НКоэффициенты V-ЬаТочки приложения сосредоточенногогрузаАп| 12 1345 1* 178910 |и{*0,200,0760,0040,1360,0190,1760,0450,1940,0300,1880,1200,1600,1600,1200,1880,0800,1940,0450,1760,0190,1360,0040,079**аи На0,350,100,0780,0040,1420,0170,1920,0390,2150,0760,2060,1230,1710,1710,1230,2060,1760,2150,0390,1920,0170,1420,0040,078НаНа0,050,0800,0020,1480,0140,2040,0340,2350,0680,2250,1220,1810,1810,1220,2250,0680,2350,0340,204* 0,014 0,1480,0020,080НиНи0,030,0800,0030,1520,0120,2110,0300,2460,0650,2400,1180,1870,1870,1180,2400,0650,2460,0300,2110,0120,1520,0030,080^аи **Ьи0,200,0760,0050,1380,0180,1790,0420,1960,0770,1860,1180,1570,1570,1180,1860,0770,1960,0420,1790,0180,1380,0050,076НиНа0,300,100.0790,0030,1450,0150,1950,0360,2160,0730,2030,1200,1670,1670,1200,2030,0730,2160,0360,1950,0150,1450,0050,079НиНи0,050,0810,0010,1530,0100,2090,0300,2360,0640,2200,1180,1750,1750,1180,2200,0640,2360,0300,2090,0100,1530,0020,081ПаНа0,030,0820,0000,1550,0080,2160,0250,2490,0580,2300,1170,1800,1800,1170,2300,0580,2490,0250,2160,0080,1560,0000,082НаНа0,200,0780,0030,1400,0160,1810.0400.1940,0740,1820,1150,1530,1530,1150,1820,0740,1940,0400,1810,0160,1400,0030,078НиНа0,250,100,0800,0020,1480,0120,1970,0330,2110,0710,1960,1170,1620,1620,1170,1960,0710,2110,033 0 1970,0120,1480,0020,080НаНи0,050,0810,0020,1540,0090,2100,0260,2280,0640,2110,1150,1680,1630,1150,2110,0640,2280,0260,2100,0090,1540,0020,08111аи Ни0,030,0830,0000,1580,0060,2180,0220,2400,0600,217 . 0,116 '0,1720,1720,1160,2170,9600,2400,0220,2180,0060,1580,0000,083^аа Ни27 Зак. 2098
418РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМПродолжение табл. 8.1.18в)	Балка с левым односторонним вутом, шарнирно опертая по концам Углы поворота опорных сечений (za, ъь) от опорных моментов (Ма% Мь), от равномерной нагрузки (р) и сосре¬ доточенной силы (Ри):Mgl , МЬ1 . . pl* . , Pal2 .ал “г" с с1 г ab “г 0. П. а “Г" с г- г3£/0 ““ 6 Е10	24£/0 “ 6£70М*/	ЛЫ	р/з	р„/2~ш:1ьь+ -iSr^+Коэффициенты taa tbb,	tb0,600,300,200,150,120,100,080,060,050,040,030,020,6800,4010,2940,2360,1980,1720,1440,1150,1000,0840,0670,048taa1,000,8780,7340,6580,6090,573■ 0,5450,5120,4730,4490,4210,3880,345tbb0,7730,5410,4380,3760,3340,3030,2680,2300,2080,1840,1570,125tab0,8380,6850, C200.5820,5570,5380,5180,4950,4830,4690,4530,434taa0,300,9970,9930,9910,9890,9880,9880,9870,9860,9850,9840,9830,982tbb0,9640,9250,9060,8950,8860,8800,8730,8640,8590,8540,8470,839tab1,000,7320,4750,3690,3050,2640,2350,2030,1680,1470,1270,1040,078ta0,8140,6070,5070,4470,4050,3710,3330,2920,2690,2410,2100,172tb0,9390,8730,8420,8230,8090,7990,7880,7740,7650,7580,7470,734ta0,300,9890,9770,9700,9670,9610,9610,9580,9540,9530,9510,9470,944tbКоэффициентыXnТочки приложения сосредоточенного груза/12345* 1 78910и1,000,200,0450,0360,0810,0720,1090,1060,1280,1370,1380,1630.1410,1840,1340,1950,1200,1960,0980,1820,0690,1490,0360,091tautbu0,10*0,0270,0250,0480,0500,0660,0740,0790,0960,8670,1160,0890,1320,0860,1420,0790,1450,0650,1380,0470,1150,0250,072tautbu0,050,0160,0170,0290,0350,0400,0510,0480,0670,0530,0810,0560,0930,0550,1020,0510,1060,0430,1020,0320,0880,0170,057tautbu0,030,0110,0130,0200,0260,0270,0390,0330,0510,0370,0620,0390,0710,0390,0790,0370,0830,0310,0810,0230,0710,0130,048tautbu0,80i0,200,0990,0750,1860,1500,2580,2210,3080,2850,3300,3330,3280,3660,3050,3770,2650,3640,2110,3230,1470,2520,0750,145tautbu0,100,0870,0730,1680,1460,2390,2170,2900,2800,3150,3300,3150,3630,2950,3750,2560,3630,2040,3220,1430,2510,0730,144tautbu0,050,0790,0710,1550,1430,2230,2120,2770,2770,3020,3270,3050,3600,2860,3720,2490,3610,1990,3200,1380,2500,0710,143tautbu0,030,0750,0700,1470,1410,2150,2100,2690,2740,2960,3250,2980,3580,2800,3710,2460,3600.1970,3200,1360,2490,0700,144tautbu
8.1. БАЛКИ419Продолжение табл. 8.1.19г)	Балка с левым односторонним вутом, защемленная левым концом и шарнионо опертая правым Левый опорный момент от поворота заделки (?а), перекоса (ф), от равномерной нагрузки (р) и сосредоточенной силы (Ри): .. 3£/0	р/* Рп1Ма = "у— ('fa — 40 -Паа — "g” Ча ~ ’Паи-Коэффициенты г}аа> “Ча0,600,300,200,150,120,100,080,060,050,040,030,02п1,000,301,000,301,4701,1931,0761,1342,4951,4601,1851,2753,4021,6131,2581,3584,2381,7181,2941,4155,0501,7951,3361,4545,8141,8591,3671,4856.9461,9301,4071,5248,6972,0201,4591,5641,02,0701,4731,58511,9022,1321,5191,61714,9232,2081,5501,64920,8302,3041,6321,69171аа ЧааЪ%Коэффициенты г\аиТочки приложения сосредоточенного iгрузаXп12345678910111,000,200,100,050,030,1530,1570,1600,1640,2760,2850,2900,2990,3710,3840,4000.4030,4050,4590,4800,4930,4700,5080,5300,5530,4800,5180,5600,5840,4560,5000,5500,5840,4080,4600,5100,5530,3330,3780,4300,4630,2180,2730,3200,3430,1220,1450,1700,1940,300,200,100,050,030,1600,1620,1640,1660,3000,3120,3210,3250,4160,4450,4620,4750,4970,5490,5740,5940,5320,5860,6260,6530,5280,5860,6320,6580,4920,5480,5920,6180,4280,4760,5160,5430,3400,3790,4120,4350,2370,2560,2960,3000,1210,1360,1470,155д)	Балка с левым односторонним вутом и обоими защемленными концами Опорные моменты от поворота опорных сечений (<ра, <р&), перекоса (ф), от равномерной нагрузки (р) и сосредо¬ точенной силы (Ри): 2 Е10	р/2Ма= —	(Vflfl + ПРаЬ —	)— — \La “ Pu^aulQ	piЛ= —	РЪЪ + ?а РаЬ —	— Рц^Ьи-Коэффициенты \Laa, y.bbt у.аЬ, ^ рау ^0,600,300,200,150,120,100,080,060,050,040,030,02 •1,4712,4893,3924,2045,0125,7746,8868,6179,88111,74114,67520,446Н'дд1,1391,3601,5161,6341,7321,8221,9372,0942,2012,3432,5342,845Нь1,001,2951,8352,2582,6022,9223,2103,6054,1874,5785,1325,9387,408*аЬ1,4122,2703,0133,6764,3274,9195,7917,1418,1199,53511,92116,1031,1911,4011,7631,9562,1332,2852,4922,7932,9933,2713,7184,366НФ1,2401,5971,8181,976_2,0932,1932,3102,4542,5362,6442,7442,944Р"еиж1,0421,1021,1371,1631,1801,1941,2111,2321,2441,2601,2651,3010,301,1991,4881,6611,7881,8771,9532,0412,1502,2122,2942,3652,515*аЬ1,2261,5611,7641,9142,0212,1132,2192,3522,4282,5272,6442,7011,0941,2301,3111,3711,4121,4471,4821,5381,5661,6051,6481,70627*
420РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМПродолжение табл. 8.1.180,600,300,200,150,120,100,080,060,050,040,030,02 | (jl 11,001,0990,9061,2510,6771,3600,7031,4050,6651,4590,6311,5240,5971,5880,5611,6640,5211,6810,5091,7340,4821,8020,4481,9350,388H0,301,1430,9361,3360,8531,4500,8081,5260,7761,5870,7491,6280,7341,6870,7111,7440,6861,7780,6631,8240,6571,8610,6281,9480,610ПHКоэффициенты цаи, цЬиAnТочки приложения сосредоточенного грузаМ-I \ 2 \ 34567 \ 8 \ 910и1,000,200,0730,0020,1290,0120,1670,0250,1860,0420,1900,0610,1800,1800,1560,0960,1230,1080,0840,1110,0440,0980,0130,065^аиЧи0,100,0760,0020,1340,0090,1760,0190,2020,0320,2100,0480,202 { 0,180 0,065 0,0800,1470,0920,1030,0980,0570,0900,0180,061*аиР’Ьи0,050,0760,0020,1380,0070,1850,0140,2150,0250,2280,0370,2260,0510,3080,0650,1730,0780,1260,0850,0740,0810,0240,057V'auНи0.030.0770,0010,1400,0060,1890.0120,2240,0200,2400,0310,2440,0430,2280,0550,1940,0680,1460,0760,0880,0740,0290,055*аиНа0,300,200,0770,002*0,1420,0110,1900.0240,2150,0450,2150,0700,1940,0960,1640,1170,1190,1290,0760,1290,0380,1090,0110,068**аи На0,100,0300,0010,1500,0070,2090,0160,2420,0340,2450,0570,2250,0830,1870,1070,1380,1220,0890,1240,0450,1070,0130,067V’auНи0,050,081 0 0010,1560,0040,2210,0110,2640,0250,2700,0490,2500,0740,2090,0970,1560,1160,1010,1190,0490,1050,0150,066НиНи0,030,0820,0010,1600,0020,2300,0080,2780,0200,2870,0120,2660,0680,2230,0930,1670,1110,1080,1160,0540,1040,0150,06711аиНиПродолжение табл. 8.1.18е)	Неразрезные равнопролетные балки с симметричными вутами Уравнение трех моментов для равнопролетных балок с симметричными вутами:м„_, + vnn + мп+1 = - ,где L и R — грузовые члены по табл. 8.1.3; [а—коэффициенты из следующей таблицы.1,000,330,200,100,050,020,51,000,8150,7680,7030,6520,6000,41,000,7920,7430,6760,6560,5830,351,000,7910,7440,6800,6350,5940,301,000,7980,7520,6920,6510,6160,251,000,8100,7680,7140,6770,6460,201.000,8300,7930,7460,7140,6800,151,000,8570,8260,7880,7610.738Пример. Для двухпролетной балки по схеме, при¬ веденной на рисунке, определить изгибающие моменты.Уравнение трех моментов:/?/з л/3 р/2	pl2V-V—V5 м*=-т»'Коэффициент {л определяется по настоящей таблице . а 7 при	л = —-; л= — .1	1оМоменты в пролете определяются, как обычно, с учетом найденного опорного момента Мь.fl 11 \ 11 I Г1 г-ЦгсJ
8.1.	БАЛКИ	 - -	- -- -	— 421Т а б л и ц а 8.1.19-	8.1.19. Ординаты инфлюент опорного момента бесконечной балки на упруго оседающих опорах(см. 5.5.5)ЯККоэффициентыPi*>ч.соIIИнфлюента М^ для подвижного фиктивного груза ф 6Я/1. Ординаты (3 умножаются на ^рИнфлюента М\п для действительного под¬ вижного груза Рп = 1- Ординаты т; умно¬ жаются на 1н *2 S 5 ла, 3° авс р2sj 5X I С£)-1*« о**4 я | Яя -0-°*IIIIОРх 1 ^ 1 Р. 1 h \ Рб 1 *6\ 1 \ 1 т:з I nt | \ч s Си к о1 ^266,70,015—0,2749+0,0633—0,0150+0,0034—0,00080,00000,0102-0,00630,0014—0,00030,00000,9673,4440,93333,30,03—0,2632+0,0572—0,0105+0,0019—0.00030,00000,01092—0,01160,0024—0,00040,00000,9183,9950,86720,00,05—0,2499+0.0470—0,0059+0,0006—0,00000,00000,0297—0,01750,0030—0.00020,00000.9064,1510,782Ю, 00,10—0,2249+0,0286+0,0013+0,0008—0,00010,00000,0503—0,02820,0029—0,00000,00010,8434,5200,5746,670,15—0,2070+0,0160-1-0,0051—0,000.)—0,00010,00000,0669—0.03510,0007—0,0009—0,00010,7964,8610,3765,000,20-0,1934+0,0069+0,0072—0.0005—0,00020,00000,0801—0,0400—0,0016-0,0015—0.00000,7605,1780,1854,000,25-0,18260+0,00830—0,000400,0913—0,0411—0,00420,00200,00020,7355.4770,0003,330,30—0,1737—0,0054+0,0038+ 0,0005—0,00040,00000,1010—0,04b2—0,00580,0022■ 0.00040,7065,763— 0.1802,500,40-0,1599—0,0134+0,o089+0,0016—0,00040.00010,1172—0,0496—0,01180,00210,00090,6666,299— 0,5292,000,50—0.1495—0.01S0+0,0083+0,0025-0,00030,00020,1305—0,0516—0.01660,00140,00140,6366,800— 0,8641,670,60—0,1413—0,0231+0,0075+0,0032—0,00000,00030,1418-0,0526—0,02090,00060,00180,6117,272—1,1871,430,70—0,1346—0,0262+0,0065+0,0037+0,00020,00030.1517—0,0530—0,0249—0,00050,00210,5917,725— 1,5031,250,80-0,1289—0,028d+0,0056+0,0041+0,00050,00030,1G05—0,0529—0,0275—0,00180,00240,5738,132— 1,8101,110,90—0,1242—0,0306+0,0046+0,0044+0,00070,00030,1685—0,0526-0,0318—0,00350,00250,5588,569— 2,1101,001,00—0,1200-0,0322+0,0036+ 0,0046+0,00100,00020,1757—0,0520—0,0347—0,00460,00250,5438,991— 2,4040,6671,50—0,1054—0,0370-0,0004+ 0,0057+0,00150,00000,2052—0,0476-0,0434—0,01150,00050.49510,821- 3,7990,5002,00—0,0959—0,0391—0,0035+0,0044+0.0026+0.00050,2269—0,0422—0,0553—0,0195—0.00050,46512,501— 5,1090,4002,50—0,0892—0,0403—0,0059+ 0,0038+0,0030+ 0,00090,2447—0,0365—0,0605—0,0263—0,00330,43814,074— 6,3530,3333,00—0,0841—0,0409—0.0078+0,0031+0,0032+ 0,00120,2599—0.0309—0,0652—0,0^2<—0,006}0,41815,531— 7,5390,2504,00—0,0768—0,0412—0,0107+0,0017+0,0033+ 0.00180,2849—0,0202—0,0727—0,0428—0,01270,39018,254— 9,7960,2005,00—0,0717—0,0412—0,0127+0,0004+ 0,0032+0,00210,3032—0,0103—0,0768—0,0518—0.01.00,37320,777—11.9310,1258,00—0,0621—0,0401—0,0162—0,0025+0,0022-Г 0,00250,3512—0,0154—0,081—0,0710—0,03630,26727,705—17,9060,10010,00—0,0580—0,0394—0,0176—0,0040+ 0,0016+0,00250,3747—0,0301—0,0817-0,0800-0,04620,19031,890—21,5990,06715,00—0,0515—0,0375-0,0194-0,0065—0,0001+0,00210,4203—0,0608-0,1187—0,094t—0,07050,03840,865—29,746Т а б л и ц а 8.1.208.1.20.	Ординаты инфлюент опорного момента полубесконечной балки на упруго оседающих опорах (см. 5.5.5)й| % со 1II0Инфлюента MpИнфлюента M \n1c,со1J-I-IIa*1P2РзP5^64l^2^3^4\66,70,015—0,2607+0,0633—0,0143+0,0033—0,0008+0,0002—0,00390,0088—0,00600,0014—0,00030,000133,30.03—0,2506+0,0550—0,0102+ 0,0018—0,0003+0,0000-0,00750,0167—0.01110,0023—0,00040.000120,00,05—0,2408+0,0458—0,0059+0,0006—0,0000+ 0,0000—0,01200,0264—0,01690 0029—0,00030.000010,00,10—0,2212+0,0287+0,0012—0,0008—0,0001+ 0,0000—0,02210,0471—0,02770,00260,0003—0,00016,670,15—0,2056+0,0164+0,0050—0,0009—0,0001+ 0,0000—0,03080,0641—0,035050,00080,0010—0,00015,000.20—0,1928+0,00715+0,0072—0,00055-0,0003+ 0,0000—0,03860,0786—0,0400-0,001550,0016—0,00004,000,25—0,18240+ 0,00830—0,00040—0,04560,0912—0,0435—0,00420,00200,00023,330,30-0,1730-0,0057+0,0088+0,0006—0,0004—0,0000-0.05190,1021—0,0459—0,00680,00220,00042,500,40—0.1581—0,0141+0,0087+0.0017—0,0004—0,0001—0,06320,1209—0.0485—0,01200,00200.00092,000,50—0,1463—0.0199+0,0080+0,0025—0,0002—0,0002—0,07310,1363—С.0492-0,01670,00130,00141,670,60—0,1366—0,0241+0,0069+0,0032—0.0000—0,0002—0,08190,1494-0 0488—0,02090,00030,00181.430,70—0.1284—0,0272+0,0058+0,0037+0,0003—0 0002—0,08990,1607—0,0477—0,0246—0,00090.00201,250.80—0,12145-0,0296+0,0046+0.0040+0,0005—0.0002-0.09720,1707—0,0462—0,0278—0,00230.00211,110.90—0,1154-0,0314+0,0035+0,0042+0,0008—0,0002—0.103850.1795-0,0443—0,0307-0,003750,00221,001,00-0,1101—0,0327+0,0024+0,0043+0,0010—0,0002—0,11010,1874—0,0422—0,0332-0,00520,00210.6671,50—0,0906-0,0361-0,0021+0,0041+0.0019+0.o002—0,13590,2176—0,0307—0,0419—0,01250.00070,5002,00--0,0779—0.0368-0,0052+0,0033+0,0024+0,0006—0,15590,2382—0,0191—0,0462—0,0188—0,00170,4002,50—0,0690-0,0365-0,0074+0,00235+0,0025+ 0,0009—0 17230,2535—0.0085—0,0482—0.02405—0,00440,3333,00—0.0621—0,0358—0.0090+0,0015+0,0025+0,0012-0,18630,2653-0.0012—0.0488—0.0283—0,00720,2504,00—0,0523-0,03395-0.0111-0,0001+0,0023+0,0015—0,20930.28270,0180—0,0475—0,0346-0,01250,2005,00—0,0456-0,0321—0,0123-0,0013+0,0019+0,0016—0,22780,29500.03205—0,0446-0,0477—0,01710,1258,00—0.0335-0,0275-0,0135—0,0037+0,0006+0,0015-0,26830.31670,0638—0,0331—0,0441—0,02730,10010,00-0,0288-0.0251—0,0136-0,0046-0,0001—0,0002—0.28810,32490,0783—0,0253-0,0446—0,04150,06715,00-0,02165—0,0209—0,0131—0,0085—0,0014+0,000b—0.32480,33640.1051—0,0079—0,0417—0.0378
422РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМТаблица 8.1.218.1.21.	Данные для расчета перекрытий с перекрестными балками (кессонные перекрытия)а)	Схемы распределения нагрузки в перекрестных балках Принятые обозначения:р lt pz — равномерно распределенные нагрузки, состоящие из	эквивалентной равномерно распределенной нагрузки, опреде-собственного веса балки, плиты и полезной нагрузки. Постоян-	ленной из условйя равенства прогибов,ная нагрузка от плиты и полезная нагрузка приняты в виде
8.1. БАЛКИ423Продолжение табл. 8.1.21б)	Нагрузки и изгибающие моменты в перекрестных балках при квадратных в плане перекрытияхр — нагрузка на 1 м2 перекрытия8.1.22.	Усилия в элементах шпренгельной балкиа)	Статически определимый шпренгельРг Р2 Р3Усилие в горизонтальном элементе нижнего поясаН =I	( / \2■,т-°-5,’(т)В наклонном элементе нижнего поясаНВ стойкеи= с cos jiV=U sin pРасчетная схема для построения эпюр М, Q и N в верх¬ нем поясе
424РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМб)	Статически неопределимый шпренгель (см. 10.1.6) [12]Продолжение табл. 8.1.22— О -1	l-2a—-И	 1 	*1-Е1&2 —Ei	13 cos3cpЕ\F\hПри выполнении стоек и ригеля из одного материалаIk%~ F,a. - \P\~x—\ „Ipiiipf			aЧь'иг\Lt 'J/H = AaPH = A P plx \X I t>Система один раз статически неопределима. Данными таблицы можно пользоваться и для рас¬ чета системы с двускатным верхним поясом, при уклоне не более 1/15-М/10. Высоту h в этом случае принять равной высоте стоек шпренгеля заданной двускатной системы-~)Г2 —1 ITIIITTIlm'l ITI MillsP4I’X7it JL.1УI 'X 7Н =- А 7 pl//зПри а = //3 А — ■1,33/2Мз + 12 h-kj + 1,111^+0,671%0,05 I 0,10 I 0,15 /0,20 I 0,25 I 0,30 I0,03340,06600,09710,12600,15190,17400,33 I0,.°5 I 0,40 I 0,45 I 0,50 I0,18520,05	I0,10	I0,15	I0,20 /0,25	I 0,30 I0,33 I0,19120,20370,21120,21370,35 I 0,40 I 0,45 I 0,50 I0,000840,003330,007410,012990,019940,028090,034020,037220,047090,057460,068080,10 I0,02240,20 I0,041980,30 I0,061720,35 I0,068120,40 I0,079980,50 /0,096280,60 /0,110180,70 I0,121340,80 I0,129500,90 I0,134481,00 I0,13616При а = НА А =Р0,75 l%kз + 12 h'-k2 + l-h + 0,75 l-ki0,05 I 0,10 I 0,15 / 0,20 I0,02800,05530,08100,10450,05 I 0,10 I 0,15 I 0,20 I0,000700,002780,006190,010830,10 I 0,20 I 0,30 I 0,4Э I0,017100,033820,049780,0646211A0,25 I0,12500,25 I0,016570,50 /0,07796l/t0,30 I0,14190,30 I0,023240,60 I0,089440,35 I0,15500,35 I0,030660,70 I0,098720.40 I0,16440,40 I0,038640,80/0,105540,45 I0,17000,45 I0,047000,90 I0,109700,50 I0,17190,50 I0,055551,00 I0,11110При a = //5 A = 	130,48 l-kxkз + 12 h k,+0,881-h + 0,72 l-kl0,05 I0,02390,05 I0,000600,10 I0,014120,10 I0,04700,10 I0,002370,20 I0,027940,15 I0,06860,15 I0,005260,30 /0,041160,20 /0,0 800,20 I0,009180,40 I0,05348//50,25 I0,10450,25 I0,013990,50 I0,064600,30 I0,11800,30 I0,019550,o0 I 10,074220,35 I0,12850,35 I0,025710,70 I0,u82060,40 I0,13600,40 I0,0^232o,so I0,087840,45 I0,14050,45 I0,039230,90 I0,091380,50 I0,14200,50 I0,046291,00 I0,09258
8.1. БАЛКИ425Продолжение табл.8.1.22а•XPXTПри а - Ц6А= *0,33 Pkxkз + 12 tfk2 + 0,78 t2h + 0,67 V-kx0,05 10,02070,05 I0,000520,10 I0,012380,10 10,04070,10 I0,002060,20 I0,024500,15 10,06220,15 I0,004630,30 I0,036160,167 1^ 0,06900,167 I0,005750,40 I0,04706№0,20 10,07950,20 I0,008200,50 t0,056960,25 10,09350,25 I0,012530,60 I0,065620,30 10,10450,30 I0,017480,667 1. |0,070520,35 10,11350,35 I0,022930,70 Z I0,072760,40 f0,11950,40 I0,028760,80 I, 0,077900,45 10,12300,45 I0,034820,90 I0,080980,50 10,12450,50 I0,041011,00 I 10,08512упругости инерции оси,Таблица8.1.23.	Данные для расчета балок с защемленными концами, с ломаной в плане осью [14]1Принятые обозначения:b — короткая сторона сечения; h — высота сечения;Х = Л. о/к ’X — изгибающий момент посередине пролета;Y — крутящий момент посередине пролета;Z — поперечная сила посередине пролета;М — изгибающий момент в произвольном сечении; Мк— крутящий момент в произвольном сечении.В балках с ломаной в плане осью, находящихся под действием вертикальных нагрузок, помимо изги¬ бающих моментов, действующих в вертикальной плоскости, возникают крутящие моменты.Равномерно распределенная нагрузка р	EI — жесткость при изгибе; Е — модульbhзматериала балки; /= — моментпоперечного сечения балки относительно перпендикулярной плоскости изгиба;GIK — жесткость при кручении; G — модуль сдвига материала балки; /к—7] Ъ*—момент инерции прямоугольного сечения при кручении, где т]— коэффициент, зависящий от соотношения h— (см табл. 7.4); b 'EIХ = = 1;G1 кJC2a2 sin2aМ = -р — +р 6мк = р-a2 sin а COS аизгибающие моменты•’ОАОЭра* (0,461 раг)0,091 ра* (0,039ра2)0,091 раг (0,039ра2)Зпюры М и Мк для частного случая при а =46°.Все величины даны при h\b—0,5; значения в скобках при /г/6 =2.1 Расчет балок с криволинейной в плане осью см. раздел 9.
426 «РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМЧастичная равномерно распределенная нагрузкаПродолжение табл. 8.1.23СимметричнаяАнтисимметричная-рЦ—I	ШШЙСимметричная нагрузкаХ =Антисимметричная нагрузка[(m2 — mx) — (т\— т\) + —	j sin а 2(sin2 а + X. cos2 а)• ра2 = kxpa\У =(т2 — тх) —(т1—т\)+-^(т\ — т*) -i- (т2 — т1)[(тг+	+ т\ _ б)— 8] 1COS2 а + 4Х sin2aCOS2 а + 4Х sin2 а-j 2cos а ра2 = fcy /?а2;{1	3	\—(т2 — ml)]i(m2 —	— т\ — 6)— 8] — — cos a ky \pa = kzpaКоэффициенты kx, ^ для некоторых значений cl и X при тх = 0 и т2 = 1а = 30°а = 45°а = 60°Xkx*У*хЛх0,50,13333—0,055740,450010,15714—0,039280,416660,16496—0,023810,392861.00,08333—0,041240.428570,11785—0,023570,400000,14434—0,012820,384621.50,06061—0,032080,416670,09428—0,016840,392860.12830-0,008770,381582,00,04762—0,026240,409090,07857—0,013100,388890,11547—0,006670,380002,50.03922—0.022210,403850,06734—0,010710,386360,10497-0,005380,379043,50,02899-0,016980,397060,05238—0,007860.383340,08882—0,003880,377914,50,02299—0,013750,392860,04285—0,006200,381580,07698—0,003030,377275,50.01905—0,011550,390000,03626—0,005120,380430,06792—0,002490,376876,50,01626—0,009950,387930,03143—0,004370,379640,06077—0,002110,376587,50,01418—0,008750,386370,02773—0,003800,379030,05498—0,001830,376378,50,01258—0,007800,385130,02481—0,003370,37857. 0,05020—0,001620,37622
8.1. БАЛТШ				427Продолжение табл. 8.1.23Сосредоточенная сила в середине пролетаМX = ——— =С/кп / a sin2 а х \=Р(-7—Т>МК=Рa sin a COS а2РI	f	;	1Изгибающие моментыЭпюры М и Мк для частного случая при а = 45°.Все величины даны при h/b = 0,5; значения в скобках при h/b=2(ОЛЗРа)Нагрузка двумя сосредоточенными силамиСимметричная, Г. ftАнтисимметричная\р1	?—Г	1При X = 1Л 	 /и)20 < х < та М — Ра	sin2 а;2(1 —т)2та < х < а М — Ра sin2 а —Р(х—та) •(1 — /72 )2В любом сечении Мк — Ра sin а cos а.2При любых X(1 — т)2 ^ in аХ= 0			г	;	Ра = kx Ра;2(sinJ a*-f- X cos2 а)— т(\ — m)2 cos а ^У =	1	г	г— Ра = kvPa;COS^a -(- 4 X sin аГ2 4- т 3 1 Z — I (1—т)2 — cos а Р — kzPКоэффициенты kXt kyt kz для некоторых значений а и X при т=0,5а = 30°рIIСПОа = 60°X1 kykzky1kykz0,50,10000—0,086600,425000,11785—0,058930,375000,12372-0,035710,339281.00,06250—0,061860,392860,08839—0,035360,350000,10825—0,019230,32о921.50,04545—0,048110,375000,07071—0,025250,339280,09622—0,013160,322372,00,03571—0,039370,363640,05893—0,019640,333330,08660—0,010000,320002,50,02941—0,033310,355770,05051—С,016070,329540,07873—0,008060,318553,50,02174-0,025470,345590,03928—0,011790,325010,06662—0,005810,316864,50,01724—0,020620,339290,03214—0,009300,322360,05774—0,004550,315915,50,01429—0,017320,335000,02720—0,007690,320660,05094—0,003730,315306,50,01220—0,014930,331890,02357—0,006550,319450,04558—0,003160,314877,50,01064—0,013120,329540,02080—0,005700,318550,04124—0,002750,314568,50,00943—0,011700,327700,01861—0,005050,317860,03765—0,002430,31432
428РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ8.2. АРКИ8,2.1.	Геометрические данные осей параболической и круговой арока) Параболическая арка Уравнение оси арки 4fx(l —х)Таблица 8.2.1У =dy 4f(l — 2x)dx	/2 f — стрела подъема.№ сеченияXУtg аСечение хXУtg а00,000,004,00II о0,000,001 4,0010,050,193,60II 1/80,1250,438| 3,0020,10| 0,36| 3,20(1 1/60,1670,556| 2,66430,15I 0,51| 2,80II 1/40,2500,7501 2,0040,20I 0,641 2,40II 3'80,375| 0,938I 1,0050,25| 0,751 2,00II 1/2| 0,500| 1,000| 0,0060,301 0,841 1,60II 5/8| 0,625I 0,938| —1,0070,35| 0,91I 1,20II 3/4| 0,750| 0,750I —2,0080,401 0,96| 0,8011 5/6 |0,833 || 0,556| —2,66490,45| 0,99 *1 0,40II 7/8 || 0,875| 0,4381 —3,010| 0,50I 1,00| 0,00II 1| 1,000| 0,00| —4,0Множитель1 /1 /1 /ИII / 11 / 11 /1 fllfllx:lКоординаты оси арки и тригонометрические функции углов а2а0s :lRile:l0,050,100,150,200,250,300,350,400,450,501/2У if Sin а COS а0,4360,9000,4360,6000,8000,6000,7140,7000,7140,800о,.оо0,8000,8660,5000,8660,9160,4000,9160,9540,3000,9540,9800,2000,9800,9950,1000,9951,00001,000180с00'00"1,5708010,5000 = —01/3У if sin а COS а0,2800,8310,5560,4710,7380,6740,6150,6460,7630,7280,5540,8320,8160,4620,8870,8850,3670,9290,9360,2770,9610,9720,1850,9830,9930,0920,9961,00001,000134°45f36*1,27398130,5417=—5/24'1/4уsin а cos а0,2350,7200,6940,4210,1400,7680,5710,5600,8280,С930,4800,8770,7910,4000,^160,8С80,3200,9470,9270,2400,9710,9680,11,00,9870,9920,0800,9971,00001,000106o15'36w1,1590850,6250 = —3/81/5У if Sin а cos а0,2170,6210,7840,3980,5520,8340,5500,4830,8760,6750,4140,9100,7780,3450,9390,8590,2760,9610,9220,2070,9780.9650,1380,9900,9920,0690,9981,00001,00087°12'20*1,10334290,7250 = — 4021/40
8.2. АРКИ429Продолжение табл. 8.2.1//«х-ЛКоординаты оси арки и тригонометрические функции углов а2а0s:lR:lеП0,050,100,150,200,250,300,350,400.450,501/6y-fsin а cos а0,2090,5400,8420,3860,4800,8770,5380,4200,9070,6650,3600,9330,7700,3000,9540,8540,2400,9710,9180,1800,9840,9640,1200,9930,9910,0600,9981,00001,00073°44'20"1,0731350,8333 = — о2/31/7y-fsin а cos а0,2020,4750,8800,3790,4230,9060,5300,3700,9290,6580,3170,9480,7650,2640,9640,8500,2110,9770,9170,1580,9870,9630,1060,9940,9910,0530,9991,00001,00063°46'54w1,05362530,9464 = — 5b45/561/8У-*/sin а cos а0,2000,4240,9060,3750,3780,9260,5260,3290,9440,6540,2820,9590,7610,2350,9720,8480,1880,9820,9140,1410,9900,9620,0940,9960,9900,0470,9991,00001,00056с08'40"1,04112171.0625 = —15/16Таблица 8.2.28.2.2.	Симметричные трехшарнирные арки любого очертания. Распоры, опорные реакции и изгибающие моменты от различных нагрузокМх = м®х — Нау\ Qx = cos а — На sin а; Nx = Q°x sin а + Ha cos а; М°, Q° — моменты и поперечные силы в простой балке;*1 е *2 с	Xl с'.	г'-	3^2^ — 5ь ^	^ — ^1» ^ — ^2» уг “ у — ^2-Схема нагрузкиОпорные реакции и распорыИзгибающие моментыЦ | 1 1 ■ ч П 1 I I I ITI I И I ТПpiл = в = ^-:pi*на = н„=р-[4(€х —€?)—т]-Для квадратной параболы Мт = 0А = тр/;ЛБ =рса~Т;рсаI 'рсаНа = НЬ=Р~Mm='^-[8(51-S^)-25i-io1];0/2Для квадратной параболыI	pi2при х = М = —64Мпрса Г„а' .	(*2 — *i)2l.’ ! [ ■ ое J’
430 -РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМПродолжение табл. 8.2.2Схема нагрузкиОпорные реакции и распорыИзгибающие моменты/Р-X	\ „jlL.■Л = _^.	в = ^- 21’ 2/ ’3	1На = —— pf;	Hb = —р/Мт =	li + I?Mk = ^[ 25.•2 — ^2 j/77ИТ^гвS—агу —-га	г, аУ”’ в = ;хгна = н„ = р2/м.а [ а'	\*=ят (2т6‘-*)!А** = рт(2е*-,1*)Р1 На = Нь=—- 4/Mm = Р— (25х — -r\i)А=---Р-у; B = P-jа = -Р^~; НЬ = Р— 2/ 2/26i-«1+/ \Мт = -[Р— 21:«1+/ , - Уг —•	Ij + 2	Мк = Р-?~( 2&-ъ)А = — В = — Р-I ’на =—нь	—мт = -Р^-№1~ъ)I	гп» У- 1 * .'.А.'* X, 'L	Lл = -Т; в = ~На = Нь =2/iФормулы также годны для а = 0 или а =i4 = 5 =0;Яа = Нь = -/
	:	■		_ 431Продолжение табл. 8.2.2Схема нагрузкиОпорные реакции и распорыИзгибающие моментыу!*1ТГгггтЦ-1ара6ола	-^тттгПТГГ'1 ^Мт = ^ [ 8(5‘ “ Ф(1 ~2г* + 25i)~ ъ]"ППЛп/77lUiimnw =* *»■RX52Тpi*=■ ^ [ 2?! + 8($; _ 8 _ + ф_,),];'ПШг/77•ПГГГГ&тг^	ггтгтТТТТТШТГПТП ^Л-В-4-,н и pl2На~Нь~ 24/Мт ~'’24 fe1 ~^4( ^ ^ — ^ — VIА	HL.6/ ’я_-з£.6/ ’Н.—ЪЯГ.И,—±Р/Мт = ^п —1)1,3 ) +,11 —2«Фр -х, J1—	—Таблица 8.2.38.2.3. Трехшарнирные круговые и параболические арки. Опорные реакции, изгибающие моменты, поперечные и продольные силы от равномерно распределенной нагрузки [27]СхемыКрцШЫ?	^ р загружепия	Параболические 2- и степениГП 11111ПIЧ1! 1111111111Ч111 пт; I шга:	I	гт-ттлпуптипппнтнппиКруговые аркиМножи¬тельПараболические арки (при —= ф < - \ 1 10почти совпадают с круговыми) j112314618хъ0,14650,19950,22050,23650,2423/— = 0,2500 1 4У80,70710,72720,73600,74340,7466/— / = 0,7500/ 4С0,29290,35430,37500,38900,39391— / = 0,4000 15
432РАЗДЕЛ 8, ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.2.3Круговые арки( f 1 Параболические арки 1 при -у = ф <\/1111_1_Множи¬тель123468почти совпадают с круговыми |А10,50000,50000,50000,50000,5000Pl— = 0,5000 р 1 2А20.37500,37500,37500,37500,3750Pl—pl = 0,3750 pl 8Аз0.25000,29150,30470,31330,3163Pl— pl - 0,3200 pl25В10,50000,50000,50000,50000,5000pl— = 0,5000 р 1 2В20,12500,12500,12500,12500,1250Pl-J-pl = 0.1250 pl 8В30,04290,06280,07030,07570.0776Pl— pl= 0,0800 pl25Н10,25000,37500,50000,75001,000PlPl10,1250 —*20,12500,18750,25000,37500,500PlРР0.0625 —"з0,04290,09420,14060,22710,3104PlооЛьоо-IV—0,0259—0.0110—0,0061—0,0027—0,0015РР000,00940,01240,01420,0149Р?1— рР = 0,0156 рР0,01070,01540,01700,01820,0185Pl33— рР= 0,01875 рР«10,07320,04200,02640,01280,0075Pl0«20,07320,04200,02640,01280,0075pl0Q30,04290,02430,01240,0011—0,0035Plpl—0,0100V 1+ <2ф)а"1—0,4268—0,4787—0,5722—0,7948—1,0326Pl-0.2500,//1 +->_*2—0,2500—0,2534—0,2927-0,3996—0,5173Pl0,1250 pl*8-0,1036—0,1294—0,1634—0,2397—0,3191Pl0,8750+ ——/О VJ0,1600 typl 1 ' У 1 + (2 +)'Примечания. 1. Схема загружения 3 —равномерно распределенная нагрузка на участке длиной с, при которой изгибающий момент в се¬ чении х3 = — в параболической или в сечении а3 = — в круговой арке получается наибольшим. Для параболы с = 0,4/, для круговой арки 4	2с изменяется в зависимости от стрелы подъема арки (см. таблицу).2.	Все значения М, Q и N в таблице даны для сечения арки х3.3.	Подстрочные цифровые индексы означают схему загружения.
8.2. АРКИ433Г аблица 8.2.48.2.4.	Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции и распоры от сосредоточенного грузаГеометрические данные параболических арок см. табл. 8.2.1а. Поперечные и продольные силы определяются по формулам табл. 8.2.2.сеченияRIIООСПа - 0,10 1а = 0,15 1а = 0,20 1а - 0,26 *а = 0,30 1а = 0,35 /а - 0,40 1а = 0,45 /а =» 0,50 /Величины изгибающих моментов (умножить на Р1)10,0430,0360,0290,0210,0140,0060,000-0,008—0,015-0,02320,0360,0720,0580,044а.оэоo,ai60,002—0,012—0,026—0,04030,0300,0600,0900,0690,0490,0280,009-0.012—0,032—0,05340,0240,0480,0720,0930,0700,0440,018—0,008—0,034—0,0(3050,0190,0430.0570,0750,094. 0,0620,0320,000—0,081-0,06360,0140,0280,0420,0560,0700,0840,0480,012—0,024—0,06070,0100.0200,0300,б390,0470,0580*0690.028—0,012—0,05380,0060,0120,0180,0240,0300,0360,0420,0480,004—0,04090,0030,0060,0090.0110,0140,0160,0200,0220,025—Сг023100,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,00011-0,002—0.005—0.0060,0090,011—0.014—0.СП6—0,018—0,023—0,02312—0,004—0,008—0,012—0,016—0,020—0,021—0,028—0,032^-0,033—0,04013—0,005—0,011—0,015—0,021—0,026—0,032—0,036—0,042—0,047—0,05314-0,006—0,012—0,018—0,024-0,030—0,036—0,042—0,018—0,054—0,06015—0,006—0,013—0,018—0,025—0,031—0,038—0,043—0,050—О.Ооб—0,06316-0,006—0,012—0,018—0,024—0,030—0,036—0,042—0,048—0,054—0,06017-0,005—0,011—0,015—0,021—0,026—0,032—0,036—0,042—0,017—0,05318—0,004—0,008-0,012-0,016—0,020—0,024—0,028—0,032—0,036—0,04019—0,002—0,005-0,007-0,009—0,011-0,014—0,015-0,018-0,020—0,023Опорные реакции и распорыА0,95 Р0.90Р0.85Р0,80Р0,75РQ,70P0,65 Р0,60Р0.55Р0,50РВ0,05 Р0.10Р0,15 Н0,20Р0.25Р0,30 Р0,35Р0.40Р0,45Р0,50Р1111111111Н0.025Р “0.050Р j0.075Р у0Д00Р J0,125Р J0.150Р J0Д75Р -J0,200Р у0,225Р у0,25Р JТаблица может быть использована для построения инфлюенты М, А, В, Н.Пример. Для сечения 3 ординаты инфлюенты М: 0,03; 0,060; 0,090; 0,069; 0,049; 0,028; 0,009; —0,012; —0,032; -0,063.Для а > 0,5/ (груз на правой половине арки) берут значения симметричного сечения 17 (третье от правой опоры): —0,017; -0,032; -0,026; -0,021; -0,015; -0,011; -0,005.-0,042; -«,036;»'ЕпшЭТаблица &2Л8.2.5.	Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях» опорные реакции и распоры от одаюоторошсй частичной равномерно расяределенней нюруэнвСм. пояснения к табл. 8Ф.4№ сече¬ ния ‘а - 0,05 1а - 0,10 /а = 0,15 1а - 0,20 1а - 0,25 1а = 0,30 /« -0»35 /ото!а = 0^45 /а - 0,50 /а *= 1;б§ 1Величины изгибающих моментов (умножить на pl2)г0,00100,00300,00460,00690,00700,0071в,00730,00720,00650,0056•2. 0,00090,00360,00690.00940.01126,01220,01270,01250,01150,0100030,00070,0030О,0®Р50,01050,013.)0,01530,01630,01640.ОШа, 0131•40,00060,00260,00520,00940,01380,01630,01800,01340.PU20,0150050,00040,00190,00410,00750,01150,01520,01770,01880,0177 '0,0156028 Зак. 2098
434РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.2.5№ СеЧе- НИЯа = 0,05 /а = 0,10 /а = 0,15 /а - 0,20 Iа = 0,25 Iа *= 0,30 Iа — 0,35 /а - 0,40а — 0,45 /а - 0,50 /а = 1,00 /0,00300,00560,00850,01220,01570,01740,01620,015000,00210,00390,00590,00840,01150,01440,01450,013100,00120,00240,00350,00490,00740,00960,01060,010000,00050,00110,00160,00250,00330 00440,00510,005<500,00000,00000 00000,00000,00000,00000,00000,00000—0,0005-0,0009—0,0015—0,0022—0,0028—0,0035—0,0050—0,00560—0,0010—0,0015—0,0027—0,0041—0,0054—0,0064—0,0086—0.01000—0,0012—0,0021—0,0034—0,0051—0.00J8—0,0084—0,0110—0,01310—0,0014—0,0024—0,0039—0,0058—0,0077—0,0095—0,0125—0,01500—0,0018—0,0025—0,0040—0.0060—0,0080—0,0100—0,0130—0,01560—0,0014—0,0024—0,0038—0,0057—0,0076—0,0096—0,0124—0,01500—0,0012—0,0021—0,0033—0,0049—0,0056—0,00,-И—0,0108—0,01310-0,0009—0,0016—0,0026—0,0033—0,0051—0,0064—0,0083—0,01000—0,0005—0,0009—0,0014—0,0021—0,0028—0,0036—0,0046—0,00560678 910И12131415161718 19АВН0,00030,00030,00010,00010,0000—0,0001—0,0001—0,0001—0,0001—0,0002—0,0002—0,0001—0,0001—0,00010,049/7/ 0,001pl р* О.ОООбу0,00140,00100,00050,00030,0000—0,0002—0,0004—0,0005—0,0006—0,0006—0,0006—0,0005—0,0004—0,00020,095pl 0,005р/0,0025-0,139^/ 0,011р/ рР 0,0056“Опорные реакции и распоры0,180/?/0,020/7/рр0,0100—0,219/?/ 0,031/?/ рР 0,0156 ~J0,255/?/0,045/?/Р*0,0230~I0,289/? / 0,061/7/ pl'0,0310“0,320/7/0,080/7 / рР 0,0400~0,349/7/0,101/>/0,0510“0,375/7/0,125/7/рР0,С625~0,5000/7/ 0,5000/?/ рР 0,1250~Таблица 8.2.68.2.6,	Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, опорные реакции и расиоры от симметричной частичной равномерно распределенной нагрузкиСм. пояснения к табл. 8.2.4Схема нагрузки 1Схема нагрузки 2Размер а при нагрузке по схеме 1ЛЬ гйийппо0,45 1 |0,40 1 |0,35 /1 0,30 / 10,25 1j 0,20 1| 0,15 1| 0,10 1| 0,05 /•« ЧСПИлРазмер а при нагрузке по схеме 20,05 1 || 0,10/ |’ 0,15 /| 0,201 |0,25 /| 0,30 1| 0,35 1| 0,40 1 j| 0,45 /Величины изгибающих моментовдля нагрузки по схеме 1 (умножить на pl2), знаки менять на обратные. При нагрузке iпо схеме 212345—0,0009—0,0008—0,0006—0,0004—0,0002—0,0028 —0,0032 —0,0025 —0,0020 —0,0013—0,0041—0,0061—0,0053—0,0038—0,0023—0,0060—0,0078—0,0084—0,0070—0,0050—0,0056—0,0086—0,0103—0,0088—0,0075—0,0050—0,0084—0,0104—0,0106—0,0092—0,0045 —0,0076 —0,0097 —0,0104 —0,0097—0,0036—0,0062—0,0080—0,0088—0,0088—0,0019—0,0032—0,0043—0,0048—0,004767-8910—0,0002—0,0002—0,0000—0,0000-0,0000—0,0008—0,0005—0,0002—0,0001—0,0000—0,0016 —0,0009 —0,0002 —0,0001 —0,0000—0,0032—0,0018—0,0008—0,0002—0,0000—0,0046—0,0025—0,0008—0,0001—0.0000—0,0064—0,0033—0,0008—0,0003—0,0000—0,0087—0.0047—0,0020—0,0005—0.0000—0,0078—0,0060—0,0032—0,0008—0,0000—0,0044—0,0035—0,0020—0,0001—0,0000Опорные реакции и распоры для схемы нагрузки 1А0,45/7/0.40р/0,35р/0,30/?/0,25/?/0,20/7/0,15pl0,10pl0,05р/ВИ0.45р/рР0,1238 ~0,40р/РР 0,1200 —10,35/?/рР0,1138 	110,30/?/РР0,1050 ~0,25/?/РР0,0938 —0,20/?/РР0,0790 —0,15р/РР0,0630 —0,10plРР0,0450 —0.05/?/РР0,0230 —Опорные реакции и распоры' для схемы нагрузки 2А0,05/?/0, Юр/0,15/7/0,20р/0,25р/0,30/7/0,35р/0,40/7/0,45 ptВИ0,05/7/РР 0,0012 —0,10/7/РР0,0050 —0,15ptрР 0,0112 —0,20/?/рР 0,0200 —0,25/7/рР0,0312 —0,30/7/РР0,0460 —0,35ptРР 0,0620 —0,40/?/pP 0,0800 —0,45/7/РР 0,1020 —
8.2. АРКИ435Таблица 8.2.78.2.7.	Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузокОчертание оси арки по квадратной параболе (гео¬ метрические данные оси см. табл. 8.2.1а)Принятые обозначения:1С, F*—момент инерции и площадь сечения арки в ключе;Е — модуль упругости материала арки;Еь F1 — модуль упругости материала затяжки, пло¬ щадь сечения затяжки;/ — стрела подъема;р=Е1ССечение арки изменяется по закону /сos а = 1С , где а — угол между касательной к оси и горизонтом.В формулах, приведенных в таблице, коэффициент k учитывает влияние продольной силы (обжатия):1	15 1спк =	, где v=		1+v’	8 FcP-при отсутствии затяжки;15 1С ( Е	п\ v = —- —— —при наличии затяжки;° / \ £ 1^1	г с )п—коэффициент,	зависящий от отношения .Значения п/1111111111456789101520п =0,78520,84340,88120,91100,93060,94240,95210,97060,9888Если не учитывать влияния продольных сил (обжа¬ тия), то для арки без затяжки v =0; &=1; для арки15 1СЕ	15 рс затяжкой v = —-.- ■ — , или v=—•8 /2 £х /ч	8 /2k =1Продольные и поперечные силы в сечениях арки определяются по формулам табл. 8.2.2.Усилие в затяжке при вертикальной нагрузке равно распору Н; для усилий в затяжке от горизон¬ тальной нагрузки в таблице приведены соответствую¬ щие формулы.Схема нагрузкиМоменты и реакцииСхема нагрузкиМоменты и реакцииJjР-* Н сНа = Нь =“Т P^k£-2V + V)\О Jмс= уР[4$- — 5£(£-2£3 + £4)]1На=Нь=0,0228 у-k;А = Т*?1'в=Ь11 \р 125 1 Яа = Я*= —PA j;«,-(о.яо-§*)иргг_ Кв парабола ^ ГГПТггггг- 	г-гт-гтТТТ1Рpl2На = Нь = 0,024^у-А; —f2 - Т i/	С N.28*
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМПродолжение табл. 8.2.7
R.2. АРКИ437Продолжение табл. 3.2.7
438РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМТаблица 8.2.88.2.8. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, распоры и опорные реакции от действия вертикальной сосредоточенной силыСечение арки изменяется по закону /cosa=/r, где 1С— момент инерции сечения арки в ключе.Принятые обозначения, а также значения коэффициента k см. табл. 8.2.7.№ сеченияа=0,05/ооИ<3а=0,15/а=0,20/a=0,25*Величины изгибающихмоментов М (результаты умножить на Р1)10,048—0,006 к0,045 -0,012 к0,043—0,017 к0.040—0.022 к0,038—0,028 k20,045 —0,011 к0,090—0,022 к0г085—0,032 к0.030—0,042 k0,075—0,051 к30,043—0,016 к0,085-0,031 к0,128-0,045 к0,120—0,059 к0,113—0,072 k40,040—0,020 к0,080—0,039 к0,120-0,057 к0,160—0,074 к0,150-0,090 к50,038—0,023 к0,075—0,046 к0,113—0,067 к0,150—0,087 к0.188—0,105 к60,035—0,026 к0,070—0,051 к0,105—0,075 к0,140—0,097 к0,175—0,118 к70,033—0,028 к0,065—0,056 к0,098—0,081 k0,130—0,106 к0,163—0,128 к80,030-4,030 к0,050—0,059 к0,090—0,085 к0,120—0,111 к0,150—0,135 k90,028—0,03-1 к0,055—0,060 к0,083—0,088 к0,110—0,115 к0,138—0,140 к100,025—0,031 к0,050—0,061 к0,075-0,089 к0,100—0,116 к0,125—0,141 к110,023—0,031 к0,045-0,060 к0,068—0,085 k0,090—0,115 к0,113—0,140 к120,020—0,030 к0,040-0,059 к0,060—0,085 к0,080-0,111 к0,100—0,135 к130,018—0,028 к0,035—0,056 к0,053—0,081 k0,070—0,106 к0,088—0,128 к140,015—0,026 к0,030—0,051 к0,045 —0,075 к0,060—0,097 к0,075-0,118 к150,013—0,023 к0,025—0,046 к0,038—0,067 к0,050—0,087 к0,063—0,106 k160,010—0,020 к0,020—0,039 k0,030—0,057 к0,040—0,074 к0,050—0,090 к170,008—0,016 к0,015—0,031 к0,023-0,045 к0,030—0,059 к0,038—0,072 к180,005 —0,011 к0,010—0,022 k0,015—0,032 к0,020—0,042 к0,025 —0,051 к190,003 —0,006 k0,005—0,012 к0,007—0,017 к0,010—0,022 к0,013-0,028 кОпорныереакции и распорыА0,95 Р0,90 Р0,85 Р0,80 Р0,75 РВ0,05 Р0,10 Р0,15 Р0,20 Р0,25 РН0,031 — кР10,061 — кР10,089 — кР10,116 — k0,141 — *f/1//Продолжение табл. 8.2.8№ сеченияа- 0,30/11 я=0,35/оо*IICSя=0,45/&ИослоВеличины изгибающих мс>ментов М (результаты умножить на Р1)10,035—0,030 к0,033—0,033 к0,030 -0,035 к ■0,028—0,035 к0,025—0,037 к20,070—0,057 к0,065—0,063 к0,060—0,067 к0,055—0,069 к0,050—0,070 k30,105—0,081 к0,098—0,089 к0,090—0,095 к0,083—0.098 к0,075—0,099 к40,140—0,102 к0,130—0,112 к0,120—0,119 к0,110—0,123 к0,100—0,125 к50,175—0,119 к0,163—0,131 k0,150—0,140 к0,138—0,144 к0,125 —0,146 к60,210—0,136 к0,195-0,147 к0,180—0,156 к0,165—0,161 k0,150—0,164 к70,195-0,145 к0,223—0,159 k0,210—0,169 к0,193—0,175 к0,175-Ю,177 к80,180—0,153 к0,210—0,168 к0,240—0., 179 к0,220—0,184 к0,200—0,187 к90,165—0,157 к0,193—0,173 к0,220—0,184 к0,248—0,190 к0,225—0,193 к100,150—0,159 к0,175—0,175 к0,200—0,186 к0,225—0,192 к0.250—0,195 ки0,135—0,157 к0,158-0,173 к0,180—0,184 к0,203—0,190 к0,225—0,193 к120,120—0,153 к0,140-0,168 k0,160-0,179 к0,180—0,184 к0,200—0,187 к130,105—0,145 к0,123—0,159 k0,140-0,169 к0,158—0,175 к0,175—0,177 к140,090—0,136 к0,105—0,147 к0,120—0,156 к0,135—0,161 к0,150—0,164 к150,075—0,119 к0,088—0,131 к0,100 —0,140 к0,113—0,144 к0,125—0,146 к160,060—0,102 к0,070—0,112 к0,080—0,119 к0,090—0,123 к0,100 -0,125 к170,045—0,081 к0,053—0,089 k0,060 -0,095 к0,068-0,098 к0,075—0,099 к180,030-0,057 к0,035 —0,063 к0,040—0,067 к0,045—0,069 к0,050—0,070 к190,015—0,030 к0,018—0,033 k0,020—0,035 к0,023—0,036 к0,025-0,037 кОперные реакции и распорыА0,70 Р0,65 Р0,60 Р0,55 Р0,50 РВ0,30 Р0,35 Р0,40 Р0,45 Р0,50 Рн0,159 — кР10,175 —- кР10,186 — кР10,192 —- кР10,195 — к/////
8.2. АРКИ439№ сеченияТаблица 8.2.98.2.9.	Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, распоры и опорные реакции от односторонней частичной равномерно распределенной нагрузкиСечение арки изменяется по закону /cosa = /c, где /с —1 момент инерции сечения арки в ключе. Принятые обозначения, а также значения коэффициента k см. табл. 8.2.7а = 0,05 I■■ 0,10а = 0,15 I■■ 0,20 Iа = 0,25 /Величины изгибающих моментов М (результаты умножить на pl~)1•т0,0011—0,0002 к0,0035—0,0006 k0,0057—0,0013 k0,0088—0,0023 k0,0097—0,0035 k20,0011—0,0003 к0,0045-0,0011 k0,0089—0^)025 k0,0130-0,0044 k0,0169—0,0066 k30,0010—0,0004 к0,0043—0,0016 k0;0093—0,0035 k0,0156—0,0062 k0,C216—0,0093 k40,0010—0,0005 к0,0040-0,0020 k0,0088—0,0044 k0,0160—0,0077 k0,0238—0,0117 k50,0009—0,0005 k0,0038—0,0023 k0,0082—0,0052 k0,0150-0,0091 k0,0233—0,0137 k60,0008—0,0007 k0,0035—0,0026 k0,0077—0,0058 k0,0140—0,0101 k0,0218—0,0154 k70,0008—0,0007 k0,0032—0,0028 k0,0071—0,0063 k0,0130—0,0110 k0,0202-0,0166 k80,0007—0,0008 k0,0030— 0,0030 k0,0066—0.0066 k0,0120—0,0116 k0,0187—0,0176 k90,0007—0,0008 k0,0027—0,0031 k0.0060—0,0068 k0,0110—0,0120 k0,0171—0,0181 k100,000$—0*0008 k0,0025—0,0031 k0,0055—0,0069 k0,0100—0,0121 k0,0155—0,0183 k110,0005 -0,0008 k0,0023—0,0031 k0,0050—0,0068 k0,0090—0,0120 k0,0140—0,0181 k120,0005—0,0008 k0,0020—0,0030 k0,0044—0,0066 k0,0080—0,0116 k0,0124—0,0176 k130,0004—0,0007 k0,0018—0,0028 k0,0039—0,0063 k0,0070—0,0110 k0,0109—0,0166 k140,0004-0,0007 k0,0015—0,0026 k0,0033—0,0058 k0,0060—0.0101 k0,0093—0,0154 k150,0003- 0,0006 k0,0012—0j.0023 k0,0028—0,0052 k0,0050—0,0091 k0,0078—0,0137 к160,0002 -0,0005 k0,0010-0,0020 k0,0022—0,0044 k0,0040—0.0077 k0,0062 —0,0117 k170,0002—0,0004 k0,0007—0,0Q16 k0,0017—0,0035 k0,0030—0,0062 k0,0047—0,0093 k180,0QQ1—0,0003 k0,0005—0,0011 k0,0011—0,0025 k0,0020—0,0041 k0,0031—0,0066 k190,0001—0,0002 k0,0003—0,0006 k0,0006—0,0013 k0.0010—0,0023 k0,0016—0,0035 kОпорные реакции и распорыА0,049 pl0,095 pl0,139 pl0,180 pl0,219 plВ0,001 pl0,005 pl0,011 pl0,020 pl0,031 plн0,0008 — k0,0031 — k0,0069 ^ k0,0121 ELk0,0183 BLk/ffiffЯрСяолжс^Уие табл. 8. 2. 9№ сеченияa=0,30 Ia=0,35 Ia=0,40 1<7=0,45 Ia =0,50 /Величины изгибающих мскментов M (результаты умножить на pl2)10,0115—0,0043 k0,0132—0,0065 k0,0148—0,0082 k0,0162—0,0091 k0,0175—0,0119 k20,0205—0,0081 k0,0239—0,0123 k0,0270—0,0156 k0,0299—0,0173 k0,0325—0,0225 k30,0270—0,0115 k0,0321—0,0175 k0,0368—0,0221 k0,0411—0,0245 k0,0450—0,0319 k40,0310—0,0145 k0,0378—0,0220 k0.0440-0,0277 k0,0498—0,0308 k0,0550—0,0400 k50,0325—0,0170 k0,0410—0,0257 k0,0488—0,0325 k0,0560—0,0361 k0,0625—0,0469 k60,0315—0,0190 k0,0417—0,0288 k0,0510—0,0364 k0,0597—0,0404 k0,0675—0,0525 k70,0293—0,0206 k0,0396—0,0312 k0,0508—0,0394 k0,0609—0,0438 k0,0700—0,0569 k80,0270—0,0217 k0,0366—0,0329 k0,0480—0,0416 k0,0596—0,0462 k0,0700—0,0600 k90,0245—0,0224 k0,0335—0,0340 k0,0440—0,0427 k0,0555—0,0476 k0,0675—0,0619 k100,0225—0,0226 k0,0305—0,0343 k0,0400—0,0433 k0,0505—0,0481 k0,0625—0,0625 k110,0205—0,0224 k0,0275—0,0340 к0,0360—0,0427 k0,0455—0,0476 k0,0563—0,0619 k120,0180-0,0217 k0,0244—0,0329 k0,0320—0,0416 k0,0404—0,0462 k0,0500-0,0600 k130,0157—0,0206 k0,0214—0,0312 k0,0280—0,0394 k0,0354—0,0438 k0,0438—0,0569 k140,0135—0,0190 k0,0183—0,0288 k0,0240-0,0364 k0,0303—0,0404 k0,0375—0,0525 k150,0113—0,0170 k0,0155—0,0257 k0,0200—0,0325 k0,0253—0,0361 k0,0313—0,0469 k "160,0090—0,0145 k0,0122—0,0220 k0,0160—0,0277 k0,0202—0,0308 k0,0250—0,0400 k170,0068—0,0115 k0,0092—0,0175 k0,0120—0,0221 k0,0152—0,0245 k0,0188—0,0319 k180,0045—0,0081 k0,0061—0,0123 k0,0080—0,0156 k0,0101—0,0173 k0,0125—0,0225 k190,0023—0,0043 k0,0031—0,0065 k0,0040—0,0082 k0,0051—0,0091 k0,0063—0,0119 kОпорные реакции п распорыA0,255 pl0,289 pl0,320 pl0,349 pl0,375 plВ0,045 pl0,061 pl0,080 pl0,101 pl0,125 plZJ0,0226 ElL k0,03430,0433 j£-k0,0481 k0,0625 ьПJfff
440РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМТаблица 8.2.108.2.10.	Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты в различных сечениях, распоры и опорные реакции от симметричной частичной равномерно распределенной нагрузкиС«ченне араи «выеяается я® »акону /с©вд = I с, где 1С — момент ин-ерции сечения арки в ключе. Принятые обвэначешм, а также значения коэффициента к см. табл. 8.2.7.сеченияа *= 0,05 I: 0,10 I: 0,15 Iа — 0,20 IВеличины иа-гибающнх моментов М (результаты умножить на р/а)1234 б678 9100,0013—0,0904 k 0,0012-0,0006 к 0,0'ua—о,оо«* 0,0012-0,00*0 к 0,0012—о, eow к0,0012—0,0014 к 0,0012 -0,0014 к 0,0012—0,0016 k 0,0012—0,0016 к 0,0012—0,0016 k0,0088^0,0012 k 0,0060—0,0022 k 0,0060—0 0032 k 0,0060»—0,0040 k 0,0080—0,0046 k©„005©-—0,0062 k 0,4)080—0,0066 k 0,0060—0,0060 k 0,0050—Q.00G2 k 0,0050—0,0062 k0,0053—0,0026 k 0,0100—0,0050 k 0,0110—0,0070 k 0,0113—0,0088 k 0,0110—0,0104 k0,0110—0,0116 к 0,0110—0,0126 k 0,0110—0,0132 k 0,0110—0,013d k 0,0110—0,0138 k0,0098—0,0046 k 0,0150-0,0088 k 0,018^—0,0124 k 0,0200—0,0154 k 0,0200—0,0182 k0,0200—0,0202 k 0,0200—0,0220 k 0,0200—0,0232 k 0,0200—0,0240 k 0,0200—0,0242 k0,0113—0,0070 kб,0200—0,0132	k 0,02^-0,0186 kв,	08QO—0,0234 k 0,0311—0,0274 k0,0311—0,0304 k 0,0311—0,0332 & 0,0311—0,0352 k 0,0311—0,0362 k 0,0311—0,0366 kОпорные реакции и распорыАВН0,05 pl 0,05 рЯ0,0016 к0,10 pl 0,10 pl0,0062 ^ k0,15 pl 0,15 pl0,0138 ^-k0,20 pl 0, 20 pl0,0242 ^ * /0,25 pl 0,25 pl0,0366 ££ *Продолжение табл. 8.2.10№ сеченияa = 0,30 /а = 0,35 1а = 0,40 1а - 0,45 1а - 0,50 1Величины изгибающихмоментов М (резул[ьтатыумножить на рР)J0,0138—0,0086 к0,0163-0,0130 к0,0188—0,0164 к0,0213—0,0182 к0,0238 (1—Дг)20,0250—0,01(2 к0,0300—0,0246 k0,0350—0,0312 к0,0400—0,0346 к0,0450 (1—к)30,0338—0,0230 k0,0413—0.0350 к0,0488—0,0442 к0,0563—0,0490 к0,0638 (1— к)40,0400-0,0290 к0,0500—0,0440 к0,0600—0,0554 к0,0700—0,0616 к0,0800 (1— к)50,0438—0,0340 к0,0563—0,0514 k0,0688—0,0650 к0,0813—0,0722 к0,0938 (1— к)60,0450—0,0380 к0,0600—0,0576 к0,0750—0,0728 к0,0900—0,0808 к0,1050 (1—к)70,0450—0,0412 к0,0610—0,0624 к0,0788—0,0788 к0,0963—0,0876 к0,1138 (1 —к)80,0450—0,0434 к0,0610—0,0658 к0,0300—0,0832 к0,1000—0,0924 к0,1200 (1—к)90,0450—0,0443 к0,0610—0,0680 k0,0800—0,0854 к0,1010—0,0952 к0,1238 (1— k)JO0,0450-0,0452 к0,0610—0,0686 к0,0800—0,0866 к0,1010—0,0962 к0,1250 (1—к)Опорные реакции и распорыA6,30 pl0,35 р/0,40 pl0,45 pl0,50 plВ0,30 Pl0.35 pl0,40 pl0,45 pl0,50 plН0,0452 — к0,0686 — 40,0866 — k0,0962 к0,125 ££k//f/f
8.2. АРКИ441Таблица 8.2.118.2.11.	Бесшарнирные параболические аркиа)	Изгибающие моментыл распоры и опорные реакции от различных нагрузокНа схеме показано положительное направление мо* ментов и реакций.В приводимых в таблице формулах коэффициент Ь учитывает влияние продольной силы (обжатия)"Аk =451 + v ' V 4 ' Fcf*Очертание оси арки — пологая квадратная парабола. Сечение арки изменяется по закону /cos а = 1С ,где а — угол между касательной к оси и горизонтом; 1С— момент инерции арки в ключе.Если пренебречь влиянием обжатия, то v=0, k=\. Поперечные и продольные силы определяются по фор¬ мулам табл. 8.2.2.Геометрические характеристики оси арки см. табл. 8.2.1а.Схема нагрузкиОпорные реакции и распорыИзгибающие моменты.Р—* —1А — £'2 (1 + 2£) Р; В = £2(1 +2 Z')P;Я = Р-^---4-?Ч'2А 4 /Ма = Pl ££'2 £ — 1 j;М„ - Р1 £2 £' £' — lj.Для 0 < £ <Р/ / 5£ . 2\"'■тК т6)/ |р 12 Y 2—СУА-В-Ьм„-%«-у (т4-1)При & = 13 PfЛ —T.-fР Р Г; = Т1Pfма=-—-,PfMb = — ; = 0Iа1 =0.10,20,30.4По данным этой табли¬ цы можно построить инфлюенты опорных моментов, распора и опорных реакций от горизон¬ тальной силыа [-•—г*—	 1 	JА»А =Pf-0,097 —/Pf— 0,307 -у-Pf— 0,509 —/Pf— 0,692 —на =_0,894Я— 0,712 Р—0.572P— 0.510PД = -Л; Нь = Р-Нама =—0,224Я/— 0,236Pf— 0,182Я/— 0.138Р/мь =0,039Я/0,097Pf0,129Я/0,131Я/
442РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.2.11Схема нагрузкиОпорные реакции и распорыИзгибающие моментысЛ= —; В = —; 4/ 4/ияа = --р/= _ 280 ^2’ 19 л м» = шрр;!!11111!1!11!1111111111Ш1М1!111П11plя р/2 *Я=1г*-При k = 1н = ^~ 8/pi* ,жв = м* = —(1 — *);При А = 1Ма = Л1* = мс = оУ^	L >|штптшппгл=1гр/:16/ При £= 1я16/Ма = --^(3+ 1Ь)А;л/2р/2л^= —vA.При v 0, Л = 1р/2М‘=-1Г ^=1г; ^ = 0р'IIIIIIIIIIIIн—п	“Л = £ [1 + 6' (1 + 66')];в = -~г 2(i-£'2);Я = 4т^3 [1 + 36'(1+25')] kо/•Ma = --EI^P [65'3+v(l ++ 2€* + 3£'2)] а;М6 = 63 [бб'2— V (1 ++ 36')]*1Квадратная парабола1ТТГТГГГГГ1^>-	-TrttlTlTfflf/—‘ с \'РMa=M* = --^-(7v+ 2)*Л.,- £, (3 7„*.При v=0, & = 1 Almax = при X = 0,233/
8.2. АРКИ443Продолжение табл. 8.2711Схема нагрузкиОпорные реакции и распорыИзгибающие моменты[ГПТШТтттттг,	*«тттПТПТ1Ш*А = В = -^-;45 /7/2И~Ш~Т прв‘“'Pl2} при k= 1м р/2 Мс~~ 384Поворот левой пятыЛ— ш’ ,/2с-+ ;/»„ 15 El с Н- 2‘ //9Е1‘ л*а- t ;ЗЕ1С Mb= t ;3 £/сме = -т —Поворот левой и правой пятА = В = 0 ; я 15£/с /112£/с М0 = М* — ^ ;3£/с Л*с- „• 2Поворот левой и правой пятА ПЕ,С • А~ Р '„ 12£/сВ =	Р ’Я = 0м 6£/е • Ма — ^ —;Шс М* — ;мс = 0Горизонтальное смещение пяты,4 = 5 = 0;н-^-.ёк. 4 fH15 £/с 15 Я/гМ‘=~Т-1Г
444РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.2.11Схема нагрузкиОпорные реакции и распорыИзгибающие моментыРавномерный нагрев на f*А = В =* 0;4 /2 'а — коэффициент линейного расширения\мм15 Е1°*1 *. Ма — Мъ — ^ ^ к\м,——. f *6)	Инфлюенты распора Н, опорной реакции А, опорного момента Ма и момента в середин* пролета МфJc»~ сГCs*«r«fc>4TCi*i5f^<sresi 8ё38ШШе^а8«р*3* gf саг cjr с£<=Г*сГ g^ar «=а ^ ga oa cf ^sП(ннтишь l/f)Ma (множитель L)со ‘NftcaN.csi’»§i,ieSt§TfTTPtT0,2651llllpl *?л» «a eaT^af (i i • I i I IМ^мюттелъЦ«г,
8.2. АРКИ445Таблица 12.128.2.12.	Дополнительные геометрические данные дм параболических, круговыхи эллиптических арок-jj — расстояние центра тяжести половины дуги арки от вертикаль¬ ной оси; Fi — площадь одной пазухи; ijj _ расстояние центра тяжести площади пазухи от вертикальной оси арки;Для параболической арки: т^*= 0,373ft П2 =3 /— . —=0,1£8/. 8 2Для эллиптической арки: -гц = 0,388/;y]2 = 0,212/;F2 -*■ площадь, ограниченная осью арки; tja — расстояние центра тяжес^ половины площади, ограниченной еск&о арки, от вертикальной оси.Параболические аркиЭллиптические аркиКруговые арки£длинаполовиныдугиарки1'lд.тинаполовиныдугиарки1T'«длинаПОЛОВЦЯЫ,дугиарки17'*0,1				_——	0,514 /0,253 10,0164 Р0,374 10*0335 Р0,189 /0,20,549 10,261 10,0333 Р0,057 Р0,574 10,2756 10,022 P0,079 P0,552 10,263 10,0314 Р0,377 10,0685 Р0,192 10,36,602 10,270 10,050 Р0,1 Р0,637 10,292 10,032 P0,113 P0,614 10,277 10,0433 Р0,381 10,1056 Р0,197 10.40,667 10,279 10,067 Р0.133 Р-0,708 10,3055 t0,043 P0,1570,692 10,296 10,0512 Р0,385 10,1488 Р0,203 10,50,740 10,287 /0,033 Р0,167 Р0,785 10,317 I0,054 P0.196 P0,785 10,317 /0,0538 Р0,388 10,1962 Р0,212 10,60,818 10,293 10,1 Р0,2 Р0,36 6 10,337 I0,065 P0,236 P0,70,900 10,299 10,117 Р0,233 Р0,949 10,335 I0,075 P0,275 P0,80,985 10,3025 /0.133 Р0,267 i*1,035 10,341 I0,086 P0,314 P0,91.0U1,072 1 1,161 10,306 1 0,3095 /0,150 Р 0,167 Р0,8 Р 0,333 Р1,122 1 1,211 1 1,302 i0,347 I 0,351 I 0,355 I0,097 P 0,108 P 0,118 P0,353 P 0,393 P 0,432 PПримечание. Ординаты параболической и круговой •рок см.' табл. 8.2.1.1.21,393 10,359 I0,129 P0,471 PТ а б л в ц а 9.2.138.2.13.	Бесшарнирная параболическая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок [11]Направления моментов и реакций, показанные на чертеже, приняты за положительные.
446РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ	Продолжение табл. 8.2.13Моменты,/ИМножительСхеиа нагрузкираспоры и реакции0,20,3 |0,40,50,60,70,8 |0,91,0Собственный вес1,28530,82190,59110,45670,36990,30960,26560,23270,2069Q/ \Ма0,00960,00710,00450,00270,00130,0002—0,0008—0,0014-0,0019QIт, 71гмс—0,0085—0,0096—0,0106—0,0126—0,0138—0,0153—0,0158—0,0171—0,0183QIQ0,5490.6020,6670,7400,8180,9000,9851,0721,161qlЛ = В = Q:Нь = На;Q — вес половины арки;q — вес 1 пог. м аркиНа1,15630,76220,56540,44710,36910,31350,27260,24060.2151РМа0,02900,02750,02620,02500,02410,02330,02280,02220,0217Р17.мс0,04770,04890,05010,05150,05270,05390,05470,05570,0566Р1”b= На\А - В ~ 0.5РL0,18960,19160,19330,19470,19560,19640,19690,19730,19760,5 plf 1 'рАВ0,81040,80840,80670,80520,80440,80360,80310,80270,80230,5 pl/На0,6250,41670,31250,250,20830,17850,15620,13890,1250,5 plт. v7Ма0,03020,02920,02840,02760,02720,02680,02660,02640,02620,5 рРмс = 0 ; мъ = - ма*Ь = НаР/А0,15280,23150,31120,39190,47230,55300,63350,71410,7949РЧпна=-7: нь = -на;в =-Л;Ма0,02360,03420,04440,05410,06390,07350,08320,09290,1026Р1Mb = ~Ma’ *е = <)IIА0,0520,07960,10810,13680,16600,19500,22400,25290,2820РНа0,19700,19990,20260,20500,20690,20840,20970,21080,2120Р”ь—0,8030—0,8001-0,7974-0,7950-0,7931—0,7916—0,7903—0,7892—0,7880РМа0,01030,01530,02010,02500,02970,03450,03940,04440,0493Р1/АМЬ-0,0377—0,0551—0,0718—0,0881—0,1043—0,1204—0,1366—0,1527—0,1686Р1Б = — ЛМс—0,0031-0,0049—0,0069—0,0090—0,0114—0,0138—0,0163—0,0189—0,0216Р1А0,02760,04240,05760,07320,08900,10450,12010,13570,1511O.spfкНа0,09470,09710.С9940,10120,10260,10370,10450,10510,10580,5pf/\э.”ь—0,9053—0,9029—0,9007-0,8988—0,8974—0,8963-0,8955-0,8949—0,89430.5pfv7/VZ/ >Ма0,00360,00540,00740,00930,01100,01300,01490,01670,01880,5p/Z1 В = — АМЬ—0,0355—0,0522—0,0684—0,0842—0.1000-0,1159—0,1317—0,1476—0,16340,5pfl1Мс—0,0016; —0,0025—0,0036—0,0048—0,0061—0,0073—0,00870,01000,01140,5pfl
8.2. АРКИ447Таблица 8.2.148.2.14.	Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной параболической арке переменной толщиныПри изменении толщины арки по линейному закону от пят к ключу значения момента Ма и распора На (а при несимметричной нагрузке — и вертикальной реакции А), найденные по табл. 8.2.13, умножаются на коэффициенты, приводимые в настоящей таблице.Продолжение табл. 8.2.14Та блица 8.2.158.2.15.	Опорные моменты от собственного веса бесшарнирных параболических арок переменной толщиныМ — kQl; коэффициенты к даются в настоящей таблице;Q — вес арки на половине пролета; t п—толщина арки в пяте; t к— толщина арки в ключе.т2:11.5:11:11:1,51.00.0022370.017600,001860,006960.90.021820.017060.001390.006570.80,021040,016500.000790.006050.70.020050,015560.000160.005480.60,019050,014480.001310.004630.50,017730,013230,002680.003650.4 *0,015960,011530,004520,002280,30,014010.009630.007100,001500.20,011970,007620,009620,00069
448РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМТаблица 8.2.В8.2.16.	Бесшарнирная круговая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок! Направления моментов и реакций, показанные чертеже, приняты за положительные.Схема нагрузкиМоменты,fllМножительраспоры и реакции0,10,20,30,40,5Яа1,26090,63780,43420,33560,2758PlМа0,00130,00410,00930,01650,0247Р*ш. 1и.мс0,00020,00160,00400,00730,0118РРА = В = 0,5 pt;н. = Н • Mh = м о а* о аСобственный весНа2,48481,20650,77360,54390,40159Мш0,00190,00580,013780,02200,0310Qlме00,00200,00440,00840,0133QIД = * = <?; нь = на:Q — вес половины арки; Я — вес 1 пог. м аркиQ0,5140,5520,6140,6920,785И"а2,34611,16770,77400,57690,4551Рма0,03250,03530,04010,04660,0533Pi£ \0,04790,05170,05790,06590,0757PlЛ*В = 0,5 Р
8.2. АРКИ449Продолжение табл. 8.2.16Схема нагрузкиМоменты,///Множительраспоры и реакции0,10,20,30,40,51^2	КАВ0,18850,81151,26090,19160,80840,63780,19680,80320,43420.20360,79650,33560,21100,78900,27580,5 pl 0,5 pl 0,5 plНа/ \Ма0,03200,03330,03590,03970,04420,ЪрРш т.МЪ—0,0294—0,0251—0,0174—0,00670,00520,5 рР$II&Мс0,00020,00160,00400,00730,01180,5 /?/аРА0,07440,14570,21110,26920,3198РX I \На0,50,50,50,50,5Рп Wма0,01280,02720,04450,06540,0901Р1В = — А;"ъ = ~На, МЬ = ~МаP = pfА0,02490,04860,07060,08990,1053Рн0,2141-0,78590,2145—0,78550,21560,21830,2235Р:КаНЬ—0,7844—0,7817—0,7765Р/ \:Ма0,00680,01450,02280,03320,0463Р1//»мь—0,0183—0,0369—0,0566—0,0769—0,0984Р11IICQмс—0,0022—0,0041—0,0066—0,0091—0,0128Р1А0,01310,025?0,03740,04800,05820,5 pfНа0,12010,12020,12070,12380,13200,5 pf/ V- \г / .♦ \**Ъ—0,8799—0,8798—0,8793—0,8762—0,86800.5 pfШ VA1Ма0,00380,00800,01230,01810,02590,5 pflщ—0,0165—0,0330—0,0503—0,0673—0,08250,5 pflСО II 1ьмс—0,0017—0,0032—0,0052—0,0074—0,01100,bpfl29 Зак. 2098
450РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМТаблица 8.2.178.2.17. Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной круговой арке переменной толщиныПри изменении толщины арки по линейному закону от пят к ключу значения момента Ма и распора На (а при несимметричной нагрузке — и вертикальной реакции А), найденные по табл. 8.2.16, умножаются на коэффициенты, приводимые в настоящей таблице.Продолжение табл. 8.2.17Схема нагрузкиК чему относят¬ ся коэф- фици ентыОтношение толщины •рки в пяте к толщине в ключе tn г t2:11,5:11:11:1,5df.к Ма к Нп1,381,041,241,031,001,000,880.99Собственный весСм. табл. 8.2.18к Мпк Нл1,551,15к Ма к На к А1,371,030,891 ,30 1,091,001.0*1,221,020,94к Ма к На к А1,3010.881.1710,930,730,9250,820,981,050,8311,06Та блица 8.2.188.2.18. Опорные моменты и распоры от собственного веса бесшарнирных круговых арок переменной толщиныМа = kQl; На = kQ;коэффициенты k даются в настоящей таблице;Q — вес арки на половине пролета /; tn — толщина арки в пяте;— толщина арки в ключе.2:11,5:11*11:1,50,40,017970,021950,022000,024770,30,006590,009520,013780,01399Моменты MQ(множитель Ql)0,2— 0,001960,001820,005820,00818•0,1— 0,00710— 0,002880,001860,004870,40,479320,513890,543910,582430,3' 0,670360,712840,773640,81207Распоры На(множитель Q)0,21,045621,115661,206451,283700,12,140252,287042,484762,64879
8.2. АРКИ451Та блица 8.2.198.2.19.	Бесшарнирная эллиптическая арка постоянной толщины. Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок5 и яfllл•=;а»Схема нагрузких а, яО) О Я S С «о О Я ^ Я V< а, а,0.20,30,40,50,60,70.80,91.01.2SSоX£гО0,72820,47350,34920,27580,22740,19320,16770,14800,13240,1091pl0,02980,02720,02570,02470,02390,02340,02290,02250,02220,0216ррZ0,00910,01020,01100,01170,01250,01320.01380,01430,01480,0157ррА — В =0,5 pl: НЬ = НаСобственный вес1,30080,78400,53950,40150,31460,25540,21350,18270,15910,1258Q/\\Ма0,05140,04190,03560,03100.02770.02480,02260.02090,01950,0174Qк71.Шмс0,01570,01500,01420,01330,01230.01120,01040,00970,00900.0076QIА= В = Q; Нь = НауQ0,5740,6370,7080,7850,8660,9491,0351,1221,2111,393qlQ-— вес половины арки;я— вес 1 пог. м арки,i \р iНа1,25270,79990,58200,45510,37160,31300,26960,23650,21010,1712РМа0,06900,06100,05640,05330,05090,04910,04760,04640,04530.0435Рг\А = В = 0,5 Р7,мс0,06850,07110,07360,07570,07800,08000,08190,08360.08520,0881Pf7А0.19950,20490,20850,21110,21280,21410,21510,21580,21640.21720,5 plВ0,80050,79510,79150,78900,78720,78590,78490,78420,78360,78280,5 plНа0,72820,47350,34920,27590,22740,19320,16770,14800,13240.10910,5 р1* УМа0,05510,04970,04650,04420,04250,04130,04040,03960,03900,0381ослщ0,00440,00470,00490,00520,00530,00540,00540,00540,00540,00520,5 рр•Л$IIИ*мс0,00910,01020.01100,01170,01250,01320,01380,01430,01480.01570,5 ррр			—А0,11580,18230,25050,31980,38910,45850,52770,59700,66600,8041Р/\На0,50,50,50,50,50,50,50,50,50,5Р✓//ТТ,Ма0,04210,05880,07470,09010,10550,12070,13620,15150,16700,1980Р1В — — А;мь = -ма11129*
■452РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.2.19т•=;о>Схема нагрузкиМомен!распорьреакци!0,20,30,40,50,60,70,80,91,01,2S01Р = Р/А0,03550,05820,08210,10530,13100,15550,17990,20440,22860,2772р~ 10 22350,2260Л 997QП 90 Q40 23040 23110,2315^ X/»а—0,7951-0,7846—0,7799—0,7765-0,7740—0,7721—0,7706-0,7696-0,7689—0,7685ррУ \ма0,01950.02S20,03780,04630,05460,06280,07120,07930,08750,1032Р1V/j т7умь—0,0450—0,0627—0,0802—0,0976—0,1144—0,1316—0,1489-0,1663—0,1839—0.2196Р11Мс—0,0037—0,0064—0,0092—0,0122—0,0155—0,0189—0,0224—0,0259—0,0294—0,0360Р1В = — АА0,02000,03300,04650,05820,07390,08750,10110,11470,12820,15520,5 pfНа0,11780,12470,12890,13200,13390,13530,13610,13640,13630,13460,5 pfнь—0,8822—0,8753-0,8711-0,8680-0,8661—0,8647—0,8639—0,8636—0,8638—0,86540,5 pf/ \| I0,01000,01500,01980,02440,02900,03350,03780,04190,04590,05270,5 pfl! W \т LМьР \ Мг—0,0367—0,0520—0,0671—0,0825—0,0972—0,1124—0,1278—0,1434—0,1593—0,19210,5 pfl—0,0036—0,0059-0,0086—0,0113—0,0144—0,0175—0,0206—0,0235—0,0263—0,03120,5 pflВ = — АТаблица 8.2.208.2.20.	Поправочные коэффициенты для определения усилий в бесшарнирной эллиптической арке переменной толщиныПри изменении толщины арки по линейному закону от пят к ключу значения изгибающих моментов и
8.3 РАМЫ4538.3. IP А М ЫТ а б л и ц а 8.3.18.3.1.	Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным ригелем11 . 12 г 1 = — ; i2 = — — при горизонтальном ригеле; h	Ih12 = — — при наклонном ригеле.
454РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМПродолжение табл. 8.3.1
8.3. РАМЫ455Продолжение табл. 8.3.1Схема нагрузки и эпюра ММьСхема нагрузки и эпюра ММьмаРавномерный нагрев на t°гтШа — коэффициент ли¬ нейного расширенияТ Ыпри горизонтальномригеле;9 Ehijt4 As2 (+ h2)atl при наклон¬ ном ригелеПоворот опоры А на ф = 1аТ**Ла1,5 Eixi2k3Ei1(i1 + i2)kРавномерно1и нагрев на t°« — коэффициент ли¬ нейного расширения_3_ Eixi?k_2 hi при горизонтальном ригеле;3 Ei л uk	• —^ (3s2 + 2h2)at2 hiпри наклонном ригеле3 Ei^k+3/а/ + + 2iYl2) при горизон¬ тальном ригеле;3 Ei^k п пш . -— • (i2h + 3 i2s + 2 hi+ 2iiS2) при наклонномригелеТаблица 8.3.28.3.2.	Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным защемленнымригелем и защемленной стойкойЛ . h1ДГ—; t2 = — — при горизонтальном ригеле;hi2 = — — при наклонном ригеле; sk = -Схема нагрузки и эпюра МОпорные моментыСхема нагрузки и эпюра МОпорные моментыинншйшpl2мь = hkF—\■ Lpl2м*= 1У—\pl2Me = (1+0 Ы2к)^шЧ\ф\АН(2. t рЛ2Мь — j 2 * ph2мв = (1+0.5/,ft) j2 ; рЛ2Me = hk ^рPab2 Мь = iik ;/2, Pab2 Ма = hk 212 9PabyWc=(0,5/2&& + а)р,*1 АШ*^Меt Pab2 Л1* = ;PabMa=(Q,5hkb + a) hi i M / * Лй** с v > 1 / ^2VI»
456РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМПродолжение табл. 8.3.2Схема нагрузки и эпюра МОпорные моментыСхема нагрузки и эпюра МОпорные моментыLb(2a — b) h?Ma — [a(2b —a) — 0,5ii£6(2a- Lb(2a — b)Осадка опоры С на 1При горизонтальном ригеле 6 Eiji2kМс = i2k -2 h2Поворот опоры С на <р= 1Мь = ZEi^k; Ма = Eixi2k;Мс = Ei2( 4 — i2k)Поворот опоры А на <р= 1”а'Мь =2 Ei\i2k\ Ма = Eh(4 — ixk); Мс =Eixi2kГоризонтальное смеще¬ ние опоры С на 1Мь =i\i2k ■6Е_ h ’6 ЕМа=1г( 1 — 0,5/^) — ;Мс= i\i2k -3 ЕГоризонтальное смеще¬ ние опоры А на 1МЬ =Ма =I '3Ei,i2k/6 Et2(\—0,5 i2k)мг =	.c	IПри наклонном ригеле6 Ei^kjh+f)Mb =hi3E ix\hi2k + /(2 — ixk)\hiMc =3£y/ii* + A(2 — i2k)\ hiЗначения моментов те же, что при осадке опоры С на 1, но с обратными знаками (см. эпю¬ ры М)Равномерный нагрев на fа — коэффициент ли¬ нейного расшире¬ нияЗначения моментов те же, что при горизонтальном сме¬ щении опоры С на 1, но с обратными знаками (см. эпю¬ ры М)При горизонтальном ригеле 6Eiii2kMb=—rr(l* + h*) at; hi3 EixMa=~-T(2l*-i1kl* + hi+ i2kh2) at;3Ei2MC = —* (2*.++ iikl2 — i2kh2)at.При наклонном ригеле6 EiLi2kMb = —гг (s2 + *aW; hi3 EiiMa = 	1 (2s2 —a hi—	iiks% + i2kh2)cii;3Ei2Mc = —\2h* + fll+ iiks2 — i2kh2) at
8.3. РАМЫ457Т а б л и ц а 8.3.38.3.3.	Моменты в Т-образной раме с шарнирно опертым ригелем и защемленной стойкой1Г''тувЗц1• _ Л . . _ h . . _ Is . ^	h	1г	/2	ii -f- 0,75(/2 “Ь гз)
8.3. РАМЫ4598.3.4.	Моменты в Т-образной раме с защемленными ригелем и стойкойT а 6 л и ц а 8.3.4Г''1h |С7 *у, 3/1=ТLА77А/i/, ■
460РАЗДЕЛ 8. ТАВЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ
8.3. РАМЫ461Продолжение табл. 8.3.4Таблица 8.3.5
462 =РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.3.6
8.3. РАМЫ8.3.6.	Моменты и реакции П-образной рамы=_ 463Таблица 8.3.6
464РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.3.6
8 3. РАМЫ465Таблица 8.3.78.3.7. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным шарнирно опертым ригелем и ступенчатой защемленной стойкойВсе коэффициенты k с индексами (ka , kb , ka , kb, kal, др.) принимать по табл. 8.3.16.Схема нагрузки и эпюра МОпорные моментыСхема нагрузки и эпюра МОпорные моменты«тшпиинйпттаi^kka pi% Ма= kb ’ 8ЧРМь = fykbSPh-,Ма = (^дз “Ь 1 ikkakbz) Ph‘ФИд7?"а'р-а + ЬHq.р, Pab(l + b) Mb-hk- ■ w ;i°! k ka Pab (I +b) Ma~ kb 2/2Mb =Mb , /Иа —моменты защем¬ ления стойки по табл 8.3.15ППШГШШППГГШШР |паMb = <2 kkfoph*-,Ma = (*es + hkkakb2 )ph‘‘ппаМЬ ==(^д4 afcbi) ^Трм.Mb = QkM'b;Ma= Ч + ')МЛ;A^, —моменты защем¬ ления стойки по табл. 8.3.15Поворот№^ \опоры А на <р=1 '№М<2МЬ = £/, ;мв=е^30 Зак. 2098
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПример. Для рамы, изображенной на рисунке, определить моменты от заданных нагрузок.£«оНSm 5т h51 l~*-тг-°-а^ = *~ ="ГГ!=0,4; « = А= 0.5.'й 10 ltПо табл. 8.3.16 находим Ьа = 1,407; kt, = 2,215: = 2,215*0,2 ==0,443; i® = 3*2 — 3-0,4- 1 2; 1 1£=-= 0,51.Продолжение табл. 8.3.7От нагрузки на ригель. Заменяем два сосредоточенных груза эквивалентной равномерно распределенной на¬ грузкой (табл. 8.1.7),8 Р 8-5 ^=ТТ=345=0'89,лМ:л Ы*	0,89-15»Мь ~~ =“ 0,443-0,61 —		= 6,77 тм;о	8hkk* pl» ka „ 1.407	ТГ'~Г = Т>Мь=	'От нагрузки на стойку. По табл. 8.3.16 находим kgj = 0,093; **3=. 0,072;Ма = (kai + hkkaki,i) ph* =-= ГО.093 4-0,2-0,61-1.407 • 0,072)0,6- 10J = 6.30 тм;ЧMb=^kkbipf!*= 1,2.0,61.0.072.0,6.10» =3,16 тм.Эпюры М имеют вид, изображенный на схемах в таб* лице.Т а б л и а а 8.3.18.3.8 Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным защемленным ригелем и ступенчатой защемленной стойкойh ’/9 = — — при горизонтальном ригеле;—	при наклонном ригеле;Все коэффициенты k с индексами (ka, kb, k^t к$2и др.) принимать по табл. 8.3.16.Схема нагрузки и воюра МОпорные моментыСхема нагрузки иэпюра МОпорные моментыПТТТ11П И l/^Tl Л ГГ»Jh"МЬ= 1*У~Ме = (1 4- 0,5(2^ ) — ;l\kka pl*ма = •	л kb 12Р—О* 1 - - ь■т”сл Р<*Ьг Мь - Рхк ^ ;Мс - (0,5 %kb+a)?{kka РаЬа ** • 1-
8.3. РАМЫ	^Продолжение табл. 8.3.8Схема нагрузки и эпюра МОпорные моментыСхема нагрузки и эпюра МОпорные моменты\РФ‘ТПМь = §kkl)tph2;Мс = 0.5 i%kkh2ph\ Ма =(fta2 + 1 ,kkakbv) phа\| пTiп%Мь = %км'„;Мс= 0,5 i%kMb\Ма= M'a-iJkM'tМь, Ма — моменты защем¬ ления стойки по табл. 8.3.15Мь = *2kkb4t ЦМс = 0,5 «2***4L'<Met ==s ^1 kkftkbi) I"МЬ = fytM'tмс*= 0,5 P2kMb\Ма = Ма + i^kk ^Мь\Мъ, Ма— моменты защем¬ ления стойки по табл. 8.3.15.ЙФк "с ттПоворот"ьj%опоры С на <р=1 ^ *уТг ►?Mb = 2£/°/2*;= ^^2 (4	 ) JMa = 2Ei%kkaцр4ПсfLMb = fykk^Ph-,Мс = 0,5 %kkb3Ph; Ма = (&дз + *1**а*6з) PhПоворотцопоры Л на (р=1^SSa^c§MfЩ,'Мь —Eix Qkkfr Mc=*0,bEix t\kkb\ Ma = Ei\ ( ka30*
468РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМТ а б л и ц а 8.3.98.3.9.	Моменты в Т-образной раме с шарнирно опертым ригелем и ступенчатой защемленной д	стойкой'ifiitчLIЛ_.h ’U~птЦлЙk =*1 "Ь г2 "Ь *3Все коэффициенты k с индексами (kb , ka ka kb , kbl и др.) принимать по табл. 8.3.16.
8.3. РАМЫ469
470РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМТ а б л и ц а 8.3.108.3.10.	Моменты в Т-образной раме с защемленным ригелем и ступенчатой защемленной стойкойi, 'а / ^1 4 ~ЗггСгЯГll~ h ; ‘2“ l, ’*1 = ^ b *1 > *2 = 4*2 ; *3 = 4fg;k = -*■? + *2 + *aВсе коэффициенты k с индексами {ka,kb, ka,kb, kb} и др.) принимать по табл. 8.3.16.Схема вагр\ аки и эпюра М | М^и | А>'тM I M J r 1 dMaшЛншгпгст4^леёЬг "4pl l 3 12«*1Г2(l+0.5.»t)^«*£3 24l\k>*a pi 1 kb 12. %пр I*1с Я\Wlufiinnr^rai4pl\«‘-Ц0-‘3*)^T'1* 12«42 24pl\(1+0,5*3^ )—г<?^а Pl\ kb 12\га^гЬ •"А 1 ,J \ijj^'Нл<евhMcm -0 -bff3 <Sfl, Pa*b hk 2 4(0,5i2^a +Pab+ b>ir4**T2 llpA/2hfl -+*- £ -J”c ^4 ^ dkMa4(f р,лРаЬг(1—*3fe) 2 '2Pab2 1 l2нРаЪ-*2* 924(0 5i^kb +Pab +a) —~ liЯаб2** 4
8.3. РАМЫ471Продолжение табл. ft.3.10
472РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.3.10Схема нагрузки и эпюра Ai■ #л евМь<РЛ*СТMbMcMdaПоворот опоры £> на ср=12Eis(l-P3k)2E i3 г?<-Ei,QkEiz{4-P3k)2EisfixkkaппSfV1:kbПоворот опоры А на <р=1М „лей п?р ПС Мк v frfr^-		i|iii" niiiitllffrTh 11'Г\ ^ ' л=?Ч \ И£/j i°2kkb0—-i?*)0,5£ij г®***0,5 Ei^ fyikbEh (ka- ijkkakfr)Таблица 8.3.118,3.11.	Простые симметричные рамы. Вспомогательные формулы к 5.6.6.Схема рамыа) Характеристики гибкости рамы, увеличенные в Е1С разЛоманый ригель Угf* = 2 s'; fУо =2 ’s' = s — IsФ-у.-ЛФ-i»'/;Пологий параболический ригель J/ = -cosa1Уо- з /;/-= l А h/ф = — /• /2-*	45 7 ’/*,= — /’ /®-*	15/Ф. = — /' А V 5 ’ /*= — /’ /2 у 12
8.3. РАМЫ473Продолжение табл. 8.3.11Схема рамыа) Характеристики гибкости рамы, увеличенные в Е1С разУоЛв/гФ= /' +2 А'; А'АУъ-рф •1сА' = А-i$ = Yh' ь2’Л ГР h'l» ^ 12 2ГЯ•С1_л«V'Jf^ = /'+2(Лв + Л1;);Лн (й + Ав) +Лв ЛвУо =/7фл„ = Ант-; K-hb-f— з Лв Лв + Л„ ( Л2 +ЛЛН + А2);/Ф=/Ф _^Фу2;/ф, = /Ф + F* (А2 — 2 Лу0);/'/2 1К+О ^2/•Ф = rf' + 2 s';s'hУо =/7фI* = l%-F*y20;1% = /*. + rf Л2;/*s=i?+T(/2+w+d2)рФ = 2(Ь' + s'); А'А — s'/>\> =рФП—Y (^/2 + Л'Л2);/Ф = /Ф _^фу2;/Ф,=/Ф +F*(A2_2/%);/ф=^1 ,У 6 2F* = 2(s' + s;);'A— s|y^о = -/7ф/фJy'f- = f (*/* + »' л2);уЬ1% =1% + F*( А2-2Ау0);у (/2 + //, + Ф
474РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.3.11
8.3. РАМЫ		475		Продолжение табл. 8. 3. Ив)	Эпюры М° и фиктивные нагрузки левой ступенчатой стойки, увеличенные в Е1С разV////.	и ////'	0 /ss""‘-s' е=%/у вгеЛг gpjiУ у1Таблица 8.3. 128.3.12.	Моменты и реакции ступенчатой стойки, защемленной на одном конце и шарнирно опертой на другом конце/	Xs \ Л3Схема нагрузки и эпюра ММоменты и р; спорыСхема нагрузки и эпюра ММоменты и распоры1 f\лЛ.Значения Нь при разных X и п см табл 8.3.14жОо п«22/ '4 \ Ph*1—г$?СЭ \р YЗначения Hf, при раз¬ ных / и п см та^л. 8 3 1 *ге-т>Ма= Я(1 — £) —S?P 1 h ;022Son-r-\O22№8,s=(1_f2)(9+?)Ы
476РАЗДЕЛ 8 ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМПродолжение табл. 8.3.12
8.3. РАМЫ477Продолжение табл. 8.3.12Схема нагрузки и эпюра ММоменты и распорыЗначения Нь при ра см.табл. 8.3.14b«ЬГЗНЫХ X И пе_и Ь*р 22Ь2Р = |^2(1-Х) + (1-Х2)(2Х-3£) + (Х~£)!!(^Х + £)Таблица 8.3.138.3.13.	Коэффициенты k0 для определения в ступенчатых стойках: а—перемещения верха защемленной внизу стойки от силы Х=1; б— реакции Нь в случае стойки, защемленной внизу и шарнирно опертой наверху, от взаимного горизонтального смещения опор на А = 1; в — реакции Нь от поворота нижнего сечения на угол ср = 1а)	Ьи =№koEluб)	НЬ =И?при горизонтальном смещении -верх¬ ней опоры; k0ElH Нь = —~— при горизонтальном смещении нижнеи опоры;Л3в) Нъ =koEI н h2\ лЗначения коэффициента k0X0,050,100,200,300,400,500,600,700,800,901,000,102,9442,9732,9882,9932,9962,9972,9982,9992,9993,0003,0000,152,8192,9122,9602,9772,9852,9902,9932,9962,9972,9993.0000,202,6042,7992,9072,9452,9642,9762,9842,9902,9942,9973,0000,252,3132,6302,8242,8942,9312,9542,9692,9802,9882,9953,0000,301,9832,4142,7082,823■ f i2,8832,921. 2,9472,9632,9802,9913,-юоо0,401,3541,9042,3892,6102,7312,8202,8782,9202,9532,9793,0000,500,8891,4122,0002,3232,5262,6672,7692,8472.90Э2,9593,000
478РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМТаблица 8.3.148.3.14.	Ступенчатая стойка с защемленным нижним и шарнирно опертым верхним концом&Ось/\ Верхней части стойки _вР НК| _ \Р ъ j*СОсь нижней ^ части стойкиа)	Реакции Нь от действия момента Мв = Рава(ъX=*!L I я	hгде kx — коэффициент klt соответствующий значению а= 1,0hBЗначения коэффициента kx0,05О.Ю0,200,300,40^.so0,600,700.800,901,000,100,150,200,250,300,400,501,7522,0122,2922,5302,6872,7352,5561,6201,7411,э032,0552,1842,3222,2941,5541,6131.6861,7651,8411,9592,0001,5311,5661,6101,6581.7071,7751,8391,5201,5431,5711,6031,6361,6971,7371,5131,5291,5481.5691,5921,6351.6671,50ь# 1.519 1,532 1,546 1,562 1,592 1,6151,5061,5121,5211,5301,5391,5701,5761,5031,5071,5121,5201,5231,5351,5451.5021.503 1,5051.503 1,510 1,516 1,5211.5001.5001.5001.5001.5001.5001.5000,2/10,100,150,200,250,300,400,501,7401,9852,2502,4722,6152.6481,6141,7371,8812,0382,1412,2612,2241,551 1,607 1,674 1 747 1.817 1,920 1,9501,5291,5621,6021,6461,6911,7651,8001,5191,5391.5651,5941,6231,6751,7051,5121,5241,5431,5621,5821,6171.6401,5081,5171,5281,5401,5531,5771,5921,5051,5101.5171,5251,5311.5481,5561,5031,5061,5091,5131,5171.5241,5271,5001.5021.5031.5041.5051.505 1,5041.4991.499 1,498 1,496 1,495 1,490 1,4850.4Л„0,100.150,200,250,300,400,501,6951,9112,1252,2992,4012.4332,2001,5971,6981,8131,9231,9702,0802,0591,5421.5871,6401,6941.7441,8061.8001,5231,5491,5791,6101,6401,6811,6841,5141,5291.5471.5661,5841,6101,6111,5081,5181,5291,5401,5501,5631,5661,5051,5101,5161.522 1,527 1,5311.5231,5021.5071.507 1.50J1.5081.508 1,4951.5001.5001.500 1,499 1,497 1,488 1,4731,4991.4971,4951,4911,4871,4741,4551,4981,4951,4901,4851,4791,4621,4400.6ЛП0,100,150,200,250,300,400,501,6461,7841,9172,0102,0441.S551,7561,5671.6331.7021,7671,7931,7741,6591,5271.5531,5811,6061.С221,6151,5501,5131,5261,5391,5501,5931,5421,4901,5071,5121.518 1,5211.519 1,500 1,4531.5031.5041.505 1.503 1,497 1,473 1.4271,5001,4991,4961,4911.4Я21,4541,4081,498 1,495 1 490 1,482 1.470 1,440 1,3931,4971,4921,4861,4761,4631,4291,3821,4951,4901,4811,4701,4571,4211,3731,4951,4881,4781,4661,4511,4141,3650.8h0,100,150,200.250,300,400,501,5631,6071,6251,6061,5451,3481.1331,5251,5411,5451,5291.4811,3481.1651.5061.507 1,500 1,481 1,451 1,347 1,2001,5001,4951,4841,4651,4371,3471,2191.4951.4891,4761,4571,4291,3471,2321,4941,4351,4711,4511,4241,3461,2401,4931,4831,4681,4471,4201,3471,2461,4921,4821,4661,4451,4171,3501,2511,4911,4801,4641,4431,4161,3461,2551,4911,4791,4631,4411,4151,3461,2581,4901,4781,4621,4401,4141,3111,2601.0Л0,100,150.200,250,300,400,501,467 1,378 1.250 1.084 .0 S02 0,569 0.3331,4721,4231,3431,2331,0980,7990.5291,4791,4471.3951,3241,2321,0030,7501,4821,4551,4141,357\,т1,«Ю60,8711,4831,4591,4231,3/41,3121.1500,9471,4841,4611,4291,3851,3291,1841,0001,4841,4631,4321,3921,3411,2081,0381,4841,4641,4351,3971,3481,2261,0681,4851,4651,4371,4011,3561,2411,0911,4851,4661,4391,4041,3611,2511.1101,4851,4661,4401,4061,3651,2601,125
8.3. РАМЫб) Реакции Но от действия момента Мн=/)а1			— 479Продолжение табл. 8.3.14аЗначения коэффициента kt0,050,100,200,300,400,500.600,700.800,901.000,100.4820,4870,48*0,4900,4910,4910,4910,4910,4910,4910,4910,150,4390,4530,4600,4630,4640,4650,4660,4660,4660,46/0.4670,200,3830,4120,4280,4340,4360,4330,4390,4400,4410,4410,442°.2АЖ0,250,3210,3650,3920,4020,4070,4100,4120,4140,4150,4160.4160,300,2580,3140,3530,3670,3750,3800,3840.3860,3880,3890,3910,400,1530,2150,2690,294’0,3090,3180,3250,3290.3330,3360,3380,50«0,0840,1340,1900,2210 2400.2530.2630.2710.2760,2810.2850,100,8690,8780,8820,8840,8840,8850,8850,8850,8850.88S0,8860,150,7960,8220,8350,8400,8420,8440,8450,8450,8460,8460,8470,200,7000,7520,7810,7920,7970,8000,8020,8040,8050,8060,8060.4Лв0,250,5800,6710,7200,7380,7480,7530,7570,7600,7620,7640,7650,300,4760,5810,6520,6800,6940,7030.7100,7130,7180,7200,7220,400,2860,4020,5040,5510,5780,5960,6080,6170,6240.6290,6340 500,1600,2540,3600,4160,4550.4800.4980,5130.5240,5330,5400.101,1601,1721,1781,1801,1811 1811,1821,1821.1821,1821,1830,151,0711,1061,1251,1311,1341,1361,1371,1381,1»1,1391,1400,200,941.1,0121,0511,0651,0721.0761,0791,0811,0821,0831,0840,6\|0,250,8070,9171,9851,0091,0221,0301,0351,0391,0421,0441,0460,300,6580,8010,8980,9360,9570,9690,9780.&830,9890,9920,9950,400,4000 5620,7050,7710,8320,8320,8490,8620,8720,8/90,8860.500,2270 3600,5100,5920.6440,6800,7060.7260,7420,75т0,7650,101,3571,3701,37/1,3751,3801,3811,3811,3821.3821,3821,3820.151,2651,30/1,3281,3361,3401,3421,3431,3441.3451,3451,3460,201,1331,2181,2651,2821,2901,2951,2991,3011.3031,3041,30э0.8Л*0,250,9721.1051,1861,2251,2311,2411,2471,2521.2551,2581,2600,300,8000,973 •1,0^21,1381,1631,1781,1881,1951,2011,2051,2100,400,4940,6940,8710,9520,9991.0291,0501,0651,0771,0871,0940.500,2490,3950,5600,6500,7070.7470,7750,7970,8150,8290.8400,101,4671,4721,4791,4821,4831,4841,4841.4841,4851,4851,4850,151.3781,4231,4471,4551,4591,4611,4631,4641,4651,4661,4660,201,2501,3431,3951,4141,4231,4291,4321,4351,4371,4391,4401.0ЛМ0,251,0841,2331,3241,3571,3741,3851,3921,3971,4011,4041,4060,300,9021,0981,2321,Щ1,3121,3291,3411,3481,3561,3611,365^0,40 ‘0,5690,7991,0031,0961,1501,1841,2091,2261,2401,2511,260*0.500,3330,5290,7500,8710,9471,0001.0381.0681,0911.1101,125
480РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.3.14в)	Реакции Нь от действия горизонтальной силы Рап = ; X в —; Нь = kzРи.Ун	hЗначения коэффициента А3аЧ п X0,050,100,200,300,400,500,600,700,800,901,000,100,9650,9680,9690,969С,9700,9700,9700,9700,9700,9700,970. 0,150,9400,9480,9520,9530,9540,9540,9540,9550,9550,9550,9550,200,9080.9240,9330,9360,9370,9380,9390,9390,9400,9400,9400.20,250,8740,8970,9120,9170,9200,9220,9230,9240,9240,9250,9250,300,8390,8690,8900,8970,9020,9050,9060,9070,9090,9100,9100,400,7810,8140,8440,8570,8650,8690,8730,8750,8770,8790,8800,500,7450,7710,8000,8170,8270,8340,8390,8430,8460,848*0,8510,100,9310,9360,9380,9390,9390,9400,9400,9400,9400,9400,9400,150,8810,8960,9040,9060,9080,9090,9090,9090,9100,9100,9100,200,8210,8480,8660,8720,8750,8770,8780,8790,8790,8800,8800.4ЛВ0,250,7540,7990,8350,8360,8410,8440,8460,8480,8490,8500,8510,300,6880,7440,7830,7980,8060,8110,8140,8160,8180,8200,8210,400,5750,6410,6940,7190,7330,7420,7480,7530,7570,7600,7620,500,5110,5590,6130,6340,6610,6740,6830,6900,6960,700• 0,7040,100,8970,9040,9070,9090,9090,9090,9100,9100,9100,9100,9100,150,8260,8460,8570,8600,8620,8630,8640,8640,8650,8650,8650,200,7400,7800,8020,8100,8140,8160,8180,8190,8200,8200,8210.6лв0,250,6470,7070,7430,7570,7640,7680,7710,7730,7750,7760,7770,300,5560,6310,6820,7020,7130,7190,7240,7260,7290,7310,7330,400,4070,4830,5580,5900,609'.0,6210,6290,6350,6400,6440,6470,500,3150,3760,4460,4840,5080,5250,5360,5450.5530,5590,5640,100,8650,8730,8770,8780,8790,8790,8800,8800,8800,8800.8800,150,7750,8010,8110,8150,8170,8180,8180,8200,8200,8210,8210,200,6690,7150,7400,7490,7540,7570,7580,7600,7610,7610,7620.8ЛВ0,250,5570,6250,6660,6820,6890,6940,6970,7000,7020,7030,7040,300,4480,5330,5900,6130,6240,6320,6370,6400,6430,6450,6470,400,2750,3620,4390/4760,4950,5080,5170,5240,5290,5330,5360,500,1700,2350,3080,3510,3730,3910,4030,4130,4210,4270,4320,100,8350,8430,8470,8490,8490,8500,8500,8500,8500,8500,8510,150,7300,7550,7670,7710,7730,7740,7750,7760,7760.7770,7770,200,6110,6570,6820,6910,6960,6980,7000,7020,7030,7030,7041.0А„0,250,4890,5560,5970,6120,6190,6240,6270,6300,6320,6330,6340,300,3720,4530,5090,5300,5420,5490,5540,5570,5600,5520,5640,400,1950,2740,3440,3760,3940,4060,4140,4210,4250,4290,4320,500,0930,1470,2080,2420,2630,2780,2870,2970,3030,3080,313
8.3. РАМЫ	 481Продолжение табл. 8.3.14г) Реакции Нь от действия горизонтальной силы Ра'1Значения коэффициентаЧ п\0,050,100,200,300,400,500,600,700,800,901,000,100,0450,0450,046,0,0460,0460,0460,0460,0460,0460,0460,0460,150,0380,0400,0400,0410,0410,0410,0410,0410,0410,0410,0410,200,0340,0370,0380,0380,0390,0390,0390,0390,0390,0390,0390.2 hg0,250,0250,0280,0300,0310,0310,0320,0320,0320,0320,0320,0320,300,0190,0230,0250,0260,0270,0280,0280,0280,0280,0280,0280,400,0090,0130,0170,0180,0190,0200,0200,0200,0200,0210,0210,50*0,0040,0070,0100,0110,0120,0130,0130,0140,0140,0140,0150,100,1680,1700,1700,1710,1710,1710,1710,1710,1710,1710,1710,150,1450,1490,1520,1530,1530,1530,1540,1540,1540,1540,1540,200,1190,1280,1330,1350,1350,1360,1360,1370,1370,1370,1370.4ftH0,250,0940,1070,1150,1180,1190,1200,1200,1210,1210,1220,1220,300,0700,0830,0960,1000,1020,1040,1050,1050,1060,1060,1070,400,0360,0500,0630,0590,0730,0750,0760,0770,0-780,0790,0790,500,0150,0230,0330,0380,0410,0440,0450,0470,0480,0480,0490,100,3520,3550,3570,3580,3580,3580,3580,3590,3590,3590,3590,150,3040,3140,3200,3210,3220,3230,3230,3230,3240,3240,3240,200,2470,2650,2750,2790,2810,2820,2830,2830,2840,2840,2840,6ftH0,250,1990,2270,2430,2500,2530,2550,2560,2570,2580,2580,2590,300,1500,1830,2050,2140,2190,2210,2230,2250,2260,2270,2270,400,0770,1090,1360,1490,1560,1610,1640,1670,1690,1700,1710,500,0360,0570,0810,0940,1020,1080,1110,1150,1180,1200,1220,100,5800,5860,5890,5900,5900,5900,5910,5910,5910,5910,5910,150,5040,5210,5290,5320,5340,5350,5350,5360,5360,5360,5360,200,4200,4510,4680,4740,4780,4790,4810,4820,4820,4830,4830,8ftH0,250,3350,3800,4080,4180,4240,4270,4290,4310,4320,4330,4340,300,2530,3080,3450,3600,3680,3730,3760,3780,3800,3810,3830,400,1310,1840,2310,2530,2650,2730,2780,2830,2860,2880,2900,500,0620,0980,1390,1610,1750,1850,1920,1970,2020,2050,2080,100,8350,8430,8470,8490,8490,8500,850 •0,8500,8500,8500,8510,150,7300,7550,7670,7710,7730,7740,7750,7760,7760,7770,7771.0ftH0,200,6110,6570,6820,6910,6960,6980,7000,7020,7030,7030,7040,250,4890,5560,5970,6120,6190,6240,6270,6300,6320,6330,6340,300,3720,4530,5090,5300,5420,549. 0,5540,5570,5600,5620,5640,400,1950,2740,3440,3760,3940,4060,4140,4210,4250,4290,4320,500,0930,1470,2080,2420,2630,2780,2870,2970,3030,3080,31331 Зак. 2098
482РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМПродолжение табл. 8.3.14 д) Реакции Нь от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки рвчсIТ*ТгJJ//////7///« = Т-;	Hb = hpBh.•я	ь.аЗначения коэффициента kb\ яX0,050,100,200,300,400,500,600,700,800,901,000,100,01980,01980,01970,01970,01970,01970,01970,01970,01970,01970,01970,150,03000,02970,02960,02960,02940,02940,02940,02930,02930,0293• 0,02930,200,04090,03980,03930,03910,03^0,03890,03890,03890,03880,03880,03880,2 ftfl0,250,05260,05050,04930,04880,04860,04840,04830,04820,04820,04820,04810,300,06530,06210,05970,05910,05820,05790,05770,05750,05750,05740,05730,400,09260,08600,08010,07730,07590,07490,07420,07390,07330,07300,07270,500,12340,15570,10710,10240,09960,09740,09590,09470,09420,09260,09250,100,03870,03870,03880,03880,03880,03880,03880,03880,03830,03880,03880,150,05630,05710,05720,05720,05730,05730,05730,05730,05730,05730,05730,200,07130,07260,07260,07260,07260,07260,07270,07270,07270,07270,07270.4АВ0,250,08630,08950,09110,09160,09190,09210,09220,09230,09240,09250,09250,300,10560,10710,10820,10860,10880,10890,10900,10900,10910,10920,10920,400,13570,13740,13900,13920,14010,14030,14050,14090,14090,14090,14090,500,16610,16710,16820,16890,16930,16950,16970,17000,17000,17010,17020,100,05690,05710,05720,05720,05730,05730,05730,05730,05730,05730,05730,150,08730,08850,08910,08930,08940,08950,08950,08950,08950,08960,08960,200,10430,10670,10810,10850,10880,10890,10900,10910,10910,10920,10920.6ft„0,250,12330,12790,13030,13170,13220,13260,13270,13290,13300,13310,13320,300,13900,14650,15120,15300,15400,15460,15500,15510,15550,15560,15580,400,16990,17970,18870,19280,19530,19680,19790,19900,19930,19980,20020,500,19580,20520,21570,22140,22510,22760,22940,23080,23190,23280,23350,100,07220,07240,07260,07260,07260,07270,07270,07270,07270,07270,07270,150,10600,10760,10850,10880,10890,10900,10910,10910,10920,10920,10920,200,13210,13640,13880,13970,14010,14040,14050,14070,14080,14080,1409°.8АВ0,250,15260,16070,16570,16750,16840,16900,16940,16960,16990,17010,17020,300,17030,18290,19160,19500,19680,19790,19850,19900,19960,19990,20020,400,19250,20970,22510,23200,23620,23880,24060,24230,24300,24380,24450,500,21520,23200,25100,26140,26790,27250,27580,27830,28030,28140,28320,100,09150,09200,09230,09240,09240,09250,09250,09250,09250,09250,09260,150,12850,13090,13220,13260,13280,13290,13300,13310,13310,13320,13320,200,15760,16380,16720,16840,16910,16940,16970,16990,17000,17030,1703l,0ftB0,250,17450,18540,19210,19470,19590,19670,19730,19760,19790,19810,19830,300,19250,20980,22170,22630,22880,23030,23140,23190,23270,23310,23350,400,21010,23650,25600,26580,27150,27520,27770,28000,28110,28220,28320,500,22680,25000,27610,29030,29930,30550,31010,31360,31630,31840,3203
8.3. РАМЫ483Продолжение табл. 8.3.14 е) Реакции Нь от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки рнаЗначения коэффициента /гв\ пX0,050,100,200,300,400,500,600,700,800,901,000,100,00270,00280,00280,00280,00280,00280,00280,00280,00280,00280,00280,150,00230,00230,00240,00240,00240,00240,00240,00240,00240,00240,00240,200,00170,00180,00190,00190,00190,00190,00200,00200,00200,00200,0020°,2ЛН0,250,00120,00140,00150,00160,00160,00160,00160,00160,00160,00160,00160,300,00090,00110,00120,00120,00130,00130,00130,00130,00130,00130,00130,400,00040,00050,00070,00070,00080,00080,00080,00080,00080,00080,00080,500,00010,00020,00030,00030,00040,00040,00040,00050,00050,00050,00050,100,02080,02100,02110,02110,02120,02120,02120,02120,02120,02120,02120,150,01690,01740 01770,01780,01790,01790,01790,01790,01800,01800,01800,200,01310,01410,01460,01480,01490,01490,01500,01500,01500,01510,01510,4ftH0,250,00960,01090,01170,01200,01220,01230,01240,01240,01240,01250,01250,300,00670,00820,00920,00960,00980,00990,01000,01000,01010,01010,01020,400,00290,00410,00520,00560.00590,00610,00620,00530,00540,00650,00650,500,00110,00189,00250,00290,00320,00340,00350 00360,00370,00370,00380,100,06780,06850,05880,06890,06900,06900,06900,06910,06910,06910,06910,150,05440,05610,05700,05730,05750,05760,05760,05770,05770,05780,05780,200,04310,04540,04710,04780,04810,04830,04840,04850,04860,04870,04870.6АН0,250,03120,03550,03810,03900,03950,03970,04000,04020,04030,04040,04040,300,02190,02670,02990,03120,03190,03230,03260,03270,03290,03310,03320,400,0096: 0,01350,01690,01850,01940,02000,02040,02070,02090,02110,02120,500,00370,00590,00830,00970,01050,01110,01150,01190,01210,01230,01250,100,15000,15150,15220,15250,15260,15270,15270,15280,15280,15280,15230,150,12360,12660,12870,12950,12980,13000,13020,13030,13040,13050,13050,200,09560,10270,10670,10810,10880,10920,10950,10970,10990,11010,11010.8ftH0,250,07080,08050,08540,08830,08970,09040,09090,09120,09140,09160,09180,300,04990,06070,06820,07100,07260,07350,07420,07460,07500,07530,07550,400,02200,03090,03880,04240,04450,04580,04680,04740,04800,04840,04880,500,00850,01360,01920,02230,02420,02560,02660,02730,02790,02850,02880,100,28210,28000,28160,28180,28200,28210,28230,28240,28240,28250,28250,150,22820,23470,23860,23990,24060,24100,24130,24140,24160,24170,24180,200,17780,19100,19840,20100,20240,20320,20370,20410,20440,20460,20471.0*,0,250,13620,15490,16630,17040,17260,17390,17480,17550,17600,17630,17670,300,09350,11380,12770,13310,13600,13770,13900,13970,14050,14100,14150,400,04140,05630,07310,07990,08380,0863 *0,08800,08930,09040,09120,09180,500,01620,02570,03650,04230,04600,04860,05050,15190,05300,05390,054731*
484РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.3.14ас) Реакции Нь от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки по всей высоте стойкиvА4, f&П — ~Г~ ; х == — ; Нь — krjph. /н hЗначения коэффициента k70,100,200,300,400,500,600,700,800,901,000,100,200,300,400,500,37200,35480,32370,29230,27570,37360,36570,34930,32910,31250,3742 0,3694 0,3§М\ 0,3459 > 0,"33260,37440,37140,36490,35530,34540,37460,37260,36810,36140,35420,37470,37340,37040,36570,36040,37490,37400,37180,36930,36560,37490,37440,37330,37140,36930,3749 • 0,3748 0,3742 0,3733 0,37220,37500,37500,37500,37500,3750з) Реакции Нь от действия горизонтальной треугольной нагрузкиBjk. 'Ап =х =— ; Hb = &8РА.hаЗначения коэффициента ka\ пX0,050,100,200,300,400,500,600,700,800,901,000.2ftH0,100,150,200,250,30.0*40-0,500,00070,00060,00040,00030,00020,000100,00070,00060,00050,00040,00030,00010,00010,00070,00060,00050,00040,00030,00020,00010,00070,00060,00050,00040,00030,00020,00010,00070,00060,00050>00040,00030,00020,00010,00070,00060,00050,00040,00030,0002U*J0010,00070,00060,00050,00040,00030,00020,00010,00070,00060,00050,00040,00030,00020,00010,00070,00060,00050,00040,00030,00020,00010,00070,00060,00050,00040,00030,00020,00010,0007 0,0006 , 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,00010,100,150,200,250,300,400,500,00530,00430,00330,00240,00170,00070,00030,00540,00440,00360,00280,00210,00100,00050,00540,00450,00370,00300,00230,00130,00060,00540,00450,00380,00310,00240,00140,00070,00540,00450,00380,00310,00250,00150,00080,00540,00450,00380,00310,00250,00150,00080,00540,00450,00380,00310,00250,00160,00090,00540,00460,00380,00310,00260,00160,00090,00540,00460,00380,00320,00260,00160,00090,00540,00460,00380,00320,00260,00160,00090,00540,00460,00380,00320,00260,00160,00100.6ЛИ0,100,150,200,250,300,400,500,01720,01400,01090,00800,00550,00240,00090,01740,01450,01170,00910,00670,00340,00150,01750,01470,01210,00980,00760,00430,00210,01750,01480,01230,01000,00790,00470,00250,01750,01480,01240,01010,00810,00490,00210,01750,01480,01'240,01020,00820,00510,00280,01750,01490,01240,01030,00820,00520,00290,01730,01490,01250,01030,00830,00530,00300,01750,01490,01250,01030,00830,00530,00310,01760,01490,01250,01040,00840,00540,00310,01760,01490,01250,01040,00840,00540,0032
8.3. РАМЫ485Продолжение табл. 8.3.14Значениякоэффициента k9aNy n0,050,100,200,300,400,500,600,700,800,901,000,100,03910,03950,03970,03980,03980,03980,03980,03980,03980,03980,03980,150,03190.03290,03350,03370,03380,03380,03390,03390,03390,03390,03390,200,02480,02660,02770,02820,02820,02830,02840,0285 '0,02850,02850,02850,8 Л0,250,01830,02080,02230,02280,02310,02330,02340,02350,02360,02360,0237H0,300,01290,01570,01760,01830,01870,01900,01910,01920,01940,01940,01950,400,00560,00790,00990,01090,01140,01170,01230,01220,01230,01240,01250,500,00220,00350,00490,00570,00620,00650,00680,00700,00710,00720,00740,100,07730,07400,07440,07450,07460,07460,07470,07470,07470,07470,07470,150,05990,06180,06290,06320,06340,06350,06360,06360,06370,06370,06370,200,04670,05010,05210,05280,05310,05330,05350,05360,05370,05370,0537i.OAj0,250,03460,03930,04220,04320,04380,04410,04440,04450,04460,04470,04480,300,02440,02970,03330,03470,03540,03590,03620,03640,03660,03680.03690,400,01070,01510,01890,02070,02170,02330,02280,02310,02340,02360,02380,500,00410,00650,00920,01070,01160,01230,01270,01310,01340,01360,0138Таблица 8.3.158.3.15.	Моменты и реакции ступенчатой стойки с защемленными концамиВ ///[///. ) Эл'^ _ _^в_ . п _ /в t _ _1_	2_h	/„	птJhЩ77Гh		kh^ - Л, Ь2р kh3kn ka k\ft,=6(l+(xXS); ^ = 4(1+^); As=12 (1+,*X); k = “	L= (1+|A*)»+4|* (1—X)» .
486РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМПродолжение табл. 8.3.15Схема нагрузки и эпюра М№схемы1РhИМмЯт	ЩЩр '	гглшр© © 0х - х,~ h4Хг<Х+[x(X-Xi)2 X(‘-4)5Xl=X№Г	/Т[0-Х),( 11—X6хг>хPh2 2[<—(-^)]Р/г2Ph2т( i)aх7Xj<XLftLh [(1—X^-t-fi (X—Хх)]Х1=Х9Хг>ХLhТ <!-*■>(1—X)т 0-М)Lft(l—Хг)Примечание. Значение опорных моментов при действии нагрузок № 1, 2, 3, 5 и 8 для разных л и X см. табл. 8.3.16.Таблица 8.3.168.3.16.	Ступенчатая стойка с защемленными концами. Моменты защемления при различных п и А; а — от поворота верхнего сечения на угол ср =1; б — от поворота нижнего сечения на угол ср = 1; в — от взаимного смещения опорных сечений на А = 1; г — от равномерно распределенной нагрузки; д — от сосредоточенной силы; е—от внешнего момента
8.3. РАМЫ	г--- - 487Продолжение табл. 8.3.16Коэффи¬циентК.0,060,10,20,30,40,50,60.70.80,91.0а)От поворота верхнего сечения на угол <р=1Mb=kbttj56 itEIH Ska h0,10,6340,9831.6892,2242,6422,9793,2563.4883,6843.8534,0000,20.4220,6641,2161,7052,1402,5302.8823.2013,4913,7564,000**0,30,3780,5801,0551,4991,9132,3132.6873.0413,3773,6964,0000,40,3760.5С61.0061,4231,8252,2152,5932,9593,3163,6634,0000,50.3700.5641,0001.4051,7992,1822,5572,9273,2903,6484,0000.10.4490,6100,9351,1821,3751,5301,6571,7641,8551,9322,0000.20.4930.6000,8351,0401,2221,3861.5331,6661,7871,8982,0000,30,5830,6870,8871,0611,2201,3691,5101,6521,7681,8872,0000,40,6090.7490,9651,1281,2731,4071,5351,6581,7761,8902,0000.50,5510.7301,0001,1801,3251,4551,5741,6861,7941,8992,000б) От поворота нижнего сечения на угол <р= 1fMb=kbii5ЙзТ*a h0,10.4480.6080,9401,1841,3801,5361,6601,7681,8561,9362,0000,20,4930.6480,8361,0401,2241,3881,5321,6681,7881,9002,000к.0,30.5480.7000,8961,0721,2361,3881,5281,6681,7831,9082.000ь0.40.6080.7520,9641,0681,2721,4081,5351,6561,7731,8832,0000.50,5520,7921,0001,1801,3121,4561,5721,6681,7921,9002.0000,13,2723,3523,5123,6243,7163,7883,8443,8923,9363,9724,0000.23.2423,3803.4803,5803,6643,7363,8003,8563,9123,9604,000к0,3 .3.0073;2763,4923,6123,7003,7803,8353,9123,9483,9964,000а0,42.4782,8923,3123,4403,6243,7163,7883,8483,9043,9564,0000.51.8382,3523,0003,3123,4643,6403,7443,8123,8123,9484,000в) От взаимного смещения опорных сечений на Д== 1 Мь-*_ ^н kbl h,, .£/„Ma=kal-£-0,11,0831,5942,6243.4054,0174,5094,9135,2515,5395,7856,0000,20,9151,2642.0512.7453,362' 3,9164,4154,8675,2785,6556,000Ч0,30,9611.2681.9422.5603,1353.6824,1964,6835,1455,5836,0000.40,9851.3151.9712.5513,0983.6224,1284,6175.0915,5526,0000,50,9211.2952,0002.5833,1243,6334,1314,6135,0845,5466,0000,13,723,9624,4424,8035,0855,3125,4985,6555,7875,9016,0000.23,743,9404,3144,6134.8S55,1215,3325.5235,6965,8556,0000,33,583,9154,3414,иЗЗ4,8805,1015,3055,4955,6735,8416,0000.43,103,6424,2774,6324,8975,1215,3215,5065,6795,8436,0000.52,393,0874,0004,4924,8285,0915.3115.5065,6825,8456,000
488РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМПродолжение табл. 8.3.16Коэффи¬циентjN"0,060.10,20.30,40.50,60,70,80.91.0г) От равномерно распределенной нагрузки Мь=кьъ ph2; Ma=ka2 ph20,10,0280,0340,0460,0540,0610,0670,0710,0750,0780,0810,0830,20,0380,0420,0490,0550,0600,0650,0700,0740,0770,0800,083X0,30,0460,0500,0560,0600,0640,0680,0720,0750,0780,0810,0830.40,0470.0540.0610.0650,0690,0720,0740.0770,0790,0810,0830.50,0450,0530,0630,0680.0710,0740,0760,0780,0800,0820,0830,10,1100,1070,1010,0970.0940,0910,0890,0870,0860,0840,0830,20.1140,1080.1010,0970,0940,0920,0900,0880,0860,0B50,083ka.,0,30,1340,1170,1040,0980,0940.0920,0900.0880,0860,0850,0830.40.1590,1370,1130.1030,0970.0930,0900,0880,0860,0850,0830,50,1800.1560,1250,1110,1020.0970,0930,0900,0870,0850,083д) От сосредоточенной силы М.ь—кьъРН; Ма=-kc&Ph0,10,0510,0540.0600,0650,0690.0720,0740.0760,0780,0800,0810,20,0810,0840,0920,0990,1040,1090,1140.1180,1220,1250,128Ч0.30,0880,0960.1060,1140,1200,1250,1300,1350,1390,1430,1470.40,0740,0870.1030,1110,1180,1230,1280.1320,1360.1400,1440.50,0500.0640,0830,0940,1010,1060,1110,1150,1180.2120,1250,10,0280,0240,0200,0170,0150.0140,0120,0110,0100.0100.0090,20.0790,0670,0550,0490,0450.0420,0390,0370,0350,0340,032k„az0,30,1700,1330,1020,0900,0820.0770.0730,0700,0680,0650,0630,40,2620,2100,1580,1360,1240.1160,1100,1050,1020,0990,0960,50,3210,2700,2080,1800,1630.1520,1440,1370,1320,1280,125е) От внешнего моментаMb=kb4L; Ma=kaiL0.1—0.034—0,096—0,221—0,316—0,390—0.449—0.498—0,539—0,574—0,604—0.6300,20,1020,0750.011—0,046—0,098—0.145—0.188-0,225—0,259—0,291—0,32040,30,1730.1710,1450,1150,0850,0560,0290*002—0,023—0.047—0.0700.40,1880,2130,2240,2180,2060,1920,1780,1630,1490,1340,1200,50,1620,2030,2500,2670,2720,2730,2710,2670,2620,2560.2500.10,4420,4120,3570,3140.2800,2530,2300,2120,1960,1820,1700.20,4050.4110,4030,3850,3670.3490,3330,3180,3040,2920,28040.30.2250,3000,3540.3660.3660,3630,3570,3510,3440,3370,3300,4-0,0630.0800,2180,2690,2930,3060,3140,3180,3200,3200,3200,5-0,379—0,2080,0000,0950,1480,1820,2050,2210,2340,2430,250
3.3. РАМЫ489Таблица 8.3.178.3.17.	Расчет одноэтажных многопролетных рам с шарнирно опертыми ригелями и ступенчатыми защемленными стойкамиа)	Горизонтальная сосредоточенная нагрузкаКоэффициенты £5JI.Г'7»?, е—i-Р,?2	9——Л7* 9—7<*-V?—-I2	Г |/77';	Г/т	jffi rm	/тГ. 9—~рг',ГРг1тV231 41 50,250,5000,1670,1000,0710,500,5000,2500.1670,1260,750,5000,3000,2150,1671.000,5000,333б7г|о0,2001,500,?000,3740,3000,2502,000,5000,4000,3330,286Число стоек тЧисло стоек тV61 т |1 8 1i 9 11 100,250,0560.0490,0390,0350,0290,500,1000,0890,0710,0650,0560,750,1360,1250,1000,0900,0791,000,1670,1500,1250,1130,1001,500.2140.1950,1670,1530,1352,000,2500,2300,2000,1830,167Коэффициенты т)Характеристика стоекТ1т—\ЧетВысоты и моменты инерции всех стоек одинаковы1т1т1т1т1тВысоты всех стоек одинаковы; моменты инерции крайних стоек одинаковы, но не равны моментам инерции промежу¬ точных стоек£Значения 5 при Второй подстр(ЕVведены в таблице в )чный индекс при k6ыше; v= /н1*01,Jns kos 0 обозначает номерSгде k0 принимается стойки.iг по табл. 8.3.13.Высоты и моменты инерции всех стоек различны/ k 'hi “oi7Н2 *02!hs kosГп {т—1) k0{m—VТ k 7нт отВtВВ[1 *01 + /Н2 *02 +Вт komВ
490РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМПродолжение табл. £3.17б)	Горизонтальная равномерно распределенная нагрузка7V'J д(ГП~1)0-7 ЗетJ тт7?X 017 (т-1)я +(art)'У.7,Х01 и Хот — реакции верхних опор 1-й и т-й стоек в пред¬ положении несмещаемости опор.Величины Х01 и Х0т опре¬ деляются по табл. 8.3.14ж.КоэффициентыХарактеристика стоекДля нагрузки ргДля нагрузки рт41t г г42=4э= -" = \=-"г*“= 4/Я—14тп п в42=4з = '" = 7Js =•••= V-1)сВысоты и моменты инерциит—11111/77—1всех стоек одинаковыттттmmВысоты всех стоек одинаковы;сс/ промежуточных стоек оди¬1-£Ца£ч1-4наковы: / крайних стоек оди¬VVнаковы, но не равны I про¬Т ъмежуточных стоек£ принимается по табл.8.3.17а; v= -УН1 *01I kHS Н5где Л,, принимается по табл. 8.3.13Высоты и моменты инерции всех стоек различныi—m£—2В= /71—1S /.1=1ВВ ~ 7Н1 koi + 7н2 *02 +"‘ + 7нт kom; значения К принимаются по табл. 8.3.13
8. 3. РАМЫ491"77*«7»чжу,LJ"ZV/тПродолжение табл. 8.3.17в) Действие внешнего момента на стойку рамы Е3=сх=>	£\7-«ь	 	L	п/J7- I^02 *7("/л-rjК/77У/X 02 V П^02 — реакция верхней опоры загружен¬ ной стойки от действия момента в пред¬ положении несмещаемости опор.Величина Х02 определяется по табл. 8.3.14а, если момент приложен в преде¬ лах верхнего уступа, и по табл. 8.3.146,. если момент приложен в пределах ниж¬ ней части стойки.Коэффициенты (для случая загружения второй стойки)Характеристика стоектчг\2 (при действии момента на стойку)^3 = \=V-1Высоты и моменты инерции всех стоек одинаковы1mm — 1mm1mВысоты всех стоек одинаковы; I промежуточных стоек одинако¬ вы; / крайних стоек одинаковы, но не равны I промежуточных стоек£ принимается псV — £*) табл. 8.3.17а; v =HS kosV; k0 см. табл. 8.3.1e*3Высоты и моменты инерции всех стоек различныУ hi ^oiвi—mAd hi ^н2^021=1ВВ = /Н1 &01 + 4*2 ^2 +^HS &0SВ4-1 k * • * ■ rim K0m* Если внешний момент действует на стойку 1 (или т), то T)t (или т= 1— S, 7)2=7)3=t]^=T] m__j= —- i f\m (или т)1) = 5.
492РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМг)	ПримерыПример 1. Определить изгибающие моменты в стойках рамы, изображенной на рисунке.XVcjJ-1Ifit'2QПродолжение табл. 8.3.17 От равномерно распределенной нагрузки рат)1 = £ = 0,24; i)2 =1)3 = = 0,26; т)4 = 1 — S = 0,76;130*04 =620 —=473^2.Стойка 1. К вершине стойки приложены усилия Р\ - *01 ч! + *04 Ъ = 1200-0.24-—	620.0,76+473-0,24 = — 69 кг.Нагрузка:сосредоточенная нагрузка от действия ветра на фер«мы и фонари Р = 1 200 кг\активное давление ветра р\ = 170 кг(м\отсос ветра /?2=130 кг]м.Моменты инерции: подкрановой части наружных стоек40-6037Н1==г^н4 “ ^2 = 720 000 см*\надкрановой части наружных стоек 40-403= 213 000 см*\12средних стоек ^сечение постоянно по всей высоте) 40* бОз/2=/3 = — - -- = 720 000 см*.От сосредоточенного груза Р.По табл. 8.3.13 для крайних стоек3,20Хт = —— = °,31;10,20 УВ1 _ 213 000 = 720 000= 0,30; £01=2,80;для средних стоекЛ — 1; k$2 = 3.По табл. 8.3.17а720 ОСЮ-2,80= 0,933./К2£02 720 000.3При числе стоек 4 £ =0,240 (по интерполяции);.по,	5 0,2401)1=1)4=?=0,24; 1)г=ц, = — = —— = 0,26.v 0,933От равномерно распределенной нагрузки р\.По табл. 8.3. 17 б= 1—5=1—0,24=0,76; ъ = ^	= 0,26;■>14=5 = 0,24.По табл. 8.3.14 жX = 0,31; п = 0,30; k = 0,358;Хт =0,358-170.10.2 = 620 кг.Момент в месте заделки стойкиМа = — 69* 10,2+170.10,22*0,5=8 146 кгм.Стойки2иЗ. К вершине стоек приложены усилияР\ + *oi Ъ + Х04 ^2 = 1 200-0.26+620.0,26++ 473.0,26 = 596 кг.Момент в месте заделки стойкиМь = 596-10,2 = 6 08:) кгм.р?2 X'ortz х„якиJтп 6(C)Стойка 4.\ + Xoi Ъ “ *04 Ъ “ 1 200-0,24+620-0.24-—	473.0,76 -77 кг\Md = 77* 10,2+130.10,22.0,5 = 7 545 кгм.PU130
8.3. РАМЫ493Проверка. Сумма распоров должна быть равна сумме проекций всех внешних сил на горизонтальную ось.1200кг(7Qkz/mam6080130кг!*Продолжение табл. 8.3.17xei = k2^	= 1,265 = 1,86 т;h h 10,2k2 = 1,265 (по интерполяции).Стойка 1. Горизонтальная реакция верхней опоры (по табл. 8.3.17в):HY = Х01 т)! = 1,86 (1-£) = 1,86 (1—0,24) = 1,414 т. Эпюра М в стойке показана на рисунке.то75Ь5+Сумма распоровS1M	8 146+6 080+6 080+7 545н= h +ъ+я<=	—+ 170.1C ,2.0,5+130.10,2*0,5 = 4260 кг.Сумма горизонтальных проекций внешних сил £Р = 1200+ (170+130) 10,2 = 4260 кг.Пример 2. Определить изгибающие моменты в раме, приведенной в примере 1, от действия на стойку 1 внешнего момента М=\Ъ тм.ff2J5mnОпределяем X0i по табл. 8.3.146:X = 0,31; л = 0,30; а=1,0/гн;Стойки 2^=0,933 (см. пример 1);£	0,24Н2=Х01 —=1.86—— = 1,86.0,26=0,484 т; v	0,933Мъ =- 0,484-10,2 = 4,94 тм.Стойка 4.= Х01 5=1,86-0,24=0,446 т\Mtf=0,446.10,2=4 55 тм.Проверка. Сумма проекций всех сил на горизонталь¬ ную ось1,414 — 0 484.2 —0,446=0.Таблица 8.3.188.3.18.	Изгибающие моменты в одноэтажных многопролетных рамахПо таблицам определяются опорные моменты в двух-, трех- и четырехпролетных одноэтажных рамах с шарнирным описанием стоек от вертикальной и го¬ ризонтальной нагрузок. Рамы имеют равные пролеты с ригелями одинакового сечения и одинаковыми по¬ гонными жесткостями стоек.Для расчета подсчитываютсяжесткостей ригеляотношения погонных (*р= —) и стоики ( 1ст= ~)>я=— и в зависимости от схемы нагрузки определяют- iCTся по таблице коэффициенты k.Опорные моменты от вертикальной нагрузки для любой симметричной относительно загружаемого про¬ лета нагрузки определяют, пользуясь значением экви¬ валентной нагрузки рэк по табл. 8.1.7: М = + kp3Kl2, Пролетные моменты, поперечные силы и опорные реакции определяются, как в неразрезных балках, с учетом действительной нагрузки и найденных по данной таблице опорных моментов. От горизонталь¬ ной нагрузки М= + kph2t или М = + kPh.Моменты в стойках в местах их заделки в ригель определяются как разность опорных моментов в смеж¬ ных сечениях ригеля (с обеих сторон стоек). Попереч¬ ные силы в стойках постоянны и равны распору.С помощью таблиц может быть произведен расчет одноэтажных рам с защемленными стойками при верти¬ кальной нагрузке. В этом случае следует принимать погонную жесткость стойки:при упругом защемлении /ст = 1,16 —.hЗатем определяют по параметру п спорные момен¬ ты в ригелях в соответствии со схемой нагрузки, под¬ считывают моменты в стойках в местах их примыкания к ригелю и т. д. Моменты на концах стоек в месте заделки их в опоры определяют умножением момен¬ тов в стойках у ригелей на коэффициенты, равные: при полном защемлении на опоре —0,5, при упругом защемлении — 0,25.Точное решение получается при отсутствии смеще¬ ния ригеля рам, например при вертикальных нагрузках, симметричных относительно середины всего ригеля; при других условиях решение получается приближен¬ ным.Для расчета двухэтажных рам типа, показанного на рисунке, подсчитывают параметр п по формулет - cm 1 6■ £~7-bпри полном защемленииhпри этом для погонной жесткости стойки принимают: 1г33 —при полном защемлении и 1,16 /Ст — при упругом защемлении.Опорные моменты в / ригелях определяются, как указано выше.	/Определение моментдй в стойках см. пояснения к табл. 8.3.19.
494РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМл) Двухпролетные	Мы Мь2 ' Мсгг ! ^ аi ;11Г 2'/?«ъ ~ <■*>-—1 —-—7 1 	-чI\i 1р ,р=Т;JCThСхема нагрузки 1Схема нагрузки 2(Пунктиром обозначены растянутые волокна при положительном моменте)Схеманагрузки*Р п = “ *ст0,050,10,20,30,330,40,50.60.751Ма =Мс МЫ =МЬ20,07810,08600.07350,08820,06580,09210,05950,09530,05790,09610,05440,09780.05000,10000.04630,10190.04170.10422МаМЬ2Мс0.07880.08270,00330,00060,07470,08200,00620,00150.06760.08080,01130.00180,06180,07980,01560,00230,06030,07940,01670,00240,05700,07870,01910,00260,05280,07780,02220,00280,04920,07700,02490,00290,04470,07590,02830,00303МаМЬгMb2Мс0,1221 0,1221 0,1260 0,12990,11950,11940,12680,13430.11530,11490,12810,14170,11200,11130,12910,14770,11110,11030,12940,14880,10930,10810,12990,15270,10690,10560,13060,15690,10500,10330,13110,16060,10270,10040,13170,16524ма = -мс мы = - "м0,25400,24600,25760,24240,26390,23610,26920,23080,27070,22930,2733 0,22620,27780,22220,28130,21880,28570.2143/(Пунктиром обозначены растянутые волокна при положительном моменте)б)	ТрехпролетныеСхеманагрузки*РП = ~ *ст0,050,10,20,30,330,40,50,60,75а*II£0,07820,07380,06650,06070,05910,05570,05170,04820,04381afп0,08580,08780,09050,09250,09290,09380,09490,09560,0965МЪ2 =МС20,08340,08380,08420,08480,08510,08560,08620,08680,0877
8.3. РАМЫ495рамыПродолжение табл. 8.3.18Схема нагрузки 3Схема нагрузки 411,251.522,533,5456Множитель0,03570,03130,02780,02270,01920,01660,01470,01320,01090,00930,10710,10940,11110,11350,11540,11670,11760,11840,11950,12040,03870.03410,03060,02520,02150,01880,01570,01490,01240,0106.-Рэкр0,07440,07320,07220,07070,06960,06880,06810,06750,06670,06620,03270,03620,03890,04290,04580,04790,04950,05090,05280,05420,00300,00290,00280,00260,00230,00210,00190,00170,00150.0014+ Рэк1'0,09970,09750,09580,09340,09180,09050,08970,08910,08800,0872ph20,09670,09390,09170,08840,08610,08440,08310,08200,08050,0793—ph20,13240,13290,13330,13380,13410,13440,13450,13460,13480,1349ph20,17110,17570,17920,18440,18800,19060,19270,19430,19670.1984-ph»0,29170,29630,30000,30560,30950,31250,31480,31670,31940,3214Ph0,20830,20370,20000,19440,19050,18750,18520,18310,18060,1783PhрамыГСхема нагрузки 4Схема нагрузки 5Схема нагрузки 611,251.522,533,5456Множитель0,03810,03380,03030,02520,02150,01880,01*670,01500,01250,01070,09750,09810,09850,09900,09930,09950,09960,09960,09970,0998-p9*p0,08900,09000,09090,09230,09330,09410,09470,09520,09590,0965
496РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ВАЛОК, АРОК И РАМСхеманагрузки*Р п =а —;>ст0,050,10.20.J0,330.40,50,60,75ма~ма0,08050,07790,07280,06820,06690,06400,06030,05700,05262МЫ = М<30,08080,07870,07530,07270,07210,07070,06900,06750.0658=» Мсч0,00260,00490,00890,01210.01300,01490,01720,01930,0219Ma = Md0,00240,00410,00630.00760,00780,00830,00860,00880,00883$IIа?0,00500,00900,01520,01970,02080,02310,02590,02810,03072II01зГ0,08080,07870,07540,07270,07210,07070,06900,06750.065840,08710.09000.09450,09770,09860,10020,10210,10360,1053мн0,08470,08600,087*.0,09070,09130.09270,09430,09570,0976ма0,08010,07740.07290,06930.06830.06630,06380,06170.05890,08150,08010.07800,07650.07610,07540,07470,07410.07345мь*0,08270.08230,08180,08150,08150,08140.08110.08130,0814Мс20,08260.08190.08050.07920,07890,07800,07730,07610,0748МС0.08520,08660,08870.09010.09050,09120,09190,09250,0932М40,08780.09170,09820.10340,10470.10770,11120,11430.1181ма = - ма0.17190.17650.18420.19050,19210,19570,20000,20380,20836= ~Мсз0.16670,166/0,16670.16670,16670,16670,16670,16670,16670,16150,15690,14910,14290,14120,13770,13330,12960,1250в)	ЧетырехпролетныеМЫ МЬ2 МС2 мсз Md3 Md» Meр-\~г "X 3Г5”!ьIsк1 1•Л £ \1—1—1Г— 1 —!— 1 —	1nr-слt р = •лстh(Пунктиром обозначены растянутые волокна при положительном моменте)Схема нагрузки 1Схема нагрузки 2Схеманагрузки0,050.10.20,30,330,40.50,Ь0,75МЬ\■■ мdtАГ: Л*0,07820,08580.08350.08330.07380,08770,08390,08310.06640,09070,08490.08260,06050,09280,08600.08200,05890,09330,08640.081?0,05560.09430,08720.08140,05150,09560,08830,08090,04790,09660,08920,08040,04350,09780,09060,0797
8.3. РАМЫ	, ^497Продолжение табл. 8.3.1811,251.522,533,5456Множитель0,04660,06360,02540,04180,06190,02810,03790,06060,03030,03190,05870,03360,02750,05740,03590,02420,05650.03760,02160,05570,03900,01950,05510,04010,01630,05420,04170,01400,05360,0429-Рвк *0,00850,03390,06360,00800,03620,06190,00760,03790,06060,00670,04030,05870,00600,04190,05740,00540,04300,05550,00490,04390,05570,00450,04450,05510,00380,04550,05420,00330,04620,0536+ Рэк Р -Рэк* *0,10740,10010,10890,10200,10990,10360,11140,10580,11230,10750,11300,10860,11350,10950,11380,11030,11430,11130,11470,11210,05540,07270,08160,07320,09390,12320,05260,07230,08180,07180,09430,12700,05050,07190,08210,07070,09470,13010,04730,07160,08250,06910,09500,13450,04490,07130,08280,06780,09530,13770,04330,07120,08310,0о690,09540,14010,04190,07110,08330,06630,09550,14190,04090,07110,08350,06570,09550,14330,03930,07100,08380,06480,09560,14550,03810,07090,08400,0642Ь,09570,1471pH* — ph* pH1 — ph* р№ — ph30,21430,16670,11900,21880,16670,11460,22220,16670,11110,22730,16670.10610,23080,16670,10260,23330,16670,10000,23530,16670,09800,23680,16670,09650,23910,16670/09420,24070,16670,0926Ph -Ph PhрамыСхема нагрузки 4FTWСхема нагрузки 5Y Г Г VIСхема нагрузки 611,251.522,533,5456Множитель0,03770,09930,09250,07880,03320,10040,09400,07800.02980.10120,09520,07740,0246,0.10230,09720,07640,02100,10310,09850,07570,01830,10370,09960,07520,01630,10410,10040,07480,01460,10440,10110,07450,01210,10490,10210,07400,01030,10520,10280,0736~~рвк Р
498РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМСхеманагрузки*РЛ==Т"*ст0,050.10.20,30,330.40,50,60,75"а0,07970,07030.07030.06510,06370,06060.05670,06320.0488мЬх0.08170,08020,07760.07540.07490,07360,07210,07080.0692мъъ0.00180,00360.00700,01010,01090.01290,01540,01760.0205мсг0,00350.00630,01060.01390.01470.01630,01830.01990.02182мсг0.07980,07680.07190.06810.06710.06610,06260,06650.0579иЛ0,08170.08080,07790.07600.07540,07430,07290,07180,07010,00410.00760.01310.01730.01840.02070,02350.02580.0286ме0,00150.00260,00390.00460,00480.00500.00620.00630.0063МЬ10.08590.08810.09180,09470.09540,09700.09890,10060,10663мы0,08590.08810.09170,09450,09520.09670.09860,10030,10234мп = мсг0.08580,08770,09070,09280.09330.09430,0£5б0,09660,0978Ма0.05860.05530.04980.04540,04420,04170.03860.03600.0326мь,0,06070,05920.05700,05540,05510,05430.05330,05250.0516мы0.06260.06290.06370.06450,06480,06540.06620,06690.0679бМс*0,06260.06270.06310,06350.06360,06390.06430,06470.0652Мсз0.06240.06230,06190,06150.06140,06110,06070.06030.0598маз0.06240.06210,06130,06050.06020,05960.05880.05810.0571Md40,06430.06580,06800.06960.06990,07070.07170.0/250.0734ме0.06640.06970.07520.07930,08030,08330.08640.08900.0924 '1II50.12980,13400,14100,14650,14800.15110,15490,15810,16226МЬ\ - ~Md\0,12590,12660,12740,12790,12800.12820.12830,12840.1284мЪ2 = -маг0,12210,11950.11520,11160.11070.10870.10620,10410,1014МС ~~ МСЗ0,12220.11990.11650,11400,11330,11210,11060.10950.1081г)	ПримерыПример 1. Определить изгибающие моменты в раме, схема которой приведена на рисунке.По табл. 8.1.7 находим значения эквивалентной равномерно распределенной нагрузкиёж = g = 0,8 т/м;5 _ 3 Р 5 • 4,5 , 3 . 9,65 Р»«~ ЬР+ 2 ' / ” » + 2-9= 4,42 т/м.Определяем погонные жесткости ригеля и стоек:5t6	1b -S "7“ = 0,622; Fcr = — = 0,25;п = -0,622 1 0,25,2,5.Нагрузка:постоянная g=0,8 т/м; временная р=4,5 т/м; Р—9,65 т.По табл. 8.3.186 определяем опорные моменты. Подсчитаем величины:g9Kl2 - 0,8 • 9* - 64,8; р8К/а = 4,42 . 9* = 358.
8.3. РАМЫ						 499Продолжение табл. 8.3.1811,251.522,533,5156Множитель0,04270,06700,02450,02420,05460,06800,03230.00510,03800,06540,02760,02580,05220,06640,03500,00480,03430,06420,03020,02710,05030,06500,03700.00450,02860.06230,03400,02880,04760,06320,04000,00400,02450.06100,03680,02990,04580,06180,04210,00350,02140,06000,03890,03080,04450,05070,04370,00310,01910,05930,04050,03140,04340,05990,04480,00280,01710,05870.G4180,03190,04260,05930.04570,00260,01430,05780,04370,03260,04140,05830,04710,00220,01230,05720,04510.03310.04060.05760,04800,0019-РВ1СРР9К Р0,10520,10480,10710.10670,1086 0,10830,11080,11040,11230,11200,11340,11310,11420,11400,11490,11460,11580,11550,11650,1164-РэгР0.09930,10040,10120,10230,10310,10370,10410,10440,10490,1052 ,0.02830,02490,02230,01850,01570,01370,01220,01090,00910,0078ph*0,05050,04970,04910,04820,04770,04730,04690,04670,04630,0461— ph*0,06930,07050,07140,07290,07390,07470,07530,07580,07660,0771ph*0,06590,06650.06700,06770,06820,06860,06890,06920,06950,0698— ph*0.05910,05850,05800,05730,05680,05640,05610,05580,05550,0552ph*0,05570.05450,05350,05210,05110,05030,04970,04920,04840,0479—ph*0,07450,07530,07590,07670,07730,07770,07810,07830,07870,0789ph10,09670,10010,10270,10650,10930,11130,11280,11410,11590,1172— ph*j 0,16740,17130.17440,17890,18210,18440,18620,18760,18980,1913Ph0,12830,12810,12790,12760,12730,12700,12690,12670,12640,1263—Ph0.09780,09510,09300,08990,08770,08610,08480,08380,08230,0813Ph| 0.10650,10540,10470,10360,10290,10250,10210,10190,10150,1013— PhПодсчет опорных моментов от постоянной и временной нагрузокОпорныемоментыОт постоянной нагрузкиОт временной нагрузкиРасчетные опорные моменты (min) в тмсхема 1схема 2схема 3схема 4ма— 0,0215 • 64,8 = = —1.4— 0,0275 X X 358 =—9,85--—1,4—9,85=—11,25МЫ— 0,0993 • 64,8 = = — 6,44— 0,0574 • 358 = = —20,6— 0,0419 • 358 = = — 15,0— 0.1123 - 358 = = — 40,3_ б,44 — 40,3 = = —46.74МЫ— 0,0933 • 64,8 = = —6,05—0,0359 • 358 = = — 12,85—0,0574 • 358 = = —20.6—0,1075 • 358 = = — 38.5— 6,05 — 38,5 = = — 44,5532*
БООРАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМОпределение пролетных моментов производим для •аданных (а не эквивалентных) нагрузок* В пролете / (при схеме нагрузки 2);М,х = М°х + Ма^у- +Мь, -у;М« = —11,25 тм; М»,= — 6,44 — 20,6 = — 27,04 тм;Л=0,8-9-0,5+4,5-4,5-0.5+	—■■04~И-— = 16,8 т;/ 2 9 при * = —Qxt/2 = 16,8 — 0,8. 4,5-4,5 • 4,5. 0,5= 3,07 т;Qnin = _ 9,65 + 3,07 = —6,59 г.Afmax—в середине пролета (Q меняет знак),0,8-92 4,5-92 9,65-9 11,25+27,04™imax — о +816	4== 33,5 тм.(Значения моментов в простой балке см. табл. 8.1.3.)Таким же путем определяются М в пролете 2 (при схеме нагрузки 3).Продолжение табл. 8.3.18При схеме нагрузки 3:/И" = Mbt- Мы = — (6,05 + 20,6) — (—6,44 — 15,0)== —5,21 тм.Пример 2. Рама та же, что в примере 1, но с за¬ щемленными внизу стойками.1	33/р= 0,622; /„--j-- 0,333;п =	= 1,86./Ст 0,333Значения опорных моментовОпор¬ныемомен¬тыОт постоян¬ ной нагрузкиОт временной нагрузкиРасчетные'мтШ9™схема 1схема 2 1 схема 3 | схема 4Ма— 0.0266Х X 64,8 = = — 1.72— 0.0336Х X 358 = = — 12,03--— 13.75МЫ— 0.0989Х X 64,8 = ж — 6,40— 0.0592Х X 358 = = —21,20— 0.0396Х X 358 *: * — 14,18— 0.1110Х X 358 = = —39,74— 46,14МЫ— 0.0919Х Х64.8 = = —5,94— 0.0327Х X 358 == —11,71— 0,0592х X 358 = = —21,19— 0.1052Х X 858 *= = —37,66— 43,60б)Лк.Моменты в стойке Ва — при схеме нагрузки 2; б — при схеме нагрузки 3Моменты в верхушке крайних стоек будут те же, что на опоре примыкающих ригелей: MCJ = Ма =■ —11,25 тм.Моменты в средних стойках равны разности опор¬ ных моментов в смежных сечениях ригелей.При схеме нагрузки 2:	;М£= Мы — МЬ2 = (6,44 + 20,6)—(6,05 + 12,85)== 8,14 тм.Пример 3. Рама двухэтажная. Стойки нижнего эта¬ жа имеют упругое защемление, стойки верхнего этажа аакреплены шарнирно. Нагрузки и сечения элементов те же, что в раме примера 1.СС> -1 1 I ! 1 1 i 1 1 1 I 1 1 i 1 1Г71-fO’Lill J IJ- ■ Jip = 0,622; i*CT = = 0,29; — — — 0.25;1J640,6220,29+0.251,15.
8.3. РАМЫ50iПродолжение табл. 8.3.1*Опорные моменты в ригелеОпорныемоментыОт постоянной нагрузкиОт временной нагрузкиРасчетные Мтп\п в ™схема 1схема 2схема 3схема 4ма—0,0355 • 64,8 = = —2,30—0,0437 • 358 = = — 15,64--- 17.94МЪх .—0,0979 • 64,8 = = —6,54— 0,0626 • 358 = = — 22,41— 0,0353 • 358 = = — 12,64— 0,1083 • 358 = = —38,77— 45,11МЬг—0,0896 • 64,8 = = —5,81—0,270 • 358 = = —9.67— 0,0626 • 358 = = —22,41— 0,1016 • 358 = = —36,37— 42,18Моменты в стойках. В крайних стойках моментыопределяются по формулам (см. пояснения к табл. 8.3.19):МСТ Ма !’н+/17.940,29в	0,29+0,25В месте защемления стойки (внизу)— 9,63 тм.= к -±-*Н Т*о= — 17,940,250,29+0,25= —8,3\тм.Для определения моментов в средних стойках нахо¬ дим разность моментов в ригеле на опоре В при схем* нагрузки 2:Mbl = — 6,34 — 22,41 = — 28,75 тм ;Л4*2 = — 5,81 —9,67 = — 15,48 тм;АЛ1р = 28,75 — (—15,48) = — 13,27 тм\0,29- 13’27 0.29 + 0.25В месте защемления (внизу) 7,137,13 тм.М* *1Г1защ23,57 тм:М® =- 13,270,250,29 + 0,25« — 6,14 тм.Та блица 8.3.108.3.19. Изгибающие моменты в ригелях многоэтажных рам с равными пролетамиТаблицы составлены для приближенного расчета рам с одинаковыми пролетами и сечениями ригелей и со стой¬ ками одинаковой погонной жесткости в пределах каж¬ дого этажа.Таблицами можно пользоваться и для расчета рам с неравными пролетами или разными сечениями стоек, если размеры отдельных пролетов отличаются не более чем на 10%, а величины погонных жесткостей стоек одного этажа отличаются не более чем на 50%.i/Т779 wJ? /7*79 /7779Действительная схематг/7777 /7?77 /Т?7> г /7$7> <Расчетная схемаДля расчета по таблицам многоэтажная рама рас¬ членяется на одно-двухэтажные трехпролетные рамы, как показано на рисунке. Моменты в крайних проле¬ тах многопролетной рамы принимаются по моменту в первом пролете; моменты во всех средних пролетах принимаются одинаковыми и равными моментам среднего пролета трехпролетной рамы. Моменты в стойках многоэтажной рамы определяются суммирова¬ нием моментов в стоиках, полученных из расчета двух отдельных смежных pav.Для определения моментов подсчитывается пара¬ метру} =Ih+Jb hгде iH =/рh — ~ — п°гонные жесткости нижней и верхней сто¬ ек и ригеля;
502РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМU» — моменты инерции сечений верхней стой¬ ки, нижней стойки и ригеля; hb, hH, I — соответственно высоты верхней и ниж¬ ней стоек и длина пролета ригеля. Изгибающие моменты в ригеле трехпролетной ра¬ мы определяются по формуламM = klgl*+k2pl2; М= ktGl + k^Pl\k\, k2 — коэффициенты из таблиц, учитывающие наи¬ более невыгодное расположение временной нагрузки; g, G — постоянная нагрузка;Р, Р — временная нагрузка.Изгибающие моменты в крайних стойках двухэтаж¬ ных рам определяются по формуламгде А Мр разность опорных изгибающих моментов ригеля в сечении по оси средней стойки.При расчете одноэтажных рам во всех приведен¬ ных формулах следует принять /в=0.Таблицами можно пользоваться также при отсут¬ ствии крайних стоек, для чего к эпюре моментов, по¬ строенной по соответствующей таблице, прибавляется эпюра, изображенная на рисунке, у которой крайняя ордината М\ равна моменту с обратным знаком, взя¬ тому из той же таблицы для сечения при jc//**0.*JLгде М™ — опорный момент в ригеле по оси крайней колонны.Изгибающие моменты в средних стойках двухэтаж¬ ных рам в сечениях, примыкающих к ригелю, опреде¬ ляются по формуламМн = Л М 	—	• МЕ =АМ 	—	1В Iст	р *в+*нКоэффициентами таблицы для равномерно распре¬ деленной нагрузки можно воспользоваться для опре¬ деления опорных моментов от любой вертикальной нагрузки, симметричной относительно оси загруженного пролета, заменив ее эквивалентной равномерно распре¬ деленной р эк по табл. 8.1.7.Пролетные моменты, а также поперечные силы и опорные реакции в этом случае определяются с учетом действительной нагрузки.hnР, р — временная нагрузка; G,g — постоянная нагрузка.НагрузкаИзгибающие моменты№J&737	/Э&9м = kxgl* + к2рГ>т) = 0,25116р(вТ\РЮ1W)ItlглМ = kxGl -f- k2P*0,25116КоэффициентыПостояннаямн-мьгм1М2—0,019 —0,099 —0,095 0,069 0,030—0,044—0,096—0,0880,0560,037—0,068—0,090—0,0850,0460,040—0,078—0,086—0,0830,0430,042-0,028—0,146—0,1400,1630,110—0,0b5 —0,145 —0,130 0,145 0,120* —0,098 —0,136 —0,127 0,133 . 0,123—0,119—0,127—0,1260,1270,124%Коэффициенты k2м , - чai(min)—0,024-0,053-0,073—0,081—0,036-0,078-0,112—0,120Временная,.^Kmin)—0,111—0,102—0,092—0,086—0,167—0,152—0,137—0,128^^(rain)—0,110—0,100—0,091—0,086—0,165—0,149—0,136—0,129М . l(max)0,0850,0660,0500,0440,1890,1630,1350,129Мп,2(max)0,0690,0590,0490,0440,1640,1530,1340,129
8.3. РАМЫ503Продолжение табл. 8.3.19НагрузкаИзгибающие моменты—шш*гтт ■шш7]= 0,25161т] = 0,2516Коэффициенты k±ПостояннаяАГAf,Afг? 2Af,Мп—0,070 —0,370 —0,352 0,280 0,148—0,166—0,362—0,3280,2360,172—0,253 —0.339 —0,317 0,204 0,183—0,294—0,322—0,3140,1920,185—0,012—0,062—0,0590,0480,025—0,028—0.060—0,0550,0400,029—0,041—0,056—0,0530,0340,031—0,048-0,054—0,0520,0320.032Временная^al(min)^1(ш1п)мЬ2{тт)^1(тах)^2(тах)Коэффициенты k>—0,090—0,416—0,4100,3460,287—0,196 —0,382 —0,374 0,277 0.255—0,277—0,342—0,3400,2200.217—0,302—0,321—0.3210,1970,197—0,015—0,070—0,0690,0590,048—0,033 —0,064 —0,063 0,047 0,042—0,046 —0,058 —0,057 0,037 0.034—0,050—0,054—0,0540,0330,033НагрузкаИзгибающие моментыTil3 3шц3 3 3111 изззт] = 0,2516т4 /1 li —М = k£l + k2Plт] = 0,2516Коэффициенты kxПостоянная"лмы",М2—0,050—0,260—0,2500,2120.083—0,118—0,250—0,2340,1700,099—0,178—0,240—0,2230,1350,110-0.210—0.227—0.2220.1190,111—0,042 —0,224 —0.212 0,162 0,038—0,099—0,217—0,1980,1220,052—0,152—0,203—0,1900,0850,060-0,175 —0,196 —0,188 0,069 0,062Коэффициенты kjма\{тт)—0.064—0,140—0.196—0.215—0,054—0,118—0,165—0.182^M(min)—0.296—0,272—0.244—0,229—0,250—0,230.—0,206-0,193Временная^2(min)—0.292—0,266—0.241—0,228—0,246—0.225—0.204—0,192^l(maxj0.2400,1810.1350,11/0.17?0,1240,0850,068j ^2(шах)0.1820,1570.1310,1170,1230.1020,0820,069
подсчета интегралов Мора j MtMkds
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМ8.4. БАЛКИ НА УПРУГОМ (ВИНКЛЕРОВСКОМ) ОСНОВАНИИТаблица 8.4.18.4.1.	Гиперболо-круговые функции для расчета балок на упругом основании и цилиндрических резервуаров (см.'5.5.6 и 14.2)А (6) = Ах = ch £cos £; В (£) = Вх= - (ch £ sin S -f shS cos S);С (£) = CX = --- sh £ sin S; D (S) = Dx= (ch £ sin S — sh 6 cos S).i =- XII**05IIKXtc&=cxС?II*I iAВСD0,300,99870,29990,04500,0045010000,310,99850,30990,048050,004950,320.99830,31990,05120,005450,0011.000000,001000,000000,000000,330,99800,329850,054450,00000,340,99780,339850,0578,0,00660,0021,000000,002000,000000.000000,350,99750,34980,061250,007150,360,99720,35980,06480,007750,0031,000000,003000,0000050,000000,370,99600,36980,068450,008450,0041,000000,004000.000010,000000,380,99650,37970,07220,009150.0051,000000,005000,0000150,000000,390,99610,38970,07fc050,00990,0061,000000,006000,000020,000000,0071,000000,007000,0000250,000000,400,99570,399650,08000,01070,410,99530,40960,08400,01150,420,99480,41960,088150,012350,0081,000000,008000 000030,000000,430,99430,42950,09240,013250,0091,000000,009000,000040,000000,440,99380,439450,096750,01420,0101,000000,010000,000050,00000OjOll1,000000,011000,000060,000000,450,99320,44940,10120,01520Д)121,000000,012000,000070,000000.4G0,99250,459350,105750,01620,470,99190,46920,11040,01730,480,99110,47910,115150,01840,0131,000000,013000,0000850,000000,490.99040,489050,119950,01960,0141.000000,014000,000100,000000.0151,000000,015000,0001150,000000,500,98950,498950.12490,02080,0161,000000,010000,000130,000000,510,98870,508850,129950,02210,0171,000000.017000,0001450,000000,520,98780,518750,13510,02340,530,98690,52860,140350,02480,540,98580,538450,145650,02620,0181,000000,018000,000160,000000,0191,000000,019000,000180,000000,550,98470,548350,15110,02770,0201,000000,020000,000200,000030,560,98360,55820,156650,029250,0301,000000,030000,000450,0000050,570,98240.56800,162250,030850,0401.000000,040000,000800,000010,580,98110,57780,16800,03250,590,97980.58760,17380,03420,051,00000,05000,001250,00000,600,97840,597450,179750,03600.061,00000,06000,00180,000050,610,97690,60720,185750,03780,071,00000,07000,002450,000050,620,97540,616950,19190,03970,081,00000.08000,00320,00010,630,97380,62670,19810,041650,091.00000,089950,004050.00010.640,97210,63640,20440,043650,650,97030,646150,210850,04570,101,00000,10000,00500,000150,660,96840,655850,217350,04790,111,00000,11000,006050,00020,670,96640,66550.223950,05010,121,00000,12000,00720,00030,680,90440,675150,230650,05240,130,99990,13000,008450,000350,690,96230,68480,237450,05470,140,99990,14000.00980,000450,700,96000,69440,244350,05710,710,95770,703950,251350,05960,150,99990,15000,011250,000550,720,95520,713550,25840,0o210,160,99990,16000,01280,00070.730,95270,72310,26560.064750.170,99990,17000,014450,00080,740,95010,73260,27290,067450,180,99980,179950,01620,00100,190,99980,1900 '0.018050,001150,750.94730,74210,280250,07020,760,94440,740550,287750,07300,770,94150,76100,29530 075950,200,99970,20000,02000,001350,780,93840,77040.302950,078950,210,99970,2100 ■0,022050,001550,790,93510,779750,31070.08200,220,99960,219950.02420,00180,230,99950,229950,026450,00200,800.93180,78910,318550,085150,240,99950,24000,02880.00230,810,92ЯЗ0,79840.32650.08840,820,92470,80770,33450,09170.830,92100,816850,342650,09510,250,99930,25000,031250,00260,840,91710.S2610,350850.098550,260,99920.259950,03380,00290.270.99910.2Я9950,036450,00320,850.91310,83520,359150,10210,280,99900,279950,03920,00370.860.90900,844350,367550,10570.290,99880,289950.042050,00410,870,90470,85340,376050,10945I0,880,90020.8G240,38460,11325i0,890,89560,87140,39330,11715
8.4. БАЛКИ НА УПРУГОМ (ВИНКЛЕРОВСКОМ) ОСНОВАНИИ507Продолжение табл. 8.4.1&АВСD5АВСО0,900,89310,880350,402050,12111,60 '-0,07531,25351,187250,661450,910,88590,88925/0,41090,12521,61—0,10191,25261,19980,673350,920,88080,89805'0,419850,12931,62—0,12911,251451,212350,68540,930,87530,90685-0.428850,13311,63—0,15681,250051,224850,69760,940.87010.915550,437950,13791,64—0,18401,248351,237350,70990,950,86450,92420,447150,142351,65—0,21361,246351,24980,72240,960,85870,932850,45(5450,14691,66-0,24271,244051,262250,73490,970,85280,941450,465850,15151,67—0,27241,24151,27470,74760,980,84660,94990,47530,15621,68—0,30261,23861,2371.0,76040,990,83390,953550,484850,15861,69—0,33321,23541,299450,77061,000,83370,966750,494450,16591,70-0,36441,23191,31180,78641,010,82700,97500,504150,170851,71—0,39611,228151,32410,79961,020,82010,983250,513950,17601,72—0,42841,22401,336350,81291,030,81290,99140,52380,181151.73—0.46121,21951,348550.82631,040,80560.99950,533750,186451,74—0.49451,21481,360750,839851,050,79801,007550,54380,19131,75-0,52841,209651,372850,85351,060.79021,015450.553950,19731,76—0.56281,20421,384950,86731,070,78221,02330.50410,20291,770,59771,19841.396950,88121,080,77401.03110,5744 «0,20861,78—0,68331,19231.40390,895251,090,76551,03880,584750,21341,79—0,66941,18571,42080,90941,100,75681,046450,595150,22031.80—0,70601,178851,43260,92371,110,74791.053950.605650,22631.81—0,74331,17161,444350,938051,120,73871,06130,616250,232351,82-0,78111.16401,456050.952551,130,72931,06870,62690,23861,83-0,81951,15601,467650,967151,140,71951,075950,63760,24491.84-0,85841.14761,479150,98191,150,70971,08310,64840,251351,85—0,89801,138851,49060,99681,160,69951,090150,65930,25791.86—0,93821,120651,501951,01171,170,68911,09710,67020,264551,87—0,97901,120051,51321,02681,180.67841,103950,681250,27131,88—1,02031,110051,524351,04201,190,66741.110650,69230,27821,89—1,06231,099651,53541,05731,200.65611.11730.703450.285151,90—1,10491,08881,546351,07271,210,64461,12380,714650.292251.91—1,14811,077551,557151,08821,220,63301,13060,72590,299651,92—1,Ь201,065851,56791,10381,230,62061,136450,737250,30681,93—1,23641.053751,57851.11961,240.60821,14260.748650,31421,94—1,28151,04111,588951,13541,250.59551,14800,76010,321751,95—1,32731,02811,59931,151351,260,58241,15450,77160,32941,96—1,37361,014551,(5095• 1,16741,270,56911,16020,78320,33721.97—1,42071.000651,61961,18351,280,55551,16590,79480,345051,98—1,46830,986151,629551,19981,290,54151,17135* 0,80650,35311,99—1,51660,971251,63931,21611,300,52721,17670,818250,36122,00—1,56560,955751,648951,23251,310,51261,18190,830050,369452,01—1,61530,93991,65841,24211,320,49771,18700,84190,37782.02—1,66560,92351,667751,265751,330,48241,191850,85380,38632,03—1,71650,90661,67691,282451,340,46681,19660,86570,394852,04—1.76820,889151,68591,29931,350,45081,20120,87770,40362,05—1,82050,871251,694651,31621,360,43451,205650,889750,41242,0S—1,87340,85281,70331,33151,370,41781,209850,90180,42142,07—1,92710,833751,71171,35021,380,40081,213950,913950,43052,08—1,98150,81421,719951,36741,390,38331,21790,92610,439652,09—2,03650,79391,72801,38451,400,36561.221650,93830,44902,10-2,09230,77351,735851,401951,410,34741,22520,950550,458452,11-2,14870,75231,74351,41935 •1,420,32891,22860,96480,47802,12—2,20580,7о0551.75091,43681,430,31001,231750,97510,47772,13—2,26360,708151,75811,45441,440,29071,233350,у76450,48822,14—2,32210,685251,765051,47201,450,27101,237550,99980,4*742,15—2.38140,661751,77181,48971,460,25091,24021,01220,5075 •2,16—2,44130,63761,77831,50741,470,23041,24261,02460,517652,17—2,50200,61291,784551,525251,480,20951,24481.037050,52802,18—2,56330,58761,790551,54311 490,18821,24681,04950,53842,19—2,62540,56161,79631,561051,500,16641,248551,061950,54902,20—2,68820,53511,80181,57905=1,510,14421,25011.074450.559652,21—2,75180,507851,80791,59711,520,12161,251451,08700,57052,22—2,81600,480051.811951,61521,530,09851,25261,04950,58142,23—2,88100,451551,81661,63331,540,07461,25341.112050,592452,24—2,94660,42241,820951,65151,550,05121.254051,124050,60362,25—3,01310,39261,825051,669751,560,02681,254451,13710,61492,26—3,08020,36211,82881.68801,570,00201,25461,149650,62642,27•—3,14810,33101,832251,70330,5я01,25451,150650.62732,28—3,21670,29921,835451,724651.581.59—0,0233—0,04901,25451,254151,16221,174750,637950,64962,29-3.28610,266651,838251,7430
508РАЗДЕЛ S. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ВАЛОК. АРОК И РАМПродолжение табл. 8.4.1АВСD1АВСD2,30—3,35620,233451,840751,76143,00— 9,9669—4.248450,706852,83462,31- —3,42700,199551,842951,77983.01-10,0804—4,348650,663852,84142,32—3,49360.164851,844751.79833,02—10.1943—4,450050,619852,84792,33-3,57080,129551,84621,81673,03—10,3083—4,552550,524852,85382,34—3,64390,09351,84781,83523,04—10,4225—4.65620.528852,859352,35—3,71770,056551,84811,853653,05—10.5317—4,761050,48172,864422,36—3,79220,01911,848451.872153,06—10,6516—4,866950,43362,86902,37—3,8675—0,019151.84851,89063,07—10,7665—4,974050,38442.87312,38—3,9435 .—0,058251,848051,90913.08—10,8815—5,08230,33412,876652,39—4,0202-0,098051,84731,92763.09—10,9966,—5,191650,282752.87982,40—4.0976—0,13861.84611,946053,10—11,1119—5,302250,23032,88232,41—4,1759-0,179951,844551,96453,11—11.2272—5,41390,17672,884352,42—4,2548—0,22211,84251,982953.12-11,3427—5.52680,12202,885852,43—4,3345—0,2о511,84012,001353,13—11,4580—5,640750,066152,88682,44—4,4150—0,308851.837252,01983,14—11,5736—5.755950,009152,8872к—11.5919—5.7743502,88722,45—4,4961-0.35341.83392,03813,15—11.6890—5,8722—0,048952,886952,46—4,5780—0,398751.830152,05643.16—11.8045—5,98975-0,10332,88622,47-4,6606—0,444951.825У2,07473.1/—11.9200—С, 10835—0,168752,88482.48—4,7439—0.4У201,821252,09^953,18—12,0353—6,2281—0,230452,88282,49—4,8280—0,53985'1,81о052,11113,19—12,1506—6,34905—0.293352.88022,50—4,9128—0,58851,810452,129253,20—12.2655—6,47105-0.35742.87692,51—4,9984—0.63811.80432,117353.21—12,3807—6,5943—0,42272.873052.52-5.0846—0,68851,797652,Ib5353,22—12.4956—6.71875—0,489352,86852,53-5,1716—0.73981,790552,18333,23—12.Ы01—6,8442-0.55712,863252,54-5,2593-0,791951.78292,20123,24—12,7373—6.97095—0,62372,85732,55-5,3477—0,84501,77472,218953,25—12.8388—7,0988—0.69662,85072 56—5,4368—0,89891,76602.236653,26—12,^527—7,2277—0,768152,84342,57—5,5266—0,953751,75672,25433,27—13.0662—7,3578—0,84112,83542,58—5,6172—1,009451,74692,27183,28—13.1795—7,48905—0,915352,82662,59—5,7084—1,06611,73652,28923,29—13,2924—7.62135—0,990852.81712,60—5,8003—1,12361,725552,30653,30—13,4048—7,7549—1,06782.806752,61—5,8929—1,182051,714052.33773,31—13,5168—7,88945-1,145952,7957.2,62—6,9862—1,24151,70192,34083,32—13,6285—8.0252—1,225552,783852,63—6,0802—1,30181.68922,357753,33-13,7395—8,16195—1.306452,77122,64-6,1748—1.363051,67592,37463,34—13.8501—8,3000—1,38882.7577 ,2,65—6.2701—1.42531,661952,391253,35—13,9601—8,4^90—1,47252.74342,66—6,3661—1,488451,647352,40783,36—14.0695—8.5792—1,557652,72822,67—6,4628—1.552651,63222,42423,37—14,1784—8,72045-1,64412.71222,68—6,5600—1,61771,61632,440453,38—14,2866—8.8628-1,732052,695352,69—6,6580—1,68381,60272,456553.39—14.3941—9.0062—1.821352.67762,70-6,7565-1,75091,582652,472453,40-14,5003—9,15065—1,91212,65892,71—6,8558—1,818951,56482,48823.41—14,6066—9.2962—2,00442,63932,72—6,9556—1.888051.546252,50373,42—14,7118—9,4427—2,09802,618852,73—7,0560—1.958051,527052,51913.43—14,8162—9,59045—2,193252,59742,74-7,1571—2,029151,50712,53433,44-14,9197-9.73915—2,28992.57502,75—7.2588—2,10191,486452.549253,45—15,0222_ 9,8888—2,38802,55162,76—7,3611—2,17431,465052.56403,46—15,1238—10,03955—2,48762,52742,77—7,4639—2,24841,442952,578553,47—15,2244—10.1913—2.588852,50132,78—7.5673—2,32361,42012,592853,48—15,3238—10,34405—2.69152,47542,79—7.6714—2,39981,396452.606953,49—15,4224—10,49775-2,79572,44802,80-7,7759—2,47701,37212.62083,50—15,5198—10,65245-2,90142.41952,81—7,8810—2.55531,346952,63443,51—15,6159-10,8081—3.008752,389952,82—7,9866—2,634651,32102,64773.52—15,7108-10,9647-3.11762,35932,83—8,0920—2,715051,294252,66083,53—15,8046—11,1223—3,^2802,32762,84—8.1995—2,79651.2J672.67363,54-15.8971—11,28085—3,340052,29482,85—8,3067—2,87901,23832,686153,55—15.9881—11,4403-3,45372,260752,86—8,4144—2,962651,20912,69849,5 6—16.0780-11,6007—3,56892.225652,87—8,'5225—3,04731,179052,71033,57-16,1663—11.7о185-3,685652,18942,88—8,6312—3,13311,148152,721953,58—16.2531—11,9240—3,80412,151952,89—8.7404—3,219951.11642.73333.59-16.3384—12.08695-3,924152,11332,90-8,8471-3,30791,083752,74433,60-15,4218-12,25075—4,045352,07352,91—8,9598—3,39691,050252,754953,61—16,5043-12,4154—4,16922,03242,92—9,0703—3.487151,01582,76533,62—16,5847-12.5808-4,29421,990052,93—9,1811—3,578350,980452,77533.63—16.6634—12,7470—4,42031,94652,94—9,2923-3,67070,944252.78493,64—16.7405-12,91415—4,54911,90172,95—9,4039—3,76420,907052,794153,65—16.8155—13,08185-4.67911,85552,96—9,5158-3,85880,868952,803053,66—16.8.839-13,2504—4,810751,808052,97—9,6281—3,95450,829852,81153,67—16,9(.02—13,4196-4,94411,75932,98—9,7407—4,051350,789852,8196-3,68—16,0296—13,5896-5,079151,70922,99—9,8536—4,14930.748852.82733.69—17.0970—13.6745—5,21591./006
8.4. БАЛКИ НА УПРУГОМ (ВИНКЛЕРОВСКОМ) ОСНОВАНИИ	 509Продолжение табл. 8.4.1ЕАВСDiАВСD3,70—17,1622—13,9315—5,354351,604854,40—12,5180-25,63725—19,37425—€,56153,71—17,2253—14.10345—5,49451,55064,41—12,2517—25,761?—19,6313—6,756553,72—17,2861—14,2759—5,63641,494954,42—11.9776—25,88235—19,88745—6>95413,73—17,3449—14,4492-5,780051,437904,43—11,6625—26,00065—20,14885—7,1543—7,35713,74—17,4022—14,62285-5,92541,37934,44—11,4051—26,1161—20,40953,75-17,4552—14,79715—6,07251,31944,45—11,1069—26,20735—20,67115—7,55173,76—17,5067—14,97195-6,221351,25794,46—10,8003—26,3384—20,9341—7,77053,77-17,5557—15,14725—6,371951,19494,47—10,4851-26,44475—21,19805—7.98123,78-17,6024—15,32315—6,52431.13054,48—10,1615—26,54795—21,46295—8,19453,79-17,6463-15,4994. —6,67841,064454,49— 9.8295—26.6479-21,72885—8,41043,80-17,6875-15,67605—6,83430,99694,50—9,4890—26,74465—21,9959—8,62903,81—17,7259—15,8531-6,991950,927754,51—9,1392—26,8377—22,26385—8,850353,82—17,7616—16,0304—7.15130,857054,52-8,7805—26.9272—22,53265—9,07443.83—17,7945—16,2083—7,312550,78474,53—8,4133—27,0132—22,80225—9,300953,84-17,8245—16,3864-7.47550,71084,54—8,0368—27,09565—23,07295-9,53043,86—17,8513-16,56485-«7,64030.68524 55—7,6509-27,17395—23,34415—9,76243,86—17,8751—16.74335—7,806350.55794.56—7,2556—27,2485 .—23,61635—9,997253,87—17,8960—16,8223—7.97510,47914,57—6,8510—27,31915—23,8892—10,23483,88—17,9135—16,1013-8,145250,398454,58—6,4366—27.38545-24,16275—10,47503,89—17,9277—17.28045—8,31710.31614,59—6.0127—27,4477—24,4369—10,71813,90—17,9387-17,45985—8,49090,23214,60—5,5791—27.50565—24,71165—10,96383,91-17.9464—17,6393—8,666350,146354,61—5,1358—27,55925-24.98695—11,21233,92—17,9504—17.81875—8.84370,05874,62—4,8237—27.6086—25,26295—11,463553,93—17.9511—17,9983-9,0227-0,03054,63—4,2189—27,6531—25.5392—11,71753,94—17,9480—18,17785—9,20365—0.12174,64—8,7450—27,6928—25,81585—11,974258.95—17,9412-18,3572,—9,3863-0,21724,65—3,2607—27,7277—26,09285—12,23388,96-17,9307—18,53655—9,57075-0,30954,66—2,7663—27,7581—26,3705—12,496153,97-17,9165—18,71585—>9,75205-0,40614,67—2,2611—27,7831—26,6481—12,76123,98—17.8983— 18,8949—9,94505—0,504554,68—1,7449—27,80315—26,9262—13,02933,99—17.8761-19,0738—10,13495—0,604954,69—1,2187—27,81805—27,2042—13,29984,00-17,8498—19,25235—10,3265-0,70734,70—0,6812—27,8274—27,4823—13,573154,01—17,8172—19,4307—10,51995—0,81154,71—0,1327—27,83165—27,7608—13,8496 -4,02-17,7850—19,60875-10.7151-0,91764,5т:0—27,8317-27,8272—13,015854,03—17,7461— 19,7865—10,91215—1,02584,720,4268—27,83005—28,0390—14,12844,04—17,7029-19,96375-11,11095-1,13594.734.740,99761,5799—27,8228—27,81005—28,31715—28,5955—14,41015—14,69484,05-17,6551—20,14055-11,31145—1,24814,752,1731—27,7913-28,8734—14,982054,06—17,6030—20,3169-11,51375-1,362154,762,7782—27,76675-29.15135—15,27234,07—17,5461—20,49255—11,7178-1,47834,773.3951—27.73565—29,42875—15,56524,08—17,4846-20,6677—11,92355—1,596554,784,0236—27,69875—29,7061—15,86094,09—17,4185—20,84225-12,1311—1,71684,794.6638-27,6553—29,98275—16,159254,10-17,3472—21,0160-12,3404—1,83924,805.8164—27,60515—30,2589—16.46044,11—17,2712—21,18905-12,55135—1,96364,815,9811—27,54875—30.5348—16,76454,12—17,1900—21,3614—12,76415—2,09024,826,6574—27,4859-30,81015—17,07124,13—17,1040-21,5329—12,97785—2,21894,837,3466—27,41555-31,08445—17,38064,14—16,0126—21,70345—13,1948-2,34984,848.0477—27,8389—31,35835—17,69284,15—16,9160—21,8731-13,41265-2,48284,858.7623—27,25465—31,63135—18.00794,16—16,8139—22.0417—13,6322—2,61804.869.4890-27,1634—31.9035—18,325654,17—16,7064—22,2094—13,85355-2,75554.8710,2282-27.06495—32,17465—18,64604,18—16,5934-22,3759-14.0765-2,895154,8810,9806—26,95885-32,44475—18,96914,19—16,4748—22,54125-14.30105—3,28704,8911,7458-26,84515-32,7137-19,29484,20-16,3505-22,70545—14.52735-3,18124,9012,5239-26,72385—32,9814—19,62324,21-16,2203-22,86815—14.75505—3,32754,9113,3158—26,5946—33.24815—19,954454,22—16,0842-23,02985—14,9847-3,47634.9214,1202—26.45775—33.5135—20.28824,23—15,9423—23,18995—15,21575—3,62724.9314,9388—26,31225-33.77735—20.62484,24—15,7939-23,3485—15,44835-3,780554,9415,7704—26,15875—34,03965—20,96384,25-15,6898—23.50585-15.6827—3,93624,95• 16,6157-25,9967—34,30025—21,305354.26—15,4793-23,66155—15,91865—4,09424,9617,4750—25,8262-34,55945-21.649754,27—15.3122—23.8153—16,1509—4,254554.9718,3478-25.6472—34,8168—21,99664,28—15,1387—23.96765—16,3949-4,41744,9819,2348—25}4594-35,0726—22,34624,29—14,9587—24,11805—16,63525—4,58254,9920,1356—25,2623—35,3259—22,698054,30-14.7722-24.26685-16.8773-4,75015,0021,0504—25.05645-35,57745—23,05254,31-14,5788-24,4136—17.12065—4.92005,0121,9800—24,84125-35.82715—23,40974,32—14.3786-24,5584—17,3655—5.092455.0222.8474-24,6170—36,07445—23,76914,33—14,1714—24,7012-17,61185—5.267355.0323,8815—24,38265-36,31925—24.13114,34—13,9570-24,8417—17,85945—5,44475,0424,8537—24,13915—36,5619—24,49544,35-13,7357—24,98015—18,10855-5.62455,0525,8407-23,88595—36,80225-24,86234.86-13,5070—25.11(335-18.35905—5.80695,0626.8427—23,61:25—37i03975—25,23154,37-13,2712—25,2500-18,6110—5,991555,0727,8598—23,3489-37,27475—25.603254,38—13,0276—25,38185-18,86415—6.17925,0828,8914—23,06505—37,50675—25,97714,39—12,7766—25,51075-19,1185—6.36905,0929,9377—22,7711—37.73595—26,35325
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ВАЛОК, АРОК И РАМПродолжение Та5л. 8.4.1еЛВСDiАВСDб. ю5.115.125.135.1430.999732,076633,168734.276235,3991—22,46605 —22,15085 —21,82455 -21,4874 -21,1391—37,96185—38.1852—38,40505—38.6216—38,8348—26,7317—27.1126—27,4955—27,8806—28,26796,805.815.825.835.84146,2448148,4819150.7340153,0028155,284734,756436,2300537,7255539,244940,78585—38,36395—38,0089—36,63945—37,2545—36,85455—55,74285 —56,1246 —56,5029 —56,8776 —57,24815.155.165.175.185.1936,537737.691338,861740,047441,2485—20,7795—20,40835—20,0254—19,63095—19,22475—39,0445—39,25015—39,45245—39,6509—39,84525—28,6574—29,0486—29,4423—29,8379—30,23545.855.865.875.885.89157,5988159,8947162,2208164,5613166,914542,3503543,937845,548447,182548,8394—36,43845 >-36,0077—35,5601—35,09635—34,61605—57 6143—57,97715—58,3349—58,68815—59,036255.205.215.225.235.2442,466143,699444,948646.214847,4958—18,8057-18,37535—17,93215—17,4758—17,0073—40,0350—40,22135-40.4028—40,5796-40,75205—30,6346—31,0361—31,4391—31,8440—32,25045.905.915.925.935.94169,2837171,6653174,0609176,0704178,891750,5203 52,22545 53,95415 55,7067 5/,4833—34,1198—33,6055—33,0746—32,5268—31,96085—59,38045 —59.7187 —60,0521 —60,3806 -60,70295 .5.255.265.275.28 Ь,2Ч48,794950,109151,439952.787654,1511—16.5258—16.03165—15,52395—15.00295—14,4684—40,91965—41,0826—41,24035-41,3932—41,5405—33,6590—33,0690—33,4806—33,8989—34,30845.955.965.975.985.99181,3266183,7730186,2326188,7034191,187059,285261,730363,3086564,8346566,7344—31,3764—30,77505—30,15455—29,5155—28,8575—61,01945—61,0201—61,4608—61,9332—62,22515.305.315.325.335.3455,531756,929658,343859,774561,2218—13.9201—13,35735—12,7808—12,1903—11.5856—41,68255-41,8187—41,9493-42,07415—42,19315—34,72455 *—35,1421—35,5609—35,9810—36,40236,006.016,026.036.04193,6813196,1881198,7051201,2322203,771068,6577570,607972,5821574,581776.60665—28.2116—27,48455—26,7689—26,03295—25,2774—62,5106—62,78885—63,0603—63,3241—63,58105.355.365.375.385.3962,686964,167865,665767,181868,7140—10,96595—10,3321—	9,68225—	9,01835—	8,3390—42,30605—42,4127—42,5124—42,6060—42,6928—36,8250—37,2485—37,6731—38,0986—38,52516.056.066.076.08 6,09206,3194208,8770211,4435214,0209216,606678,654780,7330582,8349584,9621587,11495—24,50085—23,70405—22,88545—22,0469—21,1870—63.82985 —64,0708 —64,3032 - —64,5282 —64,74475.405.415.425.435.4470.263771,830873.414475,015876,6338—7,6440 —6.9336 —6,2076 —5,46515 -4,70715—42,77265—42,84585—42,9117—42,96995—43.0210—38,9324-39,38075—39,80955—40,2390—40,66916,106,116,126.136.14219,2004 221,8019 224,4109 227.0292 • 229,654289,2946592,4991593,7299595,987198,27085—20,30425—19,4005—18,47425—17,52625—16,55505-64.9518—65.1503—65,3394—65,51995—65.69065.455.465.475.485.4978,268779,921681,591683,278684,9829—3,9328—3,1418—2.33395—1.5095—0,66825—43.06415 —43,09965 —43,12675 —43,14585 —43,1568—41,0993—41,5303—41,9613—42,3926-42,82416.156.166.176.18 6.19232,2833234,9208237,5639240,2122242,8654100,55375102,91675105,27925107,6680110,08315—15,56015—14,54245-13,50155—12,4370—11,34843—65,8372—66,0010—66,1413—66,2711—66,39015.505.515.525.535.5486,704488,443290,199691,972293,76370,190051.06561,958852.869253,7984—43,15925—43,1531-43,1381—43,11405—43,08065—43,2557—43,68785—44,1189—44,5500-44,98126,206,216,226.236.24245,5231248,1847250,8499253,5208256,1917112.5249114,99335117,48875120,0113122,55985—10,2356—	9,09795—	7,93515—	6,74805—	5.5350—66,4981—66,5947—66,6796—66,75375—66,81505.555.565.575.585.5995,571697,396099,2383101,0984102,97394.74535.70956.69277.69508.7148—43,03775—42,98575—42,92375-42.85155—42.7695—45,4117-45,8418-45,27135—46,70025—47,12816.256.266.276.28 2тс 6,30 6,40258.8649261,5398264,2159266,8926267,7468272,2487298,8909125,13455127,7369130,36565133,01945133,87245138,4120166,9722—4,2969 —3 03205 —1,74135 -0,4257 02,2885517,5362—66,8642—66,9005—66,9242 .—66,9354—66,9362—66,91745—65,»4865.605.615.625.635.64104!8687 106,7790 108,7074 110,6512 112.61339.7543510,812511.8902512.9864514,10285—42,67745—42,5744—42,4609—42,3366-42,2013—47,5558-47,9818—48,4071—48,8309 —4У.25386,506,606,706,806,90324,7861349,2554371.4244390,2947404,7145198,1637 231,88005 • 267,9374 306,0558 347,3498535,7712557,252882,2255110,9087143,4927—63,21045 —58,6871 —51,74295 —42,11895 —30,18195.655.665.675.685.69114,5922116,5866118,5994120,6277122,673015,2389516.3949517.5705518.766619,9835-42,0547—41,8959—41,72675-41,54485-41,35065—49,6752—50,0944—50,5130—50,92915—51,343357,007,107,207,307,40413,3762414,8263407.4216389,3783358,7306386 80715428,284^469,4772509,41565546,93425180,1191220,87175265,76635314,72645367,56875—13,28426,729631,0280560,018994,10195.705.715.725.735.74124,7352 126,8144 128,9091 131,0207 133,147821,219922,4784523,7570525,056826,2810—41,14535—40,9265—40,6952—40,45135-40,1365—51,75625-52,1666—52.5746—52,9806—53,33597,507,607,707,802,5г.7.90313,3700251,0334169,347265,84750—62,0375580,67095609,0402630,22945642,1835643,9927642,58715423,9858483,5233545,5557609,25955643,09255673,6057133,6506179,00345230,4412288,16805321,9*635352,31235.755.765.775.785.79135.2903137,4497139,6260141,8144144,022827,719229,0831530,4692531,875533.30525—39,9238—39,6396—39.3416—39,0304-38,7041—53,7842—54.1819—54.5770—54,9689—55.35748,008,108,208,308,40—216,8647 —401,1674 —617,4Н2 —867.90V1 —П54.6587628,8779598,23435547,5808473,5998372.78655737,31005791,81785856.28775907,5542950,11575422,8713499,7008582,49745670,7544763,7226
8.4. БАЛКИ НА УПРУГОМ (ВИНКЛЕРОВСКОМ) ОСНОВАНИИ		 511Продолжение табл. 8.4.1iAВСD J iAВСD8,508,608,708,808,909,009,109,209,30-1479,3701—1843,2880—2247,0402—2690,4845—3172,6917-3691,4815 —4243,5551 —4824,0587 —542f\5154241,4135575,6088—	128,58235—	375,1167—	667,9794—1010,87995 —1407,3690 —1860,5365 —2372,94855981,0984997,25265994,93765970,1255818,86635834,8607714,40845551,49275340,3091860,3917959,448351059,22891157,683851252,35605' 1340,3007 1418,0930 1481,76105 1526,7834 19,40Зтс9,509,609,709,809,9010,00—6042,3167—6195,8239—6660,9594—7269,3664—7851,7063—8389,5687 —8860,9431 —9240,8733—2946,2708—3097,91195—3581,47555—4278,16925—5034,47135—5847,0360—6710,20695—7616,1461574,88750—	250,99585—	643,4861 —1108,61825—1652,2517—2279,7354—2995,709451548,02291548,95601539,74191495,59851408,61741271,26631075,3680812,36368.4.2.	Начальные параметры балок на упругом основанииТаблица 8.4.2Схема балкиНачальные параметры.ц-Ц L-U- ip	а77777777777у7~ , V1В1-и	°1 А1-а	v*~ kl‘	С\ — Bt Di_ _!_	У/—a—Cl Al_u<P*=~ Ш '	c\ — Bt Ditm-a0ГА-aT7T7ZT7T77T7fr1		L_ Dl-u + Cl Al—UP* “ kl*' C\ — BtDi :L *М|_в + 4С,/>,I—ak\3Сi — Bt D[-U -j- I'U-777777777777^_ n 4 B‘ D‘~a — Dl в‘—“ft ~ №	b] + 4dfZiBl_a + WtDl_aQ*0lpl \PТ77Т7ТЯТ77777-Iя 2 a-\r«я«4— I	Lf_-II-ТПТГТТТГГ7ТПТv*• =?0='P_ AaAd + 4Ca Cd k\ “ AaBa+*CaDa	&aCd—Ad^akk*' AaBa+4CaDnr p*£lbi-« + AiAl-e	Щ Dl+A]Bl Al-a ~ Al Bl—gЩ. »i + A\тггтггптгпт■i77’Фо= —_ JL	(ci-c—ci—d)Ct — (Bi-c — Bt_d) Dlb	Cj — B\ Dip	* T bi—d) С l ~~ ( — cl~d) sikl	C1 * Bi'Dl
512 -РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, АРОК И РАМТаблица 8.4.38.4.3. Затухающие функции цля расчета балок на упругом основании и цилиндрических резервуаров (см. 5.5.6 и 14.2)Г(£) = Тх = cos Е ;U (£) - их- (cos i - sin i);V (5) = Vx = sin 6;(sin £ + cos S).Чгт=тхu(t)=uxV£) = V x0i10\0,0010,99900,99800,00101,00000.0020,99800,99600,00201,00000.0030,99700,99400,00301.00000.0040,99600,99200,00401,00000.0050,99500,99000,00501,0000О.ООи0,у9400,98800,00o01.00000.0070,99300,98610,00700,99990,0080,99200,98410.00800,99990 0090,99100,98210,00870,99990.0100,ь9000,98010,00990,99990,0110,98900,97810.01090,99990.0120,98800,97610.01190,99990.0130,98700,97420.01290,99980,0140,98600.97220,01380,99980,0150,98500,97020,01480,99980,0160,98400,96830,01580,99970,0170,98300,96630.01670,99970,0180,*8200,96430.01770,99j70.0190,98100,96240,01870,99930,020,98000,96040,01960,99960,030,97000,94090.02910,99910,040,96000,92160,03840,99840,050,95010,90250,04760,9976а, оз0,44010,88360,05650,93660.070,93020,86490,06530,99540,080,92020,84640,07380,99400,090.91030,82810,08220,99240,100,90030,81000,09030,99060,110,89040.79210,09830,98870,120,880ь0,77440.10620,98670.130,87070,75680.11380,98440,140,86060,73950,12130,98210,150.85100,72240,12860.979C0,160,84130,70550,13580,97700,170.83150,68880,14270.97420,180.82180,67220,14950,97130.190.81210,65500,15620,^6830,200.80240,63980,16270,96510,210,79280,62380.16900,96180,220,/8320,60800,17520,„5830,230,/7360,59240,18120,95470,240,76410,57/10,18700,95110,250,75460,56190,19270.94720.260,74510,54690,19820,94330,270.73570,53210,20360,93930,280.72640,51750,20890.93530,290,71710,50300,21400,93100,300,70780,48880,21890,92670.310,69850,47480,22370,92220.320,68930,4G090,22840,91770,330,68010,44720,23300,91300.340,67100,43370.23740,90840,350,66200,42040,24160,90360,360,65300,40720,24570,898.50,370,644J0,39430,24970,89380,380.U3510,38150,25360,88870 390,62620,36880,25740,88360,400,6*740,35640,26100,87840,410,60870,34410,26460,87320.420.60000,33200.26800,86790,430,59130,32010,27120,86250.440 58270,30840,27430,8570Продолжение табл. 8.4.3ITUVW0,450,57420.29680,27740,85150,460,56570,23530,28030.84590.470.55730,27420.28320,84030,480,54890,26320,28570,83460,490,54060,25220,28830,82890,500,53230,24140.29080.82310,510,52410,23070,29320,81730.520,51590,22040.29540,81130,530,50790,21030,29760.80540,540.49980,20020.29960,79b40,550,49180,19020,30160,79340,560,48390,18050,30350,78730,570,47610.17090,30520,78130,580,46830,16150,30680.77520,590,46060,15220.30840,76900,600.45290,14300.30990,76280,610,44530,13400,31130,75660,620,43780,12520,31260,75030,630,43010,11660,31380,74420,640,423J0.10800,31500,73790,650,41560,09960,31600,73150.660.40830.09140,31690.72520,670,40110,08330,31780.71890,680,39400,07540,31860,71260.690,38690,06760,31930,70620,700,37*80,05990,36990.69970.710,37290.05240,82050,69330,720,36590,04490.32100,68o90,730,35 i/10,03770,32140.68050,740,35240,03070,32170,67410,750,34560,02370,32200.66760.760,33890,01680,32210.66110,770,33240,01010,32230,65470,780,32590,00350,32240,64830,25л0,322400.32240,64480.790,3195-0,00300,32240,64180,800,3131—0,00930,32230,63530,810 3067—0,01550,32220,62890,820,3004-0,02170,32210.62250.830,2943^-0,02760,32190,61600,840,2881—0.03340,32150,60960,850,2821-0,03910,32120,60320,860.2761—0,04460,32070,59680,870,2702—0,05000,32020,59040,880,2643—0,05540,31970,58400,890,2585—0,06060,31910,57760,900,2527—0,06580,31850,57120,910,2470—0,07080.31780,56480,920,2414—0,07570,31710,55840,930,2359—0,08050,31690,55210,940,2304—0,08510.31550,54590,950,2250—0,08960,31460,53960,960.2196—0,09410.31070,53330,970,2143—0,u9840,31270,52700,980,2090—0.10270,31170,52070,990,2038—0,10o90,31070,51451,00• 0,1987—0,11090,30960,50831.010,193/—0,11470,30830,50211,020,1888—0,11850,30730,49601,030.1839—0,12230.30610,48991,040,1790—0,12590,30490.48391,050,1742—0,12940,30360,47781,060,1694—0,13280,30230,47161,070,1647—0,13620,30090,46561,080,1601—0,13940,29950.45961.090,1555—0,14260,29810,45361.100,1509—0,14580,29670.447C1.110,1464—0,14880,29520,44161.120,1420—0,151u0,29360,43561,130.1378—0.15430,29210,42981.140,1335—0,15700,29060,42401,150,1293-0,1597.0,28900,41831,130,1252—0,16220.28740,41261.170,1241—0.16470,28580,40691,180,1171-0.16710,28420,40121.190,1131—0.16940.28250,3955Продолжение табл. 8.4.36TUVW1,200,1091—0,17160,28070.38981,210,1053—0,17370,27900.38421.220,1014-0,17580,27730,37861,230,0977-0.17780,27550,37311,240,0940—0,17970,27370,36771,250,0904—0,18150,27190,36231,260,0868—0,18330,27010.35691.270.0833—0,18490,26830 35151.280,0798~0,18(550,26640,34621.290,0763—0,18810,26450,34081,300,0729—0,18970,26260,33551,310,0696—0,19110,26070,33031,320,0631—0.19380.25690,32511,330,0631—0,19380.25690,31991,340,0600-0,19500.25500,31481,350,0568—0.19620,25300,30981.360,0537—0,19730.26100,30471.370.0507—0,19830,24900*29971,380,0478—0.19930,24700,29481.390.0448—0,20030,24500,28981,400.0419—0,20110,24300,28491.410.0391—0,20190,24100,28011,420.0363-0,20270,23900,27531.430,0336—0,20330,23700,27051,440,0309-0,20390,23490,26581.450.0283—0,20450,23290,26111,460.0257—0.20510,23080,25651.470,0232-0.20560.22880,25111,480.0207—0,20600,22670,24741,490.0183-0,20640,22470,24291.500,0158—0,20680,22260,23841,510,0134—0.20710,22050,233»1,520,0111—0,20730,21840,22951.530,0089-0,20750,21640,22521,540,0066-0,20770.21430,22091.550,0044—0,20780,21220,21661.560,0022—0,20790,21010,21231.570,0002—0,20790.20810,20820.5*0—0,20790,20790.20791.58-0,0019—0,20790,20600,20411,59—0,0039—0,20780,2039. 0,20001.60—0,005i»-0,20770,20180,19601,61—0,0078-0,20750,19970,19191.62—0.0097-0,20730,19760,18791,63—0,0116—0,20710,19560,18401,64—0,0134-0,20690,19350,18011,65—0,0152—0,20670,19150,17931,66—0,0170—0,20640,18940.17251,67—0,0187—0.20600,18730,16861,68—0,0204—0,20560,18520,16481,69—0,0220—0,20510,18320.16121,70—0,0236—0,20460,18120,15761.71—0,0251—0,20420,17910,15401,72—0,0266—0,20370,17710,15051,73—0,0281—0,20320,17510,14701.74—0,0296—0,20260,17300.14351,75—0.0310—0,20200,17200,1400L76—0,0324—0,20130.16900,13651 ’ 77—0.0338—0,20060,16700,13321,78 1 79—0,0351—0,0364—0,2000—0,19930,16500,16300,12990,12361,80—0.0376—0,19850,16100,12341,81—0,0388—0,19780,15900,12021 i 82—0.0400-0,19700,15700,11701.83—0.0412—0,19620,15500,11381.84—0,0423-0,19530,15310,11081 85—0,0434—0,19450.15120,107818 5—0,0444—0,19360,14920,10481 [ 87—0,0454—0,19270,14730,10181* 88—0,0464-0,19170,14530,0989К8Э—0.0474—0,19080,14340,09601 90—0,0484—0,1899'0,14150,09321 Q1—0.0493—0,18890,13960,09041 Q9—0, Oo 01—0.18790,13770,08761 93—0,0510—0,18690.13590,0849U94—0,0519—0,18590,13400,0822
8.4. БАЛКИ НА УПРУГОМ (ВИНКЛЕРОВСКОМ) ОСНОВАНИИ	rf0- •"г~~1	■	1 -■ ■■	,г,г ■-	■■ ■	■ it			513Продолжение табл. 8.4.3	Продолжение табл. 8.4.3	Продолжение табл. 8.4.9еТиVW2,70—0,0608—0,08950,0287—0,03202,71—0,0605—0,08830,0279—0,03262,72—0,0601—0,08710,0270—0,03312,73—0,0598—0,08590,0261—0,03372,74—0,0594-0,08470,0253—0,03422,75—0,0591—0,08350,0244—0,03472,76—0,0598—0,08230,0236—0,03522,77—0,0685—0,08110,0228-0,03562.78—0,0581—0,07990,0220—0,03612.79-0,0577-0,07870,0212—0,03652.80—0,0573—0,07770,0204-0,03692,81—0,0570V—0,07650,0196- 0,03732,82—0,0566-0,07540,0188—0,03772,83—0,0562-0,07420,0181—0,03812,84—0,0558—0,07310,0173—0,03852,85—0,0554—0,07210,0167—0,03882,86—0,0550—0,07100,0160—0,03912,87-0,0546—0,06990,0153—0,03942,88—0,0542—0,06870,0145-0,03972,89—0,0538—0,06760,0138—0,04002,90—0,0534—0,06660,0132—0,04032,91—0,0530—0,06560,0125—0,04062,92—0,0526—0,06450,0114-0,04092,93-0,0522—0,06340,0112-0,04112,94—0,0518-0,06240,0106—0,04132,95-0,0514-0,06140,0200-0,04152,96—0,0510—0,06030,0094—0,04172,97—0,0506—0,05930,0088-0,04192,98—0,0502—0,05830,0082—0,04202,99-0,0497-0,05730,0076—0,04213,00—0,0493—0.05630,0021-0,04223,01—0.0489—0,05530,0065—0,04233,02—0,0484-0,05480,0059—0,04243,03—0,0480—0,05340,0054—0,04253,04—0,0476—0,05240,0049—0,04263,05-0,0472—0,05150,0043—0,04273,06—0,0468—0,05050,0039—0,04283,07—0,0464—0,04960,0034—0,04293,08—0,0459—0,04870,0029—0,04303,09—0,0455—0,04780,0023—0,04313,10-0,0450—0,04690,0019—0,04313,11—0,0446-0,04600,0015—0,04313,12—0,0441-0,04510,0010—0,04323.13-0,0437—0.04420,0006—0,04323.14—0,0432—0,04330,0001—0,0432те—0,0432—0,04320—0,04323,15—0,0428—0,0424—0,0004—0,04323.16—0,0423—0,0416—0,0008—0,04323.17—0,0420—0,0407—0,0012—0,04323,18—0,0415-0,0399—0,0016—0,04313,19—0,0411—0,0391—0,0020—0,04313,20-0,0407-0,0383—0,0024—0 04313,21—0.0403—0,0375—0,0029—0,04303,22-0,0399-0,0367—0,0032-0,04303.23—0,0394—0,0359—0,0035—0,04293.24—0,0390—0,0351—0,0039—0,04283,25—0,0385-0,0343—0,0042-0,04273,26-0,0381-0,0736—0,0046—0,04263.27—0,0377—0,0328—0,0049—0,04253,28—0,0373—0,0321—0,0052—0,04243,29—0.0369—0,0313—0.0055—0,04233,30—0,0365—0,0306—0,0058—0,04223.31—0,0360—0,0299—0,0061—0,04213,32—0,0356—0,0292—0,0064—0,04203.33—0,0352-0,0285-0,0067-0,04193,34—0,0398—0,0278-0,0070—0,04183,35—0,0344—0,0271—0,0073-0,04173,36—0,0340—0,0264—0,0075—0,04153,37-0,0335—0,0257-0,0078—0,04133,38—0,0331—0,0251—0,0080—0,04113.39—0,0327—0,0244—0,0083-0,04093.40—0.0323—0,0238-0,0085-0,04083.41—0,0319—0,0231—0,0088—0,04063,42—0,0315—0,0225—0,0090—0,04043,43—0,0311—0,0218—0,0093—0,04033,44-0,0307-0,0212—0,0094—0,0401аТиVW3,45—0,0303—0,0206-0,0097—0,0399;3,46—0,0299—0.0200—0,0099—0,0397 J3,47—0,0295—0,0194—0,0101—0.0395 I3,48—0,0291—0,0189—0,0102—0,0392 !3,49—0,0287—0,0183—0,0104—0,03903,50—0,0283-0,0177—0,0106—0,03883,51—0,0279-0,0171—0,0108—0,03863,52—0,0275—0,0165—0,0109—0,03843,53—0,0271—0,0160—0,0111—0,03823,54—0,0268—0,0155—0,0113—0,03803,55—0,0264—0,0149—0,0114—0,03783,56—0,0260—0,0144—0,0116—0,03763,57—0,0257-0,0139—0,0117—0,03733,58—0,0253—0,0134—0,0118—0,03713,59—0,0249—0.0129—0,0120—0,03683,60—0,0245—0,0124—0,0121—0,03663,61—0,0242—0,0119—0,0122—0,03633,62—0,0238—0,0114—0,0123—0,03613,63—0,0234—0,0109—0,0124—0,03593,64—0,0231—0,0105—0,0125—0,03563,65—0,0227-0,0101—0,0126—0,03543,66—0,0223—0,0096—0,0127—0,03513,67—0,0220—0,0092—0,0128-0,03483,68—0,0217—0,0088—0,0129—0,03463,69—0,0214—0,0083—0,0130—0,03433,70—0,0210—0,0079—0,0131—0,03413,71—0,0207—0,0075—0,0132—0,03383,72—0,0203—0,0071—0,0132—0,03363,73—0,0200—0,0067—0,0133—0,03333,74-0.0197—0,0063—0,0133—0,03303,75—0,0193—0,0059—0,0134-0,03273,76-0.0190—0,0055-0,0135—0,03243,77—0,0187-0,0051—0,0136—0,03223,78—0,0184—0,0048—0,0136—0,03193,79—0,0180—0,0044—0,0137—0,03163,80—0,0177-0,0040—0,0137—0,03143,81—0,0174—0,0036—0,0138—0,03113,82-0,0171—0,0033—0,0138—0,03083,83—0,0168—0,0030—0,0138—0,03053,84—0,0165-0,0027—0,0138—0,03033,85—0,0162—0,0023—0,0139—0,03003,86—0,0159—0,0020—0,0139-0,02973,87—0,0156—0,0017—0,0139—0,02943,88—0,0153—0,0014—0,0139—0,02923,89—0,0150—0,0011—0,0139-0,02893,90-0,0147—0,0008—0,0140—0,02863,91—0,0144-0,0005—0,0140—0,02833,92—0,0141—0,0002—0,0140—0,02801,25*—0,01390—0,0139—0,02783,93-0,01390,0001—0,0140-0,02783,94—0,01360,0003—0,0139—0,02753,95-0,01330.0005—0,0139—0,02723,96—0,01300,0008—0,0139—0,02693,97—0,01280,0011—0,0139-0,02673,98—0,01250,0014—0,0139—0,02643,99—0,01220,0017—0,0139—0,02614,00—0,01200,0019—0,0139—0,02584,10—0,00960,0040—0,0136-0,02314,20—0,00740,0057—0,0131-0,02044,30—0,00550,0070—0,0125—0,01794,40—0,00380,0079—0,0117—0,01554,50—0,00230,0085—0,0108—0,01324,60—0,00120,0089—0,0100—0,01114,70—0,00010,0090—0,0091—0,00921,5*00,0090—0,0090-0,00904,800,00070,0089—0.0С82—0,00754,900,00140,0087—0,0073—0,00595,000,00190,0084—0,0065—0,00465,100,00230,0080—0,0057—0,00335,200,00260,0075—0,0049—0,00235,300,00280,0069—0,0042—0,00145,400,00290,0064—0,0035—0,00061,75*0,00290.0058—0,002905,500,00290,0058—0,00290,00005,600,00290,0052—0,00230,00055,700,00280,0046—0,00180,00095,800,00270,0041-0,00140,00135,900,00260,00361—0,00100,0015£ТиVW1.95—0,0527-0,18490,13220,07951,96—0,0535-0,18380.13040,07691,97-0,0543—0,18270,12850,07431.98—0,0550-0.18160,12670,07171,99—0,0556—0,18040,12490,06922,00—0,0563-0,17930,12300,06672,01-0,0569-0,17820,12130,06432,02-0,0576—0,17710,11950,06192,03-0,0582—0,17590,11280,05952,04-0,0588—0,17480,11600,05712,05—0,0594—0,17370,11430,05492,06—0,0599—0,17250,11260,05262,07-0,0604—0,17120,11080,05042,08—0,0609—0,17000,10910,04822,09-0,0614—0.16880,10740,04602,10-0,0619-0,16760,10570.04382,11-0,0620—0,16630,10400,04172,12—0,0627-0,16500,10240,03972,13—0,0632—0,16370,10070,03772.14-0,0634—0,16250,09810,03572,15-0,0638—0,16130,09750,03372,16-0,0641—0,16000,09590,03172,17-0,0645—0,15870,09430,02882,18—0,0647—0,15740,09270,02802,19—0,0650—0,1560, 0,09110,02622,20—0,0652—0,15470,08950,02442,21—0,0655-0,15340,08800,02262,22—0,0657-0,15220,08650,02082,23—0,0660—0,15090,08500,01912,24—0,0661-0,14960,08350 01742,25—0,0663—0,14820,08200,01572,26—0,0664—0,14690,08050,01412,27—0,0665—0,14550,07900,01252,28-0,0666-0,14420,07760,01102,29-0,0667—0,14290,07620,00952,30—0,0668-0,14160,07480,00802,31-0,0669—0,14030,07340,00652,32—0,0670—0,13890,07200,00502,33—0,0670—0,13760,07060,00362,34—0,0671—0,13620,06920,00222,35—0,0671—0,13490,06790,00080,75*—0,0671—0,13420,067102,36-0,0671-0,13360,0666-0,00052,37—0,0671—0,13230,0653—0,00182,38—0,0670—0,13090,0639—0.00312,39-0,0670-0,12960,0626-0,00442,40—0,0669—0,12820,0613-0,00562,41—0,0669—0,12680,1000—0.00682,42—0,0668—0.12550,0588—0,00802,43-1-0,0667—0,12410,0575-0,00922,44—0,0666—0,12280,0563—0,01032.45—0,0665—0,12150,0550—0,01142,46—0,0664—0,12020,0538—0,01252,47-0,0662—0,11890,0526-0,01352,48—0,0661-0,11750,0514—0,01462,49-0,0659-0,11610,0503—0,01562,50-0,0658—0,11490,0492—0,01662,51—0,0656—0,11360,0480—0,01762,52—0,0654—0,11230,0464—0,01852,53—0,0652—0,11090,0457-0,01952,54—0,0650—0,10960,0446-0,02042,55—0,0648-0,10830,0435—0,02132,56—0,0646-0,10710,0425-0,02212,57—0,0644—0,10580,0414—0.02282.58—0,0642—0,10450,0403—0,02372,59—0,0640—0,10330,0394—0,02462,60-0,0637—0,10200,0383—0,02542,61-0,0634—0,10070,0373—0,02612,62—0,0632—0,09940,0363—0,02692,63-0,0629-0,09820,0353-0,02762,64—0,0626-0,09690,0343—0,02832,65—0,0623—0,09560,0334-0,02892,66-0,0620—0,09440,0324—0,02962,67—0,0617—0,09320,0315-0,03022,68-0,0614-0,09200,0306—0,03082,69-0,0611-0,09080,0297—0,031433 Зак. 2098
5146,006,106,202тс6,306,406,506,60РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. АРОК И РАМ Продолжение табл. 8.4.3Продолжение табл. 8.4.30,00240,00220,00200,00190,00190,00170,00180,0015U0,00310,00260,00220,00190,00180,00150,00120,0009W—0,0007—0,0004—0,000200,00010,00020,00030,00040,00170,00180,00190,00190,00190,00180,00180,00176,706.806,9д7,002,25*7,107.207,307,400,00130,00110,00000,00070,00060,00060,00050,00040,0003и0,06060,0С040,00020,00010—0,0000 -0.0001 —О 0002 —0,00030,00050,00060,00060,0006 0,0006 0,0006 0 0006 0,0006 0,0006W0,00160,00150,00140,00130,00120,00120,00110,00090,0008Продолжение табл. 8.4.3iТиVW7,500,0002-0,00030,00050,00077,600,0002—0,00030,00050,00077,700,0002—0,00040,00050,00067,800,0001—0,00040,00050,00057,900,0001—0,00040,00040,00048,000,0001—0,00040,00040,0003Таблица 8.4.4Левый конецПеремеще¬ ние или усилиеСхема нагружения1—0r-“Т7!!^П rninnСвободныйVXu<РхиМхиQxu2gj (ТXAU U хВ и)^jT(-WXAU + 2TXBUI)4-VxAa+ WXBU) UXAU + 2 VXBU2£j (TUAX UUBX)2£i ( ^TUDX UUAX)2X(T UCX UUDX) 2TaBx-2UuCxШарнирно опертыйVxuПиМкиQxug£J ( ^X+U "t" Wx—u)4£/ (Ух+и ~~ Vx-u)X4 №x+и Ux—u)2 ^ x+и Tx—u)^<-wx+u+wx_u)X24Ei ^ x+u "b ^x—u)X4 Wx+u Ux—u)(Tx+u + Tx-u) 'Жестко заделанныйVxu<РхиМхиQxu-Jf(VxCa-WxDu)(UxCи 4" 2V*Da)24TxCu—UxDu)2WxCu-4TxDu^7- {VuCx - WUDX) Elgj (VUBX WUCX)4 — У и Ax + wubx) 4 VaDx+ WUAXВертикально подвижныйVxuУхиМхиQxu^j-(wx+u+wx_u)X2	(	V 	у ч4El x+u v x—u)X4 Wx+U Ux—u)2 № x+u ^ ^x—u)^-(wx+u+wx_u)4£Y ^X+u Vx—u) Wx+u Ux—u) -—WX+u-Tx-u)V1?-характеристика балки; х—и берется по абсолютной величине.
8.4 БАЛКИ НА УПРУГОМ (ВИНКЛЕРОВСКОМ) ОСНОВАНИИ	r t г" ■ 	 =:--- • • • ■ ~ -	 -	515Таблица 8.4.58.4.5. Перемещения и усилия полубесконечной балки от сосредоточенного момента L — 1(инфлюенты)Схема нагружения4Левый конецПеремеще¬ ние или усилиенГЗсГт^'-- 'уг//ъи//у/;г/7W^/7Xw/7777Vxu^~(-UxAa-4TxDa)A22ЁГ^~- 1Г^х + 2ГвВ*)СвободныйЧхи(ТхАи + 2 WxDa)~(2WUDX + TUAX)МхиWXAU + 4VXDU-2WuCx + 4TuDxQxu-f(- VxAa + 2UxDa)2T(-WUBX 2 TaCx)Vxu4 £J Wx+U + V*-u)4EI(V 	V >1 x+u x—u>и-Ji-(UX+u + UX-u)AЁГ(Ux+a + Ux-u)Шарнирно опертый11T(:Мхи2 ^ x+u “I- Tx—u)^X+u Tx—u)Qxuwx+u- Wx_u)12X~(“- W'r+u—Vxu-JfWxBu- WxCa)X2El(f/.Cx+2VBD,)Жестко заделанныйЧхиPI (UxBu + 2 VхСц)XEl(UUBX + 2VUCX)Мхи2 TxBu 2 UjxCu—UUAX-2VUBXQxuWXBU + 2TXCU)-f-<2 UaDx-VuAx)Vxu4EJ ( ^ x+u + Vx—u)X'z4ЁГ( ^x+u ^x—a)Чхи^X + U "b ^x—u)X£7— Ux+u + Ux-u>Вертикально подвижный2 ( Tx+u "b ^x—u)12 (MXU^x+u T x—a)Qxu— (1vx+u-wx_u)2X ^ ^x+u «)33*
516РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ВАЛОК. АРОК И РАМЛИТЕРАТУРА1.	Б ы ч к о в Д. В., Формулы я графики для расчета рам, Госстрой и здат, 1957.2.	Глушкоь Г С., Егоров И. Р. Ермолов В. В., Формулы для расчета рам (справочное пособие). Госстройиздат, 1958.3.	Ерохив И П., М а л и е в А. С., Формулы для расчета сложных рам методом расчленения, Главная редакция строит, лит ры, 193а.4.	Железобетонные стойки одноэтажных промышленных зда¬ ний. Серия Е-302, Промстройпроект, 1948.5.	И в а н о в В. Ф., Никитин Г. В., Справочник по строи¬ тельной механике, т. I II. изд. «Кубуч», 1933—1935.6 Илларионов В. А, Френкель П. М., Расчет желе¬ зобетонных подкрановых балок (таблицы), Стройиздат, 1934.7.	Инструкция по расчету железобетонных балок, плит и ба¬ лочных перекрытий, ЦНИПС, Стройиздат, 1938.8.	Мануйлов А. М., Неразрезные балки. Транспечать НКПС, 1931.9.	М и р е р А. Л., Расчет двухветвевых железобетонных ко¬ лонн одноэтажных промышленных зданий, Техническая информа¬ ция Промстройпроекта, вып. 2, 1959.10.	Н е й ш и л ь г. В 4., Таблицы для расчета многопролетных многоэтажных рам и неразрезных балок, Госстрой издат. 1933.11.	Новиков А. М.. Таблицы для расчета труб, сводов и арок, Госстрой издат, 1942.12.	О н у ф р и е в Н. М., Расчетные формулы для проектиро¬ вания шпренгельных систем смешанной конструкции. Научные труды Ленинградского инж.-строит. института, вып. 17, «Строи¬ тельная механика и строительные конструкции», Госстройиздат, 1954.13.	П а п к о в и я П. Ф., Строительная механика корабля, ч I, т. I, изд. «Морской транспорт», 1945.14.	Ремез М. Б., К вопросу о расчете криволинейных и ло¬ маных в плане балок. Труды Ленинградского института инжене¬ ров промышленного строительства, вып. 5, 1938.15.	Справочная книга по расчету самолета на прочность, Оборонгиз, 1954.16.	Справочник инженера-кочструктора, Моспроект, 1958.17.	Справочник ичженера-проектировщика промсооружений. т. II расчетно-теорегичсский. Промстройпроект. Госстройиздат, 1934.18.	Справочник «Инженерные сооружения*, т. I, Машстрой* издат, 1930.19.	Справочник машиностроителя, т. III. Мглагиз, 1956.20.	Справочник проектировщика «Сборные железобетонные конструкции», главы XV и XXV, Госстройиздат, 1959.21.	Стальные конструкции одноэтажных промышленных зда¬ ний. Руководство по проектированию, КТИС, Гос. изд. лит. по строит, и арх., !952.22.	Технический спрасочннк железнодорожника, т. II, Транс- желаориздат, 1950.23.	Улицкий II. И., Ривкин С. А., Самоле¬ тов М. В., Дыхозичный А. А., Железобетонные конструк¬ ции. Расчет и конструирование. Гостехиздат УССР, Киев, 1959.24.	У м а н с к и й А. А., Специальный курс строительной ме¬ ханики, ч. I, Стройиздат, 1935.25.	Энциклопедический справочник «Машиностроение*, т. I, кн. 2, Машгиз, 1948.26.	Beton-Kalender 1960 г. Taschenbuch fur Beton- und Stahl- betonbau, Berlin.27.	К. В e у e r, Die Statlk vora Stahlbetonbau, Berlin, 1948.28.	S с h 1 e I с h e r, Taschenbuch fur Вauingenieure, т. II, 1955./
РАЗДЕЛ 9БРУСЬЯ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА9.1. НАГРУЗКА В ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ 9.1.1.	Круговые брусьяОсновные обозначения и общие указания (рис. 9.1)Сечение бруса — постоянно. Одна из главных осей инерции сечения лежит в плоскости кривизны. Ось бру¬ са не закручена. а, р — угловые координаты текущих сечений бруса; а/ — угловая координата сечения, в котором прило¬ жен внешний силовой фактор (сосредоточен¬ ная нагрузка);г — радиус оси бруса (линии, проходящей через центр тяжести каждого сечения).Внешние сосредоточенные силовые факторы, при¬ лаженные в сечении с координатой а/ (рис. 9.1,а):Pi—радиальная сила;Ti — тангенциальная сила;L/ — сосредоточенная пара сил, действующая в плоскости кривизны бруса.Внешние распределенные нагрузки (рис. 9.1,6): р(3)—погонная радиальная нагрузка;<7(3) — погонная тангенциальная нагрузка; т('б) — погонная моментная нагрузка.Внутренние усилия в произвольном сечении:Q(a)—поперечная сила:N(а) — продольная сила;М(а) — изгибающий момент.Перемещения:и(а) — радиальное перемещение (прогиб от центра кривизны считается положительным);w(a) — тангенциальное перемещение (положительное перемещение направлено в сторону возраста¬ ния угла а);<р(а)— угол поворота сечения (поворот против часо¬ вой стрелки считается положительным).Начальные параметры: Q0. No, Mq> wo, ^’o. Yo — зна¬ чения внутренних усилий и перемещений для сечения, принятого за начальное.Грузовые члены: [(?(<*)], [М«)1. |М(а)1, [«(а)], [ш(а)], l'P(a)J — величины усилий и перемещений, зависящие только от нагрузок, приложенных на рассматриваемом участке балки, и не зависящие от начальных пара¬ метров.Характеристики сечения: F— площадь поперечного сечения, / — момент инерции, W — момент сопротивле¬ ния изгибу, EI — изгибная жесткость.Расчет бруса следует начинать с переноса всех на¬ грузок в пределах данного сечения на ось бруса с добавлением соответствующих моментов (приведение нагрузок, действующих в данном сечении, к центру тяжести этого сечения). Если нагрузка действует под углом к радиусу кривизны бруса, ее следует раз¬ ложить на радиальную и тангенциальную составляю¬ щие.Правило знаков для внешних сил и внутренних уси¬ лий ясно из рис. 9.1. Положительное направление углов аир соответствует вращению радиуса оси бруса про¬ тив часовой стрелки.Формулы для усилий и перемещений при простейших нагрузках (табл. 9.1)Обозначения и правило знаков см. рис. 9 I,а.Общие формулы для усилий и перемещений (9.1):Q (*) = Qocos а — sin a + IQ (a)];N (a) = Nq COS a + Q0 sin a + [N (a)];M (a) = M0-\-Q0r sin a—N0r (1—cos a) + [A\ (a)J* и (a) = U0 cos OL+W0 sin a—(p0 r Sin a+
518РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ. ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАУсилия и перемещения консольного кругового бруса.1Схема нагруженияГ'к/ * сД('АЛ\\\\' ''' ' уПоперечная сила Q (а)Р cos а— Г sin а0Продольная сила N (а)Р sin аТ COS а0Изгибающий момент М (а)Рг sin а— 7У ( 1 — COS а)LРадиальное перемещение конца бруса и (0) (при а = 0)Рг3 / ф sin 2ф \ £7 \ 2 2 )Рг3 (1 - COS ф)2 EI 2Lr2	(1 — cos ф)EI 1Тангенциальное перемеще¬ ние конца бруса w (0) (при а = 0)Рг3 (1 — COS ф)2 EJ 2Рг3 1 3 - EI \ 2 +-2sln* + sin 2ф \+ 4 )Lr2_ (ф — sin ф)Угол поворота концевого сечения (0) (при а = 0)Рг2— (1 — COS ф)Рг2— (<|> — sin <|/)El Y+ [Qo'A? (а)+Л^л/ («) + М0 Ам(а)] + [и (.)];W (а) = w0 COS а — U0 sin а+<ро г (1—COS а) ++ [Q0rBQ (а) + N0 rBN (а) — М0вм (а)] + [w (о)];У (а) — То — ТГГ No rCQ ^ rCN («)+Моа1 +[?(а)1* ЫЗначения коэффициентов А, В, С даны в табл. 9.2 и 9.3.Для случая нагружения балки сосредоточенными силами Рь т1* Li в сечении щ грузовые члены в фор¬ мулах (9.1) имеют вид, аналогичный членам с Qo, No и Мо в (9.1) при замене а на а — а/.Для нагрузок р, q, m, распределенных вдоль бруса от ® до Р, при вычислении грузовых членов в форму¬ лах (9.1) следует заменить сосредоточенные силы Pi, Т/, Ll элементарными нагрузками р (р) rd р, q ( р) rd P, m (?) rd P соответственно, а суммирование заменить интегрированием на протяжении рассматриваемого участка. В примере 9.1 использованы окончательныерезультаты интегрирования грузовых членов, соответ¬ ствующих равномерно распределенной нагрузке р.При интегрировании введены обозначения:а1	— COS а = Ам (О); f Ам (а) da = Вм (а);Оа	а| Aq (a) da = An (а); ^АN (a) da = ВN (а).О	ОПри действии на брус равномерно распределенных нагрузок <7o=const и m0=const для вычисления переме¬ щений w и <р потребуется определение величин интегра¬ лова	а.	аBq (a) = Jbw (о) da, Вт (а)=jВм(я) da и Cm(a)=jada.ОООЗначения этих функций даны в табл. 9.3.Начальные параметры определяются из условий закрепления бруса. На свободном конце бруса Qo= s=Nq=Mo=0. Над концевой шарнирной опорой М0=О, u0=w0—0. Промежуточная опора в зависимости от ее конструкции аннулирует перемещение данного сечения
9.1. НАГРУЗКА В ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ- 519нагруженного В ПЛОСКОСТИ кривизны	Таблица 9.1s\Apr sin а— qr(\ — COS а)0pr(\ — COS а)qr sin a0/7/ 2(1 — COS а)— qr(a — sin a)ffir a.рг4 (1 — COS ф)2EI 2qr4 / <b sin 2ф \ EI [ 2 + * C°S Ф S1" ^ 4 ]mr3(sin ф — ф cos ф)LIрг^ ( 3 , sin 2 — (Тф-28шф+ 4 )mr*(1 — cos ф — ф sin ф)рг'д— (<|> — sin <10mr2 	ф22EI Yв радиальном или тангенциальном направлении (или оба эти перемещения). Для жестко защемленного (заделанного) сечения мо=а;о=?о=0. Определение на¬ чальных параметров для случая статически неопреде¬ лимого закрепления бруса см. пример 9.2.Пример 9.1. Вычислить наибольшие напряжения и перемещения конца криволинейной консоли АС радиу¬ сом г=300 см, нагруженной на конце отростка BD вер¬ тикальной сосредоточенной силой 5=3 ООО кг и равно¬ мерно распределенной погонной нагрузкой р0=ЬОО кг/м. Сечение консоли — двутавр № 30а. Размеры указаны на рис. 9.2,а, материал — сталь, £=2,1 • 106 кг/см2.По сортаменту двутавровых прокатных балок имеем:F=61.2cJKaf 7=8950 см*, И7=597 см\ £7=1,88-Ю*0.Перенеся силу S в точку В и разложив ее на нор¬ мальную и тангенциальную составляющие, получим (рис. 9.2,6):P=—S sin 30°=—1 500 кг. T=—S cos 30°=—2 600 кг.100 S=—3- Ю5 кгсм. р0=—500 кг 1м——5 кг (см.Вычисляем усилия в защемлении А с помощью фор¬ мул (9.1), приняв за начальное сечение С, в которомQo N0 = М0—0. и0=£0, wQ=f= 0, <р0=^0.Отсчет углов ведется от радиуса ОС против часовой стрелки:Рис. 9.2N (90°)-= [N(90°)] =Я sin (90°—60°)+Г cos (90°—60°)+ + Р0гАм (90° —0°) = — 1 500-0,5 — 2 600-0,866 — —	5.300.1= — 4500 кг\
520РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ. ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАТаблица 9.2Значения коэффициентов A^AN^ ВдАм, Cq 9 ВNt BM>CNПродолжение табл. 9.3аград,NАм = CQNВМ CN01020304050607080901001101201301401501601701801902002102202302402502602702802903003103203303403503600,000000,000860,006990,023280,054020,102530,171200,260940,371200,500000,643900,798140,956601.112241,257241,383591,483071,547781,570801,546051,474031,337021,149210,907180,614200,27628—0,09656—0,50000—0,91658 —1,33536 —1,69200 —2.12194 —2,46048 —2,77390 —2,96414 —3,09970 —3.141590,00000-0,00005—0,00061—0,00310-0,00962-0,02297-0,04656-0,08406—0,13888-0,21560—0,31420—0,43995—0,59313—0,77380—0,98057-1.21151—1,46218—1,72726—2,00000—2,27568—2,53660—2,78229—3,00009-3,18026—3,31374—3,39012—3,40803-3,35619—3,23272—3,03613—2,76718—2,42943—2,02904—1,57390—1,07503—0,545430,000000,00000,01520,06030,13400,23400,35720,50000,65800,82641,00001.17361.34201.50001.64281.7660 1,86601.93971.9848 2,00001.98481.9397 1,86601.76601.64281.50001.34201.1736 1,00000,82640,65800,50000,35720,23400,13400,06030,01520,00000,000000,000070,000080,000400,001320.004130,010000,021100,041010,070800,116640,182010,271800,396990,543410,734410,958781,245691,570801,933662,363572,828173,333313,873064,440595,026745,621166,212396,788307,336527,843988,298468,688349,003519,235279,376979,424780,000000,000530,007070,023600,055330,106660,181200,282030,411460,570800,760530,980161,228401,502931,800662,117992,450532,793463,141603,489723,832664,165194,482524,780255,054785,303025,522645,712395,871726,001166,101996,176526,227876,259606,276126,282266,28319Таблица 9.3 Значения коэффициентов Ст> Вт, Вда в град.вя00,000000,000000,00000100,015230,000030,00008200,069270,000620,00020300,137080,003080,00032400,246960,012960,00046500,380770,023570,00060600,548310,048310,00165700.74i320,088320,00426800,974770,148370,00949901,233710,233710,019111001,523100,349500,035301101,842930,500000,060981202,193260,693260,100131302,574030,931230,157431402,985251,219250,238581503,426921,560290,349411603,899131,959430,497521704,401722,416920,689661804,934822,934820,934821905,481603,496801,224162006,092354,152651,616052106,716794,850792,068502207,371725,605722,605632308.057126,414323,234062408,772947,272943,959202509,519288,177284,785172с010,2.9 009,122405,7143727011,10329JO,103296,7471028011,9409911,114597,8818729012.8091912,151199,1150630013,7077713,2077710,4405931014,6368514,2796611,85023а в град.СmВmВЯ32015,5964515,3624513,33341-33016,5866016,4526014,87870340Д7,6068917,5365916,4714635018,6578618,6426618,0972336019.7392119,7392119.73921Q (90°) = [Q (90°)] = Р cos (90°—60°)—Т sin (90° — 60°) + + p0r sin (90° —0°) = — 1500-0,866 + 2 600-0,5 —— 5-300-1 = — 1500 кг;М(90°)=[М(90°)] =L+rP sin(90°—60°)—rTAM(90°—60°)-{- +Р<>г2Ам (90° — 0°) = — 3 -105 + 300(— 1500)0,5 —— 300 (—2600) 0,1340 — 5-300М = -8,7-105 кгсМщНаибольшие нормальные напряжения (сжимающие]} будут в сечении А во внутренних волокнах бруса:4 500N Мшах а =	4-	=F W8,7-10»59761,2 1 530 кг /см2.Перемещения конца бруса но, а>о, У о, определим из условий равенства нулю перемещений в защемлении:? (90°) = <р0 + [<Р (90°)] = <р„ —— jj- |rPCQ (90°—60°) — rTCN (90° — 60°) ++ L("Г“т)+ РоГ*Вм (90~°°)} = °*Рис. 9.3откуда300<Ро:1,88-1010300(—1500)0,1340-— 300(—2 600)0,0236—3-105 -g-_5-3002-0,5708| == — 0,0073 рад. ; и (90°)=«0 cos 90°+а>0 sin 90°—<p0r sin 90° + [и (90°)] = 0; 300*w0=—0,0Q73• 300— t 881Qi0 [300 (-1500) 0,0233++300 (— 2 600) (—0,0031) — 3-105.0,134 ++ 5-3003 (—0,2156)] = — 1,5 cm;
9.1. НАГРУЗКА В ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ521w (90°) = w0 cos 90° — sin 90° + <p0r (1 — cos 90°) + + [W (90°)] = 0;3002u0=—0,0073*300+[300 (—1 500) (—0,0031)+1,88*101°+ 300(— 2 600) 0,0004 + 3.105 • 0.0236 +4-5-3002*0,0708] = — 2,0 cm.Пример 9.2. Вычислить реакции опор двухшарнир- ной арки с круговой осью радиусом г=200 см, нагру¬ женной в точке С вертикальной силой S (рис. 9.3). Изгибная жесткость балки £7=const.Разлагаем силу S по направлению радиуса и каса¬ тельной в точке С:Р=—5cos30°=—0,866 5, Г=5 sin 30°=0,5 5.Выбрав сечегние В в качестве начального, имеем в нем три неизвестных начальных параметра Qo=Rb9 Nq=Tв и <р0 = <рв , остальные начальные параметрыравны нулю: M0=U0=w0=0.Искомые величины находим из условий равенства нулю изгибающего момента и перемещений и и w в се¬ чении А:МА = М (120°)=#в г sin 120°—TBr (1— cos 120°) ++ г (—0,866 5) sin 90°—г 0,5 5Лд,(90°) = 0;Т в = 0,577 RB — 0,911 5(этот же результат можно получить из уравнения равновесия арки, приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно точки А);Рис. 9.4ША = и (120°) = - ?0 г sin 120° + [/?„ гА0 (120°) +Ы+ TBrAN (120°) + г (— 0,866 S) Aq (90°) ++ r0,5 SAn (90°) = 0; wA — w (120°) = <р0 г (1—cos 120°) ++ -Jl [RB rBQ (120°> + TB rBN (m°) ++ r (—0,866 S) BQ (90°)+r 0,5 SBN (90°)] =0.Значения коэффициентов А и В берем из табл. 9.2. Исключив <Ро и подставив значение Тв , получимRB = 0,042 5; Тв = — 0,887 5.Реакции в шарнире А находим из уравнений равно¬ весия арки:Ra = 0,247 5; Гл = 0,368 5.Усилия в ключевом сечении бруса, защемленного двумя концами(рис. 9.4)Поперечная и продольная силы и изгибающий мо¬ мент в ключевом сечении вычисляются по формулам (без учета влияния растяжения или сжатия оси бруса):Д и<?=—s—;гдеN = -г— (Дад — Дф£);ДоМ=--г-!- +Ne,ьм/ sin S\ e=[l-—)r = Der;г* / sin 2? \(9.2)2 / Q EI’ sin 2{3 2sin2 pP„ r3 )~ N El'ьм = — ?• M EI p(9.3)Значения коэффициентов D даны в табл. 9.4 в функ¬ ции угла Р, меняющегося от 0 до 180°. Д и, Д w, Д <р вычисляются как разности перемещений концов правой и левой полуарок (рис. 9.4,6) под действием заданной нагрузки. Иначе говоря, это величины взаимных пе¬ ремещений торцов арки, разрезанной в ключевом се¬ чении. Соответствующие перемещения каждой полови¬ ны бруса вычисляются по формулам (9.1) от действия нагрузки на данную полуарку.Таблица 9.4 Коэффициенты для расчета круговых арок3 в град.(3 в радиа¬ нахDе°N00,000000,000000,000000,00000100,174530,005330,000150,00353200,349070,020250,000350,02767300,523600.045070,001670,09060400.698130,079260.006830,20573500,872660.122230,020300,38026601,04720'0.173030,047890,61420701.221730.230850,097570,90033801,396260,294690,178081,22526901,570800.363380,297561,570801001,745330,435750,462991.916331101.919860,510540,678562,211261202,094400,586520,945242,527401302,268930.662401,259322,761331402,443460,736931,612862,935861502,617990,809011,994003.050991602.792530,877532,387363,113931702,967060,941492,774753,138061803,141591,000003,141593,14159
522РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАРазложение заданной нагрузки на симметричную и антисимметричную группы позволяет свести весь расчет к расчету одной половины бруса. В случае антисимме¬ тричного нагружения Аш=0 и Д<р=0, т. е. N=0 и М=0. При действии симметричной нагрузки в нуль обращается Д и, а следовательно, и Q=0.Пример 9.3. Вычислить максимальные нормальные напряжения в ключевом сечении и в защемлении круговой бесшарнирной арки, симметрично нагруженной верти¬ кальными силами S=3 ООО кг и несущей равномер¬ но распределенную нормальную нагрузку интенсив¬ ностью р0=500 кг/м. Сечение арки — двутавр № 30а, материал — сталь, £=2,1 • 106 кг/см2 (рис. 9.5).Нагрузка и размеры половины арки те же, что и у бруса, рассмотренного в примере 9.1. Воспользуемся вычисленными в этом примере значениями перемеще¬ ний. Тогда Д и=0,Да> = 2 (— 1,5) = — 3 сму= 2 (—0,0073) = —0,0146 рад.Пользуясь табл. 9.4, находим для Р=90°*	= 0,363.300 = 108,9 см, ,•''-'■5708ТЖ^-2'256',оЛ2-300=м 1,88-101°1,5708=5.013-10 .Вычисляем усилия в ключевом сечении по форму¬ лам (9.3):л „ -3 + 0,0146-108,9 Q0=0; N0 =	— -----j	 625 кг;22,56-10-Mo—0,01465,013-10--625-108,9=2,17-105 кгем.Максимальные напряжения (сжатия) в ключевом сечении625 2,17-105 шах а——— — —rrz—= — 373 кг/см2.61,2597Усилия в защемлении получим, рассматривая левую полуарку под действием заданной нагрузки и найденных начальных параметров М0 и М0 в ключевом сечении. По формулам (9.1) и (9.2) получимQa — — 875 кг; NA = — 4 500 кг;МА = — 6,53 • 105 кгем.Наибольшие напряжения в защемлении шах а = — 1 170 кг/см2.9.1.2.	Круговые кольцаФормулы для усилий и перемещений при простейших нагрузках (табл. 9.5)На рис. 9.6 показаны положительные усилия, дейст¬ вующие на впереди лежащее сечение кольца в направ¬ лении возрастания угла а; /*и/у—изменение диаметра кольца в направлении осей хну. Знак плюс соответст¬ вует увеличению диаметра.Таблица 9.5Схема нагруженияУсилия и перемещения1»РЕ>М — Рг ^0,3183 — sin а);1 1N = — Р sin а; Q — — cos а;Afmax = + 0,3183Рг при а = 0 И тс;п 3Mmin = —о, 1817РГ при а = — и — я;тРг* Рг3 /,- + 0.137—; /,--0.149 —
9.1. НАГРУЗКА В ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ523Продолжение табл. 9.5Схема нагруженияУсилия и перемещенияР г , рПри 0 < а < ф М = Рг [0,3183 (sin ф — ф cos ф + ф cos а —— sin ф COS ф COS а) —cos а + cos ф] Г N — Р [0,3183 COS а (ф — sin ф COS ф) — COS а];Q = Р [0,3183 sin а (sin фсоз ф — ф) + sin а].При ф < а < тсМ = Рг [0,3183 (sin ф — ф cos ф + ф COS а — sin ф COS ф COS а)];N — Р [0,3183 cos а (ф — sin ф cos ф)];Q = Р [0,3183 sin а (sin ф cos ф — ф)];Рг3 Г 1 1 fx — 0,6366 (sin ф — ф cos ф) + — (sin ф cos ф — ф) ;Рг3 Г 11 /у = 0,6366 (sirnj; — ф cos ф)+ cos ф + sin2 ф- 1L\JLПри 0 < а<M=L ^0,6366 cos а — "2")*TZПри — < а < тс M=L ^0,6366 cos аL L^max=_f" 2 » ^min" ^ 'При 0 < а < tzL LN= 	0,6366 cos a; Q =—	0,6366 sin ar rПри 0 < а < ф М = L [0,3183 (2sin ф cos а + ф) — 1]; LN = — 0,6366 sin ф cos а;Q=— —0,6366 sin ф sin а. гПри ф < а < я М = L [0,3183 (2 sin ф cos а + 40];L L 	 0,6366 sin ф cos а; Q = —0,6366 sin ф sin а;А = 77 (0,6366 ф — sini}');El/у = Yj- (0,6366 <Ц- cosф — 1)
524РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ. ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАПродолжение табл. 9.5Схема нагруженияУсилия и перемещенияПри 0 <а< —М = Рг (0,3183 cos а + sin а — 0,8183);N = Р (0,3183 cos а + sin а);Q = Р(cos а — 0,3183 sin а).тгПри < О < 7СМ — Рг (0,1817 +0,3183 cos а);N = 0,3183Р cos а; Q = — 0,3183Р sin а;рг з	Р/-з/, = -0,1366 — ; /у = 0,1488 —При 0 < а < ф М — Рг [0,3183 (ф sin ф + cos ф + sin2 ф cos а — 1) — sin ф + N — Р (0,3183 sin2 ф COS а + sin а);Q = Р (cos я — 0,3183 sin2 ф sin а).При ф < а < п М = Рг [0,3183 (ф sin ф + cos ф + sin2 ф cos а — 1)]; N = Р-0,3183 sin2 ф cos а; Q = — Р-0,3183 sin2 ф sinsin aj;Рг3 Г 1fx=	 — (sin2 ф + 2) + 0,6366 (ф sin ф + cos ф — 1) — 2EI |_ 2(sin ф cos ф — Ф) + 0,6366 (ф sin ф + cos ф — 1)sin ф/у =РгЗ_EI— sin ф|При 0 < а < ф М = Рг [0,3183 (? sin <р + cos — ф sin ф — cos ф ——	sin2 ф cos а + sin2 <р cos а) — sin <р + sin ф];ДГ = р [0,3183 cos a (sin2 у — sin2 ф)];Q = P [0,3183 sin a (sin2 ф — sin2 «р)].При ф < а < <р М — Рг [0,3183 (сс sin ср + cos <р — ф sin ф — cos ф ——	sin2 Ф COS а + sin2 <р cos а) — sin ср + sin а];N = Р [0,3183 cos a (sin2 <р — sin2 ф) + sin а];Q = Р [0,3183 sin a (si 2 ф — sin2 <р) + cos а].При <р < а < п М = Рг [0,3183 (ср sin <р + cos ср — ф sin ф + cos ф ——	sin2 Ф cos а + sin2 ср cos а)];N = Р [0,3183 cos a (sin2 ср — sin2 ф)];Q = р [0,3183 sin a (sin2 ф — sin2 ср)];Рг8 Г 1fx = 	 — (sin2 ф + sin2 ср) + 0,6366 (<р sin ср + cos<p —EI |_ 2—	ф sin ф — cos ф) + 1 — 2 sin ср];Рг3 Г 1fy =	— (sin ср cos ср + ср —• sin ф cos ф — ф) ++ 0,6366 (ср sin <р + cos <р — ф sin ф — cos ф )+ sin ф — sin ср]
9.1. НАГРУЗКА В ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ525Продолжение табл. 9.5Усилия и перемещенияМА =РГ‘М-тсНа участках 1—4 и 2—3 М—МА — Рг (1 — cos а).На участках 1—2 и 3—4А " Рг (1 — COS ф)= const = Мд —шах {шах1 „ / COS а	1 \Т y) при0<а< + ;(+Ai)-TPr(7taf“T) пр« « = °.24',4Ф.--.;(—М) = — Рг — ctg ф jB точке приложения любого груза. Радиальное перемещение точки приложения грузаРг3 2 EIГ— (-[ sin2^ \ 2+т)](наружу).Радиальное перемещение в точках а = 0,2ф,4ф,... Рг3 4£72	1	Ф cos <]Л— — . — ~ оТ (ВНУТРЬ) ф sin ф sin2 ф /
526РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ. ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА. И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАРасчет круговых шпангоутовШпангоут, подкрепляющий цилиндрическую оболоч¬ ку, может нагружаться в своей плоскости сосредото¬ ченными силами и моментами, уравновешивающимися касательными усилиями со стороны стенки оболочки, которые распределены вдоль оси кольца. Радиус оси кольца обозна¬ чен г, радиус срединной поверхно¬ сти оболочки R.„ Возможны тф.и случая располо¬ жения кольца (шпангоута) отно¬ сительно стенки оболочки: симмет-Рис. 9.7\QtohРис. 9.8ричное r=R (рис. 9.7,а), внутреннее r<# (рис. 9.7,6) и наружное r>R (рис. 9.7,в). Погонная лнтенсивность результирующих касательных усилий, передающихся на кольцо в случае нагружения одной радиальной силой Р, определяется по формуле (рис. 9.8)<7(P)=-7-sinp.	(9-4)Изгибающий момент в сечении Р кольца от дейст¬ вия нагрузки и начальных параметров Qo, N0t М0 равенМ(Р)=М0+А^0^ (1—cos Р)—Q0R sin р— f <7(P)rfco. (9.5)оОпределив начальные параметры по правилам рас¬ чета статически неопределимых систем, получим урав¬ нение эпюры изгибающих моментовА*(Р)= 7^(МпР+ -у cosp— lj = PrkM-(9.6)Л1(Р)не зависит от R, т. е. от расположения кольца относительно стенки оболочки. График безразмерного коэффициента kM представлен на рис. 9.9. Уравнения эпюр продольной и поперечной сил имеют видАГ(р) = ^-(—cos р — ^-cosp—pcosp) =PkN\ (9.7)2	тс \ г	^	/Р I 2 R	3 \Q(P) = — (cos p-h — sinp— — sinpj = P£Q . (9.8)Положительный знак усилий соответствует направ¬ лениям Mo, Qo, N0 на рис. 9.8. Графики безразмерных коэффициентов kN и kq даны на рис. 9.10 и 9.11 длятрех значений: —0,8; 1 и 1,2. В случае нагрузки со- Rсредоточенным моментом L (рис. 9.12) уравнения эпюр усилий будут?<w=- L2’М®Q(P)1 „ L t N (Р) =— — sin р= — kN;ГК	ГL (	1 r \ L= 7ДС05Р“Т-_) = Т*<=(9.9) (9.10)(9.11)(9.12)Графики коэффициентов kM, kN,kq см. на рис. 9.12—9.14.При нагрузке тангенциальной силой, действующей на расстоянии г от центра кольца, труба испытывает одновременное действие изгиба и кручения. Уравнения эпюр при 0< Р < я:,9.13)м (р) = Ъ (тsin Рнз cos )= Ргк«' (9,14)Р I	2 R	3 \(Р) = ~ (Р cos р + —sin р——sin pj =PkN; (9.15) Р I 2 R Q (Р) = — I Р Sl'n Р —	 COS р+\	л(9.16)+ ~ cos Р— +) = Pk(Графики коэффициентов kM и kq даны на рис. 9.15 и 9.16. Коэффициент kNB формуле (9.15) имеет то же значение, что и в случае радиальной силы (см. рис. 9.10).Если тангенциальная сила действует на расстоянии R от центра, то уравнения эпюр имеют вид<7 (Р)= ^ (cos р — -j-j;	(9.17) м (Р) = у ^2 sin р— -^-cos р— -^-sinp-p ) = РЫМ;	(9-18)N<M = (р cos р+ -у sin pj = PkN;	(9.19)Q (P) = (p sin p+ -y cos p—lj = PkQ . (9.20)График kM формулы (9.18) приведен на рис. 9.17. График kN формулы (9.19) тождествен с графикомгрис. 9.15, причем надо положить — =1. График kqRформулы (9.20) тождествен с графиком рис. 9.11.При произвольном расположении сосредоточенной нагрузки она заменяется тремя компонентами — ради¬ альной силой, тангенциальной силой и сосредоточенным моментом. Окончательные эпюры М, N, Q получаются путем суммирования эпюр от действия отдельных ком¬ понентов.Проверка сечения кольца выполняется по формулам сложного сопротивления, причем в состав рабочего сечения кольца рекомендуется включать часть стенки оболочки вблизи шпангоута (поясок шириной 10—15 t, где t—толщина стенки). Наиболее напряженными оказываются крайние волокна кольца, удаленные от стенки трубы (оболочки). Влияние кольца на напря¬ женное состояние оболочки обычно не учитывается.Формулы для расчета круговых колец, нагруженных произвольным числом сосредоточенных сил и моментовПравило знаков для внешних сил дано на рис. 9.18,а, для внутренних усилий — на рис. 9.18,6.
9.1. НАГРУЗКА В ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ527Рис. 9.15Рис. 9.16Рис. 9.17
COft	РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ. ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАО^о	• -	•	1		 — . . ------Таблица 9.6Таблица функций Г(а), П(а), Н(а) для расчета круговых колец, нагруженных в плоскости кривизныНечетныеЧетныеа в град.Г = Пн..II = Н = ГГ = Пп л = г w = ГII,ГИИиПQ NмМ и <рw иQ N М0аW <рW0+0,500000.5000U00—0,238730.205290,042960,033440,00952100,451310,416950,034360,00719—0,155520,125290,039110,030230,00888200,389780,335580,054200,01395-0,081920,059640,029320,022280,00704300.321050,257510,063540,01731—0,019590,007950,015980,011640,00434400.246750,184280,062470,018870,02986—0,030510,001810,000650,00116500,171160,117280,053880,017990,06632—0,05.674—0,01168—0,00958—0,00210600,097750,057670.040080,014940.09059—0,07189—0,02295—0,01870—0.00425700,028930,006450,022480,011370.10076—0,07735—0.03062-0,02341—0,0072180—0,03013—0,035700,005570,004470.10059—0,07466—0.03442—0,02593—0,0084890—0.07957—0,06831—0,01126—0,001560.09084—0,06545—0,03479—0,02539—0,00940100—0,11696—0,09125—0,02571—0,007210,07351—0,05138—0,03019—0,02213—0,00806110—0,14128—0,10467-0,03661—0,011890,05078—0,03415—0,02292—0.01663—0,00629120—0,15225—0,10900—0,04325—0,015090.02497—0,01537—0,01351—0,00960—0.00391130—0,15024—0,10495—0,04529—0,01653-0,001610,00314—0,00293—0,00153—0,00140140—0,13627—0,09349—0,04278—0,01610—0,026770,020830,007690,005940,00175150—0.11196—0,07582—0,03614—0,01391-0,048570,035680,017270,012890,00438160—0,07942—0,05331—0,02611—0,01019-0,065380,047010.024880,018380,00651170-0.04117—0,02750—0.01367—0,00539—0,075960,054100,029750,021860,007891800000—0,079580,056510,031430,023070,00836(9.21)Положительными считаются перемещения: радиаль¬ ное ы(а), направленное от центра кривизны, тангенциаль¬ ное до (а)— в сторону возрастания угла « и угол поворота <Р (а) — по часовой стрелке. Усилия и перемещения вы¬ числяются по следующим формулам:Q («)= 2 (а—о i) + ^ Ti (“—аг) ——	— V Lt cos (а—аг); nr#(«)=■£ +^:YiPt ++	1*<)— — \£<sin(a—.*<);“	Tir "M (<X) = Г ^ Pi тм (a—a{)+r 2 THM (a —a,) -f + 2 (a—“<)> w (a) = &! COS a -f 52 sin а -{- лр0 ——	~ P Я/ Гц,(а—аг) + ]£] Ti П„, (а—<ц)++ (а~‘**)]'> и (a)=Bj sin а—В2 со.. + £[2 Pfiu(a—al)—	5>и (а—аг) — -у- Li Ни(а — а;)|;® (“)=¥о +	(а—+ г П? (О—а<) + — ^ ЦII,f (а — af)j.Суммирование ведется по всем силам и моментам, нагружающим кольцо, включая и реакции опор, опре¬ деляемые из уравнений равновесия кольца или из ре¬(9.22)шения статически неопределимой задачи (в случае числа опор, большего трех). Положительный угол а отсчиты¬ вается против часовой стрелки. Выбор начала отсчета — произвольный. -a—<*г — кратчайшее угловое расстояние между сечением, в котором приложен данный силовой фактор, и сечением, в котором определяется усилие (или перемещение).^, &2, То — перемещения кольца какРис. 9.18абсолютно твердого тела, т. е. поступательные переме¬ щения вдоль двух взаимно-перпендикулярных осей и угол поворота кольца вокруг центра (рис. 9.19). Они определяются из условий опирания кольца (см. при¬ мер 9.4).Значения функций влияния Г(а), П(а), Н(а) да¬ ны в табл. 9.6. Эти функции имеют период 2“. Функции*N = rAf= » не,	= П, и — четные, т. е.сохраняющие знак при перемене знака аргумента. Функции 1^ = 11^, Ям, Им=Яи = Г? Tw = Пц нечет¬ ные, меняющие знак при перемене знака аргумента. Это необходимо учесть при пользовании табл. 9.6, где все функции вычислены для а от 0 до 180°. Если угол между силой и рассматриваемым сечением больше 180°, то вместо него берется со знаком минус угол, до¬ полнительный до 360°, т. е. кратчайшее угловое рас¬ стояние между силой и сечением. Для отрицательных углов все нечетные функции влияния изменят знак.Пример 9.4. Определить нормальные напряжения и перемещения сечения D кольца радиусом г=100 см, нагруженного, как показано на рис. 9.20,а, силами 5=500 кг каждая. Площадь сечения кольца F= 10 см2, момент сопротивления изгибу W=5 см3, момент инер¬ ции /=25 см4, модуль материала Е—2 • 10е кг}см2.
9.2. НАГРУЗКА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ62»о)	б)Определяем реакции опор из условий равновесия кольца:Ra =1,125-500 = 562 кг; Rc *62,5 кг; Vc*=500 кг.Переносим все силы на ось кольца с добавлением соответствующих моментов и разлагаем каждую силу на радиальную и тангенциальную составляющие. По¬ лучающиеся при этом нагрузки показаны на рис. 9.20Д Вычисляем продольную силу и изгибающий момент в точке D по формулам (9.21)ND = P1TN(0°)+PtTN (120°)-Pi+P22пГ1п„(0°)++ Г2 Пд, (- 60“) + Г, Пд, (- 150°) + Г4 Пд, (120°) ++ — [L, sin (-60°) + L, sin (120°)] = 0;КГЩ = г [Р,ТМ (0°)4 Р»ГД1 (120°)] + г [7\ Пм (0°) ++ Тг Пм (- 60°) + Т, Пм (- 150°)+Т« Я.м (120°)] + + L, (- 60°) + Ц Нм (120°) = 0.Подставив значения коэффициентов Г, П, Н из табл. 9.6, получим ND *=—275 кг, MD =5 600 кгем. Нормальные напряжения в сечении D равны—	275 5 600max а = ■10= — 1 150 кг/см2.Произвольные постоянные Ьъ Ь2, <ро в формулах(9.22)	для перемещений определяем из условий ра¬ венства нулю тангенциальных перемещений wA и Wq и радиального перемещения ис:WA = \ cos 0°+62 Sin 0°+г?о —	Г® (60°)++ P2TW (180°)+Г, П„ (60°)+Г2Пш (0°) + Т9 Пда (- 90°) + +Г4П4(180°)+ -у [I, Н. (0°) + Ц НИ1(180°)]| = 0;wc = cos 180°+82 sin 180°+r?0—	Гто (—120°) ++Я2 Г„ (0° )+Тг П. (-120°) +Г, П. (180°)+Г, Па.(90°)+34 Зак. 2098+r4nw(0°) +-^-[£1Hto(180°)+L,H,(0'“)] j == О; uc = sln 180®—S2 cos 180° +^—/р1Ги(—120°)-)-EI .+ Рг Гв (0°) — [7\ Пи(— 120°) + Tt Пи (180°) ++ 7',Лв(90‘) + Г4Пв(0в)] —-	-J- [Li HB (180°) + Lt Hu (0°)]J =0.Подставив значения функций из табл. ЯЛ с учетом знака угла и четности функции, получим8,	= — Ю-5 см, В2=5-10"4 см, ?0 = 0,5.10-*рад.Зная эти постоянные, вычисляем по формулам(9.22)	перемещения сечения D кольца:= — °,23cjw, Uq s= — 0,12 см,<pD = -3,5-10-4 рад.9.2.	НАГРУЗКА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ9.2.1.	Круговые брусьяОсновные обозначения и общие указания1Плоскость кольца считается- горизонтальной (рнс.9.21):®» Р — угловые координаты текущих сечений бруса;а/—угловая координата сечения, в котором приложен внешний силовой фактор (сосре¬ доточенная нагрузка); r — радиус кривизны оси тонкостенного бруса (линии, проходящей через центры изгиба сечений);1	Обозначения и изображения вектор-моментов см. п 2.1.3.
530РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ. ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАр — радиус кривизны оси массивного бруса (ли¬ нии, проходящей через центры тяжести сече¬ ний);#	— расстояние между центром изгиба (ц. и.) и центром тяжести (ц. т.) сечения.Примечание. Для бруса, имеющего сечение с двумя осями «имметрии (двутавр, коробчатое сечение), центр изгиба и центр тя¬ жести совпадают = р и е = 0).Внешние сосредоточенные силовые факторы, прило¬ женные в сечении с координатойPi— вертикальная сила;Li — изгибающий момент, действующий в верти¬ кальной плоскости;Ki — крутящий момент;Ci—бимомент (на рис. 9.21 не показан).Внутренние усилия в текущем сечении:Q(«)— вертикальная поперечная сила;М (*)— изгибающий момент;AfKW— крутящий момент;М{а) —момент свободного кручения;Шг) — момент стесненного кручения;B(i) — бимомент (см. 5.10.2),Перемещения:0(a) — прогиб бруса по вертикали;f(a) — угол поворота сечения при изгибе (девиа¬ ция сечения);fg(«)—угол закручивания Сечения;1(a)—относительный угол закручивания.Векторы Р, Q и v, перпендикулярные плоскости чертежа, изображаются кружком с точкой, если они на¬ правлены вверх, и кружком с крестиком, если они на¬ правлены вниз.Начальные параметры:Qo, Afo, А*ко, Mo. B0t v0, <р0» <Рко — значения внутрен¬ них усилий и перемещений в сечении, при¬ нятом за начальное;[0fWI. [Л <«Н.. [*«•(«)]. №(«)], [*(«)]. ЖЬhpWJ • [¥к(*)]— величины усилий и перемещений, зависящие только от заданных нагрузок и не включающие влияния начальных пара¬ метров.Жеспюстные характеристики сечения:EI — кзгибная жесткость;EI" — жесткость стесненного (изгибного) круче* ния;GIk — жесткость свободного кручения;, / GIкх = т 1/ ~гт— — изгибно-крутильная характеристикау	сотонкостенного бруса (аналогичная характеристика для прямого бруса в 5.10.2 обозначена k);	 EIП ——отношение жесткостей бруса массивного GlKсечения.Заданные нагрузки приводятся к оси бруса. В слу¬ чае бруса массивного сечения все силы переносятся в центр тяжести сечения с добавлением моментов: крутя¬ щего, — если сила переносится в плоскости сечения, и изгибающего, — если сила переносится из плоскости сечения, например, когда сила приложена к отростку балки (см. 5.1.2 и 5.1.6). В случае тонкостенного бруса вертикальные силы переносятся в центр изгиба сечения с добавлением крутящего момента К—Рар- Перенесе¬ ние крутящего момента в плоскости сечения не вносит изменений в характер деформации бруса. Если же крутящий момент приложен к отростку, выходя* щему за пределы сечения вдоль оси бруса, то пе¬ ренос К в сечение требует добавления бимомента £=» *=Как. Перенос распределенной нагрузки вызывает появление соответствующих распределенных моментов н бимоментов. Бимомент считается положительным, если он увеличивает кривизну верхней полки и умень* шает кривизну нижней полки бруса.Более подробно об определении усилий в тонкостей* ном брусе см. 5.10.2 и 5.10.3.Обозначения и травило знаков соответствуют рис. 9.21Формулы для усилий и перемещенийкругового бруса при простейших нагрузках (табл, 9.7)Общие формулы для расчета брусаг нагруженного сосредоточенными сила¬ ми и моментами (формулы для распределенных нагрузок см. [3]).Обозначения и правило знаков соответствуют рис. 9.21,Определение усилий в произвольном сечении массивного и тонкостенного бруса (рис. 9.21)%
Таблица 0.7Усилия и перемещения консольного кругового бруса массивного сечения, нагруженного перпендикулярно плоскости кривизны (отношениеEI \жесткостей изгиба и кручения п== ——GIKIСхема нагруженияАV4hkftp=constTy/ZV. —1Изгибающий момент М(я)— Рг sin аL cos а— К sin а— ргъ(\ — COS а)Крутящий момент Мк(а)— Рг( 1 — cos а)L sin аК COS а— рг2(а — sin а)Вертикаль¬ ный прогиб кон¬ ца консоли V (0)РгЧЪп + 1 я— 1 .—— д ф-t- sin 2 ф — EI \ 2 4— 2 n sin ф|Lr2 Г1 — n Ii/| 2 smi'l'~',(1-cosWКг2 Г п — 1Е1 «sln+ 4 sln24'JJ-|о — cos Ф)2+ n(<f—sin^)2JУгол поворо¬ та концевого сечения (0)Рг^Гп—1Е1 2 sln2'H-«(1—соэф)Lr/n + i n— 1 . \ £/ ( 2 4 Sln2*JКг п-1 EI • a sin ф^[(n+l)(sin^-i)+л— 1 1+ sin 2ф — я ф cos фУгол закру¬ чивания конце¬ вого сеченияТк(0)Рг2 In — 1 EI ( 4 sm2 + ++ 2 ф—ЛБШф^Lr n~1 • .. EI • 2 511,4Кг п — 1 \ EI \ 2 * + 4 s,n2+)JJ- [(л + \)( 1 — cos ф) —Л 1 1— ^ (1—cos 2 ф)—л Ф sin ip I19.2. НАГРУЗКА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ
532РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ. ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА. И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАQ(«) = Qo-bS^i: *М (а) = М0 COS а — (Mko+KW Sin а ++ J] Ц COS (а—а ft — S (^ + rPi) sin(® “ а*)'»(9.23)мк (а)=МК0 COS а+Л40 sin а — Q0 г (1— COS а) ++ 2 /Сi COS (а—а/) + Li sin (а“аг) “—	Г 2 Я/ [1—COS (а—а*)].Кроме того, для тонкостенного бруса необходимо вычислить еще следующие усилия.Момент стесненного кручения—	= % sh xa-4-sin a „ xshxa М (о) = М0 ch xa + М0	——	Ь в0% ~р 1	тCh ха — COS а(^ко 4~ fQo) 2 I 1Т-2+1+ ~~~7 У\ Li sh x (a—ai) + sin (a—ai)l +x2 + 1 "+ 	 ZjQ shx(a — a/)—/• "—	’	>j pl [ch * (a~ai) — COS (a — a/)] +x2 + 1 "+ 7-7-7 У] Ki [x2 Ch x (a at*) + COS (a—a*)]. (9.24) x2 + 1 “Бимомент= rshxa	r (ch xa—cos a)В (a) = B0 ch xa+ M0	h M0	x2+l	 (^ко + гСо)r2r (sh xa—x sin a)x(x2+l)/ 9 . 14Zj^i[shx(a —a*)—xsin(<z—a*)] +X (y.2 + 1) “4- • Г,7 Zj fch % (a — ai) — cos (a — ai)\ +x2 -f- 1+ Yfii Ch X (a—ai) ++ a Г— У\ Ki [X Sh X (а a/) + sin (a — a/)]. (9.25)x2 -}- 1Момент свободного крученияУИ (а) = Мк (а) — М (а).Перемещения массивного кругового бруса (рис. 9.22) Прогиб по вертикалиv (а) = V0 + у0rsina — (pKOr(l— COS a) -fг24-	{Q0/- [sin a—a COS a—П (2a—3 sin a4~a COS a)] ——	M0 [a sin a4~n (2 COS a4~a sin a—2)] 4"4- MK0 («4-1) (sin a—a cos a)} 4- [v (a)]. (9.26)Угол поворота сечения при изгибе (углы считаются положительными, если, смотря со стороны острия стрелок,Рис. 9.22показанных на рис. 9.22, видим поворот сечения протша часовой стрелки)ср (a) = ср0 cos а—срк0 sin а 4-г4- {Qo т ta sin aJrn (а sin а+2 cos а—2)]——	М0 [sin а4~а COS а 4-л (a COS а—sin а)] 4~4- Мк# («4-1) а sin а} 4- [<р (а)].	(9.27)Угол закручивания сечениясрк(а)==срк0 cos а+То sina4- Q°b 6РУС0 ^+ 2Ш {Q°r {П+4- 1) (sin а—a COS а) ——	М0 (п 4-1) а sin а ++ Мк0 [sin а—a cos а 4- 4- п (sin а-{~а cos а)]} 4~+ [сркИ]. (9.28)Перемещения тонкостенных брусьев (рис. 9.22). Про*гиб бруса по вертикалиV (a) = V0 4- ср0 г sin а—срк0 г (1 — COS а) 4~4- [Q. r^Q («) + А*0 (а) + ^ко ПК (а) ++ leE(a)+B0-J-nB(e)J + [o(e)]. (9.89)Угол поворота сечения при изгибе<Р (<*) = «ро COS а — <рко Sin а 4-+ |Qo г Фд (я)+М0 Фм (а) + Мм Фк (a) -f+ % ^ (а) + В0 -у фв (a) j + [<f (а)]. (9.30)Угол закручивания сеченияТк (а) = <Рко COS а 4- ^р0 ein а 4-г+ гГQor Vq (в) + Mo (а) + Мк0 WK (а) ++ % ¥ (а) + В0 -j- (а) ] +[?к (а)]. (9.31) Относительный угол закручивания(9'32)Функции влияния начальных параметров в форму¬ лах (9.29) — (9.31) вычисляются следующим образом:I\q (a) = (sin a—a COS a)4> tl |—sh xa(хЧ-1)22a COS a 1(x2+l)4-x2 (3x2 4- 5)	x2a4- 	:	sin a— —■2 (x24~l)2	21	Г x2a sin anM(a)--Tasin a-nCh xa+r.2 (n2+2)+ (X^+I)» C0Sa'+ (x*+l)*(9.38)
9.2. НАГРУЗКА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ533Пк (а) = — (sin а—а COS а)++; [2 sh ха-f-2*(*2+1)2+ х (х2— 1) (x2-f 2) sin а—х3 (х2 -fl) а cos а]; ПП (а) = •-	(х sin а — sh ха);х (х2 + 1), пПп/а)=— 	(х2 —|— 1—х2 COS а—Ch ха):В К > х2 + 1■I;1	Г ch хаФ<? («)=—« sin а+« ^ + 1)2 +х2а5ша_ хМ^+2)	Л^ 2(х2+1) (х2+1)г	Jф (а)=—о cos а—sin о + п(7.2+3)2(х2+1)2 х2 а cos а	х sh хаsin а—г}2(х2+1) (х2 + I)21	п ГФк(а) «=— « sin а+ ^ + 1)2 j^ch ха + -f- -у- X2 (х2-}-1) а Sin а—cos а|;Ф(а)-	(cosa—Chxa);'х2+ 1«B(a> = ^T(xsina_shxa);ЦГф (а) = -у (sin a—a COS а)+л. 	—	[х (х2+3) sin а—+ 2 (х2 + I)2 1—	х (г2 + 1) a cos а — 2 sh ха]; «■M(«) = — "у »sina +(9.33)(9.34)+-(х2+1)2-	j^ch ха — — (х:,2_|_1) а sin а—COS аWK (а) = — (sin a—a COS а) —	 	-	I х2 (х2+1) a cos а -4-2(х2+1)21+ [х2 (X2 + 1) + 2] sin а + 2х sh xaj;=	nv (<*) = , ГТ (х sh xa + sin а);X2 + 1	¥я (а)= . — (Ch ха — COS а).°	X -р 1Выражения для грузовых членов [»(а)1, [ <р(а) ] и [<рк(а>] получаются аналогично соответствующим чле¬ нам формул при замене Qo на Р/, Мо на L>u Л1ко и на /С/, В0 на С/ и а на а — а,-(см. [3]).Начальные параметры определяются из условии за¬ крепления бруса. На свободном конце бруса Q0=M0=(9.35)=Мко=0. Над концевой шарнирной опорой М0=МК0= =В0=0 и t>o=iP. Для полностью жестко защемленного конца МК0=М0, сро=?ко=0. При защемлении, не препятствующем свободной депланации торца бруса, £о=0, «ро=0, <Рко =0, Уо=0. В случае статически неоп¬ ределимого закрепления бруса для вычисления началь¬ ных параметров приходится составлять и решать систе¬ му канонических уравнений (см. рис. 9.24).Пример 9.5. Вычислить максимальные напряжения в защемлении и перемещения конца криволинейной консо¬ ли А С радиусом г=100 см, с центральным углом ф = =90°, нагруженной в точке В сосредоточенной силой Р = 200 кг (рис. 9.23). Сечение консоли — двутавр № 20а, материал — сталь, Е = 2,1 • 106 кг/см2, G = = 0,8-106 кг/см2. Учесть влияние собственного веса балки.По сортаменту находим1	— 2 370 см*; /к= 14,8 см*; = 13 120 см% погонный вес балки р = 0,279 кг/см; W= 237см3; Wш = 284,3 см*;EI = 0,5* Ю10 кгем2; « = 420; х = 2,074; sh — = 12,98;2XTt	X7t	X7Ich — = 13,02; sh — = 2,45; ch — = 2,65.2	4	4Вычисляем начальные параметры в сечении А из условий:«(f)-0-	в(т)-°(для свободного конца) и Мо=Мк0 (для защемленного конца). Величины силы Р и собственного веса р следу¬ ет брать со знаком минус, так как они направлены сверху вниз. По формулам (9.23) получимQ (-yj -- Qo—200—100 • 0,279 у = 0; Со = 244 кг: = М. cos-^--(MKO+100.244) sin -у —Я ~2~in у — ЮС2-0,279 ^ sin (-у —pj d} = 0;М—	100-200 sinМк0 = — 7 470 кгем:( к \	п	кМК 1 — 1 =Мкп со> — 4- М0 sin — — —244.100 ^1—cos -yj + 100-200 ^1-cos yj +
534РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА. И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА'I-j- 1002-0,279 j^l-cos^ — pj rfp = 0;*0М0 = 16 950 кгсм\M0 — Мко = — 7 470 кгсм;(тс \	хтс 100	„	хтсT)=BochT+T(-7470)shT ++100100	/ ХТС	ТС \—		 16 950 I ch —- — cos —- —х2 + 1	V 2	2х(1. + „ (-И70+Ш.2«)(„, ^ sin ) +1002-200 /хтс	тс \• __*sin_j++%(%2+i)sh+100»-0,279 »(*•+!)Я3”' (f ~р)— х sin — р j j rfp = 0, Б0 = 147 000 кгсм2.Наибольшее нормальное напряжение в защемлении равно°шах=	^ = 590 kzIcm? .По формулам (9.33) вычисляем величины функций влияния сосредоточенных силовых факторов на прогибконца балки:п«(т) = 9’74- п<г(т) = 0,34’пк = ®(fj—*17-Пв(-у)“-611.Вычисляем величину прогиба по формуле (9.29).Перемещения начального сечения z>q= <р<>= ?ко=0:100*0,5-1010(244.100.9,74—1 690-41,4—147 000— 7 470• 249+7 470-417 —	611-200 100 0,34 —— 100**0,279-1,99) = —0,25 см.Знак минус показывает, что прогиб направлен вниз (правило знаков для перемещений см. рис. 9.22). Если прогиб вычислить по формулам для стержней массив¬ ного сечения, то получится величина, большая пример¬но в 7 разv(-r) = — 1,722 /см и не соответствующаяэксперименту. Прокатные кривые балки следует рассчи¬ тывать с учетом стесненного кручения. Аналогичновычислены углы поворота?	—0,0059 рад.=—20'.<рк (^2~J “О’ОО65 рад.=22'. Так как Msш--"(f)+M(f)-°’“ "(f)—-“(f) -= —1 630 кгсм. Депланация конца консоли по форму- ле (9.32) » = —1,38- 10~4 >/см.Усилия в ключевом сечении тонкостенного бруса, защемленного двумя концами (арка, эркер)Задача определения усилий в ключевом сечении С бруса, показанного на рис. 9.24, является статически неопределимой. Разрезав брус по оси симметрии ОСш вычисляем перемещения торцов половин бруса от деЙ*Рис. 9.24ствия заданной нагрузки по формулам (9.29) — (9.32). Разности соответствующих пер€мещений определяют взаимные перемещения торцов в разрезе: До, A'f, А?* иД& Усилия в ключевом сечеиин С вычисляются по формулам (9.36)Q = — (Да + Д<рк rfi); М = —-^(Д<р —Д»<**);£ = —— -Md2,где2 г»01кX2*а+1Г(х sin ф ctg х 4*—cos 40—г;х2 + 1xjioio ф\Ч /(9.37)GJKГGI кО/кЬвrtil к *(9.38)Значения ёи d2 и коэффициентов Л приведены в табл. 9.8—9.13 в функции величины х и центрально¬ го угла ф« В случае симметричной нагрузки А .. *= Д <рк =0; следовательно, обращаются в нуль Q и Мк. При действии антисимметричной нагрузки А <р *= Д$ =0, поэтому М=0, £= 0.Произвольную нагрузку, приложенную к брусу, ре¬ комендуется разлагать на симметричную и антисим¬ метричную. Это позволяет свести весь расчет к расчету одной половины бруса.Пример 9.6. Определить усилия в ключевом сечении бруса, жестко защемленного концами и нагруженного симметрично расположенными силами Р=200 к*
9.2. НАГРУЗКА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ535Значения d\ (в долях радиуса г)ф в град.1.02,03,04,05,06,07,08,09,010,0400,05020,05150,05330,05500,05770,05960,06160,06320,06470,0663500.08000,08300,08730,09130,09600,09980,10320.10600,10840,1109‘ 600,11750.12390,13200,13940,14710,15310,15850,16270,16640,1699700.16400,17560,18940,20190,21340,22240,23020,23540,24160.2465800,22300,24000,25950,28100,29790,31080,32190,33050,33800,3502900,28720,31860,35200,38020,40420,42280,43820,45050,46070,46991000,36640,41420,46340,50410,53790,56420,58570,60420,61740.63021100,45800,52880,59960,65760,70530,74250,77300,79770,81830,8 *641200,56170,66360,76700,83670,91380,96731,01131,04741,08061,10401300,67870,81850,95781,07401,17071,25421,31361,33991,41341,45351400,80180,98701,17521,33741,47601,59101,68881,77201,84381,90721500,92151,15031,39141,60921,80311,97112,11892,24852,35992,46701601,01871,26561,53831,80462,04372,27242,43062,67202,84853,01311701,06021,25321,47601,70161,92702,14о02,35942,56672,76822,96441801,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000Таблица 9.9Значения d2 (в долях радиуса г)1.02,03,04,05,06,07,08,09,010,0100,00510,00500,00490,00480,00470,00450,00430,00410,00390,0037200,03170,01910,01790,01640,01480,01310,01170,01020,00890,0079300,04370,03920,0 Ш0,02930,02440,01950,01640,01350,01120,0094400,07500,06440,05160,04020,04100,02380,01860,01480,01190,0098500,11220,0896О.ОбоЗ0,04790,03480,02580,01950,01520.01210,0099600,15390,11310,07750,04980.03G70,02650,01980.01530,01220,0099700,19670,13520,08560,05260,03780,02680,01990,01540,01220,0099800,24000,15160,0.-ЛО0,05500,03810,02)90,0200ч,01540,01220,0099900,28250,16540,09460,05810.03830,02700,02000,01540,01220,00991000,32270,17600,09690,05840,0^850,02700,02000,01540,01220,00991100,35920,18300,09820,0~860,03850.02700,02000.01540,01220,00э91200,39150,18950,09900,05870,0-850,02700,02-,00 01540,01220,00991300,41990.19350,09950,05880,03850,02700,02000,01.540,01220,00991400,44460,19610,<>9980,05880,03450,02700,02000,01540,01220,00991500,46440,19790,09990,05880,03850,02700,02000,01540,01220,00991600,47900,19900,10000,05880,03850,02700,02000,01540,01220,00991700,49090,19960,10000,05880,03850,02700,02000,01540,01220,00991800,50000,20000,10000,05880,03850,02700,02000,01540,01220.0099Таблица 9.10Коэффициенты Aq1,02,03,04,05,06,07,08,09,0*> 110,0400,000100,000950,001830.00Г680,003540,004400.005300,006100,007050,00790500,000900.002F00,004520,007-00,008400,01040,01230.01420,01600,0180600,001900,006900,016000,0к1800,02“200,02880,03290,03840,04300,0470700,00*600,01990,03830,05440,06400,07700,0}-400,08750,08i50,0890800,00780,04760,08070,13100,15410,17800,19650.21Ы50,2*1300,2420900,03500,11220,19500,28300,32600,37400,42400,44000,47500,48701000,07660,23660.46000,56500.66300,7490,8200,8250 <430,9681100,15430,47700,80201,09(01,28501,4(01,5951.7181,8 "*21,Р881200,32251,01401.55702,1(402,44902,7753,0403.2483,2613.5951300,55101,79002,83403,82ь04,^7905,Г>085,7736,2516.5936.8971400.9Я093.25605,1с07,01b8.5189,80510.89411 «4712,(5813,3301501,7215,3729,22712,7о415,80518.49420,84699 94024,98426,4101ь02.8339,17116.1182^,79529,04137,79040,08244 96449.47853,6371704,67815,03426,97639,16951,15862,; 0274,34385 4619*,274106,771807,24523,14341,62760,84380,32999,932119,57139,26158,96178,67
РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАБ36	пт "Таблица 9.11Коэффициенты АмS4^n^1.02.03,04.05,06,07,08,09,010,0400,00650,02330,04380,06390,08110,09560,10750,11720,1255•0,1324600,01880,0^250,11060,15230,18510,21070,23100,24720,26030,2713600,04330,13520,22420,29400,34520,38370,41300,43600,45460,4696700,08530,24940,39070,49200.56290,61420,65260,68220,70570,7245800,15000,40950,62000,74280,83210,89510,94140,97751,00431,0265900,24020,61420,87371,03551,14051,21281,26501,30421,33481,35921000,35700.85641.17021,35511,47131,54951,60521,64651,67861,70381100,49901,12461,48251,68271,80481,88521,94261,98302,01482,03961200,66121.40331,79181,99842,12072,19962,25412,29362,32342,34691300,8.3461,67582,0/962,28432,40152,47562,52572,56172,58852,60921401,01201,92672,33062,52662,63362,70032,74442.77562,79862,81611501,18302,14222,53302,71282,80912,86692,90442,93042,94912,96331601,33732,31342,68142,84332,92702,97603,00693,02783.04273,05381701,46852,43652,77732,92122,99363,03493.06053,07733,08923,09771801,57082,51332.82742,95693,02063,05683.07883,09323,10333,1105Таблица 9.12Коэффициенты АкX4» » град.1,02,03,04,05,06,07,08,09,010,0400,1990,7301,4682,2733,1153,9624,8125,6586,5017,339600,3611,2712,4273,6524,8806,1057,3178,5239,72410,916600,5711.9163,5105,1266,7248.2J99,85511,40012,93814,464700,8152,0044,5866,5348,43510,30012,13813,96216,77517,573801,0753,2635,5497,7229,82811,88713,91216,33017,91519,812901,3303,8266,2748,56410,75512,89014,98517,06119,12121,1611001,5594,2396,7158,97911.12413,20715,24617,26419,26521,2461101,7424,4676,8298,93610,91312,82214,68716,52918,35520,1611201,9964,4966,6218,46010,16411,80113,39314,96416,51918.0561301,9274.3426,1357,6298,99010,28611,54212,77713,99815,2041401Л 214,0375,4486,5647,5538,4849,37910,25611,12111,9741501,8о83,6354,6625,4106,0456,6297,1837,7228,2518.7711601,7763,2023,8924,3234,6704,9685,2425,5045,7596,0071701.6702.8063,2483,4703,6123,7193,80й3,8883,9624,0321801,5712.5132,8272,9573,0213,0573,0793,0933,1033,110Таблица 9.13Коэффициенты А в**рад-V ^1.02,03,04,06,06,07,08,09,010,0400,60321,76902,91033,97005,06,07,08.09,010,0ВО0,70271,88122,96823,99245,06,07,08,09,010,0во0,78071,94022,98894,05,06,07,08,09,010,0to0,84011,96982,99614,06,06,07,08,09,010,0800,88451,98503,04,05,06,07,08,09,010,0900,91721,91253,04,05,06,07,08,09,010,01000,94571.99623,04,05,06,07,08,09,010,0НО0,95790.99823,04,05,06,07,08,09,010,01200,97012,03,04,05,06,07,08.09,010,01300,97872,03,04,05.06,07,08,09,010,01400,98502,03,04,05,06,07,08,09,010,01500,98942.03,04,05,06,07,08,09,010,01600,99252,03,04,05.06,07,08,09,010,01700,99472.03,04,05,06,07,08,09,010,01800,99632.03,05,06,07,08,09,010,0
9 2. НАГРУЗКА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ537(рис. 9.25). Сечение бруса — двутавр № 20а, радиус кривизны оси r= 100 см. Вычислить максимальные на¬ пряжения в сечении С (геометрические характеристики сечения взять из примера 9.5).Рис. 9.25Проведем разрез по оси симметрии. В силу симмет¬ ричности нагрузки Qc =Mkq=0. Изгибающий момент Мс и бимомент Вс в ключевом сечении определяем по формулам (9.36). Взаимные перемещения торцов в разрезе равны удвоенному углу поворота и удвоенной депланации конца С половины бруса, которые ранее вычислены в примере 9.5:д<?с^—j = -o.om;Д» = 2»	— 2,756-Ю-4 .Из табл. 9.11 и 9.13 при * = 2,074 и ф = 90° находим Ам = 0,6333; Ар =2,067.По формулам (9.38) вычисляемЪм = 0,5349-10-8 ; Ьв = 1,746-10~9 . Находим искомые усилия по формулам (9.36): -0,0118— 16,2-2,756-10~4М=В =0,5349-10 ~5 2,756-10-'= 3 790 кгсм;1,746*10—93	790-16,2 = 96 Шкгсм2.Нормальные напряжения в ключевом сечении3	790 96 300 _ ®тят— 		 ~Ь 00 0 —355 KZf СМ2.237284,3Монорельс на трех и на четырех равноотстоящих опорахРеакции опор монорельса, подвешенного на трех тягах (рис. 9.26) и нагруженного силой Р посередине пролета:XНаибольший изгибающий момент (в сечении под силой Р). Ф/ м S1 2Мтах = м J = 2sin + (1_cos+)X sin Ф ^1 — cos j + + sin -j- (1 — cos ф) j Pr = CAPr.(9.40)Значения коэффициентов Си С2, С3, С4 даны в табл. 9.14.Таблица Э.!^ф в град.С1С2СзС4100,37600,75000,12600,0328200,37990,74790,12780,0660ЭО0,38500,74550,13150,0999400,39490,74230,13720,1351500,40700,73780,14480,1720600.42270,73200,15470,2114700,44260,72520,16780,2539800,46800,71680,18480,3008900,50000,70710,20710,35361000,54110,69560,23670,41451100,59470,68230,27700,48721200,66670,66670,33340,57741300,76730,64850,41580,69541400,91720,62740,54460,86191501,16450,60280,76731,1248Момент стесненного кручения М0 над опорой Л:=» Рг Г 3 ,	3Мп = 		— sh —— хф — х sin — ф —0	(*4-l)sh2*4 L 2 т	2—	Ci (sh 2*4' — * sin 2ф) — С2 (sh — % sin (|;)j . (9.41>V. —sin 4» ^1 — cos + sin '^“^1—cos2 sin ф (1 —cosP	CXP\vB=-COS — — COS фP = -C2p;1	— COS Фф	/ Ф \sin — (1 — cos ф) — sin ф 11 — cos — 12 sin ф (1 — cos ф)(9.39)
538РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАНаибольший бимомент (в сечении под силой Р)-7Ж°5Ь^2" +Рг2500'2002+х (х2 + 1)Ci•ф ф shx —— xsin —(9.42)Пример 9.7. Определить реакции связей и вычислить наибольшие нормальные напряжения в монорельсе ра¬ диуса г=200 см на трех подвесках, нагруженном сосре¬ доточенной силой Р=500 кг, приложенной посередине пролета и направленной сверху вниз. Центральный угол между смежными опорами ф =90°. Сечение моно¬ рельса— двутавр № 18: /к=11,37 смА; /=1 660 см4; /*=8219 см6; UP=185 см3; W211,3 см4; G = 0,8X ХЮ6 кг/см2] £ = 2,1 • 106 кг/см2.По табл. 9.14 находим коэффициенты и вычисляем реакции и изгибающий момент, учитывая, что сила, на¬ правленная сверху вниз, отрицательна:уд ==0,5*500 = 250 кг\VB = 0,7071 -500 = 354 кг\Vc = — 0,2071*500 = — 104 кг;MmSLX = — 0,3536 *200 -500 = — 35 360 кгем;«АА-. / 0,8-106. и ,37 " ^ у 2,1 -106.8219 ~ ’ ’ sh 2*4 = sh 14,44= 1,87-106;sh хф = sh 10,83= 50 500; shx+ = sh 7,22 = 683,8;18,48; sin 2 ф = 0;sh — = sh3,613	фsin —Ф = з!п—“0,7071; 2 T 2sin ф = 1;[50500 — 4,6-0,7071 —•«= 500-200M =		0 (4.62 H- 1) 1.87-10« —	0,5 (1,87- 1СШ — 4,6-0) ——	0,7071 (683,8—4,6-1)] =2 125 кгем-, вшах = ^2 125-18,48-4.6(4,62+l)35 3600,5 (18,48 -4,6-0,7071) =213300кгсм\ 213 300185■ = 1 200 кг/см2.211,3Наибольшие напряжения действуют во внутренних волокнах бруса: растягивающее — в нижней полке и равное ему по величине сжимающее — в верхней полке.Для трехпролетного монорельса (рис. 9.27) опасное положение силы посередине среднего пролета. Макси¬ мальные нормальные напряжения возникают в сечении под силой, максимальные касательные напряжения — в сечении над промежуточной опорой.Ki= vv =—-£-DtP;Vv = -j- D,P-максимальный изгибающий момент1■Mmax — M (Зф) — ^ D$Pr\максимальный бимомент^max—ВРг2[sh Зхф —■ (9.43)2х(х2+ 1) ch Зхф 1 — £>3х ch Зхф — D2 sh 2хф];Mmax=M (2ф) =Рг / ch 2хф—Р2 ch хф ch 2хф4-Р5сЬЗхф\ 2 (	(х2+ 1)сЬЗхф	}Мтах = М(2ф) = *Рг ch 2хф — Р2 ch хф с!12хф-|- Р5 ch Зхф 2	v*2 + 1) ch Зхф(М и М — крутящие моменты в сечении над опорами 2 и 2'),Значения коэффициентов D приведены в табл. 9.15.Таблица 9.15фв градDxD3D450,12541,12540,06600,00190,1235100,12791,12790,13130,00770,1202150,13171,13170,19980,01760.1140200,13711,13710,27020,03210,1050250,14471,14470,34390,ut>i70.09ЧП300,15471,15470,42260,07,40,0774350,16771,1о770,50780,i1и40,0574400,18481,1Q480,60160,io2/0,0321450,20711.20710,70710,20/10,0000500,23671,23670,82900,277tt—0,0411550,27701,27700,97440,^717—0,0947000,33331,33331,15470.5OO0—0,1667Если монорельс на закруглении имеет только один или два криволинейных пролета, то прямолинейный про¬ лет, примыкающий к закруглению, можно считать эк¬ вивалентным недостающему криволинейному участку. При числе пролетов больше трех рассчитываются три средних пролета балки без учета остальных (в запас прочности и жесткости).На рис. 9.28, а, б, в даны графики для подбора мо¬ норельсов на четырех равноотстоящих опорах (рис. 9.28, а, б, в) по заданному радиусу г и угловому расстоянию 2ф = 30°. Сечение — двутавр № 12. По рис. 9.28,6 для силы, приложенной посередине балки, определена на графиках по допускаемому напряжению Г0!2*
9.2. НАГРУЗКА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ539*=1 600 кг!см2 (сплошные кривые) и по допускаемому прогибу, принятому равным Vsoo длины пролета балки (пунктирные кривые).Пример 9.8. Определить допускаемую величину на¬ грузки для монорельса радиусом г=3 му подвешенного на четырех тягах, отстоящих друг от друга на угол 2^=30°. Сечение — двутавр № 12. По рис. 9.28,6 для 4^п = 15° находим РДоп=850 кг по условию жесткости.9.2.2.	Расчет массивных и тонкостенных круговых колец при статически определимом опиранииУсилия в любом сечении кругового кольца, нагру¬ женного уравновешенной системой сосредоточенных сил и моментов, из плоскости кривизны, вычисляются по формуламQ (°) = — ~ X piRQ М (а) = — X PlRM <а — al> +~ X L‘SM — ай ++ “ S КГм (а ~ а^ — "2^" КltМк (а) =	”1” ^ ^iSj( (а — ах)+	(9.44)Суммирование ведется по всем силовым факторам, действующим на кольцо (включая и опорные реакции). Обозначения усилий и правило знаков см. рис. 9.21. а - а/— кратчайшее угловое расстояние между се¬ чением, в котором определяется усилие, и сечением, в котором приложен данный силовой фактор (рис. 9.29). Функции влияния R, S и Т приведены в табл. 9.16. Следует иметь в виду, что эти функции имеют период 2л, так что R(a)=R(a-\-2n),S(a) - 6(a-f2n),7 (a) = 7'(a-f-2/:)>Функции Rq, RSm, Тк нечетные, т е. меняют знак при перемене знака аргумента Остальные функции четные. Если угол а—н оказывается больше 180°, егоследует отсчитывать в обратном направлении (по часо« вой стрелке — в направлении от силы к рассматриваемо¬ му сечению) и брать со знаком минус. Поэтому в табл. 9.1$ значения функций вычислены в интервале 0 < <* < 180%
540РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА. И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАТаблица 9.16в градо102030405060708090100110120130140150160170180-1.Б7080 t-1,30988 -1,05424 —0,80900 —0,57894 —0,36842 —0,18117 —0,02024 0,11215 0,214600,28£680,328830,342430,329710,293730,238200,167490,086390,00000RM=SK=TM0,750000,488590,257370,06201—0,09381—0,20834—0.28191—0,31653—0,31591—0,28540—0,23093—0,15953—0,078450,005050,084120,152590,205390,238650,250000,000000,107710,172300,199640,196250,169290,125920,0~3160,01749—0,13540—0,08075—0,11502—0,13588—0,14227—0,13436—0,11354—0,08202—0,04295—0,00000SM = TK1,570801,417591,226541,008640,775190,537710,307090,09340—0,09466—0,25000—0,36743 —0,44385 —0,47831 —0,47198 —0,42809 —0,35173 —0,24951 —0,12934 —0,00000(9.45)Для кольца с тонкостенным сечением, кроме указан¬ ных в формуле (9.44) усилий, необходимо вычислить момент стесненного кручения и бимомент по формуламМ (Я) = — У] Pi W(a—ai) —7U	~У\^Т(а — <Ч) + — KlT(a — at);n ^	71 i""iВ (a) = — V PtRB (a — ai) —7U		 У] LiSB (Я — a/) — — У]KiTB (a ai).TZ	71Функции влияния даны в табл. 9.17—9.20, причем SB=R~ а Т B=S. Значения функций вычислены в диапа¬ зоне изменения изгибно-крутильной характеристики j* от 0,5 до 10 и угла а от 0 до 180°. Функции R, SB и Т ■«четные, остальные четные.Перемещения кругового кольца массивного сечения ■ычисляются по формулам (правила знаков см. рис. 9.22):р (a) = X -f- г фх sin а — г ^5Cos а ++ ^ i г 2 Р, [ 4 (а - аг) +1R" (а—,)] ++ ^ I; [ 5^ (а — а.) +Я5" (а — «г)] ++ 2 Kt(n+\)Tv(a — at) );<р (а) = COS а + фг sin а ++77{r ^ pi [ Ч (а — аг) (а — аг)] +ЕП+ 2 L. [ 5^ (а — аг) +/xS" (а — аг)] ++ 2К,(л+1)Г?(«-а,)};Тк (а) = sin а — cos а ++ ЁГ ^ 2 Р{ {п + 1^к (а ~++ s Lt (П + l)S?K (а — ++ 2*г [ (« ~ аг) +лГ"к (а - ai)]}(9.46)Функции Rlv = Tv = RrfK = Т ‘к> , S\ = Т"к, S"=T"K — четные; функции 5^, = Rlf = 7^ = S?K, 5“ = Я" —нечетные. Значения функций в пределах изменения уг¬ ла а от 0 до 180° даны в табл. 9.21. •(9.47)Рис. 9.30Перемещения тонкостенных круговых колец вычис¬ ляются по формуле (9.47).v (а)= \ + г\> 1 sin a — г ф2 cos a ++ < (» ~ .,)+< (« - «,)] ++ E Li [ (a — ai) +"5" (a — a.)] ++ Е/Сг[П(а-а.) +<'(«-«,)]};<p (a) = cos a + ф2 sin a +^кЁГ ^ ^ ^	(“ ~ ai)] ++ 2 L. f Sj, (a — а.) +/lS“ (a — a.)] -j-+ 2^[П(“9k (“) = 'h sin a — COS a -I-+if[' 2 ЛКк (« - «,-)+< («-«,-)] ++ *hlsU (“-“«•)+< («—,)] +Четные функции: R'v = t'v= RlfK, T\k=r'v + 0,5. %,R«. <К = П‘ S"-*” + 0.5 и Г», Нечетные функции: Rlf = sj, = 5* = Г1 , s"= — cH _ oil tII^<pK	p » 1 <p ■Пример 9.9. Вычислить максимальные нормальные напряжения и прогиб под силой Р для кольца радиусом хг~на тРех опорах А, В, С. Сечение — двутавр N9 18. Характеристики двутавра взять из примера 9.7* % =4,6, /2=383.Реакции находим из условий равновесия кольца; Vа =0,334Р, ^в=^с~—0,667Р. По формулам (9.44) (9.45), пользуясь табл. 9.16 и 9.17 (при %=4,6), находим изгибающий момент и бимомент в сечении под силой Рщ Отсчет углов а ведется от радиуса О А (рис. 9.30).
9.2. НАГРУЗКА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ541Таблиц* 9.17Значения функций SB иXа в град.0,51.02,03,04,05,06,07,08,09,010.000,000000,000000,000000,000000,00000о,осооо0,000000,000000,000000,000000,00000100,103490,093090,068870,050440,038020,029540,023540,019160,015860,013340,01134200,164150,145840,102690,070900,050460,037150,028170,021940,017460,014190,01170300,189780,165660,111490,073210,049680,035120,025790,019570,015260,012210,00995400,185590,159760,102990,064580,042160,028920,020780,015520,011980,009520.00772500,159250,135100,083340,049970,031460,021040,014810,010990,003430,00667 *0,00540600,117700,098110,057410,032580,01)660,012770,003850,006470,004920,003870,00312700,067660,054650,023990,014720,008050,004850,003180,002240,001660,001280,00092800,039200,010040,00123—0,00200—0,00251—0,00224—0,00185—0,00150—0,00122-0,00101—0,0008490—0.03435—0,03100—0,02355-0,01641—0,01135—0,00816—0,00603—0.0046Э—0,00361—0,00290—0,00238100—0,07661—0,06654—0,04364—0,02773—0,01829-0,01268—0,00921—0,00695—0,00542—0,00434—0,00354110—0,10838—0,09236-0,05789—0,03548—0,02290—0.01568—0,01131—0,00в50—0,00660—0,00528—0,00430120—0,12754—0,10761—0.06571—0,03946—0,02516—0,01712—0,01230—0,00922—0,00715— 0,00571—0,00465130—0,13330-0,11166—0,06701-0,03971—0,02512—0,01702—0,01220—0,00913—0,00708—0,00564—0,00460140-0,12559-0,10478-0,06213—0.03648-0,02296—0,01551—0,01110-0,00830-0,00643—0,00513—0,00418150—0,10598-0,08812—0,05181-0,03023—0,01896-0,01279-0,00:14—0,00683—0,00 >29—0,00422—0,00343160-0,07650—0,06347—0,03711—0,02156—0,01349—0,00909—0,00649-0,00485—0,00376—0,00299—0,00244170—0,04005—0,03319—0,01934—0,01121—0,00701—0,00472—0,00337—0,00252—0,00195—0,00155—0,001261800,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,00000Таблица 9.18Значения функции RBXа в град.0,51,02,03,04,05,06,07,08.09,010,00—0,09970—0,08666—0,05792-0,03820—0,02631—0,01901—0,01430—0,01112—0,00887—0,00724—0,0060210—0,08998-0,07788—0.05131-0,03314—0,02249—0,01597—0,01182—0,00905—0,00712—0,00574—0,0047120-0,06608—0,05650-0,03591—0.02230—0,01451—0,00995—0,00715—0,00534—0,00412—0,00326—0,0026430—0,03621—0,03310—0,01692-0,00953—0,00564—0,00355—0,00234—0,00168—0,00123—0,00094—0,0007440-0,00146—0,000170,002000,002620,002440,002100,001710,001400,001150,000960,00080500,028860,025770,018380,0Г.Л>70,008900,006450,004830,003720.002930,002370,00195600,053230,046270,030730,019900,013360,009400,006390,005240,004100,003290,00269700,069440,059650,038280,024020,015770,010920.007940,005990,004670,003740,00305800,076620,065240,040870,025090,016320,011130,008040,006040,004700,003750,00306900,074960,063340,038880,023450,014990,010210,007340,005500,004270.003410,002781000,065110,054670,032940,019550,012370,008370,005990,004480,003470,002770,002251100,048800,04066* 0,023990,013980,008740,005870.004190,003120,002410,001920,001561200,028040,023060,013110,007390,004510,002990,002110,001560,001200,000960,000781300,005100,003760,001430,000420,00009—0,00001—0,00004—0,00005—0,00005—0,00005-0.00005140—0,01771—0,01528—0,00992-0,00627—0,00413—0,00287—0,00209—0,00158—0,00123—0,00099—0.00081150—0,03805-0,03224-0,01994—0,01213—0,00782—0,00536—0,00387—0,00291—0,00226—0,00181—0.00148160-0,05410—0,04558—0,02775—0.01668—0,01068—0,00728—0,00524—0,00394—0,00306—0,00244—0,00199170—0,06435—0,05403-0,03272—0,01956—0,01247—0,00849—0,00611—0,00458—0,00356—0,00284—0,00232180-0,06788—0,05699-0.03441—0,02055—0,01308—0,00890—0,00640—0,00480-0,00373—0,00298—0,00243Таблица 9.19Значения функций S и Т ва в град.^-v.0,51,02,03,04,05.06,07,08,09,010,000,725070,663330,518330,406240,328940,27471• 0,235180,205320,182030,163400,14280100,466090,410700,283340,190290,128670,089350,063190,045290,032760,023840,01738200,240940,200880,113730,056670,025180,008560,00010—0,00416 '—0,00612—0,00683—0,00687300,054960,03730—0,00567—0,02378—0,02819—0,02684—0,02365—0,02010—0,01692—0,01422—0,0120040-0,03417—0,09398—0,08579—0,07023—0,054§7—0,04198-0.03233—0,02523—0,02000—0,01614—0,0132350-0,20113—0,18257—0,13482—0,09430-0,06598—0,04717—0,03436—0,02628—0.02045—0,01631—0,0132960—0,26860—0,23564—0,15899—0,10284—0,06806—0,04696—0,03380—0,02529—0,01956—0,01555-0,0126470-0,29917—0,25688—0,16343—0,10038—0,06418—0,04337—0,03090—0,02299—0,01773—0,01408—0,0114480—0,29675—0,25066—0,15244—0,09007—0,05680—0,03752—0,02656—0,01970—0,01518-0,01204-0,0097890—0,26666—0,22205—0,12у88-0,07431—0,04551—0,03009—0,02121—0,01570—0,01208—0,00958—0,00778100-0,21465-0,17626—0,09918—0,05497-0,03305—0,02164—0,01518-0,01121—0,00861—0,00682-0,00553110-0,14733-0 11886—0,06358-0,03369—0,01969—0,01270—0,00884—0,00648—0,00496— 0,00392—0,00317120—0,07144—0,05540—0,02602—0,01197—0,00626—0,00375—0.00249—0,00176—0,00132—0,00103—0,000831300,006320,008820,010790,008880.006510,004730,003520,002710,002130,001710,001401400,079690,068830,044420,027650,017960,012330,008900,006700,005200,004160,003391500,143080,120340,072850,043380,027520,018670,013390,010030,007770,006200,005051600,191860,159810,094370,055230,034700,023420,016750,012530,009710,007730,006291700,222560,184570,107790,062570,039150,026370,018840,014080,010900,008680,007071800,233030,193010,112340,065080,040650,027360,019540,014600.011400,009010,00733
РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ. ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА542	—	~ ~~гт" • ~в	Таблиц* 9.20Значения функции Т* в град.010203040Б0607080901001101201301401501601701800,51,570801,391721,185500,961200,728790,497900,277670.07649—0.07446—0,24141-0.34828—0,41676-0.44642—0,43866-0,39669—0,32524—0,23038—0,119330,000001,01.57080 1,32449 1,08070 0,84297 0,61542 0,40261 0,20898 0,03865 —0,10469 —0,21899г-0,30089 —0,35149 —0,37070 —0,36033 -0,32332 —0,26360 —0,18604 -0,09615 0,000002.03,01,570801,142100,815790,562700,363220,204340,07747-0,0225/-0,09958-0.15580—0,19288 —0,21231 —0,21547 —0,20393 -0.17957 —0,14447 —0,10108 —0,05198 0,000001,570800,963650,588400,349750,193950,087990,01385-0,03904—0,07666—0,10230—0,11785 —0,12450 -0,12314 —0,11458 —0,09976 —0,07965 —0,05545 —0.02843 0,000004.01,57080 0,80325 0,41913 0,21370 О,10067 0,03432 -0,00744 -0,03537 —0,05453 —0,06833—0,07476—0,07746-0,07574—0,07001—0,06068—0,04832-0,03359—0,017210,000005.01,570800,679170,297760,130480,052080,01159-0,01218—0,02780—0,03866—0,04601—0,05031 —О 05171 —0,05038 —0.04646 —0.04023 —0,03202 —0,02224 —0,01140 0.000006.01,57080 0,57012 0,21239 0,08017 0,02722 0,00451 —0,01162 —0,02120 —0,02411 -0,03294—0,03578—0,03669-0,03571—0,03290—0,02847—0,02265—0,01573—0,008060,000007,01,57080 0.47865 0,15154 0,04978 0,01450 -0,00034 —0,00381 —0,01625 —0,02111 —0,02457—0,02665—0,02729—0,02653—0,02445—0,02116—0,01683—0,01169-0,005990,000008,01,57080 0,40203 0,10844 0,03138 0,00798 —0,00189 —0.00804 —0,01271 —0,01635 —0.01899—0,02057—0,02106—0,02047—0,01886—0,01632—0,01298—0,00902—0,004620,000009,01,570800,337740,077890,020210,00462—0,00206-0,00657—0,01015-0,01302—0,01510—0,01635—0,01674—0,01627—0,01498—0,01297—0,01032—0,00716—0,003670,0000010,01,570800,283860,056190,013350,00282—0,00193-0,00540—0,00836—0,01059—0,01228—0,01329—0,01360—0,01340—0,01218—0,01045-0,00838—0,00583—0,002980,00000Таблица 9.21Функции влияния для перемещений круговых колец массивного сеченияжII ьЛК* "II с/~ 9- ,,Д »•~ »•— «чO' ПЬч&11 J-II к9-IIIIIIвв«со И*^о&— &-to~ »•to00,042960,009520,000000,000000,281690,20212100,039110,008880,041550,007190,194630,19827200,029320,007040,068150,013950,111240,18848300,015980,004340,080850,017310,035570,17514400,001810,001160,081340,01887—0,028050,1609750—0,01168—0,002100,071870,01799—0,078000,1474860—0,02295—0,004250,05502. 0,01494—0,113540,1362170-0,02909—0,005680,033850,010040,01137—0,129850,1300780—0,03442—0,008490,00447—0,00157—0,13501—0,125630,1247490-0,03479-0,00940—0,012830,12437100—0,03019—0,00806—0,03292—0,00721—0,103700,12897110—0,02292—0,00629—0,04850—0,01189-0,073700,13624120-0,01351—0,00391—0,05834-0,01509—0,038480,14565130-0,00293—0,00140—0,06182—0,01653—0,001320,156230,166851400,007690,00175—0,05888—0,016100,034461500,017270,00438—0,05005—0,013910,065840,176231600,024880,00651—0,03630—0,010190,090260,184041700,029750,00789—0,01906—0,005390,105710,188911600,031430,008360,000000,000000,111010,19059Т а б л и ц а 9.22 Функции влияния для перемещений тонкостенных круговых колецав град.==*иVи1 Vе-II*11 1 1*4- "900,134960,634900,000000,88496100,122890,62289—0,130530,61148200,092130,59213—0,214120,34950300,050690,55069—0,254000,11270400,005710,50571—0,25556—0,0881050—0,03670 —O.Q71750,46330—0,22580—0,24504600,42825—0,17284—0,3536670—0,096180,40382-0,10524—0,4127280—0,108190,39181—0,03155—0,4241090—0,10730. 0,392700,04031—0,39270100—0,094590,405410,10344—0,32552110—0,072020,427980,15238—0,23155120—0,042450,457550,18330—0,12090130—0,009210,490710,19422—0,004161400,024160,524160,185000,108281500,054290,554290,157230,206881600,078150,578150,114060,283541700,093470,593470,059900,332121800,098730,598730,000000,34873Значения функций влияния даны в табл. 9.22—9.27. М (180)° = — \VaRm (180°) +VBRM (60°) +71 L, 200 Р VCRM (-60°) + PRM (0°) ] = —— [0,334.0,25 - —	0,667 (—0,2819)—0,667 (—0,2819) + + 1-0,75] = 77 Pкгсм ; В (180") = — Г VaRb (180°)+ VBRB (60°) +71 L2002P+ Vc RB (- 60») + PRB (0°) 1 = 	[0,334 xJ	TCX(—0,0106) — 0,667-0,0110 — 0,667-0,0110 4- + 1(— 0,0220)] = — 421 Ркгсм2.Вычисляем напряжения:77 P 421 P max о = 777- + - i ;■ ^ = 2,42 P кг!cm2.185 211,3Определяем постоянные X, и ф2 в формулах (9.47) из условий v (0°)=v(120°)=t> (—120°) = 0, пользуясь табл. 9.22 и 9.23 при * =4,6:о(0°) = X + sin 0 — ri>2 cos 0 + { VA (0°)+»< (0°) ] + VB[Rlv( 120») + < ,120»)] + Vc [ flj, XХ(—120°)+ (— 120°)]+ Р[ 4(180°) + /««(180е)] ]=. 8-10вр-Х-*+2,1.|0М 660 »•**(».■»+■+ 383-0,02466) — 0,667 (— 0,04245 - 383-0,01052) ——	0,667 (-0,04245 — 383-0,01052)+ 1 (0.09S37++ 383-0,02217)] =Х — гф1 +0,0125 Я.
9.2. НАГРУЗКА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ543Таблица 9.23Значения функции R0,51,02,03,04,0•5,06,07,08,09,010,000,001690,005740,014480,020210,023500,025430,026630,027410,027950,028330,02861100,001570.005390,013570,018920,021990,023780.024890,025610,026090.023460,02672200,001240.004320,010900,015160,017570,018980,019840,020400.020790.021060,02125300,000790,002760.006900,009530,011000,011840.012350,012670,012890,013040,01316400,000230,000860,002090,002800,003150,003330,003430,003490,003530.003550,0035750—0,00033—0,00115—0.00295—0,00421—0.00497—0.00545-0 00575—0,00595—0.00609—0.00Л9—0,00 >2760—0,00087—0.00295—0,00749—0,01051—0.01226—0,01329—0.01394—0,01436—0,01465—0,01486—0,0150170 '—0,00127—0100440—0,01108-0,01544—0.01793—0,01938—0.02028—0,02086—0,02125—0,02153—0,0217480—0,00161—0.00539—0,01342—0,01855—0,02145—0.02313—0,02415—0,02482—0,02527—0,02559—0,0258290—0,00225—0.00614-0.01444—0,01974—0,02269—0,02439.—0,02542—0,02608—0,02654—0,02685-0.02709100—0,00152—0,00514—0,01277-0.01760—0.02026—0.02178—0,02271—0.02330—0,02370—0,02398—0,02418110—0,00121—0,00410-0.01017-0.01398—0,01606—0,01724—0 01795—0,01840—0.01871-0,01893—0,01908120—0.00079-0,00262—0 01645—0,00881-0.01009—0.01080—0,01123-0.01150-0,01169-0,01182—0.01191130—0,0002^—0,00083—0,00199—0,00267—0,00301—0,00320-0,00330—0,00337—0,00341—0,00344—0,003461400,000290,001010,002600,003660,004270,004630.004850,005000,005100,005170,005221500,000820,002790,00о940,009590,011080,011930,012450,012780,013010,013170,013291600,001210,004170,010370,014300,016480.017730.018480.018970,019300,019530,019701700,001470,005080,012630,017390,020020,021510,022420,023000.023400,023680,023881800,001580,005390,013400,018440,021220,022810,023760,024380,024800,025090.02531Таблица 9.24Значения функции R ^а в град.0,51,02,03,04,05,06,07,08,09.010,000.000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,0000010—0,00118—0,00410—0,01049—0,01481—0,01738—0,01894—0,01993—0.02059—0,02106—0,02139—0,0216420—0,00186—0,00768—0,01954—0,02750—0,03219-0,03501—0,03679-0,03798—0,03880-0,03938—0,0398230—0,00300—0,00994—0,02586—0,03628—0,04234-0,04594—0,04819—0,04967—0,05069—0,05141—0,0519440—0.00385—0,00891—0,02631—0,03771—0,04426—0,04809-0,05046—0.50201—0,05306—0,05381—0,0543650—0,00327—0,01116—0,02802—0,03893-0,04508—0,04864—0,05081—0,05221—0,05317—0,05404—0,0543360—0,00280—0,00956—0,02383-0,03290—0,03791—0,04076-0,04249—0,04359—0,01434—0,04486—0,0452470—0,00200—0,00681—0.01683-0,02303-0,02636-0,02822—0,02932—0,02992—0,03048—0,03081—0,0310580—0,00098—0,00330—0,00800—0,01070—0,01206—0,01276—0,01316—0,01340-0,01356—0,01366—0,01374900,000150,000260,001560,002520,003210,003670,003980,004200,004350 004450,004531000,001210,004240,010730,015120,017680,019200,020140,020760,021190,021480,021701100,002160,007350,013460,025670,029740,032100,033550,034480,035120,035570,035891200,002820,009580,023900,033040,038120,041030,042800,042940,044710,045260,045651300.008230,010670,02-3510,03)520,042000,045140,147030,048250,049070,049650,050071400,003120,010530,026060,035890,041110,044120,045940,047110,047890,048450,048851500.002700,009150,022620,031000,035570,038140,039700,040690,041360,041840,042181600,002000,006740,01о650,022790,025120,028000,029130,029960,030340,030690,030941700,001070,003590,008840,012080,013840,014830,015420,015800,016060,016240,016371800,000000,000000,000000,00000-0,000000,000000,000000,000000,000000,000000,00000Таблица 9.25Значения функции R0,51.02,03,04,05,06,07,08,09,010.000,007050,024150,061630,087090,102250.111480,117410,121370,124160,126200,12767100,0&580,022500,057260,080770,094480,102800,108030,111570,115520,115760,11701200,005220,017820,044980,0(2860,073050,079010,082700,085060,086670,087800,08860300,003220.010890,027020,037050,042400,045320,047010.048030,048700,049160,04946400,000850,002770,006170,007500,007680,007480,007220,006970,006760,006590,0064550—0,00157-0,00546—0,01466—0,02163—0,02616—0,02909-0,03103-0,03232-0,03325—0,03392-0,0344060—0,00370-0,01274—0,03282-0.04667-0,05495—0,05995-0.06311—0.0651Я-0,06662—0,06765—0,0683770-0,00535—0,01826—0.04632—0.06495—0,07567—0,01197-0,08587—0.0Я838—0,09012-0.09134-0,0922180—0.00631—0,02147—0,05376—0.07479—0,08654-0.09332—0.09746—0,10010—0.10191—0.10320—0,1040990—0,00647—0,02198—0,05474—0.07546—0,08687—0,09335-0.09727-0.09976—0,10142—0,10266—0.10349100—0,00690—0.01996—0,04932-0.06754-0,07738-0.08290-0,08621-0.08830—0,08973-0,09073—0,09152110—0.00464-0,01568-0,03842—0.05223—0,05955—0,06360—0,06598—0,06752—0,06Я54—0,06926-^0,06976120—0,00288—0,00970—0,02347-0.03156-0,03570—0,03794—0,03925-0,04007—0 04062—0,04100—0,04126130—0,00082—0,00272—0.00622-0.00791-0,00858—0,00887—0,00900—0.00907-0,00911—0,00914-0,009161400,001290,004440,013390.016100.01885' 0,020470,021480,022130,022580,022900,023121500,003250,011020.027480.037940,043740,047050,049070.050350,051230,051860,052291600,004810,016280,040320,055320,063510,068140,070950,072730,073950,074810,075401700,005830,019700,048600.066520,076230,081700,085010,087110,088540,089550,090251800,006170,020870,051450,070360,080600,086360,089840,092050,093550.094620,09535
РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ. ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦАТаблица 9.20Значения функции ТXа в град.0,51.02,03,04,05,06,07,08,09,010,000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,00000100,005410,018720,046930,072080,087060,097100,104110,109140,112910,115800,11801200,009990.034140,089140,128890,154030,170150,180950,188340,193660,197560,20041300 012840,044420,114010,162710,126300,210440,222070,229740,235090,238920,24163400,013990,047900,122050,171880,200850,217900,228470,235240.239860,243120,24538500,013310,045350,113970,158250,182900,196870,205310,210510,214050,216530,21822600,011030,037360,092350,126230,144170,153900.159580,163040,165360,166960,16804700,007520,025270,061000,0рН70.091480,096520,099310,100940,102000,102720,10319800,003270,010760,024260,030200,032050,032490,032500,032390,032270,032170,0320790—0,00119—0,00465—0.01341—0,02151—0,02726-0,03091—0,03336—0,03500—0.03614—0,03696—0,03756100-0,00537—0,01845—0,04784—0,06814—0,08014—0,08726-0,09169-0,09456-0.09652—0,09793—0,09891110-0,00880—0,03001—0,07560—0.10521—0,12187—0,13143-0,13728—0,14100—0,14355-0,14536—0,14661120—0,01115—0,03784—0,09407—0,12945—0,14884-0,15978—0,16640-0.17060-0,17346-0.17548—0,17688130—0,01218—0,04128—0.10177—0,13906—0,15915—0,17037-0,17713—0,18138—0,18409—0,18633—0,18774140—0,01188-0,04011-0,09830—0,13277—0,15251—0.16296—0.16922-0,17316—0,17584—0,17773—0,17903150—0,01025—0,03455-0,08438-0,11430—0,13014—0.13888—0,14410—0,14739—0,14962—0,15119-0,15227160—0,00751—0,22530-0,06156—0,08325—0,08465—0,10092-0,10467-0,10702-0,10862—0,10975—0,11052170-0,00397—0,01336-0,03245—0,04382—0,04979—0,05306—0,05501—0,05625—0,05707—0,05765—0,058061800,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,000000,00000Таблица 9.27Зшнмиия функции ТXа в град-0,51.02.03.04,05,06,07,08,09,010,000,031970,110810,293310,430890,523210,586730,632210,666250,691840,712640,72967100,029080,100830,262500,379030,454320,502050,633600,555020,571200,580700,58801200,021740,074320,188620,263660,305210,327760,340100,346720,350360,351860,35260300,012270.043990,094700,122820,132640,134070,131250,130350,127420,125300,12346400,001210,00294—0,00183-0,01608-0,03136—0,04502—0.05434-0,06163—0,06684—0,07117-0,0735550-0,00879-0,03123-0,08818-0,13566-0,16856—0,19034—0,20489—0,21460—0,22077—0,22589—0,2294060-0,01701—0,05901-0,15574-0.225/7—0,26871—0.29495-0,31115-0,32194—0,32902—0,33414—0,3373770—0,02271—0,07791-0,19944—0,28113—0,32799—0.35497-0,37171-0,38189—0,38900—0,39428-0,3972180—0,02547-0,08671—0,21724-0,30060—0,35566-(/,37157—0,38690-0,3960b—0,40271—0,40695—0,4100990—0,02521—0,08532—0,21026—0,28651—0,32671—0.34860-0,36151—0,36926-0,37470—0.37887-0,38149100—0,02218—0,07463-0,18108—0,24349-0,27530-0,29215—0,30185-0,30782-0 31181—0,31510—0,31652110—0,01684-0,05634—0,12438—0,17805—0,19939—0,21035—0,21682—0,22040—0,22278—0,22478—0,22576120-0,00989-0,03276—0,07591—0,09807—0,10786—0,11269-0.11521—0.11651-0.11742-0,11876—0,11926130—0,00210—0,00648-0,01194—0,01169—0,01002—0,00862—0,00756—0,00662—0,00591—0,00584—0,005161400,005720,019720,053070,072530,084930,092220,096720,09^550,101300,103090,104121500,012760,043260,107240,147110,168860,181050,188390,192940.195870,198470,200291600,018330,061860,151320,205440,234230,250140,259590,265790,269790,272450,274401700,021920,073780 179480,242560,275750,293950,304970,311530,316380,319590,322251800,023140,077860,189090,255310,289880,308860,320240U327250,332270,336000,33836Аналогично находим	9.2.3. Расчет круговых колец на равноотстоящих опорахи (120°) = X + 0,866 г фх + 0,5 гф2 — 0,0073 Р; у (- 120°) = X + 0,866 гфх + 0,5 гф2 — 0,0073 Р .Решая полученные уравнения, находимХ = 0,0007 Р, +! = 0, гф2 = 0,0132 Р.Искомый прогиб под силой РV	(180°) = X + гфх sin 180° — гф2 cos 180° ++ ^J { VA К (180°) + Л«" (180°)] + VB [Я1* (60*)++ /<' (60°)] + Vc [J?; (-60°) + /К?и (-60°) ] ++ р [«; (о°)+пр'1 (0°) ] j =«= 0,0278 Рем (сила в килограммах).Все опоры кольца, перпендикулярные плоскости кри¬ визны, расположены на равном расстоянии, определяе-2 71мом центральным углем ф = где m — ччело опор.Кольцо нагружено произвольным числом сосредоточен¬ ных вертикальных сил Р/ и моментов L/, /С/. Реакции опор вычисляются по формулеV =— Е [Р; »(<*/) +Li<f <at) + Ki<fK *l) ] . (9.48)где суммирование ведется по всем силовым факторам, нагружающим кольцо. Углы а/ отсчитываются от опоры, для которой вычисляется реакция V. Перемещения сече¬ ния, в котором приложены внешние силы: v, ср и <рк . Эти перемещения вычисляются по формулам (9.46) для коль¬ ца массивного сечения и по формулам (9.47) для кольца тонкостенного сечения.	_Внешней нагрузкой при определении v% ср, <рк служит уравновешенная система сосредоточенных сил Y(jф),
9.2. НАГРУЗКА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ КРИВИЗНЫ545прикладываемых вместо опор кольца (/ = 1,2, ..., т). Сила У(/ф) для нечетного числа опор вычисляется по формулет—\2У (/Ф) = — Т" cos	(9.49)гдея* = £• + 2 cos Ц + 2 £2 cos 2 £ф + • • • + m— 1+ 2 V.-, C°S ' 9(9.50)2^|при k = 2,3, • • •. —-—и /= 1,2 ,•• • ,m. При четном числе опорт—12	v1 cos£/'!» k=2Q>kгдея* = + 2 cos kty + 2 £2 cos 2 &ф H	[-+ 2 £J2__i C0S (T ~ *) Ц + ^ C0S T^' (9'52)-	2Коэффициенты 6 представляют собой функции влия¬ ния сосредоточенной силы на прогиб кольца v и вычис¬ ляются с помощью табл. 9.16 и 9.17 (или табл. 9.14 в случае колец массивного сечения):5/ = 1^- К № + п/?“ (Уф)],	<9.53)причем j =а 1 о	т0,1,2, • • •, —— для четного числа опор;^	I0,1,2, •••, —-—для нечетного числа2	опор.Определив 6/ и а* по формулам (9.50) или (9.52), в зависимости от четн ост и_ числа опор, вычисляем У(/ф), а затем находим v, <? и <рк по формулам (9.46) или(9.47), принимая X = —— , ^1 = 0, ф2=—	•HI(“<•) - "ir+^cos а‘+£г, к («»-mr*/=1—/Ф) +«Л“ ( «,—/Ф)]:т2	г- .= — 		 п <г. -L- 	 гv ( “i) = — — sie — 2_, К (/ф) ( «;/=1—	/>!') + п#“ ( — /^)];т•«) = cos + ZF, 2 у W К (-(9.54)-	j\) + [ «j — /4*)] •Эти перемещения вычисляются столько раз, сколько имеется неиз¬ вестных реакций V, при¬ чем каждый раз отсчет углов в/ ведется от опо¬ ры, реакция которой определяется.Пример 9.10. Опре¬ делить опорные реакции кольца радиусом г== 200 см, опертого на четыре равноотстоящие опоры. Кольцо нагру¬ жено силой Р на рас¬ стоянии 73 пролета от опоры / (рис. 9.31).Сечение кольца—двутавр № 18, геометрические ха¬ рактеристики сечения даны в примере 9.7. Угол между 2т:опорами ф—	90°, число опор четное. Вычисляем8 по формуле (9.53) пр,и * =4,6:5о*=6(0) = 2,87 10—10(0,1350-Ь3,14- _ с I л\ 2003 41 1 2 / 3., 14+ 383-0,00246) = 0,00699 ; 2,87-Ю-10 (= 0,1073 ——	383-0,02481) = —0,007022 ;52 = $(*) =20032,87-10“10 (0,09873 +3,14+ 383-0,02196) =0,006218.Аналогично находим5 (30°) =0,002836, £(120°) = —0,03269,Z (60°) = —0,004508, £(150°) = 0,003163.По формуле (9.52) имеем с2 = 0,00699 — 2-0,00702 cos тс + 0,00622 соь 2* = 0,0273,На основании (9.51) имеемcos 2 6У.= С05(2'2Ф) - = 9,173; YA-4 Go= —9,173; cos(2-4 ф)4 a2= 9 173 ,По формуле (9.54) вычисляем v (а/), помещая начало координат поочередно на каждой из опор:V	(30°) = — +-у cos Ж — 9,173 Н30“) +9,173 j Xх (— 60°) + 9,173$ (— 150°) -9,173 6(120°) = 0.809; ^(_ 60°) = 0,374 ; v(— 150е) = — 0,067; v (120°) = — 0,126.Согласно (9 48), реакции опор равны V = Pv( щ). Следовательно:14 = 0,809 Р, V2 = 0,374 Р, V3 = — 0,05/ Р,V4= —0,126 Р.35 Зак. 2098
546РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ. ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА9.3. БРУСЬЯ БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫВлияние кривизны бруса на распределение напряже-гс , гнии в сечении следует учитывать, если отношение — <э,где гс— радиус оси центров тяжести сечений бруса, h — высота поперечного сечения (измеряется в направле¬ нии радиуса кривизны). Закон плоских сечений при изгибе бруса сохраняется, но распределение напряжений становится нелинейным, так как жесткость волокон бру¬ са увеличивается по мере приближения к центру кри¬ визны.Напряжения при изгибеПродольная сила N и изгибающие моменты Мх, Му, подсчитанные относительно главных осей сечения бруса, вызывают нормальные яапояжения, вычисляемые по об-Рис. 9.32щей формуле [см. 5.2.7, формула (5,30')] с учетом редукционных коэффициентов волокон бруса •NМхj сpdFj уЧ dFFyt-Mvj x2<fdFгде xi, yi —координаты ^точки, в которой определяется напряжение.Положительное направление N, Мх, Му указано на рис. 9.32, где точка 0 — ц. т. редуцированного сечения бруса, г0 — радиус оси бруса после редуцирования.Редукционный коэффициент волокна, отстоящего отг°центра кривизны на расстояние р„ равен <р = — , а фор-Рмула для нормального напряжения после сокращения на г0 принимает вид1 / N	мх	Му \0=	 —	— 		у + -	JC , (9.55)Р \ ^рсд 1 х ред.	'у ред /где Ftредния в см: Iр at = j р=j>.«площадь» редуцированного сече- dF .	с „dFх ред ■IУ рСД«моментыFинерции» этого сечения, подсчитываемые относительно его главных центральных осей (в см3). Для определения N, Мх, Му усилия, действующие на отбрасываемую часть бруса, приводятся к центру тяжести редуцированного се¬ чения. Осью бруса считается геометрическое место цент¬ ров тяжести редуцированных сечений. Другой подход к решению задачи см. [1].Геометрические характеристики редуцированного се¬ чения приведены в табл. 9.28 для некоторых часто встре¬ чающихся форм сечений. В случае сечения сложного очертания для вычисления геометрических характеристик удобно воспользоваться графоаналитическим или графи¬ ческим методом [9].При чистом изгибе в плоскости кривизны (N = О, Мх= 0) напряжения изменяются по высоте сечения h по гиперболическому закону (рис. 9.39). Нейтральный слой проходит через центр тяжести редуцированного сечения. Наибольшие напряжения, как правило, действуют во внутренних волокнах (ближайших к центру кривизны):Му (г —г0)М„1-т)(9.56)*у ред'	^уредНапряжения в наружных волокнах вычисляются по формулеMv/у ред1- — R(9.57)Касательные напряжения, возникающие при наличии поперечной силы Qx, вычисляются по формулеQxS:у ред/.(9.58)у ред*/*гдеSy ред—«статический момент» относительно оси у части редуц!р«*анного сечения, лежащей по одну сторону от слоя, в котором вычис¬ ляются напряжения;Ь(х)—истинная ширина сечения в рассматривае¬ мом месте.Пример 9.11. Вычислить напряжения в среднем се¬ чении полукольца, нагруженного по концам радиальными силами Р = 25 г каждая (рис. 9.34).Пользуясь табл. 9.28 для двутаврового сечения с пол¬ ками, перпендикулярными плоскости кривизны, имеем(>+£H-(.+£w22/Г о =+ 10 In4-10-Ь 16-2 + 4-101 +— =4,Ю см-, 38/FFpeji4,10■ 27 А см \1у ред = 4-10(18 + 2) + 16-2 (18+4 + 8)+4-10 (42—2) - (4-10 + 16-2+ 4-10)24.1= 280 см3.Изгибающий момент в сечении АВ равен шах Му = 25 000*27,4 = 6,6-10> кг/см2 сжимающая продольная силаЛГ= —2,5-104 кг.
Геометрические характеристики редуцированного сечения9.3 БРУСЬЯ БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫ547о3 vS3<иО) CL,<ио.•8з«3 *а % аз о.2^%1I+«<5 I <МQj| V.сoofidg HHCngndx 90QQC| w.a:«с+оCMа-si+-o++ocCM+-sr+-oa:CM+aаi-V.+ ■*JC-oCM+а+1li++-si4+-о<N-s;+•s;+4.wo+«-siI-si i n + ^QCCO-si1ОСJк.jOf.Si hN+-si+-siN-o+-si+С»-C>(M-si+-cT*sT35*
Редуцированпые .моменты инерции1Б48РАЗДЕЛ 9. БРУСЬЯ. ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА*<иСив В(0	О. оь14»а.m СО Cq|cO + (МICQ«Г-+С- I (МQQjcсмсCUF3QQCS I соI<*| -ССМСЧ IО* MS О IS ЬI—I« I СЧJC0?|смк I&I64о:■*гVIЙ■ft;•«IQ \£>1(Мок.со8QInOV»"tО**.СЧInOv.IОСМтNClJ,, см 2>оисосм*VIс»43IV»,оV.IсмОQиQ И* IьоQ|oo1 м +Vс»1 ! ^ОV-СМьр"оIIи>га•«*•Ai-*•» < СО 11V
9.3. ЬРУСЬЯ БОЛЬШОЙ кривизны549По формуле (9.55) имеем: в точке А1	Г 2,5-10*°вн — 18 I6,6- 10»4,1 280 _ 27,4)] = — 1 570 кг/см2,(18-в точке В анар	L Г	JL£d°4_ 42 L 4,16,6-105280— 27,4)1 =677 кг/см2.(42 —Перемещения при изгибе в плоскости кривизныПотенциальная энергия бруса, ось которого имеет длину 5, равна2 EI.у ред2 EFРед2 GF<ред(9.59)где Е и G — модули упругости материала; ось бруса проходит через центр тяжести редуцированного сечения, k зависит от формы поперечного сечения (заданного, а не редуцированного). Для прямоугольного сечения k 1,2, для круглого сечения k ^ 1,1.Перемещения А, вычисляются по формуле, анало¬ гичной формуле для прямых брусьев [см. 5.4.4, формула (5.112)]:	1 П MyMjdsro J \ Fly редNyNjds QxQidsEFредGF<ред(9.60)где Mi, Nt, Qi —внутренние усилия в текущем сечении бруса, вызванные приложением единичной нагрузки в направлении искомого перемещения.Если радиус кривизны брусагс > (2-:-3)/г, то расчет перемещений следует вести по формулам прямого бруса. Подробнее расчет бруса большой кривизны см. [1,6, 7, 13]*ЛИТЕРАТУРА1.	Беляев Н. М., Сопротивление материалов, ГИТТЛ, 1958.2.	Бицено К. Б. и Граммель Р., Техническая дина¬ мика, т. I, ГИТТЛ, 1950.3.	Г р и г о р ь е в Ю. П., К расчету кривых тонкостенных брусьев, сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. I, Машстройиздат, 1950.4.	Григорьев Ю. П., Формулы и таблицы для расчета тонкостенных круговых колец, сборник «Расчет пространствен¬ ных конструкций», т. II, Госстройиздат, 1951.5.	Г у ч к о в В. В., Формулы и графики для расчета на прочность и жесткость монорельсовых балок на закруглении, сборник ВНИИПТМАШа, «Новая подъемно-транспортная техни¬ ка», Машгиз, 1948.6.	П о п с в А. А., Сопротивление материалов, Машгиз, 1958.7.	П о г» о в А. А., Орлик А. С., Пономарев С. Д., Расчет кривого бруса, ГТТИ, 1933.8.	Сегаль А. И., К расчету колец и балок на упругом основании, сборник научно-исследовательских трудов МИИКС, 1947.9.	Справочник машиностроителя, т. III, Машгиз, 1951.10.	У м а н с к и й А. А., Пространственные системы, Стройиз¬ дат, 1948.11.	У м а н с ки й А. А., Теория и примеры расчета на проч¬ ность монорельсовых балок на закруглении, сборник ВНИИПТМАШа «Новая подъемно-транспортная техника», Маш¬ гиз, 1948.12.	У м а н с к и й А. А., О расчете плоских кривых тонко¬ стенных стержней с конечной жесткостью свободного кручения. Труды научно-технической конференции ВВИА имени Н. Е. Жу¬ ковского 1944 г., т. 2, вып. 2, изд. ВВИА, 1945.13.	У р б а н И. В., К вопросу о расчете кривых брусьев, Труды МИИТ, вып., 1, 1956.14.	Ф у р с о в М. К., Расчет круговых колец с использовани¬ ем циклической симметрии, сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. IV, Госстройиздат, 1957.15.	Ш и м а н с к и й Ю. А., Строительная механика подвод¬ ных лодок, Судпромгиз, 1948.\
РАЗДЕЛ 10ФЕРМЫ10.1.	ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ10.1.1.	Элементы и классификация плоских фермЭлементы. Совокупность стержней, ограничиваю¬ щих контур фермы сверху, образует верхний пояс, а снизу — нижний пояс. Внутренние стержни фермы обра¬ зуют ее решетку. Элементы фермы см. на рис. 10.1.Рис. 10.1. Элементы фермы1 — верхний пояс; 2 — нижний пояс; 3 — нисходящий раскос; 4 — восходящий раскос; 5 — опорная стойка;6—основная стойка; 7—дополнительные стойки; «У—опор¬ ный узел; 9 — коньковый узел; 10 — промежуточные узлы верхнего пояса; 11 — промежуточные узлы нижнего поя¬ са; I — пролет; d — панель; h — высота в пролете; hQn — высота на опореКлассификация. По направлению опорных реакций, вызываемых вертикальной нагрузкой, фермы могут быть: безраспорными — балочными (рис. 10.7), консольными (рис. 10.15), консольно-балочными (рис. 10.30); распор¬ ными — арочными (рис. 10.16 и 10.25) и висячими (рис. 10.17). Кроме того, различают комбинированные системы, представляющие сочетание нескольких разно¬ родных конструкций (балочно-арочные, балочно-висячие, арочно-висячие).По очертанию поясов различают фермы с парал¬ лельными (рис. 10.7, а, б), треугольными (рис. 10.7, е,ж), полигональными (рис. 10.7, д), криволинейными (рис. 10.7,3) поясами, а также трапециевидные или шатровые (рис. 10.1) и односкатные (рис. 10.7, з).По системе решетки различают фермы с решеткой треугольной (рис. 10.27), треугольной с дополнитель¬ ными стойками (рис. 10.4), раскосной (рис. 10.7, а—г), полураскосной (рис. 10.9); кроме того, существуют фермы многорешетчатые (рис. 10.31) и с составной решеткой, содержащей дополнительные элементы — шпренгели (рис. 10.11,в).По расчетным свойствам различают фермы стати¬ чески определимые и статически неопределимые — внутренне (рис. 10.33), внешне (рис. 10.29), внут¬ ренне и внешне.Усилия и реакции в статически определимой ферме могут быть найдены с помощью уравнений статики:трех — в плоских, шести — в пространственных фер¬ мах. Для расчета статически неопределимых ферм ус¬ ловий статики недостаточно.Условия статической определимости: плоских фермС — 2 У = 0, пространственных фермС — ЗУ = 0.Здесь С — число стержней фермы, включая опорные;У— число узлов фермы, включая опорные (узлы, принадлежащие земле, в счет не входят),Если левые части равенства больше нуля, то фермы статически неопределимы и положительное число пока¬ зывает необходимое количество дополнительных урав¬ нений; если левые части меньше нуля, — фермы гео¬ метрически изменяемы.С точки зрения назначения, известны следующие разновидности ферм: стропильные, мостовые, фермы различных специальных конструкций и сооружений — краны, затворы плотин, мачты, башни, эстакады и т. п.10.1.2.	Основные положения расчетаПорядок расчета. Расчетом определяются опорные реакции и максимально возможные значения усилий в каждом из стержней от постоянной и временной на¬ грузок. В статически неопределимых фермах реакции и усилия определяются также и от температурных воздействий. При необходимости определяются пере¬ мещения узлов от нагрузки и температурного воздейст¬ вия.Порядок расчета статически определимых ферм:1)	составление (вычерчивание) расчетной схемы;2)	проверка (в случае преобразованных систем, как на рис. 10.14) геометрической4 и мгновенной неизменяемо¬ сти; 3) определение нагрузок; 4) определение опорных реакций; 5) определение усилий; 6) подбор сечений элементов в соответствии с указаниями СНиП; 7) опре¬ деление перемещений.Порядок расчета статически неопределимых ферм: пп. 1—3 — см. выше; 4) предварительное определение сечений элементов — на основании практического опы-. та или путем приближенного расчета (при определе¬ нии усилий от нагрузки достаточно выяснить лишь соотношение между площадями сечений элементов, а при определении усилий от температурного воздейст¬ вия надо знать фактические площади); 5) расчет уси¬ лий; 6) проверка сечений в соответствии с указаниями СНиП; 7) уточнение расчета в случае, если разница
552РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫмежду предварительно принятыми и фактическими се¬ чениями велика; 8) определение перемещений.Нагрузки. Величина и сочетание нагрузок опреде¬ ляются СНиП и «Техническими условиями проекти¬ рования мостовых и специальных конструкций». Как правило, нагрузка прикладывается в виде сосредото¬ ченных сил к соответствующим узлам фермы. Собст¬ венный вес фермы прикладывается к узлам верхнего пояса, а при наличии подвесного потолка он распреде¬ ляется пополам между узлами верхнего и нижнего поясов. Ветровая нагрузка прикладывается в виде гру¬ зов, нормальных к кровле.Рис. 10.2Для большинства стропильных ферм невыгодные комбинации нагрузок исчерпываются загружением всей фермы постоянной и временной нагрузкой и затем всей фермы постоянной, а полупролета — временной нагруз¬ кой. Из этого правила бывают исключения; например, для стойки полигональной фермы невыгодным будет за- гружение временной нагрузкой по рис. 10.2.Усилия целесообразно определять от единичных сосредоточенных нагрузок; при симметричных фермах в большинстве случаев достаточно определить усилия от единичных грузов на полупролете, при несимметрич¬ ных — на полупролете слева и справа, и затем использо¬ вать способ наложения.Обозначения стержней и усилий в них. Стержни и усилия в балочных фермах обозначаются: в верхнем поясе буквой О, в нижнем — U, в решетке — D (раско¬ сы) и V (стойки). Буквам придают числовой индекс, показывающий принадлежность стержня к панели, счет которых обычно ведется слева направо (рис. 10.3,а). При графическом определении усилий применяется, кроме того, обозначение стержней соответственно номерам по¬ лей фермы; например, стержень V{ (рис. 10.3,6) обо- вначается 6—7. Можно нумеровать узлы, а стержни обозначать номерами узлов, к которым они примыкают. Если не подчеркивается отношение стержней к поясамили решетке, то усилия в них обозначаются буквой N с соответствующим индексом.Растяжению соответстбуют знак плюс и стрелки на схеме фермы, направленные от узла, сжатию — знак минус и стрелки, направленные к узлу.Опоры обозначаются заглавными буквами, напри¬ мер А, В и т. д., опорная реакция и ее вертикальные и горизонтальные составляющие — R, V и Н с индексами соответственно обозначению опоры. Если опорная реак¬ ция направлена вертикально, ее часто обозначают про¬ сто А, В ит. д.10.1.3.	Определение усилий в статически определимых фермах при неподвижной нагрузкеУстановление неработающих стержней в стержней, усилия в которых определяются местной нагрузкойВозможны следующие случаи (рис. 10.4):1)	узел имеет два стержня, и внешняя сила к узлу не приложена — усилия в обоих стержнях равны ну¬ лю (узел /);2)	узел имеет два стержня, и к узлу приложена внешняя сила или реакция, направление которой совпа¬ дает с направлением одного из стержней,—усилие в нем равно внешней силе и направлено в про¬ тивоположную сторону (узел 2, V\=Л), в другом же стержне усилие равно нулю (узел 2, U\=0);3)	узел фермы имеет три стержня, из которых два лежат на одной прямой, а третий направлен к этой прямой под произвольным углом, и к узлу внешняя сила не приложена — усилия в первых двух стерж¬ нях равны, а третий не работает (узел 3, £/2=£/з, 1/3= =0);4)	если в предыдущем случае к узлу приложена внешняя сила, действующая в направлении третьего стержня, то усилие в нем численно равно внешней силе, а знак определяется нагрузкой; усилия же в стержнях, лежащих на одной прямой, равны между собой (узел 4, V2=—Р, Oi=02);5)	узел фермы имеет три стержня, из которых два расположены под одним углом к третьему, и к узлу приложена внешняя сила, действующая по направлению третьего стержня, или не приложена вов¬ се — усилия в первых двух равны между собой (узел5,	03=04).Аналитическое определение усилийПроизводится с помощью уравнений статики, ко¬ торые составляются так, чтобы в каждое входило по возможности не более одного неизвестного. Аналити¬ ческий способ целесообразно применять главным об¬
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ553разом в тех случаях, когда интересуются усилием в одном стержне или небольшом числе стержней.Способ вырезания узлов. Узлы вырезаются в таком порядке, чтобы в каждом было не более двух неизвест¬ ных усилий. Последние определяются либо из уравне¬ ния проекций на ось, перпендикулярную одному из стержней, либо из уравнения моментов относительно точки, лежащей на одном из стержней.Пример 10.1. Определить усилия в стержнях, схо¬ дящихся в опорном узле А (рис. 10.5,а). Уравнения проекций на оси пх—ri\ и п2—п2 (рис. 10.5,6):A cos а — иг cos Р = 0 ; A cos 7 + Ог cos о = 0.Реакция А предполагается известной. Находим cos аcos 7 cos ознак минус указывает, что направление усилия было выбрано неверно, стержень Ох фактически сжат. Сле¬ дующим должен быть вырезан узел, где сходятся стерж¬ ни Ои 02, Dг, усилие Ох уже известно. Аналогично оп¬ ределяются усилия в последующих узлах.Метод сквозных сечений. Ферму разрезают на две части так, чтобы обнажилось не более трех неизвест¬ ных усилий, которые полагают направленными от узла. Составляют уравнения моментов относительно точек, которые выбираются в пересечениях двух стержней, или уравнения проекций на ось, перпендикулярную об¬ щему направлению усилий, если они параллельны. Тогда в каждое уравнение входит не более одного не¬ известного (см. 2.2.3).Пример 10.2. Определить усилия в стержнях Оа, £>2, 02 (рис. 10.5,а). Уравнения составляются относи¬ тельно точек ти тъ т3 (рис. 10.5,в). Уравнение мо¬ ментов относительно точки т\\-	Аа + Р (а + d) + Р(а + 2d) - = 0.Зная, что Л=2,5 Р, находим	_3d — 0,5 а D2 =	■ Р.Г\Составляя аналогично уравнения моментов относи¬ тельно двух других точек, находим 03 и U2. Проводя далее сечения по другим панелям, этим методом мож¬ но рассчитать всю ферму.Если в сечение попадают только два стержня, мо- ментная точка выбирается в любом удобном месте на стержне, усилие в котором определяют во вторую оче¬ редь.В фермах с параллельными поясами (рис. 10.6,а) усилия в поясах и раскосах определяются с помощью сечений типа а—а, а усилия в стойках определяются из уравнений проекций на вертикаль с помощью се¬ чений типа b—Ь. При нагрузке, перпендикулярной об¬ щему направлению поясов, целесообразно использоватьРис. 10.6эпюры М и Q (рис. 10.6 б, в), например при нисходящих раскосах (в левой половине фермы), как показано на рис. 10.6,а:Мт	М0И = -— : Um = +П= + —!—; Vm = -Qm.COS аlm-1hDm ==a10.1)В ферме с восходящими раскосами индексы момен¬ тов в формулах для Q и U меняются местами, а в формулах для D и V знак меняется на обратный (в по¬ следние формулы Q входит со своим знаком соответ¬ ственно эпюре).Графическое определение усилийОсуществляется построением диаграммы Максвел¬ ла — Кремоны (см. 2.2.3). Ею удобнее всего пользо¬ ваться, когда требуется определить усилия во всех стержнях. На рис. 10.7 даны примеры диаграмм для различных ферм и при разных нагрузках; в слу¬ чаях 10.7, а—ж для симметричных ферм с нагрузкой по всему пролету построены половины диаграмм. В случае 10.7, к (ферма Полонсо) диаграмма может быть построена после предварительного определения мето¬ дом сечения усилия в элементе 9—16.При загружении внутренних узлов (рис. 10.8,а) для построения диаграммы силу Р переносят на внешний контур фермы и вводят дополнительный стержень по направлению действия силы (рис. 10.8,6), этот^ стер¬ жень (показан пунктиром) соединяет внутренний узел н внешний контур; на внешнем контуре в месте новой точки приложения силы Р вводится шарнир. Усилия в поясе не изменяются.При наличии двух перекрещивающихся, но не скрепленных между собой стержней (рис. 10.8,0) в статически определимой ферме следует в месте пере¬ сечения стержней ввести шарнир (рис. 10.8,г). Усилия
554РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫа) р р р
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ555в стержнях, представляющих продолжение один друго¬ го, будут одинаковыми.Для полураскосной фермы (рис. 10.9) диаграмма строится так: в первой панели полураскосную решетку мысленно заменяют пунктирной диагональю и опреде¬ ляют усилие элемента 2 (здесь обычный способ нуме¬рации панелей неприменим). По этому усилию нахо¬ дят сначала усилия элементов 3 и 4, затем 5 и /. Да¬ лее мысленно заменяют полураскосную решетку диа¬ гональю во второй панели и находят усилие элемента9,	а по нему — усилия элементов 10, 6,7. 11 и 8\ про¬должая подобное построение дальше, рассчитыва¬ ют всю ферму. При большом числе панелей по¬ лураскосную ферму удобнее рассчитывать аналити¬ чески.Определение усилий по готовым формулам, таблицам и графикамГотовые формулы и графики для симметричных рав¬ нопанельных ферм, находящихся под односторонней вер¬ тикальной нагрузкой см, в [6]; несколько графиков длятреугольных ферм по данным [6] построены на рис. 10.10. Таблицы для расчета треугольных, шатровых, полиго¬ нальных ферм и ферм с параллельными поясами — см. в [24], а для расчета различных сегментных ферм — в[6,24].Расчет ферм на внеузловую нагрузкуВнеузловая нагрузка, приложенная непосредственно к стержню, распределяется между узлами по правилу рычага (рис. 10.11,a,6). В самом стержне возникают, кроме продольного усилия, изгибающий момент и попе¬ речная сила.Расчет составных фермПри больших панелях стержни фермы могут заме¬ няться дополнительными решетчатыми элементами и шпренгелями. В этом случае (рис. 10.11,в) сначала рас¬ считывается основная ферма на узловую нагрузку (рис. 10.11,2), которая определяется, как было указано выше. Затем находят усилия в дополнительных элемен¬ тах; например, в фермочке ab (рис. 10.11,д) —с учетом Усилия Ма_ь в стержне а—b основной фермы, в шпрен- геле ced (рис. 10.11,е) —с учетом усилия Nc_d в стерж¬ не с—d. В стержнях заданной фермы, которые не являются общими со стержнями дополнительных эле¬ ментов, усилия целиком определяются из расчета основ¬ ной фермы. В стержнях, общих для основной фермы и шпренгеля, например в стержне d—b, усилия определя¬ ются суммированием величин, полученных из расчетов основной фермы и дополнительного элемента.Фермы с гибкими пересекающимися раскосамиБез предварительного напряжения решетки эти фермы статически определимы. При данной нагрузке в каждой панели работает лишь растянутая диагональ. Применя¬ ются при нагрузке, способной менять свое направление.Пример 10.3 (рис. 10.12). От вертикальной нагрузки, приложенной к верхнему поясу 2—6, работают нисхо¬ дящие диагонали 2—10, 3—9, 6—8 и 5—9. Если на¬ грузка приложена к нижнему поясу 1—7 и направ¬ лена вверх, работают противоположные диагонали. В расчетной схеме неработающие диагонали исключа- ются.Фермы с «окном» (рис. 10.13)Неизменяемость фермы, в панели которой отсутствует раскос, обеспечивается неразрезностью по крайней мере одного из поясов в пределах данной панели и двух со¬ седних (теоретически достаточно иметь пояс неразрез¬ ным в пределах двух панелей, но при этом будут велики изгибающие усилия). Неразрезной пояс рассчитывается на совместные действия продольного усилия и изгиба моментамиMJl = Qc и Мпр = — Qd,	(Ю.2)где Q — балочная поперечная сила в безраскосной па¬ нели;с и d—расстояния до нулевой точки эпюры момен- ' тов, определяемые приближенно по формулам1	X J	fпри а = b =f а = с = .В фермах с «окнами» следует проверять прогиб.
b*ojsp	IKj,M>»x»-- .Л\ и. U2 U3 DUj llu Us \ в ЪСYA*3PB*P. О»л-г,25РOtо,лЛ, Рг S, и* и3\Чг\Vй\и, UiU3 U+ Us ие и, Us |вZ.ГГ70$I - пролет фермы h * Высота фермыО иРис. 10.10«3и,sm~\//\■e~J"f///I1 \\\и,в N■Г1 Г1 I I I I II I11114 4 11111Рис. 10. и1 I I иа) ц щ гг, ге,I) { \" „СЛСЛст>Uj'U^Us **» Vj*Vt'Vf*0 OjOs'Of ОуВ^ОЦ4»Ь*ивжЦ7Di,*Ds3V$*0 Vi'Vs'Vt'VT’O0^‘0gz0gz0j]-> и,*игU4--U5*US -'*» Oj-O^O Vf’V^Vs'O J«<» O3*O4-0fs04и,*игUs‘Ut*U7’Ut =Df 3Dg s 04,rVT'Vs*V7'0 Ojf 0g-0gz0jzffgРАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ557Рис. 10.13Способ замены стержнейДля ферм, не являющихся простейшими, т. е. m ■редставляющих последовательный ряд треугольников, аналитический и графический способы определенияРис. 10.14▼силий оказываются непосредственно неприменимыми. Используется способ замены стержней. Ферма (рис.10.14,а)	преобразуется путем разреза одного из стерж¬ ней (например, В—2) и замены его для ликвидации подвижности другим, возмещающим (например, А—4). Напряженное состояние заданной фермы представляет¬ ся суммой двух напряженных состояний полученной простейшей фермы. Первое напряженное состояние (рис. 10.14,6) — от заданных сил Р. Усилия в стержнях, обозначаемые Nip, определяются графически или ана¬ литически. Второе напряженное состояние (рис.10.14,в)	— от действия усилия в перерезанном стержне, которое в заданной ферме отлично от нуля. Обознача¬ ем это усилие через X. Прикладываем к узлам, соеди¬ няемым разрезанными стержнями, две силы, равные отвлеченной единице; определяем графическим или ана¬ литическим способом от этой единичной нагрузки уси¬ лия во всех стержнях, которые обозначаем	• Находим X из условия, что в заданной ферме возме¬ щающий стержень отсутствует или, что то же, усилив в «ем равно нулю. Это условие запишется так:откудал =	.^А—4, Х=1Окончательные усилия в стержнях получаем сумми¬ рованием по формулеNi = Nip + XNl>x=1.Равенство нулю усилия в возмещающем стержне от Х=\ является признаком мгновенной изменяемости фермы. В более сложных случаях может потребоваться замена двух и более стержней [29].Тонкостенные фермы [27]Тонкостенными называются фермы, образованные из обычных путем замены раскосов тонкими пластинками. Расчет ведется в предположении шарнирных узлои, действия узловой нагрузки и наличия только сдвигаю¬ щих сил взаимодействия между стенкой и стержнями. Усилия определяются графически из диаграммы, кото-NА-4 = NA-4,p “1" XNA-4, Х=1 — 0 •Рис. 10Л5
558РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫрая строится для условной модели, заменяющей дан¬ ную тонкостенную ферму. Модель образуется вписывани¬ ем в каждую панель фермы вместо стенки стержневого параллелограмма, стороны которого параллельны ди¬ агоналям панели; форма параллелограмма может быть произвольна. В местах пересечения сторон параллело¬ грамма со стержнями фермы вводятся шарниры. Мо-определима и имеет конечные усилия. Равнодействую¬ щая сдвигающих усилий получается как равнодей¬ ствующая усилий полураскосов, примыкающих к поя¬ су или стойке.Пример 10.4. Определить усилия в тонкостенной консольной ферме (рис. 10.15,а,б). Усилия в поясах и стойках вследствие наличия сдвигающих сил — пере¬ менные. Усилие в стержне 3—4, например вблизи узла 2—3, определяется отрезком диаграммы с—3 (рис. 10. 15,в), а вблизи узла 4—5 — отрезком с—4. Распреде¬ ление сдвигающего усилия вдоль стержня принимается равномерное, а распределение нормального усилия в стержне — по линейному закону. Сдвигающая сила между тонкой стенкой и элементом 3—4 пояса опре¬ деляется отрезком диаграммы 3—4. На рис. 10.15,г по¬ казаны сдвигающие силы, действующие на стенку па¬ нели В, на рис. 10.15,д— воздействие стенки на окай¬ мляющие стержни, а на рис. 10.15,е — эпюры усилий в стержнях этой панели.Распорные и комбинированные фермыК числу распорных относят трехшарнирные арочные фермы, фермы с затяжками и висячие конструкции. В арочных конструкциях распор направлен внутрь про¬ лета, в висячих — наружу. Определение реакций —см.2.1.5. и 2.2.2. Усилия определяются графическим или аналитическим способом, так же как и в балочных фермах. Усилие в затяжке, если она имеется, опреде¬ ляют методом сечения, как усилие в горизонтальном элементе нижнего пояса фермы Полонсо. На рис. 10.16 и 10.17 построены диаграммы Кремоны для трехшар¬нирной арки (высота полуарки для наглядности не¬ сколько преувеличена) и висячей конструкции (ванто¬ вой фермы). Теорию вантовых ферм см. [17].О	расчете комбинированных ферм, которые приме¬ няются главным образом в мостовых сооружениях, см. [15, 26].10.1.4.	Перемещения узлов статически определимых фермИсходные данные для определения перемещенийПредварительно вычисляются удлинения всех стерж¬ ней:упругие — по формулеN41Р = р EF(10.4)где № — усилие в стержне от заданной нагрузки;I—его длина;Е—модуль упругости;F — площадь поперечного сечения; от температурного воздействия — по формуле** = «/*,	(10.5Ггде а — коэффициент линейного расширения матери¬ ала стержня; t — изменение температуры.Перемещения могут определяться аналитическим и графическим способами. Первый удобен при определе¬ нии какого-либо одного перемещения, например проги¬ ба нижнего пояса в середине пролета, второй — для получения линии прогиба и вообще всех перемещений фермы.Аналитическое определение перемещений (см. 5.4.3)Осуществляется по формулеАр = Е \р N или А/ = 2 X/ N,(10.6)
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ559где Др или А/ — перемещение от заданной нагрузки или от температурного воздействия по интересующему направлению;Хр или X/ — удлинение стержня от заданной на¬ грузки или от температурного воз¬ действия;TJ — усилие в стержне от единичной на¬ грузки, приложенной по направлению искомого перемещения.В уравнении (10.6)Таблица 10.1а)tРт'-1 т2S2EZSE5JяГ *суммирование ведется по всем стержням, усилия и удлинения входят со своими знаками.Для определения про¬ гиба какого-либо узла фермы в нем приклады¬ вается единичная верти¬ кальная сила (рис.10.18,а). Для определения сближения двух узлов (рис. 10.18,6) в этих уз¬ лах прикладываются рав¬ ные и противоположные единичные силы, дейст¬ вующие по направлению прямой, соединяющей узлы. Для определения угла поворота стержня берется пара сил с мо¬ ментом, равным едини¬ це, причем составляющиечары, равьые—, прикла- 1тдываются к узлам стерж¬ ня перпендикулярно по¬ следнему (рис. 10.18,в); в этом случае усилия ЛГ имеют размерность см-1. Для вычисления приращения угла уберутся две противоположные пары (рис. 10.18,г).При определении перемещений от осадки опор опор¬ ные устройства заменяются стерженьками, которым даются удлинения или укорочения, равные осадке, после чего применяется формула (10.6).V77Пример 10.5. Найти прогиб среднего узла нижнего пояса стальной фермы (рис. 10.19). В таЪл. 10.1 даны геометрические характеристики элементов, усилия от нормативной нагрузки в узлах верхнего пояса и от еди¬ ничного груза, приложенного в рассматриваемом узлеNPNlдля вычисления прогиба, значения		— для каждогоFстержня. Прогиб (£=2,1 • 106 кг/см2)12 8672	100 000 ’ СМ'Наимено¬ваниеэлемента1FУсилие от нормативной нагрузки NрУсилие от единичного груза NNpNlF°i8,75—33,6-0,63+ 185 ,°г8,75-33,6—0,63+ 185°з5,95—65,5—1,56+ 6085,95—65,5—1,56+ 608°56,0—66,3—2,23+887иг10,0000и214,1+54,6+ 1,12+862и314,1+69,0+ 1.92+ 1 870°115,0+41,2+0,77+477D213,0—27,7—0,67+242D342,2+ 15,1+0,57+365°425,0—5,0—0,52+6525,0—3,4+0,45—38^16,2—30,2—0,50+9416,5-5,90025,0—6,7006 410^422,5+5,9+ 0.35+47, NPNl. = 6 410-2+47 = 12 867Графическое определение перемещенийВ основе лежит построение перемещения узла С двух стержней АС и ВС (рис. 10.2Ю,а,) когда известны удлинения стержней Х^с и Хвс и перемещения точек А и В, т. е. и Дв . Сначала стержням даются по¬ ступательные перемещения, равные Ал и Дв , затем они удлиняются на Хлс и ХБС и, наконец, поворачи¬ ваются вокруг точек А' и В' до совпадения других концов в точке С'; при этом дуги заменяются касатель¬ ными — перпендикулярами в конце радиусов вращения. Вектор С—С' является искомым перемещением узла С. Перемещения и удлинения откладываются в масштабе, превышающем масштаб стержней. Если последний без¬ гранично уменьшать, все узлы сольются в одну точку — полюс и построение примет вид, показанный на рис. 10.20Д Его следует рассматривать как полярную диа-что составляет Vsoo^.Рис. 10.20
560РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫграмму, тогда как рис. 10.20,а является неполярной, ло¬ кальной диаграммой. Рассмотренное построение может быть распространено на многостержнейые системы двумя способами соответственно двум видам диаграмм.Полярная диаграмма (Виллио). Удлинения стержней на диаграмме откладываются по направлению от узла, укорочения — к узлу. При построении один из узлов фермы принимают неподвижным и один из стержней,Рис. 10.21сходящихся в этом узле, неповорачивающимся. Полу¬ чающееся несоответствие в том случае, если в ферме в действительности нет неповорачивающегося стержня, устраняется после окончания построения диаграммы.Пример 10.6 (рис. 10.21). За неподвижный принят узел G, стержень GF принят неповорачивающимся. Диаграмму строим при полюсе О, с которым совпада¬ ет точка g, соответствующая неподвижному узлу. От полюса откладываем в определенном масштабе пред¬ варительно вычисленное удлинение стержня GF и полу¬ чаем точку f (на рис. 10.21 знаки удлинений указаны на ферме); удлинения откладываются параллельно самому стержню, так как стержень растянут, отрезок gf откладывается в направлении от узла F. Далее из точки f откладывается укорочение f с" стержня FC и из точ¬ ки g укорочение gcf стержня GC. Из точек с' и с" вос¬ ставляются перпендикуляры к отложенным укоро¬ чениям, их взаимное пересечение дает точку с. Затем из точки с откладываем укорочение cd" стержня CD, а из точки f —удлинение fd' стержня FDy перпендику¬ ляры из d' и d" дают точку d.Далее строим последовательно перемещения узлов В, Е и А. Прямые между точками диаграммы а, Ь, с и т. д. (на рис. 10.21,г они не показаны) дают величи¬ ну и направление полного перемещения одного узла относительно другого; если спроектировать точки в, Ъ, с и т. д. на вертикали и горизонтали, прове¬ денные из узлов фермы, получатся соответствую¬ щие проекции этих перемещений. Однако эти переме¬ щения соответствуют принятому условию о неподвиж¬ ности стержня GF. Несоответствие опорным условиям (точка Е имеет вертикальное смещение относительноА,	равное пе на рис. 10.21,в, чего в действительности нет) устраняется проведением на рис. 10.21,в замыка¬ ющей прямой аеу от которой и следует отсчитывать действительные вертикальные составляющие переме¬ щений1.1 Способ устранения’несоответствия диаграммы опорным условиям с помощью замыкающей прямой указан И. М. Рабиновичем [16].Для возможности отсчета действительных горизон¬ тальных проекций перемещений узлов на рис. 10.21,6 проводится замыкающая ап' под тем же углом а, ко¬ торый прямая ае образует с горизонталью на рис. 10.21,0. Фактические полные перемещения можно полу¬ чить графическим суммированием проекций из рис. 10.21,в и Ь.Локальная диаграмма повернутых перемещений [28]. В целях удобства в локальной диаграмме перемеще¬ ния и удлинения строятся повернутыми на 90° по ходу часовой стрелки по отношению к действительному направлению.В простейшем случае узла С (рис. 10.20) локальная диаграмма строится так: перемещения узлов А и В (рис. 10.20,0) — Дл и Дв —поворачиваются на 90°, из точек а и Ъ проводятся прямые, параллельные стерж¬ ням, и где-либо на протяжении их длины делаются ступеньки, равные	Ступенька откладываетсявправо при удлинении стержня и влево — при укоро¬ чении. Затем прямые продолжаются, и пересечение их дает точку С. Вектор Сс и есть искомое перемещение, но повернутое на 90°,’точка с называется изображением узла С.В многостержневой системе построение осуществ¬ ляется аналогично, причем, так же как и при постро¬ ении полярной диаграммы, один узел и один стержень должны быть приняты неподвижными.Пример 10.7. Построение локальной диаграммы по¬ вернутых перемещений для фермы, показанной на рис. 10.22, а.Неподвижными принимаем узел А и стержень АН\ неподвижность последнего фиксируем воображаемым жестким стержнем НН0. Начинаем построение от точ¬ ки а, которая совпадает с А. Укорочение стержня АН откладываем перпендикулярно ему на середине его длины и проводим прямую, параллельную АН, до пере¬ сечения с ННо. Так как опорный стержень НН0 беско¬ нечно жесткий, ^нн0 и точка ^ дает изображе¬ ние перемещения узла Н.Далее откладываем удлинение стержня АВ и про¬ водим прямую, параллельную этому стержню; из точ¬ ки h проводим прямую, параллельную НВ\ где-то на ее протяжении откладываем удлинение стержня ИВ и начатую линию продолжаем; пересечение ее с прямой, параллельной АВ, дает точку b —изображение узлаВ.	Аналогично получаем последовательно изображе¬ ния узлов С, J, D, К и т. д. вплоть до узла G. Повер¬ нутое перемещение узла G выражается вектором Gg. Однако действительное перемещение узла может быть только горизонтальным, а повернутое, следовательно, вертикальным.Устранение несоответствия опорным условиям, ко¬ торое достигается введением стержня ННо, будет до¬ стигнуто, если изображение заданной фермы, от узлов которой измеряются перемещения, будет перестроено так, что правый опорный узел сможет иметь только горизонтальное смещение. Это выполнено построением фермы, подобной заданной, ее узлы обозначены буква¬ ми со штриховым индексом. Истинные перемещения выражаются векторами, соединяющими узлы построен¬ ной фермы с точками диаграммы. Например, переме¬ щение узла D выражается вектором D'd% а прогиб это¬ го узла (вертикальная проекция перемещения) равен А/) (не следует забывать, что на диаграмме получа¬ ются повернутые перемещения).По известным перемещениям узлов мажет быть определен угол перекоса стержней. Он равен разности деленных на длины стержней проекций перемещений их концов на перпендикуляры к стержням.
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ561ЮВ'Строительный подъем ферм. При устройстве строи¬ тельного подъема возникает задача, обратная рассмот¬ ренной: по заданной величине перемещений узлов тре¬ буется найти удлинения, а по ним — новые размеры стержней. Решение: по концам стержня в его масшта¬ бе откладываются (рис. 10.22,6) векторы заданных перемещений узлов, которые связывают стержень; перемещение проектируется на стержень или его на¬ правление. Алгебраическая сумма начальной длины и проекций перемещений дает новую длину.Построение эпюры прогибов пояса фермы по способу фиктивных грузовЭпюра прогибов получается как эпюра изгибающих моментов фиктивной балки, нагруженной сосредото¬ ченными фиктивными (упругими) грузами Pj (п~ = 1, 2, 3,...) в проекциях узлов пояса:= SX ~N ;X— фактические удлинения стержней фермы;N — усилия в стержнях от вспомогательной группы1 1 1 трех уравновешенных сил — —, —+	,1п ип ип+1■(рис. 10.23,а). От этих сил возникают ап+1усилия в ограниченном числе стержней фермы в пределах панелей dn и dn+*.На рис. 10.23,6 дан пример определения прогиба нижнего пояса фермы на двух опорах, а на рис, 10.23,6 — консольной.Способ используется также для построения эпюры прогибов узлов любой стержневой цепи, входящей в состав фермы, например зигзага раскосов.При наличии вертикальных опорных стоек, когда они оказывают влияние на прогиб рассматриваемой стержневой цепи, должны быть учтены граничные усло¬ вия в виде дополнительных прогибов над опорами А и В.Более подробное изложение способа и некоторые готовые формулы см. в [26].10.1.5.	Инфлюенты усилий и перемещений в статически определимых фермахИнфлюентой (линией влияния) называется диаграм¬ ма, изображающая закон изменения усилия в элементах фермы или перемещения ее узлов, вызываемых движу¬ щимся вдоль фермы единичным грузом постоянного на¬ правления. Инфлюенты используются для вычисления усилий или перемещений при подвижной нагрузке и при большом числе переменных грузов.Если ордината инфлюенты усилия какого-либо эле¬ мента под грузом Р равна у, то усилие в немN = Ру.(10.7)Рис. 10.2336 Зак. 2098
562РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫУсилие при наличии нескольких грузов Рь Рг».*., РпN = Р1У1 + Р2у2 + . • • +РпУп. (Ю.8)Усилие при наличии равномерной нагрузки интенсив¬ ностью рN=pQ,	(10.9)где 2 — площадь части инфлюенты, расположенной под нагрузкой интенсивностью р..При нагрузке переменной интенсивности р(х)х2N=$p(x)dx.	(10.10)По аналогичным формулам с помощью соответст¬ вующих инфлюент вычисляются и перемещения.Статический способ построения инфлюент усилийИспользуются инфлюенты опорных реакций, кото¬ рые строятся так же, как в простой балке (см. раздел 5.5), и метод сквозных сечений. Усилие в стержне вы¬ ражается через одну реакцию из условий равновесия отделенной разрезом части фермы, на которой отсутст¬ вует груз.Пример 10.8. (рис. 10.24). Инфлюенты опорных ре¬ акций построены заранее. Для построения инфлюенты усилия, например Оз, проводим сечение через третью панель. Когда груз находится в правой части фермы, из равновесия левой имеема03 = — А ;г зстержень Оз сжат; инфлюента в пределах от опоры В до узла 3 получается из инфлюенты реакции А путем умножения ее ординат в тех же пределах на величину а—. Из равновесия правой части фермы, когда груз на гзЪлевой, О г——В—; в пределах от опоры А до узла 3 гзинфлюента Оз получается из инфлюенты реакции В путем умножения ее ординат в тех же пределах наТехника построения ясна из чертежа. Так же по¬ строена и инфлюента усилия U3.Для усилия D3 тоже получаем два значения со¬ ответственно нахождению груза в правой и левой ча-е	/стях пролета: D3 — — А	и D3 = В— .го	ГоПервое значение действительно от опоры В до уз¬ ла 4, второе—от опоры А до узла 3. Умножая в этих пределах ординаты инфлюент А и В соответственно на« /—	и — и соединяя точки 3 и 4 на диаграмме прямой го г0(в пределах рассеченной панели), получаем инфлюенту усилия /)з. Инфлюенту усилия V2f получим, рассматри¬ вая равновесие узла 3\ с использованием инфлюенты 03 и аналогичной ей, но не показанной на чертеже ин¬ флюенты Ог. Одиночный стержень V$ работает только тогда, когда груз находится в пределах третьей и чет¬ вертой панелей; наибольшего значения усилие дости¬ гает при нахождении груза в узле 4.В распорных конструкциях инфлюенты усилий стро¬ ятся аналогично, но, кроме инфлюенты вертикальных реакций, используется и инфлюента распора. Послед¬ няя определяется выражениемКя= —.	(10.11)где —инфлюента момента от нагрузки в простой балке в точке, соответствующей ключу арки.В симметричной арке (рис. 10.25) М°=-^-,н ин¬ флюента распора имеет вид равнобедренного треу¬ гольника с высотой —. Инфлюента усилий в элемен¬ тах этой арки построена указанным способом.На рис. 10.26 даны инфлюенты усилий в характер¬ ных стержнях некоторых ферм. Данные о построении инфлюент усилий в других фермах см. в [15, 26].Кинематический способ построения инфлюент усилийИнфлюента какого-либо усилия получается как эпюра вертикальных перемещений пояса фермы, по которому движется единичный груз, построенная в предположе¬ нии, что исследуемому стержню дается единичное уд¬ линение, а все остальные стержни остаются недефор- мированными. Эпюры перемещений могут быть постро¬ ены графоаналитически или чисто графически (см. [15, 28, 29]). Целесообразно кинематическим способом определять только вид инфлюенты, а ординаты вычис¬ лять статическим способом.
564РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫПример 10.9. На рис. 10.27 построена инфлюента усилия Оз. Ординаты взяты из аналитического расчета.г!Рис. 10.27Инфлюента перемещенияСтроится как эпюра прогиба пояса фермы от единич¬ ной силы (или сил, если речь идет о сближении узлов), приложенной по направлению рассматриваемого пере¬ мещения. Построение делается для пояса, по которому передвигается нагрузка. Для построения используется графический или аналитический способ определения прогибов.Невыгодная установка грузов на инфлюентеДля получения максимальных значений усилия или деформации от системы связанных между собой сосре¬ доточенных грузов наибольший из них ставится над максимальной ординатой инфлюенты.Подсчитывается величина5	= S Ri tg а;,(10.12)где Ri —равнодействующие грузов, находящихся над каждым прямолинейным участком ин¬ флюенты (рис. 10.28); а/ —углы наклона прямолинейных отрезков, по¬ ложительные для левой части инфлюенты (когда ординаты возрастают) и отрица¬ тельные — для правой (когда ординаты уменьшаются).Подсчет S ведется дважды: груз, стоящий над мак¬ симальной ординатой, первый раз относится к левому примыкающему участку, а второй раз — к правому. Если в обоих подсчетах величина 5 разнозначна, то принятая установка — невыгоднейшая. Если S оба раза положи¬ тельна, систему грузов надо передвинуть на один груз вправо, если отрицательна, то соответственно влево, после чего вновь проверить S на разнозначность. Ког¬ да при невыгоднейшей установке часть грузов сходит с пролета, вычисление повторяется для оставшихся грузов.Максимальное усилие от системы грузов (поезда) можно также определять при помощи сплошной рав¬ номерной эквивалентной нагрузки, величину которой см. в [25, 26].10.1.6.	Определение усилий в статически неопределимых фермах при неподвижной нагрузкеПриближенные способы расчетаДля предварительного определения сечений элемен¬ тов внешне статически неопределимые фермы сопостав¬ ляются со сплошной аркой или балкой и усилия в стер¬ жнях определяются по объемлющим эпюрам моментов и поперечных сил.Пример 10.10 (рис. 10.29). Усилия в поясах от соб¬ ственного веса получаем, приравнивая моменты этих усилий относительно соответствующих моментных точек значениям моментов по эпюре двухпролетной балки. Например, максимальные усилия в поясах в пролете(10.13)—	о = и =Усилия в раскосах и стойках определяются по эпю¬ ре поперечных сил. Например, максимальные усилия в раскосе и стойке у крайней левой опорыD = ——— , V = — Q.	(10.14)sin аПриближенное определение усилий в тех же фермах возможно также путем расчета статически определи¬ мой фермы, получаемой из заданной преобразованием!1Т?ТП>^«гiffРис. 10.29ее в консольно-балочную. Например, приближенные значения усилий в ферме на рис. 10.29 можно получить из расчета фермы по рис. 10.30.IjfrhnРис. 10.30
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ565Многорешетчатые и многораскосные фермы при¬ ближенно рассчитываются путем разложения на не¬ сколько статически опре¬ делимых ферм соответ¬ ственно числу направле¬ ний раскосов. Нагрузку распределяют между этими простейшими ста¬ тически определимыми фермами поровну. Уси¬ лия в стержнях, которые входят в состав не¬ скольких простейших ферм, алгебраически сум¬ мируются. На рис. 10.31 показано разложение многорешетчатой фермы для приближенного рас¬ чета. При большом числе лишних стержней в решетке часто ограничиваются подобным приближенным ра¬ счетом.Метод силОсновную систему следует выбирать наиболее про¬ стой и симметричной. В фермах с перекрестной решет¬ кой ее рационально образовывать разрезом обратных раскосов (рис. 10.32,а); в шпренгельных фермах — раз¬ резом шпренгеля (рис. 10.32,6); в двухпролетных фер¬ мах (рис. 10.32,в) — отбрасыванием промежуточной опоры (№ 1) или одного из стержней пояса, примыка¬ ющего к средней опоре (№ 2), в многопролетных фер¬ мах— отбрасыванием по одному из стержней пояса, примыкающих к промежуточным опорам; в двухшарнир¬ ных арках — отбрасыванием стержня (№ 3) и преобра¬ зованием в трехшарнирные (рис. 10.32,г).Перемещение основной системы по направлению i-й лишней неизвестной от нагрузки определяется по фор¬ мулеV N« Nj'Jip — 2j EF :перемещение от температурного воздействия и осадки опор —согласно 10.1.4 и 10.1.7, а перемещение основной(10.15)«оwSFTpГ *6 \6) j?№1системы по направлению /-й лишней неизвестной от k-\\ неизвестной — по формулеhk-sNjNklEF(10.16)В (10.15) и (10.16) №, Ni Nk —усилия в стержне соответственно от внешней нагрузки, /-й и &-й единич¬ ных лишних неизвестных (т. е. А/ =1, Хь =1). Сумми¬ рование в этих формулах распространяется на все стержни основной системы, а при вычислении Ьц — также и на стержень, усилие в котором принято за лишнее неизвестное, если только он не является бес¬ конечно жестким.Уравнения для определения лишних неизвестных составляются и решаются, как обычно в методе сил (см. 5.7.4). Окончательные значения усилий в стержнях вычисляются по формулеN = N0 4- Хх N, + X2N2 Н	\-Хп Nn. (10.17)Пример 10.11. Шпренгельная ферма (рис. 10.33,а) (см. [2], а также табл. 8.1.22). Основная система пока¬ зана на рис. 10.33,6. Вычисления сведены в табл. 10.2; Е — кратные перемещения, ЕЬи =212,1 иЕА1р =—182,1 Р. Основное уравнение имеет вид212,1^ — 182,1 Р = 0,откуда182,1Р 212.1= 0,86 Р.Усилия в стержнях, определенные по формуле (10.17), даны в последнем столбце табл. 10.2.Метод заданных напряженийПрименяется для расчета внутренне статически не¬ определимых ферм на неподвижную нагрузку в случае, когда желательно получить конструкцию с заранее за¬ данными напряжениями в элементах. Подробно см. [15 и 18].Фермы с нецентриро в анными узламиНеизменяемость таких ферм обеспечивается нераз- резностью элементов и способностью их работать на из¬ гиб. Точный расчет при значительных эксцентрицитета >
566РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫТаблица 10.2* Указана удвоенная длина симметричных стержней.проводится по методу сил. Перемещения определя¬ ются по формулам (10.15) и (10.16), но с добавлением соответственно в правой части слагаемыхиV j* Ml Mkdx t	(10.19)учитывающих деформацию изгиба. Эти слагаемые вы¬ числяются только для тех стержней, которые работают на изгиб.Малые эксцентрицитеты могут быть учтены после расчета фермы в предположении центрированных уз¬ лов путем приложения найденных усилий в точке фак¬ тического присоединения стержней и расчета соответст¬ вующих элементов на сжатие или растяжение с изгибом.t*	ьПример 10.12. Ферма с эксцентрицитетом в опор¬ ном узле (рис. 10.34,а) рассчитывается по схеме на рис. 10.34,6; элемент U\ рассчитывается на растяжение с изгибом моментом М = Аа.Учет жесткости узловРасчет ферм в предположении шарнирных узлов иногда не дает правильного представления о прочности, так как не учитывает изгиба элементов, вызываю¬ щего порой напряжения, соизмеримые с основными напряжениями от осевых усилий. Изгиб следует учи¬ тывать при относительно большой высоте элемента фермы и в случае малой пластичности материала. Рас¬ чет ведется методом деформаций [32].При большой высоте пояса и слабой решетке можно пренебречь изгибом элементов решетки и вести расчет по методу сил, включив в узлы пояса шарниры и при¬ няв за неизвестные моменты в этих шарнирах.Учет защемления ферм, жестко связанных с колоннамиПри расчете ферм, являющихся ригелями рамных конструкций и жестко связанных с колоннами, кроме обычных нагрузок, учитываются нормальные силы ри¬ геля и опорные моменты. Продольные силы условно считаются приложенными на уровне нижнего поясафермы. Опорные моменты заменяются парами горизон¬ тальных сил Н с плечом ho, равным высоте фермы на опоре (рис. 10.35):Н = — .	(10.20)h0Работа «нулевых» стержнейПри значительных деформациях ферм «нулевые» стержни включаются в работу. Действительные усилия в них находятся из расчета фермы по деформирован¬ ной схеме, т. е. без гипотезы малых перемещений. Конструктивное назначение размеров сечения «нулевых» стержней иногда может привести к снижению несу¬ щей способности фермы. Для обоснованного подбора сечения этих элементов можно пользоваться формулой# дающей предельное значение усилия [10].А^пред = 3N -—А.	(10.21)bЗдесьA	(10-22)№ элемента1* в см”5СО«*.1FWi№%i£-к<М -н1+«И*II120010012—1,500,75 Р—13,4 Р27,0-0,54 РU2120010012—2,002,25 Р—54,0 Р48,00,53 Р°11200100121,00—1,50 Р—18,0 Р12,0-0,64 Р°260010061,00—2,25 Р—13,5 Р6,0-1,39 Р100025400,83-1,25 Р—41,6 Р27,8-0,54 Р°210002540—0,831,25 Р—41,6 Р27,80,54 Р100025400—1,25 Р00—1,25 РД41000254000000R144060241,200034,61,03 РS120060201.00020,00,86 РV8004020-0,67008,9—0,57 Ра- 182,1Р212,1-Рис. 10.34растсжат
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ567Niq — усилия в элементах фермы, которые работают от группы сил Q, определяемых схемой рис. 10.36,а;//— длина тех же элементов;N — усилие в элементе, связанном с «нулевым» стержнем, определяемое из обычного расчета фермы;ст — предел текучести материала;Е—модуль упругости.В выражении (10.22) под знак суммы могут входить либо усилия растянутых стержней, либо абсолютные значения усилий сжатых стержней. На рис. 10.36,6 по¬ казаны силы Q для определения усилия в стержне х. Стержни, работающие от группы сил Q, показаны двойными линиями..СжатиеРис. 10.36тальна, то при вертикальных силах правая часть вы¬ ражения (10.23) принимает вид2Яуу; если нагрузка приложена на линии опор, то 1АГ/=0.Формула (10.23) справедлива как для статически определимых, так и для статически неопределимых ферм, если все лишние стержни принадлежат самой ферме или лишним является вертикальный опорный стер¬ жень.Пример 10.13. Проверка вычисления усилий в фер¬ ме, рассмотренной в примере 10.11 (рис. 10.33) :2N1 = 2(— 0,54 + 0,53)6Р-12-0,64 + 1.39) 6Р+ + 2 (—0,54 + 0,54 — 1,25) 5Р + 2-1,03-7,20Р ++ 0.86-12Р — 2-0.57-4Р = — 8Р;2,Руу = — 2-4Р = — 8Р.10.1.7. Определение перемещений в статически неопределимых фермахАналитический способ. Перемещения от нагрузки определяются, так же как и в статически определимых фермах, по формуле (10.6). Усилия N можно опреде¬ лять в основной системе.Перемещение от воздействия температуры вычис¬ ляется по формулеА‘=^щг- +(10.24)Проверка расчета фермЗдесь Nf—усилия в стержнях от температурного воздействия, определяемые из расчета статически неопре¬ делимой системы [15].Графический способ. Перемещения от нагрузки опре¬ деляются построением полярной или локальной диа¬ граммы для основной системы по действительным уси¬ лиям, найденным из расчета статически неопределимой системы.В статически определимых фермах проверка мо¬ жет быть осуществлена контролем равновесия выре¬ занных узлов. В статически неопределимых фермах, кроме того, производится конт¬ роль неразрывности деформа¬ ций. Для этого достаточно про-*	верить, обращаются ли в нуль перемещения, которые заведо- JL * мо равны нулю. Для контроля расчета используется также теорема о вириале внешних сил [3]: для свободной шарнирной Рис. 10.37	фермы сумма произведений изусилий в стержнях на длины стержней равна вириалу внеш¬ них сил (в число которых включаются реакции), т. е. сумме, состоящей из проекций этих сил на координат¬ ные оси, умноженных на координаты точек приложе¬ ния. Аналитическое выражение теоремыS	N1 = S (Рхк + Руу).	(10.23)Начало координат удобно совмещать с левой опо¬ рой фермы, а ось абсцисс направлять по линии, соеди¬ няющей опоры (рис. 10.37). Если линия опор горизон-10.1.8. Инфлюенты усилий в статически неопределимых фермахПри построении инфлюент усилий всех стержней следует сначала построить инфлюенты лишних неиз¬ вестных. Инфлюента каждого усилия получается затем путем суммирования инфлюенты усилия в основной системе с инфлюентами усилий лишних неизвестных, умноженных на соответствующие коэффициенты влия¬ ния. Эти коэффициенты представляют собой усилия в элементах основной системы от лишнего неизвестного, принятого равным единице. При построении инфлюент небольшого числа усилий целесообразно строить их как эпюры прогибов от единичных удлинений (дисло¬ каций А =1) исследуемого стержня в действительной, статически неопределимой системе.Пример 10.14. На рис. 10.38 дана инфлюента лиш¬ ней неизвестной Х\ (реакции опоры В), полученной как эпюра прогибов основной системы — балочной фермы на двух опорах А и С от ^, = 1. Масштаб инфлюенты получен из условия, что ордината над опорой В равна единице (рис. 10.38,в). Инфлюенты реакции А (рис. 10.38,г) и усилий в стержнях 03 (рис. 10.38,(9) и D3 (рис. 10.38,е) получены суммированием инфлюент ос-t-*J
568РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫновной системы и инфлюенты Х\, умноженной на ко¬ эффициенты влияния:vл = ~ 0.5Хй о3 = 0% - Хц2 г.10.2.	ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ, СОЕДИНЕННЫЕ СВЯЗЯМИ (БИКОНСТРУКЦИИ)10.2.1.	Определение и классификацияСистемы, состоящие из двух и более плоских ферм, жестких только в своей плоскости и соединенных свя¬ зями, называются биконструкциями. При нагрузках, создающих усилия в связях, биконструкции работают как пространственные системы. Связи работают во всех случаях воздействия на рассматриваемые системы по¬ перечной нагрузки и при нагрузке, действующей в плос¬ кости одной из ферм, если она не закреплена в своей плоскости неизменяемым образом. В статически неопре¬ делимых системах связи работают также и в случае, когда нагрузка лежит в плоскости закрепленной фер¬мы, но по отношению ко всей системе является несим¬ метричной. В последнем случае, однако, усилия в свя¬ зях незначительны.К числу биконструкций при соответствующей на¬ грузке относятся крановые конструкции, некоторые ба¬ шенные сооружения, покрытия промышленных цехов, мосты.По числу основных ферм различают системы, состоя¬ щие из двух спаренных ферм (рис. 10.41), и много¬ рядные системы с числом ферм более двух (рис. 10.43 и 10.46).По взаимному располо¬ жению основных ферм раз¬ личают биконструкции с параллельными (рис. 10.40,10.41) и с непараллельными фермами (рис. 10.39).Многорядные системы, как правило, имеют параллель¬ ные фермы.Решетка связей являет¬ ся простейшей, если связи образуют зигзаг (рис.10.39), и сложной — во всех других случаях.По расчетным свойствам конструкции могут быть статически определимыми и статически неопределимыми.По характеру прикрепления различают прикреплен¬ ные и свободные биконструкции. В прикрепленной би¬ конструкции каждая из ферм закреплена тремя стерж¬ нями в своей плоскости, зигзаг связей — открытый, и имеется седьмой упорный стержень (рис. 10.39). Сво¬ бодная биконструкция (пролетное строение) — жесткое тело, прикрепленное шестью стержнями. При большем числе закрепляющих стержней система становится ста¬ тически неопределимой, однако фактически эта стати¬ ческая неопределимость редко принимается во внимание.'Для изображения биконструкции из спаренных оди¬ наковых ферм (рис. 10.39) достаточно пользоваться фасадом передней фермы. Раскос связей изображается линией, параллельной стержню основной фермы, при¬ чем соединительная черточка отмечает узел передней фермы, к которому примыкает данный раскос связей. Сила, перпендикулярная чертежу, изображается кружком с точкой, если направлена к наблюдателю, и кружком с крестиком, если направлена от него.10.2.2.	Основные положения расчетаВеличина и сочетание нагрузок определяются техни¬ ческими условиями проектирования конструкций, к ко¬ торым относится данная система. Нагрузки приклады¬ ваются к узлам биконструкции в виде сосредоточенных сил.Нумеруются узлы, стержни обозначаются номерами узлов, к которым они примыкают. Узлы передней фер¬ мы нумеруются без индексов, номерам узлов последу¬ ющих ферм присваиваются штриховые индексы. При рассмотрении отдельно основной фермы и развертки связей применяются такие же обозначения полей, как в плоских фермах при графическом определении усилий (см. 10.1.2). Усилия обозначаются буквой N с индексом, соответствующим номеру стержня. Опоры нумеруются заглавными буквами, реакции обозначаются, как в плоских фермах; реакции упорного стержня обозна¬ чаются буквой U с соответствующим индексом. Ре¬ зультирующие усилия в поперечных связях, пере¬
10.2. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ, СОЕДИНЕННЫЕ СВЯЗЯМИ (БИКОНСТРУКЦИИ)569дающиеся на ферму, показываются стрелками, ус¬ ловно приподнятыми над поясом, и обозначаются буквой Т.При расчете прикрепленных биконструкций пред¬ варительно устанавливают неработающие стержни (см.10.3.2)	и находят усилия в связях аналитическим ме¬ тодом сквозных сечений или графическим методом по¬ следовательного разложения сил в узлах основного зигзага связей. Первый эффективен в применении к конструкциям с параллельными фермами при попе¬ речной нагрузке, второй — к системам с любым рас¬ положением ферм при любой нагрузке, вызывающей усилия в связях.После определения усилий в связях сквозным про¬ дольным вертикальным сечением, проходящим между фермами, конструкция рассекается на две части. Каж¬ дая ферма оказывается под действием внешних на¬ грузок, опорных реакций и усилий в рассеченных свя¬ зях. Нормальные к ферме составляющие усилия в связях и нормальные составляющие внешних попереч¬ ных нагрузок и реакций взаимно уравновешены, по¬ скольку система в целом находится в равновесии. На ферму передаются лишь внешние нагрузки, реакции, действующие в ее плоскости, и результирующие силы в узлах связей, которые также действуют в плоскости фермы.Усилия в каждой ферме находят методами статики плоских систем.Расчет свободных биконструкций сводится к рас¬ чету прикрепленных с помощью способа замены связей.10.2.3.	Определение усилий в биконструкцияхАналитический расчет двухрядных биконструкций с параллельными фермами на поперечную нагрузку (рис. 10.40) [27]. Из уравнения проекций сил на направление упорного стержня определяется реакция в нем UА от поперечной нагрузки Р. Усилие в элемен¬ те связей определяется из сквозного сечения, проходя¬щего по обеим фермам и самому элементу. Если пред¬ варительно подсчитана поперечная сила Q, т. е. сумма проекций нагрузок на ось у, усилие в элементе связи определится из уравнения равновесия проекций сил одной из отрезанных, например левой, частей системы.Усилие в «нисходящем» (при движении слева на¬ право) раскосе при положительной поперечной силе (правило знаков для Q — обычное балочное) будет растягивающее:ОNt ==cos (Ni, у) fi l'(10.25)в «восходящем» — сжимающее:Q(10.26)здесь //и lj — истинные длины раскосов решетки; к — расстояние между фермами.При определении проекций усилий раскосов решетки на плоскость фермы вместо истинных длин берутся их соответствующие проекции.Если между узлами А и В поперечная нагрузка отсутствует, то Q=const. ОбозначивQт=«*из (10.25) и (10.27) получимNk= ± qh.(10.27)(10.28)где знак плюс относится к «нисходящим», а знак минус к «восходящим» раскосам.После определения усилий в стержнях связей рас¬ считываются основные фермы, ^агрузка от связей на ферму представляет собой силовую цепочку, начало которой совпадает с точкой приложения силы Р, а конец — с узлом, где помещен упорный стержень. Си¬ ловой цепочкой называется система сил, линия дейст¬ вия которой совпадает со сторонами силового много¬угольника. Для определения реакций и усилий в стер¬ жнях основной фермы используется свойство силовой цепочки, согласно которому момент ее относительно некоторого полюса О (рис. 10.41,в) равенM = qQ,	(10.29)где 2 — удвоенная площадь ОАВО с полюсом О в м2;•	q — масштабное число, определяемое выражением(10.27)	и имеющее размерность кг!м.Пример 10.15. Пролетное строение с открытым ниж¬ ним поясом (рис. 10.41,а). Второй упорный стержень делает систему однажды статически неопределимой:
570РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫприближенно возможно реакции в упорных стержнях вычислять, распределяя силу Р по закону рычага. Тог¬ да получим прикрепленную систему; усилия в элемен¬ тах связей по верхнему поясу в пределах DE и в попе¬ речных связях по крайней стойке BE определяются по формулеHrИв связях по верхнему поясу в пределах FD и в попе¬ речных связях по стойке AF — по формулеа в связях по стойке CD — по формулеРNb=— lk\ hпоперечные связи по другим стойкам при данном поло¬ жении силы Р не работают.Составляющие силовой цепочки, показанные на рис. 10.41,6, определяются аналогично путем умножения на масштабные числа (от силы Р и реакции Vв ) соответ¬ ствующих длин элементов верхнего пояса и стоек бо¬ ковой фермы.Опорные реакции: из уравнения	=0VB = --^(PQ»+UBQ),где 2° —удвоенная площадь трапеции, заштрихован¬ ная на рис. 10.41,6;Q — удвоенная площадь фасада всей фермы: из уравнения 2У=0vA—vB.Составляющие горизонтальной реакции НА от Р и UB должны замыкать соответствующую силовую це¬ почку, поэтомуи*I.После определения опорных реакций усилия в стержнях боковой фермы определяются обычным спо¬ собом.Примеры аналитического расчета других биконст¬ рукций см. в [27].Графический способ расчета двухрядных биконст¬ рукций с параллельными и непараллельными фермами и примеры см. в [7].10.2.4.	Статически неопределимые и многорядные биконструкцииСтатическую неопределимость создают обычно до¬ полнительные опорные закрепления и стержни попе¬ речных связей. Расчет ведется методом сил, за основ¬ ную систему принимается прикрепленная биконструк¬ ция, которая на единичные значения неизвестных рас¬считывается аналитически (при параллельных фермах) или графически. Статическая неопределимость, созда¬ ваемая дополнительным закреплением опор, в прибли¬ женных расчетах может не учитываться.Расчет биконструкций с боль¬ шим числом поперечных связей	Я Р удобно сводить к расчету тон- § | костенных коробчатых конст- г”1 *4 рукций [27,8]. I ,1Ъ\К*РгПри числе основных ферм г» т i it 1 n более двух многорядные систе- I I т т мы в большинстве случаев ста- тически неопределимы. Однако, если жесткость поперечных свя-	Рис. 10.42зей между фермами условно может считаться абсолютной, топри статической определимости основных ферм и вся система будет статически определима. В этом случае при нагрузке, несимметричной относительно продольной плоскости симметрии конструкции, когда возникает кручение ее, поперечное сечение поворачивается как единое целое, т. е. без искривления.Расчет многорядных систем с абсолютно жесткими связями осуществляется на основании аналогии, сущест¬ вующей между кручением и изгибом. Вертикальная сила Р, приложенная к многорядной системе на рас¬ стоянии z от оси (рис. 10.42), заменяется силой Р в плоскости симметрии и сосредоточенным крутящим моментомК = Рг.	(10.30)Усилия от перенесенной силы Р в основных фермах определяются по правилу статики плоских систем, причем на каждую ферму приходится доля Р, пропор¬ циональная жесткости фермы. Усилия от крутящего сосредоточенного момента К в основных фермах опре¬ деляются по балочным поперечным силам и момен¬ там, вычисляемым по формуламQi = L^-.соM'-B'f-. ■(10.31)(10.32)Г1 mа прогибyi^Wi.	(10.33)Здесь L — крутящий момент в сечениях многоряд¬ ной системы;В — бимомент; р—угол закручивания;, — бимомент инерции системы, равный'„ = 2//*?;// — момент инерции i-й фермы;г/ —расстояние /-й фермы от оси системы.Эпюры крутящего момента L и бимомента В строят¬ ся соответственно по тем же правилам, что и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, но роль на¬ грузки играют внешние крутящие моменты К. Эпюра углов закручивания строится как линия прогиба от той же нагрузки, причем в формулу угла закручивания вместо Eli входит жесткость EI ю .Пример 10.16. Многорядная биконструкция (рис. 10.43) нагружена двумя сосредоточенными силами Р, расположенными в различных сечениях по длине и ши¬ рине конструкции.На рис. 10.44 представлена ферма в плоскости сим¬ метрии, нагруженная сосредоточенными крутящими моментами Ki и /(2.
10.3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ571шазРис. 10.43 КГ 2 Ра Kj-PaI »KKKN/i/17171-1=80Рис. 10.44t;i25Pa\QJ25Pq0,375Ра0,375Pad qж! Г111 п ДрайваГ2,25РаОРис. 10.45«итттпнНПщдав» fНа рис. 10.45 построены эпюры крутящих моментов, бимоментов и углов закручивания. По эпюрам опреде¬ ляются усилия Q и М и прогиб основных ферм с по¬ мощью формул (10.31) — (10.33). Бимомент инерции при этом равенL = Vi (2<0а + /2а2] 2 = 2а* (4/х + /*).В каждой из решетчатых ферм по усилиям Q и М усилия в стержнях могут быть найдены так же, как в балочных фермах В расчетах моменты инерции каж¬ дой фермы вычисляются приближенно, как моменты инерции поясов; для учета деформативности решетки последний уменьшается на 10—15%.Расчет многорядных плоских систем, соединенных упругими связями, путем преобразования нагрузки сводится к расчету систем с жесткими связями. Об этом подробнее см. [30]1. К многорядным системам от¬ носятся и конструкции, состоящие из перекрестных ферм (рис. 10.46), работающие в двух направлениях. Они рассматриваются как балочный ростверк, фермы заменяются балками определенной жесткости на изгиб; подробнее о расчете см. [11 и 21], а также табл. 8.1.21.10.3.	ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ10.3.1.	Классификация и основные положения образования и расчетаПространственными называются фермы, стержни которых не лежат в одной плоскости. Биконструкции являются частным случаем пространственных ферм.К числу пространственных ферм относятся конструк¬ ции покрытий, башенные сооружения различного наз¬ начения, некоторые типы крановых конструкций.По характеру образования различают простые и преобразованные фермы. Ферма, образованная по об¬ щим правилам образования пространственных систем, т. е, последовательным прикреплением шарнирных уз¬ лов тремя стержнями, не лежащими в одной плоскости, называется простой. Неизменяемая ферма, которая не может быть образована по общим правилам, а полу¬ чается путем замены одного или нескольких стержней простой фермы, называется преобразованной.По форме пространственные фермы классифицируют на купола и цилиндрические сетчатые оболочки, баш¬ ни, мачты и пилоны. Далее различают статически опре¬ делимые и статически неопределимые пространствен¬ ные фермы.Ферма, которая, будучи отделена от опор, стано¬ вится изменяемой, называется прикрепленной; ферма, остающаяся неизменяемой после отделения от опор, на¬ зывается свободной. Частным случаем свободной фер¬ мы является замкнутый выпуклый стержневой много¬ гранник с треугольными или подразделенными на тре¬ угольники плоскими гранями; для такого многогранни¬ ка между чисЛами стержней С, узлов У и граней (полей) Г по теореме Эйлера существует зависимостьС = У + Г —2; при треугольных гранях С=3/г /\Необходимое, но недостаточное условие неизменя¬ емости пространственных ферм:С = ЗУ:в число стержней С входят опорные, минимальное чис- 1 ло которых 6. Безусловным доказательством неизменя¬ емости является равенство нулю усилий во всех стерж¬ нях при нулевой нагрузке.Для прикрепления пространственных ферм к земле служат три категории опор: а) неподвижные, эквива¬ лентные трем опорным стержням; б) подвижные ци¬ линдрические, эквивалентные двум опорным стержням;1 О расчете многорядных плоских систем с упругими поперечными связями см. также статью М. И. Длугача ,0 совместной работе мостовых ферм и поперечных балок* в сборнике .Расчет прост¬ранственных конструкций*, вып. III, Гос. изд. лит. по строительст¬ву и архитектуре, 1955. В этой же статье имеются данные о пог¬ решностях в связи с принятием упругих связей абсолютно жесткими.
572РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫв) подвижные шаровые, эквивалентные одному опорно¬ му стержню. Подробнее об образовании пространст¬ венных ферм и проверке неизменяемости см. Г26, 29].Величина и сочетание нагрузок определяются СНиП, а для специальных конструкций — соответ¬ ствующими техническими условиями проектирования. Нагрузки прикладываются в узлах в виде сосредото¬ ченных сил.Нумеруются узлы, а стержни обозначаются номе¬ рами узлов, которые они соединяют; применяется так¬ же цифровая нумерация непосредственно самих стерж¬ ней. Усилия обозначаются буквой N с индексом, со¬ ответствующим номеру стержня. Опоры нумеруются заглавными буквами. Составляющие реакций обозна¬ чаются: горизонтальные Н и U, вертикальная V — все с индексом, соответствующим опоре. Обозначение вида усилия — стрелками, как в плоских фермах.10.3.2.	Общие методы определения усилийУстановление неработающих стержней и равных усилий;а)	если в узле все стержни, кроме одного, и внеш¬ ние силы лежат в одной плоскости, то в этом стержне усилие равно нулю;б)	если в ненагруженном узле сходятся три стерж¬ ня, не лежащие в одной плоскости, то усилия в них равны нулю;в)	если из плоскости действия нескольких сил вы¬ ходят только две силы (усилия двух стержней), то они равны, но противоположно направлены;г)	если все силы узла расположены в двух плос¬ костях, то равнодействующие сил каждой из плоскостей лежат на ребре пересечения этих плоскостей, равны между собой и противоположно направлены;д)	если на плоскую грань действуют только три усилия, лежащие в той же плоскости и не пересекаю¬ щиеся в одной точке, то они равны нулю.Способ узловых сечений. Применяется в фермах, образованных присоединением каждого последующего узла к предыдущим тремя стержнями, не лежащими в одной плоскости. Последовательно рассматриваются узлы, в которых сходятся внешние силы (опорные ре¬ акции относятся к внешним силам), известные усилия и не более трех стержней с неизвестными усилиями. Возможны аналитическое и графическое решения. Аналитическое решение состоит в составлении и реше¬ нии трех уравнений проекций для каждого узла, отре¬ занного от фермы. Графическое определение усилий сводится к уравновешиванию известной силы тремя силами, оси которых пересекаются в точке на линии действия известной силы (см. 2.2.4).Пример 10.17. Определение усилий в стержнях про¬ стейшей фермы (рис. 10.47). Расчет начинаем с узла А, в котором сходятся три стержня и приложена сила Р. Неизвестные усилия в стержнях считаем растяги¬ вающими; при составлении уравнений проекций знак слагаемых определяется в зависимости от того, в ка¬ кую сторону оси направлена проекция усилия. Абсо¬ лютные значения косинусов углов усилий с осями ко¬ ординат даны в табл. 10.3Уравнения равновесия узла А:2^=0;Nt cos (1,х) + N2 cos (2,x) -f N3 cos (3,x) + Pcos(P,x)=0-t ЕУ= 0; Ni cos (1 ,y) + N2 cos (2,y)++ Nscos(3,y) +Pcos (P,y) =0;EZ=0; JV, cos(l,2)+./Vscos(2,z)^- ^- N3 cos (3,z) + P cos (P,z) = 0;в численном виде:—	Ni 0.865 — N20,757 — N30,757 = 0;—	Nt 0,500 — Nt 0,625 — N3 0,625 — 300 = 0;—	N2 0,188 + WS 0,188 = 0.Решая, находим= 1400 кг; N2 = N3--800 кг.Таблица 10.3Mb стержняОсь1234о678910И12РX0,8650,7570,7570,8650,865000,61200,612000У0,50,6250,62500010.70710,70710,7071z00,1880,1880,50,5100,35300,35300,7070
10.3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ573Переходим к узлу С, к которому приложены уже известная сила N2 и три неизвестных усилия: N5, Nq и N\\. Уравнения равновесия узла С:—Nr0 0,865 - 800-0,757 = 0;—	Nu — 800-0,625 = 0;N-0 0,500 + N6 — 800-0,188 =0.Из этих уравнений находим: N5=—700 кг, Ne= =500 кг и Мц=—500 кг.Далее переходим к узлу В, в котором сходятся стержни 4, 9 и 10 с неизвестными усилиями и два стержня — 1 и 5 — с известными. Из уравнений рав¬ новесия этого узла вычисляем:N4=—700 кг, iV9=700 кг и Nlo=0.В последнем узле D неизвестными являются усилия в стержнях 7,8 и 12\ из уравнения равновесия узла D находим:N7 = — 500 кг, N8 = 0 и iV12 = 0.Часто отдельные' уравнения можно упростить, вы¬ бирая для разных узлов различные координатные оси. Преимущество постоянных осей состоит в постоянстве значений косинусов углов наклона стержней к осям.Пример 10.18. Графический расчет простейшей фермы купола (рис. 10.48) с использованием симметрии.Рис. 10.48Устанавливаются нулевые стержни, на чертеже они показаны тонкими линиями. Расчет начинается с на¬ груженного узла разложением в вертикальной плоско¬ сти проекции силы Р на направление 1' и на направ¬ ление 2\ сливающееся с 2'. Горизонтальная проекциятреугольника равновесия строится разложением проек¬ ции 1 на направления 2 и 2, Далее в вертикальной плоскости проекций усилие 2' разлагается по общему направлению 3' и 5' и по направлению 4'. Проектируя усилие 4' вниз (на плоскость горизонтальных проек¬ ций), находим 4. Суммируем' геометрически 2 и 4 и сумму разлагаем на 3 и 5, после чего определяем 3' и 5'. Обращаясь снова к вертикальной плоскости проек¬ ций и учитывая, что усилие 3' равно усилию 3\ разла¬ гаем геометрическую сумму 1'-\-3'-\-3* по общему на¬ правлению 6' и 6' и по направлению 7'. Дальнейший расчет проводится аналогично. Полные усилия полу¬ чаются геометрическим суммированием соответствую¬ щих проекций.Разновидностью способа узловых сечений является графоаналитический способ Майора (см., например, §3, 29, 32], которым пространственные задачи решаются с помощью только одной плоской проекции.Способ сквозных сечений. Применяется, когда в ферме можно провести сечение, разрезающее не более шести стержней с неизвестными усилиями. Последние определяются из уравнений статики пространственных систем. Целесообразно для расчленения уравнений оси выбирать так, чтобы для части из шести стержней проекции и моменты оказывались равными нулю.Если шесть стержней могут быть пересечены одной прямой, — система геометрически изменяема.Способ разложения на плоские фермы. Применяет¬ ся, когда боковые грани пространственной фермы пред¬ ставляют собой статически определимые плоские фер¬ мы. Нагрузка в узлах разлагается на три направления, два из которых лежат в плоскости двух соседних гра¬ ней, а третье — совпадает с ребром их пересечения. Если каждая грань прикреплена к земле жестко в сво¬ ей плоскости, то составляющие нагрузки полностью уравновешиваются на плоской ферме.Пример 10.19. (рис. 10.49). Сила Р, действующая на конструкцию, разлагается на составляющие Р\, Р2 и Р3. Плоская ферма LDEM рассчитывается на действие Р,’ ферма MEFN — на действие Р2; в стойке же ЕМ действует сила Рз* Полные усилия в стержнях, общих для соседних граней (в данном случае в стойке ЕМ), определяются алгебраическим суммированием усилий от всех составляющих нагрузки.Если плоская грань не прикреплена жестко к земле, ее реакции передаются соседним граням, причем эти реакции лежат на ребрах пересечения граней. Примеры применения способа в этом случае можно найти в [9].Способ замены стерж¬ ней. Применяется для ра¬ счета преобразованных ферм, в которых нет уз¬ лов, где сходятся не бо¬ лее трех стержней с не¬ известными усилиями.Сущность способа — см. выше 10.1.3.Статически неопреде¬ лимые фермы. Рассчиты¬ ваются методом сил по общим правилам. Лиш¬ ние неизвестные выби¬ раются так, чтобы основ-	Рис. 10.49 ная система была по воз¬ можности проще. В рядеслучаев благодаря симметрии конструкции и нагруз¬ ки статически неопределимые фермы удается рассчи¬ тывать, не прибегая к составлению канонических урав¬ нений.
574РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ10.3.3.	Расчет куполовКупола применяются для покрытия зданий произ¬ вольной формы, однако наиболее распространены те, в основании которых — правильный многоугольник. Опор¬ ные узлы куполов закрепляются либо неподвижно, ли¬ бо соединяются опорным кольцом и устанавливаются на цилиндрические катки (двухстержневые опоры). В последнем случае направление смещения выбирается так, чтобы реакции по возможности лежали в плоско¬ стях стен. Для расчета усилий во всех стержнях цик¬ лически симметричной системы при любой нагрузке до¬ статочно определить усилия от загружения одного узла в каждом ярусе. Расчет облегчается тем, что в этом случае обычно работает ограниченное число стержней.Подробные данные о расчете различных стержневых куполов см. в [22, 26]; о расчете тонкостенных купо¬ лов— [27, 29]; о цилиндрических сетчатых оболочках—. [26 и 13].10.3.4.	Расчет башен и мачтТрехгранные башни (рис. 10.50). При раскосной и иолураскосной решетке — статически определимы. Рас¬ чет ведется или способом узловых сечений, или раз¬ ложением на плоские фермы. В последнем случае, если имеются стержни, пересекающие внутреннюю по¬ лость башни, в них предварительно должны быть определены усилия способом узловых сечений [1].Башни с четырьмя и более гранями. При раскосной и полураскосной решетке—статически определимы, ес¬ ли не имеют поперечных связей и верхнего яруса с пересекающимися стержнями (шпица). В этом случае башня представляет собой купол Шведлера и рассчи¬ тывается способом узловых сечений или разложением на плоские фермы. При наличии шпица башня стати¬ чески неопределима. Однако расчет в случае симмет¬ рии башни относительно осей плана упрощается.Пример 10.20. (рис. 10.51). Сила Pi может быть раз¬ ложена на две составляющие, лежащие в плоскостях ASB и CSD; точно так же на составляющие, лежащие в плоскостях граней ASB и CSD, можно разложить силу Рг, а силу Рз — на со¬ ставляющие, лежащие в плос¬ костях граней ASD и BSC\ все составляющие в свою оче¬ редь могут быть разложены на направления ребер, так что усилия в стержнях шпица ста¬ нут известны. Дальнейший расчет можно выполнить раз¬ ложением на плоские фермы. Так как в данном случае в узлах Л, 5, С и D ребра имеют перелом, за плоские фермы следует принять грани ABJK, ADJL, ВСМК и CDLM. После того как станут известны уси¬ лия в стержнях, примыкающих к узлам А, В, С и D сверху, способом узловых сечений можно рассчитать нижнюю часть мачты.Поперечные связи (рис. 10.52) также делают систему статически неопределимой. Од¬ нако при симметричной гори¬ зонтальной нагрузке, действую¬ щей в плоскостях граней или в плоскостях связей, башня приближенно может быть рас¬считана как статически определимая разложением на плоские фермы, так как в этом случае связи большой роли не играют.Существенную роль играют связи при кручении ба¬ шен, вызываемом либо непосредственно крутящим мо-Рис. 10.51Рис. 10.52ментом, возникающим при эксплуатации конструкции (например, в башнях молотковых кранов), либо не¬ симметричной горизонтальной нагрузкой (например, при обрыве провода в мачтах электропередач). Расчет башен на кручение проводится методом сил, за лиш¬ ние неизвестные принимаются усилия в диагоналях поперечных связей. Метод расчета на кручение моно¬ тонных башенных конструкций (т. е. конструкций, в которых соблюдается постоянство по всей высоте углов сопряжения распорок с диагоналями) см. [31].Следует отметить, что наличие чрезмерного числа поперечных связей по высоте конструкции не улучшает ее работы. Поперечные связи должны устанавливаться лишь в плоскостях дейст¬ вия крутящих моментов и в местах перелома ре¬ бер, если в других местах они не требуются по соображениям устойчиво¬ сти.Мачты на расчалках.Ствол мачты обычно трех- или четырехгран¬ ный с раскосной или пе¬ рекрестной решеткой.Число оттяжек в одном ярусе соответствует чис¬ лу граней. Мачта стати¬ чески определима, если вверху и внизу ствола расположены шарниры и имеется только один ярус расчалок. При наличии нескольких ярусов рас¬ чалок мачта обращается в статически неопреде¬ лимую многопролетную балку на упругих опорах.При большой высоте мачт расчалки устраи-
10.4. ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫЕ ФЕРМЫ575ваются предварительно напряженными. Метод расчета и примеры — см. [19, 20].Гиперболоидальные башни Шухова. Конструкция имеет форму однополостного гиперболоида и состоит из двух систем взаимно-пересекающихся наклонных стоек, скрепленных по высоте горизонтальными коль¬ цами (рис. 10.53). При наличии в плоскости верхнего кольца поперечных связей или жесткого резервуара система статически неопределима. Однако благодаря симметрии конструкции на центральную вертикальную нагрузку она рассчитывается элементарно. Усилие в каждой стойке в этом случаеN=——.	(10.34)П COS агде Р — центральная нагрузка (собственный вес, снег и т. п.); п — число стоек;а — угол наклона стойки к вертикали. Приближенный расчет на горизонтальную нагрузку см. [5, 12].Расчет сетчатых систем В. Г. Шухова см. [4].10.4. ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫЕ ФЕРМЫ 10.4.1.	Определение. Основные положения расчета и конструированияПредварительно напряженными называются фермы, в элементах которых в процессе изготовления или мон¬ тажа искусственно создаются собственные напряжения, обычно противоположные по знаку напряжениям от расчетной нагрузки. Предварительное напряжение имеет целью:а)	снижение расхода основного материала фермы путем использования материалов высокой прочности;б)	повышение жесткости конструкции и улучшение ее эксплуатационных качеств.Основным способом создания предварительного на¬ пряжения в статически определимых и статически не¬ определимых фермах является устройство напрягаю¬ щих элементов из стальных канатов, высокопрочных стержней или проволоки. Ниже рассматриваются кон¬ струкции, в которых напрягающие элементы не связаныа)од)сцеплением с материалом основных элементов. К таким конструкциям относятся в первую очередь предвари¬ тельно напряженные металлические фермы. Возможные схемы таких ферм показаны на рис. 10.54; на рис. 10.54,а представлена ферма, у которой предварительно напряжены сжатием отдельные растянутые стержни, на рис. 10.54,6—д — фермы, в которых предварительное напряжение затяжек различной конфигурации вызывает усилия одновременно во всех или нескольких стерж¬ нях.При напряжении отдельных стержней тяжи распо¬ лагаются вблизи центра тяжести стержней; при напря¬ жении фермы в целом затяжки располагаются симмет¬ рично относительно ее вертикальной плоскости. Кре¬ пятся затяжки или тяжи с помощью специальных ан¬ керных устройств. Для обеспечения устойчивости эле¬ ментов ферм, сжимаемых в процессе предварительного напряжения, при расположении затяжек по оси эле¬ мента затяжки крепятся к элементам с помощью диаф¬ рагм1, расстояние между которыми определяется рас¬ четом. При расположении затяжек вне ферм устойчи¬ вость последних обеспечивается спариванием их в про¬ странственные блоки.Расчет ведется по действующим техническим усло¬ виям для невыгодных сочетаний нагрузок, включая предварительное напряжение, усилие от которого вхо¬ дит в основное сочетание. Предварительное напряжение металлических ферм целесообразно применять при больших пролетах и тяжелых нагрузках.10.4.2.	Фермы с предварительно напряженными отдельными стержнямиРасчетные усилия в стержнях определяются без учета предварительного напряжения. Оптимальная ве¬ личина напрягающего усилия и подбор сечения напря¬ гаемых элементов производятся по формулам: усилие предварительного напряженияX — yRF;	(10.35)часть расчетного усилия, воспринимаемая тяжом из высокопрочной сталиNFа_	(10.36)сечение тяжа$F + FaF* « (VRb+n^R) -N ’ сечение напрягаемого стержняF = а — .(10.37)(10.38)Здесь N — полное расчетное усилие в стержне;ЕиЕ& R и /?а—модули упругости и расчетные со¬ противления материалов фермы и тяжа;<Р — коэффициент снижения несущей способности металла фермы при проверке устойчивости;F и Fa — площади поперечного сечения стер¬ жня фермы и тяжа; tint и пт — коэффициенты перегрузки для уси¬ лий предварительного напряжения (см. ниже);N	Еа~Д(1+«П2?) = Ел 'Рис. 10.541 Крепление затяжки не должно, однако, препятствовать ее продольному перемещению.
576РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ10.4.3.	Предварительно напряженные фермы с затяжкамиЭти фермы работают на внешнюю нагрузку как внутренне статически неопределимые системы; за лиш¬ нюю неизвестную в основной системе (которая может быть и статически неопределима, как на рис. 10.54,д) целесообразно принимать усилие в затяжке.Дополнительное усилие в затяжке, возникающее вследствие внутренней статической неопределимости системы, определяется из канонических уравнений ме¬ тода сил с учетом деформации затяжки. При одной затяжке это усилие1 NjNih 1 EiFt(10.39)где Nt и Ni—усилия в стержне основной системы от единичного усилия в затяжке и от на¬ грузки;Ei и Fi — модуль упругости и площадь сечения стержня;h и /а—длины стержня и затяжки;Еа и Fа— модуль упругости и площадь сечения затяжки.При расположении затяжки по оси нижнего пояса постоянного сечения (рис. 10.54,6) предыдущая фор¬ мула принимает вид(10.40)Проверка несущей способности стержней произво¬ дится по следующим формулам.Для стержней фермы, у которых в основной си¬ стеме усилия от расчетной нагрузки и от усилия в за¬ тяжке имеют разные знаки:при сжимающем усилии в стержнеNo — pntNX +NXJ < myRFtp (10.41)(при наличии в стержне в основной системе небольшо¬ го растяжения, когда член ь скобках оказывается больше Nq, расчетное усилие следует в этом стержне определять с коэффициентом перегрузки 0,8, а вместо брать пПз ); при растягивающем усилии в стержнеNo — (nMNX +NX{) < mRFHT.(10.42)Для стержней, у которых в основной системе усилия от расчетной нагрузки и от усилия в затяжке имеют одинаковые знаки:при сжимающем усилии в стержнеNo + (nn3NX +NX{) < myRFbp; (10.43)при растягивающем усилии в стержнеNo + (4zNX +NXx) < mRFm. (10.44) Для затяжкиппзХ Хг < mRiF^.	(10.45)В приведенных формулах:No — расчетное усилие в стержне фермы от на¬ грузки при расчете основной системы (без __ учета работы затяжки);N —усилие в стержне от единичной силы в за¬ тяжке;X —расчетное усилие предварительного напря¬ жения в затяжке;Х\ — усилие в затяжке от внешней нагрузки;Рбр и Fнт— площади сечения стержня брутто и нетто; R и R& — расчетные сопротивления стержня и за¬ тяжки;<р— коэффициент снижения несущей способно¬ сти материала стержня при проверке устой¬ чивости, определяемый нормами, с учетом, что в местах соединения фермы с затяжкой ферма является закрепленной из плоскости; т —коэффициент условий работы, принимаемый по нормам; для анкерных устройств /п=0,65; пт и«пэ—коэффициенты перегрузки усилия от пред¬ варительного напряжения.Значения пп\ , пПй и пПз принимаются следующие:а)	в стадии предварительного напряжения до при¬ ложения внешней нагрузки пП1 =1,10;б)	в стадии нагружения внешней нагрузкой: для элементов, у которых рабочие напряжения больше по величине и противоположны по знаку предваритель¬ ным, пщ = 0,9; для элементов, у которых рабочие на¬ пряжения совпадают по знаку с предварительными или предварительные напряжения больше по величине и противоположны по знаку, пт = 1,10.Величина контролируемого усилия предварительно¬ го напряжения затяжки Хк определяется с учетом потерь напряжения вследствие релаксации материала затяжки1 и податливости анкеров:АГК= 1,05*+ ДаF а^а/а(10.46)Величина податливости анкера Да принимается при плотно завинчиваемых гайках или клиновидных шай¬ бах равной 0,1 см, при анкерах с прокладками—рав¬ ной 0,2 см.При криволинейных затяжках следует также учиты¬ вать потерю напряжения за счет трения в местах пе¬ регибов. При устройстве затяжек из нескольких неодновременно натягиваемых элементов при назначе¬ нии контролируемого усилия натяжения для каждого из них надо учитывать влияние натяжения одного на усилие в другом.Наибольшее контролируемое усилие предваритель¬ ного натяжения затяжки не должно превосходить не¬ сущую способность стержней, сжимаемых в процессе предварительного напряжения:Хк < myRFeр.	(10.47)Общий порядок расчета следующий: 1) определяют усилия от нагрузки и от единичного значения неиз¬ вестного в основной системе; 2) вычисляют Х\—уси¬ лие в затяжке от нагрузки, предварительно задавшись соотношениями между площадями стержней и затяж¬ ки; 3) из условий прочности или устойчивости основ¬ ных, наиболее нагруженных стержней по вышеприве¬ денным уравнениям определяют величину предвари¬ тельного натяжения затяжки X, площади этих стерж¬ ней и затяжки; 4) устанавливают контролируемую ве¬ личину предварительного напряжения; 5) уточняют Х\ и проверяют сечения всех элементов для различных стадий работы конструкции; 6) проверяют (по Мору) прогиб фермы.1 Затяжки из проволоки и канатов до постановки следует подвергать вытяжке.
ЛИТЕРАТУРА577*ЛИТЕР1.	Ангельский Д. В., Некоторые вопросы теории и прак¬ тики расчета пространственных ферм, сборник «расчет простран¬ ственных конструкций», вып. 1, Машстройиздат, 1950.2.	Бернштейн С. А., Основы расчета статически неопре¬ делимых систем, ОНТИ, 1936.3.	Горбунов Б. Н. и У м а н с к и й А. А., Статика про¬ странственных систем, Стройиздат, 1932.4.	Горенштейн Б. В, Расчет сетчатых систем В. Г. Шу¬ хова на прочность, жесткость и устойчивость, сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. V, Госстройиздат, 1959.5.	Длугач М. И., К вопросу о расчете на прочность ба¬ шен системы Шухова, сборник «Расчет пространственных кон¬ струкций», вып. II, Гос. изд. лит. по строительству и архитек¬ туре, 1951.6.	И в а н и н ИI Я., Определение усилий в стропильных фер¬ мах Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1955.7.	И м м е р м а н А. Г., Пространственная работа крановых стрел, сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. II, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1951.8.	И м м е р м а н А. Г., Расчет перегрузочных мостов на кручение, сборник «Исследования. Массивные и стержневые кон¬ струкции», Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1953.9.	Кудрявцев П. А., Расчет стрел на кручение, Труды ВНИИПТМАШа, кн. 5, Машгиз, 1952.10.	Львин Я. Б., К определению усилий в «нулевых» стерж¬ нях ферм, сборник «Исследования по теории сооружений», вып. IV, Стройиздат, 1949.11.	Минцковский М. Ш., Покрытия из перекрестных ферм, сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. 1, Машстройиздат, 1950.12.	Н и к о л а и Б. Л., К расчету усилий в элементах сетча¬ той башни Шухова, «Вестник инж. и техн.» № 8, 1946.13.	П о п о в И. Г., Цилиндрические стержневые системы, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1952.14.	Протасов К. Г., Метод подбора равнопрочных стати¬ чески неопределимых ферм, сборник ЛИИЖТ, вып. 137, 1948.15.	Рабинович И. М., Курс строительной механики стержневых систем, ч. I, Стройиздат, 1950, ч. II, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1954.16.	Р а б и н о в и ч И. М., Упрощение в построении диаг¬ раммы перемещений, сборник «Исследования по теории соору¬ жений», вып. VI, Гос. изд. лит. по строительству и архитекту¬ ре, 1954.АТУ РА17.	Р а б и н о в и ч И. М., Теория вантовых ферм, Сборник 30-й Инст. инж. исследований НКПС, 1930.18.	Р а б и н о в и ч И. М., К- теории статически неопредели¬ мых ферм. Законы распределения усилий; метод заданных напря¬ жений; начальные усилия в статически неопределимых фермах. ЦНИИ транспортного строительства НКПС, Трансжелдориздат, 1933.19.	Розенблит*Г. Л., Стальные конструкции зданий и сооружений угольной промышленности, Углетехиздат, 1953.20.	С а в и цк и й Г. А., Основы расчета радиомачт. Статика и динамика, Связьиздат, 1953.21.	Сегаль А. И., Расчет перекрытий пространственных сооружений с несколькими перекрестными связями, сборник «Исследования по теории сооружений», вып. VI, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1954.22.	Сими некий К. К., Пространственные фермы. 1911.23.	Справочник машиностроителя, т. 3, Машгиз, 1955.' 24. Справочник проектировщика, «Деревянные конструкции». Сост. А. И. Отрешко. Гос. изд. лит. по строительству и архитек- • туре, 1957.25.	Технический справочник железнодорожника, т. 2, Транс¬ желдориздат, 1950.26.	Тимошенко С. П.. Статика сооружений. Госстройиз¬ дат, 1934.27.	У м а н с к и й А. А.. Пространственные системы. Строй¬ издат, 1948.28.	У м а н с к и й А. А., Заметки о кинематическом методе расчета плоских ферм, сборник «Исследования по теории соо¬ ружений», вып. VI, Гос. изд. лит. по строительству и архи¬ тектуре, 1954.29.	У м а н е к и й А. А., Статика и кинематика ферм Гос. изд. техн.-теор. лит., 1957.30.	Уманский А. А. и Кутуков Б. Н., Расчет нераз¬ резных наплавных мостов, сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. Ill, 1ос. изд. лит. по строительству и ар¬ хитектуре, 1955.31.	Шмульский М. Д., Работа металлических башенных конструкций на кручение, сборник трудов Института строи¬ тельной механики АН УССР № 14, Киев, 1950.32.	Энциклопедический справочник «Машиностроение», т. 1, кн. 2, Машгиз, 1948.37 Зак. 2098
РАЗДЕЛ 11ТЕОРИЯ УПРУГОСТИВ разделе 3 «Напряжения и деформации» даны определения тензора напряжений и тензора деформаций (см. 3.1.4, 3.1.5, 3.2.1), а также различные формы законаГука для изотропных и анизотропных тел (см. 3.3.1,3.3.2). Здесь даются основные уравнения теории упру¬ гости.11.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 11.1.1. Уравнения равновесияСоставляющие тензора напряжений (рис. 11.1)(*х zxy zxzzyx Qy xyz\ZZX ZZy QZ(П.1)жениями у границы тела аХ9	<следующими формулами:Рхч = ах 1 + *ху т + ххг т +'v, п;Руч =: Тух И- Су "* I 'yz Рг-* = хгх1+^гут + azn-(рис. 11.3) (11.3)Здесь/ = cos (*,n); т = cos (у ,v); п = cos (z,v).являются в общем случае функциями координат. Для тела, находящегося в равновесии, эти функции долж¬ ны удовлетворять следующим уравнениям равновесия:да*."Г +дх+ + *в0;ду дгд*ух , дау , &Туг дх ду dz+ У = 0;fczxдх+дтZ уду+ -^ +Z = 0; dz(11.2)Здесь X, Y, Z — составляющие вектора объемной силы, т. е. внешней силы, отнесенной к единице объе¬ ма. Такой объемной силой является, например, собст¬ венный вес каждой единицы объема твердого тела.Внешние напряжения (рис. 11.2) рхч* рурТд, дей¬ ствующие в какой-либо точке поверхности тела с внешней нормалью v, связаны с внутренними напря-37*Площадь?*Ллощайь FyРис. UJ3
580РАЗДЕЛ И. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИТензор напряжений в цилиндрической системе ко¬ ординат г, 0, z (рис. 11.4):А А*Рис. 11.4Здесь:ог—нормальное напряжение на площадках, перпен¬ дикулярных радиусу-вектору г;— нормальное напряжение в меридиональных се¬ чениях, проходящих через ось z и радиус-век¬ тор г;о2— нормальное напряжение на площадках, перпен¬ дикулярных оси z\*С02—касательное напряжение на площадке, перпен¬ дикулярной оси г, направленное по касатель¬ ной к окружности r=const в сторону увеличе¬ ния угла 0;.тГ2— касательное напряжение на той же площадке, направленное вдоль радиуса-вектора г; т2Г — касательное напряжение на площадке, перпен¬ дикулярной радиусу-вектору г и направленное по оси г;Т0г— касательное напряжение на той же площадке, направленное по касательной к окружности r=const в сторону увеличения угла в; т20— касательное напряжение в меридиональном се¬ чении с внешней нормалью в сторону увеличения' угла 0, направленное вдоль оси z\ тг0—касательное напряжение в том же сечении, но направленное вдоль радиуса-вектора г. Уравнения равновесия в цилиндрических коорди¬ натах:да 1	дт^	т Лй • А? ^г дЬаг—°вг1 дапдЧ _ . дг гдЬдгf Я=0;дг+ Q = 0;dzда—— 	 • 		4- —-дг 1 г дЬ ■ dz(11.5)■ о.Здесь R, Q, Z — составляющие объемной силы в на¬ правлениях г, 0, г соответственно.(П.4) 11.1.2. Уравнения совместности деформацийСоставляющие тензора деформаций в декартовых координатах (рис. 11.5).2 Tf-*y 2 ^xz 1— Ъх1гх 0 'Izy(11.6)zr'%У.*1'7///L'-vдолжны удовлетворять уравнениям совместности Сен- Венана:д2 *х . дЧу ^ д2 уху ду2 дх2 дхду&Ъг.д* а* <ду2дЧхдудг д2Ъх .1—1? I		дх2 дг2 дхдгд /дуг дг \ дхд (&tzxдх \ дуд 1Нху ду \ дг+ду■ дг)|<hxyN !А'О1дгдх )+д -\yzдЪхдхдудудг& tyдхдг(11.7)
11.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ581В случае плоской деформации (зд=0) система урав¬ нений совместности деформаций (11.7) заменяется од¬ ним уравнением32 tx I. 38 1У _ ^ду* дх» дхду(11.8)Теввор деформаций в цилиндрических координатах:112 Тг0 2 ^гг1УТ2В(П.9)Если через 6 обозначить радиальное, через ^ — тангенциальное и через w — аксиальное перемещения (рис. 11.6), то компоненты тензора деформаций в ци¬ линдрических координатах могут быть вычислены по следующим формулам:д£	1 д»| 5	dw— ; ц = —. —+ ^ ; е, = —;дг\ т] _J_	eU = dr ~ г г ’ dO 51 dw dir)7е*= Т' 1ЙГ + 'дг ’dw>г==^+-^-(11.10;Уравнение совместности деформаций в случае плос¬ кой деформации (ад=0):'d2( 1 ^ 1 6 л_<2\_L — 1Л _1_Г» ■ 00» — Г> ) *' “ г(11.11)11.1.3. Определение перемещений по заданным составляющим тензора деформацийСоставляющие вихря вектора перемещения:dw dv	du dwx dy dz * y dz dx 9dv da*z==dx ~dy~'.Здесь и — и (*, yt z); v — v (x, y, z); w = w (xt у, z) — составляющие вектора перемещения.УI	:I ди01 12)таУ	'i_|£j. ‘ГдхРис. 11.7Рис. 11.8Составляющие вихря перемещения характеризуют сращение бесконечно малого элемента в рассматривав¬ ши dvмой точке. Так, т*-у = ~ + ~ (рис. 11.7) характери¬ зует сдвиг, т. е. уменьшение прямого угла в рассмат¬ риваемой точке между направлениями, первоначально параллельными осям Ох и Оу\ разность же этих du dvуглов to, = — — — дает удвоенный угол пово- J	dy dxрота вокруг оси Oz биссектрисы угла между этими двумя направлениями.
582РАЗДЕЛ 11. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИЗависимости между составляющими тензора дефор¬ маций и составляющими вихря вектора перемещения:&tzx &(худг2£fyдгд<»лдх	дудй*	db£ду	ду=2_^i2. &lyz . ду дх_ = z	btxzдхдгдо>удудоуудгd<ozдхдшгдг	дхdixy	foyzдг	дх<hxz 	2 d£zдг	дх(>txy	2 дехдх	ду ’дву	духудуд<йгдг-дхдТугду ' dlx 2дхду(11.13)Пусть составляющие вектора Перемещения и вихря вектора перемещения точки М0 (х0, у0, z0) тела (рис. 11.8) имеют значения: ы0, v0, w0 и	а>®, о>^соответственно.Составляющие вектора перемещения любой другой точки М\ (*ь уи zi) могут быть вычислены по фор¬ мулам1“г СУ1—Уо)++ J (Uxdx+Uydy+Uzdz)- М1М0°1=г>о + Y (*1—*о) - — <0° (г,1-г0)++ f (Vxdx+Vydy+Vzdzy, Мхм,®i“»b	(У1—Л)— -у ^ (*i—*о)++ J (Wxdx+Wydy+Wzdx).ЗдесьМ!М0(11.14)Vx—%x ++Выражения для F*, VZf и ЦТ*, !Fy, получа¬ ются круговой перестановкой букв х, у, г.Криволинейные интегралы в формулах (11.14), но¬ сящих название формул Чезаро, могут быть вычислены по любому пути между точками М0 и М\.Поскольку в теории упругости обычно интересуют только относительные смещения точек тела Друг отно¬ сительно друга, а яе движение тела как целого, то для точки М0 принимают«о = = Щ = О И о)® ==(о® =а>® = 0.Формулы Чезаро дают возможность найти переме¬ щения точек тела, если известны составляющие тензо¬ ра деформаций для этого тела, как функции координат. Таким путем может быть, например, решена задачао	смещении точек верхней поверхности полупростран¬ ства и другие аналогичные задачи.11.1.4.	Схемы решения задач теории упругости. Уравнения ЛямеВ теории упругости приходится иметь дело в основ¬ ном с двумя типами задач. В задачах первого типа на поверхности исследуемого тела задаются внешние си¬ лы, требуется найти напряжения и смещения любой точки тела под действием этих сил. Иногда в задачах этого типа, помимо поверхностных’ сил* задается еще собственный вес тела (объемная сила). В задачах вто¬ рого типа на поверхности тела задаются смещения, требуется найти напряжения и смещения в любой точке тела.В задачах первого типа для 15 неизвестных функ¬ ций, а именно:а)	!^ести составляющих тензора напряжений ах;ауу Zxy> ZXZ> Tyziб)	шести составляющих тензора деформаций е*;1	1	‘IV» £zl 2	2 ^xz* 2 ^z'*'в)	трех составляющих вектора смещений и, i>, w, имеется 15 уравнений — 3 уравнения равновесия <11.2);6	уравнений, связывающих составляющие тензора де¬ формаций с составляющими вектора перемещений [см. 3.2.1, формулы (3.23)], 6 уравнений закона Гука [см. 3.3.1, формулы (3.36)].Эти уравнения, должны быть решены таким обра¬ зом, чтобы на поверхности тела удовлетворялись урав¬ нения (11:3).При решении задач второго типа удобно из 15 ос¬ новных; уравнений теории упругости исключить состав¬ ляющие тензоров напряжений и деформаций, в ре¬ зультате чего получаются три уравнения для трех со¬ ставляющих вектора смещения (уравнения Ляме):(М-G)— +Оу*1 + Х = 0;дхдЬ(k+G) — + Gv2v+Y =0; ду(11.15)<Э0(A+G) — + Gy2w + 2 = 0. огд2 д2 д2 Здесь в — + _ + —;дх2 ду2 дг2Я и 6 — см. 3.3.1 — формулы (3.38 ), (3.37) ; мо- Едуль сдвига G = -- —— (ji— коэффициент Пуассона) 2(1+1*).-совпадает со 2-м коэффициентом Ляме.
11.2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА583Должно быть найдено такое решение этих уравне¬ ний, которое удовлетворяет краевым условиям, т. е. не¬ обходимо найти три такие функции координати=и (jc, у, z); v=v (х, у, z); w=w (х, у, г),которые, удовлетворяя уравнениям (11.15), в то же время на поверхности тела принимают заданные зна¬ чения составляющих вектора смещения.Точное решение уравнений теории упругости для большинства задач, выдвигаемых практикой, неизвест* но, поэтому большое значение приобретают приближен¬ ные методы решения этих задач.11.1.5.	Потенциальная энергия деформации. Начало наименьшей работыПотенциальная энергия деформации может быть вы¬ числена по одной из следующих формул [ср. 3.3.5, фор¬ мулы (3.46) и (3.47)]:W= jjj [а\ + + °2 — К °У++ Сг+Ъ «*) + 2 (1+Ц) ( ^y+^+^L)] dx аУ dz>г-ШйИ+*’+,м^Г'*++ Y Ыу+TyZ +tL) ] dxdydz. (11.16)Интегралы (11.16) распространяются на весь объем тела.Начало наименьшей работы: из всех возможных на¬ пряженных состояний тела, удовлетворяющих уравне¬ ниям равновесия (11.2) и условиям на поверхности(11.3), фактически реализуется только то единственное состояние, которое обращает потенциальную энергию деформации тела в относительный минимум.Начало наименьшей работы лежит в основе эффек¬ тивного приближенного метода решения задач теории упругости (метода Ритца, см. ниже 11.3.1).11.1.6.	Некоторые частные решенийТело произвольной формы подвержено со всех сто¬ рон равномерному внешнему давлению р. Решениеах = Gy = az = р, ^ху = тх2 = ZyZ = Оудовлетворяет всем уравнениям теории упругости, а также условиям на поверхности тела (11.3).Во всякой площадке, проходящей через любую точку тела, в том числе и на наружной поверхности, полное напряжение направлено по нормали и равно р^=—р.Составляющие тензора деформаций ^определяются равенствамиt=tx=ty=tz = — (1—2|i);Yjry " 7д.z “ lyz — 0-Воспользовавшись данными в разделе 3.1.5, опреде¬ лениями шаровых тензоров и девиаторов, можно напи¬ сатьИтак, деформация всестороннего сжатия (или рас¬ тяжения) целиком определяется шаровым тензором на¬ пряжений.Другой пример — растяжение призматического стержня усилиями, равномерно распределенными по площади торцовых поперечных сечений стержня. Если ось z направлена вдоль стержня, то система решений ах = ay = zxy = %yZ = $2х = 0,а2 = р = constудовлетворяет всем уравнениям теории упругости. Вос¬ пользовавшись понятиями шарового тензора и девиа- тора, можем написать000р300р300000=0р30+0 —р3000р00р3002—■————11.2.	ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА11.2.1.	Плоское напряженное состояниеПлоское напряженное состояние имеет место в слу¬ чае тонкой пластинки, подверженной действию сил, при¬ ложенных jc ее контуру, параллельных плоскости пла-Устинки и равномерно распределенных но ее толщине (рис. 1119). В этом случае можно положить vz— zxz == Ту z =0.Средниё по толщине диска напряжения шх, иtXy связаны с действительными напряжениями о.х,+hсу, и zxy соотношениями + h'“2/Л °xdZ'' ‘У" 2/J °ydZ' —h+ h*ху = ~2h J Zjcy ^Z*где 2h —толщина пластинки.11.2.2.	Плоская деформацияПлоская деформация имеет место, если при напря¬ женном состоянии тела перемещения всех его точек могут происходить только в направлениях, параллель¬ ных какой-либо плоскости, занимающей неизменное положение в пространстве (рис. 11.10).
584РАЗДЕЛ 11. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИВ условиях плоской деформации находится значи¬ тельная часть призматического тела большой длины и постоянного поперечного сечения, если внешние силы лежат в плоскостях, перпендикулярных оси zРис. 11.11легко убедиться, что первые два уравнения системы (11.17) удовлетворяются тождественно, а третье при¬ водится к бигармоническому уравнению^+2 дх4 дх* ду* ду*(11.20)Бигармоническая функция (д:, у) носит название функции напряжений, или функции Эри. Контурные ус¬ ловия (11.13), выраженные через функцию Эри:pyv =—t\ дхду\	д2ф-qx\cos (v,*)+ — cos (v,y).(11.21)Итак, при заданных на контуре напряжениях плос¬ кая задача теории упругости приводится к интегриро¬ ванию уравнения (11.20) при условиях (11.21).11.2.4. Плоская задача в полярных координатахУравнения равновесия (рис. 11.12):О 	Од+ —	+ Я = 0;_1_дг + г ’ дЬдав~дГдтгЗдгг2тгВ+ Q=0.(11.22)(рис. 11.11), и не зависят от координаты г. Отступле¬ ния от плоской деформации будут в рассматриваемом случае иметь место только в зонах, близких к торцовым сечениям.Плоская деформация характеризуется соотноше¬ ниямие2=0, ~\xz = 0, у у 2 = 0, тхг = zyz = 0,<^ = Малг + <*у)-11.2.3. Функция напряжений для плоской задачи *Если объемные силы постоянны (к постоянным объ¬ емным силам относится, например, собственный вес), то как для плоского напряженного состояния, так и для плоской деформации основные уравнения теорий упругости (11.2) приводятся к видуда_х+дЬсу_ = 0. *УХ + day _ = 0. дх ду	дх дуV?(°*r+°y)=0, где q — объемный вес.На контуре тела, согласно (11.3):рХч = o^cos (v, х) + тги cos (v, у);Py*Положивд2<р д2® д2<р e*asW:'y = d#" ~(11.17)(11.18)ху ■дхдуhqx, (11.19)Хвг+Гг drРис. 11.12Если ввести функцию напряжений <р (г, 0) и положить (при отсутствии объемной силы) R=Q=0-	! dcp 1 д2<р	д2<рвг==~ ’ ~~h ~"д^; °e=Zr;дгдг*д / 1 д<р \ V9-~ дг \ г ' дд)’(11.23)то уравнения равновесия (11.22) удовлетворяются тождественно.Функция напряжений <р должна удовлетворять диф¬ ференциальному уравнению
11.2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА/д*_ J	д_	J_ dM /dbf\дга г дг	г2 д№) (дг21 да	1 д2ср\+ л *	г* ’ а©*/ =0,(11.24)В частном случае, если напряженное состояние сим¬ метрично относительно оси, проходящей через начало координат перпендикулярно плоскости чертежа (плос¬ кости деформации), тотг0 = О»а «г= -4-+S(l+2 1nr) + 2C;+ В (3+2 1пг) +2С.Постоянные Л, В, С определяются из условий на кон¬ туре.11.2.5.	Сведение плоской задачи к задаче об изгибе пластинкиДля решения плоской задачи можно прибегнуть к следующему приему [2]. Разыскивается функция ф (*. у) таким образом, чтобы на контуре выполнялись условиядЧ	дЧe dyi cos (v* x) 17ТГ cos УУ’P'>' - дхдудхдудЩ>	а2Фcos (v, x)+ — cos (v,y). dx2(11.25)Функция ф (*, у) при этом вовсе не должна удов¬ летворять уравнению (11.20) и может быть задана без затруднений, наприМер, в виде полинома с достаточ¬ ным числом неопределенных коэффициентов. Эти коэф¬ фициенты следует подобрать таким образом, чтобы хотя бы приближенно удовлетворять условиям j 11.25). Воз¬ можны и другие формы задания функции ф (х, у).Функцию Зри ищут в виде<Р = (X, у) = Ф {х, y)+w (х, у).Поскольку на контуре, согласно (11.21),(11.26)дЧРхV =7Г,С0Ъ^> *)—Ру, = -$у*<52<рдхдуcos (v, у);дЧcos К Х)+—соъ^'У), дхду	дх2то функция w должна удовлетворять условиямd2w—	cos (v, X) — ■ ■ cos (V, у) = 0; ду2	д* дуd2w	а2до—	ггcos *) + Л cos (v> = °-дхду	дх1Подставив (11.26) в (11.20), получим д4 д4 \—Сяеяовательно:(11.27)(-+*■\а*4 а^ад4до d*w +2ах4 ах2 ау2 дуd4w-=Р(х, у).(11.28)585гдедч „	а«ФР (х, у) = — I —L -J-2	— -I	i\d*4 дх* ду* ду*)’(11.29)т. е. известная нам функция. Итак, плоская задача сводится к задаче об изгибе пластинки при контурных условиях (11.27) (см. раздел 13). Так как решение послед- у ней задачи во многих случаях известно, указанный прием мо¬ жет оказаться весьма полезным для решения ряда задач.Отметим, что для полной аналогии с задачей об изгибе пластинки необходимо поло¬ житьР(х, У) D-иШСРис. 11.13где р (х, у) — действующая на пластинку нагрузка;D — цилиндрическая жест¬ кость.В случае прямоугольного диска контурные условия(11.27)	принимают видд2т—	= 0 при * = 0 и х = /;ду2d*wдх2 дгхв= 0 при у = 0 и у = /х;0 — вдоль всего контура.(11.30)дхдуДля жрямоугольного диска, нагруженного согласно схеме, ноказанной на рис. 11.13, возьмем функцию ф в виде31)Продифференцировав (11.31) дважды по х, получим при у=% и y=h1\2х2 \2х \°у = {Аг ~ h ~1Р- Подставив в (11.20) <р = ф+а>, получимd*w d4w 24 ричd*w п— +2	+ —дх* дх2 ду2 ду4Задача сведена к задаче об изгибе полностью за¬ щемленной пластинки (см. раздел 13). В самом деле, если на контуре пластинки удовлетворяются условияw = 0 при х = 0, х = I, у = 0 и у = h;dw	dw—	=0 при *=0, х=1 и — =0 при у=0, y=h, дх	дуто должны удовлетворяться также вытекающие из (11.30) условия. В результате приходим к формуламd2w	(\2х2 \2х \ d2wду2 у \ № h • / ^ дх2 * d2wдхду
586РАЗДЕЛ 11. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИгде w — функция прогибов полностью защемленной пла-24 рстинки, находящейся под нагрузкой *.п2Для балки, нагруженной согласно схеме, показан¬ ной на рис. 11.14, примемЛ. Л it. (,,.32)Y h3 1.3 2 , / 2.Это даетл£Рис. 11.14б Р°* = 7Г <?У — +№6р ( у3И*ду2'/у3 у2 \ д2т(t-V4)+«;6 рх*укя-^'<у*-ун'>-d*wдхдуВсе условия на контуре удовлетворяются, если в качестве w взять функцию прогибов прямоугольной, полностью защемленной на контуре пластинки, нахо- 6р 12рдящейся под нагрузкой ——— у. Положив w=wv\-w2th2 п3,	е ргде w 1 — прогиб пластинки от нагрузки — и w2 — про-№12 р-гиб пластинки от нагрузки — —— е/, можем воспользо-h6ваться готовыми решениями.Изложенный прием дает возможность при надлежа¬ щем выборе функции ф использовать решения задач о защемленной пластинке для плоских задач теории упру¬ гости.11.3. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИВариационные методы решения задач теории упру¬ гости имеют большое практическое значение, так как они в большинстве случаев дают возможность получить сравнительно просто приближенное решение тех задач теории упругости, для 'которых точное решение не¬ известно или слишком громоздко. Ниже излагаются основные вариационные методы решения задач теории упругости.11.3.1. Метод РитцаМетод Ритца основан на использовании начала на¬ именьшей работы. При решении задачи этим метвдом выбирается для данной конкретной задачи такая система функций:«о МХУта)ху '9 X *а •> »0° <fl) С<2>Z* и2 * и2 »'т<2>'’ху» • •Ъг*т'2>XZ*' XZ » • • ••х<1) уг•с(2)уг>(11.33)чтобы выражения т+ 2 ok °(хк); k=lаУ — ау 'Ь S akQ(Ь). У ’S4=1ak <4Л);zxy = ^У+ 2^:(V.ху’Sk=le*“4i^yz := туг + S «Ауг(11.34)удовлетворяли как уравнениям равновесияда у+ ‘дхdzdzxyдхfczxдххудуdavдху+ г! +дудг«fry г дг= 0;= 0;дх-гу.дуда2 + -/ = °. дгтак и условиям на поверхности тела0°/+т°у/п-И°гя=рху;„<*>/+т<>+^« = 0;/+а°/я+т°у* -уг Пт<,«/+а^/и+т^л = 0;угЧто касается других уравнений теории упругости, то они, вообще говоря, не будут удовлетворены выбранной системой функций (11.33). В самом деле, подставив вы¬ ражения (11.33) в уравнения закона Гука (см. 3.3), най¬ дем составляющие тензора деформаций гу, zZy '(ху>— Подставив затем эти составляющие тензора де¬ формаций в уравнения (3.23) (см. 3.2.1), получим шесть уравнений для составляющих вектора перемещения («, и, w):ди	dv	dwdxdvdy dv dwdzdw du+ ЪУ’ а, + “ Ь*> дх + - 7*г-дгдиdy ' dx 1Лу* dz ' dyОднако, если уравнения (11.33) не являются точ¬ ными решениями уравнений теории упругости, полу¬ ченная система уравнений будет неразрешима, так как определенные вышеуказанным способом состав¬ ляющие тензора деформаций не будут удовлетворять уравнениям совместности деформаций Сен-Венана (И.7).Тем не менее, согласно Ритцу, можно, исходя из выражений (11.33), получить приближенное решение уравнений теории упругости, определив неизвестные коэффициенты ak из уравнений dW—— = 0 при k = 1, 2, 3...,	(11.35)dakгде W — выражение для потенциальной энергии дефор¬ мации (11.16).В случае плоской задачи1 выражение для потенции альной энергии упрощается и принимает видW] dxdy.(11.36)Точнее—плоского напряженного состояния
11.3. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ587Воспользовавшись функцией Эри (11.19) (принимая <7 = 0), преобразуем уравнение (11.36) к видуНШ'-ВЯКВыберем теперь систему функций<Ро(*. У). <Pi (х, у), <р2(*. У)**"таким образом, чтобы удовлетворялись следующие кон? турные условия:д2?од2у0—— COS(vx)	ду2	дхдуcos (vy) = рх^\д2 Фо	д2	cos (vx) + cos (vy) = pyv;дхдуд2пдх2cos (v*) — -. - cos (yy) = 0; ду2	дхдуд2 ч>ь	д2ч>ь'~ l^cos(^)+'i^cos(V)')==0 (k= l’Положив далееm<? = ?o + 2 (x. y), k=lможно определить величины коэффициентов ад> из систе¬ мы уравнений (11.35), подставив для W выражение (11.37). .Проиллюстрируем применение метода Рита на при¬ мерах.Пример 11.1. Найти распределение напряжений в прямоугольном диске, ограниченном прямыми х=±а, у=+Ь и нагруженном на кромках х=+а напряжениями-(-я-Граничные условия:При * = ± а ся = р |l— ^ ^у=0;при у = ± Ъ <3у = 0, хху = 0.Это дает для функции Эри:д2<? / у*\ при х = ± а — =р 1— — F	ду2 н\ Ь2)дхду= 0;д2Ф	д2<рпри у = ± 6 — = 0; --- -дх2	дхду= 0.Положим¥ = ?•(*. У)+	У)=-^-уг(^— +k+ 2 я*9* (*, у).	11.38)ЬВсе граничные условия будут удовлетворены, если в качестве функций (х, у) принять следующие выра¬ жения:<pl {X, у) = (х2 — а*) (у* — 62); ъ (*• у) = (*2 — СУ2 — &2> *2*,сря (*, у) = (*2 — Д2) (у2 — ft*) у2;U* У) = (*2 — Д*) {у* — 6*) X4;Подставив (11.38) в интеграл (11.37), произведя ин¬ тегрирование и потребовав выполнения соотношений(11.35), получим систему уравнений для коэффициен¬ тов. В первом приближении можно все а*, кроме а\, положить равными нулю, и задача сведется к решениюairодного уравнения т— =0, из которого получим дахai =1а*Ъ2	256 _62_ 64 647	49 а2 7 а4В частнома, = — 0,04253, а4случаеквадратнойпластинкии составляющие тензора напряжений будутДля получения более высокого приближения можно принять k=3. Это приведет к следующей системе урав¬ нений:/ 64 256 Ь2 64 64 (64 64 64 \(у+ &■ + Т' ^")+[17+ «' у)а* +/64 Ь2	64 *6 \3	( 49 ‘ я* +	77 ' дв")в*/64 { 64 Ь* \ ,	/ 192( 77 + 49 ’ a* j +	\ 147-7 + 49-11192 Ь*\	/64	6» 64 й«\- j«>+«,	и.= — * а462 ' 256а2++49-11 а«/ 7а*Ь2' /64 64	/ 64 64 &4 \ „ ,149 +У^) + аг149Л1+4ПТ' а4 jЛ +/192 °3 (49 * а2+256192“ +49-11 а* 143-7 Ф)& \ о— а2 =7а462В частном случае квадратной пластинки^=0,04040—; а2 = а3 = 0,01174 —cfi	cfiа для пластинки с отношением сторон ~ =2оа,	= 0,07983 —; а2 = 0,1250 —; а8=0,1826 а462	а662Имея значения аи а2, аз, с помощью формулы (11.38) получаем приближенные значения функции Эри, что в свою очередь дает возможность подсчитать по фор¬ мулам (11.19) возникающие в диске напряжения.Пример 11.2. Найти распределение напряжений в том же прямоугольном диске при нагружении его по торцо¬ вым кромкам нормальными напряжениями, распределен-
588РАЗДЕЛ И. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИными по закону кубической параболы. В этом случае функция Эри должна удовлетворять условиям:д2<р= -^7 = АУ3 при х = ±а\дЧ= -^Г = 0 при у = ± Ь;дхду: 0 при х = ± а и у = ± Ь.Все эти условия будут удовлетворены, если принять в качестве функции Эри выражение<р= + {х» — д2)2 (у2 — &а)2 (агУ + а^х* + а^у3 ++ а4х*у* + а5х*у 4* а+•••)-Проведя выкладки по приведенной выше схеме, полу¬ чим для нормальных напряжений=, = -^Г = 2Аа* |-рз_(1 — 5*)* [0,08392 — Зц) ++0,004108 (21т)& — 20ц» + Зц)] ——£а(1—еа)2 [0,07308(51)®—3*i)+0,04179(2Ц5—20if+3*))] },где 5 = — , 1)= ~*.а	о11.3.2.	Метод ГалеркинаВыбирается такая система функций: и0(х,у,г); fk(x.y,z)-,Щ(.х,у,г); <f:t(x,y,z); *=1,2,3... wt(x,y,z); ф*(х,>г.г).(11.35)чтобы выраженные с ее помощью составляющие векто¬ ра перемещенияи — иа+ 2а*/*; V = 0О +кW = W„ + Е Ct&k.(11.40)где ak, bk, Ck— пока произвольные постоянные, удовлет¬ воряли некоторым изложенным ниже условиям.С помощью составляющих вектора перемещения мож¬ но вычислить составляющие тензора деформации:гдее(7 =70 , (1) хг* lyZ *yz~ \уг*О	дио . О dvo О ^W0 /j4	dfk*=17; ev=17: •«-'S’' 'V-h1*-;:''f° = *xzдЧрdw0пдо0дгdx7уг—* +..О)-\ху ~IIdfkду+dydwp dy ;dxdxа) V/ д*ь ,lU-Z ■»kдг -^c* dy) •Имея составляющие тензора деформации, можем по формулам закона Гука (см. 3.3.1) вычислить состав¬ ляющие тензора напряжений:о	я= -4- gW; g =с°	о = a^-f-g^Iх х*х 9 у— у ~ У * г г~ г »X	, (1). „ О , (1).	О , (1)ху ху' ху1 "хг хг' хг* у* уг^ уг»гдет° = Gt° ■%XV — uijev*(11.41)(П.42).«_S0[.« + ^(.»+.»+.i)]s■«-»[■!+i^«+-5+4,<■>_ 20 [.У’+у^,'S - оф.<»-2o[.;»+r^(.l'» + .'»+.''>)]; ,<»-oeСоставляющие тензора напряжений (11.42) должны удовлетворять на поверхности тела условиям:о£/+-4ут+*5жл-р„;•»l+^*+tg«-05•tyx I + 0yOT + -ty2n = py,;ty] / + m + n = 0;Zv »(11.43)xzi *+ Tzy m "b °zl)Для этого исходная система функций (11.39) должна быть выбрана таким образом, чтобы на поверхности тела удовлетворялись условия:
11.4. МЕТОД СЕТОК5892(1-|i) 1 — 2цдукdfk ,,dfk1 — 2 \i ду	дх	дг1 — 2jLX ду	дуdfk	2|ы-^1 + —— дг 1 — 2\idh_дхd9k . 2Ц 	дг	1 — 2\х дуп = 0; п = 0;d*	dydfki — 2fx2u2(1 —|A)дг /7г=0;1 —2ц 2M* dh_дх/1 = 0;	aj*1 — 2р, дг % 2(1—ц) d* i‘ 1—2цдуп = 0;£^т+^„ = 0, cty	6>2(11.44)Л = 1,2,3	Заметим, что эти условия на поверхности тела могут быть легко удовлетворены, если систему функций (11.39) выбрать в виде полиномов достаточно высокой степени с надлежаще подобранными коэффициентами.Для того чтобы выражения (11.41) действительно представляли собой приближенное решение соответст¬ вующей задачи теории упругости, Б. Г. Галеркин пред¬ ложил определять входящие в них коэффициентыя*. Ьк и ck(k = 1, 2, 3,...)из системы алгебраических уравнений, которая полу¬ чается после подстановки выражений (11.41) в уравне¬ нияш* ('д°х „ дх+dzxy ,ду^Х2 'дг ,| dxdydz=0;diyx, дх+day diyz \ду дг )dxdydz=0;'frzxк дх+дъгудуда2\ дг )dxdydz=0,k == 1, 2, 3,1 • • •(11.45)с последующим вычислением приведенных интегралов.Эффективность метода Галеркина зависит о* того, насколько удачно выбрана исходная система функций(11.39). Опыт показывает, что при удачном выборе этих функций можно добиться необходимой точности реше¬ ния! ограничившись в рядах (11.40) двумя или тремя членами, т. е. приняви = и0af I, v = v0 + b?j;W = £0о+ Сфхилии = и0+а1/1 + а2/2;V = V0 + &1<р, + b2?2f W = Ш0+ <7,Ф, + с2ф2.(11.46)11.3.3. Метод Треффца (метод смягчения граничных условий)Выбирается системаUk(xtytz)t vk(x,y.z), vk(x,ytz)t £= 1,2,3,...таким образом, чтобы рядыu=l,akuk(x,y,z);(11.47)о= %bkVk (х.у.г); kw —	(x,y,z)(11.48)удовлетворяли уравнениям Ляме (11.15). Функции (11.47) рассматриваются как составляющие вектора пе¬ ремещения точек упругого тела и по формулам раздела 3 (3.23) вычисляются составляющие тензора дефор¬ мацийеу. 7лу» lxz> Туг*После этого по формулам закона Гука вычисляются составляющие тонзора напряжений'•ху •Уг*Полученные составляющие тензора напряжений бу¬ дут автоматически удовлетворять уравнениям равнове¬ сия (11.2), поскольку функции (11.47) удовлетворяют уравнениям Ляме, но граничные условия при этом не будут, вообще говоря, удовлетворены. Однако при над¬ лежащем выборе неопределенных коэффициентов ад, bk* Ck граничные условия удовлетворяются приближенно. Для этой цели следует подставить выражения (11.48) в уравненияJ j (<>*/+ ^хут + xxzn — P*v ) ukdF = 0;J J (Ъ*1 + Vя + V" “ Pyi ) vkdF — 0;Fj j (xzxl + Чут + °zn — Pzv ) W>^F = 0(11.49)и решить полученную систему линейных алгебраических урав¬ нений относительно неизвест¬ ных коэффициентов.11.4.	МЕТОД СЕТОК11*4.1. Тринадцатичленное уравнениеОбласть интегрирования раз¬ деляют на равны* интервалы А х и &у таким образом, что¬ бы делящие прямые были па¬ раллельны осям координат (рис. 11.15). Приближенные значения различных производ-5 Ду0/qАхиткпVРtгУt&Рис. 11.15
590РАЗДЕЛ 11. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИных функции у в точке k могут быть вычислены через значения этой функции в узлах сетки по следующим формулам:дер сpi — of	д2у	—2ср^-|-<рг~	' дх2 “ Дт.2д*дер __ду~2Дл:Ут— У/i 2Д„д2сру	<ty2д'2?	(Уо + <рг) — (?рдхду д4ср?т—:Д_у29я) .д4<рду44Дл:Ду	6у& — — 4<рг + <р; +дх4	Дх4— 4срт — 4ср„ -h 4Р + <?k в Ду4	’д4у д^ду2 =(11.50)	4у&—2ут—2уп-^-2щ - 2ср/+ср/, +ср^+уг+у0Дх2Ду2Здесь у/, у^, У/ и т. д. — значения функции ® в точках /, k, i и т. д. .Подставив значения производных (11.50) в уравнение для функции Эри, получим<?k	+ej —4 £(1 + а) (ср/ + <pi)+ (l+ -J-) (<рт + ?л)] + 2 (9р + .+где+ 9г + ?о) + +“(<p<+?i)+ ~ (9v + 9а) = 0, (11.51)а„.(Sty „ -L=(‘JL\\\Lx I а \Ду )Это и есть тринадцатичленное уравнение для функции Эри в конечных разностях.Для квадратной сетки, где а=1, уравнение (11.51) приобретает упрощенный вид:20<р* — 8(<р/ + <р* + <рт + срп) + 2 (<рр + <рд + <рг + ср0) ++ У/+ ys + Уг> + Уи = 0*	(11.52)Напряжения в точке k в соответствии с формулами (11.19) могут быть выражены следующим образом (при толщине диска, равной единице):_ Ут — 2п + Тп	_ У/ — 2<f>& + уг0д;" Ду* : °у_	Ьх* ''_ ■ (9р + 9 а) — (9о + 9г)4ДлгДуТринадцатичленное урав¬ нение (11.51) или (11.52) может быть составлено для каждой узловой точки сет¬ ки; число неизвестных зна¬ чений функции у также рав¬ но числу узловых точек.При составлении уравне¬ ний для ближайших к кон- туру узлов (т, пу о и т. д.) необходимо ввести значения Рис 11 16	функции у в узлах на кон-п	туре и на ближайших узлахза пределами контура.Lxy ■(11.53)Значения функции у в узлах на контуре известны из граничных условий; значения функции в узлах за пределами контура определяются по экстраполяцион¬ ным формулам (рис. 11.16)2а> (5), • (ми|Система уравнений (11.51) или (11.52.) может быть представлена в канонической записи:a*i?i + ak2<?2 + акзЪ +* • • + akrtfn + akP = 0» (11.55) k= 1,2,3	п,где k — порядковый номер уравнения.Эти уравнения всегда возможно привести к такому виду, что коэффициенты их будут удовлетворять прин¬ ципу взаимности, т. е. aks=ask• Для этого необходи¬ мо умножить уравнения (11.55) на некоторые коэффи¬ циенты.11.4.2. Применение метода конечных разностей к расчету балки^стенкиПример 11.3. Балка-стенка в виде квадратного диска нагружена согласно схеме, изображенной на рис. 11.17.Вычисляем значения функции у Эри на контуре.Для участка 1д2срдх2: 0;д<р~дх= Cj; у = Сгх + С2;дудхду= 0;■— = С3. дуС и С2 и Сз — произвольные постоянные; примемCi=C2=C3=0.Для участка 2д2<рРис. 11.17= — 4рх+С4;дху = — 2рх2 + С4х -(- С5; д2со # дер: 0; / = Сб. дудхдуНа границах участков 1 и 2 — значения функции у и ее производных совпадают, поэтому|— 4px + C4\x=OAL = 0-,I — 2рлс2 + Ctx + Съ 1^0 4L = 0. Следовательно:С4 = 1,6 рЦ С5 = —0,32 pL2; — =С6 = С3 = 0.дуОкончательно для участка 2д<р<р = — 2рх2+1,6 pLx — 0,32 pL2; — = 0.дуВ частности, при х=—2d *
11.4. МЕТОД СЕТОК591pL29 = 0,72 5; *Для участка 3 (боковая сторона)ду2\гу= 0:= С7; <р = Ctf 4- С8;d<p ду2д2<р Л д©—— = 0; — = С9. дхду	о*Из равенства граничных значений участков 2 и 3 по¬ лучаемС7 = 0; С8 = (— 2 рх* + 1,6 pLx — 0,32 pL*)x=05L.С9 = (— 4р* + 1,6 рЦх^ъь,откудаС8 = — 0,02 pZ*; С9 = — 0,4р&;«,= — 0,02 pL2 = —0,725; =0,4рЛ; т	дхдуДля участка 4д2У П.	/-*.	О у [°v — ТТ = и*	9 = — cio* -г с1;^ ддс2хулг !дх д‘Ар дхду,0: £дуИз равенства граничных значений для участков 5 и 4следует^12 *“	s ~” 0» 4pL;(С10* + ^ll)jesO,6L я — 0,02pL2,откудаСг1 — 0,18pL*9 =— 0,4 pL* + О,18pL*; = 0.Для участка 5д2?	.	&?'	. ло,-**	П —	рве + С„.РХ* Л ЛИз равенства граничных значений для участков 4 и 5 I— f>x 4~ Cis)x=JQ,4L =. (~ -f- + Ci3^ + Cw)^ 4L == (— Q,4pLx + 0,l&pL\_Q4Ltоткуда	.Cl3 - 0; Cu =■* 0,10pL2;?=.-f^ + 0,10pL*	-^-0.Законтурные значения функции 9 получим, поль« зуясь формулами (11.54).Для нижнего края[так как (я~,\ =о|. L	\ду J конт JЗдесь <?k— любое значение функции <р в предкон* тур ном узле.Вдоль боковой граниL-• fp-j-2 — 0,4pL — <рр — 4,85. /’ ,* fi :Ж )М 'Д 'I 'д \лг жшв 13,18 \з,бв \ув тв |/	j	j	• I J 1 1wF» —Уэ'Ъ*8WB'J ]8 ]7 J JШWI.1 I'll-10,7Щ2__	J	Ш	0,72B\t5 '/J [ |	1	1	,	}	[	’/2om\o.o {p.o j0,0 { JгШ \Ш•	I1	Iж¥ts fit f* Рис. 11.18Здесь <рр — любое значение функции f в предкон* турном узле.Для верхнего края<Ру =»?/•Контурные значения функции 9 выписаны на рис* pL211.18,	причем	•Применяя уравнение (11.52) к узлу /, получаем 20 <р, — 8(3,6В 4- 94 + ?2 4" ¥2) 4- ^ (95 4- 3,15 4- 3,15 -f-"Ь Тб) + ?7 + ?1 + ?3 ~Ь ?3 = Оили21?i — ^9о 4- 2фя — 894 4* 495 4" ?7 =® — 16,45.Аналогично для узла 2 2O9* — 8 (3,15 4- 95 -I- 9з 4~ 9i^ ^ 3,65 4~ 1,65 4е4	¥*) 4- ?в —0,725 4 92 f 92 = Оили—	891 4- 229? — 893 4- 294 — 895 4- 29в 4- 98 =* — 15,125.Применив уравнение (11.52) для всех узлов, получим окончательную систему уравнений (см. [2]), решение ко¬ торой дает9, =.3,3515; 92==2,8845; 93= 1,4815; 94 — 2,8905; 95 = 2,5065; *- 1,3065; 9?= 1,2815; 98== 2,0035; 99= 1,0875; fl0= 1,5025; 9,,- 1,3555; ?12=0,7895; 9чз =s 0,6205; 944 в 0,5935; 9^ = 0,3885.Графическое изображение функции 9 (поверхности напряжений) дано на рис, 11.19 в аксонометрии и на рис. 11.20 в разрезах.
592РАЗДЕЛ 11. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИЗная значения ординат функции <р во всех точках сетки, определяют по формулам (11.53) значения на¬ пряжений во всех узлах сетки.а)	Напряжения о; в точке /(3,351 — 2-3,60 + 3,351) ВZ.2/36= — 0,50р;в точке /°Х1в точке XIII__ (3,600 — 2-3,551 + 2,88) В LV36(0,620 — 2-0 + 0,620) В L2/36= — 0,207р;:1,24р.Величины напряжений <*х и су являются функциями вторых производных по координатам. С другой сторо¬ ны, величина кривизны для плоской кривой'0,5р1	дх2Направление радиуса кри¬ визны зависит при этом от знака второй производной. Следовательно, направление радиуса кривизны кривых, об¬ разованных пересечением по¬ верхности напряжений плоско¬ стями, перпендикулярными осям х и у, определяют знак напряжений <*у и ах. Точки перегиба этих кривых соответ¬ ствуют точкам, в которых на¬ пряжение меняет знак.Из рис. 11.20 видно, что только вблизи нижнего края происходит изменение знака кривизны, причем здесь получаются чрезвычайно неточные значения для конечных разностей. Поэтому величины растягивающих напряжений по нижнему краю балки следует уточнить, исходя из следующих сообра¬ жений.Полная величина сжимающего усилия D (площадь эпюры отрицательных значений о^) должна равняться величине растягивающего усилия Z (площадь эпюры положительных значений а*.) (рис. 11.21). Приняв эпю¬ ру положительных значений <зг в виде треугольника и приравняв друг другу эти площади, получим а* = 1,32 р.Правильность эпюры напряжений можно также проверить, сравнивая момент внешних и внутренних сил.Величина усилий Z=D=0,15 pL. Плечо внутренней пары равно 0,68 L. Момент М=0,15 pL • 0,68 L=0,102 pL2. Момент внешних сил (изгибающий момент для середи¬ ны пролета)Р (0,4L)2М = 0,4pL0,45L — ■ - 1	 - = 0,10pL2.Совпадение значений моментов довольно близкое.Элементарная теория изгиба даетМ 0,10 pL2W1-L2 6=0,6р.Следовательно, расчет напряжений по элементарной тео¬ рии грубо ошибочен.11.5.	СВОДКА НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ11.5.1.	Чистый изгибПластинка, имеющая поперечное сечение в виде уз¬ кого прямоугольника, нагружена по торцам нормальны¬ ми напряжениями (рис.11.22), сводящимися к двум парам с моментами М. Ре¬ шение теории упругости совпадает с элементарным решением сопротивления материалов:М°- = —у\hIау — Zxy — 0 •Рис. 11.2211.5.2.	Поперечный изгиб консолиа)	Консоль, имеющая поперечное сечение в виде узкого прямоугольника, нагружена на конце поперечной силой (рис. 11.23). Если распределение касательных напряжений по торцовому сечению следует законуq (h2 — Ау2)Ягу -	8/Рис. 11.23то точное решение теории упругости совпадает с эле¬ ментарным решением сопротивления материалов:М Рху■у = —; Су = 0;* 1 QS lbIQ(ft2—4у2) ' 81
11.5. СВОДКА НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ593Рис. 11.24треугольной нагрузкой, формуламх3у , раг = р	f-	х у 4с® 4с3Если касательные нап¬ ряжения по торцовому се¬ чению распределены по какому-либо иному закону, то в соответствии с принци¬ пом Сен-Венана, на рассто¬ яниях от торца балки, рав¬ ных примерно высоте сече¬ ния балки, можно с доста¬ точной точностью пользо¬ ваться приведенными фор¬ мулами.б) Консольная балка, имеющая поперечное сечение в -виде узкого прямоуголь¬ ника (рис. 11.24), нагружена Напряжения вычисляются по(—2ху3 + -j- c2ry j ; * . / У3 Зу \=-рт+рх[^~^);Lxy ■3рх2 8с3(С2-У2)-^-(С*-У*) + 8 с®+ ^-тсЧсг-у*)-Решение справедливо, если по торцовому сечению будут действовать нормальные и касательные •напряже¬ ния, получающиеся из приведенных формул при *=/.11.5.3. Поперечный изгиб балкиа) Под действием собственного веса (рис. 11.25). Распределение напряжений:а г = —	L (/2 — х2)у —•*	2с2	1—г-■г—I1Рис. 11/25Здесь т — удельный вес материала. Решение справедли¬ во, если по торцовым сечениям действуют касательные и самоуравновешенные нормальные напряжения, полу¬ чающиеся из приведенных выражений (при х=±1)л р\ГП И П Т'ГТТIto<о —L_r—lУРис. 11.26./Ьб)	Под действием поперечной нагрузки (рис. 11.26), Распределение напряжений:Р	Р I 2 2 \V» — а*-*2)у + —	— j ;38 Зак. 2098*ху=— -^-(сг — У2)х.Здесь I—Решение справедливо, если по торцам балки дейст¬ вуют касательные и самоуравновешенные нормальные напряжения, получающиеся из приведенных формул при х=-\-1.нpn-pSinax[хп_зяГа=1Рис. 11.28в) При переменном поперечном сечении (рис. 11.27) Распределение напряжений:Lxy ■‘g2?Здесь чх — давление воды на глубине х; q — собст¬ венный вес единицы объема.Решение справедливо при условии, что по торцовому сечению действуют нормальные и касательные напряже¬ ния, получающиеся из приведенных формул при x—h* г) Изгиб балки синусоидальной нагрузкой (рис. 11.28)1(bicha у — fliyshay) + — (Ьъ sha у — d2—	а2у cha у) j sin a x;Г 1<sy = — p j^— (bz ch ay — a^y shay) ——	(64 sh ay —a2 ychay) 1 sina x ;d2	J, = — p |^j- (a2c shay — a$ chay) ++ (axc chay — a2y sh ay) 1 cosa x. dn • 1txy 'Здесьasha с == an a cha c = a2J ac chac — sh a с = b\ ; ac shaC — Ch ac = b2 ; a С ch ac -f- sha с = 63 *, ac sh a с + ch ac = 64 ; sh 2a с + 2 ac = d1; sha с ——	2a с «= d2.
594РАЗДЕЛ 11. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИРешение справедливо, при условии, что на торцах балки действуют касательные напряжения, получаю¬ щиеся из приведенной формулы при *=0 и L11.5.4.	Изгиб кривого бруса (задача X. С. Головина)Брус имеет круговую осевую линяю радиуса г и постоянное поперечное сечение в виде узкого прямо¬ угольника. Брус изгибается в плоскости своей кривизны парами сил М, приложенными по концам. Распределение напряжений в полярных координатах дается формулами:Ш ( а?Ь* л Ь , t г , м а \Ш / агЬ2 ,	,'*=~1Г(—7Г*Т+тпТ ++«*!пу- + &* —\л - 0; N = (62 - а*)■ - 4аЧ* A J* .Здесь а, b — соатвететтегао внутренний я наружный радиусы бруса.Эти выражения являются точным решением задачи, если по торцам бруса распределение нормальных напря¬ жений следует выражению для «0.11.5.5. Клин, сжатый сосредоточенной силой1 (рис. 11.29)Радиальное иапряже-*	// j ние в полярных координа- jJq | тах вычисляется по форму- ле [1]Pcos 0r(a +-^-sin2<zjРаспределение нормаль¬ ных и касательных напря¬ жений в прямоугольных координатах дается фор¬ муламиа = аг sinM) ; ах = or cos20 j'•ху—	orsin 20 .2Щ5ГРис. 11.29Решение является точ¬ ным, если распределение нормальных и касательных напряжений по торцовому сечению следует приведен¬ ным формулам.-1	Приведенные р 1%&Л ~!Ш решения справедливы, их этовыше отмечалось, только пря определенных законах распределения нормальных и касательных напряжений по торцовым сечениям ба¬ лок. При других, статически эквивалентных, распределениях нор¬ мальных и касательных напряжений по торцовым сечениям балок §ти решения остаются достаточно точными на расстояниях от тор¬ цов, равных примерно половине высоты балки.11.5.6 Толстостенные цилиндры и сферический сосудОсесимметричная деформация толстостенного ци- цандра или диска, (рис. 11.30). Распределение напря¬ жений в полярной системе координат с началом в цент* ре дается формулами:Рай2 — Pbb2 Ь2 — а2 ра<*2 — РьЬ2 Ь* — а2(.Ра — Рь)а2Ь2 г2 (Ь2 — а2)(Ра — Рь) а2Ь2 г2 (b2 — а2)Рис. 11.30Здесь ot — «нормальное напряжение на площадке, плоскость которой проходит через ось трубы; аг—нор¬ мальное напряжение на площадке, перпендикулярной радиусу г.Полярно-симметричная деформация толстостенного сферического сосуда (рис. 11.31). Распределение напря¬ жений в сферической системе координат дается форму¬ лами [1]:с t = pa*г=Раа3 (2 г3 + Ъ3) 2r3 (6® — а3)аз (/-S — 5»)*РЪ-РьЪ3 (2г3 + 63) 2г3 (63 — а3)Ъ* (л» _ гз) у*(63—а«) *В приведенных формулах ра — внутреннее и рь — внеш¬ нее давления.
11.6. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ59511.5.7.	Упругая полуплоскость и упругое полупространство [1]Сосредоточенная сила, приложенная к точке прямо¬ линейного края полубесконечной пластинки (рис. 11.32)«Распределение напряжений в плоскости тп на расстоя¬ нии х от прямолинейного края дается формулами2	Р х3 _ 2Р_ те (х2 + у2)2	тс2	РСу =	sin2 0 cos8 0;7ZXcos3 02P_TZK2P _ТС (X2 -f- y2)2тxy — — — sin 0 cos3 *x2y(11.56)Здесь P — сосредоточенная сила. Угол©—см. рис. 11.29.Сосредоточенная сила, действующая на плоскость, ограничивающую полубесконечное тело (рис. 11.33), Распределение напряжений в цилиндрической системе координат дается формулами 	3Р__ Л Г 1—2.Ц _ ЗггП ”r = ~ 2* [Ц1+г)1 = 2^(1_2|i) \Т~ 1(1 + г) ]:3Р_2тс_/5(11.57)Здесь Р — величина сосредоточенной силы. 38*11.6.	КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ11.6.1.	Концентрация напряжений при растяженииа)	У отверстий. На рис. 11.34 даны эпюры распре¬ деления напряжений по поперечным сечениям растяну¬ той полосы, ослабленной отверстиями различной фор-Рис. 11.34мы. На рис. 11.34 видно, что при приближении к краю отверстия напряжения резко возрастают (эффект концентрации напряжений). Коэффициент концентрации напряжений^	qmaxаоN Nгде ао2 ЬЪ-так называемое номинальное напря¬ жение, отнеселное к площади брутто. Для овальных эллиптических отверстий коэффициент концентрации напряжений формулеможет быть вычислен по(11.58)где р — радиус кривизны дна отверстия; t— половина ширины отверстия.При круговом отверстии k—Ъ.б)	У выточек. На рис. 11.35 и 11.36 даны эпюры рас¬ пределения напряжений по поперечным сечениям растя¬ нутых стержней, ослабленных выточками, а на рис.
596РАЗДЕЛ 11. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ11.37 — у выкружек. Максимальное напряжение опреде¬ ляется по формулеашах “где_ _Р	°° F ~ 2аЬ 'Коэффициент концентрации напряжений k опреде¬ ляется по табл. 11.1 и 11.2.Таблица 11.1Коэффициенты концентрации напряжений у выточек4)ЯXаПоперечное сечение стержняЭоXпо рис.по рис. 11.36н Я* О Q11.35ДЛЯ atдля аа0110532,450,65104,13,31,05205,64,61.53075,61.8Жк60ЯгРис. 11.37М00			— [г (sin 0-— sin30) +/z(l — 2 cos 20)] —lxp—	*7— lr2 (sin 20 —sin 40) + rh (cos 0 — 3 cos 30) —*x—	2(c2 — Л1) sin 20].	(11.60)в)	Поперечный изгиб под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. И.39,в). Центр отверстияТаблица 11.2 Коэффициенты концентрации напряжений у выкружек (рис. 11.37)11.6.2.	Концентрация напряжений при изгибе [4]Балка с круглым отверстием(рис. 11.38)а)	Чистый изгиб (рис. 11.39, а). Для балки с круг¬ лым отверстием, центр которого расположен произволь¬ но по высоте балки, расчет ведется по формулеMr	Моэ	= — —— (sin 0 — sin 30) — — h{ 1—2 cos 20). (11.59)* *■lrЗдесь M — изгибающий момент;Ix—момент инерции сплошного сечения балки относительно нейтральной оси; г—радиус отверстия; б — полярная координата точки контура; h — расстояние от центра отверстия до ней¬ тральной оси балки; расстояние h считает¬ ся положительным, когда ось отверстия расположена в сжатой зоне,б)	Поперечный изгиб при действии сосредоточенной силы (рис. 11.39,6). Центр отверстия расположен про¬ извольно по высоте балки. Напряжения по контуру определяются по формулеS)*)>рnmTHruniiimi'ftiiiiim и— i	Рис. 11.39лежит на нейтральной оси балки. Напряжения по кон¬ туру определяются по формуле”• ” тг(_ ** + ir„sinl-6 1п2||_ 2LLs,n21_rs,n3<_йг db d5.	lr*Ь sin38 + >sin30+где b+2 — sin40 — — sin5o), (11.61) a	a*	J= л/ —V 2ll 'M — изгибающий момент в сечении по оси отвер¬ стия.При построении эпюры контурных напряжений зна¬ чения откладываются на радиусах.Эпюра, построенная по формуле (11.61), имеет вид, представленный на рис. 11.38.Балка с отверстием квадратной формы (рис. 11.40)Центр отверстия лежит на нейтральной оси балки. Решение дано для квадрата с прямолинейными сторо-
11.7. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ597нами и закругленными углами. Две стороны квадрата параллельны нейтральной оси балки.а)	Чистый изгиб (см. рис. 11.39,а). определяется по формуле		М rV 2185 (sin 0 + cos 0) +*х 2^0,9 —-—cos 40 j + (sin 30 —cos30) + - (sin50 + cos 50) j . (11.62)Здесь r=Oo~\~b0, где ао — половина стороны квадрата;bo — половина диагонали квадрата; 0—полярный угол в преобразованной области; & —полярный угол в пло¬ скости балки.Задаваясь углом 0, получаем — напряжения по площадкам, перпендикулярным контуру отверстия.Для построения эпюры контурных напряжений нужно в плоскости балки откладывать соответствующие углам0	углы Пересчет углов производится по табл. 11.3.Таблица 11.360°15°30°45°60°75°оО0090°ь0°9°40'24°10'45“65°50'80°20'83°40'90°б100°105°120°135°150°165°180°Ь96с20'99°40'114°10'135°155°50'170°20'180°б)	Поперечный изгиб под действием сосредоточенной силы (см. рис. 11.39,6). Эпюра контурных напряжений строится с помощью формулыMr V 2[1,185 (sin 0 + cos 0)-J-2/i(o,9 — cos 40)+ (sin 30 — cos 30) + — (cos 50 + sin 50)0,834 cos 20 + sin 40 +(o,9—-^-cos40j4——cos60 j—— c2cos2oj. (ll.i,63)Эпюра построенная по этим формулам, имеет вид, представленный на рис. 11.40.При построении эпюры значения откладываются по нормали к контуру. Отсчет углов $ ведется от ли¬ нии & =0, составляющей с горизонтальной осью балки угол а =45°.Формулы в 11.6.2 выведены для бесконечной полосы прямоугольного сечения, но они могут быть применены с достаточной для практических расчетов точностью для балок ограниченных размеров и любого сечения. Точность результатов зависит от величины отверстий. Формула для чистого изгиба дает хорошее совпадение с опытными данными, если наиболее близкая к краю балки точка отверстия отстоит от этого края на расстояние не меньшее наибольшего полудиаметра отверстия. В случае же изгиба сосредоточенной си¬ лой — на расстояние не меньшее 3—4 диаметров отверстия.Наличие в балке нескольких отверстий изменяет картину распределения напряжений, но для практи¬ ческих расчетов и в этом случае могут быть использо¬ ваны те же формулы при условии, что расстояние между центрами отверстий больше двух диаметров отвер¬ стий.Пластические деформации вблизи круглого отвер¬ стия см. 12.2.5.11.7.	КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯУгол закручивания <р и наибольшее касательное напряжение т в поперечном сечении закручиваемого стержня при свободном кручении вычисляются по фор* мулам (5.3,7):w'^ = = dxМкGLЖесткость GIK и крутильный момент сопротивле¬ ния Wk вычисляются по формулам (рис. 11.41)GlK = Gb*hfc WK = b*ha.Коэффициенты а и p в зависимости от отношения h/b берутся из табл. 11.4. См. также табл. 7.4.Таблица 11.4 Коэффициенты а и ^L1jV\‘ЧЦtГ75н/ь10,2080,1410,2460,2290,2820,281100,3120,312i/31/3Рис. 11.40Рис. 11.41
598РАЗДЕЛ И. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ11.8.	БАЛКИ-СТЕНКИ11.8.1.	Однопролетная балка-стенкаДля баЛки-стенки, нагруженной по схеме, показан¬ ной на рис. 11.42, эпюры напряжений °х, °у ит*у приа)Ч' к iOJ56p МW/piЩЗр($53pEiщшШ№ШУЗЬрШшШЗШШц'' ..шщИй1Р __Рис. 11.44а=Ь показаны на рис. 11.43, а, б, в. Для балки-стенки, нагруженной по схеме, по¬ казанной на рис. 11.44, эпю¬ ры напряжений ох, ау и хху при а=6 даны на рис. 11.45, а, б, в.На эпюрах даны число¬ вые коэффициенты, которые необходимо умножить на параметр нагрузки р, чтобы получить соответствующее напряжение.0,153ГГ" : /; /то. 0,36 .0.0$и—10,205 Ц01;,J0К8666)0,073ртпттп0,27р«гГШS0№3рVrt!millвh'%fО-Рис. 11.4511.8.2.	Многопролетная балка-стенкаДля балки-стенки, нагруженной по схеме, показанной на рис. 11.46, реакции колонн приняты в виде равно¬to1CO --->JГ7■’ p *><Nell1I f1lil\a	bt-Рис. 11.46мерно распределенной нагрузки на участках длиной 2с. Вводятся следующие обозначения:с Ме = —; а= — величина растягивающего усилия)..Приводимые ниже таблицы и графики относятся к любому пролету балки, за исключением крайних.Эпюры напряжений <зх для сечений в середине про¬ лета и на опоре даны на рис. 11.47 для различных высот балок. Кривые U 2, 3, 4 относятся соответственно к случаям: Ь/а= ©о; Ь/а=1; 6/а=2/3; b/a=lJ2.
11.8. БАЛКИ-СТЕНКИ599Для сравнения на этом же рисунке прямыми линиями изображены эпюры, рассчитанные обычным способом.Из эпюр видно, что при высоте балки, равной про¬ лету, напряжение а*» определенное по методам теории уп¬ ругости. в 4 раза больше напряжения, рассчитанного обычным способом; с увеличением высоты верхняя часть <>алкн-стенки все менее вовлекается в работу.Рост плеча внутренних сил при увеличении высоты стенки замедляется и имеет верхний предел. Поэтому по достижении некоторой определенной высоты стен¬ ки дальнейшее ее увеличение почти не влияет на ве¬ личину внутренних напряжений.: 1,tSd\r^!w1w*i1fid-W7l'%0,7SdLЛ j■ЯОпора'0,54i У—i7 Пролет/'0J5 0.5. 0,75 ffi 1t25b/a Рис. 11.45Для неразрезной балки-стенки предел, за которым практически прекращается увеличение плеча внутренних b	ссил, зависит от величин 	 и —,а	аНа рис. 11.48 изображены кривые роста плеча внут¬ ренних сил d сечения посередине пролета и над опорой с 1для случая —="Т7Г- По оси абсцисс отложены величины а 1иЪ*^“,а по оси ординат отложены две шкалы: одвд от Одо 1,25 — для кривой изменения плеча и другая от О до 0,5 ри — для кривой внутреннего растягивающего уси¬ лия Z. Пунктиром показаны величины плеча внутренних сил и усилия Zn при расчете обычным методом.Так как плечо внутренних сил имеет свой верхний предел, то напряжения аХу уменьшаясь при увеличении высоты стенки, имеют свой нижний предел.Для практических расчетов приводятся табл, 11.5— 11.10.Табл. 11.5 составлена для случая неразрезной балки- стенки бесконечной высоты (полуплоскости) при различ¬ ных значениях е . В таблице даны значения <зх для се¬ чений посередине пролета и над опорой.Табл^ 11.6 составлена для неразрезной балки-стенки конечной высоты при различных отношениях высоты кспролету и при различных значениях е = —.В этой таб-алице также даны значения выражений для сечений посередине пролета и над опорой.В табл. 11.7 даны значе-	урния изгибающего момента, плеча внутренней пары, рас- Ъ тягивающего усилия Z и ве¬ личин d0 и Zn для сечений посередине пролета и над опорой при различных зна¬ чениях е; Zn — растягиваю¬ щая сила, полученная в предположении справедли-	рИСв ц 51вости линейного закона Dac- пределения напряжений з*(см. также рис. 11.49).Нормальные яапрйженийЯ Л ш л яЩШр *0Jt5p tP,87QpIоI^ j-r-l -—гвувр+0,*35р *0t37fp*0tHQp '0,28fp %Мр CiO' te&lo tzOJO c-O/SНормаль нь^на пряж ения, 6# (Г fiКасательные напряжениям^ 1 g М Ц< &Рис. 11.52Для расчета балки-стенки, нагруженной по схеме рис. 11.50, можно пользоваться табл. 11.8 и 11.9. В этих таблицах даны значения напряжений а также величин ны М, Zn% Z, dt dn и do*
РАЗДЕЛ И. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИТаблица 11.5Значения ах для балки-стенки бесконечной высоты (полуплоскости)Сечение в середине пролетаСечение над опоройЛу/а■-1/,%1/мV»6=^% |lUoч*>‘/оо+0,00+ 1,000+ 1,000+ 1,000+ 1,000+ 1,000—1,000—4,000—9.G00-19.000— оо+0,25+0,167+0,270+0,284+0,286+0,290—0,167+0,147+0,516+0,679+0,735+0,50-0,137-0.112—0.107—0,107-0,104+0.137+0.400+0.483+0,507+0,514+0,75'—0,161—0,195—0,1983—0.199—0.199+0,161+0.2J7+0,325+0,333+0,336+ 1.00-0,118—0.158—0.164—0,166—0.166+ 0.118+0.187+0,200+ 0,203+0,204+ 1.25—0,073—0,104—0,1085—0,109—0,110+0.073+0.1125+0,1185+0,1195+0,1195+ 1,50—0,0424-0,0614—0.0643—0.0651—0,0651+ 0,0424+0,0о36+0,0, >70+0,0(77+ 0,0677+ 1,75—0,0235—0,0343—0,0360—0,0364-0,0364+ 0,0235+ 0,0347+0,0366+0,0371+ 0,0371+ 2,00—0,0126-0.0185-0,0194—0,0196-0,0196+ 0,0126+0.0185+ 0,0194+ 0.0196+0,0196Примечание. Все числа умножаются на параметр нагрузки р.Таблица 11.6Значения для балки-стенки конечной высотыа) В пролетеаLLLb ——Ь = л/* а= —b — а -		у/ь2462е = V2VsV,n. = v*•/., 1VmV*.£ = V2Чь"/l«V20+ 1,00—0,746—1,032—1,065-1,070—0,330—0,470-0,495—0,502—0,060—0,038—0.092—0,093+0,75—0,458—0,636—0,658-0,665—0,185-0.269—0,286-0,286—0,031—0,045—0.047—0.049+0,50—0,304-0,403-0,417—0,448—0,144—0,196—0,204—0,206—0,042—0.062—0,064-0,065+ 0,25—0,210—0,245—0,249—0,250-0,147—0,185—0.188—0,ISO—0,070• —0.098—0,103-0,104+0,00—0,129-0,103-0,095-0,081—0,154—0.169—0,168—0,163—0,115—0,56—0,162-0,163—0,25—0,001+0,091+ 0,105+ 0,107-0,122—0,089—0,033-0,081—0,162—0,Ь4—0,192-0,199—0,50+ 0,240+0,374+0,38+ 0,377+0,1Л)+0,127+0,139+ 0,140—0,135—0,110—0,106—0,104—0,75+ 0,647+ 0,735+0,783+ 0,785+0,407+0,512+0,553+ 0,531—0,178+0,277+ 0,2/2+ 0,292—1,00+ 1,204+ 1,289+ 1,303+ 1.317+ 1,042+ 1,062+ 1,065+ 1,066+ 1,001+ 1,002+ 1,002+ 1.0С2По Навье±0,750±0.960± 0.9Э0±1,000±0,422±0,540±0,556±0,563±0,187±0,240±0,2475±0,250б)	Над осью опорыаLLLy!b* = —= 4Ъ = 2/3 а= 3вII•о“ 2.= V*1 •/.VioV 20в =V2V5 |v10 |V»• =1/*V, | ч юV»+1.00+ 0,746+ 0,175+ 1,250+1,2£0+0.330+ 0,496+0,525+ 0,533+0,060+0,088+ 0,092+ 0,094+0,75+0,458+ 0,717+0,760+ 0.'60+0,185-f 0,274+ 0,287+ 0,292+ 0,0'>1+ 0,045+ 0.047+ 0.04J+ 0,50+ 0,304+ 0,504+0,542+ 0,570+ 0,144+ 0,208+ 0,244+ 0,247+ 0,042+ 0,062+0,064+0,067+0,25+ 0,210+ 0.4144 0,463+0,478+ 0.147+0,250+ 0,271+ 0,276+ 0,070+0,108+ 0.113+ 0.115+0,00+0,109+ 0,385+ 0,464+0,488+0,154+ 0,315+0,354+ 0,363+ 0,115+ 0,186+ 0,099+ 0,202-0,25+ 0,001+ 0,330+ 0,486+ 0,540+0,122+0,374+0,456+0,480+0,162+ 0,295+ 0,317+ 0,332—0,50-0,240+ 0,124+ 0,394+ 0,568—0,030+0,385+ 0,533+0,607+ 0,136+ 0,3)6+ 0,476+ 0,500—0,75—0,647—0,750—0,445+ 0,185—0,407—0,083+ 0,156+ 0,440+ 0,178+ 0,169+ 0,483+ 0,620—1,00—1,204—4,302—9,317-1,932—1,042—4,062—а,065-19,066—1,001-4,002—9,002—19,002По Навье±0,750I ±1,440 |±1.71 .±1,85| ±0,422±0,810±0,962I ±1,0411 ±0,1871 ±0,360±0,'!275I ±0,4625Примечание. Все числа умножаются на р.Таблица 11.7Значения M, Zn, Z, dn, d, d0а)	В пролетеb = V2 a =V4 Lb = 2/з я= */з L1lIIЬ — ООМножителье =V,Чь*/,, | V*.ч2V.S| »/*V*V*Vi1 / 2Г‘Чг | •/,„V20it и н и и иas n=n0,1250,1880,1860,6740,6740.1140,1600,2400,2350.6820,6800,1270,16450,2470,2390,6900,6900,1280,1660,2490,2400,6920,6920,1290,1250,1410,1510.8280,6200,1110,1600,1800,1820,8800,6600,1220.1645 0.185 0,186 0,о88 0,666 0,1240.1660,1870,1870,8900,6670,1250,1250,0940,1440,8700,4350,1690.1600,1200,1720,9240,4620,1210,16450,12350,1770,932'0,4660,1230.1660,12450,1780,9340,4670,1240.125 0,000 0,1434 0,874 0.000 0.1080,1600,0000,1710,9300,0000,1210,16450,0000,1760.9360,0000,1220.1660.0000,1770,9380.0000,122/7аа=0,25 ри ра =0,50 pL ра =0,50 pL а=0,5 L В=2Ь а=0,5 L ,
11.8. БАЛКИ-СТЕНКИ601Продолжение табл. 11.7б)	Над осью опорыb =/, a = 4aLb = 2/3 a= Чя Lb = a= V, Lb =00Множитель6 =V*V,lt VJV20v,lkVlOv2\/2ЧьViol/204ilkV,0V»м=0,1250,2400,2850,3090,1250,2400,2850,3090,1250,2400,2850,3090,1250,2400,2850,309pa2=0,25 pL*Zn~0.1880,3600,4280,4640,1410,2700,3210,3480,0940.1800,2140.2320,0000,0000,0000,000pa =0.50 pLZ =0,1860,3750,4580,5150,1510,3510,4280,4980,1440,3240,4240,4970,14340,3220,4220,495pa =0,50 pLdn =0,6740,6400,6220,6000,3230,6860,6530,6200,8700,7400,6820,6120.8740,7460.6740,612a = 0.50 Ld-0,6740,6400,6220,6000,6230,5150,4у20,4650,4350,3700,3410,3120,0000,0000,0000,000II0Qdo=0,1140,0620,0390,0220,1110,0590,0360.0210,1090,0590,0360,0210.1080,0590,0380,024a = 0,5 LТаблица 11.8Значения ох для балки-стенки бесконечной высоты (полуплоскости). Сечение над осью опорыylae=1/2v*VioV20l/oo0,00+ 1,000+ 2,500+5,000+ 10,000+ «>0,25+ 0,157+0,062—0,115—0,197—0,2230,50—0,137—0,255—0.296—0,306—0,3090,75—0,161—0,245—0,262—0.266—0,2671,00—0,113—0,173—0,182—0,18o—0,1851,26—0,073—0,103—0,114—0,114—0,1151.50—0,0 424—0,0o3—0,066—0,037—0,0681,75—0,0235—0,034—0,036—0,037—0,0372,00—0,0125—0,019-0,019—0,020—0,020Продолжение табл. 11.8То же, для балки высотой 2 bylba Lft=7" = T2 ' Lb = ~7a'=~Lb = a = —.=‘/2Vr>г/ю | V20. = V2 | V,Viol/2ol/., | 7„, | V».+1,00+0,75+0,50+0,25±0,00—0,25 —0,80 -0,75 -1,00—0,746—0,453—0,304—0,210—0,129-0,001 +0,240 +0,647 + 1,204—1,100 -0.680 -0,454 —0,330 —0,244-0,116-0,168—0,990+2,800—1,104-0,704-0,480-0.356—0,280-0,190 + 0.005 +0,710 +5,320-1,180 -0,712 -0,484 -0,364 —$,292-0,214 —0,056 +0,403 + 10,320—0,330 —0,185 —0,144 —0,147 —0,154—0,122 +0,0 JO +0,407 + 1,042—0,483-0,272-0,213-0,213—0,243—0,233 —0,093 +0,440 + 2,570-0,510 —0,235 —0.223 —0,229 —0,243-0,267 —0,193 + 0,302 +5,050—0,517 —0,294 -0,230 —0.2)3 —0,2o7—0,282 —0,233 +0,143 + 10,01—0,0o0-0,031—0,012—0,070—0,115-0,162 —0,136 —0,178 + 1,001—0,088 -0,045 —0,0o2 —0,103 —0,171—0,245 -0.2Л —0,Uo4 +2 ,o00—0,092 —0,047 -0,055 -0,10S —0,193—0,260 - 0,292 -0,105 +5.002—0,094 —0,048 —0,056 —0,110 —0,196—0,266 —0,303 —0,190 + 10.002Навье±0,750±1,200±1,350±1,424±0,422±0,675±0,760±0,802±0,875±0,300±0,338±0,356Примечание. Все числа умножаются на P/а. Значения в в пролете равны отрицательным значениям а по оси опоры.Таблица 11.9Значения М, Zn, Z, dn, d, d0. Сечение над осью опорыb = 4, a = '/« Lb = 2/3 a — 1 /д Lb =a = »/, ib — соМножительe —V*Va1/10V2042Чь■/* | */»“/,»l/2„ЧьV,Ч2к и и 11 1 и0,125 0,188 0,186 ; 0,674 0,674 0,1110,2000,3000,2890,b920,6920,0770,2250,3380,3200,7040,7040,0480,2330,3570,3330,7160,71'S0,0280,1250,1410,1510,8280,6200.1110,2000,2250,2440,8200,6150,0720,2250,2530,2780,8030,6060,0440,2380,2680,3030,7880,5910,02>.0,125 0,094 0,144 0,870 0,4350.1000,2000,150•0,2410,8300,4150,0680,2250,1690,2700,8b0,4080,0430,2330,1780,2)30,7900,3950.0250,125 0,000 0-, 134 0,874 0,000 0,1030,2000,0000,2330.8400,0000,0720,2250,0000,2730.8240,0000.0450,2330,0000,2950,8100.0000.02uPa=0,5PLPPa=0,5LB--2ba=0,5LПримечание. Моменты и силы Z в пролете равны отрицательным М и Z по оси опоры.
602РАЗДЕЛ II. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИНомера точек1101928372И202933312213039413223140514233241615243342716253443817263544918273645I11111IVVТаблица 11.10Значения ах,ау ит^ для балки-стенки с защемленными концевыми сечениямис = — =0,5; р = 1; и- = —с	6Сечение IXСечениеliСечение ШСечение IVСечение VвЕРгоаVсноаt _отоаагXонаота>оаа2XVиXVху%XУху1%XУхуXУху1-0,306—1010—и, 2%—1019—0,216—1028—0,046—1037+0,104—102-0,188—0,928011—0,182—0,930—0,05620-0,167-0,935-0,10729—0,142—0,971—0,14138-0,092-1,091-0,1643-0.158-0,801012—0,157-0,807-0,06821—0,148-0,827-0,13530-0,129-0,872-0,20339—0,092—0,944-0,2814-0,125-0,656013—0,123-0,661-0,07622-0,117-0,675-0,15731—0,106-0,702—0,24740-0,087—0,7оЬ-0,3515-0,083-0,500014-0,083-0,500-0,08023-0,083-0,500-0,16532—0,083-0,500-0,26041-0.083—0,500-0,3756-0,041—0,343015-0,043-0,339-0,07624-0,049—0,325-0,15733—0,060—0,298—0,24/42—0,079-0,241-0,351/—0,008-0,199016-0,010-0,193—0,06825-0,018-0,173-0.13534—0,037—0,128-0,20343-0,074—0,056-0,2818+0,021-0,072017+0,016—1.070-4),05626-0,001-0,061-0,10735—0,025-0,028-0,14144-0,074+0,091-0,1649+0.140-0018+0,129—0027+0,0500036—0,1220045-0,027100I	J__«= — =!; р = 1; (-•= ьК® точек по схеме табл. 11. 10Сечение I*а»тон%Сечение 111№ точекСечение 111ьеоS'он2Сечение IV№ точекСечение Vау>I-аут*уа*оУХху°УХху°У'ху1—0,602—1010—0,537-1019-0,315—1028+0,115—1037+0,878—102—0.323—0,943011—0,289—0,939-0,10520—0,187—0,928-0,2162у—0,047—0,937-0,31838+0,132—1,213—0,3283-0,197-0,813012—0,187-0,802-0,14721-0,158-0,801-0,29030—0,111—0,846-0,41839-0,013-1,093-0,5624-0,132-0,659013-0,131-0,656—0,15722—0,125-0,656-0,31031-0,105-0,694-0,47140-0,023-0.829—0,7035-0 083-0,500014—0,083-0,500-0,15823—0,083-0,500-0,31532—0,083—0,500-0,48941-0,083—0,500-0,7506-0,034-0,341015-0,036-0,343-0,15724—0,041-0,343-0,31033—0,061-0,305-0,47142—0,144—0,170—0,7037+0,031-0,186016+0,020-0,192-0,14725-0,008-0,199-0,29034—0,05Г-0,153-0,41843—0,180—0,093—0,5628+0,157-0,057017+0,122—0,061-0,10526+0,020—0,072-0,21635—0,120-0,062-0,31844—0,298+0,213—0,3289+0.4360018+0.3710027+0,148101.036—0,2810045—1,04500i 1 «= — = 2; р = 1; р. = #Х° точек по схеме табл. 11.10Сечение 1аои£Сечениеit№ точекСечение 111№ точекСечение IV<и5*ОнСечение Vаун°х"ухху°х°УтхуауZxyа*аухху1-1.376-1010-1,201-1019—0,598-1028+0,557—1037+3,051-102—0,885-0,963011-0,733-0,967—0,15320-0,259-0,976—0,30429+0,596-0,957-0,48838+6,665-0,960-0,6563-0,532-0,952012-0,427-0.856-0,28621—0,109—0,860—0,57830+0,398-0,821—0,88239+ 1,012-0,904—1.1254-0,282—0,69oi013—0,229-0,694-0,36322-0,071-0,690—0,73031+0,158—0,663-1,08140+0,476—0,704—1,4065-0 083-0,500014-0,083-0,500-0,38923-0.083-0,500-0,78132—0,083—0,509-1,14641—0.083-0,500—1,5006+0.115-0.307,015+0,062-0,30о-0,36324—0,095—0,309-0,73033—0,325-0.337-1,08142—0,644-0,296—1,4067+0,36С-0,14»016+0,261*-0,144-0,28625-0,058—0,140-0,57834—0,56«'-0,179-0,88243—1,17?—0,096-1,1258+0.718-0,03711 017+0,566-0,033-0,15326+0,092—0,023-0,30435—0,763-0,043-0,48844—1,832-0,037-0,6569+ 1.2100 1018+ 1,0340027+ 0,4310036—0.7230045—3,21800
11.9. ПАНЕЛИ КРУПНОПАНЕЛЬНЫХ И КАРКАСНО-ПАНЕЛЬНЫХ ЗДАНИИ603Для расчета балки-стенки, концы которой закреплены так, что перемещения точек концевых сечений вдоль оси балки равны нулю (случай полного защемления), можно пользоваться табл. 11.10, в которой даны значения нормальных и касательных напряжений прир=1 для значений а = —=0,5; 1 и 2 (рис. 11.51). Длявычисления напряжений нужно действительные значе¬ ния р умножить на табличные данные,На рис- 11.52 представлены эпюры напряжений при«= —= 1; р=\.С11.9.	ПАНЕЛИ КРУПНОПАНЕЛЬНЫХ И КАРКАСНО-ПАНЕЛЬНЫХ ЗДАНИЙПанели крупнопанельных и каркасно-панельных зда¬ ний работают в своей плоскости как балки-стенки. Для расчета этих панелей могут быть использованы приемы и данные, приведенные в 11.8,ЛИТЕРАТУРАI.	Безухов Н. И., Теория упругости и пластичности, ГТТИ, 1953.2	Гольденблат И. И., Расчет и конструирование же¬ лезобетонных балок-стенок, ГосстроЙиздат, 1940.3.	М у с х е л и ш в и л и Н. И., Некоторые задачи теории упругости, изд. АН СССР, 1956.4.	Нейман М. И., Напряжения в балке с криволинейным отверстием, Труды ЦАГИ, 1937.5.	Савин Г. Н, Концентрация напряжений около отвер¬ стий, Гостехиздат, 1951.6.	Филоненк о-Б о р о д и ч М. М., Основы теории упру¬ гости, Гостехиздат, 1950.
РАЗДЕЛ 12ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ12.1.	ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ МАЛЫХ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИИ12.1.1.	Основные предпосылкиПод действием нагрузки в теле возникают деформа¬ ции двух родов: обратимые — упругие и необратимые — пластические (остаточные).Теория деформаций упруго-пластического тела осно¬ вывается на следующих предпосылках.1.	Процесс нагружения рассматривается как равно¬ весный, т. е. в каждый момент времени соблюдаются условия равновесия, что позволяет распространить на него статические методы механики деформируемого тела.2.	Процесс разгрузки следует закону упругих дефор¬ маций.3.	Деформации тела предполагаются весьма малыми*4.	Изотропность тела считается неизменной в про¬ цессе деформирования.5.	Деформация тела происходит по закону простого нагружения, при котором в течение всего загружения в каждой точке тела монотонно возрастают все компо¬ ненты напряжения (<?*, оу, az, тХу, xXZt xyz) пропорцио¬ нально одному и тому же параметру. Следствием этого положения является неизменность ориентации и сов¬ падение между собой главных осей напряжений и де¬ формаций, а также неизменность отношения главных касательные напряжений к соответствующим главным сдвигам в течение всего процесса загружения. Из него же вытекает существование определенной функциональ¬ ной зависимости между интенсивностью напряженийи деформаций ч (см. 3.1.6 и 3.2.3):°/=Ф.(е/).	(12.1)Простое нагружение тела осуществляется, в част¬ ности, при пропорциональном с первого момента возра¬ стании всех действующих на него нагрузок в слу¬ чае однородного напряженного состояния тела (при этом постоянное по всей поверхности тела внешнее дав¬ ление может изменяться независимо). В случае неодно¬ родного напряженного состояния простое нагружение имеет место, если зависимость (12.1) интенсивности де¬ формаций от интенсивности напряжений выражается степенной функцией.Теория малых упруго-пластических деформаций прак¬ тически применима также и в отдельных случаях слож¬ ного нагружения, например, если главные оси тензора напряжений не изменяют своего положения.6.	Деформации изменения объема упруго-пластиче¬ ского тела следуют закону упоугости при любых напря¬ жениях, а деформации изменения формы являются в той или иной мере пластическими.Связь между интенсивностью сдвига (октаэдриче¬ ским сдвигом) и интенсивностью касательных напряже¬ний (октаэдрическим касательным напряжением) харак* теризуется кривой, ординаты которой пропорциональны ординатам кривой зависимости (12.1).В ряде случаев изменениями объема пренебрегают, учитывая их малость по сравнению с пластическими деформациями-12.1.2.	Соотношения между напряжениями и деформациями в изотропном упруго-пластическом телеЭти соотношения определяются тремя основными за¬ висимостями (законами).Первый закон характеризует связь средней деформа¬ ции е (пропорциональной изменению объема) с средним напряжением согласно формуле (3.37) (см. 3.3.1).Второй закон устанавливает зависимость между ком¬ понентами деформации изменения формы и соответст¬ вующими компонентами напряжения согласно системе уравнений (3.55) (см. 3.4.2).Третий закон выражается формулой (12.1); он уста¬ навливается непосредственно по экспериментальным данным для каждого материала (см. 3.4.5). В частности, он четко выявляется для алюминиевых сплавов и с не¬ которыми ограничениями — для бетона.Соотношения между деформациями и напряжениями представляют еще в форме, аналогичной закону Гука (в форме Л яме).Компоненты полной деформации:3 Ч /Зе; _1\*у_2оЛ “U, 3КГЗе;		3lxy=— w* Ъг- д{ ХХ2,3JLТуг — VЕ	1Здесь К =* 3 ^	2^)» 0 = —(<ЬгИу+аг);ч—см. 3.2.3,
606РАЗДЕЛ 12. ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИформула (3.27), <*/ — см. 3.1.6, формула (3.21). Компоненты упругой деформации: 1е*п)=Т (оз'+вг)1; С - 7F ***^П) = [о,—(»*+«*)]; 7^П) = ***: 4уп) = [°г—н- (°у+°дг)]; 7угП) = V •(12.3)Здесь Е и Н- — соответственно модуль упругости и коэф¬ фициент Пуассона начальной упругой стадии материала. Компоненты пластической деформации:с(пл).£(пл) — У*(ПЛ) .3 Gу Ы 3 Gу К) 3 G^(пл) . lxy(°у+°г) j *»[ь ~ + °г>];|®г—-у?(в/)\ДГ)Мт(пл)__У(°г).т •хг ~~ п х? (<*/)G3G&i—<3i(12.4)■у(ПЛ) __\уг ~Iгде функция (рд ='В этих формулах имеется в виду, что а/ выражено через е/ .При разгрузке соблюдается следующая связь:| g)(0-9') + 2G (z--Jx): -(к—о)(а-ео + 2G	); °2 ~Ч = (^ - У G) (0-6')+2G («z—«'); ^ 02.5) хху хху = ^ ( Т*у ^xy )» ,я-‘‘я=в0(тя-1»);V“V = G( т„—v)-Здесь 6 =3е — деформация объема.Напряжения и деформации при разгрузке, отмечены штрихом, напряжения и деформации, не отмеченные штрихом, соответствуют максимальной нагрузке при на¬ гружении тела.Все приведенные выше закономерности характери¬ зуют тела, обладающие упрочнением.12.1.3. Идеальное упруго-пластическое телоРяд тел (например, малоуглеродистые и низколеги¬ рованные строительные стали) по своим механическим свойствам может быть достаточно точно охарактеризо¬ ван упругим характером деформаций на начальной ста¬дии нагружения, т. е. до некоторой границы, определяе¬ мой условием пластичности, и безграничным возраста¬ нием деформаций изменения формы после перехода через эту границу. Инварианты девиатора деформаций (см. 3.2.1) могут в процессе роста деформаций на этой второй стадии принимать любые значения. Инварианты девиатора напряжений (см. 3.1.5), наоборот, сохраняют постоянные значения, соответствующие упомянутой гра¬ нице и являющиеся» таким образом, их предельными значениями.Соотношения компонентов девиатора деформаций сох¬ раняются неизменными. Изменением же объема тела по сравнению с пластическими деформациями пренебре¬ гают.Такого рода тело, упругость и пластичность которого проявляются на различных стадиях нагружения, называ¬ ют идеальным упруго-пластическим телом. На первой стадии нагружения деформации и напряжения подчи¬ няются закону Гука, а на второй — уравнениям (12.4) (в которых <р (а/) приобретает постоянное значение) и условию пластичности.Условие пластичности, согласно Губеру—Генки—Ми- зесу рем. 3.4.1, формула (3.54)], выражает достижение интенсивностью напряжений а/ предельного значения, со¬ ответствующего пределу текучести при простом растя¬ жении-сжатии. Это условие истолковывается так же, как достижение потенциальной энергией изменения фор¬ мы некоторого предельного значения. Оно равнозначно также достижению откаэдрическим напряжением1/2(см. 3.1.4) предельного значения —“—ат.Согласно Сен-Венану [см. 3.4.1, формула (3.53)], ус¬ ловие пластичности определяется достижением наиболь¬ шим касательным напряжением некоторого предельного отзначения %iax= —.Результаты расчетов по обоим условиям пластичности мало отличаются друг от друга. Поэтому в отдельных случаях лучше пользоваться тем условием, которое -дает более простое решение. Для строительной стали ближе к данным опытов подходит условие Сен-Венана.12.2.	ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ12.2.1.	Общие уравненияПри плоском напряженном состоянии имеют место следующие соотношения:1	о;ar= ev *10 — g К+а>); гг— гх еу> в;=Ф(£/).(12.6)(12.7)Интенсивность напряжений= V ах—°хау+а1 +Зт*г(12.8)
12.2, ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ607■ктгасигаость деформаций2«/ =/YY у Е*+v* + Ey + T7*y (12-9)Условие пластичности Губера—Генки—Мизеса:- “ж + °У +3х*У=°£	<12' 10>или (в главных напряжениях)"l-0! ®2+ 4=4- t (12.11)В случае чистого сдвига (<*i= — а2=х, с3 =0) условие пластичностиgT ='~ут _Хт*Максимальное главное напряжение2°i = 2о2 = , ат = 1,155 ат.ГГУсловие пластичности Сен-Венана:(-°у)2 + 4xZy	('х'у < £)ИДИа1 — <*2 = ах (а1^2 < 0),(12.10а)(12.11а)если главные напряжения имеют разные знаки. Если они имеют одинаковые знаки, то( °т - °у) ( °т - °х) = х1у (ахву> Zxy) (12 • 10б>°1 = ат (°а < «ь °г °i > 0).(12.116)При плоской деформации °з =н-(з1+а,) условие пла¬ стичности Губера—Генки—Мизеса в случае ц =4(°У—Зу)2+ Ь?ху= ~	( *т 1,0 Сен-Венану) (12.12)или (в главных напряжениях)2(ai—аг)= ± 	стт= ± 2тт (от по Сен-Венану) (12.13)УзСвязь между напряжениями и деформациями в пла¬ стической стадии:2ат3 е/2атЗе/3	ег1Vе “5“(алгН“ау)-(12.14)12.2.2.	Плоская деформация и метод характеристикНапряженное состояние идеального упруго-пластиче¬ ского тела в пластической стадии при плоской деформа¬ ции и при заданных напряжениях на границе тела пол¬ ностью определяется двумя дифференциальными урав¬ нениями равновесия:v« л dTvv—	А	— = 0: —^ ч	^ = 0д* ду	дх дуи соответствующим условием пластичности (12.12) или(12.13).Подстановка в эти уравнения выражений сх = с + тт sin 2<р;Су = о — Xj in 2<р;^y = — tTcos2?приводит к системе-^ + 2т, (cos 2? + sin 2? |^) = 0; g- + 2xT(sin2?-g— coS2?-g-)=0,(12.15)(12.16)выполнение условия - угол наклонаобеспечивающей тождественное пластичности.Здесь о — среднее напряжение; <р - площадки хтах к оси х.Характеристические линии (характеристики) этой си¬ стемы совпадают с линиями скольжения, т. е. с линиями, которые в каждой своей точке касаются площадок мак¬ симальных касательных напряжений.Линии скольжения образуют два ортогональных се¬ мейства кривых а и р. В локальной системе координат, образованной касательными к линиям скольжения в не¬ которой точке пластического тела, вместо (12.16) по¬ лучается система-gj- (<т+2тт <р) = 0;	(о—2тт <р)=0, (12.17)—	производные вдоль линий скольжениядгде^ ос и р.Эти дифференциальные уравнения выражают равно¬ весие бесконечно малого элемента скольжения пласти¬ ческой среды, образованного сеткой линий скольжения. Вдоль семейств линий скольжения аирdy—2т,+ f = const = 5;*—c,sr''■(12.18)(12.19)Здесь 6 и if) — параметры, меняющиеся при переходе от одной линии семейств-а к другой того же семейства (а или р ).Если известно поле линий скольжения и их параметры6	и if], то из (12.18) и (12.19) находят ® (*, у) и <р (*, у) и далее с помощью формул (12.15) компоненты напря¬ жения ах(х, у)у оу(х, у) и т*у (х, у).Случай c = const=*50. *1 = const= характеризует равномерное напряженное состояние, при котором = —const и <p=const. Уравнения линий скольжения в дан¬ ном случаеу—х ctg tpo+Ci и У=—Х ctg <Р,+С2;им соответствуют два ортогональных семейства прямых (рис. 12.1).
608РАЗДЕЛ 12. ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИСлучай у = const=iqb характеризует простое напря¬ женное состояние, при котором <p=const и одно семей¬ ство линий скольжения определяется уравнениему—х tg cp0=const=C,т. е. является пучком прямых, зависящих от двух па¬ раметров <р0 и С. Вдоль каждой прямой этого семей¬ ства среднее напряжение о=» =2тт(г10—<р0) сохраняет свое постоянное значение.Второе семейство линий скольжения представляет се¬ мейство кривых, ортогональ¬ ных прямым первого семей¬ ства (рис. 12.2).Граничные условия, опре¬ деляемые нормальной и ка¬ сательной составляющими напряжения ал (s) и тл (s), заданными на контуре, огра¬ ничивающем пластическую среду, учитываются с по¬ мощью формулРис. 12.3с„ (S) = о + *Т sin 2 (?•zn (s)=—тх cos 2 (ср>(<р—а); |—а). J(12.20)Здесь а — угол между нормалью к элементу контура А (рис. 12.3) и осью абсцисс.Располагая уравнениями кривой контура x=x(s) и y=y(s)f а также заданными на контуре напряжениями Gn(s) и Ms), находят из (12.20) а= a(s) и <p = <p(s):1	Tn(s)<р(s) = a(s) ± — arccos	+ яии;2	Tjс (s) = ап (s) =F тт sin 2 (<р—а),(12.21)где m — произвольное целое число, а под арккосинусом подразумевается его главное значение. Знак выбирается исходя из конкретных механических условий задачи.В частном случае, когда на контуре А касательные напряжения ъп= 0, вместо (12.21) служат формулы(s) = a (s) ± — + тк\ o(s) = о„ (s) т тх; о, (s) = ап (s) =F 2тх.(12.22)Для свободной прямолинейной границы (*=0) имеем «=0 и Ms) = Ms)=0, следовательно:71?(S) = ± — + тп, с (s) = т тх,Од- = 0, Gy = Qf = 2тх.По полученным величинам граничных значений <p(s) и a(s) переходят к параметрам £(s) и ^ (s) с помощью вторых равенств (12.18) и (12.19).Параметры £ и tj, сохраняющие постоянное значение вдоль линий скольжения, вообще говоря, изменяются вдоль граничного контура.12.2.3.	Напряжения под жестким штампом [48]Под штампом (рис. 12.4) и вблизи его предполагается наличие пластической зоны. Симметричная относительно оси х и неизменная вследствие жесткости штампа линия контакта характеризуется уравнениямих = х(а) — х0 и у = у(а).	(12.23)В точке пересечения с осью х кривая контакта может иметь перелом. Свободная граница пластической среды представляет горизонтальную прямую (а =0). Пластя-Рис. 12.4ческие смещения предполагаются малыми. Трение меж¬ ду штампом и средой отсутствует ъп (s) = 0.На свободном участке границы о«($)= ^(s)=0; с учетом (12.22)?(s)=±~ + mrc; ff(s)=Ttx. (12.24)Поскольку на протяжении контакта *n{s)= 0, а °/i(s) неизвестно, то вдоль линии контакта *<р (s) = a (s) ± + тщ о (s) = ап (s) Т тт. (12.25) Таким образом, линии скольжения примыкают к гра-7Uничной линии под углом как на свободной частиграницы, так и по линии контакта.Предполагая, что вблизи свободной границы среднее давление имеет отрицательные значения, принимают для этой части границы<Р (s) = — ; °(s) = — тх (т = 0). (12.26)Вдоль участков BE и AG, согласно вторым равенст¬ вам (12.16') и (12.19):5<s)~—y + T = 5o;	(12-27)т. е. в областях AGD и BEF напряженное состояние — равномерное.В областях ADH и BFJ, в которых £=const=£0, воз¬ никает центрированное поле, характеризуемое наличием пучков прямых, сходящихся в точках А и В.Вдоль прямых AD и BF £=£0 и т]=т]о, а вдоль пря¬ мых АН и BJ £=£<), но ^=^i.В областях АСН и BCJ также £ = £0 и имеются се¬ мейства прямолинейных характеристик, а также семей¬ ства характеристик, являющиеся продолжением характе¬ ристик соседних областей. При подходе к линии контакта3кривые этих семейств образуют с осью х угол <х+—тс* Поэтому для линии контакта<p(s) = “(S) + -7-*; o(s)=a„(s) + TT (m = l); (12.28)
12.2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ= 609?(s) = i7^- + 4' + a(s) +~Тп- (12'29>2ах 2	4Вместе с тем везде в областях АСН и BCJ £ = £0 =1	7ЕЕ——+ — [см. формулу (12.27)].Из сопоставления формул (12.27) и (12.29) следует: Qn (s) = — тх (2 + те + 2а).	(12.30)Равнодействующая давлений под штампом“кР = 2 J cn(s) R (s) cos arfa,	(12.31)где R — радиус кривизны профиля штампа; а0 и ак — начальное и конечное значения а на концах профиля штампа.В случае плоского штампа «=0. Нормальное давле¬ ние на поверхности штампа составляет (решение Прандтля)ал = -тх(2 + те).	(12.32)Поле линий скольжения под плоским штампом пока¬ зано на рис. 12.5.Рис. 12.512.2.4.	Плоское напряженное состояниеНапряженное состояние идеального упруго-пяасти- ческого тела в пластической стадии при плоском напря¬ женном состоянии определяется двумя дифференциаль¬ ными уравнениями равновесия, как и при плоской де¬ формации, и соответствующим условием пластичности(12.10)	или (12.11).Последнее выполняется, если положитьсх = 2тх cos ^со— , о2=2тт cos ^<о+ — j, (12.где о>(х, у) —неизвестная функция (0<«>< 2я).При этом33)3	cos со + sin со cos 2в) ;о ,-ч(УТ COS О) — sin со cos 20) ;ixy = тх sin со sin 20.(12.34)Здесь 0 — угол между первой главной осью и осьюабсцисс.39 Зак. 2098Компоненты напряжения ограничены пределами:\<*х\ ^ |<3у| < 2хт,	■< тх.Дифференциальные уравнения равновесия, выражен¬ ные через введенные функции со и 0 :(]/ 3 sin со cos 20— cos w) +дхдсо	д0+ у 3 sin со sin 20 ———2 sin со	= 0;ду	ду1	~	дшУ 3 sin со sin 20— — дх(12.35)—	(V 3 sin со cos 20 Ч-cos со) +дУ-f- 2 sin со ”— = 0. дхЭта система — гиперболическая, если 3—4 cos2 <0 > ^ л	5те	7тс	11те>0, т.е. при — < со < — или — < со < —.о	6	6	6с	. * 5 7 ИБели to равна одному из значений —, —я,	к96	6 6 6то она параболическая. При 3—4 cos2 со <0 она относится к эллиптическому типу.В случае гиперболичности системы (12.35) уравнения семейств характеристик аир принимают соответственно видdy—	= tg (6—ф), Q (со) — 0 = const = 6;dy—	= tg (O-f-ф), Q (со) + 0 == const = t).1	Г 2 ИЗдесь Q (со) = — I	do)\2	J sin со ic/6(12.36)S(co) = l/'3—4cos2co; 2ф = те—arccos -C ^ ** .V	3Линии характеристик пересекаются под углом 2ф и образуют неортогональную сетку кривых, не совпадаю¬ щих с линиями скольжения.При па/раболичности системы (12.35) 1(о>)=0 и Q(co)=0. Вдоль каждой характеристики угол 0 постоя¬ нен.Уравнение одного из семейств характеристик записы¬ вается в видеу = ^(0 — ф) + Ф(0),(12.37)где Ф(0) — произвольная функция, определяемая из гра¬ ничных условий:. л 5 11 ф = 0 при со = — те и —- те;6	6те	1	7Ф = при 0) = —те и —те.
610РАЗДЕЛ 12. ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИВдоль каждой характеристики напряжения постоянны. Значения главных напряжений постоянны в области па- раболичности. Граница перехода от одной области реше¬ ний системы (12.35) к другой заранее неизвестна.12.2.5.	Пластические деформации вблизи круглого отверстия в пластинеВнося сюда г=а, получим <•><*> гари данной величинес. Давление по краю отверстия р= <зг находится из пер¬ вой формулы (12.40) при <* = ш а.При увеличении давления <*а растет и достигает зна-5чения а)а==~£~1п ПРИ максимальном значении ртах=2тх.По краю отверстия в пластине (рис. 12.6) приложено равномерно распределенное давление р. Задача —осе¬ симметричная, решается в полярных координатах и со¬ ставляющих напряжения ог и о9 .Равновесие системы описывается одним дифферен¬ циальным уравнениемd<sr _V“aQdr * гУсловие иластичности^Мизеса: 2= 0.(12.38): — о^ с0 +0в — Зтт.(12.39)При небольших давлениях р на упругой стадии рабо¬ ты в пластине возникает состояние чистого сдвига. Пла¬ стическая деформация появляется на краю отверстия при р= тт. При р> пластическая деформация возникает в зоне а <г< с, где с подлежит определению.Для напряженного состояния в пластической зоне справедливо дифференциальное уравнение (12.38) и ус¬ ловие пластичности (12.39). На границе пластической и упругой зон, т. е. при г=с, должно быть— сг=ое =<тт.Подстановка в (12.38)Sг = 2хт cos (<0-f с9 = 2тт cos(o>— у-jприводит к уравнению(!/" з 4- ctg <d) rfto+2 ——=о.r(12.40)(12.41)Решение этого уравнения при граничных условиях тс«=у, г=с:(т)’-(i~)sin(12.42)12.3.	КРУЧЕНИЕ12.3.1.	Упруго-пластическое кручениеВ пластической стадии чистого кручения, так же как в упругой, напряженное состояние стержня из идеаль¬ ного упруго-пластического материала удобно представ-Рис. 12.7Рис. 12.8ляется мембранной аналогией Прандтля. С помощью функции напряжений <р, которая связана с составляю¬ щими напряжения ъХг и туг соотношениямитй=Т	(12.43)дутождественно удовлетворяются дифференциальные урав¬ нения равновесия в стержне.Крутящий момент, воспринимаемый стержнем:М = 2 <fdF,(12.44)т. е. удвоенному объему, ограниченному поверхностью ф/ункции <? (поверхность мембраны) и плоскостью по¬ перечного сечения.В пластической стадии работы поверхность <? пред¬ ставляет поверхность равного ската (рис. 12.7), так ка$ касательные напряжения, равные тангенсу угла накло¬ на плоскости, касательной к поверхности функции напря¬ жений, в пластической стадии работы всегда равны тт.В таблице приводятся вычисленные крутящие момен¬ ты МПл» воспринимаемые различными сечениями в пла¬ стической стадии работы. Для сравнения в этой же таб¬ лице помещены крутящие моменты Муп, соответствую¬ щие упругой стадии работы стержня к началу появления пластических деформаций в наиболее напряженных точ¬ ках сечения.Здесь 2 — площадь, ограниченная срединной . ли¬ нией замкнутого профиля (рис. 12.8);a — коэффициент, приводимый в таблицах для оаз- Ъличных отношений —.аВ случае тонкостенного профиля поперечного сечения стержня с переменной толщиной стенки & пользуются той же формулой, что и при постоянной толщине стенки, вводя минимальное значение &min .При упруго-пластической работе стержня, когда не все его сечение перешло в пластическую стадию работы,
	12.3. КРУЧЕНИЕ	Таблица предельных крутящих моментов611Типы сече- нийМ N.Круг радиуса RКвадрат ахаПрямоугольник aXb (Ь>а)Тонкая полоса ЬхНКольцо (наружный радиус R, внут¬ ренний радиус г)Тонкое кольцо и тонкое замкнутое сечениеМПЛа3ТТт*	а2— (36-а) тт*-J- it (R2—r2)xT22 5-т |МунizRs 2 Тт0,208 а3 тхabc2 тт22Ьтт .1для упругой части сечения следует применять диффе¬ ренциальное уравнение мембраны*1 + ?1 = 26'G, дх 2 ^ ду 2(12.45)где 6' — относительный угол закручивания.Для пластической зоны следует ' применять поверх¬ ность равного ската.Крутящий момент, воспринимаемый круглым стерж¬ нем в упруго-пластической стадии: •М = — (4Яз_Лз) Тт, о(12.46)где а—радиус упругого ядра сечения.Относительный угол закручивания определяется по упругому ядру сечения^	(12.47)ХТaG12.3.2. Пластическое кручение стержня с растяжениемКруглый цилиндрический стержень. В сечении дей¬ ствуют только составляющие напряжения о*, Ъх и Tyz*Условие пластичности по Гу¬ беру — Генки — Мизесу:4 +3*( +*уг) = *т. (12.48)Плоские поперечные сече¬ ния в процессе деформирова¬ ния остаются плоскими, повора¬ чиваясь подобно жестким дис¬ кам вокруг оси стержня. Про¬ дольная деформация ег = =const.Используя зависимости ме¬ жду ххг и туг и соответст¬ вующими деформациями упру- го-пластического тела, а так¬ же между сдвигами и относи¬ тельным углом закручивания б', с учетом условия пластичности получают следующие значения напряжений в сечении:* В случае условия Сен-Венана 3 должно быть заменено на 4./1+Т'2х=.уГ•КгV 1+т4(12.49)Здесь г — расстояние рассматриваемой точки сечения до центра сечения;	, Эпюры и т приведены нарис. 12.9.Соответствующие этим напряжениям предельные зна¬ чения нормальной силы и крутящего момента равныNxПРМX{/~т(12.50)Определив из выражения для NпрУkR* <зт—iVnP-i/VКпри подставив в выражение для Мпр, получаем уравнение, связываюшее предельные значения IVпР и МпР:27 тсатa2W2■ -1—^ = х2 W2о 	 Т W 1Л(12.51)где U7njI=-тс/?3-пластический момент сопротивления при чистом кручении.Предельные значения ,М и N по упругой стадии ра¬ боты стержня в момент достижения касательного на¬ пряжения ^ в наиболее напряженных точках находятся из уравнения39*
РАЗДЕЛ 12. ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ№12 М2Я2#60_= 1.(12.52)и* Я* о;Тонкая полоса. Для тонкой полосы деплан ацией по¬ перечного сечения можно пренебрегать только для сдви¬ гов ixz- С учетом этой особенности получены формулы напряжений и уравнения, связывающие предельные зна¬ чения Nnp и Мпр:от фу от ^г=“—	^1+±Гу*6К , (V 3 ,,—	Ш^—фА(12.53)Nm =Y~з” <■>+ |/ »);Ф2/г2126&зт12)■(12.54)VTv \ 6где Л — толщина;b— ширина пластинки;у— измеряется в направлении толщины пластинки. Уравнения (12.54) приводятся к видуV	з ,, V з Wp—	'К-*" —<£7,—(12.55)Величина ф находится по Nnp из первою уравнения (12.55), а Мпр — из второго поф и Nnр.12.4.	ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ В УПРУГО-ВЯЗКИХ МАТЕРИАЛАХ112.4.1.	Зависимости между напряжениями и деформациями с учетом времениДеформации, возникающие при действии нагрузки, в большинстве материалов (сталь при высоких темпера- л	турах, пластмассы, древесина и др.) зави¬сят от режима приложения нагрузки во времени и от момента их замера. Процессы деформирования в таких материалах отно¬ сятся к неравновесным. Основной физиче¬ ский закон, связывающий деформации с вызвавшими их напряжениями, может быть выражен только в дифференциальной или интегральной форме.Для олисания механических свойств ма¬ териалов, в которых наряду с упругими деформациями возникают в полной мере необратимые деформации ползучести, на¬ растающие под нагрузкой с течением време¬ ни, используется обычно релаксирующая среда Максвелла. Механическая модель по¬ следней (рис. 12.10) составляется из упру¬гого (пружина) и вязкого (поршень в вязкой жидкости) элементов, соединенных последовательно.Закон деформирования упруго-вязкой среды Макс¬ велла выражается дифференциальным уравнениемdtdtЕdadt(12.56)Здесь E — модуль упругости среды;ч]—коэффициент вязкости по Ньютону.В основу этого закона положена линейная зависи- ^ мость (Гука) упругой де¬ формации от напряжения и линейная зависимость (Нью¬ тона) от напряжения скоро¬ сти деформации ползучести.Если упруго-вязкому те¬ лу в начальный момент вре¬ мени t=0 сообщена некото- °орая деформация е<> = ”7Г »со“ схраняемая в дальнейшем по-	рис# 12.11стоянной (eo=cohst), то решение дифференциальногоуравнения (12.56) дает выражение релаксации напря¬ жения	*а — а0е \	(12.57)где 0 = "ГГ — период релаксации.ЕНа рис. 12.11 представлен график, соответствующий формуле (12.57) и качественно правильно изображаю¬ щий процесс релаксации напряжения в закрепленном элементе.При постоянном напряжении с0 =const в упруго-вяз¬ ком теле (Максвелла) возникаем постоянная упругая деформация е0 (участок О А на рис. 12.12), сопровождае¬ мая возрастающей с постоянной скоростью (линия АВ на рис. 12.12) деформацией ползучести. Полная деформация равна:(12.58)В реальных материалах (рис. 12.13) постоянная ско¬ рость ползучести (участок ВС) устанавливается спустя некоторое время Ъосле загружен-ия, а до этого наблю¬ дается криволинейный участок (АВ) неустановившейся ползучести.1 См. также 18.5.Рис. 12.12Рис. 12.13
12.4. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ В УПРУГО-ВЯЗКИХ МАТЕРИАЛАХ613При напряжении, возрастающем от нуля с постоян¬ ной скоростью vQ по законуо = vt,	(12.59)деформации в упруго-вязком теле (Максвелла) следуют формулеvatе= Е +2£9 '(12.60)Количественное соответствие результатов теории и эксперимента возможно несколько повысить, усложняямодель введением большего числа упругих и вязких элементов, а также элементов с сухим трением в раз¬ личных сочетаниях. Одн-ако, как правило, это ведет к повышению порядка соответствующих дифференциаль¬ ных уравнений и, следовательно, к усложнению матема¬ тического аппарата, не всегда оправдываемому достиг¬ нутыми результатами.Можно только указать на один случай сложной мо¬ дели, когда закон деформирования может быть выражен сравнительно несложно, несмотря на большое число элементов в модели. Это случай модели, составленной из множества однотипных элементов, в частности из связанных параллельно элементов Максвелла (рис. 12.14), параметры которых Et и ^ подвержены некоторому статистическому разбросу.Такого рода модель может рассматриваться в каче¬ стве подобия неоднородных материалов, каковымй явля¬ ются все реальные материалы. Напряженное состояние этой среды может быть охарактеризовано средним на¬ пряжением ос и средне-квадратичным отклонением Да напряжений по всем элементам среды [6]. Тогда, введя некоторые упрощающие положения, касающиеся законо¬ мерностей влияния времени на Да и связи Да с дефор¬ мациями, а также упростив схему рис. 12.14 (приняв= const), оказывается возможным записать закон де¬ формирования данной среды в виде системы двух диф¬ ференциальных уравнений:a da — —— dt\ с с а 1dz~dtJL.^s + i.)E dt 0£ \ 2k)'(12.61)Здесь E — осредненный модуль упругости среды;k — коэффициент, связывающий Д„ с деформа¬ циями и определяемый экспериментально;	—коэффициент измен-°счивости напряже¬ ний; его начальное значение ^ао харак¬ теризует неоднород¬ ность данной среды;= 0 Е — коэффициент вязко¬ сти среды; предпо¬ лагается для про¬ стоты постоянным по всей среде.Решение системы (12.61) показывает, что для случая постоянного напряжения ac=const деформация неодно¬ родной среды описывается формулойРис. 12.15-Н'Ч4М)]-(12.62)Соответствующая ей кривая (рис. 12.15) обладает уже участками установившейся и неустановившейоя ползучести подобно тому, как это имеет место в действи¬ тельности (рис. 12.13).При напряжении, возрастающем по закону (12.59). деформация неоднородной среды следует зависимости°с3-310»,+ -Г24-4!б2о?■)]е [1+ 24 (1+ гГ)]'(12.63)Для описания механических свойств материалов, об¬ ладающих упругим последействием, т. е. обратимостью деформаций, остающихся после разгрузки, часто прибе¬ гают к одной из моделей, изображенных на рис. 12.16 и 12.17.I&j?Рис. 12.16Рис. 12.17Обе модели дают одинаковую картину деформирова¬ ния, характеризуемую законом9Я —+ £е=о-м4т-.	(12.64;dc	dtПараметры этого дифференциального уравнения: для модели (рис. 12.16)£. Е2Е£i+£,(12.65J
614РАЗДЕЛ 12. ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИРис. 12.19д,:я модели (рис. 12.17)(12.66)Параметр #, определяющий деформации в момент приложения нагрузки, носит название мгновенного мо¬ дуля упругости. Параметр Е, определяющий конечную равновесную деформацию, к которой стремится t при длительном приложении постоянного напряжения, на¬ зывают длительным или равновесным модулем упруго¬ сти.°оПри постоянной деформации e0="^"=const релакси- рующее напряжение	^а = £е0 + (Н—Е) не 6 •	(12.67)С течением времени а стремится к пределу Е е0 (Рис* 12.18).При равномерно возрастающей деформации по зако¬ ну е =до s t напряжение определяется по формулес=£ш6 t+b(H-E)we (\—е)(12.68)которой соответствует кривая на рис. 12.19.Постоянное напряжение c=const вызывает дефор¬ мацию (рис. 12.20).—[t+(t-tK5J; <12'е9)При напряжении, равномерно возрастающем согласно закону (12.59), деформация растет согласно формуле (рис. 12.21)т[1_«	| . (12.70)Системы, показанные на рис. 12.16 и 12.17, рассмат¬ риваемые обычно в качестве моделей структурированных ■сред, могут быть объединены в более сложные группы зна югично тому, как это было показано выше для моде¬ ли Максвелла. Для такой многоэлементной модели из однотипных элементов, механические параметры кото- оых несколько отличаются друг от друга, составлена. Г61 система из четырех дифференциальных уравнении, аналогичных (12.61). Для случая постоянного напряже¬ ния «о *= const с помощью этой системы получается сле¬ дующая зависимость деформации £ от времени t [6]:°о1—у 2 (Ег+Ег)А/Ве 29 с—B e 2в0 I;Jздесьв8£1(£it-£2);„ / 2*8—1 , \ ^3+ Ei+E2 — Л2Е\-\-Е2(12.71)Величины Вг и С' отличаются от В и С. знаком перед А2. Наличие дополнительных параметров k и \ в урав-онении (12.71) позволяет точнее аппроксимировать дей¬ ствительную кривую деформаций при постоянной нагруз¬ ке, чем с помощью уравнения (12.69).12.4.2. Общий интегральный линейный закон деформирования материаловОт модели с большим числом однотипных элементов целесообразно перейти к модели с непрерывным рас¬ пределением параметров для получения более точных законов. Закон линейного деформирования такой модели определяется интегралом (Больцмана)tt (t) = a-j2- + j к (t-1) 0 (x) dx. (12.72)Здесь К (t—^) —функция, выражающая влияние за- гружения в момент в-ремени т на деформацию в момент времени t (коэффициент наследственности). За нуль отсчета времени принят момент первого нагружения тела. Предполагается, что до этого момента тело нахо¬ дилось в естественном состоянии, которое не влияет на последующее деформирование.Закон (12.64) представляет частный случай фолее общего закона (12.72). Параметр Н здесь также являет¬ ся мгновенным модулем упругости.Функция влияния K(t—х) является функцией изме¬ нения во времени скорости деформаций после приложе¬ ния к элементу постоянного напряжения о0=1:1 dt K(t-x)= — •—.о0 dt(12.73)Она представляет положительную монотонно убыва¬ ющую с ростом аргумента (t—т ) функцию, асимптоти¬ чески приближающуюся к нулю.
12.4. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ В УПРУГО-ВЯЗКИХ МАТЕРИАЛАХ615Эксперимент показывает, что /С(0) = оо. Длительный модуль упругости£ =				(12.74)■т )dtимеет конечное значение, если J K(t—i)dt < оо, т. е*оимеет конечный предел. В этом случае процесс дефор¬ мирования считается устойчивым; он приводит к равно¬ весному состоянию.00Если]* K(t—z)dt = oot т. е. длительный модуль оупругости равен нулю, то процесс деформирования при¬ обретает безразличный [K(t—т) — постоянная вели¬ чина] или неустойчивый [K(t—'с)—возрастающая функция] характер.Для функции влияния следует принимать такие ана¬ литические выражения, которые возможно ближе соот¬ ветствовали бы экспериментальным данным и, в част¬ ности, при (t—т)=0 принимали бы* бесконечно боль¬ шие значения. Вместе с этим они должны давать воз¬ можность получать решение задач в замкнутой и про¬ стой форме.Для описания устойчивых процессов деформирова¬ ния рекомендуется принимать '42]K(t-z) =Ae-W-*(t- т)1—а ’(12.75)где 0<3 а <1, А и Р*—положительные величины;для описания безразличного процесса деформирова¬ нияк, (12.76)(*-т)где 0<а<1.12.4.3. Деформации за пределами применимости линейных законовЛинейные законы деформирования материалов, обус¬ ловливающие пропорциональность деформаций напря¬ жениям при одном и том же способе загружения, имеют место с той или иной степенью точности, как показы¬ вают эксперименты, лишь на начальной стадии дефор¬ мирования материалов. При более высоких напряже¬ ниях деформации нелинейно зависят от напряжений. Полагают обычно, что нелинейная стадия Наступает после некоторого напряжения, аналогичного пределу текучести идеального упруго-пластического тела.Для этой стадии пластического течения может быть принят приближенный законdtЬЕ+_1_Еda~dt(а > °т)в сочетании с линейной зависимостьюс = — (о < чт) Е(12.77)(12.78)для предшествующей — начальной стадии деформировав ния.	,Упруго-пластическое тело, деформирование которого подчиняется законам (12.77) и (12.78), лучше отражает действительные механические свойства реальных мате¬ риалов, чем идеальное упруго-пластическое тело, рас-1$смотренное выше. В частности, оно вносит . определен¬ ность в картину деформации при о > ат.Дифференциальное уравнение (12.77) представляет по существу уравнение Максвелла (12.56), в котором роль напряжения о играет превышение напряжения над пределом текучести (а — ат).Решение дифференциального уравнения (12.77) для случая напряжения, возрастающего по закону (12.59), имеет вид0£,е=Vt*■ (°т — ^ “I" 2у (12.79)или (при замене t-t)6£е=2а.-0а.(12.80)Влияние скорости нагружения v9 на характер кри¬ вой деформаций, согласно (12.80), показано на рис. 12.22.При равномерном росте деформаций по закону е *= =wc tо = от + §Ewx или (после исключения t)а — ат = bEwi(12.81)(12.82)Этим уравнениям соответствует семейство кривых на рис. 12.23.При изгибе балки, когда кривизна (у") в данном сечении возрастает с постоянной скоростью w(y"=wt) и закон изменения продольных деформаций е на рас¬ стоянии z от нейтральной оси выражается формулой е =wzty напряжения после перехода через предел те¬ кучести равныа = ат + dEwz 1 1 — е(	4-w2t \[\-е Bwz J(12.83)Зона текучести определяется неравенством Щ > —.Эпюры нормальных напряжений в сечении балки в раз¬ личные моменты времени показаны на рис. 12.24.,
616РАЗДЕЛ 12. ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИЕсли, помимо упругих деформаций, возникают дефор¬ мации упруг#г0 последействия, то на начальной стадииследует принять закон (12.64), а для второй стадии лучше подойдет законвЯ-^7 = °—«т + 0-^-,	(12.84)at	atотличающийся от (12.77) тем, что модуль Е заменен модулем Н.Переход от первой стадии ко второй определяется условиями £ = ет, а = £ет = ат.Время /п» необходимое для достижения границы между обеими стадиями, определяется из уравнения1 —еEtn’ т(,2‘85’если напряжение растет по закону (12.59), Соответствующее напряжениеапл — va ^п-(12.86)При разгрузке за пределами линейного деформиро¬ вания (о > ох) от напряжения ох и деформации ч по закону а = ох — v9 t изменение деформации будет следо-вать формулеал — а /а-. -4- а	\£-е1=9^(^	°Т_Ч} (2-8?)ЛИТЕРАТУРА1.	А р у т ю н я н Н. X., Некоторые вопросы теории ползучести, Гостехиздат, 1952.2.	Безухов Н. И., Теория упругости и пластичности, Гос¬ техиздат, 1953.3.	Безухов Н. И., Сборник задач по теории упругости и пластичности, Гостехиздат, 1957.4.	Беляев Н. М. и Синицкий А. К., Напряжения и деформации в толстостенных цилиндрах при упруго-пластическом состоянии материала с учетом упрочнения, «Известия АН СССР», ОТН, JSIb 4, 1938.5.	Бриджмен П., Исследования больших пластических де¬ формаций и разрыва, Изд. иностр. лит., 1955.6.	Быковский В. Н., Сопротивление материалов во вре¬ мени с учетом статистических факторов, Госстройиздат, 1958.7.	Генки Г., Пространственная задача упругого и пластиче¬ ского равновесия, «Известия АН СССР», ОТН, № 2,1937.8.	Г ольденбл ат И. И., Введение в теорию ползучести строительных материалов, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1952.9.	Гол ьден блат И. И., Некоторые вопросы механики деформируемых сред, Гостехтеоретиздат, 1955.10.	Гольденблат И. И., Николаенко Н. А., Теория ползучести строительных материалов и ее приложения, Госстрой¬ издат, 1960.11.	Гольденблат И. И., Некоторые вопросы теории упру¬ гих и пластических деформаций, Стройиздат, 1950.12.	ЖуковА. М., Пластические свойства и оазрушение ста¬ ли при двухосном напряженном состоянии, «Инженерный сбор¬ ник», т. 20, Изд. АН СССР, 1954.13.	Жуков А. М., Сложное нагружение и теория пластично¬ сти изотропных материалов, «Известия АН СССР», ОТН, № 8, 1955.14.	Жуков А. М. и РаботновЮ. М., Исследование пластических деформаций стали при сложном нагружении, «Ин¬ женерный сборник», т. 18, Изд. АН СССР, 1954.15.	3 а в р и е в К. С., Некоторые вопросы теории пластично¬ сти, Труды института строительного дела АН Груз. ССР, т. 4, 1953.16.	Ильюшин А. А., Пластичность, Гостехиздат, 1948.17.	Ильюшин А. А., К вопросу о вязко-пластическом те¬ чении материала, Труды конференции по пластическим деформа¬ циям АН СССР. 1938.18.	И л ь ю ш и н А. А., Вопросы течения плястического веще¬ ства по поверхностям, «Прикл. мат. и мех.», т. 8, вып. 3, 1954.19.	И ш л и н с к и й А. Ю., Общая теория пластичности с ли¬ нейным упрочнением, «Украин. матем. журнал», т. 6, № 3, 1954.20.	Качанов Л. М., Основы теории пластичности, Гостех¬ издат, 1956.21.	Качанов Л. М., Некоторые вопросы теории ползучести, Гостехиздат, 1949.22.	Качанов Л. М., К вопросу о сложном нагружении, сПрикл. мат. и мех.», т. 19, вып. 3, 1955.23.	Л ейбеьзон Л. С.; Элементы математической теории пластичности, Гостехиздат, 1943.24.	Мачерет Я. А., Об одном обобщении урпчпения упруго- нластических деформаций, «Журнал технической физики», т. 17, •ып. 1, 1947.25.	М и л е й к о в с к и й И. Е., О возможном условии пла¬ стичности анизотропного тела, Сб. ЦНИПС «Исследования по во¬ просам строительной механики и теории пластичности. Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1956.26.	Москвитин В. В., О вторичных пластических дефор¬ мациях, «Прикл, мат. и мех.», т. 16, вып. 3, 1952.27.	М и х л и н С. Г., Современное состояние математической теории пластичности, «Успехи математических наук» № 3, 1947.28.	М и х л и н С. Г., Основные уравнения математической теории пластичности, Изд. АН СССР, 1934.29.	Н а д а и А., Пластичность и разрушение твердых тел, Изд. иностр. лит., 1954.30.	Новожилов В. В., О физическом смысле инвариантов напряжения, используемых в теории пластичности, «Прикл. мат. и мех.», т. 17, вып. 5, 1952.31.	Панферов В. Н., О применении вариационных методов к задачам теории малых упруго-пластических деформаций, «Прикл. мат. и мех.», т. 16, вып. 3, 1952.32.	П а ш к о в П. О., Пластичность и разрушение металлов, Судпромгиз, 1950.33.	П е т р и щ е в П. П., Применение теории малых упруго¬ пластических деформаций к анизотропному телу, изд. МГУ, 1951.34.	Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Лиха¬ рев К. К., Основы современных методов расчета в машинострое¬ нии. Продольный изгиб. Ползучесть, Машгиз, 1952.35.	П р а г е р В. и X о д ж П., Теория идеально пластического тела, Изд. иностр. лит., 1956.36.	Прагер В., Проблемы теории пластичности, Физматгиз, 1958.37.	Рабинович И. М., (ред.), Строительная механика в СССР, 1917—1957, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1957.38.	Ра бот нов Ю. Н., Некоторые вопросы теории ползуче¬ сти, «Вестник МГУ» № 10, 1948.39.	Р е й н е р М., Десять лекций по теоретической реологии, ОГИЗ, Гостехиздат, 1947.40.	Р ж а н и ц ы н А. Р., Приближенное решение задач теории пластичности, Сб. ЦНИПС «Исследования по вопросам строитель¬ ной механики и теории пластичности», Гос. Изд. лит. по стр. и арх., 1956.41.	Р ж а н и ц ы н А. Р., Расчет сооружений с учетом пласти¬ ческих свойств материалов, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1954.42.	Р ж а н и ц ы н А. Р., Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени, Гостехиздат, 1949.43.	Р а х м а т у л и н X. А. и Ш а п и р о Г. С., Распростране¬ ние возмущения в нелинейно-упругой и неупругой среде, «Изве¬ стия АН СССР»,. ОТН, № 2, 1955.44.	Смирнов-Аляев Г. А. и Розенберг В. М., Тех- •нологические задачи теории пластичности, ч. I, Л., Лениздат, 1951.45.	С н и т к о И. К., К теории упруго-пластических состояний квазиизотропных тел и методы вычисления скрытно-упругих на¬ пряжений, «Известия АН СССР» № 7—8, 1942.46.	С о к о л о в с к и й В. В., Упруго-пластическое равновесие цилиндрической среды при наличии упрочнения материала. «Прикл. мат. и мех.», т. 7, вып. 4. 1948. •
ЛИТЕРАТУРА61747.	Соколовский В. В., Распространение упруго-вязко- пластических волн в стержнях, «Прикл. мат. и мех.», т. 12, вып. 3, 1948.48.	С о к о л о в с к и й В. В., Теория пластичности, Гостехиз¬ дат, 19Б0.49.	Стрелецкий Н. С., Работа стали в строительных кои- струкциях, вып. I, Госстройиздат, 1956.50.	Томлееов А. Д., Теория пластических деформаций ме¬ таллов (напряженное состояние при ковке и штамповке), Машгиз, 1951.51.	Трофимов В. И., Упруго-пластическая работа мягкой строительной стали при простом и сложном нагружении. Сб. ЦНИПС «Исследования прочности, пластичности и ползучести строительных материалов», Госстройиздат, 1955.52.	Ханди Б., Плоская задача теории пластичности, сб. о ер ев., «Машиностроение» № 3, 1955.53.	Хилл, Математическая теория пластичности, Гостех- теоретиздат. 195854.	Шапиро Г. С.* Упруго-пластическое равновесие клина и разрывные решения в теории пластичности. «Прикл. мат. и мех.», т. 16, вып. 1, 1962.55.	Шевченко К. Н., Сосредоточенная сила, приложенная к полуплоскости (упруго-пластическая задача), «Прикл. мат. и мех.», т. 12, вып. 4, 1948.56.	Ford Н., The theory of plasticity in relation to Its engineer¬ ing applications, Zeits. angew. Math, and Physik, v. V, I, 1954.57.	Hoffman Q„ Sucbs G., Introduction to the theory of pla¬ sticity for engineers. New York—London, 1953.58.	H о p k i n s J., Hamming R., On creep and relaxation, J. Appl. Phys., 1957, 28, № 8.59.	Prager W.t Total creep under varying loads, J, Aeronaut., 1957, 24, M 2.
РАЗДЕЛ 13УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ 13.1 ОБЩИЕ ТЕРМИНЫ, ОБОЗНАЧЕНИЯ, ГИПОТЕЗЫПластинкой называют плоское тело, толщина кото¬ рого t мала по сравнению с другими размерами (сто¬ ронами, диаметром). Плоскость, параллельную основа¬ нию и делящую пополам толщину пластинки, называют срединной плоскостью. К тонким пластинкам относятся такие, толщина которых t не превышает 0,2 наимень¬ шего размера основания. В последующем ’рассматри-Рис. 13.1	Рис. 13.2вается действие нагрузок, перпендикулярных срединной плоскости. Подобные нагрузки вызывают изгиб пластин¬ ки и деформируют срединную плоскость в срединную поверхность. Если при этом в срединной поверхности не появляется значительных растягивающих или сжимаю¬ щих напряжений, то пластинка называется жесткой пла¬ стинкой или плитой, а в случае, ^ если эти напряжения значительны, — гибкой пластинкой.Если растягивающие напряжения в срединной по¬ верхности столь велики, что по сравнению с ними мож* но пренебречь напряжениями от изгиба, то пластинку называют мембраной.Перемещения точек срединной плоскости по перпен¬ дикуляру к ней при деформации называют прогибами пластинки и обозначают через w. Принято считать, что теория жестких пластинок применима при f = ifc'max << — t. Расчет гибких пластинок и мембран см. 13.9.4Пластинка, в которой при ее нагружении напряже¬ ния не превосходят предела упругости, называется уп¬ ругой. В настоящем разделе рассмотрены упругие тон¬ кие жесткие и гибкие пластинки. Расчет с учетом пла¬ стических деформаций см. раздел 18.Теория тонких упругих плит и пластинок основана на следующих гипотезах: а) волокна пластинок, пер¬ пендикулярные срединной плоскости, остаются при де¬ формации прямолинейными и нормальными к срединной поверхности; б) волокна пластинок, параллельные сре¬ динной поверхности, не давят друг на друга. При этом задача об определении напряжений в жестких плитах сводится к решению дифференциального уравнения 4-гопорядка в частных производных при граничных усло¬ виях, определяемых опорными устройствами плит. Вывод уравнения см. [4 и 15]. Решение задач об изгибе плит на основе приведенных гипотез дает практически прием¬ лемые результаты при указанных выше ограничениях толщины и стрелы прогиба плиты. Более точные реше¬ ния получены только для частных задач (см. [15]).Система координат. Плоскость хОу прямоугольной системы координат совпадает с горизонтальной средин¬ ной плоскостью пластинки. Ось z направляют по верти¬ кали вниз. В случае прямоугольной пластинки оси на¬ правляют по сторонам пластинки с началом координат в одном из углов (рис. 13.1) или параллельно сторонам с началом в центре пластинки. В случае круглой пла¬ стинки вводят цилиндрическую систему координат; основная плоскость совпадает со срединной плоскостью пластинки, ось z проходит через центр (рис. 13.2).13.1.1.	Основные обозначенияt — толщина пластинки; а — радиус круглой пластинки; сторона прямоугольной пластинки;Ь — внутренний радиус кольцевой пластин¬ ки: сторона прямоугольной пластинки; Р — сосредоточенная сила;Му — сосредоточенные пары, вращающие вокруг осей х и у\ р— интенсивность распределенной по по¬ верхности нагрузки (на единицу пло¬ щади) ;рл — интенсивность распределенной вдолы линии нагрузки (на единицу длины); w — прогиб произвольной точки срединной плоскости;f—стрела прогиба (наибольший прогиб); ау— нормальные напряжения в сечениях, перпендикулярных осям х и у (в рас¬ чете гибких пластинок различают нор¬ мальные напряжения изгиба и растя¬ жения срединной поверхности, обоз¬ начая их дополнительными индексами «и», «с», например: вуи» °ус);Tjr* ту — касательные напряжения в тех же се¬ чениях, параллельные оси z;МХч My—изгибающие моменты; 1 все усилия на Мху — крутящий момент | единицу дли- Qx> Qy—поперечные силы j ны сечения Е — модуль продольной упругости;
620РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫD =fx — коэффициент Пуассона;X, = 1 _ jx ; Х2 = 1 + [х ; X3 = 3-|-{x;X4 = l+ 3fx;^5 = 5 + fi; Хб = 5 — 3 fx; Х7 = 7 3 fx.Et*	Tv — цилиндрическая жесткость пластинки.12 (1—fx2)Для круглой пластинки индексы х и у заменяются индексами г и 0, соответствующими направлениям ра¬ диус-вектора и перпендикуляра к нему (рис. 13.3,6);13.1.2.	Правило знаковСилы положительны, если совпадают с направлением оси «г; пары положительны, если вызывают поворот про¬ тив часовой стрелки для наблюдателя, расположенногоВезде, где это представлялось возможным, вначале помещен справочный материал (таблицы, графики, фор¬ мулы), а затем приводятся сведения о методах и при¬ емах определения усилий в плитах для использования в тех задачах, для которых готовых решений нет. Общие методы расчета плит изложены в 13.2.2.В конце раздела (см. 13.8) дан краткий обзор су¬ ществующих таблиц по расчету плит.13.2.	ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ13.2.1.	Таблицы для прогибов и усилийНиже приведены таблицы, позволяющие определять прогибы, усилия и напряжения для различным образом нагруженных прямоугольных изотропных плит.Рис. 13.3у стрелки соответствующей оси.Нагрузки, усилия и напряжения, показанные на рис. 13.3,а, б, положительны. Положительные напряже¬ ния создают положительные усилия.Связь между усилиями и напряжениями ^ г — расстояние'точки от срединной плоскости плиты;12 zMx/з: = 0;12 гМмtz12 zMхуta3 Qx(А2-4*2);3 Qv> = fg(ft2-4*‘).■ (13.1)Примечания. I. Наибольшие значения а , в и т — при г—±^	х у хут^и V-при z = 0.2.	Для круглой пластинки х и у заменяются на г и б** * *В данном разделе последовательно рассмотрены изо¬ тропные плиты разных очертаний (прямоугольные, круг¬ лые, эллиптические, треугольные, секторные), ортотроп- ные плиты разных очертаний (прямоугольные, эллипти¬ ческие, круглые), плиты на упругом основании (реакции основания пропорциональны прогибам плит), темпера¬ турные напряжения в плитах, гибкие пластинки и мем¬ браны.Для значений fx, отличных от табличных, изгибаю¬ щие моменты можно находить по формуламМ =[(1 — №,) Мгх 4- ([х—уу) Му\;М..1-1*?777 [0-ччч) Щ + О*- и*) К]1 {Хт(13.2)Здесь Мх, М* и fx,. —табличные значения изгибаю¬ щих моментов и коэффициента Пуассона. В частном случае при fxT =0 формулы (13.2) принимают видMx = Ml + iШ1; Mv = Ml + рМтх (13.2a)[см. примечание 2 к формуле (13.1)].Схемы опор однопролетных плит приведены на рис. 13.4. На схеме 0 (рис. 13.4) показаны размеры плит, координатные оси и номера (/) точек, для кото¬ рых определяются прогибы и усилия.Следует учесть возможность суммирования таблич¬ ных данных для сложных нагрузок. Так, например, ис¬ пользуя табл. 13.1 и 13.2, можно определять прогибы и усилия для трапецеидальной нагрузки, действующей на прямоугольную плиту.
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ621•s/s///////'- Кромка, свободно опертая на жесткую опору тест ко защемленная кромка _____ Тропка, сйодойная от усилийРис. 13.4Равномерно распределенная нагрузкаПродолжение табл. 13.1ai Ра4	PiЩ = D ' <*Л~ЙГ^(M>)t=~№pa*i QTB = <?tP“-> Q"pHB — ^i.pa.(13.3)Здесь Q”pHB и 0"рив — приведенные поперечные силы, учитывающие влияние крутящего момента [см. формулы(13.11)]. ,Коэффициенты <**, Р*, 7* дают соответствующие мак¬ симальные значения величин ад, MXt Му.Таблица 13.1Г71Значения коэффициентов а, р, ^ в формулах(13.3)	для определения ад, М х, Му ( fx = 0,15)alb 'Схема ,1Схема 2Схема 3II1 «1 „1 |«5ft.11 'fsа*I ЬTs-7«Н1 Ь1 т* 1—РзJ ,51011796496581219320881220,68624824510541167527711170,77330684115491095931551100,86033563719431014632421020,950364632223792363232931.04137372824328528322485albСхема 4|!Схема 5Схема61 «I«5PsТв ||-т«|| “5 1Р575-Pi«5|Р.7в—Рз-7*0.5262418584238012147756781180.625440846429I60111421350781090.7248388248324410236174377990,8231035783632329031203675880.9211432742631228026232971771,019162970192916702123236767\а/ЬСхема 7Схема 8Схема 9«яР5ЪPi—74«3р*!1 т.И’—7*ос-Р.,7s-ч--720,545105478Но!1»34156842544056820,6381545771022463856812383756780,7322037748922935567721123256720,82622297076201231567218142755650,92023226564181527556615162253581.0162317605416172354601318185151Схема 10Схема 13Ыа11 „«511 т.(*iР«5Ps75—Рз—72«17i—70,53516326258921250341827710,645184177721141753422233800,754205089851462154492538840,862215897921682455562641850,97120671081041892556622743851,07820741161111982856662844851,28918861251202283256732844851.510214971321262453656792845852,01149110137132253405683294584СхемаиСхема 12Ыа\II«5ft.7 s«17!«5Ps75—т*\«, 17i1-т.0,513—311773229151022562436850,621118904844171025612640850,7305231016459181028662643850,8399351097874201032712744850,9471244115908622934742744851,05514511181009623735772844851.269176512111511024638802845851.586168212312812326340835845842,0105121011251361312714283294584Коэффициенты 9/у и ф/у для определения приведен¬ ных поперечных сил находятся по рис. 13.5 (i — номер точки по схеме 0 рис. 13.4, а / — номер схемы на том же рисунке).
622РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫПример 13.1. Определить стрелу прогиба и усилия в плите, представленной на схеме 7 рис. 13.4, под равно¬ мерно распределенной нагрузкой при следующих дан¬ ных: с=1,8 м\ Ь—3 м; р=1 т/м2; fx =0,15. а 1,8Для = “тр =0,6 по табл. 13.1 находим а5 = 38; р5 = 15; Т5 = 45; Ь = — 77; т*= —102. (а)По формулам (13.3) находим прогиб в центре плитыа5 ра4 38"То* * 1Г = 1о*"4-1051-1,8*•107 DD*	см.(б)Здесь 107 — переходный множитель, связанный с пере¬ водом тм2 в кгем2.Изгибающие моменты в центре плиты при р* =0,15:В-	15Мх = ра2 = "7^7 1*1,82 = 0,049 пгм/м;Юзт	45Му = wpa*= То*"1 -1,82 = 0,146 тм/м-Опорный изгибающий момент в точке 4 (схема О рис. 13.4) при р- =0,15 равенМх=*Му; Л*у = ^ра* = --^-1.1,8’ == — 0,325 тм/м.(г)Аналогично вычисляем изгибающий момент в точке 1 при ^ =0,15:= ^ ро* = — -^-Ы,82 = —0,25°тм/м .Нагрузка, распределенная по гидростатическому законуПрогибы и усилия находим по формулам (13.3) -с заменой р на ро. Значения коэффициентов а, р, у при¬ ведены в табл. 13.2. Схемы плит см. рис. 13.4 (размеры и нумерация точек даны на схеме 0 рис. 13.4). Схемы нагрузок приведены на рис. 13.6. Коэффициенты и можно определять по графику рис. 13.7 (* — номерточки на схеме 0 рис. 13.4, а /—номер схемы на том же рисунке). Коэффициенты <р, ф—для нагрузок по схеме рис. 13.6,а, а <р, §—для нагрузок по схеме рис.13.6, б.Р° XР'Ро^'а)Рис. 13.6Рис. 13.7Нагрузка, р а с п р<е делен пая по части площади плитыВ табл. 13.3 гТриведены значения коэффициентов Р и f для определения изгибающих моментов от нагрузки, распределенной равномерно по заштрихованной области,показанной на рис. 13.8. Моменты определяются по фор¬ мулам (13.3) с заменой ра2 на Р (Я— равнодействую¬ щая нагрузки).
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ623Таблица 13.2 [7]Значения коэффициентов <*, р, 7 в формулах (13.3) для нагрузки, изображенной на рис. 13.в,а( (а = 0,15)а\ЬСхема 1»Схема 2«5PsЬ0*2-4И%-4 ^1 “» :ftЬ0*2-4т*» 2—4-т40,561,948125022327527650,6431241144420526726630,8301728173117821921661,0201818182213И16И1650Схема 4Схема оafbI1айоН5750*2—47*• 2—4-ч«5 11 &I Т5to17*2—4-01“^0*6-90,5131214215134421240124261610,6132205205133321430143355560,8116187184731181616162045481.01081481543261014814133538albСхема 7Схема 9ft750*2-4-т. 1Л*2-4 1-01 1-0*в-р/«5 |ftТе0*2-47 2—4“74—Tl—01 1—0*®—-0,520425661.25363612220Б204»3228290,61772275622363612418518473128300,812101410441433339714714412428291,07.4119И341032316.49991033182527Продолжение табл. 13.2Значения коэффициентов а, р, 7 в формулах (13.3) для нагрузки, изображенной на рис. 13.6,6( fx=0,15)albСхема 1Схема 3«5ft75 10*1-37*' 1—3«5ft. 7s0*1-3т 1—3“030,551950215145И421742840,643124122423614341734760,830172823282217201720611.02018182218131611161150Схема 4Схема 5alb«5ft1 T51 е\--зY*• t—3-t2—7*' 6--71 0ft75—37*1—8-Pi“030,5161218254257421240174037840,61522010234251321530183036750,81351912213944181616181632581.01081813193538.10148158274311Схема 8IСхема 9а/Ь*5ft7*0*1-3v#• 1—3-03 1t2 !«5ft7 s0*1—37%-J1	Y** fi—;0.51422092345415014220У22451141500,612319920434046 !124189Oil431439460,81071591538353797141014381733361.07,491110113429296,499109S3182527bfa0,50,60,81,01,21,52,0131724313745539И131313117Схема 1011152229354251202431 34 3432 23192330 33 3331 23Схема 1147132)273547248И1212м361218253445293G435765758591321263030278122025292927
624РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫПродолжение табл. 13.2ЫаСхема 12Схема 13Ts |~Т2 «! 71 -7,|| <4 Р* 751—3Sj—Tg\ «il -Т60,568868126з242334740,67810981274352666860,89813217И107692915610101,01161636610И87123430510121.21151857581310714385058141,51232093461712416418646162,012121170241811 12219451652418Таблица 13.3 Г41Значения коэффициентов р и 7 в формулах (13.3) для плиты, опертой по контуру (схема 1 рис. 13.4) и загруженной по рис. 13.8 (fx = 0)Ыа°1/аft, при аг/а0 0,2 0,4 0,6 0.8 1,01.01.400.20,40,60,81.02561651179072587, при аг/а0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,000.20,61.01.21.41607949403423815078483933256196160133110234195147129113204194158125110962,0022817513911595221168133110900.4989487766555246193155127105870,851494742373018815913411495791.22828272521181531331149883691.6191817151411125110968270592,0141413121191039079695848Продолжение табл. 13.3 Значения коэффициентов Р и 7 в формулах (13.3) для плиты, опертой по контуру, с двумя защемленными кромками (схема 4 рис. 13.4) (нагрузка по рис. 13.8; (J. = 0)ЫаVеPs приal/a7л »риал1а-чприаг/а00,20,61,000,20,61.000,20,61,002101238323114397858372540,423418211779101988058868574550,51.21391198760333228211019985632,09078574018181612120108846001729160240149102140138119880,419614384571101078761142139119880,70,8136108694663625338146142120871,48568463036363022150133101710129553223914498166162136980,2211121523015714810877166162135971,00,611781392477756245165159126901.075532316474639281631401017001971097016180491691691671640,46867493218613274471561551481211,40,8282720131291006238127126115891,4101075836642278685765801961096116179511681681671640,46864483218513473461551541471212,01.21086,497795132999888672,011216351322063625642Нагрузка в виде трехгранной призмы■В табл. 13.4 даны значения «5, р5, 75 для опре¬ деления по формулам (13.3), с заменой р на ро, проги¬ бов и моментов в центре плиты, опертой по контуру. Плита загружена нагрузкой, показанной на рис, 13.9.Таблица 13.4 Г41Значения коэффициентов а, Р, 7 в формулах (13.3) для плиты, свободно опертой по контуру ({х = 0)Ь/а«вР.7*«вРв75Для Harpy 1.0 1.2 1,4 1.6 1.8 2.0 3.0'ЗКИ ПО {26.336.445.553.3 59.7 64,978.3шс. 13.9,23.721.819.316.4 13.6 11.13.5а27.037.146.1 53,960.165.378.4Для наг]26.3 36,746.454.962.464.9 78,3эузки по27.026.725.323.421.519.812.1рис. 13,9, б23.733.8 43,3 51,558.764.988.7Коэффициенты <р и <[/ в (13.3) для определения приведенных поперечных сил можно находить по гра¬ фику, приведенному на рис. 13.10 ^коэффициенты <р ф —для нагрузки по рис. 13.9, а, а ^ —для нагруз¬ ки по рис. 13.9,6).Нагрузка, равномерно распределенная п о л и н и и [4]Для нагрузки, равномерно распределенной вдоль од¬ ной из средних линий плиты, свободно опертой по кон¬ туру, коэффициенты (для определения прогибов центра плиты по формуле (13.3) с заменой ра4 на рла3 сведены в табл. 13.5 (схема плиты дана на рис. 13.9).Таблица 13.5 Г4114 Значения а5 для плиты, свободно опертой по контуру (^ = 0)ЬНагрузка по линииаНагрузка по линии y=J"Ь}а1,01.21.52.01.01.21,52,0«в67,495,3125,1162.967,479,891,198,7
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ625Изгибающие моменты могут быть найдены при помо¬ щи табл. 13.3 при значениях а\=а, &i=0 и fli=0, b\=b.Сила, сосредоточенная в центре плиты [17]а)	Плита, опертая по контуру. Если положить, что сила Р распределена по площади малого круга радиу¬ сом с с центром в точке 5 (рис. 13.4, схема 0), то про¬ гиб центра плиты равенРа2шъ = аъ —.	(13.4)Изгибающие моменты вблизи центра плиты можно приближенно «аходить по формулам: = T“(X2ln-^- + l-^7l ); О3-5)4 тс \ ъС	/D / 2 а	\|Х21п + {1 •+ 72 ) •	(13.6)\ 1Г С	]Коэффициенты «5, 7i и 72 сведены в табл. 13.6.МхМТаблица 13.6 Г1ЛЗначения «5» 7i и 72 в формулах (13.4), (13.5) и (13.6)( И = 0)Ыа«5Ьh1.00,01160,5650,1351,21,40,01350,3500,1150,01480,2110,0851,60,01570,1250,0571.80,01620,0730,0372,00,01650,0420,0230,016900б) Плита, защемленная по контуру [17]. Прогиб в центре и изгибающий момент посередине длинной кром¬ ки от сосредоточенной в центре плиты силы Р могут быть найдены по табл. 13.7 (рис. 13.4, схема 9).Таблица 13.7 Г171 Значения а5 и ^ля определения w$ и Му2Ыа1,01,21.41,61,82,0аг50,0056 0,12570,00650,14900,00690.16040,00710,16510,00720,16670,00720,1674РФW = СС6 	5 D Му2= ~~^2РК в ад р ат н asI п ли т ана уп р у Гих опорахпод равномерно распределенной нагрузкой [4]Прогибы и изгибающие моменты находим по форму¬ лам:ра4вl =	Mx=hpa?\ My = ура2. (13.7)Коэффициенты «, Р и к приведены в табл. 13.8 дляследующих опорных закреплений (точки плиты и оси по¬ казаны на схеме 0 рис. 13.4; i — номер точки):1) плита, у которой две противоположные кромки упруго оперты, а остальные жестко оперты (плита а);40 Зак. 20982) плита, у которой все кромки упруго оперты (пли¬ та б).Изгибная жесткость всех упругих опор одинакова и равна EI.При /==0 для плиты б табл. 13.8 дает значения мо¬ ментов и прогибов для квадратной плиты, опертой в вершинах.Таблица 13.8 £41Значения а, р, 7 в (13.7) для плит с упругими опорами( fx = 0,25)100502510543210,50Плита аПлита б05 — Тб?1 = ?20,04570,04600,04630,04700,0489'0,05200,05340,05570,06030,07080,08590,1463000,00050,00160,00470,00970,01210,01590,02290,04040,06500,16240,0460 0,0460 0,0462 0,0467 0,0482 0,0505 0,0516 0,0534 0,0567 0,0650 0,0765 0,12300,04600,04600,04600,04580,04540,04470,04430,04380,04120,03850,03680,02300,04570,04630,04700,04830,05220,05840,06140,06610,07510,09820,13210,289200,0003 0,0008 0,0019 0,0050 0,0101 0,0125 0,0163 0,0237 0,0426 0 v0701 0,19710,04600,04620,04630,04670,04770,04940,05020,05150,05390,06010,06910,11090000,00020,00240,00650,00850,01170,01770,03320,05590,1527Некоторые типы ребристых плитТабл. 13.9 и 13.10 служат для определения изгибаю¬ щих моментов в следующих плитах:1) прямоугольная плита, свободно опертая по трем кромкам, снабжена ребром на четвертой кромке; на¬ грузка равномерно распределена (рис. 13.11);2) прямоугольная полоса, свободно опертая по кра¬ ям, снабжена рядом ребер на равных расстояниях друг от друга; нагрузка показана на рис. 13.12.Изгибающие моменты для точек, показанных на рис. 13.11 и 13.12, определяются по формулам (i — но¬ мер точки)&	„ 7(мх =Значения10* Р< и Vра*Му =(13-8)сведены в табл. 13.9 и 13.10.Таблица 13.9 Г121Значения р/’ и 7/ в (13.8) для плиты, представленной на рис. 13.11 ([л = 0,18)tjt456ЫаPi,Р.?1?2Р2Ti?2Pi^2ь0,6275-80175108257—16414044242—23511750,7316—130234118300—23619342286—321167—30,8349-179300125336-30425540325—403223—11
626РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫТаблица 13.10 Г12] Значения Р и ] в (13.8) для плиты, представленной на рис. 13.12 (fx = 0,18)	fjtЬ\а0,60,70,8208,190-14593—56108-193100-72120—242104—871за—5083-5582193 }—189 1Э1 35—5457274226-25333—3183164-3940-4238-8470—4334-222333-296 —3—372—10-5637-6840-3020—3119-311513.2.2. Методы определения деформаций и усилий в плитах	*В ряде случаев, не охваченных таблицами, могут быть полезны некоторые данные о методах расчета плит.Приведенные ниже методы и формулы для прямо¬ угольных плит при переходе к другим системам коор¬ динат (косоугольным, полярным) могут найти примене¬ ния для расчета плит другой формы.Прогибы плиты w определяются из дифференциаль¬ ного уравнения( д* д4 , д4 \ р^w = \w+2dMi*+~df)w-'' дх2ду2 [д2 д2 v^ = (^-2+^rL\>-2Г'(13.9)Формулы для усилий имеют видгJd* , <?2 Мх ~ (.At2 ** ду2, \Му = — Dдх2Мху = — D\xd2wдхдуд (д2 д2 \ Qx = ~° дк [dJ + dfj п д /а2 , д2\ Qy~ dyUt2+(?y2)W.(13.10)По кромкам плиты поперечную силу и крутящий мо¬ мент заменяют приведенной поперечной силой, направ¬ ленной так же, как и Q. Приведенные поперечные силы по кромкам ,*=const обозначают Q"piIB, а по кромке */=const — соответственно Q"pHB и определяют по фор¬ мулам [4]Qnp UB=Qx + ±Mxy=_D±.(r +дуд2 \ +x‘vT:дхд2 \ +1,*гг-(13.11)При этом, если приняты меры против поднятия углов, в угловых точках кромок плиты возникают сосредото¬ ченные силы, равныеd2wv—2DK'SSi-Функция w должна удовлетворять граничным усло¬ виям. На контуре плиты граничные условия зависят от опорных закреплений. Например, для кромки лг= =const:при свободном опирании на жесткую опору w = 0, Мх = 0 ;при свободном опирании на упругую опоруМх = 0, Q"xP™ = k)w;при упругом защемлении= > <Sp"“A,w;при жестком эгащемлении dww = 0, — =0;дхпри отсутствии усилиймх = 0; QUX Рив = 0.Здесь k\ и kz — коэффициенты, зависящие от упругих свойств опоры.Применение гиперболо¬ тригонометрических рядовПрогиб рассматривается как сумма двух составляю¬ щих:w = w0 + w*t	(13.13)где Wo удовлетворяет (13.9) при заданной нагрузке, а w* — при р= 0 и подобрано таким образом, чтобы в сумме с w0 обеспечить выполнение граничных условий.Член w*, а иногда и w0, выражают в виде ряда си¬ нусов или косинусов:w = 2 (Ах sh kx ++Л2 ch kx + Л3 kx ch kx ++ AJix sh kx)™ (13.14a)+ B2kxe~*x + B3 ekx—ИЛИw'=2 ( Bj e~kx + B2kxe~kx- BAkxekx)™%. (13.146)Рис. 13.13Каждый член (13.14) удовлетворяет (13.9) при р = 0.TZflПриняв k= и гс=1, 2, ..... найдем, что множитель аsin ky в (13.14) обеспечивает на кромках 1—2 и 3—4 (рис. 13.13) выполнение условий w=My=0, а множительcos ky обеспечивает на тех же кромках условия — =ду-Qy=Q5pHB=o.В табл. 13.11 приведены множители при постоянных Л/ и Bi для определения деформаций и усилий, соот¬ ветствующих (13.14). Множители при А2,А4 получаются из множителей при Ль Лз путем замены shkx на chkx,
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ627Таблица 13.11Множители при постоянных Л/ и В}Деформации и усилияСбщий множительA1AzB2dwdxsin ky cos kych kxchkx + kx sh kx— e~kx■a11dwdy, cosky ± k . sin kysh kxkx ch kxe-kxkxe kxмхD*’Sin*ycos ky— Xt sh kx— 2 sh kx — \\ kx ch kx- lxe-kxиj*1J***<1<MMyDk*Mycos kyX2 sh kx— 2 fA sh kx + X2&y ch kxV(2 (i + ’k1kx)e~kxMxy_ cos&y TDk2 . f J sin kyXx ch kxXj (ch kx -f kx sh kx)- x,e-**h (1 — kx) e~kxQxcos ky0— 2z\ikx0-2e~kxQy, cos ky ±Dk* . / sin Ay0— 2 sh kx02 e~kxQlIpHBcos kyXT ch kx— X2 ch kx + X, kx sh kx-\^~kx—(^2 4- Ъ-ikx) e^привcos ky T-Dk* . / sin ky\x sh kx2(1+Xx) sh kx-\-\\kx ch kx\ie~kx[Xifce —2(1 +X,)]e-**прямой симметрии относительно оси у.71У пхВведя обозначения а= ~—, р= ~— при п= 1. 3. ...2 а	2аи представив wo в виде ряда п—1Ара* V,	2 COS Па	(f,\W0= 	— 2j(—1) —— , n= 1.3,5,..., (б'определим А2 и Л4 для каждого члена ряда из условий закрепления кромок 2—3 и 1—4, а именноdw	% Ьw = 0 ; — =° при х = ± Ъ ; ft, = — . (в)Используя (а), (б), (в) и табл. 13.11, получим урав¬ ненияЛ-—12 4ш4Л2сЬпр0 +Л4лр05ЬпР0 + (—!) —ГТ^0; <г> Л2 Shn р0 + i44(sh«p0 + п р0 ch Л р0) = о .40*и наоборот. Множители при £3, £4 получаются из мно¬ жителей при В\, В2 путем замены k на —k.Постоянные в формулах (13.14) определяются из граничных условий на кромках *=const (рис. 13.13). Следует учесть, что члены при А\ и Аз в (13.14а) удов¬ летворяют условию косой симметрии, а члены при А2 и А\ — соответственно прямой симметрии относительно оси (рис. 13.13).Пример 13.2. У прямоугольной плиты, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, кромки 1—2 и3—4 свободно оперты, а кромки 2—3 и 1—4 жестко оперты (рис. 13.13). Задав в формуле (13.13)ю* = (А2 eh kx + А4 kx sh kx ) cos ky	(a)и приняв k=—— и я=1,3,..., мы удовлетворим нагруз- 2 аке, граничным условиям на кромках 1—2, 3—4 и условию
628РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫТаблица 13.12Суммы рядов Sv , , увеличенные в 10 000 разйIIоna = — 4-=45оa7C ” 2II8оa__3_ ” 4= 135°a=71 = 180°рS2<s3T,T*T4-5,—s31—S<|ir’T3Tt—So-s,T2T3Tt—S-i—s3—s*0,100,200,300,400,500,600,700,800,901,001 026 2 1103	2614	4935	8227	2768	894 10 748 12 999 16 4491	0132	0533	1244	2295	3726	5607	801 9 10610 497 12 0211 006 2 026 3 060 41095	1756	2597	3628	4889	640 10 823706 1406 2 0942	7603	3913	9774	5054	9645	349 5 655707 1412 2 1132	8073	4924	1624	8165	4486	056 6 6337071	4132	1192 8223	5224	2184	9095	5936	271 6 93973315202	3573	2744	2455	2756	3597	4868	6449	8197201	4662	2413	0443	8784	7425	6366	5587	5078	4787131	4402	1802	9343	7024	4855	2836	0966	9227	76325 99 220 385 590 830 1 101 1 3981	7172	05612 50 112 151 247 365 503 661 835 1 02662556991542202983864845929991	9912	9713	9334	8725	7866	6737	5318	3609	1601 0001	9972	9903	9774	9565	926 o 884 7 832 3 767 9 6901 0001	9992	9973	9924	9855	9746	9607	941 6 918 9 8897061	4092	1052	7913	4684	1344	7895	4326	063 6 6827071	4122	1152	8153	5114	2024	8895	5706	247 6 9187071	4142	1192	8243	5274	2284	9275	6256	3207	013683 1 3201	9172	4773	003 3 5003	9694	4144	8355	2396951	3662	0162	6453	2553	8464	4224	9815	5256	0567011	3902	0672	7343	3904	0364	6725	2995	9186	5274321	9082	8013	6584	4845	2816	0526	7987	5218	2259881	9532	8963	8204	7265	6146	4877	3448	186 9 01599419762	9473	9074	8575	7986	7297	8518	5659	470Р53ses7s*S6s7T5T6T7—5-,—s7T5ПT7—Se—S77\TeT7-s5—•£«-S70,250,500,751,002 520 5 084 7 697 10 3692 510 5 041 7 595 101742 505 5 020 7 546 10 0831767 3 531 5 287 7 0311 768 3 534 5 298 7 0591 768 3 535 5 302 7 0671 788 3 617 5 491 7 4091 778 3 376 5 396 7 2361 773 3 556 5 349 7 152197817330410398715451944782 499 4 995 7 483 9 9622 500 4 998 7 494 9 9872 500 4 999 7 498 9 9961 767 3 532 5 294 7 0501 768 3 534 5 299 7 0651 768 3 535 5 302 7 0681 749 3 4615	1396	7861758 3 4985	2206	9241 763 3 5165	2616	9962 481 4 926 7 339 9 7212 490 4 962 7 417 9 8562 495 4 981 7 458 9 926Определив Л2, Аа из (г) и подставив в (а) и (13.13), найдем решение задачи в виде ряда п— 14ра* у (—1) 2 /, sh п?п + ftftoCh пw & Ф Г sh«pochn^0 + "Po Ch ^+/гЭ sh п рп sh п ft sh п р0 ch п$о 4- лЭо(Д)(Подробности данного метода, а также применение двойных тригонометрических рядов см. [4, 15, 17, 20]).Суммирование тригонометрических рядовIПри решении задач об изгибе плит изложенным вы¬ ше способом существенную помощь может оказать воз¬ можность определения сумм бесконечных рядовS,= S n~V p"cosrta ; г„ = 2 n_v pnsin я a; p < i;n = 1,2,...; *-±(0,1,2...). (13.15)Те же ряды при л=1, 3, 5, ... будем обозначать Sv, 7/ Для рядов Sv, 7\, Sv, 7\ справедливы соотношения(—а) = 5V (а) ; 7V (- а) = - Tv (а);да ^ “ Т”-1 ’ да Tv 5,-1 ’’JL S =— ; -j- Г,-— 5ар р	др р’v—1(13.16)Суммы рядов Sv И rv могут быть определены через суммы рядов Sv и 7\ по формуламЪ («) = -у [ 5»— 5, (л— a) j ;Tv(ol) = ^-[rv(a)+7',("-«)]- (13-17)Кроме того, для этих рядов имеем формулыs.(-f +■)■—3. (-J- -•);ЧтЧ—Чт-)-(13.17a)Вычисление сумм Sv, Tv при » < 1 производят по формуламо	1 ,	г	. psinaSt= — — 1пЯ; 7\ = arctg —	;£	1 — р cosaSop (COSa — p)RГ,=p Sina(13.18)S_1 = T0 (ctg a - 2T0) ; = T0( 1 + 2S0); ./? = 1 — 2 p cos a + p2 .При V>1 суммы рядов 5V, 7v можно находить по табл. 13.12.Ряды 5V, 7V, 5V, Tv могут быть использованы так¬ же при вычислении сумм рядов5® = 2 2 пГv р" cosn а0 cos па;/г=1,2,...7^ = 2 A2“v рл sin /го0 sin Па;/г = 1, 2, ...S'= 2 2 p”sinrta0 cos «а;	(13.19)n = 1,2,...=2 S rc“"v рл cos/гяоsinrta I 1,2,...Суммирование производится по формулам
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ6295^ = («о — а) + Sv (а0 + а) > = Sv (а0 — а) — Sv (а0 + а); sv = Тн («О + а) + (“о — а) > T'V=T, (*0 + «)-Tw(a0-a).(13.20)Ряды (13.19) при /г=1, 3, 5,... будем обозначать *5®, Tv, и т. д. Для их определения следует только в(13.20)	заменить Sv, Tv на Sv, 7'v.Дифференцирование по « рядов (13.19) осущест¬ вляется по формуламд о0	 гр* . - д. у-о	 о' .да	Г*-1’ аа	>—	Т = 5да vV-1(13.21)При «о =п формулы (13.19) принимают вид S?=2Sv(*-a); 7^ = 0; S; = 0;Г; = -2 Г,(тс-а).(13.19а)Функции Sv, 7\ и т. д. при р=1 будем обозначать sv, U, s° и т. д.; sv при v =0, 2, 4,... и tv при v == —1, 1, 3,... в интервале 0<3 a < тс выражаются фор¬ мулами1 1тсаa21II— ; t]=—(тс2 ’ 1 2— a); SsTC2a’7toaтс2а+ 6 ;IIi3|1T"+~6*(13.22)_ TC— TC*тса 	TC2aтса2^ = T:11I00IIto—; h 4 3= T “~lTmПоследующие значения могут быть найдены из соот¬ ношенийS,+1 *=— J t,da+ сг; /v+2 = j Sv+1rfa+ c2 ;<,+2(0) = <,+2<’:) = 0.Пример 13.3_	тс2a2 тса3	_Sl	j^da	— +	+ C, ; *5= j s4rfa=(13.22a)16 24 тса4=“1Г + _9б"+С,а + С2(a)Из условии ^5(0) =0 И ^5 ( ^ ) =0 находим С2=0 иС1 —96Следовательно: тса32Г_ тс4 тса3 тс2а2 — тс4а тс2а3 тса4+ ЧГ~ 1б"’ *5 = "<ЙГ ~ *48” + "шГ(б)Энергетические методы [14, 15, 17]Эти методы основаны на вариационном принципе ЛагранжаS(U) — fpb(w)dF ■= 0 .(13.23)Здесь U — потенциальная энергия плиты, определяе¬ мая по формуле-(т^гЛИ (,“4>й(о>) — возможные вариации w% т. е. такие малые изменения w, которые допускаются опорными устройствами кромок; b(U)—вариация U, вызванная 6(ш);F — площадь срединной поверхности плиты;X, —см. 13.1.1;а)	Метод Лагранжа—Ритца. Представим w в виде рядаw='Zaefi; i—1,2, ...,л,	(13.25)где ai — постоянные;<р*—функции, удовлетворяющие кинематическим граничным условиям плиты.Для определения ai в (13.25) следует решить систему канонических линейных уравненийai + Я2&21 + ... -+■ апЬпj = Дх;а1^12 + 02^22 + • • • = Д2 (13.26)Коэффициенты и свободные чЛены Д/ находят по формулам»й	vV -2	+С'2Ь д'гп	o^k JJjf(13.27)+оу2 ox2 dxoy dxdyД-- = J P'-fidF .б)	Метод Бубнова—Галеркина. Если <р* в (13.25J удовлетворяют всем граничным условиям плиты, то ва¬ риационное, уравнение (13.23) сводится к^(Dy*w — p)h(w)dF =0; = у* {^w) . (13.23а)Параметры а/ в (13.25) при этом определяются из уравнений (13.26); коэффициенты А/ и в (13.26) находят по формулам% =&*/= J (D у* yOybdF *. А* = J P<?t dF . (13.26а)Пример 13.4. Плита, защемленная по контуру, за¬ гружена равномерно распределенной нагрузкой (рис. 13.13).Приняв в (13.25)„ inx my*< = cos 1TC0S IT •(a)
630РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫмы удовлетворим всем граничным условиям, а именно ш=0,CW	OW— =0 при у = ± а и w = — — = 0 при х = ± о . ду	дхПоэтому коэффициенты уравнений (13.26) можно определять по формулам (13.26а). Ограничившись пер¬ вой функцией <?/ в (а), найдем, что система (13.26) ..сведется к одному уравнению:ох6и + Д, = 0 ,	(б)гдеDti4«п =0 JV <h) ЬОТ-мр Р(«* + + 2аЦ21 =Гдг = abp ,	(в)откуда	16 aWp	(г)ai_ ^D[3(a4 + ^) + 2a26a]Формула (г) дает такие значения Шщахпри следую¬ щих соотношениях размеров плиты:ра4для a = b wmax = 0,0205 ;Ь	П пхкс Ра*ДЛЯ а=— ЬУтах = 0»0455	•Точное решение [4] дает значения коэффициентов при , равные соответственно 0,0202 и 0,0405.Численные методы [13, 15, 17]Метод Маркуса [13] оснозан на разложении уравне¬ ния (13.9) на два уравнения второго порядка и замене дифференциальных зависимостей уравнениями в конеч¬ ных разностях.Введя обозначение М для так называемой суммы мо¬ ментовМ = —DV2w=-^-(Mx+Му) , (13.28)дг_дхд2гдх2*1 —z3Zi + г3 — 2г0V12 'dzдуd2z ду2 J*4 —*2 * 2vy ’*4 + *2 — 2 Z0(13.30)д2г ^ fe + z7) — (ze + Zg) дхду	4vrvyОтсюда следует, что уравнения (13.29) могут быть написаны для узла 0:v£ (Mj + М3—2М0) + N* (М2 + УИ4 — 2Atf0) =D2 2 V v . ух уи(13.31а)(13.316)Если значения М и w для контура плиты заданы, то из уравнений (13.31а), составленных для всех внутрен¬ них узлов сетки, можно определить значения М, а из уравнений (13.316) —затем и значения w. Когда М и w для узловых точек срединной поверхности определе¬ ны, то усилия могут быть найдены по формуламc*2wМх = М + XiD ; Му = Х2 М — Мх;МХу _ -d2w	дМ^ л л * ~ ~я * дхду	дхдМ ппий=— ; Q2P = Q* + —- -дуQvP“B =Qy +<?Мдх(13.32)Здесь производные определяются по (13.30). ЕслиСlwось х совпадает с контуром плиты, то производные d2w d?w—- и ——для узла 0, расположенного на оси х, нахо- ду2 дхдудим по формулам/ cw \ __ г4 — г0 \ оу )о	vy/ d2w \	М0 d2w W*"дх2 ’/ \	(Z5 -Ь Z; ) — (*1 -Г *8? \ дхду Jo^х^у(13.30а)dw d2wа величины “—, *тт" —по формулам (13.30). дх дх2представим (13.9) в виде двух уравнений: уШ = — р; у ш = — ~"Ц~ •(13.29)Пусть срединная плоскость плиты разбита сеткой на прямоугольные ячейки (рис. 13.14,а) (см. 11.4). Если z = f(x, у) определена для узловых точек сетки, то для узла 0 приближенно имеемДанный способ расчета особенно удобен для прямо¬ угольных плит, свободно опертых на жесткий контур. Для точек контура таких плит M=w=0.Пример 13.5 Свободно опертая по контуру квадрат¬ ная плита (рис. 13.14,6) загружена p=const. Симмет¬ ричные узлы сетки обозначены одинаковыми номерами. аТак как = vy =—, то уравнения (13.31а) примут вид
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ631(справа в скобках показан узел, для которого составле¬ но уравнение)(а)а2= -/>—;<>>а2—Р —(2)а2-Р-’—	4 М0 + 4 М х = —роткуда М0=0,281 ра2; Mi=0,219 ра2; М2=0,172 ра2.Используя (13.316), получим аналогичную систему уравнений:4D (до0 + 2до2 — 4дох) = — Mi a2; 'j4Z) (—4 до2 + 2ш0 = — М2 я2; 1 (б)4D (— 4до0 + 4 дох) = — MQa2, jоткуда Dwq = 0,0644 ра4; £до1 = 0,0469 ра4; £>ДО2 = =0,0342 ра4.Более точные значения до в узлах, найденные при помощи решения в рядах, равны: /)до2=0,0469 ра4; Dwo= =0,0635 ра4 [4]. Зная до в узлах, найдем по (13.28),(13.30), (13.32) значения Мх* Щ Для узлов 0, 1 при f* =0,3 (в скобках приведены более точные значения тех же величин [4]):(Мх) 0= (Му) 0=	= о, 183раг(0,192/70*);2до0 — 2wx= 0,136 ра2 (0,142 ра2);(My)l = 12Мг — (MJi = 0,171 ра2(0,156ра2) .Если для узловых точек контура плиты значения М и w заранее неизвестны, то решение задачи существенно осложняется. В этом случае следует из уравнений(13.31)	выразить М и до для внутренних узловых точек плиты через основные неизвестные М* и до* на контуре, а затем из граничных условий на контуре найти эти лишние неизвестные. Удобнее всего это осуществить следующим образом. Пусть в рассмотренном выше при¬ мере кромка у=а жестко защемлена, а остальные сво¬ бодно оперты. В качестве основного примем решение для заданной нагрузки при свободном опяра-нии на опо¬ ры по периметру. Далее, полагаем для кромки у=аМ* « а^х + 02<р2; ДО* = 0 ,	(а)гдетех	OTZX91=cos — и ?2=cos_.Затем решаем задачу об изгибе плиты дважды при р=0, полагая для кромки у=а= = 1,2) до* = 0 ,а для ©стального контураМ* = до* = 0 .Эти решения будем называть вспомогательными. Пустьdwдля этих вспомогательных решений величина”^" дляЕсли для рассматриваемой плиты кромка у=а сво¬ бодна от усилий, то для нее следует положитьМ* = + «ад; w* = 6,4*1 + Ь24*2 (в)и рассмотреть четыре вспомогательных решения (р=0);М* — (pt; до* = 0 для кромки у = а;М* = 0 ; до* = ф/ для кромки у2.	(г)Постоянные а/ и 6» в (в) находим из граничных ус¬ ловий для точек 3, 4 кромки у=а, а именно Alv = =0.13.2.3.	Формулы и приемы для определения прогибов и усилий прямоугольных плитНиже приведены формулы и приемы, позволяющие эффективно определять прогибы и усилия многих прямо¬ угольных плит.Плиты в виде бесконечной полосыПлита в виде бесконечной полосы отнесена к осям х, у (рис. 13.15, а). Решение для такой полосы может быть использовано для расчета плиты конечных разме¬ ров, рассматриваемой как часть бесконечной полосы.о)*Ус-1I—*-б)-у 0Рис. 13.15Если нагрузка на полосу не меняется по длине (рл и р — функции только у) у то плита изгибается по ци¬ линдрической поверхности w=f(y). Уравнение (13.9)превращается в	w “ Р •Определение до в этом случае тождественно нахож¬ дению прогибов изогнутой балки с заменой жесткости балки EI цилиндрической жесткостью плиты D (см. 13.1.1).Для других нагрузок простые решения получаем при следующих граничных условиях на кромках полосы */=const:точек /=3, 4 кромки у=а будет bi3t bUt а от основного а) до — Му _ 0 (решение в ф>нкциях 7\ , /v),решения Доз» ^«4* Тогда для определения параметроваи ач в (а) получим уравненияЛ1^13 Н“ Л2^28“Ь ^03 == 0 ’агЬы -f- а2§24 “Ь ^04 == 0 •(б)dw	^б)	= Qv = 0 (решение в функциях Sv, sv )ду[см. (13.15)—(13.22) и табл. 13.12].(13.33)
632РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫПриводим соответствующие формулы для w при *>0 и следующих обозначениях:тzy	пус	пха = 	; а0 =	; р = 	;а	а	аk =Р = е(13.34)а) Сосредоточенная сила Р в точке с (рис. 13.15)[w(—x)=w(x)}\4iYlaD(13.36)б) Пара сил в точке с (пара, вращающая отно¬ сительно оси у) fш|(—х) =—w (х) ]:4пЮа гЛ ^У(13.36а)в) Пара сил М° в точке с (пара, вращающая отно¬ сительно оси х) [w (—x)=ai(.*)]:К*М°га(S2+ p5j).4пЮ(13.366)г) Нагрузка, распределенная на отрезке О—с (рис. 13.15) [w(—x)=w(x)\:1) равномерно с интенсивностью рл =/?о-^гя12Г.-г<+р(ст»-7'8)].4A^DРо** , 00'\ , Го Ус* в частности, при ус=а и ао=7С(5; + р53)+ 12д£>,= 7Сй^-(Г. + т;(13.37)iv4D12D(13.37a)2) гидростатически с интенсивностью рл=Роа Р"а3 [т«- a0T4+V( 7^-a„r;)] ; 1W =4 т.Ю Р(>й*4TZ*D [а°^4 ^	Ка°^з+, св_2о\1,+ 4 4/J + 24eD .(13.38)в частности, при ус=а\ ао = те2*8D[74(тс__ а) + рТ3(тс — а)] ;w=Ml(3- + ^ + JVLlL.k*D 5 к 47 24D(13.38a)д) Нагрузка, распределенная по прямой у=ус по за¬ кону степенного полинома рл =ЛР):/78W -пЮ(13.39)ЗдесьРл=-dlm*JPApa (dpy (рл(13.39a)e) Моментная нагрузка, распределенная по прямой у=ус по закону степенного полинома с интенсивностью m=f(P ) (нагрузка вращает относительно оси х):w^-^—(mi3+2mfft5 + ...);а* n*Dw =	(m S3 + 2m* s5 + ...) .(13.40)Здесь m" определяется по формулам, аналогичным (13.39а).ж) Нагрузка, распределенная по всей поверхности полосы;1) нагрузка с интенсивностью p=po+PiPW4ра* _~ш{р,+ Тл?):(13.41а)2) нагрузка с интенсивностью p=(po+piP)a 2ра* —w = ■Ti4a D— a) ;4ра* — t тсх4 / t p$ \ W=~~^D S* + 4&d[Po + 5 J'(13.416)Производные от функций 5, T9 s, t могут быть опре¬ делены по формулам (13.16) и (13.21). В табл. 13.13 сведены формулы, по которым можно непосредственно вычислить деформации и усилия полосы от рассмотрен¬ ных выше нагрузок.Формулы табл. 13.13 по сути не изменятся, если S„t sv заменить 7\, fv, и наоборот. Надо только учесть, что при замене SvHa 5®, «Sv, ТTv, 7\ следует Fv заме¬ нить соответственно на Тv, Т®, ——S®, —Sv.Пример 13.6. Определить изгибающие и крутящий' моменты в бесконечной полосе со свободно опертыми кромками от сосредоточенной силы, приложенной в точ-
13..'. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ плиты633Формулы для деформаций и усилий плиты в виде бесконечной полосы — jТаблица 13.13wS,PSv1 pS,dwdx— 75v—i7(5V-P5V_,)TP's,dw~dy-YP^v-l—wK-iMx-hDfS„_2D? ( f*/>sv_2 — p"s4)MyP5v_2)D? ( /»,_2 + W>4)Mry— XxDhD?(T4_ l-$Tv_2)lxDfp'tQx0-2£>y3(p'sv-2— p"4)Qy0-2 Z>r»rv_2^(p^v-1-^-з)QlIpHB-XxDf5v_з— D 73(X25v_2 + 	3)+ M p's,_2-p"4]дПрИВ-W7\_3OT(*[>.iF,_3-2(1+X1)7’v_2]J>r3[f 1 + ^x) РЧ_2-Р*,-з]ке с (рис. 13.15а). Используя обозначения (13.34), за¬ пишем решение данной задачи по формуле (13.35).<а>Здесь Г° находится по (13.18), (13.19) и табл. 13.12. Тогда по табл! 13.13 найдемPa* Dr* [~ hTi +(2Г® - ^7*)] == 4я (Х2^1 — ^То) •Аналогично находим% = -[(1 - 3(1)7*-А^ТОhPМху 4те Р5о '(б)(в)ТJ и 5о определяют по (13.18') и (13.19).По формулам (б), (в) в месте приложения сосре¬ доточенных сил и пар получаются бесконечно большие усилия. В действительности нагрузка не может быть сосредоточенной в точке, а всегда распределяется по некоторой площади. Формулы для усилий от сосредо¬ точенных сил верны для точек, удаленных от места приложения нагрузки на расстояние 2/г-т- ЗА.Плиты в виде по л у бескоие ч н о й полосыДля полосы, ограниченной кромкой х=—b (рис. 13.15, б) и бесконечно простирающейся в направлении х-* оо, решение ищем в форме (13.13).w — WQ + W* .Приняв, что граничные условия по кромкам у=0 и у=а соответствуют (13.33), получим, что wo для задан¬ ной нагрузки при обозначениях (13.34) определяется формулами (13.35) — (13.41). Член w0 вызовет по кром¬ ке х=—b некоторые усилия и деформации, выраженные в функциях S,f 7V. Эти величины могут быть представ¬ лены в виде рядов. Пусть по кромке х=—Ъ от wq воз¬ никаетSsin ky	д V1	sin kyи *	Л ^ =	А *cos ky	дх ^	cos ky=£Mr =sin ky cos kyQTB =2^sin ky cos ky(13.42)Отнесем к осям x\, y\ и примем. V/ ~kxi -**t\Sinfcy	xov
634РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫпостоянные В\ и В2 в зависимости от граничных усло¬ вий по кромке х=—Ъ находят по формулам:а)	жестко защемленная кромкаБ, = — d; fi2 = — -|-(dk + d'); (13.44а) ftб)	кромка, свободно опертая на жесткую опоруBi — — d: В2 = - 4"(М+^): (13’44б)в) кромка, свободная от опорных закреплений 2 t-\-l2km _ t— km(13.44в)X^D*8 ’ “ XsDfc3С ростом *i функция to* быстро убывает. Функция ад* может быть представлена, как и адо, через функции,rv.Пример 13.7. В точке с (рис. 13.15,6) полосы дей¬ ствует сила Р. Кромки полосы у=0 и у=а свободно оперты, а кромка х=—Ъ жестко защемлена. По формуле (13.35) при обозначениях (13.34) и табл. 13.13 находимw» = “ГТРГ ( 7 з + Р7 2) *4t?D дЩ,=_ Ра дто дх 4it*D 1 ’(а)Введя обозначения Ро=—~— е и учитывая, чтоа(а) определено для *>0, а для дс<0 имеем соотношение ад(—x)=w(x), найдем для кромки x=—Ъ [см. форму¬ лы (13.19)1Ра*Щ =	[ *з (Ро) + №г(Ро) ] =Ра22ъЮ2 (■? + it ) е~п% sin«“оsin n в;о	Ра л^о— Л_9 ГЛ 1 (Ро)=дх4 %ЮРа2тс 2Dе ^sin п а0 sin л а .(б)Сравнив (б) и (13.42), получим Ра2 ( 1а =Ра В0 « d'=2^-~e 3osinraa*- Затем по формулам (13.44а) найдем В\ и В2: Ра2 /1 Во\в'—Ре2 / 1 230 \(В)(г^Подставив (г) в (13.43) и воспользовавшись форму¬ лами (13.19), получим слагаемое ад*:Ра2= — 2n3D [ ^	^ ^ ‘Здесь 7\ есть функции «ъ Pi, pi, которые находят по формулам*У\ . -ч «1 = ——; Pi = —Г?i= е—Р®—Pi(е)Плиты, у которых две противолежащие кромки свободно оперты на жесткие опорыКромкиjr = ± —свободно оперты (рис. 13.16). Тогдадля этих кромок w = My= 0; решение ищем в фор¬ ме (13.13)w = Wq -f- ад* ,где оба слагаемых представляют собой ряды синусов или выражены через функции 7\, tv.Слагаемоеадо находим по формулам (13.35)—(13.41), Слагаемое ад* можно определять следующим образом:а)	приняв для ад* выражение (13.14а), определяемbпостоянные Ai из граничных условий на кромках *=it“(см. пример 13.2); полученный ряд сходится тем лучше, bчем больше отношение — и меньше координата точ¬ ки х;б)	приняв ад* равнымw* = Ш,(хг, у,) + ш2(*2 ,у2) + w3(x,y), (13.45)Т'\\-Л1 л //X, X//\\\-I— а - Рис. 13.16где ад] и w2 определяются для кромок *1=0 и х2= 0 по фор¬ мулам (13.43), (13.44), как для полубесконечной плиты.Если 6>2а, то адз в (13.45) можно принять равным нулю.Если Ь<£а, то следует опреде¬ лить искажение граничных ус¬ ловий, вызванное ад! на кромке х\ = b и w2 на кромке х2 = b, а затем, придав адз форму (13.14а), определить постоян¬ ные Ai таким образом, чтобы погасить эти искажения. Полу¬ ченный ряд для ад3 сходится весьма быстро. Для большин¬ ства задач достаточно вычислить один — два члена ряда.Пример 13.8. Рассмотрим задачу об определении прогибов от сосредоточенной силы в центре квадратнойbплиты (Ь=а), у которой кромки *=+ —жестко защем- алены, а кромки у=+—свободно оперты (рис. 13.16) <Слагаемые Wo(x, у) и w\(x\, у{) были для аналогичных граничных условий найдены в примере 13.7. Так как ус на рис. 13.15 следует для данной задачи принять равным а	тс— , то а0 = —, и, следовательно, используя (13.17) и (13.20), найдем(а)учитывая, что на рис. 13.16 ось х сдвинута по сравне¬ нию с рис. 13.15, найдем, что функции Tv в (а) и (д)примера 13.6 следует заменить на 2Sv(a). Следова¬ тельно:Ра2 , — — ч	ъх	л у2^D (5з + р52); Р= в ; а= —:Р = е_Р;	(б)
13,2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ635Ра? [—Pi =2кЮпхг[* + + Pi] «^г+^РАicyi]‘аг =pi = е(в)а	а*Член ш2(дсг, у2) выражается формулой, идентичной— -Йш TZX2	2(в), с заменой Pi, pi на Рг, Рг при Рг = ~ и Р2=еИскажение граничных условий на кромке х\—Ъ отw, при Pi = е 2 =0,00898 и ^ = я равноw w— (1 + — *+**) 0,00898 cos а =\ 2 j2nWРа2= — 0,1399 ^"777 cos а ;2n3Ddwдх;	+7t0 0,00898 COS а =2пЮ \ 2	/Ра1= 0,1027 —— cos а 2k°D(г)Отнесем ш3 в (13.45) к осям г/ (рис. 13.16) и, учи¬ тывая симметрию относительно оси у, запишем этот член в виде(кх я пх кх \А2 ch	+ Л4	sh cosa; (д)а	а а ]апостоянные Аг и А± найдем из условия, что при dwпрогиб w и угол от суммы (г) и (д) равны нулю. Соответствующие уравнения имеют видл3 Ch Y + At -J- chу -0,-1399 — = 0;те	{ те те TC \Аг sh — + At |sh — + — ch уj +Pa*+.0,1027 ;гт7Г =0 ,откудаЛ2 = 0,16942тi3D Pa2(e)2n3Dи Ал = —0,07891Pa22it3DЗная Л2 и Л4, можно определить прогибы и усилия в любой точке плиты.	_Например, для центра плиты (р = 0; р = 1; pi— р2 ==	р! = р2 = е =0,0432) прогиб равен2 ’Ра2 Г 1,2021 +0,9015W = ;2*®D[-Ра2/	те2 \	1	Лз—	2*0,0432 (1+W+ —1 + 0,1694 «0,0071 —Здесь первое слагаемое представляет собой значе¬ ние S3 для р =0 и a =0, найденное по (13.17) и табл. 13.12.Плиты, опертые по периметру с частично или полностью защемленными кромкамиЕсли такие плиты не имеют двух противолежащих свободно опертых кромок, то их удобно рассчитывать как статически неопределимые конструкции. В качестве основной системы примем плиту, свободно опертую по периметру под заданной нагрузкой, а за не¬ известные — опорные моменты на защемленных кромках. Опорные моменты на кромках х=0, b и у=0, а (рис. 13.17) задаем в виде7л sm7тупПу(13.46)Рис. 13.17При наличии прямой или ко¬ сой симметрии достаточно при¬ нять /1=1; 3 или п=2; 4.Для определения параметров о, f составляем урав¬ нения деформации, для чего приравниваем нулю приdwжестком защвхмлении суммарные значения dwдхдля кро¬мок х=0, b и для кромок у=0, а в отдельныхточках рассматриваемых кромок. При упругом защем- dw dwлении приравниваем и — к углам поворота соот¬ ветствующих сечений опор.Ниже приведены таблицы для определения основных расчетных величин плиты (рис. 13.17), свободно опертой по контуру и загруженной по кромке *=0 опорными моментами, распределенными по законутелуМх = sin —— = sin a(13.47)Прогибы, углы наклона касательной и усилия нахо¬ дим по формулам9о	dw	<?i .W = ~ZT7Z Sina ; —— = -3т- sin a ;9оDk2 7 dx DkMx= (<p2 — 4?o) sina;•COS a ;dwdy Dk My = (Xjip,, + ц<р2) sin a;Mxу = — X1<Pl cos a ;Qx = ky3 sina ; Qy = ky2 cos a;Q"p = k(f3 + Xj-fiJsin a ; <?7ив=*[(2-(1)?2-Х1?0] .Здесь и в (13.49) приняты обозначения:71/2{з = kx; р0 = kb ; k =	;аPi = Ро + Р *. Рг = Ро — Р »(13.48)a = ky ;а коэффициенты щ приведены в табл. 13.14. Следует учесть, что для х=0 коэффициенты «р2= ср0 =0, а для х=Ь коэффициенты <р0 =0 и »2 = 1- Пользуясь табл. 13.14, легко составить уравнения деформации и опре¬ делить параметры 7» & в (13.46).
636РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫТаблица 13.14Значения щ в (13.48), увеличенные в 10 МО разVIч ь_оЬ0,50,60,70,80,91.01,21.41.61.82,00,24725566076256175884953872882071450,48519881 1291 1871 1981 17110468787085564289о0,59721 17413191 406144214351 3361 1759988286750,61 0451 2511 4271 54716161 6431 60214851 3341 17410160,882310371 2251 3831 51016111 7461 8141 8351 82417880154815131 40812611097932640418264163990,214081 3961 322120910779406874833312241490,494910251 0039849448927696405204153259л0,653150248347437515627682688666615т 10,8-1 467—1 448-1 357-1 219—1 055- 880— 537— 234152143651.0—3 969—4 326—4 570—4 732—4 836—4 901—4 965—4 988-4 996-4 999—5 0000,21 3881 200102085570858138124515597600,42 9142 5722 240193016481398991693481332229<Ра0,53 7753 3832 9982 6332 297199314841 0968045904310,64 7854 3143 9013 5033 1302 7862 1911 7131 33610418100,87 0166 6776 3295 9805 6395 3104 6964 1463 6583 2272 84604 3453 1032 24616311 17786546124613170370,24 5613 3322 46618411 3821 042599347213120710,45 2324 0353 1722 5272 03116441093736499340232Ъ0,66 4795 3174 5013 8643 3472 9172 23917311 3421 0448100,88 2527 3656 7156 1985 7635 3804 7194 1543 6613 2272 8461,010 90410 47210 2491013210 07010 03810 01110 00310 00110 00010 000При — >2 функции 7, можно находить по формулам [(см. обозначения (13.48)1 аj; ъ 91	+/H34Pi-l)]; ь ~ е ™+еПример 13.9 Рассмотрим квадратную плиту с за¬ щемленными кромками под равномерно распределен¬ ной нагрузкой (рис. 13.17 при Ь=а). Построив по ана¬ логии с предшествующей задачей (пример 13.8) решение для квадратной плиты, опертой по контуру и загружен¬ ной равномерно распределенной нагрузкой, найдем для середины кромки х=0dw0дх1,3024ра3 tJD(а)По симметрии опорные моменты на всех кромках из¬ меняются по одному закону. Приняв для кромки х=0 опорный момент в первом приближении равнымМх — 7 sin -(б)найдем по (13.48) и по табл. 13.14 для середины рас¬ сматриваемой Кр0МКИow -\а дх 1zDЫ*=0+ (Ъ)х=Ь +2ШХ = ±2= — (0,4901 + 0,0932 + 2-0,1435) = 0,8703 . (в) itD	kDПриняв сумму (а) и (в) равной нулю, найдем 7 = Мтах = — 0,0483 ра2 .(Г)(13.49)Более точное решение [4] дает значение максимальногоопорного момента Мтах=—0,0517 ра2.Ньразрезные плитыРазрежем плиту над всеми промежуточными опорами и приложим по всем разрезам опорные моменты, кото¬ рые выражаем по (13.46). Для определения параметров Ъ в в (13.46) составляем уравнения деформации, при¬равнивая друг другу углы наклона касательных для отдельных плит, на которые разрезана конструкция, в ряде точек по линиям разреза. Углы наклона касатель¬ ной от опорных моментов могут быть определены при помощи табл. 13.14.•	Пример 13.1 U. Рассмотрим трехпролетную неразрез¬ ную плиту, свободно опертую по контуру и вдоль ли¬ ний 1-1 и 2-2 (рис. 13.18). Заштрихованная часть плиты загружена равномерно распределенной нагрузкой. На опорах 1-1 и 2-2 опорные моменты Мх в первом прибли¬ жении равны
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫАЛ	• ПУMi = *YiSin 	 ;ат.уМ2 = 70 sin	. (а)аОпределяя, так же как в примере 13.9, углы наклона касательных для средних тачек опор 1-1 и 2-2 каждого пролета и приравнивая их, получим два уравнения де¬ формаций:— 1,3024ра67Z*DtzD= 0,4901 — + 0,0932 — + 1,3024-71D	71D-	1,3024—	0,4901pa*7c4D 72^-0,0932jia_ r,D 'r =0,49017iD	itD(6)Решив эти уравнения, найдем7i = max Мг = — 0,0832pa2 ;72 = max M2 = — 0,0350 pa2.	(в)Более точные значения этих величин, найденные в [4], будутmax Mi = — 0,0804ря2; max М2 = — 0,0339ра2 . (г)Плиты, у которых две параллельные кромки жестко защемленыДля таких плит (см. рис. 13.16) при нагрузке, симмет¬ ричной относительно оси х, целесообразно применять следующий способ расчета. Построим для заданной на¬ грузки решение в виде (13.13), принимая, что оба сла¬ гаемых выражены рядами косинусов или функциями Построение решения целиком аналогично изложенно¬ му выше для плит с двумя противолежащими свободно опертыми кромками. Полученное таким образом решениеa	dwудовлетворяет на кромках у=±—условию~ =0, а на2	дуЬкромках х=±■всем заданным условиям.Чтобы удовлетворить последнему граничному усло- авию w—0 при	следует построить аналогичнымобразом дополнительные решения для сил, распределен- bных вдоль кромок y=dz~по закону степенных функ¬ ций pi (*). (Большей частью достаточно построить одно—два дополнительных решения.)Для таких дополнительных решений слагаемое wQ(xu )Ч) (13.13) находим по формуле (13.39), полагаяш0Р =2пхга1 -IV<*о = 0:Р +Pst + 2p’s6+-')■(13.50)Слагаемое w* в (13.13) для дополнительных решений находим так же, как и для основной нагрузки. Суммируя основное и дополнительные решения, определяем пара¬ метры А дополнительных решений, приравнивая нулюапрогибы в ряде точек кромок у = ± — .637Пример 13.11. Защемленная по периметру плита (рис. 13Л9). Нагрузка — равномерно распределенная а) Действие нагрузки.Решение ищем в форме (13.13). Оба слагаемых от¬ носим к осям Хи у\. По формуле (13.41,а),= РЛ. •24D— *> (а)так как Wq не зависит от У\ то, принявw* =	+ в2х* +240+ + -^4)(б)и определив Bi из условий жесткого защемления кромок *1=0 и х\=а, найдем решение для нагрузки:рА24D(хг — а)2(в)б) Действие реактивных сил по крочкам у\=0 и У\=а. Решение также ищем в форме (13.13). Вводим обозначения:2кх—; Pi =а2кхЛ2tzxq2пуО. — Otj — ОС 2 —-аСлагаемое w0 относим к осям xi, у\. Положив в пер¬ вом приближении—IVР = s4Oi) — s4(0) , (г)p=s0($1) = — — ;найдем по формуле (13.50)w0 = A [s4 (pj) — s4(0) — s4(a)] .(Д)Второй член w* ищем в виде (13.45). Из (д) следует, что для *1=0 и х\=Ь=аd' = 0.(е)Следовательно, по (13.44а) найдем постоянные В\ и Вг слагаемого w 1:В, = В2 = .—PiПриняв Pi = е , получимwi(xi>yi) = MSi + р53).(ж)(з)-ftИдентично выражается w2(x2, #2) при р2=б . Для определения найдем искажение граничных условий,вызываемое w\ на кромке х\=а при р1=2тс и pi=e “ =0,00187:w = 0,00187 (1 + 27t) A cos a = 0,01362 A cos а ;dw	2tz—- = —0,00187 	2г. A cos a =дх	а= — 0,0175Л2т,■ cos a ,(И)
638РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫАналогичные искажения вызывает W2 на кромке Х2=а. Учитывая симметрию относительно оси у (рис. 13.19), придадим Wz(x, у) вид (см. 13.14а)w3 = (А2 ch р + Л4р shP) cos а .	(к)ПостоянЧые Л2 и Аа находим из условия, чтоадолжно погасить на кромках	искажения гра¬ничных условий, вызванные wi и w2. Решив систему двух уравнений [см. (д) и (е) в примере 13.8], найдемА2 = 0,00815Л; Л4= — 0,00223 Л.	(л)в)	Определение параметра А. Определяем для точек х=±0,1а; у— 0 суммарный прогиб от (в), (д), (з) и (к) и приравниваем его нулю:0,0024DоткудаЛ = 0.0009432,546 Л = 0 , ра*D(м)(н)Ребристые прямоугольные плитыЕсли плита имеет одно—два ребра, то расчет ведем следующим образом.Отделим ребра от плиты и приложим силы взаимо¬ действия. Эти силы схематически представлены на рис. 13.20. Они вводятся:а)	к нагрузке, распределенной вдоль ребра с интен¬ сивностью р л\ эта нагрузка изгибает ребро и плиту;б)	к парам, распределенным вдоль ребра с интенсив¬ ностью т; эта нагрузка изгибает плиту и скручивает ребро.Задаем интенсивности рл и m в виде Ря = “1 Ч>1 + »2?2	т = + Р2ф2 + ..., (13.51)где ft и <bi — функции от * или у, а <ч и {Зг — постоян- ные, которые следует определить, приравнивая дефор¬ мации ребра и плиты в ряде сечений.Деформации ребра (прогибы и углы поворота сече¬ ний от закручивания) определяются по формулам раз¬ дела 5.Для плит, у которых кромки, перпендикулярные реб¬ ру, свободно оперты на жесткие опоры, целесообразно функции и ф/ в (13.51) задать в видеПоложив%Пу= sin ky ; k =ппа(13.51а)w = w0 + w*найдем для wo при х>0 следующие формулы (при в=1):а)	для рл [w(x)—w{—x)]„—kx= —4 Dk3.(1 + kx) sinky ; (13.52a)б) для m [w(x)=—w(—x)]л—kxWq =4Dk*(kx) sin ky .(13.526)Слагаемому w* придаем вид (13.14) и определяем по¬ стоянные в w* из граничных условий на кромках *=const.Пример 13.12. Квадратная плита свободно оперта по пе¬ риметру и подкреплена двумя одинаковыми ребрами жест¬ кости, расположенными по осям симметрии плиты. На¬ грузка — равномерно распре¬ деленная (рис. 13.21). Отноше¬ ние жесткостей ребра Dp и Dpплиты Dn равно -г— = 10а;fx =0,15.В силу симметрии на ребра передается только нагрузка рл. Приняв для обоих ребер в первом приближенииРис. 13.21Рл = <*¥ = * sin ky ; k =	,CL(a)найдем уравнение срединной поверхности плиты от сил противодействия ребра, совпадающего с осью и в фор¬ ме (13.13).Определим коэффициенты d0 и то (13.42) для кромок а^=+“^~от wq, определяемого (13.52) [используем фор¬ мулы (13.52а) и табл. 13.13]:d0 —В0,5344аВВ= 4£)п £3=4 7тЗ £)п азе-*/2 аВ= 0,0385Dn k2 a В(б)Второй член в (13.13) ш* задаем в виде w* = (А2 ch kx -f Л4 kx sh kx) sin ky(в)
13.3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ИЗОТРОПНЙЕ ПЛИТЫ639и находим для тех же. кромок х=+— значения d* и т* от w* (см. табл. 13.13):(ТС	л 7С	ТС \+ sh Т] == 2,509Л2 + 3,615Л4; т* = — D„k2 [л2 Aj ch -у +/	ТС	ТС	ТС Y+ ^4 (2ch — -ь X, — sh — j = d„ № (2,133Л2 + 8,091 Л4) .(г)Приравняв нулю суммы do+d* и mo+/n*, найдем0,332а „	0,0828аА2 = ——; А4 = —Впрогиб в центре плиты равенВ(Д)0,668а0,00539дз*В£>п(е)Прогиб в центре плиты от равномерно распределен¬ ной нагрузки при отсутствии ребер находим по (13.3) и табл. 13.1:гг» = 0,0041ра4'аГ(Ж)Суммарный прогиб центра плиты при наличии обоих ребер равенw = —-— (0,0041 ра4 — 0,01078я3*) .	(з)Определим деформацию ребра. Для балки, свободно опертой на опоры и загруженной распределенной нагруз¬ кой по законутсурл = a sin ky — a sin	,	(и)ауравнение упругой линии имеет видa sin ky а а4 sin ky ЛЛЛ1ЛО«Д3 . ,v =	— = —		= 0,00103 —- sin ky. (к)k*Dp тс4 Dp	DnПриравнивая прогиб в центре ребра к (з),.найдем 0,041ра — 0,01078 а = 0,00103 а ,	(л)откудаа = 0,34 ра.Зная а, можно определить прогибы и усилия в задан¬ ной плите.Прямоугольные плиты с разными опорамиРасчет плит со смежными кромками, свободными от усилий; плит, опертых в отдельных точках; плит, опер¬ тых на упруго податливые опоры, и т. д. см. в [4, 7, 8, 15, 17, 20].13.3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ13.3.1. Формулы и графики для прогибов и усилийОсесимметричные задачиЕсли нагрузка и граничные условия плиты не зави¬ сят от угла в (рис. 13.2), то имеет место осевая симмет¬ рия. (Любая плоскость, проходящая через ось z, яв¬ ляется плоскостью симметрии.)Формулы для прогибов и усилий:paqw = (Ci+ с2 р2+ cs In р + с4 р2 In р)+ — р*;^_11о , Cs ,— 2с2 р + -гdr а I	р+ с4 p(21n p+l)j + ■ D ГМг = — — |2 Х2 с2 - + с4 (2Х2 In р + Х3)р;ра3 16 D^1 сз Р*А3 ра*4-| 2 Х2 с2-16 А, СоР‘+ *<a.inp + »«)]-il^p+ f ,)d: q, -мл=о.+р2;(13.53)Здесь(13.53а)(см. также обозначения раздела 13.1.1).В (13.53) члены, зависящие от р, справедливы толь¬ ко для участков плиты, загруженных равномерно рас¬ пределенной нагрузкой. Постоянные в (13.53) опреде¬ ляются из контурных условий и условий сопряжения от¬ дельных участков плиты. Для плит, представленных на рис. 13.22, формулы для с/ в (13.53) сведены в табл. 13.15 и 13.16. В таблицах, помимо обозначений раздела 13.1.1, принято1■ь.р*(13.536)Положив Р=0 в формулах для а (табл. 13.16, схе-Рмы 3 или 7) и заменив pb на ~г~, получим решение для2ксплошной плиты, загруженной в центре сосредоточенной силой, равной Р-Пример* 13.13. Для плиты (рис. 13.22, схема 2) дано: й=4 м, 6=2 Mt р= 1 т/л2, fi =0,15. Требуется определить прогибы и усилия в точках г=0, г=2 и г=3 мл Вычисляем вспомогательные величины (см. 13.1.1)А1а=0,85; Х2 = ] .15; А3 = 3,15; = 1,45К, = 7,45; ,3= — = 0,5. а
640РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫв схемах 15,16 и 17 нром на г=а свободно перемещаетсяВ Вертикальном направлении_гHIM inin гпипгггттл	 2о —*fПЕChт■ 2Ъ 20 ,Р* f2а2оt5 ЯТП1111111П111ГГТТ2ауР* ' - 2Ь -А '20 	7 |	| j 6 j^nfnTj ^ JTTTTTTT^ So jrm'TT^	^TTTTTTjI-	20 	4	ь	‘'га 	ч	н	Я) 	J"ЕШ 'tifebWoЧГ- ^-2а-Л?t —.?£|тпЦ птттш| ко JuTrrm	« | p j )?o 	■	1	t-	2 b 	-J	\-	2a 		щ\ t»i }	s”(rt»jh>u	ро	^ н	гл ——-IGis=b76 jnrnr^ L	a	^— 	!77№HL202bРис. 13.22По табл. 13.15 определяем постоянные для загру¬ женного участка плиты (г < Ь):Ci =ра4 64Ао D(4-3,15 — 7,45-0,52 ++ 4.1,15*0,52 In0,5)0,52 = 2,161ра*64D ;Г2 —ра464 Х2 D(8 • 1,15 In 0,5+2.0,85 • 0,52—8)0,52== — 3,033ра464DПо формулам (13.53) находим: а) для г=0, р =0W = сх = ■2,161ра464 D; м = мь =(а)2Х2 DC% 6,98 ра2о2б) для г=2 jk, р =0,564; Qr — 0;ра*	па*w = £1 + £2 Р2 + ~ ~~~ р4 = 1,4664Z)64D ’2ДО _ _ 2>>2 ДС2 _ Х3 РД2 Р2 = з уд ()а1664 D ’2Х2 Z)c2 Х4 ра2 Р2	ра®"•= ““-~1б~ = 5,831Г;Qr — —*ра рра(б)(в)Для ненагруженного участка плиты постоянные с/ находим по табл. 13.16 (г> Ъ):
13.3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ6412ра4 В2=_С2 = 64)^5(2Хз_Х,И=" “^•ТТГ (2‘3,15 -°.85-°.5г)=64 D 1,15= 2,63-ра4 64 Dc=2l В-2ра,р2_ *”* 10 5«= —* гР 64X.D 64D ’ 4 64Z)’2ра4 р2■ = 2ра4Таблица 13.15Значения <?г64Х2£)для г<6(и г < а для схем /, 4, 5) (рис. 13.22) (с3=с4 = 0)fr)64 Х2 D	64 DЗатем по (13.53) находим для г=3 м, р=0,75® = ~ [2,63 (1 -° ,75*) + -7-1п 0,75 +64 Z) 1_	4+ 2 (0,75)Чп O.75] = -^7ра*J 6М,= -^-|2-1,15.2,63-64 D ’ 0,854-0,75* —	2 (2-1,15 1п 0,75 + 3,15)1 = 1,39-^-;J	64^“■ert2'1,15,2'63- 4°о,да ~-2(2-1,15 1п0,75 +14	ctD	4-2 ра*,45)j = 4,23Qr =ра? 64 ; раа3 р64£)а3*0,75(Д)№схемыОбщий ' множитель64 х2 D ^€4Х2 Dc21ра4*5—2Х82ра4(4Х3 — Х7 р2 + + 4Х2р2 In Р) р2(8Х2 In р “J- + 2Xj р2 — 8) р238рл а26а-т8++ 2Х2р2 In р2Х2 inp —Xj(l-p>)432 та21-15Х2 ра41— 26Х2 ра*р2(4_зЭ2 + 4£2 ln pj2рз (4 in р — 2р2)78Х2 рл а26(1 — р2) + 2р2 1пр1 — р* 2 In рТаблица 13.16Значения cr--64X2Z) для кольцевых и сплошных плит при г>6№ схемы (рис. 13.22)Общий множитель64 х2£)г,64 Х2 D с364 Х2 D с964 Х2 D с422ра4 Р22 Х3 — Xj р2Ххр*-2Х82Х2 Р*4Х238рл а2 Ъ^•з — Р2Ххр» —X,2Х2р22Х262Х2 р ра42+р2-(2 + Р2)2р2478Х2 рл аЧ1 + Р2-(1 + Р»)2р2288ара4^5 + 2 Х3 р2 + 8Х2 р2 -у In р— 2 [Х3 (1 —р») + + 4Х*# Inр]-4p*Y-(X» + К1•+■ 4Х2 *1 In Р)—8Х2р299а8Х2 рл а2ЬХ3Т2—Л2X,2Т1пр --2- Л221010а32 y та2— 112Тki041 Зак. 2098
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ 642	_Продолжение табл. 13.16№ схемы (рис. 13.22)Общий множителье**3С*и11а32 -V «а*Р*1— 1“2Т"Р*Л101212аХ2 5 ра4— Хв р2 — 2Х3 р4 — — 8Х2 р4 1п р8 Х2 р4 1пр —— 4- 2 Х3 р4 + + Х6р2-Хх-«■(т++ 4Xjp*lnp)1I 00 о|-со1313а8Х2Б рл а26Хх+Х3Р2+2Х2 р2 1п р— Х1 — Х3 р2 —2Х2 р2 In Р4р(1 + х,1пр)2Ь1414а32ЪтЬ21— 120Таблица 13.17№ схемы (рис. 13.22)Wмгмв1«с* мсм:)4]^НтЛ '^-ЧтЛ31б,о»,Н1_(«)] + + а*(т)‘|пт}1 г	 А 2^П „4п а■£ (l, -X, In -yj5£М:и:лЫ'-'-т£МтЛ7“*£(1+Х21п“9-£-[,+мп'г]Примечание. Формулы для схем 3 я 7 даны для Ъ = § и нагрузки, сведенной к сосредоточенной силе Р, расположенно* в центре плиты.В табл. 13.17 приведены формулы для прогибов и усилий от некоторых часто встречающихся нагрузок круглых плит.Для схем 8, 8а, 9, 12а, 13а, 75, 16 и 17 наибольшие напряжения и прогибы вычисляются по формуламс — ki ■*2Рг2 Et3(13.54)где коэффициенты ki и с* определяются по графикам на рис. 13.23 и 13.24; i — номер схемы на рис. 13.22.Р =ра2 (схема 5);pb2 (схемы 8а, 12а, 15 и 16); рлпа (схемы 9 и 17); рл к Ъ (схема 13а);{а (схемы 8 и 9);Ь (схемы 8а, 12а, 13а, 15, и /7).
13.3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫРис. 13.235р8.9151617) £ (да,12а,13а)Рис. 13.24Сосредоточенные нагрузкиКруглая плита с защемленной кромкой. А, Сила Р. приложена в точке В (рис. 13.25):р	 *+'"Ш]-(13.55)Б. Пара Afo, плоскость действия которой совпадает с радиусом, приложенная в точке В и стремящаяся выгнуть центральную часть плиты вверх:41*643/?2Гa2R\ar — rО COS в) J(13.55а)В (13.55) и (13.55а) введены обозначения (рис. 13.25): R2 = г2 + а2 — 2 аг cos 0;■Г + ■2г* га2cos 0* (13.556)В. По окружности радиусом а на равных расстоя- яиях друг от друга действует k одинаковых сил Р. Дляопределения усилий целесообразно представить решение в виде w=w0+w* и находить изгибающие моменты п« формулам:а) от слагаемого Wo при г< а\S9 +Мп+ 2 Х2 Sx j;—	+ 2 X2 Sij;здесь p — ^ ; a — kb;при r > a1,)~— k ^1	*Se + 2 X2 Si j;P Г	/ a2	pMq «= 12X2 S± — k f Хг --— 4" 2X2 In ++	— -^o" j Se J;здесь « = k 0, p = j ;(13.56)(13.56a)
644РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫб) От слагаемого w*Р	1Мг = -— [£Х2 (1 — 1п 1)о + ijo) + **£2 (Чо —О ТС— *1)^1 — “j ^ — \ + № Х^0 + ^1*1 —— Х3) kS0 — 2 ^2^1]>Л4д = ~~ \kl2 (1 — 111 Г)0 + Y]0) + ^ k1 (y]0 — о тс— if]) — 1 j + 2 Х2 7|0 — Xj it]—— Х4) kS0 — 2 X2SJ; k(13.566)здесь p =a2= ft 0; i)		 ; Hi#Г2В (13.56) Sv определяются по формулам (13.18)* Для центра плиты получимkP Х2МГ = М0 = -Нт.(% 4-1 — 2 In if)0)Круглая плита со свободно опертой кромкой. Про¬ гиб от действия одной силы Р, приложенной в точке В (рис. 13.25) [обозначения см. (13.556)]:16 тс D 1г*2r in—+ а *2r\_ Г2 Г Г0~ТГДСО8б)rill) го я2 J"2 Y* 2гц аТ 2 аг 7 cos 0(13.57)Круглая плита с кромкой, свободной от опор. Пред¬ полагается, что нагрузка, действующая на плиту, ста- тичееки уравновешена. Прогибы ищем в виде w=wo+4-w*.Помимо осесимметричной нагрузки, на плиту действу¬ ют равные силы или радиальные пары, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга вдоль окруж¬ ности.Ниже приводятся формулы для определения проги¬ бов и усилий при k равных силах, расположенных на оди¬ наковых расстояниях друг от друга вдоль окружности радиуса а.а)	От слагаемого w0 прогиб равен<13-58>1=1Wq «где Ri для i-й силы находится по (13.556) (см. рис. 13.25), а усилия определяются формулами (13.56) и (13.56а).б)	От слагаемого w* прогиб и усилия определяются по формулам [см. (13.18), (13.61) и табл. 13.12]2	kW ■+X2)Sfl(9f)_ inDX, \ М2 V 2 Vi=1~ [ X,V +Xl(1_ a* )] Sl+Xl (r0) ,=iFi (9i) ~2 X2X, a2 ' -2Mr =Ka2 \ r2 )rl ) Г-^X3^2X3ln-^ + X3-^y(13.59)S itXj( rl - д2) ( rl - r2).2 02 2 ri Г=(1a2	a2 \X3 — 2X2 — Xx — j &Se4-X’X. (2—ц-^г) -s,] :И+ : p 8tcXo+ x**I 2Х» In 	 + X;!+2 2 Гп Г«S_i 4-(a2	a2 \X4-2X2—+Х, —)kS0 +4-Здесь p =(13.60); a =* k 0.В (13.59) /^(в) и 7*2(0) означают сумму следующих рядов:МО)** йi cosn6 -л=2, 3,...*= cos 0 — Тj sin 0 5^(0>“ 2 ттгсо5й0л=1,2,...(13.61)л cos 0 ^ sin 0-Si	+ 7\	-1 ,Р	Ргде Si и Т\ вычисляются по формулам (13.18) прир = — и а=0. Угол 0/ между радиусом г-й силы и ра- г0диусом рассматриваемой точки плиты равенв/ = в, — (1 — 1) ;	(13.61а)К01	— значение угла для первой силы.Для сил или пар, расположенных вдоль окружности г=г0, совпадающей с кромкой плиты, полный прогиб и усилия от подобной части нагрузки можно определить по формулам:
13.3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ645а) для k равных сил (силы направлены вверх)wРго Г/ г1+'2 212 \ 2	Х3*/> [\ гг	X, }i = 1(13.62а)Mr= 2М [( r°i -1)X^S» +4--04+ 2Х2 Р2Хо л1 —X! &Sq ■—	2Х2 Ц(13.626)здесьб)	для fc равных, радиально расположенных пар Afo (пары стремятся опустить вниз центр плиты)_ — V -r2 2j ^ №) + х1=1L с hL (J-V1i ' 2хД /J .> = -Bs-Г2X3 те Го L+ (i—+ **»];Мв “ 2Г2- f~2Xl2X3 7СГ0 Li=l2X3 &S0-|-1 £S0+здесь(13.62b)Функции Si в (13.62) для точек приложения сосредо¬ точенных сил или пар равныSi = S (р = 1, а = 0,), i=lгде. 9/ определяем по (13.61а), a Si в правой части — по формуле (13.18).Для всех других точек плиты можно Si в (13.62) вы¬ числять непосредственно по (13.18) при р =и а = k 0 .Пример 13.14. Определить прогиб в центре плиты, опертой по периметру в четырех точках и загруженной нагрузкой, равномерно распределенной вдоль периметра (рис. 13.26).Члены формулы (13.62а) для w, обращающиеся в бесконечность при р =1 и 0 —0, взаимно погашаются.Поэтому вычисляем по формулам (13.61), (13.18) и(13.63)	величины F1, F2 и Si без учета бесконечно* боль¬ших членов для любой опорной точки плиты (S2 взято из табл. 13.12):4In 2—	0,8776;2i=12м°*> 		4+ 1п2+ 	1,736;1=1(а)St	2 In 2 = — 1,3863; S2 = 1,6449.Прибавив к ш в (13.62а) постоянную Л, найдем про¬ гиб в любой опорной точке:Prl2Xj8776 + 1,7360 + zr 1,6449+/lj=0, (6)откуда прогиб в центре плиты Рг:Г° --(0,159 + 0.195-^-).	(в)2lznD \	К\ I'По аналогии для плиты, опертой в трех точках:■,-T^5-(°-296+0'378t)' <г>(13.63)	И( наконец, для плиты, опертой в двух точках, получимрГ(, /	X» \л“^^(°’773 + 1'128тг)-W
646РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫПример 13.15. Определить прогиб в центре плиты, опертой по периметру в четырех точках и загруженной равномерно распределенной нагрузкой (f*=0,15).Решение задачи сводится к сложению решений двух задач, представленных на схеме 1 рис. 13.22 и на рис. 13.26.Определив постоянную с\ по табл. 13.22 при а=г0, найдем прогиб в центре плиты, показанной на схеме 1 рис. 13.15:£&! <pro , л Рго	Х5 «0,821—— 64 X 2.0	Eh?(а)Затем, определив реакции опор(б)nprlнайдем по (в) из примера 13.14 до¬ полнительный прогиб от замены Рис. 13.27	распределенных по периметруреакций силами, сосредоточенны¬ ми в четырех точках:4(о,159 + 0,195 ^ и 0,197	. (в)Рт о8\DПолный прогиб в центре плиты равенРго Eh3(г)(а)Пример 13.16. Определить прогиб в центре плиты, загруженной по периметру k равными сосредоточенными радиальными парами Mq (рис. 13.27).Поступая так же, как и в примере 13.14, найдем по формуле для w (13.62в) прогиб в центре плиты:_ Мп а0 / Ь г 2 X, \W 2Х3 тс D V К k Х2 / ’где а и Ъ равны:а = — 2; Ь *=5,545 для k*=2;а = —1,179; Ь — 2,950 для k = 3;а = —0,858; Ъ =* 2,035 для k = 4.13.3.2.	Метод начальных параметров для осесимметричных задач [9]Прогиб выражается через суммурw = Ах wx + A2w2 + Л3ау3 + + — wb. (13.64)Здесь w.— фундаментальные функции, которые вместе со своими производными до 4-го порядка принимают при г=а значения, сведенные в табл. 13.18. Функции йУу и соответствующие им усилия при г > а определяют¬ ся формулами табл. 13.19.При г<а функции wj и соответствующие им усилия тождественно равны нулю.Значения wj и соответствующих им усилий можнобрать из табл. 13.20 и 13.21. Таблицы составлены для p,_0tl5 и (х =0,25. Значения функций для других вели¬ чин (J- можно определять по линейной интерполяции.Таблица 13.19 Значения wj при г=*г1»1d WjMrjDQr,drDD110000201000300100400010500001Используя Wj, записывают уравнение упругой по¬ верхности любой плиты в видеw=*wu + wC9	(13.65)где wH зависит от двух начальных параметров, a we обеспечивает выполнение условий сопряжения отдельных участков плиты.Выбор начальных параметров для ш„Придаем wH формуW«=\r>ao Л/! wh + Ah Wft ,	(13.66)где Afx ,А/2 —произвольные постоянные; /ь /2 зависят от граничных условий на внутренней кромке плиты; а0 — радиус внутренней кромки плиты.Символ |г>а0 означает, что члены, стоящие за чер¬ той, следует учитывать только при г>а. В то же времяаа определяет переменную v = —% от которой зависятстоящие за чертой.1)	Сплошная плита•¥ A3w3.(13.67)2)	Кольцевая плита. Внутренний контур плиты г=ав:а)	свободен от усилийк’н=|г>в((Л1Ш1 +(13.68)б)	свободно оперт на кольцевую жесткую опоруи'н=|г>д0 Ai w2 + Atwt;	(13.69)в)	жестко защемленwH=\r>aQ Л3 w3 + Л 4 Wt;	(13.70)г)	снабжен кольцевым ребром жесткостиa,H=|r>e0^l“'l + ^2^2 —^(13.71)где т — интенсивность моментной нагрузки, приложен¬ ной к ребру и вызывающей поворот сечения ребра, примыкающего к плите на 1 радиан;
13.3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ—			—=—					——		===э 647Таблица 13.19 Г9]Формулы для Wf,	мг/	и Qrj при v < 1; v—1•/d	Wridr r1— MrfD rf1100002г2— [^(1 — V2) — 2V2X2 1П N] 4 a(Xt+X2 v2)2vXi XoXi x«-17(I + v2)03— —- [2va In v + (1 — n2)] 4	fj- (1 — V»)^-(X2 + Xiv*)-у (Х2-Х, *)04ar2— [1 — va + (1 -f- n2) In v] 4vr2—(1	N*+21nv)4~ [^i(l —■**)— — 2 X2 In v]“J" [Xi (M* — 1)—— 2X2 In v]V5[1 — 5v4 -f- 4va + + 4(v4 + 2va) In v]+ 4v2 In v)— X, — 4Xsv* In v)(4[iM2 + Хг — X4 — 4X2 va In n)Таблица 13.20 Г9]Значения функций w2, w3 (13.64) и их производныхw/^Г2MB2I шзw'3MnM езМножителиГ*rr-rD10<a~Wa10 <a- 104~10*1040,150,250,150,25---0,150,250,150,2502 12518754 2803 7505 0005 0002 5005 0005 7506 2505 7506 2500,052 16319174 2643 7654 9885 0122 4564 9885 7606 2505 7406 2410,102 2462 0004 3073 8124 9505 0502 3604 9505 7936 2885 7076 2120,152 3222 0994 3793 8504 88851122 23048885 8456 3345 65561650,202 410 ,2 2024 4804 0004 800 -5 2002 0784 8005 9206 4005 5806 1100,252 4902 2994 60941404 6885 31219114 6886 0156 4845 4856 0160,302 5572 3844 7674 3134 5505 4501 7334 65061336 5855 3675 9120,352 6042 4494 9544 5154 3885 6121 551 *4 3886 2706 7095 2305 7910,402 6282 4915 1704 7504 2005 80013674 2006 4306 8505 0705 6500,452 6242 5065 4145 01239686 01211853 9886 6107 0124 8905 4910,502 5902 4895 6875 3133 7506 2501 0093 7506 8137 1874 6875 3120,552 5222 4385 9895 6403 4886 5128403 48870857 3844 4655 1160,602 4182 3506 3206 0003 2006 8006803 2007 2807 6004 2204 9000,652 2742 2206 6796 3902 88871125342 6887 545/8343 9554 6660,702 0892 0497 0686 8132 5507 450401. 2 5507 8428 0873 6674 4120,751 85018327 4847 2652 1887 8122852 1888 1408 3593 3594 1410,80158615677 9307 7501 8008 20018618008 4708 6503 0303 8500,85126512548 4048 26513838 61210713388 8208 9592 6803 5410,908958908 9088 8139509 050489509 1929 2872 3073 2120,954734729 4399 3904889 512124889 5859 634- 19152 8061,0000104104010*0010*1041 5002 500д)	оперт на упруго-податливую опору	вдесь рл и т — интенсивности силовой и моментной на-! \ / т \	грузок, приложенных к опоре и вызываю-К1„=|„д w, + — Wi) + А2(щ — —Ш3):	(13.72) щих единичные смещения по своему на-I D } \ D ]	правлению.
648РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ. ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫТаблица 13.21 (9]Значения ш5 (13.64) и их производныхwtю/ЖГ4ЩаwbW,’МГ5ЩъМножителиг*г*Drг%г*Dr*10*10*10*10“10»10*V \--0,150,250,150,25--0,150,250,150,25000000015626 25019692 03190610940,0525162496810307558421 4846 0631 9412 00288410690,10334904153416251 114125413355 67418781 93483610160,15361105619472 0531324150311605 1801 79018427759460,203571 1292 2582 371144216519794 63116841 7317058670,253351 4472 4912 6051 4951 7278064 0601 5661 6066327820,303021 1242 6572 7701 49017466463 490143714725596950,3526310692 7652 372146017205052 941130113304836080,402239932 8222 921139416613832 42511611 1854115240,451839002 8292 919130415742821951102010393444430,501467952 7892 8691 1951 4622001 5278798942813670,551126852 7062 77410751 3351361 1577417532242970,60825732 5782 6359471 196888426096171742330,65574622 4082 4548131047535844844901301770,70383562 1942 2306778912938036937393129.0,7523258193819645437331522726526861880,801217316391656415576612017617738560,8551011295130529342125210210320310,9024790991418227301647479130,950124774788313301•1212231,00000000000000Выбор сопрягающих функций wcНа границе участка при г=а:а) приложена кольцевая сила с интенсивностью рл кг/см, направленная вдоль оси г (см. рис. 13.28):I	Рл** = \r>a —~pr W*>(13.73)б) приложены кольцевые моменты с интенсивностью т кг см/см, направленные вдоль радиусов и стремящие¬ ся сдвинуть центр плиты против оси z (см. рис. 13.28):D(13.74)в)	начинается или кончается равномерно распреде¬ ленная нагрузка с интенсивностью р кг/см2, направлен¬ ная вдоль оси г.wc=\r>a*-^wb	(13.75)(плюс для начала и минус для конца нагрузки);г)	меняется толщина плиты от /i до t2:*2 УПГ^г (а)Wi-LH* +^•4•^з +(13.76)Здесь Мг(а) и Qr (а) сосчитаны по (13.65) для г—а; д) имеется кольцевое ребро жесткости:I mw* (а) wc = I —	г	w3.	(13.77)I r>a	Ddгде до'=— w, а т имеет то же значение, что и в (13.71), (13.72);е) расположена упруго-податливая кольцевая опора:wc =mwf (а) рлт (а) 	ws + ТГ“DDзначения т, рл см. в формулах (13.71), (13.72);ж)	расположена жесткая кольцевая опора:г>аРлDWa(13.78)(13.79)где рл — интенсивность реакции опоры. Здесь следует использовать условие w=0 при г=а.Постоянные, входящие в шн( 13.66), определяются из граничных условий на внешнем контуре.Примечания. 1. Если плита имеет одну кольцевую опору при г—а» то интенсивность реакции опорыЪР Ря~ 21и ’гДе ЕР — суммарная нагрузка плиты.2. Для сосредоточенной силы в центре плитыРг * ,о>г= 	In г.с 8те U(13.80)113.81)I \-Zn-Aт/мг1ЩГЩЯгНI г-Вп- ‘70 П'IРис. 13.28
13.3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ649(б)(В)Пример 13.17. Определить уравнение срединной по¬ верхности плиты, показанной на рис. 13.28, при =0,15. Используя (13.70), (13.73), (13.74), (13.75), запишемDw = |г>2 A3w3 + Л4ад4 + 0,8ш5 ++ \r>62wz — 0, Щ + |г>8 — 1, 2ш4.	(а)Постоянные Аз и А\ определяем из условий w=Mr=-О при г=10 м. Раскроем эти уравнения при помощи табл,а \ .13.20 и 13.21. (индексами указаны значения N = “I*Dw — (—0,208- 10Ч3 — 0,0357 • 10М4 ++ 0,8-0,0979-10% 2 + (—2•0,138.102— —0,8.0,0383.104)о6 ++ (1,2-0,00118.Юз)0 8 = 0;Мг = (0,592Л3 + 0,226* 10Л4 —— 0,168«10а.0,8)0 2 ++ (2*0,728 + 0,0617-Ю2-0,8)0б ++ (—0,164-10.1,2^8 =0.Отсюда Л3=—10,7 г; /44=6,85 т/м.Зная Аъ и А*, можно определить w и усилия для^ любого г* Так, например, для г=4Мг = (—10,7-0,681 +6,85.0,279.4 —— 0,8.0,088.4а)0 5 =0,8 тм/м;MQ =(—10.7-0,469+ 6,85-0,130.4-—	0,8-0,028*4а)0 5 = —1,8тм/м.13.3.3.	Круглые ребристые плитыКруглые плиты часто усиливают кольцевыми ребра¬ ми жесткости (рис. 13.29,а). Если такое ребро отделитьот плиты, то при осесим¬ метричной нагрузке уси¬ лия, передающиеся от плиты на ребро, сведут¬ ся к распределенным ра¬ диальным силам и па¬ рам, показанным на рис. 13.29, б. Чтобы получить расчетные усилия, следу¬ ет силы рл перенести для плиты на срединную пло¬ скость, а для ребра — на плоскость, совпадающую с нейтральной плоско¬ стью сечения. Это выпол¬ нено на рис. 13.29, в.Ниже излагается уп¬ рощенный расчет, осно¬ ванный на предположе¬ нии, что деформацией плиты от сил рл можно пренебречь (более точ¬ ный расчет см. [9]). При этом условии имеем сле¬ дующие зависимости:шшшт$1,1Рис. 13.29Рл= о т1> 'р4 + го + °.5г0|1 fftj • (13.82)Здесь ip — радиус инерции сечения ребра;Zq — расстояние точки, отмеченной на рис. 13.29,в крестиком, от нейтральной линии сечения ребра; t — толщина плиты.Для ребра и плиты из изотропного материала при прямоугольном сечении ребра формула (13.82) примет вид (Я — высота сечения ребра)Рл = -^-я*1; /п, =^4+3	(13.82а)Уравнение деформации получится, если приравнять угол поворота сечения ребра соответствующему зна- dwчению —— для плиты. drУгол поворота сечения ребра определяют по фор¬ мулеШла2Р	-гг—.	(13.83)£1 ргде /р — момент инерции сечения ребра, dwВеличину — для плиты можно определять либо поформулам (13.53) и табл. 13.15 и 13.16, либо по методу начальных параметров (см. раздел 13.3.2).Ро опР ^ Рассмотрим плиту, представленную на рис. 13.29, а, при следующих данных: г0=\ а==2 м, г =10 см, Ь = Ю см, И = 20 см, р = 1 т!м2, ц = 0,15, Находим отношение жесткостей ребра и плиты:fa)По формуле (13.83) находим угол поворота сечений ребра:тп\агLL= -2,5^.D(б)Уравнение срединной поверхности определяем по спо¬ собу начальных параметров. По формулам (13.65). (13.67), (13.74), (13.75) имеемA,w, + i43o>3+ а>5 + |и	\г>а и(В)Между то из (в) и т\ из (б) существует зависи¬ мость (13.82а)то = ^4+3	*= 5» Ътл.Величины Ль Лз, т\ определяем из условий 'dw \	Idw \dr ),«,	( dt )г=г„ “ 0:(Г)<д>Уравнения (д) раскрываем при помощи табл, 13.20 и 13.21:[dw \(*i-—^2-°.5 ++ -§-0,0625.2»—2.5^-; + 0,0625.4=* -^—0,375.4 -0;
€50РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ. ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ(®)г=4 = А1 — •Дэ-0,25-4* +г г+ -^-0,01562-4*--^- 0,1009-4*= О,(е)-оттсуда mi=0,164 гж/лг, 1>Л3=1,32 т; Dj4i=1,64 ти*2.Для той же плиты без кольцевого ребра постоянные Ai и А3 равныDAX = 4 тм2; DA3 = 2т;следовательно, при наличии ребра прогиб снижается в 2,44 раза, а изгибающий момент в центре плиты — в 1,51 раза.13.4. ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ РАЗНОЙ ФОРМЫ13.4.1.	Эллиптические плиты(рис. 13.30)Плита, жестко защемленная по контуру [17]Нагрузка, равномерно распределенная. Выражения для прогибов и изгибающих моментов (fx=0) имеют видА { а* Ь*) ‘.. *pD / Зх* у3 1 \ х	А (о* + aW а*)1WW *_ _ М r	аЧ1 6*/’,_8flf4+A+J_\в* Ь* а*Ь*У(13.84)Рис. 13.30Нагрузка меняется по линейному закону р = ptX. Выражение для прогиба имеет видw = p^u_ JL)\24В V л* 6* /B = D(± + -L+-L-\.U4 ь* аЧ2 j(13.85)Комбинируя (13.84) и (13.85), можно получить ре¬ шение для нагрузки, меняющейся по закону трапеции(Р=РС+Р1Х).Плита, свободно опертая по контуруДля эллиптической плиты, свободно опертой по контуру под равномерно распределенной нагрузкой [17], прогиб и изгибающие моменты в центре при^=0 определяются по формулам	*щ = а ; Мх = Ррб2; Му = ipb*. (13.86)Значения коэффициентов а, Р, 7 сведены в табл. 13.22. Сосредоточенная нагрузка. Сила Р распределена в центре плиты по кругу малого радиуса го.Таблица 13.22 Г17]Значения «, Р, 7 в (13.86)аЬ11.11.21.31.41.5234500а0,0640,0760,0880.0980.1070,1150.1450.1720.1850.1920,209э0.1590,1590.1550.1520.1450,1380,1060,0640,0490,029070,1590.1880,2150,2370,2600,2800,3480,4140,4510.4720,500Изгибающие моменты в центре плиты и на концах главных осей эллипса равны4	pD	&pD(Мх)х=0. y=Q = ; Шх)х=а; у=0= Аа2 '(М\	4pD (М\	SpD\Му)дс=0; у=0	д^2 > Wy)x=o-% у-ь — ■АЬ2Прогиб в центре плиты можно определять по при¬ ближенным формулам:для плиты с защемленным контуромРЪ2 (	Ь \w = — (0,081—0,025 —J; = 0,3; (13.87)для плиты со свободно опертым контуромw ■■РЬ2 Ehз0,19 — 0,07 ; (л — 0,25. (13.87а)
13.4. ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ РАЗНОЙ ФОРМЫ65113.4.2. Плиты в виде кругового сектораПлита представ¬ лена на рис. 13.31; радиальные кромки свободно оперты на жесткие опоры.Равномерно распределенная нагрузка. Прогибы и усилия вычисляются по формуламрг40w = 0.1— ; Mr = 2.hprо.Щ = тiPfo; - чрг*> Q$ - 'hp'v(13.88)	 Здесь i означает номера точек, показанных на рис. 13.31.Коэффициенты а, р, у, <р, ф приведены в табл. 13.23— 13.25. Моменты даны дляр*=0.Таблица 13, 23 [4]Значения а, Р, 7 в (13.88) для плиты с защемленной дуговой кромкой	Таблица 13.23Г41Рис. 13.31На рис. 13.32 приведены эпюры прогибов и усилий для плиты с дуговым краем, свободным от закреплений тспри 9, - — .Таблица 13.24 ГАЗначения а, Р, у в (13.88) для плиты со свободно 	опертой дуговой кромкой-\10»1104 р/10е 7/12301230123тс/4533490—47161210107179133тс/31980920—86801970203231154*/292225203—366—66272325—36С339271189тс589884584064378552401()4280311Таблица 13.25 fflЗначения ? и <|> в (13.88) для секторных плитVАДуговая кромка защемленаДуговая кромка свобод¬ но оперта103 <рг103 Ф*103 Vi10» ф|456789А56789тс/4тс/3«/2тс280317362424245282330400—162—178—197—212149150 159 1071842122442561171623343211822182873481561872353169121724198220246275198244305375118169264426Для бв = *; б = ——и г = 0 ф—0,340 * 2Для в =ic; 6= —# 2 и г = 0 ф = 0,442Сосредоточенные силы. Секторная плита, у которойрадиальные кромки свободно оперты на жесткие опоры, а дуговая кромка защемлена или свободна от опорных закреплений, нагружена силой, расположенной по оси симметрии на расстоянии а от центра. Решение имеет формуW = Wq -{- W*,Если угол 0 отсчитывать от оси симметрии плиты, то усилия можно определять по следующим формулам [функции Si находят по формулам (13.18), (13.17)];
652РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ1) от слагаемого wo при г < аздесьпри г > аздесь'г = Ь (1_ 5°+2* ^ ]: Me“2^[(^'"1)Xl5o+?^Sl ]!-(тГ‘ • —Mr = W0 [(^ _1) Xl^°+ 1Г ]:Мэ = ^ К1- v) hS°+~tx‘Sl];гсьI a W%	ивИт) ; в=иг;2) от слагаемого w*при защемленной дуговой кромке+ ^ 77- + 2Х2 j So - ^ х23г]; —~~1[ + ^4 + 2Х2 ——^ <S0	“^"^2^1(13.89)(13.89а)здесь р =1/ аг \%!ьа	^9-\i) ■■(13.90)при свободной от закреплений дуговой кромке-1 +So+\ЛР fv 'о-«%So +(13.90а)здесь р =( аг W°0Ы : “=тс900Суммируя (13.89) и (13.90), получим усилия от за¬ данной нагрузки.13.4.3. Треугольные плитыа) Плиты в виде равностороннего треугольника. Дляплиты со свободно опертыми кромками, загруженной равномерно распределенной нагрузкой (схема / на рис. 13.33, б), решение имеет вид [17]64 ЬО[х3 — Зу2х —— Ь (я2 — Зу2)] Ьх — х2 — y^j . (13.91)•> £Рис. 13.33Для той же плиты, загруженной равномерно рас¬ пределенными моментами вдоль контура с интенсивно¬ стью т, решение дается формулой4 bD[хг — Зу2х— Ь( х2 — Зу2)]. (13.91а)Комбинируя (13.91) и (13.91а), можно получить при- ближенное решение задачи об изгибе плиты с защем¬ ленным контуром под действием равномерно распреде¬ ленной нагрузки.Ниже приведена табл. 43.26 значений коэффициентов а, р, у, 5,<р и ф, пользуясь которой, можно находить про¬ гибы и усилия в плитах, загруженных по схемам II и III (рис. 13.33, б) [16].Вычисления производятся по формуламw=ai41ZM04 ’рагMx = hpazра£6	400«рив=*£:(13.92)Здесь Ма и Q^pHB относятся к кромке плиты I—7 (рис. 13.33,а);‘ / — номера точек плиты, показанные на рис. 13.33, а.Значения коэффициентов в табл. 13.26 даны для сле¬ дующих опорных закреплений плиты?* плита № 1 со сво¬ бодно опертым контуром; плита № 2, у которой кромки /—7 и /—Т защемлены, а кромка 7—V свободно опер¬ та; плита № 3 с жестко защемленным контуром.
13.5. АНИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ653Таблица 13.26 Г161 Значения а, р, 7, Ъ, <р, ф в (13. 92)НомерплитыСхеманагрузки«9«8«4P2РзP5ТаТзЬ95II2475734744240-122026041871III261221595168470—3018730166120II831351524150-6715-4825872III44888836330—13-348—89136132II82926152211—29—5910—4334823III4406083022-85—11335—72164116Примечание. Значения коэффициентов (3, j и 6 даны для р.=0, а (р и ф — для |л.= 1/6.б) Плиты в виде равно- бедренного прямоугольного треугольника [4]. Для сво¬ бодно опертой плиты, пред¬ ставленной на рис. 13.34, а, с нагрузкой, показанной на рис. 13.34, б, даны эпюры прогибов__ и моментов по прямой Ос. (Значения мо¬ ментов даны для ^=0.)13.5. АНИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ [11]Материал называется анизотропным, если он со¬ противляется по-разному в различных направлениях механическим воздействи¬ ям. Если любые два на¬ правления, симметричные относительно данной плос¬ кости, обладают одинако¬ выми упругими свойствами, то плоскость называется плоскостью упругой сим¬ метрии. Тело называют од¬ нородно ортотропным, если в каждой точке три плоско-* сти, параллельные коорди* натным плоскостям ху у, zt являются плоскостями уп¬ ругой симметрии.В дальнейшем полагаем, что плита выполнена из уп- руго-ортотропного материа¬ ла._ра4оСW~1Q3Dny^P°2Рис. 13.3413.5.1. Упругие характеристики ортотропной плитыУпругие свойства ортотропного тела определяются девятью константами. Однако для приближенной теории изгиба плит существенны постоянные Ех, Еу>Рх> Ру и G (модули упругости и коэффициенты Пуассона в направ¬ лении х, у и модуль сдвига). Между этими постоян¬ ными существует зависимостьEjPy e EyiLx.	(13.93)Важную роль з теории изгиба ортотропных плит игра¬ ют следующие характеристики (Dx, Dy — жесткость при изгибе, DK — жесткость при кручении):Dx =Exfi12(1 —V-j&y) ’Gh*Dv12(1 — цхцу) ’DK =	> Dxy —Dxp.y-^-2D]t.(13.94)Рис. 13.35Плиты, изготовленные из гофрированного материала, и плиты, усиленные часто поставленными ребрами жест¬ кости, можно приближенно рассматривать как ортотроп- ные плиты.Приводим формулы для определения характеристик таких плит:а) гофрированные плиты (рис. 13.35)	l__ Et*х~ s 12(1—fx2) ’Dy — 0,5EtH2!Dху ■S Et3 I ' 12(1 + y.) 1(13.95)здесь £, — упругие постоянные плиты; t—толщина плиты; s — длина полуволны гофра;остальные обозначения см. на рис. 13.35;б) плиты, усиленные ребрами жесткости, параллель¬ ными оси у,Et3Dr = DхуEt3Dy 12(1—(i2)12(1—p.2) ' EJi d ’•+(13.96)здесь E, fA— упругие постоянные плиты; t — толщина плиты;£1, l\ — модуль упругости и моменты инерции се¬ чения ребра (относительно оси, проходя¬ щей через центр тяжести сечения); d — расстояние между ребрами; в) плиты, усиленные ребрами жесткости, параллель¬ ными осям ху ууЕР	. £1/1 ,dx ;d2 ;12(1—f12) Et зDy 12(1—ft*) Efi++12(1—p.2) '(13.96a)
654РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫЗдесь все величины имеют то же значение, что и в (13.96) (£i, /j, d\ относятся к ребрам, параллельным оси у).13.5.2. Прямоугольные плиты [11]у-I— IIТ1,В плите, свободно опертой по контуру и загруженной равномер¬ но распределенной нагрузкой (рис. 13.36), когда упругие кон¬ станты материала удовлетворяют условиюРис. 13.36DU-°xDyи а> Ь:(13.97)а>з •рЬ* А,b V Dx ’(Myh -	щ j pb1;(QTB) i- [fi++i(cy ++ 4t)/^]r‘(«Гв)2= [* +4'+4t)/^]'6-(13.98)4-Индексы у w, Mx, My. (Q5P"B)> (QyP"B) означают номера точек на рис. 13.36.Таблица 13.27 fl 11Значения а, % 7, <р и ф в (13. 98)V«Э79i9зФ»Ф*10,004070,03680,03680,2190,3190,1190,1191.50,007700.02800,07280,1990,3350,1640.0892,00,010130,01740,09640,1890,4100,1810.0552,50,011500,00990,11000,1880,4530.183*0.0313.00,012130,00550.11720,1870.4760.1850,0175.00,012970.00040.12450,1860,4990,1860.001Оо0,0130200,12500,1860,5000,186/013.5.3.	Бесконечная и полубесконечная полосаА. Сила Р приложена в точке с бесконечной полосы с опертыми краями (рис. 13.15,а). Пусть — корни уравненияDxtj* — 2DXyT\* + = 0^_	(13.99)тогда могут иметь место три случая:1-й	случай — корни вещественные, неравные (*»]=* =±%; ^=±^12)12-й	случай — корни вещественные равные (*)=±V»3-й	случай — корни комплексные (^=±^±^2)- Решение может быть представлено в виде:1-й случай7Шк у*Уо .> ЗХ -; а == —; ао-- #аааПГ}2ХPi = *а; ?2 = еа .9Ра22 2 	[^7з (Р*>—2*3	V DxDy—VIUpi.«.“#)];(13.100)2-й случайnti	тгуА- — ;	; «,=а	аiryew = -Ра24я*т) у DxDy + ?>■.3-й случай[?з(р, “.«.)+(13.100а)““■^■5 «о= ~(У* + ’1»х)> я	"У«о= — (у*—V); р = « а ; Pa* f 1 8.3 ут^у l^l7? (?••>*») ++ (р*“* ло)] + ~ [Т3 (? “о*®)-42—Т’з (р-“о “)] } -(13.1006)Значения Sv и Г, см. (13.15), (13.16), (13.19) и (13.20).Б. Полуполоса, у которой продольные кромки свобод¬ но оперты, а поперечная кромка жестко защемлена, на¬ ходится под действием равномерно распределенной на¬ грузки (см. рис. 13.15, б).Решение относим к осям х\, ух и представляем в видеw = w0-\- ш*,	'13.100в)где4ра* -т.Wq =	tcLj Л — '	вi&Dy	аПрогиб w* будет равен:1-й случай4	ра4 г —	—^ “ *Чъ-ъ)Оу ЬЛ(Рь-)-Т1Г,(р,.«)];здесьicyj_ Хх- ^2 Х2 Р2 = « в
13,5. АНИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ6552-й случайтvDy пух41Нг*('^тг-<'4Р=*а3-й случай^=__4р^n$Dy^-[^(a,a0p) + ^-rs0(a,a0,p)j;ЯУ1aa0:а(13.101)13.5.4. Эллиптическая плита [11]Для эллиптической ортотропной плиты, жестко за¬ щемленной и загруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 13.30), решение имеет вид /а4	а2	\Г~£Г ^ху "^7 + 3D* j & =ра4 / х2 .у2 \2= Т\ 7*/ *Изгибающие моменты можно определить по фор¬ мулам:/ д2 а2 \/д2о>	д2гг> \Му = -Е>у^—+рх — j.13.5.5. Круглые плиты [11]Нагрузка является осесимметричной. Упругие свой¬ ства материала также осесимметричны, т. е. в каждой точке плиты существуют три плоскости упругой симмет¬ рии, из которых одна параллельна срединной плоскости, вторая проходит через ось г, а третья перпендикулярна первым двум (плита отнесена к цилиндрической системе координат г, 0, z). Плиту, обладающую такими свойст¬ вами, будет называть цилиндрически ортотропной.Упругие свойства такой плиты характеризуют вели¬ чины Er> Eq> Pr> •Модуль сдвига G в силу круговой симметрии не ну¬ жен. Жесткости плиты Dr и D0 определяют по форму¬ лам, аналогичным (13.94). Приводим формулы для опре¬ деления прогибов и усилий для некоторых плит [11]. Во всех формулах приняты обозначения(13.102)где а —радиус кромки плиты.а) Плита под равномерно распределенной нагрузкой при жестко защемленной кромке:ш =	—	— [3 — * +8(9—fc*)(l—Jk)Dr+ 4pft+1 +(1 + *)р4];Мгра22 (9 - k2) — (3 4- p-е) р2];pk2at*,*+* —o=-EL.M6 =PfV+l)Pk+l —2 (9 — k2)1“(3jxr + l)p2].(13.103a)б) Плита под равномерно распределенной нагруз* кой при свободно опертой кромке:и,=	е*	\(-8(9-*»)£>, [ (— Л) (4 + k+ у-в) (1 4- k)(k 4- )4 (3 + Н )(1 + Л)(*+Ц.| )p*+I+p4 J;мг-.м.pkW r(3+N )(!+*,Ц,) :2(9-**)[ *+14	Р— (1 + Зцг) Р* j •(13.1036)в) Плита с жестко защемленной кромкой, загружен¬ ная силой Р в центре:Ю ~ 4я(| —к*){\ +k)D, |(1~*> ++ (1 +*)(*—2pM1l;Mr= 5ii-*V К* + *> рй-1-(1+^ )];м.2я(1—**)[(1+*Мр* х —(l+fxr)].(13. ЮЗв)г) Плита со свободно опертой кромкой под дейст¬ вием силы, приложенной в центре плитыРа2 Г(2+£+р,0 ) (1— k)W 		 I			л_4л(1 k2)Dr |^(1 + k) {k + Н-g )+ Р22 (* + )(1+&) &+fx0 )Л+1]■2*(1 —ft*) 1>>Qr=м„ =2пг *Рк* Г(1+14)(*1У+1)2тс(1—*2) [ k+N	Р— (14- fv)]•(13.103г)Уравнения срединной поверхности и формулы для усилий при любой осесимметричной нагрузке имеют видШ=Вг + B%r* + B3rl+k + ВУ-* ++ — Apr*; А =(9 — k*)Dr ’(13.104)
656РАЗДЕЛ 13л УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ—- = 2B2r + (1 + k) Ввг* + аг+ (1-/г)Б4г-л+ YApr* Мг = — Dr |2В2 (1 + p-q ) ++ (1 + Л) (Л + H-e ) B3rk 1 +■+-£4 (1-г-6) (1— ^Н-0 ) г 1 k "Ь1(3 + fi0 ) Apr2] ;(13.104)Щ = — \2В2 (1 -j- Рг) ++ (1 + k){k\Lr + \) Bzrk-1 +■+ ^4 (1 — k) (1 — fefXg ) Г * ^ ++ “^~d(3fv + l)/?raJ;где & определяется no (13.102).Постоянные Bi находят из граничных условий и ус¬ ловий сопряжения отдельных участков плиты.Примечание * В центре плиты при осесимметричной де¬ формации должен существовать изотропный сердечник. Для этого сердечника прогибы и усилия находят по формулам (13.53) при сл= -ct— 0.13.6.	ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ13.6.1.	Постановка задачиНа практике часто встречаются плиты, опирающиеся по всей или по части поверхности на упругое основание. К таким плитам относятся днища резервуаров, фунда¬ ментные плиты и т. д.Помимо действующей нагрузки необходимо учитывать реактивные силы, передающиеся от основания к плите. Если обозначить интенсивность этих реактивных сил че¬ рез р*, то уравнение срединной поверхности плиты при¬ мет вид*р ■ .	(13.105)Интенсивность реактивных сил основания зависит от деформации плиты и упругих свойств основания. В самом, общем случае имеем соотношениер*=/(в,).	(13.106)В данном разделе принята гипотеза о пропорциональ¬ ности реактивных сил и прогибов плиты (гипотеза Вин¬ клера).Данная гипотеза заключается в том, что основание предполагается состоящим из ряда одинаковых упругих стержней, поддерживающих плиту. Каждый стержень деформируется независимо от других.При этой гипотезе зависимость (13.106) принимаетвидp*=kw,	(13.106а)где k называют модулем основания или коэффициентом постели (k имеет размерность кг/см3). См. 5.5.6, табл. 5.5.В некоторых случаях рассматривают более сложную модель основания, полагая, что реакции последнего оп¬ ределяются суммой двух слагаемых, из которых первое пропорционально прогибу плиты w, а второе пропорцио- d2w d2wнально = TT + “^Т •	Подобное основаниедх2 ау2рассмотрено в [10].Следует также отметить, что часто основание под плиту рассматривают как упругое полупространство, реакции которого связаны с прогибами плиты соотно¬ шениями теории упругости. Расчет плит на таком осно¬ вании см. раздел 21, а также [5 и 6].13.6.2.	Плиты бесконечных размеров и бесконечная полоса с сосредоточенными силами [19]Расчетные величины определяются по формулам Ра2w = *i ; Мх = foP; Му = цР, (13.107)где t — номер точки плиты, для которой определяют прогиб или изгибающие моменты.Значения а, у даны для	пследующих расчетных случаев:а)	рассматривается сред¬ нее поле бесконечной плиты, загруженной равными силами Р, расположенными в верши¬ нах прямоугольной сетки (рис.13.37); значения а, Р>7 сведены в табл. 13.23;б)	рассматривается крайнее поле и консольная часть бес¬ конечной плиты, загруженной равными силами Р, распо¬ ложенными в вершинах пря¬ моугольной сетки (рис. 13.38); значения «»Р, Т сведены в табл. 13.29;в)	рассматривается крайнее поле и консольная часть бесконечной плиты, загруженной равными силами Р, расположенными с шагом 2а вдоль оси х (рис. 13.38); значения а, р, 7 сведены в табл. 13.30;гм-V-J5Рис. 13.371 В разделе 21 интенсивность реактивных сил обозначена р, а интенсивность вертикальной распределенной нагрузки Q.г)	рассматривается плита в виде бесконечной полосы, загруженная рядом равных сил Р, расположенных по оси симметрии полосы (рис. 13.39); значениям р, 7 све¬ дены в табл. 13.31.На рис. 13.37—13.39 указаны номера точек, для ко¬ торых приведены в таблицах коэффициенты Р, Т*
13.6. ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ657между точкамиЕсли обозначить / ^ расстояние i и /, то1)	на рис. 13 37: /12=/и=0,2 а\2)	на рис. 13.38: /з4=49=/б7=/78=0,2 а; /23=0,2 f\3)	на рис. 13.39: /12 = 0,26; /и = 0,2а; Л5 = 0,6а; /б7=0,4 6.Точки, близко расположенные к точкам приложения сил (кружки на рис. 13.37—13.39), позволяют приближен¬ но определять по интерполяции значения изгибающих моментов у края колонн, опирающихся на плиту.Продолжение табл. 13.29Все расчетные величины вычислены в предположении, что коэффициент Пуассона равен нулю.Основной параметр ?), от которого зависят коэффи¬ циенты, вычисляется по формулелУ~П = ау - .(13.108)Таблица 13.28Значения <х, р, у в (13.107) для центрального поля плиты при одинаковой загрузке всех колонн (рис. 13.37)\ i71 \103*110* р,-10=* Т,123ь1236230,8625623609603—189-116-2929—45571,2135133119ИЗ-188-115—2927—4456Ьб52503631-186-ИЗ—2725—42532,02926149-182—108—2321-39492,4201762,2—174-101-1917-3343Таблица 13.29Значения а, р, 7 в (13.107) для крайних полей и консольной части плиты при одинаковой загрузке всех колонн (рис. 13.38)1<Уа(1 ■ с*11 35710И12130,81 1891 10680565964375710181 1621.23092711421241081362472831/41,612810737473131831022,068651227126,933442,441344,3195,60,314200,89458677066416257008489301,22211941281301141221752051/21,681723650353154672,038371328148,520252,420235.4205,81,87,58,70,87307116496376206436937211,21501541241351191191371393/41,646593/52363242382,017321429141016102,47.1215,8205,92,36,81,40,85436146186386226195975381,2901361241381221191208511.621553853373339172,04,63114291410161,12,40,3215,9205,92,46,9—2,4finJ/UMl 121 31 41 51 е71 8910 |1»12130,8182201198135321061494680—57—35—92— 1051.21802001S713331105148457ь-56-29—90— 1031/41,6176196193130291031464376-54-27—89- 992,016718818512325981414070—49-23-79- 912,415517617411320911343461—43-18-69- 790,889151164115301061494657—57—28—69—691/21,288150162ИЗ2Э1051484556—57—28-68-661,684147159110271021464353-53—25—65-632,07814115810524981414049—49—22-60-572,4681311449720911343442—43—17—52-480,846125153108291061494649-59—27—60—403/41,244123152107281051484548-56-26—59-391,642120149105261021464346—53—24—57—362,03811614410023981414042—49—21—52—322,4311071379318911343436—43—16—45—250,824106150106291061494646-56—27—57—2211,223105149105281051484546-56—26-56—211,621103146103261021464344—53—25—54—202.0189 Г141982398141За40—49—21-49—182,414921359118911343434—43—16—43—13Продолжение табл 13.29юзтгf/a\ г 112345678910И120.87514461-185—631302846—68-151—271.27814750—1371.419582*50-3.7—104—231/41,68015140-101302181225321-68-192.08115431— 74372221195625—43-152,48215623- 54342151135921-20—120,868187—8-122—101797685—20-91—21,2721933- 92252141119215—6141/21.67519812- 71372231209625—4192,07619917- 57382211199824—28112,47520019- 4533214112S820—19130,87222737—742721311012514—44311.27222840—643822312012624—35333/41,67122740-574022412312526—29322.06722337-513722011512124—24292.46021632443221411111419—18230,88026174-395323613315936-10631.27325264—4943>2712515028—215411.66424253-53402241211392d—25442,05323043—503722011812823-23342,44121834—4432213111Но20-1824Пример 13.19. Определить прогибы и усилия в точ¬ ках И и 1 для плиты на упругом основании, загружен¬ ной колоннами, расположенными в вершинах квадратной сетки (рис. 13.38).Дано. Расстояние между колоннами 2а = 500 см. Вылет консольной части плиты f=125 см. Толщина плиты h=60 см. Нагрузка на средние колонны Р=240 г; на¬ грузка на крайние колонны Р|=160 т. Модуль упругости плиты £=2,1 *10 * кг/см2. Коэффициент постели грунта k=2 кг/см3.■Вычисляем жесткость плиты (=0):Е№ 2,Ы0^60зD = -7— = — ^	= 37,8-108 кгсМл (а)12 1242 Зак^2098
658РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫТаблица 13.30Значения а, р, 7 в (13.107) для крайних полей и консольной части плиты при загрузке только крайнего ряда колонн (рис. 13.38); загружены колонны, расположенные на оси х/м10s et£1357101112131/40.81,21.62,02,4120133813971421056283112573450982184,71,4150—3,6—5,8—2,3—0,7150—3,8—6,0—2,5—1,150579152.0—6,41 032 259 71 35 14107531111347211/20.81.21.62,02,4100825290402080919674382440767176,12,51313,2—2,2—1,2—0,51313,0—2,4—1,4—0,640464153,70,778921856218,1992237762793/40,81.21.62,02,482817853197,163715059322134463197,12,91268,9-0.3-0,90,51268.7—0.5—1.00,634151167,61,362012042177,381917045111,410,81,21,62,02,4665118265,10,252412855322130863207,53,0128 13 1,0 —0,8 —0,5128130,8-0,9—0,630560185.30,347011239177.56601142216-2,5fia103 р;1234579101112131/40,81,21,62,02,418117917516915520019919718717619719519118417313213212812111218171614111,21,21.00,70,47978756961—1.2—1,2—1,0—0,7—0.4—17—16—15—13—10-91-89—85—79—68-104-10B-	96-	93-	791/20,81.21,62,02,489878478681491491461401311621611581521441131121091049616151412101.11.10.90,60,35655524841—1.1 —1.1 —0.9 —0,6 -0,3—15—14—13—11— 9—68—67-64—59-51—67-66-63-57-483/40,81.21.62,02,4454442373112412312011510715215114814413610610510399921514131291.11,00.90,60,34847454136—1.1—1.0—0.9—0.6-0,3—14—13—12—11— 8—59-58-56-51—45—40-39—36-38—2610,81,21,62,02,4242321181410610510298921491481451411346310310197911414131191.01,00,80t60,34545433934—1,0-1.0—0.8-0,6-0,3—13—13—12—11— 8-56-55-53-49—43-22-21-20-17—12fia103 7/42345791011121/40,81.21,62,02,47679828383144149153156157—62—45-34—25—20—206 -129 — 81—	52-	34—194—	72—	23 -5,5 —3.14752565860—192—	70—	21 —4,1 -0,7-187 —110 — 62—	34-	17—28—22—18—14—111/20,81,21,62,02,47077797976189200204204201414232523—141—	78—	48—	33—	24—143—	51—	18 —6,3 —1,78898103102100-141—	49—	17 -5,1 —0,9-124 — 62-	32-	18 - 11— 2 — 9 —14 -15 —143/40,81,21,62,02,47681787061232241237229218*4357564636—88—46-32-27-22-106—	40-	17 —7,1 -2,7130138135126116—105-	38—	16 -5,9 -2,3-73—31-18—13—103544413425Продолжение табл. 13.30103 T iflaX2345791011120,88927386-47— 80170— 78—3372t1.28627086—27— 35168— 33—1364l1.67225571—27— 17152—16—13562.05723753—26-7.4134-6.3-12392.44222038—22-2,3118—1,4—1026Таблица 13.31Значения а, р, к в (13.107) для плиты в виде бесконечной полосы, загруженной равными силами по оси симметрии (рис. 13.39)10* at103 T,Ыа\wI1356781245670.82 4632 4622 4352 42224232 423142 69516.11.91.71.2504502476464464464142 69516.11,91.71/41.6173172146135135135142 69516.11,91.72.0828056464646142 69516.11.91.62.4474625161616142 68516.11.31,60,8123512271219121212121 210199 75982920151.2255248239233233231197 73972920151/21.6t198274686866197 72962919152.04W3729242422197171942819152.42619138.37,96.8195 70942616130.8829810816811809802236771345743321.2176157163158156149235761335642323/41.6654853484640232731305640302.0351822181710227681254935272,4227.1117.86.61,4218611164229220.863259462061561059026S851678771481.214210512912512010126Б8116283674511.6582546423721255721537357392,0зг\5,22118141.724C581385944292,4210.2117.55.6—2.522C42118412/19103b{a\i\12315j78 *0.8286284247146—85—163—1631621.2283281243143—84—160—1601591/41.6274272235136-81—152-1521512.025925622012476—137-1371362.4236234197106-69—115-115■1140.81811679769—4886-83-751.21801659569—48—85—82-741/21,61751619065—46•79—77-702.01681538360-44•73—70—622.41551417250-40—60—69—510.81571284752—41—64-58—411,21561264651—40-63-57—403/41,61531234349—39-60-54-372,01471183844—38-55-49-332,41381083137—35—46—41L-260,81501072347—38—58—46-221,21491062346-38—59-45-2211,61471032144—37—54—42-202.0142991840-36-50-39-172.41359214353443-32-13
13.6. ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ659Определяем параметр (13.108):>—]/i -‘"i/id108«1,2. (6)Формулы для прогибов и усилий (13.107) принимаютвидW = [о,-Р — а * (Р — Pi)l —= Юз.2502 = (240а; — 80 af)(В)37,8-108 = 1,224 (ЗаГ; — «1) см\мх =Р)р -Б (р - =80 <tftтсм;My=vP -Ъ(р—р) =80 —Td тсм •Здесь "а, P, К определяют из табл. 13.29; а, Р» 7 из табл. 13.30.	^Иапользуя таблицы, найдем при — = “:а)	для точки 11W = 1,224(3-0,122 — 0.064) «0,4сж;Мх = — 80(3*0,028 — 0,014) = — 5,6тсм/см;Му = ~ 80 (3-0,061 —0,062) = — 9.7 тсм/см;б)	для точки 1ш = 1,224 (3-0,221 — 0,252)=0,56 см\Мх = 80 (3 *0,088—0,087) = 14 тсм\ Му == 0* Давление плиты на основание равнор*п = £доп = 2-0,4 = 0,8яг/слса; р* = = 2-0,56 = 1,1 кг/см2.13.6.3 Прямоугольные плитыРасчет прямоугольных плит с кромками, свободны¬ ми от усилий, см. [10, 17, 20].13.6.4. Бесконечная плита с нагрузкой, имеющей ось круговой симметрииОбщее решение для нагрузки, имеющей ось круговой симметрии, в цилиндрической системе координат г, 0, г (ось г совмещена с осью круговой симметрии нагруз¬ ки), имеет видw-B№ (£) + B,U2 а) + BJJZ (£) ++ я*1/4(е)+-т- •(13.109)где р — интенсивность распределенной нагрузки;U .(£) __ цилиндрические функции аргумента Е> рав-(13.109а)Значения функций Ui (£ ) и их первых производныхd— Ui(k) = Ui ( 6 ) сведены в табл. 13.32.dwФормулы для производной ~ и усилий, соответ-drствуюших (13.109), выражаются через табулированные функции Ui, Ui и имеют вид( ВА + В2и2 + B3U3 + B4U4) ;мг—+ 7-ц) + ^з(^-у^з)-~в4 (уз + у^)];- В2 ((it/! - и'^1 -!- В3 (ц(/4 + -^U3j --*4(1^3-7-14)]Qr = --^( в2и[+ в3и'4 - в4и').(13.1096)IПриводим значения постоянных в (13.109) для ряда осесимметричных нагрузок, действующих на бесконеч¬ ную плиту:а) сила Р, сосредоточенная в центре координат:— В2 — В4 — 0; В3 -=РЬ2 4 D ’(13.110)б) нагрузка, распределенная по окружности радиу¬ сом а с интенсивностью рл:при г < а; £ < £е;6в--7-Bi -	иг (So) ; В* ■■2Dгсрл$ог'32Duta 0);В3 Bt = 0;(13.111)при г > а; 5 > 50; So =7фл£п®3в, = в2 = 0; B3=-^-U,(Z о);(13.111а)в)	нагрузка, распределенная по площади круга ра¬ диусом а с интенсивностью р:опри г < я; »<£<>; ^ e Т”42*
660РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ. ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫвг = -^^з(«о); вз-в4=о;апри г > а; g > £0 ; ^0 = ”Г"Продолжение табл. 13.32(13.112)В,-В,-0; а, —Т я б л и ц а 13.32Значения Ui и Ut в (13.109)(13.112а)-£/i-t/40,000,020,040,060,080,100,120,140,160,180,200,220,240,260.280,300,320,340,360,380,40 0,42 0,44 0,46 Э,0,500,520,540,500,580,600,620,640,660,680,700,720,740,760,780,800,820,840,860,'~0,900,920.940,960,981,001.11.20,0000,0000,0000,0000,00001,000000001,00001,00001,00001,00001,00000,99990,91*990,99990,99990,99980,99980,99970,99970,99960,99950,99940,99930,99920,99900,99890,99870,99850,99820,0,99770,99740,99800,99670,99620,99580,99530,99480.99420,9936 0,9929 0.9922 0.9915 0,99060,0,0.9878 0,9867 0 98560,98440,97710,9676,0000 0.0001 .0004 .0009 , 001С0,00250,00360,0049J.00640,00810,01000,01210,01440,01690.01960,0225 0,0256 О,028- 0,0324 0,03610,04000,04410,04840,052i>0,05760.06250,06760,07290,07840,08410,0900 0,0961 1024О0.11560,12240.12950,13680,14430,15200.1599 0,1680 0.1762 0,1847 О 19340,20230,21130,22060.23010.23970,24960.30170,35870,00000.00000,00000,00000.00000,0001 0,0001 О 0002 0,0003 0,00040,00050,00070.00090,00110,00140,001/0,00200,00250,00290.00340,0040 О 0046 О 0053 0.0061 0,00690,00780.00880.00930,01100,01220,01350,01490,01640.01800,01960,02140,02330.02530,02740,02960,03200,03440,03700,03970,04260,0455 О 0486 0.0519 0,0553 0,05880,06240,08310,10780,00000,01000,02000,03000,04000,05и00.06000,07000,08000,09000,10000,11000,12000,13000,14000,15000,16000,17000,18000,19000,20000,21000,22000,22990,23990,24990,25990,269^0,279з0,28980,29980,30980,31970.32970,33960,34960,35950,36940,37930,38920,39910,40900,41890,42880,43860,4485 О 4583 0.4681 0,4779 0,48760,49740,54580,59350,5000 0,4997 О 4989 0,4978 0.49630.49460,49260,49040,48800.48540,48260,47970,47670,47350,47010,46670,46320.45950,45580,45200,44800,44410,44000.43590,43180,42750.42330,41900,41460,41020,40580,40140,39690,39240,38790,38340,37880,37430,36970,36510,36060,35600,35140,34690,34230.33770,33320,32860,32410,31960,31510,292а0,27132,564312*21,86531,68251,54091.42541.32791,24361,16951,1033 1,0437 0,9894 О 9397 0,89380,8513 0,8117 0,7747 0,7400 О 70730,67650,64730,61980.59350,56860,54490.52230.50060,48000,46020,44130,42310.40570,38890.37290.35740,34250,32820,31440,3011и,2883 0,2760 0,2641 0,252о 0,24150,2308 0,2205 0,2105 0,2003 О 1915О 1825 0,1419 0,1076о.0000 0,0288 0,0488 0,0655 0.08000,092Э0,10460,11520,12480.13370,14Ь 0.1495 0,1565 0.1630 О 16900,1746 0,1798 О 1846 0,1891 О,1932О,1970 0,2006 0,2038 0.2068 0,20960,21210,21440,21650,21840.22010,22170,22300,22420,22520,22610,2268 0.2274 0.2279 0,2282 О 22850,22360.22860,22850.22830,22790,22760,22710,22650.22590,22510,22430,21930,212031,82615,90510,5957,93786,34135,27544,51263,93943.49253,13402,84002,59412,38542,20592,04981.91271,79121,68281,58541.49741,41/41,34431,27731,21561,15851,10561,05641,01050,96750,92730,88940,85380,82010,78830,75820,72960,70240,67660.65200.C.2S60.60610.58470,56420,54460,52580,50770,49040,47370,45760,44220,37300,3149е5)И-Н-н-и;Н-гГ-н*и'81,300,95540 42040,13700,64030,25040,07860,20540,26561,400,94010,48670,17090,68600,23020,05420,19710 22351,500,92110,55760,21000,73020 21100,03370,18820,18731,600,89790,63270,25450,77270,19260,01660,17880,15601.700,87000,71200,30480,81310,17520,00230,16920.12901,800,83670.79530,36120,85090,15830,00940,15940,10561,900,79750,88210,42380,88570,14330.01890 14960,08542.00.75170,97230 49310,91700,12890,02650,13990,06792,20.63771,16100,65200,96610,10260.03710,12100,03972,40.48901,35750,83920,99440,08040,04290,10320,01892,60,30011,55691,05520,99430,06140,04460,08680,00392,80,06511,75291,29930,95890,04550,04470,07180,006Ь3,00,22141,93761,56980,88040 03260,04270,05860,01373,20.56442,10161,86360.74990,02200,03940,04700,01803.40,96802,23342,17550.55770,01370,03560,03690,02043,61.43532,31992,49830.29360,00720,03140,02840,02133.81,96742,34542,82210,05260,00220,02600.02120,02104,02,56342,29273.13460,49120,00140,02300,01520,02004,23,21952,14223,41991,03180.00390,01920,01040,01854,43.9*2831,87263,65871,68330,00560.01560,00650,01684.64.67841,46103,82802,45200,00660,01250,00350,01484,85.45310,88373,90063.34220.00710,00970.00120,01295.06,23010,11603.84544,35420,00710,00730.00050,01095.26,98030,86583,62705,48350,00690,0053,0.00170,00915,47,66742,08453,20636,71980,00650,00370,00250,00755,68,24663,55972,54098,04530,00590,00230,00300,00605,88,61445,30681,58569,43320,00530,00120,00330,00476.08,85837.33470,293110,3460.00460,00040,00330.0036Примечание. Жирные горизонтальные линии отделяют по¬ ложительные значения функций от отрицательных.При определении изгибающих моментов по (13.1096) следует учесть, что для £ =0у U[ (£) =• 0; yU2 “ -°’5' 03.113)Пример 13.20. Плита весьма значительных размеров в плане и толщиной t = 60 см загружена нагрузкой Р=200 г, распределенной по площади круга радиусом а=2 м. Плита опирается на упругое основание с коэф¬ фициентом постели, равным £=3 • 103 т/л«3. Упругие константы плиты [х =0,15; ^=0,85; с=2 • 106 т.1м2. Приняв центр круга нагрузки за начало цилиндрической системы координат, определить прогиб г. усилия в плите для г=0 и г—3 м.Вычисляем жесткость плиты и о (13.109а)D£/i32.106.0,6312(1— 1х2) 12 (1—0,152),4 /3,64-10* . „Ь = 1 / —— л 1,86 Л13,64-104 тм ; (а)Вычислив предварительно величинуА =гдеко2ka2' аs "	s&200-1,08 9,08 ’г-З-Ю3^" Ю3м,(б)1.08,и определив по табл. 13.32 значения функций Ui и Ui для S = £о =1,08:
13.7. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛИТАХ6611/х = 0,979; Ut	0,291; £/3 = 0,297; i/*-—0,150;U\	0,079; U’2	0,536; и'3 	 0,220;и\- 0,387;найдем по (13,112) значения постоянных:а)	для участка т<2 (Вз=5«=0)35б)	для участка г > 2 (Bj = В2 = 0) 48,5(в)Т5Г-; в4—104104Затем для центра плиты при г— £ =0 по формулам (13.109) и (13.1096) и табл. 13.32 получимw *=0,183см ;Мг =3,64[-35-0—19,9(1 —1,86*-0,85-0,5)] * 12тм/м ;Мс=-3,64[-35-0—19,9(0,15 +(г)1,86*+ 0,85-0,5)] » 12 тм/м.Определив по табл. 13.32 значения Ui и U'. для5=1,62 (r=3 м): 1/3=0,186; £/4==—0,011; £/3= —0,175;^4=0,145, найдем по (13.109) прогиб и усилия для г=3 м (5 =1,62):w = — (48.5-0,186 — 7,14-0,011)10*•	4,9 м = 0,049 см;3.64 ГМг—TWr'5(-°m +0,85 \	I+ Гб2° 175)-7 14(0 186 +0,85 \1 + j 62 0,145j! = —2,35тм/м;3.64	Г48 = “Tiiu (~°15'0,011 -.175^ — 7.11,620,850,85 , \Гй0-145)3,64.14(0 15-0,186 —4,59 тм/м ;(48,5-0,145 +1,863+ 7 14-0 175) = —4 7тм/м.(Д)13.6.5 Круглые и кольцевые плиты под осесимметричной нагрузкойРешение представляют в виде и» = wQ + w*;wo ищется по формуле (13.109), где В1—4 в зависимости от нагрузки находят по формулам (13.110) — (13.112). Второй член w* записывают в виде (13.1L9) и опреде¬ ляют постоянные В/ из условий закрепления плиты. При этом для сплошной плиты следует примять Вз=В4=0.Пример 13.21. Плита из примера 13.20 имеет по ок¬ ружности г=3 м кромку, свободную от усилий. Опреде¬ лить прогиб в центре плиты.Находим для £ =1,62 (г=3 м) по формулам (13.1096) и табл. 13.32 усилия от w*:мг= ^-(0,51 Bi — 0,48 В2); Qr--£-(0.78 В,-0.27 В,).(а)Усилия от w0 вычислены ранее (см. (б) в приме¬ ре 13.20) и равныМг = —2,35 тм/м ; Qr — —4,7 т/м. (б)Приравняв сумму Мг и Qr в (а) и (6) нулю, най¬ дем В\ и В2 для w*:50,3 „ 36,1 в,- — ; е2= — .	(в)Отсюда следует, что прогиб в центре плиты равен 18,3 50,3 32,2104 18,33,64. 104Ю4' м =0,322 см.(г)Здесь —прогиб в центре, найденный в приме¬ ре 13.20.13.7.	ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛИТАХЕсли плита подвергается неравномерному нагреву по толщине, то, как правило, в плите появляются напря¬ жения.Исследования [4, 17] показывают:а)	плита любого очертания с защемленным конту¬ ром остается плоской; вдоль контура появляются изги¬ бающие моменты; величина этих моментов, приходящая¬ ся на «единичную» площадку сечения плиты у контура, равнаМп = ^2.	(13.114)Здесь Т — разность температур на верхней и нижней по¬ верхностях плиты; а — коэффициент линейного расширения материала плиты;/ — толщина плиты;б)	в круглой плите со свободно опертым контуром напряжения не возникают.Исследование температурных напряжений в сектор¬ ных и треугольных плитах дано в [4].
662РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ13.8.	ОБЗОР ТАБЛИЦ ПО РАСЧЕТУ ПЛИТПриводим некоторые сведения о наиболее распро¬ страненных монографиях, содержащих таблицы для определения прогибов и усилий в плитах.1.	Б. Г. Галерки н, Упругие тонкие плиты, 1933. «Содержит таблицы по расчету прямоугольных, сектор¬ ных, треугольных плит с разнообразными опорными уст¬ ройствами под распределенной и сосредоточенной на¬ грузками.2.	П. Ф. Папкович, Строительная механика ко¬ рабля, ч. II, 1941. Приведены таблицы для определения усилий и прогибов прямоугольных плит, <я также табли¬ цы для расчета круглых плит под осесимметричной на¬ грузкой на опорах и на упругом винклеровском осно¬ вании.3.	С. П. Т и м о ш е н к о, Пластинки и е\болочки, 1948. Даны таблицы для определения усилий в пря¬ моугольных плитах под разнообразной нагрузкой. Име¬ ются также таблицы, формулы и графики для расчета эллиптических, круглых и треугольных плит.4.	Ю. А. Шиманский, Изгиб пластин, 1934. Со¬ держит таблицы по расчету прямоугольных плит под разной нагрузкой.5.	А. С м о т р о в, Решение плит, нагруженных сплош¬ ной нагрузкой по закону трапеции, 1936. Приведены таблицы для прямоугольных и треугольных плит.6.	О. Я. Шехтер и А. В. В и н о к v о о в а, Расчет плит на упругом основании, 1936. Содержит табли¬ цы по определению усилий и прогибов в беско¬ нечно большой плите и плите в виде бесконечной поло¬ сы, опирающейся на упругое винклерозское основание и загруженной сосредоточенными силами, расположенны¬ ми либо в углах прямоугольной сетки, либо по оси сим¬ метрии бесконечной полосы.7.	А. С. К а л м а н о к, Изгиб тонких прямоугольных плит, 1950 — таблицы по определению прогибов и усилий в прямоугольных плитах под трапецеидальной нагрузкой.8.	Д. В. В а й н б е р г, Е. Д. Вайнберг, Пластины, диски, балки-стенки, Стройиздат УССР. 1959. В работе содержится весьма обширный справочный материал (формулы, таблицы, графики, примеры) по определению усилий и деформаций в круглых, прямоугольных и дру¬ гой формы плитах под сосредоточенными и распределен¬ ными нагрузками.9.	П. М. Варвак и др., Таблицы для расчета пря¬ моугольных плит, Изд. АН УССР, 1959. Даны таблицы коэффициентов для определения прогибов и усилий в прямоугольных плитах с разнообразными опорными уст¬ ройствами от равномерно распределенной и сосредото¬ ченной нагрузок. Таблицы составлены при помощи чис¬ ленного интегрирования, в связи с чем возможна погрешность при определении расчетных величин, кото¬ рая (по мнению авторов) в большинстве случаев не превышает 10%.13.9. ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫПолные нормальные и касательные еапряжения в каждой точке гибкой пластинки складываются из напря¬ жений в срединной поверхности (или цепных, мембран¬ ных напряжений) и напряжений собственно изгиба.Под мембранами подразумеваются абсолютно гибкие пластинки, жесткостью которых на изгиб можно прене¬ бречь,13.9.1.	Гибкие пластинки1.	Прямоугольная пластинка шарнирно оперта по контуру; контур не смещается; поперечная нагрузка рав¬номерно распределена по всей площади (рис. 13.40) [2]« Стрела прогиба (в центре) определяется из уравнениялсз + в;:= J-p*,	(13.115)гдеДля центра пластинкиахп — алги + о*с ; ауп — суи + °ус(®хп и °уп—полные напряжения).Коэффициенты Л, В, <*, Р, 7 и 5 даны в табл. 13.33.Для квадратной пластинки имеется уточненное реше¬ ние [3], которое дает зависимости для определения стре¬ лы прогиба, напряжений в срединной поверхности и на¬ пряжений изгиба, представленные на рис. 13.41 и 13.42.2.	Прямоугольная пластинка шарнирно оперта по контуру; края пластинки свободно смещаются, попереч¬ ная нагрузка равномерно распределена по всей площади (см. рис. 13.40),
13.9. ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ663Приближенная формула для определения стрелы про¬ гиба имеет видёб(1 + ^)С3-Ь192 (1 — fj-2) 1 \2Ы С = Р*'1 +(13.117)гдеНапряжения в срединной поверхности аус будут наибольшими до абсолютной величине у кромок (х=( а \=0, а) и по средней линии пластинки I х = I:ш-500 \	т3G02001002 дРис. 13.43ЯCD20ОШ>ФгVЛ€s1Наибольшие полные напряжения равныауп = аус “Ь ауи •(13.120)Для квадратной плиты стрела прогиба, напряжения в срединной поверхности и напряжения изгиба по за¬ данной величине поперечной нагрузки определяются со¬ ответственно из рис. 13.43 и 13.44, полученных с помо¬ щью уточненного решения. Через С обозначен центр пластинки, через А — угол.3.	Прямоугольная пластинка находится под действи¬ ем поперечной нагрузки, равномерно распределенной по поверхности пластинки, и защемлена по контуру; края пластинки неподвижны (рис. 13.45).\2(13.118)Кубическое уравнение для определения стрелы про¬ гиба имеет видн«с+ 1 4-12,18-+Рис. 13.44Максимальные напряжения изгиба будут в центре пластинкиуп2(1 — (Xs)(13.119)(1 4- X2)2+ 7-53(1+^+i)]',++ 8»9в[з(^Г + 1) + -^-]с-Р** 03.121)Для определения напряжений в срединной поверхно¬ сти следует величины ахс и аус, определенные по за¬
664РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫвисимостям (13.124), сложить соответственно с рх и которые находятся по формулам\ _1_Рх 32 + /1 — (1* ’*	^ \_L_r.ру"~ 32 ( X» +,1jl — *(13.122)Напряжения изгиба следует определять по формулам теории жестких пластинок.Таблица 13.33 Значения коэффициентов А, В, а, р, 7 и 5albАВаР781.01,821,331,6451,6450,6150,6151.11,531.111,4161,5870,5180,6001,21,340,961,2421,5440,4480,5921.31,210,841,1071,5100,3920,5841.41.110,761,0001,4840,3510,5811.51,050,700,9131,4620,3150,5741.61,000,650,8431,4440,2880,5711.70,950,600,7841,4290,2630,5681.80,930,570,7351,4170,2460,5671.90.900,540,6931,4070,2300,5662,00,880,520,6581,3980,2170,566Уточненное решение для случая а = b приводит к зависимостям, данным на рис. 13.46—13.48. Буквой В обозначена середина стороны пластинки.4.	Прямоугольная пластинка защемлена по краям и находится под действием поперечной нагрузки, равно¬ мерно распределенной по поверхности пластинки; кром¬ ки пластинки свободно смещаются (см. рис. 13.45), ^•пи2Стрела прогиба определяется из кубического урав¬ нения (при и- =0,3):+ S,98[3(^-+l) + ^-]c-p*. (13.123)Максимальные напряжения в срединной поверхности (в центре пластинки) равны°лс “ V “ QOJ2 Г5 + 71	Гг	(13-124)71 Гг	”32 X* 5+ 71 ~\2L Ь + ')Таблица 13.34Вспомогательные функции для расчета удлиненных пластинокиНагрузкаСтрела прогибаНапряженияшарнирныекрая1* ГР* О-**)]Аа> ”я и а 1 а 1 а*1 гАшарнирные края <!*]защемленные края ф.,посерединеу защемлен¬ ных краев хшарнир¬ ные края'fiзащемлен¬ ные края?■>0—ее— оо1,0001,0001,0001,0001,0000,50,1110,7830,9080,9760,9050,9720,9841.00,5174061,1143310,7110,9090,7040,8940,9391,50,8273101,3372230,5320,8170,5110,7880,87t2,01,08926^1,5191820,3800,7150,3670,6730,8062,51,3162271,6801610,2810,6170,2680,5630,7363,01,5141981,8261460,2130,5290,2000,4670,6723,51,6891751,9601340,1660,4530,1530,3860,6144,01,84515С2,0841240,1320,3880,1200,3200,5634,51.9861412,1991150,1070,3350,0970,2670,5195,02,1141282,3061070,0880,2910,0790,2240,4805,52,23211S2,4061000,0740,2540,0660,1890,4466,С2,3401082,499930,0630,2230,0550,1620,4176,52,4401002.587880,0540,1970,0470,1390,3917,02,533932,669820,0470,1750,0410,1210,3677,52,620872.747780,0410,1560,0360,1060,3478,02,702822,821740,0360,1410,0310,0930,3288,52,779772,891700,0320,1270,0280,0830,3119,02,852732,958670,0290,1150,0250,0740,2969,52,921693,021630,0260,1050,0220,0660,283102,986653,082610,02350,09600,02000,05990,270И3,1081223,195ИЗ0,01950,08110,01660,04960,248123,2201123,3001050,01640,06940,01390,04170,229133,3231033,397970,01400,06010,01180,03550,213143,419963,487900,01210,05250,01020,03060,199153,509903,572850,01060,04620,008890,02670,187163,592833,652800,009300,04100,007810,02350,176173,670783,727750,008250,03660,006920,02080,166183,744743,798710,007360,03290,006170,01850,158193,814703,865670,006610,02970,005540,01660,150203,881673,928630,005970,02700,005000,01500,142Напряжения изгиба определяются по формулам тео¬ рии жестких пластинок.5.	Удлиненная гибкая пластинка пролетом Ь нахо¬ дится под действием равномерно распределенной по¬ перечной нагрузки р.Прогибы определяются по формулам5С = ~Р*(1 —(шарнирно опертые (13.125)края);32С = р* (1 — р.2) ф2 (защемленные края). (13.126)Максимальные напряжения (в плоскости, параллель¬ ной длинным опертым краям) в срединной поверхности равныи»ус(13.127)Максимальные напряжения изгиба для нижних во¬ локон посередине пролета3о* = — (1 — н-2 ) Р* <Pi (шарнирно опертые (13.128) у *	края);о*и -= -i- (1 — fi2) р* <р2 (защемленные края). (13.129)Макеммальные напряжения изгиба для верхних во¬ локон у ояор(13.130)
13.9. ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ665Здесьа'ТЧи(тГ-<f>2 и % находятся изЗначения Ф1, фг» табл. 13.34.Зависимости между оу и С даны на рис. 13.49 и 13.50.шм—*-7060so<10JO2010о/"?•//ч11/Защемленные края \///Шарнирно' /77ь/е коаяопер-/# \Рис. 13.50Коэффициенты А и В даны в табл. 13.35. После оп¬ ределения стрелы прогиба нормальные напряжения из¬ гиба <Vii* °/и и напряжения в срединной поверхности сгс. °/с находятся по формуламсги = аЕ — ;а*«а. = ря ;а2гс(13.132)Полные напряжение равны°г = °ги + <Vc I а/ = в/и + °/с* (13. 133)Значения коэффициентов я, р, 7, и 5 даны в табл. 13.35. Знак минус относится к сжимающим напря¬ жениям.6.	Круглая пластинка подвергается действию попе¬ речной нагрузки, равномерно распределенной по всей площади.Стрела прогиба (в центре) определяется из кубиче¬ ского уравнения	^где р-шЛС3 + BZ=P*(13.131)13.9.2.	Мембраны1.	Квадратная мембрана нагружена равномерно рас¬ пределенной поперечной нагрузкой; края шарнирно оперты; кромки неподвижны.Прогиб определяется по формулеС = 0,285 V Р* ■Значения коэффициентов Л, В, а, (3, 7 и Ь(13.134)Таблица 13.35Граничные условияАВВ центреУ контура<x=j3T = i1 *т | аШарнирное опирание по контуруконтур свободно сме¬ щается0.3761,4361,7780,29500,7550-0,427контур не смещается2.6601,4361,7780,90500,7550,6100,183Защемление по кон- туруконтур свободно сме¬ щается0,8575,8622.8600,5004,4001,3200—0,333контур не смещается2.7625,8622,8600,9764,4001,3200.4760,145
666РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ПЛИТЫ, ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫНапряжения в срединной поверхности (в центре пла¬ стинки) будут(13.135)рУ3.су-3,40С*.2. Удлиненная абсолютно гибкая пластинка с про¬ летом b нагружена равномерно распределенной нагруз¬ кой; края пластинки шарнирно оперты; кромки непод¬ вижны.Стрела прогиба равнаС = 0,36 V D* ■(13.136)Напряжения в срединной поверхности (в центре пластинки) определяются по формуле3. Круглая мембрана с несмещающимся контуром подвергается действию равномерно распределенной по¬ перечной нагрузки.Стрела прогиба в центре определяется по формулез	С = 0,662 V7* .(13.138)Максимальное напряжение в центре равноз ,атах= 0,4231^/”■ (13.139)4. Прямоугольная мембрана подвергается действию равномерно распределенной поперечной нагрузки; пла¬ стинка до прогиба получила предварительное натяже¬ ние в своей плоскости (рис. 13.51).Предварительные напряжения во всех направлениях полагаем равнымиПредел упругого сопротивления гибкой пластинки.Под пределом упругого сопротивления будем понимать ту нагрузку Pi, при которой наибольшие приведенные (по той или иной теории прочности) напряжения дости¬ гают величины предела текучести материала ст.Для определения предела упругого сопротивления пластинки устанавливается связь между наибольшими напряжениями и интенсивностью нагрузки. При этом деформации считаются упругими на всем участке до пре¬ дела текучести.Пример 13.22. Квадратная гибкая пластинка нахо¬ дится под действием равномерно распределенного по по¬ верхности пластинки поперечного давления; кромки пла-fSo24020076072060(toI	//1/1// Абсолютно Г &ti*o я АV///// / гиёкаяпастинка>f7 " ■ f//20trW\l6147.2№0.80.6Рис. 13.53Стрела прогиба будетс 16где- &+■) -т(Я--Т\	(13.140)В случае квадратной мембраныР*С «0 .082(13.141)стинки шарнирно оперты; края не смещаются. На рис. 13.52 и 13.53 изображена зависимость между ат и Рт для малых и значительных прогибов Ст. Здесь же дана «предельная» нагрузка, полученная при том же условии для абсолютно гибкой пластинки, которая ока¬ залась равнойР; = 9,63 (о^)1-5.	(13.142)В практических расчетах надо вычислить в* по фор-•	муле\2(J*	/ Ь \2°т=т(т)и найти рт из графиков рис. 13.52 или 13.53.
ЛИТЕРАТУРА1.	Бубнов И. Г., Строительная механика корабля, ч, II, 1914, Труды по теории пластин, Техтеоретиздат, 1953.2.	В а рва к П. М., Приближенный расчет пластинок сред¬ ней толщины, Труды Киевского инженерно-строительного ин¬ ститута, вып. 3, 1936.3.	В о л ь м и р А. С., Гибкие пластинки и оболочки, Техтео¬ ретиздат, 1956.4.	Г а л е р к и н Б. Г., Упругие тонкие плиты, Госстройнз- дат. 1933.5.	Г о р б у н о в-П о с а д о в М. И., Расчет конструкций на упругом основании, Госстройиздат, 1953.6.	Ж е м о ч к и н Б. Н. и Синицын А. П., Практические методы расчета фундаментных балок на упругом основании без гипотезы Винклера, Гостехиздат, 1947.7.	К а л м а н о к А. С., Строительная механика пластинок, Машстройиздат, 1950.8.	К и т о в е р К. А., Изгиб тонких прямоугольных плит, сборник «Расчет пространственных конструкций» под редакцией А. А. Уманского, вып. 2, Госстройиздат, 1951.9.	К и т о в е р К. А., Круглые тонкие плиты, Госстройиздат. 1953.10.	Коренев Б. Г., Вопросы расчета балок н плит на уп¬ ругом основании. Госстройиздат, 1954.11.	Лехницкий С. Г., Анизотропные пластинки, Гостех* издат, 1947.12.	Малиев А. С., Исследование изгиба ребристых плит* труды ВВМИСУ, вып. 1, Л., 1939.13.	Маркус Г., Теория упругой сетки и ее приложение к расчету плит и безбалочных перекрытий, Госстройиздат, 1936.14.	Пра тусевич Я. А.. Вариационные методы в строи* тельной механике, Гостехиздат, 1948.15.	Папкович П* Ф.. Строительная механика корабля*ч.	И, Судпромгиз, 1941.16.	Смотров А., Решение плит, нагруженных сплошной нагрузкой по закону трапеции, ОНТИ, 1936.17.	Тимошенко С. П., Пластинки и оболочки, Гостехиз* дат, 1948.18.	Феодосьев В. И., Упругие элементы точного прибо* ростроения, Оборонгиз, 1949.19.	Ш е х т е р О Я. и Винокурова А. В. Расчет плит на упругом основании, Госстройиздат, 1936.20.	Швмавекнй Ю. А., Изгиб пластин, ОНТИ, 1934.
РАЗДЕЛ 14ОБОЛОЧКИ14.1.	КЛАССИФИКАЦИЯ ОБОЛОЧЕК И КАЧЕСТВЕННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИХ РАБОТЫ14.1.1.	Общие положенияПространственные конструкции типа оболочек при¬ меняются в различных областях техники. Изложенная ниже классификация относится к оболочкам, приме¬ няемым в промышленном и гражданском строительствеУчасток нулевой кривизны Участок отрицательной кривизны Участок положительной кривизныРис. 14.1kz>Рис. 14.2в качестве несущей части покрытий и перекрытий, в строительстве резервуаров различного типа и гидротех¬ нических сооружений.Оболочкой называется пластинка, изогнутая по неко¬ торой поверхности. В зависимости от характера этой поверхности различают гладкие оболочки и складки. Оболочка, изогнутая по гладкой непрерывной поверхно¬ сти, называется гладкой (рис. 14Л).Оболочка, составленная из отдельных пластинок, соединенных между собой и образующих поверхность многогранника, называется складкой (рис. 14.2).Встречаются оболочки смешанного типа, состоящие из гладких оболочек, соединенных между собой под не¬ которыми углами (рис. 14.3), а также комбинации из гладких оболочек и складок.Края оболочки могут быть свободными, шарнирно опертыми (подвижно или неподвижно.) либо защемлен¬ ными, как по всему контуру, так и по части контура или же в отдельных точках.в)Рис. 14.3Кривизна поверхности гладких оболочек или повсю¬ ду постоянна, или плавно изменяется от точки к точке; кривизна поверхности складок сосредоточена в местах сопряжения граней, во всех остальных точках она равна нулю.Большое значение для характеристики работы оболо¬ чек имеет гауссова кривизна (см. 1.5.3).Различают четыре класса:I	— оболочки положительной гауссовой кривизны (сферические, эллиптические и т. п.) (рис. 14.1, а);II	— оболочки нулевой гауссовой кривизны (цилин¬ дрические и конические) (рис. 14,1,6 и в); цилиндриче¬ ские оболочки бывают открытые (рис. 14.1,6) и замкну¬ тые (см. 14.2);III—оболочки отрицательной гауссовой кривизны (гиперболоидальные) (рис. 14,1,г);IV — оболочки смешанной кривизны, у которых гаус¬ сова кривизна имеет различные знаки на различных участках, например торообразная оболочка (см. рис. 14.20) и др. (рис. 14.1,д).В зависимости от конструктивного решения оболочки разделяются на сплошные (рис. 14А о), сетчатые (рис. 14.4,6 — свод системы Песельника) и ребристые.В зависимости от соотношения между толщиной обо¬ лочки t и ее генеральными размерами в плане L разли¬чают: толстыеоболочки ^	-S- “j ^min J\тон¬кие (тонкостенные) (Vajo^min <	) и очеяьтонкие (/<V200^mln).
670РАЗДЕЛ И. ОБОЛОЧКИРис. 14.414.1.2.	Тонкостенные оболочкиТонкостенные оболочки, применяемые а качестве по¬ крытий и перекрытий, разделяются на: 1) купола; 2) сво¬ ды, своды-оболочки; 3) пологие оболочки; 4) призмати¬ ческие складки и шатры.Куполами перекрывают помещения, круглые в плане или имеющие форму правильного многоугольника. Они бывают: гладкие, ребристые и многоугольные.Ребристые купола в своей основе имеют решетку, составленную из ребер, направленных по параллелям и меридианам. Многоугольные купола составлены из пере¬ секающихся сводов-оболочек (рис. 14.3,6).Сводами называются оболочки, очерченные по ци¬ линдрической поверхности. Края сводов (параллельные образующей) могут опираться на сплошные непрерывные опоры. В этом случае размерами, характеризующими свод, будут: пролет / (расстояние между опорами) иподъем свода fo. Отношение ~~'лля сводов не меньше1/6. Своды, опирающиеся на жесткие поперечные диа¬ фрагмы и на продольные бортовые элементы, называются сводами-оболочками (см. рис. 14.48). Они характери¬ зуются тремя размерами: расстоянием 1\ между попереч¬ ными диафрагмами (пролет оболочки), расстоянием между бортовыми элементами h (длина волны) и подъ¬ емом /о./хЕсли —*>1, то свод-оболочка называется длинной h(практически это отношение доходит до З-т-4). Подъем {о принимается не меньше 0,1 1\ и не меньше	Длин¬ные своды-оболочки бывают однопролетные (опираются на две диафрагмы), многопролетные (опираются на ряд диафрагм), одноволновые и многоволновые, состоящие из нескольких параллельных оболочек, связанных общи¬ ми краевыми элементами.1\При 4>“Г“ > 1 -5- 0,75 свод-оболочка считается сред- hlYней длины. При < 1 свод-оболочка называется ко- h1роткой; подъем короткой оболочки /о > "у/.Пологие оболочки имеют небольшой подъем ^/о < — ^minj ; их особенно удобно применять в пере¬ крытиях с ограниченной толщиной.Призматические складки (рис. 14.2,6) и шатры (рис. 14.2, а) применяются для тех же целей, что и своды-оболочки или пологие оболочки. Они подробно описаны в 14.5; разные типы складок см. рис. 14.50 и 14.51.14.1.3.	Общая характеристика работы оболочкиНаиболее характерное отличие оболочки от плиты — относительно малая величина возникающих от действия внешней нагрузки изгибающих и крутящих моментов, а также поперечных сил по сравнению с этими же уси¬ лиями в плите.Уменьшение изгибающих и крутящих моментов со¬ провождается появлением значительных осевых и сдви¬ гающих сил, поэтому оболочка работает главным образом на сжатие (растяжение), а не ня изгиб и кру¬ чение. Это позволяет более выгодно использовать мате¬ риал оболочки.Вследствие кривизны оболочки проекции продольных и сдвигающих оил на нормаль к поверхности оболочки создают подобие «упругого» (фиктивного) основания под оболочкой. Можно сказать, что оболочка работает как плита, под которую подведено упругое основание. Этим объясняется увеличение прочности и жесткости оболочки по сравнению с плитой. Большое значение для работы оболочки имеет опорный контур.В основу методов расчета тонких и очень тонких оболочек положены допущения, что материал оболочки изотропен и следует закону Гука и что при деформации оболочки нормали в каждой точке срединной поверхно¬ сти остаются прямыми и не укорачиваются (гипотеза Кирхгофа—Лява). На основе этих гипотез построены две группы теорий оболочек: 1) линейные, или теории ма¬ лых перемещений, и 2) нелинейные, или теории оболочек с учетом конечных перемещений.Когда перемещения, возникающие в оболочке (напри¬ мер, прогибы), настолько велики, что могут вызвать су¬ щественное перераспределение усилий, должны приме¬ няться нелинейные теории. Во всех остальных случаях расчет можно производить по линейным теориям.Изгибающие и крутящие моменты могут быть на¬ столько малы, что их можно отбросить без особого ущерба для точности расчета. В соответствии с этим все теории оболочек можно разделить на моментные и без- моментные; как те, так и другие могут быть линейные и нелинейные.В расчетной практике встречаются следующие основ¬ ные теории оболочек: 1) безмоментная линейная; 2) мо- ментная линейная; 3) моментная нелинейная и 4) без¬ моментная нелинейная.
14.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ671Наиболее проста безмоментная линейная теория. Расчеты по второй и в особенности по третьей теории гораздо сложнее.14.1.4.	Пределы применимости моментных и безмоментных теорийЭти пределы зависят от ряда фактороз влияющих на работу оболочки [10, стр. 423]: 1) гауссовой кривизны (см. выше); 2) наличия на поверхности оболочки линий искажения напряженного состояния, т. е. линий, вдолькоторых могут произой¬ ти возмущения напря¬ женного состояния. Это те места, где геометри- Р ческие или физические свойства оболочки, или характер нагрузки, изме¬ няются скачком: а) края оболочки; 6} линии, Рис. 14.5	вдоль которых нагрузка(или ее производные)) или геометрические па¬ раметры оболочки (кривизна или толщина) изменяются скачком. Вблизи этих мест возникают дополнительные напряжения, вызываемые краевым эффектом (см. 14.3.8).Для работы оболочки большое значение имеет пока¬ затель изменяемости нагрузки, определяемый следую¬ щим образом. Назовем коэффициентом изменения на¬ грузки (или вообще какой-либо функции) число 7, рав¬ ное отношению среднего значения производной функции к среднему значению самой функции (на некотором ин¬ тервале). Например, для равномерно распределенной нагрузки 7 =0, для треугольной нагрузки (рис. 14.5)Р Р7 = — : — =з 2 , для сосредоточенной силы 7 = °°.Показателем изменяемости нагрузки назовем число s, связанное с 7 соотношениемгде t — толщина оболочки;R— некоторый характерный радиус кривизны по¬ верхности оболочки.Из этой формулы получимIn 7Для равномерно распределенной нагрузки показатель изменяемости равен —оо, для сосредоточенной силы +оо .По безмоментной теории могут быть рассчитаны обо¬ лочки, удовлетворяющие следующим условиям.1.	Линии искажения напряженного состояния долж¬ ны быть расположены на поверхности оболочки доста¬ точно редко, так чтобы зоны затухания возмущений на¬ пряженного состояния, возникающие около этих линий, не покрывали целиком срединную поверхность оболочки. Например, оболочки, подкрепленные часто расположен¬ ными ребрами, не могут быть рассчитаны по безмомент¬ ной теории.2.	Нормальная кривизна срединной поверхности обо¬ лочки на любой линии искажения не должна обращаться в нуль ни в одной точке. Например, цилиндрическая обо¬ лочка с краями, расположенными вдоль образующей, или та же оболочка, имеющая отверстие, или замкнутая цилиндрическая оболочка с ребрами, расположеннымивдоль образующих, не могут быть рассчитаны по безмо¬ ментной теории.3.	Показатель изменяемости внешних поверхностных и краевых нагрузок не должен быть слишком большим. Для поверхностной нагрузки по всем направлениям1 1 должно быть s<—,для краевой нагрузки $<-^-(дляоболочек положительной и отрицательной кривизны) и 1s< —(для оболочек нулевой кривизны). На сосредото¬ ченную нагрузку, показатель изменяемость которой ра¬ вен + °о, оболочки не могут рассчитываться по безмо¬ ментной теории.4.	Срединная поверхность не должна обладать неко¬ торыми особыми свойствами. Например: а) цилиндриче¬ ская оболочка не должна быть слишком длинной; б) ко¬ ническая оболочка не должна содержать вершину кону¬ са; в) срединная поверхность оболочки не должна ка¬ саться плоскости по замкнутой кривой, как это имеет место в торообразной оболочке (см. рис. 14.20).5.	Срединная поверхность оболочки не должна де¬ формироваться без растяжений (сжатий) и сдвигов. Иными словами, по безмоментной теории можно рассчи¬ тывать только такие оболочки, в которых изгиб возмо¬ жен лишь при растяжении (сжатии) или сдвиге элемен¬ тов срединной поверхности.Указанные пять условий применимости безмоментной теории являются достаточными, но не необходимыми. Иногда можно рассчитывать оболочки по безмоментной теории и при нарушении одного или нескольких из этих условий. Например, призматическая складка (рис. 14.2,6), пластинки которой соединены шарнирами, нагруженная в местах шарниров сосредоточенной на¬ грузкой, может быть рассчитана по безмоментной тео¬ рии, хотя при этом нарушаются второе и третье условия. Оболочку положительной гауссовой кривизны, нагру¬ женную сосредоточенной силой, можно рассчитывать по безмоментной теории, так как возмущеаия, вызванные сосредоточенной силой, быстро затухают.Концентрации напряжений, вызванные возмущениями напряженного состояния около линий искажения, могут быть сглажены за счет пластических деформаций и мало повлияют на величину разрушающей нагрузки. Поэтому вопрос о применимости той или иной теории должен ре¬ шаться в каждом отдельном случае. Следует иметь в виду, что для оболочек положительной кривизны второе и четвертое условия всегда выполняются.14.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 14.2.	Г. Основные условные обозначения (рис. 14.6 и 14.7)Геометрические параметрыR — радиус срединной поверхности стенки или обшивки оболочки;I — длина оболочки;Iа/ = — относительная длина оболочки;'Их — расстояние вдоль образующей от неко¬ торого начального поперечного сечения до какой-либо произвольной точки на срединной поверхности;
2РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИа = —-—то же, относительная величина;Rs — расстояние по дуге окружности средин¬ ной поверхности от некоторой начальной точки до какой-либо произвольной на той же поверхности;sр = — — то же, относительная величина, централь- Rный угол;Рис. 14.7ах— расстояние между кольцами жесткости; as — расстояние между продольными ребра¬ ми жесткости;1	— момент инерции всего поперечного сече¬ ния оболочки (пустотелой балки) отно¬ сительно нейтральной оси;S	— статический момент части поперечного сечения относительно той же оси;Fх — сечение продольного ребра с примыкаю¬ щей к нему частью обшивки;/у — момент инерции сечения кольца жестко¬ сти с примыкающей к нему частью об¬ шивки (сечения с нормалью s);/j—погонный момент инерции сечения в 9 кольцевом направлении (с нормалью s);7	д— момент инерции сечения продольного ребра жесткости с примыкающей частью обшивки (сечения с нормалью х);/ к—момент инерции поперечного сечения концевого кольца жесткости относитель¬ но оси, параллельной образующей обо- ' лочки;1Х— погонный момент инерции сечения в про¬ дольном направлении (с нормалью х)\К1Х *=	 — приведенная толщина оболочки в про-ахдольном направлении; то же, относительная величина;приведенная толщина оболочки в коль¬ цевом направлении;-V¥-Ps = ~r~ — то же, относительная величина;Rt—толщина гладкой стенки безреберной оболочки;t-fr»-=~ — то же, относительная величина.АНагрузкар — внешняя нагрузка на единицу поверхно¬ сти (или на погонную единицу) обо¬ лочки;Az- Pv — проекции на нормаль внешней нагрузки на единицу поверхности оболочки;Ps — проекция на касательную плоскость вне¬ шней нагрузки на единицу поверхности оболочки;рх— проекция на образующую внешней на¬ грузки на единицу поверхности оболо¬ чек.Напряжения и усилияох—нормальные напряжения, действующие в продольном направлении;Nx — нормальные усилия в том же направле¬ нии;Q* — поперечные силы в том же направлении;Мх—изгибающие моменты в том же направ¬ лении;—нормальные напряжения, действующие в кольцевом направлении;Ns —нормальные силы в том же направле¬ нии;Qs — поперечные силы в том же направлении;Ms — изгибающие моменты в том же направ¬ лении;NXS = NSX—сдвигающие усилия;*	— касательные напряжения;М — изгибающий момент в пустотелой балке;Мк — крутящий момент в пустотелой балке, Q — поперечпая сила в пустотелой балке.Перемещения и деформацииw — перемещения точек контура оболочки в радиальном направлении; и — перемещения точек контура в продоль¬ ном направлении; v — перемещение точек контура оболочки в тангенциальном направлении;<Р* — угол поворота образующей оболочки; ъх—деформация изгиба в продольном на¬ правлении;—	то же, в поперечном направлении;*xs—относительная деформация кручения;Е — модуль упругости;G — модуль сдвига;^ — коэффициент Пуассона1;ех—относительное удлинение в продольном направлении;—то же, в кольцевом направлении; eXs — относительный сдвиг.1	Коэффициент Пуассона обозначается также через ц (см. раз¬ делы 5, 17 и др.); здесь он обозначен через v, так как через jjl обозначается относительная толщина1 оболочки.
14.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ67314.2.2. Общие дифференциальные зависимости теории цилиндрических оболочекОсновные зависимости теории тонких цилиндрических оболочек, выведенные исходя из допущений двухосного напряженного состояния и сохранения прямых норма¬ лей, в общем случае имеют следующий вид.Дифференциальные уравнения равновесия:ЩхдаdNsdN*dNr,да+ RPx = 0;— Qs + RPs — 0 *Л/	I dQs , Г)N* + -^+Si+Rp* = 0;dMxдаdMs.<?pdMxдаKxs = Nsx4* QsR = 0; -QXR = 0;Уравнения неразрывности деформаций:dv.sдаd^xs л;дгх—- 4- —^ =0: da Rd$ Rd ad%sR R2da [ 2 ’ dp da+d / дгх 	 1 dzxsdp “ 2 da)-0.Связь между усилиями и деформациями: &Nx = 		— (&х + ies);1 —V2Et(fj + ™х);^ = 1 2 1 	 V2EtNxs = 2(1+,)MxMs =■12(1 — v2)Et*(y-x + 4*s) 112(1—v2)(*■* + %);Af.,.. =— = :EP(14.1)(14.2)(14.3)12(1 + v)Связь между деформациями и перемещениями:1duIfo'1 fdv— w d2wR2 da2 ’1 I da дсЛ	1;= ~r \ар’ + "аГ/: *X = R!1 d (dw \%s = W ' dp" (ip + 7;1 jd_ /dw \	dw“= F ‘ e« Up J’ ^=’(14.4)14.2.3. Оболочка под действием осесимметричной нагрузки. Безмоментная.теорияБезмоментная (мембранная) теория расчета оболочек исходит из гипотез общей теории оболочек с добавле¬ нием гипотезы о равномерном распределении напряже¬ ний по продольным и поперечным сечениям оболочки, т. е. об отсутствии в этих сечениях изгибающих и кру¬ тящих моментов и поперечных сил. При осесимметрич¬ ной нагрузке отсутствуют также сдвигающие силы.Расчет по безмоментной теории дает достаточно точный результат при определении усилий на расстоя¬ нии, превышающем величину (3Rt, от места рез¬ кого изменения сечения, формы или от места жесткого контурного закрепления. Вблизи указанных мест возни¬ кают дополнительные напряжения, вызываемые краевым (изгибным) эффектом (см. 14.2.4). Эти дополнительные напряжения носят местный характер; при пластическом материале и нециклической нагрузке их можно не при¬ нимать в расчет, если пластические деформации и изме¬ нение формы не могут привести к снижению несущей способности конструкции; дополнительные напряжения должны учитываться при хрупком материале и цикли¬ ческой нагрузке.Дифференциальные уравнения:равновесияdN—*+Rpx = 0; Ns + Rpz = 0; (14.5)daперемещенияR	dw 1 dw	_w = — (Ns-Nx,)-,	. (14.6)Усилия в оболочке и ее перемещения при различных нагрузках даны в табл. 14.1.Таблица 14.1 Усилия в оболочке и ее перемещения при осесимметричной нагрузке (по безмоментной теории)Вид нагрузкиРасчетные формулы по безмоментной теории1. Собственный вес g в кг!см? и равномерно распреде¬ ленная по периметру нагрузка go в кг/см'77777777777777////А—2R-ANx = — gx — g0; Ns = 0;w=~Et(gRx ++ go R)’>•*gRfx:Et2. Равномерное внутреннее давление p в кг/см2Et \-У<Рдг= 043 Зак. 2098
674РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИПродолжение табл. 14.1Вид нагрузкиРасчетные формулы по безмоментной теории3. Гидростатическое дав¬ ление жидкости с удельным весом 7 в кг/см3Nx = 0; Ns — yxR ; 7 xR2Et 7 R2 Et4. Давление грунта с объем¬ ным весом 7гр в кг/см3 и при- грузки рь в кг/см2^=0;Ns = — 7гР^ (* +'(грТгр^£7+£Мв‘-т?д-=—Тгр tg2(45°—-i)-Объемный вес грунта 7гр и коэф¬ фициент внутреннего трения <р—см. в раз¬ делах 19 и 20. Коэф¬ фициент трения грун¬ та по стенке принят равным нулю5.	Равномерное нагрева¬ ние оболочки на t°Nx = Ns = 0; w = att°R; <fx = 0Дифференциальные уравнения равновесия:dNx „	Л dQv—.+Rpx = 0. ^.+Ns + Rpz==0.dMxda-RQX = 0.(14.7)Связь между усилиями и деформациями:Nx —————1—V*(£дг+^е5); Ns-.EtMr = -Et3Afc12(1—v2)EF>12(1 — v2)(14.8)Связь между деформациями и перемещениямиdw	1 du; елт =1 dhsoxr =	• ——-; хг =x R2 da2 s9x Rda ’ tx R ' da ’ *s1 d!lw R*~ ' rfp2"a>~R ’(14.9)N,Выражения усилий через перемещение w: r = C —j*Pzdx; Ns = —w	;МлEt3 d2£0Ms = vMx; Qx =12(1—v2) rf*2 ’£73 fiPtii12 (1—v2) dx*(14.10)Основное дифференциальное уравнение!1 rf2 Г	£*— . — 	.	I +	w =R* da2 [12(1—v2) da? J Л*= p2 + v ■(14.11)При <=const уравнение (14.11) принимает видl^ + 4<w=^-{p* + ',Jr) (14-12)14.2.4. Оболочка под действием осесимметричной нагрузки. Моментная теорияИсходят из гипотез общей теории оболочек. При осе¬ симметричной нагрузке отсутствуют крутящие моменты, сдвигающие силы и поперечные силы в продольных се¬ чениях.Моментная теория применяется для определения усилий краевого эффекта и для расчета коротких обо¬ лочек, когда длина оболочки не превышает длины уча¬ стка действия краевого эффекта.D =EtзГДе ~ 12(1— V2) \- V2)tf23(1— V»)R42
14.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ675Уравнения (14.12) или (14.13) того же вида, что и уравнение балки на упругом основании. Общее решение уравнения (14.13):w = е1* (Сг cos т\х + С2 sin r\x) + е ^ (С3 cos у\х ++ С4 sin r\x) +/(х) .	(14.14)Здесь f(x)—частное решение уравнения, зависящее от поверхностной нагрузки;Ci, Сг, Сз, С4 — произвольные постоянные, определя¬ емые по граничным условиям (см. табл. 14.2).Если выражение для перемещений w решением урав¬ нения (14.13) получено, то все усилия и деформации могут быть определены по формулам (14.10), (14.9) и (14.8).В табл. 14.3 приведены усилия и перемещения при различных нагрузках.Т а б л и ц а 14.3Формулы для определения усилий в оболочке и ее перемещений (при осесимметричной нагрузке по моментной теории)_ У 3 (1 — V*)	ЕР1 ~V R2t* ’	12 (1—v2)Таблица 14.2 Характеристика граничных условийКрай оболочки за¬ щемлен-<3*IIо§IIоКрай оболочки сво¬ боден<г* = 0; Мх = 0Край оболочки шар¬ нирно закреплен§IIо£нIIоВид нагрузкиРасчетные формулы по моментной теории1. Равномерно распределенная по кругу нагрузка р в кг!смw = ■-—W(i\x) : при х = 0 а>тах = Р8 t)3Z)8т)3D 'Р\*— II —р р Мх = — и ; при * = 0 Млгтах = —; 4 if]	4tjMs = чА4х‘,Qx = — ~Yt71Формулы справедливы при I > —2.	Равномерно распределенныепо контуру радиальная нагрузка Q0 в кг!см и момент М0 в кгем!см2 т)3D[1)М0У(ух) + Q0T (К)А-)];ц>сНо■ “1!(*—1мх = — hM0 W(V) + Q0V (V)];Ms = чМх;Qx = — 2 (l*) + QoU (ч*)-Формулы справедливы при I > —3.	Цилиндр с защемленными кра¬ ями под равномерным внутренним давлением р в кг/см24(1*(\1I ft Г1 I 7 Г| I' Р.iJ-LLLLLiJi111>3V Rt ; мо=^т; Qo = — — ■21)2	1Г)Прогибы и усилия в любом промежуточном сечении оболочки на рас¬ стоянии х определяются по формулам случая 2 этой таблицы и случая 2 табл. 14.1.Если давление на торцы не передается стенкам, то в табл. 14.1 надо принять v = 043*
676РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИПродолжение табл. 14.3Вид нагрузкиРасчетные формулы по моментной теории4.	Цилиндр со свободно оперты¬ ми краями под равномерным внут¬ ренним давлением р в кг/см2т	41(frm 111 н ) П)Т р	I\\ t м n I I I 11 t ( гl>ZVRt ; Мо=0; Q0 = — ~~ .21Прогиб и усилие в любом промежуточном сечении оболочки на рас¬ стоянии х определяются по формулам случая 2 этой таблицы и случая 2 табл. 14.1.Если давление на торцы не передается стенкам, то в табл. 14.1 надо принять v = О5.	Цилиндр, подкрепленный коль¬ цами, шириной с и поперечными се¬чениями FK под равномерным внут¬ ренним давлением р в кг/см2лАпничжтт!»uunAnt»mt-j\при х — 0 (сечение у края кольца) FK— ctМ0 = 0,304 pRt-FK+ 1,56* У RtQo = 0,78 р ~\/~Rt 	FK~ Ct	;FK+ 1,56* У Rtw ==2D2 CpR2	r\EFK	2tУсилие в кольцеN = pR2с+ —	51 +2 t Fk4Формулы справедливы при ах >6. Цилиндр с плоским днищем под равномерным внутренним давлением р в кг/см2ЛЬj (HVIT1 рI-7SPR6 4-Од ( 1+ v)2 pR2 ulEt^+M0 =2 % +Qo= Жо[2 Ry&Pb Л.О+V)2 К)ц +Eta + 2Dar*R(l2^ц^д(1 + '*)_PR3 4 /)д (1 + v)После вычисления M0 и Q0 перемещения и усилия в цилиндре опреде¬ ляются суммированием величин для случая 2 этой таблицы и случая 2 табл. 14.1. В днище напряжения определяются, как в пластинке с нагрузкой рМ0 и Q0. Формулы справедливы при длине цилиндра / > 3 V Rt
14.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ677Продолжение табл. 14.3Вид нагрузкиРасчетные формулы по моментной теории7. Цилиндр со сферическим дни¬ щем под внутренним давлением р в кг/см21 /vnlnmx |f\%\ t Я Qow Р (2 — V) — (1 — V)] (1 — ^ *д4^д О-*2)2—2(1+ Y & ) (1+ V&) «•-2^J7rirrL'В цилиндре перемещения и усилия определяются по вычисленным М0 и Q0 суммированием величин для случая 2 этой таблицы и случая 2 табл. 14.1. В сферическом днище перемещения и усилия определяются, как в сфе¬ рической оболочке с нагрузкой р, М0 и Q0* Формулы справедливы приi >8. Резервуар с защемленными стенками под гидростатическим дав¬ лением жидкости удельным весом 7 в кг/смъNs = -tRH [l --J - Т(ус) -(l _-у 1/ (V) j ; Mx - 7* Г— V (V)+ ('-^)т (чдг) 1 ;у 12(1—V2) L \ -цН J 1при х = 0 Mxmax = (I--77)		.V W|/ I2(l-v2)Формулы справедливы при Н > 3 RtПримечание. Входящие в формулы табл. 14.3 функции W, V, U, Т приводятся в табл. 8.4.3.14.2.5.	Сопряжения оболочек. Осесимметричная нагрузкаВ местах сопряжения двух цилиндрических оболочек разной толщины или цилиндрической оболочки с оболоч¬ кой другой формы (конической, сферической и т. п.) возникает краевой эффект; к усилиям, определяемым по безмоментной теории, добавляются усилия, вызван¬ ные изгибом (см. также 14.3.8).Расчет сопряжений ведется обычными методами строительной механики: методом сил с использованием условия неразрывности деформаций в мёсте сопряжения или методом деформаций с использованием условия ра¬ венства нулю или определенной заданной величине реактивных сил, действующих на сопряжение.В простейших случаях сопряжения цилиндрической оболочки с оболочкой другого вида удобен метод сил. В месте сопряжения оболочка рассекается плоскостью, нормальной к ее оси, так, что основная статически опре¬ делимая система представляется состоящей из двух оболочек. К обеим оболочкам прикладываются задан¬ ные нагрузки, а в месте рассечения — усилия, опреде¬ляемые по безмоментной теории, и неизвестные усилия: моменты в продольном направлении и силы, нормаль¬ ные к оси. Неизвестные определяются решением обыч¬ ных канонических уравнений. Единичные перемещения определяются по формулам табл. 14.3, а перемещения от нагрузок — по формулам табл. 14.1.Подробные формулы и графики для расчета сопря¬ жений цилиндрических оболочек с оболочками других видов и с кольцами жесткости см. в [17].14.2.6.	Оболочка под действием нагрузки, не обладающей осевой симметриейПри действии нагрузки, не обладающей осевой сим¬ метрией, оболочка рассчитывается на основе гипотез технической (полубезмоментной) теории В 3. Власова: в уравнениях упругости не учитываются крутящие и продольные изгибающие моменты, сдвиг, растяжение (сжатие) в кольцевом направлении. Ниже дается способ расчета [13], основанный на указанных гипотезах. Он распространяется на тонкостенные гладкие и ребристые
678РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИоболочки; последние приближенно заменя;отся ортотроп- ными. Различная жесткость в продольном и кольцевом направлениях ортотропной оболочки оценивается введе¬ нием в расчет различных приведенных толщин стенки. Расчетные формулы, даваемые ниже, справедливы при следующих соотношениях между длиной оболочки и ее толщиной:at= 5. [х < — ; ai = 10,50 ;at = 20 , u < — .^ 100При промежуточных значениях а; предельную от¬ носительную толщину (J- можно определить интерполя-(4цией. В ребристых оболочках отношение — должноРхбыть не более соответствующих значений м-2.В дальнейшем рассматрива¬ ются нагрузки, симметричные относительно некоторого диа¬ метра оболочки (рис. 14.8,а), что отвечает большинству прак¬ тических случаев1. За началь¬ ную точку для отсчета дуговой координаты Р принимается точ¬ ка 01, лежащая на указанном диаметре. За начало отсчета продольной координаты а при¬ нимается поперечное сечение, совпадающее с одним из краев оболочки, или сечение, лежа¬ щее на середине длины при одинаковых краевых условиях и постоянной нагрузке вдоль образующей.Напряженное и деформиро¬ ванное состояние слагается из двух состояний: 1) элементар¬ ного напряженного и деформи¬ рованного состояния пустоте¬ лой балки, которая является в данном случае основной си¬ стемой, и 2) дополнительного напряженного и деформированного состояния, отража¬ ющего статическую неопределимость оболочки и харак¬ теризующего в сочетании с первым действительную ра¬ боту оболочки.Усилия в пустотелой балке и ее перемещения (их обозначениям присвоен верхний нулевой индекс) опреде¬ ляются элементарными методами сопротивления мате¬ риалов:1.	Продольное нормальное и касательное напряже¬ ния— как в обычной балке кольцевого сечения:Мт<> =7iRtycos р кг!см2 ;sin р кг!см2»(14.15)где М и Q — изгибающий момент и поперечная сила в балке кольцевого сечения от данной нагрузки.2.	Изгибающие моменты, нормальные и поперечные силы в кольцевом направлении и соответствующие пе¬ ремещения — как в кольце от заданной нагрузки, урав-1 Расчет в случае несимметричной нагрузки—см. [131. Входящий там в формулу (1.3) Мк=Рех.новешиваемой (рис. 14.8,6) поверхностными касатель¬ ными силами:Рq = — sin р кг!см1, nRгде Р — равнодействующая внешней нагрузки на обо¬ лочку в данном сечении в кг/см.Выражения кольцевых моментов, нормальных и по¬ перечных сил для некоторых нагрузок даны в табл. 14.4. Те же величины для ряда других случаев загружения можно найти в [17].Усилия и перемещения дополнительного состояния (они обозначены буквами с чертой наверху) определя¬ ются по следующим формулам:Од-— S Gjj./i J Т — £ 'Ifi J N1$ — 2 Msn у2	2 2 __ п — — П —Q5 = 2 Qsn t Ns= E Nsn ;nn(14.16)w = £ wn ; v=%vn;222В этих формулах все величины под знаками суммы выражаются через продольное напряжение и его произ¬ водные1:R^„= — o*nsin"P;_	R4XМ = — —	cos fi В;Msn n2(n2_l) хпл 		—®v„sinnP;Vsn П(И2— 1) ХП^ = -„T=T^cosnp:w = —	о cos fi В jn EI/i2(n2—l)2 xnRbtx	-* . rv = —	—	— a sin nn	РТ м3 /И2	 1 \2 xn¥xn :Elsn* (n2 — l)2 R4X(14.17)EI/i* (я2— l)2 xn Полные усилия и перемещения вычисляются по фор¬мулам2:MS = M%+MS-, QS = Q°S+QS;Na = N°+Ns;w = f* cos P + w° + w; v = f* sin p + v° + v; <f* = 'f*cosP + ,J’° + ?x‘(14.18)1 При кососимметричной нагрузке тригонометрические функции циклически заменяются: cos п$ на sin л(3, а sin лр на —cos п$. а При нагрузке, постоянной вдоль образующей, 9О = о.
14.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИТаблица 14.4Выражения изгибающих моментов, нормальных и поперечных сил для некоторых нагрузокСхема нагрузкиКольцевые усилия в первом состоянииГрузовой коэффициентВетровая нагрузка 0,30 wP = V Т WR;У~2q=	IPsinpTZ°<р<тД^= |о,45 |l — cos Р—sin р j — 0,785 (1—— cos Р) + 0,234j WR2;(fs = - [0,225 (sin p — p cos p) — 0,785 sin p] WR;№s = [— 0,225 psinp + 0,3(1 -cos P) + 1,085 cosp]W7?;п Stz— < P< —4 4= jo,45 ^1 — cos p — sin pj — 0,785 (1 — cos p) ++ 0,234 + 0,7^1 — cos ^P	J WR*;Q® = — [0,225 (sin p — p cos P) — 0,785 sin p +! +0,7 sin ^p — -j-j WR;= {—0,225 p sin p + 0,3 (1 — cos P) ++ 1,085 cos p +0,7 |^l — cos^p — -j-jjJ WR;3tzт<? <7Civf*s = |o,45 ^1—cos p—Y sin p^ — 0,785 (1 — cos p) + + 0,234 + 0,7 |l — cos ^p — -j-jj -1,7^1- -cos^p— ^-jjj WR2;(fs = — [0,225 (sin p - p cos p) — 0,785 sin p ++ 0,7sin(p--^-)-b7sin(p-^)] WiN°s= {—0,225 p sin p +0,3(1— cos P) + 1,085 cos p + + 0,7 1 — cos ^p — -j-)j — 1,7 J^l - cos ^p —4 )]} ”8 / riizФп — / 2 14 ( ’ Sln . —(ji— 1) n \ 43 tlTZ \— 0,425 sin— j WR2;при n — 2 Ф2 = 0,8000 WR2i
680РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИПродолжение табл. 14.4
14.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ681Здесь f* и <р* —прогиб и угол поворота простой балки кольцевого сечения от заданной нагрузки.Значения °хп л его производных определяются из дифференциального уравнения, совпадающего по своей математической форме с уравнением балки на упругом основании:^ + 4фЯя = еА- <14Л9>Здесьф.1 4Л4к-У 48 R4.1)4?пЦп>- 1) nR4xФП = (j)M° cos пЩПоследнее выражение — грузовой член — связывает напряжение ьХп и его производные с внешней нагруз¬ кой. Для некоторых видов нагрузки его значения даны в табл. 14.4.Уравнение (14.19) решается в начальных параметрах точно так же, как уравнение для балки на упругом ос¬ новании. Искомая функция и ее производные выражают¬ ся через начальные параметры в общем случае следую¬ щим образом:-, В х	С хQxn = Qxrf)^x 4* °л;/гО	WnQ . 2ФлDx	С,	. Dx"f” Чхпй ^n f з “f" ЕлФлО ( 2 ел лО -зт пКК№+ Т фп(а'>°х-ааи'вгГп. СгQxnO’^n^x "1" елФлО *1" елфлО 2+(u)Cx_adu;Kn=wnO l-nAx + 9 хпО Сл Г~ —axnO-4'^lCx ~—	axnO'tynDx + *пФпОАх + 1пФпО ~Т~ +т п+•хj*U“)Bx-adu;ахп ЧхпО^п^х ахпО'^пВх—	°хпйЛ^п Cx-WnQ ^п-ЦпОх- гп^пО'^п^х 4* zn^nxAx "Ьдс+ ел/фп(“)^-ы^“-о(14.20)Здесь£/г —EIsn* (п* — 1 )аnR7t2xП*(П*—\)тМЪ tКоэффициенты А х, Вх, Сх и Dx имеют следующие значения:Ax = ch^nxcos1вх = — (ch фя\ sin + sh tyn* cos фпл:); cx = ~Y Sh <\>nx sin \nx\Dx = — (ch sin <\>nx — sh cos ф„*) .Они табулированы в разделе 8.4 — таблицы гипербо- ло-круговых функций.В качестве начальных параметров в (14.20) входят, кроме начальных значений искомой функции и ее произ¬ водных, обобщенные деформации, которые связаны с производными искомой функции и грузовым членом:Я4 tvЕ1/1Цп*— 1)Фп +R4 trkR7 fxЕ1<Л\П*	1 )2Elsn*(№— 1) nФ 4- n ~+KR1 tlЕ1ЬП4 (/*2 _ 1)2ХП •(14.21)Они служат для нахождения искомой функции и ее про¬ изводных по начальным условиям. Через начальные па¬ раметры обобщенные деформации выражаются так:-	Вх	2£/г Wtl ==Wn0^tlAX ~\~ЧхП<{=П ,	°ХП0 ’ tynCjcVn. в хQxn0'^n^x	+ гп^пО |ГПм.:ь J(U)BK_U du\(14.22)^Л f ХП ? хпО ^ПАХ °ЛЯ0'^Л—	«xno'tfpx ~Wn0^n-^nD —е/г(^>/г0*4ф/г^\ “Ь гп^п^х ~ Еп^пх х+ ел1Фл<а^-^“-оВходящие в (14.20) и (14.22) члены с интегралом представляют собой частные решения дифференциально¬ го уравнения в зависимости от характера нагрузки.Неизвестные начальные параметры определяются из граничных условий согласно табл. 14.5.При нагрузке, постоянной вдоль образующей оболоч- % ки, Фл =0 и решение упрощается. В табл. 14.6 приведе¬ ны для этого случая готовые формулы для усилий и перемещений дополнительного состояния r зависимости от граничных условий.
682РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИТаблица 14.5Граничные условияУсловия на краях оболочкиНагрузка постоянна вдоль образующейНагрузка по¬ стоянна или меняется вдоль образующей (общий случай)1. Жесткая задел¬ ка края2. Свободный крайл2(л2—1)а = —	^-фnR*tx пахп = 0wn=0; ?,„=0= °; = о°,„ = 03.	Край связан с абсолютно жестким кольцом°хп = 0; пг («2—1)kR4xФ_4. Край связан с упругим незагру¬ женным кольцомQxn —пЦп2-\)^ tа =-	ф -4-хп tzRHj п+ ■*х5. Условия на кра¬ ях симметричны; рас¬ пределенная нагруз¬ ка постоянна вдоль образующей; за на¬ чальное принимает¬ ся среднее сечение оболочкиа =0* хп >Имея решение для оболочки с одним защемленным краем, а другим свободным и решение для оболочки с одним защемленным, а другим связанным с абсолютно жестким кольцом, можно получить все усилия в обо¬ лочке, у которой один край защемлен, а другой подкреп¬ лен упругим кольцом:£уп.к — £св “Ь ($ж — *^св) Куп-Здесь 5уп.к—усилие в оболочке, имеющей упругое коль¬ цо;5	ж — усилие в оболочке с жестким кольцом;5Св — усилие в оболочке со свободным краем;*уП = -wyn + t^CBшсв — перемещение свободного края оболочки; ДОуп — перемещение упругого кольца от сил вза¬ имодействия оболочки и абсолютно жест¬ кого кольца (в обоих случаях — ам.плитуд- ные значения перемещений)Пример 14.1 Требуется определить продольное нор¬ мальное напряжение ахв сечении х= и р =0 сталь¬ной ребристой башни при11И ^=1251000от ветровой нагрузки. Нижний край башни защемлен, верхний — свободный. Высота башни / = 6R.Равнодействующая давления ветра Р= У2WR • Изгибающий момент в рассматриваемом сеченииМ = -Рх2yj WR (3R)2= — 6,35 WR3.2 2 Нормальное напряжение первого состояния М	МХ nR2tx 6,35 WR*-1000 n Rtтс#3 [1Х = —2 020 W кг[см2.Для определения нормального напряжения второго состояния найдем ф/ и фх, соответствующие им зна¬ чения гиперболо-круговых функций (по табл. 8.4.1), коэффициент К\ (по формуле табл. 14.6) и грузовой коэффициент Фп по табл. 14.4. При этом достаточно взять только один член суммы п=2:(22— 1 )2-1 000 __— 1,2 J3-1253(22 __ 1)2.1 ООО= 0,6;Д'х3.125зAi = 0,6561; Di = 0,2851; £/ = 3,4098; С*. = 0,1797; Dx = 0,0360;0,6561 0,1797 -f- 4 0,2851 0,03600,5-3,4098- = 0,0935;Ф = -2(22— 1) 3-2 тс0,175 sin ■2 к— 0,425 sin -WR2 = 0,8WR2.Нормальное напряжение второго состояния. = а д-з = 2,2051 000-125• 0,8WR2K1 =R2 \ 1000 = 77 S60.0,0935 W = 7 300 W кг/см2.Полное нормальное продольное напряжение c* = — 2 020 W+7 300 W = + 5 280 W кг/см2(здесь давление ветра должно быть выражено в кг! см2) •Аналогично могут быть определены напряжения и в остальных сечениях башни, а также другие усилия и перемещения.Приближенное определение продольного изгибающего момента. Продольные1 изгибающие моменты Мх в сече¬ ниях, удаленных от краев, при неосесимметричной по¬ перечной нагрузке невелики и практически могут не учи¬ тываться. Вблизи защемленных краев продольные изпи- бающие моменты могут определяться по формулеМх =	 Р ^ — е~(cos у\х — sin х) , (14.23)V 12(1 — v«)
Т а б л и ц а 14.6ахп = 2,205-—l/ — Фп^совпР; тя = 0.838 --- 1 - 1/— ®„Kasln/jP; V Ич	RYxV Hi ' ^М*» = -3,8193,8190,318 ФпКз cos и р ; wn —		 - - - ФП^С3 cos л р ; Qsn— 0,318 ®„/C3sinnp; vn	з„ ; 2 i\E$R(n2—l)	*	E^sRn\n ~ V®„K3sinnp ;ственно oo8, соа и co4.Oi000014.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
684РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИгде3(1 —V2) RZ t* ’р— наибольшая интенсивность поперечной нагрузки в_Р_2 т)2случай 3 табл. 14.3);месте защемления в кг/см2. При *=0 Мх =	(см.14.3.	ОБОЛОЧКИ В1РАЩЕНИЯ14.3.1.	Определения и основные обозначенияПоверхность оболочки вращения образована враще¬ нием вокруг оси z линии, описываемой уравнением r=r(z) (рис. 14.9). Линии на поверхности оболочки, на-Q — поперечная сила;Mi — меридиональный момент на единицу длшш кольцевого сечения;М2— кольцевой момент на единицу длины мери¬ дионального сечения; и — перемещение по меридиану, положительное на¬ правление вниз (рис. 14 10):w — перемещения по радиусу Ri(R2) — положитель¬ ное направление наружу оболочки; wr— горизонтальное перемещение (по радиусу г);0	— угол поворота касательной к меридиану; он положителен, если увеличивает угол между вертикалью и радиусом кривизны;—	относительное удлинение по направлению ме- NX — ^N2 ридиана; ч =	—	;е2 — относительное удлинение по направлению па- N2- v Nxраллели; z2 =			•Etо)— угол широты, см. ниже 14.3.8.правленные по образующей, называются меридианами; линии, совпадающие с направляющими, называются па¬ раллелями.В дальнейшем приняты следующие обозначения: р — для нагрузки — см. 14.2.1;Qz —вертикальная равнодействующая внешней на¬ грузки на части оболочки, расположенной вы¬ ше рассматриваемого сечения; t — толшина оболочки;R1 — радиус кривизны меридиана (образующей);^1=“ —кривизна меридиана;А 1R2—радиус кривизны нормального сечения, перпен- ^ дикулярного к меридиану в данной точке;^2=^“ — соответствующая кривизна;К2г—радиус параллели; r=#2sina;N\ — усилие в оболочке по направлению меридиана на единицу длины кольцевого сечения; N\ == /;<*i— напряжение по направлению меридиана;N2 — кольцевое усилие (направленное по параллели) на единицу длины меридиана; N2= °2t; о2 — соответствующее напряжение;Wi2 — сдвигающее усилие;Н — распор;14.3.2.	Усилия и перемещения в.оболочках по безмоментной теорииМоменты Mi и М2 принимаются равными нулю. Уси¬ лия N\ и N2 определяются по формуламQz2 тт r sin аR2+= Pv(14.24)Здесь a —^половина центрального угла дуги оболоч¬ ки в меридиональном сечении.Первое ур'авнение выражает условия равновесия (2Z=0) части оболочки, лежащей выше рассматри¬ ваемого сечения оболочки. Второе уравнение (уравнение Лапласа) есть условие равновесия элемента оболочки (сумма проекций на нормаль к поверхности всех сил, приложенных к элементу, равна нулю).Величина Qz в общем случае определяется по фор- . мулеQz=^ рг2кГу^1 + (^}\г.(14.25)
14.3. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ685Для сферической оболочки с радиусом RаQz = 2 7i R2 j р2 s in a d а .ОДля прямой конической обо¬ лочки (рис. 14.11)к .Qz = 2те cos a^pzl dl .оДля сферической оболочки Rl=R2=Rt и второе уравнение принимает вид A/’i+Af2=pv Я.Для конической и цилин¬ дрической оболочек Ri~ оо и 1ч2 = Рч R2 .Перемещения (рис. 14.10) связаны с усилиями сле¬ дующими формулами [25]:Рис. 14.11(Nz—vN,	\_(—_Л1-ИС ,g aj ;Et и -f- w'R i; wr = e2 #2 sin a;a;' =dayda(14.26)Величина и определяется:для сферических оболочек — из уравнения«'-«ctga=^-(iV1-iV2)(l+N); (14.27) htдля конических оболочек (рис. 14.12)1 р Nt — v N2 u =		2dl + C, (14.28)где С — постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий.Так как в конических оболочках перемещения вдоль меридиана не вызывают увеличения угла поворота, тоdwе = —— . dl14.3.3. Формулы для некоторых случаев загружения сферических оболочек [25]а)	Равномерная нагрузка на горизонтальную проек¬ цию оболочки (рис. 14.13) интенсивностью р кг/см2= “ pR> N2 = ~~Г pR cos 2a; распор H = ~^~pR cosa •Рис. 14.14Нулевая точка (N2=0) — при a = 45°. Для незамкнутой оболочки (рис. 14.14)1	/ sin2ax\Nl = — pR 1 _ —— ;2	\ sin2 а//	1 sin2 a-j \iVi = p«(cos*«-у+ sin2J;1	j sin2a,\Я = — pR cos a 1 — . - ;2	V sin2 aj 3(1~^")(3 + v)i?3p#sina /xr	\T \wr =			(Nt — ч Ni).btsin a COS a ,(14.29)(14.30)(14.31)б)	Нагрузка от собственного веса (рис. 14.15]) Толщина оболочки меняется по законуtz = h “Ь W> tl)'Qz= 2ftR2	— cosa) + ^°a “(1+sina—coSa)jf
686РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИгде go — вес на единицу площади в пяте; gi — то же, в ключе.N<п — 0 • >2 п г Sina= R ^1 + g" g~ aj cos a — Ni;// =Qz Ctg a 2 я R sin a(14.32)Толщина оболочки постоянная gi=go=g, Qz = 2 n R2 g (1 — cos a);N1==Rg; N2 = Rg cos a — Nj_; Qz ctg g2 71# sina(14.33)Нулевая точка (М2=0)—при a =51°49',Незамкнутая сферическая оболочка постоянной тол¬ щины (обозначение «х см. рис. 14.14):Qz = 2 71 Я2 g (cos ax — cos a); %Sin^a(COS ax — cos a);N2 = Rg-Ni;Rg COS aH =	—	(COS ax — COS a) .Sin2 aПеремещения для оболочки постоян¬ ной толщины(14.34)12О =(■-7)R3g( 2 + -v)[•£ + 12 (i ->НEhR Sin awr = 	—	(N2 — v NJ .th(14.35)в)	Нагрузка жидкостью. Объемный вес жидкости 7; высота жидкости над вершиной купола а (рис. 14.16). Интенсивность нагрузкиpv = 7 {а + z) = 7 [а + R (1 — cos <x)J;pz = 7 [Q + R (1 — cos a)] c°s a;Ps = 0 .(14.36)Qz = itf Я2 ^(a + R) sin2 a ++ -|-£(cos3a — l)j;TR[ . r, ^R(1 — cos3a) ] Nt^ — la + R— .	,2 L	3 sin2 a JЛГ2 = тЯ [-i-(e + «) +P— COS3 a3 Sin2 a H — Ni cos a .COS a)]‘t RПри a = 0> jV1(a=0)_ ^2(a=0) 9 aДля незамкнутой оболочки (рис. 14.14), = 2*7Я2 (a + R) (sin2 a—sin2 ax)++ R (cos3 a — cos3 ax) j;~~ Nr (“ + R) (sin2a— sin2a,) + sin2 о L 21+ — R (cos3 a — COS3 a2)*(14.37)(14.38)#2 = 7# [a+ #(1— cos a)] — iVi;H = NX cos a .Высота а может иметь отрицательное значение, но не больше — Z\.Перемещения определяются по формулам, одинако¬ вым для замкнутой и незамкнутой оболочек:7R2	R sina	sina; wr = —— (iV2 — N{) . (14.39)0 :EtEtДля оболочки, находящейся под внутренним давле¬ нием столба жидкости высотой а, выведенные формулы сохраняют силу при перемене знака на обратный (у определяемых величин).г)	Нагрузка в виде постоянного внешнего давленияPz = Pv COS а = р COS a .Для замкнутой оболочкиQz —Р ~ R2 sin2 a N1 == N.. Н =» P3cQS a .(14.40)
14.3. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ687Для незамкнутой оболочки (рис. 14.14)) Qz = 71 R2P (sin2 а — sin2 ах) ;=?(•sin2 аAr pR л ( sin2 ^ \ ri pR	tN2 = — 1 + — ; H = ~~cos а 1-2	у sin2 а /	2	\sin2ai\sin2 a/Перемещения:.	/? si n'a1 = 0; шг =			(A^-vATi).Et(14.41)(14.42)д)	Незамкнутая сферическая оболочка с вертикальной нагрузкой на малом контуре (рис. 14.14} р на 1 пог% м контураQz = 2 п R sin о2 р = 2 тс гр;sin ахNi = р-N2 = -psin2 a sin a1 sin2 aH = psin at cos a Sin2 a(14.43)e)	Сферическая оболочка под действием силы, при¬ ложенной в произвольной точке (рис. 14.17))Вертикальная сила Р приложена в точке с коорди¬ натами р = pi, Р = Рх . Оболочка свободно оперта по окружности р=-1 на горизонтальную плоскость. Длясферы относительная координата р= i f—-— = V 4R — Z—	. При р =1 координата z=R=a.Р{ 1-Р?)3Ni =		(1 + Р2)2fg (—Р2 0+8*a(l + p2)+4р? + Р^) + 2PPl( 1+p2) (l+p2)cos(P-p1)-—	pf (1 + P4) cos2(P-P1)];^ Pi (l — Pi)3^i2-= —7t	(1 + P2 )(1 -4тш(1 + pjj—	?*)fg [ — P (l + P?) ++ Pi (1 + P2) cos (p — pt>] sin (P — Pj) .(14.44)Здесь/ =1[p2—2p?iC0S (P —Pj) + p?]2’	1	8 [p2pi — 2PP1C0S(P—P^+l]2При р = 1 сдвигающее усилие Mi2 обращается в нуль.С помощью этих формул можно рассчитать сфериче¬ скую оболочку на любую нагрузку. Если действует си¬ стема сил Р1, Р2, Рз, Рпу приложенных в точках Рь Рь Рг* ?2f •♦•IPm Рл. то вычисляется усилие от каждой силы в отдельности, а затем полученные резуль¬ таты складываются. В случае распределенной нагрузки сложение заменяется интегрированием по площади при¬ ложения нагрузки. В книге В. 3. Власова [2, стр. 164, табл. 6 и 7] даны коэффициенты для вычисления сил N\=—N2 и N12 от силы Р, приложенной в точке с коор¬ динатами р, =0,6; Pj =0.ж) Сферическая оболочка, ограниченная двумя вза- имно-перпендикулярными плоскостями (рис. 14.18), под действием собственного веса (d=r)^ g + Р)2 HI ~ Р2) 2(1 + р2) [(1 — Зр2 + р4) cosР + р2cos3f2я (2р2(1+р2) '	р(1 — 2p2cos2p + p*)2(1 — р4) [1 + 16р4 4~ р8) — 8р2 (1 -f- р4) cos 2р — 2р4 cos 4р)	1 — р2р2(1—2р2 cos 2р + р4)3	ГС^ 2pcosp	 (1 — 15р4 + р8) sin 2р -f~ 4р2 (1 -f р4) sin 4р — р4 sin 63	1 + 2р sin р + р2 |(1 — 2р2 cos 2р + р4)3	П 1 — 2 р sin Р + р2 )*ag(1 —р2)= — Л^х-1 + Р2(14.45)
688РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИа (1 -}- р»)* ( 2 (1 — р2) (1 4- Зр2 + р4) sin р + р2 sin Зр+2* I	p (1 — 2p2 cos 2p + p4)2(1 — p4) [(1 + lbpa -f- p8) — Эр24 (1 -f- p4) cos 2p — 2p4cos 4p] 1 + 2p sin p -f- p22p2 (1 — 2p2 cos 2p + p4)3	" 1 — 2p sin p + p2 +. 0 ((1 — 15p* 4- p8) sin 2p 4- 4p 2 (1 -f p4) sin 4P — p4 sin 6Э1	1—p- *	arctg(1 — 2p2 cos 2p + p4)»6 этих формулах: a — радиус опорного основания; g—нагрузка на единицу площади поверхности; р и Р —координаты точки, для которой определяются уси¬ лия.14.3.4. Эллиптическая оболочкаОболочка имеет форму эллипсоида вращения (рис. 14.19), свободно опертого по линии среднего круга этого эллипсоида на горизонтальную плоскость, и на¬ гружена вертикальной оилой Р в произвольной точке с координатами pi, pi. Для эллиптической оболочкиР2lb — г2р cosЧ-a J(14.45)= — 0	(1 + Р8) (1 - P4)/g [- Р (1 + Р?) + Р, (1 + Р2) cos (Р - рх)] sin (Р - р^ ;4тсЬ (1 + pj)N1 =			^-(1 +9*)л/~(1 + Р2)2 + 4 /— l] p2fg [ — P2(l +4pi + pt)+8я* (1 + pf) V	Va /+ 2ppj (1 + pf) (1 + p2) cos (p - pj - p\ (1+ P4) cos 2(P - p5)] ;fg [ — P2 0 + 4Pi + Pi) +N,(1 + p2)38lt6(l+ Pj)	f	/ £2	\У (l + P*)*+4(—-ljp*4- 2 ppj (l + pf) (l + p2) cos (P — px) — Pi (l + p4) cos2 (P — рх)](14.46)'Здесь значения f, g такие же, как и для сферической оболочки [см. формулы (14.44)]; b — высота оболочки; а — радиус опорного круга; р и р — координаты точки, для которой определяются усилия.Если сила Р приложена в вершине оболочки Pi=Pi = =0, то сдвигающая сила N12=0, а нормальные силы за¬ висят только от одной координаты р и вычисляются по формулам8тсо1 + р> Г	/ ь2 \—^-у (1+Р^ + 4(--1-)р2;N-t = ■8(I + р2)3V(14.47)(I + р2)2 + 4В случае действия нескольких сил Рь Р2. Pi, приложенных в точках с координатами рь Pi; р2 i Р2» ...; Р/, Pi; определяются усилия от каждой силы в отдельности, а затем полученные частные решения скла¬ дываются.В случае распределенной нагрузки суммирование заменяется интегрированием по площади приложения нагрузки,Рассмотрим эллиптическую оболочку, ограниченную двумя центральными плоскостями: горизонтальной z=b и вертикальной Р =0 (см. рис. 14.18). Граничные усло¬ вия: по линии z=b оболочка свободно олирается на го¬ ризонтальную плоскость, а по линии Р =0 опорным эле¬ ментом служит работающая только в своей плоскости эллиптическая арка с заделанными или шарнирно за¬ крепленными концами. При этих условиях на гори¬ зонтальной опорной линии z = b могут возникать толь¬ ко одни нормальные усилия Nu а по линии Р =0 — контакта оболочки с аркой — только сдвигающие усилия.Для определений усилий от нескольких сил Pi, при¬ ложенных в точках с координатами рi и рд> вычисляют¬ ся функции влияния:W+ Рг (1 + рг) cos (Р — p.)] si п (Р — Р.) —— РЛ [~ ? (! + Pi) cos (Р+ Р;)] sin (Р+^г)} : (14-48>
14.3. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ689i-nу--2гИ'>'1(1ь/>'|* *л - о+*а+>я+i= 1+ 2ррi (l + Р/) 0 + Р2) cos (Р “ Р/) —— Р] 0 + Р4) cos 2 (р — р.)] —“ Pi Qi [ “ Р2 О + 4Рг + Pi) "Ь + 2 pp. (1 + р?) (1 + р2) cos (Р + р.) —““ Р? О + р4)cos 2 (Э + Р^)]} •(14.48)Здесьfi= '212 *£/=Pt =[ Р2 — 2РР/ cos (Р — Р,) + Р-]	1	[р2 Р? —2 РР/ cos (р р^) +l]2’	1	[р2— 2рр. cos(p + р2) + р?]2 ’ 1?/ = -12 '[p2p2-2pp.cos(P+p.)+l]2 Усилия А/'i2, и Д^2 определяются по формуламО + р2)2 .N12=	х и4 X а2 р^Nt = С V’e*(l+p*),+4(ft*-wi»)p* У;4ab p2M,= -(1 +P2)346 P2 V a2(l+p2)2+4(6i!—a2)p2V.(14.49)В книге В. 3. Власова [2, стр. 169, табл* 8, 9, 10] при¬ водятся таблицы усилий в эллиптические оболочках от сосредоточенной силы Pi, приложенной з точке с коор¬ динатами Pi = я; Рх =0,6.При расчете оболочек вращения удобно применять метод, предложенный И. Я. Штаерманом [31, 321.14.3.5. Оболочки вращения под действием равномерно распределенного нормального давленияНормальное давление осесимметрично, поэтому сдви¬ гающие силы равны нулю.Нормальные силы определяются по формуламNi = — Ра У 4б2р2 + а2(1 + т р2)22 Ьа 2[462р2 + а2(1 + т р2)2] — ^(1 — m р2)2 . iV2=—р — *		• ••		2Ь (1 — m р2) У 462 р2 + а2 (1 + т р2)2(14.50).Здесь р — интенсивность равномерной поверхностной (нормальной) нагрузки, направленной по 'внутренней нормали (гидростатическое давление снаружи оболоч¬ ки); величина т имеет значения: — 1 для эллиптической 44 Зак. 2098и сферической оболочек, +1—для двухполостного ги¬ перболоида. Для сферической оболочки, кроме того, на¬ до положить b=a=R.Для параболической оболочкиV~2где р* — параметр в уравнении параболы г— у 2р*г. Уравнения (14.50) принимают вид:1) для эллиптической оболочки ( __ 1 / z ]V V 2ь-г ) У4Ь2 р2 + я2 (1—р2)2 ;Ni = ~Р2b (1 + р2)JV2 = -p-XX26(1 +р2)2 [462 р2 + а2(1 — р2)] — а2 (1 + р2)2у-462р2 + а2(1 -Р2)! При 2=0 (р =0) И z=2b (р= оо)(14.51)N^N^-p-при z=b (р =1)2 Ь ’а (262 — а2)2 Ь'“2) для сферической оболочки ( 	-i / г	\Р у 2R-Z ~-г)JVi=JV2 = -p-(14.52)3) для двухполостного гиперболоида сращенияV26+2а УАЬ2 р2+ л2 (1 + р2)2 		(14.53)а 2 [462 р2 + а2 (1 + P2)2] — л2 (1 — р2)2n2 = -p—		 —(1 — Р2) 1/4&2р2 + л2(1 +р2)2при 2=0 ( Р =0)Л^1 = ^2 = Р-26 'При 2=1-('-тгУNi — P 2°6 Зб2 + 4а2 ;лг2 = р-а 662 + 7о226 Ул362 + 4а2’
690РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИпри 2= оо ( р =1)N1 = N2= оо ;4) для параболической оболочки=rVLР 2р* = у р*N^p^Vl+WiN2 = p-1 +4р2при г=0 Л р =0)У1 +2Р2РР*вращения(14.54)при z=p* ( Р =1) __рр* УзN1 = -N, = -Б —N1B&РР*- 52 Уз ЗГ*iч-&ЩсРис. 14.205) торообразная оболочка (рис. 14.20) [17]р (а2 — с2)*1С —UlB=2 ср (Ъ2 — а2) 2ЬN1A=pR.(14.55)14.3.6. Расчет оболочек вращения на несимметричную (ветровую) нагрузку [11]Давление ветра (нормальное к поверхности) прини¬ мается равным (рис. 14.21)р = ро sin а sin ф ,Разрезгде ро — давление ветра на вертикальную пло¬ щадку, перпендикуляр¬ ную его направлению (при а = ф =90°). Ме¬ ридиональные усилия N1 определяются по форму¬ леМ этф nr2 sin а *(14.56)После определения N\ кольцевое усилие N2 вычис¬ ляется по формуле Лапласа (14.24).Для полусферы__	cos а / 2	1	\Wi = PoR ——— —— cos а + — cos3 а sin ф; sin3 а \ 6	3	/. cos а / 2 2 = PoR sin а— . — —|_	sin3 а \ 3— cos а+ -j- COS* ajj sin Ф ;	[ (14.57)w	R I 212 = Po ■ . ' “Г- — sin3 a \ 3— COS а + COS3 aj COS ф .Для оболочек несферического очертания ветровую на¬ грузку в практических расчетах часто заменяют верти¬ кальной симметричной.14.3.7. Графический способ расчетаУсилия в оболочке вращения, возникающие под дей¬ ствием вертикальной осесимметричной нагрузки, графи¬ чески определяют следующим образом [11, 12]вой нагрузки относи т е л ь н о оси горизон¬ тального сече¬ ния, проведен¬ ного через ту точку, в кото¬ рой опреде¬ ляется усилие NuНа разрезе оболочки, начерченном в некотором мас¬ штабе (рис. 14.22, а), отмечают ряд точек 0, 1, 2, ..., п. Расстояния As между точками могут быть произволь¬ ными, но желательно, чтобы они были равные. Находят по масштабу (или вычислением) радиусы п, г2, гп. Следующий этап — определение нагрузок Qoi, Q12,Qn—1,л » приложенных к участкам оболочки 01, 12	п—1, п.При равномерно распределенной нагрузке Qfl_l п==PFn-\, п> где Fn-I,n ="('•«- rl-i) > если интен-сивность нагрузки р задана на 1 м2 горизонтальной проекции оболочки. Когда нагрузка дается на 1 м2 поверхности оболочки, тоFn-l,n = К(ГП + rn-1) Д S •Строят силовой многоугольник, отложив по верти¬ кали силы <2Л_1,Л (рис. 14.22,6). Из конца сил Qn_\tU (точек 0, /, 2,..., п) проводят горизонтальные линии Н п ,
14.3. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ691а из точки 0 — линии Nn, перпендикулярные соответству¬ ющим радиусам кривизны; отмечаются точки пересече¬ ния линий Нп и Nn,	__Величины усилий определяются отрезками Нп и Nn, измеренными в том же масштабе, в котором построен силовой многоугольник.	___-	NnМеридиональное усилие в точке п равно Nx(п)~7^яКольцевое усилие ^2(п) в какой-либо точке п опре- деляется по формуле	_v	*»п,п+12(л) “ 2 зхДь *Чтобы определить усилия и N2 в любых точках, промежуточных между точками 7, 2, ..., я, строят кри¬ вую распоров. Для этого соединяют плавней кривой точ¬ ки пересечения линийЛ^ и Нп. Там, где эта кривая ме¬ няет свое направление, лежит нулевая точка для коль¬ цевых усилий. Ниже этой точки кольцевые уси¬ лия становятся отрицательными, т. е. растягиваю¬ щими.Не погашенный внизу распор Но (на рис. 14.22,6 он обозначен Не) передается на опорное кольцо, усилие в котором равноН* Н°	 ='2ъ2пРекомендуется при вычислении нагрузок принимать площади колец уменьшенными в 2 п ра^ тогда все на¬ грузки, а следовательно, и отрезки Nn и Нп будут уменьшены в 2 я раз. Формулы для усилий примут про¬ стой вид:NnгпN2(n) =А Нп, п+1 AsNK = H о .Если на оболочку действуют силы, направленные произвольно (а не вертикально), но осесимметрично, то в пределах каждого пояса нагрузку разлагают^ на верти¬ кальную и горизонтальную. От вертикальной нагрузки вышеуказанным построением находят усилия N\ и N2. Горизонтальная нагрузка, приложенная к кольцу, вызы¬ вает в нем кольцевые силы А^(Г) = Рг(п) гп * где —интенсивность горизонтальной нагрузки на единицу длины кольца. Эти кольцевые уси¬ лия добавляются к кольцевым усилиям N 2(п) от вертикальной нагрузки.Горизонтальная составляющая нагрузки мериди^ ональных усилий N\ не вызывает.14.3.8. Учет изгибающих моментовОколо мест прикрепления оболочки к опорному коль¬ цу возникают изгибающие моменты (краевой эффект), которые быстро затухают по мере удаления сечения от края (см. также 14.1.4. и 14.2.4.).Эти моменты и их влияние на нормальные и сдвига¬ ющие силы (которые надо предварительно определить по безмоментной теории) приближенно учитываются сле¬ дующим образом [12].Вычисляется коэффициент затухания:ft-/?, |/ -(1Г.- .	04.58)-ЧЛR\t2который при переменной кривизне является переменным, 44*Для сферической оболочки(14.59)Усилия, моменты и угол поворота касательной к ме¬ ридиану определяются по формуламNX:h2Ctg а Се кш COS (k О) + 5) ;4Я2л2 У?Q-.—	kCe~k “sin (k<* + Ь + j ;Се~ы cos (k <о + v);4Л,PR, VJ _ь , /	тс \1=_ 8R2k Ce cos(ftw+ S + 4) ;M M2 =EtзCtg а12(1 — v2) R20	+ V Mx;= t]/ bl~vi)Ce'k “sin (Ы-\-b) .(14.60)З'ти формулы выведены для постоянного но с извест¬ ной точностью ими можно пользоваться л при перемен¬ ном к.Постоянные интегрирования С и & определяются из условий прикрепления оболочки к кольцу.Угол широты <»> отсчитывается от нижнего края до того сечения, где определяются усилия (см. рис. 14.9).Если опорное кольцо абсолютно жесткое, то кольце¬ вое усилие в нем равно нулю. Находим по безмоментной теории кольцевое усилие в оболочке NK в зоне, примы¬ кающей к кольцу. Так как полнее кольцевое усилие в кольце равно нулю, то в этом месте N2=—NK.Из этого условия, а также учитывая, что внизу = =0, найдем постоянную интегрирования С. Формулы для абсолютно жесткого конца примут вид(14.61)	1Ni = NKN2 = NKn—k <cos(koi+b);VIR2 k sin ^B +in |ku> + В 4-_—k 0)Q = -NK-(,+t)RiУ4 R2 k sin ^8 4 — j-	e~k “cos (ka+Ь) ;Mx= —NK	—	— e ka> cos	в 4- — j;2Rik‘i sinU 4- -j-jEPctg aАЛ 	 .2 12(1-V2) Rte + i Mx\R*y2Et Ri sin1п(в+т)-ke~h “ sin (k <o + \
692РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИВеличина & зависит ©т условий связи с кольцом. При полной заделке & =0-	/V, = yVK ■/?1 Ct— «-* “cos (k<*); RikN2 = NkV 2 e_Am sin |b + j ;Q = —NK ■■ Rl — e~k " cos (ft to);Mi = — N,R\К	RzVlk*-	e k(i) cos£Y3	Ctg aA*2 = —	——"—6 + vMb3 = ^VK12(1—v2)2^2ke k(li sin (£ оз) .(14.62)Внизу оболочки у кольца (<*> =0 и a—ао см. рис. 14.9)ctg я0R\	I (14.63)M,= — NK 2R^k2 ;N2= — Nk; 0 = 0; M2 = v M! .При шарнирном соединении с опорным кольцомTZRi Ctg a fc yvt = + AV ■ — g cosУ 2 Я2йN, = NKe *“cos(ftoj);Q- -^k—e—* “ cosVI RikM1== — NK л J-;j- ke~k “sin (k <o);M9 =2R2 k*Etз c'*g) = Nu12(1—v*) R2 Et R,(14.64)Внизу оболочки у кольца (© =0 и a=«0)e = N, м2 =ctga0M, = 0 ;12(1 — v2) tf2(14.65)14.4.	ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ [2]14.4.1.	Дифференциальные уравнения . пологой оболочки в прямоугольной системе координатОболочка, имеющая небольшой подъем над перекры¬ ваемым ею планом, называется пологой. По В. 3. Вла¬ сову, к пологим оболочкам можно отнести такие обо¬ лочки, стрела подъема которых не превышает ‘/б наи¬ меньшего пролета оболочки.К категории пологих оболочек относятся также слег¬ ка искривленные пластины («вспарушенные» плиты).Обозначим уравнение срединной поверхности пологой оболочки до нагружения в прямоугольной системе коор¬ динат Oxt Оу, Oz (рис. 14.23) через z=F0(x, у). Частные dFa dF„производные , “убудут величинами первого поряд¬ ка малости и их квадратами при вычислениях можно пренебречь.Линейный элемент срединной поверхности оболочки ds при этом равен ds2^*dx2+dy2, т. е. метрика средин¬ ной поверхности пологой оболочки совпадает с метри¬ кой плоскости. Это допущение положено з основу техни¬ ческой теории пологих оболочек.Отнесем срединную поверхность пологой оболочки по¬ стоянной толщины t к прямоугольной системе координат Ох, Оу, Oz (рис. 14.23). Поверхностную нагрузку р= =р(х! У) разложим на три составляющие: рХу py,pz> параллельные осям ху у, z. Обозначим чеоез Fq=F0(x, у) и Fp^=Fp (ху у) уравнения срединной поверхности при нулевой нагрузке р=0 и при нагрузке p=p(xt у). Значе¬ ния кривизн срединной поверхности до нагружения (р=0) можно принять равнымиkx =F• . и, Ку 	dx2ь д2р0 дхду 9ду*(14.66)где k Ху—кручение.Под действием нагрузки р=р(х, у) точки срединной поверхности оболочки получат перемещения, состав¬ ляющие которых и=и (х, у)\ v=v (*, (/); w=w (х, у) соответственно параллельны осям х, у иг. Положи¬ тельные направления перемещений совпадают с положи¬ тельными направлениями осей,
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ693Деформации, соответствующие этим перемещениям, с учетом нелинейных членов:ди■-(■ ,2 \дх)dv	1 [ dw \*• £v = -^r-V + T Urj;диdvdw dw*xy= ТТ +ТГ ~2kxyU> +dyЪл =dx d2w dx*7*y =xyu: 7y = d2o>d2wdy2djtcty(14.67)Здесь e* и £y — относительные удлинения; &Xy—от¬ носительный сдвиг; -for* Ху — приращения кривизн; Хху приращение кручения срединной поверхности.Рис 14.24Рис. 14.25Усилия в элементе оболочки dxdy (положительные направления указаны на рис. 14.24 и 14.25):Et^-<«,+v«,);Et(еу + че*);л'у =Nrv=EtЗдесь D =ху~ 2(1 + v) tjrv ’Мх= — й(Ух+Пу)’.Му = — D (1у + v^) ;Mxy = D(l — ч)Хху . ЕР(14.68)тт—		 — цилиндрическая жесткость.1Д1 — V)Условия и уравнения равновесия:2Х = 0; 2 У =0;dNxдхdNydy• +dNху■ +дуdNхудх 2d2 Мху+ Рх = 0;+ Ру = 0 ;d2M„дх2	дхдуd2wду2+ Ny ( £у ++*»(*, +d2w-)51 /+ лгу 4*d2wдхду1 +(14.69)В наиболее часто встречающемся в практике слу¬ чае, когда рх=Ру=0, т, е. отсутствуют тангенциальные составляющие поверхностной нагрузки, нормальные и сдвигающие силы выражаются через функцию напря¬ жений по формуламd2 у dy2д2 ср дхг; Nxdxdy(14.70)В этом случае дифференциальные уравнения пологой оболочки можно записать в следующем виде:1	02w d2woV*V*T + A, —+ *,-^-2*++Dy2y2w — kd2w d2w дхг Oy д2уL/^LV о.34 \ ckdy /* dy21d2 <p d2W-^L5L + 26 ^2.y dx* + xvOxdyd2 cp d2oy+ 2dy2 d2 9dx*d2w+dx2 dy^— »y) = 0 .(14.71)dxdy dxdyВ этих уравнениях дифференциальный операторd2... d2...V2( ) = -7Т- +vv< >--^r+2дх2 ' ду2 д*...	 d4...дх2ду4 dy4Первое уравнение (14.71) — уравнение неразрывности деформаций — получено из первых трех выражений (14.67) путем исключения из них перемещений и и’ v и замены деформаций усилиями по формулам (14.68) и (14.70). Второе уравнение — статическое уравнение равновесия — получено из третьего уразнения (14.69) путем выражения усилий через перемещения по форму¬ лам (14.68), (14.67) и (14.70).Уравнения (14.71) могут быть записаны в компакт¬ ной форме:V‘V2? = д (fo . Fо) — д (Fp, Fp); Dyty1 w = pz + Д(<р, Fp) + &(Fp, <f).(14.72)
694РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИНагрузкаРг=*Рг(х<У)'. ЕРD =12(1—м2) ’I— толщина;Е— модуль упругости; v — коэффициент ПуассонаПеремещения в оболочкеТеории пологихУравнение поверхностиII4?F0(x,y);62F оkx =дх г ’ud*F0ky —дуг ’d2FoTfHIIdxdyТеорияОсновные уравненияd2Wd2wd2wстаяэ®Ч>Яяг=1и-uis	и-ш	и-ш	d2w d2w ( d2w \2Et ™+k*2k*y ^ ^- ter j =0;d2<p d2(p d2v D^V2W _ kx	_ k	+ 2kxy	dy2 y dx2 d2y d2w	d2cpdx2 dy2 дхдудхдуd2wдхдуd2cpay2 ’ ax2•Pz = °ЭЯO)як•=:1	d2w d2w	d2wTi + ky^~2k*yd2<pdy2■ т	d2<pDy'^w — kx	— kv —- -f 2kxy . .v v	.*	у ox2 -г- ху dxdyd2y=0; Pz = °CScdЯHя-a><uяя1	d2wEtи ^X i»оугd2wd2w2 k xyd2wl^+ky d*2	=idxdyd2ydx2 “2k^Kxyd2<pdxdy1?iiо=0;ЯэЯCUЯЯчО)я1	d2wTtv'^+k*-^д2уd2w } ох2 д2<р-2kd2wху дхду д2ср62w d2w / d2w \2 ^ дх2 ду2 \ dxdy ) 9—2kd2iо d2w+ —“ •	+dxdy dy2 dx2Kx dy* + ky dx* ^d2® d2w d2v d2w+ —.	—2 —— . 	—dx2 dy2 dxdy dxdyPz = °
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ695ДеформацииУсилияОбласть примененияди1 (dw \2едг = “Г " ^ о I ^ I • дх	2 \ дх /диf = Т 	 kyW +дуди*ху ду ' дх■(JL f^L)22 [ду) ;ди dv	dw dwе rv = ” Ь ~ 2kxyW -j-дх* 'Ху =d2wду'дх ду d2w; ’» Хху —дхдуNr =Lt- (£лг + v*у);1 — V2EtNy = 1 ■ ;^"(£у 4- 'v£jr)i1 — v*Et*xy ~~ 2 (1 -f- v)m* = — £> (Xx + vxy); My = — D (Ху + ПхЬ Мху = Р(1—ч)УхуОчень пологие оболочки и слегка искривленные пла стинки положительной и ну¬ левой кривизны при^у- <6.Оболочки кривизныотрицательнойди	dvе,= —	ty = — -kyw,ди	dv d2w‘*У=~+	2kxyW, Хх—~ду ' дх d2wдх*'Ху =ду2 ’Хху&*wдхдуТе же, что и в нелинейной моментнойОболочки положительной и нулевой кривизны приу- >6.Оболочки отрицательной кривизныТе же, что и в линейной моментнойEtNx= YZrj{tx+™y);Nv =EtУ 1 	V2(гу + мед.);NEtху 2(1+ v)ьдгу»мх = My = мху = оОболочки положительной кривизны с нагрузкой, име¬ ющей небольшой показа¬ тель изменяемости (см. 14 1.4) при большом подъеме(а >20)Те же, что и в нелинейной моментнойТе же, что и в линейной безмоментнойОчень тонкие оболочки при небольшом подъеме't* t(f-)
696РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИЗдесь A (Fo, Fo) и A ( Fp, Fp) — определители:A(F0,F0) =A(/> Fp)=выражающие гауссову кривизну до и после нагружения; А(<р, Fp) и A(Fp, ср) — определители:А(<р» F^) =A (Fp, ср) =выражающие суммы произведений усилий на кривизны.Первое уравнение можно прочитать так: бигармони- ческий оператор над функцией напряжений, поделенный на жесткость растяжения, равен изменению гауссовой кривизны оболочки.Выражение А (ср, Fp) + Д(/> у) можно представить как некоторую фиктивную поверхностную нагрузку рФ, связанную с кривизной поверхности оболочки после де¬ формации, и второе уравнение (14.72) можно прочитать так:} бигармонический оператор над функцией прогибов, умноженный на цилиндрическую жесткость, равен сумме нагрузок—действительной и фиктивной.Для оболочки нерастяжимой необходимо поло¬ жить Et= оо. Из первого уравнения получим A (F0, Fo) — А( Fp, Fp)— 0, т. е. при деформации абсолютно нера¬ стяжимой оболочки гауссова кривизна не изменяется.В табл. 14.7 представлены 4 группы теорий пологих оболочек.Уравнения (14.71) или (14.72) описывают поведение пологой оболочки в самом общем случае с учетом момен¬ тов и конечных деформаций (см. строку 1 табл. 14.7). Отбросив в этих уравнениях нелинейные члены, получим дифференциальные уравнения линейной моментной тео¬ рии пологих оболочек (см. строку 2 табл. 14.7).Если в этих уравнениях положить 0=0, т. е. прене¬ бречь работой моментов, то получим дифференциальные уравнения безмоментной теории пологих оболочек: при исключении нелинейных членов — линейной теории (см. строку 3 табл. 14.7), а при сохранении нелинейных чле¬ нов — нелинейной безмоментной теории оболочек (см. строку 4 табл. 14.7).14.4.2.	Область применения различных теорий для расчета пологих оболочекИз табл. 14.7 видно, что по мере перехода к более точным теориям уравнения значительно усложняются, поэтому практически необходимо решить, по какой из че¬ тырех теорий наиболее удобно рассчитывать данную обо¬ лочку (см. 14.1.4).д*<(d2Fpдх2дхду<Э2<рd2Fpдхдуду2д2 Fpд2 срдх2дхдуtoд2удхдуду2d2F0 d2F одх2дхдуd2F0d2Foдхдуду2d2Fpd2Fpдх2dxdyd2Fpd2Fpдхду ду2Особенно важным является вопрос о пределах приме¬ нимости линейных теорий. Необходимо иметь в виду, что линейные теории дают заниженные значения деформа¬ ций и усилий по сравнению с нелинейными теориями. Это происходит вследствие того, что пологая оболочка положительной гауссовой кривизны работает аналогично плите, находящейся на некотором фиктивном упругом основании, создаваемом кривизной оболочки, с коэффи¬ циентом упругости, равным (для сферической оболочки) Etс= —, где R — радиус кривизны (см. 14.4.5). По меренагружения оболочки радиус кривизны увеличивается (оболочка выпрямляется), а это приводит к уменьшению коэффициента упругости фиктивного основания. Можно сказать, что с увеличением прогибов конструктивная схема оболочки з смысле прочности ухудшается (наобо¬ рот, прогибаемая плита превращается в оболочку, что создает лучшие условия для ее работы).Поэтому, если для плиты расчет по нелинейной тео¬ рии целесообразен с точки зрения экономии материалов, то для пологих оболочек этот расчет необходим для выяснения действительного коэффициента запаса, кото¬ рый при расчете по линейной теории получается завы¬ шенным.
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ697Приводимые графики показывают величину расхож¬ дения между результатами линейной и нелинейной теорий.График, изображенный на рис. 14.26, построен для сферической, квадратной в плане, оболочки, свободно опертой по краям. По горизонтальной оси отложено отно¬ шение подъема оболочки fo к ее толщине t% по верти-Рнкальной оси отложена величина k——, где рн—нагруз-Рлка, вызывающая прогиб f (посередине оболочки), под¬ считанная по нелинейной теории; рл—нагрузка, вызы¬ вающая тот же прогиб, подсчитанная по линейной тео¬рии. Кривые построены для различных отношенийtГрафик показывает, что k может быть существенно мень¬ ше единицы при небольших подъемах и больших про¬ гибах.На рис. 14.27 изображен аналогичный график для цилиндрической (квадратной в плане) оболочки.Если принять, что на практике в оболочках могутвстретиться прогибы =0,3, то при подъемах оболочки/оt<6 линейная теория дает погрешность в отношенииiпрогибов, большую 5%.В отношении моментов и нормальных сил погреш¬ ность еще больше.Таким образом, свободно опертые пологие сфериче¬ ские и цилиндрические оболочки при подъеме ~ <6должны рассчитываться по нелинейной теории. Этот вы¬ вод с известной точностью может быть распространен и на оболочки с любыми другими граничными условиями, однако он справедлив только для оболочек положитель¬ ной и нулевой гауссовой кривизны. Для оболочек отри¬ цательной гауссовой кривизны этот вопрос подробно не исследован. Но вследствие того, что эти оболочки могут обладать мгновенной изменяемостью, расчет их должен быть проверен с помощью уравнений нелинейной теории.Область применения моментной теории для пологих оболочек может быть определена следующим образом.Пологие оболочки отрицательной и нулевой гауссо¬ вой кривизны должны всегда рассчитываться по момент¬ ной теории при всех видах нагрузок. Оболочки положи¬ тельной кривизны можно рассчитывать по безмоментной теории при достаточно большом подъеме оболочки. Например, в шарнирно-свободно опертой оболочке при> 20 моменты настолько невелики, что расчет такихоболочек можно производить по безмоментной теории.Указанные здесь границы применимости отдельных теорий намечены ориентировочно, в порядке первого приближения, и подлежат дальнейшему уточнению.14.4.3.	Безмоментная линейная теория пологих оболочекВ табл. 14.8 приводятся результаты расчета пологой оболочки по безмоментной теории методом конечных разностей [26]. Размеры оболочки и расположение си¬ стемы координат изображены на рис. 14.28.Уравнение поверхности F0 =/0^7777 +( *а ,2а2Кривизны равныk* а**v ь‘‘ •Усилия подсчитаны для двух видов нагрузки — равно¬ мерно распределенной по всей оболочке и равномерно распределенной на половине оболочки,Нагрузка параллельна оси г:рх = ру = 0;р2 = р.Граничные условия! опорный контур воспринимает только касательные усилия; усилия, нормальные к кон¬ туру, равны нулю. Это соответствует опиранию оболоч¬ ки на тонкие стенки, жесткие на сдвиг в своей плоско¬ сти, но не работающие на изгиб и кручение^В таблице приводятся коэффициенты /V*, Ny и Nxy, позволяющие вычислять усилия в различных точках обо¬ лочки по формулам:а) в случае сплошной равномерно распределенной нагрузки— а2о2/оЬ2рт, аЬРNx—Nx 4W ; Ny—Ny	; NXy—NXy ;zTa	4/eб) в случае односторонней нагрузка— а*р Nx = Nx -~ 4/о— b2p "’-"МлN -N &iWxy 1У/ху ^ «К безмоментному расчету пологих оболочек могут быть применены вариационные методы. Для шарнирно опертой оболочки, изображенной на рис. 14.23, нагру¬ женной сосредоточенной силой Р в точке с коор¬ динатами х\, уи с помощью Э1их методов получены формулы00 оо4аР V1 V1	п2	ткх ПпУ	ткхх ппух	sin	 stn— bin	sin	k2m2 +	a	b	a	bm—\n—l4aP V1 V1LL4P V* V4", — 5-11rn = 1 /2 = 100 eomz	тък rnzy	mnxx nnyv			sin	 sin	 sin	sin	; (m./ojk2m2 -f-	a	b	a	bNxymnrrntx tiny	mnx{ nnyl, , , , 			cos	cos—	sin	sin	62 k2m2 + kikW a b	a bm — \ ri — \
698РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИУсилия в оболочкеТаблица 14.8$12 3 4 5 6У*X-уГt— а-— а —№ точекКоординаты!!!!!!!1!1!1Сплошная равномерная нагрузкаNT'хуОдносторонняя равномерная нагрузкаЯ,N,хуа — 0I— b+ 3,256+ 5,933Ъ — 0-U3+ 1,538+ 2,538с — 0~L*3+ 0,634+ 0,967d — 0— a00— 2,00000— 4,0000е — 0+ -U3— 0,634-0,967f-o+-H-*3— 1,538— 2,538g — 0+ b— 3,266— 5,933a—I—b— 2,000— 0+ 1,538— 4,000— 0+ 2.093b —1-2-b3— 1,000— 1,000+ 1,266— 1,778— 2,222+ 1,933с-1--U3— 0,634- 1,366+ 0,538— 0,968— 3.033+ 0,760d — 1 е — J2— — a30+ —b3—	0,538—	0,634—	1,462—	1,3660— 0,538—	0.750—	0,968—	3,240—	3,0330— 0,760f-13— 1,000— 1,000— 1,266— 1,778— 2,222— 1,933g — 1+ b— 2,000— 0— 1,538— 4.000— 0— 2,093a —2— b— 2,000— 0+ 0,634— 4,000— 0+ 0,079b — 2-i*3— 1,336— 0,634 •+ 0,538— 2.144-1,856— 0,129с —21	aa--U3— 1,000— 1,000+ 0,251— 1,333-2,667+ 0,029d — 20+ — b3— 0,885— 1,1150— 1,107-2,8930e — 2— 1,000• —1,000— 0,251— 1,333— 2,667— 0,029f-2+ ib3— 1,366— 0,634— 0,588— 2,144— 1,856+ 0,12c>Z-2+ b— 2,000— 0— 0,634-4,000— 0— 0,079a — 3— b— 2,000— 0— 2,0000*— 2,667b —3-—b3— 1,462— 0,538— 1,462— 2,533 + 1,462-1,000с — 3-i*3- 1,115— 0,885— 1,115— 2,885 + 1,115— 0,33300— 1.000-1,0000-1,000— 3,000 + 1,0000
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ699Продолжение табл. 14.8У t 2 3 * 5. 6г<*4XУ4- ааJL№ точекКоординатыСплошная равномерная нагрузкаN.хуОдносторонняя равномерная нагрузкаЛГNхуе-3 Г-3 g — 3+ — Ь33+ Ь—	1,115—	1,462—	2,000— 0,8-0,538-0—	1,115—	1.462—	2,000— 2,886 + 1,115— 2,638 + 1,462+ 0,333+ 1,000 + 2,667а — 4 Ъ —с — d — е —1+ — а— Ъ--L*3	ь3+ -Lbз3 + b-2,000-1,366- 1,000 -0,855 -1,000- 1,366 -2,000-0-0,634-1,000-	1,115-	1,000-0,634-0—	0,634—	0,538—	0,251 0+ 0,251+ 0,538 + 0,6340• 0,588-0,667-0,663-0,667-0,5880+ 0+ 0,588+ 0,667 + 0.663 + 0,667+ 0,588 + 0—	1,189—	1,205—	0,473 0+ 0,473+ 1,205 + 1,189а-5 &-5с-5d-5*-5t-5g-&а — 6 Ь-6с —б d — 6 е — бf-6g — 6+ fa+ аз b.+ -L*33 + b-2,000-1,000-0,634-0,538-0,634-1,000 - 2,000-0-1,000-1,366-1,462-1,366-1,000-0— b-Lb33 b+ i- b33 + b— 2,000—	1,533—	1,266 — 0,5380+ 0,538+ 1,266 + 1,538— 0,222—	0,301—	0,316—	0,301—	0,222-0—	3,266—	1,538—	0,634 0+ 0,634+ 1,533 + 3,266+ 0 + 0,222+ 0.301 + 0,316 + 0,301+ 0,222 + 0—	0,983—	0,599—	0,316 0+ 0,316+ 0,599 + 0.983—	0,599—	0,538—	0,301 0+ 0,301+ 0,538 + 0,599* Nу от односторонней нагрузки г:о линии J делает скачок.
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ700 =—	■а	Если, ограничиваясь одним членом в рядах (14,75),Здесь *•= —, Ьц k2 — главные кривизны; а и b — сторо-	принятьЬны прямоугольного опорнвго плана.	? =	(у). w = ь.-. (х)^у)В случае равномерно распределенной нагрузки р16 а*-SS'т=1 л=1ткх пкуsin 	sin	 .а b/Я = 1 /2 = 1оо ОО/Я	fflKX ПИ у	г	 sin 	sin — ;	(14.74)<£*«* +а	bN116а у уit2b ^	k2m2 + £гХ2яаткх ппуcos 	cos —а	bт-\ п-114.4.4.	Моментная линейная теория пологих оболочекМоментная линейная теория пологих оболочек описы¬ вается уравнениями второй строки табл. 14.7. Эти урав¬ нения можно проинтегрировать любым из вариационных методов, например методом Галеркина, в форме, пред¬ ложенной В. 3. Власовым [2, стр. 477]. Для этого ис¬ комые функции <р и w задаются в виде бесконечных рядов:оо эо<р= S S ам1(х)ук(уУ, i=l *=1оо ООw = 2 2 bikwi(x)wk{y).г=1 k=l(14.75)Функции yi(x\ <pk(y\ u>i(x\ wk (i/), зависящие толь¬ ко от одной переменной, выбираются так, чтобы они удовлетворяли граничным условиям (см. табл. 14.17, а также [2, табл. 2 и приложение III]); a/*, bik — искомые коэффициенты, которые подлежат определению.Выражения (14.75) подставляются в уравнения вто¬ рой строки табл. 14.7. В соответствии с физическим смыслом этих уравнений и принципом возможных пе¬ ремещений первое уравнение умножается на Чп(х)ут(у), второе — на ws (x)w^y) и вычисляются двукратные ин« тегралы по всей площади опорного плана оболочки. По¬ лучается система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ад и bib.я произвести вышеуказанные операции, то получимаптEt4- biki 2 = 0;(14.76)где'' “ J J lvV<Pn(•*)¥„, (y)K Vm^xdy,0	0a оd2Wk — , d2wi — k* —О	и—26dwi Wka bax g у/3 = 11 (.v*v*WiWk)Wi w^dxdy., Am - . t r)2?n --2kWfUkdsdy,/5= J J p(x,y)WtWbdxdy.Решение системы (14.76) даегаПт = —	D~H Et'Et /0bik =ADl*+ Et(14.77)Чем больше кривизна оболочки, тем больше членов ряда необходимо брать в выражениях (14.75). Один член ряда дает удовлетворительную точнссть для очень
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ\701пологих оболочек! <С0,8 I» для которых по существулинейная теория неприменима. Для оболочек с подъемомнеобходимо брать 4—5 членов ряда. Это приводитк системе линейных уравнений с очень большим коли¬ чеством неизвестных.Для того чтобы облегчить вычисления коэффициентов и иметь всегда только два уравнения с двумя неизвест¬ ными, необходимо оболочку отнести к системе коорди¬ нат, параллельной линиям главных кривизн, тогда кру¬ чение kxy=0 и система уравнений второй строки табл. 14.7 примет вид1	d2w	d2w—	vV? + — + fe2 -^7 = °;d2cp	d2<pW££, _ kl — _ k2 — _ Pz (x>y) ш0.(14.78)В этой системе отсутствуют смешанные частные производные. За функции <р и w принимаются ряды, со¬ ставленные из тригонометрических функций, ортогональ¬ ных относительно самих себя и своих Еторых производ¬ ных. Тогда для коэффициентов aik и bik получится си¬ стема двух уравнений с двумя неизвестными [система(14.76)], сколько бы членов в разложении (14.75) ни бы¬ ло взято. Коэффициенты dik и bik будут определяться по формулам (14.77), причем в формулах для интегра¬ лов надо положить i=n\ kx=k\\ ky=k2\ kxy—0.Случай шарнирно опертой оболочки. Граничные ус- ловия для функций w и ср:при х = 0; х = а: у — 0; у = bНагрузка равномерно распределенная: рг=р. За искомые функции примемV	V1	rnzy?= 2j 2j Я/и/iSin 	sin— ;a	оm — 1 /7 = 1mnx rnzysin	sin— ,a	b(14.79)Граничные условия удовлетворяются, за исключением граничных условий для Nху, которые нр удовлетворя¬ ются локально, но удовлетворяются интегрально, т. е. сумма сдвигающих усилий на каждой из сторон прямо¬ угольника равна нулю:а	ъf Nxydx = f Nxydy = 0.о	оПри kxy=0 интегралы системы (14.76) принимают значенияab Г/ тп \2 / rnz \2~12ab Г / пп\2 , / rrnz \2‘ Т[*,(Т) +*.(—)_4	abтпк*7 (при гп, п нечетных);/5=0 (при т, п чегных}.Из формул (14.77) получимlA hЪтп~Dl\+Etl\ '	Dl]+Ltl\ ’или, учитывая значения интегралов /1—/5:атп =Ьтп —16 р тпк216 р mmz2(rnz \2 /тп\2*• (т) +Чт)№(т)7+аМт)'+Ч^Л |(=)’+ (т)ТD(^),+(г)Т+вМт),+Ч^)Т-Et;д2 w d2w w = 0; —7 = —“ = 0;дх2 оу2при а = 0; х = аNx = -^- = 0’ Nxy=--^- =0, ду2	дхоуд2<рпри у = 0; у = ЪQ4= n*,'дхду= 0.Искомые функции имеют вид (14.79), при этом для тип надо принимать только нечетные значения т= = 1, 3, 5, п=1, 3; 5; ...Усилия, моменты и прогибы определяются по форму¬ ламоо ооSV1//itc\2	тп\ rnzy2j(—Sin— Sin — .m = l n-100 00Sv (тк \2	mnx rnzyflmnsin —Sin— ;' m — 1n — 1OO	COV4 V4 mmz2	rrnix rnzyNxy = У, Jy ~ CLma COS 1 COS— ;ab	a b/71 = 1 Л = 1(14.80)
102РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИM‘-Di s[(tI/71 = 1 /1 = 1ЧтЛ i Ё[Ш+тпх пку bmn sin— sin-T"; a	b++ Nm=1n=1тп \21 /тгтел: mzy im„sin	sin ——aV1	т/гтс2 тпх ШУMxy=w—) Zj 2j cos —cos —/27Cy/Я=1 /1=1Продолжение табл. 14.9(14.80)^	тпх ПпУW = 2_j Zj bmn sin	 sin “T" •a	am=1n-1Для сферической оболочки, квадратной в плане, fci==&2=—, в табл. 14.9 приведены коэффициенты NXy Ny, RNXyi Mx, My, М^у и су, служащие для определения зна¬ чений усилий, моментов и прогибов.Таблица 14.9Усилия и прогибы сферической пологой оболочки под равномерно распределенной нагрузкой403773>10в6368уJs!5256'7kУ2*1217l«j5г5Sf7i86j680§37*73Jto—a/2—У~ а р 1Л-w = w -ц- 10—	а‘*рМх = Мха2р 10“Nx = — Nx lb-3 ; Му= Муя2 р IQ-3 ;Ny = -Ny" — 10_3; Мху = Мху а2р-10-3;Nn — Nxy-^rVr*', D =-	-*у л -- ■	12(1—м2)Для точек, отмеченных на рисунке штрихами: Nxj = Nyi, Nyi =Nxi\ MXi = Myi\ Myi' = Mxi„/o/<№ то¬ чекNyNxyMxMyMxyw700037,123/,1204,063200034,2432,3303,554300025,3018,9602,10740000000500029,9029,909,1293,1330600022,4617,5116,461,84970000019,400800014,0114,0130,491,10590000036,820100000045,710оhitн а*xNyNxyMxMyMxyw136,0836,08034,1334,1303,761231,3031,89031,6429,7503,291318,1419,40023,7917,4701,95540000000527,7027,708,99127,6527,658,3832,8850,4616,0716,8915,7621,1516,2215,161,71770018,310017,91089,8739,87327,7413,2513,2528,241,02990032,310034,220100037,760042,700158,8858,88027,3227,3203,067251,1052,27025,7123,8602,691329,6432,13020,3214,0601,6070,840000000545,4045,4014,6622,5322,536,6852,365626,3828,0025,7518,1413,2412,221,41670029,960014,490816,4016,4045,4811,5111,5123,120,854690053,100028,280100062,200035,820167,3667,36020,2120,2102,340258,4960,21019,4917,6802,060333,9637,66016,6610,4801,24340000000552,3552,3516,7617,1217,124,9081,8191,2630,4532,8629,5614,9510,129,1191,10070034,460010,9100819,3319,3352,479,6629,66217,710,671490061,47'0022,020100072,270028,560167,1067,10014,4414,4401,749258,3160,56014,4312,6801,548333,9238,74013,627,59100,945240000000552,7052,7016,6712,7212,723,4721,3731.6630,7333,8729,5612,327,5746,6050,84270034,54008,0010820,0420,0452,888,1368,13613,310,521890062,180016,910100073,500022,620162,9562,95010,2410,2401,311254,7457,46010,689,02001,166331,9137,76011,345,47100,724540000000550,0850,0815,609,4809,4802,4221,0432629,3033,1027,8610,335,6854,7650,6500070032,68005,849819,7019,7050,296,9756,97510,060,410390059,440013,110100070,710018,190138,0938,0901,8891,88900,3994233,3737,5802,8261,74200,3094319,7129,3005,9811,21600,2546400000004533,0633,069,3182,6122,6120,36470,3444619,6726,0717,415,6351,6431,0190,239170020,91001,4130816,1016,1033,474,1774,1773,1710,168190040,93004,9130100050,83008,3960124,3524,3500,32860,328600,1714221,4825,9900,85440,345000,1647312,8523,8903,9600,345000,128140000000523,0623,065,8810,83790,8379—0,00330,16146613,9621,5611,503,8280,55860,23000,124870014,12000,37790813,8013,8023,643,0213,0211,3800,096290029,98002,5800100o •39,00005,3230
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ703S)щоI35,0М=Ма?р10~3Фw-Лроги^в середине оболоцку.'а1Сторона'пер:екрытсь го 4^ланв:квадрат'ар-Вертиксощрая наг-* рузкана< единицу ; поверхности | 750д-Цалиндрическая жест- xocmbfeltfflffrv) 2qqрТолщинд.ой.оложи■^Максимальная cmp&t$D ла-подъема над опор* нойьллощадкой .ШШ— dp -7N=-N-f W 3\1\1 >•SOil!№WW 6ft 8fl W 4 %ШФ W 8ft 10J! OjtWfl 4,0 6,0 8,0 10ft #— #—-■ 'Рис. 14.29Продолжение табл. 14.9О/о«н *of О)А а-МхNyNXyМхМуМХуW117,2417,2400,04930,049300,0899215,2419,3500,18070,082100,089939,21420,2802,8420,131400,074940000000517,2617,264,1210,19720,1972—0,05590,09158610,5818,518,2922,7770,11500,01640,076570010,33000,06570812,2112,2117,992,3182,3180,69010,063690023,54001,5770100031,95003,8120113,2413,2400,06570,065700,0566211,7115,150—0,09860,065700,054937,12117,6002,1360,131400,051640000000513,5613,563,144—0,0821—0,0821—0,04440,05661068,36516,206,3942,103—0,0821—0,04930,05167008,02700—0,03290810,9610,9614,411,8391,8390,37790,045990019,32001,0350100027,19002,9250Это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением пластинки, лежащей на упру¬ гом основании с коэффициен- Etтом упругости с — — .R2Отсюда следует, что пологие оболочки в отношении возника¬ ющих в них прогибов и момен¬ тов работают так же, как пла¬ стинки, лежащие на упругом основании с коэффициентом Etупругости с = — (см. ниже 14.4.7).Формулы безмоментной тео¬ рии (см. 14.4.3) могут быть по¬ лучены из приведенных здесь формул при D=0.14.4.5. Применение моментной линейной теории к расчету круговых цилиндрических оболочек открытого профиляУравнения (14.78) могут быть применены к расчету кру¬ говых цилиндрических оболо¬ чек, обладающих большим подъемом. Для этого в уравне¬ ниях надо положить1^i=0; k2 = — ; х = aR ; у = р#,где а и р — безразмерные координаты (рис. 14.30). Уравнения примут видЛ£_vV,+^__=0;дЧ— R	= Рг-(14.82)Усилия и моменты выражаются через функции <р и w следующим образом:Примечание. Знаки указаны для точек первого квадранта.Для точек второго и четвертого квадрантов знаки у изменить на обратные.Nxy и МХуПо данным этой таблицы построены графики (рис. 14.29), наглядно показывающие, как изменяется вели¬ чина усилий Му N и прогиба w в середине оболочки (точку 1), а также усилияЛ^ув точке 10 при увеличении подъема оболочки.Для сферической оболочки с кривизной k\=k2—= — вместо уравнений (14.78) можно написать REtDy2V2oy+—w — р = 0. (14.81)
704РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ1 дЧ , D / d2w d2w \1 = R* ( да* + )' 1 д2*?	D [d2w d2w \2 = ~R* "ih? ’ * = ~R*\6$* + V да* ) '1	дЧД,,2 = ~ W'fadi' Mw =(Pw12(1 Ч---)/?2 дад? д*Ф(14.83)Подстановкой w = у-у^Ф; <р = Rtt —— получаем изуравнений (14.82) одно дифференциальное уравнение восьмого порядка:1	— V* д4Ф R* vVvV® + " г2 ■ •	Рг . (14.84)гдеС2 =12 #2Перемещения, усилия и моменты, выраженные через разрешающую функцию Ф:д3Фд*Ф да3 д*Ф 1дад$'\дЩр—+(2+v) **dpjш = v2V2®>Et <?*Ф *.= —A?£> Г <?2	(J2 I^Ь?~+^г2у2ф;N* = -Et_R ’ di*M~ =лR*d*d?+ vd2 1 di2 J*i*“- "я"Et д*ФR da?d$C2—-ГR3 Ltf3 Ld3 d3 	+ (2 — v)да3	<?ad|32d*]v^+ (2у2Ф.-4 S5J(14.85). <?Ф,где'-V3(1 — V2) R2 t2Полное решение однородного уравнения Ф= ф1 + ф2 + ф3+ ф4>(14.87)Оболочка, свободно опертая по контуру (рис. 14.30)). Нагрузка считается положительной при направлении по внешней нормали наружу.Граничные условия:при а = 0 и а = <Х, =— и = w = AT, = М, = 0;Ипри Р = О и Р = р! и = w = N2 = Мг = 0.Нагрузка р^ и разрешающая функция представляют- ся в виде двойных тригонометрических рядов.Окончательное выражение для разрешающей функ¬ ции имеет вид:rrnia пъ$ Втп sin	sin ——ф№Д4УУ	а.ет= 1 п = 1 L\ai / \ Pi/Bn4 1—v2 //mt\4,+ Ui /ei Pi4 f f n /ятса ятсЗ ie ^"J J Рг (a»P) sin — sin-^-^ct,0 0(14.88)где с2=12 R2a~R;ь-Т-а) Случай радиальной сосредоточенной нагрузки Р, приложенной в произвольной точке с безразмерными координатами ® = 5 и Р = к) и направленной по внеш¬ ней нормали вниз (рис. 14.30):Втп —4 Р«А/?2Здесь (?i и Q2 — обобщенные поперечные силы (в смысле Кирхгофа), необходимые при формулировке гра¬ ничных статических условий.Однородное уравнение (14.84) (рг=0) может быть разложено на 4 независимых уравнения:ф=.где[ ajXfiP vvво	rrnza Пк$sin	sin—F(Z,ri)rt	к	17(14.89)7z*Et	(m2 + \2n2)* -f- p.m4m-\ /г = 1
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ- 705Перемещения и усилия в любой точке срединной поверхности в соответствии с формулами (14,85)1оо оо4 Ху. Р уг*	т (vm2 _ \2П2) тъа ЛтгЗи 		— / , 	-				 cos	sin —^ F (£,тп);atn£t ^ (т2 + №п*)* -f- рлг4 ot	$хт-1п—\4 ХиР a^Etss^1 = 'ГП — 1 /1=1ОО	ОО4 ХзаРя ГХ2/72 -|_2(1 -4- v) т2] тпа ЯтсЗ	-				— sin 	sin —— F ($,то);(m2 + k2n*)* 4- {х/и4	ax	px& L L\m2№mna ЯтсЗ si ,	sin	F (8,f\);а;и	{m -j- X n2y +(JLW4 axm—\ n—14 hiPfmza Г7тсЗ sin	sin — F^y));m=l/2 = 1oo oo(m2 + А.2 /I2)4 + (l/й4	aj	pjw,s=-4 X2uP a\Rssm=l я=1тъп[m2 -f- X2 я2) 4-j- jxw4 aj/ятса r?7t3cos	cos	F (5 ,if));д2Р’ = *7Г к ~ ш*) ; M, = P (M10 - Л*!*) :■ = P (M10 - M,A); Mn = p (Mf?~ M\%).(14.90)Здесь Wo, Mio, M20 и М”2 — прогиб и моменты от силы Р в плоской пластинке со сторонами а и Ь:оо ооwa= -—У У,			г sin -—sin—-F(S,in);« я« U ZJ (та + iwf	-	-	>'т= 1 /2=11тпаaiппЗPiМ-£ZZ-т2 -4- \Х2Я2 /777са /?7t3	sin	sin -— F (Z,ri);*-4 +-d	№груг	aim=ln-l41 Vi X2^2 4. vw* «тих ЯгсЗ Л^20 = — 7j 2j v , ,2 S,n 	sin ~r~ F ^>1);Tt*	(m t-Л-rt.	ft.71*	“ (mL -r XW)am=l /2 = 1■Aftmnтка Лтсрcos	COS— rU.iJ).(«8 + W)* a,	p,m=l /2 = 1Величины Wkt Mlk% М2ь M{$ связаны с кривизной оболочки;ткя я^З т4 si n	si п ——тс4	+ кшг)*[(т* 4-	\т-1 л=100	00	тъа • Г771Зж—1 т* (ю2 4- ^Х2п2) sin	sin -—4	Xfx \ ^	a,Л* / \	(/И54 T-	[(/W^ + k*n*)* + [JL/724m=1 /2=1FK.4);/777Z0C	/7^3m*(k2n2 -f vm2) sin	sin —■—M**sss J.^	/1 im* + X2Ai2) [(/л-4 + X2/^)4 + (XW4/Л=1 /2 = 1Alg>:^«hVV.ттгатьп cos	cos	.a.	Hiл2	(m2 + X2a^) [(m15 + XW)4 4- (xm4]m=l /2 = 1F(5.1).45 Зак. 2098
706РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ6) Случай равномерно распределенной поверхностной нагрузки р. Усилия и перемещения:оо оо16 fx Rap Vv= — ■16 fx Rap у	у	чт2 — \2n2n3 ft Zj	Zj п ^W2 X2/Z2)4 ^т4]m= 1 /2 = 116jtiX Rap1mna nn$ cos	sin	7t3■flE-X2«2 2 (1 + v) m2 mna nnfi 	sin 	cosEt ^ ^ m [(m2 + A2«2)4 + цт*)m= 1 /2 = 1p. ’A',m-1 /2 = 1mnmna nnfi— sin	sin 	;m2 -|- AW)4 + (jim4 ctj	pjN,=-^SSW3ттса nn3—		:			— sin	sin ——n [(m2 + ten*)4 + J ai PiM, 2 =m= 1 /2 = 1oo oo16 X(x vi Vi	m2	mna nnftn2 P 2j 2j _j_ X2/Z2)4 ^4 C°S ai C°S ^ *m=l /2 = 1pa4 ,®=—ш*) ; Л1, = ра2(Л110 —Ж,*);= pa2 (M20 - M2k) ; A«u = pa2 «2> - ).(14.91)ЗдесьW0 =«у Vmna пъ& sin	sin ——ai 'Pi716 АяЛ mn (m2 + ^2/l2^2 *m=1 /2=1OO	OO16 v vm=l /2=1OO	OO16 V1	V1 ten2 4-	mna nn\iM20=—2j	2j „„,	sin	sin“	alm2 + чХ2«2	mna	nn&			sin	sin 	;mn (m2 + ten2)2 a,	(j,m—1/2 = 1• Ш*)2Pi 'mv 16 X <2' = — (i=16, у Vmna nn$ cos	cos ——«1 Pi{m2 + ten2)2m= 1 n = \mna nn$m6 sin	sin ——a,	ftw	OO->22A<i* =nG	л (m2+ ten2)2 [(m2-J- X2w2)4+p.m4J *m= 1 /* = 1oc 00	mna nn 3m3(/7Z2 + NX2«2)sin 	sin	16 M- \ ’ \ ' 	«!_	Pl_я4	« (m2 + X2«2)2 [(m2 + Х2П2). 4- (jlTO4J ’Ш—\ n-1oo oc	mna «7:3ж i	mZ (ten? 4- vm2) sin	sin*16 fx ж 1 X 122m = 1 я = 1Pin (m2 + ten*)* [(m* + X2«2)4 +	'W7ta	W7t3m* Cos■■ COS'Pi(OT2 + X2/i2)2 [(W2 + Х2П2)4 _)_ jj_m4m = 1 /г=1
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ707В этих формулах индексы тип — нечетные числа натурального ряда (m= 1, 3, 5,...; п= 1, 3, 5,...).Оболочка со свободными криволинейными краями.Граничные условия на криволинейных краях:при а = 0 и а = aj = — , v = w = N]=M]=Q.RHa продольных краях оболочка имеет произвольные граничные условия или может сопрягаться с окаймляю- щими бортовыми балками.Для расчета цилиндрических оболочек со свободно опертыми криволинейными краями на рис. 14.31—14.44 даны графики для определения усилий Ni, N2, N12 и М2 [2]. Относительные размеры этих оболочек даны в табл. 14.10.tПринято, что отношение толщины к радиусу — =И=0,01; коэффициент Пуассона v =0.Графики на рис 14.31 —14.35 даны для случая вер¬ тикальной нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности оболочки с интенсивностью р= = 100 кг/см2. Графики построены для половины дуги поперечного круга. По горизонтальной оси отложены значения угла J3, по вертикальной оси — коэффициен¬ ты, относящиеся соответственно к N\, N2, NX2 и М2. По¬ ложительные значения отложены вниз, отрицательные—	вверх от горизонтальной оси.Для получения значения усилий N1, N2 и N\2 надо ординату, полученную из графика, помножить на радиус R, заданный в метрах; усилия получатся в кг/см.Для получения изгибающего момента необходимо по¬ лученную из графика ординату умножить на R2', момент получится в кгсм/см==кг. Если нагрузка не 100 кг/м2, а р кг/м2, то величину усилий и моментов нужно умно-Ржить на величину — .1UUТаблица 14.10 Относительные размеры оболочек, для которых построены графики\\ Ро90°75°60°45°30°Х=//я\^цъ///оцъ///о1/Ь///оЦЪ///о1/ь///о7Г30,743,581,057,82£ I СОсч 11.052,091,082,831.284,191,487,152,0915,637С1,573,141.634,241,816,282,2210,73—	4тс32,094,192.175.652.428,38----2тс3,146,233.253,483,6312,57"———Обозначения: /— расстояния между диафрагмами; b — ширина в плане; /0 — стрела подъема; R — радиус оболоч¬ ки; (30 — половина центрального угла.По графикам рис. 14.36—14.39 аналогично опреде¬ ляются усилия и моменты в случае поверхностной вер¬ тикальной нагрузки, распределенной в направлении об¬ разующих равномерно, а в направлении дуги попереч¬ ного круга — по закону cos р. Максимальная интен¬ сивность в верхней точке дуги поперечного круга приня¬ та р= 100 кг/м2.По графикам рис. 14.40—14.44 определяются усилия и моменты от погонной вертикальной нагрузки р— = 100 кг/м, приложенной на продольных краях оболоч¬ ки и распределенной вдоль каждого края равномерно. Ординаты графиков дают непосредственно значения усилий в кг/см. Для получения М2 необходимо ордина¬ ты умножить на R. В случае произвольного значения на-ргрузки р кг/м все величины умножаются на гтг •Рис: 14.31
Нормальная сила Nukz/cmНормальная сила Ыъкг/смR*&5О0,5to15%иА10°1—7Ч'ч„*9	X_ _v*lчк'/“f* °iK ^kv*-лСдвигающая сила N^hz/cmИзгибающий Момент М^кг см/смРис. 14.32tots17риf,3аыавс,?SSи0,30,2а/4<И-жat;I-1tци:-л=ЗГ“|3*ч-^s-\v\—ц\кrscчьJr/S'1№№№Нормальная сила Nz,кг/смСдвигающая сила Afa/ttyatРис. 14.33
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИR*0Ч1,015ЧНормальная сила Nukz/cmКГ1х-Мнл=Я-ыгчЛ. 1ЖXVX\V.(S\чVчSS5V“ЧЭч»•0~1(10№,70*tQ°. Ч 6Qa•<£Рис. 14.34556Д6,5**3,53.02.5 2ft 15 10 0,5О0,51.01.5 10VV3.5п1*2<0е3й6н50660°7{Г 'J\' ЧX4Vч■<Г--V£\,\чкЧЧАРX,кч\Л =\иVЧчч—1——1—/J -ч/-л~Ьл-л ^ 	1	Сдвигающая сила М,2,кг/сп*4-»U-iГ11&XNVVА-?—\*iл=Xь	*А/Кклfu—гло?/У°750/(Г-*—ЯГЛк-Vv(yЧW14у4--*\ ^ ‘XчИ£Л®%—лSу/L— ji—М‘ УА\Ч./Я* 15'I*О48121620гь28323640444852RH5141312V№4+-Йг>4*.=FSчWW\ АW%№В	ФХ--Z^.7\Ч,чч.Чsчч-NV\-ч/ж\VАVЛИзгибающий момент М2,ке сп/смНормальная сила N19kz/cm0>8U0,50,4иага/S-л=./Т7Гл■ 1х " 3-А--Г. 7\ ' ЯгчJ\•—г\У\XiL|JL—Л—1-|NV3ьwJQ<Г~W5ТВ£*Нормальная сила NbKi/cnИзгибающий момент Мъкг см/смРис. 14.35
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ110 ===============^====п;Г[—j—- •—*3-bL—\—л\4r—Р'COS j1"4/0°iP - 30s1№MlНормальная сила Ыг,нг/смНормальная сила Nukz/cmО0.510Ш&3.54.04.55.05.56.0 65«Д*!^r—w№50*n4-=FXsN;t f>l=f'-4"~nA2S.У11л/fJ'LUOJJX*--Af4Г'j/-/—^Z.ЛИзгибающий момент М2,кг см/смСдвигающая сила Nn,кг/смРис. 14.37
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ711Нормальная сила Nz,kz/cmРис. 14.38R*V3121110•&%0,5Рм%1 1 ГГПГТ"« 3^ArJC0SfiА'Т1=7Т. г му-:. \,Щ в г • 110’ и* 30° 40° 50° 60° 70° 800 90* Нормальная сипа Иг,кг/ямИзгибающий момент М2,кг см/смРис. 14.39
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ48*0Rx3224168Ов24-3140*Изгибающий момент Мг,кг см/смРис. 14.40
Нормальная сила Ni%KZ/crt,fi46566472606835mжКs_SзаinM-ж-±Сдвигающая Qu/ia N1vKZ{cttИзгибающий /ionант c/i/wРис. 14.41ы" 1-Л*(i—Г"Л■ЧD20’ж«4- ш гЗ\^—йрАгАь	Ак-Xх3хV-АЛ5Нормальная сила N^ne/crj,—£^/d№N?i40°№щКNVVx—/ чьXч.4jX",?/tiVкчv _.К/л/X\cA_7rщ\К-4blsr Jr 3 -?УTti4j\/<рsv1;уУLzn .'■ —*Ссдигашщая сила N::,kz/uiТХ = 7ГНормальная сила N^kz/спdm716456*84031241&ягьtoыS6чЧг1Vfcr"lИЛшIf-ЛЧг-№StЩXчч7Г-4XXt*N<*zf?уА—4 /К £-л=2$7*£Изгибающий момент М^къ см/сн Рис 14.42
1612в4О48%10ьлЫ)Ь4+852жиж.тs:sшшi§А=7Г VSt'я:7Нормальная сила Ыикг/см3.6ai «32sпгтш16,017.6т20.822,4чL 7Г"3ч-Л£5t—\—SSA$- /л\&пVV$кНормальная сила Ы^кг/сн\№Чч\чМй<*7ГГДО4я*щ\ч,\Z7—'iчЧ;чN3fif^4«к*кСдвигающая сила Ы12,кг/смРис. 14.43Изгибающий момент М^нг см/см24168ОЯ162432404856И4нчПГ“~97f"IIЧ40*П"A \W708Q—*-> »■ч\ л2*У\ 1rT rvv"ч{-Ч Л=.?г1чsЧ*7ГСдвигающая силаЫ^г/смНормальная сила N^z/cm6.4'VII9....ю3~чг^::ЯJ20о’30О40>!»Jt?в80вНVеNtKV£яIтл=л\VS8£/1,2Ш14,416.017,6т20,82UЛVs>А-л-лV$Ьг\я?*t-V4.Норма/7Ына.я <ctfлаг Nгг,/аVл 72Йх64564840322416вО816Ч324048S664728088за104т■ ч4-чV\ч-__jl^e?LЗи><чazbsj-лt-■ V4пf-й4—ЛdxVч~ЖX-VЬЖAii~NV-д=-H-P-Vf=хшИзгибающий момент а1г,кг см/смРис. 14.44
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ715Графики для нормальных усилий Nu М2 и попереч¬ ных изгибающих моментов М2 относятся к среднему по¬перечному сечению а =■2 R’где эти величины дости¬гают наибольших значений. Графики для сдвигающих сил относятся к крайним поперечным сечениям а = О Iи а = — , где они достигают наибольшей величины. RВ табл. 14.11 приведены величины максимальных вер¬ тикальных перемещений f оболочки в двух характерных точках Р =0 и Р =+ Ро среднего поперечного сечения /а = —(см. рис. 14.30).Таблица 14.11Вертикальные перемещения f (в см) среднего поперечного сечения оболочки1“ = — в точках р = о; (3 = р0 (Е в кг!см2; R в см)HR$0 в град.Вертикальная равномерно распределенная нагрузка р в кг!м2Вертикальная нагрузка р, из¬ меняющаяся по закону соз (3, в кг/м2Вертикальная равномерно распределенная погонная на¬ грузка р, при¬ ложенная на продольных краях, в кг/мЕ-/Е-1В-/PRpRPRоIIСП0 =3 =о 1оСП-11СП.оIIСП.1 ° СП 11СП.2~60-0,31120,4680—0,12600,3042-56,3862,85О900,05510,16750,07880,01309,6336,6960—0,50161,32160,10230,9262-112,75163,34к900,09240,55940,25280,0574— 30,94100,764тс60—0,3*842,81080,73342,1097— 47,87316,00~т90—0,52221,36490,62440,1880—159,40217,36Чк60-0,742310,14906,60328,1893-606,71844,4490-0,813е4,44562,20311,1551—406,06178,5814.4.6. Нелинейные теории. Некоторые частные решения [7]Решение общих уравнений (14.71) или (14.72) нели¬ нейной теории может быть получено с известной точно¬ стью с помошью вариационных методов или с помощью метода последовательных приближений*. Иногда с успе¬ хом можно такле применить метод конечных разностей.Шарнирно опертая пологая панель, прямоугольная в плане (см. рис. 14.23). Нагрузка — равномерно распреде¬ ленная.Связь между нагрузкой и прогибом в первом при¬ ближении прецставляется формулой (звездочкой обозна¬ чены безразмерные величины).тс6 / 1 \ 2 тс2 = 	f	 4- X2 I еЗ —	1£2 —КУ(р*у +ру) * + (k*P*x +fc*y Ру) +цб192(1 —V*) I X	е-(14.92)о	/ , * kxa*Здесь е = — ; kr =	t * tKy - t , A.b ’P =a2b2t** = .Px Et2 ’* _ pya2 .py — Et2 •px — нормальные напряжения на кромках х—0\ х—а\ ру — то же, на кромках у—0; у=Ь.Края оболочки свободно смещаются в плане. В урав¬ нении (14.92) надо положить р*х=р*у =0.Для квадратной в ш>ане оболочки ( ^ = 1)' со сторо¬ ной b при v =>0,3 получимр* = 7,5 е3 — 2,06 е2 + (0,15 k2 + 22)е, (14.93) где k=k*x +k*y .Для цилиндрической панели шириной b и радиусом R k—b2/Rt\ для сферической k=2b2/Rt.Наибольшие напряжения в срединной поверхности в центре оболочки1(1 +(14.94)где* JLl (ЛЛ2. * ау Iа \2°* £•(//' °у Е [ t ) ’Для квадратной панели наибольшие напряжения(14.95)о* = с* = 1,23е2-0,25*е.Наибольшие напряжения от изгиба в центре оболочки(Х*+ч)е.у’“ 2 (1 — ч'1)Для квадратней панели при v=0,3 ♦ # — - ах,и ~ Су, и = 1 е*.(14.£6)(14.97)Наибольшие напряжения в крайних волокнах оболоч¬ ки определяются как сумма (14.94) и (14.95):кр.вол	* , *X	х -с их,икр.вол	* , *у	у х,и •(14.98)
716РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИКрая панели не смещаются. Зависимость между нагрузкой и прогибом для прямоугольной панели:р* =*; Р\+*; р; + + **) + 128(1Л_^ ^ + (-f +х*)]}*3 -{т [ К (хг +v)+*; <Х2+^] ■- Т(*: +9 -^Г- + т (*:+i;) р^г-+i (■£ +*; х.)}.. + (JL +»)*+где+ 1б (k* +лу)г(х+т)Р*" ■- Т +V) Г=^ £2 + ( < ^ ^ • пЬ-£- « +*v) ^ = “Т(X*+v)r=v £2 + (kyХ2+ ^ • пЬ 6 ~ (** +**) •(14.99)i-H(4-4Таблица 14.12Коэффициенты <*1, а2» «з> «4 Для сферической оболочкиГраничные условия«1«2«3а4i=iаА. - 1а ~ 2-1 = 0а-1 = 1 аь__ ±_а 2-1 = 0а^=iаЬ _ 1а 2-1 = 0 а1-1аЬ_ _ _1_а 2оIIс| 31 Р-98.627522,08634,510—19,622— 50,233-78,4909.917425,388639,669822.1227138,275,53068" 19.899632,92756,902-19,055- 60,6989—101,8088,150424,864840,476832,512156,385,6558|ш |</\7,567633,70165,045—13,655- 57,2602-105,9465,475521,6187SS. 346916,0569'65,475 35841IV *12,450528,789о38,3815-20.182— 46,6662-62.2147.2692816,808822,409П. 5903301,61 ,14.1404?v 1/////////////77777X7X77?,{10.313717,839820,7824-15,642— 27.495—39.5715.27179.416711,204756,986527,0828,279„ |YU//U/a/i777777777777)%19,238014,539823,757-13,1008-27.948—33,6874,12828.806410,61568,894516,6626,792
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ- 717Таблица 14.13Коэффициенты ДЛЯ ai, a2, a3, a4 ДЛЯ ЦИЛИНДрИЧеСКОЙ 060Л0ЧКИГраничные условия«2«3а46 -1аЬ 1а 26 =2а-1аЬ 1а 2& «2а" -1аЬ 1а 26 =2 а* _iаЬ 1а '2Ь =2 а■ ЕЭ8,62722,0361,304— 19,60— 201,0— 0,7869,904170,099222,12138,278,642U \9,89932,9271,1528- 17,70— 236,0-0,5167,053840,051332,51156,38.17,449III ||\7,567633,7010,6965— 9,47— 203,0— 0,1974,453260,025746,06165,4731,273ЯIV ^W///////M12,45028,7801,7755- 20,20— 186,5— 0,7267,242750,064843,59301,6118,851, !//10,31417,8401,9343— 1G.C0— 111,0— 0,7525,551570,065256.99527,0818,97811VI ^219.23914,5401,2318- 12,90— 112,0—0.43G4,061060,034468,89516,6532,294Для квадратной цилиндрической панели при v =0,3р* =28,9 еЗ_б,1 /ег2+(0.5 *4-22) е. (14.100)Края оболочки в плане свободно смещаются и либо шарнирно оперты, либо защемлены. Зависимость между нагрузкой и прогибом посередине выражается формулойP*=vs + а2 ео е2 + азЕое + а4е- (14.101) /оЗдесь £q = —— отношение начального подъема к тол^Р°А	}щине оболочки; р* = — ; е = —.tt4 tКоэффициенты аь а2, а3 и а4 при v=0,3 для различных случаев опирания сферической и цилиндри¬ ческих оболочек даны в табл. 14.12, 14.13 и 14.14 для *> , 1отношений“=1;—; 0 и 2. Если коэффициент Пуассона0,91другой, то <*4 умножается на ~остальные коэффи»циенты alt a2 и a3 не изменяются.Формулами и таблицами можно пользоваться дляоболочек с подъемом-у-<2. При больших подъемах по¬ грешность в определении прогибов составляет более 13%.
718РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИТаблица 14.14Коэффициенты “х, “2. ®з. ®4 для цилиндрической оболочкиГраничные условияа1а2а3а4±-1аb 1д 2Ъа* 1аЪ 1а 2* 7а*аЬ 1а 2Ъа*--1*4 е* 11■о | ва, ц-я8,62722,0861,304- 19,60— 12,50- 12,609,901,59025,4022,12138,278,642■ □9,89932,9271,1528— 20,40— 17,00— 9,409,341,95017,4032,51156,3817,4491111 й. V,17,567633.7010,6965— 11,55- 15,40— 3,846,601.8309,7246.06165,4731,273У.iv i 112,45028,7801,7755- 20,20— 11,70- 11,607,241,05016,7043,59301,6118,851V 110,31417,8401,9343- 15,20— 6,59— 11,404,980,54015,0056,99527,0818,9785VI ^'A/Z/Z/V//////77777777W&9,23914,5401,2318— 12,90— 6,97— 8,004,130,4056,3068,89516,66 ,32,29414.4.7. Дифференциальные уравнения пологих сферических оболочек в полярных координатахДифференциальные уравнения моментной линейной теории в полярных координатах г и Р (рис. 14.45) име¬ ют вид [2, гл. IX, § 9]REtrlV2 V2 <P+V2 w = 0;DR_2V*? — -7 V2 V*w + rl Rpz = 0.(14.102)В этих уравнениях: <j> — функция напряжений;
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ719ху — прогиб срединной поверхности; R— радиус кривиз¬ ны оболочки; D — цилиндрическая жесткость;_*!	г _ьЛУ	С	S(l—V») ' 0 V 12(1—V*)Л** нциальный оператор v2 имеет вид1 г а / а\ 1 дП'“т1*гг *У+т -<И*гле а ==Нагрузка Pz и прогиб w считаются положительными, если они направлены по внутренней нормали (на рис. 14.45 — сверху вниз).Подстановкойw = у2 V2 Фи(14.103)второе уравнение системы (14.101) приводится к виду (v^+DvV*-^ Pz = 0. (14.104)Ltили с учетом первого равенства (14.103).R2У 2 у2 а;_|_ w _ — рг = ох	(14.105)EtЭто уравнение аналогично уравнению плиты на уп¬ ругом основании; таким образом, сферическая пологая оболочка работает так же, как плита, лежащая на уп¬ ругом основании с коэффициентом упругого основания Etс= — (см. конец 14.4.4).RИзгибающие моменты (рис. 14.46) определяются по формуламм, =—+ чхз);m2 =—D(xm12 = D(\—v)Xa?.Здесь_1_ frw 	1_ /_1_	_17-0 = ,2 ' fa? ' г? = г2 \ °2	+ аго	г0(14.106)Ьдаd2w да дНdw¥*	Это уравнение следует применять только для свободно опер¬тых оболочек. Для оболочек с другими граничными условиями под¬ становка (14.103) может привести к ошибкам, поэтому в этих слу¬ чаях следует исходить из системы (14.102).Нормальные и сдвигающие силы (рис. 14.46) опреде¬ ляются по формуламNx = -1/1 д2<р+— . fo) а да Jд2<р да д$_-Lа2 * ф )(14.107)или через функцию Ф по формуламEh I 1 д2 1 д \у?л;	EhN2 = — —2 яdji2 а д2^а2у2Ф;л/ В.N-12 — _а2а2у2Ф.(14.108)R \ а да д$Осесимметричные задачи [2, гл. IX, § 10]. В осесим¬ метричных задачах на!рузка зависит только ,от одной радиальной координаты а, поэтому напряженное состо¬ яние будет также зависеть только от одной переменной а. Оно будет полностью симметрично относительно оси вращения.Уравнения (14.102) превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого порядкаa da ,(d2w 1 dw \	R2[d^+~7"H)+w=IFp;(P_	d \ fd2<P J_ d&\_da2 a da j \ da2 a da j(14.109)Крутящий момент и сдвигающая сила равны нулю, все прочие моменты и усилия определяются по форму¬ ламD id2w 1 dw \= — +* — *—I;da 2da JD [ 1 dw d2w \ M2 = — -7 — •—	I;r2 \ a da	da*)D d /d2w 1 dw \Qi = — — — + — • —da \ da2da Г(14.110)1 1 dtp жг 1 d2 cp Ni = -? ■ a ' da ’ 2 = rl ' da*'Общий интеграл первого из уравнений (14.109) имеет видw (a)=i41 J1+Л2 J2+^3 Jз“Ь^4 J(a) • (14.111)Здесь wp ( a) — частный интеграл неоднородного уравнения; /ь /2, hr h — некоторые функции а, пред¬ ставляющие частные интегралы однородного уравнения.Значения функций Jk и их первых производных при¬ ведены б табл. 14.15. Значения вторых производных вы¬ числяются по формулам1 , . 1J4 = — J3~(14.112)
720РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИТаблица 14.15Значения функций /ь /г, h, h и их первых производныхаJ\'240+ 1,00000000.1+ 1.0000+0,0025—0,00'»1+0,05000,2+ 1,0000+ 0.0100—0.СЮ05+ 0.10000,3+0.9999+ 0,0225—0.0017+J0.15000.4+0,9996+ 0,0400—0.0040+ 0.20000.5+ 0.9990+0.0625—0.0078+0.24990,6+0,9980+ 0.0900-0,0135+0,29930,7+ 0.9962+0 1224—0/214+0.34960,8+0.9936+ 0.1599—0,Ь320+0.39920,9+ 0.989S+ 0,2023—0,0455+ 0.44851.0+ 0 9844+ 0,24^6—0.0624+ 0.49741.1+ 0,9771+ 0.3017—0,0831+ 0,54581,2+ 0, с/676+ 0,3587—0.1078+ 0.59351.3+ 0,9554+ 0.4204—0.П70+ 0,64031.4+ 0 Г4!1+ 0.4867-0 1709+ 0.68601.5+ 0.9211+ 0,5576-0.2100+0,73021.6+ 0,8979+ 0,6327-0,2545+0,77271.7+ 0.8700+ 0.7120-0.3048+ 0.81311,8+ 0,8367+ 0 7953—0.3» 12+0,85091.9+ 0,7975+ 0,8821—0,4238+0.88572.0+ 0,7517+ 0,9723—0.4931+0.91702.1+ 0.6987+ 1 0654—0.5Р90+0.94422.2+ 0.6377+ 1 1610—0,652")+0,96662.3+ 0.568С+ 1.2585—0,7420+0.98352.4+ 0,4890+ 1.3575-0,8392+ 0,9Ь442,5+ 0,4000+ 1,4572-0.9436+ 0.99832,6+ 0,3001+ 1,5569—1.0552+0.99422.7+ 0.1887+ 1 655/-1.1738+ 0.У8142.8+ 0.0651+1,752ч-1.2992+ 0,95902.9-0.0714+ 1.84,2—1,4314+ 0,Ь2563,0—0 2214+ 1.937о-1.5698+0.88043.1—0.3855+ 2.0?21—1.7141+ 0.822 i3.2—0.5М4+ 2.1016—1.8636+0.74^93.3—0.75(4+ 2 1 2<—2.0177+ 0,66213.4—0 ^680+ 2.2 Ш—2.1 /’55+ 0,55773.5—1,1936+ 2 2832-2,336;+ 0.43533,6—1 4353+ 2 3199-2 4982+0,29363.7-1,6933+ 2.3413-2 6608+ 0.10523,8-1.9674+ 2 3454-2.S222—0 05263.J-2 2576+ 2 3300—2 9808-0,25964.0-2.5634+ 2.2-2/—3.1346—0.4У124.1—2.8843+ 2.2 «)9—3.2^13—(.).74824.2—3.2195+ 2.1 22—3.4200—1.03И4,3—3,5„79+ 2 (2 6—3.5465—1.34/,24,4—3.9283+ 1 8,2)—3.C5S8—1.68324,5—4.2991+1.6860—3.7536—2.052j4,6-4,6784+ 1.4610—3.8280—2 452J4.7-5 063b+ 1.1946—3.8782-2 S8184.8-5,4531+ 0 *437—3.9006—3,34224.9—5.8429+ 0.52 >1—3.8910—3,83305,0—6,2301+ 0.11и0—3,8454—4.3542У\л-6..107—0 3467—3 7589—4,9043■ 52—6,9803-0 8 )58—3. < 2 0—5.48,355.3-7.3344-1.4443—3.4446—6,08925,4—7,1674-2 0845—3 20(>4—6,71985.5-7 9736-2.7890-2 9070—7 372^5,6—8.2466—3.5597-2.5410—8,04545.7—8 4794-4,3986-2 1024—8.73365.8—8 6i>44-5 :ю 8— 1.5г156—9.43325,9—8,7937—6,2854—0.9844— 10 13946.0—8.8583—7.3347-0.2.31-10,8462Продолжение табл 14 15аJ8и,о+ 0.50и0— 000+ °°0.1+ 0,4955-1,5409—0 09293+ 6 шз0,2+ 0.4826-1 10.34—0.1419+ 3,13400.3+ 0,4667-0,8513-0 1746+ 2.04980.4+ 0 4480—0 6765—0,1970+ 1 49740.5+ 0.4275-0.5449-0 2121+ 1 1585Продолжение табл. 14.15аJ4's0.6+0,4058—0,4413—0.2216+0,92730,7+0,3834-0,3574—0.2268+ 0,75820.8+0.3606-0,2883—0,2286+0,62860,9+ 0,3477—0,2308—0.2276+0.52581.0+ 0,3151—0,1825—0.2213+ 0.44221.1+0,2929-0.1419—0,2193+ 0,37301.2+0.2 ’13—0.1076—0.2129+ 0.31491.3+0,2504—0,07859—0.2054+ 0.26561,4+ 0,2302—0,05419-0.1971+ 0,22351.5+0,2110—0,03370-0,1882+0,18731.6+ 0.1926—0.01657-0,1788+0 15601.7+0.1752—0.00235—0.16Г2+ 0.12X)1.8+ 0,1588+0.00936—0,1594+ 0.Ю561.9+ 0,1433+ 0,01388—0,1496+ 0,085392.0+0.1289+0,02651 •—0,13j9+0,067862.2+0,1026+0.03712—0.1210+ 0,039682.4+0.08039+ 0.04290—0,1032+0,018922.6+ 0.06136+ 0.04463-0,08675+0,003912.8+ 0,04553+0.04474—0.07186—0,006623,0+0.03256+0,04237—0,05860—0,013673.2+ 0.Г2202+0.03944—0.04697—0,018053.4+ 0.01366+ 0 03557—0.03692—0,020413,6+ 0,007152+0,0313*—0,02836—0,021273,8+ 0,002154+0.12 05—0,02117—0 021034.0—0,001393+ 0,0^304-0,01522—0,020044.2—0,003943+ 0.01917—0,01039—0,018554.4—0.005620+0.01564—0,006522—0,016754.6—0,006608+ 0.01248—0,003497-0,014824,8—0,007066+ 0.00971—0.001190—0 012865,0-0,007122+0.007309+0,0005218—0,010955,2—0,006893+0,005325+ 0.001735-0,0091475,4—0,006456+ 0,003661+ 0.002546-0,0074965,6—0,005492+0.002312+ 0,003036—0.0060145.8—0.00^257+ 0,001243+ 0,003276—0,0047116,0—0 004594+0.0004166+ 0,003326—0,003585Значения постоянных Аи Л2, А3 и А4 определяются из граничных условий.	»Частные случаи. 1. Сферическая оболочка находится под действием сосредоточенной вертикальной силы Р, приложенной в верхней точке (полюсе). На опорной параллели, имеющей радиус 6, оболочка закрепленаЬшарнирно. Граьичные условия: при а = а2 = —* w=\rtгоMi = 0.Из условий, относящихся к полюсу оболочки, следу* Рг3°ет, что /43 = — и /44=0.Вследствие отсутствия распределенной поверхностной нагрузки частный интеграл wp(а)=0Отсюдн, согласно (14.111), прогибы и моменты опре¬ деляются по формулам
14.4. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ721Рг3А —°' А2 ~4D(14.114)Если коэффициент Пуассона ч=0, то а («/ j/j J2*^4) *^3 ^2"^” *^2-a(/2+y2)+Ji/2-/2/;а («/j/4-|-«/2«/3) 1*^3 “f“ Vi— а( 1*^2 *^2*^1)2. Та же оболочка, защемленная по опорной парал¬ лели.6Граничные условия: при а = а2= —, оу=0; ш'=0.гоПрогибы и моменты и в этом случае определяются по формулам (14.113); постоянные A\ и А2 при v =0 равныа = а2Рг\ ( — J$ J2+*/3*^2 \ л‘= 4D{ hh-hh /Vq { JlJ Ъ + J\1з\Величина w определяется по формуле (14.111), в которой надо положить wp(a)= 0.Для определения коэффициентов А\, Л2, Аз, Л4 необ¬ ходимо решить систему уравнений:|^2 (ai) 4—“ *^i(ai)j ——	^2 J^i (ai) — ~ J2 (ai)j ——	Лз|у4(а,)— ^- ^3 («i)J ++ Л4 ^3 (°i) + — J4 («2)j = 0;AJ /2 (al) ^2 ^l^al^ ^3 *^4 (al)“b^4 *^з(а1)==(14.115)у	/ 		\2_4d V /.=«,3. Сферическая оболочка под действием нормальной нагрузки р, равномерно распределенной по всей поверх¬ ности. Коэффициент Пуассона v=0.В данном случае из условий у полюса оболочкиЛз=»Л4=0.R2pЧастный интеграл wp (a) = — .При шарнирном закрепленииR2 [ (aJl~J2)a1 ^i(a)+	^ , il .w=—p{			г	; ”	i 1 ? 5Eh I j__a ( ^1 + ^2) + ^! ^2"~^2*M*i	1Pfo= - — sinT;-<4i У1 (a2)+Л2 У2 (а2)+Л3 «/3(a2)+i44/4 (a2)=0;^1 ^ 2(a2)"T “ J j (a2) j —Л2 |^/i (cc2) —- J2 (a2)j — Л3 (a2) - «/3 (a2)j ++ ^4 [/3 (a2) + ~ ^4 (a2)j = 0.DR2 M\ = ; ” P Ehrl[aj— ^]aJ[</*<a)+ ~ J1 (a)j~ [a/2+/l]«.[/l(a)— a ^ (a)] [—a ( /1+«/г) +^i^2“"^2 	При защемленном крае			#2 —j'2(a 2) (g)+^i (g2)	j2 ^2)0,(^1 ^2~“^2 ^l)a3^ = TT"P' EhMx =Z)^2	2£/zrn*^2(a)+ a *^i(a)|—*^1 (аг) j^i (a) a *^2( Jx J2 *^2^l)aa4.	Кольцевая пологая сферическая оболочка под дей¬ ствием вертикальной равномерно распределенной на¬ грузки р, приложенной по верхнему основанию (рис. 14.47).Если по нижнему основанию оболочка имеет шар¬ нирное закрепление, то граничные условия будут: апри a==a1 =	(14.118)Mi = 0; Qi=— р sin 7; bпри a=a2 =°ffi) = 0; M1 = 0.Здесь 7— угол наклона к оси вращения касательной к меридиану в точке а.46 Зак. 2098
722РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИМоменты определяются по формулам (14.110); для их определения необходимо вычислить с помощью вы¬ ражений (14.112) и (14.113) вторые производные от w.5.	Та же оболочка под действием собственного веса g кг}м2.Прогиб w определяется по формуле (14.111), в кото- R2рой надо положить wp = — g.Для определения коэффициентов Аи А2, Аг и Л4 не¬ обходимо решить систему уравнений:A (ai) + ^2 *^2 (ai) + Л3 /3 (ai£ +R2+ Ай У4 (ax) + S = 0;Ai 2 (ai)+ “ Ji (ai)J—	Л 2 ^1 (al) — ~ J1 (al) j 	 Л3 (ai) “ J3 (ai)^J +“b A\ 3 (ai) “F~ “ («i)j = 0; (14.119) Ax |^У2 (a2) + “ J1 (аг)j ——	A2 (a2) ~J2 (a2)j —^3 |^4 (a2) — “ ^3 (a2)j ++ ^4 3 (аг) + ~ J4 (аг)J = 0*»Aj «/2^2) ^2 l^a2) ^з*^4(а2)“1~^4 »^з(а2)==^*Во всех приведенных случаях нормальные усилия Ni и М2 определяются по формулам (14.110).Функция <р связана с функцией w уравнением1rfcpda2 a da.R- w.(14.120)Общий интеграл этого уравнения имеет вид Etri(14.121)Здесь Л5 — новая постоянная интегрирования, опреде¬ ляемая из граничных условий; <?w — частный интеграл неоднородного уравнения£b+-L.4b.,.„_o. (14.122)иа1 а аа которое при известной функции w легко интегрируется,14.5.	СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ14.5.1.	Основные обозначения и классификация сводов-оболочекСводы-оболочки и складки (см. 14.1) вдоль криволи¬ нейных краев опираются на диафрагмы, а вдоль прямолинейных краев окаймляются бортовыми элемен¬ тами.Расстояние между спорными диафрагмами называет¬ ся пролетом оболочки или складки и обозначается 1\. Расстояние между бортовыми элементами называется длиной волны и обозначается /2. Стрела подъема оболоч¬ ки (без бортовых элементов) обозначается /0 (рис. 14.48). Для расчета сводов-оболочек и складок приняты еле-Поперечная диафрагмабортовой эле нт фонаря О Бортовой 'элемент'ПлитаРис. 14.48дующие обозначения координатных осей: продольная ось в направлении пролета h обозначается х; горизон¬ тальная и вертикальная оси в плоскости поперечного сечения оболочки обозначаются у и z.Опорные диафрагмы при расчете оболочек и складок условно рассматриваются абсолютно жесткими в своей плоскости и абсолютно гибкими из плоскости.В общем случае напряженное состояние оболочек и складок определяется десятью силовыми факторами (рис. 14.49,а): нормальными и сдвигающими сила¬ ми N\\ N\ 5i=S; изгибающими и крутящими момента¬ ми М\\ М\ Н\ = Н и поперечными силами Qi и Q*.Цилиндрические оболочки и складки для расчета ус¬ ловно принято подразделять на следующие три группы:*	В предыдущих главах настоящего раздела усилия и момен¬ ты по сечениям вдоль оси х обозначены с индексом 2; в этой главе вместо индекса 2 принят индекс, соответствующий номеру ребра складки. Сдвигающая сила обозначена через S вместо
14.5. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ723l\	иа)	длинные при — >4; б) средней длины при 4>—> 2	h/]>1 -5- 0,75; в) короткие при ~7“<1 0,75.‘2В оболочках большой и средней длины продольные изгибающие и крутящие моменты (Mi и Н\) являются второстепенными и могут быть отброшены. В коротких оболочках злияние поперечных моментов (М) резко па¬ дает, а продольных (Mi) — возрастает.В длинных свободно висящих оболочках и складках деформация контура и поперечные моменты мало вли¬ яют на величину и характер изменения продольных на¬ пряжений по их сечению.В соответствии с классификацией и характером ра¬ боты цилиндрических оболочек и складок вводится ряд гипотез и допущений, позволяющих упростить их расчет.Длинные своды-оболочки и складки со свободно ви¬ сящими продольными краями при симметричных сечении и нагрузке рассчитываются как балки, а при несиммет¬ ричном сечении или нагрузке — как тонкостенные стерж¬ ни, но без учета жесткости при чистом кручении. Попе¬ речные моменты М, соответствующие им поперечные си¬ лы Q и нормальные силы поперечного направления N определяются из равновесия полоски единичной ши¬ рины, выделенной в середине пролета двумя поперечны¬ ми сечениями [8, 5, 15].14.5.2.	Расчет оболочек и складок средней длины. Допущения и гипотезыВ общем случае оболочки средней длины рекомен¬ дуется рассчитывать с учетом взаимного влияния про¬ дольных усилий и поперечных изгибающих моментов. Однако, как показали экспериментальные и теоретиче¬ ские исследования, в ряде частных случаев это взаимное влияние незначительно и для упрощения расчета им можно пренебречь.Плитабортовой элементРис. 14.50Средние волны многоволновых складок с поперечны¬ ми сечениями, приведенными на рис. 14.50, нагружен¬ ные равномерно распределенной нагрузкой (рис. 14.51,а), могут рассчитываться в продольном направлении, как балки корытообразного сечения (рис. 14.51,в).Для определения поперечных моментов в средних волнах по длине складки выделяется полоса шириной1	м, которая рассчитывается как неразрезная балка с опорами по ребрам складки (рис. 14.51,а).46*Средние волны многоволновых бесфонарных и фо¬ нарных с распорками цилиндрических оболочек с сим¬ метричным поперечным сечением, со свободно висящими1\продольными краями, при—>1, нагруженные равно-hмерно распределенной нагрузкой (рис. 14.52,а), могут быть приближенно рассчитаны как балки корытообраз¬ ного сечения подобно длинным оболочкам (рис. 14.52,в),Я)S)в)Рис. 14.51Рис. 14.52Одноволновые и многоволновые ребристые оболочки при высоте ребер не менее V2512 и числе их более трех, нагруженные равномерно распределенной нагрузкой, мо¬ гут в продольном направлении также рассчитываться как балки корытообразного сечения. За расчетное попе¬ речное сечение, воспринимающее продольные усилия, принимается сечение между ребрами.После определения продольных нормальных напря¬ жений а и сдвигающих усилий 5 поперечные моменты М, поперечные силы Q и нормальные силы поперечного направления N в любом промежуточном ребре ребри¬ стой оболочки определяются как в длинных оболочках. При этом в середине пролета оболочки выделяется по¬ перечная полоса шириной, равной расстоянию между ребрами.Одноволновые складки и оболочки, крайние полу¬ волны многоволновых складок и оболочек, средние вол-/1ны многоволновых оболочек при —< 1 и оболочки, опер-‘2тые по контуру, рассчитываются с учетом деформации поперечного контура и взаимного влияния продольных нормальных напряжений и поперечных изгибающих мо¬ ментов. При этом крайние полуволны многоволновых оболочек и складок со свободно висящими продольными краями можно приближенно рассчитывать как полувол¬ ны одноволновой оболочки или складки с симметричным сечением (рис. 14.51,6 и 14.52,6).Цилиндрическая оболочка для расчета заменяется вписанной в цилиндрическую поверхность складчатой системой, состоящей из прямоугольных граней-пласти¬ нок. В результате расчет цилиндрических оболочек и складок получается однотипным.
724РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИДля практического расчета цилиндрическую оболоч¬ ку покрытия с симметричным сечением достаточно раз¬ делить между крайними бортовыми элементами на семь граней (см. рис. 14.63,а). При наличии в верхней части продольного фонарного отверстия с распорками доста¬ точно каждую половину между бортовыми элементамиK-f к к+1IЧ\к-1•чиJк+1Рис. 14.53(крайним и фонарным) разделить на три грани (см. рис. 14.65,д). Шедовые цилиндрические оболочки также можно разделить на три грани (см. рис. 14.65,6). В об¬ щем случае можно принимать такое число граней, что¬ бы отношение ширины грани к длине (пролету 1\) было такое же, как для обычной балки прямоугольного сече¬ ния.В дальнейшем приняты следующие обозначения (рис. 14.53): k— порядковый номер ребра и примыкаю¬ щей к этому ребру слева грани складки; <р£ — угол, образуемый направлениями граней k и (6+1), пересе¬ кающихся у ребра k\ этот угол считается положитель¬ ным, если при переходе от &-й грани к (&+1)-й пово¬ рот грани совершается по часовой стрелке, в противном случае он считается отрицательным; dk и ^ — ширина и толщина 6-й грани; Fk — площадь поперечного сече¬ ния 6-й грани (для гладкой оболочки или складки Fk — tk dk), &Fk — сосредоточенная площадь попереч¬ ного сечения продольного элемента при наличии таково¬ го вдоль 6-го ребра складки; Ik — момент инерции продольного сечения 6-й грани на единицу длины (длягладкой оболочки или складки Ik — ptyk— угол на¬ клона k-Pi грани к оси у; угол считается положи¬ тельным, если для совмещения этой грани с осью у ееследует повернуть на угол tyk по часовой стрелке, в противном случае угол считается отрицательным.Полное число ребер обозначено через п+1, а число граней — через п. Промежуточные ребра обозначены1,	2,..., 6,..., п—1. Продольные края обозначены индекса¬ ми 0 и п.Каждая грань складки рассматривается как прямо¬ угольная балка, в сечениях которой возникают нор¬ мальные напряжения а и касательные усилия 5; пред¬ полагается, что по толщине грани они остаются посто-а)	5)Рис. 14.54К+1Рис. 14.55янными. Это эквивалентно тому, что продольные изги¬ бающие и крутящие моменты по малости принимают¬ ся равными нулю. Система усилий на единицу длины, учитываемых при расчете оболочек средней длины, приведена на рис. 14.49,6*.При изгибе в своей плоскости каждая грань подчи¬ няется гипотезе плоских сечений в соответствии с при¬ нятыми гипотезами об отсутствии деформаций сдвига и поперечного удлинения отдельных граней. Эпюра про¬ дольных нормальных напряжений а в любом попереч¬ ном сечении отдельной грани имеет вид трапеции, а эпюра сдвигающих сил S — вид квадратной параболы (рис. 14.54, а и б). В юм случае, когда нагрузка при¬ ложена только по ребрам складки, эпюра поперечных моментов М по ширине отдельной грани имеет вид тра¬ пеции (рис. 14.55); поперечные силы Q, определяемые как производные от моментов, по ширине грани остают¬ ся постоянными (рис. 14.56). В общем случае нагруз¬ ки М и Q по ширине грани складки изменяются, как в упруго защемленной балке. Нормальные силы N определяются из равновесия узлов полоски складки ши¬ риной dx= 1 (рис. 14.57) [см. формулу (14.143)].Таким образом, характер изменения всех усилий по ширине отдельных граней известен заранее, а неизвест¬ ными являются их значения по ребрам складки.Складка представляет собой многократно статически неопределимую систему. Определение усилий по ее реб¬ рам может быть выполнено с помощью: метода сил1 (за лишние неизвестные принимаются усилия), смешан¬ ного метода (за неизвестные принимаются частично уси-*	Приближенный расчет складок без учета поперечных мо¬ ментов предлагался Элерсом Г351 и Кремером гзб"|.1	Метод сил для оболочек разработан П. Л. Пастернаком \2\\
М.5. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ725лия и частично перемещения) и метода перемещений (за неизвестные принимаются перемещения).Метод сил приводит к системе дифференциальных 12-членных уравнений, он удобен для расчета складок с небольшим числом граней. Смешанный метод в общем случае приводит к более компактной структуре восьми-£*кNKyK-1MsРис. 14.56ггРис. 14.57К+1членных уравнений и к простым формулам для вычисле¬ ния коэффициентов уравнений. В методе перемещений, в том виде как он разработан [20], почти вдвое сокра¬ щается число расчетных уравнений, даже если учесть продольные и крутящие моменты; он применим для ра¬ счета оболочек средней длины и коротких. Этот метод особенно удобен, если заранее составить выражения ко¬ эффициентов уравнений.14.5.3.	Смешанный метод расчета. Восьмичленные уравненияСмешанный метод расчета многогранных складок и оболочек разработан В. 3. Власовым [3, 4, 6].При расчете оболочек и складок со свободно висящи¬ ми продольными краями за основную статически опре¬ делимую систему принимается складка, имеющая внеш¬ ние продольные связи, расположенные непрерывно вдоль»всех промежуточных ребер и наружных продольных кра¬ ев, а также цилиндрические шарниры, допускающие взаимное вращение смежных граней в п—3 промежу¬ точных ребрах (рис, 14.58).На ребрах 1 и п—1 грани в основной системе имеют жесткое соединение, так как моменты Mt(x) и Mn-i(x) по этим ребрам, если не учитываются продольные и кру¬ тящие моменты, определяются как в консольной балке из равновесия поперечной полоски единичной ширины, выделенной в произвольном месте по длине крайних граней.При расчете оболочек и складок, у которых продоль¬ ные края закреплены от горизонтальных или вертикаль¬ ных перемещений, цилиндрические шарниры вводятся на всех промежуточных ребрах.Внешняя поперечная распределенная нагрузка р раз¬ лагается на вертикальную р и горизонтальную рг, ко¬ торые заменяются эквивалентными нагрузками, прило¬ женными по ребрам складки в виде погонных верти¬ кальных сил Р\ (кг/м) и горизонтальных Prk (кг/м) (см. рис. 14.53,6). В случае равномерной по ширине гра¬ ни» нагрузки эквивалентная погонная нагрузка опреде¬ ляется выражениямир% dk+p*+\dk+iPk d/?+p*+lrf*+l.(14.123)^Погонные нагрузки разлагаются по плоскостям гра¬ ней, образуя эквивалентную поверхностную нагрузку qt которая для &-й грани обозначается qk и подсчитывает¬ ся по формулеcos	cos+,Н'*-rfe+l sin уь Sin фл+1s,n 4k—i Направление сил Рk—i'р\ +Р\. (14.124)ksmи поверхностной на¬грузки qk, показанное на рис. 14.53,6, принято за поло¬ жительное (положительная поверхностная нагрузка на¬ правлена в сторону возрастания порядкового номера ребра).В качестве лишних неизвестных функций принимают¬ ся:а)	по направлению введенных продольных связей — относительные удлинения ребер складки *k (*}=*=иК (*), выраженные через напряжения е* = .Еб)	поперечные моменты М^(х) по всем ребрам, где введены цилиндрические шарниры.Так как в заданной складке по ребрам продольных связей нет и взаимное соединение граней жесткое, то из условия равновесия и неразрывности деформаций по каждому из ребер при преобразовании основной систе¬ мы в фактическую получается система дифференциаль¬ ных уравнений смешанного метода [2—4 и 6] i=k+1 1 = 6 + 22	tki (*) + 2 bM Mi(x)+Rk(x)=0;/=&—1 i — k—2 i=k+2 i=k+l I] - aki°i(x)-f- 2 §ki M] (x)+e'k 00=0. i= k—2 —1Эта система уравнений состоит из двух групп. Пер¬ вая группа числом п-\-1 представляет собой уравнения равновесия, вторая группа числом п—3 — уравнения неразрывности деформаций.(14.125)
726РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИТаблица 14.16Формулы для вычисления коэффициентов восьмичленных уравненийКоэффициенты 1-го квадранта .Коэффициенты 2-го квадрантаiTk,k-i — 6 F^< rk.k= ~ (Fk+Fk+1) + AFk< r --F'A.A+l — g fk+l1bk,k 2 dk_ldk sin ’1 / Фг dk \ bk,k-\-~ ^ ^Ctg?i_1+Ctg<pA+ + ^+lSinfA j’- akdk+lsin,k ^»*.*+!“- -2 fctgy,+Ctg?fe+1 + - . -A+1 )dk+1 \ dk sm<?k ^+25inTfe+i/1, bk.k+2 dk+l dk+2 sin Cf>£+1Коэффициенты 3-го квадрантаКоэффициенты 4-го квадрантаak—2tk = bk k__2> ak—\,k = —bktk—v ak,k “ ~ bk,k* ak+\,k “ “ bk,k+l> ak+2,k — bk,k+2я dk •‘-*-1 = 6lk ’i м **+i V з (/,+/,„)•dk+\A.A+l 6,6+1Первая группа уравнений в каждой промежуточной (типовой) строке содержит три члена относительно функ¬ ций °i(x) и пять членов относительно функций Mi (х); во второй группе имеет место обратная картина, но все¬ го имеется также восемь членов, поэтому эти уравне¬ ния носят название «восьмичленных».Общие формулы для вычисления коэффициентов восьмичленных уравнений (14.125) приведены в табл. 14.16.Свободные члены определяются формуламиRk(x)=qk+\dkek (x) =Sk(x)hdkCk +uk+i Qk+i w/ d Ck+1'* lk+\ab + l(x) =Ik dk' ck +(*)lk+\dk+\uk+\-(14.126)Здесь qk(x) и Qk+i(x) поверхностная нагрузка, опре¬ деляемая формулами (14.123) и (14.124); Qk и S^+1 — площади эпюр моментов, построенных по ширине гра¬ ней k и k+1, как в однопролетных балках от попереч¬ ных нормальных нагрузок — р^ и pk+\^\ ск и с k+i~~ расстояния от центров тяжести площадей эпюр момен¬ тов соответственно до ребер k—1 и 6+1.Формулы (14.126) составлены для случая, когда схе¬ ма этих нагрузок по длине сохраняется постоянной.Если нормальные нагрузки и	в пределахширины граней сохраняют постоянное значение, тоРь (•*) + I Pk+-i,v (*)];(14.127)Свободные члены &k учитывают местный изгиб гра¬ ней от поперечной нагрузки р. Эти члены следует вво¬ дить в расчет лишь для конструкции, которая действи¬ тельно является складкой. Для цилиндрических обо¬ лочек эти свободные члены приравниваются нулю.Из равновесия поперечной полоски dx вытекают сле¬ дующие проверки коэффициентов и свободных членов уравнений:i=k+2 k=i+2 ^ Я/£==““ bki == О» i-k—2 k = i—2k = n +1ft=0(14.128)
14.5 СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ72714.5.4.	Решение уравнений смешанного метода расчетаРешение дифференциальных уравнений (14.125)^ при произвольных граничных условиях на криволинейных краях оболочки можно получить с любой степенью точ¬ ности, разложив усилия и перемещения, а также сво¬ бодные члены для k-ro ребра в ряды по фундамен¬ тальным функциям свободных колебаний балки:Мк (х) = Цм0^ Zm (х); uk(x) = Е U\m Z'jx);т	гпЛх) = 2	S. (х) = 2 S°km Zm W"k\*i — ukm	'm(m = 1, 2,(14.129)•oo);c°km и S?km — коэффициенты разложений для k-го ребра.Rk (х) = 2 Rkm Zm (ХУ*®k(x) == 2 ^'km Zm (x)frne; (x) =£ ekmz"m(x).(14.130)Rkm zJ Rk (x) Zm (x) dx_0		 thJ zh (x)dxj Ok(x) Zm (x)dx7	*J Z2m(x)dx(14.131)Функция Zm удовлетворяет дифференциальному уравнениюZm Кп^т(хУ* = ~~~ • (14.132)чВыражения для функций Zm и параметров рт для различных схем опирания оболочек по криволинейным краям приведены в табл 14.17.Значения фундаментальных функций и их производ¬ ных приведены в работах В. 3. Власова [61.Функции Zm (х) и Zn(x) взаимно ортогональны, по¬ этому для каждого члена ряда получается своя, неза¬ висимая система алгебраических уравнений:i=k+l i=k + 2К, S *ki a°im + S Ьы M°im + /?fem=0; i—k—1 i—k—2i= k+2 j=k+1atualn+ S 0wA*°im+в*т = °- i-k—2 i=k—l(14.133)Коэффициенты уравнений (14.133) имеют симмет¬ ричную структуру:rki=*rik\ bki = — Qik> Qki = ti(k- (14.134)Решение такой системы проще всего выполнить алго¬ ритмом Гаусса (см. 6.1 и [29]).Если нагрузка по длине постоянна [р (дс) =const] или меняется но закону прямой [p(x)=pQx\ то формулы (14.131) принимают видRkm — Rk Ат\ ®km = Am• (14.135)Значения Rk и в* определяются формулами (14.126) и постоянны в случае постоянной нагрузки или равны максимальным их значениям при линейном изменении на¬ грузки. Для указанных двух случаев нагрузки коэффи¬ циенты Ат для первых четырех членов разложения при¬ ведены в табл. 14.18.Если нагрузка меняется по уравнению р=рото коэффициенты Ат определяются как разности коэф¬ фициентов для приведенных в табл. 14.18 нагрузок.Для свободно опертых однопролетных оболочек (см. табл. 14.17, схема 1) фундаментальные функции сов¬ падают с тригонометрическими, которые удовлетворяют также уравнениюzm( X)Zm W-(14.136)Для такой оболочки функции а* (л:) и Mk (х) можно представить ье только в форме (14.129), но и в следую¬ щем виде:/71 = оо °k (х) = £т-1 т = ооkm S*n —;чSW,V ,	тъх.(*)= Ьт = 1(14.137)В аналогичные ряды разлагаются свободные члены. После подстановки этих разложений в уравнения (14.125) получается система алгебраических уравнений видаi=k+1i=k+2t=k—2(14.138)i=k—1 i=k-2 i=k+2 /=£+12 -L- (=)“ £ «.* ~	i—k—I4 (mn Y л	(— =0.rmt \ lY JПри равномерно распределенной нагрузке в уравне¬ ниях (14.138) т= 1, 3, 5,.. Эги уравнения по форме не¬ сколько отличаются от уравнений (14.133), однако окон¬ чательные значения усилий с учетом формул (14.137)) в обоих случаях одинаковы.После решения уравнений (14.133) напряжения Ck(x) и моменты Mk (x) в произвольном сечении по длине оболочки определяются по формулам (14.129).
728РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИТаблица 14.17Выражения для функций Zm и параметров fxmРазличные случаи гранич¬ ных условий на торцахГраничные условияФундаментальная функцияКоэффициентaХарактеристи¬ ческое уравнениеОбщая формулапри л-=0при x=l J1 $3, "3.о = 0 М = 00 = 0 М = 0sin fxC—sin [X = 0mu2 8	II IIО О^ й II IIО Оsin fxC — sh fxC —— a (cos (xC — ch |x£)sin fx — sh [x cos ^ — ch ^xcos jx ch (x = 12 m -f 1 2 153 А ,II IIО оо оii II * 5sin fxC — sh fxC — — a (cos fxC — ch fxC)sin fx -f- ch [lcos fx ch fx=—12 m — 1% 'cos {x ch fx■ TZ24 о	1?0=0 М = 0и = 0 М = 0sin fiC — ash fiCsin [ltg к- = th jx4 m + 1иsh ^x1C4Таблица 14.18Коэффициенты разложения нагрузки в ряд по фундаментальным функциямРодРод закрепленияAiдмАнагрузкикрай х = 0 1край х—1 jОперт || Оперт1,273200,42440ПостояннаяЗащемлен| Защемлен0,81(40| 0,3639 I1 01| Свободен0,57480.4419 || 0,2542 II 0,1819ОпертЗащемлен1,216в|-0,11690.4729-0,06198Возраста-uiia п П оо.Оперт| ОпертО.бЗбб]— 0,31830,2122 |—0,1591ПИс 11U «3dкону тре¬ угольникаXЗащемлен |Защемлен0,4082|-0,19020,1818 ||-0,1215| Свободен0.417fc|1 0,09245|0,03239| 0,0165-:Р=~гОперт |Защемлен0.5377)—0.3431| 0,2499-0,1958Сдвигающие силы в какой-либо точке k-то ребра для каждого члена ряда подсчитываются по формуле (ин¬ декс т опущен)и , и fe-l+aAZm(x). (14.139)Здесь 5^_j(jc) —сдвигающая сила по ребру k—1.Для оболочек, продольные края которых свободно ви¬ сящие или опираются на колонны, жесткостью которых на изгиб можно пренебречь, сдвигающие усилия по ребрам крайних граней равны нулю So(*)=0, поэтому подсчет касательных усилий по формуле (14.139) мож¬ но начинать с крайних ребер и последовательно пере¬ ходить от одного ребра к другому.Для оболочек, поперечное сечение которых имеет ось симметрии, при расчете на симметричную нагрузку сдвигающие усилия по оси симметрии равны нулю. Для таких оболочек подсчет сдвигающих усилий по формуле(14.139)	можно начинать от оси симметрии сечения.Суммарные сдвигающие усилия Тk(x) по k-й гра¬ ни, равные площади эпюры 5 по ширине этой грани (см. рис. 14.54,6), для каждого члена ряда вычисляются по формулеh dtTk(*)=Sk_x (x)dk + -f - (2a*_1+s° )Z'"(x). (14.140)Прогибы k-ft грани (Vk) в своей плоскости для каж¬ дого члена ряда определяются по формуле(14.141)Поперечные силы Qk от поперечных моментов Мь на участке &-й грани вычисляются по формуле (см. рис. 14.56):Qk = •dk(14.142)К этим значениям Qk для призматических складок добавляются значения поперечных сил от местной на¬ грузки.Нормальные усилия Nk, k—l H^fe,fe+i поперечного на¬ правления (см. рис. 14.57) у ребер складки определяют¬ ся из равновесия узлов поперечной полоски шириной dx=\, как в простой раме, по формулам1(Qk+i—Qk cos ?*-Sin If*-p\cos Ф*+1- ptsin +*4i);Nk.k+1 — • Qk + *?* + ! C0S fk ~Ml.-	^cos^-P^sin^).(14.143)
14.5. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ729Если на оболочку действуют сосредоточенные силы, приложенные в сечениях х=ас (с=1, 2,...), то форму» лы (14.131) преобразуются к виду2	Rk (&с) (&с) ^ Pk (&c) Z>m (&c) с	сPkrn shjZ2Jx)dxB„S	в* (ac) zm (ac)eAm=Bn(14.144)при этом [6]-	T К - 2z'm 2’т + {Z т )2] ,=ч> (14.145)Коэффициенты Вт для различных схем граничных условий приведены в табл. 14.19.Таблииа 14.19 Коэффициенты Вт по формуле (14.145)Схема граничных условий на торцахВг0,500 /,0,4996 Zj1,8555 1г0,500 I,0,500 1Х0,9984 /j0,49990,4999 /j0,96400,50021,0061 г1При расчете оболочек, нагруженных сосредоточенны¬ ми или неравномерно распределенными по длине на¬ грузками, напряжения следует определять с точ¬ ностью четырех — пяти первых членов ряда в разложе¬ ниях (14.129) и (14.130). Если оболочка и нагрузка по длине имеют ось симметрии, то расчет следует произво¬ дить с точностью трех членов ряда.При отсутствии поперечных ребер для определения поперечных моментов Mk достаточно ограничиться од¬ ним, максимум двумя членами ряда [161. Поэтому при¬ ближенно полную систему уравнений (14.133) можно решать только для первого члена ряда. Для определе¬ ния напряжений <J£m, соответствующих последующим членам ряда (т>1), можно решать укороченную си¬ стему уравнений (полагая Mkm — 0 при т> 1) i=ft+iV! г „0 , Rkm_ о > rkl im “г 4 “	тi-k—1(14.146)При наличии поперечных ребер уравнениями (14.146) можно пользоваться при т>3. Если нагрузка равномер¬ но распределена по длине оболочки, то достаточно огра¬ ничиться первым членом ряда. При этом характеризменения напряжений и поперечных моментов по длине оболочки, определяемый формулами (14.129) при т=\, практически будет совпадать с характером изменения: напряжений <*ь(х)—по эпюре моментов, а моментов Mk (х) — по эпюре прогибов в балке того же пролета, с той же схемой опор и нагрузки, что и у оболочки.Благодаря этому расчет неразрезных оболочек на равномерно распределенную нагрузку приближенно можно производить только для крайнего пролета (рис. 14.59,а), рассматриваемого по однопролетной шарнирно опертой схеме. За расчетную длину пролета /р следуета)ПО 1-1МУШП ГП £ П ГГ П I Н I N ТТТТТТпринимать расстояние между нулевыми точками в соот¬ ветствующем крайнем пролете неразрезной балки, име¬ ющей ту же схему опор, пролетов и нагрузки, что и оболочка (рис. 14.59,6).После вычисления напряжений, моментов и прогибов в расчетном пролете оболочки характер изменения на¬ пряжений °k(x) по длине оболочки (соотношение ор¬ динат) можно принять по эпюре изгибающих моментов, а моментов М*(*г| и прогибов vt,(x) — по эпюре проги¬ бов в соответствующей неразрезной балке.Сдвигающие усилия (х) и суммарные сдвигающие усилия Тk(x) в произвольном сечении оболочки можно подсчитать по формулам (14.139), (14.140), но функцию Z'"{x) в этих формулах следует заменить выражением _*2	Q6(x)— 2 * ~м~{ Г* в котором Мб (*,)—значениеордина-р '*1/ты эпюры моментов в балке той же схемы, что и у обо¬ лочки, в середине рясчетнсго пролета /р (рис. 14.59) от равномерно распределенной нагрузки р= 1; Qc — зна¬ чение ординаты эпюры поперечных сил в произвольном сечении балки от нагрузки р=1.Поперечные силы Qk и нормальные силы N& вычис¬ ляются по формулам (14.142) и (14.143).По этой методике можно рассчитывать также одно¬ пролетные не «шарнирно опертые» по торцам оболочки на равномерно распределенную нагрузку. После выпол¬ нения расчета следует произвести статические проверки:а)	для оболочек, у которых продольные края не за¬ креплены от продольных перемещений, площадь растя¬ нутой части эпюры продольных напряжений X долж¬ на быть равна площади D сжатой части этой эпюрыX = D;	(14.147)б)	проекция суммарных сил Tk в опорных сечениях оболочки на вертикальную ось должна быть равна пол¬ ной вертикальней нагрузке Р:k-Tl2 Г* sin	(14.148)6 = 1Примеры расчета оболочек с помощью восьмичлен¬ ных уравнений можно найти в [4 и 6], результаты экс¬ периментальных исследований сводов-оболочек — в [1, 22, 33 и 34].
730РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ14.5.5.	Таблицы восьмичленных алгебраических уравнений и их коэффициентов для некоторых типов одноволновых складок и оболочекВ табл. 14.20а и 14.206 приведены в матричной форме алгебраические уравнения (14.133) для расчета четы¬ рехгранной склгдки, поперечное сечение которой изоб-и Pq , приложенных на продольных краях складки. Эти силы в основной системе смешанного метода, когда по ребру 1 сохраняется жесткое сопряжение граней (рис. 14.61,а), можно заменить эквивалентными силами и моментами, приложенными по ребрам 1 и 2. Разло¬ жив их по плоскостям первых трех граней складки,по¬ лучим дополнительные поверхностные нагрузки q\\ q2 и qz (рис. 14.61,6) (при этом момент tn представляется вражено на рис. 14 60,а. Уравнения табл. 14.20а относят¬ ся к случаю симметричной нагрузки, а уравнения табл. 14.206 — к случаю кососимметричной нагрузки. Не ука¬ занные в этих таблицах, как и в последующей табл. 14.22, побочные коэффициенты, относящиеся к нижней левой половине матрицы, отмечены жирными точками и опреде¬ ляются из условия симметрии на основании равенств (14.134). Для получения какого-либо уравнения нужно коэффициенты одной строки умножить на неизвестные, выписанные над ними в верхней строке матрицы, приба¬ вить свободный член этой строки и результат прирав¬ нять нулю.В выражениях свободных членов этих уравнений до¬ полнительно учтено влияние внешних погонных сил Pqвиде пары сил, действующих вдоль ребер 1 и 2). Кро¬ ме того, силы Pq и Pq вызовут в основной системе до¬ полнительный угол поворота по ребру 2.Выражения дополнительной поверхностной нагрузки и угла поворота будут одинаковыми для складок с лю¬ бым числом граней. При	Pq—® указанные допол¬ нительные члены исчезают. Для четырехгранной складки с симметричным поперечным сечением <7з=0.В выражениях для коэффициентов rki, помимо пло¬ щадей поперечных сечений пластинок, в целях обобще¬ ния учтены также сосредоточенные площади А/7* в уз¬ лах поперечного контура. Они представляют собой попе¬ речные сечения возможных дополнительных продольныхТ а б л и и а 14.20аСистема уравнений для расчета четырехгранной складки. Случай симметричной нагрузки№ребра0 0 с0 1 °1(4М2 1Свобод¬ ные члены0( 3Тр&01dx d2 sin ср,Rom1•[y(^+F2)+^l]CТ'Л1— -r(ctg<pl+ctg«p2)+ d\1 I 1 + . . ( . + rfj a2 \ si n+ * )1«2 S1P ?2 /.Rim20•-r(ctg<f,+ctg<M-d\\+ )sin cp2 IR%m2•••1 d2 3 * /2®2 m
14.5. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ731Т а б л и ц а 14.206Уравнения для расчета четырехгранной складки. Случай кососимметричной нагрузки№ребра■вАСвободные члены0T* + *F.11>* Rom ш1•-j (fi+F2)+^~^RlmтВыражения свободных членов для схем нагрузок, указанных в табл. 14.181_ /CQS'b рв + Sin 4-2 „Г dx \sinif, 1 sin?!а) К табл. 14.20а.	-j-1Р‘, + -:^PrA- Ат"Л--.л.--^4т (—р;Ldi \ sin?iSin срхd2 Vsincp! 1 2sin^2 sin) 1+lncpj / J+ A, (j- - f- \ _ л. [-J- (c-^p; - -3- + )'\di d2 J	\_d2 Vsin^	2sin^2 sin ^ /Г (7plv +8p2v)4]®2m—Am	360/2	\+A^’ (Plv<P2v)6)	К табл. 14.206. Rom=Am^- (S2iis.pJ + il^pr \ д\sm <px	sin /	dir_L / cos ф2/1В Ldi \ sin (ft 1d2Rim=: — An+ ihiiP{ +J_ 2Ms_P. 'sin<p, / d2 xsin^j 2cos 4^2 sin'cp! 1ctg ++ctg*± Ш]+1^}; ^=~ 1 {pa°cos h+pr°sin ^: ®2 =~ (p°B cos ^i+n sin ^ w?-’Примечание. Коэффициенты ®2m приведены для случая, когда нормальная поперечная нагрузка по ширине граней изменяется по трапеции. Коэффициенты Ат—см. табл. 14.18.р - 1 выражении для q2 знак плюс перед членом — относится к случаю симметричной нагрузки, а знак минус — к случаю кососим¬ метричной нагрузки. Для складок с большим числом граней этот член отбрасывается.элементов, работающих только на растяжение (сжатие), например, за счет местных продольных утолщений или за счет учета приведенной площади сечения арматуры и т. п. Уравнения табл. 14.20а могут быть также использованы для расчета конструкций типа бункеров (рис. 14.60,6); в этом случае углы <pi, <р2 и ф2 следует во всех уравнениях и свободных членах принимать отри¬ цательными.Если складка продольными краями опирается на гибкие колонны числом более двух или свободно опи¬ рается на продольные стены (рис. 14.60,в) (может сво¬ бодно скользить вдоль стены и поворачиваться в попе¬ речном направлении), то плоскость стены условно рас¬ сматривается как крайняя грань складки. В этом слу¬ чае следует в формулах коэффициентов принять d\=^ = 00; Fi=0, поскольку эта грань не может прогибаться в своей плоскости и не сопротивляется растяжению (сжатию) в продольном направлении.В табл. 14.21 приведена в матричной форме система алгебраических уравнений для симметричной девяти¬ гранной оболочки, схема поперечного сечения которой по¬ казана на рис. 14.62,
732РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИИз общих выражений коэффициентов и свободных членов для указанной оболочки получаются различные случаи для частных схем, приведенных на рис. 14.63.Т а б л и ц а 14.21Система уравнений для расчета симметричной девятигранной оболочки№ребра4•80c3•sдуО Af 2JW°wO4Свобод¬ныечлены0rr00 mr01 Kn000^0200RomJ'lO Xmrn >4-12 >400£>12130Rim20r X4 21 Kmr22'230622^23624R%m300r32r33 Knг34b’12&33^34Rzm4000r )4 43 VГ44 Knb 42^43644Rim2a2 оa2ia22a23°24022^2309 2m30#31a32агзa2i^31'^3.3^34B3m400a\2a43a44 |0®43O44®4mРис. 14.631	Fгц = — (Fi+F2)+AFi; ги=г21 =0	о1	л „	^г22 = 0 (F2+Fz)+hF2; /■2з=/’з2= ^ ;1	Л	^4г гг = ^ (F з~\~ F £)-\- &F$\ Г34=Г43= ^ \ '44 = Y(2/?4 + 3F5) + AiV’/-44= Tl2F* + F,J + bFA.Выражения коэффициентов уравнений табл. 14.21 одноьолновой оболочки, Коэффициенты 1-го квадрантаF	Fг оо = + &F0] г0 1 = гХщ — —;Коэффициенты 2-го и 3-го квадрантов1Ь<)2 — Д20dxd2 sinbl2 = 	 Д21 = — 9 ('dl \ctg «Pi+ctg ср2 +++ 'd\ sin cpi	sin■>
14.5. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ733bi3——^31 —'1d2 d3 sin cp2b22=—a22= — (ctg cpx + ctg cp2) +2 1+ w7 		+ ~T <ctS+ ctgcp3);^2 d3 sin <p2 ^-it^23 — — #32 — Ьз2 — — Д2з —*ctg <p2+ctg <p3 ++ ’d3 \ i4 sin cp3 )’Ь% 4 = — #42 = Ь *2 = — #24 = '11Ьзз = — #33 = "V (ctg cp2+ctg <p3) +1d3 dk sin cp3 2d3 dt sin <p3+ -T(ctg<f3+ctg<f4);^34 ’ #43—^43= — #34=—1 0 (ctg срз+Ctg cp4 +,2 у4 '&44 =—#44="V(ctg «рз+ctg ?*);d3 sin cp3 ,t/34 — — ^43 — £43 — — #.44 —’34 ■1 / rf4 = - -7 ctg «Рз+ctg n + " ~72d*	\in <P4 /d\ \rf3sintp3 rf5sin1&44= — /144= — (Ctg <p3 + Ctg <p4) +Коэффициенты 4-го квадранта_1_d36 ■V1d\_y6/4Свободные члены (для схем по табл. 14.18)р __££1!Ъ_рв л iL. dlSin?i Pt -Лт .Rim—	Г~ ; ( cos ф2 + “T" COS фх^Р? —L diSin*! V	rf2 jC0S'b рв I I Д (jL_h).йгв\пъ f2 J +	d,/»Я2т=Лт Г - С01^>- рв _ ... 1	/cos4<3+L^gSincp,	rf2Sin<p2\d3 )	^3sincp3 Jd3sincp3+Am - It)Г .cos ф2 pB	1 /Кзт—лт ,	* 2 — .	MLfl3Sin<p2	a3 Sin cp3 \1+ AЯ.d3 sin <p2 -|j- cos Фз) P“ + dtJnu P\COS фз	C0S Ф|COS ф4 ■Яг d3-An—nm 1 ,V dx-P3r3Mm 'sincp3 J dx sincp4C0Sh pBr3-Л M~ — (cos ^ + 4*cos ^)р“ 1; d4sin<p4 \	db J * J®2m—Am (®2“b ^2)1 ®3m—Am ®зт,‘ ®4m=^m ®im •Коэффициенты и свободные члены со звездочками от¬ носятся к случаю обратно симметричной нагрузки.в2, 03 и 04 вычисляются по формулам (14.127)j для цилиндрической оболочки они равны нулю и Ь2 также _равно нулю.Яи Яъ <7з и В2 — см. табл. 14.20а и 14.206; при P'o=P-q =0 они равны нулю.а)	Для цилиндрической оболочки (рис. 14.63,а) кру¬ гового очертания постоянной толщины в выражении ко¬ эффициентов уравнений табл. 14.21 следует положить;F 2 == Fз = F 4 = F 5 = td;Д77о=Д/71=Д/г2=Д/7з=Д/74=0;1	ср?2=сРз=Т4=т; ctg ср + —	= ctg — .sin ср	2б)	Если бортовой элемент направлен горизонтально (рис. 14.63,6), тоcp!<0; sinср1=—sin <рх; ctg <?!=—ctg срх.в)	Если бортовой элемент направлен вверх (рис. 14.63,в), то*i = - (90° + Ыsin срх = — sin (90°+ф2) = — cos ф2;Ctg cpi = — ctg(90°+(|/2)=tg ^2.г)	Выражения коэффициентов к табл. 14.21 пригод¬ ны для расчета оболочки некругового очертания (рис. 14.63,г), при этом в табл. 14.21 следует учесть свободные члены . Для изображенного сечения угол <Рз отрицателен.д)	Для ребристой оболочки при числе ребер больше двух—трех можно момент инерции в коэффициентах §kiвычислять по формуле /= —; где /р—момент инерцииатаврового сечения, образованного из сечения ребра и продольного сечения плиты шириной а, равной шагу ребер.е)-	Для оболочки, свободно опирающейся по продоль¬ ным краям на стсны или гибкие колонны (рис. 14.63,д) числом более двух—трех, можно плоскость стены рас¬ сматривать как первую грань, положив Д^о == 0; Fi=0; dj=00.
734РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИВ результате из общей системы уравнений табл. 14.21выпадут уравнение ребра «О» и столбец а© » то=0.ж)	продольные края оболочки закреплены от го¬ ризонтальных перемещений (рис. 14.63,е), например, средняя волна многоволновой оболочки при расчете на1гособые виды нагрузок или при — <1. Плоскость распо-hложения горизонтальных связей можно рассматривать как первую горизонтальную грань и в табл. 14.21 при¬ нять&F0=F1=0; rfi= оо; <^<0; sin ср1==—sin Ctg <?! = — Ctg?!.жения в точке 4 (рис. 14.64,б), обозначенное через £54, равнор 	 tfe+^4 sin Ф454	sin ф4В уравнениях табл. 14.21 коэффициенты г33, г34 и /44равныГ 33 :Fs 4- F 4г31=г43= g + g (2553 ^54+553);+Д^4+ ^-(654+654+0 •Площадь сечения на участке пятой грани с отвер¬ стием для фонаря F5=0.После определения напряжений с3 и с4 из решения уравнений табл. 14.21 определяется напряжение а5 в точке 5:«5=6» «3+654 «4-	<14*149)В табл. 14.22 приведены уравнения, относящиеся к пятигранной несимметричной оболочке (рис. 14.65,а). Эти уравнения могут быть использованы, например, для следующих случаев:а)	для расчета цилиндрической круговой оболочки шедового покрытия постоянной толщины (рис. 14.65,6), при этомF2=F3=Ft=F; d2=d3=dA=d) /2=/3=/4=/; <р1=-(90°+ф2);з)	Оболочка ослаблена вверху фо¬ нарным отверстием шириной d5 (рис. 14.63,э/е); фонарная клетка имеет распорки (числом более двух— трех, работающих на сжатие и изгиб) и продольные окаймляющие элемен¬ ты сечением AF5, воспринимающие только осевые силы. В выражениях коэффициентов гы и вы следует по¬ ложитьF,=0; /5 = ^Ч йргде/р—момент инерции распорки; а р— шаг распорок.и)	Оболочка вдоль фонарного от¬ верстия усилена бортовыми балками (рис. 14.63,з). На основании гипо¬ тезы плоских сечений для отдельной грани поперечные сечения пучка трех граней, пересекающихся по ребру 4, также остаются плоскими. При рас¬ чете на симметричную нагрузку на¬ пряжение в точке 5, обозначенное че¬ рез £53 и возникающее при единич¬ ном значении напряжения в точке 3 (рис. 14.64,а) и нулевых значениях в остальных точках, равнои653 = —tf4 sin ф4Напряжение в точке «5, возникаю¬ щее при единичном значении напря-Рис. 14.65
14.5. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ~~	735
736РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИб)	для расчета складки типа конструкции балкона зрительного зала (рис. 14.65,б), при этом<Pi=—-90°; <р2<0; ^5=0*. ^5=°°‘.в)	для расчета крайней волны многоволновой склад¬ ки, опирающейся на стену покрытия (рис. 14.65,г), при этом/71=/75=0; rfi=rf5=oo; ср4<0;г)	для расчета оболочки, сечение которой изображе¬ но на рис. 14.65,с?. Эта оболочка может быть принята в качестве основной системы для расчета оболочки с фонарем при наличии в фонарном отверстии только од¬ ной или двух распорок, воспринимающих только осевые силы.Выбросив распорки и заменив их неизвестными си¬ лами N р, можно по уравнениям табл. 14.22 рассчитать половину оболочки отдельно на внешнюю нагрузку и на сосредоточенную силу Np=\. После расчета величина усилия в распорке определяется по формулел+д(14.150)Здесь Ор — горизонтальное перемещение оболочки в месте примыкания распорки (например, в середине про¬ лета при одной распорке) от внешней нагрузки; ajy —то же. от силы iVp=1; Ддг = Р ~ — укорочение рас-2прГрпорки на половине ее длины от силы /Ур=1.Горизонтальные прогибы определяются через проги¬ бы Vi и у5 — четвертой и пятой граней по формуле (рис. 14.65, е)«г=04 COS 4'1+(l>5+t>4 sin ф«) tg<|»«.Прогибы граней vA и v5 определяются по формуле(14.141). Для определения этих прогибов можно огра¬ ничиться расчетом оболочки с точностью одного первого члена ряда на любой вид нагрузки.Аналогично можно произвести расчет оболочки, опи¬ рающейся продольными краями только на одну или две колонны в пролете.Выражения свободных членов уравнений табл. 14.22:Rbm—A-ncos ф2d\ sin ?iCOS фяd2 sin <p2n=Am j^‘cos ^ d2 sinP?-I-i+% cos*2)p\ +rt“Amcos'W _d3 sin <p2PB3 +sin ?3рв 	*3d2 sin <p2 cos ф4 d3 sin ф31d3 sin «рз cos ф5 ^4 sin tp4 1dA sin <p4|cos + ];|cos +p4 ]:cos ф5 ++ % cos4/«)p® ];COS ф4R-ьт—Adb sin <p4^2m—Am 02; в3m—Am ^з •Примечание. Для подсчета свободных членов от горизон¬ тальной нагрузки в формулах вместо ^ и cos следует под¬ ставить Рг^ и sin 0а, в3 определяются формулой (14.127).14.5.6.	Расчет цилиндрических оболочек и складок средней длины методом перемещений (вариационный метод)Оболочка заменяется, как и прежде, складчатой си¬ стемой. За неизвестные принимаются функции переме¬ щений.Продольные перемещения и (х, s), тангенциальные перемещения (по касательной к контуру) v (х, 5) и пе¬ ремещения по нормали w (х, s) любой точки срединной поверхности складки представляются в виде конечных рядов:i-nи(х, S) = 2 Ui (x)Zi(s);i-0 i=rtV(x, S)= 2 Vi(x)t[i(s)\ 1=0 i=nW(x, S)= 2iVi(x)fi(s).i=0(14.151)Каждый член ряда образован из произведения двух функций, одна зависит от продольной координаты х%вторая — от поперечной (тангенциальной) координаты $ (рис. 14.66).Функции Vi (х) характеризуют изменение продольных перемещений точек по ребрам складки. Функции Vi (*) характеризуют изгиб граней складки по длине в своих плоскостях, а также закручивание их. Эти функции яв¬ ляются обобщенными неизвестными функциями пере¬ мещений, подлежащими определению.На основании принятых гипотез об отсутствии де¬ формаций сдвига и поперечного сжатия эти функции связаны между собой зависимостью, как для обычной балки:Ui(x)=—V’i(x).	(14.152)
14.5. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ737Поэтому для расчета достаточно определить или функции Ui(x), или Vi(x).Функции £/(s), i\i (s) и ft(s) характеризуют соот¬ ветственно изменение продольных и поперечных (тан¬ генциальных и нормальных) перемещений точек вдоль контура поперечного сечения оболочки. Число членов и функций в разложениях (14.151) определяется приняты¬ ми гипотезами и равно числу ребер складки n-f 1 (вклю¬ чая продольные края). Функции Tu(s)=£t* (s) по ширине граней складки сохраняют постоянное значение, а функции £/ (s) изменяются линейно (рис. 14.66), по¬ скольку для отдельной грани справедлива гипотеза плос¬ ких сечений.Так как поперечный контур оболочки рассматривает¬ ся нерастяжимым, то вид и значения ординат эпюры fl(s) определяются видом и значениями ординат эпюры ty(s)= (s), а следовательно, и эпюры £/ (5) и ус¬ танавливаются из рассмотрения геометрии контура се¬ чения оболочки в деформированном состоянии.Напряжения о (jt, s) и поперечные моменты М (х, s) на основании закона Гука и принятых гипотез выра¬ жаются через перемещения по формуламО = Е Е и\ (X) Us)	Е £ v't (х) 6 (*);I	г	IM^-lVi(x) Mi (s) (/=0,1(14.153)Функции Mi (s} характеризуют изменение попереч¬ ных моментов вдоль контура поперечного сечения обо¬ лочки и определяются эпюрами ft (s) и £;(s).Для определения неизвестных функций Ui (л:) или Vi (х) выделяете* по длине оболочки элементарная по¬ перечная полоска шириной dx (рис. 14.66) и составляют¬ ся уразнения работы всех сил, действующих на эту по¬ лоску на возможных ее перемещениях, за которые вы¬ бираются функции £/ (s) ; *]/ (s) и соответствующие им функции fi (s).После ряда преобразований получается система диф¬ ференциальных уравнений равновесия, имеющая следу¬ ющий вид1:2	Егпу,п (x)+YiEs,lV t(x) - qj{x) ^0 (14.154) (М=0,1	л).1 Вывод этих уравнений (с учетом продольных и крутящих мо¬ ментов) и формул для коэффициентов дан И. Е. Милейковским [21) (здесь изменены некоторые обозначения). В основу вывода был по¬ ложен вариационный метод В. 3. Власова [6].Система уравнений для расчета симметричнойКоэффициенты этих уравнений вычисляются взаим¬ ным интегрированием единичных эпюр продольных и по¬ перечных перемещений по всей длине с контура попе¬ речного сечения оболочки или складки. Формулы для коэффициентов и свободных членов имеют видсTji = J 5/ (s) £/ (s) dF; тц = r*y;ос= -jr j/) (s) Mt (s) ds; s/i = SifiSjlСЯ] = J [P., Ч,- (s) + P, f, (s)] ds.(14.155)(14.156)Решение уравнений равновесия для оболочек сред¬ ней длины выполняется с помощью разложения переме¬ щений Vi(x) и свободных членов qf (х) в ряд по фун¬ даментальным функциям колебаний балки:ТП— оо	171— ооVi(x)= 2 V°imZm(xy, qf (х) = 2 qjmZm(x). (14.157)m = 1	m — 1При расчете на равномерно распределенную нагрузку qjm ~ qj А-m.	(14.158)Коэффициенты Am приведены в табл. 14.18.При расчете на сосредоточенную нагрузку, прило¬ женную в сечениях х=ас:%Ч/(ас) Zm(ac) qjm ==« D	•£>mКоэффициенты Bm приведены в табл. 14.19.Все указания, приведенные в 14.5.4 относительно чис¬ ла членов ряда, которые необходимо учитывать при расчете на равномерно распределенную и сосредоточен¬ ную нагрузки и при расчете неразрезных оболочек, со¬ храняютсяДифференциальные уравнения (14.154) преобразуют¬ ся в алгебраические. Для цилиндрической оболочки с сим¬ метричным поперечным сечением (рис. 14.63,а) эти урав¬ нения в форме матрицы приведены в табл. 14.23а для расчета на симметричную по сечению нагрузку и в табл. 14.236 для расчета на обратно симметричную на-Таблица 14.23а цилиндрической оболочки на симметричную нагрузку№ ураввеяиз«8V?Л*^4Свободные члены0roo АтroiГ05 } 4тг03 А,го*Хт01Ги>*г«Хтг13^т'мй~ —2г*оги Klг2* + s22Г23 “+" $23г24 S24~Чт —3г*о*тГггКпг32 tfn + S32гззКп S33'34 ^ + $344'«XГ42 Кп “Ь S42г43 + s«Г44 Кп + S441—jT47 Зак. 2098
738 —РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИТаблица 14.236Система уравнений для расчета симметричной цилиндрической оболочки на обратносимметричную нагрузку (свободные члены отнесены к левой части уравнений)jsg уравненияо оV?О соv°4Свободные члены0гоо + *оого 1*4гоъ^т~\~ s02г03''04 СУОт £1ГЮ Кп'11^Ггги^т1Ч1т ~ё~2Г20 tfn + S20'»К.г22 + s22Г23 + S23^24 Ь4т + $241'2/71 £3Гзо^тГ32^4т + S32Гзз "Ь 5ззГ34 ^ + S34ЧЪт ~~]Г4>•40 Кпг« Кп^42 + S42Г43 + S43Г44 + S441ЯАтп —грузку (индекс т при неизвестных параметрах опущен)* В табл. 14.23а параметры Uq и V\ характеризуют сжатие и изгиб в вертикальном направлении, а в табл-. 14.236 параметры Vq и Vj характеризуют изгиб в го¬ ризонтальной плоскости и закручивание оболочки как тонкостенной балки. Соответствующие единичные эпюрыпродольных перемещений 5/ (s) для складки, вписан¬ ной в цилиндрическую оболочку кругового сечения, при¬ ведены на рис. 14.67,а (симметричное состояние) и 14.68,а (обратносимметричное состояние). Остальные параметры V§; V73 и V® характеризуют деформацию поперечного контура оболочки и депланацию поперечных сечений; соответствующие единич¬ ные эпюры £/ (5) приведены на рис. 14.67,6 (симметричные состояния) и 14.68,6 (обратносимметричные со¬ стояния), а единичные эпюры М/ (s) — на рис. 14.69. Значения максимальных ординат эпюр c/(s) могут быть выбраны произвольными. Выбран¬ныезначенияординатэпюр	При симметричной нагрузкеПри обршпносинметричмой нагрушРис. 14.69
14.5. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ739Таблица 14.24аЗначения ординат эпюр £,(s) и Af,(s) и коэффициентов расчетных уравнений при симметричной нагрузке/о/^а1/51/61/7folh1/51/61/7^ОО = — ^30 — ^40	d'no = (Л + 3,5 F) d?wMWroi^1—rp* ++2,8794 Fd?Fx	“P* ++2,4732 Fd3--^j-P*++2,1625 FcPt и d—тол¬ щина и ши¬ рина грани ; оболочкиЕи000Е21-0,6070 d—0,5240 d—0,4593 dГт = Гоз = Гм - Fd2F = td;F\ — txdi',dxpe± d; Л и d, — толщина и высота бортовой оалкиЕ3!—1.0283 d—0,8834 d—0,7721 drllF-+2,8748 Frf»F1-L.pd* ++2,119 Fd?F.+ 1,618 Fd3—1.2441 d—1,0662 d—0,9305 dСо2 — — 8за — — 0; — dГ120,5761 Fd20,4966 Fd20,4348 Fda£03 — ^13 = ^23 —' ^43 — 0* ^33 — dГ130,9940 FcP0,8540 Fda0,7466 FcP^04 = ^1» — ^24 = ^34 ” ^ ’ ^44 ~ ^ru• 1,2081 Fd31,03580,9044 Fd?3,774 EIcih2c3,522 EIclh\3,381 EIc/h2cr.„ = Г33 = 2/3 Fd?"а46,049 EI/d254,089 EI/d962,248 EI/d2rae = r34 =l/6 Fd?\ r24 = 0-42,514 El Id*—50,219 EI/d1—57,983 EI/d'r44 = 5/6 Fd?*4,14,065 El/d?16,608 EI/d119,170 tl/d2s224,748 Iclh\ + + 1 931,589 //d34,135 IQlhl + + 2 67 8,146 //d33,810 IJhl + + 3 557Л65 I/d?Z31 = 12 ’Л'с = Г;Лс — высо¬ та стоек;Ъ — шаг стоек;1х — мо¬ мент инер¬ ции стойки"23—42,145 El Id?-49,920 EI/d2—57,713 El Id?А,зз58,639 El Id?6У.502 EI/d280,409 EI/d?532— 2 200,171 I/d?— 3 072,760 //d3— 4 098,645 //d3*«-28,153 EI/d2—33,372 El/dr—38,611 EI/d?S24922,717 Ijd31 289,378 //d31 720,382 IId*ми13,991 EI/d216,548 El/d-19,120 EI/d?S332 762,915 //d33 880,111 //d35 192,403 //^*ми-28,153 El Id3—33,372 EI/d2—38,611 EI/d2534— 1 252,874 //d3— 1 759,785 //d3— 2 355,212 lid*16,494 EI/d?19,982 EI/d222,678 EI/d?544599,529 I/d?842,654 I/d31 128,216 I{d?Для оболочек со свободно висящими продольными края¬ ми /с = 0dR0,15725 l2 0,7250 /20,15298 l2 0,83333 /20,15043 l2 0,94643 /2sin4>20,607030,523990,45931cos ф20,794720,851730,88828Обозначе¬ ние см. рис. 14.62sin ф3 0,421270,359450,31281COS Фд0,906940,933160,94982sin ф0,2157640,18281 d0,15841 dcos0,976450,983150,9873847*
740РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИТаблица 14.246Значения ординат эпюр £/(s) и M/(s) и коэффициентов расчетных уравнений при обратносимметричной нагрузкеии1/«1/61/7folia1/51/61/7ошIIJ—3,178—3,268d—3,325dr0010,0997 Fj cfa -f- + 12,7976 Fd?10,680 /ч<*г ++ 13,1178 Fd211,058 Ftd2 + + 13^4034 Fd2£to-2,383 d—2,416 d—2,437dFt d2(5,04988 + +4,6870) + +3,5161 Fd*F, d2(5.34 p +I A 1 1 o\ lFt d2(5,529(3 + +3,641)+ +2,732 Fd2£>80—1,476d—1,483 d—1,487 dr01+ t lit) -+- + 3,102 Fd2^40—0,500d—0,500d—0,500 d*022,3643Fd*2,4027 Fd22,4269 Fd2«•1— (3,1780 p H-— (3,268 p +— (3,325 p +гоз1,4645 Fd*1,4748 Fd21,4811 Fd2+ 1 4748)d+ 1,258)d“j- 1,095) dГ040,4960 Fd20,4972 Fd20,4979 Fd2бп—1,4748d—1,258 d—1,095dFi <*2(3,37 02 ++4,6901 p+ +2,1752)+ +1,2049 Fd1Ft d2(3 , 56 82+ +4,112 p ++ 1,583)+ +0.8747 Fd2Ft <*2(3,686 pa + +3,642 p ++ 1,199)+ +0,6618 Fd2F = W;^21—0,5342 d—0,454 d- 0,394dГЦFi= t\d\\^81—0,1078 d—0,091 d—0,079dV41000Г 210,6199 Fd20,5275 Fd20,4585 Fd2£o2 = ^12— £32 — £42 —01 £22 — — dГ310.1609 Fd20,1363/4*20,1185 Fd2С 	 t*»03 — Ь13= 623 = £43 = 0» £33 = — d^410,01797 Fd20,0151 Fd20,0132 Fd2^04 = ^14= 624 = £34 = 0; £44 = — dГ22 — 1■ 2 r« = —W2Ма1—3,00 Eljhl—3,00 El J ^—Z,00 Eljhl1r23 = г$4 = c Fd2; r I4 0= 0Mat3,774 £/c/ft*3,522 £lcfh%3,381 EIc/h2cru = -j-Fd>Moo46,735 El/d254,900 Elfd263,183 £//rfas003, CO IJ h\3,00 /c/ft33,00 /с/л|r *'M3z-45,258 El Id2—53,460 El Id2—61,723 El Id?S02-3,774lc/h\—3 522 /c/^—3.381 ljh\12’IMi,24,357 El Id228,760 EI/d*33,197 El/d2сл_4,478 ljh\4,135 /с/ ft®3,810 IJhl<<-?■м£3—44 875 El Id2—53/149 £7/d2—61,461 El/d2022+2 045,782/Id»+2837,381/d»+3 769,278 I/d»hc — вы¬ сотаMcs69,559 El Id282,418 El fd2 1| 95,331 El/d*$28—2 654,554 1/d*—3 707,368 1/d» |—4 944,906 //<*>стоек;^43—69,104 El Id2—81,S06£//d2-94,571 El Id*S242 368,818//d33 309.957 //da| 4 415,946 l/dib — шагГ*ТПР If*М2 424,229 El/d2| 28,657 El Id233,109 El/d2s334 313,078 //</з| 6 050,243 l/d»\ 8 090,604//d*LI UClVj1г — мо¬ мент^34—69,104 El Id2—81,806 El/d2—94,571 El/d^S34—4 963,042 //<£>|—6 959,475 9 304,403 //rf*Ми114,434 El/d2| 135,567 El/d2156,793 El Id*s446 928,460 //rf»| 9 719,98//d»| 12 998,865 //cPинерции 1 стойкиДля оболочек со свободно висящими продольными краями / = 0.
14.5. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ741Таблица 14.25а Перемещения узлов контура поперечной полоскипри симметричной нагрузке	V,%V,/ОЭ=/?0=/20=/30=/4В0=0/01=/п=/21=/зВ1=ЛВ1=1ОII-IIf<5?J227,8889,76411,600til-4,526—5,378-6,231ОII_ СО f/23—3,684—4,659-5,6.6/338,73010,48212,226/«-4,635-5.470—6,311/0В4=/?4=/|4=0Д.—4,204—5,104-5,9944»4,6355,4706,311fkl/5о=/1Го=/^о=/зо=/4Го=0/ш =/i 1 =/21 =/з1 =/41 ^ ^—1,258-1,174-1,127/224,7674,8334,874to—1-1-1й*АСОДIIО/23-2,814—2,865—2,899А*2,9532,9662,975/14—/24—/44“°/34-1,953—1,966—1,975(5) и зависящих от них эпюр М* (s) для расчета ци¬ линдрической оболочки кругового очертания на симмет¬ ричную по сечению нагрузку приведены в табл. 14.24а, а при расчете на обратно симметричную на1рузку — в табл. 14.246. В тех же таблицах приведены выражения для коэффициентов расчетных уравнений для некоторых соотношений стрелы подъема оболочки to к пролету волны /2.В табл. 14.24а и 14.246 коэффициент р принимается с плюсом, когда бортовые элементы направлены вниз (рис. 14.63,а), и с минусом, когда бортовые элементы направлены вверх (рис. 14 63,в).В табл. 14.25а и 14.256 приведены значения верти¬ кальных и горизонтальных перемещений f*Kl и fTKi узлов контура поперечной полоски, соответствующие эпюрам £/, показанным на рис. 14.67 и 14,68. В табл. 14.25в приведены значения единичных углов поворота концов поперечной полоски. Имея значения этих перемещений, можно произвести подсчет свободных членов qi (при i=* =/) уравнений (14.154) по формулеЯJ=lL{P\n^kfkj). (14.1Г9>кТаблица 14.256Перемещения узлов контура поперечной полоски при обратносимметпичной нагрузкеfB;ki1/5, 1/61/7011agII««sIIIIIIm 0S/Si—3,1781—3,2681—3,32541fn—3,1781-3,2681—3,3254/21—2,3834—2,4164—2,4372/31—1,4764-1,4832—1,4874/"1—0,5-0,5-0,5ОII, CMIIIIfn7,8889,76411,6J0/32-4,526-5,378—6,2310II- M •< II_ CO/23-3,684—4,659—5,606-*33 .8,73010,48212,226CO—4,635—5,470-6,311
742РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИfit1/51/61/7fo4 — /?4 — /Ii — ®/34—4,204—5,104—5,994/4413,688816,22618,774/*,•1*нЧ?IIIIлЧ?/оГ1—1,2441—? ,—1,0663—?—0,9308—рЛГ1—1,2441—1,0663—0,9308^21—0,6370—0,5424—0,4713/3!—0,2157—0,1828-0,1584/41000/12—1,258—1,174— 1,127/224,7674,8334,847/32—1-1—1кэIIсоIIСОIIО/23—2,814—2,866—2,899Гзз2,9532,9662,975ОIIII/34—1,953—1,966—1,974/442,0002,0002,000Продолжение табл. 14.256	1^=0. В обеих таблицах останется по четыре уравне-Знак плюс для Р\ и Р\ принимается в том случае, если они направлены вниз и внутрь контура сечения оболоч¬ ки.Если оболочка продольными краями свободно (шар¬ нирно) опирается на ряд стоек, в табл. 14.23а и 14.236 следует отбросить строку 1 и столбец V^, положивния.Если при этом оболочка усилена поперечными за¬ тяжками числом больше двух—трех, то при симмет¬ ричной нагрузке к значению коэффициента s22 в табл. 14.23а добавляется член s22» учитывающий жест¬ кость затяжек:*222F3 Е3ЬЕ(14.160)/12 принимается из табл. 14.25а; F3; Е3 и b — площадь сечения, модуль упругости и шаг затяжек.Таблица 14.25вЕдиничные углы поворота концов поперечной полоскиВиднагрузки\/°/i 6\1/51/61/7Симметрич¬наянагрузка' е1217.6003 —й20,4785 —d23.4336 —dй,з—11.6598 ——13,790 -L—15,9329 —dЬ142.3318 —-12,7580 —d3.1867-LdОбратносимметрич¬наянагрузкаV-тв1«17.7147 —020,6137 -Ld23,5894 —d*13-12.1148 —d—14,3282 —-16,5546 —dв1«4,0382 —4,7762 —d5,5182 —dПосле решения уравнений табл. 14.23 и определения параметров V? перемещения и усилия для каждого чле¬ на ряда вычисляются по формулам (индекс т опущен):а)	вертикальные и горизонтальные прогибы ребра ki=4(х) = S У? fki % (x); i=0 i=4vl (*) = 2 v°ifkiz(xy.1=0(14.161)б)	изгибающие моменты по ребру k г=4А**М«2 V?MW2(*);i=2(14.162)в)	продольные нормальные напряжения по ребру k от симметричной нагрузкио*(*)=-£ ^ еА0+ 2 V* Zkij Z'(x). (14.163а)
14.5. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ743от обратно симметричной нагрузки i=4(дг) =- Е £ V» 2' (X)- (14.1636)i=0значения ординат £& и Мы принимаются из табл. 14.24а и 14.246, a fh и fki — из табл. 14.25а и 14.256;г)	сдвигающие усилия S& суммарные сдвигающие силы Ть, нормальные силы поперечного направления N вычисляются по формулам (14.139), (14.140) и (14.143) у при этом а® и о^_! заменяются на ck и ok_lt а Z'" на Z';д)	угол закручивания бортовых балок (приближенно)i—A0XW= И^6и2( *)-£=1Значения ординат 01/ принимаются из табл. 14.25в.14.5.7.	Пример расчета цилиндрической оболочки методом перемещенийРассмотрим оболочку со свободно висящими про¬ дольными краями и опертыми поперечными краями. Схема половины сечения приведена на рис. 14.70. Основные размеры и расчетные данные: длина оболочки /i= 18 м, пролет волны /2= 12 м, стрела подъ¬ема /о=1/б^2=2л*, толщина плиты оболочки t=6 см, сечение бортового элемента ^i=^irfi=0,24Xl м. На¬ грузка равномерно распределенная по поверхности, р=400 кг 1м2.Ширина грани расчетной складчатой модели d= =0,15298 /2=1,8357 м (см. табл. 14.24а, четвертая графа снизу). Вычисления выполняются в килограммах и метрах.Система расчетных уравнений приведена в табл. 14.23а. При этом надо иметь в виду, что для свободно опертой оболочки (табл. 14.17, схема 1) фундаменталь¬ ные функции совпадают с тригонометрическими, т. е. х4т = sin [i/я — , где \im = тк. Вычисляем коэффици- liенты этих уравнений по табл. 14.24а при fo=lUk- Вхо¬ дящий в коэффициенты множитель	= ~— .Выше было указано, что при расчете оболочки сред¬ ней длины на нагрузку, равномерно распределенную по длине, можно ограничиться одним пер-вым членом разложения.Для первого члена ряда2		2:3,043085-10-(f)- ч-Ш‘-9,26037-10Вычисляем вспомогательные величины:р= -у = 0.54475 ; d2 = 3,36979 ж2; d3 = 6,18592 м* ; F = td = 0,06-1,8357 = 0,110142 м2 ;Ф12йР= 2,90983-10,-64Значения коэффициентов г у/, умноженные на я коэффициентовr00 Xi = 195,187-10-5 ; ''о, xi = 64,605-10-5 !г02 ^1— гоз^1— r04 — 34,370-10 > г >4 = 80,239-10—5 ; г X? =17,0685- 10-5 ;г13 X? = 29,352• 10~5 ; rM= 35,601-10~ г Xf+ s„„= 22,913-10-5+779,295-10-5=802,208.10' 122 1 22 ’r23xl+s23=5’728-10^-I—5	опо one if)—5I894,121 • 10_5=—888,393-10-5;I—5 .	07C 1Q7 1П—5 ,r )4 + s24 = 0 + 375,187-10-5 =375,187-10 rs3 + s33 = 22,913-10-5 + 1 129,046-10“*i+ s34= 1 151,959*10 ;5,728-10-5—512,067-10-5= —506,339-10- гАЛ + *ал = 28,641 • 10""5 +245,198-10-5 = =273,839-10-5 .Вычисляем свободные члены qjm согласно формулам (14.158), (14.159) и табл. 14.25а. Имея в виду, чтоPi=^p Р2=Рз=Я4= pd, /«1=1,2732 (см. табл. 14.18)и беря первый член ряда, получаем<?п = м /и + Pd (/21+Л\ + /«) =*= 1,2732 pd 3,5;021 —AiPcii^ /22 + /32) == 1,2738 pd 4,386 ( f\2 = fi2 = 0) ;*1 = Лх^(/»+Лз+Д)= 1.2738 pd0,353 ( /J3= 0); qn = AlPd( Л4+/4В4)= 1,2738 pd 0,366 ( )\4=Д1= 0).Подставляя эти значения в табл. 14.23а, получаем систему уравнений, приведенную в табл. 14.26. При этом все коэффициенты и свободные члены умноже¬ ны на 105 и в качестве общего множителя приpdсвободных членах вынесена величина — Ах —— Ю3 .
744 —РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИТаблица 14.23Система уравненийMb уравненияоиО0V10Vа/аоV4Свободные члены (общий множитель) —A&djE-lVКонтрольные суммы £0195,13764,06534,37034,37034,3700362,902164,60580,23917,06329,35235,601350576,865234,37017,068802,208—888,393375,187438,о779,040334,37029,352— 888,3931151,959—506,33935,3—143,751434,37035,601375,187—506,336273,83936,6249,2582362,902226,865340,440—179,051212,658860,5Ib24,3l41ь24,<з14Интегрируя эпюру Мс саму на себя, получаем Е212dScc = d*3E2I (2М*С	2’5Л*4с +м2лмъ +I+ МЗСУИ4С) =314,552— = 915.29* КГ6.Проверка:	i/—4('сс^ + О 105+ ^ 9/1 = (9.41843-9,26037-10~4 +1=1+ 915,29-10-6) -105+ 860,5-= 1824,211 .Эта величина сходится с суммой всех коэффициен¬ тов табл. 14.26, которая приведена в нижнем правом углу таблицы. Величина гсс %\ + scc умножалась на 105, поскольку все коэффициенты табл. 14.26 также ум¬ ножались на 105В результате решения системы уравнений этой таб¬ лицы по Гауссу получаем4^=4,409003 —; = 2,381368 ;Е,	ЕV2= - 8,389284 —; V?=- 11,099617— ;I	Е	Л	£У? = — 10,026059 — ,Егде С = — Atfd-Юз = — 1,2738 pd-10* ,Напряжения о*, моменты Mk и вертикальные про¬ гибы Vk по ребрам складки вычисляются на основа¬ нии формул (14.163а), (14.162) и (14.161). Для примера вычислим значение напряжения а2 (0,5/i) в точке 2среднего поперечного сечения оболочки, в котором Zx(0.5/0=—02	(0,5/j) =	520 + V? е21 + v° s22] =-	=СХ? [4,40903(—1,8357) + 2,381368(—0,961907)—-	8,389284 (— 1,8357)] =-142 800 кг/м* =-14,28 кг/ем*, СХ\ = —2.8464-10*.Для проверки вычисленных коэффициентов расчет¬ ных уравнений составляем суммарные эпюры £с (5)=“ 1=4	i=4«= £ Zi(s) и Mc(s) = 2 Mi($) .i= 2Вид этих эпюр приведен на рис. 14.71. Ординаты этих эпюр по^у^аются суммированием ординат единич¬ ных эпюр £/ (s) и М/ (s), приведенных в табл. 14.24а, при /о//2='/бЕос = — (1 — Р) d = — 0,45525d ; «1с= - d;S2C =-2,524 d;€зс = —2,88-34 ; £lc = —3,0662rf;Mze= 20,717 — M3C = — 14,089—;a-	d2M«c = 2,818 ~r~ • d*Интегрируя эпюру £c саму на себя, получаемгсс = — ( ^ос + & + £0С *1с) + ( ^1с ++ 2^+2&+ 2.5&+£1с е2с+52с 53с+53е 54с)=9,41843 .
14.5. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ745Значения £2/ (i=0, 1, 2) приняты из табл. 14.24а (значения 6 2з= £ 24=0).Вычислим значение момента Afa(0,5/i) в той же точ¬кеМ2 (0,5/0= V2M22 + Мгз + ^ М.J24 '*= — С[-8,38928-54,089 — 11,09961 (-49,920) - dr—	10,026059-16,548] = 327,7 кгм/м = ?>27J кгем!см,где С = — 4,9965 . d3Значения М2/ (*=2, 3, 4 приняты из табл. 14.24а. Вычислим значение вертикального прогиба в точ¬ ке 2р, (0,5/0 = К Аз + У°з /и + V? /21 -Проверка расчета.а)	Проверка равновесия эпюры в по формула (14.147):txdiqo + «12td— («1 + 2а* + 2а3 + 2а4) =« 47 157 +-1-12 688 —15 728 — 26 401 — 17 722 = 59 846 — 59 851 «О .б)	Проверка равновесия по формуле (14.148):7\ sin 4»i -f Г2 sin +2 + Т3 sin ф3 -j-sin ф* = 18764,2 кг,где при /о=1/в /2 sin+ i=l; siпфа=0,52399; sin+»=— =0,35945; sin+4=0,1828Х,Полная нагрузка от первого члена ряда для У« оболочки равна1	4 23,5pd ~~ • — • —= 18753,6 кг .2	те те= — [- 8,38928-9,764 — 11,09962 (—4,659) ++ 2,38137-1] = 13,01 мм\Сври этом"тг =—0,46767, где Е=2 • 105 кг/сма. Значе- Е■ия / 21 приняты из табл. 14.25а.Q) 6 кг/смВ) S кг/см62,23Рис. 14.72Сдвигающие силы S/г вычисляются по формулам(14.139)	с заменой Z"'(x) через Z'(x), так как вместо коэффициентов	и берутся напряженияТак, например, для опорного сечения (*=0)S0 = 0; Si = S9 + tidiCTi + q0— = 82,26; *i/i= 82,26 + 8,42 = 90,68 и т. д.Эпюры о, М, v° и 5 значения ординат этих эпюр в сечении х=0,5 1\ приведены соответственно на рис. 14.72,а,б,в,г.Суммарные сдвигающие силы 7* вычисляются по формуле (14.140). Так, например:tdа теТ2 = Sxd + — * — (2®i + с2) = 16 970 кг.6 1ХЗначения суммарных сдвигающих сил в опорном сечении (*=0)7^ = 3876,68 кг ; Т2 = 16970,36 кг\ Т3 = 13558,21 кг;ТА = 6136,4 кг; Тъ = 708,77 кг .Обе проверки удовлетворяются.Приведенные на рис. 14.72,в значения S, вычислен- ные с точностью первого члена ряда, следует умножить те2иа — =1,23, чтобы приближенно учесть влияние ос*отальных членов ряда разложения нагрузки иа значе¬ ние S.14.5.8.	Расчет коротких оболочекНапряжения в коротких оболочках сравнительно невелики, поэтому для монолитных железобетонных цилиндрических оболочек при обычных пролетах =6—12, м и /2=1&—30 м и стреле подъема/о > 1/7 / толщину плиты можно назначать без расчета, руковод¬ ствуясь данными табл. 14.27.Таблица 14.27Толщина коротких цилиндрических оболочекРасстояние между арками в м678*101112Толщина плитыв см . .5—6677-88910Таблица составлена для бетона марок 110—140 в предположении нагрузки от собственного веса, снега и утеплителя. Армирование плит выполняется конструк¬ тивно [14,27].Растягивающее усилие в бортовом элементе корот¬ кой однопролетной оболочки при равномерно распреде¬ ленной нагрузке можно приближенно определить по формуле*6.э -pi Аpl\l 28-2.0,55(/0 + d6) 9(/, + da)(14.164)где р — нагрузка в кг/и2;ds — высота бортового элемента, направленного вниз.Для коротких оболочек и складок произвольного сечения, а также для цилиндрических оболочек, толщи¬ на которых назначается меньше величин, приведенных в табл. 14.27 (например, при переходе к сборным обо¬ лочкам), требуется произвести специальный расчет с учетом влияния продольных и крутящих моментов [20,21].
746РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ14.5.9.	Расчет диафрагм оболочек и складок средней длиныДиафрагмы рассчитываются как плоские стержне¬ вые конструкции на нагрузку от собственного веса и опорного давления оболочки, передаваемого в виде сдвигающих сил. Для расчета диафрагм арочного типа удобно заменить геометрическую ось арки ломаной ли¬ нией, подобной контуру поперечного сечения оболочки. После этого полученные из расчета оболочки значения усилий Т k в опорных сечениях каждой грани следует сосредоточить в узлах ломаного контура оси арки и разложить их на вертикальные Р\ и горизонтальные составляющие Pvk .Так как срединная поверхность оболочки не совпадает с осью арки, то, помимо сил Р\ и PTk , следуег приложить узловые моменты т&# Значения этих сил и моментов определяются форму¬ лами**=— (^sin^ + r^, sIn<|/A+1);£*= — 4"(7'*cos<t'ft + 7'*+Icos^+1); I Ц4.165)mk = — —{Tk+ e0.Эксцентрицитет определяется по формулег0=±^=^-,	(14.166)где ha и t — соответственно высота сечения арки и тол¬ щина оболочки. Знак плюс берется, когда оболочка примыкает к арке по нижнему краю, знак минус, —• когда примыкает к арке по верхнему краю.Расчет диафрагм коротких оболочек см. [14 и 27].ЛИТЕРАТУРА1.	Б о р и hi а н.£ к и й М. С. и Щепоть ев А. С., Экспе¬ риментальное исследование тонкостенных пространственных со¬ оружений, «Проект и стандарт» № 1. 19342.	Власов В. 3., Общая теория оболочек, ГИТТЛ, 1949.3 В л а с у в В 3., Новый метод расчета тонкостенных приз¬ матических складчатых покрытий и оболочек, Госстройиздат, М.—Л., 1933; «Строительная промышленность» № 11 и 12, 1932.4.	Власов В. 3., Строительная механика оболочек, ОНТИ, 1936.5.	В л а с о в В. 3., Тонкостенные упругие стержни, Госстрой¬ издат, 1940б Власов В 3., Строительная механика тонкостенных пространственных систем, Стройиздат, 1949.7.	В о л ь м и р А. В., Гибкие пластинки н оболочки, ГИТТЛ, 1956.8.	Г и л ь м а н Л. С. Приближенный метод расчета цилинд¬ рических сводов оболочек (С. А. Шустиков, Деревянные конструкции, стр 317), Госстройиздат, 1933.9.	ГольденблатИ И и Р и ц Э. Г., Расчет склад¬ чатых конструкций из граней, имеющих различные статические схемы, сборник статей по складчатым конструкциям под редак¬ цией Стлярова Я В., Гостехиздат Украины, 1934.10	Гольденвейзер А Л., Теория упругих тонких оболочек, ГИТТЛ, 19">311	Д и ш и н г е о Ф., Оболочки, тонкостенные железобетон¬ ные купола и своды, Госстройиздат, 1932.12	Ж е м о ч к и н Б. Н., Теория упругости, Стройвоенмориз- дат. "‘-ч13Иммерман Г. И., Расчет ортотропной круговой ци¬ линдрической оболочки на поперечные нагрузки, сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. III, Стройиздат, 1955.14.	Инструкция по проектированию и расчету монолитных тонкостенных покрытий и пепекпытий под ред. проф. Гвоздева, Мурашева, Власова и Горнова, ЦНИПС, 1937.15.	Карлсен Г. Г., Большаков В В., К а г а н М. Е., СвенцицкийГ. В., Курс деревянных конструкций, ч. II, Стройиздат Наркомстроя, 1943, стр. 439—458.•	6 Л е в и т с к ч я Н. Д., Покрытия типа однопролетной ци¬ линдрической оболочки, опертой на колонны и усиленной затяж¬ ками, сборник «Исследования по вопросам теории и проектиро¬ вания тонкостенных конструкций», Стройиздат, 1950.17.	Лесс и г Е. Н., филеев А. Ф., Соколов Н. Г., Стальные листовые конструкции, Стройиздат, 1958.18.	Лунин В. С , Балки постоянного поперечного сечения, лежащие на vnpvroM осчорянии, «КУБУЧ», 1933.19.	Лурье А. И., Статика тонкостенных упругих оболочек, Госетпойичдат, 194720.	Милейковский И. Е., Расчет оболочек и складок методом перемещений, Госстройиздат, 1960.21.	Милейковский И. Е., Расчет сводов-оболочек ме¬ тодом перемещений с применением разложения функций по собственным решениям системы дифференциальных уравнений, сборник «Исследования по вопросам строительной механики и теории пластичности», Гос изд. по строительству и архитек¬ туре, 1956.22.	Милейковский И. Е. и Левитская Н. Д., Экс¬ периментальное исследование модели цилиндрической оболочки на действие сосредоточенной силы, сборник «Экспериментальные и теоретические исследования тонкостенных пространственных конструкций», Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1952.23.	Н о в о ж и л о в В. В., Теория тонких оболочек, Судпром- гиз, 1951.24.	П а с т е р н а к П. Л., Практический расчет складок и цилиндрических оболочек с учетом изгибающих моментов, «Проект и стандарт», № 2, 1933, и «Информационный бюлле¬ тень». НКТП, 1932.25.	О в е ч к и н А. М., Расчет железобетонных круглых ре¬ зервуаров, Стройиздат, 1950.26.	Р ж а н и ц ы и А. Р., Безмоментные пологие оболочки, сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. III. Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1955.27.	С а х н о в с к и й К. В., Железобетонные конструкции, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1959, стр. 542—565.28.	С т е л ь м а х С. И. Расчет металлических складчатых настилов, Госстройиздат, 1938.29.	Справочник инженера-проектировщика промсооружений, т. II, Расчетно-теоретический, Госстройиздат, 1934, стр. 286—288.30.	Тимошенко С. П., Пластинки и оболочки, ОГИЗ, Гостехиздат, 1948.31.	Ш т а е р м а н И. Я., Об интегрировании дифференци¬ альных уравнений равновесия упругих оболочек. Известия Киев¬ ского политехнического и сельекохоз. институтов, 1924.32.	Ш т а е р м а н И. Я., Расчет купола как арки на упругом основании, «Проект и стандарт» № 9, 1933.33.	Щ е п о т ь е в А С. Экспериментальное исследование железобетонной цилиндрической оболочки, «Проект и стандарт» Ко и, ОНТИ, 1936.34.	Щ е п о т ь е в А. С., Экспериментальное исследование коротких оболочек, «Проект и стандарт» № 6 и 7, ОНТИ, 1935.35.	Ehlers, „Beton u. Eisen*, 1929, вып. 13 и ,Bauingenieur‘, 1930, вып. 8.36.	К г е ш е г, „Beton u. Eisen", 1929, вып. 13.37.	Pasternak P., Die praktische Berechnung der Blegesansp- ruchengen in kreisrunder Behaltem mit gewolbten Boden und Dec" ken und linear verandlichen Wandstarken. Zweiz. Bauzeitung, B. 90, 1927.
РАЗДЕЛ 15УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВ15.1.	ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯПрямые брусья, испытывающие центральное сжатие, при определенной величине нагрузки достигают опасно¬ го состояния безразличного равновесия (критического состояния), при котором появляются качественно новые деформации — прежде всего деформации изгиба. Брусья, работающие на сжатие с изгибом, при опреде¬ ленных величинах нагрузок также переходят в крити¬ ческое состояние, при котором происходит резкое на¬ растание деформации изгиба. Переход в критическое состояние, как правило, сопровождается потерей несу¬ щей способности бруса и называется потерей устойчи¬ вости, причем указанные случаи обычно называют соот¬ ветственно потерей устойчивости 1-го и 2-го рода.15.2.	УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ15.2.1.	Расчет по нормамкривление со стрелкой /о. Приведенные ниже формулы учитывают начальное отклонение в середине расчетной длины, равное eo+fo < 00 0,001 /о, где /о — расчетная длина стержня. Такие стержни далее называются цент¬ рально сжатыми, и критическая сжимающая сила для них определяется по формулеNKP = m<f RF6р ,(15.1)где пг — коэффициент условий работы;<р— коэффициент продольного изгиба, принимае¬ мый для разных материалов согласно табл. 15.1, 15.2 и 15.4 в зависимости от гибкости стержня при продольном изгибеХ= ;	(15.2)R — расчетное сопротивление материала;Feр — площадь сечения стержня брутто;г — минимальный радиус инерции сечения стержня.Центрально сжатыми могут считаться стержни, на¬ груженные сжимающей силой с весьма малым эксцент¬ рицитетом во и имеющие весьма малое начальное ис-Таблица 15.1Значения коэффициента <р (по НиТУ 121-55 и НиТУ 122-55)Таблица 15.2Значения коэффициента <р для каменных, бетонных и железобетонных сжатых элементовГибкостььЛгСталь марокЧугун марокСосна(НиТУ122-55)Ст.О,Ст.2,Ст.З,Ст.4,Ст.5,НЛ1НЛ2СЧ 15-32, СЧ 12-28, СЧ 18-36, СЧ 21 40СЧ 24-44, СЧ 28 -48,01,001,001,001,001,001,00100,990,980,980,970,950,99200,970,950,950,910,870,97300,950,930,930,810,750,93400,920,900,900,690,600,87500,890,840,830,570,430,80600,860,800,780,440,320,71700,810,740,710,340,230,61800,750,660,630,260,180,49900,6а0,590,540,200,140,381000,600,500,450,160,120,31И:0,520,430,39—	0,251200,450,380,33		0,221300,400,320,29		0,181400,360,280,25		0,161500,320,270,23		0,141600,290,240.21		0,121700,260,210,19		0,111800,230,190,17		0,101900,210,170,15	0,092000,190,150,13——0,08/*ь* о|II*<Каменные и армока- менные (НиТУ 120-55)Железобе¬тонные(НиТУ123-55)Бетон: (НиТУ 15из тяже¬ лого бетонаные23-55)из лег¬ кого бетона270,991,001,001,004140,981,000,980,986210,961,000,960,948230,921,000,910,8810350,881,000,860,8112420,841,000,820,7514490,791,000,770,6916560,740,880,720,6318630,700.800,680,5720700,650,730,630,5222760,610,670,590,4824830,560,620,550,4326900,530,570,51—28970,490,530,47	301040,460,500,44	321110,42——	341180,39			361250,36			381320,34		401390,32			421460,30			441530,28———* Длякаменных иармокаменных столбови _ b(—)\ b /факт1 000 ,Нт)л/"факт у “Пюо.т~*значения а даны в табл. 15.3.1
748РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВДля бетонных и железобетонных сжатых элементовUв табл. 15.2 даны также значения где /о — расчет-*оная длина элемента, b — меньший размер прямоуголь¬ ного сечения. Для каменных и армокаменных столбоврасчетная гибкость X или расчетное отношениеополучается умножением их фактических значений на , / 1 ОООI/ 	 , где а—упругая характеристика кладки,принимаемая по табл. 15.3.Таблица 15.3 (по НиТУ 120-55)б кг/мпВид кладкиИз тяжелых природных и бе¬ тонных камней и бута натяжелых растворах	Из кирпича, легкобетонных камней, легких природных камней на тяжелых раство¬ рах 	То же, на легких растворах .Упругая характеристика а кладки при растворах марок200 —501 25—102 0001 000 7501000750500750500350500350200350200100Для центрально сжатых стержней из других мате¬ риалов критические напряжения могут определяться как для внеиентренно сжатых стержней с заданным на¬ чальным эксцентрицитетом. При отсутствии оснований для значительных начальных эксцентрицитетов и ис¬ кривлений начальный эксцентрицитет может прини¬ маться равным е0+/о=0,001 к. Для стержней из алю¬ миниевых сплавов значения коэффициента прини¬ маются согласно табл. 15.4.Таблица 154Значения коэффициента <р для алюминиевых сплавовГибкостьэлементовТип сплаваАМг || АМгбАВТ1Д16Т01111100,9730,9730,9960,999200,9450,9460,9920.998300,9170,8900,9000,835400,8700,7700,7800,700500,7700,6400,Ь600,568600,6850,5420,5570,455700,6030,4580,4630,353800,5300,3870,3870.269900,4о50,3220,3120.2121000,4150.2800,2520,1721100,3650,2430,2100.1421200,3270,2130,1750.1191300,2960,1830,1500,1011400,2650,1620,1290,0871500,2350,1480,1130,076Устойчивость тонкостенных трубчатых стержней за¬ висит от отношения диаметра D к толщине стенки t. Для труб из дюралюминия с пределом прочности спч =44 кг1мм2 и пределом пропорциональности апц = =30 кг(мм2 величиьа критического напряжения сжатия дается на графике рис. 15.1. Графики для труб из хро¬ момолибденовой стали ( апч=70 кг/мм2, апц = =55 кг/мм^) даны на рис. 15.2 и для труб из стали с апч = 160 кг/мя2 иопц = 130 кг/мм2 — на рис. 15.3.бх кг/мм*6ккг/мм*15.2.2. Критические (эйлеровы) силы центрально сжатых стержней*Приводим формулы дли критической силы при сжи¬ мающем напряжении ниже предела пропорционально¬ сти Применимость формул определяется величиной кри-* Критические силы для многопролетных брусьев см. 16.1.1.
15.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ749(15.4)тического напряжения о9, которое не должно превосхо¬ дить предела пропорциональности ®Пц материала стержня:*9 ^ °пц •	(15.3)Для центрально сжатого стержня постоянного сече¬ ния с шарнирно опертыми концами критическое на¬ пряжение определяется формулой ЭйлераN9 _ ТГ2Е/ П*Е *•“ F = l*F ~ к2 'где .V*—критическая (эйлерова) сила;F — площадь поперечного сечения стержня;Е — модуль продольной упругости материала; / — момент инерции поперечного сечения стер¬ жня в плоскости наибольшей гибкости;I — длина стержня между осями шарниров;>.*=	гибкость стержня при продольном изгибе;гг —радиус инерции поперечного сечения стержня в плоскости наибольшей гибкости; значения радиусов инерции для различных сечений см. табл. 7.2 (раздел 7).Условию (15.3) эквивалентно условие ^>^кр» где для шарнирно опертого стержнялкр(15.5)Значения для некоторых материалов приведены » табл. 15.5,Таблица 15.5Значения крНаименованиематериалаМодуль упругости Е в кг мм:аПредел пропорци¬ ональности °пц в кгмм?Минималь¬наягибкость*крСталь Ст. 3	___105Сталь НЛ2	Сталь малоуглероди¬——90стая 	Сталь хромомолибде¬22 0002691новая 	22 0007055Дюралюминий ....7 0002751Сосна	10002,66ДПри X. < Хкр определение критических сил см« 15.2.3.Критическая (эйлерова) сила для однопролетного центрально сжатого прямого стержня определяется по формулеW9 = a2El/2тi2EI (Iх/)2(15.6)где «—коэффициент, численное значение которого в зависимости от характера опорных закрепле¬ ний и вида нагрузки приведено в табл. 15.6 н 15.7;тср = — — коэффициент приведения длины, aУпругие опорные закрепления стержней в плоскости характеризуются податливостью опоры при линейном перемещении Ь и податливостью опоры при повороте Р.Линейное перемещение опоры от единичной силы, приложенной к опоре, называется податливостью опоры при линейном перемещении. Угол поворота опоры от единичного момент,? прил 'жонмого к опоре, называется податливостью опоры при повороте.Податливость опоры при nonopoie для стержня, по¬ казанного на рис. 15.4 и 15.5 пунктиром, определяется формулами:а) для схемы упругого опирания по рис. 15.4,»-'t.El1--1I(15.7)Ро EI+ 4где ?о — податливость при повороте нижнего конца стержня;J5nРис. 15.4б) для схемы упругого опирания по рис. 15.5,(15.8)где Pi, Р2 — податливости при повороте нижнего и верхнего концов стержня.* На рис. 15 4 и 15.5 схемы упругого опирания пока- *аны сплошными линиями.Критические (эйлеровы) силы однопролетных пря¬ мых стержней, нагруженных распределенными, а так¬ же сосредоточенными продольными силами, определя¬ ются по формулам, приведенным в табл. 15.6. и 15.7. Некоторые графики табл. 15.7 составлены в зависимо¬ сти от величин х и А, определяемых формулами11+/оА =-11+ЬЫ о(15.9)ггде /о — момент инерции сечения основного стержня, устойчивость которого проверяется;/о — длина основного стержня.При жестком защемлении в опоре конца стержня Р =0 или * =1; при шарнирном опирании конца стер¬ жня р=оо или х =0.Для абсолютно не смещающейся опоры Ь=0 или А =1, а для* свободно перемещающегося конца й = оо или Д=0.Определение критических сил необходимо также при приближенном расчете сжато-изогнутых и растяну¬ то-изогнутых стержней (см. 16.2),
750РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВТаблица 15.&Коэффициенты а для определения критических (эйлеровых) сил стержней постоянного сечения на жестких опорах по формуле (15,6) и др.а) Стержни, нагруженные сжимающими (продольными) силами по концам№П/ПСхема стержняКоэффициент аКоэффициент приведения длины р.Оба конца стержня свободно оперты (шарнирно оперты)а = п = 3,1416; а* = 9,8696Один конец стержня жестко защемлен, другой свободена = — = 1,5708; а2 = 2,4674р. = 2,000датNОба конца стержня жестко защемлены (могут сближаться)а = 2ти = 6,2832; а2 = 39,4784{а= 0,500Один конец стержня жестко защемлен, другой шарнирно оперта = 4,493; а2 = 20,187fx = 0,6992* = тс = 3,1416; а2 = 9,8696Один конец стержня жестко защемлен, другой не может поворачиваться(а= 1,000Шарнирно опертый стержень с консольюSoL:JJK 200 2W2/Ю2202J)0isof,60наг0J0 0.40 0.S0 000 1.0^При с-+0	= 1,5708;при с = 0 а = 0
15.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ751Продолжение табл. 15.6б) Стержни, нагруженные несколькими сосредоточенными силами [28]*№ 1, пСхема стержняКоэффициент аJ77?77,NN1]_а2Е1(^ + М2)Э = — ,L = 1Л -\- /2.Один конец стержня защемлен, другой свободен. Одна сила приложена на свободном конце, дру¬ гая— в промежуточном сечении;	1 /7ffmoo)Nt=0)7,5708О 0J 0,2 0,3 0.4 0.5 0.6 0,7 08 0.9 1,0 12XV j 2Я\n\V777T%“itNziТКритическая нагрузка 3,79 EI(6Л0э =	(с погрешностью менее 2,5%)/2Критическая нагрузка определяется из равенства:"•(тТ+Чт-)2-'" (-Г)’+П2Е1 4 I2Для большей точности рекомендуется .2	/ Ь \2вместоприменять( h \2-2	/ U \2(т) вместо 1т)•	Список литературы приведен в разделе 16.
752РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВПродолжение табл. 15.1в) Стержни со ступенчатым изменением жесткости
15.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ753Продолжение табл. 15.6г) Стержни, нагруженные распределенными продольными сжимающими силами№Формула !ля кри¬п пНагрузкаСхема стержнятической продоль¬Коэффициент аной нагрузки131415161819Равномернораспреде¬леннаяОба конца стержня свободно опертыQb— Q$l—a2EIгаОдин конец стержня жестко защемлен, другой свободена2Е1 Q3=q3l= ^Оба конца стержня жестко защемлены (правый конец может смещаться вдоль оси стержня)а2Е1Q3=q3l =Один конец стержня жестко защемлен, другой шар¬ нирно опертQs—'а *Е1вЖестко защемлённый конец имеет свободу продоль¬ ного перемещенияQa—4*1— ‘а*Е11гОдин конец стержня жестко защемлен, другой—только от поворота сечения	f 7W. Z .А. 12		12УСвободно опертый стер¬ жень, сжатый равномерно рас¬ пределенными силами от кон¬ цов к середине *Qb—— 'а2Е1/2а = 4,301; а2 = 18,5а = 2,798; «2 = 7,83а = 8,579; а2 =73,6а = 7,246; а2=52,5а = 5,441; «2 = 29,6а = 4,347; а2 = 18,9/ а*Е1<3э=?э 2 = /2а— 5,611; а2 = 31,4848 Зак. 2098
754РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВПродолжение табл. 15.6№п/пНагрузкаСхема стержняФормула для кри¬ тической продоль¬ ной нагрузкиКоэффициент а20Равномер¬ но распре¬ деленнаяч-, 2 _ ?1	-IКонсольный стержень с продольной равномерно рас¬ пределенной нагрузкой на по¬ ловине длины-(f).а2Е1 = /2а = 2,105; ^ = 4,4321Треуголь¬ная22Консольный стержень, сжа¬ тый продольными силами, ли¬ нейно возрастающими к сво¬ бодному концуот/*Консольный стержень, сжа¬ тый продольными силами, ли¬ нейно возрастающими к за¬ делке-т.-а *Е1 I*а = 2,263; а2 = 5,122а = 4,013;а2 = 16,101д) Для стержней, нагруженных сосредоточенными и распределенными силами№п/пСхема стержня и нагрузкиКоэффициент а23\*1Шарнирно опертый стержень с продольной рав¬ номерно распределенной (сжимающей) нагрузкой q и сос^доточенной на конце силой NN3 = а2или приближенноЛГЭ =EI 127с2Е/123L2При а = 0 N= 0.При а < 0 для предотвращения выпучивания к стерж¬ ню должна быть приложена растягивающая сила
15.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ755Продолжение табл. 15.0№п/пСхема стержня и нагрузкиКоэффициент о24ТттСтержень со свободным верхним и защемленным нижним концамиEIили приближенно*2Е/NB = ——-0,3 <?/3	4 р	4*го -2.0 '3.02Х)318 40 50 6.0 го 6.0 9.0 1QQПри а = 0 N = 0.При а <0 для предотвращения выпучивания к стержню должна быть приложена растягивающая силаТаблица 15.1Коэффициенты о для определения критических сил стержней постоянного сечения на упругих опорах№п/пСхема стержняКоэффициент п"IОдин конец стержня на шарнирной опоре, другой на упруго поворачивающейся опоре ^сС4.604?0-№3,403.00\иXу--7^-—4,49ТТ0 0,20 0/t0 0.60 0J30 годЖ-1*77771Один конец стержня на упруго поворачивающейся опоре, другой жестко защемлен48*
756РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВПродолжение табл. 15.7! >6 п/пСхема стержняКоэффициент аNОба конца стержня на упруго поворачивающихся опорах с одинаковыми податливостями при по¬ воротеОС6206,005.60 5,20 \во Щ £Р03.60 120г§%I2п<пО	020 № 0.6QQJ3Q 700*I*mXОба конца стержня на упруго поворачивающихся опорах с разными податливостями при повороте/VпОдин конец стержня свободен, другой на упруго поворачивающейся опореоС1,601,407201,00.//1/' гX.
15.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ75/Продолжение табл. 15.7№ п пСхема стержняКоэффициент а/ЛГр1Один конец стержня шарнирно оперт на упруго пе¬ ремещающуюся опору, другой жестко защемлен на неперьхлещающейся опореост3,60зго2/302{t02т1.60 150 ои%ояо Q.40 0,60 от гооСлучай „а* А/\АеПри б2 < &кр=- 4 к2Е1/з4я 2Е1тi/*При Si ~\“ ^2 ^ ^кР«2 EI N3 =	.э	19.'ЩГГ'-Оба конца стержня жестко защемлены' на упруго перемещающихся опорах (случай яа“) (возможны сме¬ щения поперек оси стержня без поворота опорных сечений)Случай,, 6j n[уI 1При й < $кр =/3"W7i4те 2Е14 к2Е1Na =	./2При 5 > Ъкр а2Е1Оба конца стержня жестко защемлены: один на упруго перемещающейся (поперек оси стержня) опо¬ ре, другой на неперемещающейся (случай „6“)Значение а приведено: для случая „л- в зави- ; для случая „6е в зависимо-симости от а = сти от Д.икр&1+&3
158РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВПродолжение табл. 157№п/пСхема стержняКоэффициент в91*1 При ‘ иЧ 71 При 5 > 5кр4^ *.-±.Оба конца стержня оперты шарнирно: один на упруго перемещающуюся, другой на неперемещаю- щуюся опоруа = тс = 3,1416; «2 = 9,8696.Потеря устойчивости при 5 > окР происходит вследствие опрокидывания стержня, который остается прямым10" При + Ь2 < 6кр =Гр ... -;г•Ч, J 11 При 5] + Ь2 > 5кР9 * э S, + &2Оба конца стержня оперты шарнирно на упруго перемещающиеся опорыа = и = 3,1416; а2 = 9,8696.Потеря устойчивости при Ъ1 + Ь2> Ькр происхо¬ дит вследствие опрокидывания стержня (вращения вокруг одного из опорных шарниров). Стержень ос¬ тается прямым15.2.3. Методы расчета сжатых стержней в упруго-пластической стадииДля центрально сжатых стержней, имеющих малые начальные искривления и эксцентрицитеты и гибкостиРис. 15.6ягеетее А,кр (табл. 15.5), критическая сила определяется но формулериь(15.10)Здесь(^)прив—Е ( ^4 );	(15.11)и / в — моменты инерции соответственно разгружающейся FA и догружаю¬ щейся FB частей сечения (рис.15.6)	относительно нейтральной ли¬ нии {ил.) в сечении (на нейтральной линии равны нулю только дополни¬ тельные напряжения, возникающие при искривлении прямого стержня);<Рк■ относительный касательный модульматериала стержня при напряжении Лкрсжатия ок = ——(рис. 15.7). гПоложение нейтральной линии определяется из ус¬ ловия(15.12)где SA и Sh — статические моменты площадей FA и F ь относительно нейтральной линии (рис. 15.6).
15.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ759Для прямоугольного сечения bXJi условие (15.12), принимает видh\ = ,откуда(£^)прив =4E/S0+У7)2:/=-12"* (15.13)Если в момент приближения стержня к критическо¬ му состоянию сжимающая сила непрерывно увеличи¬ вается, то разгрузки части сечения не происходит. В этом случае по методу Энгессера — Шенли в (15.10) следует подставлять(Я/)прив = £/£.	(15.14)<f0302010Опоу<рбр*уле№ю) | |\По Эй перуПо Энеессерц-КШемли| |2040 60 Рис. 15.860700На рис. 15.8 дано сравнение опытных значений кри¬ тических напряжений акр (кружки) для круглых стер¬ жней из алюминиевого сплава, 17ST с теоретически определенными по формуле (15.10) с подстановкой (15.11) и (15.14) (график взят из [73]).При наличии на диаграмме сжатия материала го¬ ризонтальной площадки текучести (строительные стали) расчет по (15.10) невозможен, так как для напряжения сжатия ат (предел текучести) £ =0. Практически до¬ стижение сжимающей силой величины NT=Far воз¬ можно только при очень малых гибкостях стержня.Расчет таких стержней следует производить как внецентренно сжатых с малым эксцентрицитетом (см. 15.3).15.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ15.3.1. Расчет по нормамПроверка устойчивости стального внецентренно сжатого стержня должна производиться:а)	в плоскости действия момента — по формуламN < mybH RFбР (f i_<_ 4)^	(15.15)N<_nR£6р_ (<?1>4)>	(15л6)— + 9ехгде 0=0,67 при 0<А,<50;0=0,6+0,0015 К при 50 <^,<100;0=0,75 при X >100;б)	в плоскости, перпендикулярной плоскости дейст¬ вия момента, в том случае, если изгиб происходит в плоскости наибольшей жесткости, — по формулеN < тсуу RFqp .	(15.17)В формулах (15.15) — (15.17):М— эксцентрицитет силы в плоскости изгиба; ег— ц\(е-\	—) — + 0,051 —1 d-L^ 1000/ Гбр Jотносительный эксцентрицитет с учетом влия¬ ния формы сечения;Wep—момент сопротивления для наиболее сжатого волокна;—коэффициент, принимаемый по табл. 15.8;/ — длина внецентренно сжатого стержня;М—расчетный момент: а) при проверке по форму¬ лам (15.15) и (15.16) для шарнирно опертых стержней наибольший момент — в пределах средней трети длины; для консолей—в задел¬ ке; для колонн постоянного сечения рамных систем наибольший момент в пределах длины колонны; для ступенчатых колонн — на длине участка постоянного сечения; б) при проверке по формуле (15.17) для стержней с концами* закрепленными от смещения перпендикулярно плоскости действия момента, максимальный момент — в пределах средней трети длины; для консолей — момент в заделке;N — нормальная сила в рассматриваемом сечении;¥вн—коэффициент понижения несущей способности внецентренно сжатого элемента, определяемый по табл. 15.9 и 15.10;<Рм— коэффициент продольного изгиба, принимае¬ мый по гибкости стержня в плоскости действия момента по табл. 15.1;<?У—коэффициент продольного изгиба, принимае¬ мый по гибкости стержня в направлении, пер¬ пендикулярном плоскости действия момента по табл. 15.1;с — коэффициент влияния момента на устойчивость внецентренно сжатого элемента с учетом из- гибно-крутильной формы потери устойчивости; для стержней, симметричных относительно плоскости действия момента,с =1 + ае^брw№(15.18)
760РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВТаблица 15.&Коэффициенты *г) влияния формы сеченияСхема сеченияТ) при20< X < 150 X > 150‘, __и_:1 1 Н -1Г1—1 Г~ .т 1 -1 -fi» -II—г .0,775 + 0,0015Х1.3' 1.01.45—0.003 X1.0\0,01 X —0,21,01.0Таблица 15.9Коэффициенты <рвн для сталей марок СтО, Ст.2, Ст.З и Ст.4.0,100,250.500,751.001.251,501.752,002.503,003,504,0000,960,920,850,780,720,670,620,580,540,470,420,370,33200,950,890,800,730,670,620,580,540,500,440,390.350,32300,940,870,770,700,640,590,550,510,480,420,370,330.30400,ь-20,850.740,670,610,560,520,480,450,400,350.320,29500,890.820.710.630,570,530,490,460,430,380,340,300.27ео0,860,790,670.600,540,500,460,4}0.400,350,320,290,26700,810,750,630,560.500,460.430,400,330,330,300,270,25800,750,700,590.520,470,430,400,370,350,310,280,2)0,24900,690,650,550,480.440,400,370,350.330.290,270,240.221000,100,5у0,500.450,400,370,350,320,300,270.250,230,211100,520,520.460.410,370.340,320,-300.290.260.230,220,201200,450,450,420,370.340.320,300,28 '0.2)0,240,220,200,191300,400,400,380,340,310.290,270.2)0,250.230.210.190,181400,360,360,;340.310,2:)0.270,250,240.230,210.200.180.171500,320.320,300.270,2}0.250.230,220,210,200.180,170,161(00,290,290,270.250.240,2 30,220,210,200,180.170.130,151700,260,260,250.240.220.210,200,190,180,170.160,150,141800.230/230.230.220,200.200.180,180,170,160.150,140,131С00.210,210.210.200,190,130,170,170,160J50.140,130,122000,190,190,190.180,170,170.160,150,150,140,130,120,12Таблица 15.10Коэффициенты срвн для стали марки HJ120,100,250.500,751,001,251,501,752,002,50зло3,504.0000,960,920,850,780.720,670,620,570,530,470,410.370,33200.950,870,790,72О.ьб0,610,570,530,490,430,330,340,31300.930,850,760,680,620,570,530,500,460,410.360,330,2^400.900,820.720.640.580.530.490.460,430,330,340.310,23500.830.790,680.(00,540,500,460.430,400,360.32* 0.290,2)(00.780,740,620,550.500,460,420,400,370,330.300,270,25700,710,680,570.510,450.420.390,360,340.310,230,250,23800.630.С20.520,46'0,410,380.360,330,310.230.230,230,21900.540.540.470.410,380,350,330.310,2d0.261 ,210,220.201000.450.450,410,370,340.320,300.280,2 j0,240.220.200.191100,390,390.370.340.310.290.270.2'^0,240,220,200.190,181200.330.330,330,300.280.260.240.230,220,210.1)0,130,1b1300.290.290.290.270,250.240.220,210,200.190,170.160,151400.250,250.250,240.230.21. 0.200,190,190,17O.U0,150,141500.230.2 30.230.220.210,200.190,130,170.1 i0,150,140,141(00.210.210.210.200.190.180.170.160,160,150,140,130,121700.190.1J0.180.180.170.160.150.150,1=5О.М0.130,120,121К00.170.170 170,160.160.150,140,140,140,120,120,110,101900,150,150, Д50,150.140.140.130,130.120.120,110,110,102000.130,130,130,130,130,130,120,120.110,110,100,100.10
15.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ761где а, Р—коэффициенты, которые для двутавровых сечений при одинаковых полках, а также при неодинаковых полках с эксцентриците¬ том в сторону большей полки принимаются равными: а =0,85; Р =1 при Ху < Хс. 0.6р=-Тупри Ху > Хс , где Ху —гибкостьстержня в направлении, перпендикулярном плоскости действия момента; Хс — гиб¬ кость, принимаемая по табл. 15.11; — коэффициент продольного изгиба, принима¬ емый по гибкости Ху по табл. 15.1Таблица 15.11Значения гибкостиМарка сталиСт.О, Ст.2, Ст.З, Ст.4 НЛ210085При гибкости Ху > Хс величины коэффициентов с не должны превышать значений, приведенных в табл. 15.12.Таблица 15.12 Максимальные значения коэффициента с при ХуУксм_Nh00,20,40,60,81,01,21.41,61,82, С2,5 иболееНаибольшие значения ко¬ эффициента с10,90,750,610,510,440,390,340,310,270,240,21Обозначения, принятые в табл. 15.12: М — расчет¬ ный момент; N—продольная сила; h — высота сече¬ ния.При эксцентрицитете в сторону малой полки для всех случаев a=Ji = 1. Для замкнутых сечений сплош¬ ных или с планками, или с решеткамиР = 1 + 0,5е , а=1.	(15.19)м^бр15.3.2.	Проверка устойчивости внецентренно сжатых стержней в плоскости изгиба в упруго-пластической стадии по методу двух расчетных сечений [11]Критическая сжимающая сила NKр для внецентрен¬ но сжатого стержня (рис. 15.9) любой гибкости X из материала с криволинеиной диаграммой работы (рис.15.7)	определяеая из дифференциального уравнения, аналогичного уравнению задачи Эйлера:^2(г)~77 + Nvi = 0 •	(15.20)dz2Здесь v 1—дополнительные прогибы стержня при от¬ клонении его от положения равновесия, принимаемые бесконечно малыми; h(z) — переменный по длине стержня момент инерции второго расчетного сечения, полу¬ чаемого из действительного сечения умно¬жением каждой его элементарной площад¬ ки dF на относительный касательный мо¬ дуль 6 (рис. 15.7):tg?Klg?Геометрические характеристики второго расчетного сечения стержня:^O'V'4h = h -4 Ft;F^^dF-,(15.21)(15.22)= f у Wf; (15.23)F£Iz = fjy4dF; a^=—L. (15.24)Центр тяжести второго рас¬ четного сечения, определяемый координатой а% , находится нанейтральной оси для дополнительных напряжений, возникающих при дополнительном отклонении стержня от положения равновесия.Уравнение (15.20) дает приближенное значение кри¬ тической силы^кр=-сЕ/9(15.25)где /2 — момент инерции второго расчетного сечения в среднем сечении; с — коэффициент, зависящий от характера изме¬ нения h(z) по длине стержня.Если /2(2) =/2 = const, стержень искривляется по полу¬ волне синусоиды, с= л2. Это значение с принято как приближенное для всех внецентренно сжатых стержней.Для определения величин относительных касатель¬ ных модулей £ в каждой точке сечения следует найти величины нормальных напряжений в этих точках, для чего необходимо знать прогибы стержня.Дифференциальное уравнение изогнутой оси стер¬ жня имеет видd2vEIi(z) + biv == М0 — Nan . (15.26)Здесь v — прогиб стержня в сечении z\h(z) —переменный по длине стержня момент инер¬ ции первого расчетного сечения, получае¬ мого из действительного сечения умноже¬ нием каждой его элементарной площадки dF на относительный секущий модуль ?) (рис. 15.7):= (15 27) Е tgyМо — изгибающий момент в сечении z от концевых моментов.Геометрические характеристики первого расчетного сечения:Fn-$4dF;F=;y^dF; а =(15.28)
762РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВNaу — дополнительный изгибающий момент в сечении г от смещения центра тяжести 1-го расчетного (эффективного) сечения.Эпюра деформаций в сечении стержня с краевыми деформациями £] и е2 показана на рис. 15.10. Там же показана эпюра дополнительных деформаций ei — •Рис. 15.10Напряжение в точке, удаленной на расстояние у от центра тяжести истинного сечения:N , M„ — Na	.——(>-•,)гяжест и-I.+(15.29)Удобнее пользоваться приведенным моментом инер¬ции£(е;оу dF ,При этом в (15.29) подставляетсяМ0 - Na._.МпЛ1(15.30)(15.31)привВместо значений прогибов, строго удовлетворяющих уравнению (15.26), вводятся приближенные значения /, соответствующие искривлению оси стержня по полуволне синусоиды:/=-NJ + т0=-т0гдет0 =-11—п2 Е1привNI*(15.32)(15.33)Для ряда материалов (малоуглеродистые стали ма¬ рок Ст.З и НЛ2, дюралюминий и др.) диаграмма а— е близка к идеализированной (рис. 15.11, а и б). В сече¬ нии в середине расчетной длины стержня эпюра напря¬ жений имеет вид заштрихованных на рис. 15.11, а и б участков. В этом случае для упругого ядра Ек =ЕС=Е\атс=т) = 1. Для пластических зон Ес =— , £к=0; *1 =°т= ~—; 6=0. Второе расчетное сечение ограничивается сеупругим ядром.На рис. 15.11,в и г пунктиром изображены контуры действительного поперечного сечения прямоугольной формы при односторонней и двусторонней текучести; сплошными линиями показаны контуры первых расчет¬ ных сечений; заштрихованы вторые расчетные сечения.Приняв для стержня не действительное, а первое и второе расчетные сечения, весь расчет можно вести ме¬ тодами расчета упругих стержней.Значения сжимаюшей силы NKр и изгибающего мо¬ мента M0=m0NKp для критического состояния стержня определяются из формул712Е/2М0 = (FR — NKр) а^ + 2SyR ,NK р =(15.34)где /о—расчетная длина стержня;б)а)6Л7/\iЩaJРис. 15.11% — расчетное сопротивление материала;S\ — статический момент пластической зоны в растянутой части сечения относительно цент¬ ра тяжести упругого ядра Oi(pHC. 15.11,г); при односторонней текучести (рис. 15.11,в) 51=0;щj — расстояние между центрами тяжести всегосечения О и упругого ядра 0\.При удовлетворении следующего неравенства (15.35) текучесть в сечении односторонняя, в противном случае — двусторонняя:N	2Fя аТ	, с ОСч—	> 1— —	.	(15.35)гат	г аЗдфсь — площадь упругого ядра; а —глубина упруго¬ го ядра (рис. 15.11,в); ат — расстояние от центра тяже¬ сти упругого ядра до границы пластической зоны на сжатой стороне стержня.Пример 15.1. Расчет стального внецентренно сжатого стержня прямоугольного поперечного сечения при одно¬ сторонней текучести. Длина стержня /о=5 м\ расчетные нагрузки (при которых должно наступать критическое состояние стержня): №кР=120 г, Мо=12 тм.Момент инерции второго расчетного сечения (упру¬ гого ядра) в критическом состоянии стержняЛ* =А'кр/п120-5002712-2 100== 1 440 см*Задаемся шириной сечения 6=10 см и высотой сече¬ ния h=20 см\ определяем глубину упругого ядра а: з-Y^-Y-1 44010= 12 см ,Расстояние между центрами тяжести упругого ядра и всего сечения
15.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ763h аat = — —— = 10 — 6 = 4 см .6 2 2Изгибающий момент Мо, при котором в сечении бу¬ дет упругое ядро глубиной 12 см:M0=(FR — NKP)a^ = (200-2,1 —— 120) 4 = 1 200 тем = 12 тм .Пример 15.2. Расчет внецентренно сжатого двутавро¬ вого стержня при двусторонней текучести. Длина стер¬ жня /о= 10 м\ размеры сечения даны на рис. 15.12.Рис. 15.12Расчетные нагрузки: NKр=16,6 г; Мо=38 тм. Ана¬ логично с первым примером/о = ■Щте 2Е16,6-1 000- 7i2-2 1U03= 800 см*;20 см.Определяем длину g площадки, воспринимающей сжимающую силу:КРtR1,2*2.1= 6,6 см.Глубина пластической зоны на растянутой части сече-[ИЯ1 1 с = — (h — а — g) = — (40 — 20 — 6,6) = 6,7см;h а «5= 1		Y = 20'•6 7 — 10 = 3,3 сж .Площадь всрго сечения F = 2 • 20- 2 + 1.2 • 36 = «=123,2 сл*.Статический момент S\ пластической зоны в растя¬ нутой части сечения относительно центра тяжести упру¬ гого ядраJh	М	Iа с—Ъ\= + _= 20-2(30 - 3,3— 1)+ 1,2-6.7(10 + 2.35) = 729 см».А"ТП-JmС1Р'Рз'гпаг а
764РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВОпределяем изгибающий момент Л4о, при котором будет в сечении напряженное состояние, показанное на рис. 15.12:М9 = (FR — JVKP) а% + 2 StR = (123,2-2,1 — 16,6) 3,3 ++ 2-729-2,1 = 3830 тем = 38,3 > 38 тм.При более сложном сечении, например Н-образном, положение упругого ядра по высоте сечения должно устанавливаться подбором из условия, что участки сечения высотой a^-g воспринимают всю сжимающую силу А/Кр, а равные по площади части сечения (участки с на рис. 15.12) воспринимают только изгибающий мо¬ мент.hНа рис. 15.13 даны коэффициенты kx =—j~ для дву¬ тавровых (кривые pi)' и Н-образных (кривые р2) стержней в зависимости от относительной глубины а«= — упругого ядра при односторонней текучести вhсечении для = 0 — 1,0 и р2 = 0 — 1,2.На рис. 15.14 для этих же сечений даны значения	. Кривые для различных значений fj. отвечают со-hстояниям сече-;ия с частичной текучестью в более сжа¬ той полке двутавра (^ F\ — упругая зона этой полки).15.3.3.	Косой изгиб со сжатиемВнецентренно сж.ятые стержни, имеющие толсто¬ стенное, сплошное или замкнутое поперечное сечение, имеют малые деформации закручивания и ими можно пренебречь. Критическая сжимяющая сила может вы¬ числяться по обобщенной формуле Эйлера [11]т?Е1NKP = -^-.	(15.36)Для упругих стержней вместо h подставляется меньший из главных моментов инерции сечения; для стержней из материала с криволинейной диаграммой с—е это—момент инерции второго расчетного сече¬ ния.Для стальных стержней (при диаграмме а — е, близкой к идеализированной упруго-пластической) при односторонней текучести в критическом состоянии про¬ верка производится по следующим формулам:7r:2£/minN<	1	; Mx = Ney<(FR-N)a-•• /2My - Nex < (FR — N)alx .(15.37)Здесь R — расчетное сопротивление или предел те¬ кучести с^али; jmm —меньший из равных моментов инерции упругого ядра относительно его собствен¬ ной центральной оси; а1х» а1у — проекции на главные оси всего сечения отрезка, соединяющего центры тяжести всего сечения и упругого ядра.15.4.	УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ15.4.1.	Упругий стерженьДля тонкостенных стержней, сжатых центрально или внецентренно силой, приложенной на-оси симметрии илив центре изгиба, возможны три формы деформирова¬ ния в критическом состоянии, каждой из которых отве¬ чает свое значенир критической силы. Практическое зна¬ чение имеет наименьшая из трех критических сил.Значения критических сил для стержня, шарнирно опертого по концам, при центральном сжатии для про¬ филя с двумя осями симметрии даются формуламиъ2Е1хnv =к2Е1 у /2ъ2Е I (о GIK4 ' “N°> = ,2 г +' _2 *' пгде/.г + /у(15.38)(15.39)/о, =ju2dF— бимомент инерции (секториальный мо¬ мент инерции);/к—(другое обозначение /а)—момент инер¬ ции при свободном кручении;Wjti Ny — изгибыые (эйлеровы) критические силы;—	соответствует крутильной потере устой¬ чивости.Для двутавра1КN.(15.40)/г 1 ( hf 42 где А = — 	4 \ г .ht — расстояние между центрами полок;D = —GUEJV(15.41)В табл. 15.13 приведены значения /С, D для двутавров (£=2,1 106 кг/см2, С?=8 105 кг/см2). Пример расчета см. в 16.3.Таблица 15.13Постоянные /С, D для двутавров (ОСТ 10016-39)№профи¬ляг в смКD в м1№профи¬ляг в смКD104,411,0981,72736а14,61,3800,185125,201.1471,28736Ь14,31.4390,214146,011.1840,9636с14,01,5010,255166,841.2010.74340а16,11.4120,15418/.621.2310,61840Ь15,81.4Ы-0,17920а8,421,24$0,51040с15,41,5440,21520Ъ8,221,31*о.еоз45а17.91,4500,13322а9.281.2-il0,40445Ь17,61.5010.15422Ь9,061 3110,47245с17,31.5540,18024а10,01.2710,34750а19,91,4490,11324Ь9,81,3670,41550Ь19,61,4940.12827а11.11,3130,28550с19,21.5580,14927b10,91,3620.32*55а21,81,4670,09330а12,31.3330.24455Ь21,41.52 \0,108зоь12,01,4010.28755с21,11,5(>80.12330с11.81.4500,34060а23,71,4820,078.33а13,41,3/00.214еоь23,41,5210.088ЗЗЬ13,11,4430.25060с24,91,4460,08633с12,91.4800.2961 По материалам А. А. Пиковского.
15 5. УСТОЙЧИВОСТЬ СКВОЗНЫХ СТЕРЖНЕЙ- 765£сли сечение имеет одну ось симметрии (ось Ох) и сжимающая сила приложена на оси симметрии, тоN1==NXt N2 = Ny ,[В - Ув*-ААС] . (15.42)в своей плоскости (a=Q; 0=0) и поворота (<р=0) от¬ носительно продольной оси стержня, но не стеснены от поворота относительно свсих главных осей и деплана- ции {и' ф 0,e v' =£0, ср' ф 0). При иных закреплениях концов стержня расчетные значения моментов инерции Vx*ly> ) и эксцентрицитетов (ех — ах) и (еу — ау) сжимающей силы относительно центра изгиба получают¬ ся умножением их действительных значений на попра¬ вочные коэффициенты [15,1].Для ориентировочных расчетов берется приведенная длина стержня /р., где (х — коэффициент, отвечающий формуле Эйлера Поверка устойчивости выполняется по таблице коэффициентов <р с той разницей, что аргумен¬ том является не максимальная гибкость Xmax = I rm\ntа значение Я,тах = я]/"EF, NKp-, если NKp=N3, то Х'=Х.Внецентренно сжатые тонкостенные стержни при про¬ извольных эксцентрицитетах см. [7, 11].В последнее время установлено, что для определения несущей способности эксцентрично сжатого тонкостенного стержня при произвольных эксцентрицитетах необходи¬ мо производить деформационный расчет на прочность, см. 16.3.8, также [47].15.5.	УСТОЙЧИВОСТЬ СКВОЗНЫХ СТЕРЖНЕЙгде+ 2Рлех — (*о — ех)г;B = (NX + Njr*+ 2 $xexNx- С = NxN m г® ,здесь2	2r2==rp +л'о » *0 (другое обозначение аг) — абсцисса центра изгиба, ех — эксцентрицитет сжимающей силыUyотносительно центра тяжести, рАГ= ~~ —*q, Uy^jy'xdF+j'JitdF.	УПри двух осях симметрии (сила N <на оси Оу)N3 = kNy,где величина коэффициента к берется с графика на рис. 15.15.15,4,2.	Стержень в упруго-пластической стадииФормулы (15.38) справедливы также и для расчета стержней, в части обьема которых имеются пластиче¬ ские деформации, однако в этом случае в формулы нужно представлять значения моментов инерции второго расчетного сечения (/2Л:, 12у* ^к), а все остальные геометрические характеристики вычислять для первого расчетного сечения в середине длины стержня (г\, р1дг,вце» &1х)‘15.4.3.	Дополнительные указанияФормулы (15.36)—(15.38) относятся к стержням, у которых концевые сечения закреплены от перемещений15.5.1.	Расчет по нормамПриближенное определение критической сжимаю¬ щей силы ^для сквозных центрально сжатых стержней с решеткой (рис. 15.16, а, б, в, г) или с планкамиi/v г) j/v д) \/vA1 1д1сэТ	гJ1 1 X5Рис. 15.16(рис. 15.16, д) из элементов без существенных на¬ чальных искривлений производится по формуле(цОг(15.43)Здесь /у — момент инерции поперечного сечения стержня (его поясов или ветвей) относи¬ тельно оси, перпендикулярной плоскости решетки;/—длина стержня;Н* — коэффициент приведения длины, опреде¬ ляемый для стержней с решеткой по фор¬ муле
766РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВ27 F„а для стержней с планками—по формуле■/1+Здесь Fb — площадь сечения оаной ветви (поя¬ са) для сечений пэ рис. 15.17, а, б,г или двух уголков для сечений по рис. 15 17,в;F р — площадь сечения одного раскоса при схеме решетки по рис. 15.16,а, г и двух раскосов при схеме решетки по рис. 15.16,6, в\-i-Vf-В ](Pi	V5-гибкость всего сквозного стержня решетки или планокплоскости (рис. 15.17);X г= — * Гвгибкость ветви на участкемежду центрами краиних заклепок или между приваренными планками (в свету).а) _у, 6)ФО»$ у\ t ^IIЛРис. 15.17Условная поперечная сила Q для расчета элементов решетки или планок стальных стержней принимается следующей величины: Q==40/7 в кг для стержней из стали марки Ст. 3, Q = 80FB кг для стержней из низ¬ колегированной стали.Г=1_!Рис. 15.18При поперечном сечении сквозного центрально сжятого стержня по рис. 15.18 его устойчивость отно¬ сительно оси у— у проверяется по формуле (15.43) с подстановкой в нее следующих значений fJ.: для стержней с решеткойдля стержней с планками-/■+4+4относительноотносительноv	УЗдесь приняты обозначения:\у > Хх — гибкость всего стержня оси у — у\\\% А,2—гибкости отдельных ветвейосей /—/ или 2—2 (рис. 15.18) на участках между узлами;FL\, Fb 2—площадь сечения пары ветвей с общей осью 1—/ или 2—2\Fpi, FР2—площади сечения раскосов решеток в од¬ ном горизонтальном сечен.1ч, лежащих в плоскостях, соответственно перпендикуляр¬ ных осям 1—1 и 2—2.15.5.2. Уточненные формулыБолее точные значения критических сжимающих сил для центрально сжатых сквозных стержней с ре¬ шеткой из элементов без существенных начальных ис¬ кривлений могут быть получены по формулам: для стержня по рис. 15.16,аWKP =11 +nztJv1+/2 \EFps\nycos2y aEFc для стержней по рис. 15.16, б, в, гуККР7С2£/у11 +К2Е1у/21EF р si пер cos2cpВ этих формулах;Fp — площадь сечения всех раскосов, пересекаемых одним поперечным сечением; при схеме решетки по рис. 15.16, а или 15.16, г и сечении по рис. 15.17, в—это площадь одного раскоса; при схе¬ ме решетки по рис. 15.16, б или в и сечении по рис. 15.17, а, б или 15.17, г — это площадь че¬ тырех раскосов;Fc —площадь сечения стоек (распорок) в одном уровне стержня.Значения критических сжимающих сил для централь¬ но сжатых стержней с планками, если количество пане¬ лей не менее пяти, могут быть получены по формуле7VKP =*2E/V11 +тi*Ely / ab ~Г* [ 12ЫС+24 £/нпа \ • GFJ)Fc и /с — площадь сечения и момент инерции стоек (распорок) в одном уровне стержня; п — числовой коэффициент, равный 1,2 для пря¬ моугольного поперечного сечения;G — модуль сдвига.Если расстояния между распорками значительны или пояса (ветви) сквозного стержня очень гибки, то критическая сила определяется из формулыККР :а* Г, *гЕ/у1 = 	 1+ 	“2ti *£/* [	/*I аЬ \ 12 £/спаGFcb)]*
15.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА БАЛОК767В-1 +Iуа2 2LJ2+ ■П2Е1у~¥~С =ab12 Е1С п2Е1у /2+а2па24 EI9 GFcbУ-15.5.3.	Внецентренно сжатые сквозные стержниВнецентренно сжатые сквозные стержни, а также центрально сжатые, но имеющие элементы со значи¬ тельными искривлениями, рассчитываются следующим приближенным методом [II]1.Критическая сжимающая сила п*Е1оWkp = —-^-S,	(15.44)/2где / — длина сквозного стержня;/3= FxFiH*	—	,F& + F&где Н — расстояние между центрами тяжести поясов в плоскости изгиба.При одинаковых площадях сечений ветвей Fi=- F—F2=—момент инерцииFH2гдег?9 =Si + £2Величины относительных касательных модулей Si и £2 определяются по диаграмме сжатия стержня с соответствующим начальным искривлением при дейст¬ вительных напряжениях в ветвях2, которые определя¬ ются из формулaNl = -^Г- = jjj	т9 —f) ,N2 NaN2 “ г ==г-гж(^1 + /и®+/)‘Здесьт0— я	««E/j/=-	11 АГ,	—;N.	а*_L -1 Nh = FxF2H2 -f 1^)1 + /Vfc—	расстояние между центрами тяжести менее сжатого пояса и всего сечения.При одинаковых площадях сечений ветвейFi=F2= -у-/, = « 14	Ъ + *1»Значения а ^ при различных относительных секу¬щих модулях % и *г)2 определяются по формуле+ /у)2(^^ i 'll + ^2^2—р1г1лн1 + F2MH — Н1)fc» = lОбозначения см. в 15.3.5» отвечает разгрузке ветви; приближенно можно приниматьПри одинаковых площадях сечений ветвей-Ъ--Ъ	171	2(7)! + rj2)S = •1+Г.2/,l2Fр £р sin2cp coscpгде Sp— относительный касательный модуль с диаг¬ раммы сжатия раскоса.Для гибких сквозных стержней и малых попереч¬ ных нагрузок S£: I.Расчет по этим формулам производится путем пос¬ ледовательных приближений.Тонкостенные стержни с планками см, [33].15.6.	УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА БАЛОК15.6.1.	Устойчивость двутавровых балокБалка, нагружаемая силами, действующими в плос¬ кости ее наибольшей жесткости, являющейся плоскостью- симметрии, вначале деформируется только в этой плоскости. При достижении нагрузками критических величин плоская деформация перестает быть устойчи¬ вой и дальнейшее увеличение нагрузки сопровождается изгибом в плоскости наименьшей жесткости и круче¬ нием.Ниже рассматривается такая балка постоянного се¬ чения. Прямолинейная ось балки принята горизонталь¬ ной, плоскость действия нагрузок остается все время* вертикальной. Приведены формулы для определения критических нагрузок. Расчет стальных балок двутав¬ рового сечения, имеющего две или одну ось симметрии, см. 15.6.2.Критическая нагрузка двутавровых балок, сечение которых имеет две оси симметрии, определяется по- формулам табл. 15.14.В табл. 15.14: /—пролет балки; С/— расстояние точки приложения нагрузки от ближайшей опоры; В—Ely— жесткость при изгибе в плоскости наибольшей гибкости (в горизонтальной плоскости); Е—модуль- продольной упругости; /у — момент инерции сечения относительно оси у\ С = &/к — жесткость при чистом кручении; G — модуль сдвига; /к = 0,433 S6/3; but — соответственно ширина и толщина элементарных пря¬ моугольников, образующих сечение. Значения коэф¬ фициентов k приведены в табл. 15.15—15.22 в зави¬ симости от типов нагрузки, места приложения ее, ус¬ ловия закреплений концов балки и от величины коэф¬ фициента40/к£/„где v — коэффициент Пуассона.Рассматриваются следующие условия опирания.1.	Шарнирное опирание Опорные сечения могут сво¬ бодно поворачиваться относительно своих главных осей (х и у), перемещаться вдоль оси балки и депла- нировать, но закреплены от смещений в своей плоскости и от поворота вокруг продольной оси балки.2.	Концы закреплены от вращения относительно вертикальной оси у (от поворота в горизонтальной плоскости). Депланация исключена.3.	Дополнительные связи посередине пролета шар¬ нирно опертой балки препятствуют повороту сечения- балки относительно продольной оси.
768РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВТаблица 15.14 Критическая нагрузка двутавровых балок, сечение которых имеет две оси симметрииРасчетные схемы и формулыSSе - о е.I1>> сМк р =kV ВСр.k V вс(рОкр =k V ВСпРгшЬшшщВ заделкеМ,knV ВСкрНомера таблиц, по которым определяется коэффициент k3) М;= Мгтабл. 15.15б)	МА >MBi вместо k вводит ся rfc, где т] оп¬ ределяется по рис. 15.19в)	Примечание к табл. 15.15а)	С = 0,5, табл. 15.16б)	С < 0,5, вместо k вводится rk где г из табл. 15.17Табл. 15.18 Табл. 15.19Табл. 15.20 Табл. 15.21 Табл. 15.22kn определяется по рис. 15.20/jj—момент на концеk2—сосредоточен¬ ная сила в цент¬ ре тяжестисосредото¬ ченная сила соответ¬ ственно к верхнему и нижнему краям кон¬ цевого сече¬ нияkb — равномерно распределенная нагрузка по оси балки&6-то же, поверхуРис. 15.19Рис. 15.20Таблица 15.19Значения k при одинаковых моментах на концах балкиа0.11.02.04.06,08.01012k31,410.367.665.855.114,704,434.24а16202428323640100k4.03,833.733.663.593,553,513,29Примечание. При «>100 можно принять £=* . Пря закреплении концевых течений от поворота относительно вер¬ тикальных осей и одинаковых моментах на концах можнфIпользоваться табл. 15 15, но при вычислении * принимать ^вместо I, а коэффициенты k, вычисленные по табл. 15.15. перед подстановкой в формулу для Мкр умножать на 2.
15.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА БАЛОК769Таблица 15.16Значения /г, /гв, &нпри сосредоточенной силе посередине пролета ( С = 0.5)а0,44,08.015243248k86,431,925,621,820,319,618,8*в51,220,217,015,515,114,914,8К145,650,038,230,427,225,523,5а648096160240320400k18,318,117,917,517,417,217,2kB15,015,015,115,315,515,715,8kH22,421,621,120,019,318,918,7Примечание. kB— в случае приложения нагрузки к верхней полке балки; kH— в случае приложения нагрузки к нижней- полке; коэффициент k без индекса соответствует приложению нагрузки к оси балки.Таблица 15.17Отношения критических сил и напряжений при С < 0,5 и приложении сосредоточенной силы к оси балки (С—отношение расстояния точки приложения силы от опоры к расчетному пролету /)С0,50,450,400,350,300,250.200,150,10'с1,0001,0121,0511,1231,2401,4221,7172,2353,305рС = 0,5IIоСП1,0001,0031,0101,0241,0411,0671,1001,1421,192Примечание. Коэффициенты увеличения критической силы при С<0,5 приведены во второй строке таблицы. В третьей строке приведены соответствующие отношения крити¬ ческих напряжений в сечениях под грузом.Таблица 15.18Значения к при сосредоточенной силе в центре сечения посередине пролета балки с концами, закрепленными от поворота в горизонтальной плоскостиа0,44816243264128200320к26888,865,550,243,640,234,130.729.428 4Таблица 15.19Значения k при сосредоточенной силе в центре сечения посередине пролета балки с шарнирно опертыми концами при дополнительных связях посередине пролетаа0,4481632961128200400к46615414486.469,254,552,449,847,4Таблица 15.20Значения /г, /г в и &н в случае равномерно распределенной нагрузки и шарнирных опор балки (см. примечание к табл. 15.16)О.0,4481624324800143,093,053,036,442,630,136,327,633,826,732,62J.131,525,4kH222,077,358,947,943,440,437,6а6480128200280360400к*в30,526,030,125,929,226,029,026.523.82j.Q28.726.728.626,7*н36,235,233,332,231,531,130,8Таблица 16.21 Значения k в случае равномерно распределенной нагрузки по оси балки при закреплении концов от поворота в горизонтальной плоскостио0,44,08,016,032,0196,0128200400k48816111991,373,058,055,853,551,2Таблица 16.22Значения к, kB и kn в случае равномерно распределенной нагрузки и шарнирных опор при дополнительных связях посередине пролетаа0,44,08,0166496128200k6732211641268779,576,472,8кв5891951431118074,271,569,2*н7772541841429686,081,577,1Если к нагрузкам, приложенным к оси балки, до¬ бавляются пары сил на концах, вызывающие чистый изгиб [3], то критический момент посередине опреде¬ ляется по формулеМКр = fiM ,	(15.46)где М — критический момент при чистом изгибе, а зна¬ чения р. берутся из табл. 15.23.Учет прогиба балки в плоскости изгиба [3]В случае чистого изгиба двутавровой балки критиче¬ ский момент с учетом прогиба определяется из уравне¬ нияад._й.(1-£)(1—(15.47)где49 Зак. 2098
770РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВЗначения fxТаблица 15.23В случае шарнирного опирания концов (п= 1) учет прогиба приводит к увеличению критического момента в т раз:т =		1	—. (15.48)При заделке обоих концов п=2; в случае консоли и момента на конце, вектор которого поворачивается вме¬ сте с концевым сечением, п=Критические напряженияНаибольшие критические напряжения в сечении, со¬ ответствующем наибольшему моменту, вычисляются по следующим формулам:в случае действия моментов на концах<jkP — Мкр ^ —kV~./«А*kV «1x121у__/, ' Р'при сосредоточенной силе посередине пролета^крL h = я 2 /г 16°КР = 'ф =ЕФ , (15.49) (15.50)ЕФ . (15.51)Если точка приложения груза находится на расстоя¬ нии С/ от опоры, то наибольшее напряжение в сечении под грузомакр —	... ЕФ С (1 — С). (15.52)4При равномерно распределенной по балке нагрузке к]/~~ааК р=.32. ЕФ •(15.53)В заделке консоли	 kV а°кр =ЕФ.(15.54)Балки с продольными связями [7, 3]Под продольными связями понимается горизонталь¬ ная ферма, подкрепляющая балку в отдельных точках (узлах). При связях в плоскости растянутого пояса их влияние увеличивается с увеличением параметра а. Значения коэффициента увеличения критической нагруз¬ ки 7 см. в табл. 15.24 и 15.25.Т а б лица 15.24Значения коэффициента 7 в случае чистого изгибаа01020304071,01,061,161,251,35Таблица 15.25Значения коэффициента 7 в случае сосредоточенной силы посередине пролетаа1816243248Тпринагруз¬кеповерху-1,041,051,071,111,19понизу1,491,721,982,202,402,79Если связи расположены в плоскости сжатого пояса, потеря устойчивости возможна только на участках меж¬ ду узлами.
15.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА БАЛОК771В случае равномерно распределенной нагрузки можно пользоваться формулой ([77] и [82])<*КР= 			2v	2/0,81	__1,74 —/2	h(15.55)Здесь V — уровень приложения нагрузки, аf—уровень плоскости связей над осью балки.Если связи расположены выше оси балки более чем на 0,47с;, то потеря устойчивости возможна только на участках между узлами связей. Уровни ниже оси балки вводятся со знаком минус.Влияние перехода критических напряжений за предел пропорциональности1Если напряжение переходит за предел пропорцио¬ нальности, то критическую нагрузку можно рассчитать, применяя вместо постоянного модуля продольной упру¬ гости Е переменный модуль £'=?] £, например каса¬ тельный модуль или модуль Энгессера—Кармана; здесь т]—коэффициент, зависящий от напряжения. Если принять, что модуль сдвига изменяется пропорцио¬ нально модулю продольной упругости, то величина критической нагрузки, определяемая по формулам табл. 15.14, в случае перехода напряжений за предел пропорциональности должна быть умножена на коэф¬ фициент т).Если же на основании результатов эксперименталь¬ ных работ [25] и [87] для стальных и алюминиевых ба¬ лок принять модуль сдвига постоянным, то поправоч¬ ный коэффициент, учитывающий переход критических напряжений за предел пропорциональности,(15.56) двутавровыхk-V= V Ч •15.6.2. Устойчивость стальных балокСогласно НиТУ 121-55 [44], проверка общей устойчи¬ вости балок не требуется в следующих случаях:а)	при наличии настила по балкам или монолитной железобетонной плиты, опирающихся на сжатые пояса и препятствующих повороту сечений балок;б)	при отношениях свободной длины сжатого поясадвутавровой балки к его ширине(т)-не превышаю¬щих значений, приведенных в^[44, табл. 21 (23)]. Более точно предельные значения ~ определяются по фор¬ мулам табл. 15.26;в)	проверка устойчивости прогонов при наклонной кровле не требуется, если составляющая нагрузки в плоскости настила воспринимается настилом или специ¬ альными устройствами.Проверка устойчивости балок согласно [44] произво¬ дится по формулеМ < /жрб R ^бр »	(15.57)где М — расчетный изгибающий момент;Weр— момент сопротивления сечения брутто;R — расчетное сопротивление изгибу прокатной стали:1 Для стальных балок см. 15.6.2, табл. 15.30.т — коэффициент условий работы (как правило, равный единице);<Рб — коэффициент уменьшения несущей способности изгибаемых элементов при проверке общей устойчивости.Таблица 15.26Наибольшие отношения —, при которых не требуетсяbпроверка общей устойчивости двутавровых балок из сталей марок Ст.О, Ст.2, Ст.З, и Ст.4Тип балкиРасчетные формулыЗначения коэффициен¬ тов а при нагрузке, приложеннойк верх¬ ней полкек ниж- не,й полкепричистомизгибеСварная±-) (W-L)132015,2Клепаная+ тг)(1+“т)9,313,810,6Обозначения: /—расстояние между точками закрепления сжа¬ того пояса от поперечных смещений; but — ширина и толщина пояса; h — высота сечения.IДля сталей марок Ст. 5 и НЛ1 значения-^*, опреде¬ ленные по табл. 15.26, умножаются на 0,91; для НЛ2 — на 0,84.Балки с сечением, имеющим две оси симметрииКоэффициент 9б определяется по формуле10».	(15.58)Нг>‘Значения коэффициентов ф берутся из табл- 15.27— 15.29 в зависимости от параметра При ^ =0,34/*G_Е(т)’=утттмг(т)'=-'-54 8 («)'('+ ^)-Здесь t — толщина стенки балки, включая полки угол¬ ков;t] — толщина полки балки, включая полки угол¬ ков;d — высота вертикальной полки уголков плюс толщина пакета горизонтальных листов. Дляhсварных и прокатных балок d — — .При наличии связей в пролете независимо от места приложения нагрузки коэффициент ф определяется из второго столбца табл. 15.27. В этом случае / — расстоя¬ ние между точками закрепления сечений от поворота. При одном закреплении в пролете и нагрузке по нижней полке следует пользоваться пятым столбцом.Для неразрезных балок, имеющих три или более равных пролета, невыгоднейшей является нагрузка толь¬ ко в крайнем пролете. Этому случаю соответствуют значения Ф, приведенные в табл. 15.29 [23].49*
772РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВТаблица 15.27 Значения ф Для балок со свободно опертыми концамиТаблица 15.30«ЧистыйизгибСосредоточенный груз посередине пролетаРавномерно распреде¬ ленная нагрузкапо¬верхупо осипонизупо¬верхупо осипонизу0,12,171,732,945,001,572,453,810,42,201,772,985,031,602,493,8512,271,853,075,111,672,543,90■ 42,562,213,505,471,982,924,2382,902,653,975,912,353,314,59163,503,374,796,652,993,935,24244,004,035,467,313,554,535,79324,454,596,087,924,045,076,25! 485,235,607,138,884,905,977,13. ; 645,916,528,009,805,656,687,92806,517,318,8410,596,307,388,58' 9137,078,059,5611,296,937,979,211288,079,4010,5012,678,059,1310,291608,9510,5912,1013,839,0410,0511,3024010,8513,2114,7516,3611.2112,2013,4832012.4415,3116,8318,5513,0414,0015,29: 400 I13,9117,2413,8320,4814,5715,7116,80Таблица 15.28Значения ф при сосредоточенном грузе, приложенном в центре тяжести сечения на свободном конце консоли0,13,05ф	5,253,44123,76 4,10144,25 4,6416 24324,96405.69 5.90 6.63 7,27 7,7Таблица 15.29 Значения ф для неразрезных балокЗначения ф при нагрузкеОтно- ф неразрезных балокшение , " ф разрезных балокасосредоточен¬ ной посереди¬ не крайнего пролетаравномерно ^распределен¬ ной в крайнем пролетепри нагрузке, сосредоточен¬ ной посереди¬ не крайнего пролетапри нагрузке, равномерно распределен¬ ной в крайнем пролете0,47,835,811,551,5048,356,251,521,4888,836,691,491,44169,697,381,451,412410,448,001,421,383211,158,561.411,374812,359,581,391,346413,4410,481,371,329615,3112,021,361,3012816,9413,331,341,2916018,4014,521,331,2820020,0415,881,321,2724021,6017,081,321,2728022,9418,231,311,2732024.2319,271,301,2640026,6021,211,301,26Если <Рб, вычисленное по формуле (15.58), превосхо¬ дит 0,85, то, учитывая переход напряжений за предел пропорциональности, в расчетную формулу (15.57) сле¬ дует вместо <рб подставить <Рб» определяемое по табл. 15.30-Значения коэффициентов ?б<Рб0,850,900,951,001,051,101,151,200,8500,8710,8900,9040,9160,9270,9380,948^б1,251,301,351,401,451,501,55 и более0,9570,9640,9730,9800,9370,9941.00Переходныесталейкоэффициенты для разных марокТаблицы значений ф составлены для балок из сталей марок Ст.0, Ст.2, Ст.З и Ст.4, имеющих предел теку¬ чести 2,4 т/см2 и несколько ниже. Для сталей марок Ст.5 и HJ11 значения ф, определенные из табл. 15.27— 15.29, должны быть умножены на 0,83, для сталей НЛ2 —на 0,71.Балки с усиленным сжатым поясом, симметрично расположенным относительно оси стенкиТочное решение имеется только для случая чистого изгиба и потери устойчивости в упругой области [7].Согласно [44] разрешается следующая приближенная проверка.	'1.	Коэффициент ^б определяется по формуле«рб = ф-^-10»,	(15.60)1Х12где у\— расстояние по оси у наиболее удаленного во¬ локна сжатого пояса от центра тяжести по¬ перечного сечения.2.	Значение коэффициента Ф определяется следую¬ щим образом:а)	для балок без закреплений в пролете при п <0,8 — по табл. 15.27;б)	для балок, имеющих связи в пролете, а при п>0,8 и для балок без закреплений в пролете —по фор¬ муле 				ф = £)/ а + 40л(1— п).	(15.61)Значения ? принимаются: 0,69 — для балок из сталей марок Ст.0, Ст.2. Ст.З и Ст.4; 0,56—для балок из сталей марок Ст. 5 и НЛ1; 0,48 —для балок из сталей НЛ2;п = 	.	(15.62)h +При вычислении моментов инерции поясов 1\ и /2 стенка балки и вертикальные полки поясных уголков не вклю¬ чаются. Коэффициент « вычисляется по формуле (15.59), причем b и h — ширина и толщина сжатого пояса.Германские технические условия [77] содержат сле¬ дующую приближенную формулу:°кр =ЩУ1+ g2(15.63)
15.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА БАЛОК773Здесь С — коэффициент, зависящий от типа нагрузки. При двух одинаковых моментах на концах, т. е. при чистом изгибе, С = 1, при моменте на одном из концов С =1,77, при равномерно распределенной нагрузке С =1,12 и при одном грузе посередине пролета С = 1,35;"у =У.Е1 vГлавная ось балки у направлена в сторону усилен¬ ного сжатого пояса, тогда v — расстояние точек прило¬ жения нагрузки от оси балки х (со знаком минус, если нагрузка приложена ниже оси балки);ГХ= ^-|(*2 + Л ydF = у- |f - F%h\ -4~ ( Л2 Al) + У о1 У j :v_ — {h\Fi — h2F2) — координата центра изгиба;у о /уFj, F2 — площади сечений соответственно сжатого и растянутого поясов;		-+0,039(е/)2/к.h\, h2—расстояния центров тяжести соответственно сжатого и растянутого поясов от центра тяже¬ сти сечения;т:2Х “ £2При шарнирном закреплении концов е =1; при жест¬ ком закреплении концов е =0,5; при ул-ругом закреп¬ лении концов 0,5< е <1; /к	b и t—соответ¬ ственно ширина и толщина элементарных прямоугольни¬ ков, образующих сечение; X — коэффициент, зависящий от формы сечения. Для двутаврового сечения с двумя осями симметрии среднее значение х = 1»3; для таврово¬ го сечения Х~Ы5; для двутавра с одной осью сим¬ метрии Х=1>2./ =/,/2Киha— расстояние между центрами тяжести поясов.15.6.3.	Устойчивость балок прямоугольного сеченияФормулы для вычисления критических нагрузокФормулы даны в табл. 15.31 и 15.33. Обозначения см. на стр. 774.Таблица 15.31Формулы для вычисления критических нагрузок консольных балок прямоугольного сечения. Нагрузка приложена к оси балки№ п/пСхема нагрузкиРасчетные формулыПримечаниеа).№а)	Ркр = 4,01б)	Якр = 6,97— 4 П1 Vj£_/2Vbc/2а)	Конец свободенб)	Концевое сечение ] не поворачивается вок- g руг продольной оси и j не смещается в гори- \ зонтальной плоскости 5HIРкр = 5,50.. жУ ВС Мкр= —г-	(р/)кр = 12,85УвеI*Один конец защемлен; другой может переме¬ щаться, но не может поворачиваться [14]
774РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВПродолжение табл. 15.31Обозначения:ЪН8	ЬЬ3В, = Е1Х=Е—^-, В=£/у = £— ;С = G7K = O-j № ( 1 + 0,63 y) -где b — ширина;h — высота сечения;1при h>Ab С= Cl — bsh:«3v — уровень приложения нагрузки над осью балки (со знаком минус в случае приложения на¬ грузки ниже оси балки).Таблица 15.32Коэффициенты k\ при сосредоточенной силе, приложенной к оси балки, на расстоянии С I от опоры ^291С0,50.450.400,350,300,250,200,150,100.0513,917.117,819,021,024,1"29,137,956,0111,6(этой формулой можно пользоваться только при У <0,25).При равномерно распределенной нагрузке тАько в крайнем пролете(РОкр = 45.9	(1~2,33Т|/Г"Б”)’ (15-65)Эти формулы могут быть применены и при большем числе равных пролетов, так как увеличение числа про¬ летов несущественно увеличивает устойчивость балки.Влияние прогиба балки в плоскости изгибаВ случае сосредоточенной силы, приложенной к цент¬ ру тяжести сечения посередине пролета полосы с шар¬ нирно опертыми концами, критическая нагрузка увеличи¬ вается с возрастанием ■у. В табл. 15.34 приведены зна¬ чения коэффициентов k в формулеkV~BC‘ = 	— •/*^КР =(15.66)Для случая приложения сосредоточенной силы или равномерно распределенной нагрузки к оси балки при различных типах опорных закреплений значения коэф¬ фициентов k\ приведены в [37].В случае равных пролетов и нагрузки только в край¬ нем пролете трехпролетной неразрезной балки [23] при сосредоточенной силе посередине пролетаКритические напряжения определяются по формулеМкР МкР»6W6V Ыг*(15.67)В случае полосы из стали, т. е. при Е=2,1 • 10б кг/см2 и коэффициенте Пуассона v =0,3:= 26,3“^Г“ (1~2,67Т]/Г "т) (15,64) VbC'-bVi.M -1,24Е/У; j/" =0,806 .
15.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА БАЛОК775Таблица 15.33Формулы для вычисления критических нагрузок балок постоянного прямоугольного сечения при шарнирном закреплении концов№ п/пСхема нагрузкиРасчетные формулыПримечаниеИ-—		г-n rмМкп= *УВСWa V.T,.г\ определяется по рис. 15.19при а= ооP1. _,_T7^1yt_i——i^кр.26.9Ук ^_3 48IKD	k\ по табл. 15.32 [29]НИШНИШНШНННШНШНИМИ¥, ,, 28,31f В (рт)кР =/2Iг/ pi \ _ 21,4 VВСI 2 )KP /*(Яг27,6 1/ВС 12I:p/ \ _ 27,3Vbc2(fi1[3]
776РАЗДЕЛ 15. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВТаблица 15.34 Коэффициенты k в формуле (15.66)b!h01/101/51/31/2k16,917,117,518,721,6Для стальной полосы с шарнирно закрепленными концами при сосредоточенной нагрузке посередине про¬ лета, приложенной к верхнему краю:ЧРв = 2 300 —— ^ 1 — 1,40 -j~j; (15.68) при равномерно распределенной нагрузке поверхуhi(15.69)Если Тб >0,85, то в формулу (15.57) вместо 9б под* ставляется <pg» определяемое по табл. 15.30.
РАЗДЕЛ 16УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 16.1. ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ ДЛЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОКдля бруса 2Приведенные значения критических эйлеровых нагру¬ зок для реальных конструкций должны рассматриваться как верхние границы истинных предельных нагрузок. При расчете по деформированной схеме (деформационном расчете) они используются в формулах для приближен¬ ного определения перемещений (см. 16.3.2).Критическая нагрузка или комбинация критических нагрузок определяется по готовым формулам, графикам или из уравнения устойчивости (путем подбора). Вели¬ чина критической нагрузки зависит от поведения сил при перемещении сооружения в момент потери устойчивости, В дальнейшем везде, где нет особых указаний, считает¬ ся, что силы при перемещении сооружения сохраняют свое направление, т. е. перемещаются, оставаясь парал¬ лельными своему первоначальному положению (силы веса).16.1.1.	Многопролетные брусья на жестких опорах [85]К рис. 16.1,а: для бруса 1(16.1)Ркр =К рис. 16.1,6. Уравнение устойчивости:1	1 1®3 ^2^2= 0.Здесь «1 и а3 зависят от нагрузок Pi и Р2:«1= л/ ; “з= л/V	Е1г V BitВ случае Рг= 0 и /|=/г=/ т£Е1Ркр = о ^2 •4(16.2)(16.3)(16.4>е)в)pf 3Р2?г5ч2п,А, ЬVЛL•г*Д.-ri2.0\18\1.6s\Лу14\\\Г>к1.2X> —'\\го\NNО 0,2 0Л 0,6 0.8 1.0*ы5 ‘4.0	"3.53.02.52.01.5го0.5очNNN.NN\%ЛNN\\ч^	Рис. 16.10,1 0.2 0J 0.4 0J5 f r 22Л Э •const fLa
778РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМВ случае Рi=0 и /i=/2=/ *2 EIТаблица 16.1Ркр =V3 ■(16.5)К рис. 16.1,0. Уравнение устойчивости:1 1 1aiAt g^h	a3I2t ga3l2 a3I2sina3/21—	Г,	= 0.al I\hВ случае Рг=0 и I\=h=I ъ*Е1(16.6)^кр —/о(16.7)В случае Р\=0 и h=I2=IК рис. 16.1,г:712Е1 *кр = ~г~ ^6 *а'2(16.8)(16.9)Значения т)6 даны в табл. 16.1 в зависимости от п — числа пролетов.О)i-Значения%п23468\2,0461,5021,3021,1331,07416.1.2. Многопролетные брусья на упругих опорахОбозначения: с — отпорность упруго смещающейся опоры (кг!см)у а = |/ гг- , EI = const.• “ = ]/ ~тт ■ Е1 = 'Уравнение устойчивост+ ali —	—)=0. (16.10)pi,	\ct I* 1К рис. 16*2,а. Уравнение устойчивости: tg«/i tgi tg°^i + tga /2 В случае /i=£2PKp = 4и2Е//2*^7;приближенногс2£/	и2£/+ 0,187£/ при Ркр<4-Якр ='./2/2К рис. 16.2,6:к2 EIРкр — 4 “ ^8 >приближенноTZ2EI^кр = ^ /2 + 0,20 с/ , I2$р р4- а *4* оJI5)р £ш р 'W*—1Ж—^	зг-+-q —1—■ a(16.11)(16.12)(16.13)(16.14)Рис. 16.2
16.1. ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ ДЛЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК 1-го РОДА779Формула (16.14) справедлива приРкр<8,18 К рис. 16.2,в:ъ2Е1I2Лф =7Z2EI а*% -К рис. 16.2,г:Ркр = '7l2 EIа2(16.16)К2Е1	ТС 712Е1при с > 4 		— cos2	— > С —"—аА	2 п а?где п — число пролетов;дается в табл. 16.2.Таблица 16.2Значения Сп234567С2,03,03,4143,6183,7323.80216.1.3.	Брусья на упругом основанииВесьма длинная балка на упругом основании, сжа¬ тая постоянной силой, выпучивается в плоскости дейст¬ вия основания при значении силы2	п*Е1		Лф — ,2 —2)/" k El • кр(16.17)где ^—коэффициент длины; дается в зависимости от kHаргумента Ф	таблицами 16.3 и 16.4 (см. также16Я/п2Е1 \(16.15) графики на рис. 16.3, где Ркр^ -jj— Ъо •Концы ^шарнирно оперты]цы сЫодньл	го ко во во юо 120 т т &Рис. 16.3Коэффициенты длины для случая, когда сжимающая сила убывает от середины к концам по закону выпуклой квадратной параболы (этот случай соответствует работе сжатого пояса открытого моста или мостового крана в предположении равномерной нагрузки по пролету), см. 16.2.2.Таблица 16.3Коэффициенты длины (шарнирно опертые концы)’ /~ЁГЗДесь'кр=*|/ — ~уу ~1и,	где Л	— _длина полуволныпри выпучивании,характеристикабалки на упругом основании; k — отпорность основания (см. 5.5.6).В случае балки конечной длины критическая сила определяется по формулек2Е1Рк р= 	.	(lb.l*)кр (ill)2 ‘Таблица 16.4 Коэффициенты длины (свободные концы)Ф0151015203656,598,7Р-•02,741.040,9140,8280,7880,6930,6130,518?1502003004005006007501 0000,4510,4140,3720,3420,3240,3100,2920,270
780РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ16.1.4.	Кольца и арки [21]Удлинение оси не учитывается.Круговое кольцо постоянного сечения нагружено равномерным внешним гидростатическим давлением р. Критическое давление при выпучивании в плоскости кольцаРкр = 3-|Г.	(16.19)В случае, если нагрузка сохраняет свое направление при потере устойчивости кольца:Ркр = 4 ~~ •	(16.20)При выпучивании из плоскости кольца (направление нагрузки сохраняется):ркр =	, (16.21)4+EIGIKR3где I — момент инерции сечения кольца при изгибе в направлении, перпендикулярном плоскости оси кольца.Круговая симметричная арка постоянного сечения загружена равномерной гидростатической нагрузкой. Критическая нагрузка при выпучивании в плоскости оси аркиРкр=/(-^-. (16.22)R3Ркр — Ki [3(16.22')Значения К даны в табл. 16.5 (в зависимости от центрального угла арки 2а). Значения Kj даны в табл. 16. 6 (в зависимости от отношения высоты арки к пролету).Таблица 16.5 Значения К для круговой симметричной арки2 а в град.Бесшарнир- ная аркаОдношар¬ нирная аркаДвухшар¬ нирная аркаТрехшар¬нирнаяарка30294162143108,006073,340,23527,609032,417,41512,0012019,110,286,7515011,56,564,754,321808,04,6133,00Для двухшарнирной арки К ■г.2-а2Таблица 16.6 Значения К\ для круговой симметричной аркиL1Бесшарнир- ная аркаОдношар¬ нирная аркаДвухшар¬ нирная аркйТрехшар¬ нирная арка0,158,93328,422,20,290,45039,333,50,393,45240,934,90,480,74о32,830,20,564,03724,024,0Для случая, когда нагрузка остается направленной к центру, значения К даны в табл. 16.7,Таблица 16.7 Значения К для случая центральной нагрузкиЗав град.306090120150180Двухшарнирная арка . . . Бесшарнирная арка ....•14829636,075,216,034,39,120,16,0213,904,510,6Для случая, когда нагрузка сохраняет свое направ¬ ление, значения К даны в табл. 16.8.Таблица 16.8 Значения К для случая, когда нагрузка сохраняет постоянное направление2 а в град.3060120180Двухшарнирнаяарка	14435,98,733,27Бесшарнирная арка29574,919,609,00В случае бесшарнирной арки с упруго защемленными концами значение К при гидростатическом давлении определяется из графика на рис. 16.4, где с—отпорность защемления при повороте (кгсм).При выпучивании из плоскости арки (нагрузка со¬ храняет направление):а)	Концы арки шарнирно оперты так, что могут по¬ ворачиваться относительно главных осей концевых сече¬ ний, но не могут поворачиваться около оси арки.Критическая нагрузкаРкр= <д2-4а2)-2—. А.. (16.23)^кр 4а*(*2 + 4а^) £3В% Bi=EIi и В=Е1 — главные жесткости сеченияВ1арки при изгибе (В — в плоскости арки); А, ==_^Г» С —жесткость при кручении.б)	Концы арки защемлены; при 2 а <45°(тс2 — а2Ркр =а2(я2 + аЧ)В1R8(16.24)
16.1. ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ ДЛЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК 1-го РОДА781при 2 а > 45° и А, =0,65Ркр = к&-(16.25)Значения К см. в табл. 16.9.Таблица 16.9 Значения К при защемленных концах арки2 а в град.459060,1 12,61801,852703600,69 0,60Круговой брус нагружен сосредоточенными равны¬ ми, противоположно направленными моментами на кон¬ цах (чистый изгиб). Критический момент при потере устойчивости плоской формы изгибаEI -4- GIK Л1кР = ™ ± ■2 REI-G!K\2 EIGIK тс22 R+4-R*a 2, (16.26)где / и /к — соответственно моменты инерции сечения <5руса при изгибе в направлении, перпендикулярном плоскости оси бруса, и при кручении;2 а—центральный угол кругового бруса. Знак минус соответствует случаю, когда моменты стремятся умень¬ шить кривизну бруса.Круговая трехшарнирная арка постоянного сечения с ключевым шарниром не на оси симметрии нагру¬ жена равномерной гидростатической нагрузкой р. Урав¬ нение устойчивости:Р + Т\ , Р + 7	' + v —о—•tgvT-tg, Т=°.где р и ] —центральные углы полуарок;(16.27)-/1+pR3ElКоэффициент ср определяется из формул: для арки с раскосной решеткой (р*ис. 16.5, а)1— = 1 + Л'/Я211-)•Fр tg а ‘ Fz sin а cos2 агде Fp—площадь сечения распорки;Рд — то же, раскоса;для рамной (безраскосной) арки (рис. 16.5,6)(16.29)— = 1 + Кal12R2+5Г)-21 одного(16.30) отдельногогде h — момент инерции сечения пояса арки; h — то же, распорки.Параболическая арка постоянного сечения загру¬ жена вертикальной равномерно распределенной нагруз¬ кой, поворачивающейся вместе с элементом арки. Кри¬ тическая нагрузкаРкр = К-^-.	(16.31)Значения К даны в табл. 16.10, 1Таблица 16.10Значения К для параболической арки при равномерно распределенной по пролету вертикальной нагрузке1Бесшарнир- ная аркаОдношар¬ нирная аркаДвухшар¬ нирная аркаТрехшар-ннрнаяарка0,160,733,828,522,50.2101,05945,539,60,3115,0—46,5 •47,30,4111,09643,949,20,597,4—38,4—0,68-4,88030,538,00.859,16320,028.81,043,74814,122,1Примечание. В случае неповорачивающейся—сохраняющей направление-нагрузки значение ркр несколько выше получаемого по формуле (16.31) и табл. 16.10. Отклонение растет с увеличением отноше¬ ния — —см. табл. 16.11 для двухшарнирной арки.IТаблица 16.11Круговая решетчатая арка постоянногосеченият0,10,20,30.40,61,0под равномерной гидростатической нагрузкой.Критиче-ская нагрузкаЕ1Ркр = ?к R3 ■(16.28)Непооорачи- вающиеся силы Поворачиваю¬ щиеся силы (из табл. 16.10)28,546,148,444,931,715,428,545,546,543,930,514,1Значения К см. в табл. 16.5.о)70Ж.!Дуга параболыРис. 16.5Рис. 16.6
782РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМПараболическая арка равного сопротивления притой же, что и в табл. 16.10, нагрузке (рис. 16.6). Сече¬ ние арки — прямоугольник. Критическая нагрузкаРкР=-^“*-	(16-32)Здесь \с — момент инерции сечения арки в ключе.Значения К при /($)=/csec3 $и постоянной шири¬ не сечения арки даны в табл. 16.12.Таблица 16.12Значения К для параболической арки равного сопротивленияЗначения К даны в табл. 16.14, А =тБесшарнир¬ ная аркаОдношар¬нирнаяаркаДвухшар¬нирнаяаркаТрехшар¬нирнаяарка0,165,536,530,7240,213475,859,851,20,3204	81,1830,42771871011180,6444332142—0,8587497170—1.070069/193При I($)=Ic sec & и постоянной высоте сечения ар¬ ки значения К см. в табл. 16.13.Таблица 16.13тБесшарнир¬ ная аркаОдношар-иирнаяаркаДвухшар¬нирнаяаркаТрехшар¬нирнаяарка0,162,334,329.523,20,2112704943, Ь0,3	94—590,415411557680,615213952700,813314044—1.011813337Параболическая арка постоянного сечения под рав¬ номерной вертикальной нагрузкой, сохраняющей на¬правление. Концы арки шарнирно оперты так, что могут поворачиваться относительно главных осей концевых се¬ чений, но не могут поворачиваться около оси арки. Критическая нагрузка, соответствующая потере устойчи¬ вости плоской формы изгиба (рис. 16.7,а) :ркр = К ~ ,	(16.33)I6где /1 — момент инерции сечения арки при изгибе пер¬ пендикулярно плоскости арки.Е1Х 01к ’ Таблица 16.140,71.02.00.128,528,5280,241,541400,34038,536,5В случае, если нагрузка поворачивается вместе с сечением (рис. 16.7,6), значение К для А, =1 дается в табл. 16.15.Таблица 16.15т0.10,20,3К3265137Двухшарнирная пологая арка постоянного сечения с осью, очерченной по синусоиде, загруженная равномер¬ ной вертикальной нагрузкой.4/ 4 г'гПри т= ^ = j — >0,1 (г — радиус инерциисечения арки, f — стрела подъема арки) критическая нагрузка_ IL 1г.Ркр_ /3 ' / С’(1-т)т*Распор арки в критическом состояниик2Е1	2 4- тН =	С; С =			/2	6тЗначения С и С даны в табл. 16.16, Значения С, Сь С(16.34)(16.35)Таблица 16.16rtf0,10,2о.з0,40,5т0,040.160,360,641С7642171178676С174,52,191,381С,438139755548Пример 16.1. Дана стальная арка пролетом /=50 м и высотой /= 1 м\ /=178 500 см4\ F=325 см2. Получаем:EIг=23,4 см\ r/f=0,234; m=0,22; С=175 и ркр=3,5— ==9,7 кг!см.Распоэ Н=472 т.
16.1. ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ ДЛЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК 1-го РОДА783При гп <0,1 критическая нагрузка определяется при¬ ближенно, как для круговой арки:EI к2 — а2 Ркр=4г-	—;	<16-36>R*распор# =4 т$Е1(2а Rfгде 2 — центральный угол арки.Та же арка загружена сосредоточенной силой по¬ середине. При т>0,1 критическая сила/2 I 19Значения С\ даны в табл. 16.16.Пример 16.2. Стальная арка /=6лг, /=*73,7 см\ F—13,6 см2. Получаем:от = — = 0.15; С,= 147;PkD = 147 — • — = 1 200 кг . кР /2 /Н=—— С = 19.4 г.(16.37)/=0,12 м'%РаспорТа же арка на упругих опорах или с упругой за¬ тяжкой. Величина т определяется по формуле4/ / EF \т =	(1+	 .	(16.38)Ff2 \ IcJ'где Сч — отпорность упругой опоры (или затяжки). Устойчивость арки при сжимающем напряжении, превосходящем предел пропорциональности [21]1. Предельные значения R\t и l/г, при которых справед* ливы вышеприведенные формулы, для круговой аркиi-i/-■ _L	+ JL).' V ®пц r V °nu \ 8/ 2/ /для параболической арки-L.fWJT V °nu 8/ *Предельные значения RJr для двухшарнирной круго¬ вой арки постоянного сечения при Е=2* 106 кг/см2 и °пц =2 ООО кг/см2 даны в табл. 16.17.Таблица 16.1/Предельные значения R/r2а в град.306090120150180Rlr380190120906955Предельные значения Цг для круговой и параболиче¬ ской арок при тех же данных см. в табл. 16.18.При значениях Rjr или /./г, меньших предельных, щ справедливы формулы для упругих арок, но с заменой Щъ них модуля Е приведенным модулем Е Прив Значения Ш^прив даны в табл. 16.19 для сталей трех марок, Реше- Щние ведется путем подбора.Н 1 См. также [16] и [33J.Предельные значения //гТаблица 16.15///0,10,20,30,10.51Круговая арка190170140130110—Параболиче¬ ская арка1901701401209842Т ч б л и ц а 16.19ав кг/см2Сталь марки Ст. 3 ®пч=38 кг/мм*9 ат=24 кг/мм2Углеродистая апч=50 кг!мМ*% ат=31 кг/мм9Кремнистая апц=51 кг! мм"1, ат=г36 кг/мм*19002,10* 10*2,10 • 10*2,10.10»2 0001,89-10»2,10-10®2,10-10»2 1001,63- 10е2,08-10»2,10.10е2 2001,3910е2,02-10»2,08-10»2 3001,15-10»1,94-10*2,06-10»2 4000,92-10®1,86 10»2,03-10»2 500—1,77-10»2,00-1062 600—1,68-10»1,96-10»2 700—1.58-10»1,91-10»2 800—1,48-10»1,86-10»2 900—1.37-10»1,80-10»3 000—1,26 10»1,74-10»3100—-1,16-10»1,68.10е3200——1,61-10®3 300—	1,54.10е3 400—	1,46-10»3 500——1,39-10»Пример 16.3. Лана параболическая двухшарнирная арка, загруженная равномерной вертикальной нагруз¬ кой: /=2 м\ /=0,2 м; сечение прямоугольное 12X4 см, большая ось сечения расположена горизонтально, мате¬ риал-сталь марки Ст.З; £=2,1-10® кг/см2; опц = = 1 900 кг/см2. Определить критическую нагрузку.Получаем:/=64 см*; F=48 см2; г«=1Д5 см; ///=0,1; 1/г=* = 174< 189= (//г) пр.Задаемся а=2 000 кг/см2. Из табл. 16.19 находим Е\прив = 1,89* 106 кг 1см2.Определяем напряжение в вершине параболической арки:Н°кр —Кр	Ркр^2F “ ьурК ^прив28,5-1,89»10в0.1*/*= 8/F I f 1174»КЕ■прив= 2 200 кг/сма ,где /С=28,5 взято из табл. 16.10.Задаемся 2 100 кг/см*. Из табл. 16.19 находим Е прив =1,63 • 10е кг{см2 и соответственно <зКо — =1 900 кг/см*.Наконец, принимая <*=2 050 кг/см2, получаем £прив = =1,75 106 кг/см2 и окрв2 050 кг/см2. Следовательно, критическая нагрузкаРкР= /С£ирнв/т*1,75- 10в>64 2003= 400 кг/см 9Для такой же арки из кремнистой стали получим скр = 2 400 кг! см? и ркР = 470 кг/см ,Расчет по методу последовательных приближений с применением графика Роша см. [16 и 17).
784РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ16.1.5. Рамы [58, 30, 36]Теорию вопроса — см. 16.5.3. Там же приведены при¬ меры расчета. Ниже даны готовые результаты для от¬ дельных типов рам.Прямоугольная рама (рис. 16.8) с шарнирными опорами..3 *ч *Рис. 16.8Критическая нагрузка Р КР =ъ*Е1О*/*)2(16.39)Значение коэффициента свободной длины ^ для бо¬ лее нагруженной стойки дано на графике рис. 16.8; зна¬ чение коэффициента длины для другой стойки опреде¬ ляется по формуле"г— *	(16.40)VTЛКритическая нагрузка в случае Р\—Р2=Р опреде¬ ляется из уравнения2а2 /?2 tga h	h h~‘2ah — tg ah ~3 VT = °-	(16'41)где a-/-ST-При отсутствии боковых смещений и Р\=Р2=Р кри¬ тическая нагрузка определяется из уравненияa*h2 tgah	ii h—			— 2 		= 0. (16.42)ah ~ tga h	lh IПрямоугольная рама (рис. 16.9,a) с защемленными 'Лятами.Критическая нагрузка определяется по формуле (16.39), где значение {*для более нагруженной стойкиk =hhЫКоэффициент длины для другой стойки определяется по формуле (16.40).При отсутствии боковых смещений и Pi—P2=P кри¬ тическая нагрузка определяется из уравнения°А _ 2 J±-tg aft	lh Ih*8° —— 1 1—1=0, (16.43)где_E_V EhЩn4Рис. 16.9В случае P2=0 критическая нагрузка определяется из графика рис. 16.9,6.Рама по рис. 16.10,а. Критическая нагрузка опреде¬ ляется из уравнения/3/ztg(16.44)V	Elhв случае x=h<*i A tga, A — 3 — - = 0 .'ft 'Рама по рис. 16.10,6. Критическая нагрузка опреде¬ ляется из уравненияtgMа'н — 2 J-L JjL.'JL“21 —“1=1 f — ; а2=1 f — V Elh	V Eh1 = 0.(16.45)Задаваясь одной из сил Р\ или Рг, другую опреде¬ ляют путем подбора.
16.1. ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ ДЛЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК 1-го РОДА785Замкнутая рама рис. 16.10,в. В случае Рг=О критиче¬ ская сила определяется из уравненияa-ih Л( a j 1Ч\ — 36 I2)Xgaxh12/ Ihh= 0,(16.46)где■Ур , Е1Н4 * г-ГСхд0N 1р в)'JLIS 1ISi^ 71Г ^ч , Vi«сt?Рис. 16.10При отсутствии боковых смещений«1 у *g “2 Уlhhт=0>(16.47)где-/Ж-в случае Рг=ОПравильный многоугольник с п сторонами (рис. 16.10,д). При числе сторон п = 3 критическая величина продольного усилия в брусе рамыJVKP = (l,23ic)*	•	(16.50)При п>3кр/ 4тсЕ1“U/(16.51)Многопролетная рама (рис. 16.11). Критическая на¬ грузка Ркр определяется из графика. Пунктиром показа¬ на асимптота кривых. В случае ригеля постоянного сече¬ ния при li=l2=l критическая нагрузка (по НиТУ 121-55, приложение V) при произвольном числе стоек и обеих подвижных опорах А и В определяется по формулеРкр =*2 Е1Н(ixhy-(16.52)где значение дано в табл. 16.20 в зависимости от 1 hк =—т~ • причем / — момент инерции сечения ригеля. 1н /0 0,5 1 2	чРис. 16.11а1 Т2 +± h Т /*= 0.(16.48)Рама по рис. 16.10,г. Критическая нагрузка опреде¬ ляется из уравненияал1л+	!_)■\	COS ft /tga,/j ' COS{itga2/2	_/з_ JLP li cosp= 0, (16.49)где“'“/I :tgP'ь "ь 'i 'иди '*Д44;.■’ГП -"I T^l ’! ^' \-2h - J -гл-Ip-2.70	p‘2,53	/1-2.53Рис. 16.12Значения f* в формуле (16.52)Таблица 16.2050 Зак. 2098
786 -РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМРамы постоянного сечения (рис. 16.12). Критическая нагрузка определяется по формуле (16.52), где {*, согласно австрийским нормам, имеет значения, приве¬ денные на рисунке.Многоэтажные рамыДвухэтажная прямоугольная рама с заделанными стойками (рис. 16.13,а) нагружена двумя симметрич¬ ными силами Р, сжимающими стойки; моменты инерции сечения стойки /, ригеля — /'.а)< J\7 J-1«с \■—-1 —АВ табл. 16.21 -приведены, согласно [73], значения коэффициентов длины для стоек рамы при симметрич¬ ной (боковые смещения стеснены — рис. 16.13,6) и анти¬ симметричной (рис. 16.13,в) формах потери устойчи¬ вости. Приближенные значения р см. далее на стр. 787.Таблица 16.21 Коэффициенты длины для стоек рамыI 1_ Г * h00,10,20,51,02,0ооСимметричнаядеформация0,5000,5070,6680,6890,7530,8030,879Антисимме¬ тричная де¬ формация1,0001,0331,0651,1601,3101,5154,000Многоэтажная рама (рис 16 14,а и б). На графике рис. 16.14,6 по оси ординат даны [73] значения коэффи¬ циента длины при боковой (антисимметричной) потере устойчивости, вычисленные как для регулярной системы с бесконечно большим числом стоек; стойки и ригели имеют постоянные по всей длине сечения с моментами инерции соответственно I и Г.Значения приведенные на рис. 16.14, верны также в случае, если сжимающие усилия в стойках и моменты инерции стоек и ригелей изменяются от этажа к этажу, подчиняясь условиям:1)	отношение сжимающего усилия в стойке любого этажа к моменту ее инерции остается постоянным по всей высоте каркаса;2)	отношение момента инерции сечения ригеля /' любого этажа г к среднему моменту инерции / =lr+Ir+1— 	-— примыкающих к этому этажу стоек одина¬ ково для всех этажей.Первое из этих условий обычно достаточно точно удовлетворяется в реальных сооружениях; второе — нет, В расчет надо тогда ввести наибольшее значение к.Л-7NNNNNN~г-f?5И	ш/.! !	I I	|I I I	| I	II '■’+Г I	I I	I **СЛВ случае симметричной формы потери устойчивости (т. е. при отсутствии боковых смещений) регулярной многоэтажной и многошанельной рамы, показанной на рис. 16.14, а, значения ^ для стойки при l=h даются в табл. 16.22.Таблица 16.22Го0.10,20,51,02.0ОО0,5000,5490,5920,7300,7750,9631,000Австрийские нормы для железобетонных сооружений содержат формулу для определения приведенной длины /г0= (л h стойки многоэтажной и многопролетной рамы (рис. 16,15).= h 1+0,8 с +48т2+2С-?)’ ■(16.53)
16.2. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО ПОЯСА ОТКРЫТОГО МОСТА ИЛИ КРАНА787где		"■/'л ;h = — 12 la + (« — 1) Л];Fs= — [2Fa + (m-l)Ft};т	hiФормулой (16.53) можно пользоваться, если /*, 1а* Fh Fa, а также высоты этажей в разных этажах раз¬ личны. Тогда для каждого этажа надо подставлять свои значения этих величин.3	F'и а37.V//V: 7?77/7?/?. 77 '7777: 	ГГ) I —'VoРис. 16.15В табл. 16.23 сравниваются величины [х, полученные по австрийским нормам, с точными значениями для рам, показанных на рис. 16.16 [761.Рис. 16.16Таблица 16.23-Рама рис.. 16.16, аРама рис.16.16, 6по точному решениюпо австрий- ским нор мампо точному решению'по австрий¬ ским нор¬ мамНижний этаж. . . Верхний „ ...1.0961.0961.141.141,181,181,431,24Приближенно для рам со смещающимися узлами ти-Кда рис. 16.13 можно принимать для р = — следующиезначения: при заделанных концах стоек fx =1,5; при од¬ ном заделанном, другом шарнирном конце М* =2. Точный расчет обычно позволяет уменьшить эти значения.Для одноэтажных многопролетных рам: при заделан¬ ных концах стоек *х=1,5; при шарнирном опирании стойки fx =2,5.Для однопролетных многоэтажных рам: при заделан¬ ных внизу стойках везде {*=2; при шарнирных стойках в первом этаже {х =2,5, в остальных [х = 2.Эти значения следует рассматривать как ориентиро¬ вочные и проверять их расчетом.16.2.	УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО ПОЯСА ОТКРЫТОГО МОСТА ИЛИ КРАНА16.2.1.	Случай постоянной продольной силыРасчетная схема показана на рис. 16.17. Сечение пояса постоянно; сжимающая сила N постоянна по дли¬ не пояса. Крайние опоры — абсолютно жесткие; проме¬ жуточные— упругие, оказывающие перемещению vF* con st, const4—jfc’---±"'" iXN*N.■L=nlРис. 16.17сопротивление R=cv, где с — отпорность опоры, т. е. величина силы, вызывающей осадку опоры, равную еди¬ нице. Принято, что 1) пояс при выпучивании изгибается по п равным полуволнам; 2) упругое сопротивление опор может быть заменено сопротивлением упругой среды.Значение отпорности, при котором критическая сила пояса достигает заданной заранее величины NKp=* N= =Nnp (Ы — усилие в поясе, отвечающее нормативной нагрузке; * —запас устойчивости):7C2jV,кр4.U-/(16.54)Порядок расчета: 1) определяется &кр = ~~7~ и соот-гокрветствующее значение <р= — ; 2) по нормативной таб-кглице у определяется X и fx =— (г—радиус инер¬ ции при изгибе поясэ из плоскости фермы); 3) опреде¬ ляется с по (16.54), после чего подбираются размеры поперечных полурам моста, обеспечивающие это значе¬ ние с.	^Отпорность полурамы (рис. 16.18) с=~, где 5 естьподатливость полурамы, равная перемещению верхнего конца стойки от действия двух сил Pj=l:б =л?3EIX (1 — а)./?2 (3 /7 -J -+■ 2 Лд)6еТ2h\ л2 (2 h\ + htl) t-	^	 +-hbhLТЁП(16.55)50*
788РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМОбозначения:1\ — момент инерции брутто сечения слабейшей стойки относительно горизонтальной оси, па¬ раллельной поясу; h — момент инерции брутто среднего сечения кон¬ соли относительно горизонтальной оси, парал¬ лельной поясу;•/з—момент инерции брутто сечения поперечной балки относительно горизонтальной оси; h — расстояние от центра тяжести пояса до оси по¬ перечной балки; h\—высота стойли от верха консоли;Лг и Лз — высота консоли и поперечной балки.if1-14■с”ТРис. 16.18Первый член правой части (16.55) представляет собой прогиб, вызванный деформацией части стойки, лежащей4azP/*2выше консоли. Множитель (1—а) где <*= ——,к* Eliучитывает влияние на этот прогиб продольного сжимаю¬ щего усилия Р в стойке. Если стойка растянута, то вместо 1— а следует вводить 1 + а. Обычно влияние силы Р незначительно и им часто пренебрегают. Второй и тре¬ тий члены (16.55) дают прогиб, обусловленный дефор¬ мацией консоли, которая рассматривается при этом как брус с моментом инерции /2. Четвертым членом в (16.55) учитывается влияние изгиба поперечной балки.По немецким нормам DIN 4114 (Bl 1, разд. 12) от- порность пролетных полурам должна удовлетворять ус¬ ловию ci > Ci со, для концевых полурам С2>СоСо, где2,5 7.4, mах N(16-56)“ тmax N — абсолютное значение наибольшего из сжимаю¬ щих усилий элементов сжатого пояса, вычис¬ ленное с учетом динамического коэффициента и коэффициента поперечной установки, но без введения коэффициента переменности усилия (на усталость); min /—наименьшая теоретическая длина элемента пояса.Для определения и %k сперва для каждого эле¬мента пояса определяетсяср=“7_г_г.где N— усилие поя-Ь |с]са, F—площадь поперечного сечения, [<*] —допускаемое напряжение материала на сжатие. Далее по норматив¬ ным таблицам » определяются гибкости X и затем-т/т-где I — дпина элемента, /—моментинерции при изгибе из плоскости фермы, среднее ариф¬ метическое из всех значений м- есть р-т. При этом долж¬ но быть везде 1,2.Коэффициент	для сталей марок St 37 и St 52дается на графике (рис. 16.19). Берется *£=тах хдля полученных а..Значения коэффициентов Ci и С2 принимаются по формуламCl-где1 +0,6а|хтс - —<=2 — »ГЛ1П Сл(16.57)Если концы пояса закреплены абсолютно жестко и смещаться не могут (параболические фермы), то сг= = £2 = °°, а = 0, Ci =1 и проверка устойчивости огра¬ ничивается условием ci > Со.Если центр тяжести сечения пояса не совпадает с центром изгиба, то может оказаться, что расчетная гиб¬ кость Х^ стержня будет больше X. Тогда в приведен¬ ные выше формулы вместо / надо вводить уменьшенное/ X \2значение момента инерции:Рис. 16.19По более точному решению [9] — без замены упру¬ гих опор сплошным упругим основанием2Мс =крФ;(16.58)значения функции Ф даны в табл. 16.24.Порядок расчета: 1) по силе N Кр определяется на-М<р	скр ^пряжение акР = —— и затем — и л- 2) далее t	атХг 1определяются: [х=—, —, Ф—по табл. 16.24; коэффи-/ IXциент с — по (16.58).Таблица 16. 241.ИФ1/ЦФ1'р.ФФ0 300,1110,500,3090,700,6140,901,1020,320,1260,520,3350,720,6520,911,1380,340,1420,540,3610,740,6920,921,1770,360,1600,560,3880.760,7340,931,2190,380,1790,580,4170,780,7770,941,2640,400,1980,600,4470,800,8220,951,3160,420,2180,620,4780.820,8700,961,3750,440,2390,640,5100,840,9210,971,4440,460,2610,660,5440,860,9760,9$1,5300,480 2850,680.5780,881,0360,991,6521,002,000
16.2. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО ПОЯСА ОТКРЫТОГО МОСТА ИЛИ КРАНА789Более простая формула (16.^4) дает хорошее сор^а^е’ не с точным решением в области ’А > 1.3. Прак- тичг'-'и «• обычно удовлетворяет этому условию.У- :о?!!я A7=const и /=const пи длчче пояса, лежа¬ щие в основе вывода формул (16.54), (16.58), обычно не удовлетворяются на практике. Можно, однако, конста¬ тировать, что во всех панелях экономично спроектиро- Nванной фермы	const. При этом условии расчет поЕ1формуле (16.54) при WKp=*Nm:x, где Nmax—наиболь¬ шее усилие в поясе (средние панели), приводит к на¬ дежным результатам [73]; получающийся здесь запас компенсирует идущее не в запас надежности предполо¬ жение об абсолютно жестком закреплении концов пояса.16.2.2.	Случай продольной силы, изменяющейся по закону квадратной параболы [63]Предполагается, что 1) пояс прямолинейный; 2) се¬ чение пояса постоянно по всей длине фермы; 3) пояс сжимается приложенными в узлах силами, симметрично увеличивающимися по мере удаления от середины про-^1Г1т1Ш-Тртттшз рРис. 16.20лета по линейному закону. Первое и третье из этих усло¬ вий соответствуют случаю равномерно нагруженной по всему пролету раскосной фермы с параллельными поя¬ сами (рис. 16.20).Отпорность всех стоек в пролете принимается одина¬ ковой и равной отпорности слабейшей стойки. Отпор- кость опорных стоек либо бесконечно велика, либо равна отпорности стоек в пролете.Пояс рассматривается как сжатый брус, находящийся в упругой среде.в табл.Для разных значений аргумента16 ЫЕ116.25 и 16.26 даны значения коэффициента длины f*o = ° гч для пояса. Обозначения прежние; I —Хг_L’ГЧLдлина панели.Таблица 16.25Коэффициенты fxn при бесконечно большой отпорности опорных стоекПрИ ШБD5101520301С01502('0•4005001000Коэффици¬ ент {JL ,0.690,520.440.39о.з;). 320,2?0.26>.2Г',220.200,17Таблица 16.26Коэффициенты [х0 при отпорности опорных стоек, равной отпорности стоек в пролетеL*(1351015205010015020030050010001 ЦЕ1Коэф фици ечт (х,X2,2.1,2е0.990,700.570.540,430.340.2!»).260,240,210.18При"“>1 ООО в обоих случаях расчетная дли-16 <.1Ына пояса может быть найдена по приближенной фор¬ муле4		/расч = ,«0 L =2 V ЫЕ1 .	(16.59)Порядок pacneia пояса на устойчивость. Определя¬ ют по формуле (16.55) величину Ь для полурамы, соот¬ ветствующей слабейшей стойке. Затем, задаваясь момен-Л4том инерции / пояса, вычисляют аргумент	 и\Ь(4Е1находят по табл. 16.25 или 16.26 коэффициент Яи . Рас¬ четная длина пояса /pacM—f^o По длине /р<к-ч произво¬ дят проверку устойчивости пояса как стержня с шар¬ нирно закрепленными концами, сжатого приложенными по концам силами. Обычные значения /*© колеблются в пределах от 0,17 до 0,30.16.2.3.	Учет податливости опорных полурам(см. также 16.2.1)Решение (16.58) распространяется [86] на случай упругого опирания концов пояса При этом отпорности с всех промежуточных опо:> ппсдполагаются одинаковыми,Рис. 16.21/?У/|\1Ж1/МУКМС\~<	L=2nl	J ~Рис. 16.22Отпорности опор С" с се е cKXffj2	10 12 -Сжим, сила Я N 	 L=2nl 	Рис. lb.iJчисло панелей 2п — четным (рис. 16.21). Решение охза- тывает также случай фермы рис. 16.22. имеющей жест¬ кие полурамы в плоскостях стоек и концевые сжатые раскосы. Последние считаются прикрепленными к поясу шарнирно. Расчетная схема пояса — рис. 16.23, Na — сжимающее усилие в концевом раскосе. Для фермы рис. 16.21 Na=0.Расчет состоит из следующих операций:1)	назначается отпорность с промежуточной полура¬ мы с= 6 с0, где со —отпорность по (16.54) или (16.58); коэффициент £>1,2 назначается по выбору кон¬ структора;А/2)	зная с и |x=-j- (должно быть {*>1,3), находят потабл. 16.27 значения функции1^;3)	определяют отпорность концевой полурамы по формулеy.Nd+ Фс.(16.60)
790РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМТаблица 16.27 Значения функции W в (16.60)Табл. 16.27 может быть использована также для определения отпорностей с полурам фермы, показанной на рис. 16.21, в том случае, когда все полурамы, вклю¬ чая концевые, имеют одинаковые отпорности с. В этом случае в (16.60) принимается Na— 0,4^ =1.ХтЗная	ИЩУТ в табл. 16.27 значение с, при кото¬ром этому /х соответствует ^ =1. Обычно получаются два значения £: при ЧГ, немного меньшем и большем , единицы. Истинное значение £ определяется интер¬ поляцией.Для решения более сложных задач — случай раз¬ ных длин панелей, разных сжимающих усилий, учеткрутильной жесткости поясов и т. д. — рекомендуется применение метода Ритца — Тимошенко [73, стр. 288 — 300].16.2.4.	Расчет напряженийПриводим формулы для деформационного расчета пояса открытого моста по условию атах=ат.Расчетное (предельное) среднее напряжение пояса определяется формулойа0 = от (A-VA2-t) .	(16.61)гдеА = — (	+ 1 + т) , (16.62)2	\ saT	](jlf- (16-б3)Значения а и zmax см. 16.5.4.Длина 5 полуволны кривой выпучивания пояса опре¬ деляется по формуле(10*64)либоs=|A/j/ir	(16.65)Так как s>[W, то расчет по формуле (16.61) дает меньший запас, чем расчет по коэффициенту <р, соот¬ ветствующему гибкости .При проверке напряжений во вспомогательных стой¬ ках, поставленных для образования промежуточных полурам, а также в концевых стойках мостов с нисходя¬ щими раскосами в крайних панелях допускаемые на¬ пряжения [77] могут быть использованы только на 90%* Для железнодорожных мостов это ограничение распро¬ страняется также на поперечные балки и на их примы¬ кания к фермам. Ограничение может быть отброшено, если при расчете перечисленных элементов учитывается действие на полурамы — внутрь или наружу — дополни¬ тельных^ горизонтальных сил. Эти силы принимаются рав¬ ными— большего из усилий примыкающих к рас¬ считываемой полураме элементов для промежуточных рам и Vioo.усилия пояса для концевых рам.Если рассматривается ферма, которая имеет в край- не*м элементе верхнего пояса нулевое усилие, то для расчета крайней полурамы указанные горизонтальные усилия принимаются равными Vioo усилия в элементе верхнего пояса следующей панели.16.3.	ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ БАЛОКРасчет по деформированной схеме необходим при большой гибкости конструкции, когда есть основание считать, что дополнительные изгибающие моменты до¬ стигают заметной величины. Особое значение деформа¬ ционный расчет имеет для конструкций из легких спла¬ вов, обладающих иногда в 3 раза меньшим модулем упругости, чем сталь, при расчетном сопротивлении, близком к расчетному сопротивлению стали. Для же¬ лезобетонных конструкций деформационный расчет на¬ ходит применение только при тонкостенных элементах большого пролета.2 пИ-61,21.31.4м|1.6 |1.71.8 |1.91.21.000,780,651,31,250,930,751.41,411.040,841,51,391,060,871.61,351,100 940,821,71,651,301,090Л461,82,011,541,251,050,941,92,411,771,401,181,030,902.02,791,971,551,291.110,970.852,12,982,121,641,361,171.020,902,22.932,101,661,381.191.040,942,32,691,971,601,351.171.040,940,852,42.271,761,482,271,121.000,910,832.51.991,711.481,321.171.060,960,801,20.930,740,621,31,120,860,711.41,270,960.801,51.321,010,851,61,421.120,940,811,71,691,281,60,9081,81,961.441,170,990,871.92,071,541,241,060,922.02,041,541,261,080,950.852,11,851.471,251,080,960,872,22,081,661,391,201,050,940,852.32,431,8а1,551,321,161,030,922,42,832,131,731,461,261,111,000,902,53,252.371.901.581.361,201.070,971,20,990,750,631,31,060,830,701.41.210,930,781,51,2)1,000,841,61,431,110,930,811,71,641,241,030,88101,81,741,321,090,940,831,91,721,341,130,980,872.01,851,461,221,050,930,832.12,141,631,341.141,000,892,22.421,801,451,231,070,950,862.32,661,921,551,341.141,010,912.42,741,991,611,361,181.050,940,862,52.652.001.631.391.211.080,970.891,20,970,740,621.31,060,820,691,41,170,920,771.51,250,990,841,61.411,100,930,801,71,541,191,000.87121.81,601,261,060,920,821,91,731,351,120,980,872,01,961,491,220,050,930,832,12,121,601,301,120,990,882,22,171,651,371,171,030,920,842,32,121,661,401,201,060,950,872,42,231,781,481,271,121,000,910,822.52,571,941,601.361,191.060,960,87
16.3. ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ БАЛОК79116.3.1.	Закон сложения действий поперечных нагрузок для сжато-изогнутых балокЭффект воздействия на сжато-изогнутую балку не¬ скольких нагрузок L, Р, р, создающих поперечный изгиб, можно получить как сумму эффектов воздействия каж¬ дой из этих нагрузок, взятых в отдельности, по обяза¬ тельно в сочетании с полным сжимающим усилием N балки. Следствие: прогибы v сжато-изогнутой балки линейно зависят — при постоянном сжимающем усилии N — от нагрузок L, Я, р, вызывающих поперечный изгиб балки.16.3.2.	Приближенные формулы для прогибов и изгибающих моментов сжато-изогнутых и растянуто-изогнутых балок [63]Для простой балки пролетом /, нагруженной симмет¬ ричными -нагрузками, направленными в одну сторону, и сжатой продольными силами Ny прогиб1 % v = v (х) = v° ;	= zP	—; ; (16.66)1 — %1NNa =ъ2Е1(16.67)Для силы Р посередине пролетаР1Mmax = — + NPI*4	48EI %э — 1Р1_ *э— 0,177 4	— l ’(16.71)В приближенных расчетах рам [81] принимается во всех случаяхМ =М^ —-—1 max iK1max % 	 j(16.72)Растягивающая сила уменьшает изгиб или начальное искривление (погибь) балки. Соответствен¬ но приближенная формула для прогиба балки на двух опорах:v=vo-l	t	(16.73)l + VNГде Tfe= 7Г”—абсолютное значение отношения растя-гивающей силы к эйлеровой критической силе в плос¬ кости изгиба.Если обе опоры балки шарнирно неподвижные, то Продольная сила N приближенно определяется из куби¬ ческого уравнения относительно **] (решаемого путем проб)Здесь v°=v°(x) —прогибы балки только от попереч¬ ных нагрузок;£/=const — жесткость балки в плоскости изгиба; Na—эйлерова критическая сила в плоскости изгиба.Для собственной1 нагрузки р=рв sin/формула(16.66) точна; для всех других нагрузок она является приближенной. Наибольший изгибающий момент балки (посередине пролета)М =М6 4- Nv=M6 4- Nzfiirimax 'rimax •	irimax '(16.68)Здесь Afmax и — соответственно наибольший мо¬ мент и прогиб только от поперечных нагрузок.При подсчете напряжений (см. 16.3.4) следует опе¬ рировать с нагрузками, увеличенными в п раз, где п — коэффициент безопасности по отношению к расчетному пределу прочности (текучести); напряжения сравнивают¬ ся с расчетным пределом прочности (текучести). Если второе слагаемое в (16.68) создает приращение напряже¬ ния а не свыше 10%. то можно рекомендовать пользова¬ ние приближенной формулой для окончательных расче¬ тов фибровых напряжений.Для случая чистого изгиба балки двумя равными опорными моментами ММ/2Mmax = М N= М*э+ 0,234(16.69)Для равномерно распределенной нагрузки Мп,e!L + n.L . pJL . _Л2_8 384 El %э ~ 1р/*_ г»+ 0,028 8 — 1(16.70)1 Собственная нагрузка балки — поперечная нагрузка, со¬ здающая кривую изгиба, ординаты которой пропорциональны ординатам кривой выпучивания при потере устойчивости под действием сжимающих сил.(1+ъ)2ъ= ^Кр)2-(16.74)Здесь иср — ст.рела прогиба от поперечной нагрузки; F — площадь сечения балки.*2Е/Найдя т)э, определяют N = —— %, а также прогиб/2v=v(x), что позволяет произвести проверку прочности.В табл. 16.28 приведены данные для приближенного расчета некоторых сжато-изогнутых брусьев [80].В табл. 16.28 приняты обозначения: М°=М°(х) — изгибающие моменты бруса только от поперечной на¬ грузки; М° — наибольшие значения AJ0;	^ —у.э-1наибольшее деформационное приращение изгибающего мбмента, где р — коэффициент, приведенный в этой же N3таблице; *э= I ДМ = &М(х) —деформационные при¬ ращения моментов в разных сечениях бруса, v=v(x) — прогибы бруса.На основании 16.3.1 случай несимметричной нагруз¬ ки получается сложением результатов для симметрич¬ ной и антисимметричной нагрузок.16.3.3. Уравнения эпюр усилий и перемещений для сжато-изогнутой балки [65]Расчет при N=const и £/=const сводится к интегри¬ рованию дифференциального уравнения второго или чет¬ вертого порядка£/о"= — (M* + Nv), EIvlv = р — Nv*. (16.75)Интегрирование го методу начальных параметров дает уравнения эпюр. В качестве двух начальных пара¬ метров выбирают vQ и <ро- Двумя другими могут бытьлибо полные значения	и Qe=“**Qo ~\~NfQ9либо значения Aljj и Qq<
Формулы для расчета деформационного приращения наибольшего изгибающего моментаТаблица 16.281. КонсольИ = 2;. . „ . — л*М\Л{х)=кМ sin —;, .ллфьЩNттШТПТППшМПи(л),:ут1Т1I-T-IлГ3. Один конец балки защемлен, другой шарнирно оперт[1 = 0,699;_ 4,49х AM(x)=AA4sin/Ш {х) ЛМх+0,976N1мм	ммм°м°-I/у . \-«Ч(« - rmrmmmii г *Iм, -р/— (1 -а)Р/-Р/_8_и2=1,273 = 0,8111 — sin - на 1—а32 Л _ — - —=0,589И2	7С324 192 л ^ — — — = 0,461Tt2	71_8_тс2(N//VI|РTM,а(1 - а2)2Р[82Р/15Р/0,2031,137 а+1,024 sin (4,4°а)а (1 — а2)0,6310,5072. Простая балка (нагрузка симметричная)„-1; штштощ «цшшшвд.^bM(x)=mcos—;		1 	*Т	Г*	 1	Чv(x)= ШЛх)&N| мЪ)4.	Оба конца балки защемлены (нагрузка симметричная)К-8*'2 ’— 2%х ДЛ1(лг)=ДЛ1со5 —;v(x)= jj[bM(x)+bM]Я
Продолжение табл. 16.28N	NNN-v^pHQjN,NNtPМ°М°М,EL4Y 0-*)^PL8—	= 1,273TC—	= 0,811_8_Tl21COS — na1 — a32— =1,032TC3"■'H '/V/VEL8(i-*)24Pl_12Pi— = 0,811TC24 1 + COS тса7t2Tl21 — a*= 0,6082а. Простая балка (нагрузка антисимметричная)М-=2 ;— 2лх AM(x)=AAisin —.— Гр(дс)~AM (х) N1М(х)М */пах/Ч°П(к)4а. Оба конца балки защемлены (нагрузка антисимметричная)М°м°J4p—-+oclN _^ 6kPkpIPMi	а(1 — a)Pl2= 0,637Z sin тса тс2 а (1 — а)VT27 ■PI181^37t3= 1,006a(l —<*2)P/Л150,203a+1,024sin (4,49з)a (1 — az)0,507со0016.3. ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ БАЛОК
794РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМПервая форма проще и удобнее при расчете на поперечную нагрузку. Вторая форма удобнее при расче¬ те на первоначальное искривление (погибь) и искривле¬ ние от неравномерного нагрева.Примем обозначения: а2 = — ; X = — . Величина% имеет размерность длины. Чем больше X по срав-нению с пролетом балки, тем больше оснований вести расчетгРис. 16.24без учета взаимного влияния прогибов и моментов. При—	<0,1 можно пользоваться обычными способами раз- Xдельного учета влияния поперечных и продольных на¬ грузок.Первая форма уравнений эпюр (рис. 16.24):Qx = Qo COS ах — М0 a sin а х — Р COS а (х — Up) ——	La sin а (х — WjrJ ——	р— [sin а (х — с) — sin а(х — d)]\ а1Мх — М0 cos а х + Q0	sin a х -j-а-f L COS a (x — UL) — P — Sin a(* — up) -f.+ P~ [cos a(x—C) — COS a (x — d)\ ; a2a	1—	Mo~£j sin ax — Qo	cos ax>—~L~N Slna (X~ + P~N ^ _ cosa(j:— «*)] ++ P -77 [(d —с ) — — [sin a (x — c) —N (	a—	sina(x — d)]} ;1vx=vo + Ъх ~ Mo “T7 (1 — cos ax) —N-Qo^(«x-Max)-L [1 —COS a [x — uL) ] ++ p7n [a(*—up) -sina (*— up)]++ p1 f (x — c)2 (x — dy+ —г [cos a (x — c) — cos a (x — d )\ \ . (16.76)a2	1Вторая форма уравнений эпюр:Qx = Qo cos ax — vQNa sin ax+yQN cos ax ——	a sin a * — P COS a — up) ——La sin a(x — uL) — p	 [sin a (x — C) —ax— sin a (x — d)] — N J ft0 (u) cos a(x—u)du—0N— ft/ — [sin a (x — c) — sin a (x — d)] ; aм = ЛЙ COS ax + Qo — sin ax -f u aN	r	/	\+ a0N cos ax + To — sin a* + L cos a \x — ul) a—	P — sin a (* — Mp) -j-	[COS a(x — С ) —a	a2xN С—	cos a (x — d)] — — l ft°(w) sin a (x—u)du-)rиN-f ft/ — [cos a (x — c) — cos au(x — d)] \ a2сpx = cp0 COS ax —	sin ax ^0 ^ C0S —a . / \—	Uq a sin a* — L — sin a	++ P-^-[l-cosa (дс-Ир)] + P-L {(d-c) -—	— [sin a (x — c) — sin a (* — rf)]} —aГ	1—	\ ft0 (u) cos a(x — u) du — ft/ — [sin a(x -c)-*о— sin a (x — rf)] ;1	о 1t)x = v0 cos ал: + cp0	 sin ax — Mq (1 — COS ax)—	Qo777 (ax — sina;C) — L— [1— cosa {x—^L)] +jaN+ (•<—"p)-sina (*—“я)1 +1 f (v - с)3 (x~d)2 -4- p —	'' p N+	 [cos a (x — c) — cos a (x — d)\} —a2x-ifft°(tt) sin a (x — к) du -f-+ ft/ — [cos a(x — c) — cos a (x — d)\.	(16.77)a2
16.3. ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ БАЛОК795В этих формулах неразвернутыми сохранены ин¬ тегралы, выражающие влияние первоначальной кривизны d2v°Ъ°(и)=——-■. Если балка изогнута по параболической du1кривой второго порядка, то =const и можно вос¬ пользоваться членами с &/, подставив вместо величи¬ ну &°. Тригонометрические функции см. табл. 16.31 и раздел 1.Пример 16.4. Простая балка пролетом I см нагру¬ жена продольной силой N и поперечными: силой Р кг в сечении иР и равномерно распределенной нагруз¬ кой р кг/см на всем пролете. Определить изгибающий мо¬ мент-под силой Р.Воспользуемся первой формой уравнений эпюр. Начало возьмем на левом конце. Известные начальные параметры: M0—v0=0. Неизвестны Qo и «ро- Для опре¬ деления Мх достаточно знать Qo. Условие Mi =0, выра¬ женное при помощи второго из уравнений (16.76), даетSin a(l — Up)	1 1 _ cos alQo = p—zm~,	+ p—sin a Isin alПользуясь снова уравнением Mх, находим при х=и sin а (/ — Ир)sina/1 1 —COS al Sinattn+ p— • - . ■■■■ —- + a sin al I a1+ P —cosПример 16.5. Та же балка имеет первоначальную „о 4/погибь по параболе vu —и(1 — и). Определитьизгибающий момент посередине пролета.Воспользуемся второй формой уравнений. Находима°(н)=-8//2=	= constНачальные параметры v0=Mq = Qo=0;cPo определим из условия Vi =0, или, что в данном случае тождествен¬ но, Mi = О.-То =8/ 1 — COS al1 — COS alУ 	;	;	Sinsin ala sin al alМер =8//2■ +/2 a2 \alCOSПределы применимости теории сжато-изогнутой балки.Теория получена в предположении сравнительно малых перемещений. Однако пользование формулами для про¬ гибов допустимо даже при прогибах, составляющих0,1 пролета. Погрешность в определении прогиба в случае балки, шарнирно опертой по концам и нагружен¬ ной силой посередине, не превосходит 5% (в сторону преувеличения). Сжимающая сила не должна превы¬ шать 20—30% критической эйлеровой силы1.16.3.4.	Уравнения эпюр усилий и перемещений для растянуто-изогнутой балкиДифференциальное уравнение изогнутой оси:Elv" = — (М° — Nv).	(16.78)1	Об оптимальном загружении сжато-изогнутой балки см. f54].Интегрирование его по методу начальных парамет¬ ров дает следующие уравнения эпюр, позволяющие учесть любые нагрузки и любые граничные условия:Qx = Qo ch ах + м0a sh CLX -f- [QJ ;Мх = М0 ch ах -f- Q0 sh ах + [Мх];Ух = Ъ - Мо sh + Qo — (1 — cha*) + [cpj ; vx = vo + ?ox + Mo (1 ~ chajr) -\-+ Qo — (a* — sh ax) + [vx].(16.79)Обозначения те же, что и в 16.3.3. Таблицу гипербо¬ лических функций см. в разделе 1. Слагаемые в квад¬ ратных скобках означают члены, зависящие от нагрузки на участке О—х. Развертывание их производится по общим правилам метода начальных параметров (см. 16.3.3).16.3.5. Уравнения эпюр усилий и перемещений для сжато-изогнутой балки на упругом основанииДифференциальное уравнение изогнутой оси:rtiVN » k	рF'+iT-Ж- (16'“’здесь k—отпорность основания балки (см. раздел 5.5.6).В случае шарнирного опирания по концам удобны формулы, основанные на разложении нагрузки и проги¬ ба в тригонометрические ряды:Р(Х)sinm=1гдеi2 С	тпх jАт = — \ p(x)sin—dx.Тогда1	Ат . m7ZV	(х) = 	 \ 		—	sin —Ei 2.j (niV _ Л. I™ \2 . A 1 m=x\l) El[l j EI14 v Am . nwxn*EI ^ Cm Sm I. ' m = l(16.81)гдеN ( I V m j Cm=m4_^m2+t); э_ <* :/ = ■ крKp ;TZ*EI
796РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМЧастные случаиРавномерная нагрузка p=const на всем пролете:v(x) =4 pi*sinI(16.82)тv>EI	m^mm=l,3.5,...Сосредоточенная сила P на расстоянии up от левой опоры:ттмсv(x) =2 PI3 ■к*Е1mux(16.83)/72=1,3,5,...Равномерно распределенная нагрузка р = const на участке от х—с до x=d:(16.84)тФЕ1У,m=1тт. (d-\-c) mu (d—с) sm-^y— si"——тСгт•X sin-Сосредоточенный момент L на расстоянии uL от левой опоры:v(x) =2L/2и3£/(16.85)Для хрупкого материала в (16.87)Лгп~о114	j->Для пластичного материалаЛ'„(16.88)iib.89)где МКр — критическая сила 2-го рода.16.3.7. Коэффициенты, учитывающие пластическую деформациюДля сжато-изогнутых стержней из пластичной ста¬ ли уточненное значение критического напряжения 2-го рода акр можно получить из уравнения (16.87), введя в него эмпирический коэффициент kn:°.<Р + w ЛП = ’Г.(16.90)Для группы А (рис. 1G.25, а) прокатных профилей &п=0,90, для группы В (рис. 16.25, б) кп = 0,75 уточкой указано положение силы).*1 С '□ Т ПНЧ -I1	j- j_Lji —1Рис. 16.25Два равных и симметрично действующих опорных момента L:v (х) = ■4L/2-г- SinтМ " Стт = 1,3,5,-..тъх~Т~(16.86)В зависимости от быстроты сходимости обычно бы¬ вает достаточно подсчитать 1—3 члена ряда. Получаемые дифференцированием ряды для у (х), М(х), Q(x) схо- дя1ся значительно медленнее и для вычисления неудобны. Поэтому эпюры М и Q следует строить непосредствен¬ но по активной и реактивной нагрузке рреакт =—kv и по продольной силе исходя из эшоры v(x). ‘х16.3.6. Расчетные уравненияРасчетные уравнения при упругом деформационном расчете сжато-изогнутого бруса из материала с пластич¬ ным или, соответственно, хрупким характером разруше¬ нияN , Мттрх	( AlmaxСтлу = + ~ = Gq-W= аТ (=апч)‘W(16.87)Значения продольной силы N и деформационного из¬ гибающего момента Мщах соответствуют расчетным зна¬ чениям нагрузок.NВ (16.87) а0 = ——среднее сжимающее напряжение Fпредельного напряженного состояния бруса.Для составных и тонкостенных профилей приме¬ няются те же значения klU но при условии^	«о> —	—— , где 5раст * ^сж — статические мо-*^раст “Г ^сжменты сжатой и растянутой зон сечения, W — момент сопротивления.К значениям скр по (16.90) очень близки значения акР по предельной несущей способности в зоне пластично¬ сти. Расчетное уравнение (16.90) дает меньший реальный запас устойчивости, чем (16.87).16.3.8. Деформационный расчет тонкостенных стержней открытого профиляУчет деформационных влияний в общем случае рас¬ чета тонкостенного стержня открытого профиля на сов¬ местное действие сжатия и изгиба (кручения) должен рассматриваться как обязательный.Приводим из [83] результат упругого деформацион¬ ного расчета, по погиби для случая внецентренного сжа¬ тия двутаврового бруса (наибольший начальный прогиб в центре тяжрпн сечения принят равным //400). Счи¬ таем, что погибь совпадает с деформацией в критиче¬ ском состоянии стержня.Наибольшее деформационное приращение сжимаю¬ щего напряжения у края полки в опасном сечении (обо¬ значения обычные —см. 16.3.2; 0 —ширина полки).Да =п2ЕЬ800I (% — 1)(16.91)
16.4. ИЗГИ£ И КРУЧЕНИЕ БАЛОК797Это напряжение должно быть прибавлено к напря¬ жениям <*осн от изгиба и сжатия, найденным обычным расчетом:•	Да = ат.При Е = 2, ЫО6 кг!см2А JL/ * У.-cmax — аосн ~Ь 2,6 • 1041(16.92)Пример 16.6. Балка I Mb 40а, ОСТ 10016-39, /=6 м\ е=0,5 м. Материал — сталь марки Ст.5. Расчетная сжимающая сила N=50 г. Требуется определить отахв предельном состоянии. Стрелка -погиби {=Имеемг=16,1 см.50 000 50 000 • 5010902	870 кг{смг.86,1 Из табл. 15.13D = 0,154 м2\ К = 1.412.По формуле (15.40)= 1,412 + 36-0,154 = 6.96.М,Соответственно по графику на рис. 15.15 для ~0,50,161= 3,1й=77 = 0,55; NyJV2 = 0,55Wy = 0,55*22,1-103-660 36-104209.0 , ,n -’ - = 4,18. 50Согласно (16.92):14,2«max = — 2 870 - 2,6-104= 209,0 г;1600 4,18 -1 =—2870 - 194 = — 3064кг!см2.Метод распространяется на все случаи работы тонкостенных брусьев, когда в них возможна потеря устойчивости 1*го рода: 1) центральное сжатие; 2) вне- центренное сжатие силой, приложенной в центре из¬ гиба; 3) боковое выпучивание при внецентренном сжа¬ тии силой в плоскости симметрии; 4) потеря устойчиво¬ сти плоской формы изгиба. В общем случае внецентрен- ного сжатия потеря устойчивости 1-го рода невозможна [47]. '16.4.	ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ БАЛОКСтальные балки с симметричным сечением, предназ¬ наченные для работы на изгиб в вертикальной плоско¬ сти, обычно обладают малой изгибной жесткостью в го¬ ризонтальном направлении и малой крутильной жестко¬ стью. Это обстоятельство при отсутствии поперечных связей, существенно отражается на несущей способности таких балок. Теоретически становится возможной эйле¬ рова потеря устойчивости плоской формы изгиба балки: возникновение бокового изгиба балки, связанного с кру¬ чением (см. 15.6). Наличие начальных несовершенств переводит такую балку в систему 2-го рода (см. раз¬ дел 15). В этом случае определение предельного сопротивления с небольшой ошибкой в запас надежно¬сти может быть выполнено по условию ашах=атупругим деформационным расчетом. Точное решение задачи оп¬ ределения предельной нагрузки требует учета работы балки в пластической зоне.При действии наряду с изгибающими силами кру¬ тящих моментов деформационные влияния также могут играть существенную роль.-Ниже приведены из [84] фор¬ мулы и графики, позволяющие выполнить деформа¬ ционный расчет простой балки с торцами, закреплен¬ ными против поворота в их плоскости, работающей сов¬ местно на изгиб и кручение под действием сосредото¬ ченной силы, приложенной в плоскости среднего попе¬ речного сечения балки.Балка нагружена эксцентрично приложенной си¬ лой Ру1.	Случай прямоугольного сечения (рис. 16.26):_ РуЫ РуЫ°тах"'8/7+ 877То’где?о =РуР.14 СРэ=16,94Увус/2к--.э alП6.93)(16.94)(16.95)Обозначения:°тах—расчетное фибровое напряжение балки; я, Ь — полная высота и ширина сечен,ия;То — угол поворота среднего сечения балки (наиболь¬ ший угол закручивания);Вх=Е1х, Ву=Е1у, С — главные изгибные и крутильная жесткости балки;Рэ — критическое значение вертикальной силы Ру, при¬ ложенной в центре тяжести среднего сечения бал¬ ки (см. табл. 15.16);Рэ — критическое значение силы PvУ при е=и и при наличии закреплений, препятствующих горизон¬ тальным смещениям центра Тяжести среднего се¬ чения.2.	Общий случай сечения с двумя осями симметрии (рис. 16.27):РуЫ ' 81Х
798РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМЗдесь?0 =гдеРэ =4 С25 \!5(16.97)at 1- -2 th а / а 24/2 Са=^ ‘V—теоретическая высота двутаврового сечения (между центрами полок)1; величина Р опреде¬ ляется по графику на рис. 16.28.1 В (15.6) вместо h( для упрощения расчетов принято h.1.20ПО100CJ900.5 W.jAMi-b}' .. ■*_У°~Я68ус[мф^ф2Щ ^QfiO ОМ 1,00 % &*(7gf§(iРис. 16.29г1510i/ п оО 1/ ' гл*\кгэ угJ\лг\Уоу75 у^0,50——+1(- (■ -Т,fe-г/г-Ц/?^ ^-S?f1*-1иР\L tP.Pj1-&)l* |Уf-10 15 Рис. 16.312025Балка нагружена наклонной силой, пересекающей ось(рис. 16.29)Стах = °и ~р~Ч° ) + аи (1+ ?о ) +1 / d*p \ + —еычЫ)0-(16.98)
16.4. ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ БАЛОК799Здесь с®, —обычные недеформационные наиболь¬ шие нормальные напряжения в балке от изгиба в вер¬ тикальной и горизонтальной плоскостях;(*иЛ = (**)[ d& /о { dz» )г= ~1аг9\Для прямоугольного сечения •	' = 1-) = 0.V	d* /оПорядок расчета:1)	определяют Рэ: для прямоугольного сечения — по формуле (16.95); для двутавра — по данным табл. 15.16;2)	определяют Ь по графику рис. 16,27 по величиневместо показанной на рис,16.27 на горизонтальной оси величины —;Р э3)	угол <Ро определяют по формуле, приведенной для прямоугольного сечения на рис. 16.29, для двутавра — на рис. 16.30;(d*?\4)	значение V~£p) дано на рис- 16-31-Балка нагружена наклонной силой, приложенной в любой точке среднего сечения (рис. 16.32). Напряжение/d2y\ашахопределяется по формуле (16.98). Значения ?0, Jопределяются следующими приближенными формулами (при Ру > Рх* Вх ^ Ву, л > е).Двутавровое сечение<Ро =(Руе 4- Рл:а)1 | 1~	thУ аV~Z1+-вес балки можно заменить сосредоточенной силой посе¬ редине пролета, вызывающей такой же прогиб.Рис. 16.32I-*- ^=7ггРис. 16.33-;Расчетная постоянная нагрузка: 1.1 423=467 кг/м. Соответствующая сосредоточенная сила: 4,08 г. Полу¬ чаемРу = 10-1,85 + 4,08 = 22,58 т; Рг= 1,85 т.sPxPyP64Ву f 1-VthV+ Рх&)(16.99)(d2o\ __1--th 2(Pve + Р ха)4 ClN--64 1Vth —		1(Ру£ + Р Xй)— 2(16.100)Р, s и t определяют соответственно по графикам на рис. 16.28, 16.30, 16.31.Прямоугольное сечение(Руе+Р.уДК Г1+ PxPyl8 1.<Ро4 С'-«•г]64BylPye+Pjfl) J(16.101)й) =°- Uz2/oПример 16.7. Определить напряжение в тельферной двутавровой балке (рис. 16.33) на двух опорах с кон¬ цами, закрепленными от поворачивания.Силы приложены в среднем сечении; Ру=10 т; Pjr=l т\ е=0; а==47,5 см\ By =342- 10я кгсм2у Вх=9 320. 108/сгс-ч2; С=1 035- 10е кгс«и2. Вес балки 423 кг/м.Коэффициенты перегрузки: для собственного веса /ii=l,l; для подвижных нагрузок л2=1,85. СобственныйОбычным расчетом находим:о® = 757 кг 1см*; — 597 кг/см2. Вычисляем412 С	=35,6у,2 bи по табл. 15.16 находим' У В С Р9 = 19.30 -—у-	= 58 300 кг.По формуле (16.97) Рэ=93 300 кг.
800РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМВычисляемg-/,+№_o-'rtпо графикам на рис. 16.27, 16.28, 16.30, 16.31 находим 8 = 0,984; р = 16.7; s = 0.744; < = 8,72.По (16.99), (16.100) получаем(тТаблица 16.29 Коэффициенты формул (16.102), (16.104) — (16.106)5=6*=3tg ^ — vv2tg vcj>Q = 0.0542;V	dz2=4,24-Ю-7 см~22	t g — — v 6 2 и = — = 12	Y	v3и no (16.98)oma,= 735 + 991 + 543 = 2 290 кг/см1.16.5. ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАМ116.5.1. Уравнения четырех и трех моментовУравнение четырех моментов (см. раздел 5.7.2) с учетом сжимающих сил получает видМп-1.п l'n sn + 2Mn.n-1 ln *n + 2Mn.n+l ln+1 *n+1 + +Mn+hn.ln+l Sn+1 + 6Elc (Фя+1 - +„) =--6£/,(<«-i + x“.«+i) • (16Л02) Значения величин s и t даны в табл. 16.29 в зави¬ симости от-Vf(16.103)где N—сжимающая сила данного бруса.Значения функций s и t для растянуто-изогнутого бруса см. в [30],Значения ^л-i и тл, п+1 определяются в случае дей¬ ствия сосредоточенных сил и равномерно распределен¬ ной нагрузки следующими формулами: чЬ. sin “7то	1Zn.n-1 — v2P/рР= JLVJ •*2El Z-iSin VSinт1+щ;(16-тpp4EIt-.(16.105)Значения 7 см. в табл. 16.30.Для растянуто-изогнутого бруса обычно берут v =0,т. е. с продольной силой не считаются.В случае заделанного конца рамы надо мысленно добавить пролет, для которого 1=0 (или £/= оо). <1=т°=0.Уравнение трех моментов (см. 5.5.7) с учетом сжи¬ мающих сил имеет вид	*М„-1 l„ sn +2М„ ( ln tn + ln+1 tn+1) ++М«+1 l'n+1 sn+l + &E1c(*n+1 —+») == — ЬЕ1 ( хп-п_1 +xn.n+! ) • (16.106)о0,501,001,051,101,15 1,20 1,25 1,30 1,351,401,451,501,551,601,651,701,751,801,851,901,952,002,012,022.032.042.052.062.072.082.092.10 2,11 2,122.132.142.152.162.172.182.192.20 2,21 2,222.232.242.252.26 2,272,2В2.292.302.312.322.332.342.352.362.372.382.392.402.412.421,00001,03001,13041,14551,16171,17921,19791,21801,23961,26281,28781,31461,34341,37441,40781,44391,48301,52521,57101,62081,6750 1,7343 1,7993 1,8130 1,82701,84131,85581,87061,88581,90121,91681,93291,94941,96611,98312,00052,01842,03662,05522,07412,09352,11332,13362,15432,17542,19722,21942,24212,26542,28912,31352,33842,36412,39022,41712,44482,47312,50222,53202,56252.59392,62622,65962,69352.72871,00001,01711,07371,08221,09121,10091,11141,12251,13451,14731,16101,17571,19151,20841,22661,24621,26731,29011,31471,34141,37041,40201,43651,44381,45121,45871,46641,47421,48221,49041,49871,50711,51581,52461,53361,54271,55211,56161,57131,58131,59141,60181,61241,62331,63431,64571,65721,66901,68121,69361,70621,71921,73251,74611,76011,77441,78911,80411,81951,83541,85161,86831,88541,90311.92121,00001,02561,11131,12411,13791,15271,16861,18561,20391,22351,24451,26711,29141,31741,34551,37581,40851,44381,48211,52371,56891,61821,67221,68361,69531,70711,71921,73151,74401,75681,76981,78321,79671,81061,82471,83921,85391,86891,88431,90001,91601,93231,94911,96631,98372,00162,01992,03862,05782,07752,09762,11812,13922,16082,18302,20572,22902,25292,27742,30252,32842,35502,38222,41032.43911 Готовые расчетные формулы для некоторых случаев рам см. в 16.1.5.
16.5. ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАМПродолжение табл. 16.29	Продолжение табл. 16.29Stи2,432,76491,93982,46872,442,80211,95892,49932,452,84031,97862,53062,462,87981,99892,56302,472,92042,01982,59642,4В2.96242,04132,63072,493.00562,06352,66622,503.05022,08642,70272,513,09632,11002,74052,523,14382,13432,77942,533.19312,15952,81972,543,243/2,18552,86122,553,29632,21242,90432,563,35082,24022*94882,573,40722,26902,99492,583,46572,29833.04272,593,52622,32973.09222,603,58902,36188,14362,613,65422.39503,19682,623,72202,42953,25222,633,79252.46543,30972,643,86592,50273,36962,653,94212,54153,43192,664,02182,58193,49692,674,1С472,62413,56462,684,19142,66803.63532,694,28202,71403,70922,704,37662,76193,78632,714,47572,81213,86712,724,57952,86483,95172,734,68852,91994,04052,744,80292,97784,13372,754,92333,03864,23172,765,04993.10274,33492,775,18353,17024*44362,785,32453,24144,55842,795,47363,31664,67972,805,63153,39634,80822,816,79903,48074,94442,825,97703,57045*08922,836,16643,66595,24322,846,36853,76765,40752,856,58453,87645,58322,866.81603,99285,77132,877,06464,11795,97332,887,33224,25256.19072,897.62124,39776,42552,907.93434.55506,67b82,918.27454.72596,95612.928,64554,91217.25732,989,05166.11607.53712,949^49825,34017,94962,959,99156,58758,35002,9610,£>cftt35.86228*79462,9711,15106,16889.29102,9811,8S866,51349,84892,9912,61716,903510.48043,0013,50577,343611,20133,0114,52957,861312,03173,0215,72198.458312*99833,0317,12829,162314,13933,0418,811610,004915,50443,0525,862911,031417,16773,0623,417612,309619,23883,0726,686013,944621.88863,08'31,016016,110525,39893,0937,024419,115630,27013,1045,923423,565937,48393,1160,456630.833449,26473,1288,452244,832171.957Л3,13164,748782,9812133.80173,141199,1629600,1900972,25623,15—227,1668—112,9747—183,87163.16—103,7576— 51,2692— 83,83913,17— 67,2348— 33,0068— 54,2342-Утtи3,18—49,7313—24,2541—40,04583,19—39,4600—19,1176—31,71953,20—32,7063—15.7398—26.24453,21—27,9276—13,3495—22,37033,22—24*3683—11*5683—19.48453,23—21,6142—10,1909—17,25153,24—19,4202— У,0929—15.47253,25—17,6312— 8,1975—14,02183,26—16.1447— 7,4532—12,81613,27—14,8899- 6,8248—11,79833,28—13,8166— 6,2872—10,92763,29—12,8881— 5,8220—10,17433,30—12,0770— 5,4154— 9,51623.40— 7,4248— 3,0787— 5,73783,50— 5,3769— 2,0433— 4,06973,60— 4,2292— 1.4572— 3,13083.70— 3,4990— 1,0787— 2,52923,80— 2,9961— 0.8128— 2,11133,90— 2,6314— 0,6147— 1,80434,00— 2,3570— 0,4603— 1 56944,10— 2.1454— 0,3355— 1,38404,20— 1,9792— 0,2317— 1,23424,30— 1,3475— 0.1430— 1,11054.40- 1,7429— 0,0652— 1,00694,50— 1,66030.0044— 0,91884,60— 1.59620,0682— 0,84314,80— 1,51520,1851— 0,71265,00— 1.4Л40,2975- 0,62345,25— 1,54820,4495— 0,52965,50— 1.74460.6470— 0,45635,75— 2^3?40.9747— 0,39746,00— 3.74551,8015— 0,34926,25—29.086714,5346— 0,30882 1сТ со± ®— 0,39406,50+ 4,1490— 2,0242— 0.2745Т а 6 л в ц а 16.30 Коэффициенты формул метода перемещений а, р, а р, а, 7 для сжато-изогнутых стержней:-у	tg\ —>	V	V	 sin Vр,2 tg N Л V2 tg 	у2	sin v Л v2	tg — v_	V2 tg N2tg-^		tgN—Vv»	, Г N' = -^7=7 ; ^‘У W*а3* + 07а700.100,200,300,402,000001,999331,997331,993991,989311,000001,000171.000671,ал5о1,002693 ооооо 2,99950 2,99800 2,99550 2,991996,000005,994005,976005,9459»5,903983,00000 2,99800 2 99199 2,98195 2,^6785з.ооосо2,988002.951Р92,891952,80785ооооо1,983281,975891,967121,956971,945421,004201,006071.0С8291,010881,013852,987482,98Ь52,975412.96/852,959265,849965,783915.705335,615715.513532,949542,927252,900602,869592.834112,699642,567252.410602,229592,024111.001.101,201.301,401,932441,918021,90211,88481.86581,017201,020951,02511,02981,03472,94964 2,93397 2 9272 2,9146 2,90065,399285,272945,134484,984204,821142,794022,749162,699342,644342.583J41,794021.539161,259340,954350,6239451 За*. 209Й
802РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМПродолжение табл. 16.301.50 1,601.70 1,801.902,002,102,202.302.402.50 2,602.70 2,802.903.003.103.203.303.403.503.603.703.803.904.004.104.204.304.404.504.604.704.804.905.005.105.205.305.405 505.605.705.805.906.006.106,2G1.84531,82331,79961,77421,74701,71801,68721,65451,61981,58291,54391,50261,45891,41231,36381 3120 1,2573 1,1995 1,1381 1,07311,00410,93090,85300,77000,68140,5865 0,4849 0,3755 0,2575 0,1296—0,0096-0,1617—0,3291-0,5144-0,7213—0,9544—1,2197—1,5258-1,8844—2,3127—2,8364 —3,4961 —4,ЗЬ07 —5,5552 —7,3358—10,3186—16,4673—37,18101,04001,04631,05281,05991,06771,07601,08491,09461,10511,11641,12361,14171,15591,17121,18781,20581,22511,24631,26911,29401,32111,35081,38341,41901,45841,50181,55001,60371,66361,73091,80701,89331,9^202,10562,23752,39232,57572,79603,06483,39893,82364,37945,13456,21407,872510,726916,739237,3083а + (2,88532,86962,85242,83412,81472,79402,77222,74912,72492,69932,67252,64432,61482,58392,55162,51782,48252,44582,40722,36722,3253 2,2817 2,2363 2,1890 2,13982,08842,03491,97921,92111,86051,79741,73101,66291,59121,51621,43791,35601,27021,18041,08620,98720,88330,77380,65870,53680,40830,27190,12734,645604,45*204,259804,048223,824403,588003,339403,078202,804802,518602,220001,908601,584601,247800,898200,535600,160000,22840-	0,63060-	1,04570-	1,47440-	1,91660-	2,37240-	2,84200-	3,32540-	3,8232-	4,3352-	4,8616-	5,4028-	5,9590-	6,5302-	7,1168-	7,7192-	8,3370-	8,9726-	9,6242 -10,2930 -10,9796 -И 6842 -12,4076-13,1506-13,9134-14,6974-15,502:-16,3314-17,1834-18,0612-18,96542,517822,445692,367142,281772,189062,088431,979191,860561,731581,591131,437901,270241,086190,883320,658630,408250,12731—	0 19059—	0,55399—	0,97444—	1,46820—	2,05869—	2,78107—	3,69088—	4,88057—	6,5179—	8,9407 —12,9468 —20,9842 —45,9814683,78844,007923,455816,207012,438910,08458,43897,19596,20045,36514,63643,97963,37042,79062,22621,66531,09681,51010,26783—	0,11431—	0,52>85—	0,95822—	1,42094—	1,91157—	2,43080—	2,97944—	3,55842—	4,16887—	4,81210—	5,48976—	6,20381—	6,95668—	7,75137—	8,59175—	9,48269 —10,43059 —11,44399 —12,53444-13,71820—15,01869—16,47107—18,13087-20,09056-22,5179—25,7507—30,5868—39,4742—65,3414663,53822,84791,3659—	6,8330 -11,5711—14,9155—17,5711—19,8441-21,8896-23,7949—25,6136—27,3804-29,1196—30,8494—32,5838—34,3347—36,1132—37,9299Пример 16.8 (рис. 16.34). Неизвестных три: Mlt М2 и (М0=Мз=4'2=^2= Т21 = ’t23=°)- plИз условий статики Ni=—Ns=~^~- Недеформационный ED-const2AV (h + h) + M2ls2 - 6Elty = — 6£/т° 0;M,ls2 + Ш,1 (t2 + t3) + 6£/| = 0;Mo	pl- -f+N^ + ~t + Nd+ 2 =0*оУгол ^ifo =4£т^’ где T~ берется по табл. 16,30. Позаданному значению р определяются числовые значения коэффициентов v для всех брусьев и затем по табл. 16.29 и 16.30 — значения s, t и 7. Совместное решение напи¬ санных выше уравнений дает значения Ми М2 и16.5.2. Метод перемещенийВ деформационных решениях основные формулы ме¬ тода перемещений (см. 5.7.3) имеют следующий вид:2 EI	2 EI	2 EIМА =МА +?А — “+Ч>В — Р ~ Ф ~ (а+^:(16.107)2 EI	2,Е1	2EIMB=M*B—<fA —j— Р—<рв -7—«+ <!> -г"(а+Р); <16-108>ii2EI	2EIQ = Q*—?a (“+ Р) — Чв ~jT (“ + Р) +2 Е1 ++—Т-(16.109)Nш1пштн|1нтинш1шштNРис. 16.35RiNРис. 16.36расчет дает N2=—0,263 pl (рассматривается как первое приближение). Для выполнения деформационного рас¬ чета составим два уравнения трех моментов (16.106) и уравнение равновесия ригеля:Для брусьев, имеющих на конце В шарнир:ma=m^+4ay“-*'T~1‘' (16Л10)Q=Q*0^<fA iL~+i/§L~ (16.111)Значения функций а, р, у, а и 7 для сжато-изогнутых брусьев см. в табл- 16.30.Моменты защемления МАи МБ от пролетной на¬ грузки в случае равномерно распределенной сплошной нагрузки р и сосредоточенной силы Р (рис. 16.35) опре¬ деляются по формулам
16.5. ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАМ803■; (16.112)21 л Г / Ь	Ь»\Мл— 	Р а — sin v — sin — I —л v2sinv [ \ /	I J{-J Sim-sin у)]-* 21 Г I a	ay>\Mn=	p a 	 sin v — sin 	 —B v2Sinv [ W	1 J(16.113)для бруса с шарниром на конце В (рис. 16.36)Мr*°= JIpI —-V2sin v|-£. (16.114)Практически всегда можно пользоваться значениями продольных сил в брусьях рамы, найденными недефор¬ мационными методами. Ошибка растет по мере увели¬ чения гибкости элементов рамы.16.5.3.	Определение критических нагрузок рамЗадача решается при помощи тех же уравнений, ко¬ торые служат для деформационного расчета рам. От¬ сутствие изгибающих нагрузок (сжатая рама) превра¬ щает эти уравнения в однородные относительно неиз¬ вестных сил или перемещений. Условие А =0 существо¬ вания отличных от нуля значений этих неизвестных яв¬ ляется уравнением устойчивости, из которого находятся критические значения нагрузок.а)W1	№60а'r—L		IN4QaZ?Рис. 16.37Расчет рам со смещающимися узлами на устойчи¬ вость может быть упрощен, если для некоторых брусьев с^О заведомо известно, что в критическом состоянии эти брусья нагружены только продольными силами и моментами по концам (балочная поперечная сила в брусе равна нулю). Такой случай имеет место, напри¬ мер, в стойках потерявшей устойчивость симметричной и симметрично нагруженной рамы (рис. 16.37) 4 При рас¬ чете на устойчивость такой рамы брус с нулевой балоч¬ ной поперечной силой можно формально рассматривать как брус с Ф=0, принимая при этом для него во всех расчетных уравнениях такие значения функции а и р:2t g Р=-2	sin v(16.115)(16.116)Уравнение равновесия ригеля при этом отпадает.51*Таблица 16.31v	vФункции —, 	. ^tgv, cos n, sinv, tgvtgv sin vV'Vл g *Vsin vv tg VCOS Vsin vt£v00,100,200,300,401,00000,99670,98660,96980,94611,00001,00171,00671,01521,02720,00000,01000,04050,09280,16911,000000,995000,980070,955340,921060,000000,099830,1986/0.295520,389420,000000,100330,202710,309340.422790,500,600,700,800,900,9152 0,8770 0,8311 . 0,7770 0,71421,0429 - 1,0626 1,0866 1,1152 1,14870,27310,4105Q.58960,82371,13410,877580,825340,764840,696710,621610,479430,564640,644220,717360,783330,546300,684140,842290,029641,260161,001,101,201,301.400,64210,55990,46650,36090,24151,18851,23431,28751,34931,42071,55742,16123,08664,68278,11700,540300,453600,362360,267500,169970,841470,891210,932040,963560,985451,557411,964762,572153,602105,797881,501,601,701,801.900,1064—	0,0467—	0,2209—	0,4199—	0,64911,50381,60071,71431,84832,007821,1521—	54,7721—	13,0841—	7,7153—	5,56160,07074-0,02920-0,12884—0,22720—0,323290,997490,999570,991650,973850,9463014,10142 —34,23253—	7,69660—	4,28626—	2,927102,002.102,202,302,40—	0,9153,—	1,2282-—	1,6014'—	2,0550—	2,62012,19952,43282,72113,08433,5531—	4,3701—	3,5907—	3,0224—	2,5742—	2,1984—0,41615' —0,50485i —0,58850 —0,66628 —U, 737390,909300,863210,808500,745710,67546—	2,18504—	1,70985—	1,37382—	1,11921—	0.916012,502,602,702,802,90—	3,3466—	4,3218—	5.7115—	7,8756 —11,76*04,17735,04366,31768,358512,1212—	1,8675—	1,5641;—	1,2764—	0,9955—	0,7146—0,80114—0,85689—0,90407—0,94222'—0,970960,598470,515500,427380,334990,23925—	0,74702—	0,60160—	0,47273—	0,35553—	0,246413,003,103,203,303,40—21,0452—74,488854,728920,657312,863221,2585 74,5533 —54,8227 —20,9192 —13,3052—	0,4276—	0,1321 0,1871 5,5272 0,8987—0,98*99 —0,99914 -0,99829 —0,98748 —0,966800,141120,04158—0,05837—0,15775-0,25554—	0,14255—	0,04162 0,05847 0,15975 0,264323,503,603,703,803,909,34357,29535,92264,91234,1164—	9,9778—	8,1352—	6,9832—	6,2106 - 5,67051,31111,77652,31152,93953,6949—0,93646' —0,89676 —0,848101 —0,79097 —0,72593-0,35078 —0,44252 —0,52984 —0,61186 —0.6877/10.374590,493470,624730,773560,947424.004,104,204,304,403,4543i2,8802'2,36251,88111,4210—	5,2854—	5,0105—	4,8188—	4,6934—	4,62384,63135,83657,46679,829113,6238—0,65364—0,57482—0,49026—0,40080—0.30733—0]75680 —0,81828 —0,87158 —0,91617 —0,951601,15782 1,42363 1,77778 2,28585 S.096324,504,604,704,804.900,97040,51920,0582—	0,4216—	0,9302-	4,6034-	4,6292-	4,7004-	4,8185--	4,987&20,868C40,7568379,350—	54,6474—	25,8107—0,21080-0,11215—0,012390,087500,18651—0,97753—0,99369—0,99992—0,99616—0,982454,63733 8,86017 80,71276 —11,3849 — 5,267495,005,105,205,305,40—	1,4791—	2,0821—	2,7577—	3,5303—	4,4352—	5,2142—	5,5087—	5,8860—	6,3681—	6,9879—	16,9026—	12,4al9—	9,8053—	7,9567—	6,57470,283660,377980,468520,5543/0,63469—0,95892—0,92581—0,88345—0,83227—0,77275—	3,38052—	2,44939—	1,88564—	1,50127—	1,217545,505,605,705,805,90—	5,5244—	6,8801 — 8,6399 —11,0546 —14,6362-	7,7954—	8,8710 —10,3506 —12,4839 —15,7805—	5,4757—	4,5581—	3,7605—	3,0431—	2,37830,708670,775570,834710,885520,92748—0,70554 —0,6312/ —0,55069 —0,46460 —0,37388—	0,99558—	0,81394—	0,65973—	0,52467—	0,403116,006,106,20—20,6178—32,9263—74,3604—21,4731 —33,4867 —74,6184—	1,7461—	1,1301—	0,51700,960170,983270,99654—0,27942 —0,18216 —0,08309—	0.291C1—	0,18526—	0,08338
804РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМЗначение угла 4* в этом случае^Ул+Чв t V(16.117)Если в брусе с нулевой балочной поперечной силой на конце В шарнир, то_ также принимается для этого бруса ф=0» а функции приписывается значениеа = v tg у.	(16.118)v уЗначения функций ■— , 	; ^tgv см. в табл. 16.31,tg у sin vПример 16.9. Определить критическую нагрузку Ркррамы (рис. 16.38), для которой n=J~r~ • “Т“=0,40.Ih LНеизвестными являются <р2. Тз и Ф12 = Фз* = Ф* Продольные усилия брусьев рамы^12 = — Р' ^23=^34=0.Следовательно: ^12/Ph 2—; ,23 = V3t = 0.Составляются уравнения равновесия узлов 2 и 3 и Elh	Eliбруса 23. Обозначения: 	= *А, — —h	IУзел 2:( М2Л = 2ih [аср2 + р.0 — (а + Р) ф]1 М2Я = 2тн (2ср2 + Уя — 3 -0)2*Л [(« + 2w) ср2 4- Лсрз — (а + Р) ф] =0Узел 3:Ш32= 2л/л (2ср3 + <р2—3-0)= 2i'h (2ср3 -(- <р2 — Зф)2ih Иг + <2л + 2)93 — 3^J = 0 .(a)(б)Брус 23:Qn = —~ [(» + Р)?,-тМ<?34 = - (З?3-6ф)2 ih— ~1(а + р) 4- 3<р3 — (7+6) М =0(в)Приравнивается нулю определитель системы уравне¬ ний (а), (б) и (в):а + 2ппа+рп2л + 23= 0.(г)а + р37 + 6Раскрытие определителя дает уравнение, из которого подбором находят^, соответствующее заданному л. По¬ ложим, например, ^=3. По табл. 16.30 находим а= = 1,3120, р=2,5178,7 =0,5356 и из (г) получаем квад¬ ратное уравнение относительно п:19,61 м2 +27,70 м —7,34 = 0,откуда п=0,228 (отрицательный корень опускаем). Из¬ меняя vf можем найти его значение ^кр =3,30, соответст¬ вующее заданному п=0,40. Критическая сила опреде-р <рЕ1нляется по формуле Ркр =	—h2На рис. 16.9, б показан график v (п), построенный для рассматриваемой рамы по уравнению (г).Пример 16.10. Определить критическое значение сил Л/, приложенных к раме (рис. 16.37), £=2,1 • 106 кг/см2. Погонные жесткости стоек и ригеля:&АВ Е-21 7201ВС~АВ '&ВСIIЕ-83 860 0,6//п=	=6,435.Составляем уравнения критического состояния рамы.Рассматриваем первое — антисимметричное — крити¬ ческое состояние (рис. 16.37, б) рамы:(?s = (?cJ nbc = °-Так как в стойках в критическом состоянии балочные поперечные силы отсутствуют, то рама рассматривается как рама с несмещающимися узлами: для определения у в достаточно составить только уравнение равновесия узла В. Значения коэффициентов: 1) для бруса ВС (М=0): а =2, Р=1; 2) для бруса АВ, согласно (16.115) и (16.116):У	Уа =	 , р = — 		 .2 tg v	2 sin vИз уравнения равновесия для узла В:— 2i + 2 nil<fB — 2niyB = 0..2 tgvУравнение устойчивости:— — = 6л =38,10,tg Уотсюда vKp =3,063.Другой пример см, 16.5.5. Формулы и таблицы для быстрого определения критических нагрузок 1-го рода для некоторых типов рам см. 16.1.5.Рассмотренные методы расчета применимы также для рам со ступенчатыми стойками. В этом случае каждая ступень стойки должна рассматриваться как отдельный стержень, место сопряжения ступеней — как узел рамы, в котором сходятся под углом 180° два стержня.Некоторые способы приближенных и упрощенных рас¬ четов устойчивости сложных рам см. [30].Определение деформации рамы в критическом со¬ стоянии. Найдя корни уравнений А =0 и поставив эти корни в коэффициенты исходной системы однородных
16.5. ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАМ805уравнений, можно, как известно, определить все вели¬ чины f и с точностью до постоянного множителя Этим определится характер деформации рамы, соот¬ ветствующий данному значению критической нагрузки. Абсолютные значения деформации остаются при этом неопределенными.16.5.4.	Расчет сжатых рам по погибиСчитаем, что рама имеет начальную погибь v, сов¬ падающую с деформацией в критическом состоянии. Тог¬ да для прогибов под нагрузкой будет верна формула типа (16.66). Количественно погибь определяем усло¬ вием1, что на наиболее напряженном брусе °тахМ а»где а—наибольший (у опор) угол наклона касательной к первоначальной оси бруса для бруса с шарнирно за¬ крепленными концами и нормативной стрелой & погиби:_	7ZXv = & sin — .При о =1000*тах(*) = « = 0,00314. (16.119)Деформационный расчет рамы, нагруженной только в узлах, по условию <*тах= ат выполняется в следующем порядке.1.	Производится расчет рамы на потерю устойчиво¬ сти 1-го рода, причем определяется коэффициент для подлежащего расчету наиболее напряженного бруса рамы (усилие в этом брусе обозначаем через N).2.	Устанавливается вид деформации при минимальной критической силе для наиболее напряженного бруса рамы и записывается уравнение погиби v = Ь sin(kx+5), гдеI3.	Предельная нагрузка рамы iVnp определяется из уравнения0„ = ат (Л — Va*-i) , (16.120)где1+7(16.121)N.пр|^о =——, гтах— координата наиболее напряженной точ¬ ки в сечении,Т = о » ^ = ^тах = утах| *Если и гребень, и точка перегиба синусоиды лежат явно в пределах длины бруса, тоЬ = — , & = а£. k(16.122)Если на брусе находится только точка перегиба, тоЪ =(16.123)1	Чертой сверху отмечается величина, относящаяся к заданномуусловию относительно начального состояния рамы.Рассмотренная методика расчета совпадает с обычной методикой расчета по гибкости X и коэффициенту если и гребень, и точка перегиба синусоиды лежат в пределах бруса. В противном случае расчет по А, и ср содержит некоторый излишний запас, обычно очень не¬ большой. Поэтому практически всегда можно расчет сжатых элементов рам, нагруженных в узлах, вести по гибкостям.16.5.5.	Расчет симметричных рамРасчет симметричной рамы (рис. 16.39,а) с учетом антисимметричной погиби полностью решает вопрос обес¬ печения надежности системы. При таком расчете в опас¬ ном сечении суммируются, согласно обобщенному зако-о)б)ШКШШ1НН1В hi I о10,3р1 \0,3р1 0,0246pl\	fR0,0246piЪ-0.61Рис. 16.39ну сложения действия сил, напряжения деформационного расчета при симметричной нагрузке с напряжениями от антисимметричной характеристической погиби:где<аТ, (16.124)Nnvnp аоПредельная нагрузка определяется в (16.124) рядом пробных расчетов.Пример 16.11. Найдем предельное значение рпр ин¬ тенсивности нагрузки р для симметричной рамы (рис,16.39,а).Дано: <*т=2 100 кг/см2; Е=2,1 • 10б кг/см2; 1ав=^со==я =/=const; радиус инерции сечения г=0,4/г, где h — вы¬ сота сечения: ядерное расстояние р =0,8г =0,32h\= ^=1,67.1АВВыделяя сжимающий компонент нагрузки (рис,16.39,	б), определяем критическое значение р=ръ. Стой¬ ки АВ, DC сжаты силами 0,3 pl\ ригель — силой 0,0246 pi (найдено недеформационным расчетом рамы).Рассмотрим антисимметричную форму потери устой¬ чивости рамы. Уравнения критического состояния:- 2 ( aABl + aBDni) 'PS — 2 РВ£)П'?В + 2(« + Р)ЛВ /ф=0 . 2-2 (а +	2-21ав»Ф = 0,или после приведения подобных членов и сокращений~ [ аАВ + ” (“ + Р)во] Чв + (“ + Р)лв Ф = °.
806РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМСоставляем определитель А и решаем уравнение устойчивости Д=0; учитывая, чтоАВ0,3 р/находимv = = 2,99; fe = -^- =2,99Рэ = 29,8Е/Уравнение изогнутой оси стойки в критическом со¬ стоянии (рис. 16.39, б):о = Ь cosПараметр Ь характеристической (16.122):погиби, согласно0,00314 /2,99Следовательно, уравнение оси0,00314v =	2,99В точках А и В кривизна по абсолютной величине имеет значенияI cos kx.I =	=0,00940I0,00940II COS v8| =0,00940I•0,9890=0,00930IДля определения рразр по условию прочности стоек надо составить уравнение для наибольших напряжений в сечениях А и В. В сечении В напряжения от нагрузки больше, чем в Л, в сечении А напряжение от погиби больше, чем в В. Опасным является сечение В.Наибольшее напряжение в сечении В°тах = °о +-&(мв + Е1Ь1 o-^J .где а0 =рь2 FЗдесь Мв — деформационный изгибающий момент в сечении В при обычном упругом деформационном расче¬ те симметрично нагруженной рамы (рис. 16.39,а).Пусть— =60; — = 150; тогда оэ=836 кг/см*.rl	fИз условия Оглах = °Т Рпр=29,0 кг/см-, Деформационный расчет без учета погиби дает Рпр =29,9 кг!см.16.5.6. Указания к выбору метода расчета рамДля выбора метода расчета существенно деление рам по роду их потери устойчивости (см. 15.1). К рамам 1-го рода относятся рамы, брусья которых работают только на центральное сжатие (рис. 16.38), а также не¬ которые симметричные и симметрично нагруженные <сжато-изогнутые рамы (рис. 16.39). Учет погиби перево¬ дит все рамы во 2-й род.Рамы из пластического материалаI 1. Для рам 2-го рода со значительным изгибным ком¬ понентом напряженного состояния с ярко выраженными максимумами изгибающих моментов рациональным яв¬ляется расчет по методу пластических шарниров, т. е. по нагрузке (N— обобщенная сила) Мразр=Мкр» где Мкр — критическая сила 2-го рода.Расчет можно вести без учета погиби и недефор¬ мационными методами.2.	Для рам 1-го рода всегда обязателен учет погиби согласно 16.5.4 и 16.5.5, т. е. в порядке деформацион¬ ного расчета.В общем случае для таких рам предельную нагрузку следует определять из упругого деформационного рас¬ чета по условию ашах= ат (опасное сечение на наиболее сжатом стержне).3.	Для рам, нагруженных в узлах, расчет по погиби может быть заменен расчетом по гибкостям к и коэф¬ фициентам <р.Рамы из хрупкого материалаПредельной нагрузкой таких рам всегда является нагрузка, определяемая условием атах=апч. Для рам 2-го рода в большинстве случаев расчет можно вести недеформационными средствами, без учета погиби. Для рам 1-го рода обязательны учег погиби и применение деформационьых методов расчета.При применении указанных приемов расчета провер¬ ка элементов рам на потерю устойчивости 1-го рода излишня.16.6. РАСЧЕТ СТОЕК МНОГОЭТАЖНЫХ РАМ16.6.1. Пластический расчет стойки каркаса с несмещающимися узламиДля стойки, жестко соединенной с балками, в слу¬ чае когда ось минимальной жесткости стойки перпен¬ дикулярна плоскости рамы, т. е. возможна потеряя I \яI х-г yEJtFх-пластические шарнирыРис. 16.40устойчивости только в плоскости рамы, принято пред¬ положение, что балки работают упруго, а на стойке образуется три пластических шарнира.Для упрощенной схемы, представленной на рис.Ogp16.40, коэффициент © = — для стойки ЛЛ, сжатой си- атлой N, определяется (пробами) из уравненияU+—)V F МПЛ }tg-51/9"3]/3дy<tsм„М„4УгаЫви(16.125)Здесь Л1Пл— пластический изгибающий момент сечения стойки при чистом изгибе;
16.6. РАСЧЕТ СТОЕК МНОГОЭТАЖНЫХ РАМ807Мпл—то же, при наличии сжимающей силы N; MF — концевой момент, вызывающий в сечении А балки АВ такой же угол поворота, как и действующие на эту балку внешние нагрузки;МРМп■-1/тЬФормула (16.125) позволяет подобрать экономич¬ ные сечения стойки; неизбежен при этом некоторый перерасход металла в балках.Для более сложных задач рекомендуется упругий деформационный расчет по условию атах = аТ (см. 16.6.2).16.6.2.	Расчетные формулы для деформационного расчета двутавровой стойки. Критические нагрузкиДля стойки, сжатой силой N и нагруженной в плос¬ кости стенки двумя концевыми моментами Мх, Мх= = 2 Мх, критическая система /V, Мх и Мх с учетам воз¬ можного выпучивания вбок определяется формулой [74](—УV Мэ )+N1,(16.126)где М, =тс2 EIVi*— эйлерова сила при Мх =МХ =0;Мэ = — 'У (Ely) (G/к) — критический момент припотере устойчивости плоской формы изгиба при чистом изгибе;Ely—наименьшая изгибная жесткость;GIк—крутильная жесткость стержня;м'мх =V5*’1значения коэффициента ——=г даны в зависимостиVqот fi графиком на рис. 16.41.ч1г го, v ..... •=■ °t-VDT/J/V- 	to ' -Ч'-0.6upПки,ч п чпоихС/,7-W -ОД -0.6 -0,4 -0,2 О 0,2 0.4 0,6 О,в 1.0 Отношение концебык попентоб J5Рис. 16.4116.6.3.	Деформационный расчет стойки, изгибаемой в двух направленияхОбозначим сжимающую силу стойки (рис. 16.42) в предельном состоянии через N. Кроме сжатия, стойка испытывает чистый изгиб в двух главных плоскостях моментами Мх и Му. Плоскость наибольшей жесткости стойки совпадает с плоскостью рамы, В плоскостинаименьшей жесткости имеется начальная синусои¬ дальная погибьЬ sin —— = 0,0015 рА. sin—— ,г2где р =Zmax— ядерное расстояние.Расчетное уравнение (упругий расчет по условию °шах= °т) имеет видо0 Пх ах -J- Пу Оу ■< а .Здесь°о =NМхF’	Wx a = 0T — 0,0015^£ (	; \ I /1— b/ 11	+ <*o4•	1 — ь( Mx V , Л_	1 / l Уb \ M3 ) + N3	*E (ry) °0’I	r	FG1k°0 — °0 "T" p » 1 —	•(16.127)(16.128)(16.129)(16.130)Прочие обозначения обычные.16.6.4.	Деформационный расчет стойки, изгибаемой только в плоскости каркасаНа практике чаще всего встречается случай расче¬ та стойки (рис. 16.43), изгибаемой только в плоскости наибольшей жесткости^ совпадающей с плоскостью рамы,
808РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМПри упругой работе расчет ведется по формуле (16.127), которая приобретает вид (Му=0)°о + пх ах < 0 = °т— 0,0015тс2 ЕМ ТуI / 1 — Ту(16.131)Если в стойке образуется пластический шарнир на одном или на обоих концах, то расчет значительно ос¬ ложняется, так как в месте образования шарнира стойка вследствие текучести полок становится не¬ устойчивой из плоскости рамы. Пластические дефор-Рис. 16.43мации распространяются за пределы шарнира, снижая значения критических нагрузок бруса. В этом случае критические значения нагрузок N, МХ=МПЛ>МХ = = рМх будут определяться условием1 I Мх X _ NQМ3+Na= Я< 1(16.132)В обычных условиях можно [74] принять //=0,70. Расчет сводится опять к проверке условия °шах^ат упруго работающей средней части бруса и выполняется по формулам (16.128) — (16.131), причем1т&ЕI \2 q0Гу) а(16.133)Порядок расчета следующий: определяем Мпл — со¬ ответствующий cj0= — полный пластический изгибаю- гщий момент сечения стойки, т. е. наибольший из конце¬ вых моментов стойки; затем рМпл— другой концевой1момент и, наконец, Мх = —		Мп*— эквивалентный мо-Vqмент чистого изгиба, определяемый по Р с помощью гра¬ фика на рис. 16.41;Мх ' ,	~ __:=^iao~ а0‘ т » 1 —тFGI кwlПо формуле (16.133) находим Ту - Остальные расчет¬ ные величины — по прежним формулам.Рис. 16.44Проверка напряжения производится по формуле:(1блз1).Для облегчения расчетов приводим график (рис.16.44) для определения о по данным —и aQ . ЭтотТУграфик построен согласно формулам (16.131), (16.133) при £=2,05.10^ кг/cjи2; ат=2 400 кг/см2, //=0,70 для нормы погиби Ь =0,0015 рХ.ЛИТЕРАТУРА К РАЗДЕЛАМ 15 и 161.	Афанасьев А. М., Байков В. Т., Марьин В. А., Геммерлинг А. В. и др., Сборник задач по расчету тонко¬ стенных конструкций, под ред. А. А. У майского, Оборонгиа, 1941.2.	Бондарь Н. Г., Статическая устойчивость очень пологих бесшарнирных параболических арок, «Прикл адна мехашка», т. II, вып. 2, 1956.3.	Б р о у д е Б. М., Предельные состояния стальных балок, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1953.4.	Бычков Д. В. и М р о щ и н с к и й А. К., Кручение ме¬ таллических балок, Стройиздат, 1944.5.	В и н о к у р о в Л. П., Устойчивость пространственной си¬ стемы колонн, вершины которых связаны жестким телом, Труды Харьковского инж.-строит, института, вып. 4, 1955.6.	В л а й к о в Г. Г., Застосування принципу накладання до задач CTiflK0CTi плоско! форми деформацИ докл. АН УССР № б, 1953.7.	В. 3. Власов, Тонкостенные упругие стержни, Госстрой¬ издат, 1940.8.	В о л ь м и р А. С., К вопросу о продольном изгибе за пре¬ делом упругости. Харьковский механико-машиностроительный ин¬ ститут, т. II, кн. 1, Гостехиздат Украины, 1935—1936.
ЛИТЕРАТУРА8099.	Галеркин Б. Г., Теория продольного изгиба, собр. соч. т. I, изд. АН СССР, 1951.10.	Г а р т и а н Ф., Устойчивость инженерных сооружений, пер. тс нем., Госстройиздат, 1939.11.	Г е и м е р л и и г А. В., Несущая способность стержневых стальных конструкций, Госстройиздат, 1958.12.	Гениев Г. А., Расчет связей составных металлических сжато-изогнутых стержней, сборник «Вопросы безопасности и прочности строительных конструкций», Гос. изд. лит. по строи¬ тельству и архитектуре, 1952.13.	Гольденблат И. И., Современные проблемы колеба¬ ний и устойчивости инженерных сооружений, Стройиздат, 1947.14.	Гольденблат И. И., Сизов А. М., Справочник по расчету строительных конструкций на устойчивость и коле¬ бания, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1952.15.	Гольденвейзер А. Л., Устойчивость тонкостенных стержней при действии продольной силы в зависимости от гра¬ ничных условий, Труды лаборатории строительной механики ЦНИПС под ред. В. 3. Власова, 1941.16.	Горбунов Б. Н., Расчет устойчивости стержней и арок при помощи последовательных приближений, сборник «Ис¬ следования по теории сооружений», Гос. изд. строительной ли¬ тературы, 1936.17.	Горбунов Б. Н., Чудновский В. Г, Стрел fa- би цк а я А. Н., Расчет устойчивости деревянных арок методом последовательных приближений, сборник «Устойчивость арок», изд. АН УССР, 1936 (на укр. яз.).18.	Гофман Ш. М., Приближенный расчет устойчивости свободных рам способом замены матрицы коэффициентов мат¬ рицей лучевой структуры, Труды Ташкентского института инж.ж.-д. транспорта, вып. 5, Трансжелдориздат, 1956.19.	Д и н н и к А. Н., Об устойчивости плоской формы изги¬ба,	Известия Донского политехнического института, 1913.20.	Д и н н и к А. Н., Продольный изгиб, ОНТИ, 1939.21.	Д и в и и к А. Н., Устойчивость арок, Гостехиздат, 1946.22.	Д луга ч М. И., О расчете тонкостенных стержней, уси¬ ленных решеткой или планками, сборник «Расчет пространствен¬ ных конструкций», вып. I, Машстройиздат, 1950.23.	Д о б у д о г л о Н. Г., Теоретическое и эксперименталь¬ ное исследование устойчивости плоской формы изгиба нераз¬ резных балок узкого прямоугольного и двутаврового сечения, Труды лаборатории строительной механики ЦНИПС, Стройиз¬ дат, 1941.24.	Евграфов Г. К., Об устойчивости сжатых многопро¬ летных стержней на податливых опорах с постоянными реак¬ циями, сборник «Инженерные сооружения и строительная ме¬ ханика», изд. «Путь», 1924.25.	Заборов В. И., Об устойчивости несимметричной трех- шарнирнвй арки, сборки:* «Исследования по теории сооружений», вып. VI, Госстройиздат, 1954.26.	3 а в р и е в К. С., Расчет стержней на одновременное действие изгиба и осевого сжатия. Тбилиси, 1931.27.	Качанов Л. М., Устойчивость плоской формы изгиба за пределом упругости, «Прикладная математика и механика», т. XV, вып. 2 и 5, 1951.28.	Коробов А. П., Приближенный метод расчета стоек постоянного и переменного сечений, Известия Ростовского-на-До- ну института инженеров транспорта, вып. 1—2, 1935.29.	К о р о б о в А. П., Устойчивость плоской формы изгиба, Известия Киевского политехнического института, 1911.30.	К о р н о у х о в Н. В., Прочность и устойчивость стерж¬ невых систем, Госстройиздат, 1949.31.	Корноухо в Н. В., Упрощенный расчет деформатив- ности и общей устойчивости стальных каркасов высотных зда¬ ний, сборник «Вопросы применения стальных конструкций в строительстве», Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре,32.	К о р н о у х о в Н. В., Проверка устойчивости упругих арок при произвольно распределенной вертикальной нагрузке, сборник «Устойчивость арок», изд. АН УССР, 1936 (на укр. яз.).33.	Корноухо в Н. В., Проверка устойчивости сжато¬ изогнутых конструкций (стержней, арок и рам) за пределами упругости, сборник трудов Киевского инж.-строит, института, вып. III, «Строительная механика», 1936.34.	Корноухо в Н. В., (редактор), Исследование устой¬ чивости системы типа каркаса Дворца Советов СССР, изд. АН УССР, 1938.35.	КУРД юм о в А. А., Устойчивость плоских перекрытий, «Инженерный сборник», т. 4, вып. 1, изд. АН СССР, 1947.36.	Л е й т е с С. Д., Устойчивость сжатых стальных стерж¬ ней, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1954.37.	Луковников В. Ф., Устойчивость прямоугольной по¬ лосы и двутавровой балки при сло’Жном поперечном и продоль¬ ном нагружении, Труды Рижского Краснознаменного высш. ин¬ женерно-авиационного военного училища, вып. 8, 1956.38.	Л ь в и н Я. Б., Расчет устойчивости пространственной системы произвольно расположенных стоек, сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. II, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1951.39.	Л ь в и н Я. Б., Осадка и крен жестких стен и колонн под влиянием дополнительной боковой нагрузки основания,сборник «Исследования по теории сооружений», вып. VI, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1954.40.	Мазурмович 3. Н., Пространственная устойчивость тонкостенной параболической арки, сборник трудов Института строительной механики АН УССР № 16, Киев, 1952.41.	Морга евский А. Б., Об устойчивости трехшарнир¬ ной параболической арки за границами упругости, «Инженер¬ ный сборник», т. 24, изд. АН СССР, 1956.42.	М о р г а е в с к и й А. Б., Устойчивость тонкостенных бес- шарнирных круговых арок, сборник «Исследования по теории сооружений», вып. VII, Госстройиздат, 1957.43.	Никифоров С. Н., Устойчивость сжатых стержней сварных ферм, Госстройиздат, 1938.44.	Нормы и технические условия проектирования стальных конструкций, Госстройиздат, 1955.45.	Н уд е л ь м а н Я. Л., Методы определения собственных частот и критических сил для стержневых систем, Гостехтеорет- издат, 1949.46.	П а н о в к о Я- Г., О критической силе сжатого стержня в неупругой области, «Инженерный сборник», т. 20, изд. АН СССР. 1954.47.	Пиковский А. А., Михайличенко К. А.,в Ра¬ циональные методы расчета сжатых тонкостенных стержней, сборник «Научно-технические труды РИСИ» № 4, Ростов-на-Дону, 1956.47а. Пиковский А. А., Формулы для деформационного расчета арок, «Вестник инженеров и техников» № 3, 1951.48.	П и н а д ж я н В. В., Некоторые вопросы предельного со¬ стояния сжатых элементов стальных конструкций, изд. АН АрмССР, 1956.49.	П и с ч и к о в В. Г., Унификация методов расчета эле¬ ментов на сжатие с изгибом, сборник «Исследования по теории сооружений», вып. IV, Стройиздат, 1949.50.	П р а т у с е в и ч Я. А., Вариационные методы в строи¬ тельной механике, Гостехтеоретиздат, 1948.51.	Прокофьев И. П., Смирнов А. Ф., Теория соору¬ жений, т. III, Трансжелдориздат, 1947.52.	Р а б и н о в и ч И. М., Курс строительной механики стержневых систем, т. II, Госстройиздат, 1952.53.	Рабинович И. М., Об устойчивости стержней в статически неопределимых системах, Госстройиздат, 1932.54.	Р ж а н и ц ы н А. Р., Устойчивость равновесия упругих систем, Гостехиздат, 1955.55.	С в е н ц и ц к и й Г. В., Устойчивость деревянных арок, сборник «Вопросы прочности и изготовления деревянных кон¬ струкций», Гос. изд. лит по строительству и архитектуре. 1952.56.	С е г а л ь А. И., Высотные сооружения. Госстройиздат,1947.57.	Сегаль А. И., Прочность и устойчивость судовых пе¬ рекрытий, Судпромгиз, 1959.58.	Смирнов А. Ф., Устойчивость и колебания сооруже¬ ний, Трансжелдориздат, 1958.59.	С н и т к о Н. К-. Устойчивость сжатых и сжато-изогну¬ тых стержневых систем, Госстройиздат, 1956.60.	Справочник по технической механике под ред. А. Н. Дин- ника, ОГИЗ, 1949.61.	Справочник по строительной механике корабля, т. 2, Судпромгиз, 1953.62.	Технические условия проектирования капитального вос¬ становления и строительства новых мостов и труб под желез¬ ную дорогу нормальной колеи (ТУПМ-47), Трансжелдориздат.1948.63.	Т и м о ш е н к о С. П., Устойчивость упругих систем, Гостехиздат. 1955.64.	У м а н с к и й А. А., Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций, Оборонгиз, 1939.65.	У м а н с к и й А. А., Расчет брусьев по методу началь¬ ных параметров, изд. ВВИА имени Жуковского, 1952.66.	У м а н с к и й А. А., Расчет тонкостенных стержней. Справочник машиностроителя, т. III, Машгиз, 1951.67.	Чувикин Г. М., Общая устойчивость монорельсовых балок, сборник ВНИИПТМаша, «Специальные расчеты моно¬ рельсовых балок», Машгиз, 1948.68.	Ч у в и к и н Г. М., Экспериментальное исследование ус¬ тойчивости плоской деформации балок за пределом упругости, сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. IV, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1958.69.	Чудновский В. Г., Методы расчета колебаний и ус¬ тойчивости стержневых систем, изд. АН УССР, 1952.70.	Шелестенко Л. П., Влияние собственных остаточ¬ ных напряжений на устойчивость сварных стержней, Всесоюз¬ ный научно-исследовательский институт транспортного строи¬ тельства, М., 1956.71.	Ш т а е р м а н И. Я. и Пиковский А. А., Основы теории устойчивости строительных конструкций, Госстройиздат, 1939.72.	Ш т а е р м а н И. Я., Общая теория устойчивости арок, сборник «Устойчивость арок», изд. АН УССР, 1936 (на укр. яз.).73.	В 1 е 1 с h F., The Buckling Strength of Metal Structures, Me— —Graw—Hill Book Company, New York—Toronto—London, 1952.74.	В a k e r J., Horne М., Неушап J., The Steel Skeleton, vol. II, Cambridge, 1956.
РАЗДЕЛ 16. УСТОЙЧИВОСТЬ И ДЕФОРМАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ810 ========75.	С h w а 11 а Е., Die Kipp—Stabilitat gerader Trager mit dop- pelt—symmetrischem I—Querschnitt, Forsch. Geb. Stahlb. Bd 2, 1939.76.	Chwalla E., Theorie des aussermittig gedruckten Stabes aus Baustahl, Stahlbau, H. 21, 23, 1934.77.	DIN 4114, Richtlinien.78.	F e d e г h о f e r K., Zur Berechnung der Kipplasten, Sitzungs- bericht der Akademie in Wien, Abt. 11, Bd 140, 1931.79.	Jezek (Jager), Die Festigkeit von Druckstaben aus Baustahl, Wien, 1937.80.	L a a s о n e n P., Eras nurjahdustaivutuksen likimaaraisratkaisn tapa, Tekn. Aikakuslenhti, 1953, т. 43, вып. 8.81.	Herber К.—H. Vereinfachte, einheitliche Berechnung von Knickproblemen fur Stabe mit starrer La^erung und Ivahmentragwerke, Pautechnik, H. 5, 9, 1956.82.	N у 1 a n d e г H., Abhandl. Schwed. Ingenieurwiss. Akad Bd 174, Stokholm, 1943.	*'83.	N у 1 a n d e r H. Torsional and lateral Buckling of eccentrically compressed I and T columns. 1949, Goteborg, Acta polytechnica № 2884.	Petterson Ove, Combined Bending and Torsion of simp¬ ly supported Beams of Bisymmetrical Cross Section, Acta polytechn- ca, Goteborg, 1949, № 29.195085* P f 1 ^S ® Г A** stabilitatsProbleme der Elastostatik, Berlin*86.	Schweda Fr., Die Bemessung des Endquerrahmens offener Brucken, Der Bauingenieur, 1928, H. 30, S. 537.87.	S t u 3 s i F., Die Grundlagen der mathematischen Plastizitats- theorie und Versuch, Zeitschr. fur angew. Math, und Physik, vol. 1 Fasc. 4, 1950.
РАЗДЕЛ 17УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК17.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯПод критическим напряжением для пластинок по¬ нимается напряжение, до которого исходное равнове¬ сное состояние является устойчивым. Если выпучивание пластинки как элемента конструкции считается недо¬ пустимым, то напряжения от расчетной нагрузки должны составлять известную часть от критических. Для пластинок, закрепленных по краям и подвергаю¬ щихся действию сжатия или сдвига, потеря устойчи¬ вости не связана с разрушением; в закритической об¬ ласти пластинка может нести возрастающую нагрузку.При расчетах оболочек на устойчивость следует различать верхнее и нижнее значения критического на¬ пряжения. Под верхним критическим напряжением подразумевается напряжение, до которого исходное равновесное, состояние является устойчивым «в ма¬ лом», т. е по втношению к весьма малым возмуще¬ ниям.Нижним критическим напряжением называют на¬ пряжение, до которого исходное равновесное состоя¬ ние является устойчивым «в большом», так что исклю¬ чен перескок от начального состояния к другому состоянию, характеризуемому большими прогибами.В реальных конструкциях оболочки обычно имеют начальные прогибы, сравнимые с их толщиной; выпу¬ чивание оболочек происходит при напряжениях, лежа¬ щих между верхним и нижним критическими значе¬ ниями.В практических расчетах оболочек на устойчивость следует определять как верхнее, так и нижнее значения критических напряжений. Напряжения от расчетной нагрузки должны составлять известную долю от верх¬ него критического напряжения и, как правило, не должны превышать нижнее критическое напряжение. Выпучивание оболочек обычно сопровождается резким хлопком, в процессе которого возникают пластические деформации; потерю устойчивости оболочек надо счи¬ тать равносильной разрушению. Более подробно об этом см. [5, § 96].Основные обозначенияDQx* Qy—нормальные напряжения в срединной плоскости пластинки;х — касательные напряжения в срединной плоскости;р — интенсивность поперечной нагрузки (приложенной по нормали к поверх¬ ности);Е, G — модули упругости материала при рас¬ тяжении (сжатии) и сдвиге;М- — коэффициент Пуассона;ЕР12 (l-fx2)—	цилиндрическая жесткость.17.2.	УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ17.2.1.	Прямоугольные пластинкиа)	Сжатие усилиями, равномерно распределенными по краям х=0 и х=а (рис. 17.1).Критическое напряжение*2 Е / t \*Г=^(т) * (17Л>ТС *D°кр = К~рГ = К 12(1-Коэффициент К зависит от граничных условий и отношения сторон пластинки. Значения коэффициента КРис. 17.1t — толщина пластинки или оболочки; сторона прямоугольной пластинки; радиус круглой пласггинки; сторона прямоугольной пластинки; внутренний радиус кольцевой пла¬ стинки;радиус срединной поверхности круго¬ вой цилиндрической оболочки или сфе¬ рической оболочки;■длина цилиндрической оболочки;•	координаты точек срединной плоско¬ сти прямоугольной пластинки вдоль сторон а и Ъ\—{/- X, у-для различных граничных условий приведены в табл. 17.1—17.5.На рис. 17.2 приведены графики, по которымаможно определять значения К при отношениях — , неопомещенных в табл. 17.1—17.5.б)	Нагрузка усилиями, распределенными вдоль кра¬ ев *=0 и х=а (рис. 17.3) по линейному закону ах =“'-('-“т)' (т>0,2)-
812РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕКТаблица 17.1Значения коэффициента К в формуле (17.1)Грани^ "" '0,20,30,40,50,60,70,80,91.01.11.21,31.41.51.61.71.8От 1,9ДО воВсе края пластинки шарнирно оперты2713,28,416,255,144,534,24,044,04,044,134,284,474.344.24,084,054,0Таблица 17.2Значения коэффициента К в формуле (17.1)~~Граничн^ ■—-—0.60,81.01.21.41.61.82,03.0~Все края пластинки защемленыЗащемление по краям у е= о и у = Ь при шарнирном опи¬ рании остальных краев 	Защемление по краям х = 0 и х — а при шарнирном опирании остальных краев ....Шарнирное опирание по краям дг = 0 и х = в, защемле-' ние по краю у = 0 и при свободном крае у = Ъ Шарнирное опирание по краям хт=0,х = апу = 0 при свободном крае у — Ь	7.0513,383,657,298,732.72,1519,47,696.741.71,4419,37,155,841.471.148,87,045,451.360,958.57.25,341,330,848.57.05 5,18 1.34 0.768.27,04.861.380,77,87,154,411.360.567.07.04.0 1.33 0.46Таблица 17.3 Значения коэффициента К в формуле (17.1)для случая упругого защемления края у = О и шарнирного опирания остальных краевь0,250.51.02,04,06.010,00.56,526,636,716,776,816,826,830,65,445,585,705,795,855,875,890,74,855,035,195,325,405,445,460,84,564,754,965,135,255,305.340,94,424,644,895.115,285,405,401,04,394.644,935.215,435,525,60GIK — жесткость на кручение ребра, примыкающего к за¬ щемленному краю (характеризует степень защемления).Т а б л и ц а 17.4Значения коэффициента К в формуле (17.1) для случая упругого защемления края х = 0 и шарнирногоопирания остальных краевGJkDaba0.250,51.02,04,0100,334,084,094.104,114,114,110,54,164,194,214,234,234,241.04,324.464,604.704,774,821.55,105,395,766,146,466,732.06,707,067,608,288,989,682,58,879,289,9410,8912,0014,753,011,5912,0212,7713.9115,4317.50Т а б л и ц а 17.5Значения коэффициента К в формуле (17.1) для случая одинакового упругого защемления по краям у=0, у=Ь и шарнирного опирания остальных краев—b0,250.51.02,04,010.00,56,847,097,317,477,577,640,65,806,126,436,686,856,960.75,245,646,066,426,676.860,84,965,425,976,446,807,080.94,845,365,996,627,127,521.04,795,996.146,927,577,64Таблица 17.6Значения коэффициента К в формуле (17.1) для случая 	шарнирного опирания всех краевaab0,400,500,600,6670,750,800,901.01.5229,125,624,123,924,124,425,625,624,34318,7—12,9—11.511.2—11,011,5l.o15,1-9,7-8,48,1-7.88,44513.3-8,3-7,16.9-6,67.12310,8-7,16,16,0—5,86.1Примечание. Значение а = 0 относится к случаю рав¬ номерно распределенной сжимающей силы, <» = 2-к чистому изгибу, при а < 2 имеет место сочетание изгиба и сжатия, при а > 2 — сочетание изгиба и растяжения.
17.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ813Таблица 17.7 Значения коэффициента К в формуле (17.1) для случая шарнирного опирания всех краев при а == 3аЬ0,280,340,400,440,460,520,580,64К63,4456,8954,3253,28153,8754,8357,0260.05Таблица 17.8Значения коэффициента К в формуле (17.1) для случая шарнирного опирания всех краев при а = 40,200,25116,0103,60,3097,30,3396,20,3596,3I0,45103,50,48107,4Таблица 17.9.Значения коэффициента К в формуле (17.1) для случая упругого защемления по краям у=0, у=Ь и шарнирного опирания остальных краева\ —К N. Dbаь Xv0,250,501,02,04,010,00,512,8313,3713,8614,2314,4614,620,611,0311,6912,3412,8713,2313,481.00,710,2210,8611,7212,4412,9613,350,89,6010,5011,5512,5313,2613,830,99,4110,4211,6812,9413,9314,741.09,4010,5211,9913,5414,4614,620,434,0536,0437,7939,0339,8040,322,00,530,4532,8335,1737,0138,2439,100,629,1131,9034,9237,5239,3540,720,729,0032,1735,9139,4142,0644,14Критическое напряжение (g*o)kp определяется по формуле (17.1). Значения коэффициента К для случая, когда все края пластинки шарнирно оперты, приведе¬ ны в табл. 17.6—17.8. Для случая упругого защем¬ ления по краям у=0, у=Ь и шариирного опирания остальных краев коэффициенты К даны в табл. 17.9.в) Сжатие двумя сосредоточенными силами, при¬ ложенными в серединах больших сторон (рис. 17.4). Критическая сила равнаEtзРкр = К —3 (1 — f*2) Ь '(17.2)Для случая, когда все края пластинки шарнирно оперты, значения К даны в табл. 17.10.В случае защемления всех краев пластинкиtz Etz [ а \p-'-3^Ti ГИТ>2)- (17'3)При защемлении по краям х=0, х=а и шарнирном опирании по краям у=0, у=Ь2тг Et3 / а \*»-—■■о^ГьЬт*2)- (17А)Таблица 17. 10 Значения коэффициента К в формуле (17.2)X. а bГраничныеусловия1.02,03,0-Все края пластинки шарнирно оперты 	1,491,031,001,00г«ол РР 2Рис. 17.4
814РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕКг) Касательные усилия, равномерно распределенные по всем краям (рис. 17.5).Критическое напряжение сдвига (при а>Ь) опреде¬ ляется по формулеткр — Кft у12 (1—(х2) \ Ъ ) '(17.5)Рис. 17.5Рис. 17.6При шарнирном опирании всех краев К «5,M-f■ ' \ 2+4Значения коэффициента К для других граничных условий приведены в табл. 17.11.На рис. 17.6 приведены графики, с помощью кото¬ рых можно определять значения К при отношениях а— не помещенных в таблицах.Ъ *д) Одновременное сжатие усилиями, равномерно распределенными в двух направлениях (рис. 17.7). Отношение сжимающих усилий задано:7 = -Критическое напряжение определяется по формуле(17.1). Значения коэффициента К для случая шарнир¬ ного опирания всех краев даны в табл. 17.12.Таблица 17.11 Значения коэффициента К в формуле (17.5)аЪГраничные ^ч. условия чч^1,01.52,02,53,0ООВсе края пластинкизащемлены' . » ■ ■14,5811,4010,9610,858,99Шарнирное опирание по краям а:=0 и х=а, защемление по краям у=0 и У-Ь	12,2811,1210,219,819,618,99Защемление по краям х=0 и х-а, шар¬ нирное опирание по краям у=0 и У-Ь	12,287,786,706,403,175,35— тт_Lи.Рис. 17.8Таблица 17.12Значения коэффициента К для случая шарнирного опирания всех краевN. ТаЬ0,20,40,60,81.02,01.02,03,0во3.363.36 3,24 3,202,852.40 2,422.402,501,841,741,672,221.491,361.252,001,251,111,001,330,690,580,50±TiTl * < лги*а ' ■ ■» 		61tЛ1гд{кРис. 17.9Рис. 17.10Для случая, когда все края пластинки шарнирно оперты, рекомендуется также пользоваться формулойrri2	rp	Et2 ( m* п* \где m и п — числа полуволн в направлении х и у со¬ ответственно.
17.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ815Если <зх удовлетворяет неравенствуc(1_4"J)<o'<c(5+2iJ)' (17-7)где0,823Et*С " (1 -^)а* ’В случае растягивающих усилий первому члену в левой части уравнения должен быть придан знак минус.ж)	Совместное действие равномерно распределен¬ ных по всем краям усилий сжатия (растяжения) и ка¬ сательных усилий (рис. 17.9).Если все края пластинки шарнирно оперты [16]:Ъ-Y “(2 |/'-Т + 2-т)(21/ ‘-Т+6—?-)• (17Л0)Для случая, когда все края пластинки защемлены [16]:„„ _ ]/<■ (а.31 - -i + ± —ь) (2.31 ]/< - i + 8- . (i7.il,то для нахождения аукр при заданной величине ох под¬ ставляют в формулу (17.6) пг= 1 и п=1.Если ах велико и не удовлетворяет неравенству(17.7), в формуле (17.6) берут /1=1, а величина т определяется из условияс ^2т2 — 2т + 1+2 ^ а* < с ^2/тг2+2/72+1 +2 j •Если ах мало и не удовлетворяет неравенству (17.7), в формуле (17.6) берут т= 1, а величина п опреде¬ ляется из условия«2	> дд.> C^l_„»(n + l)2-2_j .Для случая, когда все края пластинки защемлены, формула для определения критического напряжения имеет видда	Et2a2 / 3 3 2 \'х + 'у-р =1>1i_(ji2(a4 + bi +-^г)- 07.8)По заданному одному из двух напряжений нахо¬ дится значение второго напряжения, при котором пластинка теряет устойчивость. Уравнение это прибли¬ женное и дает хорошие результаты для квадратной пластинки и при ох « ау „е) Совместное действие усилий сжатия (растяже¬ ния), равномерно распределенных по краям х=0, х=ау и касательных усилий, равномерно распределен¬ ных по всем краям (рис. 17.8).Все края пластинки шарнирно оперты. Формула для определения критического напряженияВ обоих случаяхсткр(17.9)0,823£ / I V 1-1* ( Ь ) •При растяжении с*, и <ту отрицательны.з) Совместное действие изгибающих усилий по кра¬ ям х=0у х=& и касательных усилий по всем краям (рис. 17.10).Если все края пластинки шарнирно оперты, то кри¬ тические напряжения определяются из зависимостиНгУ+Нг-)'-1- ('7-12)где а0 и т0 — критические напряжения изгиба и сдви¬ га для пластинки заданных размеров и граничных условий при раздельном дей¬ ствии изгиба и сдвига.По данному уравнению могут быть найдены кри-акртические напряжения, если задано отношение — илиткродна из этих величин. Можно пользоваться такжеXформулой (17.1), где К зависит от— (отношение дей-тоствительного напряжения сдвига к критическому на¬ пряжению сдвига при отсутствии изгибающих усилий) и аотношения —. Коэффициент К изменяется менее чем на b10% от значений, данных в табл. 17.1 и 17.2 для величин а	а—, равных 0,5-г 1. Для*7"=1 значения коэффициентао	bК приведены в табл. 17.13.Таблица 17.13где а0 и т0 — критические напряжения сжатия и сдви¬ га для пластинки заданных размеров и граничных условий при раздельном дей-. ствии усилий сжатия и сдвига.По данному урав-нению могут быть найдены кри-акртические напряжения, если задано отношение 	ткрили задана одна из этих величин.Значения коэффициента К ори—=1тто00,20.30,40,50,60.70,80,91.0к25,624,823,822,521,519,517,014,59,950
816РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК17.2.2.	Прямоугольные и квадратные пластинки, подкрепленные ребрамиСжатие усилиями, равномерно распределенными по краямjc=0 я х=аа)	Одно продольное ребро, делящее пластинку по¬ полам (рис. 17.11)Все края пластинки шарнирно оперты. Критиче¬ ское напряжение определяется по формуле (17.1). Коэффициент К равен„ (1 + Р»)» + 2т |*2(1+2й) *б)	Два продольных ребра, делящих пластинку на три равные части (рис, 17.12)Все края пластинки шарнирно оперты. Критическое напряжение определяется по формуле (17.1), коэф* фициент К равен(1 + Р2)2 + 3?/(:&2(1 +35)Значения коэффициента К для некоторых величин Р, 7 и 5 приведены в табл 17.15.в)	Число продольных ребер более двух (рис. 17.13) Все края пластинки шарнирно оперты. Критическое напряжение°крЕ I t V»)• (17ЛЗ)где с — расстояние между продольными ребрами; предполагается малым по сравнению с а.г)	Одно поперечное ребро, делящее пластинку по- полам (рис. 17,14)гдеРис. 17.11 Вт*bD	ЫВычисленные значения коэффициента К даны в таОл. 17.14. Значения /С, стоящие в таблице над выделен-Рис. 17.14Т а б л в ц а 17.14Значения коэффициента К для случая одного продольного ребра47=10т = 15—< II ю с>=25э6=0,056=0,106=0,206=0,056 = 0,106=0,20СУ»IIО6=0,106=0,206=0.06о=0,106=0.20о=0,056=0,106=0,200,616,516,516,516,516,516,516,516,516,516,516,516,516,516,516,50,815,414,61316,816,816,816,816,<J16,816,816,816,816,816,816,81,01211.19,72161615,81616161616161616161,2а,839,067,8815,314,212,416,516,516,516,516,516,516,516,516,51.48,627,916,8212,91210,316,115,713,616,116,116,116,116.116,11,68,017,336,3211.410,59,0514,713,611,816,116,114,416,116,116,11.87,847,196,1610,69,78,3513,212,210,515,914,712,616,216,214,72,07,967,296,2410,29,358,0312,411.49,814,613,411.61615,413,32,28,287,58. 6,510,29,37,9912119,4513,912,710,915,314,512,42.48,798,066,9110,49,498.1511.910,99,3713,512,410,615,113,811,92,69,278,57,2810,89,868,4812,111,19,5313,512,410,614,813,611,62,88,627,916,3111.410,48,9412,511,59,8513,712,610,814,813,611,63,08,317,626,531211,19,5213,11210,314,11311.115,213,911,93,28,017,336,3211,410,59,0513,912,710,914,813,511,615,614,312,33,67,847,196,1610,68,3513,212,210,515,914,712,616,215,713,54,07,967.296.2410.29.358,0312,411.49,814,613.411,81615.413 3В — жесткость при изгибе ребра;F — площадь сечения ребра;D — цилиндрическая жесткость пластинки.Таблица 17.15Значения коэффициента К для случая двух продольных реберРис. 17.12ными величинами К, те же, что и для свободно опертой пластинки с шириной, равной Ь\2.102007*37=5Т*“Г7=108=0,056=0,16=0,05 || 6=0,16=0.0б|6=0,16=0,056=0,10,628,624,136,433,236,436,436,436,40,816,91523,320,729,426,337,237,11,012,110,716,314,520,518,228,725#61.29,618,5112,611.215,513,821.4191.48,327,3610,59,3212,711.317,215,21.67.76,819,48,3111.19.8214,512,81,87.516,648,857,8310,29,0212.911,42,07,616,738,77,699,788,6511.910,6
17.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ817Все края пластинки шарнирно оперты. Критическое напряжение определяется по формуле (17.1), причем/С_(1 + Р2)а + 2ТР3В табл. 17.16 даны предельные значения 7 , при ко¬ торых выпучивание пластинки не сопровождается по¬ терей устойчивости ребер*Таблица 17.16Предельные значения 7 для случая одного поперечного ребраз0,50.60,70,80,911.21.4т12,67,184,392,81,821,260,4330д) Три одинаковых равноотстоящих поперечных реб¬ ра (рис. 17.15)fr! 11 j111и	-а	^Ц|! I 1 1 |(уhi пспill 1 1 1 1С/яРис. 17.15Рис. 17.16Все края пластинки шарнирно оперты. Критическое напряжение определяется формулой (17.1), причем (1 + р2)» + 2траПредельные значения 7 приведены в табл, 17.17.T я б л и и а 17.17Предельные значения 7 для случая трех поперечных реберР0,60.811.21.4Т10142.621,712,47,7!е) Число поперечных ребер больше трех (рис. 17.16) Все края пластинки шарнирно оперты. Критическое напряжение<17Л4>где с предполагается малым по сравнению с 6.Действие касательных усилий, равномерно распределенных по всем кромкама) Одно поперечное ребро, делящее пластинку по¬ полам (рис. 17.17)Все края пластинки шарнирно оперты.При некоторых предельных значениях жесткости В ребра каждая половина пластинки будет выпучи*52	Зак. 2098ваться, как прямоугольная пластинка размерами— нЬ со свободно опертыми краями, а ребро остается прямым. Соответствующие значения 7 даны в табл. 17.18,Таблица 17.1 8 Предельные значения 7 для случая одного поперечного ребрааЬ21.51,251—iIIsh0,832,96,3'15б)	Два поперечных ребра, делящих пластинку на три равные части (рис. 17.18)	1	в. I о '2 -1Г2' |вТРис. 17.17Рис. 17.18Все края пластинки шарнирно оперты. Предельные значения 7 даны в табл. 17.19.Таблица 17.19Предельные значения 7 для случая двух поперечных ребер		аЬ32,521.51.2В^ 1)а0,641,373,5310,722,6в)	Длинная прямоугольная пластинка с нескольким ми продольными ребрами (рис. 17.19)Рис. 17.19Все края пластинки шарнирно оперты. Критическое напряжение определяется по формуле (17.5)* В табл. 17.20 даны предельные значения К,Таблица 17.20Предельные значения К7Ь102030405060708090100К6,987.78,679,369,910,410,811.111.4И.712
818РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕКг) Квадратная (прямоугольная) пластинкаt под¬ крепленная диагональным ребром (рис. 17.20).Все стороны шарнирно оперты. Критическое напря¬ жение для каждой из треугольных панелей определя¬ ется по формулеFt2 тг4ткр=	—	 .	(17.15) кР 3,07д2(1—>2)Изгибная жесткость диагонального ребра должна удовлетворять неравенству [15]afiEВ > 0,5806——	— ;	(17.16)12(1 — fX-S)при этпм ребро сохраняет свою прямолинейную фор¬ му вплоть до выпучивания треугольных панелей.Чистый изгиба) Одно продольное ребро на расстоянии Ь\ от ежа-> того края (рис. 17.21)Все края прямоугольной пластинки шарнирно оперты. Приближенная формула для наибольшей возможной ве¬ личины 7р =EI/bD при заданных b\jb и К можно пред¬ ставить в виде [1](17.166)где7р=7р + 5с, btЗначения 7Р даны в табл. 17.21.Значения 7РТаблица 17.21Ьг/Ь1/30,25К5050607032.63,97.3с265692107Для указанных в таблице значений b\jb и К величина F/bt не превосходит 0,06.Кроме того, можно пользоваться следующими при¬ ближенными формулами: при /(=80Тр = (13,5 — 5,3— -h -\ а2 / Ь2(17.16')('при /(=100 Трпри 1 < — <2,25= ^17,5-6 -у +55 ^при 1 < < 2,5 j .—	(17.16")17.2.3.	Несущая способность подкрепленных ребрами прямоугольных пластинок после потери устойчивости при сжатии, сдвиге и чистом изгибе. Редукционные коэффициентыПрямоугольная пластинка шарнирно оперта на ребраг жесткие по отношению к изгибу.а)	Сжатие в направлении стороны а Ъ)В этом случае после потери устойчивости пластинка может нести возрастающую нагрузку, превышающую значение критической нагрузки.С увеличением нагрузки закон распределения напря¬ жений в срединной поверхности меняется. В то время как в центральной части пластинки напряжения мало отличаются от критических, в краевых полосах, приле¬ гающих к продольным ребрам, напряжения ар пропор¬ циональны (в пределах упругости) относительному сближению нагруженных кромок е:ср = Ее.	(17.17)Эпюра сжимающих напряжений по ширине пластин¬ ки приведена на рис. 17.22.У/ТТЛ.Рис. 17.22Нагрузка, воспринимаемая пластинкой после потери устойчивости, определяется по формулеР = yapbt,	(17.18)где <р—так называемый редукционный коэффициент. Этот коэффициент определяется по следующим форму¬ лам:gKpар(17.19)—при проверке прочности перекрытии, состоящих из значительного числа смежных панелей обшивки, под- крелленных жесткими на изгиб ребрами;
17.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ819/сткР(17.20)— при проверке прочности изолированных панелей и конструкций, состоящих из обшивки, подкрепленной относительно небольшим числом ребер.В формулах (17.19) и (17.20): <ткр— критическое на¬ пряжение для пластинок заданных размеров; <тр — на¬ пряжение в подкрепляющих ребрах.Определение несущей способности пластинок произ¬ водится обычно из условий прочности и устойчивости подкрепляющих ребер.б) Действие касательных усилий т (рис. 17.23)Рис. 17.23Пластинка может нести после потери устойчивости возрастающую нагрузку, во много раз превосходящую критическую. В случае тонкой длинной пластинки (а >6) при значительной деформации образуется диагональное поле растяжения с ярко выраженными наклонными складками.Напряжение растяжения <*i определяется по формуле0,= -^-,	(17.21)Sin 2агде а — угол между направлением складок ч длинной стороной (близкий к 40°).Главными напряжениями сжатия а2 можно прене¬ бречь.17.2.4. Непрямоугольные пластинкиа) Круглые пластинки под действием сжимающих радиальных усилийЙ равномерно распределенных по контуру1) Сплошная пластинка (рис. 17.24), При шарнирном опирании по контуруокр=0,425т$Е12(1Е—(Ц\-V?) V а 1(17.22)При защемлении по всему контуру коэффициент К в формуле (17.22) вместо 0,425 равен 1,49.2) Круглая пластинка с отверстием (рис. 17.25). Критическое напряжение определяется по52*формуле (17.1). Для случая опирания по внешнему контуру ‘при свободно смещающемся внутреннем контуре значения коэффициента К приведены в табл. 17.22 и 17.23.—	Таблица 17.22Значения коэффициента К при шарнирном опирании по внешнему контуруаЪ0123456789К0,4250,40,2650,3280.280,2560,2310,2190,2070,195Таблица 17.23Значения коэффициента К при защемлении по внешнему контуруh00,10,20,30,40,5аК1,491,431.351.471.792,52б) Эллиптическая пластинка под действием сжимаю¬ щих нормальных усилий, равномерно распределенных по контуру (рис. 17.26)При защемлении по всему контуру критическое на¬ пряжение определяется формулой (17.1). Значения К приведены в табл. 17.24.Таблица 17.24Значения коэффициента К для эллиптических пластинок, защемленных по всему контуруаЬ11.11,21.325К1,491.381,301,231.121.15в)	Равносторонняя треугольная пластинка под дей¬ ствием равномерного сжатия со всех сторон .(рис. 17.27)Шарнирное опирание по всему контуру. Критическое напряжение определяется по формуле ф<17'и)г)	Косоугольные пластинки; шарнирное опирание по всем кромкам
820РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК1) Равномерное сжатие в направлении, параллельном двум сторонам (рис. 17.28).Таблица 17.27Критические напряжения относятся к меньшей из сторон а и bt которая обозначается через с:t \2(17.24)12(1—(х2) \ сВ-табл. 17.25 приведены значения коэффициента К*Таблица 17.25Значения коэффициента К в формуле (17.24)2)	Действие касательных сил, равно¬ мерно распределенных по всем кромкам (рис. 17.29). Критическое напряжение определяется по формуле (17.24). При сдвиге существенную роль играет направление касательных усилий. Значения К даны в табл. 17.26—17.27.Таблица 17.26Значения К для «положительного» сдвига (рис. 17.29,а)Значения К для «отрицательного» сдвига (рис. 17.29,6)в град.а907560453019,346,644,743,682,460,77,255,253,792,691,780,46.24,33,212,171,3705,353,782,631,791,113) Равномерное сжатие в направлении, параллельном двум сторонам, и сдвиг усилиями вдоль двух других сторон (рис.17.30), ЕсликрнапряженияРис. 17.30при изолированном действии сдвига и сжатия, то кри¬ тические напряжения и акр При совместном их дейст¬ вии определяются по следующей приближенной формуле+ -^f-(l-C2) = l.акр(17.25)гдеС =cos у 1 4- COS2 срПри «положительном» сдвиге (<р <90°) С положитель¬ но, а при «отрицательном» сдвиге (или при <р >90°) — отрицательно.При заданных напряжениях ? и а запас устойчивости п определяется как положительный корень квадратного уравненияАп*+Вп— 1 =0,	(17.26)гдеА =1+С 1—СтХкрв=-2С°2р1-СтТкр17.3. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК(ПАНЕЛЕЙ) В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ17.3.1. Цилиндрические панелиа) Под действием сжимающих усилий, равномерно распределенных вдоль кромок х=0 и х=а (рис. 17.31) При шарнирном опирании панели по всем кромкам верхнее критическое напряжение определяется по фор¬ муле [5]1t	— Е —V 3(i—м-2) я(17.27)
17.3. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК (ПАНЕЛЕЙ) В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ821Т а 6 л и ц а 17.29Рис. 17.31Формула применима при условии 2яа >V” 12(1	[А2)/ т-При меньших значениях угла а, если отношение-— —оцелое число, критическое напряжение равно(-L)2+J-e(^)\ (17.27') “ 3(1 — (х2) \ Ъ ) 4я2 \ R /Верхние критические напряжения для квадратной па¬ нели при шарнирном опирании по всем кромкам приве¬ дены в табл. 17.28.Таблица 17.2811 Rt061218249,610.312.315.820,6Е \ t }&bit0ь1218243,64.57.211.818.0б)	Под действием равномерно распределенных по всем кромкам касательных усилий (рис. 17.32)Все кромки панели шарнирно оперты. Верхнее кри¬ тическое напряжение определяется по формуле, = 0,10Ey + 5E^yj'p, (17.32)гдер-1+0-80(т):Все кромки панели заще¬ млены. Верхнее критическое напряжение равно,.o,iEj+7,se (-j-)"' <”•33*Можно пользоваться также графическими зависимо¬ стями, представленными на рис. 17.33 и 17 34.Интенсивность нижних критических касательных уси¬ лий т*=^' Для шарнирно опертой панели ~ ^будет определяться следующими приближенными формуламит* = 8,5 (при 0 < “• < 10 j ; т*н = 7,5 + 0,1-^(при Ю < “ < 25j ,Для панели с—=1 нижнее критическое напряжение bКопределяется формулой [5] 22ан = ав *(17.28)Нижние критические напряжения для удлиненных панелей [5]c„-3.6e(-j-J (при ~ < 20j'r (17.29)t I ь% \О„=0,1 SE — (при—>20j. (17.30)Все края панели защемлены. Верхнее критическое на¬ пряжение определяется по формуле8 *2£ / / \2 з / ь уВ табл. 17.29 приведены верхние критические напря¬ жения для квадратной цилиндрической панели при всех защемленных краях.Рис. 17.33
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК1000в)	Под действием равномерного внешнего давления р (рис. 17.35)*	л	ъКрая *= а=0 к а=-—закреплены в направле-2	А■ии нормали к панели.Приближенные формулы для определения верхнегокритического давления [7]2пЕ	tit \3/2Лр‘в = з/Т ’	* (17-34)если 1;»<1:-f \/ Т £■'(17.35)«ели /л* < 1;Рис. 17.35b — длина дуги панели.Формулы и графики для определе¬ ния нижнего критического давления см. [5].17,3.2.	Конические панелиКоническая панель под действием равномерного внешнего давления р (рис. 17.36). Края панели закреплены в направлении нормали.Приближенные формулы для определения верхнего критического давления [7]:2пР кр.в = “	3 V 6если /л*> 1;t(1-^У,0,75JL (-LY12i UJРкр-в— &R*712ср12(1— [1.2) ^2 * ^2/4 СР	*(17.36)(17.37)если /Л*< 1;СРCOS а--2.77^ yf & ^2 а—угол конусности.17.3.3. Сферические панелиСферическая панель под действием равномерного внешнего давления р (рис. 17.37).Верхнее критическое давлениеEt* Г Н t Н* \ / Яа \3/2-|(17.38)Коэффициенты Ки %2, Кг, Ка зависят от граничных условий и приведены в табл. 17.30 (принято н*=0,3).Таблица 17.30Значения коэффициентов К1, К2, /Сз, Ка в формуле (17.38)Рис. 17.36Граничные условия«1к**4При шарнирном опирании по кон¬ туру, свободно смещающемуся в своей плоскости (распор от¬ сутствует) 	1,410,002021,080,25При шарнирном опирании по кон¬ туру, не смещающемуся в своей плоскости 	1,520,005760,4072,07Контур защемлен, но распор от¬ сутствует ..... 		4,560,005055,920,0835Контур защемлен и не смещается5,450,053,290,394
17.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ82317.4.	УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ17.4.1.	Цилиндрические круговые оболочкиа)	Равномерное осевое сжатие (рис. 17.38) Шарнирное опирание по обеим кромкам. Верхнее критическое напряжение [5] в случае местной потери устойчивости°кР.в = ■ 1 Е .	(17.39)V	3 (1 - (12) R При (л = 0,25 0,32Окр.в » 0,6£ — .К(17.40)Нижнее критическое напряжение (при Н* =0,3) [17](17.41)Формула (17.40) применима к оболочкам, изготовлен¬ ным достаточно тщательно (амплитуда начальной поги¬ би не должна превышать толщины оболочки). Расчет оболочки как сжатого стержня на общую устойчивость ведется по формулам раздела 15.б) Сжатие эксцентрично приложенной осевой нагруз¬ кой (рис. 17.39)
824РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕКШарнирное опирание по обеим кромкам. Если на- яряжение о может быть выражено в виде <з=ап + а1 со»<р, го критическое напряжение приближенно определяется ю формуле(17.42)в)	Действие внешнего равномерно распределенного Вавления р кг/см2 ^рис. 17.40)Шарнирное опирание по обеим кромкам. Верхнеекритическоедавление (формула Мизеса)Et1У кр.вК — 1)h-Ж/ о-I	/ л2—12(1 — н.*)ДЧ где/ — длина оболочки;1 +2п2 — 11 +(17.43)п — число выпучин вдоль окружности оболочки. Это число в каждом конкретном случае при заданныхI	R—	и -—должно быть выбрано из условия получения»А	*■аименьшего значения ркр.в» Значения п для некоторых / Rотношений — и — даны в табл. 17.31.И tТаблица 17.31 Значения п в формуле (17.43)2502005025оо22221043225543328654В случае весьма длинной оболочкиEtзРкр.в = 4 (1 _ ^а) Rt(17.44>Рис. 17.42
17.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ825Эта формула верна в той мере, в какой допустимо считать радиус R пренебрежимо малым по сравнению с длиной оболочки I. Для оболочек средней длины при1	< — < 4 можно пользоваться приближенной форму- RлойРкр.в = 0,86 -Е <г-. — (—У'5. (17.45)-^)’7° ' \я/Значения верхних критических давлений, рассчитан¬ ных по формуле (17.43) при f*=0,3 для некоторых Раз¬ меров оболочек, приведены на рис. 17.41, где рв =На рис. 17.42 даны значения нижних крити-РНтТческих давлений; здесь рн= ^г)	Действие скручивающих пар по торцам (рис. 17.43) Мкр = 2п R2 t х , где х—средняя величина касательного напряжения.Края оболочки шарнирно закреплены. Верхнее кри¬ тическое значение моментаМ2 f2i8+р,в 1 — . L+ |/" 2.6 + 1.40	Vl-I* У'1 ] . (17.46)Согласно экспериментальным данным реальные зна¬ чения критических напряжений составляют в среднем 70__75<у0 от значений, вычисленных по формулам ли¬ нейной теории. Теоретическое решение в нелинейной по¬ становке дает следующие результаты. В случае относи- IRt 1 \тельно коротких оболочек I — = — 1нижнее критическоенапряжение ткр.н составляет около 94% от ^кр.и- ЕслиRt 1	М.—	= —, то ткр.н составляет 80% от%р.в; при /2 =1 „равно 0,87, т. е. снова воз-кр.н“*2000’°ТНОШеНИе 'х	кр.врастает. Для весьма длинных оболочек решение не дает удовлетворительных результатов.Края оболочки защемлены. Верхнее критическое зна¬ чение моментаЕ R4з	JJ.2 '	/2[^4,6 ++ -|/ 7.8 + 1.67(-^-VT3^J/>]. (17.47)Для длинной оболочки условия закрепления на кон¬ турах не играют роли и верхнее критическое значение крутящего моментамкр.в(17.48>Для расчета оболочек произвольной длины даны гра¬ фики на рис. 17.44, построенные на основании уточнен¬ ного решения [14]. На графиках п — число выпучин, возникающих при потере устойчивости.Rто500200т5020• 70 52О>ч.	114Jи,13/7210'11/Tx-n='7rE(if'•v4N4<ч>"Г/5/\3Знач'ения2Rт1 12000WOOУ\**<\500Г 200]ч1005070,5 10 2J) 5,0 70 20 50 100 200 500 7000 JL . 2RРис. 17.44д)	Совместное действие равномерного осевого сжа¬ тия и скручивающих пар по торцам (рис. 17.45)Рис. 17.45‘ Шарнирное опирание по торцам. Расчетная формула1—+ /—Y=1 .	(17.49)°о \ то /Здесь о0ит0—критические напряжения для случая простого сжатия и простого кручения. Величина каса¬ тельного напряжения в формуле (17.49) считается за¬ данной. Соотношение (17.49) распространяется также на нижние критические напряжения.е)	Совместное действие равномерного осевого сжатия и внешней равномерно распределенной поперечной на¬ грузки (рис. 17.46)
82бРАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕКШарнирное опирание по торцам. Для оболочек сред¬ ней длины ~ < 4^ верхнее критическое напряже-_ р_ [12 (1 — fx2)]0-75 ( R_\2,5xl_£' i.™-ssW(17.50)Рис. 17.46Нижнее критическое напряжение при шарнирном опи¬ рании кромок определяется по следующей приближен¬ ной формуле:йг)- <17-50')где ркр.н определяется из графиков на рис. 17.42.ж) Совместное действие равномерного осевого сжа¬ тия и внутренней равномерно распределенной попереч¬ ной нагрузкиШарнирное опирание по торцам. Нижнее критическое напряжение определяется по приближенной формулес =0,18£ -i-(l + 14,0р*), (17.50")где рФормула (17.50") справедлива при р*< 0,17. При р* > 0,17 следует принимать скр>н = 0,605£ —.Рис. 17.47Закон распределения нормальных усилий в попереч¬ ных сечениях до потери устойчивости оболочки имеет видМСд. = COS =	ZTT COSУ_RУ_RКоордината у отсчитывается от точки срединной по¬ верхности, расположенной в плоскости действия пары.Шарнирное опирание по торцам. Верхнее критическое напряжение* определяется по формуле (17.39).Судя по опытам над точеными образцами, находя¬ щимися в условиях изгиба парой сил, реальные крити¬ ческие напряжения составляют 68-^75% от акр.в и име¬ ют сравнительно слабый разброс. При изгибе образцов, изготовленных менее тщательно, критические напряже¬ ния составляют 40—70% отакр.в. Исходя из эксперимен¬ тальных данных, для определения нижнего критического напряжения рекомендуется формула'кр.н = °-22£Х(17.51)и) Изгиб поперечной силой (рис. 17.48).Защемление на одном торце, второй торец свободен* Для длинных оболочек реальные значения критических напряжений на 8—10% выше, чем при чистом изгибе. Верхнее критическое напряжение определяется по фор¬ муле1.1кр.в '1^3(1 — (J.2)tЕ R •Нижнее критическое напряжениескр.н = 0#242£ — .(17.52)(17.53)Рис. 17.48Для относительно коротких оболочек критическое напряжение приближенно принимается равным критиче¬ скому напряжению кручения для оболочек тех же раз¬ меров. Критические напряжения для оболочек, длиной 1—2 диаметра определяются по приближенной формулеЬакр= 0.3-ап-(17.54)17.4.2. Цилиндрические эллиптические оболочкиз)	Действие изгибающих пар, лежащих в диаметраль¬ ной плоскости (рис, 17.47)Оболочка с небольшим эксцентрицитетом под дей¬ ствием равномерно распределенного осевого сжатия (рис. 17.49)
17.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИШарнирное опирание по обеим кромкам. Верхнее критическое напряжение определяется по формуле°кр.вУ3(1—ц»)Etbа*(17.55)нижнее—по приближенной формуле окр.н=0'18£	(17-56)Длина контура оболочки с малым эксцентрицитетом приближенно равна5 = 2 тс а ^1 — — /k* . (17.57)Рис. 17.49Vа1— Ъ1где k =	— эксцентрицитет.Минимальная критическая нагрузка Ркр равняется произведению минимального напряжения (верхнего или нижнего) на площадь поперечного сечения обо¬ лочки:р— 2,1кр.в ‘Уз(1-|х*)ЕРЬ ( 1 \(17.58,Et* Ь(17.59)Формулами (17.58) и (17.59) определяется та кри¬ тическая нагрузка, при достижении которой в зонах оболочки наименьшей кривизны начинается образова¬ ние первых выпучин по длине.Вследствие наличия на поверхности зон, поддержи¬ вающих ослабленные участки, критическая нагрузка, при которой начинается волнообразование по всей поверхности, будет несколько превышать ту, которая определяется формулой (17.59).17.4.3. Усеченные конические круговые оболочкиа) Равномерное продольное сжатие (рис. 17.50)Шарнирное опирание по кромкам. Верхняя критиче¬ ская сила2т:Et2 cos2 л . (17.60)р = кр. вУ з (1 — (I2)Нижняя критическая сила приближенно опреде¬ ляется по формуле(17.61)Ркр.н = l,13£**cos*a.б) Внешнее равномерное давление (рис. 17.51) Шарнирное опирание по кромкам. Верхнее критиче¬ ское давление [3]^кр.в ъ + + /а	- п2с [ 6(n*g + k) (п* *4~ tn) — J(n* + an* + e) + /72 + t(17.62)827Здесь n — число выпучин, возникающих при потере устойчивости;t 0 г\	ть	Е Ь cos а-■ f-T-Ь = 1.41^ | ; с = 0.4	—1 — 72 1 —— 0,203(1 — тг3)(1 — Т)1 + Yd = 9,85(1 + f2) Р2 + 3 sin2 a;О-T)2g= 1 —0,305-1 + fe = (1 + f) (32,4p + 138 sin2 a) +32.4 p«1 + ft J. -.4k =2,332— T •1 + f ’/=0,575?2cos2 a (1—f2)2/' 1	\ ** 1+f)'m= 14,lp2(1 + -y*); s = 5,95p*(l +72);A-51 282 — + ^2) (1 + Ta + 1*)(1-7V(17.63)При a -*■ 0 и	1 выражение (17.62) переходитГ1в приведенную выше формулу (17.43) Мизеса для кругового цилиндра в случае всестороннего сжатия. Полагая в (17.62) и (17.63) ? =0, т. е. г0=0 и гх Ф 0. получаем формулу для определения критического дав¬ ления замкнутой конической оболочки:^ко.в *Et COS a1Xкр-в 2 (1 — |Х«) n ‘ 1,41 sin2 а+0,2л2 хГ Я—г («*+12,85 Ш sin2a-f 170 sin* a) -f0,575 sin*a cos2aXL6rin2 -f- 63,5 sin2 a+8,85«2sin2 a+ 46,5 sin4 a]•(17.64)
828РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕКЧисло выпучин п в написанных выражениях варь¬ ируется до получения (ркр.в)т1п- Приближенная фор¬ мула для указанного случая имеет вид [7]Et cos* а Еа(»*-\-п2)+v4.Ркр.в “	ч	t (17.65)Я,сргде12(1 — p.*) /?Jp COS2 acpЭта формула выведена в предположении, что конус закрыт с обеих сторон дисками, которые, так же как и боковая поверхность, подвергаются действию давле¬ ния. Эта же формула используется и для открытых конусов при выполнении условия12/?* (1 — И2)«(т;Ч—v312ЯЧ1 — |ы2)В этом случае возникающее за счет днищ меридио¬ нальное усилие значительно дальше отстоит от своего критического значения, чем окружное усилие.Также несущественно, на каком из краев открытой оболочки уравновешивается осевая сила (создаваемая давлением из-за уаклона образующей), так как свя¬ занное с этим сжатие или растяжение оболочки в ме¬ ридиональном направлении сравнительно мало влияет на ее устойчивость.Если в формуле (17.65) пренебречь величиной ^2 по сравнению с п% (считая <С ^р), получается про¬ стая формула для Ркр.в:Ркр.в —2яъУь a-fW,0,75— ( 1 I U*,3/2(17.66)где^срCOS aИз формулы (17.66) следует, что при углах конус¬ ности 40° Ркр.ь для конуса отличается от ркр.в для цилиндра с длиной / и радиусом, равным Rcр ко¬ нуса, не больше чем на 10%. Поэтому и в других случаях загружения (осевыми силами, крутящим мо¬ ментом и т. д.) можно без большой погрешности рас¬ считывать конус при сравнительно небольшом а как цилиндрическую оболочку длиной I и радиусом, равным ЯСр конуса.17.4.4. Усеченные конические круговые подкрепленные оболочкиРавномерное всестороннее давление (рис. 17.52).Шарнирное опирание по кромкам. Для ребер жест¬ кости, установленных на оболочке достаточно часто, принимается, что жесткость на изгиб каждого из них равномерно распределяется по пролету. При этом жесткость обшивки на изгиб по направляющей оболоч¬ ки во много раз меньше аналогичной жесткости ребер и поэтому не учитывается. При этих допущениях верх¬ нее критическое давлениеРкр.ь —Е COS а Ь + п2с+// COS аr\h П* + t(n* + dn 2 + <?)+2(1 — (1*) Г\ (n*g + k) (n* + m)(17.67)где / — момент инерции подкрепляющего ребра с присоединенным поясом обшивки;1\ — расстояние между ребрами.Значения постоянных параметров определяются из формул (17.63).Рис. 17.5217.4.5. Усеченные конические эллиптические оболочкиОболочка с небольшим эксцентрицитетом под дей¬ ствием равномерного продольного сжатия (рис. 17.53). Шарнирное опирание по кромкам. Верхнее критиче¬ ское напряжениеикр.в —УЗ (1-|И)EtbXcos a. (17.68)Нижнее критическое напряже¬ ние приближенно определяется по формулеEtb°кр.н — 0,18	cosct. (17.69)Здесь a— угол между высотой ко¬ нуса и образующей, проходящей через вершину большой полуоси эллипса. акр относится к сечению оболочки, где определяются пара¬ метры а и Ь. Эксцентрицитет счи¬ тается малым. Минимальная вы¬ пучивающая сила, действующая перпендикулярно плоскости осно¬ вания, определяется аналогично тому, как для цилиндрической оболочки эллиптического сечения:2 п Et2b^Кр.В 	t*b / 1 \	 	 1— — *2 cos2a; (17.70)Узи-и a V 4 1Et4 / 1 \Ркр.в = 1.13——	И cos» а. (17.71)Формулами (17.70) и (17.71) определяется та кри¬ тическая нагрузка, при достижении которой в зонах
17.5. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ829оболочки наименьшей кривизны начинается образова¬ ние первых выпучин по длине.Вследствие наличия на поверхности зон, поддержи¬ вающих ослабленные участки, критическая нагрузка, при которой начинается волнообразование по всей по¬ верхности, несколько превышает ту, которая опреде¬ ляется формулой (17.71).17.4.6.	Сферические оболочкиРавномерное внешнее давление р (рис. 17.54)Величина равномерного сжима¬ ющего напряжения в этом случае равнаPRо = 	 .21Верхнее критическое напряжение определяется по •формуле (17.39).Этому напряжению соответствует давление(17.72)Нижнее критическое напряжение определяется по формулео = 0,155£ —кр.н	д.(17.73)Более подробные расчеты на устойчивость сфериче¬ ских оболочек см. [6].17.5. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ3. Расчет по теории пластического течения.Ниже приводятся данные для расчета по теории деформаций как более близкие к результатам экспери¬ ментов. При этом расчет без учета эффекта разгрузки приводит к значениям критических напряжений, лежа¬ щим ниже экспериментальных; учитывая же эффект разгрузки, получаем критические напряжения, лежащие несколько выше экспериментальных.В расчетные формулы входят некоторые величины, определяемые по диаграмме с/ — е/ для данного ма¬ териала; эта диаграмма связывает интенсивность на¬ пряжений о/ с интенсивностью деформаций е/ , при¬ чем4+e,£y + EJ + T^ • <17-75>Если считать коэффициент Пуассона fx равным 0,5, то диаграмма о/—е/ совпадает с кривой о (е ), полу¬ ченной при одноосном растяжении (сжатии) образцов из рассматриваемого материала. Введем обозначения Ес для секущего модуля, Ек—для касательного моду¬ ля, Т — для результирующего модуля; при указанном допущении£с=4-; £к= —; Т =	(17.76)*	* (Уё + VT,)SКроме того, обозначим¥с =—?=—; (17.77)т3+ 4 ■V7V~t(17.78)17.5.1.	Общие положенияПриведенные выше формулы применимы при усло¬ вии, что критические напряжения лежат в пэеделах действия закона Гука; это означает, что интенсивность напряжений в любой точке пластинки или оболочки, определяемая, как для плоского напряженного состоя¬ ния, не должна превышать предела пропорционально¬ сти материала опп (считаем его равным пределу упру¬ гости оуп):(17.74)Для расчета пластинок и оболочек на устойчивость за пределами упругости имеется несколько методов [5].1.	Расчет по теории упруго-пластических деформа¬ ций, предложенный А. А. Ильюшиным г8]. Этот метод аналогичен расчету на устойчивость сжатых стержней с применением результирующего модуля Кармана. Здесь учитывается эффект разгрузки для волокон, рас¬ положенных при выпучивании стержня на стороне вы¬ пуклости; принимается, что для этих волокон связь между напряжением и деформацией отвечает началь¬ ному модулю упругости материала.2.	Расчет по теории упруго-пластических деформа¬ ций без учета эффекта разгрузки. Этот метод отве¬ чает расчету на устойчивость сжатых стержней с при¬ менением касательного модуля (метод Шенли — Работ- нова).Ниже приводятся примерные таблицы значений безразмерных параметров <рс. 'рк, t и г в зависимостиТ а б л и ц а 17.32 Расчетные параметры для стали марки Ст.З2 В %о в кг/см3*с<Ркtг0,0952 0001110О.Ю2 1000,990,680,820,0050,112 2000,950,470,660,0250,122 2800,900,320,500,0520,132 3400,860,220,410,0750,142 3800,810,120,260,110,152 3900,760,0620,160,150,162 4000,710,0290,0940,190,18—0,402 4000,63—0,29000,33—0,710,452 4100,260,0100,0330,610,502 4200,230,0190,0620,600,602 5700,200,0240,0710,630.702 5200,170,0240,0710,650,802 5750,150,0240,0710,680,902 6300,140,0240,0710,701,002 6850,130,0240,0710,711,10 '2 7400,120,0240,0710,731,202 7950,110,0240,0710,74от интенсивности деформации н и напряжений о/ для стали марки Ст.З (табл. 17,32) при опц=2 000 kbJcm\
830РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕКот =2 400 кг/см*, £=2,1 • 10е кг}см2, fx =0,3 и для дюралюминия Д16Т (табл. 17.33) приспц=2 000 кг/см , OQ'2 =3 050 кг/см2, £=7,5-105 кг/см2, ц=0,32. Участок0,18% <е < 0,4% для стали относится к площадке те¬ кучести.Таблица 17.33* В %<j в кг! см39с9кtг0,272 00011100,32 2000,980,790,880,010,352 4600,940,580,730,030,402 6400,870,500,660,0670,452 7800,820,340,510,100,502 9000,770,270,430,130,603 0800,680,200,330,190J03 2000,610,160,270,240,803 3200,550,130,230,290,903 4000,490,110,200,331,003 4500,460.110,200,351,103 5600Л 430,110,200,381,203 6400,400,110,200,4017.5.2.	Прямоугольные пластинкиа)	Удлиненная пластинка (а>2Ь), шарнирно опер¬ тая по краям, сжата усилиями, равномерно распреде¬ ленными по краям jc=0 и х—а (ем. рис. 17.1), Критическое напряжениеокр = К' Здесь при [а =0,5А71* А/ ЪЧEtзV(17.79)(17.80)По теории деформаций, с учетом эффекта разгрузки коэффициент К равенi	+ A.j-L-H-,). „7.81,Без учета эффекта разгрузки*-2*(уАт+т;:+1)- (17 82>Так как коэффициент К в формуле (17.79) зависит от ц или с/, то эту формулу следует представить в виде71* A,	tl2 ( t \2(17.83)°крКъчп* ( t= Т£Ти найти зависимость для данного материала между <JKp /К и отношением bit. Тогда при заданных размерах пластинки определяются одновременно коэффициент К и критическое напряжение акр.На графиках рис. 17.55 и 17.56 приведены значения акр в зависимости от b/t,. найденные по формулам (17 81) _ (17.83) и данным, приведенным в табл. 17.32 и 17.33 для стали марки Ст.З и дюралюминия Д16Т. Пунктирная линия на рис. 17.55 соединяет прямую, от¬ вечающую площадке текучести, с кривой, соответству¬ ющей диаграмме упрочнения материала, минуя «петлк» теоретических значений., В практических расчетах мож¬ но в запас прочности полагать, что при —<40 скР=ах.б)	Квадратная пластинка (а=Ь), шарцирно опертая по краям, сжата усилиями, равномерно распределенны¬ ми по краям *=0 и х=а (см. рчс. 17.1).Коэффициент К в формуле (17.79) равен:1)	по теории деформаций с учетом эффекта раз* грузкиК= -^(1 -г)+ 4-*;	(17.84)4	4Рис. 17.55
17.5. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ* 8312)	по теории деформаций без учета эффекта раз¬ грузкиК = 3,25'fc +0,75?к .	(17.85)Ниже приводятся расчетные формулы для других случаев закрепления пластинки, полученные по теории деформаций без учета эффекта разгрузки. Эти форму¬ лы используются таким же образом, как и для удли¬ ненной шарнирно опертой пластинки. Коэффициент К выражен через такой же коэффициент Куп» найденный для упругой области (см. выше 17.2.1, табл. 17.1 и 17.2).в)	Удлиненная пластинка (а^Ь) сжата усилиями, равномерно распределенными по краям х=0, х=а(см. рис. 17.1).Значения коэффициента К в формуле (17.79) при шарнирном опирании по краям х=0 и х—а зависят от условий закрепления двух других краев.Край г/ = 0 оперт шарнирно; край у—Ь свободен:К = 1сКуп,	<17-86)где /СУп=0,4б.Край у—0 защемлен, а край у = Ь свободен:7+т1: +тИ"’(17-87>где Куп =1,33.Края у=0 и у=Ь защемлены:К=Цо,648 у y+Y'V' + 0,352j/Суп. (17.88) где Куп=7,0.Ориентировочные расчеты для любых граничных условий можно провести по «формуле секущего модуля»К = <?сКул.	(17.89)17.5.3.	Цилиндрические оболочкиКруговая замкнутая оболочка, шарнирно опертая по торцам, сжата осевой нагрузкой (рис. 17.38)Приближенно верхнее критическое напряжение равно°кр.в = <рс~ •	(17.90)КДля практических расчетов эту формулу следует представить в виде--р'в- = 0,6£—	(17.91)¥с	Rи определить зависимость акр от отношения R/t, поль¬ зуясь диаграммой о (е) для данного материала (см. выше 17.5.1).Деформация, отвечающая нижнему критическому напряжению, ориентировочно определяется по формуле£кр.н = £кр.в •	(17.92)Соответствующее напряжение равноакр.н — Ес екр-н •	(17.93)Во всех других случаях нагружения оболочек кри¬ тическое напряжение можно приближенно найти по аналогичной «формуле секущего модуля»:°кр = акр.уп <рс •	(17.94)Здесь под аКр.уп понимается критическое напряжениег найденное по данным 17.4.1 для упругой области.
832РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕКЛИТЕРАТУРА1.	Б р о у д е Б. М., Устойчивость пластинок в элементах стальных конструкций, Машстройиздат, 1949; Предельные состоя¬ ния стальных балок, Гос. изд. лит. по строительству и архитек¬ туре, 1953.2.	Бубнов И. Г., Труды по теории пластин, Техтеоретиз- дат, 1953.3.	Бунич Л. М., Палий О. М., и П и с к о в и т и* « а И. А., Устойчивость усеченной конической оболочки, нахо¬ дящейся под действием равномерного внешнего давления, «Ин¬ женерный сборник», т. 23, 1956.4.	Власов В. 3., Общая теория оболочек. Гостехиздат,1949.5.	В о л ь м и pl А. С., Гибкие пластинки и оболочки, Тех- теоретиздат, 1956; Расчет пластинок, Справочник машинострои¬ теля, т. 3, Машгиз, 1956; Устойчивость пластинок при пласти¬ ческих деформациях, изд. ВВИА имени Жуковского, 1959.6.	Гениев Г. А., Ч а у с о в Н. С., Некоторые вопросы не¬ линейной теории устойчивости пологих металлических оболочек, ■Стройиздат, 1954.7.	Даревский В. М., Карташкин Б. Д., Методика расчета на прочность и устойчивость корпусов турбореактивных двигателей, Оборонгиз, вып. 5, 1956.8.	Ильюшин А. А., Устойчивость пластин и оболочек за пределами упругости, «Прикладная математика и механика», аып. 5, 1944 и вып. 5—6, 1946; Пластичность. Техтеоретиздат,1948.9.	С а ч е н к о в А. В., Приближенное определение нижней ^границы критической нагрузки при продольном сжатии тонкойконической оболочки, Известия Казанского филиала АН СССР, серия физико-математических и технических наук, № 7, 1955.10.	Субботин К. Н., Прочность и устойчивость косо¬ угольных свободно опертых пластинок, автореферат диссертации, издание МАИ, 1953.11.	Тимошенко С. П., Пластинки и оболочки, Техтео¬ ретиздат, 1948; Устойчивость упругих систем, Техтеоретиздат, 1946.12.	Ф е о д о с ь е в В. И., Упругие элементы точного приборо¬ строения, Оборонгиз, 1949.13.	Burge С. G., Structural principles and data, Handbook of Aeronautics, № 1. 1952.14.	S t u r m R. G., Stability of thin cylindrical shells in torsion, ASCE, vol. 73, № 4, 1947.15.	J о j i с К о s a r a, Diagonal stitfening of a simply supported square plate submitted to shearing stresses, Pubis Inst. Acad, serbe Sci., 1953, 5.16.	Roark J., Formulas for stress and strain, 1943.17.	Kempner J., Postbuckling behaviour of axially compressed circular cylindrical shells, Journal of the Aeronautical Sciences, 5. 1954.18.	Nash A., Effect of large deflections and initial imperfection* on the buckling of cylindrical shells, J. Aeron. Sci., Ms 4, 1955.19.	H s u Lo, Grate H. and Schwartz E. B., Buckling of thin-walled cylinder under axial compression and internal pressure» NACA TN 2021, 1950.
#РАЗДЕЛ 18РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ18.1.	ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ18.1.1.	Особенности работы сооружений в пластической стадииДля пластической стадии характерны: нелинейная зависимость деформаций и внутренних усилий от на¬ грузки; неприложимость законов наложения нагруже-“Г"А-Рис. 18.1ний (закона независимости действия сил); необрати¬ мость— в общем случае — процессов повторного на¬ гружения.Для идеального упруго-пластического материала (см. 12.1.3) принимается диаграмма Прандтля а—е (рис. 18.1,а). Учет влияния в ' диаграмме а— е пика верхнего предела текучести ст (рис. 18.16) см. ниже 18.2.1.18.1.2.	Типы нагрузокОсобенности работы конструкций в пластической стадии требуюг более дифференцированного, чем в классической теории сооружений, подхода к классифи¬ кации нагрузок.В области статических нагрузок основное значение имеют два класса нагрузок:l-й класс — простые пропорциональные нагрузки; все входящие в их состав силы пропорциональны одно¬ му параметру 7 , монотонно возрастающему от нуля до некоторого предельного значения (ср. 12.1.1, п. 5);2-й класс — сложные повторяющиеся нагруз¬ ки; каждая из составляющих сил может произвольно часто меняться независимо от других сил, колеблясь53	Зак. 2098между заданными верхним и нижним пределами. Пред¬ полагается, что усталостных явлений в материале эти силы не вызывают.18.J.3. Предельная нагрузка и предельное состояниеПредельной нагрузкой данной системы, характери¬ зующей ее несущую способность, называют наиболь¬ шую нагрузку, которую может выдержать эта система не разрушаясь. Предельная нагрузка может рассматри¬ ваться как наименьшая нагрузка данного типа, способ¬ ная вызвать разрушение системы.Напряженное состояние системы, соответствующее предельной нагрузке, носит название предельного (предельного пластического) состояния.В отличие от хрупких систем система из упруго¬ пластических элементов разрушается только после зна¬ чительной пластической деформации части составляю¬ щих ее элементов.В статически неопределимых упруго - пластических системах в предельном состоянии в результате пластиче¬ ских деформаций части элементов происходит пере¬ распределение усилий между элементами. Система оказывается при этом в состоянии воспринять дополни¬ тельную нагрузку сверх той, которая была определена по упругому расчету.18.1.4.	Классификация задачЗадачи теории расчета по пластической стадии раз¬ деляются, как и в классической теории сооружений, на две группы:1-я	группа—задачи определения несущей способно¬ сти (предельных нагрузок, обычно критических нагру¬ зок 2-го рода) конструкций, у которых размеры сечений элементов все заданы (задача определения несущей способности или задача анализа данной системы);2-я	группа — задачи подбора рациональных разме¬ ров сечений элементов по заданным нагрузкам пре¬ дельного состояния (задача проектирования или подбо¬ ра сечений системы).Для простых пропорциональных нагрузок задачи 1-й группы сводятся к определению предельного, или рас¬ четного, значения параметра 7, отвечающего разруше¬ нию конструкции, или возникновению потери устойчи¬ вости 2-го родэ (первый тип предельного состояния), или образованию недопустимо больших прогибов (вто¬ рой тип предельного состояния).При действии повторяющихся нагрузок должна быть проверена также приспособляемость сооруже¬ ния [12].
834РАЗДЕЛ 18. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИВ дальнейшем рассматриваются только простые про¬ порциональные нагрузки, имеющие основное значение в строительной расчетной практике.18.1.5.	Статический и кинематический принципы определения предельной нагрузки в упруго-пластических системахПредельную нагрузку для статически неопределимых систем из идеального упруго-пластического материала определяют, исходя непосредственно из их предельного состояния, двумя способами: кинематическим и стати¬ ческим [12].По кинематическому способу выявляют все возмож¬ ные схемы разрушения данной системы в предположе¬ нии перехода в пластическое состояние каждый раз стольких элементов системы, сколько необходимо для превращения ее в геометрически изменяемую (крити¬ ческий механизм).Для каждой выявленной схемы разрушения находят определенное значение нагрузки данного типа, уравнове¬ шивающей усилия в элементах, перешедших в пласти¬ ческое состояние. Усилия и напряжения в связях и эле¬ ментах, не перешедших в состояние текучести, при этом определению не подлежат. Из всех полученных для раз¬ личных схем разрушения нагрузок выбирают наимень¬ шую (минимальный принцип).При статическом способе определяют усилия в эле¬ ментах основной системы, полученной из рассматривае¬ мой статически неопределимой системы, от заданной нагрузки; при этом интенсивность нагрузки принимает¬ ся равной единице. Эти усилия суммируют с соответст¬ вующими усилиями, вызываемыми в той же основной системе «лишними» неизвестными X и выраженными в функции этих неизвестных. На основе полученных вы¬ ражений для усилий в отдельных элементах составляют уравнения, дриравнивая друг другу напряжения в тех наиболее напряженных элементах, в которых должен быть одновременно достигнут предел текучести. Число этих элементов равно л+1, если система п раз статиче¬ ски неопределима.Найденные с помощью полученной системы уравне¬ ний значения «лишних» неизвестных обеспечивают наи¬ выгоднейшее распределение усилий между элементами данной системы, при котором в пластическое состояние переходят одновременно намеченные п+1 элементов этой системы, если интенсивность нагрузки будет воз¬ растать от единичного значения до предельного. При этом последнее будет во столько раз больше единичного, во сколько раз предел текучести больше максимального напряжения в системе, соответствующего единичной интенсивности нагрузки.Предельной нагрузкой по второму способу является наибольшая из нагрузок, которые могут быть восприня¬ ты сооружением (максимальный принцип), при соблю¬ дении условий равновесия и условий пластичности (см. 12.1.3).Для упруго-пластического тела, нагруженного про¬ стыми пропорциональными нагрузками, по обоим спосо¬ бам получается одинаковый результат (принцип единст¬ венности решения). Начальные напряжения или дефор¬ мации не оказывают влияния на напряжения предельного состояния тела и на его предельную нагрузку, если из¬ менения геометрии тела несущественны. Отсюда сле¬ дует, например, что осадка опор не влияет на предель¬ ную несущую способность сооружения.18.2.	ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ (НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ) СЕЧЕНИЯ * 18.2.1. Изгиб бруса в плоскости симметрии поперечного сечения1В основу элементарной теории изгиба брусьев из упруго-пластического материала, так же как и из упру¬ гого, положена гипотеза плоских сечений. В связи с этим эпюра нормальных напряжений в поперечных сече¬ ниях стержня представляется диаграммой о = с (е) простого растяжения — сжатия данного материала с линейно измененным масштабом деформаций (рис. 18.2).В общем случае при некоторой зависимости а(е) = = о^— ^и при переменной ширине сечения b = b(y) по¬ложение нейтральной оси определяется уравнениемУiИт)у.Ь(У) dу = 0 ,(18.1)где р — радиус кривизны изогнутой оси стержня.Отсюда следует, что при постоянной ширине сечения площади эпюры растянутой и сжатой зон равны между собой.Если диаграммы растяжения и сжатия одинаковы, то площади растянутой и сжатой зон сечения равны между собой, и нейтральная ось делит площадь по¬ перечного сечения стержня пополам.Момент, воспринимаемый сечением стержня, опре¬ деляется формулойyb(y) dy .-Hf*У1[ма просто юй функции(0 < п < 1)(18.2)Если диаграмма простого растяжения-сжатия вы¬ ражается степенной функцией вида(18.3)то момент, воспринимаемый прямоугольным сечснисм, равен(п+2)М =4 aTbhупт'2^\п+2)(18.4)4Здесь у т — расстояние от нейтральной оси до границы упругого ядра; h — высота сечения.1	Под плоскостью симметрии поперечного сечения разумеется плоскость, содержащая ось симметрии сечения и продольную ось стержня.
18.2. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ (НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ) СЕЧЕНИЯ835В случае идеального упруго-пластического материа¬ ла эпюра нормальных напряжений в поперечном сече¬ нии изгибаемого бруса в предельном состоянии имеет вид, показанный на рис. 18.3,а. Ее часто заменяют ус¬ ловной предельной эпюрой, пренебрегая упругой зоной (рис. 18.3,6). В таком виде сечение рассматривается как шарнир текучести или пластический шарнир.1Кривизна — изгибаемого стержня связана с напря- Ржениями зт в сечении зависимостьюd2y dx 22атЕа(18.5)следовательно, предель-где а — высота упругого ядра сечения.При а-+ О кривизна —- Рное состояние сечения, в котором возникает пластиче¬ ский шарнир, соответствует бесконечно большой кри¬ визне балки в этом сечении или бесконечно большими краевыми деформациями.-5)Р11	=Й=Рис. 18.3Предельный изгибающий момент, воспринимаемый изогнутым стержнем, равен_2Л4Пр= М[уп2а1h2E2\dx * I(18.6)Здесь Муп— максимальный момент, рассчитанный по упругой стадии при напряжениях на кромках, равныхМуп =WaT , где W—момент сопротивления сече¬ ния. В данном случаеОМаксимальное значение Мпр(а-*0) есть пластиче¬ ский момент Мпл (см. ниже 18.3.2):(18.7)гдеГпл =Ь№— называется пластическим моментомсопротивления сечения. Для /нобой формы сечения, симметричной относительно горизонтальной оси, Wnл равен удвоенному статическому моменту S' половины сечения относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести сечения:^пл = 2*Sr .	(18.8)MnP Wnn=	называют коэффициен-ОтношениеМ у птом формы сечения.О	^плзначения	для некоторых сечений брусьев изпластической стали, имеющей диаграмму о — е по рис. 18.1,а, даны в табл. 18.1.Для случая диаграммы а —е, согласно рис. 18.1,6;ат 25'• (18.9)a, WНейтральная ось сече¬ ния, полностью перешед¬ шего в предельное (пла¬ стическое) состояние, де¬ лит площадь этого сече¬ ния пополам. Ее поло¬ жение для сечения, не¬ симметричного относи¬ тельно горизонтальной оси, может быть опреде¬ лено графически. Для этого разбивают все се¬ чение на полоски, перпен¬ дикулярные плоскости из¬ гибающего момента. Отвертикальной оси А (рис. 18.4), параллельной этой плос¬ кости, откладывают последовательно в любом масшта¬ бе в перпендикулярном к ней направлении, против цен-Рис. 18.4WТаблица отношений —— для различных сечений WТаблица 18.1ФормасеченияДвутавровоеC77/?ZZbТрубчатоеПрямоугольноеКруглоеРомбическоеWплW1.15-1,171,271,501,702,0«53*
836РАЗДЕЛ 18. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИТаблица 18.2Балки двутавровые по ГОСТ 8239-56Формулы:W™ = tb(k — t) + -7- (л— О2;tb2П7пл =	№ПЛ =W у 2 ’ Ш= —ь2 (Л-0;4= -у [2 РЬ 4- d* (А — 01 •VРазмеры в ммПластические моменты сопротивленияВ CJH3В СЛГWw toв см*кв см3101214161818а2020а2222а2424а2727 а 3030а33364045505560657070а7064,t>5.05.05.05.05.0 5 25.25.35.35.65.66.0 6,06.56.57.0 /.58.08.69.3 10,0 10,811.712.7 15,0 17.57.27.37.57.7 8.08,28,28.38.68.89,59.89.8 10,2 10.210.7 11.2 12,313.014.215 г2 16,517.819.220.824.028.256,4677,58103,43134,54167,70180,59 205,10 222,80259.20 282,13326.20 356,18 420,30 458,99 535,53584,85677,74846,801079.3 1398,51799,22296.12884.23586.24431.4 5120,7 5952,917,6420,5325.22 31,19 36,1042,6641,0050.22 52,03 63,3662,8276.5676.5692.9592.95112,48109.76129.30 156,16181.76219.64267.30 321,29 384,00458.64 529,20 621,8181,85115,69167,05237,47310,46366,42393,19481,31549,96669.08723,99881.23996.08 1207,41346.81627.11749.62247.93021.7 3960,65324.17130.29352.8 12 111 15 575 17 887 20 8874,5685,4066,2697,2408,2309,0069,31710.17 11,10 12,2613,9915,6116,6918,7220.1722.7125.3731.72 38,5848.3860,2475,6894,15116,90145,63197,01269,87тра тяжести каждой полоски, суммы площадей всех вышележащих полосок. Ордината против центра тя¬ жести самой нижней полоски равна площади всего се¬ чения. Проведя через ее середину линию параллельно оси А до пересечения с построенной кривой, засекают положение нейтральной оси, делящей площадь сечения пополам. Пластический момент сопротивления может быть определен по формуле (18.8), где S' — статиче¬ ский момент сжатой или растянутой половины сечения.В табл. 18.2 и 18.3* приведены пластические момен¬ ты сопротивления для прокатных двутавров и швелле¬ ров. В этих таблицах.и — пластические моменты сопротивления от¬ носительно осей х и у;—	секториальный пластический момент со¬ противления;—	пластический момент сопротивления при свободном кручении..Таблица 18.3Швеллеры А по ГОСТ 8240-56Формулы:wT = t{b--Y)(h-t) ++ — (А — 0*:Ъ+ d(b~Y)(h~t)~ 47(л“°а]:ИСЛ = tb(b — d) + —		 (Ь - «О2;WnJl=IF"h — t-тИ (‘—f)+hi Гах =>6 про филяРазмеры вммПластические моменты сопротивленияв смhьdtплWx в см3wnJ1в см*wплw сов см*wnJlWKв см*550374.57.012,546,9212.342,1381,4496.565404,57.419,829.0321,412,6501,532880454,87,429.2112, 0у35,983,1691,66910100504.87,543,2915.7859.933,7431,81612120545,07.760,3019,5590,744.4571,90214140585,08,080,3923,83130,535,2022,02314а140625.08,588,1228.25152,785,9432,24516160Ь45,08,3106,2030,36191,086,1332,24216а160685.08,8115,7335,52220,966,9622,46618180705.08,7137,2838,19270.987,2502,47318а180745.09,2148,8244,14310,048,1872,69920200765.29,0173,6046,99372,878,5282,66720а200805,29.6188,6054,31425.769,7072,90322220825,39,6218,9358,27508,0810,272 90522а220875.310.2238.8368,03586,8711,723,18824240905,610,0274,6273,44700,5012,333,18424а240955,610,7299,8285,41805,5514,153,47827270956.010,5351,6987,20947,5914,813.279303001006,511,0443,29102,261255.617,813,356333301057,011.7555,30120,451647.921.693,455363601107,512,6691,37142,492145,126,643.574404001158.013.5877,93167,302837,1732,603,661* Таблицы составлены д.т.н. А. И. Стрельбнцкой, см. Информа¬ ционное письмо № 29 Института строительной механики АН УССР, 1958.Примечания. 1. Формула относится к профилям, где нейтральная ось в предельном состоянии находится в преде¬ лах полки, т. е. 2(b — d) t>hd,^a формула Wyi к профилям, где нейтральная ось переходит в пределы стенки» т. е. 2 (b—d) t< <hd.2. ах — координата центра изгиба в предельном состояНИИ.При вычислении пластических моментов сечение рассматривалось как тонкостенное, уклоны полок и за¬ кругления профиля не учитывались.18.2.2 Косой изгиб брусаЕсли плоскость изгибающей пары не совпадает с плоскостью симметрии сечения, то и плоскость искрив¬ ления бруса, перешедшего в пластическое состояние, не совпадает с плоскостью изгибающей пары.
18.2. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ (НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ) СЕЧЕНИЯ837Предельный изгибающий момент, соответствующий переходу в пластическое состояние всего сечения, равенFMnD = МПл — V(18.10)где v — плечо внутренней пары, т. е. длина отрезка, соединяющего центры тяжести растянутой и сжатой половин сечения;F — площадь поперечного сечения.Рис. 18.5Этот отрезок проходит через центр тяжести всего сечения и делится им пополам. Своим направлением плечо внутренней пары сил определяет плоскость изги¬ бающего момента.Плоскость искривления бруса перпендикулярна нейтральной оси, положение которой, как и в случае из¬ гиба в плоскости симметрии сечения, определяется из условия равенства площадей сжатой и растянутой зон сечения. Направление нейтральной оси параллельно ка¬ сательным к кривой центров тяжести полусечений в точках центров тяжести полусечений, соответствующих данному направлению нейтральной оси.Кривая центров тяжести полусечений представляет геометрическое место этих центров тяжести для различ¬ ных направлений нейтральной оси. Положение ней¬ тральной оси при косом пластическом изгибе и пре¬ дельный изгибающий момент определяются следующим способом [18].Задаются некоторым исходным положением нейт¬ ральной оси Ох (рис. 18.5) по соображению, учитывая направление плоскости действия данного изгибающего момента М, и выбирают подходящее положение оси Оу. Затем вычисляют составляющие Мх и Му данного момента:M=*}f м\+м2у и tge-^2..Скорректированное положение оси Ох получают, пе¬ ремещая ее в положение 0'х\ параллельное Ох, на Fотрезок 6 = ——, где о—аолная длина выбранной2	bнейтральной оси Ох в пределах сечения; Р=*РСЖ+ +FpacT — алгебраическая сумма положительной и от¬ рицательной частей площади сечения.Если положение оси Ох выбрано так, что она делит площадь сечения пополам, то F=0 и 6 =0. Положи¬ тельное значение & соответствует смещению в положи¬ тельном направлений оси ОущВычислив затем статические моменты Sx* = j y'cLF и№Sy>= J x'dF относительно скорректированных осей с(F)учетом знаков напряжений на соответствующих участ¬ ках площади сечения, находят тангенс угла 6' накло¬ на к оси О'х' вектора равнодействующего момента внутренних сил, соответствующего положению О'х' ней¬ тральной оси:tg0' =Разность углов 0 и О' определит угловую поправку положения нейтральной оси. Центр этого поворота вы¬ бирается по соображению, например в середине отрез¬ ка оси О'х', заключенного в пределах сечения.Повторяют последовательно смешения и повороты нейтральной оси до совпадения вычисленного направ¬ ления действия момента и данного условиями задачи. Значение предельного момента находится по формулепр= от/-2	2 •S хф + 6' y(i)где SHSy№ —статические моментыотносительно установленных осейокончательно jc'W , yU>-Для уголковых и двутавровых сечений сходимость последовательных приближений по описанному методу сравнительно медленная. В этом случае следует постро¬ ить кривую углов наклона нейтральной оси к одной из главных осей инерции сечения в зависимости от угла наклона к этой же. оси вектора вычисляемого равнодей¬ ствующего момента внутренних сил. Искомое положе¬ ние нейтральной оси находится интерполяцией для данного угла наклона вектора момента.Пластические моменты сопротивления двутавров Кл и швеллеров при косом изгибе могут быть вы¬ числены с помощью следующих формул .'14],1.	Для двутавра при а от 5 до 20°:W* :"плt(h - Q*4	COSa■ — 4 tga +(18.12)где h — высота двутавра;Ь — ширина полки; d — толщина стенки; t —толщина полки; a—угол между осью стенки и плоскостью изги¬ бающей пары.2.	Для двутавра при а>20°з(1г — О2 ит %(h — t)u + d-		—W* —W ПЛ —6 (Ы2 + и)_ t ,ш2а)COS aгде К b, d и t имеют те же значения, что и в формуле (18.12);и определяется из кубического уравнения4+s9+“‘[‘+'^r+”-'>'2' ] ++ -f(зЬ-‘)-0; "-5-
338РАЗДЕЛ 18. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ3.	Для швеллера при а от 5 до 45°: Ц7Ш = — {G-НЛ	L+ УG«- WXL^WX-2F -j(b- YG=--j\wx+ -y(A-oJsin«+ + \wx-F-j(b- y)]cosa;L = sin a —cos a J ; F = 2t (b — —j +t d \ d wx = tlb~ -у)(/г“0 + T(h~~t)2'(18.13)d(h — I) ;При работе на косой изгиб швеллер является более выгодным сечением, чем двутавр [15].18.2.3.	Внецентренное сжатие и растяжение бруса прямоугольного сеченияБрус нагружен осевой силой N и изгибающим моментом М в плоскости симметрии сечения. Эксцент- Мрицитет епредполагается постоянным при росте нагрузки.о)	6)/V-fiШ'V.IVVС | Os, _1Рис. 18.6Эпюра нормальных напряжений в поперечных сече¬ ниях стержня из идеального упруго-пластического ма¬ териала в предельном состоянии представлена на рис. 18.6, а. Она обычно заменяется условной эпюрой (рис. 18.6, б) — без упругого ядра (пластический шар¬ нир при внецентренном растяжении—сжатии).В этом случае соотношение между нормальной силой н моментом д;ш предельного состояния выражается уравнением [12]МпрN:ПрМпNi= 1(18.14)Здесь Мпл=^пл °т;	Для прямоугольногосеченияbh2 Мпл — 4■ bh ax.Об	уменьшении МПр при наличии в сечении продоль¬ной силы N см, ниже 18.3.2, рис. 18.10 и 18,11.Формула (18.14), выведенная для однократного на¬ гружения, без особой погрешности применяется и при многократных загружениях.18.2.4.	Косое внецентренное сжатие или растяжениеПри этом виде напряженного предельного состояния соблюдаются следующие соотношения между сжатой (Fc«) и растянутой (Fpac-r) частями сечения и всей его площадью F:FРаст —1+5	1-6 р; ^сж = -T-F.(18.15)гдеNnFaTNnp —искомое предельное значение эксцентрично при¬ ложенной нормальной силы.Отрезок v, соединяющий центры тяжести сжатой и растянутой частей сечения, проходит через центр^тя-жести всего сечения и делится им в отношенииИзгибающий предельный момент1 — £2 Mnp = - FoT V .i-е(18.16)Точка приложения нормальной силы находится на1 — 62продолжении отрезка v на расстоянии е ■25от центра тяжести всего сечения.Положение нейтральной оси при косом внецентрен¬ ном сжатии или растяжении в предельном состоянии и значение Nnp определяются способом последователь¬ ного приближения [18]. Для этого задаются некоторым исходным положением нейтральной оси Ох (рис. 18.7) по соображению на расстоянии еу от точки А прило¬ жения данной силы и выбирают подходящее положение оси Оу на расстояние ех от той же точки. Вычисляютстатический момент площади сечения Sx= j ydF отно-(F)сительно выбранной оси Ох с учетом знаков напряже¬ ний на соответствующих частях площади сечения и находят расстояние Ь от скорректированного положе¬ ния оси О'х' до оси Ох:в== —	(18.17)2вуЬзнак Ь показывает направление смещения.Здесь /7=/гсж+^7раст—алгебраическая сумма поло¬ жительной и отрицательной частей площади сечения при данном положении нейтральной оси Ох\ b — пол¬ ная длина этой нейтральной оси Ох в пределах сечения.Следующее приближение получают поворотом оси О'х' в положение 0"х" на угол а, тангенс которогоtga =(18.18)где ех и еу’ —расстояния точки ^'приложения равно¬ действующей внутренних сил в данном сечении, соот¬ ветствующей нейтральной оси О'х', от осей х\ у\Они равны=JyF'F'(18.19)
18.3. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ (НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ) СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ839Здесь 5у' и —статические моменты площади сече¬ ния относительно осей х'О'у', a F' вычисляется с уче¬ том расположения нейтральной оси по О'х'.Центр поворота О" выбирают с учетом геометриче¬ ского очертания сечения, например в. середине отрезка оси О'х', заключенного в пределах сечения.Рис. 18.7Повторяя последовательно перемещения и повороты нейтральной оси, можно достичь достаточно близкого совпадения точки с точкой А приложения данной силы.Предельное значение последней определяется по формуле(h\Nnp = °т F ,	(18.20)где F^ вычисляется с учетом окончательного i-го поло¬ жения нейтральной оси.18.3.	ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ (НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ) СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ18.3.1.	Предварительные замечанияДля статически определимых стержневых систем оп¬ ределение предельного состояния совпадает с задачей определения предельного состояния наиболее опасного сечения (см. 18.2).Для статически неопределимых стержневых систем сравнительно простые решения получены для случая, когда материал сооружения является идеальным упруго- пластичеовим с диаграммой о—е по рис. 18.1.Упругий расчет оставляет в статически неопредели¬ мых системах неиспользованные резервы несущей спо¬ собности. Вовлечение в работу этих резервов, связан¬ ное с существенной экономией строительных материа¬ лов, возможно только при переходе к расчету с учетом пластической работы материала.Реальный эффект перехода от обычной к «пласти¬ ческой» проектировке рам выражается в 25—30% экономии металла. Характерные кривые — см. рис. 18.8 (построены по данным проектной группы Кэмбридж- ского университета [16]).Ниже рассматриваются системы из пластической стали, имеющей диаграмму Прандтля а — е (см. рис. 18.1).Закон разгрузки — линейный. Явления наклепа и эффект Баушингера не учитываются.Все излагаемые расчетные приемы распространяют¬ ся, как показано в [17], также на аналогичные железо¬ бетонные конструкции.Рис. 18.818.3.2.	Пластические шарнирыСложность точных решений для систем, работающих в стадии пластичности (ср. [19]), заставляет обращаться к приближенным решениям. Для технических решений достаточно точен способ пластических шарниров (см. 18.2.1). В этом способе считается, что система в пре¬ дельном состоянии в результате возникновения в ряде сечений пластических шарниров превращается в крити¬ ческий механизм.Понятие пластического шарнира связывается с ха¬ рактерными очертаниями (рис. 18.9) кривой М=М(*) для стержня из пластической стали (М — изгибающий мо¬ мент, %— кривизна в данном сечении). Изгибающий момент в состоянии полной пластичности сечения (см. рис. 18.3.6) и есть пластический момент Мпл. Резкое возрастание * в зоне пластических дефор¬ маций обусловливает в пластически изогнутом брусс концентрацию кривизны в области максимума изги¬ бающего момента. При этом кинематический эффект искривления бруса получается близким вращению одной части бруса относительно другой вокруг ней¬ тральной оси сечения, где действует А1тах==Мпл. Это по¬ зволяет при анализе деформаций системы, в которую входит брус, сложную картину пластического из¬ гиба бруса возле этого сечения заменить очень про¬ стым представлением о возникновении в сечении пла¬ стического шарнира. При этом считают, что вращение в пластическом шарнире происходит при постоянном значении изгибающего момента Мпл и что образова¬ ние пластического шарнира происходит мгновенно — при достижении «упругим» изгибающим моментом М значения Мпл.При наличии продольной силы N в сечении МпрСМпл. В этом случае, согласно уравнению (18.14),/ W2 \Мпр = Л*ш, 1——7 .	(18.21)V ^ПЛ/На рис. 18.10 показано изменение ЛТпр с ростом N для прямоугольного сечения; на рис. 18.11—для дву¬ тавра. Из этих рисунков видно, что при малых N зна¬ чение А1Пр меняется мало. Поэтому в практических расчетах обычно принимают Мпр согласно формуле(18.7), т. е. Л1пр=МПл= ^ПЛ °Т а
840 *РАЗДЕЛ 18. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИРис. 18.9Рис. 18.10ей*пЛ . __Упруго -пластическая ^ областьУпругая область f\*5 X. N.Д-ф/&9оРис. 18.11рованным положением системы; величина этой нагруз¬ ки зависит от вида механизма, т. е. от расположения пластических шарниров, и от величины Л1ПЛ» но совер¬ шенно не зависит от упругих свойств сгержней между шарнирами. Поэтому при определении предельной на¬ грузки считают, что материал системы жестко-пласти¬ чен, т. е. что до достижения изгибающим моментом значения Мпл никаких деформаций в сечениях системы нет.Задача решается пробами. Путем непосредственного прослеживания последовательного возникновения с ростом нагрузки пластических шарниров или МПлнаме_ чается ее критический механизм. В пластических шарни¬ рах прикладываются моменты Мпл* после чего опреде¬ ляется параметр 7Пр предельной нагрузки из условиГ? равновесия критического механизма. Проще всего при этом пользоваться началом возможных перемещений. Сообщая одному из стержней механизма возможное угловое перемещение Ф=1, определяют для критического механизма перемещения ft точек приложения внешних сил в направлении этих сил и углы поворота стержней. Получаем уравнение работЕ РЬ + S Мпл0 =0.	(18.22)Здесь 2 Р Ь— работа внешних сил;2	Мпл 9— работа моментов Мпл в пластических шарнирах на взаимных углах поворо¬ та 0 сходящихся в каждом пластиче¬ ском шарнире элементов системы.Вычерчиваем эпюры моментов всех стержней; при этом во всех остальных сечениях системы должно быть М<Мпл. Если это условие выполнено, решение, в силу теоремы единственности, найдено. В противном случае приходится рассмотреть другой критический механизм.Для балок, простых рам и арок, нагруженных со¬ средоточенными силами, этот метод расчета быстро приводит к цели. Шарниры здесь возникают всегда в точках перелома эпюр Мх: под силами или на опорах балок и в узлах.Случай действия распределенных нагрузок несколь¬ ко сложнее. Координату х, определяющую на стержне положение пластического шарнира, приходится нахо¬ дить из условия минимума предельной нагрузки.Когда истинный критический механизм найден, по эпюре моментов определяются поперечные силы; из ус¬ ловий равновесия узлов — продольные силы.При проектировании решение аналогично, только определяется не тпр, а величина Мил сечений в шарни¬ рах, т. е. решается задача подбора сечечий стержней.Существуют аналитические приемы отыскания кри¬ тического механизма [20], сводящиеся к совместному решению ряда неравенств. Эти приемы в общем мало практичны.При решении задачи статическим способом выби¬ рается сначала статически определимая основная си¬ стема. На эпюру изгибающих моментов этой основной системы (от заданных нагрузок) налагаются эпюры моментов от реакций отброшенных лишних связей так, чтобы полученная суммарная эпюра удовлетворяла трем условиям: 1) вводимые эпюрой пластические ‘ шарниры (сечения, где М=Мпл) превращают систему в механизм; 2) в остальных сечениях везде М<МПл'г3)	для всех звеньев полученного механизма соблюда¬ ются условия равновесия.8.3.3.	Отыскание предельного состояния. Общие указанияПредельная нагрузка стержневой системы отвечает состоянию равновесия критического механизма (см. 18.1.5), конфигурация которого совпадает с недеформи-18.3.4.	Расчет статически неопределимых балокОпределение предельной нагрузки Рпр = ТпрР Для статически неопределимой балки постоянного сечения (рис. 18.12, а) методом непосредственного прослежива-
18.3. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ (НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ) СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ841ния возникновения пластических шарниров. Из обычной эпюры упругого расчета (рис. 18.12,6) заключаем, что первый пластический шарнир возникнет в сечении А;Рис. 18.12несущая способность бзлки будет исчерпана, когда при дальнейшем росте нагрузки возникнет второй пласти¬ ческий шарнир под силой в сечении С, т. е. когда про^ изойдет выравнивание моментов в Л и С. Критический механизм показан на рис. 18.12, в; эпюра предельного состояния —на рис. 18.12, г. Из этой эпюры находимРпр/' = Мпл 4-Мг3= Тмп6/ИпIПри решении с помощью начала возможных пере¬ мещений составляется уравнение работ по формуле (18.22) на показанных на рис. 18.12,в возможных пе¬ ремещениях критического механизма:гпр1 /	1 •	6МП— • — —Мпл —	Мпл*1 =0; Рпр —IДля балок обычно наиболее простым является ре¬ шение статическим методом. Решение статическим ме¬ тодом для балки (рис. 18.12, а) сведется к непосредст¬ венному построению эпюры предельного состояния (рис. 18.12,г).Рассмотренное решение относится также к неразрез¬ ной балке постоянного сечения, показанной на рис. 18.13.г	I~7Г-ЧР-Рис. 18.13а)г * iР№Ж	™	1 -rrrl-ч^-rTTW	ТР tWTrTTrr^^( ff-.Статическое решение для аналогичной балки пере¬ менного сечения (рис. 18.14, а). Здесь М(^1 —пла¬ стические моменты сечений 1 и 2. Согласно эпюре пре¬ дельного состояния (рис. 18.14,6)Ми\ I• +о)6)* ъ-Ц. х) .уРис. 18.15На рис. 18.15,а — двухпролетная неразрезная балка- постоянного сечения (Мпл =const), загруженная на ле¬ вом пролете равномерно распределенной нагрузкой. Определение Рпр=7прР связано с определением коор¬ динаты х пролетного пластического шарнира D. Урав¬ нение работ на возможных перемещениях критического механизма, показанных на рис. 18.15,6 (работа нагруз¬ ки равна произведению р на площадь треугольни¬ ка ABD):1х(1 — х) яй х Р 0, 	 М пл * 1 -Мпл , 	 0,откуда21р = ■/2МПл U ~Ь х)1х(1 - X)Находим х из условия минимума р:—	= 0; + 21х - /2 = 0; ж = (l/lf — 0 1 •dx	\т	/Тогдарпр = 11.656-/2Эпюра Мх предельного состояния показана на- рис. 18.15, в.Для балок переменного сечения места пластических шарниров не всегда совпадают с точками приложения- сил. Так, для балки на рис. 18.16,а положение пластиче-<*)JD t1n я \ПЛ6,)if/пл%d	L45■1^||^^Т1^Т1ТПТтт1т^Ыг'в	61	 ^ifi	с6)h~-—^—ж—~77ЪРис. 18.14Рис. 18.16
842РАЗДЕЛ 18 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИских шарниров (рис. 18.16,в) получим, вписывая в эпюру aabbccdd моментов Мпл балки эпюру моментов от силы Рпр (рис. 18.16,6).Теми же приемами решается задача расчета много¬ пролетных неразрезных балок.В многопролетной балке предельное состояние оп¬ ределяется образованием трех пластических шарниров в одном из пролетов, т. е. возникновением частичной изменяемости сооружения. Поэтому для заданной на¬ грузки балки данных размеров следует определить ?Пр для каждого пролета в отдельности.Так, для пролета ВС четырехпролетной балки посто¬ янного сечения (рис. 18.17, а) ?Пр находим, проводя линию сс эпюры Мпл (рис. 18.17,6) и составляя урав-рЪР <*Ь яение 	-	= 2МПЛ-Рис. 18.17Из полученных для разных пролетов значений ?пр надо выбрать наименьшее.Подобным же построением решается задача подбора сечений для многопролетной балки постоянного сече¬ ния, несущей заданную расчетную нагрузку: проводя на эпюре балочных моментов от расчетной нагрузки в каждом пролете линию сс (рис. 18.17,6), определяем значения Мпл по условиям работы этого пролета. Из значений Мпл разных пролетов выбирается наибольшее.При проектировании балки переменного сечения (рис. 18.18,а) задача имеет бесчисленное множество решений.Любая эпюра лишних неизвестных (опорных мо¬ ментов) в предельном состоянии abed (рис. 18.18,6), наложенная на эпюру балочных моментов от заданной расчетной нагрузки, определяет собой одно из возмож¬ ных решений: балка с сечениями Е, В, F, С, G, имею¬ щими Мпл, равные показанным жирными линиями наО)ял—:£ Вf С 16Л' ■ 	1	ляРис. 18.18рис. 18.18,6 отрезкам, будет под данной расчетной на¬ грузкой находиться в предельном состоянии (в общем случае необходимо еще проверить, что в остальных сечениях балки везде М<?МПЛ). Для устранения неопре¬ деленности решения должны быть привлечены дополни¬ тельные условия, например, условие получения конст¬ рукции наименьшего веса (см. ниже 18.3.8).18.3.5.	Расчет статически неопределимых рамОбщие указания. Расчет состоит из трех последо¬ вательных операций.1.	Строится эпюра изгибающих моментов рамы от заданных внешних сил для статически определимойрамы, полученной из ■у	данной путем отбрасы-вания лишних связей («свободная» эпюра).2.	Строится эпюра моментов, обусловлен¬ ных действием лишних неизвестных, соответст¬ вующих отброшенным лишним связям, с уче¬ том характера действия этих неизвестных в пре¬ дельном состоянии ра¬ мы (эпюра л. н.).3.	Строится «суммарная» эпюра, причем эпюра л. н. налагается на свободную эпюру так, чтобы в раме было образовано столько пластических шарниров, сколькоIс(/7f. 1~~н* !Рис. 18.19б)/ ’ /of on • 6еРис. 18.20нужно для превращения рамы в механизм. При этом: 1) знаки моментов в пластических шарнирах должны отвечать направлению вращения шарниров; 2) везде должно соблюдаться условйг текучести.Двухшарнирная портальная рама (рис. 18.19). Даны силы //, V; ищем сечения стержней рамы, т. е. значения Мпл- Возможные критические' механизмы по¬ казаны на рис. 18.20. Превращаем опору А в подвиж¬ ную — освобождаем систему от лишних связей. Сво¬ бодная эпюра изгибающих моментов брусьев рамы, т. е. эпюра полученной статически определимой рамы от сил V, Н, показана на горизонтальной прямой (рис. 18.21,а). Эпюра л. н., т. е. эпюра моментов от от¬ брошенного распора НА, показана на рис. 18.21,6. В упругой раме последняя эпюра строилась бы по данным обычного расчета статически неопределимой системы и зависела бы от упругих свойств рамы. В упруго-пласти¬ ческой стадии работы рамы форма этой эпюры сохра¬ нится, но ординаты будут иные. В предельном состоя¬ нии рамы ординаты будут определяться из условия возникновения в раме пластических шарниров, превра¬ щающих раму в механизм, находящийся в состоянии равновесия. В предельном состоянии (рис. 18.20,6) суммарная эпюра, полученная наложением эпюр рис. 18.21,а, 6, должна иметь вид, показанный на рис. 18.21, в. Ординаты, равные МПл, показаны жирны¬ ми линиями. Считая, что сечение стоек меньше сечения ригеля, получаем при подборе сечений:Hh, для стоек мпл = ;VIдля ригеля Мпл > •Если сечения всех брусьев одинаковы, осуществит¬ ся критический механизм по рис. 18.20,а с эпюрой,
18.3. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ (НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ) СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ843показанной на рис. 18.21,г. Тогда для стоек и для ригеляVI НИл.„,-т + —.Знаки моментов Мпл в окончательных эпюрах долж¬ ны соответствовать направлению вращения в пластиче¬ ских шарнирах механизма предельного состояния. Легко видеть, что такое соответствие соблюдается в рассмотренных задачах.а)R пяНа*Нт£ НЕ 1&Рис. 18.22а)Для рамы с постоянным сечением брусьев (рис. 18.22), нагруженной равномерно распределенной на¬ грузкой, суммарная эпюра дана на рис. 18.23. Момент Мпл в ригеле возникает здесь в сечении С'— не посередине пролета.Портальная рама с защем¬ ленными пятами. Рассматри¬ вается проектирование по за¬ данным силам Я, V, прямо¬ угольной рамы с защемленными стойками (рис. 18.24) с одина¬ ковым везде сечением элемен¬ тов. Возможные критическиеН в-1/2—П.ш.Рис. 18.24механизмы показаны на рис. 18.25. Свободная эпюра на рис. 18.26,а (линия BgfE)—такая же, как на рис. 18.21,а («балочная» основная систе¬ ма). Чтобы получить эпюру л. н. для форм разрушения (рис. 18.25,а, б), обратим внимание на то, что моменты М а* МЕ имеют противоположные знаки и равны Мпл- Тогда часть эпюры, обусловлен¬ ная действием этих моментов, будет антисимметричная эпюра stuv (рис. 18.26,а,б); на нее налагается симмет¬ ричная эпюра, созданная распором ИА, с не опре¬ деленными пока по величине ординатами. Ординаты эти определятся, когда мы наложим эпюру л. н. на сво¬ бодную так, чтобы получить суммарную эпюру, или в форме (рис. 18.26,а), соответствующей критическому механизму по рис. 18.25,а, или в форме (рис. 18.26,6), соответствующей критическому механизму рис. 18.25,6. В обеих эпюрах знаки Мпл отвечают направлению вращения шарниров; условие текучести М < Мпл везде удовлетворяется. Обозначив nu=mt = x, получим из чертежа:О)*—h—-Я б	Ц2-~к	ШfrNiF1! 1 Mil<У О £ Яб)Ж'7f х.U9тг о — е
844РАЗДЕЛ 18. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ1)	для эпюры рис. 18.26,аVI Hh2МПЛ + х = Hh; -j- — —р + * = Мпл;VI	Hh м„л= U + —;VI 4 ;условие текучестиВт < Мпл; VI > Hh>2)	для эпюры рис. 18.26,62МПЛ -f- дг = Hh; 2МПЛ — х; Мпл = условие текучестиVIМ,HhVI4Для критического механизма рис. 18.25,6 (част¬ ная потеря неизменяемости) достаточно ограничиться рассмотрением части BCD рамы. Тогда (рис. 18.26,в)VI-	= 2МПМПп = 'V/Моменты МА , МЕ остаются неопределенными.Портальная рама с ломаным ригелем. В строи¬ тельной практике часто встречаются портальные рамы с ломаным ригелем под двускатную крышу (рис. 18.27). Возможные критические механизмы показаны на рис. 18.28,а, 6, в. Свободная эпюра для основной системы (рис. 18.29,а) дана на распрямленном кон¬ туре (рис. 18.30,а). Эпюра л. н. для лишних неизвест¬ ных реакций Н с , Mi, М2 (рис. 18.29,6) показана на рис. 18.30,6; суммарная эпюра (сечение постоян¬ но)—на рис. 18.30,в.Реальное загружение по¬ добного портала показано на рис 18.31; эпюры свобод¬ ная и лишних неизвестныхРис. 18.28(л. н.) — на рис. 18.32,а; суммарная эпюра (сечение постоянно)—на рис. 18.32,6. На последней эпюре на¬ черчено пунктиром a2b2C2d2e2 положение эпюры л. н.,Рис. 18.29соответствующее предположению, что шарниры образу¬ ются в точках. Л, С, D, £. В этом случае МБ >МПЛ . МХ>М11Л, т. е. решение не удовлетворяет условиюа)*Рис. 18.30текучести. Истинное решение дает линия a\b\C\d\e\i пластические шарниры в узлах В, D, Е ив сечении X, расположенном под первой слева от конька крыши об¬ решетиной. Это верно для широкого диапазона углов наклона кровпи и отношений пролета к высоте рамы.Из-за наличия пиков в точках Ву D эпюры (рис. 18.32,6) полезно для увеличения несущей способности рамы повышать жесткость узлов В, D путем надлежа* щего развития узловых вставок.5,02 т5,02 гпQ)Рис. 18.32
18.3. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ (НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ) СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ845При замене в рамах типа, показанного на рис. 18.31, жесткого защемления стоек шарнирным увеличение расчетного значения Мпл стержней составляет Ш-г-15%. Эту цифру надо иметь в виду при решении вопроса об экономической целесообразности жесткого защемления при возведении сооружения на слабом в грунте.Многопролетные рамы. В промышленных зданиях часто встречаются многопролетные одноэтажные рамы с ломанными ригелями. На рис. 18.33 показана такая пятипролетная рама с действующими на нее ветровыми нагрузками. Подбор сечений подобной рамы легко производится при помощи рассмотренных выше при¬ емов.9 ■	к 1р	tybP н5 fcf?P *°>2P dr t0»2P- JL t0>2P Jtt *02p JL *0>2р^Г2РРис. 18.33Рис. 18.34Расчеты показали, что опасным обычно является загружение вертикальными нагрузками. Исчерпание не¬ сущей способности происхо¬ дит не для всей рамы, а только для крайнего проле¬ та (рис. 18.34). Для по¬строения свободных эпюр ригели во всех пролетах раз¬ резаются в коньке. Свободные эпюры построены на рис. 18.35 вдоль распрямленного контура рамы. Для крайнего пролета показана также суммарная эпюра с четырьмя ординатами Мпл, полученная наложением эпюры лишних неизвестных (X н.) на свободную эпюру.18.3.6.	Предельное состояние упруго-пластических арокПредельное состояние арки характеризуется обра¬ зованием в ней стольких пластических шарниров (при внецентренном сжатии), сколько необходимо для при¬ дания ей геометрической изменяемости. Пластические шарниры в арке образуются в тех сечениях, где мо¬ мент и нормальная сила удовлетворяют условию(18.14).Для упрощения расчета арки по методу предельно¬ го равновесия можно первоначально пренебречь влия¬ нием продольной силы на величину предельного изги¬ бающего момента, а затем ввести поправку.Расчет двухшарнирной арки, нагруженной сосредо¬ точенной силой (рис. 18.36).Изгибающий момент в ключе арки Мс и макси¬ мальные моменты MD на наклонных ее участках, вы¬ раженные в функции нагрузки Р и распора И, равны:Р1Мс = — — Я/о ;MD= — Xl-HyL. (18.23)В предельном состоянииМс--МсР1	Рхг— -я/0 = - -j- + Hy!.откудаР2 Н/о ~Ь У]/ •T + *'(18.24)В точке D экстремума изгибающего момента равно¬ действующая внутреннего усилия в сечении должна быть параллельна оси арки, т. е.Р2Н= У1 =/0 + У1Ц2 + хх(18.26)Откладывая от точки А (рис. 18.36) влево по оси /абсцисс отрезока вниз по оси ординат отрезок fо,проводим из определенной таким образом точки Е ка¬ сательную к оси арки. Точка касания определяет, со¬ гласно (18.25), положение точки D.Из (18.25) можно найти ух ; далее—распор РИ=—- и, наконец, из (18.23) — момент Мс в функ- 2У\ ции Р:рмс =■УгПредельную нагрузку найдем, приравняв Мс пла¬ стическому моменту Мил:^ 2МПЛ 2 ^пл°т Рпр = „ =(18.26)гдес =-L_A2	Ух 'Чтобы учесть влияние нормальной силы N на МПр, надо принять N=H, тогда на основе формул (18.14) н (18.21) для прямоугольного сечения’np_46Wl(j/ +^,,-1(18.27)
846РАЗДЕЛ 18. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ18.3.7. Области несущей способности рамыНа раму может действовать нагрузка, отдельные компоненты которой меняются независимо друг от дру¬ га, например ветер и вертикальная нагрузка. В слож¬ ных сооружениях трудно указать заранее наиневыгод¬ нейшую комбинацию этих компонентов, т, е. такую, которая вызывает выход сооружения из строя при наименьшем значении параметров слагаемых нагрузок; поэтому приходится идти методом пробных расчетов. Для сооружения, находящегося под действием нагруз¬ ки, состоящей из п компонентов, иногда удобно вос- пол^оваться методом построения области несущей спо¬ собности сооружения в «-мерном грузовом простран¬ стве [3, 17].Пример. Построить область несущей способности в «двухмерном» грузовом пространстве для рамы на рис. 18.37.На раму действует нагрузка, состоящая из двух компонентов — из двух грузов Р, Q, могущих изменяться независимо друг от друга.Полные пластические моменты МПл сечений везде одинаковы для обоих направлений изгиба в каждом сечении. Следовательно, пластические шарниры могут возникнуть только в сечениях /, 2, 3, 4. Принимаем, что МПл не зависит от продольной силы сечения, т. е. Мпр==Мпл .Элементарные кинемати¬ ческие цепи рамы показаны на рис. 18.38. Их сочетание может дать любую дефор¬ мацию рамы в пластическом предельном состоянии, ко¬ торая определится горизон¬ тальным смещением р узла2	и вертикальным смещени¬ ем q сечения 3 (рис. 18.39).Выясним, какая доля на¬ грузки рамы воспринимает¬ ся сечением 2. Допустим, что в сечениях /, 5,4 постав¬ лены идеальные шарниры (M1 = Af3=Af4=0).Условие равновесия, связывающее Р и Q, найдем, рассматривая виртуальную работу сил на перемеще-рниях, показанных на рис. 18.39, когда q = ~Qq + Рр = 0 или Qp + 2Рр = 0 ,Рис. 18.37ТогдаоткудаQР = _ 2 'Наибольшее (наименьшее) значение Q определится из уравнения|Q1 / — AfM . Q = ±	.Следовательно, сечение 2 обеспечивает зону не¬ сущей способности в виде отрезка CD, показанного в двухмерном пространстве Р, Q на рис. 18.41,6 (едини- МПл \ца силы: 2~)'Такие зоны для сечений 1, 3, 4 будут иметь вид, показанный на рис. 18.41,а, б. г. В каждой и? этих зонВ системе осей Р, Q (рис. 18.40) эти возможные состояния равновесия изобразятся прямой, проходя¬ щей через начало координат.вектор, идущий от начала координат к любой точке зоны, определяет собой некоторую нагрузку Р, Q, безопасно воспринимаемую рамой при работе одного из сечений /, 2, 5, 4.Для построения полной области несущей способно¬ сти рамы при работе всех сечений пользуемся следу¬ ющим очевидным предложе¬ нием: точка грузового про¬ странства лежит внутри об¬ ласти несущей способности сооружения тогда и только тогда, когда радиус-вектор этой точки равен геометри¬ ческой сумме радиусов-век¬ торов ряда точек, лежащих внутри найденных для со¬ оружения частных зон не¬ сущей способности, отве¬ чающих случаям поперемен¬ ного удаления различных связей или групп связей.Другими словами, полная область несущей способно¬ сти сооружения есть наи¬ большая область, которая описывается концом векто¬ ра, получаемого путем сло¬ жения радиусов-векторов различных точек частных об¬ ластей несущей способности.
18.3. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ (НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ) СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ847Для рассматриваемой оамы полная область несу¬ щей способности получится следующим путем (рис. 18.42). Заставляем отрезок АВ (рис. 18.41,а) двигаться своей серединой вдоль отрезка CD (рис. 18.41,6); по¬ лученный параллелограмм abed — вдоль отрезка EF (рис. 18.41,в); полученный шестиугольник efghkl — вдоль отрезка GH (рис. 18.41,г). Найденный непра¬ вильный восьмиугольник (показан сплошными линия¬ ми) представляет собой искомую полную область несу¬ щей способности рамы.Область несущей способности для данного соотно¬ шения Р и Q, т. е. для простой пропорциональной на¬ грузки, получим, проводя на рис. 18.42 через начало координат прямую с соответствующим угловым коэф- фицтентом. Часть этой прямой, заключенная внутри полной области несущей способности, является иско¬ мой областью несущей способности рамы для данной пропорциональной нагрузки.Области несущей способности всегда ограничены выпуклыми линиями без входящих углов.18.3.8. Проектирование систем наименьшего весаЗадачей рационального подбора сечений элементов сооружения является создание наиболее экономичной конструкции. Анализ условий для создания конструк¬ ции наименьшего веса выявляет тенденции, которыег&тIПЛ2"АНаиболее наглядно геометрическое решение задачи с изображением явления в «-мерном пространстве с координатами МПл»/. Рассмотрим случай двухмерной задачи.Установим условие минимума веса статически не¬ определимой трехопорной балки (рис. 18.43). Пласти¬ ческие шарниры могут возникнуть в четырех сечениях балки. На рис. 18.43 показаны четыре различные ки¬ нематические цепи в состоянии исчерпания несущей способности балки.Обозначим полные пластические моменты левого и правого пролетов Мпл1, МПЛ2 •Если для каждого вида А, В, Л*, В* (рис. 18.43) потери несущей способности составить, умножив на¬ грузки на запас надежности к $ уравнения виртуаль¬ ных работ (18.22), то кА , кв , к*в будут связа¬ ны с МПЛ1, МПЛ2 уравнениямиЗМпля	2.Мпл1 -Ь Мпл21= змпкв — 'змп3■МиX* =МПЛ1 ~f~ 2МПл2 1—	МПЛ1 + 2МПЛ2 .Каждое из этих уравнений может быть представле¬ но в виде (k—индекс предельного состояния)а^Мпл1 а*2^ПЛ2 = ^k •	(18.29)Рис. 18.44Рис. 18.43необходимо учесть для решения задачи экономичного проектирования. Метод пластических шарниров в соче¬ тании с представлением о жестко-пластической работе материала сооружения позволяет найти пути решения этой задачи.Для изгибаемых конструкций принимается обычно, что вес каждого стержня / конструкции зависит ли¬ нейно от произведения его длины // на полный пласти¬ ческий момент сечения Мил, I. Таким образом, ставит¬ ся задача отыскания минимума функции0=2 /,МПЛ>/ .	(18.28)В осях Мплъ Мплг (рис. 18.43) эти уравнения гда* ют прямые линии. Расстояние от начала координат до каждой прямой (18.29) пропорционально kk . Значение к^ =1 соответствует случаю, когда указанные на рис. 18.43 силы являются предельными нагрузками в- предельном состоянии k.При к =1 уравнение прямой (18.29) принимает вида&1^пл1 Н“ а/г2^пл2 = 1 •	(18.30)В нашем случае будет четыре прямых (18.30); они показаны на рис. 18.44. Уравнение (18.30) при kk >1 определяет предельные состояния балки, по отношению к которым заданные нагрузки являются безопасными. Отсюда следует, что область надежных при заданной нагрузке состояний балки лежит для каждого вида А, В, А*, В* предельного состояния за соответствующей прямой (18.30), если идти от начала координат. Гра¬ ницы истинной области надежности при заданной на¬ грузке, т. е. области надежности по отношению ко всем возможным видам предельных состояний, ‘отме¬ чены на рис. 18.44 штриховкой.
848 -РАЗДЕЛ 18. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИФункция G веса балки имеет, согласно (18.29), вид 2МПЛ1 + 2А1пл2 = G •	(18.31)Это — прямая, с угловым коэффициентом (—1), р&стояние до которой от начала координат пропор¬ ционально G.Для отыскания балки, являющейся для заданной нагрузки безопасней и одновременно отвечающей ми¬ нимуму G, достаточно найти точку области надежных состояний балки при заданной нагрузке (рис. 18.43), для которой прямая (18.31) занимает наиболее близ¬ кое к началу координат положение. Это будет точка М, в которой .касательная к области надежных состоя¬ ний имеет угловой коэффициент (—1).Координаты A^i >	точки М определят иско¬мые размеры сечений балки.Для упрощения решения можно сразу отбросить случай Мпл2>МПл1, т. е. ограничиться рассмотрением только той части плоскости МПл на рис. 18.44, кото¬ рая лежит выше биссектрисы О А. Состояние Л*, В* при этом совсем не понадобится рассматривать.Приведенное решение распространяется и на слу¬ чай рамных систем.18.4.	РАСЧЕТ ПЛИТ ПО МЕТОДУ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ [3]18.4.1.	Плиты, шарнирно опертые по контуру и нагруженные сосредоточенной силойПредельное состояние ссчений плиты характеризует¬ ся возникновением цилиндрического шарнира текучести (пластического шарнира), в котором образуется дву¬ гранный угол любой величины при постоянном предель- ’ном изгибающем моменте.Предполагается, что нейтральная ось плиты делит ее высоту пополам. В этом случае предельный погон¬ ный пластический момент (момент текучести) равен [ср. с формулой (18.7)]п.пл = отЛ2 кгем/см(18.32)(для железобетонных плит тпл = ат Fa z, где Fa — площадь арматуры, z— плечо пары внутренних сил).Предельное состояние плиты соответствует возникновению цилиндрических пластических шарниров в количестве, необ¬ ходимом для потери ею гео¬ метрической неизменяемости. Цилиндрические шарниры счи¬ тают прямолинейными. Из всех возможных схем располо¬ жения шарниров выбирают ту, которая дает наименьшую пре¬ дельную нагрузку. Упругими деформациями плиты прене¬ брегают.Плита в форме правильно¬ го многоугольника, шарнирно опертая по периметру и нагру¬ женная сосредоточенной силой ■в центре. Схема разрушения такой плиты показана на рис. 18.45. В момент предельного равновесия плита пред¬ ставляется в форме опрокинутой пирамиды с вершиной под силой Р, ребра ее образованы пластическими шар¬ нирами.Приравнивая работу силы РПр (кинематический метод) на перемещении, равном единице, работе пре¬ дельных моментов (внутренние силы), получают сле¬ дующую величину предельной силы [12]:Рпр = 2тпл k tg — .	(18.33)kгде k — число сторон многоугольника. Предельные зна¬ чения Рпр см. табл. 18.4.Для прямоугольной плиты (aXb), загруженной в центре,а Ъ^пр — 4mnЧ—а(18.34)Шарнирно опертая плита с криволинейным конту¬ ром, нагруженная сосредоточенной силой Уравнение контура в полярных координатах с полюсом в точке приложения силы Р: г=г (0 ).В этом случае2кРпр — тпл	г	jdb :2n(г»+г'7/.Rdb .(18.35)Здесь г' и г" — соответственно первая и вторая про¬ изводная г по б;R — радиус кривизны контура.Интеграл формулы (18.35) вычисляется по частям отдельно для участков контура, имеющих кривизну разных знаков, присваивая каждой части знак плюс. Для плит, опертых по замкнутому контуру:2к*пр= т„„ | |l+ dfl .	(18.36)(18.37)(18.38)Контур плиты эллиптический.а)	Сила приложена в одном из фокусов:2тг атплРПР= ьгде а и b — полуоси эллипса (а>Ь).б)	Сила приложена в центре:	vа2 + Ъ2 Рпр — ^пл , аЬКруглая плита радиусом R. Сила приложена на рас¬ стоянии а от центра:RРпр = 2т.т„л г	 .	(18.39)у R2—яФормула (18.37) применима при эксцентрицитете эллипса е <0,707, формула (18.38) — при е <0,91, а формула (18.39) —при а <0,70# (см. [12]).18.4.2.	Плиты, шарнирно опертые не по периметру или только по его части, под сосредоточенной нагрузкойКрая плиты свешиваются за линию опоры:2%гпр— m пл ~у~ ^1+2 L-- -у- j 48 . (18.40)
18.4. РАСЧЕТ ПЛИТ ПО МЕТОДУ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ849Таблица 18.4Предельные значения сосредоточенной нагрузки для многоугольных плит3456789- во (круг)Рпр =10,39 тпл8’° %л7>25 тпл6’93 тпл6’75 тпл6.62 тпл6’58 тпл6,28 тплЗдесь г=г(6)—уравнение замкнутой линии опира¬ ния;р = р(0) — уравнение периметра плиты. Квадратная плита (2аХ2а), опертая по окружности радиусом г и нагруженная в центре:а	Згс	а,Рпр = 8тпл—In tg—= 7,05 — тпл . (18.41) г	8	гКруглая плита, шарнирно опертая по части пери¬ метра и нагруженная сосредоточенной силой Р в центре:Рпр = 2/япл (я — Р + SinР) , (18.42)где Р — половина центрального угла, соответствую- щего неопертой (свободной) части периметра.Пр-игс	/ гс .-\Р=— РпР = 2mT hlj •(18.42а)При Р> — возможна еще вторая форма разруше¬ ния (плита отламывается как консоль), которой соот¬ ветствуетРпр = 2/Япл tg? .	(18.43)Это значение РПр при Р>116° меньше, чем РПр по(18.42).18.4.3.	Плиты со свободным (односторонним) опиранием и сосредоточенной нагрузкойЧасти опорного контура плиты, стремящиеся под¬ няться, рассматриваются как свободный край. Грани¬ цы (угол), определяющие участки свободного края, находятся из условия минимума Рпр.Плита в виде любого правильного многоугольника с углами, способными приподниматься, имеет предель¬ ную сосредоточенную нагрузку (в центре), равную предельной нагрузке плиты с неприподнимающимися углами также в виде правильного многоугольника, но с удвоенным числом сторон (см. [12]).18.4.4.	Плиты, защемленные по контуру, с сосредоточенной силойВ плитах, защемленных по контуру, кроме радиаль¬ ных пластических шарниров должны образоваться кра¬ евые шарниры по контуру, ограничивающему область разрушения. Краевой шарнир может как совпадать с контуром защемления, так и быть внутри его. Геометрическая изме¬ няемость плиты достигается при образовании одного замкнутого краевого пластического шарнира.Очертание кривой’ краевого шарнира г(в) находят из условия минимума РПр- В случае замкну¬ того краевого шарнира он может быть только окружностью (рис.Рис. 18.46	18.46), очерченной вокруг точки54	За к. 2098приложения силы и лежащей целиком внутри заданного контура плиты.Для любой плиты, защемленной по контуру:РПР = 4гстпл = 12,56тп .	(18.44)Эта величина не может быть других видов опирания плит-превышена и для18.4.5.	Плиты, нагруженные сосредоточенной силой вблизи шарнирно опертого краяКраевой пластический шарнир, очерченный по кру¬ гу вокруг точки приложения силы Р, выходит на край плиты (рис. 18.47). В этом случаеРпр = (2 + Згс) тпл = 11,42 тпл . (18.45)IПри этом половина угла сектора разрушения, выходя¬ щего на шарнирно опертый край пластины, <р =45°. Для бесконечно длинной плиты, нагруженной со-2у>=90°Рис. 18.47средоточенной силой посередине между ее шарнирно опертыми параллельными сторонами:Лф = (2я + 4) тпл = 10,28 тпа . (18.46)Формула (18.46) применима и для плиты, опертой по двум непараллельным прямым, с углом между ними о)<90°, на биссектрисе которого расположена сила Р.Для плиты в виде равностороннего треугольникаРпр = (6 + 1C) тпл = 9,14 т„(18.47)Возможность образования более или менее полного кругового шарнира текучести следует иметь в виду всегда, когда угол при какой-либо вершине перимет¬ ра плиты меньше 90° или углы наклона касательных к контуру плиты к радиусу-вектору, проведенному из точки приложения силы к точке касания, становятся больше 135°.18.4.6.	Плиты под равномерно распределенной нагрузкойПри равномерно распределенной нагрузке р форма поверхности шарнирно опертой плиты в предельном состоянии принимается в виде «конверта» (рис. 18.48) [6].
850РАЗДЕЛ 18. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИПредельная величина нагрузки получается из ус¬ ловия равенства друг другу работы внешних сил на единичном перемещении плиты в стадии разрушения и работы предельных погонных моментов т^р и т„р . воспринимаемых плитой в направлениях, параллель¬ ных сторонам а и Ъ.Рис. 18.48При наиболее невыгодном направлении трещин «конверта», когда k= f tg a, 7 = — j и сумма мо¬ ментов ^пр+^пр минимальная, предельные моментысоставят [6]Р&2 о т“ = —— 72 =пр 24 7 <=^-(3-2 f) = -Соотношение £=—г^ в этом случае равно 6=24д2 ’рЬ2(Зд2 — 26^) 24а2пр(18.48)Г3—2*у2При другом значении S невыгодное положение трещин характеризуется величиной k, определяемой из формулы		*=	+ — 7?,	(18.49)и предельные моменты составляют24/72= 5 [(3 + 27Ч) - 27]/^2 + зе ] ;= ~£~[(3 + 2^4) - 27 V T2Sa -Ь 3£ ](18.50)В плитах, защемленных по всему контуру, пластиче¬ ские цилиндрические шарниры должны образоваться еще и вдоль всех защемленных сторон. Поэтому в ра¬ боту внутренних сил надлежит вводить работу пре¬ дельных отрицательных моментов вдоль защемленных сторон.Предельные моменты в этом случае определяются по формулам [6]РЬ2 tk (3-?&).,24 k + Ич 'fpb2 к( 3 — 7&)24 к + Ь{<Р =пр •(18.51)Здесьи Кр'% = <Р + уК +«') =тпр + |К+ т1) ;тд» та 11 ть> ть — предельные отрицательные по¬ гонные моменты на защемленных сторонах плиты.Соотношения между опорными и пролетными мо¬ ментами для практических расчетов можно принимать как для неразрезных балочных плит, рассчитываемыхпо методу предельного равновесия. Отношение с мо¬ жет быть взято из таблиц для опертых по контуру плит, рассчитанных по упругой стадии.Круглая плита радиусом R, защемленная по всему контуру, или полигональная, описанная вокруг круга, может быть с некоторым избытком рассчитана в пред¬ положении конической (пирамидальной) схемы разру¬ шения по формуле [12]тпр = Р~--	(18.52)Плиты, неразрезные в обоих направлениях или монолитно связанные с мощными балками, обладают до¬ полнительным запасом прочности в связи с возникно¬ вением распора. Это обстоятельство учитывают, по¬ вышая величины предельных моментов на 10%.18.5.	УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ МАТЕРИАЛОВ ПРИ РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ18.5.1.	Общие понятия о ползучести и релаксации1Ползучестью называется сравнительно медленный, но непрерывный рост во времени необратимой (пластиче¬ ской) деформации в материале при постоянном напряже¬ нии. С увеличением послед¬ него скорость ползучести возрастает.Начиная с некоторого, характерного для данного материала напряжения, пол¬ зучесть убыстряется и пе-Рис. 18.49реходит в пластическое те¬ чение.Характерная кривая пол¬ зучести во времени представ¬ лена на рис. 18.49. Началь¬ ная деформация —упругая, не зависящая практически от времени, изображается отрезком ОА на оси орди¬ нат. Криволинейный участок АВ характеризует период неустановившейся ползучести, во время которой скорость dznползучести vn = —— = tga замедляется. Участок ВС —atпрямолинейный или близкий к прямолинейному, для кото¬ рого можно принимать vn = const, называется периодом установившейся ползучести. Он завершается резким убыстрением роста деформаций (участок CD) и при¬ водит к разрушению нагруженного элемента.Полная величина деформации материала е опреде¬ ляется суммой упругой деформации еуп и деформации ползучести еп, к которым часто добавляется еще де¬ формация упругого последействия еПд :е = еуп "Ь еп епд •	(18.53)Под деформацией упругого последействия подразу¬ мевается обратимая деформация, возникающая вслед за приложением нагрузки и стремящаяся с течением времени к равновесному значению.Если деформация е в нагруженном элементе не сможет вследствие закрепления элемента изменять свою величину (e=const), то развитие ползучести в таком элементе будет происходить за счет уменьшения упругой деформации с сохранением постоянства суммы•	обоих видов деформаций:еп + еуп = е = const,	(18.54)1 См. также 12.4.
18.5. УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ МАТЕРИАЛОВ ПРИ РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИИ851или, что то же самое, с сохранением постоянства сум¬ мы скоростей изменения этих деформаций:dt+ 'упdtdtdt(18.55)Вместе с уменьшением упругой деформации в эле¬ менте снижается напряжение — происходит релаксация напряжения.Общий характер процесса релаксации во времени показан на ряс. 13.50.Ограниченная релаксация напряжений в закреплен¬ ном элементе может вызываться деформацией упругогопоследействия.18.5.2. Ползучесть и релаксация в железобетонных конструкциях1Общая картина деформа¬ ций бетона под постоянной нагрузкой характеризуется кривыми (на рис. 18.51), позволяющими составить представление о порядке ве¬ личин этих деформаций и периоде интенсивного их раз¬ вития.Кривые деформаций бетона при длительном загру- жении включают деформации ползучести и деформации упругого последействия, составляющие примерно Vю полной деформации, образовавшейся после нагру¬ жения образца.I w&OJ0I от|0.06 Чо,о« | 0,02, * *8Щ кг/сп2\J_Jlo-!—’*г~€Цкг/см* '_i-о—ог——^ k22 кг/сп* и! 1 1W1! 1200 400 600 600 1000 1200 1Ш Врепя ползучести 6 днялРис. 18.51С увеличением нагрузки ползучесть бетона возра¬ стает. Она определяется в основном свойствами цемент¬ ного раствора и зависит от возраста бетона; по мере его твердения она уменьшается. Известную роль в раз¬ витии ползучести играют инертные составляющие бето¬ на, в частности их прочность1.Ползучесть железобетонных элементов в 1,5 — 2 раза меньше, чем бетонных. В результате ползучести бетона происходит перераспределение усилий между бетоном и арматурой; усилия в последней при этом возрастают. Однако при расчете железобетонных эле¬ ментов по методу предельного равновесия это явление не учитывается.Учет ползучести бетона необходим при расчете предварительно напряженных железобетонных конст¬ рукций в связи с вызываемой ею релаксацией предва¬ рительного напржжения в арматуре. Этот учет произ¬ водят приближенно, задаваясь величиной укорочения1 См. также «Справочник проектировщика». Сборные желе¬ зобетонные конструкции, гл. I, IV.54*арматуры еа при предварительном натяжении ее до бетонирования в зависимости от предварительного напряжения бетона ag, по формуле £а =0,000002 Соответствующее снижение напряжения в арматуре со¬ ставит с:а =£а еа =4,2 <?б - Совместно со сниженнем от усадки бетона оно не должно превысить для твер¬ дой стали 1 500 кг/см2. Если натяжение производится после отвердения бетона, коэффициент ползучести по¬ нижают на 30%.18.5.3. Ползучесть в деревянных конструкцияхДеформации, развивающиеся в древесине с течени¬ ем времени при постоянном напряжении, не превыша¬ ющем 0,5—0,6 предела прочности, по своей природе обратимы. Поэтому они должны быть отнесены к де¬ формации упругого последействия. Общая картина воз-Рис. 18.52никновения последних после нагружения и постепен¬ ного исчезновения их после снятия нагрузки характери¬ зуется кривыми на рис. 18.52.К категории деформаций ползучести следует от¬ нести только деформации, возникающие дополнительно, если древесина находится в условиях переменной влажности и температуры. Такого рода деформации не¬ обратимы, по крайней мере в постоянных условиях.Если постоянное напряжение превышает 0,5—0,6 предела прочности, то в древесине с течением времени развиваются деформации пластического течения, необ¬ ратимые в постоянных температурно-влажностных усло¬ виях и приводящие нагруженный элемент к разру¬ шению через более или менее значительный период времени.Развитие деформации древесины во времени под постоянной нагрузкой на начальной стадии ее дефор¬ мирования следует закону [2]е = е0 + д1п(1 + bt) .	(18.56)где е0 — начальные деформации; а и Ь — параметры, определяемые из опыта.Изображая кривую деформаций в древесине при постоянном напряжении в логарифмическом масштабе времени, получаем две характерные картины [2]: одну для напряжений, меньших 0,5—0,6 предела прочности (рис. 18.53), и другую для напряжений, больших ука¬ занной величины (рис. 18.54).
852РАЗДЕЛ 18. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИВ первом случае наклонный прямолинейный уча¬ сток, начинающийся через сравнительно небольшой от¬ резок времени после момента нагружения, переходит после довольно резкого перелома в горизонтальную прямую равновесного состояния. Во втором — наклон¬ ный участок претерпевает перелом в обратную сторону и образует второй прямолинейный участок большей скорости роста деформаций; он завершается лавинным нарастанием деформаций и разрушением.Чтобы обеспечить деревянную конструкцию от чрез¬ мерных деформаций под действием постоянной нагруз¬ ки и последующего разрушения при напряжениях, зна¬ чительно меньших предела прочности, определяемого из машинных испытаний, при назначении расчетных напряжений исходят из предела длительной прочностиг з * 5 6б МП fО,в02.0,60715	Ю \Z0. зр Рис. 18.53170 гмгсута*€ мм0.7f0,610,5jокftо.зУiiУ*i№''1/йоо_/1<j)ю го зо toипЛ су толРис. 18.54древесины. Под последним подразумевается максималь¬ ное напряжение, не вызывающее разрушения древеси¬ ны, сколь бы долго оно не прилагалось. При этом на¬ пряжении и п>и' всех меньших напряжениях в древе¬ сине в условиях обычных постоянных температур возникают, помимо упругих, только деформации упру¬ гого последействия.Величина деформаций древесины с учетом упругого последействия оценивается модулем, вдвое меньшим, чем модуль упругости начальной упругой деформации.Предел длительной прочности древесины составляет около половины предела прочности, получаемого при стандартных испытаниях ее на прессе.18.5.4.	Ползучесть и релаксация в металлических конструкцияхНаиболее ярко ползучесть металлов проявляется при высокой температуре; в некоторых из них (сви- . нец, латунь, бронза, алюминий и другие цветные метал¬лы и их сплавы) она имеет место и при комнатной температуре.Явления упругого последействия сказываются в металлах весьма незначительно; почти вся деформация, развивающаяся в них с течением времени под постоян¬ ной нагрузкой, представляет необратимую деформацию ползучести.Интенсивность развития ползучести металлов в сильной степени зависит от температуры и напряжения. Влияние обоих факторов проявляется сходным образом. Повышение напряжения и температуры увеличивает скорость ползучести, а кривые деформации в том и другом случае изменяют свой вид, как показано на рис. 18.55.В настоящее время еще нет достаточно точной и об¬ щепринятой формулы, устанавливающей функциональ¬ ную зависимость между напряжением, температурой, временем и деформацией на первой стадии (неустано- вившейся) ползучести. Для второй стадии (установив¬ шейся) ползучести наиболее проверенными эксперимен¬ тально являются формулыVn = k&	(18.57)Рп = CL sh 	b(18.58)Здесь k, п, а и Ъ — коэффициенты, зависящие от свойств материала и от температуры при испытании.Таблица 18.5Коэффициенты k и п к формулам (18.57) и (18.58)МатериалНапряжение в кг/см*Темпе¬ ратура Г в град.п\ кг ) часСталь 0,3%С. . . . .4006,91,5-10—31• 0,39% С (кова¬5,4 .10—36ная) 	—4008,6Сталь 0,4% С ....200—4905405.91.2 10—21. 3,5% N1 . . . .245—46054С7,26 -10—250.4% Мо . . .—4503,24,М0—22. 12% Сг . . . .	4554,44,9-10—2319% Ni, 6% Сг,1.8-10—481% Si	1 340—1 39054013,1Сталь 8% N1, 18% Сг,2-10—520,5%Si	1 060—1 44054014,8Сталь 2% N1, 0.8% Сг,1,210—170,4% Мо . . .—4603Сталь 0,3% С,1,4% Мп	4504,78,6-10 22Чугун 12% Сг. 3%W,0,4% Мп	—5501,99,7-10—1556—1074054,2-10“14
18.5. УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ МАТЕРИАЛОВ ПРИ РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ853Более точна из этих двух формул и теоретически обоснована формула (18.58). Эмпирическая формула (18.57) удобнее для подсчетов.Значения коэффициентов k и п приведены в табл. 18.5.18.5.5. Расчет на ползучесть и релаксацию металлических конструкцийРасчет на ползучесть требуется главным образом для деталей конструкций и механизмов, работающих в условиях высоких температур. Он должен предотвра¬ тить возникновение в этих деталях деформаций, вызы¬вающих нарушение нормальной работы конструкции или механизма, в течение срока службы детали, а так¬ же возможное разрушение детали вследствие ползуче¬ сти, т. е. ограничить развитие деформаций ползучести пределами первых ее двух стадий.Расчет на ползучесть может быть произведен одним из двух способов. Первый способ — расчет по предель¬ ной суммарной деформации ползучести. С учетом (18.57) принимают следующее расчетное уравнение:епр,	(18.59)где е0 = еуп + еп, т. е. сумма упругой деформации детали и деформации неустановившейся пол¬ зучести; tA — срок службы детали;епр — наибольшая деформация, допускаемая за срок службы детали.В связи с тем что кривая неустановившейся ползу¬ чести точно не может быть рассчитана, упрощают об¬ щую кривую ползучести (рис. 18.56), продолжая пря¬ мую участка установившейся ползучести до оси ординат. Тогда £о определяется отрезком О А' оси ординат.Расчетная формула в напряжениях£прktR(18.60)При расчете по этой формуле следует сначала най¬ ти спр, положив £о=0, а затем повторить расчет, введя £ о, соответствующее найденному спр при за¬ данном модуле упругости Ет , или просто пренебрегая деформацией неустановившейся ползучести.Второй способ — расчет по предельной минимальной или расчетной скорости опр — представляет видоизме¬ нение первого способа для случая, когда начальной де¬ формацией можно пренебречь.Расчетная формула в напряжениях: о < опр :-VУпрk(18.61)Значение 0пр задается соответствующими техниче¬ скими условиями и нормами для данного вида деталей.Расчет на ползучесть включает проверку на проч¬ ность с учетом длительного действия нагрузки согласно условию*Btkt(18.62)ЗдесьzBt — предел длительной прочности, т. е. напряжение, которое при данной постоянной темпера¬ туре вызывает разрушение материала в конце заданно¬ го промежутка времени;kt — коэффициент запаса длительной прочности, приблизительно равный обычному коэффициенту запаса прочности.Кручение круглого вала. Для упрощения принима¬ ют v » vn=kxny т. е. пренебрегают скоростью уп¬ ругой деформации и стадией неустановившейся ползу¬ чести. Тогда касательное напряжение в точке попереч¬ ного сечения, отстоящей от центра на расстояние р, равно1Мк п т= 		 р/(18.63)рпЗдесь Мк — крутящий момент?2 nti -3/L+-i,1рп =	r п — полярный момент инерциикруга при ползучести; г — радиус сечения вала.Относительный угол закручивания вала(18.64)1р	\1рпгде t — время.Изгиб в плоскости симметрии сечения. При до¬ пущениях, аналогичных допущениям в предыдущей за¬ даче, нормальное напряжение в точке на расстоянии у от нейтральной осимIn(18.65)где /п— пластический момент инерции при ползучести. Для прямоугольника bxh2л+1,	L_	(18'66)*«- П±1 2п + 1Для двутаврового сечения (высота h, ширина полки b, толщина стенки bь толщина полки t)I п =2л+12м 4-1	2п+Пbh П —(b—b\)(h—2t) п J •(18.67)•Основное дифференциальное уравнение оси балкиd* dx2(lbМпизогнутой(18.68)
854РАЗДЕЛ 18. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИИнтегрирование (18.68) по х дважды с учетом гра-аУничных условий дает 	 .dtС помощью коэффициента Ф (см. табл. 18.6) вычис- dy ( dy \	kляется шах	~	t и далее однократ-dt \ dt ]л jnным интегрированием по t можно найти прогиб у в функции времени t.Расчет релаксации в металлических элементах. Пе¬ риодом неустановившейся ползучести пренебре¬ гают.Тогда основное дифференциальное уравнение релакса¬ ции напряжения получает вид—	+ £ТЬП = 0.	(18.69)dtЕго интегрирование по t приводит к формуле°оп—1/(18.70)где с0=е0Е — начальное напряжение;е0= const — начальная, остающаяся и в дальнейшем постоянной, деформация.Таблица величин ф в сечении (А) с наибольшим прогибомТаблица 18.6ЛИТЕРАТУРА1.	Беляев Н. М., Сопротивление материалов, Гостехиздат, 19562.	Быковский В. Н., Сопротивление материалов во вре¬ мени с учетом статистических факторов, Госстройиздат, 1958.3	Гвоздев А. А., Расчет несущей способности конструк¬ ций по методу предельного равновесия, Стройиздат, 1949.4.	Гольденблат И И., Введение в теорию ползучести строительных материалов, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1952.5	И л ь ю ш и н А. В., Пластичность, Гостехиздат, 1948.6.	К а л м а н о к А. С., К расчету железобетонных плит по методу предельного равновесия, сборник «Исследования по тео¬ рии сооружений», вып. VII, Госстройиздат, 1957.7.	Качанов Л. М., Некоторые вопросы теории ползуче¬ сти, Гостехиздат, 1949.8	Кудрявцев И. Н., Косой изгиб в области пластиче¬ ских деформаций, изд. ВИА имени В. В. Куйбышева, 1940.9.	Малинин Н. П., Основы расчетов на ползучесть, Маш¬ гиз, 1948.10.	Н а д а и А., Пластичность, ОНТ НКТП, 1936.11.	Работнов Ю. Н., Некоторые вопросы теории ползу¬ чести Вестник МГУ № 10, 1948.12.	Ржаиицы н А. Р., Расчет сооружений с учетом пласти¬ ческих свойств материалов, Гос. изд лит. по стр. и арх., 1954.13.	Соколовский В. В., Теория пластичности, Гостех¬ издат, 1950.14.	Стрельбицкая А. И., Пластические моменты сопро¬ тивления для двутавров и швеллеров при косом изгибе. Инфор¬ мационное письмо № 20 Института строительно* механики АН УССР, 1957.15.	Стрельбицкая А. И., Исследование прочности тон¬ костенных стержней за пределом упругости, Изд. АН УССР, 1958.16.	В а к е г G. F., Н о г п е М. R., Неушап J., The steel skeleton, vol II, Plastic Behaviour and Design, Cambridge, 1186.17.	Baker A. L. L., The Ultimate—Load Theory, applied to the design of reinforced and prestressed concrete frames, London, 1956.18.	Lee S. L. and Ballesteros P., Ultimate strength of short struts, Journal of the structural division, p. 1358, Septemb. 1957.19.	W a s 11 u n d G. and Be rgitrim S. G., Buckling of com¬ pressed steel Members, Acta Polytechnika, vol. 1, M 10,Goteborg, 1949.20.	Jaeger Th., Grundzuge der Tragberechnung, Bauingenieur, 1956, H. 8, S. 273; см. также: Jaeger, Th., Tragfahigkeitsforschung und Verfahren der Tragberechnung auf dem Geblete der Stabwerke aus Baustahi, Bauplanung—bautechnik, H. 7, 8, 9, 1956.
РАЗДЕЛ 19СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ19.1.	СЫПУЧАЯ СРЕДА И СЫПУЧЕЕ ТЕЛО1Под сыпучей средой понимается сплошная среда, обладающая следующими статическими свойствами: среда не сопротивляется растяжению; нормаль¬ ные напряжения в ней могут быть только сжимаю¬ щими;касательные напряжения в среде не превосходят усилий внутреннего трения, зависящих от коэффициен¬ та внутреннего трения среды;до тех пор пока касательные напряжения мень¬ ше усилий внутреннего трения, среда не деформи¬ руется;деформации среды возможны только тогда, когда касательные напряжения достигают величины усилий внутреннего трения; в этсм состоянии среда претерпе¬ вает только деформации сдвига, ее объемные дефор¬ мации остаются равными нулю.Сыпучая среда является расчетной моделью сыпу¬ чего тела.По своим статическим свойствам сыпучие тела зна¬ чительно отличаются от сыпучей среды, охарактеризо¬ ванной выше. Эти отличия сводятся к следующему: все сыпучие тела сжимаемы, поскольку частицы их не абсолютно тверды;деформации сдвига сыпучих тел могут сопровож¬ даться значительными объемными деформациями с из¬ менением пористости; одновременно с деформациями сыпучего тела изменяется его коэффициент внутреннего трения;в сыпучих телах благодаря сцеплению могут разви¬ ваться значительные растягивающие усилия; величины сцепления и сопротивления растяжению зависят от ме¬ ханического состава и влажности сыпучего тела.Сыпучая среда — довольно грубая модель сыпучего тела. Поэтому для практических целей целесообразно применять приближенные методы расчета.В ряде случаев свойства сыпучего тела, не учиты¬ ваемые расчетной моделью, могут играть большую роль, и расхождения между результатами, полученны¬ ми с помощью статики сыпучей среды, и действитель¬ ностью оказываются значительными. Поэтому, напри¬ мер, при расчете силосов вводятся поправочные коэф¬ фициенты к результатам расчета (см. 19.11).При определении горного давления сыпучего тела часто вовсе отказываются от сыпучей среды как от рас¬ четной модели.В этом разделе излагаются решения методами ста¬ тики сыпучей среды следующих задач о взаимодействии сыпучих тел с жесткими, теоретически абсолютно твер¬ дыми конструкциями:	•а)	определение активного давления (распора) сы¬ пучего тела на массивную подпорную стенку, разви¬ вающегося при сдвиге ее в сторону от сыпучего тела;1 См. также 20.1.6.б)	определение пассивного давления (отпора) сыпучего тела, развивающегося при надвигании на него массива;в)	расчет несущей способности твердого массива, воспринимающего горизонтальную нагрузку за счет его защемления в сыпучем теле;г)	определение давления сыпучего тела на стенки и воронки бункеров и силосов;д)	проверка несущей способности сыпучего основа¬ ния по устойчивости.19.2.	ХАРАКТЕРИСТИКИ СЫПУЧИХ ТЕЛСыпучее тело характеризуется двумя величинами: объемным весом 7 и углом внутреннего трения <р.При решении задач необходимо также знать коэф¬ фициенты или углы трения <fo сыпучего тела по по¬ верхностям ограждающих его конструкций.Таблице 19.1Нормативные характеристики различных сыпучих тел35 *о-и о .(О Ь К нКоэффициент трения /Сыпучие телаS^^ У К О О)О ® ®Угол ] ренне трени в rpajпо бе¬ тонупосталиАпатитовый концентрат .1.9350.60,35Гипс кусковой крупный с раз¬ мерами зерен более 100 мм1,45300,450,3Гипс кусковой мелкий с раз¬ мерами зерен до 100 мм .1,35400,550.35Глинозем 	1.2300,50,3Зерно (пшеница)	0,8250,40.37Известь обожженная крупная с размерами зерен более 100 мм 	1.1300,450,3Известь обожженная мелкая с размерами зерен до 100 мм0,*35в,550,36Известь гашеная в порошке .0,7350,550.85Карналит		0,8350,50.3Кокс		0,6450.14• ,47Магнезитовый порошок с раз¬ мерами зерен до 10 мм .1.8330,530,35Нефелиновый концентрат . . .1,535• .50,3Песок сухой 	1.6350.70,5Песок влажный ... ....1.8400,650,4Песок насыщенный водой . .2250,450,35Сода кальцинированная ....0,6400,50,3Уголь антрацит 	0,9300,50,3Уголь битуминозный несорти¬ рованный 	0,9400,60,3Уголь мелкий, орешковый и угли, . применяемые в коксохимическом произ¬ водстве 	0.8400,650,35Уголь бурый		0,7450.70,361,6400,5.0,31.6300,58О.з
856РАЗДЕЛ 19. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫВ табл. 19.1 приведены нормативные характеристики различных сыпучих тел. согласно «Техническим усло¬ виям проектирования силосов для сыпучих тел» (ТУ 124-56). Эти характеристики можно принимать также при расчете бункеров.В табл. 19.2 приведены характеристики некоторых сыпучих тел по данным литературы, которые также мо¬ гут быть использованы при расчете бункеров и сило¬ сов.В табл. 19.3 даны нормативные характеристики грунтов, рекомендуемые для расчета подпорных сте¬ нок [8].Величины углов внутреннего трения, применяемые для расчетов несущей способности оснований по устой¬ чивости, приведены в разделе 20.Таблица 19.2Характеристики сыпучих телОбъемный вес 7 в т/л8Угол трения ср0 в град*Сыпучие телаУгол Bt реннеп трения в град.посталиподеревупо бе¬ тонуАгломерат желез¬45ной руды . . .1,7 —2———Бобы		0,6 —0,83222—2515-2724Гречиха ... Земля формовоч¬0,6 —0,73517—2720—30—ная . ....1,85—1,330—3625—35——Зола ....0,4 —0,740—5035—40——Известняк дробле¬ный 	Кукуруза неочи¬1,4 —1,735—5529—4535—щенная . . .0,7 —0,7535—402017—1923Льняное семя . .0,65—0/75251917—2222Мел дробленый .1,439———Мука ржаная0,4 —0,5535—5026—33——Мука пшеничная0,45—0,6530—45—		Овес . ...0/4 —0,527—3522—3020- 3825Опилки древесные0,15—0,330—5521-Г-40——Просо 	0,65-0,8522—251718—Рожь	0,65—0,825—3518—3020—3530Руда железная .2,1 —2,435—3730—40		Сахар .0,7 —0,95040—45——Соль поваренная0,7 —1,330—5026——Торф	0,3 —0,745—5027—3719-39—Шлак		0.6 —130—5022—5017—Ячмень 	0,43—0,7525—4520—2518—2324Таблица 19.3Нормативные характеристики грунтов, рекомендуемые для расчета подпорных стенок1ГрунтОбъемный вес 7 в от/л3Угол внутреннего трения <р в град.Песок сухой 	1,6—1,6530—35„ влажный 	1,840. водонасыщенный . . .225Засыпка из сухой глины . . .1.5—1,640—45Засыпка из водонасыщениойглины 	1,920—25Гравий 	1,8—1,8535—40Галька ... 	1.830Щебень	1,84519.3.	ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫСтатика сыпучей среды есть статика ее предельного равновесия.На рис. 19.1 изображен плоский элемент сыпучей среды. Сжимающие напряжения считаются положи¬ тельными. Касательное напряжение по грани элемента положительно, если внешняя нормаль совпадает с на¬ правлением координатной оси, а само оно противопо¬ ложно направлению координатной оси.i г*Рис. 19.1Главные нормальные напряжения в элементе опре¬ деляются по формулеах + агY(ах — °г)2(19.1)1 См. та^же 20.1.3, габл. 20.5.Углы наклона нормалей главных площадок к оси х, отсчитываемые против часовой стрелки, определя¬ ются по формулеtg 2а = — .	(19.2)адг-°2Плоское напряженное состояние в точке сы¬ пучей среды изображается с помощью круга Мора
19.4. ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ857(рис. 19.2) *. В состоянии предельного равновесия воз¬ можны деформации сдвига. Они происходят в сыпучей среде только при условии, что по некоторым площадкамтт = ctgср или — = tgcp ,	(19.3)огде <р— угол внутреннего трения.Отсюда следует, что прямые, проведенные из О под углом <р к оси о, должны касаться круга в точ¬ ках D и D'. Тогда по площадкам с нормалями, накло-90° + ср —(90° + г) иенными к а1( под углами			 и 			 :X	ED_ _ ЕР'а = ОЕ QEЕсли эти прямые не касаются круга, сдвига нет, и, следовательно, равновесие не является предельным. Указанные прямые не могут пересекать круг, так как тогда существуют площадки, по которым '£>atg<p, что невозможно.В состоянии предельного равновесия отношение главных нормальных напряжений равноа« 1 — simo	/	о \—	= /, . '■ = tg* 45° - -Н (19.4) aj 1 + sin<p	\	2 /иХ~'Ф’ + т}- (Ж5)Непосредственно из круга Мора видно, что в каж¬ дой точке имеются две плошадки, на которых соблю¬ даются условия (19.3). Эти площадки дают направле¬ ние линий скольжения в точке сыпучего тела. Взаим¬ ное расположение направлений главных напряжений в точке сыпучего тела и двух линий скольжения, прохо¬ дящих через эту точку, изображено на рис. 19.3.Переходя от элемента к среде, напряжения следует рассматривать как функции координат точки. В зоне сыпучей среды, где имеет место состояние предельного равновесия, в условиях плоской задачи возникают два семейства кривых скольжения, наклоненные под угломСО	Ф+ (45°— 7J-) и— (45°—"2“) к траекториям большего1 См. 3.1.7.главного нормального напряжения и пересекающихся друг с другом под углом 90°—ср.Приведенные зависимости распространяются и на тот случай, когда касательные и нормальные напряже¬ ния в состоянии предельного равновесия связаны ли*Рис. 19.4нейной зависимостью в соответствии с законом сухого трения Кулона (см. 20.1.3, рис. 20.1):Т = С tgcp + С .Здесь с — величина сцепления.Это выражение можно преобразовать:Т = с' tgcp ,где а'— так называемое приведенное нормальное на¬ пряжение, равное а' = а -\-с ctg ср.Второе слагаемое в правой части этой формулы мо¬ жет быть названо давлением связности. Оно не зави¬ сит от положения площадки в данной точке.Видоизмененный круг Мора изображен на рис. 19.4.С помощью круга Мора можно установить, что формулы (19.4) и (19.5) сохраняются, но вместо fli и и2 в них следует подставить соответственно (ai +с ctg ср) и (<*2+с ctg ср). Положение площадок сдвига по отношению к направлениям главных нор¬ мальных напряжений не изменяется.19.4.	ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИДля решения задач о плоском предельном равнове¬ сии сыпучей среды разработаны точные и приближен¬ ные методы.Точная теория предельного равновесия в простран¬ стве разработана только для случая осевой симметрии. В общем случае охарактеризованные в 19.1 свойства сыпучей среды оказываются недостаточными для раз¬ работки теории ее предельного равновесия в простран¬ стве.Для плоского элемента сыпучей среды могут быть написаны три совместных уравнения, связывающих между собой три неизвестные функции координат — напряжения ®r, °z и х • Следовательно, плоская за¬ дача о предельном равновесии сыпучей среды ста¬ тически определима.
?358	РАЗДЕЛ 19. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫПервые два уравнения — известные дифференциаль¬ ные уравнения равновесия (см. 11.2.3).дах дч= 0;дхда,дгдт~~ 4" = 7 ■ дг Ох(19.6))Третье уравнение можно получить, комбинируя вы¬ ражение (19.4) для отношения главных нормальных напряжений в предельном равновесии с выражением(19.1). Получается уравнение Ренкина [9](°ДГ — °г)2 + 4т2 = (3Х + «г)а sin2? . (19.7)При учете сцепления уравнение Ренкина несколько изменяется:(о* — °г)2 + 4т2 = (ах + ог + 2с ctg?)2 sin2? . (19.7')Точный метод решения системы трех уравнений (19.6) и (19.7) или (19.7') разработан В. В. Соколов¬ ским [9]. Им даны решения ряда задач, в частности: о несущей способности основания под ’нагрузкой, об активном и пассивном давлениях на подпорную стен¬ ку, о давлении сыпучего тела, ограниченного парал-. лельными стенами. Для некоторых частных случаев получены замкнутые решения. В других случаях ре¬ шения отыскиваются численными методами. С. С. Го- лушкевич [3] предложил для этих целей графические приемы.Точные методы требуют большого количества рас¬ четных операций даже при решении относительно про¬ стых по исходным условиям задач, что, учитывая грубость самой расчетной модели, ограничивает сферу их практического применения. Вместе с тем точные методы позволяют установить ряд общих для разных задач особенностей предельного равновесия сыпучей среды, удовлетворительно подтверждающихся экспери¬ ментом. При местном воздействии на сыпучую среду в состояние предельного равновесия переходит только ограниченная область. Граница между этой областью и остальной частью сыпучей среды, как правило, кри¬ волинейна. В области предельного равновесия возни¬ кают два семейства линий скольжения. Линии сколь¬ жения и траектории главных нормальных напряжений, как правило, также криволинейны. Перечисленные осо¬ бенности хорошо иллюстрируются на примере под¬ порной стенки, сдвигающейся влево по отношению к поддерживаемой ею сыпучей среде (рис. 19.5). В со¬ стояние предельного равновесия переходит только зона ABC, граница ВС — криволинейна, оба семейства кривых скольжения также криволинейны.Приближенные методы исходят из упрощающих допущений об очертании линий скольжения. Большей частью предполагается, что линии скольжения являются прямыми. Для некоторых задач удовлетворительные результаты получаются комбинированием прямых и дуг окружности или логарифмической спирали.Приближенный метод, предложенный Ренкиным ис¬ ходит из предположения, что в состояние предельного равновесия переходит сыпучая среда и что полное на¬ пряжение по вертикальным площадкам параллельно верхней прямолинейной границе среды, а полное на¬ пряжение по площадкам, параллельным этой границе вертикально и равно тгсоэр, где 7 —объемныйвес сыпучей среды (рис. 19.6). Это предположение эквивалентно допущению, что линии скольжения и тра¬ ектории главных^ напряжений являются прямыми. Вели¬ чины напряжений по любым площадкам находятся спомощью круга Мора (рис. 19.7). Прежде всего опре¬ деляются напряжения по площадке, параллельной верх¬ ней границе среды, в соответствии с рис. 19.6 равныеa = 7Zcos2?; т = 7zsin|3 cosj3 .Эти величины определяют на круге Мора точку F.Вписывают в угол, образованный двумя прямыми, проведенными под углами -f-9 и —к оси с, окруж¬ ность, проходящую через точку FtЗадача имеет два решения. Малая окружность, центра С отвечает случаю сползания сыпучей среды —
19.5. ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА НА ПОДПОРНУЮ СТЕНКУ. ТЕОРИЯ КУЛОНА859активному давлению. Большее главное напряжение равно а1а t а меньшее главное напряжение з2а. Одно семейство прямых линий скольжения параллельно прямой EaD, другое — прямой EaD\ Большая окруж¬ ность центра Ci отвечает случаю надвигания сыпучей среды — пассивному давлению. Большее и меньшее главные напряжения соответственно равны с1Р и с2Р. Семейства прямых линий скольжения параллельны прямым EaD\ и EpDl .Этот метод в настоящее время применяется только для решения таких задач, как определение давления сыпучего тела на стенки и воронки бункеров, на криво¬линейные ограждающие поверхности, когда иные мето¬ ды решения затруднительны, а значительные отклоне¬ ния от действительности в величине и распределении давления не имеют существенного значения.Наибольшее применение имеют приближенные ме¬ тоды решения задач статики сыпучей среды, в которых линии скольжения предполагаются прямыми или со¬ стоящими из отрезков прямых и дуг окружности или логарифмической спирали. Очертание и направление линий скольжения задаются с точностью до одного параметра, который определяется из условий экстре¬ мального значения давления сыпучей среды на ог¬ раждающие конструкции.Деформации сыпучей среды целиком определяются сдвигами, возникающими в результате преодоления усилий внутреннего трения. Поэтому можно считать, что диаграмма перемещения А обобщенной силы Р, приложенной к сыпучей среде, такая же, как идеали¬ зированная диаграмма сдвига при сухом трении твер¬ дых тел (рис. 19.8,а) Пока Р<Ртat. перемещение рав¬ но нулю, а при Р=Ртах оно может неограниченно расти.Возможность проявления так называемой псевдо¬ пластичности [2], когда переход в предельное состояние за счет преодоления сил сцепления сопровождается внезапным падением силы, вызывающей сдвиги, и ^пред<^шах (рис. 19.8,6), не принимается во внимание.Считается, что сыпучая среда ведет себя как твер¬ допластичная система и, следователей), подчиняется положениям, определяемым экстремальными теоремамио	предельном равновесии таких систем [1, 2].Величина нагрузки заданной конфигурации, вызы¬ вающая переход в состояние предельного равновесия сыпучей среды в целом или только ограниченной ее части, — так называемая разрушающая нагрузка — является наибольшей из величин статически возмож¬ ных, т. е. уравновешивающихся нагрузок той же кон¬ фигурации. Эго непосредственно вытекает из диаграм¬ мы, изображенной на рис. 19.8,а.Разрушающая нагрузка есть наименьшая из нагру¬ зок, способных вызвать пластическую деформацию сы¬ пучей среды, г. е. наименьшая из кинематически воз¬ можных нагрузок заданной конфигурации. Это поло¬жение лежит в основе кинематического метода опреде¬ ления разрушающей нагрузки: задаваясь возможными вариантами расположения и очертания линий сколь¬ жения, т. е. всеми возможными схемами разрушения, определяют величину заданной по конфигурации на¬ грузки, отвечающей каждой схеме разрушения; наи¬ меньшая из найденных таким образом величин яв¬ ляется разрушающей нагрузкой; соответствующий ей вариант дает действительную схему разрушения.Типичный пример приближенного определения кине¬ матическим методом разрушающей нагрузки — расчет несущей способности по устойчивости фундамента, расположенного на сыпучей среде. Отсюда следует, что, назначив какую-либо определенную схему разру¬ шения, мы переоцениваем несущую способность фунда¬ мента.Величина реакции подающейся связи, ограничива¬ ющей сыпучую среду и вызывающей в ней своим пере¬ мещением состояние предельного равновесия, есть наи¬ меньшая из статически возможных и наибольшая из ки¬ нематически возможных величин.Типичный пример подающейся связи — подпорная стенка. Определение активного давления на стенку по теории Кулона — есть отыскание кинематическим ме¬ тодом приближенного значения реакции подающейся связи.Из последнего положения вытекают два следствия:так как приближенные методы принимают во вни¬ мание не все возможные схемы разрушения, а только те, при которых линии скольжения имеют заданное очертание, активное давление, определенное этими ме¬ тодами, получается меньшим, чем действительное;бытовое давление на стенку, т. е. давление, которое испытывает стенка до начала сдвига, больше, чем ак¬ тивное, которое является наименьшим из статически возможных. Это следствие хорошо подтверждается опытами.Отклонение расчетных величин от действительных характеризуется коэффициентами запаса.19.5.	ДАВЛЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА НА ПОДПОРНУЮ СТЕНКУ. ТЕОРИЯ КУЛОНА<Теория Кулона лежит в основе приближенных мето¬ дов определения давления сыпучего тела на подпор¬ ную стенку.Имеется в виду бесконечно длинная подпорная стенка, так что задача решается как плоская. В расчет вводится стенка длиной, равной единице. Задняя грань стенки — плоскость. Верхняя граница сыпучего тела имеет произвольное очертание. Давление на стен¬
860РАЗДЕЛ 19. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫку определяется для момента перехода ее в состояние предельного равновесия. Если этот переход вызван пе¬ ремещением в сторону от CL' 1учего тела, стенка вос¬ принимает активное давление или распор сыпучего те¬ ла. При перемещении стенки в противоположном на¬ правлении на нее действует пассивное давление или отпор сыпучего тела. Перемещение стенки создает со¬ стояние предельного равновесия в ограниченной зоне сыпучей среды, непосредственно примыкающей к стен-Рис. 19.11ке и имеющей форму призмы. Граница между этой зо¬ ной и остальной частью сыпучей среды является плос¬ костью. Наклон плоскости определяется из условия экст¬ ремума давления сыпучей среды на стенку.Случай активного давления изображен на рис. 19.9. Зона сыпучей среды, находящаяся в состоянии пре¬ дельного .равновесия, называется призмой обрушения, ее граница — плоскостью обрушения. Фигура АВН — основание призмы обрушения. Прямая ВН — след плоскости обрушения. Призма обрушения сдвигается по плоской грани стенки АВ и ллоскости обрушения ВН. Реакции этих двух плоскостей наклонены к нор¬ малям плоскостей под углами трения соответствен¬ но <ро и ср .При заданных размерах и угле е наклона задней грани стенки к вертикали, очертании поверхности сыпу¬ чего тела, объемном весе у и углах трения ср и ср0 давление на стенку Е является функцией одной пере¬ менной — угла 6 , определяющего положение плоскости обрушения.Из треугольника сил получаемsin (0 — ср) sin(^ + 0 — <р)где G — вес призмы обрушения, равныйТ Хпл. ABHXUф = 90° — * — <р0 ,Активное давление равно максимальной величине Е. dEПри непрерывном Е и —- угол наклона 0 плоскости аоdE Аобрушения может быть найден из условия -- = 0 .Величина активного давления находится из выра¬ жения (19.8).Очевидно, что активное давление по теории Кулона есть реакция в подающейся связи, определяемая при¬ ближенно кинематическим способом (см. 19.4). Погреш¬ ность делается в сторону преуменьшения, т. е. не в за¬ пас прочности. Поэтому в некоторых случаях прихо¬ дится отыскивать более точное решение (см. 19.9).Случай пассивного давления изображен на рис. 19.10. Зона сыпучей среды, находящаяся в состоянии предельного равновесия, называется призмой выпира¬ ния, ее граница — плоскостью выпирания. Фигура АВН — основание призмы выпирания. Прямая ВН—след плоскости выпирания. В этом случаев.а + ? , .	09.9)sin (Ф + 0 + ср)где G — вес призмы обрушения, равный7	Хпл, АВНХ1;ф = 90 — е + <р0 .Пассивное давление равно минимальной величине Е. dEПри непрерывном Е и	угол наклона 0 плоскостиао*	dEвыпирания может быть найден из условияdb= 0 .(19.8)Величина пассивного давления находится из выра¬ жения (19.9).Пассивное давление рассматривается как давление, возникающее при переходе в состояние предельного равновесия системы подпорная стенка — сыпучая сре¬ да под действием разрушающей силы Р (рис. 19.11), Разрушающая сила — наименьшая из кинематически возможных (см. 19.4). Минимуму силы Р отвечает ми¬ нимум давления сыпучей среды на стенку. Определе¬ ние пассивного давления по теории Кулона эквивалент¬ но приближенному определению кинематическим ме¬ тодом разрушающей величины Р и, следовательно,
1S.6. ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ— 861дает погрешность в сторону преувеличения, т. е. не в запас прочности. Поэтому в некоторых случаях прихо¬ дится искать более точное решение (см. 19.9).Распределение давления по высоте стенки — закон изменения его интенсивности и положение центра дав¬ ления — в теории Кулона остаются неопределенными. Для устранения этой неопределенности полагают, что давление на верхнюю часть стенки, расположенную вы¬ ше некоторого уровня, не зависит от того, перемещает¬ ся или не перемещается нижняя часть стенки, распо¬ложенная ниже того же уровня. С помощью теории Кулона можно построить кривую полных давлений на стенку, каждая ордината которой равна величине дав¬ ления на ту часть стенки, которая расположена выше ординаты. Интенсивность давления находится как производная кривой полных давлений по длине. Приме¬ няют также и другой прием — центр давления находят проектированием на заднюю грань стенки центра тя¬ жести призмы обрушения или призмы выпирания лу¬ чом, параллельным соответственно следу плоскости об¬ рушения или плоскости выпирания.Опыт строительства и специально поставленные эксперименты показали, что теория Кулона в большин¬ стве случаев удовлетворительно согласуется с действи¬ тельностью.Определять величины давления по формулам (19.8) и (19.9) целесообразно только в простейших случаях.Для абсолютно гладкой вертикальной стенки и гори¬ зонтальной поверхности сыпучей среды (рис. 19.12J Кулон получил следующие выражения: активное давлениепассивное давлениедавление(19.10)(19.11)Эпюра давления — треугольник, центр давления на- hходится на расстоянии ~т~от низа стенки, оДля более сложных случаев имеются аналитические выражения величин давления (19.6). В общем случае удобны графические методы [ (19.7) и (19.8)].19.6.	ФОРМУЛЫ И ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯВ случае наклонной шероховатой задней грани стен* ки и поверхности сыпучей среды, ограниченной наклон¬ ной плоскостью (рис. 19.13), активное давление вычис¬ ляется по формуле1 _гдеК=-cos2 (ср — е)I	1 f sin(y+<p0)sin(y-P)|' L У cos(<p0+e)cos(P—е) J-.(19.13)COSaeCOS(?o+6)Положительное направление отсчета углов р и е — против часовой стрелки (иа рис. 19.13 эти углы поло¬ жительны).Давление распределяется по линейному закону, центрhдавления находится на расстоянии -г~ от низа стенки.оВ табл. 19.4 даны значения К коэффициентов полного давления на стенку с вертикальной задней гранью для<Ро20° <ср<50° при четырех относительных значениях—^—.Если задняя грань стенки вертикальна ( е =0) и по¬ верхность сыпучей среды горизонтальна (р=0):К =COS2cp[i I f sin(cp 4- cpp) simp \[ V * ' coscp0 J(19.14)COS<peНа рис. 19.14 дан удобный график в полярных коор¬ динатах для определения К в зависимости от и <р0[ 10].Приведенные формулы можно использовать и при на¬ личии на поверхности сыпучего тела равномерно рас¬ пределенной нагрузки интенсивностью р (рис. 19.15). На¬ грузка заменяется эквивалентным слоем сыпучего тела:h0 = — .ТВысота стенки увеличивается на величину1(19.15)
862РАЗДЕЛ 19. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫТаблица 19.4Значения коэффициента К в формуле (19.12) при вертикальной задней грани стенки(3 в град.<?Значения К при <р, равных20°25°30*35е49?45°50°5001/32£10,4130,4310,4950,643450W2/310,5000,51«0,5770,7070,2410,2390,2590,311400Ш1И0,5860,6020,6550,7650,3030,2970,3146,3590,2060,2000,2140,2543501/32/310,6720,6860,7310,8190,3680,3590,3700,4080,266*'0,2520,2610,2940,185"0,1800,1900,2243001/32/310,7500,7620,7980,8660,4340,421-0,4270,4550,3170,3050,3100,3360,2350,2250,2320,2590,1720,1650,1740,2042501/32/310,8210,8300,8570,9060,5030.4SS0,4860,5030,3800,3610,3620,3800,2870,2750,2760,2970,2180,2070,2120,2360,1620,1550,1620,1882001/32/310,8840,8910,9080,9040,5720,5500,5460,5330,4410,4180,4140,4250,343 0,326 0,324 0 3360,2660,2520,2520,2690,2040,1940,1970.2190,1540,1470,1530,1771501/32/310,6400,6180,6©60,6020,503Q.47*0,4680,4690,4010,3790,3710,3760,3190,3010.2960,3060,2500,2350,2350,2490,1940,1830,1850,2050,1470,1400,1460,1681001/32/310,5700,5400,5230,5160,4610,4350,4200,4190,3750,3490,3410,3430,3000,2800,2760,2850,2370,2210,2200,2340,1850,1740,1770,1940,1420,1340,1400,160001/32/310,4910,4600,4390,4280,406 0,376 0,862 в,3570,3340,3090.2W0,2970,2720,2520.2460,2520,2160,2000,1980,2110,1700,1590,1600,1770,1320,1250,1300,145После этого определяется давление на стенку высо¬ той (h-\-hQ). Давление на стенку АВ высотой h равно плещади заштрихованной трапеции. Центр давления рас¬ положен на горизонтали, проходящей через центр тяже¬ сти трапеции.Величину давления на стенку АВ можно определить также непосредственно по формуле (19.12), умножая правую часть на поправочный коэффициент:Ki = ^l+2-^-j.	(19.17)Таким образом, при наличии равномерно распре¬ деленной нагрузки на поверхности сыпучего телаЕ = ~ KKtfh2 •	(19.18)На практике обычно принимают h0=h0. Это дает ошибку в величине Е в сторону преувеличения для случая, изображенного на рис. 19.15, когда оба угла (& ир) имеют одинаковый знак. На рис. 19.15 они оба положительны. Если эти углы имеют различные знаки, величина активного давления получится пре¬ уменьшенной. Однако обычно углы е и р невелики, и ошибка получается малой.Рис. 19.15В табл. 19.5 приведены формулы, дающие величины активного давления на стенку с плоской гладкой задней гранью и положения плоскости обрушения и цент¬ ра давления при <ре =0. При расчете подпорных сте¬ нок влияние трения между сыпучим телом и стенкой можно учесть приближенно, полагая, что найденное по формулам давление действует под углом «ро к норма¬ ли задней грани стенки.При выводе формул приняты некоторые упрощения точных зависимостей, незначительно сказавшиеся на конечных результатах.Определяя давление по формулам в строках 2, 5, 6 и 8 табл. 19.5, необходимо предварительно прозерять, отвечает ли расположение плоскости обрушения при¬ нятому на соответствующих расчетных схемах, изоб¬ раженных в первом столбце таблицы. Для этого сле¬ дует вычислять величину tg р по формулам второго столбца таблицы.Если след плоскости обрушения, построенный с по¬ мощью найденного tgp, проходит иначе, чем на при¬ нятой расчетной схеме, следует определять давление по формулам другой, подходящей к этому случаю, строки. Например, если след плоскости обрушения, найденный по формуле строки 2, пересекает поверхность сыпуче¬ го тела левее границы расположения нагрузки, расчет следует вести по формулам строки 1 при h9=0. Значи¬ тельно большее количество расчетных схем имеется» [И].19.7.	ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ НА ПОДПОРНУЮ СТЕНКУНа основе теории Кулона разработаны графические методы определения активного давления на подпор¬ ную стенку как с гладкой, так и с шероховатой пло¬ ской или ломаной задней гранью, при любой форме поверхности сыпучего тела, со сплошной или сосредо¬ точенной нагрузкой, расположенной на призме обруше¬ ния. Ниже изложены три графических метода: построе¬ ния Кульмана, Ребхана и Понселе.Построение- Кульмана имеет в виду плоскую зад¬ нюю грань стенки и любую форму поверхности сыпу¬ чего тела с любой вертикальной нагрузкой на ней.
19.7. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ НА ПОДПОРНУЮ СТЕНКУ863Таблица 19.5Формулы для определения величины активного давления на стенку с плоской задней гранью при <р0 = ОРасчетная схемаУгол наклона р плоскости обрушения к вертикалиДавление ЕПлечо г45° —f(h +2fto)tg*(«■-*)h -f- ЗЛ» А + 2Л,1 -С\~iii/Tirmш/✓у/f+tgp = —tg? +/ <'+'«41+57);A =2ch<, h(h + 2ht)tg?-A / 2ЙЛ2	' tg (p + <f) V 't‘ h )Центр давления находит ся проектированием цент¬ ра тяжести призмы обру¬ шения на заднюю грань стенки лучом, параллель¬ ным плоскости обрушенияtgp/2tgBsec2 <р— —— 		sin 2<p_2tgpsin2ylh■■(А + 2Л.)COS P sin pcos (p+P) tg (p+<f)h_3h + 3hb h + 2h.Формулы расчетной схемы 3 с изменением знака у Р на обратныйtg р = — tg<? +■/<l+4,+54s;](h + by4g9 — ab 2 tg(p + <f)Центр давления находит¬ ся проектированием цент¬ ра тяжести призмы обру¬ шения на заднюю грань стенки лучом, параллель¬ ным плоскости обрушения
864РАЗДЕЛ 19. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫПродолжение табл. 19.5
19.7. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ НА ПОДПОРНУЮ СТЕНКУ865Если провести через В (рис. 19.16) линию BD под углом ® + «>о к АВ — так называемую основную ли¬ нию, — то ZDBC=\80°—ф, где ф— угол в силовом треугольнике (рис 19.9). Поэтому &BMN, у которого MN\\BD, подобен упомянутому силовому треугольнику. На этом основано построение Кульмана (рис. 19.17). ВН\, ВН2> ВНз, ВН^ — следы возможных плоскостей обрушения. Отрезки Вп\у Вп2, Вп3, Вп4 пропорциональ¬ ны весам G2, G3, G4 призм обрушения соответственно АВН\, АВН2, АВНа, АВН4. Проводя через точки п пря¬мые, параллельные основной линии BD, находим точ¬ ки ть т2, тй, т4 пересечения их со следами возмож¬ ных плоскостей обрушения. Так как треугольники Втп подобны силовому треугольнику, изображенному на рис. 19.9, то отрезки т\П\% т2п2, гп^пъ, тАпА пропорцио¬ нальны давлению Е на стенку. Проводим через точки т кривую (кривую Кульмана). Если вес призмы об¬ рушения изменяется в зависимости от угла 0 непре¬ рывно, то эта кривая получится плавной. Касательная к кривой, параллельная ВС, определит наибольший из отрезков тп. пропорциональный активному давлению. Измерив этот отрезок в принятом масштабе сил, на¬ ходим активное давление. След плоскости обруше¬ ния — прямая ВН, проходящая *Герез точку т. Центр давления может быть найден построением и последую¬ щим использованием кривой полных давлений или, с достаточной точностью, проектированием на заднюю грань стенки центра тяжесги призмы обрушения лу¬ чом, параллельным следу плоскости обрушения ВН (см. 19.5).Если на поверхности сыпучего тела расположена на¬ грузка, та ее часть, которая расположена на призме обрушения, добавляется к весу призмы обрушения. Если эта нагрузка сосредоточена на линии, параллель¬ ной грани стенки, кривая Кульмана имеет уступ. Отыс¬ кание наибольшею отрезка тп и в этом случае не встречает затруднений.•При наличии на1рузки роль центра тяжести играет центр параллельных сил — веса призмы обрушения н сил, образуемых нагрузкой и приложенных на поверх* ности призмы обрушения.55 За к. 2098Построение Ребхана имеет в виду плоскую заднюю грань и любую непрерывную форму поверхности сыпучего тела. Оно основано на следующих положени¬ ях, вытекающих из теории Кулона:1)	на рис. 19.18 ВН — след плоскости обрушения, отвечающий активному давлению; линия HG парал¬ лельна основной линии BD; площадь фигуры АВН рав¬ на площади треугольника BHG;2)	на рис. 19.18 GJ=HG\ активное давление равно площади треугольника Ребхана GHJ, умноженной на объемный вес сыпучего тела.Построение, определяющее след плоскости обруше¬ ния ВН и треугольник Ребхана, изображено на рис. 19.19.На горизонтальной оси наносятся тчки h\t h2, /13, hu представляющие проекции точек И1, H2t Н3, Н4, соот¬ ветствующих возможным положениям плоскостей обру¬ шения. Кривая / дает изменение площади основания призм обрушения АВН 1, АВН2у АВНз, АВН4. Ордина¬ ты кривой II равны площадям треугольников BH\GU BH2G2, BHzGb BH4G4. Точка пересечения обеих кри¬ вых, спроектированная на след поверхности сыпучего тела, определит точку Я, а прямая ВН есть след иско¬ мой плоскости обрушения. Проведя HG\\BD и откла¬ дывая GJ=GH, получаем треугольник Ребхана, Актив¬ ное давление равноЕ = 7ХПЛ.GHJ ,где ^ — объемный вес сыпучего тела.Центр давления определяется так же, как и при построении Кульмана..В некоторых случаях, по Ребхану, можно наити активное давление без помощи кривых I и //.На рис. 19.20,а показан случай, когда поверхность сыпучего тела — плоскость, параллельная основной линии BD. Из условия равновеликости А АВН и
866РАЗДЕЛ 19. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫАВНС следует, что АН=НС. Треугольник CHJ, за¬ штрихованный на рисунке, — треугольник Ребхана.На рис. 19>20,б поверхность сыпучего тела — плос¬ кость, параллельная плоскости естественного откоса. Точка С уходит в бесконечность. Треугольник Ребхана GHJ определяемся проведением GH\\BD. Эпюра дав¬ ления треугольная, и, следовательно, давление Е при- hложено на расстоянии — от низа стенки под угломоft к нормали задней грани.Построение Понселе имеет в виду случай, когда поверхность сыпучего тела является плоскостью. Задняя грань стенки тоже плоскость. Простота построения Понселе позволяет применять его для приближенного определения давления в ряде более сложных случаев: при ломаном очертании задней грани стенки и по¬ верхности сыпучего тела, при наличии на поверхности сыпучего тела несплошной нагрузки и в других слу¬ чаях.Построение Понселе изображено на рис. 19.21. По¬ следовательность появления точек на чертеже отвеча¬ ет порядку букв латинского алфавита. Из точки А проводится АЕ параллельно основной линии BD. С помощью полуокружности, построенной на диаметреВС, определяется BF=y ВС • BE, для чего проводит¬ ся EFLBC. Затем из точки В откладывается BG = *=BF и из точки G проводится GH\\BD. Прямая ВН есть след плоскости обрушения. Откладывая от точкиG отрезок GJ=GH, получаем треугольник Ребхана GHJ. Активное давление на стенку равноЕ = 7ХПЛ.GHJ ,где 7— объемный вес сыпучего тела.Интенсивность давления изменяется по закону пря¬ мой. Эпюра его — треугольник с наибольшей орди¬ натой2	ЕАктивное давление приложено в точке, располо- hженной на расстоянии от низа стенки, и наклонено опод углом <р0 к нормали задней грани стенки.На рис. 19.22 дано измененное построение Понселе для случая, когда точка С расположена далеко впра-Рис. 19.22во, и построение согласно рис. 19.21 оказывается не¬ удобным. Компактность построения достигается па¬ раллельным переносом характерных точек.На рис. 19.23 изображено построение Понселе для случая, когда AE\\BD проходит выше следа плоскости,ограничивающей поверхность сыпучего тела. В этом случае из точки С проводится CF±BC и определяетсяBF=y ВС • BE. Дальше построение продолжается так же, как на рис. 19.21.В некоторых случаях построение Понселе оказы¬ вается невозможным. Таковы случаи, изображенные на рис. 19.20,а, б. Решение достигается с помощью постро¬ ений Ребхана, как изложено выше.При наличии на поверхности сыпучего тела равно¬ мерно распределенной нагрузки (рис. 19.24) интенсив¬ ностью р она заменяется эквивалентным слоем сыпуче¬ го тела высотой Л0, вычисляемой по формуле (19.15). По¬ верхность сыпучего тела «приподнимается» на величи¬ ну hQ. Задняя грань стенки продолжается вверх до пере¬ сечения с новой поверхностью сыпучего тела в точ¬ ке А'.
19.7. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОГО ДАВЛЕНИЯ НА ПОДПОРНУЮ СТЕНКУ8С7Таким образом, высота стенки увеличивается на h0=fcho. Величина может быть вычислена по формуле (19.16). Построение выполняется для стенки высотой М-^о* Эпюра давления имеет форму трапеции, за¬ штрихованной на рисунке. Центр давления лежит на уровне центра тяжести этой трапеции. Верхняя орди- 1ата эпюры да дяет интенсивность активного равномер¬но распределенного по высоте стенки давления, вызы¬ ваемого равномерно распределенной нагрузкой р.На рис. 19.25 показано определение давления на стен¬ ку, когда сыпучее тело состоит из двух слоев с раз¬ личными характеристиками.Давление Е\ на верхнюю часть стенки высотой h\ определяется обычным построением Понселе. Чтобы найти давление Е2 на нижнюю часть стенки высотой h2, верхний елей высотой hi превращают в слой высотойho=h\—, эквивалентный сыпучему телу, образующему Ънижний слой, и определяют давление Е на стенку А'В высотой h2+h0 , где h0 может быть определена через h0 по формуле (19.16). Затем, построив эпюру интенсив¬ ности давления, определяют давление Е2 как площадь трапеции с ордиьатами qa2u Qb.Ниже описываются некоторые частные случаи, ког- ' да построение Понселе удается использовать только для приближенного, но практически достаточно точного ре¬ шения задачи.На рис. 19.26,а изображен прием приближенного опре¬ деления давления для случая, когда равномерно рас¬ пределенная нагрузка расположена не на всей поверх¬ ности сыпучего тела. Принимается, что участок стенки Аа, расположенный выше пересечения задней грани с плоскостью, проведенной под углом <р к горизонту че¬ рез границу расположения нагрузки, не воспринимает дополнительного давления от этой нагрузки. Далее по¬ лагают, что участок стены ЬВ, расположенный ниже пересечения задней грани с плоскостью, проведенной . 55*через границу расположения нагрузки параллельно плоскости обрушения, найденной из построения Понсе¬ ле для участка Аа, испытывает такое же давление, как если бы нагрузка была расположена без отступа от стенки. На участке ab давление изменяется по пере¬ ходной прямой.На рис. 19.26,6 изображен прием приближенного уче¬ та воздействия нагрузки Р, сосредоточенной на линии» параллельной задней грани стенки. Задняя грань стен¬ ки вертикальна, поверхность сыпучего тела горизонталь¬ на. Предполагают, что активное давление от нагрузки Р передается только на участке грани ab, отсекаемом на этой грани двумя плоскостями, проведенными через линию, на которой сосредоточена нагрузка, соответст¬ венно иод углами и ^45° + j к горизонту. Давлениеот нагрузки Р принимается распределенным по закону равнобедренного треугольника с ординатой, равнойqp = 2 -у tg2 ^45°	cos? . (19.19)На рис. 19.27 показан прием приближенного опре* деления давления для случая, когда след поверхности сыпучего тела — ломаная линия AHN. Линия На — след плоскости обрушения для участка Аа, найденный в предположении, что поверхность сыпучего тела — плоская со следом АНМ, треугольник oed — эпюра давления для этого же участка, построенная при том же предположении. Далее определяется давление на стенку и строится его эпюра в предположении, что по¬ верхность сыпучего тела — плоскость со следом A\Ny а след задней грани стенки А\В. Прямая 0\d\ на эпюре давления является асимптотой к действительной эпюре давления, так как с увеличением глубины влияние при- грузки АА\Н уменьшается. Прямая dg, дающая изме¬ нение интенсивности давления на участке аВ, спрям¬ ляет кривую, проходящую через точку d и имеющую асимптоту 0\du
868РАЗДЕЛ 19. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫНа рис. 19J28 показано определение давления на стенку с ломаной задней гранью. Сначала определяется давление Едвл на грань АВ\. Затем грань ВВ\ продол¬ жается вверх до А\ и определяется давление Ед^ чНа стенку с плоской задней гранью А\В. Давление на ВВ\^ 'мСравно площади нижней части трапецеидальной эпюры интенсивности давления на стенку А\В. Центры давле¬ ния на каждую из граней находятся на уровне центра тяжести соотве1ствующей части эпюры интенсивности давления.19.8.	ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАССИВНОГО ДАВЛЕНИЯ НА ПОДПОРНУЮ СТЕНКУЗдесь кратко описана основная часть построения Ребхана и дано построение Понселе.Построение Ребхана имеет в виду любую непре¬ рывную форму поверхности сыпучего тела. Оно осно¬ вано на двух положениях.На рис. 19.29 ВИ — след плоскости выпирания. Ли¬ ния HG параллельна основной линии BD. Площадь фи¬ гуры АВН равна площади треугольника BGH.На рис. 19.29 GJ=GH. Пассивное давление равно площади треугольника Ребхана GHJ (заштрихован на чертеже), умноженной на объемный вес сыпучего тела.Таким образом, пассивное давление легко вычисляет¬ ся, если известно положение следа плоскости выпира¬ ния ВН. Оно может быть найдено построением двух кривых: кривей изменения площади АВН и кривой из¬ менения площади треугольника BGH, обеих в зависи¬мости от положения точки Н на поверхности сыпучего тела. Равенство ординат обеих кривых укажет иско¬ мое положение следа плоскости выпирания. Детали по¬ строения такие же, как и в случае определения актив¬ ного давления (см. 19.7).Центр давльния находится проектированием на плоскость задней грани центра тяжести призмы выпира¬ ния лучом, параллельным следу плоскости выпирания^ Пассивное давление отклонено от нормали к задней грани вверх на угол <ро.Построение Понселе имеет в виду, что поверхность сыпучего тела — плоскость. Построение изображено на рис. 19.30. Последовательность появления точек на чер¬ теже отвечает порядку букв латинского алфавита. «Ли¬ ния естественного откоса откладывается под углом ® вниз по часовой стрелке от горизонтали и продолжает¬ ся до точки С пересечения с продолжением поверхности сыпучего тела Основная линия BD образует угол £(<р-Ь<р0), откладываемый также по часовой стрелке. С помощью полуокружности, построенной на диаметреВС, строится отрезок BF=\fВС • BE. Затем отклады¬ вается BG=Bt, проводится GH\\BD и откладывается•	GJ=GH. Треугольник GHJ, заштрихованный на рисун¬ ке, — треугольник Ребхана. Пассивное давление равноЕ = 7Хпл.(7ЯУ ,	(19.20)где 7 — объемный вес сыпучего тела.
19.9. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОГО И ПАССИВНОГО ДАВЛЕНИЙ869Эпюра интенсивности давления имеет вид треуголь¬ ника, как показано на рисунке. Следовательно, пассив¬ ное давление приложено в точке, удаленной от низа hстенки на—,и отклонено от нормали к задней граниона угол <?о .Построение Покселе может быть использовано для определения пассивного давления и в некоторых дру¬ гих случаях, например при наличии на поверхности сы¬ пучего тела равномерной нагрузки или, когда сыпучее тело состоит из двух слоев с различными характеристи¬ ками. Для этих целей используются те же приемы, ко¬ торые были описаны в 19.7.19.9.	ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОГО И ПАССИВНОГО ДАВЛЕНИЙ ПРИ НЕПЛОСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ СКОЛЬЖЕНИЯПоложенное в основу теории Кулона предположе¬ ние, что призмы обрушения и/выпирания примыкают непосредственно к задней грани стенки и отграничены от остальной части сыпучего тела плоскостью, приво¬ дит, как указано в 19.5, к некоторому преуменьшению активного давления и преувеличению пассивного давле¬ ния по сравнению с результатами точной теории пре¬ дельного равновесия сыпучей среды.Для случая, когда задняя грань стенки — пло¬ скость, а поверхность сыпучего тела — горизонтальная плоскость, величины погрешности установлены сравни¬ тельными расчетами [9]. Эти величины зависят от угла наклона задней грани стенки е (рис. 19.24) и угла трения сыпучего тела по стенке <ро- Для активного давления при вертикальной задней грани теория Кулона дает резуль¬ таты, отличающиеся от результатов точной теории лишь на 5%, если ср0 < 40°, т. е. во всех практических случаях.Погрешность становится существенной для стенок, наклоненных в сторону cbinv4ero тела е <0. Так, на¬ пример, при е =30°, <р=35° и <р0=35° теория Куло¬ на преуменьшает активное давление на 42%.К. Терцаги [10] считает, что пассивное давление на плоскую стенку можно определять по теории Кулонатолько в случае, если <р0< —у. Ошибка в величинахопассивного давления на плоскую вертикальную стенку, определенных по Кулону, относительно точного решения В. В. Соколовского [9] иллюстрируется табл. 19.6.Таблица 19.6 Ошибка при определении пассивного давленияпо формуле (19.9) относительно точного решения<Р в град.102030©„ в град.51010201530Ошибка в %25415850Ниже описан приближенный графический способ для определения давления на подпорную стенку с плоской задней гранью и плоской поверхностью сыпучего те¬ ла [3].На рис. 19.31 изображено построение для опреде¬ ления активною давления. Призма обрушения ABCDEнаходится в состоянии предельного равновесия, создан¬ ного сдвигом стенки. След поверхности обрушения пред¬ полагается состоящим из двух отрезков прямых ВС и DE, сопрягаемых дугой логарифмической спирали с центром в А. Соответственно основание призмы обру¬ шения состоит и^ трех частей: / и 3 являются тре¬ угольниками, 2 — сектор логарифмической спиралп. В частях / и 3 оба семейства линий скольжения — пря¬ мые, параллельные соответственно ЛС, ВС и AD, £>£, в части 2 одно семейство линий скольжения — прямые, проходящие через Л, другое семейство — отрезки лога¬ рифмических спиралей с центром в Л.Геометрические элементы основания призмы обру¬ шения определяются с помощью диаграммы Голушке- вича (рис. 19.31,в). Прямые АС и ВС, положение ко¬ торых предстоит найти, являются пиниями скольжения части 3, ио границе которой АВ полное напряжение наклонено к нормали АВ под углом <р0 .Построение диаграммы начинается с построения произвольно ориентированного прямоугольного тре¬ угольника Opq, который на рисунке заштрихован. За¬ тем из вершины прямого угла опускается перпендику¬ ляр qs. Строятся три концентрические окружности ра¬ диусами Op, Oq и Os. К внутренней окружности прово¬ дится касательная ub\\AB. Радиус Ok продолжается до точки п. Проводится пс\\Е. Точка С отыскивается как точка пересечения АС\\ас и ВС\\Ьс. Положение ли¬ нии AD определяется с помощью диаграммы на рис. 19.31,в, так как AD и DE — линии скольжения в части /, по границе которой АЕ полное напряжение верти¬ кально. На диаграмме а'е\\АЕ, On'La'e и n'd — верти¬ кально. Поэтому AD\\a'd. Точка D лежит на логариф-—a tg срмическои спирали р = ге	. Следовательно, длинаAD может быть найдена из равенстваAD=ACe-atef-	09-21)
870 _=РАЗДЕЛ 19. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫRь R2 и /?з, делит Е на две части: Ет — давление, соз¬ даваемое весом призмы обрушения, и Ер — давление, создаваемое нагрузкой р, равномерно распределенной по поверхности сыпучего тела. Центр давления опре¬ деляется исходя из предположения, что эпюра интен¬ сивности давления прямолинейна.На рис. 19^32 показано определение активного дав¬ ления на стенку с пологой задней гранью посредством диаграммы Голушкевича. В этом Тслучае в сыпучем те¬ ле образуются две плоскости скольжения со следами ВС и BD Зона ABC сохраняет состояние непредельно¬ го равновесия. В состояние предельного равнове¬ сия приходит призма • BCD, Семейства ли¬ ний скольжения в призме — прямые, параллельные ВС и BD. Прямые ВС и BD проводятся с помощью диа¬ граммы Голушкевича, так как по границе CD призмы обрушения известно направление полного напряже¬ ния— оно вертикально. Сама диаграмма на рис. 19.32 не приведена. Она строится согласно рис. 19.31. Давление Е определяется с помощью силового много¬ угольника. Сила (P+G0, где Р — равнодействующая нагрузки на участке CD, a Gi — вес призмы BCD, урав¬ новешивается реакциями S и R, наклоненными к норма¬ лям к линиям скольжения под углом <р. Давление на стенку Е является геометрической суммой S и G2, где G2 — сила, равная сумме веса призмы ABC и нагрузки на АС. Эпюра интенсивности давления 5 — трапеция. Та часть ординат эпюры 5, которая зависит от нагруз¬ ки р (Sp), легко может быть отделена от части, за¬ висящей от веса сыпучего тела (5^ ), построением си¬ лового многоугольника при Р=0 или при Gi=0. Тем самым определится точка приложения S и затем центр давления Е. Для расчета массивной стенки достаточно знать силу 5; вес G2 добавляется к весу стенки. При¬ менение построения Голушкевича для ломаной подпор¬ ной стенки приведено в [5].Для случая подпорных стенок, поверхность за¬ сыпки за которыми горизонтальна (P=0)t удобноТем самым найдена точка D. Проведя через D ли¬ нию, параллельную de, находят точку Е.Вместо диаграммы Голушкевича можно также вос¬ пользоваться круюм Мора (рис. 19.7).Теперь определяют веса Gu G2, G3, причем площадь ACD вычисляется из равенствапл. ACD =	(А&-АЩ . (19.22)Для определения Е строится силовой многоуголь¬ ник (рис. 19.31,6). Этот многоугольник получается в результате последовательного уравновешивания сил (P+G1), G2 и Gз реакциями R1, $1, S2, R2 и Е. Первыетри реакции наклонены к нормалям к соответствую¬ щим линиям скольжения под углом <р. Линия действия R2 проходит через А и точку F пересечения ВС и DE. Сила Е отклонена от нормали к АВ на угол «ро • Пунк¬ тирная ломаная, параллельная ломаной, составленной изРис. 19.33
19.9. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОГО' И ПАССИВНОГО ДАВЛЕНИЙо	~ _	Таблица 19.7Значения коэффициентов Qa и Тг для определения активного давления на стенку по формуле (19.23)<р в град.?о в град.е в град.-30—20—100102030400QaТа0,6500,6600,6700,700,7400,8400,9601,140105QaГа0,60,050,610,050,630,050,660,060,720,060,80,070,910,081,090,110QaГа0,570,10,590,10,60,110,640,110,690,120,790,140,90,161,070,190Qa^а0,3600,400,4300,4900,5600,6500,801,0102010Qa^а0,310,050,350,060,390,070,440,080,510,090,610,10,750,130,940,1720Qa0,290,10,320,120,360,130,410,150,480,180,580,210,710,260,920,320Qa^а0,1800,2300,2700,3300,4100,5300,6700,8903015Qaга0,150,040,190,050,240,060,290,080,370.10,480,130,610,130,820,2230QaГа0,130,080,170,10,210,120,270,150,340,20,440,250,570,330,780,430QaГа0,0800,1200,1600,2200,300,400,5600,7804020Qaга0,060,020,10,040,140,050,190,070,260,10,3/0,140,510,190,720,2740QaГа0,050,040,080,070,120,10,170,140,230,20,330,280,480,390,70,51Таблица 19.8Значения коэффициентов Qn и Тп для определения пассивного давления по формулам (19.23)<р в град.<рв в град.е в град.—30—20—1001020304<*Qn2,041,751,541,421,351,351,391,52000000000Qn2,171,941,691,551,471,471,471,58105г»0,20,170,150,140,130,130,130,14Qn2,512,0о1,791,631,541,521,531,6310^п0,430,360,310,290,270,270,27•,29Qn3,672,892,372,041,831,731,<81,720^п0000000е4,813,732,982,512,222,061,961,9720100,850,660,520,440,390,360.Э5•,34Qn5,654,323,422,862,492,292,172,1220ти2,061,581,251,040,910,830,790,77
872РАЗДЕЛ 19. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫПродолжение табл. 19.8пользоваться численными результатами расчетов, по¬ лученными В. В. Соколовским [9] и 3. Н. Буцко. В табл. 19.7 приведены значения коэффициентов Qa и Та для определения активного давления на стенку. Нормальная EN и касательная Ет составляющие пол¬ ного давления на заднюю грань стенки Е равны7/z22•у/г2т..(19.23)Полное давление Е равно ЕQi + п(19.23')На рис. 19.33 изображено построение для определе¬ ния пассивного давления на стенку с плоской задней гранью и плоской поверхностью сыпучего тела по спо¬ собу Голушкевича. Так же как при определении ак¬ тивного давления, основание призмы, где сыпучее тело находится в состоянии предельного равновесия, в дан¬ ном случае призмы выпирания, делится на три части. Линия скольжения состой' из двух прямых — ВС и DE, сопряженных дугой логарифмической спирали CD. Построение выполняется в той же последовательности и теми же приемами, что и построение, изображенное на- рис. 19.31. Пояснений, которые даны выше для рис. 19.31, вполне достаточно для того, чтобы восполь¬ зоваться построениями, приведенными на рис. 19.33.При горизонтальной поверхности засыпки за стен¬ кой (Э =0) для определения величины полного пас¬ сивного давления целесообразно пользоваться табли¬ цей коэффициентов В. В. Соколовского [9] и 3. Н. Буц¬ ко (табл. 19.8). Пассивное давление в этом случае опре¬ деляется, так же как и активное, по формуле (19.23), причем вместо Q, и 7а следует подставлять Qn и Тп.При этом полное давление Е отклонено от норма¬ ли на угол Vo.19.10.	НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ МАССИВА, НАГРУЖЕННОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СИЛОЙ И ЗАЩЕМЛЕННОГО В СЫПУЧЕМ ТЕЛЕПриближенный способ расчета разработан И. П. Про¬ кофьевым [8]. Он приводит к результатам, преумень¬ шающим несущую способность массива, но зато га¬ рантирует, что в эксплуатационных условиях перемеще¬ ния массива не будут превосходить заданных величин.РМассив предполагается весьма длинным, так что за¬ дача может решаться как плоская.Сыпучая среда наделяется следующими свойствами упругой среды:а)	реакция среды в каждой точке боковой грани массива горизонтальна и пропорциональна горизон¬ тальному перемещению в этой точке; коэффициент про¬ порциональности возрастает с глубиной по линейному закону;б)	реакция среды в каждой точке подошвы масси¬ ва вертикальна и пропорциональна вертикальному пе¬ ремещению этой точки.
19.11. ДАВЛЕНИЕ В БУНКЕРАХ И СИЛОСАХ873При этом устанавливается, что:реакция среды ни в одной из точек боковой грани массива не должна превышать интенсивности пассив¬ ного давления среды, определенной в предположении, что <ро =0;давление по подошве массива не должно превышать некоторой допускаемой величины.Перемещение массива под действием горизонталь¬ ной силы (рис. 19.34) получается в результате поворота массива на малый угол вокруг некоторой точки D, рас¬ положенной на глубине у0 под поверхностью среды. При принятых предположениях отпор среды, обуслов¬ ленный поворотом массива, изменяется: по боковым граням — по закону квадратной параболы; по подошве массива — по закону трапеции.Парабола на правой боковой грани имеет каса¬ тельную с угловым коэффициентом, равнымт = 7 |у (45“ +y)~ ,g2 (45° “ f)] =. tg?= 4f	,cos?(19.24)Величина силы Р, отвечающей напряженному состо¬ янию, изображенному на рис. 19.34, может быть найде¬ на из условий равновесия массива, если известно отно¬ шение коэффициентов пропорциональности между пе¬ ремещениями и реакциями, обозначаемых для гори¬ зонтальных перемещений через Ки Для вертикальных перемещений через К*'mhР=-2т+4;(19.25)8-т- h(2h + 3H)Обычно принимают3 а*-JU_Aiк.-h3= 1Горизонтальное давление на уровне подошвы масси¬ ва в точке А определяется по формуле°h = р-4~~(Л + ЗЯ)Л^2	JSЗа3 + —“К2(19.26)Краевые давления по подошве массива равны N 6Ра (2h + ЗН)0 h = 	 Та,Ь аЗаз + ^Г~№А?(19/27)здесь N — нормальная сила по подошве массива. Угол поворота а массива вокруг точки D равен_ 12 Р (2/г + 3 Н)K’(3‘'+Jth’) Должны быть соблюдены условия он < mh ; аь < |cj| ; a < |a|(19.28)(19.29)Тогда значение P, найденное из (19.25), можно счи¬ тать допускаемым.Если одно из условий (19.29) не соблюдено, допу¬ скаемое значение силы Р меньше, чем при определении по (19.25), и определяется именно из этого условия.Изложенный способ расчета применим и для слу¬ чая, когда при заданном значении силы Р ищется до¬ пускаемая глубина массива h. Использование (19.25) приводит к кубическом^ уравнению относительно h. Возможен иной прием. Для этого нужно решить совме¬ стно два уравнения:(6Р — 3mh*)y0 + 2mh3 = 0;(12 Ph + 12РЯ — 2mh3)y0 ++ mh / h3 — -= 0.(19.30)Решение целесообразно выполнить способом после¬ довательного приближения. Задавшись величиной у0 в пределах от 0,7 до 0,8 h, определяют h из второго урав¬ нения, подставляют полученную величину в первое уравнение и определяют из него уо. При новом значе¬ нии у0 из второго уравнения вновь определяют ht а затем из первого уравнения уо. Расчет повторяют до тех пор, пока расхождение между двумя последователь¬ ными значениями h не получится достаточно малым.Расчет по способу И. П. Прокофьева дает одно из статически возможных значений силы Р, когда массив и сыпучая среда еще не пришли в состояние предельно¬ го равновесия. Следовательно, по формуле (19.25) по¬ лучается Р< Рпр, а из уравнений (19.30) — /г>/*пр •19.11.	ДАВЛЕНИЕ В БУНКЕРАХ И СИЛОСАХБункером называется хранилище цилиндрической или призматической формы для сыпучего тела с отно¬ шением высоты вертикальной стенки к наименьше¬ му размеру поперечного сечения меньшим 1,5. Если это отношение равно или превышает 1,5, хранилище назы¬ вается силосом. Этой условной границе отвечает зна¬ чительная разница в расчетной величине и распреде¬ лении давления сыпучего тела на ограждающие по¬ верхности хранилища.При определении давления в бункере исходят из упрощающих предположений, что хранящееся в нем сыпучее тело, ограниченное сверху горизонтальной пло¬ скостью, целиком находится в состоянии предельного равновесия, и вертикальное ав и горизонтальное аг на¬ пряжения на глубине у равныВертикальная стенка бункера испытывает только нормальное давление, распределенное по закону тре¬ угольника (рис. 19.35), так что нормальное давление равно*ih = 7Ai tg2 (45° - .(19.31)Давление на наклонные элементы воронки имеет нормальную и касательную составляющие, определяе¬ мые по известным формулам напряжений по наклон¬ ным площадкамо = aB C0S2a + сг sin2 а; т =• sin 2а.
874 -РАЗДЕЛ 19. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫЭпюра нормального давления на наклонный элемент воронки — трапецеидальная (рис. 19.35); нормаль¬ ные давления равны t<?2Н = 7*1 [cos2 ®+ tg2 ^45° — sin*aj ; (19.32)<?зн= 7 №i+ Лг) j^cos2 a+ tg2 ^45° — sin2 a| . (19.33)Эпюра касательной составляющей давления на на¬ клонный элемент воронки также трапецеидальная.Давление на стенку сило¬ са определяется по так на¬ зываемой теории Янсена — Кенена. Согласно этой тео¬ рии предполагается:а)	все сыпучее тело в силосе находится в осесим¬ метричном напряженном со¬ стоянии предельного равно¬ весия;б)	главные площадки во всех точках сыпучего телавертикальны и горизонтальны;в)	отношение между главными нормальными напря¬ жениями — горизонтальным и вертикальным — во всех точках сыпучего тела равно^=^ = tg2(Явг)	давление на стенку имеет две составляющие: нормальную <7г = а2 и вертикальную касательную, рав¬ ную qK=f0qrt где fo — коэффициент трения сыпучего тела по стенке.Рис. 19.3545°—и «г» противоре-Очевидно, что предположения «б» чат друг другу.Величина и распределение давления на стенку сило¬ са (рис. 19.36,а) определяются интегрированием диф¬ ференциального уравнения равновесия слоя сыпучеготела, имеющего форму круглого диска толщиной du (рис. 19.36,6):FdqB = 7 Fdy —f0qr Udy ,где F — площадь поперечного сечения силоса;V—периметр диска.Интегрирование дает следующее выражение для нормального давления:Яг(19.34)где р = ; /о = tg<p0 .Таблица 19.9К вычислению нормативного давления qrккк0,020,0200,500,3930,980,6250,040,0390,520,4051,000,6320,060,0580,540,4171.100,6670,080,0770,560,4291,200^6990.100,0950,580,4401,300,7270,120,1130,600,4511,400,7530,140,1310,620,4621,600Л770,160,1480,640,4731,60о! 7980,180,1650,660,4831,700,8170,200,1810,680,4931,800,8350,220,1970,700,5031,900,8500,240,2130,720,5132,000,8650,260,2290,740,5232,200^8890,280,2440,760,5322,400^9090,300,2590,780,5422,600,9260.320,2740,800,5512,800,9390,340,2380,820,5593,000,9500,360,3020,840,5683,200,9590,380,3160,860,5773,400,9670.400,3300,880,5853,600,9730,420,3430,900,5933,800,9780,440,3560,920,6014,000^9820,460,3690,940,6095,000,9930,480,3810,960,6176,000,9988,001,000Нормальное вертикальное давление на любом уров¬ не равноЯгЯв =■Ki)Общий характер эпюры давления изображен на рис. 19.36,а. Наибольшие значения давлений получают¬ ся при у -► оо :(<7г)тах —ТРТР/о(^ь)шах — , tg2(19.35)Для облегчения расчетов с помощь» формулы(19.34)	приведена табл. 19.9 величин~ е	J в зависимости отk = L1Измерения в натуре, в особенности проведенные в 1938 1939 гг» С, Г, Тахтамышевым на зерновых сило*
19.12. ПРОВЕРКА НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ СЫПУЧЕГО ОСНОВАНИЯ ПО УСТОЙЧИВОСТИ87547/ >сах элеватора в Баку, а также лабораторные экспери¬ менты показали, что формула (19.34) дает удовлетво¬ рительные результаты лишь для случая, когда сыпучее тело в силосе находится в покое. Как только откры¬ вается выпускное отверстие в днище силоса, величи¬ на и распределение давления по вертикали и периме¬ тру силоса в большинстве случаев значительно отли¬ чаются от того, что предсказывает теория Янсена—Ке- нена. Результаты измерений в одном из опытов Тахта- мышева показаны на рис. 19.37. Характерно появление «бугров» давления (рис. 19.37,а) и значительной асим¬ метрии давления в поперечных сечениях силоса (рис. 19.37,6). Максимальные величины горизонтального дав¬ ления могут превосходить теоретические в 2—3 раза. Причины такого отклонения от симметрии и местных возрастаний давления пока неизвестны.Учитывая опытные данные, к формуле Янсена—Ке- нена вводят поправочные коэффициенты, большие еди¬ ницы. По «Техническим условиям проектирования сило- сов для сыпучих тел» (ТУ 124-56) при расчете нижней зоны стенок силосов на протяжение 2/з высоты стенки горизонтальное давление, вычисленное по формуле(19.34), умножается на поправочный коэффициент, рав¬ ный 2; на такой же коэффициент умножается верти¬ кальное давление при расчете днищ.В силосах для всех видов продовольственного зерна при расчете днищ и нижней зоны стенок высотой, рав¬ ной 0,15 от высоты силоса, а также при расчете стенок силосов для угля по всей бысоте поправочный коэффи¬ циент не вводится.19.12.	ПРОВЕРКА НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ СЫПУЧЕГО ОСНОВАНИЯ ПО УСТОЙЧИВОСТИЗадача об определении величины предельного дав¬ ления, которое может быть воспринято основанием, ре¬ шена В. В. Соколовским [9]. Это решение соответствует случаю наклонной нагрузки при наличии грунта осно¬ вания, обладающего сцеплением с, а также пригрузки по бокам фундамента, который в поперечном направ¬ лении рассматривается как бесконечно длинный. Для практических расчетов фундаментов на устойчивость можно воспользоваться следующим графоаналитиче¬ ским приемом, основанным на решении Соколовского[9]. Величина предельного значения ординат эпюры ре¬ активного давления выражается формулойР = Ktfh + кгс + К&Х .	(19.36)Коэффициенты К\, Кг, Кз определяются изтзбл. 19.10 для соответствующих значений угла внутреннего6)тттттттимi i 1Рис. 19.38трения грунта ю и угла наклона равнодействующей внешней нагрузки на фундамент к вертикали (рис. 19.38,а), причем Ь < . Построение предельной эпюры вертикальных давлений сводится к следующему.По формуле (19.36) вычисляется р{ при *=0 и Р2 при х—В. На рис. 19.39 они отложены соответственно из точек А и D графически в масштабе, причем р,=Ла1 и p2=Ddi. Чтобы получить ординаты эпюры ре¬ активных давлений pz=Dd2 при х—В и р4=Ла2 при х=0 (рис. 19,39), произвоцим вычисления по формулеР= Kt-tfi2 +К5С +Ket(B —х). (19.37)Значения коэффициентов Ка, Ks, Kt также берутся из табл. 19,10. После этого находится точка пересече¬ ния f линий axd\ и a2d2t ограничивающих ординаты пре¬ дельных эпюр. Расстояние AF замеряется графически. Полагая x=AFg можно по формуле (19,36). найти зна* чение
876РАЗДЕЛ 19. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫТаблица 19.10Значения коэффициентов К\—Ко в формулах (19.36) и (19.37)I —Ов град.К9=0°10°20°30°40°0Кх12,476,418,464,2Ка5,148,3414,830,175,3Кг00,462,9416,276,4к.12,476,418,464,2к,5,148,3414,830,175,3к.00,462,9416.276,410Кг1.54,6512,942,4Ка2,841020,649,3К30.171,326,9137,3к\1,657,7923,990,5к,3,6918,739,7105к60,615.4327,313620Кг2,097,9725,4Ка312,1 11 29,1#30,322,7215,2К43,0528,3117Ks5,6447,3139к05,594016030Кг2,7513,1Ка3,0224.4к30,434,28*46.71419,85167к*35.825140к,3,42я22,88Я30,4918,8*521,2Яв195Величина равнодействующей предельной эпюры ре¬ активных давлений представляется суммой площадей левой Aa\[F и правой Ff d2D трапеций, т. е.P = Pi + P2причемР1= +-# AF ;P^°Jb±llFD.Абсциссы центров тяжестей площадей этих трапеций, т. е. точек приложения сил Рi и Р2, находятся с помо¬ щью известного графического построения.Для нахождения положения центра тяжести левой трапеции AaifF по вертикали откладываются в мас¬ штабе вверх от точки а\ отрезок a,\f' = Ff и вниз от точ¬ ки F отрезок FA'=Aa\.Точки /' и А' соединяются прямой. Затем прово¬ дится прямая mn, соединяющая середины отрезков Аа\ и Ff. Пересечение тп и f'A' определяет точку прило¬ жения равнодействующей Р\. С помощью аналогичного построения определяется и точка приложения Р2. Рас¬ стояния от А до Р) и Р2 измеряются графически и обоз¬ начаются соответственно через 1\ и 12. Координата точ¬ ки приложения суммарной равнодействующей Р определятся из соотношенияРХ1Л + /у2В2(19.38)После этого следует сопоставить полученную эпюру с фактической, определяемой исходя из приложенного к фундаменту усилия N и момента М по формулам вне- центренного сжатия сопротивления материалов. Эксцен¬ трицитет е\=M/N. Очевидно, что в общем случае е\фе (рис. 19.38, 19.39). Для того чтобы учесть влияние экс¬ центрицитета на величину предельной нагрузки РПр, можно воспользоваться результатами эксперименталь-Порядок операций при попь * задании графикомРис. 19.40ных исследований [7]. Эти данные позволяют построить график (рис. 19.40) для определения Рпр=аА Ко¬ эффициент а определяется по этому графику следую¬ щим образом. По оси ординат откладывается с учетом знака отношение е/В, затем из этой точки восстанав¬ ливается ордината, равная единице, и из конца ее по ближайшей кривой справа (или по кривой, проведен¬ ной между двумя соседними с помощью интерполяции) устанавливается значение коэффициента , соответ¬ ствующее значению абсциссы е\/В. Если ел>е, то прини¬ мается <* = 1. Коэффициент запаса на устойчивость определяется как отношениеЭксцентрицитет относительно середины подошвы фундамента равенгде N — заданная вертикальная нагрузка.Формула для расчета несущей способности сыпучего основания под массивом с круглой подошвой (рис. 19.41), предложенная В. Г. Березанцевым, выведена из условия предельного напряженного состояния основа¬ ния и допущения о возникновении под подошвой фун¬
ЛИТЕРАТУРА877дамента уплотненного ядра в виде конуса с углом при вершине, равным 90е [5],<7 = (Ч7Л + ЧР) О + sincp) .Коэффициенты и е2 берутся из графика (рис. 19.42).Если предположить, что скольжение массива грунта может происходить по круглоцилиндрическим поверх¬ ностям, то можно воспользоваться решением М. И. Гор-бунова-Посадова и В. В. Кречмера [4], согласно кото¬ рому несущая способность равнаР = Р7Н2где 7 — объемный вес грунта основания; р — безраз¬ мерный коэффициент, определяемый по графику рис. 19.43 и зависящий от относительного заглубления hфундамента —г , а также угла внутреннего трения % В/2В—	— полуширина фундамента.ЛИТЕРАТУРА1.	Бернштейн М. С., Расчет конструкций с односторон¬ ними связями, Стройиздат, 1947.2.	Гвоздев А. А., Расчет несущей способности конструк¬ ций по методу предельного равновесия, Стройиздат, 1949.3.	Голушкевич С. С., Плоская задача теории предель¬ ного равновесия сыпучей среды, Гостехиздат, 1948.4.	Горбуно в-П о с а д о в М. И., К Р е ч м е р В. В., Графики для расчета устойчивости фундаментов, Госстройиздат, 19515.	Клейн Г. К-/ Строительная механика сыпучих тел, Гос¬ стройиздат, 1956.6.	Малышев М. В., Расчет несущей способности основа¬ ний сооружений. Научно-технический бюллетень «Основания и фундаменты» Научно-исследовательского института оснований и подземных сооружений АСиА СССР N° 22, 1959.7.	Ничипорович А. А. и Хрусталев Н. Я., Устой¬ чивость бетонных водоподпорных сооружений на нескальных грун¬ тах, Госстройиздат, 1957.8.	П р о к о ф ь е в И. П., Давление сыпучего тела и расчет подпорных стенок, Стройиздат, 1947.9.	Соколовский В. В., Статика сыпучей среды, Гос. изд техн.-теор. литератуоы, 1954.10.	Те rza ghi К.» Theoretical soil mechanics, 1943.11.	Урецкий Б. А., Портовые набережные, ОНТИ, 1938.
РАЗДЕЛ 20МЕХАНИКА ГРУНТОВ20.1.	ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРУНТОВ20.1.1.	Виды и свойства грунтовГрунтами называются горные пароды верхних сло¬ ев земной коры. Грунты как основания зданий и сооружений по НиТУ 127-55 подразделяются на сле¬ дующие виды:скальные — обладающие жесткой связью между зер¬ нами (спаянные и сцементированные) и залегающие сплошным массивом или трещиноватым слоем;полускальные—те же грунты с пределом прочности при сжатии в водонасыщенном состоянии менее 50 кг/см2 (мергели, окремненные глины, песчаники с глинисто- кремневым цементом и т, п.), а также размягчаемые и растворимые в воде (гипс, гипсовые песчаники и т.п.);крупнообломочные — несцементированные грунты, содержащие более 50% по весу обломков кристалличе¬ ских или осадочных пород крупнее 2 мм;песчаные — сыпучие в сухом состоянии грунты, не обладающие свойством пластичности и содержащие ме¬ нее 50% по весу частиц крупнее 2 мм;глинистые — связные грунты, обладающие свойством пластичности;макропористые — глинистые грунты, обладаю¬ щие в природном сложении видимыми невооружен¬ ным глазом порами, размеры которых значительно превосходят размеры частиц, составляющих скелет грунта;илы — глинистые грунты в начальной стадии своего формирования, образовавшиеся в виде структурного осадка в воде при наличии микробиологических про¬ цессов. Эти грунты имеют в природном сложении влажность, превышающую влажность на границе текуче¬ сти, и коэффициент пористости более 1 для супесей и суглинков и более 1,5 для глин.Крупнообломочные, песчаные и глинистые грунты являются продуктами выветривания горных пород ка¬ менной оболочки земли и представляют систему твер¬ дых минеральных частиц (скелет грунта), между ко¬ торыми имеются промежутки — поры, заполненные водой, газами или цементирующим веществом. Физико¬ механические свойства грунта зависят от свойств этих компонентов, их количественного соотношения и их взаимодействия.Твердые частицы грунта имеют различную круп¬ ность — от нескольких сантиметров до тысячных долей миллиметра — и различную форму — они могут быть кубовидными, призмовидными или пластинчатыми — уг¬ ловатыми или окатанными. В зависимости от условий образования и существования грунтов они приобретают определенную структуру (строение) и текстуру (сложе¬ ние).Структура грунтов характеризуется взаимным рас¬ положением отдельных частиц или их агрегатов. У песков различают рыхлую зернистую структуру, обра¬ зующуюся при свободном падении частиц, и плотную зернистую структуру, которую песок приобретает при встряхивании. У глинистых грунтов различают губча¬ тую структуру, образующуюся при свободном выпаде¬ нии частиц в воде, и хлопьевидную структуру, воз¬ никающую при осаждении с помощью коагули¬ рования коллоидных глинистых частиц размерами мень¬ ше 1 ££ •Текстура грунтов характеризуется расположением его структурных и механических элементов в отдель¬ ных пластах грунта. Различают: сыпучую текстуру, которой обладают несцементированные песчаные и крупнообломочные грунты; слоистую текстуру, харак¬ терную для озерно-ледниковых отложений с переме¬ жающимися тонкими глинистыми и песчаными слоями, для некоторых видов морских песков и для глинистых и илистых сланцев; Слитную текстуру, которой обла¬ дают ледниковые глины и суглинки, некоторые виды морских глин и илов и отчасти лессы и лессовидные суглинки.Вода в грунте бывает в различных состояниях:связанная вода — удерживается в грунте силами молекулярного притяжения и включает в себя »оду, конденсирующуюся на самой поверхности грунтовых ча¬ стиц в виде одного слоя молекул (гигроскопическая вода), и воду в виде слоя толщиной до 0,5 (пленоч¬ ная вода);свободная вода — заполняет частично или полно¬ стью поры грунта и находится в грунте в виде воды, удерживаемой в порах силами капиллярного натяже¬ ния (капиллярная вода), и воды текучей (гравитацион¬ ная вода);водяной пар — заполняет все свободные поры грунта;лед — образуется при температуре ниже 0°.Глинистый грунт, содержащий только гигроскопи¬ ческую воду и прочно связанную пленочную воду, находится в твердом состоянии. При наличии слабо связанной пленочной воды глинистый грунт приходит в пластическое состояние, а при наличии еще и запол¬ няющей поры свободной воды грунт переходит в со¬ стояние грунтовой массы.Взаимодействие твердых минеральных частиц грун¬ та с водой вызывается электромолекулярными си¬ лами;В порах грунтов может находиться также газооб¬ разная фаза в виде воздуха, сообщающегося с атмо¬ сферой, или защемленных газов. В этом случае грунт является трехкомпонентной (трехфазной) системой [3].
880РАЗДЕЛ 20. МЕХАНИКА ГРУНТОВ20.1.2. Характеристики физических свойств и физического состояния грунтовГранулометрический (зерновой) состав — относи¬ тельное содержание в грунте частиц различной круп¬ ности, выраженное в процентах от общего веса образца.В зависимости от гранулометрического состава крупнообломочные и песчаные грунты подразделяются на следующие виды (табл. 20.1) [14].Таблица 20.1 Виды крупнообломочных и песчаных грунтовВиды грунтовРаспределение частиц грунта по крупности в % от веса сухого грунтаА. Крупнообломочные грунтыЩебенистый (при преобладании окатанных частиц—галечнико- вый)Дресвяный (при преобладании ока¬ танных частиц—гравийный)Б. Песчаные грунтыГравелистый песок Крупный песок Песок средней крупности Мелкий песок Пылеватый песокКрупнее 10 мм более 50% Крупнее 2 мм более 50%Крупнее 2 мм более 25% Крупнее 0,5 мм более 50% Крупнее 0,25 мм более 50% Крупнее 0,1 мм более 75% Крупнее 0,1 мм менее 75%Для установления наименования грунта последо¬ вательно суммируются проценты содержания частиц исследуемого грунта: сначала крупнее 10 мм, затем крупнее 2 мм, далее 0,5 мм и т. д. Отнесение грунта к тому или иному виду производится по первому удовлетворяющему показателю в порядке расположе¬ ния наименований в табл. 20.1.Пористость п — отношение объема пор в данном объеме грунта к общему объему. Иногда пористость выражается в процентах.Коэффициент пористости — отношение объема пор к объему твердых частиц грунта:1— пили п =1 + е(20.1)В зависимости от величины коэффициента пористо¬ сти песчаные грунты разделяются на плотные, средней плотности и рыхлые (табл. 20.2),Таблица 20 .2Коэффициенты пористости е песчаных грунтов различной плотностиВиды песчаных грунтовПлотность сложенияплотныесреднейплотностирыхлыеПески гравелистые, круп¬ ные и средней круп¬ ности 	Пески мелкие 	е<0,55=<0,6£<0,60,55<е<0,65 0,6 <е<0,7 0.6 <£<0,8£>0,65е>0,7е>0,8Весовая влажность W — отношение веса воды в по¬ рах грунта к весу его твердых частиц Г9]; может быть выражена в процентах.Степень влажности G — доля заполнения объема пор водой;G =(20.2)где у —удельный вес материала частиц грунта, ко¬ торый для большинства минералов, входя¬ щих в состав грунта, колеблется в пределах 2,6—2,8 г/см3, а для органических веществ 1,2—1,6 г/см3\7® — удельный вес воды, принимаемый рав¬ ным 1 г/см3.Песчаные, а также глинистые макропористые грун* ты называются маловлажными, если 0<С<0,5; очень влажными,— если 0,5<G<0,8; насыщенными водой,— если 0,8< С? С1.Объемный вес грунта ус — вес единицы объема грунта в его естественном состоянии, т. е. включая вес воды в его порах (г/см3 или т/м3) [11]:7, = -iL- (1 + W) .	(20.3)1-МОбъемный вес скелета грунта ус — вес единицы объема грунта за вычетом веса воды в его порах (г/см3 или т/м3):Тс =То1 + WОбъемный вес грунта, взвешенного в воде: 7B33 = J^L.1 + с(20.4)(20.5)Граница раскатывания (пластичности) Wр — весо¬ вая влажность, при которой сопротивление грунта де¬ формации резко возрастает и он переходит в твердое состояние. При этой влажности на кривой зависимо¬ сти между влажностью и деформацией при постоян¬ ной . нагрузке, построенной в полулогарифмической сетке, наблюдается точка перелома, а тесто, изготов¬ ленное из грунта и воды, раскатываемое в жгут тол¬ щиной 3 мм, начинает крошиться [12].Граница текучести WT —весовая влажность, при которой почти полностью исчезает сцепление между частицами грунта и он переходит в текучее состояние. При этой влажности конус весом 76 г погружается под влиянием собственного веса в грунтовое тесто на глубину 10 мм [13]. Весовые влажности на границе раскатывания и на границе текучести выражаются в процентах.Число пластичности Wn — разность между весовы¬ ми влажностями на границе текучести и границе рас¬ катывания.В зависимости от числа пластичности мелкозерни¬ стые грунты подразделяются на виды (табл. 20.3).Таблица 20.3 Виды грунтов в зависимости от числа пластичностиВиды грунтовЧисло пластичностиПесок . . Супесь . Суглинок Глина . .№'п<1 l<Wn<7 7<U7n<17 W„> 17
20.1. ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРУНТОВ* 881В зависимости от величины коэффициента консистен- п W~ции В= 	—	глинистые грунты разделяются на:vvnтвердые (£<0), тугопластичные (0<£<0,5), пла¬ стичные (0,5<£ < 0,75), мягкопластичные (0,75<В < 1) и текучие (£>1).Гранулометрический состав, объемный вес, удель¬ ный вес частиц, природная весовая влажность, грани¬ ца раскатывания и граница текучести грунта опреде¬ ляются опытом. Остальные характеристики, приведен¬ ные выше, вычисляются по формулам.Коэффициент фильтрации К — скорость фильтра¬ ции при гидравлическом уклоне (градиенте), равном единице (см!сек).Примерные расчетные значения коэффициентов фильтрации различных грунтов приведены в табл. 20.4 [27].Таблица 20.4 Коэффициенты фильтрации грунтовВиды грунтовКоэффициент фильтрации К в см'.секВиды грунтовКоэффициент фильтрации К в см!секКрупнообло¬ мочный Крупный пе¬ сок Песок сред¬ ней круп¬ ности, ило¬ ватый грунт	1 Мелкий пе-1-10 —1-10 сок, торфя- О 1 нистый грунт Ы0 -1-10 СупесьСуглинок1-10 3—Ы0”2|| Глина1 • 10 **—1 • 10 ^ 1 - ю 15-мо-3 мо-7_1.,о~5 <110—7Чтобы выразить коэффициенты фильтрации в см/год, можно принять, что 1 см/сек ж 3,2.107 см!год.20.1.3.	Сопротивление грунтов сдвигуДля определения сопротивления грунтов сдвигу обычно применяются односрезные приборы Н. А. Цы-товича, А. А. Ничипоровича, М. Н. Троицкой, Н. Н Мас¬ лова, И. М. Литвинова и др. Образцы берутся с нарушенной или ненарушенной структурой в зависи¬ мости от условий работы грунта в самом сооружении или в основании сооружения. Зависимость между ве¬ личиной нормального сжимающего напряжения о и сопротивлением грунта сдвигу t, по данным опытов^, имеет вид кривой, которая называется диаграммой сдвига (рис. 20.1). Для целей практики кривую заме¬ няют прямой, принимая, что сопротивление грунтов сдвигу подчиняется уравнению (см. 19.3).x==a3tg<p + c> (20.6)где аэ— эффективное, т, е. передающееся на скелет грунта, нормальное сжимающее напряжение на площадке сдвига;56 Зак. 2098<р — угол внутреннего трения грунта; с — удельное сцепление в кг/см2.Величины <р и с не являются физическими постоян¬ ными связного грунта и должны рассматриваться лишь как математические параметры прямой, апрок- симирующей кривую сдвига.Сопротивление грунта сдвигу зависит от влажности, плотности, крупности частиц, величины перемещения и скорости нагружения. При неполном насыщении пор связного грунта водой (С<0,8) сопротивление сдвигу резко повышается.Угол внутреннего трения песчаных грунтов увели¬ чивается с увеличением их плотности и крупности зе¬ рен. Пески, однородные по гранулометрическому со¬ ставу, а также пески с окатанными зернами, имеют меньшие углы внутреннего трения, чем пески разно¬ родного состава и пески с угловатыми зернами.Сцепление грунта обусловливается наличием це¬ ментирующего вещества и силами поверхностного на¬ тяжения воды, частично заполняющей поры грунта. Поверхностное натяжение тем больше, чем меньше размеры пор. Некоторое сцепление (зацепление) между частицами грунта возникает благодаря тому, что ча¬ стицы зацепляются друг за друга своими неровностями и взаимно заклиниваются. Влияние зацепления тем больше, чем больше плотность сыпучего грунта.Таблица 20.5Нормативные значения углов внутреннего трения(Тн) и удельного сцепления (параметра линейности) (сн) песчаных грунтов1X ,Виды песков и величины <рн в град, и с,н в кг/см?Я НЯ УЯ SSI-гравелистые и крупныесреднейкрупностимелкиепылеватыеКозтысти<РНгнргнн9сн<РНсн0,70,60,53840430,010,023538400,010,020,033236380,020,040,063034360Г040.060,061 См. также раздел 19.2, табл. 19.3.Рис. 20.2. Графики для определения коэффициента внутреннего трения и сцепления связного грунта нару¬ шенной структуры при G= 1 1 — для грунтов с 0,6 <ет< 0,9; 2 — то же, с 1,2 < ет < 1,8; 3 — то же, с 2,1 < ет <2,5
РАЗДЕЛ 20. МЕХАНИКА ГРУНТОВНормативные значения углов внутреннего трения песчаных грунтов приведены в табл. 20.5. Расчетные значения углов внутреннего трения по [14] берутсяМеНСредниеНа значения углов внутреннего трения со¬ ставляют: для глин 15-18°, для суглинков-17-22,^Углы^внутреннего трения и величины сцепления связных грунтов нарушенной структуры м°гуТ. бь'ть приближенно определены по графикам В. С. Истоми ной (dhc. 20.2) в зависимости от отношения е/ет (где ет— коэффициент пористости на границе текуче¬ сти) .Нормативные значения удельного сцепления: для глин0	36—0 94 кг)см2\ для суглинков 0,08—0,5 кг/см и для супесей 0,06—0,4 кг/см2. Расчетные значения удельного сцепления берутся в 2—4 раза меньшими.20.1.4.	Сопротивление грунтов разрывуДля определения сопротивления связного грунта разрыву (сцепления при разрыве) применяются об¬ разцы в форме восьмерки. Сопротивление разрыву Ср, зависящее от характера грунта и его состояния, может быть приближенно определено по графикам В. С. Истоминой (рис. 20.3)«Рис. 20.3. График для определения сопротивления разрыву связного грун¬ та нарушенной структуры при G= 1 7 — для грунта с ет=0,6; 2 — то же, с ет=1,1;3 — то же, с £т = 2,1При влажности, близкой к границе текучести (WzzWT), сопротивление грунта разрыву может быть приближенно определено по формулеср «	кг/см2,	(20.7)<*80где dsо —диаметр в мм таких частиц, меньше которых по диаметру в грунте содержится 80% по весу.Сопротивление грунта при всестороннем растяже¬ нии связано с величиной удельного сцепления с и с углом внутреннего трения <р теоретической зависи¬ мостьюСр =tg?(20.8)20.1.5.	Виды деформаций грунтаИзменение кинематического состояния грунта при действии на него внешних сил проявляется в его де¬ формации. Следует различать два основных вида де¬ формаций грунта [16].Восстанавливающиеся деформации возникают: 1) в результате перемещений узлов кристаллической ре¬ шетки минералов, слагающих грунты, при отсутствии взаимных перемещений соседних структурных элемен¬тов грунта; 2) при изменении толщин водных пленок в контактах между структурными элементами грунта. Если напряжения в контактах превышают влияние сил адсорбции, происходит вытеснение молекул воды из мест контактов и обусловленная этим деформация сжатия. Если, наоборот, влияние сил адсорбции превы¬ шает действие контактных напряжений, происходит утолщение пленок воды, вызывающее набухание. В глинистых грунтах деформации этого вида составляют основную по размерам часть восстанавливающихся деформаций.Остаточные деформации возникают вследствие из¬ менения взаимного расположения структурных элемен¬ тов грунта. Эти деформации при • изменении пористо¬ сти сопровождаются изменением объема грунта (струк¬ турные деформации), а при взаимных сдвигах частиц текучих и пластичных грунтов могут протекать без из¬ менения объема грунта (псевдопластические деформа¬ ции). Остаточные деформации по своей величине могут быть во много раз больше упругих.Деформации глинистых грунтов, связанные с вытесне¬ нием воды из пор, протекают длительно и могут про¬ должаться десятки лет.20.1.6.	Зависимость между давлением и коэффициентом пористостиКомпрессионное испытание грунта — испытание его на сжатие за счет уменьшения пористости — произво¬ дится для образцов с нарушенной или ненарушенной структурой при невозможности бокового расширения.Рис. 20.4. Компрессионные кривые1 — кривая уплотнения; 2 — кри¬ вая набуханияДля испытания применяются компрессионные приборы (одометры и другие), позволяющие установить зави¬ симость между давлением р, оказываемым на образец грунта, и его относительным укорочением е. Послед¬ няя величина связана с коэффициентом пористости е уравнением<?=	,	(20.9)1	+ £огде е о — начальный коэффициент пористости.Зависимость между давлением р, производимым на грунт, и его коэффициентом пористости е изобра*
20.1. ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРУНТОВ883жается компрессионной кривой (рис. 20.4). Основная ветвь этой кривой, соответствующая процессу нагру¬ жения (кривая уплотнения), достаточно точно описы¬ вается уравнением(20.10)е — С — А (рс + р)1 п,гдер — интенсивность давления, оказывае¬ мого на грунт; е — коэффициент пористости, соответст¬ вующий этому давлению;Л, С, рс и п — параметры кривой, зависящие от ро¬ да грунта и определяемые из о(пыта„ В среднем для сухого песка п—0,5, а для влажно¬ го л=0,65.Рис. 20.5. Компрессионные кривые при разных значениях параметрам/ _ п=0; 2 — 0 < п < 1; 3 — п-1\4 — \ < п <2\- 5 — п = 2В частном случае, когда параметр п принимается равным единице, вместо уравнения (20.10) нужно пользоваться следующим1:е = С — A ln(pc-fp).	(20.11)В зависимости от величины параметра п формула (20.10) дает для апроксимации кривой уплотнения уравнения: прямой (п—0), параболы (0</г<1), обоб¬ щенной гиперболы (1</г<2) и гиперболы (п—2), а формула (20.11)—уравнение логарифмической кривой (рис. 20.5).В небольшом интервале изменения давлений (до 1-^3 кг1см2) участок кривой можно заменить отрезком прямой (рис. 20.6), что позволяет написать зависи¬ мость [6]е = е0 — ар	(20.12)■лиei — t2 = а (р2 — Pi),где so—отрезок, отсекаемый продолжением прямой на оси ординат;•i и е2— коэффициенты пористости грунта при дав¬ лениях р\ и р2;a=tg а— коэффициент уплотнения в данном интер¬ вале изменения давлений (см2]кг).Для предварительных расчетов коэффициент уплот¬ нения связных грунтов может быть найден в зависи¬ мости от коэффициента пористости е и границы рас¬ катывания Wр по графику М. И. Горбунова-Посадо'ва (рис. 20.7).1 Формулы (20.10) и (20.11) получены в результате интегрирова- ..	d£ A (rt — 1)	ds■ия дифференциальных уравнений 	 = 		 и 			dp (Рс+Р)п dp— АКонсолидацией называется процесс уплотнения грунта, сопровождающийся изменением влажности в связи с вытеснением воды из пор грунта. При этом часть полного сжимающего напряжения (а), действую¬ щего в некоторой точке грунта, передается на скелетРис. 20.6. Замена участка кривой уплотнения отрезком прямойгрунта (эффективное напряжение сэ), а часть — на воду, находящуюся в порах (нейтральное давление ив). Нейтральное давление определяется пьезометри* ческой высотой в рассматриваемой точке.а см2/керс+рРис. 20.7. График для определения коэф¬ фициента уплотнения связного грунта с границей раскатывания 5 < Wp < 35Процессы уплотнения и консолидации грунта необ¬ ратимы, так как они связаны главным образом со структурными и псевдопластическими деформациями. Поэтому, кривая разгрузки, носящая название кривой набухания, не совпадает с кривой уплотнения, а про¬ ходит ниже ее. Кривая набухания может быть выра¬ жена такими же уравнениями, что и кривая уплотне¬ ния, но при других значениях параметров А, С, рс и п.При повторных нагружениях после разгрузок отме¬ чается явление гистерезиса, заключающееся в том, что кривые повторных нагружений не совпадают с кривыми предыдущих разгрузок, а образуют с ними петли.'При сжатии грунта в условиях невозможности бо¬ кового расширения увеличение вертикального давле-56*
«84РАЗДЕЛ 20. МЕХАНИКА ГРУНТОВ«ия вызывает соответствующее увеличение бокового давления. Отношение приращения бокового давления грунта к приращению вертикального давления в усло¬ виях отсутствия бокового расширения называется коэффициентом бокового давления:5 = — .	(20.13)dptiгде рг—боковое (горизонтальное) давление;рв— вертикальное давление.Интегрирование выражения (20.13) приводит к за¬ висимостирг = £рв + р0;	(20.14)вдесь ро — начальное боковое давление.Коэффициент бокового давления для разных грун¬ тов ориентировочно принимается равным: для пес¬ ков— 0,41, для супесей — 0,45, для суглинков — 0,59 для глин — 0,70. Коэффициент бокового давления песчаных грунтов увеличивается с уменьшением плотности грунта, а связных грунтов — с увеличением влажности и умень¬ шением структурной прочности грунта.20.1.7.	Зависимость между давлением на грунт и его осадкойОпределение осадок грунта под жестким штампом может производиться как в полевых, так и в лабора¬ торных (в лотке) условиях. Для устранения вредногоа)	6)Рис. 20.8. Графики вдавливания штампаа — первичный график циклического нагружения и разгрузки штампа; б — преобразованный график зависимости восстанавливающихся, остаточных и пол¬ ных осадок от среднего давления под штампомвлияния неплотности контакта между подошвой штам¬ па и грунтом бетонные штампы должны изготовляться на месте их установки; металлические штампы устанав¬ ливаются на слое быстротвердеющего цементного рас¬ твора, а при низкой температуре — на слое парафина*При возрастании нагрузки на штамп грунт основа¬ ния последовательно проходит три стадии сопротив¬ ления:а)	стадию уплотнения, характеризующуюся зависи¬ мостью между давлением и осадкой, близкой к линей¬ ной; в этой стадии осадки, носящие затухающий во времени характер, происходят в основном за счет вер¬ тикального перемещения частиц, связанного с умень¬ шением пористости грунта;б)	стадию сдвигов, в которой не затухающие с те¬ чением времени осадки, связанные нелинейной зависимостью с нагрузкой, происходят не только за счет вертикальных, но и за счет горизонтальных пере¬ мещений частиц грунта;в)	стадию выпирания, которая наступает внезапно и связана с перемещениями частиц грунта не только в стороны, но и вверх.При вдавливании штампа возникают восстанав¬ ливающиеся и остаточные деформации. После раз¬ грузки под штампом остается так называемая лунка. Повторные нагружения и разгрузки штампа изобра¬ жаются графиком с петлями гистерезиса (рис. 20.8,а). Этот график может быть преобразован и представленРис. 20.9. Осадки поверхности песчаного грунта при вдавливании штампа (по опы¬ там И. И. Черкасова)/—первое нагружение; // — повторное нагружение; а — полные осадки; б — восстанавливающиеся осадки; в — остаточные осадкив виде трех кривых (рис. 20.8,б), одна из которых изображает восстанавливающуюся осадку штампа (Ав), вторая остаточную (Ао) и третья — полную (Д ). Во многих случаях кривая восстанавливающихся осадок близка к прямой. Кривизна линии остаточных осадок зависит от нелинейной связи их с нагрузкой* Для выражения этой связи применяется формула [33]«A0=D^,	(20.15)Гд0 р — среднее удельное давление под штампом в /сг/см2;А — число твердости грунта в кг/см2;m — степень упрочнения;D — диаметр штампа.'Параметры А и m определяются из опытов. При этом 0<т<1 и 0<Л<оо. Оба параметра возрастают с увеличением плотности грунта.Принимается, что восстанавливающиеся осадки штам¬ па подчиняются законам теории упругости.
20.1. ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРУНТОВ885Кривые последующих нагружений в диапазоне ранее приложенных нагрузок почти прямолинейны и более пологи, чем кривая первого нагружения. Это явление вызвано упрочнением. За пределами ранее приложенной нагрузки кривая последующего нагру¬ жения служит продолжением кривой первого нагруже¬ ния. Упрочнение возникает вследствие разрушения острых контактов и увеличения общего количества контактов при переходе структурных элементов грунта в более устойчивое положение. В связных грунтах упрочнение может возникнуть вследствие коллоидно- химических процессов, приводящих к увеличению сцеп¬ ления между частицами грунтового скелета и к це¬ ментации [16, 33].Упрочненные грунты в пределах упрочнения харак¬ теризуются относительно меньшими остаточными деформациями и по своим свойствам приближаются к упругим телам.При нагружении штампа, установленного на поверх¬ ности грунта, кроме осадок самого штампа, наблюда¬ ются также осадки грунта за пределами нагруженной площади. После разгрузки остаточные деформации сохраняются главным образом только под шта-мпом. За его пределами осадки оказываются в основном восстанавливающимися и связанными линейной зави¬ симостью с нагрузкой. Затухание осадок поверхности песчаного грунта с удалением от штампа (рис. 20.9) происходит значительно более интенсивно, чем соот¬ ветствующее затухание теоретически вычисленных вертикальных перемещений поверхности упругого од¬ нородного и изотропного полупространства.20.1.8.	Механические модели грунтаМеханическая модель грунта должна отражать его основные свойства и быть в то же время свободной от второстепенных деталей, не играющих существенной роли в изучаемом явлении или рассматриваемой задаче.Разнообразие грунтов, связанное с условиями их формирования и существования, не позволяет обойтись во всех случаях какой-либо одной механической мо¬ делью. Поэтому в механике грунтов находят приме¬ нение несколько механических моделей: сплошная среда (линейно или нелинейно деформируемая); сыпучее тело (идеальное и связцое)1; грунтовая масса, т. е. двухкомпонентная система, состоящая из грунтового скелета, с порами, заполненными водой; трехкомпонент¬ ная система в виде скелета с порами, заполненными водой и газом; дисперсная система, подчиняющаяся статистическим закономерностям, и др. Выбор механи¬ ческой модели должен быть сделан в каждом кон¬ кретном случае в зависимости от вида грунта, его состояния, условий работы и от поставленной задачи. При этом решающим фактором является основной вид внутренних связей грунта как системы, состоящей из отдельных структурных элементов.Грунты, лишенные естественного сцепления, напри¬ мер насыпные, независимо о г условий их первоначаль¬ ного формирования могут рассматриваться как сыпу¬ чие тела.Любой грунт, находящийся ггод действием нагрузки в состоянии устойчивого равновесия, может рассмат¬ риваться как сплошная упругая линейно или нелинейно деформируемая среда. Наоборот, любой грунт, дове¬ денный до состояния предельного равновесия, соответ¬ ствующего механическому разрушению связей, может рассматриваться в качестве сыпучего тела.Механическая модель сплошной среды в свою оче¬ редь может быть подразделена на ряд механическихмоделей частного вида. Среди них для расчета осадок грунта и сооружений на грунтовом основании могут быть применены1:а)	модель, предложенная Фуссом и Винклером, ха¬ рактеризующаяся пропорциональностью между давле¬ нием р на граничную поверхность грунта на данной площадке и ее местной осадкой А , т, е.Д= - ,	(20.16)Кгде k — коэффициент постели в кг/см3; можно еще дополнительно принять, что модель способ* на сохранять остаточные деформации при увеличении давления выше определенного предела;б)	упругое однородное и изотропное полупростран¬ ство, характеризующееся осадками не только под загруженной площадью, но и за ее пределами; в раз¬ витие и уточнение этой модели могут быть использо¬ ваны: упругое изотропное неоднородное полупростран¬ ство с непрерывно изменяющимся по глубине модулем упругости, упругое изотропное разнослойное по глуби-* не полупространство и упругое анизотропное полупро¬ странство, в том числе ортотропное, обладающее раз¬ ными модулями упругости в вертикальном и горизон¬ тальном направлениях;в)	различные комбинированные модели, большинст¬ во из которых сочетает свойства двух более простых моделей и характеризуется одновременно наличием об¬ щих и местных осадок.Каждая модель может иметь свою область приме* нения. Однако границы между ними четко не уста*$Рис. 20.10. Механическая модель комбинированного грунтового осно¬ ванияа — преобразованный график вдавливания штампа; б — модель до нагружения штампа; в — модель при нагружении штампа; г — мо¬ дель после разгрузки» См. 19.11 Расчет балок и плит на упругом основании см. в разделе 215 см. также 5.5.6.
886РАЗДЕЛ 20. МЕХАНИКА ГРУНТОВновлены. Наиболее полно свойства природного грунто¬ вого основания отражаются комбинированной моделью в виде полупространства, материал которого способен к одновременному развитию упругих осадок общего характера и остаточных осадок местного характера. В области восстанавливающихся осадок модель подчи¬ няется законам теории упругости (для однородного, неоднородного по глубине, разнослойного или анизот¬ ропного полупространства) с линейной зависимостью между давлением и осадками. Преобразованный гра¬ фик вдавливания штампа и характер осадок граничной плоскости этой модели показаны на рис. 20.10. При этом в области остаточных деформаций криволинейная зависимость между давлением и осадками для упро¬ щения заменяется ломаной (пунктирная линия), т. е. основание рассматривается как упруго-пластическое тело с линейным упрочнением.Полная осадка любой точки поверхности модели под загруженной площадкой равна сумме восстанав¬ ливающейся Дв и остаточной • А0 осадок:А = Дв + Д0 .(20.17)За пределами загруженной площадки остаточные осадки модели принимаются равными нулю [33].20.1.9.	Зависимость между напряжениями и деформациями грунтаОбщий закон деформации грунта, рассматриваемо¬ го в качестве сплошной среды [6], выражается двумя тензорными зависимостями:dTa=C1dTe; dDa=C2dDe,(20.18)где Т а— шаровой тензор напряжений;Те—шаровой тензор деформаций;Da—девиатор напряжений;De— девиатор деформаций.Коэффициенты Ci и Сг зависят от состояния грунта и могут быть выражены через коэффициенты уплот¬ нения а и бокового давления 6, соотве1ствующие данному состоянию грунта:(1+26)(1~Ье)	. (1—£)(1_|_е)	1	С2= 		-. (20.19)CL	dс1 =Уравнения (20.18) устанавливают линейную зави¬ симость между приращениями компонентов тензора «апряжений и компонентов тензора деформаций, со¬ ответствующими изменению напряженного состояния Я'рунта.Модуль деформации (сжимаемости) и коэффициент Пуассона грунта в зависимости от коэффициентов С] и Са выражаются формуламиЗС1С22 Сг + С22Сх -j- С2(20.20)В общем случае модуль деформации и коэффи¬ циент Пуассона грунта являются величинами перемен¬ ными, зависящими от вида грунта, его состояния, де¬ формации, испытываемой грунтом, и величины дав¬ ления.Исходя из данных испытания грунта на сжатие при отсутствии бокового расширения, модуль дефор¬ мации и коэффициент Пуассона выражаются форму¬ лами:£ = !1 + ео.1 + 6(20.21).где 6—коэффициент бокового давления;£о— начальный коэффициент пористости; а — коэффициент уплотнения;(1-6)(1 +26) ?"21 + 61-ц(20.22)Коэффициент Р принимается равным: для пес¬ ков — 0,76, для супесей — 0,72, для суглинков — 0,57, для глин — 0,43.Модуль деформации однородного по составу грунта возрастает с глубиной под действием веса вышележа¬ щих масс этого грунта. На глубине z модуль деформа¬ ции выражается формулойE(z)= Kiv+c ctg?)",	(20.23)где с — удельное сцепление;<р — угол внутреннего трения;7—объемный вес грунта;К — коэффициент пропорциональности, который, так же как и показатель п, может быть уста¬ новлен по данным глубинных испытаний.Быстрый рост модуля деформации грунта с глу¬ биной подтверждается экспериментальными исследо¬ ваниями.На данном этапе развития механики грунтов для определения стабилизированных напряжений и дефор¬ маций грунтов при действии на них нагрузок широко применяется положение о линейной деформируемости.Принимается, что при небольших изменениях дав¬ лений допустимо рассматривать грунты как линейно деформируемые тела, т. е. считать для них зависи¬ мость между напряжениями и деформациями линей¬ ной. В действительности грунт является линейно де¬ формируемой средой только в определенных условиях, связанных с его формированием и загружениями.В ряде задач, например для определения осадок при больших размерах загруженных площадей, приб¬ лиженно учитывается зависимость модуля деформации грунта от напряженного состояния, так как принятие постоянного значения для модуля деформации приводит к преувеличению расчетных осадок.Ориентировочные расчетные значения модулей де¬ формации грунтов приведены в табл. 20.6.В окончательных расчетах следует пользоваться численными значениями модулей деформации, найден¬ ными путем испытания статической нагрузкой грунтов, непосредственно залегающих под подошвой фундамен¬ тов, если наименьший размер подошвы фундамента не превышает 3 м и если на глубину до 2 м залегают грунты, однородные по своей сжимаемости. При разме¬ рах подошвы фундамента, больших 3 м, по [14] берут¬ ся средневзвешенные значения модулей деформации, полученные по данным глубинных испытаний.Для определения модуля деформации грунта по ре¬ зультатам полевых испытаний грунта штампом приме¬ няется формула(20.24)где Р — нагрузка на штамп в кг\А—конечная осадка штампа в см, соответствую¬ щая этой нагрузке;
20.2. РАСЧЕТ ОСАДОК ОСНОВАНИЙ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ887D — диаметр штампа в см\(х — коэффициент Пуассона грунта.Для одного и того же грунта формула (20.24) при¬ водит к большим расчетным значениям модуля дефор¬ мации, чем формула (20.21), так как, с одной стороны, компрессионные испытания грунтов не воспроизводят полностью условий сжатия грунта в массиве, а, с дру¬ гой стороны, формула (20.24) не учитывает неоднород¬ ность грунта по глубине и его нелинейную деформи¬ руемость, т. е. изменение самого модуля деформации в зависимости от напряженного состояния основания.Таблица 20.6Модули деформации грунтовВиды грунтовМодуль де¬ формации Е в кг см2А. КрупнообломочныеГалечниковый и гравийный	Щебенистый	Дресвяный 	Гравелистый, песок£ = 0,5 . . .£ - 0,6 . .^ - 0.7 .* . .Мелкий песок £ = 0,5 £“0,6 £-0,7 ; ; ; Пылеватый песок £-0,5•’ • •6 - 0.7 .Б. Песчаные крупный и средней крумпостиСупесь:0,4 <е <0,5 . 0,5 < в < 0,6 . 0,6 < е < 0,7 . 0,7 < £ < 0,8 . Суглинок:0,5 < £ < 0,6 . 0,6 < £ < 0,7 . 0,7 < е < 0,8 . 0,8 < с < 0,95 0,95 < * < 1,10 Г лина:0,7 < г < 0,8 . 0,8 < е < 0,95 0,95 < s < 1,1 .В. ГлинистыеГ. Ил и торф650550420460400330370280240140120100450—230210-160150120390330—180190—130130—10090—80280240—160140—11040—20Коэффициент Пуассона (х принимается равным: для песчаных грунтов — 0,29, для супесей—0,31, для су¬ глинков — 0,37, для глин — 0,41.20.2. РАСЧЕТ ОСАДОК ОСНОВАНИЙ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ20.2.1. Принципы расчетаРасчет оснований по деформациям (точнее — по пе¬ ремещениям) обязателен для всех зданий и сооруже¬ ний1. Он производится на воздействие нормативных на-1 Расчет оснований на устойчивость (точнее—на прочность) про изводится при наличии регулярно действующих горизонтальных на грузок, а также для оснований, ограниченных откосами. О расчете оснований на устойчивость см. 19.12.грузок и имеет целью ограничить деформации надфун- даментных конструкций допустимыми для них преде¬ лами. Вертикальные перемещения оснований подразде¬ ляются на два вида:просадки — перемещения, вызываемые коренным изменением структуры макропористых грунтов при их замачивании, уплотнением рыхлых песчаных грунтов вследствие сотрясения, выпиранием грунта из-под со¬ оружения и т. п.;осадки — перемещения, происходящие вследствие изменения действующих нагрузок и не сопровождаю¬ щиеся коренным изменением структуры грунта; осадка, соответствующая окончательной стабилизации процес¬ са уплотнения грунта, который в связных грунтах про¬ текает очень медленно, называется полной.Для определения осадок по рекомендованному НиТУ 127-55 методу предварительно требуется найти распре¬ деление вертикальных сжимающих напряжений в грун¬ те. При этом если глубины распространения областей основания, находящихся в состоянии предельного рав¬ новесия, не превосходят У4 ширины фундамента при центральной нагрузке и V? при внецентренной, то для оснований зданий и промышленных сооружений до¬ пускается исходить из решений теории упругости для однородного и изотропного полупространства.Для того чтобы области предельного равновесия грунта не распространялись глубже XU и 7з ширины прямоугольного фундамента, среднее давление, пере¬ даваемое им на грунт основания, не должно превы¬ шать:при центральной нагрузкер./«=яТГо7о tg <f++ То* = (Ас + Bh) io + Dca\	(20.25)при внецентренной нагрузке«То I с Р‘1, =	'*	ТТ.ctg ?н — -у(-+ h -снTfo tg <рн++ l,h = (A1c + Bh)i0 + Dc»,(20.26)где <рн и сн— нормативные угол внутреннего трения и удельное сцепление грунта, залегаю¬ щего непосредственно под подошвой фундамента;7о— объемный вес грунта, залегающего вы¬ ше подошвы фундамента; с — меньшая сторона прямоугольной по¬ дошвы фундамента; h — глубина заложения фундамента от природного уровня грунта.Значения безразмерных величин Л, А\, В и D при¬ ведены в табл. 20.7.Для определения осадок теоретически могут быть применены различные принципы, например:а)	интегрирование осадок в пределах от нуля до бесконечности, т. е. в предположении, что грунтовой массив простирается до бесконечности и сжимается на всю глубину;б)	ограничение сжимаемой толщи только верхними слоями грунта (по НиТУ 127-55).Сжимаемая толща принимается до той глубины he ниже подошвы фундамента, на которой дополнитель¬ ное (к бытовому) давление в грунте от сооружения (ас ) составляет 20% от бытового давления (аб#е ) са¬ мого грунта на данной( глубине (рис. 20.11). Бытовое давление принимается равным весу толщи грунтов, ле-
888РАЗДЕЛ 20. МЕХАНИКА ГРУНТОВТаблица 20?<РНЛА\ВD*1ВD<рНЛА 'ВD0001,°3,0160,40.52,45,0321,41,86,38,52001,13,3180,40,62,75,3341.62,17.29,2400,11 23,5200,50,73,15,6361,82,48,210,060,10,11.43,7220,60,83.46,0382,12,89,410,380,10,21,63,9240,71,03.96,5492,53,310,811,8100,20,21,74,2260,81,14,46,9422,93,812,712,8120/20,31,94,4281,01.34,97,4443,44,514,514,0140,30,42,24.7301,21,55,68,0463,74,915,614,6жащих между поверхностью природного рельефа зем¬ ли и нижней границей сжимаемой толщи. При опреде¬ лении дополнительного давления от сооружения на разных глубинах из величины среднего давления аОтп планировкиОтм поде^лсти при¬ родного рельефаОтм асноба- 1 1~ Ч-j---/ЩЖНЯЯсраница усжимаемойтолщиРис. 20.11. Расчетная схема распределения давления в грунте ниже подошвы фундамента для определения сжимаемой толщипод подошвой фундамента вычитается величина бытового давления на отметке подошвы фунда¬ мента.Сжимаемая толща разделяется на слои, однород¬ ные по сжимаемости, мощность которых не должна превышать 0,4 минимальной ширины с оассчитываемого фундамента.После определения мощности сжимаемой толщи ра¬ счет осадки отдельного фундамента производится по формулеi=mi= XI aihi см' i=i '(20.27)с/— полусумма вертикальных нормальных дав¬ лений, возникающих на верхней и нижней границах слоя i от дополнительного давле¬ ния, передаваемого фундаментом, в кг/см2; hi — мощность слоя i в см\Ei — модуль деформации слоя i в кг/смй\Р/—безразмерный коэффициент для слоя г, оп¬ ределяемый по формуле (20.22}1.При большой площади фундамента в плане требует¬ ся определить осадки отдельных точек поверхности ос¬ нования и построить эпюру осадок. В случае жесткого фундамента эпюра осадок ограничена сверху плоско¬ стью. Переход от эпюры осадок для нежесткого соору¬ жения к эпюре осадок жесткого сооружения произво¬ дится приближенно, ис¬ ходя из следующих усло¬ вий (рис. 20.12) [4]:а-} объем этих эпюр осадок должен быть оди¬ наковым;б)	наклон жесткого фундамента при плоской деформации должен быть равным наклону хорды, соединяющей крайние ординаты эпю¬ ры осадок, вычисленной для нежесткого соору¬ жения;в)	подошва жесткого фундамента, прямоуголь¬ ного в плане, должна быть принята параллель¬ ной плоскости, проведенной через концы ординат трех угловых точек эпюры осадок (максимальной, минималь¬ ной и средней арифметической из двух остальных), вы¬ численных для нежесткого сооружения.При малой изменчивости сжимаемости основания в пределах площади здания или сооружения предельные величины средних осадок их фундаментов не должны превосходить 8—15 см, в зависимости от конструкции зданий (сооружений) и типа фундамента. Для сплошных железобетонных фундаментов доменных печей, дымовых труб, силосных корпусов, водонапорных башен и т. п. предельные осадки могут быть приняты равными 30 см.При большой изменчивости сжимаемости основания должны быть еще дополнительно учтены разности оса¬ док и крены фундаментов, которые не должны превы¬ шать предельных величин, зависящих от вида грунта основания и характера нормируемых осадок и кренов (см. НиТУ 127-55).Рис. 20.12. Эпюры осадок сооружений1	— для нежесткого сооружения;2	— для жесткого сооружения;3	— хорда, соединяющая крайние ординаты эпюры осадок нежест¬ кого сооружениягде т — число слоев грунта, на которое разбита сжи¬ маемая толща;1	И. 3. Лобановым [19] разработан другой способ, позволяющий найти осадку по деформациям отдельных слоев без промежуточной стадии определения напряжений и дающий возможность учесть не¬ однородность и нелинейную деформируемость грунта основания.
20.2. РАСЧЕТ ОСАДОК ОСНОВАНИЙ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ88920.2.2.	Напряжения и осадки поверхности однородного изотропного полупространства при действии различных нагрузок1Сосредоточенная сила, нормальная к поверхности (рис. 20.13)Вертикальное сжимающее напряжение в произвола ной точке М3	Рг*2к№жт5_ченная сила, нормальная к поверхности полупро¬ странства=а1 —. (20.28) гйгде aj берется из табл. 20.8.Осадка любой точки Мх граничной плоскости, рас¬ положенной на расстоянии г от сосредоточенной силы, выражается формулойР(1 — и2)• (20,29)Д=где Е — модуль деформации полупространства;Н- — коэффициент Пуассона.__	Таблица 20.?Значения коэффициентов в формуле (20.28)гггггга1Z°1Z\г°1г*10,000,4780,80,1391,70,01602,60,00293,50,00070,050,4750,90,1081,80,01292,70,00243,60,00070,100,4661,00,0841,90,01052,80,00213,70,00060,200,4331,10,06582-00,00852,90,00173,80,00050,300,3851.20,05132,10,00703,00,00153,90,00050,400,3291,30,04022,20,00583,10,00134,00,00040,500,2731,40,03172,30,00483,20,00114,50,00020,600,2211,50,02512,40,00403,30,00105,00,00010,700,1761,60,02002,50,00343,40,00096,00,0001Р1у0У Mt' XV !\ г\ 1 Vх \U 	1Линейная (погонная) равномерная нагрузка, нормальная к поверхности (рис. 20.14)Вертикальное сжимаю¬ щее напряжение в точке М_ iL°г = % ' R* =2Р'KZ11 +(т )*Рис. 20.14. Линейная рав¬ номерная нагрузка, нор¬ мальная к поверхности= ?2— , (20.30) zгде Р' — интенсивность линейной нагрузки.Горизонтальное сжимающее напряжение и каса¬ тельное напряжение связаны с вертикальным напряже¬ нием зависимостямиг—	. (20.31)Относительная осадка любой точки граничной плос¬ кости полупространства, испытывающего плоскую де¬ формацию,2Р' (1 — fx2) dД=	Ч--- - In — ,	(20.32)7iE	хТаблица 20.9 Значения коэффициента а2 в формуле (20.30)XZа2XZ°2X ' Zа2XZа2XZа20,00,6360,80,2361,70,04232,60,01063,50,00480,050,6330,90,1941.80,03542,70,00933,60,00450,10,6241.00,1591,90,02992,80,00813,70,00430,20,5001,10,1302,00,02552,90,00723,80,00410,30,5351,20,1072,10,02183,00,00643,90,00390,40,4721,30,0882.20,01863,10,00604,00,00370,50,4071,40.0732,30.01613,20,00574,50,00300,60,3441,50,06022,40,01403,30,00545,00,00240,70,2801.60,05022,50,01213,40,00516,00,0017где d — расстояние от нагрузки Р' до точки, находя¬ щейся на граничной плоскости, по отношению к которой определяется осадка.Абсолютная величина осадки по формуле (20.32) по¬ лучается бесконечно большой.Нагрузка, равномерно распределенная по полосе шириной с бесконечной.длины (рис. 20.15)= (^2 — +1 + s*n Фг cOS Фг ——	sin^x cos^i) = а3р.(20.33)1 Более подробные таблицы коэффициентов см. Г271 или г321.Рис. 20.15. Полосовая равномерная на¬ грузка, нормальная к поверхности
890 —РАЗДЕЛ 20. МЕХАНИКА ГРУНТОВЗначения коэффициента з3Таблица 20.10 в формуле (20.33)о0,250,500,751,001,251,50х/с0,251,000,960,820,670,550,460,401,000,900,740,610,510,440,380,51,01,52,00,500,500,480,450,410,370,331,750,350,342,000,310,313,000,210,214,000,160,165,СО0,130,136,000,110,И0,300,280,200,150,120,1000,020,080,150,190,200,210О0,020,040,070,100,11ООО0,020,030,040,060,210,200,170,140,120,100,130,130,130,120,110,100,070,080,100,100,090,09'Нагрузка, равномерно распределенная по прямоугольной площади (рис. 20.17)Вертикальное сжимающее напряжение под центром прямоугольникаНагрузка, распределенная по закону треугольника по полосе шириной с бесконечной длины (рис. 20.16)pz Га2 = 	 sin2 ф2 — sin2 —тс с L— tg Ф1 ^2 + \ Sin 2фг —(20.34)— 4*1	— sin24'1) | =с4р.+(20.35)гдеРис. 20.16. Полосовая нагрузка, распре¬ деленная по закону треугольника2р Г ЪсT[arctg^+ т(с?+С8 = (г2+т): £г=(г2+т); d2=(62 + c2);Ь и с — большая и меньшая стороны прямоугольника.Напряжения в точках, лежащих под углом загру¬ женного прямоугольника, равны 1/4 ' напряжений под центром учетверенного прямоугольника, или, иначе, напряжения на данной глубине z под угловыми точка¬ ми прямоугольника равны V* напряжений под центромТаблица 20.11Значения коэффициента а4 в формуле (20.34)гд:/сс-1,5 || -1,0—0,5 |0,00,250,5 |0,751,01,52,02,50,000•0000,2500,5000,7500,5000000,25000,0010,0750,2560,4800,6430,4240,0150,00300,500,0020,0030,0030,1270,2630,4100,4770,3530,0560,0170,0030,750,0060,0160,0420,1530,2480,3350,3610,2930,1080,0240,0091.00,0140,0250,0610,1590,2230,2750 2790,2410,1290,0450,0131,50,0200,0480,0960,1450,1780,2000,2020,1850,1240,0620,0412,00.0330,0610,0920,1270,1460,1550,1630,1530,1080,0690,0503,00,0850,0640,0800,0960,1030,1040,1080,1040,0900,0710,0504,00,0510,0600,067 10,0750,0780,0500,0820,0750,0730,0600,0496,00,0470,0520,0570,0590,0620,0630,0630,0650,0610.0510,0476,00,0410,0410,0500,0510,0520,0530,0530,0530,0500,0500,045
20.2. РАСЧЕТ ОСАДОК ОСНОВАНИЙ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙТаблица 20.12Значения коэффициента в формулах (20.35) и (20.36)Отношение сторон прямоугольника blcm11,21.41 ’6 I!.8 |2,02.4 |2,83,2.4510 и более0,01,0001,0001,0001,0001,0001,0001,0001,0001,0001,0001,0001,0000 40,9600,9680,9720,9740,9750,976 <0,9760,9770,9770,9770,9770,9770,80,8000,8300,8480,8590,8660,870' 0,8750,8780,8790,8800,8810,8811,20,6060,6510,6820,703. 0,7170,7270,7570,7460,7490,7530,7540,7551,60,4490,4960,5320,5580,5180,5930,6120,6230,6300,6360,6390,6422,00,3340,3780,4140,4410,4630,4810,5050,5200,5290,5400,5450,5502,40,2570,2940,3250,3520,3740,3920,4190,4370,4690,4620,4700,4772,80,2010,2320,2600,2840,3040,3210,3500,3690,3830,4000,4100,4203,20,1600,1870,2100,2320,2510,2670,2940,3140,3290,3480,3600,3743,60,1300,1530,1730,1920,2090,2240,2500,2700,2850,3050,3200,3374,00,1080,1270,1450,1610,1760,1890,2140.2330,2410,2700,2850,3044,40,0900,1070,1220,1370,1500,1630,1850,2080,2180,2390,2560,2804,80,0770,0920,1050,1180,1300,1410,1610,1780,1920,2130,2300,2585,20,0660,0790,091 в0,1020,1120,1230,1410,1570,1700,1910,2080,2395,60,0580,0690,0790,0890,0990,1080,1240.1390,1520,1720,1890,2286,00,0510,0600,0700,0780,0870,0950,1100,1240,1360,1550,1720,2086,40,0450,0530,0620,0700,0770,0850,0980,1110,1220,1410,1580,1906,80,0400,0480,0550,0620,069. 0,0760,0880,1000,1100,1280,1440,1847,20,0360,0420,0490,0560,0620,0630,0800,0900,1000,1170,1330,1757,60,0320,0380,0440,0500,0560,0620,0720,0820,0910,1070,1230,1668,00,0290,0350,0400,0160,0510,0560,0650,0750,0840,0950,1130.1588,40,0260,0310,0370,0420,0480,0510.0600,0690,0770,0910,1050,1508,80,0240,0290,0340,0380,0420,0470,0550,0630,0700,0840,098, 0,1449,20,0220,0260,0310,0350,0390,0430,0510,0580,0650,0780,0910,1379,6\0 0200,0240,0230,0.420,0360,0400,0470,0540,0600,0720,0850,13210,0' 0,0190,0220,0260,0300,0330,03710,0440,05010.0560,0670,0790,126прямоугольника на глубине —. Это дает возможностьпользоваться для определения напряжений под угло- х выми точками формулойaz=ZiP.	(20.36)При подстановке в формулу (20.35) значения ко- вффициента о5 берутся по табл. 20.11 в зависимости 2 z Ьот отношений т— — и — , а при подстановке в фор- с смулу (20.36) — в зависимости от отношений т= — и —.с сДля определения напряжений в любой точке М, ле¬ жащей на глубине z под точкой М\ основания, загру- женного по прямоугольнику, может быть применен спо* соб угловых точек, основанный на принципе независимО)	й	G В $ й	в £1IРис. 20.18. Применение способа, угловых точекмости действия сил и состоящий в том, что искомые на¬ пряжения рассматриваются как алгебраическая сумма напряжений от четырех загруженных прямоугольников, сходящихся углами в точке Мь При этом могут быть два основных случая:	v1)	точка М\ находится в пределах контура загружен¬ ного прямоугольника (рис. 20.18,а);2)	точка М1 находится вне контура загруженного прямоугольника (рис. 20.18,6).В первом случае нагрузка всех четырех прямоуголь¬ ников AGM\E; GBFMi; EM\HD и HM\FC берется со зна¬ ком плюс; во втором случае нагрузка двух прямо¬ угольников АЕМ\Н и GCFM1 берется со знаком плюс, а двух прямоугольников BEM\G и DFMxHy находящихся вне контура заданного прямоугольника ABCD,—со зна¬ ком минус.Осадки характерных точек прямоугольной загружен¬ ной площади выражаются следующей общей формулой:А=	-!*2>с- ,	(20.37)Егде ’ с— ширина прямоугольника;Ai—коэффициент, зависящий от отношения сторон прямоугольника b/с и от характера опреде¬ ляемой осадки (табл. 20.13);Е — модуль деформации основания.Таблица 20.13Значения коэффициента в формуле (20.37)Форма загруженной площадиЗначения коэффициента Ai для определения осадкипод центром загруженной площадисредней по площади1,000,85ъКвадрат л=——=1 . . . .1,120,95Прямоугольник:1,361,151,531,30/2 = 3	1,781,53п-Ъ	2,101,83л-10 .........2,532,25л-100. ...... .4,003,69
892РАЗДЕЛ 20. МЕХАНИКА ГРУНТОВДля непосредственного вычисления осадок при дей¬ ствии на поверхности грунта нагрузки, равномерно рас¬ пределенной по площади прямоугольника, может быть также применен способ угловых точек. Для этого нужно знать осадку угловой точки загруженного прямоуголь¬ ника, которая определяется по_ формуле (20.37) с соот¬ ветствующим коэффициентом Дь который равен соот¬ ветствующему коэффициенту для центра, деленному на 2. При учете же деформаций только в пределах сжима-> емой толщи, осадка определяется по формулеЬ=ЪЦ1,	(20.38)где с — ширина прямоугольника; р — интенсивность нагрузки;Е — модуль деформации основания;—	ЪДг — коэффициент, зависящий от отношения — сто¬ рон прямоугольника и от относительной глуби¬ ны сжимаемой толщи—”. Этот коэффициент снаходится по графику (рис. 20.19).20 сРис. 20.19. График для определения коэффициента Д2 в формуле (20.38)Если точка, осадка которой определяется, расположе¬ на на периметре или внутри нагруженного прямоуголь¬ ника, то ее следует рассматривать как угловую точку двух или четырех прямоугольников и общую осадку на¬ ходить суммированием.Формула (20.38) оказывается недостаточно точной, если толщина сжимаемого слоя меньше ширины прямо¬ угольника.Нагрузка, равномерно распределенная по площади круга радиусом а (рис. 20.20)Вертикальные напряжения под центров круга на глу¬ бине го г = р1 —1|+(т)’(20.39)Таблица 20.14 Значения коэффициента а0 в формуле (20.39)z/aг!а<*вг! а<*в0,01,0003,50,1107,50,0260,250,9864,00,0878,00,0230,50,9114,50,0688,50,0211.00,6465,00,0579,00,0181,50,4245,50.04710,00,0152,00,2846,00,0402,50,2006,50,0353,00,1467,00,030Рис. 20.20. Равномерно нагру¬ женная площадь кругаОсадка поверхности в центре круга2(1 — fi.2) ра р "[/ F =	=1-i3 PJL	(1_^'Осадка на окружности4(1 — а2) ра	г. V~Fгде F — площадь круга.(20.40)(20.41)Нагрузка, распределенная произвольно по площади произвольного очертания (рис. 20.21)Загруженная площадь разбивается на ряд элементов с очертанием, более или менее близким к квадратному, и со сторонами, равными приблизительно !/з глубины рассматриваемой точки, т. е. z/3. Нагрузка Pi на каж¬ дый элемент принимается *за сосредоточенный груз, приложенный в центре тяжести площади элемента, и искомое напряжение в точке М находится как сумма напряжений от всех сил=(20.42)гдер — интенсивность нагрузки; а — радиус круга.гДе с1,/—коэффициент, определяемый по табл. 20.8 в зависимости от отношения —— (здесь г/ —Zгоризонтальная проекция расстояния от центра тяжести элемента i до рассматрива¬ емой точки); п — число элементов.
20.2. РАСЧЕТ ОСАДОК ОСНОВАНИЙ ЗДАНИИ И СООРУЖЕНИИ893Рис. 20.21. Нагрузка, распреде¬ ленная произвольно по площади произвольного очертания20.2.3.	Напряжения и осадки поверхности анизотропного полупространстваАнизотропия грунта, выражающаяся в неравенстве модулей деформации Ez и Ег — по вертикальному и горизонтальному направлениям, может быть обусловле¬ на слоистой или столбчатой текстурой грунта (озерно¬ ледниковые отложения с перемежающимся тонкими гли¬ нистыми и песчаными слоями, мерзлые грунты, лесс идр)-ЕгОтношение для некоторых горных пород выра- Егжается цифрами, приведенными в табл. 20.15 [26].Таблица 20.15Значения отношения —Виды горных породЕг 1^2среднееот—доПесчаники крупнозернистые . . .0,960,88—1,09• среднезерннстые . . .1,190,94—1,57, мелкозернистые ....1,090,90-1,48„ рассланцованные . . .1,48—Алевролиты 	1,421,29-1,97Отличие в модулях по различным направлениям для грунтов с не явно выраженной слоистой текстурой в среднем составляет от 4 до 21%, а для сланцеватых пород—между 30—48%; в отдельных случаях значение отношения ErjEz доходит до 2—2,2.Анизотропию грунта следует учитывать при отноше¬ нии между модулями упругости, большем 1,5.Вертикальные напряжения в полупространстве, обла¬ дающем анизотропией данного вида, при действии со¬ средоточенной силы Р, нормальной к поверхности (рис. 20.13), выражаются формулой [25]-	Р: а7 	г2(20.43)Т a б л и ц a 20.16Значения коэффициента с7 в формуле (20.43)гг— Ега7 -для 7Г~~0’511Zс7 дляЕгpi=0,3 и pi = 0,4[1=0,3|х=0,40,000,8570.4670,5210,250,6270,3900,4320,500,3110,2500,2630,750,1430,1430,1441,000,0570,0800,0793,000,0010,0020,002ЕтПри ~— <1 возникает концентрация, т. е. увеличение Ezвертикального напряжения а* на линии действия силы Р по сравнению с изотропным однородным полупро-Егстранством. При-^->1 в зависимости от величины коэф-Ezфициента Пуассона может быть как концентрация, так и рассеивание напряжений. Концентрация напряжений возрастает с увеличением коэффициента Пуассона.Осадки поверхности анизотропного полупространства при действии сосредоточенной силы, нормальной к по¬ верхности, выражаются формулойРД=ДъЕ2г(20.44)где г — расстояние в горизонтальной плоскости от си¬ лы Р до рассматриваемой точки;Д3—коэффициент, значение которого берется в за-Егвисимости от отношения ~~ и от величины ко-Егэффициента Пуассона ь*.: ^Ег о * для — = 0,5Егпри fx = 0,3 Д3 — 1,242; при (х = 0,4 Д3 = 1,195;Ег_EzДля=2при fA = 0,3 Д3 = 0,738; при. fx = 0,4 Д3 = 0,567.При действии линейной нагрузки Pr Jcm. рис. 20.14) формула для вертикальных напряжений приводится к виду0г=.8— .	(20.45)2♦Относительные осадки поверхности в этом случае выражаются формулой__ Р'кЕ2dIn —,(20.46)/
894 -РАЗДЕЛ 20. МЕХАНИКА ГРУНТОВТ а б л и ц а 20.17 Значения коэффициента о* в формуле (20.45)0,000,250,500,751,002,003,00для р -°»5ц = 0,3(jl = 0,4=2,0(1 = 0,30,8290,6590,3900,2150,1200,0170,0040,8250,6560,3900/2150,1210,0210,0040,6160,5390,3870,2530,2300,0330,009(1=0,40,6400,5530,38/0,2480,1570,0310,009гдеd—расстояние от нагрузки Р' до точки граничной плоскости, по отношению к которой опреде¬ ляется осадка;ЕгА* — коэффициенты, зависящие от отношенияи величины коэффициента Пуассона:Ег_ЕжЕгДля= 0,5при (л. = 0,3 А4 = 2,481;при fx = 0,4 Д4 = 2,381;Ег о для — =2Ezпри fj. = 0,3 А4= 1,580; при[л = 0,4 Д4= 1,367.20.2.4. Напряжения и осадки поверхности полупространства, непрерывно неоднородного по глубинеСосредоточенная сила, нормальная к поверхности (см. рис. 20.13)При непрерывном изменении модуля дефармации по¬ лупространства с глубиной по закону E(z)=Enzn вер-' тикальное напряжение от сосредоточенной силы Р, нор¬ мальной к поверхности, выражается формулойkPzk „ Р’’--ь&л—-7- тлпгде Еп—модуль деформации на глубине 2=1;п — показатель степени неоднородности полупро¬ странства.Величины Еп и п устанавливаются в каждом кон¬ кретном случае по данным испытаний грунтов на глу¬ бине.Формула (20.47) строго удовлетворяет дифферен¬ циальным уравнениям равновесия при любом значении коэффициента k. Для того чтобы были удовлетворены условия неразрывности деформаций, следует 'пользо¬ ваться такими расчетными значениями коэффициента k:1при fi. =при fi. =2 + л	1 +пk = я 3;k = n + 2.(20.48)(20.49)Для выбора расчетного значения k служит график, изображенный на рис. 20.22. На этом графике условиям (20.48) и (20.49) строго удовлетворяют только те зна¬ чения которые соответствуют точкам пересечения кри*О Ц25 0,50 0/5 100 125 7,50 175 200 2.25 2.50 2.75 3,0friРис. 20.22. График для выбора коэффициента k в фор¬ мулах (20.47) и (20.51)вых с той или другой прямой, показанной пунктиром* Все остальные значения k являются приближенными.Таблица 20.19Значения коэффициентов а9 в формуле (20.47)ггггk2а9Zа9Zа9Zа9о.о0 6370,80,145•1.60,01412.40,00210,10,6180,90,1071,70.01082.50,00170,20,5641,00,0801.80,00842.6о;оод40,30,4901,10,0591.90,00652.70,001240.40,4061.20,04382,00,00512.80,00090.50,3231,30,03272,10,00402.90,00080,60,2531.40,02452,20,00323.00,00060,70,1911,50,01862,30,00260,00,7970,80,1381.60,00972.40,00110,10 7760,90.0981.70,00722.50,00090.20,6901.00,0701,80,00532.60.00070.30,5811,10,0501,90,00412,70,000650,40,4661,20,03552,00.00312,80,00040,50,3621.30,02532,10,00232,90,00030,60,2701.40,01832,20,00193,00.00020,70,1951,50,01332,30*001545 Ю 15 2JO 2.5 & Рис. 20.23. График коэффици¬ ента Д5 в формуле (20.50)
20.2. РАСЧЕТ ОСАДОК ОСНОВАНИИ ЗДАНИИ И СООРУЖЕНИИ895Осадки поверхности выражаются формулойРД=Д5ъЕпг,п-\-1(20.50)Значения коэффициента Д5 в зависимости от величин д и М* даны на рис. 20.23.Линейная (погонная) равномерная нагрузка, нормальная к поверхности (см. р и с. 20.14)Вертикальное напряжение в точке М выражается формулойAnP'zk - Р'Rk+i(20.51)Рис. 20.24. График коэффициента ДГ6 в формуле (20.52)Значения коэффициента а.•	Таблица 20.19 в формуле (20.51)0,00,10,20,30,40.50,60,70,7500,7330,6800,6050,5170,4290,3470,2760,80,91,01,11,21.31.41.50,00,10.20,30.40.50,60,70,8490,8250,7510,6530,5410,4330,3370,2540,80,91.01,11.21.31.41.50,2180,1700,1320,1030,08060,06310,04980,03941 61.71.8 1,9 2,0 2.1 2,2 2,30,03150,02510,02020,01650,01330,01090,00910,00752.42.52.62.72.8 2,9 3,00,00620,00530,00450,00370,00330,00260,00230,1930,1430,1070,07860,05840,04360,03260,02481,61.71.8 1,9 2,0 2,1 2.2 2,30,01880,01440,01120,00860,00680,00530,00430,00352.42.52.62.72.8 2,9 3,00,00280,00230,00190,00160,00120,00110,0008где Рг — интенсивность нагрузки;R= (дг2 + га)7".\Выбор расчетных значений параметра k производится по графику рис. 20.22.. Параметр Ап берется в зависи¬ мости от величины k:£23 3,25 3,5 3,75	4 5Ап 0,5 2/тс 0,667 0,696 0,725 0,750 8/3*Осадка поверхности выражается формулойР'Д=Д«Епхп(20.52)Для выбора расчетного значения коэффициента А» служит график (эис. 20.24).Равномерно распределенная нагрузкаВертикальные напряжения под центром полосовой, прямоугольной или круговой загруженной площади (см. рис. 20.15, 20.17 и 20.20)а2=апр.	(20.53)Таблица 20.20 Значения коэффициента с„ в формуле (20.53)kг z илис аКруг радиу¬ сом аПрямоугольник с отношением сторон b/с, равнымПолоса_Ьс~1 | 23 | 10А0,000,250,501,001,52,03.05.01,0000,9950,9600,7500,5180,3600,1900,0771,0000,9420,7920,4260,2550,1420,0740,0251,0000,9500,8240,5470,3720,2300,1350,0481,0000,9570,8520,5810,4040,2810,1750,0631,0000,9700,8760,6030,4370,3160,2140,1251,0000,9840,884-0,6250,4570,3570,2450,15050,000,250,501,001,52,03.05.01,0000,9980,9820,8170,5910,4290,2290,0961,0000,9340,8590,5080,2980,1640,0890,0321.0000,9870,8300,6250,4040,2490,1500,0621,0000,9880,9020,6570,4430,2940,1920,0881,0000,9910,9220,6760,4800,3330,2430,1411,0000,9930,9250,6860,5100,4110,2820,162Для 3<&<4 значения а находятся по интерполя¬ ции между соответствующими значениями для однород¬ ного полупространства и для &=4.20.2.5. Напряжения и осадки сжимаемого слоя, подстилаемого абсолютно жестким основаниемСосредоточенная сила, нормальная к поверхности (рис. 20.25)Вертикальное напряжение на плоскости, являющейся границей между упругим сжимаемым слоем и жестким основанием [8]:°z=ci2 “Т »	(20.54)hiгде h с—мощность сжимаемого слоя.
896РАЗДЕЛ 20. МЕХАНИКА ГРУНТОВр0Т/'*V* Ж,-^ Эпюра \/ Сжимаемый" осаоо*' \1 слойV////////////' У/У/,V7A77/7y///////SZ/Жесткоеоснованиег(£•00)Рис. 20.25. Сосредоточенная сила, нормальная к поверхности сжимаемо¬ го слояТаблица 20.21 Значения коэффициента <Ji2 в формуле (20.54)rlhn0,00,10,20,30,51.00,820,80,740,640,43 0,18 0,087 0,036 0,0031.21.5Осадка поверхностид=д7 	7С Е гЗначения коэффициента Д7 в формуле (20.55)(20.55)T а б л и ц а 20.22rlhc0.00.1. 0,20,30,50,81.01.5&710,8840,7700,6600,4620,2330,1290,002Равномерно распределенная нагрузкаВертикальные напряжения под центром круговой, прямоугольной или полосовой загруженной площади°2=а1зР-	(20.56)Таблица 20.23 Значения коэффициента с18 в формуле (20.56)2hc	или —с аКруг радиу¬ сом аПрямоугольник с отношением сторон Ыс, равным12310ОО01,0001,0001,0001,0001,0001,0000,251,0091,0091,0091,0091,0091,0090,51,0641,0531,0331,0331,0331,0330,751,0721,0821,0591,0591,0591,0591.00,9651,0271,0391,0231,0251,0251.50,6840,7620,9120,9110,9020,9022,00,4730,5410,7170,76Ь0,7610,7612.50,3350,3950,5930,6510,6360,63630,2490,2980,4740,5490,5600,56040,1480,1860,3140,39?0,4390,43950,0980.1250,2220,2870,3590,35970,0510,0650,1130,1700,2620,262100,0250,0320,0640,0930,1810,1^5200,0060,0080,0160,0240,0680,086500,0010,0010,0030,0050,0140,037ОО000000Осадка центра загруженной площади определяется по формуле!рс( 1-Р») 8 Е(20.57)Таблица 20.24Значения коэффициента Д8 в формуле (20.57)2hc hQ —- или —^ с аКруг радиу¬ сом аПрямоугольник с отношением - сторон Ыс, равнымПолосаbZZ оос11 23 11 1000000000,250,130,130,130,130,130,130,50,260,260,260,260,260,260,750,390,390,390,390,390,3910,500,510,520,520,520,521,5 •0,640,680,730,740,740,7420,730,780,880,890,890.892,50,780,840,991,021,031,0330,810,881,081,131.141.1440,860,941,181,271,311,3150,890,981,251,361,461,4670,921,021,331,481,671,67100,941,051,391,571,891,89200,971,091,461,672,192,34500,991.111,501.742,402,92ОО1,001.121,531,782,53ОО20.2.6.	Расчет затухания осадок во времениПроцесс затухания осадок рассматривается как про¬ цесс консолидации грунта. Принимается, что напря¬ женное состояние скелета грунта, соответствующее про¬ межуточной стадии уплотнения, постепенно приближает¬ ся к конечному напряженному состоянию.Для простейшего случая, когда бесконечно большой в плане гибкий фундамент опирается на песчаный (дре¬ нирующий) слой, под которым залегает равномерно сжимаемый по высоте слой глинистого грунта, лежащего на водонепроницаемом и несжимаемом основании, осад¬ ка в функции времени выражается формулой [4]» д(1_«-*0,где Д — полная осадка в см;А/ — осадка в см, соответствующая периоду време¬ ни t;t — период в годах, протекший со времени пост¬ ройки фундамента; е=2,72—основание натуральных логарифмов;с — коэффициент, определяемый по формулеК(1 + е0) 075^)](20.58)здесь 7в=0,001 (вес 1 см3 воды в кг);К — коэффициент фильтрации грунта в см/сек (табл. 20.4);а — коэффициент уплотнения сжимаемого слоя, входящий в формулу (20.12), в см2/кг;£о — параметр прямой, заменяющей участок кривой уплотнения для рассматриваемого слоя (см. рис. 20.6); hc — толщина сжимаемого слоя в см.I	Таблицу коэффициентов для расчета осадок за пределамизагруженной площади прямоугольника см. в Г301.
20.2. РАСЧЕТ ОСАДОК ОСНОВАНИЙ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ897При двусторонней фильтрации (вверх и вниз) в формулу (20.59) вместо hc подставляется hc /2.В рассмотренном случае (случай 0) эпюра уплотняю¬ щих давлений по толщине сжимаемого слоя имеет вид прямоугольника. Могут быть еще два основных слу¬ чая: когда эпюра уплотняющих давлений имеет вид треугольника с вершиной у поверхности основания (слу¬ чай 1) и треугольника с вершиной у подошвы сжима¬ емого слоя (случай 2).Комбинируя решения для случаев 0 и 1 или 0 и 2, можно получить решения для эпюры уплотняющего давления в виде трапеции.Для облегчения расчетов затухания осадок во време¬ ни служит табл. 20.25.Таблица 20.25 Значения произведений в зависимостиВеличины Сt00,050,10,20,30,400,0050,020,080,170,31Iо0,060,120,250,390,5500,0020,0050,020,050,130.50,60,70,80,91.0Величины Сt0,490,711,001,402,090,730,951,241,642,350,240,420,691,081,77Имеется также решение для случая постепенного приложения нагрузки [27].Если толщина сжимаемого слоя в основании больше ширины фундамента, то при вычислении осадки тол¬ щину hc можно хзаменить толщиной эквивалентного слоя /гЭкв, которая определяется исходя из требова¬ ния, чтобы осадка этого слоя, находящегося в условиях равномерного сжатия без возможности бокового рас¬ ширения, была равновелика осадке фундамента задан¬ ного размера [32]:(1 - ц)2htbKn —■ - Л cAj,(20.60)1-2 ^где fi- — коэффициент Пауссона для грунта основания; с — ширина фундамента в см;Ах — коэффициент, зависящий от формы загружен¬ ной площади (см. табл. 20.13).Осадка жесткого фундамента может считаться при¬ близительно равной средней осадке гибкого фундамента (точнее 94% от нее). Подробнее о расчете затухания осадок во времени на основе теории консолидации см. [6, 31 и 32].В настоящее время методология расчета осадок во времени подвергается серьезному пересмотру и намечает¬ ся практическое использование для этой цели теории ползучести. -20.2.7. Расчет оснований по сопротивлению грунтаЕсли здания или сооружения с кирпичными или круп¬ ноблочными несущими стенами имеют прямоугольную форму в плане и постоянную этажность (не выше 6 этажей) и если основание по всей площади сложено из rpyHTOiB однородного горизонтального напластования, сжимаемость которых по глубине до 5 м от подошвы фундамента не увеличивается, то расчет по деформациям 57 Зак. 2098может быть заменен более простым расчетом по сопротивлению грунта [14]. Этот расчет по существу и по форме является расчетом на прочность и сводится к выполнению условияP<R,	(20.61)где р — среднее давление по подошве фундамента в кг/см2, передаваемое на грунт основания;R — расчетное сопротивление грунта основания в кг/см2, определяемое по табл. 20.26—20.29. В проекте новых НиТУ использована формула(20.25).Таблица 20.26Расчетные сопротивления оснований из крупнообломочных грунтовВиды грунтовЩебенистый (галечниковый) с песчаным заполне¬ нием пор				Дресвяный (гравийный) из обломков кристал¬ лических пород 	Дресвяный (гравийный) из обломков осадочных пород		 . . .R в кг!смаТаблица 20.27Расчетные сопротивления оснований из песчаных грунтовВиды грунтовR в кг/см2плотныегрунтыгрунтысреднейплотностиГравелистые и крупные пески (независи¬ мо от влажности)		 . .Средней крупности пески (независимоот влажности) 	 ......Мелкие пески:а)	маловлажные 			 . . . .б)	очень влажные и насыщенные водой Пылеватые пески:а)	маловлажные	б)	очень влажные		в)	насыщенные водой 	4,53,53,52,5322,51.52,5221,51,51Таблица 20.28Расчетные сопротивления оснований из глинистых грунтовВиды грунтовКоэффициент пористости еR вгрунт в твер¬ дом состоянии (№<1.2 №р)кг/см1грунт в пла¬ стичном состо¬ янии (НРТ> >W>l,2Wp)Супеси0,5330,72,52Суглинки0,532,50,72,51.8121Глины0,5640,6530,8321,12,51
898РАЗДЕЛ 20. МЕХАНИКА ГРУНТОВТаблица 20.29Расчетные сопротивления оснований из макропористых грунтовСостояние грунтовR в кг/см2Маловлажные	2,5Очень влажные	2Насыщенные водой		 ...1,5Данные табл. 20.26—20.29 относятся к фундаментам шириной 0,6—1 м, заложенным на глубине 1,5—2 м, при расчете на основные сочетания нагрузок. При ширине фундамента 5 м и более расчетные сопротивления по¬ вышаются:у для крупнообломочных грунтов, гравелистых, круп¬ ных и средней крупности песков—'на 50%;для пылеватых песков и глинистых грунтов — на 20%.При ширине фундамента от 1 до 5 ж расчетные со¬ противления определяются по линейной интерполяции.При глубине заложения фундаментов, большей 2 м или меньшей 1,5 м, данные табл. 20J26—20.29 умножа¬ ются на коэффициент т, вычисляемый по формулам:при Я>2 мт = 1 + •“[£(// — 200) — h\; (20.62) Rпри #<1,5 мт = 0,5 + 0,0033#.	(20.63)Здесь Н — глубина заложения фундамента в см;h — расстояние от поверхности земли до пола подвала в см;7о—среднее значение объемного веса грунта, залегающего выше подошвы фундамента, в кг/см3;k—коэффициент, принимаемый равным: для крупнообломочного грунта и песка—2,5; для супеси и суглинка — 2; для глины— 1,5.При расчете на дополнительные сочетания расчет¬ ные сопротивления грунтов оснований повышаются на 20%.Для внецентренно нагруженных фундаментов давле¬ ние на грунт, вычисленное по формулам сопротивления материалов, у наиболее нагруженного края подошвы не должно быть больше 1,2 R как при расчете на основ¬ ные, так и при расчете на дополнительные сочетания нагрузок.Для мостов в ТУПМ—56 приняты несколько иные расчетные сопротивления оснований.При наличии под несущим слоем грунта в пределах сжимаемой толщи более слабого по несущей способности подстилающего слоя грунта полное давление на кровлю последнего не должно превышать его расчетного сопро¬ тивления.20.3.	ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ20.3.1.	Основные понятияДо возведения подземного сооружения грунт в мас¬ сиве находится в состоянии естественного равновесия, которое характеризуется следующими напряжениями на глубине Н:вертикальное	"az = То#;горизонтальноеа* = ау = &у0/У,где £ —коэффициент бокового давления состояния по¬ коя.После устройства выработки условия равновесия грунта изменяются: давление на подземное сооружение оказывается иным, чем горное давление на данной глубине в ненарушенном массиве. Давление, оказы¬ ваемое грунтом, зависит от: глубины заложения соору¬ жения; влажности и степени уплотнения грунта над сооружением и особенно рядом с ним; жесткости со-о)	6)	д)Рис. 20.26. Различные способы возведения подземных сооруженийа — в насыпи; б — в траншее; в —способом закрытой проходкиоружения (жесткое сооружение подвергается большему давлению, ч_ем деформируемое) и от способа возведе¬ ния сооружения. Следует различать три основных слу¬ чая возведения сооружения:сооружение, возведенное или уложенное в насыпи (рис. 20.26, а), т. е. непосредственно на поверхности земли или в очень небольшом углублении по сравнению с шириной выемки, с последующей засыпкой; так обыч¬ но сооружаются водопропускные трубы под дорожными насыпями;сооружение в траншее (рис. 20.26, б), когда оно воз¬ водится или укладывается в открытой выработке, имею¬ щей небольшую по сравнению с глубиной ширину и ограниченной более или менее твердыми стенками; про¬ странство рядом с сооружением и над ним заполняется засыпкой. Так обычно укладываются трубопроводы во¬ доснабжения, канализационные коллекторы, водостоки и др.;сооружение, возведенное способом подземной (за¬ крытой) проходки (рис. 20.26,в), при которой массив грунта не нарушается с поверхности. Этот случай имеет место не только при строительстве тоннелей, но и при бестраншейной прокладке трубопроводов.Давление грунта на подземное сооружение не остает* ся постоянным, а меняется вследствие ползучести грунта и изменения температурно-влажностных условий. В боль¬ шинстве случаев давление постепенно нарастает с те¬ чением времени, достигая наибольшей величины через некоторый промежуток времени с последующим иногда уменьшением.Для определения давления, передающегося на соору¬ жение, от нагрузок, приложенных на поверхности земли, используются формулы теории упругости для верти¬ кальных напряжений полупространства. На рис. 20.27 приведен график, позволяющий найти наибольшую ин¬ тенсивность вертикального давления на разных глу-
20.3. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ899бинах от поверхности земли от различных нормативных подвижных нагрузок.В соответствии со СНиП нагрузка от наземного транспорта при высоте засыпки над перекрытием тонне¬ ля 0,7 м и более принимается в виде эквивалентной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью: при высоте засыпки 0,7 м — 3 т/ж2; при высоте засыпки 1.2 м и более — 2 т/м2.Рис. 20.27. Интенсивность давления от различных подвиж¬ ных нагрузок на разных глубинах от поверхности земли/ — автомобиль весом 10,4 г; 2 — то же, 13 т\ 3— то же, 16,9 г; 4 — то же, 30 т; 5 — гусеничная нагрузка 30 т; 6 —то же, 60 т1 7 — колесная нагрузка 80 тПри высоте засыпки от 0,7 до 1,2 м нагрузки от на¬ земного транспорта определяются по интерполяции.Динамический коэффициент подвижной наземной на¬ грузки при высоте засыпки 0,7 м и более принимается рав¬ ным 1, а при высоте 0,25 м—1,3. Для промежу¬ точных высот засыпки значения динамического коэффи¬ циента берутся по интерполяции.20.3.2.	Давление грунта на сооружение в насыпиЕсли сооружение заложено на небольшой глубине Н от поверхности, то нормальная и касательная состав¬ ляющие интенсивности давления в любой точке верхнего свода выражаются формулами [34] (рис. 20.28)1 + sin ср cos 2аа = То** = 70*1	+ sin ср sin ср sin 2а1	+ sin ср(20.64)где 7о— объемный вес грунта;,г — глубина рассматриваемой точки от поверхности земли;а—угол, который составляет радиус в рас¬ сматриваемой точке с вертикалью; ср — угол внутреннего трения грунта.Составляющие давления на нижний свод трубы вы¬ ражаются формулами (20.64), в которые следует вводить множитель\2Х-1+tg?(20.65)Равнодействующая вертикального давления на верх¬ ний свод равна весу вышерасположенного грунта.При высоте засыпки над жестким сооружением, пре¬ вышающей высоту последнего, давление на сооружение оказывается большим, чем вес вышерасположенного грунта. Равнодействующая расчетного вертикального давления на верхний свод определяется по формулеQb = nbKHHBlt	(20.66)Рис. 20.28. Составляющие дав¬ ления на подземное сооруже¬ ние от засыпкигде п — коэффициент перегрузки, принимаемый равным1,2—1,3;Н — высота засыпки над верхом сооружения;В j — ширина сооружения;Кн—коэффициент вертикального давления грунта вНнасыпи, зависящий от отношения 7Г"и опреде- ляемый по верхней части графика рис. 20.29.57*
sooРАЗДЕЛ ао. МЕХАНИКА ГРУНТОВНа графике выбор кривой производится оо указа* ииям табл. 2D.30 в зависимости от вида грунта, основа¬ ния и способа укладки сооружения.Таблица 20.30Выбор кривых на верхней части графика рис. 20.29Миды грунтов осгшваит»Скальные и иол у скальные грунты	Крупнообломочные грунты	Песчаные грунты:а} пески гравелистые, крупные и средней -у крупности, плотные		б)	пески гравелистые, крупные и средней крупности, средней плотности;- пески мел кие плотные	. _ .		в)	пески мелкие средней плотности; пески пылеватьи плотные 		 . . .г)	пески иылеватые средней плотности . .Глинистые грунты:а)	твердые и тугопластичные	б)	пластичные	• . . .в)	мягкопластичные 	г)	текучие . 			20.3.3.	Давление грунта на сооружение в траншееПолное расчетное вертикальное давление грунта на сооружение в траншее определяется по формуле¥г-*ТоЛтр ИВ.	(20.67)где п — коэффициент перегрузки, принимаемый равным1,2—1,3;В—ширина траншеи на уровне верха сооружения;Н — высета засыпки над верхом сооружения;«тр—коэффициент вертикального давления грунта в траншее, зависящий от отношения Н/В и опре¬ деляемый по нижней части графика рис. 20.29. Выбор кривой производится по -табл. 20.31 в зависимости от вида грунта.Таблица 20.31Выбор кривых на нижней части графика рис. 20.29Виды грунтов засыпкиНомера кривыхПески и растительный грунт маловлажные . Пески и растительный грунт очень влажные и насыщенные водой; супесь твердая, ту¬ гопластичная и пластичная; суглинок твер¬ дый и тугопластичный .Супесь мягкопластичная и текучая; суглинок пластичный; глинл твердая и тугопластичная 			.Суглинок мягкопластичный и текучий; глина пластичная и мягкопластичная . . . . ^ Глина текучая 		- - -При небольшой разнице между шириной траншеи В и шириной сооружения В\ и при плотной засыпке между сооружением и стенками траншеи в формулу (20.67) мо¬ жет быть введен множитесь, меньший единицы:Ф=В + Вх2	В(20.68)Боковое активное давление грунта в узких траншеях или совсем не учитывается, или принимается равным */« величины вертикального давления. Для более ши- ро::их траншей это отношение может быть повышено до 1/б—‘Д, а при хорошем уплотнении засыпки — до !/э и да¬ же более.20.3.4.	Давление грунта на сооружение при подземной проходкеДавление, производимое породами, находящимися в упругом состоянии, на подземные сооружения, опреде¬ ляется по теории упругости При этом возникают труд¬ ности, связанные с неопределенностью граничных усло¬ вий на контуре выработки.При напряжениях в массиве, превышающих предел упругости, возникают области пластических деформации и разрушения, которые в некоторых породах, преиму¬ щественно пластичных, приводят к оседанию всей тол¬ щи их, находящейся над с®оружением. В других поро¬ дах, например песчаных, область нарушения может не распространяться до поверхности, так как над соору-Рис. 20.30. Схема образования над сооружением разгружающего сводажением образуется естественный разгружающий свод, очертание которого принимается по параболе (рис. 20.30)* В этом случае давление на сооружение оказывает толь¬ ко грунт, занимающий область внутри разгружающего свода. При этом наибольшая интенсивность расчетного вертикального давления на сооружение выражается формулой М. М. Протодьяконова с введением коэффи¬ циента перегрузки(20.69)^/кргде То — объемный вес грунта;п — коэффициент перегрузки, принимаемый равным 1,3;В — расчетный пролет нарушенной области породы, который для крепких пород принимается рав¬ ным наибольшей ширине выработки с надбав¬ кой 0,3 м на перебор профиля, а для слабых пород определяется выражениями:для прямоугольной выработки высотой h и шири¬ ной В\В= Вх + 2h(«Г- *-).для круглой выработки диаметром D\B=D,(20.70)(20.71)
20.4. РАСЧЕТ ОТКОСОВ901<р — угол внутреннего трения грунта;/кр— коэффициент крепости грунта или горной поро¬ ды, учитывающий суммарное действие сил внут¬ реннего трения и сцепления. Расчетные значения этого коэффициента для некоторых грунтов и горных пород приведены в табл. 20.32 [5].Таблица 20.32Расчетные коэффициенты крепости грунтов и горных породВиды грунтов и горных породПесок, супесь, растительный грунт, торф . . Легкий и лессовидный суглинок, лесс, гравий мелкий, растительный грунт плотный . . . Жирная глина, тяжелый суглинок, крупныйгравий, галька	Тяжелая и сланцевая глина, крупная галька,мергель мягкий 	Морена с валунами, мягкие меловые породы, гипс, конгломерат, слабо сцементирован¬ ный, некрепкие сланцы 	Мягкий изпестняк, сланец и мергель сред¬ ней крепости 	Конгломерат с галькой, крепкий сланец имергель, некрепкий песчаник	Глинистый песчаник, мергелистый известняк,дресвяный гранит	Плотный известняк, песчаник, мягкий гранит Крепкий известняк, плотный песчаник, доло¬ мит, мрамор 	Крепкий песчаник, крупнозернистый гранитукр0,5—0 6 9,6—0.8 0.8—1,0 1,0-1,51.5-22-44—66—88—Ю10—1212—14не вошли в качестве рекомендуемых в нормы и техни¬ ческие условия.Вертикальное давление на сооружение криволиией- ного очертания принимается равномерно распределен¬ ным, интенсивностью, равной давлению в верхней точке выработки.Интенсивность бокового горного давления на подзем¬ ное сооружение на глубине г от верха нарушенной обла¬ сти сыпучей породы определяется по формулеРг = То* tg2(20.73)В сплошных упругих породах боковое давление определяют по формуле— М-(20.74)где м- коэффициент Пуассона породы.Если порода сложена из пластов различной плотно' сти, обладающих различными механическими свойствами, то следует учесть толщину каждого Пласта и его меха¬ нические характеристики.При расчете подземного сооружения на полный вес налегающей толщи глубина z считается от поверхности земли.Давление со стороны подошвы выработки, возникаю¬ щее вследствие выпирания слабых грунтов под давле¬ нием боковых стен выработки, определяется по методу П. М. Цимбаревича [15].Если глубина заложения верха подземного сооруже- Вния Н<С^гг ' то разгружающий свод не может образо- ~/ кРваться. Несущую способность разгружающего свода иногда проверяют расчетом в предположении, что кри¬ вая давления проходит через крайние точки ядра се¬ чения этого свода. Наибольшие напряжения в замке свода определяются по формуле4/Ыги'(20.72)где qинтенсивность нагрузки, действующей на раз¬ гружающий свод, от его собственного веса и ве¬ са вышележащих слабых пород;L — расчетный пролет разгружающего овода, рав¬ ный расстоянию между точками приложения распора у его пят;f—расчетная стрела подъема разгружающего свода;ho— толщина свода в замке;b—ширина свода, выделенная для расчета (b— = 1 ж).Напряжение атах не должно превышать расчетного сопротивления породы на сжатие. В противном случае расчет подземного сооружения должен быть произведен на полный вес всей нале1аюшей толщи с коэффициентом перегрузки, равным единице.Результаты расчета по формуле (20.69) далеко не всегда совпадают с результатами наблюдений и экспе¬ риментальных исследований, особенно для сооружений больших пролетов, давление на которые в прочных породах составляло 0,7—0,8 веса всей 25—50-метровой толщи, а в глинистых и других пластичных породах до¬ ходило до полного веса всей налегающей толщи.Более строгие методы определения давления горных пород на подземные сооружения основаны на теории упругости и теории сыпучей среды [21, 26]. Эти методы пока еще не получили распространения на практике и20.4.	РАСЧЕТ ОТКОСОВСилы, действующие на земляное сооружение, огра¬ ниченное откосами, могут быть разделены на две кате¬ гории — сдвигающие и удерживающие. К первым отно¬ сятся сдвигающие составляющие собственного веса грунта и нагрузок, приложенных на гребне сооружения, а также гидродинамическое давление фильтрационной воды. Ко вторым относятся силы внутреннего трения и сцепления грунта. Степень устойчивости откоса обычно выражается соотношением между этими силами, кото¬ рое характеризуется коэффициентом запаса на устойчи¬ вость. Этот коэффициент должен быть большим едини¬ цы (от 1,2 до 1,4). Откос из несвязного песчаного грунта будет находиться в равновесии лишь в том случае, если его угол с горизонтальной плоскостью не будет превосхо¬ дить угла внутреннего трения грунта. Коэффициент за¬ паса на устойчивость такого откоса однородного грунта при отсутствии других нагрузок и отсутствии фильтра¬ ционного потока обычно определяется по формуле(20-75)tgpгде <р — угол внутреннего трения грунта;Р — угол наклона откоса к горизонту.При уклонах откоса, меняющихся по высоте, угол Э считается по.средней линии.При выходе на откос фильтрационного потока рас¬ четный коэффициент запаса на, устойчивость иногда считается в 2 раза меньше величины, определяемой по формуле (20.75).Расчет на устойчивость откосов из связных грунтов при отсутствии фильтрационного потока ведется в пред¬ положении, что поверхность скольжения круглоцияййдри- ческая. Сползающая призма разбивается вертикальными плоскостями на ряд элементов, размер которых в на¬ правлении, перпендикулярном чертежу, принимается равным единице (рис. 20.31).
902РАЗДЕЛ 20. МЕХАНИКА ГРУНТОВКоэффициент запаса на устойчивость выражается как отношение момента удерживающих сил к моменту сдвигающих сил и определяется по формуле i=n	i-n2 gfii tg <ti + R S CjSjft= J=1		 .ns gixi i= 1(20.76)Коэффициент устойчивости откоса при наличии в нем фильтрационного потока должен быть определен с уче¬ том взвешивания грунта в воде [27]. Для этого можно воспользоваться формулойk= ■S gfii tg (рj + Я £ CiSi2 giXi + tfRb S hit(20.78)Рис. 20.31. Расчетная схема откосагде R — радиус опасной поверхности скольжения;Xi и Z[—координаты проекции центра тяжести элемен¬ та i на поверхность скольжения по отношению к центру О этой поверхности; gi — вес элемента i;41 и ci—угол внутреннего трения и удельное сцепление при сдвиге в пределах элемента i\ si — длина дуги поверхности скольжения в преде¬ лах элемента i\ п—число элементов, на которое разбивается сколь¬ зящая призма.^ Для удобства расчета принимают ширину элементаЕсли величины удельных сцеплений и углов внутрен¬ него трения одинаковы для всех элементов откоса, то коэффициент запаса на устойчивость выражается форму¬ лойtg? ZgiZi + Rcsk=	I	П2 gixi 1(20.77)где s — длина всей кривой скольжения.Опасная поверхность скольжения, соответствующая наименьшему коэффициенту запаса на устойчивость, мо¬ жет быть найдена путем подбора, который осложняется тем, что каждая поверхность скольжения определяется тремя параметрами — радиусом R и двумя координата¬ ми х и z центра окружности, или по таблицам (см. [27]).Зависимость между крутизной откоса 1 : т, углом внутреннего трения грунта <р и относительной величи- сной сцепления . Г~г~ приведена на графике рис. 20.32. «у пЭтот график позволяет решать следующие задачи:а)	определить допустимую высоту откоса Н, если из¬ вестны 7, <р, с, k и 1 :m=tgp;б)	определить требуемую крутизну откоса 1 : т, ес¬ ли известны Я, 7, <р , с и k\в)	определить коэффициент запаса на устойчивость, если известны 7, <р, с, Н и 1 : т.Рис. 20.32. График зависимости между геоме¬ трическими характеристиками откоса и физи¬ ческими характеристиками грунта (по Б. М. Ло- мизе)где 7у — удельный вес воды;hi—высота части элементов, занятых фильтра¬ ционным потоком, выше уровня воды в ниж¬ нем бьефе; b — ширина элемента; i—номер элемента.При наличии сцепления грунт способен сохранять равновесие, даже будучи ограничен вертикальным отко¬ сом, если только этот откос не превосходит определен¬ ной высоты, которая определяется по формуле2с_#пр ед —COS ср1 — sin <р(20.79)Теоретическим профилем равноустойчивого, а следо¬ вательно, и наиболее экономичного откоса является про¬ филь с переменной по высоте крутизной. Для построе¬ ния по теории В. В. Соколовского предельного контура такого откоса при заданных значениях объемного веса 7в угла внутреннего трения <р и удельного сцепле¬ ния с грунта может служить табл. 20.33 (взята с сокра¬ щением из [22]), в которой приведены значения безраз¬ мерных координат линии откосаГ=-1с- 7 г; х = — х. с(20.80)Действительные координаты линии откоса получают-сся путем умножения табличных значений на •Для получения контура равноустойчивого откоса, отвечающего определенной величине коэффициента за¬ паса устойчивости, действительные значения с и tg<p уменьшаются в k раз.
20.5. РАСЧЕТ ШПУНТОВЫХ СТЕН903В методике предельных состояний вместо коэффи¬ циента устойчивости должен быть определен коэффици¬ ент условий работы, являющийся отношением между расчетными и предельными сдвигающими силами. При этом по формулам (20.75) — (20.78) может быть найдена величина, обратная коэффициенту условий работы, если подставить в них расчетные значения gi, Ц и Л/. Коэффициент условий работы должен быть не более 0,8.Таблица 20.33Безразмерные координаты х линии равноустойчивоп* откосагОюIIср = 10°ср = 15е-6IIюо-6IItoсло9 = 30е9 = 35°ьII-Э-■6IIсло00000000000,20,0060,0050,0040,0040,0030,0030,0020,0020,0010,40,0290 0250,0220,0170,0140,0120,0100,0080,0060,60,0690,0570,0460,0390,0320,0250,0220,0170,0140,80,126О.ЮЗ0,0860,0710,0580,0480,0390,0310,02510,200,160,130,110,0910,0750,0610,0490,0401.50,470,370,300,250,200,170,140,110,08620,860,670,540,440,360,290,240,190,1532,411,561,200,960,770,630,510,410,3344,452,842,121,661,281,070,860,700,5758,204,613,272,512,001,621,301,030,831018,912,49,006,855,414,323,472,931524,717,813,510,58,396,475,382027,821,016,513,110,58,372529,222,918,314,7Н.83029,623,718,015,13529,223,719,24028,523,14533,427,15030,720.5. РАСЧЕТ ШПУНТОВЫХ СТЕНПростейший метод расчета свободных вверху (безан- керных) шпунтовых стен на горизонтальную нагрузку, не учитывающий искривления оси шпунта от изгиба, основан на допущении о пара¬ болической форме эпюры реак¬ ций грунта (рис. 20.33).Требуемая глубина h за¬ бивки шпунта из условия проч¬ ности грунта у поверхности на¬ ходится из уравненияР= тНЪ6 (4Я + Sh)(20.81)гдеР — расчетная величина горизонтальной силы, действующей на уча¬ сток шпунтовой сте¬ ны, равный 1 м\и = т(£п — 5а); (20.82)Sa-tg*(45°-*/2); (20.83)$п = tg2 (45° + ср/2); (20.84)К — объемный вес грунта;Положение центра вращения шпунта определяется по формулеи 4Н + 3/1 - .	(20.85)Рис. 20.33. Расчетная схема безанкерного шпунтаМаксимальный изгибающий момент в шпунте, по ко¬ торому производится его расчет на прочность, состав¬ ляетт|/Ч)-(20.86)Для одиночных свай диаметром d вместо формул (20.81) и (20.86) применяются следующие:mdh33 (4Я + 3К)Мтах—Р'уН -f- где Р' — усилие на сваю.-l/ —3 у md(20.87)(20.88)Анкерные шпунтовые стены при небольшой глубине забивки рассчитываются как шарнирно опертые внизу (рис. 20.34). Требуемая глубина забивки определяется из уравнениягдеЕа (Я + К) —■ — -Еп (н + ^-h — a j = 0,£a = ?J"±*>%a;Яп= -у5"-Усилие в анкерной тяге или в распорке А = Еа — Еи.(20.89)(20.90)(20.91)(20.92)При значительной глубине забивки шпунтовая стена рассчитывается как заделанная нижним концом. Опорная реакция 'принимается сосредоточенной у нижнего конца и определяется из условия, что изгибающий момент на глубине z0 от поверхности основания равен нулю. Эта глубина находится в зависимости от величины угла внут¬ реннего трения грунта:9 = 20° 25° 30° 35° 40°■7 =0,25 0,15 0,08 0,035 0,007
904 -РАЗДЕЛ 20. МЕХАНИКА ГРУНТОВГлубина забивки определяется по формуле«>•*»где Qo — поперечная сила в сечении го,Анкерные плиты, передающие усилие анкерных тягна грунт, должны быть закреплены за пределами линии ВС, проведенной под углом ср к горизонту.При расчете анкерных шпунтовых стен вводится ко¬ эффициент запаса, который обычно принимается рав¬ ным 2 и на который должен быть разделен коэффициент пассивного сопротивления грунта £п.Кроме данных методов расчета, имеются и более точные, учитывающие деформируемость, упругие свой¬ ства шпунта и грунта (см. [27]).ЛИТЕРАТУРА1.	Бабков В. Ф., Быковский Н. И., Г е р б у р т- Гейбович А. В. и Тулаев А. Я., Грунтоведение и механи¬ ка грунтов, Дориздат, 1950.2.	Березанцев В. Г., Ярошенко В. А., Проко¬ пович А. Г., Разоренов И. Ф., Сидоров Н. Н., Ис¬ следование прочности песчаных оснований, Труды Всесоюзного научно-исследовательского института транспортного строитель¬ ства, вып. 28, Трансжелдориздат, 1958.3.	Булычев В. Г., Теория газонасыщенных грунтов, Стройвоенмориздат, 1948.4.	ВНИИ Г, Технические условия и нормы проектирования гидротехнических сооружений. Геотехнические расчеты основа¬ ний, Стройиздат, 1941.5.	ВНИИГ, Технические условия и нормы проектирования гидротехнических сооружений, Гидротехнические тоннели гидро¬ электростанций, Госэнергоиздат, 1952.6.	Герсеванов Н. М. и Польшин Д. Е., Теоретиче¬ ские основы механики грунтов и их практическое применение, Стройиздат, 1948.7.	Гольдштейн М. Н., Внезапное разжижение песка, Днепропетровский институт инженеров железнодорожного транспорта, Вопросы геотехники, сборник 1, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1953.8.	Горбуно в-П о с а д о в М. И., Осадки фундаментов на слое грунта, подстилаемом скальным основанием, Стройиз¬ дат, 1946.9.	ГОСТ 5179-49, Грунты. Метод лабораторного определения влажности.10.	ГОСТ 5181-49, Грунты. Метод лабораторного определе¬ ния удельного веса.11.	ГОСТ 5182-49, Грунты. Методы лабораторного определе¬ ния объемного веса12.	ГОСТ 5183-49, Грунты. Метод лабораторного определения границы раскатывания.13.	ГОСТ 5184-49, Грунты. Метод лабораторного определения границы текучести.14.	Государственный комитет Совета Министров по делам строительства. Нормы и технические условия проектирования естественных оснований зданий и промышленных сооружений (НиТУ 127-55), Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре,1955.	'15.	Давыдов С. С., Расчет и проектирование подземных конструкций, Стройиздат, 1950.16.	Денисов Н. Я-, О природе деформаций глинистых пород, изд., Министерства речного флота, 1951.17.	Егоров К- Е., Методы расчета конечных осадок фун¬ даментов, Сборник трудов НИИ оснований и фундаментов № 13. Машстройиздат, 1949-18.	Клейн Г. К., Расчет труб, уложенных в земле. Гос« стройиздат, 1957.19 Л о б а н о в И. 3., Расчет осадок сооружений методом перемещений, сборник Днепропетровского института инженеровж.-д. транспорта «Вопросы геотехники», Трансжелдориздат, М., 1956.20.	Маслов Н. Н., Условия устойчивости склонов и отко¬ сов в гидроэнергетическом строительстве, Госэнергоиздат, 1955.21.	Материалы к IV Международному конгрессу по механи¬ ке грунтов и фундаментостроению, под ред. Н. А. Цытовича, АН СССР, ОТН, Комитет по механике грунтов, изд. АН СССР, М., 1957.22.	Мухин И. С. иСрагович А. И., Построение пре¬ дельных контуров равноустойчивых откосов, изд. АН СССР, М., 1954.23.	Н и ч и п о р о в и ч А. А., Сопротивление связных грун¬ тов сдвигу при расчете гидротехнических сооружений на ус¬ тойчивость, Стройиздат, 1948.24.	О р н а т с к и й Н. В., Механика грунтов, изд. Москов¬ ского университета, 1950.25.	П о р т а е в Л. П., Расчет балок на анизотропном грун¬ товом основании, Труды Московского института инженеров го¬ родского строительства Мосгорисполкома, Строительная меха¬ ника сборник 8-й, Госстройиздат, М., 1958.26.	Руппенейт К. В., Некоторые вопросы механики гор¬ ных пород, Углетехиздат, 1954.27.	Справочник по гидротехнике, Водгео, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1955.28.	Токарь Р. А., Учет бытового давления при расчете оснований глубокого заложения, «Гидротехническое строитель¬ ство» № 7, 1949.29.	Труды совещания по механике грунтов, основаниям и фундаментам, Научно-техническое общество строительной про¬ мышленности, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре,1956.30.	Ф е д у л с в а-Л о к к е н б е р г Л. К-, Расчет балок на упругом основании, подстилаемом скалой. Труды Московского института инженеров городского строительства Мосгорисполко¬ ма «Строительная механика и конструкции», сборник 7-й, Гос- стро^издат, М., 1957.31.	Флорин В. А., Теория уплотнения земляных масс, Стройиздат, 1948.32.	Цытович Н. А., Механика грунтов, Госстройиздат,1951.33.	Черкасов И. И., Механические свойства грунтовых оснований, Автотрансиздат, 1958.34.	V о е 1 m у A., Eingebetete Rohre, Zurich, 1937.
РАЗДЕЛ 21БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ21.1.	МЕТОДЫ РАСЧЕТА21.1.1.	Выбор расчетной схемыФундаменты сооружений очень часто располагаются на грунтах естественного сложения; в этом случае их рассчитывают как балки или плиты, лежащие на сплош¬ ном упругом осно&ании. Существует несколько расчет¬ ных моделей для упругого основания; выбор той или иной модели зависит от физических свойств данного грунта. Для фундаментов массивных сооружений, распо¬ лагаемых на плотных породах, хорошие результаты по¬ лучаются, если грунт рассматривается как упругое по¬ лупространство.Взаимодействие между балкой и упругим полупро¬ странством осуществляется через нормальные и каса¬ тельные напряжения, возникающие на площади контак¬ та балки и упругого основания. Для определения этих напряжений между балкой и упругим полупростран¬ ством вводятся связи, усилия в которых представляют собой равнодействующие напряжений. В такой поста¬ новке задача о расчете балки или плиты на упругом полупространстве сводится к определению усилий в свя¬ зях, т. е. к расчету обычной статически неопределимой системы, и для ее решения можно применить способ сил, способ перемещений, смешанный способ или способ последовательных приближений. Довести расчет до чис¬ ленных результатов с помощью любого из этих способов возможно при условии, что известны перемещения упру¬ гого полупространства от единичных сил.Касательные напряжения, возникающие по подошве балки, в большинстве случаев оказывают незначительное влияние на результат и поэтому в расчете ими можно пренебрегать. Тогда основная расчетная схема для балки принимается согласно рис. 21.1. Между балкой и полу¬ пространством поставлены упругие связи, позволяющие учесть наличие разрыхленного слоя грунта, расположен¬ ного непосредственно под подошвой фундамента. В пре¬ дельном случае упругие связи переходят в жесткие не¬ растяжимые стержни.Вводимая в расчет толщина разрыхленного слоя зависит от геологических условий основания и типа со¬ оружения. Для крупных, тяжелых сооружений (высоких домов, плотин, элеваторов), расположенных на слоистом основании, состоящем из третичных отложений (плотная глина, известняк) и более рыхлого верхнего песчаного или насыпного слоя, толщина обжимаемого слоя (упру¬ гих связей) принимается равной толщине песчаного слоя к может доходить до 10—15 м [4].Для жестких плит, дорожных и аэродромных покры¬ тий, укладываемых непосредственно на верхние, не¬уплотненные слои грунта, толщина упругих связей уменьшается до 0,5—1 м.Если подошва фундамента сооружения расположена непосредственно на плотной породе, имеющей однород¬ ное строение, то упругие связи становятся жесткими и их длина принимается равной нулю.1 Упругое полупространствоРис. 21.121.1.2.	Выбор способа расчетаПри выборе способа расчета необходимо учитывать, что числ* неизвестных в смешанном способе больше, чем в спое*бе сил, и поэтому система уравнений для опреде¬ления неизвестных в способе сил будет состоять из меньшего числа уравнений.Однако в смешанном способе получаются очень про¬ стые единичные состояния, и коэффициенты уравнений определяются быстрее, чем в способе сил.Способ сил выгодно применять тогда, когда расчет¬ ной схемой для сооружения является балка [7]; с помо¬ щью же смешанного способа представляется возможным рассчитать ржму или другую сложную систему, располо¬ женную на упругом основании [12]. Способ перемещений применяется иногда для расчета балок на упругом осно¬ вании [8, 11]. Применение способа перемещений требует добавления связей; основная система в этом случае име¬ ет вид, представленный на рис. 21.2. За неизвестные
903РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕпринимаются вертикальные смещения оси балки в точ¬ ках приложения дополнительных связей и углы пово¬ рота опорных сечений.21.1.3.	Смешанный способ [4]В основной системе (рис. 21.3) балка отделяется от упругого полупространства и к ней добавляется задел¬ ка. За неизвестные принимаются усилия Xi в связях- пружинах, осадка уо и угол поворота заделки <ро-(21.1)Для определения сил Xi, Х2, ... составляется система канонических ,уравнений:*11*1 + *12*2 + *13*3 + *14*4 Н	ЬУо "Ь ai?o + р = 0;*21*1 + *22*2 + *23*3 + *24*4 Н		 ++ Уо + а2*?0 + ^2 Р =*3i*1 + *32*2 + *33*3 + *34*4 Н	Ь+ Уо + лз¥о + Р = 0»*«1*1 "Ь *Л2*2 + *л3*3 “Ь *Л4*4 +••*■)“+ Уо + апЧ о + ДПР =Хг + Хг + Хг+	2^=0;CL\X± -j- л2*2 *3*3 "Ь * • * ^ Mi = 0 .Через ai обозначено расстояние от заделки до си¬ лы Xi 2Р/ и IMi —равнодействующая и момент внеш¬ них сил.Физический смысл первой группы уравнений (21.1) состоит в том, что перемещения в основной системе по направлению каждого неизвестного Х\, Xо, ., и т. д. отVik вычисляется по обычным формулам как прогиб в се¬ чении i балки, заделанный одним концом, от силы Xk=\t приложенной в сечении k (рис. 21.5):Г MiMk 4 ( ак\Щк-)-1Гах=ш[а1~ТГ= KfT (3“ -1)= Ш Щк' (21 -3)6EI \ ak ) 6EI где EI — жесткость балки;с — расстояние между связями (см. рис. 21.3).Значения Wik даны в табл. 21.1. Осадка упругого полупространства вычисляется по формуле Б. Н. Же* м оч кин а [4](1—fg)L Fik.	(21.4)tzEqCгде р-о—коэффициент Пуассона упругого полупро¬ странства, который принимается в соответствии с 20.1.9;Ео — модуль деформации полупространства, кото¬ рый принимается в соответствии с 20.1.9;Fik—значение функции, которое берется из табл. 21.2.L	АЭпюра Пн К Эпюра /т (aiZJaK)Рис. 21.5Подставив значения Vik и yik в формулу (21.2), по¬ лучим:сз1-нЗст?г ' Wik + ' |-i 6EI	Е0с л- (Fik 4- awik)Fik-Е0с яс* E0 тсРис. 21.46(1-н2)£/(21.5)(21.6)всех сил равны нулю. Таких уравнений надо составить столько, сколько имеется неизвестных сил Xi. Последние два уравнения являются уравнениями равновесия и вы¬ ражают условия, что в заделке вертикальная реакция и момент от всех сил, приложенных к балке, равны нулю.При вычислении коэффициентов */л канонических уравнений приходится учитывать как прогиб балки vik, так и осадку упругого полупространства yik от еди¬ ничных сил (рис. 21.4):*« = »« +у <*;	(21.2)Величины а приведены в табл. 21.3.1 — JJLqОбщий множитель 	 одинаков для всех коэф-Е0с лфициентов */£ , и поэтому при выполнении расчетов его можно учитывать в конце.При вычислении побочных перемещений */£ , у ко¬ торых i фк, безразлично, будут ли связи, установленные между балкой и упругим полупространством, упруги¬ ми или абсолютно жесткими. Упругость связей оказывает
Значение wikв формуле (21.3)Таблица 21.1N. С —С0,250,500,751,001,251,501,752,002,252,502,753,003,253,503,754,004,254,504,755,000,250,0320,0800,1280,1760,2240,2720,3200,3680.4160,4640,5120,5600,6080,6560,7040,7520,8000,8480,8960,9440,500,2500,4380,6250,8121,001,1881,3751,5621,7501,9382,1252,3122,5002,6882,8753,0623,2503,4383,6250,750.8441,2661,6882,1102,5322,9543,3763,7984,2244,6425,0645,4865,9086,3306,7527,1747,5968,0181,00*2,0002,7503,5004,2505,0005,7506,5007,2508,0008,7509,50010,25011,00011,75012,50013,25014,000i1,253,9065,0786,2507,4218,5939,76510,93712,10913,28014,45215,62416,79617,96819,13920,31121,4831,506,7508,44110,12211,81213,50315,18416,87518,56620,24721,93823,62825,30927,00028,69130,3721,75!10,71813,01715,31617,59919,89822,19724,49626,79529,09431,39333,67635,97538,27440,5732,00[i16,00019,00022,00025,00028,00031,00034,00037,00040,00043,00046,00049,00052,00012,25 I22,78226,57530,36834,16237,95541,78245,57549,36853,16256,95560,74860,5412,5031,25035,93840,62545,31250,00054,68859,37564,06268,75073,43878,1252,7541,59447,27252,94958,62764,30469,92075,59781,27586,95292,6303,0054,00060,72367,52774,25080,97387,77794,500101,223108,0273,2568,65676,58684,51692,445100,375108,305116,235124,1643,5085,75094,882104,143113,276122,537131,669140,8023,75105,468116,068126,500137,108147,708158,1494,00128,000139,904152,000164,096176,0004,25153,532167,120180,707194,0644,50182,250197,559212,5954,75214,344231,0635,00250,00021.1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
908 -РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕвлияние на главные коэффициенты уравнений, т. е. на §kk-Это учитывается в табл. 21.2 тем, что к перемеще¬ ниям (полупространства добавляется обжатие упругой связи в зависимости от толщины ho разрыхленного слоя грунта:Таблица 21,26 EI~&lk +1 — К)Ео слFkk +А» (1 —2н§)+ „ "■ = (Fkk + »»|»)Свободные члены A ip , входящие в уравнения (21.1), представляют собой прогибы балки, заделанной одним концом, от внешних сил; их можно вычислить, используя табл. 21.1, как показано ниже в 21.8. Подставляя най¬ денные коэффициенты и свободные члены в уравнения (21.1) и затем решая их совместно, определяем силы Х[, осадку уо и угол поворота заделки ко¬ ординаты pi эпюры реакций упругого полупростран¬ ства вычисляются путем деления сил Xi на соответству¬ ющие им площади подошвы балки:Pi= ~~ .	(21.7)сЬгде с — расстояние между связями; b — ширина балки.Эпюра реакций будет иметь ступенчатый вид. Изги¬ бающие моменты в балке определяются из основной системы с помощью сил Xi как для балки, заделанной одним концом. Например, для точки 3 (рис. 21.3).М3 = Х\ 2с -f- Х2 с -f- ^ ^' — Рс \Q3 = X1 + X3 + ±XZ-P.XсftpсFikЪ 2 с 3ЪсЬ 2СЛ--зс2,0012,3958,9455,1163,6721,8011,5828,4034,8453,4901,6010,7697,8614,5743,3111,409,9567,3194,3033,1301.209,1436,7774,0322,95101,008,3306,2353,7612,7690,807,5175,6933,4902,5880,606,7045,1513,2192,4090,405,8914,6092.9482,2270.205,0784,0692,6772,04904,2653,5252,4061,867101,0691,0380,9290,829200,5080,5050,4900,469300,3360,3350,3300,323400,2510,2500,2490,246500,2000,2000,1990,197600,1670,167 ‘0,1660,165700,1430,1430,1430,142800,1250,1250,1250,124900.1110,1110,1110,1111000,1000,1000,1000,100Примечание.х — расстояние от точки приложения елиничного груза до данной точки; Л0—толщина слоя основания, подчиняю¬ щегося гипотезе прямой пропорцио¬ нальности между осадкой и давле¬ нием;Ь — ширина балки; с — расстояние между связями.Сила Х3 учитывается потому, что представляет собой равнодействующую реакций, равномерно распределен¬ ных на участке с.21 Л.4. Способ силПо аналогии с неразрезной балкой за неизвестные принимаются опорные моменты (рис. 21.6). Число не¬ известных равно числу промежуточных связей и ихТаблица 21.3Значения коэффициента а в формуле (21.6)hЯп— -O.Oi14 lsf" IIо—=0.5с*ЬЬЬ оЪЬ 1сссс'с'сссс0.50,5710,2850,1905,7122,8561,90228,56014,2809,5100,60.3300,1650,1103,3061,6531,10116,5298,2645,5050,70,2030,1040,0692,0811,0410,69310,4065,2053,4660,80,1390,0700,0461.3940,6970,4646,9723,4842,3200,90,0980,0490,0330,9800,4900,3264,8982.4491,6321.00,0710,03*0,0240.7140,3570,2383,5701,7851,1891,10,0640,0270,0180,5360,2680.1782,6811,3420,8921,20,0410,0210,0140,4130,2060,1382,5671,0320,6891,30,0320,0160,0110,3250,1630,1081,6240.8140,5421,40,0260.0130,0090,2600,1300,0861,3000.6500.4321.50,0210,0100.0070,2120.1060.0701,0580.5290.3521.60,0170,0090,0060,1740.0870.0580,8710.4360,2891.70.0140,0070,0050,1460,0730.0490,7280.3640,2431,80,0120,0060.0040,1220,0610,0410,6100,3070,2041,90.0100,0050,0030,1040.0520,0340.5210,2600,1722,00,0090,0040,0020,0890,0450.0300,4460,2230.1482,50,0050,0020,0010,0460,0230,0150,2280,1140,0763,00.0020,0010,0010,0260.0130,0090,1320,0660.044Примечание. Таблица составлена для железобетонных балок, h — высота балки; b — ширина балки.
21.1 МЕТОДЫ РАСЧЕТА909меньше, чем в смешанном способе. Система каноничес¬ ких уравнений для определения X/ имеет вид*11 ^1 4* *12 ^2 4“ *13 “Ь* • * Н" ^1Р — 0 > *21 ^1 4~ *22 ^2 "I" *23 А3 +• ’ * 4“ &2Р “*31 А| ■+■ *32 + &33 Х3 + •	\- Агр = 0.(21.8)Вычисление коэффициентов этих уравнений значи¬ тельно сложнее и производится по формуле (рис. 21.7)= Р/Л + 7ik + ^ik ,	(21.9)7ik вычисляется путем деления разности осадок двух смежных точек упругого полупространства на рас¬ стояние между этими точками:7/Ав “ ( Уь+1.к — btk + Уi-i,k) • <21 • 15>Прогибы У i+ltk Т у Ik И yi^ik вычисляются с помо¬ щью табл. 21.2 от группы сил, указанной на рис. 21.8 и приложенной к упругому полупространству. Свободные члены Д/р зависят от деформации трех элементов: бал¬ ки, упругого полупространства и упругих связей*^iP = $ip + 7*я 4"	'01.16)Рис. 21.8где $tk —угол взаимного поворота сечений на опоре, возникающий в результате изгиба участков балки, примыкающих к опоре /, от единич¬ ного момента, приложенного на опоре k\ 7ik —взаимный угол поворота тех же сечений, выз¬ ванный деформацией упругого полупро¬ странства;§ik —взаимный угол поворота тех же сечений, вызванный обжатием упругих связей.Vik вычисляется путем перемножения единичных эпюр; при i=k получим4 с(21.10)о	1с 2 1 о2	3 El№ ’при i—k— 1 и i=k+lР*—l.fr =—2~*"з"~Ё}= 6Е1	(2111)Для всех остальных значений I $ik =0;	вы¬числяется аналогично тому, как это делается для нераз¬ резной балки на упругих опорах: при i=k2	2 АЛ 1-2(4) 4Ль(1-2|д»)•»-— •— —V		\ р р * (21.12)С' с E9F9	с1E0F оEoFo — жесткость упругой связи на сжатие; при i=k— 1 или i=k-И_L _2_ ^>(1—2(4) •с с E0Ft 2hB (l-2ng)c2E0F0 9при i—k—2 или i~k4-21 1 (l 	"k—2,k =* ~л~1<21.13)E0F 0*.(1-2(4)c2E0F0(21.14)Рис. 21.9Их вычисляют от внешних сил (рис. 21.9). Для при¬ мера вычислим Ajp:I	2/7г0 (1 — 2(4)Д1Р = 0+ (У0Р~Ь1Р+У2Р)—	+cE0Fq4-qc	(l 2{j.q)2 сEq Fq(21.17)Уор » У IP и У%Р вызываются силами, приложенными к упругому полупространству (изображены на рис. 21.9 пунктиром), и вычисляются с помощью табл. 21.2.После решения уравнений (21.8) находят Xi—мо¬ менты в балке в точках приложения упругих связей и по ним строят эпюру моментов. Ординаты эпюры реак¬ ций упругого полупространства определяются с помощью моментов по формуле2Х* , Xk+A 1cb =Ркс г \с>Xk—r“ 2Xk + xk+l c*b(21.18)21.1.5.	Использование симметрииДля симметричных балок решение значительно упро¬ щается в результате использования свойств симметрии и разложения нагрузки на две составляющие — сим¬ метричную и обратносимметричную. Вместо одной
910РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ(рис. 21.10,а) приходится решать две задачи (рис. 21.10, б и в), но каждая из них значительно проще.При смешанном способе расчета как для симметрич¬ ной нагрузки, так и для обратносимметричной в основ¬ ной системе заделку помещают в середине пролета бал¬ ки. Угол поворота заделки ?о обращается в нуль приЯ В С * Е6jIf дашшзх»г иИд-т-тРис. 21.10симметричной нагрузке, а осадка заделки уо и усилие в средней связи Х\ обращаются в нуль при обратносим¬ метричной нагрузке. Порядок расчета при использовании симметрии см. 21.8.2, а.21.1.6. Применение групповых [9]Объем вычислений несколько сокращается в резуль¬ тате применения групповых эпюр. За неизвестные при¬ нимаются группы сил. В математическом смысле этоОрдинаты эпюры перемещении упругогоравноценно разложению эпюры реакций упругого полу¬ пространства в ряд по тем или иным фундаментальным функциям. Чаще всего для этого используются тригоно-Р Заданная систепаОсновнаясистепаЕдиничные состоянияiiiimiitmliM.LiirlРис. 21.11метрические функции или полиномы. Для симметричной схемы загруженияр = Х0 + Xxcos —^7—— + Х2 cos 3 -Н-ELL _|	 (21.19)//При практических подсчетах достаточно ограничиться несколькими первыми членами ряда.Таблица 21.4полупространства от групповых нагрузок№схемСхема единичной нагрузкиЬVОрдинаты эпюры перемещений.>'1ч*3У<У5 | Ув 1 Уг УвЛ. У101*11 ^7?0,050,100,20+7,120 + 5,868 +4,694+ 8,105 + 6,744 + 5,384+8,554+7,178+5,771+ 8,830 + 7,449 +6,023+9,018 + 7,635 + 6,265+ 9,151 + 7,767 + 6,364+ 9,243 + 7,861 + 6.487+ 9,313 + 7,928 + 6,551+9,355 + 7,970 + 6,592+9,379 + 7,990 + 6.612Уд Ую2/^(/✓ГГТГ^ч.6 789Ю0,050,100,20+ 4,с96 + 3,178 + 1,365+ 4,586 + 3,404 + 2,279+ 3,686 + 2,734 + 1,845+ 2,388 + 1,775 + 1,193+0,663 + 0,453 + 0.257—1,113—0,929-0,722—2,895—2.282-1.686—4,356—3,398—2,466—5,435—4,226—3,082—6,001—4,662—3,379Примечание. 6—ширина балки, /—пролет балки. Для получения действительных осадок основания необходимо приведенные в табли2це значения перемещений умножить на 1~а0
21.1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА911Для определения обобщенных (групповых) сил X/ составляется система уравнений по смешанному способу (21.1.3). Коэффициенты <>/£ этих уравнений теперь яв¬ ляются обобщенными единичными перемещениями. Для их вычисления определяют работу единичной группы i на перемещениях, вызванных единичной группой k [9]. Основная система и обобщенные единичные группы сил показаны на рис. 21.11. От каждой группы сил возни¬ кают перемещения. Ординаты эпюры перемещений сла¬ гаются из перемещений балки, перемещений упругого полупространства и деформаций упругих связей. Значе¬ ние ординат эпюр перемещений от единичных групп ука¬ зано в табл. 21.4.Свободные члены уравнений вычисляются по формуле112дгя = 2 j qkvidx + 2'ZPkvi ,	(21.20)огде<7д> и Pk — внешние силы, приложенные к балке;Vi—прогибы балки в точках приложения этих сил, вызванные единичными нагрузками.Например, для схемы симметричной нагрузки и пер¬ вой единичной группы, указанной на рис. 21.11, уравне¬ ние упругой линии балки будет иметь вид8 El \ 2 6/ 3/2 /Если сила Р, например, приложена в четверти пролета, то ординату под грузом получим, полагая х= l17/*6 144£/теперь подсчитаем17/4А°я 2Р 6 144 EI 'Знак минус поставлен потому, что перемещение от единичной группы направлено вверх, а внешняя сила направлена вниз.Для вычисления остальных свободных членов необ¬ ходимо значения прогибов балки, соответствующие точ¬ кам приложения внешних сил, умножить на их величи¬ ны. После решения уравнений найденные значения ХоУ Хи ... подставляют в формулы (21.19), определяют ор¬ динаты эпюры реакций и по ним моменты и поперечные силы в балке.21.1.7.	Способ последовательных приближений [10]Идея этого способа состоит в том, что в первом при¬ ближении к балке, отделенной от упругого полупростран¬ ства, по площади контакта прикладывают реакции, кото¬ рые распределены по какому-либо известному закону, например по линейному, при условии, что эта эпюра должна уравновешивать внешнюю нагрузку. Затем опре¬ деляют эпюру перемещений, получающуюся от этих реакций независимо для балки и для упругого полупро¬ странства. Эпюра прогибов балки определяется с учетом внешних сил. Если сравнить полученные таким путем в первом приближении прогибы одноименных точек упру¬ гого полупространства и балки, то они будут разными. Между тем по условиям неразрывности эти прогибы должны быть одинаковыми. Для улучшения контакта добавим новую групповую эпюру реакций, которая должна быть самоуравновешенной, и ординаты этойэпюры должны быть пропорциональны разности проги¬ бов балки и упругого полупространства. От этой новой самоуравновешенной нагрузки вновь находим независи¬ мо эпюру >прогибов балки и упругого полупространства и добавляем их к эпюрам, полученным в первом прибли¬ жении. Так будет получено второе приближение.Для третьего приближения необходимо вновь срав¬ нить эпюры прогибов балки и упругого полупростран¬ ства, соответствующие второму приближению, и полу¬ чить новую, самоуравновешенную эпюру реакций, орди¬ наты которой пропорциональны разности прогибов бал¬ ки и упругого полупространства, полученной из второготшттшш9о)БШПШШШИшпшшпш'flf'l ПИШИ НИ 1-11--ЭД5У1У2%*"7777777Рис. 21.12приближения. Сходимость процесса обеспечивается тем, что дополнительные самоуравновешенные нагрузки, при¬ кладываемые после каждого нового приближения, будут иметь убывающие ординаты. Результирующая эпюра реакций будет получена путем непосредственного сложе¬ ния эпюр, полученных для каждого приближения. По эпюре реакций определяются моменты и поперечные си¬ лы в балке.Поясним изложенную идею расчета на при¬ мере балки, нагруженной равномерно распределен¬ ной нагрузкой (рис. 21.12). Для первого приближения приложим к балке равномерно распределенную эпюру реакций. Из условий равновесия реакций и внешних сил ординаты эпюры реакций р и будут равны интенсив¬ ности внешней нагрузки q. Балка, отделенная от упру¬ гого полупространства, будет находиться под действием внешней нагрузки и таких же реакций (рис. 21.12, а), поэтому она будет сохранять прямолинейную ось. Упру¬ гое полупространство под действием равномерной на¬ грузки будет деформироваться по кривой, как это пока¬ зано на рис. 21.12,6. Ординаты этой кривой вычисляем, используя табл. 21.2, для чего разбиваем пролет балки на несколько равных частей длиной с (например, на де¬ сять) и в середине каждого участка прикладываем со-Ъсредоточенную силу Р = qc. При — =1 прогиб в пер¬ вой точке равен= (3,525 + 1,038 + 0,505 + 0,335 + 0,251) X.. О-Ио) „ „X	Р	z	= 5,654 	71 Е0СЯ ЕоТаким же порядком находим прогибы остальных точек упругого полупространства и по ним строим эпюру про¬ гибов, изображенную на рис. 21.12,6.Теперь совместим площади эпюр‘(рис. 21.12, а я б) так, чтобы получить уравновешенную эпюру второго
912РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕприближения, причем для балки учитываем не только упругие прогибы, которые в данном примере равны ну¬ лю, но и ее смещение Уо как жесткого тела.Величина Уо находится из условия, что заштрихо¬ ванные на рис. 21.12, в отрицательные и положительные площади эпюр взаимно равны. Это условие записывает^ ся так:II/bdx(у — .Уо) dx=*0 или у о =Iгде — площадь эпюры прогибов упругого полупрост¬ ранства,*777777.Рис. 21.13гшшшгшшх*9люра (М'Эпюра'реакцииоснобания	Рис. 21.14Переходим ко второму приближению. Для этого при¬ кладываем к балке и к упругому полупространству урав¬ новешенную эпюру нагрузки, ординаты которой пропор¬ циональны разности прогибов АУ1—У1—Уо- Например, для точки 1q (1 — fx?)byi = 5,654 - - уо . (21.23)Л С. оЭпюра нагрузки для второго приближения показана на рис. 21.13. Ординаты этой нагрузки равныР2/ =А У1 я Е0М1-^)(21.24)Для того чтобы получить третье приближение, надо произвести для нагрузки p^i такой же расчет, как для нагрузки ри-Результирующая эпюра реакций и эпюры М и Q для первых двух приближений показаны на рис. 21.14.Кроме рассмотренных, методов, имеются еще и дру¬ гие [2, 5, 6, 13, 15, 16]. В ряде работ приводятся табли¬ цы, облегчающие расчеты. Большое количество таблиц есть в работе М. И. Горбунова-Посадова [2], а также у других авторов: для гибкой бесконечно длинной балки ([4], стр. 132), для расчета бесконечной плиты ([3], стр. 134) и для расчета плит с учетом пластических деформаций основания ([1], стр. 57—59).21.2. БЕСКОНЕЧНО ЖЕСТКАЯ БАЛКА21.2.1.	Выбор расчетной схемыПрименение упрощенных расчетных схем допустимо тогда, когда хотят получить приближенное решение задачи. Выбор расчетной схемы зависит от соотношения жесткостей балки и упругого полупространства.Балку можно считать абсолютно жесткой при усло¬ вии/ <0,8hVi-(21.25)гдеI	— пролет балки; h — высота балки;Е — модуль упругости балки;Ео — модуль деформации основания.21.2.2. Расчет бесконечно жесткой балкиПри расчете бесконечно жесткой балки пользуются уравнениями (21.1), но при вычислении коэффициентов канонических уравнений учитывают, что деформация балки должна быть равной нулю, и поэтому формула для ^ik будет состоять из одного члена, равного пере¬ мещению упругого полупространстваhk = '1-Pt) л сЕ0Fik •(21.26)Для главных коэффициентов необходимо учесть де¬ формацию упругих связей, которыми балка прикреп¬ ляется к упругому полупространству:л сЕ0 ‘ kk ' Е0сЬ Я А0 (1 — 2(4)+А. (1-2$■(*оjt сЕ0kk+ь( 1 — (4)•Моjt сЕ0Fkk ,где h0 — высота упругих связей (слоя разрыхленного грунта);Ео — модуль деформации основания; с — расстояние между связями; b — ширина балки;f*o—коэффициент Пуассона для упругого полупро¬ странства (Ро =0,35);Fik, Fkk берется из табл. 21.2.Свободные члены Aip, Агр в уравнениях (21.1) для бесконечно жесткой балки обращаются в нуль. Свобод¬ ные члены в уравнениях равновесия равны сумме всех внешних сил, приложенных к балке, или моменту этих сил относительно заделки. Распределение реакций упру¬ гого полупространства не зависит от модуля деформаций основания; при симметричной нагрузке очертание эпюры реакций также не зависит от закона, по которому рас¬ пределена внешняя нагрузка. Величина ординат этой эпюры будет пропорциональна равнодействующей внеш¬ них сил.Изгибающие моменты и поперечные силы зависят от закона распределения внешней нагрузки, так как момент внешних сил зависит от положения нагрузки по длине балки. При обратносимметричной нагрузке ординаты эпюр реакций будут пропорциональны моменту равно¬ действующей внешних сил, вычисленному относительно заделки.
21.2. БЕСКОНЕЧНО ЖЕСТКАЯ БАЛКА913Таблица 21.5 Значения реакций для бесконечно жесткой балкиW7\fTTTTHTfT£J=ОощшштшщА Р,РГ^IL/9IL/9ИГ77лЫ1hjcРеакции /?г-Ро IPiР*Р*/4Ы1=°о0,000,6880,6830,7320,8521,8920,500,7040,7200,7900,9501,680Плоская задача1,000,7300,7600,8200,9801,5501,250,7500,7700,8401,0021,5090,3300,7990,8320,8580,9071,4949,2200,8460,8550,8810,9271,4080,1100,8890,8900,9190,9611,2980,0700,9000,9050,9280,9731,247/— пролет балки, Ь— ширина балки; Aq—толщина слоя, с=Ц9.Таблица 21.6 Ординаты эпюр М и Q для бесконечно жесткой балкиСхема 1nmntiHti ITT уЫ1УсилияПлоскаязадачаЫ1 = *сосоои<N<NО*II0*IIt-о"ilОбщиймножительМ0+0,027+0,015+0,012+0,009+0,008Mi+0,025+ 0,014+0,011+0,008+0,007нS3а»SМ2+0,019+ 0,010+0,009+0,006+0,006• Яо?£Мг+0,010+0,006+0 ,00d+0,004+ 0,003МА+0,002+0,001+0,001+0,000+0,000Qi—0,035—0,019-0,016—0,014—0,01231аQ2—0,068—0,037—0,030-0,024—0,020я’ Яо13*оа,Qz-0,091—0,050-0,041—0,031—0,026соQ<—0,050—0,027—0,023—0,016—0,014Примечание. Моменты и поперечные силы указаны на 1 пог. м ширины балки.58 Зак. 2098В табл. 21.5 указаны ординаты эпюры реакций для бесконечно жестких балок, имеющих разную относитель¬ ную ширину при симметричном их нагружении. В этой таблице даны коэффициенты pi —неравномерности в распределении реакций, на которые надо умножить ве-'ZPiличину средней реакции qo=—~• Интенсивность давле-Ыния в любой точке подошвы балки определяется по фор¬ мулеQi = Pi Qo ,(21.27)Изгибающие моменты и поперечные силы для раз¬ ных схем загружения указаны в табл. 21.6—21.11. Эпюры построены для единичных нагрузок.Таблица 21.7Ординаты эпюр М и Q для бесконечно жесткой балкиСхема 2Эпюра м-н i/9 t L/9 К+Ы1УсилияПлоскаязадачаb!l=o0соСОоilо»(Nо*IIо*IIо-осГilОбщиймножительМо+ 0,148+0,136+0,134+0,131+0,1293Mi+0,098+0,087+ 0,08й+0,082+0.081няа>SоМ2+0,057+0,048+ 0,046+0,044+0.043Р1Мг+0,024+0,019+0,018+0,017+ 0,016м4+0,004+0,003+ 0,003+0,002+0,002Qo—0,500—0,500—0,500—0,500—0,500345 иQi .—0,424—0,408' —0,404—0,402—0,4004>3кэ*<иQ2—0,345—0,314—0,308—0,302—0,298Ра,ососQz—0,257—0,216—0,208—0,197—0,192Qa—0,105—0,083—0,078—0,072—0.069Примечание. Моменты и поперечные силы указаны на всю ширину балки.
914РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ=*Таблица 21.8Ординаты эпюр М и Q для бесконечно жесткой балкиПродолжение табл. 21.9Р--1L/9 Г (J9 Г-Jn/opa МТУ-,Ы1УсилияПлоскаязадачаЬЦ= оо8оil<NОИо\\t'*ооIIОбщиймножительм0+0,185+0,161+0,157+ 0,151+ 0,147змг+0,196+ 0,174+ 0,170+0.164+0.162нЯ<иSм2+0,154+0,096+0.092+0,088+0,086Р11м3+0,048+0,033+0,036+0,034+0,032Mi+0,008+0,007+0,006+0,004+0,003^1лев+0,152+0,184+ 0,191+ 0.196+ 0,2013е;Sо^1прав—0,848—0,816—0,809—0,804—0,799а>3XЕР0><?2—0,690-0,628—0,616—0,604—0,596bОоQs—0,514—0,432—0,41С—0,395-0,385<?4—0,210—0,1G6—о,15:;—0.144—0,138Примечание. Моменты и поперечные силы указаны на всю ширину балки.Таблица 21.9Ординаты эпюр М и Q для бесконечно жесткой балкиСхема 4Р-11	Y~-7Г"	—-4 С/9 f L/9 f—	|Эпюра MПримечание. Моменты и поперечные силы указаны на всю ширину балки.Таблица 21.10Ординаты эпюр М и Q для бесконечно жесткой балкиСхема 5Р'7 |	\С/ШЭпюр а П% ”, "7Эпюра Q		3ъпУсилияПлоскаязадачаЬ1=оо8о-о<Моi!<=>IIt'*оо|1ОбщиймножительЩ—0.036-0,061—0,065-0.071—0,0752Мх—0,02-0,048—0,052-0,058-0,060нXо»SМ2+0.04Г—0,0Г>-0,019—0,023-0,025hi1Мз+0.04Я+ 0,03«+ 0.03h+ 0,034+ 0,032м*+0,00,-^+ 0.006+0,005+0,004+0,004Qi+0,152+ 0.184+0.191+ 0,Ь6+ 0,201345<?2+0,310+ 0,372+0,3.44+ 0, ЗЬ»6+0 404о»3SC3*С?злев+0,48f+ 0,56Ь+ 0,584+0,605+0,615РО.<иСоС-зправ-0,514—0,432—0,416—0,395-0,385Qa—0,210-0,166—0,156—0,144—0,138Примечание. Моменты и поперечные силы указаны на всю ширину балки.
21.4.. БАЛКА ЛОМАНОГО ОЧЕРТАНИЯ В ПЛАНЕ915Таблица 21.11Ординаты эпюр М и Q для бесконечно жесткой балки _ Схема 6р-i |£,Эпюра М^ /пгттЭпюра QьпУсилияПлоская задача Ы1- •»ЯоII.о<моII0JI0 0“1ОбщиймножительМоментыЩ-0,147-0.172-0,176-0,182-0,186PIМ\-0,137-0,159—0.163-0,169-0,171М2-0.068-0,126-0,130—0.134—0.136М3—0,063-0,073—0,075-0.077-0,079МА+0,008+0.006+0.005+0.004+0,004Поперечные силыQi+0.152+0.184+0.191+0.196+ 0,201PQ2+0.310+0,372+0,384+0.3j6+0.404Q3+0,486+0.568+0,584+0,605+0,615<?4лев+0 790+0.834+0.844+0.856+0.862<?4прав-0,210-0.166—0,156—0.144-0,138ионических уравнений, т. е. перемещения в основной системе, нужно вычислять как для неразрезной балки или рамы. Порядок расчета гибкой балки см. 21.8.1.21.4. БАЛКА ЛОМАНОГО ОЧЕРТАНИЯ В ПЛАНЕ 21.4.1. Расчетная схемаОсобенность расчета такой балки состоит в услож¬ нении вычисления единичных перемещений, т, е. коэф¬ фициентов системы канонических уравнений. Нао 5О 30405•дЧо?/оо;о?•С —о5otfО 305iтРис. 21.16Примечание. Моменты и поперечные силы указаны на всю ширину балки.21.3. ГИБКАЯ КОРОТКАЯ БАЛКАБалка должна рассчитываться как короткая и гиб¬ кая, если неравенство (21.25) не выполняется.Для расчета балки разбивают ее пролет / на не¬ сколько (например, 9, 10) равных частей и в пределах каждого участка эпюру реакций считают равномерно распределенной. В середине этих участков располагают стержень, которым балка прикрепляется к упругому по¬ лупространству. При симметричной балке внешнюю на¬ грузку разлагают на симметричную и обратносимме¬ тричную составляющиеЕсли балка имеет переменную жесткость, то порядок расчета сохраняется, но при вычислении коэффициентов канонических уравнений прогибы балки определяются с учетом изменяющегося момента инерции. Осадки упру¬ гого полупрос1ранстяа вычисляются так же, как и для балки постоянного сечения.В зависимости от конструктивных особенностей тех элементов здания, которые опираются на фундаментную балку, кроме рассмотренного основного случая балки со свободными концами, могут встретиться и другие. Так, если фундам! 1гная балка будет представлять собой не¬ разрезную балку или ригель рамы, ю коэффициенты ка- 58*рис. 21.15 показана фундаментная балка, имеющая в плане форму двутавра. Для расчета такой балки при¬ меним смешанный способ. Учитывал симметрию в основ¬ ной системе, заделку следует разместить в середине пролета и балку прикрепить к упругому полупростран¬ ству нерастяжимыми стержнями, как указано на рис. 21.16. Число неизвестных будет равно шести вслед¬ ствие симметрии относительно двух осей. Система кано¬ нических уравнений составляется по типу уравнений (21.1), причем <f>o =0 ввиду симметрии системы и на¬ грузки.Из уравнений равновесия сохранится только первое, в которое входит сумма проекций на вертикальную ось всех сил, приложенных к балке.21.4.2. Вычисление единичных перемещений балкиКоэффициенты канонических уравнений состоят из двух слагаемых vik + yik = §ik. Первое слагаемое пред¬ ставляет собой прогиб балки, второе — осадку упругого полупространства. На рис. 21.17 показаны для примера две эпюры М от Х2=\ и от Х5=1. Для подсчета 025. эпюры надо перемножить:_1с с'_( I , 2 I \ 1 °25 - 2 [ 2 + 3 ' 2 ) Eh '
916РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕПеремножение выполняется только в пределах одной балки.При вычислении t>55, производя перемножение по обеим балкам, получимЖесткости балок могут быть разные, поэтому здесь введены разные моменты инерции — Л и h.У2Ь =0,25(1-$ ( 1л Bq( 1 1 1 м( + 4* + ).\ '1	г2	ГЪ	r \ IДля получения более точного значения прямоуголь¬ ник, занятый нагрузкой, следует разбить на большее число частей, например 16, и т. д. Расстояния следует вычислять исходя из геометрических размеров балки. Удовлетворительную точность дает графическое изме¬ рение этих расстояний по масштабу. В рассмотренном случае размеры всех прямоугольников, на которые раз¬ бита балка, в плане были одинаковыми и представлялиfтк>И*Рис. 21.18собой квадраты. Если же площади будут разные, то для соблюдения взаимности при вычислении единичных перемещений следует оба прямоугольника разбить на несколько частей и для центра тяжести каждой части вычислить перемещение. Тогда yik будет представлять собой среднее арифметическое из этих перемещений,21.4.4.	Построение результирующих эпюрПостроение результирующих эпюр М и Q выполняет¬ ся после того, как решены канонические уравнения и определены силы X/. Результирующая эпюра М полу¬ чается путем сложения эпюр единичных состояний, каждая из которых умножена на значение силы XiЭпюру поперечных сил получают с помощью эпю¬ ры М, как это делается для обычных балок.21.4.3.	Вычисление единичных перемещений упругого полупространстваТабл. 21.2 можно использовать не для всех единичных состояний, так как в ней приведены значения Fik , со¬ ответствующие таким точкам, расстояние до которых выражается целыми числами, умноженными на с (рас¬ стояние между стержнями), что имеет место для пря¬ молинейных балок.Для балки же ломаного в плане очертания этого мо¬ жет не получиться, поэтому Fik нужно вычислять. Точ¬ ное значение этой функции можно получить путем вы¬ числения соответствующего интеграла, но, учитывая тот факт, что в целом решение является приближенным, це¬ лесообразно этот интеграл заменить суммой и применить численный способ. Например, для того чтобы найти #25, мы должны искать прогиб точки 2 от распределен¬ ной нагрузки, расположенной в пределах прямоуголь¬ ника 5, причем разнодействующая этой нагрузки равна единице.Разобьем прямоугольник 5 на четыре части, как пока¬ зано на рис. 21.18, и в центре тяжести каждой части приложим силу 0,25. От этих четырех сил найдем пере¬ мещение упругого полупространства в точке 2 по фор¬ муле	■21.4.5.	Криволинейная в плане балкаРассмотренный способ можно применить для при¬ ближенного расчета балки, имеющей криволинейное очертание в плане (рис. 21.19). Основную систему дляэтого случая выбираем согласно рис. 21.20. При симме¬ тричной нагрузке неизвестными будут Хь Л2. Х3, Х4, f0 и уо. В данном случае при вычислении единичных пере¬ мещений, кроме изгиба балки, необходимо учитывать еще и ее кручение. Для упрощения при вычислении из¬ гибающих и крутящих моментов криволинейная ось бал¬ ки заменяется ломаной (рис. 21.21).Единичные перемещения yik упругого полупростран¬ ства вычисляются путем деления площади каждого уча¬
21.4. БАЛКА ЛОМАНОГО ОЧЕРТАНИЯ В ПЛАНЕ917стка балки на несколько частей, как показано на рис. 21.22 для участка 4. От сил, приложенных в этих участках, определяются перемещения четырех точек дру¬ гого участка по формулеУ1_У	,21.28)i-J jt £0 гi	я Eq ^rtгде r i — расстояние от каждой из четырех сил до дан¬ ной точки другого участка (на рис. 21.22 по-* казано до точки 1).Рис. 21.22Затем вычисляется средняя осадка всего участка как сиеднее арифметическое из осадок четырех точек.Так, например, осадка упругого полупространства по направлению силы Х\ от силы л4 1 равнаi(i—у5) _lя Е0Уи =+^+-^1 + 1 —г3 ++-V+-U Г1 г2.1+4.1+ [i + -L+4 + -lrUг3 Г4 J L Г1 Г2 r3 Т4 Jц_+_!г+лг+Л1 +L r\ г2 r3 r4 J11 J, J.	+ IV + ,1V + JVГ о	Го	*лIVрасстояния г/ можно вычислять графически, если чер¬ теж сделать в достаточно крупном масштабе. Для полу¬ чения большей точности в этом случае необходимо раз¬ бить площади на большее число частей.21.4.6.	Расчет гибких балок и полос по таблицам [2]/Ео ГМ3 Ла) Расчет бесконечно длинной I — > II полосышириной 1 м (в условиях плоской задачи, т. е. когда рассматриваемая полоса загружена так же, как и две соседние, примыкающие к ней полосы) ведется следую¬ щим образом (здесь и далее Е — модуль деформации материала полосы; Ео — модуль деформации основания; h — высота полосы и / — ее полудлина).Вычисляется характеристика полосы L-°.®у |после чего устанавливаются длины, на которых нахо¬ дятся расчетные сечения = £ L. Приведенные длины £, на которых располагается рассматриваемое сечение(Е'Г5'Рис. 21.23относительно точки приложения силы, берутся кратными 0,2. Изгибающие моменты(21.29)где М берется из табл. 21.12, Р — величина действующей сосредоточенной силы, приходящейся на 1 _м ширины полосы (рис. 21.23). Поперечные силы Q—+QP и реак--	Ртивные давления	табл. 21.12). Если сечение на¬ходится под силой, £ =0. В случае действия ряда сил искомый момент (поперечная сила, реакция основания) находятся простым суммированием влияний каждой си¬ лы. Эти таблицы применяются для случаев, когда рас-J £	Рис. 21.24сматриваемое сечение находится на расстоянии, большем чем 2L, от края полосы и сила приложена на расстоя¬ нии 6 >2,0.В случаях, когда указанные критерии не выполняют¬ ся, применяются таблицы для полубесконечных полос.б) Расчет полубесконечной полосы. В случаях, когда нагруженное сечение полосы находится ближе чем 2L от края или £ <2,0, приходится пользоваться табли¬ цами для лолубесконечных полос.аВ этом случае вычисляется расстояние а = — отближайшего края полосы и £ — расстояние от этого же края полосы (рис. 21.24). Моменты вычисляются по фор- ‘ муле (21.29). М определяется из табл. 21.13.Если нагрузка распределена на некотором участке, то она разбивается на сосредоточенные силы, располагае¬ мые на этом же участке с интервалом 0,2 приведенной длины. При расчете одной полосы может встретиться необходимость использования табл. 21.13 и 21.12.
У18РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕТаблицы для определения реактивных давлений и поперечных сил для длинных полубесконечных полос приводятся в работе [2, стр. 140—143]. Там же приве¬ дены таблицы для случая нагрузки в виде сосредоточен¬ ного момента ([2], стр. 138—139 и 144—147).в)	Расчет полос конечной длины. Если показатель<10, расчет производится по таб-гибкости t■■-ft')'лицам, составленным для полос конечной длины. Они со¬ ставлены для нагрузок в виде сосредоточенной силы^, сосредоточенного момента и равномерно распределенной нагрузки при f=0; 1; 2; 3; 5; 7 и 10. Координаты точек приложения сил а и сечений ? приведены к длине полосы (0 <а<1; 0 < 6 < 1) изданы с интервалом 0,1 С2], стр. 74—115).г)	Для расчета длинной балки конечной ширины, т. е. когда ширина ее намного меньше длины, следует воспользоваться решением в условиях пространствен¬ ной задачи.Сначала вычисляется упругая характеристика' V Ь'Е0 ’где Ь' — ширина балки;/ — момент инерции ее поперечного сечения,. аЗатем устанавливаются приведенные полудлина *.=-£ Безразмерные коэффициенты р, Q и М« ь 1и полуширина р= 		”, где а — полудлина балки. Бал¬ ка считается длинной и может быть рассчитана по таб¬ лицам ([2], стр. 342—363) при следующих условиях: если 0,01 < ji < 0,15, К > 1,0 . 0,15 < Р < 0,3, а. > 2,0 0,3 < ? < 0,5, I > 3,5Таблицы составлены для ^=0,025; 0,075; 0,15; 0,3 и 0,5 в зависимости от £ и а ( а меняется от 0 до 1 с интервалом 0,1; ё —в пределах от 0 до 3,0 при Э<0,15 и до 4,0 при 3> 0,3). Последний столбец в таблицах относится к бесконечно длинным балкам ( а=оо) и име¬ ет единственный вход £, т. е. приведенное расстояние между силой и сечением.д)	Для гибких коротких балок приведены графики для расчета ("21 стр. 380—386).е)	Расчет круглых плит производится с помощью таблиц ([2] стр. 255—271). Рассмотрены случаи загрузки одной сосредоточенной центральной силой, равномерно распределенной нагрузкой на участке радиусом, мень¬ шим, чем радиус плиты, сосредоточенной кольцевой на¬ грузкой, сосредоточенными моментами по краям плиты.ж)	Расчет бесконечных плит под сетку колонн и аэродромных покрытий производится по таблицам ([2] стр. 274—278). Имеются таблицы для вычисления реактивных давлений, прогибов, изгибающих и крутя¬ щих моментов и поперечных сил.Таблица 21.12для расчета бесконечно длинной полосы60,00,20,40,о0,81.01/J1,41.ь1.82,0-г, 22,42,62,83.03.23.43,63,84,0р0,380,370,340,300.260,230,19•>,1С0.130,110,0*0.0?),0oо ,040,030,0/o.oiJ,010,000,000,00Q±0,50—0,42—0,35-0,29—0,23-0,18-0,14-0.11—0, Of--0,06-0,04—0,02—0.010,000,000,010,020,020,020,020,02М0,380,290,210,150,100,060,020,00—0,02—0,03—0,04—0,0t—0,05—0 05—0,05—0,05—0,05-0,04-0,04-0 04—0.03Значения безразмерного коэффициента М для полубесконечной полосыX0,00.20,40,60,81.01,21.41.61.82,0z, 22.42.62.83,03,23,43,63,84,00.00-0,16—0,25—0,30-0,32-0,32—0,31—0,29—0.26—0.24-0,21-0,19—0 16—0,14—0,12—0 10—0.09—0,07—0.06-0.05-0,040,200,04—0,07-0,14—0, 18—0,20—0,-1—0,20—0,20—0,18—0,17—0,15—O, 14-0,12—0,11—0.09—0,08—0.07—0,06-0,05—0,040,400,030,110,02—0,04—0,08—0.11—0,12—0,13-0,13—0,13-0 12-0.11—0,10-0,09—0,09—0,08-0,07—0,06—0,05—0,040,600,020,090,180,100,04—0,01—0,04-0,06—0 08—0,08—0,09—0.09-0,09—0.08—0,08—0,07—0,06—0.06—0,05—0.050,800,020,070.140,24ОЛЬ0,(b0,040.01—0,02-0,04—0,06—0.06—0,07—0,07—0,0/—0,07—0,06—o.oe—0,05-0 051.000,010,050,100,190,28j, 200,130,080,040,00-0,020,04—0,0f-0 06—0,06-0.06—0,06—0,06—0,05-0.051,200,010,040,080,150,230.320.240.170,110,060,030,00—0.01-0,03-0,04-0.05-0.05—0,05-0,05-0,051,400,010,040,080,130,ь0,270,370,280,200,140,090,050,020,00—0.02-0 03-0.04-0, j4-0,04-0,051.600,010,040,080,120,1/0,22J.310,400,31o,230,16u.ll)4060.030,01—0.01—0.03-0,03—0,04-0,041,800,010,040.070 110.150,200,270.330 42■*,320,240 170,120,0/0,040,01-o.oi—0*02-0,03—0,042.000,010,020,^40,0b0,090,130.180,23o.3i0,4o0,30J.22Л1^0,100,000,030 Ut—0,02-0 0?-0,04
21.5. БЕСКОНЕЧНО ЖЕСТКАЯ ПЛИТА91921.5.	БЕСКОНЕЧНО ЖЕСТКАЯ ПЛИТАПлиту можно рассматривать как бесконечно жест-' кую, если соблюдается условиеЕ£.где а — размер меньшей стороны плиты в плане; h — толщина плиты.Рис. 21.25Расчет прямоугольных в плане плит при симметрич¬ ной нагрузке выполняется с учетом тех упрощений, ко¬ торые вытекают из условий симметрии.Для плиты, изображенной на рис. 21.25, канониче¬ ские уравнения составляются для 1/4 плиты. При вычис¬ лении коэффициентов канонических уравнений учиты¬ вается только деформация упругого полупространстЬа от группы сил, состоящей из четырех единичных сил. При симметричной нагрузке число неизвестных равно семи: А'ь Х2, Хг, Х4, ХБ, Хб и r/о, где г/о — осадка плиты как жесткого тела.Свободные члены в канонических уравнениях равны нулю.При обратносимметричной нагрузке число неизвест¬ ных равно пяти, так как Xj=0, Х2=0. Таким образом,/	f	9	tостаются Х3, ХА, Х5, Х6 и угол поворота заделки <Ро-В табл. 21.14 указаны коэффициенты ординат эпюры реакций упругого основания при разных соот¬ ношениях размеров плит в плане при симметричной нагрузке.Вместо таблиц для частных случаев абсолютно жест¬ ких плит можно пользоваться готовыми формулами. Осадка .квадратного штампа уо со стороной 2а лрл сим¬ метричной нагрузкеУе = 0,93где Р— равнодействующая внешних сил;fj-o—коэффициент Пуассона грунта основания:Ео — модуль деформации основания.Для круглого штампа радиусом г при симметричной нагрузкеР = '2кг }/ га— х2Рр-Ро)2гЕ0Таблица 21.14Коэффициенты ординат эпюры реакции при симметричной нагрузкеpiИнтенсивность реакций и схема плитыРъ0,4720,6781,062РаРь0,5381,100<и•6•5•3•5•б.•5*•4•2•4•5•3•2•2•3•5•4•4•5•6•5•3•5•60,49о0,93/О, £100.9Ь/1,020•6•4•2•4•в•5•3•3•5•6•4•2•4•6Сечение в-б0,5310,9410,5490,972Рь1,6961.421Сечение в-г1,143 1.485Сечение е-е•6•4*2•г•4•6•5•3•7•7•3•5•6•4•2•4•6Сечение д-0е\где х — расстояние от центра плиты до данной точки; р — ордината эпюры реакций,
920РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ21.6.	БЕСКОНЕЧНО ПРОТЯЖЕННАЯ ПЛИТАПлиту можно рассматривать как бесконечно протя¬ женную, если соблюдается условиеа > 3hгде Е — модуль упругости плиты;Ео — модуль деформации основания; а — размер меньшей стороны плиты в плане; h — толщина плиты.Из этого условия определяется наименьший размер плиты в плане, при котором ее можно рассматривать как бесконечно протяженную при дополнительном условии, что нагрузка удалена от края на расстояние, большее,чем”^~, и £о<0,2£.Значения ординат эпюр реакций, моментов и попереч¬ ных сил от единичного груза указаны в табл. 21.15. Ординаты эпюр являются также ординатами линий влияния.	»21.7.	ГИБКАЯ ПЛИТАВ первом приближении гибкую прямоугольную в плане плиту рассчитывают независимо в двух направ¬ лениях.Сначала в продольном направлении плиту рассма¬ тривают как балку и находят эпюру реакций в соответ¬ ствии с указаниями в 21.3. В результате такого расчета для плиты получается эпюра, показанная на рис. 21.26. В по-перечном направлении в каждом сечении плиты ор¬ динаты эпюры реакций будут одинаковыми. Для того чтобы учесть неравномерность распределения реакций в поперечном направлении, вырезаем из плиты полоску шириной 1 пог. м и для нее делаем расчет вновь, как для балки в условиях плоской деформации. Нагрузкой для этой балки будет равномерно распределенное дав¬ ление, равное реакции упругого основания рПрод»котороеТаблица 21.15Ординаты эпюр от единичного груза для бесконечно протяженной плиты(от силы Р = 1)Расстояние от точки приложения грузаРеакции основания рРадиальный момент МТангенциальныймоментПоперечные силы QОсадка основания У0,0000,1230,3070,0620,118+0,256+0,322—2,5420,3060,1250,113+0,191+0,258—1.2660,3030,2500,103+0,129+0,195—0,6230,3020,3750,096+0,093+0,158—0,4050,2950,5000,086+0,069+0,132—0,2950,2830,7500,073+0,037+0,097—0,1790,2701,0000,060+0,017+0,074. —0,1220,2491,2500.049+0,004+0,057—0 0840,2331,5000,041—0,004+0,045—0,0610,2131,7500,033—0,011+0,035—0,0120,1982,0000,026—0,013+0,023—0,0310.1802,2500,021—0,015+0,022—0,0220,1662.5000,017—0.013+0,018—0,0150,1522,7500,013—0,015+0,014—0,0100,1403,0000,010—0,016+0,012—0,0070,1273,2500,008—0,015+0,009—0,0040,1173,5000,006—0,014+0,007—0,0020,1083,7500,004—0,013+0,006—0,0010,0994,0000 003—0,012+0,0050,0000,0925,0000,001—0,008+0,002+0,0020,070Множители(1-1*0) <•VЕп(1—ию)£VГ(1-^)1VЕ°D — цилиндрическая жесткость плиты.
21.7. ГИБКАЯ ПЛИТА921было найдено из расчета в продольном направлении. Считывая тот факт, что для всех полосок поперечного направления нагрузка будет равномерно распределенной, расчет в поперечном направлении можно сделать на на¬ грузку интенсивностью <7=1. Тогда для поперечного на¬ правления получим схему балки, показанную на рис. 21.27, причем полученные после расчета в попереч¬ ном направлении ординаты эпюры реакций являются коэффициентами неравномерности в распределении реакций в поперечном направлении. Для того чтобы по¬ лучить окончательное распределение реакций, надо в каждой точке рпрод умножить на р попер :Р = £прод Рпопер» после чего получим эпюру, показанную на рис. 21.28.Изгибающие моменты и поперечные силы сначала подсчитываются, как для балки в продольном направ¬ лении, а затем для них вводится тот же коэффициент неравномерности, что и для реакций упругого основа¬ ния, полученный из расчета в поперечном направлении. Такое решение будет приближенным, хотя для ряда случаев этим путем получается вполне приемлемый для практики результат.Дальнейшее уточнение решения можно получить, рас¬ сматривая плиту как систему взаимно-пересекающихся балок. В этом случае пренебрегают влиянием крутящих моментов, возникающих в плите. В плане плиту рассе¬ кают на полоски в двух взаимно-перпендикулярных на¬ правлениях, как это сделано на рис. 21.29. Полоску продольного направления прикрепляют к упругому ос¬ нованию, а полоску поперечного направления — к поло¬ скам продольного с помощью нерастяжимых стержней; в результате получается расчетная схема плиты, изобра¬ женная на рис. 21.30. Решение можно выполнить по сме¬ шанному способу или по способу сил.По смешанному способу при симметричной нагрузке основную систему получим, вводя заделки для балокпродольного направления по линии аб (рис. 21.31), а для балок поперечного направления — по линии вг и заменяя все опорные стержни неизвестными силами X iЧисло неизвестных равно числу сил Xi плюс число осадок yi заделок. Канонические уравнения для опреде¬ ления неизвестных составляются по схеме уравнений (21.1), но в них войдут все неизвестные силы и осадки заделок. Коэффициенты канонических уравнений вычис¬ ляются по общим формулам (21.2). Для примера вы¬ числим коэффициент ол согласно единичному состоя¬ нию, указанному на рис. 21.31:11	( 2 J 3 ‘ 2 ' £/, +0-н8)Jt СiEq(4,265 + 1,069 + 0,225 + 0,220).Перемещение состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое представляет прогиб продольной балки отV 1	«силы Аi=l, приложенной на расстоянии — от заделки;этот прогиб вычисляется перемножением единичных эпюр моментов. Второе слагаемое представляет собой перемещение точки 1 упругого полупространства от че¬ тырех единичных сил Х\ — \, приложенных к упругому .полупрострааству. Численные коэффициенты, стоящие в скобках, взяты из табл. 21.1 для2С2_Сл-mi-3 VJL2	) 3 ‘3l,5ci2Со~Е1\+1Е12Это перемещение зависит только от изгиба балок про¬ дольного и поперечного направлений, и перемещения упругого полупространства в формулу не входят, так как сила Х5=1 приложена к балкам. Эпюра Ms показана на рис. 21.32.Перемещение Ь15 =0, поскольку эпюры моментов со¬ стояния 1 и состояния 5 не имеют общих участков. Та¬ ким же порядком вычисляются и другие коэффициенты канонических уравнений.Свободные члены в уравнениях для балок про¬ дольного направления будут равны нулю, так как внешние силы в основной системе приложены к попереч¬
922РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕным балкам. Для балок поперечного направления сво¬ бодные члены &U вычисляются перемножением эпюр, как указано в 21.5. Дополнительные уравнения равнове-Рис. 21.32сия группы (21.1) теперь составляются для каждой балки в отдельности. Так, например, для средней балки поперечного направления получим<Х6+Х6) = />.Для крайней балки продольного направления имеемЛ , + Х2 =■ Хи + Xf; -В уравнения равновесия для продольных балок \ внешние силы не входят.После решения уравнений и определения Я/ и у/ вычисляются ординаты эпюры моментов для балок каждого направления. Эти эпюры относятся к плите.Осадки отдельных точек упругого полупространства вычисляются от тех сил, которые к нему приложены.В данном случае такими силами будут Хи Л2, Х$, ХА.21.8.	ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА21.8.1.	Силосный корпус элеватораСилосный корпус элеватора имеет длину 90 л и ши¬ рину 30 м и рассматривается как гибкая балка, лежащая на упругом полупространстве.Требуется построить эпюру реакций, изгибающих мо¬ ментов и поперечных сил, возникающих от временной нагрузки, при загружении средних силосов на 5/е полной длины корпуса (рис. 21.33).Данные для расчета: модуль деформации основания £о=20 000 т/м2\ коэффициент Пуассона основания = =0,30; приведенная жесткость силосного корпуса Е/===6 720 • 106 тм2. Пролет делится на девять участков 90£= — =10 м.Заменяем равномерную нагрузку сосредоточенными силами, приложенными над опорными стержнями, и при¬ нимаем, что каждая из этих сил равна единице.Канонические уравнения для определения Хц600 Ло + S01 Х, + Ъог х2 + 6оз Хз + 504 Xt + >о+До ^=0;5ю *0 + ВИЛ, + \sXt + »„ *8 + ьи *4 + У0+Д1Я=°;Х0 + S2, + ^*2+ *3 + й24 *4 + Уо+Д2Р=0 !8so Хо + 531 xt + Ь32 Хч + 5ззЛ3 + 634 Л4 + >о+Дз/'=0 ;В*0 Х0 &«1 *1 + °42 Х2 + 643 Х8 + ®44 ^4 + У0+Д4Я=°Лв + Хг + Xt + Л3 + ХА — 2,50 = 0.Коэффициенты этих уравнений вычисляем по формуле Чк = Fik + “ wlk ;лЕ0с*	3,14-20 000-10*а =	= 	'■		 о 0171 .6£У (1 — ,д2) 6-6 720-106(1 -0,302)Fik—берем из табл. 21.2 для ~ =3, a wik—изСтабл. 21.1.Рис. 21.33Вычисляем перемещения:б,*, = 2-1,867 = +3,734;801 =2-0,829 = + 1,658;8.,, = 2-0.469 = +0,938;60, = 2-0,323 = + 0,646;6М = 2-0.246 = + 0,492;8П = 1,867 + 0,469 + 0,0171-2 = + 2,370; 812 = 0,829+ 0,323+ 0,0171-5 = + 1,238; 8гз = 0,469 + 0,246 + 0,0171-8 = +0,852; 8U = 0,323+ 0,197+ 0,0171-11 = + 0,708; 822= 1,867 + 0,246 + 0,0171-16 = + 2,387; 823 = 0,829 + 0,197 + 0,0171-28 = + 1,505; Ьц = 0,469 + 0,165 + 0,0171 -40 = + 1,318;833	= 1.867 + 0,165 + 0,0171-54 = + 2.955;834	= 0,829 + 0,142 +0,0171-81 = + 2,356; 841 = 1,867 + 0,124 + 0,0171.128=+ 4,180;до,- = 0;^ = — 0,0171(2+5) =—0,120;^2Р = — 0,0171 (5 + 16) = — 0,359; дзя = —0,0171 (8 + 28) = —0,616;&4Р = — 0,0171 (11 +40) = —0,872 .
21.8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА923Далее составляем систему уравнений (табл. 21.16).Таблица 21.16Система уравнений примера 21.8.1Х\+3.734 + 1.658 +0,938 +0,646 +0,492 + 1,000+ 1,65е +2.370 + 1.238 +0,852 +0,70* + 1,000+0,938 + 1,238 + 2,387 + 1.505 + 1.318 + 1,000+0,64. +0,852 + 1,505 +2,955 + 2,356 + 1.000+0,492 +0,708 + 1,318 + 2,356 + 4.180 + 1,000УпСвободные члены в левой части+ 1,000 f1.000 -H.JOb + 1,000 + 1,000 оо-0,120 —0,359 —0,616 —0,872 -2,500Решив эту систему, найдем следующие значения не* известных;ув = + 3,460;2Х9 = + 2*0,346 as + 0,692;Л1== + 0,666;*2= + 0.584;*8-+ 0.469;Л4= +0.435.Подсчитаем ординаты эпюр М и Q для точек прило¬ жения сил Xi :Mq = Aj*4с + Xg»3с + (X.Q — 1) 2с + (А| — 1) с ++ <Л,— 0,5)— = +0 435-4.10 + 0,469.3.10 +4+ (0,584 — 1 )2.10 + (0,666 - 1) 10 +10+ (0,346 — 0,5)—^— =42,77 тм;= Х4*3с + Х3-2с + (Х2 — 1) с ^”^”2" ~~ Т И Т ^=	1) — (Хг —0,5) == 0,435 — 0,469 — (0,584 — 1) —/0,666 \— f—^— —0,5j = —0,321 и т.д.Расчет сделан для единичных сил; для перехода к действительным нагрузкам надо умножить полученные результаты на фактические силы, приходящиеся на уча¬ сток загруженной части балки длиной с.21.8.2. Построение инфлюент для балкиПостроить инфлюенты для моментов и поперечных сил балки, лежащей на упругом полупространстве и имеющей длину /=9,9 м и ширину 2,8 м. Высота балки /г=0,2 м; £=2,1 -106 т/м2; £0= 1 000 т/м2; ^=0,35;2,80.0 20з Е/ = 2, Ы06 ’ ’	Мл: 3927 тпм* шРазбиваем пролет балки на 11 участков, каждый длиной с = 0,9 м. В серединах участков поместим нерас¬ тяжимые стержни.Построим инфлюенты, применяя статический способ, для чего разместим груз последовательно во всех точ¬ ках приложения сил Xi; каждое такое загружение будет являться несимметричным. Для того чтобы использо¬ вать симметрию, разложим нагрузку на симметричную и обратносимметричную составляющие и будем приклады¬ вать сразу две единичные силы в сечениях, расположен¬ ных на одинаковых расстояниях от середины балки, В симметричных схемах эти силы направлены в одну сторону, т. е. вниз. В обратносимметричных схемах силы направлены в разные стороны: одна вниз, другая вверх.Для симметричных схем загружения будем иметь систему из семи уравнений для определения усилий Xi . для обратносимметричных — из шести.Коэффициенты канонических уравнений определяют* ся по формуле	—§lk ** Рik + а wik ’ п F0c* 3,14.1 000-0,90*,6fcy (i — м2) 6-3927(1 -0.35»*. 0.101.а) Вычислениекоэффициентов для симметричныхЬ 2.8схем загружения. Для отношения—“—у у =3 пользу¬ емся табл. 21.1 и 21.2. Коэффициенты при неизвестных не зависят от расположения нагрузки и одинаковы для всех симметричных схем:601) = 2-1,867 = 3,734 501 =2-0,829= 1,658 5вз = 2-0,469 = 0,938 603 = 2-0,323 = 0,646 5И = 2-0,246 = 0 492 605 = 2-0,197 = 0,394;5г, = 1 867 + 0,469 + 0,101 - 2 = + 2,538;Ь1г = 0,829 + 0.323 + 0,101-5 = + 1.657;8,3 = 0.469 + 0,246 + 0,101-8 = + 1,523;614 = 0,323 + 0,197 + 0,101-11 --- + 1.631J ъг 5 = 0,245 + 0,165 + 0.101-14 = + 1,825;852= 1,867 + 0,246 + 0,101 -16 =+3,729;= 0,829 + 0.197 + 0,101 • 28 = + 3.957;5„,=0.469 + 0 165 + 0,101.40= +4,674;= 0,323 + 0,142 + 0,101 -52 = + 5,717;®зз = 1,867 + 0,165 + 0,101-54 = + 7,486;Ьм = 0.829 + 0,142 + 0,101-81 = +9.152;Ь35 = 0,469 + 0,124 + 0,101-103 = + 11.501;644	= 1,867 + 0,124 + 0,101.128 = + 14 919;645	= 0,829+ 0,111 +0,101-176 = + 18.716;5га = 1.867 + 0,100 + 0.101-250 = + 27.217 .Свободные члены вычисляются по табл. 21.1. Груз в сечении / (рис. 21.34) iД,■Д.‘3Р :“4Р 'Л5Р— 0,101-2=—0,202; ,-0,101-5= —0,505; ,—0,101-8= —0,808:. -0,101-11 = — 1,111; 0 101-14= —1.414.
924РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕГруз в сечении 2:Д1Р ==—0,101*5 = —0,505; = —0,ЮМ6 = —1,6162Рдзр = -0,101-28= —2,828 Д4Р = -0,101-40 = —4,040 Д5Р = — 0,101 • 52 = — 5,252 .J* У1 21' ~~т№I	P-f'4о Ь г з « 5”1 1 г * 1 Wy~K 1х ‘V77^777^277h77^777)7777)^)77^7T^777^ZV77777777iРис. 21.34Груз в сечении 3:Д1р = — 0,101-8 = - Д2р = — 0,101.28 = - ДЗР = — 0,101.54 = Д4Р = — 0,101.81 = д5р = -0,101-108 =Груз в сечении 4:д1р — —0,101-11 = . д2р = — 0,101.40 = - Дзр = —0,101.81 = Д4Р = — 0,101.128 = Д5р = —0,101.176 =1Р = -0,101-14 =Груз в сечении 5:Д.д2р = —0,101.52 = ДЗР= — 0,10М08 = Д4Р = —0,101.176 = Д5р = — 0,101.250 =-0,808; -2,828 -5,454 -8,181—	10,908 .-1,111; -4,040; -8,181 ;—	12,928;—	17,776.-1,414 ;-5,252;—	10,908;—	17,776;—	25,250.б) Вычисление коэффициентов для обратносим¬ метричных схем загружения (рис. 21.35). При обратно¬ симметричной нагрузке следует вычислять заново только коэффициенты при неизвестных. Свободные члены всех уравнений, кроме последнего, такие же, как и для сим¬ метричных схем.Ьц = + 1,867 — 0,469 + 0,101-2 = + 1,600;Ь12 = + 0,829 — 0,323 + 0,101-5 = + 1,011 ;&13=+ 0,469 — 0,246 +0,101-8 = + 1,031 ;S14 = + 0,323 — 0,197 + 0,101.11 = + 1,237;Ь1ь = + 0,246 — 0,165 + 0,101 • 14 = + 1,495 Ь22 = + 1,867 — 0,246 + 0,101.16 = + 3,237523	= + 0,829 —0,197 + 0,101-28= + 3,460524	= +0,469 — 0,165 + 0,101-40 = + 4,344 Ь2ь = + 0,323 — 0,142 + 0,101 - 52 = + 5,433 &33 = + 1,867— 0,165 + 0,101-54= + 7,156 &34= +0,829 — 0,142 + 0,101-81 = +8,868; 535= +0,469 —0,124 + 0,101-108= + 11,253;Ь44= + 1,867 — 0,124 + 0,101-128 = + 14,671;&45= + 0,829 — 0,111 +0,101 176 = + 18,494;^55= -Ь 1,867 — 0,100 + 0,101-250 = + 27,017 •s* »’ з’ г' fг1 Г«Р'1О h 2 5Рис. 21.35Получаем две системы уравнений: уравнения для сим¬ метричных схем загружения приведены в табл. 21.17, для обратносимметричных — в табл. 21.18. В таблицах для сокращения записи симметричные коэффициенты за¬ менены точками.Значения неизвестных, полученные из уравнений по табл. 21.17 и 21.18, сведены в табл. 21.19. Комбинируя симметричные и обратносимметричные схемы загруже¬ ния, получим значения неизвестных и для несимметрич¬ ных загружений. Так, например, полусуммы значений Xi и Xt для схем 5 и 5' дадут значения этих неиз¬ вестных в случае одной силы, равной единице, располо¬ женной несимметрично в сечении 5.Повторяя этот прием для всех схем, получим табл. 21.20 лишних неизвестных от единичной силы, по¬ мещенной последовательно во всех сечениях. Каждая горизонтальная строка этой таблицы дает значения всех X для данного расположения силы; каждый верти¬ кальный столбец дает значения одного и того же X, но при всех возможных положениях груза, т. е. ординаты инфлюент данного неизвестного.Составляем таблицу (табл. 21.21) ординат инфлюент момента для сечения 1 по формулеMl=+Xl-j . ^+0)9X2+1>8X3+2,7X4+3,6X5+Mp\Подобным же образом можно составить таблицу для момента и поперечной силы в любом другом сечении, например в сечении 2 (табл. 21.22); для поперечной си¬ лы получим формулуQ2 = - (0, ЪХ2 + Х3 + *4 + Хъ) + QP .
21.8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА925Таблица 21.17Система уравнений для симметричных схем загружений примера 21.8.2№НеизвестныеСвободные члены мри разных схемах загруженияурав¬ненийКЛ,*1*>>Уо0 11 / 11345и+ 3,734+ 1,Ь58+ и,938+ 0,64о+ 0,492+ 0,394—10,0000000001+ 2.538+ 1,657+ 1,523+ 1,631+ 1.825-10.0000— 0,202— 0,505— 0.808— 1,111— 1,4142.+ 3,729+ 3,954+ 4,674+ 5,717-10.0000— 0,505— 1,616— 2,828— 4,040- 5,25234+ 7.486+ 9,152+ 11,501—10,0000— 0,808— 2.828— 5,451— 8,181—10,9084.+ 14,919+ 18,716-10,0000- 1,111— 4,040— 8,181—12,928—17,7765+27,217—10,0000- 1,414— 5.252—10,908-17,776—25,250Ь-10*. ООО-10.000-10.000—10.000-10,000—10.0000+ 10,000+ 10,000+ 10,000+ 10.000+ 10,000+ 10,000Таблица 21.18Система уравнений для обратносимметричных схем загружений примера 21.8.2№ уравне¬ нийНеизвестныеСвободные членыпри разных схемах загруженияX,1 *.1 *. 1I *. 1Х*| <Р011 * 11 з41 '1+ 1.600+ 1,011+ 1,031+ 1,237+ 1.495—1,000—0,202—0,505— 0,808— 1.111— 1.4142.+3,237+3,460+ 4,344+ 5,433—2,000—0,505—1,616— 2,828— 4,040— 5,2523+ 7,156+ 8,868+ 11,253—3,000—0,808—2,828— 5,454— 8,181—10,9084+ 14,671+ 18,494—4,000—1,111—4,040- 8,181—12,928—17,7765.+ 27,017—5.000—1,414—5,252—10,908—17,776—25,2506—1,000-2, *000—3,000— 4,000— 5,0000+ 1,000+2,000+ 3,000+ 4,000+ 5,000Таблица 21. 19Значения неизвестных Хг для разных схем загружения, полученные из решения систем уравнений (табл. 21.17 и 21.18)№ п/п \Расчетнаясхема^5*4*3*2*1X9A,*4КоГ—0,08574+0,05062+0,09516+0.24829+0,41842+0,27343+0,41842+0,248294-0 OQ5161 П П*^Пй9—0,08574з1 21 /' 0 12 3 4 5	л ПАОЯЗ+0,071471 л 19П7*3j_П 979^_|_П ‘Ю7ЙО«п 9ПЯП0_|_п 4Q7QQ1 Л 970КК+0,07147-0,06983S<L>1s'Wi'i'o 12 3 4 5-Ч/, ЦОУоОtu, IZU/O-|^ииТ, оУ / ОУ-t-o,zuouyт U , ОУ / ОУ+ \) ,4/ZDv+U, lzu/oUwоГ Ц	п ПП071+0,12886j_П 1QAGA_|_П 9Q4^4-1_п 971Q9.л 1910S_i_f> >71Q9J-П 9QАЬАi П 1Q/1A/1+0,12886-0,00971сTs5Ч1 з7 г1о i2 3 4 5-|-U» бОЧОпTUiil 19/yv, 1UUOrH3V . А ^Lп ЛООА1+0,24905i(\ О ХОАГ)1 Л 1Q7191 Л 1/1*374а_П \Л07Ъ+0,19712+ 0,26240+0,24905+ 0,098411s5747 З1 2111 0 12 3 4 5+и,иУ041+\J9ZOZ^J+ 1У / LZ+ U, 140/0yU, иоо 1 /+ U, 14оМu4k1 	+0,38043+0,28208+0,18787+0,08946+0,04828+0,01312+0,04828+0,08946+0,18787+0,28208+0,380435,41з72117 о 12 3 4 5V 	7*+0,76301+0,21548+0,07576—0,00569	0 02ftftfi—0,01928—0,02886• Л П7*\7А+0,21548+0,763015574'з’гЧ’д 12 3 4 5^V|U*OOU*—UfUUuOy“rU^U/O/O, , Г-1*f. п ПП1ПО—0,05927	л ЮВДО%П 1СЛОО•Л 1-0,15237, Л lAQCft+0,05927—0,00109cs151¥з12,\ю 12 3 4 5•j-UpUUlUif	U,1U009-41, 1OZ0/U,10400+ 10400+ lUooysCL>ИО22' , .*' , .-0,03372—0,13567-0,20804-0,25702-0,15188+0,15188+0,25702+0,20804+0,13567+0,03372a5Г4'У til’ 0 72 3 4 5scuд3' ...—0,17378-0,20228—0,26620—0,21085—0,10125+0,10125+0,21085+0,266204-0 9099ft4-0 1747ftH25Ч7 kl 2’1'0 12 3 4 5Tv»TvpX i Of оSs*' , ,, , Г—0,39081—0,17679—0,12389-0,04875+0,04875+0,12389+0,17679+0,30479+0,39081иоX42 3 4 5—U,oU4/y“нeaО,51 		 V-0,76475-0,24579-0,03356—0,04540—0,00250+0,00250+0,04510ОО5|2111 0 1 2 3 4 5+0,03356+0,24579-t- 0,76475If/
926РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕТаблица 21.20Значения неизвестных сил Xi от нагрузки единичной силой	 	Sй>В%Расчетная схемаХЪ<*з*2X,*3х*5. . . IS5,413121110 12 3 4 5 71-0,00087—0,01515+0,02110-0,02554-0,01568—0,00964—0,01318+0,01985+0,05466+0,23063+0,763884ЬЧ137 21110 1 2 3 4 5 11—0,00519—0,01135+0,00554-0,01721—0,00023+0,00656+0,04851+0,10667+0,18233+0,29343+0.385623, , 1 ■ т - • 5%131 2* 11 0 12 3 4 5-0,003768+0,02338-0,00190-0,00686+0,02124+0,02758+0,12249+0,20398+0,26430+0,22566+0,136092, , Г , , — У——■—■5V31 21 J1 0 12 3 4 5 Ц-0,02171—0,00340—0,00670—0,01876+0,06002+0,06052+0,21190+0,27578+0,20134+0,13226+ 0,01200j| . 1 1 т L -	1		5%7 З7 2717 0 12 3 4 57|		-0,03437+0,00610+0,00857+0,06009+0,12225+0,10404+0,27613+0,21246+0,11216+0,06537—0.03546057i737 27110 12 3 4 5*/♦-0,04287+0,02531+0,04758+0,12414+0,20921+0,13671+0,20921+0,12414+0,04758+0,02531—0,0428715147З7 27l’ 0 1 2 3 4 571-0,03546+0,06537+0,11216+0,21246+ 0,27613+0,10404+0,12225+0,06009+0,00857+0,00610-0,034372574737 21 110 1 2 3 4 571+0,01200+0,13226+0,20134+0,27578+0,21190+0,06052+0,06002+0,01876—0,00670-0,00340-0,021713, t ,,,,,, 574737 2117 0 1 2 3 4 5 71+0,13609+С,22566+0,26430+0,20398+0,12249+0,02758+0,02124-0,00686—Д),00190+0,02338-0,03768 j4>15747312717 0 1 2 3 4 517 <+0,38562+0,29343+0,18233+0,10667+0,04851+0,00656—0,00023-0,01721+0,00554-0,01135—0,005195Т 1 1 | J 1 t 1 1 1 15V37 27?7 0 1 2 3 4 5+0,76388+0,23063+0,05466+0,01985-0,01318—0,00964—0,01568—0,02554+0,02110-0,01515-0,00087Таблица 21.21Ординаты инфлюенты момента в сечении 1Груз в сечении0,113*!0,9Х,1.8*з2,7Х43.6Л*МрМ,5—0,00149+0,01787+0,09339+0,6^270+2,74997—3,00—0,1134+0,00548+0,09600+0,32819+0,79226+ 1,38823—2,70—0,0903+0,01384+0,18353+0,47574+0,60928+0,48992—1,80-4),0282+0,02394+0,24820+0,36241+0,35710+0,04320—0,90+0,1361+0,03120+0,19121+0,20189+0,17650—0,12766—0+0,02364+0,11173+0,08554+0,06834—0,15433—+0,13 51+0,01381+0,05408+0,01513+0,01647—0,01647——0,0242+0,00678+0,01688—0,01206—0,00918—0,07816——0,0763+0,00240—0,00617—0,00342—0,06313-0,13565——0,0804-0,00003—0,01549+0,00997—0,03565—0,01868—-0,0555—0,00177—0,02299+0,03798—0,04091—0,00313-0,031Таблица 2^22Инфлюенты Mi и Q.2 покачаны на рис. 21.36 и 21.37Груз в се¬ чении—0,5Ха-х>-А*QpQu5-0,00993-0,054466—0,23063—0,76388+ 1-0,0594—0,05334—0,18233—0,29.343—0,38562+ 1+0,0853—0,10199-0,26430—0,22566—0,1*09+ 1+0,2722—0,13789-0,20134—0,1322С-0,01200+ 1+0,5171—0,10623-0,11216—0,03546+0,035460—0,2480—0,06207-0,04758—0,02531+0,042870—0,0921—0,03005-0,00857—0,00610-0,0-34370—0,0102-0,00938+0,00670+0,00340+0,021710+0,0223+0,00343+0,00190—0,02338+0,037680+0,0204+0,00861—0,00554+0,01135+0,005190+0,0205+0,01277-0,02110+0,01515+0,000870+0,008£г 1.1 тут 1 угасъЖРис. 21.363 4 5
21.8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА92721.8.3.	Плита высотного зданияНайти распределение реакций упругого полупростран¬ ства под квадратной плитой высотного здания, имеющей размеры 100X100 м-Плиту рассматриваем как абсолютно жесткую. Разби¬ ваем ее на 25 квадратов со стороной 20 м каждый(рис. 21.38). Используя сим¬ метрию, будем вести расчет на часть плиты, указан¬ ную на чертеже пунктиром. Для определения неизвест¬ ных составим семь уравне¬ ний. При вычислении коэф¬ фициентов уравнений обра¬ тим внимание на то, что к квадрату 1 приложено во¬ семь равных сил Х\, так как этот квадрат входит во все восемь частей плиты. К квадратам 2, 3, 4 и 6 при¬ ложены по две силы и к квадрату 5—одна.Плита рассматривается как бесконечно жесткая, по-0.25 0,25fiiiч V У”§*7V 1100п	-1Рис. 21.38Рис. 21.39этому коэффициенты канонических уравнений будут за¬ висеть только от деформаций упругого полупростран¬ ства. Значения Fik частично берем из табл. 21.2 для Ъ_с =1, частично вычисляем по формуле (21.28):&п = 8*3,525 = 28,280;Ь12 = 4-1,038.2 = 8,304;Ь13 = 4*0,505.2 = 4,040.Для вычисления &14 воспользуемся рассуждениями, изложенными в 21.4. Разобьем квадрат 4 на четыре ча¬ сти и в каждой приложим силу, равную 0,25. От этих сил вычисляем расстояния до точки 1 (рис. 21.39):--тУъ:44r.-r.-j/«)' + ■М -0,25-4 f—Lr+-!=■+ —= Ь = 5,840;W18 - VHT 1/50 /с как общий множитель опущен.В22 = (3,525+2-0,730+0,505).2=11,00 и т. д.Система уравнений будет иметь вид, приведенный в табл. 21.23.,Таблица 21.23 Система уравнений примера 21.8.3| № уравнений |X!X,X,Х4X*ХьУоСвободныечлены1+28,28+ 8,304+ 4,040+ 5,840+ 3,664+ 2,872+ 1,00002—+ 11,020+4,592+6,012+з,8зе+ 2,948+ 1,00003—-+9,028+4.216+4,052+2,912+ 1,00004--+ 9,828+4,234+3,234+ 1,00005----+6,141+3,648+ 1,0000б-----+ 8,450+ 1,00007+1,ооо+ 1,000+ 1,000+ 1,000+ 1,000+ 1,00С0—1,000Решая эту систему уравнений, получим Хг = + 0,018; Х2=+0,108; Х3=+0,169; Х4=+0,086;Х0=+0,350; Х6=+0,271; ув=—4,660.Проверка по условию равновесия даетЦ X = + 0,018 + 0,108 + 0,169+0,086 ++ 0,350 + 0,271 = 1,002.Мы приняли за единицу нагрузку, приходящуюся на Vs плиты. Если же задано среднее давление qt то на эту часть плиты приходится усилиеЬс • 5с 25 с2«—т*-Для вычисления интенсивности реакций в каждом квадрате надо силы Xi умножить на Q и поделить на площадь квадрата «ЛРис. 21.40
928РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕО	25 сPl = SXx —=8.0,018 — <7=0,472?;Q	25 ср2= 2Х2 —= 2-0,108 —q — 0,678 q; р3 = 1,062?;с2	с2= 0,538 = 1,100 р6 = 1,696 q.Пространственная эпюра реакций указана на рис. 21.40.21.8.4.	Плотина треугольного профиляРассчитать секцию плотины треугольного профиля, имеющую гибкий понур.В пределах основной части профиля плотину считаем абсолютно жесткой и учитываем изгиб понура. РазмерыРис. 21.41плотины указаны на рис. 21.41. Рассматриваем плоти¬ ну как балку переменного сечения, расположенную на упругом полупространстве. Прикрепляем плотину к уп¬ ругому основанию четырьмя стержнями, расположенны¬ ми через 10 м каждый. Жесткость понура £/=1 208Х ХЮ4 тм2\ модуль деформации основания £о=4 000 т/м2.Для определения реакций упругого полупространст¬ ва необходимо составить шесть уравнений.Коэффициенты этих уравнений подсчитываются по табл. 21.2 для b/с—3. Гибкость понура учитывается введением коэффициенталЕ0 с43,14-4 000-104= 1,904;.6£/(l-pgj 6.1208-10* (1-0,3*) 8и = 1,867+1,904.0,25=2,347;^12 == ^23 === ^34 == 0,829;В13 = Ь24 = 0,469; Ьы = 0,323;^22 = ^33 == °44 == 1 ,869.Свободные члены уравнений вычисляются для еди¬ ничных схем загружения, указанных на рис. 21.42 и 21.43. Для первой схемы &1Р =Д2р =0, для второй схемы Д1р = 1,904 • 0,25 = 0,476 и Д2р =0.После решения этих уравнений найдем значения неизвестных по схеме загружения М= +1:0,278 0,105 0,047 *1 = - 	; Х2 = — —	; Х3 = 4* —	;с	с	с0,3800,337	л 1Х4 = 4~	\ у о = 0,720 ; <р0 = +с	с	си по II схеме загружения Р— 1:Х1	= 4-0,803; Х2=4-0,239; Х3=+0,110; Х4=+0,154; ^о—4-0,083; с0=—0,478.Рис. 21.43Определим далее действительные нагрузки и най¬ дем ординаты эпюры реакций, для чего подсчитаем нагрузки на 1 пог. м ширины плотины: вес плотины Qi=900 г; вес понура Q2=23 г;вертикальное давление на понур <3з = 290 г. Суммарная вертикальная нагрузка Я=1 213 г. Момент от гидростатического давления 30-30М2 = —-— 10=+4 500 тпм.Рис. 21.44Момент от веса плотины, который пришлось пере¬ нести в точку 1, чтобы можно было использовать еди¬ ничные схемы загружения:Мс.в = 900-15=4-13500 тпм.Суммарный моментМ=4 5004-13 500=18 000 пгм.схема Iсхема II+ 2,347 + 0,829 Xj + 0,469 X! + 0,323 Хх+0,829Х2 + 1,867 Х2 + 0,829 Х2 + 0,469Х2+ 0,469Х3 +0,829Х3 + 1,867 Х3 + 0,829 Х3+ 0,323 Х« + 0,469 Х4 + .0,829 Х4 +1,867 X,4- Уо4-3,5 сро=0 4- ;Уо4-2,5 <fo=0 4-Уо4-1,5<ро=0 4- З'о+0,5 <fo=0 1ГII II н ноооо*-003+ 3,5 Xj+ 2,5 Х2+ 1,5 Х3+ 0,5Х4= + 3,5+*i+ х2+ х3+ xtи= 0= + 1
21.8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА929Подсчитаем реакции упругого основания:—0,278.18 000 Хг =		+ 0,803-1 213=+473,63 т/м;—0,105.18 000 Х2 =		+ 0,239-1 213=4-100,90 т/м;+0.047-18 000 Хг = Т ^	+ 0,110-1 213=+218,03 т/м;Х4 =10+0,337-18 000 10+ 0,154-1213=+419,80 т/м,.Интенсивность давлений получим, разделив Xi на с, т. е. на десять. Эпюра р построена на рис. 21.44.Противодавление и влияние пригрузки в расчете нами не учитывались,21.8.5.	Два здания, расположенные рядомДва здания, расположенные рядом, оказывают взаим¬ ное влияние на величину осадок и реакций упругого основания. В результате деформаций упругого полупро¬ странства происходит взаимный наклон зданий.,ХХЙХХЮО^^77^777^777/^77//%$S7?A///A///Az777.X,Lц \° \ 1 V2 f77777777777377777777777777777777/477J7777777777777777777777777777777777777772Z7Z&Рис. 21.45Рассмотрим два силосных корпуса размером каж¬ дый 45X32 м в плане, поставленные рядом. Оба кор¬ пуса загружены полностью, и среднее давление на грунт составляет 3,3 кг/см2. Для определения осадок и реакций будем рассматривать корпусы как беско¬ нечно жесткие балки.Модуль деформации основания принимаем =400 кг/см2.Расчетная схема и основная система принимаются согласно рис. 21.45.В основной системе должны быть две заделки — отдельно для каждой балки. Расположим их в месте примыкания силосных корпусов. Каждую балку при¬ крепляем к упругому основанию пятью стержнями. Рас¬ стояние между стержнями с=10 м. В силу симметрии потребуется составить систему из семи уравнений для определения сил Xi.Коэффициенты уравнений подсчитываются по табл. Ь 302L2 для отношения ■— = — = 3;с 10Б00 = 2Л,867 = + 3,734;В01 = 2-0,829 = + 1,658; fc02 = 2-0,469 = +0,938; fc03 = 2*0,323 = + 0,646; а04 = 2-0,246 = + 0,492;Ъг1 = 1,867 + 0,469 = + 2,336;— 0,829+0,323=+1,152 и т. д.59 Зак. 2093k Получим такую систему уравнений:+ 3,734 Хв + 1,658 Хг + 0,938 Х2 + 0,646 Х3 ++ 0,492 Х4 + уо + 0 = 0;+ 1,658 Х0 +2,336 Хх + 1,152 Х2 +0,715 Х3 ++ 0,520 Х4 + у0 + ¥о* 1 = 0;+ 0,938 Х§ + 1,152 Хх + 2,113 Х2 + 1,026 Х3 ++ 0,634 Х4 + уо + ?о * 2 = 0;+ 0,646Х0 + 0,715 Хг + 1,026 Х2 + 2,032 Х3 ++ 0,971 Х4 + Уо “Ь ?о*3 = 0:+ 0,492 Х0 + 0,520 Хх + 0,634 Х2 + 0,971 Х3 ++ 1,991 Х4 + у0 + <Ро-4 = 0;Х0 + Х2 + Х2 + Х3 + Х4 = + Q; 0 + 1 Хг + 2Х2 + ЗХ3 +4Х4 = 2,25Q.Решая эту систему уравнений, находим следующие значения неизвестных при Q=l:<р0 = + 0,0663; Х2 = + 0,1973;Уо = — 1,284;	Х3 = + 0,1892;Х0 = + 0,1318; Х4 = + 0,2684.X, = + 0,2133;Проверим условия равновесия:£ X = Х0 + Хг + Х2 + Х3 + Х4 == 0,1318 + 0,2133+0,1973+0,1892+0,2684=1,000;Е М = 0,2133-1 + 0,1973-2 + 0.1892-3 ++ 0,2684-4 = 2,249.На практике очень важно знать разность осадок различных точек одного и того же корпуса. Эту раз¬ ность можно найти двумя путями: умножить получен¬ ный угол наклона Фо на расстояние между точками, разность осадок которых требуется определить, или, пользуясь табл. 21.2, вычислить независимо осадки той и другой точки, принимая во внимание, что силы, приложенные к упругому полупространству, теперь известны.Найдем разность осадок точек 0 и 4, умножая угол поворота <р0 на 4 :Ду = 4<р0 = —4 . 0,0663 = — 0,265 •Определим осадки щ и у+ по табл. 21.2:Уо = (1,867.0,1318+0,829.0,2133+0.469.0,1973+ +0,323-0,1892+0,246.0,2684) 2 = + 1,285; у4= 1,867.0,2684+0,829• 0,1892+0,469 - 0,1973+ +0,323-0,2133+0,246-0,1318.2+0,197.0,2133++ 0,165. 0,1973 + 0,142-0,1892 + 0,124-0,2684 == + 1,017;Ду = 1,017—1,285=—0,268.Сравнивая результаты, вычисленные разными спо¬ собами, замечаем, что расхождение оказалось в пре¬ делах точности подсчетов. Полученные величины уо и Дг/ являются условными, приведенными, так как рас¬ чет выполнялся для Q=l; в действительности Q=32X Х45ХЗЗ=47 500 г.Для получения действительных осадок надо умно¬ жить полученные величины, согласно формуле (21,4),»-0.^)47500 _я£0с	3,14.4000.10на
930РАЗДЕЛ 21. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕТогда получаем действительную осадку в точке 0;Уодейст. = 1,285.0,332 = 0,43 м = 43 см.Разность осадок точек 0 и А:Дудейств = 0,268-0,332 = 0,09 м = 9 см.Различная осадка вызывает взаимный наклон кор¬ пусов.21.8.6. Двухслойное основаниеНайдем распределение реакций основания для бес¬ конечно жесткой балки (силосный корпус), расположен¬ ный на двухслойном основании.-ЛД--90 м 'Qx9и11 |7 1/ \Гв\°-5 (? |ГШ-Н-Рис. 21.46наРасчетная схема и основная система показаны рис. 21.46.Упругий слой, подчиняющийся гипотезе пропорцио¬ нальности, расположен между балкой и упругим полу¬ пространством, и его толщина равна Ло=12,5 м.Для определения сил X/ составим систему из семи уравнений. Побочные коэффициенты этих уравнений зависят только от деформаций упругого полупростран¬ ства. При вычислении главных коэффициентов нужно учесть деформацию упругого слоя:= iziiт*Е0с 1-1*0 'Fkk+сFkk +lhо (1—2pg)Е0 beh0K 1—2^\bПринимая перемещения увеличенными в1-2(4TlE0C1—Нораз и учитывая, что Ь= 3с и получим1'‘kk =F« +^(1—н-о) •5Св= 2-1,867+2 ■с=10 мг = 6,030;Подставляем значения Л0=12,5 м и ,12,5-3,14(1-0,352)3-10= 1,867 + 0,469 + 1,148 = 3,484;522 = 1,867 +0,246 + 1,148 = 3,261;?>зз = 1,867 + 0,165 + 1,148 =3,180;S44 = 1,867 + 0,124 + 1,148 = 3,139.Побочные коэффициенты такие же, как и в преды¬ дущем примере.Получаем систему уравнений:+6,030Xi+l,658X1+0,938X2+0,646X3+0,492X4+yt)=0;+1,658Х0 +3.484XJ+1,152Х2+0,715Хз+0,520X4+jo=0+0,938Х0+1,152Х!+3,261Х2+1,026Х3+0,634Х4+у0=0+0,646Х0+0,715Х1+1,026Х2+3,18Х3+0,971Х4+у0=0+0,492Хо+0,520Х1+0,634Х2+0,971Х3+3,139Х4+;уо=0X, + Хх + Х2 + Х3 + Х*4 = +4,5.Решая эту неизвестных:систему, найдем следующие значения= —6,586, Х2 = + 0,922; 2Х0=+0,886; Х3 = + 0,992; X , = +0,896; Х4 = + 1,248. Эпюра реакций показана на рис. 21.46.ЛИТЕРАТУРА1.	Виноку р»в Л. П., Определение отпоров упругого по¬ лупространства под нагруженным фундаментом, Труды Харь¬ ковского инж.-строит, института, вып 5, 1957.2.	Горбуно в-П о с а д о в М. И., Расчет конструкций на упругом основании, Стройиздат, 1953.3.	Ж е м о ч к и н Б. Н., Расчет круглых плит на упругом основании, изд. ВИА, 1939.4	Ж е м о ч к и н Б. Н., Синицын А. П., Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основа¬ нии без гипотезы Винклера, Стройиздат, 1947.5.	Коренев Б. Г., Штамп, лежащий на упругом полупро¬ странстве, Доклады АН СССР, т. 112, № 5, 1957.6.	Кузнецов В. И., Упругое основание, Госстройиздат,1952.7 Л ь в и н Я. Б., Расчет балок на упругом полупространстве и полуплоскости методом сил, сборник «Исследования по тео¬ рии сооружений», вып. V, Госстройиздат, 1951.8.	Пащевский Д. П., Приближенное определение’ соб¬ ственных частот колебаний балки, лежащей на упругом полу¬ пространстве. Вестник ВИА № 106, 19579.	Синицын А П., О распределении напряжений у ос¬ нования плотин треугольного профиля. Вестник ВИА № 20, 1937.10.	Синицын А. П., О распределении напряжений в под¬ порных стенках ломаного профиля, сборник «Исследования по теории сооружений», вып. IV. Стройиздат, 1949.11.	Синицын А. П., Построение обобщенных эпюр влия¬ ния для балок на упругом основании, Сборник «Исследования по теории сооружений», вып. VIII, Госстройиздат, 1959.12.	С и н и ц ы н А. П., Колебания треугольного клина, ч. I,II	и III, изд ВИА, 1954, 1955, 1957.13.	Фнлоиенк о-Б о р о д и ч М. М., Некоторые прибли¬ женные теории упругого основания, Ученые записки МГУ, вып.46,	1940.14.	Черкасов И. И., Механические свойства грунтовых оснований при деформации вдавливания, сборник «Определе¬ ние деформаций грунтов», Автотрансиздат, 1955.15.	Шехтер О. Я., Расчет бесконечной плиты, лежащей на упругом основании конечной и бесконечной мощности, Сборник трудов научно-исследовательского сектора Фундаментстроя № 10, М., 1939.16.	Ф л о d и н В. А., Основы механики грунтов, г. 1. Гос¬ стройиздат, 1959.
РАЗДЕЛ 22ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙДинамические нагрузки представляют собой силы, величина, направление или точка приложения кото¬ рых изменяются во времени. Здесь будет в основном рассмотрено действие периодических сил, изменяющих¬ ся во времени по гармоническому закону. В главе о ветровых нагрузках рассмотрены силы, изменяющиеся по случайному закону. Вопрос о действии импульсив¬ ных сил разобран сжато, главным образом примени¬ тельно к расчету кузнечных молотов.Расчет сооружения на действие динамической на¬ грузки проводится с целью: 1) проверки на прочность и 2) определения величин динамических перемещений, скоростей и ускорений, с тем чтобы установить, явля¬ ются ли они вредными с точки зрения воздействия на людей, а также допустимы ли они для нормального хода технологического процесса, работы измеритель¬ ных приборов и т. д.Следует отметить, что при проектировании меж¬ дуэтажных перекрытий и каркасов здания наиболее существенными и стеснительными являются техноло¬ гические требования и указания санитарных правил и норм по ограничению вибраций рабочего места.При проведении динамических расчетов, которые сложнее статических, необходимо пользоваться аппа¬ ратом динамики сооружений. Нормативные докумен¬ ты по вопросам динамического расчета появились срав¬ нительно недавно. Они еще не охватывают всех сто¬ рон динамического расчета; по тем вопросам, которые достаточно детально изложены в этих инструкциях, здесь приведены лишь ссылки, в частности по динамическому расчету фундаментов под машины, расчету на сейсмостойкость и технике расчета пере¬ крытий.22.1.	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ22.1.1.	Кинематика колебательного движенияПериодическое движение описывается функцией вида (см. раздел 2) х(t) =f(t) =f(пТ+1), где T — период колебаний; п — целое число; t — вре¬ мя; x(t) — перемещение.Гармоническим колебанием называется движение, уравнение которого имеет видх = a sin (tot <р0),(22.1)где а — амплитуда колебаний; <»>—круговая частота колебаний; <р о—начальная фаза.Соотношение между периодом колебаний Т и кру* 2лговой частотой: <*>= —.59*Частота колебаний Х= — = — при Т в секундахJC7Z	Iвыражается в герцах.Удвоенная амплитуда называется размахом коле¬ баний.Скорость v и ускорение w при гармонических коле¬ баниях определяются по формулам:dxv = = а (о cos Ы -f- <р§); dvw = == — да>2 sin (<*>/+<р0).Негармонические периодические колебания можно обычно представить в виде тригонометрического ряда (см. раздел 1).22.1.2.	Колебания системы с одной степенью свободыСвободные колебания при отсутствии сил сопротивленияДифференциальное уравнение малых колебаний груза на пружине (рис. 22.1):d4m — -f сх = О, dt2 ^(22.2)где с—жесткость пружины в кг/см (обозначается также через k)\Рfn = — — масса груза. gРешение этого уравнения:х = A sin а>/ + В cos tot, д-VПостоянные А и В определяются из начальных условий:При t=0 Х=Х0, X=Vq<Окончательно v0х = —sin tot + х0 cos tot, ыилиx = a sin (tot + <Po).где/2 , V0 .*o + — . ?o=arctg—.to*	Vq
932РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙmgТак как статический прогиб пружины хст =—, тосгде Хсттш* в см, аПри вращательных колебаниях тела относительно неподвижной оси нужно линейное перемещение заме¬ нить угловым, массу — моментом инерции масс Iz от¬ носительно оси вращения z, а под жесткостью с сле¬ дует понимать отношение момента к соответствующему угловому перемещению с (кгм.1рад) (угловую или вращательную жесткость):Рис. 22.2Рис. 22.3Пример 22.1. Свободные колебания невесомой про¬ стой балки, несущей посередине груз массы ш, Прогиб балки посерединеmg?48 El ’где El — жесткость; I—пролет балки.Частота колебаний в герцахV*5 V 48 EI ^ 35 V EI Уmgl3	I У mgl.Общая жесткость упругих связей с при параллель¬ ном соединении (рис. 22.2) с=с,+с2+Сз-{-..., при по-1 1следовательном соединении (рис. 22.3) — = — +с сг4-— + •••С2Свободные колебания при наличии сил сопротивления^ Если силы сопротивления F = $х пропорциональны скорости и направлены в сторону, противоположную движению1, дифференциальное уравнение колебаний имеет вид^ + *,£ + ..,-0; „_|/-L ,	02.,,Обычно <•>*> я2; в этом случае точка совершает затухающие колебания по законуt=A0e~nt sin (a>jt+f0); wj = У<-n*(а0+,г*о)г	x„ о),-—; = arctg 		1 Таковы силы сопротивления внешней вязкой среды (воздуха,жидкости) при не очень больших скоростях.Логарифмический декремент затухания Ь (лога¬ рифм отношения двух последовательных амплитуд, взятых через промежуток времени, равный периоду) равен & —пТ.График движения см. рис. 22.4,Рис. 22.4Если сопротивление вызывается только силами су¬ хого (кулонова) трения, которые сохраняют постоян¬ ную величину и все время остаются направленными i сторону, противоположную движению, то сила трения равнаFx=—fN sign*.Здесь jf — коэффициент трения; N — нормальная реакция; символ sign х — означает знак скорости; следовательно, сила Fx направлена в сторону, проти¬ воположную скорости. Для решения задачи о свобод¬ ных колебаниях нужно по отдельности рассматривать движение для участков времени, на протяжении ко¬ торых знак силы трения не меняется, и воспользовать¬ ся условиями сопряжения [18].При свободных колебаниях с сухим трением ампли¬ туда колебаний убывает по линейному закону. На частоту свободных колебаний сопротивление сухого трения не оказывает влияния. При изучении колебаний конструкций следует рассматривать влияние сил внут¬ реннего трения, которое детально разбирается в 22.3.2,Вынужденные колебания при отсутствии сил сопротивления. РезонансДифференциальное уравнение колебаний при дейст¬ вии внешней гармонической силы Р sin pt:d*xm — + cx=P sin pt, at*где p — круговая частота внешней силы, Полное решение уравнения:РX = A Sin оЛ+В COS (Jit +(22.4)sin pt.Первые два слагаемых — общее решение однород* ного дифференциального уравнения, т. е. свободные колебания; если имеются даже небольшие силы сопро¬ тивления, то свободные колебания затухают. Третье слагаемое, представляющее частное решение неодно¬ родного уравнения, дает чисто вынужденные колеба¬ ния. Вынужденные колебания записываются в видеsin pt,где v =*ст =рс
22.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ933Амплитуда вынужденных колебанийХСта =|l_va|(22.5)Отношение — называется динамическим коэффици- *ст«НТО м.На рис. 22.5 изображены резонансные кривые, орди- аяаты которых равны — , а абсциссы — отношению ■*стчастот вынужденных и собственных колебаний, ,ХстПри v= 1 ордината резонансной кривой при я/со = 0 равна бесконечности. Более строгое рассмотрение пока¬ зывает, что в этом случае" амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна времени, и уравнение дви¬ жения имеет видх = At cos со/,*схсопае л-—При v<l фазы возмущающей силы и вынужден¬ ных колебаний совпадают, при ^>1 они отличаются на 180°.Если на систему действует сила, изменяющаяся по любому закону P=P(t), то решение задачи принимает &ид■ff'х= — sin &t-\-x0 cos со/ + — J P (£) sin со (t—£)оесли uq=0 и *o=0, тоi-ffP (£) sin со (? — g) d? =P (t) 1 C = — — — \P' (£) cos со (/-£) dg.с с J0Первое слагаемое представляет статическое пере¬ мещение; второе слагаемое мало, если сила Р медлен¬ но изменяется.Если возмущающая сила является заданной периоди¬ ческой функцией времени, то решение задачи можнополучить иначе,- разложив силу в ряд Фурье; каждый из членов этого ряда представляет силу, изменяю¬ щуюся по гармоническому закону. Действие такой си¬ лы было разобрано выше, и поэтому решение сразу можно представить в виде ряда Фурье. Однако этот ряд может сходиться медленно, и тогда желательно представить периодическую часть решения в замкну¬ том виде. Если P(t)=P(t-\-kT), где k — целое число, Т—период возмущающей силы, то дифференциальное уравнение колебаний запишетсяпг х + сх = Р (/).Чисто вынужденные колебания представляют периоди¬ ческое движение с периодом Т, поэтомух(0) = х(Т),£-\	?dt t~о dt t-тРис. 22.6и периодическое решение имеет вид1 / toT \ x= — ls1 ctg — + s21 cos wifi ——	^S1 — s2 ctg sin co/+ Jp (fc) Sin © (?—e) d\где$i =L —	( P(Z) COS co£d£, S2 ==	 Г P (£) sin co£dS.m Jо	оПример 22.2. P(t)=m\ | sin/?/ | (рис. 22.6J)miP (. л , *	Л Щ sin ptX = —			 sin со/—f—ctg — COS tot — 	—CO (p 	(O2) \	6 2P	J p2—to2 'если p=tot то, раскрывая неопределенность, получимx==lte [sin (ir ~ C0S “*]•где— >/>0.O)Вынужденные колебания при наличии сил сопротивления, пропорциональных скорос1и колебаний. БиенияДифференциальное уравнение колебаний d2x dx	Рм* +2п~^ + а,*х= ~^sinpt(22.6)имеет решение х=Ав sin (coj/-{-^q) -|-V(I — V2)2 +4«2 ^sin (pt—e)
934РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙНа рис. 22.5 приведены графики отношений ампли¬ туды чисто вынужденных колебаний к статическому прогибу *ст» а на рис. 22.7 графики величины е, харак¬ теризующей изменение фазы вынужденных колебаний по отношению к частоте возмущающей силы.Динамический коэффициент а/яст в рассматривав* мом случае равен1/о —v2)2 + 4я2 v2Максимальное значение коэффициента будет при » = =Vi — 2п* ’• так как 2п2<1, то и в этом случае считают резонансом случай v=l. Хотя при резонансе, опре¬ деленном таким сбразом, динамический коэффициентРис. 22.7и не является максимальным, но при малых п он практически не отличается от указанного максимума.Если на систему действует возмущающая сила про¬ извольного вида P=P(t)y то при to >/2r(t) = Ae nt sin (aV-Hf0)-f- i+ — | P(Z)e-nV~l) sinw, (t-Z)dtЩ(лл"ГШ1 Jо22.1.3.	Колебания системы с несколькими степенями свободыСвободные колебания при отсутствии сил сопротивленияРассматривается система с тремя степенями свобо¬ ды (рис. 22.8) (в общем случае п степеней свободы)« Используя принцип Даламбера, приходим к дифферен¬ циальным уравнениям перемещений трех точек:*1= — &п тл*2=: 	 ТПл*3= — *>31 mid*x2d?\ зdt*“ &12m2IF	 ^13 m3'dF'd'*x1d*x 2<*»*3dt2“ &22m2dt2— 523 rn3dt* 'd*xx“ ^32d*\ 2d'*x з’dF'm2dt2— b33 m3dt*(22.7)Решение этой системы:sin (W-f-<p0); х2=а2 sin 0°*+<Ро)*» хг=азАмплитуды аи а2, а3 подчинены однородной систе¬ ме линейных уравнений:^ ш, 8Х1 — — j ал + тг 612 а2 + т3 613 а3 = 0;т1 ^21 а\ +^т2 &22 j а\тл &31 аг -f т2 Ь32 а2 -f ^т3 Ь33 — а3 = 0.Существование отличных от нуля амплитуд воз¬ можно только в том случае, когда определитель, со¬ ставленный из коэффициентов при амплитудах, равен2 “Ь тг ^23 а3 = 0;1 \777/^777t -тг/7//^ ^777Рис. 22.8нулю:ГП\ ^21 т2 °22 — 'Ьзг	т3 O33 —= 0.Раскрывая определитель, получаем три значения частоты свободных колебаний. Каждому значению <*> соответствует одна определенная однородная система/77$Ьт77Рис. 22.9уравений. из решения которой находятся значения Яц ^2, аз с точностью до постоянного множителя, т. е. каждому значению <*> соответствует чдно определенное соотношение между аи а2, а$, определяемое, например,а\ #i числами . —•Если перемещения хи х2у выбраны так, чтоSI2=62l=623=f'>:<v^ol =0, то система дифферен¬ циальных уравнений (22.7) распадается на три неза¬ висимых отдельных уравнения. В этом случае переме¬ щения *i, дс2. Ха называются главными координатами.Рассмотрим следующий пример: nvcTb к невесомой балке (рис. 22 9) в третях пролета прикреплены равные массы Ш\ = т>2 = т, тогда = Ь22-
22.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ935Дифференциальные уравнения:-d2xi * тйЧг 	 	0-.П ш —dt2Х2 = — ^12 ^(Рх±dt*Ь1гтd2x2dt-Полагая *i=0isin(w/+<po), *2=a2sin(co/+<р0), полу¬ чим уравнения[rnhn— j аг -f- тЬ12 а2=0;/72^21 “1“ ^И2=0,Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, получим уравнение частот(т8н——тП212= 0или!Йц— -f- ПгЬ12^	т$12^ — 0,откуда1 | ^ т(Ь1Х-\-Ь12)	2	т(ои—&12)Так как 5ц>&12, то второй корень, так же как и пер¬ вый, действителен, при этом ^i< ^2> будем нумеро¬ вать частоты в порядке их возрастания. Внося в уравнения для определения а\ и а.а вместо <*> величи¬ ну wlt получим а\—а% т, е. обе массы движутся так, что их амплитуды одинаковы и фазы совпадают. Этот первый тип колебаний назовем симметричным; при <0 = о)2 имее*м а\=—a2t т. е. при втором типе колеба¬ ний, который назовем обратносимметричным, ампли¬ туды колебаний обеих масс одинаковы, но фазы про¬ тивоположны (отличаются друг от друга на 180°). Если при t = 0*1 = *2 = х (0): v1==v2 = 0,колебания будут симметричными, с амплитудами а\ =■ s=a2 = x(0). При начальных условиях= — х2 = *i (0); vt = v2 = 0возникают обратносимметричные колебания с амплиту¬ дами ах=а2—х 1 (0).В частном случае, когда отношение — мало отли-<*>2чается от единицы, возникают биения; например, если при /=0*1=1. х2=0, ^1=0, v2=0t*! = —- cos cojf + -у COS to2t,11X2 = COS COyt — COS C02 t%и колебания носят характер биений. При вынужденных колебаниях биения обычно возникают в случае, когдаправая часть дифференциального уравнения представля¬ ет сумму двух гармоник с близкими периодами.Свободные колебания при сил сопротивленияналичииРассмотрим систему с тремя степенями свободы и учтем силы сопротивления, пропорциональные ско¬ рости; в этом случае при движении массы mi возни¬ кают силы сопротивления, равные — с / х\% и дифферен¬ циальные уравнения движения при с2=0, с3=0 примут видxi— mi *1—&12 т2х2—Oi3 Щ хз —Ьц сгх2——^21^1 xi §22т2 х2—&2з тз хз—^21 с\ -*3.ir (22.8)*3=— ^31 т\ Х1—^32 т2 Х2—^33 т3 Х3—^31 С1 Х1» )Для интегрирования полученной системы дифферен¬ циальных уравнений положим*1 = cl\ х2 — а2 est; хг = аъ 6s1,где s — комплексное число, действительная часть ко¬ торого определяет скорость затухания, а мнимая — кру¬ говую частоту свободных колебаний.Приравнивая нулю определитель системыI 1	^31^1 \	А— -Ип^з +	 Д1-И12 т2 л2+Ь13 тъ а3=0;^21^33S2тг +■- + Ь22 т2 )а2 + S23 mz аъ = 0;тл2* 1) Ql + (~s“"+ ^22Ш2) (53iCi \	/1	\‘) 01+^32 т2 а2 + f + &33 тпЛ а3=0.sнайдем три комплексных корня S\, s2r s3. Частоты коле¬ баний равны мнимым частям указанных корней, а действительные числа характеризуют скорость затуха¬ ния колебаний соответствующей частоты.Вынужденные колебания при отсутствии сил сопротивленияПоложим, что к первой массе системы с тремя сте¬ пенями свободы приложена сила Р1 sin pt\ будем ис¬ кать решение задачи о чисто вынужденных колебаниях в видехг=аг sin pt; х2=а2 sin pt\ *3=а3 sin pt\сокращая дифференциальные уравнения колебаний на sin pty получим" j + m2 Ь12 а2 4-//г3 б13 а3=Ьи^1?>12^1"Н ^/^2^22— ^2“|”^3^23^3 sss ^12 » ‘ (22.9)/ 1 \ Р1тЛ ^13 °l4“W2^23 а2~\~ ^з ^33	 р2 ) ^“^З ^ •Эти уравнения имеют только одну систему решений Сь а2, а3. Исключение представляет случай р— <*>i, где <о/ — одна из трех частот свободных колебаний; в этом последнем случае имеем явление резонанса. Если внешняя сила приложена так, что она не совершает работы при каком-либо типе колебаний, то амплитуды, соответствующие этой форме, при резонансе со време¬ нем не возрастают.
936РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ22.1.4.	Колебания систем с непрерывно распределенной массойПродольные свободные колебания стержнейРассматривая уравнение движения элемента длины стержня (рис. 22.10)/ dN \ д2иNРис. 22.10N + dNесли площадь поперечного сечения F=const, получаем(22.10)д2 и д2и а‘ дх» = &Р’где и — продольное перемещение; а2 = ; р — плот¬ енность; Е — модуль упругости; полагая и(хх t) =» =Х(х) T(t), получим уравнения..	СОаX* +— Л=0, а?которые имеют решенияТ=А* sin	cos cof; X=Csin —x~\-D cos—x;a	aX(x) называется формой колебаний; <»> —частота сво¬ бодных колебаний. Для определения постоянных С, D и <о нужно воспользоваться граничными, а для вычис¬ ления постоянных А* и В* — начальными условиями1. Если концы стержня защемлены, то из граничных усло¬ вий ы(0)=0, и(1)= 0 получаем систему уравненийа>D=0, С sin — 1=0; отсюда аО)—	/=arcsin0=тс, 2тс,... апа	2паСледовательно, = -у- , <о2 = — ,Формой колебаний является отрезок синусоиды, со¬ держащий целое число полуволн. Если начальные усло¬ вия u(0,x)=Fi (л), u(Q,x)=F2(x) представить в видеи (0, х) = V Ап sin—“ х, и (0, х) = V sin — дг,а	^	ачто можно сделать для весьма широкого класса задач,1 Очевидно, что по существу вычисляется не пять, а четыре не - известных* так как, не нарушая общности, можно, например, поло-v	( • ю	^	to \жить X = С (sin	х +	cos 	 х I , а затем считать\ а	С	а )А*С = Аи L*C — Blt X = sin —х -i- Dx cos л4а	• алгде Di = 	.то для определения Л *, £*, С„ получаем следующие уравнения:Sa>„	V1 *А„ sin ~ х = 2j вп сп sin — *;SCO„	*	(1)пВп sin — Х= 2j юпА„ С„ Sin — я. a "	аОткуда получимК С <*>=£.п п л» П. л д	пТаким образом:и (xyt) = V, (— sin <*)П^+ЛП cos <on f) sin —x." \<ол	/a1Рассмотрим другой случай граничных условий, по¬ ложив, что один конец стержня защемлен, а второй свободен, и, таким образом, ы(0)=*0, и'(1)= 0.Из граничных условий имеемD=0;СО /	СО	_	О) \ _—	С cos — l-\-D sin — /) = 0. а \	а	а ]Для определения о> будем иметь трансцендентное уравнениесо	па 3па 5паcos — 1—0; со = —— ; ~г\ • • •I	IIАналогичный вид имеют уравнения поперечных коле¬ баний стержня, работающего на сдвиг, крутильных коле¬ баний стержня и колебаний струны.Поперечные свободные колебания балокДифференциальное уравнение поперечных колебаний балки постоянного сечения:д4у д2у _ EJ —у- -f m — = 0;д* dt2(22.11)полагая у=Х(х) T(t), получим для функций X и Т обыкновенные дифференциальные уравненияТ -f со2Г=0;/ПО)2”Ё7■х=о.Решение первого из этих уравнений приведено выше* решение второго уравнения:X=Cj sin k>с+С2 cos kx-\-Cz sh kxс-ЬС4 ch kx,4/~ ^ где ^ 1/	Решение уяобнее записать в видеX = />,1(6)+ Z>2 F(6)+ С(6)+ Щ); k=kx.гдеЛ(5)= ~~(ch 5+cos £); Ж(5)= (sh 5+sin 5);С(£)= (ch 5—cos 5); !>(£)= -j- (sh £—sin 5), причем 6 =&x.
22.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИЭти функции обладают свойством единичной ма-фАвсDФ (0)1000Ф' (0)0100Ф" (0)0010Ф" (0)0001и связаны друг с другом следующими дифференциальны¬ ми зависимостями:&- ■fi» :	С,й-	5>.и$	ui	UZ	uZВоспользовавшись граничными условиями на концах балки, получим частотное уравнение, откуда можно най¬ ти частоты свободных колебаний <*>„ {п— 1, 2	оо). За¬ метим, что Хп(х) представляет соответствующую форму свободных колебаний.Покажем на примерах, как составляется частотное уравнение.Балка длиной / шарнирно оперта по концам: у(0) = 0; у*(0) = 0; у(^) = 0; /'(i^=0, где £ j = kl.Первые два граничные условия дают Z>i=0, Dz=0; из двух других получаем£*2 ^ (£i) "Н Di D (£j) = 0;D2D(Z1)+DlBtf1)=0;так как равенство нулю D2 и D4 исключается, определи¬ тель должен равняться нулю,Stfi) ‘Btfi)5(W В (Ii)т. e.= 0.После очевидных упрощений имеем sh следовательно, kl = ппу где п— 1, 2, 3, , Частота свободных колебанийsin $i = 0 и,/22 *2 Г EI *п = ~ у т вСоответствующую форму колебаний Хп получим исхо¬ дя из того, что при заданном любое из двух гранич¬ ных условий на правом крае дает возможность найтиотношение "гг" , после чего форму колебаний можносчитать известной. Результаты вычислений сведены в многочисленные таблицы, с помощью которых можно найти частоты собственных колебаний. Определение дви¬ жения балки по начальным условиям — у(0,*), у(0,лг), заданным начальным смещениям и их скоростям, произ¬ водится, как в предыдущем пункте, и приводит к тем же формулам для Вп и Ап ; отличие заключается в том, что А п и Вп представляют в этом случае коэффициен¬ ты Фурье разложения начальных условий в ряд по функциям Хп (см. раздел 1). Таким образом:IJ>г (0,х) Хп (x)dx* оАп e i	*to J Х2п (х) dxо1	Функции Л(£), В(Е), С(Е), 0(1) легко получить с помощью таб¬ лиц раздела 1 (табл. 1.22.3).937J У (0,x)Xn(x)dxВа-—	•lx\(x)dxоЕсли вдоль оси балки действует постоянная сжимающая нормальная сила Р, то дифференциальное уравнение ко¬ лебаний принимает виддАу , Р д2у т д2уf • 4- • ж 0. дх* Ei дх* EI . dt2В этом случае Х(х) удовлетворяет уравнениюX,v + a2 X" —k*X=0,где “2 = i? •Решение уравнения:Х=С1 sin sx х+С2 cos SiT+Сз sh s2 t+C4 ch $2 ж.где*-/т+/т~-/-т+/т+^балки шарнирно ошЕсли оба конца балки шарнирно оперты, то п2т*®л /Гпри растяжении знак Р меняется на обратный.Аналогичное дифференциальное уравнение имеем в случае, когда дополнительно учитывается влияние поперечной силы на прогиб или инерции вращения.Дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки беременного поперечного сечения имеет видд* Г	д2 у 1 ' а2 у^[Enx)-j±\+m(x)дх2дР= 0. (22.12)С помощью подстановки y=X(x)T(t) получим для X уравнение№ (	д2Х\(EI (х)	) — т (дг) X — 0 .дх2дх2Это уравнение с переменными коэффициентами для случаев, когда брус имеет форму клина и конуса, допускает точное решение в бесселевых функциях. Обыч¬ но задачу о колебаниях балки переменного сечения решают каким-либо из приближенных способов.Изгибные колебания пластинки постоянной толщиныДифференциальное уравнение свободных колебаний пластинки постоянной толщины имеет видд2 wat2 *дА wдх4d4w d*w -2——+ -дх2ду2 ду4D(22.13)где h толщина; D — цилиндрическая жесткость пластин¬ ки; применяя замену w=w(x,y) T(t), получим, что по-
938РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙпрежнему T(t)=A sin<o^-(-B cos (*t, а функция w(x,y) удовлетворяет уравнениюP h <*>2f7 + 2dx4d4 ai d4 dx2 dy2 dy4DЕсли пластинка шарнирно оперта по всем сторонам,плуWV4	тпх= 2j 1лАтп sin —sinа	bгде а и b — стороны пластинки.Это решение удовлетворяет граничным условиям; внося его в дифференциальное уравнение, получим для частоты <лтп формулу:*»./ в .”-1 ’2-3’■ ■ •2	^ 3(1 — о2)р LU/ UiПолагая т= 1, /г = 1, получим частоту основного тона я2 hV—-—(-+-)•У 3(1 — а2)р \а2 Ъ2 )В случае, когда две стороны пластинки (*=0, х=1) шарнирно оперты, а по двум другим (у=0, y=h) усло¬ вия опирания произвольны, полагаемw(x,y)(У) sinплуп = 1Для Fn(y) получаем линейное дифференциальное урав¬ нение*4 Рп о ”2 я2 d2 Рпdy4/2dy2/г4 я4р /г о)2которое интегрируется так же, как и уравнение по¬ перечных колебаний балки.Для круглой пластинки решение получаем в поляр¬ ных координатах; дифференциальное уравнение свобод¬ ных симметричных колебаний круглой пластинки:/ d2 (rfr2■w = 0; (22.14)если пластинка не имеет отверстия и опоры в центре, то решением уравнения будетw = AJ0 (kr) + BI0 (kr) ,где Jo(kr) — функция Бесселя нулевого порядка; Io(kr)—модифицированная функция Бесселя нулевого порядка,DЕсли гибкая пластинка шарнирно оперта по контуру радиуса R, из граничных условий следуетd2w 1 dw W(R)=0 ; —— -j- — . — = 0dr2drr—Rоткуда £=0, и для определения частот получаем транс¬ цендентное уравнениеJ0(kR) = 0.Вынужденные поперечные колебания стержнейДифференциальное уравнение упругой линии стержня постоянного сечения при действии распределенных по длине и перпендикулярных оси стержня сил q(x) sin pt:El —— + m —— = q(x) sin pt. (22.15) dx*	ot2Решение ищется в виде y(xft) =w(x) sin pt , для функции w(x) получается дифференциальное урав¬ нениеd4 wEI	— m p2w = q (x) „dx4	4которое отличается от уравнения изгиба балки допол¬ нительным слагаемым —mp2w в левой части. Граничные условия, как правило, такие же, как и в статической задаче для балки, за исключением случаев, когда на свободном конце находится точечная масса, а на шар¬ нирно . опертом или свободном конце при x=L имеется элемент, обладающий моментом инерции масс. Тогда взамен условий равенства нулю поперечной силы и мо¬ мента получимdw IQ = m1p2w(L); M=/mp2-—dx Ix=Lгде mi — масса на конце; Im — момент инерции этой массы.Для интегрирования этого уравнения пользуемся ме¬ тодом начальных параметров. Обозначим k=~для случая, когда q(x)=q — постоянно:— в (6)w(x)= w0 Л(6) + 0—— + Мв1 С(5) +kW+ Q»~1 D(Z)+q'km	k*eiw’(x) = w0kD(i)-\-eA(Z)+ M01 [A (S) — 1];kEl+ Qo'1 C(6) +<71 Da)-,(22.16)’k?EI 1 ’ k3EI M (x) = wt EI k2 С (5) + ЪЕ1кЩ£) + M0 Л(£)++ ^-fi(5) + -^C(£);Q(x) = w9 EIk*B (6) + 0 EIk2C(Z) ++ M0 kD (6) + Qo ^(£) + ~~r & (£) iRгде £=kx, M(x) и Q(*)— амплитуды динамического момента и динамической поперечной силы; wo, w0 =0, Mo, Qo — значения амплитуд_ перемещенной усилий на левом конце балки; /1(6), £(6), С(6 ) и £>(£) — функ¬ ции, приведенные выше.Рассмотрим примеры.1. Концы балки, имеющей длину L, защемлены; на¬ грузка q распределена по всей длине балки; граничные условия w(0) = w0 = 0;0(0) == 0О = 0 ; ш (/) = 0; 0 (/) = 0 ; I = kL .Из условий на левом концеМо -w =	— С(6) ■k2EI У }Qo —D(£) + -k*EIиз условии на правом конце получаем систему двух ал¬ гебраических уравнений:+ 1^7Bln + ihr |‘я<,)-11 -0lс (l)k3 EIq D(l)= 0 .решая которую, находим M0 и Q0.
22.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ9392. Концы балки защемлены, в сечении х=а приложена сила Psin pt, обозначим ka=a; если £<<*,И». = г С (5) + т^гг 5(5);А2 £/*»£/при £ >а нужно к функции добавить такое слагае¬ мое, которое, удовлетворяя однородному дифференци¬ альному уравнению в точке £ = «, не нарушит не¬ прерывности w, w' и М, но даст в Q скачок на величи¬ ну амплитуды сосредоточенной силы Р. Из свойств функций Л(£ ), £(£ ), С( с ), D(£) следует,_что этим слагаемым может быть только функция A*D(£ — а); постоянную А* подберем так, чтобы скачок поперечной силы имел нужную величину; нетрудно показать, что и*	рА 		— , и окончательно:& EJWj] = w{ ■1ГЁГ0(6-в)*С помощью этого приема можно рассмотреть задачу о стержне с присоединенными массами (для чего, воспользовавшись принципом Даламбера, нужно заме¬ нить ее действие сосредоточенной силой, равной mp2w) и задачу о неразрезном стержне.Указанная схема и результаты непригодны тогда, когда р совпадает с одной из частот свободных коле¬ баний стержня; в этом случае имеет место резонанс, и при решении задачи следует учитывать затухание.При учете сил затухания возможно применение ме¬ тода начальных параметров, однако выкладки значи¬ тельно усложняются и их проведение затруднено из-за отсутствия специальных таблиц.Решение задачи о вынужденных колебаниях стерж¬ ня можно получить иначе, разложив решение в ряд по формам собственных колебаний [33].Рассмотрим балку, шарнирно опертую по концам. Примем начало координат в левом конце и представим решение в видеУтхх	Ап sin —	,1,3,5подставляя общий член этого ряда в дифференциаль¬ ное уравнениеdA w~-kiw=q. получим, что ему соответствует нагрузка, равная/ п* л:4 \	плхЯп = I Li —к*]Ап sin —j— .В общем случае, когда нагрузка	q(x) может быть представлена в виде ряда2V „	ПлхЯп — 2j вп sin	7 »получимАп —*Впя4 л:4La■ k*nxЕсли на балку действует нагрузка до sin — sin pt, то Bi=qoi Вп = 0, пф\ и, следовательно:<7оПа л41>■ sin ■№В задачах о колебаниях балки, лежащей на упру¬ гом основании (в смысле гипотезы коэффициента по¬ стели), сохраняются схема расчета и выкладки, приве¬ денные выше. Отличие заключается в том, что диф¬ ференциальное уравнение имеет видЕ1d4w dx4• (тр*— k0b)w = q ,где ko — коэффициент постели (см. раздел 5.5.6 табл. 5.5); Ъ — ширина балки; поэтому, применяя ме¬ тоды начальных параметров и разложения в ряд по собственным функциям, нужно вычислять k по фор¬ мулеk =4 /—I—ТТ— I / тР ~VElВопрос о вынужденных колебаниях в системе с за¬ туханием, пропорциональным скорости, разобран в ра¬ боте [52]; для затухания, не зависящего от величины скорости, описываемого комплексной гипотезой Е. С. Сорокина, решение задачи дано в работе [46].Между методами решения (или уравнениями) зада¬ чи о статическом расчете балки и задачи о вынужденных колебаниях, вызываемых силой, изменяющейся во вре¬ мени по гармоническому закону, существует аналогия. Эта аналогия широко использована многими авторами (см. [5,53] и др.), которые применили к задачам ди¬ намики методы, разработанные в статике стержневых систем, — метод сил, метод перемещений и др.Особенно просто переносится на задачи динамики метод перемещений. При этом полностью сохраняется схема составления канонических уравнений, принятая в статике, отличие заключается в том, что для опреде¬ ления коэффициентов при неизвестных гik и свободных членов Rip нужно рассматривать балки с защемленными концами, испытывающие гармонические колебания, и при их расчете следовать предложенной схеме.Влияние кратковременной и импульсивной нагрузкиВопрос о практических методах учета импульсив¬ ных нагрузок при расчете сооружений не нашел еще отражения в нормативных документах1. В то же время разнообразные вопросы расчета сооружений на действие импульсивных нагрузок описаны в ряде исследований и руководств по строительной механике (см. [41]). Обычно импульсивными или кратковременны¬ ми нагрузками считают нагрузки, время действия ко¬ торых мало по сравнению с периодом основного тона собственных колебаний. Если отношение времени дей¬ ствия силы к периоду собственных колебаний очень мало, его рассматривают как мгновенный импульс S.тПри этом предполагается. 4TOj ^0*# — S , т-*0 .Для системы с одной степенью свободы в результате действия мгновенного импульса в соответствии с тео¬ ремой о количестве движения получим, что изменение скорости за время действия импульса v0 =S/m, пере¬ мещение за время действия мгновенного импульса равно нулю. Принимая, что до действия импульса си¬ стема находилась в равновесии, получим следующее уравнение движения:5х =	sin о>t .ты1 В ближайшее время выходит специальная инструкция по расчету сооружений на действие импульсивных и ударных нагру¬ зок, разрабатываемая ЦНИИ строительных конструкций АСиА СССР.
940РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙМаксимальная амплитуда, возникающая в резуль¬ тате действия мгновенного импульса:5Из всех импульсов, имеющих равную величину и различную продолжительность, наиболее опасным яв-ч ляется мгновенный импульс. Если 'с/Т"< Vio. то динами¬ ческий эффект зависит только от величины импульса S. Часто в расчет вводят величину статической (РЭк) на¬ грузки, вызывающей перемещение, равное наибольшему перемещению, которое возникает при действии импульса. Если сила во время действия импульса остается по¬ стоянной, то(ОТsin ——где т — по-прежнему продолжительность действия импульса.Положим, что в сооружении колебания происходят как в системе с одной степенью свободы и форма коле¬ баний совпадает с упругой линией от статической на¬ грузки, распределенной так же, как и приложенные к системе мгновенные импульсы. Тогда импульс S(x) эквивалентен равномерно распределенной нагрузке:sin ■q(x) = (о S(;e) -(OX22.1.5.	Квазигармонические колебания. Параметрический резонансЕсли система с одной степенью свободы имеет пе¬ ременную жесткость с(/), являющуюся заданной пери¬ одической функцией времени, то дифференциальное уравнение свободных колебаний имеет видту-\-c(t) у = 0.	(22.17)Колебания, описываемые этим уравнением, называ¬ ются квазигармоническими. В этой системе при дейст¬ вии периодической силы возможно явление парамет¬ рического резонанса, который в отличие от обычного резонанса может происходить не при одной какой-либо частоте, а в целой области значений частот возмуща¬ ющей силы.Задача о поперечных колебаниях стержня, на кото¬ рый действует нормальная сила, изменяющаяся по пе¬ риодическому закону, рассмотрена в работе [15]; деталь¬ но вопросы динамической устойчивости изложены в монографии [И].22.1.6. Приближенные методы определения частот и форм свободных колебанийЗадача об определении частот и форм свободных колебаний стержней и стержневых систем . допускает точное решение далеко не во всех случаях, поэтому важное значение приобретают приближенные методы.Метод РэлеяПокажем, как с помощью этого метода приближен¬ но определяется частота основного тона колебаний.Рассмотрим колебания системы с одной степенью свободы. Положим, что затухание отсутствует; полная энергия системы во время колебания остается постоян¬ ной. Когда точка, совершающая колебания, проходит через состояние равновесия, кинетическая энергияТ _ т?* тяг — —— шах	-5 —-— достигает наибольшего значения, а по¬ тенциальная равна нулю; при наибольшем отклонении кинетическая энергия обращается в нуль, а потенци¬ альная принимает наибольшее значение, равное^тах —'''maxЕсли движение происходит по закону х = *max sin to t, то Umax = ^max ^ •Приравнивая TmVL =П max, получим1	о 1 о 	 CX = 	 /72ft)2 X2	max 2maxоткудаРассмотрим колебания системы с бесконечным чис- лом степеней свободы. Изложение будем вести примени¬ тельно к задаче о свободных колебаниях балки. Зада* димся формой колебаний балки, положив y=f(x). Наи¬ большие значения кинетической и потенциальной энер¬ гии:L*Г	т ( 9	т Сшах = ТГ ^гаах dx ~ ~7Г 0)2 \ Р(х) dx \П,т С <--фL	L1 С	EI Сшах = 2£[ J M2dx=	- J [/* (x)]2dx •о	очимПриравнивая друг другу значения энергий, полу*0)2 =EIтL.j [/"(*)]2 rf*]/Чх)dxНайденное этим методом приближенное значение частот не меньше, чем истинное значение.Заметим, что для системы с одной степенью сво¬ боды указанный метод дает точное решение; для систе¬ мы с бесконечным числом степеней свободы погреш¬ ность тем больше, чем сильней отличается /(х) от пер¬ вой формы свободных колебаний.Метод последовательных приближенийМетод последовательных приближений позволяет найти не только частоту, но и форму основного тона колебаний.Изложение ведется применительно к задаче об из- гибных колебаниях консольного стержня; описываемая схема может быть без существенных изменений приме¬ нена к решению задач об изгибных колебаниях стерж¬ невых систем, задач о продольных колебаниях и т. д.Задаемся формой колебания у = f(x) = f0 (x)f0t
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ941fl (L)=l; назовем ее нулевым приближением. Найдем инерционные силы, действующие на стержень, по фор¬ муле я(х)——u2m(x)f(x), гдет(дг) —масса стержня, от¬ несенная к единице длины. В результате вычислений по формулам сопротивления материалов получим прогибы, вызванные инерционными силами, которые дадут первое приближение:ЛМ =где<т)-EI/о m(l) lb. эбезразмерная величина, полученная в резуль¬тате проведенных выкладок и зависящая от вида функций т(х)» fo(x) и граничных условий задачи. Если для всех /о(*)значении х отношение ■ - одинаково, то нулевое при- fi\x)ближение является точным выражением первой формы колебаний. Обычно это отношение достаточно близко к постоянной; если нет, то нужно вычислить второе и последующие приближения.Если процесс приближений закончился, например, на первом приближении, то, так как ЫО=/о, имеем— л/2 "*(/)*( 1)=Л,откуда«а* =Е1I2 m(l)y.( 1)Изложение метода последовательных приближений см. [50].Метод РитцаПолагаем, что приближенное выражение для формы собственных колебаний f(x) можно представить в виде линейной комбинации некоторых функций Чп(х):Дх) = <рх (х) + С2 <?2(х) + ... + Сп ®„(дг) ,каждая из которых удовлетворяет граничным условиям (геометрическим, а по возможности и силовым). Выбе¬ рем коэффициенты так, чтобы частота собственных ко¬ лебаний, определяемая по формуле LJ EI[r(x)Ydx«1=		L| mf2(x)dxбыла наименьшей. Так как при применении этого мето¬ да, являющегося обобщением метода Рэлея, приближен¬ ное значение частоты больше истинного, то таким обра¬ зом будет получено лучшее приближение. Из условий минимума получим LJ El [r(x)l2dxJL . -	0 п- 1,2,3...дсп LоткудаL— Г {EI [f* (x)]* — i**m)4x)}dx = 0 «=1,2,3,...71 Jдс.Эта однородная система алгебраических уравнений содержит п неизвестных величин с. Приравнивая нулю определитель этой системы, получим частотное уравне¬ние, наименьший корень которого даст частоту основного тона колебаний.Пример 22.3. Определить по методу Ритца низшую частоту поперечных колебаний консоли переменного се¬ чения, имеющей ширину, равную единице. Начало ко¬ ординат принято в конце консоли; высота поперечного сечения изменяется линейно:-Л; 1 =№■ jc3 ; т =рЛL *	12L3Точное значение определяемой частоты0)2‘ X .- 2>657 1 /лу у. ЗрДля приближенного решения примем Дх) = Сх Мх) +=Ci(1-t) +С2т(1-т) + —Каждый член этого разложения fi удовлетворяет граничным условиям задачи: при x=L fi =0, // =0.Если ограничиться одним членом, то в результате обычного решения по способу Рэлея (ошибка около 3%)О)2 =2,740h / еЗриVЧтобы получить лучшее приближение, возьмем два члена разложения. Подставив выражение для f(x), получим следующее выражение интеграла:№[(Ci — 2 С2)2 + ^ С2(С±—2C2) + 6C2j —_ш2 tjL	+AJ]=о.Е \ о0 105 280 /Дифференцируя это выражение поочередно по С\ и по С2, приходим к уравнениямEhz о2 \ л / Е№/ Е№	о2 \\12 р И ~ 30 ) ЕИгCi +\30 pH0)2105/ Eh3 _ со2 \ \30 рL* 105/Ci+ ("ЩГ280С. = 0:)сг = 0.Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов этих уравнений, получим частотное урав¬ нение, наименьший корень которого2,660/zi/f -ошибка всего 0,1% от точного значения-22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯОсновные обозначения:X i — частота в гц, соответствующая i-й форме колеба¬ ний;I -г- пролет балки;Е — модуль упругости материала балки;1 — постоянный момент инерции поперечного сече* ния балки; т — постоянная погонная масса;— корни характеристического уравнения.
942РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ22.2.1.	Балки на жестких опорахЧастоты собственных изгибных колебаний балок на жестких опорах.9	/	Е1(22.18)Для однопролетных балок о/ принимается по табл. 22.1.Для двухпролетных балок с равными пролетами и одинаковыми в пролетах жесткостями и равномерно рас¬ пределенными массами н принимается в соответствии с табл. 22.2.Многопролетные балки с равными пролетами и оди¬ наковыми в пролетах жесткостями и равномерно распре¬ деленными массами имеют бесконечное число зен сгу-Значения aj в формуле (22.18) длящения собственных частот. В каждой зоне имеется столько частот, сколько пролетов имеет балка, причем i-я зона сгущения частот ограничивается снизу и сверху частотами i-й группы иДля целей динамического расчета достаточно опре¬ делить четыре частоты собственных колебаний: и ^ijj —низшую и высшую из частот первой группы; ^2н и ^2в — низшую и высшую из частот второй группы.Для многопролетных балок с равными пролетами и одинаковыми в пролетах жесткостями и равномерно распределенными массами в формулу (22.18) взамен подставляются «/ж или ai% , принимаемые по табл. 22.3.В табл. 22.4 для четырех случаев многопролетных балок с неравными пролетами приведены мачения пер¬ вого корня *1 характеристического уравнения.Таблица 28.1 [33. 40, 477 однопролетных балок на жестких опорахУсловия закрепленияКорни характеристическое уравнениялевый коней| правый конец«1**| «4«»ai (*>5)ЗащемленСвободен1,875104,694107,8547610,9955414,1371721—1 ~ 2 "ОпертОперт3,141506,283199,4247812.5663715,70796тОперт (оперт)Защемлен (свободен)3,92667,068510,21013,35216,4944/+1 ~ 4 хЗащемлен (свободен)Защемлен (свободен)4,730047,8532010,9956114,13717171,278762/+1 " 2 *Значения в формуле (22.18) для двухпролетных балок с равным пролетом на жестких опорахТаблица 22.2 [1, 351Условия закрепленияКорни характеристического уравнениялевый конец | правый конец | л, |«з | О. 1 1 Ч ('>5»ОпертОперт3,14163,92666,28327,06859,4248{?.—при нечет¬ ном i; 4/+1 - 2 тс—причетном 1ОпертЗащемлен3,394,466,547,599,69-ЗащемленЗащемлен3,92664,73007,06857,853210,2104/+1 ~ 4 принечетном /; 2i+l ~ 2 тс—причетном iПримечание. Средняя опора при всех условиях шарнирно оперта.Таблица 22.3 [47]Значения аг/2я в формуле (22.18) для мнегопролетных балок с равными пролетамиКоли¬Концы балки свободно опертыОдин конец балки свободно оперт, другой защемленКонцы балки защемленычество222222222222пролетова1на1в*2на2в1на1ва2н«2ва1н*1.*2на2в2тс2тс2к2ъ2 тс2тс2тс2х2л2л2%2к31,572,946,288,781,693,376,549,502,013,567,169,8241,573,176,289Д71.643,45'6,439,631,833,566,829,8251.573,306,289,381,623,496,389,701,743,566, «45,8261,573,376,289,501,603,516,359,731,693,566,549,821,573,506,289,821*573,566,289,821,573,566,289,82
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ943упругих опорах вычисляются по формуле (22.18); при этом принимается из табл. 22.5 в зависимости от условий закрепления концов балки.Обозначения, принятые в табл. 22.5: cw— жесткость в кг/см опоры относительно попереч¬ ных перемещений;—жесткость в кг/см опоры относительно угловыхдеформаций;—	шарнирно подвижная опора, упругая относительно попереч¬ ных перемещений;—	шарнирно подвижная опора, упругая относительно угловых деформаций.
944РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИЗначения а,- в формуле (22.18) для балок на упругих опорахТаблица 22.5 ГП
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ	 945Продолжение табл. 22.5Схема балкиКорни характеристического уравнения21?	S'CW—.I	L —21 U* , . Il,+Y• Ясимптота при of-тО	10 20 30 «0 50 60 70 50 Ж ЮО7б54II2—I\—j■п=10 лГ пж if) /1-2п=11t==f=sUп=1С} (п‘- ооп=1\I1й21мгП-СГВторой 'обертонПербыйIзCw. "CU/.^r тof 4,Я 4.6Асимптота при c£s 4,7300iTf-ht----Dchgc ой тон%92651Ю20и I3010г/9сVMптюта грио( *7.8532 п__| 1)бый сгПесот7Н06Q520сгс?тэЗП60 Зак. 2098
946РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИПродолжение табл. 22.5Схема балкиКорни характеристического уравненияi1 —1Асимптота при с(=3,92‘UP1М(исмоонои томмайс7* HjJUrftiуi1□200№ ,3600 с**суШг,mг=_А.1/ = /i + /2Другие случаи см. в работе [1].22.2.3.	Балки с распределенными и сосредоточенными массамиЧастоты собственных изгибных колебаний балок с равномерно-распределенными массами т и сосредоточен¬ ными массами М вычисляются по формуле (22.18). При этом принимается по табл. 22.6.Для однопролетных балок и многопролетных балок с равными пролетами при наличии сосредоточенных' масс Ms, расположенных на расстоянии xsot ближай¬ шей левой опоры, можно приводить сосредоточенные массы к равномерно распределенной массе тп по фор¬ муле1 v*тп = т + Nl 2^ksMs,	(22.19)i=iгде N—количество пролетов;s0 — количество грузов на балке.Коэффициенты ks определяются:а)	для однопролетных балок и при определении частот Х1Н и Х2Н многопролетных опертых балок — по табл. 22.7;б)	для млогогьролетных опертых балок при опре¬ делении частот Х1в—по табл. 22.8;в)	для многопролетных опертых балок при определе¬ нии частот Х2В— по табл. 22.9.
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ947Значения в формуле (22.18) для весомых балок с сосредоточенными массамиТаблица 22.6 Г11Схема балкиКорни характеристического уравненияг,м/,= ^-м, rl>■М Ф—•и'/////1-1 + ' 7 =-^-L LjT ^ * Ч I-*ма5D4,54.03J540 м 604-Н-4--Ы * *7}■н.т-.. .j г_-sv- iЩiSbгйoSt?ргПО!ч -- _'..1141ю м К п. Аm i1J) 2.0 3,0 4,0 5.0 n=ml60*
Продолжение табл. 22.6Схема балкиКорни характеристического уравненияДругие случаи см. в работе [1].Значения ks в формуле (22.19) для приведения сосредоточенных масс к равномерно распределенной массе в однопролетных балках и в многопролетных балках 	при определении А,1Н и Х2Н 	Таблица 22.7 Г471Условия закреп¬ лениялевыйконецправыйконецн■ о» о ; <к сзКоэффициенты /г для значений £ = —— 6	s ]О 0.05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 | 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1Защем¬ленСвобо¬ден00,030,10,140,020,360,040,700,081,110,131,630,211,870,322,060,462,040,641,800,851,391,100,881,380,401.730,072,100,022,520,342.971,103,472,32ОпертОперт0,050,190,190,690,411,310,691,811,002,001.311.811,591,311,810,691,950,192,0001,950,191,810,691,591,311,311,811,002,000,691,810,411,310,190,690,050,19ОпертЗащем¬лен0,080,240,310,840,661,511,071,941,4Ь1,911.861,442,130,752,270,182,250,012.090,330,811.001.461.741,082.210,722,230,421,810,211,150,080,530,020,1500,61Защем¬ленЗащем¬лен00,020,040,210,150,720,371,460,742,091,202,271.691,862,121,072,420,312,5202,420,312,121,071,691,861,202,270,742,090,371.460,150,720,040,2100,02Значения ks в формуле (22.19) для определения многопролетных балокТаблица 22.8 F47]1 Оа» си5 о оачоа,Коэффициенты kgдля значений=1о ® н11111* и ч250 10,050,10,150,2 10,250,30,35 10,40,45 |0,50,550,60,650,70,750,8 10,850.9 10,9512100,080,310,661,071,491,862,132,272,252,091,811,461,080,720,420,210,080,02002000,020,080,210,420,721,081.461,812,092,252,272,131,861,491,070.660,310,0803100,020,060,130,200,280,340,370,370,350,300,230,160,100,050,02000002(30,010,060,170,360,610,901,201,441,621,681.621,441,200,900,610,360,170,060,0103000000,020,050,100,160,230,300,350,370,370.340,210.200.130,060,0204100,010,040,080,130,180,210,230,220,200,160,120,080,040,02000000200,010,050,130,250,400,580,750,870,940,930,860,730,550,390,240,120,050,01003000.010,050,120,240,390,560,730,860,930,940,870,750,580,400,250,130,050,01040000000,020,040,080,120,160,200,220,240,210,140,130,080,040,0105100 010,020,050,080,100,120,130,120,110,090,060,040,020,01000000200,010,030,090,180,280,400,500,570,600,590,530,430,320,210,120,050,020003000,020,080,180,330,510,690,860,971,010,970,860,690,510.380.180,080,020040000,020,050,120,210,320,430,530.590.600,570,500,400,280,180.090.030,01050000000,010,020,040,060,090,110 .120.130.120,100,080,050,020,010л
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ-	949Таблица 22.9 г471Значения ks в формуле (22.19) для определения %2в многопролетных балокКоличе¬ ство про¬ летовпроле-Коэффициенты k^для значений isкs__100,050,10,15*0,20,250,30,350,40,450,50,550,60,650.7 |0,750,80 ,850,90,951,02100 240,840,511,941,911,442,750,180,010,331,001.742,212,231,811,510,550,150,010200,010,150,531,151,812,232,211.741.000,330,010,180,751.441,911.940,510.840,24и3100,060,190,340,410,380,260,110.010,020* 130,300,430,470,400,260,120,0300200,040,210,560,981,271,301,020,570,1600,160,571,021,301,270,980,560,210,04030000,030,120,260,400,470,430,300,130,020,010.110,260,380,410,340 190.0604100,030,100,170,210,190,120,0500,020,080,170,230,230,180,100,04000и200,030,170,430,710,880,840,610,290,050,010,200,510,790,900,790.540,260,070,040300,010,070,260,540 790,900,790,510,200,010,050,290,610,840,880,730,430,170,03040000,010,040,100,180,230,230,170,080,0200,050.120,190,210,170,100.0305100,020,070,120,140,130,080,0300,020,060,120 150,150,110,060,020000200,030.140,340,550.670,620,430,190,020,020,190,430,630,680,560,360,160,0400300,020,160,490,931,271,350,090,620,1800,180,621,091.351,270,930,490,160,0204000,040,160,360,560,680,630,430,190,020,020,190,43*0.620,970,550,340,140,080500000,020,060.110,150,150,120,060,0200,03Э.080.130.140,120,070,02022.2.4.	Балки, нагруженные продольными силамиДля балок, нагруженных продольными силами, ча¬ стота поперечных собственных колебаний вычисляется по формулам и графику, приведенным в табл. 22.10. При сжимающей продольной силе знак силы Р в форму¬ лах табл. 22.10 меняется на обратный.22.2.5.	Рамы [I]1Без сосредоточенных масс (Индексы: стойки—1, ригеля — 2)Для П-образной симметричной рамы с жестко за¬1 Используемые в этом пункте функции А*(а), В*(а), С*(ос), D*(a), £*(а) и $!*(<*) могут быть получены при помощи таблиц раздела 8 (табл. 8.4.1):А*[а) = 2Вх I Ь*{а) = 4Dx ; С*|Е*( а) = А + 1; S*x(a) = 4Сщемленными стойками (рис. 22.11) частоты собствен¬ ных изгибных колебаний вычисляются по формуле. = — -^и/ Е‘12* ' /2 у т, ’(22.20)где «1/ — корни уравнения частот.СимметричныеколебанияАнтисимметричныеколебанияV[1\1ТТт /77711тп	'*г>v7f Of)2U-lk-Рис. 22.11, „ ,	Г з б л и ц а 22 10 ЩЧастоты поперечных собственных колебании -балок, нагруженных продольными силами
950РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЯПродолжение табл. 22.10Схема балкиФормулы и график для определения частот. J_ i.1 f §L1	2я I* V т ' где а/ берется из графикая- 1 Pl2Я-7ЕТ10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 г; = Ж1?W =ЕЗДругие случаи см. в работе Г531.Уравнение частот при симметричных колебаниях: 4гдеF, I f Ul. в* (ач) = F, у[ЛЬ. ХУ EIX D* (a,i) 2У EhJ_2_ I f Щ Ehli V ЩЕЬ 1С»(« и) #*(«*) *а2i ■ В* (а) == ch а sin а — sh а cos а;С* (а) = 2 ch а cos а;£)* (а) = ch а COS а — 1 .При l\ = h—L EIi=EI2= EI и m1=m2=mа1/ = а2/ = Ч уСимметричныеколебанияАнтисимметричны* иолебанияРис. 22.12уравнение частот симметричных колебаний:В* (a/) = C*(ai)fкорни которого равны«!=: 1,2326; а2 = 4,390б; а3 = 7,5322; а4= 10,6738; а5= 13,8154; Ы — 3Уравнение частот при антисимметричных колеба* «иях:		■ £*(«,/)cl Л Г W1 alt~ B*(ali) • 1 К Eh D*(aii) --а,]/т2 S*i(a2t) Е1г ' B*(a2i) •где	Л*(а) = cha Sin a + sh a cos a ;£*(a) = ch a COS a -f 1 ;S*x(a) = 2 sh a sin a .Для трехпролетной симметричной рамы (рис. 22.12) частоты собственных изгибных колебаний вычисляются по формуле (22.20).При симметричных колебаниях «1/ определяются из уравнения частот:k2 Н2 (a2i) _k [2 F (a2/) - (a2/)l + Я«1/) -	= 0 •F(aii) 4“ kF(a2i)гдеa2 ilb_ 4 Гm2EIx __ Ji_ _EJ_2_ %~au li У mxEl2 ’	l2 EI\sin a ch a — sh a cos aF(a) =					« ;1 — cos a ch ash a — sin a H(a) = 		— a1 — COS a cha Уравнение частот при k—\ и aj=a2:H2 (a/)3= 0 .Наименьший корень, соответствующий основному тону симметричных колебаний, равен =3,473.СимметричныеколебанияАнтисимметричныеколебаниятН Г"=Рис. 22.13При антисимметричных колебаниях <*ц определяют¬ ся из уравнения частот:~L2(aXi) { 2F («],■) +k [3f (a2(-) — H (ggf)]}[2F(a„-) + kF(*,i)\ { F(*u) + k [2F(a2i) + H(a2i)\} - ^H4a2i)= 0,
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ951гдеа = -1 ,5/Л2/2 11т1Sin a ch а + sh a COS а#(а) =					аз ;1 — COS а ch аshasinaДа) = 	га2-1 — COS a Cha Уравнение частот при &=1 и <*1 = а2 :СимметричныеколебанияАнтисимметричныеколебания1. 1 А\0?.\\1 ~ 777 —Рис. 22.14 14 — ~ |2Я (а/) —L4*i)\bF(*,) — m*Ci\ ) *д№ч)+н(<ч)\-нчч) Г ’		А2 («/) f5F (а/) — Ж а,)12f(a-Наименьший корень, соответствующий основному то¬ ну антисимметричных колебаний, равен <*1=1,70.Для Т-образной рамы (рис. 22.13 или 22.14) частоты собственных изгибных колебанийl/v- (22'21>Стержни рамы шарнирно закреплены по концам (рис. 22.13). Значения at- при симметричных колеба¬ ниях:а1 == 3,9266; a2 = 7,0685; а3 = 10,210;4 i 4- 1a4 = 13,352; a5 = 16,494; at- «	те (/ > 5);4при антисимметричных колебаниях:а, = 3.1416; а2 = 6,2832; а3 = 9,4248; а4 = 12,566; а-, = 15,708; а/ = /тс (i > 5) .Стержни рамы жестко защемлены по концам (рис. 22.14). Значения а/ при симметричных колеба¬ ниях:= 4,7300; а2 = 7,8532; а3 = 10,996;2/4-1о4 = 14,137; а5 = 17,279; а,- « —-— тс (i > 5) ;при антисимметричных колебаниях;а1 = 3,9266; «2 = 7,0685; а3= 10,210;4t + 1а4 = 13,352; а5 = 16,494; щ ж —-— тс( i > 5),где а0 определяется из уравнений частот, приводимые ниже. В этих уравнениях приняты следующие обозначе¬ ния:k = _ЬЬ_. 1 = JoAiYji!*_ i f im .^1^0	^2 r Q2^1	Г ^где /о—половина или одна треть -пролета ригеля (см. рис. 22.15—22.17);1\—длина стойки; h—длина ригеля;Я\ — погонный вес стойки;<72 — погонный вес ригеля;М— присоединенная масса;IМ — момент инерции присоединенной массы М\ р= 2я^—круговая частота;f — амплитуда колебаний массы М;fr — угол поворота при колебаниях массы М:иЧ+f'LSin a ch a — sh a COS a F(a) =			—			a ;H( a) = • L( a) = -N(a) = •1 — COS a ch aSh a — sin a		a ;1 — COS a ch ash a sin a 	a21 — COS a ch a Ch a — COS a1 — COS a Ch a• ot2 ;sin a ch a -j- sh a cos a R(a) =	:	:	a3П(а) =1 — COS a ch rtsha + sina1 — COS a sh aCth а — ctg a Q(a) =f a — th a,,, x Cth a + Ctg a .C(a) “= —	1	a“;cth a — ctg a>a3.Для П-образной симметричной рамы с защемленны¬ ми стойками и присоединенной посередине ригеля мас¬ сой (рис. 22.15,а) уравнения частот:при симметричных колебаниях (рис. 22.15, б)Mgk№ («„)F(a) + kF(a0)= 0;при антисимметричных колебаниях (рис. 22.15,в2t№ ЫF (a) + kF (а0) •2F (а) Яд —MgЯ^оXX2R («)■t Mg -f- ^2/2 Q\l\1-2L2 (а) = 0.С сосредоточенными массамиЧастоты собственных изгибных колебанийДля П-образной симметричной рамы с шарнирно опертыми стойками и с присоединенной посередине ри¬ геля массой (рис. 22.16) уравнения частот:■при симметричных колебаниях[Ф(«)+ kF(«o)] 2R Ы - о*■]-2kNH<x0) = 0;
952РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙпри антисимметричных колебаниях2feA'2 («„)<t>(a) + kF( «о) —	 ---X[22 (а) -ПГ / ч „4	Mg2г (а) а0 . —-120XC = 2R (а0) — П (а0) — а0 14а*УИ#-<71^1— 2G2(a) = 0.10-3 /2;при антисимметричных колебаниях сгдея + k [b + 2Н(а0)]№(а0)а = Да) + Щао) — —[аЬ - kN* (а0)] = О,2 L«(а)	'2#(а)—а*QihДляП-образной симметричной рамы с защемленны¬ ми стойками и двумя присоединенными массами (рис. 22.17) уравнения частот:b = 2F (о0) + Я (a0) — aj)Qzlo llС = 2Я(а0) + П (а0) — Oq	у— .Частоты свободных горизонтальных колебаний мно¬ гоэтажных рам можно вычислить, по приближенным формулам, приведенным в табл. XXV.28 «Справочника проектировщика. Сборные железобетонные конструкции» Госстройиздат, 1959.22.2.6. Арки, длинные своды, кольцаКруговые арки и своды постоянного сечения [45, 51]Обозначения:R — радиус оси арки (или сво'да);—центральный угол;/ — момент инерции поперечного сечения (за по¬ перечное сечение свода принимается сечение вдоль образующей на единицу длины);F — площадь поперечного сечения;я А.р==т*f — стрела подъема;I — пролет.Между <f, R и Р имеют место соотношенияда)6)Рис. 22.16Рис. 22.17при симметричных колебанияхa + k[b- 2 Н(а)] -[ab-kNHa о)] = 0;гдеN* К)а = F(а) + kF(a„);b = 2F (ее0) — Н (ас) — а* 	;Wo llРис. 22.18Малые колебания арок и длинных сводов могут происходить как за счет изменения длины оси арки или свода (рис. 22.18, а) (радиальные колебания), так и за счет изгиба (рис. 22.18, б) (изгибные колебания).Частоты радиальных колебаний арокh= _L_l/2тzR У т V+<P*R*F(/=1,2,3,...), (22.23)
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ953Таблица 22.11Значения а/ в формуле (22.23)УсловиязакрепленияКорни характеристического уравнениялевыйконецправыйконеца.«3“4«оai(/>5)ОпертОперт3,14166,28329,424812,56615,708Защем- 1 ленЗащем¬лен4,73007,853210,99614,13717,2792/+_1я2Частоты изгибных колебаний арок kfa =2 тс R2 ср2у гп(22.24)Таблица 22.12Значения коэффициента k в формуле (22.24)Условия закрепления и формы колебанийЗначения коэффициента k4я2 — ср2l/1+—|/	4я23803,2—Я2,101 у2+у4 1+0,060549я2-1+0,1652 — я2iv14 620— 197,84ср2 + ^ 1+0,01227 ср216 я2—|/ 1ч__з_. JELJ/ 16 Я239 942—343,16 у2 + у4 1+0,02148' При вычислении частот собственных колебаний длин¬ ных сводов необходимо в формулах (22.23) и (22.24)»	EIЖесткость EI заменить через 		 > где ^—коэффи-I	1 —(X2Циент Пуассона.Параболические симметричные арки, переменного сечения (рис. 22.19) J12]Обозначения:Is —момент инерции сечения в. замке;1Х — то же, в сечении на расстоянии х от замка; —угол касательной к оси арки с горизон¬ талью в сечении с абсциссой х; f — стрела подъема арки;1 /s = I/ *—;— — радиус инерции сечения в замке; г sгs—площадь сечения в замке.Рис. 22.19Момент инерции поперечного сечения изменяется по законуIs = lx COS <рх .Частоты изгибных антисимметричных собственных колебаний2it /! |/ т(22.25)Значенияа1 = 3,9266; «2 = 7,0685; а3 = 10,210; а4 = 13,352; а5 = 16,494; а/ ж	тс .Частоты изгибных симметричных собственных коле¬ баний1	2зс /2 У т(22.26)где значения а/, найденные из уравнения частот (ch а — Р г) sin а + (cos а — 7 г) sh а = 0,принимаются по табл. 22.13.Величины р, 7 и г определяются формулами1,33 г/, 3 \ .	3 1у = 	1 1 —	 Sin а + 	COS О1 а» IV 02/	а JР
954РАЗДЕЛ 23. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙТаблица 22.13Значения в формуле (22.26) для определения частот изгибных симметричных колебаний арок«2205,05| 9,0019,55,04| 7,67195,036,8418,55.016,46184,99| 6,2617,54,97| 6,12174.946,0216,54,915,95164,885,8915,54,845,85154,795,81144,G95,75134,575,71124,44| 5,67114,29 |5,64104,125,6183,76 |5,5763,365,5442,93 |5,5222,55 |5,510.2,365,50Круговые кольцаПриведенные ниже формулы [51] применимы к коль¬ цам постоянного поперечного сечения, если размеры се¬ чения малы по сравнению с радиусом осевой линии и одна из главных осей поперечного сечения расположена в плоскости кольца. Формулы пригодны для определения частот собственных колебаний различного рода круговых арок.Обозначения:R — радиус осевой лин-ии кольца; т — масса единицы длины; i — число волн в окружности;1Х—момент инерции сечения относительно оси х (рис. 22.20);-ЯРис. 22.201р — полярный момент инерции поперечного сечения; F — площадь поперечного сечения кольца;/ момент инерции поперечного сечения относи¬ тельно главной оси, расположенной под прямым углом к плоскости кольца;М- —коэффициент Пуассона.Частота собственных радиальных колебаний основ¬ ного тонатона*, = —I/ —— .	(22.27)Частоты высших видов радиальных колебаний кольца^(fl + <*' = 1.2.3....). (22.28)Частота собственных колебаний кручения основного2- у т& 1Р '(22.29)Частоты высших видов колебаний кручения опре¬ деляются в случае кругового поперечного сечения коль¬ ца формулой(22.30)Колебания изгиба кругового кольца распадаются на два вида: колебания изгиба в плоскости кольца и коле¬ бания изгиба, сопутствуемые двумя перемещениями: пе¬ ремещением под прямым углом к плоскости кольца и перемещением скручивания.Частота любого вида собственных колебаний изгиба в плоскости кольца1 1 1 / £ 11	[/ mR± F i(/2— 1)2+ 1(22.31)При t=l А = 0, т. е. кольцо движется как твердое тело. При i=2 кольцо испытывает основной вид колебания изгиба, при i—3 и i=4 — высшие виды колебаний. Край¬ ние положения кольца при этих видах колебаний пока¬ заны на рис. 22.21, а, б, в сплошными линиями.В случае колебаний изгиба кольца кругового попереч¬ ного сечения, сопутствуемых как перемещением под пря¬ мым углом к плоскости кругового кольца, так и переме¬ щением скручивания, частоты главных видов колебаний определяются по формуле= — л/Г — — —1 ~ 2к у mR* F i2 +i'2 —I)2+ (X + 1(22.32)Неполное кольцо. Рассматривается случай, когда часть кольца с углом а защемлена обоими концами (рис. 22.22).£К. 1 О{ч\ччРис. 22.22180 210 740 270 300 330360 а —Рис. 22.23
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ955Частота собственных колебаний/ijr-т- <22'33>Значения коэффициента /(а) для а от 180° (полови¬ на кольца) до 360° (полное круговое кольцо, защемлен¬ ное в одной точке) приведены для колебаний по основ¬ ному тону на диаграмме рис. 22.23.Если кольцо имеет малые размеры в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа (направление оси цилиндра), то появляются колебания, перпендикулярные плоскости чертежа. Система, приведенная на рис. 22.24 (вверху, справа), представляется сбоку в виде балки высотой /г, защемленной нижним концом.Рис. 22.24 Частота собственных колебаний Е12Х=— / а,л/~——у mR4 F(22.34)2л \ Сгде Е12 — жесткость кольца на изгиб в плоскости, пер¬ пендикулярной плоскости чертежа; С — жесткость на кручение.J Е1ЛКоэффициент /1 а, ~ J 22.24.берется из диаграммы рис.Значения и а2 в формуле22.2.7. ПлитыОбозначения: я, Ь — соответственно длина и ширина плиты в м;т) = — (а > Ъ); ох, у— координаты точки срединной плоскости плиты, начало координат в вершине нижнего левого угла плиты; ось х расположена вдоль длины; х о Уа = — ; р = — — относительные координаты точки а	Ъсрединной плоскости плиты;Ms — сосредоточенная масса в кг сек2/м\ т — равномерно распределенная по площади плиты масса в кг сек?/мъ\ h — толщина плиты в м\Eh3D =77T7J	— цилиндрическая жесткость плиты в кгм.lz(l (X )Частоты собственных колебаний прямоугольных плит вычисляются по формулек- = —л/—‘ 2я а* У т '(22.35)"прив ■Значения a,-(i=lt 2) принимаются по табл. 22.14 и 22.15.Если прямоугольные плиты нагружены сосредото¬ ченными массами MSi то приведенная равномерно рас¬ пределенная масса /Яприв вычисляется по приближенной формуле [47]So= m + -7 2M«)MP)Af,. (22.36) ab5=1где s0 — количество масс на плите.Коэффициенты ks(a) и &5(Р) принимаются в за¬ висимости от номера определяемой частоты, значенийХ о Уотносительных координат массы a = и р = —а	Ъи вида закрепления противоположных краев плиты (рис. 22.25) из табл. 22.7 для однопролетных балок.Таблица 22.14 Г45, 471(22.35) для прямоугольных плитУсловия закрепления краев плиты |а1*21	9,870(1 +i]2)4я2 (1 +0,25 У)$(!19,87У" 1+2,332^+2,440 i)44я2У 1+0,583 У+0,152 VI. 	 ■ ■ JI15,421 "У 1+1,115 т)2 + ц*49,951 V1 + 0,396 1)2+0,095 у7,870 У 1 + 2,494т|2+5,138-г)44я2 ~У 1+0,623 г)2+0,321 т)41 122,373 Vl + 0,566 у+0,475 у61,701 У 1+0,298 1)2+0,062 ij41__122,373l+0,605i)a+y61,701 V 1+0*298 У+0,132 уОбозначения:—	шарнирно опертая сторона;—жестко заделанная сторона.
956РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИТаблица 22.15 Г591Значения a -t в формуле (22.35) для определения частот собственных колебаний квадратных и прямоугольных плит
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ957Для многопролетных опертых плит с количеством полей в направлен'ии х и у соответственно Ых'>4 и JVy>4, при постоянных во всех пролетах нагрузках и жесткостях частоты собственных колебаний вычисля¬ ются по формуле (22.35), куда взамен щ подставляются Чл или <*iB (см. 22.2.3), принимаемые по формулам [47]:а,н = 9,870(1 +1)*); а1в = 22,373]/l+0,6-г]2+ V;а2н = 9,870 (4 + -<12); а2в = 22,3731/7,57 +2,27^+^ . Частоты собственных колебаний круглых плит’ (22-37)2 яг2 у mа/ (i= 1, 2, ..., 4) принимаются по табл. 22.16 в зависи¬ мости от условий закрепления краев плиты и от числа узловых диаметров п.Таблица 22.16 [59] Значения в формуле (22.37) для круглых плитУсловия закреп¬ ления краев плитыrt«1“2«3«4П>\01210,21221,22434,84739,78761,0088,3688,917120,56158,76—001235,77914,68426,35840,69230,47049,22470,84695.25374,892103,490135,024169,442139,051177,502218,922263,218003,75020,91460,692119,72322.2.8. Брусья переменного сеченияОбозначения:/о—момент инерции сечения бруса в месте заделки; Fо — площадь сечения стержня в месте заделки; р — плотность материала.Частоты собственных колебаний(22.38)Клинообразная консоль [20, 57] (рис. 22,26,а). Вы¬ сота поперечного сечения пропорциональна расстоянию2	Ьот ^вершины 2h= — х* ширина постоянна.Момент инерции и .площадь поперечного сечения ме¬ няются 'по законам/ х \3	х/ = /.(-); f = 2 /0 = — а№; Fо = 2 аЬ;Оа1 = 0,85; а2 = 2,42 ; а3 = 4,77; ч =(2 /+1)2я32(/ > 3) .Формула применима к пустотелому конусу со стен¬ кой постоянной толщины.Консоль в виде полного конуса [20, 57] (рис. 22.26,6). Момент инерции и площадь поперечного сечения меня¬ ются по законам'='"(т)4‘ r-r-(ff-’nd-4
958РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ/2 Я^ = 1,39; а2 = 3,52; а/==—(/> 2).Формула применима к пустотелому конусу со стен¬ кой, толщина которой меняется с высотой по линейному закону.Первая частота собственных колебаний усеченного конуса (рис. 22.26,в) вычисляется по формуле [60](22.38а)= —л/ —®№ У pfoдожет быть най,С = 0,719 + 1,069 -j- ^0,14 — 2,24 ^	у-или .по табл. 22.17.Таблица 22.17 Значения коэффициента С в формуле (22.38а)Постоянная С может быть найдена по формулеi, L пп.П М401,00L(конус)0,2640,5010.754(цилиндр)С0,7191,1011,368тг- -1,6951,788Таблица 22.18переменного сеченияа,7(а,00,5600,60,7300.20,5970,80,8590,40,6521.01,140Т аблица 22.19 Значения а* в формуле (22.38) для различных консольных балокКонструкция балкиb!b0Клинооб¬разнаяконсольh/haх/10,852,42Четырех¬граннаяпирамидах/1х/1Четырех¬ гранная пирамида с двумя выпуклыми гранямиV]xjl1,293,374,786.121,10Усеченнаяклино¬образнаяконсоль0,753,855,4410,20Для консольной балки, момент и площадь инерции поперечного сечения которой изменяются по линейному закону(защемление при *=0, свободный конец при х—1), зна¬ чения <4 приведены в табл. 22.18.Согласно табл. 22.19 (см. [59]) определяются ч для различных случаев балок переменного сечения22.2.9. Крутильные и продольные колебания брусьев. Поперечные и продольные колебания струнПостоянное поперечное сечениеКрутильные колебания валов, продольные колебания брусьев, поперечные и продольные колебания струн и тросов и т. п. приводятся к рассмотрению одного и того же дифференциального уравнения вида:(22.39)где т)— удлинение брусьев, струны или троса или угол поворота сечения вала на участке длины х в момент времени t или поперечное отклонение точки струны или троса, соответствующей абс¬ циссе х в момент времени t;01ч ра2— коэффициент, равный: ^ Для крутильных Е Р•^•колебаний брусьев,— —для продольных ко- РNлебаний брусьев, струн или тросов, ~~ — дляр Fпоперечных колебаний струн или тросов;01 Кр— жесткость поперечного сечения брусьев на кручение;/р — полярный момент инерции поперечного сечения брусьев относительно центра тяжести сечения; р — плотность материала;F — -площадь поперечного сечения;N — «натяжение струны или троса.Частоты собственных крутильных колебаний стерж¬ ней определяются по формуле2п I У01 КР р 1Р(22.40)Для различных брусьев Р/ принимается согласно табл. 22.20.Обозначения, принятые в табл. 22.20:г—жесткость опоры относительно крутильных перемещений брусьев в кгем;I— относительная жесткость опоры при кру-Г=ГGLкртильных перемещениях (для симметрич- - г I \ ных брусьев г=— .Iм — момент инерции сосредоточенной массы в кг сек? см.Некоторые случаи определения частот свободных крутильных колебаний валов силовых установок мето¬ дом трех крутящих моментов и методом деформаций (методом углов закручивания) можно найти в рабо¬ те [53].
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ959Таблица 22.20 Г11Значения Р* в формуле (22.40) для крутильных колебаний брусьев постоянного сеченияСхема брусаКорни характеристического уравненияtPпГPi = я, р2 = , Рз = Зя,../35,Ц21.5710Псимптота при р-^,712-)	Первый одер топвсимлтотапри /3*1,57Усм&вной ~тон Ь25 50 75 100 125 г = -С±-_2 GJ,'кр
960РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИПродолжение табл. 22.20Схема брусаКорни характеристического уравненияj-,I—I Хг-JСимметричные колебанияяАсимптота приh "-I t=Первый обертон***I1П.		7Г—			. _пиипгпиигли ири р-~Основной тонfI 11 I1020'вк30'крАнтисимметричные колебанияЯ	О 3	о 5	о 2*-1Pi = 0 • Рг = 0 Рз — t) л	Pi — - л9Г-1, JGJxp'И~хг!-7ХГ■211-0,5 tr-0,4; 0,6 lt-0,3;0,7 If 0,2,0,8^ ^0J;Q9
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ961Продолжение табл. 22. 20Схема брусаКорни характеристического уравненияЪ-о.31,‘0,2IfQh1,-0)61 Зак. 2098
РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЯ962		Продолжение табл. 22.20
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ963Продолжение табл. 22.20Схема брусаКорни характеристического уравненияk712Симметричныеколебанияrt	3	5Антисимметричные ^— 2 * ^— 2 Я* — 2 колебания		 j—я61*
964РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙЧастоты собственных продольных колебаний брусьев и струн		■Г EF1 а / Я_2я ' / ]/(22.41)где EF — жесткость на растяжение;/EF—	— скорость распространения волн вдоль эле- тмента.п-'ОП*1Рис. 22.28оС -71П=7-;1	п--2U -Рис. 22.27Коэффициент зависит от условий закрепления и имеет следующие значения:1)	элемент, защемленный одним концом (рис. 22.27,а):<* = ("+ у)л,где л = 0, 1, 2, 3,... — число узлов;2)	элемент с обоими защемленными концами (рис. 22.27,6):а = пл,где п — число полуволн;3)	элемент со свободными концами (рис. 22.28):а = ПЛ,где п= 1, 2, 3,... — число узлов.Частоты собственных поперечных колебаний струнпV_N_т(22.42)п= 1, 2, 3,...На рис. 22.29 показаны три первые формы попереч¬ ных колебаний струны.Переменное поперечное сечениеДля брусьев и струн переменного поперечного сече¬ ния полной аналогии провести нельзя, так как к рас¬ смотрению одного и того же дифференциального урав¬ нения вида (22.39) приводятся только крутильные коле¬ бания брусьев и поперечные колебания струн, причем коэффициент а2 в данных случаях зависит от х. Про¬ дольные колебания брусьев и струн приводятся к рас¬ смотрению дифференциального уравнения^L = e2/i!ZL + JL.^ . *L\ (22.43)dt2 V дх2 F дх дх )Егде а2= 	 — величина постоянная, a F — функцияРот х.Площадь поперечного сечения брусьев или струны изменяется вдоль длины стержня или струны по законуF(x)где F0 — площадь поперечного сечения на конце брусьев или струны при x=l\ Р—некоторое положительное число.Частоты собственных продольных колебаний брусьев и струн вычисляются по формуле(22.44)Для элемента с левым тонким свободным и правым защемленным концом а/ принимается по табл. 22.21.Таблиц а 22.21 Г20]Формастержня0Корни характеристического уравнения«1а._>аз«4«5н > ЧПарабо¬ лоид вра¬ щения12,40485,52038,653311,790614,9315Конус2TZ2теЗтс4те5тст-33,83177,015610,173613,323116,4697-Л(4*+1)4Таблица 22.22 Г201Условия закрепленияФормазk«1левыйправыйстержняконецконей1.01.57Парабо¬1,21,62СвободенЗащемленлоид11.51,70вращения2,01,79ОО2,411,01,571,21,69СвободенЗащемленКонус21.51,842,02,79ОО3,141.03,141,23,141,53,14Парабо¬2,03,13ЗащемленЗащемленлоид13,03,11вращения4.03,085,03,0510,02,991.03,141,23,141.53,162.03,21ЗащемленЗащемлен—33,03,274.03,345.03,3810,03.55Остроконечный брус с защемленной вершинои и основанием, закрепленным любым способом или сво- бодным, не совершает малых продольных колебаний.
22.9. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ965Для бруса усеченной формы «1 принимается по ртабл. 22.22, причем k = — — отношение площадей /оконцевых сечений.Частоты собственных продольных колебаний усечен¬ ного конуса с закрепленными концами совпадают с ча¬ стотами собственных продольных колебаний стержня постоянного сечения с закрепленными концами.Частоты собственных поперечных колебаний струнДля определения частот собственных крутильныхколебаний стержней, для которых величина 'Gl\крshи- dr' т/й • <22-45>а/ принимаются по табл. 22.23, где Р есть показа¬ тель степени в принятом выше законе изменения /Ч*).Частоты собственных поперечных колебаний струн, плотность которых меняется по биноминальному или по¬ казательному закону, можно найти в работе [20]Условия закрепленияФормаструны■JКорни характеристического уравнениялевыйконец(*=0)правыйконец«1«а“за4а5Н >«5ЗащемленЗащемленПлощадь по- перечпо-го се¬ чения меняется по линейному закону14,359,0513,7418,4623,177Г (12/—1)8ЗащемленЗащемленКоническаяструна25,5611,8218,0624,3530,63я (8/—1)4ЗащемленНаправленКоническаяструна22,128,5814,8321,2027,49- (8£—5)4Nзависимость от х, подобную зависимости ~ , можнор Fпользоваться формулой (22.45) с соответствующей заме¬ ной подкоренного выражения.22.2.10.	Колебания маятников и грузов, связанных с пружинамиВ табл. 22.24 приведены формулы для определения частот собственных колебаний маятников и грузов, свя¬ занных с пружинами (на рисунках жесткие стержни обозначены двумя линиями). Вес пружин не учиты¬ вается.Обозначения:А. — частота собст¬ венных коле¬ баний в гц\ k или &i, &2, &з — жесткости пру¬ жин;т или /72Ь /722 — соответствен¬ но масса си¬ стемы (тела и стержней) или массы грузов;I—расстояние от центра тяже¬ сти системы до оси вращения; / — момент инер-* ции системы относительно оси вращения,Таблица 22.23 [201Формулы для определения частот собственных колебанийТаблица 22.24 [1, 26 27, 29, 34, 39, 54] маятников и грузов, связанных с невесомыми пружинамиСхемаФормула для определения частоты(для а < 30°);1 — sin2 sin24>К — эллиптический интеграл 1-го рода—Ц/Т".2к у I' 9тр
966 «РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИПродолжение табл. 22. 24
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ967Продолжение табл. 22.24СхемаФормула для определения частоты1 Q Г,= 2jt ’ I ]/2kтF0 — натяжение пружины■iymgl —Fna(b — a)I +mg	l_ . /"2^a2 g2it У ml2 *1	_ f 2ka2 g 2n у ml2 /.a* >mg/2£
968РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЯПродолжение табл. 22.24СхемаФормула для определения частотыт(низшая частота);	1_ | f 2кф £_! 2тс у ml'1 I (высшая частота)Частные спутай о)	т ЫI—снмI—1/2-Ь 1/2 —I(5 ^ j1—г/г -4—г/г -4/7?игI£7 — жесткость стержняQst = 'а) ^st —1 mglзб) :в) bst =192	£/ ’1	mgfi48	* £/ ’1	mgl*3 EI 9Xi Я = _L 1 /" nl + n2 q: ^ I n2 “ rti)2 + 4X2^1 «22я "	2	2где2	+ ^2 2 ^2 /Ti —	, /Т2 — >1	Tti\	m2X2 = ‘При^1 +kA = k2 = k и mA=m2 = m12 = Jl/"£±VJL._*2	я '	2	mПладаюицее menb массы mЖидкость•“ T;l/Л.,2 11/ m где 7 — удельный вес жидкости;s —площадь, ограниченная ватерлинией
22.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ	 969Продолжение табл. 22.24СхемаФормула для определения частоты'/'/Л► К1 <«2Г*спп“■а/*-f- k2-W-k,k2m(k i + k2)v/)///.A* — X\Уравнение частот k2 ~f~ ^3 \ ^ j ^1^2 ~f~ k2kn, 4~ kyk3m2 ) 4я2\(5n4m1m2 При ky = k2 = k и m, = m2 = m= 0.'-S'//72k -f- 2£3■77—Плоская *.? пружина <(Jm-i]/k\ k<2m(k 1+^2)где3£/	d*Gk\ ~ ... » ^2 —/з64/ir3 '£/ —жесткость плоской пружины на изгиб;. G— модуль упругости при сдвиге материала винтовой пружины; л, г и d — число витков, радиус прутка и диаметр винтовой пружиныг-г ' ~1 «Ю—zO~77/777.2я у76 k т(центр вращения балки находится на расстоянии 2,62 / справа от левой массы);-тУ5,24 £ т(центр вращения балки находится на расстоянии 0,38 / справа от левом массы)
970РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИПродолжение табл. 22.2422.2.11.	Колебания прямоугольного сосуда с жидкостьюПри полном заполнении жидкостью (сосуд закрыт сверху упругой крышкой, рис. 22.32), находящейся подОбозначения:а — половина длины прямоугольного дна; b — половина ширины прямоугольного дна;Ро — постоянное давление на жидкость;Т—удельный вес жидкости; h — высота столба жидкости;Е — модуль упругости материала дна сосуда;5—толщина дна;п — коэффициент, зависящий от отношения шири¬ ны к длине дна. (рис. 22.30).Частота собственных колебаний прямоугольного со¬ суда с упругим дном и жесткой стенкой, неполностью заполненного жидкостью (рис. 22.31), находится по фор¬ муле С. П. Стрелкова12я а]/(22.46)0,8V0,60,50.40,30,20JОJTь'г1тг1'г/0^иУУУ/0J Ц 0,3 0,4 Q5 0,5 0,7 0,8^9 1,0Рис. 22.30
22J2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ971давлением ро, частоты собственных колебаний находят¬ ся до формулеX-т/Тп v~^v& ■п2а у 7hnЭллиптический резервуарЧастота собственных колебаний жидкости по первой форме относительно меньшей оси определяется форму¬ лой54чу(22.49)Рис. 22.31АРис. 22.32?2.2.12. Колебания жидкости в резервуарах[55, 56, 58]Прямоугольный резервуар [55]Частота собственных колебаний жидкости основного тона определяется формулой/т -f “(i/t -т)- °2-471где / — половина внутренней стороны резервуара, вдоль которой происходят колебания; h — глубина жидкости.Цилиндрический резервуарПо Н. Lamb'y частота собственных колебаний жидко¬ сти по i-й форме определяется формулой48)Рис. 22.33где ч имеют следующие значения:Й1 = 0,586я; а2= 1,697 я; а3 = 2,717я;Ч :(‘-ihR — радиус резервуара.Первые три формы свободных колебаний жидкости в цилиндрическом резервуаре представлены на рис. 22.33. Вверху даны контурные линии (горизонтали), внизу — профили в одной из плоскостей симметрии.где а — большая полуось эллипса; b — малая полуось эллипса.Резервуар, имеющий в плане форму, изображенную на рис. 22.34Частота собственных колебаний жидкости по первой форме относительно меньшей оси определяется форму¬ лойРис. 22.34где4_\2 1я J R V+k = RV> 0,233 -J + 0,627 (-j-J 4-1,377^-J* + 0,197 +0,131 у + 0,0166 j.22.2.13.	Колебания трубопровода во время движения жидкости [16]Частота собственных малых продольных колебаний гибкого трубопровода во время теченЬя жидкости, пред¬ полагаемого ламинарным, вычисляется по формулеХ/ = — .mv2 — Я(1 = 1,2,...), (22.51)где/ — длина трубопровода; т0 — погонная масса тру¬ бопровода; т — погонная масса движущейся жидкости; v — средняя по сечению скорость течения жидкости; Я — продольное натяжение в трубопроводе, предпола¬ гаемое ввиду малости колебаний постоянным.т0-\-тЕсли v2>	Я, движение трубопровода становит-/72 gf72ся апериодически нарастающим (неустойчивый режим).
972РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ22.2.14.	Колебания балки под действием движущихся с постоянной скоростью нагрузок [16]Частота собственных изгибных колебаний свободно опертой балки, находящейся под воздействием^ равно¬ мерно распределенной движущейся с постоянной скоро¬ стью нагрузки, вычисляется по формулеkziH,„±л[~ 2я f	т0 + т(22.52)где то — погонная масса балки; т — погонная масса движущейся нагрузки; и —скорость движения нагрузки.EI i2n2Если и2 > — •	 , движение балки становитсят I2апериодически нарастающим (неустойчивый режим).22.2.15.	Колебания стойки, защемленной в упруго смещаемое перекрытие [16] (рис. 22.35)Предполагается, что жесткость перекрытия k (сила, необходимая для смещения перекрытия на единицу дли¬ ны в месте крепления стойки) настолько велика, чтоnbmкттРис. 22.35необходимо считаться с нелинейными эффектами; в тоже время величина (^ длина стойки и F площадь ее поперечного сечения) не является чрезмерно большой. Эти ограничения, соблюдаемые в обычных, имеющих практическое значение случаях, позволяют пре¬ небречь деформациями продольной оси стойки п-ри ее поперечных колебаниях.Частота собственных изгибных колебании стоики, Я2El	РРXXV1+2СУ-КУ1 91+ts2+^s4+(22.53)где /_длина стойки; /—момент инерции поперечного сечения; т— погонная масса стойки; Р — сжимающая сила; А — максимальная амплитуда колебаний стоики; д•г = — — максимальная относительная амплитуда коле- 1 Iбаний стойки.4 К >-]/1При достаточно жестких перекрытиях поправка к ча¬ стоте при с =0 может достигать 20—30% и более.22.2.16.	Колебания висячих мостов [17]Обозначения:I — пролет моста;EI — жесткость балки жесткости;Н — .распор;то — погонная масса проезжей части (включая бал¬ ку жесткости);т — погонная масса нагрузки;/гор — момент инерции балки жесткости относительно вертикальной оси, проходящей через центр тя-__ жести;т) — расстояние от точки укрепления цепи к пилону до горизонтальной плоскости симметрии балки жесткости.Частота свободных вертикальных колебаний вися¬ чего моста с балкой жесткостиi2 я2£/^г+ят0 + т(22.54)Частота свободных горизонтальных (угловых) коле¬ баний висячего моста, балка жесткости которого имеет две плоскости симметрии, а подвески укреплены на го¬ ризонтальной плоскости симметрии и центр тяжести всех масс также находится на горизонтальной плоскости симметрии, определяется по формуле-L 1 /~ F1 /4дт4Я/гор = 2 я I/ ^Г0Р J41т0 ■(22.55)Если приведенные выше условия не имеют места, то горизонтальные (угловые) колебания моста обязательно сопровождаются крутильными колебаниями.Висячий мост под действием ветра может оказаться неустойчивым по отношению к крутильной деформации п-роезжей части.Для моста описанной конструкции аэродинамический момент проезжей части может быть вычислен по фор¬ мулеМ = CmF pu2'f,где Cm — аэродинамический коэффициент; р — массо¬ вая плотность .воздуха; v—скорость ветра; F — площадь сечения проезжей части длиной 1 м; <р — угол кручения проезжей части; величина критической скорости ветра, при которой мост теряет крутильную устойчивость:Е1и^+а1а + \н»Р CmFЗдесь / to — секториальный момент инерции сечения бал¬ ки жесткости; GId—крутильная жесткость; b — шири¬ на балки жесткости.
22.3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ973Вынужденные вертикальные колебания висячего мо¬ ста могут оказаться динамически неустойчивыми, если их частота 0 будет равняться удвоенной круговой часто¬ те свободных горизонтальных колебаний, т. е. если будет иметь место соотношение1 = 2vEL/4 я41§гор/4 т0 -f- т г) /=1,2,3-..22.3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 22.3.1. Динамическая жесткостьЖесткость элементов строительных конструкций, вводимая в динамический расчет, определяется исходя из упругой стадии работы. Исключение представляют расчеты на действие динамических нагрузок, вызываю¬ щих появление пластических деформаций.При динамическом расчете стальных и деревянных конструкций модули упругости принимаются равными статическим. При рассмотрении горизонтальных колеба¬ ний кирпичных зданий модуль сдвига кирпичной кладки принимается равным 0,3Е, где Е — модуль упругости ■при сжатии кирпичной кладки.Жесткости изгибаемых элементов железобетонного каркаса зданий, а также других элементов и конструк¬ ций — монолитных железобетонных конструкций пере¬ крытий и покрытий, плит и балок, лежащих на упругом основании, днищ и стенок резервуаров — принимаются равными жесткости оплошного бетонного сечения. При этом модуль упругости бетона принимается в соответст¬ вии с нормами на проектирование железобетонных кон¬ струкций равным нормативному значению модуля упру¬ гости £б-Для сборных изгибаемых элементов, соединенных друг с другом по разрезной схеме, в расчет вводится жесткость на изгиб с учетом появления трещин, опре¬ деляемая как при статическом расчете.22.3.2. Внутреннее поглощение энергии колебаний (затухание) в конструкциях и материалах сооруженийВследствие неупругих свойств материала, излучения энергии колеблющейся конструкцией и т. д. происходит явление затухания свободных колебаний конструкций. Для поддержания вынужденных колебаний постоянной амплитуды необходимо непрерывно производить работу, компенсирующую ту энергию, которая рассеивается при колебаниях. Роль внутреннего поглощения при динами¬ ческом расчете конструкций очень велика, так как от нее зависят амплитуды колебаний в резонансном режиме.При колебаниях, происходящих в системе без затуха¬ ния, сила Р прямо пропорциональна перемещению у (рис. 22.36), и ветви, соответствующие нагрузке и раз¬ грузке, совпадают. Если система имеет затухание, то зависимость между силой Р и перемещением у нели¬ нейна; на диаграмме Р—у получается замкнутая кри¬ вая, называемая петлей гистерезиса. При гармонической нагрузке петля гистерезиса представляет эллипс с цент¬ ром в начале координат (рис. 22.37). Площадь петли гистерезиса A W характеризует работу, совершаемую не¬ упругими сопротивлениями за цикл; площадь заштрихо¬ ванного треугольника W0 — работу упругих сил за чет-Авврть цикла. Отношениеф = —— называется коэффици-Wqентом поглощения. При гармонических колебанияхФ = 2 я — = 2я — ,Уо	soгде уп—амплитуда неупругой деформации, равная по¬ ловине ширины петли гистерезиса; уо — амплитуда упру¬ гой деформации; Ro— амплитуда силы неулругого со¬ противления; S0 — амплитуда упругой силы.Энергия затухающих колебаний, которые рассматри¬ ваются далее, равнагде y(t) —ордината огибающей эпюры затухающих ко¬ лебаний; с — жесткость.По определениюJ wИспользуя предыдущее выражение для W, получимJ У	>л+1-t= 25,(22.56 )где 5—логарифмический декремент затухания; уп> уп+1 соответственно означают y(t), y(t+T).Это соотношение справедливо при любом законе затухания.При динамических расчетах можно считать, что ко¬ эффициент поглощения:1)	не зависит от статических напряжений <гст;2)	практически остается постоянным и равным Ф при амплитудах динамических напряжений с0 > °о »1аст|где а0 = —— , |аст| —соответствующее допускаемоестатическое напряжение; при < а0 коэффициент погло-*аохцетшя можно принимать равным — ф ; учет сниженияа0коэффициента поглощения при малых динамических напряжениях играет роль при подсчете амплитуд коле¬ баний, вызванных малыми динамическими силами;3)	не зависит от коэффициента асимметрии цикла,*• о	°0равного s= — .аст4)	в диапазоне частот, с которыми приходится встре¬ чаться при (расчете строительных конструкций, не зави¬ сит от частоты колебаний.
974 	РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙТаблица 22.25 Значения коэффициента поглощения ф для строительных конструкций (поперечный изгиб)Тип конструкцииЗначение фАвтор иссле¬от |до |среднеедованияСтальные мосты .....0,040.30,17С. А. БернштейнV * • • • •0,020,290,17С. А. Ильясевячдымовые трубы0,080,160,11М. П. БарштейнЖелезобетонные ребри¬ стые перекрытия . . .0,390.780,57Е. С. СорокинЖелезобетонное безба- лочное перекрытие . .——0.56ХортЖелезобетонные крупно¬ панельные перекрытия высотных зданий:а) до замоноличива- ния стыков ....0,20.240.22 \б) после замоноличи- вания стыков . . .0,440,60.52 JО. И. ТомсонЖелезобетонные пере¬ крытия 		0,320,570.44М. РосенЖелезобетонные своди- ки по стальным балкам0.3610.68М. П. БарштейнКирпичные сводики по стальным балкам . .0.470,90.68 'Железобетонные подкра¬ новые балки:а) до замоноличива- ния стыков ....0,240.40.32Е. С. Сорокинб) после замоноличи- вания стыков . . .0.380,560,47Железобетонные балки . , рамы .0,350.350.780,450,56 | 0,38 /Н. П. Павлюк. рамы .0.160.330,25О. А. Савинов, мосты.--0,63М. РосенДеревянные клееные балки ... . 	Деревянные балки на гвоздях с перекрест¬ ной стенкой 	0,170.410,120.3 .В. С. Мартышкин и И. Л. КорчинскийДеревянное перекрытие по коробчатым клее¬ ным балкамПерекрытие по дерево- плите 		0.230,380,430,470,330.42Р. О. Мелик- АдамянОбычное деревянное пе¬ рекрытие 		—0,35Модели самонесущих кирпичных стен тол¬ щиной в 0,5 кирпича0.20,550.37А. И. РабиновичКирпичная кладка (сжа¬ тая) на сложном раство¬ ре марки 30 	_0.24 'Каменная кладка (сжа¬ тая):а) на цементном рас¬ творе марки 100 . .——0.19Б. К. Карапетянб) на сложном раство¬ ре марки 30 . . . .——0.22в) на известковом растворе марки 4.-0,33Как показывают опыты, значения коэффициента по¬ глощения ф для строительных конструкций (табл. 22.25) значительно выше, чем для образцов материала, из ко¬ торого выполнены эти конструкции.В расчет обычно вводятся значения коэффициента неупругого сопротивления материалов в конструкциях' Ф7= “— , приведенные в табл. 22.26*Таблица 22.26Значения коэффициента f — неупругого сопротивления материалов в конструкцияхМатериалДинамическоевоздействиеЖеле¬зобетонКир¬пичнаякладкаДеревоСтальпро¬катнаяМашины I и 11 категорий по ди¬ намичности 	0,050,040.030.01Машины III и IV категорий по динамичности 	0,10,080,050.025О	категориях машин .по динамичности см. раз¬ дел 22.4.1. табл. 22.28.Предположение, что сила сопротивления fconp прямо пропорциональна скорости, т. е. -Рсопр =“ Р х (гипотеза Фойгта), противоречит экспериментальным данным.При гармонических колебаниях системы с одной сте¬ пенью свободы это противоречие легко устранить путем деления коэффициента Р на частоту колебаний. Подроб¬ нее о гипотезах см. [38, 46].Для того чтобы сохранить независимость величины силы сопротивления от частоты и линейность дифферен¬ циальных уравнений колебаний, в уравнения не вводят¬ ся диссипативные силы, пропорциональные скорости, но взамен действительного модуля упругости Е вводится комплексный модуль упругости, равный £(1+П). Тех¬ ника расчета, основанная на введении комплексного мо¬ дуля упругости, излагается в [46].22.3.3.	Выносливость строительных материаловПри оценке прочности конструкций, на которые дей¬ ствуют одновременно статические и динамические на¬ грузки, различают два основных случая: первый соот¬ ветствует учету периодической нагрузки, которая имеет место в. течение длительного периода эксплуатации со¬ оружения, во втором учитываются динамические нагруз¬ ки, сравнительно непродолжительные, характеризующие¬ ся высокой интенсивностью и малой повторяемостью. В первом случае прочность характеризуется пределом вы¬ носливости.Предел выносливости представляет наибольшую по величине сумму статического напряжения и амплитуды динамического напряжения, при которой материал спо¬ собен выдержать без разрушения бесконечно большое число циклов нагружения.Предел выносливости определяется по формулеЗдесь ап^1 — предел прочности (временное сопро¬ тивление) материала при статической нагрузке;1 Ч- *«вын= .—;	 —коэффициент выносливости;1 + aefisгде s >0 — отношение динамического напряжения (уси¬ лия) к статическому напряжению (усилию);
22.4. ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ	975«о— отношение предела прочности материала к пределу усталости материала при симметрич¬ ных циклах напряжений (табл. 22.27); р. > 1 —коэффициент концентрации напряжений в соединениях элементов конструкций; для це¬ лых монолитных элементов м* =1.Для соединений элементов из стали марки Ст.З мож¬ но принимать следующие значения н- :для сварных соединений в стык с обработкой шва .	1,1 для сварных соединений в стык косым швом безобработки шва, но с подваркой корня шва . .	1.4для заклепочных соединений 			1.4для сварных соединений лобовыми швами (с от¬ ношением сторон 1:1,5) с обработкой швов . .	1.7то же, без обработки швов 			2,2для сварных соединений фланговыми швами с об¬ работкой швов 		2,3то же, без обработки швов		3.1Расчетное значение пред-ела выносливости материалаопределяется по формулесвыи = ^вын Р W »где р определяется из табл. 2221.При расчете по предельным состояниям значение М равно значению расчетного сопротивления, определяемо¬ го по СНиПу.Таблица 22.27 Значения коэффициентов сс0 и РМатериалКоэффициента., рСталь прокатная 	3,02,0Железобетон:арматура			3,51.73,01.0Кладка кирпичная 	3,01.0Дерево ... 	4,01.5При действии взрывных нагрузок расчет ведется на однократное воздействие по предельному состоянию по прочности при действии кратковременных нагрузок.22.4.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ22.4.'1.	Динамические нагрузки от машинРазличают следующие основные типы машин. Машины с возвратно-поступательным движением: тип 1 — возвратно-поступательное вертикальное движе¬ ние; тип 2 — возвратно-поступательное горизонтальное движение.Машины с вращательным движением неуравновешен¬ ных масс: тип 3 — ось вращения вертикальна; тип 4 — ось вращения горизонтальна.При вращательном движении неуравновешенных масс следует рассматривать случаи:эксцентрицитеты неуравновешенных масс заданы (на¬ пример, в вибраторах);эксцентрицитеты являются значительными, но не под¬ даются точному определению, изменяясь в процессе ра¬ боты (например, в центрифугах);эксцентрицитеты носят случайный характер и вызваны неточностью балансировки, разработкой подшипников и т. д. в машинах, являющихся формально уравновешен¬ ными (например, в турбинах, вентиляторах и т. д.).Для машин типа 1 и 2 (дизели, поршневые компрес¬ соры, паровые машины, лесопильные рамы и т. д.) опре¬ деление динамических нагрузок производится на основе подсчета.Если машина одноцилиндровая, нагрузки определяют¬ ся как в кривошипно-шатунном механизме; для много¬ цилиндровых машин нужно рассмотреть одновременно действие нескольких кривошипно-шатунных механизмов.При определении динамических нагрузок, как пра¬ вило, рассматриваются инерционные силы и моменты первого порядка, имеющие частоту, равную угловой скорости вращения кривошипа.Возмущающие силы, развиваемые кривошипно-ша¬ тунным механизмом, определяются по формуламQ = R00)2 (та + mb) cos pt,Р = R0u2ma sin pt,где Q — сила, возникающая по направлению движения поршня; Р — сила, возникающая в перпендикулярном направлении; Ro — радиус кривошипа; р — угловая ско¬ рость вращения кривошипа; та—масса, приведенная к концу (пальцу) кривошипа и учитывающая инерцию вра¬ щательного движения кривошипа и плоско-параллель¬ ного движения шатуна; ть — масса, приведенная к кон¬ цу шатуна и учитывающая поступательное движение поршня и плоскопараллельное движение шатуна.Приведенные массы та и ть :ma= g {^Gi+(1+u)G3b ть==±(а,+ ^азугде — радиус инерции кривошипа; L0 — длина шату¬ на; Li—расстояние от центра тяжести шатуна до пальца кривошипа; Gь G2, G3 — веса соответственно кривошипа, поршня и шатуна.В первом приближении можно ограничиться учетомодной лишь силы С?2, положивта=0,ть = ^ . Момен¬ ты сил инерции Q и Р определяются в зависимости от расположения механизма относительно, рассчитываемой опорной конструкции.Если на машине имеется противовес массы тп, нахо¬ дящийся на расстоянии Rn от оси вращения, то приве¬ денная центробежная сила в пальце кривошипа умень¬ шается на величину, равную силе инерции, развиваемой противовесом. Для учета влияния противовеса в фор¬ мулах для подсчета Q и Р нужно заменить та вели- Rnчинои та— тп-При наличии в машине нескольких цилиндров инер¬ ционные силы от каждого из кривошипно-шатунных ме¬ ханизмов складываются между собой с учетом сдвига фаз, определяемого углами заклинивания. Угол закли¬ нивания цилиндра, номер которого равен t, вычисляется по отношению к какому-либо одному, например первому, цилиндру; он равен углу, составленному кривошипами t-ro и первого цилиндра.Таблица 22.28Категории машин по динамичностиКатегории машин по динамичностиДинамичностьмашиныАмплитуда инерцион¬ ной силы в кгIIIIIIIV	*Очень большая . . .До 10От 10 до 100 , 100 . 300 Более 300В двухцилиндровой машине, если угол^ заклинивания равен нулю, силы Р и Q находятся в одной фазе. В этом
976РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙТаблица 22.29Величины инерционных сил некоторых машинТипВес маши¬Наименование:ние ижу- 43сти q маши-лаЕ 5?is а5! н х ^ «Число оборо¬ тов И1И ходов1Инерцион-Плечи сил в см (см. табл.22.32)с%Наименование машинмаши¬ныны Q в кгдвижущейся части машиныОтношс веса дв щейся ’ к весу ны Q5 н л ^“ SX*Т>В 1 МИН. I ЛГо=60 п01ая сила Р0 в кгhаа) Машины шарикоподшипниковых заводов113 200Ползун0,15512060—120240 "0-502916 000.0,13312040—90384 п20-603Вяутришлифовальные станки ....22 800Суппорт0,14320юо—зоо32 «о12020012-3.2 п\21 + ^0 104Плоскошлифовальные станки . . . •33 000Барабан0,13321+_^0101 000—2 0001701705Бесцентрово-шлифовальные станки .42 000Шпинделькамня0,0750,1-3 0000.06 Яд901306*42 600То же0,0950,2-1 300°' 2 "о90130741200*0,0420,0254 000—12 00020.005 nQ50658.41 600Ш0,0370,053 000—8 0000,012 п050659-41 80090,0410,052 000—6 00020,014 л0506510б) Машины заводов и фабрик легкой промышленности42 20090,0360,052 000—6 0000,016 п\506511Ткацкие станки для легкой ткани .2500Батан0,1360До 24015 *0709012То же, для средней ткани ......2850•0,160. 20020 п\7510013То же, для тяжелой ткани	21 670•0,0760. 15028 л0851201415Сотрясательные сита сахарныхи крахмальных заводов .....Штампмашины кондитерских фабрик (бисквитные) 	21-750 10 600ЗаполненноеситоШтамп0,278.5, 500 60—150и6,8 Wq 94 л095"8012516Штампмашины кондитерских фабрик (бисквитные)	в) Машины, устанавливаемые на перекрытиях предприятии различных отраслей промышлен¬ ности19 000•--150—24064 п0 о-12517Вентиляторы и другие тяго-дутьевые аппараты 	4-Крыльчатка с валом0,25—0,51300—2 000«п0250——18Электромашины	Ротор0,3—0,460500—3 00020,24<7Л04Л 20+ *0+о<м"19Турбины . 		4-0,2601 500—3 0000,2iqnl9250+ /Zq250+ЛцI
22.4. ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ	Продолжение табл. 22.29Наименование машинТипмаши¬ныВес маши¬ ны Q в кгНаименование движущейся части машиныОтношение веса движу¬ щейся части q к весу маши¬ ны QЭксцентрици¬ тет или ради¬ ус эксцент¬ рика ев ммЧисло оборо¬ тов или ходов в 1 мин.*No=60n0Инерцион¬ ная сила Р0 в кгПлечи сил в см (см. табл. - 22.32)hа31840Ротор850235-76,0XгоСПо410 7000,53	1 1505 000-68,0—222411 500щ0,52	1 1503 50021050Коробыс ситами0,67	15003 300	21 250То же0,72_1 3003 750_21 4000,72_1 3003 500_21 7500,771010003 14021 700—0—3840400	22 900—0—3900624	22 430т0,523840<5 860	154-1 271_25 06990,7814-26400-450(динамиче¬ское усилиев одной40 000подвеске)365 000Дробящий ко¬——2401 500нус и вал2208 200- 2 000- 1 000эксцентрика——Дробящая ка¬—	1706 000__чающаяся пли¬1359 000та10012 000202122232425262728293032(Будапешт) ....Центрифуга ГШ-12М . Центрифуга ГОШ-12М Грохот ВГО-1 ....ВГО-2 . ВГД-1 . ВГД-2 . ГУП-1 ГУП-2 . ГГР . .АГ-6Гирационные дробилки с пологим конусом 	Щековые дробилки* п0—число оборотов в 1 сек.Таблица 22.30Группы машин по частотностиГруппамашинХарактеристика машин по частотностиЧисло оборотов машины в 1 мин.1Низкочастотные	Менее 4002От 400 до 2 0003Высокочастотные	Более 2 000случае силы Q, если оси цилиндров направлены по од¬ ной прямой, складываются арифметически; если оси па¬ раллельны, то они складываются как параллельные си¬ лы. Силы Р складываются так же, как параллельные, направленные в одну сторону. Если угол заклинивания равен Р=я (рад.) = 180°, то силы инерции обоих цилинд¬ ров находятся в противофазе и складываются как парал¬ лельные силы, направленные в разные стороны. Если силы инерции обоих цилиндров одинаковы и оси совпа¬ дают, то составляющие, направленные по этой оси, взаимно уравновешиваются. Если оси параллельны, то силы приводятся к паре. Моменты пары равны М^= =Р1 У и MA2=Qly, где 1У—расстояние между цилин¬ драми.Обычно в двухцилиндровых машинах угол заклинива-' о Лния равен р =—рад.=90°, и амплитуда суммарной силыР и Q при одинаковых кривошипах и шатунах увеличи¬ вается в 1/2 раз по сравнению с соответствующей силой в одном цилиндре. В этом случае должны учитываться пары, вызванные несовпадением соответствующих осей.В трехцилиндровых машинах с одинаковыми цилинд¬ рами и углами заклинивания, равными 120°, инерционные силы приводятся к паре с составляющими:м? =Piy VT,62 Зак. 2098м? = Qiy У з .В случаях, кодда инерционные силы, вызываемые кривошипно-шатунным механизмом, велики и сооруже¬ ние имеет частоты собственных колебаний, близкие к удвоенному числу оборотов кривошипа, нужно учиты¬ вать вторую гармонику возмущающей силы, считая, что она направлена по оси цилиндра и равнар2 /Q ть ~Г~ Р2 sin ^ pt •LaВ машинах типа 3 и 4 инерционная сила направлена по прямой, соединяющей центр тяжести ротора с осью, вращения, и равна по величине Р=тр2е, где гп — масса ротора, е — эксцентрицитет ротора. Для машин типа 4 вертикальная составляющая этой силы равна тр2е sin pt, горизонтальная составляющая равна тр2е cos pt.В случае, если машина представляет направленный вибратор, состоящий из двух дисков, создающих оди¬ наковые центробежные силы и вращающихся в проти¬ воположные стороны, как это показано на рис. 22.38, то горизонтальная составляющая равна нулю, а вертикаль¬ ная составляющая равняется 2тр2е sinp£.В зависимости от амплитуды возмущающей силы машины делятся на четыре категории по динамичности в соответствии с табл. 22.28.
978РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИПри определении величины инерционной силы можно пользоваться табл. 22.29, в которой -приведены величины инерционных сил некоторых машин.В зависимости от частоты возмущающей сиЛы маши¬ ны делят на три категории по частотности в соответствии с табл. 22.30.В отдельных случаях можно, не вычисляя амплитуду инерционной силы, для ориентировочного определения категорий динамичности воспользоваться табл. 22.31.При определении динамических нагрузок от машин можно пользоваться табл. 22.32, где для различных ки¬ нематических схем показано определение динамических давлений, передаваемых машинами.Таблица 22.31по динамичностиОриентировочное деление машин на категорииКатегория машины по динамич¬ ностиДинамич¬ ность ма¬ шиныНаименование машинКатегория машины по динамич¬ ностиДинамич¬ ность ма¬ шиныНаименование машинМалаяСредняяСтанки и автоматы фрезерные, зуборез¬ ные, зубо-резьбошлифовальные, сверлиль¬ ные, револьверные, расточные и доводоч¬ ные; шлифовальные станки с весом шпин¬ деля камня менее 20 кг; токарные станки по металлу с весом шпинделя 20 кг; дерево¬ обрабатывающие станки; прядильные ма¬ шины; упаковочные автоматы кондитер¬ ской, пищевой и вкусовой промышленно¬ сти; папиросонабивные и другие автома-гы табачных фабрик; автоматы для точки лез¬ вий бритв; швейные машины; электрома¬ шины весом менее 100 кг; ротационные насосы весом менее 50 кг и т. п.Шепинги и другие строгальные станки; токарные станки с весом шпинделя более 20 кг; шлифовальные станки с весом шпинделя камня более 20 кг, но менее 100 кг; точильные камни; маломощные поршневые насосы; неуравновешенные одноцилиндровые двигатели, произведение веса поршня которых на радиус кривоши¬ па меньше 250 кгсм; горизонтальные и вертикальные центрифуги с весом запол¬ ненного барабана менее 100 кг; гребнече¬ сальные машины прядильных фабрик; гладильные барабаны швейных фабрик; трансмиссионные передачи; вентилято¬ ры с весом ротора менее 30 кг; электро¬ моторы весом более 100 кг, но менее 1 000 кг и т. п.111БольшаяIVОченьбольшаяЦентрифуги с весом заполненного бара¬ бана более 100 кг, но менее 300 кг; вен¬ тиляторы с весом ротора более 30 /сг, но менее 100 кг; ткацкие станки; штампы и прессы с весом ползуна менее 200 кг; типографские машины; шлифовальные станки с весом шпинделя камня более 100 кг; электромашины весом более 1000/сг; неуравновешенные одноцилиндровые двигатели, произведение веса поршня ко¬ торых на радиус кривошипа более 250кгсм, но меньше 750 кгсм; поршневые насосы средней мощности и т. п.Штамп- и пресс-автоматы с весом ползу¬ на более 200 кг (например, прессы шарико¬ подшипниковых заводов, штампы бисквит¬ ные); сотрясательные сита крахмальных и сахарных заводов; рассевы; дробилки; вибростолы и грохоты обогатительных и других фабрик и заводов; вентиляторы с весом ротора более 100 кг; центрифуги с весом заполненного барабана более 300 кг; неуравновешенные одноцилиндро¬ вые двигатели, произведение веса поршня которых на радиус кривошипа больше 750 кгсм; мощные поршневые насосы и т. пТаблица 22.32Схема действия на конструкцию инерционных сил машинТип машиныОсь элемента конструкциих sV EJ Он (USя «S SчО) к sСи 3S5 * °“OSg-я о*/рУ\ ^/\ f/ \ */ \ «/ - \ 4т j*1. — О ——'1»— О -I
22.4. ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ979Продолжение табл. 22.32,Тип машины1234Яо.с*5>=?яо2я я >> яQ. 2| в двух сеченияхЛfi R {Т-4-Ре—*# я я. iJL	i.т , 'Pa4l(1-%) Pt‘R£1 г.О ЯCN* ясГаЗ со Я О. ЯVh * .»« С Я ОQ-Ш m* •-Шно<VXЯQ.СЯя ж LL* -U. Кг % .6H*RbcdS\Ряк>Й 6SаXи5оявьт-~о>=?си22.4.2.	Динамическое действие ветровой нагрузки на гибкие сооружения1Учет динамического действия ветровой нагрузки сво¬ дится к проверке на ветровой резонанс и учету порыви¬ стости ветра.Проверка на ветровой резонансКак показывают многочисленные наблюдения, под влиянием ветра гибкие сооружения испытывают колеба¬ ния, частота которых равна обычно частоте основного тона свободных колебаний (в отдельных случаях наблю¬ даются сложные колебания, представляющие наложение колебаний, происходящих по первой и второй формам с соответствующими частотами).Колебания происходят не только вдоль, но и поперек ветрового потока, при этом, как правило, амплитуда колебаний поперек потока больше, чем амплитуда коле¬ баний вдоль потока.При определенных значениях скорости ветра ампли¬ туда колебаний резко увеличивается. Это явление назы¬ вается ветровым резонансом. Оно наиболее ярко выра¬1	См. также 23.2.3. 62*жено для сооружений, поперечное сечение которых огра-1	ничено окружностью. При прочих равных условиях резонансная амплитуда тем больше, чем меньше затуха¬ ние конструкции.Для объяснения причин указанных колебаний прини¬ мают во внимание, что при обтекании цилиндра плоско¬ параллельным потоком воздуха образуются две системы вихрей:1)	вихри Бенара — Кармана, которые появляются при обтекании неподвижного цилиндра и сбегая с завет¬ ренной стороны в шахматном порядке (рис. 22.39), создают периодические импульсы, частота которых (в гц) равна:vгде d — диаметр цилиндра в м\ v — скорость ветра в м/сек; * — безразмерный коэффициент, который равен 0,18—0,20;2)	вихри, возникающие при обтекании цилиндра, представляющего колебательную систему; в этом случае при обтекании цилиндра в крайних точках размаха ко¬ лебаний в поперечном к потоку направлении сбегают вихри, частота которых равна частоте свободных коле¬ баний.Образование вихрей второго типа превращает систему в автоколебательную. Наибольшие колебания возникают при совпадении частот вихрей Бенара—Кармана и ча¬ стоты колебаний сооружения.Схема расчета на ветровой резонанс установлена в результате теоретического анализа явлений, натурного и модельного эксперимента и заключается в следующем:а)	определение периода основного тона свободных колебаний сооружения Т сек.;
980РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИб)	вычисление критической скорости ветраr d»кР = 5— м/сек;в)	вычисление аэродинамической силы, вызывающей колебания в режиме ветрового резонанса; предпола¬ гается, что эта сила изменяется во времени по перио¬ дическому закону и имеет период Т\ по длине сооруже¬ ния сила изменяется по тому же закону, что и ордина¬ ты первой формы свободных колебаний.Амплитуда указанной силы в том сечении, где она достигает наибольшей величины, т. е. в конце консоль¬ ного стержня или в середине однопролетного стержня с одинаковыми условиями опирания на обоих концах, определяется по формулес	^крdfo= 64 •где vKp выражено в м1сек, d — в м, Fq — в кг/м. Амплитуда нагрузки р сеченииFx = —F0‘ут^,	(22.57)где Xi(x) —ордината первой формы свободных колеба¬ ний; Х\ — абсцисса сечения с наибольшим прогибом. Резонансная амплитуда колебаний стержня:Уд = Уст »	(22.58)где уст —статический прогиб, вызванный силой F(x)\ Ь—логарифмический декремент затухания, рав¬ ный для стальных и железобетонных соору¬ жений соответственно 0,05 и 0,20. Изгибающие моменты при ветровом резонансе:Мд = — Мс(22.59)где Мст — изгибающий момент, вызванный силой F(x).При расчете на ветровой резонанс статическое дейст¬ вие ветра учитывается одновременно с динамическим при укр >10 м/сек, причем сила статического действия ветра направлена вдоль потока ветра, а динамические силы при ветровом резонансе перпендикулярны по¬ току.Учет порывистости ветра, Учет порывистости ветра производится на основе рас¬ смотрения ветровой нагрузки как случайного процесса. Предполагается, что ветер действует на линейную коле¬ бательную систему; обычно сооружение рассматривается как система с одной степенью свободы. При расчете от¬ ветственных сооружений большой высоты желательно учесть колебания по первым трем формам.Предполагается, что изменение скорости представ¬ ляет стационарный случайный процесс. Всякий случай¬ ный процесс описывается множеством функций Fit), значения каждой из которых являются случайными ве¬ личинами, описываемыми функциями распределения. Каждая из функций этого множества F^(t) называется реализацией случайного процесса. Если функции рас¬ пределения не зависят от начала отсчета, то процесс называется стационарным. В теории стационарных слу¬ чайных процессов среднее значение mтm = F{t) liinТ-+ ООtJF0) (t) dtи корреляционная функцияTВ (т) = F (t) F (t+x)=lim 4* f F®(t) F<0 (f + t) dtГ-v oo i J0вычисляются для какой-либо одной любой его реали¬ зации.Отклонения случайной величины от среднего значе¬ ния назовем пульсацией. Зная m и В( т ), можно найти корреляционную функцию пульсаций случайного стацио¬ нарного проиессг по формулеВ0 (т) = В(х) — т2.(*)Отношение R(i) = ■Во(0)называют нормированнойкорреляционной функцией случайного процесса с нуле¬ вым средним значением, где В0(0) —среднее квадратич¬ ное значение пульсаций.При изучении динамического действия случайного процесса на колебательную систему существенную роль играет спектральная плотность или энергетический спектр случайного процесса, который дает картину рас¬ пределения энергий процесса по частотам элементарных гармонических составляющих.Спектральная плотность s( <*> ) функции x(t)I	s(o>) = lim | ХТ(Ы) |2 .Т-* ОО 1гдеХт (ш) = j х (/) е~ш dt = J хт (0 е~м dt,—тхт (0 = X(t) при —T<t<T,хт (t)=0 при всех остальных значениях t.Между корреляционной функцией B(z ) и спектраль¬ ной плотностью s (о>) существуют соотношения:оо	00В (т) = ~— Г 5 (со) eI(0T dz = -— Г s (со) COS coxtfco;2	tcJ	2я Js(co)= J В (т) е I(0T dz = 2 J В (z) cos om/co.	ОО	ОПри составлении СН 40-58 [50] полученные числен¬ ным образом нормированные корреляционные функции были приближённо заменены выражениемR (т) = е~а1Т1 (cos рх -f fx sin р |т|) .В теории переходных процессов, возникающих в ли¬ нейных динамических системах при воздействиях в виде заданных функций времени, вводятся специальные по¬ нятия: частотные характеристики, передаточные и пере¬ ходные функции [44].Если f(t)=foemt — воздействие на линейную систе¬ му, то частное решениех = и1шГФ(ш)< где Ф(гсо) называется передаточной функцией:Ъщ (ш)т+---+Ь1ш+ЬоФ (/со) =Лп (/соУ* -{- • • • -{-Л^/со -J- Uq
22.4. ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ981гдеТаблица 22.33dnx„~п d" ljc dx ап —~ + ап_\		l"ei — + воХ —dtn '	Я»'1dmf(t) dm~1/(t)dt"dtm-1dt df (t)+b0f(t)dt— линейное дифференциальное уравнение, эквивалентное данной системе уравнений.Если воздействие№icotF (ш) е da ,If. мx(t) = —— I Ф(/а>) F(/a>)e d(& t 2ji Jоткуда получаем, что преобразование Фурье для функ¬ ции x{t) имеет следующий вид:Х(/(0) = Ф (/со) F(/<o) .Для системы с передаточной функцией Ф(*<«>), на ко¬ торую действует случайная сила со спектром s, среднее квадратичное динамического перемещенияX2 =—— Г s(<o) |Ф (/о))|2 dm • 2я JДля системы с одной степенью свободы|Ф(*®)|2= —т—,		—		—<Шу ^0) 	2WCOj О) -j- (Oj)4 — 72где “—Г ** “l—частота свободных колебаний;4 + 7 т\ — масса.Среднее квадратичное значение коэффициента дина¬ мичности определяется по формулеу2_2 4 2 40j Cl	RIO)В технических условиях расчета высоких сооружений на ветровые нагрузки [50] расчетная ветровая нагрузка определяется по формулеУб — Р kQp S ,где Qp — расчетный скоростной напор ветра; k — коэф¬ фициент лобового сопротивления; S — площадь проекции рассматриваемого сооружения на плоскость, перпенди¬ кулярную направлению ветра; Р—коэффициент увели¬ чения скоростного напора, который определяется по фор¬ мулеГ +т£,где £ — коэффициент динамичности, определяемый по рис. 23.2 в разделе 23; т — коэффициент пульсации ско¬ ростного напора, определяемый по табл. 22.33.Значения коэффициента пульсации т скоростного напораВысота г в мДо 20406080100—200200—300300—400Выше400Для сооруже¬ ний 	0.350,320,280,250,210,180.140.1Для проводов и тросов0,250,220.20.180,150,120.10,0822.4.3.	О динамическом расчете перекрытий и каркасов зданийПри расчете на действие периодической нагрузки предварительно определяются частоты свободных коле¬ баний конструкций сооружения. При этом обращается внимание на то, чтобы расчетная схема по возможности хорошо отражала действительную работу конструкции. В частности, для оценки частот свободных колебаний перекрытий следует правильно учесть условия опира¬ ния и заделки отдельных элементов. Для монолитных пе¬ рекрытий вследствие крутильно-изгибной жесткости ба¬ лочных элементов), обрамляющих плиты, последние сле¬ дует считать, как правило, защемленными по тем сторо¬ нам, где плита примыкает к балкам. Балочные элементы, обычно рассматриваются как разрезные или неразрезные балки, без учета сопротивления колонн изгибу или ба¬ лок — кручению.Для сборных элементов условия заделки плит и балок зависят от степени и надежности замоноличивания и условий эксплуатации. Опыты показали, что в некото¬ рых случаях плиты, недостаточно надежно замоноли- ченные, имели вначале эксплуатации частоты, близкие к условиям заделки, а затем, после того как на пере¬ крытие действовали значительные статические нагрузки, частоты снижались за счет того, что условия заделки изменялись.При определении частот свободных колебаний обра¬ щается внимание на величину и расположение полезной нагрузки, так как в отдельных случаях значительное изменение (в том числе и снижение) полезной нагрузки может быть причиной появления резонансных колеба¬ ний. Как правило, определяется частота основного тона колебаний; в тех случаях, когда частота возмущающей силы ниже или даже немного (примерно на 15—20%) выше этой частоты, определение частот остальных гар¬ моник не производится. В случаях, когда частота воз¬ мущающей силы значительно выше частоты основного тона, необходимо найти и другие, более высокие часто¬ ты колебаний.Для однопролетных балок следует найти соответст¬ венно вторую частоту; если частота возмущающей силы ниже или близка ко второй собственной частоте, то на этом определение частот заканчивается.Для неразрезных балок находятся границы, в кото¬ рых расположены первая, а в случае необходимости и вторая зона частот.После определения частот вычисляются амплитуды вертикальных колебаний перекрытия, а затем динамиче¬ ские изгибаюшие моменты. Для проведения расчета не¬ обходимо воспользоваться указаниями инструкции [23].Как уже отмечалось, наиболее жесткие тре¬ бования вытекают из характера воздействия колебании на людей (см. табл. 22.34) " и на производственны/! процесс [14,23].
982РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИТаблица 22.34Характеристика воздействия колебаний на лю^ей в зависимости от скорости и ускорения гармонических перемещений с амплитудой не более 1 ммХарактеристики воздействия колебаний на людейДля частот от 1 до 10 кол/секпредельное уско¬ рение колебаний w0 в мм,сек-Для частот от 10 до 100 кол/секпредельная ско рость колебаний v0 в мм>се кНе ощутимы	Слабо ощутимы . . . . . . Хорошо ощутимы . . . . . Сильно ощутимы (мсша -ют) 		Вредны при длительномвоздействии 	Безусловно вредны . . . .10401254001000 Более 1 0000,160,6426,416Более 1622.5.	ВИБ1РОИЗОЛЯЦИЯ И ДРУГИЕ СПОСОБЫ БОРЬБЫ С ВИБРАЦИЯМИ22.5.1.	ВиброизоляцияВиброизоляция является одним из наиболее про¬ стых и эффективных конструктивных решений, умень¬ шающих вредное влияние вибраций.Задачей активной виброизоляции является сущест¬ венное уменьшение динамической составляющей сил, передаваемых неуравновешенной машиной на опорную конструкцию, в результате чего уменьшится вибрация, передаваемая изолируемыми машинами на сооружение, людей, приборы. При проектировании и расчете актив¬ ной виброизоляции важную роль играет характер ди¬ намического воздействия машины.Пассивная виброизоляция имеет целью изолировать точные приборы, прецизионные станки, рабочие помосты и т. д. от вредного влияния колебаний поддерживающих конструкций. При расчете лассивной виброизоляции не¬ обходимо знать характер колебаний поддерживающей конструкции.22.5.2.	Принципиальная схема работы виброизолированной установки. Конструктивные схемы вйброизоляции и виброизоляторов. Содержание и задачи I	расчетаЕсли в состав машины входит направленный верти¬ кальный вибратор с массой вращающихся частей Ши чис¬ лом оборотов в 1 мин. N (круговая частота р30 )’эксцентрицитетом вращающихся частей е, то амплитуда динамической силы, передаваемой вибратором, Р д= = ШхрРе. В вес виброизолированной установки Р = mg включается полный вес машины, опорной рамы и поста¬ мента или блока. Постаментом или блоком называется часть фундамента под машину, жестко с ней связанная и соединенная с опорной конструкцией системой гибких опорных элементов — амортизаторов или виброизолято¬ ров. Если суммарная жесткость виброизоляторов в вер¬ тикальном направлении cZy то частота собственных коле¬баний виброизолированной установки <*>= I/ —. При проектировании виброизолированной установки <л выбн-о=т/ _££У ТПрается так, чтобы отношение — было достаточноО)большим — порядка 4—5 и более. В этом случае при работе вибратора колебательная система установка — опорные пружины будет находиться в послерезонансном режиме, и по формуле (22.5) получаем, что пружины передают на основание силу, амплитуда которой, если пренебречь влиянием затухания, равнаСПГР	(22'60)Ж77?7*ят7гттттшлш/шиигиг}шлшц Рис 22.40Так как уменьшение динамической силы, передавае¬ мой на опорную конструкцию, в основном определяется отношением частотных характеристик, то для достиже¬ ния должного эффекта виброизоляторы должны быть достаточно податливыми.При проектировании виброизоляции следует учиты¬ вать прохождение через резонанс в процессе пуска или остановки машины.Для уменьшения амплитуд колебаний при прохожде¬ нии через резонанс нужно применять виброизоляторы, имеющие достаточно большое затухание (например, комбинированные или резиновые виброизоляторы). Вследствие затухания качество виброизоляции в экс¬ плуатационном режиме, как правило, мало изменяется.Виброизолированная установка может быть выполне¬ на в двух вариантах — опорном (рис. 22.40) и подвес¬ ном (рис. 22.41 и 22.42). В обоих случаях виброизоля¬ торы работают на сжатие.Если отметка низа блока ниже уровня пола, то он опирается на днище железобетонного короба, называе¬ мого ванной (рис. 22.43).Конструкция^вибро,изоляторов с гибкими стальными пружинами показана на рис. 22.44. Для демпфирова-
22.5. ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ И ДРУГИЕ СПОСОБЫ БОРЬБЫ С ВИБРАЦИЯМИ=. 983ния колебаний в процессе пуска (остановки) использу¬ ются: вязкие демпферы — системы, состоящие из порш¬ ня, который при колебаниях движется в сосуде, напол¬ ненном вязкой жидкостью (рис. 22.45); элементы, в кото¬ рых возникает сухое трение, например рессоры (рис. 22.46); резиновые элементы.ВаннаРис. 22.43■Ш~-Г_--1—_jt —ГхРис. 22.45Рис. 22.46Все демпферы включаются в конструктивную схему параллельно гибким опорным элементам.В качестве гибких элементов могут быть приняты и резиновые виброизоляторы; в этом случае необходимое затухание для уменьшения амплитуд колебаний в про¬ цессе пуска и остановки получается за счет внутреннего поглощения в материале виброизолято^а.Для нормальной работы виброизоляции необходимо, чтобы все примыкания трубопроводов и других соеди¬ нительных элементов были достаточно гибкими, для че¬ го применяются гибкие вставки,.Под расчетом виброизоляции подразумевается опре¬ деление основных параметров виброизолированной уста¬ новки — массы блока, моментов инерции массы блока, жесткости виброизоляторов, их количества и располо¬ жения в плане, установление необходимых параметров затухания. Расчет виброизоляции обычно проводится по проверочной схеме. До расчета задаются ориентиро¬ вочно численными значениями соответствующих кон¬ структивных параметров, а затем проверяют, насколько правильно были заданы эти значения.Расчет виброизоляции состоит из проверки работы виброизоляции в двух режимах: а) эксплуатационном и б) переходном.Для проверки виброизоляторов на прочность и по¬ датливость определяются напряжения и перемещения в гибких элементах; в необходимых случаях проводится проверка пружин на устойчивость.22.5.3. Расчет виброизоляцииАктивная виброизоляция, периодические нагрузкиПри расчете активной виброизоляции необходимо оп¬ ределить, в какой степени уменьшается величина дина¬ мической силы Рк, передающейся на поддерживающую конструкцию, по сравнению с амплитудой заданной ди¬ намической нагруби Рд. Эффективность активной виб¬ роизоляции определяется коэффициентом передачи силы(х=-^-=1-5—; v=	(22.61)Рд v2 — 1	соОбычно н* /принимается -равным 1/15—1/40. Если из тех или иных соображений задается то v определяется из формулы (22.61).Изготовление виброизоляторов, обеспечивающих ча¬ стоту свободных колебаний установки ниже 2 гц, за¬ труднительно, поэтому виброизоляция наиболее эффек¬ тивна и проста в изготовлении для машин, числа оборо¬ тов которых превышают 500 в 1 мин. В диапазоне 350—500 об/мин можно в качестве исключения допус¬ кать увеличение коэффициента виброизоляции, однако так, чтобы H*<V8.Частота собственных колебаний установки не опре¬ деляет однозначно размеров постамента и жесткости виброизоляторов.После определения необходимой частоты свободных колебаний виброизолированного фундамента основные параметры виброизоляции— масса установки т и общая жесткость виброизоляторов с — определяются исходя из допускаемой амплитуды колебаний блока, которая наз¬ начается на основании технологических требований.Таблица 22.35Допустимые амплитуды колебаний фундаментов под турбоагрегаты и моторгенераторыЧисло оборотов в 1 мин.Допустимые амплитуды колебаний в мм (наименьшие из рекомендуе¬ мых значений)вертикальныеколебаниягоризонтальныеколебания30000,020,0515000,060,09600 и менее0.10,15Подсчет амплитуды вертикальных колебаний произ¬ водится по приближенной формулеa0z = -~т •	(22.62)тр2В тех случаях, когда нужно учитывать горизонталь¬ ные и вращательные колебания фундам§нд^, амплитуды горизонтальных колебаний центра тяжести блока а о*» Доу определяются по формуламаох = -z±-; *оу = - А- • (22.63)тр*тр*Амплитуды углов поворота <Родг» <р0у. ¥оз, возникаю¬ щих при вращательных движениях, находятся по фор¬ муламМо.м.Vox'-!0хР*Toy :пуМп<?о г =/<* Р2(22.64)
984РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙПринятые обозначения:Рх>Ру и Рг—амплитуды возмущающей силы в направлениях осей хо, уо и Zq в /сг; Af0jtr* Моу и Мог — амплитуды возмущающих моментов относительно осей хо, г/о и z0 в кгсм\10ЛГ,/оу, и 10г — моменты инерции массы изолируе¬ мой установки относительно осей Хо, г/о и Zo в /сгсл* се/с2;Q/тг =	 — масса всей установки, равная суммеёмасс изолируемой машины и поста¬ мента, в кг сек2 см~1; р=2лп0 — круговая частота возмущающей си¬ лы;	^NП° = "ыГ —частота возмущающей силы в гц\N — число оборотов (циклов) машины в1	мин.Ориентировочная величина амплитуды горизонталь¬ ных колебаний наиболее удаленной от плоскости хоОуо точки (точки с максимальной амплитудой) изолируемого объекта в направлении его главных центральных осей инерции хо и уо определяется по одной из формулах = Oqx + yyvz ; ау = а0у + yxv2 ,(22.65)где v z — -расстояние (в направлении оси Zo) между плоскостью хоОуо и наиболее удаленной от этой плоскости тонкой изолируемой уста¬ новки.Амплитуду горизонтальных колебаний i-й точки уста¬ новки, для которой задано допустимое значение этой амплитуды, подсчитывают по формуле (22.65) с подста¬ новкой вместо vz величины vzi , равной координате в направлении оси zo i-й точки.Приближенные значения амплитуд колебаний /-й точки установки, вызванных только вращательными ко¬ лебаниями последней относительно осей хо, уо и zq (без учета поступательных колебаний центра тяжести уста¬ новки), допускается определять по формуламajx = Чох ujx *» а/у = ?оу Щу • ajz = <Роz Щ'г* (22.66)где Ujx, Ujy и uf Z — расстояния от соответствующей оси вращения х0, Уо и z0 до наиболее удаленной от нее /-й точки установки.В случае, когда вычисленные по формулам (22.62), (22.63) и (22.64) амплитуды колебаний установки ока¬ жутся больше допускаемых, необходимо увеличить массу т и моменты инерции путем устройства специального постамента или увеличения его размеров, если постамент был ранее предусмотрен.Величина коэффициента неупругого сопротивления & ф7в = ~=2п * характеризующего демпфирующие свой¬ ства (затухание) в виброизоляторах, определяется по графику рис. 22.47 в зависимости от углового ускоре¬ ния е (в гц!сек) и отношения максимальной амплитуды колебаний установки при пуске или остановке маши¬ ны атах (в см) к амплитуде вертикальных колебаний установки при рабочем режиме машины аог (в см), где по — частота свободных вертикальных колебаний в гц.Зная величину £ и задавшись отношением——поаоzграфику определяют величину минимально необходимого значения Т«. Если найденная по графику величина, 7в<0,03, то можно применять виброизоляторы из одних стальных пружин. При Тс>0,03 необходимо применение резиновых виброизоляторов или комбинированных виб- роизолятаров, состоящих из стальных пружин и рези* новых элементов.Виброизоляция вентиляторов может осуществляться с помощью одних пружин, так как наличие гибких па¬ трубков, соединяющих вентиляторы с воздуховодами, обеспечивает достаточное затухание.В и броизо л яци я кузнечных молотовВ инструкции И —204-55 [24] приводятся данные по конструированию и расчету виброизолированных фунда¬ ментов под кузнечные молоты. При динамическом расче¬ те виброизолированных фундаментов определяют вес блока Q и жесткость виброизолятора. Для этого сна¬ чала задаются частотой свободных колебаний виброизо- лированного фундамента, которую обычно принимают в пределах от 4 до 6 гц. Эффективность вибрсизоляции увеличивается при понижении частоты свободных колеба¬ ний, поэтому частота 4 гц принимается в случаях, когда вблизи тяжелых молотов находятся помещения, в кото¬ рых расположено чувствительное к вибрациям оборудо¬ вание.Для молотов г периодическими ударами, если число ударов в 1 мин. N больше 100, для предотвращения ре¬ зонансного увеличения колебаний необходимо, чтобы чис¬ ло свободных колебаний молота в 1 сек.Хог не было кратным числу ударов за тот же промежуток времени;Nжелательно, чтобы Хог = (/ + 0,5) ,60где /= 1, 2, 3, ... — целое положительное число.
22.5. ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ И ДРУГИЕ СПОСОБЫ БОРЬБЫ С ВИБРАЦИЯМИ985Вес фундамента (блока) Q<j> определяется по фор¬ муле(1 ев) QcPn	п	 Qiu Qct .аф wzгде Qo — вес падающих частей;Qm и Qct—веса шабота и станины;Дф — допускаемая амплитуда колебаний фунда¬ мента, которая при отсутствии необходимых данных может приниматься равной: 3 мм— для фундаментов под штамповочные молоты и 2 мм — для фундаментов под ковочные мо¬ лоты;шz—круговая частота собственных колебаний фундамента;ев — коэффициент восстановления при ударе, принимаемый равным: 0,5 — при штамповке стальных изделий, 0 — при штамповке из¬ делий из цветных металлов, 0,25 — для ко¬ вочных молотов независимо от материала поковки;Vo — скорость в м/сек падающих частей, опреде¬ ляемая: для молотов, свободно падающих (фрикционных и одностороннего действия пара или воздуха), — по формулерованной установки задаются коэффициентом вибро¬ изоляции н-, равным отношению амплитуд основания иУ0= (0,90 4-0,95) уъ.Jh;для молотов двойного действия воздуха — по формулепара или= 0,651^/~2 g(pfn + Qo) лQoгде h — рабочая высота падения падающих частей мо¬ лота в м; fn — площадь сечения поршня в м2;Рср—среднее давление пара или воздуха вУ/м2, g= = 9,81 м/сек2.После определения веса назначаются необходимые размеры фундамента, а также размеры подфундаментно- го короба и определяется площадь FK подошвы послед¬ него.Поверочный расчет заключается в определении амп¬ литуды колебаний ак подфундаментного короба по фор¬ мулеQoPnd ~t~ £в) 2.5 FKczg(22.67)где с2—коэффициент упругого равномерного сжатия грунта.Значение ак не должно превышать допускаемой ве¬ личины амплитуды колебаний йг грунта под виброизо- лируемой установкой, в противном случае следует уве¬ личить площадь подошвы подфундаментного короба FK. При отсутствии данных допускаемая амплитуда колеба¬ ний грунта под виброизолируемой установкой может быть принята равной аг =0,15 0,20 мм.Коэффициент 2,5 учитывает увеличение жесткости основания под фундаментами молотов. Остальные ве¬ личины в формуле (22.67) имеют прежние значения.Фундаменты под кузнечные молоты должны иметь затухание с коэффициентом 7>0,1.Пассивная в и броизол яци яПри проектировании пассивной виброизоляции не- обкодимо знать частоту колебаний основания <*>о. Для ожре^еления частоты свободных колебаний виброизоли-установки, после чего находят <о0= •\/Г 1+t*У	fJLобычно > 4; коэффициент неупругого сопротивленияпринимается равным у ^0,04—0,05.Расчет виброизолятора сводится к расчету винтовой пружины или резинового столбика.22.5.4.	Другие способы борьбы с вибрациями строительных конструкцийВ тех случаях, когда при проектировании сооруже¬ ний полученные в результате динамического расчета характеристики колебаний строительных конструкций не удовлетворяют требованиям норм с точки зрения проч¬ ности, воздействия на людей или влияния на приборы или машины, следует уменьшать расчетные амплитуды колебаний в запроектированном сооружении.Имея в виду трудности, возникающие при борьбе с вибрациями в эксплуатируемом сооружении, необхо¬ димо обратить внимание на учет динамического фактора при проектировании. В случае если вибрации возникли, то всякие мероприятия по борьбе с ними можно прово¬ дить только после тщательного обследования, сопро¬ вождаемого инструментальным замером величин, харак¬ теризующих колебания, и внимательного изучения источ¬ ников колебаний и динамических характеристик строи¬ тельных конструкций. Необходимо заметить, что нельзя дать общих правил для выбора наилучшего мероприятия по борьбе с вибрациями. В каждом отдельном случае наилучший способ борьбы с вибрациями будет найден в результате инженерного анализа, учитывающего как теоретическую, так и практическую сторону дела, т. е. эффективность, простоту и экономичность рекомендуе¬ мых мероприятий.Выбор мероприятий сопровождается динамическим расчетом, позволяющим в ряде случаев надежно устано¬ вить, насколько уменьшатся при измененных условиях величины, характеризующие колебания (амплитуды, ско¬ рости, ускорения и т. д.). Во многих случаях речь идет главным образом об уменьшении амплитуд колебаний, так как обычно нас интересуют колебания с заданной частотой.Мероприятия по уменьшению вынужденных колебаний, передаваемых машинамиОдним из способов уменьшения колебаний является снижение амплитуды динамических нагрузок. В тех случаях когда машины принадлежат к числу формально уравновешенных, для уменьшения колебания рекомен¬ дуется провести балансировку, в первую очередь стати¬ ческую.В машинах с четко выраженной кинематической схе¬ мой рекомендуется проведение динамического уравно¬ вешивания, а также спаривание (или страивание) от¬ дельных кривошипно-шатунных механизмов.Если коле'бания сооружений вызваны работой близко расположенных мощных низкочастотных компрессоров, спаривание может быть эффективным средством борьбы с виорациями только при проведении жесткой синхро¬
986РАЗДЕЛ 22. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИнизации работы машин для исключения возможности возникновения биенийПри ярко выраженном резонансном характере коле-? баний можно попытаться изменить число оборотов ма¬ шины, когда это допустимо по технологическим сообра¬ жениям, в сторону понижения или повышения, избегая совпадения новой частоты возмущающей силы с дру¬ гой частотой собственных колебаний.Виброизоляция наиболее эффективна при машинах, дающих 500 и более оборотов в 1 мин.; степень эффек¬ тивности растет с числом оборотов. В отдельных случаях применение правильно рассчитанной виброизоляции неРис. 22.48Ъ77777Ш7777777777777777777777Л7777777777.Рис. 22.49дает положительных результатов. Причиной этого могут быть дефекты конструирования и монтажа, приводящие к тому, что жесткость виброизоляторов будет значи¬ тельно выше проектной. Например, при резиновых вибро¬ изоляторах любые боковые обоймы (рис. 22.48) или стенки резко повышают жесткость виброизоляторов, так как не дают резине возможности расширяться в попе¬ речном направлении; при пружинных виброизоляторах сильная предварительная затяжка может полностью ликвидировать податливость, которая является основным условием работы виброизолятора. Наконец, отсутствие гибких вставок в местах примыкания труб и других конструктивных элементов к изолируемой машине также может быть причиной плохой работы вибраизоляции.Вертикальные колебания перекрытия можно умень¬ шить, если машины, передающие вертикальные динами¬ ческие нагрузки, поместить вблизи опор. Горизонтальные колебания здания можно уменьшить, расположив маши¬ ны та к, чтобы горизонтальные динамические силы были ориентированы в том направлении, которому соответ¬ ствует большее значение, произведения с (1—^2), гдес — жесткость, равная —-— ; Ьц—статическое переме¬ нищение каркаса от единичной силы на отметке перекры¬ тия; »— отношение частоты вынужденных колебаний к числу собственных.При изменении расположения машин на перекрытии изменяется спектр частот; при приближении машин к опорам частоты свободных колебаний повышаются.Увеличение жесткости сооружения является при опре¬ деленных условиях одним из эффективных способов борьбы с вибрациями, поскольку при этом возможно также существенное уменьшение колебаний за счет изменения частоты овободных колебаний, при котором конструкция*выходит из состояния резонанса.Частоты основного тона междуэтажных перекрытий обычно составляют 8—15 гц, что соответствует часто встречающимся числам оборотов 480—900 об/мин.Для предупреждения резояансных колебаний целе¬ сообразно увеличивать жесткости балок, с тем чтобы частота основного тона свободных колебаний стала зна¬ чительно выше частоты вынужденных колебаний. Для того чтобы изменение жесткости было достаточно боль¬ шим, рекомендуется в случаях, когда это возможно, уменьшить пролет, например путем устройства дополни¬ тельных опор, применения легких порталов или усиле¬777777777777777777/77777Рис. 22.50ния шпренгелями (рис. 22.49). При стальных балках воз¬ можно увеличение жесткости путем приварки дополни¬ тельных элементов или обетонировки. В железобетон¬ ных балках для увеличения жесткости рекомендуется обетонировка, а если уменьшение высоты помещения нежелательно, — устройство больших вутов по концам балки на протяжении ее крайних третей.В отдельных случаях, когда машины стоят на пере¬ крытии и их постамент имеет значительную протяжен¬ ность по сравнению с пролетом балки, связь этого по¬ стамента с балкой может заметно повысить жесткость.При горизонтальных колебаниях рамного, стального или железобетонного каркаса следует учесть, что в этих сравнительно низкочастотных конструкциях (с частотой порядка 3—5 гц) колебания могут возникать вследствие работы сравнительно низкочастотных машин с горизон¬ тальными инерционными силами, установленных на пере¬ крытиях или близлежащих фундаментах. В ряде слу¬ чаев очень хорошие результаты дает применение кресто¬ вых связей в плоскости рам (рис. 22.50), которые резко повышают частоту, увеличивая общую жесткость.Колебания, о которых идет речь, при проектирова¬ нии усиления обычно имеют весьма малую амплитуду.Поэтому прикрепление всех усиливающих элементов — кре¬ стов, порталов и др. — должно быть жестким, без каких-либо малейших зазоров или люфтов; рекомендуется эти элементы приваривать, хорошо обетони- ровать стыки и т. д.В отдельных случаях, ко¬ гда колебания носят ярко выраженный резонансный ха¬ рактер, с большим коэффи¬ циентом резонансного увеличения, можно уменьшать жесткость, с тем чтобы попытаться перевести конструк¬ цию в послерезонансный режим. Однако этот вариант требует особо тщательной проверки, так как в этом слу¬ чае возможные резонансы с обертонами будут более опасными, чем в неизмененной конструкции, и, кроме того, может ухудшиться работа конструкции на действие статических нагрузок.Мероприятия по уменьшению колебаний при прохождении через резонансДля уменьшения колебаний при прохождении через резонанс рекомендуется:повышать скорость прохождения через резонанс, ко¬ торая характеризуется значением углового ускорения в момент, когда угловая скорость равна частоте собст¬ венных колебаний. Обычно скорость прохождения при остановке значительно ниже, чем при пуске; ее можно повысить устройством тормоза — механического, осно¬ ванного на трении, или электрического, основанного на использовании контртока в момент остановки.применять демпфирующие приспособления. Наряду с демпферами сухого и вязкого трения желательно ис¬ пользовать устройства, включающиеся в работу только во время прохождения через резонанс и не влияющие на работу в эксплуатационном режиме. К числу этих уст¬ ройств относятся:1)	ударные гасители колебаний, настроенные на ча- . стоту собственных колебаний;2)	демпферы сухого и вязкого трения, включающие¬ ся при больших амплитудах и не принимающие участия в колебаниях при небольших амплитудах в эксплуата¬ ционном режиме; демпферы можно включать последо¬ вательно через упругий элемент.
ЛИТЕРАТУРА987Мероприятия по уменьшению колебаний гибких сооружений под действием ветрового потокаДля уменьшения вызванных ветром колебаний гибких сооружений в случаях, когда это необходимо, рекомен¬ дуется:уменьшить влияние вихреобразования на колебания поперек потока, для чего к цилиндрическим поверхно-Л И Т Е Р л1.	Ананьев И. В., Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем, ОГИЗ, Гостехиздат, 1946.2.	АндроновА. А., X а й к и н С. Э. и Витт В. И., Тео¬ рия колебаний, Гостехиздат, 1958.3.	Барштейн М. Ф., Динамический расчет высотных со¬ оружений цилиндрической формы. Сб. «Исследования по динами¬ ке сооружений», Госстройиздат, 1957.4.	Барштейн М. Ф., Воздействие ветра на высокие соору¬ жения. «Строительная механика и расчет сооружений» № 1, 1959.5.	Безухов Н. И., Динамика сооружений в задачах и примерах, Стройиздат, 1947.6.	Б fe л о у с А. А., Метод деформаций в динамике рамных конструкций, сборник «Исследования по теории сооружений», вып. 3, Стройиздат, 1939.7.	Б е л о у с А. А., Колебания и статическая устойчивость плоских и пространственных рам, сборник «Расчет пространст¬ венных конструкций», вып. III, Гос. изд. лит. по стр. и арх., 1955.8.	Б е р н ш т е й н С. А., Основы динамики сооружений, Стройиздат, 1941.9.	Б а р к а н Д. Д. Динамика оснований и фундаментов, Стройвоенмориздат, 1948.10.	Б л ю м и н а Л. X., 3 а х а р о в Ю. Г., Колебания цилинд¬ рических тел в воздушном потоке. Сб. «Исследования по динами¬ ке сооружений», Госстройиздат, 1957.11.	Болотин В. В., Динамическая устойчивость упругих систем, Гостехтеоретиздат, 1956.12.	Бондарь Н. Г., Устойчивость и колебания параболиче¬ ских арок, «Инженерный сборник», т. XIII, АН СССР ОТН, 1952.13.	Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни, Гос. изд. строительной литературы, 1940.14.	Временные санитарные правила и нормы по ограничению вибраций рабочего места. Утверждены Гл. гос. инспектором СССР 17 февраля 1959, № 280-59, М., 1959.15.	Г о л ь д е н б л а т И. И., Динамический продольный из¬ гиб тонкостенных стержней, «Инженерный сборник» т. V, АН СССР, 1948.16.	Гольденблат И. И. Некоторые новые проблемы ди¬ намики сооружений, Известия ОТН АН СССР, вып. 6, 1950.17.	Г о л ь д е н б л а т И. И., Сизов А. М., Справочник по расчету строительных конструкций на устойчивость и коле¬ бания, Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 4952.18.	Д е н-Г ар .то г Дж. П., Теория колебаний. Перевод со второго американского издания А. Н. Обморшева, Гостехтеорет¬ издат 1942.19.	Д и н н и к А. Н., Устойчивость упругих систем. М., Изд. АН СССР, 1950.20.	Д и н н и'к А. Н., Избранные труды, т. 11, Киев, 1955.21.	Завриев К. С., Динамика сооружений, Трансжелдор¬ издат, 1946.22.	Инструктивное письмо о мероприятиях по борьбе с об¬ щими вибрациями на заводах железобетонных изделий (ИП 1-58 ЦНИИСК) АСиА СССР, ЦНИИ строительных конструкций, Госстройиздат, 1958.23.	Инструкция по проектированию и расчету несущих кон¬ струкций зданий под машины с динамическими нагрузками (И 200-54/МСПМХП), Госстройиздат, 1955.24.	Инструкция по проектированию и расчету виброизоляции машин с динамическими нагрузками и оборудования, чувстви¬ тельного к вибрациям (И 204-55/МСПМХП), Минметаллургхим- строй, ЦНИПС, Гос. изд. лит. по строительству и архитек¬ туре. 1956.25.	Инструкция по расчету жилых, гражданских, промышлен¬ ных и сельскохозяйственных зданий и сооружений на сейсми¬ ческие воздействия, Госстройиздат, 1959.26.	И о р и ш Ю. И., Измерение вибраций, Машгиз, 1956.27.	Карман Т. и Б и о М., Математические методы в ин¬ женерном деле, перевод с английского, Гостехтеоретиздат, 1946.28.	Кац А. М., Вынужденные колебания при прохождении чепе? резонанс, «Йнженерный сборник», т. 3, вып. 2, изд. АН СССР, 1947.29.	К и р н о с Д. П.. Некотовые вопросы инструментальной сейсмологии, изд. АН СССР, 1955.стям приваривать выступы, изменяющие характер обте¬ кания;повысить затухание конструкции; в дымовых трубах желательно устраивать футеровку та.к, чтобы она, рабо¬ тая на изгиб при колебаниях, повышала затухание;применять ударные гасители колебаний.В отдельных случаях амплитуды колебаний сооруже¬ ний можно уменьшить, увеличивая их жесткость.ТУРА30.	К о р е н е в Б. Г., Сысоев В. И., Метод гашения ко¬ лебаний сооружений башенного типа, «Бюллетень строительной техники» № 5, 1953.31.	Корчинский И. Л., Расчет строительных конструк¬ ций на вибрационную нагрузку, Стройиздат, 1948.32.	К о р ч и н с к и й И. Л., Расчет сооружений на сейсми¬ ческие воздействия. Научное сообщение № 14, ЦНИПС, Госстрой¬ издат, 1954.33.	Крылов А. Н., Вибрация судов, т. X, изд. АН СССР, 1948.34.	Лойцянский Л. Г. и Лурье А. Н., Курс теоре¬ тической механики, т. II, Гостехтеоретиздат, 1955.35.	Лурье А. И., Методы динамического расчета сооруже¬ ний, Справочник инженера-проектировщика промсооружений, т. II, Расчетно-теоретический, Госстройиздат, 1934.36.	Макаричев В. В., Фундаменты под турбогенераторы, Госэнергоиздат, 1951.37.	П а н о в к о Я. Г., Основы прикладной теории упругих ко¬ лебаний, Машгиз, 1957.38.	П а н о в к о Я. Г., Состояние и перспективы проблемы учета гистерезиса в прикладной теории колебаний, Труды на¬ учно-техн. совещания по изучению рассеяния энергии при коле¬ баниях упругих тел, Киев, 1958.39. П о д о л ь с к и й В. Г., Авторское свидетельство № 94580, класс 42с 42, приоритет 5 сентября 1951.40.	П ф е й ф ф е р П., Колебания упругих тел, Гостехтеорет¬ издат, 1934.41.	Рабинович И. М., Синицын А. П., Тере- н и н Б. М., Расчет сооружений на действие кратковременных и мгновенных сил, ч. Т, изд. ВИА, 1956, ч. II, 1958.42.	Смирнов А. Ф., Устойчивость и колебания сооружений, Трансжелдориздат, 1958. См также «Теория сооружений» т. III, Трансжелдориздат, 1948.43.	С н и т к о Н. К., Методы расчета сооружений на вибра¬ цию и удар, Гос. изд. лит. по стр. и арх. 1953.44.	С о л о д о в н и к о в В. В., Введение в статическую динамику систем автоматического регулирования, Гостехиздат, 1952.45.	С о р о к и н Е. С., Динамика междуэтажных перекрытий, Стройиздат, 1941.46.	Сорокин Е. С., Метод учета неупругого сопротивления материала при расчете конструкций на колебания, сборник «Исследования по динамике сооружений», Сгройиздат, 1951.47.	С о р о к и н Е. С., Динамический расчет несущих кон¬ струкций зданий, Госстройиздат. 1956.48.	С т р е л к о в С. П., Введение в теорию колебаний,Г остехтеоретиздат, 1950.49.	Технические условия проектирования фундаментов под машины с динамическими нагрузками (СН 18-58), 1958.50.	Технические условия расчета высоких сооружений на вет¬ ровую нагрузку (СН 40-58), Госстройиздат, 1959.51.	Тимошенко С. П., Теория колебаний в инженерном деле. Гос. научно-технич. изд., 1932.52 Филиппов А. П., Колебания упругих систем, Киев, изд. АН УССР, 1956.53.	Ч у д н о в с к и й В. Г., Методы расчета колебаний и ус¬ тойчивости стержневых систем, Киев, изд. АН УССР, 1952.54.	В у е г 1 у Perry, Seismology, New York, Prentice—Hall* Inc.. 1942.55.	Housner G. W., Dynamic Pressures on Accelerated Fluid Constainers, Bulletin of the Seismological Society of America, 47, Jsfe 1, January, 1957.56.	J а с о b s e n L. S., Impulsive Hydrodynamics of Fluid Inside a Cylindrical Tank and of a Fluid surrounding a Cylindrical Pier, Bulletin of the Seismological Society of Aitaerica, vqI. 39, 1949.57.	Klrcbhoff G., Uber Transversalscfiwfagungen eines stabes. Wled. Ann. 10. 501-512, 1880.58.	L a n) b H., fclydcodynamies, Cambridge University Press, 1932 , or Dover PuWjteatjSoiis, New York, 1945.59.	M a с du f f Y. N. and F e 1 g a r R. P., Vibration Frequency Charts, Machine Design, February, 7, 1957.60.	Mononobe N., Zeitschrift fur angew. Math. Bd. I, S. 444, 1921.
РАЗДЕЛ 23НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫ123.1.	ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ВИДЫ И СОЧЕТАНИЯ НАГРУЗОК. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕГРУЗКИПри расчете несущих конструкций и оснований зданий и сооружений по методу предельных состояний встре¬ чаются два вида нагрузок: нормативные и расчетные2.Нормативными называются нагрузки, устанавливае¬ мые нормами в качестве основной характеристики внеш¬ них воздействий, для условий нормальной эксплуатации сооружений.Коэффициенты, учитывающие возможное увеличение (а в отдельных случаях — уменьшение) нагрузок, по сравнению с их нормативными значениями вследствие изменчивости нагрузок, а для технологических нагру¬ зок и вследствие случайных отступлений от заданных условий нормальной эксплуатации, называются коэффи¬ циентами перегрузки (п).Расчетной нагрузкой называется наибольшая (или наименьшая) вводимая в расчет нагрузка, определяемая как произведение нормативной нагрузки на соответст¬ вующий коэффициент перегрузки.Перспективное увеличение нагрузок должно учиты¬ ваться в необходимых случаях независимо от коэффи¬ циентов перегрузки.Для сейсмических, аварийных и тому подобных ис¬ ключительно редких воздействий нормами устанавлива¬ ются только расчетные (наибольшие) нагрузки.Расчет конструкций и оснований по первому пре¬ дельному состоянию (по прочности, устойчивости, вынос¬ ливости) производится: по прочности и устойчивости— по расчетным нагрузкам, по выносливости — по норма¬ тивным нагрузкам.Расчет конструкций и оснований по второму предель¬ ному состоянию (по деформациям) производится по нормативным нагрузкам.Расчет конструкций по третьему предельному со¬ стоянию (по образованию или раскрытию трещин) про¬ изводится по нормативным или расчетным нагрузкам (в зависимости от характера влияния трещин на условия эксплуатации конструкций) в соответствии с нормами и техническими условиями проектирования конструкций.Расчет конструкций на устойчивость положения — на всплытие, опрокидывание и скольжение, в том числе по грунтовому основанию, а также расчет конструкций с учетом разгружающего влияния сил трения произво¬ дится по расчетным нагрузкам; при этом коэффициент1 Нормы нагрузок и габариты для искусственных сооружений автомобильных и железных дорог в состав раздела не включены (см. список литературы).В 23.1 и 23.2 использован поомежуточный материал проекта новой редакции главы 1Г-Б.1 СНиПа «Основные положе¬ ния по расчету строительных конструкций», разработанного в ЦНИИСКе АСиА СССР.2	См. также 4.9.1.перегрузки для постоянных нагрузок, препятствующих всплытию, опрокидыванию и скольжению, принимается равным 0,8.Значения коэффициентов трения приведены в табл. 23.1.При расчете конструкций по несущей способности (прочности и устойчивости) с учетом деформаций осно-Т а б л и ц а 23.1Коэффициенты тренияМатериалыКоэффициент трения при состоянии поверх¬ ностисухом | влажномКладка по кладке или бетону ....Дерево . 	Сталь « » * « .... Кладка и бетон по песку, гравию . . • • • • суглинку . ...„ , , глине 	Дерево по дереву: торец по боковой поверхности . . . боковая поверхность по боковой . .0,700,600,450,600,550,500,0,0,600,500,350,500,400,30,3,2вания последние должны определяться от расчетных нагрузок с учетом r необходимых случаях жесткости сооружения.При расчете конструкций и оснований по второму (или третьему) предельному состоянию на воздействие постоянных и двух или более временных нагрузок раз¬ решается определять усилия от нормативных нагрузок по усилиям от расчетных нагрузок путем умножения последних на коэффициент 0,85.Ниже приведены нормативные нагрузки, и для получения расчетных нагрузок они должны умножаться на соответствующие коэффициенты перегрузки.Основные разновидности нагрузок, встречающихся при проектировании зданий и сооружений, и коэффи¬ циенты перегрузки для них приведены в табл. 23.2.Нагрузки при расчете элемента или всей конструк¬ ции в целом принимаются в следующих сочетаниях, различающихся вероятностью одновременного действия расчетных (или нормативных) нагрузок:а)	основные сочетания, состоящие из нагрузок, по¬ стоянно действующих на сооружение, и временных на¬ грузок, обычно возникающих при его эксплуатации;б)	дополнительные сочетания, состоящие из комби¬ наций нагрузок, входящих в основные сочетания, с на-
990РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫТ а б л и ц а 23.2 Виды нагрузок и коэффициенты перегрузкиПримечания. 1. При расчете некоторых видов кон¬ струкций встречаются установленные техническими условиями такие единичные виды нагрузок, как сосредоточенный груз — 100 кг (при расчете деревянных настилов) и 150 кг (при расчете карнизов), вес ремонтной люльки (при расчете карнизов) — 1 т и др., вводимые с коэффициентом перегрузки 1,0.2. При расчете несущей способности незаконченных каменных сооружений коэффициент перегрузки для ветровой нагрузки при¬ нимается 1,0.грузками, нерегулярно возникающими при эксплуатации сооружения;в)	особые сочетания, состоящие из комбинаций на¬ грузок, входящих в основные или дополнительные соче¬ тания, с нагрузками, имеющими аварийный характер и возникающими в исключительно редких случаях.В основных сочетаниях учитываются постоянные на¬ грузки (собственный вес конструкций, давление от соб¬ ственного веса грунта, воздействие предварительного на¬ пряжения), временные нагрузки от подвижного и стацио¬ нарного оборудования, материалов, людей и т. п., сне¬ говые нагрузки и температурные воздействия технологи¬ ческого оборудования.В дополнительных сочетаниях учитываются нагрузки основного сочетания с добавлением не более двух не¬ регулярно действующих нагрузок (ветровая нагрузка, монтажная нагрузка, температурные климатические воз¬ действия и т. п.).В особых сочетаниях учитываются нагрузки основно¬ го сочетания с добавлением одной исключительно редко действующей нагрузки (сейсмической, аварийной и т. п.) в соответствии с указаниями специальных норм или тех¬ нических условий проектирования конструкций.При расчете элементов и конструкций, для которых нерегулярная (например, ветровая) нагрузка является единственной или преобладающей временной нагрузкой, последняя в комбинации с постоянной нагрузкой должна рассматриваться в основном сочетании.При расчетах конструкций и оснований на дополни¬ тельные сочетания нагрузок величины временных рас¬ четных (или нормативных) нагрузок умножаются на коэффициент 0,9, а при особых сочетаниях нагрузок — на понижающие коэффициенты, устанавливаемые спе¬ циальными нормами или техническими условиями.В тех случаях, когда понижающие коэффициенты особых сочетаний в специальных нормах и техниче¬ ских условиях не указываются, их следует принимать для всех временных нагрузок равными 0,8.Расчет конструкций и оснований должен произво¬ диться на наиболее невыгодные комбинации нагрузок и воздействий (возможные в основных, дополнительных и особых сочетаниях) как для отдельных элементов, так и для всего сооружения в целом.23.2.	НЕПОДВИЖНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ23,2.1.	Собственный весСобственный вес строительных материалов и конст¬ рукций, по данным СНиПа, а также норм и технических условий проектирования конструкций, приведен в табл. 23.3.23.2.2.	Нагрузки на перекрытияхВременные нагрузки на перекрытиях гражданских и промышленных зданий приведены, по данным СНиПа, в табл. 23.4.При проектировании конструкций промышленных зда¬ ний и сооружений к временным нагрузкам следует отно¬ сить: нагрузки от технологического оборудования; вес материалов и изделий в складских помещениях; вес лю¬ дей, материалов и изделий в зонах обслуживания обору¬ дования. К монтажным нагрузкам следует относить: на¬ грузки от монтажных кранов; вес монтируемого обору¬ дования; вес людей, вес материалов и изделий, приме¬ няемых при монтаже и ремонте оборудования, нагрузки при кратковременных испытаниях оборудования и т. п.№Норматив¬Коэффици¬п/пВиды нагрузокная нагруз¬ент пере¬кагрузки1Собственный вес:а) материалов и конструкций,Табл. 23.31.1за исключением теплоизо¬ляционных плит, засыпок,выравнивающих слоев и т. п.То же1.8б) теплоизоляционных плит,засыпок, выравнивающихслоев и т. п.2Временные нагрузки на перекры¬ тияхТабл. 23.41,2—1.43Ветровая нагрузкаТабл. 23.5— 23.71,24Снеговая нагрузкаТабл. 23.8- 23.111.45Вес стационарного оборудования и теплоизоляции оборудованияПо проект¬ ным данным1.26Вес и давление заполнения обо¬ рудования (в том числе заполнениеПо пре¬ дельномуемкостей):заполнениюоборудова¬ ния при за¬ данных ус¬ ловиях его эксплуата¬ цииа) для жидкостей1.1б) для суспензий и шламов1,15в) для сыпучих тел1.27Гидростатическое давление по¬ верхностных или грунтовых вод:а)	при наивысшем уровнеб)	при наинизшем уровнеПо наиие- выгодией- шему уров¬ ню1.10,98Температурные воздействия тех¬ нологического оборудованияПо техно¬ логическим данным1.19Температурные климатические воздействия и воздействия усадки бе¬ тонаПо проект¬ ным данным10Собственный вес грунтов и дав¬ ление от собственного веса грунтовСм. раздел 201.211Горизонтальные нагрузки на пе¬рила:1.2а) для производственных по-100 кг'ммзщений промышленныхпредприятий, для трибун испортивных залов, а такжедля залов и коридоров вок -залов, школ и других учеб¬ных заведений, театров, ки¬но, клубов и кинофициро¬ванных аудиторийб) для остальных помещений50 „1,212Вертикальные, горизонтальные нагрузки от кошек, /талей, краи-ба- лок и крановТабл.23.13-23.291.313Нагрузки от лифтовТабл. 23.30—14Нагрузки от механизмов безрель¬ сового транспорта (кроме тракторов)Табл. 23.31—23.331.315Нагрузка от тракторовПо данным каталогов1.216Нагрузка от подвижного железно¬ дорожного состава нормальной и уз¬ кой колеиТабл. 23.34, 23.351.2
23.2. НЕПОДВИЖНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ991Таблица 23.3Объемный вес строительных материалов и конструкцийНаименованиеОбъемный весв кг/м3Изделия из асбеста.Асбестоцементные плитки, листьф....1 900Асбестоцементные теплоизоляционныеплиты	300 -500Асфальтовые материалыАсфальт в полах и стяжках	1 800Асфальтобетон 	2 100Бетоны (см. 4.4)Бетон с каменным щебнем или гравиемневибрированный. . . ...2 300То же, вибрированный или центрифуги¬рованный . . '	 . ....2 400Бетон с кирпичным щебнем невибриро¬ванный ... 	1 800То же, вибрированный	Крупнопористый беспесчаный бетон . . .2 0001600—1900Легкие бетоны (шлакобетон и др.) ....1 000—1 800Бетоны ячеистые автоклавные (газобетон,пенобетон) 	300—1 000Керамзитобетон ..... 	Пеносиликат автоклавный и пенобетон800—1 400400— 800неавтоклавный 	ЖелезобетонПри проценте армирования менее 3 объемный вес железобе¬тона равен объемному весу бетона, увеличенному на 100 кг мйПри проценте армирования более 3 объемный вес железобе¬тона определяется как сумма весов бетона и арматуры на еди¬ницу объема конструкцииГипсовые изделия и материалыПлиты и камни из чистого гипса ....1 100Плиты гипсовые с органическими напол¬700нителями 			Гипсошлакобетон	1 000-1 300Пеногипс и газогипс	500Грунтовые стены, смазкии засыпкиГлинобитные или сырцовые стены ....2 000Саманные стены	1 600Смазки в перекрытиях (в сухом состоянии):1 800глино-песчаная 	глино-шлаковая 	1 300глино-соломенная	1 000глино-опилочная 	800Засыпки:1600из сухого песка 	из гидрофобного песка	1500из сухой просеянной растительной1400земли		из трепела (диатомита)	600из пемзы и туфа	400—600из керамзита 	500—900Дерево и изделия из него (см. 4.7)Сосна и ель 	500-600650—800Дуб, бук, береза	700—800Осина, липа	500 - 600Свежесрубленная древесина	]850—1 000Стружка в плотной набивке	.300Опилки древесные 	250Опилки антисептированные 	300Плиты смоло-опилочные	300Фибролит на магнезиальном или порт-*ландцементе 	-50 — 600Плиты древесно-волокнистые бесцемент- ные 	150—60ЭЛисты древесно-волокнистые жесткие700(сухая органическая штукатурка)....Фанера клееная 	 ...600Металлы (см. 4.2)Сталь строительная	7 850Чугунные детали	7 200Камни естественные (см. 4.5)Мрамор, гранит, базальт	2 800Песчаники и кварциты 	Известняки тяжелые	2 400 1 700—2 000Ракушечник	1 400Продолжение табл. 23.3НаименованиеОбъемный вес в кг/м3Кладка из естественного камня на тяжелом растворе Кладка из камня правильной формы при объемном весе камня в кг/м3:1 200—1 3002 800 	2 6802 000 	19601 200 	Кладка из камня неправильной формы при содержании раствора 35% и при объемном весе камня в кг/м3:12602 800 	2 4202 000 	19001 200 	Кирпичная кладка сплошная Кладка из обыкновенного глиняного обожженного кирпича:1380на тяжелом растворе	1 800на легком растворе 	1700Кладка из силикатного кищпича на тяже¬лом растворе 	Кладка из* пористого кирпича на легком1900растворе 	Кладка из дырчатого кирпича на тяже¬1 350лом растворе		Кладка из трепельного кирпича на лег¬1 300—1 360ком растворе		1 100Пробковые изделияПлиты пробковые 	250Растворы строительные и штукатурки Цементно-песчаный раствор или штука¬150турка из него		 .Сложный раствор (песок, известь, цемент)1800или штукатурка из него 	1 70016001 200-1 400Известковая штукатурка 	1 400—1 600Известково-шлаковая штукатурка. . . Листы гипсовые обшивочные (сухая шту¬1 200катурка) 	 	1000Рулонные материалы700—1 000600150Изделия из соломы и камышаСоломит 	•зооКамышит машинного прессования ....400Камышит ручного „ ....250120Стекло и изделия из негоСтекло оконное 	2 500Вата стеклянная 	200300—500Изделия из торфаПлиты торфоизоляционные	250Шлаки и изделия из негоШлак топливный	 ....700-1000Шлак доменный гранулированный ....500— 900Шлаковый кирпич		 . ....1 400Разные материалы и изделилВата минеральная 	200Войлок минераловатный	150-250Ксилолит в полах:150верхний слой		1 800нижний слой		10001 10020350—500Пенопласт ПС . . . 	70ПХВ	190Плиты минераловатные	300—500150
992РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫТ а б л и ц а 23.4Полезные нагрузки на перекрытиях и коэффициенты перегрузки для них№Норматив¬Коэффици¬п/пВиды нагрузокная нагруз¬енты пере¬ка в кг/м*грузки1В чердачных помещениях (без учета специального оборудования:вентиляционных камер, водяных баков,751.4моторов и т. п.)	2В квартирах, лечебных учрежде¬ ниях (за исключением вестибюлей и залов, где возможно массовое скопле¬ние посетителей), детских садах, дет¬ ских яслях с учетом веса обычного1501.4оборудования 	3В общежитиях, гостиницах, кон¬ торах, классных комнатах, читальных залах, бытовых помещениях промыш¬ленных зданий с учетом веса обычно¬2001,4го оборудования 	4В залах столовых, ресторанов, аудиториях (кроме кинофицирован¬ных) с учетом веса обычного обору-3001,35В коридорах общежитий, гости¬ ниц, контор и бытовых помещений . .3001.36В вестибюлях, на лестницах, тер¬ расах и балконах, обслуживающих квартиры, лечебные и детские учре¬ждения, гостиницы, конторы и быто¬3001,3вые помещения промышленных зданий7В залах и коридорах вокзалов, школ и других учебных заведений,театров, кино, клубов и в кинофици¬4001,258рованных аудиториях 	На трибунах и спортивных залах4001,259В вестибюлях, на лестницах, тер¬ расах и балконах, обслуживающих всепомещения, кроме перечисленных в п. 6	4001,2510В музеях и выставочных залах,торговых залах магазинов—по дейст¬4001,2511вительной нагрузке, но не менее . .В книгохранилищах, архивах—подействительной нагрузке, но не ме¬ нее 	5001,212В складских помещениях от веса материалов и изделий—по наиболь¬ шему объему материалов (или наи¬ большему количеству изделий) научастке склада при заданных услови¬4001.3ях хранения, но не менее 	13От веса изделий, материалов и людей на площадки и перекрытия в зонах обслуживания оборудования при его эксплуатации и монтаже (в прохо¬ дах, проездах и других свободных от оборудования участках)—по наиболь¬ шей нагрузке при заданных условияхмонтажа, эксплуатации и ремонта обо¬2001,2рудования, но не менее	Нагрузка от перегородок ....14По проект¬ ным дан¬ ным1, 1При определении нормативной нагрузки на пере¬ крытие от оборудования следует учитывать собственный вес оборудования (включая вес обрабатываемой детали и опорных устройств), вес заполнения и теплоизоляции оборудования, а также вертикальные и горизонтальные нагрузки, передаваемые от другого оборудования, ком¬ муникаций, обслуживающих площадок и т. п.При расчете конструкций перекрытий следует учиты¬ вать действительное распределение нагрузок на отдель¬ ные элементы конструкций (второстепенные и главные балки и т. п.).При этом при расчете главных балок и ригелей пере¬ крытий промышленных зданий эти нагрузки должны составлять не более 90%, а при расчете колонн, стен, фундаментов и оснований не более 80% от нагрузок, применяемых при расчете плит и второстепенных балок.Временные нагрузки на перекрытия многоэтажных жилых и общественных зданий, за исключением учебных заведений и театров, при расчете колонн, стен, фунда¬ ментов и оснований должны уменьшаться, как указано ниже:число воспринимающих полезную нагрузку пере¬ крытий, расположенных вы¬ ше рассчитываемой конст¬ рукции или основания . . 1—2 3—4 5—6 7 и болеекоэффициент уменьше¬ ния к сумме временных на¬ грузок на перекрытия, рас¬ положенные выше рассчи¬ тываемой конструкции илиоснования	 1,0 0,85 0,70 0,60Временные нагрузки на перекрытия в помещениях би¬ блиотек, книгохранилищ, архивов и в технических эта¬ жах не уменьшаются.Указанные выше уменьшения нагрузок на перекры¬ тия многоэтажных жилых и общественных зданий, так же как и уменьшение нагрузок за счет учета действи¬ тельного их распределения на перекрытии, следует учи¬ тывать независимо от применения понижающих коэффи¬ циентов для дополнительных и особых сочетаний нагрузок.Полезные нагрузки в складских помещениях, поме¬ щениях библиотек и книгохранилищ, вес стационарного оборудования (включая вес теплоизоляции и заполне¬ ния) на коэффициенты уменьшения нагрузки в дополни¬ тельных и особых сочетаниях не умножаются.При расчете элементов перекрытий и площадок по первому предельному состоянию с применением экви¬ валентных нагрузок, заменяющих сосредоточенные и дру¬ гие местные технологические нагрузки, интенсивность расчетных равномерно распределенных эквивалентных нагрузок следует определять:для плит—по изгибающим моментам;для ригелей, балок и ребер плит — по изгибающим моментам и поперечным силам.Нормативные эквивалентные нагрузки для расчета элементов перекрытий и площадок по второму или третьему предельным состояниям разрешается опре¬ делять путем умножения расчетных значений эквива¬ лентных нагрузок на коэффициент 0,85.Плиты, непосредственно воспринимающие местные на¬ грузки, должны быть проверены на продавливание.23.2.3.	Ветровые нагрузкиНормативная ветровая нагрузка qH определяется в зависимости от величины нормативного скоростного на¬ пора ветра и общей характеристики сооружения.Значения нормативного скоростного напора ветра <7о приведены в табл. 23.5.При определении ветровых нагрузок различают со¬ оружения: обычные (низкие, жесткие) и высокие (гиб¬ кие). При этом к высоким относятся сооружения типа мачт, дымовых труб, башен, градирен и т. п. с периодом собственных колебаний Г>0,25 сек.Обычные сооруженияНормативная ветровая нагрузка qH для обычных со¬ оружений принимается нормальной к поверхности со¬ оружения или его части и вычисляется по формулеq* = cBq0,	(23.1)где <7о—нормативный скоростной напор ветра в кг/м2;
23.2. НЕПОДВИЖНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ993с в — аэродинамический коэффициент, определяемый по данным рис. 23.1.Показанные на рис. 23.1 положительные значения св соответствуют направлению вет¬ рового давления внутрь сооружения (поло¬ жительное давление), а отрицательные — направлению давления наружу, т. е. из со¬ оружения (отрицательное давление).При расчете стен и колонн направленная против ветра составляющая ветровой на¬ грузки, действующая на покрытие, не учи¬ тывается.Значения аэродинамического коэффи¬ циента для отдельных точек поверхности круглых в плане сооружений небольшой высоты могут быть приняты по данным табл. 23.6 (схема 6).Высокие сооружения1Нормативная ветровая нагрузка дн в кг/м2 для высокого сооружения в целом или его части в направлении действия ветра оп¬ ределяется по формулеq" = kq0i3,	(23.2)где k — коэффициент лобового сопротив¬ ления (аэродинамический коэф¬ фициент), принимаемый по дан¬ ным табл. 23.6;<7о — нормативный скоростной напор ветра в кг/м2 (табл. 23.5);Р=1+£/п — коэффициент увеличения скоро¬ стного напора, учитывающий ди¬ намическое воздействие порывов ветра на сооружение;€ — коэффициент динамичности, за¬ висящий от периода собственных колебаний сооружения Т и от логарифмического декремента затухания сооружения, который для стальных, железобетонных и каменных сооружений опреде¬ ляется по графикам рис. 23.2; m — коэффициент пульсации скорост¬ ного напора по табл. 23.7.Нормативный скоростной напор ветра при гололеде допускается принимать посто¬ янным по высоте сооружения и равным 30 кг/м2.Ветровую нагрузку для оттяжек мачт, вертикальных и наклонных проводов и тро¬ сов допускается принимать по всей их дли¬ не постоянной и равной нагрузке в точке, соответствующей 2/з высоты верхнего под¬ веса.Ветровая нагрузка для проводов и тро¬ сов определяется подформуле (23.2) в пред¬ положении статического действия ветра, т. е. при коэффициенте динамичности6=1. При этом нагрузка принимается по той зоне, в которой расположены точки крепления про¬ водов и тросов. При пролетах более 500 м и высоте подвески провода 35 м и более вет¬ ровая нагрузка принимается для зоны, соот¬ ветствующей средней высоте провода и тро¬ са в пролете.1	Для высоких сооружений ветровая нагрузкасчитается динамической (см. 22.4.2).63 За к. 2098Схема 7При ос-О „ сс=30°с6=+0,2 „ ссьб0°св=1-0,в4*50'wrAПри 0°«х^/5°св=-0,в п сс=30°св-0 „ cc^BD0 ca=+D,S Схема 4 гСхема 5 (стена, задоруСхема 7При 0<oc<?5°Cqs~0,2 CX=30°Cg~ Щ6 zx±60°cq-+1j4--f/v*о.ь >0,1* <0,5 ь0,5+0,z\~0&: Др~интер* ’■попяции '■ +0Щ-Ш.Схема 9Чо ±03Направление\IРис. 23.1. Аэродинамические коэффициенты сРветра для всех схем показано стрелкой.Схема 2 действительна при //>/; при Н</ коэффициент св определяется линейной интерполяцией между значениями сь для схемы 2 и схемы 1.В схеме 3 значения св не зависят от величины углов а и р.В схемах 6 не обозначенные величины сп принимать по схе¬ ме 2 для соответствующих углов а и направления ветра.В схемах 9 и 10 необходимо учитывать возможность загру¬ жения конструкции по любому из приведенных случаев; в треть¬ ем случае необходимо учитывать возможность загружения как одной, так и другой половины покрытия
994РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫТ а б л и ц а 23.5Значения нормативного скоростного напора ветра qo в кг/м2Географические районыНа высоте над поверхностью землив мдо 1020осоj<N31—4041—5051—60 (61—7071—80 |81-9091—100I район—вся территория СССР, за исключением 11,3040455055606468707211 район—береговая полоса океанов и морей и их заливов, за исключением 111 и IV районов	55707584929598104108112III район—береговая полоса Черного моря протяженностью80100106120130136142148154158IV район—береговая полоса Баренцова, Карского, Лап¬ тевых, Восточно-Сибирского, Чукотского и Берингова морей и их заливов, острова на указанных морях, береговая поло¬ са залива Шелехова, полуостров Камчатка, остров Сахалин, Курильские и Командорские острова	155190210225235245255266273230Примечания. 1. Ширина береговой полосы принимается равной 100 км, но не далее чем до ближайшего хребта.2.	Для высот от 10 до 20 м величина скоростного напора ветра определяется линейной интерполяцией.3.	Величина нормативного скоростного напора ветра для зданий и сооружений, расположенных в местах с резко выряженным рельефомvаземной поверхности (гористые районы, значительная холмистость и т. п.), должна приниматься равной д0= -^г- кг/м* (но не менее вели¬ чины, указанной в таблице для соответствующей местности), где v — наибольшая скорость ветра, принимаемая поданным метеорологических наблюдений, в м!сек.4.	Значения скоростного напора для высот более 100 м см. СН 40-58.Рис. 23.2. Графики коэффициента динамичностиа—для стальных сооружений; б—для железобетонных и камен¬ ных сооруженийТ а б л ■ ц а 23.1Значения коэффициентов лобового сопротивления k№схемВиды и схемы сооруженийКоэффициенты лобового сопротивления k и указания по определению ветровой нагрузкиОтдельные стержни (элементы) раз¬ личного профиляjsB ц-i *-ятт1 цг 11ГД IIПри любом направлении ветра k = 1,4Плоские фермы\\\\\-с:г6'где fi — площадьДля одиночной фермы =проекции элемента фермы на ее плоскость; — коэф¬ фициент лобового сопротивления элемента фермы; 5—пло¬ щадь фермы, вычисленная по ее наружному габариту. При ki одинаковом для всех элементов фермы 1ft*Ф=А-у-=*?
23.2. НЕПОДВИЖНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ995Продолжение табл. 23.6Виды и схемы сооруженийКоэффициенты лобового сопротивления к и указания по определению ветровой нагрузкиРешетчатые башниа)Четырехгранна*?—пНаправление^	^ ^■ бетра \	1t(А Четырехгранной Направление^§)	* рехераннаяНаправление j ^ ^J ветра \Для пространственной четырех¬ гранной фермы при направлении ветра по схеме 3,а: knp = (1 + ttj), где кф — коэффициент лобового сопротивления для плоской фер¬ мы (по схеме 2); ^—коэффициент, определяемый по графику.712/о,в0,60,40.2ОЬ/а*6 Ь/а=4ЬУа=Г-Ь/а=?~а?	о,б ор - »То же, при направлении ветра по схеме 3,6: кпр = кф(1 + “Ч) Ф где коэффициент ф принимается равным:для стальных башен из одиночных элементов —1,1; для стальных башен из составных элементов, железобетонных башен и деревянных башен из одиночных элементов —1,2; для деревянных башен из составных элементов —1,3.Для трехгранной фермы: knp = кф (1 + т]), где тг) определяется по графику при — = 1. При <р > 0,1 &пр = 0.9 кф (1 + *))У гол аЗначения lk для поверхностейв град.АВСпЕВысокие сооружения, квадрат¬ные в планег«—V0+0,9—0.6-0,7-0.7-0.8-Jе еS15+0.8-0.5-0.J-0.6-0.8145+0.5—0,5—0.5-0,5-0.8Мачты, дымовые трубы (цилин¬ дрические и с малой коничностью), резервуары, градирни, провода, тросы и т. п.Коэффициент лобового сопротив¬ ления k определяется по графику в зависимости от числа Рейнольд- /са Re=—, где р=4 YЯ*п = *aVЯнVv — скорость воздуха в м/сек\ d — диаметр сооружения в м\ v — кинематическая вязкость воз¬ духа (при t= 15° и атмосферном давлении 760 мм рт. ст. v == 0,145-10м*/сек)!Ветровая нагрузка на 1 пог. м круглого сооружения в целом вы числяется по площади диаметрального сеченияOfiOfiо,чОЛ$агj?/и zs W63*
996РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫПродолжение табл. 23.6Виды и схемы сооруженийКоэффициенты лобового сопротивления k и указания по определению ветровой нагрузкиДымовые трубы, резервуары, градирни и т. п.Изh/d=25 h/d-7 h/d=I_ЭпюраКоэффициент лобового сопротивления ka при вычислении ветровой нагрузки для отдельных точек поверхности определяется по таблицеЗначения ka при угле а в град.hid015 1 130 |45 |607590105 |120 1135 |15016513025+ 1+0,8+0,1—0,9—1,9—2,5—2,6—1,9—0,9—0,7—0,6—0,6—0., 67+ 1+0,8+0,1—0,8—1,7—2,2—2,2—1.7—0,8—0,6—0,5—0,5—0,51+ 1+0,8+0,1—0,7—1.2—1.7—1.7—1,2-0,7-0,5—0,4—0,4—0,4ОттяжкиКоэффициенты лобового сопроти¬ вления kх — для горизонтальной составляющей и ky — для верти¬ кальной составляющей ветровой нагрузки определяются по графику.Составляющие ветровой наг¬ рузки ыа 1 пог. м оттяжки вычис¬ ляются по площади диаметраль¬ ного сеченияJ//-Я,J-,*уГ<ь\Т а б л и ц а 23 .7Значения коэффициентов пульсации скоростного напора ветра тВиды сооруженийЗначения mдля высоты в мдо 2040 | 60 | 80 | 100Мачты, дымовые трубы,башни и т. п	Провода и тросы ....0,350,250,320,220,280,200,250,180,210.15Примечание. Значения коэффициента пульсации ско¬ ростного напора ветра т для высот более 100 м см. СН 40-58.См. также раздел 22, табл. 22.33.Нормативный скоростной напор ветра для проводов и тросов, покрытых гололедом, принимается равным <7г=0,25<7о; в районах с гололедностью более 1,5 см нор¬ мативный скоростной напор принимается не менее <7Г= = 16,Ь кг/м2.Ветровая нагрузка для башенных градирен с верхним диаметром более 20 ж и периодом собственных колеба¬ ний Т < 0,5 сек. определяется по формуле (23.2) при коэффициенте динамичности 6 =1.23.2.4.	Снеговая нагрузкаНормативная снеговая нагрузка рн на 1 м2 площади горизонтальной проекции покрытия определяется по формулерн = ср0,	(23.3)где ро — нормативный вес снегового покрова в кг на1	м2 горизонтальной поверхности земли, прини¬ маемый в зависимости от района СССР по табл. 23.S и рис. 23.3; с — коэффициент перехода от веса снегового по¬ крова на горизонтальной поверхности земли к нормативной снеговой нагрузке на покрытии, принимаемый в зависимости от профиля покры¬ тия, как указано ниже.Значения коэффициентов с для покрытий однопролет¬ ных зданий при различных схемах загружения снеговой нагрузкой приведены в табл. 23.9.Значения коэффициентов с для покрытий двухпро¬ летных зданий при сопряжении кровель в одном уровне, а также для шедовых покрытий приведены в табл. 23.10.
C£5^423.2 НЕПОДВИЖНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ
998РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫТаблица 23.8Вес снегового покрова ро в кг на 1 м2 горизонтальной поверхности землиПродолжение табл. 23.9Районы СССР (рис. 23.3)1IIIIIIVV5070100150200Примечание. В гористых местностях, а также в райо¬ нах Крайнего Севера и Дальнего Востока вес снегового покрова Ро устанавливается на основе данных метеорологических станцийо	запасах воды в снежном покрове по результатам снегосъемок на защищенных от воздействия вегра участках как среднее из максимальных ежегодных значений за многолетний период (не менее чем за 10 лет). При отсутствии данных снегосъемок вес снегового покрова может быть определен по формуле р,-=220 Я, где Н — высота снегового покрова в метрах, принимаемая по данным метеорологических наблюдений как средняя из макси¬ мальных ежегодных высот на защищенном месте за указанное выше время. В гористых местностях вес снегового покрова дол¬ жен приниматься не менее 70 кг {м%.Таблица 23.9Значения коэффициентов с для покрытий однопролетных зданийПрофили покрытий и эпюры коэффициентов сЗначения с, не указанные на эпюрахЯ1!Ш11ИИ1ИГГП|||Г1 .--7При О < 25° С = 1 , о > 60° с = 0Значения с при промежуточ¬ ных углах наклона определя¬ ются интерполяциейI дари антДШТШПМШИс = —— , но не более 1 и не 8/менее 0,4Профили покрытий и эпюры коэффициентов сОI Вариант«WnTTTlfnt, М п I '■ [ ] 1П иА U ВариантЗначения с, не указанные на эпюрахс, = 1.5(1 +0.6-^-);Значения сх и с2 принимаются по формулам, но не более:а)	4,0 — для ферм и балок при весе покрытия 150 кг/ла и ме¬ нее; б) 2,5 — для ферм и ба¬ лок при весе покрытия бо¬ лее 150 кг!м2; в) 2,0—для плит покрытий пролетом 6 At и ме¬ нее; г) 2,5—для плит пролетом более б л, а также для про¬ гонов, независимо от пролетаГ Вариант(II Вариант ♦. «О О IПримечания. 1. Кроме эпюр с, приведенных в настоя¬ щей таблице, в необходимых случаях следует учитывать также эпюры с расположением снеговой нагрузки на половине или на четвертях пролета.2.	Снеговая нагрузка для покрытий по сегментным фермам е ломаным верхним поясом определяется как для близких по очер¬ танию сводчатых покрытий.3.	Наличие ветроотбойных щитов, устанавливаемых на покры¬ тиях с фонарями, не учитывается.Таблица 23.10Значения коэффициентов с для покрытий двухпролетных 	зданий при сопряжении кровли в одном уровнеПрофили покрытий и эпюры коэффициентов сТ ВариантЗначения с, не указан¬ ные на эпюрах, и пояснения1.	Для односкатных и двускатных покрытий следует рассматривать:а)	при л < 20°—I ва¬ риант эпюры с;б)	при 20°<а<35°—I и 11 варианты эпюры с\в)	при а > 35° — все варианты эпюры с2.	Для снодчатых покрытий следует р<с сматривать I и II ва рилнты эпюры с неза висимо от величины угла а; III вариант эпюры с следует при нимать для, расчета/ 1только при ~ “I t)
23.2. НЕПОДВИЖНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИПродолжение табл. 23.10	■ 999Продолжение табл. 23.11Профили покрытий и эпюры коэффициентов сЗначения с, не ука¬ занные на эпюрах, и пояснения1.	Для пролета с фо¬ нарем (независимо от наличия фонаря в смежном пролете) зна¬ чения с принимаются по схемам 4 и 5 табл. 23.92.	Для пролета без фонаря эпюры с прини¬ маются по схеме 1 дан¬ ной таблицы/ Вариант ^ д тшНПЧИШЯШШГ U вариант тПримечание. Кроме эпюр с, приведенных в настоящей таблице, в необходимых случаях следует учитывать также эпюры с расположением снеговой нагрузки на половине или на четвертях пролета.Таблица 23.11Значения коэффициентов с в местах перепадов профиля покрытия«* хУПрофили покрытий и эпюры коэффициентов сЗначения с и S, не указанные на эпюрахS=2H, но не ме¬ нее 5 м и не более10	М\200// с - , но не Роболее 4,0;И — высота в мЗначения си са, Su Sa принимаются по схеме 1 данной таблицыSъ>X(J%Профили покрытий и эпюры коэффициентов сЗначения с и 5, не указанные на эпюрах3ill Вариант • !7iJL 2 i <	.г г—5~г—4^ гс= 1,5^1+ 0,6“ j,но не более: а) 4,0— для ферм и балок при весе покрытия 150 кг'мх и менее; б) 2,5—для ферм и балок при весе покрытия более 150 кг/лс3; в) 2,0 — для плит покрытий пролетом 6 м и ме¬ нее; г) 2,5—для плит пролетом более 6 л, а также для про¬ гонов независимо от пролета.Значения c3f Sv Sa прини¬ маются по схеме I данной таблицы, причемSj и ^при¬ нимаются не бо¬ лее ЬПримечание. Кроме эпюр с, приведенных в настоящей таблице, в необходимых случаях следует учитывать также эпю¬ ры с расположением снеговой нагрузки на половине или на чет¬ вертях пролета.Для двухпролетных зданий, имеющих покрытие, ха¬ рактерное для однопролетных зданий, например, с фона¬ рем по оси среднего ряда колонн, коэффициент с сле¬ дует определять, как для однопролетных зданий.Если высота перепада в метрах между двумя смеж¬ ными покрытиями менее Ро/200, где Ро в кг/м2, величи¬ на снеговой нагрузки определяется, как при отсутствии перепада.При высоте перепада более ро/200 схемы загружения снеговой нагрузкай и значения коэффициентов с для по¬ крытия пролета большей высоты определяются, как для отдельно стоящего здания, а для покрытия пролета мень¬ шей высоты — с' учетом снегоотложений в месте пере¬ пада в соответствии с указаниями табл. 23.11.Значения коэффициентов с для покрытий многопро¬ летных зданий следует принимать для каждого про¬ лета в отдельности на основе двух схем загружений для двухпролетных зданий, учитывая совместно с рас¬ сматриваемым пролетом в первом случае один пролет слева, а во втором — один пролет справа.Значения коэффициентов с для участков покрытий в местах перепада при высоте перепада в метрах более Ро/200 приведены в табл. 23.11.Значения коэффициентов с для определения снеговой нагрузки на покрытие у торцов фонарей однопролетных, двухпролетных и многопролетных зданий принимаются по рис. 2S.4.Для зоны Б коэффициент с=1.Для покрытий с М-образными фонарями коэффициент с в зоне А следует принимать по схеме 5 табл. 23.9 (как для участка с фонарем).Для плоских и пологих (i <0,1 или f/l <0,1) покры¬ тий однопролетных и многопролетных зданий без фона¬ рей, проектируемых в районах со средней скврвстью ветра за три наиболее холодных месяца не менее 4 м/сек, значения коэффициентов с для двухпролетных и многопролетных зданий следует уменьшать на 20%.Указанное уменьшение не распространяется:а)	на покрытия зданий, защищенных от прямого воз¬ действия ветра соседними более высокими зданиями.
юсоРАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫудаленными менее чем на 10 Л, где h—разность высот соседнего и проектируемого зданий, и на покрытия зда¬ ний, расположенных в лесу;Рис. 23.4. Эпюры и значения коэффициентовсдля покрытия у торца фонаря в зоне А'-'•5(,+0'6i)ei,l.5(l+0.4^)Значения cj и c<i принимаются по фор¬ мулам, но не более: а) 4,0—для ферм и балок при весе покрытия 150 кг/М2 и менее; б) 2,5—для ферм и балок при весе покрытия более 150 кг/м'*; в) 2,0— для плит покрытий пролетом б ж и менее; г) 2,5—для плит пролетом более 6м, а также для прогонов, независимо от пролетаб)	на участки покрытий пониженных пролетов в зо¬ не 10-кратной высоты перепада;в)	на покрытия со сплошными парапетами высотой более 0,5 м.Средняя скорость ветра за три наиболее холодных месяца определяется для района строительства по дан¬ ным § 7 главы II-B.3 СНиПа. При отсутствии в СНиПе сведений о средней скорости ветра для данного пункта ее значения определяются по климатологическому спра¬ вочнику СССР.При расчете рам и колонн зданий разрешается при¬ нимать равномерно распределенную снеговую нагрузку.При определении величины снеговых нагрузок для покрытий цехов с избыточными тепловыделениями зна¬ чения коэффициентов с следует снижать на 20%.23.2.5.	Воздействие температуры и усадки бетонаПри расчете обычных конструкций промышленных и гражданских зданий и сооружений необходимость учета температурных климатических воздействий встречается, например, в случаях, когда расстояние между деформа¬ ционными швами превышает установленное СНиПом или техническими условиями.Необходимые для этого расчетные температуры (зим¬ няя и летняя) специально не нормированы и могут быть приняты по СНиПу (глава II-B.3, § 2).При расчете конструкций по первому, второму и третьему предельным состояниям на действие темпера¬ туры расчетные колебания температуры устанавливают¬ ся с учетом возможных отклонений от обычных условий эксплуатации конструкций.Коэффициенты линейного расширения для основных строительных конструкций приведены в табл. 23.12.Таблица 23.12Коэффициенты линейного расширения для основных строительных конструкций*Материал конструкцийСталь 	Бетон и железобетон 	Каменная кладка из глиняного кирпича и пустотелой керамики 	То же, из силикатного кирпича 	То же, из бетонных камней	То же, из природных камней	Коэффициент линейного расши¬ рения1,12-101,00-100,50-10“1,00-101,00-100,80-10'-5-5—5—5*	См. также 4.2.2, 4.4.2 и 4.5.2.Расчет конструкций, подвергающихся действию высо¬ ких температур, обусловленных технологией производ¬ ства, производится по указаниям специальных техниче¬ ских условий.Усадка бетона (для монолитных конструкций) может учитываться условно в виде понижения температуры: для железобетонных конструкций — на 15°, для бетон¬ ных — на 20°Если предусматривается порядок бетонирования конструкций, обеспечивающий проявление усадки до за¬ мыкания сооружения, то указанное понижение темпе¬ ратуры может быть уменьшено на 5° при условии над¬ лежащего обоснования.Для сборных и предварительно напряженных конст¬ рукций усадка бетона учитывается по техническим усло¬ виям.Напряжения и деформации, возникающие в деревян¬ ных конструкциях от изменения температуры древесины, а также от усушки и разбухания древесины вдоль воло¬ кон, не учитываются.23.3.	ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ123.3.1.	Нагрузки от технологического оборудования (машин)Динамический характер воздействия временных нагру¬ зок на конструкции зданий и сооружений учитывается специальным расчетом или введением" коэффициента ди¬ намичности, величина которого зависит не только от вида и характера нагрузки, но и от вида, материала и размеров проектируемой конструкции. Поэтому величина коэффициентов динамичности устанавливается техниче¬ скими условиями отдельно для разных конструкций. На¬ пример, согласно НиТУ 123-55 коэффициент динамично- . сти при расчете прочности железобетонных подкрановых балок принимается равным 1,2, а при проверке сборных железобетонных конструкций на усилия, возникающие при их перевозке и монтаже,— 1,5.1 См. также 22.4.
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ100123.3.2. Сейсмические нагрузкиСейсмические нагрузки принимаются в соответствии с нормами и правилами строительства в сейсмических районах (СН 8-57).23.4.	ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ23.4.1.	Подъемно-транспортные механизмыДля всех подъемно-транспортных механизмов Q озна¬ чает грузоподъемность.Кошки и талиКошки — однорельсовые механизмы для перемещения грузов вручную по горизонтали.Тали — механизмы с ручным приводом для подъема грузов; могут использоваться в комплекте с кошками.Тали электрические передвижные (тельферы) —одно¬ рельсовые механизмы для перемещения грузов по гори¬ зонтали и по вертикали; имеют кнопочное управление с пола.Основные параметры кошек и талей приведены в табл. 23.13.Вследствие малого размера базы нагрузка от кошек и талей может считаться приложенной в одной точке.К р а н-б алки подвесные ручныеКран-балки подвесные ручные — подъемно-транспорт¬ ные механизмы, перемещаемые по путям (балкам), укрепленным к несущим конструкциям покрытия или пе¬ рекрытия (табл. 23Л4).Краны подвесные электрическиеКраны подвесные электрические однобалочные (кран- балки электрические) — подъемно-транспортные меха¬ низмы, перемещаемые по путям (балкам), укрепленным к несущим конструкциям покрытия или перекрытия (табл. 23.15); имеют кнопочное управление с пола.Таблица 23.13Кошки и талиВид механизмаQ в тВес в кг№балокпутиR* в мКошки без механизмов пере¬0,51514—181,5движения и подъема (ГОСТ 47-54)1,02015—201,51.03516—201,5Кошки с механизмом передви¬2,05020—242,0жения (ГОСТ 47-54)3,06022—272,05,09030—362,31,08516—331.5Кошки с механизмами передви¬3,014522—452,0жения и подъема1 (ГОСТ 1106-54)5,030030—452,310,063040—503,51,045Тали червячные1 (ГОСТ 1107-54)3,090		5,0180	10,0410——0,2525	_0,534——Тали шестеренные11,02,03,05080120——(ГОСТ 2799-54)		5,0170——10,0280——0,2510014—241.00,5011014—241.0Тали электрические передвиж¬1.044024—301,5ные* (ГОСТ 3742-54)2,048524—301,53,085030—452.55,0125030—452.5*	Минимальный радиус закругления пути в1	Высота подъема 3 м.2	Высота подъема 6 м.Таблица 23.14Кран-балки подвесные ручные общего назначения (ГОСТ 7413-55)
1002РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫПримечания. 1. Кран-балки предназначены для работы с использованием следующих грузоподъемных устройств:а)	тали электрические передвижные (тельферы) по ГОСТ 3472-54;б)	кошки ручные с червячным подъемным механизмом по ГОСТ 1106-54;в)	кошки с ручньЛл приводом по ГОСТ 47-54.2.	Кран-балки, отмеченные звездочкой, изготовляются с ручным механизмом передвижения и без него; все остальные—с ручным меха¬ низмом передвижения.3.	Кран балки типа Д имеют несущую балку двутаврового профиля (см. рис. 23.5,а); типа Т—таврового (составного) профиля (см. рис. 23.5, б\4.	Размер В в скобках относится только к балкам типа Т
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ—	 	 1003Таблица 23.15Краны подвесные электрические однобалочные общего назначения грузоподъемностью от 0,25 до 5 г (ГОСТ 7890-56)Q в тL в мОсновные размеры в ммКрайние по¬ ложения крюка в ммПрофиль nynj (№ дву¬ тавра)Число каретокДавление каретки на путь крана в доОбщий вес кра¬ на в кгL в мобщееприводныхтипа ЭДтипа ЭТ/, И 12СВЯ"гhтипаЭДтипаЭТрмакс/>МИНрмаксрминмаксмин0,2536001501 0001 5005001 30040014—24а442145301453045034700155 45155455504580016050160506005610001706017060650681 10015002 1001907019070800810150055013502301102301101 10010122 00018002Г500275150--1 450120,5360015010001 5005001300400116—30а144221525215254503470023030230305504580024035240356005610002556025560750681 1001 5002 1003201303201301 3008101 5006001 4003751753751751 70010122 00018002 600430220--2 100121.036002001 0001650550165010020а — 36а44о4653546535100034700480оООггю■'Г451 1004580050060сл80501 2505690052080520801 400681 0001 5002 2506501 7505551205551201 7008101 400610165--2 100101216001 8002 500675225--2 60012
1004РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫПродолжение табл. 23.15Q в mL в мОсновные размеры в ммКрайние по¬ ложения крюка в ммПрофиль пути (№ дву¬ тавра)Число каретокДавление каретки на путь крана в кгОбщий вес кра¬ на в ' кгL в мобщееприводныхтипа ЭДтипа ЭТи i2СВЯН113типаЭДтипаЭТ/эмаксрМИНрмаксрМИНмаксмин2,036002001 соэ1 500*1	7002	600*5501 75040024а — 40а48277535390151 250347006001 80080050400251 4004570081560410301 50056700650185083575420351 650681 0001 5002 30084595--1 750810*1 400950175--2 500101216007501 9501 0 00250-1— j 2 990123,036003001 0001 8006002 30050030а — 55а4-21 15090--1 950347001 185902 100457001 1951302 300567001 2101652 500688001 5002 4006502 3501 2752253 0008101 4007502 4501 4252503 700105,039003001 5002 9006502 500800Зба — 55а8-290030--2 45034950910402 600451 000925552 850561 2007502 600980603 300681 ЗСО1 8003 4009002 7501 0151053 9508101 4009502 8001 0601654 80010Примечания. 1. Однобалочные подвесные электрические краны типа ЭД имеют несущую балку двутаврового профиля (см. рис.23.5,а)« типа ЭТ—таврового (составного) профиля (см. рис. 23.5,6).	’ ’ *2.	Размеры, отмеченные звездочкой, относятся только к кранам типа ЭТ.3.	Высота подъема у всех кранов 6 м.Пути для однорельсовых механизмов (кошек и талей) и подвесных кран-балок и крановБалки, служащие путями для перемещения кошек, электрических талей и подвесных кран-балок (ручных и электрических), изготовляются из одного двутавра (рис. 23.5, а) или составные (рис. 23.5, б) — из таврового рельса (табл. 23.16), усиленного отрезком двутавра, раз¬ резанного по зигзагообразной линии (рис. 23.5, в).Номера двутавров, допустимые по габаритным усло¬ виям, приведены в табл. 23.13—23.15. В пределах допу¬ стимых габаритов размеры профиля балок пути уточ¬ няются расчетом в зависимости от их пролета (расстоя¬ ния между несущими конструкциями).УIs)I ГОСТ 8239-561Г0СТ8233-56IГ\ Г'ГЛ г\JL- ! t ■ 	■,	^ J	ГОСТ 5157-53'ФIРис. 23.5. Пути однорельсовых механизмов
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ1005При расчете по первому предельному состоянию мо¬ норельсовых путей электрических талей, путей электри¬ ческих подвесных кранов и их креплений нагрузки дол¬ жны умножаться на коэффициент динамичности 1,1; на прочие конструкции это увеличение нагрузок не рас¬ пространяется.■ш■4?,|	Т а б л и ц а 23.161 Рельсы тавровые (ГОСТ 5157-53)Площадь попереч¬ ного сечения про филя в см1Теорети¬ ческий вес 1 пог. м в к?Моменты инер¬ ции в см1Моменты сопротивления в см*‘х1'у1wBe Рх^нижн"у11,969,450,05146.9709,30330,89611,183Краны мостовыеКраны мостовые — подъемно-транспортные механиз¬ мы, перемещаемые по рельсам, установленным на подкрановые балки. Основные виды мостовых кранов приведены в табл. 23.17.Краны подразделяются по режиму работы согласно данным табл. 23.18.Таблица 23.17 Виды стандартизованных мостовых крановВиды кранов |Q в тСтандарты |№ таблицРучные |l-s-20ГОСТ 7075-54 |23.20Однобалочные с электрической талью1-*-5ГОСТ 7532-5523.215-7-50ГОСТ 7464-55 (для легкого режима рабо¬ ты)23.22, 23.23Электрические об¬ щего назначенияГОСТ 3332-54 (для среднего и тяжелого режимов работы)23.24, 23.2575ч-250| ГОСТ 6711-53| 23.26Литейные| 75-ь350| ГОСТ 6509-53| 23.27...	Т а б л и ц а 23 18Классификация мостовых кранов	Номинальный режим работыКоэффициент использова¬ ния в течение года kTКоэффициент использования в течение суток kQОтносительная продолжи¬ тельность включений ПВ %Число включений в часСредняя температу¬ ра окружа¬ ющей сре¬ ды в град.Назначение кранаЛегкий (Л)	Средний (С). . -	Тяжелый (T)	Весьма тяжелый (ВТ) . . .Весьма тяжелый непрерыв¬ ного действия (BTH) . .0,25—1,0 0,5—1,00,75—1,01.01,00,33—1.00,33—1,00,33—1,01.01.015-2515—6025—6040—6060—806012024030072025252525—4545—60Ремонтные краны и краны машин¬ ных заловКраны механических и сборочных цехов со среднесерийным производст¬ вом и краны ремонтно-механических цеховКраны технологических цехов и складов крупносерийного производ¬ стваКраны технологических цехов и складов металлургического производ¬ ства (включая грейферные и магнит¬ ные)Краны с лапами и клещевыеЛ _ Число дней работы в году	, Число часов работы в сутки	Е/0 • 100*г	355	: Ас =	24	:	 ; ПВ%=	Tt	где £*р — сумма всех периодов работы (включений) электромотора за цикл; Zt — полное время цикла.Пролеты мосговых кранов LK в зависимости от про¬ летов зданий L и грузоподъемности кранов Q приведе¬ ны в табл. 23.19.При отсутс1Бии проходов вдоль крановых путей рас¬ стояния между разбивочной осью и осью кранового рельса 1\ и /2 принимаются одинаковыми (рис. 23.6).При наличии проходов1 вдоль крановых путей ГОСТ 534-59 регламентирует только сумму4~ ^2 = L — ^к-	(23.4)Значения 1\ и /2 в отдельности стандартом не регла* ментированы и могут быть приняты по рис. 23.6.В зависимости от материала и конструкции колонн проходы вдоль крановых путей могут располагаться рядом с колоннами, как условно показано на рис. 23.6, или внутри колонны.В отдельных случаях, когда это упрощает решение строительных конструкций, возможны неодинаковые рас¬ стояния / с двух сторон крана и при отсутствии прохо¬ дов, но при условии, что пролет крана удовлетворяет требованиям табл. 23.19.1	Необходимость устройства проходов в общегосударственном порядке не регламентирована.	Примечание. Краны относятся к группе I, еслиВ практике проектирования предприятий черной металлургии	<50 т, и к группе II, если 0^50 т. При двух тележках, которыепроходы устраиваются к зданиях и сооружениях с тяжелым ре-	могут работать одновременно, грузоподъемность для определенияжимом работы (перечень см. НиТУ 121-55, п. 6. примечание).	группы крана принимается суммарная.Таблица 23 19Пролеты мостовых кранов (ГОСТ 534-59)Пролеты кранов LK в м*>4*5Для кранов группы 1Для кранов группы И>5Xле*СО3. Ш .н о о о в (- Ой*при наличии проходов вдоль крано¬ вых путей с обеих сторон или с одной стороны крана. Ш .Н о о и Я _ Ь о я ’Я >>Xпри наличии про¬ ходов вдоль кра¬ новых путейЯЯлСО3Пролет в мН Q. >>о в -а И s s о £5СИЯ »=( J3с ш ш шн а,"' >» осЯ Я О *О.Я r=t J3 С 03 03 03с обеих сторон кранас одной стороны кран 1на>С ш691215182124273033364.57.510.513.516.519.522.525.5 - 28,531.534.5471013161922252831341013161922252831349,512.515.518.5 21 24 27 30 339,512.515.518.521.524.527.530.533.569121518212427303336
1006РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК II ГАБАРИТЫПролеты мостовых электрических кранов при Q < 15 т и мостовых ручных кранов (без ограничения грузоподъ¬ емности) могут быть увеличены по сравнению с данными табл. 23.19 на 0,5 м% если это допускают размеры колонн.При установке двух или более кранов разной грузо¬ подъемности на общих крановых путях пролет кранов и ширина кранового рельса назначаются по крану наи¬ большей грузоподъемности.Краны I группыКраны П группыыооо-и=/г-збмным осямКраны мостовые ручные (ГОСТ 7075-54)«гПри двухъярусном расположении кранов пролеты, указанные в табл. 23.19, относятся к кранам верхнего яруса. Пролеты кранов нижнего яруса назначаются с учетом конструкции колонн и должны быть кратными6,5	м.При расчете конструкций, несущих краны (подкрано¬ вые балки, колонны, рамы и т. п.), вертикальная нагруз¬ ка в каждом пролете и ярусе здания принимается от действительного числа кранов, но не более чем от двух кранов, сближенных для совместной работы.В многопролетных зданиях предусматривается воз¬ можность расположения кранов в смежных пролетах в одном створе с числом кранов не более четырех.Вертикальное воздействие четырех кранов учитывает¬ ся в дополнительном сочетании нагрузок.Взаимное расположение сближенных кранов и пре¬ дельное расположение крановых тележек, а также на¬ правление тормозных сил принимаются в соответствии с возможной работой кранов в процессе эксплуатации.Нормативная горизонтальная нагрузка от кранов, за исключением специальной, должна приниматься:а)	горизонтальная продольная вдоль кранового пути (только для электрических кранов)—0,1 от норматив¬ ного вертикального давления на тормозные колеса;б)	горизонтальная поперечная (только для электри¬ ческих кранов): для кранов с гибким подвесом — 0,05 от суммы грузоподъемности и нормативного веса тележки крана, а для кранов с жестким подвесом — 0,1 от той же суммы нагрузок.При этом считается, что горизонтальные поперечные нагрузки передаются полностью на одну сторону и рас¬ пределяются поровну между колесами рассматриваемой стороны крана. Горизонтальные нагрузки, вызываемые торможением крановых тележек или мостов, во всех случаях принимаются не более чем от двух кранов.При расчете по первому предельному состоянию ме¬ таллических и железобетонных подкрановых балок и их креплений нагрузки от электрических кранов должны умножаться на коэффициент динамичности 1,1; на про¬ чие конструкции это увеличение нагрузок не распростра¬ няется.Воздействие перекосов крана, если оно может быть существенным для подкрановых балок, их креплений к колоннам, тормозных устройств и т. п., должно учиты¬ ваться в соответствии с нормами и техническими усло¬ виями проектирования конструкций.Геометрические параметры и нагрузки от мостовых кранов приведены в табл. 23.20—23.27.Таблица 23.20Не-менееКраны мостовые ручные типа А; б — типа Б; в — деталь путиТипыкрановQв mLKв мОсновные размеры в ммКрайние положения крюка в ммШирина рельса а в ммДавление колеса на рельс в тпВес крана в тпLк в мВ | КН*1Fh• hhрмакс рминА1519001 200500125—100450500500400,8 | 0,15 | 0,9580,9 | 0,15 | 1,18И2 3001 600150—1504001,0 | 0,25 I 1,511141,1 | 0,30 | 1,8 | 14
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ1007Продолжение табл. 23.20ТипыкрановQ в тLK в мОсновные размеры в ммКрайние положения крюка в ммШирина рельса а в ммДавление колеса на рельс в тВес крана в тLKв мВКН*1Fhl\ 1 12рмакс J рминА3519001200500160—175650550550501,80,251,1585501.90,251,38112 30016006502,10,351.911552 3001600550180—150950550550502,80,351,3583.00,301.6811650—1759003.20,352,111Б143 0002 10010001706001504507503,80,754,114178004.01,005,017А1052 4501800600180—2001300700700505.30.702.0585.70,552,58И6,00,603,211Ь143 0002 10012002006004505509506.70,855.114178507.01.056.1171584 5003 5001 400200—10050012001 400608,81,756.16115009.41,607.0111460010,01,708.4141780010,41,709.2172010.54 5003 5001 400400550120014006011.81.807.210*513,520065012.41,958.713,516,585013.01.959.916.5Примечание. Высота подъема для кранов Q = 10 т при е 14 и 17 м и для кранов Q = 15 и 20 т —10м; для остальных—12 л.
1008РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫКраны мостовые однобалочные с электрической талью (ГОСТ 7532-55)Таблица 23.21Краны однобалочные а — с управлением с пола (тип А); б—с управлением из кабины (тип Б)ООсновные размеры в ммКрайние положения крюка в мм3Давление колеса на в т для кранарельсВесвкранатIв ткв мВКНв.*2Rh11са§ wтипа Атипа Бтипа Атипа Бкв м°31\12*£.рмаксрминрмаксрмин582 300 2 6001	5002	00010001 050 1 3001 7001,251,350,400,451,451,550,350,402,302,602,552,90581И143 1002 5001801 5501 8501 10010501 2001.651,850.450,601,852,050,400,553,203,853,504,15И14174 3003 2001 3002 0002 200<мОн2,550.602,750,555,255,6017582 300 2 6001	5002	0001 0001 050 1 3001 700ч2*1,751.900,400,501,952,100,350.402,352,752,603,0058211143 1002 5001801 55018501 25010501200LQXоLO2.102.400,500,552,302.600,450,453,253,903,504,151114174 3003 2001 3002 0002 200>sлXн3,200,553.450,455,455,8017582 300 2 6001500 2 00010001050 1 3001 700таа.«зташiC2,452,600,400,502,652,800,35 0 402.703,103,003,40583И143 1002 5001801 55018501 7501 1501 4002,853.000,500.553,053.200,450,503,704,104.004,401114174 3003 20013002 0002 2004,000,454.250.405.856,2517
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ1009Продолжение табл. 23-21Q1-кОсновные размеры в ммКрайние положения крюка в мм:S3Давление колеса на рельс в m для кранаВес крана в mLKв тпв мКн*2*3hn9типа Атипа Бтипа Атипа Бв мЬВ1'tCL d)йй о.рмакс || рминрмаксрмин582 6002 00010001 3001 700«Лs =3,153,400,900,953,353,600,850,903,103,703,404,00585И143 1002 5001801 5501 8501 9501 3501 500* —{- SI55033,954,100,701,004,154,300,650,954,305,204,605,50И14174 3003 2001 3002 0002 200Xою4,900,805,100,756,406,7017Прим ечание. Высота подъема для всех кранов 6 At.	»/	Таблица 23.22Краны мостовые электрические общего назначения грузоподъемностью от 5 до 15 т с одним крюком для легкого режима работы (ГОСТ 7464-55)фалев tternpsj?3500 не долееQв mОсновныеразмеры в ммКрайние положения крюка в ммжSш2 оДавление колеса на крановый путь в тпВесв тпВ А<В* 1" 1Б1 1Fhh*2Он а> « О*рмакс| рмин1 т1 ГПРтележ¬кикрана112506,82,30,6813,211145 0003 5002507,32,70.7315,014172508,0 |3,40,8017,7175201650230350501 100800КР70илиР388,7 |4,00,180,872,020,4202345010,0 |4,91.П024,823266 5005 00055010,5 |5,81.0527,7262965011,3 |7,31,1331,0. 293275012,07,01,2033,0321125011,5 || 2,01,1517,01 и1125012,02,51,2019,01 И174 40030012,52,81,2520,51710206 3001900260300' 50012001 100КР70илиР3813,5| 3,20,341,353,823,5| 202360014,5| 3,81,4526,5| 2326600- 15,54,21,5529,51 *295 00090017,0| 5,21,7034,5| 293290018,06,81,8039,53264 Зак. 2098
1010РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫПродолжение табл. 23.22Qв тОсновныеразмеры в ммКрайние положения крюка в мм•XSilнаДавление колеса крановый путь в тВес 1в тп^к в мв мв 1к" 1*1 1Fh 1*112*8.рмакс jрмин |ТТПРтележ¬кикрана1125014,52,81,4519,5111425015,52.81.5521,51417250.16,53,21,6524,51715206 3004 4002 3002602506001 3001 100КР70илиР4317.53.80,51.755.227,5202345018,54.21,8530,5232645019,54.81,9533,5262J5 00075021,06,82,1040,52913275022,07.52,2044,032\Примечания. 1. Высота 2 500 мм и длина 3 500 мм относятся к закрытой кабине. 2. Высота подъема для всех кранов 16 м.Таблица 23.23*Краны мостовые электрические общего назначения грузоподъемностью от 20 до 50 т с двумя крюками для легкого режима работы (ГОСТ 7464-55)0в тп*-к< в мОсновные размеры в1 мм* 1* 1Н“ !Г10,525013,525016,525Э4 40019,525020/522,56 300240026045025.545028 5750500031.5«50Крайние положения крюков в ммh /г,9 оI"Q.Давление колесаВес в mна крановый рельс в mк0)кранаLKв мрмакс |рмин'1рпр5 Sн *17.54.01,7523,010,518,54,01,8525,013,519,54,51,9528,016,521,05.02,1032,019,522,05.80.712,208,435,522,523,56.82,3540,525,525,57.52,5546,028,526,58,82,6550,531 5450501 1502 05019501 250Р43иг/иКР70
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ——— 1011Продолжение табл. 23.23Qв тLk в мОсновные размеры в ммКрайние положения крюков вммКрановыйрельсДавление колеса на крановый рельс в ттележ-. ки со	 <ъс в m крана*-к в мБ* .1Н*1Fh*1*11213ирмакс |рмин JТТ'пр10,515025,06,82,5033,510,513,515026,57,22,6537,513,516,525027,58,02,7541,016,530,519,56 3005 1002 750300250400—30016001 9102 560950КР7029,58,51,032,9511,246,019,522,550031,0 |9,23,1050,5 j| 22,525,550032,5 |10,03,2555,0| 25,528,585034,0 |11.23,4060,5| 28,531,585035,512,53,5566,01 31,510,515036,011,83,6045,5| Ю,513,515039,510,53,9550,013,516,525042,010,54,2055,0| 16.519,525044,5| Ю,54,45С0,019,550 1022,56 6505 2503 150300500650—30018002 3602 9601200КР8046,0| 11,51,694,6017,565,022,526,550047,512,84.7570,525,528,565048,514,24,8575,528,531,565051,015,25,1082,531,5Примечания. 1. Для закрытых кабин наибольшая высота 2 500 мм\ наибольшая длина кабин: открытых—3 600 мм\ закрытых—4 500 мм2.	Высота подъема для всех кранов: для главного крюка—12 м, для вспомогательного—14 м.Таблица 23.24Краны мостовые электрические общего назначения грузоподъемностью от 5 до 15 г с одним крюком для среднего и тяжелого режимов работы (ГОСТ 3332-54)Краны для среднего режима работыQОсновные размеры в ммКрайние положения крюка в ммКрано¬выйДавление колеса на крановый рельс в mВесв m**в тпв мв |К- 1*1F* 1h*2рельсрмаксрминГ "Гпргележ-| ки 11 крана общийв м112507.0 |2,30,7013,61 и145 0003 5002507,5 |2,70,7515,41 14172508,2 |1 3,40,8218,11 175201650230350501 100800КР708,9 |4,00,180,892,220,8| 2023450илиР3810,1 |4.91,0125,0| 232Ь6 5005 00055010,7 |1 5,81,0728,0| 262-665011,5 |1 6,61,1531,2| 293275012,2 |1 7,01,2233,3| 3264*
1012РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫаПродолжение табл. 23.24QОсновные размеры в ммКрайние положения крюка в ммКрано¬выйДавление колеса на крановый рельс в тВесв m^к в мв 1кЯ 1*Fhh 1l2рельсрмаксрминТ Iгпртележ¬кикранаобщийИ25011,52,21,1517,5111425012,02,81,2019,51417 ..4 40030012,53,01,2521,01710206 300190026030050012001 100КР70или13,53,50,351,354,024,02023600Р3814,54,01,4527,0232660015,54,51,5530,0| 26295 00090017,05,41,7034,8293290018,01 7,01,8040,01 32151417202326326 3004 4005 0002 30026025025025025045045075075060013001 100КР70илиР4314,5 j 3,015,53,016,53,517,5 j 4,018,54,519,55,021,07,022,08,00,511,451,551,651,751,851,952,102,205,329,022,025,028,031,034,041,045,014172023262932Краны для тяжелого режима работы14,6И16,41419,11721,82026,02329,02632,22934,3 || 3219,01121,01423,01726,02028,0 j| 2331,02636,82941,532И5 0003 5001 750230250501 100800КР70илиР387,62,25142508,12,6172508.8.3,3203509,53,9236 5005 00045010,71 4*82655011,31 5’72965012,16,53275012,86,8И25012,52,01425Э13,02,517440030013,53,0203001<Р7014,53,5106 3002 1002605001 2001 100или23600Р3815,04,02660016.04,52990017,55.95 0003290018.57,20,200,760,810,951,071,131,211,283,00,391,251,301,351,451,501,601,751,855,6
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ1013Продолжение табл. 23.24QОсновныеразмеры в ммКрайние положения крюка в ммКрано¬выйрельсДавление колеса на крановый рельс в mВесв тп1LKв тпв мВКНвлFhh*2рМаксрМИНТ7ПРтележ-Jкикранаобщийв м1125015,03,81,5022,511,1425016,03,81,6024,514174 40025016,54,81,6527,51715206 30023002602506001 3001 100КР70илиР4317,55,80,521,756.031,5202345018,5| 6,51,8535,0232645019,57,21,9538,5| 26295 00075021,58,22,1544,5293275022,59,22,2548,532Примечания. 1. Наибольшая высота кабины hK (считая от низа моста): открытой — 2'200 мм, закрытой — 2 500 мм. 2. Наибольшая длина кабины I: открытой—2 500 мм, закрытой—3 500 мм. 3. Высота подъема 16 м.Таблица 23.25Краны мостовые электрические общего назначения грузоподъемностью от 15 до 50 г с двумя крюками для среднего и тяжелого режимов работы (ГОСТ 3332-54)Краны для среднего режима работыQв пгLKв мОсновные размеры в ммКрайние положения крюков в ммКрановыйрельсДавление колеса на крановый рельс в 'тВес в тпLKв мтележ¬кикранаобщийВ* 1" 1ВЛFh*213ирмаксрМИН |1 ттпр1125015,53,21,5522,5111425016,53,21,6524,5141725017,53.21,7526,517оо20тг250CU18,54,21.8530,52015/3оgS88888окSоrtrtCNю05смоч23Ю(N450смКт?19,05.51,9034,023си2645020,05,82,0036.5262975022,07,243.529щ2,2032ю75023,08.247.5322,30
л	РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫ1014 ■ - — - 		■ ■ 			■ - ■'— ■ ■ -- -	■ 1		Продолжение табл. 23.2SКрайние положения3Давление колесанаВесв гпQв mЧа в мкрюков в ммаg о л £крановый рельс в mтележ¬кранавЪВ1К" 1Fчhh*3иа.4 о. ад^ О.рмакс |рМИНТ\7’пркиобщий10,525017,54,21,7523,510,513,525018,54,21,8525,513,516,58250о19,54,81,9528,516,520/519.56 3002 400о250Sгго2 050195012 50Г"р-21,05,2t2.108,532,519,522,5<м450ю-ЧКсо22,06,0о2,2036,022,525,5450(X23,57,02,3541,025,528,55 00075025,57,82,5546,528,531,585026,58,52,6550,031,510,525025,57,02,5535,010,513,525027,07,52,7039,013,516,525028,08,22,8042,516,530/519,5' 5 100о§250оо1оооОо30,08,8о3,00^ 12,047,519,5J22jT)to<мСО500тг8SS<мVSоСХX31 »JL9.53,1552,022,525,550033,010,23,3056,525,528,585034,511,53,4562,028,531,585036,012,83,6067,531,510,525036,512,03,6547,010,513,525040,010,84,0051,513,516,525042,510,84,2556,5| 16,550/1019,56 6505 2503 150о8250Sto8со118001§1200КР8045,0| Ю,84,50о61,519,522,550004<м46,511.84,65ОО66,522,525,550048,013,04,8072,025,528,565049,014,54,9077,028,531,565051,515,55,1584,031,5Краны для тяжелого режима работы
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ1015Продолжение табл. 23.25LKв мОсновные размеры в ммК Н	j FКрайние положения крюков в мм5 2о 4 Q. (Uа О.Давление колеса на кра¬ новый рельс в т7*прВес в ттел еж кикрана*оощийк в м20/510,513,516,519,522,525,528,531,563004 4005 0002 400260250250250250450450450750850501 1502 0501 9501 25018,519,54,01,8525,04,01,9527,020,5 4,52,0530,022,023,024,526,027,04,80,732,2033,59,35,52,3037,06,02,4541,07,22,6046,52,7051,010,513,516,519,522,525,528,531,510,525025,57,82,5536,510,513,525027,57,82,7540,013,5 .16,525029,57,82,9544,516,530/519,56 3005 1002 750300250400—3001 6001 9102 560950о31,09,01,063,1012,550,019,522,5500CU32,59,83,2554,522,525,550033,511,03,3559,025,528,585035,512,03,5565,028,531,585036,513,53,6570,031,510,525037,512,03,7549,010,513,525040,511,04,0553,013,516,525043,011,24,3058,516,550/1019,56 6505 2503 150300250650—30018002 3602 9601 200§45,012,21.714,5018,564,519,522,5500а.47,012,54,7069,022,525,550049,013,04,9074,025,528,565050,514,25,0579,528,531,565052,515,55,2586,031,5Примечания. 1. Наибольшая высота кабины hR: открытой—2 200 мм, закрытой—5-2 500 мм.— 3 500 мм; для кранов 20/5, 30/5 и 50/10 т открытой-3 600 мм. закрытой—4 500 мм.3. Высота подъема: для кранов 15/3 т, главного крюка—16 м, вспомогательного—18 м; для кранов 20/5, 30/5 и 50/10 т, главного крюка— —12 м, вспомогательного—14 м.
1016РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫТаблица 23.25Краны мостовые электрические общего назначения грузоподъемностью от 75 до 250 т легкого и среднего режимов работы с нормальной и увеличенной высотой подъема (ГОСТ 6711-53)Схема 1Схепа 2—r?Mo-h*to,-—к —р-Крано1 грузоподъемностью 150/30 т при Z^> 16 м и все краны большей грузоподъемности имеют ходовую часть по схеме /; остальные краныимеют ходовую часть по схеме 2Краны для легкого режима работы<3в mLK в мВысота подъема крюков в мОсновные размеры в имКрайние положения крюков в ммКрановый рельсДавление колеса накрановый рельс в mВес в mhi в мглавного2 °1§S из о ■=:о н £0ВкнВ1FhhиьР^акс.Р^минР2максР2 минТТ'Пртележкикранаобщий10.528 (28)10 (11)29 (2Э)| Ю (И)5.7 (5.7)80 (85)10,513,529 (30) J 10 (11)30 (31)1 11 (11)5.ь (6,1)85 (90)13,516.5S'g88со31 (32) |10(11)32(33)1 11 (И)6,3 (6,5)90 (95)16,575/2019,51оГоооюсооо8см1!1ооо8o'8833 (33)1 10(11)34(34)1 11 (12)чГ6,7 (6.7)§100 (105)|l9.522,5сЗсмсм8ю-сосм8§234 (35) 112 (12)35 (36) |1 12(12)со6,9 (7,1)£110(115)|22,525,500тг35 (36)1 13 (13)36 (37)1 13(14)7,1(7,3)120 (125)|25,528,5~8"оОо837 (38)1 14 (14)1 38 (39)1 14 (14)7,5 (7,7)130 (135)128,531,5ою138 (39)1 14 (14)| 39 (40) | 14 (14)7,7 (7,9)135 (140)131,61336 (37)| И (13)| 37(38)| п (13)7,3 (7,5)90 (100)|13168§о838 (39)| и (13)39 (40)| 12(14)7,7 (7,9)100 (110)|1619о81со1оо40 (41)12 (14)41(42)12 (14)N8,1 (8,3)оtoо1D100/2022ОСОйооюооогг8см006 I3 3002 7001 30088см£41 (42)14 (14)42 (43)14 (15)СО8.3 (8.5)I120 (130)|2225S00(Оютг43 (44)| 14 (15)| 44 (45)14 (15)t"-8,7 (8,9)130 (140>1I2528I1200145 (46)14 (16)46 (47)15 (16)9,1 (9,3)140 (150)|283147 (48) | 15(16)48 (49)15 (17)9.5 (9,7)150 (160)31
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ1017Продолжение табл. 23.28QLВысота подъема крюков в мОсновные размеры в ЛСЛСКрайние положения крюков в ЛСЛ1>эчО)аДавление колеса на крановый рельс в тВес в m/ „в тR в мОисо о с- с-3СПггкв мЯСПrtчиО о2 sО лс ч и <и ш нВ*яВ1FЛЛ1h12hЛьXа/^макср, минР2 махеЯ~МИНТТ^пр1*?к раня jftUlfft13оо8842 (43)13 (14)43 (44)14 (14)8.5 (8,7)100 (105)13716со44 (45)14 (14)45 (46)14 (15)8.9 (9.1)110(115)1619о46 (47)15 (15)47 (48)15 (15)9.3 (9,5)120 (125',19100 (500125/202220 (30)22 (32)О8оЮ9о&о1 9003 3002 7001 300КР12(48 (49)15 (15)49 (50)15 (16)мюс9.7 (9,9)-1*05'О130(135)22250000ю4 000о8ою150 (51)15 (16)51 (52)16 (16)смЮ.1 (10,3)140 (145)252852 (53)16 (17)53 (54)16 (17)10,5 (10,7)150(155)283154 (55) || 17 (17)55 (56)17 (18)10.9(11.1)160(165)31138§|Sооо50 (53)19(21)51 (54)20 (21)т?о>о»10.1 (10,7)130 (150)Iй1605 _<х>аоЮ rQгггг Юсм53 (56)19 (21)54 (57)20 (21)ггсосм10,5 (11,3)140 (160)16198оооосооосм29 (31)9(10)30 (32)9(11)11.8(12,6)160(185)19150/30221тГСМсо<£>СМS'8ооосо,о8ююсмосоооооосоООоооооюКР12(30 (32)9(11)31 (33)10(11)12,2(13,0)1Лсо170(195)22258тГоо00§1 С» СО) (200)оюсмсосо31 (33)Ю (11)32 (34)Ю (11)тй12,6 (13,4)180 (205)2528О$32 (34)10(11)33(35)10 (12)13.0 (13,8)190(215)283133 (35)И (12)j 34 (36)11(12)13,4(14,2)205 (23Q)| 311333 (34)11 (И)34 (35)11 (14)13.4 (13,8)155(185)131634 (36)11 (13)35 (37)11 (13)13,8 (14,6)165 (195)1619ооо00I0(200)gооо88см35 (38)И (13)37 (39)И (13)0014,6(15.4)175 (205)19200/302219 (3221 (34;<оосоосооо00т8юоюсмСО8СО8юсо8CSо8500(0КР12037 (40)И (13)38(41)и (13)оою15,0 (16,2)68 (94185 (215)2225оТГосмюсмсосо38 (41)И (13)39 (42)11 (13)15.4(16,6)195 (225)252840(42)И (13)41 (43)11 (13)16,2 (17.0}210 (240)283141(43)11 (13)42 (44)11(13)16,6 (17.4)225 (256)31»41 (43)13(14)42 (44)13(14)16,6 (17.4)185 (210)16190 (200)43 (45)13 (14)44(46)14 (15)17,4(18,2)205 (230)19250/3022СОS8юоооСО4 800ооо1300со8ю1го8смой45(47)14(14)46 (48)14 (15)18,2(19.0)§225 (250)2225toСОоо■«гоооо05смо§см800со1со81О.46(48)14 (14)47 (49)14 (15)<3см*18,6(19,4)»>-235 (260)252848(50)14 (15)49 (51)14 (15)19,4(20,2)250 (275)28315 2001—400(—200)50 (52)15(16)52 (53)15 (16)20,4(21,0)265 (290)31
РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫКраны для среднего режима работы	Продолжение табл. 23.26Q/,иВысота подъема крюков в мОсновные размеры в ммКрайние положения крюков в ммоwaчадо.>кДавление колеса на крановый рельс в mВес в mLrrв mв мглавноговспомога¬тельногоВк//5.h*2hиft2СПоS5СОО.Р1максPjMHHмаксР^минТГПРтележкикранаобщийк в м10,528 (29)11 (12)29 (30)12 (12)5,7 (5.9)85 (90)10,513,530 (31)И (12)31 (32)12 (12)6,1(6,3)90(95) :13,516,53 700о32 (33)11 (12)33 (34)12 (12)6,5(6,7)95(100)16,575/2019.5ЯсТсо§оо§юS'тг-11 9003 300о1833 (34)11 (12)34 (35)12 (12)(о6,7(6,9)S'105(110)19,522,58смсм800оооS8<м<N-8сИ«35 (36)12 (12)36 (37)12 (13)тг7,1 (7,3)я115(120)22,525,536 (37)13 (13)37 (38)13 (14)7,3 (7,5)125 (130)25,528,50838 (39)14 (14)39 (40)14 (14)7,7 (7.9)135(140)28,531.5139 (40)14 (14)40 (41)14 (15)7,9 (8,1)140 (145)31,51337 (37)И (12)38 (38)П (13)7,5 (7.5)95 (100)13163 700[ 500оот39 (39)12 (13)40 (40)12 (14)7,9 (7.9)105 (110)1619о141 (41)12 (14)42 (42)13 (15)8.3 (8.3)115 (120)19100/2022Iо§(N8о8о£ю1ою<м8о>3 300оо1Iоо<ма42 (42)13 (15)43 (43)14 (15)оо8,5 (8,5)юCNJ125 (130)22СМ<N1dо:э£250000тг44 (44)14 (15)45 (45)14 (16)8,9 (8,9)135 (140)25284 0001200f46 (46)15 (16)47 (47)15 (16)9,3 (9,3)145 (150)283148 (48)15 (16)49 (49)16 (17)9.7 (9.7)1155 (160)31138009 1843 (44)14 (14)44 (45)14 (14)8,7 (8,9)1105 (110)1316СОТ45 (46)14(15)46(47)15 (15)9,1(9,3)115 (120)161947 (48)15 (15)48 (49)15(15)9,5 (9,7)125 (130)19125/202220 (30)<Nо8Wо18сч19003 300> 700L 300045оСР12049 (50)15(16)50(51)16 (16)о9,9(10,1)13 (46)135 (140)2225<М008ТГ4 0001300§1отг51 (52)16(16)52(53)16 (16)<м~10,3(10,5)145 (150)252853(54)16 (17)54 (55)17(17)10,7(10,9)155 (160)28315-5(56)17(17)56(57)17 (18)11.1(11.3)165 (170)31
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ1019Продолжение табл. 23.26Ql.uВысота подъема крюков в яОсновные размеры в ммКрайние положения в ж жкрюковUЛчCLДавление колеса на крановый рельс в mВес в mLв mв мглавноговспомогательногоВк//FЯА1*2hиъ3АОзеСОамакср^минР2макср^минТJnpтележки|кранаобщийк в м13оЯ•goооО о ю Со250(450)51 (54)18 (22)52 (55)19 (22)<2 о>СО10.3(10,9)130 1155)131603 ^05'ОТР ю54 (57)18 (21)55 (58)19 (21)10,9(11,5)140 (165'1619[ 900 (1 200)29 (32)9(11)30(33)9(11)12,0(13,0)165 (195)19150/302224 (32)сосоООоюою04оосооg1Л800COо500 (0)КР12030 (33)Ю (11)31(34)10(11)12.2 (13.4)65 (88)175 (205)22со00о—чюсм§25ссооо008СМ8OJ,31 (34)10(11)32 (35)И (И)0012,6 (13.8)185 (215)25ТГCl28г_'32 (35)11 (11)33 (36)11 (12)13.0(14.2)195 (225)283133 (36)11 (12)34 (37)12 (13)13,4 (14,6)210 (240)311333 (34)И (Н)34 (35)11(14)13.4 (13,8)160 (190)131635 (36)11 (13)36 (37)11 (14)14.2(14,6)170 (200)1619о36 (38)11 (13)37 (39)11 (13)14,6 (15,4)180 (210)19200/302219 (32)21 (34)о<ооо00соо4 8008юО380 (200)2 500 (3 00С3 800 (5 1 003 200 (3 300О500 (0)КР12038 (40)11 (13)39 (41)И (13)LOСЛо15,4 (16,2)72 (96)190 (220)2225оО)239 (41)11 (13)40 (42)11 (13)15.8(16,6)205 (230)252840 (42)12 (13)41 (43)12 (13)16,2 (17,0)220 (245)283141 (44)12 (13)42 (45)13 (13)16.6 (17,8)235 (260)311642 (43)12 (15)43 (44)13 (15)17.0 (17,4)190 (220)161944 (45)13(16)45 (46)13 (16)17,8 (18,2)210 (240)19250/3022§Iооtoаэ4 800оо1 3000 (200)2 500 (3 ООО)8о8смо§46 (47)13 (16)47 (48)14 (16)OV18,6 (19.0)8230 (260)2225чэ00Iо8о>ю<Nоо00СОю8смсо18юа!47 (49)14 (16)48 (50)14 (16)сос>о»19,0(19,8)ю240 (270)252848 (51)14 (16)4У (52)14 (16)19,4(20.6)255 (285)28315 2001—400(—200)50 (53)14 (16)51 (54)15 (16)20,2 (21,4)270 (300)31Примечании. 1. Показатели в скоб ах относятся к кранам с увеличенной высотой подъема. 2. Допускаютс отклонения в рас¬ стояниях между колесами * рана ±10% при условии, что давления колес на крановый рельс сохраняют значения, приведенные в таблице*3.	Наибольшая длина кабины /к для кранов 150/30, 200/30 и 250/30 тс увеличенной высотой подъема—5 000 мм; для остальных — 3 500 мм,4.	Ь — расстояние между плоскостями главного и вспомогательного крюков.
Краны мостовые электрические литейные (разливочные и заливочные) (ГОСТ 6509-53)-JТаблица 23.27Схема 1Краны 75/15 г имеют ходовую часть по схеме 2; остальные — по схеме 1Грузоподъемность в т*2о,gео75вспомога¬тельнойтележки8| "s R*151251753050о о мS ас 3of $с ч * и V Си m н хКв м19.522,525.519,022,025,019,022,0Высота подъема в мвспомога¬тельнойтележкиО О2026222 2 я2 Я v ОЛЯкч*CJ &Iо н х2820350 75275 75 15 20.0 16 2020201520,0162020Основные размеры в мм11 0004 0003807005 800Крайние положения крюков в мм3 800h.1 0002 3001800126001300013000130005 2005 3005 5005 9Э0450400450450450350200> 4003 6001 2006 7506 75С200 6 7503 8504 0501 7004 800 1 70012001 2004 8001 70(4 1 2002 1502 7002 7002 7002 0002 0001 4002 4503 8001 8002 9001 55015503 500Давление колеса на крановый рельс в т464849353843£1618414315441,67ПР32331335121.3144144I1542143 8001 1 800J 2 9001 1 55о| 3 500 КР12о| 561954183 800 12 90015503 500—672366231.72,41314151717Вес в т5878кв м160 19,59017022,51801 25,523519,024522,0265 !25,0о<м| 19,0290 I 22,022 105315 20,03,027127 370 20,0: 4 650 мм.П р и м е ч а п и я. 1. Наименьшая высота кабины hK разливочного крана 75/15 и 125,30 т-8 360 мм, остальных-8 750 мм; наибольшая ширина 1}0	«„„Ал.ит.п пмгптя	h чаливоч ного крана—2 500 мм; наибольшая ширина / —6 500 мм.1	Допускаются отклонения в расстояниях между колесами крана при условии, что давление колес на крановый рельс не будет повышаться более чем на /0. 4. Крановый рельс для кранов 350/75 т—плоский шириной 140 мм.
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ1021В стандартах на мостовые краны, перечисленных в табл. 23.17 и соответственно в указанных таблицах, значения LK в ряде случаев не совпадают с данными позднее утвержденного стандарта ГОСТ 534-59. В таких случаях геометрические и весовые показатели кранов могут быть приняты по тем же таблицам приближенно (по ближайшему значению LK ). Во всех случаях пока¬ затели могут быть уточнены по заводским данным.Грузоподъемность Q для кранов, оборудованных дву¬ мя крюками, обозначена в таблицах дробной цифрой: числитель дроби показывает грузоподъемность главного крюка, знаменатель — грузоподъемность вспомогательно¬ го крюка.Высотой подъема считается расстояние между край¬ ним низшим и крайним высшим положениями крюка, считая между центрами его зева.Размер В (ширина крана) относится к положению при несжатых буферах. При расчете подкрановых балок (на одновременное действие двух кранов) размеры В следует принимать на 10% менее указанных в табли¬ цах.Высота «Я+ЮО» измеряется от головки кранового рельса до низа несущих конструкций покрытия.При установке кранов в зданиях с гладким потолком (подшивкой) или с незначительно выступающими вниз несущими конструкциями покрытия высота от головки кранового рельса до потолка (подшивки) или до ниж¬ ней поверхности покрытия между выступающими несу¬ щими конструкциями принимается не менее 2 м.Расстояние между подвижным габаритам крана и габаритом обслуживаемого им оборудования должно быть не менее 400 мм, а расстояние от нижней габарит¬ ной точки крана до пола рабочих мест — не менее 2 м.Знак минус перед размерами высот (в таблицах) означает, что данный размер измеряется от уровня го¬ ловки кранового рельса в сторону, обратную показанной на соответствующем рисунке.Для кранов, предназначенных для попеременной ра¬ боты в цеху и на открытом воздухе, для - постоянной работы на открытом воздухе, а также для кранов посто¬ янного тока соответствующие стандарты допускают уве¬ личение некоторых габаритных размеров, веса кранов и давлений колеса на крановый рельс.В таблицах приведены значения следующих крано¬ вых нагрузок:рмакс —наибольшее давление колеса крана на рельс;рмин —давление колеса крана на рельс менее на¬ груженной подкрановой балки;Т —горизонтальная поперечная (тормозная) нагрузка (только для электрических кра- ноз);Тп? —горизонтальная продольная (тормозная) нагрузка (только для электрических кра¬ нов).Значения Рмакс приведены по данным стандартов на краны.Значения Рмин —для 4-колесных кранов подсчитаны по формулермин = 0,5 (Q -Ь G) — Рмакс ,	(23.5)где G — общий вес крана.Значения РмИН для 8- и 16-колесных кранов подсчи¬ таны исходя из условия, чтормин __ рмаксп мин Мрмин2пмакс2приводящего к формулам:эмин __ рмакс I Q 4~ ^1Y рмакс)•(23.6)(23.7)(-£jn£r-(23.8)В ряде случаев вследствие малой численной разницы принятормин = рмин == рмин в	(23 9)Значения Т (для одного колеса крана) приведены для кранов с гибким подвесом и в соответствии с этим определены по формуле0,05 (Q + 8)Т = ——■ ,	(23.10)где g — вес тележки;п — число колес на одной стороне крана.При расчете стальных подкрановых балок зданий и со.оружений с тяжелым режимом работы горизонтальные поперечные силы определяются путем умножения тор¬ мозных сил Т на коэффициент а (табл. 23.28).Значения нагрузок ГПР от продольного торможения крана, действующих на головку кранового рельса, под¬ считаны по формуле7ПР = 0,5-0,1 • ЕР = 0,05 2 Я(23.11)где 0,1—коэффициент трения при торможении;£Р — сумма давлений от всех тормозных колес кра¬ на, опирающихся на данный рельс.Коэффициент 0,5 введен в формулу (23.11) в пред¬ положении, что число тормозных колес на каждой сто¬ роне крана равно половине общего числа колес на одной стороне. Действительное число тормозных колес может быть уточнено по заводским данным.Рельсы для мостовых крановВ качестве рельсов для мостовых кранов исполь¬ зуются:1)	сталь квадратная с закругленными углами (ГОСТ 2591-51);2)	рельсы железнодорожные (ГОСТ 3542-47; ГОСТ 7173-54). Тип рельса обозначается буквой Р с добавле¬ нием цифры, показывающей номинальную ширину го¬ ловки рельса в мм, например Р38; .3)	рельсы крановые (табл. 23.29) . Тип рельса обозна¬ чается буквами КР с добавлением цифры, показывающей номинальную ширину головки рельса в мм, например КР70.Таблица 23.28Значения коэффициентов а для определения горизонтальных поперечных нагрузок от мостовых кранов (НиТУ 121-55)Коэффициент аТип крановQ в тпдля расчета тормозных ферм и верхне¬ го пояса под- крановых балокдля расчета крепления тор¬ мозных ферм к подкрановым балкам и колоннамКраны с гибким5—102,55,0подвесом15—202,04,030—1251.53,01 175—2251.32,6300 - 3501.12,2Краны с жест¬ ким подвесом-1.53.0
1022РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫРельсы крановые (ГОСТ 4121-52)Таблица 23.29ТипрельсаОсновные размеры в ммПлощадь поперечно¬ го сечения в см*Расстояния до центра тяже¬ сти в смМоменты инерции в см4Моменты сопротивления в см3Теоретиче¬ ский вес 1 пог. м в кг-1*ннhIIWУЬ*1*2ShУх*2Jx'уКР707076,51202812067,305,936,071081,99327,16182,46178,1254,5352,70КР8080871303213081,136,436,571547,40482,39240,65235,5274,2163,52КР10010010815038150113,327,607,402864,73940,98376,94387,12125,4688,73КР12012012917044170150,448,438,574923,794Й	1694,83584,08574,54199,39117,89ЛифтыГрузоподъемность Q всех лифтов указана в тексте номинальная — без включения веса кабины.Лифты пассажирские (ГОСТ 5746-58) изготовляются с непроходными кабинами, высотой подъема до 45 м и количеством остановок не более 14 (табл. 23.30).У лифтов грузоподъемностью 350 кг противовес мо» жет располагаться сзади кабины (рис. 23.7, а) или сбоку кабины (рис. 23.7,6); у остальных пассажирских лиф¬ тов — только сзади кабины.У всех пассажирских лифтов машинное отделение может располагаться над шахтой или под шахтой (не¬ посредственно или сбоку). При нижнем расположенииа, б—пассажирские лифты с расположением противовеса сзади и сбоку; в— грузовой лифтмашинного отделения необходимо над шахтой преду¬ сматривать блочное отделение.Размеры машинных и блочных помещений и взаим¬ ная их координация приведены в ГОСТ 5746-58.Лифты грузовые общего назначения (ГОСТ 8823-58)* грузоподъемностью 500—5 000 кг (табл. 23.30) изготов¬ляются с проходными и непроходными кабинами различ¬ ных размеров, высотой подъема до 45 м и количеством остановок не более 14. Противовес располагается сбоку кабины (рис. 23.7, в). Машинное отделение располагает¬ ся над шахтой (ГОСТ 8823-58).Основные параметры пассажирских и грузовых лифтовТаблица 23.30Виды лифтовQ ъ кгВмести¬мостьчеловекРазмеры кабинв ммРазмеры шахт в ммЬ1hК*1с*1*2Пассажирские350*5100012502 1001 4001600700900850350**510001250•2 10016501 40092070085050071 10016502 20015002 0007501 100850100014175016002 4002 1502 10010751 1351000* См. также ГОСТ 9322-60. Лифты грузовые со встроенным монорельсом.
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ1023Продолжение табл. 23.30Qв кгВмести*мостьчеловекРазмеры кабин в ммРазмены шихтв ммВиды лифтовЪ1h*1hсС1**500100010002 000160012009006001050500	100015002 00016001 7009008501060500150015002 0002 1001 7001 1508501450500	15002 0002 0002 1002 2001 1501 10014501000	15002 0002 2002 1002 2001 1501 10014501000	2 0002 0002 2002 6002 20014001 1001850Грузовые!1000	2 00025002 2002 6002 70014001 35018502 000	2 0002 5002 2002 7502 7001550135018502 000	200030002 2002 7503 2001550160018503 000	2 00030002 2002 7503 2001550160018503 000	2 5003 5002 2003 2503 700180018502 2505 00030004 0002 4003 75042002 0502 1002 650Примечания. 1. Разновидности лифтов, отмеченные звездочкой, имеют противовесы сзади кабины, а отмеченные двумя здеэдочка- ми—сбоку кабины.2. Размеры кабин: b и / — наружные габаритные, h — внутренний.Лифты грузовые малые общего назначения (ГОСТ 8824-58) имеют грузоподъемность 100 кг и изго¬ товляются со сквозными и несквозными кабинами вы¬ сотой 1 000 мм (внутри) (рис. 23.8, а).а}'УУХ&/А-1300-6Уb-650-7ЯШ.>900-Шс•fЖj—1U5D—Рис. 23.8. Планы лифтовых шахта—грузовой малый лифт; 6— грузовой малый магазинный лифт; д—больничный лифтСуществуют две модели лифтов: а) с высотой подъема до 5,2 м и двумя останов¬ ками; б) с высотой подъема до 45 ж и числом остановокне более 14. В первом случае наличие противовеса и его расположение не регламентированы; во втором случае противовес располагается сбоку кабины. Машинное отде¬ ление в обоих случаях располагается вверху (в габари¬ тах шахты) ylj.w сбоку (внизу или на кронштейнах).Лифты грузовые малые магазинные (ГОСТ 8825-58) (рис. 23.8,6) имеюг грузоподъемность 100 кг и изготов¬ ляются со сквозными и несквозными кабинами высотой 550 мм (внутри). Высота подъема не более 5,2 м при двух остановках. Наличие противовеса и его расположе¬ ние не регламентированы. Машинное отделение распо¬ лагается сбоку шахты на кронштейнах.Лифты больничные (ГОСТ 8822-58) (рис. 23.8.3} имеют грузоподъемность 500 кг (один больной на койке и 5 человек сопровождающих) и изготовляются с про¬ ходными и непроходными кабинами высотой 2 200 ия (внутри). Высота подьема установлена до 45 м при количестве остановок не более 14. Противовес распола¬ гается сбоку; машинное отделение—вверху над шах¬ той или внизу сбоку шахты (ГОСТ 8822-58).АвтопогрузчикиОсновным рабочим органом автопогрузчиков (табл. 23.31) является вилочный подхват (рис. 23.9,а). По требованию заказчика автопогрузчики разных моде¬ лей могут постаьлжьси со сменным оборудованием — безблочной стрелой (рис, 23.9,6), ковшом, грейферным захватом и пр.б)Рис. 23.9. Рабочие органы автопогрузчикова—вилочный подхват; 6—безблочная стрелаОпорная плошать колес считается: при массивных шинах — имеющей форму круга, при пневматических — форму эллипса,
1024РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫ23.4.2. Безрельсовые механизмы горизонтального транспортаЭлектрокарыВ табл. 23.32 приведены основные параметры электро¬ кар. Электрокары всех моделей оборудуются массивны¬ ми шинами.Опорная площадь колес считается имеющей форму круга.Основные параметрыАвтомобилиВ табл, 23.33 приведены основные параметры грузо¬ вых и легковых автомобилей. Автомобили всех моделей оборудуются пневматическими шинами. Опорная площадь колес считается имеющей форму эллипса. Высота внутрицеховых проездов, предназначенных для движения автотранспорта, принимается не менее 3,5	м. Размеры ворот для автотранспорта в стенах на¬ значаются кратными 0,5 м в плане и 0,6 м по высоте.Таблица 23.31автопогрузчиковs 5Модели погрузчиковПараметрыа * с: ох5*u sюОгг8<1юооСю8осоРЭыосоРЭы<ооосо81<У>1 1008■ч*Тип погрузчика 	АПААПААПААПКАПКАПААПААПКАПКАПКАПКАПКГрузоподъемность. ...т0,50,750,750,750,751.51.53,05.05.05,010,0Емкость ковша или грей¬ ферного захвата	м'л	0,3**0,3**0t3**0,3**		1.0*1,5*1.3*	2,5**Наибольшая высота подъе- va груза на вилке и в ковшем2,01,62,81,62,82,751.54,04,04,2 .7,04,5То же, па крюке . . .»——————5,15,17,2—7,5Габаритные ргзмеры: длина 	мм2 4502 4002 4002 3502 4002 9702 9704 9005 5655 8005 6506 562ширина... 		высота 	■920 1 70591014459101910910 1 445910 1 9101 000 2 1001000 1 4802	2403	2002330 3 2002	4003	4002	5153	4602	7003	750Радиус поворота по на¬ ружному габариту ....База	Колея передних колес . . „ задних „ . .я12808008001550100076069515501000760695150010007606951 500 1000 760 6952 100 1 120 815 8102 100 1 120 815 8103 600 1 750 1650 1 4154 000 2 200 1 740 14154 750 .2 600 1 740 1 4154 750 2 500 1740 14305 750 2 900 1920 1 950Число скатов на передней оси	222222244444То же, н:. задней оси . . .—122222222222Нагрузкл на ось в ненагру- женком состоянии:на переднюю	кг510950101682086512251 1002 2502 6003 7505 1906 010на заднюю	»9107907848158701 5751 5502 8003 8004 0803 8107 224Нагрузка на ось в нагру¬ женном состоянии:на переднюю	на заднюю	Виды шин	п1454446МММММ3 600 700 М3 475 675 М7 280 770 П10 250 1230 П8 894 1 100 П13 120 880 П21 500 1634 ПОбозначение шин: передних колес 	350x125400X150400x150400X128400x12834X78,25-208,25—208,25-2012—20задних „ 	—270x125260X112260x112——520X152520x15234X78,25—158,25—158,25—1510,5—20Удельное давление по опор¬ ному эллипсу:передних колес 	кг!смs* 7,017,317,35,55,55.55,5задних „ 	»10,54.84,8——5,45.4—7.07,07.05,0Полуоси опорного эллипса (aXb) в нагруженном состоя¬ нии:передних колес	мм11513513511511598X151>»98X13198X199142x219задних „ 	105102102—13613698X8898X9598x88121x191П р и м е ч а н и я. 1. Емкость, отмеченная звездочкой, относится к ковшу, а отмеченная двумя звездочками—к грейферному захвату.2.	Габаритная длина указана для погрузчиков, оборудованных вилочным подхватом.3.	Передней считается ось погрузчика со стороны рабочего органа; задней—со стороны мотора.4.	При наличии четырех скатов на оси колеей считается расстояние между серединами двойных скатов.5.	Виды шин: М—массивные; П—пневматические.Полуоси опорного эллипса приняты: Ь—вдоль машины; а — поперек.7.	Ось опорного эллипса 2а условно принята равной 0,9 от ширины поперечного сечения шины, поскольку шины одного размера, но раз- пых марок имеют неодинаковую ширину беговой дорожки.	•Таблица 23 .32Основные параметры электрокарПараметрыЕдиницаизмеренияМодели электрокарЭКП-750ЭК-1ЭК-2ЕЗ-55| Е5-55ЭКБ1-750| ЭКБ-П-750| ЭКБ-С-750Г рузоподъемность	т0.7512350,750,750,75Размеры платформы:длина 	мм1 10015002 04514001 4001 1001 230Объем кузов аширина 	„700i)701 1406705707008300,25 м3
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ1025Продолжение табл. 23.32ПараметрыЕдиницаМодели электрокаризмеренияЭКП-750ЭК-1ЭК-2 |ЕЗ-55Е5-55ЭКБ1 -750ЭКБ-П 750ЭКБ-С-750Высота платформы	мм300520600280280300300	Высота подъема платформы . .„100——100100100—— -Габаритные размеры:длина 	’2 2502 0002 7852 9463 1752 2502 2802 350ширина	8309701 1409901060860860860высота	1 1701 2451 31012601 3901 1702 7001 170Радиус поворота по наруж¬ ному габариту 	18502 7002 8002 5402 7702 1002 1102 200База		 . .1 1101 06015251 60016001 1101 100—Колея передних колес	6247Я0790820820624624—задних , 	300780720450450270270—Вес	кг10005201500——1 0001 1001000Диаметр опорного круга в нагруженном состоянии	мм_	86				Удельное давление в нагружен¬ ном состоянии .... 	кг'см1--15,2-----Примечания. 1. Передней считается ось электрокары со стороны места водители.2.	Электрокара Е5-55 имеет двухосную заднюю тележку.3.	Электрокара ЭКБ-П-750 имеет стреловой подъемник грузоподъемностью 500 кг.4.	Электрокара ЭКБ-С-750 имеет опрокидывающийся кузов.ц	Таблица 23.33Основные параметры автомобилейГрузовыеПараметрыЕдиницаизмеренияГАЗ-51АУрал-ЭИС-355ЗИЛ-150МАЗ-200ЯАЗ-210Грузоподъемность . .т2,534712Габаритные размеры:длина 	мм5 7156 1256 7207 6209 660ширина	2 2802 2802 4702 6502 650высота	2 1302 1602 1802 4302 575Внутренние размеры кузова:длина	 ....3 0703 0703 5404 5005 770ширина	2 0702 0702 2502 4802 480высота 	605580585600825База	3 3003 8104 0004 5205 750Колея передних колес. . .158515201 7001 9501 950„ задних . ...16501675174019201920Число осей .........-22223Число скатов:на передней оси 	-22222. задней т 	-44444Собственный вес ......кг2 7103 1503 9006 40011 300Нагрузка в груженом со стоянии:на переднюю ось	.1 61015002 1103 5654 585, заднюю 		3 7504 8006 01510 0609 470Обозначение шин	—7,5—208,25—209-2012—2012—20Удельное давление по опар ному эллипсу:передних колес. * . . . .кг/см2353,54,255,5задних , 	.3,55,754.55.55,5Полуоси опорного эллипса (axb) в нагруженном состо¬ янии:передних колес 	мм86x9394x51103x93137x98137x97задних 	186x9994x71103X106137x112137x10065 За к. 2098
1026РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫПродолжение табл. 23.3SГрузовые повышенной проходимостиСамосвалыПараметрык§31& S *л тUJ sСПto00<L-СОю00сL-юSсоSю00<£<м00СW.<СОо>00<L-шюооюГОоC'Jсо<ZLO001 го < СЕ.ююго<Zт0.524.5472.253.561025Габаритные размеры:длина 	мм3 8505 5256 9307 1508 5305 2405 9406 0658 1908 305.18502 2002 3202 6502 7002 0902 2902 6402 6503 220-2 0302 2452 3102 7252 8802 1302 1802 4302 7353 675Внутренние размеры кузовадлина 	13102 9403 5653 5004 5652 3002 5503 0004 5854 7001 3401 9902 0902 5002 49018002 0602 0002 4302 850высота 	47589092510159354005006008001 200База	_	п2 30033004 2254 5205 3003 3004 0003 8004 7804 7>ЮКолея передних колес . . .»1 4401 5881 5902 0302 0301 5851 7001 95019502 500„ задних . . . •»1 44016001 7202 0302 03016501 7401 9201 9202 200—2232322232Число скатов:на передней оси . . . . •—2222222222„ задней 	—2244444444Собственный вес	Нагрузка в груженом сокг1 5253 2005 5807 70012 3003 0254 1906 60012 00024 380 •стоянии:4 1754на переднюю ось	94019802 4354 4755 8001 5952 3503 56016 7301 2353 3703 9307 4506 8703 8305 5659 2659 02532 800Обозначение шин	—6,5—1610-188,25—2015—2015—207,5—209—2012-2012—2017-32Удельное давление по опор ному эллипсу:передних колес 	кг см-23,5432.833,54.254,255задних 	•2.55343,23.54.54.8б5Полуоси опорного эллипса (axb) в нагруженном состо¬ янии:мм74x101114x7994X103171X139171X19386x98103ХЮ4137X97137X114194X274"74x107114x9494хЮ8171X87171X10086X102103X96137X112137X105194X269Продолжение табл. 23.33ЛегковыеТо же,повышенной проходимостиПараметрык3*gSLS3 си*=t со UJ Sэ*SвXоо . 2; оэ*Sв*3 <ме'Т-я•=tа>ооСсзЧОаокSгосаа:«аТос;Sго£гоLQсоГО<(—<СПсо00<UяЭ*Sв*о41счi	44556777А545Габаритные размеры:ММ3 8554 0554 6654 8305 5305 6006 0006 0303 3503 8504 0554 665*1 4001 5401 695180019002 0001 9602 0301685175015401 69515551 5601640162016601600: Too16401 7001 92016701 790База	2 3402 3702 7002 7003 2003 2503 7603 7602 1002 3002 3772 712Колея передних колес 	1 1051 2201 3551 4101 460—1 5201 5701 446144012201 355„ задних , 	1 16812201 3621 4201500—1 6001 6501 44614401 2201388Собственный вес	кг8559801 4601 4601 9401 8002 5752 5501 32015351 1801665Нагрузка с пассажирами:на переднюю ось	5406408808951 190_1 4501 47573092574010206156409559401200—1650160099010357401020Обозначение шин	—5—165,6—156—166.7—157—15—7.5-168,9—156,5—166,5—166.4-156.5—16Удельное давление по опорному эллипсу:кг/см21,751,72.21,72.5—2,521,521,72задних „ 	*2,001.72.21.72,5—2.5222.51,72Полуоси опорного эллипса (axb):передних колес 	ММ57x8664x9468x9476x11080X95—86x107102x11574x10574X10073X9574X110задних „ 	щ57x8664x9468x10176x11580x9686x122102x12574хЮ674X8973X9574x110Примечания. 1. Полуоси опорного эллипса приняты: b — вдоль машины, а — поперек.2.	Ось опорного эллипса 2а условно принята равной 0,9 от ширины поперечного сечения шины, поскольку шины одного размера, но раз¬ ных марок имеют неодинаковую ширину беговой дорожки.
23.4. ПОДВИЖНЫЕ НАГРУЗКИ И ГАБАРИТЫ102/23.4.3. Железнодорожный транспортГабариты приближения строений для железных дорог нормальной колеи (1 524 мм)На рис. 23.10 приведен габарит № 2-С, который был обязательным до 1 января 1960 г. (согласно ОСТ ВКС 6435) для вновь строящихся и реконструируемых участ¬ ков и для всех новых сооружений железных дорог1.ha станциях Но перегонахВровень^ держа eono$r*—T7U5- ки рельсаПерила на мостахНормальное расстояние до оси ~-го главною путиРис. 23.10. Габарит 2-С для железных дорог нормальной колеи1-1—для строений из огнестойких и несгораемых материалов на неэлектрифицируемых участках; 11—11—для строений, за¬ щищенных от возгорания на неэлектрифицируемых участках; 111-111—для строений из сгораемых материалов; IV IV—для строений из огнестойких, несгораемых и защищенных о г возгорания материалов на электрифицируемых участкахВ пределах участков внутризаводских путей, где Предусматривается обращение подвижного состава спе¬ циального типа, ОСТ ВКС 6435 разрешал устанавливать специальные (ведомственные) габариты приближения строений.Ворота в зданиях для пропуска подвижного состава нормальной колеи должны иметь ширину 4 700 и высоту 5 600 мм.Расстояние между осями путей внутри зданий при свободном междупутье должно быть не менее 4,1 м.Железнодорожные пути в зоне действия мостового крана должны размешаться так, чтобы крюк крана в предельном положении заходил за ось пути не менее чем на 0.6 м.1 ДейС1вующий с 1 января I960 г. ГОСТ 9238-59 „Габариты приб¬ лижения строений и подвижного состава железных дорог колеи 1524 мм“ не распространяется на внутризаводские пуги промыш¬ ленных предприятий. Отдельный стандарт h<j габариты приближе¬ ния строений для внутризаводских путей разрабатывается.65*Расстояние от оси железнодорожного пути до вы¬ ступающих частей погрузочно-разгрузочного оборудова¬ ния в нерабочем положении и до рабочих площадок для управления затворами должно быть не менее 2,05 м.Высота платформ от головки рельса должна быть: высоких—1,1 м\ низких — 0,2 м.Расстояние от оси пути до края платформы должнв быть;для высоких платформ — 1,725 м\ для низких плат* форм — 1,75 м.Ширина платформы должна быть не менее 1,5 м, а при движении по ней автопогрузчиков и электрокар — не менее 3 м.Вагоны товарные железных дорог нормальной колеиВ табл. 23.34 приведены показатели по основным ти¬ пам товарных вагонов. Почти все основные типы ваго¬ нов имеют разновидности, отличающиеся грузоподъемно¬ стью (20, 18 и 16,5 г, 60 и 50 г), длиной (за счет наличия тормозной плошадки), тарой (собственным весом) и пр.Габариты приближения строений для железных дорог колеи 750 ммГабарит приближения строений при проектировании промышленных железных дорог колеи 750 мм должен приниматься (согласно ОСТ 10167-39) по рис. 23.11.^ Уровень бысокилУровень верха голо* бок рельсовРис. 23.11. Габарит для железных дорог ко¬ леи 750 ммI-II-I1-I—для строений из огнестойких, несгораемых и защищен¬ ных от возгорания материалов; I III-111-1—для строений из сго¬ раемых материаловВорота в зданиях для пропуска подвижного состава колеи 750 мм должны иметь ширину 3 450 мм, высоту 4 100 мм.Расстояние между осями путей внутри зданий (при свободном междупутье) должно быть не менее 3 м.Высота платформ от головки рельса должна быть: высоких — 0,75 м\ низких — 0,2 м.„ Расстояние от оси пути до края платформы (высо¬ ких и низких) должно быть 1,37 м.
1028РАЗДЕЛ 23. НОРМЫ НАГРУЗОК И ГАБАРИТЫТаблица 23.34Основные параметры товарных вагонов нормальной колеиПараметрыis. * * UJ яЧисло осей .... Длина с буферами База вагона (расстоя мне между осями двухосного вагона или цен грами двухосных ге лежек четырехос¬ ного вагона) . . .База тележки . . .Внутренние размеры: длина с 4 ф • ■ .ширина,	высота стен (бор¬ тов) 	Высота от головки рельса:до попа	до низа люка . . . Тара (собственный вес)	Нагрузка: от одной оси на .. оба рельса . . . на 1 пог. и пути .КрытыеПолу- Хоп- вагоны перыПлатфор¬мыгрузоподъемностью20 т\ 50 т\ 60 т21 аоо3 9006 600 2 7502 5001260 3 30011.415,653,96414 6809 830 180013 430 2 7502 4121255 3 16021.918 4.88413 8708 650 180012 004 2 9601888154022,720,675,9460 т I 20 т\ 60 j49 9805 810 1 8008* -О *0>Г/,757,082103745 5009 1142 7506241 320 9.214,02.84141449 294 180012874 2 7704551 271 2220,55,78Вагоны товарные колеи 750 ммОсновные параметры товарных вагонов колеи 750 мм приведены в табл. 23.35.Таблица 23.35Основные параметры четырехосных товарных вагонов колеи 750 мм (ГОСТ 5051-49 -5053-49)к03 * а XКрытыгПолувагоныПлатфор¬мыПараметры1&грузоподъемностью20 т| 10 т| 20 т| 10 т| 20 т| 10 тДлина по рамемм9 7006 7009 7006 7009 7007 500База (расстояние между центрами двух¬ осных тележек) . . .6 90039006 9003 9006 9004 700Вну гренние размеры: ширина . .2 1502 150,2 1502 1502 1502 150высота стен (бор¬ тов) 		2 1002 10012001 000500400Высота от головки рельса:до пола 	800750800750800750до низа люка . . .2 3702 370————Тара (собственный вес)	т84,57,44,17,24Нагрузка на 1 пог. м пути	»2.71,ь52,651.92,651.75Пр и м е ч а н и я. 1. Длина по раме и гара приведены для вагонов без тормозной площадки. 2. См также ГОСТ 5051-60—5053-60ЛИТЕРАТУРА11.	Строительные нормы и правила (СНиП), глава 11-Б.1 (проект новой редакции).2.	Указания по определению технологических нагрузок на пе¬ рекрытия промышленных зданий (СН 72-59), Госстройиздат, 1960.3.	Технические условия расчета высоких сооружений на вет¬ ровую нагрузку (СН 40-58), Госстройиздат, 1959.4.	Указания по определению снеговых нагрузок на покрытия зданий (СН 69-59), Госстоойиздат, 1959.5.	Правила устройства и безопасной эксплуатации грузо¬ подъемных кранов. Госгортехнадзор СССР. Металлургиздат, 1957.6.	Правила устройства, освидетельствования и эксплуатации подъемников. Главная Государственная инспекция котлонадзора, Трансжелдориздат, 1955.7.	Нормы и технические условия проектирования производст¬ венных зданий промышленных предприятий (НиТУ 133-55), Гос¬ стройиздат, 1956.8.	Нормы и правила строительства в сейсмических районах, (СН 8-57), Госстройиздат, 1958.9.	Нормы и технические условия проектирования стальных конструкций (НиТУ 121-55), Госстройиздат, 1955.10	Нормы и технические условия проектирования бетонных и железобетонных конструкций (НиТУ 123-55). Госстройиздат, 1955.11	Нормы и технические условия проектирования каменных и армокаменных конструкций (НиТУ 120-55). Госстройиздат, 195512.	Нормы и технические условия проектирования деревянных конструкций (НиТУ 122-55), Госстройиздат, 1955.13.	Нормы и технические условия проектирования автомобиль¬ ных дорог (НиТУ 128-55), Госстройиздат, 1955.14.	Нормы и технические условия проектирования автомобиль¬ ных дорог промышленных предприятий (НиТУ 101 56), Госстрой¬ издат, 1956.15.	Нормы подвижных вертикальных нагрузок для расчета искусственных сооружений на автомобильных дорогах (Н 106-53), Госстройиздат, 1955 (изданы в составе НиТУ 128-55).16.	Нормы габаритов приближения конструкций для мостов на автомобильных дорогах (Н 112-53), Госстройиздат, 1953.17 Нормы и технические условия проектирования железных дорог нормальной колеи (1 524 мм) промышленных предприятий (НиТУ 119-55), Госстройиздат, 1955.18.	Нормы и технические условия проектирования железных дорог узкой колеи шириной 750 мм (Н 107-53), Госстройиздат, 1953.19.	Автопогрузчики и электрокары (справочный материал); НИИТАвтопром; Отдел технической пропаганды, 1958.А. Л Технические характеристики автомоби¬ лей, Автотрансиздат, 1958.21 1 ехнический справочник железнодорожника, т. 6, Подвиж¬ ной состав, Трансжелдориздат, 1952.1	Номера стандартов, регламентирующих нагрузки и габари¬ ты, приведены в тексте раздела.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬАвтомобили, основные параметры 1024, 1025 Автопогрузчики, основные параметры 1023, 1024 Амплитуда колебаний 931, 973 	фундаментов ^допустимая) 983—	цикла напряжений 143 Аналогия см. Метод аналогий Арки 221, 261—	бесшарнирные 266^ 268, 441, 445—452	нагруженные перпендикулярно их плоскости 273—	двухшарнирные 222, 267, 268 —, колебания 952. 953—	круговые и параболические, ординаты осей 428 	, устойчивость 780	. функции для расчета 521—	многопролетные 278—	одношарнирные 222, 267—	параболические бесшарнирные 268, 441	, круговые и эллиптические, геомтрическиепараметры 445 	двухшарнирные 268, 435—	трехшарнирные 100, 106, 222, 261, 429 —, построение инфлюент 262, 266, 444—, рациональные оси 221—	статически неопределимые 264 —, таблицы для расчета 428—452—	тонкостенные 309 Арматура железобетона 153, 173 Армоцемент 177Арнгольда — Кеннеди теорема 118 Атмосфера техническая 119 Асбестоцемент армированный 178 Аэробалки 327, 329Базальт 170 Балки 221, 229—, деформационный расчет 790 —, изгиб 208, 210, 213 —, изгиб и кручение 797—	консольные 367, 370—, критическая нагрузка 767—775—	круговые, нагруженные в плоскости кривизны 517	нагруженные перпендикулярно плоскости кривизны1529—	ломаные и криволинейные, нагруженные в своей плоскости 277 	нагруженные перпендикулярно плоскости излома 425—	на двух опорах, простые 368, 372, 388, 768, 772, 775, 942 	с консолью 368, 380, 943—	на упругом основании (Винклеровском) 246, 779 	абсолютно жесткие 236	полубесконечные (инфлюенты перемещений и усилий)514, 515	сжато-изогнутые 795	, таблицы и формулы для расчета 506	полупространстве 905	бесконечно жесткие 912	 короткие гибкие 915	ломаного очертания в плане 915—	на упруго оседающих опорах 241, 260, 421, 778, 943—	неразрезные равнопролетные 239, 392, 399, 774, 777, 840, 942 	бесконечные 240	полубесконечные 239—	однопролетные с одним защемленным концом 369 382, 840 	с обоими защемленными концами 237, 369, 382—, определение усилий и перемещений методом начальных пара¬ метров 229—, определение перемещений графоаналитическим методом 234—	перекрестные 422—	подкрановые 411—, поперечный изгиб 592, 593—, построение инфлюент 224, 238, 240, 245, 409, 421 	эпюр 238—	растянуто-изогнутые 791, 795—	с вутами 415Балки с отверстиями 596—	составные с поясами, работающими на изгиб, ■ стенками, ра¬ ботающими на сдвиг 316Балки-стенки многопролетные 598 	однопролетные 590	, расчет методом конечных разностей 590	 сеток 589—	таблицы для расчета 367—, устойчивость плоской формы изгиба 767—	шпренгельные 423, 424 Башни 547Бенара-Кармана вихри 979 Бетон 162, 605 —, деформация 164—, коэффициенты продольного изгиба 747 —, прочность 162 —, усадка 168 Биения 935Биконструкции 223, 568 Бимомент 218, 306—	инерции 218, 366—	сопротивления 218, 366—	статический 218 —, эпюры 306 Бином Ньютона 18 Бинормаль 36 Бирама 310Борьба с вибрацией строительных конструкций 985 Брус 193—, нагрузки и усилия 193—, определение касательных напряжений и деформаций 205	нормальных напряжений 203, 204—, техническая теория 193—, факторы, характеризующие упругую работу 199 Брусья, геометрические характеристики сечений 200 206, 208, 210, 218, 351, 352, 363, 364, 547—	большой кривизны 546—	круговые, нагруженные в плоскости кривизны 517	, нагруженные перпендикулярно плоскости кривизны 529—	многопролетные, критические напряжения 1-го рода 777—	на упругом основании см. Балки *на упругом основании 	, устойчивость 779—	прямые, устойчивость 747 —, системы их 220—	составные многопоясные 316—	тонкостенные 205, 210, 213, 217, 219, 305 	кривые 309Бункер 873 Бут 169Вагоны товарные ж. д. нормальной колеи 1027	колеи 750 мм 1027Вариньона теоремы 100 Вектор 66, 97	'Вектор-момент 99 Векторная алгебра 66 Векторная функция 67 Векторный анализ 67 Велера кривая усталости 143 Величины постоянные, таблица 95—	случайные 80 Верещагина правило 286, 502 Вероятность 79Вес объемный армоцемента 177	асбестоцемента 178, 991	бетона 162, 991	грунтов 856, 880	древесины 191, 991	каменных материалов Y7Q, 991	пластмасс 181	разных строительных материалов и конструкций, таблица 991	сыпучих материалов 855, 856
1030АЛФАВИТНЫЙ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬВес снегового покрова, таблица 998—	удельный алюминиевых сплавов 160	 лагуни и технической меди 162	стали углеродистой 146	 частиц грунта 880Ветровой резонанс, проверка 979 Вибрация 982 —, борьба с ней 982 Виброизоляция 982Виллио диаграмма для определения перемещений узлов ферм 560 Винидур (винипласт) 182Винклера гипотеза (модель) упругого основания 656, 885Винклера таблицы для расчета неразрезных балок 399Винт динамический (силовой) 10QВинтовая линия 36Вириал внешних сил 567Вихрь (ротор) векторной функции 67Вихрь перемещений 581Влажность грунта весовая 880Власова теория оболочек техническая 677—	четырехчленная формула нормального напряжения 219 Вода в грунте 879Выносливость строительных материалов 974 Выпучивание оболочек см. Устойчивость оболочек Вычисления приближенные 68, 69 Вязкость ударная 146—	— низколегированных сталей 156, 157, 153, 159 	сплавов алюминия 161	углеродистой стали 150, 151, 152Габариты автомобилей 1025—	вагонов товарных 1028—	кранов 1006^ 1008, 1009—	лифтов 1022—	приближения строений к ж. д. путям 1027—	электрокаров 1024 Гамма-функция 64Гармонический анализ (приближенный) 75, 78 Гаусса способ (алгоритм) решения систем линейных уравнений 337, 342, 346—	кривая нормального распределения 80, 185, 186 Гауссова кривизна 37Герц 119 Гибкие нити 321Гибкость стержней 198, 747, 748, 766 Гипербола 31Гиперболоид одно- и двуполостный 34Гипотеза Кирхгофа — Лява в теории оболочек 670—	о ненадавливании волокон в понеречном направлении 200—	основная расчета жестких стержневых систем 221—	плоских сечений 200. 834 Гистерезис 973Глина см. ГрунтыГолушкевича способ определения давления сыпучих тел 858, 869, 872Градиент скалярной функции 67 Гранит 170 171Граница раскатывании (пластичности) грунта 880—	текучести грунта 880 Гранулометрия грунта 880 Грузоподъемность кранов см. Краны Грунты, виды и свойства 879—, давление на подземные сооружения 898 —, деформации 882—^ зависимость коэффициента пористости от давления 882s	деформаций от напряжений 886с	осадки от давления 884, механические модели 885 , расчет осадок оснований 887 	 откосов 901—, расчетные сопротивления оснований 897, 898 r-t сопротивление разрыву 882Грунты, сопротивление сдвигу 881 —, структура и текстура 879 —, физические свойства и состояния 880 Гука закон 200	для анизотропного тела 135	изотропного тела 134Гюльдена теоремы (объем и площадь поверхности тела враще¬ ния) 25, 104Давление вращающегося тела на опоры 124—	грунта на сооружения в насыпи 899 	в траншее 900	 при подземной проходке 900—, единицы измерения 119—	сыпучих тел в бункерах 873 	 в силосах 873	на подпорные стенки, активное 859, 861, 862, 869	на подпорные стенки, пассивное 860. 868, 869Даламбера принцип (кинетостатика) 120 121 Движение периодическое 931—	твердого тела винтовое 114	вращательное вокруг неподвижной оси 113	около неподвижной точки 115	плоско-параллельное 114, 124	поступательное 113—	точки криволинейное 112, 120	относительное 113, 120	 переносное ИЗ	 прямолинейное 111Двутавры, геометрические характеристики 212, 218, 352, 359, 365, 366, 836 Девиатор напряжений 130Декремент затухания логарифмический 932, 973, 980 Демпферы 983Депланация при свободном кручении 216 Детерминанты см. Определители Деформации 132, 134, 136, 197—	высокоэластические 139 —, главные направления 132 —, интенсивность 134, 607—т компоненты 132, 134, 135—	остаточные 139—	пластические 139, 607	 вблизи круглого отверстия в пластинке 610—	при простом нагружении и разгрузке 136—	упругие 139, 197—	упруго-пластические 605 Деформация бетонов 164—	грунтов 882—	железобетона 176—	за пределами применимости линейных законов 615—	каменных материалов 171—	начальная 197—	плоская 134, 583—	сдвига 210—	температурная 197—	угловая 133—	упругая 197—	упругого последействия 6Г6 Диабаз 170Диаграмма локальная повернутых перемещений узлов фермы 560—	Максвелла — Кремоны 107, 553, 554—	механического состояния материала 142—	«напряжение — деформация» идеализированная 762—	полярная (Виллио) для определения перемещений узлов ферм 560—	Прандтля 833—	предельных напряжений при асимметричных циклах 143 Диаграммы зависимости напряжений я деформаций, виды, схе¬ матизация, построение 137, 833Диафрагмы оболочек и складок 722, 746 Дивергенция векторной функции 67
АЛФАВИТНЫЙ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬДинама 100 Динамика 118—	системы 120—	твердого тела 123—	точки 119 Дислокация 195, 196 Дисперсия 80 Дифференциал 38—	полный 40—	дуги 34Дифференцирование 37 Длина дуги 35, 36 Древесина 179, 612—	прессованная 181 Дюралюминий см. Сплавы алюминияЕдиницы механические 118 Железобетон 173—, коэффициенты продольного изгиба 747, 748 —, ползучесть 175 —, предельные деформации 176Жесткость цилиндрическая пластинок и оболочек 585? 620, 693, 809—	динамическая элементов конструкций 973Жуковского правило построения поворотного ускорения точки ИЗ Журавского формулы касательных напряжений 208Заболонь древесины 179Зависимость напряжений от деформаций в изотропном упруго¬ пластическом теле 605	в пределах упругости 134	за пределами упругости 136	 с учетом времени 612Задача Коши 58Закон Максвелла деформирования упруго-вязкой среды 612—	независимости действия сил 119—	нормальный распределения вероятностей 80—	общий линейный интегральный деформирования материалов 614 Законы динамики Ньютона 119—	трения Кулона 102 Запас прочности 144, 189 Заполнители для бегона 162 Затяжка арки 221Зона текучести 615Известняк 170, 172Изгиб балок см. Балки #—	косой 203	со сжатием 7£4—	пластинок прямоугольных 55, 56, 631—	прямой 203 Излом хрупкий 143 Инволюта 34Инерционные силы машин, таблицы 976 Интеграл Больцмана 614—	Коши 59—	кратный 45—	криволинейный 46—	определенный, приближенное вычисление 7 3 	, формулы 45—	неопределенный, формулы 41—	поверхностный 46—	Фурье 77Интегрирование функций иррациональных 42	 рациональных 41	трансцендентных 42Интенсивность деформаций 134, 607—	напряжений 130, 606 Инфлюенты (линии влияния) 224—, невыгодная установка грузов 564—	перемещений в статически определимых фермах 564—	усилий в арках 262, 266, 267, 268Инфлюенты усилий в балках 229, 238	в неразрезных балках 232, 240, 245, 409, 421	в рамах 273, 274	в статически определимых фермах 561Испытания строительных материалов 145, 163, 169, 180 Исчисление вариационное 59—	векторное 66—	дифференциальное 37—	интегральное 40—	операционное 65—	разностное (метод конечных разностей) 61 	метод сеток 589—	тензорное 67Камни искусственные 170, 172—	природные 170, 171 Канаты стальные 327 Кардано формула 21Каркасы зданий, динамический расчет 981Кармана результирующий модуль 829 Касательная 35Кастильяно теорема 227Квадратное сечение, геометрические характеристики 351 Кинематика 111—	колебательного движения 931—	механизмов 116—	твердого тела 113—	точки 111Кинетостатика системы 121—	точки 120 Кирпич 170, 171, 172 Кладка каменная 172, 747 Клеи 184Классификация методов расчета сложных рам 274 Клин, сжатый сосредоточенной силой 594 Колебания балок поперечные 56, 936, 942, 943, 947, 949 —, воздействие на людей, таблица 982—	вращательные 958—	вынужденные 932? 933, 935, 938, 984—	гармонические 931—	квазигармонические 940—	негармонические 931—	пластинки изгибные 937—	свободные 931, 932, 935	, приближенные методы определения форм и частот 940—	системы с одной степенью свободы 931	с непрерывно распределенной массой 936	с несколькими степенями свободы 934—	собственные арок 952	 балок см. Колебания балок поперечные	под действием движущейся нагрузки 972	жидкости в резервуарах 971	 конструкций, затухание 973	круговых колец 954	маятников и грузов на пружинах 965	 мостов висячих 972	плит 965	рам 949	сводов 952	сосуда прямоугольного с жидкостью 970	стержней крутильные 958	 постоянного сечения 958	 переменного сечения 964	продольные 964	 струн поперечные 965	 продольные 964	трубопровода при течении жидкости 971—	стержней поперечные вынужденные 938 	продольные У36Количество движения 120Кольца круговые, нагруженные в плоскости кривизны 522, 	— перпендикулярно плоскости кривизны 539
1032АЛФАВИТНЫЙ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬКольца круговые, колебания 954Кольцо и его части, геометрические характеристики 356, 358, 359,362,	363 Консолидация грунта 883 Консоль см. БалкиКонструкции каменные армированные 177—	клееные 183, 184—	комбинированные 319—	пневматические 183, 327—	предварительно напряженные 320, 575—	с применением пластмасс 183^ 184—	типа составных брусьев 314 Конус 24—	второго порядка 34—	усеченный 24Концентрация напряжений 145, 595 	у отверстий и выточек при растяжении 145, 595	при изгибе 596Координаты обобщенные 110 Копры для определения ударной вязкости 145 Корень квадратный, кубический, таблицы 82 Кориолиса (поворотное) ускорение 113 Корреляция 81Коррозия алюминиевых сплавов 162—	сталей 150, 157, 158Кошки и тали для перемещения грузов 1001 Коэффициент асимметрии цикла 143—	аэродинамический для определения ветровой нагрузки 992, 993—	бокового давления грунта 884—	вертикального давления грунта 899—	влияния формы сечения при внецентренном сжатии 760—	выносливости строительных материалов 974—	вязкости 612—	динамический 899, 933—	динамичности 1000	ветровой нагрузки 981, 993, 994—	запаса прочности конструкций 189, 190 	 на устойчивость откоса 901—	изменения нагрузки 671—	консистенции грунта 881—	концентрации напряжений 595 	эффективный 145—	корреляции 81—	крепости грунта (горной породы) 901—	линейного расширения алюминиевых сплавов 161 	 бетона 166	каменных материалов 172	 латуни и технической меди 162	материалов основных строительных конструкций 1000	 сталей 147—	лобового сопротивления для определения ветровой нагрузки 981, 993, 994—	неупругого сопротивления материалов в конструкциях 974—	однородности строительных материалов 164, 186, 188—	перегрузки 185, 899, 900, 989	при расчете на устойчивость положения 989	, таблица 990—	перехода от веса снегового покрова к нормативной снеговой нагрузке 996—	поглощения колебаний 973—	пористости грунта 880—	постели (отпорности основания) 246, 656, 885—	продольного изгиба при внецентренном сжатии для стали 760 	центральном сжатии 747, 748—	Пуассона см. Пуассона коэффициент—	пульсации скоростного напора ветра 981, 993—	редукционный волокон бруса большой кривизны 547 	для пластинок 818—	трения материалов 989	сыпучего тела по стенкам из различных материалов 855—	увеличения скоростного напора ветра 993Коэффициент уплотнения грунта 883—	устойчивости на опрокидывание 111—	фильтрации гр>нта 881 Коэффициенты Гаусса 37—	Ляме 135, 582, 583—	приведения нагрузки к равномерно распределенной 391—	условий работы 188 Краевой эффект 671, 674, 677, 691 Кран-балки 1001, 1004Краны мостовые 787, 1005 	 электрические 1009—	подвесные электрические 1001 Крест силовой 100Кривая веревочная 107—	ошибок 70	^—	ползучести 142—	резонансная 933—	усталости 143, 144 Кривизна Гауссова 37—	при изгибе 835—	средняя 37Кривизны главные нормальные 37 Кривые компрессионные грунтов 882—	набухания грунтов 882—	нормального распределения 80, 185, 186—	плоские 34	, радиус, центр кривизны 35—	пространственные 36	, радиус, центр кривизны 36	, вторая кривизна (кручение) 36—	скольжения 858Кристоффеля — Шварца формула 59Круг и его части, геометрические характеристики 23, 356, 357, 36)—	Мора см. Мора кругиКруги предельные текучести и разрушения 140 Кручение пластическое стержня с растяжением 611—	свободное 215, 216, 217—	стержня прямоугольного сечения 597—	стесненное 217, 307—	тонкостенных брусьев 305—	упруго-пластическое 610 Кузнечные молоты, виброизоляция 984 Кулона законы трения 102—	теория давления сыпучего тела 859 Кульмана многоугольник сил 106. 108. 109—	способ определения давления сыпучего гела 862 	усилий в фермах 108	разложения сил 105Купола 574, 670Лагранжа вариационный принцип 229, 629 Лагранжа уравнение 2-го рода 122—	формула интерполяционная 70Лапласа оператор дифференциальный 626, 693, 719—	преобразование 65—	уравнение 56 Латунь 162 Лед 879Лежандра полиномы 64 Лигнофоль 181Линейное деформирование 614 Линии влияния см. Инфлюенты—	скольжения 858 Линия нейтральная 203—	прямая на плоскости 30 	 в пространстве 33—	цепная 32Лифты больничные 1023—	грузовые общего назначения 1022—	пассажирские 1022 Логарифмы 17
АЛФАВИТНЫЙ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ1033Логарифмы натуральные, таблицы 82 Лопиталя правило раскрытия неопределенности 39Максвелла закон деформирования упруго-вязкой среды 612 Максвелла — Кремоны графический мегод определения усилий в фермах 107, 553, 554 Максвелла — Мора формулы для определения перемещений 285 Марки бетона 163—	камня 170Маркуса численный метод, расчет плит 630 Масса 118, 119—	грунтовая 879Материал упруго-пластический 833—	хрупкий 139 Материалы каменные 169 Матрицы 20, 286, 337—	обр.нные 20. 286^ 342, 350—	транспонированные 20Машины вычислительные, применение для решений систем урав¬ нений 346, 349—	создающие динамическую нагрузку на сооружения 976 —, группы по динамичности 977—, категории по динамичности 975, 978 Мачты, расчет 574 МЪятник математический 120—	физический 123, 965 Медь техническая 162 Меллина формула 65 Мембраны 665Мероприятия по уменьшению колебаний 985 Меры английские и метрические, соотношения 95 Метод аналогии мембранной 215, 610	, нагрузки и эпюры при стесненном кручении и изгибе 306	при расчете простых рам 270, 472	статико-кинематической 116, 194	обобщенной 198—	бесконечной основной системы 239—	вариационный Бубнова — Галеркина 60, 629 	 Галеркина 588	Лагранжа — Рища 629	 при расчете пологих оболочек 697	Ритца 61, 586	Тимошенко 229	Треффца 589—	графоаналитический определения перемещений балок 234—	Грина 57—	заданных напряжений, расчет статически неопределимых ферм 565—	квадратных корней для решения систем уравнений 349—	кинематический определения усилий в стержневых системах 224—	конечных разностей 61, 590 	, расчет пологих оболочек 697—	наименьших квадратов, приближение функций 72 	, формулы приближенные гармонического анализа 78—	начальных параметров, определение усилий и перемещений 229 	при расчете кривых брусьев 517	неразрезных балок на упруго оседающих опорах 241	, расчет балок на упругом основании, таблица 511	 оболочек 681	осесимметричных плит 646	, решение дифференциальных уравнений 51—	перемещений (деформации), расчет рам 274, 279—	Понселе определения давления сыпучего тела 866, 868—	последовательных приближений, расчет балок и плит на упру¬ гом полупространстве 911	, расчет рам 289	 в теории колебаний 940—	потенциальной энергии 227	f—	предельного ра'вновесия, расчет плит 848 	, применение к сыпучей среде 856—	разделения переменных 56—	Римана 57Метод сечений, определение усилий в фермах 107, 553—	сеток в теории упругости 589—	сил, расчет балок и плит на упругом полупространстве 90$ 	, расчет статически неопределимых рам 285	статически неопределимых ферм 565—	смешанный, расчет балок и плит на упругом полупространств ве 906	сводов-оболочек и призматических складок 725	статически неопределимых рам 274—	статический определения перемещений стержневых систем 224>—	трех и четырех моментов, расчет рам 275—	фокусов (фокусных отношений)^ расчет статически неопреде¬ лимых рам 298—	характеристик в теории пластичности 607—	численный Маркуса, расчет плит 630—	Энгессера — Шеи л и расчета на устойчивость 759, 829Методы вариационные решения дифференциальных уравнений и, задач строительной механики в теории упругости 55, 59, 229, 586, 629, 700—	общие строительной механики 220—	определения деформаций и усилий в плитах 626—	приближенные определения частот и форм свободных колеба*- ний 940	 Ритца 941	Рэлея 940—	расчета балок и плит на упругом полупространстве 905 	 конструкций 184	по допускаемым напряжениям 184, 190	по разрушающим нагрузкам 184, 189	по расчетным предельным состояниям 184, 989	сжатых стержней в упруго-пластической стадии 758Механизмы безрельсовые горизонтального транспорта 1024—	подъемно-транспортные 1001 Моавра формула 58Модели неоднородных материалов 613—	механические грунта 885 Модуль деформации грунтов 886, 893—	объемный 134—	основания 656—	сдвига 134, 582—	скорости, ускорения 112—	упругости 134, 606	алюминиевых сплавов 161	бетона 166	длительный (равновесный) 614	древесины 181	каменных материалов 172	касательный 166, 758, 759	мгновенный 614	 пластмасс 181	приведенный 758	секущий 166, 759	стали 147Мольвейде формулы 28Момент изгибающий в арках, таблицы *29 и далее	балках, таблицы и эпюры 367, 392	брусьях круговых 517, 529	рамах, таблицы и формулы 453	предельный 835—	инерции массы тела 122 	 сечения 200	, вычисления с помощью редуцирования площадей 201	с применением кругов Мора 201	относительно произвольно наклонных осей 200	полярный 206	(	направленный 207	секториальный (бимомент инерции) 218, 365, 366	таблицы 351	, формулы перехода от исходных осей к параллельным 201	, формулы перехода от главных центральных осей к про¬ извольным 201 	центральный 200. 201
1034АЛФАВИТНЫЙ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬМомент инерции сечения центробежный 200	свободного кручения, таблицы 363, 366	тел, таблицы 122, 123—	кинетический 121 123—	крутящий в брусьях круговых 530 	предельный 611—	силы и пары 98—	сопротивления свободного кручения, таблицы 363, 366, 597 	 сечений пластический 835	секториальный (бимомент сопротивления) 218, 366	, таблицы 351—	статический массы тела 103 	площади 103	 сечения 200	 направленный 207	секториальный (статический бимомент) 218—	свободного кручения в брусьях кру/овых 530—	стесненного кручения в брусьях круговых 530 Монорельс круговой 537Мора круги 131, '201, 856	, применение к определению- моментов инерции относительнонаклонных осей 201—	теория прочности 140, 141 Мосты 787—	висячие, колебание 972 Мотор силовой 99 Моторгенераторы 983 Мощность 110, 118 Нагрузка аварийная 990—	ветровая 185, 990, 992	на гибкие сооружения 979	, учет порывистости 980—	динамическая 975, 1000—	длительная 142—	импульсивная 145, 939—	крановая 990. 1001—	кратковременная 939—	критическая для рам 803	потери устойчивости плоской формы изгиба балок 767, 797—	многократно изменяющаяся во времени 143—	монтажная 992—	на фермы 552—	нормативная 184, 989, таблица 990—	от технологического оборудования 975, 990, 1000—	повторная 833—	подвижная 1001—	полезная на перекрытия, таблица 992—	предельная 833	, определение в упруго-пластических системах 834—	разрушающая 859—	расчетная 184, 989—, расчетные сочетания 989—	сейсмическая 990,* 1001—	снеговая 185, 990—	статическая 833, 990—	ударная 145—	фиктивная 194, 235, 237, 263, 267, 271, 272, 287 474—	эквивалентная равномерно распределенная для определения опорных моментов неразрезных балок 391Напор скоростной ветра 993, таблица 994 Напряжения 127—	главные 127—	допускаемые 190—, интенсивность в данной точке 130—	касательные 127, 128, 205, 606		при изгибе 208, 210, 213	 свободном кручении 215	, свойство парности 127	, экстремальные значения 129—, компоненты 130 134, 135—	критические потери устойчивости см. УстойчивостьНапряжения критические потери устойчивости, верхние значе¬ ния 811	, нижние значения 811—	нормальные при растяжении — сжатии и изгибе 127, 128, 200, 203 	максимальные 204—	октаэдрические 129—	переменные 143—	под жестким штампом 608—	полные 129—, преобразование компонентов к новым осям координат 130—	при простом нагружении и разгрузке 136. 606—	тензор 130, 579, 580—	эквивалентные по различным теориям прочности 141 Начало (принцип) возможных перемещений 111, 224—■ наименьшей работы 583 Неизвестные лишние 198 Неопределенность, раскрытие 39 Непрерывность 37 Номограммы, номография 69, 70 Нормы нагрузок см. Нагрузки Нормаль главная 36 Ньютона бином 18—	законы динамики 119—	интерполяционная формула 71 Оболочки 669—	вращения, безмоментная теория 684	, графический способ расчета 690	, учет изгибающих моментов 691—	из мягких воздухонепроницаемых материалов 327 	стеклопластиков 183—, классификация и качественная характеристика работы 669—	конические 685, 827 828—	короткие цилиндрические железобетонные 745—	пологие 670, 692	, определение усилий по линейной безмоментной теории 697	, определение прогибов и усилий по линейной моментной тео¬ рии 700	, нелинейная теория расчета 715	сферические 719	цилиндрические, расчетные графики 703, 707—, пределы применимости безмоментных и моментных теорий 671—	ребристые 669—	сетчатые (своды) 669—	сплошные 669—	сферические 685, 822, 829—	тонкостенные 6/0—	торообразные Ь90 —, устойчивость 811—	цилиндрические круговые замкнутые 671, 823, 831	под нагрузкой, не обладающей осевой симметрией 677	открытые 311	,	ортотропные 678	 ребристые 678	, сопряжения 677	тонкостенные с открытым деформируемым поперечным сече¬ нием 311—	эллиптические Ь88 Обработка наблюдений 80Объем, относительное изменение 13?Объемы тел, таблица 24 Огибающие семейства кривых 35 Ожидание математическое 80 Окружность 30Оператор дифференциальный 626, 693, 719 Определители (детерминанты) 18—	Якоби 46 Оргстекло 182Осадка оснований зданий и сооружений 887 '	, расчет ■; т vai'Hb во времени 89ЬОси коорди.. 1* ip гою бруса несимметричного сечения 198—	главные центральные 200
АЛФАВИТНЫЙ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ1035Оси главные центральные сдвига 207 Основание зданий и сооружений, расчет осадок 887 	 двухслойное 930	, расчет по сопротивлению грунта 897—	упругое 198, 50b, 65Ь, 779, 885 Остроградского — Гамильтона принцип 122 Ось нейтральная 203, 834—	рациональная арки 221Отклонение среднее квадратичное (стандарт) 80, 185Откосы, расчет 901Отображение конформное 59Отпорность есневания 198, 246Ошибка средняя квадратическая 81—	функции, средне* значение 81Панели зданий крупнопанельных и каркасно-панельных 178, 183, 315, 603—	конические, устойчивость 822—	сферические, устойчивость 822—	цилиндрические, устойчивость 820 Пар водяной (в порах грунта) 879 Парабола 30Параболоид вращения 25—	гиперболический, эллиптический 34 Параллелепипед сил 98 Параллелограмм сил 98Параметры начальные см. Метод начальных параметровПара сил, ее момент, сложение 99Пары кинематические 116, 117Пенопласт 182Перекрытия кессонные 422—, динамический расчет 981—, уменьшение колебаний 986Перемещение возможное (виртуальное) 111. 224—	динамическое 931—	радиальное, тангенциальное, аксиальное 581—	элементарное 115 Перемещения обобщенные 227—, определение графоаналитическим методом 234 —, определение с помощью теоремы Кастильяно 227	статическим методом в статически определимых системах 224	в статически неопределимых системах 225Перестановки 18 Период колебаний 931 Песок см Грунты Песчаник 170. 172 Пирамида 24—	усеченная 24 План скоростей 118 Пластинки гибкие 662 —, изгиб 56, 585—, колебания 937—	косоугольные 820—	круглые 819—	прямоугольные 811. 830	, подкрепленные ребрами 816—	треугольные 819 —, устойчивость Ы1—	эллиптические 819 Пластичность 139 Пластмассы 181, 330, 612 Пленки 331Плиты анизотропные 653	круглые ■ эллиптические 655	прямоугольные 654—	в виде кругового сектора 651—	«вспарушенные* 692—	железобетонные 848—	круглые и кольцевые 638, 848 	ребристые 049—	многоугольные к48. 849—	на упругом основании 656Плиты на упругом основании круглые и кольцевые 661	прямоугольные 659	полупространстве 905, 919^ 920	бесконечно жесткие 919	бесконечно протяженные 920	гибкие 920	под высотными зданиями 927—	прямоугольные 620. 631, 849, 850 	неразрезные 634	ребристые 625, 638—, собственные колебания 965 —, температурные напряжения 661—	треугольные 652—	упругие 619—	эллиптические 650 Плоскость 33—	выпирания 860—	касательная, нормальная, соприкасающаяся, спрямляющая 36—	обрушения 860Площади плоских фигур, таблица 23—	сечений, таблицы 351 Площадь направленная 206—	погонная 206—	секториальная 211—	сечения 200 Поверхности 24 37—	второго порядка 33—	предельные 140—	скольжения в сыпучей среде 860, 869, 877, 902 Погрешность абсолютная, относительная 68 Податливость основания 198 Подкасательная 35Подкрановые балки, данные для расчета 411. 412 Поднормаль 35 Подпятники 124 Подшипники 124Поле силовое потенциальное 110 Ползучесть 612, 850—	бетона 167—	древесины 851—	железобетона 175. 851—	каменной кладки 172—	проволоки высокопрочной 153—	стали 852—, учет при расчете конструкций 650 Полиномы Лежандра, Чебышева 64 Полиэтилен 184, 331 Полуплоскость упругая 595 Полупространство упругое 595, 885 905	. методы расчета балок и плит на нем 905	, напряжение и осадка поверхности при разных нагрузках889, 893, 894	, напряжение & осадка сжимаемого слоя, подстилаемого аб¬ солютно жестким основанием 895	, примеры расчета сооружений на нем 922Пористость грунта 880 Пороки древесины 179 Потенциал силы 110Потенциальная энергия см. Энергия потенциальнаяПотери от коррозии 150, 151, 158Потеря устойчивости см УстойчивостьПояс фермы 551Правило Верещагина 286, 502—	Жуковского построения поворотного ускорения точки 113—	Лопиталя 39—	размерностей 118 Прандтля диаграмма 833—	мембранная аналогия 215? 610 Предел выносливости 143, 974	алюминиевых сплавов 161	 бетона 163	 стали низколегированной 156
1036АЛФАВИТНЫЙ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬПредел выносливости стали углеродистой 150 	строительных материалов 143, 146, 974—	ползучести 146—	пропорциональности 146—	прочности 146, 170, 189 	длительной 146—	текучести 136, 146—	упругости 146—	усталости 975Предельное равновесие сыпучей среды см. Теория предельного равновесия Пределы 37Призма выпирания 860—	обрушения 860 Призматоид 25 Призмы 24Принцип (начало) возможных перемещений 111, 224—	Даламбера 120, 121—	Лагранжа вариационный 229, 629—	Остроградского — Гамильтона 122—	сложения 227—	Торичелли 111 Проволока высокопрочная 153Прогибы балок, таблицы 370, 372. 387, 388, 406 Прогрессии 18Произведение векторное, скалярное 66 Производная 38—	высшего порядка 40 Просадка основания 887Протодьяконова формула горного давления 900 Профили замкнутые 308 Прочность алюминиевых сплавов 161—	асбестоцемента 178—	бетона 162—	древесины 179—	каменных материалов 169—	пластмасс 181—	строительных материалов 139 Прямоугольник инерции 201Прямоугольное сечение, геометрические характеристики 351, 352?363,	364 Пуассона коэффициент 134	алюминиевых сплавов 160	 бетона 166	 грунтов 887	каменных материалов 172	стали 147	упругого полупространства 912—	уравнение 56Пути для подъемно-транспортных машин 1004—	железнодорожные 1027Работа, единицы 118—	силы 109, 195 Равновесие безразличное 111—	неустойчивое 111—	предельное сыпучей среды см. Теория предельного равновесия—	сил 98—	системы произвольных сил 100—	устойчивое 111 Радиан 25 Радиус-вектор 112—	инерции сечения 202, 360—	кривизны 36—	кривизны бруса 530 Размах колебаний 931 Размерность 118 Размещения 18 Разрушение 139 Разупрочнение 142 Рамы 222, 274 , 453—	Г-образные 271, 453, 465Рамы из тонкостенных брусьев 310 —, классификация методов расчета 274—	многоэтажные 289, 292, 296, 301, 314, 500, 784, 806 —k—t расчет на горизонтальную нагрузку 296, 314—	нагруженные перпендикулярно их плоскости 273—	одноконтурные (простые) 270—	одноэтажные многопролетные 488, 845, 950-г П-образные 270, 291, 461, 784, 803, 804, 805, 842, 844, 949, 952 —, построение инфлюент 274—	пространственные 302—, расчет методом перемещений (деформаций) 279, 302	последовательных приближений 289	сил 285	фокусов 298	пластический 806	по погиби 805	 по способу распределения моментов 289	 распределения углов поворота 294	трех и четырех моментов 275—, таблицы и формулы для расчета 453—	Т-образные 457, 468 —, устойчивость 784, 800 Распор арок 221, 261} 429 и далее Распределение вероятностей биномиальное 80 	, нормальный закон 80—	скоростей 114, 115Раствор для каменной кладки 172 Растяжение одноосное 134—	по двум направлениям 128—	центральное 204 Расчет виброизоляции 983—	деформационный стержневых систем 777 	 арок и колец 780	балок 790	 бруса на упругом основании 779	бруса сжато-изогнутого 796	брусьев многопролетных 777	рам 784	тонкостенных стержней открытого профиля 796—	динамический перекрытий и каркасов зданий 981—	конструкций за пределами упругости 833	по допускаемым напряжениям 184, 190	1	предельным состояниям 184 , 989	разрушающим нагрузкам 184, 189—	на устойчивость положения: всплытие, опрокидывание, сколь¬ жение 989—	пластический рам 806Реакции закреплений, стоек, переменного сечения 475—	опорные 100	 арок 429 и далее	балок 370 и далее	, определение с помощью веревочного многоугольника 105	 рам 461 и далее	 связей 97Ребхана способ определения давления сыпучего тела 865, 868Редуцирование площади 201Резервуары 674, 677—, колебания жидкости 971Резольвента 62Резонанс 923, 935t 986—	ветровой 979 Рекристаллизация 142 Релаксация напряжений 612, 850	в железобетонных конструкциях 851	металлических конструкциях 852, 853	предварительно напряженной арматуре 851Рельсы для мостовых кранов 1021—	железнодорожные 359Риттера способ определения усилий в стержнях ферм 108, 552 Ротор (вихрь) векторный функции 67 Ряды 46—	биномиальные 48
АЛФАВИТНЫЙ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЕ1037Ряды гиперболотригонометрические 48, 626—	степенные 47—	трансцендентных функций 48■— тригонометрические, суммирование 628—	функциональные 47—	Фурье 74—	числовые 46СВ AM (стекловолокнистый анизотропный материал) 181 Своды 670 Своды-оболочки 722—	—, восьмичленные уравнения 725 	 короткие 745	, расчет методом перемещений 736	, расчет смешанным методом 725	средней длины 723Свойства механические армоцемента 177	асбестоцемента 178	бетона 162	древесины 179	железобетона 173	 каменной кладки 169	пластмасс 180	сплавов алюминия 161	стали низколегированной 154	углеродистой 147Связи 97—	упругие 111 Сдвиг 206—	направленный (в тонкостенных сеченнях) 206—	относительный 206—	чистый 128Сегмент круговой 356, 357—	параболический 359, 361 Сейсмические воздействия 989 Сектор круговой 357, 361 Сечения конические 32—	тонкостенные замкнутые 213 	открытые 210—	составные, геометрические характеристики 209, 216, 360, 365 Сиенит 170Сила 97, 118 119—	возмущающая 933—	живая (кинетическая энергия) 121—	инерции 120—	лошадиная 118момент относи!ельно центра и оси 98, 99—	объемная 582—	тяжести 110 Силос 873, 922Силы импульсивные 939—	инерционные oi машин 976—	критические (эйлеровы) для различных центрально сжатых стержней 748	для стержневых систем 805—	нормальные (продольные) 195—	обобщенные 110, 227, 228—	параллельные 99	' ‘—	периодические 933поперечные в балках, формулы и эпюры 367 и дал-ее —, произвольная система 99 —, сложение и разложение 98, 108	с помощью веревочного многоугольника 104Симпсона формула 73 Синеломкость 142 Система консервативная 121 Системы вантовые 223—	комбинированные 223—	координат 29—	мгновенпоизменяемые 220—	механических единиц 119—	наименьшего веса Ь47Системы основные при расчете статически неопределимых кон¬ струкций 220—	— бесконечные 239—	спаренные плоские (биконструкции) 223—	статически неопределимые 100, 220, 840 	определимые 100, 220—	стержневые 220—	с трением 102 Скала см Грунты Скалярная функция 67 Складки 669—	призматические 670 722 Скорость 112, ИЗ, 114—	ветра критическая 979—	приложения нагрузки, влияние на прочность 145—	точки абсолютная, относительная, переносная ИЗ—	угловая 113Сложение скоростей и ускорений точки ИЗ	при сложном дрижении твердого тела 115Соединения 18Соотношения интегральные между напряжением и усилием в поперечном сечении 195 Сопротивление временное 146—	нормативное сфотельных материалов 164, 185, 186—	расчетное грунтового основания 897	строительных материалов 164, 186, 187Состав грануломе1рический см. Гранулометрия—	химический стали низколегированной 154 	углеродистой 167 ,	сплавов алюминиевых 161Состояние деформированное 133—	напряженное, влияние на поведение материалов 139 	, инварианты 130	, общий случай 131	объемное 128, 135	 одноосное 127	плоское 128 131. 133, 134, 583	упруго-пластического тела 607. 609—	предельное 833 , 8^	конструкций 184, 188. 189, 989	 пли1 848—	— сечения при изгибе, внецентренном сжатии и растяжении 834 	стержневых систем 839Сосуд сферический 594 Сотопласт 184 Сочетания 18—	нагрузок 989 Спираль 32Сплавы алюминиевые 160Способ вырезания узлов (расчет ферм) 553? 572—	Голушкевича определения давления сыпучего тела 858. 869. 872—	замены стержней (расчет ферм) 557, 5/3—	наименьших квадраюв см. Метод наименьших квадратов—	последовательных приближений (итерации) решения алгебраи¬ ческих уравнений 22, 343—	разложения на плоские фермы (расчет пространственных ферм) 573—	фиктивных грузов (построение эпюры прогиба ферм) 561—	угловых точек для определения напряжений под основанием 891Способность несущая 189	массива, нагруженного горизонтальной силой и защемлен¬ ного в сыпучем теле 872	пластинок 818	пли г 848	сечения при изгибе, внецентренном сжатии и растяжении 834	стержневых систем 839	сыпучего основания по устойчивости 875Среда сыпучая 855	, плоская задача 857	, предельное раввоиесие 856Срез 206
АЛФАВИТНЫЙ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ10.18 — -■ 	Срез направленный (в тонкостенных сечениях) 206 Стадии работы материала 139 Стадия работы пластическая 136, 833 	упругая 134Сталь низколегированная 154. 606—	строительная нь. 60t>—	углеродистая 146. 147, 606 	«арматурная 153—	— волнистая 359 	 горячекатаная 147	для шпунтовых свай 152	 заклепочная 151	 кровельная листовая 152	мостостроительная 151Стандарт кривой распределения 80. 186 Старение сталей 149, 156 Статика 97—	аналитическая 109—	геометрическая 97—	графическая (графостатика) 104—	сыпучей среды 5/. 855 Стекловолокно 182 Стекломаты 182 Стеклопластики 182 Стенки шпунтовые 903Стены каркасно-панелоные 178^ 183, 315. 603Степени и корни 17Степень влажности грунта 880—	упрочнения грунта 884—	числа 17, 82Стирлинга формула значения факториала 18 	интерполяционная 71Стойки переменного (ступенчатого) сечения 277, 477 Сужение относительное при разрыве 146 Сфера 33Сходимость рядов 46Сцепление арматуры с бетоном 174—	в сыпучих телчх и грунтах 857, 881Тавр, геомефичегкие характеристики 353 Тали см. Кошки и талиТвердость по Бринеллю, Виккерсу, Роквеллу 146 Тела вращения 24, 25, 104 Тело сыпучее 855	1 графическое определение активного и пассивного давления 862. 868, 869	, формулы и таблицы для определения активного давления861—	твердое прикрепленное 102—	упругое анизотропное 135, 653 	изотропное 135	ортотропное 135, 653—	упруго-вязкое 612—	упруго-пластическое 605, 615 	идеальное 606Температура, влияние на механические свойства материала 142 —, учет при расчете конструкций 1 000—	хрупкости критическая 145 Тензор 67—	деформаций 579, 581—	напряжений 130, 579, 580—	шаровой 130Теорема Арнгольда — Кеннеди 118—	Гюльдена 25, 104—	Кастильяно 227—	Лагранжа — Дирихле 111—	обобщенная о взаимности работ активных факторов, дейст¬ вующих на упругие системы 225—	о взаимности единичных перемещений и усилий 226—	о минимуме энер1ии деформаций 228	*—	о экстремуме полной энергии 228—	Штейнера 122Теоремы Вариньона 100 Теории прочности 140 Теория вероятностей 79—	корреляции 81—	оболочек безмоментная 671, 673, 684, 694	моментная 671 674. 692, 694, 700, 703, 718	техническая (полубезмоментная) 677	нелинейная 694, 715—	пластического течения, устойчивость пластинок и оболочек 829—	пластичности 605	, общие уравнения малых упруго-пластических деформаций605	. плоская задача 606—	предельного равновесия сыпучей среды 856, 858, 872t 875, 902—	упругости, основные уравнения 579	, плоская вадача 56, 583, 857	, схемы решения задач 582Теплопроводность железа- и стали 147 Термопласты 182Течение пластическое, уравнение 5/, 615 Тор 25Торичелли принцип 111 Точка в пространстве 32—	на плоскости 29Траектория главных напряжений 858—	огибающая семейства кривых 35—	точки 112Трапецеидальное сечение, геометрические характеристики 355 Трение качения 102—	скольжения 102, 855, 856Треугольное сечение, iеометрические характеристики 354, 361, 364 Турбоагрегаты 983 Туф вулканический 170Углы, измерение 25—	поворота сечений балок, таблицы 370 и далее—	прецессии, нутации, собственного ьращения 115 Угол внутреннего трения сыпучих тел Ь55, 856 	грунтов 881—	закручивания 215—	трения 102	сыпучих тел по стенкам из разных материалов 856Уголковое сечение, геометрические характеристики 352. 353, 362 Удар 124—	двух тел 125—, основные уравнения 124—	точки о поверхность 124 Удлинение главное 133—	относительное при разрыве 146 	алюминиевых сплавов 161	стали 148, 151, 152. 153, 154 156. 157. 158. 159Упругая полуплоскость см. Полуплоскость упругая Упругое полупространство см. Полупространство упругое Упругость 134, 139 Уравнение бигармоническое 56, 584—	дифференциальное Бернулли 49 	Бесселя 51	 Клеро 49	Пуассона 56	Эйлера 51, 229—	гармоническое Лапласа 56—	интегральное Абеля 63—	Ренкина 858Уравнения алгебраические линейные, решение систем 337 	высших степеней (второй третьей и т. д.) 21—	дифференциальные линейные 49 	 второго порядка 49	в частных производных 49	квазилинейны* 57	линейные высших порядков 50	математической физики гиперболического, параболическогои эллиптического типов 56, 609
АЛФАВИТНЫЙ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ1039Уравнения^ дифференциальные неоднородные 50	обыкновенные 49	однородные 49 50, 53	 первого порядка 49	, приближенные методы решений 52	, решение методом начальных параметров 51	четвертого порядка с биквадратным характеристическимуравнением 52—	интегральные 62	 второго рода 62	Вольтерра 63	 первого рода 62	сингулярные 63	Фредгольма 62	, ядро 62—	канонические повер-осспей второго порядка 33 	метода перемещений 284	сил 285—	обыкновенные линейные 19 	, приближенные решения 22—	пяти моментов 260—	равновесия в теории пла-тичности 607 	 упругости 579	Ляме 582—	разностные 61—	совместности деформаций (Сен-Венана) 580—	трех моментов 251, 253? 275, 800—	трегчленные алгебраические 253—	четырех моментов 275, 800 Усадка бетона 168, 1 000—	в железобетонных конструкциях 174—	кирпича 172Усилия в статически неопределимых системах, формулы 382, 392 и далее, 840—	в стержнях ферм см. Фермы—	касательные погонные 206, 208—	нормальные погонные 204—, определение кинематическим методом в статически опреде¬ лимых системах 224—	разрушающие 189 Ускорение 111, 112—	силы тяжести 119—	точки абсолютное, относительное, переносное, поворотное ИЗ—	угловое 114Условия граничные 49, 56, 608, 675, 682—	краевые 583—	начальные 49, 56—	пластичности (Генки. Губера, Мизеса, Сен-Венана) 136, 606, 607, 610, 611—	равновесия сил 101, 102 Устойчивость арок 780—	брусьев на упругом основании 779—	в «большом» 811—	в «малом» 811—	колец 780—, коэффициенты продольного изгиба при внецентренном сжа¬ тии 760	при центральном сжатии 747, 748—	многопролетных брусьев на упругих опорах центрально сжа¬ тых 778	центрально сжатых 777—	оболочек 811	замкнутых в пределах упругости 823	за пределами упругости 829, й31	незамкнутых (панелей) в пределах упругости 820—	пластинок в пределах упругости 811 	за пределами упругости 829, 830	при сдвиге в пределах упругости 814, 815, 817, 818—	плоско:) формы из!иба б^лок /67, 797—	положения (против всплывания, опрокидывания, скольжения) 989Устойчивость равновесия 111—	рам многоэтажных 786, 806 	одноэтажных 784. 803—	сжатого пояса открытого моста или крана 787—	стержневых систем ГП—	стержней внецентренно сжатых 759> 767 	сквозных 765	тонкостенных трубчатых 748	пространственная 764	центрально сжатых 747	в упруго-пластической стадии 758	сквозных 765Фаза начальная 931 Факюриал 18 Фанера 181 Фермы 222, 551—	арочные 558—	вантовые 558—	комбинированные 558—	плоские 551	преобразованные 223	простейшие 223	соединенные связями (биконструкции) 568 '	статически неопределимые, инфлюонты усилий 567	. определение усилий в стержнях 564	, перемещения узлов 567	определимые, инфлюенты усилий и перемещений 561	, определение усилий в стержнях 107, 552	, перемещения узлов 558—	Полонсо 553—	предварительно напряженные 575 —, проверка расчета 567—	пространственные 571	, определение усилий в стержнях 572	преобразованные 571	 прикрепленные 571	простые 571	свободные 571—. работа «нулевых» стержней 566—	распорные 558—, расчет на внеузловую нагрузку 555—	с гибкими пересекающимися раскосами 555—	с нецентрированными узлами 565—	с «окном» 555—	с параллельными поясами 553 —, строительный подъем 561—	тонкостенные 557—, условия неизменяемости 551, 571 —, учет жесткости узлов 566 	защемления 557—	шпренгельные 565Формула Журавского касательных напряжений 208—	Карданр 21—	Коистоффеля — Шварца 59—	Максвелла — Мора для определения перемещений 285—	Меллина 65—	Моавра 58—	Мольвейде 28—	Протодьяконова для определения горною давления 900—	Симпсона 73—	Стирлинга значения факториала 18 	 интерполяционная 71—	Чезаро 582—	Штаермана 73—	Янсена — Кенена 874Формулы для подсчета интегралов	(по правилу Вере-щагина) 502—	интерполяционные 70—	решения треугольников 28—	сокращенного умножения и деления 17
1040АЛФАВИТНЫЙ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ‘Фундаменты под машины — колебания 983—	сооружений 905f 922. 929Функции Бесселя (цилиндрические) 51, 64—	гиперболические 29, 92—	гиперболо-круговые для расчета балок на упругом основании и резервуаров, таблицы 506—	затухающие для расчета балок на упругом основании и ре¬ зервуаров, таблицы 512—	комплексной переменной 58—	обратные тригонометрические 28—	показательные 92—, приближенное представление 70 —, разложение в ряд Фурье 74—	специальные 64—	тригонометрические 25, 92Функция 37—	векторная, скалярная 67—	влияния, определение перемещений круговых колец 542—	двух переменных 39 —, исследование 39—	логарифмическая 17—	напряжений (Эри) 584	в конечных разностях (тринадцатичленное уравнение) 589—, разложение в ряд 47, 48—	распределения ьероятностей 80—	силовая 110—	Эри 584 Фурье интеграл 77—	преобразование 77—	ряды 74Характеристики геометрические редуцированного сечения бруса большой кривизны 547 	 сечений 351—	динамические строительных материалов и конструкций 973—	изгибно-крутильные круговых брусьев 530 Холм напряжений 216Центр изгиба 205, 208, 361, 365	тонкостенных замкнутых сечений 214	открытых сечений 211—	инерции 121—	масс 121—	мгновенный вращения, скоростей 114. 118—	сдвига 207—	тяжести 103	материальной системы 103	однородных гел и фигур 103		плоских фигур, нахождение с помощью веревочного много¬ угольника 106 Центроида неподвижная, подвижная 115 Цепочка силовая 569 Цепь кинематическая 116 Циклоида 32 •Цилиндр 24—	гиперболический, параболический, эллиптический 34—	толстостенный расчет 594—	тонкостенный, расчет 675, 676, 677 Циркуляция вектора 67Частота колебаний 931—	круговая 931 Чебышева полиномы 64—	правило приближенного интегрирования 73—	формула приближенного гармонического анализа 78 Яезаро формулы 582Чечевица полая, геометрические характеристики 358 Числа влияния 254, 286, 342(V—	комплексные 58Число оборотов машин 976—	пластичности грунта 880—	твердости грунта 884Члены грузовые (свободные члены уравнений трех моментов), таблицы 373	при расчете кривых брусьев, нагруженных в плоскости кри¬ визны 517Чувствительность к старению низколегированной стали 156 	 углеродистой стали 149Шар, части его 24 Шатры 670Шарниры пластические (текучести) 835, 839—	шаровые, цилиндрические 116 Шварца формула 59Швеллер, геометрические характеристики 210, 212, 353, 359, 362f 365 366, 836 Швы деформационные 1000 Шкала функциональная 69 Шпангоуты круговые 526 Шпунты см. Стенки шпунтовые Штаермана формулы 73 Штейнера теорема 122 Шухова башни гиперболические 575Эволюта кривой 34Эвольвента (инволюта, развертка) 34Эйлера углы (прецессии, нутации, собственного вращения) 11л—	формулы скорости точек 115Эйлерова критическая сила для центрально сжатых стержней 7!» Эксцентрицитет силы в плоскости изгиба 759	начальный малый 747Электрокары 1024 Эллипс, его части 23. 31—	инерции 202Эллиптическое сечение, геометрические характеристики 358, 363	полое 359. 363Эллипсоид 25, 34—	напряжений 130 Энергия 118—	деформация удельная 136—	изменения объема 136—	кинетическая вращения твердого тела 123	плоско-параллельного движения твердого тела 124	системы, точки 121—	потенциальная 110, 121, 227	бруса большой кривизны 549	деформации 226, 227, 229, 583	 плиты 629	полная балки при сложном изгибе 229	упругого тела 136—	формоизменения 136Эпюры нормальных напряжений 615, 834, 835^ 838 Эстакада рамная 275, 976, 284Эффект краевой в оболочках см. Краевой эффектЯдро древесины 179—	сечения 204—	упругое 834Якоби определитель 46Янсена — Кенена формула для определения давления сыпучих тел в силосах 874СПРАВОЧНИК ПРОЕКТИРОВЩИКАРАСЧЕТНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙГосстройиздат Мо-'ква, Третьяковский проезд, д. 1 . * * *Редактор издательства И. С. Бородина	'г'^ит*тТРГкий редактоо И. И. Рудакова.	Корректор Г А. ЛпЯрдеваСдано в напор 8 X 1959 г. Подписано к печати 26/VII I960 г. Т-07383 Ьумах а 84 х 108^=32,6 бум. л.—106,6 уел. печ. л. (145,28 уч.-изд. л.)« Тираж 50 000 экз. (25 001—50 000). ИзД- № Х-2263. Зак. bk 2098. Цена 6 руб. '	‘Типография 1 Государственного издательства литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам, г. Владимир
Стра¬ница175362939494127127197219219294296297489-491624624^86687765890ОПЕЧАТКИСтрокаСтолбец1НапечатаноСледует читатьсверху j снизуп 	п f 	111-яУт/т25-яЬ*у*Ь*у26-яЧд (*Н	Я-1 (X) = •ch х30-я1,628521,66852е*24-я16,4146516,44465ch х24-я9,252738,25273Рис. 3. 216221Табл.5.33-я5-я12-яТабл. 5. 9.2-я3-я5-яТаблица коэффициентов т), графа „Характеристика сто¬ ек* , нижняя строкаПродолжение табл. 13.2Табл. 13.3, (продолжение) bдля строк —■ = 0,5; 0,7Табл.20.111-я1-я2-я3-яПропущен вектор ад. справа ®1 > оа >	з, о2 ^ Здbh*Fsl147.hb3 146,Строки 4 и 8 являются суммами трех предыдущих строкln — tiВысоты и моменты инерции стоек различны—	т*;Т«bi ааPR2(d = г) (15.36) — (15.38) 0,050Я =in — ^Высоты одинаковы; а моменты инер¬ ции всех стоек различны.Примечание. Общий случай см. [20, стр. 288, 289].Ьа	62—	Т2 — ; — те —л-аfli Ъ Ьх ЬpR2(д = г) (15.38) —(15.39) 0,085Я—3.jk.